3.1. Pojam interesa i kapitalisanja Interesni ili kamatni račun je srazmjerno tačan zasnovan na procentnom računu, a od njega se razlikuje po tome račun se koristi u poslovima regulisanja kreditnih odnosa koji nastaju između dužnika i povjerioca.Interes ili kamata je naknada koju dužnik plaća povjeriocu za korišćenje pozajmljenog novca na određeno vrijeme. Interes se može obračunavati dekurzivno i anticipativno.Dekurzivno obračunavanje interesa se obavlja krajem perioda, za protekli period (unazad), na raniju (diskontovanu) vrijednost, kao čistu glavnicu, pa je stoga kasnija (ukamaćena) vrijednost uvećana glavnica.Odnos ranije i kasnije vrijednosti pri dekurzivnom obračunavanju interesa možemo, u svrhu boljeg razumevanja, šematski prikazati na tzv. vremenskoj liniji kojom prijedstavljamo samo jedan obračunski period (SI. 10—1).

 

 

 

a u odnosu na ukupnu prodajnu vrijednost (PV)

 

G je oznaka za čistu glavnicu; I je oznaka za interes ili kamatu; G + I je oznaka za uvećenu glavnicu ( glavnicu uvećenu za interes).Anticipativno obračunavanje interesa se obavlja početkom perioda, za period unaprijed, na kasniju vrijednost kao čistu glavnicu, pa je stoga ranija vrijednost umanjena glavnica

(Sl. 10-2).

 

Kada je riječ o dužničko-povjerilačkim odnosima između privrednih i drugih-subjekata treba reći da se kamata obračunava u određenim vremenskim intervalima (npr. godišnje) ili po isteku perioda kamaćenja koji je ugovoren. Kamata se, zavisno od propisa ili dogovora, po obračunu ili isplaćuje posebno u dogovorenom roku ili se pripisuje glavnici radi daljeg kamaćenja. Tako se u slučaju štednih uloga građana uz kamatu po viđenju kamata obračunava jednom godišnje (na kraju godine), dok su u slučaju oročene štednje primjenjuju različiti uslovi od banke do banke.

1 2, ,..., gI G p l G p l G p

a svih g perioda ovako:

p je oznaka za interesnu stopu i prijedstavlja interes na 1 jeKMicu ( 1 KM. npr.) glavnica za i period (najčešće za i godinu).g je oznaka za vrijeme kamaćenja izraćeno u godinama, Tako npr. ako je potrebno izračunati kamatu za 3 godine onda je g=3; ako treba obračunati kamatu za 5 meseci onda je g=5/12, a ako npr. treba obračunati kamatu za 78 dana, onda je g=78/365 odnosno g=78/366 (za prijestupne godine). Proporcija (1) služi za tzv. interesni račun od sto i prijetpostavlja dekurzivno obračunavanje interesa. Za anticipativno obračunavanje interesa je potrebno formirati proporcije (izvedene iz (1)) za račun više i niže sto, koje glase:

1

: 1: ( )

g

jj

I l G p g G I p g

: 1( ) : (1 ) (2)

:

GG I p g

I pg

( ) (2a)

1

G I pg

Ipg

(2b)1

G I

Gpg

Poštujući proporcije (1) i (2) i definicije dekurzivnog i anticipativnog obračunavanja interesa uspostavimo sledeće odnose između kasnije (ukamaćene) vrijednosti Kg i ranije (diskontovane) vrijednosti K:a ) Ako je obračunavanje interesa dekurzivno, prijema definiciji važi:pa će biti: odnosno:

 b) Ako je obračunavanje interesa anticipativno, onda važi: 

 Odnosno:

Prost interes i interes uopšte se u praksi uglavnom obračunava dekurzivno pa će se u daljem tekstu pri obračunu interesa podrazumevati dekurzivni način, a ako bude potrebno za anticipativnim, onda će se to naglasiti.

, , gK G K G I

, gK K I I K p g

(1 ) (3) gK K K p g Kg K p g

,1

g

p gK K I I K

p g

1(1 )1

g

p gK K K K p g

p g

Obračunati 8% interesa na iznos od 9.000 KM. za vrijeme od:3 god.5 mjeseci73 dana.

 Rješenje:  a) g = 3, I = 9.000 ∙ 0,08 ∙ 3 = 3.160 KM; Kg = 11.160 KM.

b) g = 5/12, I = 9.000 ∙ 0,08 ∙ (5/12) = 300 KM; Kg = 9.300 KM.

c) g = 73/365, I = 9.000 ∙ 0,08 ∙ (73/365) = 144 KM; Kg = 9.144 KM. Ako se ovih 73 dana nalaze u prijestupnoj god., onda će biti:

I = 9.000 ∙ 0,08 ∙ (73/365) = 143,61 KM. Ako se od 73 dana npr. 23 dana nalaze u prijestupnoj god., onda će biti:

I = 9.000 ∙ 0,08 ∙ (50/365 + 23/366) = 143,88 KM. Ovo je ilustrativni primjer, a u praksi se prost interes prijetežno koristi za vremenski period kraći od jedne godine i izražen u danima. Pri obračunu kamate na više glavnica uz potrebu jedinstvene kamatne stope, za različiti broj dana, mogu se postići određene uštede u računanju ako se koriste tzv. kamatni brojevi. Opšti zadatak: Obračunati kamatu sa kamatnom stopom p na glavnice koje su date na kamaćenje dana respektivno.

Rješenje: 

kbr je uobičajena oznaka za umnožak glavnice i broja dana, pod nazivom kamatni broj. 

Obračunati 8% kamate na dan 31.12.1996 god. , na sledeće glavnice: 10.000 KM. Va 20.05.1996.

10.000 KM. Va 18.08.1996.5.000 KM. Va 01.11.1996.

( V je skraćenica za riječ valuta, koja u ovom slučaju pokazuje dan kada je glavnica data na kamćenje).Rješenje: Dio posla možemo obaviti tabelarno 

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

... ,

( / 365 / 365 ... / 365)

/ 365( ... )

n n

n n

n n

I G p g G p g G p g

I p G d G d G d

I p G d G d G d

1 1

/ 365 ( / 365) (5)

n n

j j jj j

I p G d p kbr

11

1 1 1

11

2

22 22

22

2

2 23

3

33

3

3

33 33

Primer

(Tab. 10-3)

I = (0,08/366) ∙ 6.150.000 = (0,08/366) ∙ 6.150 ∙ 1.000 = 1.347,95 Broj dana računamo tako što se ili prvi ili poslednji dan ne uzima u obzir. Do sada smo prijetpostavljali da je data godišnja kamatna stopa.Datu stopu nazivamo nominalna stopa. Uzmimo da nominalna stopa ne mora biti godišnja i označimo je sa PN, onda važi:

n je oznaka za broj perioda koji odgovaraju kamatnoj stopi PN .

 

G d kbr = G d Ili kbr/1000

20.000 225 4.500.000 4.50010.000 135 1.350.000 1.3505.000 60 300.000 300

- - 6.150.000 6.150

(6) NI G np

Izračunati prost interes na iznos od 20.000 KM, za 5 mjeseci, ako je data mjesečna stopa od 8%. Rješenje: 

I = 2.000 ∙ 0,08 ∙ 5 = 8.000 KM. Može i ovako:

p = 12 ∙ 0,08 = 0,96 p je godišnja stopa koja odgovara datoj mjesečnoj stopi, za vrijeme g = 5/12, pa će prijema (1) biti: 

I = 20.000 ∙ 0,096 ∙ (5/12) = 8.000 KM.

11

1 1 1

11

2

22 2

22

2

2 23

3

33

3

33 33

Primer

3.3. Složen interes

3.3.1. Problem kamaćenja jednokratnih, sporadičnih (pojedinačnih) plaćanjaInteres koji se svakog perioda računa na uloženu sumu (glavnicu) i na dospeli interes iz ranijih perioda naziva se interes na interes ili složen interes.

Polazeći od ranije usvojenih oznaka, za dekurzivno obračunavanje složenog interesa važi:

K1 = K + I1 = K + K ∙ p ∙ 1 = K (1+p) je ukamaćena vrijednost K novčanih jedinica (npr. KM) na kraju prve godine, dok je U, interes u prvoj godini.

K2 = K1 + l2 = K1 + K1 ∙ p ∙ 1 = K1 (1+p) = K(1+p)2

je ukamaćena vrijednost K KM na kraju druge godine, dok je I2 interes u drugoj godini

Zaključujemo da važi:

1 + p je ukamaćena vrijednost jednog KM za jednu godinu uz kamatnu stopu p.Dalje zaključujemo da K1,K2,...,Kn prijedstavljaju članove geometrijskog niza sa količnikom 1+p. Za anticipativno obračunavanje interesa važi:

.

33 (1 ) itd.K K p

(1 ) ,ggK k p g N

(7) i (8) bi se moglo prikazati objeKMjeno ovako:, pri čemu bi se znak + koristio za dekurzivno, a znak - za anticipativno obračunavanje interesa.Koristeći savremene tehnike (računare) računanju numeričke vredriosti izraza (1±p)±g, odnosno (1±p) ±g, za željene vrijednosti p i g možemo brzo i lako izračunati. U praksi se mogu naći sada već zastarjele tablice izračunatih vrijednosti za ove izraze za određene vrijednosti pig. Prijema ovim tablicama je označavaju broj tablice

u kojoj se nalazi željeni broj).Prikazani postupak konstrukcije formule (7) podrazumeva broj godina izražen celim brojem 1 godišnje kapitalisanje. Međutim, kamata se u praksi retko obračunava za cijeli broj godina, već najčešće za vremenski period koji je kombinacija određenog broja godina i određenog broja dana.

11 1

22 1 2 1

(1 )1

(1 )1

(1 ) , 100% (8)gg

pK K I K K K p

p

pK K I K K K p

p

K K p p

g gp p, ( i g g

g p g pK K K K

Nadalje, složenost odnosa u savremenom poslovanju i sloboda ugovaranja uslov kamaćenja iskomplikovali su pojam kapitalisanja, nominalne stope i godine kao osnovnog perioda za obračun kamate.•U praksi se nameće potrebna rešavanja problema češćeg kapitalisanja od godišnjeg i obračuna kamate za vremenski period koji je manji od perioda u kome se obavlja jedno kapitalisanje.Ako je p oznaka za nominalnu (daru, uglavnom godišnju) kamatnu stopu i ako je m oznaka za broj kapitalisanja u jednoj godini, onda se postupkom koji važi za formiranje formule (1) dolazi do jednačine (formule):

Izraz p/m se naziva relativna kamatna stopa.1+p/m je ukamaćena vrijednost jednog KM za 1 period kapitalisanja, uz stopu p/m. Odgovarajuća formula za anticipativno obračunavanje interesa je:

O anticiparivnom obračunavnju interesa kažimo još samo toliko da se po potrebi takvo obračunavanje prijevodi u dekurzivno iznalaženjem odgovarajuće stope. Ovo prijeračunavanje počiva na jednakosti:

p (a) je oznaka za nominalnu kamatnu stopu, kada je obračunavanje interesa anticipativno. Iz ove jednakosti dobijamo:

(1 / ) , (9)mggK K p m mg N

(1 / ) , / 100% (10)mggK K p m p m

1(1 ( ) / ) 1 /p a m p m

Npr. neka je p(a) = 18% = 0,18 i neka je m=1, onda je odgovarajuća dekurzivna stopa:

p=0,18/(1-0,18) = 19,5652173%,a ako je npr. p=18% = 0,18 i m=1, onda je odgovarajuća anticipativna stopa:

p(a) = 0,18/(1+0,18) = 15,2542372%

1) Pozajmljen je iznos od 1.000 KM. na 5 godina, uz 18% kamate godišnje i kapitalisanje:

a) godišnje,b)polugodišnje (semestralno),c)Tromjesečno (kvartalnc),d(mesečno. e)dnevno.

Koliko dužnik treba da vrati poveriocu?Riješenje:

K = 5.000; g = 5; p=18% = 0,18.

/( ) / / (11)

1 /

( ) // ( ) / (11A)

1 ( ) /

(p(a)/m 1) (p/m

p mp a m p m

p m

p a mp m p a m

p a m

).

a)m=1,

b) m=2

c) m=4

d) m=12

e) m=365

Ovo je ilustrativni primjer, a u praksi je period kamaćenja određen datumima.Da je to učinjeno u ovom primjeru onda bi jedna ili dve godine bile prijestupne, pa-bi rezultati bili nešto drugačiji.Uočimo da sa češćim kapitalisanjem zbog upotrebe relativne kamatne stope, ukamaćena vrjednost, za isto vrjeme, biva sve veća, zatim da je to povećanje sve manje i da nije teško prijetpostaviti da ukamaćena vrjednost ima graničnu vrjednost za slučaj da broj kapitalisanja u jednoj godini teži u beskonačno.Riječ je tada o tzv. kontinuelnom kapitalisanju, pri kojem vremenski interval između dva kapitalisanja teži nuli, za razliku od kapitalisanja kao što su ona u 1. primjeru pod a) do e) koje tretiramo kao diskontinuelna.

Da sa češćim kapitalisanjem raste ukamaćena vrijednost možemo pokazati i ovako:

1 5 51000 (1 0.18 /1) 1000 1.18 2287,76 KM;gK

2 5 101000 (1 0.18 / 2) 1000 1.09 2367,36 KM;gK

4 5 201000 (1 0.18 / 4) 1000 1,045 2411,71 KM;gK

12 5 601000 (1 0,18 /12) 1000 1,015 2443,22 KM;gK

365 51000 (1 0,18 / 365) 2459,06 KM.gK

Tačnost pomenute zakonitosti potvrđuje i tzv. Bernulijeva nejednakost

pri čemu je x = p/m , n=m , a nx = p.

U slučaju da je obračunavanje interesa anticipativno ukamaćena vrjednost za (1) primjer bi bila: a) 2.697,31; b) 2.567,95; c) 2.511,50; d) 2.460,15.Dakle , ukamaćena vrjednost je , pri istoj učestalosti kapitalisanja , veća kad je obračunavanje interesa anticipativno , što možemo pokazati da važi uopšte , na sledeći način: ako je p(a)=p , onda je:

Pošto je to će biti:

2 2

3 2 3 2

4 2 3 4 3

(1 / 2) 1 / 4 1 ;

(1 / 3) 1 / 3 / 27 (1 / 2) ;

(1 / 4) 1 3 / 8 /16 / 256 (1 / 3) ;

itd.

p p p p

p p p p p

p p p p p p

(1 ) 1 za n > 1 i x > -1,nx n x

/( ) ( ) 1 (1 / )

1 /

mg

mgg g

p mK a K d K K p m

p m

// ,

1 /

p mp m

p m

(Suprotno bi bilo za diskontovane vrjednosti), zatim da u slučaju anticipativnog obračunavanja interesa sa češćim kapitalisanjem, zbog upotrebe relativne stope, ukamaćena vrjednost biva sve manja, da je razlika između odgovarajućih ukamaćenih vrjednosti, dobijenih anticipativnim i dekurzivnim obračunavanjem interesa, sve manja (teži nuli) i da nije teško prijetpsotaviti da ukamaćene vrjednosti u ta dva slučaja imaju isti limes kada Dalje zaključujemo da, ako je kapitalisanje kontinuelno, onda broj kapitalisanja teži u beskonačno u bilo kom konačno datom vremenskom intervalu, a ne samo u jednoj godini (ovo ima veze sa činjenicom da podjeljeno sa konačnim brojem daje za rezultat ).Neka je pN oznaka za datu, nominalnu kamatnu stopu (ona može biti i godišnja p) i neka je n oznaka za odgovarajući broj perioda na koje se odnosi , tada će biti:

Specijalno za , biće n=g i:Kontinuelno kapitalisanje može i ima smisla da se primjeni u analizi kretanja mnogih prirodnih i društvenih procesa, a možda bi ga trebalo i imalo smisla primjeniti i u slučaju obračuna kamata.Koristeći podatke iz 1. primjera za slučaj kontinuelnog kapitalisanja dobije se:

N

/

/

lim (1 p / )

lim (1 / )N

N

N

N

mng m

npm pg Nm p

npg

K K m

K K p m

K K e

dok bi se (radi poređenja) za slučaj obračuna prostog interesa dobilo:Radi cjelovite slike o razlikama koje nastaju u veličini ukamaćene vrjednosti, obzirom na različit način kapitalisanja i upotrebu relativne kamatne stope, dajemo grafički prikaz kretanja ukamaćenih vrjednosti za 1. primjer (sl. 10-3), uz napomenu da bi slično važilo i za bilo koji drugi primjer.Kažimo još i to da kamatna stopa za periode kapitalisanja, kraće od jedne godine ne mora nastati deljenjem godišnje stope sa m; ona jednostavno može kao takva biti zadata, tj. data kao polugodišnja tromesečna, mesečna ili dnevna.

U takvom slučaju se (9) može prikazati u obliku:

(9a)

5 0,181000 2459,60 KM,gK e

(1 )ng NK K p

5 0,181000 2459,60 KM,gK e

1)Iznos od 2.000 KM dat je na kamaćenje na 67 dana uz 1% kamate dnevno. Koliko iznosi ukamaćena vrijednost?Rješenje:

Kg = 2.000 ■ 1,0167 = 3.895,493) Djete je rođeno sa 3,9 kg. Ako se prijetpostavi da će u prvih pola godine dobijati u masi prosječno 15% mjesečno, u drugih pola godine 5% mjesečno, u drugoj godini 2% mjesečno, a u naredne tri godine 1% mjesečno, izračunati kolliko bi mogla da bude masa djeteta na 5. rođendan.

Riješenje:Problem je takve prirode da mu odgovara upotreba kontinuelnog kapitalisanja. pa će biti:

Primjetimo da se po principu formiranja relativne kamatne stope može od relativne stope p/m dobiti odgovarjuća godišnja stopa p množenjem sa m. Tako bi npr. dnevnoj stopi od l% odgovarala godišnja stopa od 365% ili 366%.Pokazali smo da upotreba relativne kamatne stope za isti vremenski period daje veći efekat (kamata) od kamate koja bi se dobila godišnjim kapitalisanjem.Da bi ova dva efekta bila ista trebalo bi ili povećati kamatnu stopu kojom se kamata obračunava godišnje ili smanjiti kamatnu stopu kojom se kamata obračunava češće od godišnjeg obračuna.

6 0,15 6 0,05 12 0,02 36 0,012000 23,59 kggK e

1 (1 / ) (1 / ) 1 (13)m mE Ep p m p p m

1 1 p pE Ep e p e

0,18E , p 1 19,7217363%m e

1/(1 ) 1 (1 ) 1m mc cp p p p

1 ln(1 )cpce p p p

U vezi sa konformnom kmatnom stopom u praksi nastaje i ova situacija: U datom periodu (konačnom) kapitalisanja (koje ne mora biti godišnje) sa relativnom stopom p/m, iz određenih razloga, želi se više puta (npr. s puta) obračunati kamata, ali tako da se u tom periodu ostvari isti efekat koji bi se postigao jednim obračunom kamate sa stopom p/m. Ovo se ne može ostvariti stopom p/m podjeljenom sa s, već sa odgovarajućom konformnom kamatnom stopom, koja se dobije iz jednačine:

pri čemu u ovom obrascu, pc znači kamatnu stopu kojom se uz kontinuelno kapitalisanje postigne isti efekat kao jednim obračunom kamate sa relativnom stopom p/m u datom konačnom periodukapitalisanja.

Uzmimo da j- u 1. primjeru dato polugodišnje kapitalisanje, ali še želi: a) mesečni, b) kontinuelni obračun kamate.

Tada će biti:a) p = 18%; m=2; s=6; - (1+0,18/2)l/6 -1=1,4466592%

je mjesečna stopa kojom se sa 6 obračuna kamate postigne isti efekat kao jednim obračunom kamate sa relativnom stopom p/2 = 9%.

1 / ln(1 / )cpce p m p p m

cp

Primjetimo da je ova mjesečna stopa veća od mjesečne stope 1,388843% kojom smo uspostavljali vezu između godišnjeg i mjesečnog obračuna kamate, tj. primjetimo da je 1,4466592% bliža relativnoj 1,5% jer je i mjesečni obračun kamate "bliži" polugodišnjem nego godišnjem obračunu kamate.

p = 18%; m = 2; s , pc = In (1+0,18/2) = 8,6177696% je polugodišnja stopa kojom se uz kontinuelno kapitalisanje ostvari isti efekat kao jednim obračunom kamate sa godišnjom stopom p/2=9%.

Nadalje jednakost:

nam daje kamatnu stopu pc kojom se sa s obračuna kamate u datom periodu kapitalisanja, u kome je prijedviđen obračun kamate sa relativnom stopom p/m, odnosno sa ms obračuna kamate u jednoj godini, ostvari isti efekat kao jednim obračunom kamate sa godišnjom stopom p.

Primjetimo da se od (16), za 8=1, dobije (14)

Za primjer uzimamo: p=18% , m=2, s= 6 pa će biti;

(1 + pc)ms = 1 + p => pc = (1 + p)1/ms - 1

1/(2 6) 1/12(1 0,18) 1 1,18 1 1,388843%cp

U slučaju kontinuelnog kapitalisanja ova vrsta problema se svodi na (14a).Primjenu konformne stope možemo uopštiti ovako: Ako sa s obračunavanja kamate želimo postići isti efekat kao jednim obračunom kamate sa nominalnom stopom onda to možemo ostvariti sa stopom p0 dobijenom iz jednačine:

(1+pc)s=1+pN=>Po=(1+PN)1/S-1 (17)

dok za slučaj konidnuelnog kapitalisanja važi:

pri čemu je, u ovom slučaju, pc stopa kojom se uz kontinuelno kapitalisanje postiže isti efekat koji se postiže jednim obračunom kamate sa stopom

Za pN = p i s = m (17) i (17a) postaju (14) i (14a).Za pN = p/m (17) i (17a) postaju (15) i (15a).

Ako sa pc = (1+p/m)l/s-1 želimo izvršiti jedan obračun kamate, za period koji prijedstavlja sm-ti dio godine, tj. za g=1/ms, onda će biti

Kg = K(1 +pc)1 = K(1 +(1 +p/m)1/s -1=K(1+p/m)1/s

pri čemu je1/s = mg = m • (1/ms), g Q+ mg Q+

Ako sa pc želimo izvršiti dva obračuna kamate, za period g=2/ms, onda će biti:

Kg = K(1+ )2 = K(1+(1+p/m)1/s-1)2 = K

pri čemu je 2/s = mg = m • (2/ms).

1 (1 ) (17a)cpN c Ne p p In p