Embed Size (px)
DESCRIPTION
dsf f sdf sdf
Citation preview
Poglavlje 1
Spektralna teorija matrica
1.1 Baza nula prostora matrice
Definicija 1.1. Nula prostor kompleksne kvadratne matrice A redan je skup svih vektora x = [ξ1 ξ2 . . . ξn]
T ∈ Cn takvih da je
(1.1) Ax = O.
Ovaj skup oznacavamo sa nul A. Skup nul A je podprostor vektorskogprostora Cn1. Zaista, za svaka dva vektora x, y ∈ nul A i svaka dvaskalara α, β ∈ C vazi
A(αx+ βy) = αAx+ βAy = α ·O + β · O = O,
tj. αx+ βy ∈ nul A.
Nula prostor matrice A sastoji se od svih resenja homogenog sistemajednacina (1.1). Ako je opste resenje sistema (1.1)
x = c1v1 + c2v2 + · · ·+ ckvk,
gde su c1, c2, . . . , ck proizvoljne vrednosti slobodnih nepoznatih, tada vek-tori v1, v2, . . . , vk obrazuju bazu nula prostora matrice A.
1Neka je V vektorski prostor nad poljem skalara S i neka je U neprazan podskupskupa V . Podskup U je podprostor vektorskog prostora V ako i samo ako vazi
(∀x, y ∈ U)(∀α, β ∈ S) αx+ βy ∈ U
1
Primer 1.1. Nula prostor matrice
A =
1 3 2 0 1−1 −1 −1 1 00 4 2 4 31 3 2 −2 0
−2 −6 −4 4 0
sastoji se od svih resenja homogenog sistema jednacina
ξ1 +3ξ2 +2ξ3 +ξ5 = 0−ξ1 −ξ2 −ξ3 +ξ4 = 0
4ξ2 +2ξ3 +4ξ4 +3ξ5 = 0ξ1 +3ξ2 +2ξ3 −2ξ4 = 0
−2ξ1 −6ξ2 −4ξ3 +4ξ4 = 0
Transformisimo dobijeni homogeni sistem jednacina na ekvivalentanredukovani oblik elementarnim transformacijama po vrstama. Dobijamo
1 3 2 0 1−1 −1 −1 1 00 4 2 4 31 3 2 −2 0
−2 −6 −4 4 0
∼
1 3 2 0 10 2 1 1 10 4 2 4 30 2 1 −1 00 0 0 4 2
∼
1 3 2 0 10 1 1
212
12
0 4 2 4 30 2 1 −1 00 0 0 4 2
∼
1 0 12
−32
−12
0 1 12
12
12
0 0 0 2 10 0 0 −2 −10 0 0 4 2
∼
1 0 12
−32
−12
0 1 12
12
12
0 0 0 1 12
0 0 0 −2 −10 0 0 4 2
∼
1 0 12
0 14
0 1 12
0 14
0 0 0 1 12
0 0 0 0 00 0 0 0 0
Redukovanoj matrici odgovara redukovani sistem jednacina
ξ1 +12ξ3 +1
4ξ5 = 0
ξ2 +12ξ3 +1
4ξ5 = 0
ξ4 +12ξ5 = 0
2
koji je ekvivalentan polaznom sistemu i lako se resava. Slobodne nepoz-nate ξ3 i ξ5 prebacujemo na desnu stranu, a zatim stavljamo ξ3 = c1,ξ5 = c2. Dobijamo resenje sistema
ξ1 = −1
2c1 −
1
4c2
ξ2 = −1
2c1 −
1
4c2
ξ3 = c1
ξ4 = −1
2c2
ξ5 = c2,
gde su c1 i c2 proizvoljni skalari.
Nula prostor nul A sastoji se od vektora oblika
x =
ξ1ξ2ξ3ξ4ξ5
=
−12c1 − 1
4c2
−12c1 − 1
4c2c1
−12c2c2
= c1
−12
−12
100
+ c2
−14
−14
0−1
2
1
= c1v1 + c2v2.
Posto su c1 i c2 proizvoljni skalari imamo da je nul A = L{v1, v2}(lineal skupa {v1, v2}). Cak sta vise, sledeci argumenti pokazuju da su v1i v2 linearno nezavisni vektori.
c1v1 + c2v2 = O
⇒ resenje x = O
⇒ sve koordinate resenja x = O su nule
⇒ c1 = c2 = 0
Zbog toga vektori v1 i v2 obrazuju bazu nula prostora. Diskusija sprove-dena u ovom primeru moze se primeniti u opstem slicaju. △
3
1.2 Sopstveni vektori i sopstvene vrednosti
Neka je A = (aij) kompleksna kvadratna matrica reda n. Za svakox ∈ Cn jednoznacno je definisan vektor
(1.2) y = Ax ∈ Cn .
Prema tome, mozemo definisati preslikavanje A : Cn → Cn sa
(1.3) (∀x ∈ Cn) A(x) = Ax .
Za preslikavanje A kazemo da je pridruzeno matrici A.
Preslikavanje A ima sledece osobine:
(∀x, y ∈ Cn) A(x+ y) = A(x) +A(y),(1.4)
(∀x ∈ Cn)(∀λ ∈ C) A(λx) = λA(x).(1.5)
Zaista,
A(x+ y) = A(x+ y) = Ax+ Ay = A(x) +A(y),
A(λx) = A(λx) = λAx = λA(x).
Osobina (1.4) naziva se aditivnost, a osobina (1.5) homogenost pres-likavanja A. Preslikavanje koje je aditivno i homogeno naziva se linearnopreslikavanje. Dakle, preslikavanje A definisano sa (1.3) je linearno.Umesto tog termina u veoma cestoj upotrebi su i termini linearna trans-formacija ili linearni operator.
Za dva vektora x, y ∈ Cn kazemo da imaju isti pravac ako i samo akopostoji skalar λ ∈ C takav da je y = λx ili x = λy. U raznim primenamamatricnog racuna vaznu ulogu imaju vektori razliciti od nula vektora kojizadrzavaju svoj pravac posto se na njih primeni preslikavanje A. U tomcilju treba naci sve vektore x ∈ Cn (x 6= O) takve da A(x) i x imaju istipravac. Posto je x 6= O, vektori A(x) i x ce imati isti pravac ako i samoako postoji skalar λ ∈ C takav da je A(x) = λx, tj.
(1.6) Ax = λx .
4
Definicija 1.2. Ako je A kompleksna kvadratna matrica reda n,tada svaki vektor x ∈ Cn koji je razlicit od nula vektora i zadovoljavauslov
(1.7) (∃λ ∈ C) Ax = λx ,
naziva se sopstveni vektor matrice A, a skalar λ sopstvena vrednost ma-trice A. Za vektor x kaze se da pripada sopstvenoj vrednosti λ.
Definicija 1.3. Skup svih sopstvenih vrednosti kvadratne matrice Anaziva se spektar te matrice.
Pored ovih termina u upotrebi su i sledeci: karakteristicni vektor ikarakteristicna vrednost, kao i svojstveni vektor i svojstvena vrednost.
Jednacinu Ax = λx mozemo napisati u ekvivalentnom obliku
(1.8) (λI −A)x = O.
Ako je λ sopstvena vrednost matrice A, tada se skup
(1.9) Eλ = {x ∈ Cn |Ax = λx} = {x ∈ Cn | (λI − A)x = O}
naziva sopstveni prostor od λ.
Skup Eλ je, u stvari, nula prostor matrice λI−A, tj. Eλ = nul (λI−A)i predstavlja podprostor vektorskog prostora Cn.
Ako je dimenzija sopstvenog prostora Eλ jednaka g kaze se da sop-stvena vrednost λ ima geometrijsku visestrukost jednaku g.
Ako je x sopstveni vektor matrice A koji pripada sopstvenoj vrednostiλ, tada je i µx (µ ∈ C, µ 6= 0) takode sopstveni vektor matrice A kojipripada istoj sopstvenoj vrednosti. Skalar µ mozemo izabrati tako da je||µx|| = 1, tj. |µ| · ||x|| = 1. Dovoljno je da µ ispunjava uslov
µ =1
||x|| .
Dakle, za svaki sopstveni vektor x postoji normirani sopstveni vektor kojiima isti pravac i koji odgovara istoj sopstvenoj vrednosti.
5
1.3 Karakteristicni polinom
Ako je A = (aij)n1 i x = [ξ1 ξ2 . . . ξn]
T , tada je matricna jednacina (1.8)ekvivalentna homogenom sistemu od n linearnih jednacina sa n nepoz-natih ξ1, ξn, . . . , ξn:
(1.10)
(λ− a11)ξ1 −a12ξ2 − · · · −a1nξn = 0−a21ξ1 +(λ− a22)ξ2 − · · · −a2nξn = 0
......
...−an1ξ1 −an2ξ2 − · · · +(λ− ann)ξn = 0
Nas interesuju samo netrivijalna resenja ovog sistema. Takva resenjapostoje ako i samo ako je determinanta tog sistema jednaka nuli, tj.
(1.11) |λI − A| =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
λ− a11 −a12 · · · −a1n−a21 λ− a22 · · · −a2n
......
...−an1 −an2 · · · λ− ann
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 0.
Time smo dokazali sledecu teoremu.
Teorema 1.1. Broj λ0 je sopstvena vrednost matrice A ako i samoako λ0 zadovoljava jednacinu |λI −A| = 0.
Definicija 1.4. Ako je A kvadratna matrica, matrica λI − A jenjena karakteristicna matrica, polinom P (λ) = |λI−A| po λ njen karak-teristicni polinom i jednacina |λI−A| = 0 njena karakteristicna jednacina.
Jednacina |λI − A| = 0 ima vaznu ulogu u nebeskoj mehanici, ge-ometriji, teoriji oscilacija i u drugim oblastima teorijske i primenjenematematike. U primenama je narocito vazan slucaj kada je matrica Asimetricna.
Razvijanjem determinante (1.11) karakteristicnom polinomu moze sedati i sledeci oblik
(1.12) P (λ) = |λI −A| = a0λn + a1λ
n−1 + · · ·+ an−1λ+ an,
6
gde su koeficijenti ak (k = 0, 1, 2, . . . , n) funkcije elemenata aij (i, j =1, 2, . . . , n) matrice A.
Prema definiciji determinanta (1.11) jednaka je zbiru n! sabiraka odkojih je samo sabirak koji odgovara osnovnoj permutaciji
(λ− a11)(λ− a22) · · · (λ− ann)
polinom n-tog stepena, dok su svi ostali sabirci polinomi stepena manjegili jednakog n − 2. Zbog toga se iz poslednjeg proizvoda lako nalazekoeficijenti a0 i a1 karakteristicnog polinoma. Dobija se da je a0 = 1 a
a1 = −(a11 + a22 + · · ·+ ann) = −n
∑
k=1
akk = − tr A.
Stavljajuci u (1.12) λ = 0 dobija se da je an = | − A| = (−1)n|A|.Koristeci Vijetove formule
λ1 + λ2 + · · ·+ λn = −a1a0
,
λ1 · λ2 · · ·λn = (−1)nana0
,
lako se dobija da je
λ1 + λ2 + · · ·+ λn = tr A,(1.13)
λ1 · λ2 · · ·λn = |A|.(1.14)
Karakteristicni polinom matrice moze biti predstavljen u obliku
(1.15) P (λ) = (λ− λ1)a1(λ− λ2)
a2 · · · (λ− λk)ak ,
gde je a1 + a2 + · · · + ak = n, a λ1, λ2, . . . , λk su medusobno razlicitikompleksni brojevi. Predstavljanje karakteristicnog polinoma u obliku(1.15) zove se linearna faktorizacija polinoma. Lako se zakljucuje iz (1.15)da je λ1 nula polinoma P (λ) a1-og reda, λ2 nula a2-og reda itd.
Definicija 1.5. Neka je (1.15) karakteristicni polinom matrice A.Kaze se da sopstvena vrednost λ1 matrice A ima algebarsku visestrukosta1, sopstvena vrednost λ2 algebarsku visestrukost a2, itd.
7
Dakle, ako je A kvadratna matrica reda n, ona ima n sopstvenihvrednosti ako se svaka sopstvena vrednost racuna onoliko puta kolikaje njena algebarska visestrukost. U nastavku te sopstvene vrednostiobelezavacemo sa λ1, λ2, . . . , λn. Medu njima moze biti i jednakih.
Sopstvene vrednosti i sopstvene vektore mozemo racunati na sledecinacin.
Korak 1: Resiti karakteristicnu jednacinu |λI − A| = 0 i dobiti sop-stvene vrednosti: λ1, λ2, . . . , λn.
Korak 2: Za svaku sopstvenu vrednost λi resiti homogen sistem jedna-cina (λiI−A)x = O i dobiti sopstvene vektore koji odgovaraju sopstvenojvrednosti λi. U ovom koraku mi ustvari odredujemo bazu sopstvenogprostora Eλi
.
Primer 1.2. Posmatrajmo matricu
A =
0 1 01 0 10 1 0
.
Karakteristicni polinom ove matrice je
|λI − A| =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
λ −1 0−1 λ −10 −1 λ
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= λ(λ2 − 2) = λ(λ−√2)(λ+
√2).
Matrica A ima tri sopstvene vrednosti: λ1 =√2, λ2 = 0 i λ3 = −
√2.
10 Za λ1 =√2 imamo
√2I − A =
√2 −1 0
−1√2 −1
0 −1√2
.
Resenja homogenog sistema jednacina (√2I − A)x = O su oblika
x = c ·
1√21
= c · v1,
8
gde je c proizvoljan skalar. Na ovaj nacin dobijamo sopstveni vektor v1koji je u stvari baza sopstvenog prostora Eλ1
= nul (√2I − A).
20 Za λ2 = 0 imamo
0 · I − A =
0 −1 0−1 0 −10 −1 0
.
Resenja homogenog sistema jednacina (0 · I − A)x = O su oblika
x = c ·
−101
= c · v2,
gde je c proizvoljan skalar. Dobijeni vektor v2 predstavlja bazu sopstvenogprostora Eλ2
= nul (0 · I − A).
30 Za λ3 = −√2 imamo
−√2I − A =
−√2 −1 0
−1 −√2 −1
0 −1 −√2
.
Resenja homogenog sistema jednacina (−√2I − A)x = O su oblika
x = c ·
1√21
= c · v3,
gde je c proizvoljan skalar. I u ovom slucaju dobijen je vektor v3 koji jeu stvari baza sopstvenog prostora Eλ3
= nul (−√2I −A). △
Primer 1.3. Posmatrajmo matricu
A =
2 3 −30 2 −30 0 1
.
Karakteristicni polinom ove matrice je
|λI − A| =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
λ− 2 −3 30 λ− 2 30 0 λ− 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= (λ− 2)2(λ− 1).
9
Matrica A ima tri sopstvene vrednosti: λ1 = λ2 = 2 i λ3 = 1.
10 Za λ1 = λ2 = 2 imamo
2I − A =
0 −3 30 0 30 0 1
.
Resenja homogenog sistema jednacina (2I − A)x = O su oblika
x = c ·
100
= c · v1,
gde je c proizvoljan skalar. Na ovaj nacin dobijamo sopstveni vektor v1koji je u stvari baza sopstvenog prostora Eλ1
= Eλ2= nul (2I − A).
Primetimo da je u ovom slucaju algebarska visestrukost sopstvenevrednosti λ = 2 jednaka 2, a geometrijska visestrukost jednaka 1.
20 Za λ3 = 1 imamo
I − A =
−1 −3 30 −1 30 0 0
.
Resenja homogenog sistema jednacina (I − A)x = O su oblika
x = c ·
−631
= c · v2,
gde je c proizvoljan skalar. Dobijeni vektor v2 predstavlja bazu sopstvenogprostora Eλ3
= nul (I − A). △
10
1.4 Sopstvene vrednosti matricnog polinoma
sa skalarnim koeficijentima
Neka su λ1, λ2, . . . , λn sopstvene vrednosti kvadratne matrice A reda n ineka je
f(λ) = α0λp + α1λ
p−1 + · · ·+ αp−1λ+ αp
skalarni polinom stepena p.
Teorema 1.2. Sopstvene vrednosti kvadratne matrice (reda n)
f(A) = α0Ap + α1A
p−1 + · · ·+ αp−1A+ αpI
suf(λ1), f(λ2), . . . , f(λn).
Dokaz. Iz Ax = λx sledi
A2x = A(Ax) = A(λx) = λAx = λ2x,
A3x = A(A2x) = A(λ2x) = λ2Ax = λ3x,...
Akx = λkx.
Strogi dokaz poslednje jednakosti moze se sprovesti matematickom induk-cijom po k (k je proizvoljan prirodan broj). Koristeci dobijene jednakostisledi
f(A)x = (α0Ap + α1A
p−1 + · · ·+ αp−1A + αpI)x
= α0Apx+ α1A
p−1x+ · · ·+ αp−1Ax+ αpIx
= α0λpx+ α1λ
p−1x+ · · ·+ αp−1λx+ αpx
= (α0λp + α1λ
p−1 + · · ·+ αp−1λ+ αp)x = f(λ)x.
Dakle, vaze sledece implikacije
Ax1 = λ1x1 ⇒ f(A)x1 = f(λ1)x1,
Ax2 = λ2x2 ⇒ f(A)x2 = f(λ2)x2,(1.16)...
Axn = λnxn ⇒ f(A)xn = f(λn)xn,
i teorema je dokazana. 2
11
1.5 Leverrierov metod za formiranje karak-
teristicnog polinoma
Teorema 1.3. Ako je
P (λ) = λn + a1λn−1 + · · ·+ an−1λ+ an
= (λ− λ1)(λ− λ2) · · · (λ− λn),
karakteristicni polinom kvadratne matrice A reda n, tada vaze sledeceformule
a1 = −S1,
kak = −(Sk + a1Sk−1 + · · ·+ ak−1S1),(1.17)
(k = 2, 3, . . . , n), gde je
Sk =
n∑
r=1
λkr (k = 1, 2, . . . , n).
Dokaz. Kako je
ln |P (λ)| = ln |λ− λ1|+ ln |λ− λ2|+ · · ·+ ln |λ− λn|,koristeci logaritamski izvod dobijamo da je
(ln |P (λ)|)′ = P ′(λ)
P (λ)=
1
λ− λ1
+1
λ− λ2
+ · · ·+ 1
λ− λn
,
tj.
(1.18) P ′(λ) =P (λ)
λ− λ1
+P (λ)
λ− λ2
+ · · ·+ P (λ)
λ− λn
=n
∑
r=1
P (λ)
λ− λr
.
Obrazujmo kolicnik P (λ)/(λ− λr) po Hornerovoj semi2
λr 1 a1 a2 · · · ak · · · an1 λr + a1 λ2
r + a1λr + a2 · · · λkr + a1λ
k−1r + · · ·+ ak · · · R
2 P (λ)λ−λr
= λn−1 + b1λn−2 + · · ·+ bn−1, gde je bk = λrbk−1 + ak (k = 1, 2, . . . , n− 1).
Postupak dobijanja koeficijenata bk moze se zapisati u obliku seme koja je poznatakao Hornerova sema:
λr 1 a1 a2 · · · ak · · · an1 λr + a1 λrb1 + a2 · · · λrbk−1 + ak · · · λrbn−1 + an1 b1 b2 · · · bk · · · R
12
Na desnoj strani jednakosti (1.18) nalazi se polinom stepena n− 1, pre-ciznije zbir n polinoma stepena n − 1. Njegov koeficijenat uz λn−k−1
je
n∑
r=1
(λkr + a1λ
k−1r + · · ·+ ak−1λr + ak)(1.19)
=
n∑
r=1
λkr + a1
n∑
r=1
λk−1r + · · ·+ ak−1
n∑
r=1
λr + nak
= Sk + a1Sk−1 + · · ·+ ak−1S1 + nak,
gde je
Sk =
n∑
r=1
λkr (k = 1, 2, . . . , n).
Na levoj strani jednakosti (1.18) nalazi se takode polinom stepenan− 1. Kako je
P ′(λ) = nλn−1 + a1(n− 1)λn−2 + · · ·+ ak(n− k)λn−k−1 + · · ·+ an−1,
koeficijenat uz λn−k−1 je
(1.20) (n− k)ak.
Izjednacavanjem izraza (1.19) i (1.20) dobijaju se formule (1.17) zak = 2, 3, . . . , n.
Izjednacavanjem koeficijenata uz λn−2 na levoj i desnoj strani jed-nakosti (1.18) nalazi se da je
S1 + na1 = (n− 1)a1,
tj.a1 = −S1.
2
Formule (1.17) nazivaju se Newtonove formule.
Kako su λk1, λ
k2, . . . , λ
kn (k prirodan broj veci od 1) sopstvene vrednosti
matrice Ak ako su λ1, λ2, . . . , λn sopstvene vrednosti matrice A, na osnovujednakosti (1.13) sledi da je
Sk = λk1 + λk
2 + · · ·+ λkn = tr Ak.
13
Prema tome, koeficijenti a1, a2, . . . , an karakteristicnog polinoma moguse uz pomoc Newtonovih formula izraziti pomocu
tr A, tr A2, . . . , tr An.
To je Leverierov metod za odredivanje koeficijenata karakteristicnogpolinoma. Ovaj proces odredivanja karakteristicnog polinoma je elemen-taran, ali iziskuje obimna izracunavanja. Zbog toga je od interesa svakipostupak koji bi skratio put za izracunavanje koeficijenata a1, a2, . . . , an.
Postoji vise metoda za izracunavanje koeficijenata a1, a2, . . . , an. Nave-deni Leverrierov metod, mada zahteva duza izracunavanja nego ostalimetodi, vazan je zbog svoje univerzalnosti.
D. K. Faddeev izmenio je Leverrierov metod i uspeo da broj operacijaza izracunavanje koeficijenata a1, a2, . . . , an u znatnoj meri smanji. Onje predlozio da se umesto matrica A,A2, . . . , An izracuna niz matricaA1, A2, . . . , An pomocu formula:
(1.21)
A1 = A a1 = −tr A1 B1 = A1 + a1IA2 = AB1 a2 = −1
2tr A2 B2 = A2 + a2I
......
...An−1 = ABn−2 an−1 = − 1
n−1tr An−1 Bn−1 = An−1 + an−1I
An = ABn−1 an = − 1ntr An Bn = An + anI
Da bi se uverili da brojevi a1, a2, . . . , an definisani formulama (1.21)predstavljaju koeficijente karakteristicnog polinoma P (λ), primetimo daiz formula (1.21) proizilaze sledece formule za Ak i Bk (k = 1, 2, . . . , n):(1.22)A1 = A B1 = A + a1IA2 = A2 + a1A B2 = A2 + a1A+ a2IA3 = A3 + a1A
2 + a2A B3 = A3 + a1A2 + a2A+ a3I
......
Ak = Ak + a1Ak−1 + · · ·+ ak−1A Bk = Ak + a1A
k−1 + · · ·+ ak−1A+ akI
Iz poslednjih formula sledi da je
tr Ak = tr (Ak + a1Ak−1 + · · ·+ ak−1A)
= tr Ak + a1tr Ak−1 + · · ·+ ak−1tr A
= Sk + a1Sk−1 + · · ·+ ak−1S1,
14
odnosnotr Ak = −kak.
Iz poslednje dve jednakosti sledi da koeficijenti a1, a2, . . . , an zadovo-ljavaju Newtonove formule, te da zbog toga predstavljaju koeficijentekarakteristicnog polinoma matrice A.
Primer 1.4. Odrediti karakteristicni polinom matrice
A =
2 −1 1 20 1 1 0
−1 1 1 11 1 1 0
koristeci metod Faddeeva.
Izracunajmo niz matrica A1, A2, A3 i A4 pomocu formula (1.21). Do-bijamo
a1 = − tr A = −4
B1 = A− 4I =
−2 1 1 20 −3 1 0
−1 1 −3 11 1 1 −4
, A2 = AB1 =
−3 4 0 −3−1 −2 −2 12 0 −2 −5
−3 −3 −1 3
a2 = −1
2tr A2 = 2
B2 = A2 + 2I =
−1 4 0 −3−1 0 −2 12 0 0 −5
−3 −3 −1 5
, A3 = AB2 =
−5 2 0 −21 0 −2 −4
−1 −7 −3 40 4 −2 −7
a3 = −1
3tr A3 = 5
B3 = A3 + 5I =
0 2 0 −21 5 −2 −4
−1 −7 2 40 4 −2 −2
, A4 = AB3 =
−2 0 0 00 −2 0 00 0 −2 00 0 0 −2
a4 = −1
4tr A4 = 2
Karakteristicni polinom matrice A je P (λ) = λ4−4λ3+2λ2+5λ+2.△
15
1.6 Cayley-Hamiltonova teorema
Neka je A kvadratna matrica reda n i λI − A njena karakteristicnamatrica. Oznacimo sa B(λ) adjungovanu matricu matrice λI − A, tj.B(λ) = adj (λI − A). Svi elementi matrice B(λ) su polinomi po λ ste-pena ≤ n− 1. Matrice ciji su elementi polinomi po λ zovu se λ-matricei one se mogu izraziti u obliku matricnog polinoma
(1.23) B(λ) = B0λn−1 +B1λ
n−2 + · · ·+Bn−2λ+Bn−1,
gde su Bk (k = 0, 1, 2, . . . , n− 1) matrice reda n koje ne zavise od λ.
Primer 1.5. Posmatrajmo matricu
A =
0 1 01 0 10 1 0
.
Karakteristicna matrica λI − A matrice A je
λI − A =
λ −1 0−1 λ −10 −1 λ
.
Adjungovana matrica B(λ) matrice λI − A glasi
B(λ) =
λ2 − 1 λ 1λ λ2 λ1 λ λ2 − 1
=
λ2 0 00 λ2 00 0 λ2
+
0 λ 0λ 0 λ0 λ 0
+
−1 0 10 0 01 0 −1
=
1 0 00 1 00 0 1
λ2 +
0 1 01 0 10 1 0
λ+
−1 0 10 0 01 0 −1
= B0λ2 +B1λ+B2. △
Sada cemo dokazati da je svaka matrica, u matricnom smislu, nulasvog karakteristicnog polinoma.
16
Teorema 1.4. Ako je A kompleksna kvadratna matrica reda n iP (λ) = |λI − A| njen karakteristicni polinom, tada je P (A) = O.
Dokaz. Neka je B(λ) adjungovana matrica matrice λI − A. MatricaB(λ) moze se izraziti u obliku (1.23) i vazi jednakost
B(λ)(λI −A) = |λI − A| · I,
tj.
(B0λn−1 +B1λ
n−2 + · · ·+Bn−2λ+Bn−1)(λI −A)(1.24)
= (λn + a1λn−1 + · · ·+ an−1λ+ an) · I.
Iz jednakosti (1.24) mnozenjem se dobija da je
B0λn + (B1 −B0A)λ
n−1 + · · ·+ (Bn−1 −Bn−2A)λ−Bn−1A
= Iλn + (a1I)λn−1 + (a2I)λ
n−2 + · · ·+ (an−1I)λ+ anI,
tj.
B0 = I
B1 − B0A = a1I
B2 − B1A = a2I(1.25)...
Bn−1 −Bn−2A = an−1I
−Bn−1A = anI
Ako se obe strane prve od jednakosti (1.25) pomnoze sa desne strane saAn, druge sa An−1, trece sa An−2, . . ., pretposlednje sa A i poslednje saI dobijaju se jednakosti
B0An = An
B1An−1 −B0A
n = a1An−1
B2An−2 − B1A
n−1 = a2An−2(1.26)
...
Bn−1A− Bn−2A2 = an−1A
−Bn−1A = anI
17
Sabiranjem levih i desnih strana jednakosti (1.26) dobija se
(1.27) An + a1An−1 + · · ·+ an−1A + anI = O,
tj. P (A) = O.
Ovim je dokaz teoreme zavrsen. 2
Primer 1.6. Karakteristicna jednacina kvadratne matrice
A =
[
a bc d
]
glasi
P (λ) = |λI −A| =∣
∣
∣
∣
λ− a −b−c λ− d
∣
∣
∣
∣
= λ2 − (a + d)λ+ (ad− bc) = 0.
Cayley-Hamiltonova teorema tvrdi da je
A2 − (a+ d)A+ (ad− bc)I = O,
tj.
[
a bc d
]2
− (a + d)
[
a bc d
]
+ (ad− bc)
[
1 00 1
]
=
[
0 00 0
]
.
Poslednja jednakost je zaista tacna, sto se lako proverava. △
Polazeci od jednakosti (1.27) moze se izracunati inverzna matrica A−1
regularne matrice A. Iz (1.27) sledi
−anI = A(An−1 + a1An−2 + · · ·+ an−1I),
odakle se nakon mnozenja sa A−1 dobija
−anA−1 = An−1 + a1A
n−2 + · · ·+ an−1I.
18
Primer 1.7. Naci karakteristicnu jednacinu kvadratne matrice
A =
1 2 −21 1 11 3 −1
,
a zatim koristeci Cayley-Hamiltonovu teoremu izracunati inverznu ma-tricu A−1.
Karakteristicna jednacina matrice A glasi
P (λ) = |λI − A| =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
λ− 2 −2 2−1 λ− 1 −1−1 −3 λ+ 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= (λ− 1)(λ2 − 4)
= λ3 − λ2 − 4λ+ 4 = 0.
Na osnovu Cayley-Hamiltonove teoreme teoreme zakljucujemo da vazimatricna jednakost
A3 − A2 − 4A+ 4I = O,
odakle se lako dobija da je
4I = A(−A2 + A+ 4I),
tj.4A−1 = −A2 + A + 4I.
Iz poslednje jednakosti dobijamo
4A−1 = −
1 2 −21 1 11 3 −1
2
+
1 2 −21 1 11 3 −1
+ 4
1 0 00 1 00 0 1
=
4 4 −4−2 −1 3−2 1 1
,
tj.
A−1 =1
4
4 4 −4−2 −1 3−2 1 1
. △
19
1.7 Minimalni polinom
Posmatrajmo polinom f(λ) po skalaru λ i odgovarajuci matricni polinomf(A) po kvadratnoj matrici A reda n. Postoji beskonacno mnogo poli-noma f(λ) za koje je f(A) = O. Prema Cayley-Hamiltonovoj teoremikarakteristicni polinom matrice A je jedan od njih.
Definicija 1.6. Ako je A kvadratna matrica, polinom m(λ) najma-njeg stepena, koji ima osobinu m(A) = O i ciji je najstariji koeficijenatjednak 1, naziva se minimalni polinom matrice A.
Teorema 1.5. Svaka kvadratna matrica ima samo jedan minimalnipolinom.
Dokaz. Pretpostavimo da ovo nije tacno i da kvadratna matrica Aima dva razlicita minimalna polinoma
m1(λ) = λs +
s∑
k=1
akλs−k, i m2(λ) = λs +
s∑
k=1
bkλs−k.
Neka je i najmanji ceo broj takav da je ai 6= bi (1 ≤ i ≤ s − 1). Takavbroj postoji, jer bi inace bilo m1(λ) ≡ m2(λ).
Posmatrajmo polinom
m3(λ) =1
ai − bi(m1(λ)−m2(λ)) = λs−i +
1
ai − bi
s∑
k=i+1
(ak − bk)λs−k.
Polinom m3(λ) ispunjava sledece uslove:
10 Stepen polinoma m3(λ) je nizi od s, tj. od stepena polinoma m1(λ)i m2(λ);
20 m3(λ) 6= 0;
30 m3(A) = O;
40 Najstariji koeficijenat polinoma m3(λ) je 1.
Ovo je u suprotnosti sa pretpostavkom da sum1(λ) im2(λ) minimalnipolinomi matrice A. Na osnovu dobijene protivrecnosti zakljucujemo daje teorema 1.5. tacna. 2
20
Teorema 1.6. Svaki polinom f(λ) za koji je f(A) = O, gde je Akvadratna matrica, deljiv je minimalnim polinomom.
Dokaz. Ako pretpostavimo da polinom f(λ) nije deljiv minimalnimpolinomom m(λ), tada postoje jedinstveni polinomi q(λ) i r(λ) takvi davazi jednakost
f(λ) = m(λ)q(λ) + r(λ),
gde je r(λ) ne-nula polinom stepena manjeg od stepena polinoma m(λ).Ako u poslednjoj jednakosti stavimo λ = A dobijamo matricnu jednakost
f(A)−m(A)q(A) = r(A).
Kako je f(A) = O po pretpostavci, a m(A) = O prema definiciji mini-malnog polinoma sledi da je r(A) = O.
Neka je α ( 6= 0) najstariji koeficijenat polinoma r(λ). Stepen poli-noma 1
αr(λ) ( 6= 0) nizi je od stepena polinoma m(λ) i najstariji koefi-
cijenat ovog polinoma jednak je 1. Ovo protivreci uslovu da je m(λ)minimalni polinom.
Ovim je teorema 1.6. dokazana. 2
Posledica 1.1 Minimalni polinom matrice A je faktor njenog karak-teristicnog polinoma.
Teorema 1.7. Svaka nula karakteristicnog polinoma matrice A je inula njenog minimalnog polinoma.
Dokaz. Neka je P (λ) karakteristicni polinom matrice A i neka jem(λ)njen minimalni polinom. Ako je λi nula karakteristicnog polinoma P (λ),tada je na osnovu Bezuove teoreme3
m(λ) = q(λ)(λ− λi) +m(λi),
gde je q(λ) kolicnik deljenja polinoma m(λ) polinomom λ − λi a m(λi)ostatak tog deljenja.
3Ostatak deljenja polinoma m(λ) polinomom λ− λi jednak je m(λi).
21
Neka je, dalje, xi karakteristicni vektor koji odgovara karakteristicnojvrednosti λi. Tada je
m(A)xi = q(A)(A− λiI)xi +m(λi)xi.
Kako jem(A)xi = Oxi = O i Axi = λixi
sledi m(λi)xi = O. Posto je karakteristicni vektor xi 6= O zakljucujemoda je m(λi) = 0, cime je teorema dokazana. 2
Posledica 1.2 Nule minimalnog i karakteristicnog polinoma se pok-lapaju i mogu se razlikovati samo svojom visestrukoscu.
Na osnovu posledice 1.2 zakljucujemo da ako je karakteristicni poli-nom matrice A oblika
P (λ) = (λ− λ1)a1(λ− λ2)
a2 · · · (λ− λk)ak ,
tada je njen minimalni polinom oblika
m(λ) = (λ− λ1)m1(λ− λ2)
m2 · · · (λ− λk)mk ,
gde je 1 ≤ mi ≤ ai (i = 1, 2, . . . , k).
Primer 1.8. Da bismo odredili minimalni polinom matrice
A =
3 −1 00 2 01 −1 2
obrazujmo njen karakteristicni polinom
|λI − A| =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
λ− 3 1 00 λ− 2 0−1 1 λ− 2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= (λ− 2)2(λ− 3).
Minimalni polinom je ili (λ− 2)(λ− 3) ili (λ− 2)2(λ− 3). Kako je
(A− 2I)(A− 3I) =
1 −1 00 0 01 −1 0
·
0 −1 00 −1 01 −1 −1
=
0 0 00 0 00 0 0
,
zakljucujemo da je m(λ) = (λ−2)(λ−3) = λ2−5λ+6 minimalni polinommatrice A. △
22
Primer 1.9. Karakteristicni polinom matrice
A =
1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1
glasi
|λI −A| =
λ− 1 −1 −1 −1−1 λ− 1 −1 −1−1 −1 λ− 1 −1−1 −1 −1 λ− 1
=
λ− 1 −1 −1 −1−λ λ 0 0−λ 0 λ 0−λ 0 0 λ
= λ3 ·
λ− 1 −1 −1 −1−1 1 0 0−1 0 1 0−1 0 0 1
= λ3 ·
λ− 4 0 0 0−1 1 0 0−1 0 1 0−1 0 0 1
= λ3(λ− 4).
Minimalni polinom moze biti λ(λ−4) ili λ2(λ−4) ili λ3(λ−4). Kakoje
A(A−4I) =
1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1
·
−3 1 1 11 −3 1 11 1 −3 11 1 1 −3
=
0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0
,
zakljucujemo da je minimalni polinom m(λ) = λ(λ− 4) = λ2 − 4λ. △
23
1.8 Slicnost matrica
U ovom odeljku pod matricama cemo podrazumevati kvadratne matricereda n ciji su elementi kompleksni brojevi, ukoliko nije drugacije receno.
Definicija 1.7. Za matricu B kaze se da je slicna matrici A ako isamo ako postoji bar jedna regularna matrica P , takva da je
(1.28) B = P−1AP.
Takode se kaze da se matrica B dobija iz matrice A transformacijomslicnosti pomocu matrice P . Cinjenicu da je matrica B slicna matrici Aoznacavamo sa B ∼ A.
Teorema 1.8. Relacija slicnosti matrica je relacija ekvivalencije.
Dokaz. Dokazacemo da je ova relacija refleksivna, simetricna i tran-zitivna.
Za proizvoljnu matricu A vazi jednakost
A = I−1AI,
sto znaci da je A ∼ A i relacija ∼ je refleksivna.
Iz (1.28) sledi
A = (P−1)−1B(P−1),
tj. iz B ∼ A sledi A ∼ B. Dakle, relacija ∼ je i simetricna.
Ako je A ∼ B i B ∼ C, postoje regularne matrice P i Q takve da je
B = P−1AP, C = Q−1BQ.
Sledi
C = Q−1(P−1AP )Q = (PQ)−1A(PQ) = R−1AR,
gde je R = PQ. Prema tome, iz A ∼ B i B ∼ C sledi A ∼ C, sto znacida je relacija slicnosti tranzitivna.
Ovim je teorema dokazana. 2
24
Dokazimo da sve matrice nisu medusobno slicne. Zaista, iz (1.28)sledi
|B| = |P−1AP | = |P−1||A||P | = |A|,odakle se zakljucuje da je matrica A regularna ako i samo ako je matricaB regularna. Sledi da nijedna singularna matrica nije slicna ni sa jednomregularnom matricom.
Kako je relacija slicnosti relacija ekvivalencije u skupu svih kvadratnihmatrica, ovaj skup se raspada na klase ekvivalencije koje se zovu klaseslicnih matrica. Dve matrice pripadaju istoj klasi ako i samo ako suslicne. Svaka kvadratna matrica pripada jednoj i samo jednoj od klasaslicnih matrica.
Slicne matrice imaju vise zajednickih osobina. Dokazimo, na primer,da slicne matrice imaju jednake karakteristicne polinome.
Teorema 1.9. Ako je A ∼ B, tada je |λI −A| = |λI − B|.
Dokaz. Neka je A ∼ B. Tada postoji regularna matrica P takva daje B = P−1AP . Zbog toga je
|λI −B| = |λI − P−1AP | = |P−1(λI)P − P−1AP |= |P−1(λI − A)P | = |P−1||λI − A||P |= |λI −A|,
sto je i trebalo dokazati. 2
Uslov |λI − A| = |λI − B| je kao sto tvrdi teorema 1.9. potreban dabi bilo A ∼ B, ali nije i dovoljan. To pokazuje sledeci primer.
Primer 1.10. Neka je
A = I =
[
1 00 1
]
, B =
[
1 10 1
]
.
Lako se zakljucuje da je
|λI − A| = |λI − B| = (λ− 1)2.
Ako bi bilo A ∼ B, tada bi postojala regularna matrica
P =
[
x11 x12
x21 x22
]
,
25
takva da je B = P−1AP , tj. AP = PB.
Iz poslednje jednakosti sledi[
x11 x12
x21 x22
]
=
[
x11 x11 + x12
x21 x21 + x22
]
,
tj. x11 = x21 = 0, sto je u suprotnosti sa pretpostavkom da je P regularnamatrica. Dakle, A nije slicna sa B mada su im karakteristicni polinomijednaki. △
Teorema 1.10. Algebarski multiplicitet proizvoljne sopstvene vred-nosti nije manji od geometrijskog multipliciteta.
Dokaz. Neka je A kompleksna kvadratna matrica reda n i neka suλ1, λ2, . . . , λk razlicite sopstvene vrednosti te matrice.
Ne umanjujuci opstost posmatrajmo prvu sopstvenu vrednost λ1 ma-trice A. Neka su njen geometrijski i algebarski multiplicitet, redom, g ia. Tada postoji g linearno nezavisnih vektora v1, v2, . . . , vg, takvih da jeAvi = λ1vi (i = 1, 2, . . . , g). Prosirimo ovaj skup linearno nezavisnih vek-tora do baze {v1, v2, . . . , vg, vg+1, . . . , vn} vektorskog prostora Cn. Tadaje matrica
P = [v1 v2 . . . vg vg+1 . . . vn] = [P1 |P2]
(P1 je matrica tipa n × g koju cine prvih g kolona matrice P , a P2 jematrica tipa n × (n − g) koju cine zadnjih (n − g) kolona matrice P )regularna matrica4.
Neka je
P−1 =
[
Q1
Q2
]
(Q1 je matrica tipa g × n, a Q2 matrica tipa (n− g)× n).
Posto su kolone matrice P1 sopstveni vektori koji odgovaraju sop-stvenoj vrednosti λ1 sledi AP1 = λ1P1
5. Takode je[
Ig OO In−g
]
= In = P−1P =
[
Q1
Q2
]
[P1 |P2] =
[
Q1P1 Q1P2
Q2P1 Q2P2
]
,
4Ako je |P | = 0, tada je rang P = r < n i svaka kolona matrice P je na osnovuteoreme o bazisnom minoru linearna kombinacija bazisnih kolona. Sledi da su kolonemartice P linearno zavisne, sto je nemoguce.
5AP1 = A[v1 . . . vg] = [Av1 . . . Avg] = [λ1v1 . . . λ1vg] = λ1[v1 . . . vg] = λ1P1
26
odakle dobijamo da je Q1P1 = Ig, Q1P2 = O, Q2P1 = O, Q2P2 = In−g.Zbog toga je
P−1AP =
[
Q1
Q2
]
A[P1 |P2] =
[
Q1
Q2
]
[AP1 |AP2]
=
[
Q1AP1 Q1AP2
Q2AP1 Q2AP2
]
=
[
λ1Q1P1 Q1AP2
λ1Q2P1 Q2AP2
]
=
[
λ1Ig Q1AP2
O Q2AP2
]
.
Koristeci poslednju jednakost dobijamo da je
λI − P−1AP =
[
λIg OO λIn−g
]
−[
λ1Ig Q1AP2
O Q2AP2
]
=
[
(λ− λ1)Ig −Q1AP2
O λIn−g −Q2AP2
]
.
Matrice A i B = P−1AP su slicne i imaju jednake karakteristicnepolinome. Koristeci Laplasov razvoj determinante dobijamo
|λI −A| = |λI − P−1AP | =∣
∣
∣
∣
(λ− λ1)Ig −Q1AP2
O λIn−g −Q2AP2
∣
∣
∣
∣
= |(λ− λ1)Ig| · |λIn−g −Q2AP2|= (λ− λ1)
g|λIn−g −Q2AP2| = (λ− λ1)g ·Q(λ).
Iz poslednje jednakosti zakljucujemo da se sopstvena vrednost λ1 kaokoren karakteristicne jednacine javlja bar g puta, tj. a ≥ g. 2
Teorema 1.11. Neka su λ1, λ2, . . . , λk razlicite sopstvene vrednostimatrice A i x1, x2, . . . , xk odgovarajuci sopstveni vektori. Ovi vektori sulinearno nezavisni.
Dokaz. Dokaz cemo sprovesti matematickom indukcijom po k.
Za k = 1 tvrdenje je, ocigledno, tacno. Pretpostavimo da je tvrdenjetacno za k − 1 i dokazimo da je tacno i za prirodan broj k.
27
Pretpostavimo da je skup od k sopstvenih vektora x1, x2, . . . , xk kojiodgovaraju razlicitim sopstvenim vrednostima λ1, λ2, . . . , λk linearno za-visan. Tada se jedan od ovih vektora moze predstaviti kao linearna kom-binacija ostalih vektora. Ne umanjujuci opstost, pretpostavimo da je
(1.29) xk = c1x1 + c2x2 + · · ·+ ck−1xk−1.
Kako su vektori x1, x2, . . . , xk−1 po induktivnoj pretpostavci linearnonezavisni, predstavljanje (1.29) je jedinstveno.
Mnozeci jednakost (1.29) matricom A sa leve strane dobijamo
Axk = c1Ax1 + c2Ax2 + · · ·+ ck−1Axk−1,
tj.
(1.30) λkxk = c1λ1x1 + c2λ2x2 + · · ·+ ck−1λk−1xk−1.
Ako je λk = 0, tada poslednja jednakost dobija oblik
c1λ1x1 + c2λ2x2 + · · ·+ ck−1λk−1xk−1 = O.
Zbog linearne nezavisnosti vektora x1, x2, . . . , xk−1 vazi
c1λ1 = c2λ2 = · · · = ck−1λk−1 = 0.
Kako je λ1 6= 0, λ2 6= 0, . . . , λk−1 6= 0 sledi c1 = c2 = · · · = ck−1 = 0, tj.xk = O, sto je nemoguce.
Ako je λk 6= 0, tada iz jednakosti (1.30) dobijamo
xk = c1λ1
λk
x1 + c2λ2
λk
x2 + · · ·+ ck−1λk−1
λk
xk−1.
Iz jedinstvenosti reprezentacije (1.29) sopstvenog vektora xk zakljucujemoda je
λ1
λk
=λ2
λk
= · · · = λk−1
λk
= 1,
tj. λ1 = λ2 = · · · = λk−1 = λk, sto je nemoguce.
Ovim je teorema dokazana. 2
Teorema 1.11. govori nam mnogo o matricama sa razlicitim sop-stvenim vrednostima koje se cesto pojavljuju u prakticnim primenama.
28
Takve matrice imaju n linearno nezavisnih sopstvenih vektora. Kada seto dogodi, moguce je koristiti te vektore da se formira baza n-dimenzio-nalnog prostora Cn, sto moze biti od koristi u dokazima razlicitih teo-rema.
Pretpostavimo sada da kompleksna kvadratna matrica A reda n iman linearno nezavisnih sopstvenih vektora x1, x2, . . . , xn.
Uvedimo sledece oznake:
P = [x1 | x2 | ... | xn], D =
λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0...
.... . .
...0 0 · · · λn
.
Tada su jednakosti
(1.31) Ax1 = λ1x1, Ax2 = λ2x2, . . . , Axn = λnxn
ekvivalentne sledecoj jednakosti
AP = [Ax1 |Ax2 | ... |Axn] = [λ1x1 | λ2x2 | ... | λnxn]
= [x1 | x2 | ... | xn]D = PD.
Osim toga vektori x1, x2, . . . , xn su linearno nezavisni (i obrazuju bazuprostora Cn) ako i samo ako je matrica P regularna, tj. |P | 6= 0. U tomslucaju jednakost AP = PD moze da se napise u obliku A = PDP−1,tj. matrica A je slicna dijagonalnoj matrici D.
Obrnuto, takode, vazi. Pretpostavimo da je matrica A slicna di-jagonalnoj matrici D. Tada postoji regularna matrica P takva da vazijednakost A = PDP−1, tj. AP = PD.
Na osnovu teoreme 1.9. zakljucujemo da je
|λI − A| = |λI −D| = (λ− λ1)(λ− λ2) · · · (λ− λn).
Dakle, sopstvene vrednosti matrice A nalaze se na dijagonali matrice D.Kako je matricna jednakost AP = PD ekvivalentna jednakostima (1.31)zakljucujemo da su kolone matrice P linearno nezavisni sopstveni vektorimatrice A koji odgovaraju sopstvenim vrednostima λ1, λ2, . . . , λn.
Na ovaj nacin dokazali smo sledecu teoremu.
29
Teorema 1.12. Kvadratna matrica A reda n slicna je dijagonalnojmatrici D ako i samo ako postoji n linearno nezavisnih sopstvenih vek-tora matrice A. Pored toga, sopstvene vrednosti matrice A nalaze se naglavnoj dijagonali matrice D.
Definicija 1.8. Matrica A je dijagonalizabilna ako i samo ako jeslicna dijagonalnoj matrici.
Svaki izraz oblika A = PDP−1 naziva se dijagonalizacija matrice A.
Primer 1.11. A =
[
1 −12 −1
]
Kako je
|λI − A| =∣
∣
∣
∣
λ− 1 1−2 λ+ 1
∣
∣
∣
∣
= λ2 + 1,
zakljucujemo da su λ1 = i i λ2 = −i sopstvene vrednosti matrice A.
Sopstvena vrednost λ1 = i ima sopstveni vektor x1 = [1 1− i]T , a sop-stvena vrednost λ2 = −i ima sopstveni vektor x2 = [1 1 + i]T . Sopstvenevrednosti su razlicite, pa su x1 i x2 linearno nezavisni vektori i
P =
[
1 11− i 1 + i
]
⇒ P−1AP =
[
i 00 −i
]
.△
Primer 1.12. A =
1 0 −10 1 00 0 2
U ovom slucaju je
|λI − A| =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
λ− 1 0 10 λ− 1 00 0 λ− 2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= (λ− 1)2(λ− 2),
pa matrica A ima dve razlicite sopstvene vrednosti: λ1 = 1 algebarskevisestrukosti 2 i λ2 = 2 algebarske visestrukosti 1.
Sopstvena vrednost λ1 = 1 ima dva sopstvena vektora: x1 = [1 0 0]T
i x2 = [0 1 0]T , a sopstvena vrednost λ2 = 2 jedan sopstveni vektorx3 = [−1 0 1]T . Primetimo da su algebarski i geometrijski multiplicitet
30
sopstvene vrednosti λ1 jednaki i iznose 2. Zbog toga x1, x2 i x3 obrazujubazu sopstvenih vektora i imamo
P =
1 0 −10 1 00 0 1
⇒ P−1AP =
1 0 00 1 00 0 2
.△
Primer 1.13. A =
1 1 20 1 30 0 2
I u ovom slucaju je |λI −A| = (λ− 1)2(λ− 2), pa matrica A ima dverazlicite sopstvene vrednosti: λ1 = 1 algebarske visestrukosti 2 i λ2 = 2algebarske visestrukosti 1. Kako je dimenzija sopstvenog prostora Eλ1
=1, zakljucujemo da je geometrijski multiplicitet sopstvene vrednosti λ1
jednak 1 i razlicit je od algebarskog multipliciteta ove sopstvene vrednosti.Zbog toga ne postoji baza sopstvenih vektora i matrica A se ne mozedijagonalizirati transfrmacijom slicnosti. △
1.9 Jordanov kanonicki oblik
Kada ne postoji baza sopstvenih vektora kvadratne matrice A reda n onane moze biti dijagonalizirana. Ipak, moze se pokazati da postoji regu-larna matrica P reda n takva da je matrica P−1AP ”skoro” dijagonalna.Matrica P−1AP ima sopstvene vrednosti na glavnoj dijagonali i jediniceneposredno iznad nekih dijagonalnih sopstvenih vrednosti. Takva nova”skoro” dijagonalna matrica zove se Jordanova kanonicka forma matriceA i ona ima mnogo primena u inzinjerstvu i primenjenim naukama.
Definicija 1.9. Kvadratne matrice oblika
[λ],
[
λ 10 λ
]
,
λ 1 00 λ 10 0 λ
,
λ 1 0 00 λ 1 00 0 λ 10 0 0 λ
, . . .
nazivaju se Jordanovi blokovi.
31
Elementi Jordanovih blokova reda r ≥ 2 koji se nalaze na glavnojdijagonali jednaki su λ, a elementi na dijagonali j − i = 1 (i i j su rednibrojevi vrste i kolone nekog elementa te matrice) su jedinice. Svi ostalielementi te matrice su nule. Jordanov blok reda r cesto se oznacava saJr(λ).
Definicija 1.10. Kvazidijagonalna matrica oblika
J =
Jr1(λ1) O . . . OO Jr2(λ2) . . . O...
......
O O . . . Jrp(λp)
(1.32)
= Jr1(λ1)+Jr2(λ2)+ · · · +Jrp(λp) ,
gde se na glavnoj dijagonali nalaze Jordanovi blokovi naziva se Jordanovamatrica.
Medu brojevima λ1, λ2, . . . , λp koji se pojavljuju u (1.32) moze biti ijednakih.
Primer 1.14. Matrica
J =
1 0 0 00 2 0 00 0 4 10 0 0 4
= J1(1)+J1(2)+J2(4)
je Jordanova matrica koja se sastoji od dva Jordanova bloka reda 1 ijednog Jordanovog bloka reda 2. △
Teorema 1.13. Svaka klasa slicnih matrica sadrzi bar jednu Jor-danovu matricu.
Ovoj teoremi moze se dati i sledeci ekvivalentan oblik: Svaka matricaje slicna nekoj Jordanovoj matrici.
Pod Jordanovim kanonickim oblikom matrice A podrazumeva se onaJordanova matrica koja je slicna matrici A. Cesto se u literaturi koristi
32
i termin Jordanov normalni oblik matrice A. Egzistencija ove matricesledi iz teoreme 1.13., ciji dokaz zbog opsirnosti izostavljamo. Medutim,ona nije uvek jednoznacno odredena, tj. moze postojati vise Jordanovihmatrica slicnih matrici A.
Neka je (1.32) jedan kanonicki oblik matrice A. Permutujuci, na svemoguce nacine, dijagonalne blokove Jr1(λ1), Jr2(λ2), . . . , Jrp(λp) matrice(1.32), mozemo formirati nove Jordanove matrice. Sve tako dobijenematrice su takode kanonicki oblici matrice A i svi se kanonicki oblicidobijaju na taj nacin.
Sta se moze reci o karakteristicnom i minimalnom polinomu Jor-danove matrice.
Lema 1.1. Neka je J = Jr(λ1) Jordanov blok sa dijagonalnim ele-mentima jednakim λ1. Tada je λ1 jedina sopstvena vrednost matrice Jalgebarske visestrukosti r i geomertijske visestrukosti 1.
Dokaz. Posto je J gornja trougaona matrica lako se dobija da je
|λI − J | =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
λ− λ1 −1 . . . 00 λ− λ1 . . . 0...
......
0 0 . . . λ− λ1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= (λ− λ1)r.
Dakle, λ = λ1 je jedina sopstvena vrednost algebarske visestrukosti r.
Resavajuci matricnu jednacinu Jx = λ1x dobijamo sistem jednacina
λ1ξi + ξi+1 = λ1ξi (i = 1, 2, . . . , r − 1)
λ1ξr = λ1ξr .
Odavde se zakljucuje da je ξ2 = · · · = ξr = 0 i opste resenje ovog sis-tema jednacina je x = c(1, 0, . . . , 0)T , gde je c proizvoljan skalar. Dakle,nul (λ1I − J) = L(v), gde je v = (1, 0, . . . , 0)T , pa je sopstvena vrednostλ = λ1 geometrijske visestrukosti 1. 2
Primer 1.15. Neka J = J4(λ) Jordanov blok cetvrtog reda. Izracunatimatrice J − λI, (J − λI)2, (J − λI)3 i (J − λI)4.
33
Resenje.
J − λI =
0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0
(J − λI)2 =
0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0
·
0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0
=
0 0 1 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0
(J − λI)3 =
0 0 1 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0
·
0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0
=
0 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0
(J − λI)4 =
0 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0
·
0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0
=
0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0
Lema 1.2. Neka je J = Jr(λ) Jordanov blok sa dijagonalnim ele-mentima jednakim λ. Tada je (J − λI)k 6= O za k < r i (J − λI)r = O.
Kao sto prethodni primer pokazuje matrica (J − λI)2 ima elementejednake 1 na dijagonali j − i = 2, a svi ostali elementi su jednaki 0.Matrica (J − λI)3 ima elemente jednake 1 na dijagonali j − i = 3, a sviostali elementi su jednaki 0. Sa svakim sledecim mnozenjem sa J − λIdijagonala sa jedinicama je sve bliza gornjem desnom uglu. Nakon r− 1koraka, postoji samo jedna jedinica u gornjem desnom uglu, a nakonr-tog koraka imamo samo nule u matrici (J − λI)r.
Lema 1.3. Neka su date dve kvazidijagonalne matrice
A = A1 +A2 + · · · +Ap ,
B = B1 +B2 + · · · +Bp ,
34
takve da su kvadratne matrice Ai i Bi (i = 1, 2, . . . , p) istog reda. Tadaje
αA = αA1 +αA2 + · · · +αAp ,
A +B = (A1 +B1) + (A2 +B2) + · · · + (Ap +Bp) ,
AB = A1B1 +A2B2 + · · · +ApBp ,
Ak = Ak1 +Ak
2 + · · · +Akp (k ∈ N).
Teorema 1.14. Neka je J Jordanova matrica koja duz glavne dija-gonale sadrzi p Jordanovih blokova. Pretpostavimo da razliciti dijago-nalni elementi matrice J su λ1, λ2, . . . , λk i da se λi pojavljuje sa multi-plicitetom ai. Pretpostavimo, takode, da je broj Jordanovih blokova cijidijagonalni elementi su λi jednak gi i da je red najveceg Jordanovog blokaciji su dijagonalni elementi λi jednak mi (i = 1, 2, . . . k). Tada je
10 P (λ) = (λ− λ1)a1(λ− λ2)
a2 · · · (λ− λk)ak
20 m(λ) = (λ− λ1)m1(λ− λ2)
m2 · · · (λ− λk)mk
30 dimEλi= gi (i = 1, 2, . . . , k)
Dokaz. 10 Posto je J gornja trougaona matrica i karakteristicna ma-trica λI − J je gornja trougaona matrica, pa je determinanta |λI − J |jednaka proizvodu elemenata na glavnoj dijagonali. Dakle,
P (λ) = |λI − J | = (λ− λ1)a1(λ− λ2)
a2 · · · (λ− λk)ak .
20 Na osnovu 10 i teoreme 1.7. minimalni polinom matrice J je oblika
m(λ) = (λ− λ1)s1(λ− λ2)
s2 · · · (λ− λk)sk
za neko 1 ≤ si ≤ ai (i = 1, 2, . . . , k). Potrebno je dokazati da je
m(J) = (J − λ1I)s1(J − λ2I)
s2 · · · (J − λkI)sk = O
ako i samo ako je si = mi (i = 1, 2, . . . , k).
Matrica J − λiI je kvazidijagonalna, tj.
J − λiI = Ai1 +Ai2 + · · · +Aip ,
35
pa je na osnovu leme 1.3. takva i matrica (J − λiI)si. Dakle,
(J − λiI)si = Asi
i1 +Asii2 + · · · +Asi
ip .
Na osnovu iste leme i matrica m(J) je kvazidijagonalna, tj.
m(J) = (As111A
s221 · · ·Ask
k1) + · · · + (As11pA
s22p · · ·Ask
kp).
Na osnovu leme 1.2. potrebno je da bude si = mi kako bi najveciλi Jordanov blok postao nula matrica. U tom slucaju bi i svi ostaliλi blokovi postali nula matrice. Samo pod tim uslovima odgovarajuciblokovi matrice m(J) su nula matrice, pa je samim tim i m(J) nulamatrica.
30 Na osnovu leme 1.1. dimenzija sopstvenog prostora svakog Jor-danovog bloka jednaka je 1, pa je dimenzija sopstvenog prostora Eλi
=nul (J − λiI) jednaka broju Jordanovih λi blokova, tj. dimEλi
= gi. 2
Na osnovu teoreme 1.14., 20 zakljucujemo da je stepen binoma λ−λi
u minimalnom polinomu m(λ) jednak redu najveceg λi bloka matriceJ . Takode, na osnovu teoreme 1.14., 30 zakljucujemo da je dimenzijasopstvenog prostora Eλi
jednaka broju Jordanovih λi blokova.
Primer 1.16. Neka je data kvadratna matrica reda 6
A =
λ1 1 0 0 0 00 λ1 1 0 0 00 0 λ1 0 0 00 0 0 λ1 0 00 0 0 0 λ2 10 0 0 0 0 λ2
.
(λ1 6= λ2). Izracunati (A − λ1I)2, (A − λ1I)
3, (A − λ2I)2 i pokazati da
je (A − λ1I)3(A − λ2I)
2 = O. Resiti matricne jednacine Ax = λ1x iAx = λ2x.
Matrica A je kvazidijagonalna, pa su i matrice A − λ1I i A − λ2Itakve, tj.
A− λ1I =
0 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 µ 10 0 0 0 0 µ
= A1 +A2 +A3,
36
A− λ2I =
−µ 1 0 0 0 00 −µ 1 0 0 00 0 −µ 0 0 00 0 0 −µ 0 00 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0
= B1 +B2 +B3,
gde je µ = λ2 − λ1 6= 0.
Koristeci lemu 1.3. dobijamo da je
(A− λ1I)2 = A2
1 +A22 +A2
3 =
0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 µ2 2µ0 0 0 0 0 µ2
,
(A− λ1I)3 = A3
1 +A32 +A3
3 =
0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 µ3 3µ2
0 0 0 0 0 µ3
,
(A− λ2I)2 = B2
1 +B22 +B2
3 =
µ2 −2µ 1 0 0 00 µ2 −2µ 0 0 00 0 µ2 0 0 00 0 0 µ2 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
.
Ponovo na osnovu leme 1.3. imamo da je
(A−λ1I)3(A−λ2I)
2 =
A31B
21 O O
O A32B
22 O
O O A33B
23
= A31B
21 +A3
2B22 +A3
3B23 .
37
Kako su blokovi A31, A
32 i B2
3 nula matrice zakljucujemo da je i matrica(A− λ1I)
3(A− λ2I)2 nula matrica.
Matricna jednacina Ax = λ1x odnosno (A− λ1I)x = O ekvivalentnaje homogenom sistemu jednacina
ξ2 = 0
ξ3 = 0
0 = 0
0 = 0
µξ5 + ξ6 = 0
µξ6 = 0.
Odavde dobijamo da je ξ2 = ξ3 = ξ5 = ξ6 = 0, pa je opste resenje sistema
x =
ξ100ξ400
= ξ1
100000
+ ξ2
000100
= c1v1 + c2v2,
gde su c1 i c2 proizvoljni skalari.
Matricna jednacina Ax = λ2x odnosno (A− λ2I)x = O ekvivalentnaje homogenom sistemu jednacina
−µξ1 + ξ2 = 0
−µξ2 + ξ3 = 0
−µξ3 = 0
−µξ4 = 0
−ξ5 = 0
0 = 0.
Odavde dobijamo da je ξ1 = ξ2 = ξ3 = ξ4 = ξ5 = 0, pa je opste resenje
38
sistema
x =
00000ξ6
= ξ6
000001
= cw,
gde je c proizvoljan skalar. △
Primer 1.17. Pretpostavimo da je data kvadratna matrica A trecegreda i da su poznati njen karakteristicni i minimalni polinom. Tada jepoznat Jordanov kanonicki oblik matrice A.
Ako je P (λ) = (λ − λ1)(λ− λ2)(λ − λ3), tada je na osnovu teoreme1.7. m(λ) = P (λ). Na osnovu teoreme 1.14., 20, Jordanov kanonickioblik je upravo dijagonalna matrica.
Ako je P (λ) = (λ − λ1)2(λ − λ2), tada na osnovu teoreme 1.7. je
m(λ) = (λ − λ1)(λ − λ2) ili m(λ) = P (λ). U prvom slucaju Jor-danov kanonicki oblik sastoji se dva λ1 bloka reda 1 i jednog λ2 blokareda 1. Dakle, Jordanov kanonicki oblik u ovom slucaju je dijagonalnamatrica. U drugom slucaju, Jordanov kanonicki oblik matrice A sastojise od jednog λ1 bloka reda 2 i jednog λ2 bloka reda 1.
Ako je P (λ) = (λ − λ1)3, tada na osnovu teoreme 1.7. je m(λ) =
(λ − λ1)k, gde je k = 1, 2, 3. U slucaju k = 1, Jordanov kanonicki oblik
sastoji se od tri λ1 bloka reda 1, tj. on je dijagonalna matrica. U slucajuk = 2, Jordanov kanonicki oblik sastoji se od jednog λ1 bloka reda 2 ijednog reda 1. U slucaju k = 3, Jordanov kanonicki oblik sastoji se odjednog λ1 bloka reda 3. △
Primer 1.18. Ako je data kvadratna matrica A cetvrtog reda i akosu poznati njen karakteristicni i minimalni polinom, tada nije uvek poznatJordanov kanonicki oblik matrice A.
Pretpostavimo da su sve sopstvene vrednosti matrice A jednake, jerse u suprotnom slucaju moze pokazati kao u prethodnom primeru da jeJordanov kanonicki oblik matrice odreden ako su poznati njen karakte-risticni i minimalni polinom. U ovom slucaju je P (λ) = (λ − λ1)
4 am(λ) = (λ − λ1)
k gde je k = 1, 2, 3, 4. U slucaju k = 1, Jordanov
39
kanonicki oblik sastoji se od cetiri λ1 bloka reda 1, tj. on je dijagonalnamatrica. U slucaju k = 3, Jordanov kanonicki oblik sastoji se od jednogλ1 bloka reda 3 i jednog reda 1. U slucaju k = 4, Jordanov kanonickioblik sastoji se od jednog λ1 bloka reda 4.
Medutim, ako je k = 2 Jordanov kanonicki oblik moze se sastojati oddva λ1 bloka reda 2 ili od jednog λ1 bloka reda 2 i dva λ1 bloka reda 1:
λ1 1 0 00 λ1 0 00 0 λ1 10 0 0 λ1
λ1 1 0 00 λ1 0 00 0 λ1 00 0 0 λ1
.
Primetimo da se ove dve Jordanove kanonicke forme mogu razliko-vati ako je poznata dimenzija sopstvenog prostora sopstvene vrednostiλ1. Naime, ove forme imaju razlicit broj Jordanovih blokova. U prvomslucaju taj broj je dva (geometrijski multiplicitet sopstvene vrednosti λ1
je dva), a u drugom slucaju tri (geometrijski multiplicitet je tri). △
Primer 1.19. Pretpostavimo da je A kvadratna matrica reda 6 ida su poznati njen karakteristicni i minimalni polinom i dimenzije sop-stvenih prostora. Pokazati da je Jordanova kanonicka forma matrice Ajednoznacno odredena. Dati primer dve kvadratne matrice reda 7 kojeimaju iste karakteristicne i minimalne polinome i iste dimenzije sop-stvenih prostora, ali razlicite Jordanove kanonicke forme.
Pretpostavimo da su sve sopstvene vrednosti matrice A jednake. Tadakarakteristicni polinom matrice A glasi P (λ) = (λ − λ1)
6 a minimalnipolinom je oblika m(λ) = (λ − λ1)
k, gde je k = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ako jek = 1, Jordanova kanonicka forma matrice A se sastoji od 6 λ1 blokovareda 1 (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1), a geometrijski multiplicitet g1 sopstvenevrednosti λ1 jednak je 6. Odgovarajuce vrednosti Jordanovih blokova zak = 1, 2, 3, 4, 5, 6 prikazane su u sledecij tabeli. Iz te tabele se lako za-kljucuje da je Jordanova kanonicka forma (JKF ) jednoznacno odredenaako su sve sopstvene vredenosti matrice A jednake. Na slican nacin tose moze pokazati i u slucaju kada sve sopstvene vrednosti matrice A nisujednake.
40
m(λ) JKF g1λ− λ1 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 6
2 + 1 + 1 + 1 + 1 5(λ− λ1)
2 2 + 2 + 1 + 1 42 + 2 + 2 3
3 + 1 + 1 + 1 4(λ− λ1)
3 3 + 2 + 1 33 + 3 2
(λ− λ1)4 4 + 1 + 1 3
4 + 2 2(λ− λ1)
5 5 + 1 2(λ− λ1)
6 6 1
Posmatrajmo, sada, sledece dve kvadratne matrice reda 7:
λ1 1 0 0 0 0 00 λ1 1 0 0 0 00 0 λ1 0 0 0 00 0 0 λ1 1 0 00 0 0 0 λ1 1 00 0 0 0 0 λ1 00 0 0 0 0 0 λ1
λ1 1 0 0 0 0 00 λ1 1 0 0 0 00 0 λ1 0 0 0 00 0 0 λ1 1 0 00 0 0 0 λ1 0 00 0 0 0 0 λ1 10 0 0 0 0 0 λ1
Ocigledno, ove dve matrice imaju iste karakteristine polinome (P (λ) =(λ−λ1)
7), iste minimalne polinome (m(λ) = (λ−λ1)3) i jednak geometri-
jski multiplicitet sopstvene vrednosti λ1 (g1 = 3). Ipak, njihove Jordanovekanonicke forme su razlicite. △
Pri odredivanju regularne matrice P pomocu koje se transformacijomslicnosti dobija Jordanov kanonicki oblik kvadratne matrice A reda nvaznu ulogu imaju pojam generalisanog sopstvenog vektora i pojam lancageneralisanih sopstvenih vektora.
41
Definicija 1.11. Neka je A kvadratna matrica reda n, Za sopstvenuvrednost λ1, vektor x zove se generalisani sopstveni vektor reda k > 0 akoi samo ako je
(1.33) (A− λ1I)kx = O i (A− λ1I)
k−1x 6= O.
”Obican” sopstveni vektor x je generalisani sopstveni vektor reda 1,posto je (A− λ1I)x = O i (A− λ1I)
0x = x 6= O.
Za datu sopstvenu vrednost λ1, neka je x generalisani sopstveni vektorreda k. Definisimo lanac od k generalisanih sopstvenih vektora na sledecinacin:
xk = x
xk−1 = (A− λ1I)xk = (A− λ1I)x
xk−2 = (A− λ1I)xk−1 = (A− λ1I)2x(1.34)
...
x1 = (A− λ1I)x2 = (A− λ1I)k−1x
Za svako i, 1 ≤ i ≤ k, xi je generalisani sopstveni vektor reda i postoje
(1.35) (A− λ1I)ixi = (A− λ1I)
i(A− λ1I)k−ix = (A− λ1I)
kx = O,
(1.36) (A−λ1I)i−1xi = (A−λ1I)
i−1(A−λ1I)k−ix = (A−λ1I)
k−1x 6= O.
Primetimo da je x1 ”obican” sopstveni vektor posto je
(1.37) (A− λ1I)x1 = (A− λ1I)(A− λ1I)k−1x = (A− λ1I)
kx = O.
Iz jednakosti (1.37) i (1.34) lako se dobija niz jednakosti
Ax1 = λ1x1
Ax2 = x1 + λ1x2
Ax3 = x2 + λ1x3(1.38)...
Axk = xk−1 + λ1xk
42
Lema 1.4. Lanac x1, x2, . . . , xk generalisanih sopstvenih vektora jelinearno nezavisan skup vektora.
Dokaz. Dokaz cemo sprovesti matematickom indukcijom po k.
Za k = 1, generalisani sopstveni vektor reda 1 je ”obican” sopstvenivektor i tvrdenje je, ocigledno, tacno.
Pretpostavimo, sada, da je tvrdenje tacno za k − 1 i dokazimo da jetacno za k.
Neka je x1, x2, . . . , xk lanac generalisanih sopstvenih vektora i neka je
(1.39) c1x1 + c2x2 + · · ·+ ckxk = O.
Dokazimo da poslednja jednakost vazi samo ako je c1 = c2 = · · · = ck = 0.
Primetimo, prvo, da za i = 1, 2, . . . k − 1 vazi
(1.40) (A−λI)k−1xi = (A−λI)k−1(A−λI)k−ix = (A−λI)2k−(i+1)x = O.
Mnozeci jednakost (1.39) sa leve strane matricom (A − λI)k−1 dobi-jamo
c1(A− λI)k−1x1 + c2(A− λI)k−1x2 + · · ·+ ck(A− λI)k−1xk = O.
Koristeci jednakosti (1.40) dobijamo da je
ck(A− λI)k−1xk = O.
Kako je (A−λI)k−1xk 6= O, zakljucujemo da je ck = 0. Jednakost (1.39)se sada svodi na jednakost
c1x1 + c2x2 + · · ·+ ck−1xk−1 = O.
Po induktivnoj pretpostavci generalisani sopstveni vektori x1, x2, . . . , xk−1
su linearno nezavisni, pa je c1 = c2 = · · · = ck−1 = 0.
Ovim je lema dokazana. 2
Iz jednakosti (1.38) sledi da se lancu x1, x2, . . . , xk linearno nezavi-snih generalisanih sopstvenih vektora moze pridruziti sledeca kvadratnamatrica reda k:
λ1 1 0 · · · 00 λ1 1 · · · 00 0 λ1 · · · 0...
......
...0 0 0 · · · λ1
.
43
Ocigledno, ova matrica predstavlja Jordanov blok Jk(λ1).
U nastavku navodimo jos neke osobine lanaca generalisanih sopstvenihvektora.
Lema 1.5. Za sopstvenu vrednost λ algebarskog multipliciteta a i geo-metrijskog multipliciteta g postoji g lanaca koje cemo oznaciti sa
x11
x12...x1r1
x21
x22...x2r2
. . .
. . .
. . .
xg1
xg2...xgrg
takvi da je {xji} linearno nezavisan skup vektora i
∑g
i=1 ri = a. Ovde rioznacava duzinu i-tog lanca.
Lema 1.6. Za datih g lanaca, oznacenih kao u lemi 1.5., vektori {xji}
su linearno nezavisni ako i samo ako su vektori
x11, x
21, . . . , x
g1
linearno nezavisni. Ovo tvrdenje takode vazi i ako lanci odgovaraju ra-zlicitim sopstvenim vrednostima.
Leme 1.4., 1.5. i 1.6. cine osnovu teorije generalisanih sopstvenih vek-tora. Na osnovu njih proizilazi sledeci vazan rezultat.
Sopstvenoj vrednosti λ1 je pridruzeno g1 lanaca generalisanih sop-stvenih vektora (g1 je geometrijska visestrukst sopstvene vrednosti λ1).Svaki lanac odgovara jednom ”obicnom” sopstvenom vektoru (reda 1).U ovih g1 lanaca ukupan broj generalisanih sopstvenih vektora je a1 (a1je algebarski multiljicitet sopstvene vrednosti λ1). I ovih a1 vektora sulinearno nezavisni.
Napomenimo da nismo diskutovali koliko vektora se nalazi u svakomlancu. Konstatovali smo samo da je ukupan broj a1 generalisanih sop-stvenih vektora podeljen u g1 lanaca pridruzenih sopstvenoj vrednostiλ1.
Dok kvadratna matrica A reda n moze, ali ne mora, da ima n li-nearno nezavisnih sopstvenih vektora, ona uvek ima n linearno nezavisnihgeneralisanih sopstvenih vektora, sto je neposredna posledica leme 1.5..
44
Neka su λ1, λ2, . . . , λk razlicite sopstvene vrednosti kvadratne matriceA reda n. Za 1 ≤ i ≤ k, sopstvena vrednost λi ima algebarski multi-plicitet ai i geometrijski multiplicitet gi. Dalje, za 1 ≤ i ≤ k, sopstvenojvrednosti λi je pridruzeno gi posebnih lanaca generalisanih sopstvenihvektora koji sadrze ukupno (u svih gi lanaca) ai linearno nezavisnih ge-neralisanih sopstvenih vektora. Konacno, uzeto sve zajedno, za k ra-zlicitih sopstvenih vrednosti, ukupno n generalisanih sopstvenih vektorapostoji, posmatrajuci sve vektore u svim lancima. Ovi vektori su linearnonezavisni, sto je neposredna posledica leme 1.6..
Pomocu ovih n generalisanih sopstvenih vektora definise se trans-formaciona matrica P reda n. Koristeci transformaciju slicnosti A′ =P−1AP , matrica P moze biti upotrebljena da se matrica A transformiseu njen Jordanov kanonicki oblik. Pri tome, svakom Jordanovom blokuodgovara jedan lanac generalisanih sopstvenih vektora. Jednostavnostiradi, posmatracemo jednu kvadratnu matricu reda 6. Ideja dokaza jeslicna u opstem slucaju.
Pretpostavimo da je A kvadratna matrica 6-tog reda i da je njenih6 generalisanih sopstvenih vektora rasporedeno u tri lanca: {x1
1, x12, x
13},
{x21, x
22} i {x3
1} koji odgovaraju redom sopstvenim vrednostima λ1, λ2 iλ3 (neki od ovih brojeva mogu biti i jednaki medusobno). Matrica
(1.41) P = [ x11 | x1
2 | x13 | x2
1 | x22 | x3
1 ]
cije su kolone generalisani sopstveni vektori je regularna matrica.
Pomocu transformacije slicnosti A′ = P−1AP , matrica A se trans-formise u njen Jordanov kanonicki oblik. Zaista, koristeci jednakosti(1.38) za svaki od tri lanaca generalisanih sopstvenih vektora dobijamo
AP = A[ x11 | x1
2 | x13 | x2
1 | x22 | x3
1 ] = [Ax11 |Ax1
2 |Ax13 |Ax2
1 |Ax22 |Ax3
1 ]
= [λ1x11 | x1
1 + λ1x12 | x1
2 + λ1x13 | λ2x
21 | x2
1 + λ2x22 | λ3x
31 ]
= [ x11 | x1
2 | x13 | x2
1 | x22 | x3
1 ]
λ1 1 0 0 0 00 λ1 1 0 0 00 0 λ1 0 0 00 0 0 λ2 1 00 0 0 0 λ2 00 0 0 0 0 λ3
= PA′,
tj. A′ = P−1AP .
45
Matrica A′ dobijena ovom transformacijom slicnosti predstavlja Jor-danov kanonicki oblik matrice A sa tacno tri Jordanova bloka.
Pitanje koje se sada postavlja glasi: Kako izracunati g lanaca ge-neralisanih sopstvenih vektora navedenih u lemi 1.5. i kako izracunati svihn generalisanih sopstvenih vektora koji odgovaraju razlicitim sopstvenimvrednostima matrice A. Pri resavanju ovog problema koristimo i sledeculemu.
Lema 1.7. Neka je λ sopstvena vrednost kvadratne matrice A alge-barskog multipliciteta a i geometrijskog multipliciteta g. Tada za svakigeneralisani sopstveni vektor x vazi
(A− λI)a−g+1x = O.
Ova teorema tvrdi da kada imamo generalisani sopstveni vektor xreda k (i zato (A− λI)kx = O i (A− λI)k−1x 6= O), tada k ne moze bitivece od a− g + 1.
Sada mozemo predstaviti algoritam dobijanja n generalisanih sop-stvenih vektora koji odgovaraju razlicitim sopstvenim vrednostima ma-trice A.
1. Izracunati sopstvene vrednosti i ”obicne” sopstvene vektore kvad-ratne martice A reda n. Odrediti algebarske i geometrijske multiplicitetesopstvenih vrednosti. Razlicite sopstvene vrednosti su λ1, λ2, . . . , λk. Za1 ≤ i ≤ k sopstvena vrednost λi ima algebarski multiplicitet ai i ge-ometrijski multiplicitet gi.
2. U g1 razlicitih lanaca izracunati ukupno a1 linearno nezavisnihgeneralisanih sopstvenih vektora za λ1. Oznacimo sa E1 kolekciju li-nearno nezavisnih lanaca. Pocinjemo sa kolekcijom E1 koja se sastojiod ”obicnih” sopstvenih vektora koji odgovaraju sopstvenoj vrednosti λ1
i koji su odredeni u prethodnom koraku. Svaki takav vektor je lanacduzine 1. Sada postupamo na sledeci nacin.
2.1 Odrediti bazuB = {v1, v2, . . . , vp} nula prostora nul (A−λ1I)a1−g1+1.
2.2 Racunati (A− λ1I)jvi (i = 1, 2, . . . , p) sve dok ne nademo vektor
vi, koji je nezavisan od vektora sadrzanih u (lancima od) E1, i najvece j,koje cemo oznaciti sa r, takvo da je
(A− λ1I)rvi = O i (A− λ1I)
r−1vi 6= O.
46
Takav vektor vi je generalisani sopstveni vektor reda r.
2.3 Konstruisati lanac
xr = vi
xr−1 = (A− λ1I)vi
xr−2 = (A− λ1I)2vi
...
x1 = (A− λ1I)r−1vi.
2.4 Iz kolekcije E1 ukloniti lanac koji nije linearno nezavisan sa lancem{x1, x2, . . . , xr} (koristiti lemu 1.6. da se to proveri) a zatim dodati kolek-ciji E1 lanac {x1, x2, . . . , xr}.
Korake 2.2-2.4 ponavljati sve dok se ne dobije a1 vektora u kolekcijiE1.
3. Ponoviti drugi korak za preostale sopstvene vrednosti λ2, . . . , λk.
Na ovaj nacin dobijena je kolekcija
E = E1 ∪ E2 ∪ . . . ∪ Ek
koja sadrzi tacno n generalisanih sopstvenih vektora. Pomocu ove kolek-cije formira se matrica P koja matricu A transformacijom slicnosti pre-vodi u njen Jordanov kanonicki oblik J . Kolone matrice P predsta-vljaju upravo dobijeni generalisani sopstveni vektori iz E . Sam Jordanovkanonicki oblik J moze se napisati i bez racunanja proizvoda P−1APsamo na osnovu poznavanja vektora kolekcije E .
Primer 1.20. Posmatrajmo ponovo matricu
A =
1 1 20 1 30 0 2
iz primera 1.13.. Sopstvena vrednost λ1 = 1 ima algebaski multipliciteta1 = 2 i geometrijski multiplicitet g1 = 1. ”Obicni” sopstveni vektor za λ1
je x1 = [1 0 0]T . Sopstvena vrednost λ2 = 2 ima geometrijski i algebarskimultiplicitet jednak 1, a ”obicni” sopstveni vektor za λ2 je x2 = [5 3 1]T .
47
Jasno, nedostaje nam jedan sopstveni vektor i matrica A ne moze bitidijagonalizirana transformacijom slicnosti. Ipak, mi mozemo naci dvageneralisana sopstvena vektora pridruzena sopstvenoj vrednosti λ1 = 1.Ova dva generalisana sopstvena vektora zajedno sa sopstvenim vektoromx2 obrazovace bazu generalisanih sopstvenih vektora.
Polazimo od kolekcije E1 = {{x1}} koja se sastoji samo od jednoglanca duzine 1 i koji obrazuje ”obican” sopstveni vektor x1 za λ1 = 1.
Kako je a1 − g1 + 1 = 2, izracunajmo (A− I)j (j = 1, 2). Dobijamo
A− I =
0 1 20 0 30 0 1
(A− I)2 =
0 0 50 0 30 0 1
.
Nula prostor nul (A− I)2 sastoji se od vektora oblika
x = c1
100
+ c2
010
= c1v1 + c2v2.
Posto su c1 i c2 proizvoljni skalari dobijamo da je nul (A−I)2 = L{v1, v2}.Kako je
(A− I)v1 = O, (A− I)v2 6= O,
zakljucujemo da je v2 generalisani sopstveni vektor reda 2. Formirajmolanac
x12 = v2 =
010
, x11 = (A− I)v2 =
100
.
Lanac {x1} iz kolekcije E1 nije linearno nezavisan sa lancem {x11, x
12},
pa ga zato uklanjamo iz E1, a ovoj kolekciji dodajemo lanac {x11, x
12}.
DobijamoE1 = {{x1
1, x12}}.
Kolekcija E1 sada sadrzi dva generalisana sopstvena vektora koji odgo-varaju sopstvenoj vrednosti λ1 = 1, kolika je i njena algebarska vise-strukost.
Kako su algebarska i geometrijska visestrukost sopstvene vrednostiλ2 = 2 jednake (a1 = g1 = 1), zakljucujemo da ovoj sopstvenoj vred-nosti odgovara samo jedan generalisani sopstveni vektor, tj. E2 = {x2}.
48
Kolekcija
E = E1 ∪ E2 = {{x11, x
12}, {x2}}
sadrzi tri generalisana sopstvena vektora koje mozemo iskoristiti da napi-semo matricu P koja matricu A transformacijom slicnosti svodi na Jor-danov kanonicki oblik. Dobijamo
P =
1 0 50 1 30 0 1
i
J = P−1AP =
1 0 −50 1 −30 0 1
1 1 20 1 30 0 2
1 0 50 1 30 0 1
=
1 1 00 1 00 0 2
.
Primetimo da matrica J ima dva Jordanova bloka na dijagonali imoze biti napisana na sledeci nacin:
J =
[
J2(1) OO J1(2)
]
, J2(1) =
[
1 10 1
]
, J1(2) = [2]. △
Primer 1.21. A =
3 −1 1 1 0 01 1 −1 −1 0 00 0 2 0 1 10 0 0 2 −1 −10 0 0 0 1 10 0 0 0 1 1
Izracunajmo sopstvene vrednosti matrice A i njihove algebarske mul-tiplicitete. Dobijamo da je |λI − A| = λ(λ− 2)5. Dakle, matrica A imadve razlicite sopstvene vrednosti: λ1 = 2 sa algebarskim multiplicitetomjednakim a1 = 5 i λ2 = 0 sa a2 = 1.
Dalje, sopstvena vrednost λ1 = 2 ima dva linearno nezavisna sop-stvena vektora: x1 = [1 1 0 0 0 0]T , x2 = [0 0 1 − 1 0 0]T tako da jegeometrijski multiplicitet ove sopstvene vrednosti jednak g1 = 2. Takode,sopstvena vrednost λ2 = 0 ima jedan sopstveni vektor: x3 = [0 0 0 0− 1 1]T i njen geometrijski multiplicitet jednak je g2 = 1.
49
U dva razlicita lanca sada treba izracunati pet linearno nezavisnihgeneralisanih sopstvenih vektora za λ1 = 2. Polazimo od kolekcije E1 ={{x1}, {x2}} koju cine dva ”obicna” sopstvena vektora koja odgovarajusopstvenoj vrednosti λ1 = 2.
Kako je a1−g1+1 = 4 izracunajmo matrice (A−2I)j (j = 1, 2, 3, 4).Dobijamo
A− 2I =
1 −1 1 1 0 01 −1 −1 −1 0 00 0 0 0 1 10 0 0 0 −1 −10 0 0 0 −1 10 0 0 0 1 −1
(A− 2I)2 =
0 0 2 2 0 00 0 2 2 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 2 −20 0 0 0 −2 2
(A− 2I)3 =
0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 −4 40 0 0 0 4 −4
(A− 2I)4 =
0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 8 −80 0 0 0 −8 8
50
Nula prostor nul (A− 2I)4 sastoji se od vektora oblika
x = c1
100000
+ c2
010000
+ c3
001000
+ c4
000100
+ c5
000011
= c1v1 + c2v2 + c3v3 + c4v4 + c5v5
Posto su c1, c2, c3, c4 i c5 proizvoljni skalari imamo da je nul (A− 2I)4 =L{v1, v2, v3, v4, v5}.
Kako je
(A− 2I)3v1 = O, (A− 2I)3v2 = O, (A− 2I)3v3 = O,
(A− 2I)3v4 = O, (A− 2I)3v5 = O
a
(A− 2I)2v1 = O, (A− 2I)2v2 = O, (A− 2I)2v3 6= O,
(A− 2I)2v4 6= O, (A− 2I)2v5 = O
zakljucujemo da je v3 generalisani sopstveni vektor reda 3. Formirajmolanac
x13 = v3 = [0 0 1 0 0 0]T
x12 = (A− 2I)v3 = [1 − 1 0 0 0 0]T
x11 = (A− 2I)2v3 = [2 2 0 0 0 0]T .
Lanac {x1} iz E1 nije linearno nezavisan sa lancem {x11, x
12, x
13}, pa
ga zato uklanjamo iz E1, a ovoj kolekciji dodajemo lanac {x11, x
12, x
13}.
DobijamoE1 = {{x1
1, x12, x
13}, {x2}}.
Na ovaj nacin u E1 dobili smo cetiri generalisana sopstvena vektorakoji odgovaraju sopstvenoj vrednosti λ1 = 2. Nedostaje jos jedan takavvektor. Zato biramo iz baze {v1, v2, v3, v4, v5} novi vektor koji je linearnonezavisan od vektora sadrzanih u E1. Kako je
v1 =1
4x11 +
1
2x12, v2 =
1
4x11 −
1
2x12, v4 = x1
3 − x2
51
zakljucujemo da vektori v1, v2 i v4 nisu linearno nezavisni od vektorau E1. Tu osobinu ima samo vektor v5. Kako je (A − 2I)2v5 = O i(A − 2I)v5 6= O imamo da je v5 generalisani sopstveni vektor reda 2.Formirajmo lanac
x22 = v5 = [0 0 0 0 1 1]T
x21 = (A− 2I)2v5 = [0 0 2 − 2 0 0]T .
Lanac {x2} iz kolekcije E1 nije linearno nezavisan sa lancem {x21, x
22},
pa ga zato uklanjamo iz E1, a ovoj kolekciji dodajemo lanac {x21, x
22}.
Dobijamo
E1 = {{x11, x
12, x
13}, {x2
1, x22}}.
Kolekcija E1 sada sadrzi pet generalisanih sopstvenih vektora koji odgo-varaju sopstvenoj vrednosti λ1 = 2, kolika je i njena algebarska vise-strukost.
Kako su algebarska i geometrijska visestrukost sopstvene vrednostiλ2 = 0 jednake (a1 = g1 = 1), zakljucujemo da ovoj sopstvenoj vred-nosti odgovara samo jedan generalisani sopstveni vektor, tj. E2 = {x3}.
Kolekcija
E = E1 ∪ E2 = {{x11, x
12, x
13}, {x2
1, x22}, {x3}}
sadrzi sest generalisanih sopstvenih vektora koje mozemo iskoristiti danapisemo matricu P koja matricu A transformacijom slicnosti svodi naJordanov kanonicki oblik:
P = [x11 | x1
2 | x13 | x2
1 | x22 | x3] =
2 1 0 0 0 02 −1 0 0 0 00 0 1 2 0 00 0 0 −2 0 00 0 0 0 1 −10 0 0 0 1 1
.
Sada mozemo napisati (racunanje nije potrebno) Jordanov kanonicki
52
oblik matrice A:
J =
2 1 0 0 0 00 2 1 0 0 00 0 2 0 0 00 0 0 2 1 00 0 0 0 2 00 0 0 0 0 0
.
Primetimo da J sadrzi tri Jordanova bloka
J3(2) =
2 1 00 2 10 0 2
, J2(2) =
[
2 10 2
]
, J1(0) = [0].
Lako je videti da matrica J zadovoljava jednakost PJ = AP , tj.J = P−1AP . Kao vezbu u MatLab-u, unesite matrice A i P i otkucajtenaredbu inv(P ) ∗ A ∗ P . MatLab ce vam vratiti kao rezultat Jordanovkanonicki oblik J matrice A. △
1.10 Specijalne matrice
Definicija 1.12. Ako je A = (aij) matrica tipa m× n, tada se ma-trica B = (bji) tipa n×m, gde je
bji = aij (i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n)
naziva transponovanom matricom matrice A i obelezava se sa AT .
Ova definicija ekvivalentna je jednakosti:
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...
......
am1 am2 . . . amn
T
=
a11 a21 . . . am1
a12 a22 . . . am2...
......
a1n a2n . . . amn
.
Primer 1.22.
[
2 0 −15 3 −2
]T
=
2 50 3
−1 −2
. △
53
Operacija transponovanja ima sledece osobine:
10 (AT )T = A, 20 (A+B)T = AT +BT ,
30 (αA)T = αAT , 40 (AB)T = BTAT .
Definicija 1.13. Ako je A = (aij) matrica tipa m × n sa komple-ksnim elementima, matrica C = (cij) tipa m× n, gde je
cij = aij (i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n)
naziva se konjugovanom matricom matrice A i obelezava se sa A.
Primer 1.23. Ako je
A =
[
1− i 2 + i 3−i 1 3 + i
]
,
tada je
A =
[
1 + i 2− i 3i 1 3− i
]
. △
Operacija konjugovanja ima sledece osobine:
10 (A) = A, 20 (A+B) = A+B,
30 (αA) = α · A, 40 (AB) = A · B.
Operacije transponovanja i konjugovanja su komutativne, tj.
AT = (A)T .
MatricaAH = AT = (A)T
naziva se konjugovano-transponovana matrica matrice A.
Na osnovu osobina transponovanja i konjugovanja moze se dokazatida vaze sledece jednakosti
10 (AH)H = A, 20 (A+B)H = AH +BH ,
30 (αA)H = α · AH , 40 (AB)H = BHAH .
54
Definicija 1.14. Kvadratna matrica A je simetricna ako i samo akoje
(1.42) AT = A.
Ako je A = (aij)n1 , tada je AT = (bji)
n1 , gde je bji = aij (i, j =
1, 2, . . . , n). Iz jednakosti (1.42) sledi
aij = aji (i, j = 1, 2, . . . , n),
tj. clanovi simetricne matrice su simetricni u odnosu na glavnu dijago-nalu.
Primer 1.24.
A =
0 2 −32 1 4
−3 4 −2
, B =
i 2 + i 32 + i −i 13 1 4− i
.
Definicija 1.15. Kvadratna matrica A je koso-simetricna ako i samoako je
(1.43) AT = −A.
Iz jednakosti (1.43) sledi
(1.44) aij = −aji (i, j = 1, 2, . . . , n).
Elementi koso-simetricne matrice na glavnoj dijagonali jednaki su 0.Zaista, iz (1.44) za i = j sledi
aii = −aii,
tj. 2aii = 0. Dakle, aii = 0 (i = 1, 2, . . . , n).
Kako za koso-simetricne matrice vazi jednakost
|A| = |AT | = | −A| = (−1)n|A|,
zakljucujemo da ako je n neparan broj, tada je |A| = 0.
55
Primer 1.25.
A =
0 1 −2−1 0 32 −3 0
, B =
0 1− i 3i−1 + i 0 2 + 5i−3i −2 − 5i 0
.
Definicija 1.16. Kvadratna matrica A je hermitska ako i samo akoje
(1.45) AH = A.
Iz (1.45) sledi
(1.46) aij = aji (i, j = 1, 2, . . . , n).
Iz (1.45) za i = j dobijamo
aii = aii (i = 1, 2, . . . , n),
tj. elementi na glavnoj dijagonali su realni brojevi.
Primer 1.26.
A =
1 1 + i 2− 3i1− i 0 −4 + i2 + 3i −4 − i 5
.
Ako je A realna matrica, tada je AH = AT i hermitska matrica je, ustvari, simetricna matrica.
Definicija 1.17. Kvadratna matrica A je koso-hermitska ako i samoako je
(1.47) AH = −A.
Iz (1.47) sledi
(1.48) aij = −aji (i, j = 1, 2, . . . , n).
Iz (1.48) za i = j dobijamo
aii = −aii (i = 1, 2, . . . , n),
tj. elementi na glavnoj dijagonali su nule ili cisto imaginarni brojevi.
56
Primer 1.27.
A =
[
−i 2 + i−2 + i 0
]
, B =
i 1 + i 2− 3i−1 + i 2i −4 + i−2− 3i 4 + i −3i
.
Ako je A realna matrica, tada je AH = AT i koso-hermitska matricaje, u stvari, koso-simetricna matrica.
Definicija 1.18. Kvadratna matrica A je ortogonalna ako i samoako je
(1.49) ATA = I.
Iz (1.49) sledi
|ATA| = |I| ⇒ |AT | · |A| = 1 ⇒ |A|2 = 1 ⇒ |A| = ±1 6= 0.
Dakle, postoji inverzna matrica A−1. Mnozeci jednakost (1.49) sa desnestrane matricom A−1 dobijamo jednakost
(1.50) AT = A−1.
Ortogonalna matrica A je regularna i njena inverzna matrica A−1
jednaka je transponovanoj matrici AT . Iz jednakosti
A · A−1 = A−1 · A = I,
tj.A · AT = AT · A = I,
zakljucujemo da je ortogonalna matrica A komutativna sa svojom transpo-novanom matricom AT .
Primer 1.28.
A =
[
0, 96 −0, 280, 28 0, 96
]
, B =
0 0 0 10 0 1 01 0 0 00 1 0 0
.
57
Definicija 1.19. Kvadratna matrica A je unitarna ako i samo akoje
(1.51) AHA = I.
Iz (1.51) sledi
|AHA| = |I| ⇒ |AH | · |A| = 1 ⇒ |A| 6= 0.
Dakle, postoji inverzna matrica A−1. Mnozeci jednakost (1.51) sa desnestrane matricom A−1 dobijamo jednakost
(1.52) AH = A−1.
Unitarna matrica A je regularna i njena inverzna matrica A−1 jednakaje konjugovano-transponovanoj matrici AH . Iz jednakosti
A · A−1 = A−1 · A = I,
tj.A · AH = AH · A = I,
zakljucujemo da je unitarna matrica A komutativna sa svojom konjugovano-transponovanom matricom AH .
Primer 1.29.
A =
[
1√3− i√
3− 1√
31√3
1√3− i√
3
]
, B =
1√2
1√2
0
− i√2
i√2
0
0 0 1
.
Definicija 1.20. Kvadratna matrica A je normalna ako i samo akoje
(1.53) AHA = AAH .
Ocigledno je da su hermitske, koso-hermitske i unitarne matrice nor-malne matrice. Takode, od realnih matrica sve simetricne, koso-simetricnei ortogonalne matrice su normalne. Medutim, postoje i normalne matricekoje ne pripadaju ni jednoj od pomenutih klasa, kao sto pokazuje sledeciprimer.
58
Primer 1.30.
A =
[
1 i1 2 + i
]
, B =
1 1 00 1 11 0 1
.
Definicija 1.21. Kvadratna matrica A je nilpotentna ako i samoako je Ak = O za neki prirodan broj k. Najmanji takav broj k se ponekadzove stepen matrice A i oznacava se sa ν(A).
Primer 1.31. Matrica
A =
[
0 10 0
]
je nilpotentna, jer je A2 = O. Opstije, svaka trougaona matrica sa nu-lama na glavnoj dijagonali je nilpotentna. Na primer, matrica
B =
0 2 1 60 0 1 20 0 0 30 0 0 0
je nilpotentna sa
B2 =
0 0 2 70 0 0 30 0 0 00 0 0 0
, B3 =
0 0 0 60 0 0 00 0 0 00 0 0 0
, B4 =
0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0
.
Mada navedeni primeri imaju veliki broj nula clanova, kod tipicne nilpo-tentne matrice to ne mora da bude slucaj. Na primer, za matricu
C =
5 −3 215 −9 610 −6 4
je C2 = O, mada ova matrica nema nijedan nula clan.
Definicija 1.22. Kvadratna matrica A je idempotentna ako i samoako je A2 = A.
59
Primer 1.32. Nula matrica O i jedinicna matrica I su idempotentnematrice, jer je O2 = O i I2 = I. Lako se proverava da su i sledece matriceidempotentne
A =
[
4 −112 −3
]
, B =
2 −2 −4−1 3 41 −2 −3
.
Ako je A idempotentna matrica tada je Ar = A za svaki prirodan brojr. Tvrdenje je ocigledno za r = 1. Ako pretpostavimo da je tvrdenjetacno za prirodan broj r, lako se dokazuje da je ono tacno i za prirodanbroj r + 1. Zaista,
Ar+1 = Ar · A = A ·A = A.
Na osnovu matematicke indukcije zakljucujemo da je tvrdenje tacno zasvaki prirodan broj r.
Ako je A idempotentna matrica, tada je i matrica I−A takode idem-potentna matrica. Zaista,
(I − A)2 = (I − A)(I − A) = I −A−A + A2 = I − A.
Takode, ako su A i B idempotentne matrice istog reda i ako je AB =BA, tada je AB idempotentna matrica. To sledi na osnovu jednakosti
(AB)(AB) = A(BA)B = A(AB)B = A2B2 = AB.
Definicija 1.23. Kvadratna matrica A je involutivna ako i samoako je A2 = I.
Drugim recima, kvadratna matrica je involutivna ako i samo ako jeinverzna samoj sebi, tj. A−1 = A.
Primer 1.33.
A =
[
4 −115 −4
]
, B =
3 −4 40 −1 0
−2 2 3
.
60
1.11 Osobine spektara nekih klasa matrica
Ako je A kvadratna matrica tipa n sa kompleksnim koeficijentima, tadaza svaki x, y ∈ Cn vazi
(Ax, y) = (x,AHy),(1.54)
(x,Ay) = (AHx, y).(1.55)
Zaista, prema definiciji skalarnog proizvoda6 u Cn je
(Ax, y) = yHAx = (AHy)Hx = (x,AHy).
Jednakost (1.55) se dobija iz jednakosti (1.54), stavljajuci AH umesto A.
Ako je A realna kvadratna matrica reda n, tada se analogno dokazujeda za svaki x, y ∈ Rn vazi
(Ax, y) = (x,ATy),
(x,Ay) = (ATx, y).
Teorema 1.15. Sve sopstvene vrednosti hermitske matrice su re-alne.
Dokaz. Neka je A hermitska matrica reda n i λ proizvoljna sopstvenavrednost matrice A, a x ∈ Cn jedan odgovarajuci sopstveni vektor. Tadaje Ax = λx i
λ · ||x||2 = λ(x, x) = (λx, x) = (Ax, x) = (x,AHx)
= (x,Ax) = (x, λx) = λ · ||x||2.
Kako je x 6= O, iz poslednje jednakosti sledi λ = λ, cime je dokaz zavrsen.2
6Ako x, y ∈ Cn tada je sa
(x, y) = yH · x =[
η1 η1 . . . η1]
·
ξ1ξ2...ξn
=
n∑
i=1
ξiηi
definisan skalarni proizvod u Cn.
61
Teorema 1.16. Sve sopstvene vrednosti koso-hermitske matrice sucisto imaginarni brojevi.
Dokaz. Neka je A koso-hermitska matrica reda n. tada je B = iAhermitska matrica i njene sopstvene vrednosti λ1, λ2, . . . , λn su premateoremi 1.15. realni brojevi. Sopstvene vrednosti matrice A = −iB su
−iλ1,−iλ2, . . . ,−iλn
i one su cisto imaginarni brojevi. 2
Teorema 1.17. Sve sopstvene vrednosti unitarne matrice imaju modul1.
Dokaz. Neka je A unitarna matrica reda n, λ jedna njena sopstvenavrednost i x odgovarajuci sopstveni vektor. Tada je Ax = λx i
|λ|2||x||2 = λλ(x, x) = (λx, λx) = (Ax,Ax) = (x,AHAx)
= (x, Ix) = (x, x) = ||x||2.
Dakle, |λ|2 = 1, sto smo i hteli da dokazemo. 2
Sopstvene vrednosti realne simetricne matrice su realne. Sopstvenevrednosti realne ortogonalne matrice imaju module jednake 1. Ova tvrde-nja slede iz teorema 1.15. i 1.17..
Lema 1.8. Ako je A normalna matrica, tada za svaki x ∈ Cn vaziimplikacija
Ax = O ⇒ AHx = O.
Dokaz. Iz Ax = O sledi
0 = (Ax,Ax) = (x,AHAx) = (x,AAHx) = (AHx,AHx) = ||AHx||2,
tj. AHx = O. 2
Teorema 1.18. Ako je x sopstveni vektor normalne matrice A zasopstvenu vrednost λ, tada je x sopstveni vektor matrice AH za sopstvenuvrednost λ.
62
Dokaz. Iz Ax = λx sledi
(1.56) (A− λI)x = O.
Matrica B = A − λI je takode normalna jer je BH = (A − λI)H =AH − λI i
BBH = (A− λI)(AH − λI)
= AAH − λAH − λA+ λλI
= AHA− λAH − λA+ λλI
= (AH − λI)(A− λI)
= BHB.
Prema tome, iz (1.56) na osnovu leme 1.8. sledi
(AH − λI)x = O
tj.AHx = λx,
sto je i trebalo dokazati. 2
Teorema 1.19. Sopstveni vektori normalne matrice koji odgovarajurazlicitim sopstvenim vrednostima su ortogonalni.
Dokaz. Neka su x1 i x2 sopstveni vektori normalne matrice A kojiodgovaraju sopstvenim vrednostima λ1 i λ2 pri cemu je λ1 6= λ2. Tada je
λ1(x1, x2) = (λ1x1, x2) = (Ax1, x2) = (x1, AHx2) = (x1, λ2x2) = λ2(x1, x2),
tj.(λ1 − λ2)(x1, x2) = 0.
Primetimo da smo ovde koristili teoremu 1.18.. Kako je λ1 6= λ2, izposlednje jednakosti sledi (x1, x2) = 0, sto znaci da su vektori x1 i x2
ortogonalni. 2
Teorema 1.20. Kvadratna matrica A je nilpotentna ako i samo akosu sve sopstvene vrednosti matrice A jednake 0.
63
Dokaz. Pretpostavimo, da kvadratna matrica A ima ne-nula sop-stvenu vrednost λ kojoj odgovara sopstveni vektor x. Tada je Ax = λxi Akx = λkx za svako k ∈ N . Zbog toga, nijedan stepen matrice A nijenula matrica, tj. A nije nilpotentna matrica.
Pretpostavimo, sada, da su sve sopstvene vrednosti matrice A jednake0. Tada je karakteristicni polinom matrice A jednak
P (λ) = (λ− λ1)(λ− λ2) · · · (λ− λn) = λn.
Na osnovu Cayley-Hamiltonove teoreme je P (A) = An = O, pa za-kljucujemo da je A nilpotentna matrica. 2
Teorema 1.21. Sopstvene vrednosti idempotentne matrice jednakesu 0 ili 1.
Dokaz. Neka je A2 = A i neka je x sopstveni vektor matrice A kojiodgovara sopstvenoj vrednostiλ. Tada je
λx = Ax = A2x = λ2x,
tj. (λ2−λ)x = o. Kako je x 6= o, iz poslednje jednakosti sledi λ2−λ = 0,tj. λ = 0 ili λ = 1. 2
64
