Kal2mdl1intgdasar

KALKULUS 2

MODUL-1

I.1. INTEGRAL POKOK / DASAR (Fundamental Integral)

Integral adalah anti derivatif atau kebalikan dari derivatif/deferensial/turunan.

1. xn+1 = (n+1) xn xn dx = xn+1 + C

2. ln x = dx = ln |x| + C

3. ex = ex ex dx = ex + C

4. ax = ax ln a ax dx = + C

5. cos x = -sin x sin x dx = -cos x + C

6. sin x = cos x cos x dx = sin x + C

7. ln|cos x| = -tan x tan x dx = -ln |cos x| + C

= ln |sec x| + C

8. tan x = sec2 x sec2 x dx = tan x + C

9. cot x = -csc2 x csc2 x dx = - cot x + C

10. sec x = sec x tan x sec x tan x dx = sec x + C

11. csc x = -csc x cot x csc x cot x dx = -csc x + C

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB SUMARDI H.SKALKULUS II

Kal2mdl1intgdasar

12. = arc sin + C

13. = arc tan + C

14. = arc sec + C

15. = ln + C

16. = ln + C

17. = ln | x + | + C

18. = ln | x + | + C

19. dx = ½ x + ½ a2 arcsin +C

20. dx = ½ x + ½ a2 ln | x+ | + C

21. dx = ½ x - ½ a2 ln | x+ |+C

Contoh-Contoh untuk rumus no.1

a. x-2/3 dx = 3 x1/3 + C

b. (3x+4)2dx = (9x2+24x+16)dx = 3x3+12x2+16x + C

c. dx = ½ (2x+5)-2/3d(2x+5) = (2x+5)1/3+ C

d. (f(x))-2/3 d f(x) = 3 (f(x))1/3 + C

e. dx = sin-2/3x d sin x = 3 sin1/3 x + C

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB SUMARDI H.SKALKULUS II

Kal2mdl1intgdasar

Contoh-Contoh untuk rumus no.2.

a. = = ln | 2+3x | + C

b. = = ln | 2+3x2 | + C

c. = = ln | x2+4x | + C

d. = = - = - ln | 1+e-x | + C

Contoh-Contoh untuk rumus no.3 dan 4.

a. a4x dx = + C

b. dx = - d e1/x = - e1/x + C

c. (ex+1)2 ex dx = (ex+1)2 d(ex+1) = (ex +1)3 + C

d. dx = x + ln | 1+e-x | + C ( see: 2.d)

Contoh-Contoh untuk rumus no.5 s/d 11.

a. x sin 3x2 dx = sin 3x2 d (3x2) = - cos 3x2 + C

b. x cos 3x2 dx = cos 3x2 d (3x2) = sin 3x2 + C

c. x2 tan 2x3 dx = tan 2x3 d (2x3) = ln |sec 2x3| + C

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB SUMARDI H.SKALKULUS II

Kal2mdl1intgdasar

d. x sec2 x2 dx = sec2 x2 d (x2) = tan x2 + C

e. x csc2 3x2 dx = csc2 3x2 d (3x2) = cot 3x2 + C

f. x sec 4x2 tan 4x2 dx = sec 4x2 tan 4x2 d(4x2) = sec 4x2 + C

g. ex csc ex cot ex dx = csc ex cot ex d ex = - csc ex + C

Contoh-Contoh untuk rumus no.12 s/d. 14.

a. = = arc sin x3 + C

b. = ln |x2+9| - arc tan + C

c. = arc sec + C

Contoh-Contoh untuk rumus no.15 s/d. 18:

a. = ln|4x2-9| - ln + C

b. = = ln + C

d. = = ln | (x+2) + | + C

d. = = ln | (x+2) + | + C

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB SUMARDI H.SKALKULUS II

Kal2mdl1intgdasar

Contoh-Contoh untuk rumus no.19 s/d. 21:

a. √(4-x2) dx = ½ x√(4-x2)+ 2 arcsin x/2+C, (ingat ∫udv)

b. √(16+x2) dx =½ x√(16+x2)+8 ln|x+√(16+x2)|+C

c. √(x2-36) dx =½ x√(x2-36)+18 ln|x+√(x2-36)|+C

Soal-Soal Buktikan:

1. x√(4-x2) dx = - 1/3 (4-x2)3/2 + C

2. x√(16+5x2) dx = 1/10 (16+5x2)3/2 + C

3. x√(7x2-36) dx = 1/14 (7x2-36)3/2 + C

4. (2x+1)2√x dx = 1/14 x7/2 + 1/10 x5/2 + 2/3 x3/2 + C

5. (x-2)3√x dx = 2/9 x9/2-12/7 x7/2+24/5 x5/2 – 16/3 x3/2+C

6. dx = x + ln |x + | + C

7. dx = - + ln | – x| + C

8. e2sinx cosx dx = ½ e2sin x + C

9. e3tanx sec2x dx = ⅓ e3tan x + C

10. 53x dx = ⅓ 53x / ln5 + C

11. dx = √(9-x2) + 2/3 arcsin x/3 + C

12. dx = 1/3 ln (x3+6x+3) + C

13. dx = ⅓ (x2+3)2/3 + C

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB SUMARDI H.SKALKULUS II

Kal2mdl1intgdasar

14. dx = ln(x2+6x+13)- arctan + C

15. dx = ln(3x2-4x+3)- arctan + C

16. dx = - √(27+6x-x2) + 3 arcsin + C

17. dx = √(-8+12x-4x2) - ½ arcsin (2x-3)+C

18. √(6x-x2) dx = ½(x-3)√(6x-x2) + arcsin +C

19. √(x2+4x) dx = ½ (x+2) √(x2+4x) – 2 ln | (x+2) + √(x2+4x)| + C

20. √(x2-8x) dx = ½ (x-4) √(x2-8x) – 8 ln |x-4 + √(x2-8x)| + C

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB SUMARDI H.SKALKULUS II

Kal2mdl1intgdasar

I.2. Integral Parsiil

Urutan prioritas sebagai u :

1. ln x,

2. xn ,

3. ekx.

Contoh :

1. ∫ x cos x dx = ?

Jawab:

Karena integral tersebut tidak mengandung ln x, maka x dalam

Integral tersebut diambil sebagai u.

∫ x cos x dx = ∫ x d sin x = x sin x - ∫ sin x d x

= x sin x + cos x + C

2. ∫ x2 ln x dx = ?

Jawab:

Karena integral tersebut mengandung ln x, maka ln x dalam

Integral tersebut diambil sebagai u.

∫ x2 ln x dx = ∫ ln x d = ln x - ∫ . dx

= ln x - + C

= ( 3 ln x - 1 ) + C

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB SUMARDI H.SKALKULUS II

∫ u dv = uv - ∫ v du

Kal2mdl1intgdasar

3. ∫ x e2x dx = ?

Jawab:

Karena integral tersebut tidak mengandung ln x, maka x dalam

Integral tersebut diambil sebagai u.

∫ x e2x dx = ∫ x d = x - ∫ dx

= x - + C

= ( 2 x - 1 ) + C

4. ∫ e3x sin x dx = I = ?

Jawab:

Karena integral tersebut tidak mengandung ln x dan xn, maka e3x dalam

Integral tersebut diambil sebagai u.

= ∫ e3x d (- cos x)

= - e3x cos x + 3 ∫ cos x. e3x d x

= - e3x cos x + 3 ∫ e3x d sin x

= - e3x cos x + 3 e3x sin x - 3∫ sin x e3x.3. dx

= - e3x cos x + 3 e3x sin x – 9 ∫ e3x sin x dx

∫ e3x sin x dx = (- cos x + 3 sin x) + C

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB SUMARDI H.SKALKULUS II

Kal2mdl1intgdasar

Soal-Soal (Selesaikan):

1. ∫ x cos 5x dx 5. ∫ x2 sin 3x dx 9. ∫ x3 cos 2x dx

2. ∫ x ln 4x dx 6. ∫ x2 ln 3x dx 10. ∫ x3 ln 2x dx

3. ∫ x e2x dx 7. ∫ x2 e3x dx 11. ∫ x3 e2x dx

4. ∫ ex sin 3x dx 8. ∫ e3x sin 2x dx 12. ∫ e3x cos 2x dx

Soal-Soal ( Buktikan dengan rumus ∫ udv ):

1. ∫ x arcsin x dx = ¼ (2x2-1) arcsin x + ¼ x √(1-x2) + C

2. ∫ x arccos x dx = ¼ (2x2-1) arccos x - ¼ x √(1-x2) + C

3. ∫ √(4-x2) dx = ½ x√(4-x2) + 2 arcsin x/2 + C,

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB SUMARDI H.SKALKULUS II