Solucionesa las actividades

BLOQUE I

Aritmtica y lgebra1. Los nmeros reales2. Matemtica financiera3. Ecuaciones e inecuaciones4. Polinomios5. Sistema de ecuaciones

e inecuaciones

68 SOLUCIONARIO

G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

. L.

1 Los nmeros reales

Piensa y calcula

Calcula mentalmente el volumen de un cubo de arista 2 m y escribe el valor exacto de la arista de uncubo de volumen 2 m3

Solucin:

V = 23 = 8 m3 a = 32 m

1. Nmeros racionales e irracionales

1. Clasifica los siguientes nmeros como racionales o irra-cionales:

a) 5/3 b) c) d) 1,23456

2. Escribe cinco nmeros racionales.

3. Escribe cinco nmeros irracionales.

4. Escribe tres nmeros racionales comprendidos entre 1/3y 1/2

5. Representa grficamente, de forma exacta:a) b)

6. Representa grficamente, de forma aproximada:a) b) e c) d)

7. Calcula:

a) 3 + b)

c) : ( 7) d) ( 2 + )385643854356

23

54

56

23

Solucin:

a)

b)

c)

d)

530032519

Solucin:

a)

b)

1310

Solucin:

5 3 11, ,12 8 24

Solucin:

2, 3, 57, , e

Solucin:

2 4 19, 5, , , 3 7 8

Solucin:

a) Racional. b) Irracional.

c) Irracional. d) Irracional.

2

Aplica la teora

10 2 4

10101

33

10 2 4

1313

23

3

0 1 2 3 4 5

4,36

0 1 2 3 4 5

2,72

0 1 2 3 4 5

2,92

0 1 2 3 4 5

3,13

TEMA 1. LOS NMEROS REALES 69

G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

. L.

8. Halla de forma exacta la diagonal de un cuadrado de la-do 1 cm y escribe qu tipo de nmero es.

9. Un rectngulo mide de largo x y de alto 1; por un ladole cortamos un cuadrado de lado 1, y se obtiene un rec-tngulo semejante.

a) Cunto mide x?

b) Qu nmero conocido es x?

c) x es racional o irracional?

Solucin:

x 1 1 + 5 1 5a) = x = , x = 1 x 1 2 2

1 5La solucin negativa x = no tiene sentido.2

1 + 5La solucin es x = 2

b) Es el nmero ureo de oro.

c) Es irracional.

Solucin:

2 cm Es un nmero irracional.

Solucin:

a)19/6 b) 25/36 c) 20/81 d) 19/18

x 1

1 1

x 1

Piensa y calcula

Representa en la recta real, de forma aproximada, los nmeros y = 2,64575131

Solucin:

734

2. La recta real

0 1

3/4 7

10. Representa en la recta real los siguientes pares de n-meros y calcula la distancia que hay entre ellos.

a) 3 y 2 b) 2,5 y 3,7

11. Escribe en forma de desigualdad y representa grfica-mente los siguientes intervalos, y clasifcalos:

a) [2, 5) b) (2, 1) c) (3, +@) d) (@, 3]

Solucin:

a) {x ; 2 x < 5}

Intervalo semiabierto o semicerrado.

b) {x ; 2 < x < 1}

Intervalo abierto.

c) {x ; x > 3}

Semirrecta, intervalo abierto.

d) {x ; x 3}

Semirrecta, intervalo semiabierto o semicerrado.

Solucin:

a)

d( 3, 2) = |2 ( 3)| = 5

b)

d( 2,5; 3,7) = |3,7 ( 2,5)| = 6,2

Aplica la teora

0 1

2 3

0 1

3,7 2,5

0 1

52

0 1

1 2

0 1

3

0 1

3@

15. Aade tres trminos en cada una de las sucesiones si-guientes:

a) 3, 7, 11, 15, b) 5, 10, 20, 40,

c) 1, 4, 9, 16, 25, d) 1, 3, 5, 7, 9,

16. Escribe los cuatro primeros trminos de las siguientessucesiones:

a) an = 2n b) an = 2n + 3

c) an = ( 1)n (n + 1) d) an = 3( )n

Solucin:

a) 2, 4, 8, 16

b) 5, 7, 9, 11

c) 2, 3, 4, 5

3 3 3 3d) , , ,2 4 8 16

12

Solucin:

a) 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27,

b) 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320,

c) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64,

d) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,

Aplica la teora

70 SOLUCIONARIO

G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

. L.

12. Escribe los intervalos que se representan en los si-guientes dibujos:

a)

b)

13. Representa grficamente los siguientes entornos:a) E(4, 1) b) E*(3, 2) c) E*(2, 3) d) E(2, 3)

14. Escribe los entornos que se representan en los siguientesdibujos:

a)

b)

c)

d)

Solucin:

a) E(1, 4) b) E*(0, 3) c) E( 3, 2) d) E*(3, 3)Solucin:

a)

b)

c)

d)

Solucin:

a) (@, 1) b) [1, 5]

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

5 0 1

2

1 0 1 5

2

5 1 0 1

3

0 1 3 5

4

Piensa y calcula

Escribe tres trminos ms en las siguientes sucesiones:

a) 2, 6, 10, 14, b) 1, 2, 4, 8, c) 3, 3, 3, 3, d) 1, 1, 2, 3, 5,

Solucin:

a) 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, b) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, c) 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, d) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,

3. Sucesiones de nmeros reales

TEMA 1. LOS NMEROS REALES 71

G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

. L.

17. Halla el trmino general de las siguientes sucesiones:a) 2, 4, 6, 8, 10,

b) 1, 4, 9, 16, 25,

18. Representa los primeros trminos de las siguientes su-cesiones e indica el valor al que tienden:

a) an = b) an = n2

c) an = d) an = ( 1)n n

c)

2n + 1lm = 2n8+@ n

d)

No existe el lm (1)nnn8+@

Los valores de la sucesin oscilan de negativo a positivoen cada trmino hacindose cada vez ms grandes envalor absoluto.

Solucin:

a)

1lm = 0n8+@ n

b)

lm n2 = +@n8+@

2n + 1n

1n

Solucin:

a) an = 2n b) an = n2

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Piensa y calcula

Halla mentalmente el valor de x en los siguientes casos:

a) = x b) = 10 c) = 2 d) = x

Solucin:

a) x = 2 b) x = 10 000 c) x = 5 d) x = 3

481x324x38

4. Radicales y operaciones

72 SOLUCIONARIO

G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

. L.

19. Calcula mentalmente todas las races reales de los si-guientes radicales:

a) b) c) d)

20. Escribe en forma de radical las siguientes potencias:a) 73/4 b) 51/4 c) 35/7 d) 21/3

21. Escribe en forma de potencia los siguientes radicales:

a) b) c) d)

22. Extrae mentalmente todos los factores que se puedaen los siguientes radicales:

a) b) c) d)

23. Suma los siguientes radicales:a) 5 3 + b) 4 + 2

24. Opera los siguientes radicales:a) b)

c) : d) :

25. Las expresiones que estn como potencia psalas a ra-dical y las que estn como radical psalas a potencia:

a) ( )2 b) c) d) ( )2

26. Expresa con un solo radical las siguientes expresiones:

a) b) c) d)

27. Racionaliza las siguientes expresiones:

a) b) c) d)

28. Halla la diagonal de un ortoedro cuyas aristas miden5 m, 4 m y 3 m

Solucin:

52 +42 + 32 = 52 = 7,07 m

Solucin:

53 7 5132a) b)

3 13

5 (7 3 )c) d) 7 434

2 32 + 3

5

7 +

3

75133

5

3

Solucin:

a) 45 b) 2c) 67 d) 125

34537385

Solucin:

a) 572 b) (36 )5

c) (45 )3 d) 752

7545336557

Solucin:

a) 2 330 b) 2 516c) 32 d) 53/4

51651236312

56458312320

Solucin:

a) 72 b) 7 35

31353625340985018

Solucin:

a) 32 b) 25c) 33 d) 62

72272018

Solucin:

a) 52/7 b) 11 5/6

c) 31/5 d) 2 1/3

132

5316115752

Solucin:

1 1a) 473 b) c) d) 32

45735

Solucin:

a) 2 b) 5

c) No tiene solucin real. d) 2

532253125416

Aplica la teora

TEMA 1. LOS NMEROS REALES 73

G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

. L.

29. Halla mentalmente el valor de x en los siguientes casos:a) 26 = x b) x5 = 32 c) 2x = 128

d) 106 = x e) x4 = 10 000 f) 10x = 1 000

30. Calcula mentalmente los siguientes logaritmos:a) log2 32 b) log3 1 c) log5 1/25 d) log 100

31. Calcula mentalmente la parte entera de los siguienteslogaritmos:

a) log2 50 b) log3 36

c) log5 98,75 d) log 5 678,24

32. Utilizando la calculadora,halla los siguientes logaritmos:a) log 725,263 b) log 0,00356

c) L 24,6845 d) L 0,000765

33. Sabiendo que log 2 = 0,3010 y aplicando las propieda-des de los logaritmos, halla los siguientes logaritmossin utilizar la calculadora:

a) log 4 b) log 5 c) log 8 d) log

34. Utilizando la calculadora y las propiedades de los loga-ritmos, halla:

a) log 2,517 b) log 0,023425

c) log d) log

35. Utilizando la calculadora y la frmula del cambio de ba-se, halla los siguientes logaritmos y redondea los resul-tados a cuatro decimales:

a) log2 51,27 b) log3 8,431

c) log5 0,034 d) log7 1 000

Solucin:

a) 5,6800

b) 1,9406

c) 2,1010

d) 3,5499

Solucin:

a) 6,7650

b) 40,7696

c) 0,3879

d) 0,1676

60,0987587,012

Solucin:

a) log 4 = log 22 = 2 log 2 = 0,6020

b) log 5 = log 10/2 = 1 log 2 = 0,6990

c) log 8 = log 23 = 3 log 2 = 0,9030

1 1d) log 5 = log 5 = 0,699 = 0,3495

2 2

5

Solucin:

a) 2,8605

b) 2,4486

c) 3,2062

d) 7,1756

Solucin:

a) 5 b) 3

c) 2 d) 3

Solucin