UAB - UFBALicenciatura em Matematica a DistanciaDisciplina: Matematica Discreta SEMESTRE: 1Professor: Rita de Cassia de Jesus SilvaAluno(a):Polo:

GABARITO DA TAREFA 3

Questao 1: Em um certo paıs, as placas de automoveis sao formadas por 5 letras do

alfabeto A, B, ..., Z, formado por 23 letras.

1.1 Quantas placas podem ser formadas, no total?

1.2 Quantas placas podem ser formadas, que nao possuem ocorrencias de letras repeti-

das?

1.3 Quantas placas do tipo formado em 1.2 comecam com a letra A?

1.4 Quantas placas do tipo formado em 1.2 terminam com uma das vogais A, E, I, O,

U?

Resposta

1.1 Uma placa e uma sequencia l1l2l3l4l5 de 5 letras escolhidas entre as 23 letras disponıveis.

Entao, temos 23 possibilidades para l1, 23 possibilidades para l2, 23 possibilidades para

l3, 23 possibilidades para l4 e 23 possibilidades para l5. Portanto, pelo PFC, ha no total

23 × 23 × 23 × 23 × 23 = 6.436.343 placas de automovel.

1.2 Uma placa que nao possuem ocorrencias de letras repetidas e uma sequencia l1l2l3l4l5

de 5 letras distintas escolhidas entre 23 letras disponıveis. Entao temos 23 possibilidades

para l1, 22 possibilidades para l2, 21 possibilidades para l3, 20 possibilidades para l4 e 19

possibilidades para l5. Portanto, pelo PFC, ha no total 23×22×21×20×19 = 4.037.880

placas de automovel que nao possuem ocorrencias de letras repetidas.

1.3 Uma placa que comeca pela letra A e uma sequencia Al2l3l4l5 de 5 letras, onde

l2l3l4l5 e uma sequencia de 4 letras distintas escolhidas entre as 22 letras B,C, ...,X,Y ,Z,

disponıveis. Entao, temos 22 possibilidades para l2, 21 possibilidades para l3, 20 possibili-

dades para l4, 19 possibilidades para l5. Portanto, pelo PFC, ha no total 22×21×20×19 =

175.560 placas de automovel do tipo formado em 1.2 que comecam com a letra A.

1.4 Uma placa do tipo formado em 1.1 que termina em vogal e uma sequencia l1l2l3l4v

de 5 letras, onde v e uma vogal escolhida entre as 5 vogais disponıveis e l1l2l3l4 e uma

sequencia de 4 letras escolhidas entre as 22 letras disponıveis, apos a escolha da vogal.

1

Entao, temos 5 possibilidades para v, 22 possibilidades para l1, 21 possibilidades para

l2, 20 possibilidades para l3 e 19 possibilidades para l4. Portanto, pelo PFC, ha no total

5×22×21×20×19 = 877.800 placas de automovel do tipo formado em 1.1 que terminam

com vogal.

Questao 2: Um anagrama de uma palavra e uma ordenacao qualquer das letras da palavra,

isto e, e uma configuracao obtida pela listagem das letras, uma a uma, em uma fila hori-

zontal. Por exemplo, IRACEMA e ICREMAA sao anagramas de AMERICA.

2.1 Quantos sao os anagramas da palavra DISCRETA

2.2 Quantos sao os anagramas da palavra DISCRETA que comecam com a letra C?

2.3 Quantos sao os anagramas da palavra DISCRETA onde as letras C e R ocorrem

juntas e na ordem CR?

2.4 Quantos sao os anagramas da palavra DISCRETA onde as letras C e R ocorrem

juntas?

Resposta

2.1 Cada anagrama corresponde a uma permutacao das letras D, I, S, C, R, E, T e A.

O numero total de permutacoes de 8 elementos e 8! = 40.320. Portanto, ha um total de

40.320 anagramas.

2.2 Cada anagrama que comeca com a letra C corresponde a uma permutacao das letras

D, I, S, R, E, T e A. O numero total de permutacoes de 7 elementos e 7! = 5.040.

Portanto, ha um total de 5.040 anagramas que comeca com C.

2.3 Considerando o par de palavras CR como uma unica letra, cada anagrama onde as

letras C e R ocorrem juntas e na ordem CR corresponde a uma permutacao das letras

D, I, S, CR, E, T e A. O numero total de permutacoes de 7 elementos e 7! = 5.040.

Portanto, ha um total de 5.040 anagramas onde as letras C e R ocorrem juntas e na

ordem CR.

2.4 Vamos particionar o universo de anagramas onde as letras C e R ocorrem juntas em

2 conjuntos. O conjunto dos anagramas nos quais as letras C e R ocorrem na ordem CR

e o conjunto dos angramas nos quais as letras C e R ocorrem na ordem RC. Observe

duas coisas.

• Estes dois conjuntos tem o mesmo numero de elementos

• Um raciocınio analogo ao que foi feito no item 2.3 garante que cada conjunto tem 5.040

2

elementos.

Portanto, pelo PA, ha no total 2 × 7! = 2 × 5.040 = 10.080 anagramas onde as letras C

e R ocorrem juntas.

Questao 3: Se dipomos de 4 cores, de quantas maneiras uma piramide regular( solido

geometrico) de base quadrada pode ter suas faces triangulares:

3.1 pintadas de cores diferentes?

3.2 pintadas de cores diferentes, dado que uma das faces ja esta pintada com uma das

cores disponıveis?

Resposta

3.1 Cada uma das meneiras de pintar as quatro faces triangulares com as 4 cores, sendo

cada triangulo pintado com uma cor, e uma permutacao circular de 4 elementos. Assim,

o total de maneiras e igual a 3! = 6.

3.2 Se uma das faces triangulares ja esta pintada, cada uma das maneiras de pintar as

outras tres faces trinagulares com as 3 cores restantes, sendo cada triangulo pintado com

uma cor, e uma permutacao simples de 3 elementos. Assim, o total de maneiras e igual a

3! = 6.

Questao 4: De quantas maneiras 4 meninos e 4 meninas:

4.1 podem formar uma roda de ciranda?

4.2 podem formar uma roda de ciranda, de modo que nao haja dois meninos juntos, lado

a lado, na roda?

4.3 podem formar uma roda de ciranda, se 3 destas 8 criancas ( a saber, Katia, Marılia

e Eliane ) ficam sempre juntas, uma seguida da outra, na roda?

Resposta

4.1 Cada uma das maneiras de 4 meninos e 4 meninas formarem uma roda de ciranda e

uma permutacao circular de 8 objetos. Assim, o total de maneiras e igual a 7! = 5.040.

4.2 Cada uma das maneiras de 4 meninos e 4 meninas formarem uma roda de ciranda

de modo que nao haja dois meninos juntos, lado a lado, pode ser obtida executando-se

tres tarefas:

t1: formar uma roda de ciranda com os 4 meninos,

t2: formar uma roda de ciranda com os 4 meninas,

3

t3: encaixar as duas rodas, alterando os meninos com as meninas, isto e,

de modo que nao haja duas meninas consecutivas na roda.

Cada maneira de 4 meninos formarem uma roda de ciranda e uma permutacao circular

de 4 objetos. Logo, a tarefa t1 pode ser relizada de 3! = 6 maneiras.

Analogamente a tarefa t2 pode ser relizada de 3! = 6 maneiras.

Agora, para encaixar as duas rodas da maneira descrita, considere uma menina M , fixa,

da roda das meninas. Temos 4 possibilidades, para ela ser encaixada na roda formada

por meninos e cada uma delas determina a posicao das outras meninas que estao na roda.

Assim, temos 4 maneiras de encaixar a roda das meninas com a dos meninos de modo

que nao haja duas meninas consecutivas na roda. Isto e, a tarefa t3 pode ser realizada de

4 maneiras.

Logo, pelo PFC, o total de maneiras de 4 meninos e 4 meninas formarem uma roda de

ciranda de modo que nao haja dois meninos juntos, lado a lado, e igual a 6× 6× 4 = 144.

4.3 Para formar uma roda de ciranda na qual Katia, Marılia e Eliane estao juntas, uma

seguida da outra, podemos executar duas tarefas:

t1: formar uma permutacao (linear) das tres meninas, Katia, Marılia e Eliane;

t2: formar uma permutacao circular cujos elementos sao:

a permutacao formada em t1 e as outras 5 criancas.

A tarefa t1 pode ser executada de 3! = 6 maneiras. A tarefa t2 pode ser executada de

5! = 120 maneiras. Logo, pelo PFC, temos um total de 6 × 120 = 720 rodas de ciranda

nas quais Katia, Marılia e Eliane ficam juntas, uma seguida da outra.

Questao 5: Um comite constituido de dois tutores e tres coordenadores precisa ser for-

mado, de um total de cinco tutores, sendo dois a distancia e tres presenciais, e sete

coordenadores, dentre eles o coordenador de Matematica Basica. De quantas maneiras

isto pode ser feito, se:

5.1 Qualquer tutor e qualquer coordenador pode participar do comite.

5.2 O coordenador de Matematica Basica deve fazer parte do comite.

5.3 Os tutores a distancia fazem parte do comite.

5.4 Os tutores a distancia nao fazem parte do comite.

Resposta

5.1 Cada comite contendo dois tutores e tres coordenadores pode ser formado se execu-

4

tamos as seguintes tarefas:

t1: escolher dois tutores para fazer parte do comite,

t2: escolher tres coordenadores para fazer parte do comite

Escolher dois tutores num total de cinco e, simplesmente, tomar um subconjunto de 2 ele-

mentos do conjunto com 5 tutores. Analogamente, escolher tres tutores num total de sete

e, simplesmente, tomar um subconjunto de 3 elementos do conunto com 7 coodenadores.

Assim, a primeira tarefa pode ser executada de C(5, 2) maneiras; a segunda de C(7, 3)

maneiras. Logo pelo PM, temos um total de C(5, 2)×C(7, 3) = 5×42×1

× 7×6×53×2×1

= 5×2×7×5 =

350 comites.

5.2 Cada comite contendo dois tutores e tres coordenadores, sendo que um deles e o

coordenador de MB, pode ser formado se executamos as seguintes tarefas:

t1: escolher dois tutores para fazer parte do comite,

t2: escolher dois coordenadores, distintos do coordenador MB, para fazer parte do comite.

Escolher dois tutores num total de cinco e, simplesmente, tomar um subconjunto de 2

elementos do conjunto com 5 tutores.

Como os coordenadores devem ser escolhidos dentre os coordenadores que nao sao de MB,

devemos escolher os dois coordenadores dentre os seis que nao sao de MB. Mas escolher

dois coordenadores num total de seis e, simplesmente, tomar um subconjunto de 2 ele-

mentos do conjunto com 6 coodenadores.

Assim a primeira tarefa pode ser executada de C(5, 2) maneiras; a segunda de C(6, 2)

maneiras. Logo pelo PM, temos um total de C(5, 2)×C(6, 2) = 5×42×1

= 6×52×1

= 5×2×3×5 =

150 comites.

5.3 Cada comite contendo dois tutores e tres coordenadores, sendo que os dois tutores

sao os tutores a distancia, pode ser formado se executamos as seguintes tarefas:

t1: escolher dois tutores a distancia para fazer parte do comite,

t2: escolher tres coordenadores para fazer parte do comite.

Como temos apenas dois tutores a distancia para formar um comite, a primeira tarefa

consiste em escolher dois tutores no conjunto dos dois tutores a distancia. Escolher tres

coordenadores num total de sete e, simplesmente, tomar um subconjunto de 3 elementos

do conjunto com 7 coordenadores.

Assim, a primeira tarefa pode ser executada de C(2, 2) = 1 maneira; a segunda de C(7, 3)

maneiras. Logo, pelo PM, temos um total de 1 ×C(7, 3) = C(7, 3) = 7×6×53×2×1

= 7 × 5 = 35

5

comites.

5.4 Seguindo os modelos acima temos C(3, 2) × C(7, 3)

Bons estudos!

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