Upload
andreea-pop
View
246
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 1/325
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 2/325
Universitatea BABES-BOLYAI
Departamentul de Inginerie ChimicaCluj-Napoca, ROM ANIA
Optimizarea Proceselor
Chimice
sem.8, 2015-2016
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 3/325
Optimizarea Proceselor Chimice
Cuprins
Introducere 9
Notiuni generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Etapele optimizarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Alegerea criteriului de optimizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Stabilirea restrictiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Aplicatii ın industria chimica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Modelarea matematica a proceselor 16
Modele matematice analitice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Modelul matematic al unui reactor prevazut cu agitator . . . . . . . . . . . 20
Modele matematice statistice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 20163/324
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 4/325
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 5/325
Optimizarea Proceselor Chimice
Functii obiectiv f ara restrictii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Functii obiectiv cu restrictii de tip egalitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Functii obiectiv cu restrictii de tip inegalitate . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Dimensionarea unui vas de stocare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Grosimea optima a izolatiei unei conducte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Metode numerice unidimensionale de optimizare . . . . . . . . . . . . 89
Caracteristici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Algoritm general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Functii unimodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Reducerea intervalului de cautare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Metoda Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Metoda perechilor secventiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 20165/324
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 6/325
Optimizarea Proceselor Chimice
Metoda seriei lui Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Metoda sectiunii de aur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Temperatura optima de reactie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Debitul optim de alimentare al unui reactor continuu . . . . . . . . . . . . . 124
Functii MATLAB utilizate ın optimizarea unidimensionala . . . . . . . . . . 135
Metode numerice multidimensionale de optimizare . . . . . . . . . . 136
Caracteristici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Algoritm general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Criteriile lui Himmelblau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Metode de gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Metoda gradientului cu pas constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Metoda gradientului cu pas optim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Metoda Pattern Search . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 20166/324
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 7/325
Optimizarea Proceselor Chimice
Metoda Rosenbrock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Metoda poliedrului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176Metoda poliedrului extensibil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Compozitia la echilibru a unui amestec gazos . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Functii MATLAB utilizate ın optimizarea multidimensionala . . . . . . . . . 212
Metode de programare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Programarea liniara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Determinarea cailor optime de aprovizionare . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Planul optim de productie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Functii MATLAB utilizate ın programarea liniara . . . . . . . . . . . . . . . 253
Programarea dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 20167/324
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 8/325
Optimizarea Proceselor Chimice
Optimizarea timpului de stationare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Algoritmi genetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
Exemplu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
Metode experimentale de optimizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
EVOP - Operarea Evolutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
Bibliografie 324
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 20168/324
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 9/325
Introducere
O i i P l Chi i I d
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 10/325
Optimizarea Proceselor Chimice: Introducere
A optimiza:
a identifica ˆ ıntr-o situatie de decizie (problem ˘ a)
aceea decizie (solutie) care dintr-un anumit punct de vedere dinainte stabilit (criteriu de optimizare),
este cea mai bun ˘ a decizie (solutie) dintre toate de-
ciziile (solutiile) posibile.
Problemele de optimizare pot fi definite ca probleme dedeterminare a celei mai mici sau a celei mai mari valoriale unei functii de una sau mai multe variabile.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201610/324
O ti i P l Chi i N ti i l
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 11/325
Optimizarea Proceselor Chimice: Notiuni generale
Notiuni specifice:
• criteriu de optimizare• variabila de decizie
• functie obiectiv (functie scop)• solutie optima
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201611/324
O ti i P l Chi i Et l ti i ˘ ii
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 12/325
Optimizarea Proceselor Chimice: Etapele optimizarii
Alegerea criteriului
de optimizare
Stabilirearestrictiilor
Alegerea varia-
bilelor de decizie
Obtinerea modelului
matematic
Testarea modelului
Stabilirea functieiobiectiv
Selectarea metodeide optimizare
Calcularea
solutiei optime
Aplicarea solutieioptime
Operatii efectuate cuajutorul calculatorului
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201612/324
O ti i P l Chi i Al it i l i d ti i
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 13/325
Optimizarea Proceselor Chimice: Alegerea criteriului de optimizare
Criterii de optimizare de natura economica:• beneficiul
• durata de recuperare a investitiei
• investitia totala
• costuri de productie
Criterii de optimizare de natura tehnica:• volumul reactorului
• conversia reactantului
• masa catalizatorului
• concentratia produsului
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201613/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Stabilirea restrictiilor
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 14/325
Optimizarea Proceselor Chimice: Stabilirea restrictiilor
Restrictii de natura fizica:• variabile non-negative: xi 0De exemplu: lungimi, grosimi, concentratii sunt exprimate prin valori non-negative.
Restrictii de natura tehnica ori tehnologica:
• variabile ıntre anumite limite: a xi b
De exemplu: temperatura de operare a unui reactor, lungimea tevilor unuischimbator de caldura.
• expresii de forma: g j(x1, x2, . . . xn) = 0
ori
gk (x1, x2, . . . xn) 0
De exemplu: natura procesului ori chiar cerintele impuse procesului pot lua
astfel de forme.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201614/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Aplicatii ın industria chimica
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 15/325
Optimizarea Proceselor Chimice: Aplicatii ın industria chimica
Proiectare
• alegerea solutiei tehnologice optime• dimensionarea optima a utilajelor si a fluxurilor
Exploatare• determinarea valorilor optime ale parametrilor de lucru
• aprovizionarea/valorificarea optima a materiilor
prime/produsilor
Conducere
• alegerea structurii optime a sistemului de conducere
• identificarea valorilor optime ale regulatoarelor
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201615/324
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 16/325
Modelarea matematica
a proceselor
Optimizarea Proceselor Chimice: Modelare matematica
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 17/325
Optimizarea Proceselor Chimice: Modelare matematica
Modele matematice
Rol: Permit identificarea legaturilor existente ıntre variabileleprocesului.
Forma: Ecuatii ori sisteme de ecuatii matematice.
Tipuri: Liniare si Neliniare
Stat ¸ionare si Dinamice Analitice si Statistice
Utilizare: Proiectare, Exploatare, Optimizare, Conducere procese si
instalatii.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201617/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Modele matematice analitice
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 18/325
Optimizarea Proceselor Chimice: Modele matematice analitice
Bazat pe:
◮ ecuatii de conservare:• masa totala/pe componente
• energie
• moment
◮ ecuatii ale proceselor chimice si fizice ce au loc ın sistem:
• cinetice• termodinamice
• legi ale proceselor fizice: - Fick (transfer de masa)
- Fourier (transfer termic)
- Stokes (sedimentare)
- Raoult (echilibre de faza), . . .UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201618/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Modele matematice analitice
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 19/325
Optimizarea Proceselor Chimice: Modele matematice analitice
Avantaje
◮ flexibilitate
◮ domeniul de valabilitate extins
Dezavantaje
◮ necesita o buna cunoastere a fenomenelor si proceselor
◮ personal cu pregatire speciala
◮ validare cu date experimentale
◮ rezulta modele complexe greu de utilizat
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201619/324
Exemple: Modelul matematic al unui reactor prevazut cu agitator
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 20/325
Exemple: Modelul matematic al unui reactor prevazut cu agitator
T R
V
FR
c A,0 , cB,0
FR
c A , cB , cC
Figura 1. Reactor.
Sa se scrie ecuatiile modelului matematic al
unui reactor operat continuu ın care are loc
reactia:
A + B −→ C
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201620/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Modele matematice statistice
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 21/325
Opt a ea ocese o C ce: Mode e ate at ce stat st ce
Bazat pe:◮ date experimentale
◮ instrumente matematice simple
Sistemmodelat
xn..
.x2x1
ym... y1
V a r i a b i l e
i n d e p e n
d e n t e
V a r i a b i l e
d e p e n d
e n t e
y j = f j(x1, x2, . . . , xn) pentru j = 1, m
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201621/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Modele matematice statistice
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 22/325
p
Avantaje◮ simple din punct de vedere matematic
◮ nu necesita cunostinte despre procese si fenomene
◮ nu necesita cunostinte speciale
Dezavantaje
◮ necesita un set extins de date experimentale
◮ nu pot fi extrapolate pe ale sisteme
◮ sunt valabile doar pe domeniul datelor experimentaleutilizate
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201622/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Analiza de regresie
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 23/325
p g
Etapele
analizei deregresie
Inventariereavariabilelor
Obtinerea datelorexperimentale
Testarea datelorexperimentale
Alegerea formeimodelului
Calcularea coeficientilormodelului
Testarea adecvanteimodelului
Testarea semnificatieicoeficientilor
M O D E L M A T E M A T I C
nu
corespunde
OK
nu
corespunde nu
corespunde
OK
nu
corespunde
OK
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201623/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Analiza de regresie
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 24/325
p g
Obtinerea datelor experimentale◮ experimente aleatoare
prin utilizarea datelor rezultate din urmarirea
curenta a procesului
◮ experimente programate
prin identificarea, pe baza unui anumit algo-
ritm, a acelor combinatii de valori ale variabi-
lelor independente prin care se pot obtine maxi-
mum de informatii cu un numar minim de ex-
perimente
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201624/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Analiza de regresie
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 25/325
p g
Experimentul factorial
Numarul de experimente: m = zn
Experimentul factorial la doua niveluri, n = 2.
Caracteristici:
• acoperirea ˆ ıntregului domeniu de variatie al variabilelor independente prin
alegerea pentru fiecare variabila a doua niveluri: inferior, xi,min si superior,
xi,max
• codificarea variabilelor prin valorile −1, 0 si 1 ın urma centrarii si normariifiecarei variabile conform expresiilor:
x0i =
xi,min + xi,max
2
pentru calcularea nivelului de baza al variabilei xi
∆xi = xi,max − xi,min
2 unitatea intervalului variabilei xi
X i =
xi
−x0
i
∆xi valorile codificate ale variabilei xi. X i ∈ {−1;0;1}UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201625/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Experiment factorial
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 26/325
Experiment factorial la doua niveluri: m = 2
n
• pentru n = 2 avem m = 22 = 4 experimente
X 1
X 2
0
(−1,+1) (+1,+1)
(−1,−1) (+1,−1)
Numarul Factori Variabilaexperimentului X 1 X 2 dependenta
1 +1 +1 Y 1
2 +1 −1 Y 2
3 −1 +1 Y 3
4
−1
−1 Y 4
Figura 2. Experiment factorial complet la 2 niveluri.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201626/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metode de planificare a experimentelor
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 27/325
Metodele de tip CCD (Central Composite Design)Utilizate pentru determinarea modelelor patratice.
Sunt trei tipuri de astfel de metode:
• metoda punctelor circumscrise - distribuirea unor puncte si ın afara do-
meniului [−1; +1] asigura o buna precizie pe ıntreg spatiul
factorilor.
• metoda punctelor ˆ ınscrise - o concentrare a punctelor ın interiorul dome-
niul [−1; +1] asigura o precizie mai buna ın spatiul centralal factorilor.
• metoda cu fete centrate - asigura o precizie buna atat ın spatiul central
cat si ın ıntreg spatiul factorilor.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201627/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metode de planificare a experimentelor
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 28/325
−1 0
1−1
0
1
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Metoda punctelor circumscrise
−1 0
1−1
0
1
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Metoda punctelor ınscrise
−1 0
1−1
0
1
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Metoda cu fete centrate
−1 0
1−1
0
1
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Metoda Box-Behnken
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201628/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Functii MATLAB
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 29/325
Functii MATLAB utilizate ın planificarea experimentelor
fullfact - planificare experiment factorial total
exemplu de apelare: fullfact([3 4])
ff2n - planificare experiment factorial la doua nivele
exemplu de apelare: ff2n(4)
hadamard - planificare experiment factorial partial
exemplu de apelare: hadamard(4)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201629/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Functii MATLAB
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 30/325
Functii MATLAB utilizate ın planificarea experimentelor
ccdesign - planificare experiment tip CCD
- metoda punctelor circumscrise:
exemplu de apelare: ccdesign(3, ’type’, ’circumscribed’)
- metoda punctelor ınscrise:
exemplu de apelare: ccdesign(3, ’type’, ’inscribed’)
- metoda cu fete centrate:
exemplu de apelare: ccdesign(3, ’type’, ’faced’)
bbdesign - planificare experimente prin metoda Box-Behnken
exemplu de apelare: bbdesign(3)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201630/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Analiza de regresie
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 31/325
Testarea datelor experimentale
Sursa erori:• imprecizia masuratorilor efectuate;
• aparitia unor fluctuatii ale parametrilor considerati constanti;
• influenta unor factori care nu au fost considerati;
• subiectivitatea observatorului.
Modalitati de testare:
• testul Cochran pentru testarea omogenitatii dispersiilor:
Gcalculat = σ 2max
m
∑ i=1
σ 2
i
Gtabelat(m, ν)
unde:
σ 2i =
k i
∑ j=1
(Y i, j − Y i)2
k i − 1
- dispersia, iar Y i =
k i
∑ j=1
Y i, j
k i- media unei populatii
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201631/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Analiza de regresie
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 32/325
Alegerea formei modelului
• functie polinomiala
O expresie de forma:
y(x) = c0 + c1x1 + c2x2 + . . . + ci xi + . . . + cnxn+
c11x21 + c12x1x2 + . . . + c1k x1xk + . . . + c1nx1xn+
c21x1x2 + c22x22 + . . . + c2k x2xk + . . . + c2nx2xn + . . .
care poate fi obtinuta si prin dezvoltare ın serie Taylor a unei functii y = f (x):
y(x) = y(x0) +n
∑ i=1
∂ y
∂ xi
x=x0
(xi − xi,0) +
+1
2
n
∑ i=1
n
∑ k =1
∂ 2 y
∂ xi∂ xk
x=x0
(xi − xi,0)(xk − xk ,0) + . . .
Obs.: Prin gruparea termenilor se obtine o forma polinomiala.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201632/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Analiza de regresie
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 33/325
• analiza dimensionala
Un proces descris printr-o relatie de forma: f (x1, x2, . . . , xi , . . . , xn) = 0
poate fi exprimata prin expresia (teorema π - Buckingham):
ϕ(π 1, π 2, . . . , π k , . . . , π m) = 0 cu m < n
unde: m
∏k =1
π αk k = c
Se poate obtine o dependenta de tipul:
y = c0
n−1
∏
i=1
xcii
care poate fi adusa la o forma liniara prin logaritmare:
log y = log c0 +n−1
∑ i=1
ci log xi
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201633/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Analiza de regresie
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 34/325
• reprezentare grafica - aplicabila ın cazul functiilor de o singura variabila
• utilizarea unor expresii ale unor unor legi ale fenomenului/procesului
modelat
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201634/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Analiza de regresie
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 35/325
Calcularea coeficientilor modelului
Metoda celor mai mici patrateBazat pe minimizarea abaterilor date-model utilizand expresia:
S =
m
∑ j=1(Y j − y j)
2
Pentru un model matematic de forma: y = c0 + c1x1 + . . . + cnxn =n
∑ i=0
ci xi obtinem:
S =m
∑ j=1
Y j − y j
2=
m
∑ j=1
Y j −
n
∑ i=0
ci xij
2
Identificarea coeficientilor ci(i = 0, . . . , n) poate avea loc prin minimizarea lui S:
minc
S =m
∑ j=1
Y j −
n
∑ i=0
ci xij
2
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201635/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Analiza de regresie
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 36/325
Solutia problemei este obtinuta prin anularea derivatelor partiale ale lui S functie de ci,
obtinandu-se sistemul de ecuatii:
∂ S
∂ c0= −2
m
∑ j=1
Y j −
n
∑ i=0
ci xij
x0i = 0
∂ S
∂ c1= −2
m
∑ j=1
Y j −
n
∑ i=0
ci xij
x1i = 0
...
∂ S
∂ cn= −2
m
∑ j=1
Y j −
n
∑ i=0
ci xij
xnj = 0
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201636/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Analiza de regresie
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 37/325
Reprezentand sistemul ın forma matriceala:
C
X T X
= X T Y
unde X este matricea marimilor independente, Y este vectorul marimii dependente iar
C este vectorul coeficientilor avand urmatoarele expresii:
X =
x01 x11 · · · xn1
x02 x12 · · · xn2
.
.....
x0m x1m · · · xnm
Y =
Y 1
Y 2...
Y m
C =
c0
c1
.
..
cn
solutia este:
C = X T
X −1
X T
Y
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201637/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Analiza de regresie
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 38/325
Calcularea coeficientilor modeluluiDate obtinute prin experimente factoriale completeCoeficientii pentru un model matematic de forma: y = c0 + c1x1 + . . . + cnxn se obtin
prin expresia:
ci =
m∑ j=1
X ijY j
m
∑ j=1
X 2ij
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201638/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Analiza de regresie
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 39/325
Testarea modelului
Testarea adecvantei modeluluiSe utilizeaza testul Fisher:
F = σ 2m
σ 2
y
Ftabelat(α, νm, ν y)
unde σ 2m este dispersia de adecvanta a modelului calculata cu relatia:
σ 2m =
N
∑
i=1 Y j
− y j
2
N − N c
iar σ 2 y este dispersia datelor experimentale care se calculeaza cu relatiile:
σ 2 y =
m∑ j=1
σ 2 j ν j
m
∑ j=1
ν j
σ 2 j =
k j∑
k =1
Y kj − Y j
2
ν jν j = k j − 1
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201639/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Analiza de regresie
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 40/325
Testarea modelului
Testarea semnificatiei coeficientilorSe pastreaza doar termenii ce contin coeficienti ce respecta conditia:
|c
i|∆c
unde ∆c este intervalul de ıncredere al coeficientilor dat de relatia:
∆c = ±t σ 2c
Dispersia coeficientilor σ 2c se calculeaza cu relatia:
σ 2c =σ 2 y
N
iar valoarea criteriului Student se alege din tabele sub forma t(α, ν) unde ν =m
∑ i=1
νi.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201640/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Functii MATLAB
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 41/325
Functii si operatori MATLAB utilizate ın analiza de regresie
operatori si functii de calcul matricial:
* - ınmultire matriciala
’ - transpusa unei matrici
inv - inversa unei matrici
exemplu de apelare: C = inv(X*X’)*X’*Y
mean - valoarea medie unde: x = 1n
n∑ i=1
xi
exemplu de apelare: mean(vector valori)
std - deviatia standard unde: σ =
1n−1
n
∑ i=1
(xi − x)2
exemplu de apelare: std(vector valori)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201641/324
Exemple: Transferul termic ıntr-un schimbator de caldura
ˆ
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 42/325
Nr. Re
Nu
exp. 1 2 3 4
1 50 33 32 33 -
2 250 57 56 56 -3 400 67 68 - -
4 600 77 78 77 77
5 800 85 86 87 -6 1000 92 91 92 -
7 1200 98 98 97 98
8 1400 103 102 103 1039 1600 108 107 108 108
10 2000 118 117 117 117
In scopul obtinerii unui model matema-
tic al transferului termic ıntr-un schim-
bator de caldura s-au efectuat o serie
de experimente (prezentate ın tabelul
alaturat).
Procesul de transfer termic poate fi de-scris de o ecuatie criteriala de forma:
a. Nu = a + b Re
b. Nu = a + b Re + c Re2
c. Nu = a Reb
Folosind datele experimentale disponi-
bile, sa se determine valorile coeficienti-
lor a, b si c.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201642/324
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 43/325
Metode de optimizare
Optimizarea Proceselor Chimice: Metode de optimizare
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 44/325
Criterii de alegerea a metodei de optimizare:• numarul de variabile de decizie;
• forma functiei obiectiv;
• forma si numarul restrictiilor.
Clasificare:• Metode analitice
• Metode numerice
• Metode de programare
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201644/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metode de optimizare
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 45/325
Metode analiticesau clasice de optimizare ce pot fi aplicate la func¸tii
obiectiv definite, continue si derivabile. Aceste metode
sunt greu ori imposibil de aplicat pe masura ce va-riabilele de decizie sunt supuse la restrictii de tip
egalitate ori inegalitate ori creste dimensionalitatea
problemei.Din acest motiv, metodele analitice se aplica doar
pentru rezolvarea problemelor simple de optimi-
zare cu numar mic de variabile de decizie.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201645/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metode de optimizare
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 46/325
Metode numerice
sau metode de c ˘ autare direct a sunt aplicabile pen-
tru probleme de optimizare cu functii obiectiv si
restrictii de forme complexe si cu numar mare de
variabile de decizei. Metodele din aceasta clasa se
bazeaza pe experimente numerice planificate prin
care se ınainteaza pas cu pas, prin ımbunatatiri
succesive a valorii functiei obiectiv, spre extremul
cautat.
Aceste metode se ımpart, ın functie de numarul de
variabile de decizie, ın:
• metode de eliminare si
• metode de urcare-coborare.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201646/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metode de optimizare
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 47/325
Metode de programaresunt metode ce se aplica ın situatia ın care functia
obiectiv si restrictiile prezinta anumite forme de re-
prezentare specifice. Principalele metode de pro-gramare sunt: programarea liniar˘ a, programarea dina-
mic˘ a, programarea p˘ atratic˘ a, etc. Astfel programarea
liniara se aplica ın situatia ın care functia obiectiv sirestrictiile sunt expresii liniare ın raport cu variabi-
lele de decizie.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201647/324
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 48/325
Metode analitice
de optimizare
Optimizarea Proceselor Chimice: Metode analitice
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 49/325
Caracteristici:
• solutia optima este identificata cu precizie;
• pot fi aplicate si la problemele cu restrictii;
• functia obiectiv trebuie sa fie continua si de mai multe oriderivabila, cu cel putin o parte dintre derivate continue.
Datorita acestor caracteristici, metodele analitice clasice de
optimizare sunt aplicabile doar la problemele cu un numar redusde variabile de decizie ın care expresiile functiei obiectiv si ale
restrictiilor sunt matematic simple.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201649/324
Metode analitice: Functii obiectiv fara restrictii
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 50/325
Functii obiectiv de o variabila de decizie
Fie f (x) o functie obiectiv unidimensionala continua si de mai multe ori derivabila pe
domeniul de cautare A x B. Aceasta functie are un minim ın punctul x = x∗ daca se
respecta inegalitatea:
f (x∗ + ∆x) − f (x∗) 0 (1)
pentru orice −ǫ ∆x ǫ. In acelasi mod, functia f (x) are un maxim ın punctul x = x∗
daca se respecta inegalitatea:
f (x∗ + ∆x) − f (x∗) 0 (2)
pentru orice ∆x din intervalul [−ǫ, ǫ].
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201650/324
Metode analitice: Functii obiectiv fara restrictii
Prin dezvoltarea functiei f (x) ın serie Taylor ın jurul presupusului punct de extrem x∗
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 51/325
Prin dezvoltarea functiei f (x) ın serie Taylor ın jurul presupusului punct de extrem x∗
se poate determina conditia necesara pentru ca functia sa prezinte un extrem:
f (x∗ + ∆x) − f (x∗) = ∆x ∂ f
∂ x
x=x∗+ ∆x2
2
∂ 2 f
∂ x2
x=x∗
+ . . . (3)
Daca punctul x∗ este un extrem atunci pe baza conditiilor prezentate ın ecuatiile (1) si
(2) este necesar ca termenul de ordinul ıntai din dezvoltarea ın serie Taylor, ecuatia (3),
sa nu ısi schimbe semnul indiferent de valoarea curenta a termenului ∆x. Acest lucru
este posibil daca: ∂ f
∂ x
x=x∗= 0 (4)
de unde rezulta si conditia necesara pentru ca un punct oarecare x sa fie un punct de
extrem, respectiv ca acel punct sa fie o radacina a derivata de ordinul ıntai a functieiobiectiv.
Punctele pentru care derivata de ordin ıntai este nula (optime locale si puncte de infle-
xiune) poarta denumirea de puncte stat ¸ionare (fig. 3).UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201651/324
Metode analitice: Functii obiectiv fara restrictii
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 52/325
x
f (x)
x∗
f (x∗)
∆x < 0 ∆x > 0
a
x
f (x)
x∗
f (x∗)
∆x < 0 ∆x > 0
b
x
f (x)
a
f (a)
∆x < 0 ∆x > 0
c
Figura 3. Tipuri de puncte stationare:
a - punct de maxim; b - punct de minim; c - punct de inflexiune.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201652/324
Metode analitice: Functii obiectiv fara restrictii
d l d d d d l b l
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 53/325
Presupunand ca suma termenilor de ordin mai mare decat doi este neglijabila ın raport
cu termenul de ordinu doi, conditia suficienta pentru ca x∗ sa fie un punct de extremeste:
• pentru minim: ∂ 2 f
∂ x2 x=x∗
> 0;
• pentru maxim: ∂ 2 f
∂ x2
x=x∗
< 0;
In situatia ın care derivata de ordinul doi este nula ın punctul x∗ atunci se examineaza
derivatele de ordin superior.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201653/324
Metode analitice: Functii obiectiv fara restrictii
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 54/325
Generalizare
Dac˘ a prima derivat˘ a nenul˘ a este de ordin par, punctul
stat ¸ionar considerat va fi minim local dac˘ a valoarea
derivatei respective ın acel punct este pozitiv˘ a si maxim
local dac˘ a este negativ˘ a; dac˘ a prima derivat˘ a nenul˘ a este
de ordin impar, punctul stat ¸ionar respectiv este un punct
de inflexiune.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201654/324
Metode analitice: Functii obiectiv fara restrictii
F tii bi ti d d ˘ i bil d d i i
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 55/325
Functii obiectiv de doua variabile de decizie
Fie o functie obiectiv f (x1, x2) de doua variabile independente, continua si multiplu de-
rivabila. Dezvoltarea ın serie Taylor a acestei functii ın jurul presupusului punct de
extrem (x∗1 , x∗
2 ) este:
f (x∗1 + ∆x1, x∗
2 +∆x2) − f (x∗1 , x∗
2 ) = ∆x1∂ f
∂ x1
x∗
1 ,x∗2
+∆x2∂ f
∂ x2
x∗
1 ,x∗2
+
+∆x2
12 ∂
2
f ∂ x21
x∗
1 ,x∗2
+∆x1∆x2 ∂
2
f ∂ x1∂ x2
x∗1 ,x∗
2
+ ∆x2
22 ∂
2
f ∂ x22
x∗
1 ,x∗2
+ . . .
(5)
In aceasta relatie s-a considerat ca intervalele ∆x1, ∆x2 sunt suficient de mici ıncat ter-
menii de ordin mai mare decat doi pot fi neglijabiti.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201655/324
Metode analitice: Functii obiectiv fara restrictii
C diti ˘ t t ∗ ∗ ˘ fi t t ti t ti l
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 56/325
Conditia necesara pentru ca un punct x∗1 , x∗
2 sa fie un punct stationar este ca respectivul
punct sa fie o solutie a sistemului:
∂ f
∂ x1= 0
∂ f ∂ x2
= 0
(6)
Pentru ca punctul stationar astfel identificat sa fie un maxim, este suficient, conform
celor expuse anterior, ca:
∆x21
2
∂ 2 f
∂ x21
x∗
1 ,x∗2
+∆x1∆x2∂ 2 f
∂ x1∂ x2
x∗
1 ,x∗2
+ ∆x2
2
2
∂ 2 f
∂ x22
x∗
1 ,x∗2
< 0 (7)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201656/324
Metode analitice: Functii obiectiv fara restrictii
Pentru simplificarea scrierii se noteaza:
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 57/325
Pentru simplificarea scrierii se noteaza:
∂ 2 f
∂ x21
x=x∗= A,
∂ 2 f
∂ x1∂ x2
x=x∗= B,
∂ 2 f
∂ x22
x=x∗= C
Astfel, relatia (7) devine:
∆x21 A + 2∆x1∆x2B + ∆x2
2C < 0 (8)
Daca se da factor comun termenul A, se obtine:
A
∆x2
1 + 2∆x1∆x2B
A +∆x2
2C
A
< 0
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201657/324
Metode analitice: Functii obiectiv fara restrictii
B2
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 58/325
In interiorul parantezei prin adunarea si scaderea termenului ∆x2
2
B2
A2
se obtine un patrat
perfect:
A
∆x2
1 + 2∆x1∆x2B
A +∆x2
2B2
A2 +∆x2
2C
A −∆x2
2B2
A2
< 0
respectiv:
A
∆x1 + ∆x2
B
A
2
+ ∆x2
2
A2
A C − B2
< 0
Pentru ca termenii din paranteza dreapta sa-si pastreze semnul oricare ar fi ∆x1, ∆x2
simultan nenule este necesar ca:
AC − B2 > 0 (9)
ceilalti termeni fiind pozitivi. Pentru un maxim, conditia (9) este completata de conditia:
A < 0 (10)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201658/324
Metode analitice: Functii obiectiv fara restrictii
In mod similar pentru un minim avem:
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 59/325
In mod similar, pentru un minim avem:
∆x21
2
∂ 2 f
∂ x21
x∗1 ,x∗
2
+∆x1∆x2∂ 2 f
∂ x1∂ x2
x∗1 ,x∗
2
+ ∆x2
2
2
∂ 2 f
∂ x22
x∗1 ,x∗
2
> 0 (11)
astfel ıncat, efectuand aceleasi notatii, rezulta:
A
∆x1 + ∆x2
B
A
2
+ ∆x2
2
A2
A C − B2
> 0
Conditia suficienta pentru ca punctul x∗1 , x∗
2 sa fie un minim este:
AC − B2 > 0 si A > 0 (12)
Relatiile (9) si (10) respectiv (12) sunt cunoscute sub numele de criteriile lui Lagrange.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201659/324
Metode analitice: Functii obiectiv fara restrictii
Daca se scrie matricea hessiana al functiei f (x1 x2):
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 60/325
Daca se scrie matricea hessian a al functiei f (x1, x2):
H =
∂ 2 f
∂ 2x1
∂ 2 f
∂ x1∂ x2
∂ 2 f
∂ x1∂ x2
∂ 2 f
∂ 2x2
x∗1 ,x∗
2
se observa corespondenta expresiilor (9) si (10) respectiv (12) cu determinantii de ordinul
1 si 2 ai acestei matrice. Astfel daca se noteaza cu Di determinantul de ordinul i, o
formulare echivalenta a criteriilor lui Lagrange va fi:
• pentru un minim: D1 > 0 si D2 > 0
• pentru un maxim: D1 < 0 si D2 > 0
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201660/324
Metode analitice: Functii obiectiv fara restrictii
Functii obiectiv de n variabile de decizie
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 61/325
Functii obiectiv de n variabile de decizie
Pentru cazul unei functii obiectiv f (x1, x2, . . . , xn) de n variabile de decizie se procedeaza
ın acelasi mod. Dezvoltarea ın serie Taylor si metoda completarii patratelor conduce la
urmatoarele conditii:
• conditia necesara pentru ca un punct x∗1 , x∗1 , . . . , x∗n sa fie un punct stationar:
∂ f
∂ x1= 0
∂ f
∂ x2= 0
...∂ f
∂ xn= 0
(13)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201661/324
Metode analitice: Functii obiectiv fara restrictii
• un punct stationar este un minim local daca toti determinantii matricei he-
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 62/325
un punct stationar este un minim local daca toti determinantii matricei he
ssiene sunt pozitivi:Di > 0 pentru i = 1, 2, . . . n (14)
• un punct stationar este un maxim local daca determinantii de ordin impar ai
matricei hessiene sunt negativi, iar cei de ordin par sunt pozitivi:
Di < 0 pentru i = 1, 3, 5, . . .
Di > 0 pentru i = 2, 4, 6, . . .(15)
• daca nu sunt ındeplinite nici conditiile (14) si nici (15), punctul stationar stu-
diat este un punct de inflexiune.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201662/324
Metode analitice: Exemplu
Sa se rezolve urmatoarea problema de optimizare:
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 63/325
p p
minx
f ob = 4x21 + 2x2
2 + 4x1x2 + 2x2 + 1 (16)
RezolvarePentru identificarea punctelor stationare se anuleaza derivatele de ordinul ıntai:
∂ f ob
∂ x1= 8x1 + 4x2 = 0
∂ f ob
∂ x2= 4x2 + 4x1 + 2 = 0
(17)
Determinarea tipului de extrem se face prin analizarea valorilor derivatelor de ordinul
doi ın punctele stationare identificate astfel.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201663/324
Metode analitice: Functii obiectiv cu restrictii de tip egalitate
Pentru un sistem cu n variabile de decizie (x1, x2, . . . , xn) supus la l restrictii de tip ega-
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 64/325
( 1, 2, , n) p ¸ p g
litate, formularea generala a problemei de optimizare este:
optimx
f (x) , x ∈ En (18)
supus la: g j (x) = 0 j = 1, . . . l (19)
unde domeniul de cautare este spatiul euclidian n-dimensional (En), iar f (x) si g j(x) sunt
functii de orice forma.
Rezolvare:
◮ Metoda substitutiei
◮ Metoda multiplicatorilor lui Lagrange
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201664/324
Metode analitice: Functii obiectiv cu restrictii de tip egalitate
Metoda substitutiei
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 65/325
Metoda substitutiei
Fie functia obiectiv:
y = f ob(x1, x2) (20)
cu restrictia:
g(x1, x2) = 0 (21)
Daca din restrictia (21) explicitam una din variabile ın functie de cealalta, obtinem:
x2 = h(x1) (22)
Inlocuind variabila de decizie x2 din functia obiectiv (20) cu expresia lui din (22),
obtinem:
y = f ob (x1, h (x1)) (23)Problema obtinuta, relatia (23), este o problema echivalenta cu cea initiala, relatiile (20)
si (21), ın sensul ca prezinta aceeasi solutie.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201665/324
Metode analitice: Functii obiectiv cu restrictii de tip egalitate
In situatia ın care avem o functie obiectiv de n variabile de decizie:
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 66/325
y = f ob(x1, x2, . . . , xn) (24)
supusa la sistemul de restrictii:
gi(x1, x2, . . . , xn) = 0, i = 1, 2, . . . , m < n (25)
se exprima din cele m restrictii, m variabile de decizie din cele n ın functie de cele n − m
ramase, conform expresiilor:
x1 = h1(xm+1, xm+2, . . . , xn)
x2 = h2(xm+1, xm+2, . . . , xn)...
xm = hm(xm+1, xm+2, . . . , xn)
(26)
Prin substitutie rezulta functia obiectiv echivalenta nesupusa la restrictii de forma:
y = f ob(xm+1, xm+2, . . . , xn) (27)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201666/324
Metode analitice: Exemplu
Sa se rezolve urmatoarea problema de optimizare:
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 67/325
minx
f ob = 4x21 + 2x2
2 + 4x1x2 + 2x2 + 1 (28)
cu restrictia:
x1 + x2 = 0 (29)
RezolvareSe exprima variabila x1 ın functie de x2 din restrictia (29):
x1 = −x2
Inlocuim ın functia obiectiv, relatia (28), pe x1 cu aceasta expresie si obtinem:
f ob = 4 (−x2)2 + 2x22 + 4 (−x2) x2 + 2x2 + 1 =
= 2x22 + 2x2 + 1
Functia obiectiv obtinuta astfel nu este supusa la restrictii.UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201667/324
Metode analitice: Functii obiectiv cu restrictii de tip egalitate
Metoda multiplicatorilor lui Lagrange
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 68/325
p g g
Avand o functie obiectiv de doua variabile de decizie descrisa de expresia:
y = f ob(x1, x2) (30)
si supusa la restrictia: g(x1, x2) = 0 (31)
solutia poate fi un punct S de coordonate (x∗1 , x∗
2 ) din domeniul de cautare care verifica
ecuatia de restrictie, adica numai puncte de pe curba g(x1, x2) = 0.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201668/324
Metode analitice: Functii obiectiv cu restrictii de tip egalitate
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 69/325
x∗1
x∗2
f (x∗1 , x∗
2 )
S
x1
x2 g
( x
1 , x
2 )
y = f ( x 1
, x 2 )
Figura 4. Pozitia punctului de extrem conform expresiilor (30) si (31).
Observat ¸ie: Functia obiectiv este reprezentata prin curbe de contur.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201669/324
Metode analitice: Functii obiectiv cu restrictii de tip egalitate
Daca punctul S (fig. 4) este solutia problemei de optimizare descrisa prin relatiile (30)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 70/325
si (31), atunci curbele f (x1, x2) = f ∗ si g(x1, x2) = 0 sunt tangente ın punctul S, avandaceeasi panta.
Aceasta conditie poate fi redata prin expresia:
∂ y
∂ x1
∂ g
∂ x1
x∗
1 ,x∗2
=
∂ y
∂ x2
∂ g
∂ x2
x∗
1 ,x∗2
= λ (32)
unde λ este raportul de pante si se numeste multiplicatorul lui Lagrange.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201670/324
Metode analitice: Functii obiectiv cu restrictii de tip egalitate
Din (32) rezulta:∂ ∂
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 71/325
∂ y
∂ x1− λ
∂ g
∂ x1= 0
∂ y
∂ x2 −λ ∂ g
∂ x2
= 0
(33)
Ecuatiile (33) ımpreuna cu (31) pot fi interpretate drept conditiile necesare pentru valo-
rile extreme ale unei functii fara restrictii denumita funct ¸ia lui Lagrange:
L(x1, x2, λ) = y(x1, x2) − λ g(x1, x2) (34)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201671/324
Metode analitice: Functii obiectiv cu restrictii de tip egalitate
In situatia unei functii obiectiv de n variabile de decizie si cu m n restrictii de tip
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 72/325
egalitate se construieste funct ¸ia lui Lagrange ın felul urmator:
L(x1, x2, . . . , xn, λ1, . . . , λm) = f (x1, x2, . . . , xn)−
−λ1 g1(x1, x2, . . . , xn)−−λ2 g2(x1, x2, . . . , xn)−
...
−λm gm(x1, x2, . . . , xn)
(35)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201672/324
Metode analitice: Functii obiectiv cu restrictii de tip egalitate
Rezolvarea acestei probleme se face prin rezolvarea sistemului format din egalarea cu
zero a derivatelor partiale ale functiei L ın raport cu x1, x2, . . ., xn:
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 73/325
p ¸ ¸ p 1, 2, , n
∂ L
∂ x1= 0
∂ L
∂ x2
= 0
...∂ L
∂ xn= 0
(36)
precum si derivatele partiale ale functiei L ın raport cu λ1, . . . , λm:
∂ L
∂ λ1
= 0
...∂ L
∂ λm= 0
(37)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201673/324
Metode analitice: Exemplu
Sa se rezolve urmatoarea problema de optimizare:
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 74/325
minx f ob = 4x21 + 2x22 + 4x1x2 + 2x2 + 1 (38)
cu restrictia:x1 + x2 = 0 (39)
Rezolvare: Se formeaza functia obiectiv a lui Lagrange:
L(x1, x2, λ) = 4x21 + 2x2
2 + 4x1x2 + 2x2 + 1 − λ(x1 + x2)
Rezolvam urmatorul sistem de ecuatii:
∂ L
∂ x1= 8x1 + 4x2 − λ = 0
∂ L∂ x2
= 4x2 + 4x1 + 2 − λ = 0
∂ L
∂ λ = x1 + x2 = 0
(40)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201674/324
Metode analitice: Functii obiectiv cu restrictii de tip inegalitate
Pentru o functie obiectiv cu n variabile de decizie (x1, x2, . . . , xn) supusa la m restrictii
de tip inegalitate formularea generala a problemei de optimizare este:
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 75/325
de tip inegalitate, formularea generala a problemei de optimizare este:
optimx
f (x) , x ∈ En (41)
supus la: g j (x) 0 j = 1, . . . m (42)
unde domeniul de cautare este spatiul euclidian n-dimensional (En), iar f (x), si g j(x)
sunt functii de orice forma.Solutia problemei (optimul) se poate gasi fie ın interiorul domeniului admisibil, definit
prin relatiile (42), fie pe frontiera acestui domeniu. Pentru rezolvarea acestui tip de
probleme se prezinta doua modalitati de abordare.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201675/324
Metode analitice: Functii obiectiv cu restrictii de tip inegalitate
Metoda bazata pe ignorarea inegalitatilor
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 76/325
Abordarea identificarii solutiei are loc ın felul urmator:
1. se trateaza functia obiectiv ca o functie fara restrictii;
2. se verifica daca punctele stationare gasite astfel sunt ın interiorul
domeniului admis, respectiv daca verifica sistemul de restrictii;3. daca acest lucru este adev˘ arat, solutia problemei cu restrictiile inegalitate este
identica cu solutia problemei fara restrictii;
4. daca acest lucru este fals, optimul cautat se poate gasi pe frontiera impusa derestrictii. Identificarea solutiei ın acest caz are loc prin impunerea respectarii
la limita a inegalitatilor ce nu sunt satisf acute prin transformarea lor ın
restrictii egalitate. In acest caz rezolvarea problemei se reia de la primul
punct al algoritmului, incluzand ın calcul si restrictiile egalitate obtinuteastfel.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201676/324
Metode analitice: Exemplu
Sa se rezolve urmatoarea problema de optimizare:
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 77/325
minx f ob = 4x21 + 2x22 + 4x1x2 + 2x2 + 1 (43)
supusa la restrictiile:
x1 + x2 = 0
x1 + x2 − x1x2 1,5(44)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201677/324
Metode analitice: Functii obiectiv cu restrictii de tip inegalitate
Metoda bazata pe transformarea inegalitatilor
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 78/325
In acest caz ın fiecare restrictie de tip inegalitate se introduce o variabila fictiva, non-negativa prin care restrictia de tip inegalitate devine una de tip egalitate. Modificarile
efectuate asupra restrictiilor (42) sunt:
r j = g j (x) + x2n+ j = 0 j = 1, . . . m (45)
Pe acesta cale, problema este transformata dintr-o problema de optimizare cu restrictii
de tip inegalitate, ıntr-o problema de optimizare cu restrictii de tip egalitate.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201678/324
Metode analitice: Exemplu
Sa se rezolve urmatoarea problema de optimizare:
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 79/325
minx f ob = 4x21 + 2x22 + 4x1x2 + 2x2 + 1 (46)
supusa la restrictiile:
x1 + x2 0
x1 + 9 x2 − x1x2 0,5(47)
Rezolvare: Transformam restrictiile inegalitate ın restrictii de tip egalitate prin intro-
ducerea unor variabile fictive notate cu x3 si x4. Sistemul de restrictii (47) devine:
−x1 − x2 + x23 = 0
−x1
−9 x2 + x1x2 + x2
4 =
−0,5
(48)
Pe aceasta cale obtinem o problema echivalenta problemei initiale, ecuatiile (46) si (47),
ın care functia obiectiv este expresia (46) si restrictiile sunt expresiile (48).
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201679/324
Exemple: Dimensionarea unui vas de stocare
Sa se dimensioneze un vas de stocare de forma cilindrica cu fund si capac plan
avand volumul V R = 1000 m3.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 80/325
R
h
d
Figura 5. Vas de stocare.
Dimensionarea vasului se va executa
ın asa fel ıncat costul materialului uti-
lizat pentru confectionarea vasului sa
fie minim, dar cu respectarea conditieide montaj ca ınaltimea vasului sa nu
depaseasca hR 9 m.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201680/324
Exemple: Grosimea optima a izolatiei unei conducte
Abur Izolatie Aert, [˚C]Sa se stabileasca grosimea optima δ∗iz a
izolatiei termice din polistiren a unei con-
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 81/325
0
tabur
tmed
r
rc δiz
Figura 6. Transferul termic prin
izolatia unei conducte.
¸ p
ducte ce transporta abur saturat.
Sistemul are urmatoarele caracteristici:
• presiunea aburului, pabur = 5 bar;
• diametrul conductei, dc = 60 mm;
• lungimea traseului, L = 150 m;
Sistemul este ın functiune h = 8.000 ore
pe an putand fi amortizat ın 10 ani defunctionare.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201681/324
Exemple: Grosimea optima a izolatiei unei conducte
Rezolvare:Determinarea grosimii optime a izolatiei unei conducte reprezinta o problema
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 82/325
g p p p
de minimizare ce implica o functie obiectiv de forma:
minδiz
f ob = Ctotal = Cinvestitie + Coperare (49)
unde termenii reprezinta cheltuieli ın unitati valorice [u.v] iar δiz reprezinta
grosimea izolatiei, [m].
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201682/324
Exemple: Grosimea optima a izolatiei unei conducte
Cheltuielile de investitie, Ctotal, sunt date de cota anuala de amortizare a valorii
izolatiei:
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 83/325
Ctotal = V iz ρiz ciz ram (50)
unde: V iz este volumul izolatiei, [m3];
ρiz
- densitatea izolatiei, [kg/m3];
ciz - costul unitar al izolatiei (impreuna cu manopera de
montare), [u.v./kg];
ram - rata anuala a amortizarii izolatiei.
Pentru izolarea unei conducte, volumul izolatiei utilizate este data de expresia:
V iz = π L
(rc + δiz )2 − r2
c
= π Lδiz (δiz + 2rc) (51)
unde: L - lungimea conductei ce se izoleaza, [m];
rc - raza exterioara a conductei, [m].
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201683/324
Exemple: Grosimea optima a izolatiei unei conducte
Cheltuielile de operare, Coperare, sunt date de valoarea pierderilor de caldura
prin izolatie:
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 84/325
Coperare = Q cen h (52)
unde: Q este cantitatea de energie pierduta prin izolatie, [W];
cen
- costul energiei termice, [u.v./W];
h - numarul anual de ore de functionare al traseului izolat,
[h/an].
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201684/324
Exemple: Grosimea optima a izolatiei unei conducte
Pentru cazul izolarii unei conducte pentru calculul caldurii pierdute utilizam
relatia transferului de caldura prin pereti cilindrici coaxiali (fig. 6):
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 85/325
Q = 2π L (t − tamb)
δiz
λiz riz+
1
αaer rext
(53)
unde: t este temperatura fluidului vehiculat prin conducta, [K];
tamb - temperatura ambianta (media anuala), [K];
λiz
- conductivitatea termica a izolatiei, [W/(m·K)];
riz - raza medie logaritmica a stratului de izolatie, [m];
αaer - coeficientul partial de transfer termic spre mediul
ambiant, [W/(m2
·grd)];
rext - raza exterioara a conductei izolate, [m].
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201685/324
Exemple: Grosimea optima a izolatiei unei conducte
Termenii riz si rext sunt exprimate prin relatiile:
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 86/325
riz = (rc + δiz ) − rc
ln
rc + δiz
rc
= δiz
ln
1 +
δiz
rc
(54)
rext = rc + δiz (55)
Functia obiectiv a problemei de optimizare, prin explicitarea cheltuielilor con-
form relatiilor (50)÷(55), devine:
minδiz
f ob = π L δiz ρiz ciz ram (2rc + δiz ) + 2π L cen h (t − tamb )1
λizln
1 +
δiz
rc
+
1
αaer (rc + δiz )
(56)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201686/324
Exemple: Grosimea optima a izolatiei unei conducte
Rezolvarea acestei probleme de optimizare este posibila prin aplicarea metodei
analitice de anulare a derivatei functiei obiectiv ın raport cu variabila de decizie
δ
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 87/325
δiz :
∂ f
∂ δiz= 2π L ρiz ciz ram (rc + δiz ) −
−2π L cen h (t − tamb ) (rc + δiz )
1λiz
− 1αiz(rc + δiz)
(rc + δiz)
λizln1 +
δiz
rc + 1
αaer
2 = 0
(57)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201687/324
Exemple: Grosimea optima a izolatiei unei conducte
Aplicatie numerica
Temperatura aburului saturat de pabur este de 158,2 ˚C. Caracteristicile materi-
l l i i l t f l it t λ 0 04 [W/( K)] 30 [k / 3] S t
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 88/325
alului izolator folosit sunt: λiz = 0,04 [W/(m·K)], ρiz = 30 [kg/m3]. Se cunoaste
ca: αaer = 10 [W/(m2·K)] iar tamb = 18,9 ˚C.
Costurile energiei termice si a materialului izolator (inclusiv manopera de mon-
tare) au fost considerate ca fiind: cen = 0,1 [u.v./kW] si ciz = 30 [u.v./kg].Notand cu x = rext = rc + δiz si ınlocuind aceste valori ın ecuatia (57) obtinem:
8,4825
·104x +
7,002 · 103 − 1,75048 · 106x
[25 x ln x + 70,3353 x + 0,1]
2 = 0 (58)
Rezolvarea acestei ecuatii neliniare se poate face printr-o metoda numerica.
Solutia obtinuta este x = 0,1693 m ce corespunde la δ∗iz = 0,1393 m.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201688/324
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 89/325
Metode numericeunidimensionale
de optimizare
Optimizarea Proceselor Chimice: Caracteristici
In cele mai multe situatii modelul matematic al unui proces din ingine-
i hi i ˘ t li i ltˆ d ii t ti l
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 90/325
ria chimica este neliniar, rezultand expresii matematice complexe pen-tru functia obiectiv si restrictii. Astfel de probleme de optimizare nu
pot fi rezolvate prin metode analitice ci necesita aplicarea unor metode
numerice.
Metodele numerice sau metodele directe de cautare a optimului suntcaracterizate de:
◮ utilizarea unui plan de cautare bazat pe experimente numerice
ce au loc prin alegerea convenabila a unor valori pentruvariabilele de decizie si calcularea valorii functiei obiectiv;
◮ cautarea porneste de la o solutie initiala aproximativa a
problemei;
◮ utilizarea unui algoritm ce aproximeaza solutia exacta a
problemei de optimizare.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201690/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Algoritm general
• stabilirea unui interval initial ce contine punctul de extrem si pe care
functia obiectiv este unimodala (prezinta un singur extrem). Acest inter-
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 91/325
val de cautare corespunde unei restrictii de forma:
a x b
unde a si b sunt limitele intervalului, notate prin xmin = a si xmax = b;
• reducerea intervalului initial prin eliminarea simultana sau succesiva a
unor subintervale, pentru care exista certitudinea ca nu contin punctul
de extrem.
Observat ¸ie: Conditia necesara pentru aplicarea acestui algoritm este ca
functia obiectiv sa fie unimodala pe intervalul initial de cautare.
Daca pe un interval initial de cautare functia obiectiv este plurimodal˘ a (prezinta
mai multe puncte de extrem) se ımparte intervalul de cautare ın intervale pe
care functia este unimodala.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201691/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Functii unimodale
f (x) f (x)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 92/325
xx∗
f ∗
xmin xmax
a
xx∗
f ∗
xmin xmax
b
Figura 7. Functii obiectiv unimodale pe domeniul de cautare:
a - punct de maxim; b - punct de minim.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201692/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Reducerea intervalului de cautare
f (x)
f (x)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 93/325
xx1
x2xmin xmax1 2 3
Caz A
x
x1 x2xmin xmax1 2 3
Caz B
Figura 8. Reducerea intervalului de cautare.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201693/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metode de eliminare
Cautarea optimului se face prin doua tipuri de metode:
a) simultane - planul de cautare stabileste de la ınceput toate
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 94/325
a) simultane - planul de cautare stabileste de la ınceput toatevalorile variabilei de decizie ın care se vor face experimentele
numerice asupra functiei obiectiv;
b) secvent ¸iale - planul de cautare este astfel ıntocmit ıncat
experimentele succesive se bazeaza pe rezultatele
experimentelor anterioare, adica valorile variabilei de decizie ın
experimentul j + 1 depind de rezultatele obtinute ın
experimentele anterioare j, j − 1, j − 2, . . .
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201694/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metode de eliminare
Datorita eficientei superioare, metodele de cautare secventiala sunt cele mai
utilizate. Din aceasta categorie de metode de eliminare se prezinta:
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 95/325
A. metode ce fac apel la valoarea derivatei functiei obiectiv pentru
reducerea intervalului de cautare:
◮ metoda Bolzano;
◮ metoda perechilor secventiale;
B. metode ce folosesc valoarea functiei obiectiv pentru reducerea
intervalului de cautare:
◮ metoda seriei lui Fibonacci;
◮ metoda sectiunii de aur.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201695/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda Bolzano
Pentru aplicarea metodei, avem nevoie de:
• expresia derivatei functiei obiectiv;
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 96/325
• expresia derivatei functiei obiectiv;• intervalul initial de cautare ∆(0) = xmax − xmin pe care functia
obiectiv este unimodala;
• precizia dorita ın identificarea extremului, ǫ
.Observat ¸ie: Daca pe domeniul de cautare functia obiectiv este
unimodala atunci derivatele sale la limitele intervalului de cautare,
[xmin , xmax] vor avea semne diferite.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201696/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda Bolzano. Algoritm1. se amplaseaza un punct ın mijlocul intervalului curent de cautare:
x(k ) =x
(k −1)max
−x
(k −1)
min2 (59)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 97/325
x( ) 2 (59)
unde k este indicele eliminarii curente.
2. se calculeaza valorile derivatei functiei obiectiv ın punctele xmin, x(k ) si
xmax;
3. se elimina acel subinterval pe care derivata nu-si schimba semnul;
4. testarea atingerii punctului de extrem cu precizia impusa, ǫ se face prin
compararea marimii intervalului ramas cu precizia. Daca ∆(k ) > ǫ, setrece la o noua eliminare, k = k + 1, revenind la punctul 1 al algoritmu-
lui. Daca se ındeplineste conditia:
∆(k ) ǫ (60)
atunci x(k ) ± ǫ/2 reprezinta solutia problemei de optimizare.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201697/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda perechilor secventiale
Aceasta metoda deriva din metoda ınjumatatirii intervalului eliminand deza-
vantajul necesitatii derivarii analitice a functiei obiectiv.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 98/325
f ob
xxi xi + ǫ
f ob (xi + ǫ)
f ob (xi)
δ
Figura 9. Estimarea derivatei unei functii
prin raportul diferentelor.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201698/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda perechilor secventiale
Derivata functiei obiectiv ın punctul xi poate fi aproximata prin raportul dife-
rentelor (fig. 9):
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 99/325
d f ob
dx
xi
≈ ∆ f ob
∆x =
f ob(xi + δ) − f ob(xi)
(xi + δ) − xi=
f ob(xi + δ) − f ob(xi)
δ (61)
unde prin δ s-a notat o distanta suficient de mica ın apropierea lui xi.Algoritmul metodei perechilor secventiale este identic cu algoritmul metodei
ınjumatatirii intervalului cu exceptia faptului ca semnul derivatei este calculat
pe baza relatiei (61).
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 201699/324
Metode de eliminare: Exemplu
Sa se rezolve urmatoarea problema de optimizare:
minx f ob = x2
− 6x + 8
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 100/325
f +
pe intervalul de cautare [0; 5], cu precizia ǫ = 0,01.
Rezolvare:Expresia analitica a derivatei functiei obiectiv este:
d f ob
dx = 2x − 6 (62)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016100/324
Metode de eliminare: Exemplu
Tabelul 1. Rezultatele obtinute
i xmin x(i) xmax d f ob(xmin) d f ob(x(i)) d f ob(xmax) ∆
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 101/325
1 0 2,5000 5,0000 − − + 5,0000
2 2,5000 3,7500 5,0000 − + + 2,5000
3 2,5000 3,1250 3,7500 − + + 1,25004 2,5000 2,8125 3,1250 − − + 0,6250
5 2,8125 2,9688 3,1250 − − + 0,3125
6 2,9688 3,0469 3,1250 − + + 0,15637 2,9688 3,0078 3,0469 − + + 0,0781
8 2,9688 2,9883 3,0078 − − + 0,0391
9 2,9883 2,9980 3,0078 − + + 0,019510 2,9883 2,9932 2,9980 − + + 0,0098
Rezultatul obtinut dupa 10 eliminari este x∗ = 2,9932 ± 0,0048 corespunzator f ∗ob = −1.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016101/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda seriei lui Fibonacci
Metoda seriei lui Fibonacci a fost dezvoltata de J. Kiefer (1953) si se bazeaza
pe un sir de numere naturale utilizat de Fibonaccia (1202) pentru urmarirea
ınmultirii iepurilor.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 102/325
¸ p
Sirul lui Fibonacci este dat de urmatoarea ecuatie recurenta:
(Fi)0 = (Fi)
1 = 1
(Fi)n = (Fi)n−1 + (Fi)n−2 cu n 2(63)
Expresia analitica a elementelor sirului lui Fibonacci este:
(Fi)n = 1√
5
1 + √ 52
n+1
−
1 − √ 52
n+1 (64)
Termenii sirului lui Fibonacci, pana la rangul 32, sunt date ın tabelul 2.aMatematicianul italian Leonardus filius Bonacci Pisanus - fiul lui Bonaccio Pisanul numit si Leo-
nardo din Pisa (1180-1228).
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016102/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda seriei lui Fibonacci
Tabelul 2. Valorile sirului lui Fibonacci
n (Fi)n n (Fi)n n (Fi)n
0 1 11 144 22 28 657
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 103/325
0 1 11 144 22 28.657
1 1 12 233 23 46.368
2 2 13 377 24 75.0253 3 14 610 25 121.393
4 5 15 987 26 196.418
5 8 16 1.597 27 317.8116 13 17 2.584 28 514.229
7 21 18 4.181 29 832.040
8 34 19 6.765 30 1.346.2699 55 20 10.946 31 2.178.309
10 89 21 17.711 32 3.524.578
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016103/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda seriei lui Fibonacci
Cerinte:
• expresia functiei obiectiv, sau sistemul de
optimizat din care prin masuratori se poate
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 104/325
p p p
determina sau calcula valoarea functiei
obiectiv,
• intervalul initial de cautare ∆(0),
• tipul de extrem cautat, maxim/minim,
• precizia dorita ın identificarea extremului ǫ.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016104/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda seriei lui Fibonacci
Algoritmul metodei seriei lui Fibonacci:
1. se calculeaza numarul de eliminari teoretic necesare pentru atingerea
punctului de extrem conform pasilor urmatori:
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 105/325
a) se calculeaza numarul ajutator N A cu relatia:
N A = ∆(0)
ǫ (65)
b) se identifica ın sirul lui Fibonacci rangul elementului ce are valoa-
rea egala sau imediat superioara valorii lui N A. Rangul identificat
pe aceasta cale este n - numarul de eliminari succesive teoretic ne-cesare.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016105/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda seriei lui Fibonacci
2. se calculeaza un subinterval δ cu relatia:
δ( j) =(Fi)
n−( j+1)(Fi)n (j 1)
∆( j−1) (66)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 106/325
(Fi)n−( j−1)
unde j indica numarul eliminarii, initial j = 1, iar ∆(k ) este marimea in-
tervalului de cautare din pasul k calculata cu relatia:
∆(k ) = x(k )max − x
(k )min (67)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016106/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda seriei lui Fibonacci
3. se pozitioneaza doua puncte ın intervalul de cautare cu relatiile (fig. 10):
x
( j)
1 = x
( j)
min + δ( j)
si x
( j)
2 = x
( j)
max − δ( j)
(68)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 107/325
δ( j)
x( j)1
x( j)2
xmin xmax
δ( j)
Figura 10. Pozitionarea punctelor de cautare.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016107/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda seriei lui Fibonacci
4. se calculeaza pe baza expresiei functiei obiectiv sau prin experimente ın
sistemul de optimizat, valoarea functiei obiectiv ın cele doua puncte x1
si x2
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 108/325
5. se elimina intervalul sau intervalele pe care este imposibil sa se afle punc-
tul de extrem, conform celor mentionate anterior
6. se testeaza atingerea preciziei dorite prin compararea numarului de eli-minari efectuate cu n − 1. Daca aceasta conditie nu se ındeplineste, se
trece la o noua eliminare, j = j + 1 ın relatiile (66), (67) si (68).
Punctele 2, . . . 5 din algoritm se reiau pana cand conditia finala se ındeplineste,respectiv numarul de eliminari efectuate este egal cu n − 1.
Solutia problemei de optimizare este:
x∗ = xmax + xmin
2 ± xmax − xmin
2 (69)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016108/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda seriei lui Fibonacci
Avantajul utilizarii seriei lui Fibonacci consta ın faptul ca ıncepand de la cea de-a
doua eliminare este necesara calcularea valorii functiei obiectiv doar ıntr-un singur
punct nou (fig. 11).
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 109/325
δ( j−1)
x( j−1)1
x( j−1)2
xmin xmaxδ( j−1)
eliminarea j − 1
δ( j)
x( j)1
x( j)2
xmin xmax
δ( j)
eliminarea j
Figura 11. Reutilizarea punctelor de cautare cu ajutorul sirului lui Fibonacci.
Observat ¸ie: Reprezentarea grafica corespunde situatiei ıncare subintervalul eliminat este [xmin , x
( j−1)1 ].
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016109/324
Metoda seriei lui Fibonacci: Exemplu
Sa se rezolve urmatoarea problema de optimizare:
minx f ob = x
2
− 6x + 8
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 110/325
pe intervalul de cautare [0; 5], cu precizia ǫ = 0,01.
Rezolvare: Se parcurg urmatoarele etape (metoda seriei lui Fibonacci):
1. se calculeaza numarul de eliminari necesare, conform relatiei (65):
N A = ∆(0)
ǫ
=x
(0)max − x
(0)min
ǫ
= 5 − 0
0,01
= 500
2. se identifica conform tabelului 2 elementul din sirul lui Fibonacci ce are valoarea
imediat superioara valorii N A. Acest element ((Fi)14 = 610) are rangul 14, deci
numarul de eliminari succesive necesare pentru identificarea punctului de extrem
cu precizia ǫ =0,01 este de 13.
3. se trece la prima eliminare, j = 1:...
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016110/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda sectiunii de aur
Sectiunea de aur este definita ca fiind raportul cel mai placut ochiului dintre
doua segmente.
A B M
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 111/325
0 1
x 1
−x
Figura 12. Calcularea sectiunii de aur.
Acest raport, (reprezentat pentru un segment AB - fig. 12) permite ımpartirea
sa cu un punct M ın asa fel ıncat: MB
AM=
AM
AB
Daca AB = 1 si AM = x:1 − x
x =
x
1
de unde x2 + x
−1 = 0 cu solutia pozitiva x = 0,618....
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016111/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda sectiunii de aur
Cerinte:
• expresia functiei obiectiv, sau sistemul de optimizat
din care prin masuratori se poate determina sau
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 112/325
calcula valoarea functiei obiectiv,
• intervalul initial de cautare ∆(0),
• tipul de extrem cautat, maxim/minim
• precizia dorita ın identificarea extremului ǫ.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016112/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda sectiunii de aur
Algoritmul metodei sectiunii de aur:
1. se calculeaza un subinterval δ cu relatia:
δ( j) = (1 s)∆( j−1) (70)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 113/325
δ(j) = (1 − s)∆(j ) (70)
unde s este numarul ce caracterizeaza sectiunea de aur (s = 0,618...), j
indica numarul eliminarii, initial j = 1, iar ∆(k ) este marimea intervaluluide cautare din pasul k calculata cu relatia:
∆(k ) = x(k )max
−x
(k )min (71)
2. se pozitioneaza doua puncte ın intervalul de cautare cu relatiile:
x( j)1 = x
( j)min + δ( j) si x
( j)2 = x
( j)max − δ( j) (72)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016113/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda sectiunii de aur
3. se calculeaza pe baza expresiei functiei obiectiv sau prin experimente ın
sistemul de optimizat, valoarea functiei obiectiv ın cele doua puncte x1
si x2
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 114/325
4. se elimina intervalul sau intervalele pe care este imposibil sa se afle punc-
tul de extrem, conform celor mentionate anterior
5. se testeaza atingerea preciziei dorite prin compararea intervalului de
cautare ramas, ∆( j) = x( j)max − x
( j)min cu precizia dorita ǫ. Daca ∆( j) > ǫ
se ia o noua eliminare, j = j + 1 ın relatiile (70), (71) si (72).
Punctele 1, . . . 5 din algoritm se reiau pana cand conditia finala se ındeplineste,respectiv ∆( j) ǫ.
Solutia problemei de optimizare este:
x∗ = xmax + xmin
2 ± xmax − xmin
2 (73)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016114/324
Metoda sectiunii de aur: Exemplu
Sa se rezolve urmatoarea problema de optimizare:
minx f ob = x
2
− 6x + 8
i t l l d ˘ t [0 5] i i 0 01
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 115/325
pe intervalul de cautare [0; 5], cu precizia ǫ = 0,01.
Rezolvare: Se parcurg urmatoarele etape (metoda sectiunii de aur):
1. se calculeaza valoarea subintervalului δ(1) conform relatiei (70):
δ(1) = (1 − s)∆(0) = 0,382 · 5 = 1,91
2. se trece la pozitionarea a doua valori x1 si x2, conform relatiilor (72):
x(1)1 = x
(1)min + δ(1) = 0 + 1,91 = 1,91
x(1)2 = x(1)max − δ(1) = 5 − 1,91 = 3,09
3. . . .
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016115/324
Exemple: Temperatura optima de reactie
T R
FR
c A,0 , cB,0
Reactiile consecutive, de ordinul I:
A k 1−−→ B
k 2−−→ C (74)
l ˆ i
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 116/325
V
FR
c A , cB , cC
Figura 13. Reactor.
au loc ıntr-un reactor continuu cu ames-
tecare perfecta de volum V (fig. 13).
Produsul valoros este B ce poate fi valo-rificat cu un beneficiu de b [u.v.]/kmol.
Compusul A poate fi recuperat la valoa-
rea a [u.v.]/kmol, iar compusul C se valo-
rifica cu c [u.v.]/kmol.
Sa se determine temperatura optima de
reactie T R ce asigura maximizarea bene-
ficiului ın situatia unui debit de alimentare reactant FR, tinand cont ca tempe-ratura de reactie poate varia doar ın domeniul T R ∈ [T R,min, T R,max].
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016116/324
Exemple: Temperatura optima de reactie
Rezolvare:Maximizarea beneficiului obtinut ın acest reactor corespunde unei probleme de
optimizare ın care functia obiectiv este:
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 117/325
maxT R
f ob = a · c A · FR + b · cB · FR + c · cC · FR (75)
unde: c A, cB si cC sunt concentratiile molare ale compusilor A, B si C ın fluxulde iesire din reactor FR.
Pentru a explicita termenii din functia obiectiv ın functie de variabila de decizie
T R
trebuie sa scriem modelul matematic al sistemului.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016117/324
Exemple: Temperatura optima de reactie
Ecuatiile de bilant de masa pentru cei trei compusi:
- pentru compusul A:
c A,0 FR − c A FR + r A V R = 0 (76)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 118/325
- pentru compusul B:
cB,0 FR − cB FR + rB V R = 0 (77)
- pentru compusul C:
−c
C F
R + r
C V
R = 0 (78)
Vitezele de reactie r A, rB si rC sunt date de expresiile:
r A = −k 1c A = −k 1,0 e−E1/(R T R)c A
rB = k 1c A − k 2cB = k 1,0 e−E1/(R T R)c A − k 2,0 e−E2/(R T R)cB
rC = k 2cB = k 2,0 e−E2/(R T R)cB
(79)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016118/324
Exemple: Temperatura optima de reactie
Din ecuatiile (76)÷(79) putem exprima concentratiile compusilor A, B si C din
fluxul de iesire FR:
c A = c A,01 + τ k 1,0 e−E1/(R T R) (80)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 119/325
cB = cB,0
1 + τ k 2,0 e−E
2/(R T
R) +
τ k 1,0 e−E1/(R T R)c A,01 + τ k 1,0 e−E
1/(R T
R) 1 + τ k 2,0 e−
E2/(R T
R) (81)
cC = τ k 2,0 e−E2/(R T R)cB,0
1 + τ k 2,0 e−E2/(R T R) +
τ 2k 1,0 e−E1/(R T R) k 2,0 e−E2/(R T R)c A,0
1 + τ k 1,0 e−E1/(R T R)
1 + τ k 2,0 e−E2/(R T R)
(82)
unde τ este timpul de stationare.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016119/324
Exemple: Temperatura optima de reactie
Inlocuind aceste expresii ın functia obiectiv, obtinem:
maxT R f ob = a · c A · FR + b · cB · FR + c · cC · FR =
a FR c A 0
cB 0
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 120/325
= a FR c A,0
1 + τ k 1,0 e−E1/(R T R) + b FR
cB,0
1 + τ k 2,0 e−E2/(R T R) +
+ τ k 1,0 e−E1/(R T R)c A,0
1 + τ k 1,0 e−E1/(R T R)
1 + τ k 2,0 e−E2/(R T R)+
+ c FR τ k 2,0 e−
E2/(R T
R)cB,0
1 + τ k 2,0 e−E2/(R T R) +
+ τ 2k 1,0 e−E1/(R T R) k 2,0 e−E2/(R T R)c A,01 + τ k 1,0 e−E1/(R T R) 1 + τ k 2,0 e−E2/(R T R)
(83)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016120/324
Exemple: Temperatura optima de reactie
Aplicatie numericaSe dau urmatoarele valori numerice:
V R = 10 m3 FR = 0,15 m3/s;
T 60 ˚C T 90 ˚C
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 121/325
T R,min = 60 ˚C; T R,max = 90 ˚C;
c A,0 = 10 kmol/m3
; cB,0 = 0,01 kmol/m3
;
k 1,0 = 6·107 s−1; k 2,0 = 8·1012 s−1;
E1
R = 7.500 K;
E2
R = 12.000 K;
a = 2.000 [u.v.]/kmol; b = 34.000 [u.v.]/kmol;
c = 80 [u.v.]/kmol.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016121/324
Exemple: Temperatura optima de reactie
Inlocuind aceste valori ın expresia functiei obiectiv (83), obtinem:
maxT R
f ob = 30001 + 4 · 109 e−7500/T R + 51 + 6,4 · 10
13
e−12000/T R
1 + 5,33 · 1014 e−12000/T R +
(84)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 122/325
+
2,04
·1014 e−7500/T R + 2,56
·1026 e−19500/T R
(1 + 4 · 109 e−7500/T R )(1 + 5,33 · 1014 e−12000/T R )
(84)
Identificarea solutiei problemei de optimizare s-a f acut prin aplicarea algorit-
mului metodei sectiunii de aur pornind de la intervalul de cautare T R ∈[333 K;
363 K]. Pentru o precizie de cautare de ǫ 1 · 10−3 rezultatele obtinute suntprezentate ın tabelul 3.
Solutia problemei de optimizare este: T ∗R = 342,9665 K ± 7,5 · 10−4 K, adica
T ∗R ≃
69,8 ˚C.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016122/324
Exemple: Temperatura optima de reactieTabelul 3. Maximizarea beneficiului prin metoda sectiunii de aur
j xmin x1 x2 xmax f ob(x1) f ob(x2) ∆
1 333,000 344,460 351,540 363,000 22.624,082 20.431,999 30,000
2 333 000 22 439 943 22 624 082 18 540
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 123/325
2 333,000 340,082 344,460 351,540 22.439,943 22.624,082 18,540
3 340,082 344,460 347,163 351,540 22.624,082 22.136,664 11,457
4 340,082 342,787 344,460 347,163 22.693,617 22.624,082 7,080
5 340,082 341,754 342,787 344,460 22.648,899 22.693,617 4,377
6 341,754 342,787 343,426 344,460 22.693,617 22.687,966 2,705
7 341,754 342,393 342,787 343,426 22.684,343 22.693,617 1,671...
23 342,966 342,966 342,966 342,967 22.694,627 22.694,627 7,5·10−4
Observat ¸ie: Celulele colorate din corpul tabelului indica intervalele de cautare ramase dupaeliminare. De exemplu, ın eliminarea j = 7 intervalul ramas este [342,393; 343,426].
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016123/324
Exemple: Debitul optim de alimentare al unui reactor continuu
Se considera reactia reversibila de ordinul I:
A
k 1−−→←−−
k 2B (85)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 124/325
ce are loc ıntr-un reactor continuu operat ın conditii izoterme la tempera-
tura T R.Reactia are loc ıntr-un reactor de volum V prevazut cu un sistem de agitare
precum si cu o manta de racire. Amestecul de reactie evacuat din reactor
este supus unui proces de separare a componentului B, considerat compo-
nent valoros. Reactantul A nereactionat este recirculat.
Se cere determinarea debitului optim de alimentare cu materia prima F∗R,
avand concentratia c A,0 ın asa fel ıncat beneficiul obtinut sa fie maxim.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016124/324
Exemple: Debitul optim de alimentare al unui reactor continuu
Rezolvare:Beneficiul poate fi exprimat ca o diferenta dintre venitul realizat prin valorifi-
carea produsului B si totalul cheltuielilor necesare pentru producerea sa.Totalul costurilor pentru obtinerea produsului B este dat de expresia:
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 125/325
COST = Cmp + Cop + Cse p (86)
unde: Cmp este costul materiei prime;Cop - costurile de operare ale instalatiei;
Cse p - costurile de separare ale produsului B.
Pentru exprimarea acestor costuri este necesara obtinerea unui model mate-matic al reactorului. Reactorul poate fi modelat ca un reactor cu amestecare
perfecta.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016125/324
Exemple: Debitul optim de alimentare al unui reactor continuu
Ecuatiile de bilant pot fi scrise pentru cele doua componente:
- pentru componenta A:
c A,0 FR − c A FR + r A V R = 0 (87)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 126/325
- pentru componenta B:
−cB FR + rB V R = 0 (88)unde: FR este debitul de alimentare al reactorului, [m3/s];
c A,0 - concentratia initiala a componentului A, [kmol/m3];
c A, cB - concentratiile componentelor A si B la evacuarea din
reactor, [kmol/m3];
V R - volumul reactorului, [m3];
r A, rB - vitezele de reactie pentru componentele A si B,
[kmol/s].
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016126/324
Exemple: Debitul optim de alimentare al unui reactor continuu
Vitezele de reactie r A si rB sunt calculate cu expresiile:
r A = −k 1 c A + k 2 cB = −k 1,0 e−E1/(R T R)
c A + k 2,0 e−E2/(R T R)
cB
rB = k 1 cA − k 2 cB = k 1 0 e−E1/(R T R)cA − k 2 0 e−E2/(R T R)cB
(89)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 127/325
B 1 A 2 B 1,0 A 2,0 B
Costurile din relatia (86) sunt exprimate prin urmatoarele ecuatii:
• costul materiei prime:
Cmp = a
·FR
·cB (90)
unde: a este reprezinta costul unitar al materiei prime A, [u.v./kmol].
Aceasta parte a costurilor totale include doar cheltuielile proportionale
cu cantitatea de A reactionat, ıntrucat partea nereactionata este reutilizata
dupa faza de separare.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016127/324
Exemple: Debitul optim de alimentare al unui reactor continuu
• costurile de operare ale instalatiei:
Cop = b + c·
FR (91)
unde: b este termenul ce include componentele de cost ce sunt inde-
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 128/325
pendente de intensitatea operarii instalatiei, cum ar fi:
cheltuielile cu forta de munca, pt. amestecare, etc., ın[u.v./s] ;
c - termenul ce include acele elemente de cost ce sunt de-
pendente de intensitatea de operare a instalatiei, cum ar
fi: cheltuielile cu agentul termic, cheltuielile de vehiculare
a fluidelor, cheltuielile de reparatii, amortizarea, etc., ın
[u.v./m3];
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016128/324
Exemple: Debitul optim de alimentare al unui reactor continuu
• costul separarii compusului valoros:
Cse p = d + e·
FR + f ·
cB (92)
unde: d este termenul ce reprezinta componentele de cost ce sunt inde-
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 129/325
pendente de cantitatea si calitatea amestecului supus se-
pararii, ın [u.v./s];e - termenul ce reprezinta acele componente de cost ce depind
de debitul de amestec separat, ın [u.v./m3];
f - termenul ce reprezinta componentele de cost ce depind de
concentratia compusului B ın amestecul supus separarii,
ın [u.v./(kmol·s/m3)].
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016129/324
Exemple: Debitul optim de alimentare al unui reactor continuu
Veniturile realizate sunt date de valorificarea produsului B:
VENIT = g·
FR
·cB (93)
unde g este termenul ce reprezinta costul unitar al produsului B, ın [u.v./kmol].
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 130/325
Beneficiul realizat este dat de expresia:
BEN = VENIT − COST =
= g FR cB − [(a FR cB) + (b + c FR) + (d + e FR + f cB)] =
= −(b + d) − (c + e)FR − f cB + ( g − a)FR cB
(94)
Variabila de decizie ın aceasta problema este debitul de alimentare al reactoru-
lui FR, astfel toate elementele din ecuatia (94) trebuie sa fie exprimate ın functie
de aceasta variabila. Pentru aceasta trebuie sa exprimam cB functie de FR.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016130/324
Exemple: Debitul optim de alimentare al unui reactor continuu
Din modelul matematic al reactorului rezulta:
cB =
c A,0 k 1 FR V R
(FR + k 1 V R)(FR + k 2 V R) − k 1k 2V 2R (95)
In urma acestor considerente, functia obiectiv este:
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 131/325
In urma acestor considerente, functia obiectiv este:
maxFR
f ob = −(b + d) − (c + e)FR + [( g
−a)F
R − f ] c
A,0 k
1 F
R V
R(FR + k 1 V R)(FR + k 2 V R) − k 1k 2V 2R
(96)
Pentru rezolvarea acestei probleme apelam la o metoda de eliminare. Pentru
aceasta, alegem un domeniu de cautare de forma FR,min
FR FR,max si preci-
zia de determinare a extremului, ǫ.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016131/324
Exemple: Debitul optim de alimentare al unui reactor continuu
Aplicatie numericaSe dau urmatoarele valori numerice:
V R = 10 m3 T R = 70 ˚C;
k 1,0 = 6·108 s−1; k 2,0 = 4·1012 s−1;
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 132/325
1,0 ; 2,0 ;
E1
R = 9.500 K;
E2
R = 14.500 K;
c A,0 = 1 kmol/m3; a = 2 [u.v./kmol];
b = 0,2 [u.v]; c = 0,3 [u.v./(m3/s)];
d = 0,2 [u.v]; e = 0,1 [u.v./(m3/s)];
f = 0,1 [u.v./(kmol/m3)]; g = 90 [u.v./kmol];
FR,min = 0,01 [m3/s]; FR,max = 0,2 [m3/s];
ǫ = 5·10−4.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016132/324
Exemple: Debitul optim de alimentare al unui reactor continuu
Inlocuind aceste valori ın expresia functiei obiectiv, obtinem:
maxFR f ob = −0,4 − 0,4 FR +
0,5 FR −
5,68·
10−
4
FR + 0,0057 (97)
Rezolvarea acestei probleme se face prin metoda perechilor secventiale pornind
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 133/325
Rezolvarea acestei probleme se face prin metoda perechilor secventiale pornind
de la domeniul de cautare FR
∈[0,01; 0,2] m3/s. Pentru precizia de cautare
ceruta rezultatele obtinute sunt prezentate ın tabelul 4.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016133/324
Exemple: Debitul optim de alimentare al unui reactor continuuTabelul 4. Determinarea debitului optim de alimentare
i FR,min F(i)R FR,max f ′ob(FR,min) f ′ob(F
(i)R ) f ′ob(FR,max) ∆
1 10,000 95,000 200,000 + − − 190,00
2 10,000 52,500 95,000 + + − 85,00
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 134/325
, , , ,
3 52,500 73,750 95,000 + +
− 42,50
4 73,750 84,375 95,000 + + − 21,25
5 84,375 89,687 95,000 + − − 10,62
6 84,375 87,031 89,687 +
− − 5,31
7 84,375 85,703 87,031 + + − 2,65
8 85,703 86,367 87,031 + + − 1,32
9 86,367 86,699 87,031 + + −
0,66
Solutia obtinuta este F∗R = 86,865±0,5 l/s (0,086865±5·10−4 m3/s).
Aceasta solutie corespunde unui beneficiu maxim de BEN∗ = 0,028328 [u.v./s].
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016134/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Functii MATLAB
Functii MATLAB utilizate ın optimizarea unidimensionala
• minimizare unidimensionala fara restrictii:fmin
exemplu de apelare: xopt = fmin(fun [x1 x2])
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 135/325
exemplu de apelare: xopt = fmin(fun,[x1 x2])
fminbnd
exemplu de apelare: xopt = fminbnd(fun,x1,x2)
fminunc
exemplu de apelare: xopt = fminunc(fun,x0)
• minimizare unidimensionala cu restrictii:
fmincon
exemplu de apelare:
xopt = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016135/324
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 136/325
Metode numericemultidimensionale
de optimizare
Optimizarea Proceselor Chimice: Caracteristici
Metodele numerice (directe) pentru identificarea solutiei unei probleme de op-
timizare cu doua sau mai mult de doua variabile de decizie se mai numesc si
metode de urcare-coborare.Aceasta denumire provine de la analogia suprafetei de raspuns a functiei obiec-
tiv (pentru situatia ın care avem doua variabile de decizie) cu relieful unei
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 137/325
(p ¸ )
regiuni terestre pe care metodele directe se pot vizualiza sub forma unor de-
plasari catre extrem - urcare, pentru identificarea unui maxim, coborare, pentru
identificarea unui minim.
Metodele de urcare-coborare se caracterizeaza prin faptul ca fiecare deplasare
urmareste doua scopuri majore:◮ obtinerea unei valori ımbunatatite a functiei obiectiv;
◮ obtinerea de informatii utile cu scopul de a ımbunatati evolutia
ulterioara.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016137/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metode de urcare-coborare
Cerinte:Aplicarea acestor metode implica specificarea urmatoarelor
elemente:◮ expresia functiei obiectiv;
◮ o solutie initiala oarecare x(0) (un set initial de valori
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 138/325
◮ o solutie initiala oarecare - x( ) (un set initial de valori
ale componentelor vectorului de decizie);◮ precizia de determinare a punctului de extrem, ǫ;
◮ tipul de extrem cautat.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016138/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Algoritm general
1. se calculeaza valoarea functiei obiectiv ın punctul initial - corespunzator
solutiei initiale - f x(0)
;
2. se identifica (printr-un algoritm specific fiecarei metode ın parte) o noua
solutie a problemei de optimizare, x(k +1);
(k+1)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 139/325
3. se calculeaza valoarea functie obiectiv ın noul punct, f x(k +1)
;
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016139/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Algoritm general
4. se compara valoare functiei obiectiv ın punctul initial al iteratiei cu-
rent (ce este identic cu solutia initiala pentru prima iteratie) cu valoarea
functiei obiectiv corespunzatoare noii solutii: f x(k +1) : f x(k ):a) daca noua solutie este favorabil˘ a (corespunde unei valori mai mici a
functiei obiectiv decat valoarea functiei obiectiv ın punctul initial
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 140/325
functiei obiectiv decat valoarea functiei obiectiv ın punctul initial
al iteratiei - pentru un minim, respectiv corespunde unei valorimai mari a functiei obiectiv decat ın punctul initial al iteratiei cand
cautam un maxim) - punctul curent devine punctul initial pentru
o noua iteratie;
b) daca noua solutie este nefavorabil˘ a - se pastreaza punctul initial cu-
rent si se determina un alt punct de cautare si se revine la punctul
2 din cadrul algoritmului ın cadrul iteratiei curente;
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016140/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Algoritm general
5. se verifica atingerea punctului de extrem cu precizia ǫ, folosind criteriile
lui Himmelblau:
f x(k +1)−
f x(k ) f
x(k ) ǫ (98,a)
(k 1) (k)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 141/325
x(k +1)
−x(k )
x(k ) ǫ (98,b)
Daca cele doua criterii se ındeplinesc simultan, punctul curent este
solutia problemei de optimizare, x∗ = x(k +1)
±ǫ. In situatia ın care cri-
teriile lui Himmelblau nu se ındeplinesc simultan, se continua cu o nouacautare (k = k + 1), revenindu-se la punctul 2 din cadrul algoritmului.
Observat ¸ie: Utilizarea simultana a celor doua criterii este strict necesara deoarece
ındeplinirea doar a criteriului 98,a sau doar a criteriului 98,b ar putea conduce lao concluzie gresita ın cazul ın care suprafata de raspuns a functiei obiectiv ar avea
profilul prezentat ın figura 14,a, respectiv 14,b.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016141/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Criteriile lui Himmelblau
f (x) f (x)
f (x(k ))
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 142/325
x
f (x(k )
) f (x(k +1))
x(k )
x(k +1)
a
x
f (x( ))
f (x(k +1))
x(k )
x(k +1)
b
Figura 14. Criteriile lui Himmelblau.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016142/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metode de urcare-coborare
Metodele de urcare-coborare difera prin modul ın care se identifica un nou
punct de cautare (punctul 2 din algoritm).
O clasificare simpla a metodelor de urcare-coborare se poate face prin gruparea
lor ın doua categorii:
A metode care necesita evaluarea derivatelor functiei obiectiv;
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 143/325
A. metode care necesita evaluarea derivatelor functiei obiectiv;
B. metode care nu necesita evaluarea derivatelor functiei obiectiv.
Observat ¸ie: Modelele matematice ale proceselor din ingineria chimica sunt ca-
racterizate printr-o complexitate mare. Datorita acestui motiv, obtinerea ana-
litica a expresiei derivatelor functiei obiectiv este o sarcina, ın general, foarte
grea. Astfel, metodele din prima categorie prezinta o importanta mai redusa
fata de metodele din a doua categorie.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016143/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metode de gradient
Metodele de gradient sunt metode de cautare numerica a punctului de extrem
ce folosesc pentru deplasare pe suprafata de raspuns a functiei obiectiv, directia
vectorului gradient.Vectorul gradient sau gradientul unei functii f (x) ın punctul x(k ) este:
∂ f (x)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 144/325
▽ f (x(k )) =
f ( )
∂ x1
∂ f (x)
∂ x2
...
∂ f (x)
∂ xn
x=x
(k )
(99)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016144/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metode de gradient
Gradientul unei functii prezinta urmatoarele proprietati (fig. 15):
1. gradientul este un vector ce defineste directia cu cea mai rapida
crestere ın punctul considerat, x(k );2. gradientul ıntr-un punct x(k ) este normal la linia de contur a functiei
f (x(k )) ce trece prin punctul respectiv.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 145/325
f ( ) p p p
Tinand cont de aceste proprietati, directia gradientului este cea mai eficientacale de urmat pentru gasirea unui extrem, sensul pozitiv pentru gasirea unui
maxim, iar sensul negativ pentru gasirea unui minim.
Metodele de gradient folosesc directia vectorului gradient pentru deplasarea
catre extrem.
Directia vectorului gradient este o proprietate dependenta de pozitia punctu-
lui ın care ea se calculeaza. Metodele de gradient folosesc o succesiune de
deplasari pe suprafata de raspuns a functiei obiectiv, dupa fiecare deplasare,directia vectorului gradient este reevaluata.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016145/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metode de gradient
2
2.5
3
3.5
4
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 146/325
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Figura 15. Vectorul gradient pe suprafata de raspuns
a unei functii reprezentate prin curbe de contur.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016146/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metode de gradient
Deplasarile succesive pe suprafata de raspund au loc dupa relatia:
x(k +1) = x(k )
±λ(k )d
(k )(100)
unde: x este vectorul de decizie;
λ - pasul/deplasarea pe suprafata de raspuns a functiei
obiectiv;
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 147/325
obiectiv;
d - directia de deplasare;
k , k + 1 - exponent ce indica pasul/iteratia.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016147/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metode de gradient
Vectorul d - directia de deplasare, este un vector normat avand directia si sensul
vectorului gradient al functiei obiectiv ın punctul curent. Acesta se calculeaza
prin ımpartirea vectorului gradient cu norma sa conform relatiei:
d(k )
= ▽ f (x(k ))
f (x(k ))(101)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 148/325
▽ f (x( ))
unde
▽ f (x(k )) =
n
∑
i=1∂ f (x)
∂ xi 2
x=x(k )(102)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016148/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metode de gradient
Pentru cautarea unui maxim, deplasarile au loc ın sensul dat de vectorul d caz
ın care ın relatia (100) avem semnul ’+’, iar ın cazul ın care cautarea are loc
pentru un minim, semnul este ’−’, deoarece deplasarile au loc ın sens opuscelei indicate de vectorul gradient.
Pentru alegerea pasului de deplasare λ se utilizeaza doua variante:
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 149/325
A. se alege initial pentru λ o valoare fixa ce poate fi ınjumatatita la
nevoie pentru identificarea cu precizia dorita a punctului de
extrem - metoda gradientului cu pas constrant
B. se calculeaza o valoare optima a pasului, λ∗ pentru fiecare
deplasare prin rezolvarea unei probleme de optimizare
unidimensionala ın care λ este variabila independenta - metoda
gradientului cu pas optim
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016149/324
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 150/325
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda gradientului cu pas constant
Algoritm:
1. se calculeaza valoarea functiei obiectiv ın punctul initial f x(0)
;
2. se determina componentele vectorului gradient al functiei obiectiv ın
punctul curent cu ajutorul relatiei (99);
3 se determina directia de deplasare d(k )
cu relatia (101);
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 151/325
3. se determina directia de deplasare d cu relatia (101);
4. se identifica un nou punct de cautare cu ajutorul relatiei (100) unde vom
folosi ’+’ daca extremul cautat este un maxim si ’−’ daca cautam un
minim;
5. se calculeaza valoarea functiei obiectiv ın noul punct, f x(k +1);
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016151/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda gradientului cu pas constant
6. se compara valoarea functiei obiectiv ın punctul initial al iteratiei curente
cu valoarea functiei obiectiv ın noul punct: f
x(k +1)
: f
x(k )
:
a) daca noua solutie este favorabil˘ a punctul curent devine punctulinitial pentru o noua iteratie (k = k + 1) si se continua cu pct. 2
din algoritm;
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 152/325
b) daca noua solutie este nefavorabil˘ a se determina un alt punct decautare prin pastrarea directiei de cautare dar cu ınjumatatirea pa-
sului (λ(k ) = λ(k )/2) si se revine la punctul 4 al algoritmului ın
cadrul iteratiei curente;
7. se verifica atingerea punctului de extrem cu precizia ǫ, folosind criteriile
lui Himmelblau, relatiile (98). Daca cele doua criterii se ındeplinesc simul-
tan, punctul curent este solutia problemei de optimizare, x∗ = x(k ) ± ǫ. In
situatia ın care criteriile lui Himmelblau nu se ındeplinesc simultan, secontinua cu o noua cautare (k = k + 1), revenindu-se la punctul 2 din
cadrul algoritmului si la pasul de cautare initial λ(k ) = λ(0).
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016152/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda gradientului cu pas constant
x2
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 153/325
x1
Figura 16. Metoda gradientului cu pas constant.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016153/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda gradientului cu pas optim
Cerinte:Aplicarea acestei metode implica specificarea urmatoarelor
elemente:◮ expresia functiei obiectiv;
◮ o solutie initiala oarecare x(0);
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 154/325
◮ precizia de determinare a punctului de extrem, ǫ;◮ tipul de extrem cautat, minim sau maxim.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016154/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda gradientului cu pas optim
Algoritm:
1. se calculeaza valoarea functiei obiectiv ın punctul initial f x(0)
;
2. se determina componentele vectorului gradient al functiei obiectiv ın
punctul curent cu ajutorul relatiei (99);
3. se determina directia de deplasare d(k )
cu relatia (101);
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 155/325
3 se dete a d ect a de dep asa e d cu e at a ( 0 );
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016155/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda gradientului cu pas optim
4. se calculeaza pasul optim λ∗(k ) ın urmatorul mod:
a) din relatia (100) se exprima punctul de cautare nou ın functie de
λ(k ): x(k )1 ± λ(k )d
(k )1
x(k )2 λ(k )d
(k )2
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 156/325
x(k +1) = x(k ) ± λ(k )d(k ) =
x2
±λ d2
...
x(k )n
±λ(k )d
(k )n
(103)
b) prin ınlocuirea variabilelor de decizie x1, x2, . . . xn ın expresia
functiei obiectiv cu relatiile obtinute prin (103) se obtine o functie
obiectiv ın care variabila independenta este λ(k ):
f ob(x(k +1)) = f ob(λ(k ))
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016156/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda gradientului cu pas optim
c) se rezolva problema de optimizare unidimensionala (folosind o
metoda analitica ori o metoda numerica - de eliminare), obtinan-
du-se pe aceasta cale λ∗(k )
:
optim
λ(k )
f ob(λ(k )) =⇒ λ∗(k )
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 157/325
d) pe baza relatiei (103) se identifica solutia cea mai favorabila x(k +1)
pentru iteratia curenta;
5. se calculeaza valoarea functiei obiectiv ın noul punct, f x(k +1);
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016157/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda gradientului cu pas optim
6. se verifica atingerea punctului de extrem cu precizia ǫ, folosind criteriile
lui Himmelblau, relatiile (98). Daca cele doua criterii se ındeplinesc simul-
tan, punctul curent este solutia problemei de optimizare, x∗ = x
(k )
± ǫ. ˆInsituatia ın care criteriile lui Himmelblau nu se ındeplinesc simultan, se
continua cu o noua cautare (k = k + 1), revenindu-se la punctul 2 din
cadrul algoritmului.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 158/325
g
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016158/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda gradientului cu pas optim
x2
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 159/325
x1
Figura 17. Metoda gradientului cu pas optim.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016159/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metode de gradient
Aplicarea practica a metodelor de gradient este posibila si ın situatiile limita-
tive ın care nu se poate obtine expresia analitica a derivatelor prin derivarea
numerica a functiei obiectiv.Aproximarea numerica a valorii derivatelor se poate face utilizand chiar relatia
de definitie a derivatelor:
(k) (k ) (k ) (k ) (k ) (k ) (k )
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 160/325
∂ f (x(k )
)∂ xi
≈ f (x
( )
1 , . . . , x
( )
i + δ, . . . , x
( )
n ) − f (x
( )
1 , . . . , x
( )
i , . . . , x
( )
n )δ
(104)
unde i = 1, 2, . . . , n iar δ ց 0 .
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016160/324
Metode de gradient: Exemplu
Pornind din punctul x(0) = [5; 5] si cu pasul λ(0) = 1 sa se rezolve:
minx1,x2
f (x1, x2) = 4x21 + 2x2
2 + 4x1x2 + 2x2 + 1 (105)
Rezolvare: Se parcurg urmatoarele etape:
1 se calculeaza valoarea functiei obiectiv ın punctul initial: f (x(0)) = f (5; 5) = 261
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 161/325
1. se calculeaza valoarea functiei obiectiv ın punctul initial: f (x ) = f (5; 5) = 261.
2. se determina componentele vectorului gradient si se calculeaza valorile sale ın
punctul initial:
▽ f (x(0)) =
∂ f (x)
∂ x1
∂ f (x)
∂ x2
x=x(0)
=
8x1 + 4x2
4x2 + 4x1 + 2
x=[5;5]
=
60
42
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016161/324
Metode de gradient: Exemplu
3. se calculeaza vectorul directie de deplasare astfel:
a) norma vectorului:
▽ f (x(0)) =
2
∑ i=1
∂ f (x)
∂ xi
2
x=x(0)=
602 + 422 = 73, 2393
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 162/325
b) directie de deplasare:
d(0) = ▽ f (x(0))▽ f (x(0)) =
60
42
73, 2393 =
0, 8192
0, 5735
4. se calculeaza o solutie noua:
x1 = x0 − λ d0
...
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016162/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda Pattern Search
Metoda Pattern Search utilizeaza ca principiu de cautare testarea dupa directii
paralele cu axele de coordonate.
Cautarea are loc ın 2 faze:
1. cautare locala cu pasul λ pe fiecare directie de cautare prin modificarea
la un moment dat a valorii unei singure variabile de decizie;
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 163/325
2. cautare extinsa ın care are loc deplasarea accelerata pe directia cea maifavorabila identificata ın cautarea locala.
Conditiile de aplicare a metodei implica specificarea urmatoarelor elemente:
◮ expresia functiei obiectiv;
◮ o solutie initiala oarecare x(0);
◮ precizia de determinare a punctului de extrem, ǫ;
◮ tipul de extrem cautat, minim sau maxim;
◮ pasul de cautare locala, λ(0).
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016163/324
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 164/325
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda Pattern Search
Algoritmul metodei Pattern Search este (fig. 18):
1. se calculeaza valoarea functiei obiectiv ın punctul initial f
x(k )
, pentru
prima cautare k = 0;2. se trece la etapa de cautare locala, de la directia de cautare 1, . . . i, . . . n ce
are loc dupa urmatoarele reguli:
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 165/325
a) initial, cautarea are loc ın sens pozitiv:
x(k +1)i = x
(k )i + λ(k ) (106)
b) se calculeaza valoarea functiei obiectiv ın punctul curent;
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016165/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda Pattern Search
c) se compara valoarea calculata a functiei obiectiv cu valoarea din
punctul de baza curent:
i daca valoarea functiei obiectiv este favorabila, se trece laurmatoarea dimensiune, i = i + 1 si se continua cu punctul
3 din algoritm. Daca valoarea functiei obiectiv nu este
favorabila, se face o cautare ın sens opus, cu relatia:
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 166/325
x(k +1)i = x
(k )i − λ(k ) (107)
ii se calculeaza valoarea functiei obiectiv ın punctul curent;
iii daca valoarea functiei obiectiv nu este favorabila, sepastreaza punctul de baza curent pe directia lui xi si se
trece la cautarea dupa o noua dimensiune, i = i + 1;
iv daca valoarea functiei obiectiv este favorabila se adoptapunctul curent ca punct de baza si se trece la cautarea pe
directia urmatoare, i = i + 1 pana cand i = n;
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016166/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda Pattern Search
Observat ¸ie: Daca cautarea locala se termina fara nici o deplasare din punctul de
baza se reduce pasului de cautare cu ajutorul relatiei:
λ =
λ
2 (108)
si se reia cautarea locala curenta.
3. se trece la etapa de cautare extinsa (accelerata) prin repetarea deplasarii
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 167/325
obtinute prin cautarea locala multiplicata cu un coeficient pozitiv supra-
unitar α (ın general α = 2 . . . 4);
a) daca cautarea extinsa se soldeaza cu un succes, aceasta etapa de
cautare se repeta multiplicand pasul total efectuat ın cautarea cu-renta cu o valoare pozitiva supraunitara α;
b) cautarea accelerata se repeta pana la obtinerea unui insucces, caz
ın care iteratia curenta este considerata ıncheiata;
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016167/324
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 168/325
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda Rosenbrock
Metoda Rosenbrock poate fi privita ca o dezvoltare a metodei Pattern Search.
Diferenta majora fata de Pattern Search consta ın faptul ca ın loc de a efectua
explorarile locale pe directii fixe si paralele cu axele de coordonate, acestea au
loc dupa un set de directii ortogonale ce se recalculeaza dupa fiecare iteratie pe
baza celei mai favorabile directii de deplasare curente.
Pentru aplicarea metodei Rosenbrock avem nevoie de:
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 169/325
p
◮ expresia functiei obiectiv;
◮ un set de valori initiale ale vectorului de decizie, x(0)0 ;
◮ un set de n vectori unitari ortogonali ce definesc directiile initiale de
explorare, d(0)1 , d
(0)2 , . . . , d
(0)n ;
◮ un vector al marimii pasilor de deplasare, λ(0)
;
◮ precizia dorita de identificare a solutiei, ǫ;
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016169/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda Rosenbrock
Algoritmul de minimizare al lui Rosenbrock este urmatorul (o reprezentare
schematica a etapelor algoritmului este facuta ın figura 19):
1. se calculeaza valoarea functiei obiectiv ın punctul de start al iteratiei, f ob
x
(0)0
;
2. se trece la faza de cautare locala ın care, pentru fiecare directiedecautare,
i = 1, . . . , n se parcurg urmatoarele etape:
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 170/325
a) se calculeaza valoarea functiei obiectiv ın punctul x(k )i + λ
(k )i d
(k )i
unde initial i = 1;
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016170/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda Rosenbrock
b) daca:
f
x
(k )i + λ
(k )i d
(k )i
< f
x
(k )i
pasul respectiv este considerat un succes si x(k )i = x(k )
i + λ(k )i d(k )
i .
Pasul pe directia respectiva este amplificat cu coeficientul pozitiv
supraunitar α, λ(k )i = α · λ
(k )i .
D
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 171/325
Daca ınsa f
x(k )i + λ
(k )i d
(k )i
f
x
(k )i
se considera pasul respectiv un insucces iar λ
(k )i = β
·λ
(k )i unde β
este un coeficient subunitar negativ;
c) pastrand ıntotdeauna cel mai bun punct atins, se continua cu
urmatoarea directiedecautare i = i + 1. Dupa epuizarea directiilor
de cautare, cand i = n, se revine la prima directie de cautare i = 1si se reiau cautarile locale pana cand pe fiecare directie de cautare
se obtine un succes urmat de un insucces;
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016171/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda Rosenbrock
3. se noteaza cu Λ(k ) j suma algebrica a tuturor pasilor λ
(k ) j, p, p = 1, 2, . . . , P
efectuati cu succes:
Λ(k ) J =
P
∑ p=1
λ(k ) j, p (109)
4. se verifica atingerea punctului de extrem verificand ındeplinirea criterii-
l l i Hi lbl
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 172/325
lor lui Himmelblau;a) daca nu s-a atins punctul de extrem se trece la calcularea noului
set al directiilor de explorare pentru o noua iteratie, pentru care
coordonatele punctului de plecare sunt: x(k +1)0 = x
(k )n .
b) daca conditiile lui Himmelblau se ındeplinesc, solutia este data de:
x∗ = x∗(k ) ± ǫ
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016172/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda Rosenbrock
Calculul noilor directii de cautare:Se definesc, ın prealabil, urmatorii vectori:
A(k +1)1 =Λ(k )
1 d(k )1 + Λ(k )
2 d(k )2 + . . . + Λ(k )
n d(k )n
A(k )2 = Λ
(k )2 d
(k )2 + . . . + Λ
(k )n d
(k )n
...(k) (k) (k)
(110)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 173/325
A(k )n = Λ
(k )n d
(k )n
De remarcat ca A(k )1 reprezinta vectorul de la x
(k )0 la x
(k +1)0 , A
(k )2 de la x
(k )1 la x
(k +1)0
s.a.m.d.Se determina prima directie de explorare pentru iteratia urmatoare d
(k +1)1 ca
fiind paralela cu vectorul deplasarii totale A(k )1 efectuate ın iteratia anterioara.
d(k +1)1 = A(k )2
A
(k )1
(111)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016173/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda Rosenbrock
Celelalte n − 1 directii sunt reciproc ortogonale cu d(k +1)1 , fiind calculate cu aju-
torul metodei lui Gram-Schmidt. Relatiile utilizate sunt:
B(k ) j = A
(k ) j − j−i
∑ i=1
A
(k ) j
T d
(k +1)i
d
(k +1)i
si
d(k+1) B
(k )
j j 2 (112)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 174/325
d(k +1) j = B jB
(k ) j
j = 2, . . . , n (112)
Observat ¸ie: Iteratia initiala porneste de la directiile d(0)i paralele cu axele de coor-
donate. Valori uzuale ale coeficientilor sunt α = 3 si β = −0,5.
Efectul calcularii unui nou set de directii de explorare la fiecare iteratie consta
de fapt ıntr-o rotire a sistemului de directii de explorare, reducandu-se efec-
tele negative de interactiune a variabilelor (aceste efecte apar cand ın functia
obiectiv exista termeni sub forma de produse de variabilele xi · x j).
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016174/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda Rosenbrock
x2
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 175/325
x1
Figura 19. Metoda Rosenbrock.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016175/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda poliedrului
Metoda poliedrului, numita si metoda Box, utilizeaza o fi-
gura geometrica regulata, numita Simplex, definita ın spatiul
n-dimensional ca un corp geometric cu n + 1 varfuri, avand o
distanta constanta ıntre doua varfuri alaturate.
In spatiul de cautare bidimensionala (problema de optimizare
d ˘ i bil d d i i ) bi t l d ˘ t Si l l
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 176/325
cu doua variabile de decizie), obiectul de cautare, Simplex-ul
se prezinta sub forma unui triunghi echilateral, iar ıntr-un do-
meniu de cautare tridimensionala (probleme cu trei variabile
de decizie), obiectul de cautare este un tetraedru.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016176/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda poliedrului
Plasarea ın domeniul de cautare a hiperpoliedrului se face cu ajutorul a doua
constante, p si q ce sunt calculate cu expresiile:
p = an√
2n − 1 + √ n + 1
q = a
n√
2 −1 +
√ n + 1
(113)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 177/325
unde: a este dimensiunea laturii poliedrului de cautare;
n - dimensiunea problemei de optimizare (numarul de variabile
de decizie).Pozitionarea varfurilor corpului geometric de cautare se face utilizand schema
din tabelul 5.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016177/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda poliedrului
Tabelul 5. Schema de pozitionare a varfurilor corpului de cautare
Varful j x( j)1 x
( j)2 . . . x
( j)n−1 x
( j)n Observatii
0 x(0)1 x
(0)2 . . . x
(0)n−1 x
(0)n varful origine
1 x(0)
1
+ p x(0)
2
+ q . . . x(0)
n−1
+ q x(0)n + q
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 178/325
1 2 n 1
2 x(0)1 + q x
(0)2 + p . . . x
(0)n−1 + q x
(0)n + q
......
... . . .
......
n − 1 x(0)1 + q x
(0)2 + q . . . x
(0)n−1 + p x
(0)n + q
n x(0)1 + q x
(0)2 + q . . . x
(0)n−1 + q x
(0)n + p
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016178/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda poliedrului
Daca avem doua variabile de decizie (n = 2), p si q se utilizeaza expresiile:
p =
√ 3 + 1
2√ 2a = 0,9657 a
q =
√ 3 − 1
2√
2a = 0,2587 a
Pozitionarea punctelor se poate observa ın figura 20
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 179/325
Pozitionarea punctelor se poate observa ın figura 20.
UBB Cluj-Napoca, ROM ˆANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016179/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda poliedrului
x2
x(2)2
x(1)2
0 , 9
6 5 7 a
0 , 2
5 8 7 a
0,2587 a
a
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 180/325
x1
x(0)2
x(0)1 x(2)
1 x(1)1
x2
0,9657 a
Figura 20. Pozitionarea simplexului.
UBB Cluj-Napoca, ROM ˆANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016180/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda poliedrului. Algoritm
Algoritmul metodei poliedrului (Box) este urmatorul:
1. se pozitioneaza corpul geometric de cautare, cu varful 0 ın punctul initial
al cautarii;
2. se calculeaza valorile functiei obiectiv ın cele n + 1 varfuri ale corpului
de cautare;
3. se sorteaza varfurile ın ordinea valorilor functiei obiectiv, de la cea mai
favorabila valoare la cea mai nefavorabila;
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 181/325
favorabila valoare la cea mai nefavorabila;
4. se identifica varful ce se elimina pe baza urmatoarelor reguli:
a) se elimina varful cel mai nefavorabil cu exceptia situatiei ın care
prin eliminarea acestui varf se revine ıntr-un punct deja testat;
b) ın cazul ın care situatia anterioara (varianta a) nu este posibila, se
elimina varful anterior din lista de varfuri formata la punctul 3 din
algoritm;Observat ¸ie: In nici o situatie nu se elimin˘ a vˆ arful cel mai favorabil!!!
UBB Cluj-Napoca, ROM ˆANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016181/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda poliedrului. Algoritm
5. algoritmul se reia pana cand pe baza regulilor prezentate, nu mai poate
fi ımbunatatita valoarea functiei obiectiv;
6. se testeaza atingerea punctului de extrem comparand deplasarea totalaefectuata, considerand punctul final al deplasarii, varful curent cel mai
favorabil;
7. daca conditiile lui Himmelblau nu se ındeplinesc, cautarea se reia, punc-
tul initial al cautarii fiind cel mai bun varf curent. Plecand de la acest
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 182/325
tul initial al cautarii fiind cel mai bun varf curent. Plecand de la acest
punct, se reconstruieste corpul geometric de cautare cu dimensiunea la-
turii ınjumatatite, a = a/2.
UBB Cluj-Napoca, ROM ˆANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016182/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda poliedrului
Eliminarea unui varf al corpului de cautare are loc prin oglindirea varfului eli-
minat ın jurul laturii opuse a hiperpoliedrului. Acest lucru, din punct de vedere
matematic are loc pe baza relatiei:
x(N )i =
2
n
n
∑ j=0
x( j)i − x
(R)i
− x
(R)i (114)
pentru i = 1, 2, . . . , n, unde N este varful nou, R reprezinta varful respins.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 183/325
p , , , , , p pPentru situatia ın care n = 2 relatia (114) devine:
x
(N )
i = 2
∑ j=0 x
( j)
i − x
(R)
i − x
(R)
i = x
(P1)
i + x
(P2)
i − x
(R)
i
unde varfurile P1 si P2 sunt varfurile pastrate (fig. 21).
UBB Cluj-Napoca, ROM ˆANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016183/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda poliedrului
x2
x(N )2
P1
P
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 184/325
x1
x(R)2
x(R)1 x(N )
1
P2
Figura 21. Eliminarea varfului respins.
UBB Cluj-Napoca, ROM ˆANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016184/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda poliedrului
x2
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 185/325
x1
Figura 22. Metoda poliedrului.
UBB Cluj-Napoca, ROM ˆANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016185/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda poliedrului extensibil
Metoda SIMPLEX (elaborat de Nelder si Mead) este o dezvol-
tare a metodei poliedrului. Caracteristica principala consta ın
utilizarea unui set de n + 1 puncte exploratoare, ce formeaza
ın spatiul de cautare varfurile unui hiperpoliedru.
La fiecare iteratie varful cel mai nefavorabil (ın care functia
obiectiv are cea mai slaba valoare) este ınlocuit cu un punct
corespunzator unei valori mai avantajoase a functiei obiectiv.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 186/325
p j ¸
Inlocuirea se realizeaza prin proiectarea punctului nefavora-
bil prin centrul de greutate a celorlalte varfuri ale hiperpolie-
drului de explorare.Diferenta fata de metoda poliedrului consta ıntr-o etapa su-
plimentara de extensie a poliedrului pe directia reflexiei favo-
rabile.
UBB Cluj-Napoca, ROM ˆANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016186/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda poliedrului extensibil
Pentru iteratia k , minimizarea functiei obiectiv f ob(x) decurge dupa urmatorul
algoritm:
1. se determina care din varfurile hiperpoliedrului de explorare cores-
punde valorii celei mai mari si respectiv valorii celei mai mici a functiei
obiectiv astfel:
f x(k )
M = max f x(k )
1 , f x(k )
2 , . . . , f x(k )
n+1 (115)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 187/325
si
f
x
(k )m
= min
f
x
(k )1
, f
x
(k )2
, . . . , f
x
(k )n+1
(116)
2. se calculeaza coordonatele centrului de greutate xW al varfurilor hiper-
poliedrului, exceptand varful x(k )W :
x(k )
W =
1
n + 1 n+1
∑ j=1x
(k )
j − x(k )
M (117)
UBB Cluj-Napoca, ROM ˆANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016187/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda poliedrului extensibil
3. se”
reflecta” punctul de coordonate x(k ) M prin centrul de greutate xW , re-
zultand:
x
(k )
R = x
(k )
W + α x
(k )
W − x
(k )
M (118)unde coeficientul de reflexie α > 0. Se calculeaza valoarea functiei obiec-
tiv ın punctul de reflexie, f
x
(k )R
.
4. daca f x(k )R f x(k )m
, se trece la o extindere a reflexiei:
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 188/325
x
(k )E = x
(k )R + γ
x
(k )R − x
(k )W
(119)
unde γ > 1 este coeficientul de extindere.
In situatia ın care f
x(k )E
< f
x
(k )m
, se ınlocuieste x
(k ) M cu x
(k )R , dupa
care se trece la iteratia urmatoare: k = k + 1.
In situatia ın care f x(k )R > f x
(k )m algoritmul continua ın urmatorul
mod:
UBB Cluj-Napoca, ROM ˆANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016188/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda poliedrului extensibil
5. daca, ın afara de x(k ) M exista cel putin ınca un punct x
(k )O pentru care:
f x(k )R < f x
(k )O < f x
(k ) M (120)
se ınlocuieste x(k ) M cu x
(k )R , dupa care se trece la iteratia urmatoare: k =
k + 1.
6. daca ınsa un astfel de punct nu exista, se efectueaza o contractie a refle-i i
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 189/325
xiei:
x(k )C = x
(k )W + β
x
(k ) M − x
(k )W
(121)
unde 0 < β < 1 este coeficientul de contractie. Se ınlocuieste x(k ) M cu x(k )C ,dupa care se trece la iteratia urmatoare: k = k + 1.
7. daca reflexia a fost total nefavorabila, f x(k )R f x
(k ) M se efectueaza
o reducere a hiperpoliedrului de explorare conform relatiei:
x(k ) j = x
(k )m + 0,5
x
(k ) j − x
(k )m
j = 1, . . . , n + 1 (122)
UBB Cluj-Napoca, ROM ˆANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016189/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Metoda poliedrului extensibil
Inainte de trecerea la o noua iteratie (revenire a pct.1 din algoritm) se efectu-
eaza testele de stop. Un criteriu propus de Nelder si Mead consta ın satisfacerea
relatiei:
1
n + 1
n+1
∑ j=1
f
x(k ) j
− f
x
(k )W
2 ε (123)
unde ε reprezinta precizia ceruta.
Coeficientii α β γ au o influenta considerabila asupra numarului total de
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 190/325
Coeficientii α, β, γ au o influenta considerabila asupra numarului total de
evaluari ale functiei obiectiv pana la atingerea punctului de extrem cu preci-
zia dorita. Nelder si Mead propun urmatoarele valori: α = 1, β = 0,5 si γ = 2.
UBB Cluj-Napoca, ROM ˆANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016190/324
Exemple: Compozitia la echilibru a unui amestec gazos
In procedeul de obtinere a H2SO4 prin procedeul de contact amestecul de gaze
ce intra ın reactorul ce lucreaza la temperatura de 500˚C si presiunea de 1 atm.
are compozitia:
SO2 7,8 [%]v,
O2 10,8 [%]v,
N2 81,4 [%]v.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 191/325
N2 81,4 [%]v.
Sa se calculeze compozitia gazelor care ies din reactor prin metoda minimizarii
entalpiei libere.
UBB Cluj-Napoca, ROM ˆANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016191/324
Exemple: Compozitia la echilibru a unui amestec gazos
Rezolvare:Compozitia la echilibru a unui amestec de N componente ın faza gazoasa la
temperatura T si presiunea P poate fi determinata prin minimizarea entalpiei
libere a amestecului. Dependenta de presiune a entalpiei libere pentru specia i
se calculeaza cu relatia:
∆GT ,i = ∆G0T ,i +
P V d p (124)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 192/325
p0=1
unde: ∆GT ,i este entalpia libera a speciei i la temperatura T si presiunea P;
∆G0T ,i - entalpia libera a speciei i la temperatura T si presiunea
standard p0;
V - volumul.
UBB Cluj-Napoca, ROM ˆANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016192/324
Exemple: Compozitia la echilibru a unui amestec gazos
Considerand specia chimica i gaz ideal, stiind ca pentru un mol p V = R T ,
relatia anterioara devine:
∆GT ,i = ∆G0T ,i +
P p=1
RT d p p
= ∆G0T ,i + RT ln P (125)
Entalpia libera a unui amestec gazos de N componente la temperatura T si
presiunea P se calculeaza cu relatia:
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 193/325
∆GT ,am =N
∑ i=1
ni ∆GT ,i (126)
unde ni reprezinta numarul de moli din specia i.
Aplicand ipoteza gazelor ideale, din expresiile (125) si (126) obtinem:
∆GT ,am =
N
∑ i=1 ni ∆G0T ,i + RT ln pi (127)
unde pi reprezinta presiunea partiala a speciei i.
UBB Cluj-Napoca, ROM ˆANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016193/324
Exemple: Compozitia la echilibru a unui amestec gazos
Inlocuind:
pi = yi P = ni
N
∑ i=1 ni
P (128)
unde yi este fractia molara a speciei i, obtinem:
∆GT ,am =
N
∑ i=1ni ∆G0T ,i + RT ln ( yi P) (129)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 194/325
Prin ımpartirea la termenul RT obtinem:
∆GT ,am
RT =
N ∑ i=1
ni
∆G0T ,i
RT + ln P + ln ( yi P)
(130)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016194/324
Exemple: Compozitia la echilibru a unui amestec gazos
Determinarea compozitiei de echilibru implica minimizarea functiei obiectiv:
minni
f ob =N
∑ i=1
ni∆G0
T ,i
RT + ln P + ln
ni
∑ N i=1 ni (131)
cu respectarea restrictiilor date de legea conservarii masei:
N
∑ i=1
ai, j ni = b j unde j = 1, . . . , M (132)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 195/325
unde: ai, j este numarul de atomi ai elementului j continuti de specia i;
b j - masa atomica totala initiala din amestec a elementului j;
M - numarul total de specii atomice diferite.
Solutia trebuie sa contina doar elemente pozitive, adica:
ni 0 pentru i = 1, 2, . . . , N
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016195/324
Exemple: Compozitia la echilibru a unui amestec gazos
Entalpia libera a componentului i se calculeaza pe baza entalpiei si entropiei:
∆G0T ,i = ∆ H 0T ,i + T ∆S0
T ,i (133)
Dependenta cu temperatura a entalpiei si entropiei componentului i este datade relatiile:
∆ H 0T ,i = ∆ H 0T 0,i +
T
T 0
c p,i dT (134)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 196/325
∆S0
T ,i = ∆S0T 0,i +
T
T 0
c p,i
T dT (135)
unde ∆ H 0T 0,i si ∆S0T 0,i sunt valorile ın conditii standard.
Caldura specifica c p,i a componentului i se exprima cu ajutorul relatiei de core-
lare de forma:c p,i = αi + βi T + γi
T 2 (136)
unde αi, βi si γi sunt constante specifice componentului i.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016196/324
Exemple: Compozitia la echilibru a unui amestec gazos
Prin substituirea relatiilor (134), (135) si (136), ın urma integrarii, din relatia
(133) rezulta:
∆G0T ,i = ∆ H 0T 0,i + T ∆S0T 0,i + αi ln T
T 0+ (αi − βi T ) (T − T 0) +
+ βi
2 (T − T 0)2 − γi
2
1
T − T 0+
T
(T − T 0)2
(137)
Aplicatie numerica
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 197/325
Aplicatie numerica
Reactiile pe care le consideram a avea loc ın reactor sunt:
SO2
+ 12
O2 −−→←−− SO
3 (138)
1
2
N2
+ 1
2
O2
−−→←−− NO (139)
Calcularea compozitiei la echilibru a amestecului se bazeaza pe datele termo-
dinamice ale componentelor, date care sunt prezentate ın tabelul 6.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016197/324
Exemple: Compozitia la echilibru a unui amestec gazos
Tabelul 6. Date termodinamice ale componentelor amestecului de reactie
Componenta
∆ H 0298 ∆S0298
c p, [J/(mol
·K)]
[J/mol] [J/(mol·K)] α β · 103 γ · 10−5
O2 0 205,03 31,46 3,39 −3,77
N2 0 191,50 27,87 4,27 −SO2 −296,900 248,11 42,55 12,55 5,65
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 198/325
SO2 296,900 248,11 42,55 12,55 5,65
SO3 −395,200 256,23 57,32 26,86 −13,05
NO 90,370 210,62 29,58 3,85 −0,59
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016198/324
Exemple: Compozitia la echilibru a unui amestec gazos
Conform relatiei (137) entalpia libera a componentelor este:
∆G0T ,O2
= 0 + T 205,03 + 31,46 lnT
T 0 + (31,46 − 3,39 · 10−3T )∆T +
+3,39 · 10−3
2 ∆2T +
3,77 · 105
2
1
∆T +
T
∆2T
= 195.749,52
(140)
∆G0T ,N2
= 0 + T
191,50 + 27,87 ln T T0
+ (27,87 − 4,27 · 10−3T )∆T +
(141)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 199/325
T 0
+
4,27 · 10−3
2
∆2T = 180.716,58
(141)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016199/324
Exemple: Compozitia la echilibru a unui amestec gazos
∆G0T ,SO2
= −296900 + T
248,11 + 42,55 ln
T
T 0
+
+(42,55 − 12,55 · 10−3T )∆T +12,55
·10−3
2 ∆2T −
−5,65 · 105
2
1
∆T +
T
∆2T
= −56.740,60
(142)
∆G0 395200 T
256 23 57 32 l
T
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 200/325
∆G0T ,SO3
= −395200 + T
256,23 + 57,32 ln
T 0
+
+(57,32 − 26,86 · 10−3T )∆T + 26,86 · 10−3
2 ∆2T +
+13,05 · 105
2
1
∆T +
T
∆2T
= −134.505,29
(143)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016200/324
Exemple: Compozitia la echilibru a unui amestec gazos
∆G0T ,NO = 90370 + T
210,62 + 29,58 ln
T
T 0
+
+(29,58 − 3,85 · 10−3T )∆T +3,85
·10−3
2 ∆2T +
+0,59 · 105
2
1
∆T +
T
∆2T
= 288.045,37
(144)
unde T = 500 + 273 = 773 K si ∆T = T − T 0 = 773 − 298 = 475 K.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 201/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016201/324
Exemple: Compozitia la echilibru a unui amestec gazos
In aceste conditii functia obiectiv devine:
minn
O2, n
N2,
nSO2 , nSO3 ,nNO
nO2 195.749,52
RT
+ ln P + lnnO2
∑ ni +
+nN2
180.716,58
RT + ln P + ln
nN2
∑ ni
+
+nSO2
-56.740,60
RT + ln P + ln
nSO2
∑ ni
+ (145)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 202/325
RT ∑ ni
+nSO3 -134.505,29
RT + ln P + ln
nSO3
∑ ni+
+ nNO
288.045,37
RT + ln P + ln
nNO
∑ ni
unde:∑ ni = nO2
+ nN2 + nSO2
+ nSO3 + nNO
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016202/324
Exemple: Compozitia la echilibru a unui amestec gazos
Restrictiile la care este supusa aceasta functie obiectiv sunt date de ecuatiile de
bilant de masa pentru oxigen, azot si sulf. Aceste relatii sunt identificate pe
baza coeficientilor ai, j si b j prezentate ın tabelul 7:
Tabelul 7. Coeficientii ai, j si bi ai
speciilor si componentelor din amestec
j i O N S
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 203/325
O2 2 0 0
N2 0 2 0SO2 2 0 1
SO3 3 0 1
NO 1 1 0
b j 0,372 1,628 0,078
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016203/324
Exemple: Compozitia la echilibru a unui amestec gazos
2 nO2 + 2 nSO2
+ 3 nSO3 + nNO = 0,372
2 nN2 + nNO = 1,628
nSO2 + nSO3 = 0,078
(146)
Problema de optimizare este supusa la 3 restrictii si are un numar de 5 variabile
de decizie. Putem sa exprimam din sistemul de restrictii 3 variabile de decizie
ın functie de celelalte doua, prin acesta putem reduce dimensionalitateaproblemei de la 5 variabile de decize la doua. Fie aceste doua variabile de
d i i i E iil d b tit ti t i t
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 204/325
decizie nNO si nSO3. Expresiile de substitutie pentru nN2
, nSO2 si nO2
sunt:
nN2
= 0,814−
0,5 nNO
nSO2 = 0,078 − nSO3
nO2 = 0,108 − 0,5 nSO3
− 0,5 nN2
(147)
Rezolvarea acestei probleme s-a f acut utilizand functia fmins din MATLAB prinscrierea unei functii externe ce calculeaza valoarea entalpiei libere a
amestecului de gaze ın conditiile prezentate ın problema. Functia este:
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica 24 februarie 2016204/324
function y = AmGazR(x);
% Calculeaza valoarea entalpiei libere a
% amestecului de gaze la T=500 grd.C si P=1 atm.
%
% stabilirea constantelor
T = 500 + 273; % [K]
T0 = 298; % [K]
DT = T - T0; % [K]
P = 1; % [atm]
R = 8.314; % [J/(mol K)]
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 205/325
% identificarea variabilelor de decizie
nSO3 = x(1);nNO = x(2);
% fixarea restrictiilor
nSO2 = 0.078 - nSO3;
nO2 = 0.108 - 0.5*nSO3 - 0.5*nNO;nN2 = 0.814 - 0.5*nNO;
% calcularea entalpiei libere a componentilor
G_O2 = 0 + T*(205.03 + 31.46*log(T/T0)) + ...
(31.46 - 3.39e-3*T)*DT + 3.39e-3/2*DTˆ2 + ...
3.77e-5/2*(1/DT + T/DTˆ2);
G_N2 = 0 + T*(191.5 + 27.87*log(T/T0)) + ...
(27.87 - 4.27e-3*T)*DT + 4.27e-3/2*DTˆ2;
G_SO2 = -296900 + T*(248.11 + 42.55*log(T/T0)) + ...
(42.55 - 12.55e-3*T)*DT + 12.55e-3/2*DTˆ2 - ...
5.65e-5/2*(1/DT + T/DTˆ2);
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 206/325
G_SO3 = -395200 + T*(256.23 + 57.32*log(T/T0)) + ...
(57.32 - 26.86e-3*T)*DT + 26.86e-3/2*DTˆ2 + ...13.05e-5/2*(1/DT + T/DTˆ2);
G_NO = 90370 + T*(210.62 + 29.58*log(T/T0)) + ...
(29.58 - 3.85e-3*T)*DT + 3.85e-3/2*DTˆ2 + ...
0.59e-5/2*(1/DT + T/DTˆ2);
% numarul total de moli
nT = nO2 + nN2 + nSO2 + nSO3 + nNO;
% calcularea elementelor din functia obiectiv
% cu impunerea domeniului de cautare >= 0if nO2 <= 0
y1 = 1e10;
else
y1 = nO2*(G_O2/(R*T) + log(P) + log(nO2/nT));
end;
if N2 0
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 207/325
if nN2 <= 0
y2 = 1e10;
else
y2 = nN2*(G_N2/(R*T) + log(P) + log(nN2/nT));
end;
if nSO2 <= 0
y3 = 1e10;
else
y3 = nSO2*(G_SO2/(R*T) + log(P) + log(nSO2/nT));
end;
if nSO3 <= 0
y4 = 1e10;
else
y4 = nSO3*(G_SO3/(R*T) + log(P) + log(nSO3/nT));
end;
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 208/325
if nNO <= 0
y5 = 1e10;
else
y5 = nNO*(G_NO/(R*T) + log(P) + log(nNO/nT));
end;
% calcularea valorii functiei obiectivy = y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 ;
%PROGRAM pt. calcularea compozitiei la echilibru
% a amestecului gazos de reactie
%
% setare valori pt. structura OPTIONSOPTIONS = optimset(’TolX’,1e-20, ...
’TolFun’,1e-20, ...
’MaxFunEvals’,1000);
% apelarea functiei fmins
c = fminsearch(’AmGazR’,[1e-3 1e-3],OPTIONS);
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 209/325
% identificarea solutiei obtinute
nSO3 = c(1);
nNO = c(2);
nSO2 = 0.078 - nSO3;
nO2 = 0.108 - 0.5*nSO3 - 0.5*nNO;
nN2 = 0.814 - 0.5*nNO;
% calcularea compozitiei de echilibru
nT = nO2+nN2+nSO2+nSO3+nNO;
cO2 = nO2/nT;
cSO2 = nSO2/nT;
cSO3 = nSO3/nT;cNO = nNO/nT;
cN2 = nN2/nT;
% afisarea solutiei optime
disp([cO2 cSO2 cSO3 cNO cN2]’);
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 210/325
Exemple: Compozitia la echilibru a unui amestec gazos
Solutia identificata pe aceasta cale este data de urmatoarea compozitie a
amestecului de gaze la iesirea din reactor:
SO2
4,263·
10−
11 [%]v
,
O2 7,180 [%]v,
N2
84,703 [%]v
,
SO3 8,116 [%]v,
(148)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 211/325
NO 4,433 · 10−6
[%]v.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica24 februarie 2016
211/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Functii MATLAB
Functii MATLAB utilizate ın optimizareamultidimensionala
• minimizare multidimensionala f ara restrictii:
fmins
exemplu de apelare: xopt = fmins(fun,x0)
fminsearch
exemplu de apelare: xopt = fminsearch(fun,x0)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 212/325
fminunc
exemplu de apelare: xopt = fminunc(fun,x0)
• minimizare multidimensionala cu restrictii:
fmincon
exemplu de apelare:
xopt = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica24 februarie 2016
212/324
Metode de programare
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 213/325
Optimizarea Proceselor Chimice: Metode de programare
Metode de programare
sunt metode ce se aplica ın situatia ın care functiaobiectiv si restrictiile prezinta anumite forme de re-
prezentare specifice.
Principalele metode de programare sunt:◮ programarea liniar˘ a,
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 214/325
◮ programarea dinamic˘ a,
◮ programarea p˘ atratic˘ a,◮ etc.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica24 februarie 2016
214/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Programarea liniara
Metoda de programare liniara a fost dezvoltat de George Danzig ın 1947 si se
refera la rezolvarea problemelor de optimizare ın care atat functia obiectiv cat
si restrictiile sunt expresii liniare ın raport cu variabilele de decizie.
In cadrul acestor probleme se minimizeaza functii obiectiv de forma:
minx
f ob =n
∑ i=1
ci xi (149)
supuse la sistemul de restrictii:
n
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 215/325
n
∑ i=1
aijxi b j j = 1, 2, . . . , l (150)
n
∑ i=1
aijxi = b j j = l + 1 , . . . , m (151)
undexi 0 i = 1, 2, . . . , n (152)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica24 februarie 2016
215/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Programarea liniara
Astfel de probleme de optimizare sunt ın general tipice sistemelor economice
cum ar fi problemele de alocare optima de resurse, optimizarea transporturilor,
optimizarea deciziilor, etc.
In ingineria chimica astfel de probleme sunt mai rare, ın mare parte datoratefaptului ca procesele respective nu pot fi redate prin expresii liniare. Totusi pro-
bleme de optimizare cu expresii ale functiei obiectiv si ale restrictiilor de tipul
aratat, apar ın ingineria chimica ın general ın situatia ın care modelele mate-
matice ale fenomenelor sunt liniarizare ori rezulta din analiza de regresie ıntr-o
astfel de forma. De asemenea, sunt comune si problemele de calcul concentratii
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 216/325
p
ori amestecuri, ce ın anumite situatii duc tot la probleme rezolvabile prin pro-
gramare liniara.Importanta rezolvarii problemelor de programare liniara deriva din faptul ca
prin aceasta metoda pot fi rezolvate probleme cu nu numar deosebit de mare
de variabile si restrictii, permitand pe aceasta cale abordarea optimizari unor
sisteme mari (grupuri de instalatii, platforme industriale, s.a.m.d.).
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica24 februarie 2016
216/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Programarea liniara
Conform relatiei (149), prin derivarea functiei obiectiv ın raport cu variabilele
de decizie se obtine:∂ f
∂ xi
= ci (153)
Se observa ca aplicarea metodelor analitice clasice nu este posibila deoarece
derivatele nu sunt dependente de variabilele de decizie ci sunt egale cu niste
constante.
Pentru identificarea unei solutii ıntr-o astfel de situatie, singura posibilitate
este ca aceasta sa fie situata pe limita domeniului admis definit de sistemul
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 217/325
de restrictii.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica24 februarie 2016
217/324
Programarea liniara: Exemplu
O firma dispune de doua tehnologii ce permit obtinerea a doua
produse, P1 si P2 utilizand doua materii prime, M1 si M2.
Consumurile specifice din cele doua materii prime sunt de:◮ 1 kg M1/kg P1 si 3 kg M2/kg P1, respectiv
◮ 2 kg M2/kg P1 si 1 kg M2/kg P2.
Daca beneficiile obtinute prin valorificarea produselor fabricate
sunt de 150 lei/kg P1 respectiv 100 lei/kg P2 sa se determine can-
i il fi b i di l d d ili ˆ d
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 218/325
titatile ce urmeaza a fi obtinute din cele doua produse utilizand
100 kg materie prima M1 si 150 kg materie prima M2 ın asa felıncat beneficiul obtinut sa fie maxim.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica24 februarie 2016
218/324
Programarea liniara: Exemplu
Rezolvare:Formularea matematica a acestei probleme de alocare optima a resurselor este
data de functia obiectiv:
maxx
f ob = 150 x1 + 100 x2 (154)
supusa la restrictiile:
x1 + 2 x2 100
3 x1 + x2 150(155)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 219/325
3 x1 + x2 150
x1, x2 0unde x1 si x2 reprezinta cantitatile obtinute din cele doua produse, P1 si P2.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica24 februarie 2016
219/324
Programarea liniara: Exemplu
Figura 23. Rezolvarea grafica
ın programarea liniara.
Din reprezentarea grafica se observa ca
solutia optima este cea data de un varf
al domeniului de cautare, varful C de
coordonate sunt x∗1 = 40 si x∗
2 = 30.
x2
100
150
f o b
= 1 5
. 0 0
f ∗ o b
= 9 . 0 0
x
1 +
2 x
2
1 0 0
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 220/325
Valoarea functiei obiectiv pentru care
dreapta prin care ea este reprezentata
intersecteaza domeniul de cautare este
de 9.000 lei si reprezinta beneficiul ma-
xim realizabil.
x10
50 100
50
x∗1
x∗2
A
B
C
D
00 0
u . a .
00 u . a .
3 x 1 +
x 2
1 5 0
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica24 februarie 2016
220/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Programarea liniara
Din acest exemplu putem observa ca exista 4 situatii posibile:
1. solut ¸ie unic˘ a - cazul cel mai dorit, identic cu cea ce se observa ın exemplul
anterior (fig. 23). In aceasta situatie exista o solutie unica ce corespunde
unui varf al domeniului de cautare.
2. solut ¸ie multipl˘ a (fig. 24.a) - apare atunci cand functia obiectiv prin transla-
tare se poate suprapune peste una din restrictii. In aceasta situatie toate
punctele de-a lungul acestei restrictii, pe limitele dictate de domeniul decautare, vor avea ca rezultat acceasi valoare a functiile obiectiv. Toate
punctele din acest domeniu (x1, x2) vor fi solutii ale problemei de opti-
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 221/325
p ( 1, 2) ¸ p p
mizare.
3. solut ¸ie nem˘ arginit˘ a (fig. 24.b) - daca sistemul de restrictii formeaza un do-
meniu de cautare nemarginit atunci solutie problemei este la infinit.
4. solut ¸ie imposibil˘ a (fig. 24.c) - daca sistemul de restrictii formeaza un do-
meniu de cautare vid, problema nu are solutie.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica24 februarie 2016
221/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Programarea liniara
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 222/325
a b c
Figura 24. Solutii posibile ın programarea liniara:
a - solutii multiple; b - solutie nemarginita; c - solutie imposibila.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica24 februarie 2016
222/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Programarea liniara
Problemele de optimizare rezolvabile prin programare liniara sunt mult prea
complexe pentru a putea fi rezolvate geometric. Rezolvarea acestor probleme
se face prin metode algebrice.
Rezolvare algebricaAlgoritmul algebric de rezolvare a problemelor de programare liniara include
doua etape:
Pasul 1. determinarea initiala a unei solutii de baza admise;
Pasul 2. schimbarea solutiei de baza admise, cu o alta, pana la
determinarea punctului de optim
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 223/325
determinarea punctului de optim.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica24 februarie 2016
223/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Programarea liniara
Pasul 1. In cadrul acestui pas, se efectueaza urmatoarele operatii:
a) Aducerea problemei la forma standard.
Transformam restrictiile de tip inegalitate ın restrictii de tip egalitate conform
relatiilor:
n
∑ i=1
aijxi b j =⇒n
∑ i=1
aijxi + xn+ j = b j sau
n
∑ i=1
aijxi b j =⇒n
∑ i=1
aijxi − xn+ j = b j pentru j = 1, 2, . . . , l
(156)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 224/325
prin adaugarea unor variabile fictive xn+1, . . . , xn+l cu respectarea conditieide nonnegativitate xn+ j 0 pentru j = 1, 2, . . . , l.
In urma acestei etape obtinem o problema de optimizare ın care avem N =n+l
variabile de decizie (n variabile de decizie initiale plus cele l variabile de
decizie fictive adaugate pentru convertirea restrictiilor de tip inegalitate larestrictii de tip egalitate) supuse la m restrictii de tip egalitate.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica24 februarie 2016
224/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Programarea liniara
b) Identificarea unei solutii de baza initiale.
Sistemul de restrictii include m ecuatii si N variabile. Ca urmare N − m varia-
bile pot fi alese arbitrar, celelalte m variabile fiind astfel complet determinate.
Daca luam cele N − m variabile egale cu zero si calculam celelalte m variabiledin sistemul de restrictii, obtinem o solutie a sistemului ce se numeste solut ¸ie
de baz˘ a, ın care cele m variabile determinate constituie baza solutiei de baza,
iar cele N −
m variabile egale cu zero constituie non-baza solutiei de baza.
Daca solutia de baza astfel determinata are elementele din baza non-negative,
solutia de baza se numeste solut ¸ie de baz˘ a admis˘ a, si pentru domeniul de cau-
t d i ˆ f
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 225/325
tare corespunde unui varf.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica24 februarie 2016
225/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Programarea liniara
Pasul 2. Pentru ımbunatatirea solutiei initiale se efectueaza operatiile:
a) Rearanjarea restrictiilor si a functiei obiectiv.
Pornind de la restrictii, se exprima variabilele din non-baza solutiei de baza ın
functie de variabilele din baza solutiei de baza. De asemenea se rearanjeazafunctia obiectiv ın asa fel ıncat sa fie exprimata doar ın functie de variabilele
din baza solutie de baza.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 226/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
226/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Programarea liniara
b) Deplasarea ıntr-un alt varf al domeniului de cautare cu scopul de a ameli-
ora valoarea functiei obiectiv.
Aceasta deplasare se va efectua ıntr-un varf alaturat al domeniului de cautare
prin modificarea unei variabile din non-baza. Pentru alegerea variabilei ceurmeaza sa fie modificata se analizeaza expresia functiei obiectiv.
Pentru a mari valoarea functiei obiectiv, cu scopul de a maximiza valoarea
sa, trebuie sa crestem valoarea variabilei cu coeficient pozitiv (ın situatia ıncare avem mai multe variabile cu coeficient pozitiv, cea mai buna cale este
alegerea variabilei cu coeficientul pozitiv cel mai mare).
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 227/325
Pentru a micsora valoarea functiei obiectiv, cu scopul de a minimiza valoa-rea sa, trebuie sa marim valoarea variabilei cu coeficient negativ (ın situatia
ın care avem mai multe variabile cu coeficient negativ se alege variabila de
decizie ce prezinta valoarea negativa cea mai mare).
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
227/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Programarea liniara
Observatie: M˘ arirea valorii acestei variabile se face pˆ an˘ a la limita la
care nici una din variabilele din baz˘ a nu devine negativ˘ a.
Pe aceast˘ a cale se identific˘ a o nou˘ a solut ¸ie de baz˘ a
admis˘ a ce corespunde unui vˆ arf al˘ aturat vˆ arfului curent
al domeniului de c˘ autare, vˆ arf ın care avem cea mai
favorabil˘ a valoare a funct ¸iei obiectiv.
Pasul 2 este reluat atat timp cat exista posibilitatea unei ımbunatatiri a valorii
functiei obiectiv.
Acest lucru este posibil cat timp ın expresia functiei obiectiv exista variabile de
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 228/325
Acest lucru este posibil cat timp ın expresia functiei obiectiv exista variabile de
decizie cu coeficient pozitiv ın situatia cautarii unui maxim, sau cat timp existavariabile de decizie cu coeficient negativ, ın situatia cautarii unui minim.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
228/324
Programarea liniara: Algoritmul Simplex
Algoritmul Simplex
Algoritmul Simplex reprezinta o algoritmizare a metodei
algebrice prezentate pentru a putea fi utilizat pe calculator.
Se porneste de la un tablou ın care sunt introduse toti
coeficientii din functia obiectiv si din sistemul de restrictii,
denumit tablou simplex (tabelul 8).
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 229/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
229/324
Programarea liniara: Algoritmul Simplex
Tabelul 8. Tabloul Simplex
x1 x2 . . . xn xn+1 xn+2 . . . xn+l b
a1,1 a1,2 . . . a1,n 1 0 . . . 0 b1
a2,1 a2,2 . . . a2,n 0 1 . . . 0 b2
......
. . . ...
......
. . . ...
...
al,1 al,2 . . . al,n 0 0 . . . 1 bl
al+1,1 al+1,2 . . . al+1,n 0 0 . . . 0 bl+1
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 230/325
al+2,1 al+2,2 . . . al+2,n 0 0 . . . 0 bl+2
......
. . . ...
......
. . . ...
...
am,1 am,2 . . . am,n 0 0 . . . 0 bm
c1,1 c1,2 . . . c1,n 0 0 . . . 0 f ob
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
230/324
Programarea liniara: Algoritmul Simplex
Se porneste de la o solutie fesabila/admisa initiala, pentru care functia obiectiv
si restrictiile sunt scrise sub forma:
− f ob = −n+m
∑ i=1
ci xi = −bm+1 (157)
n+m
∑ i=1
aijxi = b j , j = 1, . . . , m (158)
Daca x1, x2,..., xn sunt variabilele din non-bazei (care au valoarea zero) iar
xn+1, xn+2,..., xn+m sunt variabilele din baza (cele calculate pe baza restrictii-
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 231/325
n+1 + + ( p ¸
lor ın functie de variabilele din non-baza) se ıntocmeste corespunzator solutieiinitiale de baza, relatiile (157) si (158), urmatorul tabel:
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
231/324
Programarea liniara: Algoritmul Simplex
ITERATIA 0 x1 x2 . . . xn b
xn+1 a11 a12 . . . a1n b1
xn+2 a21 a22 . . . a2n b2
......
... . . .
......
xn+m am1 am2 . . . amn bm
f −c1 −c2 . . . −cn bm+1
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 232/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
232/324
Programarea liniara: Algoritmul Simplex
Trecerea de la un varf la altul al hiperpoliedrului ce delimi-
teaza domeniul de cautare admis pana la varful ce corespun-
de solutiei problemei de optimizare corespunde cu o serie de
transformari ın cadrul acestui tabel de date.Pentru fiecare iteratie ın cadrul algoritmului Simplex se fac
urmatoarele operatii:
1. se determina coloana corespunzatoare variabilei ce va
intra ın baza;
2. se determina linia corespunzatoare a variabilei ce iese
din baza;
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 233/325
din baza;
3. se interschimba pozitia variabilelor respective si se re-
calculeaza coeficientii din tabel astfel ıncat sa cores-
punda noii solutii de baza.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
233/324
Programarea liniara: Algoritmul Simplex
Detailarea algoritmului este urmatoarea:
1. se va cauta ın caz de maximizare ın ultima linie a tabelului coeficientul cu
cea mai mare valoare negativa (ın caz de minimizare - coeficientul cu cea
mai mare valoare pozitiva). Coloana corespunzatoare indica variabilacare va intra ın baza si se mai numeste si coloana pivot;
2. pentru determinarea variabilei ce iese din baza se identifica pe coloana
pivotului pozitia coeficientului pozitiv pentru care raportul dintre ter-menul liber corespunzator si coeficient este cel mai mic. Acest coeficient
este denumit pivot. Linia corespunzatoare acestui coeficient corespunde
variabilei ce urmeaza sa iasa din baza si se mai numeste si linia pivot
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 234/325
variabilei ce urmeaza sa iasa din baza si se mai numeste si linia pivot.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
234/324
Programarea liniara: Algoritmul Simplex
3. Conform schimbarii reciproce a pozitiei relative a celor doua variabile se
vor interschimba simbolurile lor din prima linie respectiv prima coloana
a tabelului. Recalcularea coeficientilor are loc astfel:
• noua valoare a pivotului este 1/α pq
• noile valori ale celorlalti coeficienti de pe linia pivotului sunt
α pj/α pq
• noile valori ale celorlalti coeficienti de pe coloana pivotului sunt−αiq/α pq
• noile valori ale celorlalti coeficienti sunt αij − α pjαiq/α pq .
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 235/325
(ın aceste relatii p este indicele liniei pivotului, q indicele coloanei
pivotului, α pq valoarea pivotului, iar αij valoarea coeficientului
situat pe linia i, coloana j, unde i = q si j = p ).
Repetarea acestor etape este f acuta pana cand toti coeficientii de pe ultima linie
a tabelului situate pe coloanele variabilelor au acelasi semn (pozitiv pentru ma-
ximizare, negativ pentru minimizare).
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
235/324
Programarea liniara: Exemplu
Sa se maximizeze functia obiectiv:
f ob = 2x1 + 3x2 (159)
supusa la restrictiile:
−x1 + 2x2 6
2x1 + x2 82x1 − x2 4
(160)
si x1, x2 0.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 236/325
si x1, x2 0.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
236/324
Programarea liniara: Exemplu
Rezolvare:Prin introducerea variabilelor fictive x3, x4 si x5 se obtine:
maxx f ob = 2 x1 + 3 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 (161)
supusa la restrictiile
−x
1 + 2x
2 + x
3 = 6
2x1 + x2 + x4 = 8
2x1 − x2 + x5 = 4
(162)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 237/325
si x1, x2, x3, x4 si x5 0.Solutia de baza admisa evidenta este data de non-baza x1 = 0, x2 = 0, iar din sis-
temul de restrictii rezulta valorile variabilelor din baza solutiei de baza admise
x3 = 6, x4 = 8, x5 = 4.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
237/324
Programarea liniara: Exemplu
Problema de optimizare este transpusa ın tabel, conform
algoritmului Simplex, ın felul urmator:
ITERATIA 0 x1 x2 b
x3 −1 2 6
x4 2 1 8x5 2 −1 4
f −2 −3 0
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 238/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
238/324
Programarea liniara: Exemplu
ITERATIA 1 x1 x3 b
x2 − 12
12 3
x4 2 − 1·(−1)2 = 5
2 − 12 8 − 1·6
2 = 5
x5 2−
(−1)·(−1)
2
= 3
2
1
2
4−
6·(−1)
2
= 7
f −2 − 32 = − 7
232 0 − 6·(−3)
2 = 9
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 239/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
239/324
Programarea liniara: Exemplu
ITERATIA 2 x4 x3 b
x2 − 12 · −
25 = 1
512 − − 1
2 · − 12
25 = 2
5 3 + 5 12 · 2
5 = 4
x152 − 1
2 · 25 = − 1
5 5 25 = 2
x53
2 · − 2
5 =−
3
5
1
2 − 3
2 · −1
2 · 2
5
= 11
10
7−
5 3
2 · 2
5
= 4
f − 72 ·− 2
5
= 7
532 −
− 72
·− 1
2
· 2
5 = 45 9 − 5
− 72
· 25 = 16
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 240/325
Cautarea se termina deoarece toti coeficientii variabilelor din functia obiectiv sunt pozi-tivi. Solutia problemei este: x∗1 = 2, x∗
2 = 4, x∗3 =0 si f ∗ob = 16.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
240/324
Exemple: Determinarea cailor optime de aprovizionare
Un combinat chimic dispune de 3 sectii S1, S2 si S3. Materia prima necesara
functionarii celor trei sectii poate fi obtinuta de la doi furnizori F1 si F2.
Tabelul 9. Date privind aprovizionarea combinatului
Cheltuieli de transportF1 F2
Necesar
[u.v./t] [t]
S1 20 30 60
S2 30 35 15
S3 20 25 30
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 241/325
Disponibil, [t] 70 40
Sa se determine planul optim de aprovizionare, ın asa fel ıncat sa avem cheltu-
ieli minime de transport.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
241/324
Programarea liniara: Exemplu
Rezolvare:Modelul matematic al procesului de optimizat include urmatoarele ecuatii:
m1,1 + m1,2 + m1,3 = MF1
m2,1 + m2,2 + m2,3 = MF2
20 m1,1 + 30 m1,2 + 20 m1,3 = C1
30 m2,1 + 35 m2,2 + 25 m2,3 = C2
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 242/325
m1,1 + m2,1 = MS1
m1,2 + m2,2 = MS2
m1,3 + m2,3 = MS3
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
242/324
Programarea liniara: Exemplu
unde: mi, j reprezinta cantitatile de materia prima transportata de la furnizorul
i la sectia j, [t];
MFi - cantitatea totala transportata de la furnizorul i, [t];
Ci - costul aprovizionarii de la furnizorul i, [u.v.];
MSi - cantitatea totala cu care s-a aprovizionat sectia i, [t].
Din lista de variabile utilizate ın modelul matematic al sistemului de optimizat,alegem cantitatile cu care se aprovizioneaza de la furnizori sectiile combinatului,
adica variabilele mi, j, ca variabile de decizie.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 243/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
243/324
Programarea liniara: Exemplu
Facand notatiile, x1 = m1,1, x2 = m1,2, x3 = m1,3, x4 = m2,1, x5 = m2,2 si x6 = m2,3,
functia obiectiv devine:
minx f ob = 20 x1 + 30 x2 + 20 x3 + 30 x4 + 35 x5 + 25 x6 (163)
fiind supusa la restrictiile:
x1 + x2 + x3 70x4 + x5 + x6 40
x1 + x4 = 60 (164)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 244/325
x2 + x5 = 15
x3 + x6 = 30
x1, x2, x3, x4, x5, x6 0
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
244/324
Exemple: Planul optim de productie
Intr-o instalatie ce produce insecticide, ın nomenclatorul de fabricatie exista la un
moment dat doua produse, P1 si P2. Fiecare din aceste produse ınglobeaza trei
materii prime M1, M2 si M3.
Tabelul 10. Date pentru instalatia de insecticide
Consum specificP1 P2
Disponibil
[kg/t] [t]
M1 200 400 20
M2 600 300 40
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 245/325
M3 200 300 30
Beneficiul, [u.v./t] 8 6
Cunoscand datele din tabelul 10, sa se determine planul optim de productie, ast-fel ıncat beneficiul realizat sa fie maxim.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
245/324
Exemple: Planul optim de productie
Rezolvare:Modelul matematic al sistemului de optimizat include urmatoarele ecuatii:
c1,1
m1 + c
1,2 m
2 = M
M1
c2,1 m1 + c2,2 m2 = M M2
c3,1 m1 + c3,2 m2 = M M3
b1 m1 + b2 m2 = B
unde: mi reprezinta cantitatile de produs i obtinute, [t];
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 246/325
ci, j - consumul specific de materie prima i necesara la fabrica-rea produsului j, [t/t];
M Mi - cantitatea de materie prima i consumata, [t];
bi - beneficiul realizat prin valorificarea produsului i, [u.v./t];
B - beneficiul total, [u.v.].
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
246/324
Exemple: Planul optim de productie
Alegem cantitatile m1 si m2 de produse fabricate ca variabile de decizie.
Notand x1 = m1 si x2 = m1 functia obiectiv a problemei de optimizare este:
maxx
f ob = 8 x1 + 6 x2 (165)
fiind supusa la urmatoarele restrictii:
0,2 x1 + 0,4 x2 20
0,6 x1 + 0,3 x2 40
0,2 x1 + 0,3 x2 30
(166)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 247/325
x1, x2 0
Problema este rezolvabila prin programare liniara si are un numar de 2 varia-
bile de decizie si 2 restrictii de tip inegalitate.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
247/324
Exemple: Planul optim de productie
Transformam restrictiile de tip inegalitate ın restrictii egalitate prin introduce-
rea unor variabile fictive:
0,2 x1 + 0,4 x2 + x3 = 20
0,6 x1 + 0,3 x2 + x4 = 40
0,2 x1 + 0,3 x2 + x5 = 30
(167)
x1, x2, x3, x4, x5 0
Facand un scurt inventar constatam ca avem 5 variabile de decizie si 2 restrictii.
Prin urmare, pentru obtinerea unei solutii de baza admise, anulam 5 − 3 = 2
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 248/325
variabile de decizie.O solutia de baza admisa implicita este cea obtinuta prin anularea variabilelor
x1 si x2.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
248/324
Exemple: Planul optim de productie
Pentru aceasta solutie de baza admisa formam tabloul Simplex:
Iteratia 0 x1 x2 b
x3 0,2 0,4 20
x4 0,6 0,3 40
x5 0,2 0,3 30
f ob −8 −6 0
Observat ¸ie: Linia si coloana evidentiata
reprezinta linia si coloana pivotului
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 249/325
p p
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
249/324
Exemple: Planul optim de productie
Iteratia 1 x4 x2 b
x3 − 0,20,6 = −0,333 0,4− 0,2·0,3
0,6 =0,3 20− 0,2·400,6 =6,666
x11
0,6 =1,666 0,30,6 =0,5 40
0,6 =66,666
x5
−0,20,6 =
−0,333 0,3
−0,2·0,3
0,6 =0,2 30
−0,2·40
0,6 =16,666
f ob −−80,6 =13,333 −6 − 0,3·(−8)
0,6 = −2 0 − (−8)·400,6 =533,333
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 250/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
250/324
Exemple: Planul optim de productie
Iteratia 2 x4 x3 b
x2−0,333
0,3 = −1,11 10,3 =3,333 6,666
0,3 =22,22
x1 1,666−−0,33·0,50,3 =2,22 − 0,5
0,3 = −1,666 66,666− 6,66·0,50,3 =55,555
x5
−0,333
−−0,33·0,2
0,3 =
−0,11
−0,20,3 =
−0,666 16,666
−6,66·0,2
0,3 =12,22
f ob 13,333−−(0,33)·(−2)0,3 =11,11 −−2
0,3 =6,66 533,333−−2·6,660,3 =577,77
O ımbunatatire ulteriora a solutiei curente nu mai este posibila deoarece toti coeficientii
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 251/325
functiei obiectiv din tabel sunt negativi.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
251/324
Exemple: Planul optim de productie
Astfel solutia problemei de optimizare este:
x1 = 55,55
x2 = 22,22
x3 = 0
x4 = 0
x5 = 12,22
cu valoarea maxima a beneficiului de 577,777 u.v..
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 252/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
252/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Functii MATLAB
Functii MATLAB utilizate ın programarea liniara
• minimizare prin programare liniara:
lpexemplu de apelare:
xopt = lp(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)
linprog
exemplu de apelare:
xopt = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 253/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
253/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Programarea dinamica
Exista probleme, ce nu sunt specifice doar ingineriei chimice, ın care functia obiectiv
depinde nu de variabile de decizie ci de functii necunoscute de una sau mai multe
variabile independente, functii care trebuiesc determinate astfel ıncat sa permita
identificarea unui extrem al functiei obiectiv.Astfel de probleme apar ın problemele de optimizare ale sistemelor cu parametri
distribuiti si ın optimizarea sistemelor dinamice.
De exemplu, concentratia produsului valoros la iesirea dintr-un reactor tubuların care au loc reactii succesive, depinde de profilul de temperatura T ( z), unde
z reprezinta coordonata pe lungimea reactorului.
Solutia unei astfel de probleme nu este data de o valoare optima T ∗ a temperaturii
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 254/325
ci de o functie optima T ∗( z) (fig. 25).
Astfel de probleme de optimizare implica, ın loc de calcularea unei valori optime,
identificarea unei politici optime de variatie a valorii variabilei de decizie ın timp
sau spatiu.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
254/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Programarea dinamica
Fi , ci
Reactor tubularFe , ce
z
c
T ∗
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 255/325
Figura 25. Profilul optim de temperatura
ıntr-un reactor tubular.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
255/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Programarea dinamica
Problema de optiune:
Care este modul ın care trebuie s˘ a varieze parametri, astfel ıncˆ at optimul determinat
ın fiecare etap˘ a de desfasurare a procesului s˘ a ne duc˘ a la un optim global?
In ingineria chimica, astfel de probleme pot fi cele care necesita:
◮ determinarea unei functii de variatie optima a unui parametru ın spatiu:
• identificarea unui profil optim de variatie a temperaturii ıntr-un reac-tor tubular (fig. 25) cu scopul maximizarii concentratiei produsului de
reactie ın fluxul de evacuare;
identificarea modurilor optime de operare ale utilajelor din cadrul unei
li ii h l i l i i ˘ ii f i ˘ ii ˆ l i i
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 256/325
• linii tehnologice cu scopul maximizarii functionarii ıntregului sistem.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
256/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Programarea dinamica
◮ determinarea unei functii de variatie optima a unui parametru ın timp:
• identificarea profilului optim de variatie a temperaturii ıntr-un reac-
tor discontinuu cu scopul maximizarii productivitatii prin reducerea
duratei unei sarje;• identificarea secventei optime de comenzi ıntr-un sistem, care permite
minimizarea duratei anularii efectului unei perturbatii.
In astfel de situatii, se impune alegerea unor politici optime - functie de timp sau despatiu care ia locul variabilelor independente din cazurile anterioare.
Rezolvarea acestor tipuri de probleme necesita sa determinam optimul unei functii
d f tii
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 257/325
de functii.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
257/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Programarea dinamica
Principiul de optimalitate
Programarea dinamica se aplica ın situatiile ın care trebuie luate o
serie de decizii care trebuie sa optimizeze un sistem compus dintr-
o serie de etape/portiuni distincte, cu conditia ca aceste decizii
luate pentru o anumita etapa sa nu afecteze etapele anterioare.
Principiul de optimalitate care sta la baza programarii dinamice
este acela ca: politica optim˘ a are proprietatea c˘ a, oricare ar fi starea init ¸ial˘ a
si decizia init ¸ial˘ a, deciziile r˘ amase trebuie s˘ a constituie o stra-
tegie optim˘ a ın raport cu starea care rezult˘ a din prima decizie -
(Ri h d B ll )
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 258/325
(Richard Bellman).
Programarea dinamica presupune ca sistemul de optimizat este
aciclic si poate fi defalcat ıntr-o serie de stadii sau de trepte ce se
succed ın timp ori ın spatiu (fig. 26).
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
258/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Programarea dinamica
1 2 i n-1 n . . . . . .
d1 d2 di dn−1 dn
x0 x1 x2 xi−1 xi xn−2 xn−1 xn
Figura 26. Structura unui sistem aciclic pentru
aplicarea programarii dinamice.xi pentru i = 0, . . . , n - vector de stare
di pentru i = 1, . . . , n - vector de decizie.
Orice decizie luata la o treapta ori stadiu conform structurii aciclice a sistemu
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 259/325
Orice decizie luata la o treapta ori stadiu, conform structurii aciclice a sistemu-
lui, nu poate influenta decat treptele/stadiile situate la aval de ea.
Pe baza principiului optimalitatii mersul general al programarii dinamice
ıncepe cu optimizarea ultimei trepte/stadii.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
259/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Programarea dinamica
1 2 i n-1 n Treapta i - optimizarea
ultimelor i etape
1 2 i n-1 n Treapta II - optimizarea
ultimelor doua etape
1 2 i
n-1 n Treapta I - optimizarea
ultimei etape
1 2 i n-1 n Sistemul aciclicde optimizat
Figura 27. Schemaprogramarii dinamicepentru un sistem format
din n etape.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 260/325
1 2 i n-1 n Treapta n - optimizareaıntregului sistem
1 2 i n-1 n Treapta n-1 - optimizarea
ultimelor n-1 etape
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
Departamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016
260/324
Programarea dinamica: Exemplu
Fie o linie tehnologica formata din trei utilaje. Aceste utilaje sunt: un preıncalzitor P, un
reactor R si un separator S (prezentate ın figura 28).
Se cere identificarea modurilor optime de operare ale celor trei utilaje astfel ıncat
obtinerea produsului dorit sa aiba loc cu un cost minim al energiei utilizate ın sistem.
Preıncalzitor
Debit agent
de ıncalzire
cost abur
Reactor
Debit agent de
schimb termic
cost apa de racire
Separator
Debit abur pentru
coloana de distilare
cost abur
Variabile dedecizie locale
Criteriu local
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 261/325
cost abur cost apa de racire cost abur costul energiei utilizate de ıntreaga instalatie
Criteriu localde optimizare
Criteriu global
de optimizare
Figura 28. Linie tehnologica formata din 3 utilaje.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
D t m nt l d Ingin i Chimi ˘
24 februarie 2016
261/324
Programarea dinamica: Exemplu
Conform criteriului de optimizare urmarit, costurile energiei utilizate
ın instalatie sunt prezentate ın figura 29.
Observat ¸ie: Pentru o mai usoara ıntelegere a principiului opti-
mului s-a considerat ca fiecare utilaj poate fi operat ın 3 mo-
duri distincte la care corespund 3 niveluri de costuri cu ener-
gia utilizata. Astfel preıncalzitorul poate fi operat ın modurile
P1, P2 si P3, reactorul ın modurile R1, R2 si R3, iar separatorulın modurile S1, S2 si S3.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 262/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
D t t l d I i i Chi i ˘
24 februarie 2016
262/324
Programarea dinamica: Exemplu
2
3
465
5
537
4
324
5
1
465
3
326
2
342
3
6
145
3
465
2
245
Preıncalzitor
Reactor
Separator
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 263/325
Figura 29. Costurile energiei utilizate ın instalatie.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
D t t l d I i i Chi i ˘
24 februarie 2016
263/324
Programarea dinamica: Exemplu
Rezolvare
Pentru un astfel de sistem, exista trei modalitati de operare cu
scopul obtinerii unui optim global:
A. Operarea fiec˘ arui utilaj la optimul local
B. Operare cu identificarea modului optim de operare pornind
de la intrare
C. Operare cu identificarea modului optim pe baza principiului
optimalit˘ at ¸ii
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 264/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
D t t l d I i i Chi i ˘
24 februarie 2016
264/324
Programarea dinamica: Exemplu
2
3
465
5
537
4
324
5
1
465
3
326
2
342
3
6
145
3
465
2
245
Preıncalzitor
Reactor
Separator
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 265/325
Figura 30. Costul minim al energiei - modul de calcul A.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
D t t l d I i i Chi i ˘
24 februarie 2016
265/324
Programarea dinamica: Exemplu
2
3
465
5
537
4
324
5
1
465
3
326
2
342
3
6
145
3
465
2
245
Preıncalzitor
Reactor
Separator
2
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 266/325
Figura 30. Costul minim al energiei - modul de calcul A.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
D t t l d I i i Chi i ˘
24 februarie 2016
266/324
Programarea dinamica: Exemplu
2
3
465
5
537
4
324
5
1
465
3
326
2
342
3
6
145
3
465
2
245
Preıncalzitor
Reactor
Separator
2
1
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 267/325
Figura 30. Costul minim al energiei - modul de calcul A.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
D t t l d I i i Chi i ˘
24 februarie 2016
267/324
Programarea dinamica: Exemplu
2
3
465
5
537
4
324
5
1
465
3
326
2
342
3
6
145
3
465
2
245
Preıncalzitor
Reactor
Separator
2
1
1
l l d l d l l
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 268/325
Figura 30. Costul minim al energiei - modul de calcul A.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIA
D t t l d I i i Chi i ˘
24 februarie 2016
268/324
Programarea dinamica: Exemplu
2
3
465
5
537
4
324
5
1
465
3
326
2
342
3
6
145
3
465
2
245
Preıncalzitor
Reactor
Separator
Fi 31 C l i i l i i d l d l l B
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 269/325
Figura 31. Costul minim al energiei - modul de calcul B.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016269/324
Programarea dinamica: Exemplu
2
3
465
5
537
4
324
5
1
465
3
326
2
342
3
6
145
3
465
2
245
Preıncalzitor
Reactor
Separator
2
Fi 31 C t l i i l i i d l d l l B
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 270/325
Figura 31. Costul minim al energiei - modul de calcul B.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016270/324
Programarea dinamica: Exemplu
2
3
465
5
537
4
324
5
1
465
3
326
2
342
3
6
145
3
465
2
245
Preıncalzitor
Reactor
Separator
2
3
Fi 31 C t l i i l i i d l d l l B
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 271/325
Figura 31. Costul minim al energiei - modul de calcul B.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016271/324
Programarea dinamica: Exemplu
2
3
465
5
537
4
324
5
1
465
3
326
2
342
3
6
145
3
465
2
245
Preıncalzitor
Reactor
Separator
2
3
4
Figura 31 Costul minim al energiei modul de calcul B
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 272/325
Figura 31. Costul minim al energiei - modul de calcul B.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016272/324
Programarea dinamica: Exemplu
2
3
465
5
537
4
324
5
1
465
3
326
2
342
3
6
145
3
465
2
245
Preıncalzitor
Reactor
Separator
Figura 32 Costul minim al energiei modul de calcul C
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 273/325
Figura 32. Costul minim al energiei - modul de calcul C.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016273/324
Programarea dinamica: Exemplu
2
3
465
5
537
4
324
5
1
465
3
326
2
342
3
6
145
3
465
2
245
Preıncalzitor
Reactor
Separator
432422142
Figura 32 Costul minim al energiei - modul de calcul C
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 274/325
Figura 32. Costul minim al energiei - modul de calcul C.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016274/324
Programarea dinamica: Exemplu
2
3
465
5
537
4
324
5
1
465
3
326
2
342
3
6
145
3
465
2
245
Preıncalzitor
Reactor
Separator
222
422
Figura 32 Costul minim al energiei - modul de calcul C
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 275/325
Figura 32. Costul minim al energiei modul de calcul C.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016275/324
Programarea dinamica: Exemplu
2
3
465
5
537
4
324
5
1
465
3
326
2
342
3
6
145
3
465
2
245
Preıncalzitor
Reactor
Separator
3
2
2
Figura 32 Costul minim al energiei - modul de calcul C
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 276/325
Figura 32. Costul minim al energiei modul de calcul C.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016276/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Programarea dinamica
Formulare matematica
Fie sistemul serial:
n n-1 i 2 1 . . . . . .
dn dn−1 di d2 d1
xn+1 xn xn−1 xi+1 xi x2 x1 x0
Se observa ca pentru fiecare stadiu i exista un vector de intrare xi+1, un vector de iesirexi si un vector de decizie di.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 277/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016277/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Programarea dinamica
Conditiile necesare pentru aplicarea principiului optimalitatii sunt:
◮ existenta pentru fiecare treapta a unui model matematic care sa permita calcu-
larea componentelor vectorului de iesire xi functie de vectorul de intrare xi+1 si
vectorul deciziilor di:
xi = gi
xi+1, di
pentru i = 1, . . . , n (168)
◮ functia obiectiv globala a sistemului f ob sa poata fi descompusa ıntr-o suma de
functii obiectiv locale f ob,i:
f ob =n
∑
i−1
f ob,i xi+1, xi , di pentru i = 1, . . . , n (169)
Daca aceste conditii sunt ındeplinite se poate trece la aplicarea programarii dinamice pe
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 278/325
Daca aceste conditii sunt ındeplinite se poate trece la aplicarea programarii dinamice pe
respectivul sistem cu scopul determinarii deciziilor locale optime (d∗1 , d
∗2 , . . . , d
∗i , . . . , d
∗n)
ın asa fel ıncat functia obiectiv globala f ob sa prezinte un extrem.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016278/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Programarea dinamica
Etapa 1In aceasta etapa se optimizeaza sistemul format din ultimul stadiu prin
determinarea deciziei locale optime d∗1 ın functie de starea sistemului
dupa deciziile luate ın stadiile anterioare data de vectorul x2.
Functia obiectiv a acestei subprobleme de optimizare este:
Fob,1 = f ob,1
x2, x1, d1
(170)
Din modelul matematic se poate exprima:
x1 = g1
x2, d1
(171)
astfel ıncat prin substitutie, functia obiectiv devine:
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 279/325
Fob,1 = f ob,1
x2, d1
(172)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016279/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Programarea dinamica
Utilizand o metoda de optimizare analitica ori numerica adecvata for-mei subproblemei de optimizare se poate determina decizia locala op-
tima sub forma unei functii de vectorul marimilor de intrare pe treapta
1:
d∗1 = h1 (x2) (173)
expresia valorii optime a functiei obiectiv fiind F∗ob,1 (x2).
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 280/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016280/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Programarea dinamica
Etapa 2Se optimizeaza sistemul format din ultimele doua stadii prin deter-
minarea deciziei locale optime d∗2 functie de starea sistemului dupa
deciziile luate pe stadiile anterioare. Functia obiectiv a acestei subpro-
bleme de optimizare este:
Fob,2 = f ob,2
x3, x2, d2
+ f ob,1
x2, x1, d1
=
= f ob,2
x3, x2, d2
+ Fob,1
(174)
Deoarece din modelul matematic al stadiului 2 se poate exprima:
x2 = g2x3, d2
(175)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 281/325
si expresia solutiei optime pentru stadiul 1 este deja determinata, re-
zulta:
Fob,2 = f ob,2
x3, d2
+ F∗ob,1 (x3) (176)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016281/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Programarea dinamica
Utilizand o metoda de optimizare analitica ori numerica adecvata for-mei subproblemei de optimizare se poate determina decizia locala op-
tima sub forma unei functii de vectorul marimilor de intrare pe treapta
2:
d∗2 = h2 (x3) (177)
expresia valorii optime a functiei obiectiv fiind F∗ob,2 (x3).
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 282/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016282/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Programarea dinamica
Etapa iPrin generalizare, ın cadrul acestei etape de aplicare a programarii di-
namice se optimizeaza sistemul format din ultimele i stadii prin de-
terminarea deciziei locale optime d∗i
functie de starea sistemului dupa
deciziile luate pe stadiile anterioare dat de vectorul xi+1.
Functia obiectiv a acestei subprobleme de optimizare este:
Fob,i = f ob,ixi+1, xi , di
+i−
1
∑ j=1
f ob, jx j, x j−1, d j
=
= f ob,i xi+1, xi , di
+ Fob,i−1
(178)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 283/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016283/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Programarea dinamica
Deoarece din modelul matematic al stadiului i se poate exprima:
xi = gi
xi+1, di
(179)
si expresia solutiei optime pentru treptele 1, . . . ,i − 1 este deja determi-nata, rezulta:
Fob,i = f ob,i xi+1, di + F∗ob,i−1 (xi+1) (180)
Se determina, ın conditiile aratate la etapele anterioare, decizia locala
optima sub forma unei functii de vectorul marimilor de intrare pe
treapta i:
d∗i = hi (xi+1) (181)
i l ii ti f ti i bi ti fii d F∗ ( )
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 284/325
expresia valorii optime a functiei obiectiv fiind F∗ob,i (xi+1).
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016284/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Programarea dinamica
Etapa nIn final se considera ıntreg sistemul, determinand decizia locala op-
tima d∗n ın functie de vectorul marimilor de intrare a sistemului xn+1.
Functia obiectiv pentru aceasta etapa este:
Fob,n = f ob,n
xn+1, xn, dn
+
n−1
∑ j=1
f ob, j
x j, x j−1, d j
=
= f ob,n xn+1, xn, dn+ Fob,n−1
(182)
Deoarece din modelul matematic al stadiului n se poate exprima:
xn = gn xn+1, dn (183)
i i l ti i ti t t t l 1 1 t d j d t
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 285/325
si expresia solutiei optime pentru treptele 1, . . . ,n − 1 este deja deter-
minata, rezulta:
Fob,n = f ob,n
xn+1, dn
+ F∗
ob,n−1 (xn+1) (184)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016285/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Programarea dinamica
Se determina decizia locala optima si expresia functiei obiectiv functiede vectorul xn+1:
d∗n = hn (xn+1) si F∗
ob,n (xn+1) (185)
Deoarece vectorul marimilor de intrare xn+1 este cunoscut se pot iden-
tifica valorile numerice corespunzatoare ale vectorilor de decizie d∗i
pentru toate stadiile i = 1, . . . , n.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 286/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016286/324
Exemple: Optimizarea timpului de stationare
Fie o cascada de doua reactoare cu amestecare de volume V 1=V 2=V , cefunctioneaza ın regim izocor si izoterm cu T 1=T 2=T (fig. 33).
T
V
Fi , ci
T
V
Fe , ce
Figura 33. Sistem de doua reactoare.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 287/325
Sa se determine care va fi timpul de stationare optim ın fiecare reactor, astfel
ıncat conversia sa fie maxima, considerand timpul total de stationare θ iar tim-pul de stationare maxim ıntr-un reactor de τ max = θ.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016287/324
Exemple: Optimizarea timpului de stationare
RezolvarePentru aplicarea programarii dinamice problema de optimizare trebuie sa permita:
◮ descompunerea sistemul de optimizat ıntr-o secventa de elemente ce se succed
ın timp sau spatiuAcest lucru este simplu deoarece putem observa ca fluxurile de masa ce sunt ın
cadrul sistemului de optimizat definesc doua subsisteme ce corespund celor doua
reactoare din sistem, rezultand o structura a sistemului de forma prezentata ın
figura 34 (notarea subsistemelor s-a facut de la ultimul subsistem).
c3 Reactor
2
τ 2
c2 Reactor
1
τ 1
c1
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 288/325
2 1
Figura 34. Schema sistemului de doua reactoare.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016288/324
Exemple: Optimizarea timpului de stationare
◮ obtinerea modelul matematic al fiecarui element al sistemuluiModelul matematic al reactorului trebuie sa descrie concentratia de iesire, functie
de concentratia de intrare si de timpul de stationare.
Modelul matematic al unui astfel de reactor este dat de ecuatia de conservare amasei:
Fi+1ci+1 − Fici − riV i = 0 (186)
unde Fi+1 si Fi sunt debitele de alimentare, respectiv golire ale reactorului i, ri este
viteza de reactie ın etapa i iar V i reprezinta volumul reactorului i..
Deoarece putem considera Fi=Fi+1=F, prin ımpartire cu F obtinem:
ci+1
−ci
−riτ i = 0 (187)
Viteza de reactie pentru o reactie ireversibila de ordinul 1 este:
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 289/325
ri = cik 0e−E/RT i (188)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016289/324
Exemple: Optimizarea timpului de stationare
Deoarece T 1=T 2=T , termenul k 0e−E/RT este constant si ıl notam cu k (T ),astfel ıncat bilantul de masa devine:
ci+1
−ci
−ciτ ik (T ) = 0 (189)
Din aceasta ecuatie putem exprima concentratia de iesire astfel:
ci = ci+1
1 + τ ik (T ) (190)
Ecuatia (190) reprezinta modelul matematic simplificat al reactorului i.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 290/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016290/324
Exemple: Optimizarea timpului de stationare
◮ descompunerea functiei obiectiv ıntr-o suma de functii obiectiv locale pe fie-care element
Conversia totala a reactantului poate fi exprimata astfel:
ξ = c3 − c1
c3(191)
Deoarece maximizarea acestui raport implica maximizarea diferentei de la numa-
rator, functia obiectiv globala o putem defini ca fiind:
f ob = c3 − c1!= max (192)
Functiile obiectiv locale rezulta astfel:
f ob = (c3 − c2) + (c2 − c1) =2
∑(ci+1 − ci) =2
∑ f ob i!= max (193)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 291/325
fob ( 3 2) + ( 2 1) ∑ i=1
( i+1 i) ∑ i=1
fob,i ( )
unde: f ob,i = ci+1 − ci
!= max (194)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016291/324
Exemple: Optimizarea timpului de stationare
Etapa 1Modelul matematic al reactorului 1 este dat de expresia:
c1 = c2
1 + τ 1k (T )
(195)
Functia obiectiv pentru acest subsistem este:
f ob,1
= c2
−c
1
!= max (196)
Prin ınlocuire se obtine:
f ob,1 = c2
− c2
1 + τ 1k (T )
= c2τ 1k (T )
1 + τ 1k (T )
!= max (197)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 292/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016292/324
Exemple: Optimizarea timpului de stationare
Identificarea solutiei optime pentru problema de optimizare redata defunctia obiectiv (197) este posibila pe cale analitica prin anularea deri-
vatei de ordinul ıntai a functiei obiectiv ın raport cu variabila de deci-
zei τ 1. Astfel obtinem:
d f ob,1
dτ 1=
c2k (T )
1 + τ 1k (T ) − c2τ 1k 2(T )
[1 + τ 1k (T )]2 =
= c2k (T ) [1 + τ 1k (T )] − c2τ 1k 2(T )[1 + τ 1k (T )]2
= c2k (T )[1 + τ 1k (T )]2
= 0
(198)
Anularea acestei expresii se poate obtine pentru τ 1 ր ∞. In cazul
nostru solutia este τ ∗1 = τ 1,max = θ − τ 2. Pentru aceasta valoare optimavaloarea maxima a functiei obiectiv pentru subsistemul 1 este:
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 293/325
f ∗ob,1(c2) = c2k (T )(θ − τ 2)
1 + k (T )(θ − τ 2)
(199)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016293/324
Exemple: Optimizarea timpului de stationare
Etapa 2In cadrul etapei a doua de optimizare se trece la optimizarea sistemu-
lui format din cele doua reactoare.
Pentru cel de al doilea reactor, modelul matematic este:c2 =
c3
1 + τ 2k (T ) (200)
Functia obiectiv pentru acesta etapa este identica cu functia obiectiv a
problemei de optimizare:
f ob = c3 − c1 = f ob,2 + f ob,1!= max (201)
Deoarece solutia algebrica a primei etape de optimizare este deja cu-noscuta, putem scrie:
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 294/325
f ob = f ob,2 + f ∗ob,1 = c3 − c2 + c2k (T )(θ − τ 2)
1 + k (T )(θ
−τ 2)
!= max (202)
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016294/324
Exemple: Optimizarea timpului de stationare
Prin utilizarea modelului matematic, se obtine:
f ob = c3 − c2 + c2k (T )(θ − τ 2)
1 + k (T )(θ − τ 2) =
= c3 − c3
1 + τ 2k (T ) +
c2k (T )(θ − τ 2)
1 + k (T )(θ − τ 2) =
=
c3 [1 + τ 2k (T )]
−c3
1 + τ 2k (T ) +
c3
1 + τ 2k (T )
(θ
−τ 2)k (T )
1 + (θ − τ 2)k (T ) =
= c3τ 2k (T )
[1 + τ 2k (T )] [1 + k (T )(θ
−τ 2)]
+ c3k (T )(θ − τ 2)
1 + k (T )(θ
−τ 2)
!= max
(203)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 295/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016295/324
Exemple: Optimizarea timpului de stationare
Prin anularea derivatei functiei obiectiv ın raport cu variabila de deci-zie τ 2 se obtine:
d f ob
dτ 2
= c3k (T )
[1 + τ 2k (T )] [1 + k (T )(θ − τ 2)] − c3k (T )
[1 + k (T )(θ − τ 2)] −− c3τ 2k 2(T )
[1 + τ 2k (T )] [1 + k (T )(θ − τ 2)] +
c3k 2(T )(θ − τ 2)
[1 + k (T )(θ − τ 2)]2 +
+ c3τ 2k 2(T )
[1 + τ 2k (T )] [1 + k (T )(θ − τ 2)]2 = 0
(204)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 296/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016296/324
Exemple: Optimizarea timpului de stationare
Aducand aceste fractii la numitor comun si anuland numaratorul,obtinem:
[1 + τ 2k (T )] [1 + k (T )(θ
−τ 2)]
−τ 2k (T ) [1 + k (T )(θ
−τ 2)] +
+τ 2k (T ) [1 + τ 2k (T )] − [1 + k (T )(θ − τ 2)] [1 + τ 2k (T )]2 +
+k (T )(θ
−τ 2)2 = 0
(205)Dupa simplificari, obtinem:
1 + k (T )(θ
−τ 2) + τ 2k (T ) [1 + τ 2k (T )]
−[1 + τ 2k (T )]2 =
= k (T )θ − 2τ 2k (T ) = 0(206)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 297/325
cu solutia τ ∗2 =
θ
2.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016297/324
Exemple: Optimizarea timpului de stationare
Astfel, solutia problemei de optimizare este:
τ ∗1 = τ ∗2 = θ
2
Valoarea maxima a functiei obiectiv este:
f ∗ob = c3 − c1 = f ∗ob,1 + f ∗ob,2 = c3k (T )θ
2 + k (T )θ
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 298/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016298/324
Algoritmi genetici
ın optimizare
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 299/325
Optimizarea Proceselor Chimice: Algoritmi genetici
Algoritmii genetici sunt modele bazate pe genetica si evolutie preluate din biologie.
Elementele de baza ale algoritmilor genetici sunt:
• select ¸ia solutiilor ın functie de gradul de potrivire;
• reproducerea pentru ıncrucisarea genelor;
• mutat ¸ia pentru modificarile aleatoare ale genelor.
Prin aceste mecanisme, algoritmul genetic identifica solutii din ce ın ce mai bune aleunei probleme, la fel cum speciile evolueaza pentru a se adapta mai bine mediului.
Algoritmii genetici au fost extinsi din punct de vedere al modului ın care reprezinta
solutiile si efectueaza procesele de baza.
Calculul evolutiv reprezinta o definitie mai larga a algoritmilor genetici. Acesta in-
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 300/325
clude nu numai algoritmii genetici ci si o clasificare a sistemelor, programare gene-
tica, etc.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016300/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Algoritmi genetici
Algoritmii genetici includ concepte ca: cromozomi, gene, procese de reproducere,mutatii si evolutie.
In principal, aplicarea algoritmului genetic implica urmatoarele etape:
• generarea aleatoare ale unor solutii ale problemei - cromozomii;
• etapa iterativa ce include:
– selectarea celor mai bune solutii;
– efectuarea operatiilor de reproducere;
– ocazional, efectuarea unor mutatii asupra solutiilor;
Prin identificarea ın cadrul iteratiilor a celor mai bune solutii, algoritmul va identi-fica solutii din ce ın ce mai favorabile la fel ca ın cazul procesului natural de evolutie.
Acest algoritm poate fi utilizat ın acest mod la rezolvarea problemelor de optimi-
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 301/325
g p p p
zare.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016301/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Algoritmi genetici
Reprezentarea solutiilor
Algoritmul genetic ıncepe cu definirea reprezentarii solutiilor pentru o problema
data. Prin solutie ıntelegem orice valoare ce poate fi solutia corecta a problemei,
astfel ca o solutie poate fi sau nu solutia corecta a problemei de optimizare. Modulde reprezentare a solutiei pentru algoritmul genetic este la libera alegere a utiliza-
torului. In general, modul cel mai des utilizat de reprezentare a solutiei este cel sub
forma de siruri de caractere.
Alfabetul de reprezentare poate sa fie compus din cifre binare (0 si 1), numere ın
virgula flotanta, ıntregi, simboluri (de exemplu: A, B, C,. . . ), matrice, etc.
Gradul de potrivire a unei solutii
Gradul de potrivire a unei solutii este o masura ce poate fi utilizata pentru a com
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 302/325
Gradul de potrivire a unei solutii este o masura ce poate fi utilizata pentru a com-
para solutiile si a determina care este mai buna.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016302/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Algoritmi genetici
Etapele aplicarii algorimilor genetici
Pasul 0 - Initializarea populatiei
a) Generarea unor solutii aleatoare
Urmatoarele trei etape se repeta pana cand se obtine solutia optima a pro-
blemei de optimizare sau o anumita conditie de terminare este satisf acuta.
O astfel de conditie poate fi data de conditiile lui Himmelblau.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 303/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016303/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Algoritmi genetici
Pasul 1 - Reproducereaa) Determinarea gradului de potrivire si a probabilitatii corespunzatoare
pentru toate solutiile populatiei.
b) Crearea unui centru de ımperechere. Se selecteaza aleator solutii pon-derate cu gradul de potrivire al lor. Solutiile cu un grad de potrivire
mai ridicat au astfel o probabilitate mai mare de a fi alese spre deose-
bire de solutiile mai putin potrivite, astfel avand sanse mai mari de a
supravietui ın noua generatie. Astfel conceptul de evolutie bazata peselectie naturala este pusa ın valoare.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 304/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016304/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Algoritmi genetici
Pasul 2 - Cresterea ıncrucisataa) Se selecteaza aleator doua solutii la un moment dat. Cu o probabilitate
de ıncrucisare fixata pc (de ex.: pc = 0,7), se determina aleator daca au
loc ıncrucisari. Daca au loc ıncrucisari, se trece la pasul urmator, altfel
se formeaza doi descendenti ce sunt copii exacte a celor doua solutii si
se trece la pasul 3.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 305/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016305/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Algoritmi genetici
b) Se selecteaza aleator puncte interne (puncte de ıncrucisare) alesolutiilor si se schimba ıntre ele portiunile de dupa punctul respectiv
(vezi tabelul 11).
Tabelul 11. Cresterea ıncrucisata a indivizilor
Inainte de ıncrucisare Solutiile din
punct de ıncrucisare generatia
↓ urmatoare
Solutia 1 ♦ ♦♦ ♦♦ ▽▽▽▽▽ ♦ ♦♦ ♦♦
Solutia 2 ▽▽▽▽▽
Aceasta procedura se repeta pe populatia obtinuta la pasul 1, pana
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 306/325
cand dimensiunea noii populatii atinge dimensiunea initiala a
populatiei, alegand aleator cate o pereche la un moment dat.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016306/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Algoritmi genetici
Pasul 3 - Mutatii aleatoarea) Cu ajutorul unei probabilitati de mutatie mica, fixata, pm (de exem-
plu: pm = 0,001) se selecteaza aleator mici portiuni ale reprezentarii
solutiilor si se modifica artificial (de ex. prin modificarea bit-ului res-
pectiv de la 1 la 0 ori de la 0 la 1). Frecventa mutatiilor este ın general
mica asa cum rezulta si din valoarea aleasa a lui pm.
Prin acest pas 3 se modeleaza modul ın care au loc ın natura mutatiile.
Astfel este posibila crearea unor noi rase ce nu ar fi posibila prin repro-
ducerea ori ımperechere ıncrucisata. Prin aplicarea algoritmului ge-
netic, dupa un anumit numar de iteratii, cateodata ıntreaga populatie
tinde sa fie similara, astfel ıncant o deplasare semnificativa catre ex-trem, nu mai are loc. Portiunile modificate ın urma mutatiei permit,
deseori, deplasari semnificative catre extrem.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 307/325
p
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016307/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Algoritmi genetici
Procedura prezentata, formata din pasul 0 urmat de repetareapasilor 1, . . . ,3 pana la ındeplinirea conditiei de terminare for-
meaza o singura rulare.
De foarte multe ori aplicarea algoritmului respectiv se repeta (deex. de 10 ori), pornind de la un set diferit de solutii aleatoare.
Acest lucru este necesar deoarece algoritmul genetic nu garan-
teaza identificarea solutiei optime. Totusi exista probleme de opti-mizare pentru care utilizarea metodelor clasice nu asigura identi-
ficarea solutiei optime. In astfel de situatii algoritmii genetici pot
fi o solutie.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 308/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016308/324
Optimizarea Proceselor Chimice: Algoritmi genetici
Avantajele utilizarii algoritmilor genetici se manifesta prin:• auto-ghidare,
• auto-organizare,
• robustete,• flexibilitate,
• calcul simplu si direct ce permite o usoara implementare a
calculului paralel.
Dezavantajele sunt legate de obtinerea unui rezultat dependent de
sansa si un timp de calcul ceva mai lung, respectiv incertitudinea
obtinerii unei solutii optime globale.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 309/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016309/324
Algoritmi genetici: Exemplu
Fie urmatoarea functie obiectiv:
f ob = x1 + 10 sin(5 x1) + 7 cos(4 x2) + 20 (207)
Se cere identificarea unui maxim pe domeniul de cautare x1
∈[0; 3] si x2 ∈ [0; 3] cu o precizie de 1 · 10−6.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 310/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016310/324
Algoritmi genetici: Exemplu
Rezolvare:O reprezentare grafica a functiei obiectiv releva o suprafata de
cautare pe care exista mai multe puncte de extrem (fig. 35).
1
1.5
2
2.5
3
1
1.5
2
2.5
3
0
5
10
15
20
25
30
35
40
xx
f ( x 1 , x 2
)
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 311/325
0
0.5
1
0
0.5x1
x2
Figura 35. Suprafata de raspuns a functiei obiectiv.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016311/324
Algoritmi genetici: Exemplu
Aplicarea algoritmului genetic necesita generarea unei populatii initiale. Dimensiu-nea acestei populatii este de obicei de ordinul zecilor/sutelor de seturi de valori ale
variabilelor de decizie.
Codificarea membrilor populatiei poate fi facuta prin elemente binare ori reale, con-form urmatoarelor relatii:
• pentru domeniul de valori reale:
xi, j = (L M,i − Lm,i) ri, j + Lm,i pentru j = 1, . . . , nP (208)
unde: L M,i reprezinta limita superioara a domeniului de cautare pentru
directia de cautare i;
Lm,i - limita inferioara a domeniului de cautare pentru
directia de cautare i;
l l t t˘ d i l [0 1]
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 312/325
ri, j - valoare aleatoare generata pe domeniul r
∈[0; 1];
nP - marimea populatiei utilizate;
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016312/324
Algoritmi genetici: Exemplu
• pentru domeniul de valori binare, numarul de biti pe care se face reprezenta-rea se calculeaza prin rotunjirea la valoarea ıntreaga urmatoare a rezultatului
expresiei:
log2 L M,i − Lm,i
ǫ (209)
unde: ǫ reprezinta precizia de determinare a solutiei;
Elementele populatie initiale rezulta prin combinatii aleatoare de valori binare
(0 si 1) luate cate nb.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 313/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016313/324
Algoritmi genetici: Exemplu
In cazul acestui exercitiu, ın situatia ın care alegem o reprezentare bi-nara a indivizilor, numarul de biti necesari este dat de urmatoarea
relatie:
log2 L M−
Lmǫ = log2 31·10−6 = log2 3 · 106 = 21,5165
⇓nb = 22
Aplicarea algoritmului genetic implica utilizarea calculatorului deoa-
rece metoda este eficienta doar utilizand o populatie formata dintr-un
numar mare de indivizi ce sunt urmariti pe parcursul catorva zeci de
generatii.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 314/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016314/324
Algoritmi genetici: Exemplu
Se defineste functia obiectiv ın fisierul fobGA.m:1 function y = fobGA(x);
2 %Functia obiectiv corespunzatoare relatiei din exemplu
3 %
4 y = x(1) + 10*sin(5*x(1)) + 7*cos(4*x(2)) + 20;
Se apeleaza functia algGena prin urmatoarea linie de comanda:
1 xopt = algGen(’fobGA’,[0 3;0 3],[1e-6 0 0],[200 100])
2 xopt =
3 2.8314 1.5708 39.8294
unde ultima valoarea reprezinta valoarea maxima identificata a functiei obiectiv.
aaceasta functie MATLAB este prezentata ın lucrarea [1].
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 315/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016315/324
Algoritmi genetici: Exemplu
Rezolvarea acestei probleme, utilizand metode deterministe, permite, ın functie depunctul de start, identificarea doar a unui optim local. Astfel, utilizand functia
MATLAB, fminsearch din Optimization Toolbox, obtinem:
1 xopt = fminsearch(’-(x(1)+10*sin(5*x(1))+7*cos(4*x(2))+20)’, ...
2 [1.5 1.5])3 xopt =
4 1.5748 1.5708
cu valoarea functiei obiectiv de f ∗ob
(1,5748;1,5708)=38,5728. Se obseva, comparand
valorile maxime gasite de cele doua metode, superioritatea algoritmului genetic.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 316/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016316/324
Metode experimentale
de optimizare
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 317/325
Optimizarea Proceselor Chimice: EVOP - Operarea Evolutiva
Operarea evolutiv˘ a - EVOP (EV olutionary OP eration) - este o metoda
on-line de optimizare utilizata pentru ımbunatatirea procesele de
productie.
• introdus de Box ın 1957;• ınlocuieste operarea statica cu un mod de operare di-
namica prin utilizarea unei scheme de lucru cu mici
modificari sistematice ale conditiilor de operare aleunui proces;
• prin evaluarea efectelor observate ale acestor modi-
ficari se identifica modalitatile de ımbunatatire ale pro-
cesului.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 318/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016318/324
Optimizarea Proceselor Chimice: EVOP - Operarea Evolutiva
EVOP − caracterisitici:
• se aplica proceselor industriale f ara perturbarea ori
ıntreruperea acestora;
• permite pastrarea nivelelor impuse de calitate aproduselor;
• nu implica costuri suplimentare de productie;
• poate fi aplicata ın timpul operarii normale a proceselor;• nu necesita pregatire specifica.
Limitari:
• necesita un numar mare de experimente;
• aplicabila pentru un numar mic de variabile considerate.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 319/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016319/324
Optimizarea Proceselor Chimice: EVOP - Operarea Evolutiva
EVOP − schema de lucru pentru o singura variabila X :
• se alege valoarea variabilei X corespunzator nivelului
de productie curent/nominal;
• se aleg nivelurile X −∆X si X +∆X ın interiorul limi-telor de specificatie ale procesului;
• se evalueaza calitatea procesului ın toate cele trei
puncte;
• se alege punctul ın care calitatea procesului este cea
mai buna si se trece la un nou ciclu de cautare.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 320/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016320/324
Exemplu: EVOP - proces cu o singura variabila
Sa se determine prin metoda EVOP temperatura optima de operare aunui reactor ın asa fel ıncat concentratia produsului A sa fie maxima
ın fluxul evacuat din reactor.
Obs. Variatia concentratiei produsului A ın fluxul de evacuare
functie de temperatura de operare T poate fi reprezentata prin
functia:
c A = −3, 636 · 10−5 T 3 + 5,85 · 10−3 T 2 − 0, 2581 T + 4, 2793
Temperatura normala de operare a reactorului poate varia
ıntre 50˚C si 90˚C.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 321/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016321/324
Optimizarea Proceselor Chimice: EVOP - Operarea Evolutiva
EVOP − schema de lucru pentru doua variabile, X si Y :• se aleg valorile variabilelor X si Y corespunzator nivelurilor de
productie curente/nominale;
• se aleg variatiile∆X si∆Y ın asa fel ıncat valorile: X
−∆X , X +
∆X , Y −∆Y si Y +∆Y sa se situeze ın interiorul domeniului de
functionare normala a procesului;
• se evalueaza calitatea procesului pentru toate combinatiile de
valori ale celor doua variabile:(X + ∆X , Y + ∆Y )
(X + ∆X , Y −∆Y )
(X
−∆X , Y + ∆Y )
(X −∆X , Y + ∆Y )
• se alege combinatia de valori pentru care calitatea procesului
este cea mai buna drept punct central pentru un nou ciclu de
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 322/325
p p p
cautare.
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016322/324
Exemplu: EVOP - proces cu doua variabile
Utilizand EVOP, sa se determine conditiile optime de lucru ıntr-oinstalatie (definite de: T - temperatura de reactie si F - debitul de
alimentare) ın asa fel ıncat sa avem costuri minime de operare.
Obs. Costurile de operare pot fi definite functie de condi-tiile lucru prin relatia:
COST = 100 (0, 11 T − F2 + 5, 8 F − 14)2 + F2 − 7, 2 F + 22
Domeniul de operare admis este:
T ∈ [20; 90]˚C si F ∈ [2; 5] m3/h.
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 323/325
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016323/324
Optimizarea Proceselor Chimice
Bibliografie1. Imre A., Agachi P.S., Optimizarea proceselor din industria chimic˘ a, Editura
Tehnica, Bucuresti, 2002
2. Woinaroschy A., Mihai M., Isopescu R., Optimizarea proceselor din industria
chimic˘ a. Exemple si aplicat ¸ii, Editura Tehnica, Bucuresti, 1990
3. Curievici I., Optimiz˘ ari ın industria chimic˘ a, Editura Didactica si
Pedagogica, Bucuresti, 1980
4. Smigelschi O., Woinaroschy A., Optimizarea proceselor ın industria chimic˘ a,
Editura Tehnica, Bucuresti, 1978
5. Imre A., Cormos A., M ATLAB. Exemple si aplicat ¸ii ın ingineria chimic˘ a, Editura
Presa Universitara Clujeana, Cluj-Napoca, 2008
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 324/325
6. Lopez C.P., M ATLAB. Optimization Techniques, Springer Science+BusinessMedia, New York (SUA), 2014
UBB Cluj-Napoca, ROM ANIADepartamentul de Inginerie Chimica
24 februarie 2016324/324
8/16/2019 Slides Optimizare 2016 VA
http://slidepdf.com/reader/full/slides-optimizare-2016-va 325/325