Slozeni Kamatni Racun Pred Vj

8/7/2019 Slozeni Kamatni Racun Pred Vj

http://slidepdf.com/reader/full/slozeni-kamatni-racun-pred-vj 1/37

1. SLOŽENI KAMATNI RAČUN1

Pod pojmom kamata podrazumijeva se naknada koju dužnik plaća za posuđenu glavnicu.

Kamate se uvijek obračunavaju za neki osnovni vremenski interval koji nazivamo

razdoblje ukamaćivanja ili razdoblje kapitalizacije, što se propisuje zakonom ili definira

u ugovoru. Razdoblje kapitalizacije najčešće je jedna godina, ali to može biti i mjesec,

polugodište ili bilo koji drugi vremenski interval. Pod pojmom kamatna stopa ili

kamatnjak podrazumijeva se iznos koji se plaća za 100 novčanih jedinica za neki osnovni

vremenski interval. Odatle dolazi i najčešća oznaka za kamatnu stopu, p ( percent ).

Imamo dvije vrste obračuna kamata:• dekurzivni obračun kamata: računamo kamate na posuđeni iznos i pribrajamo ih

iznosu na kraju vremenskog razdoblja;

• anticipativni obračun kamata: obračunavamo kamate unaprijed za neko

vremensko razdoblje pri čemu se kamate obračunavaju na konačnu vrijednost

zadanog iznosa.

Dekurzivna kamatna stopa najčešće se označava slovom p, a anticipativna slovom q.

Primjenjuje se jednostavni i složeni kamatni račun:

• jednostavni kamatni račun: kamate se računaju uvijek na početnu vrijednost

glavnice;

• složeni kamatni račun: kamate se u svakom sljedećem razdoblju računaju na

prethodnu vrijednost uvećanu za kamate.

Ubuduće ćemo, ako ne bude druk čije naglašeno, pod ukamaćivanjem podrazumijevati samo

složeno ukamaćivanje.

Kod kamatnog računa primjenjuju se ove oznake ili simboli:

C0 = početna, sadašnja vrijednost

1 Predavanja i vježbe su napisane prema knjizi: Babić, Z., Tomić Plazibat N., Poslovna matematika,Ekonomski fakultet Split, Split, 2003.



1

Cn = konačna vrijednost

n = broj razdoblja

p = kamatna stopa ili kamatnjak ako je kamata obračunata dekurzivno

q = kamatna stopa ili kamatnjak ako se kamata obračunava anticipativnoI = kamata

1.1. KONAČNE VRIJEDNOSTI JEDNE SVOTE

1.1.1. Dekurzivno ukamaćivanje

Pretpostavimo da je u banku uložena glavnica C0 uz složenu kapitalizaciju i uz dekurzivni

obračun kamata po stopi p. Zanima nas kolika će biti konačna vrijednost te svote (dakle

suma početnog iznosa i složenih kamata) na kraju n-tog razdoblja.

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=⋅+=+=100

1100 00001

pC

pC C I C C

2

001112 1001

1001

1001

1001

100⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=⋅+=

pC

p pC

pC

pC C C

Analogno naprijed izvedenom slijedi da je:

n

n

pC C ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

10010 (*)

Izraz,100

1 p

+ nazivamo dekurzivnim kamatnim faktorom i označavamo sa r . Dakle,

1001

pr +=



2

Relaciju (*) možemo prema tome pisati i u obliku

n

n r C C ⋅= 0 .

Napomenimo da razlika između konačne i početne vrijednosti predstavlja ukupne složene

kamate, tj. 0C C I n −= .

Zadatak 1. Štediša je danas uložio na banku 80000 N.J.. Banka odobrava 7.5% kamata

godišnje. Kolikim će iznosom raspolagati štediša na kraju šeste godine ako je obračun

kamata složen, godišnji i dekurzivan?

Rješenje:

800000 =C , 5.7= p , 6=n , ?6 =C

606 r C C ⋅= , 075.1075.01

100

5.71

1001 =+=+=+=

pr

13.123464)075.1(80000 6606 =⋅=⋅= r C C

Zadatak 2. Uz koji je kamatnjak banka obračunala složene kamate na svotu od 15000 N.J.za 3 godine ako je odobrila 3120 N.J. kamata?

Rješenje:

150000 =C , 3=n , 3120= I ⇒ 0C C I n −= ⇒ 1812003 =+= I C C , ?= p

303 r C C ⋅= ⇒ 208.1

0

33 ==C

C r ⇒ 065.1208.13 ==r

r p

=+

100

1 ⇔ 100/1

100

⋅−= r p

⇔ 5.6)1065.1(100)1(100 =−=−= r p



3

Zadatak 3. Za koje se vrijeme neki ulog povećao zajedno sa složenim kamatama za 250%

ako se kamate obračunavaju po godišnjoj kamatnoj stopi 7.5. Obračun kamata je godišnji i

dekurzivan.

Rješenje:

000 5.35.2 C C C C n =+= , 5.7= p , ?=n

n

n r C C ⋅= 0

=05.3 C nr C ⋅0 /: 0C

log/5.3)075.1( =n

5.3log)075.1log(=

n

5.3log075.1log =⋅n

075.1log

5.3log=n

322.17=n

1.1.2. ANTICIPATIVNO UKAMAĆIVANJE

U slučaju anticipativne kapitalizacije vrijednost 0C na početku prvog razdoblja dobijemo

ako od vrijednosti na kraju prvog razdoblja 1C oduzmemo kamate unaprijed:

100

100

1001

100 11110

qC

qC

qC C C

−⋅=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=⋅−= ⇒

qC C

−⋅=100

10001

Analogno,

100

100

1001

100 22221

qC

qC

qC C C

−⋅=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=⋅−= .



4

Uvažimo li prethodnu relaciju za 1C , imamo:

=−

⋅q

C 100

1000 100

1002

qC

−⋅ ⇒

2

002 100

100

100

100

100

100⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⋅=

−⋅

−⋅=

qC

qqC C

Može se pokazati da vrijedi:

n

nq

C C ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⋅=

100

1000 (**)

Izrazq−100

100naziva se anticipativni kamatni faktor i označava sa ρ, tj.

ρq−

=100

100.

Prema tome, formulu (**) možemo pisati i u obliku:

n

n C C ρ ⋅= 0 .

Zadatak 1. Kolika je konačna vrijednost glavnice od 80000 =C N.J. nakon 6 godina uz

složenu kapitalizaciju i godišnju kamatnu stopu 4= p ( 4=q )?

Rješenje:

a) dekurzivno: 55.10122)04.1(8000 6606 =⋅=⋅= r C C

b) anticipativno: 28.1022096

1008000

66

06 =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅=⋅= ρ C C

Primijetimo da smo anticipativnim obračunom dobili veću konačnu vrijednost nego

dekurzivnim. Očito je da su kamate obračunate anticipativno uvijek veće jer se

obračunavaju od konačne, a dekurzivne od početne vrijednosti. Primijetimo da je za

dužnika povoljnije dekurzivno ukamaćivanje jer plaća manje kamata.



5

Zadatak 2. Uz koju kamatnu stopu iznos od 500000 N.J. kroz 3 godine naraste na

976562.5 N.J. ako je obračun godišnji i anticipativni?

Rješenje:

5000000 =C , 3=n , 5.9765623 =C , ?=q

303 ρ ⋅= C C ⇔ 3

0

33 /953125.1500000

5.976562===

C

C ρ ⇒ 25.1= ρ

ρq−

=100

100 ⇒ 100)100( =⋅− ρ q

100100 =⋅− ρ ρ q

ρ ρ ρ :/100100 −=⋅q

2025.1

25.0100)1(100 =⋅=−= ρ

ρ q

1.2. VRSTE KAMATNJAKA

Nominalna (zadana) kamatna stopa je propisana kamatna stopa za osnovno vremenskorazdoblje. Međutim, osnovni vremenski interval (najčešće jedna godina) na koji se odnosi

nominalna kamatna stopa i vremenski interval u kojem se obavlja kapitalizacija (odnosno

kamate pripisuju glavnici) ne moraju biti jednake duljine. Označimo:

=1n vremenski interval na koji se odnosi zadana kamatna stopa ,

=2n vremenski interval u kojem se pripisuju kamate

2

1

n

nm = = broj koji pokazuje koliko se puta u toku osnovnog vremenskog intervala kamate

pripisuju glavnici



6

Npr. ako je zadana godišnja kamatna stopa, a kamate se pripisuju svaka 4 mjeseca vrijedi:

=1n 1 godina = 12 mjeseci, =2n 4 mjeseca ⇒ 34

12

2

1 ===n

nm .

Najčešće se razmatra situacija kad je 21 nn > , tj. 12

1 >=n

nm i tada govorimo o

ispodgodišnjem (ispodnominalnom ukamaćivanju). Međutim, moguća je i obrnuta situacija,

tj. da je nominalna kamatna stopa zadana za neko kraće razdoblje nego što je razdoblje

kapitalizacije. Pitanje je kako (tj. sa kojom kamatnom stopom) pripisati kamate za takva

(kraća ili duža) vremenska razdoblja. Postoje dvije mogućnosti i to nas dovodi do pojmova

relativnog i konformnog kamatnjaka.

1.2.1. Relativni kamatnjak

Neka je p kamatna stopa zadana za osnovni vremenski interval ( 1n ), ali neka se obračun

kamata vrši u nekom drugom vremenskom intervalu ( 2n ). Tada kamatnjak m

p pr =

nazivamo relativni kamatnjak i odnosi se na vremenski interval 2n .

Npr. ako je godišnji kamatnjak p, tada je relativni polugodišnji p/2, kvartalni p/4 i mjesečni

p/12.

Zadatak 1. Odredite konačnu vrijednost uloga od 50000 KN nakon 8 godina uz nominalni

godišnji kamatnjak 12= p , ako se obračun kamata vrši:

a) godišnje,

b) polugodišnje uz primjenu relativne kamatne stope,

c) dvomjesečno uz primjenu relativne kamatne stope.



7

Rješenje:

a) 12,8,500000 === pnC

16.123798)12.1(50000 8808 =⋅=⋅= r C C

b) 12,500000 == pC

=1n 12 (mjeseci), =2n 6 (mjeseci) ⇒ 26

12

2

1 ===n

nm ⇒

62

12===

m

p pr (relativni kamatnjak koji se odnosi na polugodište) ⇒ 06.1=r

Konačna vrijednost računa se ponovo po istoj formuli n

n r C C ⋅= 0 , samo što je sada broj

razdoblja (polugodišta) 16, pa imamo:

58.127017)06.1(50000 1616016 =⋅=⋅= r C C

Primijetimo da je konačna vrijednost sada veća nego pod a). Naime, budući se radi o

složenom kamatnom računu kamate se pripisuju na uvećanu vrijednost glavnice. Na taj

način već nakon prvog polugodišta kamate se računaju na glavnicu uvećanu za pripisane

kamte što rezultira većom konačnom vrijednošću.

c) 12,500000 == pC

=1n 12 (mjeseci), =2n 2 (mjeseca) ⇒ 62

12

2

1 ===n

nm ⇒

26

12===

m

p p

r

(relativni kamatnjak koji se odnosi na dvomjeseč je) ⇒ 02.1=r

Broj razdoblja (dvomjeseč ja) sada je 4868 =⋅ , pa je konačna vrijednost:

52.129353)02.1(50000 4848048 =⋅=⋅= r C C



8

Zadatak 2. Odredite konačnu vrijednost uloga od 20000 KN nakon 4 godine uz zadani

mjesečni kamatnjak 5.1= p , ako je kapitalizacija:

a) mjesečna,

b) dvomjesečna,

c) polugodišnja,

sve uz primjenu relativne kamatne stope.

Rješenje:

a) ,200000 =C 48412 =⋅=n (mjeseci), 5.1= p

11

1

2

1 ===n

nm ⇒ p pr =

57.40869)015.1(20000 4848048 =⋅=⋅= r C C

b)2

1

2

1 ==n

nm ⇒ 3

5.0

5.1===

m

p pr (dvomjesečni) ⇒ 03.1=r , 24=n

88.40655)03.1(20000 2424024 =⋅=⋅= r C C

c)6

1

2

1 ==n

nm ⇒ 9

61

5.1===

m

p p

r

(polugodišnji) ⇒ 09.1=r , 8=n

25.39851)09.1(20000 8808 =⋅=⋅= r C C

Vidimo da primjena relativne kamatne stope ne daje istu konačnu vrijednost ni u ovom

slučaju kad je 1<m , pri čemu se može zaključiti da češća kapitalizacija donosi veću

konačnu vrijednost.



9

1.2.2. Konformni kamatnjak

Postavlja se pitanje je li moguće preračunati nominalnu kamatnu stopu p na takvu kamatnu

stopu p´ kojom će se, rjeđom ili češćom kapitalizacijom u nekom drugom vremenskomintervalu, ostvariti jednaka količina kamata, pa samim time i jednaka konačna vrijednost.

Takav kamatnjak nazivat ćemo konformni kamatnjak i označavati ga sa p´.

Dakle, konačna vrijednost uz kamatnu stopu p i n ukamaćivanja mora biti jednaka konačnoj

vrijednosti uz kamatnu stopu p´ te nm ⋅ ukamaćivanja.

000 :

100

1

100

1 C p

C p

C

nnm

⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ +=⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ′+

⋅

n

nnm p p

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ′+

⋅

1001

1001

m

m p p

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ′+

1001

1001

m p p

1001

1001 +=

′+

1001100

1100

⋅−+=′

m p p

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=′ 1100

1100

1

m p p .



10

Analogno bismo za anticipativno ukamaćivanje našli da je:⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−=′

mqq

1

100

1001100 .

Budući da se u proračunima češće koristi kamatni faktor r nego sama kamatna stopa p

izvest ćemo formulu za konformni kamatni faktor:

+=′

+=′ 1100

1 p

r +=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

1100

1100

1100

1

m p

mmm

r p p

111

10011

1001 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

Dakle,

mm r r r ==′1

.

Analogno vrijedi i za anticipativno ukamaćivanje, tj.

mm

ρ ρ ρ ==′

1

.

Zadatak 1.

a) Odredite na koju vrijednost, nakon 5 godina, naraste iznos od 50000 N.J. koji je

uložen na banci uz 4% polugodišnjih kamata.

b) Izračunajte konformni kamatnjak i provjerite da li uz njegovu primjenu i mjesečni

obračun kamata dobivamo istu konačnu vrijednost.

c) Koliki bi bio odgovarajući godišnji konformni kamatnjak koji bi davao istu količinu

kamata. Provjerite rezultat.

Rješenje:



11

a) 500000 =C , 4= p (polugodišnji), 1025 =⋅=n (polugodišta)

21.74012)04.1(50000 1010010 =⋅=⋅= r C C

b) 61 =n mjeseci, 12 =n mjesec ⇒ 62

1 ==n

nm ⇒ 6

11

)04.1(==′ mr r

60125 =⋅=n mjeseci

( ) 21.74012)04.1(50000)04.1(50000 10

60

6

160

060 =⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=′⋅= r C C

c) 61 =n mjeseci, 122 =n mjeseci ⇒ 21

126

2

1 ===nnm ⇒ 2

1

)04.1(==′ mr r

5=n godina

( ) [ ] 21.74012)04.1(50000)04.1(50000 1052505 =⋅=⋅=′⋅= r C C

Zadatak 2. Izračunajte konačnu vrijednost svote od 1000 N.J. na kraju šeste godine ako je:a) obračun kamata svakih 6 mjeseci, a godišnja kamatna stopa 52= p ,

b) obračun kamata godišnji, a godišnja kamatna stopa 61= p ,

c) obračun kamata dvogodišnji, a godišnja kamatna stopa 66= p .

U slučajevima a) i c) usporedite konačnu vrijednost dobivenu primjenom relativnog i

konformnog kamatnjaka.

Rješenje:

a) 10000 =C , 52= p , 1262 =⋅=n (polugodišta)

121 =n mjeseci, 62 =n mjeseci ⇒ 22

1 ==n

nm ⇒

262

52===

m

p pr ⇒ 26.1=r



12

04.16012)26.1(1000 1212012 =⋅=⋅= r C C (relativni kamatnjak)

2

11

r r r m

==′ , 52= p ⇒ 52.1=r

( ) 8.12332)52.1(10001000)(1000 66122

112

012 =⋅=⋅=⋅=′⋅= r r r C C (konformni)

b) 27.17416)61.1(1000 6606 =⋅=⋅= r C C

c) 10000 =C , 66= p , 32

6==n

11 =n godina, 22 =n godine ⇒ 2

1

2

1 ==n

nm ⇒

132266 =⋅==m

p pr ⇒ 32.2=r

17.12487)32.2(1000 3303 =⋅=⋅= r C C (relativni kamatnjak)

21

r r r m ==′ , 66= p ⇒ 66.1=r

( ) 18.20924)66.1(10001000)(1000 6632303 =⋅=⋅=⋅=′⋅= r r r C C (konformni)



13

1.3. KONAČNE VRIJEDNOSTI VIŠE PERIODIČNIH UPLATA (ISPLATA)

Razmotrimo sada slučaj kada se više jednakih svota uplaćuju (isplaćuju) ravnomjerno u

jednakim vremenskim intervalima kroz n razdoblja. Pretpostavimo da je razdobljekapitalizacije jednako vremenskom razdoblju dospijeća između tih uplata i da je kamatna

stopa konstantna. Uplate mogu biti početkom razdoblja pa govorimo o prenumerando

uplatama (isplatama), ili krajem razdoblja pa govorimo o postnumerando uplatama.

Želimo izračunati konačnu vrijednost svih tih uplata (isplata), tj. sve te jednake uplate R

zamijeniti jednom svotom na kraju n-tog razdoblja.

a)

Prenumerando: Neka je obračun kamata dekurzivni i uplate su početkom razdoblja. Da bi se izračunala

konačna vrijednost uplata treba računati ovako:

na početku prvog razdoblja je prva uplata R;

na početku drugog razdoblja slijedi druga uplata R i pribraja joj se prva

svota ukamaćena za jedno razdoblje: r R R ⋅+ ;

na početku trećeg razdoblja dolazi treća uplata R, i njoj se pribraja druga

ukamaćena za jedno razdoblje i prva ukamaćena sada za dva razdoblja:

2r Rr R R ⋅+⋅+ .

Isti se postupak nastavlja za sva razdoblja redom, do početka n-tog kada dolazi zadnja

uplata R. Konačna vrijednost nS tih n prenumerando uplata jednaka je sumi svih uplata

pojedinačno, ali svedenih na kraj n-tog razdoblja, tj.

( )nnnn

n r r r r r Rr Rr Rr Rr Rr RS +++++=⋅+⋅++⋅+⋅+⋅= −− 132132 ......

Izraz u zagradi predstavlja sumu prvih n članova geometrijskog niza čiji je prvi član r a =1 ,

a također je i kvocijent r q = , pa imamo:1

1

−−

⋅⋅=r

r r RS

n

n .



14

b) Postnumerando:

Konačna vrijednost postnumerando uplata računa se po jednakom postupku kao i onih

prenumerando. Razlika je u tome što uplate počinju jedno razdoblje kasnije i što posljednju

uplatu ne treba ukamaćivati, jer joj je dospijeće na kraju n-tog razdoblja:

( )1232122 ...1... −−−− ++++++=⋅+⋅++⋅+⋅+=′ nnnn

n r r r r r Rr Rr Rr Rr R RS

Budući da je izraz u zagradi ponovo suma geometrijskog niza, ali sada s prvim članom

11 =a i kvocijentom r q = , imamo:

1

1

−

−

⋅=

′r

r

RS

n

n .

Vrijedi:

r SS nn ⋅′=

Zadatak 1.

a) Neka osoba uplaćuje na banku početkom svakog mjeseca svotu od 1000 KN. Koliko će

nakon godine dana imati na računu ako je obračun kamata dekurzivni uz godišnji

kamatnjak 15= p , te uz primjenu konformne kamatne stope?

b) Koliko bi ta osoba imala na računu nakon godine dana ako su uplate bile krajem

mjeseca?

Rješenje:

a) Izračunajmo prvo konformni kamatni faktor:

12sec)(1),sec(122

121 ==⇒==

n

nmmjenimjen ⇒

011714917.1)15.1( 12

1

12

11

====′ r r r m



15

Potrebno je izračunati konačnu vrijednost 12 prenumerando uplata od po 1000 KN, pa

imamo:

1000= R , 011714917.1=r , ?12 =S

1

1

−−

⋅⋅=r

r r RS

n

n

19.12954011714917.0

15.0011714917.11000

115.1

1)15.1(

15.1100012

1

12

12

1

12

1

12 =⋅⋅=

−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅⋅=S KN

b)

Iz relacijer

SSr SS n

nnn =′⇒⋅′= slijedi da je 19.12804011714917.1

19.129541212 ===′

r

SS KN

Naravno da veći iznos na računu imamo kod prenumerando uplata budući da smo počeli

uplaćivati mjesec dana ranije.

Zadatak 2. Koliko bi novca trebalo ulagati na banku poč

etkom svakog mjeseca kroz 10godina da bi se na kraju desete godine imalo pravo podići 2000000 N.J.. Obračun kamata je

složen, mjesečni i dekurzivan, a godišnja kamatna stopa je 60= p . Zadatak riješite

primjenom konformne kamatne stope.

Rješenje:

2000000=nS , 60= p , 1201210 =⋅=n

121,12

2

121 ==⇒==

n

nmnn ⇒ 0399441.1)60.1( 12

1

12

11

====′ r r r m

1

1

−−

⋅⋅=r

r r RS

n

n ⇒ 08.705)10399441.1(0399441.1

0399441.02000000

)1(

)1(120

=−⋅

⋅=

−

−=

n

n

r r

r S R



16

Zadatak 3. Koliko godina bi trebalo ulagati početkom svake godine po 15000 N.J. ako se

želi uštedjeti 300000 N.J.? Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan, a godišnja

kamatna stopa je 10.

Rješenje:

15000= R , 300000=nS , 10= p , ?=n

1

1

−−

⋅⋅=r

r r RS

n

n ⇔ r R

r Sr nn

⋅

−=−

)1(1 ⇔ 1

)1(+

⋅

−=

r R

r Sr nn ⇒

11.115000

1.0300000)1.1( +

⋅⋅

=n

log/818181.2)1.1( =n

818181.2log)1.1log( =n

818181.2log1.1log =⋅n 1.1log:/

1.1log818181.2log=n

871.10≈n



17

1.4. SADAŠNJE (POČETNE) VRIJEDNOSTI VIŠE PERIODIČNIH UPLATA

(ISPLATA)

Više jednakih svota R koje se javljaju u jednakim vremenskim razmacima zamjenjujemosada jednom svotom koja dospijeva odmah, tj. izračunavamo im sadašnju vrijednost.

Uplate, odnosno isplate, opet mogu biti početkom ili krajem razdoblja pa razlikujemo dva

slučaja.

a) Postnumerando:

Tražimo početnu vrijednost svih n uplata (isplata) koje dospijevaju krajem svakog

razdoblja krozn

razdoblja uz kamatnu stopu p

. Obrač

un kamata je složen i razdobljekapitalizacije jednako je vremenskom razdoblju između dospijeća tih uplata. Sadašnja

vrijednost n A tih n postnumerando uplata (isplata) jednaka je:

)11

...11

(11

...11

1212 nnnnnr r r r

Rr

Rr

Rr

Rr

R A ++++⋅=⋅+⋅++⋅+⋅=−−

⇒ )1(

1

−

−

⋅= r r

r

R A n

n

n

b) Prenumerando:

U slučaju kada su uplate (isplate) početkom razdoblja, sadašnju vrijednost računamo

pomoću formule:

)1(

1

1 −

−⋅=′

− r r

r R A

n

n

n .

Vidimo da i ovdje postoji veza između sadašnjih vrijednosti prenumerando i

postnumerando uplata: nn Ar A ⋅=′ .



18

Zadatak 1.

a) Koliki bi iznos trebali danas uplatiti na banku ako želimo nakon svakih mjesec dana

(kroz sljedeće dvije godine) osigurati isplatu od po 1000 KN? Banka odobrava godišnji

dekurzivni kamatnjak 10= p , uz konformni obračun kamata.

b) Koliki bi bio taj iznos ako želimo te iste isplate osigurati početkom svakog od ta 24

mjeseca?

Rješenje:

a)

Potrebno je izračunati sadašnju vrijednost 24 mjesečne postnumerando isplate od po 1000

KN. Izračunajmo prvo konformni mjesečni kamatni faktor:

00797414.110.1 12

1

12

1

===′ r r

Sadašnja vrijednost te 24 postnumerando isplate je

57.2176400797414.010.1

110.11000

00797414.010.1

110.1

1000)1(

1

2

2

24121

24

12

1

24

24

24

=⋅

−⋅=

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅=−

−⋅=

r r

r R A

Dakle, da bismo osigurali 24 isplate od po 1000 KN krajem svakog mjeseca uz godišnji

kamatnjak 10= p , moramo na banku uplatiti 21764.57 KN.

b)Potrebno je izračunati sadašnju vrijednost 24 prenumerando isplate, tj.

12.2193857.2176400797414.12424 =⋅=⋅′=′ Ar A





20

57.156695075.0

1)075.1(15000

1

1 88

8 =−

⋅=−−

⋅=′r

r RS

16.6623957.15669573.22293488 =−=′−= SC X

Zadatak 4. Neki štediša uložio je danas na štednju 10000 N.J., a zatim ulaže još 5 puta

krajem sljedećih 5 godina jednak iznos. Koliki je taj iznos ako je vrijednost svih uloga

zajedno sa kamatama na kraju desete godine 500000. Kamate su 42% godišnje, a

kapitalizacija je godišnja, složena i dekurzivna.

Rješenje:

100000 =C , 10=n , 42= p

5000005510 =⋅′+ r SC

5000001

1 55

100 =⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

⋅+⋅ r r

r Rr C

500000)42.1(42.0

1)42.1()42.1(10000 5

510 =⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅+⋅ R

50000062.6594.333336 =+ R

06.16666362.65 = R

82.2539= R



21

Zadatak 5. Za kupnju automobila stigle su 3 ponude: kupac A nudi 17000 odmah, kupac B

10000 odmah i 19000 na kraju desete godine, a kupac C nudi krajem svake godine kroz 10

godina po 3000. Koja je ponuda najpovoljnija ako je obračun kamata složen, godišnji i

dekurzivan, a godišnje kamate su 10%? Koja će ponuda biti najpovoljnija ako je godišnjikamatnjak 12= p ?

Rješenje:

Zadatak možemo riješiti svođenjem na sadašnju ili konačnu vrijednost. Odlučimo se za

sadašnju vrijednost:

17000= A

32.17325)1.1(

1900010000

1900010000

1010=+=+=

r B

7.184331.0)1.1(

1)1.1(3000

10

10

=⋅

−⋅=C ⇒ najpovoljnija ponuda

Ako je 12= p :

17000= A ⇒ najpovoljnija ponuda

49.16117)12.1(

1900010000

1900010000

1010=+=+=

r B

67.169501.0)12.1(

1)12.1(

3000 10

10

=⋅

−

⋅=C



22

1.5. VJEČNA RENTA

Običnu periodičnu uplatu zovemo rentom. Želimo li da broj renti bude beskonačan, tj.

želimo li na osnovu svote koju smo uplatili primati vječnu rentu moramo izračunati

graničnu vrijednost n A kada broj razdoblja teži u beskonačnost.

Pretpostavimo npr. da želimo na osnovu svote 0C osigurati bezbroj postnumerando renti

iznosa a. Neka je ta svota uložena na štednju uz složenu dekurzivnu kapitalizaciju i

kamatnu stopu p. Na osnovu relacija za sadašnju vrijednost n postnumerando uplata

(isplata) dobit ćemo:

11

11

lim1:/

:/1lim1)1(

1limlim0 −=

−

−=−

−=

−−⋅==

∞→∞→∞→∞→ r ar

r a

r r r r

r a

r r r a AC

n

nnn

nn

nn

n

nn

n

Dakle, ukoliko želimo osigurati vječnu postnumerando rentu veličine a, moramo na štednju

uložiti 0C novčanih jedinica, gdje je:10 −

=r

aC .

U sluč

aju prenumerando rente, na isti nač

in dobitć

emo: 10 −

⋅

=

′r

r a

C .

Zadatak 1. Izračunajte koliku svotu moramo uložiti početkom sljedeće godine ako želimo

primati vječnu postnumerando rentu krajem svake godine u iznosu od 20000 N.J.. Godišnja

dekurzivna kamatna stopa je 10= p .

Rješenje:

20000=a , 10= p ⇒ 10.1=r

2000001.0

20000

110.1

20000

10 ==−

=−

=r

aC .



23

Zadatak 2. Glavnica od 100000 N.J. osigurava postnumerando vječnu godišnju rentu u

iznosu od 12000 N.J.. Kapitalizacija je složena, godišnja i dekurzivna. Uz koju je godišnju

kamatnu stopu odobrena štednja?

Rješenje:

)1(/10 −⋅

−= r

r

aC

aC r C =−⋅ 00

000 :/ C C ar C +=⋅

12.1100000

10000012000

0

0 =+

=+

=C

C ar

Budući je100

1 p

r += ⇒ 1212.0100)1(100 =⋅=−= r p .



24

2. ZAJAM

Zajam se odobrava na temelju ugovora između zajmodavca (obično banka) i zajmoprimca

ili korisnika zajma. Ugovorom se utvr đuje iznos zajma, kamatna stopa, vrijeme i način

otplate zajma. Zajam se otplaćuje anuitetima. Anuitet je periodički iznos koji plaća korisnik

zajma, a sastoji se od dva dijela: otplatne kvote (dio kojim se otplaćuje nominalni iznos

zajma) i kamata.

2.1. OTPLATA ZAJMA JEDNAKIM ANUITETIMA

Osnovne pretpostavke koje ćemo koristiti kod ovakvog modela otplate zajma su sljedeće:

obračun kamata je složen i dekurzivan,

anuiteti su jednaki i dospijevaju u jednakim vremenskim razdobljima krajem

termina,

razdoblje ukamaćivanja jednako je jedinici vremenskog dospijeća između anuiteta,

kamatna stopa je konstantna.

Koristit ćemo sljedeće oznake:

C = visina zajma,

a = anuitet,

k I = kamate na kraju k-tog razdoblja,

k R = otplatna kvota na kraju k-tog razdoblja,

k C = ostatak duga na kraju k-tog razdoblja,

p = konstantna kamatna stopa.



25

Zajam C treba otplatiti jednakim postnumerando anuitetima uz konstantnu kamatnu stopu

p. Budući da zajam C mora biti jednak sadašnjoj vrijednosti n postnumerando anuiteta, lako

dolazimo do formule za anuitet:1

)1(

−

−=

n

n

r

r r C a .

Prikažimo shematski kako se provodi amortizacija zajma. Plan otplate najčešće se prati

kroz tzv. otplatnu tablicu u kojoj su redom navedeni: broj razdoblja, anuiteti, kamate,

otplatne kvote i u posljednjem stupcu ostatak duga na kraju k-tog razdoblja. Svaki redak

otplatne tablice predstavlja jedno razdoblje pri čemu se u nultom retku tablice nalazi samo

iznos zajma (C0 = C).

k a k I k R k C

0 - - - 0C

1 a 1 I 1 R 1C

2 a 2 I 2 R 2C

M M M M M

n-1 a 1−n I 1−n R 1−nC

n a n I n R 0

∑ an ⋅ ∑=

=n

k

k I I 1

∑=

=n

k

k RC 1

Pri tome se kamate dobivaju iz ostatka duga iz prethodnog razdoblja, tj.

1001 p

C I k k ⋅= −

i zatim se na temelju njih računa otplatna kvota k R , kao razlika između anuiteta i kamata:

k k I a R −= .



26

Budući da se otplatnim kvotama otplaćuje nominalni iznos zajma, dug koji je preostao

računa se tako da se od prethodnog ostatka duga 1−k C oduzme otplatna kvota k R , tj.

k k k RC C −= −1 .

Posljednja otplatna kvota n R mora biti jednaka ostatku duga u predzadnjem razdoblju

budući se njome mora konačno otplatiti cijeli zajam.

Budući da se zajam zajedno sa složenim kamatama otplaćuje anuitetima, suma svih anuiteta

mora biti jednaka sumi zajma i ukupnih kamata:

∑∑==

+=n

k

k

n

k

k I C a11

.

Zadatak 1. Napravite plan otplate za zajam 100000=C KN uz dekurzivnu kapitalizaciju i

jednake anuitete koji se plaćaju krajem slijedeće četiri godine uz godišnji kamatnjak

10= p .

Rješenje:

100000=C , 4=n , 10= p

315471)10.1(1.0)10.1(100000

1)1(

4

4

=−⋅⋅=

−−=

n

n

r

r r C a

k a k I k R k C

0 - - - 100000

1 31547 10000 21547 78453

2 31547 7845 23702 54751

3 31547 5475 26072 286794 31547 2868 28679 0

∑ 126188 26188 100000



27

Kamate se dobiju iz ostatka duga iz prethodnog razdoblja:1001

pC I k k ⋅= − , i zatim se na

osnovu njih računa otplatna kvota k R , kao razlika između anuiteta i kamata.

10000100

10100000

10001 =⋅=⋅= p

C I

21547100003154711 =−=−= I a R

7845321547100000101 =−=−= RC C

Na isti način nastavljamo u slijedeće razdoblje:

7845100

1078453

10012 =⋅=⋅= p

C I

2370278453154722 =−=−= I a R

547512370278453212 =−=−= RC C

Posljednja otplatna kvota 4 R mora biti jednaka ostatku duga u predzadnjem razdoblju :

2867934 == C R

Osim toga, suma svih otplatnih kvota mora biti jednaka ukupnom zajmu:

1000004

1

==∑=

C Rk

k , a suma svih anuiteta jednaka sumi zajma i ukupnih kamata:

1261882618810000011

=+=+= ∑∑==

n

k

k

n

k

k I C a .



28

Zadatak 2. Odobren je zajam od 2000000 N.J. na 4 godine uz 25% godišnjih kamata i

plaćanje jednakih anuiteta krajem godine. Koliki je godišnji anuitet ako je obračun kamata

složen, godišnji i dekurzivan? Izradite otplatnu tablicu.

Rješenje:

2000000=C , 4=n , 25= p

46.8468831)25.1(

25.0)25.1(2000000

1

)1(4

4

=−

⋅⋅=

−

−=

n

n

r

r r C a

k a k I k R k C 0 - - - 2000000

1 846883 50000 346883 1653117

2 846883 413279 433604 1219513

3 846883 304878 542005 677508

4 846883 169377 677506

Budući da posljednja otplatna kvota mora biti jednaka ostatku duga iz prethodnog

razdoblja, i time zajam u cijelosti isplaćen, izvršit ćemo ispravak. Naime, mi smo za

vrijednost anuiteta uzeli približnu vrijednost i zbog toga je zadnja otplatna kvota za 2 N.J.

manja. Iz tog razloga, povećat ćemo zadnju otplatnu kvotu za 2. Pošto smo otplatnu kvotu u

4. godini povećali za 2, smanjit ćemo kamate 4 I za 2 kako bi 44 I R + bio jednak

konstantnom iznosu anuiteta 846883.

Dakle, zadnji redak otplatne tablice izgledat će ovako:

677508

4 846883 169375 677508 0

∑ 3387532 1387532 2000000



29

2.2. KRNJI ILI NEPOTPUNI ANUITET

Moguće je da se pri amortizaciji zajma dužnik i vjerovnik unaprijed dogovore o visini

anuiteta amortizacije. Takav anuitet zvat ćemo dogovoreni anuitet. Budući da je jakomalena vjerojatnost da takav dogovoreni anuitet bude jednak analitičkom anuitetu

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−=

1

)1(n

n

r

r r C a imat ćemo za posljedicu da je zadnji anuitet manji od prethodnih. Stoga

taj posljednji anuitet zovemo krnji ili nepotpuni anuitet i označavamo sa a′ . Računamo

ga na sljedeći način:

zadnja otplatna kvota mora biti jednaka prethodnom ostatku duga,

zadnja kvota + zadnje kamate = nepotpuni anuitet

Zadatak 1. Investicijski zajam od 100000 KN odobren uz 46.41% složenih kamata

godišnje amortizira se dogovorenim konformno kvartalnim anuitetom od 50000 KN. Treba

sastaviti plan amortizacije zajma.

Rješenje:

100000=C , 50000=a , 41.46= p

konformni kvartalni kamatnjak: 101100

1100 4 =⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=′

p p

k a k I k R k C

0 - - - 100000

1 50000 10000 40000 60000

2 50000 6000 44000 160003 50000 1600 48400

3 17600 1600 16000 0

∑ 117600 17600 100000



30

Zadatak 2. Odredite koliko će godina trajati otplata zajma od 100000 KN uz dekurzivnu

kapitalizaciju, dogovorene anuitete u iznosu 30000 KN koji se plaćaju krajem godine i

godišnje kamate od 10%. Napravite plan otplate.

Rješenje:

100000=C , 30000=a , 10= p

1

)1(

−

−=

n

n

r

r r C a

3.01

)1(==

−

−C

a

r

r r n

n

3.011.1

1.01.1=

−

⋅n

n

log/5.11.1 =⇒ nK

25.41.1log

5.1log==n

k a k I k R k C

0 - - - 100000

1 30000 10000 20000 80000

2 30000 8000 22000 58000

3 30000 5800 24200 33800

4 30000 3380 26620 7180

5 7898 718 7180 0

∑ 127898 27898 100000



31

2.3. MODEL ZAJMA S KONSTANTNOM OTPLATNOM KVOTOM

Između zajmodavca i zajmoprimca može biti dogovoren i model otplate zajma s

konstantnom otplatnom kvotom. Budući da se nominalni iznos zajma otplaćuje otplatnimkvotama vrijedi:

C Rn

k

k =∑=1

,

odnosno, budući su otplatne kvote konstantne imamo: C Rn =⋅ , pa je:

n

C R R

k == .

Kamate u k-tom terminu računaju se, kao i ranije, na ostatak duga u prethodnom terminu:

1001

pC I

k k ⋅= − ,

a anuitet otplate više nije konstantan. Kako anuitet čini zbroj kamata i otplatne kvote

imamo:

R I a k k += .

Primjer. Izradite otplatnu tablicu za zajam od 400000 KN odobren radnoj organizaciji na

4 godine uz 10% godišnjih dekurzivnih kamata i plaćanje konstantnim otplatnim kvotama.

Rješenje:

400000=C , 4=n , 10= p

1000004

400000===

n

C R

Otplatnu tablicu radimo na sljedeći način:

1. u razdoblje nula upisuje se samo iznos zajma C u stupac ostatka duga;

2. u stupac otplatna kvota upisuju se iznosi jednakih otplatnih kvota R Rk = od

razdoblja 1 do n ;



32

3. postupno se računaju i unose za razdoblja nk ,...,2,1= iznosi:

a) ostatka duga RC C k k −= −1

b) kamata 1001

p

C I k k ⋅= −

c) varijabilnog anuiteta R I a k k += .

k k a k I k R k C

0 - - - 400000

1 140000 40000 100000 300000

2 130000 30000 100000 200000

3 120000 20000 100000 100000

4 110000 10000 100000 0

∑ 500000 100000 400000

2.4. POTROŠAČKI KREDIT

Potrošački kredit se najčešće odobrava uz obvezu uplate nekog dijela kredita odmah, u

gotovini. Nakon odbitka udjela u gotovini dobije se stvarni iznos potrošačkog kredita na

koji se primjenom kamatnog računa pribrajaju ukupne kamate i time dobije ukupnodugovanje. Iznos konstantnog mjesečnog anuiteta dobijemo dijeljenjem ukupnog

dugovanja s brojem mjeseci na koji je odobren potrošački kredit. Koristit ćemo slijedeće

oznake:



33

C = odobreni iznos potrošačkog kredita,

P = udio u gotovini,

PC C −=0 = stvarni iznos kredita nakon odbitka udjela u gotovini,

q = anticipativna kamatna stopa,

I = ukupne kamate,

j I = kamate u j-tom terminu,

n = broj obroka otplate,

R = prosječna otplatna kvota,

a = anuitet otplate.

Ukupno dugovanje I C +0 treba otplatiti sa n jednakih mjesečnih anuiteta a. Dakle,

vrijedi:

I C an +=⋅ 0 , tj.n

I

n

C a += 0 ,

gdje su:

Rn

C =0 prosječna otplatna kvota, a S I n I = prosječne kamate.

Obračun kamata kod potrošačkog kredita je anticipativan i koristi se jednostavni kamatni

račun. Ako je q godišnja kamatna stopa, onda su godišnje kamate u prvom otplatnom

razdoblju100

0 qC ⋅, a mjesečne

12000 qC ⋅

.

Svaki termin otplaćuje se jedna otplatna kvota, a u j-tom terminu ostatak duga je

R jC C j ⋅−−= )1(0 ,



34

pa su kamate u j-tom terminu (mjesecu)

[ ]

1200

)1(0 q R jC I j

⋅⋅−−= ,

a ukupne kamate nađemo po formuli:

2400

)1(0 +⋅=

nqC I .

Napomena:

Ako rate nisu mjesečne već se kredit otplaćuje svakih m̂ mjeseci, uvedimo nove oznake.

Neka je:

m̂ = razmak u mjesecima između dospijeća dviju rata kredita,

mnm ˆ⋅= = rok otplate potrošačkog kredita u mjesecima,

n = broj rata otplate.

Tada su formule za kamate u j-tom terminu i ukupne kamate jednake:

[ ]1200

ˆ)1(0 qm R jC I j

⋅⋅⋅−−=

2400

)1(ˆ0 +⋅⋅⋅=

nmqC I



35

Zadatak. Potrošački kredit u iznosu od 2000N.J, odobren uz 20% gotovinskog učešća,

amortizira se sa 4 kvartalna jednaka anuiteta. Odredite anuitet otplate, prosječne kamate te

niz planiranih kamata ako je godišnji anticipativni kamatnjak 12=q . Ukoliko se dužnik u

trenutku uplate trećeg anuiteta želi osloboditi duga u cijelosti koliki iznos treba uplatiti?

Rješenje:

160020002.020000 =⋅−=C , 12=q , m̂ = 3, 4=n

Ukupne kamate:

1202400

53121600

2400

)1(ˆ0 =⋅⋅⋅

=+⋅⋅⋅

=nmqC

I

Anuitet otplate:

4304

12016000 =+

=+

=n

I C a

Prosječna otplatna kvota:

4004

16000 ===n

C R

Prosječne kamate:

304

120===

n

I I s

k k a s I R

K I sk I I −

1 430 30 400 48 18

2 430 30 400 36 63 430 30 400 24 -6

4 430 30 400 12 -18

∑ 1720 120 1600 120 0



Posljednja dva stupca tablice, tj. niz planiranih kamata ( K I ) i razlika planiranih i prosječnih

kamata ( sk I I − ) poslužit će nam u slučajevima kada se želimo osloboditi duga prije

krajnjeg roka. Ako se, npr., dužnik u trenutku uplate trećeg anuiteta želi osloboditi

preostalog duga, mora uplatiti prvo razliku kamata sk I I − za prva dva razdoblja, jer je

plaćeno manje nego što su planirane kamate. Pored toga treba platiti otplatnu kvotu i

kamate za treće razdoblje, te preostale otplatne kvote (u ovom zadatku samo R4).

84840040024618)( 433

2

1

=++++=+++−=∑=

R R I I I X k

sk

Documents

Slozeni Kamatni Racun Pred Vj