Site Effects for Geometric Resonance

Revista Facultad de Ingeniería, UPTC, 2010, vol. 19, No. 29 7 – CEDEC

Efectos de sitio por resonancia geométrica

Site Effects for Geometric Resonance

Juan Diego Jaramillo*, Juan David Gómez**y Doriam Restrepo***

Resumen

Las características de los movimientos sísmicos semodifican cuando las ondas cambian de medio depropagación; el contacto entre el suelo y el aire es unode estos casos, al igual que el contacto entre la cortezay los depósitos de suelo superficiales; a estasmodificaciones del movimiento se les denominaefectos locales, y se deben no sólo al contraste entrelas propiedades mecánicas de los dos medios encontacto, sino a la geometría del contacto. En esteartículo se caracterizan algunos efectos locales debidosa la geometría del contacto entre el medio depropagación y la superficie. Para resolver el problemase utiliza, en los casos más complejos, el método deelementos de frontera, porque permite modelar demanera exacta la condición de radiación, y para casosmás simples, pero muy ilustrativos, se utiliza la teoríade rayos.

Palabras clave: Efectos locales, Método de elementosde frontera, Propagación de ondas, Resonanciageométrica, Teoría de rayos

Abstract

The characteristic features of the incident seismicmotions are modified once the wave field encounterschanges in the propagation medium. The contactbetween soil and air and between the earth crust andlayers of the surface soil’s deposits, are clearexamples of such changes. The modificationsexperienced by the incident motion are usually knownas local site effects and are the result not only ofchanges in the medium mechanical’s properties, butalso of the contact interfaces’ geometry. This articlefocuses mainly in the latter cause of site effects. Toaddress the problem the BEM technique is used forthe most complex cases, since it allows to model theexact field‘s conditions, for the analyticalconsiderations of the radiation conditions, while forsimple yet illustrative cases the problem is tackledvia the ray theory.

Key words: Local Effects, Frontier elements’methodology, Wave propagation, Geometric effects,Geometric resonance, Ray theory,

ISSN 0121–1129

_________* Prof. Univ. EAFIT, Grupo Mecánica Aplicada, Medellín, Colombia. [email protected]** Prof. Univ. EAFIT, Grupo Mecánica Aplicada, Medellín, Colombia. [email protected]*** Est. Doc. Univ. EAFIT, Grupo Mecánica Aplicada, Medellín, Colombia. [email protected]

, pp. 7-20

Revista Facultad de Ingeniería, UPTC, 2010, vol. 19, No. 29 – CEDEC8

I. INTRODUCCIÓN

La influencia de las condiciones locales en losmovimientos sísmicos registrados en la superficie hasido reconocida y ampliamente estudiada mediantesoluciones analíticas para casos muy simples,simulación numérica o “experimentalmente”, a travésde proyectos de instrumentación sísmica. Lasmodificaciones en amplitudes, contenidosfrecuenciales y duraciones, que se presentan en losmovimientos registrados en un sitio en particular sonoriginadas por el contraste entre las propiedadesmecánicas de los medios en contacto o por lageometría del contacto; dependiendo de lascaracterísticas del problema en particular, los efectosde sitio pueden estar controlados en mayor o menorgrado por una de estas causas.

El caso de sitios localizados sobre depósitosprofundos y lejanos a las fronteras laterales delbasamento (centro del valle de México, Bogotá enzonas alejadas de las laderas de los cerros)corresponde a un problema en el que los efectoslocales se deben fundamentalmente al contraste entrelas propiedades mecánicas del basamento rocoso ydel depósito de suelo; este problema puede serreproducible con relativa precisión mediante modelosmatemáticos unidimensionales de propagación deondas, y ha sido ampliamente estudiado desde elpunto de vista teórico y computacional (Thomson[1], Haskell [2]-[4], Ewing et ál [5], Aki y Richards[6]). A la segunda categoría correspondería, porejemplo, el problema de una perturbación topográficaen un semiespacio elástico y homogéneo, es decir,un basamento sin consideración del depósitosedimentario (o equivalentemente a un depósitosedimentario con perturbación en superficie pero sinconsideración del basamento); estos casos han sidoabordados analíticamente para geometrías simplespor Trifunac [7], Wong y Trifunac [8], Lee [9],Sánchez-Sesma [10], [11] y Todorovska y Lee [12],[13].

Si se consideran los dos casos extremos es razonableesperar que a medida que disminuye la profundidaddel depósito de suelo o la distancia de las fronteraslaterales, la incidencia de los efectos geométricos

comience a controlar la respuesta local; tal es el casode valles sedimentarios poco profundos, en los cualeses esperable que la topografía de la superficie y delbasamento sean responsables de parte de lasmodificaciones resultantes; casos de vallessuperficiales susceptibles de estos efectos seconfiguran, entre otros, en Medellín (Colombia),Caracas (Venezuela) y Wellington (Nueva Zelanda).En general, puede afirmarse que siempre existiránsitios donde la contribución de tales efectos debe serconsiderada.

La incidencia de efectos geométricos como losdescritos ha sido ampliamente reconocida desde elpunto de vista instrumental (interpretación deregistros), y estudiada de manera parcial a través desoluciones cerradas correspondientes a casos simples.Existen también algunos análisis cualitativos entérminos de simulación numérica de problemasbidimensionales y tridimensionales, pero aplicadosa escenarios particulares (ver, por ejemplo, Bard etál. [14] y Campillo et ál. [15]). Sin embargo, losautores no han encontrado estudios teóricos losuficientemente generales que permitan identificarlas variables geométricas y mecánicas que controlanla física de la respuesta sísmica local; esta falenciarepresenta un gran vacío conceptual a la hora deentender el problema de amplificaciones locales.

Por ejemplo, para sitios localizados sobre depósitosprofundos de relativa infinitud lateral es claro que elfactor geométrico determinante en la respuestasuperficial corresponde a la profundidad del depósito.En el caso de efectos geométricos debidos atopografías complejas entre el basamento rocoso yla superficie libre, no se posee el mismo nivel deentendimiento desde el punto de vista teórico; estafalta de comprensión del problema constituye unabrecha teórica que dificulta la interpretación deresultados instrumentales, la definición de lasestrategias para los estudios de microzonificaciónsísmica y la utilidad práctica de las simulaciones.

Un estudio que apunte a contribuir con el estado delarte de los efectos geométricos en la respuesta sísmicalocal desde un punto de vista conceptual esclaramente necesario. Estudio que no debe estar


orientado a explicar mediante comparación conregistros qué sucede en un sitio en particular –comoha sido lo usual–, sino a caracterizar, con base enargumentos físicos, superposición de solucionesfundamentales y estudios paramétricos, la incidenciade estos efectos geométricos.

Por ejemplo, la solución exacta para una cuña infinitabajo ondas SH fue encontrada por Sánchez Sesma[10], y de esta solución se identificó una forma simplede predecir la amplificación en el vértice; estasolución dio pie, posteriormente, a la correspondientea ondas,SV, para el caso particular de una cuña deángulo interno de 120o y una relación de Poisson de0.25. Estas y otras soluciones analíticas permitieronaclarar físicamente los mecanismos básicos degeneración de ondas de superficie y abrieron la puertapara que Sánchez-Sesma et ál. [11] pudieran obteneraproximaciones simples a la respuesta de una clasede valles aluviales de forma triangular.

En este trabajo se presentan y discuten algunassoluciones analíticas por teoría de rayos, y algunasotras usando el método de elementos de frontera, queayudan a entender el fenómeno de resonanciageométrica. Se presentan y discuten las solucionesde cuñas infinitas sometidas a la incidencia verticalde ondas SV y SH, publicadas inicialmente porSánchez-Sesma [10]; algunas de estas geometríasligeramente modificadas se calculan numéricamentecon el método de elementos de frontera para capturarlos llamados efectos de difracción de ondas. Paraterminar, se presenta la respuesta de vallestriangulares y semicirculares cilíndricos sometidosa la incidencia de ondas SV a distintos ángulos deincidencia.

II. SOLUCIONES POR TEORÍA DE RAYOS

En lo que sigue se consideran ondas planas, es decir,que el movimiento de las partículas se presentasimultáneamente sobre un plano perpendicular a latrayectoria de propagación del frente de onda, queen adelante se denominará el rayo. Se considerará,igualmente, que el medio sobre el cual se propaganestas ondas es homogéneo e isotrópico, razón por lacual el movimiento no sufre ninguna modificación,

ni en su trayectoria, ni en su velocidad depropagación, ni en sus contenidos frecuenciales, nien sus amplitudes. Algunas de estas característicasse modificarán solo cuando el frente de onda cambiade medio de propagación. En este trabajo seconsiderará que el único cambio se presenta en elcontacto entre el medio de propagación y la superficielibre, y que la geometría de este contacto esextremadamente simple y está formada sólo de planosque se intersectan.

Para simplificar aún más el problema, en lo que siguese consideran solo formaciones en las cuales existeuna sección transversal que se repite a lo largo deuna dimensión; esta sección transversal representaráel plano de análisis, y los movimientos de la partículapueden estar contenidos en este o en la direcciónperpendicular a él. Concretamente, este problema sepresenta cuando ni las propiedades mecánicas ni lageometría ni la excitación tienen variación algunarespecto a una de las direcciones del espacio. Estosproblemas pueden ser tratados entonces como planos,considerando sólo un plano cualquiera perpendiculara la dirección para la que no hay variaciones.

Ya que para poder tratar el problema como planotambién la excitación debe ser invariable en ladirección perpendicular al plano de análisis, es claroentonces que la dirección de propagación de la onda,o el rayo, debe estar contenida en el plano de análisis.

Los análisis se harán para dos tipos de movimientosde las partículas. El primero es un movimientoperpendicular al plano de análisis, ondas SH; la Sindica que es un movimiento distorsional del medio,porque ocurre en dirección perpendicular a ladirección de propagación, y la H indica que elmovimiento es horizontal, es decir, que es unmovimiento de las partículas paralelo a la superficielibre en la dirección perpendicular al plano deanálisis. El segundo es un movimiento de laspartículas en el plano de análisis, y, obviamente,puede ser distorsional, ondas SV, si el movimientode las partículas es perpendicular a la dirección depropagación, o dilatacional, si el movimiento de laspartículas coincide con la dirección de propagacióndel movimiento, ondas P. Más adelante será evidente


la ventaja de esta descomposición o polarización delmovimiento.

Del estudio de la ecuación diferencial que representael equilibrio dinámico de las partículas del medio sellega a la conclusión de que esta se satisface si elcampo de desplazamientos tiene forma de onda, esdecir, que se trata de una función cualquiera que viajaen el tiempo, esto es, que depende del parámetro(x ct), donde x es la variable espacial que indica laposición en la dirección de propagación de la onda,c es la velocidad de propagación de la onda y t es eltiempo. También se concluye de la solución de laecuación diferencial del problema, que hay dosvelocidades de propagación de la onda que dependenexclusivamente de las propiedades mecánicas delmedio en el cual se propaga. Una velocidad depropagación de las ondas distorsionales tipo SH oSV, c, y otra velocidad para las ondas dilatacionalestipo P, b< estas velocidades resultan ser iguales a:

(1)

(2)

y dependen de las propiedades mecánicas del medio:módulo de cortante (G), módulo de Poisson (o* ydensidad del medio (s).

Si en la solución del problema se propone lapropagación de ondas planas con velocidades depropagación b y c- dependiendo de si se trata demovimientos dilatacionales o distorsionales,respectivamente, entonces es claro que quedasatisfecha la ecuación diferencial del dominio y quesolo restaría satisfacer las condiciones iniciales y defrontera para encontrar la solución única delproblema.

Adicionalmente a la estrategia de usar lasuperposición de ondas planas, el problema seresolverá en el dominio de la frecuencia, es decir, sehallarán las soluciones para cada frecuenciasuponiendo que el campo de desplazamiento

incidente o la excitación es perfectamente armónicoen la frecuencia de interés y además tiene amplitudunitaria. En estas condiciones, el campo solución delproblema, que también será perfectamente armónicoy en la misma frecuencia, se podrá describir entérminos de la denominada función de transferencia,que no es otra cosa que la relación entre la amplituddel campo solución en cada punto, y la amplitud delcampo incidente, en algún punto estratégico delmedio. Esta función de transferencia también deberátraer información acerca de la fase o el retardo delcampo solución en cada punto respecto a la fase delcampo incidente en el punto estratégico, consideradanormalmente como de fase cero. Una forma compactade tratar este problema en el dominio de la frecuenciaes hacerlo en el campo de los complejos; de estaforma, tanto la información del cambio de amplitudcomo del cambio de fase se describen con una solafunción compleja, la función de transferencia.

Tratado el problema en el dominio de la frecuencia,se convierte en un problema estático equivalente,pues desaparece la variable tiempo y, porconsiguiente, la necesidad de satisfacer lascondiciones iniciales del problema.

Para encontrar la solución en el dominio del tiempose calcula el espectro de Fourier de la señal incidentey se multiplica por la función de transferencia delproblema para obtener el espectro de Fourier de larespuesta para cada punto del dominio. A este espectrose le aplica una transformada inversa de Fourier y seobtiene la respuesta en el dominio del tiempo.

En el tipo de problemas simples que se abordaráncon teoría de rayos se usarán fronteras planas entreel medio y la superficie libre, lo que significa quepara satisfacer la condición de frontera libresimplemente deberán tenerse en cuenta lascaracterísticas (dirección y amplitud) de los frentesde ondas planas reflejadas, para que entre el frenteincidente y los frentes reflejados se satisfaga lacondición de frontera libre de esfuerzos.

Este problema de la reflexión de ondas planas en unasuperficie libre ha sido estudiando exhaustivamentepor muchos autores (ver por ejemplo Aki y Richards


[6]); a continuación se resumen los resultados deestos trabajos.

En primer lugar, los ángulos de incidencia y reflexiónde frentes de onda del mismo tipo, es decir, que sepropagan a la misma velocidad, son iguales, y la relaciónentre el ángulo de incidencia y el de reflexión de ondasde diferente tipo siguen la ley de Snell (ver Fig. 1):

(3)

donde i es el ángulo de incidencia o reflexión defrentes de onda dilatacionales que se propagan avelocidad b, y j es el ángulo de incidencia o reflexiónde ondas distorsionales que se propagan a velocidadc.

Fig. 1. Reflexión de ondas planas sobre una superficie libre

Las amplitudes de las diferentes ondas reflejadas,considerando que la amplitud de la onda incidentees unitaria, se indican a continuación:

(4)

(5)

(6)

(7)

Para el caso de las ondas SH, y debido a que solo serefleja una onda del mismo tipo, es claro que laamplitud de la onda reflejada debe ser igual a laamplitud de la onda incidente, de manera que laenergía se conserve.

A continuación se presentan algunos resultadosanalíticos de problemas que admiten solución porteoría de rayos de acuerdo con las propuestaspresentadas.

A. Cuña infinita a 30º sometida a onda SH incidiendoverticalmente


En la Fig. 2 se ilustra este caso. En esta cuña laonda SH que se propaga verticalmente hacia arribaes reflejada en las fronteras laterales inclinadascomo una onda SH que se propaga hacia el infinitonuevamente y con una trayectoria que es paralela ala superficie opuesta, por lo que no genera

tracciones sobre esa superficie libre. Este últimohecho es el que mantiene vigentes y satisfechas lascondiciones de frontera libre, considerando los tresrayos que se indican en la figura y que por lo tantohacen que la solución propuesta sea la solución delproblema.

Fig. 2. Incidencia vertical de un frente plano SH sobre una cuña infinita de 30º

Para estimar la respuesta estacionaria de una ondaincidente SH de propagación vertical, frecuencia xy amplitud unitaria, simplemente habrá que sumarcon su amplitud y fase los tres rayos que pasan porcualquier punto de coordenadas (x, y). Eldesplazamiento w, perpendicular al plano, de la ondaincidente, que sería el primer rayo, se puederepresentar como:

(8)donde,

(9)

y se denomina el número de onda.

Los rayos dos y tres, productos de las reflexionesdel primer rayo sobre las superficies libres inclinadas,se pueden representar como el primero y el segundosumandos de (10):

(10)

donde,

(11)

Y2, Y3, D2 y D3 representan las distancias verticalese inclinadas, respectivamente, que deben recorrerestos rayos después de haber pasado inicialmente porel punto de coordenadas (x, y) para volver a pasarpor el mismo punto (ver Fig. 2).

En definitiva, la función de transferencia entre laseñal incidente en el punto de coordenadas (0,0) y laseñal registrada en cualquier punto del medio seescribe como:

(12)

Esta función evaluada en el punto de coordenadas(0,0) resulta igual a 3.0, independientemente de lafrecuencia de excitación, lo que significa que enel ápice de la cuña se registra una señal amplificadatres veces respecto a la amplitud de la ondaincidente. Para cualquier otro punto del medio sepueden registrar amplificaciones hasta de estemismo orden, pero esta vez en función de lafrecuencia, de tal manera que resulte un númerode onda, l, que haga que los tres rayos que llegana cualquier punto se construyan positivamente,pero que además la duración de la excitación seatal que permita que en el tiempo sí se dé laconstrucción de las ondas. Sobre las superficiesinclinadas donde coinciden las fases del rayo


incidente y del reflejado, y sobre el eje y, dondecoinciden las fases de los rayos reflejados 2 y 3,al menos una amplificación igual a 2.0 se darásiempre, independientemente de la frecuencia y laduración de la excitación.

Para poder apreciar la solución de este problema enel dominio del tiempo se considera que la señal

incidente tiene la forma de un pulso de Ricker (verFig. 3). La frecuencia característica del pulso usadoes de 2.0 Hz y la velocidad de propagación de lasondas en el medio es de 1.0 km/s.

En la Fig. 4 se aprecia una secuencia de fotos tomadasde la película que muestra la propagación de laperturbación descrita.

B. Cuña infinita a 45º sometida a una onda SHincidiendo verticalmente

En la Fig. 5 se ilustra este caso. En esta cuña, la ondaSH que se propaga verticalmente hacia arriba esreflejada en las fronteras laterales inclinadas comouna onda SH que se propaga horizontalmente, y queal pegar nuevamente sobre la superficie inclinada

opuesta se refleja como onda SH que se propaganuevamente verticalmente, pero esta vez hacia abajo.Es importante destacar de este problema el hecho deque la onda que finalmente regresa hacia el espacioinfinito, reflejada por segunda vez en las superficieslibres inclinadas, es una sola, es decir, es la mismapara las dos superficies, lo que significa que no generaningún desequilibrio sobre la superficie opuesta.

Fig. 3. Pulso de Ricker y su espectro de amplitudes de Fourier

Fig. 4. Secuencia de la propagación vertical de un pulso de Ricker SH en una cuña infinita de 30º


Fig. 5. Incidencia vertical de frente plano SH sobre una cuña infinita de 45º

La función de transferencia entre la señal incidenteen el punto de coordenadas (0,0) y la señal registradaen cualquier punto del medio se escribe como:

(13)

Esta función de transferencia evaluada en el punto decoordenadas (0,0) resulta igual a 4.0,independientemente de la frecuencia de excitación,lo que significa que en el ápice de la cuña se registra

una señal amplificada cuatro veces respecto a laamplitud de la onda incidente. Igual que en el casoanterior, para cualquier otro punto del medio se puedenregistrar amplificaciones hasta de este mismo orden,pero esta vez en función de la frecuencia: sobre lassuperficies inclinadas, donde coinciden las fases delrayo incidente y del reflejado, y sobre el eje y, dondecoinciden las fases de los rayos reflejados 2 y 3, almenos una amplificación igual a 2.0 se dará siempre.

En la Fig. 6 se ilustran varias etapas de la propagaciónde un pulso de Ricker de ondas SH incidiendoverticalmente sobre una cuña infinita a 45º y en unmedio como el descrito para el caso anterior.

Fig. 6. Secuencia de propagación vertical de un pulso de Ricker SH en una cuña infinita de 45º


C. Cuñas infinitas sometidas a ondas SH incidiendoverticalmente

De los dos casos analizados en los incisos anterioresse pueden generalizar las soluciones exactas porteoría de rayos para cuñas infinitas sometidas a laincidencia vertical de ondas SH.

Los desequilibrios internos se presentan cuando elúltimo rayo reflejado que se dirige al semiespaciono es ni vertical ni paralelo a los lados de la cuña; enestos dos casos la solución es exacta, pero, además,se puede concluir que el número de rayos que pasanpor un punto es: par, cuando el último rayo se dirigesobre la vertical hacia el semiespacio, e impar, cuandolos dos últimos rayos se dirigen hacia el semiespaciocon trayectorias paralelas a cada una de lassuperficies libres.

A medida que el ángulo de los lados de la cuña

respecto a la horizontal se hacen mayores, másreflexiones internas de rayos se presentarán antes dedirigirse definitivamente hacia el semiespacio, lo queresulta entonces en amplificaciones enteras desde 2.0para la frontera libre plana o de ángulo igual a 0o,hasta amplificaciones infinitas para un ángulo iguala 90º.

Siguiendo la geometría de estas reflexiones internas,se puede demostrar que la relación entre laamplificación, A, en el ápice de la cuña, que ya semencionó, es igual al número de rayos que formanla solución, y el ángulo interno entre la horizontal ylas superficies libres inclinadas, r, está dado por:

(14)

En la Tabla 1 se indican los ángulos y lasamplificaciones para algunos casos ilustrativos.

Ángulo (o) Amplificación0 2.030 3.045 4.054 5.060 6.0

Tabla 1. Ángulos y amplificaciones en el ápice de cuñas infinitassometidas a la incidencia vertical de ondas SH

D. Cuña infinita a 30º sometida a una onda SVincidiendo verticalmente

En la Fig. 7 se ilustra este caso. En esta ocasión, adiferencia de las anteriores, la solución analítica porrayos existe si el medio de propagación tiene unmódulo de Poisson igual a 0.25. En esta cuña, la ondaSV que se propaga verticalmente hacia arriba esreflejada en las fronteras laterales inclinadasexclusivamente como una onda P que se propagahorizontalmente. De las ecuaciones 6 y 7 es posiblever que para el ángulo de incidencia y el módulo dePoisson del medio de propagación seleccionado, loscoeficientes de reflexión de la onda SV son iguales a0.0 para ´SVSV‘, e igual a 1.0 para ´SVP‘,confirmando el hecho de que solo se refleja una onda

P que viaja horizontalmente. Este mismo fenómenoocurre cuando esta onda P se refleja nuevamentesobre la frontera libre opuesta: solo se refleja unaonda SV que viaja verticalmente hacia abajo. Igualque en el caso anterior, esta cuña acepta soluciónpor teoría de rayos simple, porque la onda quefinalmente se dirige hacia el espacio infinito es unasola y no dos, como ocurre para otros ángulos,generando cada una de ellas un desequilibrio en lafrontera libre opuesta.

En este caso sólo se presentan movimientoshorizontales de las partículas en la dirección del ejex, tanto debido a las ondas SV que se propaganverticalmente, como a las P que se propaganhorizontalmente.


Fig. 7. Incidencia vertical de frente plano SV sobre una cuña infinita de 30º

Para estimar la respuesta estacionaria de una ondaincidente SV de propagación vertical, simplementehabrá que sumar con su amplitud y fase los cuatrorayos que pasan por cualquier punto de coordenadas(x,y), esta vez teniendo cuidado de que dos rayosviajan con velocidad c, el 1SV y el 4SV, y dos viajancon velocidad b, el 2P y el 3P. La función detransferencia entre la señal incidente en el punto decoordenadas (0,0) y la señal registrada en cualquierpunto del medio se escribe como: (15)

Esta función de transferencia evaluada en el puntode coordenadas (0,0) resulta igual a 4.0, lo quesignifica que en el ápice de la cuña nuevamente seregistra una señal amplificada cuatro veces respectoa la amplitud de la onda incidente.

En la Fig. 8 se ilustran varias etapas de la propagaciónde un pulso de Ricker de ondas SV incidiendoverticalmente sobre una cuña infinita a 30º y en unmedio como el descrito para este caso.

En la Fig. 8 se puede apreciar que la longitud delpulso de Ricker es mayor para las ondas P que sepropagan horizontalmente, que para las ondas SV quese propagan verticalmente; esto se debe a lasdiferencias de velocidades de propagación de esasondas; a mayor velocidad, mayor longitud de onda.

Fig. 8. Secuencia de propagación vertical de un pulso de Ricker SV en una cuña infinita de 30º


III. SOLUCIONES POR EL MÉTODO

DE LOS ELEMENTOS DE FRONTERA

Aunque las soluciones por teoría simple de rayos sontremendamente ilustrativas de lo que cabe esperar delfenómeno de resonancia geométrica, es necesarioformular métodos más elaborados que permitansoluciones, así sea numéricas, de aquellos casos que nose pueden resolver analíticamente. Estos métodospermiten cuantificar e ilustran sobre lo que le hace faltaa estas soluciones simples por teoría de rayos, para llegara ser las soluciones exactas del problema.

El método que se usa en este trabajo es el denominadode elementos de frontera, que puede definirse, de manerasimple, como una formulación integral de las ecuacionesde la elastodinámica. El fundamento de este método esel teorema de representación (ecuación 16), que permiteencontrar el campo de desplazamientos, u

j(y;x), de

cualquier punto dentro de un medio continuo sometidoa perturbaciones dinámicas, en función de losdesplazamientos, u

i, y las tracciones, t

i, sobre cualquier

frontera, S, que encierre el punto.

(16)

En la ecuación 16 las funciones y representan losdesplazamientos y tracciones en la dirección i sobre elpunto x, debidos a una carga unitaria en la dirección jubicada en el punto y. A estas funciones se les denominasoluciones fundamentales de la elastodinámica ofunciones de Green. Cuando el punto de aplicación dela carga de las funciones de Green está sobre la frontera,S, este teorema de representación se convierte en unaecuación integral sobre los desplazamientos en lafrontera, que puede ser resuelta numéricamente. Unavez encontrados los desplazamientos en la frontera, sehallan los desplazamientos de cualquier punto sobre elmedio, utilizando el teorema de representación comoestá formulado en la ecuación 16.

Este método tiene ventajas enormes, particularmenteen el caso que nos ocupa, respecto a otros métodos desolución de las ecuaciones de la elastodinámica, comoel de los elementos finitos o las diferencias finitas. Como

ventaja fundamental está el hecho de que el método delos elementos de frontera permite satisfacer de maneraanalítica y precisa la condición de radiación, que enestos problemas de propagación de ondas tienen unagran influencia; en segundo lugar está el hecho de queel sistema de ecuaciones que resulta se plantea sólo sobrelos desplazamientos en la frontera, y una vez resueltosestos, el cálculo de los desplazamientos sobre el dominioes independiente para cada punto, pudiéndose calcularmiles de puntos sin necesidad de resolver sistemas deecuaciones. Por último, es importante mencionar quela discretización del problema, como se hace sobre lafrontera, tiene una dimensión menos que en los métodosen donde se discretiza el dominio; para problemas dedeformación plana, como los que nos ocupan, aunqueel dominio es bidimensional, la frontera esunidimensional.

A continuación se aplica este método para hallar lasolución a algunos problemas muy cercanos a los yaresueltos con teoría de rayos, pero que por pequeñasdiferencias en su configuración geométrica o ángulode propagación de la onda incidente no permitensolución analítica por teoría simple de rayos.

A. Cuña finita a 30º sometida a una onda SV incidiendoverticalmente

La única diferencia entre el problema que se resuelveen este inciso y el que se resolvió en el inciso 2.3 es elhecho de que en este caso la cuña está apoyada en unespacio semiinfinito y no se trata de una cuña infinita(ver Fig. 9). El hecho de estar la cuña asentada en elsemiespacio hace que se generen discontinuidades enlos arranques de la cuña, que hacen que igualmente sepresenten discontinuidades entre las soluciones porrayos a ambos lados de la discontinuidad y arriba yabajo de ella. En otras palabras, por teoría de rayos segeneran soluciones independientes y diferentes a cadalado de las discontinuidades, que de alguna maneradeben ser compatibilizadas o suavizadas en el contactoentre las diferentes soluciones. A este problema se ledenomina difracción, en el argot de la teoría depropagación de ondas, y se presenta en discontinuidadescomo las que se ilustran en este caso.

En la Fig. 10 se muestra una secuencia de imágenes del


desplazamiento horizontal de las partículas cuando laonda incidente SV tiene la forma de un pulso de Rickerexactamente igual al utilizado en el caso del problemadel inciso 2.3.

De la Fig. 10 es claro que, aunque se mantiene buenaparte de la solución por rayos para la cuña infinita, enlas discontinuidades donde arranca la cuña se generanondas semicilíndricas que hacen las veces desuavizadores justamente en el sector donde se presenta

la falta de continuidad de las soluciones por rayos. Esimportante notar que esta difracción se atenúageométricamente con la distancia al foco que la genera,de manera que lejos de la perturbación la solución tiendea la solución por teoría de rayos.

De la Fig. 11 es claro que la componente vertical delmovimiento, debida exclusivamente a la difracción,aparece como ondas semicilíndricas partiendo de lasdiscontinuidades.

Fig. 9. Cuña finita a 30º sometida a una onda SV incidiendo verticalmente

Fig. 10. Secuencia de propagación del movimiento horizontal debidoa la incidencia vertical de un pulso de Ricker SV en una cuña finita de 30º

Fig. 11. Secuencia de propagación de la componente vertical del movimientodebido a la incidencia vertical de un pulso de Ricker SV en una cuña finita de 30º


B. Depresión en un semiespacio en forma de cuña a30º

En este caso se ilustra el efecto de la incidencia verticalde una onda SV sobre un valle de forma triangular enel que sus lados forman un ángulo de 30º con lahorizontal; este caso es semejante al estudiado en elinciso 2.4: la teoría de rayos indica que la onda SVincidente se refleja en las laderas inclinadas del valle,produciendo exclusivamente una onda P que sepropaga horizontalmente alejándose del valle. Hastaaquí todo se ve bien, pero esta solución generadiscontinuidades en los desplazamientos a cada lado

de una línea horizontal imaginaria que pasa por elfondo del valle: por encima de esta línea hay onda Preflejada, y por debajo ya no hay onda P; estaincompatibilidad debe resolverse a través de ladifracción de las ondas en el vértice del valle. Unadiscontinuidad semejante se presenta sobre líneasimaginarias verticales que parten de las partes altasdel valle, y que igualmente debe resolverse a travésde difracción de las ondas en estos vértices.

En la Fig. 13 se muestra la secuencia de la propagaciónvertical de un pulso de Ricker SV sobre un valle comoel descrito.

Fig. 13. Secuencia de propagación de la componente horizontal del movimientodebido a la incidencia vertical de un pulso de Ricker SV en un valle triangular

IV. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Aunque todas las soluciones presentadas ya habíansido publicadas, la intención del trabajo fue lareinterpretación de ellas, con la intención deconceptualizar acerca de la fenomenología delproblema y abrir el camino a procedimientos simplesy de primera mano, probablemente a partir desuperposición de casos fundamentales que, aunqueaproximados, permitan identificar las variables quecontrolan las amplificaciones o atenuaciones de lasondas sísmicas cuando se acercan a una superficielibre con geometrías diferentes a la plana. Fuetambién la intención de este trabajo cuantificar, conun grado de aproximación razonable para laingeniería, el tamaño de estas amplificaciones oatenuaciones, para con base en estas medidas tomardecisiones acerca de lo pertinente o no de

exploraciones más finas y, por lo tanto, más costosas,en los casos que así lo ameriten.

Se concluye de este trabajo que la teoría depropagación, reflexión y refracción de ondas planas,conocida como teoría de rayos, permite un primerestimativo de las amplificaciones o atenuaciones porefectos geométricos de la superficie libre. Esimportante destacar que siempre es posible identificarcuándo una solución por rayos es exacta o requierede correcciones por los llamados efectos dedifracción de ondas; efectos que ameritan estudiosmás detallados que los aquí presentados, los cualesse concentran en las irregularidades geométricas ytienen como función suavizar o ajustar lasdiscontinuidades en el campo de desplazamientos, osatisfacer los desequilibrios en las fronteras, quesurgen de la teoría de rayos.


Los efectos de la difracción, por tratarse decorrecciones puntuales al desequilibrio en lasfronteras o a las incompatibilidades en el campo dedesplazamientos en algunas superficies internas delmedio, se atenúan geométricamente en direcciónperpendicular a la superficie que requiere lacorrección. Esta afirmación permite, de algunamanera, delimitar la validez de la teoría de rayos ycircunscribir las zonas que requieren soluciones máscomplejas, dominadas seguramente por los efectosde la difracción.

REFERENCIAS

[1] W. T. Thomson, “Transmission of elastic wavesthrough a stratified solid medium”. Journal ofApplied Physics, 21, 89-93, 1950.

[2] N. A. Haskell, “The dispersion of surface waves onmultilayered media”. Bulletin of SeismologicalSociety of America, 43, 17-34, 1953.

[3] N. A. Haskell, “Crustal reflection of SH waves”.Journal of Geophysical Research, 65, 4147-4150,1960.

[4] N. A. Haskell, “Crustal reflection of plane P and SVwaves”, Journal of Geophysical Research, 67, 4751-4767, 1962.

[5] Ewing, M., Jardetzky, W., and Press, F., Elastic wavesin layered media. Mc-Graw Hill Book Co., NewYork, 1957.

[6] K. Aki and P. G. Richards, Quantitative Seismology.W. H. Freeman, San Francisco, California, 1980.

[7] M. D. Trifunac, “Surface motion of a semi-cylindricalalluvial valley for incident plane SH waves”, Bulletinof Seismological Society of America, 61, 1755-1770,1971.

[8] H. L. Wong and M. D. Trifunac, “Scattering of planeSH wave by a semi-elliptical canyon”. EarthquakeEngineering And Structural Dynamics, 3, 157-169,1974.

[9] V. W. Lee, “Three dimensional diffraction of planeP, SV and SH waves by a hemispherical alluvialvalley”. Soil Dynamics and Earthquake Engineering,3, 133-144, 1984.

[10] F. J. Sánchez-Sesma, “Diffraction of elastic SH wavesby wedges”, Bulletin of Seismological Society ofAmerica, 75, 1435-1446, 1985.

[11] F. J. Sánchez-Sesma, F. J. Chávez-García and M. A.Bravo, “Seismic response of a class of alluvial valleysfor incident SH waves”, Bulletin of SeismologicalSociety of America, 78, 83-95, 1988.

[12] M. I. Todorovska and V. W. Lee, “A note on responseof shallow circular valleys to Rayleigh waves-analytical approach”. Earthquake EngineeringVibration, 10, 21-34, 1990.

[13] M. I. Todorovska and V. W. Lee, “Surface motion ofcircular alluvial valleys of variable depth for incidentplane SH waves”, Soil Dynamics and EarthquakeEngineering, 10, 192-200, 1991.

[14] P. Y. Bard, M. Campillo, F. J. Chávez-García and F.Sánchez-Sesma, “The Mexico Earthquake ofSeptember 19, 1985-A Theoretical Investigation ogLarge- and Small-scale Amplification Effects in theMexico City Valley”, Earthquake Spectra, Vol. 4.No. 3, 609-633, 1988.

[15] M. Campillo, P. Y. Bard, F. Nicollin and F. Sánchez-Sesma, “The Mexico Earthquake of September 19,1985-The Incident Wavefield in Mexico City duringthe Great Michoacán Earthquake and Its Interactionwith the Deep Basin”, Earthquake Spectra, Vol. 4,No. 3, 591-607, 1988.

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