Upload
others
View
80
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
STABILNOST SISTEMA
• Najvaznija osobina sistema automatskogupravljanja je stabilnost. Generalni zahtev kojise postavlja pred projektanta jeste daprojektovani i realizovani sistem automatskogupravljanja bude stabilan. To je osnovnipreduslov prakticne primene.
• Sistem automatskog upravljanja predstavlja dinamički sistem, pa prelazni proces koji nastaje pri prelazu sistema iz jednog u drugo ravnotežne stanje usled dejstva poremećaja ili promene ulazne veličine zavisi od dinamičkih karakteristika samog sistema a takođe i od oblika poremećaja
• Za normalno funkcionisanje sistema veoma je bitno da on bude neosetljiv na slučajne poremećaje i smetnje koji u toku rada na njega deluju, tj. da bude stabilan.
• Sistem je stabilan ukoliko se posle prestanka poremećajnog dejstva i završetka prelaznog procesa ponovo vrati u prvobitno i zauzme novo ravnotežne stanje.
• Ukoliko se sistem ne vrati u ravnotežno stanje iz kojeg je izveden, nego se od njega neprekidno udaljava monotono ili oscilatorno sa stalno rastućim amplitudama, onda je to nestabilan sistem
Ta tri stanja mogu se pregledno prikazati na primeiu pomeranja kuglice po površinama različitog profila usled kratkotrajnog spoljnjeg dejstva
na njih slika
Položaj kuglice 1 na površini 2: a— stabilan, b — nestabilan, c — neutralan
Od čega zavisi stabilnost (ili nestabilnost) sistema najbolje se može objasniti pomoću opšte diferencijalne jednačine linearnog sistema
automatskog upravljanja koja ima oblik:
Prelazni proces y(t) zavisi od vrednosti koeficijenata A i B, od početnih vrednosti promenljive y i njenih n—1 izvoda, i od oblika funkcije x(i) i njenih m—1 izvoda
Opšte rešenje jednačine dobija se u vidu zbira homogenog Yh(t) partikulamog yp (t) rešenja, što se može napisati:
Homogeno rešenje predstavlja slobodno kretanje sistema koje je određeno početnim uslovima i osobinama samog sistema, dok partikularno rešenje predstavlja prinudno kretanje koje je određeno poremečajnim dejstvom i karakteristikama sistema
Za stabilan rad sistema potrebno je da se prelazni proces (u toku kojeg sistem prelazi iz jednog zadatog ravnotežnog stanja u drugo) sa vremenom prigušuje
, tj. da homogeno rešenje sa vremenom teži ka nuli što se
analitički može izraziti uslovom
Rešenje diferencijalne jednačine dobija se polazeći od pretpostavke da će u rešenju sigurno biti član oblika
Diferenciranjem izraza n puta i unošenjem odgovarajućih izvoda u jednačinu., posle skraćenja člana Ce'1 dobija se karakteristična
jeđvačirta oblika:
Kada je poznato svih n korenova karakteristične jednačine onda se njeno rešenje može napisati:
gde su C1,.. - C„ — integracione konstante koje se određuju iz početnih uslova i parametara sistema.
Koreni karakteristične jednačine mogu biti realni ili kompleksni, i u opštem slučaju mogu se napisati u obliku
Iz definicije stabilnosti sistema proizilazi zaključak da će sistem čija karakteristična jednačina ima oblik biti stabilan samo u tom slučaju ako svi realni koreni i svi realni dolovi kompleksnih korenova karakteristične jednačine imaju negativne vrednosti.
Impulsni odziv sistema u zavisnosti od prirode resenja
karakteristicne jednacine.
• Na slici su prikazani vremenski dijagrami impulsnog odziva sistemaautomatskog upravljanja za pojedine slucajeve korenakarakteristicne jednacine.
• Impulsni odziv (slika a) odgovara negativnim realnim korenima, dokje na slici b impulsni odziv sistema sa parom konjugovanokompleksnih korena i negativnim realnim delom.
• Impulsni odziv na slici c odgovara sistemu koji osim negativnihrealnih korena ima i jedan koren jednak nuli
• na slici d je prikazan impulsni odziv sa parom cisto imaginarnihkorena.
• U oba slucaja (c i d) sistem je na granici stabilnosti.• Na slici e je prelazni proces u sistemu sa realnim pozitivnim
korenima, • na slici f je slobodan prelazni proces u sistemu sa parom
konjugovano kompleksnih korena sa pozitivnim realnim delom.• U ova dva slucaja sistem je nestabilan.
• Prema tome, ispitivanje stabilnosti linearnih SAU svodi se na matematicki utvrdjivanje znaka realnog dela korena karakteristicne jednacine, a geometrijski na odredjivanje polozaja korena karakteristicne jednacine u kompleksnoj ravni u odnosu na imaginarnu osu.
Stabilnost sistema na osnovu korena karakteristične jednačine
• Na osnovu prethodno navedenog zaključuje se da će sistembiti stabilan ako poseduje sve polove u levoj poluravnikompleksne s-ravni.
• Ako poseduje bar jedan pol u koordinatnom početku i/ili parpolova na imaginarnoj osi, dok se svi ostali polovi nalaze ulevoj poluravno kompleksne s-ravni sistem je graničnostabilan.
• Ako sistem poseduje bar jedan pol (ili par konjugovanokompleksnih polova) u desnoj poluravni kompleksne s-ravni,bez obzira na broj polova u levoj poluravni, koordinatnompočetku ili imaginarnoj osi, sistem je nestabilan.
• Ispitati stabilnost i odrediti odskočni odzivsistema čija je funkcija prenosa
• Pošto je pol sistema sa negativnim realnim delom, sistem je stabilan. Odskočni odziv je ,
odnosno u MATLAB-u step (1, [1 1])
0 1 2 3 4 5 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
• Posto je pol sistema sa pozitivnim realnimdelom, sistem je nestabilan. Odskočniodziv je
odnosno u MATLAB-u
step (1, [1 -1])
0 5 10 150
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5x 10
6 Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
• Za isitivanje stabilnosti potrebno je odrediti polove sistema:
•>> Q=[1 4 5];•>> roots(Q)
•ans =
• -2.0000 + 1.0000i• -2.0000 - 1.0000i
Posto su polovi sistema sa negativnim realnimdelom, sistem je stabilan. Odskocni odzivje:
odnosno u MATLAB-u
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
>> step (1,[1 4 5])>> grid on
• Posto su polovi sistema sa pozitivnim realnimdelom, sistem je nestabilan. Odskocni odziv je:
>> Q=[1 -2 10];>> roots(Q)
ans =
1.0000 + 3.0000i1.0000 - 3.0000i
>> syms s t;>> G=1/(s^3-2*s^2+10*s);>> k=ilaplace(G)
k =
1/10 - (exp(t)*(cos(3*t) - sin(3*t)/3))/10
0 5 10 15-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1x 10
5 Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
>> step(1,[1 -2 10]); grid on
>> Q=[1 0 4];roots(Q)
ans =
0 + 2.0000i0 - 2.0000i
0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6Step Response
Time (sec)Am
plitu
de
Posto su polovi sistema sa realnimdelom koji je jednak 0, sistem je graničnostabilan. Odskočni odziv je:
step(1,[1 0 4]);grid on
KRITERIJUMI STABILNOSTI
Za istrazivanje stabilnosti vazno je da li se vrednosti korena karakteristicne jednacine tacke nalaze na levoj ili desnoj strani poluprave s-ravni.
Za analizu stabilnosti sistema automatskog upravljanja kriterijumi mogu biti:
• algebarski (numericki) • graficki (grafoanaliticki)Algebarski kriterijumi primjenljivi su i za kvalificiranje stabilnosti
opstih linearnih sistema, ne samo sistema automatskog upravljanja.
ALGEBARSKI KRITERIJUM STABILNOSTI
Algebarski kriterijum stabilnosti polaze od karakteristicne jednacineanaliziranog sistema upravljanja
• Hurwitz-ov kriterijum stabilnostiOvaj kriterijum polazi od karakteristicne jednacine sistema
zatvorenog regulacionog kruga:
• Potreban i dovoljan uslov da svi korenikarakteristicne jednacine imaju negativnerealne delove, odnosno da je sistem apsolutnostabilan, jeste da svi koeficijentikarakteristicne jednacine budu veci od nule ida sve Hurwitzove determinante budu vece odnule.
• Prednosti ovog kriterijuma su te da nije potrebno poznavati resenje diferencijalne jednacine da bi se ustanovila apsolutna stabilnost, vec samo koeficijente karakteristicne jednacine.
• Nedostaci koje ovaj kriterijum ima su da mora biti poznata diferencijalna jednacina, ne moze da se odredi uticaj pojedinih elemenata na stabilnost sistema, odredjuje se samo apsolutna stabilnost, nema informacija o relativnoj stabilnosti.
• Hurwitzov kriterijum stabilnosti ekvivalentan je Routhovom kriterijumu stabilnosti.
GRAFO-ANALITIČKI KRITERIJUMI STABILNOSTI
Nyquistov kriterijum stabilnosti
To je grafoanalitički kriterijum pomoću kojeg se zaključuje na apsolutnui relativnu stabilnost zatvorenih regulacijskih sistema na temeljuamplitudno-fazne frekvencijske karakteristike prenosne funkcijeotvorenog regulacijskog kruga. Zasniva se na analizi frekventnogodziva.
BODEOV KRITERIJUM STABILNOSTI• Najkvistov kriterijum pored dobrih strana ima i
nedostatke.• Jedna njegova mana ogleda se u teškoćama oko
konstrukcije Najkvistove krive za za složenije sisteme.• Drugi, vrlo važan nedestatak Najkvistovog kriterijuma
je da se teško može odrediti uticaj promene pojedinih parametara na stabilnost sistema
• Da bi otklonio pomenute nedostatke Najkvistovog kriterijuma i uprostio postupak projektovanja stabilnih sistema, Bode (N.W. Bode SAD) je interpretirao Najkvistov kriterijum u logaritamskom obliku
BODEOV KRITERIJUM STABILNOSTI
Najkvistova kriva (levo), Bodeov dijagram za jedan stabilan SAU (desno)
• Pravilo za utvrđivanje stabilnosti sistema poBodeovom kriteriju:Sistem sa zatvorenom povratnom vezomopisan prenosnom funkcijom biće stabilanako amplitudni Bodeov dijagram prenosnefunkcije otvorene petlje Wo(s) sečefrekvencijsku osu pre nego fazni Bodeovdijagram seče pravac –180o
• Najkvistova kriva (levo), Bodeov dijagram za jedan nestabilan SAU (desno)
• Pravilo za utvrđivanje stabilnosti sistema poBodeovom kriteriju:Sistem sa zatvorenom povratnom vezomopisan prenosnom funkcijom biće nestabilanako amplitudni Bodeov dijagram prenosnefunkcije otvorene petlje Wo(s) sečefrekvencijsku osu kasnije nego fazni Bodeovdijagram seče pravac –180o
UTVRĐIVANJE STABILNOSTI SISTEMA PO BODEOVOM KRITERIJUMU
• Stabilnost sistema sa zatvorenom povratnomvezom, opisanog prenosnom funkcijom , određuje se na temelju amplitudne i fazneBodeove karakteristike nacrtane za prenosnufunkciju otvorene petlje, Wo(s).
• Određivanje AP i FP na temeljuBodeovih dijagrama:
• Frekvencija kritične amplitude, 1: frekvencija pri kojoj amplitudni Bodeovdijagram prenosne funkcije otvorene petljeseče frekvencijsku osu.
• Frekvencija kritične faze, : frekvencija prikojoj fazni Bodeov dijagram prenosne funkcijeotvorene petlje seče pravac od -180o.
1: <
• Amplitudno osiguranje, AP(dB):• Može se odrediti na osnovu Bodeovog amplitudnog
dijagrama prenosne funkcije otvorene petlje. AP seodređuje kao udaljenost od amplitudnog dijagrama dofrekvencijske ose, pri frekvenciji kritične faze.
•• •Fazno osiguranje, FP(o):• Može se odrediti na osnovu Bodeovog faznog
dijagrama prenosne funkcije otvorene petlje. FP seodređuje kao udaljenost od pravca –180o do faznogdijagrama, pri frekvenciji kritične amplitude.
i ispitati stabilnost sistema
• Konstruisati Bodeove dijagrame amplitude ifaze sistema čija je funkcija povratnog prenosa
sys1=zpk(-2,[0 -0.5 -4],10);bode(sys1)hold ongrid on
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
10-2
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
>> margin(sys1)
-100
-50
0
50
100M
agni
tude
(dB)
10-2
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
Phas
e (d
eg)
Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 30.3 deg (at 2.6 rad/sec)
Frequency (rad/sec)