Statistics

คณตศาสตร สถต www.clipvidva.com

1

สถต ในปจจบนชวตคนเราตองพบกบ ขอมล (Data) มากมาย หากเราตองการน าขอมลเหลานไปใชใหเกด

ประโยชนในสาขาตางๆ เชน เศรษฐศาสตร วทยาศาสตร เปนตน เราจะตองท าการวเคราะหขอมลซงเปนทมา

ของวชา สถตศาสตร (Statistics) ซงเราจะไดศกษากนในบทน จากสถตแลว ขอสอบ PAT1 มการออกขอสอบ

ในบทนทกครงประมาณครงละ 5-6 ขอ ทส าคญระดบความยากถอวาไมยากมากนาเกบคะแนนเปนอยางยง

ครบ

สถต

1. การน าเสนอขอมล

2. คากลางขอมล

3. ต าแหนงสมพทธของขอมล

4. คาการกระจายขอมล

5. คามาตรฐานและการแจกแจง

แบบปกต

6. ความสมพนธเชงฟงกชน

ระหวางขอมล


2

1. การน าเสนอขอมล

การแจกแจงความถ เปนการจดเรยงล าดบขอมลดบทเกบรวบรวมมาได โดยจดใหเปนหมวดหม ซงท า

ได 2 รปแบบ

1. การแจกแจงความถแบบตาราง

1.1 ตารางแจกแจงความถ

1.2 ตารางแจกแจงความถสะสม

1.3 ตารางแจกแจงความถสมพทธ

1.4 ตารางแจกแจงความถสะสมสมพทธ

2. การแจกแจงความถแบบใชแผนภมหรอกราฟ

2.1 ฮสโทแกรม

2.2 รปหลายเหลยมความถ

2.3 โคงความถ

2.4 โคงความถสะสม

2.5 แผนภาพตน-ใบ

ตวอยางตารางและแผนภาพการแจกแจงความถแบบตางๆ


3

NOTE


4

2. คากลางขอมล

2.1 คาเฉลยเลขคณต (Arithmetic mean) คาเฉลยเลขคณต เรยกสนๆวาคาเฉลย คอคาของผลรวมของขอมลทงหมดหารดวยจ านวน

ขอมล มสตรดงน

เมอ Xi แทน ขอมลแตละตว และ n แทน จ านวนขอมล

นอกจากนยงมคาเฉลยเลขคณตในแบบตางๆ ไดแก

- คาเฉลยเลขคณตแบบถวงน าหนก

เมอ wi คอ น าหนกถวงของแตละขอมล

ขอควรร

ประชากร หมายถง กลมของสมาชกทกหนวยทเราตองการศกษาลกษณะ

กลมตวอยาง หมายถง กลมยอยของสมาชกในกลมของประชากรทสมเลอกมาเพอศกษา


5

- คาเฉลยเลขคณตรวม

- คาเฉลยเลขคณตของขอมลทแจกแจงความถแลว

เมอ fi แทนความถของแตละอนตรภาคชน และ xi แทน จดกงกลางของแตละอนตรภาคชน

2.2 มธยฐาน (Median) มธยฐาน คอคาของขอมลทอยต าแหนงกงกลางของชดขอมลเมอมการจดเรยงขอมลจากนอย

ไปมากหรอมากไปนอย โดยแบงเปน 2 กรณ

- กรณขอมลไมมการแจกแจงความถ

มธยฐาน คอ คาของขอมลต าแหนงท 1

2

N

***ขอควรระวง การหาคามธยฐานขอมลตองมการเรยงล าดบจากนอยไปมากแลว

NOTE

คาเฉลยเลขคณตแบบลดทอน


6

- กรณขอมลมการแจกแจงความถ

เมอ L แทนขอบลางของชนทมมธยฐานอย

I แทนความกวางของชนทมมธยฐานอย

Lf แทนความถสะสมจนถงขอบลางของชนทมมธยฐานอย

Medf แทนความถของชนทมมธยฐานอย

2.3 ฐานนยม (Mode) ฐานนยม คอขอมลทมความถสงสด แบงเปน 2 กรณ


ฐานนยม คอ ขอมลทมความถ(จ านวน)สงสด


เมอ L แทนขอบลางของชนทมฐานนยมอย

I แทนความกวางของชนทมฐานนยมอย

Ld แทนผลตางความถของชนทมฐานนยมอยกบชนทอยตดกนทต ากวา

Ud แทนผลตางความถของชนทมฐานนยมอยกบชนทอยตดกนทสงกวา

NOTE


7

2.4 สมบตของคากลางขอมล

-

1

n

ii

nX X

-

1

0n

ii

X X

-

2

1

n

ii

X k มคานอยทสด เมอ k X

-

1

n

ii

X k มคานอยทสด เมอ k Med

- ถาขอมลชด Y ทกๆตวสมพนธกบขอมลชด X แตละตว ตามสมการ i iY mX C จะได

วา Y mX C หรอ Med MedY mX C หรอ Mod ModY mX C

ตวอยาง ขอมลน าหนก (ก.ก.) ของนกเรยน 9 คนเปนดงน 50 64 72 43 57 59 64 41 50

จงหาคาเฉลยเลขคณต มธยฐานและฐานนยมของขอมลชดน

REVIEW


8

ตวอยาง จงค านวณผลการเรยนเฉลยของนกเรยนคนหนงซงมผลการเรยนดงน

รายวชา คณตศาสตร ฟสกส เคม ชววทยา ภาษาองกฤษ หนวยกต 3 2 1.5 1.5 2 เกรดทได 4 2.5 3 3.5 1.5

ตวอยาง นกเรยนหองหนงมนกเรยนทงหมด 24 คน เปนนกเรยนชาย 16 คน โดยสวนสงเฉลยของ

นกเรยนชายและหญง คอ 172 และ 158 เซนตเมตร ตามล าดบ จงหาสวนสงเฉลยของนกเรยนหองน

ตวอยาง ตารางแจกแจงความถสะสมของคะแนนสอบของนกเรยน 100 คน เปนดงน

คะแนน จ านวนนกเรยนสะสม 20-29 2 30-39 11 40-49 24 50-59 44 60-69 74 70-79 89 80-89 99 90-99 100

จงหาคาเฉลยเลขคณต มธยฐานและฐานนยมของคะแนนสอบ


9

ตวอยาง จงหาคา a-b เมอ a คอคาทท าให 5

2

1i

i

a X

มคานอยทสดส าหรบขอมล X : 2 3 6

12 20 และ b คอคาทท าให 8

1i

i

b Y

มคานอยทสดส าหรบขอมล Y : 16 15 10 8 7 6 5 3

ENT ต.ค. 41 ขอมลชดหนงเรยงล าดบจากนอยไปมากไดเปน 10, 20, 30, 30, a, b, 60, 60, 90, 120 ถา

ฐานนยมและมธยฐานของคะแนนชดนเปน 30 และ 40 ตามล าดบ แลวขอมลชดตอไปน คอ 11, 22, 33, 34,

a+5, b+6, 67, 68, 99, 130 มคาเฉลยเลขคณตเทากบขอใด

1. 50 2. 55.5 3. 60 4. 60.5


10

ENT ม.ค. 42 เมอสรางตารางแจกแจงความถของนกเรยน 36 คน โดยใชความกวางของแตละอนตรภาคชน

เปน 10 แลว ปรากฏวามธยฐานของคะแนนทงหมดอยในชวง 50-59 ถามนกเรยนทสอบไดคะแนนต ากวา

49.5 คะแนนอยจ านวน 12 คน และมนกเรยนไดคะแนนต ากวา 59.5 คะแนนอยจ านวน 20 คน แลวมธยฐาน

ของคะแนนการสอบครงนมคาเทากบเทาใด

1. 53 2. 54 3. 56 4. 57

ENT ม.ค. 44 ก าหนดให x1, x2,…, x10 มคาเปน 5, 6, a, 7, 10, 15, 5, 10, 10, 9 ตามล าดบ โดยท a<15

ถาพสยของขอมลชดนเทากบ 12 b เปนจ านวนจรงทท าให 210

1i

i

X b

มคานอยทสด และ c เปน

จ านวนจรงทท าให 10

1i

i

X c

มคานอยทสด แลว a+b+c มคาเทาใด


11

ENT ม.ค. 48 ขอมลชดหนงประกอบดวย x1, x2,…, x13 โดยท xn = | 5-n | เมอ n = 1, 2,…, 13 จ านวน

จรง a ทท าให 13

1n

i

x a

มคานอยทสด เทากบเทาใด

PAT1 ม.ค. 52 ขอมลชดหนงม 99 จ านวน เรยงล าดบจากนอยไปมากไดเปน x1, x2,…, x99 ถาคาเฉลยเลข

คณตของขอมลชดนเทากบมธยฐาน แลวขอใดตอไปนถกตอง

1. 49 99

1 51i i

i i

x x

2. 49 99

50 501 51

i ii i

x x x x

3. 49 99

50 501 51

i ii i

x x x x

4. 2 249 99

50 501 51

i ii i

x x x x


12

PAT1 ม.ค. 53 นกเรยนหองหนงสอบวชาคณตศาสตรไดคะแนนเฉลยเลขคณตเทากบ 40 คะแนน ถา

นกเรยนชายสอบไดคะแนนเฉลยเลขคณต 35 คะแนนและนกเรยนหญงสอบไดคะแนนเฉลยเลขคณต 50

คะแนน อตราสวนของนกเรยนชายตอนกเรยนหญงตรงกบขอใดตอไปน

1. 3:2

2. 2:3

3. 2:1

4. 1:2

PAT1 ก.ค. 53 สรางตารางแจกแจงความถของคะแนนการสอบของนกเรยนกลมหนง โดยใหความกวางของ

แตละอนตรภาคชนเปน 10 แลวปรากฏวามธยฐานของคะแนนการสอบเทากบ 57 คะแนนซงอยในชวง 50-59

ถามนกเรยนทสอบไดคะแนนต ากวา 49.5 คะแนน อยจ านวน 12 คน และมนกเรยนไดคะแนนต ากวา 59.5

คะแนน อยจ านวน 20 คน จงหาวานกเรยนกลมนมทงหมดกคน


13

3. ต าแหนงสมพทธของขอมล

ในหวขอทแลวเราไดศกษาการหาคากงกลางของขอมลไปแลว ไมวาจะเปน คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน

และฐานนยม ส าหรบในบทนเราจะศกษาคา ณ ต าแหนงใดๆของขอมล ไดแก ควอรไทล (แบงขอมลออกเปน

4 สวนเทาๆกน) เดไซล (แบงขอมลออกเปน 10 สวนเทาๆกน) และเปอรเซนไทล (แบงขอมลออกเปน 100

สวนเทาๆกน) โดยขอมลจะตองถกเรยงล าดบจากนอยไปมากกอนเสมอ

แผนภาพอธบายต าแหนงสมพทธของขอมล

การค านวณหาคาควอรไทล เดไซลและเปอรเซนไทลมลกษณะคลายๆกบการค านวณคามธยฐาน โดย

แบงเปน 2 กรณ


ควอไทลท r (Qr) คอขอมลต าแหนงท 14

rN

Med

P50

Q2

D5

P25

Q1

D2.5

P75

Q3

D7.5

D1 D9

NOTE


14

เดไซลท r (Dr) คอขอมลต าแหนงท 110

rN

เปอรเซนไทลท r (Pr) คอขอมลต าแหนงท 1100

rN

***ขอควรระวง ในการหาคาควอรไทล เดไซลและเปอรเซนไทลขอมลตองมการเรยงล าดบจากนอยไปมาก

แลว


เมอ L แทนขอบลางของชนทมควอรไทล เดไซลหรอเปอรเซนไทลอย

I แทนความกวางของชนทมควอรไทล เดไซลหรอเปอรเซนไทลอย

Lf แทนความถสะสมจนถงขอบลางของชนทมควอรไทล เดไซลหรอเปอรเซนไทลอย

rQf ,

rDf ,

rPf แทนความถของชนทมควอรไทล เดไซลหรอเปอรเซนไทลอย

***ขอควรระวง ในการหาคาควอรไทล เดไซลและเปอรเซนไทลของขอมลทแจกแจงความถแลว จะใช

ต าแหนงโดยไมตองบวกหนง

มแผนภาพอกชนดหนงทชวยใหเหนการกระจายขอมลไดชดเจนยงขน เรยกวา แผนภาพกลอง (Box

plot) ซงจะบอกคาทางสถตทงหมด 5 คา ไดแก ขอมลต าสด ขอมลสงสด ขอมลในควอรไทลท 1, 2, 3 โดยรป

ดานลางแสดงตวอยางของแผนภาพกลอง


15

องคประกอบของแผนภาพกลอง ไดแก ตวกลองซงจดปลายกลองทางดานซาย ตรงกลางและขวาจะ

เปนขอมลในควอรไทลท 1 2 และ 3 ตามล าดบ และกงซงจะยนออกมาจากกลอง โดยจดปลายกงซายและกง

ขวาคอ ขอมลต าสดและสงสดตามล าดบ

ตวอยาง จากขอมล 18.3 20.6 19.3 22.4 20.2 18.8 19.7 20.0 19.6 18.8 จงหา P89 – Q3 + D4

ตวอยาง สวนสงของนกเรยนกลมหนงเปนดงตาราง จงใชตารางในการตอบค าถามตอไปน

สวนสง (cm) จ านวนนกเรยน 150-154 5 155-159 10 160-164 12 165-169 14 170-174 8 175-179 7 180-184 4


16

ก. นายด าและนายแดงเปนนกเรยนในกลมน โดยนายด ามสวนสงอยในต าแหนงควอรไทลท

3 และนายแดงมสวนสงอยในต าแหนงเปอรเซนไทลท 45 ดงนนนายด าและนายแดงมสวนสงตางกนเทาไร

ข. นางสาวขาวมสวนสง 159.5 เซนตเมตร คดเปนเดไซลทเทาไร

ENT ม.ค. 46 ก าหนดตารางแจกแจงความถของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนงไดดงน

คะแนน ความถ 16-18 a 19-21 2 22-24 3 25-27 6 28-30 4

ถาควอรไทลท 1 (Q1) เทากบ 18.5 คะแนน แลวมธยฐานของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองน

เทากบเทาใด


17

A-NET 49 โรงงานแหงหนงมพนกงานจ านวน 40 คน และตารางการแจกแจงความถสะสมของอาย

พนกงานเปนดงน

อาย(ป) ความถสะสม 11-20 6 21-30 14 31-40 26 41-50 36 51-60 40

ถาผจดการมอาย 48.5 ป แลวพนกงานทมอายระหวางคามธยฐานของอายพนกงานและอายของผจดการ ม

จ านวนประมาณเทากบขอใด

1. 31.5%

2. 33.7%

3. 35.0%

4. 37.0%

PAT1 ต.ค. 52 ขอมลชดหนงม 5 จ านวนและมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 12 ถาควอไทลท 1 และ 3 ของ

ขอมลชดนเทากบ 5 และ 20 ตามล าดบ แลวเดไซลท 5 ของขอมลชดนมคาเทาใด


18

PAT1 ต.ค. 53 ในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 2 หอง ซงท าคะแนนเฉลยได 60 คะแนน โดยหอง

แรกมนกเรยนจ านวน 40 คน และหองทสองมนกเรยนจ านวน 30 คน ถาคะแนนสอบในหองแรก เปอรเซน

ไทลท 50 มคา 64 คะแนนและฐานนยมมคาเปน 66 คะแนน แลวคะแนนเฉลยของนกเรยนหองทสองมคา

เทากบเทาใด

PAT1 ม.ค. 54 ในการสอบคณตศาสตรคะแนนเตม 60 คะแนน มนกเรยนเขาสอบ 30 คน นาย ก. เปน

นกเรยนคนหนงทเขาสอบในครงน นาย ก. สอบได 53 คะแนนและมจ านวนนกเรยนทมคะแนนสอบนอยกวา

53 คะแนนอย 27 คน ถามการจดกลมคะแนนสอบเปนชวงคะแนนโดยมอนตรภาคชนกวางเทาๆกน คะแนน

สอบของนาย ก. อยในชวงคะแนน 51-60 จ านวนนกเรยนทสอบไดคะแนนในชวงคะแนน 51-60 นมทงหมดก

คน

1. 3

2. 4

3. 5

4. 9


19

4. คาการกระจายขอมล

ในหวขอทผานมาเราไดศกษาถงคากลางของขอมลเพอใชเปนตวแทนของขอมลทงหมด แตยงมอกสง

หนงทควรจะวเคราะหประกอบกนนนคอ การกระจายตวของขอมล ซงจะชวยใหเราเขาใจขอมลทเรามได

ละเอยดขน โดยการวดการกระจายตวของขอมลแบงเปน 2 ประเภท คอ การวดการกระจายสมบรณและการ

วดการกระจายสมพทธ ซงแตละประเภทจะมตววดการกระจายขอมลอก 4 แบบ ซงจะไดศกษาตอไป

4.1 การวดการกระจายสมบรณ คอ การวดการกระจายตวของขอมลเพยงชดเดยว เพอด

วาขอมลชดนนมการกระจายตวมากนอยเพยงใด โดยทนยมใชมอยทงหมด 4 แบบ ไดแก

- พสย

- สวนเบยงเบนควอรไทล

- สวนเบยงเบนเฉลย

- สวนเบยงเบนมาตรฐาน

สตรการค านวณ พสย (Range)


พสย = คาสงสด – คาต าสด ( max minx x )


พสย = ขอบบนของอนตรภาคชนทมขอมลทมคาสงสด – ขอบลางของอนตรภาคชนทมขอมลทมคาต าสด

สตรการค านวณ สวนเบยงเบนควอรไทล (Quartile deviation : QD)

- กรณขอมลไมมการแจกแจงความถและมการแจกแจงความถ

สตรการค านวณ สวนเบยงเบนเฉลย (Mean deviation : MD)



20


สตรการค านวณ สวนเบยงเบนมาตรฐาน (Standard deviation : SD)



4.2 การวดการกระจายสมพทธ จะใชกตอเมอมขอมลตงแตสองชดขนไป ซงอาจเปน

ขอมลคนละประเภทแตสามารถน ามาวดการกระจายได โดยทนยมใชมอยทงหมด 4 แบบ ไดแก

- สมประสทธของพสย

- สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล

- สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย

- สมประสทธของความแปรผน

NOTE

ถาขอมลชด Y ทกๆตว สมพนธกบขอมลชด X แตละตว ตามสมการ จะไดวา

คาการกระจายของขอมลชด Y เปน |m| เทาของชด X


21

สตรการค านวณ สมประสทธของพสย(Coefficient of Range : CR)

สตรการค านวณ สมประสทธสวนเบยงเบนควอรไทล (Coefficient of quartile deviation : CQ)

สตรการค านวณ สมประสทธสวนเบยงเบนเฉลย (Coefficient of average deviation : CA)

สตรการค านวณ สมประสทธของความแปรผน (Coefficient of variation : CV)

ตวอยาง อายของสมาชกในครอบครวหนงซงม 5 คน ไดแก 10, 30, 30, 30, 60 ป จงหาคาการ

กระจายสมบรณทง 4 แบบ

ขอควรร


22

ตวอยาง ในการสอบครงหนง คาเฉลยเลขคณตและความแปรปรวนของคะแนนสอบของนกเรยนเปน

14 คะแนนและ 1.4 คะแนน2 ตามล าดบ จงหาคาเฉลยเลขคณตและความแปรปรวนเมอ

ก. ผสอนเพมคะแนนเกบใหกบทกคน คนละ 5 คะแนน

ข. หากผสอนปรบคะแนนเตมจากเดม 20 คะแนนเปน 60 คะแนน

ขอควรร

ความแปรปรวน ( ) เปนการวดการกระจายสมบรณอกชนดหนง โดย

ความแปรปรวน = คาของสวนเบยงเบนมาตรฐาน 2

และเมอมขอมล 2 ชดทแตละชดทราบความแปรปรวน สามารถหาความแปรปรวนรวมไดจาก


23

ENT ม.ค. 43 ขอมลชดหนงประกอบดวย x1, x2, x3,…, x20 โดยมสมบตดงน 20

2

1

( 5) 500ii

X

,

20

1i

i

X a

มคานอยทสดเมอ a=5 และ 20

2

1

( )ii

X b

มคานอยทสดเมอ b=8 ขอใดตอไปนถกตอง

1. ขอมลชดนมคาเฉลยเลขคณตนอยกวาคามธยฐาน

2. ผลรวมของขอมลชดนทงหมดเทากบ 100

3. สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดนมคาเทากบ 5

4. สมประสทธของการแปรผนของขอมลชดนมคาเทากบ 50%

ENT ต.ค. 45 ขอมลชดหนงเรยงล าดบจากนอยไปมาก คอ a 4 5 6 b ซงมคาเฉลยเลขคณตและสวน

เบยงเบนเฉลยเทากบ 6 และ 3 ตามล าดบ สมประสทธของพสยของขอมลชดนเทากบเทาใด


24

ENT ม.ค. 47 ถา 20, x2,…,x25 เปนขอมลทเรยงจากคานอยไปคามากและเปนล าดบเลขคณตและควอรไทล

ทหนงของขอมลชดนเทากบ 31 แลวสวนเบยงเบนเฉลยของขอมลชดนเทากบขอใดตอไปน

1. 6.24

2. 10.28

3. 12.48

4. 24.96

ENT ต.ค 47 ให x1, x2,…, x5 เปนขอมลชดหนงซงมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 6 ถา 5

2

1

( 4) 30ii

X

แลว สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดนเทากบขอใดตอไปน

1. 2

2. 2 3. 6

4. 2 2


25

PAT1 ก.ค. 52 ถาความยาวของรศมวงกลม 10 วงมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 3 และมความแปรปรวนเทากบ

5 แลวผลรวมของพนทวงกลมทง 10 วงน มคาเทากบเทาใดตอไปน

1. 90 2. 95 3. 140 4. 340

PAT1 ต.ค. 53 พจารณาขอความตอไปน

ก. ในการสอบของนกเรยน 3 คน พบวาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบเทากบ 80 คะแนน คามธย-

ฐาน 75 คะแนน และพสยเทากบ 25 คะแนน คะแนนสอบของนกเรยนทไดคะแนนต าสดเทากบ 70 คะแนน

ข. ขอมลชดทหนงม 5 จ านวน คอ x1, x2, x3, x4, x5 และขอมลชดทสองม 4 จ านวน คอ x1, x2, x3,

x4 โดยทคาเฉลยเลขคณตของขอมลทงสองชดเทากน ถา a และ b เปนสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดท

หนงและชดทสองตามล าดบ แลว 5

2

b

a

ขอใดตอไปนถกตอง

1. ก. ถก และ ข. ถก

2. ก. ถก แต ข. ผด

3. ก. ผด แต ข. ถก

4. ก. ผด และ ข. ผด


26

5. คามาตรฐานและการแจกแจงแบบปกต

5.1 คามาตรฐาน ในหวขอน หากเราตองการเปรยบเทยบขอมลตงแตสองชดขนไป เชน นาย ก. ไดคะแนนสอบ

วชาคณตศาสตร 90% สวนวชาฟสกส 98% เราไมสามารถกลาวไดวา นาย ก. เกงวชาฟสกสมากกวาวชา

คณตศาสตร แตเราตองค านงถงคาเฉลยและการกระจายของคะแนนทงสองวชาดวย นกสถตจงคดคาทางสถต

ใหมอกหนงตวเพอใชเปรยบเทยบขอมลซงมาจากคนละชด นนกคอ คามาตรฐาน (Standard score : z) โดย

หาไดจาก

สมบตของคามาตรฐาน

- 1

0n

ii

z

- 0z และ 1zSD เสมอ

- The 95% rule กลาววา “โดยทวไปขอมลทอยระหวาง z = -2 และ z = 2 จะมปรมาณ 95%

ของขอมลทงหมด” หมายความวาขอมลทงหมดจะอยในชวง (z – 2SD, z + 2SD) แสดงวาเรา

อาจประมาณ พสย เทากบ 4SD ได

5.2 เสนโคงความถและการแจกแจงแบบปกต

เสนโคงความถ แสดงใหเหนถงลกษณะการแจกแจงของขอมลมทงหมด 3 แบบ ไดแก


27

สงทเราไดจากเสนโคงความถ นนคอ สามารถค านวณหาต าแหนงสมพทธของขอมล (มธยฐาน ควอร

ไทล เดไซล เปอรเซนไทล) ได โดยอาศยพนทใตเสนโคงปกต ซงมหลกการงายๆ ไดแก

1. เราจะตองเปลยนขอมลของเราใหอยในรปคามาตรฐาน แลวน าไปสรางเสนโคงปกต

มาตรฐาน ซงมสมบตวา พนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานจะเทากบ 1.00

2. ใชตารางแสดงความสมพนธระหวางพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานกบคามาตรฐาน โดย

คาทระบในตารางจะแสดงพนททวดระหวาง z=0 ไปถง z ใดๆทระบในตาราง

3. หาคาต าแหนงสมพทธทตองการโดยน าพนททไดไปเปลยนเปนคามาตรฐาน

เชน การหาเปอรเซนไทลท 65 จะท าไดโดยการเปดตารางพนท 0.65-0.5=0.15 ซงจะไดวาคา

z=0.385 หรอ เปอรเซนไทลท 20 จะท าไดโดยการเปดตาราง 0.5-0.2=0.3 ซงจะไดคา z=0.841 แตเนองจาก

เปนพนททางดานซาย จะได z=-0.841

ตวอยาง นายแดงสอบวชาภาษาไทยและคณตศาสตรไดคะแนน 48 และ 35 คะแนนตามล าดบ โดย

คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบวชาภาษาไทยและคณตศาสตรเทากบ 45 และ 32 คะแนนตามล าดบ และ

สวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 12 และ 10 คะแนนตามล าดบ จงหาวานายแดงสอบวชาใดไดดกวากน


28

ตวอยาง คนงาน 100 คน มอายเฉลยและสวนเบยงเบนมาตรฐานของอายเปน 25 และ 13 ป

ตามล าดบ ถาผลรวมของคามาตรฐานของอายคนงาน 99 คนเปน -0.25 แลว อายของคนงานอกคนทเหลอ

เปนเทาใด

ตวอยาง ถาคะแนนสอบวชาเคมมการแจกแจงปกต โดยมคะแนนเฉลยและความแปรปรวนเปน 60

และ 25 ตามล าดบ และผสอบผานตองไดไมนอยกวา 54 คะแนน สมมตนาย ก ข และ ค ทราบวาตนเองได

คะแนนอยในต าแหนงเปอรเซนไทลท 10 15 และ 33 ตามล าดบ จงหาวานาย ค สอบไดคะแนนเทาใดและ

นกเรยนทงสามคนนใครสอบผานบาง ก าหนดใหตารางแสดงพนทใตโคงปกตตงแตคามาตรฐาน 0 ถง z ดงน

Z 0.35 0.40 0.44 1.20 พนท 0.1368 0.1554 0.1700 0.3849

ENT ม.ค. 43 โรงเรยนแหงหนงมนกเรยนชน ม.6 จ านวน 300 คน สมชาย สมศกดและสมศร เปนนกเรยน

ชน ม.6 ของโรงเรยนน โดยท เกรดเฉลยของสมชายอยในต าแหนงเดไซลท 8.15 เกรดเฉลยของสมศกดคดเปน

คามาตรฐานเทากบ 1 นกเรยนชน ม.6 ทไดเกรดเฉลยมากกวาสมศรมจ านวน 50 คน ถาสมมตวาเกรดเฉลย

ของนกเรยนชน ม.6 มการแจกแจงปกต ขอใดตอไปนเปนรายชอนกเรยนเรยงล าดบจากคนทไดเกรดเฉลยมาก

ทสดไปนอยทสด (ก าหนดพนทใตโคงปกต z=0 ถง z=1 มคาเทากบ 0.3413)

1. สมชาย สมศกด สมศร

2. สมศกด สมศร สมชาย

3. สมศร สมศกด สมชาย

4. สมศกด สมชาย สมศร


29

ENT ต.ค. 45 ในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนง ซงมคะแนนเตม 70 คะแนน มสมประสทธ

ของการแปรผนของคะแนนเทากบ 2/7 ถานายบณฑตสอบได 65 คะแนน ซงคดเปนคะแนนมาตรฐานเทากบ

3 และนางสาวบงอรสอบไดคะแนนซงคดเปนคามาตรฐานเทากบ 1.9 แลว นางสาวบงอรสอบไดคะแนนเทากบ

ขอใดตอไปน

1. 50 คะแนน




ENT ม.ค. 46 การแจกแจงความสงของนกเรยนกลมหนงเปนการแจกแจงปกต ถานกเรยนทมความสง

มากกวา 149.4 เซนตเมตร มอย 3% และนกเรยนทมความสงนอยกวาฐานนยมแตมากกวา 136.5 เซนตเมตร

มอย 25.8% แลว ขอใดตอไปนคอฐานนยมและความแปรปรวนของความสงของนกเรยนกลมนตามล าดบ

(หนวยเปนเซนตเมตร) ก าหนดตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานทอยระหวาง 0 ถง z

z 0.3 0.7 1.49 1.88 พนท 0.1179 0.2580 0.4139 0.4700

1. 144.4, 5

2. 144.4, 25

3. 140, 5

4. 140, 25


30

PAT1 ม.ค. 52 ขอมลชดหนงมการแจกแจงปกต ถาหยบขอมล a, b, c, d มาค านวณคามาตรฐาน ปรากฏวา

ไดคาดงตาราง

ขอมล a b c d คามาตรฐาน(z) -3 -0.45 0.45 1

ขอใดตอไปนถก

1. –a+2b+2c-3d = 0

2. –a+b+c-3d = 0

3. a-2b+3c+2d = 0

4. a-b+c-d = 0

PAT1 ม.ค. 52 ขอมลความสงของนกเรยนชน ม.6 ของโรงเรยนแหงหนงมการแจกแจงปกต ถาจ านวน

นกเรยนทมความสงนอยกวา 140.6 เซนตเมตร มอย 3.01% และจ านวนนกเรยนทมความสงมากกวาคามธย

ฐานแตนอยกวา 159.4 เซนตเมตร มอย 46.99% แลวจ านวนนกเรยนทมความสงไมนอยกวา 155 เซนตเมตร

แตไมเกน 160 เซนตเมตรมเปอรเซนเทากบขอใดตอไปน เมอก าหนดตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกต

มาตรฐานระหวาง 0 ถง z เปนดงน

z 1.00 1.12 1.88 2.00 พนทใตเสนโคง 0.3413 0.3686 0.4699 0.4772

1. 12.86%

2. 13.14%

3. 15.87%

4. 13.59%


31

PAT1 ต.ค. 52 ก าหนดใหขอมลชดหนงมการแจกแจงปกต หยบขอมล x1, x2, x3 มาค านวณคามาตรฐาน

ปรากฏวาไดคาเปน z1, z2, z3 ตามล าดบ ถา z1+z2 = z3 แลวคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเทากบขอใด

ตอไปน

1. x1+x2-x3

2. x1-x2-x3

3. x3-x2-x1

4. x1+x2+x3


32

6. ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

ในระดบมธยมศกษาตอนปลาย ความสมพนธทควรทราบและออกขอสอบมอย 2 รปแบบ ไดแก

1. ฟงกชนเสนตรง

รปทวไป : Y mX c

สมการปกต : 1 1

n n

i ii i

Y m X nc

2

1 1 1

n n n

i i i ii i i

X Y m X c X

2. ฟงกชนพาราโบลา

รปทวไป : 2Y aX bX c

สมการปกต : 2

1 1 1

n n n

i i ii i i

Y a X b X nc

3 2

1 1 1 1

n n n n

i i i i ii i i i

X Y a X b X c X

2 4 3 2

1 1 1 1

n n n n

i i i i ii i i i

X Y a X b X c X

***หมายเหต สมการปกตเปนสมการทไวใชหาคาคงท เชน a, b, c, m

ขอควรระวง

การสรางสมการถดถอยจะสามารถใชท านายตวแปรตาม ( ) จากตวแปรตน (X) ได แตไม

สามารถใชสมการเดยวกนท านายตวแปรตน (X) จากตวแปรตาม ( ) ไดนอกจากใชท านายคาตวแปร

ตนได ณ จด ถาตองการท านายตวแปรตนจะตองเปลยนรปสมการใหอยในรป


33

หากขอมลของเรามตวแปรตนทเปนชวงทหางเทาๆกน เชน ชวงเวลา (พ.ศ.) เราเรยกขอมลเหลานนวา

ขอมลทอยในรปของอนกรมเวลา เราสามารถแทนคาตวแปนตนทเปนตวเลขนอยๆ โดยหากมจ านวนตวแปร

ตนเปนจ านวนค มกจะแทนดวย …, -2, -1, 0, 1, 2,… โดยตวแปรตนตรงกลางแทนดวย 0 เสมอ หากจ านวน

ตวแปรตนเปนจ านวนค มกจะแทนดวย …, -3, -1, 1, 3,… โดยตวแปนตนคตรงกลางแทนดวย -1 และ 1

ตวอยาง จากการสอบถามรายจายของ 8 ครอบครวในหมบานหนง ไดผลสมพนธกบรายไดดงตาราง

จงใชขอมลขางตนตอบค าถามตอไปน

ก. ใหหาความสมพนธทใชประมาณรายจายจากรายได

ข. ถาครอบครวหนงในหมบานแหงนมรายได 4,500 บาท จะมรายจายประมาณเทาใด

ค. ถาครอบครวหนงในหมบานแหงนมรายจาย 3,500 บาท จะมรายไดประมาณเทาใด

รายได (พนบาท) 1 3 4 6 8 9 11 14 รายจาย (พนบาท) 1 2 4 4 5 7 8 9


34

ตวอยาง ใหสรางสมการท านายประชากรในทองทหนง ซงมขอมลทส ารวจมาไดดงตารางและจากนน

ใหประมาณจ านวนประชากรในทองทนในปพ.ศ. 2547

พ.ศ. 2535 2537 2539 2541 2543 จ านวนประชากร (พนคน) 0.8 0.9 1.1 1.4 2.0

ENT ต.ค. 42 พจารณาขอมลของ x และ y ดงน

x -3 -1 0 1 3 y 0 a a+3 a+4 a+6

เมอ a เปนคาคงท ให x และ y มความสมพนธเชงฟงกชนเปนกราฟเสนตรง โดยทความชนเทากบ 1.55 ถา

x=4 จะประมาณคา y ไดเทากบขอใดตอไปน

1. 8.7

2. 10.8

3. 11.2

4. 12.8


35

A-NET 51 ถาในการหาความสมพนธเชงฟงกชนระหวางคะแนนสอบวชาทหนง (X) และวชาทสอง (Y)

ของนกเรยนชนหนงมจ านวน 10 คน ของโรงเรยนแหงหนง ไดพจนตางๆทใชในการค านวณคาคงตวจาก

สมการปกต ดงน 10

1

50ii

X

10

1

50ii

Y

10

1

288i ii

X Y

10

2

1

304ii

X

10

2

1

284ii

Y

ไดสมการ

ประมาณคะแนนสอบวชาทสองจากคะแนนสอบวชาทหนงเปน ˆ 1.5 0.7Y X (ใชทศนยมหนงต าแหนง)

พจารณาขอความตอไปน

ก. ถานกเรยนสองคนในกลมนมคะแนนสอบวชาทหนงตางกน 2 คะแนนแลว คะแนนสอบวชาทสอง

ของนกเรยนสองคนนตางกนประมาณ 1.4 คะแนน

ข. เมอสอบคะแนนสอบวชาทสอง จะประมาณคะแนนสอบวชาทหนงของนกเรยนกลมนไดจาก

สมการ ˆ 1.4 2.1X Y

ขอใดตอไปนถกตอง

1. ก. ถก และ ข. ถก

2. ก. ถก และ ข. ผด

3. ก. ผด และ ข. ถก

4. ก. ผด และ ข. ผด

PAT ก.ค. 52 ในการหาความสมพนธเชงฟงกชนระหวางปรมาณสารปนเปอนชนดท 1 (x) และปรมาณสาร

ปนเปอนชนดท 2 (y) จากตวอยางอาหารจ านวน 100 ตวอยาง พบวาความแปรปรวนของปรมาณสารชนดท 1

มคาเทากบ 1.75 คาเฉลยเลขคณตของปรมาณสารชนดท 2 มคาเทากบ 0.5 100

1

100i ii

x y

และ

1002

1

200ii

x

ถาสมการปกตของความสมพนธเชงฟงกชนดงกลาวอยในรป y = ax+b แลว เมอพบสาร

ปนเปอนชนดท 1 อย 4 หนวย จะพบสารปนเปอนชนดท 2 (โดยประมาณ) เทากบขอใดตอไปน

1. 0.5 หนวย

2. 1 หนวย

3. 1.5 หนวย

4. 2 หนวย


36

เอกสารอางอง

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย กระทรวงศกษาธการ. หนงสอเรยนสาระการเรยนร

พนฐาน คณตศาสตร เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 5, กรงเทพมหานคร: โรงพมพครสภาลาดพราว,

พมพครงท 3, 2549.

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย กระทรวงศกษาธการ. หนงสอเรยนสาระการเรยนร

เพมเตม คณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 6, กรงเทพมหานคร: โรงพมพครสภาลาดพราว,

พมพครงท 4, 2550.

อรรณพ สขธ ารง. คณตศาสตร Entrance เลม 3. ม.ป.ป.

จกรนทร วรรณโพธกลาง. คมภร คณตศาสตร Entrance ม.4-5-6 สอบตรง สอบโควตา Admission

PAT1, กรงเทพมหานคร: พ.ศ. พฒนา, พมพครงท 1, 2552.

ฝายวชาการ บรษท สกายบกส จ ากด. รวมสตรเลขคณต ชวงชนท 3-4, ปทมธาน: สกายบกส, พมพครงท 1,

2548.

ณฐ อดมพาณชย. เสนทางส วศวะฯจฬา พชต PAT1 คณตศาสตร, กรงเทพมหานคร: สถาบนสอนวชา

คณตศาสตร NUTTY PROFESSIONAL, พมพครงท 2, 2552.

ทรงวทย สวรรณธาดา. 1001 TESTS IN MATHS 2, กรงเทพมหานคร: บรษท ส านกพมพแมค จ ากด, พมพ

ครงท 1, 2550.

ทรงวทย สวรรณธาดา. 1001 TESTS IN MATHS 3, กรงเทพมหานคร: บรษท ส านกพมพแมค จ ากด, พมพ

ครงท 1, 2550.

Documents

Statistics