SİSTEMLERİN ZAMAN EVAI - duzce.edu.trakademik.duzce.edu.tr/Content/Dokumanlar/... · EET305 OTOMATİK KONTROL I Dr. Uğur HASIRCI 2 İlk iki derste, bir sistemin nasıl modelleneceği

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

EET305 OTOMATİK KONTROL I

Dr. Uğur HASIRCI

1

• Kutuplar, Sıfırlar ve “Zaman Cevabı” Kavramı • Birinci Mertebeden Sistemlerin Zaman Cevabı • İkinci Mertebeden Sistemlerin Zaman Cevabı • Yüksek Mertebeden Sistemlerin Zaman Cevabı • Doğrusalsızlıkların Zaman Cevabına Etkisi

SİSTEMLERİN ZAMAN CEVABI



Dr. Uğur HASIRCI

2

İlk iki derste, bir sistemin nasıl modelleneceği üzerinde durduk. İlk derste sistemlerin transfer fonksiyonu modelini, ikinci derste ise durum-uzay modelini elde ettik. Bu derste ise, elde edilen bu matematiksel modeli kullanarak sistemin analizini yapacağız. “Analiz” den kasıt, sistemin belirli bazı giriş sinyallerine karşı tepkisinin, yani sistemin çıkış değişkeninin zamana göre değişiminin incelenmesidir. Bugünkü derste sistemlerin “Geçici Durum Cevabı”nı (Transient Response) inceleyeceğiz. Haftaya ise “Kalıcı Durum Cevabı”nı (State-State Response) inceleyeceğiz. Peki bu iki kavram ne anlama geliyor? Aslında daha önce Transfer Fonksiyonu Yaklaşımı ile Durum-Uzay Yaklaşımını karşılaştırırken, transfer fonksiyonlarının, sistemin geçici durum cevabını incelemek için daha kullanışlı olduğunu söylemiştik ancak yine “Geçici Durum Cevabı” kavramının ne anlama geldiğini açıklamamıştık. Şimdi bu iki kavramı tanıtalım.



Dr. Uğur HASIRCI

Bir elektrik motoruna, 1500 d/d hızla dönmesini sağlayacak bir giriş sinyali uygulandığını düşünelim. Aşağıdaki grafik, sistem çıkışının (motor hızı) zamana göre değişimini gösteren tipik bir “Zaman Cevabı” grafiğidir. Motor hızı t=0 anında 0 d/d değerinden başlayıp, zaman geçtikçe artar ve arzu edilen referans değere (1500 d/d) ya da ona yakın bir değere yakınsar. Sistemin zaman cevabının, t=0 anından itibaren zaman sonsuza giderken aldığı değere ulaşana kadarki kısmına “Geçici Durum Cevabı”, bundan sonraki kısmına, yani sistem cevabının kalıcı bir değere yerleştiği ve artık hep o değerde kaldığı kısmına ise “Kalıcı Durum Cevabı” denir. Motor Hızı (d/d)

1500

0 Zaman (sn)

Kalıcı-Durum

Hatası

Kalıcı-Durum

Cevabı

Geçici-Durum

Cevabı

Zaman Cevabı

Referans Giriş



Dr. Uğur HASIRCI

Sistem çıkışı kalıcı duruma eriştikten sonra, referans değer ile sistem çıkışının final değeri arasında, sair sebeplerden, şekildeki gibi bir fark oluşabilir. Referans değer ile sistem çıkışının kalıcı durumdaki değeri arasındaki bu farka “Kalıcı Durum Hatası” denir.

Motor Hızı (d/d)

1500

0 Zaman (sn)

Kalıcı-Durum

Hatası

Kalıcı-Durum

Cevabı

Geçici-Durum

Cevabı

Zaman Cevabı

Referans Giriş



Dr. Uğur HASIRCI

5

Kontrol sistemlerinin analizi ve tasarımı 3 temel performans kriteri göz önünde bulundurularak yapılır: Geçici-Durum Cevabı Kalıcı-Durum Cevabı Kararlılık Kararlılık, en özensiz tanımla, sınırlı bir giriş için, sistem çıkışının da sınırlı kalmasıdır. Kararlılık, en önemli performans kriteridir. Bugünkü dersimizde geçici-durum cevabını, önümüzdeki derslerde ise kararlılık ve kalıcı-durum cevabını inceleyeceğiz.

Not: Yukarıda sıralanan performans kriterlerine ek olarak, kontrol sistemlerinin analizinde ve

tasarımında göz önünde bulundurulan başka kriterler de mevcuttur. Ancak en temel ve kritik

olan kriterler, yukarıda sıralanan üç kriterdir. Örneğin bir sistem kararlı değilse, diğer kriterlerin

hiçbir anlamı yoktur!



Dr. Uğur HASIRCI

6

Transfer fonksiyonu bilinen bir sistemin, belirli bir giriş sinyali için çıkışının zamana göre değişimi, Ters Laplace Dönüşümü yoluyla elde edilebilir. Ancak Ters Laplace dönüşümünü hesaplamak her zaman çok basit değildir ve genellikle zaman alır. Bunun yerine, Ters Laplace Dönüşümü alınmadan, transfer fonksiyonunun kutupları ve sıfırlarının sağladığı bilgi kullanarak, sistemin zaman cevabı elde edilebilir. Kutupların ve sıfırların tanımını ilk derste vermiştik. Kutuplar, transfer fonksiyonunun paydasını sıfır yapan değerlerken, Sıfırlar transfer fonksiyonunun payını sıfır yapan değerlerdi. Kutuplar ve sıfırlar yoluyla elde edilen zaman cevabı bilgisini, örnek bir birinci mertebeden sistem üzerinden gösterelim.



Dr. Uğur HASIRCI

7

Transfer fonksiyonu olan bir sistemin göz önünde bulunduralım. Bu sistemin s=-5 noktasında bir kutbu ve -2 noktasında bir sıfırı vardır. Hatırlanacağı üzere kutupları s-düzleminde bir × işareti ile, sıfırları ise ⃝ işareti ile gösteriyorduk. Şimdi bu sisteme birim adım girişi uygulanması durumunda, daha önce gördüğümüz kısmi kesirlere ayırma yoluyla Ters Laplace Dönüşümünü alıp, sistemin zaman cevabını, yani çıkışın zamana göre değişimini elde edelim:

2( )

( 5)

sG s

s

5

2( )

( 5) 5

2 / 5 3 / 5

5

2 3( )

5 5

t

s A BC s

s s s s

s s

c t e



Dr. Uğur HASIRCI

8

Bir sistemin çıkış cevabı iki parçadan oluşur: Doğal Cevap ve Zorlanmış Cevap. • Giriş fonksiyonundaki (birim adım fonksiyonu) kutup, zorlanmış çözümü üretir. • Transfer fonksiyonunun kutbu ise doğal çözümü üretir. • Reel eksen üzerindeki bir kutup, yukarıda görüldüğü üstel olarak sönümlenen bir zarf üretir.

52 3( )5 5

tc t e



Dr. Uğur HASIRCI

9

Ör: Aşağıda verilen sistem için, çıkışın zamana göre değişimini Ters Laplace Dönüşümü yöntemiyle bulunuz. Çıkış ifadesinin doğal ve zorlanmış kısımlarını belirtiniz.

3

( 2)( 4)( 5)

s

s s s

1( )R s

s ( )C s

C: 1 2 3 4( )2 4 5

K K K KC s

s s s s

Zorlanmış Cevap Doğal Cevap

2 4 5

1 2 3 4( )t t tC s K K e K e K e

Zorlanmış Cevap Doğal Cevap



Dr. Uğur HASIRCI

10





Dr. Uğur HASIRCI

11

Şimdi birinci mertebeden sistemlerin zaman cevabını, bu tür sistemlerin performans spesifikasyonlarını tanımlamak amacıyla tartışalım. Herhangi bir sıfıra sahip olmayan bir birinci mertebeden sistemin blok diyagramı ve kutup-sıfır haritası şekildeki gibidir. Eğer bu sisteme birim adım girişi, R(s)=1/s, uygulanırsa,

bu durumda çıkışın ifadesi şu şekilde olur:

( ) ( ) ( )

aC s R s G s

s s a

Ters Laplace dönüşümü alınırsa:

( ) ( ) ( ) 1 atf nc t c t c t e

Yani birim adım girişinden gelen kutup, zorlanmış cevap cf(t)=1 bileşenini ve sistemin –a noktasındaki kendi kutbu doğal cevap cn(t)=e

-at bileşenini üretir.



Dr. Uğur HASIRCI

12

Birinci mertebeden sistemlerin zamana cevabının genel ifadesi olan fonksiyonunun zamana göre değişimi şekildeki gibidir. Birinci mertebeden sistemler için üç adet performans kriteri tanımlanmıştır:

( ) 1 atc t e

1. Zaman Sabiti, Tc Sistem cevabının, final değerinin %63’üne kadar ulaşması için geçen süredir. τ ya da Tc ile gösterilir ve

1cT

a

formülüyle hesaplanır. Aynı zamanda sistem çıkış eğrisinin t=0 anındaki teğetinin eğimi de zaman sabitini verir.



Dr. Uğur HASIRCI

13

2. Yükselme Zamanı, Tr Sistem cevabının, final değerinin %10’undan %90’ına ulaşması için geçen süredir. Tr ile gösterilir ve

2.2rT

a

formülüyle hesaplanır.

3. Yerleşme Zamanı, Ts Sistem cevabının, final değerinin %2 eksiğine/fazlasına ulaşıp hep o %2’lik bandın içinde kalması için geçen süredir, Ts ile gösterilir ve

4sT

a




Dr. Uğur HASIRCI

14

Ör: Bir sistemin transfer fonksiyonu aşağıdaki gibiyse, bu sistemin zaman sabitini, yerleşme zamanını ve yükselme zamanını bulunuz. C: 0.02 sn

0.08 sn

0.044 sn

c

s

r

T

T

T

50( )

50G s

s



Dr. Uğur HASIRCI

15





Dr. Uğur HASIRCI

16

Tabiattaki sistemlerin önemli bir kısmı ikinci mertebeden sistemlerdir. İkinci mertebeden sistemlerin zaman cevabı, birinci mertebeden sistemlerde olduğu gibi tek tip değildir. Kutupların s-düzlemindeki lokasyonuna göre, çıkışın zamana göre değişimi 4 farklı formda olabilir (eğer sistem kararsız değilse). Birim adım girişi için ikinci mertebeden sistemlerin bu 4 farklı cevap türü, birer sayısal örnekle, takip eden slaytta toplu halde gösterilmiş, daha sonra bu cevap türlerinin her biri ayrı ayrı incelenmiştir.

17

Aşırı Sönümlü

Düşük Sönümlü

Sönümsüz

Kritik Sönümlü

Eğer sistemin, negatif reel eksen üzerinde iki tane kutbu varsa, sistem çıkışı referans değere osilasyon yapmadan yakınsar. Bu cevap türüne “Aşırı Sönümlü” cevap denir.

Eğer sistemin karmaşık eşlenik iki kutbu varsa, sistem çıkışı referans değere, sönümlenen bir osilasyon yaparak yakınsar. Bu cevap türüne “Düşük Sönümlü” cevap denir.

Eğer sistemin imajiner eksen üzerinde eşlenik iki kutbu varsa, sistem çıkışı hiç sönümlenmeyen sabit frekanslı osilasyon yapar. Bu cevap türüne “Sönümsüz” cevap denir.

Eğer sistemin negatif reel eksen üzerinde çakışık iki kutbu varsa, sistem çıkışı hiç osilasyon yapmaksızın ve diğer tüm cevap türlerinden daha hızlı bir biçimde referans değere yakınsar. Bu cevap türüne “Kritik Sönümlü” cevap denir.



Dr. Uğur HASIRCI

18

Bu dört cevap türünün birim adım girişi için tipik eğrileri aşağıda tek bir grafikte gösterilmiştir. Kritik sönümlü cevap türü diğerlerine göre en hızlısıdır.

Sönümsüz

Düşük Sönümlü

Kritik Sönümlü

Aşırı Sönümlü



Dr. Uğur HASIRCI

19

İkinci mertebeden sistemler için, kutupların lokasyonuna göre cevap türlerini tanıttık. Şimdi bu cevap türlerinin karakteristiklerini temsil eden iki adet temel büyüklük tanımlayalım: Doğal Frekans (ωn): İkinci mertebeden bir sistemin doğal frekansı, sistemin sönüm olmaksızın yaptığı osilasyonun frekansıdır. Sönüm Oranı (ζ): İkinci mertebeden bir sistemin sönüm oranı, sistemin yaptığı osilasyonun sönüm miktarını temsil eden büyüklüktür. Örneğin “Sönümsüz – Undamped” cevap türünde, adından da anlaşılacağı üzere sönüm yoktur ve sistem sürekli olarak osilasyon yapar. Bu nedenle de bu cevap türünde ζ=0 değerine sahiptir. İkinci mertebeden bir sistemin transfer fonksiyonunun genel ifadesi

2( )

bG s

s as b

şeklindedir. Yukarıda tanıtılan iki büyüklük, a ve b cinsinden

n b / 2

n

a

şeklinde hesaplanır.



Dr. Uğur HASIRCI

20

2( )

bG s

s as b

n b / 2

n

a

Dolayısıyla ikinci mertebeden bir sistemin transfer fonksiyonu Doğal Frekans ve Sönüm Oranı cinsinden aşağıdaki gibi yazılabilir:

2

2 2( )

2

n

n n

G ss s

Ör: Aşağıda transfer fonksiyonu verilen ikinci mertebeden sistemin doğal frekansını ve sönüm oranını bulunuz.

2

36( )

4.2 36G s

s s

C: 236 6 rad/sn

4.2 2 4.2 12 0.35

n n

n



Dr. Uğur HASIRCI

21

2

2 2( )

2

n

n n

G ss s

şeklinde ifade edilebileceğini bulmuştuk. Dolayısıyla bu denklem kullanılarak, kutupların lokasyonu da sönüm oranı ve doğal frekans cinsinden ifade edilebilir. Eğer yukarıdaki denklemin paydasının kökleri bulunursa, sistemin kutupları da sönüm oranı ve doğal frekans cinsinden

2

1,2 1n ns

şeklinde hesaplanır. Elde edilen bu denklem, bir sistemin cevap türünün ζ değerine bağlı olduğunu da gösterir. Örneğin ζ=1 ise, sistem negatif reel eksen üzerinde çakışık kutuplara sahip olacaktır ve cevap türü “Kritik Sönümlü Cevap” olacaktır.

0 Sönümsüz

0<



Dr. Uğur HASIRCI

22

Ör: Aşağıda verilen sistemlerin herbiri için ζ değerini hesaplayınız ve buna dayalı olarak sistemin birim adım girişi için üreteceği cevap türünü ifade ediniz.

C: a) 1.155 Aşırı Sönümlü

b) 1 Kritik Sönümlü

c) 0.894 Düşük Sönümlü

Böylece Ters Laplace Dönüşümü almaya gerek kalmaksızın sistemin cevap türünü belirlemiş olduk.



Dr. Uğur HASIRCI

23

Alıştırma: Aşağıda verilen sistemlerin herbiri için ζ ve ωn değerlerini hesaplayınız ve buna dayalı olarak sistemin birim adım girişi için üreteceği cevap türünü ifade ediniz.

2

2

2

2

400. ( )

12 400

900. ( )

90 900

225. ( )

30 225

625. ( )

625

a G ss s

b G ss s

c G ss s

d G ss



Dr. Uğur HASIRCI

24

Tabiattaki sistemlerin önemli bir kısmının ikinci mertebeden sistem olduğunu daha önceden söylemiştik. İkinci mertebeden sistemlerde en yaygın cevap türü ise “Düşük Sönümlü Cevap” türüdür. Yani ikinci mertebeden sistemlerin önemli bir kısmı, birim adım girişi için düşük sönümlü cevap üretirler. Bu nedenle ikinci mertebeden sistemlerin zaman cevabını incelediğimiz bu alt bölümün geri kalan kısmında düşük sönümlü ikinci mertebeden sistemler üzerine yoğunlaşıp, bu sistemlere özgü bazı ek performans spesifikasyonları tanımlayacağız.



Dr. Uğur HASIRCI

25

İkinci Mertebeden Düşük Sönümlü Sistemler İlk önce bu tür sistemler için ek performans kriterlerini tanımlayıp, daha sonra bu performans kriterlerini kutup lokasyonu ile ilişkilendireceğiz. Nihai amacımız en başta belirttiğimiz gibi sistemin transfer fonksiyonunun Ters Laplace Dönüşümünü almak suretiyle geçici durum analizini yapmak yerine, transfer fonksiyonunun sağladığı kutup lokasyonu bilgisini kullanarak sistemin geçici durum analizini yapmaktır. Şimdi düşük sönümlü sistemler için belirlenmiş olan bu 4 adet performans kriterini tanıtalım:



Dr. Uğur HASIRCI

26

1. Tepe Zamanı Sistem cevabının, maksimum (tepe) değerine ulaşması için geçen süredir, Tp ile gösterilir ve

21p

n

T


2. Yerleşme Zamanı

Sistem cevabının, final değerinin %2 eksiğine/fazlasına ulaşıp hep o %2’lik bandın içinde kalması için geçen süredir, Ts ile gösterilir ve

4s

n

T




Dr. Uğur HASIRCI

3. Yüzde Aşım Sistem cevabının, final değeri ile maksimum (tepe) değeri arasındaki yüzdesel orandır, %OS ile gösterilir ve

21% 100OS e


Yukarıdaki formüle göre, verilen bir yüzde aşım (%OS) değeri için sistemin sönüm oranını veren formül, denklemin her iki tarafının doğal logaritmasını alarak bulunabilir:

2 2ln % /100

ln % /100

OS

OS

Yüzde aşım, aynı zamanda tanımı gereği, doğrudan grafik üzerindeki veri kullanılarak da hesaplanabilir:

max final

final

% 100c c

OSc



Dr. Uğur HASIRCI

28

4. Yükselme Zamanı

Sistem cevabının, final değerinin %10’undan %90’ına ulaşması için geçen süredir. Tr ile gösterilir ve ikinci mertebeden sistemlerde analitik olarak hesaplanması için bir yöntem mevcut değildir. Genellikle bir yaklaşım sonucu elde edilen aşağıdaki formül kullanılarak, bilinen ζ ve ωn değerleri için, yükselme zamanı


3 21.76 0.417 1.039 1n rT



Dr. Uğur HASIRCI

29

Ör: Bir sistemin transfer fonksiyonu aşağıdaki gibiyse, bu sistemin yüzde aşımını, yerleşme zamanını, tepe zamanını ve yükselme zamanını bulunuz. C:

2

2

1

2

100 10 rad/sn

2 15 0.75

0.75 % 100 2.838

40.533 sn

0.475 sn1

0.23 sn

n n

n

s

n

p

n

r

OS e

T

T

T

2

100( )

15 100G s

s s



Dr. Uğur HASIRCI

30

Şimdi de ikinci mertebeden düşük sönümlü bir sistemin geçici durum cevabına ilişkin bu performans kriterlerini, sistem kutuplarının lokasyonu ile ilişkilendirelim. Hatırlanacağı üzere ikinci mertebeden düşük sönümlü bir sistem karmaşık eşlenik kutuplara sahipti. Bu kutupların reel ve imajiner bileşenlerini

olarak isimlendirelim. Aşağıdaki şekilde özetlendiği üzere, kutupların bu reel ve imajiner bileşenleri ile sönüm oranı ve doğal frekans arasında

1,2 d ds j

21

d n

d n

ilişkisi mevcuttur (bu bağıntıları nasıl türetebilirsiniz?). Ayrıca yine şekilde görüldüğü gibi,

2 2

cos

n d d

bağıntıları mevcuttur.



Dr. Uğur HASIRCI

31

Elde edilen bu bağıntılara göre tepe zamanı ve yerleşme zamanı da kutupların lokasyonuna ilişkin bileşenler cinsinden ifade edilebilir:

2

4 4

1

s

n d

p

dn

T

T



Dr. Uğur HASIRCI

32

Ör: Kutup haritası aşağıda verilen sistemin değerlerini bulunuz C: Verilen kutup lokasyonuna göre ζ=cosθ=cos[arctan(7/3)]=0.394 bulunur. Ayrıca

21

0.449 sn7

4 41.333 sn

3

% 100 %26

p

d

s

d

T

T

OS e

, , , % , n p sT OS T

2 2 2 23 7 7.616 rad/snn d d

Bu durumda;

bulunur.



Dr. Uğur HASIRCI

Ör: Aşağıda verilen sistemin birim adım girişi için yüzde aşımı %20 ve yerleşme zamanı 2 sn değerlerine sahipse, bu sistemin J ve D değerlerini bulunuz.

C: Sistemin transfer fonksiyonu olarak bulunur. Buna göre; 2

1 /( )

JG s

D Ks s

J J

ve 2n nK D

J J bulunur. Sistemin yüzde aşımı %20 ise, sönüm oranı

2 2ln % /100

ln % /100

OS

OS

formülünden ζ=0.456 bulunur. yerleşme zamanı 2 sn

olarak verildiğine göre; olur. 4

2 2 4.38 rad/sns n nn

T

Bulunan bu ζ ve ωn değerlerine göre D=1.04 Nm·sn/rad ve J=0.26 kgm2 olarak hesaplanır.



Dr. Uğur HASIRCI

34





Dr. Uğur HASIRCI

35

Şu ana kadar birinci ve ikinci mertebeden sistemlerin zaman cevabına ilişkin performans spesifikasyonlarının nasıl hesaplanacağını gösterdik. Peki sistem üçüncü ya da daha yüksek mertebeden bir sistem ise, zaman cevabının analizine ilişkin bu spesifikasyonlar nasıl hesaplanır? Maalesef yüksek mertebeden sistemlerin geçici durum analizine ilişkin herhangi bir analitik yöntem yoktur! Ancak burada bir yaklaşım kullanılabilir: Yüksek mertebeden sistemin kompleks eşlenik “baskın (dominant) kutupları” varsa, bu sistem sanki ikinci mertebeden bir sistem gibi analiz edilebilir. Peki yüksek mertebeden bir sistemin hangi şartlarda baskın kutupları mevcuttur? Eğer yüksek mertebeden bir sistemin, (varsa) bir reel kutbunun orijine olan

uzaklığı, kompleks eşlenik kutupların reel kısmının orijine olan uzaklığının 5

katından fazla ise, bu durumda kompleks eşlenik kutuplar “baskın kutuplar”

olarak adlandırılır ve bu iki kutup sistemin zaman cevabı üzerinde baskın

etkiye sahiptir. Diğer kutup(lar) ise sistemin zaman cevabı üzerinde ihmal

edilebilir bir etkiye sahiptirler. Bu durumda sistem, sadece kompleks eşlenik

kutuplar göz önünde bulundurularak, ikinci mertebeden bir sistemmiş gibi

analiz edilebilir.

36

Yandaki şekilde, birinci durumda (Case I), reel eksen üzerindeki kutbun orijine uzaklığı, kompleks eşlenik kutupların reel kısmının orijine olan uzaklığından çok fazla değildir. İkinci durumda ise reel kutbun orijine uzaklığı imajiner kutupların reel kısmına göre yaklaşık 5 kat fazladır. Üçüncü durumda ise reel eksen üzerindeki kutbun sonsuzda olduğu kabul edilmektedir.

Alttaki grafikte, her üç durumda bu üç farklı sistemin birim adım girişine cevabı görülmektedir. Dikkat edilirse üçüncü sistemin cevabı tıpkı ikinci mertebeden bir sistemin cevabına benzemekte, reel kutup orijine yaklaştıkça zaman cevabı klasik bir düşük sönümlü ikinci mertebeden sistemin zaman cevabından sapmakta, özellikle birinci durumda alışık olduğumuzdan farklı bir cevap türü görülmektedir. Özetle yüksek mertebeden bir sistemde reel kutbun orijine olan uzaklığı, kompleks eşlenik kutupların reel kısmının orijine olan uzaklığından 5 kat ve daha fazla ise, diğer kutuplar ihmal edilerek sistem kompleks kutuplara sahip bir ikinci mertebeden sistem gibi analiz edilebilir.



Dr. Uğur HASIRCI

37

Alıştırma: Aşağıdaki sistemlerin her birinde, sisteme ikinci mertebeden yaklaşımının geçerli olup olmadığını belirtiniz.

2

2

700. ( )

( 15) 4 100

360. ( )

( 4) 2 90

a G ss s s

b G ss s s

C: a. Geçerli b. Değil

Neden?



Dr. Uğur HASIRCI

38

Peki bir sisteme fazladan bir sıfır eklenmesi sistemin zaman cevabını nasıl etkiler? Zaman cevabının karakteristiğinin (düşük sönümlü, sönümsüz, aşırı sönümlü, kritik sönümlü) kutup lokasyonuna bağlı olduğunu gördük. Peki sıfırlar zaman cevabı karakteristiğini etkilemez mi?

Aşağıdaki grafik, düşük sönümlü bir sistemin kutupları aynı kalmak koşuluyla herhangi bir sıfırının olmadığı ve birkaç farklı noktada sıfırının olduğu durumlarda, her bir durum için zaman cevabının değişimini göstermektedir. Görüldüğü gibi sıfırlar sadece cevabın genliğini etkilemekte, cevap türünde bir değişikliğe sebep olmamaktadır. (Her bir durumda, eklenen sıfırların s-düzleminin sol yarı tarafında olduğuna dikkat ediniz.)



Dr. Uğur HASIRCI

39

Ancak bir sisteme, kontrolör tasarlayarak ya da başka herhangi bir sebepten, s-düzleminin pozitif tarafında bir sıfır eklenirse, ilginç bir durum ortaya çıkar. Bunun etkisi aşağıdaki grafikten görülebilir. Operasyonun ilk anlarında kısa bir süreliğine sistem çıkışı negatif değer alır. Bu şekilde dinamik davranış gösteren sistemlere “Minimum Fazlı Olmayan Sistemler – Nonminimum Phase Systems” denir.

Bunun pratik karşılığı şu şekilde açıklanabilir: Örneğin bir hava taşıtına pistte hareket etmeye başladığında ileri gitmesi için komut verilir ancak taşıt başlangıçta çok kısa bir süre (birkaç milisaniye) geri gidip sonra ileri gitmeye başlar. Tüm kutup ve sıfırları sol yarı düzlemde olan sistemlere ise “Minimum Fazlı Sistem – Minimum Phase System” denir. Sistemin bir tane bile kutbu ya da sıfırı sağ yarı düzlemde ise, o sistem Minimum Fazlı Olmayan bir sistemdir.



Dr. Uğur HASIRCI

40





Dr. Uğur HASIRCI

41

Bu alt bölümde, çeşitli doğrusalsızlıkların (doyum, ölü bölge, boşluk vs.) sistemin zaman cevabı üzerine etkisini inceleyeceğiz. Diğer bir ifadeyle, örnek bir sistemin önce bu doğrusalsızlıkları içermeyen hali için zaman cevabını elde edip, daha sonra sisteme bu doğrusalsızlıklar eklendiğinde zaman cevabının nasıl değiştiğini karşılaştırarak inceleyeceğiz. Örnek sistem olarak, transfer fonksiyonu

0.2083( )

1.71G s

s

şeklinde olan elektriksel bir sistemi ele alalım. MATLAB/Simulink ortamında bu sisteme bir giriş sinyali uygulanması durumunda sistemin zaman cevabını, herhangi bir doğrusalsızlık olması durumunda elde edilen zaman cevabı ile aynı grafik üzerinde karşılaştıralım. İlk önce doyum (saturation) doğrusalsızlığının zaman cevabına etkisini inceleyelim.



Dr. Uğur HASIRCI

42

Yandaki şekilde görüldüğü gibi sisteme 10 V adım girişi uygulanmış ve sistemin zaman cevabı hem herhangi bir doğrusalsızlık olmaması durumunda, hem de ±5V tepe değerlerine sahip doyum doğrusalsızlığı olması durumunda elde edilerek aynı grafik üzerinde çizdirilmiştir. Pratik olarak buradaki doğrusalsızlık, sistemi süren yükseltecin doğrusalsızlığı olarak düşünülebilir. Grafikten görüldüğü bu tür doğrusalsızlık sistem çıkışını sınırlandırmakta ve kalıcı durumda sistem çıkışının, herhangi bir doğrusalsızlık olmadığı duruma göre daha düşük değer almasına sebep olmaktadır.



Dr. Uğur HASIRCI

43

Şimdi sisteme ölü bölge (dead zone) doğrusalsızlığı ekleyip, bunun zaman cevabı üzerindeki etkisini inceleyelim. Bu kez sisteme genliği 5V ve açısal frekansı 1 rad/sn olan sinüsoidal bir giriş uygulayalım. Sistemin hem herhangi bir doğrusalsızlık olmaması durumunda, hem de ±2 V ölü bölge doğrusalsızlığı içermesi durumunda zaman cevabını aynı grafik üzerinde çizdirelim. Grafikten görüleceği üzere, ölü zaman doğrusalsızlığı hem sistemin biraz daha geç tepki vermeye başlamasına hem de sistem çıkışının genliğinin azalmasına sebep olmaktadır.



Dr. Uğur HASIRCI

44

Son olarak sisteme boşluk (backlash) doğrusalsızlığı ekleyip, zaman cevabına etkisini inceleyelim. Sisteme yine genliği 5V ve açısal frekansı 1 rad/sn olan sinüsoidal bir giriş uygulanmış ve 0.15 V bant genişliğine sahip bir boşluk eklenmiştir. Grafikten görüleceği üzere, boşluk doğrusalsızlığı hem genliği her iki yönde oldukça azaltmakta, hem sistem cevabını geciktirmekte, hem de başlangıçta negatif yönde tepkiye neden olmaktadır. Bu haliyle sistemin zaman cevabı üzerinde en çok etki yaratan doğrusalsızlık türüdür.

Documents

SİSTEMLERİN ZAMAN EVAI - duzce.edu.trakademik.duzce.edu.tr/Content/Dokumanlar/... · EET305 OTOMATİK KONTROL I Dr. Uğur HASIRCI 2 İlk iki derste, bir sistemin nasıl modelleneceği