SPOJITÉ SIGNÁLY

Ing. Iveta Gladišová, PhD.

prof. Ing. Ján Mihalík, PhD.

Laboratórium číslicového spracovania obrazov a videokomunikácií

Katedra elektroniky a multimediálnych telekomunikácií

Fakulta elektrotechniky a informatiky

Technická univerzita v Košiciach

OBSAH

1. ZÁKLADNÉ POJMY A ROZDELENIE SIGNÁLOV.............................. ....1

2. ORTOGONALITA SIGNÁLOV............................................................... ....5

3. PERIODICKÉ SIGNÁLY.......................................................................... ..11

4. ZOVŠEOBECNENÁ SPEKTRÁLNA ANALÝZA

PERIODICKÝCH SIGNÁLOV……………….......................................... ..27

5. NEPERIODICKÉ SIGNÁLY.......................................................................37

6. KONVOLÚCIA A KORELÁCIA SPOJITÝCH SIGNÁLOV................... ..50

LITERATÚRA............................................................................................... ..62

1

1. ZÁKLADNÉ POJMY A ROZDELENIE SIGNÁLOV

Informácia je to súbor nových poznatkov o určitej udalosti, objekte, procese

a má náhodný charakter. Materiálnym nosičom informácie je signál a ten slúži

na jej prenos v priestore a čase.

Správa je vo všeobecnosti všetko, čo podlieha prenosu od odosielateľa

k príjemcovi (napr. hovor, text, obraz). Správa je vhodnou formou vyjadrená

informácia. Pri telefónnom hovore správou je spojitá časová zmena akustického

tlaku, ktorá predstavuje nielen zmysel viet, ale aj dynamiku, rytmus, zafarbenie

a iné vlastnosti reči. Pri prenose pohybujúcich sa obrazov v televíznej sústave

správa predstavuje časovú zmenu jasu prvkov obrazu.

Signál je ľubovoľný fyzikálny proces, ktorého stav sa v čase mení v súlade

s prenášanou správou resp. informáciou podľa vopred určených pravidiel.

Zaoberajme sa len elektrickými veličinami, kde fyzikálny proces predstavuje

niektorú z elektrických veličín. Signál je popísaný reálnou funkciou času. Signál

existuje vždy v nejakej sústave. Ďalej to môžeme prenášať na veľké

vzdialenosti, zaznamenávať, spracovávať. Na konci svojej existencie signál

môže vyvolávať nejaký dej napr. môže pôsobiť na pozorovateľa a vyvolať

v ňom nejakú reakciu. Sústava nemôže existovať bez signálov a naopak.

Sústava alebo systém je množina prvkov vhodným spôsobom spojených

a vzájomne na seba pôsobiacich pod vplyvom vonkajších a vnútorných signálov

za účelom plnenia požadovanej funkcie. Zaujímajú nás len elektronické prvky

resp. sústavy. Ak prvkami sústavy budú elektronické prvky napr.: tranzistor,

cievka, rezistor, atď. hovoríme o elektronických sústavách. Každá elektronická

sústava má vstup a výstup (obr.1.1).

Obr.1.1. Lineárne spojitá sústava (LSS) so vstupným signálom x(t) a výstupným

signálom y(t).

2

Rozdelenie signálov

1. determinované (nenáhodné) signály

2. stochastické (náhodné) signály

Determinované signály – môžeme popísať známou funkciou času, ktorá

zodpovedá známej prenášanej správe. Medzi základné typy determinovaných

signálov patria

1. periodické (harmonické, neharmonické)

2. kváziperiodické

3. neperiodické

Stochastické signály – nemôžu byť popísané známou funkciou času. V reálnych

podmienkach pri prenose informácie pomocou náhodného signálu nie je signál

v mieste príjmu vopred známy. Modelom týchto signálov môže byť nie jedna

funkcia, ale súbor funkcií t.j. reálne funkcie predstavujú náhodný proces. Každý

prijatý signál je realizáciou tohto procesu a túto realizáciu už môžeme opísať

determinovanou funkciou času, preto prenášané signály môžeme interpretovať

ako prvky resp. realizácie náhodného procesu. Náhodné procesy opisujeme

pomocou vhodných štatistických charakteristík. Stochastické signály delíme na:

1. nestacionárne

2. stacionárne (zvláštnu skupinu stacionárnych signálov tvoria ergodické

signály).

Kritériom rozdelenia stochastických signálov sú ich charakteristiky

(štatistická stredná hodnota, disperzia a autokorelačná funkcia).

Rozdelenie signálov z hľadiska spojitosti:

1. spojité v hodnote aj v čase (spojité, analógové signály – obr.1.2a)

2. spojité v hodnote, ale diskrétne v čase (diskrétne signály – obr.1.2b)

3. diskrétne v hodnote, ale spojité v čase (kvantované signály – obr.1.2c)

4. diskrétne v hodnote aj v čase (číslicové, digitálne signály – obr.1.2d)

3

a) b)

c) d)

Obr.1.2. Signál a) spojitý (analógový), b) diskrétny, c) kvantovaný,

d) číslicový (digitálny).

Signály niekedy delíme na:

1. výkonové

2. energetické.

Výkonové signály – majú nenulový avšak konečný stredný normovaný výkon na

intervale (−∞,∞). K výkonovým signálom patria periodické, kváziperiodické

a niektoré stochastické signály.

Energetické signály – majú nenulovú avšak konečnú normovanú energiu na

intervale (−∞,∞). K energetickým signálom patria niektoré neperiodické

a stochastické signály.

Stredný normovaný výkon reálneho signálu f(t) je daný výrazom

a / 22

aa / 2

1P lim f (t)dt,

a

(1.1)

4

kde a je parameter času spätý so signálom f(t). Pre periodické signály a = T.

Potom stredný normovaný výkon P periodického signálu f(t) má tvar

T / 22

T / 2

1P f (t)dt

T

. (1.2)

Normovanie je dané pôsobením signálu f(t) (napätie alebo prúd) na rezistore

s hodnotou odporu R = 1Ω.

Normovaná energia E reálneho signálu f(t) je definovaná

2E f (t)dt.

(1.3)

Signály, ktoré sa vyskytujú v technickej praxi, majú vždy vyjadrený

začiatok t=ta (zdroj reálneho, skutočne existujúceho signálu musel byť niekedy

zapnutý). Pre t < ta je signál rovný nule. Takýto signál sa nazýva kauzálny

(príčinný). Vzhľadom k tomu, že technické zdroje môžu dodať len obmedzené

množstvo energie, môže mať kauzálny signál nenulové hodnoty len do času tb.

Pre čas mimo intervalu ⟨𝑡𝑎, 𝑡𝑏⟩ je signál rovný nule. Takýto signál sa nazýva

finitný (konečný).

5

2. ORTOGONALITA SIGNÁLOV

Dvojica vektorov 𝑥 a 𝑦 je ortogonálna, ak pre ich skalárny súčin platí

𝑥 𝑦 = 0. Ak uvažujeme dvojrozmerný euklidovský priestor (rovinu) a vektory

ako: 𝑥 = (x1, x2), 𝑦 = (y1, y2). Ak ich skalárny súčin 𝑥 𝑦 = x1 y1+x2 y2 = 0,

potom sú vektory ortogonálne.

Uvažujme dva signály f1(t) a f2(t) na intervale <t1,t2>.

Obr.2.1. Priebeh dvoch signálov f1(t) a f2(t) s vyznačenými diskrétnymi

vzorkami odoberanými v okamihoch Δt.

Diskrétna reprezentácia signálov f1(t) a f2(t) ich 11-rozmernými vektormi 𝑓1 a 𝑓2

(obr. 2.1) bude vyzerať takto

𝑓1(𝑡) → 𝑓1 = [𝑓1(1), 𝑓1(2), 𝑓1(3), … , 𝑓1

(11)] (2.1)

𝑓2(𝑡) → 𝑓2 = [𝑓2(1), 𝑓2(2), 𝑓2(3), … , 𝑓2

(11)]. (2.2)

Vektory budú ortogonálne, ak ich skalárny súčin je nulový, t.j.

𝑓1 𝑓2 = 0 (2.3)

𝑓1 𝑓2 = 𝑓1(1)𝑓2(1)+ 𝑓1

(2)𝑓2(2)+⋯+ 𝑓1

(11)𝑓2(11)

= 0. (2.4)

6

Delenie intervalu <t1, t2> možno zjemňovať, tým sa posúvame vo vektorovom

priestore do väčších rozmerov a v limitnom prípade prechádzame do

vektorového priestoru s “∞“ rozmerom, ktorý sa nazýva signálový priestor.

Uvažujme, že počet zložiek vektorov 𝑓1 a 𝑓2 na intervale <t1, t2> je N,

potom

∑ 𝑓1(𝑖) 𝑓2(𝑖)𝑁

𝑖=1 = 0 , prenásobme ∆𝑡,

∆𝑡 ∑ 𝑓1(𝑖) 𝑓2(𝑖)𝑁

𝑖=1 = 0

lim𝑁→∞∆𝑡→0

∆𝑡 ∑ 𝑓1(𝑖)𝑓2(𝑖)𝑁

𝑖=1 = 0

prechádza na integrál ∫ 𝑓1(𝑡)𝑓2(𝑡)𝑑𝑡 = 0 , < 𝑡1, 𝑡2 >𝑡2𝑡1

t.j. skalárny súčin

dvoch signálov.

Súbor funkcií 𝜓1(t), 𝜓2(t),..., 𝜓n(t) je ortogonálny na intervale <t1, t2> , ak

tieto funkcie vyhovujú nasledujúcim podmienkam :

1.

∫ 𝜓𝑗(𝑡)𝜓𝑘(𝑡)𝑑𝑡 = 0 𝑡2𝑡1

ak 𝑗 ≠ 𝑘 (2.5)

2.

∫ 𝜓𝑗2(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐾𝑗

𝑡2𝑡1

ak j = k, (2.6)

kde Kj sú konštanty.

Ortonormálny systém funkcií

𝜑1(𝑡) =𝜓1(𝑡)

√𝐾1, 𝜑2(𝑡) =

𝜓2(𝑡)

√𝐾2,………… 𝜑𝑛(𝑡) =

𝜓𝑛(𝑡)

√𝐾𝑛

platí vtedy, ak budú splnené tieto podmienky:

1. ∫ 𝜑𝑗(𝑡) 𝜑𝑘(𝑡) 𝑑𝑡 = 0 𝑎𝑘 𝑗 ≠ 𝑘𝑡2𝑡1

, (2.7)

2. ∫ 𝜑𝑗2(𝑡) 𝑑𝑡 = 1 𝑎𝑘 𝑗 = 𝑘

𝑡2𝑡1

. (2.8)

Hovoríme mu tiež systém ortonormálny.

7

Aproximujme ľubovoľný signál f(t) na intervale 1 2t t , t lineárnou

kombináciou týchto n vzájomne ortogonálnych funkcií

n

k kk 1

f (t) a (t)

(2.9)

Optimálna aproximácia sa dosiahne vtedy, keď sa hodnoty konštánt a1, a2, ..., an

určia z podmienky, aby stredná kvadratická odchýlka ε bola minimálna.

Definujeme rozdielovú (chybovú) funkciu vzťahom

n

r k kk 1

f (t) f (t) a (t)

, (2.10)

potom stredná kvadratická odchýlka

ɛ =1

𝑡2 − 𝑡1∫ [𝑓(𝑡) −∑𝑎𝑘𝜓𝑘(𝑡)

𝑛

𝑘=1

]

2𝑡2

𝑡1

𝑑𝑡

(2.11)

Nájsť optimálnu aproximáciu znamená nájsť taký systém, aby 𝜺 = minimum,

teda

𝜕𝜀

𝜕𝑎1=

𝜕𝜀

𝜕𝑎2= ⋯ =

𝜕𝜀

𝜕𝑎𝑗= ⋯ = 0 (2.12)

𝜕

𝜕𝑎𝑗∫ [𝑓(𝑡) −∑𝑎𝑘𝜓𝑘(𝑡)

𝑛

𝑘=1

]

2𝑡2

𝑡1

𝑑𝑡 = 0

∫𝜕

𝜕𝑎𝑗[𝑓(𝑡) −∑𝑎𝑘𝜓𝑘(𝑡)

𝑛

𝑘=1

]

2

𝑑𝑡 = 0

𝑡2

𝑡1

pričom všetky členy takéhoto tvaru ∫ 𝜓𝑗(𝑡)𝜓𝑘(𝑡)𝑑𝑡 = 0𝑡2𝑡1

pre 𝑗 ≠ 𝑘, lebo sú

ortogonálne (z predpokladu). Takže tam, kde sa nám vyskytne takýto súčin je 𝜕

𝜕𝑎𝑗∫ 𝑓2(𝑡) 𝑑𝑡 =𝑡2𝑡1

𝜕

𝜕𝑎𝑗∫ 𝑎𝑘

2𝜓𝑘2(𝑡) 𝑑𝑡 =

𝑡2𝑡1

𝜕

𝜕𝑎𝑗∫ 2𝑎𝑘𝑓(𝑡)𝜓𝑘(𝑡) 𝑑𝑡 = 0𝑡2𝑡1

,

to platí len pre prípad, keď 𝑗 ≠ 𝑘.

8

Potom zostanú iba dva členy, ktoré sa nerovnajú nule a to

𝜕

𝜕𝑎𝑗∫ [−2𝑎𝑗𝑓(𝑡)𝜓𝑗(𝑡) + 𝑎𝑗

2𝜓𝑗2(𝑡)]𝑑𝑡 = 0

𝑡2

𝑡1

2 ∫ 𝑓(𝑡)𝜓𝑗(𝑡)𝑑𝑡 = 2𝑎𝑗 ∫ 𝜓𝑗2(𝑡)𝑑𝑡

𝑡2

𝑡1

𝑡2

𝑡1

čiže

𝑎𝑗 =∫ 𝑓(𝑡)𝜓𝑗(𝑡)𝑑𝑡𝑡2𝑡1

∫ 𝜓𝑗2𝑡2

𝑡1(𝑡)𝑑𝑡

=1

𝐾𝑗∫ 𝑓(𝑡)𝜓𝑗(𝑡)𝑑𝑡

𝑡2

𝑡1

pre j=1,2,...,n. (2.13)

Koeficienty aj nazývame zovšeobecnené Fourierove koeficienty. Za predpokladu

aproximácie funkcie f(t) na intervale <t1 ,t2) pomocou systému ornogonálnych

funkcií 𝜓𝑘(𝑡) pre k=1,...,n, potom optimálne koeficienty vypočítame ako podiel

skalárneho súčinu 𝑓(𝑡) 𝜓𝑗(𝑡) lomene skalárnym súčinom 𝜓𝑗(𝑡) 𝜓𝑗(𝑡).

Vypočítajme strednú kvadratickú odchýlku

휀 =1

𝑡2 − 𝑡1

[

∫ 𝑓2(𝑡)𝑑𝑡 +∑𝑎𝑘2 ∫ 𝜓𝑘

2(𝑡)𝑑𝑡

𝑡2

𝑡1⏟ 𝐾𝑘

𝑛

𝑘=1

𝑡2

𝑡1

− 2∑𝑎𝑘 ∫ 𝑓(𝑡)𝜓𝑘(𝑡)𝑑𝑡

𝑡2

𝑡1

𝑛

𝑘=1

]

∫ 𝑓(𝑡)⏟𝑎𝑘𝜓𝑘(𝑡)

𝜓𝑘(𝑡)𝑑𝑡

𝑡2

𝑡1

= 𝑎𝑘 ∫ 𝜓𝑘2(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑎𝐾𝐾𝐾

𝑡2

𝑡1

휀 =1

𝑡2 − 𝑡1[∫ 𝑓2(𝑡)𝑑𝑡 +∑𝑎𝑘

2𝐾𝐾 − 2∑𝑎𝑘2𝐾𝐾

𝑛

𝑘=1

𝑛

𝑘=1

𝑡2

𝑡1

]

휀 =1

𝑡2 − 𝑡1[∫ 𝑓2(𝑡)𝑑𝑡 −∑𝑎𝑘

2𝐾𝐾

𝑛

𝑘=1

𝑡2

𝑡1

]

(2.14)

9

Z rovnice je zrejmé, že ak zväčšujeme n, t.j. aproximujeme signál f(t) väčším

počtom elementárnych funkcií, odchýlka 휀 sa stane menšou.

Podľa definície je 휀 ≥ 0, preto v limite keď počet ortogonálnych členov 𝑛 → ∞

bude suma konvergovať k integrálu

lim𝑛→∞

∑𝑎𝐾2𝐾𝐾 = ∫ 𝑓2(𝑡)𝑑𝑡

𝑡2

𝑡1

𝑛

𝑘=1

(2.15)

Vtedy odchýlka ε bude nulová, preto

∫ 𝑓2(𝑡)𝑑𝑡

𝑡2

𝑡1

=∑𝑎𝐾2𝐾𝐾

∞

𝑘=1

(2.16)

a signál f(t) možno exaktne vyjadriť nekonečným zovšeobecneným Fourierovym

radom

k kk 1

f (t) a (t)

(2.17)

resp.

𝑓(𝑡) = 𝑎1𝜓1(𝑡) + 𝑎2𝜓2(𝑡) + ⋯+ 𝑎𝑘𝜓𝑘(𝑡) + ⋯

Rovnica poukazuje na to, že signál f(t) obsahuje zložky k(t), ktoré

majú veľkosť amplitúdy ak. Množinu nekonečného počtu vzájomne

ortogonálnych, resp. ortonormálnych funkcií, pomocou ktorej matematicky

popisujeme, čiže nahradzujeme signál f(t), nazývame úplnou množinou týchto

funkcií.

Na obr.2.2 je znázornená aproximácia pravouhlého impulzu s jednou, tromi

a siedmymi aproximujúcimi sínusovými funkciami.

10

a) b)

c)

Obr.2.2. Aproximácia pravouhlého impulzu a) jednou, b) tromi, c) siedmymi

ortogonálnymi sínusovými funkciami .

Existuje veľký počet množín ortogonálnych funkcií, preto daný signál možno

tiež vyjadriť veľkým počtom rôznych druhov ortogonálnych funkcií.

Z najznámejších množín ortogonálnych funkcií (ortogonálnych báz) možno

uviesť napr. trigonometrické, exponenciálne, Walshove funkcie, ako aj

Legendreove, Čebyševove, Hermitove, Laguerrove polynómy.

11

3. PERIODICKÉ SIGNÁLY

Periodický signál je taký determinovaný signál, ktorého matematický model

je funkciou času, ktorá vyhovuje podmienke:

f(t) = f (t + T) pre t є (− ∞; ∞), (3.1)

kde T – je perióda.

Rovnica vyjadruje základnú vlastnosť periodického signálu t.j., že sa priebeh f(t)

periodicky opakuje a že táto periodičnosť trvá „večne“.

Je zrejmé, že periodický signál sa nedá fyzikálne realizovať, lebo reálny signál

nemôže trvať „večne“. Periodický signál (funkcia) je len užitočná matematická

abstrakcia. Najjednoduchší a najrozšírenejší periodicky signál je tzv.

harmonický signál, ktorého matematickým modelom je kosínusová alebo

sínusová funkcia času

f(t) = A 𝑐𝑜𝑠 (Ω1t + φ0), (3.2)

kde Ω1 – kruhová frekvencia, A – amplitúda,

φ0 – počiatočná fáza , 𝑇 =2𝜋

Ω1 je perióda.

Obr.3.1. Priebeh harmonického signálu.

12

Na základe uvedenej rovnice možno vyjadriť spektrum harmonického signálu

dvoma dvojicami údajov A, Ω1 a 0, 1, čomu zodpovedajú dva body.

Spravidla ich však zobrazujeme v dvoch rovinách (An, ω) a (n , ω) pomocou

úsečiek (spektrálnych čiar) kolmých na os kruhových frekvencií ω a hovoríme

o amplitúdovom a fázovom frekvenčnom spektre (obr. 3.2).

Obr.3.2. Zobrazenie amplitúdového a fázového frekvenčného spektra

harmonického signálu.

Vyjadrenie signálu v časovej oblasti je ekvivalentné vyjadreniu vo frekvenčnej

oblasti. Harmonický signál môžeme tiež vyjadriť pomocou tzv. združených

rotujúcich vektorov (fázorov) takto

tjjtjjee

Aee

AtcosAtf 1010

0122

(3.3)

Na základe tejto rovnice dostaneme tzv. dvojstranné amplitúdové spektrum

𝐴

2, Ω1,

𝐴

2, -Ω1 a dvojstranné fázové spektrum 0, 1, -0, -1, viď

obr.3.3.

Obr. 3.3. Zobrazenie dvojstranného amplitúdového a fázového frekvenčného

spektra harmonického signálu.

13

Každý periodický signál možno predstaviť v tvare súčtu jednosmernej

zložky a nekonečného počtu harmonických (spektrálnych) zložiek, ktoré majú tú

vlastnosť, že kruhová frekvencia ľubovoľnej harmonickej zložky je celistvým

násobkom kruhovej frekvencie T/21 prvej základnej harmonickej zložky.

Amplitúdové a fázové spektrum periodického signálu možno graficky zobraziť

v tvare nekonečného počtu jednotlivých spektrálnych čiar, ktorých dĺžky sú

úmerne amplitúdam (fázam) príslušných harmonických zložiek. Spektrum

periodického signálu sa nazýva diskrétne alebo čiarové.

Matematický model periodických signálov – Fourierov rad

Každú periodickú funkciu, ktorá vyhovuje Dirichletovým podmienkam,

možno vyjadriť (popísať) pomocou Fourierovho radu. Slabá Dirichletova

podmienka (nevyhnutná podmienka) hovorí, že každú periodickú funkciu

možno vyjadriť Fourierovým radom s nekonečným alebo konečným počtom

členov, ak platí

T / 2

T / 2

f t dt

(3.4)

t.j. funkcia f(t) je absolútne integrovateľná na intervale T. Ak periodický signál

spĺňa túto slabú Dirichletovu podmienku, je zaručená podmienka existencie

Fourierovych koeficientov, ale tento rad nemusí ešte konvergovať v každom

bode. Napr., ak periodická funkcia f(t) má nekonečne veľkú hodnotu

v niektorom bode, potom Fourierov rad (FR), ktorý predstavuje jej matematický

model, bude mať v tomto bode nekonečnú hodnotu t.j. nekonverguje v tomto

bode. Preto musia byť splnené ešte ďalšie 3 „silné“ Dirichletove podmienky

(tzv. postačujúce). Ak periodická funkcia f(t) je ohraničená, ktorá v každej

perióde má najviac konečný počet miestnych maxím a miním a konečný počet

bodov nespojitosti, potom FR funkcie f(t) konverguje k nej vo všetkých bodoch,

kde f(t) je spojitá a konverguje k strednej hodnote limity sprava a zľava f(t)

v každom bode nespojitosti.

14

Poznáme tri základné tvary Fourierovho radu:

1. reálny kosínusovo – sínusový tvar,

2. reálny kosínusový (zlúčený, spojený) tvar,

3. komplexný (exponenciálny) tvar.

Reálne (trigonometrické) tvary Fourierovho radu

Je známe, že funkcie sin(nΩ1t) a cos( n Ω1t) tvoria ortogonálnu množinu na

každom intervale Tt,tt 00 , pričom 1/2T . Potom každú periodickú

funkciu f(t) možno pomocou týchto ortogonálnych funkcii vyjadriť v tvare ich

nekonečného súčtu na intervale t є < t0; t0+ T > ako

𝑓(𝑡) = 𝑎0 + ∑ ( 𝑎𝑛 cos nΩ1 t + 𝑏𝑛 sin nΩ1t)∞𝑛=1 . (3.5)

Rovnica predstavuje matematický model periodického signálu na intervale

Tt,tt 00 pomocou trigonometrického tvaru Fourierovho radu. Tento sa

niekedy nazýva obyčajný reálny tvar Fourierovho radu (FR).

Koeficienty 𝑎𝑛, 𝑏𝑛 sa dajú určiť nasledovne

𝑎𝑛 =∫ 𝑓(𝑡)𝑐𝑜𝑠 𝑛Ω1𝑡0+𝑇𝑡0

𝑡 𝑑𝑡

∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑛Ω1𝑡 𝑑𝑡𝑡0+𝑇𝑡0

, (3.6)

podobne

𝑏𝑛 =∫ 𝑓(𝑡)𝑠𝑖𝑛 𝑛Ω1𝑡𝑑𝑡𝑡0+𝑇𝑡0

∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑡0+𝑇𝑡0

𝑛Ω1𝑡 𝑑𝑡 . (3.7)

Ak 𝑛 = 0 , potom 𝑎0 =1

𝑇∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡𝑡0+𝑇

𝑡0 (3.8)

- t.j. časová stredná hodnota signálu f(t), ktorá je jednosmernou zložkou tohto

signálu.

Dá sa dokázať, že skalárne súčiny v menovateľoch sú rovné

15

∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑛Ω1𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑛Ω1𝑡 𝑑𝑡 = 𝑇

2

𝑡0+𝑇

𝑡0

𝑡0+𝑇

𝑡0

potom koeficienty FR

𝑎𝑛 =2

𝑇∫ f(t) cos nΩ1 t dt𝑡0+𝑇

𝑡0, (3.9)

𝑏𝑛 =2

𝑇∫ f(t) sin nΩ1 t dt𝑡0+𝑇

𝑡0. (3.10)

Pre párne a nepárne funkcie f(t) má Fourierov rad nasledovné vlastnosti:

Fourierov rad pre párne periodické funkcie fp(t) obsahuje len jednosmernú

zložku signálu a kosínusové členy radu, pričom sínusové členy sú nulové

1n

1n0p tncosaatf . (3.11)

Pre nepárne periodické funkcie fn(t) naopak obsahuje len sínusové členy

a kosínusové členy vrátane jednosmernej zložky sú nulové

1n

1nn tnsinbtf . (3.12)

Trigonometrický tvar FR možno upraviť do kosínusového tvaru, pretože

z trigonometrie platí, že

an cos nΩ1 t + bn sin nΩ1 t = 𝐴𝑛 cos (nΩ1t − ψn), (3.13)

𝑎𝑛cos (𝑛Ω1𝑡) reprezentuje 𝑛 = 𝑎𝑛𝑒𝑗𝑛Ω1𝑡, podobne

𝑏𝑛sin (𝑛Ω1𝑡) je 𝑛 = 𝑏𝑛𝑒𝑗(𝑛Ω1𝑡−

𝜋

2),

𝑛 je súčtom fázorov 𝑛 + 𝑛.

Potom

𝐴0 = 𝑎0 (3.14)

An = √an2 + bn

2 , (3.15)

𝜓𝑛 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 |𝑛|

|𝑛|= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝑏𝑛

𝑎𝑛 . (3.16)

16

Potom kosínusový tvar Fourierovho radu bude

𝑓(𝑡) = 𝑎0 +∑ A𝑛 cos (nΩ1t − ψ𝑛)∞

𝑛=1

(3.17)

An – je amplitúda n-tej harmonickej (kosínusovej) zložky signálu,

Ψn – počiatočná fáza n-tej harmonickej zložky signálu.

Príklad amplitúdového a fázového frekvenčného spektra periodického

signálu je na obr. 3.4.

Obr. 3.4. Zobrazenie jednostranného amplitúdového a fázového frekvenčného

spektra periodického signálu.

Kosínusový tvar Fourierovho radu predstavuje tzv. zlúčený reálny tvar FR.

Trigonometrický a kosínusový tvar Fourierovho radu sú navzájom ekvivalentné

tvary Fourierovho radu. Frekvencia 1 je základnou kruhovou (uhlovou)

frekvenciou a ostatné kruhové frekvencie 1 1 12 , 3 , ..., n atď. sú vyššie

harmonické. Preto sa Fourierova analýza niekedy nazýva aj harmonická

analýza.

Komplexný (exponenciálny) tvar Fourierovho radu

Množina exponenciálnych funkcií ejnΩ

1t pre n= 0, 1, 2,... tvorí úplný

systém ortogonálnych funkcií na intervale t є <t0, t0 + T> pre každú hodnotu t0.

Preto periodickú funkciu f(t) možno vyjadriť pomocou lineárnej kombinácie

exponenciálnych funkcií na intervale t є <t0, t0 + T> v tvare

f(t) = ∑ Fn∞

n=−∞ejnΩ1t . (3.18)

17

Rovnica vyjadruje komplexný tvar Fourierovho radu a zároveň predstavuje

inverznú (spätnú) transformáciu pre periodické signály z frekvenčnej diskrétnej

oblasti do časovej spojitej oblasti.

Fourierove koeficienty v tomto rade možno určiť nasledovne (rov.2.13)

𝑛 =∫ 𝑓(𝑡)(𝑒𝑗𝑛𝛺1𝑡)

∗𝑡0+𝑇

𝑡0𝑑𝑡

∫ 𝑒𝑗𝑛𝛺1𝑡 (𝑒𝑗𝑛𝛺1𝑡)∗𝑑𝑡⏟ ∗ −𝑘𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑜𝑣𝑎𝑛ý č𝑙𝑒𝑛

𝑡0+𝑇

𝑡0

=∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑗𝑛𝛺1𝑡𝑑𝑡𝑡0+𝑇

𝑡0

∫ 𝑒𝑗𝑛𝛺1𝑡𝑒−𝑗𝑛𝛺1𝑡𝑑𝑡𝑡0+𝑇

𝑡0

=

=1

𝑇∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑗𝑛𝛺1𝑡𝑑𝑡𝑡0+𝑇

𝑡0 .

Je zrejmé, že podmienkou existencie Fourierovho radu je, aby existovali všetky

koeficienty 𝑛. Keďže absolútna hodnota z funkcie |𝑒−𝑗𝑛𝛺1𝑡| = 1, potom sa dá

ľahko dokázať, že

|𝑛| <1

𝑇∫ |𝑓(𝑡)|𝑑𝑡 ≤ 𝑀𝑡0+𝑇

𝑡0 ;

pričom M = konečné číslo.

Z toho vyplýva, že ak „ ʃ “ na pravej strane je konečný, potom Fn je konečné

(𝐹𝑛 = |𝑛|) a t.z., že koeficienty 𝑛 budú existovať, ak 𝑓(𝑡) je absolútne integ-

rovateľná na intervale jednej periódy, čiže ak ∫ |𝑓(𝑡)|𝑑𝑡𝑡0+𝑇

𝑡0 je konečný.

Fourierove komplexné koeficienty nF teda vypočítame zo vzťahu

0

1

0

t Tjn t

n 1

t

1F F n f (t)e dt

T

, (3.19)

ktorý vyjadruje priamu Fourierovu transformáciu periodického signálu

z časovej spojitej oblasti do frekvenčnej diskrétnej oblasti. Vzťah medzi f(t) a

nF daný rovnicami (3.18) a (3.19) môžeme skrátene napísať takto

nf t F , (3.20)

f(t) je spojitou funkciou parametra t, zatiaľ čo funkcia Fn je funkciou diskrétneho

parametra nΩ1. Ide o transformácie z časovej oblasti (spojitej) do frekvenčnej

diskrétnej oblasti a naopak.

18

Ďalej platia vzťahy: 𝑛 =1

2(𝑎𝑛 − 𝑗𝑏𝑛), (3.21)

000 AaF . (3.22)

Komplexný koeficient môžeme vyjadriť v tvare

Fn = Fne+jφn (3.23)

kde Fn – je amplitúda n-tej harmonickej zložky (n = 0, ±1, ±2,...),

φn – počiatočná fáza n-tej harmonickej zložky.

Potom modulové (amplitúdové ) frekvenčné spektrum

Fn = |Fn| =1

2√an

2 + bn2 =

1

2An . (3.24)

Argumentové (fázové) frekvenčné spektrum

φn = arg Fn = arctg Im Fn

Re Fn= −arctg

bn

an= −ψn . (3.25)

Na obr.3.5 je zobrazená ukážka modulového a argumentového frekvenčného

spektra.

a)

19

b)

Obr. 3.5. Zobrazenie a) modulového a b) argumentového frekvenčného spektra

periodického signálu.

Ak označíme komplexný koeficient n-F pre n= -1, -2, -3,... potom platí

Fn = Fnejφn pre n = 1, 2, 3, ... (3.26)

F−n = Fne−jφn pre n = -1, -2, -3, ... (3.27)

Z uvedených vzťahov je zrejmé, že platí

Fn = F−n∗ (3.28)

Koeficienty Fn a F−n sú voči sebe komplexne združené (konjugované).

Z toho vyplývajú dve vlastnosti modulového a argumentového spektra.

Modulové spektrum je vždy funkcia párna t.j. 𝐹𝑛 = 𝐹−𝑛.

Argumentové spektrum je vždy funkcia nepárna t.j. φn = −φ−n

Platí, že

𝑛𝑒𝑗𝑛Ω1𝑡 + −𝑛𝑒

−𝑗𝑛Ω1𝑡 = 𝐹𝑛𝑒𝑗𝜑𝑛𝑒𝑗𝑛Ω1𝑡 + 𝐹𝑛𝑒

−𝑗𝜑𝑛𝑒−𝑗𝑛Ω1𝑡 =

= 𝐹𝑛[𝑒𝑗(𝑛Ω1𝑡+𝜑𝑛) + 𝑒−𝑗(𝑛Ω1𝑡+𝜑𝑛)] = 2𝐹𝑛cos (𝑛Ω1𝑡 + 𝜑𝑛),

z čoho vyplývajú nasledujúce vzťahy medzi amplitúdovým a modulovým

spektrom, ako aj medzi fázovým a argumentovým spektrom

An = 2Fn a Ψn = -φn (3.29)

20

Spektrá periodických signálov

Fourierov rad ako matematický model periodického signálu predstavuje

v skutočnosti rozloženie periodickej funkcie na harmonické zložky rôznej

frekvencie. To znamená, že každý periodický signál f(t) ma svoje spektrum

frekvencií, čiže frekvenčné spektrum (v ďalšom skrátene len spektrum).

Naopak, ak poznáme spektrum periodického signálu možno z neho určiť

príslušnú periodickú funkciu f(t). Spektrum periodického signálu nie je spojitá

funkcia, ale existuje len pre diskrétne hodnoty n1.

Charakteristickým znakom periodického signálu je, že má diskrétne

spektrum, ktoré sa niekedy nazýva čiarovým spektrom. Spektrum periodického

signálu možno určiť pomocou Fourierovho radu.

Ak definujeme spektrum na základe kosínusového tvaru FR, potom

dvojice hodnôt 1n n,A pre n=0, 1, 2,... tvoria amplitúdové spektrum signálu

f(t) a dvojice hodnôt 1n n, tvoria fázové spektrum signálu f(t). Amplitúdy

sú vždy nezáporné čísla, zatiaľ čo počiatočné fázy môžu nadobúdať hodnoty

kladné, záporné a nulové.

Podobne môžeme definovať spektrum na základe komplexného tvaru FR.

Dvojice hodnôt 1n n,F a 1n n, pre ,...2,1,0n tvoria modulové

a argumentové spektrum signálu f(t). Modulové spektrum je vždy nezáporné

a vyjadrené pomocou Fn , ktoré je párnou funkciou, t.j. Fn = F-n. Argumentové

spektrum môže nadobúdať kladné, záporné aj nulové hodnoty a vyjadrené

pomocou n je nepárnou funkciou, t.j. n = --n .

V tomto exponenciálnom tvare sa vyskytujú záporné frekvencie. Vzniká

rozpor, že frekvencia je definovaná ako počet cyklov za sekundu a ten môže byť

len kladný. V exponenciálnom tvare FR vystupuje frekvencia ako index

(exponent) to znamená, že v tomto prípade pojem zápornej frekvencie je spojený

s pojmom záporného exponentu. V dôsledku symetrie exponenciálneho radu

môžeme kombináciou dvoch zložiek so zápornou a kladnou frekvenciou

(absolútna hodnota týchto frekvencií je rovnaká) dostať vždy reálnu harmonickú

funkciu už s kladnou (reálnou) frekvenciou Ω1.

21

Obálka spektra periodického signálu

Spojitá krivka spojujúca koncové body spektrálnych čiar sa nazýva obálkou

spektra (buď amplitúdového, modulového, fázového či argumentového).

Obálku komplexného spektra dostaneme nasledovne:

𝐹 = (𝑛Ω1⏟Ω

) =1

𝑇∫𝑓(𝑡) 𝑒

−𝑗𝑛Ω1⏟𝑡Ω 𝑑𝑡

𝑇2

−𝑇2

n=0, ±1, ±2, ... (3.30)

𝑜𝑏(Ω) =1

𝑇∫𝑓(𝑡) 𝑒−𝑗Ω𝑡𝑑𝑡

𝑇2

−𝑇2

(3.31)

predstavuje spojnicu koncových bodov komplexného spektra. Je výhodnejšie

pracovať s obálkou modulového a argumentového spektra

𝑜𝑏 = 𝐹𝑜𝑏(Ω) 𝑒𝑗𝜑(Ω). (3.32)

obobF F je obálka modulového spektra a obFargob je

obálka argumentového spektra. Na obr.3.6 je ukážka obálky amplitúdového

spektra periodického signálu.

Obr. 3.6. Obálka amplitúdového spektra periodického signálu.

22

Výkonové spektrum a Parcevalova teoréma periodického signálu

Ak predpokladáme, že reálny periodický signál f(t) predstavuje napätia alebo

prúd, potom integrál

1

𝑇∫𝑓(𝑡)2 𝑑𝑡

𝑇2

−𝑇2

= 𝑃

(3.33)

predstavuje stredný normovaný výkon P dodaný signálom f(t) do odporu

R = 1Ω. Tento integrál sa niekedy nazýva stredný výkon ( v ďalšom skrátene len

výkon) periodického signálu f(t). Frekvenčné spektrum signálu f(t) predstavuje

amplitúdy jeho harmonických frekvenčných zložiek. Na každú frekvenčnú

zložku pripadá určitá časť celkového stredného výkonu. Tak, ako máme

amplitúdové spektrum pre harmonické frekvenčné zložky, tak isto máme

výkonové spektrum korešpondujúce s výkonom spojeným s jednotlivými

harmonickými zložkami signálu f(t).

Výkonové spektrum predstavuje teda rozloženie výkonu periodického

signálu na jednotlivé zložky amplitúdového spektra.

Rozvoj periodickej funkcie pomocou Fourierovho radu

𝑓(𝑡) = ∑ 𝐹

∞

𝑛=−∞

𝑒𝑗𝑛Ω1𝑡 .

(3.34)

Potom platí

𝑃 =1

𝑇∫𝑓(𝑡)2 𝑑𝑡

𝑇2

−𝑇2

=1

𝑇∫𝑓(𝑡)𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑇2

−𝑇2

=1

𝑇∫ [𝑓(𝑡) ∑ 𝑛𝑒

𝑗𝑛Ω1𝑡

∞

𝑛=−∞

] 𝑑𝑡

𝑇2

−𝑇2

Matematickú operáciu integrovania a sumácie možno zameniť poradím, čiže

23

𝑃 =1

𝑇∫𝑓(𝑡)2𝑑𝑡 =

𝑇2

−𝑇2

1

𝑇∑ 𝑛 ∫𝑓(𝑡)

𝑇2

−𝑇2

𝑒𝑗𝑛Ω1𝑡∞

𝑛=−∞

𝑑𝑡

𝑃 = ∑ 𝑛−𝑛 =

∞

𝑛=−∞

∑ 𝑛𝑛∗ = ∑ |𝑛|

2 = ∑ 𝑆𝑛 ,

∞

𝑛=−∞

∞

𝑛=−∞

∞

𝑛=−∞

(3.35)

kde hviezdička * značí konjugovanú hodnotu (𝑛∗ = −𝑛). Výkonové spektrum

periodického signálu je definované ako kvadrát modulového spektra Sn=Fn2 a je

tiež diskrétne.

Rov.(3.35) predstavuje Parcevalovu teorému vo frekvenčnej oblasti, ktorá

vyjadruje, že stredný normovaný výkon periodického signálu je daný súčtom

stredných normovaných výkonov jednotlivých harmonických zložiek. Pretože

platí

2 2 2n n nF F F (3.36)

možno rov. (3.35) prepísať do tvaru

1n 1n

2n

20

2n

20 A

2

1aF2FP

(3.37)

Dôkaz: vieme, že 𝐹𝑛 = 𝐹−𝑛; 𝐴𝑛 = 2𝐹𝑛 => 𝐹𝑛 =𝐴𝑛

2.

Pre normovaný výkon Pn elementárnej zložky (na jednotkovom odpore) platí

𝑃 =𝑈𝑒𝑓2

𝑅 ak 𝑅 = 1Ω → 𝑃 = 𝑈𝑒𝑓

2 ; 𝑈𝑒𝑓 =𝑈𝑚

√2 → 𝑈𝑒𝑓

2 =𝑈𝑚2

2

Sčítajme zložky výkonového spektra

𝑆𝑛 + 𝑆−𝑛 = 𝐹𝑛2 + 𝐹−𝑛

2 =𝐴𝑛2

4+𝐴𝑛2

4=𝐴𝑛2

2= 𝑃𝑛 (3.38)

Z rov.(3.37) vyplýva, že výkon periodického signálu nezávisí od fáz

jednotlivých harmonických zložiek. To znamená, že zmena tvaru signálu

spôsobená zmenou fázových vzťahov vo vnútri spektra nie je spojená so zmenou

24

výkonu signálov. Z toho vyplýva, že voľba počiatku v súradnej sústave pri

rozložení do Fourierovho radu nemá vplyv na určenie výkonu periodického

signálu.

Výkonové spektrum je funkcia párna, je diskrétne resp. čiarové,

definované v bodoch 0, ±Ω1, ±2Ω1, ....atď.

Praktická šírka frekvenčného spektra periodického signálu

Reálne sústavy obsahujú zotrvačné prvky (cievky, kondenzátory), ktoré

zabraňujú prenosu spektrálnych zložiek s ľubovoľnou frekvenciou. Preto pri

prenose periodického signálu cez reálnu sústavu môžeme preniesť len určitý

konečný počet spektrálnych zložiek periodického signálu z nekonečne veľkého

počtu týchto zložiek. Treba preniesť tú časť spektra signálu, ktorá obsahuje

harmonické zložky s pomerne veľkými amplitúdami resp. výkonom. Je výhodne

zaviesť pojem praktickej šírky spektra signálu.

Pod praktickou šírkou spektra periodického signálu budeme rozumieť

frekvenčný rozsah B, v ktorom sa nachádzajú spektrálne zložky signálu

s amplitúdami väčšími alebo výkonom väčším, ako je vopred daná (zvolená)

hodnota. Pretože sa stredný výkon dodaný periodickým signálom do činného

jednotkového odporu R skladá z výkonov dodávaných do tohto odporu

harmonickými zložkami, ako to vidno z rov.(3.37), praktickú šírku spektra

z výkonového hľadiska možno určiť ako frekvenčný rozsah, v ktorom je

sústredená podstatná časť výkonu signálu.

Kváziperiodické signály

Uvažujme signál a(t), ktorý vznikne súčtom dvoch harmonických signálov

a1(t) a a2(t)

𝑎(𝑡) = 𝑎1(𝑡) + 𝑎2(𝑡) = 𝐴1𝑐𝑜𝑠(𝜔1𝑡 + 𝜑1) + 𝐴2𝑠𝑖𝑛(𝜔2𝑡 + 𝜑2),

(3.39)

Signály zobrazíme fázormi (rotujúcimi vektormi).

Z obr. 3.7 je zrejme, že výsledný signál a(t) reprezentovaný vektorom (𝑡) bude

harmonický len vtedy, keď trajektória signálu (𝑡) bude uzavretá krivka, t.j.,

25

keď po určitej dobe (doba jednej periódy T) sa obidva vektory 1(𝑡), 2(𝑡)

dostanú do počiatočnej polohy, ktorú mali v okamžiku čas t=0.

Uvažovali sme 𝜔2 = 2𝜔1.

Na všetkých troch trajektóriách sú krúžkom a číslom indexu vyznačené

nasledujúce okamžiky (pričom 𝑇1 =2𝜋

𝜔1): 𝑡0 = 0, t1 =

𝑇1

8, t2 =

2𝑇1

8, .........,

t8 = 8𝑇1

8 = 𝑇1.

Obr. 3.7. Uzavretá krivka pre periodický signál.

Je zrejme, že po dobe t = T1 sa dostali obidva vektory do svojej počiatočnej

polohy. Signál (𝑡) je teda periodický signál s periódou T=T1 (ak sčítame dva

26

periodické signály v tomto prípade, dostaneme znovu periodický signál). Ďalej

rozšírme úvahu na súčet n harmonických signálov. Výsledný signál bude

periodický len vtedy, ak za určitú dobu T opíše každý z vektorov presne celistvý

násobok uhla 2𝜋 , t.j. keď bude platiť

𝜔1𝑇 = 𝑘12𝜋

𝜔2𝑇 = 𝑘22𝜋

.

.

𝜔𝑛𝑇 = 𝑘𝑛2𝜋

kde k1,k2, ... kn sú celé čísla. Pre 𝑛 = 2 dostaneme delením prvých dvoch

vzťahov

𝜔1𝜔2 =

𝑘1𝑘2

Ak je tento pomer kruhových frekvencií racionálne číslo, potom výsledný signál

je periodický.

Naopak, ak je tento pomer iracionálne číslo, potom perióda rastie nad všetky

medze. Signál už nie je periodický, hoci má diskrétne (čiarové) spektrum.

Hovoríme, že je to kváziperiodický signál.

Kváziperiodický signál má teda diskrétne spektrum, podobne ako periodický

signál, z toho potom vyplýva, že čiarové spektrum neznamená, že patrí vždy

periodickému signálu.

Príklad:

a) Zistite charakter signálu: a(𝑡) = 𝐴1𝑐𝑜𝑠 𝜔1𝑡 + 𝐴2𝑐𝑜𝑠 1,731𝜔1𝑡.

𝜔1𝜔2 =

𝜔11,731𝜔1

=1

1,731 103

103=1000

1731

Výsledkom je racionálne číslo, t.j. signál je periodický.

b) Zistite charakter signálu: a(𝑡) = 𝐴1𝑐𝑜𝑠 𝜔1𝑡 + 𝐴2𝑐𝑜𝑠 √3𝜔1𝑡.

𝜔1𝜔2 =

𝜔1

√3𝜔1=1

√3 → iracionálne číslo

Signál je kváziperiodický.

27

4. ZOVŠEOBECNENÁ SPEKTRÁLNA ANALÝZA

PERIODICKÝCH SIGNÁLOV

Prechod od systému harmonických funkcií k zovšeobecnenému systému

ortogonálnych funkcií má za následok, že v niektorých prípadoch sa

matematický aparát zjednoduší, v iných sa skomplikuje.

Zatial čo v prípade harmonických signálov pracujeme s pojmami

frekvencia, frekvenčné spektrum (amplitudové, fázové, výkonové) v prípade

neharmonických ortogonálnych funkcií je potrebné zovšeobecniť pojem

frekvencia na sekvencia a frekvenčné spektrum na sekvenčné spektrum.

Sekvencia ako zovšeobecnený pojem frekvencie predstavuje

u neperiodických funkcií (s nerovnomerným rozložením priesečníkov nulovej

úrovne) polovicu stredného počtu pretnutí nulovej úrovne signálu (t.j. zmien

znamienka) za sekundu. V prípade harmonických, resp. periodických signálov je

pojem sekvencia totožný s pojmom frekvencia. Pre ilustráciu uvažujeme spojitú

periodickú 𝑓𝑝(𝑡) a neperiodickú 𝑓𝑛(𝑡) funkciu na polootvorenom intervale

⟨– 0,5; 0,5) na obr.4.1.

Obr. 4.1. Periodická a neperiodická ortogonálna funkcia na jednotkovom

intervale.

Každá z týchto funkcií ma 4 priesečníky s nulovou úrovňou na danom

intervale a preto ich sekvencia je rovná 2. Podobne, ako sa frekvencia meria

počtom periód za sekundu, resp. v Hertzoch (Hz), tak sekvencia sa určí počtom

pretnutí nulovej úrovne za sekundu (zero - crossings per second).

28

Obsahom zovšeobecnenej spektrálnej analýzy periodických signálov bude

rozklad týchto signálov na elementárne, vo všeobecnosti neharmonické

ortogonálne zložky.

Systém Walshovych funkcií

Walshove funkcie tvoria usporiadanú nekonečnú množinu pravouhlých

impulzov, ktoré majú len dve možné hodnoty amplitúdy (+1 alebo -1)

a predstavujú úplný systém ortogonálnych funkcií. Podobne ako harmonické

funkcie sú závislé od dvoch argumentov, a to od času t (najčastejšie to bude

normovaný čas) a od poradového čísla k.

Značíme ich 𝑤𝑎𝑙(𝑘, 𝑡), pričom na základe analógie s harmonickými

funkciami (cos, sin) môžeme rozlišovať párne (kosínusové - Walshove)

𝑐𝑎𝑙(𝑘, 𝑡) aj nepárne (sínusové - Walshove) 𝑠𝑎𝑙(𝑘, 𝑡) funkcie, ktoré sú dané

nasledovne

𝑐𝑎𝑙(𝑘, 𝑡) = 𝑤𝑎𝑙(2𝑘, 𝑡), 𝑘 = 0,1,2, … (4.1)

𝑠𝑎𝑙(𝑘, 𝑡) = 𝑤𝑎𝑙(2𝑘 − 1, 𝑡), 𝑘 = 1,2,… (4.2)

Normovaný časový interval ⟨– 0,5; 0,5) je jednotkový, normovanie periódou T

t.j 𝑡 𝑇⁄ .

Podľa usporiadania Walshovych funkcií ich delíme na tri skupiny :

1. Usporiadanie Walshove (sekvenčné) - 𝑤𝑎𝑙𝑤(𝑘, 𝑡)

2. Usporiadanie Paleyho (dyadické) - 𝑤𝑎𝑙𝑝(𝑘, 𝑡)

3. Usporiadanie Hadamardove (prirodzené) - 𝑤𝑎𝑙ℎ(𝑘, 𝑡)

Usporiadanie Walshove súvisí s pojmom sekvencia, čiže s počtom

pretnutí nulovej úrovne; usporiadanie Paleyho je odvodené multiplikáciou

z Rademacherovych funkcií a usporiadanie Hadamardove z Hadamardovych

matíc.

Korelácia medzi poradovými číslami v jednotlivých usporiadaniach je daná

Grayovym kódom. Usporiadanie Walshove je vhodné pre prenosovú techniku

a pre spracovanie signálov (napr. spektrálna analýza a filtrácia signálov).

Usporiadanie Paleyho a Hadamardove sa hodí viac pre zvýšenie výpočtovej

účinnosti.

29

Walshove funkcie 𝑤𝑎𝑙𝑤(𝑘, 𝑡) na intervale ⟨– 0,5; 0,5) môžeme určiť

z nasledujúcej rov.

4

121

4

1212

2t,kwalt,kwalt,pkwal w

pk

w

p/kint

w

kde 𝑘 = 0,1,2, … , a parameter 𝑝 = 0 alebo 1, pričom

𝑤𝑎𝑙𝑤(0, 𝑡) = 1, 𝑎𝑘 − 0,5 ≤ 𝑡 < 0,5 0, 𝑎𝑘 𝑡 < −0,5 , 𝑡 ≥ 0,5

(4.3)

Označenie 𝑖𝑛𝑡(𝑘 2⁄ ) je celé číslo menšie alebo rovné 𝑘 2⁄ . Aby sme bližšie

objasnili túto rovnicu, analyzujeme funkciu 𝑤𝑎𝑙𝑤(𝑘, 𝑡). Potom funkcia

𝑤𝑎𝑙𝑤(𝑘, 2𝑡) má rovnaký tvar, ale odlišuje sa od 𝑤𝑎𝑙𝑤(𝑘, 𝑡) tým, že je stlačená

do intervalu −1 4⁄ ≤ 𝑡 < 1 4⁄ . Funkciu 𝑤𝑎𝑙𝑤 [𝑘, 2 (𝑡 +1

4)] dostaneme

posunutím funkcie 𝑤𝑎𝑙𝑤(𝑘, 2𝑡) vľavo do intervalu −0,5 ≤ 𝑡 < 0 a funkciu

𝑤𝑎𝑙𝑤 [𝑘, 2 (𝑡 −1

4)] dostaneme posunutím tejto funkcie vpravo do intervalu

0 ≤ 𝑡 < 0,5 , viď obr. 4.2.

Napr. nech 𝑘 = 0, 𝑝 = 1 alebo 𝑘 = 2, 𝑝 = 1, potom máme

𝑤𝑎𝑙𝑤(1, 𝑡) = (−1)0+1𝑤𝑎𝑙𝑤[0,2(𝑡 + 1 4⁄ )] + (−1)0+1𝑤𝑎𝑙𝑤[0,2(𝑡 − 1 4⁄ )]

𝑤𝑎𝑙𝑤(5, 𝑡) = (−1)1+1𝑤𝑎𝑙𝑤[2,2(𝑡 + 1 4⁄ )] + (−1)2+1𝑤𝑎𝑙𝑤[2,2(𝑡 − 1 4⁄ )]

Na základe predchádzajúcej rovnice možno dokázať, že

𝑤𝑎𝑙𝑤(𝑚, 𝑡) 𝑤𝑎𝑙𝑤(𝑘, 𝑡) = 𝑤𝑎𝑙𝑤(𝑚⊕ 𝑘, 𝑡) (4.4)

pričom znak ⊕ označuje súčet modulo 2. To znamená, že súčinom ľubovoľnej

dvojice Walshovych funkcií je tiež Walshova funkcia s poradovým číslom

𝑚⊕𝑘.

Napr. násobením 𝑤𝑎𝑙𝑤(6, 𝑡) 𝑤𝑎𝑙𝑤(12, 𝑡) = 𝑤𝑎𝑙𝑤(10, 𝑡) ,

pretože z dvojkovej reprezentácie čísel 6 a 12 máme

0 1 1 0 = 6⊕ 1 1 0 0 = 12 1 0 1 0 = 10

30

Obr. 4.2. Grafický postup tvorby Walshovej funkcie 𝑤𝑎𝑙𝑤(1, 𝑡).

V špeciálnych prípadoch dostaneme

𝑤𝑎𝑙𝑤(𝑘, 𝑡) 𝑤𝑎𝑙𝑤(𝑘, 𝑡) = 𝑤𝑎𝑙𝑤(0, 𝑡), 𝑘 ⊕ 𝑘 = 0 (4.5)

𝑤𝑎𝑙𝑤(𝑘, 𝑡) 𝑤𝑎𝑙𝑤(0, 𝑡) = 𝑤𝑎𝑙𝑤(𝑘, 𝑡), 𝑘 ⊕ 0 = 𝑘 (4.6)

Dyadické usporiadanie Walshovych funkcií bolo zavedené Paleyom.

V tomto prípade parametrom pre usporiadanie Walshovych funkcií je Grayov

kód počtu pretnutí nulovej úrovne na otvorenom jednotkovom intervale

0 < 𝑡 < 1.

31

Vzťah medzi dyadicky a sekvenčne usporiadanými Walshovymi funkciami je

𝑤𝑎𝑙𝑝(𝑘, 𝑡) = 𝑤𝑎𝑙𝑤[𝑏(𝑘), 𝑡] (4.7)

kde 𝑏(𝑘) reprezentuje predpis pre prechod od Grayovho kódu k prirodzenému

dvojkovému (binárnemu) kódu. Analogicky platí

𝑤𝑎𝑙𝑝(𝑚, 𝑡) 𝑤𝑎𝑙𝑝(𝑘, 𝑡) = 𝑤𝑎𝑙𝑝(𝑚⊕ 𝑘, 𝑡) (4.8)

V tab.4.1 je zobrazené získanie prvých piatich dyadicky usporiadaných

Walshovych funkcií.

Tabuľka 4.1

(𝑘)10 (𝑘)2 𝑏(𝑘)2 𝑏(𝑘)10 𝑤𝑎𝑙𝑝(𝑘, 𝑡) = 𝑤𝑎𝑙𝑤[𝑏(𝑘), 𝑡]

0 000 000 0 𝑤𝑎𝑙𝑝(0, 𝑡) = 𝑤𝑎𝑙𝑤[0, 𝑡]

1 001 001 1 𝑤𝑎𝑙𝑝(1, 𝑡) = 𝑤𝑎𝑙𝑤[1, 𝑡]

2 010 011 3 𝑤𝑎𝑙𝑝(2, 𝑡) = 𝑤𝑎𝑙𝑤[3, 𝑡]

3 011 010 2 𝑤𝑎𝑙𝑝(3, 𝑡) = 𝑤𝑎𝑙𝑤[2, 𝑡]

4 100 111 7 𝑤𝑎𝑙𝑝(4, 𝑡) = 𝑤𝑎𝑙𝑤[7, 𝑡]

Prirodzené (Hadamardove) usporiadanie Walshovych funkcií dostaneme

preusporiadaním sekvenčne usporiadaných Walshovych na základe vzťahu

𝑤𝑎𝑙ℎ(𝑘, 𝑡) = 𝑤𝑎𝑙𝑤[𝑏(⟨𝑘⟩), 𝑡] (4.9)

kde ⟨𝑘⟩ je reverzne (odzadu) zapísané dvojkové číslo𝑘 a 𝑏(⟨𝑘⟩) reprezentuje

predpis prechodu od Grayovho kódu k binárnemu kódu.

V tab. 4.2 je prvých päť prirodzene usporiadaných Walshovych funkcií.

32

Tabuľka 4.2

(𝑘)10 (𝑘)2 (⟨𝑘⟩)2 𝑏(⟨𝑘⟩)2 𝑏(⟨𝑘⟩)10 𝑤𝑎𝑙ℎ(𝑘, 𝑡) = 𝑤𝑎𝑙𝑤[𝑏(⟨𝑘⟩), 𝑡]

0 000 000 000 0 𝑤𝑎𝑙ℎ(0, 𝑡) = 𝑤𝑎𝑙𝑤[0, 𝑡]

1 001 100 111 7 𝑤𝑎𝑙ℎ(1, 𝑡) = 𝑤𝑎𝑙𝑤[7, 𝑡]

2 010 010 011 3 𝑤𝑎𝑙ℎ(2, 𝑡) = 𝑤𝑎𝑙𝑤[3, 𝑡]

3 011 110 100 4 𝑤𝑎𝑙ℎ(3, 𝑡) = 𝑤𝑎𝑙𝑤[4, 𝑡]

4 100 001 001 1 𝑤𝑎𝑙ℎ(4, 𝑡) = 𝑤𝑎𝑙𝑤[1, 𝑡]

Systém Rademacherovych funkcií

Príkladom neúplného systému ortogonálnych funkcií je množina

Rademacherovych funkcií 𝑟𝑎𝑑(𝑘, 𝑡), ktorá reprezentuje rady pravouhlých

impulzov s jednotkovou striedou a počtom periód 2𝑘−1 na polootvorenom

intervale ⟨0, 1), pričom hodnoty impulzov môžu byť ±1, viď obr. 4.3. Prvá

funkcia 𝑟𝑎𝑑(0, 𝑡) sa rovná jednej na celom intervale. Ďalšie majú tvar

pravouhlých impulzov s nepárnou symetriou voči stredu intervalu. Ľahko sa

možno presvedčiť, že pomocou Rademacherovych funkcií nemožno vykonať

syntézu signálov s párnou symetriou voči stredu intervalu.

Vypočítame ich pomocou rekurentného vzťahu

𝑟𝑎𝑑(𝑘, 𝑡) = 𝑟𝑎𝑑(1, 2𝑘−1𝑡) (4.10)

kde 11 t,rad , pre t 0, 1 2 a 11 t,rad , pre t 1 2, 1 .

Z neúplnej množiny Rademacherovych funkcií dá sa multiplikáciou odvodiť

množina Walshovych funkcií v Paleyho usporiadaní

n

1i

bp

it,iradt,kwal

(4.11)

kde binárne poradové číslo

o1

12

2n1n

1nn 2b2b....2b2bk

, bi= 0 alebo 1.

33

Napr. 𝑤𝑎𝑙𝑝(13, 𝑡) = 𝑟𝑎𝑑(1, 𝑡) 𝑟𝑎𝑑 (3, 𝑡) 𝑟𝑎𝑑(4, 𝑡)

𝑘 = 13 → 1 1 0 1 , 𝑏1 = 1 𝑏2 = 0 𝑏3 = 1 𝑏4 = 1

Obr.4.3. Systém prvých piatich Rademacherovych funkcií.

Systém Haarovych funkcií

Haarove funkcie ℎ𝑎𝑟(𝑘, 𝑘´, 𝑡) tvoria úplný systém ortogonálnych funkcií,

pričom ich hodnoty môžu byť 0, ±1, ± √2, ±2 atď. t.j. celistvé mocniny √2 . Na

obr.4.4 je systém prvých ôsmich Haarovych funkcií.

34

Obr.4.4. Systém prvých ôsmich Haarovych funkcií.

Z obrázku vidno, že

ℎ𝑎𝑟(0,0, 𝑡) = 𝑤𝑎𝑙𝑤(0, 𝑡) a

ℎ𝑎𝑟(0,1, 𝑡) = 𝑤𝑎𝑙𝑤(1, 𝑡). (4.12)

Ak stlačíme funkciu ℎ𝑎𝑟(0,1, 𝑡) do intervalu <0, ½), dostaneme ℎ𝑎𝑟(1,1, 𝑡) a

potom jej posunutím do intervalu <½,1> máme ℎ𝑎𝑟(1,2, 𝑡).

Každá nasledujúca Haarova funkcia sa získava analogickým spôsobom

pomocou operácie stlačenia ( zmeny mierky ) a vhodného posunutia.

Rekurentný vzťah pre výpočet Haarovych funkcií:

ℎ𝑎𝑟(𝑘, 𝑘´, 𝑡) =

2𝑘 2⁄ ,

𝑘´ − 1

2𝑘≤ 𝑡 <

𝑘´ − 1 2⁄

2𝑘 ,

−2𝑘 2⁄ , 𝑘´ − 1 2⁄

2𝑘 ≤ 𝑡 <

𝑘´

2𝑘

0 pre ostatné 𝑡 ∈ < 0, 1),

kde 0 ≤ 𝑘 < 𝑙𝑜𝑔2𝑀 a 1 ≤ 𝑘´ < 2𝑘, (4.13)

M je počet Haarovych funkcií.

35

Walshow rad a Walshove spektrum

Na základe poznatkov o systéme Walshovych funkcií a poznatkov

o ortogonalite môžeme pre periodický signál f(t) s periódou T napísať Walshov

rad

𝑓(𝑡) = ∑ 𝐹𝑘 𝑤𝑎𝑙𝑤(𝑘, 𝑡)

∞

𝑘=0

(4.14)

kde Fk sú Walshove koeficienty.

V rade možno použiť aj Walshove funkcie v inom usporiadaní. Alternatívny tvar

Walshovho radu s kosínusovými a sínusovými Walshovymi funkciami má tvar

𝑓(𝑡) = 𝐹0 𝑤𝑎𝑙𝑤(0, 𝑡) + ∑𝐹𝑘(𝑐) 𝑐𝑎𝑙(𝑘, 𝑡) + 𝐹𝑘

(𝑠)

∞

𝑘=1

𝑠𝑎𝑙(𝑘, 𝑡)

(4.15)

Účelom spektrálnej analýzy na báze Walshovho radu je určenie množiny

Walshovych koeficientov 𝐹𝑘 t.j. Walshove spektrum. Walshove koeficienty 𝐹𝑘

vypočítame nasledovne

𝐹𝑘 = 1

𝑇∫ 𝑓(𝑡) 𝑤𝑎𝑙𝑤(𝑘, 𝑡)𝑑𝑡𝑡0+𝑇

𝑡0

(4.16)

Walshove koeficienty 𝐹𝑘 sú vždy reálne čísla, pretože Walshove funkcie sú

reálne. Walshove sekvenčné spektrum je diskrétne (definované v násobkoch

základnej sekvencie).

Haarov rad a Haarove spektrum

Periodický signál f(t) s periódou T môžeme tiež rozložiť pomocou Haarovho

radu nasledovne

𝑓(𝑡) = ∑ 𝐹𝑘,𝑘,

(𝑘,𝑘,)

ℎ𝑎𝑟(𝑘, 𝑘 ,, 𝑡)

(4.17)

36

pričom vo všeobecnosti Haarove funkcie uvažujeme pre nenormovaný čas t.

Haarove spektrum je potom množina Haarovych koeficientov

𝐹𝑘,𝑘 , =1

𝑇∫ 𝑓(𝑡) ℎ𝑎𝑟(𝑘, 𝑘 ,, 𝑡)𝑑𝑡𝑡0+𝑇

𝑡0

(4.18)

Haarove spektrum je diskrétne a jeho zložky sú reálne čísla. Ak rozložíme

periodický signál 𝑓(𝑡) pomocou Haarovho radu, tak zistíme, že rozkladové

Haarove koeficienty prvých dvoch funkcií ℎ𝑎𝑟(0,0, 𝑡) a ℎ𝑎𝑟(0,1, 𝑡) sú závislé

od všetkých hodnôt signálu 𝑓(𝑡) na intervale jednej periódy. Pritom všetky

ostatné koeficienty závisia iba od hodnôt signálu 𝑓(𝑡) na určitom intervale dĺžky

1 2⁄ , 1 4⁄ , 1 8⁄ ….atď. Z toho vyplýva možnosť určenia lokálnych vlastností

signálu 𝑓(𝑡) pomocou Haarovych funkcií, ktoré preto tiež nazývame lokálnymi

funkciami, okrem ℎ𝑎𝑟(0,0, 𝑡) a ℎ𝑎𝑟(0,1, 𝑡), ktoré sú globálne funkcie, lebo sú

definované na celom intervale.

37

5. NEPERIODICKÉ SIGNÁLY

Neperiodický signál je taký determinovaný signál, ktorého matematickým

modelom je neperiodická funkcia času t.j.

𝑓(𝑡) ≠ 𝑓(𝑡 + 𝑇) 𝑝𝑟𝑒 𝑡 ∈ (−∞ ,∞) (5.1)

Tvar signálu môže mať prípadne aj periodickú štruktúru, ale len na intervale

svojho trvania. Neperiodický signál si môžeme predstaviť ako periodickú

funkciu času s nekonečne veľkou periódou.

Uvažujeme neperiodický signál f(t) na obr. 5.1.

Obr. 5.1. Neperiodický signál.

Túto funkciu (signál) chceme vyjadriť ako súčet elementárnych

exponenciálnych funkcií v celom časovom intervale t є (-∞; ∞).

Za týmto cieľom vytvoríme najskôr periodickú funkciu fT(t), ako je to na

obr. 5.2.

Obr. 5.2. Periodický signál

38

V limite pre T → ∞ sa funkcie fT(t) a f(t) stanú identické (stotožnia sa). Potom

bude platiť:

lim𝑇→∞ 𝑓𝑇(𝑡) = 𝑓(𝑡) (5.2)

kde fT(t) je periodické pokračovanie signálu f(t).

Funkciu rozvinieme do Fourierovho radu

𝑓𝑇(𝑡) = ∑ 𝑛

∞

𝑛=−∞

𝑒𝑗𝑛𝛺1𝑡 , 𝛺1 = 2𝜋

𝑇

kde (5.3)

Fn =1

T∫ fT(t)

𝑇 2⁄

−𝑇 2⁄

e−jnΩ1t dt .

(5.4)

To znamená, že exponenciálny FR, ktorý predstavuje matematický model

periodickej funkcie fT(t) na celom intervale, bude matematickým modelom aj

pre neperiodickú funkciu f(t) na celom intervale, ak vo FR vykonáme limitu

T → ∞. S narastajúcim T sa bude 𝛺1 zmenšovať, spektrum sa bude zhusťovať,

amplitúda klesá a v limitnom prípade spektrum bude spojité. Naviac, jeho

zložky budú konvergovať (infinitezimálne) k nule a to je nežiaduce. Z toho

vyplynie výraz pre výpočet spektra neperiodických signálov. Po dosadení (5.4)

do (5.3) dostaneme

𝑓𝑇(𝑡) =1

𝑇∑ ( ∫ 𝑓𝑇(𝑡) 𝑒

−𝑗𝑛𝛺1𝑡𝑑𝑡

𝑇/2

−𝑇/2

)𝑒𝑗𝑛𝛺1𝑡∞

𝑛=−∞

(5.5)

Pre tento prípad zavedieme nové označenie: nΩ1 = ωn , potom

𝑓𝑇(𝑡) =1

𝑇∑ ( ∫ 𝑓𝑇(𝑡) 𝑒

−𝑗𝜔𝑛𝑡𝑑𝑡

𝑇/2

−𝑇/2

)𝑒𝑗𝜔𝑛𝑡∞

𝑛=−∞

(5.6)

39

∫ 𝑓𝑇(𝑡) 𝑒−𝑗𝜔𝑛𝑡𝑑𝑡

𝑇/2

−𝑇/2

= 𝐹 (𝜔𝑛)

(5.7)

Potom

𝑓𝑇(𝑡) =1

𝑇∑ (𝜔𝑛∞𝑛=−∞ )𝑒𝑗𝜔𝑛𝑡 (5.8)

Keďže 𝑇 =2𝜋

𝛺1 , použijeme substitúciu ∆𝜔 = 𝛺1 , teda

𝑓𝑇(𝑡) =1

2𝜋∑ (𝜔𝑛∞𝑛=−∞ )𝑒𝑗𝜔𝑛𝑡∆𝜔 (5.9)

Predpokladajme nekonečnú periódu T. Ukázali sme že

𝑓(𝑡) = lim𝑇→∞

𝑓𝑇(𝑡) = lim𝑇→∞

1

2𝜋∑ (𝜔𝑛

∞

𝑛=−∞

)𝑒𝑗𝜔𝑛𝑡∆𝜔

Potom (5.10)

𝑓(𝑡) =1

2𝜋∫ 𝐹 (𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 →

∞

−∞

ℱ−1[𝐹 (𝜔) ]

(5.11)

Je to vyjadrenie pre neperiodickú funkciu pomocou integrálu. Jedná sa o spätnú

(inverznú) Fourierovu transformáciu.

Potom výraz

𝐹 (𝜔) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡

∞

−∞

→ ℱ[𝑓(𝑡) ]

(5.12)

sa nazýva priamou Fourierovou transformáciou funkcie f(t).

Tento postup odvodenia nie je exaktný, ale je formálny a heuristický. Spojením

predchádzajúcich rovníc dostávame

40

𝑓(𝑡) =1

2𝜋∫ 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔

∞

−∞

∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡

∞

−∞

t.j. dvojitý, vlastný Fourierov integrál. (5.13)

Symbolicky môžeme tieto transformácie napísať v tvare

F(ω) = ℱ f(t) (5.14)

f(t) = ℱ−1F(ω) (5.15)

Spektrum neperiodického signálu

Priama Fourierova transformácia F(ω) resp. Fourierov obraz sa nazýva

funkciou spektrálnej hustoty, spektrálnou charakteristikou, alebo komplexným

frekvenčným spektrom. Je všeobecne komplexnou funkciou a preto ju možno

zapísať v tvare

(𝜔) = |𝐹 (𝜔)|𝑒𝑗𝜑(𝜔) = 𝐹(𝜔)𝑒𝑗𝜑(𝜔) (5.16)

Modulové (amplitúdové) frekvenčné spektrum

𝐹(𝜔) = |(𝜔)| (5.17)

Argumentové (fázové) frekvenčnéspektrum

𝜑(𝜔) = 𝑎𝑟𝑔 𝐹 (𝜔) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝐼𝑚|𝐹 (𝜔)|

𝑅𝑒|𝐹 (𝜔)| (5.18)

Modulové a argumentové frekvenčné spektrum je reálna funkcia reálnej spojitej

premennej ω. Platí, že

(𝜔) = 𝐹 ∗(−𝜔)

𝐹(𝜔) = 𝐹(−𝜔) → modulové spektrum je párna funkcia

𝜑(𝜔) = −𝜑(−𝜔) → argumentové spektrum je nepárna funkcia.

Ak vyjadríme komplexnú funkciu ako (𝜔) = 𝑎(𝜔) + 𝑗𝑏(𝜔), kde

𝑎(𝜔) , 𝑏(𝜔) sú reálne funkcie, potom môžeme napísať

(𝜔) = ∫ 𝑓(𝑡)⌈cos𝜔𝑡 − 𝑗 sin𝜔𝑡⌉𝑑𝑡 =

∞

−∞

41

= ∫ 𝑓(𝑡) cos𝜔𝑡 𝑑𝑡

∞

−∞⏟ 𝑎(𝜔)

− 𝑗 ∫ 𝑓(𝑡) sin𝜔𝑡 𝑑𝑡

∞

−∞⏟ −𝑏(𝜔)

(5.19)

Z toho modulové a argumentové frekvenčné spektrum

|𝐹 (𝜔)| = √𝑎2(𝜔) + 𝑏2(𝜔) (5.20)

𝜑(𝜔) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑏(𝜔)

𝑎(𝜔) (5.21)

Ak do spätnej FT dosadíme vyjadrenie FT v Eulerovom tvare, potom dostaneme

𝑓(𝑡) =1

2𝜋∫ 𝐹(𝜔)𝑒𝑗𝜑(𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 =

1

2𝜋∫ 𝐹(𝜔)𝑒𝑗[𝜔𝑡+𝜑(𝜔)]𝑑𝜔 =

∞

−∞

∞

−∞

=1

2𝜋∫ 𝐹(𝜔) cos[𝜔𝑡 + 𝜑(𝜔)] 𝑑𝜔⏟

∞

−∞

+ 𝑗

2𝜋∫ 𝐹(𝜔) sin[𝜔𝑡 + 𝜑(𝜔)] 𝑑𝜔⏟

=0

∞

−∞

pretože sin [𝜔𝑡 + 𝜑(𝜔)] je nepárna funkcia a krát párna funkcia 𝐹(𝜔) je

výsledná funkcia nepárna a na ∫ = 0∞

−∞ .

Potom

𝑓(𝑡) =1

2𝜋∫ 𝐹(𝜔) cos[𝜔𝑡 + 𝜑(𝜔)] 𝑑𝜔∞

−∞ (5.22)

resp.

𝑓(𝑡) =1

𝜋∫ 𝐹(𝜔) cos[𝜔𝑡 + 𝜑(𝜔)] 𝑑𝜔∞

0. (5.23)

Základné neperiodické signály a ich spektrálne charakteristiky

Exponenciálny impulz

Matematický model exponenciálneho impulzu na obr.5.3 je definovaný

nasledovne

0t pre 0

0t pre Ae)t(f

at

(5.24)

42

Obr. 5.3. Priebeh exponenciálneho impulzu.

Komplexné spektrum dostaneme cez jeho priamu FT

F(ω) = ∫ f(t)∞

−∞

e−jωtdt = A∫ e−(a+jω)t∞

0

dt = A [e−(a+jω)t

−(a + jω)]0

∞

=A

a + jω

(5.25)

Z toho modulové frekvenčné spektrum

22

a

A

ja

A)(F)(F (5.26)

a argumentové frekvenčné spektrum

φ(ω) = arctg Im[F(ω)]

Re[F(ω)]= arctg (

−ω

a) = −arctg (

ω

a) (5.27)

Na obr. 5.4 je zobrazený priebeh modulového a argumentového frekvenčného

spektra exponenciálneho impulzu.

Obr. 5.4. Modulové a argumentové spektrum exponenciálneho impulzu.

43

Jednotkový skok

Jednotkový skok σ (t) alebo Heavisideova funkcia na obr. 5.5 má matematický

model popísaný takto

σ(t) = u(t) = 1(t) = 1 0,5 0 pre

t > 0t = 0t < 0

(5.28)

Obr.5.5. a) Jednotkový skok, b) posunutý skok veľkosti U.

Jednotkový skok sa používa aj na zápis kauzálnych signálov. Pripomeňme si, že

kauzálne signály sú také časové funkcie f(t), pre ktoré platí že

f(t) = 0 pre t<0 . (5.29)

Napr .

𝑓(𝑡) = 𝑒−𝑎𝑡𝜎(𝑡) (5.30)

znamená, že exponenciálna funkcia 𝑒−𝑎𝑡 je nulová pre t< 0.

Je zrejmé, že jednotkový skok σ(t) nevyhovuje podmienke absolútnej

integrovateľnosti (plocha je nekonečne veľká). Preto nemôžeme použiť FT, lebo

táto existuje len v limite).

Uvažujme 𝑒−𝑎𝑡 a ak a = 0, potom 𝑒−𝑎𝑡 = 1.

Komplexné frekvenčné spektrum σ(t) určíme ako limitu komplexného spektra

exponenciálneho impulzu. V jeho rovnici pri a 0 , ≠ 0 dostaneme

(𝜔) = 𝑙𝑖𝑚𝑎→0

1

𝑎 + 𝑗𝜔=1

𝑗𝜔=1

𝜔𝑒−𝑗

𝜋2

(5.31)

z čoho modulové a argumentové frekvenčné spektrum bude

1)(F ,

2

)( (5.32)

t

1

0

σ(t)

t t0

U

0

Uσ(t-t0)

a) b)

44

a sú zobrazené na obr.5.6.

Obr. 5.6. Modulové a argumentové spektrum jednotkového skoku.

Jednotkový (Diracov) impulz

Matematický model jednotkového impulzu δ(t) na obr. 5.7a) má tvar

δ(t) = ∞, pre t = 0 0, pre t ≠ 0

(5.33)

Platí jeho vlastnosť, že

∫ δ(τ)dτ = 1

∞

−∞

(5.34)

Obr.5.7. Jednotkový (Diracov) impulz, b) posunutý Diracov impulz

s plochou A.

t 0

δ(t)

a) t t0 0

b)

Aδ(t-t0)

1

45

Diracov impulz je nekonečne úzky impulz s nekonečne veľkou amplitúdou, ale

s jednotkovou plochou. Na obr. 5.7b) je znázornený Diracov impulz s plochou

A a je popísaný takto

0f (t) A (t t ) (5.35)

Vzťahy medzi jednotkovým skokom σ(t) a jednotkovým impulzom δ(t)

𝑑𝜎(𝑡)

𝑑𝑡= 𝛿(𝑡) a ∫ 𝛿(𝜏)𝑑𝜏 = 𝜎(𝑡)

t

−∞

(5.36)

Pre súčin funkcie f(t) a posunutého jednotkového impulzu platí

f(t) δ(t − t0) = f(t0)δ(t − t0) (5.37)

a výsledkom je impulz s plochou f(t0). Z definície jednotkového impulzu

vyplýva

∫ f(t) δ(t − t0)dt =

∞

−∞

∫ f(t0) δ(t − t0) = f(t0)

∞

−∞

(5.38)

Rov. (5.38) vyjadruje vzorkovaciu (selektívnu) vlastnosť jednotkového impulzu

δ(t). Tiež platí

∫ f(t)δ(t)dt = f(0)

0+

0−

(5.39)

FT jednotkového impulzu t.j. výpočet jeho komplexného frekvenčného

spektra je

Fδ(t) = F(ω) = ∫ δ(t)e−jωtdt = e0 = 1

∞

−∞

(5.40)

46

Hodnota integrálu sa rovná jednotke v dôsledku vzorkovacej vlastnosti

jednotkového impulzu uvedenej vyššie.

Jeho modulové frekvenčné spektrum: F() = | (𝜔)| = 1 (obr. 5.8)

a argumentové frekvenčné spektrum: ϕ () = 0.

Obr. 5.8. Diracov impulz a jeho modulové frekvenčné spektrum

Treba si uvedomiť, že komplexné spektrum jednotkového impulzu je na

celom funkčnom intervale konštantné a rovné jednej.

Energetické spektrum a Parcevalova teoréma pre neperiodické signály

Rozloženie výkonu periodického signálu na jednotlivé harmonické zložky

sme nazvali výkonovým spektrom.

Pri neperiodických signáloch je ich normovaná energia na intervale

(−∞,∞) obyčajne konečná a stredný normovaný výkon (energia za jednotku

času) je nulový. Preto pri neperiodických signáloch hovoríme o rozložení

celkovej energie vo frekvenčnom pásme.

Normovanú energiu signálu (záťaž R=1𝛀) definujeme takto

𝐸 = ∫ 𝑓2(𝑡)𝑑𝑡

∞

−∞

(5.41)

Za f(t) dosadíme do rov. (5.41) výraz zo spätnej Fourierovej transformácie

(rov.5.11) a pre energiu neperiodického signálu dostaneme

𝐸 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑡) [1

2𝜋∫ (𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔

∞

−∞

] 𝑑𝑡

∞

−∞

∞

−∞

∗=

(5.42)

pričom musí byť splnená 1. Dirichletová podmienka ∫ |𝑓(𝑡)|𝑑𝑡 ≤ 𝑀∞

−∞,

)(F

47

t.j. musí platiť

𝐸 = ∫ 𝑓2(𝑡)𝑑𝑡 ≤ 𝑀∞

−∞, (5.43)

A teda energetické signály sú také signály, ktoré majú nenulovú, ale konečnú

normovanú energiu na intervale 𝑡 ∈ (−∞,∞).

Vymeňme poradie integrácie a dostaneme

∗=1

2𝜋∫ (𝜔) [ ∫ 𝑓(𝑡)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡

∞

−∞

]

⏟ (−𝜔)

𝑑𝜔 =

∞

−∞

1

2𝜋∫ (𝜔)(−𝜔)𝑑𝜔 = 𝐸

∞

−∞

(5.44)

Vieme, že (−𝜔) = ∗(𝜔), potom

𝐸 =1

2𝜋∫ (𝜔)∗(𝜔)𝑑𝜔⏞

𝐹2(𝜔)

∞

−∞

=1

2𝜋∫ 𝐹2(𝜔)𝑑𝜔

∞

−∞

(5.45)

t.j. Parcevalova teoréma pre energetické signály, udáva spôsob výpočtu energie

vo frekvenčnej oblasti.

𝑆(𝜔) = 𝐹2(𝜔) nazývame energetické spektrum (energetická spektrálna

hustota).

Fyzikálny význam – hodnoty energetického spektra predstavujú energiu

prislúchajúcu jednotkovej šírke frekvenčného pásma, čiže predstavujú hustotu

energie.

Energetické spektrum je funkcia párna, platí že 𝑆(𝜔) = 𝑆(−𝜔). Potom

𝐸 =1

𝜋∫ 𝐹2(𝜔)𝑑𝜔 ∞

0. (5.48)

Ak zavedieme substitúciu 𝜔 = 2𝜋𝑓; 𝑑𝜔 = 2𝜋𝑑𝑓, potom

𝐸 = ∫ 𝐹2(2𝜋𝑓)𝑑𝑓 ∞

−∞. (5.47)

48

Výraz pre výpočet energie možno využiť na určenie praktickej šírky spektra

𝐸𝐵 =1

𝜋∫ 𝐹2(𝜔)𝑑𝜔 = 𝑘

1

𝜋∫ 𝐹2(𝜔)𝑑𝜔 ,

∞

0

kde 𝑘 ≤ 1

𝜔𝑚

0

(5.48)

Praktická šírka spektra je určená intervalom 𝜔 ∈< 0,𝜔𝑚 > . Vyplýva z hodnoty

k, ktorá je daná pomerom energie v pásme < 0,𝜔𝑚 > ku celkovej energii.

Základné vlastnosti Fourierovej transformácie

Fourierova transformácia je lineárna integrálna transformácia a patrí

medzi operátory, čiže vyjadruje súvislosť dvoch množín funkcií f (t) F( ),

kde f(t) (predmet, originál) je množina funkcií premennej t a F( ) (obraz) je

množina funkcií premennej ω. Ďalej uvedieme vety najčastejšie používané pri

výpočte spektier signálov. Umožňujú vypočítať spektrum zložitých signálov, ak

poznáme spektrum jednoduchších signálov bez toho, aby sme museli používať

definičný vzťah (5.12).

1.Veta o linearite:

Ak platí f1(t) ↔ F1(ω), f2(t) ↔ F2(ω), ......, f𝑛 (t) ↔ Fn(ω),

potom

𝑎1𝑓1(𝑡) + 𝑎2𝑓2(𝑡) + ⋯+ 𝑎𝑛𝑓𝑛(𝑡) ⇔ 𝑎1𝐹1(𝜔) + 𝑎2𝐹2(𝜔)𝑡 + ⋯+ 𝑎𝑛𝐹(𝜔),

(5.49)

kde a1, a2, ..., an sú ľubovoľné konštanty.

2.Veta o časovom posunutí (translácii):

Ak f (t) ↔ F(ω), potom

f (t − t0) ↔ F(ω)e−jωt0 , (5.50)

kde t0 je reálne číslo.

49

3.Veta o zmene časového merítka:

Ak f (t) F( ),

potom pre reálnu konštantu a 0 platí

1

f at Fa a

. (5.51)

4.Veta o symetrii resp. súmernosti:

Ak f (t) F( ), potom

F t 2 f . (5.52)

5.Veta o frekvenčnom posunutí (translácii) t.j. modulačná veta:

Ak f (t) F( ), potom

0j t0f t e F ,

(5.53)

kde 0 je reálne číslo.

6.Veta o časovej konvolúcii (veta o súčine obrazov):

Ak 1 1 2 2... .f (t) F ( ) a f (t) F ( ). ,. potom

1 21 2 1 2f t *f t f f t d F F

, (5.54)

kde symbol * vyjadruje konvolučný súčin (konvolúciu).

7.Veta o frekvenčnej konvolúcii (veta o súčine signálov):

Ak 1 1 2 2... .f (t) F ( ) a f (t) F ( ). ,. potom

1 1 21 2 2

1 1f t f t F d F * F

2 2

.

(5.55)

50

6. KONVOLÚCIA A KORELÁCIA SPOJITÝCH SIGNÁLOV

Pri analýze signálov sa s výhodou používa korelácia a pri analýze sústav

je častý pojem konvolúcia. Tieto pojmy sú matematicky veľmi podobné, ale

fyzikálne sa od seba veľmi líšia.

Pod pojmom korelácia rozumieme vzájomný vzťah, súvislosť, resp.

závislosť alebo väzbu medzi jednotlivými signálmi. Korelácia dvoch signálov

vyjadruje všeobecne stupeň alebo mieru zhodnosti alebo podobnosti týchto

signálov. Pojem korelácia sa niekedy používa pre jednoduché vyjadrenie

pojmov korelačný integrál, korelačná funkcia a pod.

Konvolúcia je dôležitou vlastnosťou každej lineárnej transformácie.

Vyjadruje sa ňou vplyv násobenia (súčinu) v jednej oblasti (časovej, resp.

frekvenčnej) na druhú oblasť (frekvenčnú, resp. časovú). Pojem konvolúcia sa

niekedy používa pre zjednodušené vyjadrenie pojmov konvolučný integrál, resp.

konvolučný súčin. Konvolučný súčin je špeciálnym spôsobom násobenia

a označuje sa symbolom hviezdičky .

Korelácia periodických signálov

Majme výraz

𝐾12(τ) =1

𝑇∫𝑓1(𝑡)

𝑇2

−𝑇2

𝑓2(t + τ) 𝑑𝑡

(6.1)

kde 𝑓1(𝑡), 𝑓2(𝑡 + 𝜏) sú periodické funkcie s rovnakou základnou uhlovou

frekvenciou Ω1 a 𝜏 je spojité časové posunutie na intervale (−∞,∞) nezávisle

od t. Vlastnosťou tohto výrazu je, že reprezentuje spojitú funkciu premennej 𝜏

a jej Fourierová transformácia (pre periodické signály) sa rovná 1∗(𝑛) ∗ 2(𝑛) .

𝐾12(τ) =1

𝑇∫𝑓1(𝑡)

𝑇2

−𝑇2

𝑓2(t + τ) 𝑑𝑡 ⇔1

∗(𝑛) 2(𝑛)

(6.2)

Ekvivalentné vyjadrenie je

51

𝐾12(τ) =1

𝑇∫𝑓2(t) 𝑓1(𝑡 − τ)

𝑇2

−𝑇2

𝑑𝑡

(6.3)

Výsledná funkcia je periodická funkcia s frekvenciou Ω1, respektíve s tou istou

periódou.

Funkciu 𝐾12(τ) nazývame vzájomná (krížová) korelačná funkcia.

Ak v rov. (6.1) vyjadríme posunutý signál pomocou Fourierovho radu,

dostaneme

𝐾12(τ) =1

𝑇∫ 𝑓1(𝑡) ∑ 2(𝑛) 𝑒

𝑗𝑛 Ω1(t+τ)

∞

𝑛=−∞

𝑑𝑡 =

𝑇2

−𝑇2

=1

𝑇∑ 2(𝑛) 𝑒

𝑗𝑛 Ω1τ

∞

𝑛=−∞

∫𝑓1(𝑡)

𝑇2

−𝑇2

𝑒𝑗𝑛 Ω1t =

= ∑ 2(𝑛) 𝑒𝑗𝑛 Ω1τ

∞

𝑛=−∞

1

𝑇∫𝑓1(𝑡)

𝑇2

−𝑇2

. 𝑒𝑗𝑛 Ω1t𝑑𝑡

⏟ 1∗(𝑛)

=

= ∑ [1∗(𝑛) 2(𝑛)]

∞

𝑛=−∞

𝑒𝑗𝑛 Ω1τ

(6.4)

Komplexné spektrum pre túto funkciu je čiarové (diskrétne)

(𝑛) = 1∗(𝑛) 2(𝑛) =

1

𝑇∫

[ 1

𝑇∫𝑓1(𝑡)

𝑇2

−𝑇2

𝑓2(t + τ)𝑑𝑡

]

⏟ 𝐾12(τ)

𝑒−𝑗𝑛 Ω1τ𝑑𝜏 =

𝑇2

−𝑇2

2

2

112

1/T

/T

jnde)(K

T

(6.5)

Z toho máme

52

𝐾12(τ) ⇔1

∗(𝑛) 2(𝑛) (6.6)

čo predstavuje vzájomnú korelačnú teorému periodických signálov (skrátene

korelačná teoréma). Pri transformácií 𝐾12(τ) vystupuje v jej spektre

konjugované spektrum neposunutej funkcie.

Korelačná funkcia je kvantitatívna miera na meranie korelovanosti dvoch

periodických signálov.

Nech 𝑓2(𝑡) = 𝑓1(𝑡) , potom korelačná funkcia periodického signálu 𝑓1(𝑡)

ako funkcia τ bude

𝐾11(τ) =1

𝑇∫𝑓1(𝑡)

𝑇2

−𝑇2

𝑓1(t + τ)𝑑𝑡

(6.7)

Funkciu 𝐾11 (𝜏) nazývame autokorelačná funkcia periodického signálu 𝑓1(𝑡).

Z rov. (6.4) je zrejmé, že pre ňu platí

𝐾11 (𝜏) = ∑ |1(𝑛)|2

∞

𝑛=−∞

𝑒𝑗𝑛 Ω1τ

(6.8)

Vzťah 𝐾11 (𝜏) ⇔|1(𝑛)|

2 (6.9)

predstavuje autokorelačnú teorému.

Autokorelačnej funkcii 𝐾11 (𝜏) tak zodpovedá výkonové spektrum s reálnymi

a kladnými číslami. Výkonové spektrum je rovné kvadrátu funkcie 𝐹1(𝑛).

Výkonové spektrum funkcie 𝑓1(𝑡) je vlastné komplexné spektrum autokorelač-

nej funkcie. Posunutím funkcie 𝑓1(𝑡) sa vlastne autokorelačná funkcia 𝐾11 (𝜏)

nemení.

Označme výraz pre výkonové spektrum |1(𝑛)|2 = 𝑆11(𝑛) (6.10)

Potom

𝐾11 (𝜏) = ∑ 𝑆11(𝑛)

∞

𝑛=−∞

𝑒𝑗𝑛 Ω1τ

(6.11)

predstavuje spätnú Fourierovu transformáciu a výraz

53

𝑆11(𝑛) =1

𝑇∫ 𝐾11 (𝜏)𝑒

−𝑗𝑛 Ω1τ

𝑇2

−𝑇2

𝑑𝜏

(6.12)

predstavuje priamu transformáciu medzi výkonovým spektrom a autokorelačnou

funkciou.

Autokorelačná funkcia signálu f(t) nadobúda maximum pre τ = 0

𝐾11(0) =1

𝑇∫𝑓1(𝑡)

𝑇2

−𝑇2

𝑓1(t)𝑑𝑡 =1

𝑇∫𝑓1(𝑡)

2

𝑇2

−𝑇2

𝑑𝑡 = 𝑃

(6.13)

t.j. udáva stredný normovaný výkon P.

Autokorelačná funkcia je vždy funkcia párna. Dokážeme si to nasledovne

𝐾11 (−𝜏) =1

𝑇∫𝑓1(𝑡)

𝑇2

−𝑇2

𝑓1(t − τ)𝑑𝑡 = 𝑥 = t − τ𝑑𝑥 = 𝑑𝑡

=1

𝑇∫ 𝑓1(𝑥)

𝑇2−𝜏

−𝑇2−𝜏

𝑓1(x + τ)𝑑𝑥

= 1

𝑇∫𝑓1(𝑥)

𝑇2

−𝑇2

𝑓1(x + τ)𝑑𝑥 = 𝐾11 (𝜏)

(6.14)

Už vieme, že

𝐾12 (𝜏) =1

𝑇∫𝑓1(𝑡)

𝑇2

−𝑇2

𝑓2(t + τ)𝑑𝑡

je vzájomná korelačná funkcia periodických signálov.

Vzájomné výkonové spektrum bude

𝑆12 = 1∗(n) F2(n) (6.15)

54

Index 12 označuje, že vzájomná korelácia sa vzťahuje na signály 𝑓1(𝑡) a 𝑓2(𝑡),

pričom signál časovo posunutý o časový interval τ je označený číslicou umies-

tnenou na konci indexu. Je dôležité dodržiavať správne poradie číslic, lebo pri

zámene poradia dostaneme nasledovné rovnice

𝐾21 (𝜏) =1

𝑇∫ 𝑓2(𝑡)

𝑇2

−𝑇2

𝑓1(t + τ)𝑑𝑡

(6.16)

𝑆21(n) = 2∗(n) F1(n)

⇔𝐾21 (𝜏)

(6.17)

𝐾12 (−𝜏) = 1

𝑇∫𝑓1(𝑡)

𝑇2

−𝑇2

𝑓2(t − τ)𝑑𝑡 =1

𝑇∫𝑓2(𝑥)𝑓1(x + τ)

𝑇2

−𝑇2

𝑑𝑥 = 𝐾21 (𝜏)

(6.18)

Pretože vzájomná korelačná funkcia dvoch periodických signálov s rovnakou

základnou frekvenciou je inou periodickou funkciou s tou istou základnou frek-

venciou, integračné medze premennej x môžeme zameniť na −𝑇 2⁄ ; 𝑇 2⁄ .

Platí analogická vlastnosť

𝐾12 (−𝜏) = 𝐾21 (𝜏) (6.19)

Pre vzájomné výkonové spektrá platí

𝑆12(n) = 𝑆21∗ (n) pričom 𝑆12(n) = F1

∗(n) F2(n) (6.20)

𝑆21(n) = 𝑆12∗ (n) pričom 𝑆21(n) = F2

∗(n)F1(n) (6.21)

Vzájomné výkonové spektrum 𝑆12(n) a 𝑆21(n) sú komplexne združené veličiny.

55

Konvolúcia periodických signálov

Konvolučná funkcia 𝜌12(𝜏) dvoch periodických funkcií je definovaná nasledov-

ným výrazom

𝜌12(𝜏) =1

𝑇∫𝑓1(𝑡)

𝑇2

−𝑇2

𝑓2(τ − t)𝑑𝑡

(6.22)

Z toho vyplýva, že konvolužná funkcia z matematického hľadiska je veľmi blíz-

ka korelačnej funkcii. Význam indexov je podobný, upozorňujú na to, že signál

reprezentovaný druhým indexom je v tomto prípade posunutý a otočený. Pre

konvolučnú funkciu vieme dokázať, že jej komplexné spektrum je rovné súčinu

1(𝑛) 2(𝑛) (6.23)

Táto súvislosť konvolučnej funkcie 𝜌12(𝜏) sa transformuje na jej spektrum

1(𝑛) 2(𝑛) a predstavuje tzv. konvolučnú teorému. Funkcia 𝑓1(𝑡) sa

v závislosti t nemení.

Rozvinuli by sme funkcie 𝑓1(𝑡) a 𝑓2(𝑡) do FR, potom by sme za funkciu

𝑓2(𝜏 − 𝑡) dosadili FR so zavedenou substitúciou. Po úpravách by sme

analogickým spôsobom ako predtým dospeli k výrazu

𝜌12(𝜏) = ∑ [ 1(𝑛) 2(𝑛)]2

∞

𝑛=−∞

𝑒𝑗𝑛 Ω1τ

(6.24)

1(𝑛) 2(𝑛) =1

𝑇∫

[ 1

𝑇∫ 𝑓1(𝑡)

𝑇2

−𝑇2

𝑓2(τ − t)𝑑𝑡

]

⏟ 𝜌12(τ)

𝑇2

−𝑇2

𝑒𝑗𝑛 Ω1τ 𝑑𝜏

(6.25)

z toho 𝜌12(𝜏) ⇔1(𝑛) 2(𝑛) = (𝑛)

(6.26)

čo je konvolučná teoréma pre periodické signály.

56

Komplexné amplitúdy (𝑛) sa rovnajú súčinom komplexných spektier

1(𝑛) a 2(𝑛).

Čo znamená v prípade konvolučnej funkcie zmena indexov?

𝜌21(𝜏) =1

𝑇∫𝑓2(𝑡)

𝑇2

−𝑇2

𝑓1(τ − t)𝑑𝑡 ↔ 1(𝑛) 2(𝑛)

(6.27)

t.j. platí, že 𝜌12(𝜏) = 𝜌21(𝜏). (6.28)

Záporné znamienko pri premennej t vo funkcii 𝑓2(τ − t) možno graficky

interpretovať tak, že je to zrkadlový (osovo súmerný) obraz funkcie 𝑓2(−τ + t)

okolo zvislej osi. To znamená, že konvolúcia sa na rozdiel od korelácie

(v zmysle funkcie) obsahuje ešte túto jednu operáciu navyše.

Konvolúcia je teda kombinácia (z matematického hľadiska) nie troch ale

štyroch operácií a to: - posunutie

- zrkadlové otočenie

- násobenie

- interpretácia.

Podobnosť medzi konvolúciou a koreláciou dvoch periodických signálov

s rovnakými základnými frekvenciami spočíva v tom, že majú tú istú základnú

frekvenciu a rovnaké harmonické zložky ako dané periodické signály. Na druhej

strane rozdiel medzi nimi je v tom, že spektrum konvolúcie je súčinom spektier

daných signálov. Zatiaľ čo spektrum vzájomnej korelácie je súčinom spektra

časovo posunutého signálu a komplexne združeného spektra neposunutého

signálu.

Okrem toho pri vzájomnej korelácií dvoch signálov je rozdiel, či je

časovo posunutý prvý alebo druhý signál, zatiaľ čo pri konvolúcií je spektrum

vždy 1(𝑛) 2(𝑛) nezávisle od toho, ktorý signál je časovo posunutý. Dôležite

je pri tom len to, aby bol posunutý, otočený a ten istý signál.

Korelácia neperiodických signálov

Vzájomná korelačná funkcia pre dvojicu neperiodických signálov 𝑓1(𝑡)

a 𝑓2(𝑡) je definovaná nasledovne

57

𝐾12(τ) = ∫ 𝑓1(𝑡)

∞

−∞

𝑓2(t + τ) 𝑑𝑡 ⇔ 1

∗(𝜔) 2(𝜔)

(6.29)

Za pred predpokladu, že 𝑓1(𝑡) a 𝑓2(𝑡) sú absolútne integrovateľné, to znamená,

že existujú obrazové spektrá týchto funkcií

𝑓1(𝑡) ⇔1(𝜔) (6.30)

𝑓2(𝑡) ⇔2(𝜔) (6.31)

Potom výraz

𝐾12(τ) ⇔ 1

∗(𝜔) 2(𝜔) (6.32)

predstavuje korelačnú teorému neperiodických signálov.

Dôkaz korelačnej teorémy:

𝐾12(τ) = ∫ 𝑓1(𝑡)𝑑𝑡 1

2𝜋∫ 2(𝜔) 𝑒

𝑗𝜔(τ+t)

∞

−∞

𝑑𝜔

⏟ 𝑓2(t+τ)

∞

−∞

(6.33)

Po ďalších úpravách dostávame

𝐾12(τ) =1

2𝜋∫ 2(𝜔)

∞

−∞

𝑒𝑗𝜔τ 𝑑𝜔 ∫ 𝑓1(𝑡) 𝑒𝑗𝜔t𝑑𝑡

∞

−∞⏟ 1∗(𝜔)

(6.34)

𝐾12(τ) =1

2𝜋∫ 1

∗(𝜔) 2(𝜔). 𝑒𝑗𝜔𝜏𝑑𝜔

∞

−∞

(6.35)

1∗(𝜔) 2(𝜔) = ∫ [ ∫ 𝑓1(𝑡) 𝑓2(t + τ) 𝑑𝑡

∞

−∞

]

⏟ 𝐾12(τ)

∞

−∞

𝑒−𝑗𝜔𝜏𝑑𝜏 =

= ∫ 𝐾12(τ)

∞

−∞

𝑒−𝑗𝜔𝜏𝑑𝜏

(6.36)

Ako špeciálny prípad vzájomnej korelačnej teorémy je autokorelačná teoréma.

58

Za predpokladu, že 𝑓1(𝑡) = 𝑓2(𝑡)

𝐾11(τ) = ∫ 𝑓1(𝑡)

∞

−∞

𝑓1(t + τ) 𝑑𝑡 =1

2𝜋∫|1(𝜔)|

2

∞

−∞

𝑒𝑗𝜔τ𝑑𝜔

(6.37)

Z toho vyplýva, že

𝐾11(τ) ⇔|1(𝜔)|

2 = 𝑆11(𝜔) (6.38)

je autokorelačná teoréma neperiodických signálov.

Skrátený zápis 𝐾11(τ) ⇔𝑆11(𝜔) (6.39)

Potom autokorelačnú teorému zapíšeme v nasledovnom tvare

𝐾11(𝜏) =1

2𝜋∫ 𝑆11

∞

−∞

(𝜔)𝑒𝑗𝜔𝜏𝑑𝜔

(6.40)

𝑆11(𝜔) = ∫ 𝐾11

∞

−∞

(𝜏)𝑒−𝑗𝜔𝜏𝑑𝜏

(6.41)

Ak funkciu 𝑒𝑗𝜔𝜏 rozpíšeme na reálnu a imaginárnu zložku známym spôsobom,

potom dostaneme

𝐾11(𝜏) =1

2𝜋∫ 𝑆11

∞

−∞

(𝜔) cos𝜔𝜏 𝑑𝜔 + 𝑗1

2𝜋∫ 𝑆11

∞

−∞

(𝜔) sin𝜔𝜏 𝑑𝜔

(6.42)

𝐾11(𝜏) =1

2𝜋∫ 𝑆11

∞

−∞

(𝜔) cos𝜔𝜏 𝑑𝜔

(6.43)

0

59

𝑆11(𝜔) = ∫𝐾11

∞

−∞

(𝜏) cos𝜔𝜏 𝑑𝜏

(6.44)

Autokorelačná funkcia je vždy funkcia párna

𝐾11(−𝜏) = ∫ 𝑓1(𝑡)

∞

−∞

𝑓1(𝑡 − 𝜏)𝑑𝑡 = ∫ 𝑓1(𝑥)

∞

−∞

𝑓1(𝑥 + 𝜏)𝑑𝑥 = 𝐾11(𝜏)

kde 𝑥 = 𝑡 − 𝜏. (6.45)

Ďalšou vlastnosťou autokorelačnej funkcie je, že pri 𝜏 = 0 dosahuje svoju

maximálnu hodnotu a rovná sa normovanej energii signálu.

𝐾11(0) = ∫(𝑓1(𝑡))2

∞

−∞

𝑑𝑡 = 𝐸

(6.46)

Dokázali sme, že

𝐾12(𝜏) ⇔𝐹1

∗(𝜔)2(𝜔) = 𝑆12(𝜔) (6.47)

je krížové energetické spektrum (komplexná funkcia reálnej premennej).

Na základe analógie s autokorelačnou teorémou

𝐾12(−𝜏) = ∫ 𝑓1(𝑡)

∞

−∞

𝑓2(𝑡 − 𝜏)𝑑𝑡 = ∫ 𝑓2(𝑥)

∞

−∞

𝑓1(𝑥 + 𝜏)𝑑𝑥

(6.48)

platí, že 𝐾12(−𝜏) = 𝐾21(𝜏) (6.49)

Z toho vyplýva súvis medzi krížovým energetickým spektrom

𝑆12(𝜔) = 𝑆21∗(𝜔) (6.50)

𝐾21(𝜏)

60

Konvolúcia neperiodických signálov

Definícia

𝜌12(𝜏) = ∫ 𝑓1(𝑡)

∞

−∞

𝑓2(𝜏 − 𝑡)𝑑𝑡 ⇔𝐹1(𝜔)𝐹2(𝜔)

(6.51)

Vyjadrenie 𝜌12(𝜏) ⇔𝐹1(𝜔)𝐹2(𝜔) (6.52)

Nazývame konvolučná teoréma pre neperiodické signály .

Dôkaz:

𝜌12(𝜏) = ∫ 𝑓1(𝑡)

∞

−∞

𝑓2(𝜏 − 𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑓1(𝑡)

∞

−∞

𝑑𝑡 1

2𝜋∫ 2(𝜔)𝑒

𝑗𝜔(𝜏−𝑡)𝑑𝜔

∞

−∞

=

=1

2𝜋∫ 2(𝜔)𝑒

𝑗𝜔𝜏𝑑𝜔

∞

−∞

1

2𝜋∫ 𝑓1(𝑡)𝑒

−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 =

∞

−∞

=1

2𝜋∫ 𝐹1(𝜔)2(𝜔)𝑒

𝑗𝜔𝜏𝑑𝜔∞

−∞

(6.53)

je to spätná Fourierova transformácia. Z toho vyplýva dôkaz teorémy.

Priama Fourierova transformácia by potom vyzerala takto

𝐹1(𝜔)𝐹2(𝜔) = ∫ ∫ 𝑓1(𝑡)

∞

−∞

𝑓2(𝜏 − 𝑡)𝑑𝑡

∞

−∞

𝑒−𝑗𝜔𝜏𝑑𝜏 =

= ∫ 𝜌12(𝜏) ∞

−∞𝑒−𝑗𝜔𝜏𝑑𝜏 . (6.54)

𝑓2(𝜏 − 𝑡)

𝐹1(𝜔)

𝜌12(𝜏)

61

Ak zameníme indexy, možeme vypočítať výraz pre 𝜌21(𝜏) takto

𝜌21(𝜏) = ∫ 𝑓2(𝑡)

∞

−∞

𝑓1(𝜏 − 𝑡)𝑑𝑡 = substitúcia𝑥 = 𝜏 − 𝑡

=

= ∫ 𝑓1(𝑥)

∞

−∞

𝑓2(𝜏 − 𝑥)𝑑𝑥 = 𝜌12(𝜏)

(6.55)

62

LITERATÚRA

[1] Mihalík, J. – Zavacký, J. – Gladišová, I.: Signály a sústavy (Návody na

cvičenia). LČSOV FEI TU Košice, 2004.

[2] Zavacký, J. – Mihalík, J. – Gladišová, I.: Periodické a kváziperiodické

signály (Návody na cvičenia). LČSOV FEI TU Košice, 2013.

[3] Mihalík, J. – Gladišová, I. – Zavacký, J.: Neperiodické a modulované sig-

nály (Návody na cvičenia). LČSOV FEI TU Košice, 2014.

[4] Ondráček, O.: Signály a sústavy. STU Bratislava, 2008.

[5] Chmúrny, J. – Židek, F.: Signály a sústavy. SVŠT Bratislava, 1984.

[6] Vejražka, F.: Signály a soustavy. FE ČVUT Praha, 1992.

[7] Šebasta, V.: Systémy, procesy a signály I. FEI VUT Brno, 1994.

[8] Haykin, S. – Van Veen, B.: Signals and Systems. John Wiley and Sons,

Inc., 2003.

[9] McClellan, J.H. – Schafer, R.W. – Yoder, M.A.: Signal Processing First.

Pearson Education, Inc., 2003.