Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural NUEVOS ... la obtención de soluciones aproximadas mediante métodos numéricos y en particular el Método de los Elementos Finitos (MEF)

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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

NUEVOS HORIZONTES EN EL ESTUDIO DE PROPAGACIÓN DE G RIETAS EN

ESTRUCTURAS POR MEDIO DEL MÉTODO XFEM

Marco Aurelio Fernández Torres 1 y Norberto Domínguez Ramírez 2

RESUMEN El agrietamiento es uno de los problemas complejos que con mayor frecuencia se presenta en las obras de ingeniería civil, y por ello, los estudios experimentales y numéricos que se desarrollan actualmente tienen como objetivo predecir el comportamiento de dichas grietas y evaluar sus efectos en la respuesta de la estructura. XFEM es una técnica numérica recientemente desarrollada para estos fines, que poco a poco se integrará en los programas comunes de análisis estructural. En este trabajo se presentan los conceptos generales de XFEM, desde su formulación matemática hasta su implementación en códigos de elementos finitos, así como algunos ejemplos de simulación de grietas en estructuras típicas de ingeniería civil.

ABSTRACT Cracking is one of the most complex and frequent problems that civil engineers must deal as soon as they verify the structural safety of any construction. Because of this, the development of experimental and numerical simulations to study cracking aims to predict the behavior of cracks and evaluate their effects on the structural response of the system. XFEM is a numerical technique intended for this kind of predictions, which will be implemented very soon in standard Finite Element codes. In this work we present the basic concepts of XFEM, including mathematical formulation as well as its typical implementation in Finite Element codes, as well as some examples of cracking simulation applied to civil engineering structures, extracted from bibliography.

INTRODUCCIÓN ¿Qué es una grieta y qué es una fisura? matemática y físicamente, una grieta y una fisura son exactamente lo mismo, pudiéndose definir como una separación de material por apertura y deslizamiento, cuya distancia de separación es más pequeña que la extensión de separación. Desde otro punto de vista, también pueden entenderse como una pérdida de continuidad y de contacto en un mismo medio. Coloquialmente hablando, sin embargo, la distinción entre fisura y grieta radica en un problema de escalas: una fisura no es detectable por la visión humana, y se dice que cuando varias fisuras se interconectan, dan lugar a una macro-fisura o “grieta” de dimensiones visibles (desde un milímetro de largo), la cual puede propagarse ante la acción de diferentes combinaciones de cargas. Si bien las grietas no son famosas por tener un efecto estético, éstas podrían ser despreciables si no tuviesen dos grandes inconvenientes que afectan la integridad de cualquier cuerpo o estructura: la primera es que su existencia permite la entrada de agentes nocivos, propios del ambiente en los que se encuentra inmersa la estructura, como por ejemplo la humedad, oxígeno, hidrógeno y otras sustancias nocivas, y con esto promover la degradación del material que constituye la estructura. El otro gran inconveniente pero de tipo mecánico, es

1 Maestro en Ciencias, SEPI ESIA UZ IPN, Edificio de la Sección de Posgrado e Investigación, Av. Juan de

Dios Bátiz s/n, Unidad Profesional “Adolfo López Mateos”, Col. Zacatenco, 07738 México, D.F. Teléfono: (55) 5729-6000 ext. 53125; [email protected], [email protected]

2 Profesor, SEPI ESIA UZ IPN, Edificio de la Sección de Posgrado e Investigación, 1er. Piso, Av. Juan de

Dios Bátiz s/n, Unidad Profesional “Adolfo López Mateos”, Col. Zacatenco, 07738 México, D.F. Teléfono: (55) 5729-6000 ext. 53125; [email protected] , [email protected]

XVII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural L eón, Guanajuato, noviembre 2010.

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que su presencia podría ocasionar una reducción en la capacidad para soportar las cargas para las que fue diseñada la estructura, aunado a un desempeño inadecuado, lo que redunda al corto y al largo plazo en una disminución de la vida útil del sistema estructural, y en el incremento del riesgo de colapso. Cuando se encuentra una grieta o un defecto que se comporte como tal en una estructura o componente mecánico, el efecto local que provoca es un aumento tanto en los desplazamientos como en las deformaciones en la zona cercana a la punta de la grieta, presentándose una gran concentración de esfuerzos en los extremos de dicha grieta y con esto una deformación local muy superior a la deformación global. ANTECEDENTES EN EL ESTUDIO DE PROPAGACIÓN DE GRIETA S El estudio de la propagación de grietas de manera seria se remonta a la época del Renacimiento con Leonardo Da Vinci, y a través del tiempo diversos investigadores han observado y resaltado la importancia de estudiar los fenómenos que las producen -alta concentración de esfuerzos en la punta de la grieta- así como sus efectos en la integridad de los cuerpos (Inglis, Griffith, entre otros). Ellos indicaban ya desde hace tiempo que la discrepancia entre la resistencia real de los materiales y sus estimaciones teóricas, se debía a la presencia de defectos internos, los cuales debían reducir la resistencia global al magnificar los esfuerzos de forma local, de donde surgió la idea de la concentración de esfuerzos internos. Asimismo, mediante el desarrollo matemático propuesto por Inglis se observó que en un medio continuo y elástico, la presencia de una grieta muy aguda alcanza un valor infinito de esfuerzos en la punta, sin importar que tan pequeña sea la carga aplicada. Dado que no hay material que resista esfuerzos infinitos, esto llevó a Griffith (Griffith, 1920) a proponer una aproximación termodinámica para encontrar una solución coherente, es decir, aplicó principios de conservación de energía; llegando a la siguiente deducción: para que la grieta se propague se requiere que la rapidez de conversión de energía almacenada al menos sea igual a la rapidez de creación de energía de superficie, que matemáticamente planteado se expresa como sigue:

( ) 0=+− WFUda

d Ó ( )

da

dWUF

da

d =−

Donde ,U es la energía potencial o de deformación contenida en la placa, ,F Es el trabajo realizado por la

fuerza externa, ,W Es la energía para formar una grieta. De estas investigaciones, se desprenden dos

hipótesis fundamentales, que son la base de lo que se conoce hoy como Mecánica de la Fractura: (a) la fractura de un material es el resultado de un proceso de conversión de energía asociado más al tamaño de la grieta que a la magnitud de las fuerzas aplicadas, y (b) por tanto, existe una relación directa entre el esfuerzo de fractura y el tamaño de la grieta. De acuerdo a lo anterior, se tiene que:

( )UFda

dG −= , es la razón de liberación de energía o fuerza de extensión de grieta,

da

dWR = , es la resistencia al agrietamiento (fuerza).

Por otra parte, el concepto del Factor de Intensidad de Esfuerzos K , introducido por Irwin (Irwin 1957) en los años sesenta, permite definir la amplitud de la singularidad en la punta de la grieta y determinar el efecto de la grieta en una estructura. Una vez conocido este valor, se pueden definir completamente las condiciones que existen en la punta de la grieta y calcular las componentes de esfuerzos y desplazamientos como una función de las coordenadas polares r y θ (ver ecuación 1).

( )θπ

σ mij

mmij

rf

r

K

2lim

0=

→

(1)

Donde r es la distancia desde la punta de la grieta, y mes el modo de fractura asociado IIIIIIm ,,= .

En dicha ecuación puede observarse el valor de mijσ aumenta conforme 0→r . Los modos de fractura ,m son

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tres movimientos independientes de las superficies superior e inferior de la grieta con respecto a ellas mismas, y se caracterizan como: Modo I -Apertura, Modo II -Corte en el plano, y Modo III-corte fuera del plano (ver figura 1-b). Por lo tanto, una grieta se propagara cuando el factor de intensidad de esfuerzos K , alcance un

valor crítico, denominado factor de intensidad de esfuerzos crítico ( )ICK , también conocido como

Tenacidad a la fractura. Ésta propiedad del material se puede obtener mediante ensayes de fractura.

M-I e1

e2

e3

M-II

e1

e2

e3

a)

b)

M-III

e1

e2

e3

Figura 1 (a) Sistema de coordenadas alrededor de un a grieta; (b) modos de fractura (Bower, 2008) El criterio de propagación de una grieta en términos del factor de intensidad de tensiones esta dado por las siguientes condiciones:

Si K es menor que la tenacidad del material, ICK entonces no hay propagación de grieta, (estable)

Si K es igual a ICK , es posible la extensión cuasi-estática de la grieta,

Si K es mayor que ICK , entonces tenemos un crecimiento dinámico de grieta o inestable,

Irwin (Irwin, 1957) también probó que existe una relación entre la extensión de grietas, el estado de esfuerzos del material cercano a la punta, y la energía liberada para la propagación de grieta, representada por la ecuación 2:

GEK =2 (2)

Además dedujo que el proceso de fractura no podía concentrarse en un solo punto como lo plantea la teoría elástica, sino que se presenta en una zona pequeña próxima a la punta, que denomino zona plástica o zona de proceso de fractura (ZPF) la cual por el efecto de la deformación, absorbe gran cantidad de energía y mantiene las tensiones dentro de un valor finito.

EL MODELADO ACTUAL DE GRIETAS CON ELEMENTOS FINITOS TÉCNICAS DE MODELACIÓN DE GRIETAS Trabajos preliminares y escala de modelado En la actualidad, la mayoría de las técnicas numéricas para el estudio de la propagación tienen como marco teórico los fundamentos expuestos previamente, los cuales han dado forma a lo que hoy se conoce como la Mecánica de la Fractura: su desarrollo ha permitido avanzar en la evaluación de la estabilidad de grietas y la predicción de su comportamiento, mediante simples parámetros para caracterizar la razón de liberación de


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energía conocida como Energía de Griffith (G ), o el Factor de Intensidad de esfuerzos ( K ). En otras palabras, lo único que se requiere para determinar dichos parámetros es el conocimiento del campo de esfuerzos alrededor de la grieta, los valores de las cargas y la definición de las condiciones de frontera. En casos muy simples esto puede obtenerse mediante planteamientos analíticos (Teoría de la Elasticidad), métodos experimentales (complianza, fotoelasticidad, extensometría, etc) o métodos indirectos (propagación de grietas por fatiga, fractográfico, etc) e incluso de compendios, esto depende del tiempo disponible, de los recursos y nivel de precisión requeridos para la aplicación. (Gonzalez, 2004). Sin embargo para problemas de mayor complejidad -como los que comúnmente se presentan en la práctica –el desarrollo de planteamientos analíticos es difícil y aunque la experimentación sea la opción ideal, muchas veces esta fuera del alcance, quedando la obtención de soluciones aproximadas mediante métodos numéricos y en particular el Método de los Elementos Finitos (MEF) como la única alternativa práctica de análisis. Desde décadas pasadas, el MEF se ha consolidado como una de las herramientas más solidas y de mayor empleo para el estudio de muchos fenómenos físicos y para solucionar diversos problemas de ingeniería. Si bien es cierto que el método no fue concebido en un principio para tratar problemas de naturaleza discontinua1 como los relacionados con la fractura y la propagación de grietas, se han ideado técnicas para modelar de forma más precisa el campo de esfuerzos alrededor de la punta de la grieta, muchas de ellas computacionalmente muy costosas, que van desde el empleo de mallas extremadamente finas junto con elementos finitos especiales dedicados a capturar dicho estado singular o no convencional del campo de esfuerzos, hasta el desarrollo de técnicas complejas de remallado. (Ver figura 2).

(b)

(a) (c)

Figura 2 Malla de elementos finitos representando u na aplicación clásica para la modelación de grietas: (a) forma explícita-discreta con elementos isoparamétricos (Alvarez et al., 2007); (b) y (c) forma

implícita de modelación. En este punto es conveniente resaltar la importancia de definir la escala de modelación para determinar el tipo de resultados que podemos obtener de diversas técnicas numéricas. En general a una escala global macroscópica (e incluso mesoscópica, es decir abarcando sistemas visibles al ojo humano) interesa principalmente estudiar los efectos globales en la respuesta estructural debido a una pérdida de rigidez. A esta escala difícilmente se modelan las grietas por el grado de dificultad para hacerlo, siendo lo más común disminuir los parámetros de rigidez en la zona dañada. Por otra parte, a una escala local, el objetivo es evaluar hacia dónde y bajo qué condiciones de carga se va a propagar la grieta: a esta escala, la modelación de la grieta puede realizarse de forma explícita o implícita.

1 Esto se debe a que el conjunto de funciones que definen la aproximación del campo de desplazamientos dentro de cada elemento finito, -funciones de forma- son funciones continuas de polinomios diferenciables por tramos.

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Cabe mencionar que si dicha escala local llegara a ser muy pequeña (como por ejemplo, una escala microscópica y hasta nano), sería posible estudiar los posibles mecanismos de fractura a nivel de la micro-estructura o la estructura atómica de los materiales. El enlace para conjuntar y aprovechar el beneficio de un modelo completo (global-local) que contemple todas las escalas, daría paso a una modelación multi-escala. Los modelos principales para representar el agrietamiento en las estructuras pueden concentrarse en dos grupos: los primeros están basados en la Mecánica del Medio Continuo, y los segundos en la Mecánica de la Fractura. Como parte de los primeros, particularmente destacan los inspirados en la Mecánica del Daño, en donde las micro-fisuras y su crecimiento se representan de forma continua, a través de las variables de daño. Estas variables internas representan el estado del material. Así pues, se parte de un estado inicial sano, y posteriormente conforme se somete a carga al sistema, una parte del material que llegue a contener defectos poseerá las variables de daño de valor elevado lo que dará una degradación de las propiedades del material. En un modelo simple, la ecuación constitutiva (relación entre esfuerzos y deformaciones) en presencia de daño puede representarse mediante la ecuación 3:

( ) εσ **1 ED−= (3)

Donde E es el modulo de elasticidad, ε la deformación y D es la variable de daño que puede variar entre 0 y 1, para el que resta adoptar una ley de evolución. Por otra parte se sabe que la inclusión de ecuaciones constitutivas no-lineales en un medio continuo estándar con características de ablandamiento-deformación, conduce a un fenómeno de deformación localizada, esto es, la concentración de deformaciones en bandas estrechas. Este hecho ha sido aprovechado con frecuencia para modelar discontinuidades (agrietamiento distribuido). Sin embargo, esto puede a dar lugar a sistemas mal condicionados lo que da como resultado inestabilidades y bifurcaciones espurias en las soluciones obtenidas. Algunos remedios parciales ante tal problemática derivada, ha sido el desarrollado de procedimientos de regularización dependientes de malla y de la ecuación constitutiva continua o realizando modificaciones substanciales en la naturaleza de dichas ecuaciones (a través de modelos no-locales, viscosos o modelos de regularización de gradientes, (ver Needleman, 1988)). El otro conjunto de modelos se sustenta en las hipótesis de la Mecánica de la Fractura, en las que se supone que los desplazamientos son discontinuos y requiere que la grieta ya exista en el medio. En estos modelos, la simulación del proceso de fractura se enfoca a predecir la propagación de la grieta, lo cual en ciertos casos ha conducido al desarrollo de técnicas de fractura no lineal basadas en la introducción de ecuaciones constitutivas discretas adaptadas (existencia de fuerzas cohesivas entre las superficies de la grieta) en una interface de discontinuidad dentro del medio continuo elástico ([Hillerborg et al., 1976] y [Bazant y Planas 1997]). Una clasificación más amplia con respecto a la forma de representar el agrietamiento mediante modelos numéricos es presentada por Ingraffea (Ingraffea, 2004), quien resume de forma general la situación actual de los métodos computacionales aplicados a la simulación de la Fractura

REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA

MÉTODOS DE FORMA RESTRINGIDA

REPRESENTACIÓN NO GEOMÉTRICA

MÉTODOS DE FORMA ARBITRARIA

MÉTODOS CONSTITUTIVOS

MÉTODOS CINEMÁTICOS

Figura 3 Clasificación de las técnicas de simulació n numérica de la propagación de grietas según Ingraffea (Ingraffea, 2004).

AAPPRROOXXIIMMAACCIIOONNEESS PPAARRAA LLAA SSIIMMUULLAACCIIÓÓNN DDEE PPRROOPPAAGGAACCIIÓÓNN DDEE GGRRIIEETTAASS


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Modelación explícita e implícita de grietas En términos generales, puede decirse que para simular la fractura mediante el empleo del MEF existen dos formas: explícita e implícita, las cuales varían esencialmente por la forma de representar la grieta y su propagación. Por una modelación explicita se puede entender que la grieta es una entidad geométrica y tanto su forma como el modelo discreto se actualizan con el crecimiento de la misma. En estos métodos, el problema más importante es la fuerte dependencia de la malla, aún si se utilizan elementos de interfaz, ya que además del alto costo computacional, existe una alta complicación para la trasferencia de esfuerzos. En el caso de una aproximación implícita, el modelo de geometría subyacente no define los bordes de la grieta. Dicho de otro modo, la grieta está representada ya sea como una variación en el modelo constitutivo del material, o como una localización intensa de esfuerzo en un modelo cinemático. Descripción de la técnica del remalleo y problemas asociados Al representar de forma explícita la propagación de una grieta, la primera dificultad encontrada fue el tener que reconstruir la malla a medida que la grieta avanzara y separara el medio en estudio. Esto dio origen a la técnica numérica conocida como remalleo, lo que adicionalmente significa llevar un control de cada nodo cercano a la punta para simular tanto la apertura de la superficie como para mantenerla cerrada y para mantener el equilibrio mecánico a través de la proyección de los campos de solución anteriores (esfuerzos y desplazamientos) a la nueva malla. Un ejemplo de aplicación utilizando tal técnica puede consultarse en el trabajo de Saucedo (Saucedo, 2004). Es importante mencionar que para abordar la modelación de fractura mediante técnicas numéricas, se requiere la resolución de varios problemas diferentes, y que su resolución en cierto grado depende de las características y manipulación de la malla. Estos son:

1) determinar el campo de esfuerzos y desplazamientos del solido agrietado (MEF, BEM, etc), 2) calcular los parámetros de fractura, tales como G ó K , u otros como la integral J, etc, 3) adoptar un criterio para determinar bajo qué condiciones la grieta se propagará, así como también

para determinar la dirección de propagación y el alojamiento de la nueva punta, 4) actualizar la geometría de la grieta, esto conlleva realizar el remallado para tomar en cuenta el nuevo

incremento tanto en la geometría (grieta y malla) como en los campos de solución. Asumiendo una grieta inicial, la solución del primer problema requiere llevar a cabo un análisis estructural con el Método de los Elementos Finitos en donde es posible adoptar modelos de agrietamiento del tipo de Mecánica del Daño. La precisión de tales resultados dependerá de la densidad de la malla y del orden del elemento empleado, entre otros. Posteriormente se pueden determinar los parámetros de fractura (paso dos) para establecer la trayectoria de propagación. En casos donde se supongan materiales elásticos-lineales y que la deformación en el frente de la grieta sea muy pequeña, los parámetros K o G, se puede obtener mediante los siguientes métodos: Extrapolación de desplazamientos, Tasa de liberación, Extensión de la grieta virtual y o mediante el más común que es con integrales de contorno como la Integral-J (Rice, 1968). A partir de aquí se puede comenzar con la evaluación de la estabilidad, y predecir la siguiente configuración del proceso de propagación. La propagación de grieta buscará la trayectoria de menor resistencia o la trayectoria donde la fuerza motriz es máxima. En el caso de materiales frágiles, los criterios que se utilizan normalmente para determinar la dirección de propagación son: bifurcación de la grieta en la dirección de la tasa de liberación de energía máxima, bifurcación de la grieta en la dirección del modo II local nulo, criterio energético y bifurcación de la grieta el criterio del esfuerzo circunferencial máximo. (Owen y Fawkes, 1983). Si el parámetro de fractura es menor que un valor critico (asociado a la resistencia del material), el análisis puede detenerse aquí. El punto número cuatro es muy delicado y demanda mucho esfuerzo y atención, dado que se requiere saber cómo va reduciéndose la capacidad de resistencia ante la propagación de la grieta que contiene el cuerpo. Lo anterior suponiendo que bajo las condiciones de frontera, desplazamientos y carga se ha rebasado la tenacidad a la fractura del material. En tal caso, la grieta ya no es estable, y se requiere ubicar la posición de la nueva punta de grieta, lo cual se determina mediante un incremento de la propagación. Este incremento puede ser

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arbitrario dependiendo del grado de exactitud. En muchos casos se toma como una proporción de la grieta original. Esta fracción también debe considerar el grado de refinamiento de la malla actual con el objeto de mantener una densidad de malla similar en la región de la punta de grieta. En síntesis, este paso requiere tener la capacidad para cambiar localmente la malla en una región confinada a lo largo de la trayectoria de propagación de la grieta, de modo que permita el seguimiento de la evolución de la grieta sin pérdida de información (como es la geometría, las propiedades del material y las condiciones de frontera). Una técnica muy común para llevar a cabo lo anterior es la de liberación nodal. Su esencia reside en el hecho de que cuando el criterio de fractura se satisface o excede, las fuerzas impuestas para unir dos nodos coincidentes en la punta de la grieta se eliminan, es decir los nodos son liberados, creando así nuevas superficies de fractura para la grieta y una nueva punta de grieta. La modificación del modelo implica la generación de la nueva grieta en la geometría y por consiguiente el remallado de éste. La liberación de los nodos contenidos en la trayectoria de crecimiento de la grieta se realiza durante los pasos de carga (Saucedo, 2004). Aunque esto parece simple, las complicaciones aumentan al tratar de hacer converger los resultados, debido a la reducción del tamaño de los elementos alrededor de la grieta y a la diferencia de malla entre cada escenario de propagación, lo cual también puede inducir errores numéricos. En un análisis en dos dimensiones el costo del cálculo y el grado de error pueden ser aún manejables, pero en un análisis tridimensional la demanda computacional, el tiempo y el esfuerzo humano son de gran consideración.

EL MÉTODO XFEM Por otra parte, uno de los avances más notables en la modelación de discontinuidades (métodos implícitos), ha sido la incorporación del enriquecimiento utilizando la base teórica de los métodos de la partición de la unidad, surgiendo así el método GFEM (Strouboulis et al., 2000) y X-FEM. Este último método tiene sus orígenes en el trabajo desarrollado por Moës et al. (Moës, 1999), Belytschko y Black (1999) y Dolbow (1999) en el cual se añadieron funciones de enriquecimiento especiales para generar el campo discontinuo y asintótico a lo largo de la grieta y la punta; Esta propuesta fue llamada por ellos mismos como el método de los elementos finitos extendidos (X-FEM por las siglas en inglés de eXtended Finite Element Method). El método X-FEM es un método numérico que permite resolver problemas relacionados con fenómenos locales de naturaleza no continua, como los que se suscitan por la presencia de grietas. Destaca entre otras técnicas de simulación por eliminar la necesidad de construir múltiples escenarios de malla, y en el caso de propagación de grieta resuelve automáticamente los problemas de transferencia de esfuerzos y deformaciones después de la relajación de las zonas fracturadas. Este método X-FEM ha despertado mucho interés en la comunidad científica, por que entre sus principales ventajas está el de proponer una simple extensión del MEF para aprovechar su robustez y permitir que la malla sea independiente de la representación de la grieta o problema. Así por tanto es posible modelar orificios, fronteras internas, interfaces, grietas y simular su propagación sin necesidad de un remallado. Su esencia reside en la división del modelado en dos partes: la generación de la malla para el dominio (sin discontinuidades internas), y la incorporación de unas funciones especiales en el campo de solución explotando la propiedad de la partición de la unidad de las funciones de forma para representar sus efectos: a esta última parte también se le conoce como “enriquecimiento”, por la acción que implica agregar nuevos términos en la aproximación estándar.


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(a)

Funciones generadoras

del campo singular

Funciones de Heaviside

Nodos enriquecidos con:

Geometría de la grieta

Soporte nodal de las funciones de forma

x

θr

locy

locx

(b)

Figura 4 Ejemplo de modelado de fractura: (a) MEF c onvencional (Saucedo, 2006); (b) con XFEM. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE XFEM Enriquecimiento de la aproximación de desplazamientos mediante XFEM El campo de desplazamientos aproximado mediante XFEM puede ser:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )44444 344444 214444 34444 2144 344 21

punta laen singular campo representaasintótico tipo_ ientoEnriquecim

4

1

abertura representaodiscontinu _ ientoEnriquecimclásico MEF

~ ~ ∑ ∑∑∑∈ =∈∈

++=asintodisc K l

aKKenrKJ

JJenrJI

IstdIh BH

NNN

bbbbxxxxxxxx aaaaxxxxxxxxuuuuxxxxxxxxuuuu αϕϕϕ

(4)

De los tres términos a la derecha de la ecuación 4, el primero representa los desplazamientos del MEF clásico,

el segundo -en donde se encuentra la función ( )xxxxJH - se utiliza para representar el campo discontinuo a

través de la longitud de la grieta, el tercer término que contiene el conjunto de funciones ( )xxxxKBα representa

el “enriquecimiento” para el campo singular de la punta de la grieta. N es el grupo de nodos estándar que

pertenecen a la aproximación continua clásica, discN y asinto

N es el grupo de nodos con enriquecimiento

discontinuo y asintótico respectivamente. ( ) ( )enrJstdI ϕϕ ~, y ( )enrKϕ~ representan las funciones de forma

clásicas de elemento finito, donde para el caso de un espacio en dos dimensiones y un elemento cuadrilátero de cuatro nodos pueden expresarse como:

( ) ( )( )ηηξξηξϕ ⋅+⋅+= aaa 11, (5)

En la expresión anterior, 4,...,1=a corresponde al número de nodo, ξ y η son las coordenadas naturales y

aξ , aη son las coordenadas del nodo aen el espacio de ξ .

Punta de la grieta

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La forma de la aproximación como una suma de los términos estándar más los términos adicionales asegura

que la precisión lineal se conserve en los coeficientes de Iuuuu . Igualmente, si discI N∈ o asintoI N∈ , la

interpolación en los valores nodales Iuuuu se pierde en las regiones de interés (Dolbow, 1999). El

enriquecimiento de las funciones base se realiza de forma local, con solo afectar aquellos nodos de la malla cuyo soporte nodal de funciones de forma intercepte una región de interés; éstos serán afectados con la

función JH o KBα según sea el caso. El soporte de un nodo corresponde al subconjunto de elementos que

comparten un nodo en común. La incorporación de estas funciones especiales en el campo de desplazamientos del MEF estándar en la ecuación 4 es posible gracias al aprovechamiento de la propiedad de la partición de la unidad (PU) de las funciones de forma de los elementos finitos (Melenk y Babuška, 1996), que permite generalizar la aproximación presentando un medio para introducir soluciones de carácter local en los problemas con valores en la frontera a través de multiplicar ciertas funciones especiales con las funciones de forma estándar. Esta propiedad es esencial para la convergencia y para satisfacer el criterio de la prueba de la parcela (Patch Test), que corresponde a la habilidad de la aproximación de elemento finito para representar modos de cuerpo rígido, es decir reproducir una constante o representar una translación exacta, esto es:

( ) ,1∑ =xiϕ ( ) xxx ii =∑ϕ (6)

La segunda expresión en la ecuación 6 hace uso de las propiedades de la PU de las funciones, significando que cualquier función cuando se multiplica con la función de la PU puede ser reproducida. De esta forma

hereda las propiedades de las funciones de la PU para aproximar la solución y de ( )xiϕ un soporte limitado.

Planteamiento general Considerando un dominio agrietado Ω que se delimita por una frontera Γ , donde las caras de la grieta se

representan mediante +Γc y −Γc , tal que uΓ , tΓ y cΓ , es una partición de Γ (ver figura 5), y en cuyo

dominio no agrietado Ω , se imponen condiciones tipo Dirichlet2 o desplazamientos sobre uΓ , y tipo

Neumann3 o tracciones sobre tΓ , y suponiendo no-cohesión entre las caras de la grieta: las condiciones de

equilibrio y en la frontera son:

0=+⋅∇ bbbbσ En Ω (7)

t=⋅nnnnσ sobre tΓ (8)

0=⋅nnnnσ sobre cΓ (9)

uu = en uΓ (10)

donde σ es el tensor de esfuerzos de Cauchy, uuuu representa el campo de desplazamientos, bbbb las fuerzas de cuerpo por unidad de volumen y nnnn el vector unitario normal al contorno.

2 Las condiciones de tipo Dirichlet, especifican los valores que la función ( )yxu , toma en la frontera del dominio.

3 En las condiciones de Neumann, se conoce el valor de la derivada de la función ( )yxu , , con respecto a la normal nnnn, a

lo largo de la frontera del dominio.


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ctu Γ∪Γ∪Γ=Γ

−+ Γ∪Γ=Γ ccc

Figura 5 Nomenclatura para el problema general de u na estructura agrietada. Asumiendo pequeñas deformaciones y que las ecuaciones cinemáticas se establecen mediante la relación:

( ) uuuuuuuu s∇== εε (11)

donde ( )⋅∇s , es la parte simétrica del operador gradiente, se puede plantear la ecuación constitutiva del

material (ecuación 12) siendo C es el tensor de cuarto orden de Hooke, εσ :C= (12) Formulación débil o variacional Sea el espacio de campos de desplazamientos admisibles definido por:

cu sobreodiscontinuyV ΓΓ=∈=

sobre

sobre

sobre

sobre

uuuuuuuuuuuuuuuuU (13)

De forma similar, el espacio de funciones de peso o desplazamientos virtuales, como:

c

sobreodiscontinuyu

V ΓΓ=∈=

sobre

sobre

sobre

sobre

vvvv0000vvvvvvvv0U (14)

La formulación se plantea al satisfacer:

( ) ( ) ∫∫∫ΓΩΩ

Γ⋅+Ω⋅=Ω∈∀∈t

dtdd vvvvvvvvbbbbvvvvuuuuvvvvuuuu εε ::, C0

UU (15)

V es el conjunto de campos de desplazamientos que se anulan en donde se aplican las fronteras esenciales. Formulación de las ecuaciones discretas Para resolver la ecuación 15, se aplica el método de Galerkin, el cual obtiene aproximaciones a la solución del problema variacional de valores en la frontera partiendo de un sub-espacio dimensional finito. En lugar de

tener el problema en el espacio en V (infinito), se supone que se tienen funciones linealmente independientes

nϕϕϕ ,...,, 21 en V y se define al espacio hV , generado por las funciones iϕ . El índice h es un parámetro

que estará entre 0 y 1, el cual puede indicar la magnitud de cuan cerca esta hV de V . Expresado de otra

forma, lo anterior nos indica que en el límite, cuando ∞→n , y 0→h , se puede elegir que iϕ tal que

hV se aproxime a V . Retomando la ecuación 15, el problema ahora consiste en satisfacer la siguiente expresión,

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( ) ( ) ∫∫∫ΓΩΩ

Γ⋅+Ω⋅=Ω∈∀∈t

dtdd hhhhhhh vvvvvvvvbbbbvvvvuuuuvvvv εσ :,h0

UUu

(16)

Por tanto, huuuu y hvvvv se representan como combinación lineal de las funciones de base o también llamadas

funciones de forma de hV . La contraparte virtual o campo de desplazamientos hvvvv es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )44444 344444 214444 34444 2144 344 21

asintótico

asintótico

asintótico

asintótico

iento

_tipo

iento

_tipo

iento

_tipo

iento

_tipo

Enriquecim

Enriquecim

Enriquecim

Enriquecim

ontinuo

ontinuo

ontinuo

ontinuo

iento

_disc

iento

_disc

iento

_disc

iento

_disc

Enriquecim

Enriquecim

Enriquecim

Enriquecim

clásico

clásico

clásico

clásico

MEF

MEF

MEF

MEF

∑ ∑∑∑∈ =∈∈

++=asintodisc K l

aKKenrKJ

JJenrJI

IstdIh BH

NNN

eeeexxxxxxxx ccccxxxxxxxxvvvvxxxxxxxxvvvv4

1

~~αϕϕϕ

(17)

Sustituyendo la ecuación 17 de los desplazamientos virtuales y sus derivadas (según la ecuación 11) en la forma débil, se puede escribir el equilibrio para un nodo cualquiera. Para resumir la formulación se omiten la forma de integrales y se escribe directamente en la forma matricial:

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) 0~~

~~

=

Γ⋅+Ω⋅+Ω⋅−+

Γ⋅+Ω⋅+Ω⋅−+

Γ⋅+Ω⋅+Ω⋅−

∫ ∫∫

∫ ∫ ∫

∫∫∫

Ω ΓΩ=

Ω Ω Γ

ΓΩΩ

t

t

t

dtdd

dtdd

dtdd

TenrK

TenrK

T

l

lenraK

TenrJ

TenrJ

T

enrJ

TstdI

TstdI

T

enrI

ϕϕσ

ϕϕσ

ϕϕσ

bbbbBBBBeeee

bbbbBBBBcccc

bbbbBBBBvvvv

bbbbKKKK

aaaaJJJJ

uuuuIIII

1,2,3,4

(18)

Por otra parte, la ecuación (16) puede rescribirse de la siguiente forma,

( ) ( ) ddddxxxxxxxxuuuu ϕ=h (19)

ϕ es la función de forma generalizada para la parte estándar y la parte enriquecida del campo de

desplazamientos y dddd a la matriz de desplazamientos nodales generalizada, De tal forma que:

[ ]4321 b,b,b,ba,

,,,,dddd u=T (20)

Donde, u , es el vector de desplazamientos nodales estándar, a, el vector que representa las incógnitas para

la función de enriquecimiento discontinuo, es decir los grados de libertad xJ

a y yJ

a de los nodos

discJ N∈ , ( )4,3,2,1, =llb son los vectores de incógnitas para el campo asintótico, siendo xKb y yKb

los grados de libertad, de todos los nodos asintoK N∈ .

[ ]

==

4K

3K

2K

1K

J

I

bbbbau

b4b4b4b4KKKK

b3b3b3b3KKKK

b2b2b2b2KKKK

b1b1b1b1KKKK

aaaaJJJJ

uuuuIIII BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBddddBBBBhε (21)

donde B , es el gradiente simétrico discretizado de las funciones de forma extendidas. Sus componentes son:


12

=

xIyI

yI

xI

,,

,

,

0

0

ϕϕϕ

ϕuuuuIIIIBBBB (22)

( )( )( )( )( )( )

( )( )( ) ( )( )( )

−−−

−=

xJyJ

yJ

xJ

HHHH

HH

HH

,,

,

,

~~

~0

0~

JJJJJJJJ

JJJJ

JJJJaaaaJJJJ

xxxxxxxxxxxx

xxxxBBBB

ϕϕϕ

ϕ (23)

( )( )( )( )( )( )

( )( )( ) ( )( )( )

−−−

−=

=

xlK

lKKy

lK

lKK

ylK

lKK

xlK

lKK

l

l

BBBB

BB

BB

,,

,

,

~~

~0

0~

KKKKKKKK

KKKK

KKKKbbbbKKKK

xxxxxxxxxxxx

xxxxBBBB

ϕϕϕ

ϕ

1,2,3,4 (24)

Ahora bien, después de considerar que las variaciones nodales en la ecuación 18 ( JI ccccvvvv , y aKeeee ) pueden

tomar un valor arbitrario, se sustituyen los desplazamientos de la ecuación 20 y las deformaciones de la ecuación 21 dentro de la ecuación 16, y en el caso de una ley constitutiva lineal-elástica, se obtiene el sistema estándar de ecuaciones:

extfK =⋅d

donde, extf , es el vector de fuerzas nodales externas y K es la matriz de rigideces global. La contribución

al sistema global (Sukumar y Prévost, 2003) se realiza evaluando a nivel elemental un vector de fuerzas y una matriz de rigideces que tienen la siguiente forma:

=bbij

baij

buij

abij

aaij

auij

ubij

uaij

uuij

kkk

kkk

kkk

Keij (25)

Donde,

( ) Ω= ∫ΩhdBCBK s

jTr

irsij ( )ba

,,,,,u=sr, (26)

La expresión del vector de fuerzas externas contiene lo siguiente:

b4b4b4b4

b3b3b3b3

b2b2b2b2

b1b1b1b1

aaaauuuuKKKKJI f;f;f;f;f;ff e

i = (27)

Así mismo la definición para cada término a la derecha del signo en la ecuación anterior es:

∫∫ ΩΓΩ+Γ= dd III bbbbtttt

tttt

uuuu ϕϕf (28)

( )( ) ( )( )∫∫ ΩΓΩ−+Γ−= dHHdHH JJJ bbbbxxxxttttxxxx JJJJJJJJ

aaaa

ttttϕϕ ~~f (29)

( )( ) ( )( )∫∫ ΩΓ=Ω−+Γ−= dBBdBB l

KlKK

lK

lKKl

lK bbbbxxxxttttxxxx KKKKKKKKbbbb

ttttϕϕ ~~f

4,3,2,1 (30)

La función JH , se activa sobre el nodo J y está definida por,

13


( ) ( ) ( )JJ HHH xxxxxxxxxxxx −=

(31)

( )xxxxH es la función paso de Heaviside modificada la cual toma el valor de 1+ a un lado (arriba de la grieta)

y 1− hacia una dirección opuesta (debajo de la grieta)

( ) ( )( )

<⋅−>⋅+

=0000eeee****xxxx----xxxx0000eeee****xxxx----xxxx

xxxxn

n

si

siH

1

1

(32)

Aquí, xxxx es un punto muestra ubicado dentro del cuerpo, xxxx* (esta sobre la grieta) es la proyección del punto

más cercano de xxxx, y neeee es la normal unitaria a la grieta en ∗xxxx .

Las funciones representadas por lKB generan el campo asintótica cercano a la punta de grieta. aKbbbb son los

grados de libertad adicionales asociados con la función KBα , activa en el nodo K y definida por:

( ) ( ) ( )KlllK BBB xxxxxxxxxxxx −=

(33)

αB , representan las cuatro funciones propuestas por Fleming et al. (1997), las cuales son:

( ) [ ]

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=≡ θθθθθθcos

2cos,

2,

2cos,

2,,, 4321 rsenosenorrsenorBBBBxxxxBBBB

(34)

donde, rrrr y θ representan las coordenadas polares en el sistema coordenado local de la punta de grieta,

( )yx ˆ,ˆ . Siendo rrrr, el radio polar, el cual se obtiene considerando puntaxxr −= .

( )1B

( )2B

( )3B

( )4B

Figura 6 Evaluación de proyecciones sobre grieta y Funciones generadoras del campo asintótico cercano a la punta de grieta en la ecuación 34.

IMPLEMENTACIÓN NUMÉRICA Sobre la implementación de X-FEM en códigos típicos de elementos finitos, debemos comentar que debido a que las formulaciones originales del método se desarrollaron como rutinas autónomas e independientes, escritas mayormente en lenguaje C++, el método en su conjunto ha tenido dificultades para ser implementado en los programas estándar y comerciales de elementos finitos, aunque recientemente fue implementado en el programa ABAQUS. La mayor dificultad de la implementación radica en la forma de administrar los grados de libertad adicionales derivados del enriquecimiento de los elementos finitos especiales, ya que la formulación XFEM original organiza y administra los grados de libertad adicionales incrementando la matriz de rigidez a medida que se activan los desplazamientos enriquecidos. Esto, sin embargo, en un programa


14

estándar no es posible ya que la matriz global de la estructura se crea a partir de la sumatoria de todas las matrices elementales, cuyo tamaño se define desde un inicio para cada tipo de elemento finito, y esto implica que desde un principio dichas matrices elementales deben estar expandidas en caso de que la discontinuidad se propague en ellas, lo que representa un enorme volumen innecesario de memoria. No obstante dicha problemática, si se han hecho implementaciones como la realizada por Sukumar y Prevost (2003) en el Dynaflow (Prevost, 1983). Estos autores tradujeron al lenguaje de programación Fortran las ideas de los primeros desarrollos basados en C++. Por otra parte también se han desarrollado algoritmos basados en programación orientada a objetos, como es el caso de la biblioteca llamada OpenXFEM++, por Nguyen (2005) y Bordas et al., (2006), la cual a su vez está basada en el código FEMOBJ (Dubois, 1992). Otra implementación en un código ya establecido es la realizada por Dominguez (2010) y Fernandez (2009), en el programa de FEAP (Taylor, 2001), en dónde se acopló el método de colocaciones de nivel (Level Set Method) para localizar los elementos y nodos que son enriquecidos y simular el crecimiento cuasi-estático de grieta. Asimismo se realizó la incorporación de algoritmos de tal forma que no es necesario utilizar programas ajenos al mismo para efectuar las tareas básicas de pre-procesamiento, solución del sistema de ecuaciones o post-proceso, aunque esta posibilidad está abierta. Esto representa una ventaja ya que se reduce la complejidad en el análisis y se utilizan las herramientas internas del programa. Los detalles de dichas implementaciones pueden consultarse en las fuentes aquí mencionadas. En general, los aspectos de mayor importancia en la implementación de X-FEM son los siguientes:

• Representación de la grieta, interacción con la malla y construcción de aproximación XFEM

o Una ventaja de XFEM es la independencia de la grieta de la malla, sin embargo en algún momento es necesario identificar los elementos que son atravesados por la grieta y construir la aproximación XFEM para sus nodos. Una opción es a través de funciones de colocación de nivel (Osher y Sethian, 1988). Estas son funciones escalares dentro del dominio cuyo nivel cero es interpretado como la discontinuidad (Duflot, 2007).

• número variable de grados de libertad (gdl) en nodos de elementos o En X-FEM se añaden gdl adicionales en los nodos de elementos donde se aloja la grieta y

sus ramificaciones, por tanto es necesario tener cuenta el aumento o disminución en el tamaño de los arreglos para la matriz de rigidez y fuerzas de los elementos estándar por donde pasará la grieta, así mismo, una posible reducción en los gdl en aquellos casos de elementos que alguna vez contenían la punta (elemento punta) y que al avanzar la grieta pasan a representar solo la apertura (elemento corte o cuerpo de grieta). Un nodo solo tendra un tipo de enriquecimiento, ya sea con funciones discontinuas “ec. 31” o tipo punta “ec. 33”, pero no ambas al mismo tiempo. Un ejemplo se ilustra en la figura 4, para el caso de un elemento isoparamétrico rectangular de cuatro nodos.

Elemento Estándar

[2 gdl]*4nodos=8

Tamaño: 8 X 8

1 2

1 2

Elemento Cuerpo de grieta

[2gdl+2gdlcorte]*4nodos=16

Tamaño: 16 X 16

1 2 3 4

1 2 3 4

Elemento Punta

[2gdl+8gdlpunta]*4nodos=40

Tamaño: 40 X 401 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figura 7. Dimensionamiento de arreglos para malla e stándar y X-FEM

• integración numérica (se requiere la descomposición elementos agrietados en subelemento)

15


o la evaluación numérica de los arreglos K y F de cada elemento XFEM es especial, debido a que en estos dominios (discontinuo o singular) es difícil abordar de forma directa con el procedimiento de gauss estándar. Lo más común es realizar la integración en subdominios continuos –sub-elementos (ver figura 8), donde si existen reglas de integración (y es aplicable el procedimiento estándar). Las coordenadas de naturales y sus pesos respectivos se mapean a sistema global de coordenadas y posteriormente nuevamente se reubican en un espacio natural del elemento original (por ejemplo, cuadriláteros, etc), para finalmente utilizar el procedimiento normal con tales puntos de integración y pesos, esto es:

→→∆ xqξ ξ

A

B

Subdominios

Figura 8. Subdivisión en elementos XFEM solo para propósitos de Integración numérica

• Actualización de la grieta o En las primeras implementación la ramificación de la grieta (es decir, la grieta original y sus

incrementos) y la construcción de la aproximación de XFEM se realizaba mediante una grieta equivalente, sin embargo si se utilizan funciones de colocación de nivel estas funciones se pueden almacenar en los nodos y utilizar el mismo concepto de interpolación nodal para proyectar sus valores sobre la malla de elemento finito. Para simular el crecimiento, dichas funciones se pueden actualizar bien mediante ecuaciones algebraicas, trigonométricas o mediante ecuaciones en derivadas parciales La resolución de tales ecuaciones se lleva a cabo de forma estándar y así la actualización de las funciones de colocación a partir de dicha solución.

PROCEDIMIENTO INGENIERIL Cómo utilizar el método de manera práctica A diferencia del método convencional de los elementos finitos donde la modelación y simulación del crecimiento de defectos y/o discontinuidades se realiza utilizando adaptando los elementos a la geometría de la grieta (técnicas de remallado), en X-FEM esto se puede realizar utilizando una sola malla sencilla. Internamente, la esencia del método reside en la división del modelado en dos partes: la generación de la malla para el dominio (sin discontinuidades internas) y la incorporación de unas funciones especiales en el campo de solución explotando la propiedad de la partición de la unidad de las funciones de forma. De esta manera, con espacios de aproximación enriquecidos localmente, XFEM es capaz de reproducir las características del problema. Esta independencia en la construcción de la malla permite introducir y representar grietas de diversas geometrías de manera más sencilla, con longitud y orientación arbitraria. Y por tanto se elimina la necesidad de construir múltiples escenarios de malla en cada propagación de grieta, además que resuelve automáticamente los problemas de transferencia de esfuerzos y deformaciones después de la relajación de las zonas fracturadas. En la modelación de grietas con X-FEM, los nodos de los elementos por donde atraviesa la fisura se enriquecen con una función discontinua, y aquellos nodos del elemento que contenga la punta con un


16

conjunto de funciones que generen el campo asintótico. Así mismo se añaden grados de libertad y se asocian con estos nodos. Simulación de propagación de grietas con X-FEM La simulación de propagación o crecimiento de grietas es el proceso de modelar la evolución de la grieta en una estructura. Esto abarca todos los aspectos del proceso de modelado desde la preparación inicial de los datos para visualizar los resultados, continuando con la predicción de crecimiento de grieta y evaluación de la integridad estructural. Con base en el tiempo de propagación de la grieta, ésta puede reclasificarse en dos tipos:

• Fractura estática: Fractura bajo una sola aplicación de carga de un sólido que contiene una grieta inicialmente estática que comienza a propagarse rápidamente en condiciones de inestabilidad. Esto es, las fuerzas actuantes son mayores a la tenacidad del material, donde el exceso de energía no es absorbido por el proceso de agrietamiento convirtiéndose en energía cinética o térmica. Estos tipos de fractura incluyen la fractura frágil, la fractura dúctil y el colapso plástico

• Fractura lenta, retardada o estable: es la fractura que ocurre por la propagación lenta de una grieta a través del tiempo o por la acción de cargas repetidas o fluctuantes. Es de carácter estable e incluye a la fatiga, la propagación de grietas por termo-fluencia y al agrietamiento por corrosión y esfuerzos. La clasificación previa engloba solo dos casos generales, sin embargo puede extraerse un tipo de propagación intermedia, que es la cuasi-estática. La propagación cuasi-estática ocurre cuando se presentan tres condiciones: 1) las fuerzas actuantes deben ser igual a la tenacidad del material, 2) la razón de cambio entre las fuerzas actuantes con respecto a la longitud de la grieta debe ser negativa, y 3) la razón de crecimiento de la grieta debe ser lo suficientemente baja, de tal forma que las fuerzas de inercia sean despreciables. (Juárez, 2003). En general, el procedimiento para el análisis cuasi-estático de propagación de grietas, se lleva a cabo realizando los siguientes pasos:

1. determinación del tipo de enriquecimiento a partir del análisis de interacción de la geometría de la grieta con la malla,

2. construcción de la aproximación y ensamble de ecuaciones con la contribución de los elementos enriquecidos,

3. determinación del campo de desplazamientos y de esfuerzos, 4. determinación de los factores de intensidad de esfuerzos, 5. cálculo de la dirección de propagación 6. determinación del nuevo frente de grieta y la actualización de la geometría de la grieta.

El procedimiento anterior puede apreciarse mejor consultando el diagrama de flujo que aparece en la figura

17


Modulo de Pre-Proceso

Definición de Problema

(Lectura de datos)

Cic

lo S

ob

re n

um

ero

de

an

áli

sis

Modulo de Solución

(Evaluación de matriz K, y vector de

Fuerzas nodales, F, para cada elemento

(Estándar y XFEM)

Solución para u.

Modulo de Post-proceso

Análisis y evaluación de esfuerzos

Act

ua

liza

ge

om

etr

ía d

e la

gri

eta

Calculo de Factores de

Intensidad de esfuerzos

Calculo para cada punta:

Dirección de crecimiento

Interacción Grieta Malla

Estabilidad de grieta

ICK

IK ≥ no

siDetener

análisis

Inicio

Determinar parte de malla a enriquecer (X-FEM) y No. Total de:

Nodos, elementos , grados de libertad, Puntos de Integración en

elementos XFEM, conectividad.

Malla (modelo) de Elemento finito

estándar

Calculo de funciones de forma y sus

derivadas (naturales y cartesianas) y

Jacobiano

Calculo de matriz constitutiva

Calculo de cada matriz B

Calculo de matriz de rigidez elemental

Calculo del vector de fuerzas

Ensamble de contribución de cada

elemento (Std y XFEM) al sistema global

Bucle sobre cada elemento

de la malla

Bucle sobre no. Total de puntos

de integración

Resuelve el sistema de ecuaciones para desplazamientos

Construcción

aproximación X-FEM

no

si

enriqelm NodoNodo =

Geometría grieta

inicial

Figura 9. Implementación de XFEM y simulación cuas i-estáticas de grietas

ALGUNOS EJEMPLOS DE APLICACIÓN EN INGENIERÍA CIVIL Si bien el método XFEM nació como solución alternativa al estudio de la propagación de grietas, las bases teóricas y matemáticas de su formulación han permitido extender sus aplicaciones ante problemáticas muy diferentes a los de la fractura, además de ser adoptado en múltiples ámbitos de la ingeniería, entre ellas la ingeniería civil. En los párrafos siguientes se presentan algunos casos de estudio inspirados en el método. Ejemplo 1 El primer caso corresponde a la simulación de propagación de grieta inclinada de borde sobre una placa en condiciones de deformaciones planas y carga remota. La geometría del modelo de estudio tiene las siguientes dimensiones: ancho de placa (L) igual a 1, y altura (H) de 2. La grieta tiene una longitud (Lg) proporcional al ancho de la placa, y se localiza a una altura desde la base (Hg) igual a 1. Se asignan propiedades de un material de referencia con modulo de elasticidad igual a 1000 y relación de poisson de 0.30. Este modelo está sujeto a un esfuerzo de tensión constante en la parte superior con un valor igual a 1=σ . Las condiciones de apoyo en la parte inferior de la placa simulan una configuración que evita el movimiento de cuerpo rígido, para tal efecto es necesario, restringir el movimiento vertical y horizontal en el nodo de la izquierda mediante un apoyo fijo, y solamente en la dirección vertical con apoyos en forma de rodillos en los demás nodos.


18

(a) (b)

Figura 10. Enriquecimiento de nodos y configuración de malla deformada: a) Grieta inicial inclinada, b ) después de primer incremento de propagación

Tabla 1 Resultados de simulación de crecimiento gri eta inicial inclinada

Longitud de grieta

Incremento Orientación incremento S. G. (Rad)

IK IIK

Angulo de propagación S. L. (Rad)

0.35 0 0.46 3.13 0.82 -0.46

0.38 1 3.16e-3 -3.45 -0.35 0.18

En este ejemplo, se considera que las superficies de la grieta están libres de tracción, simulando un tipo frágil de fractura. El crecimiento se realiza de forma cuasi-estática y conforme se alcanzar el valor critico de fractura. Caber resaltar que con esta densidad de mallado (253 elementos) los resultados obtenidos para la condición inicial, son muy cercanos a lo estimado teóricamente. Así mismo Los resultados obtenidos en el cálculo de la dirección de propagación de grieta al finalizar el análisis del primer incremento muestran que dicho ángulo es consistente con las condiciones de carga. Ejemplo 2 En lo que corresponde a su aplicación primera (Mecánica de la Fractura aplicada a ingeniería civil), podemos mencionar los trabajos de Jesper Asferg (Asferg, 2006), quien modela la fractura del concreto reforzado (es decir, incluye las barras de acero ahogadas en el concreto) mediante la reformulación de un modelo XFEM combinado con leyes no lineales de comportamiento. En este ejemplo se presenta una aplicación desarrollada por Asferg para simulación de pruebas de flexión de tres puntos construidas de concreto empleando un modelo de grieta cohesiva mediante X-FEM. Su trabajo numérico muestra una buena aproximación para predicción de trayectoria de grieta y la respuesta completa de carga deformación aún con los elementos completamente agrietados.

Figura 11. Prueba de flexión de tres puntos

19


Figura 12. Prueba de cortante de cuatro puntos Ejemplo 3 Para las estructuras de concreto, no solamente el agrietamiento del concreto juega un papel importante, sino también la interacción entre el concreto y el refuerzo. A continuación se presenta un modelo basado en ideas XFEM desarrollado por Domínguez (Domínguez, 2005) el cual se utiliza para producir el mecanismo de falla por adherencia. Se trata de un Elemento Sólido Enriquecido el cual retoma el Principio de la Partición de la Unidad y modela el efecto de la adherencia entre el concreto y el acero por medio de grados de libertad adicionales, permitiendo la incorporación de modelos de comportamiento no lineal para cada uno de los materiales involucrados, además de la degradación de la adherencia.

(a) MEF clásico, (b) Con elementos interface, (c) ESE-XFEM

Figura 13. Prueba de flexión de tres puntos con Ele mentos ESE


20

Otros ejemplos de interés Otra tipo de estructuras en el campo de ingeniería civil de interés es aquella en donde se utilizan estructuras metálicas y de pared delgada, como tanques, chimeneas etc. De hecho este tipo es de gran interés en el campo de ingeniería por su relación de esbeltez y peso además de su versatilidad de aplicación. Un trabajo en donde resulta interesante la aplicación de XFEM, al introducir el concepto de zona de falla cohesiva en cascarones es el desarrollado por Larsson et al. (Larsson, 2009). Por otra parte el trabajo realizado por Bordas (Bordas y Moran, 2006) permite evaluar la tolerancia al daño de estructuras complejas presurizadas, donde es de gran importancia evaluar los efectos de las grietas, determinar la resistencia residual así como la vida remanente: esto se consigue a través de un super-elemento que contiene a un nivel local la capacidad de utilizar elementos X-FEM y agregar la contribución de aquella parte agrietada al sistema global. Esto es un claro ejemplo de la posibilidad de evaluar el crecimiento de grietas por fatiga.

Figura 14. Malla de super-elemento y empleo de mall a XFEM al modelado de una estructura de topología compleja (Bordas y Moran, 2006)

Entre otras aplicaciones, puede mencionarse la adaptación del método XFEM al estudio de mampostería tanto en edificios comunes como en monumentos históricos (Cuomo and Ventura, 2000), así como en múltiples problemas de interacción fluído-estructura (Mayer et al., 2010). La información a este respecto es muy vasta, y se recomienda consultar los trabajos presentados en el congreso XFEM-2009, realizado en Aachem, Alemania, en el cual se presentaron los últimos avances tanto en desarrollo como en aplicaciones prácticas del Método XFEM.

CONCLUSIONES Este trabajo tuvo por cometido divulgar entre la comunidad de ingenieros estructurales el desarrollo de un nuevo método para el estudio de la propagación de grietas conocido como XFEM. Dicho método se inscribe entre las aplicaciones con simulaciones numéricas basadas en el Método de los Elementos Finitos, y a diferencia de las técnicas tradicionales que utilizan el remalleo y la transferencia de deformaciones y esfuerzos (de un estado límite a un estado relajado) por medio de almacenamiento en memoria, el método utiliza una malla sencilla en la que la región por donde se supone pasará la grieta es previamente enriquecida con grados de libertad adicionales. Actualmente, el método está aún en un alto grado de investigación, pero ya ha comenzado a ser incorporado en programas de análisis con elementos finitos de renombre, como es el caso de ABAQUS, y de ahí la importancia de darlo a conocer pues en un futuro inmediato estará disponible en prácticamente todo tipo de código de elementos finitos.

21


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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural NUEVOS ... la obtención de soluciones aproximadas mediante métodos numéricos y en particular el Método de los Elementos Finitos (MEF)