Embed Size (px)
Citation preview
Comencem
� Representa en paper mil·limetrat la funcióf(x) = �x2 + 4x. Traça amb la màxima curapossible la recta tangent a la paràbola en elpunt P(1, 3). Mesura amb un transportadorl�angle que forma aquesta recta amb el sentitpositiu de l�eix d�abscisses. La tangent trigo-nomètrica d�aquest angle és el pendent de larecta tangent que has traçat. Fes-ne el càl-cul.
Fig. 2.1
a ; 64º ® mtg = tg 64º ; 2
� La funció derivada de la funció f(x) = �x2 + 4xés f�(x) = �2x + 4. Calcula f�(1).
f '(1) = �2 · 1 + 4 = �2 + 4 = 2
Exercicis
1. Troba l�equació de la recta tangent a la grà-fica de la funció f(x) = 3x2 � 10x + 3 en x = 2.
x = 2 ® f (2) = 3 · 22 � 10 · 2 + 3 == �5 ® (2, �5)f '(x) = 6x � 10
mtg = f '(2) = 6 · 2 � 10 = 12 � 10 = 2
y + 5 = 2 (x � 2) ® y + 5 = 2x � 4 ®® y = 2x � 9
2. Considera la funció f(x) = x2 + 2. En quinspunts de la gràfica d�aquesta funció la rectatangent és paral·lela a la recta y = 3x + 5?
Es tracta de buscar els valors de x per alsquals es compleix que f ' (x) = 3.
f(x) = x3 + 2 ® f '(x) = 3x2 ® 3x2 = 3 ®® x = ± 1
x = 1 ® f(1) = 13 + 2 = 3x = �1 ® f(�1) = (�1)3 + 2 = 1
Els punts són (1, 3) i (�1, 1)
3. Dibuixa la recta tangent a la corba repre-sentada a la gràfica (fig. 2.7) en els puntsd�abscisses x = �3, x = 0 i x = 2.
a) Quin és el signe del pendent de cadas-cuna d�aquestes tangents?
En x = �3, pendent positiu; en x = 0, pen-dent negatiu; en x = 2, pendent positiu.
b) Quin signe tenen f�(�3), f�(0) i f�(2)?
f '(�3) > 0; f '(0) < 0; f '(2) > 0
4. A partir de la gràfica (fig. 2.8), fes una esti-mació dels valors de f�(2), g�(�1) i h�(0).
f '(2) ; �0,7; g'(�1) = 0; h'(0) ; 0,4
5. Considera la funció f(x) = x2 � 3x + 5. Di-gues en quin punt del gràfic d�aquesta fun-ció la recta tangent forma un angle de 45°amb el sentit positiu de l�eix d�abscisses.Aquesta funció, és creixent o decreixent enaquest punt? Per què?
Com que tg 45º = 1, es tracta de determinar elvalor o valors de x per als quals es verifica quef '(x) = 1.
f(x) = x2 � 3x + 5 ® f '(x) = 2x � 3 ® 2x � 3 == 1 ® x = 2 ® f(2) 22 � 3 · 2 + 5 = 3 ® (2, 3)
En el punt (2, 3) la funció és creixent, ja que f ' (2) = 1 > 0.
6. Esbrina quins són els punts de la gràfica dela funció f(x) = x3 � 6x2 + 4 que tenen tan-gent paral·lela a l�eix d�abscisses.
f(x) = x3 � 6x2 + 4 ® f '(x) = 3x2 � 12x
Si la recta tangent és paral·lela a l�eix 0X, mtg = tg 0º = 0.
Per tant, es tracta de trobar quins són els va-lors de x que compleixen l�equació: f '(x) = 0
3x2 � 12x = 0 ® x (3x � 12) = 0 ® x = 0 i x = 4x = 0 ® f(0) = 4
x = 4 ® f(4) = �28
Els punts són (0, 4) i (4, �28)
7. Indica raonadament per què la funció f(x) =
= és decreixent en tots els punts del seu
domini.
1x
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
11
SOLUCIONARI Unitat 2
Perquè , i, per tant, f '(x) < 0 per a
qualsevol xÎR, x ¹ 0.
8. La gràfica de la funció f(x) = x2 + bx + c pre-senta un mínim en el punt (3, �1).
a) Calcula b i c.
Es compleix:f(3) = �1 ® �1 = 9 + 3b + c ® 3b + c = �10f '(3) = 0 amb f '(x) = 2x + b ® 0 = 6 + b ®
® b = �63 · (�6) + c = �10 ® c = 8
La funció és f(x) = x2 � 6x + 8
b) Representa gràficament la funció perverificar el resultat de l�apartat anterior.
Fig. 2.2
9. Els gràfics de les funcions polinòmiques desegon grau f(x) = ax2 + bx + c sempre tenenun màxim o un mínim. Demostra que es tro-
ba localitzat en el punt d�abscissa x0 = .
Cal que f '(x) = 0, ja que en un màxim o en unmínim la gràfica de la funció presenta sempretangent horitzontal.
f ' (x) = 2ax + b ® 0 = 2ax + b ® x = �b/2a
10. Digues en quins punts no són derivablescadascuna de les funcions següents i indi-ca�n en cada cas el motiu:
a) f(x) =
x = 0, perquè no pertany al Df
b) g(x) =
x = 3 i x = �3, perquè no pertany al Dg
c) h(x) =
, perquè no pertany al Dh
d) i(x) =
x = 0, perquè la recta tangent és perpendi-cular a l�eix 0X
11. Representa gràficament la funció:
És contínua en x = 0? I derivable?
Fig. 2.3
Es continua en x = 0, ja que
Per tant, f '(0+) = 2 i f '(0�) = 0. Com que f '(0+) ¹¹ f '(0�), la funció no és derivable en x = 0.
12. Donada la funció:
Troba a i b perquè sigui derivable en x = 2.
La funció ha de ser continua en
x = 2 ® 2a + b = 11.
En conseqüència: f '(2�) = f '(2+) ® a = 8
13. La funció f(x) = |x2 � 6x + 8| és, en realitat,una funció definida a trossos:
2
2
6 8 si 2 o 4( )
6 8 si 2 4
x x x xf x
x x x
ìì -- ++ ££ ³³ïï== íí-- ++ -- << <<ïïîî
2 1116 11 5
8
a bb b
a
+ = ü® + = ® = -ý
= þ
si 2'( )
4 si 2
a xf x
x x
<ì= í
³î
2 2lim ( ) 2 ; lim ( ) 11; (2) 11x x
f x a b f x f- +® ®
= + = =
2
si 2( )
2 3 si x 2
ax b xf x
x
++ <<ìì== íí
++ ³³îî
2 si 0'( )
2 si 0
x xf x
x
- £ì= í
>î
0 0lim ( ) lim ( ) (0) 4x x
f x f x f- +® ®
= = =
(( ))24 si 0
2 4 si 0
x xf x
x x
ìì -- ££== íí
++ >>îî
5 x
4
3x =
4 3x
x--
2
19x --
2
2x
2ba
--
2
1'( )f x
x= -
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
12
La gràfica de la funció es pot obtenir fàcil-ment a partir de la gràfica de la funció g(x) =x2 � 6x + 8. Dibuixa els gràfics de les duesfuncions. Estudia la continuïtat i la deriva-bilitat de la funció f(x) en x = 2 i en x = 4.
Fig. 2.4
f (x) és contínua en x = 2 i en x = 4, ja que escompleix:
En canvi, la funció no és derivable ni en x = 2ni en x = 4.
f '(2�) = �2; f '(2+) = 2 ® f '(2�) ¹ f '(2+)f '(4�) = 2; f '(4+) = �2 ® f '(4�) ¹ f '(4+)
14. Sabem que la funció f(x) = no és deri-
vable en x = 2. Calcula b.
L�expressió 4 � bx s�anul·la per a x = 2:
4 � 2b = 0 ® b = 2
15. Defineix a trossos la funció f(x) = |x + 2|. Re-presenta-la gràficament i indica raonada-ment en quin punt no és derivable.
Fig. 2.5
No és derivable en x = �2, ja que f '(�2+) = 1 i,en canvi, f '(�2�) = �1. Per tant, f '(�2+) ¹ f '(�2�)
16. Troba la funció derivada de cadascuna deles funcions següents:
a) f(x) = 3 sin x + 5
b) f(x) = 4 cos x � 2 sin x + 1
c)
d) f(x) = log3 x � 3x + ln 9
17. Determina els punts d�abscisses compre-ses entre 0 i 2p en els quals la recta tangenta la gràfica de la funció f(x) = sin x ésparal·lela a l�eix OX. Escriu les equacionsd�aquestes rectes tangents.
L�equació de la recta tangent a la gràfica de
f(x) = sin x en el punt és y = 1; en el punt
, la recta tangent té per equació y = �1.
18. Determina l�equació de la recta perpendicu-lar a la recta tangent a la gràfica de la fun-
ció f(x) = 2 cos x en . Aquesta recta s�ano-
mena recta normal a la gràfica de la funcióen aquest punt.
f(x) = 2 cos x ® f '(x) = �2 sin x
1normalm® = -
p pæ ö æ ö= = - = - × - = ®ç ÷ ç ÷è ø è ø
1' 2sin 2 1
6 6 2tgm f
p p p pæ ö æ ö= ® = = ®ç ÷ ç ÷è ø è ø
2cos 3 , 36 6 6 6
x f
6p
pæ ö-ç ÷è ø
3, 1
2
pæ öç ÷è ø
,12
p p p pæ ö æ ö= ® = = - ® -ç ÷ ç ÷è ø è ø
3 3 3 3sin 1 , 1
2 2 2 2x f
sin 1 ,12 2 2 2
x fp p p pæ ö æ ö= ® = = ®ç ÷ ç ÷
è ø è ø
p=
3i
2x
p= ® = ® = ® =tg 0 '( ) 0 cos 0
2m f x x x
1'( ) 3
ln3f x
x= -
×
2
1 2'( )
7f x
x x= -
ln 2( )
7x
f xx
== ++
'( ) 4sin 2cosf x x x= - -
'( ) 3cosf x x=
2 si 2'( )
2 si 2
x xf x
x x
+ ³ -ì= í
- - < -î
34 bx--
2 6 si 2 o 4'( )
2 6 si 2 4
x x xf x
x x
- £ ³ì= í
- + < <î
4 4lim ( ) lim ( ) (4) 0x x
f x f x f- +® ®
= = =2 2
lim ( ) lim ( ) (2) 0x x
f x f x f- +® ®
= = =
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
13
Equació de la normal:
19. Hi ha algun punt de la gràfica de la funcióf(x) = log2 x que tingui recta tangent pa-
ral·lela a la bisectriu del primer quadrant idel tercer? Si la resposta és afirmativa, tro-ba l�equació d�aquesta recta tangent.
Bisectriu primer i tercer quadrants:
y = x ® m = 1.
El punt és
Equació de la recta tangent:
y � 0,53 = x � 1,44 ® x � y + 0,91 = 0
20. Justifica per què la gràfica de la funció f(x) = ln x no pot tenir ni màxims ni mínims.
Perqué la funció derivada, f '(x) = , no s�a-
nul·la per a cap valor real de x:
21. Calcula la derivada de les funcions se-güents:
a) f(x) =
b) f(x) = sin (3x + 5)
f'(x) = 3 cos (3x + 5)
c) f(x) = ln (cos x)
d) f(x) = (1 � x2)3
f'(x) = 3 (1 � x2)2 · (�2x) = �6x (1 � x2)2
e) f(x) = �cos3 x + 2
f'(x) = 3 cos2 x sin x
f) f(x) = sin (ln x)
g) f(x) = sin2 x + sin x2
f'(x) = 2 sin x cos x + 2x cos x2 = = 2 (sin x cos x + x cos x2)
h) f(x) =
i) f(x) =
j) f(x) = sin (cos (ln x))
k) f(x) = ln [sin (1 � x)]
l) f(x) = cos2 (1 � 3x)
f '(x) = 6 cos (1 � 3x) sin (1 � 3x)
22. Calcula la derivada de la funció f(x) = sin2
= x + cos2 x. Interpreta�n el resultat obtingut.
f '(x) = 0, perquè f(x) = sin2 x + cos2 x = 1
23. Troba l�equació de la recta tangent al gràfic
de la funció f(x) = 2 sin2 x en x = .
Equació de la recta tangent:
1 2 2 1 04 2
y x x yp pæ ö- = - ® - + - =ç ÷
è ø
4sin cos 24 4
p p= =
tg'( ) 4sin cos ; '4
f x x x m fpæ ö= = =ç ÷
è ø
p p p pæ ö æ ö= ® = × = × = ®ç ÷ ç ÷è ø è ø
2 12 sin 2 1 ,1
4 4 4 2 4x f
p4
cos(1 )'( ) cotg(1 )
sin(1 )
xf x x
x
- -= = - -
-
cos(cos(ln ))sin(ln )'( )
x xf x
x
-=
2
2 4 2 3
2( 4) 2 4'( )
( 4) ( 4)
x x xf x
x x
- + × -= =
+ +
2 2
1( 4)x ++
1 1 1'( )
ln10 2 1 2ln10 1f x
x x
- -= × =
- -
1 x--
cos(ln )'( )
xf x
x=
sin'( ) tg
cos
xf x x
x
-= = -
( )2 2 /3
2 23
1 2'( ) (1 ) 2
3 3 (1 )
xf x x x
x
- -= - × - =
-
3 21 x--
10, x
x¹ " Î ¡
1
x
æ öæ öç ÷ç ÷
è øè ø2
1 1, log (1,44, 0,53)
ln2 ln2;
2
1 1 1log
ln2 ln2 ln2x f
æ ö æ ö= ® =ç ÷ ç ÷è ø è ø
1 1 1'( ) 1 1
ln2 ln2f x x
x= ® × = ® =
2
1 1( ) log '( )
ln2f x x f x
x= ® = ×
3 1 3 06 6
y x x yp pæ ö- = - - Þ + - - =ç ÷
è ø
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
14
24. Indica per a quins valors de x és creixent lafunció f(x) = ln (x2 + 1). Per què? Té la gràfi-ca d�aquesta funció algun punt en el qual larecta tangent tingui pendent nul? Si la res-posta és afirmativa, de quin punt es tracta?
La funció es creixent per a xÎR+, ja que si x > 0es verifica f '(x) > 0.
La recta tangent a la gràfica de la funció tépendent mil en el punt (0,0).
25. Calcula la funció derivada de les funcionssegüents:
a) f(x) = x3 · cos x
f '(x) = 3x2 cos x + x3 (� sin x) == x2 (3 cos x � sin x)
b) f(x) = x · ln x + ln2 x + 1
c) f(x) = 7 cotg x + 3
d) f(x) =
e) f(x) =
f) f(x) = · (1 + x)
g) f(x) =
h) f(x) =
i) f(x) =
j) f(x) =
k) f(x) =
l) f(x) = (1 � x)3 · log2 x
26. Utilitzant la derivada logarítmica, demostra
que la derivada de la funció f(x) = és
f�(x) = .
'( ) '( ) '( )'( ) ( )
( ) ( ) ( )
f x g x g xf x f x
f x g x g x= - ® = -
( ) ln ( ) ln ln ln ( )( ) ( )
k kf x f x k g x
g x g x= ® = = -
2
'( )[ ( )]k g xg x
-- ××
( )k
g x
22
1(1 ) 3log
ln2
xx x
x
-æ ö= - - +ç ÷×è ø
= - - + - × × =2 32
1 1'( ) 3(1 ) log (1 )
ln2f x x x x
x
2 2 4
1 1 2
1 1 1
xx
x x xæ ö= + =ç ÷+ - -è ø
2 2
1 2 2'( )
2 1 1
x xf x
x xæ ö= + =ç ÷+ -è ø
2 21[ln(1 ) ln(1 )]
2x x= + - -
1/ 22 2 2
2 2 2
1 1 1 1( ) ln ln ln
21 1 1
x x xf x
x x x
æ ö æ ö+ + += = = =ç ÷ ç ÷- - -è ø è ø
2
2
1ln
1xx
++--
2 2
1(1 ) ln 1 ln
'( )(1 ) (1 )
x x x x xxf xx x x
- + - += =
- -
ln1
xx--
2
2 3
2 6
( 1)
x
x
+=
-
2 2 2
2 4
2( 1) 2 2( 1) 2'( )
( 1)
x x x xf x
x
- - + × - ×= =
-
2 2
2( 1)
xx
----
2
4 3
cos sin 2 cos 2sin'( )
x x x x x x xf x
x x
× - × -= =
2
sin xx
3sin3'( ) 3 tg3
cos3
xf x x
x= =
1 2cos3 5x
++
1 1 3'( ) (1 )
2 2
xf x x x
x x
-= + + =
x
2 2
(sin cos ) ( cos ) cos sin 1
(1 sin ) (1 sin )
x x x x x
x x
- + × - - +=
- -
2
(cos sin )(1 sin )'( )
(1 sin )
x x xf x
x
- - -=
-
sin cos1 sin
x xx
++--
2 2
2 3'( )
( 3 2)
xf x
x x
- +=
- +
2
13 2x x-- ++
2 2
2 2
sin cos 77
sin sin
x x
x x
- - -= =
cos( ) 7 3 '( )
sin
xf x f x
x= + ® =
1 1 2ln'( ) ln 2ln ln 1
xf x x x x x
x x x= + × + × = + +
2 0 0 (0) ln1 0x x f® = ® = ® = =
tg 2
20 '( ) 0 0
1
xm f x
x= ® = ® = ®
+
2 2
1 2'( ) 2
1 1
xf x x
x x= × =
+ +
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
15
Per tant:
27. La derivada de la funció f(x) = tg x es potexpressar f�(x) = 1 + tg2 x. Per què?
Perquè
En conseqüència:
28. Troba l�equació de la recta tangent al gràfic
de la funció f(x) = en x = 1. A quin
punt del gràfic d�aquesta funció la rectatangent és paral·lela a l�eix d�abscisses?
. El punt és
Equació recta tangent:
Recta tangent paral·lela a l�eix 0X ® mtg = 0 ®f ' (x) = 0
La recta tangent és paral·lela a l'eix d'abscis-ses en el punt (0, 0).
29. Comprova que la derivada de la funció:
f(x) = ln és f�(x) =
30. Calcula la derivada de les funcions:
a) f(x) = e3x · ln (x2 + 4)
b) f(x) = sin [cos (ex + 2)]
c) f(x) =
d) f(x) = tg (3x � 7)
e) f(x) = (x2 � 1)cos x
ln f(x) = cos x · ln (x2 � 1)
f) f(x) = ln
31. Donada la funció f(x) = x · ex, calcula f�(x).Escriu l�equació de la recta tangent a la grà-fica de f(x) en el punt on s�anul·la la sevaderivada. Indica raonadament si aquestafunció és creixent o decreixent en x = 0.
Punt: ; pendent: m = 0 ® equació tan-
gent:
f '(0) = 1 > 0 ® la funció és creixent en x = 0.
= -1
ey
æ ö- -ç ÷è ø
11,
e
-- = - × = -1 1( 1) 1 e
ef
= ® + = ® + = ® = -'( ) 0 e (1 ) 0 1 0 1xf x x x x
= + × = +'( ) e e e (1 )x x xf x x x
- - -= - = =
+ + +e e e 3 3
'( ) 1e 3 e 3 e 3
x x x
x x xf x
= + - = + -( ) ln(e 3) lne ln(e 3)x x xf x x
e 3e
x
x
++
2 cos 22
2 cos'( ) ( 1) sin ln( 1)
1x x x
f x x x xx
é ù= - - × - +ê ú-ë û
22
'( ) 2sin ln( 1) cos
( ) 1
f x xx x x
f x x= - × - + ×
-
2
3 ln3'( )
cos (3 7)
x
xf x =
-
× - + - -= = =
×2
e e e (e 1) e 1'( )
(e ) e e e
x x x x x
x x x xf x
e 1e
x
x
++
= - + +'( ) e cos(cos(e 2))sin(e 2)x x xf x
é ù= + +ê ú+ë û3 2
2
2e 3ln( 4)
4x x
xx
= + + =+
3 2 32
2'( ) 3e ln( 4) e
4x x x
f x xx
1
cos x=
2
1 cos cos 1 2cos'( )
2 1 sin 1 sin 2 cos
x x xf x
x x xæ ö= + = × =ç ÷+ -è ø
1 sin 1( ) ln [ln(1 sin ) ln(1 sin )]
1 sin 2
xf x x x
x
+= = + - -
-
1cos x
1 sin1 sin
xx
++--
2 2
20 2 0 0 (0) 0
( 1)
xx x f
x= ® = ® = ® =
+
1 1( 1) 2 0
2 2y x x y- = - ® - =
tg
2 1'(1)
4 2m f= = =
2 2
2 2 2 2
2 ( 1) 2 2'( )
( 1) ( 1)
x x x x xf x
x x
+ - ×= =
+ +
æ öç ÷è ø
11,
2
1(1)
2f =
2
2 1x
x ++
22
1'( ) 1 tg
cosf x x
x= = +
2
1
cos x=
22
2 2
1 sin'( ) i, 1 tg 1
cos cos
xf x x
x x= + = + =
2
'( ) '( )'( ) '( )
( ) ( ) [ ( )]
k g x kg xf x f x
g x g x g x
-= - × ® =
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
16
32. Una petita mostra de material radioactiuconté 1 bilió d�àtoms. A conseqüència dela desintegració, el nombre N d�àtoms de lamostra va disminuint a mesura que passael temps t. La funció N = f(t) que descriuaquesta situació és:
N = N0 · e�2t
N = f(t)= N0 · e�2t ® N = 1012 · e�2t
on N0 és el nombre inicial d�àtoms que hi ha
a la mostra i t, el temps transcorregut enanys. Es demana:
a) Quants àtoms hi haurà a la mostra quanhagin passat 10 anys? I quan n�haginpassat 100?
t = 5 anys ® N = f(5) = 1012 · e�10 == 45 399 930 àtoms
t = 10 anys ® N = f(10) = 1012 · e�20 == 2 061 àtoms
b) Quan és més ràpida la desintegració, als10 anys o als 100 anys?
N '(t) = �2N0 · e�2t
La desintegració és més ràpida per a t = 5anys, ja que:
N '(5) = �2 · 1012 · e�10 = �9,08 · 107 àt/sN '(10) = �2 · 1012 · e�20 = �4 122 àt/s
i, per tant, es compleix:
/N '(5)/ > /N '(10)/
33. Comprova que la derivada de la funció
f(x) = x2 · 5x s�anul·la en els punts i
x = 0.
f '(x) = 2x · 5x + x2 · 5x · ln5 = x · 5x (2 + x · ln5)x = 0
f '(x) = 0 ® x · 5x (2 + x · ln5)Z]
2 + x · ln5 = 0
34. Calcula la derivada de les funcions:
a) f(x) = arc sin
b) f(x) = earc tg x
c) f(x) = ln [arc cos (x � 1)]
d) f(x) = arc tg � arc tg x
e) f(x) = · arc sin x
f) f(x) = arc cos (cos x)
f(x) = arccos(cosx) = x ® f '(x) = 1
35. Dedueix la derivada de la funció g(x) = ax
sabent que la seva funció inversa és f(x) = = loga x i suposant coneguda f�(x).
1
1 1'( ) ln
1 1'( ( ))ln
x
x
g x a af f x
a a
-= = =×
1 1( ) log '( )
lnaf x x f xa x
= ® = ×
2
2 2
arcsin arcsin 11
1 1
x x x x x
x x
- - + -= + =
- -
2
2 2
2 1'( ) arcsin 1
2 1 1
xf x x x
x x
-= + - × =
- -
21 x--
2 2 2 2 2
2 1 1 1 2
2(1 ) 1 1 1 1x x x x x
- - -= - = - =
+ + + + +
2
2 2 2 2
(1 ) 2 1
(1 ) (1 ) (1 ) 1
x
x x x x
- -= × - =
- + + - +
2 2 2
1 1 (1 ) ( 1) 1'( )
(1 ) 111
1
x xf x
x xx
x
- - + × -= × - =
- ++æ ö+ ç ÷-è ø
11
xx
++--
2
1
arccos( 1) 2x x x
-=
- -
2
1 ( 1)'( )
arccos( 1) 1 ( 1)f x
x x
-= × =
- - -
= × =+ +
arctgarctg
2 2
1 e'( ) e
1 1
xxf x
x x
2
1 2 2
(1 )4 (1 ) 41
x x
xx x xx
- -= × =
-- - --
22 2
2
1 2
(1 )(1 ) (1 )
(1 )
x
xx x
x
-= × =
-- - +-
22
1 1 (1 )( 1)'( )
(1 )11
1
x xf x
xx
x
- - + -= × =
-+æ ö- ç ÷-è ø
11
xx
++--
2
ln5x
-=
2ln5
x--
==
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
17
36. Donada la funció f(x) = , calcula f�(x),
f��(x) i f���(x).
37. Troba f(66)(x) i g(94)(x) per a les funcions f(x) = sin x i g(x) = cos x.
f(66)(x) = f''(x) = �sinxg(95)(x) = g(3)(x) = sinx
38. Per a la funció f(x) = 2x, calcula:
f�(x), f��(x), f���(x) i f(4)(x)
Observa amb detall les funcions que hasobtingut i dedueix l�expressió de la deriva-da f (n)(x).
Acabem
1. En quins punts de la gràfica de la funció
f(x) = la recta tangent és perpendicular a
la recta 4x + y � 2 = 0? Escriu les equacionsd�aquestes rectes tangents.
Els punts són i
Equacions de les rectes tangents:
2. Dibuixa en un paper mil·limetrat la gràficade la funció f(x) = �x2 + 8x. Tot seguit, fesuna estimació a partir d�aquesta gràficadels valors de f�(1) i f�(5). Calcula analítica-ment f�(1) i f�(5) i compara els resultats ambels anteriors.
f(x) = �x2 + 8x ® f '(x) = �2x +8f '(1) = �2 + 8 = 6; f '(5) = �10 + 8= �2
Cal comparar aquests valors amb els valorsobtinguts de manera experimental, a partir dela gràfica de la funció.
3. Representa gràficament la funció:
Aquesta funció és contínua en x = 0? I deri-vable? Justifica les respostes.
Fig. 2.6
Es compleix:
Per tant, la funció és contínua en x = 0.
0 si 0'( )
1 si 0
xf x
x
<ìí
³î
0lim ( ) (0) 0x
f x f®
= =
0 0lim ( ) 0; lim ( ) 0; (0) 0x x
f x f x f- +® ®
= = =
(( )) 0 si 0
1 si 0
xf x
x
<<ìì== íí ³³îî
4 4 0x y® - + =
æ ö- - = + ® - = + ®ç ÷è ø
1 1 12, : ( 2) 4 2 2
2 2 4y x y x
4 4 0x y® - - =
æ ö- + = - ® + = - ®ç ÷è ø
1 1 12, : ( 2) 4 2 2
2 2 4y x y x
12,
2æ ö-ç ÷è ø
12,
2æ ö-ç ÷è ø
( ) 1 12 ' 2 2,
2 2x f
æ ö= - ® - = ® -ç ÷è ø
( ) 1 12 2 2,
2 2x f
æ ö= ® = - ® -ç ÷è ø
2
1 1' '( ) 2
4m f x x
x= ® = ® = ±
2
1 1( ) '( )f x f x
x x
-= ® =
14 2 0 4 '
4x y m m+ - = ® = - ® =
1x
2( )
3
(4) 4
'( ) 2 ln2
''( ) 2 (ln2)( ) 2 (ln2)
'''( ) 2 (ln2)
( ) 2 (ln2)
x
xn x n
x
x
f x
f xf x
f x
f x
ü= ×ï
= × ï =ý= × ï
ï= × þ
3 2
2 4 2 2
96 384 96 ( 4)
( 4) ( 4)
x x x x
x x
- - - += =
- -
3 3
2 4
48 192 144 192
( 4)
x x x x
x
- - -= =
-
2 2
2 4
48 ( 4) (24 32)6
( 4)
x x x x
x
- - += =
-
2 3 2 2 2
2 6
48 ( 4) (24 32)( 4) 3 2'''( )
( 4)
x x x x xf x
x
- - + - × ×= =
-
2 2 2
2 3 2 3
8( 4) 32 24 32
( 4) ( 4)
x x x
x x
- - + += =
- -
2 2 2
2 4
8( 4) 8 2 2 ( )''( )
( 4)
x x x x hf x
x
- - + × × -= =
-
2 2
2 2 2 2
2 ( 4) 2 8'( )
( 4) ( 4)
x x x x xf x
x x
- - × -= =
- -
2
2 4x
x --
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
18
És a dir, f '(0�) = 0 i f '(0+) = 1 ® f '(0�) ¹ f '(0+)la funció no és derivable en x = 0.
4. Indica en quins punts és derivable la fun-ció:
Es derivable en tot R excepte en x = 0. Escompleix que f' (x) = 0 per a xÎR, x ¹ 0.
5. El gràfic d�una funció f(x) és el de la figura2.20. Sense calcular-ne l�expressió analíti-ca, representa gràficament la funció f�(x).
Fig. 2.7
6. Troba les derivades laterals en x = 5 de lafunció f(x) = |2x � 10|. És derivable enaquest punt? Per què?
f '(5+) = 2; f '(5�) = �2 ® f '(5+) ¹ f '(5�)
La funció no és derivable en x = 5.
7. Indica els intervals de creixement i decrei-xement i els punts estacionaris de la funció
f(x) = .
Df = R � {�2, 2}; f '(x) = 0 ® x = 0, f(0) = 0 ®® (0, 0)
Com que f '(x) > 0 per a x < 0, x ¹ �2 i f '(x) < 0per a x > 0, x ¹ 2, es compleix que:
La funció és creixent en els intervals (�¥, �2) i(�2, 0)
La funció es decreixent en els intervals (0, 2) i(2, +¥)
La funció presenta un punt estacionari a l'ori-gen de coordenades.
8. La funció f(x) = és creixent o decrei-
xent en x = 2? Justifica la resposta.
f '(2) = �4 < 0 ® f(x) és decreixent en x = 2.
9. Donada la paràbola d�equació f(x) = x2 � � 2x + 5, es considera la recta r que uneixels punts d�aquesta paràbola, les abscissesdels quals són x1 = 1 i x2 = 3. Troba l�equa-ció de la recta tangent a la paràbola que ésparal·lela a la recta r.
x1 = 1 ® f(x1) = f(1) = 4 ® (1, 4)x2 = 3 ® f(x2) = f(3) = 8 ® (3, 8)
La recta r conté els punts (1, 4) i (3, 8)
f '(x) = 2x � 2 i f '(x) = mr = 2 ® 2x � 2 = 2 ®x = 2
f(2) = 5 ® El punt de tangències és (2, 5)mtg = mr = 2
Equació de la recta tangent:
y � 5 = 2 (x � 2) ® y � 5 = 2x � 4 ®® 2x � y + 1 = 0
10. Aquesta és la representació gràfica de laderivada f�(x) d�una funció polinòmica f(x)(fig. 2.21).
a) Quin és el grau d�aquesta funció polinò-mica? Per què?
Grau 2. Perquè f '(x) és una funció polinò-mica de primer grau, ja que la seva repre-sentació gràfica és una recta.
b) Indica els intervals de creixement i de-creixement de la funció f(x).
f '(x) > 0 ® x > 2 ® Creixent: (2, +¥)f '(x) < 0 ® x < 2 ® Decreixent: (�¥, 2)
c) Té f(x) algun punt estacionari? Quin és?
Sí, x = 2, ja que f '(2) = 0.
11. Donada la funció f(x) = x · ex, resol les equa-cions f�(x) = 0 i f��(x) = 0.
- -= = =
- -(3) (1) 8 4
23 1 3 1r
f fm
2 2
3 3
2 2 2 2
( 1) ( 1)
x x x x
x x
- - -= =
- -
2 2 2
4 3
2 ( 1) 2( 1) 2 ( 1) 2
( 1) ( 1)
x x x x x x x
x x
- - × - - -= = =
- -
2
2( ) '( )
( 1)
xf x f x
x= ® =
-
2
2 2( 1)x
x --
2 2
2 2 2 2
2 ( 4) 2 8'( )
( 4) ( 4)
x x x x xf x
x x
- - × -= =
- -
2
2 4x
x --
2 10 si 5( ) 2 10 ( )
2 10 si 5
x xf x x f x
x x
- ³ì= - ® = í
- + <î
(( ))si 0
| |
0 si 0
xx
xf x
x
ìì ¹¹ïï== ííïï ==îî
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
19
f '(x) = ex + x · ex = ex (1 + x)f ''(x) = ex (1 + x) + ex = ex (2 + x)
f '(x) = 0 ® ex (1 + x) = 0 ® 1 + x =0 ® x = �1f ''(x) = 0 ® ex (2 + x) = 0 ® 2 + x =0 ® x = �2
12. Troba per a quin valor de a i b és contínua iderivable la funció:
� Contínua:
3 = a ® a = 3
� Derivable:
f '(1�) = f '(1+)3 = 2a + b ® b = 3 � 2a = 3 � 6 = �3
13. Calcula la derivada de les funcions:
a) f(x) = sin4 [ln (x2 + 5)]
b)
c)
d)
e) f(x) = [1 + cos2 (1 � 3x)]2
f) f(x) = log2
g) f(x) = sec2 (x3 � 2)
h) f(x) = arc sin
= × × = =- -
2 3 1 3
24 3 2 2 (4 3 )x x x x
1 3 1( )
23 21
4
f xx x
= × × =-
32
x
2 3 2 36 tg( 2) sec ( 2)x x x= - × -
2 3 2 3
3 3 2 3
6 sin( 2) 6 tg( 2)
cos ( 2) cos ( 2)
x x x x
x x
- -= = =
- -
3 3 2
4 3
2cos( 2)sin( 2) 3'( )
cos ( 2)
x x xf x
x
- - ×= =
-
2 32 3
1( ) sec ( 2)
cos ( 2)f x x
x= - =
-
2 2
2 2
1 4 4
ln2 ( 4) ln2 ( 4)
x x
x x x x
- - -= × =
- × × -
2
1 1
ln2 4
x
x xæ ö= - =ç ÷-è ø
2
1 1 2 2'( )
2 ln2 4
xf x
x xæ ö= × - =ç ÷-è ø
22 2
1[2log log ( 4)]
2x x= - -
2 22 2
1[log log ( 4)]
2x x= - - =
1/ 22 2
2 22 2( ) log log
4 4
x xf x
x x
æ ö= = =ç ÷- -è ø
2
2 4x
x --
212[1 cos (1 3 )]cos(1 3 )sin(1 3 )x x x= + - - -
( 1) sin(1 3 ) ( 3)x× - × - × - =
2'( ) 2[1 cos (1 3 )] 2cos(1 3 )f x x x= + - × - ×
2 2
2 2 2
3 tg 2
2 cos 2
x x
x x
+=
+ +
2 2
2 2 2
1 2'( ) 3 tg 2
cos 2 2 2
xf x x
x x= + × × =
+ +
3 2( ) tg 2f x x== ++
2
2
sin 16
16
x x
x
- +=
+
2
2
2'( ) sin 16
2 16
xf x x
x= - + × =
+
2( ) cos 16f x x== ++
2( ln 2)( 1) ( 2)ln
2 ( 1) 1
x x x x x x x
x x x
+ + + - +=
+ +
2( ln 2)( 1) ( 2)ln
2 11
x x x x x x x
x xx
+ + + - ++= =
+
( ln 2) 1 ( 2) ln
2 11
x x x x x xx x
x
+ + + + ×-
+= =+
2 1ln 1 ( 2) ln
2 1'( )1
xx x x x
x xf xx
+æ ö+ + - + × ×ç ÷+è ø= =
+
( 2) ln( )
1
x xf x
x
++ ××==
++
3 2 2
2
8 sin [ln( 5)]cos[ln( 5)]
5
x x x
x
+ +=
+
2
12
5x
x× × =
+
3 2 2'( ) 4sin [ln( 5)]cos[ln( 5)]f x x x= + + ×
1 1lim ( ) lim ( ) (1)x x
f x f x f- +® ®
= =
3 si 1'( )
2 si 1
xf x
ax b x
£ìÞ = í
+ >î
2
3 si 1( )
( 1) si 1x x
f xax b x x
£ì= Þí + - >î
2
3 si 1( )
( 1) si 1
x xf x
ax b x x
££ìì== íí
++ -- >>îî
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
20
i) f(x) = arc tg
j) f(x) = 2arc sin x ·
k) f(x) = (x2 + 3)x + 5
l) f(x) = ln
m) f(x) =
n) f(x) =
o) f(x) =
p) f(x) = etg 3x ·
14. El nombre N de bacteris d�un determinatcultiu varia en funció del temps t expressaten hores, d�acord amb l�equació:
a) Quin és el nombre inicial de bacteris enel cultiu?
t = 0 ® N(0) = 10 bacteris.
b) En quin moment creix més de pressa elnombre d�aquests bacteris, quan t = 2 ho quan t = 4 h? Per què?
t = 2 h ® N '(2) = 5et = 4 h ® N '(4) = 5e2
N'(4) > N '(2) ® el nombre de bacteris creixmés de pressa per a t = 4 h.
15. Calcula les tres primeres derivades de lafunció f(x) = e3x. Dedueix l�expressió de laderivada enèsima f(n) d�aquesta funció.
f '(x) = 3e3x; f ''(x) = 9e3x; f '''(x) = 27e3x
f(n)(x) = 3ne3x
16. Tenint en compte que arc sec x = arc cos ,
calcula la derivada de la funció f(x) = arcsec x.De manera similar, pots calcular les deri-vades de les funcions g(x) = arc cosec x ih(x) = arc cotg x. Fes-ho.
2 2
2
1 1 1'( )
1 11
f xx x x
x
-æ ö= × - =ç ÷è ø --
= =1
( ) arccosec arcsinf x xx
2 2
2
1 1 1'( )
1 11
f xx x x
x
- -æ ö= × =ç ÷è ø --
1( ) arcsec arccosf x x
x= =
1x
= × × = ×/ 2 / 21' 10 e 5 e
2t tN
210 et
N == ××
é ù+ê ú= +ê ú+ë û
3 23
2 2 23
3 1 2e
cos 3 3 ( 1)
tg x x x
x x
-+ × + × =3 2 2 /31e ( 1) 2
3tg x x x
= × × × + +33 22
1'( ) e 3 1
cos 3tg xf x x
x
3 2 1x ++
2
6 4
5 3(2 6) 2 30'( )
(2 6) (2 6)
xf x
x x
- × + × -= =
+ +
3
1(2 6)x ++
= + -2 ln 3sin3e
2x x x
x
é ù= + × + × - × =ê úë û2 1 1
'( ) 2e 2ln sin3 ( 3)2
xf x x xx
2 2e ln cos32
x x x++ ++
= - 23cos cosecx x
2
4 2
3sin cos 3cos'( )
sin sin
x x xf x
x x
- -= = =
3
1sin x
1 1 1 1'( )
2 ln 2 lnf x
x x x x= × × =
1/ 2 1( ) ln(ln ) ln(ln )
2f x x x= =
ln x
2 5 22
2 ( 5)'( ) ( 3) ln( 3)
3x x x
f x x xx
+ +é ù= + + +ê ú+ë û
22
2 ( 5)'( ) ( ) ln( 3)
3
x xf x f x x
x
+é ù= + +ê ú+ë û
22
'( ) 2ln( 3) ( 5)
( ) 3
f x xx x
f x x= + + + ×
+
2 5 2ln ( ) ln( 3) ( 5)ln( 3)xf x x x x+= + = + +
æ ö-+ × = -ç ÷
- -è ø
arcsin arcsin
2 2
22 2 ln2
2 1 1
x xx x
x x
= × × × - +-
arcsin 2
2
1'( ) 2 ln2 1
1
xf x xx
21 x--
2 2
12 12
16 (3 2) 9 12 20x x x= =
+ + + +
2 2
1 3 1 3'( )
4 416 (3 2)3 21
164
f xxx
= × = × =+ ++æ ö+ ç ÷
è ø
3 24
x ++
1 3
2 (4 3 )x x=
-
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
21
17. Troba l�equació de la recta normal al gràficde la funció f(x) = x2 � 7x + 10 en els puntsd�ordenada nul·la.
f(x) = 0 ® x2 � 7x + 10 = 0 ® x1 = 2, x2 = 5 ®® (2, 0) i (5, 0)
� Punt (2, 0)
Equació recta normal:
� Punt (5, 0)
Equació recta normal:
18. Representa gràficament la funció f(x) = |x2 + 2|.Hi ha algun punt en el qual aquesta funcióno sigui derivable? Justifica�n la resposta.
Fig. 2.8
No. La funció és contínua i derivable a tot R.La seva gràfica és la mateixa que la de la fun-ció g(x) = x2 + 2, ja que f(x) > 0 per a tot xÎR.
19. Determina l�expressió algèbrica de la funcióf(x) que verifica les condicions següents:
a) f�(x) = 3
b) El seu gràfic passa pel punt (2, 10)
f(x) = 3x + n
f(2) = 10 ® 10 = 6 + n ® n = 10 � 6 = 4
Per tant, f(x) = 3x + 4
20. Indica raonadament perquè la funció
f(x) = , on a i b són nombres reals, no
pot tenir punts estacionaris.
La funció no pot tenir punts estacionaris, ja quef '(x) no s'anul·la per a cap valor de x real.
21. Se sap que la funció f(x) = ax2 + bx + 12 pre-senta un mínim en el punt (4, �4). Calcula ai b.
f(4) = �4 ® 16a + 4b + 12 = �4 ® 4a + b = �4f '(x) = 2ax + b; f '(4) = 0 ® 8a + b = 0
22. Dibuixa de manera aproximada el gràfic dela funció f(x) = ln |x|. Indica raonadament sihi ha algun punt en què aquesta funció nosigui derivable.
Fig. 2.9
La funció no és derivable en x = 0 perquè noexisteix f(0) i, per tant, no pot ser-hi contínua.
23. Justifica el motiu pel qual la funció f(x) =
= + no és derivable en x = 0.
Perquè no existeix f '(0).
De fet, com que no existeix , la funció
no és contínua en x = 0 i, per tant, no pot exis-tir f '(x).
24. Representa gràficament la funció f(x) = log2 x
i, a partir d�aquesta gràfica, dibuixa la fun-ció g(x) = |log2 x|. Per a quins valors de x noexisteix g�(x)? Per què?
Fig. 2.10
0lim ( )x
f x-®
1'( )
2 2f x = ®
x
4 41, 8
8 0
a ba b
a b
+ = - ü= = -ý
+ = þ
2'( )
( )
af x
x b
-=
-
ax b--
1 1 5( 5) 3 5 0
3 3 3y x y x x y= - - ® = - + ® + - =
tg
1'(5) 2 5 7 3
3nm f m= = × - = ® = -
1 1 2( 2) 3 2 0
3 3 3y x y x x y= - ® = - ® - - =
tg
1'(2) 2 2 7 3
3nm f m= = × - = - ® =
2 2
2
1 1 1'( )
1 11f x
x xx
-æ ö= × - =ç ÷ +è ø+
1( ) arccotg arctgf x x
x= =
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
22
La funció g(x) no és derivable en x = 1.Observa a partir de la gràfica que g'(1�) ¹ g '(1+).
25. La funció: f(x) = és deriva-
ble en x = 2? Per què?
f(2) = 3
Com que , la funció no és contí-
nua en x = 2. Aleshores, tampoc pot ser deri-vable en aquest punt.
2lim ( ) (2)x
f x f®
¹
® ® ®
-= = + =
-
2
2 2 2
4lim ( ) lim lim( 2) 4
2x x x
xf x x
x
2 4si 2
23 si 2
xx
xx
ìì --¹¹ïï
--ííïï ==îî
McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat
23
