Skrip Si

SKRIPSI

PENGGUNAAN PENDEKATAN PROGRAM FUZZY UNTUKMENYELESAIKAN MASALAH PROGRAM LINEAR MULTI-OBJEKTIF

DAN APLIKASINYA PADA MASALAH TRANSPORTASI

( THE USE OF FUZZY PROGRAMMING APPROACH FOR SOLVINGMULTI-OBJECTIVE LINEAR PROGRAMMING PROBLEM AND ITS

APPLICATION IN TRANSPORTATION PROBLEM )

LISA SARAS WATI09/283870/PA/12730

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKAJURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS GADJAH MADA

YOGYAKARTA

2014

SKRIPSI

PENGGUNAAN PENDEKATAN PROGRAM FUZZY UNTUKMENYELESAIKAN MASALAH PROGRAM LINEAR MULTI-OBJEKTIF


( THE USE OF FUZZY PROGRAMMING APPROACH FOR SOLVINGMULTI-OBJECTIVE LINEAR PROGRAMMING PROBLEM AND ITS

APPLICATION IN TRANSPORTATION PROBLEM )

Diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh derajatSarjana Sains Matematika

LISA SARAS WATI09/283870/PA/12730

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKAJURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS GADJAH MADA

YOGYAKARTA

2014

PERNYATAAN

Dengan ini saya menyatakan bahwa dalam Skripsi ini tidak terdapat karya yang

pernah diajukan untuk memperoleh gelar Sarjana di suatu Perguruan Tinggi, dan

sepanjang pengetahuan saya juga tidak terdapat karya atau pendapat yang ditulis

atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis diacu dalam naskah ini

dan disebutkan dalam daftar pustaka.

Yogyakarta, 03 Januari 2014

LISA SARAS WATI

ii

Karya sederhana ini penulis persembahkan

untuk Mama, Papa, Alm.kakakku, dan adik-adikku

tersayang

v

”Kehidupan adalah 10 % terjadi pada dirimu dan 90 % adalah bagaimana

kamu menghadapinya.”

(5cm)

vi

PRAKATA

Alhamdulillahirobil’alamin syukur kehadirat Allah SWT atas limpahan rah-

mat serta hidayah-Nya kepada penulis atas terselesaikannya skripsi ini. Sholawat

dan salam senantiasa tercurah kepada junjungan besar Nabi Muhammad SAW yang

telah memberikan tuntunan yang sangat bijaksana pada kehidupan umat manusia

umumnya dan pada penulis khususnya.

Suatu hal yang luar biasa pastinya dapat menyelesaikan tugas akhir ini,

dengan perjuangan yang tidak mudah, membutuhkan keteguhan hati, kesabaran,

dan keikhlasan sehingga tertuntaskan sudah tugas akhir ini. Naik turunnya iman

seorang hamba pun sempat menghinggapi diri penulis, sehingga tersendat-sendat

dalam penyelesaiannya. Alhamdulillah atas karunia-Nya di hati selalu menggugah

untuk maju.

Terlepas dari itu semua, tak bisa dielakkan bahwa penyusunan tugas akhir ini

tak bisa lepas dari berbagai pihak atas semangatnya, kebersamaannya, serta kese-

diannya untuk berbagi dan melepas sejenak kejenuhan di hati. Penulis haturkan

terima kasih yang sebesar-besarnya kepada pihak-pihak yang telah mencurahkan

segenap tenaga, pikiran, dan semangatnya kepada penulis.

1. Kedua orang tuaku Bapak Hari Sulistiono dan Ibu Arini Nur E.W yang selalu

mendoakan, memberikan semangat, motivasi, kasih sayang, dan kepercayaan

kepada penulis. Alm kakakku tersayang yang selalu menginspirasi penulis,

serta kedua adikku Candra dan Yoga.

2. Ibu Prof. Dr. Sri Wahyuni, M.S selaku Ketua Jurusan Matematika dan Ba-

pak Dr.Budi Surodjo, M.S selaku Ketua Program Studi Matematika Fakultas

MIPA Universitas Gadjah Mada.

3. Ibu Diah Junia Eksi Palupi, Dra., S.U selaku dosen wali akademik penulis.

Terima kasih atas segala pengarahan dan semangat yang selalu Ibu berikan

vii

viii

selama penulis belajar di Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada.

4. Bapak Dr. Irwan Endrayanto, S.Si, M.Sc selaku dosen pembimbing skrip-

si. Terima kasih banyak atas bimbingan, kesabaran, dan motivasi yang telah

diberikan kepada penulis dari awal penyusunan sampai akhirnya skripsi ini

dapat terselesaiakan. Mohon maaf jika selama ini banyak bersikap yang ku-

rang berkenan di hati Bapak.

5. Dosen-dosen FMIPA UGM khususnya dosen program studi Matematika yang

telah memberikan ilmu yang sangat bermanfaat bagi penulis.

6. Mas Asrul Askat, Indah Zahratunnisa, Etna Rizky, Vinalia Eka, Bestari R.A

Sahesti terima kasih atas kebersamaannya untuk saling menguatkan, mem-

otivasi, dan kesediaannya untuk mendengarkan segala keluh kesah penulis

selama ini.

7. Teman-teman seperjuangan bimbingan skripsi Efa, Widya, Regi, dan Fikri.

8. Wawan, Happy, Puter, Bintang, Eko, Regi, Edy, Dany, Handoko, dan seluruh

teman-teman Matematika UGM khususnya angkatan 2009. Terima kasih atas

segala pelajaran hidup dan pengalaman berharga yang telah kalian berikan

untuk penulis.

9. Teman-teman seperantauan Indah, Ophe, dan Cahyo.

10. Teman-teman KKN unit 156 khususnya untuk tim sub unit Ngenep Nisa,

Valen, Niken, Hitoel, Mustofa, dan Yanuar. Terima kasih untuk persahabatan

yang sangat berkesan.

11. Semua pihak yang telah memberikan bantuannya hingga terselesaikannya

penulisan skirpsi ini.

ix

Penulis menyadari bahwa skripsi ini tidak lepas dari segala kekurangan.

Oleh karena itu, kritik dan saran yang bersifat membangun sangat penulis harap-

kan. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kita semua dan lebih khusus lagi

bagi pengembangan ilmu matematika.

Yogyakarta, 03 Januari 2014

Penulis

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iHALAMAN PERNYATAAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiHALAMAN PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiiHALAMAN PERNYATAAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ivHALAMAN PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vHALAMAN MOTTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viPRAKATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viiDAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xDAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiiDAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiiiDAFTAR LAMBANG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xivINTISARI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviI PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1. Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4. Maksud dan Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5. Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6. Metodologi Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.7. Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

II DASAR TEORI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1. Masalah Transportasi Single Objektif . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Masalah Program Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1. Algoritma Simpleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3. Optimasi Masalah Program Linear Multi Objektif . . . . . . . . . . 192.4. Himpunan Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5. Bilangan Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6. Operator Agregasi pada Himpunan fuzzy . . . . . . . . . . . . . . 282.7. Fuzzy Decision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

III MASALAH PROGRAM LINEAR MULTI OBJEKTIF . . . . . . . . 383.1. Bentuk Umum Masalah Program Linear Multi Objektif . . . . . . . 383.2. Evaluasi Marjinal Setiap Fungsi Objektif . . . . . . . . . . . . . . . 39

x

xi

3.3. Evaluasi Global untuk Seluruh Fungsi Objektif . . . . . . . . . . . 403.4. Pendekatan Program Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5. Contoh Permasalahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

IV MASALAH TRANSPORTASI MULTI OBJEKTIF . . . . . . . . . . 554.1. Model Masalah Transportasi Multi Objektif . . . . . . . . . . . . . 554.2. Pendekatan Program Fuzzy untuk Masalah Transportasi Multi Ob-

jektif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3. Contoh Permasalahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

V PENUTUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.1. Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.2. Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90A PROGRAM KOMPUTER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

DAFTAR TABEL

2.1 Tabel Biaya Transportasi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1 Tabel bobot(weight). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2 Hasil optimal untuk setiap himpunan bobot w saat α = 1. . . . . . . 523.3 Hasil optimal untuk setiap himpunan bobot w saat α = 2. . . . . . . 53

4.1 Tabel Penawaran, Permintaan, dan Biaya untuk Masalah TransportasiMulti Objektif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2 Tabel bobot(weight) untuk setiap pengambil keputusan. . . . . . . . 714.3 Tabel nilai optimal untuk Masalah (4.15) dengan U1 = 208 dan

U2 = 265. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.4 Tabel nilai optimal untuk Masalah (4.15) dengan U1 = 265 dan

U2 = 310. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

xii

DAFTAR GAMBAR

2.1 Diagram Transportasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Tabel Transportasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Tabel Transportasi Contoh 2.1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Gambar Iterasi 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Gambar Loop Iterasi 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.6 Gambar Iterasi 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.7 Gambar Loop Iterasi 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.8 Gambar Iterasi 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.9 Gambar Loop Iterasi 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.10 Gambar Iterasi 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.11 Konsep Optimal Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.12 Daerah Fisibel X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.13 Daerah Objektif Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.14 Bilangan Fuzzy Secara Umum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.15 Bentuk Umum Bilangan Fuzzy Linear . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1 Solusi Optimal Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

xiii

DAFTAR LAMBANG

x ∈ X : x anggota X

Zk : fungsi objektif Z pada saat k

Z(x) : [Z1(x), Z2(x), · · · , ZK(x)]

minZ : minimum dari fungsi objektif Z

minZk : minimum dari fungsi objektif Z pada saat k

Uk : batas atas dari fungsi objektif Zk

Lk : batas bawah dari fungsi objektif Zk

x(k)∗ : solusi ideal dari masalah program linear single objektif ke-k

x(k)− : solusi anti ideal dari masalah program linear single objektif

ke-k

Z+k : nilai ideal dari fungsi objektif Zk

Z−k : nilai anti-ideal dari fungsi objektif Zk

φX(Zk) : pemetaan evaluasi marjinal yang bersesuaian dengan fungsi

objektif Zk

w : himpunan bobot (weight)

Φ(α)w : operator agregasi weighted root-power mean dengan bobot w

dan parameter α

[0, 1]K : [0, 1]× [0, 1]× · · · × [0, 1] sebanyak k-kali

µ : pemetaan evaluasi global subjektif untuk multi objektif

� : akhir suatu bukti

xiv

INTISARI

PENGGUNAAN PENDEKATAN PROGRAM FUZZY UNTUK

MENYELESAIKAN MASALAH PROGRAM LINEAR MULTI-OBJEKTIF


Oleh

LISA SARAS WATI

09/283870/PA/12730

Pendekatan program fuzzy merupakan suatu metode untuk mendapatkan so-lusi optimal dari masalah program linear multi objektif. Pada metode ini keputu-san yang diambil oleh seorang pengambil keputusan, bergantung pada bobot yangditentukan. Formulasi dari pendekatan program fuzzy dilakukan dengan memben-tuk evaluasi marjinal untuk setiap fungsi objektif dan evaluasi global untuk seluruhfungsi objektif. Dengan menggunakan teknik pengoptimalan biasa, kita selesaikanmasalah pendekatam program fuzzy tersebut untuk mendapatkan solusi optimalkompromi (solusi optimal Pareto) dari suatu masalah program linear multi objektifyang membuat derajat keanggotaan dari pemetaan evaluasi globalnya maksimum.Selanjutnya, akan diberikan penyelesaian masalah transportasi multi objektif seba-gai bentuk khusus dari masalah program linear multi objektif dengan menggunakanpendekatan program fuzzy. Perhitungan numeris juga akan diberikan untuk mem-perlihatkan efisiensi dari pendekatan program fuzzy.

xv

ABSTRACT

THE USE OF FUZZY PROGRAMMING APPROACH FOR SOLVING

MULTI-OBJECTIVE LINEAR PROGRAMMING PROBLEM AND ITS

APPLICATION IN TRANSPORTATION PROBLEM

By

LISA SARAS WATI

09/283870/PA/12730

Fuzzy programming approach is a method to find the optimal solution ofmulti objective linear programming problems. In this method a decision is takenby a decision maker, depending on the weight taken. Formulation of fuzzy pro-gramming approach is done by forming a marginal evaluation for each objectivefunction and the global evaluation for all objective functions. Using ordinary opti-mization technique, we solve the fuzzy programming approach model to obtain aPareto optimal solution (optimal compromise solution) at which the synthetic mem-bership degree of global evaluation is maximum. Furthermore, will be given a multiobjective transportation problem solving as a form of the multi objective linear pro-gramming problem using fuzzy programming approach. Numerical example willbe also given to show the efficiency of the fuzzy programming approach.

xvi

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Masalah

Salah satu masalah optimisasi yang penting dalam ilmu matematika adalah

masalah transportasi. Masalah transportasi, dalam kehidupan sehari-hari diaplikasi-

kan suatu perusahaan untuk mengatur sistem distribusi, penugasan pekerjaan, dan

transportasi. Seluruh kendala (sumber dan tujuan) dalam masalah transportasi,

memiliki jumlah yang sama dan fungsi objektifnya digunakan untuk meminimalkan

total biaya transportasi. Namun dalam kenyataannya, perusahaan tidak hanya bertu-

juan meminimalkan biaya transportasi, tetapi juga waktu pengiriman barang, biaya

produksi, permintaan yang tidak terpenuhi, dan sebagainya. Masalah tersebut dike-

nal sebagai masalah multi objektif yaitu sebuah masalah yang melibatkan beberapa

tujuan.

Pada masalah multi objektif untuk mengoptimalkan tujuan-tujuan tersebut

tidaklah mudah. Hal ini dikarenakan informasi-informasi yang kurang lengkap dan

tidak diketahui dengan pasti seperti tentang jumlah barang yang diproduksi, jum-

lah barang yang harus dikirim untuk memenuhi kebutuhan daerah tertentu, maupun

waktu pengiriman yang tidak pasti karena adanya hambatan-hambatan diperjalanan.

Selain itu, tujuan-tujuan yang saling konflik juga mengakibatkan sulitnya mencari

penyelesaian yang mengoptimalkan semua tujuan. Misalkan jika biaya pengiri-

mannya minimum dibutuhkan waktu pengiriman yang lama, sebaliknya jika waktu

pengirimannya minimum maka biaya transportasi yang dibutuhkan akan lebih be-

sar. Pada situasi seperti ini seorang pengambil keputusan akan mengalami kesulitan

untuk menentukan suatu keputusan yang mengoptimalkan semua tujuan.

Hal-hal tersebut diatas yang kemudian mendasari penulisan skripsi ini. Pada

skripsi ini diperkenalkan pendekatan program fuzzy untuk memperoleh solusi opti-

1

2

mal kompromi atau solusi optimal Pareto dari masalah program linear multi objek-

tif secara umum dan lebih khusus pada masalah transportasi multi objektif. Lebih

lanjut, pendekatan tersebut memberikan solusi optimal yang mengoptimalkan kepu-

tusan seorang pengambil keputusan.

1.2. Perumusan Masalah

Pada skripsi ini, penulis akan membahas mengenai penyelesaian masalah

program linear multi objektif secara umum dengan menggunakan pendekatan pro-

gram fuzzy dan secara khusus pada masalah transportasi multi objektif dengan m

sumber dan n tujuan. Rumusan masalah yang terdapat dalam skripsi ini adalah :

1. Cara mendapatkan formulasi pendekatan program fuzzy untuk menyelesaikan

masalah program linear multi objektif.

2. Aplikasi masalah program linear multi objektif dengan pendekatan program

fuzzy.

3. Penggunaan pendekatan program fuzzy untuk menyelesaikan masalah trans-

portasi multi objektif.

4. Aplikasi masalah transportasi multi objektif dengan pendekatan program fuzzy.

1.3. Batasan Masalah

Pada penulisan skripsi ini, penulis membatasi masalah pada pembahasan

mengenai formulasi pendekatan program fuzzy untuk masalah program linear mul-

ti objektif dan masalah transportasi multi objektif. Masalah multi objektif yang

dibahas pada skripsi ini adalah masalah multi objektif yang meminimalakan fungsi

objektifnya dan memiliki daerah solusi fisibel. Selain itu, perhitungan masalah

transportasi multi objektif dalam skala kecil yang kemudian diselesaikan dengan

menggunakan pendekatan program fuzzy dan hanya menggunakan program kom-

puter sederhana.

3

1.4. Maksud dan Tujuan

Secara umum penelitian ini bertujuan untuk mempelajari cara menyelesaikan

masalah multi objektif dengan menggunakan pendekatan program fuzzy. Adapun

tujuan khusus penelitian ini adalah :

1. Membahas masalah transportasi multi objektif sebagai bentuk khusus dari


2. Memberikan aplikasi masalah transportasi multi objektif dalam kehidupan

nyata.

3. Memberikan pandangan bahwa terdapat suatu metode yang dapat digunakan

untuk menyelesaikan masalah program linear multi objektif dan masalah transpor-

tasi multi objektif, yaitu metode pendekatan program fuzzy.

4. Memberikan pandangan bahwa pertimbangan seorang pengambil keputusan

akan mempengaruhi solusi optimal yang didapatkan.

1.5. Tinjauan Pustaka

Penulisan skripsi ini mengacu pada beberapa jurnal dan juga buku. Jurnal

utama dalam skripsi ini adalah jurnal karangan Lushu Li, K.K. Lai (2000) yang

berjudul A Fuzzy Approach to the Multi Objective Transportation Problem. Pada

jurnal tersebut dijelaskan tentang pendekatan program fuzzy untuk menyelesaikan

masalah program linear multi objektif secara umum, dan khususnya untuk masalah

transportasi multi objektif. Beberapa jurnal pendukung seperti Fuzzy Programming

Approach to Multicriteria Decision Making Transportation Problem karangan Bit,

Biswal, dan Alam (1992) dan Fuzzy Programming Approach to Solve Multi Objec-

tive Transportation Problem karangan Kumar, dan Pandey (2012) penulis gunakan

sebagai referensi untuk memahami formulasi pendekatan program fuzzy dan ap-

likasinya. Kemudian, jurnal Bicriteria Transportation Problem karangan Y.P.Aneja

dan Nair (1979) penulis gunakan untuk mengembangkan permasalahan.

4

Pada dasar teori skripsi ini, konsep-konsep dasar dari himpunan fuzzy dan

sifat-sifatnya penulis dapatkan melalui beberapa jurnal diantaranya jurnal karangan

Zadeh (1965) dan Chon (2012). Buku karangan Bartel, Sherbert (2000) dan jurnal

Garcia-lapresta, Llamazares (2000) digunakan untuk memperoleh definisi-definisi

yang berkaitan dengan bilangan fuzzy dan operator aggregasi. Untuk dasar-dasar

masalah transportasi dan masalah program linear, penulis menggunakan buku kara-

ngan Winston (1993) dan Taha (2008). Selain itu, penulis juga mempelajari tentang

program linear multi objektif dari beberapa jurnal.

1.6. Metodologi Penelitian

Penulisan skripsi ini diawali dengan memahami jurnal-jurnal dan buku-buku

terkait fuzzy seperti definisi himpunan fuzzy, fungsi keangotaan, dan sifat-sifat yang

berhubungan dengan himpunan fuzzy. Setelah penulis memahami tentang hal-hal

tersebut, langkah selanjutnya adalah mempelajari tentang masalah program linear

multi objektif, konsep optimal untuk masalah multi objektif dan salah satu ben-

tuk khusus masalah program linear multi objektif yaitu masalah transportasi multi

objektif.

Selanjutnya, penulis melakukan langkah-langkah, seperti memahami per-

masalahan yang diberikan, mengenai cara membentuk evaluasi marjinal pada setiap

fungsi objektif, menentukan evaluasi global dari seluruh fungsi objektif, menyusun

metode pendekatan program fuzzy untuk masalah program linear multi objektif dari

kedua pengevaluasian tersebut, kemudian menentukan solusi optimal dari masa-

lah program linear multi objektif yang kemudian digunakan untuk menyelesaikan

masalah transportasi multi objektif.

1.7. Sistematika Penulisan

Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut:

BAB I PENDAHULUAN

Bab satu membahas tentang latar belakang permasalahan, perumusan dan batasan

5

masalah, tujuan penulisan, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, dan sistematika

penulisan.

BAB II DASAR TEORI

Bab dua membahas tentang teori-teori penunjang yang digunakan untuk pemecahan

masalah pada bab-bab selanjutnya. Teori-teori yang dibahas pada bab dua adalah

himpunan fuzzy, bilangan fuzzy, keputusan fuzzy, masalah program linear multi

objektif, dan masalah transportasi single objektif.

BAB III MASALAH PROGRAM LINEAR MULTI OBJEKTIF

Bab tiga berisi pembahasan materi tentang metode pendekatan program fuzzy dalam

masalah program linear multi objektif. Pada bab ini, penulis menjelaskan tentang

cara mendapatkan metode pendekatan program fuzzy, serta penggunaannya pada


BAB IV MASALAH TRANSPORTASI MULTI OBJEKTIF

Bab empat berisi pembahasan pokok materi tentang penyelesaian masalah trans-

portasi multi objektif dengan program pendekatan fuzzy. Pada bab ini, penulis

membahas model masalah transportasi multi objektif, serta langkah-langkah un-

tuk mencari solusi optimal dari masalah tersebut dengan menggunakan pendekatan

program fuzzy.

BAB V PENUTUP

Bab lima berisi kesimpulan yang merupakan ringkasan pembahasan materi.

BAB II

DASAR TEORI

Pada bab ini akan dibahas mengenai konsep-konsep yang mendasari pem-

bahasan di bab-bab berikutnya. Pembahasan diawali dengan memberikan definisi-

definisi yang terkait dengan masalah program linear, optimasi multi objektif, dan

masalah transportasi single objektif. Selanjutnya, penulis memberikan pembahasan

tentang definisi-definisi yang terkait himpunan fuzzy , bilangan fuzzy, operator ag-

gregasi, dan keputusan fuzzy (fuzzy decision).

2.1. Masalah Transportasi Single Objektif

Masalah transportasi secara umum merupakan masalah pendistribusian ko-

moditas dari beberapa sumber (origin) ke beberapa tujuan (destination) dengan per-

mintaan tertentu yang pada umumnya merupakan masalah meminimumkan biaya

transportasi. Masalah transportasi dengan m sumber dan n tujuan diilustrasikan

melalui diagram berikut :

Gambar 2.1 Diagram Transportasi

Masing-masing sumber i (i = 1, 2, . . . ,m) mempunyai penawaran sebesar

ai unit yang akan didistribusikan ke tujuan j (j = 1, 2, . . . , n) yang memiliki per-

6

7

mintaan sebanyak bj . Sementara itu, banyaknya komoditas yang harus dikirimkan

dari sumber i ke tujuan j adalah sebesar xij dengan biaya distribusi per unit sebesar

cij . Selain dalam bentuk jaringan, masalah transportasi juga bisa disajikan dalam

bentuk tabel transportasi seperti berikut ini :

Gambar 2.2 Tabel Transportasi

Masalah transportasi dengan m sumber dan n tujuan secara matematis dapat

diformulasikan sebagai berikut :

Minimum Z =m∑i=1

n∑j=1

cijxij

dengan kendalan∑j=1

xij ≤ ai, i = 1, 2, · · · ,m

m∑i=1

xij ≥ bj, j = 1, 2, · · · , n

xij ≥ 0, i = 1, 2, · · · ,m, j = 1, 2, · · · , n

(2.1)

8

dengan :

ai menyatakan jumlah persediaan yang tersedia pada sumber ke-i (Si).

bj menyatakan jumlah permintaan pada tujuan ke-j (Dj).

cij menyatakan koefisien dari fungsi objektif yang berhubungan dengan

pengiriman suatu unit barang dari sumber Si ke tujuan Dj .

xij menyatakan banyaknya barang yang dikirim dari sumber Si ke tujuan Dj .

Pada masalah transportasi terdapat istilah masalah transportasi seimbang. Masalah

transportasi dikatakan masalah transportasi seimbang (balanced transportation prob-

lem) jika jumlah penawaran sama dengan jumlah permintaan atau

m∑i=1

ai =n∑j=1

bj.

Namun sering kali masalah transportasi memiliki jumlah penawaran yang

tidak sama dengan jumlah permintaan atau disebut sebagai masalah transportasi

tidak seimbang (unbalanced transportation problem). Oleh karena itu, masalah

transportasi tidak seimbang harus diubah menjadi masalah transportasi seimbang

yaitu dengan cara menambahkan dummy sumber atau dummy tujuan.

Selanjutnya, solusi optimal dari masalah transportasi single objektif (2.1)

dapat diperoleh dengan menggunakan algoritma transportasi. Pada skripsi ini dip-

ilih metode North West Corner untuk menentukan solusi fisibel awal dan metode

Modi untuk menentukan solusi optimal. Langkah algoritma transportasi diberikan

sebagai berikut :

Langkah 1. Cek keseimbangan dari tabel transportasi. Jika belum seimbang, maka

seimbangkan.

Langkah 2. Menentukan solusi fisible awal dengan metode north west corner. Pa-

da saat menentukan solusi awal, tabel transportasi harus berisim+n−1 vari-

abel basis (variabel yang bernilai positif). Metode dilakukan dengan memulai

dari pojok kiri atas, alokasikan sebesar x11 = min(a1; b1), artinya jika b1 < a1

9

maka x11 = b1. Jika b1 > a1, maka x11 = a1. Apabila x11 < b1, maka yang

mendapat giliran untuk dialokasikan adalah x12 sebesar min(a1 − b1; b2). Ji-

ka x11 = a1 (atau b1 > a1), maka selanjutnya yang mendapat giliran untuk

dialokasikan adalah x21 sebesar min(b1 − a1; a2). Demikian seterusnya.

Langkah 3. Mencari nilai ui dan vj dari seluruh variabel basis (pada kotak yang

sudah terisi) dengan ketentuan ui + vj = cij dan diasumsikan nilai dari

u1 = 0.

Langkah 4. Menentukan nilai cij untuk setiap i = 1, 2, · · · ,m dan j = 1, 2, · · · , n

pada kotak yang belum terisi dengan ketentuan cij = ui + vj − cij .

Langkah 5. Jika cij ≤ 0 untuk setiap variabel non basis maka penyelesaian opti-

mal. Jika tidak demikian maka dipilih nilai cij positif terbesar.

Langkah 6. Buatlah loop yang melalui cij positif terbesar dengan ujung-ujung loop

merupakan variabel basis.

Langkah 7. Beri tanda (+) dan (-) pada ujung-ujung loop tersebut dengan memulai

tanda (+) pada nilai cij positif terbesar.

Langkah 8. Bandingkan ujung-ujung loop yang bertanda (-), kemudian ambil nilai

terkecil. Misalkan nilai terkecilnya adalah θ.

Langkah 9. Jumlahkan setiap variabel basis pada ujung loop yang bertanda (+)

dengan θ dan kurangkan setiap variabel basis pada ujung loop yang bertanda

(-) dengan θ. Sedangkan untuk variabel yang berada di luar loop nilainya

tetap. Sehingga diperoleh variabel basis yang baru.

Langkah 10. Menggunakan solusi fisibel basis yang baru, kembali ke langkah 3

sampai diperoleh solusi optimal.

Untuk lebih memahami masalah transportasi, berikut diberikan contoh masalah

transportasi dan penyelesaiannya dengan menggunakan algoritma transportasi.

10

Contoh 2.1.1 Perusahaan Powerco memiliki tiga buah gedung penyimpanan listrik.

Ketiga gedung penyimpanan tersebut menyediakan listrik untuk empat kota diseki-

tarnya. Tabel 2.1 berikut diberikan beberapa informasi mengenai :

1. Jumlah persediaan listrik yang dimiliki oleh tiap gedung penyimpanan listrik.

2. Jumlah kebutuhan listrik setiap kota.

3. Biaya pengiriman satu juta kwh listrik dari setiap gedung penyimpanan listrik

ke setiap kota.

Dari/Ke Kota 1 Kota 2 Kota 3 Kota 4 Persediaan

(juta kwh)

Gedung 1 $8 $6 $10 $9 35

Gedung 2 $9 $12 $13 $7 50

Gedung 3 $14 $9 $16 $5 40

Permintaan 45 20 30 30 125

(juta kwh)

Tabel 2.1 Tabel Biaya Transportasi.

Tentukan minimum total biaya pendistribusian listrik dari ketiga gedung penyim-

panan listrik ke keempat kota tersebut!

Penyelesaian :

Contoh 2.1.1 merupakan masalah transportasi dengan 3 sumber dan 4 tujuan. Oleh

karena jumlah permintaan sama dengan jumlah persediaan yaitu 125, maka masalah

transportasi dikatakan masalah transportasi seimbang. Solusi optimal dari masalah

transportasi tersebut selanjutnya dapat dicari dengan menggunakan algoritma trans-

portasi. Contoh 2.1.1 dapat disajikan dalam bentuk tabel transportasi berikut :

11

Gambar 2.3 Tabel Transportasi Contoh 2.1.1.

Iterasi 1.

Solusi fisibel awal transportasi diperoleh dengan menggunakan metode north west

corner,

Gambar 2.4 Gambar Iterasi 1.

diperoleh

Z = (35× 8) + (10× 9) + (20× 12) + (20× 13) + (10× 16) + (30× 5) = 1180.

Selanjutnya, nilai ui dan vj dicari untuk setiap variabel basis dengan cara menyele-

12

saikan persamaan-persamaan berikut :

u1 = 0

u1 + v1 = 8 u2 + v1 = 9

u2 + v2 = 12 u2 + v3 = 13

u3 + v3 = 16 u3 + v4 = 5.

(2.2)

Berdasarkan persamaan-persamaan (2.2) diperolah v1 = 8, u2 = 1, v2 = 11, u3 =

4, v3 = 12, v4 = 1. Lebih lanjut, nilai cij dicari untuk setiap variabel non-basis

dengan ketentuan cij = ui + vj − cij .

c12 = u1 + v2 − c12 = 0 + 11− 6 = 5.

c13 = u1 + v3 − c13 = 0 + 12− 10 = 2.

c14 = u1 + v4 − c14 = 0 + 1− 9 = −8.

c24 = u2 + v4 − c24 = 1 + 1− 7 = −5.

c31 = u3 + v1 − c31 = 4 + 8− 14 = −2.

c32 = u3 + v2 − c32 = 4 + 11− 9 = 6.

(2.3)

Berdasarkan persamaan-persamaan (2.3) diperoleh bahwa tidak semua nilai cij ≤ 0.

Jadi penyelesaian belum optimal. Lebih lanjut, nilai cij positif terbesar yaitu x32

dipilih menjadi variabel basis yang baru dan diperoleh loop sebagai berikut :

Gambar 2.5 Gambar Loop Iterasi 1.

Iterasi 2.

13


diperoleh

Z = (35× 8) + (10× 9) + (10× 12) + (30× 13) + (10× 9) + (30× 5) = 1120.



u1 = 0

u1 + v1 = 8 u2 + v1 = 9

u2 + v2 = 12 u2 + v3 = 13

u3 + v2 = 9 u3 + v4 = 5.

(2.4)


−2, v3 = 12, v4 = 7. Lebih lanjut, nilai cij dicari untuk setiap variabel non-basis


c12 = u1 + v2 − c12 = 0 + 11− 6 = 5.

c13 = u1 + v3 − c13 = 0 + 12− 10 = 2.

c14 = u1 + v4 − c14 = 0 + 7− 9 = −2.

c24 = u2 + v4 − c24 = 1 + 7− 7 = 1.

c31 = u3 + v1 − c31 = −2 + 8− 14 = −8.

c33 = u3 + v3 − c33 = 3 + 12− 16 = −7.

(2.5)




14


Iterasi 3.


diperoleh

Z = (25× 8) + (10× 6) + (20× 9) + (30× 13) + (10× 9) + (30× 5) = 1070.



u1 = 0

u1 + v1 = 8 u1 + v2 = 6

u2 + v1 = 9 u2 + v3 = 13

u3 + v2 = 9 u3 + v4 = 5.

(2.6)

15

Berdasarkan persamaan-persamaan (2.6) diperolah v1 = 8, u2 = 1, v2 = 6 u3 =



c13 = u1 + v3 − c13 = 0 + 12− 10 = 2.

c14 = u1 + v4 − c14 = 0 + 2− 9 = −7.

c22 = u2 + v2 − c22 = 1 + 6− 12 = −5.

c24 = u2 + v4 − c24 = 1 + 2− 7 = −4.

c31 = u3 + v1 − c31 = 3 + 8− 14 = −3.

c33 = u3 + v3 − c33 = 3 + 12− 16 = −1.

(2.7)





Iterasi 4.

16


diperoleh

Z = (10× 6) + (25× 10) + (45× 9) + (5× 13) + (10× 9) + (30× 5) = 1020.



u1 = 0

u1 + v2 = 6 u1 + v3 = 10

u2 + v1 = 9 u2 + v3 = 13

u3 + v2 = 9 u3 + v4 = 5.

(2.8)




c11 = u1 + v1 − c11 = 0 + 6− 8 = −2.

c14 = u1 + v4 − c14 = 0 + 2− 9 = −7.

c22 = u2 + v2 − c22 = 3 + 6− 12 = −3.

c24 = u2 + v4 − c24 = 3 + 2− 7 = −2.

c31 = u3 + v1 − c31 = 3 + 6− 14 = −5.

c33 = u3 + v3 − c33 = 3 + 10− 16 = −3.

(2.9)

Berdasarkan persamaan-persamaan (2.9) diperoleh bahwa semua nilai cij ≤ 0.Oleh

karena itu, penyelesaian optimal didapatkan. Jadi solusi optimal untuk Contoh 2.1.1

17

adalah x12 = 10, x13 = 25 x21 = 45, x23 = 5, x32 = 10, dan x34 = 30. Jadi

perusahaan Pawerco dapat meminimalkan biaya pengiriman listrik sebesar $ 1020.

2.2. Masalah Program Linear

Model program linear tersusun atas dua komponen utama, yaitu fungsi ob-

jektif dan kendala. Fungsi objektif berkaitan dengan tujuan yang hendak dicapai,

untuk diminimumkan dan merupakan fungsi dari beberapa variabel yang disebut

variabel keputusan. Seluruh variabel keputusan tersebut harus memenuhi pertidak-

samaan dan persamaan yang disebut kendala. Dalam program linear, fungsi ob-

jektifnya merupakan fungsi linear dan kendalanya berupa pertdaksamaan atau per-

samaan linear. Secara umum masalah program linear single objektif dapat diformu-

lasikan sebagai berikut :

Minimum Z = CX

dengan kendala

AX ≥ B

X ≥ 0,

(2.10)

dengan

Am×n = [aij], C =[c1 c2 · · · cn

],

X =[x1 x2 · · · xn

]T, B =

[b1 b2 · · · bm

]T.

Salah satu cara yang digunakan untuk menyelesaikan masalah program lin-

ear adalah dengan metode simpleks. Metode simpleks adalah metode yang berg-

erak dari suatu penyelesaian dasar fisibel ke penyelesaian dasar fisibel yang lain

yang meningkatkan nilai tujuan sampai didapat penyelesaian yang optimal. Berikut

beberapa definisi terkait solusi optimal pada masalah program linear.

Definisi 2.2.1 Daerah fisibel dari suatu masalah program linear adalah suatu him-

punan titik yang memenuhi semua kendala dari masalah program linear tersebut.

Definisi 2.2.2 Solusi optimal dari masalah program linear yang meminimumkan

18

fungsi objektif adalah suatu titik pada daerah fisibel yang memiliki nilai objektif

terkecil.

Definisi 2.2.3 X disebut penyelesaian basis jika n-m variabel disamakan dengan

nol dan m variabel yang lain merupakan penyelesaian sistem persaman tersebut.

Variabel yang tidak dinolkan disebut variabel non basis.

Definisi 2.2.4 Suatu titik p ∈ X disebut sebagai titik ekstrim jika setiap bagian pada

garis yang terletak pada X dan memuat p , p merupakan end point dari bagian

garis tersebut.

2.2.1. Algoritma Simpleks

Algoritma simpleks untuk masalah program linear.

Langkah 1. Ubah masalah program linear ke dalam bentuk kanonik.

Untuk mengubah masalah program linear ke dalam bentuk kanonik, fungsi

objektif yang memiliki bentuk Z = CX diubah menjadi Z − CX = 0. Ke-

mudian, tanda pertidaksamaan ≤ (atau ≥) yang ada dalam kendala ke-i pada

masalah program linear dijadikan = dengan menambahkan (mengurangkan)

variabel slack (surplus) si. Koefisien variabel slack atau surplus fungsi tujuan

adalah nol. Jika belum ada bentuk tereduksi dalam matriks A setelah di-

masukkannya variabel slack atau surplus maka dimasukkan variabel semu A

sampai diperoleh bentuk tereduksi (matriks Im×m). Koefisien fungsi objektif

variabel semu adalah M, dengan M bilangan positif sangat besar.

Langkah 2. Menentukan solusi fisibel basis awal atau menyusun tabel awal.

Langkah 3. Memilih variabel masuk. Variabel masuk adalah variabel non-basis

yang memiliki koefisien positif terbesar. Jika kondisi dipenuhi maka lanjut

ke langkah 4. Jika tidak maka iterasi berhenti dan solusi optimal. Lebih

lanjut, kolom yang memuat variabel masuk disebut sebagai kolom kunci.

Langkah 4. Memilih variabel keluar. Variabel keluar adalah variabel basis yang

19

memiliki rasio positif terkecil. Lebih lanjut, baris yang memuat variabel kelu-

ar disebut sebagai baris kunci.

Langkah 5. Memilih elemen kunci, yaitu elemen perpotongan dari baris kunci dan

kolom kunci.

Langkah 6. Menentukan solusi fisibel basis yang baru dengan menggunakan op-

erasi Gauss-Jordan sebagai berikut :

1. Baris kunci.

a. Mengganti variabel keluar pada kolom variabel basis dengan variabel

masuk.

b. Baris kunci baru = (Baris kunci sekarang)÷(elemen kunci).

2. Baris selain baris kunci.

Baris baru = (Baris sekarang) − (Koefisien kolom kunci ×

Baris kunci baru)

kemudian kembali ke langkah 2.

2.3. Optimasi Masalah Program Linear Multi Objektif

Masalah optimasi multi objektif secara matematis dapat didefinisikan seba-

gai berikut :

Minimum Z(x) = [Z1(x), Z2(x), · · · , ZK(x)]T

dengan kendala x ∈ X.(2.11)

K ≥ 2 dan X merupakan himpunan kendala.

Pada Masalah (2.11) yang dimaksud dengan

Minimum Z(x) = [Z1(x), Z2(x), · · · , ZK(x)]T

20

adalah

Minimum Z1(x).

Minimum Z2(x).

...

Minimum ZK(x).

Masalah optimisasi multi objektif diilustrasikan dengan menggambarkan ru-

ang variabel keputusan (decision space) dan ruang objektif (criterion space). X

digunakan untuk menunjukkan daerah fisibel di ruang variabel keputusan dan Z

digunakan untuk menunjukkan daerah fisibel di ruang objektif.

X = {x ∈ Rn|h(x) = 0, gi(x) ≥ 0, i = 1, 2, · · · , n, x ≥ 0}

Z ={Z(x) ∈ RK |zk = Zk(x), k = 1, 2, · · · , K, zk ∈ R, x ∈ X

}Dalam permasalahan multi objektif, tidak selalu ada solusi terbaik dari se-

mua fungsi objektif karena sulit untuk memperolehnya. Solusi mungkin menjadi

terbaik di satu fungsi objektif, namun dapat menjadi solusi terburuk di fungsi ob-

jektif yang lain. Oleh karena itu, biasanya ada sebuah himpunan solusi untuk per-

masalahan multi objektif yang tidak mudah dibandingkan dengan lainnya. Jenis

solusi ini disebut solusi optimal Pareto atau solusi tak terdominasi. Konsep solusi

optimal Pareto dan solusi dominated ditunjukkan pada gambar berikut :

Gambar 2.11 Konsep Optimal Pareto

21

Definisi 2.3.1 Misalkan x∗ ∈ X merupakan solusi fisibel dari suatu masalah pro-

gram linear multi objektif dan z∗ = Z(x∗) ∈ Z. z∗ disebut solusi optimal Pareto

atau tak terdominasi jika hanya jika tidak terdapat titik z = Z(x) ∈ Z yang lain,

sedemikian hingga:

zk ≤ z∗k, untuk beberapa k = 1, 2, · · · , K

dan

zk0 < z∗k0 , untuk minimal satu k0 ∈ {1, 2, · · · , K}.

Definisi 2.3.2 Solusi fisibel x∗ ∈ X dikatakan efisien jika dan hanya jika tidak

terdapat solusi fisibel x ∈ X yang lain, sedemikian hingga

Zk(x) ≤ Zk(x∗), untuk beberapa k = 1, 2, · · · , K

dan

Zk0(x) < Zk0(x∗), untuk minimal satu k0 ∈ {1, 2, · · · , K}.

Definisi 2.3.3 Himpunan semua solusi tak terdominasi disebut sebagai solusi lengkap

(complete solution).

Contoh 2.3.4 Diberikan masalah program linear multi objektif berikut :

Minimum Z1(x1, x2) = 3x1 + x2

Minimum Z2(x1, x2) = −x1 − 2x2

dengan kendala

x2 ≤ 3

3x1 − x2 ≤ 6

x1, x2 ≥ 0

Tentukan solusi optimal Pareto dari masalah program linear multi objektif tersebut!

Penyelesaian :

Daerah fisibel X di ruang variabel keputusan ditunjukkan pada gambar berikut :

22

Gambar 2.12 Daerah Fisibel X

Titik ekstrim di daerah fisibel X adalah x(1) = (0, 0), x(2) = (0, 3), x(3) =

(3, 3), x(4) = (2, 0). Daerah fisibelZ di ruang objektif diperoleh dengan memetakan

anggota himpunan X ke dua fungsi objektif, yaitu :

Z1 = [Z1(x1), Z2(x

1)] = [0, 0]

Z2 = [Z1(x2), Z2(x

2)] = [3,−6]

Z3 = [Z1(x3), Z2(x

3)] = [12,−9]

Z4 = [Z1(x4), Z2(x

4)] = [6,−2]

Daerah fisibel Z di ruang objektif ditunjukkan pada gambar berikut :

23

Gambar 2.13 Daerah Objektif Z

Menurut Gambar 2.13, diperoleh bahwa titik ekstrim Z adalah image atau

bayangan dari titik ekstrem X . Titik antara Z1 dan Z2 terlihat bahwa Z2(x) menu-

run dari 0 ke -6 danZ1(x) meningkat dari 0 ke 3. Menurut Definisi 2.3.1, semua titik

antara Z1 dan Z2 adalah solusi optimal Pareto atau tak terdominasi. Titik efisien di

ruang variabel keputusan adalah bagian (segment) antara titik x1 dan x2 dan antara

titik x2 dan x3. Jadi solusi optimal Pareto dari permasalahan di atas adalah titik Z1,

Z2, dan Z3 serta ruas-ruas garis yang menghubungkan titik-titik Z1 dengan Z2 dan

Z2 dengan Z3.

2.4. Himpunan Fuzzy

Himpunan tegas adalah himpunan yang terdefinisi secara tegas dalam arti

bahwa untuk setiap elemen dalam semestanya selalu dapat ditentukan secara tegas

apakah elemen tersebut merupakan anggota dari himpunan itu atau tidak. Dengan

kata lain, terdapat batas yang tegas antara unsur-unsur yang merupakan anggota

dan yang bukan merupakan anggota dari suatu himpunan. Pada kenyataannya,

tidak semua himpunan merupakan himpunan tegas. Himpunan tersebut dikenal

dengan himpunan fuzzy atau himpunan kabur. Berikut diberikan definisi-definisi

24

yang berkaitan dengan himpunan fuzzy.

Definisi 2.4.1 Diberikan X himpunan semesta dan A ⊂ X . Himpunan bagian

A disebut himpunan fuzzy A jika keanggotaannya didefinisikan oleh suatu fungsi

keanggotaan

µA : X → [0, 1],

yang menghubungkan untuk setiap anggota x ∈ X ke bilangan real µA(x) ∈ [0, 1]

dengan nilai µA menunjukkan derajat keanggotaan x ∈ A.Himpunan fuzzy A dapat

ditulis sebagai berikut :

A = {(x, µA(x)), x ∈ X},

dengan (x, µA(x) menyatakan elemen x mempunyai derajat keanggotaan µA(x).

Lebih lanjut, µA disebut sebagai subset fuzzy.

Definisi 2.4.2 Support dari suatu himpunan fuzzy A pada X, yang dilambangkan

dengan supp(A) adalah himpunan tegas yang memuat semua unsur dari semesta

yang mempunyai derajat keanggotaan tidak nol dalam A, dan dapat ditulis sebagai

supp(A) = {x ∈ X|µA(x) > 0}.

Definisi 2.4.3 Height dari suatu himpunan fuzzy A pada X, yang dilambangkan de-

ngan height(A), didefinisikan sebagai :

height(A) = supx∈X{µA(x)}.

Definisi 2.4.4 Himpunan fuzzy A pada X dikatakan normal jika height(A) sama de-

ngan 1.

Definisi 2.4.5 Dua buah himpunan fuzzy A dan B dalam X dikatakan sama (A = B)

jika dan hanya jika

µA(x) = µB(x),

untuk setiap x ∈ X . Himpunan fuzzy A dikatakan merupakan bagian dari him-

punan fuzzy B (A ⊆ B), jika dan hanya jika :

µA(x) ≤ µB(x),

25

untuk setiap x ∈ X . Jadi, A = B jika dan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A.

Definisi 2.4.6 Komplemen dari himpunan fuzzy A adalah himpunan fuzzyA′ dengan

fungsi keanggotaan sebagai berikut :

µA′ (x) = 1− µA (x) ,

untuk setiap x ∈ X.

Definisi 2.4.7 Gabungan dari dua himpunan fuzzy A dan B adalah himpunan fuzzy

C yang mempunyai fungsi keanggotaan sebagai berikut :

µC(x) = max (µA(x), µB(x)) = µA∪B(x),

untuk setiap x ∈ X , atau dapat dinyatakan sebagai C = A ∪B.

Definisi 2.4.8 Irisan dari dua himpunan fuzzy A dan B adalah himpunan fuzzy D

yang mempunyai fungsi keanggotaan sebagai berikut :

µD(x) = min (µA(x), µB(x)) = µA∩B(x),

untuk setiap x ∈ X, atau dapat dinyatakan sebagai D = A ∩B.

Berikut ini diberikan contoh untuk memahami definisi-definisi yang telah

diberikan pada bagian sebelumnya.

Contoh 2.4.9 Misalkan dalam semesta X = {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} diketahui

himpunan-himpunan kabur berikut :

A = {(−3, 0.3), (−2, 0.5), (−1, 0.7), (0, 1), (1, 0.7), (2, 0.5), (3, 0.3)}

B = {(−1, 0.1), (0, 0.3), (1, 0.8), (2, 1), (3, 0.7), (4, 0.4)}

C = {(−3, 0.2), (−2, 0.4), (−1, 0.6), (0, 1), (1, 0.6), (2, 0.4), (3, 0.2)}

D = {(−1, 0.1), (0, 0.3), (1, 0.8), (2, 1), (3, 0.7), (4, 0.4)} , maka

1. supp(A) = {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3} ,

2. height(A) = 1,

26

3. A merupakan himpunan fuzzy normal,

4. C ⊆ A,

5. B = D,

6. A′ = {(−3, 0.7), (−2, 0.5), (−1, 0.3), (0, 0), (1, 0.3), (2, 0.5), (3, 0.7)}

7. A∪B = {(−3, 0.3), (−2, 0.5), (−1, 0.7), (0, 1), (1, 0.8), (2, 1), (3, 0.7), (4, 0.4)}

8. A ∩B = {(−1, 0.1), (0, 0.3), (1, 0.7), (2, 0.5), (3, 0.3)}

Dari konsep himpunan fuzzy di atas muncul konsep lain yaitu konsep bilan-

gan fuzzy. Definisi-definisi yang diberikan berikut perlu dipahamai sebelum mem-

bahas bilangan fuzzy.

Definisi 2.4.10 Diberikan A ⊆ R, f : A → R dan titik c ∈ A. Fungsi f dikatakan

kontinu di c jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga untuk setiap x ∈ A

dengan |x− c| < δ berlaku |f(x)− f(c)| < ε.

Definisi 2.4.11 Diberikan A ⊆ R, f : A → R. Fungsi f dikatakan kontinu pada A

jika f kontinu disetiap titik x ∈ A.

Definisi 2.4.12 Diberikan A ⊆ R, f : A → R. Fungsi f dikatakan naik monoton

pada A jika untuk setiap x1, x2 ∈ A dan x1 < x2 maka f(x1) ≤ f(x2).

Definisi 2.4.13 Diberikan A ⊆ R, f : A→ R. Fungsi f dikatakan naik tegas pada

A jika untuk setiap x1, x2 ∈ A dan x1 < x2 maka f(x1) < f(x2).

Definisi 2.4.14 Diberikan A ⊆ R, g : A → R. Fungsi g dikatakan turun monoton

pada A jika untuk setiap x1, x2 ∈ A dan x1 < x2 maka g(x1) ≥ g(x2).

Definisi 2.4.15 Diberikan A ⊆ R, g : A → R. Fungsi g dikatakan turun monoton

pada A jika untuk setiap x1, x2 ∈ A dan x1 < x2 maka g(x1) > g(x2).

27

2.5. Bilangan Fuzzy

Setelah memahami definisi yang berkaitan pada bagian sebelumnya, kemu-

dian pada Definisi (2.5.1) akan diberikan definisi bilangan fuzzy.

Definisi 2.5.1 Misalkan X himpunan semesta dan M ⊂ X . M disebut bilangan

fuzzy jika M himpunan bagian dari X yang fungsi keanggotaannya (φM(x)) memenu-

hi kondisi berikut :

1. Merupakan pemetaan kontinu dari R ke interval [0, 1]

2. φM(x) = 0 untuk semua x ∈ (−∞, c]

3. Fungsi naik tegas dan kontinu pada [c, a]

4. φM(x) = 1 untuk semua x ∈ [a, b]

5. Fungsi turun tegas dan kontinu pada [b, d]

6. φM(x) = 0 untuk semua x ∈ [d,+∞)

untuk semua a, b, c, d ∈ R dengan sifat c < a < b < d.

Secara umum, bilangan fuzzy yang dimaksud pada Definisi (2.5.1) memiliki

bentuk umum sebagai berikut :

Gambar 2.14 Bilangan Fuzzy Secara Umum

28

Pada bilangan fuzzy, terdapat beberapa tipe bilangan fuzzy yaitu bilangan

fuzzy linear, bilangan fuzzy segitiga, bilangan fuzzy trapesium, dan sebagainya.

Akan tetapi, pada pembahasan skripsi ini yang akan digunakan adalah bilangan

fuzzy linear. Berikut definisi dari bilangan fuzzy linear.

Definisi 2.5.2 Bilangan fuzzy M disebut bilangan fuzzy linear jika fungsi keang-

gotaannya, yaitu φM : R→ [0, 1] memiliki bentuk fungsi sebagai berikut :

φM(x) =

1 , x ≤ b

d−xd−b , b < x < d

0 , x ≥ d

. (2.12)

Bilangan fuzzy linear secara umum dapat digambarkan sebagai berikut :

Gambar 2.15 Bentuk Umum Bilangan Fuzzy Linear

2.6. Operator Agregasi pada Himpunan fuzzy

Operator agregasi pada himpunan fuzzy digunakan untuk menggambungkan

beberapa himpunan fuzzy dengan cara tertentu untuk menghasilkan himpunan fuzzy

tunggal.

Definisi 2.6.1 Operator agregasi dalam himpunan fuzzy merupakan suatu pemetaan

29

Φ : [0, 1]K → [0, 1] , sedemikian sehingga untuk setiap bilangan fuzzy

(φX(Z1(x)), · · · , φX(ZK(x))) ∈ [0, 1]K

berlaku

µ(x) = Φ (φX(Z1(x)), φX(Z2(x)), · · · , φX(ZK(x))) ∈ [0, 1] .

Definisi 2.6.2 Diberikan operator agregasi Φ pada X dan

(φX(Z1(x1)), · · · , φX(ZK(x1))), (φX(Z1(x2)), · · · , φX(ZK(x2))) ∈ [0, 1]K .

1. Φ merupakan fungsi monoton yaitu jika ∀ k = 1, 2, · · · , K,

φX(Zk(x1)) ≥ φX(Zk(x2))

maka

Φ (φX(Z1(x1)), · · · , φX(ZK(x1))) ≥ Φ (φX(Z1(x2)), · · · , φX(ZK(x2))) .

2. Φ merupakan fungsi monoton tegas yaitu jika ∀ k = 1, 2, · · · , K ,

φX(Zk(x1)) > φX(Zk(x2))

maka

Φ (φX(Z1(x1)), · · · , φX(ZK(x1))) > Φ (φX(Z1(x2)), · · · , φX(ZK(x2))) .

3. Φ merupakan fungsi idempoten yaitu

Φ(0, 0, · · · , 0) = 0 dan Φ(1, 1, · · · , 1) = 1.

Pada skripsi ini operator agregasi yang digunakan adalah operator weighted

root-power mean Φ(α)w , yang didefinisikan sebagai berikut :

Definisi 2.6.3 Operator weighted root power mean merupakan suatu pemetaan

Φ : [0, 1]K → [0, 1] yang terkait dengan vektor w denganK∑k=1

wk = 1 dan wk ∈

[0, 1], sedemikian sehingga

Φ(α)w (φX(Z1(x)), φX((Z2(x))), · · · , φX(ZK(x))) =

(K∑k=1

wk (φX(Zk(x)))α) 1

α

,

(2.13)

30

dengan φX(Zk(x)) merupakan bilangan fuzzy untuk setiap k = 1, 2, · · · , K dan

α ∈ R {0}.

1. Untuk α = 1 diperoleh

Φ(1)w (φX(Z1(x)), φX((Z2(x))), · · · , φX(ZK(x))) =

(K∑k=1

(wkφX(Zk(x)))1)1

=K∑k=1

wkφX(Zk(x)).

yang dikenal sebagai deret aritmatik berbobot (weighted arithmetic mean).

2. Untuk α = 2 diperoleh

Φ(2)w (φX(Z1(x)), φX((Z2(x))), · · · , φX(ZK(x))) =

(K∑k=1

wkφX((Zk(x)))2

) 12

yang dikenal sebagai deret kuadratik berbobot (weighted quadratic mean).

Lebih lanjut, untuk α→ 0, α→∞, dan α→ −∞ himpunan fuzzy tunggal

bisa didapatkan dengan mengambil nilai limit untuk masing-masing α.

3. Untuk α→ 0 diperoleh

Φ(0)w (φX(Z1(x)), φX((Z2(x))), · · · , φX(ZK(x)))

= limα→0

Φ (φX(Z1(x)), φX((Z2(x))), · · · , φX(ZK(x))

= limα→0

[K∑k=1

wk(φX(Zk(x)))α] 1α

= limα→0

eln

[ K∑k=1

wk(φX(Zk(x)))α

] 1α

= limα→0

e1αln

([K∑k=1

wk(φX(Zk(x)))α

])

Oleh karena e1αln

([K∑k=1

wk(φX(Zk(x)))α

])merupakan fungsi kontinu, maka

limα→0

e1αln

([K∑k=1

wk(φX(Zk(x)))α

])= e

(limα→0

1αln

[K∑k=1

wk(φX(Zk(x)))α

]). (2.14)

31

Karena

limα→0

lnK∑k=1

wk(φX(Zk(x)))α

α=

0

0,

maka masalah tersebut dapat diselesaikan dengan aturan L’Hospital. Penye-

lesaian masalah limit tersebut adalah sebagai berikut :

limα→0

lnK∑k=1

wk(φX(Zk(x)))α

α

= limα→0

w1(φX(Z1(x)))α ln (φX(Z1(x))) + · · ·+ wK(φX(ZK(x)))α ln (φX(ZK(x)))K∑k=1

wk(φX(Zk(x)))α

= limα→0

K∑k=1

wk(φX(Zk(x)))α ln (φX(Zk(x)))

K∑k=1

wk(φX(Zk(x)))α

= limα→0

K∑k=1

wk(φX(Zk(x)))α ln (φX(Zk(x)))

K∑k=1

wk(φX(Zk(x)))α

=

K∑k=1

wk ln (φX(Zk(x)))

K∑k=1

wk

=K∑k=1

wk ln (φX(Zk(x)))

=K∑k=1

ln(φX(Zk(x)))wk

= ln (φX(Z1(x)))w1 + ln (φX(Z2(x)))w2 + · · ·+ ln (φX(ZK(x)))wK

= ln ((φX(Z1(x)))w1(φX(Z2(x)))w2 . . . (φX(ZK(x)))wK )

= ln

(K∏k=1

(φX(Z1(x)))wk

).

Oleh karena

limα→0

K∑k=1

ln [wk(φX(Zk(x)))α]

α= ln

(K∏k=1

(φX(Z1(x)))wk

)

32

maka Persamaan (2.14) menjadi

limα→0

e1αln

K∑k=1

[wk(φX(Zk(x)))α]

= elimα→0

1αln

K∑k=1

[wk(φX(Zk(x)))α]

= eln

(K∏k=1

(φX(Zk(x)))wk

)

=K∏k=1

(φX(Zk(x)))wk .

Jadi,

limα→0

e1αln

K∑k=1

[wk(φX(Zk(x)))α]

=K∏k=1

(φX(Zk(x)))wk . (2.15)

Persamaan (2.15) dikenal sebagai deret geometri berbobot (weighted geomet-

ric mean).

4. Untuk α → ∞, nilai Φ(α)w (φX(Z1(x)), φX((Z2(x))), · · · , φX(ZK(x))) da-

pat ditentukan dengan menggunakan teorema berikut :

Teorema 2.6.4 (Teorema Apit)

Diberikan A ⊆ R. Diketahui f, g, h : A → R dan c ∈ R merupakan titik

limit di A. Jika

f(α) ≤ g(α) ≤ h(α) ∀α ∈ A, α 6= c

dan lim→c

f(α) = limα→c

h(α) = L maka limα→c

g(α) = L.

Persamaan (2.13) dapat dinyatakan sebagai

Φ(α)w (φX(Z1(x)), φX((Z2(x))), · · · , φX(ZK(x)))

=

(K∑k=1

wk (φX(Zi(x)))α) 1

α

.

Misalkan w0 = {k |wk = 0} dan w# = {k |wk 6= 0} . Kemudian dapat

diperoleh bahwa(K∑k=1

wk (φX(Zi(x)))α)

=∑i∈w0

wi(φ(Zi(x)))α +∑i∈w#

wk(φ(Zk(x)))α

=∑i∈w#

wi(φ(Zi(x)))α.

33

Tanpa mengurangi keumuman, misalkanwi 6= 0, untuk setiap i = 1, 2, · · · , K.

Diperhatikan bentuk

Φ(∞)w (φX(Z1(x)), φX((Z2(x))), · · · , φX(ZK(x)))

= limα→∞

Φ(α)w (φX(Z1(x)), φX((Z2(x))), · · · , φX(ZK(x)))

= limα→∞

(∑i∈w#

wi(φX(Zi(x)))α) 1

α

.

Misalkan φX(Zm(x)) = max {φX(Zi(x)), i = 1, 2, · · · , K} . Akibatnya,

limα→∞

(∑i∈w#

wi(φX(Zi(x)))α) 1

α

= limα→∞

φX(Zm(x))

(∑i∈w#

wi

(φX(Zi(x))

φX(Zm(x))

)α) 1α

= φX(Zm(x)) limα→∞

(∑i∈w#

wi

(φX(Zi(x))

φX(Zm(x))

)α) 1α

.

Oleh karena itu ekuivalen dengan mencari limα→∞

( ∑i∈w#

wi

(φX(Zi(x))φX(Zm(x))

)α) 1α

.

Diperhatikan bahwa untuk setiap i = 1, 2, · · · , K berlaku

φX(Zi(x)) ≤ φX(Zm(x)) =φX(Zi(x))

φX(Zm(x))≤ 1

=

(φX(Zi(x))

φX(Zm(x))

)α≤ 1

= wi

(φX(Zi(x))

φX(Zm(x))

)α≤ wi.

Akibatnya,[∑i∈w#

wi

(φX(Zi(x))

φX(Zm(x))

)α] 1α

≤

[∑i∈w#

wi

] 1α

= 11α = 1. (2.16)

Berdasarkan Persamaan (2.16), maka diperoleh

limα→∞

[∑i∈w#

wi

(φX(Zi(x))

φX(Zm(x))

)α] 1α

≤ limα→∞

1 = 1. (2.17)

Diperhatikan bahwa∑i∈w#

wi

(φX(Zi(x))

φX(Zm(x))

)α≥ wm

(φX(Zm(x))

φX(Zm(x))

)α= wm.

34

Oleh karena wm 6= 0 diperoleh

limα→∞

[∑i∈w#

wi

(φX(Zi(x))

φX(Zm(x))

)α] 1α

≥ limα→∞

(wm)1α = 1. (2.18)

Berdasarkan (2.17) dan (2.18), diperoleh

1 ≤ limα→∞

[∑i∈w#

wi

(φX(Zi(x))

φX(Zm(x))

)α] 1α

≤ 1.

Menurut Teorema (2.6.4) maka diperoleh

limα→∞

[∑i∈w#

wi

(φX(Zi(x))

φX(Zm(x))

)α] 1α

= 1.

Akibatnya,

Φ(∞)w (φX (Z1(x)) , φX (Z2(x)) , · · · , φX (ZK(x)))

= limα→∞

(∑i∈w#

wi(φX(Zi(x)))α) 1

α

= φX(Zm(x)) limα→∞

(∑i∈w#

wi

(φX(Zi(x))

φX(Zm(x))

)α) 1α

= φX(Zm(x)) · 1

= max {φX(Zi(x)), i = 1, 2, · · · , K}

= max1≤i≤K

φX(Zi(x)).

Jadi,

Φ(∞)w (φX (Z1(x)) , φX (Z2(x)) , · · · , φX (ZK(x))) = max

1≤k≤KφX(Zk(x)).

(2.19)

Persamaan (2.19) dikenal sebagai disjunctive mean.

5. Untuk α→ −∞.

Φ(−∞)w (φX (Z1(x)) , φX (Z2(x)) , · · · , φX (ZK(x)))

= limα→−∞

[K∑k=1


.

35

Jika diambil q = −α, maka

limα→−∞

[K∑k=1


= limq→∞

[K∑k=1

wk(φX(Zk(x)))−q]− 1

q

= limq→∞

1[K∑k=1

wk1

(φX(Zk(x)))q

] 1q

=1

limq→∞

[K∑k=1

wk1

(φX(Zk(x)))q

] 1q

=1

Φ(∞)w

(1

φX(Z1(x)), 1φX(Z2(x))

, · · · , 1φX(ZK(x))

) .Berdasarkan hasil yang diperoleh pada poin 4 maka diperoleh

1

Φ(∞)w

(1

φX(Z1(x)),φX(Z2(x)), · · · , 1

φX(ZK(x))

) =1

max1≤k≤K

1{φX(Zk(x))}

=11

min1≤k≤K

φX(Zk(x))

= min1≤k≤K

φX (Zk(x)) .

Jadi,

limα→−∞

[K∑k=1


= min1≤k≤K

φX (Zk(x)) . (2.20)

Persamaan (2.20) dikenal sebagai conjunctive mean.

Pada pembahasan lebih lanjut, nilai parameter α yang digunakan adalah α = 1,

α = 2, dan α→ −∞.

2.7. Fuzzy Decision

Bellman dan Zadeh (1970) mengenalkan bahwa terdapat tiga konsep dasar

yaitu fuzzy goal, fuzzy constraint, dan fuzzy decision serta mengenalkan aplikasi

dari tiga konsep tersebut ke proses pengambilan keputusan dalam keadaan fuzzy.

Berikut akan diberikan konsep kerangka kerja dari pengambilan keputusan dalam

keadaan fuzzy :

36

Misal X adalah himpunan yang memuat solusi alternatif dari pengambilan

keputusan, dengan

1. Fuzzy goal G

Himpunan fuzzy pada X yang keanggotaannya didefinisikan melalui fungsi

keanggotaan µG : X → [0, 1] dengan µG merupakan fungsi keanggotaan

goal G yang menghubungkan setiap x ∈ X ke bilangan real µG di dalam

interval [0,1] dengan nilai µG menunjukkan derajat keanggotaan x dalam G.

2. Fuzzy constraint C

Himpunan fuzzy pada X yang keanggotaannya didefinisikan melalui fungsi

keanggotaan µC : X → [0, 1] dengan µC merupakan fungsi keanggotaan con-

straints C yang menghubungkan setiap x ∈ X ke bilangan real µC di dalam

interval [0,1] dengan nilai µC menunjukkan derajat keanggotaan x dalam C.

3. Fuzzy decision D

Himpunan fuzzy D yang didefinisikan sebagai D = G ∩ C dengan fungsi

keanggotaan µ(x) = min{µG(x), µC(x)} dan µ merupakan fungsi keang-

gotaan decision D yang menghubungkan setiap x ∈ X ke bilangan real µ(x)

di dalam interval [0,1] dengan nilai µ(x) menunjukkan derajat keanggotaan x

dalam D.

Kemudian, keputusan maksimum didefinisikan sebagai :

maxx∈X

µD(x) = maxx∈X

min(µG(x), µC(x)).

Lebih lanjut, secara umum fuzzy decision D merupakan irisan dari sebanyak

k fuzzy goal G1, G2, · · · , Gk dan m fuzzy constraint C1, C2, · · · , Cm yang

didefinisikan oleh

D = G1 ∩G2 ∩ · · · ∩Gk ∩ C1 ∩ C2 ∩ · · · ∩ Cm

37

sehingga keputusan maksimum yang bersesuaian didefinisikan sebagai :

maxx∈X

µD(x) = maxx∈X

min(µG1(x), · · · , µGk(x), µC1(x), · · · , µCm(x))

Definisi 2.7.1 Solusi optimal kompromi dari masalah multi objektif adalah solusi

fisibel x ∈ X dengan nilai dari pilihan pengambil keputusan yang mempertim-

bangkan berbagai fungsi objektif adalah maksimum.

BAB III

MASALAH PROGRAM LINEAR MULTI OBJEKTIF

Pada bab ini akan dibahas cara memformulasikan pendekatan program fuzzy

untuk menyelesaikan masalah program linear multi objektif. Selanjutnya, akan

diberikan contoh permasalahan program linear multi objektif yang diselesaikan

dengan pendekatan program fuzzy.

3.1. Bentuk Umum Masalah Program Linear Multi Objektif

Masalah program linear multi objektif secara umum memiliki bentuk seba-

gai berikut :

Minimum Z(x) = [Z1(x)Z2(x) · · ·ZK(x)]T

kendala x ∈ X(3.1)

dengan K ≥ 2 dan x ∈ X ⊆ Rn dengan X merupakan himpunan solusi fisibel.

Seperti yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya bahwa pada masalah

program linear multi objektif terdapat sebanyak K fungsi objektif yang harus di-

minimalkan. Oleh karena itu, untuk mencapai solusi yang optimal akan terjadi

perbedaan tujuan yang tidak dapat dicapai secara bersamaan. Metode pendekatan

program fuzzy digunakan untuk mencari solusi optimal kompromi yang mengopti-

malkan seluruh fungsi objektif.

Formulasi pendekatan program fuzzy dapat dibentuk dengan mencari eva-

luasi marjinal untuk setiap fungsi objektif. Selanjutnya, evaluasi marjinal tersebut

digunakan untuk membentuk evaluasi global. Berdasarkan evaluasi global, formu-

lasi pendekatan program fuzzy masalah program linear multi objektif dapat diben-

tuk. Pada bagian selanjutnya akan dibahas cara mendapatkan evaluasi marjinal dari

Masalah (3.1).

38

39

3.2. Evaluasi Marjinal Setiap Fungsi Objektif

Evaluasi marjinal untuk setiap fungsi objektif Zk (k = 1, 2, · · · , K) dalam

masalah program linear multi objektif, dapat ditentukan dengan menggunakan dua

buah nilai Uk dan Lk (Uk > Lk). Nilai Uk menyatakan batas atas dan dapat di-

pandang sebagai tingkat tertinggi yang dapat diterima (the highest acceptable level)

fungsi objektif Zk. Sedangkan, nilai Lk menyatakan batas bawah dan dapat dipan-

dang sebagai tingkat pencapaian yang diinginkan (the aspired level of achievement)

fungsi objektif Zk. Dengan kata lain, untuk setiap x ∈ X diperoleh bahwa

Lk ≤ Zk(x) ≤ Uk.

Lebih lanjut, nilai Uk dan Lk untuk setiap fungsi objektif Zk dapat diten-

tukan dengan dua cara. Cara pertama yaitu dengan menggunakan solusi ideal dari

setiap fungsi objektif. Solusi ideal didapat dengan menyelesaikan Masalah (3.1)

sebagai masalah single objektif sebanyak K-kali atau dapat dituliskan sebagai

Minimum Zk(x)

dengan kendala x ∈ X.(3.2)

Misalkan x(k)∗ untuk setiap k = 1, 2, · · · , K, merupakan solusi optimal

dari Masalah (3.1). Selanjutnya, solusi-solusi optimal x(k)∗, digunakan untuk mem-

bentuk matriks payy-off berikut :Z1(x

(1)∗) Z1(x(2)∗) · · · Z1(x

(K)∗)

Z2(x(1)∗) Z2(x

(2)∗) · · · Z2(x(K)∗)

......

...

ZK(x(1)∗) ZK(x(2)∗) · · · ZK(x(K)∗)

(3.3)

Berdasarkan matriks pay-off (3.3), nilai Uk dan Lk dari setiap fungsi objektif Zk,

(k = 1, 2, · · · , K) diperoleh dengan ketentuan :

Uk = max1≤j≤K

{Zk(x

(j)∗)}

Lk = Z+k = Zk(x

(k)∗) dengan k = 1, 2, · · · , K .(3.4)

40

Cara kedua adalah dengan menyelesaikan sebanyak 2K-kali masalah pro-

gram linear single objektif untuk mendapatkan nilai ideal Z+k dan nilai anti ideal

Z−k sehingga diperoleh nilai Uk dan Lk adalah

Uk = Z−k = maxx∈X

Zk(x)

Lk = Z+k = min

x∈XZk(x) dengan k = 1, 2, · · · , K .

(3.5)

Nilai Uk dan Lk untuk setiap fungsi objektif Zk telah didapatkan. Lebih

lanjut, nilai Uk dan Lk tersebut digunakan untuk mendefinisikan suatu pemetaan

φX : X → [0, 1] yang digunakan untuk melihat seberapa dekat suatu keputusan

x ∈ X membuat nilai Zk dekat dengan Lk. Didefinisikan φX : X → [0, 1], dengan

φX(Zk(x)) =

1 , jika Zk(x) ≤ LkZk(x)−UkLk−Uk

, jika Lk < Zk(x) < Uk

0 , jika Zk(x) ≥ Uk

. (3.6)

Formulasi pada Persamaan (3.6) disebut sebagai pemetaan evaluasi marji-

nal φX : X → [0, 1] untuk fungsi objektif Zk, (k = 1, 2, · · · , K). Berdasarkan

definisi himpunan fuzzy, pemetaan φX merupakan subset fuzzy yang menjelaskan

konsep optimal fuzzy untuk fungsi objektif Zk pada daerah solusi fisible X , dan

φX(Zk(x)) ∈ [0, 1] merupakan derajat keanggotaan dari x ∈ X dengan x meru-

pakan solusi optimal dengan hanya mempertimbangkan fungsi objektif Zk.

Setelah evaluasi marjinal diperoleh, pada Bagian (3.3.) akan dibahas cara

mendapatkan evaluasi global dari Masalah (3.1) dengan menggunakan evaluasi mar-

jinal yang diperoleh pada bagian (3.2.).

3.3. Evaluasi Global untuk Seluruh Fungsi Objektif

Pada bagian (3.2.) telah didapat φX(Zk(x)) untuk setiap k = 1, 2, · · · , K

yang merupakan evaluasi marjinal setiap fungsi objektif Zk pada setiap keputusan

x ∈ X . Langkah selanjutnya adalah membentuk evaluasi global untuk mendap-

atkan x yang memenuhi seluruh fungsi objektif. Untuk melakukan evaluasi global

didefinisikan pemetaan µ : X → [0, 1] yang akan menjelaskan berapa nilai evaluasi

41

global subjektif dari keputusan x atau dengan kata lain, seberapa besar pengaruh se-

tiap keputusan x ∈ X memenuhi seluruh fungsi objektif. Pemetaan µ : X → [0, 1]

merupakan subset fuzzy yang menjelaskan konsep optimum fuzzy untuk semua

fungsi objektif pada daerah keputusan X . Nilai µ(x) ∈ [0, 1] merupakan derajat

keanggotaan subjektif dari x ∈ X dengan xmerupakan nilai yang sesuai dengan so-

lusi optimal yang mempertimbangkan semua fungsi objektif. Berdasarkan Definisi

(2.7.1), suatu solusi optimal kompromi merupakan sebuah titik pada daerah fisibel

X dengan nilai evaluasi global (derajat kenggotaan subjektif) adalah maksimum.

Kata subjektif disini dengan sengaja digunakan untuk menekankan bahwa

subjektifitas dari para pengambil keputusan harus diperhitungkan. Pengambil kepu-

tusan yang berbeda dalam objek yang sama akan menghasilkan keputusan yang

berbeda pula. Pertimbangan berbeda yang dimiliki para pengambil keputusan terse-

but, secara matematis dilambangkan dengan w yaitu himpunan bobot yang jika di-

jumlahkan hasilnya sama dengan satu atau dapat dituliskan sebagai

w = (w1, w2, · · · , wK) denganK∑k=1

wk = 1 dan wk ∈ [0, 1].

Pada pembahasan skripsi ini, diasumsikan bahwa penentuan bobot (weight) dipe-

roleh dengan cara penaksiran langsung oleh pengambil keputusan.

Misal diberikan w = (w1, w2, · · · , wK) yang merupakan pertimbangan dari

seorang pengambil keputusan dan φX(Zk(x)) (k = 1, 2, · · · , K) merupakan eva-

luasi marjinal dari keputusan x ∈ X . Kemudian akan didefinisikan suatu operator

agregasi Φw(α) : [0, 1]K → [0, 1] yang digunakan untuk menggabungkan evaluasi-

evaluasi marjinal tersebut menjadi himpunan fuzzy tunggal. Sehingga untuk setiap

x ∈ X , berlaku

µ(x) = Φ(α)w (φX(Z1(x)), φX(Z2(x)), · · · , φX(ZK(x))) . (3.7)

Pemetaan µ : X → [0, 1] yang didefinisikan pada Persamaan (3.7) merupakan eval-

uasi global untuk seluruh fungsi objektif, dan µ(x) merupakan derajat keanggotaan

dari keputusan x ∈ X dengan x merupakan titik yang sesuai dengan solusi ide-

al (x(1)∗, x(2)∗, · · · , x(K)∗) dari Masalah (3.1). Pemetaan evaluasi global subjektif

42

untuk masalah program linear multi objektif tersebut adalah sebagai berikut :

Kasus 1. Untuk α = 1 diperoleh

µ(x) = Φ(1)w (φX(Z1(x)), φX(Z2(x)), · · · , φX(ZK(x)))

=K∑k=1

wkφX(Zk(x)).


µ(x) = Φ(2)w (φX(Z1(x)), φX(Z2(x)), · · · , φX(ZK(x)))

=

(K∑k=1

wk (φX(Zk(x)))2) 1

2

.

Kasus 3. Untuk α→ −∞ diperoleh

µ(x) = Φ(−∞)w (φX(Z1(x)), φX(Z2(x)), · · · , φX(ZK(x)))

= min1≤k≤K

{φX(Zk(x))} .

Khusus untuk kasus ketiga, bobot untuk setiap pengambil keputusan sama

yaitu w = (w1, w2, · · · , wK) dengan w1 = w2 = · · · = wK = 1/K. Se-

lain itu untuk pembahasan lebih lanjut yang dimaksud dengan Φ(−∞) adalah

Φ(−∞)w .

3.4. Pendekatan Program Fuzzy

Pada bagian (3.3.) telah ditentukan Φ(α)w sebagai operator agregasi dan telah

diperoleh pemetaan evaluasi global µ : X → [0, 1] untuk seluruh fungsi objektif.

Berdasarkan hasil tersebut berikut diberikan formulasi pendekatan program fuzzy

untuk Masalah (3.1),

Maksimum µ(x) = Φ(α)w (φX(Z1(x)), φX(Z2(x)), · · · , φX(ZK(x)))

dengan kendala x ∈ X .(3.8)

Lebih lanjut, formulasi pendekatan program fuzzy untuk masing-masing α adalah

sebagai berikut :

43

1. Formulasi pendekatan program fuzzy untuk α = 1.

MaksimumK∑k=1

wkφX(Zk(x))

dengan kendala x ∈ X .

(3.9)

2. Formulasi pendekatan program fuzzy untuk α = 2.

Maksimum

(K∑k=1

wk (φX(Zk(x)))2) 1

2

dengan kendala x ∈ X .

(3.10)

3. Formulasi pendekatan program fuzzy untuk α→ −∞.

Maksimum min1≤k≤K

φX(Zk(x))

dengan kendala x ∈ X .(3.11)

Masalah (3.11) dapat disederhanakan dengan cara mengambil

λ = min1≤k≤K

{φX(Zk(x))}. Akibatnya, Masalah (3.11) ekuivalen dengan

Maksimum λ

dengan kendala

φX(Zk(x)) ≥ λ, k = 1, 2, · · · , K

x ∈ X .

(3.12)

Selanjutnya, ketiga masalah tersebut dapat diselesaikan dengan toolbox pa-

da program Maple 16. Masalah (3.9) dan Masalah (3.11) dapat diselesaikan dengan

toolbox : Optimization, LPSolve untuk mendapatkan solusi optimal masalah pro-

gram linear single objektif. Sedangkan, Masalah (3.10) dapat diselesaikan dengan

toolbox : Optimization, NLPSolve untuk mendapatkan solusi optimal dari masalah

program non-linear. Selanjutnya, akan diberikan teorema terkait solusi optimal

yang diperoleh dari pendekatan program fuzzy.

Teorema 3.4.1 Jika x∗ ∈ X merupakan solusi optimal dari masalah pendekatan

program fuzzy (3.8), maka x∗ memenuhi

µ(x∗) = maxx∈X

µ(x). (3.13)

44

Bukti. Diketahui x∗ merupakan solusi optimal Masalah (3.8). Akan dibuktikan

bahwa x∗ memenuhi Persamaan (3.13). Pembuktian dilakukan dengan mengandaikan

bahwa x∗ tidak memenuhi Persamaan (3.13), atau dapat ditulis

µ(x∗) 6= maxx∈X

µ(x) .

Oleh karena µ(x∗) 6= maxx∈X

µ(x), artinya terdapat x∗∗ ∈ X sedemikian sehingga

µ(x∗∗) = maxx∈X

µ(x) > µ(x∗).

Pernyataan tersebut kontradiksi dengan x∗ ∈ X merupakan solusi optimal Masalah

(3.8). Akibatnya, pengandaian salah dan harus diingkar. Jadi, jika x∗ ∈ X meru-

pakan solusi optimal dari formulasi pendekatan program fuzzy (3.8), maka x∗memenuhi

µ(x∗) = maxx∈X

µ(x). (3.14)

�

Teorema berikut menjelaskan bahwa x∗ yang diperoleh dari (3.13) meru-

pakan solusi pendekatan yang tak terdominasi.

Teorema 3.4.2 Diketahui wk > 0 dan evaluasi marjinal φX(Zk(x)) turun tegas

untuk setiap k = 1, 2, · · · , K. Jika Φ(α)w adalah operator agregasi yang dide-

finisikan sebagai pemetaan evaluasi global, maka solusi optimal x∗ yang diperoleh

dari masalah pendekatan program fuzzy merupakan solusi tak terdominasi (optimal

Pareto) dari masalah multi objektif (3.1). Artinya, tidak ada solusi x ∈ X yang lain

sehingga

Zk(x) ≤ Zk(x∗), untuk beberapa k = 1, 2, . . . , K (3.15)

dan

Zk0(x) < Zk0(x∗), untuk paling tidak satu k0 = 1, 2, . . . , K. (3.16)

Bukti. Pembuktian dilakukan dengan mengandaikan x∗ sebagai solusi terdominasi

dari masalah multi objektif (3.1), artinya terdapat x ∈ X sedemikian hingga per-

samaan (3.15) dan (3.16) dipenuhi. Selanjutnya, karena diketahui φX(Zk(x)) turun

45

tegas, maka

φX(Zk(x)) ≥ φX(Zk(x∗)), untuk beberapa k = 1, 2, . . . , K

dan

φX(Zk0(x)) > φX(Zk0(x∗)), untuk paling tidak satu k0 = 1, 2, . . . , K

Selanjutnya, berdasarkan sifat monoton tegas dari operator agregasi diperoleh

µ(x) = Φαw(φX(Z1(x)), φX(Z2(x)), · · · , φX(ZK(x)))

> µ(x∗) = Φw(φX(Z1(x∗)), φX(Z2(x

∗)), · · · , φX(ZK(x∗)))

Pernyataan di atas kontradiksi dengan fakta bahwa x∗ merupakan solusi optimal

dari pendekatan program fuzzy. Akibatnya pengandaian salah dan harus diingkar.

Jadi, x∗ merupakan solusi tak terdominasi (optimal Pareto) dari pendekatan pro-

gram fuzzy. �

3.5. Contoh Permasalahan

Untuk lebih memahami pembahasan sebelumnya, diperhatikan kembali Con-

toh (2.3.4). Pada Contoh (2.3.4) telah diperoleh solusi optimal Pareto masalah terse-

but dengan menggunakan definisi. Lebih lanjut, akan diselidiki solusi dari Contoh

(2.3.4) dengan menggunakan pendekatan program fuzzy.

Langkah pertama yang dilakukan adalah menentukan evaluasi marjinal un-

tuk fungsi objektif Z1 dan Z2 dengan cara mencari nilai Uk dan Lk untuk masing-

masing fungsi objektif Zk dengan k = 1, 2.

Cara 1 : Nilai Uk dan Lk k = 1, 2 dari Contoh (2.3.4) ditentukan dengan mencari

solusi ideal dari kedua buah masalah program linear single objektif berikut :

Minimum Z1(x1, x2) = 3x1 + x2

dengan kendala

x2 ≤ 3

3x1 − x2 ≤ 6

x1, x2 ≥ 0

(3.17)

46

dan

Minimum Z2(x1, x2) = −x1 − 2x2

dengan kendala

x2 ≤ 3

3x1 − x2 ≤ 6

x1, x2 ≥ 0

(3.18)

Sehingga, solusi ideal untuk Masalah (3.17) adalah (x(1)∗) = (0, 0), sedang-

kan solusi ideal untuk Masalah (3.18) adalah (x(2)∗) = (3, 3). Berdasarkan

solusi-solusi ideal tersebut dibentuk matriks pay-off berikut : Z1(x(1)∗) Z1(x

(2)∗)

Z2(x(1)∗) Z2(x

(2)∗)

=

0 12

0 −9

(3.19)

Sehingga nilai Uk dan Lk dengan k = 1, 2 adalah

• U1 = max1≤j≤2

{Z1(x(j)∗)} = max{Z1(x

(1)∗), Z1(x(2)∗)} = 12 dan

L1 = Z1(x(1)∗) = 0

• U2 = max1≤j≤2

{Z2(x(j)∗)} = max{Z2(x

(1)∗), Z2(x(2)∗)} = 0 dan

L2 = Z2(x(2)∗) = −9

Cara 2 : Pada cara kedua, hanya akan dijelaskan langkah-langkah untuk menda-

patkan nilai U1 dan U2 Contoh 2.3.4. Sedangkan untuk mendapatkan nilai

L1 dan L2 langkah yang digunakan sama dengan cara 1. Nilai U1 dan U2

didapatkan dengan mencari solusi anti ideal dari Z1 dan Z2. Solusi anti ideal

dari fungsi objektif Z1 dan Z2 diperoleh dengan cara menyelesaikan masalah

berikut :

47

Maksimum Z1(x1, x2) = 3x1 + x2

dengan kendala

x2 ≤ 3

3x1 − x2 ≤ 6

x1, x2 ≥ 0

(3.20)

dan

Maksimum Z2(x1, x2) = −x1 − 2x2

dengan kendala

x2 ≤ 3

3x1 − x2 ≤ 6

x1, x2 ≥ 0

(3.21)

Lebih lanjut, menggunakan program WinQSB diperoleh solusi untuk Masalah

(3.20) adalah (x(1)−) = (3, 3), sedangakan solusi untuk Masalah (3.21) adalah

(x(2)−) = (0, 0). Berdasarkan solusi-solusi anti ideal untuk masing-masing

fungsi objektif tersebut diperoleh :

• U1′= Z1(x

(1)−) = 12⇔ U1′= U1.

• U2′= Z2(x

(2)−) = 0⇔ U2′= U2.

Setelah mendapatkan nilai U1, U2, L1, dan L2, selanjutnya diambil x =

(x1, x2) ∈ X kita dapat membentuk pemetaan evaluasi marjinal untuk fungsi ob-

jektif Z1 dan Z2 dapat didefinisikan sebagai :

• Untuk fungsi objektif Z1 diperoleh

φX(Z1(x)) =

1 , jika Z1(x) ≤ L1

Z1(x)−U1

L1−U1, jika L1 < Z1(x) < U1

0 , jika Z1(x) ≥ U1

48

=

1 , jika Z1(x) ≤ 0

3x1+x2−120−12 , jika 0 < Z1(x) < 12

0 , jika Z1(x) ≥ 12

.

=

1 , jika Z1(x) ≤ 0

3x1+x2−12−12 , jika 0 < Z1(x) < 12

0 , jika Z1(x) ≥ 12

.

=

1 , jika Z1(x) ≤ 0

−3x1−x2+1212

, jika 0 < Z1(x) < 12

0 , jika Z1(x) ≥ 12

.

• Untuk fungsi objektif Z2 diperoleh

φX(Z2(x)) =

1 , jika Z2(x) ≤ L1

Z2(x)−U2

L2−U2, jika L2 < Z2(x) < U2

0 , jika Z2(x) ≥ U2

=

1 , jika Z2(x) ≤ −9

−x1−2x2−0−9−0 , jika −9 < Z2(x) < 0

0 , jika Z2(x) ≥ 0

.

=

1 , jika Z2(x) ≤ −9

−x1−2x2−9 , jika −9 < Z2(x) < 0

0 , jika Z2(x) ≥ 0

.

=

1 , jika Z2(x) ≤ −9

x1+2x29

, jika −9 < Z1(x) < 0

0 , jika Z2(x) ≥ 0

.

Langkah selanjutnya adalah mencari pemetaan evaluasi global subjektif un-

tuk Contoh 2.3.4, dengan menggunakan evaluasi marjinal untuk setiap fungsi objek-

tif yaitu φX(Z1(x)) dan φX(Z2(x)) yang telah didapat. Misalkan diambil sebarang

bobot w = (w1, w2), maka

49

1. Untuk α = 1, diperoleh

µ(x) = Φ(1)w (φX(Z1(x)), φX(Z2(x)))

=2∑

k=1

wk(φX(Zk(x)))

= w1

(−3x1 − x2 + 12

12

)+ w2

(x1 + 2x2

9

)=

(−3w1

12+w2

9

)x1 +

(−w1

12+

2w2

9

)x2 + w1.

Jadi, untuk α = 1 diperoleh pemetaan evaluasi global subjektif untuk Contoh

(2.3.4) adalah

µ(x) =

(−3w1

12+w2

9

)x1 +

(−w1

12+

2w2

9

)x2 + w1. (3.22)

2. Untuk α = 2, diperoleh

µ(x) = Φ(2)w (φX(Z1(x)), φX(Z2(x)))

=

√√√√ 2∑k=1

wk(φX(Zk(x)))2

=

√w1

(−3x1 − x2 + 12

12

)2

+ w2

(x1 + 2x2

9

)2

Jadi, untuk α = 2 diperoleh pemetaan evaluasi global subjektif untuk Contoh

(2.3.4) adalah

µ(x) =

√w1

(−3x1 − x2 + 12

12

)2

+ w2

(x1 + 2x2

9

)2

. (3.23)

3. Untuk α→ −∞, diperoleh

µ(x) = Φ(−∞)(φX(Z1(x)), φX(Z2(x)))

= min1≤k≤2

{φX(Zk(x))}

= min

{(−3x1 − x2 + 12

12,x1 + 2x2

9

)}= λ.

(3.24)

50

Misalkan terdapat sembilan pengambil keputusan yang akan mengoptimalkan Con-

toh 2.3.4 dengan pertimbangan setiap pengambil keputusan dicerminkan dalam

tabel bobot berikut :

w1 w2 w1 w2

w(1) 0.1 0.9 w(6) 0.6 0.4

w(2) 0.2 0.8 w(7) 0.7 0.3

w(3) 0.3 0.7 w(8) 0.8 0.2

w(4) 0.4 0.6 w(9) 0.9 0.1

w(5) 0.5 0.5

Tabel 3.1 Tabel bobot(weight).

dengan w(n) , n = 1, 2, · · · , 9 menyatakan bobot pengambil keputusan ke-

n. Selanjutnya, akan disimulasikan cara mendapatkan evaluasi global subjektif dan

solusi optimal dari permasalahan 2.3.4 untuk bobot w(1) = (0.1; 0.9).

1. Evaluasi global subjektif untuk α = 1 dan w = w(1) adalah

µ(x) =

(−3(0.1)

12+

(0.9)

9

)x1 +

(−(0.1)

12+

2(0.9)

9

)x2 + 0.1

= 0.075x1 + 0.1917x2 + 0.1.(3.25)

2. Evaluasi global subjektif untuk α = 2 dan w = w(1) adalah

µ(x) =

√w1

(−3x1 − x2 + 12

12

)2

+ w2

(x1 + 2x2

9

)2

=√

0.1736x21 + 0.4861x1x2 − 0.5x1 + 0.4514x22 − 0.1667x2 + 0.1

(3.26)

Sedangkan untuk kasus α → −∞ pemetaan evaluasi global subjektif akan sama

untuk semua nilai w.

Langkah terakhir yang dilakukan adalah menggunakan pendekatan program

fuzzy untuk mendapatkan solusi optimal Contoh 2.3.4 yaitu dengan memaksimalkan

evaluasi global subjektif (3.25), (3.26), dan (3.24).

51

1. Formulasi untuk α = 1.

Maksimum µ(x) = 0.075x1 + 0.1917x2 + 0.1

dengan kendala

x2 ≤ 3

3x1 − x2 ≤ 6

x1, x2 ≥ 0.

(3.27)

Penyelesaian dilakukan dengan menggunakan program Maple 16. Jadi, solusi

optimal Masalah (3.27) adalah x1 = 3, x2 = 3 dengan nilai µ(x) = 0.90.

Oleh karena, Contoh (2.3.4) ekuivalen dengan Masalah (3.27) maka x1 =

3, x2 = 3 merupakan solusi optimal dari Masalah (2.3.4). Lebih lanjut, nilai

optimal untuk masing-masing fungsi objektif adalah :

• Z1(x) = 3x1 + x2 = 3(3) + 3 = 12

• Z2(x) = −x1 − 2x2 = −(3)− 2(3) = −9

Cara yang sama digunakan untuk mencari solusi optimal dan nilai optimal

dari Masalah (2.3.4) untuk bobot w(2), w(3), w(4), · · · w(9). Solusi optimal

dan nilai optimal untuk masing - masing bobot w ditunjukan dalam tabel hasil

optimal berikut :

52

Bobot w Solusi Optimal (x1, x2) Nilai Optimal (Z1(x), Z2(x))

w(1) (3, 3) (12, −9)

w(2) (3, 3) (12, −9)

w(3) (3, 3) (12, −9)

w(4) (0, 3) (0, −9)

w(5) (0, 3) (0, −9)

w(6) (0, 3) (0, −9)

w(7) (0, 3) (0, −9)

w(8) (0, 0) (0, 0)

w(9) (0, 0) (0, 0)

Tabel 3.2 Hasil optimal untuk setiap himpunan bobot w saat α = 1.

2. Formulasi untuk α = 2.

Maksimum µ(x) =√

0.1736x21 + 0.4861x1x2 − 0.5x1 + 0.4514x22 − 0.1667x2 + 0.1

dengan kendala

x2 ≤ 3

3x1 − x2 ≤ 6

x1, x2 ≥ 0.

(3.28)

Penyelesaian dilakukan dengan menggunakan program Maple 16 untuk masa-

lah program non-linear. Jadi, solusi optimal untuk permasalahan 3.28 adalah

x1 = 3, x2 = 3 dan µ(x) = 1. Oleh karena Contoh (2.3.4) ekuivalen dengan

Masalah (3.28) maka x1 = 3, x2 = 3 merupakan solusi optimal dari Con-

toh (2.3.4). Lebih lanjut, nilai optimal untuk masing-masing fungsi objektif

adalah sebagai berikut :

• Z1(x) = 3x1 + x2 = 3(3) + (3) = 12

• Z2(x) = −x1 − 2x2 = −3− 2(3) = −9

53

Cara yang sama digunakan untuk mencari solusi optimal dan nilai optimal

dari Contoh (2.3.4) untuk bobot w(2), w(3), w(4), · · · w(9). Solusi optimal

dan nilai optimal untuk masing - masing bobot w ditunjukan dalam tabel hasil

optimal berikut :

Bobot w Solusi Optimal (x1, x2) Nilai Optimal (Z1, Z2)

w(1) (3, 3) (12, −9)

w(2) (3, 3) (12, −9)

w(3) (0, 3) (0, −9)

w(4) (0, 3) (0, −9)

w(5) (0, 0) (0, 0)

w(6) (0, 0) (0, 0)

w(7) (0, 0) (0, 0)

w(8) (0, 0) (0, 0)

w(9) (0, 0) (0, 0)

Tabel 3.3 Hasil optimal untuk setiap himpunan bobot w saat α = 2.

3. Formulasi untuk α→ −∞.

Maksimum λ

dengan kendala

−3x1 − x2 + 12

12≥ λ

x1 + 2x29

≥ λ

x2 ≤ 3

3x1 − x2 ≤ 6

x1, x2 ≥ 0.

(3.29)

Penyelesaian dilakukan dengan menggunakan program Maple 16 untuk ma-

salah program linear. Jadi, solusi optimal untuk Masalah (3.29) adalah x1 =

0.2308, x2 = 3 dan λ = 0.6923. Oleh karena, Contoh (2.3.4) ekuivalen

54

dengan Masalah (3.29) maka x1 = 0.2308, x2 = 3 merupakan solusi optimal

dari Contoh (2.3.4). Lebih lanjut, nilai optimal untuk masing-masing fungsi

objektif adalah sebagai berikut :

• Z1(x) = 3x1 + x2 = 3(0.2308) + 3 = 3.6923

• Z2(x) = −x1 − 2x2 = −0.2308− 2(3) = −6.2308

Pada bab II telah diperoleh solusi optimal Pareto dari Contoh 2.3.4 adalah ruas garis

yang menghubungkan titik (0, 0) dan (0, 3) serta ruas garis yang menghubungkan

titik (0, 3) dan (3, 3). Jika solusi optimal Pareto yang diperoleh menggunakan pen-

dekatan program fuzzy digambarkan pada solusi optimal Pareto yang diperoleh pa-

da bab II maka diperoleh

Gambar 3.1 Solusi Optimal Pareto

BAB IV

MASALAH TRANSPORTASI MULTI OBJEKTIF

Bab ini membahas mengenai penggunaan pendekatan program fuzzy untuk

memperoleh solusi optimal dari masalah transportasi multi objektif. Masalah trans-

portasi multi objektif merupakan salah satu bentuk khusus dari masalah program

linear multi objektif. Oleh karena itu, solusi optimal dari masalah transportasi multi

objektif bisa diperoleh dengan menggunakan pendekatan program fuzzy.

4.1. Model Masalah Transportasi Multi Objektif

Bentuk umum model transportasi multi objektif adalah sebagai berikut :

Minimum Zk({xij}) =m∑i=1

n∑j=1

c(k)ij xij, k = 1, 2, · · · , K,

dengan kendalam∑i=1

xij = bj,∀j = 1, 2, · · · , n,

n∑j=1

xij = ai,∀i = 1, 2, · · · ,m,

xij ≥ 0,∀i, j.

(4.1)

dengan :

ai menyatakan jumlah persediaan yang tersedia pada sumber ke-i (Si).

bj menyatakan jumlah permintaan pada tujuan ke-j (Dj).

c(k)ij menyatakan koefisien dari fungsi objektif k yang berhubungan de-

ngan pengiriman suatu unit barang dari sumber Si ke tujuan Dj .

xij menyatakan banyaknya barang yang dikirim dari sumber Si ke tujuan

Dj .

55

56

4.2. Pendekatan Program Fuzzy untuk Masalah Transportasi Multi Objektif

Masalah transportasi multi objektif merupakan bentuk khusus dari masalah

program linear multi objektif. Oleh karena itu, solusi optimal dari Masalah (4.1)

bisa diperoleh dengan pendekatan program fuzzy yang telah dijelaskan pada bab

sebelumnya. Untuk lebih jelasnya, langkah-langkah pendekatan program fuzzy

diberikan sebagai berikut :

Langkah 1. Membentuk masalah transportasi single objektif dengan cara meng-

ambil fungsi objektif Masalah (4.1) pada saat k yaituZk({xij}) dan mengabai-

kan fungsi objektif yang lain. Formulasi masalah transportasi single objektif

tersebut dapat ditulis sebagai,


n∑j=1

c(k)ij xij


xij = bj,∀j = 1, 2, · · · , n,

n∑j=1

xij = ai,∀i = 1, 2, · · · ,m,

xij ≥ 0,∀i = 1, 2, · · · ,m; j = 1, 2, · · · , n.

(4.2)

Langkah 2. Menyelesaikan masalah transportasi single objektif (4.2). Untuk seti-

ap k = 1, 2, . . . , K diperoleh solusi optimal x(k)∗ = {x(k)∗ij } ∈ X , dengan X

merupakan himpunan solusi fisibel untuk Masalah (4.1).

Langkah 3. Mencari nilai objektif dari masing-masing fungsi objektif untuk seti-

ap x(k)∗ = {x(k)∗ij } ∈ X, k = 1, 2, · · · , K.

Langkah 4. Menentukan nilai Uk dan Lk untuk setiap k fungsi objektif dengan

menggunakan hasil pada langkah 3. Nilai Uk dan Lk diperoleh dengan keten-

57

tuan

Uk = max1≤j≤K

{Zk(x(j)∗)}

Lk = Zk(x(k)∗) =

m∑i=1

n∑j=1

c(k)ij x

(k)∗ij , dengan (k = 1, 2, · · · , K).

Langkah 5. Mendefinisikan evaluasi marjinal φX(Zk({xij})) yang bersesuaian

dengan fungsi objektif Zk({xij}) yaitu

φX(Zk({xij})) =

1 , jika Zk({xij}) ≤ LkZk({xij})−Uk

Lk−Uk, jika Lk < Zk({xij}) < Uk

0 , jika Zk({xij}) ≥ Uk

.

Langkah 6. Menentukan bobot w = (w1, w2, · · · , wK) denganK∑k=1

wk = 1 dan

wk ∈ [0, 1].

Langkah 7. Menentukan evaluasi global subjektif (µ({xij})) untuk α = 1, α =

2, dan α → −∞. Teorema 4.2.1 berikut menjelaskan bentuk evaluasi global

subjektif masalah transportasi (4.1) untuk masing-masing nilai α.

Teorema 4.2.1 Diketahui himpunan bobot w = (w1, w2, · · · , wK), de-

nganK∑k=1

wk = 1 dan untuk setiap k = 1, 2, · · · , K , φX(Zk) merupakan

pemetaan evaluasi marjinal yang bersesuaian dengan fungsi objektif Zk.

Jika Φ(α)w merupakan operator agregasi weighted root-power mean, maka un-

tuk α = 1, α = 2, dan α→ −∞ didapat evaluasi global subjektif µ({xij})

sebagai berikut :

Kasus 1. Untuk α = 1 :

µ({xij}) =m∑i=1

n∑j=1

(K∑k=1

wkc(k)ij

Lk − Uk

)xij −

K∑k=1

wkUkLk − Uk

. (4.3)

58

Kasus 2. Untuk α = 2 :

µ({xij}) =

√1

2yTHy + P Ty +R,

dengan

y =[x11 . . . x1n x21 . . . x2n . . . xm1 . . . xmn

]T,

H = 2K∑k=1

wk

(Lk − Uk)2CTk Ck,

P = −2K∑k=1

wkUk

(Lk − Uk)2CTk ,

R =K∑k=1

(wkUkLk − Uk

)2

, dan

Ck =[c(k)11 . . . c

(k)1n c

(k)21 . . . c

(k)2n . . . c

(k)m1 . . . c

(k)mn

].

(4.4)

Kasus 3. Untuk α→ −∞ :

µ({xij}) =K∧k=1

{Zk({xij})− Uk

Lk − Uk

}. (4.5)

dengan∧

= min merupakan operator meminimalkan.

Bukti. Diketahui bobot w = (w1, w2, · · · , wK), denganK∑k=1

wk = 1

dan φX(Zk) merupakan pemetaan evaluasi marjinal yang bersesuaian den-

gan fungsi objektif Zk untuk setiap k = 1, 2, · · · , K. Akan dibuktikan bahwa

evaluasi global subjektif untuk Masalah (4.1) dengan parameter α = 1, α =

2, dan α → −∞ dapat dinyatakan dalam bentuk (4.3), (4.4), dan (4.5).

Menurut Definisi 2.13,

Φ(α)w (φX(Z1({xij})), . . . , φX(ZK({xij}))) =

(K∑k=1

w(k)(φX(Zk({xij})))α) 1

α

.

59


µ({xij}) = Φ(1)w (φX(Z1({xij})), φX(Z2({xij})), . . . , φX(ZK({xij})))

=K∑k=1

wkφX(Zk({xij}))

=K∑k=1

wkZk({xij})− Uk

Lk − Uk

=K∑k=1

wk

m∑i=1

n∑j=1

c(k)ij xij − Uk

Lk − Uk

=m∑i=1

n∑j=1

(K∑k=1

wkc(k)ij

Lk − Uk

)xij −

K∑k=1

wkUkLk − Uk

.


µ({xij}) = Φ(2)w (φX(Z1({xij})), φX(Z2({xij})), . . . , φX(ZK({xij})))

=

(K∑k=1

wk(φX(Zk({xij})))2) 1

2

=

(K∑k=1

wk

(Zk({xij})− Uk

Lk − Uk

)2) 1

2

.

Akan dibuktikan bahwa

K∑k=1

wk

(Zk({xij})− Uk

Lk − Uk

)2

=1

2yTHy + P Ty +R.

60

K∑k=1

wk

(Zk({xij})− Uk

Lk − Uk

)2

=K∑k=1

wk(Zk({xij})− Uk)2

(Lk − Uk)2

=w1

(L1 − U1)2 (Z1({xij})− U1)

2 + · · ·+ wK

(LK − UK)2(ZK({xij})− UK)2

=w1

(L1 − U1)2

((Z1({xij}))2 − 2Z1({xij})U1 + U2

1

)+ · · ·

+wK

(LK − UK)2((ZK({xij}))2 − 2ZK({xij})UK + U2

K

)=

K∑k=1

wk

(Lk − Uk)2(Zk({xij}))2 + (−2)

K∑k=1

wkUk

(Lk − Uk)2Zk({xij})

+K∑k=1

(Uk

Lk − Uk

)2

. (4.6)

Oleh karena Zk({xij}) =m∑i=1

n∑j=1

c(k)ij xij , maka Persamaan (4.6) ekuivalen

dengan

1.K∑k=1

wk

(Lk − Uk)2(Zk({xij}))2

=K∑k=1

wk

(Lk − Uk)2

(m∑i=1

n∑j=1

c(k)ij xij

)2

=K∑k=1

wk

(Lk − Uk)2

(m∑i=1

n∑j=1

c(k)ij xij

)(m∑i=1

n∑j=1

c(k)ij xij

)

=K∑k=1

wk

(Lk − Uk)2(c(k)11 Q+ · · ·+ c

(k)1nQ+ · · ·+ c

(k)m1Q+ · · ·+ c(k)mnQ

)(4.7)

dengan Q =m∑i=1

n∑j=1

c(k)ij xij.

Berdasarkan Persamaan (4.7) didapat dua kasus yaitu :

c(k)ij Q =

c(k)(ij)1

c(k)(ij)2

x(ij)1x(ij)2 =(c(k)ij

)2(xij)

2 , jika (ij)1 = (ij)2.

c(k)(ij)1

c(k)(ij)2

x(ij)1x(ij)2 , jika (ij)1 6= (ij)2..

61

Akibatnya, diperoleh

K∑k=1

wk

(Lk − Uk)2(c(k)11 Q+ · · ·+ c

(k)1nQ+ · · ·+ c

(k)m1Q+ · · ·+ c(k)mnQ

)=

K∑k=1

wk

(Lk − Uk)2

(m∑i=1

n∑j=1

(c(k)ij xij

)2+

m∑i=1

n∑j=1

(c(k)(ij)1

c(k)(ij)2

x(ij)1x(ij)2

))

=K∑k=1

wk

(Lk − Uk)2yTCT

k Cky

Jika dimisalkan Hk = CTk Ck, maka diperoleh :

K∑k=1

wk

(Lk − Uk)2yTCT

k Cky

=w1

(L1 − U1)2y

TH1y +w2

(L2 − U2)2y

TH2y + · · ·+ wK

(LK − UK)2yTHKy

= yTw1

(L1 − U1)2H1y + yT

w2

(L2 − U2)2H2y + · · ·+ yT

wK

(LK − UK)2HKy

=1

22 yT

(K∑k=1

wk

(Lk − Uk)2Hk

)y

=1

2yT

(2

K∑k=1

wk

(Lk − Uk)2Hk

)y

dengan mengambil H = 2K∑k=1

wk

(Lk − Uk)2Hk maka diperoleh

K∑k=1

wk

(Lk − Uk)2(Zk({xij}))2 =

1

2yT H y. (4.8)

2. (−2)K∑k=1

wkUk


= (−2)K∑k=1

wkUk

(Lk − Uk)2

(m∑i=1

n∑j=1

c(k)ij xij

)

= (−2)K∑k=1

wkUk

(Lk − Uk)2(c

(k)11 x11 + · · ·+ c

(k)1n x1n + c

(k)21 x21 + · · ·+ c

(k)2n x2n

+ · · · c(k)m1xm1 + · · ·+ c(k)mnxmn)

62

= (−2)K∑k=1

wkUk

(Lk − Uk)2Ck y

= P T y. (4.9)

dengan :

P = (−2)K∑k=1

wkUk

(Lk − Uk)2CTk

Ck =[c(k)11 . . . c

(k)1n c

(k)21 . . . c

(k)2n . . . c

(k)m1 . . . c

(k)mn

]dan

y =[x11 . . . x1n x21 . . . x2n . . . xm1 . . . xmn

]T.

Jika Persamaan (4.8) dan (4.9) disubtitusikan ke Persamaan (4.6) maka diper-

olehK∑k=1

wk

(Zk({xij})− Uk

Lk − Uk

)2

=K∑k=1

wk

(Lk − Uk)2(Zk({xij}))2 + (−2)

K∑k=1

wkUk


+K∑k=1

(Uk

Lk − Uk

)2

=1

2yT H y + P T y +R,

dengan R =K∑k=1

(Uk

Lk − Uk

)2

.

Kasus 3. Untuk α→ −∞ dan w1 = w2 = · · · = wK = 1K

diperoleh

µ({xij}) = Φ(−∞)(φX(Z1({xij})), φX(Z2({xij})), . . . , φX(ZK({xij})))

= min {(φX(Z1({xij})), φX(Z2({xij})), . . . , φX(ZK({xij})))}

=K∧k=1

{Zk({xij})− Uk

Lk − Uk

},

dengan∧

= min merupakan operator meminimalkan.

�

63

Langkah 8. Memformulasikan pendekatan program fuzzy berikut.

Berdasarkan Persamaan (4.3) diperoleh formulasi pendekatan program fuzzy

berikut :

Maksimum µ({xij}) =m∑i=1

n∑j=1

(K∑k=1

wkc(k)ij

Lk − Uk

)xij −

K∑k=1

wkUkLk − Uk


xij = bj,∀j = 1, 2, · · · , n,

n∑j=1

xij = ai,∀i = 1, 2, · · · ,m,

xij ≥ 0,∀i, j.

(4.10)


berikut :

Maksimum µ({xij}) =

√1

2yTHy + P Ty +R


xij = bj,∀j = 1, 2, · · · , n,

n∑j=1

xij = ai,∀i = 1, 2, · · · ,m,

xij ≥ 0,∀i, j.

(4.11)


64

berikut :

Maksimum λ

dengan kendala

Zk({xij})− UkLk − Uk

≥ λ , untuk k = 1, 2, · · · , Km∑i=1

xij = bj,∀j = 1, 2, · · · , n,

n∑j=1

xij = ai,∀i = 1, 2, · · · ,m,

xij ≥ 0,∀i, j.

(4.12)

Setelah itu, solusi optimal didapatkan dengan menyelesaikan Masalah (4.10),

(4.11), dan (4.12). Ketiga permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan

menggunakan program Maple 16. Masalah (4.10) dan (4.12) diselesaikan

dengan toolbox : Optimization, LPSolve. Sedangkan, Masalah (4.11) dapat

diselesaikan dengan toolbox : Optimization, QPSolve.

Pada algoritma di atas, langkah 1, langkah 2, langkah 3, dan langkah 4 dapat diganti

dengan langkah 1′, langkah 2′, langkah 3′, dan langkah 4′ sebagai berikut :

Langkah 1′. Membentuk masalah transportasi single objektif yang meminimalkan

fungsi objektifnya dan yang memaksimalkan fungsi objektifnya. Fungsi ob-

jektif masalah transportasi single objektif didapat dengan cara mengambil

fungsi objektif Masalah (4.1) pada saat k yaitu Zk({xij}) dan mengabaikan

fungsi objektif yang lain.

65


n∑j=1

c(k)ij xij


xij = bj,∀j = 1, 2, · · · , n,

n∑j=1

xij = ai,∀i = 1, 2, · · · ,m,

xij ≥ 0,∀i = 1, 2, · · · ,m; j = 1, 2, · · · , n.

(4.13)

Maksimum Zk({xij}) =m∑i=1

n∑j=1

c(k)ij xij


xij = bj,∀j = 1, 2, · · · , n,

n∑j=1

xij = ai,∀i = 1, 2, · · · ,m,

xij ≥ 0,∀i = 1, 2, · · · ,m; j = 1, 2, · · · , n.

(4.14)

Langkah 2′. Menyelesaikan Masalah (4.13) untuk memperoleh solusi optimal atau

solusi ideal x(k)∗ = {x(k)∗ij } dan menyelesaikan Masalah (4.14) untuk mem-

peroleh solusi anti ideal x(k)− = {x(k)−ij }.

Langkah 3′. Menghitung nilai optimal untuk masing-masing solusi yang diperoleh

pada langkah 2′.

Langkah 4′. Menentukan nilai Uk dan Lk untuk setiap k fungsi objektif dari hasil

yang diperoleh pada langkah 3′ dengan ketentuan :

Uk = Zk({x(k)−ij }) =m∑i=1

n∑j=1

c(k)ij x

(k)−ij

Lk = Zk({x(k)∗ij }) =m∑i=1

n∑j=1

c(k)ij x

(k)∗ij , (k = 1, 2, · · · , K).

66

4.3. Contoh Permasalahan

Untuk lebih mudah memahami pembahasan, pada bagian ini akan diberikan

aplikasi permasalahan transportasi multi objektif yang akan diselesaikan menggu-

nakan pendekatan program fuzzy.

Diberikan masalah transportasi dalam tabel berikut :

Sumber/Tujuan D1 D2 D3 D4 D1 D2 D3 D4 PenawaranS1 1 2 7 7 4 4 3 3 8S2 1 9 3 4 5 8 9 10 9S3 8 9 4 6 6 2 5 1 17

Permintaan 11 3 14 16 11 3 14 16

Tabel 4.1 Tabel Penawaran, Permintaan, dan Biaya untuk Masalah Transportasi MultiObjektif

Akan dicari penyelesaian optimal dari masalah transportasi tersebut dengan meng-

gunakan pendekatan program fuzzy.

Penyelesaian :

Permasalahan di atas merupakan masalah transportasi multi objektif dengan tiga

sumber dan empat tujuan yang mengoptimalkan dua buah fungsi objektif. Jika

masalah dalam tabel disajikan dalam bentuk (4.1) maka diperoleh :

Minimum Z1({xij}) = x11 + 2x12 + 7x13 + 7x14 + x21 + 9x22 + 3x23

+ 4x24 + 8x31 + 9x32 + 4x33 + 6x34

Minimum Z2({xij}) = 4x11 + 4x12 + 3x13 + 3x14 + 5x21 + 8x22 + 9x23

+ 10x24 + 6x31 + 2x32 + 5x33 + x34

dengan kendala4∑j=1

x1j = 8,4∑j=1

x2j = 19,4∑j=1

x3j = 17,

3∑i=1

xi1 = 11,3∑i=1

xi2 = 3,3∑i=1

xi3 = 14,3∑i=1

xi4 = 16,

xij ≥ 0, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4.

(4.15)

67

Untuk menyelesaikan masalah transportasi (4.15) digunakan pendekatan program

fuzzy untuk masalah transportasi multi objektif.

Langkah 1. Dibentuk masalah transportasi single objektif berikut :

Untuk fungsi objektif Z1, diperoleh

Minimum Z1 = x11 + 2x12 + 7x13 + 7x14 + x21 + 9x22 + 3x23

+ 4x24 + 8x31 + 9x32 + 4x33 + 6x34.


x1j = 8,4∑j=1

x2j = 19,4∑j=1

x3j = 17,

3∑i=1

xi1 = 11,3∑i=1

xi2 = 3,3∑i=1

xi3 = 14,3∑i=1

xi4 = 16,

xij ≥ 0, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4.

(4.16)


Minimum Z2 = 4x11 + 4x12 + 3x13 + 3x14 + 5x21 + 8x22 + 9x23

+ 10x24 + 6x31 + 2x32 + 5x33 + x34.


x1j = 8,4∑j=1

x2j = 19,4∑j=1

x3j = 17,

3∑i=1

xi1 = 11,3∑i=1

xi2 = 3,3∑i=1

xi3 = 14,3∑i=1

xi4 = 16,

xij ≥ 0, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4.

(4.17)

Langkah 2. Mencari penyelesaian Masalah (4.16) dan (4.17) dengan menggu-

nakan program WinQSB, sehingga

68

• Solusi ideal untuk Masalah (4.16) adalah

x(1)∗ = {x(1)∗ij } , untuk setiap i = 1, 2, 3 dan j = 1, 2, 3, 4.

dengan

x(1)∗11 = 5, x

(1)∗12 = 3, x

(1)∗21 = 6,

x(1)∗24 = 13, x

(1)∗33 = 14, x

(1)∗34 = 3,

x(1)∗13 = x

(1)∗14 = x

(1)∗22 = x

(1)∗23 = x

(1)∗31 = x

(1)∗32 = 0.

• Solusi ideal untuk Masalah (4.17) adalah

x(2)∗ = {x(2)∗ij } , untuk setiap i = 1, 2, 3 dan j = 1, 2, 3, 4.

dengan

x(2)∗13 = 8, x

(2)∗21 = 11, x

(2)∗22 = 2,

x(2)∗23 = 6, x

(2)∗32 = 1, x

(2)∗34 = 16,

x(2)∗11 = x

(2)∗12 = x

(2)∗14 = x

(2)∗24 = x

(2)∗31 = x

(2)∗33 = 0.

Langkah 3. Untuk x(1)∗, x(2)∗ ∈ X diperoleh nilai objektif

Z1(x(1)∗) = x

(1)∗11 + 2x

(1)∗12 + 7x

(1)∗13 + 7x

(1)∗14 + x

(1)∗21 + 9x

(1)∗22 + 3x

(1)∗23

+ 4x(1)∗24 + 8x

(1)∗31 + 9x

(1)∗32 + 4x

(1)∗33 + 6x

(1)∗34

= 5 + 2(3) + 7(0) + 7(0) + 6 + 9(0) + 3(0) + 4(13) + 8(0)

+ 9(0) + 4(14) + 6(3)

= 5 + 6 + 0 + 0 + 6 + 0 + 0 + 52 + 0 + 0 + 56 + 18

= 143.

Z1(x(2)∗) = x

(2)∗11 + 2x

(2)∗12 + 7x

(2)∗13 + 7x

(2)∗14 + x

(2)∗21 + 9x

(2)∗22 + 3x

(2)∗23

+ 4x(2)∗24 + 8x

(2)∗31 + 9x

(2)∗32 + 4x

(2)∗33 + 6x

(2)∗34

= 0 + 2(0) + 7(8) + 7(0) + 1(11) + 9(2) + 3(6) + 4(0)

+ 8(0) + 4(0) + 6(16)

= 0 + 0 + 56 + 0 + 11 + 18 + 18 + 0 + 0 + 0 + 96

= 208.

69

Z2(x(1)∗) = 4x

(1)∗11 + 4x

(1)∗12 + 3x

(1)∗13 + 3x

(1)∗14 + 5x

(1)∗21 + 8x

(1)∗22 + 9x

(1)∗23

+ 10x(1)∗24 + 6x

(1)∗31 + 2x

(1)∗32 + 5x

(1)∗33 + x

(1)∗34

= 4(5) + 4(3) + 3(0) + 3(0) + 5(6) + 8(0) + 9(0) + 10(13)

+ 6(0) + 2(0) + 5(14) + 3

= 20 + 12 + 0 + 0 + 30 + 0 + 0 + 130 + 0 + 0 + 70 + 3

= 265.

Z2(x(2)∗) = 4x

(2)∗11 + 4x

(2)∗12 + 3x

(2)∗13 + 3x

(2)∗14 + 5x

(2)∗21 + 8x

(2)∗22 + 9x

(2)∗23

+ 10x(2)∗24 + 6x

(2)∗31 + 2x

(2)∗32 + 5x

(2)∗33 + x

(2)∗34

= 4(0) + 4(0) + 3(8) + 3(0) + 5(11) + 8(2) + 9(6) + 10(0)

+ 6(0) + 2(1) + 5(0) + 16

= 0 + 0 + 24 + 0 + 55 + 16 + 54 + 0 + 0 + 2 + 0 + 16

= 167.

Langkah 4. Menentukan nilai U1, U2, L1, dan L2 dengan ketentuan :

U1 = max{Z1(x(1)), Z1(x

(2))} = max{143, 208} = 208

L1 = Z1(x(1)∗) = 143.

dan

U2 = max{Z2(x(1)), Z2(x

(2))} = max{265, 167} = 265

L2 = Z2(x(2)∗) = 167.

Langkah 5. Mendefinisikan evaluasi marjinal φX(Zk({xij})) untuk k = 1, 2 de-

ngan menggunakan hasil yang telah diperoleh pada langkah 4.

• Untuk k = 1 diperoleh

φX(Z1({xij})) =

1 , jika Z1({xij}) ≤ L1

Z1({xij})−U1

L1−U1, jika L1 < Z1({xij}) < U1

0 , jika Z1({xij}) ≥ U1

.

70

=

1 , jika Z1({xij}) ≤ 143

Z1({xij})−208143−208 , jika 143 < Z1({xij}) < 208

0 , jika Z1({xij}) ≥ 208

.

=

1 , jika Z1({xij}) ≤ 143

Z1({xij})−208−65 , jika 143 < Z1({xij}) < 208

0 , jika Z1({xij}) ≥ 208

.

dengan

Z1({xij}) = x11 + 2x12 + 7x13 + 7x14 + x21 + 9x22 + 3x23

+ 4x24 + 8x31 + 9x32 + 4x33 + 6x34.

• Untuk k = 2 diperoleh

φX(Z2({xij})) =

1 , jika Z2({xij}) ≤ L2

Z2({xij})−U2

L2−U2, jika L2 < Z2({xij}) < U2

0 , jika Z2({xij}) ≥ U2

.

=

1 , jika Z2({xij}) ≤ 167

Z2({xij})−265167−265 , jika 167 < Z2({xij}) < 265

0 , jika Z2({xij}) ≥ 265

.

=

1 , jika Z2({xij}) ≤ 167

Z2({xij})−265−98 , jika 167 < Z2(x{xij}) < 265

0 , jika Z2({xij}) ≥ 265

.

dengan

Z2({xij}) = 4x11 + 4x12 + 3x13 + 3x14 + 5x21 + 8x22 + 9x23

+ 10x24 + 6x31 + 2x32 + 5x33 + x34.

Langkah 6. Menentukan nilai bobotw = (w1, w2). Misalkan terdapat 11 pengam-

bil keputusan dengan pertimbangan sebagai berikut

71

w1 w2 w1 w2

w(1) 0.0 1.0 w(7) 0.6 0.4

w(2) 0.1 0.9 w(8) 0.7 0.3

w(3) 0.2 0.8 w(9) 0.8 0.2

w(4) 0.3 0.7 w(10) 0.9 0.1

w(5) 0.4 0.6 w(11) 1.0 0.0

w(6) 0.5 0.5

Tabel 4.2 Tabel bobot(weight) untuk setiap pengambil keputusan.

Pada langkah 7 dan langkah 8 hanya akan disimulasikan untuk nilai bobot

w(2) = (0.1; 0.9).

Langkah 7. Mendefinisikan evaluasi global subjektif. Untuk parameter α = 1

diperoleh

µ({xij}) =m∑i=1

n∑j=1

(2∑

k=1

wkc(k)ij

Lk − Uk

)xij −

2∑k=1

wkUkLk − Uk

=m∑i=1

n∑j=1

(0.1c

(1)ij

L1 − U1

+0.9c

(2)ij

L2 − U2

)xij −

(0.1U1

L1 − U1

+0.9U2

L2 − U2

)

=m∑i=1

n∑j=1

(0.1c

(1)ij

143− 208+

0.9c(2)ij

167− 265

)xij −

(0.1(208)

143− 208+

0.9(265)

167− 265

)

=m∑i=1

n∑j=1

(−0.0015c

(1)ij − 0.0092c

(2)ij

)xij + 2.754

= (−0.0383)x11 + (−0.0398)x12 + (−0.0383)x13

+ (−0.0383)x14 + (−0.0475)x21 + (−0.0873)x22

+ (−0.0873)x23 + (−0.0980)x24 + (−0.0674)x31

+ (−0.0322)x32 + (−0.0521)x33 + (−0.0184)x34 + 2.754.

Selanjutnya, α = 2 diperoleh

µ({xij}) =

√1

2yTHy + P Ty +R

72

dengan :

y =[x11 x12 x13 x14 x21 x22 x23 x24 x31 x32 x33 x34

]TH = 2

(0.1

(−65)2CT

1 C1 +0.9

(−98)2CT

2 C2

)P = −2

(0.1(208)

(−65)2CT

1 +0.9(265)

(−98)2CT

2

)R = 0.1

(208

−65

)2

+ 0.9

(265

−98

)2

= 7.6049

C1 =[

1 2 7 7 1 9 3 4 8 9 4 6]

C2 =[

4 4 3 3 5 8 9 10 6 2 5 1].

Terakhir, untuk α→ −∞ diperoleh

µ({xij}) = min{Z1({xij})− 208

−65,Z2({xij})− 265

−98}.

Langkah 8. Formulasi pendekatan program fuzzy untuk masing-masing nilai α.

Formulasi pendekatan program fuzzy untuk α = 1 adalah

Maksimum µ({xij}) = (−0.0383)x11 + (−0.0398)x12 + (−0.0383)x13

+ (−0.0383)x14 + (−0.0475)x21 + (−0.0873)x22

+ (−0.0873)x23 + (−0.0980)x24 + (−0.0674)x31

+ (−0.0322)x32 + (−0.0521)x33 + (−0.0184)x34

+ 2.754


x1j = 8,4∑j=1

x2j = 19,4∑j=1

x3j = 17,

3∑i=1

xi1 = 11,3∑i=1

xi2 = 3,3∑i=1

xi3 = 14,3∑i=1

xi4 = 16,

xij ≥ 0, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4.

(4.18)

Penyelesaian Masalah (4.18) diperoleh dengan program Maple 16, sehingga

solusi optimal untuk Masalah (4.18) adalah x13 = 8, x21 = 11, x22 =

2, x23 = 6, x32 = 1, x34 = 16, x11 = x12 = x14 = x24 = x31 = x33 = 0.

73

Karena Masalah (4.15) ekuivalen dengan Masalah (4.18) maka x13 = 8, x21 =

11, x22 = 2, x23 = 6, x32 = 1, x34 = 16, x11 = x12 = x14 = x24 = x31 =

x33 = 0 merupakan solusi optimal dari Masalah (4.15). Kemudian, dihitung

nilai optimal untuk masing-masing fungsi objektif :

Z1({xij}) = x11 + 2x12 + 7x13 + 7x14 + x21 + 9x22 + 3x23 + 4x24

+ 8x31 + 9x32 + 4x33 + 6x34

= 0 + 2(0) + 7(8) + 7(0) + 11 + 9(2) + 3(6) + 8(0)

+ 9(1) + 4(0) + 6(16)

= 0 + 0 + 56 + 0 + 11 + 18 + 18 + 0 + 9 + 0 + 96

= 208.

Z2({xij}) = 4x11 + 4x12 + 3x13 + 3x14 + 5x21 + 8x22 + 9x23 + 10x24

+ 6x31 + 2x32 + 5x33 + x34

= 4(0) + 4(0) + 3(8) + 3(0) + 5(11) + 8(2) + 9(6) + 10(0)

+ 6(0) + 2(1) + 5(0) + 16

= 0 + 0 + 24 + 0 + 55 + 16 + 54 + 0 + 0 + 2 + 0 + 16

= 167.



√1

2yTHy + P Ty +R


x1j = 8,4∑j=1

x2j = 19,4∑j=1

x3j = 17,

3∑i=1

xi1 = 11,3∑i=1

xi2 = 3,3∑i=1

xi3 = 14,3∑i=1

xi4 = 16,

xij ≥ 0, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4.

(4.19)

74

dengan :

y =[x11 x12 x13 x14 x21 x22 x23 x24 x31 x32 x33 x34

]TH = 2

(0.1

(−65)2CT

1 C1 +0.9

(−98)2CT

2 C2

)P = −2

(0.1(208)

(−65)2CT

1 +0.9(265)

(−98)2CT

2

)R = 0.1

(208

−65

)2

+ 0.9

(265

−98

)2

= 7.6049

C1 =[

1 2 7 7 1 9 3 4 8 9 4 6]

C2 =[

4 4 3 3 5 8 9 10 6 2 5 1].

Penyelesaian Masalah (4.19) diperoleh dengan program Maple 16, sehingga

diperoleh solusi optimal untuk Masalah (4.19) adalah

x13 = 8, x21 = 11, x22 = 2, x23 = 6, x32 = 1 x34 = 16, x11 = x12 = 0,

x14 = x24 = x31 = x33 = 0.

Karena Masalah (4.15) ekuivalen dengan Masalah (4.19) maka x13 = 8, x21 =

11, x22 = 2, x23 = 6, x32 = 1, x34 = 16, x11 = x12 = x14 = x24 = x31 =

x33 = 0 merupakan solusi optimal dari Masalah (4.15). Kemudian, dihitung

nilai optimal untuk masing-masing fungsi objektif :

Z1({xij}) = x11 + 2x12 + 7x13 + 7x14 + x21 + 9x22 + 3x23 + 4x24

+ 8x31 + 9x32 + 4x33 + 6x34

= 0 + 2(0) + 7(8) + 7(0) + 11 + 9(2) + 3(6) + 8(0)

+ 9(1) + 4(0) + 6(16)

= 0 + 0 + 56 + 0 + 11 + 18 + 18 + 0 + 9 + 0 + 96

= 208.

75

Z2({xij}) = 4x11 + 4x12 + 3x13 + 3x14 + 5x21 + 8x22 + 9x23 + 10x24

+ 6x31 + 2x32 + 5x33 + x34

= 4(0) + 4(0) + 3(8) + 3(0) + 5(11) + 8(2) + 9(6) + 10(0)

+ 6(0) + 2(1) + 5(0) + 16

= 0 + 0 + 24 + 0 + 55 + 16 + 54 + 0 + 0 + 2 + 0 + 16

= 167.

Formulasi pendekatan program fuzzy untuk α→ −∞ adalah

Maksimum λ

dengan kendala

Z1({xij})− 208

−65≥ λ

Z2({xij})− 265

−98≥ λ

4∑j=1

x1j = 8,4∑j=1

x2j = 19,4∑j=1

x3j = 17,

3∑i=1

xi1 = 11,3∑i=1

xi2 = 3,3∑i=1

xi3 = 14,3∑i=1

xi4 = 16,

xij ≥ 0, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4,

(4.20)

dengan

Z1({xij})− 208

−65= − 1

65(x11 + 2x12 + 7x13 + 7x14 + x21 + 9x22 + 3x23

+ 4x24 + 8x31 + 9x32 + 4x33 + 6x34 − 208)

= −0.0153x11 − 0.0308x12 − 0.1077x13 − 0.1077x14

− 0.0154x21 − 0.1385x22 − 0.0462x23 − 0.0615x24

− 0.1231x31 − 0.1385x32 − 0.0615x33 − 0.0923x34

+ 3.2.

76

Z2({xij})− 265

−98= − 1

98(4x11 + 4x12 + 3x13 + 3x14 + 5x21 + 8x22 + 9x23

+ 10x24 + 6x31 + 2x32 + 5x33 + x34 − 265)

= −0.0408x11 − 0.0408x12 − 0.0306x13 − 0.0306x14

− 0.0510x21 − 0.0816x22 − 0.0918x23 − 0.1020x24

− 0.0612x31 − 0.0204x32 − 0.0510x33 − 0.0102x34

+ 2.7041

Penyelesaian Masalah (4.20) diperoleh dengan menggunakan program Maple

16, sehingga solusi optimal untuk Masalah (4.20) adalah λ = 0, 7252 dan

x11 = 3.7852, x12 = 3, x13 = 1.2148, x21 = 7.2148, x23 = 11.7852, x33 =

1, x34 = 16, x14 = x22 = x24 = x31 = x32 = 0.

Karena Masalah (4.15) ekuivalen dengan Masalah (4.19) maka x11 = 3.7852,

x12 = 3, x13 = 1.2148, x21 = 7.2148, x23 = 11.7852, x33 = 1, x34 =

16, x14 = x22 = x24 = x31 = x32 = 0 merupakan solusi optimal dari

Masalah (4.15). Kemudian, dihitung nilai optimal untuk masing-masing fungsi

objektif :

Z1({xij}) = x11 + 2x12 + 7x13 + 7x14 + x21 + 9x22 + 3x23 + 4x24

+ 8x31 + 9x32 + 4x33 + 6x34

= 3.7852 + 2(3) + 7(1.2148) + 7(0) + 7.2148 + 9(0)

+ 3(11.7852) + 4(0) + 8(0) + 9(0) + 4(1) + 6(16)

= 160.86.

Z2({xij}) = 4x11 + 4x12 + 3x13 + 3x14 + 5x21 + 8x22 + 9x23 + 10x24

+ 6x31 + 2x32 + 5x33 + x34

= 4(3.7852) + 4(3) + 3(1.2148) + 3(0) + 5(7.2148) + 8(0)

+ 9(11.7852) + 10(0) + 6(0) + 2(0) + 5(1) + 1(16)

= 193.93.

77

Jika untuk setiap bobot w yang telah ditentukan pada langkah 6 dicari solusi opti-

malnya, maka diperoleh nilai optimal untuk masing-masing nilai bobot ditunjukkan

dalam tabel berikut :

Bobot (w) Nilai optimal (Z1, Z2)

α = 1 α = 2 α→ −∞

w(1) (208,167) (208,167)

w(2) (208,167) (208,167)

w(3) (186,171) (186,171)

w(4) (176,175) (176,175)

w(5) (176,175) (176,175)

w(6) (156,200) (156,200) (160.86,193.93)

w(7) (156,200) (156,200)

w(8) (156,200) (156,200)

w(9) (143,265) (143,265)

w(10) (143,265) (143,265)

w(11) (143,265) (143,265)

Tabel 4.3 Tabel nilai optimal untuk Masalah (4.15) dengan U1 = 208 dan U2 = 265.

Pada tabel 4.3 dapat dilihat bahwa nilai optimal dari Masalah (4.15) untuk

masing-masing pengambil keputusan selalu berada diantara batas atas dan batas

bawahnya. Selanjutnya, akan dilihat solusi optimal Masalah (4.15) dengan meng-

gunakan langkah 1′, 2′, 3′, dan 4′ berikut :

Langkah 1′. Dibentuk masalah single objektif berikut :

78

Untuk fungsi objektif Z1, diperoleh :

Minimum Z1 = x11 + 2x12 + 7x13 + 7x14 + x21 + 9x22 + 3x23

+ 4x24 + 8x31 + 9x32 + 4x33 + 6x34.


x1j = 8,4∑j=1

x2j = 19,4∑j=1

x3j = 17,

3∑i=1

xi1 = 11,3∑i=1

xi2 = 3,3∑i=1

xi3 = 14,3∑i=1

xi4 = 16,

xij ≥ 0, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4.

(4.21)

Maksimum Z1 = x11 + 2x12 + 7x13 + 7x14 + x21 + 9x22 + 3x23

+ 4x24 + 8x31 + 9x32 + 4x33 + 6x34.


x1j = 8,4∑j=1

x2j = 19,4∑j=1

x3j = 17,

3∑i=1

xi1 = 11,3∑i=1

xi2 = 3,3∑i=1

xi3 = 14,3∑i=1

xi4 = 16,

xij ≥ 0, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4.

(4.22)


Minimum Z2 = 4x11 + 4x12 + 3x13 + 3x14 + 5x21 + 8x22 + 9x23

+ 10x24 + 6x31 + 2x32 + 5x33 + x34.


x1j = 8,4∑j=1

x2j = 19,4∑j=1

x3j = 17,

3∑i=1

xi1 = 11,3∑i=1

xi2 = 3,3∑i=1

xi3 = 14,3∑i=1

xi4 = 16,

xij ≥ 0, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4.

(4.23)

79

Maksimum Z2 = 4x11 + 4x12 + 3x13 + 3x14 + 5x21 + 8x22 + 9x23

+ 10x24 + 6x31 + 2x32 + 5x33 + x34.


x1j = 8,4∑j=1

x2j = 19,4∑j=1

x3j = 17,

3∑i=1

xi1 = 11,3∑i=1

xi2 = 3,3∑i=1

xi3 = 14,3∑i=1

xi4 = 16,

xij ≥ 0, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4.

(4.24)

Langkah 2′. Menyelesaikan Masalah (4.21), (4.22), (4.23), dan (4.24). Solusi dari

Masalah (4.21) dan (4.23) sudah didapatkan pada langkah 2, sehingga pada

langkah ini hanya akan dicari solusi anti ideal masalah (4.22) dan (4.24).

• Solusi anti ideal x(1)−

x(1)− = {x(1)−ij } , untuk setiap i = 1, 2, 3 dan j = 1, 2, 3, 4.

dengan

x(1)−13 = 8, x

(1)−22 = 3, x

(1)−23 = 6,

x(1)−24 = 10, x

(1)−31 = 11, x

(1)−34 = 6,

x(1)−11 = x

(1)−12 = x

(1)+14 = x

(1)−21 = x

(1)−32 = x

(1)−33 = 0.

• Solusi anti ideal x(2)−

x(2)− = {x(2)−ij } , untuk setiap i = 1, 2, 3 dan j = 1, 2, 3, 4.

dengan

x(2)−11 = 5, x

(2)−12 = 3, x

(2)−23 = 3,

x(2)−24 = 16, x

(2)−31 = 6, x

(2)−33 = 11,

x(2)−13 = x

(2)−14 = x

(2)−21 = x

(2)−22 = x

(2)−32 = x

(2)−34 = 0.

Langkah 3′. Menghitung nilai optimal masing-masing fungsi objektif dari solusi

yang diperoleh pada langkah 2′.

80

• Nilai optimal Z1 untuk solusi anti ideal x(1)−.

Z1(x(1)−) = x11 + 2x12 + 7x13 + 7x14 + x21 + 9x22 + 3x23 + 4x24

+ 8x31 + 9x32 + 4x33 + 6x34

= 1(0) + 2(0) + 7(8) + 7(0) + 1(0) + 9(3) + 3(6) + 4(10)

+ 8(11) + 9(0) + 4(0) + 6(6)

= 0 + 0 + 56 + 0 + 0 + 27 + 18 + 40 + 88 + 0 + 0 + 36

= 265.

• Nilai optimal Z2 untuk solusi anti ideal x(2)−.

Z2(x(2)−) = 4x11 + 4x12 + 3x13 + 3x14 + 5x21 + 8x22 + 9x23 + 10x24

+ 6x31 + 2x32 + 5x33 + x34

= 4(5) + 4(3) + 3(0) + 3(0) + 5(0) + 8(0) + 9(3) + 10(16)

+ 6(6) + 2(0) + 5(11) + 1(0)

= 20 + 12 + 0 + 0 + 0 + 0 + 27 + 160 + 36 + 0 + 55 + 0

= 310.

Langkah 4′. Menentukan nilai Uk dan Lk untuk k = 1, 2 dari hasil yang diperoleh

pada langkah 3′ dan langkah 3.

• U ′1 = Z1({x(1)−ij }) = 265.

L1 = Z1({x(1)∗ij }) = 143.

• U ′2 = Z2({x(1)−ij }) = 310.

L2 = Z2({x(2)∗ij }) = 167.

Langkah 5′. Nilai U ′1 6= U1 dan U ′2 6= U2, akibatnya diperoleh evaluasi marjinal

yang baru. Misalkan evaluasi marjinal yang baru adalah φ′X(Zk(xij)), se-

hingga diperoleh :

φ′

X(Z1({xij})) =

1 , jika Z1({xij}) ≤ 143

Z1({xij})−265143−265 , jika 143 < Z1({xij}) < 265

0 , jika Z1({xij}) ≥ 265

.

81

=

1 , jika Z1({xij}) ≤ 143

Z1({xij})−265−122 , jika 143 < Z1({xij}) < 265

0 , jika Z1({xij}) ≥ 265

.

dengan

Z1({xij}) = x11 + 2x12 + 7x13 + 7x14 + x21 + 9x22 + 3x23

+ x24 + 8x31 + 9x32 + 4x33 + 6x34.

φ′

X(Z2({xij})) =

1 , jika Z2({xij}) ≤ 167

Z2({xij})−310167−310 , jika 167 < Z2({xij}) < 310

0 , jika Z2({xij}) ≥ 310

.

=

1 , jika Z2({xij}) ≤ 167

Z2({xij})−310−143 , jika 167 < Z2({xij}) < 310

0 , jika Z2({xij}) ≥ 310

.

dengan

Z2({xij}) = 4x11 + 4x12 + 3x13 + 3x14 + 5x21 + 8x22 + 9x23

+ 10x24 + 6x31 + 2x32 + 5x33 + x34.

Langkah 6′. Untuk mencari solusi optimal digunakan bobot yang sama dengan

langkah 6. Pada langkah 7′ dan langkah 8′ hanya akan disimulasikan untuk

nilai bobot w(2) = (0.1, 0.9)

Langkah 7′. Menentukan evaluasi global subjektif untuk masing-masing nilai α.

82

Untuk α = 1, diperoleh :

µ ({xij}) =m∑i=1

n∑j=1

(2∑

k=1

wkc(k)ij

Lk − Uk

)xij −

2∑k=1

wkUkLk − Uk

=m∑i=1

n∑j=1

(w1c

(1)ij

L1 − U1

+w2c

(2)ij

L2 − U2

)xij −

(w1U1

L1 − U1

+w2U2

L2 − U2

)

=m∑i=1

n∑j=1

(0.1c

(1)ij

143− 265+

0.9c(2)ij

167− 310

)xij −

(0.1(265)

143− 265+

0.9(310)

167− 310

)

=m∑i=1

n∑j=1

(0.1c

(1)ij

−122+

0.9c(2)ij

−143

)xij −

(0.1(265)

−122+

0.9(310)

−143

)

=m∑i=1

n∑j=1

(0.1c

(1)ij

−122+

0.9c(2)ij

−143

)xij + 1.7338

= (−0.0260)x11 + (−0.0268)x12 + (−0.0246)x13 + (−0.0246)x14

+ (−0.0323)x21 + (−0.0577)x22 + (−0.0591)x23 + (−0.0662)x24

+ (−0.0443)x31 + (−0.0200)x32 + (−0.0347)x33 + (−0.0112)x34

+ 1.7338.

Kemudian untuk α = 2, diperoleh :

µ({xij}) =

√1

2yTHy + P Ty +R

dengan :

y =[x11 x12 x13 x14 x21 x22 x23 x24 x31 x32 x33 x34

]TH = 2

(0.1

(143− 265)2CT

1 C1 +0.9

(167− 310)2CT

2 C2

)= 2

(0.1

(−122)2CT

1 C1 +0.9

(−143)2CT

2 C2

)P = −2

(0.1(265)

(143− 265)2CT

1 +0.9(310)

(167− 310)2CT

2

)= −2

(0.1(265)

(−122)2CT

1 +0.9(310)

(−143)2CT

2

)R = 0.1

(265

143− 265

)2

+ 0.9

(310

167− 310

)2

= 4.7014

83

C1 =[

1 2 7 7 1 9 3 4 8 9 4 6]

C2 =[

4 4 3 3 5 8 9 10 6 2 5 1].

Terakhir, untuk α→ −∞, diperoleh evaluasi global Masalah (4.15) adalah

µ({xij}) = min{Z1({xij})− 265

−122,Z2({xij})− 310

−143}.

Langkah 8′. Formulasi pendektan program fuzzy untuk masing-masing nilai α.


Maksimum µ({xij}) = (−0.0260)x11 + (−0.0268)x12 + (−0.0246)x13

+ (−0.0246)x14 + (−0.0323)x21 + (−0.0577)x22

+ (−0.0591)x23 + (−0.0662)x24 + (−0.0443)x31

+ (−0.0200)x32 + (−0.0347)x33 + (−0.0112)x34 + 1.7338.


x1j = 8,4∑j=1

x2j = 19,4∑j=1

x3j = 17,

3∑i=1

xi1 = 11,3∑i=1

xi2 = 3,3∑i=1

xi3 = 14,3∑i=1

xi4 = 16,

xij ≥ 0, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4.

(4.25)

Kemudian, dicari solusi optimal dari Masalah (4.25) dengan menggunakan

toolbox Maple 16 untuk masalah program linear. Sehingga solusi optimal

untuk Masalah (4.25) adalah x13 = 8, x21 = 11, x22 = 2, x23 = 6, x32 =

1 x34 = 16, x11 = x12 = x14 = x24 = x31 = x33 = 0. Dapat dilihat bahwa

solusi optimal dari Masalah (4.25) sama dengan solusi optimal yang diperoleh

dari Masalah (4.18), sehingga didapat nilai optimal yang sama (Z1, Z2) =

(208, 167).

84



√1

2yTHy + P Ty +R


x1j = 8,4∑j=1

x2j = 19,4∑j=1

x3j = 17,

3∑i=1

xi1 = 11,3∑i=1

xi2 = 3,3∑i=1

xi3 = 14,3∑i=1

xi4 = 16,

xij ≥ 0, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4.

(4.26)

dengan :

y =[x11 x12 x13 x14 x21 x22 x23 x24 x31 x32 x33 x34

]TH = 2

(0.1

(−122)2CT

1 C1 +0.9

(−143)2CT

2 C2

)P = −2

(0.1(265)

(−122)2CT

1 +0.9(310)

(−143)2CT

2

)R = 4.7014

C1 =[

1 2 7 7 1 9 3 4 8 9 4 6]

C2 =[

4 4 3 3 5 8 9 10 6 2 5 1].


toolbox Maple 16 untuk masalah program non-linear kuadratik. Sehingga

solusi optimal untuk Masalah (4.26) adalah x13 = 8, x21 = 11, x22 =

2, x23 = 6, x32 = 1 x34 = 16, x11 = x12 = x14 = x24 = x31 = x33 = 0.

Dapat dilihat bahwa solusi optimal dari Masalah (4.25) sama dengan solusi

optimal yang diperoleh dari Masalah (4.19), sehingga didapat nilai optimal

yang sama (Z1, Z2) = (208, 167).

85

Formulasi pendekatan program fuzzy untuk α→ −∞ adalah

Maksimum λ

dengan kendala

Z1({xij})− 265

−122≥ λ

Z2({xij})− 310

−143≥ λ

4∑j=1

x1j = 8,4∑j=1

x2j = 19,4∑j=1

x3j = 17,

3∑1=1

xi1 = 11,3∑

1=1

xi2 = 3,3∑

1=1

xi3 = 14,3∑

1=1

xi4 = 16,

xij ≥ 0, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4,

(4.27)

dengan

Z1({xij})− 265

−122= − 1

122(x11 + 2x12 + 7x13 + 7x14 + x21 + 9x22 + 3x23

+ 4x24 + 8x31 + 9x32 + 4x33 + 6x34 − 265)

= −0.0082x11 − 0.0164x12 − 0.0574x13 − 0.0574x14

− 0.0082x21 − 0.0737x22 − 0.0246x23 − 0.0328x24

− 0.0656x31 − 0.0738x32 − 0.0328x33 − 0.0491x34

+ 2.1721.

Z2({xij})− 310

−143= − 1

143(4x11 + 4x12 + 3x13 + 3x14 + 5x21 + 8x22 + 9x23

+ 10x24 + 6x31 + 2x32 + 5x33 + x34 − 310)

= −0.0278x11 − 0.0278x12 − 0.0209x13 − 0.0209x14

− 0.0349x21 − 0.0559x22 − 0.0629x23 − 0.0699x24

− 0.0419x31 − 0.0399x32 − 0.0349x33 − 0.0069x34

+ 2.1678


toolbox Maple 16 untuk masalah program linear. Sehingga solusi optimal

untuk Masalah (4.27) adalah x11 = 3.1667, x12 = 3, x13 = 1.8333, x14 =

86

0, x21 = 7.8333, x22 = 0, x23 = 11.1667, x24 = 0 x31 = 0, x32 =

0, x33 = 1, x34 = 16. Karena Masalah (4.15) ekuivalen dengan Masalah

(4.27) maka x11 = 3.1667, x12 = 3, x13 = 1.8333, x14 = 0, x21 =

7.8333, x22 = 0, x23 = 11.1667, x24 = 0 x31 = 0, x32 = 0, x33 =

1, x34 = 16. merupakan solusi optimal dari Masalah (4.15). Kemudian,

dihitung nilai optimal untuk masing-masing fungsi objektif :

Z1({xij}) = x11 + 2x12 + 7x13 + 7x14 + x21 + 9x22 + 3x23 + 4x24

+ 8x31 + 9x32 + 4x33 + 6x34

= 3.1667 + 2(3) + 7(1.8333) + 7(0) + 7.8333 + 9(0)

+ 3(11.1667) + 4(0) + 8(0) + 9(0) + 4(1) + 6(16)

= 163.3333.

Z2({xij}) = 4x11 + 4x12 + 3x13 + 3x14 + 5x21 + 8x22 + 9x23 + 10x24

+ 6x31 + 2x32 + 5x33 + x34

= 4(3.1667) + 4(3) + 3(1.8333) + 3(0) + 5(7.8333) + 8(0)

+ 9(11.1667) + 10(0) + 6(0) + 2(0) + 5(1) + 1(16)

= 190.8333.

Jika untuk setiap bobot w yang telah ditentukan pada langkah 6′ dicari solusi opti-

malnya, maka diperoleh nilai optimal untuk masing-masing nilai bobot ditunjukkan

dalam tabel berikut :

87

Bobot (w) Nilai optimal (Z1, Z2)

α = 1 α = 2 α→ −∞

w(1) (208,167) (208,167)

w(2) (208,167) (208,167)

w(3) (186,171) (186,171)

w(4) (176,175) (176,175)

w(5) (176,175) (176,175)

w(6) (156,200) (156,200) (163.33,190.33)

w(7) (156,200) (156,200)

w(8) (156,200) (156,200)

w(9) (143,265) (143,265)

w(10) (143,265) (143,265)

w(11) (143,265) (143,265)

Tabel 4.4 Tabel nilai optimal untuk Masalah (4.15) dengan U1 = 265 dan U2 = 310.

Jadi, dari hasil pada tabel 4.3 dan tabel 4.4 dapat dilihat bahwa solusi op-

timal Pareto untuk parameter α = 1, 2 diperoleh hasil optimal yang sama untuk

setiap pengambil keputusan. Sedangkan, untuk α→ −∞ hasil optimal yang diper-

oleh berbeda. Akan tetapi perbedaanya tidak terlalu signifikan. Selain itu, untuk

parameter α = 1 dan α = 2 nilai optimal dari masing-masing pengambil kepu-

tusan ada yang berbeda sebab setiap pengambil keputusan memiliki pertimbangan

berbeda yang dapat dilihat dari bobot w(n), n ∈ N. Sedangkan, saat α → −∞ ni-

lai optimal untuk setiap pengambil keputusan sama sebab pertimbangan pengambil

keputusan tidak diperhitungkan.

BAB V

PENUTUP

Pada bab ini akan diberikan kesimpulan dan saran-saran yang dapat diambil

berdasarkan materi-materi yang telah dibahas pada bab-bab sebelumnya.

5.1. Kesimpulan

Kesimpulan yang dapat diambil penulis setelah menyelesaikan pembuatan

skripsi ini adalah :

1. Formulasi pendekatan program fuzzy yang dihasilkan mencakup beberapa

metode yaitu untuk α = 1 diperoleh metode weighted average, untuk α = 2

diperoleh metode program kuadratik, dan untuk α → −∞ diperoleh metode

max min.

2. Solusi yang diperoleh dari pendekatan program fuzzy merupakan solusi opti-

mal Pareto atau solusi tak terdominasi.

3. Solusi yang diperoleh dengan pendekatan program fuzzy hanya akan menuju

ke beberapa titik optimal.

4. Jika nilai Uk yang diperoleh dengan menggunakan cara pertama tidak sama

dengan Uk yang diperoleh dengan cara kedua maka nilai optimal fungsi ob-

jektif Zk akan kurang dari nilai Uk yang terkecil.

5.2. Saran

Setelah membahas dan menyelesaikan masalah transportasi multi objektif

dengan pendekatan program fuzzy, penulis ingin menyampaikan beberapa saran

yaitu kedepannya dapat dilakukan penelitian lebih lanjut mengenai :

88

89

1. Penggunaan program komputer yang lebih efisien untuk menyelesaiakan masalah

transportasi dalam skala besar, sehingga dapat diaplikasikan dalam masalah

nyata.

2. Masalah transportasi multi objektif yang memaksimumkan fungsi objektifnya.

Hal ini dikarenakan dalam kehidupan nyata masalah transportasi yang terjadi

tidak selalu memiliki bentuk masalah meminimumkan. Misalkan sebuah pe-

rusahaan ingin memaksimumkan jumlah barang yang diproduksi, atau memak-

simumkan keuntungannya, maka dalam kasus ini masalah transportasi yang

digunakan adalah masalah transportasi maksimum.

DAFTAR PUSTAKA

Aneja, Y.P. dan Nair, K.P.K., 1979, Bicriteria Transportation Problem, Manage-

ment Science, vol.25, pp.73-78.

Bartel, G.R. dan Sherbert, D.R., 2000, Introduction to Real Analysis, 3rd edition,

USA : John Wiley & Sons, Inc.

Bit, A.K., Biswal, M.P., Alam, S.S., 1992, Fuzzy Programming Approach to Multi-

criteria Decision Making Transportation Problem, Fuzzy Set and System, vol.50,

135141

Chon, I., 2012, Fuzzy Ideals Generated by Fuzzy Subsets in Semi Group, Korean

Math Society, no :3, pp.465-475.

Garcia-lapresta, J. L. dan Llamazares, B., 2000, Aggregation of Fuzzy Prefer-

ences:Some Rules of The Mean, Soc.Choice Welfare, vol.17, pp.673-690.

Kumar, S. dan Pandey,D., 2012, Fuzzy Programming Approach to Solve Multi-

objective Transportation Problem, Proceedings of the International Conference

on SocProS, AISC 130, pp. 525-533.

Lushu, Li dan K.K. Lai, 2000, A Fuzzy Approach to The Multi Objective Trans-

portation Problem, Elsevier Science, vol.27, pp.43-57.

Taha, A., Hamdy, 2008, Riset Operasi Jilid 1, Karisma, Jakarta.

Winston,W.L., 1993, Operations Research Applications and Algorithms, Third Edi-

tion, Duxbury Press, Inc., California.

Zadeh, L.A, 1965, Fuzzy Set, Information and Control, vol.8, pp.338-353.

90

LAMPIRAN A

PROGRAM KOMPUTER

Penyelesaian formulasi pendekatan program fuzzy (4.18)

91

92

Penyelesaian formulasi pendekatan program fuzzy (4.19).

93

94

Untuk himpunan bobot yang lain, kedua program di atas dapat digunakan

dengan cara mengganti nilai w1 dan w2. Selanjutnya, penyelesaian formulasi pen-

dekatan program fuzzy (4.20).

95

Documents

Skrip Si