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Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Chapitre 1
Généralités sur les fonctions
Sébastien Pellerin
http://sebastien.pellerin.free.frsebastien.pellerin@iut-cachan.u-psud.fr
Septembre 2006
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Plan du chapitre
1 Propriétés globales d’une fonction
2 Dérivation
3 Notion de courbes asymptotes
4 Comportement local d’une fonction
5 Application réciproque d’une bijection
6 Accroissements finis
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Plan du chapitre
1 Propriétés globales d’une fonction
2 Dérivation
3 Notion de courbes asymptotes
4 Comportement local d’une fonction
5 Application réciproque d’une bijection
6 Accroissements finis
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Parité et imparité
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Parité et imparité
DéfinitionSoit f : I → R où I est une partie de R symétrique par rapport à 0.
I La fonction f est paire si pour tout x ∈ I on a f (−x) = f (x).I La fonction f est impaire si pour tout x ∈ I on a f (−x) = −f (x).
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Parité et imparité
DéfinitionSoit f : I → R où I est une partie de R symétrique par rapport à 0.
I La fonction f est paire si pour tout x ∈ I on a f (−x) = f (x).
I La fonction f est impaire si pour tout x ∈ I on a f (−x) = −f (x).
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Parité et imparité
DéfinitionSoit f : I → R où I est une partie de R symétrique par rapport à 0.
I La fonction f est paire si pour tout x ∈ I on a f (−x) = f (x).I La fonction f est impaire si pour tout x ∈ I on a f (−x) = −f (x).
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Parité et imparité
DéfinitionSoit f : I → R où I est une partie de R symétrique par rapport à 0.
I La fonction f est paire si pour tout x ∈ I on a f (−x) = f (x).I La fonction f est impaire si pour tout x ∈ I on a f (−x) = −f (x).
Exemples
I La fonction f définie sur R par f (x) = x2 est paire.
En effet, pour tout x ∈ R, on a (−x)2 = x2 i.e. f (−x) = f (x).I La fonction g définie sur R∗ par g(x) = 1x est impaire.
En effet, pour tout x ∈ R∗, on a 1−x = −1x i.e. g(−x) = −g(x).
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Parité et imparité
DéfinitionSoit f : I → R où I est une partie de R symétrique par rapport à 0.
I La fonction f est paire si pour tout x ∈ I on a f (−x) = f (x).I La fonction f est impaire si pour tout x ∈ I on a f (−x) = −f (x).
Exemples
I La fonction f définie sur R par f (x) = x2 est paire.En effet, pour tout x ∈ R, on a (−x)2 = x2 i.e. f (−x) = f (x).
I La fonction g définie sur R∗ par g(x) = 1x est impaire.
En effet, pour tout x ∈ R∗, on a 1−x = −1x i.e. g(−x) = −g(x).
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Parité et imparité
DéfinitionSoit f : I → R où I est une partie de R symétrique par rapport à 0.
I La fonction f est paire si pour tout x ∈ I on a f (−x) = f (x).I La fonction f est impaire si pour tout x ∈ I on a f (−x) = −f (x).
Exemples
I La fonction f définie sur R par f (x) = x2 est paire.
En effet, pour tout x ∈ R, on a (−x)2 = x2 i.e. f (−x) = f (x).I La fonction g définie sur R∗ par g(x) = 1x est impaire.
En effet, pour tout x ∈ R∗, on a 1−x = −1x i.e. g(−x) = −g(x).
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Parité et imparité
DéfinitionSoit f : I → R où I est une partie de R symétrique par rapport à 0.
I La fonction f est paire si pour tout x ∈ I on a f (−x) = f (x).I La fonction f est impaire si pour tout x ∈ I on a f (−x) = −f (x).
Exemples
I La fonction f définie sur R par f (x) = x2 est paire.
En effet, pour tout x ∈ R, on a (−x)2 = x2 i.e. f (−x) = f (x).
I La fonction g définie sur R∗ par g(x) = 1x est impaire.
En effet, pour tout x ∈ R∗, on a 1−x = −1x i.e. g(−x) = −g(x).
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Parité et imparité
DéfinitionSoit f : I → R où I est une partie de R symétrique par rapport à 0.
I La fonction f est paire si pour tout x ∈ I on a f (−x) = f (x).I La fonction f est impaire si pour tout x ∈ I on a f (−x) = −f (x).
Exemples
I La fonction f définie sur R par f (x) = x2 est paire.
En effet, pour tout x ∈ R, on a (−x)2 = x2 i.e. f (−x) = f (x).
I La fonction g définie sur R∗ par g(x) = 1x est impaire.En effet, pour tout x ∈ R∗, on a 1−x = −
1x i.e. g(−x) = −g(x).
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Parité et imparité
DéfinitionSoit f : I → R où I est une partie de R symétrique par rapport à 0.
I La fonction f est paire si pour tout x ∈ I on a f (−x) = f (x).
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Parité et imparité
DéfinitionSoit f : I → R où I est une partie de R symétrique par rapport à 0.
I La fonction f est paire si pour tout x ∈ I on a f (−x) = f (x).
Si f est paire alors son grapheest symétrique par rapport à l’axedes ordonnées.
x−x
f(x)
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Parité et imparité
DéfinitionSoit f : I → R où I est une partie de R symétrique par rapport à 0.
I La fonction f est impaire si pour tout x ∈ I on a f (−x) = −f (x).
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Parité et imparité
DéfinitionSoit f : I → R où I est une partie de R symétrique par rapport à 0.
I La fonction f est impaire si pour tout x ∈ I on a f (−x) = −f (x).
Si f est impaire alors son grapheest symétrique par rapport àl’origine du repère.
x−x
f(x)
f(−x) = −f(x)
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Périodicité
puis en effectuant des translations de vecteurs T~i , 2T~i , 3T~i , . . ., −T~i ,−2T~i , . . .
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Périodicité
DéfinitionI Une fonction f : R → R est périodique s’il existe T > 0 tel que
f (x + T ) = f (x) pour tout x ∈ R.
I On dit que T est une période de f et que f est T -périodique.
puis en effectuant des translations de vecteurs T~i , 2T~i , 3T~i , . . ., −T~i ,−2T~i , . . .
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Périodicité
DéfinitionI Une fonction f : R → R est périodique s’il existe T > 0 tel que
f (x + T ) = f (x) pour tout x ∈ R.I On dit que T est une période de f et que f est T -périodique.
puis en effectuant des translations de vecteurs T~i , 2T~i , 3T~i , . . ., −T~i ,−2T~i , . . .
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Périodicité
DéfinitionI Une fonction f : R → R est périodique s’il existe T > 0 tel que
f (x + T ) = f (x) pour tout x ∈ R.I On dit que T est une période de f et que f est T -périodique.
Exemple
La fonction cosinus est 2π-périoque.
puis en effectuant des translations de vecteurs T~i , 2T~i , 3T~i , . . ., −T~i ,−2T~i , . . .
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Périodicité
DéfinitionI Une fonction f : R → R est périodique s’il existe T > 0 tel que
f (x + T ) = f (x) pour tout x ∈ R.I On dit que T est une période de f et que f est T -périodique.
puis en effectuant des translations de vecteurs T~i , 2T~i , 3T~i , . . ., −T~i ,−2T~i , . . .
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Périodicité
DéfinitionI Une fonction f : R → R est périodique s’il existe T > 0 tel que
f (x + T ) = f (x) pour tout x ∈ R.I On dit que T est une période de f et que f est T -périodique.
Si f est T -périodique alors son graphe s’obtient en traçant le graphesur n’importe quel intervalle de longueur T
puis en effectuant destranslations de vecteurs T~i , 2T~i , 3T~i , . . ., −T~i , −2T~i , . . .
|
O ~ı
~
T
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Périodicité
DéfinitionI Une fonction f : R → R est périodique s’il existe T > 0 tel que
f (x + T ) = f (x) pour tout x ∈ R.I On dit que T est une période de f et que f est T -périodique.
Si f est T -périodique alors son graphe s’obtient en traçant le graphesur n’importe quel intervalle de longueur T puis en effectuant destranslations de vecteurs T~i , 2T~i , 3T~i , . . ., −T~i , −2T~i , . . .
|
O ~ı
~
T
T~ı
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Périodicité
DéfinitionI Une fonction f : R → R est périodique s’il existe T > 0 tel que
f (x + T ) = f (x) pour tout x ∈ R.I On dit que T est une période de f et que f est T -périodique.
Si f est T -périodique alors son graphe s’obtient en traçant le graphesur n’importe quel intervalle de longueur T puis en effectuant destranslations de vecteurs T~i , 2T~i , 3T~i , . . ., −T~i , −2T~i , . . .
|
O ~ı
~
T
T~ı
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Monotonie
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Monotonie
DéfinitionSoit f : I → R où I est un intervalle de R.
I f est croissante sur I si : u < v =⇒ f (u) 6 f (v).I f est décroissante sur I si : u < v =⇒ f (u) > f (v).I f est monotone si f est croissante ou décroissante.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Monotonie
DéfinitionSoit f : I → R où I est un intervalle de R.
I f est croissante sur I si : u < v =⇒ f (u) 6 f (v).
I f est décroissante sur I si : u < v =⇒ f (u) > f (v).I f est monotone si f est croissante ou décroissante.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Monotonie
DéfinitionSoit f : I → R où I est un intervalle de R.
I f est croissante sur I si : u < v =⇒ f (u) 6 f (v).I f est décroissante sur I si : u < v =⇒ f (u) > f (v).
I f est monotone si f est croissante ou décroissante.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Monotonie
DéfinitionSoit f : I → R où I est un intervalle de R.
I f est croissante sur I si : u < v =⇒ f (u) 6 f (v).I f est décroissante sur I si : u < v =⇒ f (u) > f (v).I f est monotone si f est croissante ou décroissante.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Monotonie
DéfinitionSoit f : I → R où I est un intervalle de R.
I f est croissante sur I si : u < v =⇒ f (u) 6 f (v).I f est décroissante sur I si : u < v =⇒ f (u) > f (v).I f est monotone si f est croissante ou décroissante.
Exemple
f (x) =√
x
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Monotonie
DéfinitionSoit f : I → R où I est un intervalle de R.
I f est croissante sur I si : u < v =⇒ f (u) 6 f (v).I f est décroissante sur I si : u < v =⇒ f (u) > f (v).I f est monotone si f est croissante ou décroissante.
Exemple
g(x) = x2
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Monotonie
DéfinitionSoit f : I → R où I est un intervalle de R.
I f est croissante sur I si : u < v =⇒ f (u) 6 f (v).I f est décroissante sur I si : u < v =⇒ f (u) > f (v).I f est monotone si f est croissante ou décroissante.
Exemple
h(x) =1x
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Monotonie
DéfinitionSoit f : I → R où I est un intervalle I de R.
I f est strictement croissante sur I si : u < v =⇒ f (u) < f (v).I f est strictement décroissante sur I si : u < v =⇒ f (u) > f (v).I f est strictement monotone si f est strictement croissante ou
strictement décroissante.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Plan du chapitre
1 Propriétés globales d’une fonction
2 Dérivation
3 Notion de courbes asymptotes
4 Comportement local d’une fonction
5 Application réciproque d’une bijection
6 Accroissements finis
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Dérivée en un point
Définition
Soit f : [a, b] → R et x0 ∈]a, b[.
I La fonction f est dite dérivable en x0 si le rapportf (x)− f (x0)
x − x0admet une limite lorsque x tend vers x0.
I Cette limite est appelée dérivée de f en x0 et on note
f ′(x0) = limx→x0
f (x)− f (x0)x − x0
.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Dérivée en un point
Définition
Soit f : [a, b] → R et x0 ∈]a, b[.
I La fonction f est dite dérivable en x0 si le rapportf (x)− f (x0)
x − x0admet une limite lorsque x tend vers x0.
I Cette limite est appelée dérivée de f en x0 et on note
f ′(x0) = limx→x0
f (x)− f (x0)x − x0
.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Dérivée en un point
Définition
Soit f : [a, b] → R et x0 ∈]a, b[.
I La fonction f est dite dérivable en x0 si le rapportf (x)− f (x0)
x − x0admet une limite lorsque x tend vers x0.
I Cette limite est appelée dérivée de f en x0 et on note
f ′(x0) = limx→x0
f (x)− f (x0)x − x0
.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Dérivée en un point
Définition
Soit f : [a, b] → R et x0 ∈]a, b[.
I La fonction f est dite dérivable en x0 si le rapportf (x)− f (x0)
x − x0admet une limite lorsque x tend vers x0.
I Cette limite est appelée dérivée de f en x0 et on note
f ′(x0) = limx→x0
f (x)− f (x0)x − x0
.
On peut également écrire :
f ′(x0) = limh→0
f (x0 + h)− f (x0)h
.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Dérivée en un point
Définition
Soit f : [a, b] → R et x0 ∈]a, b[.
I La fonction f est dite dérivable en x0 si le rapportf (x)− f (x0)
x − x0admet une limite lorsque x tend vers x0.
I Cette limite est appelée dérivée de f en x0 et on note
f ′(x0) = limx→x0
f (x)− f (x0)x − x0
.
Exemples
I f (x) =√
x et x0 = 1
I g(x) = |x | et x0 = 0
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Dérivée en un point
Définition
Soit f : [a, b] → R et x0 ∈]a, b[.
I La fonction f est dite dérivable en x0 si le rapportf (x)− f (x0)
x − x0admet une limite lorsque x tend vers x0.
I Cette limite est appelée dérivée de f en x0 et on note
f ′(x0) = limx→x0
f (x)− f (x0)x − x0
.
Exemples
I f (x) =√
x et x0 = 1I g(x) = |x | et x0 = 0
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Interprétation géométrique
Soit f : [a, b] → R dérivable en x0 ∈]a, b[.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Interprétation géométrique
Soit f : [a, b] → R dérivable en x0 ∈]a, b[.
Le coefficient directeur de ladroite (M0M) est
f (x)− f (x0)x − x0
.
O x0 x
f(x0)
f(x)
M0
M
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Interprétation géométrique
Soit f : [a, b] → R dérivable en x0 ∈]a, b[.
O
M0
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Interprétation géométrique
Soit f : [a, b] → R dérivable en x0 ∈]a, b[.
Lorsque x tend vers x0, f (x) tendvers f (x0).
O
M0
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Interprétation géométrique
Soit f : [a, b] → R dérivable en x0 ∈]a, b[.
Lorsque x tend vers x0, f (x) tendvers f (x0).
Le point M(x , f (x)) se rapprochedonc du point M0(x0, f (x0))lorsque x tend vers x0.
O
M0
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Interprétation géométrique
Soit f : [a, b] → R dérivable en x0 ∈]a, b[.
Lorsque x tend vers x0, f (x) tendvers f (x0).
Le point M(x , f (x)) se rapprochedonc du point M0(x0, f (x0))lorsque x tend vers x0.
La droite (M0M) se rapprochedonc de la tangente à C en M0.
O
M0
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Interprétation géométrique
Soit f : [a, b] → R dérivable en x0 ∈]a, b[.
Lorsque x tend vers x0, f (x) tendvers f (x0).
Le point M(x , f (x)) se rapprochedonc du point M0(x0, f (x0))lorsque x tend vers x0.
La droite (M0M) se rapprochedonc de la tangente à C en M0.
O
M0
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Interprétation géométrique
Soit f : [a, b] → R dérivable en x0 ∈]a, b[.
Lorsque x tend vers x0, f (x) tendvers f (x0).
Le point M(x , f (x)) se rapprochedonc du point M0(x0, f (x0))lorsque x tend vers x0.
La droite (M0M) se rapprochedonc de la tangente à C en M0.
O
M0
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Interprétation géométrique
Soit f : [a, b] → R dérivable en x0 ∈]a, b[.
Lorsque x tend vers x0, f (x) tendvers f (x0).
Le point M(x , f (x)) se rapprochedonc du point M0(x0, f (x0))lorsque x tend vers x0.
La droite (M0M) se rapprochedonc de la tangente à C en M0.
O
M0
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Interprétation géométrique
Soit f : [a, b] → R dérivable en x0 ∈]a, b[.
Lorsque x tend vers x0, f (x) tendvers f (x0).
Le point M(x , f (x)) se rapprochedonc du point M0(x0, f (x0))lorsque x tend vers x0.
La droite (M0M) se rapprochedonc de la tangente à C en M0.
O
M0
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Interprétation géométrique
Soit f : [a, b] → R dérivable en x0 ∈]a, b[.
Lorsque x tend vers x0, f (x) tendvers f (x0).
Le point M(x , f (x)) se rapprochedonc du point M0(x0, f (x0))lorsque x tend vers x0.
La droite (M0M) se rapprochedonc de la tangente à C en M0.
O
M0
T
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Interprétation géométrique
Soit f : [a, b] → R dérivable en x0 ∈]a, b[.
Le coefficient directeur de latangente en M0 est donc :
limx→x0
f (x)− f (x0)x − x0
= f ′(x0).
O
M0
T
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Interprétation géométrique
Théorème
Soit f : [a, b] → R dérivable en x0 ∈]a, b[.Le graphe de f admet au point M0(x0, f (x0)) une tangente d’équation :
y = f ′(x0)(x − x0) + f (x0).
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Interprétation géométrique
Théorème
Soit f : [a, b] → R dérivable en x0 ∈]a, b[.Le graphe de f admet au point M0(x0, f (x0)) une tangente d’équation :
y = f ′(x0)(x − x0) + f (x0).
Exemple
f (x) =√
x et x0 = 1.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Interprétation géométrique
Théorème
Soit f : [a, b] → R dérivable en x0 ∈]a, b[.Le graphe de f admet au point M0(x0, f (x0)) une tangente d’équation :
y = f ′(x0)(x − x0) + f (x0).
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Interprétation géométrique
Théorème
Soit f : [a, b] → R dérivable en x0 ∈]a, b[.Le graphe de f admet au point M0(x0, f (x0)) une tangente d’équation :
y = f ′(x0)(x − x0) + f (x0).
Remarque
Sif (x)− f (x0)
x − x0−−−→x→x0
+∞ alors le graphe de f admet une tangenteverticale au point M0(x0, f (x0)).
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Fonction dérivée
Définition
I On dit que f est dérivable sur ]a, b[ si f est dérivable en toutx0 ∈]a, b[.
I On définit alors sa fonction dérivée f ′ :]a, b[→ R, x 7→ f ′(x).
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Fonction dérivée
DéfinitionI On dit que f est dérivable sur ]a, b[ si f est dérivable en tout
x0 ∈]a, b[.
I On définit alors sa fonction dérivée f ′ :]a, b[→ R, x 7→ f ′(x).
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Fonction dérivée
DéfinitionI On dit que f est dérivable sur ]a, b[ si f est dérivable en tout
x0 ∈]a, b[.I On définit alors sa fonction dérivée f ′ :]a, b[→ R, x 7→ f ′(x).
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Fonction dérivée
DéfinitionI On dit que f est dérivable sur ]a, b[ si f est dérivable en tout
x0 ∈]a, b[.I On définit alors sa fonction dérivée f ′ :]a, b[→ R, x 7→ f ′(x).
Remarques
I Si f ′ est dérivable sur ]a, b[ alors sa dérivée est appelée fonctiondérivée seconde de f et est notée f ′′.
I De proche en proche, on définit ainsi les fonctions dérivéessuccessives f ′, f ′′, f ′′′, . . . , f (n), . . . de f .
I Si f admet des dérivées à tout ordre n ∈ N (i.e. si f est infinimentdérivable) alors on dit que f est de classe C∞ sur ]a, b[.
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Fonction dérivée
DéfinitionI On dit que f est dérivable sur ]a, b[ si f est dérivable en tout
x0 ∈]a, b[.I On définit alors sa fonction dérivée f ′ :]a, b[→ R, x 7→ f ′(x).
RemarquesI Si f ′ est dérivable sur ]a, b[ alors sa dérivée est appelée fonction
dérivée seconde de f et est notée f ′′.
I De proche en proche, on définit ainsi les fonctions dérivéessuccessives f ′, f ′′, f ′′′, . . . , f (n), . . . de f .
I Si f admet des dérivées à tout ordre n ∈ N (i.e. si f est infinimentdérivable) alors on dit que f est de classe C∞ sur ]a, b[.
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Fonction dérivée
DéfinitionI On dit que f est dérivable sur ]a, b[ si f est dérivable en tout
x0 ∈]a, b[.I On définit alors sa fonction dérivée f ′ :]a, b[→ R, x 7→ f ′(x).
RemarquesI Si f ′ est dérivable sur ]a, b[ alors sa dérivée est appelée fonction
dérivée seconde de f et est notée f ′′.I De proche en proche, on définit ainsi les fonctions dérivées
successives f ′, f ′′, f ′′′, . . . , f (n), . . . de f .
I Si f admet des dérivées à tout ordre n ∈ N (i.e. si f est infinimentdérivable) alors on dit que f est de classe C∞ sur ]a, b[.
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Fonction dérivée
DéfinitionI On dit que f est dérivable sur ]a, b[ si f est dérivable en tout
x0 ∈]a, b[.I On définit alors sa fonction dérivée f ′ :]a, b[→ R, x 7→ f ′(x).
RemarquesI Si f ′ est dérivable sur ]a, b[ alors sa dérivée est appelée fonction
dérivée seconde de f et est notée f ′′.I De proche en proche, on définit ainsi les fonctions dérivées
successives f ′, f ′′, f ′′′, . . . , f (n), . . . de f .I Si f admet des dérivées à tout ordre n ∈ N (i.e. si f est infiniment
dérivable) alors on dit que f est de classe C∞ sur ]a, b[.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Tableau des dérivées usuelles
f (x) I f ′(x)
constante R 0
x R 1
1x
]−∞, 0[ ou ]0,+∞[ − 1x2
√x ]0,+∞[ 1
2√
x
xα (α 6= 0) ]0,+∞[ α xα−1
ln x ]0,+∞[ 1x
ex R ex
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Tableau des dérivées usuelles
f (x) I f ′(x)
constante R 0
x R 1
1x
]−∞, 0[ ou ]0,+∞[ − 1x2
√x ]0,+∞[ 1
2√
x
xα (α 6= 0) ]0,+∞[ α xα−1
ln x ]0,+∞[ 1x
ex R ex
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Tableau des dérivées usuelles
f (x) I f ′(x)
constante R 0
x R 1
1x
]−∞, 0[ ou ]0,+∞[ − 1x2
√x ]0,+∞[ 1
2√
x
xα (α 6= 0) ]0,+∞[ α xα−1
ln x ]0,+∞[ 1x
ex R ex
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Tableau des dérivées usuelles
f (x) I f ′(x)
constante R 0
x R 1
1x
]−∞, 0[ ou ]0,+∞[ − 1x2
√x ]0,+∞[ 1
2√
x
xα (α 6= 0) ]0,+∞[ α xα−1
ln x ]0,+∞[ 1x
ex R ex
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Tableau des dérivées usuelles
f (x) I f ′(x)
constante R 0
x R 1
1x
]−∞, 0[ ou ]0,+∞[ − 1x2
√x ]0,+∞[ 1
2√
x
xα (α 6= 0) ]0,+∞[ α xα−1
ln x ]0,+∞[ 1x
ex R ex
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Tableau des dérivées usuelles
f (x) I f ′(x)
constante R 0
x R 1
1x
]−∞, 0[ ou ]0,+∞[ − 1x2
√x ]0,+∞[ 1
2√
x
xα (α 6= 0) ]0,+∞[ α xα−1
ln x ]0,+∞[ 1x
ex R ex
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Tableau des dérivées usuelles
f (x) I f ′(x)
constante R 0
x R 1
1x
]−∞, 0[ ou ]0,+∞[ − 1x2
√x ]0,+∞[ 1
2√
x
xα (α 6= 0) ]0,+∞[ α xα−1
ln x ]0,+∞[ 1x
ex R ex
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Tableau des dérivées usuelles
f (x) I f ′(x)
constante R 0
x R 1
1x
]−∞, 0[ ou ]0,+∞[ − 1x2
√x ]0,+∞[ 1
2√
x
xα (α 6= 0) ]0,+∞[ α xα−1
ln x ]0,+∞[ 1x
ex R ex
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Tableau des dérivées usuelles
f (x) I f ′(x)
constante R 0
x R 1
1x
]−∞, 0[ ou ]0,+∞[ − 1x2
√x ]0,+∞[ 1
2√
x
xα (α 6= 0) ]0,+∞[ α xα−1
ln x ]0,+∞[ 1x
ex R ex
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Tableau des dérivées usuelles
f (x) I f ′(x)
constante R 0
x R 1
1x
]−∞, 0[ ou ]0,+∞[ − 1x2
√x ]0,+∞[ 1
2√
x
xα (α 6= 0) ]0,+∞[ α xα−1
ln x ]0,+∞[ 1x
ex R ex
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Tableau des dérivées usuelles
f (x) I f ′(x)
constante R 0
x R 1
1x
]−∞, 0[ ou ]0,+∞[ − 1x2
√x ]0,+∞[ 1
2√
x
xα (α 6= 0) ]0,+∞[ α xα−1
ln x ]0,+∞[ 1x
ex R ex
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Tableau des dérivées usuelles
f (x) I f ′(x)
constante R 0
x R 1
1x
]−∞, 0[ ou ]0,+∞[ − 1x2
√x ]0,+∞[ 1
2√
x
xα (α 6= 0) ]0,+∞[ α xα−1
ln x ]0,+∞[ 1x
ex R ex
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Tableau des dérivées usuelles
f (x) I f ′(x)
constante R 0
x R 1
1x
]−∞, 0[ ou ]0,+∞[ − 1x2
√x ]0,+∞[ 1
2√
x
xα (α 6= 0) ]0,+∞[ α xα−1
ln x ]0,+∞[ 1x
ex R ex
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Tableau des dérivées usuelles
f (x) I f ′(x)
constante R 0
x R 1
1x
]−∞, 0[ ou ]0,+∞[ − 1x2
√x ]0,+∞[ 1
2√
x
xα (α 6= 0) ]0,+∞[ α xα−1
ln x ]0,+∞[ 1x
ex R ex
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Tableau des dérivées usuelles
f (x) I f ′(x)
constante R 0
x R 1
1x
]−∞, 0[ ou ]0,+∞[ − 1x2
√x ]0,+∞[ 1
2√
x
xα (α 6= 0) ]0,+∞[ α xα−1
ln x ]0,+∞[ 1x
ex R ex
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Règles de calcul
Proposition
Soit f et g dérivables sur un intervalle I.
I (f + g)′ = f ′ + g′
I (λf )′ = λf ′
I (fg)′ = f ′g + fg′
I Si g ne s’annule pas alors
( fg
)′=
f ′g − fg′
g2
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Règles de calcul
Proposition
Soit f et g dérivables sur un intervalle I.I (f + g)′ = f ′ + g′
I (λf )′ = λf ′
I (fg)′ = f ′g + fg′
I Si g ne s’annule pas alors
( fg
)′=
f ′g − fg′
g2
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Règles de calcul
Proposition
Soit f et g dérivables sur un intervalle I.I (f + g)′ = f ′ + g′
I (λf )′ = λf ′
I (fg)′ = f ′g + fg′
I Si g ne s’annule pas alors
( fg
)′=
f ′g − fg′
g2
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Règles de calcul
Proposition
Soit f et g dérivables sur un intervalle I.I (f + g)′ = f ′ + g′
I (λf )′ = λf ′
I (fg)′ = f ′g + fg′
I Si g ne s’annule pas alors
( fg
)′=
f ′g − fg′
g2
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Règles de calcul
Proposition
Soit f et g dérivables sur un intervalle I.I (f + g)′ = f ′ + g′
I (λf )′ = λf ′
I (fg)′ = f ′g + fg′
I Si g ne s’annule pas alors
( fg
)′=
f ′g − fg′
g2
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Règles de calcul
Proposition
Soit f et g dérivables sur un intervalle I.I (f + g)′ = f ′ + g′
I (λf )′ = λf ′
I (fg)′ = f ′g + fg′
I Si g ne s’annule pas alors( f
g
)′=
f ′g − fg′
g2
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Règles de calcul
Proposition
Soit f et g dérivables sur un intervalle I.I (f + g)′ = f ′ + g′
I (λf )′ = λf ′
I (fg)′ = f ′g + fg′
I Si g ne s’annule pas alors( f
g
)′=
f ′g − fg′
g2
En particulier, si g ne s’annule pas alors(1
g
)′= − g
′
g2.
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Règles de calcul
Proposition
Soit f et g dérivables sur un intervalle I.I (f + g)′ = f ′ + g′
I (λf )′ = λf ′
I (fg)′ = f ′g + fg′
I Si g ne s’annule pas alors( f
g
)′=
f ′g − fg′
g2
Proposition
Soit u : I → J dérivable et F dérivable sur J.
Alors F ◦ u est dérivable sur I et (F ◦ u)′ = u′ × F ′ ◦ u.
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Règles de calcul
Proposition
Soit f et g dérivables sur un intervalle I.I (f + g)′ = f ′ + g′
I (λf )′ = λf ′
I (fg)′ = f ′g + fg′
I Si g ne s’annule pas alors( f
g
)′=
f ′g − fg′
g2
Proposition
Soit u : I → J dérivable et F dérivable sur J.Alors F ◦ u est dérivable sur I et (F ◦ u)′ = u′ × F ′ ◦ u.
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Règles de calcul
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Règles de calcul
f (x) f ′(x)(u(x)
)α(α 6= 0) α u′(x)
(u(x)
)α−11
u(x)− u
′(x)(u(x)
)2√
u(x)u′(x)
2√
u(x)
ln(u(x)
) u′(x)u(x)
eu(x) u′(x) eu(x)
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Règles de calcul
f (x) f ′(x)(u(x)
)α(α 6= 0) α u′(x)
(u(x)
)α−11
u(x)− u
′(x)(u(x)
)2√
u(x)u′(x)
2√
u(x)
ln(u(x)
) u′(x)u(x)
eu(x) u′(x) eu(x)
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Règles de calcul
f (x) f ′(x)(u(x)
)α(α 6= 0) α u′(x)
(u(x)
)α−11
u(x)− u
′(x)(u(x)
)2√
u(x)u′(x)
2√
u(x)
ln(u(x)
) u′(x)u(x)
eu(x) u′(x) eu(x)
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Règles de calcul
f (x) f ′(x)(u(x)
)α(α 6= 0) α u′(x)
(u(x)
)α−11
u(x)− u
′(x)(u(x)
)2√
u(x)u′(x)
2√
u(x)
ln(u(x)
) u′(x)u(x)
eu(x) u′(x) eu(x)
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Règles de calcul
f (x) f ′(x)(u(x)
)α(α 6= 0) α u′(x)
(u(x)
)α−11
u(x)− u
′(x)(u(x)
)2√
u(x)u′(x)
2√
u(x)
ln(u(x)
) u′(x)u(x)
eu(x) u′(x) eu(x)
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Règles de calcul
f (x) f ′(x)(u(x)
)α(α 6= 0) α u′(x)
(u(x)
)α−11
u(x)− u
′(x)(u(x)
)2√
u(x)u′(x)
2√
u(x)
ln(u(x)
) u′(x)u(x)
eu(x) u′(x) eu(x)
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Règles de calcul
f (x) f ′(x)(u(x)
)α(α 6= 0) α u′(x)
(u(x)
)α−11
u(x)− u
′(x)(u(x)
)2√
u(x)u′(x)
2√
u(x)
ln(u(x)
) u′(x)u(x)
eu(x) u′(x) eu(x)
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Règles de calcul
f (x) f ′(x)(u(x)
)α(α 6= 0) α u′(x)
(u(x)
)α−11
u(x)− u
′(x)(u(x)
)2√
u(x)u′(x)
2√
u(x)
ln(u(x)
) u′(x)u(x)
eu(x) u′(x) eu(x)
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Règles de calcul
f (x) f ′(x)(u(x)
)α(α 6= 0) α u′(x)
(u(x)
)α−11
u(x)− u
′(x)(u(x)
)2√
u(x)u′(x)
2√
u(x)
ln(u(x)
) u′(x)u(x)
eu(x) u′(x) eu(x)
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Règles de calcul
f (x) f ′(x)(u(x)
)α(α 6= 0) α u′(x)
(u(x)
)α−11
u(x)− u
′(x)(u(x)
)2√
u(x)u′(x)
2√
u(x)
ln(u(x)
) u′(x)u(x)
eu(x) u′(x) eu(x)
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Règles de calcul
f (x) f ′(x)(u(x)
)α(α 6= 0) α u′(x)
(u(x)
)α−11
u(x)− u
′(x)(u(x)
)2√
u(x)u′(x)
2√
u(x)
ln(u(x)
) u′(x)u(x)
eu(x) u′(x) eu(x)
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Règles de calcul
f (x) f ′(x)(u(x)
)α(α 6= 0) α u′(x)
(u(x)
)α−11
u(x)− u
′(x)(u(x)
)2√
u(x)u′(x)
2√
u(x)
ln(u(x)
) u′(x)u(x)
eu(x) u′(x) eu(x)
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Règles de calcul
f (x) f ′(x)(u(x)
)α(α 6= 0) α u′(x)
(u(x)
)α−11
u(x)− u
′(x)(u(x)
)2√
u(x)u′(x)
2√
u(x)
ln(u(x)
) u′(x)u(x)
eu(x) u′(x) eu(x)
Exemple
f (x) = e1
x2+1
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Sens de variation d’une fonction dérivable
ThéorèmeSoit f dérivable sur un intervalle I.
I f constante sur I ⇐⇒ f ′(x) = 0 pour tout x ∈ II f croissante sur I ⇐⇒ f ′(x) > 0 pour tout x ∈ II f décroissante sur I ⇐⇒ f ′(x) 6 0 pour tout x ∈ I
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Sens de variation d’une fonction dérivable
ThéorèmeSoit f dérivable sur un intervalle I.
I f constante sur I ⇐⇒ f ′(x) = 0 pour tout x ∈ I
I f croissante sur I ⇐⇒ f ′(x) > 0 pour tout x ∈ II f décroissante sur I ⇐⇒ f ′(x) 6 0 pour tout x ∈ I
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Sens de variation d’une fonction dérivable
ThéorèmeSoit f dérivable sur un intervalle I.
I f constante sur I ⇐⇒ f ′(x) = 0 pour tout x ∈ II f croissante sur I ⇐⇒ f ′(x) > 0 pour tout x ∈ I
I f décroissante sur I ⇐⇒ f ′(x) 6 0 pour tout x ∈ I
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Sens de variation d’une fonction dérivable
ThéorèmeSoit f dérivable sur un intervalle I.
I f constante sur I ⇐⇒ f ′(x) = 0 pour tout x ∈ II f croissante sur I ⇐⇒ f ′(x) > 0 pour tout x ∈ II f décroissante sur I ⇐⇒ f ′(x) 6 0 pour tout x ∈ I
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Sens de variation d’une fonction dérivable
ThéorèmeSoit f dérivable sur un intervalle I.
I f constante sur I ⇐⇒ f ′(x) = 0 pour tout x ∈ II f croissante sur I ⇐⇒ f ′(x) > 0 pour tout x ∈ II f décroissante sur I ⇐⇒ f ′(x) 6 0 pour tout x ∈ I
Remarques
I Si f ′ > 0 alors f est strictement croissante.I Si f ′ < 0 alors f est strictement décroissante.
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Sens de variation d’une fonction dérivable
ThéorèmeSoit f dérivable sur un intervalle I.
I f constante sur I ⇐⇒ f ′(x) = 0 pour tout x ∈ II f croissante sur I ⇐⇒ f ′(x) > 0 pour tout x ∈ II f décroissante sur I ⇐⇒ f ′(x) 6 0 pour tout x ∈ I
RemarquesI Si f ′ > 0 alors f est strictement croissante.
I Si f ′ < 0 alors f est strictement décroissante.
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Sens de variation d’une fonction dérivable
ThéorèmeSoit f dérivable sur un intervalle I.
I f constante sur I ⇐⇒ f ′(x) = 0 pour tout x ∈ II f croissante sur I ⇐⇒ f ′(x) > 0 pour tout x ∈ II f décroissante sur I ⇐⇒ f ′(x) 6 0 pour tout x ∈ I
RemarquesI Si f ′ > 0 alors f est strictement croissante.I Si f ′ < 0 alors f est strictement décroissante.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Sens de variation d’une fonction dérivable
ThéorèmeSoit f dérivable sur un intervalle I.
I f constante sur I ⇐⇒ f ′(x) = 0 pour tout x ∈ II f croissante sur I ⇐⇒ f ′(x) > 0 pour tout x ∈ II f décroissante sur I ⇐⇒ f ′(x) 6 0 pour tout x ∈ I
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Sens de variation d’une fonction dérivable
ThéorèmeSoit f dérivable sur un intervalle I.
I f constante sur I ⇐⇒ f ′(x) = 0 pour tout x ∈ II f croissante sur I ⇐⇒ f ′(x) > 0 pour tout x ∈ II f décroissante sur I ⇐⇒ f ′(x) 6 0 pour tout x ∈ I
Exemples
I Étude de f définie sur R par f (x) = 13 x3 − x + 1
I Étude de f définie sur ]0,+∞[ par f (x) = ln( x
x2 + 1
)
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Sens de variation d’une fonction dérivable
ThéorèmeSoit f dérivable sur un intervalle I.
I f constante sur I ⇐⇒ f ′(x) = 0 pour tout x ∈ II f croissante sur I ⇐⇒ f ′(x) > 0 pour tout x ∈ II f décroissante sur I ⇐⇒ f ′(x) 6 0 pour tout x ∈ I
Exemples
I Étude de f définie sur R par f (x) = 13 x3 − x + 1
I Étude de f définie sur ]0,+∞[ par f (x) = ln( x
x2 + 1
)
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Sens de variation d’une fonction dérivable
ThéorèmeSoit f dérivable sur un intervalle I.
I f constante sur I ⇐⇒ f ′(x) = 0 pour tout x ∈ II f croissante sur I ⇐⇒ f ′(x) > 0 pour tout x ∈ II f décroissante sur I ⇐⇒ f ′(x) 6 0 pour tout x ∈ I
Exemples
I Étude de f définie sur R par f (x) = 13 x3 − x + 1
I Étude de f définie sur ]0,+∞[ par f (x) = ln( x
x2 + 1
)
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Plan du chapitre
1 Propriétés globales d’une fonction
2 Dérivation
3 Notion de courbes asymptotes
4 Comportement local d’une fonction
5 Application réciproque d’une bijection
6 Accroissements finis
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Asymptotes verticales
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Asymptotes verticales
Définition
Soit f :]a, α[∪]α, b[→ R.
Si f (x) −−−→x→α
∞alors la droite ∆ d’équation x = αest une asymptote verticale augraphe de f .
C ∆
α
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Asymptotes verticales
Définition
Soit f :]a, α[∪]α, b[→ R.
Si f (x) −−−→x→α
∞alors la droite ∆ d’équation x = αest une asymptote verticale augraphe de f .
C ∆
α
Exemple
Soit f définie sur R∗ par f (x) = 1x .La droite d’équation x = 0 est une asymptote verticale.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Courbes asymptotes
Soit f et g de graphes Cf et Cg .
Cf
Cg
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Courbes asymptotes
Soit f et g de graphes Cf et Cg .
x
Cf
Cg
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Courbes asymptotes
Soit f et g de graphes Cf et Cg .
x
Cf
Cg
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Courbes asymptotes
Soit f et g de graphes Cf et Cg .
x
Cf
Cg
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Courbes asymptotes
Soit f et g de graphes Cf et Cg .
x
Cf
Cg
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Courbes asymptotes
Soit f et g de graphes Cf et Cg .
On dit que Cf et Cg sontasymptotes quand x tend vers alorsque la distance entre lescourbes tend vers 0 quand x tendvers a.
x
Cf
Cg
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Courbes asymptotes
Soit f et g de graphes Cf et Cg .
On dit que Cf et Cg sontasymptotes quand x tend vers alorsque la distance entre lescourbes tend vers 0 quand x tendvers a.
x
Cf
Cg
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Courbes asymptotes
Soit f et g de graphes Cf et Cg .
On dit que Cf et Cg sontasymptotes quand x tend vers alorsque la distance entre lescourbes tend vers 0 quand x tendvers a.
x
Cf
Cg
Si limx→a
(f (x)− g(x)
)= 0 alors Cf et Cg sont asymptotes.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Courbes asymptotes
Soit f et g de graphes Cf et Cg .
On dit que Cf et Cg sontasymptotes quand x tend vers alorsque la distance entre lescourbes tend vers 0 quand x tendvers a.
Cf
Cg
Si limx→a
(f (x)− g(x)
)= 0 alors Cf et Cg sont asymptotes.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Courbes asymptotes
Soit f et g de graphes Cf et Cg .
On dit que Cf et Cg sontasymptotes quand x tend vers alorsque la distance entre lescourbes tend vers 0 quand x tendvers a.
x
g(x)
f(x)
Cf
Cg
Si limx→a
(f (x)− g(x)
)= 0 alors Cf et Cg sont asymptotes.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Courbes asymptotes
Soit f et g de graphes Cf et Cg .
On dit que Cf et Cg sontasymptotes quand x tend vers alorsque la distance entre lescourbes tend vers 0 quand x tendvers a.
x
Cf
Cg
Si limx→a
(f (x)− g(x)
)= 0 alors Cf et Cg sont asymptotes.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Courbes asymptotes
Soit f et g de graphes Cf et Cg .
On dit que Cf et Cg sontasymptotes quand x tend vers alorsque la distance entre lescourbes tend vers 0 quand x tendvers a.
x
Cf
Cg
Si limx→a
(f (x)− g(x)
)= 0 alors Cf et Cg sont asymptotes.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Courbes asymptotes
Soit f et g de graphes Cf et Cg .
On dit que Cf et Cg sontasymptotes quand x tend vers alorsque la distance entre lescourbes tend vers 0 quand x tendvers a.
x
Cf
Cg
Si limx→a
(f (x)− g(x)
)= 0 alors Cf et Cg sont asymptotes.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Courbes asymptotes
Soit f et g de graphes Cf et Cg .
On dit que Cf et Cg sontasymptotes quand x tend vers alorsque la distance entre lescourbes tend vers 0 quand x tendvers a.
x
Cf
Cg
Si limx→a
(f (x)− g(x)
)= 0 alors Cf et Cg sont asymptotes.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Asymptotes en l’infini
Définition
Soit f définie sur [a,+∞[.C
∆
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Asymptotes en l’infini
Définition
Soit f définie sur [a,+∞[.
Si f (x)− (ax + b) −−−−−→x→+∞
0 alors
la droite ∆ d’équation y = ax + best asymptote au graphe de f .
C
∆
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Asymptotes en l’infini
Définition
Soit f définie sur [a,+∞[.
Si f (x)− (ax + b) −−−−−→x→+∞
0 alors
la droite ∆ d’équation y = ax + best asymptote au graphe de f .
C
∆
Exemple
Asymptote en +∞ de f définie sur ]0,+∞[ par f (x) = 2x + 1x2
.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Asymptotes en l’infini
Définition
Si f (x)− (ax + b) −−−−−→x→+∞
0 alors
la droite ∆ d’équation y = ax + best asymptote au graphe de f .
C
∆
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Asymptotes en l’infini
Définition
Si f (x)− (ax + b) −−−−−→x→+∞
0 alors
la droite ∆ d’équation y = ax + best asymptote au graphe de f .
C
∆
Remarque
Si f (x) −−−−−→x→+∞
` alors la droite ∆
d’équation y = ` est uneasymptote horizontale.
C
∆
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Asymptotes en l’infini
Définition
Si f (x)− (ax + b) −−−−−→x→+∞
0 alors
la droite ∆ d’équation y = ax + best asymptote au graphe de f .
C
∆
Remarque
Si la droite d’équation y = ax + b est asymptote en +∞ au graphe def alors
a = limx→+∞
f (x)x
et b = limx→+∞
(f (x)− ax
).
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Asymptotes en l’infini
Remarque
Si la droite d’équation y = ax + b est asymptote en +∞ au graphe def alors
a = limx→+∞
f (x)x
et b = limx→+∞
(f (x)− ax
).
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Asymptotes en l’infini
Remarque
Si la droite d’équation y = ax + b est asymptote en +∞ au graphe def alors
a = limx→+∞
f (x)x
et b = limx→+∞
(f (x)− ax
).
Exemple
Asymptote en +∞ de f définie sur [0,+∞[ par f (x) = 3x2 + 1
x + 3
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Plan du chapitre
1 Propriétés globales d’une fonction
2 Dérivation
3 Notion de courbes asymptotes
4 Comportement local d’une fonction
5 Application réciproque d’une bijection
6 Accroissements finis
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Continuité
DéfinitionSoit f une fonction définie sur une partie D de R et à valeurs dans R.
I f est continue en a ∈ D si limx→a
f (x) = f (a).
I f est continue sur D si f est continue en tout point de D .
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Continuité
DéfinitionSoit f une fonction définie sur une partie D de R et à valeurs dans R.
I f est continue en a ∈ D si limx→a
f (x) = f (a).
I f est continue sur D si f est continue en tout point de D .
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Continuité
DéfinitionSoit f une fonction définie sur une partie D de R et à valeurs dans R.
I f est continue en a ∈ D si limx→a
f (x) = f (a).
I f est continue sur D si f est continue en tout point de D .
On
peu
t
trace
r cette courbe sans lever le
cray
on!
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Continuité
DéfinitionSoit f une fonction définie sur une partie D de R et à valeurs dans R.
I f est continue en a ∈ D si limx→a
f (x) = f (a).
I f est continue sur D si f est continue en tout point de D .
Exemple
La fonction valeur absolue estcontinue sur R.
0
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Continuité
DéfinitionSoit f une fonction définie sur une partie D de R et à valeurs dans R.
I f est continue en a ∈ D si limx→a
f (x) = f (a).
I f est continue sur D si f est continue en tout point de D .
Exemple
H : R −→ R
x 7−→ H(x) =
{0 si x < 01 si x > 0 0
1
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Continuité
DéfinitionSoit f une fonction définie sur une partie D de R et à valeurs dans R.
I f est continue en a ∈ D si limx→a
f (x) = f (a).
I f est continue sur D si f est continue en tout point de D .
Exemple
H : R −→ R
x 7−→ H(x) =
{0 si x < 01 si x > 0 0
1
Si a est « au bord » de D alors on dit que f estI continue à droite en a si lim
x→ax>a
f (x) = f (a)
I et continue à gauche en a si limx→ax
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Continuité
DéfinitionSoit f une fonction définie sur une partie D de R et à valeurs dans R.
I f est continue en a ∈ D si limx→a
f (x) = f (a).
I f est continue sur D si f est continue en tout point de D .
Soit f et g continues sur un même ensemble D et λ ∈ R.I f + g, f × g et λf sont continues sur D .
I Si g ne s’annule pas sur D alorsfg
est continue sur D .
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Continuité
DéfinitionSoit f une fonction définie sur une partie D de R et à valeurs dans R.
I f est continue en a ∈ D si limx→a
f (x) = f (a).
I f est continue sur D si f est continue en tout point de D .
Remarques
I Si f est dérivable en a alors f est continue en a.I Plus généralement, si f admet une fonction dérivée ne f (n) alors
les fonctions f ′, f ′′, . . . , f (n−1) sont toutes continues.I Si f admet une fonction dérivée ne f (n) continue alors on dit que f
est de classe C n sur ]a, b[.
Par exemple dire que f est de classeC 1 signifie que f et dérivable et que sa dérivée f ′ est continue.
Une fonction de classe C∞ est donc une fonction de classe C n
pour tout n ∈ N.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Continuité
DéfinitionSoit f une fonction définie sur une partie D de R et à valeurs dans R.
I f est continue en a ∈ D si limx→a
f (x) = f (a).
I f est continue sur D si f est continue en tout point de D .
RemarquesI Si f est dérivable en a alors f est continue en a.
I Plus généralement, si f admet une fonction dérivée ne f (n) alorsles fonctions f ′, f ′′, . . . , f (n−1) sont toutes continues.
I Si f admet une fonction dérivée ne f (n) continue alors on dit que fest de classe C n sur ]a, b[.
Par exemple dire que f est de classeC 1 signifie que f et dérivable et que sa dérivée f ′ est continue.
Une fonction de classe C∞ est donc une fonction de classe C n
pour tout n ∈ N.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Continuité
DéfinitionSoit f une fonction définie sur une partie D de R et à valeurs dans R.
I f est continue en a ∈ D si limx→a
f (x) = f (a).
I f est continue sur D si f est continue en tout point de D .
RemarquesI Si f est dérivable en a alors f est continue en a.I Plus généralement, si f admet une fonction dérivée ne f (n) alors
les fonctions f ′, f ′′, . . . , f (n−1) sont toutes continues.
I Si f admet une fonction dérivée ne f (n) continue alors on dit que fest de classe C n sur ]a, b[.
Par exemple dire que f est de classeC 1 signifie que f et dérivable et que sa dérivée f ′ est continue.
Une fonction de classe C∞ est donc une fonction de classe C n
pour tout n ∈ N.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Continuité
DéfinitionSoit f une fonction définie sur une partie D de R et à valeurs dans R.
I f est continue en a ∈ D si limx→a
f (x) = f (a).
I f est continue sur D si f est continue en tout point de D .
RemarquesI Si f est dérivable en a alors f est continue en a.I Plus généralement, si f admet une fonction dérivée ne f (n) alors
les fonctions f ′, f ′′, . . . , f (n−1) sont toutes continues.I Si f admet une fonction dérivée ne f (n) continue alors on dit que f
est de classe C n sur ]a, b[.
Par exemple dire que f est de classeC 1 signifie que f et dérivable et que sa dérivée f ′ est continue.
Une fonction de classe C∞ est donc une fonction de classe C n
pour tout n ∈ N.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Continuité
DéfinitionSoit f une fonction définie sur une partie D de R et à valeurs dans R.
I f est continue en a ∈ D si limx→a
f (x) = f (a).
I f est continue sur D si f est continue en tout point de D .
RemarquesI Si f est dérivable en a alors f est continue en a.I Plus généralement, si f admet une fonction dérivée ne f (n) alors
les fonctions f ′, f ′′, . . . , f (n−1) sont toutes continues.I Si f admet une fonction dérivée ne f (n) continue alors on dit que f
est de classe C n sur ]a, b[. Par exemple dire que f est de classeC 1 signifie que f et dérivable et que sa dérivée f ′ est continue.
Une fonction de classe C∞ est donc une fonction de classe C n
pour tout n ∈ N.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Continuité
DéfinitionSoit f une fonction définie sur une partie D de R et à valeurs dans R.
I f est continue en a ∈ D si limx→a
f (x) = f (a).
I f est continue sur D si f est continue en tout point de D .
RemarquesI Si f est dérivable en a alors f est continue en a.I Plus généralement, si f admet une fonction dérivée ne f (n) alors
les fonctions f ′, f ′′, . . . , f (n−1) sont toutes continues.I Si f admet une fonction dérivée ne f (n) continue alors on dit que f
est de classe C n sur ]a, b[. Par exemple dire que f est de classeC 1 signifie que f et dérivable et que sa dérivée f ′ est continue.
Une fonction de classe C∞ est donc une fonction de classe C n
pour tout n ∈ N.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Notion de fonctions équivalentes
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Notion de fonctions équivalentes
Soit f , g : I → R et a un point de I ou du bord de I.On suppose que g(x) 6= 0 pour x « proche » de a.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Notion de fonctions équivalentes
Soit f , g : I → R et a un point de I ou du bord de I.On suppose que g(x) 6= 0 pour x « proche » de a.
Définition
On dit que f et g sont équivalentes en a si :f (x)g(x)
−−−→x→a
1.
On note f ∼a
g ou f (x) ∼a
g(x)
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Notion de fonctions équivalentes
Définition
On dit que f et g sont équivalentes en a si :f (x)g(x)
−−−→x→a
1.
On note f ∼a
g ou f (x) ∼a
g(x)
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Notion de fonctions équivalentes
Définition
On dit que f et g sont équivalentes en a si :f (x)g(x)
−−−→x→a
1.
On note f ∼a
g ou f (x) ∼a
g(x)
Exemple
x − 2x2 ∼0
x
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Notion de fonctions équivalentes
Définition
On dit que f et g sont équivalentes en a si :f (x)g(x)
−−−→x→a
1.
On note f ∼a
g ou f (x) ∼a
g(x)
Exemple
x − 3x3 + 2x6 ∼+∞
2x6
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Notion de fonctions équivalentes
Définition
On dit que f et g sont équivalentes en a si :f (x)g(x)
−−−→x→a
1.
On note f ∼a
g ou f (x) ∼a
g(x)
Exemple
ex − 1 ∼0
x
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Notion de fonctions équivalentes
Définition
On dit que f et g sont équivalentes en a si :f (x)g(x)
−−−→x→a
1.
On note f ∼a
g ou f (x) ∼a
g(x)
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Notion de fonctions équivalentes
Définition
On dit que f et g sont équivalentes en a si :f (x)g(x)
−−−→x→a
1.
On note f ∼a
g ou f (x) ∼a
g(x)
RemarquesI Si f ∼
ag alors g ∼
af .
I Si f ∼a
g et g ∼a
h alors f ∼a
h.
I Si f ∼a
g alors, au voisinage de a, les fonctions f et g ont le mêmesigne.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Notion de fonctions équivalentes
Définition
On dit que f et g sont équivalentes en a si :f (x)g(x)
−−−→x→a
1.
On note f ∼a
g ou f (x) ∼a
g(x)
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Notion de fonctions équivalentes
Définition
On dit que f et g sont équivalentes en a si :f (x)g(x)
−−−→x→a
1.
On note f ∼a
g ou f (x) ∼a
g(x)
Exemples classiques
Un polynôme est équivalent en 0 à son terme de plus bas degré.Un polynôme est équivalent en ±∞ à son terme de plus haut degré.ex − 1 ∼
0x
ln(1 + x) ∼0
x
(1 + x)α − 1 ∼0
αx
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Notion de fonctions équivalentes
Définition
On dit que f et g sont équivalentes en a si :f (x)g(x)
−−−→x→a
1.
On note f ∼a
g ou f (x) ∼a
g(x)
Exemples classiques
Un polynôme est équivalent en 0 à son terme de plus bas degré.
Un polynôme est équivalent en ±∞ à son terme de plus haut degré.ex − 1 ∼
0x
ln(1 + x) ∼0
x
(1 + x)α − 1 ∼0
αx
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Notion de fonctions équivalentes
Définition
On dit que f et g sont équivalentes en a si :f (x)g(x)
−−−→x→a
1.
On note f ∼a
g ou f (x) ∼a
g(x)
Exemples classiques
Un polynôme est équivalent en 0 à son terme de plus bas degré.Un polynôme est équivalent en ±∞ à son terme de plus haut degré.
ex − 1 ∼0
x
ln(1 + x) ∼0
x
(1 + x)α − 1 ∼0
αx
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Notion de fonctions équivalentes
Définition
On dit que f et g sont équivalentes en a si :f (x)g(x)
−−−→x→a
1.
On note f ∼a
g ou f (x) ∼a
g(x)
Exemples classiques
Un polynôme est équivalent en 0 à son terme de plus bas degré.Un polynôme est équivalent en ±∞ à son terme de plus haut degré.ex − 1 ∼
0x
ln(1 + x) ∼0
x
(1 + x)α − 1 ∼0
αx
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Notion de fonctions équivalentes
Définition
On dit que f et g sont équivalentes en a si :f (x)g(x)
−−−→x→a
1.
On note f ∼a
g ou f (x) ∼a
g(x)
Exemples classiques
Un polynôme est équivalent en 0 à son terme de plus bas degré.Un polynôme est équivalent en ±∞ à son terme de plus haut degré.ex − 1 ∼
0x
ln(1 + x) ∼0
x
(1 + x)α − 1 ∼0
αx
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Notion de fonctions équivalentes
Définition
On dit que f et g sont équivalentes en a si :f (x)g(x)
−−−→x→a
1.
On note f ∼a
g ou f (x) ∼a
g(x)
Exemples classiques
Un polynôme est équivalent en 0 à son terme de plus bas degré.Un polynôme est équivalent en ±∞ à son terme de plus haut degré.ex − 1 ∼
0x
ln(1 + x) ∼0
x
(1 + x)α − 1 ∼0
αx
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Opérations sur les équivalents
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Opérations sur les équivalents
Théorème
I Si f ∼a
g et g(x) −−−→x→a
` alors : f (x) −−−→x→a
`.
I Si f (x) −−−→x→a
` 6= 0 alors : f ∼a
`.
I Si f1 ∼a
g1 et f2 ∼a
g2 alors : f1f2 ∼a
g1g2 etf1f2∼a
g1g2
.
I Si f ∼a
g et si α ∈ R alors : f α ∼a
gα.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Opérations sur les équivalents
ThéorèmeI Si f ∼
ag et g(x) −−−→
x→a` alors : f (x) −−−→
x→a`.
I Si f (x) −−−→x→a
` 6= 0 alors : f ∼a
`.
I Si f1 ∼a
g1 et f2 ∼a
g2 alors : f1f2 ∼a
g1g2 etf1f2∼a
g1g2
.
I Si f ∼a
g et si α ∈ R alors : f α ∼a
gα.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Opérations sur les équivalents
ThéorèmeI Si f ∼
ag et g(x) −−−→
x→a` alors : f (x) −−−→
x→a`.
I Si f (x) −−−→x→a
` 6= 0 alors : f ∼a
`.
I Si f1 ∼a
g1 et f2 ∼a
g2 alors : f1f2 ∼a
g1g2 etf1f2∼a
g1g2
.
I Si f ∼a
g et si α ∈ R alors : f α ∼a
gα.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Opérations sur les équivalents
ThéorèmeI Si f ∼
ag et g(x) −−−→
x→a` alors : f (x) −−−→
x→a`.
I Si f (x) −−−→x→a
` 6= 0 alors : f ∼a
`.
I Si f1 ∼a
g1 et f2 ∼a
g2 alors : f1f2 ∼a
g1g2 etf1f2∼a
g1g2
.
I Si f ∼a
g et si α ∈ R alors : f α ∼a
gα.
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Opérations sur les équivalents
ThéorèmeI Si f ∼
ag et g(x) −−−→
x→a` alors : f (x) −−−→
x→a`.
I Si f (x) −−−→x→a
` 6= 0 alors : f ∼a
`.
I Si f1 ∼a
g1 et f2 ∼a
g2 alors : f1f2 ∼a
g1g2 etf1f2∼a
g1g2
.
I Si f ∼a
g et si α ∈ R alors : f α ∼a
gα.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Opérations sur les équivalents
ThéorèmeI Si f ∼
ag et g(x) −−−→
x→a` alors : f (x) −−−→
x→a`.
I Si f (x) −−−→x→a
` 6= 0 alors : f ∼a
`.
I Si f1 ∼a
g1 et f2 ∼a
g2 alors : f1f2 ∼a
g1g2 etf1f2∼a
g1g2
.
I Si f ∼a
g et si α ∈ R alors : f α ∼a
gα.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Opérations sur les équivalents
ThéorèmeI Si f ∼
ag et g(x) −−−→
x→a` alors : f (x) −−−→
x→a`.
I Si f (x) −−−→x→a
` 6= 0 alors : f ∼a
`.
I Si f1 ∼a
g1 et f2 ∼a
g2 alors : f1f2 ∼a
g1g2 etf1f2∼a
g1g2
.
I Si f ∼a
g et si α ∈ R alors : f α ∼a
gα.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Opérations sur les équivalents
ThéorèmeI Si f ∼
ag et g(x) −−−→
x→a` alors : f (x) −−−→
x→a`.
I Si f (x) −−−→x→a
` 6= 0 alors : f ∼a
`.
I Si f1 ∼a
g1 et f2 ∼a
g2 alors : f1f2 ∼a
g1g2 etf1f2∼a
g1g2
.
I Si f ∼a
g et si α ∈ R alors : f α ∼a
gα.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Opérations sur les équivalents
ThéorèmeI Si f ∼
ag et g(x) −−−→
x→a` alors : f (x) −−−→
x→a`.
I Si f (x) −−−→x→a
` 6= 0 alors : f ∼a
`.
I Si f1 ∼a
g1 et f2 ∼a
g2 alors : f1f2 ∼a
g1g2 etf1f2∼a
g1g2
.
I Si f ∼a
g et si α ∈ R alors : f α ∼a
gα.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Opérations sur les équivalents
ThéorèmeI Si f ∼
ag et g(x) −−−→
x→a` alors : f (x) −−−→
x→a`.
I Si f (x) −−−→x→a
` 6= 0 alors : f ∼a
`.
I Si f1 ∼a
g1 et f2 ∼a
g2 alors : f1f2 ∼a
g1g2 etf1f2∼a
g1g2
.
I Si f ∼a
g et si α ∈ R alors : f α ∼a
gα.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Opérations sur les équivalents
ThéorèmeI Si f ∼
ag et g(x) −−−→
x→a` alors : f (x) −−−→
x→a`.
I Si f (x) −−−→x→a
` 6= 0 alors : f ∼a
`.
I Si f1 ∼a
g1 et f2 ∼a
g2 alors : f1f2 ∼a
g1g2 etf1f2∼a
g1g2
.
I Si f ∼a
g et si α ∈ R alors : f α ∼a
gα.
Exemple
x(ex − 1
)3 ∼0
x4
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Opérations sur les équivalents
ThéorèmeI Si f ∼
ag et g(x) −−−→
x→a` alors : f (x) −−−→
x→a`.
I Si f (x) −−−→x→a
` 6= 0 alors : f ∼a
`.
I Si f1 ∼a
g1 et f2 ∼a
g2 alors : f1f2 ∼a
g1g2 etf1f2∼a
g1g2
.
I Si f ∼a
g et si α ∈ R alors : f α ∼a
gα.
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Opérations sur les équivalents
ThéorèmeI Si f ∼
ag et g(x) −−−→
x→a` alors : f (x) −−−→
x→a`.
I Si f (x) −−−→x→a
` 6= 0 alors : f ∼a
`.
I Si f1 ∼a
g1 et f2 ∼a
g2 alors : f1f2 ∼a
g1g2 etf1f2∼a
g1g2
.
I Si f ∼a
g et si α ∈ R alors : f α ∼a
gα.
Ne pas additionner les équivalents !
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Opérations sur les équivalents
ThéorèmeI Si f ∼
ag et g(x) −−−→
x→a` alors : f (x) −−−→
x→a`.
I Si f (x) −−−→x→a
` 6= 0 alors : f ∼a
`.
I Si f1 ∼a
g1 et f2 ∼a
g2 alors : f1f2 ∼a
g1g2 etf1f2∼a
g1g2
.
I Si f ∼a
g et si α ∈ R alors : f α ∼a
gα.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Opérations sur les équivalents
ThéorèmeI Si f ∼
ag et g(x) −−−→
x→a` alors : f (x) −−−→
x→a`.
I Si f (x) −−−→x→a
` 6= 0 alors : f ∼a
`.
I Si f1 ∼a
g1 et f2 ∼a
g2 alors : f1f2 ∼a
g1g2 etf1f2∼a
g1g2
.
I Si f ∼a
g et si α ∈ R alors : f α ∼a
gα.
Théorème
Si f (x) ∼̀ g(x) et u(x) −−−→x→a
` alors : f(u(x)
)∼a
g(u(x)
).
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Opérations sur les équivalents
ThéorèmeI Si f ∼
ag et g(x) −−−→
x→a` alors : f (x) −−−→
x→a`.
I Si f (x) −−−→x→a
` 6= 0 alors : f ∼a
`.
I Si f1 ∼a
g1 et f2 ∼a
g2 alors : f1f2 ∼a
g1g2 etf1f2∼a
g1g2
.
I Si f ∼a
g et si α ∈ R alors : f α ∼a
gα.
Théorème
Si f (x) ∼̀ g(x) et u(x) −−−→x→a
` alors : f(u(x)
)∼a
g(u(x)
).
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Opérations sur les équivalents
ThéorèmeI Si f ∼
ag et g(x) −−−→
x→a` alors : f (x) −−−→
x→a`.
I Si f (x) −−−→x→a
` 6= 0 alors : f ∼a
`.
I Si f1 ∼a
g1 et f2 ∼a
g2 alors : f1f2 ∼a
g1g2 etf1f2∼a
g1g2
.
I Si f ∼a
g et si α ∈ R alors : f α ∼a
gα.
Théorème
Si f (x) ∼̀ g(x) et u(x) −−−→x→a
` alors : f(u(x)
)∼a
g(u(x)
).
Exemple
ex2 − 1 ∼
0x2
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Application des équivalents pour le calcul de limites
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Application des équivalents pour le calcul de limites
Dans un calcul de limites ne faisant intervenir que des produits et desquotients, on peut remplacer chaque fonction par une fonctionéquivalente.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Application des équivalents pour le calcul de limites
Dans un calcul de limites ne faisant intervenir que des produits et desquotients, on peut remplacer chaque fonction par une fonctionéquivalente.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Application des équivalents pour le calcul de limites
Dans un calcul de limites ne faisant intervenir que des produits et desquotients, on peut remplacer chaque fonction par une fonctionéquivalente.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Application des équivalents pour le calcul de limites
Dans un calcul de limites ne faisant intervenir que des produits et desquotients, on peut remplacer chaque fonction par une fonctionéquivalente.
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Application des équivalents pour le calcul de limites
Dans un calcul de limites ne faisant intervenir que des produits et desquotients, on peut remplacer chaque fonction par une fonctionéquivalente.
Exemple
Calcul de limx→0
(x2 + 3x5) ln(1 + x)x
(√1 + 2x − 1
)
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Application des équivalents pour le calcul de limites
Dans un calcul de limites ne faisant intervenir que des produits et desquotients, on peut remplacer chaque fonction par une fonctionéquivalente.
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Application des équivalents pour le calcul de limites
Dans un calcul de limites ne faisant intervenir que des produits et desquotients, on peut remplacer chaque fonction par une fonctionéquivalente.
Exemple
Calcul de limx→1
( 21− x2
− 31− x3
)
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Plan du chapitre
1 Propriétés globales d’une fonction
2 Dérivation
3 Notion de courbes asymptotes
4 Comportement local d’une fonction
5 Application réciproque d’une bijection
6 Accroissements finis
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Définitions
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Définitions
DéfinitionOn dit que f : E → F est bijective si :
pour tout y ∈ F , il existe un et un seul x ∈ E tel que y = f (x).
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Définitions
DéfinitionOn dit que f : E → F est bijective si :
pour tout y ∈ F , il existe un et un seul x ∈ E tel que y = f (x).
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Définitions
DéfinitionOn dit que f : E → F est bijective si :
pour tout y ∈ F , il existe un et un seul x ∈ E tel que y = f (x).
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Définitions
DéfinitionOn dit que f : E → F est bijective si :
pour tout y ∈ F , il existe un et un seul x ∈ E tel que y = f (x).
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Définitions
DéfinitionOn dit que f : E → F est bijective si :
pour tout y ∈ F , il existe un et un seul x ∈ E tel que y = f (x).
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Définitions
DéfinitionOn dit que f : E → F est bijective si :
pour tout y ∈ F , il existe un et un seul x ∈ E tel que y = f (x).
Exemple
f (x) = 2x3 − 3x2 + 1
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Définitions
DéfinitionOn dit que f : E → F est bijective si :
pour tout y ∈ F , il existe un et un seul x ∈ E tel que y = f (x).
Exemple
f (x) = ex
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Définitions
DéfinitionOn dit que f : E → F est bijective si :
pour tout y ∈ F , il existe un et un seul x ∈ E tel que y = f (x).
Exemple
f (x) = x3
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Définitions
DéfinitionOn dit que f : E → F est bijective si :
pour tout y ∈ F , il existe un et un seul x ∈ E tel que y = f (x).
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Définitions
DéfinitionOn dit que f : E → F est bijective si :
pour tout y ∈ F , il existe un et un seul x ∈ E tel que y = f (x).
DéfinitionSoit f : E → F bijective.
Alors il existe une application f−1 : F → E , appelée l’applicationréciproque de f caractérisée par
y = f (x) ⇐⇒ x = f−1(y).
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Définitions
DéfinitionOn dit que f : E → F est bijective si :
pour tout y ∈ F , il existe un et un seul x ∈ E tel que y = f (x).
DéfinitionSoit f : E → F bijective.Alors il existe une application f−1 : F → E , appelée l’applicationréciproque de f
caractérisée par
y = f (x) ⇐⇒ x = f−1(y).
Propriétés globales Dérivation Asymptotes Comportement local Bijections Accroissements finis
Définitions
DéfinitionOn dit que f : E → F est bijective si :
pour tout y ∈ F , il existe un et un seul x ∈ E tel que y = f (x).
DéfinitionSoit f : E → F bijective.Alors il existe une application f−1 : F → E , appelée l’applicationréciproque de f caractérisée par
y = f (x) ⇐⇒ x = f−1(y).
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Définitions
DéfinitionOn dit que f : E → F est bijective si :
pour tout y ∈ F , il existe un et un se