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9 781740 883566 ISBN 978-1-740-88356-6 Statistics Quick Reference statistical tables equations and charts individual Binomial probabilities individual Poisson probabilities Ȥ 2 distribution Normal distribution cumulative Binomial probabilities cumulative Poisson probabilities F distribution Statistics Quick Reference statistical tables equations and charts

# Statistics Quick Reference : statistical tables equations ...staff.estem-uc.edu.au/files/business-statistics-quick-reference/... · Statistics Quick Reference statistical tables equations

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9 781740 883566

ISBN 978-1-740-88356-6

Statistics Quick Referencestatistical tables equations and charts

individual Binomial probabilities

individual Poisson probabilities

2 distribution

Normal distribution

cumulative Binomial probabilities

cumulative Poisson probabilities

F distribution

StatisticsQuick Reference

statistical tablesequations and charts

Page 62 Statistics Quick Reference

Calculation Formulae

General Multiplication

Formula

are A and B independent events?yes no= �•P Aand B P A P B( ) ( ) ( ) = �•P Aand B P A P B A( ) ( ) ( | )

are A and B mutually-exclusive events?yes no= +P Aor B P A P B( ) ( ) ( ) = +P Aor B P A P B P Aand B( ) ( ) ( ) ( )

Conditional Probability

P A B P Aand BP B

( | ) ( )( )

=

Probability Tests

two events are mutually-exclusive if�… two events are independent if�…

P AandB( ) {}==P A B P A( | ) ( )

or= �•P Aand B P A P B( ) ( ) ( )

Figure 9 Probability Equations

Figure 10 Probability distributions, Venn and tree diagrams

P(B and A)

P(B and A)_

_

_P(B and A)_

P(B and A)__

B

B _

P(A|B)

P(A|B)

_

P(A|B)_

P(A|B)__

B A

B B

A

A

ReferencesBerenson, M.L., 2010, Basic business statistics : concepts and applications 2010, 2nd ed. edn, Pearson, Frenchs Forest, N.S.W.

Black, K., Asafu-Adjaye, J., Khan, N., Perera, N., Edwards, P. & Harris, M. 2010, Australasian business statistics (2nd Edition).

Dawson, R. 1997, Turning the Tables: A t-Table for Today, Journal of Statistics Education, vol. 5, no. 2.

Grinstead, C.M. & Snell, J.L. 2007, Introduction to Probability, 2nd edn, Dartmouth College.

Moore, D.S. 2007, The basic practice of statistics, 4th edn, W.H. Freeman and Co., New York, NY.

Morton, R.H. (ed) 1978, Comprehensive Statistical Tables : Volume 1 : Basic, Third edn, University of Canberra, Canberra, Australia.

Peck, R. & Devore, J.L. 2008, Statistics : the exploration and analysis of data, 6th edn, Thomson Brooks/Cole, Belmont, CA.

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Selvanathan, A., Selvanathan, S., Keller, G. & Warrack, B. 2004, Australian business statistics (third edition), Nelson.

Wikipedia 2011, http://en.wikipedia.org/ (incl Binomial, Poisson, Normal, Student t, F, 2)

Wolfram Mathworld 2011, http://mathworld.wolfram.com/ (incl Binomial, Poisson, Normal, Student t, F, 2)

StatisticsQuick Reference

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Document History

Date Edition Description of Change25/01/2012 1.0 First printing

Legal InformationThe content of this document is licensed under the Creative Commons Australia Attribution 3.0 Licence. The author asserts the right to be attributed in the following manner:

Kelley, P. 2012, Statistics Quick Reference statistical tables equations and charts, University of Canberra, Australia.

Products that are referred to in this document may be either trademarks and/or registered trademarks of their respective owners. The publisher and author make no claim to these trademarks.

While every precaution has been taken in the preparation of this document, the author and publisher assume no responsibility for errors or omissions, or for damages resulting from the use of information contained in this document. In no event shall the author or publisher be liable for any loss of pro t or any other commercial damage caused or alleged to have been caused directly or indirectly by this document.

About this bookThe data for the statistical tables was prepared using Microsoft® Excel® for Mac 2011. All values were checked using independent numerical algorithms obtained from Press, W.H. 2007, Numerical recipes: the art of scienti c computing, 3rd edn. Equations were typeset using MathType�™ 6.7. Custom artwork was drawn in Adobe® Illustrator® CS5. The document was assembled using Adobe® InDesign® CS5.

Feedback and errata can be sent to [email protected].

AcknowledgementsThe author gratefully acknowledges the advice, help and encouragement given by Dr J Ascione and Dr M Brooks during the preparation of this book. The author is conscious of treading in the footsteps of giants and hopes that this new table book does justice to the excellent tradition established by Hugh Morton and Hugh Mahon. Any mistakes are the author�’s own.

Statistics Quick Reference Page 61

Table 11 2 Distribution �— Percentage points

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00.

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879

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32

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051

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236

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21.

237

1.63

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204

3.45

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348

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989

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690

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q

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×f x x e( | )

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There is a 99% probability that a 2 random variable with 8 degrees of freedom is less than x=20.09:

P( 28 < 20.09) = 0.99

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Table 10 F Distribution �— Percentage points (continued)

2 p 1 (numerator) q1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 60

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.9 2.93 2.54 2.33 2.19 2.10 2.04 1.98 1.94 1.91 1.88 1.78 1.73 1.67 1.61 1.53 .1

.95 4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.25 2.11 2.03 1.94 1.84 1.73 .05

.975 5.72 4.32 3.72 3.38 3.15 2.99 2.87 2.78 2.70 2.64 2.44 2.33 2.21 2.08 1.94 .025

.99 7.82 5.61 4.72 4.22 3.90 3.67 3.50 3.36 3.26 3.17 2.89 2.74 2.58 2.40 2.21 .01

.995 9.55 6.66 5.52 4.89 4.49 4.20 3.99 3.83 3.69 3.59 3.25 3.06 2.87 2.66 2.43 .005

.999 14.0 9.34 7.55 6.59 5.98 5.55 5.23 4.99 4.80 4.64 4.14 3.87 3.59 3.29 2.97 .001

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.9 2.91 2.52 2.31 2.17 2.08 2.01 1.96 1.92 1.88 1.86 1.76 1.71 1.65 1.58 1.50 .1

.95 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22 2.07 1.99 1.90 1.80 1.69 .05

.975 5.66 4.27 3.67 3.33 3.10 2.94 2.82 2.73 2.65 2.59 2.39 2.28 2.16 2.03 1.88 .025

.99 7.72 5.53 4.64 4.14 3.82 3.59 3.42 3.29 3.18 3.09 2.81 2.66 2.50 2.33 2.13 .01

.995 9.41 6.54 5.41 4.79 4.38 4.10 3.89 3.73 3.60 3.49 3.15 2.97 2.77 2.56 2.33 .005

.999 13.7 9.12 7.36 6.41 5.80 5.38 5.07 4.83 4.64 4.48 3.99 3.72 3.44 3.15 2.82 .001

28

.9 2.89 2.50 2.29 2.16 2.06 2.00 1.94 1.90 1.87 1.84 1.74 1.69 1.63 1.56 1.48 .1

.95 4.20 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19 2.04 1.96 1.87 1.77 1.65 .05

.975 5.61 4.22 3.63 3.29 3.06 2.90 2.78 2.69 2.61 2.55 2.34 2.23 2.11 1.98 1.83 .025

.99 7.64 5.45 4.57 4.07 3.75 3.53 3.36 3.23 3.12 3.03 2.75 2.60 2.44 2.26 2.06 .01

.995 9.28 6.44 5.32 4.70 4.30 4.02 3.81 3.65 3.52 3.41 3.07 2.89 2.69 2.48 2.25 .005

.999 13.5 8.93 7.19 6.25 5.66 5.24 4.93 4.69 4.50 4.35 3.86 3.60 3.32 3.02 2.69 .001

30

.9 2.88 2.49 2.28 2.14 2.05 1.98 1.93 1.88 1.85 1.82 1.72 1.67 1.61 1.54 1.46 .1

.95 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16 2.01 1.93 1.84 1.74 1.62 .05

.975 5.57 4.18 3.59 3.25 3.03 2.87 2.75 2.65 2.57 2.51 2.31 2.20 2.07 1.94 1.79 .025

.99 7.56 5.39 4.51 4.02 3.70 3.47 3.30 3.17 3.07 2.98 2.70 2.55 2.39 2.21 2.01 .01

.995 9.18 6.35 5.24 4.62 4.23 3.95 3.74 3.58 3.45 3.34 3.01 2.82 2.63 2.42 2.18 .005

.999 13.3 8.77 7.05 6.12 5.53 5.12 4.82 4.58 4.39 4.24 3.75 3.49 3.22 2.92 2.59 .001

40

.9 2.84 2.44 2.23 2.09 2.00 1.93 1.87 1.83 1.79 1.76 1.66 1.61 1.54 1.47 1.38 .1

.95 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08 1.92 1.84 1.74 1.64 1.51 .05

.975 5.42 4.05 3.46 3.13 2.90 2.74 2.62 2.53 2.45 2.39 2.18 2.07 1.94 1.80 1.64 .025

.99 7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.80 2.52 2.37 2.20 2.02 1.80 .01

.995 8.83 6.07 4.98 4.37 3.99 3.71 3.51 3.35 3.22 3.12 2.78 2.60 2.40 2.18 1.93 .005

.999 12.6 8.25 6.59 5.70 5.13 4.73 4.44 4.21 4.02 3.87 3.40 3.14 2.87 2.57 2.23 .001

60

.9 2.79 2.39 2.18 2.04 1.95 1.87 1.82 1.77 1.74 1.71 1.60 1.54 1.48 1.40 1.29 .1

.95 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99 1.84 1.75 1.65 1.53 1.39 .05

.975 5.29 3.93 3.34 3.01 2.79 2.63 2.51 2.41 2.33 2.27 2.06 1.94 1.82 1.67 1.48 .025

.99 7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72 2.63 2.35 2.20 2.03 1.84 1.60 .01

.995 8.49 5.79 4.73 4.14 3.76 3.49 3.29 3.13 3.01 2.90 2.57 2.39 2.19 1.96 1.69 .005

.999 12.0 7.77 6.17 5.31 4.76 4.37 4.09 3.86 3.69 3.54 3.08 2.83 2.55 2.25 1.89 .001

120

.9 2.75 2.35 2.13 1.99 1.90 1.82 1.77 1.72 1.68 1.65 1.55 1.48 1.41 1.32 1.19 .1

.95 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.18 2.09 2.02 1.96 1.91 1.75 1.66 1.55 1.43 1.25 .05

.975 5.15 3.80 3.23 2.89 2.67 2.52 2.39 2.30 2.22 2.16 1.94 1.82 1.69 1.53 1.31 .025

.99 6.85 4.79 3.95 3.48 3.17 2.96 2.79 2.66 2.56 2.47 2.19 2.03 1.86 1.66 1.38 .01

.995 8.18 5.54 4.50 3.92 3.55 3.28 3.09 2.93 2.81 2.71 2.37 2.19 1.98 1.75 1.43 .005

.999 11.4 7.32 5.78 4.95 4.42 4.04 3.77 3.55 3.38 3.24 2.78 2.53 2.26 1.95 1.54 .001

240

.9 2.73 2.32 2.11 1.97 1.87 1.80 1.74 1.70 1.66 1.63 1.52 1.45 1.38 1.28 1.13 .1

.95 3.88 3.03 2.64 2.41 2.25 2.14 2.05 1.98 1.92 1.87 1.71 1.61 1.51 1.37 1.17 .05

.975 5.09 3.75 3.17 2.84 2.62 2.46 2.34 2.25 2.17 2.10 1.89 1.77 1.63 1.46 1.21 .025

.99 6.74 4.69 3.86 3.40 3.09 2.88 2.71 2.59 2.48 2.40 2.11 1.96 1.78 1.57 1.25 .01

.995 8.03 5.42 4.39 3.82 3.45 3.19 2.99 2.84 2.71 2.61 2.28 2.09 1.89 1.64 1.28 .005

.999 11.1 7.11 5.60 4.78 4.26 3.89 3.62 3.41 3.24 3.09 2.65 2.40 2.12 1.80 1.35 .001

.9 2.71 2.30 2.08 1.94 1.85 1.77 1.72 1.67 1.63 1.60 1.49 1.42 1.34 1.24 1.00 .1

.95 3.84 3.00 2.60 2.37 2.21 2.10 2.01 1.94 1.88 1.83 1.67 1.57 1.46 1.32 1.00 .05

.975 5.02 3.69 3.12 2.79 2.57 2.41 2.29 2.19 2.11 2.05 1.83 1.71 1.57 1.39 1.00 .025

.99 6.63 4.61 3.78 3.32 3.02 2.80 2.64 2.51 2.41 2.32 2.04 1.88 1.70 1.47 1.00 .01

.995 7.88 5.30 4.28 3.72 3.35 3.09 2.90 2.74 2.62 2.52 2.19 2.00 1.79 1.53 1.00 .005

.999 10.8 6.91 5.42 4.62 4.10 3.74 3.47 3.27 3.10 2.96 2.51 2.27 1.99 1.66 1.00 .001

Statistical TablesTable 1 Random Numbers 7Table 2 Binomial Distribution �— Individual Probabilities 10Table 3 Poisson Distribution �— Individual Probabilities 24Table 4 Binomial Distribution �— Cumulative Probabilities 34Table 5 Poisson Distribution �— Cumulative Probabilities 47Table 6 Normal Distribution �— Ordinates 51Table 7 Normal Distribution �— Commonly Used Areas 51Table 8 Normal Distribution �— Areas under the curve 52Table 9 Student�’s �“t�” Distribution 54Table 10 F Distribution �— Percentage points 58Table 11 2 Distribution �— Percentage points 61

FiguresFigure 1 Useful Equations 6Figure 2 Working with Binomials �— ow chart 23Figure 3 Linear Regression �— Excel® output 29Figure 4 Con dence Intervals & Sample Sizes 30Figure 5 Common Measures 30Figure 6 Expected Value Rules 31Figure 7 Hypothesis Tests 31Figure 8 Hypothesis Testing Decision Tree 32Figure 9 Probability Equations 62Figure 10 Probability distributions, Venn and tree diagrams 62

Contents

Page 6 Statistics Quick Reference

Calculation Formulae

Equivalent Constant Rate of Increase

(ECR)

with original data with percentage changes

�•SS

1 100%f

i

f i + �• + �• �• +S S S1100

1100

... 1100

nn 1 2

Change Ratio%100

1increase

% increase �•change( 1) 100%ratio

Q1 =+Q n observation1 14

th

when ordered

Median = = =+median Q x n observation2 12

th

whenordered

Q3 = �•+Q n observation3 3 14

th

when ordered

Inter-quartile Range(IQR) =IQR Q Q( 3 1)

Quartile Deviation(QD) =QD Q Q3 1

2

Class Width = Class upper lowerwidth true class boundary true class boundary! ! !

Class Mark =+ Class

upper lower2mark

true class boundary true class boundary! ! !

skewness

simple measure of skewness more complex measure of skewness

= �•S x xs

3kx

S nn n

x xs( 1) ( 2)kx

3

=�•

�•

Outlier µ ( )> ± �•x 3outlier

Coef cient of Variation

= �•CV sx

100%xx

Figure 1 Useful Equations

Statistics Quick Reference Page 59

Table 10 F Distribution �— Percentage points (continued)

2 p 1 (numerator) q1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 60

9

.9 3.36 3.01 2.81 2.69 2.61 2.55 2.51 2.47 2.44 2.42 2.34 2.30 2.25 2.21 2.16 .1

.95 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.01 2.94 2.86 2.79 2.71 .05

.975 7.21 5.71 5.08 4.72 4.48 4.32 4.20 4.10 4.03 3.96 3.77 3.67 3.56 3.45 3.33 .025

.99 10.6 8.02 6.99 6.42 6.06 5.80 5.61 5.47 5.35 5.26 4.96 4.81 4.65 4.48 4.31 .01

.995 13.6 10.1 8.72 7.96 7.47 7.13 6.88 6.69 6.54 6.42 6.03 5.83 5.62 5.41 5.19 .005

.999 22.9 16.4 13.9 12.6 11.7 11.1 10.7 10.4 10.1 9.89 9.24 8.90 8.55 8.19 7.81 .001

10

.9 3.29 2.92 2.73 2.61 2.52 2.46 2.41 2.38 2.35 2.32 2.24 2.20 2.16 2.11 2.06 .1

.95 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 2.85 2.77 2.70 2.62 2.54 .05

.975 6.94 5.46 4.83 4.47 4.24 4.07 3.95 3.85 3.78 3.72 3.52 3.42 3.31 3.20 3.08 .025

.99 10.0 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.20 5.06 4.94 4.85 4.56 4.41 4.25 4.08 3.91 .01

.995 12.8 9.43 8.08 7.34 6.87 6.54 6.30 6.12 5.97 5.85 5.47 5.27 5.07 4.86 4.64 .005

.999 21.0 14.9 12.6 11.3 10.5 9.93 9.52 9.20 8.96 8.75 8.13 7.80 7.47 7.12 6.76 .001

11

.9 3.23 2.86 2.66 2.54 2.45 2.39 2.34 2.30 2.27 2.25 2.17 2.12 2.08 2.03 1.97 .1

.95 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 2.72 2.65 2.57 2.49 2.40 .05

.975 6.72 5.26 4.63 4.28 4.04 3.88 3.76 3.66 3.59 3.53 3.33 3.23 3.12 3.00 2.88 .025

.99 9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89 4.74 4.63 4.54 4.25 4.10 3.94 3.78 3.60 .01

.995 12.2 8.91 7.60 6.88 6.42 6.10 5.86 5.68 5.54 5.42 5.05 4.86 4.65 4.45 4.23 .005

.999 19.7 13.8 11.6 10.3 9.58 9.05 8.66 8.35 8.12 7.92 7.32 7.01 6.68 6.35 6.00 .001

12

.9 3.18 2.81 2.61 2.48 2.39 2.33 2.28 2.24 2.21 2.19 2.10 2.06 2.01 1.96 1.90 .1

.95 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 2.62 2.54 2.47 2.38 2.30 .05

.975 6.55 5.10 4.47 4.12 3.89 3.73 3.61 3.51 3.44 3.37 3.18 3.07 2.96 2.85 2.72 .025

.99 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.50 4.39 4.30 4.01 3.86 3.70 3.54 3.36 .01

.995 11.8 8.51 7.23 6.52 6.07 5.76 5.52 5.35 5.20 5.09 4.72 4.53 4.33 4.12 3.90 .005

.999 18.6 13.0 10.8 9.63 8.89 8.38 8.00 7.71 7.48 7.29 6.71 6.40 6.09 5.76 5.42 .001

14

.9 3.10 2.73 2.52 2.39 2.31 2.24 2.19 2.15 2.12 2.10 2.01 1.96 1.91 1.86 1.80 .1

.95 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60 2.46 2.39 2.31 2.22 2.13 .05

.975 6.30 4.86 4.24 3.89 3.66 3.50 3.38 3.29 3.21 3.15 2.95 2.84 2.73 2.61 2.49 .025

.99 8.86 6.51 5.56 5.04 4.69 4.46 4.28 4.14 4.03 3.94 3.66 3.51 3.35 3.18 3.00 .01

.995 11.1 7.92 6.68 6.00 5.56 5.26 5.03 4.86 4.72 4.60 4.25 4.06 3.86 3.66 3.44 .005

.999 17.1 11.8 9.73 8.62 7.92 7.44 7.08 6.80 6.58 6.40 5.85 5.56 5.25 4.94 4.60 .001

16

.9 3.05 2.67 2.46 2.33 2.24 2.18 2.13 2.09 2.06 2.03 1.94 1.89 1.84 1.78 1.72 .1

.95 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 2.35 2.28 2.19 2.11 2.01 .05

.975 6.12 4.69 4.08 3.73 3.50 3.34 3.22 3.12 3.05 2.99 2.79 2.68 2.57 2.45 2.32 .025

.99 8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.20 4.03 3.89 3.78 3.69 3.41 3.26 3.10 2.93 2.75 .01

.995 10.6 7.51 6.30 5.64 5.21 4.91 4.69 4.52 4.38 4.27 3.92 3.73 3.54 3.33 3.11 .005

.999 16.1 11.0 9.01 7.94 7.27 6.80 6.46 6.19 5.98 5.81 5.27 4.99 4.70 4.39 4.06 .001

18

.9 3.01 2.62 2.42 2.29 2.20 2.13 2.08 2.04 2.00 1.98 1.89 1.84 1.78 1.72 1.66 .1

.95 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41 2.27 2.19 2.11 2.02 1.92 .05

.975 5.98 4.56 3.95 3.61 3.38 3.22 3.10 3.01 2.93 2.87 2.67 2.56 2.44 2.32 2.19 .025

.99 8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 4.01 3.84 3.71 3.60 3.51 3.23 3.08 2.92 2.75 2.57 .01

.995 10.2 7.21 6.03 5.37 4.96 4.66 4.44 4.28 4.14 4.03 3.68 3.50 3.30 3.10 2.87 .005

.999 15.4 10.4 8.49 7.46 6.81 6.35 6.02 5.76 5.56 5.39 4.87 4.59 4.30 4.00 3.67 .00120

.9 2.97 2.59 2.38 2.25 2.16 2.09 2.04 2.00 1.96 1.94 1.84 1.79 1.74 1.68 1.61 .1

.95 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35 2.20 2.12 2.04 1.95 1.84 .05

.975 5.87 4.46 3.86 3.51 3.29 3.13 3.01 2.91 2.84 2.77 2.57 2.46 2.35 2.22 2.09 .025

.99 8.10 5.85 4.94 4.43 4.10 3.87 3.70 3.56 3.46 3.37 3.09 2.94 2.78 2.61 2.42 .01

.995 9.94 6.99 5.82 5.17 4.76 4.47 4.26 4.09 3.96 3.85 3.50 3.32 3.12 2.92 2.69 .005

.999 14.8 9.95 8.10 7.10 6.46 6.02 5.69 5.44 5.24 5.08 4.56 4.29 4.00 3.70 3.38 .001

22

.9 2.95 2.56 2.35 2.22 2.13 2.06 2.01 1.97 1.93 1.90 1.81 1.76 1.70 1.64 1.57 .1

.95 4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.30 2.15 2.07 1.98 1.89 1.78 .05

.975 5.79 4.38 3.78 3.44 3.22 3.05 2.93 2.84 2.76 2.70 2.50 2.39 2.27 2.14 2.00 .025

.99 7.95 5.72 4.82 4.31 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35 3.26 2.98 2.83 2.67 2.50 2.31 .01

.995 9.73 6.81 5.65 5.02 4.61 4.32 4.11 3.94 3.81 3.70 3.36 3.18 2.98 2.77 2.55 .005

.999 14.4 9.61 7.80 6.81 6.19 5.76 5.44 5.19 4.99 4.83 4.33 4.06 3.78 3.48 3.15 .001

Right-tail values can be read from the table. To calculate a left-tail value, swap the degrees of freedom, lookup the right-tail value, and then use its reciprocal.

P(F9,10 > 2.35) = 0.11÷2.35 = 0.426P(F10,9 < 0.426) = 0.1

P(F10,9 > 2.42) = 0.1

Page 58 Statistics Quick Reference

Table 10 F Distribution �— Percentage points

2 p 1 (numerator) q1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 60

1

.9 39.9 49.5 53.6 55.8 57.2 58.2 58.9 59.4 59.9 60.2 61.2 61.7 62.3 62.8 63.3 .1

.95 161 200 216 225 230 234 237 239 241 242 246 248 250 252 254 .05

.975 648 799 864 900 922 937 948 957 963 969 985 993 1001 1010 1018 .025

.99 4052 5000 5403 5625 5764 5859 5928 5981 6022 6056 6157 6209 6261 6313 6366 .01

.995 > 16210 .005

.999 > 405280 .001

2

.9 8.53 9.00 9.16 9.24 9.29 9.33 9.35 9.37 9.38 9.39 9.42 9.44 9.46 9.47 9.49 .1

.95 18.5 19.0 19.2 19.2 19.3 19.3 19.4 19.4 19.4 19.4 19.4 19.4 19.5 19.5 19.5 .05

.975 38.5 39.0 39.2 39.2 39.3 39.3 39.4 39.4 39.4 39.4 39.4 39.4 39.5 39.5 39.5 .025

.99 98.5 99.0 99.2 99.2 99.3 99.3 99.4 99.4 99.4 99.4 99.4 99.4 99.5 99.5 99.5 .01

.995 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 .005

.999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 .001

3

.9 5.54 5.46 5.39 5.34 5.31 5.28 5.27 5.25 5.24 5.23 5.20 5.18 5.17 5.15 5.13 .1

.95 10.1 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 8.70 8.66 8.62 8.57 8.53 .05

.975 17.4 16.0 15.4 15.1 14.9 14.7 14.6 14.5 14.5 14.4 14.3 14.2 14.1 14.0 13.9 .025

.99 34.1 30.8 29.5 28.7 28.2 27.9 27.7 27.5 27.3 27.2 26.9 26.7 26.5 26.3 26.1 .01

.995 55.6 49.8 47.5 46.2 45.4 44.8 44.4 44.1 43.9 43.7 43.1 42.8 42.5 42.1 41.8 .005

.999 167 149 141 137 135 133 132 131 130 129 127 126 125 124 123 .001

4

.9 4.54 4.32 4.19 4.11 4.05 4.01 3.98 3.95 3.94 3.92 3.87 3.84 3.82 3.79 3.76 .1

.95 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 5.86 5.80 5.75 5.69 5.63 .05

.975 12.2 10.6 9.98 9.60 9.36 9.20 9.07 8.98 8.90 8.84 8.66 8.56 8.46 8.36 8.26 .025

.99 21.2 18.0 16.7 16.0 15.5 15.2 15.0 14.8 14.7 14.5 14.2 14.0 13.8 13.7 13.5 .01

.995 31.3 26.3 24.3 23.2 22.5 22.0 21.6 21.4 21.1 21.0 20.4 20.2 19.9 19.6 19.3 .005

.999 74.1 61.2 56.2 53.4 51.7 50.5 49.7 49.0 48.5 48.1 46.8 46.1 45.4 44.7 44.1 .001

5

.9 4.06 3.78 3.62 3.52 3.45 3.40 3.37 3.34 3.32 3.30 3.24 3.21 3.17 3.14 3.10 .1

.95 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.62 4.56 4.50 4.43 4.36 .05

.975 10.0 8.43 7.76 7.39 7.15 6.98 6.85 6.76 6.68 6.62 6.43 6.33 6.23 6.12 6.02 .025

.99 16.3 13.3 12.1 11.4 11.0 10.7 10.5 10.3 10.2 10.1 9.72 9.55 9.38 9.20 9.02 .01

.995 22.8 18.3 16.5 15.6 14.9 14.5 14.2 14.0 13.8 13.6 13.1 12.9 12.7 12.4 12.1 .005

.999 47.2 37.1 33.2 31.1 29.8 28.8 28.2 27.6 27.2 26.9 25.9 25.4 24.9 24.3 23.8 .001

6

.9 3.78 3.46 3.29 3.18 3.11 3.05 3.01 2.98 2.96 2.94 2.87 2.84 2.80 2.76 2.72 .1

.95 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 3.94 3.87 3.81 3.74 3.67 .05

.975 8.81 7.26 6.60 6.23 5.99 5.82 5.70 5.60 5.52 5.46 5.27 5.17 5.07 4.96 4.85 .025

.99 13.7 10.9 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.10 7.98 7.87 7.56 7.40 7.23 7.06 6.88 .01

.995 18.6 14.5 12.9 12.0 11.5 11.1 10.8 10.6 10.4 10.3 9.81 9.59 9.36 9.12 8.88 .005

.999 35.5 27.0 23.7 21.9 20.8 20.0 19.5 19.0 18.7 18.4 17.6 17.1 16.7 16.2 15.7 .001

7

.9 3.59 3.26 3.07 2.96 2.88 2.83 2.78 2.75 2.72 2.70 2.63 2.59 2.56 2.51 2.47 .1

.95 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.51 3.44 3.38 3.30 3.23 .05

.975 8.07 6.54 5.89 5.52 5.29 5.12 4.99 4.90 4.82 4.76 4.57 4.47 4.36 4.25 4.14 .025

.99 12.2 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72 6.62 6.31 6.16 5.99 5.82 5.65 .01

.995 16.2 12.4 10.9 10.1 9.52 9.16 8.89 8.68 8.51 8.38 7.97 7.75 7.53 7.31 7.08 .005

.999 29.2 21.7 18.8 17.2 16.2 15.5 15.0 14.6 14.3 14.1 13.3 12.9 12.5 12.1 11.7 .001

8

.9 3.46 3.11 2.92 2.81 2.73 2.67 2.62 2.59 2.56 2.54 2.46 2.42 2.38 2.34 2.29 .1

.95 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 3.22 3.15 3.08 3.01 2.93 .05

.975 7.57 6.06 5.42 5.05 4.82 4.65 4.53 4.43 4.36 4.30 4.10 4.00 3.89 3.78 3.67 .025

.99 11.3 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.81 5.52 5.36 5.20 5.03 4.86 .01

.995 14.7 11.0 9.60 8.81 8.30 7.95 7.69 7.50 7.34 7.21 6.81 6.61 6.40 6.18 5.95 .005

.999 25.4 18.5 15.8 14.4 13.5 12.9 12.4 12.0 11.8 11.5 10.8 10.5 10.1 9.73 9.33 .001

p q1/ 2

x

There is a 99% probability that an F random variable, with

1=6 degrees of freedom in the numerator and 2=3 degrees of freedom in the denominator, is less than x=27.9:

P(F6,3 < 27.9) = 0.99

f xx

x( | ) 2

2 2

1

2

1 212

22 2

1

1 22 1 2

1 2 1

1 2

( )=

+�• �• �•

�• �• + �•+

Table 1 Random Numbers

Row1 94 14 05 63 28 33 44 55 65 46 41 76 96 68 26 77 82 09 51 532 62 17 33 74 54 46 61 77 60 40 48 00 19 86 28 42 06 29 68 543 30 89 39 75 37 85 56 80 70 40 66 86 40 91 12 94 29 19 45 464 94 83 90 34 11 08 40 93 56 88 31 88 00 84 04 03 02 14 44 605 29 27 98 22 82 88 53 91 15 79 74 51 29 78 63 43 73 83 98 36

6 41 42 29 46 75 69 90 93 08 22 23 63 70 11 38 54 49 81 67 197 17 88 72 71 20 35 00 05 83 91 89 41 39 46 18 71 57 16 33 378 99 08 41 23 06 02 65 62 17 76 59 25 07 30 83 59 63 24 10 689 10 74 32 13 31 63 02 35 97 62 90 21 73 79 14 51 78 99 77 98

10 18 73 36 44 16 69 74 11 08 89 58 98 01 11 08 12 87 75 33 62

11 93 88 88 72 62 72 86 35 08 19 28 45 72 60 52 55 40 70 29 3312 24 03 94 86 87 87 65 76 36 03 43 45 67 69 25 81 84 14 68 1113 81 71 73 78 29 27 86 08 90 03 37 16 85 57 52 61 89 74 27 5714 63 71 09 09 22 59 52 30 39 68 17 92 26 23 90 16 71 01 09 3415 13 96 85 33 57 57 52 96 82 39 49 50 40 16 19 02 24 12 78 50

16 13 65 66 53 40 45 47 42 84 73 72 82 95 10 69 60 75 87 45 9117 38 56 21 96 37 02 84 88 05 25 88 14 62 17 67 07 50 30 93 9518 90 07 14 86 28 27 95 27 83 80 81 66 64 71 37 26 74 04 44 5519 19 97 94 94 47 76 70 05 62 41 95 46 51 05 91 41 87 86 30 3120 35 62 82 46 10 97 57 47 42 44 86 70 04 41 03 53 15 75 24 29

21 26 27 03 42 83 89 92 08 50 08 35 14 27 85 71 75 66 85 86 7822 32 38 64 20 23 80 17 09 67 21 46 83 41 50 17 78 88 99 09 2123 79 93 69 28 82 60 34 97 20 72 72 64 50 35 38 73 64 57 61 4924 35 00 90 97 57 75 88 02 13 46 40 05 00 59 56 46 28 54 85 8625 38 69 81 54 44 13 36 11 01 05 56 45 09 75 73 14 07 81 49 62

26 13 45 18 63 33 96 22 33 79 46 52 75 57 11 51 89 42 88 64 0627 03 35 88 74 51 46 93 96 49 48 00 08 98 26 10 15 77 05 90 5928 96 75 69 94 92 82 28 66 60 20 94 98 21 48 16 68 84 35 02 1929 06 45 00 42 01 15 03 98 75 91 47 55 93 80 14 62 81 54 85 6530 53 31 58 07 41 11 22 89 45 43 82 84 04 25 46 42 42 99 61 67

31 76 04 34 49 69 00 21 17 27 20 12 97 91 60 58 13 15 69 69 9532 71 82 78 67 05 74 05 30 16 93 28 93 17 73 85 60 24 23 38 8933 64 30 51 05 53 56 26 33 92 01 17 96 74 74 89 71 55 86 21 7834 58 09 66 36 08 83 28 69 66 03 84 94 62 45 97 82 71 23 56 4635 62 94 14 86 16 64 79 63 05 79 11 41 82 26 93 63 02 87 20 92

36 68 63 00 06 20 42 04 06 77 26 06 97 15 85 06 13 19 48 24 1737 65 63 66 21 01 71 88 84 76 40 18 73 56 36 34 53 53 97 10 3638 43 21 41 00 81 39 35 10 61 19 85 66 66 88 59 77 07 47 13 7239 90 92 61 61 22 24 45 46 91 67 68 95 79 45 00 41 21 57 55 2740 74 31 65 08 24 00 22 82 44 08 55 87 54 33 86 96 07 70 11 62

41 26 55 14 58 45 65 60 41 98 99 92 30 39 89 73 60 27 65 27 2342 83 71 54 34 19 31 37 34 48 95 39 94 46 15 39 30 02 78 41 1343 86 85 13 18 38 28 66 41 44 85 69 54 73 28 34 81 94 71 40 7944 88 20 65 38 39 59 69 58 65 77 96 52 33 86 82 08 40 10 85 7345 98 80 55 62 60 19 06 42 17 61 89 20 74 47 17 68 49 91 68 94

Statistics Quick Reference Page 7

Starting in row 22, the rst 3-digit random number in the range 1�…300 is 202. Continuing along the same row, the next four random numbers in the same sequence are 170, 214, 17 and 92.

Table 1 Random Numbers (continued)

Row46 83 70 57 68 49 28 81 60 49 37 00 34 87 55 05 80 12 24 98 3747 92 16 97 79 36 50 25 67 61 71 00 29 56 41 04 58 76 50 76 2448 12 60 54 19 08 12 75 92 09 56 04 43 79 54 16 65 87 48 57 3149 98 54 11 49 27 91 32 80 28 37 53 97 06 59 59 48 58 00 32 8150 28 12 02 16 28 27 72 31 65 60 76 58 99 88 92 06 03 50 20 24

51 39 70 40 98 43 65 26 56 04 79 02 28 40 80 54 78 29 79 68 1052 99 43 46 23 91 07 75 22 72 21 63 16 77 46 46 58 67 26 94 7753 68 05 19 36 51 42 86 27 93 14 65 74 23 32 90 94 87 74 12 1254 38 23 02 42 79 13 06 98 63 69 85 15 25 01 07 91 86 03 79 9555 87 44 04 79 52 47 05 90 24 61 26 55 24 65 28 12 04 77 92 66

56 11 23 91 50 43 60 07 40 72 29 92 05 09 69 53 11 69 01 48 8157 02 36 98 96 35 20 61 20 73 43 22 53 12 03 81 64 29 37 74 6358 16 49 17 13 23 76 84 14 92 11 94 50 39 04 31 69 01 89 79 4959 07 46 12 23 60 90 30 75 16 81 83 61 63 72 71 95 70 66 75 6360 38 97 09 05 36 41 27 30 91 40 91 89 43 80 74 96 73 91 89 44

61 67 70 64 00 84 43 73 57 56 15 97 92 81 25 42 84 83 62 57 5462 80 31 19 48 48 24 30 70 26 18 34 34 99 78 35 64 10 51 98 5163 42 31 34 81 43 10 82 76 82 38 62 01 83 10 10 33 74 99 34 3364 40 39 10 10 37 82 17 56 50 47 58 13 51 53 40 15 97 64 39 3765 24 27 74 32 18 06 73 42 08 02 11 95 37 32 74 83 53 54 25 35

66 94 52 49 34 96 50 27 01 26 97 63 29 89 55 35 10 06 86 56 2567 44 48 59 11 57 75 35 52 96 49 91 52 27 30 06 34 44 90 76 0268 44 99 18 01 43 56 04 77 98 22 07 54 11 99 62 11 01 99 68 1069 83 37 38 25 49 30 72 93 94 97 03 16 05 31 81 59 62 89 19 5670 01 89 33 87 75 85 21 36 76 48 15 73 37 61 36 54 31 65 86 07

71 53 55 48 71 80 74 64 71 70 74 52 31 24 77 80 51 17 99 64 2372 72 27 81 43 67 19 33 51 52 03 31 08 05 13 95 08 82 53 32 9473 07 31 88 10 45 11 32 63 72 89 91 75 85 49 91 29 93 92 64 4774 53 06 23 78 24 57 43 16 84 40 12 23 95 62 25 20 98 22 90 3075 05 34 54 17 81 09 66 38 20 02 90 20 21 48 04 72 67 18 72 70

76 95 31 56 87 07 57 01 01 30 02 66 58 03 45 83 63 73 75 91 9677 41 12 66 04 97 52 36 71 32 48 64 83 00 66 34 95 83 51 18 5978 50 99 57 83 72 80 65 93 93 93 47 77 49 20 45 31 04 10 37 3979 09 60 14 16 64 03 39 83 32 03 10 62 03 37 98 43 18 84 86 3880 38 80 56 97 21 90 80 77 97 48 58 01 96 69 22 70 22 29 50 81

81 22 13 78 41 24 04 32 29 56 92 25 16 45 25 69 41 36 13 89 5582 45 02 98 98 38 54 08 48 30 47 67 25 26 33 48 59 08 67 08 2183 48 32 12 23 86 49 31 55 52 22 18 40 85 16 07 91 04 98 30 2384 78 09 64 04 94 59 09 41 31 99 76 80 45 46 44 91 62 38 66 4785 27 71 71 07 96 33 35 70 46 19 76 54 41 03 55 64 73 83 28 48

86 58 14 43 99 47 74 53 25 52 62 84 76 91 22 48 16 33 13 36 4087 51 60 12 32 00 32 96 32 85 03 65 22 52 96 39 40 32 21 60 9588 42 70 82 18 93 53 18 46 53 16 99 75 27 20 63 45 53 15 86 6789 82 70 66 12 40 72 13 63 95 87 30 62 44 98 86 59 83 49 68 5290 36 20 93 41 52 57 38 20 38 83 23 05 67 01 52 59 07 10 77 26

Page 8 Statistics Quick Reference Statistics Quick Reference Page 57

p q16 18 20 22 24 26 28 30 40 60 100

.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .5

.55 0.128 0.127 0.127 0.127 0.127 0.127 0.127 0.127 0.126 0.126 0.126 0.126 .45

.6 0.258 0.257 0.257 0.256 0.256 0.256 0.256 0.256 0.255 0.254 0.254 0.253 .4

.65 0.392 0.392 0.391 0.390 0.390 0.390 0.389 0.389 0.388 0.387 0.386 0.385 .35

.7 0.535 0.534 0.533 0.532 0.531 0.531 0.530 0.530 0.529 0.527 0.526 0.524 .3

.75 0.690 0.688 0.687 0.686 0.685 0.684 0.683 0.683 0.681 0.679 0.677 0.675 .25

.8 0.865 0.862 0.860 0.858 0.857 0.856 0.855 0.854 0.851 0.848 0.845 0.842 .2

.85 1.071 1.067 1.064 1.061 1.059 1.058 1.056 1.055 1.050 1.045 1.042 1.036 .15

.875 1.194 1.189 1.185 1.182 1.179 1.177 1.175 1.173 1.167 1.162 1.157 1.150 .125

.9 1.337 1.330 1.325 1.321 1.318 1.315 1.313 1.310 1.303 1.296 1.290 1.282 .1

.905 1.369 1.362 1.357 1.352 1.349 1.346 1.343 1.341 1.333 1.326 1.320 1.311 .095

.91 1.402 1.395 1.389 1.385 1.381 1.378 1.375 1.373 1.365 1.357 1.350 1.341 .09

.915 1.437 1.429 1.424 1.419 1.415 1.411 1.408 1.406 1.397 1.389 1.382 1.372 .085

.92 1.474 1.466 1.459 1.454 1.450 1.446 1.443 1.441 1.432 1.423 1.416 1.405 .08

.925 1.512 1.504 1.497 1.492 1.487 1.483 1.480 1.477 1.468 1.458 1.451 1.440 .075

.93 1.553 1.544 1.537 1.531 1.526 1.522 1.519 1.516 1.506 1.496 1.488 1.476 .07

.935 1.596 1.587 1.579 1.573 1.568 1.564 1.560 1.557 1.546 1.535 1.527 1.514 .065

.94 1.642 1.632 1.624 1.618 1.612 1.608 1.604 1.600 1.589 1.577 1.568 1.555 .06

.945 1.692 1.681 1.672 1.665 1.660 1.655 1.651 1.647 1.635 1.622 1.613 1.598 .055

.95 1.746 1.734 1.725 1.717 1.711 1.706 1.701 1.697 1.684 1.671 1.660 1.645 .05

.955 1.805 1.792 1.782 1.773 1.767 1.761 1.756 1.752 1.737 1.723 1.712 1.696 .045

.96 1.869 1.855 1.844 1.835 1.828 1.822 1.817 1.812 1.796 1.781 1.769 1.751 .04

.965 1.942 1.926 1.914 1.905 1.896 1.890 1.884 1.879 1.862 1.845 1.832 1.812 .035

.97 2.024 2.007 1.994 1.983 1.974 1.967 1.960 1.955 1.936 1.917 1.902 1.881 .03

.975 2.120 2.101 2.086 2.074 2.064 2.056 2.048 2.042 2.021 2.000 1.984 1.960 .025

.98 2.235 2.214 2.197 2.183 2.172 2.162 2.154 2.147 2.123 2.099 2.081 2.054 .02

.9825 2.304 2.280 2.262 2.247 2.235 2.225 2.216 2.208 2.183 2.157 2.137 2.109 .0175

.985 2.382 2.356 2.336 2.320 2.307 2.296 2.286 2.278 2.250 2.223 2.201 2.170 .015

.9875 2.473 2.445 2.423 2.405 2.391 2.379 2.368 2.360 2.329 2.299 2.276 2.242 .0125

.99 2.583 2.552 2.528 2.508 2.492 2.479 2.467 2.457 2.423 2.390 2.364 2.327 .01

.9925 2.724 2.689 2.661 2.639 2.620 2.605 2.592 2.581 2.542 2.504 2.475 2.433 .0075

.995 2.921 2.878 2.845 2.819 2.797 2.779 2.763 2.750 2.704 2.660 2.626 2.576 .005

.996 3.028 2.982 2.945 2.916 2.892 2.873 2.856 2.841 2.792 2.744 2.706 2.653 .004

.997 3.165 3.113 3.073 3.041 3.014 2.992 2.973 2.957 2.902 2.849 2.808 2.748 .003

.998 3.358 3.298 3.251 3.214 3.183 3.158 3.136 3.118 3.055 2.994 2.946 2.879 .002

.999 3.686 3.610 3.552 3.505 3.467 3.435 3.408 3.385 3.307 3.232 3.174 3.091 .001

.9995 4.015 3.922 3.850 3.792 3.745 3.707 3.674 3.646 3.551 3.460 3.390 3.291 .0005

.9996 4.121 4.022 3.945 3.884 3.834 3.793 3.758 3.729 3.628 3.532 3.458 3.354 .0004

.9997 4.259 4.151 4.068 4.002 3.949 3.904 3.867 3.835 3.727 3.623 3.544 3.433 .0003

.9998 4.454 4.334 4.241 4.168 4.109 4.060 4.018 3.983 3.864 3.750 3.664 3.541 .0002

.9999 4.791 4.648 4.539 4.452 4.382 4.324 4.275 4.234 4.094 3.962 3.862 3.720 .0001

Sampling Distribution of the Meanif x is normal, x is normal. If x is non-normal, x is approximately normally distributed for

suf ciently large sample sizes (n 30)

=x =nx

22

=nx

The cumulative probabilities (areas) of the standard student t distribution curve with =0, corresponding with t-scores for various values of are given by this table:

x~N( , 2)t=(x�–x)÷sx

P(t24 > +1.318) = 0.1

Page 56 Statistics Quick Reference

Table 9 Student�’s �“t�” Distribution (continued)

p q1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14

.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .5

.55 0.158 0.142 0.137 0.134 0.132 0.131 0.130 0.130 0.129 0.129 0.128 0.128 .45

.6 0.325 0.289 0.277 0.271 0.267 0.265 0.263 0.262 0.261 0.260 0.259 0.258 .4

.65 0.510 0.445 0.424 0.414 0.408 0.404 0.402 0.399 0.398 0.397 0.395 0.393 .35

.7 0.727 0.617 0.584 0.569 0.559 0.553 0.549 0.546 0.543 0.542 0.539 0.537 .3

.75 1.000 0.816 0.765 0.741 0.727 0.718 0.711 0.706 0.703 0.700 0.695 0.692 .25

.8 1.376 1.061 0.978 0.941 0.920 0.906 0.896 0.889 0.883 0.879 0.873 0.868 .2

.85 1.963 1.386 1.250 1.190 1.156 1.134 1.119 1.108 1.100 1.093 1.083 1.076 .15

.875 2.414 1.604 1.423 1.344 1.301 1.273 1.254 1.240 1.230 1.221 1.209 1.200 .125

.9 3.078 1.886 1.638 1.533 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 1.372 1.356 1.345 .1

.905 3.251 1.953 1.688 1.577 1.516 1.478 1.451 1.432 1.418 1.406 1.389 1.377 .095

.91 3.442 2.026 1.741 1.623 1.558 1.517 1.489 1.469 1.454 1.442 1.424 1.411 .09

.915 3.655 2.104 1.798 1.671 1.602 1.559 1.529 1.508 1.492 1.479 1.460 1.447 .085

.92 3.895 2.189 1.859 1.723 1.649 1.603 1.572 1.549 1.532 1.518 1.498 1.484 .08

.925 4.165 2.282 1.924 1.778 1.699 1.650 1.617 1.592 1.574 1.559 1.538 1.523 .075

.93 4.474 2.383 1.995 1.838 1.753 1.700 1.664 1.638 1.619 1.603 1.580 1.565 .07

.935 4.829 2.495 2.072 1.902 1.810 1.754 1.715 1.687 1.666 1.650 1.626 1.609 .065

.94 5.242 2.620 2.156 1.971 1.873 1.812 1.770 1.740 1.718 1.700 1.674 1.656 .06

.945 5.730 2.760 2.249 2.048 1.941 1.874 1.830 1.797 1.773 1.754 1.726 1.706 .055

.95 6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.782 1.761 .05

.955 7.026 3.104 2.471 2.226 2.098 2.019 1.966 1.928 1.899 1.877 1.844 1.821 .045

.96 7.916 3.320 2.605 2.333 2.191 2.104 2.046 2.004 1.973 1.948 1.912 1.887 .04

.965 9.058 3.578 2.763 2.456 2.297 2.201 2.136 2.090 2.055 2.028 1.989 1.962 .035

.97 10.58 3.896 2.951 2.601 2.422 2.313 2.241 2.189 2.150 2.120 2.076 2.046 .03

.975 12.71 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.179 2.145 .025

.98 15.89 4.849 3.482 2.999 2.757 2.612 2.517 2.449 2.398 2.359 2.303 2.264 .02

.9825 18.17 5.204 3.670 3.135 2.870 2.712 2.608 2.535 2.480 2.437 2.376 2.334 .0175

.985 21.20 5.643 3.896 3.298 3.003 2.829 2.715 2.634 2.574 2.527 2.461 2.415 .015

.9875 25.45 6.205 4.177 3.495 3.163 2.969 2.841 2.752 2.685 2.634 2.560 2.510 .0125

.99 31.82 6.965 4.541 3.747 3.365 3.143 2.998 2.896 2.821 2.764 2.681 2.624 .01

.9925 42.43 8.073 5.047 4.088 3.634 3.372 3.203 3.085 2.998 2.932 2.836 2.771 .0075

.995 63.66 9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3.499 3.355 3.250 3.169 3.055 2.977 .005

.996 79.57 11.11 6.322 4.908 4.262 3.898 3.667 3.507 3.390 3.301 3.175 3.089 .004

.997 106.1 12.85 6.994 5.321 4.570 4.152 3.887 3.705 3.573 3.472 3.330 3.234 .003

.998 159.2 15.76 8.053 5.951 5.030 4.524 4.207 3.991 3.835 3.716 3.550 3.438 .002

.999 318.3 22.33 10.21 7.173 5.893 5.208 4.785 4.501 4.297 4.144 3.930 3.787 .001

.9995 636.6 31.60 12.92 8.610 6.869 5.959 5.408 5.041 4.781 4.587 4.318 4.140 .0005

.9996 795.8 35.33 13.94 9.126 7.210 6.217 5.619 5.223 4.942 4.733 4.445 4.255 .0004

.9997 1061 40.81 15.35 9.832 7.671 6.562 5.899 5.462 5.154 4.925 4.610 4.404 .0003

.9998 1592 49.98 17.60 10.92 8.363 7.074 6.311 5.811 5.461 5.202 4.847 4.616 .0002

.9999 3183 70.70 22.20 13.03 9.678 8.025 7.063 6.442 6.010 5.694 5.263 4.985 .0001

p q

+t

=t x xs

( )x

= �• +x t s xx

The cumulative probabilities (areas) of the standard student t distribution curve with =0, corresponding with t-scores for various values of are given by this table:

x~N( , 2)t=(x�–x)÷sx

P(t10 > +1.372) = 0.1

Table 1 Random Numbers (continued)

Row91 01 78 19 43 67 34 90 95 76 39 99 70 72 29 47 84 92 68 84 1792 48 40 17 65 74 82 92 84 05 68 65 55 67 02 58 18 22 58 57 1693 11 56 83 54 26 35 06 11 22 12 31 04 95 03 45 07 15 68 85 2994 00 89 14 80 97 61 10 58 04 93 04 76 73 65 15 56 34 73 76 2195 80 55 17 83 74 05 51 08 50 95 49 30 78 79 25 31 54 07 97 29

96 12 49 75 64 15 66 14 85 21 67 49 30 90 50 22 77 04 35 35 0997 61 44 78 00 61 89 24 77 68 31 26 72 18 25 59 94 09 24 16 6398 68 52 15 02 52 18 59 24 57 53 36 29 38 22 02 14 98 47 87 6799 53 80 60 22 53 68 64 77 82 24 75 13 30 87 82 51 97 55 88 70

100 43 48 61 84 54 92 50 21 06 18 88 58 15 38 33 07 66 80 28 49

101 28 20 18 75 30 13 37 76 95 56 31 33 25 51 24 78 18 06 80 54102 04 62 88 15 41 00 01 63 53 22 58 58 97 43 95 19 00 09 19 59103 01 36 93 03 58 39 49 72 59 90 80 25 66 99 10 24 12 96 55 51104 03 58 39 70 04 07 06 35 26 12 36 23 07 76 76 60 51 17 27 43105 51 31 35 44 74 13 95 38 54 09 77 95 86 47 14 90 71 74 39 82

106 25 20 98 97 09 85 15 94 50 55 72 27 39 28 25 65 10 24 39 02107 55 37 61 57 44 68 99 62 42 36 94 84 03 59 99 77 92 44 87 34108 73 11 77 64 39 34 75 61 61 47 61 26 61 75 06 65 17 18 67 32109 35 60 33 11 89 52 99 78 24 11 80 81 80 08 60 99 27 02 69 43110 51 75 87 97 67 76 11 43 88 14 90 99 45 30 13 53 85 87 89 73

111 01 30 42 02 55 09 98 77 08 79 08 13 44 42 16 71 69 52 26 37112 14 29 12 38 20 96 97 18 28 88 21 93 40 10 59 68 76 64 37 45113 78 93 61 14 36 73 65 63 03 99 11 81 25 84 44 35 84 78 32 40114 05 32 82 94 70 55 58 15 79 20 87 55 45 82 99 71 36 87 66 95115 33 14 59 77 32 64 85 66 19 66 92 64 19 70 45 22 49 29 79 21

116 96 34 08 42 49 92 60 50 32 35 48 57 51 05 15 51 25 10 23 77117 34 69 62 33 32 27 78 26 20 50 32 21 09 44 06 52 06 01 86 38118 69 12 53 89 69 88 29 61 96 64 11 90 20 70 95 31 59 50 66 96119 74 59 50 79 84 62 28 89 42 37 07 37 95 00 02 26 01 18 72 36120 55 94 73 75 63 98 83 17 64 43 38 57 39 54 06 18 34 39 94 22

121 12 09 99 21 63 25 21 77 87 97 38 78 88 00 91 25 03 93 72 28122 93 47 69 33 23 48 13 52 68 44 58 05 81 88 70 01 22 44 90 14123 23 45 26 47 04 42 92 93 47 67 06 29 27 15 37 96 09 87 51 32124 39 10 87 36 36 16 29 78 68 70 19 42 38 93 49 29 21 83 61 92125 68 29 15 14 88 87 90 05 42 70 59 51 23 72 84 77 58 92 56 90

126 19 48 76 90 47 98 00 09 87 79 55 60 34 19 67 20 80 36 57 47127 30 39 78 84 96 06 46 03 60 28 18 40 80 77 00 76 27 46 24 65128 33 57 30 61 23 34 35 43 85 56 37 19 67 13 02 17 23 92 50 34129 17 88 46 21 44 46 68 79 72 14 89 42 37 59 43 21 94 82 08 42130 92 56 73 41 79 73 15 69 60 81 32 47 13 78 58 15 26 40 44 67

131 52 17 37 41 25 47 35 90 81 19 66 63 51 85 80 58 79 67 89 71132 47 47 09 28 93 18 53 00 09 84 84 56 86 86 54 26 44 85 84 12133 25 33 06 15 85 41 22 47 96 91 95 50 82 31 14 78 69 91 52 81134 18 70 79 07 48 43 16 76 28 71 50 23 01 45 91 35 07 56 79 07135 12 61 57 01 20 33 50 32 26 64 87 71 04 16 17 02 81 71 15 65

Statistics Quick Reference Page 9

Tabl

e 2

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Page 10 Statistics Quick ReferenceX~

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1

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7000

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6000

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3000

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4

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0000

10.

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3456

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0.00

100.

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0000

10.

2036

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0000

20.

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0.00

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30.

0011

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0.00

100.

0024

0.00

410.

0102

0.03

130.

0778

0.13

170.

1681

0.23

730.

3277

0.59

050.

7738

Statistics Quick Reference Page 55

=

+

�• �•�• +

+

f t t( | )

12

2

12

12

p q16 18 20 22 24 26 28 30 40 60 100

.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .5

.45 -0.128 -0.127 -0.127 -0.127 -0.127 -0.127 -0.127 -0.127 -0.126 -0.126 -0.126 -0.126 .55

.4 -0.258 -0.257 -0.257 -0.256 -0.256 -0.256 -0.256 -0.256 -0.255 -0.254 -0.254 -0.253 .6

.35 -0.392 -0.392 -0.391 -0.390 -0.390 -0.390 -0.389 -0.389 -0.388 -0.387 -0.386 -0.385 .65

.3 -0.535 -0.534 -0.533 -0.532 -0.531 -0.531 -0.530 -0.530 -0.529 -0.527 -0.526 -0.524 .7

.25 -0.690 -0.688 -0.687 -0.686 -0.685 -0.684 -0.683 -0.683 -0.681 -0.679 -0.677 -0.675 .75

.2 -0.865 -0.862 -0.860 -0.858 -0.857 -0.856 -0.855 -0.854 -0.851 -0.848 -0.845 -0.842 .8

.15 -1.071 -1.067 -1.064 -1.061 -1.059 -1.058 -1.056 -1.055 -1.050 -1.045 -1.042 -1.036 .85

.125 -1.194 -1.189 -1.185 -1.182 -1.179 -1.177 -1.175 -1.173 -1.167 -1.162 -1.157 -1.150 .875

.1 -1.337 -1.330 -1.325 -1.321 -1.318 -1.315 -1.313 -1.310 -1.303 -1.296 -1.290 -1.282 .9

.095 -1.369 -1.362 -1.357 -1.352 -1.349 -1.346 -1.343 -1.341 -1.333 -1.326 -1.320 -1.311 .905

.09 -1.402 -1.395 -1.389 -1.385 -1.381 -1.378 -1.375 -1.373 -1.365 -1.357 -1.350 -1.341 .91

.085 -1.437 -1.429 -1.424 -1.419 -1.415 -1.411 -1.408 -1.406 -1.397 -1.389 -1.382 -1.372 .915

.08 -1.474 -1.466 -1.459 -1.454 -1.450 -1.446 -1.443 -1.441 -1.432 -1.423 -1.416 -1.405 .92

.075 -1.512 -1.504 -1.497 -1.492 -1.487 -1.483 -1.480 -1.477 -1.468 -1.458 -1.451 -1.440 .925

.07 -1.553 -1.544 -1.537 -1.531 -1.526 -1.522 -1.519 -1.516 -1.506 -1.496 -1.488 -1.476 .93

.065 -1.596 -1.587 -1.579 -1.573 -1.568 -1.564 -1.560 -1.557 -1.546 -1.535 -1.527 -1.514 .935

.06 -1.642 -1.632 -1.624 -1.618 -1.612 -1.608 -1.604 -1.600 -1.589 -1.577 -1.568 -1.555 .94

.055 -1.692 -1.681 -1.672 -1.665 -1.660 -1.655 -1.651 -1.647 -1.635 -1.622 -1.613 -1.598 .945

.05 -1.746 -1.734 -1.725 -1.717 -1.711 -1.706 -1.701 -1.697 -1.684 -1.671 -1.660 -1.645 .95

.045 -1.805 -1.792 -1.782 -1.773 -1.767 -1.761 -1.756 -1.752 -1.737 -1.723 -1.712 -1.696 .955

.04 -1.869 -1.855 -1.844 -1.835 -1.828 -1.822 -1.817 -1.812 -1.796 -1.781 -1.769 -1.751 .96

.035 -1.942 -1.926 -1.914 -1.905 -1.896 -1.890 -1.884 -1.879 -1.862 -1.845 -1.832 -1.812 .965

.03 -2.024 -2.007 -1.994 -1.983 -1.974 -1.967 -1.960 -1.955 -1.936 -1.917 -1.902 -1.881 .97

.025 -2.120 -2.101 -2.086 -2.074 -2.064 -2.056 -2.048 -2.042 -2.021 -2.000 -1.984 -1.960 .975

.02 -2.235 -2.214 -2.197 -2.183 -2.172 -2.162 -2.154 -2.147 -2.123 -2.099 -2.081 -2.054 .98

.0175 -2.304 -2.280 -2.262 -2.247 -2.235 -2.225 -2.216 -2.208 -2.183 -2.157 -2.137 -2.109 .9825

.015 -2.382 -2.356 -2.336 -2.320 -2.307 -2.296 -2.286 -2.278 -2.250 -2.223 -2.201 -2.170 .985

.0125 -2.473 -2.445 -2.423 -2.405 -2.391 -2.379 -2.368 -2.360 -2.329 -2.299 -2.276 -2.242 .9875

.01 -2.583 -2.552 -2.528 -2.508 -2.492 -2.479 -2.467 -2.457 -2.423 -2.390 -2.364 -2.327 .99

.0075 -2.724 -2.689 -2.661 -2.639 -2.620 -2.605 -2.592 -2.581 -2.542 -2.504 -2.475 -2.433 .9925

.005 -2.921 -2.878 -2.845 -2.819 -2.797 -2.779 -2.763 -2.750 -2.704 -2.660 -2.626 -2.576 .995

.004 -3.028 -2.982 -2.945 -2.916 -2.892 -2.873 -2.856 -2.841 -2.792 -2.744 -2.706 -2.653 .996

.003 -3.165 -3.113 -3.073 -3.041 -3.014 -2.992 -2.973 -2.957 -2.902 -2.849 -2.808 -2.748 .997

.002 -3.358 -3.298 -3.251 -3.214 -3.183 -3.158 -3.136 -3.118 -3.055 -2.994 -2.946 -2.879 .998

.001 -3.686 -3.610 -3.552 -3.505 -3.467 -3.435 -3.408 -3.385 -3.307 -3.232 -3.174 -3.091 .999

.0005 -4.015 -3.922 -3.850 -3.792 -3.745 -3.707 -3.674 -3.646 -3.551 -3.460 -3.390 -3.291 .9995

.0004 -4.121 -4.022 -3.945 -3.884 -3.834 -3.793 -3.758 -3.729 -3.628 -3.532 -3.458 -3.354 .9996

.0003 -4.259 -4.151 -4.068 -4.002 -3.949 -3.904 -3.867 -3.835 -3.727 -3.623 -3.544 -3.433 .9997

.0002 -4.454 -4.334 -4.241 -4.168 -4.109 -4.060 -4.018 -3.983 -3.864 -3.750 -3.664 -3.541 .9998

.0001 -4.791 -4.648 -4.539 -4.452 -4.382 -4.324 -4.275 -4.234 -4.094 -3.962 -3.862 -3.720 .9999

The cumulative probabilities (areas) of the standard student t distribution curve with =0, corresponding with t-scores for various values of are given by this table:

x~N( , 2)t=(x�–x)÷sx

P(t24 < -1.318) = 0.1

Page 54 Statistics Quick Reference

p q

Table 9 Student�’s �“t�” Distribution

p q1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14

.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .5

.45 -0.158 -0.142 -0.137 -0.134 -0.132 -0.131 -0.130 -0.130 -0.129 -0.129 -0.128 -0.128 .55

.4 -0.325 -0.289 -0.277 -0.271 -0.267 -0.265 -0.263 -0.262 -0.261 -0.260 -0.259 -0.258 .6

.35 -0.510 -0.445 -0.424 -0.414 -0.408 -0.404 -0.402 -0.399 -0.398 -0.397 -0.395 -0.393 .65

.3 -0.727 -0.617 -0.584 -0.569 -0.559 -0.553 -0.549 -0.546 -0.543 -0.542 -0.539 -0.537 .7

.25 -1.000 -0.816 -0.765 -0.741 -0.727 -0.718 -0.711 -0.706 -0.703 -0.700 -0.695 -0.692 .75

.2 -1.376 -1.061 -0.978 -0.941 -0.920 -0.906 -0.896 -0.889 -0.883 -0.879 -0.873 -0.868 .8

.15 -1.963 -1.386 -1.250 -1.190 -1.156 -1.134 -1.119 -1.108 -1.100 -1.093 -1.083 -1.076 .85

.125 -2.414 -1.604 -1.423 -1.344 -1.301 -1.273 -1.254 -1.240 -1.230 -1.221 -1.209 -1.200 .875

.1 -3.078 -1.886 -1.638 -1.533 -1.476 -1.440 -1.415 -1.397 -1.383 -1.372 -1.356 -1.345 .9

.095 -3.251 -1.953 -1.688 -1.577 -1.516 -1.478 -1.451 -1.432 -1.418 -1.406 -1.389 -1.377 .905

.09 -3.442 -2.026 -1.741 -1.623 -1.558 -1.517 -1.489 -1.469 -1.454 -1.442 -1.424 -1.411 .91

.085 -3.655 -2.104 -1.798 -1.671 -1.602 -1.559 -1.529 -1.508 -1.492 -1.479 -1.460 -1.447 .915

.08 -3.895 -2.189 -1.859 -1.723 -1.649 -1.603 -1.572 -1.549 -1.532 -1.518 -1.498 -1.484 .92

.075 -4.165 -2.282 -1.924 -1.778 -1.699 -1.650 -1.617 -1.592 -1.574 -1.559 -1.538 -1.523 .925

.07 -4.474 -2.383 -1.995 -1.838 -1.753 -1.700 -1.664 -1.638 -1.619 -1.603 -1.580 -1.565 .93

.065 -4.829 -2.495 -2.072 -1.902 -1.810 -1.754 -1.715 -1.687 -1.666 -1.650 -1.626 -1.609 .935

.06 -5.242 -2.620 -2.156 -1.971 -1.873 -1.812 -1.770 -1.740 -1.718 -1.700 -1.674 -1.656 .94

.055 -5.730 -2.760 -2.249 -2.048 -1.941 -1.874 -1.830 -1.797 -1.773 -1.754 -1.726 -1.706 .945

.05 -6.314 -2.920 -2.353 -2.132 -2.015 -1.943 -1.895 -1.860 -1.833 -1.812 -1.782 -1.761 .95

.045 -7.026 -3.104 -2.471 -2.226 -2.098 -2.019 -1.966 -1.928 -1.899 -1.877 -1.844 -1.821 .955

.04 -7.916 -3.320 -2.605 -2.333 -2.191 -2.104 -2.046 -2.004 -1.973 -1.948 -1.912 -1.887 .96

.035 -9.058 -3.578 -2.763 -2.456 -2.297 -2.201 -2.136 -2.090 -2.055 -2.028 -1.989 -1.962 .965

.03 -10.58 -3.896 -2.951 -2.601 -2.422 -2.313 -2.241 -2.189 -2.150 -2.120 -2.076 -2.046 .97

.025 -12.71 -4.303 -3.182 -2.776 -2.571 -2.447 -2.365 -2.306 -2.262 -2.228 -2.179 -2.145 .975

.02 -15.89 -4.849 -3.482 -2.999 -2.757 -2.612 -2.517 -2.449 -2.398 -2.359 -2.303 -2.264 .98

.0175 -18.17 -5.204 -3.670 -3.135 -2.870 -2.712 -2.608 -2.535 -2.480 -2.437 -2.376 -2.334 .9825

.015 -21.20 -5.643 -3.896 -3.298 -3.003 -2.829 -2.715 -2.634 -2.574 -2.527 -2.461 -2.415 .985

.0125 -25.45 -6.205 -4.177 -3.495 -3.163 -2.969 -2.841 -2.752 -2.685 -2.634 -2.560 -2.510 .9875

.01 -31.82 -6.965 -4.541 -3.747 -3.365 -3.143 -2.998 -2.896 -2.821 -2.764 -2.681 -2.624 .99

.0075 -42.43 -8.073 -5.047 -4.088 -3.634 -3.372 -3.203 -3.085 -2.998 -2.932 -2.836 -2.771 .9925

.005 -63.66 -9.925 -5.841 -4.604 -4.032 -3.707 -3.499 -3.355 -3.250 -3.169 -3.055 -2.977 .995

.004 -79.57 -11.11 -6.322 -4.908 -4.262 -3.898 -3.667 -3.507 -3.390 -3.301 -3.175 -3.089 .996

.003 -106.1 -12.85 -6.994 -5.321 -4.570 -4.152 -3.887 -3.705 -3.573 -3.472 -3.330 -3.234 .997

.002 -159.2 -15.76 -8.053 -5.951 -5.030 -4.524 -4.207 -3.991 -3.835 -3.716 -3.550 -3.438 .998

.001 -318.3 -22.33 -10.21 -7.173 -5.893 -5.208 -4.785 -4.501 -4.297 -4.144 -3.930 -3.787 .999

.0005 -636.6 -31.60 -12.92 -8.610 -6.869 -5.959 -5.408 -5.041 -4.781 -4.587 -4.318 -4.140 .9995

.0004 -795.8 -35.33 -13.94 -9.126 -7.210 -6.217 -5.619 -5.223 -4.942 -4.733 -4.445 -4.255 .9996

.0003 -1061 -40.81 -15.35 -9.832 -7.671 -6.562 -5.899 -5.462 -5.154 -4.925 -4.610 -4.404 .9997

.0002 -1592 -49.98 -17.60 -10.92 -8.363 -7.074 -6.311 -5.811 -5.461 -5.202 -4.847 -4.616 .9998

.0001 -3183 -70.70 -22.20 -13.03 -9.678 -8.025 -7.063 -6.442 -6.010 -5.694 -5.263 -4.985 .9999

�–t

=t x xs

( )x

= �• +x t s xx

The cumulative probabilities (areas) of the standard student t distribution curve with =0, corresponding with t-scores for various values of are given by this table:

x~N( , 2)t=(x�–x)÷sx

P(t10 < -1.372) = 0.1

Tabl

e 2

Bin

omia

l Dis

trib

utio

n �—

Indi

vidu

al P

roba

bilit

ies

(con

tinue

d)

Statistics Quick Reference Page 11

pn

k0.

050.

10.

20.

250.

3 1

/30.

40.

50.

6 2

/30.

70.

750.

80.

90.

95

6

00.

7351

0.53

140.

2621

0.17

800.

1176

0.08

780.

0467

0.01

560.

0041

0.00

140.

0007

0.00

020.

0001

0.00

000.

0000

10.

2321

0.35

430.

3932

0.35

600.

3025

0.26

340.

1866

0.09

380.

0369

0.01

650.

0102

0.00

440.

0015

0.00

010.

0000

20.

0305

0.09

840.

2458

0.29

660.

3241

0.32

920.

3110

0.23

440.

1382

0.08

230.

0595

0.03

300.

0154

0.00

120.

0001

30.

0021

0.01

460.

0819

0.13

180.

1852

0.21

950.

2765

0.31

250.

2765

0.21

950.

1852

0.13

180.

0819

0.01

460.

0021

40.

0001

0.00

120.

0154

0.03

300.

0595

0.08

230.

1382

0.23

440.

3110

0.32

920.

3241

0.29

660.

2458

0.09

840.

0305

50.

0000

0.00

010.

0015

0.00

440.

0102

0.01

650.

0369

0.09

380.

1866

0.26

340.

3025

0.35

600.

3932

0.35

430.

2321

60.

0000

0.00

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0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

050.

0036

0.01

160.

0198

0.04

220.

0859

0.31

380.

5688

12

00.

5404

0.28

240.

0687

0.03

170.

0138

0.00

770.

0022

0.00

020.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

10.

3413

0.37

660.

2062

0.12

670.

0712

0.04

620.

0174

0.00

290.

0003

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

20.

0988

0.23

010.

2835

0.23

230.

1678

0.12

720.

0639

0.01

610.

0025

0.00

050.

0002

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

30.

0173

0.08

520.

2362

0.25

810.

2397

0.21

200.

1419

0.05

370.

0125

0.00

330.

0015

0.00

040.

0001

0.00

000.

0000

40.

0021

0.02

130.

1329

0.19

360.

2311

0.23

840.

2128

0.12

080.

0420

0.01

490.

0078

0.00

240.

0005

0.00

000.

0000

50.

0002

0.00

380.

0532

0.10

320.

1585

0.19

080.

2270

0.19

340.

1009

0.04

770.

0291

0.01

150.

0033

0.00

000.

0000

60.

0000

0.00

050.

0155

0.04

010.

0792

0.11

130.

1766

0.22

560.

1766

0.11

130.

0792

0.04

010.

0155

0.00

050.

0000

70.

0000

0.00

000.

0033

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150.

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1009

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340.

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1585

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0.00

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80.

0000

0.00

000.

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2311

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1329

0.02

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0.00

000.

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0000

0.00

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110.

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0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0003

0.00

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3413

120.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

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0022

0.00

770.

0138

0.03

170.

0687

0.28

240.

5404

Statistics Quick Reference Page 53

X~N( , 2) RewriteP(Z<z)P(Z z) P(Z<z)P(Z z)

1-P(Z<z)P(Z>z)

+z

Table 8 Normal Distribution �— Areas under the curve (continued)

µ=z x( )

µ= �• +x z

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.00 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.53590.10 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.57530.20 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.61410.30 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.65170.40 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.68790.50 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.72240.60 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.75490.70 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.78520.80 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.81330.90 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.83891.00 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.86211.10 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.88301.20 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.90151.30 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.91771.40 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.93191.50 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.94411.60 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.95451.70 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.96331.80 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.97061.90 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.97672.00 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.98172.10 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.98572.20 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.98902.30 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.99162.40 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.99362.50 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.99522.60 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.99642.70 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.99742.80 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.99812.90 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.99863.00 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.99903.10 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.99933.20 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.99953.30 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.99973.40 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.99983.50 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.99983.60 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.99993.70 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.99993.80 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.99993.90 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

The cumulative probabilities (areas) of the standard normal distribution curve with =0, 2=1 corresponding with Z-scores are given by this table:

x~N( , 2)z=(x�– )÷P(Z < +1.55) = 0.9394

p

Page 52 Statistics Quick Reference

�–z

µ=z x( )

µ= �• +x z

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09-0.00 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641-0.10 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247-0.20 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859-0.30 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483-0.40 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121-0.50 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776-0.60 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451-0.70 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148-0.80 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867-0.90 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611-1.00 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379-1.10 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170-1.20 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985-1.30 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823-1.40 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681-1.50 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559-1.60 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455-1.70 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367-1.80 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294-1.90 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233-2.00 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183-2.10 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143-2.20 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110-2.30 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084-2.40 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064-2.50 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048-2.60 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036-2.70 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026-2.80 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019-2.90 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014-3.00 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010-3.10 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007 0.0007-3.20 0.0007 0.0007 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0.0005-3.30 0.0005 0.0005 0.0005 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0003-3.40 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002-3.50 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002-3.60 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001-3.70 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001-3.80 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001-3.90 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

The cumulative probabilities (areas) of the standard normal distribution curve with =0, 2=1 corresponding with Z-scores are given by this table:

x~N( , 2)z=(x�– )÷P(Z < �–1.55) = 0.0606

p

Table 8 Normal Distribution �— Areas under the curve

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0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

10.

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000.

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0.00

000.

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0000

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0000

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1771

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0811

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0.00

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0.00

000.

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0.01

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0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

20.

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000.

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000.

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1417

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650.

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1889

0.13

610.

1010

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1983

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2001

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0.00

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0.00

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0.00

000.

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0.00

000.

0000

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000.

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150.

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0.01

000.

0281

0.18

530.

4401

Statistics Quick Reference Page 51

Table 6 Normal Distribution �— Ordinates

Table 7 Normal Distribution �— Commonly Used Areas

z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-3.0 .0044 .0033 .0024 .0017 .0012 .0009 .0006 .0004 .0003 .0002-2.0 .0540 .0440 .0355 .0283 .0224 .0175 .0136 .0104 .0079 .0060-1.0 .2420 .2179 .1942 .1714 .1497 .1295 .1109 .0940 .0790 .0656-0.0 .3989 .3970 .3910 .3814 .3683 .3521 .3332 .3123 .2897 .26610.0 .3989 .3970 .3910 .3814 .3683 .3521 .3332 .3123 .2897 .26611.0 .2420 .2179 .1942 .1714 .1497 .1295 .1109 .0940 .0790 .06562.0 .0540 .0440 .0355 .0283 .0224 .0175 .0136 .0104 .0079 .00603.0 .0044 .0033 .0024 .0017 .0012 .0009 .0006 .0004 .0003 .0002

p pq q

1

1

1

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�–z +z

=�•

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z2

2

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µ= �• +x z

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p +z q0.5 0 0.50.6 0.2533 0.40.7 0.5244 0.30.75 0.6745 0.250.8 0.8416 0.20.85 1.0364 0.150.9 1.2816 0.10.95 1.6449 0.050.975 1.9600 0.0250.99 2.3263 0.010.995 2.5758 0.0050.9975 2.8070 0.00250.999 3.0902 0.0010.9995 3.2905 0.00050.9999 3.7190 0.0001

The height of the standard normal distribution curve with =0, 2=1 for various values of Z is given by this table. For example:

Height of Z = �–1.5 is 0.1295

The Z-score for common left- or right-tail probabilities (areas) of the standard normal distribution curve with =0, 2=1 is given by this table.X~N( , 2)P(Z < �–1.2816) = 0.1

X~N( , 2)P(Z > +1.2816) = 0.1

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000.

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0.00

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0.02

190.

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0.00

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0.00

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0.00

110.

0005

0.00

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0.13

950.

1249

0.11

170.

0996

0.07

440.

0550

0.04

030.

0293

0.02

110.

0151

0.01

070.

0076

0.00

370.

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0.00

095

0.25

260.

2307

0.21

030.

1912

0.14

960.

1157

0.08

850.

0671

0.05

040.

0375

0.02

770.

0203

0.01

070.

0055

0.00

286

0.39

200.

3646

0.33

840.

3134

0.25

620.

2068

0.16

490.

1301

0.10

160.

0786

0.06

030.

0458

0.02

590.

0142

0.00

767

0.53

930.

5100

0.48

120.

4530

0.38

560.

3239

0.26

870.

2202

0.17

850.

1432

0.11

370.

0895

0.05

400.

0316

0.01

808

0.67

570.

6482

0.62

040.

5925

0.52

310.

4557

0.39

180.

3328

0.27

940.

2320

0.19

060.

1550

0.09

980.

0621

0.03

749

0.78

770.

7649

0.74

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0.99

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000.

0000

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1.00

000.

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0.99

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1.00

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1.00

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1.00

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1.00

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0.79

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1.00

001.

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1.00

001.

0000

1.00

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0.99

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1.00

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1.00

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1.00

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1.00

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0000

1.00

001.

0000

Page 42 Statistics Quick ReferenceTa

ble

4 B

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0.00

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0000

0.00

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0000

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0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

20.

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0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

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0.00

000.

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0000

0.00

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000.

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0.00

000.

0000

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0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

61.

0000

0.99

670.

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0.74

360.

5505

0.41

860.

2002

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920.

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0.00

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0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

71.

0000

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940.

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010.

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0.60

080.

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0.09

460.

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0.00

180.

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0.00

010.

0000

0.00

000.

0000

81.

0000

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990.

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0.00

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0.00

000.

0000

91.

0000

1.00

000.

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170.

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000.

0000

101.

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1.00

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0000

1.00

001.

0000

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0.00

010.

0000

131.

0000

1.00

001.

0000

0.99

990.

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0.99

820.

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990.

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0.00

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0000

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0000

1.00

001.

0000

1.00

000.

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0.99

960.

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0.00

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0000

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0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

0.99

990.

9992

0.98

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0.75

140.

6373

0.43

340.

2307

0.01

440.

0004

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0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

000.

9998

0.99

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880.

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220.

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1.00

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1.00

001.

0000

1.00

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1.00

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0000

1.00

001.

0000

1.00

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1.00

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0000

1.00

001.

0000

1.00

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1.00

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100.

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530.

2830

201.

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1.00

001.

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1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

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0.99

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9994

0.99

760.

9908

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211.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

Statistics Quick Reference Page 23

yes

no

yes

Normal Approximation

Poisson Approximation

yes

yesno

no

Figure 2 Working with Binomials �— ow chart

Binomial?

=n�•p for X~Po( )=n�•q for Y~Po( )

=n�•p2=n�•p�•q

UseTable 3 for �“=�” questionTable 5 for �“ �” question

1. Let X = ...2. X~Po( )3. State question4. Rewrite question

either �“ �” or �“=�”

5. X~Po( )1. Let X = ...2. X~B(n,p)3. State question4. Rewrite question

either �“ �” or �“=�”

Poisson?

n > 25?

n�•p > 5and

n�•q > 5?

UseTable 8

UseTable 2 for �“=�” questionTable 4 for �“ �” question

5. X~N( , 2)6. Rewrite question

either �“<�” or �“=�”7. Correct continuity

8. Convert to Z-scores

Page 24 Statistics Quick ReferenceTa

ble

3 Po

isso

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005

0.01

0.02

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0000

0.00

000.

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0.00

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0.00

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0.00

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0.00

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0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

010.

0001

0.00

010.

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0.00

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0.00

200.

0033

40.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0001

0.00

010.

0003

50.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

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450.

500.

550.

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650.

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750.

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500.

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0.00

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0.00

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0.00

390.

0050

0.00

620.

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0.00

930.

0111

0.01

310.

0153

0.02

035

0.00

000.

0001

0.00

010.

0002

0.00

020.

0004

0.00

050.

0007

0.00

090.

0012

0.00

160.

0020

0.00

250.

0031

0.00

456

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

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040.

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0.12

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0.12

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670.

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0.00

010.

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0.00

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000.

0000

0.00

000.

0001

0.00

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0000

0.00

000.

0000

0.00

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0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

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0000

0.00

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0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

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000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

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000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

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2927

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0001

0.00

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0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

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0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

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000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

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000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

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0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

0133

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

00

Statistics Quick Reference Page 37

Tabl

e 4

Bin

omia

l Dis

trib

utio

n �—

Cum

ulat

ive

Prob

abili

ties

(con

tinue

d)

Pn

k0.

050.

10.

20.

250.

3 1

/30.

40.

50.

6 2

/30.

70.

750.

80.

90.

95

13

00.

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0.00

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0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

10.

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0.00

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0001

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

20.

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5017

0.33

260.

2025

0.13

870.

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0.01

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0013

0.00

020.

0001

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

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0000

0.00

000.

0000

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000.

0000

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0.00

000.

0000

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0000

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0.00

010.

0000

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0000

1.00

000.

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0.00

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0000

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0000

1.00

000.

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0000

1.00

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0000

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0000

1.00

000.

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0000

1.00

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0000

1.00

001.

0000

1.00

000.

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0000

1.00

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0000

1.00

001.

0000

1.00

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0000

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0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

14

00.

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0.00

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0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

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0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

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0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

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000.

0000

0.00

000.

0000

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0.00

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0000

0.00

000.

0000

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0000

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0.00

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0.00

000.

0000

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0000

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0.00

000.

0000

71.

0000

1.00

000.

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0.00

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0000

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0000

1.00

000.

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0000

1.00

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0000

1.00

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0000

1.00

000.

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0.15

840.

0301

121.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

000.

9999

0.99

910.

9919

0.97

260.

9525

0.89

900.

8021

0.41

540.

1530

131.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

0.99

990.

9992

0.99

660.

9932

0.98

220.

9560

0.77

120.

5123

141.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

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1.00

001.

0000

Page 36 Statistics Quick ReferenceTa

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750.

80.

90.

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5987

0.34

870.

1074

0.05

630.

0282

0.01

730.

0060

0.00

100.

0001

0.00

000.

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0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

10.

9139

0.73

610.

3758

0.24

400.

1493

0.10

400.

0464

0.01

070.

0017

0.00

040.

0001

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

20.

9885

0.92

980.

6778

0.52

560.

3828

0.29

910.

1673

0.05

470.

0123

0.00

340.

0016

0.00

040.

0001

0.00

000.

0000

30.

9990

0.98

720.

8791

0.77

590.

6496

0.55

930.

3823

0.17

190.

0548

0.01

970.

0106

0.00

350.

0009

0.00

000.

0000

40.

9999

0.99

840.

9672

0.92

190.

8497

0.78

690.

6331

0.37

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1662

0.07

660.

0473

0.01

970.

0064

0.00

010.

0000

51.

0000

0.99

990.

9936

0.98

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9527

0.92

340.

8338

0.62

300.

3669

0.21

310.

1503

0.07

810.

0328

0.00

160.

0001

61.

0000

1.00

000.

9991

0.99

650.

9894

0.98

030.

9452

0.82

810.

6177

0.44

070.

3504

0.22

410.

1209

0.01

280.

0010

71.

0000

1.00

000.

9999

0.99

960.

9984

0.99

660.

9877

0.94

530.

8327

0.70

090.

6172

0.47

440.

3222

0.07

020.

0115

81.

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1.00

001.

0000

1.00

000.

9999

0.99

960.

9983

0.98

930.

9536

0.89

600.

8507

0.75

600.

6242

0.26

390.

0861

91.

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1.00

001.

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1.00

001.

0000

1.00

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001.

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1.00

001.

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1.00

001.

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1.00

001.

0000

11

00.

5688

0.31

380.

0859

0.04

220.

0198

0.01

160.

0036

0.00

050.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

10.

8981

0.69

740.

3221

0.19

710.

1130

0.07

510.

0302

0.00

590.

0007

0.00

010.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

20.

9848

0.91

040.

6174

0.45

520.

3127

0.23

410.

1189

0.03

270.

0059

0.00

140.

0006

0.00

010.

0000

0.00

000.

0000

30.

9984

0.98

150.

8389

0.71

330.

5696

0.47

260.

2963

0.11

330.

0293

0.00

880.

0043

0.00

120.

0002

0.00

000.

0000

40.

9999

0.99

720.

9496

0.88

540.

7897

0.71

100.

5328

0.27

440.

0994

0.03

860.

0216

0.00

760.

0020

0.00

000.

0000

51.

0000

0.99

970.

9883

0.96

570.

9218

0.87

790.

7535

0.50

000.

2465

0.12

210.

0782

0.03

430.

0117

0.00

030.

0000

61.

0000

1.00

000.

9980

0.99

240.

9784

0.96

140.

9006

0.72

560.

4672

0.28

900.

2103

0.11

460.

0504

0.00

280.

0001

71.

0000

1.00

000.

9998

0.99

880.

9957

0.99

120.

9707

0.88

670.

7037

0.52

740.

4304

0.28

670.

1611

0.01

850.

0016

81.

0000

1.00

001.

0000

0.99

990.

9994

0.99

860.

9941

0.96

730.

8811

0.76

590.

6873

0.54

480.

3826

0.08

960.

0152

91.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

0.99

990.

9993

0.99

410.

9698

0.92

490.

8870

0.80

290.

6779

0.30

260.

1019

101.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

0.99

950.

9964

0.98

840.

9802

0.95

780.

9141

0.68

620.

4312

111.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

12

00.

5404

0.28

240.

0687

0.03

170.

0138

0.00

770.

0022

0.00

020.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

10.

8816

0.65

900.

2749

0.15

840.

0850

0.05

400.

0196

0.00

320.

0003

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

20.

9804

0.88

910.

5583

0.39

070.

2528

0.18

110.

0834

0.01

930.

0028

0.00

050.

0002

0.00

000.

0000

0.00

000.

0000

30.

9978

0.97

440.

7946

0.64

880.

4925

0.39

310.

2253

0.07

300.

0153

0.00

390.

0017

0.00

040.

0001

0.00

000.

0000

40.

9998

0.99

570.

9274

0.84

240.

7237

0.63

150.

4382

0.19

380.

0573

0.01

880.

0095

0.00

280.

0006

0.00

000.

0000

51.

0000

0.99

950.

9806

0.94

560.

8822

0.82

230.

6652

0.38

720.

1582

0.06

640.

0386

0.01

430.

0039

0.00

010.

0000

61.

0000

0.99

990.

9961

0.98

570.

9614

0.93

360.

8418

0.61

280.

3348

0.17

770.

1178

0.05

440.

0194

0.00

050.

0000

71.

0000

1.00

000.

9994

0.99

720.

9905

0.98

120.

9427

0.80

620.

5618

0.36

850.

2763

0.15

760.

0726

0.00

430.

0002

81.

0000

1.00

000.

9999

0.99

960.

9983

0.99

610.

9847

0.92

700.

7747

0.60

690.

5075

0.35

120.

2054

0.02

560.

0022

91.

0000

1.00

001.

0000

1.00

000.

9998

0.99

950.

9972

0.98

070.

9166

0.81

890.

7472

0.60

930.

4417

0.11

090.

0196

101.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

000.

9997

0.99

680.

9804

0.94

600.

9150

0.84

160.

7251

0.34

100.

1184

111.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

0.99

980.

9978

0.99

230.

9862

0.96

830.

9313

0.71

760.

4596

121.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

Statistics Quick Reference Page 29

SUM

MAR

Y O

UTPU

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R

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xcel

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b s

xR s

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2

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t} of

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t obs

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s.

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LCL

for

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UC

L fo

r co

n d

ence

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t

LCL

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con

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UC

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inte

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s b 0 s b 1

=H

:0

00 =

H:

00

1

Line

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egre

ssio

n

xx

_

yy _ y

Page 30 Statistics Quick Reference

Figure 4 Con dence Intervals & Sample Sizes

Figure 5 Common Measures

Calculation Equation Rule Conclusion

100(

1-)%

Con d

ence

Inte

rval

est

imat

e fo

r a �… Mean

known ± �• =P x zn

1/2

Rou

nd O

utw

ards

�“We can be (1�– )�•100% con dent that the true mean amount of ... is between LCL and UCL {units}�”

unknown± �• =P x t s

n1n/2, 1

Proportion ± �•�•=P p z p q

nˆ ˆ ˆ

1/2

�“There is a (1�– )�•100% probability that the true proportion of ... lies between LCL and UCL�”

Regression Estimate ± �•b t Sn b1 /2, 2 1

�“We can be (1�– )�•100% con dent that the true slope of the linear relationship lies between LCL and UCL�”

Sam

ple

Size

for

estim

atin

g a

�…

Mean�•n zB

ˆ/22

Rou

nd U

pwar

ds�“We require one sample of n {units}�”

Proportion

�• �•n p q zB

* * /22

0 0.3 0.5 0.7 1

Name Formulae Range Measure of Interpretation

Correlation Coef cient

= =�•

r R x ys s

cov( , )x y

2

�–1�…+1

linearstrength

�“There appears to be a {perfect | strong | medium | little or no} {positive | negative} {linear | monotonic}relationship between [x variable]and [y variable].�”

Spearman�’s Rank

Correlation Coef cient

=�•

�•r

dn n

16( 1)s

i2

2monotonicstrength

Coef cient of Determination = =R SSR

SSTSSESST

12 0�…1 modelstrength

�“[x]% of the observed variation in [y variable] can be explained by the observed differences in [x variable] with [100�–x]% due to other factors.�”

Covariance

x y r s s

x yx yn

n

cov( , )

1

x y= �• �• =

�•�• sign

onlymonotonicdirection

�“The sign is {positive | negative}so the monotonic relationship is{positive | negative}.�”

Standard Error of Estimate = =s s SSE

n 2e e2 0

standarddeviation of

errors

How well the errors t around the regression line. A small number usually means a good t but also consider R2.

Variance

µ( )=

xN

22

( )=s

x xn 1

22 0 variability A measure of spread.

Statistics Quick Reference Page 35

Tabl

e 4

Bin

omia

l Dis

trib

utio

n �—

Cum

ulat

ive

Prob

abili

ties

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1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

5

00.

7738

0.59

050.

3277

0.23

730.

1681

0.13

170.

0778

0.03

130.

0102

0.00

410.

0024

0.00

100.

0003

0.00

000.

0000

10.

9774

0.91

850.

7373

0.63

280.

5282

0.46

090.

3370

0.18

750.

0870

0.04

530.

0308

0.01

560.

0067

0.00

050.

0000

20.

9988

0.99

140.

9421

0.89

650.

8369

0.79

010.

6826

0.50

000.

3174

0.20

990.

1631

0.10

350.

0579

0.00

860.

0012

31.

0000

0.99

950.

9933

0.98

440.

9692

0.95

470.

9130

0.81

250.

6630

0.53

910.

4718

0.36

720.

2627

0.08

150.

0226

41.

0000

1.00

000.

9997

0.99

900.

9976

0.99

590.

9898

0.96

880.

9222

0.86

830.

8319

0.76

270.

6723

0.40

950.

2262

51.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

1.00

001.

0000

Statistics Quick Reference Page 31

Calculation Class Frequency Relative Frequency

=X ( )�•x f x( ) ( )�•x P x( )

[ ]= = =E X xxX

nX

= =E X X2 2 ( )�•x f x( )2 ( )�•x P x( )2

[ ]= =V X x2 �•

=X nn

s x1

xx

2 22 µ =X xx x

2 2 2

Example if = �• + �• +y a x b x c2 then = �• + �• +E Y a E X b E X c[ ] [ ] [ ]2

Note: Terms in boxes (eg X ) refer to calculator keys and assume that you have entered data into your calculator�’s list mode. Otherwise, terms have their ordinary meanings (eg �“ (x)�” means �“sum the values of x�”).

Figure 6 Expected Value Rules

Figure 7 Hypothesis TestsHypotheses where 0 0

Hypothesis if 0 0 if 0 = 0

null1�– 2 0 1 2

1�– 2 = 0 1 = 2

1�– 2 0 1 2

alternate1�– 2 < 0 1 < 2

1�– 2 0 1 2

1�– 2 > 0 1 > 2

Type I and II Errors

H0 is true H0 is falseDo not

reject H0

CorrectDecision

Type II ErrorP(Type II)=

Reject H0Type I ErrorP(Type I)=

CorrectDecision

Hypothesis Test Steps

1. De ne the population parameters of interest and formulate the hypothesis:�• H0 is status quo and contains �“ �” or �“=�” or �“ �”�• H1 is alternative and contains �“<�” or �“ �” or �“>�”

2. State the level of signi cance: 3. State the test statistic and sampling distribution. Draw the

distribution:�• �“One-tailed test�”:

�• If H1 contains �“<�”, all of goes on the left�• If H1 contains �“>�”, all of goes on the right

�• �“Two-tailed test�”:�• If H1 contains �“ �”, ÷2 goes on each side

4. State the decision rule. Draw the distribution:�• �“One-tailed test�”:

�• If H1 contains �“<�”, �“Reject H0 if z|tobs < z|tcrit�”�• If H1 contains �“>�”, �“Reject H0 if z|tobs > z|tcrit�”

�• �“Two-tailed test�”:�• �“Reject H0 if z|tobs < z|tcrit or if z|tobs > z|tcrit�”

5. Calculate the test statistic and make the decision:�• Solve the equation of the test statistic.�• Decide either �“Reject H0�” or �“Do not reject H0�”�• Reject H0 gives suf cient evidence to conclude H1�• Do not reject H0 gives insuf cient evidence to

conclude H16. Make a full written conclusion:

�• �“Based on the sample, there is {in}suf cient evidence at the x% signi cance level to conclude that�…�”

Conduct hypothesis test (either one- or two-tailed) given only a p-value Reject H0 if p-value Use the p-value from a one-tailed test to conduct a two-tailed test Reject H0 if p-value�•2 Use the p-value from a two-tailed test to conduct a one-tailed test Reject H0 if p-value÷2

donotreject

�–zcrit �–tcrit +zcrit +tcrit

rejec

t reject

for: <s s/ 10larger smaller2 2

for: s s/ 10larger smaller2 2

known

unknown

linear relationship

independent samples

paire

d sam

ples

two samples

two samples

proportion

mean

one s

ample

one s

ample

paired

data sets

one d

ata se

t

12 = 2

2

12 2

2

Page 32 Statistics Quick Reference

Figure 8 Hypothesis Testing Decision Tree

Step 1

Let = mean of0 = reference

H0: { | = | } 0H1: { > | | < } 0

Let 1 = mean ofLet 2 = mean of

if 0=0H0: 1 { | = | } 2H1: 1 { > | | < } 2

if 0 0H0: 1�– 2 { | = | } 0H1: 1�– 2 { > | | < } 0

( 0 = 1�– 2)

Let p = proportion ofp0 = reference p

H0: p { | = | } p0H1: p { > | | < } p0

Let p1 = proportion ofLet p2 = proportion of

H0: p1 { | = | } p2H1: p1 { > | | < } p2

Let b1 = slope ofH0: 1 { | = | } 0H1: 1 { > | | < } 0

Statistics Quick Reference Page 33

Test Statistic Rejection Region

µ=z x

n/obs0 Table 8

=t xs n/obs

0 Table 9=n 1

=t ds n/obsd d

0 Table 9=n 1d

=

�• +

t x x

sn n

( )1 1

obs

p

1 2 0

2

1 2

=�• + �•+

s n s n sn n

( 1) ( 1)2p

2 1 12

2 22

1 2

Table 9= +n n 21 2

=

+

t x xsn

sn

( )obs

1 2 0

12

1

22

2

Table 9

=+

+

s n s ns nn

s nn

( / / )( / )

1( / )

1

12

1 22

22

12

12

1

22

22

2

=�•

Z p pp q nˆ

/obs0

0 0Table 8

=

�• �• +

z p p

p qn n

ˆ ˆ

ˆ ˆ 1 1obs

c c

1 2

1 2

=++

p x xn n

ˆc

1 2

1 2 Table 8

=t bsobsb

1 1

1

for: = + �•y xˆ b b0 1

Table 9=n 2