Soal Turunan Dan Pembahasan

Aturan dan Sifat turunan fungsi aljabar

Soal 1

Petunjuk

Pembahasan

Soal 2

Petunjuk

Pembahasan

Soal 3

Suatu perusahaan menghasilkan x unit barang dengan biaya total sebesar

Jika semua produk perusahaan tersebut terjual dengan harga Rp50,00 untuk setiap unitnya, laba

maksimal yang diperoleh adalah …. Penyelesaian :

Petunjuk

Laba = Total Penjualan – Modal

Pembahasan

Soal 4

Jumlah dari bilangan pertama dan kuadrat bilangan kedua adalah 75.

Nilai terbesar dari hasil kali kedua bilangan tersebut adalah ….

Petunjuk

Berikan pemisalan pada bilangan pertama dan bilangan kedua

Pembahasan

Petunjuk

Berikan pemisalan pada bilangan pertama dan bilangan kedua

Pembahasan

Soal 5

Jika f′(x) adalah turunan pertama dari f(x)=(1/2).x4+(2/3).x3−4x+1, maka f ′(x)=....

Petunjuk

Jika y = axn, maka y' = a.n.x

(n - 1).

Pembahasan

Oleh karena turunan pertama dari axn adalah a.n.x

(n - 1), maka

Soal 6

Diketahui f(x) = x6 + 12x

4 + 2x

2 - 6x + 8 dan f'(x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai dari f'(1)

adalah ….

Petunjuk

Jika y = axn, maka y' = a.n.x

(n - 1).

Pembahasan

Oleh karena turunan pertama dari axn adalah a.n.x

(n - 1), maka

f'(x) = 6x5 + 48x

3 + 4x - 6, sehingga f'(1) = 6 + 48 + 4 - 6 = 52.

Soal 7

Seorang petani menyemprotkan obat pembasmi hama pada tanamannya. Reaksi obat tersebut t

jam setelah disemprotkan dinyatakan dengan rumus

Reaksi maksimum tercapai setelah … jam.

Petunjuk

Reaksi maksimum jika

Pembahasan

Soal 8

Jika f(x)=(x−1)/2x, maka nilai dari f'(2) adalah ….

Petunjuk

Misalkan f(x)=u(x)v(x) dan tentukan turunan pertamanya. Selanjutnya, tentukan nilai dari f'(2).

Pembahasan

Jika dimisalkan

u(x) = x - 1 v(x) = 2x

maka f(x)=x−12x=u(x)v(x), sehingga

Dengan demikian, f′(2)=1/(2*(22))=18.

Soal 9

Petunjuk

Pembahasan

Soal 10

Petunjuk

Pembahasan

..............................

Soal 1

Untuk memproduksi x unit barang perhari diperlukan biaya

rupiah. Biaya produksi akan menjadi minimal jika perhari produksi ….

Petunjuk

Pembahasan

Biaya produksi misal

Sehingga biaya akan minimum saat

Soal 2

Untuk memproduksi x unit barang per hari diperlukan biaya

rupiah. Jika harga per unit adalah Rp500, biaya produksi minimum yang harus dikeluarkan

adalah….

Petunjuk

Pembahasan

Biaya produksi misal p(x). sehingga biaya akan minimum saat p’ (x) = 0 dan p”(x) < 0

Jadi, biaya minimum saat x= 500

Biaya minimum = 500 × Rp500,00 = Rp250.000,00

Soal 3

Suatu proyek dapat dikerjakan selama p hari dengan biaya setiap harinya

juta rupiah. Agar biaya proyek minimum maka proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu

….

Petunjuk

Pembahasan

Jadi, proyek tersebut harus diselesaikan dalam 5 hari.

Soal 4

Untuk memproduksi suatu barang diperlukan biaya produksi yang dinyatakan dengan fungsi

Dalamribuan rupiah. Agar biaya minimum maka harus diproduksi barang sebanyak ….

Petunjuk

Biaya mencapai minimum saat

Pembahasan

Biayamencapai minimum saat

Soal 5

Suatu fungsi hubungan antara banyaknya pekerja dengan keuntungan perusahaan dinyatakan

oleh f(x) = −2x2 + 240x + 900 dengan x banyaknya pekerja dan f(x) keuntungan perusahaan

dalam satuan jutaan rupiah. Keuntungan maksimum perusahaan tercapai ketika banyaknya

pekerja ….

Petunjuk

keuntungan mencapai maksimum saat

Pembahasan

keuntungan mencapai maksimum saat

Soal 6

Biaya produksi x barang dinyatakan dengan fungsi

ribu rupiah. Biaya minimum untuk memproduksi barang tersebut adalah ….

Petunjuk

Biaya minimum pada saat

Pembahasan

Biaya minimum pada saat

maka

Nilai f(x) pada saat x = 50

satuan dalam ribuan rupiah, sehingga biaya minimum adalah:

2000 × Rp1.000,00 = Rp2.000.000,00

Soal 7

Sebuah balon dipompa. Volume balon yang berjari-jari r cm adalah

jika r berubah maka V juga berubah. Laju perubahan V terhadap r pada r = 2 adalah ….

Petunjuk

cari terlebih dahulu

kemudian substitusikan nilai r

Pembahasan

Soal 8

Sebuah bola dilempar keatas setelah t detik akan mencapai ketinggian h meter, dengan

Ketinggian bola pada saat kecepatannya 0 m/det adalah ….

Petunjuk

kecepatan merupakan turunan pertama dari fungsi ketinggian.

Pembahasan

Jadi, kecepatan 0 m/det terjadi pada ketinggian 17 meter.

Soal 9

Suatu persegi panjang dengan panjang (2x + 4)cm dan lebar (4 – x)cm. Agar luas persegi panjang

maksimum, ukuran panjang adalah …

Petunjuk

L akan mencapai maksimum saat L’ = 0

Pembahasan

Misal luas persegi panjang adalah L, maka:

L akan mencapai maksimum saat L’ = 0, maka:

Ukuran panjang p pada saat x = 1

Soal 10

Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu t diberikan oleh fungsi

kecepatan tertinggi mobil itu dicapai pada waktu t =

Petunjuk

v(t) merupakan turunan pertama dari s(t)

Pembahasan

.............................................

Soal 1

Fungsi

turun untuk semua x yang memenuhi ….

Petunjuk

Pembahasan

Soal 2

Grafik fungsi

naik pada interval ….

Petunjuk

Pembahasan

Soal 3

Grafik fungsi

naikpada interval ….

Petunjuk

Pembahasan

Soal 4

Kurva

turun pada interval

Kurva tersebut melalui titik (2, -13). Nilai a, b, dan c berturut-turut adalah ….

Petunjuk

Pembahasan

Soal 5

Kurva yang naik pada interval

adalah ….

Petunjuk

Perhatikan intervalnya, jika fungsi naik maka tandanya (>)

Pembahasan

Perhatikan intervalnya

Soal 6

Kurva

selalu naik untuk setiap

Batas-batas

adalah ….

Petunjuk

Pembahasan

Dengan menggunakan garis bilangan maka

yang memenuhi adalah

Jadi,

Soal 7

Grafik fungsi

naik untuk nilai x yang memenuhi ….

Petunjuk

Pembahasan

Soal 8

turundalam interval ….

Petunjuk

Pembahasan

Soal 9

Petunjuk

Pembahasan

Soal 10

f(x)=(x2+3)/(x−1) turun untuk nilai x yang memenuhi ….

Petunjuk

f(x) turun jika f'(x)< 0.

Pembahasan

Jika dimisalkan

u(x) = x2 + 3

v(x) = x - 1

maka f(x)=x2+3x−1=u(x)v(x), sehingga

Oleh karena f(x) turun jika f'(x)< 0, maka

Jadi, f(x)=(x2+3)/(x−1) turun untuk -1 < x < 1 atau 1 < x < 3.

....................................

Soal 1

Garis singgung pada kurva y = x3 – 3x

2 di titik potongnya dengan sumbu x dengan absis positif

mempunyai gradien ….

Petunjuk

gradien merupakan turunan pertama dari fungsi y

Pembahasan

Perpotongan dengan sumbu x, berarti:

Soal 2

Gradien garis singgung pada kurva y = x3 + 4x

2 + 5x +8 di titik (–3, 2) adalah ….

Petunjuk

gradien garis singgung di titik (x₁,y₁) merupakan nilai turunan pertama dari fungsi y di x = x₁.

Pembahasan

Titik singgung (–3, 2)

m = f’(x₁) f(x) = x

3 + 4x

2 + 5x + 8

f’(x) = 3x2 + 8x + 5

f’(–3) = 3(–3)2 + 8(–3) + 5 = 27 – 24 + 5 = 8

m = 8

Soal 3

Gradien garis singgung pada kurva y = x2 + 4x +1 di titik (2, 13) adalah ….

Petunjuk


Pembahasan

Titik singgung (2, 13)

Soal 4

Garis l menyinggung kurva

di titik yang berabsis 4. Titik potong garis l dengan sumbu x adalah ….

Petunjuk


Pembahasan

Gradien garis singgung di

Ordinat titik singgung

Persamaan garis singgung di titik (4, 12) dengan gradien

Garis singgung memotong sumbu x maka

Jadi, garis singgung memotong sumbu x di titik (-4,0)

Soal 5

Diketahui kurva dengan persamaan

Garis

menyinggung kurva di titik dengan absis 1. Nilai

adalah ….

Petunjuk


Pembahasan

Soal 6

Absis titik singgung pada kurva

yang mempunyai gradien 8 adalah ….

Petunjuk


Pembahasan

Soal 7

Jika garis singgung pada kurva

di titik (1,2) mempunyai gradien 20 maka nilai

masing-masing adalah ….

Petunjuk


Pembahasan

gradien garis sunggung di titik (1, 2) adalah 20.

Persamaan kurva menjadi:

Kurva melalui titik (1, 2) maka

Soal 8

Grafik

mempunyai garis singgung mendatar pada titik ….

Petunjuk


Pembahasan

garis singgung mendatar (sejajar sumbu x) maka m = 0

Jadi, titik singgungnya (1, -1).

Soal 9

Persamaan garis singgung pada kurva

di titik (2, 12) adalah …

Petunjuk

Tentukan terlebih dahulu gradiennya kemudian susun persamaan garis singgungnya.

Pembahasan

kurva melalui titik (2, 12)

persamaan garis singgungnya

Soal 10

Garis yang sejajar dengan garis g: 4x + y + 3 = 0 menyinggung kurva y = -x2 di titik ….

Petunjuk


Gradien dua garis yang sejajar adalah sama.

Pembahasan

Garis

mempunyai gradien m₁ = −4

Kurva y = −x2 mempunyai gradien garis singgung m₂ = y = −2x

Garis sejajar garis singgung kurva maka m₂ = m₁

−2x = −4

x = 2

untuk x = 2 maka y = −22 = −4

Persamaan garis singgung tersebut menyingung di titik (2, -4)

mempunyai gradien m₁ = −4

........................................

Soal 1

Persamaan garis singgung kurva y = x2 + 4x + 1 di titik (2,13) adalah ….

Petunjuk

Tentukan nilai gradien garis singgungnya terlebih dahulu, kemudian cari persamaan garis

singgungnya dengan menggunakan persamaan garis lurus :

Pembahasan

Turunan pertama kurva y = x2 + 4x + 1 adalah y' = 2x + 4.

Gradien garis singgung kurva y = x2 + 4x + 1 di titik (2,13) adalah

Persamaan garis singgung kurva di titik (x1 , y1) = (2,13) adalah

Soal 2

Persamaan garis singgung kurva y = x3 + 4x

2 + 5x + 8 di titik (–3, 2) adalah ….

Petunjuk



Pembahasan

Turunan pertama kurva y = x3 + 4x

2 + 5x + 8 adalah y' = 3x

2 + 8x + 5.

Gradien garis singgung kurva di titik (-3 , 2) adalah

Persamaan garis singgung kurva di titik (x1 , y1) = (-3 , 2) adalah

Soal 3

Persamaan garis singgung kurva y = 5x2 + 2x - 12 di titik (2,12) adalah ….

Petunjuk



Pembahasan

Turunan pertama kurva y = 5x2 + 2x - 12 adalah y' = 10x + 2.

Gradien garis singgung kurva di titik (2,12) adalah

m = y' |x = 2 = 10(2) + 2 = 22

Persamaan garis singgung kurva y = 5x2 + 2x - 12 di titik (x1 , y1) = (2 ,12) dengan gradien m =

22 adalah

Soal 4

Gradien garis singgung kurva y = x3 – 6x

2 di titik potongnya dengan sumbu X yang absisnya

positif adalah ….

Petunjuk

Kurva y = x3 – 6x

2 akan memotong sumbu X jika y = 0.

Pembahasan

Kurva y = x3 – 6x

2 akan memotong sumbu X jika y = 0.

Oleh karena absis titik potong kurva dengan sumbu X bernilai positif (x > 0) , maka absis titik

potong yang dimaksud adalah x = 6. Dengan kata lain, titik singgung kurva adalah (6,0).

Turunan pertama kurva y = x3 - 6x

2 adalah y' = 3x

2 - 12x.

Gradien garis singgung kurva y = x3 - 6x

2 di titik (6,0) adalah

m = y' |x = 6 = 3(62) - 12(6) = 36

Soal 5

Garis y = -4x – 2 menyinggung kurva y = 2x3 + 2ax

2 + b di titik dengan absis 1. Nilai a adalah

….

Petunjuk

Oleh karena garis y = -4x – 2 menyinggung kurva y = 2x3 + 2ax

2 + b maka garis y = -4x – 2

adalah garis singgung kurva y = 2x3 + 2ax

2 + b.

Pembahasan

Oleh karena garis y = -4x – 2 menyinggung kurva y = 2x3 + 2ax

2 + b maka garis y = -4x – 2

adalah garis singgung kurva.

Dengan demikian, gradien garis singgung kurva sama dengan gradien garis y = -4x – 2, yaitu m

= -4.

Turunan pertama kurva y = 2x3 + 2ax

2 + b adalah y' = 6x

2 + 4ax.

Oleh karena absis titik singgung kurva adalah x = 1, maka

Soal 6

Garis singgung kurva y = x2 + 4x + 8 mempunyai gradien 8 di titik yang mempunyai absis ….

Petunjuk

Jika dimisalkan titik singgung kurva y adalah (a,b), maka gradien garis singgung kurva adalah

Pembahasan

Turunan pertama kurva y = x2 + 4x + 8 adalah y' = 2x + 4.

Jika dimisalkan titik singgung kurva adalah (a,b), maka

Dengan demikian, garis singgung kurva y = x2 + 4x + 8 mempunyai gradien 8 di titik yang

mempunyai absis 2.

Soal 7

Jika garis singgung kurva y = ax2 + b di titik (4,1) mempunyai gradien 8, maka nilai dari 16a dan

2b berturut-turut adalah ….

Petunjuk

Jika gradien garis singgung kurva y di titik (p,q) adalah r, maka r = y' |x = p

Titik (p,q) berarti bahwa x = p dan y = q

Pembahasan

Turunan pertama kurva y = ax2 + bx adalah y' = 2ax + b.

Oleh karena gradien garis singgung kurva di titik (4,1) adalah 8, maka

Selanjutnya, karena titik singgung kurva adalah (4,1), maka untuk x = 4 diperoleh y = 1.

Jika persamaan (1) dan (2) kita eliminasi, maka diperoleh a = 31/16 dan b = -15/2.

Jadi, 16a = 31 dan 2b = -15.

Soal 8

Grafik y = x3 – 3x

2 + 3x – 2 mempunyai garis singgung mendatar pada titik ….

Petunjuk

Jika garis singgung kurva bentuknya mendatar (sejajar sumbu X), maka m = y' = 0.

Pembahasan

Oleh karena garis singgung kurva bentuknya mendatar (sejajar sumbu X), maka m = y' = 0.

Dengan demikian,

Jadi, titik singgung kurva adalah (1, -1).

Soal 9

Garis g menyinggung kurva y = 6√x di titik yang berabsis 4. Titik potong garis g dengan sumbu

X adalah ….

Petunjuk

Garis singgung ax + by + c = 0 akan memotong sumbu X jika y = 0.

Pembahasan

Gradien garis singgung di titik berabsis 4 adalah

Oleh karena absis titik singgung adalah 4, maka ordinat titik singgung adalah 6√4 = 12. Dengan

kata lain, titik singgung kurva adalah (4,12).

Persamaan garis singgung di titik (4,12) dengan gradien 3/2 adalah

Garis singgung 2y - 3x = 12 akan memotong sumbu X jika y = 0

2.0 – 3x = 12

<=> 0 - 3x = 12

<=> -3x = 12

<=> x = -4

Jadi, garis singgung kurva akan memotong sumbu X di titik (-4,0).

Soal 10

Persamaan garis yang menyinggung kurva y = -x2 dan sejajar dengan garis 4x + y + 3 = 0 adalah

….

Petunjuk

Tentukan nilai gradien garis singgungnya dan titik singgungnya terlebih dahulu, kemudian cari persamaan garis singgungnya dengan menggunakan persamaan garis lurus :

Pembahasan

Garis 4x + y + 3 = 0 mempunyai gradien m1 = -4.

Oleh karena garis singgung kurva y = -x2 sejajar dengan garis 4x + y + 3 = 0 maka gradien garis

singgung kurva adalah m = m1 = -4.

Jika dimisalkan titik singgung kurva adalah (a,b), maka gradien garis singgung kurva adalah

m = y' |x = a

<=> -4 = -2a

<=> a = 2

Selanjutnya, karena a = 2 maka b = -22 = -4.

Dengan demikian, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah persamaan garis melalui titik

(2 , -4) dengan gradien -4.

.................................................

Soal 1

Persamaan garis normal pada kurva y = x3 + 4x

2 + 5x + 8 di titik (–3, 2) adalah ….

Petunjuk

garis normal merupakan garis yang tegak lurus dengan garis tangen/garis singgung

Pembahasan

Titik singgung (–3, 2) sebagai (x₁,y₁)

Persamaan garis nomalnya adalah

Soal 2

Persamaan garis normal pada kurva

di titik (2,13) adalah ….

Petunjuk

garis normal merupakan garis yang tegak lurus dengan garis tangen/garis singgung.

Pembahasan

Titik singgung (2, 13) …………….(x₁,y₁)


Soal 3

Garis normal pada kurva

di titik potongnya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien …..

Petunjuk


Pembahasan

Perpotongan dengan sumbu x, berarti:

Gradien garis nomalnya adalah

Soal 4

Diketahui kurva dengan persamaan

Garis

merupakan garis normal kurva di titik dengan absis 1.

Petunjuk


Pembahasan

y=x3+2ax2+by'=3x2+4axGaris g: y = −9x – 2m = y'(1) =3(1)2+ 4a(1)=3+4a

Gradien garis singgungnya adalah

Soal 5

Garis normal pada kurva

mempunyai gradien 8 di titik dengan absis ….

Petunjuk


Pembahasan

Soal 6

Jika garis singgung pada kurva

di titik (1,2) mempunyai gradien 20 maka nilai

masing-masing adalah….

Pembahasan

gradien garis singgung di titik (1, 2) adalah 20.

Persamaan kurva menjadi:

Kurva melalui titik (1, 2) maka

Soal 7

Grafik

mempunyai garis normal mendatar pada titik ….

Pembahasan

garis singgung mendatar (sejajar sumbu X) maka m=0. sehingga gradien garis normal juga 0.

Soal 8


di titik (1, 3) adalah ….

Petunjuk


Pembahasan

Soal 9


di titik (2, 12) adalah ….

Pembahasan

kurva melalui titik

Persamaan garis singgung melalui titik (2, 12) dengan gradien m= 12 adalah:


Soal 10

Diketahui sebuah garis menyinggung kurva

dan sejajar dengan garis

, persamaan garis normalnya adalah ….

Pembahasan

Persamaan garis singgung yang melalui (2, -4) dan bergradien -4:

Jadi, persamaan garis singgung kurva


Documents

Soal Turunan Dan Pembahasan