Solucionario Demidovich Analisis Matematico 1 - ByPriale

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LISIS MATEMATICO

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Solucionarlo de Análisis Matemático por Demidovich tomo III Solucionarlo de Análisis Matemático por G.Berman, tomo I, II Solucionarlo de Leithold 2da. Parte.Geometría Vectorial en R2 Geometría Vectorial en R3

www.s olucionarios.netEduardo Espinoza Ramos

/ / I \ \Lima - PerúByPriale

Eduardo Espinoza Ramos Graduado y Titulado en Matemática Pura.

Catedrático de las principales Universidades de la Capital

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A N A L IS IS M A T E M A T IC O I

S O L U C IO N A R IO D E M ID O V IC H

TOMO I

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1

n X

n — \

♦ INTRODUCCION AL ANALISIS

♦ DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES

♦ APLICACIÓN DE LA DERIVADA

EDUARDO ESPINOZA RAMOS1

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IMPRESO EN EL PERÚ 1 5 - 0 2 - 2 0 0 4

4ta EDICIÓN

DERECHOS RESERVADOS

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Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún

método gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo los sistemas

de fotocopia, registros magnéticos o de alimentación de datos, sin

expreso consentimiento del autor y Editor.

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N° 4484

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Ley de Derechos del Autor

Registro com ercia l

Escritura Publica

PROLOGO

Se sabe que la humanidad ha avanzado lentamente hacia la conquista de los

conocimientos y la mayor de estas es la escritura, con ella la humanidad alcanzó el más

alto sitial en la creación; pero tan antiguo como ella, es el concepto de cantidad. Esto

nace aún antes de la escritura por eso la ciencia de los números están importante como la vida misma.

El avance tecnológico funda sus bases en los conceptos primarios, lo que

estudiados, desarrollados y perfeccionados han llevado al hombre hacia grandes conquistas.

La aventura del pensamiento nos ha llevado de la mano con la tecnología a

descubrir grandes realidades. Por ello mi deseo es plasmar en las paginas de este primer

tomo, en su cuarta edición del solucionario del libro problemas y ejercicios de análisis

matemático por B. Demidovich, el planteo fácil a los diversos ejercicios que se

presentan, además se incluye una colección de gráficos los que ayudarán eficazmente a

la captación de los diferentes problemas.

Mi agradecimiento al lector por la preferencia que brindan a cada una de mis

publicaciones, las que emanan del deseo de que encuentren en ellos una ayuda para su

avance y desarrollo intelectual.

EDUARDO ESPINOZA RAMOS

INDICE

CAPITULO I

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS

1.1. Concepto de Función 11.2. Representación Gráfica de las Funciones Elementales 311.3. Limites 881.4. Infinitésimos e Infinitos 1431.5. Continuidad de las Funciones 155

CAPITULO II

DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES

2.1. Cálculo Directo de Derivadas 1732.2. Derivación por Medio de Tablas 1872.3. Derivadas de Funciones que no están dadas explícitamente 2592.4. Aplicaciones Geométricas Mecánicas de la Derivada 2762.5. Derivadas de Orden Superior 3062.6. Diferenciales de Primer Orden y de Orden Superior 3332.7. Teorema del Valor Medio 3492.8. Fórmula de Taylor 3542.9. Regla de L’Hospital - Benoulli para el Cálculo de Limites

indeterminados 361

CAPITULO III

EXTREMOS DE LAS FUNCIONES Y APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LAS DERIVADAS

3.1. Extremos de las Funciones de un Argumento 374

3.2. Dirección de la Concavidad - Puntos de Inflexión 423

3.3. Asíntotas 435

3.4. Construcción de las Gráficas de las Funciones por sus puntos

Característicos 445

Introducción al Análisis ]

CAPITULO I

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS

1.1. CONCEPTO DE FUNCION.-

Demostrar que si a y b son numero reales.

I ¡ a | - | b | | < | a - b | < | a | + | b |Desarrollo

Escribiremos: a = (a - b) + b, tomando valor absoluto

| a | = | ( a - b ) + b | < | a - b | + ¡b| , por la desigualdad triangular:

Luego: | a | < | a - b | + | b | => | a | - | b | < | a - b |

Además: | a - b | = | b - a | > | b | - | a | , es decir: | a - b | > | b | - | a |

Por tanto de (1) y (2) se tiene: | | a | - | b | | < | a - b |

por otro lado: | a - b | = | a + (-b) | < | a | + | -b | = | a | + | b |

de donde: | a - b | < | a | + | b |

Luego de (3) y (4) se tiene: | | a | - | b | | < | a - b | < | a | + | b |

Demostrar las siguientes igualdades:

a) | a.b | = | a 11 b | b) \a\2=a2

c) l ? l = T?T ’ b * ° d)b \ b \

.(1)

. (2)

■ (3)

(4)

2 Eduardo Espinoza Ramos

Desarrollo

a) 1er Caso: Sí a y b > 0 =* | a | = a,| b | = b por definición del valor absoluto

de donde | a 11 b | — ab

Como a >0, b > 0 => a.b > 0 => | ab | = a.b

Por definición del valor absoluto

Luego | a 11 b | = ab = | ab | => | a 11 b | = | ab |

2do. Caso: Si a > 0 a b < 0

Como: b < 0 => -b > 0 => | ab | = | -(ab) | = | a(-b) |

Como: -b > 0 => por la parte Ira se tiene:

| ab | = | a(-b) | = | a 11 -b | = | a 11 b | => | ab | = | a 11 b |

3er. Caso: Si a < 0 a b > 0 es en forma anàloga al 2do caso y se tiene

| ab | = | a 11 b |

4to. Caso: Si a < 0 a b < 0 -a > 0 a -b > 0

entonces (-a)(-b) = ab aplicando el 1ro y el 2do caso se tiene:

| ab | = | (-a)(-b) | = | -a 11 -b | = | a 11 b | por lo tanto ¡ ab | = | a 11 b |

b) \ a \ 2= a 2

S í a > 0 => | a | = a => \a\2=a2

Sí a < 0 | a | = -a => | a |2= (-a)2 = a2

Por tanto | a | 2= a :

Introducción al Análisis 3

'>

17 1 = 1 «-(7 ) 1=1 a II7 1 por la parte (a) b b b

además | - | = | é | ! por la parte (b) b

Luego: - I j l - j i i

Como | £ | . | a | | l m a | j L 3 j | | , por lo tamo | Í | = M

d) J a 2 = I a I

Sí a > O => yja2 = a

Sí a < O => - a > O => J (-a )2 = -a => a 2 = -a

Luego por lo tanto 4 a 2 = \ a \

Resolver las inecuaciones.

a) | x - 1 | < 3 b) | x + 1 | > 2

c) | 2x + 1 | < 1 d) | x - 1 | < | x + 1 |

Desarrollo

a) Sí | x — 1 | < 3 =* -3 < x - 1 < 3

de donde - 2 < x < 4 => x e <-2,4>


b) | x + 1 | > 2 => x + l > 2 v x + l < - 2

=» x > 1 ó x < -3

r i _____ H __________1__________ »-3 -1

La solución es x e <-°o,-3> U <l,+°o>

c) | 2 x + l | < l í = * - l < 2 x + l < l

<=> -2 < 2x < 0

<=> -1 < x < 0

La solución es x e <-l,0>

d) | x — 1 | < |x + 1 | => | x - l | 2< |x + l | 2

=> x2 - 2 x + l < x 2 +2x + l

=> 4 x > 0 => x > 0

Luego la solución es x e <0,+°°>

4 Hallar f(-l), f(0), f(l), f(2), f(3) y f(4) sí: f ( x ) = x 3 - 6x2 + 1 lx - 6

Desarrollo

Como f ( x ) - x 3 - 6 x 2 + l l x - 6

/( -1 ) = (-1)3 - 6 (-l)2 + 11(—1) - 6 = -24

/(0 ) = (O)3 - 6(0)2 +11(0) - 6 = -6

/(1 ) = (l)3 - 6(1)2 +11(1) - 6 = 0


/(2) = (2)3-6 (2 )2+ 11(2)-6 = 0

/(3 ) = (3)3 -6 (3 )2 + 11(3)-6 = 0

/(4 ) = (4)3 - 6(4)2 +11(4) - 6 = 6

5 Hallar f(0), / ( - l ) , f ( - x), / ( i ) , _ L Sí f ( x ) = y¡l^x24 x /(x )

Desarrollo

Como /(x ) = Vl + x2 entonces /(0 ) = yjl + 02 = 1

/ ( - - ) = J l + ( - - ) 2 = J l + — = . / ^ = -4 V 4 V 16 V16 4

/ ( - x ) = yjl + (-x)2 = VT+x2

/ ( - ) = J i+ ( - > 2x V x |x |

1 _1_

/(•*) yjl + x2

6 Sea f(x) = arc.cos(log x). Hallar / (~ ) > f(l) y f(10)

Desarrollo

Como f(x) = arc.cos (log x) entonces

/ ( —) = arccos(log—) = arccos(-loglO) = arccos(-l) = n


f ( 1) = arccos(logl) = arccos(O) =n

f(10) = arccos (log 10) = árceos (1) = 0

La función f(x) es lineal. Hallar dicha función sí: f(-l) = 2 y f(2) = -3.

Desarrollo

Como f(x) es lineal => f(x) = ax + b, donde a, b e R

f / ( - l ) = 2 Í2 = -a + bLuego

1/ ( 2) -3 = 2 a+b

5 , 1Resolviendo el sistema se tiene los valores de: a = - - , b = -

, , , 5 x 1/(*) = -------+ -J 3 3

Hallar la función entero y racional de segundo grado f(x) sí f(0) - 1, f( 1) - 0

y f(3) = 5.Desarrollo

Si f(x) es función entero y racional de segundo grado entonces f {x ) = ax1 + bx + c , donde a, b y c son constantes por determinarse.

Como

/( 0) = 1

/ ( 1) = 0 =>

/ ( 3) = 5

1 = c

0 =a+b+c

5 = 9a + 3b + c

¡a + b = - 1

9« + 3£ = 4

7 , 13Resolviendo el sistema se tiene a = —, b = ——

6 6

Luego como f {x ) = ax 2 + bx + c , se tiene f ( x ) _ ! 2 13,r + l


11

Se sabe que: f(4) = -2 y f(5) = 6. Hallar el valor aproximado de f(4.3), considerando la función f(x), en el segmento 4 < x < 5, es lineal, (interpolación lineal de funciones).

Desarrollo

f(x) es lineal => f(x) = ax + b

f / (4) = -2 \4a + b = -2Como < => -i resolviendo el sistema se tiene a = 8, b=-34

1/(5) = 6 [5a+ 6 = 6

Como f(x) = ax + b => f(x) = 8x - 34

Luego f(4.3) = 8(4.3; - 34 = 0.4

0 si x < 010 Escribir una sola fórmula que exprese la función: f { x ) =

empleando del signo del valor absoluto.he si jc>0

Desarrollo

ÍO si x < 0

nr si x > 0Como f i x ) = ■

Si x < 0 => para f(x) = 0 se tiene ■■■—■2

Si x > 0 => para f(x) = x se tiene2

Luego:

Determinar el campo de existencia de las siguientes funciones:

a) y = 4 x + 1


Desarrollo

El campo de existencia de una función también se conoce con el nombre

de dominio de la función.

Luego como y = \¡x + 1 para que esté bien determinado debe cumplirse

que x + l > 0 de donde x >-1 => x e [-l,+°°>

El campo de existencia de la función es -1 < x < °°

b) y = \Jx + 1Desarrollo

Como y - yjx + l => x + 1 puede ser positivo, negativo o cero, luego

el campo de existencia es: < x < +°°

12 y = —4 - x

Desarrollo

Los valores de x para que y =------y esté bien determinado es:4 - x

4 - x 2 * 0 => x *±2

Luego el campo de existencia de la función es: <-°°,-2> U <-2,2> U <2,+°°>

13 a) y = J x 2- 2Desarrollo

Para que y = \lx2 - 2 esté bien determinada debe cumplirse:

x 2 - 2 > 0 =* x 2 >2 => x>\Í2 v x<-y¡2

Luego el campo de existencia es: < —■*>,-\Í2]U[-j2,+°° >

Introducción al Análisis

14

b) y = x j x 2 - 2

Desarrollo ¡

Para que y = xyjx2 - 2 esté definida:i .

x 2 ~ 2 > 0 = > X > y ¡ 2 V x < - y ¡ 2 *

también para x = 0, y = x 'lx2 - 2 está definida

Luego el campo de existencia es: x = 0 , | x | > \ ¡ 2

y = \ h + x - x 2Desarrollo

Para que y — y j l + x - x 2 esté bien definida debe cumplirse

2 + x - x 2 >0 , e s decir: x 2 - x - 2 < 0 => ( x - 2 ) ( x + l ) < 0

15

-1 2

Luego el campo de existencia es: [-1,2]

' = yf-X- 1\ ¡ 2 + x

Desarrollo

Para que y = y f - x + . esté definida, debe cumplirse que:V 2 + x

-x > 0 a 2 + x > 0 , de donde: x < 0 a x > -2

-2 0

Luego el campo de existencia es [-2,0]


16 y = -y/x-x3Desarrollo

Para que esté bien definida debe cumplirse que:

x - x 3 >0 => x(x - l)(x + 1) <0 de donde:

-1 0 1

luego el campo de existencia es: <-°°,-l] U [0.1]

17 y = log(l± £)2 - x

Desarrollo

Para que y = log(—- * ) esté bien definida debe cumplirse que: > 02 ~ x 2 - x

de donde (2 + x)(2 - x) > 0, pero x * 2

=$ (x + 2)(x - 2) < 0, de donde se tiene:

-2 2

Luego el campo de existencia es <-2,2>

18 y = log( x — 3x + 2 x + 1

Para que y = log( x — 3x + 2 X+1

Desarrollo

) esté bien definida debe cumplirse que:


X 2 3x "4“ ^“ >0 de donde (x2 - 3x + 2)(x +1) > 0 para x * - l

x + 1

(x - 2)(x - l)(x + 1) > 0, entonces:

19

-1 1 2

Luego el campo de existencia es: <-1,1> U <2,+°°>

y = arccos(-^-)l + x

2x

Desarrollo

2xy - arccos(----- ) => eos yl + x l + x

2xpero se conoce que: -1 < eos y < 1, de donde -1 < ----- < 1l + x

. , 2x , ^ 2x 2x ^ I- 1 < ----- <1 <=> -1 < ------ a ----- <1l + x l + x l + x

2x 2x<=> 0 < ----- + 1 A -------- 1 < 0l + x l + x

3x + l x —1 '« 0 < ------- a ----- < 0l + x x + 1

o 0 < (3x + 1)(1 + x) a (x - l)(x + 1) < 0, x * - l


Luego (< -oo,—l > t/[—l,+°o > a < —1,1]

X20 y = arcsen( log — )

Desarrollo

X Xy = arcsen(log— ) => seny = log —

X Xcomo -1 < sen y < 1 => —1 < log — < 1 además — > O => x > O°10 10

Luego — < ~ < e => — <x<10e => x e [r—,10e] e 10 e e

21 y = yjsen 2xDesarrollo

Para que y = Jseñ lx esté bien determinado debe cumplirse que: 1 > sen 2x>0

Como O < sen %x<\ => arcsenO < 2x < arcsen 1

K=> O < 2x < — de donde se tiene:2 >

kit < x< kit + — , donde k = O, ±1, ±2. ±3,...2

22 , Sea f ( x ) = 2x4 - 3x3 ~ 5 x 2 + 6x -1 0 . Hallar:

<P(*) = ^ [ / W + /(-* )] y ¥(x) = [ f ( x ) ^ f ( - x ) ]

Desarrollo


Como/ ( x ) = 2 x a - 3x3 - 5x ' + 6 x -1 0

. Luego:f ( - x ) = 2x4 + 3x3 -5 x 2 -6.V-10

(p(x) = \ l f ( x ) + f ( ~ x )] = 2x4 - 5x2 -10

| / ( x ) = 2x4 ~3x3 - 5 x 2 + 6 x -1 0

[ f (-x ) = 2x4 + 3x3 - 5 x 2 - 6 x - 10

V(x)= ■ - [ /(* ) - /( -* ) ] = * (~6x2 + 12x) => y/(x) =-3 x 3 + 6x

23 La función f(x), determinada en el campo simétrico -1 < x < 1, se denomina par sí f(-x) = f(x) e impar sí f(-x) = -f(x). Determinar cuales de las siguientes funciones son pares y cuales impares:

a) f ( x ) = ^ ( a x + a x )

Desarrollo

Como /(x ) = — (ax +a x) => f ( - x ) = - ( a x +ax)2 2

Luego f(x) = f(-x) => f(x) = —(ax + a x) es par2

b) f ( x ) = yjl + x + x 2 - y j l - x + x2

Desarrollo

/(x ) = V1 + x + x 2 - V l - x + x2

f ( - x ) = V\ - x + x2 - \ll+ x+ x2 = -(V l-x + x2 - Vl + X + X 2 ) = - / (x)

como: f(-x) = -f(x) => f(x) es impar


c) f ( x ) = l](x + l)2 +l j( x - l )2

Desarrollo

Como f ( x ) = %¡(x +l)2 +%[(x-l)2 , entonces:

/ ( - * ) = ^/(-x +1)2 +t]( -x - l )2 = t ¡ ( x - 1)2 +í](x + l)2 = f (x )

Luego f(-x) = f(x) entones la función f(x) es par.

d) f ( x ) = log(” ~~)1- xDesarrollo

Como f (x ) - log(————) => f ( - x ) = log(—— ) - -log(----- ) - ~ f (x)l - x l + x l - x

Como f(-x) = -f(x) => la función es impar

24 Demostrar que cualquier función f(x), determinado en el intervalo -1 < x < 1, puede representarse como la suma de una función par y otra impar.

Desarrollo

A la función f(x) escribiremos así: f ( x ) = f (x) + — / (-x) - — f (-x)

f (X) = i / (*) + i f ( -x ) + i f ( x ) - i f ( - x )

/(* ) = i ( / ( x ) + f { - X )) + |(/(JC ) - f ( - x ) )

definiremos la función: J\(x) = ~( f ( x ) + f (-x)) que es par, es decir:


/)(-* ) = ( /(* ) + /(-.*)) = ^ (/(* ) + /( -* ) ) = /i (*) => /i(x ) es par

ahora definiremos la función f 2 (x) = ~ ( / ( x) - /( -x )) que es impar, es decir:

f 2(-x) = ^ ( f ( - x ) - f ( - ( ~ x ) ) = - ^ ( f ( x ) ~ f ( - x ) ) = - f 2(x) =* f 2(x) es

impar

por lo tanto /(x ) = / , (x) + / 2(x) es la suma de una función par y otra impar.

25 Demostrar que el producto de dos funciones pares o de dos impares es unafunción par, mientras que el producto de una función par por otra impar es una función impar.

Desarrollo

Sea f ( x ) — / j ( x ) . /2(x) donde / , (x) y / 2(x) son funciones pares por demostrar que / (x ) = / ,(x ) . /2(x) es par como / , (x) y / 2(x) son pares.

í f \(-*) = fi (x)

\ f 2(-x) = f 2(x)

f (~ x ) = ( /i . / 2 )(-*) = / , ( -x ) ./2 (-x) = / , (x )./2 (x) = / (x ) entonces

f ( x ) = f l (x) .f2(x) es par.

Si g(x) = g i(x).g2(x) donde g¡(x) y g2(x) son funciones impares por

demostrar que g(x) = gj(x).g2(x) es par

ígi(-x) = - g 1(x)Como g|(x) y g 2(x) son impares => <

[g2(-x) = - g 2(x)

g(-x) = (.gi.g2)(~x) = gi(-x).g2(~x) = [-gi(A:)][-£2(x)]

g(~x) = gi(x).g2(x) = g(x) => ^(jc) = g jW .g 2(jr) es par

26 La función f(x) se llama periódica, si existe un número positivo T (periodo de la función) tal que f(x + T) = f(x) para todos los valores de x pertenecientes al campo de existencia de la función f(x). Determinar cuales de las funciones que se enumeran a continuación son periódicas y hallar el periodo mínimo T de las mismas.

a) f(x) =10 sen 3x

Desarrollo

Como f(x) = 10 sen 3x => f(x + T) = 10 sen (3x + 3T)

2 nComo sen x = sen (x + 2ti) => 3T = 2n => T = —3

Luego f(x)=10sen3x es periódica y T = ~

b) f(x) = a scn(Xx) + b cos(Xx)

Desarrollo

Sea f(x) = a sen (A.x) + b eos (A,x) entonces:

F(x + T) = a sen (kx + A.T) + b eos (Xx + X.T)

Como sen x = sen(x + 2n) y eos x = cos(x + 2n) de donde

XT = 2n => T = —A

por lo tanto f(x)=a sen(A.x)+ b cos(A,x) es periódica, donde el periodo

16 Eduardo Espinoza Ramos Introducción al Análisis 17

c) f {x) = JtgxDesarrollo

f (x) = sjtgx => f ( x + T) = yJtg(x + T)

Como tg x = tg(x + 7t) => T = Tt

Para que f(x) = f(x + T), luego: f (x) = yjtgx es periódica con T = jc

d) f ( x ) = sen2xDesarrollo

Se conoce que sen (x + n) = sen x. eos n + eos x. sen Jt = - sen x

De donde sen2 (x + n) = sen2x de donde:

f(x) = f(x + 7t) entonces la función / (x) = sen2x es periódica con periodo T = Jt.

e) f (x) = sen(y[x)Desarrollo

Se conoce que \fx ¿ J x + y¡T para T * 0

Luego f (x) = sen(y[x) => f ( x + T) = sen(s¡x + T)

Por tanto f(x) # f(x + T) la función: f ( x ) = sen(-ix) no es periódica

27 Expresar la longitud del segmento y = MN y el área S de la figura AMN como función de x = AM construir las gráficas de estas funciones.


Desarrollo

En el A ADE, “x” varia desde A hasta E, es decir:

0 < x < c, por semejanza de triángulos tenemos:

A AMN ~ A ADE, de donde: - = - => y = — para 0 < x < c, ahorab e c

veremos para los “x” que varia desde E hasta B, c < x < a se tiene y = b,

luego: y =— x para 0 < x< c c

b para c < x< a

c xyahora veremos para el área S de la región sí 0 < x < c => 2

b *yPero y = — x , reemplazando se tiene: S = — sí 0 < x < cc 2

beSi c < x < a => S = b x —— , para c < x < a La gráfica es:

_


28 Las densidades lineales (es decir, la masa de una unidad de longitud) de una barra AB = 1, en sus porciones AC = / , , CD = Z? y DB = l3,

(/, +12 +13 - i) son respectivamente iguales a: q x , q2, q3, expresar la masa

m de una porción variable AM = x de esta misma barra, como función de x, construir la gráfica de esta función.

Desarrollo

A Â *------------- ---------------------------------*B___M

Consideremos primero: P = ~y => m = lp

Luego sí 0 < x < /, entonces m = x.q{

M

Sí ll < x < l l +l2 => m = l¡q¡ + q2( x - l ¡ )

ll C M A *------ ----- • ---------- • ------------ «B

q, qoH — — ---- X -------------- H

Sí /, + /2 < * < / , + / 2 + / 3 entonces: m = l{qx +l2q2 + (* - ( / , +l2))q3i

m = llql +l2q2 + { x - l x - l2)q,

A • ---- ------ •---- ¡-----• ---- la---- «---- • Bo a

N --------------------- X ---------------------N

Resumiendo se tiene: g


m =

si 0<x</ ,

si /| < X < /i + 12

/| i + I2<l2 + (x~h si ll +l2 < x < l l +l2+ h - l

Y"

'^ 2^ 3

l jq t* (x -Ji)q2

29

30

Hallar: (p(v(í(x)) y y(<p(x)), <p(x) = x2 , \¡/(x) = 2'■

Desarrollo

Como y/(x) = 2x y <p(x) = x2 entonces:

(p(y/(x)) = (y(x))2 = (2*)2 = 22jr y <//(<¡P(x)) = 2<P(X) ~ r

Hallar f(f(f(x))) sí f ( x ) =

Como f ( x) =

l - x

Desarrollo

1l - x /(/(*)) =

! -/ (* )

/ (/ (/ (* )))=1 -/ (/ (* )) ! 1 -■

1 -/0 0

1 - / U )

-/<*)


es decir: / ( / ( / ( * ) ) ) = 1 / (a) = — = Luego f(f(f(x))) = x- / ( ■ * ) __ i_ -1

l - x

31 Hallar f(x+l) sí / ( x - l ) = x2

DesarrolloV * '

-

Como / ( x — 1) = x2 => / ( x +1) = /[(x + 2) -1] = (x + 2)2

Es decir: / ( x + l) = x 2 +4x + 4 = (x + 2)2

32 Sea f(n) la suma de n miembros de una progresión aritmética. Demostrar que f(n + 3) - 3f(n + 2) + 3f(n + 1) - f(n) = 0.

Desarrollo

Como f(n) es la suma de n término:, de una progresión aritmética. Entonces:

/ ( n ) = (2 a + ( m - l)r )~ donde “a” es el primer término y “r” la razón

*

f ( n + 3 ) = [2 a + (n + 2 ) r ] —2

f ( n + 2 ) = [2 a + (n + l ) r ) —2

f ( n + l ) = [2 a + n r ] ^ ~

calculemos f(n + 3) - 3f(n + 2) + 3f(n + 1) - f(n)

(2 a + (n + 2 ) r ) - ~ - 3 ( 2 a + (n + l ) r ) ^ - ^ + 3 ( 2 a + n r ) - — ^ --(2 a + ( n - \ ) r ) —2 2 2 2


1 ■> ->= — [(2an + 6 a + n"r + 5nr + 6 r) - 3(2an + 4 a + n~r + 3 nr + 2 r) +2

+ 3(2am + 2a + n 2 r + nr) - (2an + n2r - r«)] = ~ [(0) + (0) + (0)] = 0

En consecuencia: f(n + 3) - 3f(n + 2) + 3f(n + 1) - f(n) = 0

33 Demostrar que, si f(x) = kx + b y los números x x, x 2 y x3 constituyen una

progresión aritmética, también formaran una progresión aritmética los números / ( * , ) , f ( x 2) y f ( x 3).

Desarrollo

jcj , x 2 y x3 constituyen una progresión aritmética => xx, x2 = x, + r ,

jc3 = x, + 2r donde r es la razón, probaremos que f ( x x) , / ( x 2) y / ( * 3)

constituye una progresión aritmética.

Como f(x) = kx + b entonces f ( x x) = kxx +b

f ( x 2) = /(* ] + r) = k(xx + r) + b = kxx +b + kr

/ ( x 3)= f ( x x + 2 r) = k(xx + 2 r) + b = kxx +b + 2 kr

Luego: kxx + b kxx+b + kr kxx+b + 2 kr f ( x 2) f ( x j)

constituye una progresión aritmética, donde kr es la razón.

34 Demostrar que, si f(x) es una función exponencial, es decir /(* ) = a x , (a < 0)

y los números x x, x2 y x3 constituyen una progresión aritmética, los números

f ( x x) , f ( x 2) y f ( x 3) fonna una progresión aritmética.

Desarrollo


Como a, , x2 y x3 constituye una progresión aritmética a, , x2 =x¡ + r x3 = -ti + 2r donde r es la razón

35

Como f ( x ) = a x entonces:

Luego: a* , aZr.ax'/(•*,) /(*,)

f ( x x) = a x'

f ( x 2 ) = f (x¡ + r ) = a x,+r = a r .ax'

f ( x 3 ) = f ( x x + 2 r) = a x'+2r = a 2r

Constituyen una progresión geométrica cuya razón es a r .

1 XSea f ( x ) = log(——). Demostrar que / (x) + / (y ) = f (-X + y)

1 x 1 + xy

Desarrollo

Como f ( x ) = l o g ( l ^ ) , /(y ) = log(l±Z)1 -x 1 -y

/(x ) + f ( y ) = lo g (l± í) + log(i±Z) = log (£ ± j)(l + y) l ~ x 1 -y ( l-x ) ( l -y ) .(1)

/ ( f t Z ) = i o g ( - ± t ^ ) =log(i l ^ ± í ± y1 + xy x + y 6 1 + a y - x - yx + y

1 + xy1 + A y -x -y

= io g ( í l± f l± í l± f^ ) = logí i l ^ a ± y )( l - x ) - ( l - x ) y (1 —x)(l —y) ■ (2)

comparando (1) y (2) se tiene: /(x ) + f ( y ) = f ( X + y )1 + xy


36 Sea f ( x ) - ^ ( a x + a x ) y \f(x) = -^ (a x - a *). Demostrar que:

f(x + y) = f(x).f(x) + vj/(x).v|/(y) y y(x + y) = f(x).y(y) + f(y).v|/(x)

Desarrollo

f ( x + y ) = - ( a x+y +a~x-y) = ~(ax.ay + a~x. a y) 2 2

ax+y a~x-y a-xay a-xay axa~y axa~y2 2 4 4 4

- ( a x.ay +a~x.ay +ax.a~y + a~x.a~y) + 4

+ - (a x.ay - a - x.ay - a x.a~y +a-xxTy) 4

= - ( a ' +a-x) - ( a y +a-y) + - ( a x - a-x) - ( a y -a~ y) 2 2 2 2

= f(x).f(y)+y(x).\|f(y)

farcsen x , para -1 < x < 037 Hallar f(-1), f(0) y f( 1) sí: f ( x ) =

[arctag .V , para 0 < x < +<*>

Desarrollo

/ ( —1) = arcsen(-l) = -arcsen(\) = — => /( -1 ) = - ^

/(O) = arcsen( 0) = 0

/ ( l ) = arctag(l) = ~ 4

f (0 ) = 0

/ (1) = 7 4


38 Determinar las raíces (ceros) y los campos de valores positivos y de valores negativos de la función y; si:

a) y = 1 + xDesarrollo

Para que y = 0 se tiene que 1+ x = 0 => x = -1, luego y = 0 cuando x=-l

El campo de valores positivos es cuando y > 0, es decir 1+x > 0 => x > -1

y el campo de valores negativos es cuando y <0 es decir 1+x < 0 => x < -1

Luego y<0 , cuando x < - l

b) y = 2 + x - x 2Desarrollo

Para que y = 0 se tiene que 2 + x - x 2 = 0 , de donde: x = -1, x = 2, luego: y = 0, cuando x = {-1,2} y para los valores positivos y > 0 se

tiene: 2 + x - x 2 >0 =* x 2 - x - 2 < 0 => (x - 2)(x + 1) < 0, de donde se tiene:

-1 2

Luego x e <-l,2>. Entonces: y > 0 cuando x e <-l,2> y para losvalores negativos y < 0 se tiene: 2 + x - x 2 <0 => x 2 - x - 2 > 0

(x - 2)(x + 1) > 0, de donde se tiene:

+ \ X +

-1 2


Luego x e <-°°,-l> U <2,+°°> entonces:

y < 0 cuando x e <-oo,-l>U<2,+°°>

c) y = 1 - x + x 2Desarrollo

7 1 ± y¡3 i , 3Para que y = 0 se tiene que 1 - * + * = 0 de donde * = — - — , luego ñ

xe R tal que y = 0. Como las raíces no son reales entonces:

l - ^ + x2 > 0 , V x e R => y > 0 para -°°< x < +°°

d) y = x 3 - 3 xDesarrollo

Para que y = 0, se tiene x3 - 3x = 0 , de donde: x = -y¡3 , x = 0, x = V3

Luego y = 0 cuando x = {-V3,0,\/3)

Para y > 0, se tiene x3 - 3 x > 0 =* x(x-V3)(x + \¡3) > 0

Luego x e < -y¡3,0 > U < y¡3, +°° >, entonces:

y > 0 cuando xe< -> /3 ,0 >U <y¡3,+°°>

para que y < 0, se tiene que x 3 - 3x < 0 => x ( x - V 3 ) ( x + \ / 3 ) < 0

x e< —°°,y¡3 > U < 0,y¡3 >


S o s

Luego x e < \¡3 >U < 0, \¡3 > entonces:

y < 0 , cuando ;ce<-oo;>/3 > í/< 0 ,> /3 >

e) y = log(———)1 + x

Desarrollo

2xPara que y— 0, debe ocurrir:----- = 1 de donde x = 1, luego: cuando x =1

1 + x

2 yPara que y > 0 ocurrirá cuando----- > 1

x + 1

x - \---- - > 0 => (x - l)(x + 1) >0x + l

2xx+ l

— 1 > 0 de donde:

luego x e <-oo,-i>u<l,+°o>

2xpara que y < 0 debe ocurrir que 0 < ----- < 11 + x

dedonde 0<2x(l + x)<( l + x)2 0<2x(l + x) a x 2 <1

. -1 0

luego x e <0,1 > entonces: y < 0 cuando x e <0,1 >

Eduardo Espinoza Ramos

Hallar la inversa de la función y, si:

a) y = 2x + 3 b) y = x2 - l

c) > = \A -* 3 d> y -

e) y = arctag(3x)

¿En qué campo estarán definidas estás funciones inversas?

Desarrollo

a) Como y = 2x + 3, esta función está definida en -<*> < x < +°°, despejamos

x es decir:

* = — (y —3), -»o < x < °° como x =—(y —3) => -°° < — (y — 3) < +°°2 2 2

- o o < y — 3 < + ° ° = > - o o < y < + 0 0

Entonces: x = —( y - 3 ) , -oo<y<+oo2

b) y = x 2 - 1 está definida en - o o < x < +°°

x2 = y + 1 => x = ±yfy + l para x = J y + l se tiene:

0 < -Jy + 1 <°° de donde -oo < x < +°°

para x = J y + l se tiene -°° < -yjy + l < 0 de donde: -1 < y < +~

luego x = y[y + l y x = y[y + l para - l < y< + ° o

c) y = s l l - x 3 , en forma análoga al caso anterior: x = l ] l - y i , - o o < y < +°°


X xd) y = Iog(—) está definida para x > 0 como y = log(—)

2 2

=> x = 2.10v como x > 0 => 2.10v >0 => 10v >0

- o o < y < + o o entonces: x = 2 .10 V para . - o o < y < + o o

e) y = arctg 3x, en forma análoga a los casos anteriores.

. - 1 n ny = arctg3x => x = - t a g y ; para ~~^< y <~

\x si x < 040 Hallar la inversa de: y = < ,

[.v si x > 0

Desarrollo

Sí x < 0 => y = x => x = y para -°°<y <0

Si x > 0 '=» y = x 2 => x = y[y para y > 0

Luego x = [ ) ’ S Í - oo < y < o

yfy si 0 < y < +oo

41 Escribir las funciones que se dan a continuación en forma de cadena de igualdades, de modo que cada una de los eslabones contenga una función elemental simple (potencial, exponencial, trigonométrica, etc.).

a) y = (2 x -5 )10Desarrollo

Como y = (2 x -5 )10 => y = u'c donde u = 2 x - 5

b) y = 2cosxDesarrollo


Como y = 2COSJC =¿> y = 2“ , donde u = eos x

xc) y = \og(tag-)

Desarrollo

JC xComo y = log(tag —) => y = log(u) donde u = tg(v) y v = ~2 2

d) y = arcsen(3~* )Desarrollo

Como y = arcsen(3~x ) => y = aresen u de donde u = 3' y v = -x~

42 Escribir en forma de una igualdad las siguientes funciones compuestas, dadas mediante una cadena de igualdades.

a) y - u 2 ; u = sen xDesarrollo

o 2Como u = sen x, y = w~ => y - s e n x'

b) y = arctg u, u=y¡v , v = log x

Desarrollo

Como u — y/v => y - arctg \fv donde v = log x

Entonces y = arctg( x j log a )

í 2 u s i u < 0 tc) y = 0

Desarrollo

Para u < 0 =* a2 - 1 < 0 => a 2 < l =* - l < x < l => | x | < l


para u > 0 = > a 2 > 1 = ^ | x | > 1

luego como u = x2 — 1 se tiene: y = i ^ X ^ St x ~ ^> [ 0 si | x | > l

43 Escribir en forma explícitas las funciones y, dadas por las ecuaciones:

a) a 2 - arccos y = n b) 1 0 Jt + 1 0 )' = 10

c) x + | y | = 2y

Hallar los campos de definición de las funciones implícitas dadas

Desarrollo

a) a 2 - arccos y = n => arccos y = x 2- n

y = c os(a2 - tc) = eos x 2 .c o s k + s e n x 2 .sen k

y = - c o s a 2 para 4 k < \ x \ < y [ l K

b) 1 0 * + 10* = 10 = > 1 0 y = 1 0 - 1 0 * = > y = l o g ( 1 0 - 1 0 * ) , - ° ° < x < l

1 2 . REPRESENTACIÓN GRÁFICA~DE LAS FUNCIONES ______ELEMENTALES.-_________________________________________

La construcción de las gráficas se hace mediante una tabulación y enseguida uniendo dichos puntos.

Si partimos de la gráfica y = f(x) con ayuda de construcciones geométricas elementales obtendremos las gráficas de las funciones:

1 y i = -/(•*) * que es la representación simétrica de la gráfica respecto aleje OX.


2 y 2 = f (—x ) , que es la representación simétrica de la gráfica respecto al eje OX.

3 y i = f ( x - a ) , que es la misma gráfica desplazada a lo largo del eje OX en la magnitud a.

4 y4 = f ( x) + b , que es la misma gráfica desplazada a lo largo del eje OY en la magnitud b.

Haremos una representación de todo esto.

Construir las gráficas de las funciones lineales (L. Recta)

44 y = kx sí k =0,1, 2, — ,-1 ,-22

Como y = kx

O1!M

=> II o

II¿4 XII

k = 2 => y = 2x

2=>

Xv = — 2

iII¿4 => XiII

k = -2 y = -2x

Desarrollo


45 y = x + b, sí b = 0, 1,2,-1,-2

Desarrollo

b = 0 XII>>

b = 1 => y = x + 1

b = 2 => y = x + 2

b = -1 y = x - 1

b = -2 => II X 1 NJ

46

47

y = 1.5x + 2

X y0 2

1 3.5

2 5

Desarrollo

Construir las gráficas de las siguientes funciones racionales enteras de 2do grado (parábola).

? 1y - a x , sí a = 1, 2,— ,-1,-2,0

2

Desarrollo

Para a = 1 y = *


X y0 0

± 1 i

± 2 4

48 y = x 2 +c sí c = 0,1,2,-1

49 y - (x - jc0 )2, sí x 0 = 0, 1, 2,-1

Desarrollo


50 y = y0 + ( * - l ) 2,si y0 =0, 1, 2,-1

Desarrollo

51 y =ax2 +bx + c sí: 1 a = l b =-2 c = 3

2 a = -2 b = 6 c = 0

Desarrollo

1 Para a = 1, b = -2, c = 3 se tiene y = x 2 - 2x + 3 de donde

y = ( x - l ) 2 +2

2 Para a = -2, b = 6, c = 0 se tiene y = - 2 x 2 + 6x

y = - 2(x2 - 3 x + ^ ) + ^ =* y = - 2 ( x - | ) 2+ ^


52 y = 2 + x - x 2. Hallar los puntos de intersección de ésta parábola con el eje OX.

Desarrollo

Para encontrar los puntos de intersección con el eje X debe ocurrir y = 0 es

decir 2 + x - x 2 =0 de donde x 2 = - x - 2 = 0 => (x - 2)(x + 1) = 0 luegolos puntos de intersección con el eje X es: x = -1, 2

CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES RACIONALES ENTERAS DE GRADO SUPERIOR AL SEGUNDO

53 y = x 3 (parábola cúbica)

Desarrollo

X y0 0

1 i

-1 -i

2 8

-1 -8


54 y = 2 + ( x - l ) 3

Desarrollo

X y0 i

1 2

-1 -6

55 y = x 3 - 3 x + 2Desarrollo

X y0 21 02 4-1 4-2 0-3 -153 20

56 y = x4

Desarrollo

X y

0 0

± 1 i

± 2 116

x +


57 y = 2x2 - x 4Desarrollo

y - 2 x 2 - x 4 => y = - ( a 4 - 2 * 2 + 1 ) + 1 => y = l - ( j c * - l ) 2

CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES HOMOGRÁFICAS SIGUIENTES (Hipérbolas)

xDesarrollo

X y-1 -i

1 i

Desarrollo

x y0 i1 22 3-1 1

2


60 y =x - 2x+2

Desarrollo

x - 2 4>’ = — - => )’ = 1 “x+ 2 x + 2

mx - x 0

Desarrollo

62 2x- 3 3x + 2

v — •2x - 3 3x + 2


CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES RACIONALES FRACCIONARIAS.

y - x + — x

Desarrollo

y = jc + —, su dominio es R — {0} y una asíntota vertical es en x = 0 no tiene x

asíntota horizontal.

X i -1 1

2

1

2

3 -3

y 2 -2 52

52

10

310

3

Y ' 1 1 t 1

2

V t \ / \ / x /i

-1iii... , --------

11 1 X1

/ ^ - \ ~ -2/ \/ \ / » 1

y =

y =

JC+lDesarrollo

2 1x - - => y = x - l +------, una asíntota vertical es en x = -1, no tiene

jc + 1 x + l

asíntota horizontal.

X i

~20 1 2 3

2-2 3

2y 1 0 1 1 9 -4 9

2 2 2 2 2

n Y 1 1 \1 \1 v! V

/////1-1l1i

0 X

1 -4/. \ |1 ‘l'i

Desarrollo


En x - 0, se tiene asíntota vertical, en y = 0, se tiene asíntota horizontal.

66

X ± i i + 2 + 3+ _2

y i 4 1 14 9

y=-

Desarrollo

En x 0 se tiene una asíntota vertical, en y = 0, se' tiene una así horizontal.

X+ 1

2

± 1 ± 2 ±3

y ± 8 ± 1± 1

8+—

27

10«7 y = —— (curva de Agnesi)* +1

Desarrollo

X 0 ± i ± 2

y 10 5 2

2xy = —=— (Serpentina de Newton)

x +1


Desarrollo

69

70

X 0 ± i ± 2 ±3

y 0 ± i± 1

5+ 2

5

1y = * + —2"X

Desarrollo

En x = 0 se tiene asíntota vertical

X i -1 2 -2 1+—• 2

y 2 0 9 7 92 2 2

9 1y = x +— (Tridente de Newton)x

Desarrollo

En x = 0 se tiene asíntota vertical

X i -1 2 -2 3 -3± 1 -

2

1

2

1

31

2

y 2 0 92

72

283

263

94

74

289

283


71

72

CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS FUNCIO IRRACIONALES SIGUIENTES:

y = yfxDesarrollo

y = yfx está determinado para x > 0

X 0 i 4 9 ’6

y . 0 i 2 3 4

y = </xDesarrollo

X 0 ± i ±8 ±27

y 0 ± i ± 2 ±3

(parábola de Neil)

Desarrollo

X 0 ± i ±8

y 0 i 2

7 4 / = ± W j r (parábola semi-cúbica)

Desarrollo


75

X 0 1 3 / 4 7 9

y 0 ± 1 ± 2 ± 3

y = ± ^y ] 2 5 -x 2 (elipse)

Desarrollo

76 y = ±4x2 -1 (hipérbola)Desarrollo

' = ±4x2 - \ x2- y 2 =\

X ± i ± 2 ± 3

y 0

+i

too+1

7 Ï7 7Desarrollo


78

79

3 ’ = ± A4 - j c

(Cisoide de Diócles)

Desarrollo

X 0 1 2 3

y 0 ±2 i+• i

■ ±x\¡25 - x (para el estudiante)

80

CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIO TRIGONOMÉTRICAS

y = sen xDesarrollo

81 y = eos xDesarrollo

Y


82 y = tg x

X 0

2

± K

£1

«+

i

y 0 o o 0 o o

X 0+ 1

2

± 71

2

y o o 0 OO 0

y = ctg xDesarrollo

83

84 y = see x

X 0

2± n ± 2n

y i OO - 1 1


85 y = esc xDesarrollo

86 y = A sen x, sí A = l, 10, - , - 22

Desarrollo

Si A = 1 =* y = sen x, su gráfico es:

X 0+ £

2

± n

£1

™-H ± 2 n

y 0 ± 1 0 ± 1 0

Si A = 10 => y = 10 sen x, su grafica es:


x 0 ± n2

± 3£2

y 0 0 ± 1 ± 1

87 y = sen (nx), sí n = 1, 2, 3, —

Desarrollo

Si n = 1 => y = sen x es similar al ejercicio 86,

Si n = 2 =* y = sen 2x su grafica es:

X 0

4+ -

2

+i

± 7 1

y 0 ± 1 0 ± 1 0


En forma similar para n = 3, —2

88 y = sen(x-<p) sí <¡¡> = - 0,—,— ,?r2 2 4

Desarrollo

y - sen (x - <p) _ sen x. eos <p - eos x. eos cp =* y = sen x. eos <p - eos x. c

para <p = 0 se tiene y = sen x el gráfico es el mismo que el ejercicio 86.

Para cp = —, y = - eos x. Su

X 0

2

± n

y - i 0 ± 1

En forma similar para w = — , n ----2 ’ 4

89 y = 5 sen (2x - 3)Desarrollo

„ 3x ~ x 2 ^ y —5 sen 2x' donde el origen del nuevo sistema es (

Y el gráfico se hace en forma similar al ejercicio 87.

N> | U

>


90 y = a sen x + b eos x, sí a = 6, b = -8

Desarrollo

Para a = 6, b = -8, se tiene y = 6 sen x - 8 eos c. Su gráfico es:

X 0+ —

2

± n +!

± 2 n

y -8 ± 6 8 -6 -8

91 y = sen x + eos xDesarrollo

X 04

K 3 K n 5/r i 3;r In 271 9zr n2 4 2 2 4 4 4

y i 4~2 1 0 -1 -J2 -1 0 1 4~2 0


Desarrollo

X 0± *

2

± 71

y i 0 1

y = x + sen x

Desarrollo

X 02

± 7 t

23 n ~2

± 2n

y 0+ £

20 3 K

~2371Y

0

95 y = t g 2x

Desarrollo


X 0

1+ 13

± —2

+ —4

± n

y 0 1 + 1 0

96 y = 1 - 2 cos x

Desarrollo

X y0 -i

l+

i

± 7 t 3

1+ | ^ -0.41

97 y = se n x --se n 3 x

Desarrollo

X i


X 0 , n ± n 3 iz+ — + —2 2

y 0 ± 1.33 0 + 1.33

DesarrolloX 0 , K 3x

+ — + —2 2

y 3 1 -0.7172 2


99 y = cos(—) x

Desarrollo

X i

31

31 -1 1

41

4y -1 1 -1 -1 1

41

4

100Desarrollo

y - ±yjsen x , sen x > 0 => x e [0,7t] U [2ny3n].... [-2n,-n]


CONSTRUIR LAS GRAFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIC EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

101 y - a x sí a = 2, e2

Desarrollo

Sí a = 2 => y = 2X

X V0 11 2-1 1

32 4-2 1

4

Desarrollo

X V0 1

1 1

2-1 22 1

4-2 4

102 y = logílx sí o = 10, 2 , —, e2

Desarrollo

Sí a =10 => y = log10 * => x = ÍO3'


X y1 0

1 0 i

1

1 0

- i

103 y = sen hx, donde senhx = ~ (ex - e x)

Desarrollo

X y0 0

1 e - e l2

- 1 e~x - e2 .

104 y = eos hx; donde coshjc = - ( e Jf +e x)

Desarrollo

X y0 i

1 e —2

-1 e + e~l 2


105 y = tg hx, donde tghx =cosh x

Desarrollo

cuando x -»+<*>, y 1

x —> , y -» -1

i106 y = 10*

Desarrollo

X y1 10-1 1

101 1002

1 1 12 100 I

- x2y - e (curva de probabilidades)

Desarrollo

X y0 i± 1 i

e±2 1

4e


108 y = 2 x2Desarrollo

L i 1y = 2 x2 = —— => y = —— > cuando x —» 0 , y —» 0

2? 2/

X 0 ± 1 ±2 ± 3 ± 4

y 0 12 \í2 fe

1

'$2

1 0 9 y = logx2Desarrollo

x 2 > 0 => x e U <0,+°°>

* ± 1 ±2 ±3 ± 4 a2

+ I3

+i4

y 0 Log 4 Log 9 Log 16 - log 9 - log 16


110 y = log2 x

Desarrollo

y — (log x)2 está definida para x > 0

X 1 2 3 1 1 .2 3

y 0 (log 2)2 (log 3)2 dog2)2 (log 3)2

111 y = log (log x)Desarrollo

y = log (log x) está definido para log x > 0 => x > 1

v = --------logx

Desarrolloi

V = ------ esta definida para x > 0, x * 1logx


X 0.2 0.5 1 2 3 4y -0.625 -3.325 - o o 3.32 2.09 1.66

113 y = log(—) x

Desarrollo

y = log(—) está definido sí —>0 => x > 0 x x

x i 2 3 4 5 0.5 0.4y 0 -0.3 -0.47 -0.60 -0.69 0.3 0.9

114 y = log(-x)Desarrollo

y = log (-x) está definido sí -x > 0 => x < 0


x i2

0 -1 -2 -3

y -0.3 -oo 0 0.3 0.48

115 y = log2(l + x)Desarrollo

log2(l + x) = log2 10.1og10(l + x)

x -î 0 1 2 3 4 5y - o o 0 0.9 1.5 1.9 2.3 2.5

116 y = log (cos x)

Desarrollo

* X


y = log (eos x) está definido sí eos x > 0. entonces

2n + l .. 2n + l xe<27tn, -----------------ti >U < --------------------jz,2nn>

u n . . 3n 571x e < — , — > U < — ,— > U...

2 2 2 2

11) y = 2 x sen xDesarrollo

X 0 71 n + 3tt 2n K -n 3n -2n

2 2 2 2

y 0 0.33 0 -0.038 0 -2.97 0 0.038 0

Y


1 1 8

1 1 9

CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIC TRIGONOMETRICAS INVERSAS

y = aresen x

Desarrollo

El dominio de y = aresen x es [-1,1]

Z TíEl rango de y = aresen x es [ - —,—]2 2

X -i

2

0^ 2

. 2

1

y n 71 0 7t n

2 4 4 2

y = árceos x

Desarrollo

El dominio de y = árceos x es [-1,1]

El rango de y = árceos x es [o,7t]

X y-1 K0 71

21 0

En forma análoga para las demás funciones el cual damos su gráfico.

120 y = arctgx

Desarrollo


121 y = arctg x

X y0 71

2

oo 0

o o n1 71

4

122 y=-arcsen —x

Desarrollo


1 1y — arasen — => sen y = — x x

-1 < sen y < 1 =» => x € <-°°,l] U [l,+°°>

123 y = arccos — x

Desarrollo

y -arccos— => c o s v = — como -1 < cos y < 1* Jt

- l x e < - o o , - i ] u [ l , + o o >

124 y = x + arctg x

X 0 X + o o X — » - O O

y 0 y —> +oo X - » + 00


125

126

CONSTRUIR LA GRÁFICA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES

y = |x |Desarrollo

Se conoce que: |„v|=

Sí x > 0

x <0

y = x

y = -x

X y0 0

± 1 1± 2 2

± 3 3

.TC > 0x < 0

Y

/ y = |x|X.1 \1 \1 X 1 • \1 » \

// I / I--- ~A I

/ 1 1 / 1 / i i -

-2 -1 0 1 2 X

y = ^ (x+\x \ )

Desarrollo

Si x > 0 => | x | = x, Luego y = ^( x+ \x \ ) = ^ { x +x) - x

Si x < 0 => | x | = -x, Luego y =-^-(.x+|*|) = — (x -x ) = 0

y = x

y = 0


127 a) y = x | x |Desarrollo

Si x > 0 => | x ¡ = x, pero

y - x \ x \ - x ( x ) = x 2 =$ y = x 2 p a r a x > 0

y = x \x\-~x(-x) = - x 2 => y = - x 2 p a r a x < 0

b) 3' = logv5|x|

Desarrollo

yy — los ^ 2 1* I <=> * = (V2)v =» \ x \= 22

ypara x > 0 = > | x | = x => jc = 22

2x <0 => | x | = -x => - x = 2 2

X y± 1 0± 2 2± 3 ln3

ln2

+ i2

-2

± 14

-4

128 a) y = sen x + | sen x |

Desarrollo

Se conoce que y = sen x tiene por gráfico:


Si x e [0,7t] => | sen x | = sen x

Como y = sen x + | sen x | = 2 sen x para x e [O.rcj

Sí x e [Ji,27t] => | sen x | = - sen x => y = 0

Generalizando para n € Z consideramos el intervalo [n7t,(n +l)rc]

Si n es par | sen x | = sen x

Si n es impar | sen x | = - sen x

Í2senx para n par cuando x e [nnAn + \)n\Luego y — \

[ 0 para n impar cuando xe< nn,(n + \)K\

b) y = sen x - 1 sen x | en forma similar el ejemplo (a).


129 y =3 - x 2 para ¡x|<l 2

-—: para | x | > l

Desarrollo

Si | x | < 1 => -1 < x < 1

| x | > 1 => x > l v x < -1

además x > l => |x | = x a x < - 1 |x | = -x

Luego y —

3 - x 2 para - 1 < x < 12— para x > 1 x

— para x < -1 x

130 a) y = [x], b) y = x - [ x ]

donde [x] es la parte entera del número x, es decir, el mayor numero er menor o igual a x.

Desarrollo

a) y = [x] = [n]=> n < x < n + l , n e Z


Sí 0 < x < 1 => y = 0

l < x < 2 = > y = l y

2 < x < 3 => y = 2

-1 < x < 0 => y = -1 -----------—------------O.

-2 < x < -1 => y = -2

-3 < x < -2 => y = -3

b) y = x - [x], [x] = n => n < x < n + 1, neZ

Sí 0 < x < 1 y = x

1 < x < 2 => y = x - 1

X

-3 < x < -4 => y = x + 3

-4 < x < -5 => y = x + 4

CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES EN EL SISTEMA DE COORDENADAS POLARES (r, (p) (r > 0)

■iff*131 r = 1 (circunferencia)

Desarrollo

Se conoce que x = r eos 9 , y = r sen 0


r - yfx2 + y 2 , 0 = arctg —X

como r = 1 y r = j x2 +y 2 t luego. J x2 + y 2 = l ^ ^(circunferencia)

<pr ~ — (espiral de Arquímedes)

DesarrolloY

r - e 9 (espiral logarítmica)Desarrollo


tp r0o 1

K re

6 e 6

7 1 6

~ ~ 6e K

7 1 n

~4 e 4

7 t 4

~ 4 C*

7 1 JC

~2 e 2

7 1 6

~~2 e”

134 r = — (espiral hiperbólica)4

Desarrollo

«P 0o ± —6

i+ 2± 71

r ± 6 ±4 ± 2 ± 1

135 r = 2 eos cp (circunferencia)

Desarrollo

Se sabe que: x 2 + y 2 = r 2 , x = r eos cp, coscp = -

Como r = 2cos r = — , de donde r2 = 2x => x l + y ¿ - 2 x

X +


Luego * 2 - 2 x + y 2 =0 => (x2 - 2 x + l) + y 2 =1

(x - 1)' + y2 = 1 circunferencia de C( 1,0) y radio 1

136 r = —-—sen(p

Desarrollo

Se conoce que y = r sen cp => sencp = — Yr

Como r = ------ => r = — => r = —1

sencp y yr

Como r * 0 y = 1 0 X

137 r = sec2 ^ (parábola)

Desarrollo

sec‘ ^ = —------ pero x = reos— de donde eos— = —2 2 <¡P 2 I reos — z '

2

2 9 1 1 r2como r = sec ^ => r = -------- = _ _ de donde r = — => a 2 = r2 2 x 2 + y ~ - r~

luego: -x4 - x 2 = y2 . Sea: x,2 = x4 => x , = x 2 además y2 = y,

Entonces: x,2 - x, = v¡

2 1 1Completando cuadrados se tiene: xt - xx + —- yx +—

( x , ) 2 = (y, + —) parábola de vértice V(— y se abre hacia arriba

138 r = 10 sen 3q> (rosa de tres pétalos)

Desarrollo

<p 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165°

r 0 7.05 10 7.05 0 -7 -10 -2.60 0 7.05 10 7.05

 0) (Cardioide)

Desarrollo

<P 0° 15° U) o o 45° 60° 75°

R 2a 1.97a 1.87a 1.71a 1.5a 1.26a

9

OOOS 105° 120° 135° 150° 165°r a 0.74a 0.5a 0.29a 0.1a 0.03a

 0) (Lemniscata)

Desarrollo

<p 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90°

oynO 120° 135°

oO

165°

r a a$¡375

a

■ l i

0 a a a a a a a £


CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIO DADAS EN FORMA PARAMÉTRICA

141 x = í 3, y - i 2 (parábola Neil)

Desarrollo

t x y0 0 01 1 i-1 -1 i2 8 4-2 -8 4

142 x = 10cost , y = sen t (elipse)

Desarrollo

x2x = 10c os t => cos2/ = ----100

y = sent => sen2t = y 2

x 2 x2eos2t + sen2t =---- + y 2 de d o n d e ------ l-;y2 =l (elipse)

Y

-1


143

144

x = lOcos3/ , y - \ 0 s e n 3t (astroide)

Desarrollo

j x = lOcos /

|y = 10 sen3t

3 x COS t -----10

3 ysen t = — 10

2 2. x ^ . y .

eos2 1 = (—)3 10

sen2t - (—)3 10

sen í + eos í = (—)3 +(—)3 de donde 10 10

2 2 2 2 2 1 = (_L)3+ ( _L)3 => x 3 + y 3 = 1 0 3

10 10

x = a(cos t + t sen t), y = a(sen t - 1 eos t) (desarrollo del circulo)

Desarrollo

x = a(cost + tsent) y = a(sent-tcost)

—T- = cos2 t + 2t cos t sent +12 sen21 a2

2= sen2t - 21 cos f sent + 12 eos2 í

a"

í x - a(eos t + tsent) envolvente (desarrollo de la circunferencia <

[y = absent — tcost)


145 x = - at{ + ?

Desarrollo

y = -

atr ¡ 7at2

1 + f3

1 + r at x a at yLuego: — = — => — = /

1 +1 at x y xt

Como: x = at 1 + í3

« (Z )X — '

ax3 y3 3 => x 3 + y 3 - a x y ■

1 + jc(jc + y )

146 x =4 ^

Desarrollo


atx =

Ví y =+ t Vi+ r

t 0 ± 1 ±2 ±3

X a a a aV5 V5 Vio

y 0 a 3a¿ V2 _ Vio

147 x = 2‘ +2~‘ , y - 2 ' - 2 1 (rama de una hipérbola)

Desarrollo

t 0 1 -1 2 -2

X 2 5 5 17 172 ? 4 4

y 0 3 3 15 152 2 4 4

148 jc = 2eos2 i ; y - 2 sen2t (segmento de recia)

Desarrollo

|x = 2cos t

[y = 2 sen't

X ?— = COS t 2y 2— = sen t

x y i 2— + — = sen t + eos t2 2

- + ¿ = 12 2

x + y = 2


149 x = t - t ¿, y — tDesarrollo

t 0 i -i 2 -2 3 -3X 0 0 -2 -2 -6 -6 -12

y 0 0 2 -4 12 -18 27

150

CONSTRUIR LA GRÁFICA DE LAS FUNCIONES DADAS EN FO IMPLÍCITA

151 x2 + y 2 =25 (circunferencia)

Desarrollo

* = a(2cos?-cos2 2t ) , y = a(2 sen t - sen 2t)

Desarrollo

82Eduardo Espinoza Ramos

152 xy = 12 (hipérbola)Desarrollo

X y± 1 ± 12

± 2 ± 6

±3 ±4±4 + 3± 6 ± 2

0 o o

153 y 2 =2x (parábola)

Desarrollo

X y0 0

i ± i22 ± 29 ±328 ± 4

x2 v2154 + — = 1 (elipse)100 64

Desarrollo


y = 0, x = + 10

Y8

OO+1II>>OIIX

-io( 0

-8

(100 - X 2)Desarrollo

Sea w = y 2, z - x 2

y 2 — lOO.v2 — a'4 => w = \0 0 z - z2 => w = - (z 2 - lOOz)

completando cuadrado se tiene: w - 2500 = ~(z + 25)2

2 2 2

156 jc3 + v 3 = a 3 (astroide)

Desarrollo

x = 0 , y = ± a

y = 0 , x = ± a

10 x

V(-25,250(


157 x + y = 10 log yDesarrollo

Para y > 0, log y está definida:

x = 10 log y - y, aquí damos valores arbitrarios para y donde y > 0.

X -i-1 0 1 o g 2 -l

10 log 2 - 2

y i 12

2

158 x — eos yDesarrollo

x 2 = eos y => y = árceosx 2

¡—----------- — arctg—159 \¡x + y = e x (espiral logarítmico)

Desarrollo

x = rcosO y = rsend

(~)2 = eos2 9

(^ )2 = sen2 6

x 2 + y 2 = r2


tgO = — => 9 = arctg —x x

—__ yf~~Z T a rc tg—Como yjx~+y =e x

r = e0 en coordenadas polares

160 x 3 + v3 - 3x>' = 0 (folio de Descartes)

Desarrollo

Pasando a coordenadas polares se tiene:

r 3 eos3 9 + r3sen39 - I r 2sen9 cos0 = 0

r 3 eos3 9 + r3sen39 = 3r2sen9 eos 9

3 sen9 eos 9r =---- r---------7 -

cos 9 + sen 9

161 Hallar la formula de transición de al escala de celsio (C) a la de Fahrenheii si se conoce que 0°C corresponde a 32°F y 100°C a 212°F- Construir la gr de la función obtenida.

Desarrollo

Para 0°C => 32°F

100°C => 212°F => (0,32), (100,212)

Sea F = me + k => 32 '= m(0) + k =í> k = 32

+

x = r eos 0 , y = r sen 0

212 = 100m + 32 => 100m = 212 - 32 => 100m = 180 => m = 1.8


f= 1.8c+ 32

En un triángulo, cuya base es b = 10 y su altura h = 6, esta inscrito un rectángulo. Expresar la superficie de dicho rectángulo y como función de x. Construir la gráfica de esta función y hallar su valor máximo.

Desarrollo

La figura dada en el problema ubicaremos de la forma siguiente:

Area del rectángulo Y es: Y = Bx — (1)

También en el área del rectángulo “y” se puede expresar:


b h 1— - ( x h - 2 B x + Bb) como b=10, h = 6 se tiene:

y = 3 0 -~ (6 x -2 f ix + 10fl) m {

de (1) se tiene B = — , reemplazando (2) se tiene:X

y = 3 0 - i ( 6 . í - 2 y + —~ ) , de donde y = 0.6(10 - x)2 x

como y = 0.6x(10-x) y = -0.6x2 +6x => y -13 = -0.6(jc-5):

La gráfica de la función es:

El valor máximo es cuando x = 5, max y = 13

164 Resolver la ecuación: 2x2 - 5x + 2 = 0

Desarrollo

2x2 - 5 x + 2 = 0 = * x2 - - x + l = 0 =* x2 - - j t = - l2 2

completando cuadrados se tiene:


165 Resolver el sistema de ecuación: xy = 10, x + y - 7

Desarrollo

Como x + y = 7 => y = 7 - x, además: xy = 10 => x(7-x) = 10

I x - x 1 -1 0 = 0 => x 2 - 7 x + 10 = 0 => (x - 2)(x- 5) = 0,

de donde se tiene: x¡ = 2, x2 -5

1.3. LIM ITES-

I o LIMITES DE UNA SUCESIÓN.-

E1 número “a” recibe el nombre de limite de la sucesión xx,x 2,...,xn,..., es

decir: lim xn - a <=> V e > 0 , 3 N > 0 / | j r „ —a | < e V n > Nrt—>°°

2o LIMITE DE UNA FUNCIÓN.-

lim / ( jc) - A <=> V e > 0 , 3 ó > 0 tal que: |f(x) - A| < e para 0 < |x - a| < 8x - > a

3° LIMITES LATERALES.-

Si x < a y x —» a, escribiremos convencionalmente x —> a - 0, de la misma

manera si x > a y x —» a, escribiremos x =* a + 0 y a los números

/ ( a - 0) = lim f ( x ) y / ( a + 0) = lim /(* ) se llaman limites laterales porx —> o —0 x —> a + 0

la izquierda y por la derecha en el punto “a” respectivamente. Para que exista

lim / ( x ) es necesario y suficiente que se cumple la igualdad f(a- 0) = f(a+ 0)JT-XJ


PROPIEDADES DE LIMITES

Si existen los l im/ , (a) y lim f 2 (a) . Entonces se tiene:

1 lim (/|(a) ± f 2(a)) = lim / , (a) ± lim f 2(x)x - * a x — * a

2 lim / , (x ) . f 2 (x ) = lim / , (a ), lim f 2 O )* -* o x —>a x-> a

f (x) l«n/,(jc)3 lim — — = Tr^^T-— donde lim f - , ( x ) * 0

x^> a f 2 ( X) lim f 2( x ) x-> a ~x —* a

NOTA: Los limites siguientes se usa continuamente.

senx 1 —hm ----- = 1 y lim(l + — y = lim (l+ a)a =e* - » 0 X x X a - iO

166 Demostrar que, si n —> el limite de la sucesión 1 — — —4 9 ’ n2

cero. ¿Para qué valores de n se cumple la desigualdad —— < en2

número positivo arbitrario)?. Efectuar el cálculo numérico para:

a) e = 0.1 b) e = 0.01 c) e =

Desarrollo

Probaremos que lim ^ - = 2, es decir: n _> “ n

dado un e>0, 3 N = ? / |- ^ - - 0 |< e V n > Nn

2 1 ITn > — , n > J — = , e Ve

\-L-0\=\±\L¿t < e =* n2 > —, „>./■! = N n n n

,... es i¡

(siende

= 0.001


lim-^- = 0 o V e > 0, 3 N - J — n " c

1 ° l< £ V n > \ l jn2

por lo tanto la desigualdad — < e se cumple V n > Jf]- V e

a) Para e = 0.1 se tiene n > ^ = y/ÏÔ => n > 4

b) Para £ = 0.01 se tiene n > = 10

c) Para e = 0.001 se tiene n > = Vi000 n>32

167 Demostrar que el limite de la sucesión: •*„= — — , (n=l,2 ,...), cuandon+1

n es igual a 1. ¿Para qué valores de m > N se cumple la desigualdad

| x n - 1 1< e (siendo e un número positivo)?.

Hallar N para a) £ = 0.1 b) e = 0.01 c) £ = 0.001

Desarrollo

lim x n = lim = 1 es por demostrar.n—>oo n-»°° H +1

Dado e>0 , 3 N = ? / \ x„ - l | < e , V n > N

\x _ i 1=1-5_1 |= |— -— 1= —-— <£ => n +1 > - => n > - - l = N1 " 1 n + 1 ' ' n+1 H+l ^ e


Luego: I im -^ - = l «=> V e > 0 . a AT = io n + l £

i n 1| ---- - - 1 | < e , V n > — 1n + 1 £

a) Para e = 0.1, N = — -1 = 9e

b) Para £ = 0.01, N = - - 1 = 99£

c) Para e = 0.001, N = - - 1 = 999£

168 Demostrar que lim x 2 = 4 . ¿Cómo elegir para el número positivo dado i

número positivo 8 de modo que de la desigualdad |x - 2| < 5 se deduzc

desigualdad ¡ x i - 4 1< e . Calcular 5, para:

a> e = 0.1 b) e = 0.01 C) £ = 0.001

Desarrollo

lim x 2 =4 o V e > 0 , 3 8 > 0 / \x2 - 4 | < ex - > 2 '

Siempre que 0 < |x - 2| < 8

\ x2 - 4 \ < \ ( x + 2 ) ( x - 2 ) H x + 2 \ \ x - 2 \ < e

Sea |x 2| < 1 => -1 < x-2 < 3 => 1 < x < 3 => 3 < x+2 < 5 => |x + 2| <

Luego:|*2 - 4 |= |* + 2 | | j c - 2 | <5 | j c - 2 | <£ => \ x - 2 \ < - = S


169

170

Luego es suficiente tomar 8 = — (e < 1)

£ 1a) Para e = 0.1 se tiene 8 = — = - = 0.25 5

e 0 001c) Para e = 0.001 se tiene 8 = — = — — = 0.002

Dilucidar el sentido exacto de las notaciones convencionales:

c) lim f ( x ) = °°a) lim Inxjc->0*

b) lim 2' = +°°X—

Desarrollo

lim logx = -oox-*0

Hallar los limites de las sucesiones:

\ * 1 / i\«“i 1*> 2*3*~4 1 "

b)

d)

2 4 6 2/11 3 5 2n + l

0.2, 023, 0.233, 0.2333,

Desarrollo


( - 1 ) " 1a) Sea xn = — — , entonceá: Si n es par lim x„ = lim - - = 0

n n —>oo /?—>oo f i

Si n es impar lim xn = lim - = 0o Yl—>oo f i

Luego lim xn = lim í-l)""1. ! = 0n —>o° / í —>oo 2

b) Sea xn = ~ -, entonces: lim —— = lim —2 - = 2¿n +1 2 n +1 /!->» 1 2 + 0

n2

c) a, = V2 = 22

I ----------- - - 1 + ¿a2 = yj2\¡2 = 22.24 = 22+4

/—7----- i i i 1+1 1a3 =y¡2yj2yÍ2 = 2 2.24.28 = 2 2+4+8

I i 1 1- + - T + — + ...+ ----a. = 2 2 2 2 2’ 2”

Luego fl„ = 2 2<1+2+2! + "+2' ,) ' (1

entonces 1 + i + ~ +... + _ L es una progresión geométrica r = I , y

es igual a : -----4— = 2(1-— ) „ 1 2* ‘ ■ ~ 2

Reemplazando (2) en (1) tenemos: an = 22'2ÍI~5r> = 2' ^


Como para hallar la suma de una sucesión es suficiente calcular el limite del término n-esimo cuando n —> <*> es decir:

(l-rr)lim an = lim 2 2" = 2 =2rt— n —

d) 0.2, 0.23, 0.233, 0.2333, 0.2333...3, ... el término n-esimo es xn =0.23333.-3

x„ = 0.2 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + ...0.000...3

„ „ , 3 3 3 3X _ 0.2+ (----- 1-------- i----------b..H-------- r)100 1000 10000 100"“'

X = 0.2 H------- (1 H------- 1----~r- + ...H-------- r)100 10 lo2 10"“'

1 ! - ( — )" ? 10(1— V ) . .xn =0.2 + — (-------14 — ) = 0.2 + ------ .------ =0.2 + — (1----------------- - )

100 , 1 100 9 30 10"1-10

lim x„ = lim [0.2 + — (1 — —)] = 0.2 + — = — = — 30 10n 30 30 30

HALLAR LOS LIMITES:

i-.« 1 / 1 2 3 /i-1171 lim (— H— H — —+ ...H--— )n~ n n n

Desarrollo

Se conoce: l + 2 + 3 + ... + n - l = —(n-1)2


l im ( -L + 4 -+ 4 + - - + V ) = l i i n - ^ - 3 + --- + (/I~ 1) ir n¿ n2 n2

»-*- n 2n 2 2 2

172 lim ^ + 1X« + 2)(« + 3)n3

Desarrollo

S — <" +32X,, + 3>- l t a ( Í t l X^ X ^ )n «->« n n n

- lim (1+I)( l + - ) ( i + - ) = (i+0)(1 + 0)(1 + 0) = n n n

173 lim(-1_+3 + 5 + 7 + - + (2w~l) _ 2/1 + 1n + 1 2

Desarrollo

Se conoce que 1 + 3 + 5 +... + (2n -1 ) = n 2

,;m, l +3 + 5 + 7 + ... + (2/»-l) 2n + l ¿ 2n + l« + 1 2 »-*- « + 1 2

i ■ 2 w ~ — 3 n — 1 3ti + 1 _ l . n= lim --------------------- lim —. . - _ ijm ___2(n + l) n->~2n + 2 + 2 2 + 0 " "

n

174 l im - +(~1)nn-»~n _ (_ !)"

Desarrollo


175

176

,• M + 1 *+ n _ 1 + 0 _ tSi n es par se tiene: lim ----- - - lim - - - 1« - 4 « Yl — 1 n —> ° ° j i 1 U

n

Si,• 71-1 i „ 1 n _ 1 - 0 _ ,n es impar se tiene: lim ----- - - nm ---- — — - 1n—>oo n + \ n->°° Y + _ 1 + V

Luego: hm --------- - = 1

2 +3"lim -------------

2" +3"Desarrollo

0 « + l , O '1+1 1 1 " 1 "Um ------------ = lim — ------ — , dividiendo entre 3

2"+3" 2"+3"

2( 3 ) " + 3 2(0) + 3= lim -------- = n ....— = 3

n—>°° , 2. „ j 0+13

, . , 1 1 1 1 .lim(— *- — + — K...H— - ) n—>«> 2 4 8 2

Desarrollo

Usando la suma de una progresión geométrica: S = - —

primer ténnino y r la razón.

a - a r , , ,donde a es el


r r ■■•+ 7 ) 1- 0 ' 1

I T T i r , 1 1 1 ( - I ) " - '1 7 7 l i m [ l — h ------------------------------1 - , + . Í — L— i

» - + ~ 3 9 2 7 3 ' |->

Desarrollo

De acuerdo al ejercicio anterior«e tiene:

l - i + I — L + 3 - 3 ( - l r3 9 27 3"-‘ , 1 4

3

1 1 1 ( - l ) " '1 l im [ l - - + — - — + ...+ 1— L — ] = iim ------------3— _n —

178 lim 1 ! ± 2 2 + 3 2 +.., + k2

Desarrollo

1 + 2 + 3 2 + ... + /I2 = —(n + l)(2« + l)6

lim l!_+22+32+...+ n2 = ]jm »(i. +1)(2/2 +1)n~>~ n3 6„3

1 n + 1 2/1 + 1. 1 1 l: hm (----- )(--------) = - hm (1+-)(2 + - )n —>oo o W ft 6 / i—>°° Al i i

3 - 3 ( 0 ) 3

4 ~ 4

= 7 ( l + 0)(2 + 0) = O

179 lim(Vñ+T-V«)n —>oo

Desarrollo


180

181

I— 77 /- (yjn + \ - y[ñ)(\!n + 1 + sfñ)hm(v« + l — vn) = iim ----------- f= = — r"--------«->“ v« + l + v «

n + l-rt 1 1lim ---- j= = llítl —j = ---- 7= = --= 0"-»°°Vn + l+V« n->°°yjn + l+yjn 00

¡im n je n m„ -> «> „ 2 + J

Desarrollo

V n e Z + , -1 < sen (n!) < 1, como — > 0+1

n n s e n ( n !) «Entonces: — -----< — -------<

n2 +l n 2 + 1 «2 +l

:. n n s e n ( n l ) nhm — ------< hm — --------< lim — —

n + 1 «-»“ n + 1 « - » ~ «“+ l

0 < lim = ^ < 0 de donde = o«-*“ «“ +1 n“ + l

Para hallar limite de la razón de dos polinomios enteros respecto a x, cuando

x -> 00, se divide los dos términos de la razón por x" , donde n es la mayor potencia de estos polinomios.

También en muchos casos se emplea este procedimiento cuando se trata de fracciones que contienen expresiones irracionales.

U + l)2hm« - » “ x2 +1

Desarrollo


|in. 0 + 0 *2+2x+l«->- *2+l i ™ d i v i d i m o s entre

1 + - + - L= l i m — £ _ _ j L _ _ A + ° + Q

n~*°° ] + _ L 1 + 0x 2

182 lim l 00 0 *n-»~ x2 — 1

Desarrollo

lOOOx v,.2 , ~ 1000 lim —— , dividiendo entre

-V — i n —>00 __ 1

= 1000 lim — í — = 1000(— ) = 01 - 0

x2

183 üm — -~5x + 13* + 7

Desarrollo

Dividiendo entre x 2 tenemos:

, 5 J_iim i - . - 5 +1 = lim _ ^ ¿ _ _ 1-0+0 1

3x+7 3 + 7_ o + O ~0x x 2

Desarrollo

Dividiendo entre jc 3 se tiene:


2 _ t -3_2 x 2 - x + 3 x x2 + x3 0 - 0 + 0 0hm —:---------- = lim ------ £-----= ---------------= —

n->°° x — 8jc + 5 n~ °° j _ _ . _ 1-0 + 0 12 3x x

185 ,im ^ + 3)3(3* - 2)2n - > ~ X 5 + 5

Desarrollo

(2x + 3)3(3x-2)2 72x5-204x4 -562x3-261x2 -t7 4 x + 9hm -------- —— — — = hm -----------------‘----- -------------------------«-»“■ x +5 x +5

_ . _ 2 0 4 _ 5 « _ 2 6 1 _ 1 7 4 _9 üm x x2 x3 x4 V ._7 2 - 0 - 0 - 0 - 0 + 0 _ ?2 n—>°o 5 1 ■+* 0

jr

2x2 - 3 x - 4186 hm ---- . —Vx4+i

Desarrollo

Dividiendo entre x2 el numerador y denominador se tiene:

lim 2 - 0 - 0 =2 7 7 7 7 '/>+ó

10_ 2x + 3187 hmx + yx

Desarrollo

Dividiendo el numerador y denominador entre x se tiene:


i ™ ^ Í = i ™ - Í j L , 2 í 2 - 2,M“ X + VX n-*~ n l + o

1 + 3/——

10 + x>/xDesarrollo

Dividiendo el numerador y denoi linador entre x2 se tiene:

lim — -——. - ijm 1 = 1 -0 , ,n-»~10 + xVx fT 0 °°

x2 4

• 89 lim y¡x2 + lx + 1

Desarrollo

Dividiendo el numerador y denominador entre x se tiene:

sfx2 + 1 y lim --------------- iim 1

!1 1x x3 _ VÔ7Ô _ 0 _

190 üm 'f*yfx+jx+'Jx

Desarrollo

Dividiendo entre & al denominador y numerador se tiene:

lim - , ^ = üm -----------1________1n —>oo

■— J T VÍ+Vo /o1

V iT o


Cuando P(x) y Q(x) son polinomios enteros y además P(a) 0 o Q(x) * 0, élP(x) P(x)limite cuando x —» a de —-— es decir lim- se encuentraQ(x) Q(x)

P(x)directamente. Cuando P(a) = Q(a) = 0, se simplifica la fracción — — por el

Q(x)

191

192

binomio (x- a), una o varias veces.

a3+1 lim ——*-*-< x~ +1

Desarrollo

lim 4 ± i = ¿ 4 ± i = z l í l = £ = o*->-ia2 + 1 ( - l )2 + l l + l 2

lim x - 5 a + 10*-»5 x¿ -25

Desarrollo

. a 2 - 5 a + 10 5 2 - 5 ( 5 ) +10 0 + 10 10lim ■ ~ _ _ .*-►5 x -25 ( 5 ) - 2 5

193 lim a2 -1• « - » - i a2 + 3 a + 2

Desarrollo

x2- \ (jc-IKjc + I) .. x - llim —---------- = lim ------ —---- — = lim- 1 - 1

jt-»-i x 2 + 3* + 2 Jt->-i(x+l)(Jc + 2) x->-tx — 2 —1 + 2= -2

194 x2 - 2xlim—----------*->2x - 4 a + 4

Desarrollo


Iiirl"T~——— = lim — l im 2 _1 *-2x - 4 x + 4 *->-2 (x -2 ) (x -2 )

x3-3x+ 2195 l i m - ----- --*-»• a4 - 4a + 3

Desarrollo

lin,4 z j £ i l = i¡m _ ;( £ l 2K>-I ^ ____ „ 2 ____3 ,*"* X -4at+3 +2t+3XJT-l)J « I i,2 + 2*+3 ~ 6 " 2

1 9 6 i¡m * 2 - (a + l)x + a

*-*» A3- o 3Desarrollo

A - a x-*a x - a x->a x3 - a3

= l i m — = 1¡m = £ -

1 9 7 l i m ^ ^ Z i !

0

*-*a(x a)(x +ax + a- ) x->a x2 + ax + a 3(J2

Desarrollo

lim = lim + 1*2* + 3a-h2 +h3 - x 3h~*° h h—tO

1 9 8 lim(—--------1 _ )« i I - a l - x*J

. ]- 3 x 2h + 3xh2 +h3Í ™ o Y ------------------~ = l'™0( + 3xh + h2) = 3 a 2

' Desarrollo


1 3 x - x + 1 - 3 .. x - + x - 2lim(—----------- r) = lim--------- 5---- = 1™ T— r ~JC—»X \ — X 1 — x J ” *1 l - X x ~*1 1 — JC

= lim U + 2X fz jL _ = -lim- X+-— 2- = - \ = ~ l\ . .2 \ -- -.i 1 i v i s■*->1 (l — x)(l + x + x2) *->il + x + x 3

199 l i m ^ iJt-»1 X — 1

Desarrollo

Sea x = y2 => Vx = y , además cuando x —> 1, y —> 1, luego tenemos:

Vx—1 v—1 y—1 , • 1 1lim— — = lim-%— = lim-— =—------ = lmi—- - = -*-»1 x -1 >-»1 V -1 y- 1 ( y —l)(y +1) y^'y + 1 2

Vx - 8200 lim

x—»64 yfx — 4Desarrollo

Sea x = y 6 => Vx = y2 a Vx = y"

Cuando x -> 64, y -» 2, luego tenemos:

V i - 8 y3- 8 (y -2X y2 + 2y + 4)lim - 7=---- = lim — ------= - lun — - — ——x->64^/x—4 >-»2 y - —4 y~*2 (y -2X y + 2)

y2 +2y + 4 4 + 4 + 4= lim--------------= --------------------- -------- J

?->2 y + 2 4

. Vx -1201 lim-

*->13 /x -lDesarrollo

S e a x = y 12 => Vx = y4 a Vx —y'


Cuando x —> 1, y —> 1, luego tenemos:

ilmf B = i ¡ m i ^ = iimJ ¿ z « í z Í ± ! Lw l v x .- l >-»iy3 - i .v-î(y-l)(y2 + y + 1)

= lim (y + l ) ( / + l ) = (2X2) = 4 y-*i y2 + y + 1 3 3

202 Yn-n— 2^*±Xm i l —---------

X-*1 ( x - 1)2Desarrollo

*~*1 (X-1)2 AT-.1 (X-1)2

Sea x = y3 => Vx = y cuando x -> 1, y -> ], luego tenemos:

[ ¡ m j g - 2 f t + l = |im 1¡m

■I_>1 ( * - 1) *->!' (x-1 )2 v~ í (y3 — 1 )2

lim------- ^ — --------- üm _ 1____ i.'^ ( y - l ) (y2 + y + l)2 >->i(y2+ y + i)2 9

203 i i m l - ¿ I Í * - > 7 x2-4 9

Desarrollo

lim = lim j W f . -3X2 + V ^ 3 )- ^ 7 x -4 9 (x + 7)(x~7)(2+ V x-3)

1 0 6 Eduardo Espinoza Ramos

204 lim -77=- - -

Desarrollo

Sea x = y* =» 7* = y cuando x -> 8, y -» 2, luego tenemos:

üm * J - a ) im ^ 2 ) ( r + 2^ .1). = lim (y 2 + 2y + 4) = 4 + 4 + 4 = 12y - 2 >'-*2

205 U m ^ _1*-*> 7* -1

Desarrollo

Sea jc = yft = > '/ ! = >>3 a VI = ,v3

Cuando x —> 1, y —» 1» luego tenemos:

U m m lim¿ Z i = Hmlv - 1)(r . í ^ = lim ¿ ± * ± I = 1 l y - * i y — i y - » 1 ( y - i X y + i ) y - *1 y + i 2

■.nit i- 3 -7 5 + 1 206 hm'-*4 1-V5-.V

Desarrollo

3 - 7 5 + 1 (3 - 75+ I)(3 + 7 5 + x)(l + 7 ^ 1 )hm----- = = r = hm ------ ------------- s = = ------- - = = ^jf-»4 1 - 7 5 - « 1S-*4 (1-75+xX 1+75+xX 3+75 + x)

1S_ ( 9 - 5 - xX l+ TS-T) _ 1S_ (4-jcX1+75-Tx) _ 1:_ 1 + 75^7— lim > —■ * — lim > — — lim ,----->-^(1-5 + x ) ( 3 + 7 5 + a) v -»4 (* -4X 3+75 + *) *->43 +V5 + x


207 l i m - ^ I ^x -* 0 X

Desarrollo

71+x-TT-x (7 i+ i‘-7T-xx7i+j;+>/i-x)lim------------------= hm --------------r - ———— ----- -x~*° x *->0 x(7 i+ . t+ 7 i - . t )

l + x — l + x 2 2= hm - = = —-7= = = lim - 7===— p r - = -----= 1

* - » 0 V l + * + v l ~ X -r-»0 V i + A' + v i - X 1 + 1

208 lim-7 ^ - Â-*0 h

Desarrollo

yjx + h - j x ( \ ¡ X + h - \[x)(-Jx + h+ 7x)hm ---------------= hm ----------- ——---~h~>0 h *-» o h(\lx+ h+ yfx)

(x + h ) - x 1= hm =====— ==- = hm -*->0 /?(7i + /i + 7x) h~+0yfx + h + y[x yfx + 0 + yfx

mA-íO /)

Desarrollo

lim 7-C + /Í - 7 a _ |jm ( y j x + h - y f x ) { ^ ] ( x + k f + ^ [ x ( x + k ) + ' f x 2 )

h~M h h-*° l l ( y j ( x + /z)2 + ^ J x ( x + h ) + 7 ? )

.. x + h - x 1= hm---- F= = = ---- ----- -------- = - = hmh~>0 h(l](x + h)2 +l]x(x + h) + \[x2 ) ',“>0 /(jc + /i)2 + 7 *(* + h) + %/

1 1 1

yj(x + 0)2 +lfx(x+ 0) + yfx2 7 ? + 7 ? + 7 ? 3 7 ?


210

211

Vx - 2x + 6 - Vx + 2x - 6lirn------------r------------------ —Jr-»3 x - 4x + 3

Desarrollo

Vx2 — 2x + 6 - y¡ x 2 +'.2x — 6

(Vx2 - 2x + 6 - Vx2 + 2x-6)(V x2 - 2 x + 6 + Vx~ + 2x 6 )

Vx2 - 2 x + 6 + Vx2 + 2 x - 6

(x2 - 2 x + 6 ) - (x 2 + 2 x -6 ) _________-4x + 12

Vx2 — 2x + 6 + Vx2 + 2x — 6 •fx2' -2x + 6+' jx- + 2 x - 6

Vx2 -2 x + 6 - Vx2 + 2 x -6-4(x -- 3)

Vx2 -2 x + 5 + Vx2 + 2 x - 6

. a/x" - 2 x + 6-V x" + 2 x -6 lmi------------ --------------------* -> 3 x -4 x + 3

-4(x - 3)= lira

(x - 3)(x - l)(Vx2 -2 x + 6 + Vx2 + 2x—6)

-4= lirn

*_>3 (x - l)(Vx2 - 2 x + 6 + V x2 + 2x - 6)

_4 -4 _ 4 _ 1

(3 - 1)(V9 - 6 + 6+V 9 + 6 - 6 ) 2(3 + 3) 12 3

lim (Vx + a -V x )

Desarrollo

,— , - . (V xT ti-V x)(V xT ti+ Vx)lim (vx + fl — vx) = lim i — i—

A‘—> + -°° x —> + ° ° X + Cl + S I X


= lim = ____ = £ = 0*-»+~ Vx + fl +Vx Vx + o+V x «>

212 lim ( J x (x + a )-s lx )_r->+-oo

Desarrollo

lim ( V ^ ) - x ) = limM+" *-»+“ V x(x + a) + x

- l i m J f ( x + a ) - x ‘ a x a „- nm - = = = ---- _ hm —= = = ------ = hm —==^_— = —M1” \W x + « )+ x *->+~ J x (x + a )+ x -»>+- a 2

J 1+ T +l

j :—>+oo

213 Hm (Vx2 - 5x+~6 - x)r-A-4-c»jr->+oo

Desarrollo

lim (Vx2 - 5x + 6 - x) = lim — 5* + ~ 5x + 6 + x)' ™ Vx2 - 5x + 6 + x

= lim = lim™ V x2 - 5 x + 6 + x ™ V x2 - 5 x + 6 + j

lim x _ -5 + 0 5

M+~ [ i - 1 + - 1 +I ~ V l-0 + 0 + 1 ” 2x x2

214 lim x(Vx2 +1 - x)X—>4-00

Desarrollo

lim x ( J J 7 \ - x ) = lim x ( V 7 7 I - x ) ( V ^ T + x)v ^ n + x


215

216

x(x2 + 1-X 2) *= ]im \ ---- 1=----- = l i m --------

= lim

yjx2 + 1 + X H + " J x 2 + Ì + X

1 1 1*-»■*» I 1 VT+Ô + 1 2

1+ — + 1

lim (x + J l - x 7, )X —> + ° o

Desarrollo

7 (x + J l - X 3 )(x2 - X\¡l-X3 +yj(l --Ï3)" )lim (x+>]l-x )= lim v----------- -

= lim

JC2 - X \ ] l - X 3 + J i l - X ^ Y

x ' + l - x 3

x2 - x l j í ^ + !] ( l -x i )2

= lim ---------. -- , = 0x-+*~x2 - x l l l - x i + l¡( \-x3)2 °°

se«*En muchos casos en él calculo de limites se emplea la formula h m -—---- 1, y

además se supone que: lim senx = seria y lim eos x = eos a

senxa) lim-----

Desarrollo

senx sen2 lim----- = ------je—>2 x 2

sen*b) lim -----


Desarrollo

Se conoce que -1 < sen x < 1 además: - — < —~ < 1X X X

de donde: l im - - < lim — ~ < lim - => 0 < lim <0X *-><*> X X-ôo X Jt -4oo X

sen* lim----- = 0

217 l i m ^ íjc->0 X

Desarrollo

.. sen3x 3sen3xlim------- = lim--------- = 3(1) = 3x-*0 X x —>() 3x

218 l i m ^ í■*-»o sen2x

Desarrollo

5sen5xl i m , « 0 , 5jc->o senlx xr*o 2sen2x 2(1) 2

2x

219 l i m ^ í lx->o sen(3jcx)

Desarrollo

sennx

l i m - S Ü í i ú l i m — - S _ - .* < « , ' , .1jc->o senQtcx) *->o sen( 3nx) 3 (1) 3J7T{ )

3;r*


220 lim (nsen—)> oo n

Desarrollo

7r senxlim (nsen —) = lim ------= 1

n —>oo /i -V—>0 X

.• l-c o sx 221 lim------r—;r->o x l

Desarrollo

1 — eos x .. (1 - eos x)(l + eos x) 1 -cos xlim---- -— = lim------------------------------------- t---- ----------= I im - j- ---------

x 2 x2(l + cosx) *->0x¿(l + cosx)

sen2x .. sen2x 1 ,, 1 . _ 1= lim —-------------= lim — — ------ = 1(——) - -

X -»0 je (l + e o s x ) -r->0 X 1 + COSJC 1 + 1

senx —sena 222 lim---------------

x — aDesarrollo

x + a. , x - asenx-sena = 2cos(-------).sen(—-—)2 2

x + a x — a ,x + a x — a.2cos(------)sen(— —) cos(—— )sen{— —)

senx-sena 2 2 _ i:™ _ 2 _______ 2lim-------------- = lim---------- ==------------------- lim----------- ——*->a x —a *->a x - a *-»« ■* “

x - a se«(------)JC + ü . 9 ^ + /1\lim cosí------ ). lim --------------- = eos ——— (1) — cos ax^ a 2 í=£_,o x - a 2


223 ljm — - Y~ cosax~*a x - a

Desarrollo

eos x - eos a - -2 se n (^ ~ -) .se n (^ -~ )

.x + a yX-a ,eos x - eos a 2sen( ).sen(—~ )

hm ---------------— lim----------- í ---------- 2 *-*a x - a x ->a x - a

,x + a x - a .-sen(------ ).sen(------ )= lim----------2------------ 2—

x->a x — a

, x - a ,r + a s e n ( - )

= - lim se/i(------ ). hm------ -=—■*-*« 2 Jr-»a x —a

,a + a K - -sen (—- —).(!) = -sena

224 limx-*-2 x+2

Desarrollo

,• tgnx _ tg(nx)¿ 2 x + 2 ~ xlS o T + 2 - ‘ y = X + 2 ’ C U a n d 0 x ‘ 2 ’ Y - » 0

l i m ^ ) = Hm ! i ^ l - Vim^ ( y + 2)* - > - 2 X + 2 x + 2 - > 0 X + 2 y - > 0 y

tgny + tg2n tgny+tg2nlim 1 + ts n y - t g \ = üm tgn(y + 2) ]jm \ + tgny- tg2n tgny_

y y*» y .V +0 y y™ y


. ,¡m J O S ! L = i¡m ££fí£2.(_ i _ ) = «ixH = ky ^ > o y c o s n y y - > o n y eos n y

s e n ( x + h ) - s e n xhm --------------------a-> o h

Desarrollo

/2 a + /j. x + h - xs e n ( x + h ) - s e n x = 2cos(------- ).sen(— ----- )

2 2

. 2 a + /í . x + h - x. 2cos(— -— ).sen(---- ----)s e n ( x + h ) - s e n x ? 2lim--------------------- = lim------------------ ------------------

h-> o h /»—»o n

.. , , 2« ' , , , . " * f>= hm cos(-------- ).— -r=— = hm cos(- - ). hm---------

/i—»o 2 h />-»o 2 h->o

2 x + 0= cos(------- )(1) = eos A2

s e n x -cos ahm --------------,_>£ l - tgx

4Desarrollo

s e n x - c o s a s e n x - c o s ahm -------------- = h m ---------------

* 1-fev * , senA4 4 eos X

eos a( s e n x — eos a) -eos x ( s e n x - eos a)= hm ---------------------- hm -------------------------

£ c o s a — s e n x s e n x - eos a4 4

N> | S

-


227 a) lim ASen- Ô x

Desarrollo

lim x s e n — = lim -senz = lim

l im -—= lim - = 0 , por lo tanto lim —— = 0z-»~ Z Z i-»«, z

lim a sen — = lim ------ = 0*—»0 X Z~>°° 7

b) lim A s e n—A

Desarrollo

Sea y = —, cuando x y o

lim Asen(—) = lim — — = 1A y-»0 y

228 lim(l - x ) tg — .t->i 2

Desarrollo

lim(l - x ) tg ~ = - lim(A - \ ) tg — = - lim (> -l)fe — 2 *->i 2 *-i->o 6 2

Sea y = x - 1, cuando x —» 1, y —> 0


= lim(l - x)tg - lim (x-l)ígnx

.(-»i . i - l

= - l i m j í g |( y + l ) = -}™

ny Jtysen(-—+ - )

r-o cos(Í Z + 5 )

y(sen7T V 7t J t 7 1 .— eos — + eos — sen —)

limy->0

2 _= limycos(-y)

7rv 7T Tty 7teos — . eos — - sen .sen

2 2 2 ¿■v->0 0 - sen 7—

y-»o / ^ y \ y sen(— )

eos Tty

^ (1)2 m

~2

eos(O) _Jt Jt71

K229 lim ctg 2 x.ctg ( --•* )

x —>0 2Desarrollo

ctg (---- x) = —tgx => ctg(2x)2

ctg2x - \letgx

= limctg2x .c tg ( ^ - x ) - l im ^ •( *g*)

= 4 l i m W ^ - 1) ^ = 4 W 1" íg2x ) = 4 (1" ° ) = _ ^2x-*o

230 lim

Jt1 - sen(—)

x-*Jt 7t-X


Desarrollo

l - s e n (—) l-sen (—)lim--------- — = lim ---------—x-=>n 7t - x X - K -+ 0 7t - x

Sea y = x - it =* x = y + 7t, además cuando x -> tc, y —» 0

l -sen (—) 1 - sen(-^ 1 — sen(— — )lim--------- - - = iim --------_2_ _ ¡jm ------------ 2—

X - > n T t — X x - t t - > 0 7 Z - X y - > 0 T C — y

, y Jt y Jt yl — sen — .eos---- eos .sen — 1-cos —= - lim ------ — -------------- ----- — = - lim--------- —

y - * 0 y y - » 0 y

(1-COS—)(1 + COS—) 1-COS29 9= - lim--------- ----------- — = - lim -

1 - 2 c o s j ¡: 231 lim -----------3

y - *0 / i y \ y —>0y(l + cos —) y(l + eos

y ysen— sen— . n ,: (-----—)(-2_). = - - ( IX — ) = - ^ ( 0) = 0

y 1 + cosZ 2 1 + 1 22

Desarrollo

l - 2cos* 1 - 2 c o s j ílim ----------- = l i m ------------Jt-3x X_E^0 Jt -3x

3 3

Sea y - x => x= y + —. Cuando x —» — => y -4 03 3 3

k> |v:

N>

l'-c


232

, o , o l - 2cos(y + — )l - 2eosx l - 2eosx \lim ---- ----- - = lim ------------= lun -7T-3* ^ k - 3 x V-.0 n _X y + ^

= iim -y->0

1 - 2 cosí y + — ) j l - 2(cos v.cos - -se n y .se n —)— = — lim

3y

1 - 2(cos

3 >->o

= — lim -3 y->o

- - J I seny) 1 1-cosy \J3seny N = — hm(-------- — + --------- )3 y—>0 y y

1 i- , 1 — lim ( -eos2 y3 y->o y(l + eos y)

seny

3 y-»o y 1 + eos y y4(1(0) + V3) = ~ 3 S

lim*->0

eos mx - eos nx

Desarrollo

m + n . m - neos mx - cosnx = —2sen(------- ix.se ni------- )x2 2

m + n . ,m~n^seni.— -—)x seni—----- )xeosmx-cosnx . . . 2 2lim--------- ------------- 2 lim------- ------ .--------- - -----*->o A'—>0

= -2 limx—>0 2

,m + n s .m - n .sen(------ ) , sen(-------)xm + n 2 >n + n 2m + n m - n


233 li rn !?x ~ senxx-+0

Desarrolla

senx— senx,. tex — senx senx

I™. p -----= 1™o'£2M7------ = l i m ^ i z £ 2£i)X X (> XJ .V—>0 x3

= ,¡m í£ í í < h í £ í i i ) a eos x) x (1 + eos x)

- l í r v , J C T U " ' « ! ' Xsenx.sen2 x senx ,~ '3' w n 3 , _ l \ _ l

234 limx->0

aresenx

Desarrollo

aresenx ? , ,Í 5 —

senz z-X> senz \

235 lim arctgi 2x)*-*o seni3x)

Desarrollo

lim arctgi 2x)arctgiZx) arctglx

* - > 0 sen{3x) = lim>0 seni3x)

Um Sm3x*->0 x


236

sen3xCalculando lim------- = 3

r—>o x

lim arctg2x. = 2 , donde z = arctg 2x => x - —tgz x->o x 2

arete 2x .. z z 0h m ---- -— = l i m ----= 2 lim — - = 2x-»0 x z->o tgz z->otgz

2

5C«3X „ arctg 2 x _ mLuego, hm------- = 3; hm ------------- 2 ••• w

jr->0 X Jt->0 x

arclg( 2x)Reemplazando (2) en (1) se tiene: hm — hm

arctg(2x)x

i“ o sen(3x) ““ó ê«(3x)

1- x 2hm----------jc—*i sen(jtx)

Desarrollo

1-X 2 ( l-x ) ( l + x)hm----------= hm -------- — —x—>1 sen(Kx) x-i->o sen{nx)

Sea z = x - 1 => x = z + 1 ; Cuando x -» 1 => z -> 0, luego:

l - x 2 ( l -x ) ( l + x) ( 1 - z - lX l + z + l)hm---------- hm ------- — -— = lim----------- ——x-*\sen(nx) sen(nx) z~>o senn(z + i)

z(2 + z)= - lim ------------------------------- -

z ió sennz eos n + senn.c os n z

.. z(2 + z) 2 + z 2 + 0 _ 2= - hm ------— = lim------ ~— r - —— - —

z->o —sennz ;-»o nsen(nz) 7r(l) nnz


237 lim --- sen(2x^*->o x + sen(3x)

Desarrollo

i sen(2x) 0 sen(2x)l t o i Z £ « ( 2£> = 1¡m_Z---- £— _ lim-Z___ 2x _ = lx->o x + sen(3x) n o sí«(3j) x->o, , sen(3x) 1 + 3 41H---------- 1 + 3------------------

x 3x.nx. cos(— )

238 lim------y=r--t- >1 1- v x

Desarrollo

c0^ -; - ) (1 + Vx)cos(—-) (l + Vx)cos(—-)lim------ pr-= lim ------ = -------p - = lim ----------------1— \Jx *-l->0 (1 — yjx)(l+y[x) Jr—1—»0 1 — X

Sea z — x - 1 => x — z + 1 ; Cuando x —» 1, entonces z —> 0

cos(— ) (l + Vx)cos(— ) (1 +Vz+T)cos — (z + 1)lim------ = - = lim ------— — = lim--------------------------- - -------

1 2 2Eduardo Espinoza Ramos

1-V cosa239 lim -

jc->0 x2Desarrollo

1 - Veos A' (1 - VCOS A)(1 + Veos X) 1 COS Alim------ ------= lim--------------- f = --------- íim -x™ x2 a2 (1 + Veos a) a2(1 + VCOSA)

(Ì - eos a )0 + eos a) 1-cos" alim —------ 7===--------------- iim ‘

x2 (1 + Vcosa)(1 + eos a) x2 (1 + Veos A XI + eos A)

sen2x ,. , senx _2 1; üm --------- ----------- --------- = lim(------) .------ j= = -----------x~ (1 + Veos a )(1 + eos a) a'~>0 x (1 + vcos a )(1 + cos a)

1 1 1_(1)((1 + VTX1 + 1)” (2 X 2 ) '4

Vi + senx - Vi - senx240 lim — -----------------------

*->o xDesarrollo

J ] + s e n x -J l- s e iñ (sil + senx - Vi - senx X V1 + senx + Vi - senx)l i m JL__— ------------------------------------------------------------ = hm--------- r — l r = \* - * o a * -> o x(yj 1 + senx+ -JI-sera)

1 + senx - ( 1 - senx) ,. 2 senx= lim---- F======^— = lim -

*->ó x(yjl + senx + \[l - senx ) x^ ‘° A(Vl + senx + y/[-sen x )

= 2(1X ,-----1... 7 = 0 = 2 ¿ ) = 1VT+O + VlÔ 2

Para hallar los limites de la forma: lim[(p(x)]''/(x) = c — (a)

se debe tener presente:


241

242

1 Si existen los limites finitas: lim cp(x) = A ; lim i//(x) = B , entoix —>a x-*a

c = a b

2 Si lim (¡p(a) = A 1 y lim yf(x) = ±°° , en este caso él limite de (ax—*a x-*a

halla directamente.

3 Sí lim (p(x) = 1 ; lim i//(x) = <», se supone que ep(x) = 1 + a(x), dex —> a x —> a

a(x) —» 0, cuando x -~> a y por consiguiente:

iC = lim[(l)+a(x) ( ! = e— ^ = e— v

»tí

Siendo e = 2.718... él número de NEPER.

2 + i ,hm(------)*->o 3 - A

Desarrollo

, , 2 + a 2cp( x) = — => lim (p(x) - — * 13 - a *->0 3

,2 + X.x .. .2 + A limx 2x0 .Luego hm(-— -) = lim(------)'-*» = (—y = 1* -» 0 3 - a *->o 3 - a 3

lim(4 —V 1x -1

Desarrollo

lim(-^—i-)^ 1 = lim(-----— -----)*+1 = lim (-L )* +1h i \ 2 - 1 x ^ í ( a - I X a + 1 ) « i i + l

. . . 1 l i m ( x + l ) 1 2 1

= (lim---- = ( - ) - T*->i a +1 2 4


1 —243 lim(— )*+1x

Desarrollo

1 — 1 l im — ,lim (— )*+1 = ( lira — )"-■*+l = (0) ' = 0

x x

7 _ _ senx~>AA i - ~ 2 x + 3 s ~ t244 lim(—---------- ) x

x->0 x - 3x + 2Desarrollo

_ senx 2 « ,• senxx - 2 x + 3 —— x - 2x + 3 >™——lim(—------------ ) * = (lim —----------- )” ° ■*x->o X - 3x + 2 ¿-»o x - 3x + 2

245 lim (- —5—-)x

Desarrollo2x2 +1

X2+2 2 ,)• /X1 + 2 lim/ , lyK»lim(— ----- )x = ( lim (— ------------------- ))— = ( - ) =2x +1 ■*->“ 2x +1 2

246 lim (l~—)"ii—>°° n

Desarrollo

lim (1 -—)" = lim (l+— )" = [(!+ — )“" ](_1> =n—>oo fi n—>oo 77

247 lim(l + - ) jrX- oo JC

Desarrollo

- *1^(1 + -)* = lim[(l + - ) 2]2 = e2

X X

0 - 0 + 3 | = 3 0 - 0+2 ~ 2

0

e


248 lim(— ) '*-»“ x + 1

Desarrollo

1 J:+1 , ~x > -*X r —I — (---) hm--- ,lim(----- ) = hm [(l+----- ) -i ] x+i =e ~x+\ =e-¡ _*->■» X+l x + 1

249 lim (——-)Jt+2*-*“ X + 3

Desarrollo

r —1 —A —lim (-— -)x+2 = lim (1 + ------)x+2 = lim f(l + ------) ~4*-»“ x + 3 í-k» x + 3 x~>°° x + 3

.. - 4 ( . t+ 2 ) lim—---- -= e'~ Jt+3 = e

250 lim(l + —)"n

Desarrollo

lim (l+—)" = [ lim ( l+ —)•']■* = exn-K~ n n-»~ n

251 lim(l + senx)*x-+0

DesarroHo

1 senx senxlim-lim(l + se«x)* = lim[(l + ignx)ÍCTW] x =e~" x =e•t-»0 jc-»0

252 a) lim (eos x)xx—>0

Desarrollo

-4(x+ 2)jr+3

126 Eduardo Espinoza Rann

253

Como limy/(jc) = 1, donde \|/(x )-co sx , entonces *->o

\j/(x) = 1 + a(x), donde a(x) —> 0, cuando x —> 0 es decir:

VJi(x) = 1 + (cos x - 1)

1 COSJC-I

lim (cos x)x = lim[l + (eos.v-l)] 1 = lim[[l + (cos x - 1)] cosl '] *x - > 0 x - + 0

c o s x - l .. 1- c o s If |. scnx senx _ / i y £ \lim----- - h m ----------—lim— . o .

— g ' A' * = e x = e i + c o s x — e - — e — \

b) lim(cos.r)v‘ t-»0

Desarrollo

Análogo al caso anterior se tiene:

I 1 * c o s . v - 1

lim(cosx)^ = lim[l + (cosA-1)]^ = lim([l + (cosx-l)]COSJt- !) *"x - * 0 x - M x —* 0

COSJT-1 _|im_££2_£-- _I ,= e>™ S - e ,-“jr2(1+COSAr) - e 2 =

Te

lim [ln(2x + 1) - ln(x + 2)]x—>°°

Desarrollo

, , 2jc + 1lim [ln(2jc+ 1) - ln(a- + 2)] = lim ln(------ )

>oo x — X + 2

2.X + Ì. . ,2 + 0 . 0= ln( lim ------- ) = ln(-——) = In 2x+2 1 + 0


x-+0 xDesarrollo

.. log(l + 10x) I I«------•--------= limlogO + lOjc)-1 =[loglim(l + 10x)j:lx-*0 x *->0 0 *_>()' 1

log[lim((l + 10x)10*]10 = lo g e10 = 101ogex->0 °

-t->ox V l-xDesarrollo

nTln\ i ---- = lin? r ln(l----- )2 = lim~ ln(----- Y = —ln[lim(——)•* ]x->o x V1 — x *-»o x ì — x *-*0 2 1 — x 2 *->o 1 — x

I ilim(l + A

- - ln [ l im ( 1 + )] = iln flim (^ -Ì-^ -] = i l n [ i ^! * - > o I 2 x- > 0 1 92 *-»o i 2 *~>o I 2

( \ - x ) x (1 — x)x lim (l-xx~)0

-~ ln(-^—) = - l n e 2 = ln<? = l2 e ~ l - 2

256 lim x[ln(x +1) - In x]

Desarrollo

r X Ilim x[ln(x+1) - In x] = lim x ln(----- )

x

= lim ln(l + —)* = ln( lim (1 + -)* ) = In e = \X —^ o o % X —> o ° X


. ln(cos x)257 lim----- t—

x->0 jc2Desarrollo

j_ 4lim ln(COS -^ = lim ln(cos xV 2 = [ln( lim (eos x) x" )]*->0 X2 *~>0 x~*°

y de acuerdo al ejercicio 152 b se tiene

lim ln(C° S— = ln[lim (eos x )^] = lne 2 = ~ \ a e = ~* ->0 x2 x^° ¿

ex —1258 lim------*-»o x

Desarrollo

Sea y = e* -1 => ¿* = >’ + 1 => x = ln(l+ y).

cuando x -*■ 0 entonces y 0

p x - \ v .. 1 ,• 1 1 - 1 - 1ljm ------ = lim-----:-----= lim -------------=lim T ~ \ np i,->o x y->oln(l + y) J -o Ijn d ^ y) ^ ° ln(1 + y)7

«*-1259 hm -------x-»0 X

Desarrollo

Sea a = ax -1 => x = ln(0t— -. Cuando x 0, entonces a -> 0In a

lim f l z l = lim g - = lim = lim — üu.„ „ , . - » M + O ) “ ’• i l n d + Q) “" ” i„(1 + 0)«

lna a


26» lim n(\fa - l ) , k > 0

Desarrollo

o _ 1 1¿>ea y — ^ => n — — . Cuando n —> oo, entonces y —> 0

hm n(4a~l) = lim ~ ( a } - 1) = Jim - ---- í. de acuerdo al ejercicio 259

lim «(Va -1 ) = lim - ---- 1 = In an->°° v _ > o _y

u x _ 6*

261 lim -----------jt-»o *

Desarrollo

X ~ * ° X x ~ > ° x x - > 0 X x Z X

* — * 0 X x - - > 0 x

y de acuerdo al ejercicio 259 se tiene:

l i m £ - ^ = , i m l í ^ l - l i m ^ X x - * 0 X x - > 0 x

Ine" - in e* = a\ne - b\ne = a - b

1 _ e ~ x

262 lim--------x-+o senx

Desarrollo


e* -1l -e ~ x ex -1 ^hm--------= hm ---------= lim -

,r-»o senx >0 ex senx x~*° ex senx

ex- \\ — €

de acuerdo al ejercicio 258 se tiene: lim---------= lim*->o Senx x~*° ex senx c (1)

263 senhx a) hm -------.«—»o x

Desarrollo

Se conoce que senhx = e - e

1 ,. e2x- lsenhx 1 e - e lim —--------------------------= — hm -= — hm*->o x 2 *-»0 x 2 *->o xe

b) lim

de acuerdo al ejercicio 259 se tiene:

senhx 1 (e2)x -1 1 1 . 2, 1 , 1 >lim-------= — hm----------- (— ) =■— Ine (—-) = - ( 21ní0 = 1-Í-.0 x 2 *->0 x ex 2 e 2

cosh x - 1jc-í O

Desarrollo

Se conoce que cosh x = e +e

coshx-1 lim----------- = lim -x —>0 % X—»0

e +e2 ex +e~x - 2-= hm — — ------

*->0 2x


4 l i m = l | i m£ Ü J ¿ ± j . - 12 x —>0 V 4’ 9 Y_2 X r\ Ax x ex 2x->o x ex

= I l i m ( ^ . - L2 -c-»o x

de acuerdo al ejercicio 258 se tiene: = - ( l )2 -1 12 e2 7 2

HALLAR LOS SIGUIENTES LIMITES LATERALES.

264 a) lim *

Desarrollo

Ihn ~ L — = Hm ijm . 1“ v W i ~ f ~ T VTTö "

b) lim xx^ +°° jx2 + l

- x V x

Desarrollo

a:

Ihn - t= = = = lim -7 = á = = lim - 1 = __!__= !™ V *2 + i X- ^ 4 7 V \ — I ^ T v r+ ö

------ \/1 + '2a: \ x

265 a) lim tghx

Desarrollo


elx -1 0-1

b) lim tghxDesarrollo

e2x- \ .. l ~ 7 * 1 -0lim tghx - l im — ------ nm — -x^ e2x + \ 1 1 + 01 + - 7g2jt

266 a) lim ——l + ex

Desarrollo

lim ----- r = -----— - ----- ;----, , ni i+ « i + ~ 1+0l + ex ¿r

b) lim —~ t~i

l + exDesarrollo

lim - l T = — ^ = ~ = 0i \ + e+ °°

\ + ex

ln(l + ex)267 a) l im -----------

Desarrollo

x í -

lim ln(1í £ i = lim m + e ' ) x = ln[ lim (1+ <?*)*]*_»-oo X X->~™ X-*—o

J L £ _ lim ~~ r)

= ln( lim[(l + ej:K ] jr) = ln ( e - " x ) = lne = ln l = 0


b> i¡m i ü í i l í Ü*->+“■ X

Desarrollo

Análogo al ejercicio (a) es decir:

1„<1 + , ' ) In . '+ ln d + i )lim -----------= lim ------------— = lim ------------------—

*-*+«” X jc—>+~ X x

-dn € + ln(l + — ) ipX 1 — = lim -------------------- --- lim lne + ln(l H---- y

268 a) lim

*->+“> X *->+«

|se/u:|x-*o~ x

Desarrollo

.. | senx | senxlim ------- - = lim --------= -1.*-»<r x x-*o~ x

b) lim l iS S lx - > 0 * x

Desarrollo

Isenjcl senx ,lim ------- 1 = lim ------= 1x-»0* X jt—>0* X

x - l269 a) lim*->i* | x - l |

Desarrollo

lim *■ * = lim - 1 = lim — 1 = —1jc—»i- 1 jc—1 1 j r - > r - ( x - l ) jr—>r


b) lixnx - l

Desarrollo

üm —— = lim ——7 = üm 1 = 1t - t l ‘ ¡ t - 1 x->V X - l *->1

270 a) limx-*2~ X — 2

a) lim->2~ x — 2

b) limx—>2' X -2

Desarrollo

b) lim —x — * 2 X -

CONSTRUIR LA GRÁFICA DE LAS FUNCIONES

271 y = lim (eos'" x)n —

Desarrollo

y = lim (eos2" x) = lim (eos" x)"/¡—>00 n —

Sí x * n, k = 0,±1 ,±2,..., eos2 x < 1 entonces y = lim (eos" x)nn —

Sí x = kn , eos2 x = 1 entonces y = lim (eos" x)" = 1 => y -

X

: 0 y = 0

1


272 y = üm -------, (x>0)1 + xn

Desarrollo

S íO < x < l => lim xn =0 Luego: y= lim1 + xn 1 + 0

y = x

Cuando x - l =$ y - lim —1— v = —n-*~ 1 +1 ■ 2

Cuando x > 1 => y - lim —- — = lim *n—I

«-»“ l + x" 1 + j 0 + 1y = o

273

Resumiendo y =

x si 0 < x < l

— si x = 1 20 si x > 1

1 = lim \¡x2 + a2a-> 0

Desarrollo

y= lim \¡x2 + a 2 - y j x 2 +0 = |x | => y =rt->0


274

Y,

lim arctg(nx)n—>00

Desarrollo

nSí x < 0 => lim arctg(nx) = arctg(-°°) = - -

«—>00 ¿

Sí x = 0 => lim arctg(nx) = 0 => y - 0n—>°°

nS íx > 0 => lim arctg(nx) = arctg(°°)~ —

n —>°°

27 y = lim yjl + x" , (x > 0)

Desarrollo

Sí 0 < x < L => 0 < x" < 1 => 1 < 1 + x" < 2

lim 1 < limn—* 00

lim 2"n—>°°é + x n < )

y = lim Vl + x" =1 => y = 1

Sí x > 1 => y - Una vl + xn - x =>

Resumiendo: y =1 si 0 < x < 1

7T

[x si X > 1

Convertir en ordinaria la siguiente función periódica mixta: a = 0.13555...

Desarrollo

135-13 122 61« = 0.13555...= 900 900 450

to j

Introducción al Añálisis

277 ¿Qué ocurrirá con las raíces de la ecuación cuadrada «x2 +bx + c = 0 .:coeficiente “a” tiende a cero y los coeficientes “b” y “c” son constantes sie b * 0?

Desarrollo

ax2 +bx + c = 0 => x = ~h ~ ^ ~ 4ac2a

—d a~* 0 a —>0 2(1

lim x, - lim — + ~ 4“c){h + ~ = Hm b2 -Aac — b22a(b + s¡b2 -Aac) a~*° 2a(b + sjb2 -4ac)

-2 ac c= hm -------- - = _ _ .a(b + 4b: -4ac) b

Luego cuando a -»0 , x, ->b

Par,2a a-»ü a->o 2 a

lim x, = - lim 4ac) = ^ ____ 4ac _2a(b~y¡b2 -4ac) a~*, 2a(b+-Jb2 ~4ac) o ’

Luego cuando a -» 0. x-, -» -°o

Hallar él limite del ángulo interno de un polígono regular de n lados sí n -» 00

Desarrollo


La suma de los ángulos internos de un polígono regular de n lados es.

S¡ =n(n - 2 )

. _ 5 ,-Como nos piden él limite de un ángulo interno cuando n —> °° es decir, i -

n (n - 2) .. . .. 7t(n-2) _O sea: < = ---------- => hm i = lim------------ 7T

77 71—>°° //—>oo

279 Hallar él limite de los perímetros de los polinomios regulares de n lados inscritos en una circunferencia de radio R y de los circunscritos a su alrededor,

sí n —> °°.Desarrollo

nPara el caso de los polinomios inscritos se tiene: 2Rnsen—.

*

n 1Luego lim 2Rnsen— para calcular este limite haremos n = -/i—>°° Yl X

Luego cuando n —» <=°, x —> 0 tenemos:

n 2R setmx_Entonces: lim 2Rnsen— = lim — sennx — 2Rn lim — ¿KK

n_>t» n n->°° X x-»“ KX

nPara el caso de los polinomios circunscritos se tiene: 2Rn tg —

Luego lim 2 Rn tg — haciendo n = —, n —»°°, x —>0; i—>°° f í X

Tí 1 t£7tXlim 2Rntg — = 2R lim - tg n x = 2,/ta lim------= 2Rn/?—>oo t i JC >0 7TA'


280 Hallar él limite de la suma de las longitudes de las ordenadas de la c

y = e~x eoskx trazadas en los puntos x = 0,1.2,....n, s ín -» °°

Desarrollo

Para x = 0,l,2,...,n los valores de y — e x eoskk son:

, l J ____l J ___ 1_’ « V * / ’V ’ e5 ’"'

Sea Sn = l - I + - L _ ± + 2 ._ 1 + +(_ 1)n J_ e e2 e3 e4 e5 en

es la suma de una progresión geométrica.

a a - a ( l - r n)Ademas ¿>n ------—-— donde “a” es el primer termino y r es la razón.

r c a(l ~ r n) 1Luego: Sn ------------ donde r = -1 - r e

____ --------------- _____________ r. 1 1 , L„— r" reemplazando se tiene: Sn = -----------~ r i . 1 e1 - r 1 ~ r * " l i ' e '

1 + - 1 + - e e e

= lim Sn = — - 0 = — ... üm Sn = —i + i e + \ „_>» n e + ¡

e

281 Hallar él limite de las áreas de los cuadrados construidos sobre las ordena de la curva que n —> °°.de la curva y — 2 como bases, donde x = 1,2,3,...,n, con la condición

Desarrollo


282

El área de cada uno de los cuadrados son:

1 2 — 3 — 4 — 5 — __’ „2 ’ -.2 ’ -.3 ’ o4 .... 2" +l

o , 2 3 4 nS = 1h----1—rH—

2 2 2 2 " -1

1 2 3 4 n .S = 2 ( - + - T + - r + —r + - — ) ~ 2n(-z>n 2 2 2 2 3 2 4 2 n 2

lim Sn = lim 2n ¿ " = 2(— ---— ) = 4/J—>oo /I—>°° 2 / I __ \ 2

2

Hallar él limite, cuando n —» °°, del perímetro de la línea quebrada M0,M 1,...,AÍ„ inscrita en la espiral logarítmica r = e 9 si los vértices de esta

_ 7T „

quebrada tienen, respectivamente, los ángulos polares. <p0 - 0 , (p

nit9n = T

Desarrollo

Teniendo en cuenta la magnitud del ejercicio daremos algunas reflexiones iniciales:


a) En la espiral r - e 9 , r es un radio vector, V valor de <p.

b) La quebrada inscrita en la espiral significa que a cada vértic corresponde un vector.

c) Cada segmento de al quebrada esta obviamente entre 2 ven consecutivos.

d ) Cada segmento es el lado de un triángulo cuyos otros dos lados sonradios vectores correspondientes a estos vértices consecutivos. Entoi

se aplica la formula: c 2 = a 2 + b2 - labeos6

e) A cada vértice M k le corresponde un radio vector

i* ~ e ~Vt donde <pk = Y ...(i)

0 El k-ésimo segmento de la quebrada Sk esta comprendida entre

radios vectores rk_t y rk , los cuales forman el k-ésimo: (<p; - (pk i )

g) Calcularemos el k-ésimo segmento Sk :

Sk = Vr*-i + rk ~ 2rk-lrk c° s(<Pl ~<Pk-1) ... (2)

Simplificando los exponentes y efectuando operaciones

/ £ Sk = ê-k*.e"+e-k* - 2 x kKe 2 cos~

c _ L-tit ( je , i c ekrc +1Sk - j e (e + 1) => ... (3)


h) Calculo del perímetro d e al q u eb ra da finita:

n n

Pn =Pn(Mo>Mi,. . .M n) = YJSk=Yj' eknk=\ k=1

eK +\

i------ 1 1 1 1 %Pn = \ s k = J e* +l(— +~!E +l E +- +~ ™ +- )

Á m sad _ ~ _ 7

• (4)

■ (5)

¡t=f e2 e 2 e

P = £ ± l ( i + - L + - i - + - + - V + - ) n jr ti 2tt nrc_

e i e2 e 2 e 2

C _ a ( l - r n) Pero la suma de una progresión geometrica. ò„ -

nrx

p l z í l ) J = £ ± I ( l - e 2 )rn ~ n . \ ’ K n n

i) calculo del perímetro llevando él limite para n -» °°

yjen +1 yfe*~+l .. „P = lim P„ = lim —---------------------- (1- e 2 ) - (1

n—> oo n-*°° _ —e2 _ l e2 - l

V tj7r + 1p = K

e2 -1


11.4. INFINITÉSIMOS E INFINITOS.-

»0 INFINITÉSIMOS.- Si lima(jt) = 0 es decir: Si | a(x) | < e cuarx->a

0 < |x - a| < 8(e), la función a(x) se llama infinitésiicuando x —> a, en forma similar se determina la función infinitésima a( cuando x — > OO

OBSERVACIÓN.- La suma y el producto de un número limitadoinfinitésimo, cuando x -» a, es también un infinitésin

cuando x —> a.

oc(x)Si a(x) y |3(x) son infinitésimos, cuando x —>ay lim------= c donde c esf i ( x )

número distinto a cero las funciones a(x) y (5(x) reciben el nombre infinitésimos de un mismo orden, si c = 0, se dice que la función a(x) es i infinitésima de orden superior respecto a |3(x). La función a(x) se denom

cc(sc)infinitésima de orden n respecto a la función B(x), sí: lim --------- = c , dor[ p ( x ) ] n

GC(x')0 < | c | < +<*>; Si lim------ = 1 las funciones a(x) y (3(x) se lianx - * a ¡ 3 ( x )

equivalentes cuando x —» a: a(x) ~ (3(x).

El limite de la razón de dos infinitésimos no se altera, si los términos de misma se sustituyen por otros, cuyos valores respectivos sean equivalentes,

acuerdo con este teorema, al hallar él limite de la fracción: lim , dorx —* a P ( X )

a(x) —> 0 y P(x) —» 0 cuando x —» a, el numerador y denominador de fracción pueden restársele (o sumársele) infinitésimos de orden super elegidos de tal forma, que las cantidades resultantes sean equivalentes a anteriores.


b) INFINITOS.- Si para un número cualquiera N, tan grande como se desee existe tal 5(N) se verifica la desigualdad |f (x ) |> N .

La función f(x) recibe el nombre de infinito, cuando x —> a, análogamente f(x

se determina como infinito cuando x —> «>.

288 Demostrar que la función / (x) -senx en infinitamente pequeña, cuand<

x —> oo. ¿Para qué valores de x se cumple la desigualdad | f(x) | < £?

Si e es un número arbitrario? Hacer los cálculos para

a) £ = 0.1 b) £ = 0.01 c) £ = 0.001

Desarrollo— —— — — —

Por definición se tiene: Si lim a(x) = 0 o lim a(x) = 0 ct(x) se llanax->a

infinitésimo.

setixEs decir que debemos demostrar que lim ------= 0 , pero se conoce que.

x

1 sen x 1-1 < sen x < 1 — < ------ < — y además sabemos que:x x x

1 senx . .. 1lim — < lim----- 5. lim —X x-*°° X X

0 < lim <0 de donde:

senx lim ------= 0senxf ( x) = es infinitamente pequeña. Veremos los valori

de x para que | f(x) | < £ como f (x ) = -senx , senx | ^ , 1 , , ,------ < — < e de don

\x >-


a) para £ = 0.1 => | x | > 10

b) para £ = 0.01 =» | x | > 100

c) para £ = 0.001 => | x | > 1000

. S') Demostrar que la función / (x) = 1 — x2 , es infinitamente pequeña cuai x -» 1. ¿Para qué valores de x se cumple la desigualdad | f(x) | < e .

Si £ es un número positivo arbitrario?. Hacer los cálculos numéricos para:

a) £ = 0.1 b) £ = 0.01 c) £ = 0.001

Desarrollo

Para que f(x) sea infinitamente pequeña cuando x -> 1 se debe de demosl

que. es decir lim /(x ) = lim(l - x 2) = () => f(x) es infinitamente pequeX 1 X—1 1 n

determinaremos los valores de x para que se cumpla |f(x)| < £

l / ( x ) | = | l - x 2 | = | l - x | | l + x |< e

|x—1| |x+l| < £ pero | x 11 < ------- - de donde | x — 11 < —, puesto que x —»I x + 11 2

a) para £ = 0.1 => | x — 1 | < 0.05

b) para £ = 0.01 =» | x — 1 | <0.005

■ *0 Demostrar que la función /(x ) = ---- — es infinitamente grande cuando x —>

¿En qué entorno |x - 2| < 8 se verifica la desigualdad |f(x)| > N.

Si N es un número positivo arbitrar; >?

Hallar 8, sí a) N = 10 b) N =100 c) N=100l

Desarrollo

Se procede en forma similar a los casos anteriores.

Luego: |/ (x ) |> W => | ——r | > A' => |x - 2 | <-^- = 5x - 2 N

a) Sí N = 10 S = — = 0.110

b) Sí N = 100 => 8 = -----= 0.01100

c) Sí N = 1000 =* <5=—í— = 0.0011000

Determinar el orden infinitesimal:

a) De la superficie de una esfera.

b) Del volumen de la misma, si su radio r es un infinitésimo de la Ira ord( ¿Cuál es el orden infinitesimal del radio y del volumen, respecto al áre; esta esfera?

Desarrollo

Se conoce que: si y es infinitesimal de orden “n” se escribe y = knx" + <p(xy

de donde — = kn. Luego “n” es el orden infinitesimal,

a) Superficie de la esfera y = 4nr2, x = r

4nr¿ r 2 n------ - 4 n => —- = 1 => r - r

Luego n = 2, la superficie es de segundo orden respecto al radio.


b) Volumen de la esfera: 4^ r 3 _ 4 r ’3r" ~ 3 7 = I =* r = '

de donde n - 3, el volumen de la esfera es de tercer orden respe radio. Además tenemos que:

<fr( W ) 1(4*r'y

1- " 1

- = (4n) 1 => rn = r2 =» n = —4 nr' ' 2

J 4 nF ¡7 ;T~

r" = r2 de donde n = -3-2

Sea a el ángulo central de un sector circular ABO cuvo radio R Determinar el orden infinitesimal: 7 radl° R t,ende a

a) De la cuerda AB n , „ . . ,o) De la flecha del arco

c) Del área del AABD, respecto al infinitésimo a.

O


Desarrollo

a) En la figura se observa que AB = 2AC además AC — Rsena

IRsen

a

a2 _2R ~ ~ 2

asen —— = — cuando a —» 0

a" 2

a -» 0 de donde

a 2 _ 1a a sen— ~ —

2 2 a" 2=> -¿- = — => a = a '! =» n = 1

b) En la figura se observa que: CD - R( 1 — J l — ) de donde

K(l-

aR(— +

a

1__1_1 . 4 a"

1 - sen2 O

1- ,2 a 1 1 , 2 a

l~“" 2 > , ^ 2 , 1 .. l1 a" 4 a 'a" a , 2 a1-sen —

2 «sen — , a -____ 2. — — ñero sen ot—>0 =>■ .ví'/í----->0 de donde sen(—)~

a" 4 2

a a2 ~ 2

Por lo tanto:2 a & 2

2cr a rt 4a" 4

c) ’ Área del AABC — AB.CD = 2R~sen —


(1 ~ J l — sen2 Entonces:

2 R2sen ~ (1 - , 1 -sen 2—) ,2 2/P

8(1+ 1 - se n 2- )

sen — (1--1 + s<?íT sen3 —=> -----2--------------- 2_ = I ^ ____ 2 = I

a" 8 a " 8

además a 0 => «>«(—)« —2 2

3«2 « 3 1 3 „

a" = 8a^~ 8 ^ “ = a =* 11 = 3

293 Determinar el orden infinitesimal respecto a x„ cuando x -->0, de las funcic siguientes:

•) ~ w V T w I C)

d) 1 - eos x e) tg x. sen x

Desarrollo

2x

a) Sea / (x) = ----- de donde se tiene que: ~ + x = — —___= 21 + * x" (1 + x)xn

cuando x -» 0 => x + 1 -> 1 entonces — = 2 => x n =x => n -


b) Sea f ( x ) = yjx+yfx de donde se tiene que:

^ y ] ( x + y fx j* _ ^ x ( x + 1 + 2 yfx)_ _ ] c u a n d o x Q , X + 1 + 2 - n / x ~ > 1

X"

entonces4/T 1^ £ = 1 => xn = x 4 => « = - x" • 4

c) /(.v) = V ? - V ? de donde se tiene que:

2 3 2 5X3 _ X2 *3(1_ x6)--------- = 1 => ------------- = 1

cuando x —»0, 1- x 6 ->1 entonces — = 1 => n -x" 3

1-cosx \ - \ ¡ l - s e n 2x _ ,d) f(x) = 1 - eos x de donde se tiene: ------------- ' - 1

xn

i--------— 2 1-1 +sen2 x _además \¡l-sen¿x « l - s e n x => ------— ------- i

x2cuando x —»0 se tiene sen2x -> x~ => = 1 ^ n = “

e) f(x) = tg x - sen x de donde se tiene:

tgx-senx _ senx l - y l - sen~x _ j xn eos x x"

cuando x —» 0 => yfl — sen2x ~ \ — sen x

rgx(l-l + sen2x) _ tgx(sen2x) _ se«3*£JC" x" x" eos X


x3cuando x —» 0, sen x —> x, eos x —> 1 => ■— = 1 =£ n = 3

294 Demostrar que la longitud de un arco infinitesimal de una circunferenc radio constante, es equivalente a la longitud de la cuerda que tensa.

Desarrollo

Se debe de considerar a(x) = lrngitud del arco infinitesimal y |3(x) = Ion de la cuerda tensa; para que a(x) y ¡3(x) sean equivalentes se debe proba

a(x) ,lim------= 1 y esto es inmediato.x->a fí(x)

295 Son equivalentes un segmento infinitésimo y la semi circunfei infinitésima construida sobre el como diámetro?

Desarrollo

a (x) • n d n nSe conoce que lim------ = 1 entonces lim---- = hm — = —x—> íí ( a } t / —> 0 2 d d ■->() 2 2

Como ^ ¿ 1 => no son equivalente.

sen3x.sen5x296 lim —■*-*> ( x -x 3)2

Desarrollo

sen3x.sen5x .. senx.senSx 3sen3x 5sen5x lim---------r r - - lim------ i------= hm ----------.--------- = 3(1) .5(1) = 15jc-í0 ( x -x ) x~>o x ) 3x 5x

arcsen(- X297 lim----------^ - -

x->o ln(l - x)


Desarrollo

arcsen(lim VI- x .• x x -lim - lim -*->o ln (l-x ) *->o - X *->o _ xyj i _ x 2

298 lim -1— Como Inx = x y l - x = -x *-»i 1 — x

Desarrollo

Inx xJim------ = hm—— = -1JC—*11 — X jt-»l — X

,• eos x -e o s 2x299 lim-----------------

*-»o 1-cosxDesarrollo

co sx -co s2 x co sx -co s x+sen x hm -----------------= lim---------------------------jc-»Ó 1 —COSX - t —>0 1 —cosx

= !imx->0

eos x(l - eos x) + (1 - eos x)(l + cosx)1 - eos X

: lim(cosx +1 + eosx) = 3x—>0

300 Demostrar que cuando x —> 0, las magnitudes ^ y -v /l+ x -l son equivalentes

entre sí, empleando este resultado, mostrar que, cuando | x j es pequeño, se

verifica la igualdad aproximada Vi + x =1 + — (1). Aplicando la formula (1)

hallar aproximadamente:

a) VíTüó b) Vo.97 c) VÍ0 d) VÍ20

Desarrollo


Para que a(x) = - y fi(x) = Vl + x -1 sean equivalentes se debe de prc

x.. a(x) . o 1 ,■ *que: lim —— = 1 es decir: lim —¡=á=— = —. lim*-»oj3(x) ' *->oVl~+x-1 2 '*-><>Vl + x — 1

Luego a(x) y (}(x) son equivalente es decir: <x(x) - p(x) de donde:

— = Vl + x -1 y —+ 1« Vi + x es decir Vl + x « 1+ —2 2 2

a) Vl06 = Vi + 0.6 * 1 + — = 1 + 0.03 => v,/L06=VT+06 =1.032

b) V a 9 7 = V r^ 0 0 3 = l + - — => V&97 =1.02962

c) VÍ0 = Vl + 9 = ^9(1 + | ) = 3f i = 3(1 + 0.556) = 3.167

301 Demostrar que, cuando x —> 0, se verifican las igualdades aproxima siguiente, con precisión hasta los términos de orden x2 .

1a) ---- = l - x b) Va + x = a + — , ( a > 0)

1 + x 2a

c) (1 + x)n ~ 1 + nx (n, es un # natural)

d) log (1 + x) « Mx, donde M = log e = 0.4342944 partiendo de e¡ fórmulas calcular aproximadamente.

1 1 i1) ------- 2) ----- 3) — 4) Vlí

1-0.2 0.97 105

5) 1.043 6) 0.93 7) log(l.l)


302 .

303

Desarrollo1

1 4 " XPara demostrar que — — ~ 1 — x se debe probar que: lim '■ = 0l + x x->0 l - X

1

Luego: lim ^+ x - lim — = 1JC—>0 1 — JC JT—»0 1 — JC

En forma similar con los demás ejercicios.

Demostrar que, cuando x— la función racional entera

p(x) = a0x n + axx nA + a2x n~2 +... + an ( a 0 * 0 ) es una magnitud

infinitésimo, equivalente al término superior a0x n .

Desarrollo

Para que sea equivalente se debe probar que: lim ^ = 1, es decir:*->“ a0x

a0xn +axx n~x +a2xn~~ +... + an _ a0x n

= lim(l + - ^ - + — - + ... + -^ 2—) = 1 + 0 + 0 + ... + 0 - 1 OqX aQx a0xn

Luego P(x) y a0x" son equivalentes.

Supongamos que x —i tomando a x como magnitud infinito de 1er orden, determinar el orden de crecimiento de las funciones:

a) x2 -lOOx-lOOO b) c) J x + J xx + 2

d) \l x - 2 x 2

Desarrollo


De acuerdo al ejercicio 293 se tiene que:

a) el orden de crecimiento2. b) el orden de crecimientoí

c) el orden de crecimiento — d) el orden de crecimiento2

[~1.5. CONTINUIDAD DELAS RJNCIONES.-

lera. DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD.- La función f(x) es continix - - x 0 (o en el punto x0) sí:

1 Dicha función está determinada en el punto xQ es decir que existe /

2 Existe y es finito él limite lim / (x)x - > x 0

3 Este limite es igual al valor de la función en el punto x0, es

lim f(x ) = f (x 0) ... (1) haciendo la sustitución x --x0 + Ax0 dx->x0

Ax0 -> 0, se puede escribir la condición (1) de la siguiente forma:

lim A/(x)= lim [ /(x 0 +Ax0) - / ( x 0)] = 0Aj:0~>0 Ax0->0

Si la función es continua en cada uno de los puntos de un campo determii se dice que es continua en este campo.

*2do. PUNTOS DE DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.-

Si dice que una función f(x) es discontinua en punto x0, que pertenei

campo de existencia de la función f(x) tiene finitos:


Pero los tres puntos / ( x 0) , f ( x 0 - 0) y f ( x 0 + 0) son iguales entre sí, entonces x0 recibe el nombre de discontinuidad de Ira. Especie. En particular, si / ( x0 - 0) = / ( x 0 + 0), x0 se llama punto discontinuidad evitable para que la función f(x) sea continua en el punto x0 , es necesario y suficiente que:

f ( x 0) = f (x 0 - 0) = f ( x 0 + 0)

304 Demostrar que la función y = x 2 es continua para cualquier valor delargumento x.

Desarrollo

y = f ( X) = X2

i) f(x) está definida para todo x e R

ii) 3 lim / ( x ) = xo

iii) lim / ( x ) = f ( x 0) = x l luego f { x ) = x 2 es continua en todo valor delx - * x 0

argumento x.

305 Demostrar que la función racional entera p( x) = a 0x n + a ,x"~1 + ... + a n escontinua para cualquier valor de x.

Desarrollo

i) P(x) está definida V x e R

ii) 3 lim p(x)= lim a0x n + axx n 1 + ... + anx — X —

iii) lim p(x) = p(x0) = a0x¡¡ + alx{¡~' + ... + a„x - > x 0

Luego p(x) = a0x" + a¡xn~l +... + an es continua para cualquier valor de x.


306 Demostrar que la función racional fraccionaria.

p, \ - aox" +aix"~l +...+anK(x’ ~T~7n—~Jn-\--------~ • Es continua para todos los valores di

b0x + o,x +... + em

excepción de aquellos que anulan el denominador.

Desarrollo

i) R(x) está definida para todo x e R, a excepción de aquellos valore anulan a b0x m + blx m~i + ... + bn - 0

U) 3 lim R(x) = lim fo ^ ” + qi^" '+••• + «,, _ ¿V o + «i*o~‘ + - + «„b0xm + blXm-' +... + bm b0x¡? + bxxZ~l +... + bm

iii) lim R(x) = R(x0) = +a^ ' +- ^ LVo+*i-*o l +... + bm

luego R(x) es continua a excepción de aquellos valores de x que anuí denominador.

307 Demostrar que la función y = J x e s continua para x > 0.

Desarrollo

') y = f ( x ) - y [ x está definida para x > 0

ii) 3 lim / (x) = J x ^ donde xn e [0,+°° >x - * x 0

iii) lim f (x) = f (xq) = yfx^ ==> y - f ( x) = \fx es continua V x e [0,+cX —* X q

308 Demostrar que la función f(x) es continua y no negativo en el intervalo (a,l

función / (x) = yff (x) también es continua en este intervalo.

Desarrollo


309

310

i) / (a) = J f ( x ) está definida que: f(x) >0 V x e (a,b)

¡i) lim /(a ) = / lim /(x ) = yjf(x0)X -> X Q \ x —>JCq

üi) lim /(x ) = / ( a 0) = y/f(x0) => f ( x ) - ^ J f ( x ) es continua V x e (a,b)

Demostrar que la función y = eos x es continua para cualquier valor de x.

Desarrollo

a) f(x) = cosx está definida para: |c o s x |< l , -oo<x< °°

i------- . „ x+ Ai —a, ,2a+A anb) lim f (x ) = f ( x 0) = yjf(x0) = lim - 2sen(----- ----- ).sen(— -— )

x—íXq A*—»0 2 L

Axsen — 2 + A*

= lim --------— .sen(— ------).Ax = (-1) sen x (0) = 0x 22

Luego y = eos x es continua en < x < °°

Para qué valores de x serán continuas las funciones:

a) tg x b) ctg x

Desarrollo

a) tg x es discontinua en los puntos donde tg x = °°

setíxComo tgx = ------ => tg x = o® cuando eos x = 0COSJC

7CPero eos x = 0 => x = h n ± — para h = 0, ±1, ±2,...


Cuando x * h n ± — , 0 < |c o s x |< l2

senx , ntgx = ------ donde x ^ h n ± —c o s j c 2

lim tgx= lim tg(x+Ax)-tgx= lim ------ senAx------Ajr->0 A*->0 Ax~>0 COS(x + Ai) eos X = 0

ntgx es continua en x * h ± — donde h = 0, ± 1, ±2,...

b) ctg x es discontinua en donde ctg x = «>

eos Xcomo ctgx =------ = oo <=> senx = 0senx

pero sen x = 0 <=> x = hit, h e Z

lim A,ctgx = lim (ctg(x + Ax)-ctgx) = 0

311

entonces ctg x es continua en donde x * hit, h e Z

Demostrar que la función y = | x | es continua, construir la gráfica de función.

Desarrollo

y = l* | =x si * > 0

—X si A' < 0

Para que sea continua debe cumplirse:

i) y = | x | está definida en x = 0

ii) 3 lim | a | para esto se tiene lim Ixl = lim Ixl =0 => lim3 |xlx-*0+ x->0~ x—>0


312

313

iii) lim |* | = /(O) => 0 = 0x—>0

Por lo tanto es continua V x e R

Demostrar que la magnitud absoluta de una función continua es también una función continua.

Desarrollo

Sea f(x) = | f(x) | está definida para todo f(x) y por ser f(x) continua, está también definida para todo x.

Af(x) = | f(x) + Af(x) | - | f(x) |

Af(x) = yJ(f(x) + Af(x))2 - J f i x f

lim A/ (* )= lim J ( f ( x ) + Af(x))2 - \] f(x)~A f M - > 0 A f ( x ) — > 0

lim A/(*)[2/(*) + A/ ( * ) ] _ 0 a/ 2f(x) + Af(x)

Una función está dada por la formula f ( x ) =x~ - 4 , cuando x * 2* - 2

A , cuando x = 2

¿Cómo debe elegirse el valor de al función A = f(2), para que la función f(x), completado de está forma sea continua cuando x = 2? Construir la gráfica de la función y = f(x).

Desarrollo

x 2 —4A = f(2 )= lim------- = lim(x + 2) = 4*->2 x - 2 *-»2

Luego A = f(2) = 4 es como debe de elegirse para que sea continua.


314

Luego /(* ) =

Su gráfico es:

x 2 —4

x - 2 ' X * 2 de donde f ( x ) = (* + 2’ X * 24 , X = 2 1 4 , x = 2

¿Cómo elegir el valor de f(0) para que la función f(x) sea continua en punto?.

Desarrollo

Para esto tomamos él limite de f(x) cuando x -> 0

/ ( 0) = lim (1 - xsen —) = 1 — 0 = 1jc-*0 x

Luego elegiremos a f(0) de la siguiente manera: f(0) = 1. Es decir:

/(* ) =1 -xsen— para x * 0

x1 para x = 0

-'15 La función f ( x ) - a r c tg ------ carece de sentido cuando x = 2, ;Pux - 2 ’ 6

elegirse el valor de f(2) de tal forma que la función completada sea contin cuando x = 2?


316

Desarrollo

/ ( 2) = lim arctg— — 3 ; luego no se puede elegir f(2) de tal manera que seaJt-*2 x - 2

continua.

La función f(x) es indeterminada en el punto x = 0. Determinar f(0) de tal forma que f(x) sea continua en este punto, sí:

fl + rV1 -1a) f ( x) = -— ------- (n es un # natural).x

Desarrollo

/(O) = lim (1+ v) ' 1 sea 1 + x = a, x = a - 1, cuando x 1 ; a 1x—>0 X

/(O) = lim = ,im = nx->0 x «->1 Oí —1

= lim (a"-1 + a " -2 + ... +1) = 1 +1 + ... + l = na-*l

a" -1Luego /(0 ) = lim f ( x ) = lim----- — = n

i —>o a-»i a - 1

r , , I - e o s *b) f ( x ) = -----j —

Desarrollo

I - e o s * l - c o s 2 x/(O) = lim / (x) = lim-----= lim

jr->0 >o x2 ■'-»o x2(l + cos.x)

sen x 1 1 1= hm — — .(----- ) = (l)-(— ) = -

jc—>0 X l + cosx 1 + 1 2


En forma similar para:

c) / ( 0) = lim /(* ) = lim l ^ l + ^ - t n a - * ) = 2x — t O j : - * 0 X

d) / ( 0) = lim f ( x ) = lim ----- -— = 2j r - » 0 x —>0

e) / (0) = lim / (x) = lim x2sen — = 0>0 x —>0 x

0 / ( 0) = lim x ctgx = 1x-K)

AVERIGUAR SI SON CONTINUAS LAS SIGUIENTES FUNCIONE!

x2317 y = ——

x — 2Desarrollo

x2La función y = —— es continua en todo R, menos en x = 2, es decir que

x = 2 es discontinua de 2da especie.

1 + xDesarrollo


319

l + x3 (l + x )(l-x + x2) , de donde para x * -11 + x 1 + x

y = l - x + x 2, luego la función tiene una discontinuidad en x = -1 evitable.

Su gráfica es:

y / l + X — 3

Desarrollo

v /7+ ^-3 (V 7+7-3)(> /7+I + 3) l + x - 9y = ' x 2 - 4 (a-2 -4X V 7+ 7+ 3) (a2 -4)(V t + x + 3)

x - 2 1y = (a-2 )(a + 2 x 7 7 + 7 + 3) (A + 2XV7 + A + 3)

Luego en x = -2 es un punto de discontinuidad segúri especie y en x = 2, es un punto de discontinuidad evitable.

320 y = -;

Desarrollo

t

Sí x > 0 => |x | = x => y = l

x < 0 => I x I = -x => y = -1


Luego la función en el punto x = 0 tiene una discontinuidad de pri especie.

321 y = sen — x

Desarrollo

La función y = sen— cárece de sentido cuando x = 0, pero esx

discontinuidad de 2da especie, puesto que lim sen — 3*-»o x

322 y = — :—sen x

Desarrollo

La función en x = 0 carece de sentido, pero es una discontinuidad evitx 1

puesto que: y(0) = lim------ = lim-------= 1*-»0 sen x *—»o senx

xAdemás en x = kn (k = ±1, ± 2 ,...) son puntos discontinuidad infinita.

323 y = ln(cos x)Desarrollo

Para que la función y = in(cos x) esté definida debe cumplirse que eos x Luego quitaremos los puntos donde cosx = 0, y además cosxcO , es de<

x = 2kn ± — (k = 0, ±1, ±2,...). Luego los puntos de discontinuidad son:

x = 2 k n ± ^ (k = 0, ±1, ±2,...)

324 y = ln ( f* |)

Desarrollo


328

329

En forma similar el ejercicio 323 se obtiene que los puntos de discontinuidades x = krc (k = 0, ± 1,...) (infinita).

325 y = arctg — x

Desarrollo

La función y = arctg — carece de sentido cuando x - 0, luego la función es x

discontinua en x = 0, de la especie.

326 y = (l + x).arctg(—í-r-)\ - x ¿

Desarrollo

La función tiene en x = -1 un punto de discontinuidad evitable y en x = 1 es un punto de discontinuidad de segunda especie.

i327 y = ex+l

Desarrollo

La función en x = -1 carece de sentido, luego en x = -1 es un punto de discontinuidad de segunda especie.

Desarrollo

La función en x = 0 carece de sentido, luego la función en el punto x = 0 tiene una discontinuidad evitable.

1i

l + e'~xDesarrollo


La función en el punto x = 1 carece de sentido, en este caso es un punt discontinuidad de primera especie, es decir que f ( x 0 - 0) y f ( x 0 + 0) , diferentes.

330

331

x , x £ 3 _y = 1 „ • Construir la gráfica de esta función

[2x + l , x> 3Desarrollo

x > 3 => y = 2x + 1

Demostrar que la función de Dirichlet X(x), que es igual a cero > irracional e igual a 1 cuando x es racional, es discontinua para cada uno de valores de x.

Desarrollo

JO, x e I11 n SuPon8amos que es continua; luego

V e > 0, 8 > 0 tal que 0 < | x — a | < 5 =>¡ f(x) - L | < e

tomamos x xe I (Irracional), x { e<0-<5, a+ 8 >

=> |f (x ) - L |< e => 10 — L |< e => |L |< e =í> L = 0


333

además como x2 e 2 y x2e < a - S , a + S >

=> | f(x) - L | < e => 11 - L | < e =* 1 - L = 0

Luego L = 1. Llegamos a una contradicción. es discontinua.

AVERIGUAR SI SON CONTINUAS Y CONSTRUIR LA GRAFICA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES

332 y = lim1

1 + x"(x > 0)

Desarrollo

Luego lim -------= 0„_»=o j + x

y = Wm (xarctg nx)n —>°°

Y -i

112 — ►-0 1 X

y = lim (xarctg nx) - xarctg(°°) =nx

Desarrollo

Como y = — la función es continua en todo x.

334 a) y = sig(x) b) y = x Sig(x) c) y = Sig(sen x)

donde la función Sig.x se determina por la formula: sig(x) - ■

Desarrollo

1, x > 00, x = 0

-1, x < 0


1 <

Y

0 X

.-1

La función en x = 0 es un punto de discontinuidad de la primera espe

335 a) y = x - E(x)

b) y = x E(x), donde E(x) es la parte entera del número x.

Desarrollo

Sí x e [0, l> => E(x) = 0 => y = x

x e [ l ,2 > => E(x) = 1 y = x -1

x e [2,3> => E(x) = 2 => y = x - 2

x e [- l ,0 > = > E(x) = -1 => y = x + 1

x e [-2,-2> =» E(x) = 2 => y = x + 2

E(x) = k, k e Z, son puntos de discontinuidad de la primera especie.


336

237

Dar un ejemplo que demuestre que la suma de dos funciones discontinuas

puede ser una función continua.Desarrollo

x2 - 9Consideremos las funciones /(x ) = -----— y g(x)~-x - 3 x - idefinidas en x = 3.

j c 2 - 9 x 2 - 4 x + 3

Pero si sumamos: / (x) + g(x) = ------- + -

x2 -4 x + 3 que están

x —3 x -3

.................(x —3)(x + 3) , (x -lX x -3 ) owx + 3 + x -1 ^_ 0 y 0f (x )+ g(x) = — — — — + -----— - (X 3)( x _ 3 >

f(x)+g(x)=2x+ 2 está definida V x, por lo tanto (f+g)(x) es continua Vxe R.

Sea a una fracción propia positiva que tiende a cero (0 < a < 1) ¿se pued poner en la igualdad E(1 + a) = E(1 - a) + 1, que se verifica para todos los

valores de a, él limite de la cantidad a?

Desarrollo

E(1 + a) = E(1 - a) + 1 donde E(1 + a) = E(x) donde x = 1, lim a = 0

entonces reemplazando: lim a , por el valor de a.a-»0


lim £ (1 + a )= l im £ ( 1- a ) + l=: £:(1-0 ) + l = £(l) + l = i + i = 2cc ex. —> 0

Luego £ (1) * Hm E(l) entonces E(x) es discontinua en x = 1 en el inter

[ 1,2> entonces no se puede reemplazar a por lim aa-»0

338 Demostrar que la ecuación x3 - 3x +1 = 0 tienen una raíz real en el inter (1,2). Calcular aproximadamente esta raíz.

Desarrollo

Por fórmula de Cardano se tiene: X = A + B, donde

además x + px + l = 0 de donde x3 — 3x + 1= 0 . reemplazando se titiene

1 , // 3 3 1 2 ,1 1 / 5A- * i W V - H +«

* = f f - f

U + V 5Luego: x = |- - 2 _ ---- + i J Í e ( l2)

339 Demostrar que cualquier polinomio p(x) de grado impar tiene por lo menos t raíz real.

Desarrollo

Si n - 1 => p(x) - a0x + flj — 0 , a0 ^ 0 => x = — esraízdeP(x)«o


Si n > 3 r¡ = a + ifi , ¡3^0 es una raíz de p(x) => r2 = iP también es raíz

de p(x). Luego por el teorema del factor se tiene.

p(x) = ( x - r ] )(x - r 2) , R(x) = (x2 - 2ax + ¡i2 + a 2) R(x) donde grado

de R(x) = n - 2 > 1 siendo n - 2 impar. Por ser n impar.

si razonamos por inducir opinamos de que R(x) tiene una raíz real y que también es raíz de P(x).

340 Demostrar que la ecuación tag x = x tiene una infinidad de raíces reales.

Desarrollo

Si: x e [0 ,l> => E(x) = 0 => y = x

x e [ 1,2> => E(x) =1 => y = x - 1

x e [2,3> => E(x) = 2 => y = x - 2

x e [- l ,0 > = > E(x) = -1 => y = x + 1

x e [-2,-l> => E(x) = -2- => y = x + 2

E(x) = k, k e Z, son puntos de discontinuidad de primera especie.

Diferenciación de Funciones

CAPITULO II

DIFERENCIACION DE FUNCIONES

2.1. CÁLCULO DIRECTO DE DERIVADAS.-

a) INCREMENTO DEL ARGUMENTO E INCREMENTO DE FUNCIÓN.-

Si x, y x2 son valores de x, mientras que y, = f ( x ¡ ) e y 2 = f ( x 2)

los correspondientes valores de la función y = f(x), Ax = x 2 - x

llama incremento del argumento x en el segmento [xx,x 2

by = y i - y \ o s e a ¿x = f ( x 2) - f ( x l ) = f ( x l + A a ) - / (x ,) llama incremento de la función y = f(x) en el mismo segrr

Ay[x¡,x2]. (En la figura donde Ax = MA y Ay = AN) la razónAx

representa el coeficiente angular de la secante MN de la gráfica £ función y = f(x) y se llama velocidad media de la función y, e segmento [x,, x, + Ax].


b) DERIVADA.- Derivada y' = -j~ de la función y - f(x) con respectod x

Aval argumento x se llama él limite de la razón — ,

c u a n d o Ax tiende a cero, es decir: y ’=lim -^- si dicho limite existe.

La derivada y'= f ' ( x ) representa la velocidad de variación de la función

en el punto x. |

c) DERIVADAS LATERALES.- Las expresiones

f ( r + \ x ^ - f ( x ) / ( x + A x )-/(x )f l (x')= lim — ■■ y /+(*) = lim ---7

Se llama derivadas a la izquierda y derecha respectivamente de la función

f(x) en el punto x.

Para que exista f ' ( x ) es necesario y suficiente que /_ (x) — f+ (x ) .

d) DERIVADA INFINITA.- Si en un punto determinado tenemos que

ljm / ( * + AO - oo , se dice que IA x —> + 0 A x I

la función continua f(x) tiene derivada infinita en el punto x.

341 Hallar el incremento de la función y = x2 , correspondiente al paso del

argumento.

a) d e x = 1 a x, = 2 b) d e x, =1 a x2 = 1-1

c) de x = 1 a x, = 1 + /i

Desarrollo I

a) Ay = f(x + Ax) - f(x) donde y = /(x ) = x2


además Ax = xt - x = 2 - l = l = > A x = l

/(x , +Ax) = f \ x x + l) = (x, + l)2

/ ( x + Ax) = (x + Ax)2, reemplazando se tiene:

/ ( I + 1) = / ( 2) = 22 =4 y f(l) = l

Ay = f(l + 1) - f(l) = f(2) - f(l) = 4 - 1 = 3 . Luego Ay = 3

b) Ay = /(X| + A x ) - / ( x |) donde Ax = 1.1 - 1 = 0.1

Ay = f(l + 0.1) - f(l) = f(l.l) - f(i)

Ay = (1.1)2 - 1 = 1.21-1 = 0.21

342 Hallar Ay para la función y = lfx sí:

a) x = 0, Ax = 0.001 b) x = 8, Ax = -9

c) x = a, Ax = h

Desarrollo

a) Ay = f(x + Ax) - f(x)

Ay = / (0 + 0.001)~/(0) = /(0.001) = #>.001 =0.1. Luego Ay = 0.1

b) Ay = f(8 - 9) - f(8) = f(-l) - f(8). Luego Ay = -1 - 2 = -3

'43 ¿Por qué para la función y = 2x + 3, se puede determinar el incremento , conociendo solamente que el incremento correspondiente es Ax = 5, mient

que para la función y = x" no puede hacerse lo mismo?

Desarrollo


344

Ay = f(x + 5) - f(x) donde f(x) = 2x + 3

f(x + 5) = 2(x + 5) + 3 = 2x + 13 por lo tanto f(x) = 2x + 3, luego:

Ay = f(x + 5) - f(x) = (2x + 13) - (2x + 3) = 10 y mientras que para la función

y = x 2 se tiene:

Ay = f(x + Ax) - f(x) => Ay = f ( x + 5 ) ~ f (x) = (x + 5) — x

de donde se tiene: Ay = -10x + 25

Hallar el incremento Ay y la razón — para las funciones:Ax

a\ y -----i— _ 5 cuando x = l y Ax = 0.4(x - 2)

b) y = Vx , cuando x = 0 y Ax = 0.0001

c) y = log x, cuando x = 100,000 y Ax - -90,000

Desarrollo

a) Ay = f(x + Ax) - f(x) => Ay = f(l +0.4) - f(l) = f(1.4) - f(l)

- /<L4,=s r ^ =/<L4,=^ r ^

/■(!) = — — = 1, reemplazando y efectuando tenemos:(1 — 2)2

1 , 4 , 21


_ 21 _ 21Av _ 25 25 21 .~ ~ ~ = - j - = - en forma similar para b) y c).

345 Hallar Ay, ™ , correspondiente a la variación del argumento desde x 1

x + Ax, para las siguientes funciones:

a) y = ax + b b) y = x3 c) y = -,

d> e) y = 2x f) y = ln

Desarrollo

a) Ay = f(x + Ax) - f(x)

Como f(x) = ax + b => f(x + Ax) = a(x + Ax) + b;

Ay = f(x + Ax) — f(x) = ax + aAx + b — ax — b => Ay = a Ax,

x

■■ ade donde se tiene: — = a ~Ac Ax

en forma similar para las demás funciones.

346 Hallar el coeficiente angular de la secante a la parábola y = 2x - x 2 . Si

abscisas de los puntos de intersección son:

a) x¡ =1, x2 =2 b) X] = 1, x2 = 0.9 c) x x = 1, x2 = 14

Hacia que el limite tiende el coeficiente angular de la secante en el ultimo c si h -+ 0?

Desarrollo


Coeficiente angular de la secante = —Ax

Ay - f (*i + Ax) - f ( x {) donde Ax = x2 - x¡

Ay = f(l + 1) — f( 1) donde Ax = 1 entonces: Ay = f(2) - f( l)

Como f ( x ) = 2 x - x 2 => f(2) = 4 - 4 = 0 y f(l) = 2 - 1 = 1

Luego Ay = f(2) - f(l) = 0 - 1 = -1

Ay 1 AyCoeficiente angular de la secante = — = — = -1 — = -1Ax 1 Ax

en forma similar para los demás.

347 ¿Cual es la velocidad media de variación de la función y = x3 en el

segmento 1 < x < 4?Desarrollo

AyLa velocidad media de variación es = —

Ax

Ay = f(x + Ax) - f(x), donde Ax = 4 - 1 = 3

como /(x ) = x3 => f(l +3) = f(4) = 64 y f(1) = 1

Ay = f(4) - f( 1) = 64 - 1 = 63 reemplazando se tiene: — = — = 21Ax 3

348 La ley del movimiento de un punto es S - 2t2 + 3í + 5 donde la distancia se daen centímetros y el tiempo t en segundos. ¿A que será igual la velocidad med? de este punto durante el intervalo de tiempo comprendido entre t = 1 y t = 5?

Desarrollo


La velocidad media =At

AS = S(t + At) - S(t) y At = t2 - 1{ es decir At = 5 - 1 = 4 => At = 4

AS = S(1 + 4) - S(l) = S(5) - SCI) = 70 - 10 = 60

, AS 60 cmLuego: — = _ = 15±I1At 4 seg

349 Hallar la pendiente de la curva y = 2X en el segmento 1 < x < 5

Desarrollo

Pendiente media de la curva = —Ax

Ay = f(x + Ax) - f(x), donde Ax = 5 - 1 = 4

Ay = / ( I + 4) - /(1) = /(5 ) - /(1) = 25 - 2 = 2(24 - 1)

pendiente media de la curva = — = 2 = 1 ^ _ 7 c4 2 2

350 Hallar la pendiente media de la curva y = f(x) en el segmento [x, x + Ax]

Desarrollo

Pendiente media de la curva = — donde Ay = f(x + Ax) - f(x)Ax

Luego pendiente media de la curva = ^ x + Ax^ - f ( x )Ax

351 ¿Qué se entiende por pendiente de la curva y = f(x) en un punto dado x?

Desarrollo


352

353

Se entiende por pendiente de la curva y = f(x) en un punto dado x al ¡imite de la pendiente media de la curva Ax —> 0, el cual denotaremos por / (x ) , es

f(x + A x )-/(x ) decir: / (x) = lim ----------- — —

A*—>o Ax

Definir: a) La velocidad media de rotación.

b) La velocidad instantánea de rotación.

Desarrollo

Sea (p(t) la magnitud del ángulo de rotación en el instante t.

., A (0(1)a) La velocidad media de rotación-------

A t

.. A <p(t) 39(1)b) La velocidad instantánea de rotación = um —-— - —-—A/->o At at

Un cuerpo calentado e introducido en un medio, cuya temperatura sea menor, se enfría. ¿Qué debe entenderse por:?

a) Velocidad media de enfriamiento.

b) Velocidad de enfriamiento en un momento dado.

Desarrollo

Sea T = la temperatura en el instante t.

A 7'a) Velocidad media de enfriamiento = ----

At

AT dTb) Velocidad de enfriamiento en un momento dado = um —---- —Af-*o Ai dt


354 ¿Qué debe entenderse por velocidad de reacción de una sustancia en reacción química?

Desarrollo

Sea (p(t) = cantidad de sustancia en el instante la velocidad de reacción de

sustancia en una reacción química es: limAf-»0 Ai

355 Sea m = f(x) la masa de una barra heterogénea en el segmento [0,x] que ■ entenderse por:

a) Densidad lineal media de la barra en el segmento: |x, x + Ax]

b) Densidad lineal de la barra en el punto x?

Desarrollo

En forma similar al ejercicio anterior se tiene que:

a) La densidad lineal media = —-Ax

b) La densidad lineal en el punto x = — = lim —-dx *-»0 Ax

356 Hallar la razón — , para la función y = - en el punto x = 2-At x

a) Ax = 1 b) Ax = -1 c) Ax = 0.C

¿A que será igual la derivada y' cuando x = 2?

Desarrollo

Ay = f(x + Ax) - f(x) => Ay = f(2 + Ax)- f(2) donde / ( * ) = -

Ay =

x

1 1 -Ax2 + &x 2 2(2 + Ax)


a) — =

At _ Ay 2(2 + At) 1Ax Ax 2(2 + At)

donde Ax = 1 reemplazando tenemos:

^ - = - - = -0.166 Ax 6

Av 1 , , . n , Ayb) — = ------------- donde Ax = 0.1, — ;Ax 2(2 + Ax) Ax

. JL « -0.238 21

Ayademás y ' = lim — = luir

1A x -> 0 Ax Ax—>0 2(2 + Ax)

357 Hallar la derivada de la función y = tg x

Desarrollo

y ’ = lim — , donde Ay = f(x + Ax ) - f(x)A x—>0 Ax

Ay = tg(x + Ax) - tg x

tg(x + Ax) — igx _ m _____ senAxAyy '= lim — = lim -— ,A x-»0 Ax A x -> 0 Ax Ax—>0 Ax eos x. cos(x + Ax)

Ay sen Axy = lim — = lim --------

1 1---------------- 1 2 - 1(------------ ) = — = sec xA*->oAx Ax—>o Ax cosx.cos(x +Ax) eos x. eos X eos X

358 Hallar y '= lim — para las funciones: A * -> 0 At

a) y' = x b) y = — c) y = sTx d) ctg xx

Desarrollo


Ay = f(x + Ax) - f(x)

Ay = / ( x +Ax)3 - x 3 = 3x2 (Av) + 3x(Ax)2 +(Ax)3

r Ay 3x2Ax + 3xAx2 +AxJy _ nm —— - lim -----------------------—, en forma similar para los dem¡Ax—>0 Ax Aí-»0 Ax

359 Calcular / ' ( 8) sí f ( x ) = l[xDesarrollo

/ '(8) = lim / (8 + Ax)- / ( 8 ) = lim j ^ - 2 Ax—>0 Ax Ax-í0 Ax

= lim ^ + A ^ - 2)C\ / ( 8 + Ax)2 + 23v/8 + Ax + 4)At_K) Ax(^/( 8 + At)~ + 2^8 + Ax + 4) ’

i- Ax 1= lim ------=====— --------------------- hmAx(y[(8+ Ax)2 + 2\/8 + Ax + 4) A*->0 /(8 + Ax)2 + 2 /8 + Ax + 4

764 + 2^8 + 4 4 + 4 + 4 12

360 Calcular / '( 0 ) , / ' ( l ) , / ’(2) sí / (x ) = x ( x - l ) 2( x - 2 )3

Desarrollo

m - lim ,im / ( A » ) - / ( 0)Ax—>0 Ax A x—>0 Ax

Ax(Ax-1)2(A x-2)2 - 0 2 ,= lim ------------- 7------- ------ = lim (Ax-1) (Ax — 2) = -8

a * - » o Ax A x—>o

361 En que puntos la derivada de la función / (x) = x3 coincide numéricamc con el valor de la propia función es decir: f ( x ) = / ' (x)


362

363

Desarrollo

Ax-tO Ax Av->0 Ax

= lim *3 + 3x2 Ax + 3xAx2 + Ax3 - x3 _ ^ ^ + + ^ 2 = 3x2 a*->0 Aí Ar_>0

como /(x ) = / '(x ) entonces x3 =3x2 => x " (x -3 ) = 0 => x = 0, x = 3 |

Luego la función coincide numéricamente en los puntos x = 0.3, x = 3

La ley de movimiento de un punto es 5 = 5 í" , donde la distancia S viene dado I en metros y el tiempo t, en segundos. Hallar la velocidad del movimiento en el j

instante t = 3.Desarrollo

dS S(? + A?)-S(?)S '(t)V(t) = — = lim -------- ----------

dt Ai—»o At

5(t + At)2 - 5 (?)2 5t2 + 10?. A? + At2 - 5 t 2V(?) = lim —------ ------ — = lim

A i—>0 At A/-> 0 At

V(t) = lim lOí + A? = 10? => V(3) = 30m/segA;--»0 L--------------

Hallar el coeficiente angular de la tangente a la curva y - O.lx3, trazada en el i

punto cuya abscisa es 2.Desarrollo

, • Ay , ,

Coeficiente angular de la tangente es = lim — - y \x=2 ° Ai—>0 Ax


y'= lim / ( 2 + A t ) - / ( 2 ) _ lim o. 1(2 + Ax-)3- ( 0.1)8*-*0 Ax Ar-»0 Ax

= lim 1.2 + 0.6Ax + Ax2 =1.2A x —»0

364 Hallar el coeficiente angular de la tangente a la curva y = sen x en los pu ( 7 1 ,0 ) .

Desarrollo

y '= lim Sen(x + Ax) ~ senx _ ]jm senx. eos Ax + eos x.senAx - senx**->0 Ax A*-»0 J x

= lim [ se,vc(cos Ax ~ 1) | eos x.senAx ^->o Ax Ax

y'=sm x(0) + cosx =* y' = cosx por lo tanto y’1 = eos 7r = -1

365 Hallar el valor de la derivada de la función: f ( x ) = - en el punto x =

( x0 * 0 ).Desarrollo

_1 ___1_/ '( x 0)= lim ,/(* > + A x )-/(* 0) = Hm x„_+ Ax x„ = ^ ___ -1 _

At_>0 Ax a*->o Ax Ax—>o x0(xQ + Ax)

______ 1_ = __1_x0(x0 + 0) Xq

'66 A que son iguales los coeficientes angulares de las tangentes a las cur _ 1 2

y - ~ y y - x ,ene l punto de intersección?. Hallar entre estas tangentes.

Desarrollo


367

1 1 2 ]Como y = — e y = x 2 , entonces el punto de intersección es: — = x => x = 1j

x

1 -1y ’U = lim

1 + A-V _ i _A .t-> 0 A t

(1 + Ax)2 -1 . ,- i= * i y y ' U i = hm, — i -------- = 2 = *1 A x -> 0 Ax

tg6= h - k . =- L l = 3 l + Jfc,fc2 1 -2

Demostrar que las siguientes funciones no tienen derivadas finitas en los

puntos que se indican:

a) y = n/x2 en el punto x = 0

b) y = \ /x - l en el punto x = 1

2k + \c) | eos x | en los puntos x =—- — n (k = 0,±l,...)

Desarrollo

?/(0 +A*)2 - 0 Vax2 1a ) / '( 0 ) = lim ^ ---------------------= lim — — = ~’ J v A” Aí-»0 Ax Ax~*0\¡AxA»->0 Ax

í/(l + A x ) - l- 0 n/Ax 1hl f Y1V= lim ——------------- lim -------= rnn —p = - ‘

A x -iO Ax A r - > 0 Ax A x -> 0 yj Ax*

O Hm

2k + 1 » \ i| cos(——— TI + Ax) I

Ax

I senAx | .. -senAx= lim -----------1 = lim — ------= 1

A*->0 Ax Ax->0 Ax


l , 2¿ + l * .i .1,24 + 1 , |cos(— ^ + Ax)|/_ (—-— 7t)= lim ¿

2 At-»o Ax

íe«Ax senAx ,= lim --------- '■ = lim ------- = 1A * -» 0 Ax Ax->0 Ax

i 24+1 .1,24 + 1Como /_(—- —n) * f +(—-— tí) => y = | eos x | no tiene deriva

2¿ +1 ,en los puntos x = —-— , k = 0, ±1,

12.2. DERIVACION POR MEDIO DE TABLAS.-

a) REGLAS PRINCIPALES PARA HALLAR LA DERIVADA:

Sea k una constante, u = f(x) y v = g(x) dos funciones derivab entonces:

1) (4)' = 0 2) (x)'= l

3) (u±v)' = u'±v' 4) (hu)' = ku'

5) (uv)' = uv'+vu' 6) ( - ) ' - VU ~ “Vv

.k kv'7) ( - ) ' = — T , v * 0

v v1

b) TABLA DE LAS DERIVADAS DE LAS FUNCION PRINCIPALES.-

1) (x")'=«xn- 1 2) (V I)’ = - í =2\[x

3) (senx)' = cosx 4) (eos x)' = -senx

Eduardo Espinoza RamoS

5) (tgx)' = \ = see2 x 6) (cígxy=- coser2xeos X se n ■

7) (aresenx)' —1

8) (arcqsx)' = -i

\ ] \ - x 2

I X ! < 1

_ I X I < 1

9) (arctg x)' = ----- jl + x¿

11) (ax )' = ax Ina

15) (senhx)' -cosh x

117) (tghx)' =

cosh" x

19) (aresenhx)' =1

+ x

10) (arcctg x)' = — r—-• x +1

12) (ex)' = e’

14) (\ogax)'1 loga e

jclna x

16) (cosh x)' = -senhx

118) (ctghx) ' = ■ 2

senh x

20) (are cosh x)' = - I X I < 1

2 1 ) ( a rctg h x ) ' = -------- jl - x

I x I < 1

2 2 ) ( a r cc tg h x ) ' = — r— -x - 1

I x I > 1


c) REGLA PARA CALCI LAR LAS FUNCIONES COMPUESTAS.

368

369

370

371

Sea y = f(u) donde u = g(x), Es decir: y = f(g(x)) donde “y” y “u”

derivables, entonces y'x = y'u m 'x en otras notaciones:

dy _ dy du dx du dx

esta regla puede aplicarse a cadenas de cualquier numero finito funciones.

1) FUNCIONES ALGEBRAICAS.-

y = -■■X 5 - 4 x 3 + 2 x - 3

d y

dx

y =

= y' = 5 x 4 - 1 2 x 2 + 2

1 X 2 n c 4--------- + x -0.5x4 3

: — = - - + 2 x - 2 x 3 d x 3

= ax~ + b x + c

y ' = — = 2 ax + b d x

y = -5x

a

d y _ 15x d x a

Desarrollo

Desarrollo

Desarrollo

Desarrollo


372 y = a t " '+ b t m+nDesarrollo

y ' = ^ - = am t"’ 1 + (m + n )b tm+" 1 dt

a x 6 + b373 y =

^ /7 ^ 2

d y 6a x 5

Desarrollo

d* J a 2 + b 2

374 y = — + ln 2X

í /X X

2 5

375 y = 3x3 - 2 x 2 4 - x ~

Desarrollo

Desarrollo

y ' = — = 2x 3 - 5 x 2 - 4 x -5 dx

376 y = x2\ / ?Desarrollo

— 2 8 ¿y gy = x2n/x2 = x2x 3 = x 3 , derivando tenemos: y ~ (¡x~

377 y = # ' x V ÍDesarrollo


u L. 2 4a b a b ~r , — , .y = Tf=^— J r ~ ~ 2------r ^ y - a x * - b x 3 , derivando tenemos:

Vx2 W x - -r-5

, rfy 2 4¿ - [ í/v 2a 4¿>y = — = - - a x 3 + — x 3 =* y = - r = --- 7 ^ 4-

378 y =

dx 3 3 d x 3 x 2y fx 3 x l j x 2

a + b x

c + d x

Desarrollo

^ , _ dy _ (c + rfx)(o + b x ) (a + b x ) ( c + d x ) '2d x (c + d x)

, d y _ ( c + d x )b - (a + b x )d b e - ad

379 y = .x -5 x + 5

d x (c + d x )2 (c + d x )2

2x + 3 _5

Desarrollo

380 y =

, _ d y _ (x - 5x + 5)(2x + 3) (2x + 3)(x~ -5x4-5)'^ dx (x2 -5x4-5) 2

, _ dy _ 2(x2 - 5x + 5) - (2x 4- 3)(2x - 5)V dx (x2 -5x4-5)2

dy _ (2x2 -10x4-10)-(4x2-4 x -1 5 ) , . _ d y _ - 2x2-6x4-2!V (x2 -5x4-5)2 ^ V dx (x2 -5x4-5)2

2 12x -1 x

Desarrollo


, _ d y _ ^ (2 x - l) ' —(■*)dx (2x - 1)~

dy 4 J_ _ -4 x 2 +4x2 -4 x + l

y ~ ~ d x ~ (2 x - \ ) 2 + x 2 x2(2 x - l)2

381 y =

, _ d y _ 1 - 4xdx x

1 + \íz

dx x2(2 x - l)2

1-V?Desarrollo

dy ( l -V z jq + ' - a + VzX1- ^ ) 'y =~d¡~ ( i- 4 z f ~

1 - Vz 1+ J ^, dy T J T 2%/z_

y = * ~ (1- Æ ) ! * Æ o - V J ) !

2) FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS.-

382 y = 5 sen x + 3 eos xDesarrollo

v ' = — = 5 eos x - 3.venx dx

383 y = tg x - ctg xDesarrollo

¿y 1 , 1 sen2x +cos- x y _^ dx eos2 x sen2x sen~x.cos x

CIRCULARES

dy 4 dx (senlx)


384

385

senx - eos xy = --------------senx-eos x\

Desarrollo

y' - d y _ (senx - eos x)(senx + eos x) (senx + eos x)(senx - eos x) '2dx (senx - eos a )

, _ d y _ (senx - eos xXeos x - senx) - (senx + cos x)(cos x + senx) dx (senx - eos a)2

_ dy _ -(senx - eos x) ~ — (senx + eos x)dx (senx-eos x)"

, _d y _ -sen2x + Isenx.cos x - eos1 x — sen2x — Isenx.cosx — eos2 x

y

dx (senx - eos x)2

, _ dy _ —2(sen2x *f eos2 x) _ -2dx (senx-eos x)2 (senx - eos x)2

y = 2tsenl - ( t2 - 2)cosíDesarrollo

y ' = — = 2« 7!/ + 2/ eos í - 2/ eos t + (t2 - 2)sent dt

y' = — = 2sent2 + tsent-2sent = t2sent — = /2sdt dx

386 y = arctg x + arcctg xDesarrollo


387 y = x ctg xDesarrollo

■ dy xy = — = ctgx------ —dx sen x

388 y = x arcsen xDesarrollo

389 y =

390

(1 + x~)arctgx- x

Desarrollo

dy 1 1 i dyy' = — = xarctg x +-----------------------------= xarclgx => y xarctg xdx 2 2 dx

3) FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS.-

y = x 1exDesarrollo

, '= dL = 7x6ex +x1ex =ex x \ l + x) =* y'= ^ - = x6ex(x + l)dx dx

391 y = (x- l)e*Desarrollo

y ' = — = ex + (x - l )e x = xe dx

392e7 2

Desarrollo


.. ._dy _ x2(exy - e x(x2y x2ex -2 xe x , d\ ex(x -2 )y • ..4 4 = > >' ~ ~ T ~ ------ 3dx x3dx X4 V4 , / v „3

X5393 y = —

Desarrollo

v ' - ^ l - f l ^ 5y - x 5(exy _ 5 x 4ex - x sex , dy x4(5 -x )d r 2 x ^ y ---- -------- ---------------------------ax <! e dx e

394 f ( x ) = e x cosxDesarrollo

f (.x) — e (eosx) + (e ) cosx = e x cosx —exsenx , de donde se tiene:

f ' ( x ) = ex(cos x - senx)

395 v = (x 2 - 2 x + 2)exDesarrollo

y' = ^ - = ( 2x~2)ex +(x2-2x+ 2)ex => y '= dl = x2ex dx dx

396 y = ex arcsenxDesarrollo

y' = y - = exarcsenx + - J = => y ' = — = ex(arcsenx + - FL = =) dX V\ - x 2 dx 7 l - x 2

397 y= XInx

Desarrollo

y ._ d y _ (ln*)2*-.x ¿y _ x(2In x-1)dx (lnx)2 V dx (lnx)2


*3398 y = x3 \n x - :—

3Desarrollo

y ' = — = 3 x 2 ln x + x 2 - x 2 => y ' = - j - = 3 a " ln .v dx d x

1 „ , ln x3 9 9 y = — i- 2 ln a- ----- r

x XDesarrollo

, _ d y _ 1 " 2 x (ln x)'-(ln .v)A -'

¿ a a 2 a- a 2

dy 1 2 1 ln a , dy _ 2 2 InAy ' = — - — Y + -------~ + ~ T ^ y ~ d x x r 2 x 2d x X A A" A d x A A A

400 y = ln x. log a - ln a. loga aDesarrollo

dy log a InA lnfl dy _ 2 InA 1

' ~ " d x ~ " x (lnlO)A A lna d x AlnlO a

4) FUNCIONES HIPERBÓLICAS E HIPERBÓLICAS INVERSAS.-

401 y = x senh (x)Desarrollo

v ' = — = senhx + cosh a dx

402 y =cosh A

Desarrollo

dy 2 a cosh a - x1 senhxdx cosh2 x


403 y = tgh x - xDesarrollo

1 i _ 1 -cosh' a , dy senh2xy j ^ ^ v — — — —— ----------------— — /o/? - }dx cosh* a cosh" a ' dx cosh2 a

3 ctghx404 y = InADesarrollo

31n a.(------ l ) - t e & í

>' ~ ~r = — "'l x2-------—— , de donde se tiene:dx (ln a)2

, _ dy _ -3( a ln a + senhx. cosh a) dx xln2 x.senh2x

405 y = arctg x - arctgh xDesarrollo

■ — dy _ 1_____|_____ ____ ( 1 — x ' ' ) - ( l + x 2 ) ,<_ d y _ — 2 a 2

dx l + x2 l - x 2 (1 + a2)(1 —x2) ^ V ~~dx~\ - x *

406 y = (aresen x)(arcsenh x)Desarrollo

, dyy - — - (aresenx)'aresenhx + arcsenx.(arcsenhx)' , de donde se tiene:

v , _ dy_ _ arcsenlix ^ aresenx

árceos hx 4U7 y = ------------A

Desarrollo


X - árceos hx.... ---- — aiau^ n.K r—----dy v*2 - l x - yx - 1. árceos/if

y dx x2 x2\¡x2 - l

, _ d y _ x - six2 - 1 . árceos hx

dx x2 six2 -1

arctghx408 y = ,

l - x 2Desarrollo

l - x 2dy . - ( - ^ r c c t g h x ) dy \ + 2xarcctghx

~ d x ~ ( l - x 2)2 ^ V dx ( l - x 2)2

E) FUNCIONES COMPUESTAS.-

409 y = (1 + 3x —5x2)30Desarrollo

y ' = — = 30(1 + 3 x -5 x 2)29(l + 3 x -5 x 2)' dx

y ' = = 30(1 + 3x - 5x2 )29 (3 - 1 Ox)dx

,ax + b ^410 y = (------- )3c

Desarrollo

Diferenciación de Funciones 1

411 f ( y ) = (2a + 3by)2Desarrollo

f ( y ) = 2(2 a + 3by){2a + 3¿y)' => / ' (.v) = 6b(2a + 3fty)

412 y = (3 + 2x2)4Desarrollo

y' = ~ - = 4(3 + 2x2)3(3 + 2x2)' => y ’= — = 16x(3 + 2x2 )3dx dx

3 1 1413 y =56(2x-l)7 24(2x —l)6 40(2x-l)5

Desarrollo

, = ¿ ( 2, - , - ¿ ( 2X-D-»

a* 5o 24 40

, dy -3 1 1y =.-t- = — — -T + — —

y

dx 4 (2 x -l)8 2 (2 x -l)7 4 (2 x -l)6

, _ dy _ —3 + 2(2x — 1) + (2x- 1)2 4x2- 4 x2- ldx 4(2x —1) 4 (2 x -l)8 (2 x - l)8

414 y = y¡l- -x2Desarrollo

’ = V l-x 2 = (1 - x2)2 , derivando tenemos:


415

, '= ? L = - í \ - x 2) 2( i - x 2ydx 2

dy _ xdx y l l - x 2

dy —2x ,v ' = — = ------------ - por lo tantodx I

2(1 - x 2)2

y = yja+bx3Desarrollo

: \]a + bx3 = (a + bx3)3 , derivando tenemos:

y' = — = -(a+ bx3) 3(a + bx3)' dx 3

dy _ 3 bxdx

3(a + bx )■3'í3

, _ dy _ bx

dx y] a + bx3

4162 2 3

y = (a3 - x 3)2Desarrollo

2 2 1 2 2y' = — = — (a3 - x 3)2(a3 - * 3)' y ' =

dx 2

12 2 „ 1 ’ _ d y _ 3 sJ a 3 _ x 3 ( _ ~ r 3

dx 2

, dy _ \2 2

J a 3 ^ :dx

=> y </x

417 y = (3 - 2«?nx)5Desarrollo

' = — = 5(3 - 2senx)4 (3 - 2senx)' => y' = ^ = -10cosx(3-2senjc)'í/x <¿x


418 y = ígx—j/£ J* + j / g 5x

Desarrollo

y 1= — = —7 — # 2 *(te*)'+ tg4x(tgx) • dx eos"x

, .’- d y _ ' 1 íg2x ?g4x , rfyy --- -------------------------------------------+ -------------------- y = —

ax eos" x eos x eos" x dx

419 y = yjctgx - yjctgaDesarrollo

1y , _ d y _ (ctgx) 0 ^ y . _ d y _ " s e n 2x _ 1______

¿a 2-Jctgx dx 2yjctgx 2senz xyjctgx

420 y = 2x + 5cos3xDesarrollo

y '= ~ = 2 +15eos2 x(cosx)' => y ' = — = 2 - 15cos2 x.senx dx dx

421 x — cosec2t + sec2 1Desarrollo

. dx _x (t) = — = 2 eos ect.(eos ect) '+ 2 sec f .(sec t)'

1 - t g 2x + tg*x eos2 x


422

423

d x I c t g t 2 t g t r H i \ - d X - 2(cos4f - W r )X ( t ) = --- = ------T- + ----— => X ( t ) - — - -------- 3 3

dt sen t eos t dt sen t. eos t

d x 2 (cos2 1 + sen2t)(cos2 t - sen2t)x ( t ) ^

dt sen' /.eos t

,, , _ d x _ 2(cos2t- s e n 2t) 16cos2r' ' dt ,sen2t 3 seni 2t

2

/ ( a ) = -------------------------r6 ( 1 - 3 c o sa)

Desarrollo

/ « = -1 ( 1 -3 c o s a ) 2 , . ,

----------------- ------------------------ , derivando se tiene:6 ( 1 - 3 eos a )

2 ( l - 3 c o s x ) 3 ( 1 - 2 c o s a ) ’ , , ,f '(a) = — ---------------- -— --------------------- , de donde se tiene:

/ \ x ) =( l - 3 c o s x ) 4 (3seHA) _ sen x

( 1 - 3 co sa )

y =1 1

3 eos3 a cosaDesarrollo

eos 3 av = - - (eos a ) , derivando se tiene:

, -3cos 4 a ( c o s a ) ' _2 , .,3>' = -----------------------------+ eos a ( c o s a )

, sen x sen xy = — 4----------2

cos a eos a


424

senx(\ — eos a) s e n 3xy 4 4

COS A eos A

¡ 3 s e n x - 2 c o s xy :

Desarrollo

- í 1

V • - i , 3 s e n x - 2 cos a 3s en x - 2 cos a

2 5 ’ 5 }

v ' - 1 - 3.se/iA —2 cos a . " 3cos A + 2 sen x ' 2 5 ( 5

v , _ dy _ \ 3 cos a + 2 senx 1dx 2 5 l3senx-2cosx

í 1

y < _ ^ y _ _ 3 c o s x + 2 s e n x

dx 2y¡\ 5sen x - 1 Ocos a

425 y = yjsen2 x + — Â

Desarrollocos3 A

2y = s e n 3 a + eos-3 a , derivando se tiene:

y = ~ r = ^ sen 3A .( .? e « A ) '-3 c o s '4 a ( c o s a ) ' •=> y '= Q - = _ 2 c o sa _ + I r a * 3 dx 3 ^ & eos4


246 y = *J\ +arcsenxDesarrollo

= dy = (1 + arcsenx)^ ¿e donde se tiene; dx 2-J\ + arcsenx

1

, _ dy_ _ Vi-A '2 _ 1_________dx 2yjl + arcsenx 2 yJ \-x2y¡\ + arcsenx

427 y = yj arctgx - (arcsenx) 'Desarrollo

y ' = éL - ârct^ _ 3(arcsenx)2 (arcsenx) ’ dx 2 yfarclgx

1

y ' 1 + A" *-3(arcsenx)2(arcsenx)'dx 2 Jarctgx

¿y 1 3(flrcse»jc)~

dx 2(1 +x 2)jarctgx y ] \ - x l

1428 y = --------

arctgxDesarrollo

1

. dy (arctgx)' v ' = — = ___ = ------------------- -------------231 " ¿ v (arctgx)2 ' d* (arctgx)2 (1 + x )(arctgx)

429 y = yjxex +xDesarrollo

•y


y ' - dy -- í-*16* +XY _ ex + x e c + 1

dx 2\¡xe' + x 2 ' fxex + x

430 y = \¡2ex - 2 X +1 + ln5 x

Desarrollo

.V - (2ex - 2 X + 1)3 + ln4 x , derivando se tiene:

,._4ydx 3 1y = - r = (2ex - 2 X + 1) 3(2ex - 2 X + l)'+5ln* jc(lnx ) ’

y ' - ^ - 2 e* -2x [ 51n4xdx 3yj(2x - 2 X + \)2 x

431 y = sen3x +eos —+ tgJx5

Desarrollo

, dy x y i37 = dx = C os3x(3x)« " (7 X7 ) f - ( Vy) ’5 5 C O S 2 yfx

v' _ dy -> 1 x 1y = — = 3cos3.r — s e n -+ — ——-------5 5 2yfxCOS2 y/x

432 y = sen(x2 - 5 x + l) + tg —

Desarrollo

>''í::^ - = cosU2-5x+1).(a:2 -5 x + 1)'+— ?— (-)•dx 2 a Veos---

X


dx 2 2 & x eos —

433 f(x) = cos (ax + P)

435

Desarrollo

f ' ( x ) = -sen(ax + P).(ax + ¡3)' => f ( x ) = - a s e n ( a x + p )

434 f(x) = sen t. sen (t + ip)Desarrollo

/ ' (í) = (sent)' sen(t + (p) + sent.[sen(t + (p)]'

f ' ( t ) = cos t.sen(t + (p) + sent, eos (t + <p)

sen(2t + cp) sen(2t + (p)f ' ( t )2

1 - eos 2x 1 + eos 2x

f ' ( t ) - s e n ( 2 t + (p)

Desarrollo

, _ dy _ (1 - eos 2x)(l + eos 2x) (1 + eos 2x)(l - eos 2x) 'dx ' (1- eos 2a)2

, _ d y _ -2sen2x(l - eos 2x) - (1 + eos 2x)2sen2x dx (1 - eos 2 a ) 2

y' = ^ =-4sen2x -A senlx

dx (1-eos x + sen x) 4sen x, de donde se tiene:

dy _ -2senx.cosx _ - 2 cosa y » 4 3dx sen x sen x


436 f ( x ) = a.ctg(—) a

439

Desarrollo

f ' ( x ) = a.(-------?-----)(£)• = -------L

437 y = _ _L cos(5a2 ) - —eos x 220 4

Desarrollo

438 y = aresen 2xDesarrollo

y ' - d y - ____ ' L

V i - 4 a 2 7 i - 4 a 2

1y = aresen—-2X

Desarrollo

( - L ) ' ___a2 _ x3 2x2 t dy

440 / (x) = arccos(Vx)

Desarrollo

X 2—senx~2

-2

:Vx4 -1


-O /*)' _ 2y¡X_

441 y - a r c t g -X

Desarrollo

y =( - ) '

X , dy_ 1^ dx x2 +1

4421 + x.

y = arctg(----- )l - x

Desarrollo

, _ d y _ S - x y ~ d x ~ l+( 1±£)2

l - x

(1 — JC)—(1 + jcX—1)( l - x 2)

1 + (l + x)~ ( l - x )2

, dy 1 - x + 1 + x ___________ 2____________y ~ dx ~ ( l - x ) 2 + (l + x)2 l - 2 x + x2 +1 + 2x + x2

, de donde se tiene:

dy 1dx 1 + x~

443 y = 5e~Desarrollo

y ' = Q = 5e~x' ( -x 2) ' = - 10x<f dx


444 y = - V5

Desarrollo

, dy (5X )' 2x5x ln5 , dy 2xln5 „ , .y ’ = — = -- - - - -------------- => y = — = ---- -— = 2x.5 ln5dx (5* )2 52x' dx 5*'

445 y = x 2 l02xDesarrollo

y ' = = (x2 ) 110 2"* + x 2 (10 2jr)' => y ' = : ^ - = 2 x.l02j;+ x 2 1 0 2jr2 1 n l 0dx dx

y ' = — = 2 x .l0 2jt(l + x ln l 0 ) dx

446 f ( t ) = tsen2'Desarrollo

/ ' (f) = íe«2' + 1 sen 2 ' (2') ’ => / ' (/) = se«2' + 2r t ln 2.se/i 2'

447 y = arcsenexDesarrollo

dy

448 y = ln (2x + 7)Desarrollo

y , = dy = (2x + 7 ) '_ 2dx 2x + 7 2x + 7

449 y = log (sen x)Desarrollo

2 1 0Eduardo Espinoza Ramos

y. = ^ = (£ £ ^ I log e = — log e => y' = ~ = ctg x.\o%edx senx senx

450 y = ln (l- x )Desarrollo

, dy (1- x 2)' _ ~2x dx 1- x 2 1 - x 1

451 y = ln2 x — ln(ln x)Desarrollo

/ = á U 2ln*lndx ln .v

v' = — = 21n x —dx x lnx

, dy _ 2 ln x ___1_dx: x xlnx

452 y' = \n{ex + 5senx - Aarcsenx)

Desarrollo

dy _ (ex + 5senx - Aarcsenx) ’V dx ex + 5senx - Aarcsenx

dy (ex + 5cosx)V l-x2 - 4

dx Vi - x2 (ex + 5senx - Aarcsenx)

. ¿y _y

e* + 5cosx-

dx ex + 5senx - Aarcsenx

453 y = arctag (ln x) + ln (arctag x)Desarrollo

y =dy (ln x)' | (arctgx)'dx~ \ + (lnx)2 arctgx

X \ + x ¿dx 1 + (ln x) arctgx


. dy 1 iy = - ¿ = ------------- + _dx x(l + (lnx)2) (1 + x 2)arctg x

454 y = -v/lnx + l +ln(Vx+l)

Desarrollo1

, _ d y _ (ln x + 1)' | 1__ t dy _ ~ idx -Jl\nx + \ 2(x + l) dx V21n x +1 + 2(x + l)

, dy 1 iy — ~ = ------= +-

dx 2x>/lnx + l 2(x + l)

6) FUNCIONES DIVERSAS:

455 y = sen3 5x.cos2 —

Desarrollo

f dy %y =~r = 3sen~5x(sen5x)'cos,2 - + sen3 5 x.2 eos - (eos - ) ’ dx 3 3 3

i dy -7 v 2>' = — = 1 * 5x. eos 5x.cos2 ( - ) — sen35x2 eos - se« -

ax 3 3 3 3

456 y = — 112( x - 2) x ~2

Desarrollo

, = f^ = _ l l 4 ( x ^ í x ^dx 2 ( x - 2)4 ( x - 2)2

dx 2 (x -2 )4 (x -2 )2


dy 1 1 4 ^ _ 11 + 4(* - 2) -dx ~ (x - 2)3 + (x - 2)2 _V dx (x - 2 )3

15 10__________ 14 (x -3 )4 3 (x-3)3 2 (x -3)2

Desarrollo

_ l £ (x_ 3 ) - * - ^ ( ,_ 3 ) - 3 - i ( x - 3 )-24 - 3 ¿

— = 15(x-3)~5 + 10(x - S)”4 + (x - 3)~3 dx

dy 15 t 10 , 1dx (x -3 )5 (x -3 )4 (x -3 )3

dy 15 + 10(x - 3) + (x - 3)2 ^ ,_ d y x2+4x-dx ( x - 3)5 (x -3 )

8(1- x 2)4Desarrollo

rfy _ 1 [(1 - x2 )4.8x7 - x8.4(1 - x2 )3 (—2x)] ) d 7 ~ 8 (1 - x 2)8

dy _ x7( l - x 2) + x9 = x7

dx (1 - x2 )5 (1 - x2 )5

y]2x2 — 2x +1 x

Desarrollo

4x + 3 ( x - 2)3


460

,_ dy _ x(y¡2x2 — 2x + I ) ' - \/2x2 - 2x + ldx x2

i j 4 j r ~ 2 ) - V 2 j : 2 —2 . t + l. _ dy _ 2y 2x2 —2x + l

dx x2

dy x(2x - l ) —(2x2- 2x + l) dy x —1: — = ---------= = = = = = = ----- => y = — = -----= = = = =^ x2v 2x2 - 2x + l x2V2x2 - 2 x + 1

a 2 \[a ~ + x2 , „2Desarrollo

, dy 1 a / « 2 + x 2 - x ( \ l a 2 + x 2)'y (------------------------------- ) , de donde se tiene:dx a2 úT+x

, 2

'Ja2 +x2 — r = ¿ =y- = ^ = -L(._________ '¡a2 + x2 )j J 2 v ^ 2 7dx a a ~ + x

dx a2 (a2 +x2)yja2 +x2 dx 7 ^ + x 2)3

x3461 >’ =3^/a-+x2)3

Desarrollo

V ^ 7 ) J3x2- x 3 ( ¿ ¿ 1 ¿;, = d i = 1 ________________ 2 /(1 + x2)3 ^

dx 3 (1 + x2)3


dy_• _ I (3x2(l + x2)3-3 x 4(l + x2)2 x dx 3 (\ + x2)3yj(l + x2f

dy _ x2(l + x2) - x 4 ^ v, = ^ = _ _ £ ___

dx (l + x2)^/(l + x2)3 dx \¡0 + x2y’

l 3 / 7 + i I j c ^ + i ^ + X 2^2 7 5 3

Desarrollo

, 2 ,o Z o i 6 12£ a-3 + _x6 + —x3 + — .V6 , derivando se tiene:2 7 5 13

1 2 7

z d l = x~ l +3¿ + 3 ¿ + J => y' = ^ = i r + 3x" + 3 ^ + x ®X3

i 3dy _ 1 + 3x2 + 3x + x2

= 1 ^ / ( 1 + x 3 ) 8" - - ^ / ( 1 + x 3 7

8 5Desarrollo

i - 1 ~- i (i + A-3 )3 - - (1 + x3 )3 , derivando se tiene:8 ' 5

= — ( 1 + x3)3 3x2 - —(1 + x 3 ) 3 3 x 2

dx 3 3


464 y = ~ \ X 13 V x + 2Desarrollo

4 x -1 -y = — (------)4 , derivando se tiene:3 x + 2

dx 3 x + 2 (x + 2)2

^/(——-)3 (x + 2)2 \ /U - l ) (x + 2)5V x+2

465 y = x4(a - 2 x 3)2Desarrollo

y 1 = ^ = 4x3 (a - 2x3 )2 + 2x4 (a - 2x3 )(-6x2) dx

y' = — = 4x3(a -2 x 3)(a -2 x 3-3 x 3) => y' = — = 4x3(a -2 x 3)(a-5.i dx dx

466 y = (a + bx" y a - b x n

Desarrollo

y ' = l = m(a + bxnr -i (a ± h f_ y dx a - b x n ' a - b x n *

, _ dy _ a + bxn ,„_j ( a - bx" )nbx" 1 - (a + ¿x" )(-nbx" 1) y dx a -bx" { (a —bxn)2


v' = = m(— — =* y' = ^ - = 2anmbxn- dx a - b x n (a -b x "y dx

9 3 2 1467 y = --------- ------------“+ -5(x + 2 ) 5 (x + 2 ) 4 ' (x + 2 ) 3 2 ( x + 2 ) 2

Desarrollo

y = - (x + 2)~5 - 3(x+ 2)-4 + 2(x + 2)~3 - ^ (x + 2)~3

y ' = Q- = - 9(x + 2r 6 + 12(x + 2) 5 - 6(x + 2)~4 + (x + 2) 3 dx

dy 9 12 6 1y = — = — r r + ~—

y

dx (x + 2)6 (x + 2)5 (x + 2)4 (x + 2)3

dy -9 + 12(x + 2 )-6 (x + 2 )2+(x + 2)?~~dx~ (x + 2)6

dy -9 +12x + 2 4 - 6x2 - 24x-2 4 + x3 + 2x2 +12 + 8y =

y

dx (x + 2)6

, dy _ x3 -1 dx (x + 2)6

468 y = (a + x ) \ la -xDesarrollo

(a + x)(-l)>' = \Ja — x +

2 sja - .

,------ a + x 2 ( a - x ) - ( a + x) V' - ^ L = —2- Ja -x 2 y ja -x dx 2’

, (fl + fcx")”- 1 (a -b x n)mA

-3 x


469 y - V Ü + a)(x + £)(x + c)• Desarrollo

(x + a)(x + ¿>)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abe

[(x + a)(x + fc)(x + c)]' = 3x2 + 2 (a + b + c)x + ab + ac + be

y = J(x + a)(x + b)(x + r ) , derivando se tiene:

, dy [(x + a)(x + í>)(x + c)l’y = — = ■■ ■■■.... , ■■ ■■■■ , de donde se tiene:dx 2-y/(x + o)(x + /j)(x + c)

, _ d y 3x2 + 2(a + b + c)x + ab + ac + ba d* 2^/(x + a)(x + b)(x + c)

470 z = y]y + yfyDesarrollo

__z = (y + Vy )3 , derivando se tiene:

2 2

~ - = ~ ( y + \ [ y ) 3(y+Vy)' => -j- = ^(y+Vy) 3(1+tt=-) dy 3 dy 3 2^/y

dz _ 2-y/y+1

^ 6>J(y+-Jy)2yfy

471 f ( t ) = (2t+ l)(3í + 2)yj3t + 2Desarrollo

4

/(O = (2/ + l)(3í + 2)3 , derivando se tiene:


4 I

f '( t) = 2(3í + 2)3 + 4(2f + l)(3í + 2)3

i «

/ \t) = 2(3/ + 2)(3í + 2)3 + 4(2/ + 1)(3? + 2)3 => / ’(í) = 2(11 +4)^/3? + 2

472 a =\¡2ay - y 1

Desarrollo

- - d x lx = (2a y - y 2) 2 , derivando se tiene: — = (2ay -y* ) 2(2 a y - y )dy 2

3

— = - - ( 2a y - y 2)~2(2a - 2y) = -

473 y = ln (\l + ex - 1 ) - ln(VT+? +1)

Desarrollo

3, ' - _ ( -lii: , derivando se tiene:Vl + ex -1 Vl + e v +1

, _ d y _ 2sjl + e* 2y l + e*¿a- Vl + ex -1 Vi + e ' +1

^ ( i_________ L _ )dx 2J \ + ex y¡\ + ex -1 V T +^ + 1

dy e* Vl + e* + l - \ l l + ex - 1) ^ , dy 1^ 2-Jl + e* (\ + ex) - \ dx yj\ + ex


474 ] , , y = ^ cos' *(3 cos" a -5 )

Desarrollo

,v = -

cos5 A eos3 Aderivando se tiene:

y' = ~ - = eos4 a (c o s a )e o s 2 a(cos a )’ de donde se tiene: dx

, dy 4 ?y = — = -cos x.senx + cos ' x.senx dx

y ' — — - eos" A.íenx(l — eos" a) => y 1 = — = eos2 x.senx(sen2x) dx dx

, Wy 3 2y = ----- sen A. eos Adx

475 v = (?g 2a - l)(/g4a +1 Otg2x + 1)3/g3A

Desarrollo

Efectuando el producto se tiene:

y =_ tg x + 9tg4x - 9 tg 2x - l _ 1 3 1

3/g3A= .-fg x + 3tgx~3tg ~ x — tg x

3 ” “ “ 3

> _ , „ 2 ^ o a „ 2 „ , t » _ - 2 2 „ , , „ - 4 ______2y' = rg A.sec a + 3 see a + 3tg .y. sec a + / ? '4.see2 a

, sen‘A 3 3 , cos~ay _ _ + -----__ + ---- + -----cos a eos a se« a sen x

y, _ se/i6A + 3se«4A.cos2 x + 3sen2x.cos4 x + cos6 asen4A.cos4 a


, (sen2x + cos“ x) _ 1y ~~ 4 4 4 4sen x. eos x sen x.cos x

476 y = tg2 5xDesarrollo

y' = — = 2tg5x.(tg5x)' = 2tg5x.$ec2 5x(5) => y' dx

1 2477 y = — senx 2

Desarrollo

. dy 1 2/ 2m cos*2 ^ v dyy = — = —cosx (x ) = ------- (2x) => y =-—- dx 2 2 dx

478 y = sen2/ 3Desarrollo

y ’ = — = 2sení3 (sení3 )' = 2sen/ ’ eos f3 (í3)' dx

v’ = = 6t2sent3 cost3 = 3t2sen2t}dx

479 y = 3senx. eos2 x + sen3xDesarrollo

y' = = 3 eos3 x + 3senx.2 cos( -senx) + 3sí?/í 2 x. eos xdx

v' = — = 3eos3 x —6íen2x,eosx + 3sfin2x.eosx dx

— = 10r,?5x.see: 5x dx

xeosx2


, dy 3 ■>J = — = 3eos x-3sen xeosx

dx

>''- ~ = 3cosx(cos“ x~sen2x ) = 3eosx.eos2x dx

480 y = ^ fg 3x-ígx + x

481

Desarrollo

— L _ + i =, idx eos x dx eos x

y ' - d y _ tg x - l + eos2x dx eos2 x

, _ dy _ tg x — sen~x _ sen2x — sen2x.cos2 x dx eos2 x eos4 x

, dy ífin x(l — eos x) sen .v 4y = ---------------- --------------= -------— = t g X

dx eos x eos x

cosx 4 ■tgx

Desarrollo

y = ~ -— r + -ctgx 3sen x 3

y,_ -1 (sen x(cosx)’-cosx.3sen2x(senx)' 4 3 j<?«6x 3sen2x

1 -íen 4x -3cos2 x.sen2x 4y = - ( --------------------- -------------------)3 sen5x 3sen2x

, 1 .sen x + 3cos 4y =~(----------z------- ) —

3 sen4 x 3sen2)

1eos2 x

2 2 2 Eduardo Espinoza Rami

1 ,se«2x + 3cos2 x-Asen~x^ , 3cos2 x-3sen2x cos2x(--------------- -------------- ) => y = ------ ------------- = ----- ---3 sen x 3 sen x sen x

-2x482 y = yja.sen2x+ ¡3 eos2

Desarrollo

, _ (a sen2x + p eos2 jc) ' _ 2a senx.eos x - 2/3 senx.eos x

2yja sen2x + p eos2 x 2J a sen2x+ P eos2 x

( a - P)senx.eos xy =

Jasen2x + p eos2 x

48 i y = a re senx2 + arccos x 2

Desarrollo

3. . - ^ 2)' (*2>' 2* 2* => y = 0Vi — JC4 \I\-XA V 1-A'4 \ll-XA

Desarrollo

1 ,y 1 = aresenx(aresenx)' arccos x + — (aresenx)" (arccos x) '

2

, aresenx. arccos jc (aresenx)2 . 1 . 2 arccos a - aresenx:y = —------------------------ ■- => y = —aresenx(---------,......--------- )V i-* 2 2 V1 - JC2 ’ 2 Vi - JC2

.A2- 1y = aresen(— — ) x"

Desarrollo

2

jc \¡ ix - 1 .1V 2 jc2 — 1

2 2 - Eduardo Espinoza Ramo

x + x árceos xy =-

x arccos x - V Í 7 7

a - * 2)2

48: y - —U arcsenix. — )ylb Va

Desarrollo

y =

4b Jb1 sfa _ yja

4~b J i - x lb-V a yja

y =\ l a - x 2b

48 ’ = \Ja2y = y a ~ - x + aarcsen— a

x a(£)’y ' = ' ~ f— + -----«—yja2 - x 2

Desarrollo

x ay = ■--------=+-

yja2 - X 2 \la2 - X 2

a - x y /a - x y ja - x _ j a - x yjd1 - x 1 (a -x)(a + x) Va + x

- x , \ a - x _=?. y = ¡i------ para a >0a + x

49 r~2 21 = xyjo —x +a arcsen —

Desarrollo

• = - 2 -4 7 ^

y =-2 2 a - x - x

J T ^ x 2 4a2- x 2


, 2a 2 - 2x2 , f i iy =■ ,---- ===- = 2v a ‘ ~ .v ; a >0J a 2 - x 2

491 y = arcsen(l-x) + y¡2x~-x2Desarrollo

< _ d y _ 1 (2jr —-y2)'y j l - a - x )2 2s l lx - x 2

dy -1 1 -* , dy -xy = t : = -i — - + / =* y = - r = -

^ V l- l + 2x - x 2 y¡2x - x 2 dx y¡2x - x 2

492 y = (x - —)arcsen(\[x) + —i j x - x 2 2 2

Desarrollo

i ¿y 1 /— 1 i— 1 ( — j 1" \ 'y = ^ r = (x - —) ’ arcsenyj x + ( x — )(arcseny/x)'+-(— ===J=)

dx 2 2 2 2 4 ^

. <*y r ./ i*(V *)' 1 , 1- 2* ,y - — = arcsen^x + ( x ----- ) — - + - ( - - ■■ ■ —)dx 2 V T I 4 7 J I 7

, _ d y _ r~ 2x - l 1 - 2 x , dy ry - —— - arcsensix H---- ■■■■■ ■ H-------- ¡ • - => _y — — = arcsenix4 4 x - x 2 4 \ x - x 2 dx

493 y = ln(arcsen 5x)Desarrollo

y _ dy _ (arcsenSx) ' _ - /l- 25x2 y ' - Q -dx arcsen5x arcsen5x ' dx ^ _ 25x2 .arcsen5x


494 y = arcsen (ln x)Desarrollo

1dy (ln*)’ _ jc ^ y ' - dy - 1dx J \ - ( \ n x )2 y jl- ( lnx )2 dx x^/l-flnx)2

, xsena .495 y = arctg (------------ )l-x c o s a

Desarrollo

xsena (1 - * eos a)sena - xsenai- cos a )dy l -x c o s a , ,< - d y _ _________(1 xcosa)______ — — _ —v y 2 2 2dx j + ( xsena 2 de (1- xcosa) +* sew a

l -x c o s a ( l-x c o s a )2

dy sena - xsena. cos a + xsena. cos a , dy _dx l - 2xcosa + x2 cos2 a + x2sen2a dx l - 2xcosa + x2

r- * ,2 5 /g - + 4496 y = — arctg----------

3 3Desarrollo

1

y

* * § + 4 § < - ^ >, dy 2 ^ y> = dy _ 2 C° S" 2 ..

dx 3 5^ * + 4 dx 3 9 + (5 * 4)2

5(9).

y, = ^ = 2 ( ' - I ,..,,) ^ y , = ^ = 2 (------------- 15-------------

dx 3 9 + 5(tgx + 4)2 dx 3 2eos2^ (9 + {5tg^ + 4)22 2 ¿


dy _ 5

dx eos2 ~ (9 + 25tg2 ~ + 40 tg | + 16)

y =eos2 ^ (25(1 + tg2 ~) + 40tg


.<-dydx eos2 — (25 see2 -~ + 4Qtg —)

2 2 S 2

1x x

5 + Ssen — eos — 2 2

dx 5 + 4senx

497 y = 3b2 arctg J — -----(3b + 2 x)\Jbx-x2\ b - x

Desarrollo

y ' = 3b2 - ^ = — 2 s f ^ - ( 3 b + 2x ) ^ x) 'L ü _ ) .b — x

l+( J x )2\ b - x

b

2 s lb x -x 2

b - x + x b - x

2 sjbx-:

„ '- '¡u it b (b -x ) f J (3b2 + 2bx-6bx-4x2)y =3 b (——= = ------- r=-)-2 S¡bx-XA-------------------------------2 b \¡b -x (b -xs]x ) 2 \¡bx-x2


3b2 4(bx - x2) +3b2 - 4bx - 4x2

3 y¡b-xy[x l ' j b x - x 2

3b2 Sx2 -3 b 2 , _ 3b2 +$x2 -3 b 2 _ 8x 2

2 - J b -x J x 2 4 b x - x 2 2s[xy¡b-x 2\¡b x -x 2

4x2 . y/x I xy = _ , - v - r - = 4x—f = = = 4 * .------\ fxs]b-x 'Jb - x \ b - x

498 y - -'J2arcctg -4= - * v 2

<*£)*

Desarrolio

' = _V2(----- 2 1 ----2 ( ^ ^ p ) - l! * « ] ’ 2HV *

V2 2

2 see2* 2 l-e o s 2* sen2*/ = -------- --------- — 1=1---- =— 1 = '2 eos2 x + sen2 x l + cos 'x 1 + c o s ‘a: 1 + cos 'x

eos2 x

499 y = VeDesarrollo

, (eaxy aeax ay — i— — i— — „ ^ e

2 Jeax 2 j e ax 2

sen x500 y = esDesarrollo

y '= esen x(sen2x)'=2senx.eosx.esen x => y '- sen2x.esen x


501 F(x) = (2ma,nx +b)pDesarrollo

F '(*) = p(2ma"u + b)p ] (2mamí +b) ' , derivando se tiene:

F'(x) = p(2mamx + b)p~' 2m2a"LX la a

F' (x) = 2m2p(2ma,nx + b)p~' a ,nx ln a

502 F(f) = e“ cosj3íDesarrollo

F'(t) = a eca eos p t - P emsenp i => F'(t) = ew (a eos P t - P senP t)

503 _ (asenP x -P e o s P x )e axy ~ a 2 + p 2

Desarrollo

, _ (a eos p x + b2 sen P x)eax + a eax (a sen B x - P eos xP v) y - ~oF+~P2 1

, (P2 +a 2)senpxeax a axy =—------r----- f --------= sen p x ea + P

é504 v = ----- (3.ve«3a' - eos 3x)

‘ 10Desarrollo

e ey = (3sen3x - eos 3jc) + (9 eos 3x + 3sen3x)

e xy = -y^- (-3sen3x + eos 3x + 9 eos jr + 3sen3x)


£ ' _y ’ = ---- (10cos3x) = e Jtcos3x

10

505 y = x na~xlDesarrollo

y’ = nx"~la~^ + x"a~x\ - 2x)\na => y' = a~x* x n~ \ n - 2x 2 lna)

506 y = -Jcosx.a^cosxDesarrollo

y '= (eos ^7 ^ 7 + Veos x . a ^ ^ (Veos x )1 ln a 2Veosx

senx.a^C0SX senx.-Jeos x.a^C0SX ln a 2 Veos x 2 V eos x \

1 i------ J^Tx,senx senx r — i iy ' = — vcosx.a [-------+ ------ .Veos x ln a]2 eos x eos x

y ' = —i V c o s x .« ^ (tgx + tgx.s¡cosx ln o)

y ' = - i Veos f l ^ 'f f x í l + Veos x. ln tí)

i«*-507 y = 3 *

Desarrollo


ii «g- , ln 3 3 * ln 3

y = 3 ' ------------ - = -------2 2 J * \2 x se« — (x,sen—)

508 y = ln (ax '+ bx + c)Desarrollo

, (ox‘ + ¿x + c) 1 2ax + by =■

ax2 + bx + c ax2 + bx +

509 y = ln(x + \¡a2 +x2)Desarrollo

j ___x

y ’ - (X + V^2 +X2)' _ y]a2 + x2

x + y fa ^ + x2 x + y ja 2 + x 2

Va2 + x 2 + x 1.V =■

yja2 + x2 (x + \la2 +x2) yja2 + x2

510 y = x -2 \[x + 21n(l + Vx)

y .= i_ i + 2 0 + ^ r ^ / = 1 _ i + _VT =1

DesarrolloJ

1 1Vx 1 + Vx Vx 1 + Vx Vx Vx + X

_ >/x+ x - ( l + Vx) + l _ X _ _ -v/xVx(l + Vx) Vx(l + Vx) 1 + Vx

511 y = ln(a + x + >/2ax + x2)Desarrollo


512

, _ (a + x + J la x + x2) '

a + xV 2ax+ x 2

V 2ax + x2 \¡2 ax + x2 +x + a v — •a + x + \j2ax + x 2 72ax + x 2 (a+ x + J 2ax + x 2 ) \¡2ax + x 2

1x

DesarrolloIn2 x

1 , , y ' = —t—= (ln.x)' => _y' = —2(lna:) (Injc)' , de donde se tiene

In x

y' = —2 In-3 x(— ) = - 2A in ’ x

513 y = ln(eos ——-)A'

Desarrollo

,x —1 x -1 x - lleos(----- )] —seni----- )(----- )■ _______x _ ______x x

,x - l /* - 1 \eos(------) eos(----- )X X

. x — 1. L ,jc —1., 1 . , 1 x — 1y =tg( -)0 — ) = -tg( -)(— ) => y = — j t g (— -)X X X X - X X

, ( a - 2)5514 v = In---------u + i )3

y = In (x 2\ = ln(x - 2)-s - ln(x + 1)3 => y = 5 ln(x - 2) - 31n(x + 1)

Desarrollo

U + l)3 ,


5 3 2x + l l , 2x + l 1y = -----------------------------= ------------------------- V = * ------------------------

x - 2 x + 1 x2 - x - 2 x 1 - x - 2

5,5x - 3

Desarrollo

y = in Í í —lll if— = ln(x - 1)3 (x - 2) - ln(x - 3) x -3

y = ln(x - 1)3 + ln(x - 2) - ln(x - 3) => y = 3 In (x - 1) + In (x - 2

3 1 1 , 3x2 +16x + 19y = — — +---- --------- => y =■

x -1 x - 2 x - 3 (x -l)(x -2 X x -3 )

516 y = ------i-r—+ln(rgx)2 sen~x

Desarrollo

sen~2x . . . , 2sen 3x(senx)' (tgx)'y = ----- — + ln(f£x) => y = -------- f ----- L + 1£_L2 2 i#x

eosx sec2x , eosx 13 + ^ y - 3 + " 2sen x tgx sen x eos xìgx

eosx 1 , eos2x + ien2xser? x senx.c osx sen3x eosx seiv'x.c osx

sen3 x. eosx

- In (x

517 y = ^ J x 2 - a2 - ~ \ n ( x + J x 2 +a2 )

Desarrollo


1 + - *yjx2- a 2 | _________a2 yjx2 - a2 ^

2 2y¡x2 - a 2 2 x + \lx2 - a 2

9 7 7 I 2 2x - a +x a ^ Vx - a +x ^

2\lx2 - a 2 ~ 4 x 2 - a 2 (x + yjx2 - a 2)

2x2 - a 2 a2 2x2 - 2a' , [~¡ Jy ' - ------------------- --------- = ----—= => y' = \lx - a2V7 T 7 2 4 x 2 - a 2 2 Vx2 - « 2

518 y - ln(ln(3 - 2x3))Desarrollo

6x2[ln(3 — 2jc )]' 3- 2 a 3 ^ 6y~

_V ln(3 — 2jc3 ) ln(3-2x3) (3-- 2x3) ln(3- 2x3)

519 y = 51n3 (ax + b)Desarrollo

/= 1 5 1 n 2(ax + ¿)[ln(ax + Z>)]' => y ’ = 15ln~(ax + ¿>).

y

ax + b

15aln2(ax + fo) ax + b

.sfx2 +a2 +x520 y = ln(- -— = ----- ) + a2 - x

Desarrollo\Jx2 ' "2

y = {nM +_ í ± ± ) = ln{ J J T á 2 +x ) - ln(yjx2 +a2 - x)2 2

V x ~ + a - x


, (\¡x2 +a2 + x)' (\¡x2 +a2 - x ) ’ . . .y = ■ ,------ =------------■ ------, derivando se tiene:

y/x2 + a2 +x y¡x2 +a2 - x

X +1 -1yjx2 + a2 yfx2 +a2

y¡x2 + a2 +x yjx2 + a 2+ a~ —x

y =x + yjx2 +a2 x - y j x 2 +a2

yjx2 + a2 (yjx + a2 + x) (\¡x2 + a2 - x)Vx2 +a2

1 1 2y = "r~.-----r +-

\lx2 +a2 yjx2 +a2 yjx2 +a2

m, 2 2s n t x ~a521 y = — ln(jc - a ) + — ln-------------2 2a x + a

Desarrollo

y = — ln(x2 - a 2) + — lln (x -a )-ln (x + a)]2 2a

, m , 2x n 1 1v = —(—-----—) + — (---------------) , de donde se tiene:

2 j t - o 2a x - a x + a

mx n ,x + a - x + a^y = —— 1 + - (— 2—

X - a 2a X - a

mx + n2 2 ' 2 2 ~'' J — ~ 2 2" x - a x - a x - a

522 >’ - x.sen(ln x - —)4

Desarrollo


523

y' - senilnx - —) + x cos(ln x - —)(ln x d e r i v a n d o se tiene:4 4 4

u xy ' = sen( ln x - —) + eos(ln x - —)

y ' = sen{ ln x) eos — - eos(ln x)sen — + cos(ln x) eos — + se«(ln x)sen4 4 4

x/2 yfiy' = —— sen(lnx)-.— cosílnx)-t— —cos(ln a)h— — sen(lnx), por lo tanto2 2 2 2

y = V2se«(ln x)

1 , . x 1 cosxy = 2 H 'S 2 ) - 2 l¿ r x

Desarrollo

r — v1 ^ 2 1 sen2x(-senx) - eos x.2senxcos xy = r — — - T --------------------------5--------------------2 £ 2 se« x

2

ic o s 2 - 31 9 9 se« x + 2cos" xjsenx , , ,y ' = _ ¿------ é. + -------------- ------ , de donde se tiene:2 £ 2sen x


, 1 eos2 X +1=> y = ------- + ---------r—

2 senx 2senx

, s e « 2x + cos2 x + 1 2 1y = ----------------- ------------ = ----------— => y = -------—

2sen x 2 s e n x se« x

524 /(x ) = Vx2+ l - l n 1+ -* 2+1-x

Desarrollo

Aplicando propiedad de logaritmo

/ ( x ) = 7 x 2 + 1 - ln(l + V ? + 1 ) + ln x , aplicando la derivada se tiene:

JC_____ •

V x ~ + 1 1 + v x ‘ + 1 *

, x x 1J (x) = - ¿ = — —= ------— + -v x 2 + 1 v x 2 +l(l + v x 2 + 1 ) x

f -(r) - x 2 (l + V x 2 + l ) - x 2 + V x 27 l(l + V x 2 + l )

x*J~x~ + 1 (V x 2 + 1 +1)

_ X 2 (l + V x 2 +1 -1) + a/x 2 +1(1 + V x 2 +1)

/ w = x V 7 ^ d + ^ )

X 2 V x 2 +1 + V x 2 +l(l + V x 2 + 1)

/ w = x J 7 7 m +J J 7 i )

y_1_____X JC4 eos — .5 /1 — 2 2

COS Jt+1¿senx

n


„„ N a2 +1 + V*2 +1 V a 2+1(1+ 7x^+1) _ , _ V a 2 +7/ (a ) = -------- = = = = — = -----------,----------- = > / U ) ----------

x(l + y¡x2 + l) *(1 + Va-2 +1) *

1 1 - 2 * + l^525 y = - l n ( — ---------- - )

3 A + A + 1

Desarrollo

y = ~[ln(x2 - 2 a +1) - ln(A2 + x +1)], aplicando la derivada se tiene.

3

1 , ( x 2 - 2 x + l) ' ( a 2 + a + 1)\ , l r 2 a - 2 2 a + 1 ,y ' = - [ ----------] => y : — : — 2------

3 x — 2 a + 1 A + A + 1 3 A - 2 . X + 1 X + A + 1

, 1 r 2 ( a - 1 ) ( a 2 + a + 1 ) - ( 2 a + l ) ( x 2 - 2 a + 1 ) ,v = _[--------------------------- -------------------- j3 ( a - 2 a + 1 ) ( a “ + a + 1 )

l r2(A3 - l ) - ( 2A 3 - 3A 2 + l ) n> = - [ --------- --------ó------------ J

3 ( a - 1)(a - 1)

, i 3a2- 3 a 2 -1 ^ A + l ^ x - ly ~ 3 (a-1)(a3-1) ~ (a -1 )(a 3-1) a 3 -1 ' A'3 - l

526 y = 2arcsen3x + (1 - árceos 3x ) 2

Desarrollo

y' = 2“rcse"ix (arcsenlx)' In 2 + 2(1 - árceos 3x)(l - árceos 3a)'

y ’ = 2arcse"*x |31--2-- + 2(1 - árceos 3a)

V T

Vi - 9a 2 Vi - 9 a 2

3 âresm-bx \n2 + 2{\- arccos3A»9a


senax . ^

527 y = 3co7 + l i f j Ilfff,3 eos ¿7JC

Desarrollosenax i----- 1 se n a x

y — 3 e o s o v _)------------------- — 5 aplicando la derivada se tiene:

3 eos bxsenax

y ’ = l n 3 ( Í £ ^ ) - + ( ü ^ ) 2 ( i £ ^ ) .

eos bx eos bx cosbxsenax 2

1 o senâx a eos bx eos ax + bsenax senbx x j = (3 ln 3 + -— -— )(-

eos2 bx eos2 bx

1 t g - + 2-y¡3528 y = - L l n ( - l -----------)

V3 t g ~ + 2 +y¡32

Desarrollo


. sec2 ~ ( tg - + 2 + V3)-sec2 ^-(tg~ + 2 - \ l3 )y ' l ---------------------------------- 2— 2----------- )

« * ¿ + 2 )¡ - 3

_ (Z i X 2 x 2, 2V3 sec” - sec - secy > tT------------ ^ ---------- “ ---------------------

2^3 í t x(tg ~ + 2)2 - 3 (fg^ + 2)2 - 3 tg¿^ + 4 tg - + 4 - 3

T x 2 xsec* — sec -y ’ = -------------2-------= ----------- 2----- pQr j0 tanto;

, 2 x . x 2 x . x(tg‘ - + l) + 4 tg - see - + 4rg-

1. i ■* . .i. x l + 2 senx \ + 4sen- + 4tg-2 2

529 y = arctg (ln x)Desarrollo

y

\(ln*)’ _ x . v . _ ____ L

l + ln2x l + ln2x ” x(l + ln2x)

1 2530 y = \n(arcsenx) + —ln x + arcsen(ln x)

Desarrollo

, (aresenx)' , „ ,, (ln x) ’y = ---------- —+ Inx(ln x) +aresenx Vi - ln2 x

1

, yfl — x 2 , Inx 1y = —--------+ ------ H--------------aresenx x xyj 1- ln 2JC

K> I *


lnx 1+ —— + -V í-x 2 aresenx x xV l-ln2x

531 y = arcíg(ln—)x

Desarrollo

( ln -y . , vv -_ X _ (-lnx)l + (ln- ) 2 l + ln2x x(l + ln2x)

- - - V2 X 1 x -1532 y = ----arefg - = + —ln3 s V2 6 x+1

Desarrollo

V2 V2 . l r 1 1 , , _ V2 72 , l r 2 ,

3 i + f l 6 * _1 * + 1 ^ V 3 2 + x2 6 x2 - 1+ 2 2

, V2 2 1 , , 2 1* - -C- g -"" =» >' = ■3 \¡2(2 + x2) 3(x2 -1) 3(2+ x2) 3(x2 -1)

, 1 2x — 2 + 2 + x , 1 3x2 v x2y = r ( , , , ) =» y = t ( - t — 5— )=-3 (x2 +2)(x2 -1) ' 3 x4 + x2 - 2 x4 + x2 - 2

533 y = ln----- j==r + 2aretg\fseñxl--sIsenx

Desarrollo

y = Ln(l + V serve) — ln(l — V senx) + 2 arctg V senx


534

, (1 + yjsenx)' (1 -\¡senx)' 2(\¡senx)'y —------ ) ==z----------- , ¡ —j—— — —

1 + v senx 1 - v sen.x 1 + senx

cosx cosx cosx2 si senx | 2y¡ senx | yjsenx

í+ V senx 1 - y¡ senx 1 + senx

cosx 1 + 1 + 1yjsenx 2(1 + y/senx) 2(1 -yjsenx) \ + senx

cosx 1 „1 - \lsenx +1 + \l senx N 1y = 7 ------- [ ~ ( ------------------------ :------------) + ------------- 1s]senx 2 1 -senx 1 + senx

cosx , 1 1 , cosx r 1 + senx +1 - senxy = i— [ 7 ------------------------------ + —-] => y = 1— [ ---—--Jy]senx 1 -senx l + senx yjsenx (l-senx){l + senx)

cosx 2 , cosx , 2 , 2y ' = - p = = r [ -— ] => y = - p = = = ( -------------- =— ) = -

yjsenx 1 - sen2x y/senx eos2 x senx eos x

3 x2 - l 1 . x —1 1y = - ln(—----) + - ln(---- -) + - arctgx4 x +1 4 x+1 2

Desarrollo

y = — [ln(x2 + l)-ln (x 2 - 1)] + — ln (x - l) - — ln(x + l) + — arctgx4 4 4 2

, 3 r 2x 2x 1 1 1 . 1, 1 .

, 3 rx3- x - x 3- x 1 1 ,x + l - x + l x 1y [— — — ] + (_ _ _ ) + _ 3 _4 x4 - l 4 x ' - l 2(x +1)

, 3 , 2x . 1 12 x — 1 2(x -1 ) 2(x +1)


v' = — 3x , x2 x2 -3 x**-1 2(x4 - i) 0 ‘ " 7 ^ 1 T ^ i ' T T

535 /(a-) = i ln(l + x) - i ln(*2 - * + 1) + -L amg(^ Z Í )2 6 V3 V3

Desarrollo

_2_

f \ x ) = — i-------- g fz L _ +_ £2(l + x) 6(x2 - x + 1) 73[1 + ( 2x - 1)2]

v3

/ ’(x) = 3(-*2 - x + 1) - ( 2x - 1)(x + 1)6(x3+D ^ 3 + 4x2-4x+ 1 ,

3

/ , ( r)_ 3 x ^ -3 x + 3 -2 x 2- * + l 2

6(x +1) 4x2 -4 x + 4

r y \ x — 4x + 4 1 x2 — 4x + 4 1/(•*) = ------r------ + --------------- => __ ZÍZ_t + _ _ L _ _6( x '+ 1 ) 2x - 2x +2 6 ( x 3 + 1 ) 2 ( x 2 - x + 1)

f ■ ( ^ ~4x + 4)(x +1) + 3x + 3 x3-3 x 2+4 + 3x + 36(x3 + 1) * 6(x3 + 1)

y- ,^-j _ x — 3x‘ + 3x + 7 6(x3 + 1)

536 /(x ) = £ ^ í + l „ ^ I 7

DesarrolloVÍTx2


Vi - x (arcsen x + — * =) -x

Vi—x1 . V i— .2/ w . --- _ _ --- +-^=r

Vi - r 2 n r ,

/ '(* ) =Vi - x2 arcsen x + x - x

l - x 2 (1- x 2)

VT- x2 arcsenx rt/ „ Vi -x'arcsenxf \ x ) = - --------- 5------ => / ( * ) = ------:— 2------

( l - x 2) 1- *

537 y = senh*2xDesarrollo

y' = 3senh2 2x.cosh2x(2) = ósenh2 2x.cosh2x

538 y = e001 cosh /ixDesarrollo

y’ = <?“* cosh px + p e^sen h fix y '= eax (a cosh px + p senh fix)

539 y = tgih2xDesarrollo

y ' = 3 tgh2 2x .— ——— = 6 tgh2 2x(\ - tgh2 2x) cosh2 2x

540 y = ln(senh 2x)Desarrollo

i _ (senh2x) _ 2cosh2x _ 0rt^h ? r senhlx senhlx


x2541 y = arcsenh(—~) a

Desarrollo2xa2 _ 2x_____ 2x

V V ' a2

542 y = arccosh (ln x)Desarrollo

í_„ ,_ d y _ (ln x)' ___ % _ 1

íV v ¡ *5 I - "> y I^ V(ln ■*)*’ -1 \]0n x )2 -1 dx x^íln x)2 - 1

543 y = arctgh (tg x)Desarrollo

1y ’—d y _ (tgx) _ eos2x _

dx \-( tgx )2 1 — (tgx)2 2 sen2xeos x (l-------— )eos x

1 1 . 1y ’------------------- - --------- => y ■ = -eos x -se n x cos2x cos2x

544 y = arcctgh (see x)Desarrollo

, _ dy _ (seex)1 _ secxrg x _ secx 1 ,_ d ydx sec"x -l tg2x tgx senx ' dx

545 . . 2x . y = arctgh(----- -)1 + x

Desarrollo


2x , (1 + x~ )2 - 2x(2x, dy ^ S+jc2 = ( i+ - r )2

dx i ( 2x ^ (l + x2)2 -4 x 2 1- x 2 (l + ? 7 '

dy 2 + 2x2 - 4x2 _ 2 -2 x 2 , 2(1- x 2)dx 1 + 2x 2 + x 4 - 4x 2 1- 2x 2 + x 4 (1- x 2 )2 l-— 2x

1 X546 y = — (x2 - \)arctgh x + —

Desarrollo

, dv , x2 - l 1 1y = — = x arctgh x + (—-—)(------j ) + -dx 2 1- x 2

, dv 1 1 , dyy = — = xarctghx — + — => y = — = xarctghxdx 2 2 dx

X 2 1 , , x V l + X 2547 y = (---- 1- —)arcsenhx2 4 4

Desarrollo

x2 1. I v l - X 2 Xy ' = x arcsenhx + (:— l- —)

VT7

y ' = x arcsenhx + (-------- )

2 4 yjl + x 2 4 4-Jl + x 2

2x2 + I 1 1 + x2 - x 2

4 Vl + x2 4y¡l + x2

, 2x2 +1 1 2x2 +1 , ,y = xarcse?ihx + (-------- ) -= = = ■ ----- ===== => y = x arcsenhx4 V ü v 4 V Í 7 7


548 Hallar y' sí:

a) y = | x |Desarrollo

x si x > 0 . r 1 Si x > 0Si y= |x |= < derivando y = {

[-x x <0 [-1 si x <0

Luego y '= l , cuando x > 0 y y'= —1

Cuando x < 0 y y' (0) no existe

b) y = x | x 1Desarrollo

. [ x2 si x >0 í 2x si x >0y = x |x |=< . derivando y => v'= 2

[-x 2 si x < 0 [ - 2x si x <0

549 Hallar y' sí: y = ln | x |, (x * 0)

Desarrollo

, x' 1 , 1y = — = - => y' = -

X X X

550 Hallar f ' ( x ) si: /(x ) =1- x cuando x <0

e~x cuando x >0

Desarrollo

/ '(*):1 cuando x < 0

-e~x cuando x >0

551 Calculo /'(O) sí: f ( x ) = e 'l cos3x

Desarrollo


f ' ( x ) = e~x(-3sen3x)-e x cos3x => / '(x ) = e x(3sen3x + cos3x)

/ '(0 ) = - e 0(3s<?n0 + cos0) = - l => / '(0 ) = - l

552 / (x) = ln(l + x) + arcsen^. Hallar / ' (1)

Desarrollo

/ '(x) = —— + —=Ä = => f \ x ) = ----- •~ f=l + x I ^ 1 + JC -y/4-

3 ft X ífy553 y = íg J ---- .Hallar

6 «x a-2Desarrollo

, ^ iK x 2nx n n . nx nx 2y = 3¡g¿ — . see (íg see —~)

x=2

6 6 2 6

= —(fg —.sec—)2 = *(v/3.2)2 = J(3)(4) = ó/r2 3 3 2 2

554 Hallar //(O ) y f l (0) para la función f ( x ) = 4senx2

Desarrollo

Por definición / / (0) = lim — ■a-»-k) h

Como / (x) = '¡senx2 , f(0) = 0, f (0+ h) = \[.senh


555

556

i , / /m ssenh2 - 0 -Jsenh2Luego: / ' (0) = lim --------------= lim----------A->+0 /i /i-»0 /í

/+ (0) = lim Vsenh

h—>+0 1 I

h-*-0 h-* 0 /i

■Jsenh2

/_'(0) = l im ....= lim ^

senh~

/¡-»-o /i A->-0 —1i- =* /_'(0) = - l

Dada la función /(x ) = e * . Hallar /(0 ) + x / ’ (0)

Desarrollo s.

Como /(x ) = e~x derivando se tiene f ' ( x ) = -e~x

/ ’(0) = - l y f(0) = 1. Luego /(0 ) + x / ’(0) = l - x

Dada la función f (x ) = J l + x . Hallar: /(3 ) + (x - 3 ) / ' (3)

Desarrollo

Como f(x) = yf\ + x derivando se tiene / ’(x) = — }2-v/l + x

Luego f(3) = 2 y / '(3 ) = -4

/ (3) + (x - 3)./ '(3) = 2 + x - 3 x + 5


f '(0)557 Dadas las funciones f(x) = tg x y <p(x) = ln(l - x). Hallar —— •(pX 0)

Desarrollo

f(x) = tgx =í> / '(x ) = sec2x

(p(x) = ln(l - x) => (p'(x) = -

558

1- x x -1

2/ '( x ) - s e c a- f / '(x ) = l / ’(O) 1

i => < . L u e g o :-------= — = -1(p\x) = ------ l<pXx) = - \ (p\ 0) -1

x -1

K X / ’(x) = - l => / ’( l ) - - l

(p(x) = \-sen (— ) => (p\x) = — c o s (^ ) => <p\x) = -(0) = 02 2 2 2

<?'(!)_ 0 _ 0 / ' ( 1) -1

559 Demostrar que la derivada de una función par es una función impar y la de una función impar, es par.

Desarrollo

Sea f(x) una función par, entonces: f(-x) = f(x)

/ ’( -x ) ( - x ) '= / ’( x ) - / '( - x ) = / ,(x) => / '( - x ) = —/'( :t).

Luego / ' (x) es impar.


Si g(x) es impar g(-x) = - g(x) => g ' ( - x \ - x ) '= - g \ x ) -g '(x ) = -g'\

g'(~x) = g '(x ) . Luego g'(x) es par

560 La derivada de una función periódica es una función periódica.

Desarrollo

Sea f(x) una función periódica cuyo periodo sea T, es decir f(x + T) = f(x),

/ ,(x + 7’)(x + r)' = / '( x ) => / ,(x + D = / ,(x)

/ '(x ) es periódica

561 Demostrar que la función y = xe~x , satisface a la ecuación xy' - (1 - x)y .

Desarrollo

Como y - x e ~ x => y'=e~x -x e ~ x =$ y' = e~x ( \ - x )

xy'=xe~x( 1- x ) =* xy '= (\-x )xe~x = ( l - x ) y ==> xy' = ( l - x ) y

e-x*562 Demostrar que la función y = — satisface a la ecuación xy' = (1 - x 2 )y

Desarrolloe * .Como y =----- derivando se tiene:


563 Demostrar que la función y =------------ satisface a la1 + x + ln x

xy' = y( y ln x - 1)Desarrollo

1 , (l + x + lnx)’y — ------------------------- = > y = ----------------------------- -

1 + x + ln x (1 + x + ln x)

lr X + l , X + l 2

y = --------- — 7 = ----------------------- T =* y = --•y(l + x + lnx) x(l + x + lnx)' x

x y ' = - ( x + l ) y 2

Como y = ------------- =» y(l + x) = 1 - y ln x, de donde se tiene:1 + x + ln x

y 2(l + x) = y ( l-y ln x )

Reemplazando (2) en (1) se tiene: xy'= -y (l - y lnx)

/. xy'= y (y ln x - l)

7) DERIVADA LOGARITMICA.-

v ’ f '(x)564 Sea y = f(x). Entonces (lny)' = — = -------. Hallar y ', sí:y f U )

3[~ 2 1 — 3 2y = <Jx~------ - sen X. COS Xl + x

Desarrollo

• • 2 ->ln y = ln x - ln(l + x~) + ln(l - x) + 3 ln senx + 2 ln eos x

ecuación

... (1)

(2)


y' 2 -1 2x 3cosx 2 senx~— = ---------------------- h--— H-------------y 3x l - x \ + x~ senx cosx

2____1____ 2x_3x l - x l + x2

y ' = y(—— :--------7^ - y + 3 ctgx - 2 tgx)

565 Hallar y ', sí y = (senx)*Desarrollo

Tomando logaritmos se tiene: Ln y = x ln (sen x.)

— = \r\(senx) +-------- => y'= y (ln senx + x ctgx)y senx

y' = (senx)x (ln senx + xctgx)

566 y = (x + l)(2x + l)(3x + 1)

Desarrollo

Ln y = ln (x + 1) + ln (2x + 1) + ln (3x + 1)

y ' 1 2 3 , , 1 2 3 x— = --------------H-------------------------- h ------------------= > y = y ( ---------------------- + ------------------- + ------------------- )

y x + 1 2x + l 3x + l x + 1 2x + l 3x + l

y' = (2x + l)(3x + 1) + 2(x + l)(3x +1) + 3(x + l)(2x + 1)

567 y = - (x + 2)2(x + iy (x + 3 f

Desarrollo

ln y = 2 ln (x + 2) - 3 ln (x + 1) - 4 ln (x + 3)

y' 2 3 4 i a a >■— = ----------------------- , de donde se tiene:y x+2 x+ l x + 3


568

,(2(x + 1)U + 3) - 3(x + 2)(a + 3) - 4(x+ 2)(a +1)(a + 2X* + 1)(jc + 3)

y ,_ v| -5jc2 -1 9 a -2 0 = (a+ 2)2 5.t2 +19a + 20^ ^ (jc+2)(x + 1)(x+3) (a + 3)4(jc + 1)3 (a+2)(a + 1)(a + 3)

, _ ( a + 2)(5a2+19x + 20)

-= E SV a: - 2

( a + 1 ) ( jc + 3 )

- i )

Desarrollo

1° y = ~nn x + ln(x - 1) - ln(x - 2)]

z ! = i + ( l + _ j_____L_) => y ' - y Á x - l ) ( x - 2) + x ( x - 2) - x ( x - l )y 2 x x - l x - 2 2 jc (a -1) ( a - 2)

,• _ x (x - l ) 1 x2 - 3 x + 2 + x2 - 2 x - x 2 +x } ~ \ x - 2 '2 a (a :-1)(jc-2)

r '_ yJx(x-l) ( r2 - 4.v + 2 xz - 4 x + 22\ fx - 2 x ( x - l ) ( x - 2) y ~ 2y jx ( x - \ ) ( x - 2 )

569 }' = x l x2x2 + \

Desarrollo

Iny = lnx + ^[ln x2 - l n ( A 2 +1)]

y ’ 1 1 2x 2x . y ’ I 1,2 2x ,_ = _ + ( — — ) - = - + - ( -------------- -— )y a 3 x x +1 y x 3 x x +1


y' 1 2 2 * , 5 2 a - 5 a 2 + 5 - 2 a - \— = —i------------------=> y = y(------------------------------------- ) = y ( -)y a 3 a 3 ( a 2 + 1 ) 3 a 3 ( a 2 + 1 ) 3 a ( a 2 + 1 )

, , 3 a 2 + 5 x | a 3 a 2 + 5 , , 3 a 2 + 5 a 2

y =y( ----- 5— ) = X\H— (----- 5— ) => y = — 5— —3 a ( a + 1 ) V a + 1 3x(x + 1 ) 3 ( a " + 1 ) V a + 1

570 y = <*~2)9V ( a - 1 ) 5 ( a - 3 ) "

Desarrollo

lny = 9 1 n ( A - 2 ) - ^ [ 5 1 n ( A - l ) + llln(jc-3)]

y x - 2 2 x - l a - 3

1 8 ( a - 1 ) ( a - 3 ) - 5 ( a - 2 ) ( a - 3 ) - 1 1 ( a - 2 ) ( a - 1 )y = y(---------------------------------------------------------- )

2 ( a - 1 ) ( a - 2 ) ( a - 3 )

( x - 2 )9 ( 2x2 - l 4 x + 2 fy/(x-l)5( x -3 )n 2 ( a - 1 ) ( a - 2 ) ( a - 3 )

y =

570 y =

( a - 2 ) 8 ( a 2 - 7 a + 1 )

(x - l)(x -3 )y¡ (x -l)5(x -3 )U

V a — 1

y j (x + 2 ) 2 ■\¡(x + 2)iDesarrollo

In y = ^ ln(jc -1) - ln(A+2) - ln(x+3)


¿ _ = -------------------------------------------------------------------( ---------------- )

y 2 (x -l) 3(x-2) 2 x+3

, 3(x + 2)(x + 3 )-4 (x -l)(x + 3 )-9 (x -l)(x + 2 )v = y(--------------------------------— --------------------- )6(x - l)(x + 2)(x + 3)

• - vGcM ( ~5x2 - x + 24 )l[(x + 2)2yfoc+2? 3(x- l)(x + 2)(x + 3)

5x*+x-24

3(x - 1)2 (x + 2)3 (x + 3)2

572 y = x*Desarrollo

ln y = ln x x = x ln x , derivando

V '— = lnx + l => y'=y(lnx + l) => y'= x*(lnx + 1)y

573 y = x '2Desarrollo

lny = lnx* = x2 lnx, derivando se tiene:

V 2— = 2xlnx+x => y' = y(2x ln x + x) = x x (2x ln x + x ), de donde se tiene:

y’= x*2+l (21n x + 1)

i574 y = = X*

Desarrollo


ln y - ln x x => ln y = —- , derivando se tiene:x

y 1 —lnx 1— lnxs i— 1 —Injc— ~ 2 => y = y(—— ) =* y- = (i-2£>

y x x z x 2

575 y = x'/I

Desarrollo

ln y = lnx^* = Vxlnx

y ’ lnx Vx ----- prH----- =3y 2Vx x

, iy = x 2(1+ —lnx)

576 y =

lny = lnxx = x x ln x , derivando se tiene:

— = x*( - ) + (xx) 'ln x = (x*)' = x * (ln x +1) y x

y ' x 1 1(—) + x x (In X +1) In X => y'.= y[xx (— + ln2 x + ln x)]

y x x

y ' = X x ' x x ( - + In2 X + ln J t )x

y' = y ( h ± + 1 ) ^ y ' = ^ ( 2 + b X )2 Vx s/x 2 Vx

Desarrollo

577 y = xienj:

Desarrollo


In y = In x senx = senx. In * , derivando se tiene:

— = cosx.lnx+-^^- => y ' = y (c o s x .ln x + ^ ^ ) , de donde se tiene: y x x

,,nx,senx , .y ' = X ( ------------+ C O S X l n A )

X

578 y = (cosx)“ "*Desarrollo

ln y = ln(cos x)senx = senx. ln(cos a ) , derivando se tiene:

— = eos x. ln(cos a )--------- => y' = y [eos x. ln(cos x) — senx.tgx]v eos x

y'= (cos*)iH'"Jt(cos*.ln(cosx) - senx.tgx)

579 y = (1 + —)■*x

Desarrollo

ln y = ln(l + —)* = xln(l + —), derivando se tiene: x x

V = ln(l + 1) + X => v'= y[ln(l + 1) + x * ]v x 1 x x t ij * r ---

y' — y[ln(i + 1) + x(— ■ 1 )] => y '= (l + l V ln[(l + ) - JX x(x + 1) X X X + 1

580 y = (arctgx)x


Desarrolloln y = \n(arctgx)x = x\n(arctg x ) , derivando se tiene:

1y' , y x (arctgx) , i-i. v2= ln (arctgx) + x => y = y[ln (arctg x) + x - ]y arctg x arctgx

Xy' = (arctgx)x[\n(arctg x) + -- J(1 + x )arctg x

¡23 . DERIVADAS DE FUNCIONES QUE NO ESTÁN D, i EXPLICITAMENTE.-_______________________________

a) DERIVADAS DE LA FUNCIÓN INVERSA.-

Si la derivada de la función y = f(x) es y x * 0 . la derivada de la. , / I dx 1inversa x - f (y) sera. x = - , o sea ■

y x dy dydx

b) DERIVADAS DE FUNCIONES EN FORMA PARAMÉTRIC

Si la dependencia entre la función Y y el argumento x viene di

medio del parámetro t. \x (p(t)[y = y/(t)

, d dlSe tiene y ' - ' ' en otra notación es: ' = dt

x[ dx dxdt

c) DERIVADA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA:

Si la dependencia entre x e y viene dada de forma implícita F(x,y)= para hallar la derivada y'x = y' en los casos mas simples, bastará:


1) Calcular la derivada con respecto a x del primer miembro de la ecuación (a) considerando a y como función de x.

2) Igualar esta derivada a cero, es decir, suponer que: F(x, y) = 0dx

3) Resolver la ecuación obtenida con respecto a y ' .

581 Hallar la derivada x'y , si:

a) 3jc + x 3 = >’Desarrollo

dy „ „ 2 dx 1 / 1- =3 + 3jc => — = — => x = — —rdx dy 3 + 3* 3+3x

b) y = x — senx . 2

Desarrollo

/ dy , cosx dx ■ 2y = - i = 1-------- => ---= -----------dx 2 dy 2 -cosx

c) y = O.lx + e2Desarrollo


CALCULAR LA DERIVADA y ' = — de las funciones siguientes daddx

forma paramétrica.

582x = 2 t - l

y - i 3Desarrollo

jc = 2/ — 1

y = t3i ' , derivando tenemos: — = — =[yi =3f dx x't 2

583x = - + l

t

y = ( _ L )2 í + 1

Desarrollo

x = - + l l

y = (~r>2 í+ i

( í+ i r

y,2í

derivando se tiene:

( f+ ir

2f

d y _ y 't _ o+ v* _ 2/dx x[ 1 / + 1

<*+D2

584x = -

2<Wr+"7q ( i- r2)

i + /2Desarrollo


x =

y = -

2at

a ( l - t 2) l + t 2

x',=

y',=

2 a ( l- í )

(1 + t2)2 —4 at

( l+ t2)2

—\a t

(1 + f2)2 - , SX ~ ~dx 2a ( l - t 2)2 (l + t2)2

21 I - , 2

dydx

21 1- í 2

585x = -

y =

3at

3 at2 l + t3

Desarrollo

jc = -

y =

3aí 1 + í3 3aí2 1 + í3

=3a/(l-2?3)

(1 + í3)2

, 3at(2- t )y' ~ « + < v

dy3a t ( 2 - n

(1 + í3)2 3 a ( l -2 t3)2

(1 + í3)2

i(2 - r ) 1- 2/3

dy / í ( 2 - í )

586

Desarrollo

>


\x = J

[y = ¥ t2 y/t

y [= ' » t 2

d y = / _ y', _ 3ift2 _ 2 Vi _ 2' *! _ L 3 # 3\/í

2v7

587r + i / - i

V^ +1

: = Vi

,V =

í2 + l Í¿1

Vr +1

x =

Desarrollo

t

+ 1/ 1 + í y, = ----

( r + l )2

1+í

j _______é l - »/ _ y/ _ ( '2 + o 2 ( i+ í)VT+í2"¿r " y ■*/

*L= y' = .

•Vi+í2

1+í

( r + l )2

í(l + r )

588 * = a(cosí +tsent) y = a (se n t- t cost)

Desarrollo

ÉL= j = A .^ * 3 ^

1+í

f ( l+ í2)


■■ «(cosí + t sent) - absent-tcost)

1 x, = at cost

y{ = at sent

at sent _ sent at cost cost

-tgt j - = y i = t8 tdx

589= a cos2 1

- bsen2tDesarrollo

: a cos2 / j x, = -2a sen tcost

- bsen2t [y = Ibsen t cos t

- = y! y[ Ibi sent cost _ _ bx x' ~2a sent cost a

± = y t = - b- dx x a

590: = a cos t

> - bsen^tDesarrollo

: = ¿reos31 [ jc/ = -3 a cos1 t.sen t

- bsen3t I y{ = 3bsen21.cost

dydx

ib sen21 costxt -3 a cos21 sent

-tgt dZ = y< dx x

tgt

591x =

y =

cos31yjCOS 21

sen3t \lcos 2t

Desarrollo


x = cos31 Veos 21

sen3t Veos 21

j _ eos t.sen t - 3 eos t.sen t x, . -------eos 2;. veos 21

v/ _ 3cos31.sen21 - sen41.cost eos 2t.y]cos2t

592 •v/l + í2

y = aresen

Desarrollo

/V l+ /23

í(l + f2)2 Vi’1-!'

y = aresenVT^2

=> y; =-Vi+72


_ y, _ Vid-T a7 1

+ í" = -1

V i^ 7

593= £

Desarrollo


594x = a (\ntg — + c o s t - s e n t )

y = a (s e n t + cos t )

Desarrollo

x = a(ln tg — + cos t - sen t)

a - eos

2 sen —O

— - a sen t - a cos t => x[ = a ( ^ - c t g ^ - - sen t - c o s t )

y = a(sen t + cos t), derivando se tiene: y 1, = a ( c o s t - sen t)

d y _ y [ _ a ( c o s t - s e n t )

dx A( a ( - c t g ----- s e n t - c o s t )2 2

d y K ( x = a (t - sen t)595 Calcular — para t — , si: <

d x 2 I y = a ( l - c o s í )

Desarrollo

x = a ( t - s en t)

y = f l ( l -c o s í )

\x[ = a(l-cosr)

I y [ = a sen t

d y i y ¡ a sen t _ sen t

d x y * x ' a(l-cosf) 1-cos/dy

dx

ns e n — ,

= ____2_ = _ L = 1, k , n 1 -0 t=- 1 - c o s —

dy596 Hallar — para t = 1, si:

d x

x = t ln t

ln /

y = T

Desarrollo


* = /ln r

lnr =>y=- t

x, = ln t + 1

/ 1 - ln /y, = —

1 - l n /

dL = y l - y‘ - I2 - 1 - l n f d x * x , 1 + ln / / 2(l + ln /)

d y

d x

l -ln(l) 1-0/=1 l(l + ln(l)) 1 + 0

= 1 d¿d x i=i

597u „ d y n . x = e c o s tHallar — para / = — , si: <

dx 4 [ y = e ‘ s e n t

Desarrollo

\x = e c o s t

I y = e s en t

Ix [ = e' cos t — e ' s e n t

[y / = e ' s e n t - e ' c o s t

dy__ yt _ yj _ e1 ( s e n t-c ost) _ sen t-cos t d x ' x{ e' (co s ; - sent) co s t-sen t

n n y¡2 \¡2, s e n ---------cos — -— *--------- _

dy_ _ ____ 4 ________4 _ _ 2 _2 _ _ £ _ ^d x n n J 2 J 2 ~ 0 °°cos--------s e n — v v

4 4 9 9

598 Demostrar que la función y, dada por las ecuaciones paramétr

fjc = 2í + 3 r

!y = r + 2 / 3satisfacen a la ecuación:

Desarrollo

> '= < t> : + 2< x >3d x dx


íx = 2t + 3t2 (x ¡ = 2 + 6 1

[y = t 2 + 2 t3 \ y't = 2 t + 6l2

dy y¡ __ 2f(l + 3r) _ f dx X* 2(1+3í)

A 2 + 2 (^ )3 = t 2 + 2t3 = y dx dx .

599 Para x = 2 se cumple la igualdad x 2 = 2 x , ¿se deduce de esto que (x2)'= (2jc)' para x = 2.

Desarrollo

Si (x2y=(2x)' => 2x = 2, para x = 2, se tiene que 4 = 2, es falso.

Luego para x = 2 se tiene x 2 = 2x no se cumple que (x 2 )'= (2x)' para x = 2.

600 Sea y = x2 . Se puede derivar miembro a miembro la desigualdad de

x 2 + y 2 - a 2 .Desarrollo

xComo x 2 + y 2 — a 2 => 2jc + 2 / = 0 dedondey’ = —

y

Ahora como y -■ yja2 - x 2 => -— = . de donde - j- =dx i a 2 - x 2 * y.

( dyLuego se cumple, puesto que es una identidad. Hallar la derivada y ' = — de

las siguientes funciones implícitas y.

601 2x - 5y + 10 = 0Desarrollo


2 x -5 y + 1 0 = 0 => 2 -5 y ' = 0 de donde y ' =

x2 v2602 —- + -— = 1a2 b2

Desarrollo

2x , 2 y ' y , x , b2x— + — = ° => — y =— - => y = — _a b- b¿ a1 a2y

603 *3 + y 3 = a 3Desarrollo

2x 3 + y 3 = íi3 =$ 3x2 +3y2y' = 0 => y 2y' = - x 2 => v ' . -

y2

604 x 3 + x 2y + y 2 =0Desarrollo

3x~ + 2xy + x~y’x + 2yy' = 0 =$ (x2 + 2y)y'= ~(3x2 + 2xy)

3x~ + 2 xyy = —

x2 + 2 y

605 Jx + yfy =\¡aDesarrollo

1 y ' 1 y'---J= + —7=r = 0 => —= + —p=r = 02 j x 27 7 T í V?


606 yfx* + yjy2 =Desarrollo

2 2 2 2 - 1 O - i - it3 + y3 = a 3 => ~ * 3+ ~ ) ' 3),’=:0 => x 3 + y 3y ’ = 0

tfy ílx Vx

607 y3 = Xx + y

Desarrollo

.2 (x + y ) ( l-y ') - (x -y ) ( l + y')í y y s2U + y)z

3y2(x + y)2 y' = x + y - (x + y)y'-(x - y) - (x - y)y'

3y2(x + y)~y‘ = 2x-2xy' => (3y(x + y)2 + 2x)y'= 2y

2 y 3 x —y 3,y = —--------- -------como y- = — => y (x + y) = x - y3y (x + y) +2x x + y

. , 2y 2y2Luego y = -3 y2 (x +*y)(x + y) + 2xy 3(x — y)(x + ty) + 2xy

2y2 2y23y3 (x + y)(x + y) + 2xy 3(x - y)(x + y) + 2 xy

y - 2yl¡ ( x 2 ■ v 1 ) + 2 a t


6 0 8 y - 0.3 sen y = xDesarrollo

y'-0.3cosy.y'=l => y '(l-0 .3cosy) = 1

, _ 1 ____1_________10___ , _ 10l-0 .3cosy , 3 10-2cosy 10-3cosy1----- eos y J J

10

609 acos2(x + y) = bDesarrollo

2a cos(x + y)[-sen(x + y)(l + y ')] = 0 . de donde se tiene:

- 2a cos(x + y)sen(x + y )(1 + y ') = 0

-asen2(x + y)(l + y') =Q => l+ y ' = 0 => y '= - l

6 1 0 tg y = xyDesarrollo

sec2 y.y'= y + xy’ => (sec2 y - x)y'= y

y ._ y _ ycos2 ysec2 y ~ x l-x c o s2y

X611 xv = arctg(—)y

Desarrollo


xy y ,,1 + x +y , l - x - yx y+ —-----2 = "T-----2 y =* ■^( _ 2------------- 2 = y ~2—

X 2 + V 2 X " + y - x 2 + y 2 X 2 + y

2 2

xy'(\ + x 2 + y 2) = y ( l - x 2 - y 2) =* y ’ = 2 ( ¡T ;L Z ÍL)x l + x" + y‘

612 arctg (x + y) = xDesarrollo

1 + > — = 1 => l + y '= l + (x + y )2 => y' = (.x + y )2\ + (x+ yY

613 e y = x + yDesarrollo

1e y.y'=l + y' => ey,y'-y'= 1 => y'(ey - \ ) = \ => y ' :

ey - l_>

614 lnx + e * =cDesarrollo

y i ^— + e x( - X y = 0 => x + e * (—jcy'+ y) = 0x x

e y(—x y '+ y )~ —x => -xy'+ y =—xex xy' = xex + y

y, xex + y , ~ yy = --------- => y = e * + —

x x

615 ln y + — = cy

Desarrollo


616

617

— + ——~ = 0 => yy '+y-xy ' = 0 (y -x )y '+ y =0y y“1

(y - x)y' = -y =» y' = — — y ’ = - >?y - x x - y

orc/g^ = ~ln(jc2 + y2)

Desarrollo

xy '-yx2 x+y.y ' x y '- y x + y .y ’

— V ” = ~ r ^ 2 =* 2 ^ = “ 2 2 =* ^ - y = ^ + .yy1 + (Z)2 Jr+y jr + jr jr + )TJC

x +¿yxy '-y y ’ = x + y => (x -y )y ' = x + y => y' = -——x - y

jx + y = c.arctg -JC

Desarrollo

x y ' - yx + yy' _ c X2 ^ x+yy' _ r x y '- y

y j x + y2 l + (^)2 J x 2 + y 2 x2 + y 2x

x y '- y , cxy' cyx + yy = c.—¡===== => yy— = = £ = • = — ~ = ± - xsjx2 + y2 ,/x2 + y2 a/x2 + y2

V■(y ' lx2 + y2 ~ cx) = + X\l~x2 + y 2 )J x 2 + y2 -Jx + y2

v ’ \ , n . cy + x J x 2 + y 2y (yy]x +y -cx) = -{cy + x-y/x +y ) => y = —----- ^ êx - yyjx2 + y 2


618 x y = y xDesarrollo

ln *t v = ln y x , derivando se tiene:

y ................. xy' y + y 'x ln x ylny + xy'— + y )n x = ln y + — => --------------= --------------X V X X

y , xy' .1 x , . y—+ y 'ln x = ln v + — => y lnx— y = l n y —x x y x

,( ylnx — x l n y - y y (x ln y - y )y x x y ln x -x

619 Hallar y' en el punto M (l,l) sí: 2y = l + xy3

Desarrollo

2 y '= y 3 +3xy2y' => 2y'-3*y2y' = y 3 => (2 - 3xy2)y'= y 3

y ' = ~ 7 ~ i =* y ' = =* y 'U o j)= -12-3xy

620 Hallar las derivadas y' de las funciones y, que se dan a continuación en los puntos que se indican:

ri

a) (x + y)3 = 27(x- y) cuando x = 2 e y = 1.

Desarrollo

3(* + y)2(1 + y ') = 27(1 - y ') => 3(x + y)2 + 3(x + y)2 y' = 27 - 27y’


(3(x + y)2 + 27)y' = 27 — 3(x + y)2 => y' = 27 3(x+y)3(x+y)2 +27

_ 27-3(2 + l)2 _ 27-3(9) _ 0 y P(2'X) 3(2 + 1)2 + 27 ~ 3(9)+ 27 ~ 54 ~ ^ V ip(2-1)_

b) yey = eA+I, cuando x = 0 e y = 1

Desarrollo

r*+ly 'ey + yey y'= e

e-v + yey

e e 1 tl 12

2 yc) y = x + ln — , cuando x = 1 e y = 1

Desarrollo

x y - y9 i t .

2yy' = l + — c-~—. =* 2yy' = l + ¡J lZ => 2yy' = 1 + — - —Z V AT

2yy'-----= 1---- => y \ —---------- ) = ----- yy X y x *(2y2 -1)


2.4. APLICACIONES GEOMÉTRICAS MECÁNICAS DE LA DERIVADA.- _________ __

a) ECUACIÓN DE LA TANGENTE Y DE LA NORMAL.-

La ecuación de la tangente a la curva y = f(x) ó f(x,y) = 0 en el punto

M (x0, y 0) es: y - yn = y'0( x - x0) donde y '0 es el valor de la

derivada y' en el punto M(*0,y 0).

La recta perpendicular a la tangente, que pasa por el punto de contacto de esta con la curva recibe el nombre de normal a dicha curva y su ecuaciónes:

x - x 0 + y'0( y - y 0)^ 0

b) ANGULO ENTRE CURVAS.-

E1 ángulo formado en las curvas y = f x(x) e y = f 2(x) en su punto

común M(x0, y 0) está dada por la fórmula:

¡ w - q) /i Oq) 8 l + f i W l í x o )

c) SEGMENTOS, RELACIONADOS CON LA TANGENTE Y LA NORMAL, PARA EL CASO DE UN SISTEMA DE COORDENADAS CARTES! ANAS.-

La tangente y la normal determinan los cuatro segmentos siguientes (En la figura),

t = TM, llamado segmento tangente S, ~ T K , sub tangente

m = NM, segmento normal Sn = KN , subnormal


Como Km =| y o | y tg¿)2 !

S,=TK 1 2-1 ; =| y0y '0 |y°

d) SEGMENTOS RELACIONADOS CON LA TANGENTE Y NORMAL PARA EL CASO DE UN SISTEMA COORDENADAS POLARES:

Si la curva está dado en coordenadas polares por al ecuación r = f((f ángulo jii, formado por la tangente MT y el radio polar r = OM (fi

14) se determina por la fórmula tg¡i = r ^ - = — .dr r ’

La tangente MT y la normal MN en el punto M, junto con el radio p del punto de contacto y la perpendicular a dicho radio trazado por el ¡ O, determinan los cuatros segmentos siguientes:

t = MN, segmento de la tangente polar

m = MN, segmento de la normal polar

St - O T , subtangente polar Sn = ON , subnormal polar; do

m = MN = *Jr^+(r’)2 , Sn = MN = r

I = MT = ~ - - J r + (r ’)2 k ’l

r2St = OT = ——\r I


Y

621 ¿Qué ángulos (p teman con el eje OX las tangentes a al curva y - x — x~ en los puntos abscisas son:

Desarrollo

a) tg(p : dy_dx

= a - 2 * ) L o = l =>■ tgq>=] =» 9 - 45°x=0

dyb) tg tg(p = 0 => tp = 0°ix=— 2

c) tgcp - dy_dx

= (1 - 2x)x=l -1 - 2 = -1 => tgcp = -l => f ' ( x ) = eos* => / '(0 ) = 1

y = g(x) = sen 2x => g'(x) = 2 eos 2.x => g '(0) = 2

Luego tg(p = / ' (0) = 1 =* tg (p = 1 => tg (p = 2 => cp = 63°26’

623 ¿Qué ángulos forma con el eje de abscisas, al cortarse con este en el orig coordenadas, la tangentoide y = tg x?

Desarrollo

dy>8 (p = 45°x=0

624 ¿Qué ángulos fonna la curva y = e() 5x con la recta x = 2, al cortarse con 1

Desarrollo

Sea tg(p = y \x=2~- Q.5e0 5x |x=2= 0.5e = ~

€ Ctg(p = - => q> - arctg — « 36°21'

625 Hallar los puntos en que las tangentes a la curva y = 3x4 +4x3 - \ 2 x 2

sean paralelas al eje de abscisas.Desarrollo

Sean Lt la recta tangente y L el eje de abscisas


Como L,l/L=> mL, = m L ; pero mL, = 12x3 + \2x 2 -24xy => mL = 0

Como mL, = mL, => 12x3 +12x2 — 24x = 0

12x(x2 + x - 2) = 0 => 12x(x + 2)(x - 1) = 0.

Luego: Para x, - 0 , y, =20 P,(0,20)

Para x2 = -2 => y2 = 4 =» P2 = (-2,4)

Para x3 = l =» y3 =15 =» P3(l,15)

626 ¿En qué punto la tangente a la parábola y = x2 -7 x + 3 es paralela a la

recta 5x + 7y - 3 = 0?Desarrollo

Sea L, = ? y L: 5x + y - 3 = 0, tal que L, IIL

dy - ( 2 x - 7 ) |p(;Wo)-2 x 0 7p(Wo)

mL = -5, luego como: L,IIL => mL,=mL => 2x0 - 7 - - 5

como 2x0 =2 => x0 = 1 , y0 = -3

Luego P(l,-3) es el punto pedido.

627 Hallar la ecuación de la parábola y = x2 + bx + c que es tangente a la recta

x = y en el punto (1,1).Desarrollo

L, : x = y => mL, = 1


628

629

mLr Ul,irdydx

= (2x + b) \x x= 2 + b = 1 => b = -1P ( U )

Luego y = x 2 - x + c , pero como es tangente en el punto (1,1) es decir:

1 = 1 — 1 + c => c = 1 y = x2 - x + 1

Determinar el coeficiente angular de la tangente a la

x 3 + y 3 - xy - 7 = 0 , en el punto (1,2).

Desarrollo

Coeficiente angular de la tangente, lim — = —a * -»o Ax dx

(1,2)

Como x3 + y 3 - .xy - 7 = 0 , entonces:

3x2 + 3y2y '-y ~xy'= 0 (3y2 - x)y'= y - 3x2

2 -3 1, y - 3x dy3y - x dx ( 1,2 ) 1 2 - 1 11

¿En qué punto de la curva y 2 =2x3 la tangente es perpendicular

recta 4x - 3y + 2 = 0?Desarrollo

Sea L: 4x — 3y + 2 = 0 => mL = —

Como y2 = 2x3 => 2y.y' = 6x 2 => y ': 3x

Sea L, la recta tangente mL, = y 1 = 3x


1 3x2 1 3.t2 3 t 2Como L, 1 L => mL = ------=>-= —- => ---------- = —- => y = 4x' ^ mL y 4- y 4

Como y 2 = 2x3 (-4x i )2 = 2x3 => 16x4 = 2x3

i 12x (8x - 1) = 0 , de donde: x, = 0 , x2 = -8

Para: x, = 0 , y, = 0 => P, (0,0)

1 1 o , 1 U* " r

630 Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la parábola y = \Jx en

el punto cuya abscisas es x = 4.Desarrollo

r 1 i dy’ = sjx => y = — f= => mL, = — 2Va dx x -A

i4

Lt '■ y-yo = mLt(x ~xo'> como xo=4 =* yo = 2

Luego Lt : y - 2 = -^(x-4) => L, : x - 4 y + 4 = 0

Como mL, - -■ => mLN =-f4

Ln : y - x = -4 (x -4 ) => LN : 4x + y -1 8 = 0

631 Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva y = x3 + 2x2 - 4x - 3 , en el punto (-2,5).

Desarrollo


y'=3x2 + 4 x -4 => mL, = —dx

= 3(-2)2 + 4(-2) - 4 = 0 => mL, =(-2 .5 )

Luego: L, : y - y0 = mL, (x - x0)

Lt : y - 5 = 0(x + 2) => L, : y - 5 = 0

Como mL, =0 => mLN = «•

v — 5LN : y - 5 - m L N(x + 2) => LN : ----- - = «> => ¿Lv : x + 2 = 0x + 2

632 Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva y = %/x-l

punto (1,0).Desarrollo

= <*> entonces*=i

v = U x - l => y ' = — } = como mL. = —3 y x -l dx

L, ■ y - y 0 = mL,(x - X 0 )

L, : y — 0 = °°(x — 1) => ¿j : = oo => L, : x —1 = 0x — 1

633 Hallar las ecuaciones de las tangentes y de las normales a las siguientes cuen los puntos que se indican:

a) y = tg 2x en el origen de coordenadas.

x — 1b) y = arcsen{——) en el punto de intersección con el eje OX.

c) y = arccos3x en el punto de intersección con el eje OY.

d) y = ln x en el punto de intersección con el eje X.


e) y = e'~x en los puntos de intersección con la recta y = 1.

Desarrollo

a) y = tg2x =» y'=2sec2 2x => mL, = y'¡JC=0=2

L, : y - y0 - mL, (x - x0 ) => L, : y - 0 = 2(x - 0) => L, : 2x •

b) y = arcsen(--—) => y ' ■

12________________ ____________r y = -

(jc — l)2 ^ 2 x - x 2 +3

x — 1 x — 1para y = 0 => a resen ( ' ) = 0 —— = 0 ==> x = 1

m 1 , 1mL,=y U , = -- => mL, = —

L, ■ y ~ = (x ~ *o ) =* y - 0 = —( x - 1), de donde

L, : x - 2y -1 = 0 y LN : 2x + y - 2 = 0

634 Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la 1 + t

X - -tó3 1

y = Í S +Tt

en el punto (2,2).

Desarrollo

Para x = 2 => t = 1

y = 2 => t= 1

curva.


/ y yx = ~ de donde

/ - 3 - 2 /y' - ~ r / -6 — /

v/ _ - 2(3 + 20** x/ K6 + 0

10= mL,

/=!

L, : y - y 0 = m L ,(x -x 0) =* L,: ,y-2 = y ( x - 2 )

L, : 1 x - l 0 y + 6 = 0 y : 7y i- ,r>x-35 = 0

635 Escribir la ecuación de la tangente a la curva x = t eos t, y

origen de coordenadas y en el punto t = — .4

Desarrollo

y[ — sen t + 1 eos t , x 1, = cost - 1 sent

r y, sent + tcost mL, = -L =---------------x, cost- t sent

= 0 reemplazando se tiene:1=0

L, : y - 0 = 0(x —0) => L, : y = 0

mL, = sent+tcostcost-tsen t

• _ 4 + n K 4-71

. 71 n n ,para t = — => x = , _v = — reemplazando se tiene:

= t sen t e:


636

63)

Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva

a 3 + y3 + y 2 + 2a - 6 = 0 en el punto cuya ordenadas es y = 3.

Desarrollo

Para y = 3 => a-3 + 2x + 3 = 0 , de donde x¡ = —1

Luego el punto de tangencia es P(-l,3).

Como mL, = — dx

i 2 — 3x2entonces: 3a2 + 2 y. y'+2 = 0 => y ' = -

/ dy mL. = —dx

P(-1.3)

- 2 - 3 5

L, : y - y0 =mL,(x - x0) => L, : y — 3 = - —(x + 1) de donde se tiene:6

L, : 5A + 6 y - 1 3 = 0

c . , 5 , 6Si otLj = — => mL¡y = —6 ‘ 5

Luego: LN : .v- y0 = ( x - x 0)

: y - 3 = j ( x + l) =* LN : 6 a - 5 v + 21 = 0

Escribir la ecuación de la tangente a la curva a 5 + y 5 - 2Ay = 0 , en el punto ( 1.1).

Desarrollo

Como x5 + y5 -2xy = 0 => 5a4 + 5y4y'-2y - 2xy' = 0

De donde y ' = ^ , además:5y - 2 a


, dy \ 2y - 5 a 4 2 - 5mL, = '■! = • - = = -1d x P(i,i) 5y - 2 a |p(1]) 5 - 2

Luego L, : y - y0 = m L ,(x - x0)

L, : y -1 = —(a -1 ) => L, : x + y - 2 = 0

638 Escribir las ecuaciones de las tangentes y de las normales a curva y = (x - 1 )(x - 2)(x - 3) en sus puntos de intersección con el eje abscisas.

Pesan t " o

Hallaremos los puntos de intersección con el eje X es de para y = 0 => (x - 1 )(x - 2)(x -3) = 0, de donde: a , = 1, x 2 = 2 , x3 =!

Luego se tiene los puntos P] (1,0), P2(2,0), P; (3,0).

y = (x - l)(x - 2)(x - 3) =* y = a 3 - 6 a 2 + 1 I a - 6

y' = 3a2 - 12a +11 y además mL, = y ' |A=1 =2 => mL, - 2M

Li - y - y o = mL, ( x - x 0)

L, : y - 0 = 2 ( a - 1) => L, : 2 x - y - 2 = 0

Como mL, =2 => mLN = - — y LN : y - y 0 =mLN( x - x 0)

Ln : y - 0 = -^ -(a -1 ) => LN : A + 2 y - l = 0

en forma similar para los demás puntos.


639

640

Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva

y 4 = 4 a 4 + 6xy en el punto (1,2) .

Desarrollo

y 4 = 4 x 4 + 6 Ay => 4 y 3y ' = 16a 3 + 6 y + 6 x y ’

, _ 8 a 3 + 3 y(4y -6Ar)y'=16x + 6y2 y3 —3a

, i 8a3 + 3y 14= — y : y - y 0 = m L ,(x -x 0)

( 1,2 )

14L, : y - 2 = — (x-1) => L, : 14a - 13y + 12 = 0

14 13como mL, = j ^ =* y l n : y - y o = mLN(x ~ xo)

13Ln : y - 2 = -----(a-1 ) =» LN : 13x + 14y-41 = 0

14

Demostrar que el segmento de tangente a la hipérbola xy = a 2 , comprendido

entre los ejes de coordenadas, esta dividido en dos partes por el punto de contacto.

Desarrollo

Por demostrar que p es punto medio de A y B para esto hallaremos los puntos A y B, primeramente encontraremos la recta tangente.

2 2

Como xy = a 2 => y' = ~ => mL, = y '\ p y¡¡)= - ~A *0

: y - yo = (x ~ xo) reemplazando se tiene


641

U - y - y 0 = - ^ r ( x -xo) xo

Hallaremos el punto A para esto y = 0 => x - 2 x 0 => A(2x0,O)

Para x = 0 => y = 2y0 => B(0,2x0)

.. A(*,0) + fi(0,y) _ A(2*0,0) + £(0,2y0)Pvxo, y0; - -------------------------- r-----------

2

(2a¿) + 0,0 + 2yu

2 2 2

Demostrar que el astroide a 3 + y 3 = a3 el segmento tangente, comprend

entre los ejes de coordenadas, tiene magnitud constante e igual a: a.

Desarrollo

Por demostrar que d(A,B) = a

2 2 2

Para esto hallaremos la recta tangente. Como x 3 + y 3 = a 3 entonces:

mLt = y'\p(x0,y0)=}J — y L, ■ y - y 0 =>nL,(x-xo)V -*6

A : y - y 0 = ? — (x - xo)

Determinaremos el punto A para esto y = 0 se tiene:


I 2 2 I 2 I 2x = xl (x03 + >>03 ) = x$a3 => AÍXqü3 ,0)

Ahora determinaremos el punto B para esto x = 0

1 2 2 I 2 I 2y = y ¿ ( xo + y o ) = yoa3 => ß (°-.vofl3 )

1 2 l 2 2 4 2 4

d(A,B) = )J(x3a 3)2 + ( y 3a 3)2 = \ j x 3.a3 + y 3a 3

2 2 4

= ]/(x3 + y ¿ ) a 3 = ^Ja3 .a3 =s]a2 =a

642 Demostrar que las normales a la envolvente de la circunferencia x = a(cos t + t sen t), y = a(sen t - t eos t) son tangentes a la circunferencia

' *2 + y2 = a 2 .

Desarrollo

xy

y '——ctgt mL, = -ctg t ... (1)

Ahora calcularemos la pendiente de las normales a la envolvente de la circunferencia:


dxx = a(cos t + t sen t) => —- = at eos tdt

. dyy = a(sen t - 1 eos t) => — = at sen tdt

dxdx dt atcostmLN = —— = --— = ---------- = ~ctg t . Luegody oy at sen 1

dt

De (1) y (2) queda demo'*rado que las normales a: •

x = a(cos t + t sen t), y = a(sen t - 1 eos t)

son tangente a la circunferencia x2 + y 2 = a 2

mLN = -ctg t ... (2)

643 Hallar el ángulo de intersección de las parábolas y =(x - 2):

y - 4 + 6x — x 2 .Desarrollo

Hallaremos los punto - de intersección como:

y - ( x - 2 )2 e )’- 4 t 6 i - i 2 , completando cuadrados

(x - 2)2 = -4 + 6x — jt2 => x 2 - 5x + 4 = 0

de donde* ,= 1, >>i=Í P](l,l)x2 =4, y2 = 4 p 2(4,4)

I y{ = 6 - 2 x y¡(1) = 4

[y'2 = 2 x -4 y'2( l) = -2

Eduardo Espiuoza Ramos

644

645

j í a J - y / d ) . ____ - 2 - 4 -6 6=$ tgCC — — —

l + y ííD .^d ) 1-8 -7 7

6 6tga = — => a = arctg (—) = 40°36'

¿Qué ángulo forma entre si las parábolas y = x 2 e y - x* al cortarse?

Desarrollo

Encontraremos los puntos de intersección como:

y = x 2 e y = x 3 ==* x 2 = x 3 => x 2( x - l ) = 0

x, = 0, y, = 0 p¡ (0,0)x2 =l, y2 =l p 2(U)

| y¡ (x) = 2x ^ | y¡ (0) = 0

[y2U) = 3x2 { ^ ( 0) = 0

« a - — = 0 * a = 0«l + y,'(0).yí(0) 1 + 0

esto quiere decir que son tangentes entre si, ahora para el punto /?2(1,1)

jy{( x) = 2x ^ | y{ (1) = 2

\y'2(x) = 3x2 ^ 1^(1) = 3

y i ( l ) - , í a ) = 3 - 2 = 1 ^ 1 ^ i . w1 + 7 Í(M (1 ) 1 + 6 7 7 ^ 7

Demostrar que las curvas y = 4.r2 + 2* - 8 e y = x 3 - x + 10 son tangentes entre si en el punto (3,34). Ocurrirá lo mismo en (-2,4)?

Desarrollo

Diferenciación de Funciones------- 7-- -----------------

Para que sean tangentes entre sí debe ocurrir que tg a = 0.

Como y, = 4x2 + 2 .* -8 =* y,/ = 8 ;t+ 2 => y[\x=i=26

y2 =jc3 -.v + 10 => y2 = 3x2 -1 => U=3= 27-1 = 26

1 +?í(3>y2(3) 1 + 26

Luego son tangentes entre sí. En el punto (-2,4) no son tangentes sí, por que tg a * 0

646 Demostrar que las hipérbolas . . y - a 2 y x 2 - y 2 ~ b 2 se cortan er formando un ángulo recto.

Desarrollo

Para que las curvas que se cortan forman un ángulo recto sus tangentes ser perpendiculares. Es decir:

Si l!, y L, son las rectas tangentes. Luego l!, 1 L , => ml!r L, = -] demostrar .

2Como xy = a 2 => mi!, = — - ='y '

x

x 2 ~ y 2 — b2 => mL, = y ' ■= —

u 2donde y' = - pero x y = a 2 => y = — => y ' = - = ^— = mr

a a

/ a2 x2Lt.mL¡=(— -)(—- ) = - l L¡t ±_L, => forma un ángulo recto.

a


647 Sea la parábola y 2 = 4x , calcular la longitud de los segmentos: tangentes, normal, subtangente y subnormal en el punto (1,2).

Desarrollo

Longitud de la tangente = t =| — yj1 + ()’ó )2 Iy'o

2Como y 2 ~4x => 2yy' = 4 => y ~ ~ ^ 'V !l’2) = *

2 r—

Reemplazando en ¡a longitud de la tangente se tiene: / =¡ — v i + 1 1= 2v2

n = longitud de la normal - j v0 -y/l + ( )’ó ) ‘ | => n = 12 \ l +T |= 2y¡2

Longitud de la subtangente S, = |^ y | => S, =| —1= 2y0 1

Longitud de la subnormal =Sn =¡y0.}’0 I =* S „= |2 (l) |= 2

648 Hallar la longitud del segmento subtangente de la curva y = 2X en cualquier punto de la misma.

Desarrollo

5, = Subtangente f = | ~ | como y = 2x =* / = 2 Aln2 => y '0 - 2X° ln2>o

2*° 1S - I I - .. -' 2*” ln 2 ln 2

649 Demostrar que la longitud del segmento normal de cualquier punto de la

hipérbola equilátera x 2 - y 2 = a" es igual al radio de dicho punto.

Desarrollo


n = longitud de la normal =| yoyj\ + (>q)2 |

Como x 2 - y 2 - a 2 => y ’ = —y

n =1 y<J1+(— )2 != y0-—— = 4 4 + yo v yo y0

Luego la longitud del segmento normal es igual al radio polar de dicho p

650 Demostrar que la longitud del segmento subnormal de la hij2 ^ 2x - y~ = a , en un punto cualquiera de la misma, es igual a la absi

dicho punto.Desarrollo

Sn ~ longitud de la subnormal = |v 0.y¿ ¡

Como x 2 - y 2 = a 2 => y ' = — => y '0 =y ' y0

Sn =1 yo(— ) 1= -*0 >0

x2 V 2651 Demostrar que los segmentos subtangente de la elipse — + — = 1 ja 2 b 2

circunferencia x 2 + y 2 = a 2 en los puntos de abscisas iguales, son i

entre sí. ¿Qué procedimiento de construcción de la tangente a la eli desprende de lo ante dicho?

Desarrollo

Los puntos de abscisas iguales tanto para

la elipse como para la circunferencia son

P](a,0) y p 2(-a ,0). Por lo tanto se

tiene que:


• / 2 2a) de la ecuación de la elipse se tiene: yp¡¡ = — ¡a - x 0

además v7 = -----;Í= = = ,« ? I i 'y

, PoU oô)a2yja2 -X q

b) De la ecuación de la circunferencia a 2 + y2 = a 2 se tiene:

y = \Ja2 - x 2 y' =-— %L=^ 4

El segmento subtangente de la elipse es:

5 - 1 yp° | - | (q2—-«o) i . | fl2~ôVpo «aü a*o

Sea /j0(*0,y 0) = p1(a,0) => S, =0

El segmento de la subtangente de la circunferencia

S' - | yp° | - | (a | - | a ~ ~ xóy'n., xo xo

Sea p 0(x0, y 0) = p â ,0) => S¡ = 0

En forma similar se hace para p 2 (-a,0), concluyendo que S, = S/ . De

todo lo obtenido se concluye que la tangente a la elipse se obtiene, trazando por los puntos de abscisas iguales una recta paralela al eje Y y puesto que como 5, = 0, esto nos indica que no hay proyección de la

tangente sobre el eje X; por lo tanto la tangente es vertical.


652

653

Hallar la longitud de los segmentos tangente, normal, subtangente y subnoi a la cicloide x = a(t - sen t), y = a(l - eos t), en un punto cualquiera t = t0

Desarrollo

| x[ - a - eos t \y¡ = a sen ¡x = a(t- sen t) => < / ; y = a (l-co s t) =* •!

[y, = « -a c o s í0 y, =asen

/ _ y'ta _ <?(l-cos/0) _ l-c o s í0y x /x, asent.*n

>=i ■a i=i (1~-c° s ix0 a(r0 - sent0) \l sent0

3

. l-COS/n I- —— „(I-COSÍ,,)2í = | ----------------- — J 2 - 2cosí0 | =* t = 2--

t0 - sent0 t0 - sent0

Hallar el ángulo que forman entre sí la tangente a la espiral logarítn

r = aek<p y el radio polar del punto de contacto.

Desarrollo

El ángulo formado entre la tangente y el radio polar está dado por:

d

d(p 1 ae* 1 1 ,1's " = r * = K ^ , = w ? = i " , s u ’ i =* y =arc,sV


654

6 5 5

Hallar el ànguìo entre la tangente y el radio polar del punto de contacio para la

lemniscata r2 - a 2 cos2 ------- = - --------- — => — = ---- --------

d(p d tgu = - c tg 2cp => u= — + 2(pa sen2(p 2

Hallar las longitudes de los segmentos polares: tangente, normal, subtangente, subnormal y el ángulo que forma entre sí la tangente y el radio polar del punto de contacto para la espiral de Arquímedes r = acp en el punto de ángulo polar cp = 2n.

Desarrollo

Longitud de la tangente = t - r— . J r 2 + ( r ’)2k ' l

Como r = acp drd(p

- a reemplazando se tiene:

t = — yja2(p2 + a2 = (payjip2 +1 => t = 2jtay¡AK2 +1 para cp = 2n

f

Longitud de subtangentes S, =| —

2 2 2

S, = -f— = = acp2 para cp = 2it reemplazando se tiene: S, = 4a n 2k ' l a


656

Longitud de la normal = n = yjr2 + (r ')2 => n = yja2(p2 +a2 = ayf^ñ2 +1

Longitud de la subnormal - S n = |r '| de donde Sn - a para r' = a

d(p dr dm 1tgu = r—— pero r = acp y — ~ a => —x. = _dr d(p dr a

reemplazando se tiene: tgu = (a(p)(—) = (p => tg u = cp ; tg u = 2 na

Hallar las longitudes de los segmentos polares, subtangentes, subnorm tangente y normal; y el ángulo que forman entre sí la tangente y el radio po

para la espiral hiperbólica r = — en un punto arbitrario (p = <p0 ; r = r0 .

Desarrollo

_ a

rr1 -■

<Po

t-' a . aComo r = — para cp~(p0 se tiene r0 = —V <Po

a2 2

St — ar' a

<Po

' “ ¡T i

n-=^Jr2 + ( r ’)2

S ,= a => 5 „ = |r ’|= -^ - 9o

t = W1 + (Po%

n =a j í + (Po

9o

además tgO = — = -<¡£>0 => íg# = ~<¡í>o de donde 0 = arctg(-(p0 )


657

658

La ley del movimiento de un punto sobre el eje OX es x = 3t - t \ Hallar la velocidad del movimiento de dicho punto para los instantes t0 = 0 , /¡ =1 y

t2 =2 (x se da en centímetros y, t en segundos).

Desarrollo

V(x) = — = 3 - 3 r dt

V(f0) = V( 0) = 3cmseg

V(f1) = V(l) = 3 - 3 = 0

cmV(/2) = V( 2) = 3-3(4) = - 9 —

seg

Por el eje OX se mueve dos puntos que tienen respectivamente las leyes del

t 1 .movimiento x = 100+5t y x = — donde t > 0. ¿Con qué velocidad se alejarán

estos puntos, el uno del otro, en el momento de su encuentro (x se da encentímetros y t en segundos)?

Desarrollo

Para el tiempo del encuentro se tiene que V, = V2

Donde: V. = — = 5 => V, = — = t , de donde t = 5 seg.1 dt 2 dt

Z —1\ \ + tV2 — 5/ + 1~

velocidad con que se aleja = = (5 + 2í) |,=5 =/=5 dt

= 5 + 10 = 15 —r=5 seS

tv< tv0


659 Los extremos de un segmento AB = 5 m. Se deslizan por las rec perpendiculares entre si OX y OY (ver figura). La velocidad desplazamiento del extremo A es igual a 2 cm/seg ¿Cuál será la velocidad desplazamiento del extremo B en el instante en que el extremo A se encuei a una distancia OA = 3 m del origen de coordenadas.

Por pitágoras en el AOBA se tiene:

z 2 = x 2 + y 2, de donde para x = 3, z = 5, entonces y = 4.

Como z 2 = x 2 + y 2 , derivando se tiene:

. dz . dx dy dy dx dy2z— = 2x— + 2y — => y-^- = - x — => 4— = -3(2)dt dt dt dt dt dt

dv 3 cmpor i o tanto — = ---------dt 2 seg

660 La ley del movimiento de un punto material , lanzado en el plano vertical' Y (ver figura), formando un ángulo a respecto al horizonte, con una veloci< inicial V0 viene dada por las formulas (sin tomar en consideración

t2resistencia del aire), x = V0t eos a , y = V0t sena ~ g ~ > donde t es el tiemp

y la aceleración de la fuerza de gravedad. Hallar la trayectoria del movimie y su alcance, determinar también la magnitud de la velocidad del movimient su dirección.


Para calcular la trayectoria eliminaremos el parámetro t de las ecuaciones.

xx = Vñtcosa => t-V0cosa

2y = V0f sena - — r => y = V0sena(-—-) -

2 ' V0cos a 2 v 02cos2 a

y = (tga)x------ x22V0 eos a

Su alcance es el punto A y para esto se tiene y = 0:

«ga )x ------=,2V0 eos“ a 2V0~ eos“ a

2V02 eos2 a.tga - gx = 0 => 2V02 eosa.sena - gx = 0

2. „ yn2íen2aV0 senla - g x - 0 => a = —-S

Ahora veremos las proyecciones de las velocidades sobre los ejes, es decir. dx dt

dy , , ¿yy — , de donde: — = V0 eos a , — = V0sena - g/

dt dt dt


661

662

Calcularemos la magnitud de la velocidad, es decir:

(“ )2 + (^ -)2 = Jvq cos2 a + V¿sen2a + y2t2 - 2V0sena

= V 2 +g2r - 2 V 0sena

Un punto se mueve sobre la hipérbola v = — de tal modo, que su abscisx

aumenta uniformemente con al velocidad de una unidad por segundo. ¿Con velocidad variará su ordenada, cuando el punto pase por la posición (5,2)?

Desarrollo

dxPor dato se tiene — = 1 dt

dy 10 dx dy 10 2— = — -(-—) para x = d, se tiene: — = -----(1) = — - -0.4dt x2 dt dt 25 5

Luego decrece a una velocidad de 0.4 por segundo.

¿En qué punto de la parábola y 2 = 18* la ordenada decrece dos veces má prisa que la abscisa?

Desarrollo

^ dy ^dx , , „ /— dy 3 dxDebe cumplirse que: — = 2— de donde y = 3V2.v => - - = ■ ,— —dt dt dt yf2x dt

_ dy „ dx 3 dx „ dxComo — = 2— => l— = 2 —dt dt yj2x dt dt

i— 9 93 = 3a/2x => 9 = 8x x = - entonces y = —8 2

9 9el punto que cumple las condiciones del problema es: ( - , —)8 2


663

664

Uno de los lados de un rectángulo tiene una magnitud constante a = 10 cm mientras que el otro b, es variable y aumenta a la velocidad constante de 4 cm/seg. ¿A qué velocidad crecerán la diagonal del rectángulo y su área en el instante en que b = 30 cm?

Desarrollo

Z = diagonal del rectángulo

> z = Vi00 + b2 , derivando se tiene:Z = yja2 +b2

dZ db dZ 30 (4) =120

dt yjioo + b2 dt dt Vi00+ 900 10VÍ0

dZ 12 cmde donde se tiene: — = —¡= = 3.8----

dt VIO seg

la diagonal crece a una velocidad de 3.8 cm/seg.

dAdA db A = ab =» — = a — 10(4) = 40 dt dt

El área crece a una velocidad de 40

- = 40™ dt seg

cmseg

El radio de una esfera crece uniformemente con una velocidad de 5 cm/seg. ¿A qué velocidad crecerán el área de la superficie de la esfera y el volumen de la

misma, cuando el radio sea igual a 50 cm?Desarrollo

Área de la esfera = A = 4nr2

dA „ dr dA— = 8tt r — =* —dt dt dt

= 8tt(5)(50)dA cm— = 200071-----dt seg


4 •,Volumen de la esfera = V = —nr , derivando se tiene:3

— - 4 n r 2— => — = 47r(50)2(5) = 6 0 0 0 ;r^ -dt dt dt seg

665 Un punto se mueve sobre la espiral de Arquímedes r = a(p (a = 10 cmmodo que la velocidad angular de rotación de su radio polar es constan igual a 6o por segundo. Determinar la velocidad con que se alarga d radio polar r en el instante que r = 25 cm. f

Desarrollo

dr dtp , , d(p 6° n ,— = a — donde - J- = ---- = — /segdt dt dt seg 30

dr dr n cm— = 10(— ) => — = -------dt 30 dt 3 seg

666 Una barra heterogénea AB tiene 12 cm de longitud. La masa de la parte dede la misma crece proporcionalmente al cuadrado de la distancia del pi móvil respecto al extremo A y es igual a 10 g, cuando AM = 2 cm. Hall; masa de toda la barra AB y la densidad lineal en cualquier punto M d misma. ¿A qué es igual la densidad lineal de la barra en los puntos A y B?

Desarrollo

Condición del problema m = kx1, donde m es la masa y k el factoi proporcionalidad.

-> 5Cuando AM = X = 2 cm, m = 10 gr. De donde 10 = A:(2) =>


Luego m { x ) -k x 2 => m(x) = —x22

La masa de la barra AB es cuando x = 12 y m = 360 gr. y la densidad en

cualquier punto de Ni es: ----- = 5x—dx cm

Ahora veremos la densidad en los puntos A y B

. » « dm „para el punto A: x = 0 => — = 0dx

para el punto B: x= 12 =» — =60—dx cm

2.5. DERIVADAS PE ORDEN SUPERIOR.-

PRIMERO: DEFINICION DE LAS DERIVADAS DE ORDENESSUPERIORES.-

A la derivada de la derivada se llama derivada de segundo orden o derivada segunda de una función. y = f(x), es decir y ” = (y')'

La derivada segundo se designa así: y " o , o f" (x )dx

d 2xSi x = f(t) es la ley del movimiento rectilíneo de un punto —— es ladt

aceleración de dicho movimiento.

En general, la derivada de orden enésimo de la función y = f(x) es la derivada de la derivada de orden (n - 1), la derivada enésima se designa por:


SEGUNDO: FÓRMULA DE LEIBNIZ.-

Si las funciones u = f(x) y v = g(x) tienen derivadas hasta de orden enésir inclusive, para calcular la enésima derivada del producto de estas funciones pueden emplear la formula de Leibniz:

(uv)n = unv'+ nu',~lv + ijr —— u(n 2)v"+... + u1.2 ______

v ( n )

TERCERO: DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR DE FUNCION!DADAS EN FORMA PARAMÉTRICA.-

fx = <p(t) .Sí <1 sus derivadas

y = y(t)

= — y" = ^ puede calcularse sucesivamente por las fórmulasdx ’ y* dx2

J - í y"y x ~~ ¡ ’ y xx / ’ y xxx ¡X ( • X t X t

Para la derivada de segundo orden se cumple al formula:

a) DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR DE LAS FUNCION EXPLICITAS.-

Hallar las derivadas de segundo orden de las funciones siguientes:

667 y = x* + l x 6 - 5x + 4Desarrollo


y = + l x b - 5.x. + 4 , derivando se tiene:

y '=8x7 +42x5 - 5 =* y" = 56x6 + 210x4

668 y = e*2Desarrollo

y = ex => y' = 2xex

y"= 2ex7 +4x2ex => y"= 2ex\ l + 2x2)

669 y = sen~xDesarrollo

y = sen2x , derivando se tiene:

y' = 2 senx eos x = sen2x => y" = 2 eos 2x

670 v = ln yjl + x 2Desarrollo

y = ln7 l-t-x2 = ln(l + x2)3 = -ln (l + x2)

2x „ 2,1 + x2 - 2x2 n _ 2( l- jr )_

* = í ? ¡ * ” = 3(“ ¡T T 7 T ) y ' W ?

671 y = ln(x + \Ja2 + .v2)Desarrollo

y = ln{x + y¡a2 +x2) , derivando se tiene:


y - 1V*2 + a2 y](x2 + a 2)3

672 /(* ) = (1 + x 2 )arctgxDesarrollo

/ (x ) = (l + X 2 )arctgx => f \ x ) = 2x.arctgx +\ + x2

f \ x ) = 2x arctgx + 1 => f ' \ x ) = larctgx + - 2-Vl + .v2

673 y = (aresenx)2Desarrollo

2 1y = (aresenx) => y 1 = 2arcsenx(—= = )

2x aresenx^ _ 2arcsenx V i-a :2 2 V l^ x" +2 aaresen

" ■ i - * 2 ^ v( l - * 2)

674 y = a cosh —

Desarrollo

y = a cosh —, derivando se tiene: a

x 1 JCy ’ = senh — =¡> y " = — cosh(—) a a a

x2 +2x + 2675 Demostrar que la función y = ------------- satisface a la ecuación diferem2

l + y,2 = 2yy"

co | rí


676

677

Desarrollo

x 2 -f 2.x + 2 . i *y ——t---------- => y = x + l => y = 1

y + y'2 = 1 + (x + 1)2 = (x2 + 2x + 2) = 2 y' y" ;. 1 + y = 2 yy"

Demostrar que la función y ~ — ex satisface a la ecuación diferencial

y " -2y'+y = ex .Desarrollo

y ~ ~2~ey' = xex H---- ex

2

y ” = ex + xex + xex + — ex 2

y " = ex + 2xex +— ex

Y2 r2y 2y'+ y = ex + 2xex +— ex ~ 2xex - x2ex + ~ e x =ex

‘ 2 2

y 2y '+ y = ex

Demostrar que la función y = c{e~x + c2e~2x para cualquier valor de las

constantes c, y c2 satisface a la ecuación y"+3y'+2y=0.

Desarrollo

-2 x y' = - c te x - 2c2ey = c¡e + c2e

y"+3y'+2y ~c¡e~x + 4 c2e~'x - 3 cxe

-2x y " - c xe +4 c2e -2x

- * A „ „ 2 x _ „ X _ 6c e 2* +2c,e * + 2 c,<? 2 j t

:3c]g x —3C[C A + 6c2€ ‘"1: — 6c2e 2jr=0 + 0

y"+3y'+2y = 0


678 Demostrar que la , función y = e2x sen5x, satisface la ecuac

y"-4y'+29y = 0 .

Desarrollo

y= e ''sen5x => y'= 2e2xsen5x + 5e2x cos5x

y ” = 4elxsen5x + \0e2x cos5x + 10e2r cos5x - 25e2xsen5x

y” = 20e^x cos5x — 2le2xsen5x

y"~4y'+29y = 20e~x cos5x-2le2xsen5x-%e2xsen5x — 20e2x cosx + 20e2xseni

y"-4y'+29y = 20t?2t cos5x-20e2f eos5a - 29e2xsen5x + 29e2xsenx = 0 -

y"-4y'+29y =0

679 Hallar y " ', sí y = x 3 - 5x2 + 7x - 2

Desarrollo

y = x3 -5x" + 7 x -2 => y'= 3x2 — lOx + 7

y" - 6x -10 => y '" = 6

680 Hallar / '" (3 ) sí / (x ) = (2 x -3 )5

Desarrollo

/(x ) = (2 x -3 )5 =* / ' (x) = 5(2x - 3)4 (2)

/" ( x ) = 80(2x-3)3 => / " ' (x) = 480(2x - 3)2

/ ' " (3) = 480(6 - 3)2 = 480(4) =* / ’"(3) = 4320

un Eduardo Espinoza Ramos

681 Hallar y' para la función y = ln (l+ x)v

Desarrollo

y = ln(l + x) => y' = —i — => _y" = — *x + 1 (1 + x)2

2 v 24y = - — “ r => / =■( i+ x )3 ' ( i+ x )5

682 Hallar y v para la función y = sen 2x

Desarrollo

y = sen 2xy' = 2cos2x y" — 4sen2xy = -8 eos 2 x => y lv = 16sen2x

y v = 32cos2x y v = -64.se« 2 x

683 Demostrar que la función y = e x eos x , satisface a la ecuación diferencial / v +4y = 0 .

Desarrollo

y — e 'co sx => y ’= -e~x c o sx -e ~ xsenx

y"=e~x cosx + e~xsenx + e~xsenx - e~x cosx => y " = 2e~x senx

y '" = - 2e~x senx + 2e~x cosx

y n = ~{—2e~xsenx + 2e~x cosx) - 2e~x cosx - 2e~xsenx

y" =2e Xsenx-2e x cosx —2e~x cosx —2e~xsenx => y ,v = -4e~x cosx

y lv +4y = -4e~x cosx+ 4e~x cosx = 0 y ,v + Ay = 0


684 Hallar / ( 0 ) , / '( 0 ) , / " ( 0 ) , / '" ( 0 ) , sí f { x ) = exsenx*•

Desarrollo

/ (x) = senx => / ( 0) = e°(0) = 0

«*•/ ’(x) = exsenx + ex cosx => / ' ( 0) = 1

/ " (x) = exsenx + ex cosx + ex eosx - e xsenx

/ " ( x ) = 2ex cosx => / ” (0) = 2

f " ' ( x ) = 2ex cosx — 2exsenx => /" '(O ) = 2

685 La ecuación del movimiento de un punto sobre el eje OX

x = 100 + 5t - 0.00 I r ' . Hallar la velocidad y la aceleración de dicho punto los instantes t0 = 0 , f, = 1, í2 = 10.

Desarrollo

y (A)) = — = 5-0.003/2 =* y (í0) = V(0) = 5 dt

V^í,) = V(l) = 5 - 0.003 = 4.997

V(t2) = V(10) = 5 - (0.003)(10)2 = 5 - 0.3 = 4.7

a(t) = = -0.006/ => a(t0) = a(0) = 0dt

a(í, ) = o(l) = -0.006 =* fl(/2) = a(10) = -0.006(10) = -0.06

«14 Eduardo Espinoza Ramos

686 Por la circunferencia x 2 + y 1 = a 2 se mueve un punto M con una velocida

angular constante W. Hallar la ley del movimiento de su proyección M x sobr

el eje OX, si en el momento t = 0, el punto ocupa la posición M0(a,0) (sega

figura). Hallar la velocidad y la aceleración del movimiento del punto M ,.

¿A que es igual la velocidad y la aceleración del punto M, en el momento

inicial, y en el momento en que pasa por el origen de coordenadas?¿Cuáles son los valores absolutos máximos de la velocidad y de la aceleración del punto M, ?

Desarrollo

x dxEn el AOMXM se tiene cos(wí) = — , de donde x = a eos wt, V = — = -awa dt

es la velocidad en el momento t.

a = —— = - a w 2 eos wt es la aceleración en el momento t. d t 2

V |,_o= 0 , velocidad inicial

a |(=0 = - a w 2 , la aceleración inicial.


687 Hallar la derivada de orden n-esimo de la función y = (ax + b)n , donde n es numero entero.

Desarrollo

y = (ax + b)n =$ y'=na(ax + b)

y " - ( n - 1 )na2(ax + b)n

ii-i

n - 3y " ' - ( n - 2)(n - l)na '(ax + b)

,v(") = 1.2. 3 . 2)(« - l);!íí''(a.Y + ¿>)° => y (n)=n\an

688 Hallar las derivadas de orden n-esimo de las funciones:

a) y = ----- b) y = yfxl - x

Desarrollo

1 , 1a) y =1 - - V ( 1 X)

2y =

(l - x ) 3

2 3y"' =

( I -* )4

V<") = __ - __( l-* )”' 1


689 Hallar la derivada n-esima de las funciones:

a) y = sen x b) y = eos 2x

1d) y = ln(l + x) e) y =

l + x

c) y = e 3t

l + x1- x

g) y — s e n x h) y = ln(ax + b)

Desarrollo

7 Ta) y = sen x => y ' = eos x = sen(x + —)

y”= -senx = sen(x + n)

y = - eos x - sen(x + - )

iv / *y - senx = sen(x + — )

y ( n ) _ sen(x + ÜE.)

b) y = eos 2x y 1 = -2sen2x - 2 cos(2x + —)

y " = - 2" eos 2x = 2~ (cos(2x + 2(—)))

>■"' = 23 sen2x = 23 cos(2x + - )

y(n> = 2" cos(2x + -^-)

en forma similar para los demás casos.


690 Empleando la formula de Leibniz. Hallar _v(n) sí:

a) y = xex b) y = x 2 e~2x c) y = ( l - x 2)cc

1 + * Td) y - — ~ e) y = x InxVx

Desarrollo

+ UV,(»)1.2

a) y (,,) = (exx)(n) = (ex)(,l) x + n(ex (x)' => y (n) = xe* + nex

b) /"» =(e~2x.x2r ' =(e-2x)M x2+ n ^ 2x)(n-"2x+

+ Z Í ) (e-2,)(n-2>2

y«) = ((?-2x.J:2)(n) _ 2ng-2xx2 + (_ ])B £-2x +

+ ( - l ) n« ( n - l) " -22e“2i

= 2"-1e-2 [2(-l)njc2 + 2x(-l)/1 + "(n~ l\ - 1)"]

En forma similar para los demás ejercicios.

691 Hallar /<">(0), sí /(x ) = ln(— )1 - JC

Desarrollo

/(x ) = ln(— ) => f(x) = -ln(l - x)1 -x


f \ x ) =1

1 - x

1( l - x ) 2

/" (* ) = ------- =■( l - x )3

d - x ) n

Luego / <n)(0) = (n 1)!

b) DERIVADAS DE ORDENES SUPERIORES, DE FUNCIONES DADAS EN FORMA PARAMETRICA Y DE FUNCIONES IMPLICITAS-

d 2 yHallar — para las funciones siguientes:dx

a)í x = ln / fjc = rcíg í

0b)í y =f

2[y = ln(l+/ ) i

x = arcsen t

y = Vl- / 2

Desarrollo


x = ln /

y = ' 3

L l = y " = ‘dx2

y¡ = 3 r

1.6 ,- ( -1 )3 ,2

{ y 'ñ = 6/

( Vt

—----- = /3(6 + 3) = 9/2 =* ^ = 9 /3dx1

b)x - arctg t

y = ln(l + /2)l + /z

i 2/= i— T 1 + r

2/

(1 + /2)2

/ , J - a2 ' (1 + /2)2

„// _ -y» - 4 -y/ _ i + r ' ( i+ 12 )2 ' o + 12 )2 /v i + 12

y ~ - w î + r

L_ i . - * 2 . (_ i L v A ,2 ,i . ,2x2 - .7.7 >

2 - 2/ , 2 \ 3

4/2 \ 3,, _ (1 + I¿y (1 + /-)■

y.« = I = 2 -2 / +4/ = 2/ +2

(1+/2)3

en forma similar para la c).

693 a)x = a eos / y = asent b)

x = a eos /

y = asen /

c)x = a(t - sent) y = a (l-co s/) d)

x = a(sent -/e o s /) y = a(cost + t sent)

Desarrollo


a)[x = a eos f x!. - -a sen t x!¡, = -a costi ^ . =» j[ v = asent [y, = a eos t [y» = -a sent

u _ x¡ .y¡¡ — x¡¡ .yf -asent(-asent) - (-a eos t)a eos t (x¡ )3 ( - asent)3

/y _ a2sen2t + a2 eos21y xx ~~ 3 -a / asentí

b) x = acos3/ => je/ = --3aeos2 t.sent => x'¡, = 6aeost.sen11 -2 a e o s31

y = asen3t => y[ = lasen21.cost => y" = 6asent.eos2 t - lasen31

il _ xj.yH-xii.yj <*!?

// _ ~3acos2 t.sent (basen!.eos" t - lasen31) (-3a eos2 tsent)3

lasen t.cost(6acost.sen't-3acos /) (-3a eos2 t.sent)3

n -18azsewzí.cos4 í + 9a2 eos2 t.sen'ty xx = — -27a3 eos6 t.sen3t

l&a2sen*t-eos21 - 9 a 2sen2t.eos41 -21a3 eos6 t.sen3t

a _ -9a2sen21.eos41 -9a2sen41.eos21 -21a3 eos6 t.sen3t

n _ -9a2sen21.eos2 t(cos21 + sen2t) -21a3 eos6 t.sen3t

13a eos t.sent


694

íx = a(t-sent) \x, - a - a eost f x!jt - a sen t1 n ^ \ =>[y = a ( l - cost) y, = a sent [y1/, = a cost

y/1 _ xr -y'/i ~ xn-y¡ _ (a - a eos t).a eos t - asent.asent (*! )3 (a ( l-c o s /))3

j t _ a2 cost- a 2 eos21 - a 2sen21 y xx - -a (1-cosf)

¡i _ a2 cost- a 2 (1 -cost)a 3 (1—cosí)3 a ( l - c o s í ) 3 a ( l - c o s r ) 2

v" =J XX

-1 -1

a(sen2 - ) 2 asen4 - 2 2

En foirna similar paia el siguiente ejercicio:

1at sen3t

X = eos 2/ f _ e~ata) b)y = sen t [y = e‘u

Desarrollo

a) j* = eos 2t ^ [*/ =-2sen2t í jc/ ' = -4 eos 2 /

ly = s«i2f jy / = sen 2/ ^ [y/' = 2cos2f

„// _ xi-y',' - -y', (~2sen2t).2eos 2t - (~4cos 2t).sen2t „. /. 3 — — -----------------= 0(.x, ) (~2sen2t)


b)\x = e

\y = e

U = - a e - ° '

1 y't - ae“'

¡ 4 = ° 2e-a'

„ j¿.y" -xl'.y', (-ae-a')g-eat - a 2e“‘ - a V 'W "yxx=- J \ 3

( X ¡ ) (~ae-a')3

v" i f i z f l > « 3 - 3 « —7>at y" = —--3aí

x = arefg t695 a) ir

Desarrollo

b)

x = arctg t x = arctg t n ■ 2t

a) 12 => r => (1 + t:

l í = T iy = T 1

1 2r

U " = i

l+t2 +2t2

// xl.y'j-x/¡.y[T ' '»O

1+ í2 (l + r ) ‘ (1+f2)

(x¡)’ ( - ^ ) 3 1 + í2( - ^ ) 31+/2

x = lnf 1

y = 1 - t

= (l + í2)(3/2 +1)

b)

/ 1x = ln/ * '= 71 =>

/ = 1 " y' o - o 2r r r

x" = - — ' ,2

/ = ' 2( i - í r

_ x ,'.y f .y,' _ M I - ? ) 3 t 2 >A\ - t = t 2 ( - t ) 3 = « / + !)/ J \ i 1 1 ( 1 - f ) 3(x¡)

.3


6 9 6

6 9 7

„ </2x „ x = e' cosíHallar —- si4y ly = e 'íe « /

Desarrollo

d ¿x _ y[ 4 - y l x [ dy2 (y/)3

x - e ' cost => x' =e‘ c o s t - e 'sent => x't[ - -2e‘sen t

y = e 'sent =» y't =e‘sent + e' cost => y ¡ '= 2 e 'cost

d 2x _ (e'sent + e' cos?).(-2c 'sent)-2e' costje' eost-e'sent) dy2

de donde se tiene:

(e' cosí + e'sen/)3

¿~x _ - 2e~f Qe?z ~7 + jen? cos t + c o s 2 / - sent cos t) dy2 e3' (cost + sent)3 '

d'-x - l e 2' - 2

dy~ e3' (cost + sent)3 e‘(cost + sent)3

Hallar para t = , í x - ln(l + í2) 0, si {

dx2 [y = r

Desarrollo

íx = ln(l + r2) J-c II N)J J¡

1 2 => ' i + r => ^[y = í2 <NII

y '!

2 - 2 ?

(1 + ?2)2


41 2/(2 - 2f2)d 2x _ y¡.x" - y".x,' _ 1 + r (1 + r )2¿v2 (y¡)3 (j L f

1 + /2

</2y _ [4,(2 + /2) - 4 f ( l - / 2)](l + /2) ^ rf2y _ t t f2 d 2y dx2 8/3 dx2 dx2 /=Q

698 Demostrar que y, determinada como función de x por las ecuaciones

x = sen t e v = aet'1'2 +be~1 2 satisface la ecuación diferencial

(1 — x2) ——~ —x - — 2 v , cualquiera que sean las constantes ayb . dx~ dx

Desarrollo

Ix = sent x1. = eos /^ => , derivando se tiene:

y = ae + y,' = V W 72 - W ^ T '72

x1/ = - s e n t

• y1/ =2ae,'Í2 +2be~,sl2

dy__ y; -¡ lae42 - b ^ l e ' " 12 dx ' ,JC eos /

d 2y _ x¡.y'¡ -x , ,y[ _ cos/(2ae'^2 + 2fee >v'>) + sent(\Í2ae'^~ - V2fce )


699

2^ cos/(2ae''/f2 + 2be ' ^ ) + sentilae1 2 -2be~'^2) i Set2 í ) ■■■ . —. ■ »11 ... ■ ■ ' — — ■ -——■ .eos3 /

sent(\Í2ae -b\Í2e ) , /j------------------------------------ 2aeeos /

eos t(2ae'^2 + 2fee ) + sent(y[2ae,s!2 - y¡2be~,sÍ2)eos /

sentisjlae'^2 -by¡2e~,'S2) _ , / j ./=■ . ¡z ¡z—------------------------------ i = 2fle' ^ + 2be~ = 2(ae + be-,'j2) = 2 yeos / •

... ( i - x 2)^ -y - -x — = 2 ydx2 dx

d3 y í x = sec /Hallar y'" = —- para las siguientes funciones: <dx [y = tgt

Desarrollo

donde y ' ^ Í A z M . x, (*,)'

<J> ,/ - 4 ,v /] , H ^ .y : - x ^ y ^ ) 2^ ]^ — i------------------ --------------------------------------

U f (x )3

f r // y _ ~ x1//, -y¡) — 3(x¡ )2 X" (x¡ y I' -x " .y /)' sxxh ~ 7 ------------------ — --------------------------------------—

(x/)6

. . . V v"/ _ r ' r"' v; - 3x' x" v " + 3/ x" I 2 v ' i \/ _ í ”wí ( tu - ' t ’ it ■?!/ + -Hx,,; y,\Jxxh 2------------- --------(x/)4

// / ( V ) 2 V 7// — V r"' v 7/ -4- V //,,// \/ __ \ t > ym At -xttt •y¡ ^xt %xu -y« + xn )' y xx h T~.

(x/)4


700

i A f y ' í - 3 ü W <^>3

x = sec t => x[ = sec i.tg t => = sec' t + sec" t.tg t

4 = sec2 f(l + tg t) => .v® = sec4 1 + 2 sec2 f.íg í(l + tg t)

y = tg t => y¡ =sec2 t => y'ú =2sec2 t.tgt

y"l = 4 sec2 í .tg t + 2 sec4 í => y® = 2 sec 2 í(2fg í + sec 2 f)

/// */ (x[ .y"! - 4 1 ) - 3x'j (x[ .y" - 4 .y/)C*,7)5

de donde al simplificar: y^. = ^ -sen?

Ix = e~' eos t

y = e~'sen tDesarrollo

x~e~ 'cosí => x{= -e~ 'cos t-e~ 'sen t

Xf = —e l (sent + eos t) => x" =2 e~'sent

y = e~'sent => y[ = —e~‘sent + e~‘ eost

y[ - e~'(eos t - sent) => y'/t =-2e~'cost

,,“ ” U,V


_ -e 1 (sent + cos t)(-2e ' c o s t ) -2e 'sent.e ' (cosí -sent)- e~31 (sent + cos í)

n _ 2e~2' {(sent coS f + eos2 í) - sent cos í + .sen2/]Xxx _ i , ■>

-e (sení+ cosí)

/ = . 2 ~ 2 * ' -* X X

e (sent + cos í) (sent + cos í)

t J i \t - ^ e' (sent + cosí)3 -3(sent + cosí)2(co sí-íen í)e ', {yxx't ~ a . 7 •]

(sent + cost)'

, //•>/_ ~2e'(sent + cost -3eost + 3sent) (yxxh — (sent+ cosí)

rj i^ i_ -2 e '(4 se n t -2 c o s t ) // / -4e'(2seni-cosi)4 ^ = 7---

(íení + cosí) (senf+ cosf)

/// _(y[!üc)ll _ -4 e '(2 se n t-cost) _ 7// 4e2'(2sent-cost)y xxx / — s => ylu: — ;—A, -e (sent + cost) (sent + cost)

701w

Desarrollo


702

703

( y * ) í = (6r + 6)e2' + 2 (3 r + 6í)e‘ = e 'f(6r + 18í + 6)

2/ /¿r#2/// = (yxx)_t__e (6f +18.fl± ^ rr_e3>(6f2 +18f+6)Xxxr /Xt

y'lLt= - 6e3í (f2 + 3í + 1)

¿ " v ÍA = lní Hallar ----- sí '

de" [y = ímDesarrollo

Como x = ln t => í = e* ; y = f"‘ => y = e"u

y '= m<?»« => y " = m V “ =* y'L=>niemx

y(n) =m VM ^ ><;>=»!"(«')" => y $ = m atm

Conociendo la función y = f(x), hallar las derivadas de x" y x"' de la

función inversa x = f ~ l (y)

Desarrollo

y = f(x) => y ' = = / '(x ) =* Y =dx dy f ( a )

d 2x _ - / " ( a ) dx _ / " ( a ) d 2x _ f"(x)dy2 ~ [ f \ x ) ] 2 dy [ / ' ( a ) ] 3 dy2 [ / '(x )]3

d3x = d d 2x d / " ( a )

dy3 dy dy2 dy [ / ' ( a ) ] 3

[ ( / ’ ( x ) ) 3 / ' " ( a ) - / " ( a ) . 3 ( / ' ( x ) ) 2 - / " ( x ) ] d x


_ t / (x)2( / '((a)/ ’"(a) - 3 / "(a)2 )] 1[ / ’( a ) ] 6 7 u )

d 3 A _ 3 [ / " ( A ) ] 2 - / ’ ( A ) . / " ' ( A )

¿y3 f / ’(x)j5

704 Hallar y" sí x2 + y 2 = 1Desarrollo

x 2 + y ' - 1 => y - V l-A 2 derivando se tiene y ' = —

V T 7 ( - i ) - ( - x ) - ^ Ly . = ________ VÜZ

V l^ .2

1-A2

_y = ----------^ r=> y = — -----------3 2 v3

( 1 - A 2 ) 2 ' (1 — A 2 ) 2

DETERMINAR LAS DERIVADAS y ” DE LAS SIGUIEN1 FUNCIONES y = f(x) DADAS DE FORMA IMPLICITA.-

7 0 5 y 2 - 2px

Desarrollo


Desarrollo

^£ + Z y ' = 0 2 i 2. a b

, ¿2ay - —yya

b2x, 2 ( > ’ - 4 ----------y ) )

b~ , y - x y \ b yay 2 2 2 ’ 2cr y fl y

2 bx¿ , 2 y + — fe2 b2x2 + a2 y2 ,

i>2 a 2b2 ' 7 y3

707 y = x + arctg y

a 2 y3

Desarrollo

y ’^ + r b ri+ y

( i— — )y' = i 1+ y

1+ yy' = l ± 2L 7 ..2 y' = - 5- + l

y" = - 2y-3y' = - ^ -y

2 1+ y2. 2 + 2y2i v j ) 5

y3 y2 y

d “y d x708 Desde la ecuación y = x + ln y. Hallar — r- y —y

íía ay"

Desarrollo

y = x + lny => y ' = l + — => (1----) y ' - l => y'y y y —i


_ ^ 2y _ (y - i)y '-y -y ’ _ - y 'dx2 ( y - 1)2 ( y - 1)2

d2y = ____1 ( y x = y¿x2 ( y - i )2 y - i ( y - i )3

709 Hallar “y” en el punto (1,1), sí: x 2 + 5xy + y 2 - 2a + y - 6 = 0

Desarrollo

2x + 5y±5xy'+2yy'-2+y, = 0 => (5x + 2y + l)y' = 2 - 2x - 5y

2~ 2-t-5 y ^ „_ (5a + 2y + 3)(-2- 5y ')- (2 - 2x - 5y)(5 + 2 y ')5x+2y + l ' (5A + 2y + l)2

Al simplificar y hacer la evaluación en el punto (1,1) se tiene: y " L —Ki.i) 25

710 Hallar y” en el punto (0,1) sí A4 -Ay + y4 =l

Desarrollo

4a3 -y -A y '+ 4 y 3y' = 0 => (4v3 - A)y'= y - 4a3 => y ' = —— •4y3 — a

y - _ (4y3 ~ -yK y 1 2a2 ) - (y - 4a3 )(12y2y 1)(4y3 — a)2

y - 4 a3Reemplazando y ' = ——---- en y" y evaluando en el punto p(0,1) se tiene

4 y - x


711 a) La función “y” está dada implícitamente por la ecuaciónd3 y

x 2 + 2 x y + y 2 - 4 x + 2 y - 2 = 0 . Hallar — f en el punto (1 ,1).dx

b) Hallar sí x 2 + y 2 =a~ dx

Desarrollo

a) 2 x + 2 y + 2 x y ' + 2 y y ' - 4 + 2 y ' = 0 =* ( 2 x + 2 y + 2 ) y ' = 4 - 2 x - 2 y

4 - 2 x - 2 yy = ---------------------- =■

(2jt+2y + 2)

. ( 2 x + 2 y + 2 ) 2 ( - 2 - 2 y ' ) - ( 4 - 2 x - 2 y ) 2 ( 2 x + 2 y + 2 ) ( 2 + 2 y )

y ~ ( 2 x + 2 y + 2 )4

. ( 2 x + 2 y + 2 ) ( -2 - 2 y ’) - 2 (4 - 2 * - 2 y )(2 + 2 y ')

V " (2x + 2 y + 2 )3

Simplificando y calculando y ' " , y evaluando en (1 ,1) se tiene:

b) x 2 + y 2 = a 2 => 2 x + 2 y y ' = 0 => y ' = -

y - x y _

y2 y 2

„ _ 3a2 , _ 3a2 3a2*y* y / y y5


2.6. DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y DE ORDE SUPERIORES.-____________________________ _________

a) DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN:

Se llama diferencial (de primer orden) de una función y = f(x) a la principal de su incremento lineal con respecto al incremento Ax = i la variable independiente x, la diferencial de una función es ig producto de su derivada por la diferencial de la variable indepen

dyd y - f ' (x)dx , de aquí, que y ' = — .

dx

Si MN es el arco de la gráfica de la función y = f(x), MT la tangei el punto M(x,y) y PQ = Ax = dx.

Tendremos que el incremento de la coordenada de la tangente AT = el segmento AN = Ay.

b) PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS DIFERENCIAL

1 de = 0, donde c = constante 2 dx = Ax

3 d(cu) = c du 4 d(u ± v) = du

5 d(uv) = udv + vdu 6 d(—) = -V “ ~v v2

7 d(f(u)) = f'(u)du


712

c) APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL PARA LOS CALCULOS APROXIMADOS.-

Sea y = f(x) la diferencial dy y el incremento Ay de dicha función es aproximadamente iguales entre sí Ay = dy.

Es decir / (x + Ax) - f ( x ) ~ / ' ( x)Ax, de donde:

f ( x ) + / ' (x)Ax = f ( x + Ax)

d) DIFERENCIALES DE ORDENES SUPERIORES.-

Se llama diferencial de segundo orden a la diferencial de primer orden d 2y= d(dy) , en forma similar se define de tercer orden si y = f(x) y “x” es la variable independiente, se tiene:

d 2y = y"(dx)2

d 3y = y " '(d x ) \

d ny = y (n)(dx)n

Cuando y = f(u), donde u = \|/(x) se tiene:

d 2 y = y" (du)~ + y' d 2u

d 3y= y '" (du )3 +3 y"du.d2u + y 'd 3u

Hallar el incremento Ay y la diferencial dy de la función y = 5x + x para x = 2 y Ax = 0.001

Desarrollo

Ay = f(x + Ax) - f(x) => Ay = f(2 + 0.001) - f(2)


Av = /(2.001) — f(2 ) = 5(2.001) + (2.001)2 - 1 0 - 4

Ay = 2.001(5 +2.001) - 14 => Ay = 2.001(7.001) - 14 = 0.009001

dy = y'dx = {5 + 2x)Ax =* dy = (5 + 4)(0.001) = 9(0.001) => dy = 0.C

Sin calcular la derivada, hallar d ( l - x 3), para x = 1 y Ax = - -3 '

Desarrollo

d ( l - x 3) = -3 x 2dx = -3 x 2Ax =$ d ( l - x 3) = - 3( l) ( - i) = 13

El área S de un cuadrado cuyo lado es igual a x, viene dada por la foi

S = x 2 , hallar el incremento y la diferencial de esta función y determir valor geométrico de esta ultima.

Desarrollo

dS = 2x.Ax y AS = S(x + Ax) - S(x)

A5 = (x + Aí)2 - x 2 => AS = x 2 +2x.Ax + (Ax)2 - x 2

por lo tanto se tiene: AS = 2x.Ax + (Ax)2

Dar la interpretación geométrica del incremento y de la diferencial d( siguientes funciones:

a) del área del circulo S = n x 2. b) del volumen del cubo v = x

Desarrollo

a) El incremento de la función es: AS = S(x + Ax) - S(x)

AS =n(x + Ar2) = 2tdc.Ax + tt.Ax2

Calculemos la diferencial es decir:


dS = S'(x)dx => dS = 2rcx.dx = 2rcx.Ax

Como AS = 2nx.Ax + n.Ax2 y dS = 27t.x.Ax y como Ax -> 0.

entonces: AS = dS

b) El incremento de la función es Av = v(x + Ax) - v(x)

Av = (;t +Ax)3 - jc 3 => Av = x3 + 3x2.Ax + 3x.Ax2 — x 3

de donde se tiene: Av = 3x2 .Ax + 3x.Ax2

Calculemos la diferencial es decir:

dv = V'(x)dx => dv = 3x2dx => dv = 3x2.Ax

Como Ax —» 0, => Av = dv

716 .Demostrar que cualquiera que sea “x”, el incremento de la función v = 2x , correspondiente al incremento de “x” en una magnitud Ax, es equivalente a la expresión 2 * Ax. ln 2 , cuando Ax —» 0.

Desarrollo

Ay = dy como dy = y'dx= y'.Ax

y = 2x y' = 2x \n2

Ay ® dy = y'.Ax = 2X ln2.Ax

717 ¿Para qué valor de “x”, la diferencial de la función y = x 2 no equivale al incremento de esta, misma función cuando Ax —> 0?

Desarrollo

Como y = x 2 => dy = 2x.Ax


A y - ( x + A x ) ~ -x = 2x.Ax + Ax2

para que Ay ^ dy el valor de x debe ser cero es decir x = 0.

718 ¿Tienen diferencial la función y = | x | para x = 0?

Desarrollo

Como dy = y'dx luego y = | x | no es diferenciable en x = 0, por lo tanto no tiene diferencial.

719 Empleando la derivada, hallar la diferencial de la función y = eos x jn 7rx = — y Ax = — .6 36

Desarrollo

Como y = eos x => dy = y'dx => dy = - sen. Ax

dy — —sen—.— => dy = -----= -0.04366 36 72

720 Hallar la diferencial de la función: y = ~ para x = 9 y Ax = -0.01\ x

Desarrollo

2 _Ly — 7= => dy = y'dx como y = 2x 2

V*

y' = - x 2 => y' = ---y

j . j Ax -0 01 1d y - y d x - ----- => dy = — — => dy = ------ «0.00037f ¿ 2700x 2 92


_ n n721 Calcular la diferencial de la función y = tg x para x - — y T - 1go'

Desarrollo

y = tg x dy — sec 2 x.dx — sec x.Ax

dy = « c H f ^ ^ - 0-0698

HALLAR LAS DIFERENCIALES DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES PARA CUALQUIER VALOR DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE \

DE SU INCREMENTO.

722 y = 4 :x

Desarrollo

mdxV= J - =* y = xPm => dy = -mx m 'dx =* d y - —

xm

X723 y = 1-JE

Desarrollo

, ( l - x ) - x ( - l ) _ __Como dy = y'dx entonces y = — ^ ” 2 J ( i- * ) 2

dxLuego dy = y'dx=

ti x)

x724 y = arcsen —

aDesarrollo


y = arcsen — => y ’ =a l - ( - ) 2 Va2 - x 2

dxcomo dy = y'dx =

I 2 2Va - x

725 y = «rcíg — a

Desarrollo

* a ay = arctg— =* y ’ = --------- => y = -5 ---- -l + (—)2 a +X

a

adxcomo dy - y dx = —------Cl + x~

2

726 y = e~xDesarrollo

_ 2 _ 2

Como y = e x => y’=-2xe *

2Además dy = y' dx - -2xe dx =$ dy = -2xe dx

727 y = x In x - xDesarrollo

y = x l n x - x => y' = lnx + l - l = lnx

dy = y 'd t = In x.dx => dy = ln x.dx


728 y = In -——1 + JC

Desarrollo

y = ln-—— = ln(l - ¿r) - ln(l + x)\ + x

1 1 - l - x - l + x , 2y ’ = ----------------= ---------- ----- => y = ------- -\ - X l+X l - X l - X

2dxcomo dy = y'dx => dy = ------- -

l - x 2

729 r = ctg (p + ese 9Desarrollo

, , 1 eos q>r' = -csc <p- e s c (p.ctg(p => r = ------ ---------- r—:

sen (p sen (p

l + cos<pcomo dr=r'd(p => = ------- 5—

sen~(p

730 S = arctg e'Desarrollo

S - arctg e! => S ' = ----- =-1 + éT

_, , e dtcomo dS = S' dt => dS =S dt = -----—

1 + e

731 Hallar dy sí x 2 + 2 x y - y 2 = a2

Desarrollo

2xdx + 2xdy + 2ydx - 2ydy = 0 => (2x +2y)dx = (2y

1 + coscp sen2(p

- 2x)dy


d y - ~ --- ^ d x => d y = ^ -^ -d x => dy = - ^ - ^ - d x2 y - 2 x y - x x - y

HALLAR LAS DIFERENCIALES DE LAS SIGUIENTES FUNCK DADA DE FORMA IMPLICITAS

732 (* + y)2(2x+ y)3 =1Desarrollo

2(x + y)(2x + y)3 {dx + dy) + 3(x + y)2( 2x + y)2 (2 dx + dy) = 0

2(2x + y)(dx + dy) + 3(2dx + dy)(x + y) = 0

2(2x + y)dx + 2(2x + y)dy + 3(x + y)2dx + 3(x + y)dy = 0

(lOx + 8y)dx + (7x + 5y)dy = 0 => dy = - — **y dx7x + 5 y

X

733 y = e~vDesarrollo

y y y

(1----j e -v )dy = -------dx => (y2 - xe y )dy = -ye ydxy y

, ye ydx y.ydx , y vdy = — ------- = — LL---- => dy = -----L - .dx = _ y _ dxy - x y y - x .y y - x x - y

734 In-Jx2 + y 2 =arctgc—x

Desarrollo


735

736

V , , y 1 2 2 y*“ + y = arcígc— => -ln (x + y ) = arctgc— x 2 x

xdy - ydxxdx + ydy x2 xdx + ydy _ xdy - ydx

"7 7 7 2 7 ^

* + y i+ (^ )2 * + y * + y

xdx + ydy = xdy - ydx => (y - x)dy = -xdy - xdx

jc+ y(x - y)dy = (x + y)dx => dy = ------ dx

x ~ \

Hallar dy en el punto (1,2) sí y3 - y = 6x2 .

Desarrollo

Como y3 - y = 6x 2 => 3y2dx ~ dy = \2xdx => (3y2 - \)dy = \2x.dx

\2x J , 12 dx 12í/y = ---r----=* <fy = ------------- = --- dxy 3y - 1 1 2 - 1 11

Hallar el valor aproximado del sen 31°

Desarrollo

Sea x = arcsen30° = — y Ax = arcsenl° =6 180

Pero f ( x + A x )~ f ( x ) + f '(x )dx

se«31° <= se«30° + eos30(— -) => sen3\° ~ 0.500 + 0.017— = 0.515 180 3


737 Sustituyendo el incremento de la función por la diferencial, calíaproximadamente:

a) eos 61° b) tg 44° c) e02

d) log 0.9 e) arctg 1.05

Desarrollo

a) eos 61° => x = 60° y x = l° = ——180

f ( x + Ax) = f ( x ) + f \ x ) d x

cos61° = cos60o-íe ;¡60°-^- => cos61° = — - — « 0 485 180 2 2 180

b) tg44 => Sea x = 45° y A.v = 1 ° = — —180

f ( x + Ax) = / (* ) + / ’ (x)dx

tg44° ~ tg45° - sec2 45°(-^~) => tg44° «1 - 4 (-—) = 0.965 180 180

738 ¿En cuanto aumenta aproximadamente el volumen de una esfera, si su r;r = 15 cm, se alarga en 2mm?

Desarrollo

4 iV = - nr => dv = 4rcr dr3

dv =4;r(15)2(0.2) = 180tt =565 cm3


739

740

Deducir la fórmula aproximada para valores de | Ax | pequeños en comparación

con x. Vx + Ax = V *+ -^ 7= y con ella, hallar los valores aproximados de s¡5 , 2 y/X

yjvf , yjló y \¡64Ó .Desarrollo

Sea f (x ) = J x => f ( x + Ax) = V-x + Ax

como f (x ) = \[x / '(* ) = —t=2\Jx

luego f ( x + Ax) = f ( x ) + f '(x )dx

Vx + Ax ~ Vx + -^t= . Como \Í5 = V4 + 1 => x = 4 2>/x

f ( x + Ax) =* f ( x ) + / ' (x)dx

y¡5 = y¡4 H---- y= => y¡5 = 2 H = 2.252y/x 4

Deducir la fórmula aproximada: yJx + Ax ~ l fx+ — ?== y hallar los valores3 Ijx2

aproximados de Ví0 , IjlO , 3/200 .

Desarrollo

Sea / ( x) = \[x => / (x) = =

Como f ( x + Ax) = f ( x ) + f ' ( x ) d x . Como yJx + Ax ~ \fx + -^= =

pero %/Í0 se tiene V8 + 2 => f ( x ) = y[x


Luego VÍ0 = V8 + 2 = V8 + —3 #

O 1VÍ0 = 2 + - => Vio = 2 + - = 2 + 0.16 =* VlO « 2.16

741 Hallar los valores aproximados de las funciones:

a) y = x 3 - A x 2 + 5 * + 3 para x= 1.03

b) f{x ) = Vx + 1 para x = 0.2

c) /(* ) = J —— para x = 0.1Vl + x

d) y = e1~x para x = 1.05

Desarrollo

Usando la fórmula f ( x + Ax) ~ f ( x ) + f \ x ) d x

Como x = 1.03 = 1 +0.3 => Ax = 0.03

f ( x ) = x 3 - 4 x 2 +5x + 3 => f ' ( x ) = 3jc2 -8jc + 5m

/ ( l . 03) = /[ I + (0.3)] - / ( l ) + /'(l)A x

f( 1.03) = 5 - 0(0.03) = 5 => f(1.03) = 5

742 Hallar el valor aproximado de tg 45°3'20''

Desarrollo

Sea f(x) = tgx donde x = 45°, Ax = 3'20”


Vl - 2X

f ( x + Ax) = f ( x ) + / ' (x)dx

tg 45°3'20'' = fg45° + sec2 45(3'20'') => fg45o3'20” = 1.0019

743 Hallar el valor aproximado de arcsen 0.54.

Desarrollo

Sea f(x) = arcsen x donde x - 0.5 y Ax = 0.4 además f '(x) -

f ( x + Ax) = f ( x ) + / ’ (x)dx

arcsen 0.54 = arcsen 0.5 + —==£=£= arcsen 0.54 = 0.54Vl-CO.5)2

744 Hallar el valor aproximado de %/Í7

Desarrollo

Sea /(x ) = \/x donde x= 16, Ax = 1

f { x ) - y [ x => f \ x ) = —t = , reemplazando a la ecuación:4 V ?

f ( x + A x )~ f ( x ) + f ’(x)dx

VÍ7 « V Í 6 + - ^ = = 2.03 4^16

E745 Demostrar basándose en la fórmula de la ley de ohm / = que una pequeña

variación de la intensidad de la corriente, debida a una pequeña variación de la

resistencia, puede hallarse de manera aproximada por la fórmula A1 = A/?R


746

747

Desarrollo

EComo / = — aplicando la diferencial de un cociente con respecto a R.

R

,, RdE-EdR JT, „di = ------- ------ pero dE = 0R2

. .. EdR E dR ILuego: d i - -----— = — (— ) =* AI = ----ARR2 R R R

Demostrar que un error relativo de 1% cometido al determinar la longitui radio, da lugar a un error relativo aproximado de un 2%, al calcular el áre circulo y la superficie de la esfera.

Desarrollo

Usar la formula siguientes: Área del circulo = A = jtr2

Superficie de la esfera =S = 4nr2

Calcular d 2y , sí y = eos 5x

Desarrollo

y = jos 5x =s> dy = -5 sen 5x dx

d 2 y = -25 eos 5x(dx)2

748 u = yjl — x2 , hallar d 2u

Desarrollo


749 y = arccos x, hallar d 2 yDesarrollo

dx . x(dx)2y = arccos x => dy = — . => dy = -

750 y = sen x. Ln x, Hallar d 2yDesarrollo

senx , , , . senx\ jdy = cosx.\nx.dx +------dx => ¿ y = (eosx.l n x H---------- ) ííxx x

,2 , , cosx., , .2 .xcosx-senx 2d y = (-senx. ln x + ----------------------------- )(dx) + (-,----------)(dx)X X"

,2 , , 2 cosx senx 2d y = (-senx. ln x + ------------- z~)(dx)X X

751 z = ———, hallar d 2 zx

Desarrollo

1 -ln x , ,2 2 x - 3 2dz = -^— dx => d z = — r—(dx)x" XJ

752 z = x e x , hallar d zDesarrollo

dz = (2xe~x - x 2e~x )dx => d 3z = -e~x(x2 - 6 x + 6)(dx)3

4

753 z = ------ , hallar d Az2 - x

Desarrollo

4 384 / * \4En forma similar a los anteriores a z = --------- (dx)

( 2 - x ) 5


754 u = 3 sen (2x + 5), Hallar d nu

Desarrollo

_du = 3cos(2x + 5 )dx = 3.2sen(2x + 5+—)dx

d 2u = 3.22 cos(2x + 5 + ~)(dx)2 = 3.22 sen(2x + 5 + 2(~))(dx)2

d 3u = 3.23 sen(2x + 5 + 3(-))(dx? )2

d"u = 3.2" sen(2x + 5 + n(—))(dx)n 2

755 y = e XQOSXsen(xcosa), hallar ¿"y

Desarrollo

dy - (coscc.exm$asen(xcosa) + cosaexcosa cos...(xcosa))dx

d"y - e’tl“ a sen(xsena + na)(dx)n

2.7. TEOREMA DEL VALOR MEDIO.- [

a) TEOREMA DE ROLLE.-

Sea y = f(x) una función continua en a < x f ( b ) - f ( a ) = ( b - a ) f ' ( z) donde a < z <


c) TEOREMA DE CAUCHY.-

Sean f(x) y F(x) func iones continuas en a < x < b y existe / '( * ) y F'(x) para cada x e (a.b) y sí f(b)*f(a). Entonces:

/ ( w - / w s r u ) do„dc , <2<bF{b)-F(a) F \z )

756 Verificar que la función /(* ) = * - *3 satisface a las condiciones de teorema

de Rolle en los segmentos -1 < x < 0 y 0 < x < 1. Hallar los valores

correspondientes de z.Desarrollo

La función f(x) es continua y derivable para todos los valores de x, y

además f(-l) = f(0) = f(l) = 0

Luego el teorema de Rolle se puede aplicar. Ahora hallaremos z para esto

y (jc) = 1 — 3jc2 => / '( z ) = 1 - 3 z 2 = 0 , de donde: Zi =^~ ÓZ2 =_ ^

Siendo - l < z 2 <0 y 0 < Zj < 1

757 La función /(* ) = l j (x -2 )2 en los extremos del segmento [0,4] toma valores

iguales /(O) = /(4 ) = ^4 . ¿Es valido para esta función el teorema de Rolle en

el segmento [0,4]?Desarrollo

2Comp /(* ) = (* -2 )3 => / '( 2 ) 3

Es decir que f(x) no es derivable en (2,4).

Luego no es valido el teorema de Rolle.


758 ¿Se cumple las condiciones del teorema de Rolle para la función f(x) = el segmento [0, n]?

Desarrollo

No se cumple, porque f(x) = tg x no es continua en (0,7t) es decir

discontinua en * = —.2

759 Sea f(x) = x(x + l)(x + 2)(x + 3). Demostrar que la ecuación / '( * ) = tres raíces reales.

Desarrollo

Como f(x) = x(x + l)(x + 2)(x + 3) => f ( x ) = x 4 +6x3 + l l x 2 +6x

f ' ( x ) = 4x3 +18x2 +22*+ 6

Como f ' ( x ) =0 => . 4*3 + 18.v2 + 22* + 6 = 0

De donde 2*3 + 9*2 +11* + 3 = 0

y por la formula de Cardano se obtiene las tres raíces reales.

760 La ecuación e x = 1 + * , evidente tiene una raíz x = 0. Demostrar qt ecuación no puede tener otra raíz real.

Desarrollo

Sea /(* ) = e x - (1 + *) es continua en todo R.

Además es derivable => existe r e R, de tal manera que f ' ( z ) = 0

Como /(* ) = e x - (1 + *), derivando se tiene:

f ' ( x ) = e x -1 => f ' ( z) = ez - 1

pero f ' ( z ) = 0 => ez -1 = 0 =* e z =1 => z = 0


761 Comprobar si se cumple las condiciones del teorema de Lagrange para la

función f ( x ) = x - x 3 en el segmento [-2,1] y hallar el correspondiente valor

intermedio z.Desarrollo

La función es continua y derivable, entonces:

/ '( * ) = 1 — 3jc2 como f ( b ) - f ( a ) - ( b - a ) f ' ( z )

/ ( ! ) — /(2 ) = [1 - (~2)]/'(z) => 0 - ( - 2 + 8) = 3 / '(z ) => / '( z ) = - 2

1 - 3 z2 = -2 => - 3 z2 = -3 => z = ± l

se toma solamente z = -1 puesto que -2 < z < 1

762 Comprobar si se cumple las condiciones del teorema de Lagrange y hallar el4

correspondiente punto intermedio z para la función f ( x ) = x 3 en el segmento

[-1,1]Desarrollo

4

f ( x ) = x 3 = 1¡7 es continua V x e R

/ '(* ) = => f ( l ) = l y f ( - l)= l

además/Xz) = M í l ^ = l z l = 0 l - ( - l ) 2

como f ' ( z ) = 0 => ^ > /z=0 => z = 0

como -1 < z < 1, luego se cumple para z = 0


En el segmento de ■ la parábola y = x 2 comprendido entre los puntos A(1

B(3,9). Hallar un punto cuya tangente sea parábola a la cuerda AB.

Desarrollo

( ¡ m f v _ / (b)~ f (o)êa j ( z ) ----------------- donde a = 1, b = 3b - a

9-1/ '(* ) = — = 4 como f ( z ) = z 2 =* f ' ( z ) = 2x

como f ' ( z) = 4 => 2z = 4 => z = 2

Luego el punto será (z, f(z)) = (2,4)

764 Aplicando el teorema de Lagrange, demostrar la fóm sen(x + h) - sen x = h cos£ donde x < £ < x + h

Desarrollo

Sea f(x) = sen x, es continua en [x, x + h] por el teorema de Lagrange

tlene: f ' ( x + h ) - f ( x ) = (x + h - x ) f ( % )

f ( x + h ) - f ( x ) = hf'($) donde /*(£)= cos£.sen(x + h )-senx = h cos£

donde £ = a + 0(x - a) y O< 0 < 1

caso particular para a = 0, se tiene la formula de Machaurin.

f ( x ) = f(0 ) = x f '(0) + ~ f "(0) +... + - í l L /<*-» (0) + fin) ,¿ x 21 (« — ! ) ! , ni ^


765 a) Comprobar si se cumple las condiciones del teorema de Cauchy para las funciones f ( x ) = x 2 + 2 y f ( x ) = x 3 - 1, en el segmento [ 1,2] y hallar £

b) Idem para f(x) = senx y F(x) = cosx en el segmento [0, ~ ]

Desarrollo

, „ . , ^ .• f ( b ) - f ( a ) / '(£ )a) Por el teorema de Cauchy se tien e :--------------- = -----— 1 < q < 2F(b)-F(a) F\Z)

f(2) = 6, f(l) = 3 y / '( § ) = 24

f(2) = 7, F(l) = 0 y / '( § ) = 3£

/ '( g ) _ 6 -3 3 _2_= 3 ^ 14FXÉ) 7 - 0 7 3% 7 9

b) f(x) = sen x => f ' ( x ) = cosx

TCF(x) = cosx => F'(x) = -senx , 0< ¿ í c

eos! 1 -0 t ' c ti-----—- = ----- => ctg £ = 1 => c = —-sm * 0 -1 4

2.8. FÓRMULA DE TAYLOR.-

Si una función f(x) es continua y tiene derivadas continuas hasta de grado (n - 1) inclusive en el segmento a < x < b (o b < x < a) y para cada punto

interior del mismo existe una derivada finita , en este segmento se

verifica la fórmula de Taylor.


f ( x ) = f{a) + (x - a ) f \a) + f "(a) + / '"(a) +

- + í7(n-1)! ni

766 Desarrollar el polinomio f ( x ) = x 3 - 2 x " + 3 x + 5 en potencias enterepositivas del binomio x - 2.

Desarrollo

f ( x ) = x 3 - 2x 2 +3 x + 5 => f ' ( x ) = 3 x 2 - 4 x + 3

f " ( x ) = 6 x - 4 , f " ' ( x ) = 6, f in)(x) = 0

para n > 4 de donde f(2) =11, / '(2 ) = 7 , / ' ” (2) = 8 , / " ' ( 2) = 6

f ( x ) = x3- 2 x 2+3x+5 = f ( 2 ) + f X2)(x - 2) + (* - 2) + (jc - 22! 3!

x 3 - 2x2 + 3x + 5 = 11 + 7(x - 2) + 4(x - 2) +... + (x - 2)3

767 Desarrollar la función f (x) = ex en potencias del binomio x + 1, hast¡

termino que contenga (x + 1)3.

Desarrollo

Como f ( x ) = ex => f M (x) = ex y / (n)(-l) = -e

= i + I u + i)+ I< £ ± l ) l+I < í ± l í l + í ü l ) ! eíe « e 2! e 3! 4!

donde £ = -1 + 0(x + 1), 0 < 0 < 1


768 Desarrollar la función f(x) = ln x en potencias de x - 1, hasta el término con

(x -1 )2.Desarrollo

f(x) = ln x => f '(x) = — => / "(x) = — => / m(x) - —X X x

f(l) = 0, / ’(1) = 1, / " ( 1) = - 1 . /*"('D = 2

/(x ) = / ( l ) + / '(IX* - 2) + f (1)(2 ~ — + 7 (^ * —

lnx = Q + ( x - l ) - (* ~ + ( ^ 3f > donde =

2 3

+ ^ - r - donde £, = 1 + 0(x - 1) y 0 < 6 < 1 2! 3!<f

769 Desarrollar la función f(x) = sen x en potencias de x, hasta el término de x3 y

hasta el término x5.Desarrollo

f(x) = sen x , derivando se tiene:

/ ’(x) = cosx, /" (x ) = -serve, / ’"(x) = - cosx, f ' \ x ) = senx

/ v(x) = cosx, / V1 (x) = —senx

f(0) = 0, / ' ( 0) = 1, / ” (0) = 0 , / ' " ( 0) = - l , / ív(0) = 0 , / v(0) = 1

a) íenx = x --^ - + :~ / v(<5) donde f v(%) = cos£ , £ =9\X, O<0t < l


x ^ X 5 X 1b) senx = x - — + — - — f v“(£) donde / v"(£) = -cos£

donde ^ ~ d 2x , O<02 <1

770 Desarrollar la función /(x ) = ex en potencias de x hasta el término de x"~

Desarrollo

f ( x ) = ex => f M ( x )= e x => / (n)(0) = l

m - / ( 0 ) + / t o , + £ B ^ + ...+ +n ( l x ,21 (n —!)! n!

x2 x”_1 r"f ( x ) = e* = l + x + — + ...+———- + — e5 donde ^ - 6 x , y O<0<1

2! (ra-1)! ni

771 Demostrar que la diferencias entre sen(a + h) y sen a + h eos a, no es m<

de - h22

Desarrollo

Sea (x) = sen x haciendo el desarrollo en potencias de x - a

senx = íe/;a + (x - a) eos a - ( V °^ sena - eos a +2! 3!

haciendo x =a + h, de donde se tiene:.

, , , , , h2 h3sen(a + h) = sena + h eos a ----- sena----- eos a +...2! 3!

sen(a + h )-se n a -h c o sa = — ( - s e n a - - a - — sena+ ...+) . m2 3 12


h h h2 , , h h h*-sena— cos a H—cosa+— sena+... = sena(-H-------------------- h..)+cosa(-------- H--------- K..)3 3 12 12 3 20

donde -1 + — + ...<1 12

h h — + — + ...<1 3 20

además 0 < sen 9 < 1 y 0 < eos 0 < 1

y además cuando sen a -> 1, eos -> a y cuando eos a —» 1, sen —> a

/ i hl s / h h3sena(- Ih— - + ...) + eos a(— + -----K..) < 112 3 20

h , h¿ . h r w h¿- [ s e n a ( - Ih------K..) + cosa(— + — + ...) < —2 12 3 20 2

... (2)

reemplazando (2) en ( 1 ) se tiene: sen(a + h)~ sena - h cos a <

772 Determinar el origen de las formulas aproximadas:

„2a) yj l + X ~ 1 + -, I X ¡ < 1

2 8b) yJ\ + X =1 + — — —

3 9I X I < 1

y valorar el error de la fórmula

Desarrollo

a) Mediante el desarrollo de Taylor se tiene:

3r,— , x x>/l + X = 1H----------(- -

2 8el error es:

16(1 + É)2

„ X X(1 + -------- + -2 8

16(l + £ )2 16(l + £ )2


b) V IT I = l + £ - £ _ + A (_ ^ ) d error es:

( l+ £)3

n , x X 2 5 X 3 X x 2 S r 3(1+ + ----------ñ~) — (! + ————) = — -___

3 9 ! 3 9 881(l+ £ )3 81(1 + | ) 3

donde £ = 0x y O< 0 < 1

773 Valorar el error de la fórmula: e = 2 + — + — + -12! 3! 4!

Desarrollo

, x 2 X 3 r 4 v 5e =1 + * + — + — +— + ü_2! 3! 4! 5 ! J (g)

e =e cuando x= l entonces se tiene:

e *=2+h +i +i +h f V ( 0 donde

Luego el error será: ~ donde § = 0x = 0(1) = 0

Pero 0 < 0 < l, el máximo error que puede tener ex =2 + — + -L + JL2! 3! 4!

cuando se toma el mayor £ es decir que debe lomarse el máximo valor de ( pero el máximo valor 0 aproximado y siempre menor que 1, entonces tomand

0 = 1, el error < ~ donde e < 3.

Luego redondeando se tiene error < — = — = n rm5! 40


774 Un hilo pesado, bajo la acción de la gravedad, se cambia formando la catenaria

y = a cosh —. Demostrar que para valores pequeños de | x | la forma que toma a

x2el hilo puede representarse aproximadamente por la parábola: y = a + —2 a

Desarrollo

Como |x| es pequeño utilizaremos la formula de MACLAURIN.

Sea f (x ) - y - acosh(—) =£ f(0) = a a

f(x ) = a cosh — = a+ — + — -r- + ... como ¡ x | es pequeño entonces | x | - 0 a 2 a 4 la

X X xLuego ---- - +---- - + ... => o puesto que -------r => o para | x | => 04la 6la nían~l

X X X XLuego acosh — = a +---- - + -----= y

a 2a 4 la3 2 a

X XPor lo tanto a cosh — = a H----a 2a

X 2775 Demostrar que cuando | x | < a, con una precisión hasta de (—) , se verifica la :a

igualdad aproximada ea ~ J ———V a - x

Desarrollo


n x ~ x 3x2 ' P * ' %(1— ) 2 « 1 + — + — Aa 2a 8a~

multiplicando ambos miembros se tiene que: . Ia+ x ~ \ + £ + _£—\ a - x a 2a1

X

ahora haciendo el desarrollo de ea en potencias de — :a

j 2 ~ X Xe° «1 + - + — _a 2 a~

de (1) y (2) se tiene que: J --+x = ea' a - x

2.9. REGLA DE L ’ HOSPITAL - BERNOULLI PARA CÁLCULO DE LIMITES INDETERMINADOS.-

a) CÁLCULO DE LIMITES INDETERMINADOS DE LAS FOR

- V — .

0 oo ■'

Consideremos f(x) y g(x) dos funciones derivables para 0 < | x - a sin que la función g(x) se reduzca a cero, si f(x) y g(x) son infinitar pequeño o infinitamente grandes cuando x => a, es decir si la fra f (x )—— representa en el punto x = a, una expresión indeterminadag(x)

forma — o — , tendremos que:0 O O

f ( X) . f \ X) lim —— = lim —-— a condición que este limite de las derivadas e>g(x) x —* a g ( x )


f \ x )También esta regla se aplica cuando x si la fracción-------es unag \x )

expresión indeterminada se vuelve a aplicar esta regla.

b) OTRAS FORMAS INDETERM1NADAS--

Para hallar los limites de expresiones indeterminadas de la forma 0, o«, se transforma los correspondientes productos f x{x).f2(x) donde

lim /, (x) = 0 y lim f 2 (*) = 00 en la fracción.

/ |W , t 0 N u., / 2(x) ,e °°— — (forma — ) o también ——— (forma — )1 0 1

f 2(x) f¡(x)

Para el caso de las indeterminadas de la forma °° - °o se transforma la/ (•*)diferencia /¡ (x) - f 2(x) en el producto /, (x)[l— ----- i y se calcula élfi(x)

f (•*) / Mlimite de la fracción -2— , si él limite —— = 1, esta expresión sefi(x) fi(x)

reduce a la forma:

1- f 2(x)

(forma 5 )1 0

fi(x)

Los limite cuyas expresiones de las determinadas son de la forma

1~, 0o y o=°.

Se calculan primero tomando logaritmos y después se levanta el logaritmo.


HALLAR LOS LIMITES QUE SE INDICAN DE LAS FUNCIC SIGUIENTES:

776 ,imí - l 3 í l z £ ± 2 *->t x - 7 x + 6

Desarrollo

U ~ x ~ 2x - x + 2 ,. 3x~ — 4x —1 3 - 4 - 1 -2 1lim---- -------------- = lim------ -------- = ---------- = — = _*-»i x - I x + 6 3x - 7 3 -7 -4 2

___ ,. x eos x -senx111 lim —X

Desarrollo

x eos x -senx eos x -xsenx-eos xlim-------- ------- = hm -------------------------x~iO x x->o 2x2

.. xsenx 1 senx 1 : l,m --------- _ ----- jlm --------- _ -------*-*0 3x 3 -*->o x 3

778 lim- 1 *x —>1 1 TC Xl - sen —

Desarrollo

l - x - l 2 l 2 lhm— -------- = iim------------ = —lim— -— = - ( - ) :M ,l - s e n ™ x~*l * e o s™ n ^ e o s ™ K 0

2 2 2 2

coshx-l 7/9 lim--r->0 l-c o sx

Desarrollo

coshx -l senhx ex -e~x ex +e~x 2h m - --------------= h m -----------= lim ----------------= lim --------- -— = - = l*->0 I - eos x x >o senx 2senx *->o 2cosx 2


780 l im íH Z if í í*—>o x-senx

Desarrollo

tgx-senx see2x -eo sxhm------------= lim-----------------*->o x-senx *-»0 1 -eosx

l-co s3x 1 + cos.v + cos2 x _= lim— --------------------------------------- = hm-------- r--------- = 3*->0 eos" x(l-eosx) x->° eos x

781x ,* l + eos4x

4

Desarrollo

s e e x-2 tgx 2see x.tgx-2aec x 2 , •hm — — ---— = hm — ----- ------------- = 2 hm see x. hm — --------/ 1 + cos 4x X_ E -AsenAx x x^ - 4 s e n 4 x

4 4 4 4

rr.2 íg x -l .. t g x - 1 see2x (V2)2 1= 2(V2) hm —-------------------------------------------------------- = - hm -= - hm -= -------- = —-4sen4x X_¿lsen4x x * 4 eos 4x 4 (-l) 2

4 4 4

782 lim tgXx- ¿ ‘85x

2Desarrollo

tgx senx. cos5x eos x. eos 5 x - 5senx.sen5x 0 -5hm —— = hm---------------= hm ------------------------------------------------ = ------— = jx * ts5x x )g eos x - sen5x x^ _ -senx.sen5x + 5 eos x.eos 5x -1 + 0

2 2 2

783 limx

Desarrollo


784 lim ln.

Desarrollo

lim = lim*->oo x X—*ooX

1 "3— v 3

JC= 3 lim — = 3 lim — = 3(0) = 0

X -+00 x x— L v3

785 lim-x—>0

nx

ctg-nx

Desarrollo

lim-*-*0 XCtg

n nxn t g ~—— = lim - — — = lim

TtX x->0 x x—>0

n 2 nx—-see — _2______2_

1 =— a ) = — 2 2

786 lim ln(se»(rax))*->o In(senx)

Desarrollo

meosmxlim M .s.en,nxl = lim _senmx = m Hm senx.cosmx •c—>o Ini senx) *->0 eos x *—>o eos x.senmx

senx

■ m lim —- — — w lim - see" x= lim see2 x 1

*->o tgmx x~>o mscc ' mx see2 inx 1■ = 1

787 lim(l-eosx)c/gxx—>oDesarrollo


(1 — cosx)eosx .. 1 —eos* ..liin (1 - eos x)ctgx = lim— -------------------------------------------- —--------- lim--- — .limcosxt_>o jr—»o senx *->o senx

71X788 lim (l-x)fg—

x -* \ 2

= lim -—— .lim eos x = (0)(1) = 0 x -> 0 eos x *->o

Desarrollo

? 1 -x ,. nx 1 -xlim(l - x)------ = lim-------- . lim sen — = lim----- —: (1)x—>1 ■ T tx x ->\ 1ZX JC—>1 2 X~>\ T txeos— eos— eos

2 2 2

-1 2 1 _ 2 , 1 , _ 2;lim------------- = —Jun------------ —*_>! n nx n x-*\ nx n i n----sen— sen ——

2 2 2

789 . lim arcsenx.ctgxjc- íO

Desarrollo

eos x aresenxlim arcsenx.ctgx = lim aresenx.------= lim-----------. lim eos x

>o x—>o senx senx *->o

.. aresenx ,. 1 1- iim----------.(l) - hm . ...—---------------------- 1*->o senx *-*°Vl-x2 eosx VI-0(1)

790 lim x ne~x , n > 0x—>0

Desarrollo

lim x V * = lim xn. lim = 0".e”° = (0)(1) = 0x - » 0 x - ^ 0 x — * 0


791 lim xsen(—)X—>®°

Desarrollo

a a asen — — 2 eos --lim xsen(-) = lim — = lim —- —-— — = a lim eos ü = a.eos 0 = a. 1 = a

00 X X > °° 1 X—)oo 1 ^— oo

X X 2

792 lim xnsen— , n > 0X

Desarrollo

a n a aa sen- a eos— eos-lim sen— = lim — = - lim— —- i = «a lim---- £ = - ( 1 ) = «, paran >]

x *->« _1_ ,-»■ 2 1 - n x-ôrt + 1 „ o 1

x" x"

Sí n = 1 => lim xsen — = ax-*a x

Sí n < 1 => lim xnsen— ~ 0

793 lim In x. ln(x -1 )JC—»1

Desarrollo

Hm ln x. ln(x -1) - lim---- ------= 0, por la regla de L ’ Hospital

ln (x-l)

794 lim(— ------ L )>i x -1 ln x

Desarrollo


, x 1 . * ln * —* + 1 . ln*lim(-------------) = linj-------------- = lim-------------r*->i x - l ¡n* (* -l) ln * ^ f a * l

x

1ln* x 1 1= lim-------- —- = lim----- — = -—- = -

je—»1 , . 1 x-»l 1 1 1 + 1 2ln* + l — — + —rx X X

795 lim(—í—.— ---------)-r->3 X - 3 X — X — 6

Desarrollo

1 5 , *~-6* + 9 (* -3 )hm(---------- r---------) = lim---------- ;----------= lim------- ——5------ —at-»3 x - 3 x - x - 6 *-»3(*-3)(* - x - 6 ) *->3(*-3)(* - * - 6 )

x - 3 i - l 1 1 — lim—---------= lim -x->3 x2 — x — 6 *-»3 2*—1 6 — 1 5

796 lim(----- í - p ---------^7=-)■*-»2(1- A ) 3(1-V*)

Desarrollo

1 + V* I + n/Í + V ? , ,• 3 + 3 ^ f x - 2 - 2 l f x - l l f x 2lim(-------------------------- ) = l i m -------------------— ------~ i 2 ( l - * ) 3(1 - x ) *-*i 6 ( 1 - * )

_J______________ ?____1 _ 3 _ 2 _ 4 3 1271 3^ 3ifx 2 3 3 _ 2___ r: 2 _ 1

x™ -6 -6 -6 -6 12

797 Iim(— ---------— )x * ctgx 2eos*

2Desarrollo


lim ( i í í ^ -----£ _ ) = lim tosenx-nX_¿L eos* 2eos* - * 2eos*

2 2

798 lim *"je-»0

j. 2senx + 2xcosx _ 2(1) + 7r(0) -2 senx -2(1)

2

Desarrollo

lim'** = lim einx'X-*0 JT-»0

In jc~T~= l i m e xlnx = \i me x = e

lim-*-*o

jt-»0 x—>0lim -x

: e x~*° = e = i

i799 lim x x

Jt->o©Desarrollo

L i. ]n£ .• In* 1lim x x = lim e>nx' - lim e x =e"™ * = ex™x =e° - l

800 lim 3■*-»o *4 + ln *

Desarrollo

31n*lim——*-*°x + ln* *->0

= lim e x'+lrí* — lim ge4+\nx = g™4+ln;r =31n.r l i m - f

i-»0 1lim 3

Jt—»0 = e

801 lim x senx ■t-»0

Desarrollo


lim-lim x senx = lim e1"*’"" = limesenxAax = ««•<».«* = e ' ^ - cosecxJgxa —»0 .V—>0 .X—>0

s e n x s e n x- l i m ------------ - h m -------- .tgx n

x-*oXc o sx ~ e *-*® x — g h u ) y

KX e o s —

802 lim(l - X) 2*->i

Desarrollo

K X nx TCX , .. . K Xeos— , ,« eos—.In(l-jc) límeos-—.In(l--A) nlim (l-x) 2 = lim = limé 2 = e - 2 =e° =1X —>1 A"—>1 A ~ »1

2803 lim(l+jc2)*

A—>0Desarrollo

limtCl + x2) '2 ] = e™X = e° = 1A —>0

1804 lim x l~x

X—>1Desarrollo

lim*1-x-»l

Iha: limeA—>1

: lim e1-A—>1

lim -„ x - * \ -1

KX

805 lim(íg — ) g 2x->i 4

Desarrollo


« / K X .ln(fg— )k, lim--------nx , , n x ’trr nx, , jtj: »-.i nx

.. . U X ’g-T- ln(/í—) f*— ln(f*— ) cfgjc—-hm(íg— ) 2 = lime 4 =hm e 2 4 =e 2X—>1 2 JC—»1 X—>1

see2 (—)K m ---------- 4------

= e c (T * T = e 2(i)(i) = g-i = e-i = Ie

806 lim(c/g;t)ln*

Desarrollo—eos ecx.ctgx

lim------ ^1 j_ In cfgA ^ lncfgA *-»o 1lim(c/gx)in-t = lim gln(rt«Jc)l" = lim e lnjt = = e xx —»0 A —>0 a —>0

— ¿ f *—»0

807 lim (—)'**A - > 0 X

lim -A c o s e c A lim ----------- , 1* - » o — gx~*° senx — g 1 = ____

Desarrollo

iln - ,1 x ln a i

1 tnv ln(—)tgx — lim—(-cosecx.ctgx)lim(—) * = lim e * = lim ec,gx = lim e c,gx =x —>0 X x —»0 v - >0 x - * 0

l>m— í--- l i m i t o_ e «-*jrcosec.ctgx _ ¿ S , x ,gx = ^ 1(0) _ g 0 _ j

808 lim (ctgx)senxx—>0

Desarrollo

lim(ctgx)senx = lim e'ln(ctgx)S,’ÍX = = lim e-smxM,gx)A—>0 A—>0 A—>0 A—>0


s e c x

ln(rgjr) ___. - e ' ™ c o s « c * - e ^°-cosecxclgx

sen* .. tgx Olim—5— um----- —v r-*Oz»lim ------------- lim -------5— 1*®---------- T O í

— g ^ c o s ecx _ g » - « c o s x — g'-^cosx — e \ — e = 1

809 Demostrar que los limites:

2 1x sen - x -senxa) lim--------— = 0 b) ~*->o senjc x + s¿nx

No pueden hallarse por la regla de L’Hospital - Bernoulli. Hallar estos limites

directamente.Desarrollo

, 1 1 ,. 1x sen - xsen- limxsen- na) um--------¿ = l im ---------------------- - = T = 0

x—ío senx *->o senx lim senx 1--------------- x->0x

donde lim xsen — = 0 , puesto que z = —, cuando x —» 0, z —»*->0 x x

1 1 íenz . 1lim —senz = ? => -1 < sen z < 1 => - -

z z z z

1¡ra_ I oo 1 z z _ > “ Z z ~ * ° ° Z 2

x-senxb) lim ----------= 1

x-*- x + senx

j senxlim£ Z £ £ ^ = l i m - H H = 1 ^ = 1 donde lim — = 0, ver parte a) x->™ x +senx j | senx 1 + 0 x


810 Demostrar que el área de un segmento circular con una ángulo cer pequeño, que tiene la cuerda AB = b y la sagita CD = h (según figu

2aproximadamente igual a: S ~~bh

Con un error relativo tan pequeño como se desea, cuando a —> 0

Desarrollo

Sea R el radio de la circunferencia, el área del segmento esta dada exacte2

por la formula: 5 = — ( a - s e n a ) , para demostrar que: 5 = — bh

Calculemos lim —— y esto debe ser aproximadamente igual a 1.a->0 2 . ,— bh3

Según la figura b = R cos a

H = R - b = R(l -eo s a)

2 2—bh = — R2 co sa(l-co sa) 3 3

R¿

Luego lim —— = lim —— ------------------ = lim - ( — - — — )«-*0± bh a~>0 —/?2co sa(l-co sa ) “^ ° 4 co sa(l-co sa )

(a-sena)O

a - sena


CAPITULO III

EXTREMO DE LAS FUNCIONES Y APLICACIONES GEOMETRICAS PE LAS DERIVADAS ___

3JL EXTREMOS DE~ LAS FUNCIONES DE UN ARGUMENTO.-__________________________________________

a) CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE LAS FUNCIONES.-

Diremos que la función y = f(x) es creciente en un intervalo determinado sí para cada par de puntos x, y x 2 de dicho intervalo.

Se cumple que sí <x2 =* f ( x t ) < f ( x 2)

Diremos que la función y = f(x) es decreciente en un determinado intervalo si para cada par de puntos cualesquiera x, y x2 de dicho intervalo se cumple

que sí x, < x 2 => / ( x , ) > / ( x 2)

Aplicación de las Derivadas

Si la función f(x) es continua en el segmento [a,b] y / '(x ) > 0 para a < : la función es creciente.

En el segmento [a.b]. Si la función f(x) es continua en el segmento [a, / (x) < 0 para a < x }’' = 0 para los puntos críticos, es decir:

- 4 - 2x = 0 => x = - 2 punto critico.

-2

Como y = f(x) / = / ’(x) = - 4 - 2 x => / = - 2 ( x + 2)

Si x <-2, y’>0 => f(x) = y, es creciente en <-°o,-2>

Si x >-2, y'<0 f(x) = y, es decreciente en <-2,«>>

812 y = ( x - 2 ) 2Desarrollo

y = (x — 2)2 =* y’= 2 ( x - 2 )

Como y' = 0 para obtener los puntos críticos entonces:

2(x - 2) = 0 => x = 2 punto critico.


2/ = 2 (x -2 )

*1Si x < 2 => y'<0 => y =f(x) es decreciente en <-«>,2>

Si x > 2 => y’> 0 => y = f(x) es creciente en <2,~>

*13 y = U + 4)JDesarrollo

y = (a + 4)3 =* y'=3(ar + 4)2

Como y' = 0 , para obtener los puntos críticos es decir:

3(x + 4)2 = 0 , de donde x = -4

Si x<- 4 => y'<0 => f(x) = y es crecimiento en <-oo,-4>

y' = 3U + 4)2

S i x > - 4 = > y’> 0 => f(x) = y es crecimiento en <-4,<*»


814 y = *‘ (* -3 )Desarrollo

y = *2(jt-3 ) = *3 - 3 jc2 => y '= 3*2 -6 * => y' = 0

para obtener los puntos críticos es decir:

3.v - 6x = 0 =» 3x(x-6) = 0 => x = {0,6} puntos críticos

0 6y'=3jc(j:-6)

Si x<0, y’>0 => f(x) = y es creciente en <-oo,0>

Si 0 < x < 6, y'< 0 => y = f(x) es decreciente en <0,6>

Si x > 6 => v’>0 y = f(x) es creciente en <6,°°>

815 v = ■x - 2

Desarrollo

, _ ( x - 2 ) - x -2y ---- r-T- - ----- — como y' = 0 , para obtener los puntos críticos.

(x - 2 Y (.x - 2 Y

Es decir: -2= 0 . Luego 3 x tal que y' = 0

( x - 2 y

Además x = 2 es punto de discontinuidad

y =■- 2

( a- 2 ) 2


Si x < 2 => y '< 0 => y = f(x) es decreciente en <-°°,2>

Si x > 2 => v’< O => y = f(x) es decreciente en < 2 ,°°>

1 _I)2

Desarrollo

816 y -(x -3 )

—2y ' -----------; para obtener puntos críticos debe ocurrir que y' = 0' C*-3)2

_2Como y’ = ---------, no 3 x, tal que y' = 0

' (a -3)

Además x = 3 es punto de discontinuidad

3

Si x < 3 =* y '<0 => y = f(x) es decreciente en<-»,3>

Si x > 3 => y '<0 => y = f(x) es decreciente en <3,°°>

817 yx2 —6x — 16

Desarrollo

, (x2 - 6 x - 16)(jc) x(x2 - 6 a - 1 6 ) - a 2 - 1 6

y _ ( a 2 — 6 a — i 6 ) 2 / ( a 2 - 6 a - 1 6 ) 2

Para hallar los puntos críticos debe ocurrir que: y' = 0

Para que y' = 0 => — a ” —16 = 0 => a 2 = —16 3 x e R


818

Además x = -2, x = 8 son puntos de discontinuidad

y ’ — f ' (x ) = -----^( a - 2 +16)

(a' —6 a —16)

-o» < x < -2 y'= f ' ( x ) < o-2 < x < 8 y = / ’(x)<o8 < X < OO y '= /'(A )< 0

Luego la función y - f(x) es decreciente en: <-«>,-2>, <-2,8>, <8,°°:

y = (x-3)sfxDesarrollo

Calcularemos su derivada

y' = (a-3 )'V a + (a-3)(V a)' => y' = V J + £ z l => =2y[x ‘ 2y[x

Hallaremos los puntos críticos para esto debe cumplirse que y' = 0 V 3 y’

Si y '=0 => 3 x -3 = 0 => Aj = 1 puntos críticos

Sí 3 y' => 2 y f x = 0 = > a 2 — 0


819

x < 0, y = O - 3)\[x no esta definida

0 < x < 1, y’< 0 =* y = es decreciente en <0,1; V-t

X — 31 < x < y' > 0 => y = —t=- es decreciente en <1 ,<*>>

Calcularemos la derivada y

Desarrollo

1 1 l [ 7 - l

3 3 ^ 7 3$ /?

Ahora hallaremos los puntos críticos, para esto hacemos que y' = 0 y 3 y'

Si y’=0 =» tfx* - 1=0 => x = ± 1

Si 3 y' => 3sfx2 = 0 => x = 0

Puntos críticos

-k> < x <-1, y’<0 => y - - ^ - y f x es creciente en <-°°,-l>


- l < x < 0 , y '<0 =$ y = f(x) es decreciente en <-l,0>

0 < x < l , y '>0 => y = f(x) es decreciente en <0,1>

l < x < ° ° => y '> 0 => y = f(x) es creciente en <1,°°>

820 y = x + sen xDesarrollo

Calculando la derivada y' = 1 + eos x , ahora encontraremos los puntos críi

para esto debe ocurrir y '= 0 ’ ’ 3 y'

Si y’= 0 => 1 + eos x = 0 - eos x = -1 => x = 7t(2n + 1)

ahora veremos si y '>0 v y '<0

pero se conoce que -1 < eos x < 1, V x e R

sumando 1 se tiene 0 < 1 + eos x < 2, V x € R

luego y' > 0 V x e R, por lo tanto y = x + sen x es creciente en: <-°°,

821 y = x ln xDesarrollo

% jy = lnx + l , luego y' = 0 se tiene: !nx = -l => x = e~] = -

e

y para que 3 y ', se tiene x = 0

como la función esta definida para x > 0 entonces:


Como y' = ln x +1 se tiene:

0 < jc< - , y'<0 => y = x lnx , es decreciente en < O ,-> e .

1 * r 1 » !— <-*<<*>, y'> O => y = x ln x* es creciente en (—,°° >e . . e

822 y = arcsen (1 + x)Desarrollo

1 , 1Calculando la derivada y ' = -—= de donde y - - = = = ■

y jí-( l + x)2 y ¡ x - 2 x <*

para hallar los puntos críticos hallaremos los valores de x de tal manera que3 y.

Luego 4 - x 2 - 2x = 0 => - x l - 2.x = 0 => -x(x + 2) = 0=> = 0 , x2 = -2

puntos críticos

-2 0

<J-(x2 + 2x) J - x ( x + 2)

-oo < x < -2, 3 y' es decir que no es y '>0 ni >’’< 0 , por lo tanto no hay

intervalo de crecimiento y de decrecimiento.

-2 < x < 0, y > 0 => y = arcsen (x + 1) es crecimiento en: <-2,0>

823 y = 2e*2~4xDesarrollo


Calcularemos su derivada y'=2ex' 4x(2x - 4), luego para hallar los pui

críticos haremos y' = 0 , es decir: 2e(x~~4x) (2x - 4) = 0, de donde x = 2

2y '= 4ex(x~4) (x - 2)

- <»<x<2, y '<0 => y = 2ex ~4x es decreciente en: <-<»,2>

2 < x < °° , y '>0 => y = 2ex ~4x es creciente en: <2,°°>

i824 y = 2x~a

Desarrollo

— -1Calcularemos su derivada y ' = e x~a (---------) ln 2( x - a ) 2

12 A"«

y ' - --------- yin 2 , ahora hallaremos los puntos críticos, para esto veremos(x -a )

valores de “x”, de tal manera que 3 y '.

Luego x - a = 0 => x = a punto critico


- oo < x < a, y '<0 =* y = 2x~a es decreciente en: <-o°,a>

a < x < «o, v'<0 => y = 2x~a es decreciente en: <a,»>

825 y = ■

Desarrollo

Calcularemos su derivada y ' = — —- ahora hallaremos los puntos críticos,x~

para esto debe ocurrir que: y' = 0 V 3 y'

Sí y = 0 é?A( j t - l ) = 0 => x=1

Sí 3 y' => x 1 = 0 => x = 0

, ex( x - l ) y = ------=—

- o o < x < 0 , y ' < 0 => y - — es decreciente en: < - o o , 0 >x

0 < x < l , y'<0 => v = — es decreciente en: <0,1 >x

1 < x < o o , y’> 0 => y = — es creciente en: < l , o o >x

Aplicaciones de las Derivadas

Averiguar los extremos de las funciones siguientes:

826 y —x 2 + 4x + 6Desarrollo

y' = 2x + 4 => y'—0, para obtener los puntos críticos

es decir: 2x + 4=0 =» x = -2

y"= 2 => y " (—2) > 0 => x = -2

se tiene un punto mínimo de donde y = 2

827 y = 2 + x - x 2Desarrollo

y' = 1 - 2x =* y'= 0 => 1 - 2x = 0 de donde x = ^ punto critico

y " = ~2 => y "(—) <0 => en el punto x = — se tiene en máximo2 2

9 . 9 1de donde y = — , es decir: v = — es un máximo cuando x = —4 ' 4 2

828 y = x 3 - 3x 2 +3 x + 2Desarrollo

y' = 3x2 - 6x + 3 =* y' = 0 , para obtener los puntos críticos, es decir:

3x' - 6x + 3 = 0 => x = 1. punto critico

y " ' = 6 x - 6 => y ( l ) = 0 => y = x 3 - 3 x 2 +3x + 2

no tiene máximo ni mínimo por lo tanto no tiene extremos


829 y = 2*3 +3*2 -12* + 5Desarrollo

y' = 6x2 + 6 x - \2 => y' = Q para los puntos críticos

6*2 + 6x -12 = 0 de donde: x¡ = - 2 , x2 = l

y" = 12* + 6 => y ''( -2 )< 0 => en x4 =-2

se tiene un punto máximo de donde y = 25

y” (1) = 18 > 0 => en x 2 = 1 se tiene un punto mínimo de donde y = -2

830 y = *2(* —12)2Desarrollo

y = *2(*2 - 24* +144) => y = *4 - 24*3 + 144*2, derivando se tiene:

y’ = 4x3 - 72*2 + 288*, hacemos y' = 0 para obtener los puntos críticos

es decir: 4*3 —72*2 + 288* = 0 => x¡= 0, *2 =6 , *3 =12

y” = 12*2 -144*+ 288

y’' (0) = 288 > 0 => en *, = 0 se tiene un mínimo de donde y = 0

y ' ' (-6) = -144 < 0 => en *2 = 6 se obtiene un máximo de donde y = 1296

y" (12) = 288 > 0 => en *3 =12 se obtiene un mínimo de y = 0

831 y = * ( * - 1)2(*~ 2)3Desarrollo

Hallaremos su derivada y' = ( * - 2 ) 2(6*3 -1 6 * ' + 12 * -2 )


ahora hallaremos los puntos críticos y para esto:

y’ = 0 , es decir: ( * - 2) 2(6*3 -1 6 * 2 + 12* - 2 ) = 0

de donde: *, = 1 , *2 = 0.23, *3 = 1 .4 3 , *4 = 2

y"= 2 (*-2)(6*3 -1 6 * 2 +12* - 2) + (* - 2)2(18*2 -3 2 * + 12)

y" = 2 (*-2)[6*3 -1 6 * 2 + 12* - 2) + (* - 2)(9*2 -16* + 6)]

y"= 2(*-2)(15*3 -5 0 * 2 +50*-14)

y"(l) = - 2 < 0 => hay un punto máximo en: x = l , de donde y = 0

y" (0.23) > 0 => hay un punto mínimo en x = 0.23 de donde y =-0.76

y" (1.43) > 0 => hay un punto mínimo en x = 1 .43 de donde y - 0.76

y"(2) = 0 , no hay máximo ni mínimos.

*3832 y = —r —

x “ +3Desarrollo

- . . . . , (*2 +3)3*2 - 2 *4 3*4 + 9*2 — 2*4Calculando su derivada y = -------- ------------------------------(*2 +3)2 (*2 + 3)2

, *2(*2+9)y - — ------ hacemos y' = 0(* +3)

para obtener los puntos críticos es decir, * 2(*2 + 9) = 0 de donde x = 0

y"= 2*(*2 + 3 ) ( -* 4 - l x \ +9)

y"(0) = 0 =?> no hay máximos ni mínimos por lo tanto no hay extremos.


x 1 - 2 x + 2833 y =

x — 1Desarrollo

x2 - 2xCalculando la derivada se tiene: y ' = ------—r , hacemos y' = 0 para obtener( * - l )2

los puntos críticos, es decir: x2 - 2x = 0 => x¡ = 0 , x2 = 2

„ _ 2 (x -l)(-x 2 + 3x -1)

y Ot-1)4

y ' 1 (0) — —2 < 0 => en x, = 0 hay un punto máximo de donde y = -2

y" (2) = 2 > 0 => en x2 = 2 hay un punto mínimo de donde y = 2

( x - 2)(8-x )

Desarrollo

834 y =x"

Calculando su derivada v = , haciendo y' = 0x

para obtener los puntos críticos es decir: -(lOx - 32) = 0 => x = 3.2

-(10x-32) „ 20x - 96y = — 3— =* y = — —

X X

9y" (3.2) < 0 => hay un máximo en el punto x = 3.2 de donde y = —

16 _

■2)Desarrollo

835 y =x(4-x~)


, 16(3x -4 )>' = —;-------7-7 , hacemos y’= 0 para obtener los puntos críticos, es deci

x ¿( 4 - x ¿)‘

16(3x2 -4 ) = 0 =* x , = - ~ , x2 = AS - V3

„ _ 16(-12x7 + 2x5 -128x3 + 128x)x4( 4 -x 2)4

2 2y "(— 7=) < 0 y = f(x) tiene un máximo en x, = — = de donde y = - 3\

V 3 v3

4836 y =

yjx2 + 8

Desarrollo

—4xCalculando su derivada y' = --------- —, haremos y'=0(x2+ 8)2

para encontrar los puntos críticos. Es decir: -4x = 0 => x = 0

4 „ i2x3

(x¿ + 8)2

4

y = -------7 (1— 5 )3 x +8

y "(0) = — - < o => en el punto x = 0 hay un máximo de donde y = \¡2

837 y = *yjx2 - 4

Desarrollo


x2 -12Calculando su derivada se tiene: y ' = -----------j - , haciendo y = 0 para

3(.x2 - 4 ) 2

obtener los puntos críticos, es decir: x2 -12 = 0 => xx = 2^¡3 , x2 = -2y¡3

„ *(28- x 2)y 5

3(x2 - 4 ) 2

y'\2y¡3)>0 =» hay mínimo en jc,=2\/3 de donde y = >/3

y ”(-2\Í3) <0 => hay un máximo en el punto x2 = -2 -J Í , de donde y = -V3

838 y = ^(*2 - l ) 2Desarrollo

4 X . |Calculando su derivada se tiene: y 1 = ---------- —, haciendo y’ = 0 para

3(x2- l ) ôbtener los puntos críticos, es decir: 4x = 0 => x = 0

y „= 4(* ~3)_ ^ ;y" (0)< o => hay un máximo en x = 0, de donde y = l |

9(x2 -l)3

además x2 - l = 0 => x = ± l son puntos críticos

y" (±1) > 0 =$ en x = ± 1 hay un máximo de donde y = 0

839 y = 2 sen 2x + sen 4xDesarrollo

y'' = 4 eos 2.x + 4 eos 4x = 4(cos 2x + eos 4x)

y' = 8 eos x eos 3x , haciendo y' = 0 para los puntos críticos, es decir:


840

841

8 eos x. eos 3x = 0, de donde: eos x = 0 v eos 3x = 0

o ' n , 1, n7rSi eos x = 0 => ,x = (n— )n =» x =— +rc6 2

cos3x = 0 => x = (n + —), n = 0,±l,±2 6

y" = -4 senx. cos 3x -1 2 eos x.sen3x

• ■ Jl 3 r- 'y"(n-- ) > 0 => hay un mínimo en: x = — V3 de donde y = - -6 2 :

t 7T jj[y "(n + —) < 0 hay un máximo en: x - n + — de donde y =

6 6

y = 2 eos— + 3cos—2 3

Desarrollo

De igual manera que el ejercicio 839

De donde x = 12k7t, hay un máximo; de donde y = 5 y en x = 12(k ±

Hay un máximo de donde y = 5 eos —5

Cuando x ■= 12(k ± — )k hay un mínimo de donde: y = -5cos — 5

Cuando x = 6(2k + l)jt, hay un mínimo de donde y = 1

y = x - ln ( l +x)Desarrollo

1 XCalculando su derivada se tiene: y ' = 1------- => y ' = •1+x 1+*

to |

u<


haciendo y' = 0 , para obtener los pnntos críticos es decir: x = 0

__ i— => y ' ' (0) > 0 =) en x = 0 hay un punto de donde y = 0(1+x)2

842 y = x In xDesarrollo

Calculando su derivada se tiene: y'= In x +1, haciendo y = 0 , es decir.

In x + 1 = 0 => x = e ' => x = -e

v - = i => y "(i) = e > 0 => en el punto x = - hay un mínimo de donde: x e e

y' = — In— = — cuando x = — e e e e

843 y = xln2j(Desarrollo

y’ = ln 2 * + 2 ln x , haciendo y' = 0 para obtener los puntos críticos

ln2 x + 21n„v = 0 =* lnx(lnx+2) = 0

de donde se tiene: ln x = 0 => x = 1

lnx + 2 = 0 => x = e

2 ln x 2y ------ + -

X X

y" (1) = 2 > 0 =» en x = 1 hay un punto mínimo de donde y = 0 cuando x = 1


844

845

_2 4 2 1y"(e ) = — + _ _ < ( ) => en x = — hay un punto máximo de donde

e e e

y = \ i lne-2)2 = 4 - =* y = 4e e e .

y = cosh xDesarrollo

Calculando la derivada y ' = senhx = ---------- , haciendo y' = 02

para obtener los puntos críticos, es decir:

ex — e~x---- -----= 0 => e -1 = 0 x = 0

, , _ e + ey - ~ ^ ^ >’ (0) = 1 > 0 en x — 0 hay un punto mínim<

donde y =1.

y - x e xDesarrollo

Ca!culando su derivada y' = ex +xex =ex(l + x)

haciendo y’ = 0 , para obtener los puntos críticos, es decir:

ea(l + *) = 0 => ex =0 v l + x = 0, de donde x =-1

y"= ex +ex + xex

y"=(2 + x)ex =i> y"(l) = e~l >0 => en el punto x = -1, hay un míni

de donde: y = cuando x = -le


846 y = x 22~xDesarrollo

Calculando su derivada se tiene: y'= 2xe~x - x 2e~x = xe~x(2 - x)

haciendo / = 0 , para obtener los puntos críticos es decir:

xe~x( 2 - x ) = 0 de donde: x x = 0, x 2 = 2

y"=2e~x -2xe~x -2xe~x + x 2e~x => y" = (2 - 4x + x 2 )e~x

y ' ' (0) = 2 > 0 => en el punto x = 0

hay un mínimo de donde y = 0 cuando x = 0

2y ' '(2) = (2 - 8 + 4)e-2 => y " (2 )-— ^ < 0 => en el punto x = 2 hay un

emáximo de donde: y = 4e~2 cuando x = 2

ex847 y = —x

Desarrollo

, xex - e x ex( x - l )Calculando su derivada se tiene: y = ------— = ----- -—

x x

haciendo y' = 0 para obtener los puntos críticos, es decir:

e x(x — 1) = 0 de donde x = 1

x2ex( x - l ) + ex - e x(x - l )2 xy — i

Aplicación de la Derivada

ex(x3- 2 x 2+2x) „ ex(x2 - 2 x + 2)y = --------------------------- -------------------------- = > y = ------------------------- -- ----------------- i

e (l-2 + 2)-------- -------- e > 0 => en el punto x = l hay un mínimo de d

y = 0 cuando x = 1

848 y = x arctg xDesarrollo

Xy' - arc.tgx + ----- - haciendo y'= 0 para obtener los puntos críticos, es de

l + x

arctgx + ---- = 0 => (1 + x 2)arctgx +x = 0 => arctgx = -------— => X:1 + x l + x 2

1 1 + x 2 - 2 x 2 1 l - x 2

y = I 7 7 +i r ^ T -» y 55 / - ( 0 ,= 0

=> no hay máximo ni mínimo.

Determinar los mínimos y máximos absolutos de las siguientes funcione los segmentos que se indican (cuando los segmentos no se indican, mínimos y máximos absolutos, de las funciones deben determinarse en tod campo de existencia).

849 — —l + x2

Desarrollo

Calculando su derivada se tiene: y ' = — -~'v ~ ~x =(l + x2)2 (l + x2)2

haciendo y' = 0 , para obtener sus puntos críticos, es decir: 1 - x2 = 0 => x=


-1 1, (l + x)(l-x)

1 ~ (1 + x2)2

—oo < x < 1, y existe en x =-1 un mínimo.—1 < -x < 1, y ' > 0 J

1Por lo tanto el valor mínimo es y = - -

1 < x < 1, y > Ol ex.ste x _ j un máximo y el valor máximo es y = -1 < JC < °°, y ' <0 j

850 y = yjx(\0-x)Desarrollo

Calculando su derivada se tiene: y' = -j==JL== haciendo y' = 0 , para

obtener los puntos críticos es decir: 5 - x = 0 de donde: x, = 5 , además 3 y

es decir: ,Jx(\0-x) = 0 => x2 = 0 y x3 = 10

0 5 10

Como y = yjx(\0 — x) su campo de existencia es:

x(10 - x) > 0 =*> x(x - 10) < 0


0 10

Luego esta definida para el intervalo [0,10]

5 —xy =■

\ jx ( \Q -x )

0 < * < 5 , y ' > 0 5 < x < 10, y ’ < 0 existe en x = 5 un mínimo de donde y = 5

además en los extremos, es decir en x = 0 el valor de y = 0 y en x = valor de y = 0.

Luego el valor mínimo cuando x = 0, 10 es: y = 0 y el valor máximo ci x = 5, es: y = 5

851 y —sen*x + eos4 xDesarrollo

Calculando su derivada se tiene:

y' = 4sen 3x eosx — 4 eos3 x.senx => y'=4senxeosx(sen2x - e o s 2 x)

haciendo y'= 0 , para obtener los puntos críticos se tiene:

4senxeosx(sen2x - e o s 1 x) = 0 -4sen x. eos x. eos 2x = 0

de donde se tiene: sen 2x. eos 2x= 0

dedonde: x = (2k + l)— y x= k — , (k = 0, ±1, ±2,...)4 2

K 1para x = (2k+\)— hay un mínimo y su valor mínimo es: y = — , y ci

4 2

x = k ^ hay un valor máximo y su valor es: y = 1


852 y = arccos x

854

Desarrollo

Calculando su derivada se tiene: y' = haciendo que 3 y' para

obtener los puntos críticos es decir: \ j l - x 2 = 0 de donde x — ±1, evaluando

en la función y(l) = 0, y(-l) = 7t

Luego cuando x = 1, hay un valor mínimo y = 0 y cuando x = -l, hay un

valor máximo y = n

853 y - x 3, en el segmento [-1,3]

Desarrollo

y' = 3x2 => x = 0, punto critico haciendo la evaluación en la función se

tiene: y(0) = 0, y(-l) = -l, y(3) = 27

Luego cuando x = -1, se tiene un valor mínimo en y = -1

y cuando x = 3, se tiene un valor máximo en y = 27

y = 2x3 + 3x2 -12x + l

a) En el segmento [-1,5] b) En el segmento [-10,12]

Desarrollo

y' = 6x2 + 6x - 12, y haciendo y' = 0 , se obtiene los puntos críticos, es decir:

6x2 + 6 x -1 2 = 0 => x 2 + x - 2 - 0 de donde xx = - 2 , *2 = 1, para

a) consideremos x2 = 1, como puntos críticos.


Luego evaluando se tiene: y(l) = -6, y(-1) = 14, y(5) = 266

Luego cuando x = l se tiene un valor mínimo en y = -6

y cuando x = 5 se tiene un valor máximo en y = 266

855 Demostrar que para los valores positivos de “x”, se cumple la desigual

je + — > 2 x

Desarrollo

Por hipótesis se tiene x > 0 => yfx y — están bien expresado, luego:\JX

( y fx — = ) 2 > 0 x - 2 J x (- i= -) + — > 0V* VJT x

x - 2 + — > 0 => x + - > 2 X x

856 Determinar los'coeficientes “p” y “q” del trinomio cuadrado y = x 2 + px

de forma que y = 3, será un mínimo de este trinomio cuando x = 1, d; explicación geométrica del resultado obtenido.

Desarrollo

Calculando su derivada se tiene: y'~ 2x + p , haciendo y '-O para obtenei

puntos críticos se tiene: 2x + p = 0 => x — — ~ por dato se tiene que y

cuando x = 1, es decir: = 1 =» p = -22

Sí y = 3 cuando x = l =» en y - x 2 + px + q =>3 = l - 2 + q = > q =

Luego los valores de “p” y “q” son: p = -2 y q = 4


857 Demostrar la desigualdad: ex > 1 + x para x * 0.

Desarrollo

Consideremos la función / (x) = ex - (1 + x) de esta función se tiene:

f(x) > f(0) para x * 0

Como / ( jc) = ex - (1 + x) => f(0) = 0

Como f(x)>f(0) e* - (1 + *) > 0 =* ex >l + x p a r a x * 0

Demostrar las desigualdades:

x3858 x - - — <senx<x para x > 0

6

859 cosjc> 1------para x * 02

a:2860 a- — < ln(l + .í)< .t para x > 0

861 Dividir un número positivo dado “a” en dos sumandos, de tal forma que su producto sea el mayor posible.

Desarrollo

Sean “x” e “y” los dos sumandos. Luego a = x + y de donde y = a - x

Además p(x) - xy= ax - x 2 producto de los sumandos

Luego p'(x) = a — 2x de donde p'(x) = 0

o • a aSe tiene jc = — como y = a - x y - —2 2

Luego cada uno de los sumando debe ser igual a:a


862 Torcer un trozo de alambre de longitud de manera que forme un rectái

cuya área sea la mayor posible.Desarrollo

t — 2x + 2y ; área = xy

como i = 2x + 2y =* y = l - 2 x

Luego A (x ) - x y ~ x ( - — ~ ) - — - x 22 2

i

A'(x) ~ - - 2 x => A’(jc) = 0 para obtener los puntos críticos, es decir:

1 o n 1— 2x = 0 =* x = —2 4

A"(x) = -2 => A "(—) = -2 < 0 =* 4

se obtiene el área mayor posible.

/* = —4 /

^ ~ 4

863 ¿Cuál de los triángulos rectángulos de perímetro dado igual a 2p, tiene m área?

Desarrollo

2p = x + y + z, donde z = yjx2 + y 2

x + y + yjx' + y* - 2 p => ^Jx2 + y 2 = 2 p - ( x + y)

x 2 + y 2 = 4p2 - 4 p ( x + y) + x 2 +2xy + y 2 => 0 = 4 p 2 - 4 p x -4 p y + 2


de donde y =2px-2p*

x - 2 p

2 2 x - 2 pA(x) =

px~ - xp x - 2 p

A \x ) =2px~ - %p2x + 4p3 A'(jc) = 0

( x - 2 p ) 2

para los puntos críticos, es decir: 2/wc“ - 8 p 2x.+ 4p => x — 2p± J2p

es decir x = 2p + \ Í2 p , y = 2p - 4 l p , son los triángulos isósceles

864 Hay que hacer una superficie rectangular cercada por tres de sus lados con tela metálica y lindante por el cuarto con una larga pared de piedra, ¿qué forma será más conveniente dar a la superficie (para que su área sea mayor), si se dispone en total de 1 m. lineales de tela metálica?

Desarrollo

Pared de piedra

2\ + y = ( => y = í - 2 x

A(x) - x y = x(l — 2x) = xl - 2x~

A ( x ) - l - A x /4'(a:) = 0 , es decir: x ~ ~

como y = l - 2 x => y = —

Luego las dimensiones debe de ser una el doble de la otra.


865 De una hoja de cartón cuadrada, de lado a, hay que hacer una caja recta abierta, que tenga la mayor capacidad posible, recortando para ello cua en los ángulos de la hoja y doblando después los salientes de la figura en de cruz, así obtenido.

Desarrollo

Área base - (a - 2 x ) 2

Vol = V(x) = (a - 2x)2x

V(x) = (a2 - 4 x + Ax2)x

V(x) = 4xi - 4x2 + a2x

V’(x) = l2x2 - 8 x + a 1 - V'(jc) = 0 , es decir:

12*2 -8 jt + a 2 =0 =* xY= - , x2 = -

V (x) - 24x 8 => V "(—) - -4 < 0 en xx - — hay un máximo o 6

^ (—) =; 4 > 0 => en j: = - hay un mínimo2 2

866

Luego el lado del cuadrado que se corta debe ser igual a —6

Un deposito abierto, de hoja delata con fondo cuadrado, debe tener capa, para V litros. ¿Qué dimensión se debe tener dicho deposito para que ( fabricación se necesita la menor cantidad de hoja de lata?

Desarrollo

El área lateral = x 2 + 4xy


867

V = x y = Volumen

V

.. (2)

4Vy = —r luego A(x) = x~ + —

x2 x

A'(x) = 2 x - ^ - = 0 => jc = /2VJC

V %/2Vpor lo tanto y = -y-—- y x --------¡I 4V2 2

¿Cuál de los cilindros de volumen dados tienen menor superficie total?

Desarrollo

Vc = jtr h , derivando se tiene: Vc O) - n(2rh + r h ' )

pero V¡. (r) = 0 por ser constante

2 h=> . 2rh + r^h'=0 => h '= —r

A, - 2Ttrh + 2nr2 , derivando se tiene

A¡ (r) = 2 Jih + Aitr + 2 Ttrh'

(1)

... (2)

2/ireemplazando (1) en (2) At (r) = 2nh + nr + 2nr(----- )

r

2 higualando a cero se tiene: 2rch + 2nr(----- ) + 4nr = 0

r

J

h - 2h + 2r = 0 => h = 2r. Los cilindros cuya altura es igual al diámetro (■ la base.

«68 Inscribir en una esfera dado un cilindro de volumen máximo.

Desarrollo

Sean r = radio de la base del cilindro

2h = altura del cilindro

R = radio de la esfera


pero r2 + h 2 = R 2

V = ln r2h

dh _ r dr h ... (1]

... (2)

dV _ 2 dh— - ¿K(r~—- + 2rh), reemplazando (1) en (2)

dV „ r riv- — =.2n{-— + 2rh) como — = 0 dr h dr

2n{ — + 2rh) = 0 => r2 =2h2h

Como r2 + h2 = R 2 2/72 + h2 = R 2 => h= R - , 0 / _ 2 R i— — 2 h — —-=73 S

Luego el volumen será máximo cuando 2h = ~ y el radio r = R ¡ íV3 V3

Inscribir en una esfera dada un cilindro que tenga la mayor superficie late, posible.

Desarrollo

Altura del cilindro = 2h

406 Eduardo Espiri >za Ramos

870

r = radio del cilindro

r2 +h2 = R2 => r — -\Tr 2 —h2

A, - 4jtrh = Anh'ÍR' - I

R2 —h2 - h2

, 4n(R2 - 2 h 2)A¡(h) = -

■Jr 2 u2A¡ (h) = 0, para obtener los puntos críticos.

4 iLuego 4n(R2 - 2 h 2) = 0 => h = — R => 2h-yJ2R

Luego la altura del cilindro en J lR para que tenga la mayor superficie lateral

posible.

Inscribir en una esfera dada un cono de volumen máximo.

Desarrollo

Sea h = altura del cono , r = radio del cono

x 2 = R 2 - r2

además x 2 =(h — R)~ —h~ - 2hR + R

x 2 - R 2 — r2 => R2 - r 2 = h2 -2 h R + R 2

=> r - sfR2 - h2 por otro lado se tiene:

i = ^[h1 + 2hr - h2 => z — ^¡2Rh


872

Ale =nrz => A, = Ky¡2hr-R2 .s¡2Rh

j j tc _ T(2R^2Rh- h2 j2Rh(2R - 2 h) d \ . 4R2h -3 R h 2dh 2 7 M 2V 2 R h - h 2 dh I I

(2Rh)2(2R h-h2)2

dA,. A— - = 0 es decir Rh(4R-3h) = 0 => h = - Rdr 3

Luego el volumen es máximo cuando la altura fl = ~ R donde R es el radie

la esfera.

Circunscribir en tomo a un cilindro dado un cono recto que tenga el me volumen posible los planos y centros de sus bases circulares coinciden?

Desarrollo

H-

Sean H = altura del cono

R = radio del cono

h = altura del cilindro

r = radio del cilindro


n = J Í L -r R H ~ h

n H \ 2 c _ 3 (H - h ) 2

dV<- rcr2 3h2( H - h ) 2 - H i 2 (H -h ) ~dH ~~3 ' ( H - /0 4

(1)

¿V jrr2 3h2(H - h ) 2 —H32(H — h) _ ncom o— = 0 => — •

de donde H = 3h

reemplazando (2) en (1) se tiene /? —3r

... (2)

Se tendrá el menor volumen posible cuando el radio de la base del cono es ^ r j

donde “r” es el radio del cilindro dado.

873 ¿Cuál de los conos circunscritos en tomo a una esfera tiene el menor volumen*

Desarrollo

Por semejanza de triángulo se tiene:


x h 2 h2R2 2 hR2R ~ *Jh2 -2hr X ~ h 2 -2hR ^ * ~ h -2 R

además V - -nx2h = -nh(-^-— ) f 3 3 h -2 R

_ nh2R2 _ dVc K h2R2-4hR 3 ■ C~ 3 ( h - 2 R ) ^ d h ~ 3 ( /? -2R)2

úWLuego — - = 0 =>• h 2R 2 -4 h R 2 - 0 de donde h~4R

dh

Por lo tanto el cono circunscrito en una esfera de menor volumen es cuandc altura “h” es igual a 4 veces el radio de la esfera, es decir: h = 4R

874 Una faja de hoja de iata de anchura “a” debe ser encorvada longitudinalme en forma de canelón abierto (fig. N° 26) ¿Qué ángulo central debe tom¡ para que el canelón tenga la mayor capacidad posible?

Desarrollo

A = área de la parte sombreada es = ?

A = área del sector circular


875

Área del A AoB

= £ R* _ R{^ í ) = (

Luego como 0 < cp S n

Por lo tanto para detener la mayor capacidad posible se tiene cp = rt •

De una hoja circular hay que cortar un sector tal que enrollado nos dé unj

embudo de la mayor capacidad posible.

Desarrollo

Además r1 = R~ ~h~

nr2hVolumen del cono = Vc = ——- como r2 = R2 - h2

_ nh(R~ h l = !Lh(R2 - h 2) 3 3


876 Un recipiente abierto esta formado por un cilindro, terminado por su p inferior en una semi-esfera; el espesor de sus paredes es constante ¿ dimensiones deberá tener dicho recipiente para que, sin variar su capacidac geste en hacerlo la menor cantidad de material?

A, = 2rtRh + 2nR

Desarrollo

2nR

c = R h + 2nR h = -

h = 3 c-2nR i3 jcR-

reemplazando (2) en (1)

... (1)

... (2)

,3 c -2 k R 2 2 c 2 n 2A =2rc/?(-^— )+ 2nR = — + — /?-3k R R 3

-> -j 3 c6c + 4nR~ = 0 => R =—— reemplazando en

, 3c-2nR 3c-3c „h = ---------— = -- = 0 => h = 03nR 3k R

La altura de la parte cilindrica debe ser igual a cero, es decir, el recipiente d tener forma de semi-esfera.


877 Determinar la altura mínima h = OB que puede tener la puerta de una torre ABCD, para que a través de ella se puede introducir en la torre una barra rígida

MN, de longitud i, cuyo extremo M resbalará a lo largo de la línea horizontal

AB. La anchura de la torre d < í

Desarrollo

Haciendo rodar la barra por ambas paredes a una distancia “d”, desde la pare vertical, la barra se levantara una longitud H del suelo.

El problema nos pide este máximo levantamiento, para esto por semejanza de triángulo se tiene:

/cose /eos 6^ dedonde H = lcosd: d. = (lco sd -d ) tgeH IsenO ctg9

Aplicación de la Derivada 4

878

dHde

l eos6 - d lsen26

= (/ COS0 - d) see2 9 + tg9(-lsen9) = 0

deos2 9

H = (Isfd - d )

eos 9eos3 9 = y , de donde se tiene:

sen9 = J l - ( y ) 3

#_ _ «5

simplificando se tiene que: H = (y[c* - i f d 2)?-

En un plano de coordenadas se da un punto, M 0(x0, y0) , situado en el prim

cuadrante. Hacer pasar por este punto una recta, de manera que el triángu formando entre ella y los semi ejes positivos coordenados tenga la menor árt posible.

Desarrollo

Sea L : y - y0 - tg9(x - x0) donde mL = tg 8

Haciendo las intersecciones con lo,s ejes coordenados.

=> x = x0 - y0ctg8 ; X = 0 = > y - y 0 -

Y

\ M ( x 0, y°)

0 " ' X*


. (*6 - yoctS^Xy0 - XqísO) _ 2x0y0 - xlígd - ypCtgd

dA _ a~q see2 6 ypcos ec20 _ ^ y^ _ sen20~d0~ 2 2 eos2 6

de donde tgd =±— reemplazando en la ecuación de la recta L, se tiene:

L : y - y0 = - ~ ( x - x0) puesta que tg6 = ± —

x yL: xy0 + xy = 2x0>’0 => L: ——+ —— = 1

¿xo z>’o

879 Inscribir en una elipse dado, un rectángulo de la mayor área posible que tenga los lados paralelos a los ejes de la propia elipse.

Desarrollo

Y(0 ,b )

0

(x,y)

'( 3 ,0 ) x

x2 y2 b l~2La ecuación de la elipse es: + — =1 de donde y = — V a - ;

a2 b2 a

A = xy = — -Ja2 - x 2 derivando tiene que:


dA b n 2 bx2 n a— = —ya - x ----- t== — — 0 => x = —=dx a a í a 2 - x 2 &

b í~~2 2 bcomo y = —yla - x =* y = —¡=a V 2

Luego las dimensiones del rectángulo son: 2x = ~ = y¡2a, 2y = = y72 V2

880 Inscribir un rectángulo de la mayor área posible en el segmento de la pará

y = 2 px cortado por la recta x = 2a.

Desarrollo

2 3

A = (2a - x) y, como y 2 - 2px se tiene: A = (2a - — )y = 2a v - - ~2 P ' 2 p

dA _ 3J 2 n _ , o ¡ap 2 2a- —- ¿ a —-— = 0 => y = ±2 — como v =2px => x = — dy 2p V 3 3

Luego los vértices deben estar en (2 ~ ,± 2 y ^-)


881 Hallar el punto de la curva y =----- j , en el que la tangente forme el eje OX el1 + x

ángulo de mayor absoluto posible.

Desarrollo

La gráfica es simétrica por lo tanto el ángulo esta en el primer cuadranteentonces el ángulo varia entre 0o, 90°.

Luego a mayor ángulo será la tangente del mínimo.

y ' = — (tangente del ángulo) dx

,2Luego = 0 nqs da las coordenadas del punto de tangencia del ángulo

dx2mencionado. ja

2* ^ ^ ± - - 2 [—L - __ ^ — ] = 0dx2 ' \ + x2 (1 + x2)3

, , 2 1 , 1 |=* 8*2 =2(l + .x2) => x¿ = - => x = ± j ¿

1 3 1 3para x = ± -j= , y = por lo tanto el punto es. P(±—j=i —)

882 Un corredor tiene que ir desde el punto A que se encuentra en una de las orilla» de un río, al punto B, que se halla en la otra, sabiendo del movimiento por la orilla es k veces mayor que la del movimiento por el agua, determinar bajo que ángulo deberá atravesar el río, para llegar al punto B en el menor tiemp® posible. La anchura del río es h; la distancia entre los puntos A y B (por la

orilla), es d.Desarrollo "


Como e - v.t => donde Vm = velocidad del movimientom

V = velocidad del agua

Reemplazando t = -------- - calculando valores críticoskv

dt dt h , h 1lo ^ )sen '0 cos6, - t - ( ------ 7 -) = od& de v kv sen 6

cosd l . l i2n ~ I rT ^ cos0 = — => 9 = árceos— sen 0 ksen'O k k

883 En oí segmento recto AB = a, que une entre sí dos focos luminosos A i intensidad p) y B (de intensidad q). Hallar el punto de menos iluminado M iluminación es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al fe luminoso).

Desarrollo

AI l = p -

M

N- a - x

B"• I2 = q

-H

E, = iluminación total = / , + / . ,


884

885

¿E, _ 0 = - 2 P | g(2)dx (a -x) '

a f p1 = — 1 — => a^fp — x^fp = yfqx dedonde x = ■- j=3 ( a -x )3 +

Una lámpara esta colgada sobre el centro de una mesa redonda de radio r ¿A qué altura deberá esta la lampara sobre la mesa para que la iluminación de un objeto que se encuentre en el borde sea la mejor posible? (la iluminación es directamente proporcional al coseno del ángulo de incidencia de los rayos luminosos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco de

luz).Desarrollo

^ _ / cosa _ lx _d ¿

(r2 + x2)2

I(r2 +x2)2 - x ( - ) ( r 2 +x2)22x_ - 0 = _____________^------dx {r2+x2)3

= (r2 +x2)2 -3 x 2(r2 +x2)2 = 0 =(r2 +x2)[r2+x2 - 3*"] = 0

1 ? r r — 2x => x =V2

de un tronco redondo de diámetro d, hay que cortar una viga de secció rectangular. ¿Qué anchura “x” y altura “y ’ deberá tener esta sección para que la viga tenga la resistencia máxima posible?

a) a la comprensión. b) a la flexión

9

Aplicación de la Derivada ¿

Observación: La resistencia de la viga a la comprensión es proporciona]área de su sección transversal, mientras que a la flexión es producto de la anchura de esta sección por el cuadrado de altura.

Desarrollo

y = ^ d ~ - X 2

a) Rc =kA2 =kxy = kxyjd2 - x 2

Rc = k(d2x2 - x4)2

HR 1— = 0 = k(-)(d2x 2 - X4) 2 (2d2x - 4x3) n 1 (2d2x - 4 x 3)u = —k ----------------

2 I(d2x 2- x 4) 2

2 d ~ x -4 x 3 =0 => 2d“x = 4x3 por lo tanto x--^¡= y ^V2

b) RF — xy2 del gráfico se tiene: y 2 ~ d 2 - x 2

síl

... (a)

Rf - kx(d2 - x 2) => RF =k(d x - x 3), derivando se tiene:

s

886

-3x") => d~ =3x2 dedonde x = ~ ~ dx ^

En (a) y 2 — d 2 — (—=)2 => y 2 = d 2 - — => y = J - dV 3 3 V 3

Una barra AB, que puede girar alrededor del punto A, soporta una carga de i kg. a la distancia de a cm. del punto A y se mantiene en equilibrio por medi de una fuerza vertical P, aplicada en su extremo libre B. Cada uno de longitu de la barra pesa q kg. Determinar la longitud x de la misma, de tal forma que 1 fuerza P sea la mínima posible y hallar P mínimo.


Desarrollo

w

Q

Ice peso TDensidad lineal d = q — de donde d - ~ ----- —

cm long T

M A = 0 => Px =Qa+ w(~) > donde w = <lx Por lo tant0 P* = Qa + -“ A"

P = Ql + 1 xx 2

¿X -_ o = _ % + í =» adx x" 2 x

± = 1■2 2

x = 20,

... (a)

... (|J)

reemplazando ((3) en (a) tenemos:

Q aP --1 min20,

<1

887 Los centros de tres esferas perfectamente elásticas A, B y C están situadas en las línea recta. La esfera A, de masa M, choca a una velocidad “v” con la esferaB, la cual, recibiendo una determinada velocidad, choca a su vez con al esferaC, cuya masa es m. ¿Qué masa deberá tener la esfera B para que la velocida de la esfera C sea la mayor?

Desarrollo

A con B: Luego B con C


888

2 MvV o = ---------- -

x+M

2 x V avc = —7 a m + x

De (a) y (p): Vc

4 xM.

... (a)

- (P)

2x 2 mvm + x x + M

4 M..(m + x)(M + x) x2 +(m + M )x + mM

dVc _ _ 4Mv(x2 +x(m + M) + mM - x(2x + m + M)) dx (x2 +(m + M)x + mM)2

x~ + x(m + M) + mM =2x~ + (m + M)x => mM = x 2 c = \¡Mm

Si tenemos N pilas eléctricas idénticas, con ellas podemos formar baterías procedimientos distintos uniendo entre sí grupos de “n” pilas en serie

después los grupos así formados, (un número — ) en derivación. La intensicn

de la corriente que proporciona una batería de este tipo se determina por , . NnEtomiula: / -----------— , donde E es la f.e.m. de una pila, r su resisten

. NR + n rexterna. Determinar para que valor de “n” es mayor la intensidad de corriente que proporciona la batería.

Desarrollo

di _ _ (NR + n2r) - n2nr dn NE(NR + n2r)2

NR + n2r - 2 n 2r => NR = n2r => n = .


NE¡ = yJry[ÑR_ ^ => / = —

2M? 2 2 \ R r

889 Determinar que diámetro “y” deberá tener la abertura circular de una presa, para que le gesto de agua por segundo Q sea el mayor posible, si

Q = c s jh - y donde “h” es la profundidad del punto inferior de la abertura

(tanto g, como el coeficiente empírico C, son constantes).

Desarrollo

iQ = Cy4hZ y=C{hy2 - y i )2

| /i= o = C -(h y 2 - y 3) 1(2hy-7>y1) => 2hy = 3y2 => — = ?

dy 2 ’ 3

890 Si x l,x 2,-;X„ , son resultados de mediciones igualmente preciso de la

magnitud “x”, su valor más probable será aquel para el cual la suma de los

cuadrados de los errores S = ^ ( x - x , ) 2 , tenga el valor mínimo. Demostrari=i

que el valor más probable de la magnitud “x” es la media aritmética de los

resultados de las mediciones.

Desarrollo

nS = V (x - x, )2 , derivando se tiene:


3.2. DIRECCIÓN DE LA CONCAVIDAD.- PUNTOS I INFLEXIÓN.-__________________________________________

Ira. CONCAVIDAD DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.-

Consideremos una función y = f(x) diferenciable en (a,b) diremos c y = f(x) es cóncava hacia arriba en (a,b). Si / ” (x) > 0, V x e (a,b)

es cóncava hacia abajo en (a,b) sí / " (x) < 0, V x e (a,b).

2do. PUNTO DE INFLEXIÓN.-

E1 punto (x0, / ( x 0)) es punto de inflexión sí / ' ' ( x 0) = 0

HALLAR LOS INTERVALOS DE CONCAVIDAD Y LOS PUNTOS I INFLEXION DE LAS GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES

891 ,v = x3 - 6 x 2 +12x + 4Desarrollo

y '“ 3x2 -12x + 12 => y ' - 0

para obtener los puntos críticos, es decir: 3x2 - 12x +12 = 0 de donde x =

y = 6x-12 => _v"(2) = 0, no hay máximo ni mínimo, hallaremos lipuntos de inflexión.

>’"= 0 es decir 6 x -1 2 = 0 => x = 2


Intervalos f(x) / '(* ) f " ( x ) Conclusión

-oo < x < 2 + - Cóncava hacia abajo

x = 2 12 0 0 Puntos de inflexión

x > 2 + + Cóncava hacia arriba

Luego en: <-<*>,2> es cóncava hacia abajo

<2,«» es punto hacia arriba

(2,12) es punto de inflexión

además en: <-°°,2> y <2,°°> es creciente

892 y = (x + 1)4Desarrollo

y' = 4(x + l)3 => y = o

para los puntos críticos es decir: 4(x + 1)3 = 0 => x = -1

y' = 4(x + 1)3


~°° < x < -1, y < o

- 1 < X < y ’ > 0

existe un punto mínimo en x = -l y su valor es: y = 0, es decir que (-1,( punto mínimo y los intervalos <-°o,-l> es decreciente y en <-l,c<o creciente.

Sea >’"= 12(x + 1)~ => (x + I)2 - 0 => x = -l

y " > 0 , V x € R => la gráfica es cóncava hacia arriba en: < -o o ,o c >

893 y = x + 3

y — — i

Desarrollo

=> x = -3(x + 3)~

punto critico no existe máximos ni mínimos


-3

- o o < x < - 3 , y ' < 0 = > y = ----------------- es decreciente en < - = * > , - 3 >j t + 3

-3 < x < <*>, y'< 0 => y =------ es decreciente en <-3,=°>jc + 3

2^ ~Qt + 3)3

-°°< x< -3 , y"<0 es cóncava hacia abajo en <-«>,-3>

en -3 < x < co, v">0 => y = ------ es cóncava hacia arriba sobre <-3,~>x + 3

Luego en: <-°o,-3> cóncava hacia abajo

<-3,co> cóncava hacia arriba

x = -3 punto de discontinuidad no hay punto de inflexión.

Aplicación de la Derivada 4:

894 y = --------x~ +12

y ,= x 2(x2+36)

Desarrollo

y = o(x^+12)

para los puntos críticos es decir: x 2(x2 + 36) = 0 de donde x = 0

-o® < x < 0, y'>0 es creciente en: <-¿»,0>

0 < x < ■*>, j ’> 0 -=> es creciente en: <0,»j>

„ _ 24jr(36 - jc2), => y"~Q, para los puntos de inflexión es decir:( jr + 12)

2 4x (36-*2) = 0 dedondQ¿ jc, = -6 , x 2 = 0 , ,v3 =6

*2 - 0 , y 2 —0 => P2(0,0)

x3 - 6 , >3 = ^ => /^(6,~ )

puntos de inflexión


895

Si -°o < x < -6, y" > O => es cóncava hacia arriba sobre <-°o,-6>

-6 < x < 0, y'' < 0 => es cóncava hacia abajo sobre <-6,0>

0 < x < 6, y ' ' > 0 => es cóncava hacia arriba sobre <0,6>

6 < x < «x>, y" < 0 => es cóncava hacia abajo

y = y¡4xi - l2 x

, 4(x2 -1)

Desarrollo

(4 X3 — 12x)3

=> y '= 0

para los puntos críticos, es decir: 4(x~ —1) = 0 de donde x1- l , x 2 - 1 ;

3

y también sí 3 y' es decir (4x3 --12a')2 =0 => x3 = 0 , x4 — —75 , x5 = 75

4(x + l)(x —1)

(4x -12x)3


- 7 5 < x < - l , y’> 0 *

-I < x < 0, y'< 0 i l

-1 < x < 0, y'< 0 KJ no e

0 < x < 1, >'<0 * x = 1

l< x < 7 5 , >>’>0 Ü

no existe máximo ni mínimo

existe un máximo en x = -l y su val y = 2 => P l(-1,2)

existe máximo ni mínimo existe un mínimo ei = 1 y su valor es y = -2 => p 2 (1,-2)

l< x < 7 5 , y’>0

75 < x < °° , / > C

. -32(x2 +1)

3 máximo ni mínimo

y =■ de aquí los puntos de inflexión son:(4x3 -12x)3

Xj - 0, x2 = -7 5 , x3 = 73 de donde (0,0), (-73 ,0 ), (73,0)

-3 0 3

- ° o < x < -7 3 , y" > 0 => es cóncava hacia arriba sobre < -oo,-73 >

-7 5 < x < 0, y < o => es cóncava hacia abajo sobre < -7 5 ,0 >


0 < r < ^3 . y">0 =» es cóncava hacia abajo sobre < 0,>/3:

896

s l3 < x < ° ° , y"<0 => es cóncava hacia abajo sobre < sfí ,00 >

y = eos xDesarrollo

/ = 0 para los puntos críticos es decir:y' = senx

sen x = 0 => x = 0, ±7C, ±2n, ±3n, ...

' = 0 p a r a los puntos de inflexión:y' ’ = — COS X => y

x = (2fe + l ) ” > k = 0 , ± l , ± 2 ,

de donde y = 0 => ((2Jk + 1)^ ,0 ) punto de inflexión si


897

(4A: +1) — < a: < (4fc -t-3) , / ' > °2 ¿

<(4fc+l)^-,(4fc+3)^->2 ^

es cóncava hacia arriba sobre

(4* +3)— < jc < (4* +5)—, y"<02 2

< (4£ + 3)—,(4& + 5)— >2 2

es cóncava hacia abajo sol

y = x - sen xDesarrollo

y' = 1 — eos x ==> y' = 0 , para obtener los puntos críticos, es decir:

1 - eos x = 0 de donde eos x = 1 =$ x = 0 , 2n, 4tc, ...

y”=senx => y" (2kn) = 0 no existe máximos ni mínimos.

Además para (2k - 2)n < x < 2ku, y' > 0 =» es creciente en 1

intervalos <(2k - 2)re, 2kn> para k = 0, ±1, ±2,...

Como y" = senx => / ' = 0 para los puntos de inflexión

decir sen x = 0 => x = ±tc, ±2n,...

luego para x = 2kn, y = 2kn => p(2kJt, 2k7t) punto de inflexión

-2k -7 1 K 2n


2k < x < (2k + 1) n, y"> 0 => es cóncava hacia arriba en los

intervalos <2k7t, (2k + 1 )n>

(2k + 1 )7t < x< (2k + 2)n, y"< 0 => es cóncava hacia abajo en los

intervalos. <(2k + 1 )tc, (2k + 2)n>

898 y = x 2 ln xDesarrollo

y' = 2 x l n x + x => y ' = 0 p a r a los puntos críticos es decir:

2x ln x + x = 0 => x(2 ln x + 1) = 0 => jc, = 0 no esta definido en:

. -i _ 1 - _ _ LX — C y *3 — J— » *4 r—Ve Ve


899

y '(-7=) = 2 > 0 => hay un mínimo en x = ~ ve ^

2 1 2 de donde y = — => P\(~ñ ,— )e Ve e

y'X— 7=) 5 máximo ni mínimo Ve

como y"=21nA + 3 => >>" = 0 para los puntos de inflexión tenemos

32 ln x = -3 => x 2 =e~3 => x - e 2

p2

y = arctg x - xDesarrollo

x 2y = a rc tg x -x => y ' = ----------1 + x 2

2xy = -------- r r = o => x = o

(i+ *2)2

0

x < 0, y ' ' > 0 es cóncava hacia arriba

x > 0, y " < 0 es cóncava hacia abajo

x = 0, y = 0 luego p(0,0) punto de inflexión


900 y = (l + x 2)ex

y'=2xex + (x2 +l)ex

Desarrollo

y '=exix + l)2 , haciendo y' = 0 , para los puntos críticos, es decir

e*(.x: + l)2 =0 dedonde: x = -l

Si x < -1, y > 0 la función no tiene máximo ni mínimos y además es ] creciente en los intervalos: <-«>,-1> y <-l,°°>

x >-1, y‘>0

como y'=e*(x + l)2 => y"= ex(x + IX*+ 3) haciendo y "= 0 , s d

obtiene los puntos de inflexión, es decir e x ( x + l)(* + 3 ) = 0 de donde:!

Xy = - 1 , X2 = - 3 .

2 10 Luego p ,( - l ,—), p 2 ( - 3 , — ) punto de inflexión

_3 ' 1

Si x < -3, y” > 0 => e s cóncava hacia arriba sobre el intervalo <-°°,-3>

Si -3 < x <-1, y "< 0 => e s cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-3,-1>

Si x > -1, y">0 => es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <-l,°°>


3.3. ASÍNTOTAS.-

a) DEFINICION.-

Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una curva y = f(x) de forma que por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infin mientras que la distancia entre este punto y una recta determinada tiene cero, esta recta recibe el nombre de “asíntota” de la curva.

b) ASÍNTOTA VERTICALES.- (paralelos al eje O Y).

Si existe un número a tal, que lim f ( x ) = °o, la recta x = a es asíntx-â

vertical.

c) ASÍNTOTA OBLICUAS.- (respecto a los ejes coordenados)

Si existen los limites lim ^ = *, y lim [f(x) - k xx] = b, la re.

y = kxx + b¡ será asíntota (oblicua a la derecha o bien, sí k¡ = horizontal derecha, paralela al eje OX).

Si existen los limites = y \ ¡ m [ f ( x ) - k 2x] = b2 la rec

y = k2x + b2 es asíntota (oblicua a la izquierda o bien, cuando k , = horizontal izquierdo paralela al eje OX).

La gráfica de la función y = f(x) (que se supone uniforme) no puede ten- más de una asíntota derecha (oblicua u horizontal) ni más de una asínto izquierda (oblicua u horizontal).


HALLAR LAS ASÍNTOTAS DE LA CURVA:

1901 y = - ,

( * - 2)2Desarrollo

Para obtener las asíntotas verticales haremos el denominados igual a cero, es

decir: ( x - 2 ) 7 =0 => x = 2 es una asíntota vertical.

Ahora buscaremos las asíntotas oblicuas cuando x —» +°°

V 1k- = lim — = lim --------- j = 0 „x x->+<*■ x(x — 2)

h = lim [ y - k {x]= lim --------5- = 0jr->+~ ( x — 2)

por lo tanto la asíntota horizontal es y = 0

902 y =x — Ax + 3

Desarrollo

Para obtener las asíntotas verticales se tiene:

x 2 - 4 x + 3 = 0 de donde jt, =1 y x2 =3 asíntotas verticales, ahora

buscaremos las asíntotas oblicuas cuando- x —> +°°

k, = lim — = lim —— -------= 0x x — 4x + 3 »

X nh = lim ( y -k ,x )= lim <—z-------------O*->+~ x - 4 x + 3

como y = k ix + bl entonces y = 0 es una asíntota horizontal.


x 2903 y = ———

2 ax - 4Desarrollo

Para obtener las asíntotas verticales se tiene: x 2 - 4 = 0 dex¡ = -2 , x2 = 2 asíntotas verticales, para las asíntotas oblicuas.

yk\ = lim — = lim —-— = 0

x — x x —>+®o

x2bt = Jim [y — &,„*] = lim —---- = 1X —> -fo o X — 4-

como y = k xx + b{ => y = 1 asíntota horizontal.

x 2904 y = — —x2 +9

Desarrollo

Para obtener las asíntotas verticales se tiene: x 2 + 9 = 0 pero 1 x s l2

que x +9 = 0 por lo tanto no hay asíntota verticales, para obteni asíntotas oblicuas se tiene:

x 3 x 2k\ = lim — ------ = lim —------ = 1(x + 9)x *->+~ x +9

bx = lim (— ------x) - lim —— - — —x-n~. x¿+9 -«-»o x +9

como y = k ix + bi => y = x asíntota oblicua a la derecha.

905 y = V*2 - 1Desarrollo


No tiene asíntotas verticales. Veremos para las asíntotas oblicuas.

y , yjx2 —l , k, = lim — = hm --------- = 1

X *-»+•• X

h = lim ( y - k xx) - lim (\fx2 - l - x ) - 0*-»+0° '

Como y - k tx + bx => y = x es asíntota oblicua a la derecha

y ,k, = lim — = hm --------- = -1

b2 = lim (y - k 2x)= lim (y[x2 -1 + *) = 0jC-»-oo X - ^ - o o

como y = k2x b't ^ y = -x es asíntota oblicua a las derecha.

906 y =y j x 2 + 3

Desarrollo

Para las asíntotas verticales se tiene que:

x 2 +3 = 0 pero 3 x e R tal que x~ + 3 - 0

por tanto no hay asíntotas verticales, para las asíntotas oblicuas se tiene.

y _ i:_ 1kx = lim — = lim , = 0x->+~ X *-»+“ yjx2 +3

X ,b, = lim (y-k¡x)= hm - = = = 1

*->+~ +3

como y — k^x + by => y — i asíntota oblicua a la derecha.


907

k2 = lim — = lim - 1 = 0

b2 = lim (y - k 2x) = lim ( - = ¿ = - 0 ) = -1*-»— j x2 + 3

Como y - k 2x + b2 => y = -l asíntota oblicua izquierda.

x 2 +1

y=W ^Desarrollo

Para las asíntotas verticales se tiene x 2 -1 = 0 de donde x = -1 son asíntotas verticales ahora calcularemos las asíntotas oblicuas.

kt = lim — = lim - A + 1 = i

bi = lim (y — k¡x) = lim (- ^ J _ L -jf) = 0

Como y - k xx + bx => y = x asíntota oblicuas a la derecha.

k2 = lim — = lim 1 = -1i

x2 +1b2 = lim ( y - k 2x) -- lim ( ". A + x) = Q4 x ^ \

como y — k2x + b2 => y — -x asíntota oblicua a la izquierda.


908 y = x - 2 + -?4 = = y¡xz + 9

Desarrollo

Para las asíntotas verticales se tiene x~ +9 = 0 pero como 3 x e R tal que

x 1 +9 = 0 , por lo tanto no tiene asíntotas verticales.

Ahora calcularemos las asíntotas oblicuas:

v ;x - 2 x 0k, = lim — = hm (-:----+ ... — ) = 2

X yjx + 9

X2— lim (y-fc1x)= lim ( x - 2 + —¡- —- - 2x) - -2

j c - > + ~ x - > + ~ y j x + 9

como y = k¡x + b{ => y = 2 x - 2 asíntota oblicua a la derecha.

k2 = lim — = lim ( ^ + -7= Í = ) = 1-1 = 0*->— * V*2 +9

, jc- 2 jc „fo, = lim (y-k-,x) = lim (------- h , — ) - ¿

x Vx2 +9

como y = k-,x + b2 => y = -2 asíntota horizontal a la izquierda.

909 y = + 2Desarrollo

Como V x e R, e~*2 + 2 > 0 , entonces no tiene asíntotas verticales.

Para las asíntotas oblicuas se tiene:

v e x +2 x nL = lim — = hm (--------- ) = 0

x -> + ° ° X *-->+“ X

Aplicación de la Derivada 4.

= lim ( y - k lx)= lim (e~*2 +2) = 2

Como y - k lx + b] => y = 2 asíntota horizontal a la derecha.

k2 = lim — = lim (-----— ) = 0

b2 = lim (y — k2x) — lim (e~x' +2) = 2X - > - o o , ^ — > - 0 0

como y = k2x + b2 => y = 2 asíntota horizontal a la izquierda, por 1

tanto en y = 2 se tiene una asíntota horizontal.

Desarrollo

Para las asíntotas verticales se tiene:

1 - ex = 0 => ex =1 => x = 0 asíntota vertical, para las asíntotas oblicuas.

y 1k, = lim — = lim (---------- ) = 0X X—'>+oo x(\ ) *

b¡ = lim (y — k¡x) = lim (—— ) = 0X—>+oo x _ >+00 J _ g *

como y = k]x + b1 => y = 0 asíntota horizontal a la derecha.


como y = k2x + b2 => y = 0 asíntota horizontal a la izquierda, por lo


j_911 y = ex

DesarroHo

Para obtener las asíntotas verticales — = => x = 0, que es una asíntota

vertical. Para obtener las asíntotas oblicuas.

k, = lim — = lim (— ) = 0* - » + “ > X .* -» + “ > X

h = lim (y - kxx) = lim (ex) = 1Jt_»+=o X -> + ~

como y =: k\X + b\ => y = x asíntota oblicua a la derecha.

k2 = lim — = lim (— ) = 0x x

b2 = lim (v - k2x) = lim (ex) = lX->-~ JC-*—

como y = k2x + b2 => y = 1 asíntota horizontal a la izquierda.

senx912 y = ------

Desarrollo

Para obtener la asíntota vertical se tiene x = 0 y para calcular las asíntotas

oblicuas se tiene:


i i- y i- ,senx, „ k¡ = lim — = lim (——) = 0X—>+«» X x—>+oo

bx = lim ( y - k xx)= lim (— —) = 1X—M-oo *—>+oo X

como y = k lx + bx =$ y = l asíntota horizontal a la derecha

k2 - lim — = lim = 0

b2 = lim {y — k2x) = lim (-cnx) = l

como y — k2x + b2 => y = ] asíntota horizontal a la izquierda, pt


913 y = ln(l + x)Desarrollo

Para las asíntotas verticales se tiene 1 + x = 0 de donde x = -1 es una asín vertical, para las asíntotas oblicuas.

¿i = lim — = lim (— - + A -) = 0x->+°° X X->+oo X

by = lim ( y - k lx) = lim (ln(l + x)) = ooX—>+oo X-*+oo

por lo tanto no tiene asíntota oblicua ni horizontales.

914 x = t, y = t + 2 arctg tDesarrollo

Como x = t => y = x + arctg x

Como esta definida para todos los reales no tiene asíntotas verticales.


915

Ahora calcularemos las asíntotas oblicuas.

y x + 2arctgx .k. = lim -¿-= lim (---------- —) = 1

x —>+»> X >+°° x

b, = lim (y - k xx)= lim (x - larctgx - x ) = nX->+~ *->+“>

■como y = k xx + bx => y = x + 71, asíntota oblicua a la derecha.

y x +larctgxk-, = lim — = lim (--------------) -1

x-»-~ X *->-“■ X

b2 = lim ( y - k 2x)= lim 0 + 2arctgx- x) = - n

como y ~ k^x 4- b^ ^ y = x asíntota oblicua a la izquierda.

CLHallar la asíntota de la espiral hiperbólica r = —

Desarrollo

Como r = — no se tiene asíntota verticales (p

Además se tiene x = —eos(p-a((p), y = —sen(p - /3(<p)(p 9

cuando x —> )) = lim — sen(p = a<p—»0 (p—*0 (p

como y = kx + b entonces y = a que es una asíntota horizontal.


3.4.

916

CONSTRUCCION DE LAS GRÁFICAS DE FUNCIONES POR SUS PUNTOS CARACTERÍSTICOS.

Construir las gráficas determinando el campo de existencia de cada funció puntos de discontinuidad, los puntos extremos, los intervalos de crecimie deciecimiento, los puntos de inflexión de su gráfica la dirección < concavidad y las asíntotas de la gráfica.

y = x3 - 3 x 2Desarrollo

Como y — x 3x es un polinomio, su campo de existencia es todo números reales R.

y x 3x => y '- 3 x 2 - 6 x - 0 para los números críticos => {(

números críticos.

, y ' = 3 x ( x - 2 )

para x < 0, y'>0 W

0 < x < 2, v'< 0 *

' I2 < x < °°, / > 0

3 máximo en x = 0, (0,0)

3 mínimo en x = 2, (2,-4)

es creciente en <-°°,0> y <2,°°> y decreciente en < 0 — >’2

y '= 3x2 -6 x => y " = 6 x - 6 = 0


para los puntos de inflexión => 6 x - 6 - 0 x — 1, (1,-2) punto de

inflexión.

1y" = 6 ( x - l )

Para x < l , >>"<0 la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-°°,l>

Para x > 1, y"> 0 la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <1 ,°°>

No tiene asíntotas.

Desarrollo

2 4El campo de existencia de y = ---- ----- es el conjunto de los números reales.

v = 6x~ ~ x4 => y ’ = 1--x ~ 4x ■ = 0 para los números críticos de dond y 9 9{0,-73,73} son los críticos.


y' = - - x ( x - 3 ) ( x + 3)

para x < - ^ 3 , y’> 0 +

—J í < x < 0 , y'<0~

0<x<y¡3, y ’>0+

y ¡ 3 < X < OO , y ' < 0 “

es creciente en los intervalos < - o o , - 3 > , < 0 , 3 >

es creciente en los intervalos < - \ / 3 , 0 > , < 3 , ° o >

))

3 máximo en X = y¡3, (-3,1)

=> 3 mínimo en x = 0, (0,0)

=> 3 máximo en x = y¡3, (-s/3,1)

, I2 x -4 x 3y - — i — o

•*

« 1para obtener los números críticos, es decir - ( 4 - 4 * 2) = 0 de donde

■ . • • > 3■ . '""H*

5 'x = —l, y = ~< puntos de inflexión


para x < - l , y"< 0 => es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-o°,—>/3>

para -1 <x< 1, y '" > 0 => es cóncava hacia arriba sobre el intervalo < y¡3 >

para x > 1, y" < 0 => es cóncava hacia abajo sobre el intervalo < °° >

no tiene asíntotas.

918 y = (* - ! ) - (* + 2)Desarrollo

y = x 3 - 3x + 2 su campo de existencia es y' = 3x2 - 3 = 0 para los número críticos de donde {-1,1} son los números críticos.

y=3(x + l ) (x - l )

para x < 1, y'> 0+

-1 < x < 1. y'<0~

x > i, y > o +

máximo en x = -1, (-1,4)

mínimo en x = l , (1,0)


919

Los intervalos donde es creciente son < - o o , - i > t < ] „ > y d o n d

decreciente es <-1,1 >

Como y ~ 3x 3 => y" = 6x = 0 para los puntos de inflexión,decir x = 0, (0,2) es un punto de inflexión.

0y"=6x

para x < 0, / ' < 0 la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-oo,0>

para x > 0, y " > 0 la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <0,oo>

no tiene asíntota

j._ (x - 2 ) 2(x + 4)4

Desarrollo

Su campo de existencia es todo los números reales

*3-12x + 16 3x2-12y - — j — - ^ = ^ = 0

>■

para los números críticos, es decir {-2,2} números críticos.


y' = - ( x + 2)(x-2) 4

para3 máximo en x = -2, (-2,8)

ra x< -2 , y '>0 ~\

, < x < 2, y'< 0~

<x<°o, y’> 0 + ti3 mínimo, en x = 2, (2,0)

2 < x < °°, y'

la gráfica es creciente en los intervalos <-°°,-2>,<2,°°> y es decreciente en el

intervalo <-2,2>

, 3x2 -12 „ 3 x_como y = ---------- => y = — - u

4 2

para los puntos de inflexión, es decir x = 0 de donde (0,4) punto de

inflexión.

y " = — = 0 2

para x < 0, y"< 0, la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-=*>,0> ¡

para x > 0, y"> 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre e intervalo <0,o°>



920 y =(x2- 4 )3

125Desarrollo

Su campo de existencia es todo los números reales

(jc2 - 4 ) 3y=- , 6 x ( x 2 - 5 ) 2 n

y =0125 ' 124

para los números críticos de donde: {—\Í5,0,y[5] son números críticos

, 6x(x2 - 5)2y = ----------- —

125

para x<-y¡5 , y '<0" ^

—Js < x< 0 , y'<0~ i l

0 < x < 5, y'> 0+ *

5 < x < oo, y'> 0+ «

3 máximo ni mínimos en x = -y¡5

3 mínimo en x = 0, (0,-1)

3 máximo ni mínimos en x = -Js

La gráfica es creciente en < 0,^5 >, < y/5, > y decreciente en los interval< -oo, —JE > , < -y¡5,0 >


, 6 x(x2 - 5 ) 2Como y = --------------

125y" = — (je2—5X*2-1) = 0 7 25

Para los puntos de inflexión se tiene: {—-J5,—1,1,75 > de donde ( 75 ,0),64 64 i—(_ 1 ------ ) (1,------ ) , (V5,0) puntos de inflexión.

’ 125 125

y ” = ^ (x + 75 )(x- y¡5)(x +1)( x -1)

para x<-\¡5 , y"> 0 la gráfica es cóncava hacia arriba sobre < -°°, -7 5 >

para S < x < - \ , y” < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre:

< --75,-1 >

para -1 < x < 1, y” > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobe <-l,l>

para 1 < x < 75 , y" < 0, la gráfica es cóncava hacia abajo sobre < 1,75

para 75 <x<°° , y " > 0 ,la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <\Í5,°°>


Aplicación de la Derivadu

921x - 2 x + 2

y = - ^ T ~Desarrollo

Su campo de existencia es R - {1}

, x (x -2 )x" — 2x + 2^ ' x - l

números críticos.

y ■-x(x -2 )( x - l ) 2

( x - l ) 2= 0 para los puntos críticos es decir {

)<X<oo, y‘> 0+ «

3 máximo en x = 0, (0,-2)

=> 3 máximo ni mínimo en x = 1

=* 3 mínimo en x = 1, (2,2)

la grálica es creciente en los intervalos <-°°,0>, <2,°°> y decreciente en intervalos <0,1 > y < 1,2>.

Como y1 = ———— ( x - l ) 2

y =-( x - l f

- = 0, 3 x e R

Por lo tanto no hay pühto de inflexión, y " = -a - 1 ) 3

para x < 1, y" < 0, la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-°o, 1 >


para x > 1, y"> O, la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <0,°°>

Calculando las asíntotas para las verticales se tiene:

x _ i = 0 =» x = 1 asíntota vertical.

Para las oblicuas se tiene:

y jc2 -2 .x + 2k, = lim — = lim — -— —---- 1

x->+~ x x(x -1)

x - 2 x + 2h = lim ( y - k xx)= lim (-------- ------

X—)+oo X—H 00 X i

como y = k ix + bl => y = x - l

es una asíntota oblicua.

■*) = - l

x4 —3922 y = -------

*Desarrollo

Su campo de existencia es todo los reales R - {0}

y - *4 ~ 3 => y ’ = ?(x +1) =Q para los números críticos, como -V4 +1 = 0,X X 1

3 x e R ; no tiene punto críticos, por lo tanto no tiene máximos ni mínimos.


, 3(x4 +l)2

X ~

para x <0, y '>0 , x > 0, y '<0

Luego la gráfica es creciente en los intervalos: <~oo,0>, <0,°°> como:

X X 3

para obtener los puntos de inflexión de donde {-1,1}

Luego (-1,2), (1,-2) puntos de inflexión

v " = 6(*2 +1) 0 + 1)(*--1)3

para x < - l , y"< 0, la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-<*>,-]>

para - l < x < 0 , y" > 0, la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <-l,0>

para 0 < x < l , y " < 0 ,la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <0,1 >& -y.

para l < x < ° ° , y ''> 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba <1,°°>

Calculando las asíntotas se tiene:

Para las asíntotas verticales, se tiene x = 0 para las asíntotas oblicuas.


k, = lim — = lim yjc-»+~ x *-»+~ x

xA +3

no tiene asíntotas

9 2 3

xA +3y = -

npsarrollo

Su campo de existencia es todo los reales R - {0}

jc4 +3 ■_ 3(*4 -1) _ n los números

numero críticos.

críticos, es decir: {-1,1}


para x < - 1, y'>0

-1 < x < 0, y '< 0. . j0 < x < 1, y ’<0~ &

<°°, y > 0+ A

3 máximo en x = -l, (-1,-4)

3 máximo ni mínimo en x = 0

y x=> 3 mínimo en x = l , (1,4)

1 < X < ° ° , y'

La gráfica es creciente en los intervalos <-<*>,-1>, <1,°°> y decreciente er los intervalos <-l,Q>, <0,1 >

Como y ' = 3(X =» y ” = 6(——j—) = 0x x

Para los puntos de inflexión, pero como 3 x e R tal que y" = 0 , 1 gráfica tiene puntos de inflexión.

„ _ 6(x +1) x3

parr x < 0, y "< 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-°°,0>

para x > 0, y" > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <0,°°>

Calculando las asíntotas se tiene:

Para las asíntotas verticales, se tiene x = 0 y para las asíntotas oblici tenemos:

y . x4 +3Kj = lim — = lim — -— = ooX—>+oo X X—>+oo X

no tiene asíntotas oblicuas.


924 2 2y = x + —X

Desarrollo

Su campo de existencia es todo R - {0}

2 2(x —1)y = x2 + — => y ' = ——-— - = 0 para los números, es decir x = 1X ' X

para x < 0 , y '< 0 +

0 < x < 1, y'cCT


=> 3 mínimo en x = l , (1,3)1 < x < oo, y'> 0

La gráfica es creciente en el intervalo <1,°°> y decreciente en los

intervalos <-°°,0>,<0,l>


Como y' =, 2(x3- l ) „ 2(x + 2) = 0

Para los puntos de inflexión, es decir: x = -y/2 , (-72,0) punto de inflexic

- I Í 2 0

„_2{x2 -U 2x + 4){x+^Í2) y *3

para x < -i¡2 , y" > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre < -l¡2 >

para - I f l < x < 0 , y"< 0, la gráfica es cóncava hacia abajo sobre < -n/2,0

para x > 0, y '' > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <0,°<=>

Ahora calcularemos las asíntotas. Para las asíntotas verticales se tiene x = 0

para las asíntotas oblicuas: = lim — = lim (x + — ) = <»X JC—>+oo

no tiene asíntota oblicuas.


925 y = ~ ~ x +3

Desarrollo

El campo de existencia es todo los números reales

1 y' = — ^ r = 0

para obtener los números críticos, es decir x = 0

-2x(x2 +3)2

para x < 0, y' > 0+

x> 0 , y’<0

como y-2x

(x2 + 3)2

3 máximo en x = 0, (0’~)

„ 6(x -1) n

v

para obtener los puntos de inflexión es decir: {-1,1}. Luego (-1 .-) > 0>-)

son los puntos de inflexión.

„ 6(x + l)(x -l)(x2 + 3)3


para x < -1, y"> 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <-<*>,-1>

para -1 < x < 1, y"< 0, !a gráfica es cóncava hacia arriba sobre < -l,l>

para x > 1, y"> 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <1,°°>

ahora calcularemos las asíntotas. Para las asíntotas verticales x 2 +3 = 0, existe.

y 1Para las asíntotas oblicuas se tiene: kx = lim — = lim —------- ■•= 0*->+“ x (x + 3)

bx = lim (y -£)*) = lim ——■— = 0x —>+oo ^ —>+00 ^

como y = kxx + bx => y = 0 asíntota horizontal.

J ix - 4Desarrollo

El campo de existencia de la gráfica es: R - {-2,2}

8 ■ ~ 16x ny = —z---- => y = —------ - = 0, para los números críticos es decir: x = (x —4 (x -4 ) .


y ' =-16x

(x2 - 4)2

=í> 3 máximo ni mínimo en x = -2

=> 3 máximo en x = 0, (0,-2)


La gráfica es creciente en los intervalos <-°°,-2> <-2,0> y decreciente en los

intervalos <0,2> <2,<*»

_ , -16xComo y = —------ r-

(x —4)

„ 16(3x2 +4)V (x2 - 4 ) 3

Para los puntos de inflexión => 3x2 +4 = 0, H¡ x <e R por lo tanto no hay

punto de inflexión

-2 2

x < -2, y" > 0 , cóncava hacia arriba <-°°,-2>

-2 < x < 2, y" < 0, cóncava hacia abajo <-2,2>

x > 2, y ' ' > 0 , cóncava hacia arriba


ahora calcularemos las asíntotas. Para las asíntotas verticales se tiene: x = ±

Para las asíntotas oblicuas se tiene: k = lim — = lim ---- ------ = oat-*+~ X x(x2 - 4)

bx = lim (-y-kxx) = lim —p— = 0X —^ + o o x —>+oo ^

com oy = kx + b => y = 0, es una asíntota horizontal.

y = - ---- T ■4 + x”

Desarrollo

Su campo de existencia es todos los números reales

4x , 16 -4 x 2y = - ---- - =* y' = ------- —4 + x" (4 + x")

como y '= 0 para los números críticos 16- 4 x 2 =0 de donde x = ±2 numere críticos


para x < -2, y '<0

-2 < x < 2, y'> O

y <0 n

/ > 0+ ?

< x < y'<0~ *

=> 3 mínimo en x = 2, (-2,-1)

=> 3 máximo en x = 2, (2,1)

La gráfica es creciente en el intervalo <-2,2> y decreciente en los intervalos <-°°,-2>,<2,°°>

, 16- 4 xcomo y =(4 + x2)2

,,_-8x(x -2 * -1 2 )y " ( 7 7 7 7

como y '' = 0 para los puntos de inflexión, entonces:

-8 x (x 2 -2 x -1 2 ) = 0 => x¡ = 0 , x2 = - l - V Í 3 , x3 = - l + VÍ3«

Luego (0,0),(-1 -7 Í3 ,-2 + 4VT3) , ( - l + >/Í3,ll + 5VÍ3) puntos de inflexión.

- 1 - V 3 o

„ — 8x(x + 1 + Vf3)(jc +1 — VT3)

-I + a/3

(4 + x2)3

para < — 1 — VTs , y” > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en el intervalo j

< —oo,—l — Vl3 >

para -1 - %/Í3 < x < O, y '' < O, la gráfica es cóncava hacia abajo en el intervalo j

< — 1 — VÍ3,0 >

para 0 < x < - l + vT3 >, y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en el

intervalo < O,-1 + \/l3 >


para l + 7 Í3 < x < °o , y " < O, la gráfica es cóncava hacia abajo eiintervalo < - l + VÏ3,oo>

ahora calcularemos las asíntotas verticales se tiene: 4 + x 2 = O 3 x e R

k= lim — = lim —- — = o

b= lim (y — kx) = limX —» + o o

4x= 0

4 + x¿

como y = kx + b => y -Q asíntota horizontal.

928 y = 4x~ 12 (x-12)2

Desarrollo

El campo de existencia es R - {2}

Luego el campo de discontinuidad es x = 2

y =4 x -12

(x-U)2

„ i _ ~4(x — 4)y (x - 2)3 ^ y '~ ° setiene x = 4 número criticc

-4(jt- 4)( x - 2 ) 5


ira x < 2, / < 0~

< x < 4, y' > 0+ 4

< X < °o, y'<0~ *

3 x = 2 por punto de discontinuidad.

=» 3 máximo en x = 4, (4,1)

en los intervalos <-®°,2>, <4,®=> es creciente y decreciente en el

intervalo <2,4>

y ' = => y" - 8— => y" = 0 => x = 5, (5,^) punto de(x -2 ) ( x - 2 Y

inflexión

8(x-5)* (* -2 )4

para x < 2, y" < 0, la gráfica es cóncava hacia abajo en el intervalo <-°°,2>

para 2 < x < 5, y"> 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo en el intervalo <2,5>

para x > 5, y"> 0 , lá gráfica es cóncava hacia arriba en el intervalo <5,°°>

Y t


929 y =x2 - 4

Desarrollo

El campo de discontinuidad es R - {2,2}

Los puntos de discontinuidad es x = -2, x = 2

x + 4x 2 - 4 ( x 2 - 4 ) 2

= 0

para los números críticos, es decir x2 - 4 = 0 , 3 x e R tal que x 2 - 4 = 0

por lo tanto no hay números críticos.

v = — x + 4

(x 2 - 4 ) 2

para x<-2, y '<0, - 2 < x < 2 , y'<0

para x > 2, / < 0 , luego la gráfica es decreciente en los intervalo:

<-°°,-2>,<-2,2>,<2,°o>

T . _ x + 4 _ ..■■ _ 2 x ( x 2 + 1 2 )

(x 2 - 4 ) 2 ' ( x 2 - 4 ) 2

y" = 0 para los puntos de inflexión => x = 0, (0,0)


para x< -2, y"<0, la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-°o,-2>

para -2<x<0, y"< 0, la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-2,0>

para 0<x< 2, y" > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <0,2>

para x > 2, y" > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <2,«=>

Asíntotas: Verticales se tiene x = ± 2

y iOblicuas k = lim — = lim —---- = 0X - X *-*+<» X — 4

Xb= lim(.y-fcc) = lim —---- = 0

.t— x — 4

como y = kx + b =$ y = 0 asíntota horizontal

Desarrollo

El campo de existencia es R - {0,4}

Los puntos de discontinuidad son x = 0, x = 4


16x 2 ( x - 4 )

16(3*-8) ~ r* (x -4 )

como y'= 0 => 3 x - 9 = 0 => x = ~j) Puntocr*tico

16(3*-8)'V x 3( x - 4 )

para x < 0, / < 0

— < jc< 4, v'<0 3

d máximo en x = —, (—,----- )3 3 16

4 < x < oo, y < o

en los intervalos < —, 4 >, <4,°°> la gráfica es decreciente y en

8intervalo <0,—> es creciente.

3

y-16(3* -8 )

” x \ x - 4 f—512(jc —3) x2 (x - 4)3

y" = Ô => x = 3, (* ,-—) punto de inflexión


0 3 4. -512U -3)

x2(x - 4 ) 3

para x < 0, y" < 0, la gráfica es cóncava hacia abajo en <°o,0>

para 0 < x < 3, y” < 0, la gráfica es cóncava hacia abajo en <0,3>

para 3 < x < 4, y ' ' > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en <3,4>

para x > 4, y" < 0, la gráfica es cóncava hacia abajo en <4,<*»

para las asíntotas: Verticales se tiene x = 0, x = 4

y . 16Oblicuas: k = lim — = lim —-----— = 0*-*+— x x (x - 4)

b= lim(;y-fcc) = lim —----= 0*->+<*> JT-»+o= X (x -4 )

Como y = kx + b y = 0

Asíntota horizontal.

Y '1


931 3x4 + 1

Desarrollo

y - 3 x + — => el campo de existencia es: R-{0}x

luego el punto de discontinuidad es x = 0

y m 3 x * 7 -

y '-O =$ *4 - l = 0 => {-1,1} puntos críticos

y' = 3(x2 + l)(je + l)(jt -1)

para x < 1, y'> 0+

-1 < x < 0, y'<0~ *

0 < x < 1, v'< 0” ^

1 < x < o o , y ’ > 0+ «

3 máximo en x = -l, (-1,-4)

3 mínimo en x = l , (1,4)

La gráfica es creciente en <-«>,-1>, <1,°°> y decreciente en <-l,0>, <!,<*>>

Cómo y' = 3 — y =■12

X X

3 x e R tal que / ' = 0 , por lo tanto no hay punto de inflexión.


932

para x < O, y" < O, la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-°°,0>

para x > 0, y ' ' > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <0,°°>

para las asíntotas: Verticales se tiene x = 0

Oblicuas: k = lim — = lira3jc4 +1 = 3

b = lim (y -k x )= lim (-—r-3x) = lim —r - 0jc-»+“> jr-»+~ X x

como y = kx + b =* y = 3x

Asíntota oblicuas

y = \[x + \¡4 -xDesarrollo


Para determinar el campo de existencia se tiene:

x > 0 a 4 - x >0 => x > 0 a x < 4

0 4

Luego el campo de existencia es [0,4]

y - y f x + \ l 4 - x => y' = —-¡=— *2\fx 2\j 4 - x

> n/4 -*x - 4 x n ,y - — pr-= = r- = U para los números críticos 2\[x\]4 — x

como y ' - 0 => y ¡ 4 -x - \[ x = 0 => x = 2 números críticos

0

para 0 < x < 2 , / > 0 4

=> máximo en x = 2, (2,2y¡2)2 < x < 4, / < 0 ~

La gráfica es creciente en el intervalo <0,2> y decreciente en el intervalo <2,

, ^ 4 - X - y f x _ „ 1 1y = — = - = = - = 0 =» y " = -2yfxy¡4 x 4 \fx 3 4 /(4- x)3

y" = 0 para los puntos de inflexión.

- ( J ( 4 - x y + V ? ) _ /------ 7~ r r----- t— r........~ 0 => -y(4 —jc )= -^¡x , x e R tal que y" = 0

4Vx3V (4 -x)3


933

Para x e [0,4], y "<0 la gráfica es cóncava hacia arriba sobre [0,4]

No tiene asíntotas

y = 78 + x — 78 — xDesarrollo


8 + x > 0 a 8 - x > 0 =}• x e [-8,8]

Luego el campo de existencia es el intervalo [-8,8]

y = 7 8 + * - 7 8 - x y ' = — -— - + -278 + * 2-v/8 — x

V'S— x + 7 8 + x f , * , •y = —---- ----------— = 0 , para los números críticos2s¡6x - x2

es decir 78 - x + 78 + x = 0 => 3 x e R

por lo tanto no hay números críticos

para x e [-8,8], y'>0 la gráfica es creciente

, V8-X + V8 + X „ 8(78 + * - v8 -x )y = --------------= > y = ----------------------------------------------------------------------------------3

2< M - X 2 (6 4 -X2) 2


y 11 para los puntos de inflexión, es decir:

7& -x + V8 + x = 0 => x = 0, (0,0) punto de inflexión

-8 0 8

„ _ 8(78 + x — 78 — x )y ^

2(64- x 2)2

para -8 < x < 0, y" < 0, la gráfica es cóncava hacia abajo en <-8,0>

para 0 < x < 8, y" > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en <0,8>

asíntota no tiene

934 y = x7x + 3Desarrollo


x + 3 > 0 => x > -3 = > x e [-3,°°> es el campo de existencia

i--- r , 3(x+2)y = xvx + 3 => y = — T = - 0 Para *os números críticos.

27*+ 3


Es decir 3(x + 2) = O => x = -2

, 3(.t + 2) y 2VI+3

para -3< x< -2 , / < 0 ^

-2 < x < 00, / > O *3 mínimo en x = -2, (-2,-2)

La gráfica es decreciente en <-3,-2> y es creciente en <-2,°°>

, 3(* + 2) _ „ 3U + 4) _ nV = ---, = > V = ----------------- T - U

1-J x + 34(x + 3)2

para los puntos de inflexión, es decir: x = -4 í [-3,°°>

Luego no hay punto de inflexión

Para x e [-3,°°>, y">0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <-3,°°>



9 3 5 y = y j x 3 - 3 x

Desarrollo

Para determinar el campo de existencia se tiene que:

x 3 - 3 x > 0 =i> jc(*-V3)(* + V3)>0

3 (x + ! ) ( * - 1 )

2^jxi ~ 3 x

para -3 < x < -1, / > 0 +

-1 < x < 0, y '<0"

3 < X < 00, y ' > 0+

) 3 máximo en x = -l (-1, V2)

La gráfica es creciente en los intervalos < -7 3 ,-1 > y <V3,°°> decreciente en <-l,0>

y I , 3 ( ^ - l )2\Jx3 -3 x

inflexión

y(x -6 * -3 )3

3

4 ( x 3 - 3 x ) 2

■ 0 , para calcular los puntos c

como y = 0 => x 4 - 6 x 2 - 3 = 0 de donde se tiene;

x = ±. ~ e h / 3 ,0 ] U [ V 3 , OO >

por lo tanto no 'hay’puntos de inflexión


-2x

3yj(l~X2)2

para - ° °< x < - l , / > 0

-1 < x < 0, v’> 0 ?

0 < x < 1, y'<0 *

1 < x < o°, y'< 0 ^

3 máximo ni mínimo x =-1

3 máximo en x = 0, (0,1)

3 máximo ni mínimo x = 1

La gráfica es creciente en <-«>,-1>, <-l,0> y decreciente en <0,1 > y <1,°°>

-2x , 2(3x - 4 x - 3 ) ny = ------------ ------------------------= 0

para determinar los puntos de inflexión, es decir:

3x2 - 4x - 3 = 0 => x, = , x2 = 2 + ^

T 2 - VÍ3 4V Í3-8. 2 + \[\3 J - (4 + 4>/Í3LLuego p,(— -— ,3 ---- ---- ) , p2(— -— ,3 ------ -----3 V 9

Son los puntos de inflexión


937

2 - J Í 3 , 2^3 , .Para x < --------- , / > 0 , es cóncava <~oo,-— > hacia amba.3 *

2-V Í3 2 + VÍ3 ,, „ , 2 -V Í3 2 + y¡\3---- -— < x < --------- , y < 0 , es cóncava en < — -— ,— -— -3 3 3 3

abajo

2 + VÍ3 , 2 + VÍ3 , . .,Para x >--------- , y" > 0, es cóncava en < — ----- , °° > hacia amba.3 3


Desarrollo

El campo de existencia es todos los números reales

y = Z Í l ^ 7 =* y' = - ^ L = = = 0I j d - x 3)2

para los números críticos => x = 0, además 3 y ' , es decir l - x 3 - 0 por lo tanto los números críticos son {0,1}

hacia

x = 1

Aplicación de la Derivada 4!

para x < 0, y'<0

0 < x < 1, y'< 0 3 máximo ni mínimo

1 < x < 00, y < o

La gráfica es decreciente en <-00,0>, <0,1 >, <!,<»>

3 7 f ^ y ^ x 3

de donde los puntos de inflexión son (0,1), (1,0)

para x < 0, y" > 0, la gráfica es cóncava hacia arriba en <-00,0>

para 0 < x < 1, y"< 0, la gráfica es cóncava hacia abajo en <0,1 >

para x > 1, y"> 0, la gráfica es cóncava hacia arriba en <1,°°>

no tiene asíntotas


938 y = 2x + 2 -3 \] (x + \)2Desarrollo

El campo de existencia es todos R

y — 2x + 2-3 \J(x + l)2 => y' = 2 — /l](x+\)4

2y ' = 2 — ..— = 0 para determinar los números críticos.IJx + l

2 - 0 => x = 0 además 3 y ' , es decir l + x = 0 ■=> x = -lyjx + l

por lo tanto los números críticos son (-1,0)

para x < - 1 , >>'>0

-1 < x < 0 , y’>0 *

0 < x < °°, y' > 0 «

=> 3 máximo en x = -1.

=> 3 máximo en x - 0

La gráfica es creciente en <-<*>,-1>, <0,°°>, <-1,0>

2 „ 2y ' = 2- = o y =

3^(1 +x f■ o

Para los puntos de inflexión pero 3 x e R tal que y" = 0 por lo tanto los puntos de inflexión son en x = -1 y en x = 0 es decir (-1,0) y (0,-1).


Asíntotas no existe.

939 y = l / 7 í 7 - ^ TDesarrollo

El campo de existencia es todos los reales

y = ^ l - ^ l =* y ’- É X- l)2 - f i X + » 2 - nI j x ^ l

determinar los números críticos. Es decir:

^ - D 2 ~%l(x +1)2 = 0 => ( x - l ) 2 =(x + \)2 =» x = 0

además 3 y' es decir x2 -1 = 0 x = ± 1

Luego los números críticos son {-1,0,1}


para x < -1, y’>03 máximo en x = -l

para x < -i, y >u

-1 < x < 0 , y '>0 *

0 < x < 1, / < 0 4i

)1 < x < °°, v’<0 *

3 mínimo en x = 0, (0,2)y

3 máximo en x = 1y < \

La gráfica es creciente en <-°°,-l>, <0,1 > y decreciente en los intervalos

<-l,0> y <1,°°>

, 1 1 ^ „ 2 ( y ( x + l f - y ] ( x - l )5)

y lj(x +1)2 l j ( x - 1)2 > 3 lj(x2 - l ) 5

como 3 .ve/?, tal que y ' ' = 0 por lo tanto para x = ± 1 3 y' entonces en

x = ± 1 hay puntos de inflexión, es decir: (1, v 2 ) , (-1 ,3 2)

-1„ 2 (y](x + Vf - \ J ( x - l ) 5 )

^ 3

para x < - l , y"> 0, es cóncava hacia arriba

-1 < x < 1, y" < 0, es cóncava hacia abajo

para x > 1, y"> 0 , es cóncava hacia arriba

Asíntotas Verticales no tiene para las oblicuas se tiene que:


b= lim(>>-¿x)= lim(7* + l - \ J x - 1) = 0.V—> oo X—> °°

Luego y = kx + b => y = 0 es asíntota horizontal.

940 y = tl(x + 4)2 - l ¡ ( x - 4)2Desarrollo

El campo de existencia es todo los números reales R

3

3 y' para x = ±4 puntos críticos

para x<-4, y '<0 %

) => 3 mínimo en x = -4, (-4,-4)- 4 < x < 4 , y > o + *

j =>3 máximo en x = 4, (4,4)4 < X < o o , y '< 0 " *


Es creciente en <-4,4> y decreciente en los intervalos, <-°°,-4>, <4,oo>

2 . ^ 4 - ^ 7 4 , „ 2 ,\j(x + 4)4 - \ ¡ ( x - 4 ) 4 ^V' = —(------- --- -----) =£ V ——(--------r — )' 3 3 /T T ^ - 9 3 /(^ _ l6 )4

luego y" = 0 se cumple para x = 0, (0,0) es el punto de inflexión

para x < 0, y" > 0 es cóncava hacia arriba

0 < x < >>"< 0 es cóncava hacia abajo

Asíntotas verticales no tiene, para las oblicuas.

, l¡x + Í - l f x ^ \ _ n k - lim ------------------= 0X

b = lim (y - kx) = lim ({/(* + 4)2 - ¡¡(x-- 4)2) = 0

Luego y = kx + b => y = 0 asíntota horizontal

941 y ~ yj(x-2)2 +\](x-4)2Desarrollo


Dominio es todo los números reales

1 = yj(x-2)2 +i¡¡x- 4)2 =>3 y /x -2yJx-4

y — 0 , 2 y para los puntos críticos de donde 2,3,4 son los números crítico

para x < 2, y'<0~

2 < x < 3, v'> 0+

3 < x < 4, y’< 0“

=> 3 mínimo en x = 2, (2,yÍ4)

=> 3 máximo en x = 3, (3,2)

=> 3 mínimo en x = 4, (4, y¡4)4 < x < 00, v’> 0 + i¿

La gráfica es creciente <2,3> y <4,°°> y decreciente en <¿00, ,2> y <3,4>

, 2 ijx - 4 f l fx—2y ) => y'=0•’ \ J x -2 \ lx -4

para los puntos de inflexión 3 .ve A’ tal que y" = 0 , por lo tanto no hay pun de inflexión.


942' 7 ^ 7

Desarrollo

El campo de existencia 4 - *2 > 0 => x e <2,2>

4 , 4 * , _ ny --- -------- y' =----------— => y = 0 para x = 07 4--* (4 — * )

para -2 < x < 0, y '<0 -v

0 < x < 2, y' > 0+ *3 mínimo en x = 0, (0.2)

en <-2,0> es decreciente y en <0,2> es creciente.

4*y

... 4 (2*2 + 2 )y ~ *

( 4 - * 2)'2 ( 4 - * 2)2

como 3 x e R, y" = 0 entonces no tiene puntos de inflexión

Luego para x e <-2,2>, y"> 0 . la gráfica es cóncava hacia arriba.

Tiene como asíntotas verticales: x = -2, x = 2


9438

K\/x2 - 4Desarrollo

El campo de existencia es <-°°,-2> u <2,°°>

8 2(*2 -2 )y = -

íyjx2 - 4=> y =■

*2(*2 —4)2

Luego para * = ± 72 , y '=0 no son puntos críticos porque ±72 no están e el campo de existencia.

2(* - 2) „ 16(3* -10* +16)- => y ------------------------- -------

*2(*2 - 4 ) 2 *3(*2 - 4)2

como 3 *e R tal que y" = 0 , no hay punto de inflexión, tiene como asíntot

vertical a x = ± 2 y como asíntota horizontal a y = 0.

944 y =7*2 - i

Desarrollo

El campo de existencia es R -{-1,1}


x x - 3y = — => y = -

3^/u2 - ! ) 4

para x = ± 3, y' = 0 , que son los puntos críticos

—s/3 < x < -1 , y '<0 -v

- 1 < x < 1 , y'<0 •

l < x < j 3 , y < o *

=> 3 máximo en x = \Í3, ( -7 3 ,— =-)



=> 3 mínimo en x = \¡3, (73 ,x¡=)72

x>y¡3, y’>0

es creciente en < 73,°°> y decreciente en < —s/3,—l >,

<-l,l>, < 1,73 >

y =x 2- 3

3^j(x2 - l ) 4

. -2x(x -9 )

9 y ](X 2 - l ) 1

3 3entonces para x = 0, x = ±3, y"=0 de donde (0,0), (3 ,-) , ( -3 ,-—) son los

puntos de inflexión.

Como asíntotas verticales tiene a x = ± 1 y como asíntotas oblicuas no tiene.


945 y =y j(x -2 )2

Desarrollo

El campo de existencia es <-°°,2> u <2,°o>

x - 6I----------------- --- Y y — r ■

l j ( x - 2)2 3y(x-2)para x = 6, v'=0

para x < 2, y' > 0

2 < x < 6, y'<0

x > 6, y'>0

3 mínimo en x = 6, (6,—=•)72

es creciente en <-°°,2> y <6,°°> y decreciente en <2,6>

x - 6y =

3 ^ U - 2 ) 5 ' 9 \ j ( x - 2 )

„ -2(*-12) y = — p — para x=12,


946

12y" = 0 => (12,—= = ) punto de inflexión.m o

2 12

Para x < 2, y"> 0 , cóncava hacia arriba

2 < x < 1 2 , y" > 0 , cóncava hacia arriba

x > 12, y" < 0, cóncava hacia abajo

y - x e *Desarrollo

Su campo de existencia todos los números R.

y = xe~x => y' = e~*(\-x ) p a r a x = l , y' = 0 punto critico

para x < 1, y’>0

1 < x < «o, y '<0

3 máximo en x = 1, (1,-) e


es creciente en <-oo,l> y decreciente en <1,00>

y '= ex ( \ - x ) =í> y "= e x( x - 2 ) para x = 2, y" = 0

2Luego: (2,—) punto de inflexión

2

Para x < 2, y" < 0 es cóncava hacia abajo

x > 2, y" > 0 es cóncava hacia arriba

tiene como asíntota horizontal a y = 0

947 y = (a + - - ) e aa

Desarrollo

Su campo de existencia es R.

2 x x 2y = (a + — ) e a =» y ' = e a ( ^ - + — + l)

a a2 a

Luego para x = -a, se tiene y’ = 0


Pero en x = -a no hay máximo ni mínimo.

X

, e“(x + a)2a 2

para x < -a, y' > 03 máximo ni mínimo

x > -a, y

la curva es creciente en <-°°,-a> y <-a,°o>

,_ ea(x + a)2 „ e“(x + a)(x + 3a)y _ - => y _ -a a

para x = -a, x = -3a, se tiene y" = 0

Luego (—a,— ) y (—3 a ,^ ~ ) son puntos de inflexión e a

-3a -a

Para x < -3a, y" > 0 , es cóncava hacia arriba sobre <-°°,-3a>

Para -3a<x<-a , y" < 0, es cóncava hacia abajo sobre <-3a,-a>

Para x > -a, y">0 , es cóncava hacia arriba sobre <-a,°o>

No tiene asíntotas verticales

Tiene como asíntota horizontal a y = 0


948 y = e8*"* -14Desarrollo

Su campo de existencia es R.

y = e&x x 14 => y'= (8 - 2x)e&x~x ~14, para x = 4, y' = 0 punto critico

4

para x<4, y '>0 ^

I => 3 máximo en x = 4, (4,e2)x > 4, y'< 0 M

La gráfica es creciente en <-°°,4> y decreciente <4,°°>

y'= (8 - 2x)e8x~x2~14 => y" = (4x2 -3 2 x + 62)eSx~x2-14

,, A , 8 + V2 8 — y¡2y = 0 , cuando x, = -------- , x, = ---------1 2 2 2

8 4* > / 2 ~ s __ —

Luego (— -— 9e2) y (— ,£2) punto de inflexión


949

8 - V 2 8 + V2

2 2

Para < 8 y " > 0 , es cóncava hacia arriba

8~ ^ < x < % + 'lï . y"<0 , es cóncava hacia abajo2 2 ’

^ > 8 + 2 y" >0 es cóncava hacia arriba

no tiene asíntotas verticales en y = 0, tiene asíntota horizontal.

Desarrollo

Su campo de existencia es todo R

y = (2 + x 2)e~xl => y '= -2x(x2 + 2)íTx

* para x = 0 se tiene y' = 0 punto de inflexión

Aplicación de la Derivada 4'

para x<0 , _v'>0=> 3 máximo en x = 0, (0,2)

x>u , y -

La gráfica es creciente en <-°o,0> y decreciente en <0,°o>

y ' - - 2 x ( x 2 + 2)e-x' => y" = 2e~x* (2x4 - x2 - 1)

3 3de donde para x = ±l, y" = 0 punto de inflexión (1,-), (-1,—)e e

-1 1

para x < -1, >•" > 0 , es cóncava hacia arriba

-1 < x < 1, y" < 0, es cóncava hacia abajo

x > 1, y " > 0 , es cóncava hacia arriba

no ti me asíntotas verticales, pero en y = 0 tiene asíntota horizontal.


950 y = 2 \ x \ - x 2Desarrollo

El campo de existencia es todo R

Para x > 0, y = 2x - x 2 => y'= 2 - 2x = 0 se tiene x = 1

x<0, y = - 2 x - x 2 =* y' = - 2 - 2 x = 0 se tiene x = -l

Luego los puntos críticos son {-1,0,1}

3 máximo en x = -1, (-1,1)Para x<-l , y '>0 -v

-1 < x < 0 , y'<0 4j => 3 mínimo en x = 0, (0,0)

0 < x < 1, y’>0 V] = > 3 máximo en x = 1, (1,1)

1 <x<°° , y '<0 V

es creciente en <-=»,-1>, <0,1> y decreciente en <-l,0>, <1,°°>

y’ = 2 - 2x = 0, para x > 0 => y " = 0 , i x e R

y ' = - 2 - 2 x = 0 ,p a r a x < 0 => y " = 0 , 3 x e / ?

por lo tanto no tiene punto de inflexión.

Pero en x = 0 no es diferenciable, entonces


Para x < 0, y'" < 0, es cóncava hacia abajo

x > 0, y" < 0, es cóncava hacia abajo

no tiene asíntotas

Y i

951

para x < e , y’>0 %

=> 3 máximo en x = e2, (e2, 2J C

x > e 2, y '<0

es creciente en el intervalo < 0,e2 > y decreciente en <e2

, 2 - l n x .r(31nx-8)y = — ¡=— => y =-

4x

¡nx

Desarrollo

El campo de existencia es <0,°°>

ln x 2 - In x ,y = —¡=- => y = — f= - para x = e , y’ = 0

V* 2 Vx3

■)

,oo >


- - 8 para x - e 3 , y" = 0 entonces (e3,——) punto de inflexión

3*3

8

8para x < e 3, y"<0 , es cóncava hacia abajo

8

x > e 3, y " > 0 , es cóncava hacia arriba

tiene asíntota vertical en x = 0 y tiene asíntota horizontal en y = 0

Desarrollo


x2 , x .. x 1. a ,y = — ln— =» y =x(ln— + —) para x = ~ = ? , y = 0

2 a a 2 yje

T


para x < —= ,y '< 0 \y/e

3 mínimo en x =

a i « ti x>-¡=, y'>0sje

es creciente en < >, y decreciente en < >Ve -Je

,, x 1 x 3y =x(ln —+ - ) y = ln —+ — a 2 a 2

y

__ __ _“

para x = ae 2 , y" = 0 , (ae 2,— —) punto de inflexión

3a24e3

3a2para x < -----y " > 0 , es cóncava hacia arribaAe

3a2x > -----—, y" < 0, es cóncava hacia abajo

4een \ = 0 es asíntota vertical no tiene asíntota horizontal.


953lnx

Desarrollo

El campo de existencia es todo R f

>’ = ln*. lnx —1 „=> y = — -— = 0 , para x = e

ln'Ji

para 0 < x < 1, >'<0u a ^ i , y

1< x < e , y < 0 *

para x <e, >'<0

>e, y’>0 *


3 mínimo x = e, (e,e)x > e, y

es decreciente en <0,1>, <l,e> y creciente en <e,°°>

ln2* xln *

para x = e2, y"= 0 , Luego (e2,— ) punto de inflexión

para x < e 2, y " > 0 , es cóncava hacia arriba

x > e 2, / ' < 0, es cóncava hacia abajo

en x = 1, se tiene asíntota vertical, no tiene asíntota horizontal.


954 }í = (* + l)ln“(* + l)Desarrollo

El campo de existencia es x > - l es decir x e <-l,°°>

3> = (* + 1)ln2(x + 1) => y'= ln(x + l)[ln(* + 1) + 2]

para x = 0, x = - l + — se tiene y' = 0 punto críticos e~

1 J- l + —r < x < 0 y y ’< 0 ..

)0 <x<oo, y > o + *3 mínimo en x = 0, (0,0)


La gráfica es creciente en < —1,-1+— >, <0,°°> y decreciente ene~

< - l + - ^ , 0 >e

„ 2[ln(jc +1) +1]y'=ln(x + l)[ln(x + l) + 2] => y = ---------- -------

x + 1

para jc = —1 + — se tiene y" = 0 luego (—1 + —,—) es punto de inflexión e e e

1 + - ^

-1 < x< - 1 + - , v"<0, es cóncava hacia abajo e

-Ih— < x < °o, y">0 , es cóncava hacia arriba e

955 y = ln(x2 -1) + —y —x -1

Desarrollo


El campo de existencia es x e <-°°,-l> U <1,°°>

, 2x(x - 2)*2- l (jc - i r

para x = 0, x = ± 2 se tiene y’=0 puntos críticos x = ±V2

-\¡2 -1

para x< -V 2 , y'<0~

-\Í2 < * < -1, y’> (T

l < x< yfl , y'<0~

■<J2 <X< 00, y '>0+

)

)

3 mínimo en X = -y ¡ 2 , (—s/2, l)

3 mínimo en X = y¡2, (y¡2,l)

La gráfica es creciente en <—J2,-1 >, <V2,°<=> y decreciente< ~=o; - y ¡ 2 > y < l, s¡2 >

, 2x(x¿-2 ) -2(x3 - 3x2 - 2) U 2- l ) 3

yjlpara x - ± — = ±1.89 se tiene y" = 0

2

Luego (1.89, 1.33) y (-1.89, 1.33) puntos de inflexión


956

Para x<-1.89, y” < O, es cóncava hacia abajo

-1.89 < x < -1, y" > 0 , es cóncava hacia arriba

1.89 < x < °°, y" < 0, es cóncava hacia abajo

1 < x < 1.84, y" > 0 , es cóncava hacia arriba

tiene asíntotas verticales en x = -l, x = l

y = ln

Desarrollo

El campo de existencia es R + - {0}

, Va:2 + 1-1 , V*2 +1-1y = ln------------- =» y =■x(x2 +

. >

Luego y' = 0 para x= 0, pero x = 0 t R + -{0} por lo tanto no hay punto de

inflexión

Para x > 0, y' > 0 , la gráfica es creciente.


957

? =-V-r2 + 1 - 1_______ _ -y" — ___

x(x~ +l-yjx~ +1) -Jx2 +l(jr2 + l - \ j x 2 +1)2

3 x e R tal que y" = 0 por lo tanto no hay puntos de inflexión.

Luego para x > 0, y"< 0, la gráfica es cóncava hacia abajo.

Para x = 0 es una asíntota vertical.

x¿ + \ - 3 - 2 x 2

ln + 1- 1

k = lim — = lim -X jr->oo

b= l im(y-fcc)= lim lnx —>°° x —>°° x

x¿+ \ - l= 0

como y = kx + b => y = 0 es una asíntota horizontal

yí=ln(l + e x)Desarrollo

El campo de existencia es todo R.

1y = ln(l + e x) => y ' - —ex + \


3 x e R , y' = 0 por lo tanto no hay punto de inflexión para x e

gráfica es decreciente.

y' = -i— => y" = — -— —, 3 x£ R , y" = 0ex +l (ex + l f

por lo tanto no hay punto de inflexión.

Para x e R, y "> 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba.

No tiene asíntotas verticales. Cuando x -» » , y = 0

, y ln(l + e x)k¡ = lim — = l im ---------------= 0

■ ■ x Jt-*~ x

6, - l im(y- kx) = lim ln(l + e *) = 0X~*oo X~Y°°

luego y = 0, x —> +°°

, ,. y ln(l + <? x)k2 = lim — = ln n ------------x - * - ~ X x->-

= lim ---------= -1x *-»— l + ex

b2 = lim (y - k2x) = lim[ln(l + e~ ) + x] = 0

Luego y = k2x + b2 => y = -x asíntota oblicua

R, y '<0 , la


958 y = ln(e + —) x

Desarrollo

El campo de existencia es < — > U < 0,°° > es decir que no esta defiie

pero [— ,0]e

, , 1, , 1 y = ln(e + - ) => y = — ------ -x . . 1 JQfX +1)

3 x e R tal que y ’ = 0 , no hay puntos críticos

x < — , y'< 0 es decrecientee

x > 0, y'< 0 es decreciente

y - -1

x(ex+1)2ex +1 1y = — ----- — para x = -

x~(ex + \) le

y" = 0 pero — -e < - o o , - i > u < 0,«> >, por lo tanto no tiene punto2e e

inflexión

para x < — , y" < 0 es cóncava hacia abajo e

x > 0, y"> 0 , es cóncava hacia arriba


asíntota vertical es x = 0, x = —e

ln(e + - )k = lim — = lim --------— = 0 para L’Hospital

x *-»— x

b = lim()'-fcc) = lim ln(e + —) = 1* - » « > x->°° X

Luego como y = kx + b => y = l asíntota vertical

959 y = sen x + eos x

Desarrollo


Como y(x) = y(x + 2re) la función es periódica con periodo x = 2n

y = senx + cosx => y' = c o s x - senx-Q => cosx = senx$

de donde x = — + 2 k n , x = — + 2kn , k = 0 ,± l ,—


n0 < x < — , y'> 04

n 5n , „4 < x < T ’ y < 0 A

5n „ ti—- < x < 2 n , y > 04 7

3 máximo en x = — , (—, V2)4 4

, . 5n ,5n / - sd mmimo en x - — , (— ,-v2)4 4

y' = cosx-senx =* y” = -senx - eosx =0 =>senx = -cosx => x = — +4

3 Kpara x < — , y"<0 es cóncava hacia abajo

x > — , y" > 0 , es cóncava hacia arriba4

3npara (— + kn, 0) puntos de inflexión


960 y = senx + -senlx

Desarrollo


Como y(x) = y(x + 2n) la función es periódica con periodo x = 2n sen2xy = senx + - y'=cosJt + cos2x

y' = 0 => eos x = -eos 2x =* x = — + 2kn ,x =— +2kíc para k = 0, ±1, ±2,...3 3

para x < —, y > 0 \

n 5k , . . — <x< — , y < 0 3 3

=> 3 x = — + 2 k n , (— + 2k n ,^ ^ - ) 3 3 4

3 mínimo en x =— +2kK,(— + 2 k n , - ^ - )3 3 4

5?r . n+ x> — , y > 03

y'=cosx + cos2jc => y " = -senx-2sen2x

y" = 0 => -sen x - 2 sen 2x = 0 => x = kre

Y

4


961 y = cosx-c o s 2 x

Desarrollo


y — eosx — eos x => y '=—senx+ 2senx.eosx

y' = 0 => - sen x + 2 sen x. eos x = 0 x = ± —, x = ±it, x = ± 3

como y(x) = y(x + 27t) la función es periódica

para x <± tc, y '<0 'x

x>±rt, y'> 0

en x = ±7t 3 mínimo (±rc,-2)

n

x = ± — 3 máximo (±— ) 3 3 4

y'=-senx + 2senx.cosx => y " = - c o s x + 2cos2x

>'"=0 => -eos x + 2 eos 2x = 0 x = ± 0.57, x = ±2.2

Luego f(±0.57) = 0.13 => (±0.57,0.13)

f(±2.2) = -0.95 => (±2.2,-095) con los puntos de inflexión


962 y = sen3x + eos3 x

Desarrollo


y = sen3x + eos3 x =» y'= 3sen2x.cosx - 3cos2 x.senx

y' = 0 => 3sen2x e o sx -3 c o s2 x.senx = 0

3 sen x. eos x (sen x - eos x) = 0

jt k 5tt 3n „de donde x = 0, x = — , x = —, x = n, x = — , * = ——, x = 2n

4 2 4 4

como y(x) = y(x + 2n) la gráfica es periódica con periodo x = 2it


x <0, y'> 0

0< x< —, y '<0 4

n <x < n , v'<0

— < x< 2 K , y'> 0 5

x > 2jt, / < 0

K < x< — , y’> 0 4

5/r 3?r , J— < x < - —, v <0 *4 4

)

3 máximo en x = 0, (0,1)

a / • K n V2n=> d mimmoen x = —, (—,----)4 4 2

“1 / • ^ 1\ d máximo en jc = —, (—,1)2 2

3 mínimo en x = n, (n,-l)

-j , . 5?r 57Td máximo en ;t = — , (— ,------ )4 4 2

3 mínimo en x = — , ( - , - 1 )2 2

3 mínimo en x = 2it, (27t, 1)


963 y= -_i____

senx + eos xDesarrollo

Como y(x) = y(x +2n) la función es periódica con periodo x = 2n luego los

puntos de discontinuidad es — también en x = —-4 4

y = -í

senx + eos x y =~eos x — senx

(senx+eos x)

para x = —+2 kn s e t i e n e / = 0 ; x = - — + 2kn se tiene / = °° F 4 4

3?r • npara: x < ------ , y > 0 \4

x > ~ — , y'<0 ^4

n

, . 3n , 3?r y¡2=> 3 máximo en x =----- , (— — + ¿kn,— —)

4 4 2

x < 7 ' y < 0 \

nj t> —, y’>04


964 y=-senx

sen(x + —) 4

Desarrollo

Como y(x) = y(x + tt) la gráfica es periódica con periodo x - ti ademá

puntos de discontinuidad son x = , x = —4 4

y =senx

=* y' = -sÍ2(senx + cosx) ' 2(íc/u: + eos x)2

3 j* e /?, tal que >■’=0 por lo tanto no hay puntos críticos

75y =-

2(ienA + cosjc)2\¡2(cos x —senx) ~J lcos2x

y = — :-------------- -j- => y =•(senx + eos x) (1 + sen2x)2

/ ’=0 =* eos 2x = 0 => 2x = — _t = — =* x = — + kn2 4 4

Luego los puntos de inflexión: (— + k n ,— )4 2

Y


965 y = sen x. sen 2x

Desarrollo


Como y(x) = y(x + 2tc) la gráfica es periódica cuyo periodo es \ = 2n

Calculando los extremos en el intervalo [0,7i] se tiene:

y’=4sercx.cos2 x - 2 s e n 3x = 0 de donde:

2 12senx(3cos x - l ) = 0 => x = 0, x = Jt, x = arccos(±-=)v3

para x <0, y'<03 mínimo en x = 0, (0,0))0 <x < arccos(-^r), y '> 0 \

V3 \

3 máximo en x= arccos(—j=),73

arccos(-^r) < x < arccos(— 1=), y' > 0 \ (arccos -4=r, -X=)73 v3 V3 3v3

=> 3 mínimo en jc = arccos(— j=r),73

1 » 1 4arccos(— 1= )< x < n , y’>0 (arccos(— = ),—=)

V3 \ V3 3V3

3 máximo en x = n, (7t,0)x > 7t, y'<0

y'~4senx.cos2 x - 2 s e n 3x => y" = 2 c o sx (2 -9 sen2x)


7T 72 72para x = —, x = a r c s e n ( => x = n — arcsen{— ) se tiene y" = 0 por

n y¡2 4y¡7 72 477tanto: (—,0), (arcsen(— ),------), (n-arcsen— ,-------- ) son los puntos2 3 27 3 27

inflexión.

966 y = eos x. eos 2x

Desarrollo


Además y(x) = y(x + 2n) la función es periódica x = 2n

Calcularemos los extremos en el intervalo [0,ji]

y = cosx. eos 2x = > y'=senx(1- 6 c o s 2 jc)

luego para y '= 0 => se/tx(l-6cos2 x) = 0

de donde: x = n, x = arccos(-^=), x = arccos(— = ) , x = 0V 6 v 6


Si x < 0, y'>0

0 < x < arccos(-j=r), v’< 0 V 6

)

arccos-4=< Jc<arccos(— —), / > 0 & V6

arccos(— j=) < x < J t, y' < 0 v 6

=> 3 máximo en x = 0, (0,1)

=> 3 mínimo en x - árceos—= ,

(arccos

=>3 máximo en x = arccos(--^r),

arccos(— j=) < x < n , y' < 0 v 6

x > n, y'>0

y'= senx(l-6cos2 x) =>

) => 3 mínimo en x = rc, (n,-l)

ny''=cos.x(13-18cos2 x) para x = j ’

13 13x tarecos , a: - arccos(- ) se tiene y " = 0 . Luego: (— ,0),A/18 V18 2

(arccos (a rc c o s(-J j |) ,-~ ) son los puntos de inflexión.

Y1

0

-1


967 y = x + sen xDesarrollo


y = x + senx => y'=l + cosx de donde y' = 0

l + c o s x = 0 => X = Jt

como x < jt, y’> 0 , x > Jt, y'> 0 no hay máximo ni mínimo, la gráfii creciente.

y' = 1 + eos* => y"=-senx = 0 =» x = kit, k = 0, ±1, ±2,...

Luego (kjt.kit) puntos de inflexión

Para x<jc, y"<0 , es cóncava hacia abajo

x > Jt, y ' ' > 0 , es cóncava hacia arriba

968 y = arcsen( 1 - yfx2)Desarrollo

El campo de existencia [-2\¡2,2y¡2]


969

y = arcsen(\ - yfx2) y = ■3

Luego y' = oo cuando x = 0, * = ±2%/2

Luego x = ±2\íl son los extremos del campo de existencia de donde

(±272,-1.57)

Para x <0, j»’>0 ^

x > 0, y '< 0 V

-2

3 máximo en x = 0, (0,1.57)

v =3 ^ /7 7 2 - V ?

y =-2(3.v3 -4 )

2

9 ^ /? ( 2 -* 3)3

y " = 0 => 3*3 - 4 = 0 => x = ±1.54 de donde (± 1.54,-0.34) son los puntos de inflexión.

>’ =V l

Desarrollo


970

arcsenx , V i-* 2 -y = - r = f => y =

xarcsenx

V i- * 2 V a - * 2)3

3 *€/? tal que _y' = 0 además y' = °° cuando x = ±1 pero estos valore;

pertenecen al campo de existencia por lo tanto no tiene máximos ni mínimo

, Vi-*2 -xarcsenx „ x(l-*2 -arcsenx(3x+ J ( \ - x 2Ÿ ))y = ------ r ...... : . — =* y = -------------------------------------------

Va-*2? a - * 2)3

y"=0 cuando x = 0 de donde (0,0) es punto de inflexion, tiene asin verticales en x = ± 1

y = 2x - tg xDesarrollo

y = 2 x - t g x => / = -sec * de donde:

_y' = 0 => 2 - s e c 2 * = 0 => secx = ±V2 entonces: x = — + k n , * = — + k4 4

no esta definida para x = P313 k = 0, ± 1, ± 2,...


no esta definida para x = - x para k = 0, ± 1, ± 2,...

npara x< —, / > 0 -v

3jt , x > — , y >04

—. , TC . ,7T | ?T _,=> 3 máximo en x = — + k n , (— bkn,— + 2k - l )4 4 2

_, , 3tt . . 3/r . 3tt . _. .=>3 mínimo en x = — + k n , ( — + kn ,— +\ + 2kn)4 4 4

y '= 2 -s e n 2x => y" = 2sen2x.tgx

para y"=0 se tiene x = kn, donde k = 0, ±1, ±2,...

por lo tanto (kit, 2kn) son los puntos de inflexión.

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Solucionario Demidovich Analisis Matematico 1 - ByPriale