Square matrix (정방행렬) 에대하여 A ajk AT Aocw.snu.ac.kr/sites/default/files/NOTE/7335.pdf · 2018. 1. 30. · Symmetric, Skew-Symmetric, and OrthogonalMatrices(Orthogonal

Symmetric, Skew-Symmetric, and Orthogonal Matrices (대칭 반대칭Orthogonal Matrices (대칭, 반대칭,직교행렬)

• Square matrix (정방행렬) 에 대하여

– Symmetric:

jkaA

AA TSymmetric:

– Skew-Symmetric:

O h l

AA

AA T

– Orthogonal:

• 실수 정방행렬 A는 대칭행렬 R과 반대칭행렬 S의

1 AAT

실수 정방행렬 는 대칭행렬 과 반대칭행렬 의합으로 표현할 수 있다.

TT AASAAR 11

– Ex. 2

TT AASAAR 21 ,

21

51510535309259

00.65.10.605.15.15.10

0.30.25.30.20.35.3

5.35.30.9

345832

259SRA


• Eigenvalues of Symmetric and Skew-Symmetric Matrices (8.5)

– 대칭행렬의 고유값은 실수 (8.2 Ex. 1)

– 반대칭행렬의 고유값은 순 허수이거나 영 ii 25 ,25 ,0 0201220091290

• Orthogonal Transformation (직교변환): 직교행렬 는AAxy

E ) 각 θ 만큼의 평면회전은 직 변환이다

11 sincos xy

내적값

Ex) 각도 θ 만큼의 평면회전은 직교변환이다.

2

1

2

1

cossin xy y

1b

• 내적값 b a,baba 221 벡터 임의의 의nnT Rb

baaa

– 길이 또는 노름(Norm) : nb

aaaaa T


• Invariance of Inner Product– 직교변환은 벡터의 내적값을 보존,

– 또한 벡터의 길이 또는 노름(norm)도 보존함.

babaIbaAbAaAb(Aa)vuvu TTTTTT

• Orthonormality of Column and Row Vectors실수 정방행렬이 직교일 필요충분조건은 열벡터 aa

( )

– 실수 정방행렬이 직교일 필요충분조건은 열벡터(또한 행벡터들)이 정규직교계(Orthonormal System)를 형성하는것임.

naa , ,1

kjT 0aaaa 1 AAT

kjkjkj 1aaaa

aaaaaaaa n

T2

T1

T

T

T1111

AA

aaaaaa

aaa

a

aAAAAI

nT

2T

1T

n21

T

T1-

nnnn

2


• Determinant of an Orthogonal Matrix

– 직교행렬의 행렬식의 값은 +1 또는 -1직교행렬의 행렬식의 값은 1 또는 12TT-1 A)(det Adet A det )(AAdet )(AAdet Idet 1

• Eigenvalues of an Orthogonal Matrix

– 직교행렬의 고유값은 실수 또는 공액복소수이고직교행렬의 고유값은 실수 또는 공액복소수이고절대값은 1

212

6/)11(5 ,6/)11(5 1,- 31

32

32

333ii

32

32

31

Eigenbases. Diagonalization. Quadratic FormsQuadratic Forms

• Basis of Eigenvectors

,가지면고유값을다른서로개의가행렬만일 nnn A된다. 기저가 의 은 , , 고유벡터 의 행렬 이

,가지면유값을다른서개의가행렬 만일n

n Rnnn

xxAA

1ccc xxxx 2211

nn

nn

cccccc

AAA)xxxA(Axy

xxx x

2211

2211

nnn

nn

cccccc

xxx AxAxAx

222111

2211

임의의 x에 대한 A의 연산 (복잡!)스칼라의 곱의 합 (간단!)

• Basis (기저):

– 벡터공간내의 최대로 가능한 수의 일차독립인 벡터로구성되는 집합이며, 기저가 되는 벡터의 수는 차원

Eigenbases. Diagonalization. Q d ti FQuadratic Forms

• Ex.1 Eigenbasis, Nondistinct Eigenvalues. Nonexistence

5 33 5

A

2 2 32 1 6 A 2 1 6

1 2 0

A

0 10 0

A0 0


• Symmetric Matrices

– 대칭행렬은 고유벡터로 구성된 정규직교 기저를 가짐.대칭행렬은 고유벡터로 구성된 정규직교 기저를 가짐.

11

5335

212

1

,

212

1


• Similarity Transformation (상사변환)

PAPPA ˆ 1 정칙행렬nn

• Eigenvalues and Eigenvectors of similar matrices

갖는다. 고유값을 같은 와 는 상사이면 에 가 AAAA ˆˆ

된다. 고유벡터가 의 대응되는 고유값에 같은 는 고유벡터이면 의 가 AxPyAx ˆ1

xPx)(PÂxAPPPAIxPAxP 111111 xPAxPxAx 11

• Diagonalization of a matrix (행렬의 대각화)

)(

Diagonalization of a matrix (행렬의 대각화)

AXXDAnn

1 가지면 기저를 고유벡터의 가 행렬 만일

XAXDX

A

mm 1 또한

행렬이다. 하는 열벡터로 고유벡터들을 이들 는 여기서

된다. 원소가 주대각선의 고유값들이 의 되고, 대각행렬이 는


• Ex.

31

P3-6

A

03ˆ

41

P ,1-4

A

2003

A


• Diagonalization of a matrix (행렬의 대각화)

AXXDAnn

1 가지면 기저를 고유벡터의 가 행렬 만일

XAXDX

A

mm 1또한

행렬이다. 하는 열벡터로 고유벡터들을 이들 는 여기서

된다. 원소가 주대각선의 고유값들이 의 되고, 대각행렬이 는

XAXD mm 또한


• Ex.4 Diagonalize

5.50.15.11

7.32.03.7A

3.98.17.17

7.02.03.13.02.07.0

,113211

12

11

31

043 012

1

23

XX,-,-

, λ-, λλ

:고유벡터

: 고유값- : 특성방정식

2.02.08.0

7.02.03.1 ,431113

41

31

13 XX, , -

고유벡터

003043302070

000040003

0123049043

2.02.08.07.02.03.13.02.07.0

1AXXD


• Quadratic Forms (2차 형식).

:2n n

T xxaQxx Axxx 차형식구성된으로성분의벡터

2112112

2111

1 11

: 2

nn

j kkjjkn

xxaxxaxa

xxaQ, x, x

Axxx 차형식구성된으로성분의벡터

22211

222

2221221

nnnnnnn

nn

xaxxaxxa

xxaxaxxa

• Principal Axes Theorem (주축정리)

– 치환 에 의하여 2차 형식은 주축형식 또는 표준형으로 변환될 수있음

2211 nnnnnnn xaxxaxxa

Xyx 있음.

고유값의대칭행렬행렬

표준형

)(

: 22222

11 nnT yyyQ

A

Dyy

직교행렬하는열벡터로을고유벡터대응하는고유값에

고유값의대칭행렬행렬

, , , :

)( : , , ,

21

21

n

n

xxx

X

A


• Ex.5 Quadratic form. Symmetric Coefficient Matrix

2221212

121 210326

43xxxx

xx

xxT

Axx

21 551064 A 대칭행렬대응하는에행렬하는로이므로 kjjkjk aac

2553

2

C

2221212

121 210325

53xxxx

xx

xxT

Cxx

2


• Ex.6 Transformation to Principal Axes. Conic Sections

– Find out what type of conic section (원뿔곡선) the following quadratic form represents and transform it to principal axes:

128173017 22212

1 xxxxQ 1

2

2

17 15,

15 17xx

A x

2 22 2

1 2

: 17 15 0

: 2, 32 2 32

-

Q y y

특성방정식

고유값Parabola Circle or H b l2 2

1 22 2

18 2y y

Parabola(포물선)

Circle or Ellipse(원 혹은타원)

Hyperbola(쌍곡선)

http://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section


• Definiteness

– and symmetric matrix A are called( ) TQ x x Ax and symmetric matrix A are called– Positive definite if Q(x)>0 for all x≠0

N i d fi i if Q( ) 0 f ll 0

( )Q x x Ax

– Negative definite if Q(x)0 and Q(x)


• Example) compliance matrix of elastic material

– Positive strains energy requires the PositivePositive strains energy requires the Positive definiteness of matrix. constraints of elastic parameters (elastic modulus and Poisson’s ratio)

1 0 0 0

1E E E

1 0 0 0

1 0 0 0

x x

y y

z z

E E E

E E E

0E 12

TW S 10 0 0 0 0

10 0 0 0 0

yz yz

xz xz

xy xy

G

112

2

W: strain energy intensityS: compliance matrix

0 0 0 0 0

10 0 0 0 0

xy xyG

G

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