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Journal of Sound and <ibration (2000) 231(5), 1221}1242doi:10.1006/jsvi.1999.2733, available online at http://www.idealibrary.com on
0
SOUND ATTENUATION IN TUBES DUE TOVISCO-THERMAL EFFECTS
E. RODARTE, G. SINGH, N. R. MILLER AND P. HRNJAK
Mechanical and Industrial Engineering Department, Air Conditioning and RefrigerationCenter, ;niversity of Illinois at ;rbana-Champaign, 1206 =. Green St.,
;rbana I¸ 61801, ;.S.A.
(Received 3 December 1998, and in ,nal form 2 August 1999)
The propagation of periodic axial sound waves in gases contained in circularcylindrical structures is a function of four parameters: s"RJo )u/k, the shearwave number or Stokes number, k"u )R/c, known as the reduced frequency,p"Jk )C
p/j, the square root of the Prandtl number and c"C
p/C
v, the ratio of
speci"c heats. The complete Kirchho! solution of the sound propagation in tubesproblem obtained in 1868 was expressed in terms of these parameters by Tijdeman[1]. In previous works [1, 2] the complex propagation constant was obtained bysolving this expression. The results were presented for a limited range in reference[1] and for a broader range in reference [2] but in both cases only for a single #uid,air. In this work the results of a computer code to solve for this propagationconstant are presented. The code was used to "nd the propagation constants(attenuation and phase-shift coe$cients) in the range 5(s(5000, 0)01(k(6,0)8(pR (1)1 and 1)0(c(1)7. This range of conditions covers most conditions ofinterest. The data was then used to "t an equation to express the attenuation andphase-shift coe$cients in terms of simpler polynomial-type expressions as afunction of these four parameters. A set of tables to obtain the values of theattenuation and phase shift coe$cients for values of these four non-dimensionalparameters in the above range is also presented. Sound attenuation measurementsusing superheated R134a refrigerant agrees reasonably well with the computedattenuation in the plane wave region.
( 2000 Academic Press
1. INTRODUCTION
Sound attenuation of small amplitude acoustic oscillations in tubes with circularcross-section is a classical problem of acoustics. Kirchho! solved this problem in1868 [3]. Kirchho! was able to derive the complete solution to the problem frombasic equations but the attenuation coe$cient was imbedded in a very complicatedtranscendental equation.
For almost a century after Kirchho! 's derivation only analyticalapproximations of his complete solution, in conjunction with other solutionsobtained when simplifying assumptions were introduced in the originalfundamental equations, were used to estimate the propagation constants.
022-460X/00/151221#22 $35.00/0 ( 2000 Academic Press
1222 E. RODARTE E¹ A¸.
Shields et al. [4] were the "rst to numerically solve the original Kirchho!formulation. Tijdeman [1] determined that the attenuation inside tubes dependedon four non-dimensional parameters: s"RJo )u/k, the shear wave number orStokes number, k"u )R/c, known as the reduced frequency, p"Jk )C
p/j, the
square root of the Prandtl number and c"Cp/C
v, the ratio of speci"c heats. (A list
of symbols is included in Appendix B). Two of these parameters (p and c) canoften be considered to remain constant for a given #uid. He then rewrote thetranscendental equation in a form which incorporated these non-dimensionalparameters and solved the resulting equation for a limited range of conditions forair. Page and Mee [2] extended Tijdeman's work to cover conditions morerepresentative of practical applications by solving Kirchho! 's solution by theNewton}Raphson method as presented in reference [1] to cover all possibleconditions of interest. They used polynomials to "t the results and present them ina simple way. The limitation of this work is that the solutions presented are only forair.
Work related to noise in expansion devices and plate evaporators [5}8]currently underway at the Air Conditioning and Refrigeration Center (ACRC) atthe University of Illinois required a special experimental set-up to perform acousticmeasurements in refrigerant (R134a). This work required the solution of thetranscendental Kirchho! propagation equation for superheated R134a refrigerantinside a tube so that a suitable test section could be designed to make accuratemeasurements of expansion device generated noise.
A very simple program implemented in Mathematica v 3)0s was created to solveKirchho! 's transcendental equation for the propagation constants (attenuationand phase shift coe$cients) given any values of the four relevant parameters k, s, p,and ct. A set of tables that cover the range 5(s(5000, 0)01(k(6,0)8(p(1)1, and 1)0(c(1)7 is also included in Appendix A. This covers a verywide range of conditions and gases. Using a larger version of these tables, simplepolynomial-type expressions were "tted to allow easy determination of the valuesof the propagation constants given k, s, p, and c.
2. ATTENUATION MECHANISMS AND FORMULATION OF THE PROBLEM
The two most important mechanisms of sound attenuation in circular cylindricaltubes are due to the e!ects of viscosity and heat conduction. The e!ects of viscosityand conductivity on sound propagation in an open medium, (for example soundwaves in air), are much less signi"cant than inside a tube due to the boundaryconditions imposed by the tube [9]. There are other mechanisms that contribute tothe attenuation of sound in tubes, for example turbulence and convective e!ects.These mechanisms are present when the #uid inside the pipe is moving (i.e., when
sMathematica Software Package version 3, Wolfram Research, Inc., 100 Trade Center Drive,Champaign, IL 61820, U.S.A. http://www.wolfram.com
tFor copies of this program contact the main author or download it from the Journal of Sound andVibration web page. (http://www.academicpress.com/jsv)
SOUND ATTENUATION IN TUBES 1223
there is a pressure gradient), but these e!ects seem to be less important than thevisco-thermal e!ects especially when #ow velocities are relatively low.
The equations necessary to describe the complete #uid mechanics e!ects andinteractions between the most important parameters of interest (velocity, pressure,temperature, viscosity, and density) are the Navier}Stokes equations, thecontinuity equation, the equation of state, and the energy equation. Kirchho!solved this coupled set of equations by introducing the assumption of sinusoidially#uctuating variables. A very detailed description of this solution is presented inreference [3]. The solution of the set of equations is in the form of a complextranscendental equation. This equation was rearranged in reference [1] and isshown below:
F(s, k, p, c)"iZAZ!is2k2B
~1@2
A1s1
!
1s2B
J1(a1)
J0(a1)
#Ac ) k2
p2s2!i
1s1B (Z!s
1)1@2
J1(a2)
J0(a2)
#Ac ) k2
p2s2!i
1s2B (Z!s
2)1@2
J1(a3)
J0(a3)
"0, (1)
where
a1"kAZ!is2k2B
1@2, a2"k(Z!s
1)1@2, a3"k(Z!s
2)1@2, Z"C2, (2)
and s1, s
2are, respectively, the small and large roots of
1#sG1#ik2
s2 A43#
cp2BH#
c ) k2
p2s2 A1c#i
4k2
3s2B s2"0. (3)
The assumptions utilized in this solution are (1) homogeneous (continuum)medium, (2) small-amplitude sinusoidal disturbances, (3) no re#ections (in"nitelylong tube), (4) axisymmetric disturbances, (5) no steady #ow, and (6) no temperaturegradient in the #uid. Additional boundary conditions at the rigid tube walls includezero radial and axial velocity. At the tube axis, the boundary condition is zeroradial velocity due to axisymmetry. The tube wall conductivity is also assumedlarge in comparison with #uid heat conductivity. Z is related to the propagationconstant C as shown in equations (2). C is related to the acoustic pressure as shownin equation (4). The acoustic pressure is
pac"(A ) eCm
#B ) e!Cm)eiut, (4)
where m"u ) x/c, and A and B are functions of radius that cancel out whencomparing sound attenuation in a tube at di!erent points.
The solution of the Kirchho! formulation for the attenuation coe$cient is validonly when plane waves are being propagated inside the tube. This condition is metonly for values of the reduced frequency k less than 1)841. There are many practicalsituations in which it is necessary to know the propagation characteristics of higher
1224 E. RODARTE E¹ A¸.
order modes in tubes. For this reason, Page and Mee [2] solved equation (1) forvalues of k up to six. They stated that results obtained for values of the reducedfrequency greater than 1)841 would apply only to axisymmetric disturbances and assuch would provide a lower bound limit for the attenuation of the longitudinaldisturbance in the tube [2]. Bruneau et al. [9] show a formulation useful todetermine higher order modes attenuation coe$cients. Their results show thatmost higher order modes attenuate more rapidly than plane waves.
3. NUMERICAL ANALYSIS
Equation (1) was solved following the scheme presented in reference [1].Basically, this consists of using the iterative Newton}Raphson procedure outlinedby
Zn`1
"Zn!
FSZnT
F @SZnT. (5)
In equation (5), FSZnT is equivalent to equation (1), and F @SZ
nT, the derivative of
equation (1) with respect to Z is
L )FL )Z
"F@SZT"iAZ!is2k2B
~1
A1s1
!
1s2B
]CJ1(a1)
J0(a1)AZ!i
s2k2B
1@2!
12
ZAZ!is2k2B
~1@2 J1(a1)
J0(a1)
#
12
kZA1!J1(a1)
a1 ) J0(a1)
#AJ1(a1)
J0(a1)B
2
BD#
12 A
c ) k2
p2s2!i
1s1B C(Z!s
1)~1@2
J1(a2)
J0(a2)
#k A1!J1(a2)
a2 ) J0(a2)
#AJ1(a2)
J0(a2)B
2
BD#
12 A
c ) k2
p2s2!i
1s2B C(Z!s
2)~1@2
J1(a3)
J0(a3)
#k A1!J1(a3)
a2 ) J0(a3)
#AJ1(a3)
J0(a3)B
2
BD. (6)
The Newton}Raphson procedure needs an initial value of Z to start the iterativeprocess. This initial value of Z is provided in the code by using an approximatesolution to the problem. The approximate solution used is known as the lowreduced frequency solution was obtained by Zwikker and Kosten in 1949 upon the
SOUND ATTENUATION IN TUBES 1225
introduction of some simplifying assumptions to the fundamental equations [1].The equations necessary for this initial value of Z are
C"SJ0(i3@2s)
J2(i3@2 s)S
cn, n"C1#
c!1c
J2(i3@2ps)
J0(i3@2ps)D, Z
initial"C2. (7)
4. NUMERICAL RESULTS
The computer code was developed using the Mathematica version 3)0 softwarepackage. A copy of the code can be obtained from the authors or on the world wideweb (see footnote 7). A very complete set of tables presenting solutions for theattenuation coe$cients C@ and phase shift coe$cient CA (real and imaginary parts ofthe complex propagation constant C, respectively) are also presented in AppendixA for di!erent values of k, s, p, and c. The "rst column of the tables shows values forair which agree with previously published results [2]. Following the approachpresented in reference [2], a polynomial-type equation was "tted to the data in ane!ort to simplify the procedure. The objective is to "nd an expression thatrepresents the propagation constants C@ and CA as a function of s, k, p, c. The bestexpressions found so far are
C@"0)2436601AcspB#0)8282861A
kcs B
2!0)77198A
kcs B
4
#0)4669814AcsB#0)07406207A
csB
2#5)932751A
csB
3!14)598A
csB
4, (9)
C@"0)9999991#0)1998062AcspB!0)074551A
kcs B
2!0)95698A
kcs B
4
#0)5094442AcsB#0)1713677A
csB
2#2)5842A
csB
3#5)376701A
csB
4. (10)
Equation (9) gives an average error of 2)3% over the 6464 data points used to "tit. The matrix of data used to "t the equation is an extended version to the tablespresented in Appendix A. The full set of tables is not presented due to spacelimitations.s Equation (9) performs quite well as Figure 1 shows. Figure 1 showscomparisons of the exact results obtained using equation (1) for air (c"1)4,p"0)842) to those obtained with equation (9). It should be pointed out that airdata was not used to "t equation (9). When equation (9) was used with air for thepoints in Table 1 (presented in Appendix A), the maximum error was found ats"35, k"6 and was 2)4% and the average error is only 1)2%. Using anapproximation by Kirchho! (wide tube approximation) presented in Table 1 of
sFor copies of the excel "le with the full set of data contact the main author or download it from theJournal of Sound and Vibration web page http://www.academicpress.com/jsv.
Figure 1. Comparison of polynomial "t (equation (9)) to exact results obtained from equation (1)for air: j, C@ exact; D, C@@ "tted.
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reference [1] and in reference [10] shows that the average error for the same 6464points is 11)6%. The maximum errors for equation (9) and the Kirchho!approximation over this range are 16)7 and 72)7% respectively.
Equation (10) showing the phase shift coe$cient was "tted using a similarprocedure. In this case the average and maximum errors over the 6464 points usedto "t the equation are 0)04 and 1)6% respectively.
The purpose of equations (9) and (10) is to simplify computations. The mostaccurate way of solving for the propagation constant is to solve equation (1) usinga numerical procedure such as the one outlined here. This numerical procedure, inour case, was implemented using the Mathematica software package since it has thecapability of solving for the complex argument transcendental functions andbecause it was readily available to us. However, it may not be very practical tolink this program to others, hence the need of simple equations like equation (9)and (10).
5. EXPERIMENTAL RESULTS
Work on noise from di!erent air conditioning components [5}8] usingrefrigerant R134a lead us to this investigation of the visco-thermal soundattenuation in tubes. Kirchho! 's complete solution to the problem was obtainedusing the ideal gas equation of state. Refrigerants do not behave like ideal gases atnormal superheated conditions. Tests reported here for sound attenuation inrefrigerant R134a spanned a range of superheats between 12 and 283C. These levelsof superheat are not large enough that the refrigerant could be considered to
Figure 2. Experimental set-up used for studies of expansion device noise in refrigerant and wheresound attenuation measurements were made. Tube dimensions 0)5 in OD (12)70 mm), 0)415 in ID(10)54 mm).
SOUND ATTENUATION IN TUBES 1227
behave like an ideal gas. For this reason an error analysis was performed with thenon-dimensional linearized version of the equation of state that is used to obtainthe Kirchho! 's solution as shown in Tijdeman's paper. This equation is
Pa"¹
a#o
a. (11)
The above expression can be obtained when the total value of the pressure,temperature and density (the static and sinusoidally oscillating components) areintroduced in the ideal gas equation of state. In the above equation P
a, ¹
aand
oa
are the acoustic magnitudes non-dimensionalized by their respective staticcomponent. An acoustic perturbation was introduced and then the values of ¹
aand
oa
were estimated using a real gas equation of state. The non-dimensionalizedtemperature and density acoustic perturbations obtained in this way were thencompared to the initial acoustic perturbation introduced. The thermodynamicproperties of refrigerant R134a were estimated using the Engineering EquationSolver (EES) software package version 5)002s that uses the Martin}Hou equationof state [11] based on thermodynamic information from McLinden et al. [12] forrefrigerant R134a. The discrepancy found for R134a refrigerant at 578 kPa and333C is 8)2%. The error was not sensitive to the magnitude of the acousticperturbation. For large superheats, say 1503C, the error is of the order of 2%. Theseerror levels are approximately the same as those obtained for the speed of soundand density using ideal and real gas equations of state. In spite of this, soundattenuation measurements compare relatively well with theoretical predictions ascan be seen in Figure 3.
Noise attenuation measurements were made in an experimental set-up built fornoise studies of expansion devices (thermostatic expansion valves, ori"ce tubes, andcapillary tubes) used in refrigeration and air conditioning systems [8]. Very longtube coils were used in the experimental set-up so that the visco-thermal
sEngineering Equation Solver (EES) Software Package version 5.002, F-chart Software, 4406 FoxBlu! Rd. Middleton WI 53562, U.S.A. http://www.fchart.com
Figure 3. Sound attenuation measurements between microphone blocks separated by a 7)24 mcoiled tube with 0)415 in (10)54 mm) ID. Fluid used is R134a refrigerant gas at P"5)78 bar,¹"333C, c"150)8 m/s. The "rst cut-o! frequencies for this case are: (1, 0)"8385 Hz,(2, 0)"13 910 Hz, (0, 1)"17 450 Hz, (3, 0)"19 132 Hz. **, Experientally measured; r, estimated(wide tube approximation); |, estimated (exact formulation).
1228 E. RODARTE E¹ A¸.
attenuation through them would eliminate most of the acoustic re#ectionsand practically provide for an anechoic termination. By doing this, a goodcharacterization of expansion device noise could be achieved. Figure 2 shows thesection of the set-up where the sound pressure and attenuation measurements wereperformed. A description of the complete experimental facility that shows in moredetail the way in which the refrigerant is conditioned prior to enter the test sectionand after leaving the test section can be seen in references [8, 6].
The test section consists of an expansion device (Figure 2 shows an ori"ce tube),several microphone blocks (where the internal acoustic pressure was measured),and a set of very long tube coils. Refrigerant is fed into the ori"ce tube at a speci"edpressure and temperature or quality. The refrigerant, after passing through the testsection, goes back to the system where it is condensed and reconditioned beforereturning to the test section.
The microphone blocks each hold two microphones. Even with the introductionof the extremely long tube sections low-frequency re#ections are di$cult toattenuate and the two-microphone technique is needed to account for low-frequency re#ections (below 1 kHz) [8, 13].
Sound attenuation measurements were made by comparing readings of the noiseat di!erent positions in the test section. An HP3562A dynamic signal analyzer wasused to process the signals from the dynamic pressure transducers that were placedin the microphone blocks shown in Figure 2. PCB model 105B02 dynamic pressuretransducers were used. These transducers have a sensing tip of 0)1A (2)5 mm)
SOUND ATTENUATION IN TUBES 1229
diameter and a resonance frequency of 250 kHz. The dynamic pressure transducershave a sensitivity of approx. 5)8 mV/kPa (40 mV/psi). These sensors are not verysensitive due to their small size. However, the expansion valve noise is typically35}60 dB/JHz greater than the instrumentation noise. The sensor deviation fromlinear behavior or linearity is reported by the manufacturer to be less than 2% offull scale. This translates to a maximum error in the measurement presented of theorder of 0)4 dB/JHz. These sensors where selected since they are capable ofmeasuring the acoustic pressures on top of the relatively high static pressures seenin the low-pressure side of R134a refrigeration systems operating under typicalconditions. Another important characteristic of these sensors is their size, whichpermit measurements inside of pipes of small diameter.
Figure 3 compares the sound attenuation measured when superheated R134arefrigerant #ows through the test section to sound attenuation estimated usingequation (1) and the wide tube approximation by Kirchho! [1, 10].
Figure 3 shows good agreement between experimental measurements andtheoretical results in most of the plane wave region. The noise source used duringthese measurements in an ori"ce tube (1)7 mm inside diameter, and 38)1 mm long).Typically, the sound pressure levels generated by this device for a numberof di!erent conditions of interest (when superheated refrigerant exits the ori"ce)are of the order of 100}130 dB/JHz relative to 20E-6 Pa and the internal soundpressure spectrum remains basically constant at this level over the audiblefrequency range. Instrumentation noise varies almost linearly from around75 dB/JHz at lower frequencies down to about 60 dB/JHz at 20 kHz.Since instrumentation noise approximately an order of magnitude greater atlower frequencies than at higher frequencies the signal to noise ratio atlow frequencies will be smaller than at higher frequencies. Still the signal isclose to two orders of magnitude larger at lower frequencies than theinstrumentation noise.
The #ow rate of refrigerant for the test presented in Figure 3 is 17)52 g/s(139)02 lb/h). This translates to an average #ow velocity of 7)6 m/s or a Machnumber of the #ow of 0)05. This particular case represents a higher end #owvelocity seen during our experiments. Measurements of sound attenuation in thetest section under di!erent conditions and at Mach numbers between 0)03 and 0)05do not deviate from the results shown in Figure 3. However, mean #ow can have ane!ect in the sound propagation in tubes as shown by some researchers [14}16].Temperature gradients can also have an e!ect. In our experiments, the largesttemperature gradients are of the order of 0)63C/m with typical values less than this.In this work the temperature gradients e!ects are neglected. In cases of signi"canttemperature gradients, Peat [17] presents a formulation which considerstemperature gradient e!ects on sound propagation.
Figure 4 shows the experimental attenuation measurements of two data pointstaken. It is di$cult to discriminate between the di!erent curves. Figure 4 shows therepeatability of the experimentally measured sound attenuation.
Figure 4. Sound attenuation measurements between microphone blocks separated by a 7)24 mcoiled tube with 0)415 in (10)54 mm) ID. Fluid used is R134a refrigerant gas. **, P"578 kPa,¹"333C, mass #ow"17)52 g/s; - - - -, P"567 kPa, ¹"453C, mass #ow"13)18 g/s.
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6. CONCLUSIONS
f The complex transcendental equation that describes the attenuation of soundwaves in tubes due to visco-thermal e!ects was solved using a simple code (seefootnote ?) created using readily available software (see footnote -).
f The code was validated using previously published results for air and then used tocreate tables which are presented in Appendix A. The tables cover the range5(s(5000, 0)01(k(6, 0)8(p(1)1 and 1)0(c(1)7.
f Polynomial-type equations involving the relevant parameters were "tted in orderto provide an alternative method calculation of the attenuation coe$cient(ReMCN) and phase shift coe$cient (ImMCN).
f Sound attenuation measurements of the sound propagating inside tubes forsuperheated R134a refrigerant agrees reasonably well with theory in the planewave region. The superheat during our tests was not high enough that therefrigerant could be considered to behave as ideal gases. In spite of this the modelpredicts relatively well in the plane wave region.
f There are other dissipation mechanisms. However, for the case reported in thispaper visco-thermal attenuation seems to be the dominant mechanism.
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SOUND ATTENUATION IN TUBES 1231
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4p"
0)84
2
50)
010)
2583
080)
1863
820)
2059
880)
2250
160)
2434
980)
2614
620)
2789
390)
2959
530)
3125
3210
0)01
0)11
584
0)08
1335
0)09
0584
0)09
9684
0)10
8638
0)11
7451
0)12
6126
0)13
4668
0)14
308
200)
010)
0549
340)
0379
330)
0424
520)
0469
340)
0513
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1)00
021
1)00
022
1)00
023
356
1)01
719
1)01
831
1)01
934
1)02
026
1)02
107
1)02
176
1)02
233
1)02
277
506
1)01
326
1)01
434
1)01
539
1)01
641
1)01
739
1)01
835
1)01
927
1)02
015
100
61)
0069
81)
0076
1)00
822
1)00
884
1)00
945
1)01
006
1)01
067
1)01
127
500
61)
0014
11)
0015
41)
0016
71)
0018
1)00
193
1)00
206
1)00
218
1)00
231
1000
61)
0007
11)
0007
71)
0008
41)
0009
1)00
096
1)00
103
1)00
109
1)00
116
2000
61)
0003
51)
0003
91)
0004
21)
0004
51)
0004
81)
0005
11)
0005
51)
0005
850
006
1)00
014
1)00
015
1)00
017
1)00
018
1)00
019
1)00
021
1)00
022
1)00
023
SOUND ATTENUATION IN TUBES 1241
1242 E. RODARTE E¹ A¸.
APPENDIX B: NOMENCLATURE
A, B constants associated with equation (4)a1,a2, a3 auxiliary variablesc speed of soundC
pconstant pressure speci"c heat
Cv
constant volume speci"c heati2 !1Jm( ) Bessel function of the "rst kind of order m
k reduced frequencyn iteration number in equation (5), auxiliary variable in equation (7)P pressurePac
acoustic pressurePa
non-dimensionalized acoustic pressureR internal tube radiuss Stokes number or shear wave number¹ temperature¹
anon-dimensionalized acoustic temperature
Z propagation constant squaredc ratio of speci"c heatsC propagation coe$cientC @ attenuation coe$cient (ReMCN)CA phase shift coe$cient (ImMCN)m u )x/cp square root of Prandtl numberj thermal conductivityo mean densityoa
non-dimensionalized acoustic densityk absolute #uid viscosityu frequency (rad/s)s1, s
2auxiliary variables
