Ftf,*oLi d.[yv

sz.a&

SANMPf,.{E DR. IRISZT EVAfitir&obi.to€ls(9. 6$ 10. ftjczer)

VARGA EDTI6id.olai adjunltus

O l, ftieret)

vETizNE KENYERFS ER TAn6iskolai ldiegcd(6., 7. €s E. fejezlt)

A gyakod6ftladarokar KoRPAs ATnLANE DR tlltotia 66s.

TARTALOM

6, MINTAVETEL

A miimrs kladvtDybaD valit rdszles€s vagy teljes felhasmiLl6s4 illetve ulinkozEs ahad6 eng€dely€ nekiil tilos!

O Korprs AttilAt€ dr., Siindome dr- KJisz Eva, Varga Edit, Veita6 KmyerEs Erila,Nernzeti Tankittr),i,had6 Rt-, Budrp€st, t997

Szert€szt6:KORPAS ATTILANE DR,

fiJiskolai da.ens

Szakrnai l€klor:DR. CSERNYiK LASZLO

eget€mi ladr, ldsz6kvez€t6,a matenatikatudomiry kaDdiddtusa

0_\cr-q s'

993rt"

8.1.Astadszt ikaihi lo lezisvizsgalaihdele. . . . . . . . . . . . . . . ___958.4. E$,rninlds statiszlikai probrk..............-.....-.........-... . '. '' .. . 86

8.4.1 A v6rhat6 ert6kkel kapcsolaios pr6brk. . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . ._. . . . . . . . . . . . . . . ._868.4.2.-^sokasnsisz6rrsravonn*orcpr6ba.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .918.4.3. A sokas6gi arinyszdmmal (val6szinijseggel) kapcsolaros pr6ba....... 93

8.5. K6tninri! steliszlilai pr6bdk... ...... ....... ....... ...... ...........958.5.1.Kelso\asegivarhatoen€kki i ldnbseg6nckv2s9a1a1a.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .958.5.2.K6lsok\esiartnlra(val6szini is6gre)vomlkoz6pr6ba.. . . . . . . . . . . . t0O8.5.3.K6lsokasxgisz6rAsegyezds6gerevonatkoz6slalisztikaipr6ba...... l02

8.6.EAyebhipotezisvizsgnlarok. . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l048.6.1 . I l leszked6svizsgAlat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1058.6.2.Fi iA8et lense9vizsgalal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - - . . . . - . . . . . . . .1098.6.3. Vananciamal iz is. . . . . . - - . - - . . . . . . . . . . . - . - - - - . . . . . . . . . . t t2

8.?. Gyakor l6felada(ok . . . . . . . . . . . . . . . .118

O. KiTVA] ] OZOS KORRILACIO- Es RLGRTssZIoszAMiTAs 124

9.1. KeNi l loz6s koneldcidszdmi6s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1259. l . i . A kovar iancia. . . . . . . . . . . - - . . . - . . . . . .?d9.1.2.A l inelr is korclScios egyi inhal6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1319.1.3.Arangkorehcidsegyn(ha16.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . - . - . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . l l?

9.2.K€tv6l toz6sregresszi6szemitrs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . - - - . - -1439.2.1. Az elm€let i regr.szi6. . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ._. ._. . . . . .14392.2.Atapasztalal i rc8reszt6. . . . . . - - - . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - - . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . .1459.2.3. A reSressziofijggv€ny param&erci.ek mcghaiirozisa......... . ......1509.2.4 A vAltozok fc lcser6lhet6s€ge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - - - . . . . . . .1659.2.5.Aru8almass6gjegyi l t that6. . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' - . . . - . . . . . . ' . . . . . . ' . . . . . . . 167

9.1. Staljsztikai kijvetkeztct6sek a ketwiltoz6s linEi.is regressn6 ahpjen.....--.. ....1709.3. l .Aresresszi6smodel l fe l tctc l rcndszerc. . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . - - . . . . . . . . . . . . . . . 1709.3.2. A regresszi6s bccsl€s poniosseganak m6.ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1719.3.3. A regressz'6iuggv€ny paramelereinck iDtcnallumbccsl6e ...... l7 69.3.4. Regresszi6s becsl6sck s pro9n62isok.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . - - . . . . . - - - - - . . . . . . .1779 3.5.A resrcsz'6tuggveny eredrdnyeinck hipot6zs cllendzee ........ 1809. l .6.Arezidual isv6l tozor izsql l ' .a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . .1869.3.7 Aparam€rerekrobuszlusbccsl6sc.- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

9.4. Neinl inedr is .egrcsszio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . - . - . . . . . . . . . . . . . - . . . l9 l9 5. Gyako.L6feladalok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - t98

I( ] IOBBVAI IO,/OSKORRI-IACIU [SRFCR}SSZIOS,/AMiIAS . . . . . 20]

l0.1.Al i le i r isresresszionigsl inyncghat i rozesa.. . - - . . . . . . . . .20310.1.1. A haromvalbzds linearis regrcsszi6fiiggveny ..- ........................ ... . ..2O4I 0. L2. A Ieskisebb nes'%tek n6dsz€re es tulajdoDsnssi --..............-...----.....2t5l 0. l .3. A reSresszi6fiiggv6ny paruitereiDck iDlerallmb@sl6e ..--...-.......2 1 8l 0. l .4. A resresszi6fiiggveny eredrnenyeiDek ellenijrz€.e .............................219t0.1.5. A variaDciaanalizis alkalmaziisa a t6bbvaltozos

rcaresszi6sztni$5ban....... 222

l0.2.Ti tbbvi l toz6skonelaci6szdnf ies. . . . . . . . . . . . . . . . _. . . . . . . . . . . . . .224| 0-2.1. P,trorkenri korrel6ci6s e8yiifiha16. . ........... .......22410.2.2. Parciels korr€laci6s cgyi i t that6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .228I0.2.1. Tdbbeorirs konehci6s 6s der€nnineci6s egynrhat6.. .......................23010.2.4. A mdnkol l iD€ar i td6 6s m6r6se.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231

l0.3.N6h6.ykiegeszi lesaregresszi6sz,rni ld lhoz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235l0. l . l .Min666gi ism6rvekkezl€sear€gesszi6smode ben.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23610.3.2. A t6nyezt jv i i l toz6k kivehsztAsa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 l i l

104 Gyakorl6f€ladalok.-.-- .. .. .....219

I LAz rDdsoRoK OSSZETEV6NEK vrzScALATA.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .242I l - l .AzidSsofok0ssz€tcv6i- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .__. . . . . . . . .243

_ 11.1.1. Addir iv 6s Nl t ip l ikar iv komporensek . . . . . . . . . . ._. . . . . . . . . . . . . . . . . ._. . . . . . . . . . .245I l .2. Trodsztmjr ts - . . . . . . . . . - . . . . . . . . ___.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .246

l l .2. l -Tr€ndjrz imi1dsno28oe11a9oHssa1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24j. I I -2-2.Aral i l ikustrendszimit6s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .251

l1.3.Asz€zoEhesvi2s9 ata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 ' /2| 1.3.1. Sz€zoni l 's e l t6resek szrmiesa.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27211.3.2. Szezonirdex€k sztni t i isa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

I l .4.El5r€jelzesazeredncny€kaIapjan.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27jI l .5.Gyakor l6f€fadatok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2BA

FUGGELEK.. . . . . - . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .285l. tiblizal. A stadtd non Itis eloszb$i valoszin(se8i valtozo

eloszlasf i iggvmymek Ubleza!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2862. ftbLtzdl A l'?-€loszlrs l6blizata ............ ........ ........2a83.bbLt2otAzF-e1osL\ iur th1ipat2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2904. dbld2or. AStudeDr-ftle t-eloelrs rebl62ata........... ........... .............. . ...................296

. . . . . . . . . . . . . .29,7

T6rglmutat6 294

6,MINTAVfTEL

III

6.1. AJrpfogdmrk, iel6l65ek

Tdf6nyvio& cls6 totdtb€tl a m€ef$/ell slatisztilsi sol('sdg eleln"is6re szol-g116 ttrl6nb6d !s*6zal|d, nui!66ztuoLtil islEtcdtibk trleg. A sol6s6got iernert-D.|( fel6td€zvej fig/€Imiintet csrk flr fordftotulq [o5/3r Ll€t sEntt 6sszedel€1,v5ltouto{t i6rv{dysz.rfiigrit m€gvizsgihi. N€n €r|iinr ki r6sdetes€n arq hory azrlrp.dalottoz i.lj€s k6if vrg/ sz&86 fth/6tdlcljtdolbDl. Uti5lag ad moDdhatjuk,bog/ .z €ddigi€L sorh n€efg,€lAlnnk a sa*&srC nind€o €lernire kiterjedl, teh.AttuArif,r

^ sor,s,bE dj6 ffi nqtaal,k'h [t^p,0tid*. Ebben ! k6tetben obnn

m6dszecttel irn€*€di* tD€g; Nnrd}Efhrz tu &[b€8ps a sok si8 tnind€ix eeyescl€o6.&D.gfiS/elele,mivel 6E s|,ha G i! k*en566ennk.

A drsrd.lni-8lzdrdisi s.rtilrtit{brn az@be az ldatoLboz vtr6 hozdjut&S,rkori fom*ja a szlAes rdatSrfij!*, nelync& €srik m&.ja a r€$€z€Dtdv rnegi-s,€l€s. R.pr€z€at dv ncgfiS/€us€ vagy mts n€v€o dnt v6tcles ma8fis/elA$€ vansz .36e pl. a lato6s{g clc&&trmaaxtvcl rrFsoltl6 ttdaset (i6v€dclcB, fosyaszt6-si szokiso& S-) D.gvilalzolft{hoa r tSnEel€ttDe|.s Eir&a8-cllafr.6si elj6r{saihozvlSf . r6zva,Lnaay*utrttoddo"- lly

'rodd bccsiljm d. a vfttro te'm& metrnyi-

s6eet a ner6g.zdn{g!fl v!S/ a tiwalrftoarsok tet'dk aysegemr €{€dndyeit is.@yaFnegf ftrd€seldrel n& a Vd66zidsagetultl6 c- t6rBbrn b fo8lil}oztur*.)

A r€prEcrt!.iv rD€gtrS|€lis, tu g,,lva t nbta'Ztel c6lja, bogy wlamelyiorrsfg €g/ r&vAr& nGgf$,El&c r6re r6yclk€r.rtas€*e. tudjuk levmd a soktsagegEszere, uD'kjellcbu6iE, 6cszei6tel&e vordloz6$-

,aa a sotutAEA atndry a "rndaetteJ

egixtaglwl hdw*etdri sze.d"6nlt tl,*B,ar,}, a2 atqsotusnE azon ree,ia aneb atapjdn a Lnw&eda:ebt tMjuk,Dlrbto|.rdgr.t rr',€rzril

A tovibbid'bm !z alrFotas6got t6ridE\ sol@nsna*. a mintasolcsngot pedig

',il/"iraL tuEit'kwrfai.

T€lddsft ,t cl6szor i solrs{s ncsrd&6.ti( n6djail 6s a legfontosab sokasrgijdl€oz6t€t A sofa{g d€os&. l€$.t v68ps i.g/ v6gtrt.d

L€S/@ X a sdGig ry isdarvc. Ha a so&rtdgh6l v6lcd€tsrsf€n kftineliink€6r €S'€d.r, €Dek i!dar!,&fke s v€l€d€dd mgg, €utr w.l6sirfirtei wrlou6, €zl a v€-l€tler6f frs86 isn€n {r€f(ct jcldljc { . Er,lc I cloczl6sftss,lenye (xl = \E < X).

J

V6g€3 sokastg esefm az cSyedcket. illetv€ a2ok km€^,6nckeit nagysnS szerinlsorba rerdezhetjiik. Az isn6rvenekek legyenek

x\< x1s x 1<,,_,< x t(/r' az csyedek sziina). Ekkor

./ "r a2 X -nilkrsebb rsm6nenehj egvedek viLma, r^ / _,___-

A

A I virhar6 ert6ke, vagy m,iskeppen a sokasng rsmerv6rtekenek v,irhar6 6n6ke v6gessokasrLg eseten mirt jsmereles az tdaSgal egyeDlij:

Mlt l= P x ' t x

' . t tx ' = x

{ sz6rrsnegyzele

^, , , . - ,_( . r . x l + lx, , ) ' , , (x.-x,

" . . , . ' . , \ ' .

V6glelen clemszrDf sokrsiig cselin k€t setei kiilonbitzl€lijok meg. Ha 6diszkrEt val6sziniis6gi viltoz6, ami azr jelenti, hosy u ismeN€n6kek v6scs vagymegszemlehat6o vegtele halmazt alkotnak, akkor a F eloszlrsfiiggvetry szinien egy

..repcsosrugBvcn) (ulx.x l \ i - t .2. . . ) i t rcn al lmbm , l land6). v i rharoenekc

M(1)= t =, P(t = x,)x, .

Ha 6 folytonos €s lelezik a sffriis6sfii8av€nye, akkor a v6rha6 inekc

M(11 p lx | (x)dy

(ha €z az jmpmprius inlegfttl is l6lezik).A szoris.€gyzelet a szokisos modon kapjuk:

D'(c)=" '=t \ IE M(E)l ' )= M((\- Mlc)

(A jobb oldalon szerepl6 verhar6 en6kekDek is Ietenink kell )A gyakorlatban a minlavetel eltahban veges sokasigbol tdrr6Dik_ Ugyan kkor a

nagy clernszdrnn sokasrgokal tekinthetjiik v6grclmek, igy a v6grelen elemstmn soka56ga kidoigozoll eszkaizitk jol haailhn6k ezen sokasegok eseren is.

Ezck utin t€kjntsiik et a minlaval kapcsolatos alapfogalmakar. ,4 minta €lem-sz^mr. tekintel ,Alhiil ana. hogt viges vagy yaBtelen sokasbgb'l sziltn@ik, nindigreges. ElemszAnAt ,-Def jelatljiik. Az esyes niataelenek valdszilit'tei i1t1oz6k, lrtikiik ninfircl ninfira vilrozh4t. Ezeket c€lszerii q,,{,.. ,6,,,nel jeldlni. A rninla ete-mci csak addig tekinlhetaik vrltoz6klal! mjA a mintavctcl neh rbnent meg. a mintael€meinek kiv6laedsa utin kontr& sznm6rt6kek leshek:

A mjndb6l knlonbozi' mintajell€trtz6k (fiias, sz6rts, an6ktjsszeS. arery stb.)szemfthat6k. Miudn a rninra elem€i val6sziniis6gi vt1oz6k, M ezekbil sznmiljrt min-taje enz6k is nl.tszinii:iqi vt oz[,k 16znek, ineknk mj &6] minlira vAltozhal atl6lRigg6en, ho8y mely sokasrgi elern€k kerilltek a mintnba. Ez a nintajellenE6krek na-!C/on foDlos tulajdonsiga.

A v6ges €l€rnszimt sokasegbol tdn6n5 minlav6tclDtl alapverai forlossegt, hogyrend€lk€zesre 6f1jon egy uD. nintrv6t€li ker€t, znet egyenken tunalnuzt a yi^

atilni kivA sok6dA eleneit, nAgpetiiA nindegikel. 6s nihdegikel uok eAyskr. EEyilyen leljes keret biztosilria sokszor nem kitmyii f€ladal, men varnak olyan sokasr-gok, melyekn€l u €lem€k szima €s dsszet&ele napr6l napra veliozik, s b6n ilycn 16is a messzii!6 6s u njomd l6fej0v6 egys€sek nyilvi an6sa, e sziiks6gszerfien kii-l6trbitzik a miDtaveieli keret itsszeallitdsakor l6tez6 sokastgt6l. (Ilyen neh€zseg lephetfel a minlav6t€li kerer itszeellithsanal, ha a sokastgol pl. MagyaroBzng nelessegevagy a Magyaro6zigon m,fikitd6 kisvrllalkozdsok stb. k6pezik.)

A minhvael tncz6sc, a minlavAeli eljerds megvelasztasa sonin k€t egymrsnakellentlnondo kitveleln6ny kcll fisyelmbe vennlnk. Az egyik kiivctcl,ndny a /onr,srds.a nt6ik m olcs6sAg. Miyel az egyik kiiverelneny el6terbe helyez6s€ a m6sik hdn€rbes2oolns6l jelmli, I6nyeges a mintavael terez€se sonin az e|ved c€lok es a lehets6Seseszk6zdk pontos megfogalmazesa, szimbavdtele. A?, hogy €zal kdvelellenyekeimemyire vesszrik figyelenbe a mintav6tel renc€se soren. bnyegesen bcfoly{rolja amintaclmek kivefdztisi eljaiiset. A kaiy€tk€zdkb€n a minr.elerl:,ek kivAhsztdsi nod-/Zt lekintjijk 61.

A minhelernek kivriasz6sa visszlt€v6ssel vagy visszlt€v6s D6lkiil tdrteDhel.vtgtelen (\agy y68elem.k rekinrell) etensrini sokaslisbdl aker visszatev€ssel, ak6rvisszlev6s n6lk0l valasnjlk ki a minta elemeil, uok mint val6szinfs6gi vrltoz6kminden es€lb€n liiggetlen€k l€saek egymist6l. ,/iaer rokarda eseten csak a vjsszalc,veses minlavelel eredmenycz fiis8ellen mintaelemekct- A minta€lemek ezen tulajdon,srB,tra a k6s6bbiek sonio m68 viss?atdriiDk. Az elnondonalat a 6/. fibldzatban fos,laltuk atssze.

l0

,4 s'kasnq ip6a, o ninta$tel n'jr.ljo 6 a nintaelenet kapcsolata

Az elmondottak alapjan kiilonbsegel tcziinl taasle, ninhvAteli eljinisok esnen J;iAgetleh nifiaviteli eljirAsok knzOft.

vi4c, roka\68 pvtia d m'nrd fonros icll(woJe a ' kivnbsTlisiarin'. z,p/l

ut htutaqa neg, hogl a sokisda elenei,ek hekkora haavada tuml a nti dbo. AdotlN melle( am61 nagyobb valoszirfsegg€l lehel a mintdbol a sok6tgra kdv€tkczlctni,nintl ragyobb a kivakztrsi &tny. Az ,-.ek, a niDta elemsTjrniinak tnnban na-gyobb jelent6sdge van a kiveldztrisi einlDiil, mert ez haiircz meg a mjnribbl val6kdvetkezt€tesnel h6zn6lhat6 m.Sdszerek€t-

A nintavetel soren €s a mintib6l tinert' k6ve&etet6sD6l meg kell kiilonbael-niink a kis es a Daef, miDtl fogahai. Emek jelenl6s€8€r u adia, hogy a m'nl6b6lszdinilo$ jelleE6k nasy reszenek (pl. nida. lag, minlabel' ar6.y) cloelasa naayminla esetd kdzelit6leg nom is eloszlrsfvd velik, em6lfogva kezelesiik egyszelijso-dik. (Ezen mestllatiltsn a kes6bbiek sonin meg vissza€rnnk-) Fclvctitdik a kerdcs,bogy mi lekinthct6 kis, iilotve Dagy minldnak. Az1 mosdhatjuk, hoSy

' > I 00 m6r ,rgl

miklithdk tekinther'. azaz egyes minlajcllenzaik €lovlasfijgavcDyci ezetr mintaclc'm-szam ftjldtt mfi kiiz€lil5leg Dormdlis eloszhsnvn valDak

A mintanagysdghoz szorosm kapcsolodik a mintav6tcli hiba fogalma. A minta-!6teli hiba abb6l ad6dik, hogy a solasrg egy rBrebijl kijvelkezleliink az eg€szreMeghatrrozasrinal m6dszerei marmaikailag kidolgozotl"k. NaAysnS!, illetvc amakval6szinrjsege a sokasegjellege, u alkalmuotl minlav6leli eljt.es es a tnular6falll'iamelleti alapvet6en a mintanagysnArol fii8A, hisze, a minlanaaysa8 ndvclscvcl a sokaseg ealre nagyobb reszel vibgaljuk meg, s igy egre ki$bb6 valik a minlavctclbiileted6 nagy hiba val6sl is6S€.

A mintaelemek kiwilasztitsa sonin elldvelbetiinl [n. Dem mintrv6teli hibil is.amely tdbb forAsbol ad6dhat: ritbbek tdzoll a sokdngol nom tdk6l€tes€D fedi lc ammtavEteli keret (pl. ilyen fordulhat ela', ha a me8figyclt sk66g a Magyarorstgonmrikdd6 kisvdllalkozr,sok), nem sik€rnl a negfigyelesekel a reR szerinr vtar€hajrani,wilaszmeSlagadas vagy egyeb okok miatt hiiDyoaa]( a.latok- Hiba ad6dhat abb6l is,hog) a kerdesekre kapon velaszok rcm egesz€n pontosak (tudatosm vaay 6lnibaidnkivtil t6vcs adalot szolgeltat a vilaszad6), vagy hibrkat kitv€thctnck el I kodolis, llb

Az ilyen tipusti hjbdk nagysegr! Dchez meghateroai. VizsgdlatukDak. felrdrti-suknak els6dle8esm e a c€lja, bogy a minhvetel tefrez6s6nek as vegrehattas6nakknlitflbitzii flizisibm hal sukat csokkenteni lehcssE!.

Egy minLibol csak akkor leher srtnithatu negbirhaktstts,j kijve&cr€teseker le-vomi a sokasngn voMtkoz6m,lB a minta elemcit ncm dnkenyesen, hmem v€letlen-szrriietr vnlaszljuk ki. A v6letlmszeflis6g Dem feh6deniil lelentj azt, hosy a sokasagnindeD egyes elern6Dek egyml6 es6lye van a minl6ba tdrt€nt' kertil6src, hanem csatazjcienti, hogy minden elenfi€z egy €ltir€ meghatirozoll ismen valoszinG€g tartozik.6s birosiljuk, hogy zel a val6sziniiseggel kcriiljitn be a mjDtrba az adon eleft. lo-vibb6 z\ bogy a minta€lmek kivilardesj eljirrs6nak eli're meghat6rczonnak es egy-6rtclniinck kcll lemie-

H^ a miJta elneir @letlensrertea y 6^j\k kl a soklsigb6l, \'€letlen (vagt,val6szinfis6gi) nintll kapunk. An6l liiggaien, hogy a mintaveFl sorrn bjztositjxk-e av6l€lldvenis6g€t vagy sen, kiilddbdz6 mintav6aeli elj irnsokr6l beszalhe1nnk.

6.2. V6letlen mitrtav6teli eljAr{sok

6.2.1. Fiiggetl€n, azonos eloszlisf mirta kivrlasztdsa

FnAgetlen, uonos eloszldsi mirrer akkor kapunk, hd hah.ga, ns #Eteteh(vagt nogo" nag)) sok6Agbdl raziink vilenen (vissratevlse\ vst risszdtert! nal-kiili) nia61. illetve aniko, tig.t sok6Aeb6L risszoteftstel yAhsztjuk t tl hintueleneit. Tehtit lisae .n dintit r6ziink. Ilyenkor a rninta elcmci 6 , t, , .. ., i,, fiiegetl€n (vagy fiiggerlemck lekinthel6), azoDos olovl6sf valosziniisagi villoz6k lesznekUgyatris az i edik miniaelem 6, ism6r€nekdre nyilv6nvaloan igaz, hogy

P({, . x)=41.x,( i r . . . . .n. x. R). r ( t l i r az cs}e' t r ,aderemer mrn, \dro, / r -

Diis6si vnltozok eloelasa a q isnerv6aek sokasegbeli eloszltsi\al zonosAlkalnutsa eh6sorban a titmcgtemeles min6seg-cllen6z€s6n€l celszcni. p€t,

drul azonos eloszl6s[, fiiggellen mintnhoz jutunk. ha az I kg os ]iszr tdhesj tiimegdnekell€n6u66hcz mituet veszilnk. Etkor a sokasrg vegtelemck rekinthet6, igy a mintaeleD€i miDden cserben tuss€denek lcsa€k.

A gyalorlatban azonban n€m tril syakan juiunk nisseden. azonos etosztasnninliboz, mivel a val6sigbm ri&6n n rcnd€lkez6siinke veglelen vagy vegteleDnctlekinttel6 sokasia, vaay v6ges sokasag eseten n€m mindc! esetben var lehet6s6s almlaelemel megria&iidsa urdn d \okae8ba roninb ris./dlercsrc (p eg1 ,dorL .igt6l vils6rolt Bmiabroncsok clhaanlod]isinak min6s€gi vlzsgrlalakor).

Emek ellener€ ez a mintav6teli eljrras kes6bbi vjzsgnlahirk soriin kiemell szcrcpet kap, nen mabmalikailag rendkiviil knmyd kezelhetai, cs czer a minralipusonkesztiil lehel a legkomyebben negnutatDi a sokasAgi 6s a minlajeltemz6k kapcsolarit.

l2 t l

IitFFiT

il

iIti

I

6.2,2, Egyszerd v6letlen mintavdtel

Egyszerii velerlen minravClelt hajhmk vegrc ronral4 fiaes elenszilni sokdAAeseth. onikor a niittit visszd?ris nAkiil vdl62tuk ki. eleneikant eg,enli' val6szinisiaael (E,t z esetet a val6szin{s6Ssznmirisban is vizsgakuk-)

A vesrehajttsaboz egy, a mintav€teli keret minden elemCt. de mindegyikd csakegyszer lartalmaz6 komplex ltsta sziiksages Ezen listib6l a minlaelemek kivnhsztisaldrl€nhel soreolrssd, lin. v€le1lme6m-1lbl&a(1a1, illetve szlnit6gePcs v6letlctMim-generelasal. A visszaleves nekiilisea kdveleheny€t a sorsolrsnel oly m6don bizlosi!haljuk, hogy a kihnzott €6dxltkal ncm tessziik vissza a? umeba, mi8 a vebilffsznm'rdblezatnnl, illetve a szdmil6g6pes v6letlenszdn-Scnerildsnrl

^z ismeleltd elttfordul6

sorszhmot Atugorjuk, 6s haladuri lovrbb a ttblrztban, illeive a sztmftogep nllal elij-dllitoti listiban.

A? cs)'/erl velerlen m'ntdverel sorin {

N ).f6h

l,i,ldnbozd dsaereld mmril

kaphatunk. Minden n elemii minia el6fordubsanak a val6szin'iseee uAyanakkora-Temdszelesen a mintav€lel vegrehajtnsa utdn cs.k egyetle.egy mintiDk lesz, s ebbijlkdvetkezretiirk a sokasae j cllern"6ire.

A gyakorlalba! a sokasigok ritkin homoE6Dek, ez€n u cgyszerfi v6lellen miD'lavclel liszta alkalm^zdsa sem fordul el6 Syakmn. de ugyana,ld(or kiindul6pon*enIszolsiil a bonyolulrabb elje sokho?.

6.2.3. Szisztematikus mintavetel

A gyakorlatban a vdlctlcD kivilaszri$ a sziszlematikus mintav€tellel lehel le8cgyszerijbben megval6silani. Az eljafts linyege o kdverl.ezA egy , elent miDtit kivi-nunk venni egy N clcmrj sokas6gb6l. Ehhez el6szirr a sokasigot valamely szemPonlszerinl sorba rendezziit lillaleban eleve adott egy soreDd , mald ncghadrozzuk a

a =l '" '?;mcnaker, atrot I I a szam eFes/ reszf,r lelenrr. Az el\6 I elem ldziil

ln

egyml6 valosziniis6ggel kivnlaszljuk a n0 kiindul6pontot, s autin sziszematikusan az

ere kiivelkez6 minden t-adik elem ker b€ a minlaba.A szisztematikus minlaverel vesrehajLtsa rendkiviil egyszeni,

'em is€nvel sak'

ismerelel, ellendrzese h konnyii. Ezen mintaveteli eljAris amnban csdk al*or eredDta'nye viletlen niniL ha a listakepz6 dn6tv a a tedtgelt isnin ka;ziilt nin.s eto'charrtihs Lapcsolat. Silyos loziust okozhal az is, ha a lista rejtett trendel lagy

Feriodicitdst tartaln^z.

Tekin$iik a kovelkez6 peld,tt. Valucly lijiskola hallgat6itak akikrdl rendel-kezesre rll egy dbe€ szerinti lisla 3 taDdijfi?et€sscl krpcsolatos v6lem€nvere va-

$unk kivencsiak. Ekkor a szisztmatikus minlarttel mgy val6sziniiseggel veletlcn

min6r fog eredrDdryezri, hiv€n MgyoD valoszio{. hosy a haltgar6 nev€nek kezddbc_liije 6s a landij freteserdl alkolon v6lern6nye kozajtt nincs szlochasztihrs kaDcsotat.Ebbm az escrbcb a yisnemalila\ *i!dldsna- egy</eru.ir, r -nuhar.

6.2.4. R6t€gzett mintrv6t€l

MiDden mintavelehel felmeriil z a kerd6s, hoSyaD lehet a miDtactehek kivilaszLisit ney v€grehajldi, hogy az meghalirozott mintanagysd:i meler hin€ljobbdrc.pr€ze 6lja a vizsgnhi kivrnl sokd6gor. C6lsz€iij rovdbba olya, becslesi eljd;esokaralkahazni, am€lyek Dinel kisebb hibevat be€siitik az ismererlen sokasrEi i; emz6t.A leggyaknbban allalma"ou ilyo elJ,ini6 e nn. rittgzeu minratatet.

A rAteAzeu nintavikl sorAt a eizseAh XntN eeapon|Ab hetetugan sokasd_sot lttbb hMogia (nhA kisebb szoftr| ftszsokBtigta tAteqeka) bonluk sr, ho&rd.soporlok kiadjdk a teljes sokosigot. tordbbA e8!/etteh takasdgi eten se tu ;zor iiltugr' tdbb csopottbo. r1z egs rateAekeh beliil a ninta eteneikek a kivjla!.Ula cars?e.t velc cn nhrawtellcl tb AaiA.

A releazen midavAel er€drnmyelenr eglr6szr jobb keresztmelszetet kalunk rvizsAtlt sokddg osslerelerbl. mrisreszr lJ egyes reregek nagyohb homogen,ra.; mh Iezeken belnli hsebb minlAkbol is megfel€I5 ponlossegu kdv€tkeztet€sl vonhatunt te.Ilyen n6don az erederileg h€1erog6. sokasrgra ugybakkora minla esetin pontosabbk6vetkezrclasl rDdDnk levomi relegzcrl minriib6l, mint ha egyszerti !6lelte! ;inla!6rctt

A r€regz6s nm csupin ponlossiigndvelai hatasa miatt eltericdt mj av€reli etir_ris. A rereg?en.krvdla52rri6r ma rs fetbadathaluk. hogy a eglc, -eregel "o\*agrJerreruorr megbtznato becslcst adtunk PI d eg)it kis!dosunkbd d hd/rdnd\o\ l.-vedelcmviszmyait szfthenk megvizsgrlni. Ehnez a veros hl'rardsait a gyenneks;malapj6n retp8et.be sorcl,nk. A minraverel v6grchajrasa ul,n lehet6s€g run cgy.e.r

"kisliosban lev6 hrranisok egy ftjr€ lut6 ji,vedclm€ner, masreszr ai egyes ietcgctrtehrl a gycmeklelen, az I Byernekcs, a 2 gyemckes stb. hitandsok _ cscl6. az c,rvrdre j ulo jdvedelemel a becslese'c.

Reteazn midaverelr alkatmz l6bbek kijzbl a Kijzponti Slatisztikai Hilaralnegyedevs rddszeress68gel az 50 vaSy kev€sebb fd! fosja1koz1a16 jparba es a kivilel€25 6pitttiparba soroh kissz€Nczel€k r€prezcnlaliv mesfigyetesere. (Az 50 {ijr Drcg_halad6 l€rsziimri szenezet€k ne8figy€l6se reljes kdrii6s fslyanaros.) A rdtesz6s sorinlaibb ermponlol is figyelenbc venek jogr szerndtyisfgLi-e a gazda,;gr rarsai"g. : 1ng.! /erneryrsegu rdadaSokon bctnt 2 l is s0 t6 \ i j ld r r ,g) 2t fo aL r tcr . /d.n.katea6n6ba tanozik,e; budapesti vagy videki sz€khelyii,e. i ervc azr, bogy mikor ata_

tIII

l5

I

kuh meg a tstdas;8i llhdsig L/eo s,mponlok 2laPldo a feldolgorcrPdbu 16 a I'F

vuetezo-CpiiOrparUm | 2 t dleger alakilonak I i I a \ %8ebr vegrehaidsaboz

A tovibbiak megeries6hez n6heny tjabb jelttlA bcveet6s€r€ vo eiikseg'

,r sotasag r€tegiinetc szinrr M-nel jelitljijl' u esves r6re8ekcn beliil a sokdAg

N,,.r{r,..., r ' 'r,,

Raegenle.t ,1, trr, ,r, elemii minLikat v€szn* es a minlikn ieu' hogv

+Ln,=4

Felveli'dik a ker.Es, bogv hoeyan osszuk €l a minla elemeit az eaves r6tegek krj-

zijrt;mintaelemekszetos^isabneiherohiavotelosztatsal'iller\e'enoran)oset

J, A? arin\os elosztis ltrvc8e hogv a mtnrdban a solaagi 'ereganinvoknal

mcStc-- i"L- ,;'r*"t,i ."e

" ;r;ra cle;snndr. rebir adon rtres aninva a ruLibb 6' a

sokdagban megegyez*, uu

l-l " ked!c/b rulatdonidPor a kdcdbbiszimrrd5okrdl logiu-k iclhadilfl

al.j* '""e -."a.*"i-ir

eklor a kbve*dij cbszetu88e'5el lapirhariuk meg

,/ A Dem arinyos eloszl4s sorrn a mindbm a rel€Sanirlvok nem egv@ek mcg a so-

kasagbcli ariDyokkal. TehAl

A kovelkez6kbco - a nem aninyos elosztbhoz tartoz6 n6hrny, a staijsztikaisyakorlalban lesliibbs,dr €l6fordD16 e)jerast nutatunk be.- E$?nletes elosztrs so.rin minden €gyes rategbe azonos szamri mintactem ke-

f l i . iAy ^

r . t l t | rcteg m'nraelems/ma n -n l ru. I tdnyds tutatdonsasd,'M

hogy €8yetri! semnilyen lervezcsi el6k6sziie$ nem ig6nyel, vegrebajtAsa k6-nyeLDes. llitrenya pcdig. hogy az egyes r61€gek nagysagrt, szdr,sit slb. nemveszi fiayelmb€ a sziiks6ses mintaeleNdm neghadrozisnhoz. igy nagyfokntozit,ist okozbal.A NeyBrFf6le oplimtlii elosztes v€gr€hajLisehoz sziikseges. hogy el6rc is-merjiik (vagy l€galibb hozivct6legesen becsiilni tudjuk) a sokasig rdtesentmtisz6nlsait. Ekkor riigzilett minra€l€mszim mellet kedvezi'bb lulajdonsa8n mintalkapunk, ha Dagyobb sz6rasl .6tegbijl ardeylag lagyobb. kisebb szonisnb6t pe-dig kisebb rniDtit vesziiDk. E^ M e\eftsr a rendszeres id6kijzdnl6nt megis-m€1l6dit megfigyel6seloil alkalnazzik. lgy a mege16z6 idaiszak crcdsrOnyejfclhatudlhal6k a" €gyes r6teAck mintaelemszdmanak meghaterozisrhoz.A./:e./,t r6rcS mintaelmsznba az alabbi itsszetugges alapj do hararo2hat6 mca:

,vd

Lu,.,

ahol Nr: ai-€dikreres el€nszema a soksnaban.

d a iedik 'irc8,zoi;d

a soka,igba...

6.2.5. Csoportos mintav6tel

Az (€yszcrii v€letlen. a sziszrematikus 6s a r6legzen m'niav€tel soriD fetreielez-h)k, hogy rendelkcz€siinkre aU e$/ olyan lisra a mintavclcli keret , amety a sokasdSitsszes el€mdt lanalm3z. s ebbijl vrlasztjuk ki a miDtat. A gyakortari feladrtok egyr€eft61 azonbaD ilyen lista netn ell rcndclkezesre. bir elk6szithct6 volna, de et6Allitjsakttlls€ges 6s munkaig6nyes 16ne. Mrs esctckben rendelkez6src ugyan a tisra, de haabb6l vilasztanrnl ki kitzverl€niil a minraelemekel, a felvctel v€grehajtrsa rcDdkivnlkdllseges l€me. Ezen feladaroknel c6le€rii a sokasag elemeit nen kOzvctle.nt kivd-ldzlani. hanen ez€k tem€szeres vagy mesterseges csoportjait negfigyelni.

,4 csoportos mintrv6lel rohin u haaogAn sokasdA eleneinek (teMiszekjs wgfneslersAges) csopo4ai ktiz egszern ftlelea nikht vsztnk, najd a kiyat4sztott.soportoko, belnl niadea eg,$ egleAet neglipehhk.

: t l . t ' - . . .- ' ' - ' l : ' l7

II

. '=, .n

IIIIIt

IItII

I

ri

L A n6dszcr r€szleles lchtsa Dt Telegdi Laszl6:

zcnrativ megngycl€se (Sialiszlikai Szemlc l99lAz ipa.i s epit6ipari kissze^e.lctnercid) c lsnulndnyi,ban olYAhlt6

I

A csoporlos minlav6rel €seteD n kolts6glakarekossrigot tanjuk els6dleges sam'ponhak, mig a megfigyel€s hegbizhableaa nemibg helt6rbe szorul. Bizonyos esetek'ben a csoponos minlav€tel scgitseg€vel, ugyDuot kdlts€gkdet meller l6nyegesennagyobb nintahoz julhatu*, mint egyszeni valetlm minlavetellel.

Nezn* n6hany t€lddt a csoponos m' avAel alkalmarstuaEgy adoh €lben vizsailni kiranjuk a szakkdz€piskohbm v6gzetlek tovrbbtanu'

ldset, illetve munkaba illasdt z €rc1ts6gi ulen 3 honappal. Ha egysz€rfi v€lellen miuta'!€relt hajtanlnk v6ge, atkor u orszigbaf, lalilbalo valmemya szkkijapiskola v6g'zajs €lfolyam6nak lanul6ir6l ieljcs kail1j lislal ket16e 6seeilli1mi. A minlrl ebb6l alislab6l kellcnc kivilaszlani. Egy ilyen lisla osszedllidsa redkivd neh€zkes €s koll-se'ges lemc. Tov6bbi jelent6s kiilbegel jelenien€, hogy u ic), kivalA^on diakok r€rule'tileg is reldkjviil s26lsz6rtan helyezkednek el, i8y z infomnciok bogyijjt€s is hoe'szadalnas lenne. Ha eonbD csoponos mintar€telt v€gznnk, akkor n kitrepiskolii&rendelkezesr€ d1l6 orszigos lisdjab6l egysz.rfi v6lellen minlav€lellel kivnlaszlhatunkn€hany tdz€piskolAt. Ilyenkor a kivdlas?on iskola v6gzais evfolymnnak valarnemyiballgatoja bclekeriil a ninlriba. s a f€lv61el sorrn mindmn}!*al mea kell k€rdeaiDbben az eselbcn a csoponok ernlcii toncenlralisnga miatt a csoPortos mintavebl ol'csobb, minl az egysztrii veletlen mintav6lel.

Az cgyik nagy oBzrisos politikai prrl lalamely ddnt6s me8boz(ala ela,n kivrn-csi a lagseg velemdnyele. Ekkor cAyszeriibb €s olcs6bb a helyi prtulszeN€zelck kiiznlDChrinyal egyszeni vebden mi.tav6tellel hlalaszlmi, s ezk!61minden PirttaSol mcekirdczni. hinl e8y reszlel€s cimlistat osszeillitani a pdn taasiAir6l. Csak a*lor c6lszcni a csoponos minlav6lel alkalmazisa, ba a helyi szNezeleken beliil a p6n |2gjainak!6lemenye nem azonos a vizsgalt l€rdtsrail. Ellenkez6 eselben a csoPonos minlavat€llotz erednen]re vezelhel.

A fent peldekb6l is kitinik, ho8y a csoponos rniniavelel sordn k6dele cgys68kiilijniil e]: elsfdleges mintalttcli egys6g, amelyre a feNael kitaetleniil irdnlal(jslolrk, belyi szeNeriek), y€gs6 mirtavdteli egysdg! melyre vo@*ozoan kdvclkerereseket akarurk levonni ! kapon ninrtb6l (lanu!6k, pjftaSok).

6.2.6. Tiibbl6pcs6s mintav6tel

,4 ritbbfapcs6s mtat^\ttelt hosonlo *etekhed d|*aln@uk, nint a csoportotminta't|lt Melyet egyl€pcs6sDok is szokt"k neveht , @zal a liiliiabsAaAel. hog,tijbbsziir isnateljiik heg eginds tttln E egszerii letleh nintd#teh, khAt a 4i4taelenek kifilaszisa tdbb foktzatban, tbbb lipcs6ben lthtnik.

A mintavatcl vasrehajtisa sornt el6szor kivahztul az els6dleges miotavetelicgysiSckct. Aftol fijggajen, hogy hinyszor ism€leljiik m€g egym6s uen z egyszcriiv6letlen kiailasztisl, k6t , b6ron- vagy l0bblepcs6s mintav6lelr6l b62e1hetiink. Ha zelsttdleges minrav6tcli cgys6gckcn bel roglon a negfigyelni kiv6nl eimeket Ya-

l8

laeljuk ki (egy%rii vel€llen mintavelellel), alkor kdtl6pcs5s a mttlavtlct. ltr rv (ls6dleSes minlav€teli egys€gek€n belil el6szijr irjabb nagyobb csoporlokrt vritrsllLnrtki, mald u iay k6pz€n csoponokb6l valasztluk ki a mintaclcmckct. akkor I Inrnrrv!r(.1hdrom- (va8y ritbb-) l€pcs5s lesz.

A tobbl6pcsais nintav6lel elbnye a csoponos kivdlas?dssrl szctrrbcl, hoar trlmogdn els6dleges mintavaleli e8ys€gek honogenitisa eseltn a relics !i'rii llrcstiryclishelyed mintira ijmszkodik, s e?eld csiikkcn a litldsleges adatlilvctcl.k sztirnn. s irtugyanakkora elemeimt minta eset6n kisebb a minlavAeli hiba val6s/iliistrc. nlrn Icsoponos miDtav€teln6l.

El6zi'p6lde*at folytatva, ba a helyi szcrczetekben nem kardcznck rnc'r mindcDdnragot. h inem cSyvcr i j rd ler len mrnra\erc ' le l I vala. / rcndt ni fdn\d. . ( ;k c/ \ k-nek t€szik f€l a m€gfelcl6 k€rdeseket, akkor k€rl6pcs6s mintav6reli eljirisl hajtanakv6ge. Ebb€n az esetben u elsi' lepcsij a holyi szeNezerek (cls6dleges minraletcli e8y,s€gek) kivrlaszttsa, a misodik l6pcs6 pcdis a negkerdezesre kenilaj rasok (v6as6minraveteli egyseseD kivehzdsa

6.2.7. Kombin6lt eljd16sok

A iombinelt eljitursok syakona egy l6p6sbcn alkalmaznak t6bb. eddig nesisn€n miDtaveteli modeen. Ily nodon 6rvdzhet6 peldeul a .€tegzds pontossegnOvel6ela'trye a csoponos vagy rObbl6pcs5s mjntavetet kailbegmcgtakaritesrval. A KSH pt. azegys6ses la](osesi adatfelv€leli r€Ddszcrben (ELAR) csyszere alkalmaz reregzest 6s

A kombinilt €ljnntsok knlon csoponjit k€pezik a ism6tl6dii felvdrelek, itletveprmlfelv€telek. Ez€n f€lvarelek alkalmzAsara akkor van sziikseg, ha ! vizssdlr soka-sea eqk€zet6t va$/ az eayes egy€dek jcllemt'jnek lddbehi vdtlozisAt aka\* \izs,Snhi-

A2 isnatladd felftlelek eseten neh sznk:eges, hog! a hintuhan sz.tqtaj t!:t\ttrk@onosak leAre4ek- E tu6dszer leglibb ercnye, hogy egy-cgy rd6pontban I vrzsgltlsokasig kcreszhelszel6r5l meSbizhat6 kepct ad. Az ismatl6d6 lclvnlctek rltrliit)i,,igy tain€mek (p€Heul a l€glitbb oBzrgban a nunl(aer6-felvatctck), hoSl a Inrn .lcmei n6hAny csymes xtrn kajve&cz6 meekerdez6skor azonosak, nrajd ct6in rcn(t s/crj,jl

L paneUelyttelelvil L m;nt^ eleme;ack a lehetdt;pek ker.t.i katzijl azoh.:uktd Lkll lcnnink, s cziital alkalMsal d egye\ (gycdet tetl;wornct rdobe, rr/.jrJhr.,r-A paneltel\c1el eliinye. bog) szdmo5 €rsaddlnr Jcten\egre !oD.l1o/o In ponluidhh ,.,.fomici6kat ad, minr a szerkez€t vilroznsokb6l tevonharo kiivelkezterasck. Ezeket azclainydkel mrr az 1940s evekben fclismed€k. 6s rijrck€diek a Danelfclveielek alkalmzisara A/ eljarrs hdtranva. ho8y a mrnraba kerdlrcsyedek ny;mun kn!ere.e nef(/6 a vebsz megtagad,isa rniad rozitris gyorsan ndvekszik. Ilyen paneltelv€telnek re-kinlhelS p6ldrul a KSH hiztanes starisztikija. amelyben ELAR minrara liDaszkodvanyemek kettvcoled itsszehaonlit6 adalokat a lakossilg jovedchere €s fogyasd1siszoknsaira voDatkoz6an.

II

FIilI

l9

IA gyakorlalban sokszor cl6fotdrl a k\es kirt.f.hllel is a ninmretel bsszekap'

.rohs4 Pl. Masyarorszagon jelenlcs 34 eveDle tarlanak reljes kijni allalszdmlrlnsr.amikor a kisgddasrtsok leljes dllatAllomdDydl ijsszejrldk Ezen iDfonnic'o kieedszne-sck€Dl negyed6lenle reprezcntali! felveblr v€geznek egyes fonrotabb illllfajtik illo-mriny,nak bccslese 6rdekdbcn. A teljes kdri fclvilclck kbzdlti id6szalban a reprezen-rariv felv€relb5l €s a megcl6z6 leljes kb.ii tbhelclb6l kdrelkezrebek a sokasrgdllapot,ra. a tctes dlladllomtnlra. Ez fg-! tdfienik, hoSY k'lilaszljdk a sokasrenak areprezenlativ fclv€lel sordL! a minldba kernll cgyedeir rnajd czcknel a leljes koni es areprezentativ megfigy€16s sor6n nyen e.edmen!'eker oss,ehasonliljrik. A laPaszaltvrlrozAsokar a sokasdSra malentatikai modszetek segnseS€lel dl€lrnosiljik

6,3. Nem v6tetlen mintav6teli eli irdsok

A/ cdligrcl sorln iill.trxcttiik a v€letlcncD alapulo nrjn',r\ileli elin!dsokalvrnl,rk r^lrbrn olyh mrrr.vilcli elinr6sok, amellekre a vl.||an kirilarl']en rl/,?,.,r. ifr Ur,, cliiri{rkkal lelrejd!6 minlrl ned lekinlhcrcjk rclcllcn a\ ag\ \alisTi-iLis(r, ,,,tr,ritnil. A/ cddi8 nmenctcn minn!6lc1i clirrisoknal szimlalan hilrdn)osruhrd,r,siisi lan laTck kdzill. lcgle.yegesebb, hogv niDcs biTrosjNa, a minta a sokasiirrr \rkibrn icllcm/ij l.gycn, igy f€lreve2et6 tdrelkezlelesek fordsa leher. ToribbiIr.,,, vfl(rlen Drinrrk rsclen rcm lchetsdges a nint6b6l szimitotl j ellemz6k hibijan.Ir ,,rcFlririi,.7ii\r. rchir n.m rudjuk a bizonyalansrS, a re\ed€s \:irl'rro hibAjtr becsiil,r l:tn,ck.llcn[rc a ncm \'alcllen minlav6lcli e]jiresokat szelcs kdrben alkalmtrrk.inivel !.rrchltrd$rk c8yszcrijbb €s esetcd(6nt l€nyegesen olcsobb.

'ninr , koteklnl

,nesr.rvcTcx [s laerchaitou lelellu miDlav€rel. F6leg igcnylele! felvalclcltcl (e]-.o6.ld!ir-\galaloknrl) has?.rljiik, korl6tozotr killetkeztetasi lchelt'sdgekkel

A szisztemrlikus kiv6lasztisr6l a veleden mintaaileli elidrrsok kdzdll nrircscrlszo. Ltiuuk, ha a lisratapz6 isne^'es a megfigyell isn€^ kaziirt nincs szro.hasTriklskapcsolal. akkor ez az cljtirds v€lellen lninlil eredm€nyez. Elletlez6 eserben a kapotrninlaelemek nem lcsaek liigg€rlenck cC-uin61, igy a kdveikczlelasck lelondsa sordrfigyelembe kell vemi a miDlaelemek fijggaisaSdbijl adodd mzildsr n. Id6beni megl]-gyelesekn€l a p€riodicitrs vesz€lye ft1att alkalmaTrsa nem c€ls2enj.

Eldg8€ €herjcdl minta!€telieljdnis a ky6ta szerinti kilnlasdns. Enlcli latlcgc.hogy a felrateii lagzij szenelyek (k6rdczijbjzlosok) el6re meekapjdk. hoey nil)e!ijsszer€rclii minliboz lelljunrk, dc az cl6re adon keretckcn bcliil r{uk \an bizra rvelerlenszcrn kndlr€s. A kvola szerinti kivdlaszris le8tag,lobb hil n)4, hogr" a kalonninra a tardcz6biztosok szinpdl'dja, illclve jfl.ik€pess68c szcyirl ill itssze Ez a narisztikailag ncm szinszenisilhet6 szubjcklililrs ielenl6s minckben befolr_rsolja x ka

Az 6DkonninyTali rdlaszlisok \rrha16 eredman)al minlaldreles eljnrdssal ti_ldiAk neghalirozni Kvola szcrinlililrlas2lris csctan a k€rdez6bizros !g,r kapja trega fcladatil, hogy kerdez.t

'ncg az adotr lilaszldkdzclben dl l6 es -'r0 ar' rjz ll is 40

20

er kdzdlli farfit. hirom lli is l0 kd7ou, n6l nb hzeleD a hnldrokon bclril sajar mas!lelasrtja ki a ncgkerdezeu szemalleket. elvbcn \alcdcnszeni.n. gyakorlatban azoDbansabjcktiven, otleNzerijen Annak ellendre, hogy a idrdczcjbizlos koreklnljrr el. el6fordulhat. ha kora d€lurini 6rtban !€gzr a felnirast, hogy a f0lvcfi nintiibar nagyobblesz pl a munkanelkulrek arinya, minl a sokrsrgban Tovdbba gyakoi, hog) rkirdczaibizlos sajrit ismeretseei kijribt'l ielcksrik ,.valcllcn Dnxil b,ztosihni. cz \iszont bizon,yos szcmpontb6l homogan csopofiok mcgfigyel€s6l lelenri

Az bnk6n)es kivilasztris sordn a fcherell lagzi' szemely szakmai ismcrcrctrclenaszkodva a velclleDt Ugyclmcn kiviil haglaa vdlaszrja ki a sotrsrsr! jcllclnzd(vag), lcgalibbis Altala jcllemzijnck t!fion) Dint,it. Sok6les talasztalalok murittik.hogv az ilye! kivahsztrison ahpulo megfieyclas soks2or cr.isen lol7irotl eredmaDyt !dMce kcll emliieniinl, hogy az ijnkdnyes kivilas2lis a miita!€tel ldrr€neln,ileg clsdkcDralkalnaTott n6dszere voh, nAia a?onban eldgga visszaszonh. Az ul6bbi id6ben elteriedr a2

'in. .Jt parl elj6rds, amelyel elsrisorban a vilasztrisi crcdlnarlek el.jreielTt,

sere aikalmaznak. A modszcr lan,ye8e. hogy a srava"6hellisagbll krjino lilaszklrdcgkcrdczik arol. hogy kirc !dt! a voksdl. s az igy kaporl minla al.rpjrn klvctkcTrclnek a vdlasadsi ercdmarvckc.

tI

It

tI

IIIIII

6.4, A mintajellemz6k fontosabb tulajdons{gai

H! a rn,nla eleneir lalerlen mintayabli clrarassal \ilaszlnk ki. rkkor a nrirrtielebek sfti^€n€kei (: . .t, ) is a mintljcllcrnz6k val.is:tt'lri !t!ro/ok lcsznck

A kdve&e2ijkben c mhtajellemzdk knziil a minta ,tlag,iral lbglalko/urk ras/ler.sco Kiszdmildsa a

tI

orszeltssissei tdn;nik, ahol i : az t cdik minmelen ,snd^anake Eey konkrat nu

ra\crelnal .ha; =r. ( : =rr . a, ,=r, , ldodik. .k lor a l r in l . i r lag

A mlnrlitlag tulajdonsrgail ./iigge en, atanas elaszlnsli ,r,rd es.r€n nlrrartukbe. mivcl czcn mnrta\aleli mod keTel€se matcmarikailag cg_lsz.rijbb Nehinj e\ctbcngyakorlati jclcntosiee m;at knernnk az eevszcnj rilcilc! mlntavir.l cs.rare is

Tckinrsiik cl6szor a Di,/a.lenek elas2listu. A lnsgttu. u.ano\ .tt)t:li\, D,11uA.ri, a hinta elemcin.k closzliisa megegyezik a sokas,g closzldsilal A hir(aelenrek

2l

ve.rbat6 €n6ke es sz6resa penig a sokasiic 4 virhat6 6nekevel e d sD*sivd fog

megegieai. Hiszen

M (c,) = M(€,) = ... = M(8") = M(El = y

og,) = n(a|) = ...= \E,)= o(e) = o .

F€ladatunl azonban a mint&itlag vizsgalata- A miDladtlaaot mitrt val6szin{segi veltem1 vdrhat6 6d6kevel, sz6rnsrval €s eloszl6sival jellemezhetjiik.

Vizsgeljuk meg el6szur a nintaitlag 'liint

val6sziinsegi !alr.'26 vArhoto artikit-Val6sziDis6gszrmilesb6l isDqetes, hogy

M(8, + 1, +...+ e,) = M(E,)+ M(<,1+... + M(E")= n y.

Igy a minta ethgrnak virhat6 €neke:

u(e'+ i*t")=a1;'1=u'v^Eyis ne4eg)ezik a sokas,ngru ntutLozi virh4&6 Arlakkel-

A nirteitlaA sz6nittigzete a mirtaelen€k fiiggellensege miatt

D'(c,+t ,+. . .+1")= D1(E,\+ o ' (a,)+. .+ o ' (e")=" " ' .

igy a nintaethg szordsnegzete

p'1;1= p,(!"..:J") - " ' " '\ , t ' , ,

= " '

uu a minraall^E sfirid^

4i) " t . ' ,

1'

A miDta.itlag sz6dser, a di -or a mintiitlag sbrdrrd hibij,in.k Dev@ijk.

A studard hiba mesmuralja"hory nekkora a aintaAbAok sokatdgi vt,hab Adiht'lyal6 dtlasx (nesEet6) ehA.6ine* r4rhoto Atuke. Nagtsif. a sokas{ai e6ri5t6l(o ) es a ninlanagyseglol (,) fiigg- EgF4rfibb€tr fogaltnazva a skndard hiba arra advel6zt, hogy egyetie. mintav€tel esetd mckkora hibet kitvetiirk el ,jtlagosan'. Mivela hiba elkitvet6s€nek ,9ka" naga a reprerenlaliv mintavelel, szoldsos €zt a hib,il arcpreentatir negtgleles hihtjnnak is rc\e^i.

Ha a rnintaelenek kivilaztis^ egsefi ftlelleh nintaverdlel titrteni, akkor amiDta.iilag stbded hib,tjaiak mesha!tuozisa (bizonyitis D6lhil) a kove&ezd itsszefiiggessel t6nmrk:

22

o,= F 1l t"r r r rV

-;abola rl|-j -r korrckci6s l6try€zdnek vasv tiqe\szoponak ncvc/zulI rrr'

A fenli dsszefiiss€sb€n a korekci6s t€nyez6 atlalmudsa cgyszerij vclcltcnminlav6leln6l abhSl kttv€*€zik, hosy ezer eljtrits eseten a minraelemek ,2,,? iitsscrtc_nek, €s ezen a $dtlard hiba lev€zeresekor a minraelemek kdziini kaDcsolar;ros,segml djekoaal6 kovanancidr is fiSyelembe kett venni A/ dsszefuggesbbt Jot trfiaro.hogy egyszerfi v6lellen mintav€iel es€t6n a minlanthg sz6rrsa jetent6s m6rt6kbenfiigghel a kivilasrisi araolr6l.

A *otekci6 ftnt€26 irta*.o €s I kaizijh lebet Alacsony (pl. l% alafli) kivthstiesi niny esetan €neke koz€l €sik l -bu, ezen elhaSydsa lenycgsen nem befolyrsoljaa tapon d€dm€nyl. Ha viszoiylag Mgas a kivnhsrt i areny (5 6s t tr/o kijzijtti vagy eDrel Mgret'b), akkor a koEekci66 t€nys6 dkalmaziisira fettdttoijl sziikeg vm_

KoDk6t minravdl€fD6l (4=rt ,e,=x, . . . ,1,= ' , ) a srardard hjbr l d;-8alfogjuk j€litlni, €s a

Gosszeliiggesst balrirozuk m€9.

V€g[f viASeluk rneg a rirtaitlaA elosztdtrtt.Fnaaetlen, ozo,os elosLLnt minra 6eren a mi anilag (, ) elosztdsrrcl a kirvetkez6kmondhat6k (a bizonyirtsokai nem r6sztelezzijk, de felhivjuk a fi8yelm€t ara, hosy a I

^ E,, e,, .... e" val6sztufise8i veloz6k itsszegdDek konslansszorosa):

l- Normelis eloszhsu sokasiia eseten a minrardag js nomdljs etoszldst. fiisscrtcniit aninta nagysisnt6l. (Nomrlis eloszhsn val6sziDiis6si vdlroz6k dsszcgc i;nonndliseloczlds'i.)

2- Ha a sokaeS ebczlisa nm ismen, de nagy minril vesziink, atkof a minlarrta! kijzc,li('leg nomiLlB dodtq tw. a cmtnits harliletoszld-rerel tdterkemfnycki;l

3. Ha a sokaseg chzl6sa n€m im€rr 6s kjs minrrt vesznnk. akkor a mjnBriltag closz-l6sa frgg a sokdeg ebszlesir6l, ezen ,ltal nosan semir sem tudunk mond;i.

A miDl.g.illag egy-egy minlaveleln6l m€gval6sul6 konlr6r 6nekeinek eloszbsdl isszml€llelhetjlk. Ere vonrkoz6an n6ziik a kaive&ez6 D€]ddt.

Mdefurika ri4m8adtsaknalc val6szlnijs€gszimirits. (szerk: dr. Csemyrit LiszlO.) Nm-zeri Ta onyvliado, Budap€sr, t990. 187. oldal. (A rov6bbt tr;,utr""isomar, vurOszinr"eg_

"r ;

23

IIA2 199.1-bcn IncSv[hs/rr)tr .]7t (tri/rissyil|a$ kfn!isctit

oszlesa a kdvetkczij har{)Frrnnnil \/c 'l{lkllrltt'

(/, / ,i/,ro) A 100 eleniidintdt dtlagoi

A kapon min|a fagokar oszriiLlyk6zbs rclaliv Ayakonsegi sotba rcndenrk ( 4. fthlizar)

6 4 fibldzdt| 00 eledii hindl nihladtloEaihal neEos.,]st

Clctkor szerinli ncg'

85 9o6t"*- (eo

tI

tI

l0

2A 25 30 35 40 45 50 55 60 65 ?0

6 I dbrd

IIA kl?viel'k tktkor serinu ncSaszldsnnak hisztoArohja

A minta.i as eloszlisinak li^g:ilar.thoz a l7l elemi sokaesb6l eltjsziir 30, majd t00elemtj mintikal vehiiDk szenir6g€pes leledenszdm-genereljs seAiEegevel, visarewrseligy t'iiggalen, eahos eloszltu, u rrrdro: jurottunk. A ninhv&elt mindker ese1b6 I0Oszor isn6teltiik meg, majd nmden egyes mirrim vonatkozda kieimibtruk a mutaftla-go1. A 30 elcmii rnintik minberhgainal negoszlAsa a kii\etkez1 \otr (6 2 6btAat):

6 2. bbh2atlA ebnii nin6& nhhdnaAoinak neqos2bso

A ninraddagok negoszlesa(%)

46,1046,1t 41,2041,21 4a)048,11 49,4049,41 50,5050.51 51.60

25

21

I

100

iiL

41.9145,0r46.1r

48,t149,4150,515l ,6152.11

43,9045,00

41,21)48,10

50,505r,6052,10

- 53.80

5t lI52225t52

t00

A mintandagok meBoszldsa't hiszogramal szeml€helherjnk @ 2. .s 6.3 ibtu)IIIIIII

Ezl kitveliien a 100 elemri minttrkat vnlasztothrk ki a l0 ele,rii minlekhoz hasonl6 m6-don. A krszAmitoll miDradd atloka a 6.3 . toblitzd tunatm%a:

r Az alapadatokat ncm tdz6ljiik.

24

4?,08 48,64 48,38 46.54 44,64 41.74 46,29 47.52 48,46 48,0249,5t 4t,18 46,94 49,34 46,25 47,48 18,21 47,71 46,78 46.0351,25 41.11 41,55 47,51 41,2t 41,18 41,82 46,13 48,58 4t .124A,99 46;14 46.62 47,E1 46,10 44.04 4?,ll 45,68 46.13 4?,3949,45 48,1t 46,08 4?,16 41,14 48.52 49,41 47,46 4N,33 4?,6549.t4 41,05 48,t3 47,14 50,t7 47,54 48,0? 48,45 4?,98 48,3?46.09 47,A1 46,01 41,69 4?,79 50,1I 4?,89 48,68 46,99 47,8041,97 46,44 41,92 41,48 46,17 41,91 41,15 47,32 46,10 46,1148,21 49,10 46,t1 41.',t7 48,14 41,t6 49.45 46,86 48,96 48,49

49 44.44 46.66 50.24 48.05 44.64 41.22 ,18.1? 46.08 46.94

Minh6' la8(d\)

A ntnhntbgol n"Aaih,nh.t h^lngonjd lnt).ll la \niarr-dlttJi.

itrIIiIIIIt,lril

IilIilI

Mirlalrlsg (av)

6 3. dbraA ntntadnaEok nesovbsd.ol hisztosradja 100 db 100 el.nn ninta aladdn

A grafihs trbrrl<ar dsszetasonlitva ar bthaljuk, hogy a lapajzralati eloszljs 100elen)ii ninlak esel6n jobbd kttzeliti a ronilis eloszlnsl. mint lO elmii minrAt €se€t(A minladllas eloszhsdra lett 2- mesillapidsulk is ezt mondja ki.) A retaiiv syakor!sdgi sorokb6l 6s a hiszlogramokb6l az is kitiitrik, hogy a minra,itlaAok kisebb imflal-Iumban szorcdnak 100 elemii miDlik esercD, mint 30 elemfieknel. Ez egybs azt isle,lcnli, hogy a 1 00 elmi minrik eseien kisebb a sland{d hjba.

A peldanlban min.tl6t esetben meghadrozhatjuk a mintaelmek fiiAadlcns6-g€nek fclt€re1ez6s6vcl a miDhnllag stdddd bibejft. (A sokasnei sz6rAs 9,84 6v.)

al 30 elcmii nirtik eseren: ",

=; = H

= 185 6'.

,./ 100 elemi minrdk eser6n, o, = |= p =ij,e35 .r- J, Jlo0S mi.l virtuk. 100 elemii mintit eset6n valdban kisebb a mintarllagok sokasigi irlagtol ve( ritlalos n6glzct6 elter€s€nek varhar6 en6ke, mint 30 elemii minrik esd6n.

A minrarllagok 61la8rr is kie6mithtjxk:

a.) l0 elcmri mintik esets: i = 47,9 6!,

,l I 00 elernn nintek esel€r : t = 47 ,779 e\ .

Tenn6szer€sen egyk esetben scm kaphaiut eredminyijl a sokasiisi nrlasor (ani47,176 t\),]men a 100 kiserlel l6nyegesen kisebb. nirr a2 i'ssrs lehe$6ges minla

-e-.. ."rv lij,1l . a.

"-ck cl*ire d b, eserben a m,nraarrJsok arrara nafvon ror

megkiizclili a sokasiigi itlagol

26

M€g kell jegyezniink, hogy csak a kainnyebb meg€rt6s erdek€ben hariroztuk ftesa sokasdg' vArhat6 eaeter. A gyai(orlatban eppcn e/er inek minrrbot ro.rtno bcls e.;a c6l, ezen ez brm6szetesen ismeretlen.

6.5. Gyakorl6feladatok

1. Az aliibbi adatokat, informdci6kat ismerjijk:a, A BKV nltal szilliron uhsok szema 1992-ben Budapesten 148 1 ezcr f6 votr.,) A Budapestre hullou csapad6k nemyis€ge 1996 februarjnban 28 mm vott.c./ Egy dd€ssesboli kaveforgalna I 996 decernb€rebcn.d) A magyar lakossis egy ftjr€ juto hnsfogyasztrsa (ks/16).e) A doh6nyz6k drnya a l+18 ryes fiaratok kdr6ben./, A kiszolsthsi idij ,tlagos nasys6sa esy ARAL bcMinkftnrit.

dllaSos ilclkou 8,2 d! volt

30%-it forditjnk alclnrsTcr-

,/) A {els6fol-u iDt6a€Dyekben v€gzehek szama 1995-bcn.

Gondolluk ar, hogy a fenti infomici6kbol melyek dok, melyek rcprezfttalivme8fi Syel€sb6l sziimazakl

Teiclcznnk f€l €gy middssze 5 elemri sokasngot, amclybm egy memyis€gi is-merv enek€i a kovelkeziik:

ABCDE

268

t0l5

&) A fosyaszt6i iirak alakuldsa.,, A lakossnsi tulajdonban l6v6 szem6lygdpkocsik

1992-bo.i) A maqyt hrztanesk jitvedelmiiknck ,tlagosan

a) Szinitsuk ki z dssz€s lehetseBes kat lenii 6s hdroa€lent, visszarev€s netknlikivelaszassal kaphat6 miDrdtat 6smitrtalrlagokail

b, Haltmzuk meg a standard hibei:l. a kaelenn miniek alapjrn,2 a hiromclcmrf minrrk alaplanl

c.l Hasonlitsuk ttssze a kapoh eredmdnyekett

27

3.

4. Terelez:rk fcl, bo8y egy sokdig l0 elemb6l nll. Egv le6z6teges mmvis6ai is

m€N €rtikei a sokasagi egys6geknel:

N6hADv. a feiezelben tahlhat6 jeldl€s:p al:edik r€teg nagysiga a sokaseSbsn.

t a sokasaS sz6lisnegyzcle,

Nr a mintaAdag sz6rasa

or a sokaseg ataga,

dr a minta allaga

PArosnsuk a feoli j eldl6seket a hclyes megrevezessel I

a) Szemitsuk ki a rolarag atlagit €s sz6rrsilll-, Hardo/zul mcA au ismi(lir nelkijl kivrla\,talo Aehl.di \inhl

'nagaitl,r Rendez;uk a kapon mrnrddllagokat oszralvkitzds Cvi*onstgi sorbal K€szilsunl

u adatolbol gyakotisegi Poligontld) Vizsgaljuk nes a rni artlngok sokasrgi itlas kitriili sz6rcd,sail

A katolai sorozesor megicleni' fift idagos t€stnagasaaa l?5 cm, a testmagasag

szoresa 8 cm. (A leslrnagassrg szerilti eloszlis norm,LlisDal €kinthet6 )

A sokasieb6l 20 elemii mi.16t v€ve, mekkora a val6szinijsege amak. hogv a mtn'

taatlag a iokastsi ttlag 3 cm-es kdmyezeteben lesz?

A f€lni;n koni n€pessag lestiimege szerint nomrilis eloszlesir, 78 kg-os riirhal6 ert6kkcl. 8 kg-os sz6rassal. A sokasagb6l l0 fais velellen mintri vesziink.

a, Mi a val6sziriis6s€ aDak, hosyI - a ninrrba kernl6k mindesyiken€k a teshdmese mcshaladja a 80 kE l]1.2. a mintaitlag nagyobb, mint 80 kg?

b) M^gyuiz)k meg a kaqh eredmenycketl

Valmely lem6k ayanrisrnil e 6ves lcmeldsbe! a szabvdny-eli'irdsnak megfeiel6rem6kck aninya 90%.

SzjmitsDk ki imak a val6szinnseg€L hogy egy 200 elemii eg)szerii ftletlei ninlA,ar leSahbb 95% a szabvrny.ak megfelel6 lemakek aftnyal (MeAjeg,-zls: a n;n'labeli eitryok mmnlis eloszhsnak!)

Hosszu 6vek lapasztalata alapjrn felt€lelezhetjijk, hogy a hallgarok srarjsztikrdolgo,zatainaL ponGzama nomnlis eloszlist kiivet. Az 611agos pontszamr ! = 68 pont, asz6iis: d = I0 pont. (A doiaozatok el6rhet6 mdihris pontsztma 100 ponl.)

a/ Szamilsrk ki auak a valoszinijseaet. hogy egy 40 fijs tanul6csoponban u 51la8os poolszim 72 poll feletl leszl

6./ Metftora a val6sziDiisege amat, bogy cgy vilctlenszeriien kiv6tasztou ballgard72 ponr felell telj€sir?

5.

1.

E.

IIIIIItII

I

I

t

It

I

8l0l0l2t2l6l82030

28

IIrl' i l

llj

l!rlII

7. STATISZTIKAI BECSLESEK

7.1. Alapfogalmak

Az el6zai f€iezerben a minlavetel alapfosalmaival a minhveleli eljerisokkal €s a

minraA;g tulalddnsrigaival ismorkedtijnk me8. Ebbcn a feiczelbe' valamelv sokdisi

;"I"-ti i'a.r'itO e"ter, sz6nis, €nekijsszes, anitv stb ) m'nt'b6l titrt€D'i kitzelir6 mcg'

harrrozasaval foglalkozunk

A mj ab6l !a16 kdvelkeztet6s fotrlos alaPfogalrna a bssl6|*uggvenl'

Bc,'t(ilusg\invcn u 1.t , .t" hi,lo cne* olron tuvdhozos e tiiSSvinit

btjnk, ldetlnek 6(1\,1, ,1,,) ,,tdke a sokxas wtoneb 0 Ponnateftnek nintd'

bot tijrteni; becllesirc stulq,it l

l , - , ' . | \

Be.slbtu8a\en) lcher peldiul a mintaelemek dtlasa l,

'

-

-'l

mellyel a sokasesi vrirbat6 eneker G). vasv a niotabeli etnv, mellvel a sokasng'

aren)t becsiilhetjilk. Usyanazon sokasesi jelleru6 enek€nek kitzelitS meshatimznsn'

loz iobb uccsl6fiiggvdny is haznalhat6 P6ld,iul a sokasiiSi vftha16 crek be6l6ere a

mintaelemek szimlani itlagin kiv szimeirikus eloeldG eet6n a media4 a hamo_

Dilas Adagol. a negy?€les illagot stb. i5 hasailhatjul

L sokasAgi sz6ftsneszet (d') b€sl€sere is ritbb betsl6tuFsv6nvl ko6truelha'

runk. Ezek kdziil a legfonlosabbakat emeljilk ki Be'siilhetjiik a

' t({'-'Ito I

__ n

statiszlikdval, amelynek egy koDket mintaverelnel (A'=r,'t,='.'"',E'='") e

1 A minlaelemek ezen inegveny€t rratdutla,,t is szok$k nevcm!

30

. , >G,-')'

itsszefiiga6ss€l hadrozhal6 meA. A f€Dli becsliifiiggv€nyt tapaszlrlrti sr6rdsna[yrrt-rek Dcvezijk. A $kas.igi sz6rrsn€gyz€r becsl6s€re has2rethatjuk a korrigjtr tupusr-tal.li sz6resn6gyzetef , a

Zrt ii(d) - -

b@sl5figgv6n)r is, ainellBek €gy adoll mintind z ed6ke

:( , . i l

nl

Mivel a leFi,bb sokasdgi jelleu6 becstds6re tttbb becsldfig8v€ny is konstrudt,hal6. ez6n felver5dik a kerdes, hosy m€lyiket hasz'aljut. Ehtcz nyrjranak tinponlor Ib€csl6jiggvenyetkel szemben rrmasaor kovetelminyet, aDelyct alapjrin el rudlukdittrtcDi, hosy m€lyik becsl6figgleny nondbal6 j 6nak, jobbnak, iletve bi?onyos eser

A becsl6niggv6ny 6n€ke valoviriis6gi lehoro, en€ke Din16r6t diDldra veltoz_t'ar. de egyetlea n eleh;i ninfihoz .sok epp eh.g Lrtakct rdd.t. Ezt az arteket \e-veziik valanely sokasngi jellemi' pontbecal6s6nek. peldaul ! -nck pontbecstisc azi 6s o -nak az r' vagy az r. Ezzel szcmben az interva umbecst{snet .,gy./Lr?g|dinta alapjdh olyan iat?nallunot haftrc2unk neg, an., tti;r. nkgotou tna,!.t ) rult)-szihtisAgael ta alnozzo lz isnetettet saka\Agi j. en.t;t Ezt a/ i crvr Lrnn)lkonliderciaintenallamtrrk vagy negbizhr16rigi inten slumnak rcv.zTiik

7.2. A becsldfiiggv6nyekkel szemben tdmasztottkiivetelm6nyek

7.2.1. Torzitatlansig

Torritatlannrf' ht\.i4A cg heAldegttpn\t ht ahhdk trhJ@ at,r. 4.rEeg,eik a becs ni kirdnt sokddgi jellenzS i/takaret.

l l

leldli* a 'ota5i8i lellerYu6r g -val. d b€'stdtuggvnvei Ped'g rovdbbta is ti-pal

E kitv€telm6ny szerint li al.lor iekinih€t'5 d touitatlan b€'sl5fii8gveny6nek' ha

uG\=o

vd€€" loka.ae eserm a roPj{adats,8 tulajdonsiSa aa jelnti. boav ba az d$/es

teheLsas; modon ivdasajul az, el€m minrrilar. is mirden egvs milta €set'r ki-

rr"-'ir'* , l*ttor eg'a"i tdetdr. mald ezek vimta'i 6rla86r k6Pez akkor e to-

".i"#""y .*'i"'

" ;i^"!, relleru6 enekfi kell kaptruok vagvis e itsszes lehets6-

ues oonlbecsl€s drlaSaa tdnyleges ertek' ' I-mel kerd'biszrgoru' nm. svalrctlarban nesis sokeor cltosadhat6 a7 reimp-

rotiku! lorzilaibnsrq k;veklmervenek reljesnlese s E\/erirl

nnM(s)=0.

azaz a minta elemzimrrak 'o"terelL "

b€c,,'ltri t'a"l pmcter 6s a b€$l6fiiss-

venv wirhat6 6d€k6nek killdnbs6ge €gvre kisebb lesz

Neziik mee e kOvclelmenvek teljeiil6sel nertitrv becsl6fiiSgv&v ese(-'

A nintuAnag (i) a sok^Agi vArhdt6 6rtek toEitalat becsbJnssentz'

E tulajdonsng t€ljesnl€set mrr a 6-4 ponlbe bizonvitottuk Vagvis bebttuk

hosy ha a {r,C,,...,t, azolos eloszlisf, fiisgetl€n val6szin'fis€8i v'ltozok alkotjak a

, ' ' , . ' ' )Mtn\- Mlr) '

\ n )=P'

ahol / a sokases (€8yben a {1,{r, ,9, ) verbal6 Ertcke

Ha konk6ian egy minrav6lelrc sor keriil, €s E' = '" t, = +" 1" = x" ad6dik,

akkor t-rr+t'}+- +'"

az r1,..,1. €nekelo€k ugvmen liggvenve' mint i a

{,,{:,.. .1, val6szi.ristsi vdltoz6knak, vasvis az ; risv tekinlhet6, mitrt i e minra

eser6n felve{ €neke (azz olvaD val6sziniis€gi vnlbz6 rihal fclvet €rt€k z t amelv'

nek verbal6 €rteke /)

Vo.t vrr'8,ilj* meE. bogy a szorrisnegvzetelre retlcsiil-e e/ a lovcrelrnenv Te_

\rnrsu-f clb.ror i rapa:rata srotu'ni'lw't \li'haro enEkil

"(F)') {l=4J="[

"{|[te, "t'

L\<,- t i l - t n \P p) +n

"{

F -!r1=

-"{\(a, p)' ,(v - p)']="t"+"1 ."(n!)

M,vel l \o' ^ l=" . ."*0, , [r , , t ' )= o(,;y- e- , . ,lJr

' ( " ' ) ' )=", *=* * . ,

vagyis a rapaldafati sz6nis'eer" (;')') a sok^si}i sz6tesftsyzer hzitoL becs

I i'fi I sv i "y

e. raa ! isz.rn, ho gy

I)

I[(E, -r)-(l i -p)]

tI

z (e, u).(i u)+(i - u)'

:u, ,I-4,-r,t [ IG,-,t]." (, ,r '

ItIItIIITtItII

J2

ri.,u[1; 1'l= u,"r:.1,' =",,

l l

a taDasztalati sz6rasnepzer tehAl a sokdigi sz6iisn6Alzer @i4ptotilttson lonitdtlah

becsl'6fieeftnye.

A koftigAh tup62lalati s26^nAw.1 \6'z) is1tr,nr ntu tozitis D6lk0l b€csnli a

o ? -et. ts21 kitmyen iSeolhatiuk A kodig,ilt tapaszlalati szoni6D6g.2elet a tapetalah

sz6rrsr€gyzel felh,saalisnval a k6vetkezijkap€n fthaljuk fel:

Ezen osszefijss6si 6s a tapasztarati sz6nisn€clzd ((6')') vmata crreren* r*ezeic'

sen€l leirt l(at felhasntlva

"1,.1= "l;rtu)' )= ; +, -. .tchiir a becsl6fiiggveny toziladan. Erer| a gvakorlalban z kotia,ah tupetaloti tzc

ftsnAg|zetet h64aliuk a sok^Agi ttutlisfiAYet bP.''GsAtu.

1 -2-2- KonzisLte',ci^

A kotrziszt€ncia kovetelm€nye az irja el6, hogv a b€csl6 tozilallan (vagv leg

alibb astmptolikusan lozilallm) legyea cs a nintamgyeig mindcn haLiron ltil tort6

ni' nitvel6se eseh amak a val6szi isege, hogy a besnhi kivinl pdarndcr es a

bccsl6tuggvmy elt6rese kisebb egy € simrl, t legvo KQlettel feliwa:

v\6)=e 6s $+-'l 'C='Misk€pp€n megfogalruva: a kouiszldcia az a kovetelnolt timella a

becslijfii8€y6nyekket sz€mb€n, hogy nacyon nscv ni a sten a becsl6figav@vrnintrboa;ztnilott ert€ke nagy valdviDiiseggel kdzelilse @8 a sokarigi jell@5 6r-

t6k61. V6ses (,ry elenii) sokasns es visszatev6 n6lk[li Iniit^viNel (*in eg'szefi ve

lctlen nintavetel) eseri^ ^

koEiszlencia a, jel@ti, hogy t = lV €s€ren a b@sl6fiigA_v6ny ,,minritx)l" szlmitott €rtake n%egyezik a sokasigi parncler edekdel-

7.2.3. Hatisossig

H" a ri, esad, tozitadan besl5nsgvenvc e -*t, * o'(i,). r'(i')',kr-

drt mondhauul. hogy O' hatasosohh he, slb[n&{v4vc 0_nal nut ti, Mi' sa'al_

14

kal az a b€csl6tuggveny halisosabb, amelyn6l a becsl6fiiggvany minr6bol szrnriroenekeinck a ekaigi palm€ten6l szimiton etlagos n6gyztss clt6rcsdnok vtrbrtd a,-rckc (tchel sz&6sa) kiset$.

A 7.I . ibtutn kA l(,rzitarl^n ( O, , O, ) tecstAngeueny rdriisc8lii8gvaDyc ltrlati )

A ken6 kdz az tekinljik 0 hadsosabb bc€sl6fii88veny6nck, amclyDck sr(ints!(staDddd hibija) kisbb, mivel €z ztJelenti, hosy bccsl6siink nasyobb lakjsznriisc8-sel 6ll kitzel a sokasnsi paEm6tcrhez.

I

ItI

iIII

7 I 6bro

/ 6, ^

0. t.,"to1tgsuoy "!r,ota,u

Ha eay ekas.igi param&er dszs becslStuggv6nyc kitzdt lerezil cgy olyan,mdlGk minmnhs a v6nisa at haLtos b.cslsnek ncyezzi*.

?-2-4- Elegsegesseg

Ez a kovel€lneny a, mondja ki, hogy u €l€gsages becslas nnntc,r Inrntrih(ilDydhei6 i.fomtci6l tarlalmu a becsnlni kiviDt jcllcmz6rt'l

7.3. Intervallumbecsl6s

Az al.pfosalrBk itlekjnt6s uiin a becsl6sek hjldnbitzi' €seleivcl foAlalkozunk.A becsl€s cayik elja egy olya. intwallun mesad6sa, amety megadon Dasy vatdszi-Diis6ggel hnat@ a sokasngi jelled6i. Ekkor konfidenciaint€natlmor hai.{rozunk

35

l '

I, il r lI1iI

A becsl€s soren egy€tlen n elmii mirta alapjrn egve oegv €.l€kel is adhatunk

az rsmereil€n sokasagi jellernz6r€ Ekkor - mint mir €rliteftnk - Potrtb4sl€st haltDk

\6Fe. Pl. ponLbec5l6l adunl. hi an mondluk. hogv a sokeig viirb,l6 eifke a minra-

drliggalr i r. vaey a sokasag' droy a mitrbbefi el'eval es/eDld srb

Terinnk vissza isn€t a konfi ddcidnteMllu meghaterozisrira

?.3.1. A sokasdg v6rhat6 art6k6nek b€cslese

A sokasas vtrbad 6n6kenek (/1) bccsltjfiiggv€nvek6nt a mintaitlaeot (/i) hasz-

naljuk. Minl ^zt

mar behttDk, (/t) totzilatld 6s konzisrm tEslesl eredmenvez. A

sokasiiui varbar6 6rt6ke adott konfidociajnlwallum meghattuozisrDil a miniaetlaa

eloszlr;dr6l elmondottak (6.a. pono alapjrn a kitvelkez6 alpontokal fogiuk mesknlitn-

,) Nonnalis eloszldsn sokasds eserd, ba a sokBts sz6ntsa to, isnerth./ \omelrs eloszlan sola.ag eserm. ha a soka,6g sr6iisa td, mm ismen,, Ncm nomilis. de ismen elos/ldsir sokasAg eselo ha MS/ minlal leftrnl

i, Nem nomilis, de ism€d elosziAsri sokase8 esetaD, ha kis mintil vettiink, illetve is'meretlea closzl,tsn sokasageseten.

A tovabbi ttugyabs solen a miDta el€mszima legveD a 6s az elSre ritgz m (na8as)

val6sziniisegi szint p= l-d .

d NornAhs etos,l'i:n sobsne esethn, ho a sok6Ae sz6rb! \o) itne

Ha a sokasrs nomnlis eloszhsn, a minta elemoi 6s a mi aitlas (/i) is nonnelis

etoszhsn I€e, a mint. eleEsziinit6l fiissetlditl Mivel a $kasrsi sz6res (d) isnen,

definielhalun]. esy val6sziDis6gi vdltoz6t olv modon, bogv a nomilis eloszlesi mj a

ethgb6l krvonjuk annak vnrhat6 6d6k6t (P) es eloazixk a sz6ntsnval

ezt a vrltozol Z-vel,lehat

igy Z sradard notmrlis elosrisn vabszi jsegi villo,6 lee A konfidflci'interu'll'nn

megbatdro?rsa sorAn keresnk azI a (z|2,) htervallunot, melv l-a val6sziniisea-

gel ta(alne^ a Z \a\oz, azaz

36

l f l . r"r"r1*

\z <z<,1)=t-a,

€s a valczinfls€ggel ,en $n^lrJ,aza az1. A keres€h inrenallumor igy hatdrozukfrgs,hogt uslanakkotu yat6szinnsise lryei e'mak.tf€y a Z vrlroz6 kisebb. mint azintervallum also halira, mi.t annak, hogy a Z nagyobb, mint a]uk fetsij hatn.a. Ez a

varwnufS 2

-ver es,enlo. mver a keresefi 'nreTvallum

a z val6sTinuseg. ldtro/ol

d val6einds€agel red tart^lbu , azaz

42.")=4", .2)=7Mivel a Z viltoz6 shdard nontis €tosztdsn (€s ez€n elosztes szjmehikus az

Y reogel)]e), aen e inteflallm is szirnrnetrilus lesz a y tmgeiyre, isy (z , :, ) hc,

lyerr l-,,,) hatimkar hdaelhatuDk. A keresen intdvaltumba es6s valosziniis€ge(Z statrdad nom6iis eloszlesit, z ismen dszefiigg6sek felhasznAlisevat,) pedis:

p( z<z<4=@e) o(- , )=o(z)_(t_@O)= 2@(,) t .

El6re mesadon magas valoszinfis6gi szint (t - a ) €sero a Z vat6szinnsdgj vnlto,26nak a (-2,2) konfrdenciaini€nallMba t-a val6szin{seggel kelt esnie. Ekkor

P\- z<z <z)=2a(,)_1=t a,

o(" \ - t -9.' , 2

Ebbdl r meahat6ro2har6 tiiblezat (Fnsaetak I hbtuat) ^t^pje1,

a meeotd s te-ss zt A zt, rehel az az 6nek, amely mel]et a \ 2,,.,) iDt€rvauum kimerszi asrandard nodnlis eloszlrs srfirfs€gfiisgvEnye alahi tsiiret (j a).1W%-At. Ezt szerl-leltGri a 7-2. abru.

IIIIIIII

I

I

I

Z ItII

--

z Val6szinn*geimiliis t42. oldal

37

7 2 ttbraA t oh f ide' c it nt E n a I lrn n hrdzo I a s a

Mivcl a sokasnS lirbato 6rtek€rc 0r-rc) akaont egv inlervallumol adni' reddez_

znk a\a zt <Z <. t, egyedtjtlm6get olv modotr' hogv az intervallum kitzeppontji-

ban a sokases lArbab 6n6ke G) el[on Tehet -z!'<z<zt' ar jelsti' hos/

i - !

i

' ' ,k ' " i " , j ;( . o

")vagyis a konfi dcnciainrervaum V

-,,. T.

tt +, | 6 )'

Esy kohkrit ni"ta esettn (i = t) a konfiddciainteryallum

I d " ll i -2, - - . i+: , , - .1

\ v ' \ tn l

meNisegct hibth.timak !^Ev ndinalit

A bdsl€s hibalndiinak csokkenles6re tdbb lchcl6s6g is adodik. Csiilkcnthcriiika standard hibrt, a z, €n6k€t, illctv€ min.lkett6t. A slandard hib3, a mintaidas szdrtlsr

csal a minla elmszmar6l figg {a sokasi8i sz6res (d ) adott). dcstcdis unrk syii-k6vel fordilohaD afiDyos. igy a smaud hiba, s ezalial a hibahard. csijkkc ttsa|ckegyik m6dja a nint! clmvriminak .itv€l6se. A 2,, €rleke a mcsbizhrkisrisr s/inlli'].

az (l d)-161 ftgg Tehat a megbizhal6siigi szrrt csdklentdsavcl (az intcrlllluniurkkisebb valczitriistgScl tanalm% a sokalrgiparam6tcn) a hibahadn is csiikkcnltkOsszefoglalva az elmondortakal, a bsslsi ponlossr,got o ninta .lens2Ahihok najwlc-siyel ytAy a negbbhot\etgi szint cstik*ent$erel jatithatjuk. Dc ez ut6bbi csak ldrszareredm6Dy, merl hirba adunt heg kis intewallumot, ha kis lal6szimiseggel esik

J6l Hrhar6, hoSy M intNallum hadrai valosziniis€gi vnlioz6k. enekiik fiia-e arninla rllagtl6l Miv€lcsak egyctlcregy minh all a rerdelkezesiiDke, ezert a kon{iden-dainlcrvallum hattni is konkr6l szim6n6kek lcsznek. Ekkor a konfidenciaiDtcrval-iumol ngy 6nelm€zhctjnk, hosy a $kaseg verhat6 6nek€ l-a val6sziniis[gselt-A: i+A haldroktit6 esik.

Tckidsnnk visza a 6. fejezetb€n elkezden szamp€ldara. Hararozuk mes, hogymilyer hatirck kitze 6ik 95%-os val6sttr,iis6ssel a l7 I orszaggyiilesi k€pvisel6 artas,6le&ora,lE csak cgy€ilen l0O elemi minrir vettiiDk.

A konfidenciaintervallun meaadis,hoz l€telezzilk fel, hogy a sokaseg nomels€bvhsri, cs a mitrla clcmcil aiseatev6ssel wilaszrottuk ki (tehdt niggetlencknck tekinthelnk). A kivnhsztor 100 elemri mitrla Athga 47.08 ev A 371 kepvisel6 €letkore-nak sz6r65a (sokasesi e6rtu) 9,85 6v. T€h61: n= 100, t= 47,08 dv, o = 9,85 6v.A bsl6fiiSevdy €rleke a 100 eleniininla alapjd.: i = 47.08 6vA mi afilag standard hibrja:

o 9,85 ^o' J; J;

=008( i \

Ezek e. batrrozuk meg a hibahatdfl Ebbez sziikseg van a :,, d ckcrc x

negbadrozisiioz I d=095. igy p=t-\=o.ets . anely a slandard nonndis

elosdns hblii"attbol ker€shel.i ki- uo,?, = 1,96 A hibahadr

d=zo! ' r o. = 1,96 0.985 = l .9 l ev

Tehil q5'rd os \aloyinri\eggel 1.93 oncl kev$ebbet reveiliinl< a bec\i.. 5ordn { tonlidenciairtcrvallum halirai. 47,08 ! t,93, igy a 371 ktpvisel6 dtagele*on 95%,osnegbizbabsaSi szinten 45,15 ev 6s 49.01 6v kaizUtr vd.

hib,ituk nerwitk as

l-a valoviniiscgSelA-vnl jeldljnk. Ez ^z

6n€k ,zt rnubta mes, hosv a becsl6s soniD

A-nil kevesebb€t t6!€diinL.

l8 l9

Ib) Nomnlis e16,l6t sokasda eseftn, ha a sokasAs sz6 sa (o ) nen isneft

A bsla c€lja tovibbra is az, hosy koDfidenciaint€Nallmot k€szitsiiDk a sokasn8va'har6 6n6k6re, ! -re. Miv€l a sokasig sz6nisa (o) nen irze', ez€rt a:la ninlabol a

koFigeh lapaszlalad szoi66 (d ) segilsegwel ketl b€.siilni. Emek kitvetlezi€ben a

valbrct lehet csak haiznehj az inleNallum rneghalrrozrsahoz. Ez a vr11oz6 (Sludent-f€l€) &€loszrtun vabszintk6gi veltoz6 ry'=, 1 szabadsac{okkal.r (Az6n ,- I aszbadstgfok, rnen a szirnltl6ban lev6 val6sziniis€gi velloz6 nem fiigsetlen a

4r,...,6" val6sinfis6si vnhoz6kl6l.)

IIItTIIIIII

a, I

I

- i -p

t = 1?,08 :

L

i i il1l

l l 'ill[rl

| , =49J5

p = 47116

Konfidenciai|ereal\un elhe|yakedev a ni a9ed nibbs2ijri veg'&ajttsa 4e1in

M6J emlitettiik, hogy a konfiderciaintwallum hatirait befolyrtsolia a mint3 ada_

ga. vagyrs z a r6ny. hogy a kivrbsztt! sonin melvrk sokasiSr elem ksil be a minliLba

Mivel; $kaes s;ords; i"men. rovdbbli viltozatlm a konfideDcrantnallumba 6's

valoszinisdse ri59or. ezen s maxirnalis hiba. s eziltal a koofiderciaiDreBallum hosza

i. unu,'- i"." -'"dco

eserbs. Tehir u inleNallum ehelvezled's€ csar esverlm re-

nreiijrbl. a nnra6rlaelol ftee A 7 J dbfa 5 hjlittrbozit mirta eselin anclvek minta'

;\it^aai r t t L;btii,albon t;irlhatol e' melver rendr 47 08 4 4q.5| ev )I 2< 6v

48.t9 ev es 49.45 6v - a konfidenciainteftallm elhelvezked€sel szedelteti

7 4. AbraA standard nom'lis as a Studehtlile relos2ltts

A Geloszhssal kapcsolalban Deg kell emlitcDnnk, hogy a stddard nomalis el-oszhshoz hasoDl6ar szimerikus u I leq€llrc, tovibbi a szaba.bngfok nijvelesevela teloszhs egyre inknbb k(tzelit a stdd.rd nomalis eloszlrshoz, 100 feleni szabldsag-fok eseGn (aujelen esetb€n I00-nil tobb elenii minta es€t€n)a a k6l eloszlts elter€se

'ninimilis lesz. A 7.4. abrA" a sra ard ffiimeDs 6s a Student kloszliis sfrds6sfiigs-

venyer venl6lteljiik. (Az lr'(O, I)jel6l6s a sla ard nomris eloszlisra !tal.)

A Studml-fele !€loszlds s{rn$g- €s eloszliisfiiggv€nye a V.l6szinnsigsziinnds 196. oldaldn

Lz e egtik tuE ar'ata anaak, hogy a 100-nnl nagyobb elcmii Dintekar ndr nag) inlntiil

40

A konfidenciaintervallum az u) pontbaD megfogalmazon es€th€z hasonl6a. Ye'

z€1be16 le. azzal a kiilitnbs6Escl, hogy a Z helyett a I =

-a

vrltoz6r haszndljuk, ro-

T.vebbi az egyenlet negoldesa :,, helyert rj,"rj tcsz, amely a Studcnu-closzlis rablii-

zalAbol kereshelai ki (F 88ekk4. ftblAzat).Az elmondottaknak megfel€16€n a kotfidcnciaintcNallutn halrira':

( , , . . , ,

lu - ' ; .

Konkrat ninto aetak:

( ; - '1)\

ahol p= l -9 cs tzt = '

| .'2

Folybssuk a peldenkat azal a feltevessel, hogy a solrrttg s2i)rdlo (6\ hen is'h".!. Ekkor mintib6l kell becsiiLiin (. A minta el€rDeitt6l szimirot koFigilt rapdzta_lali sz6ris r = I 0.1 6v. A mintaitlag slmddd hibnja:

r l0.ls - '

- - ; -191 6uJ, J l00

(Mivcl a slandard hiba kiszdmilasriloz a koriaill lapaszlalati smrdst hami-lh* fcl,

ez6rt konkr6t minla eselen az rr j€l6lest hasaituk a o; hclycn )A hibahattr kiszimitasahoz a Studnl r-elczhs 16bl6zaLtb6l kell kikdesni a

r' ' -r. d'relynet dnekc c pclddban r:;j. I38 Ennek mesfelel6cn d hibahati'

/ - 198 lPl = 2'0 'v'

A konfidenciai eflauum pediS: (47,77 a 2,0) cv. Tehil a l?l k€Pvsel6 edaselctkora95%-os vddszintseggel 45,7? €v 6s 49,77 6v kitzittl vm

c) Nen nonnlis, de itmeft eloszdsn sokuAg 6eft4, ha nag) nintdt vettilk

Naay miDta eselen a 6.4. fejczetben elmondottak alapjin a mintaidag a @nrrilis halrrcloszlirs t6tele enelm€bm kitzelititleg nonnilis eloszlasl lesz, i8y a sokasigvirhato 6n6k6re adott konfide.ciaintenallum also 6s f€ls6 }]rttua k'nk'a! ninta 6etah a2

(_ , . , , - : )t r r : - t

r +r-\ .,1, .1, )

dsszefiies6s alapien halirozhat6 mes at6l friss6en. hogy ismerl vacy scrn a k)krsigj

Mi\el nagy miorinl van e5 na$ minlaho/ rano/o \/abad\dstot crcren rStudenr r-eloszlis megldrlirdle8 cgybeesik a \tanddd nonni|s etovtdsat .. kurfi.denciain|cryalllm Dc8ha('ozi\ihoz rsmcrcrlen solas:;gi :zo'rs cserFr I hczmrrur-JUt a srandard nomdlis elo\?le5 tiblialil. rA fenlrek kb/!t / etso mrena,tumd ,7ia knliinbsa8gcl. hogy a sokae8i s/ora\ (d ) hellen a m'nubel konig5l 11p^r131,.,sz6iisr (r) hsailjuk.)

.l) Nen aomAlis, de isnen eloszLki sokosdg esetbh, ha kis nirtat whink. i\etve i.rneretle" elovllid sok$Ag esettn

Mivet eklo! a m'nra ,rlasiinal etoszlarrot litratanosan (emm scm rddual Ton.dani. ezen a konfid€nciainreNallum mc8nattozisJ a

'alo.ln dsszdnrra,t.r ;..-_men Cs€bisev+gyent6denseg' atapjen krn6nik. mety a kor er_rwo ronnab"" ,,r,.r; i"i

P(lr MG). t. D(1))> I -+. i' r.

\ i t ' " r .p.y*r"r)>r-1. .

A felin egyenl6tl€neg nagyon hasonlil a korebbtu mcgbare.ozorr kontidcncir-inte altun.a a2"al a kttainbs€88cl, hogy itr a..szorz6szrm nem c8y closzt6s libti;r;

t I 'db6l vcn 6n6k, hanm u t, ,,

= | a -: k = l-

dsszetuggdsb6l fiariozhalo rrrcgTehit a Cscbisev€Byenl(jllens6g azl mualja mcg, hogy u inteNallumba eses val6szi_

Teeyiik fel, hogy val6szintsegi vrltoz6Dk 11 , amel)mek vdrharo 6n6kcn6sa p€dig o, , eklor a fenli csyenlijtlcns6s feli.haro a kovelkez6 m6don:

[ ' "

_]

, u-t t ; t ' * \

; ;*r f ' ) I l ,

I

) val6szintr+Cszlnnis 108. old"l

:l.l

tf'sege bgobbb I -d . Term6szetesen, ha a sokasrg sz6rrsa nen ismen, a oi helyeu

Ahaszn6lhat6 a 6; =+ is.' 'ln

Ko n kr i t tui n nnn Al a Csebise\-csyenlajtlenseg

' t ' r - lf l t *o, <l t< x t ^o,

. k

formrban irhatd fel, amelyn6l. ha a sokasrg sz6n{sa neh ismen, a o; helyen ^2

r, =+ is hasaehat6.

Tekinlsij-k a kiive*ezii peldetl Egy b;losit6tirsaAa kitzpontjibm 2 elhgkere-ser megharrrozrsa celtb6l egy 20 elemi miDtit vetlek. A minliban az illagkercstt = 48 200 ft, a kereselek korigiil tapaszlalati smr6sa psdiS r = 2 I 300 Ft. Becsnljiikmeg legahbb 95%-os val6sziniiseggel, hosy nilyen hatirok kozatl van a kdzponr dol-gozoinak dllagk€reseiel

Eloszor batirozuk meg a I6rt€k6t!

11 -k l - - ,120 = 447'\10.05

A mrnraarldc .rrndffd hibaru . = 21,19 oroz,t r ,'120

Ezek utan kiszanithatjuk a konfid€nciaintervalhh hal6ran:

48 2U) - 4,47 47 62,8 - 26 9 1O.3 Fr,

48200+4,47 4762,8- 69 489,7 Fr.

A ktjzpont dolgozoinak itlagkeres€le l€galtbb 95%-os val6szi iseagel 26 910,3 Ft €s69 489,7 Ft kdzd$ lesz.

Az eddigiek soren fclt€t€l€ztiik a ponlos malematikai $rgyal6s €tdek6ben ,hogy Jiiggetlei, Eonos eloszl n minta ell a rcndclku€silnkre. Ha a minta elemei

"&r''szerii $letleh nintavatelb6l sznrmazlk, al&or a konfidenciai ervallm mcghatiroznsa n6mik6pp n6dosul az eddigiekhez kepest.

A sok6tg v6rhal6 enekenek a becslestr€ lovrbbra is a ninbttlag haszDrlhal6.

A minl.artlag standard hibrja (mi fiisgalen, ^2

oros closrrsn mjnla eser€i d, = + .''l n

illewe 6, =f; vorr, konrrer ninra eseren pedis o: =;, iuewe ,. =f i " a.+.

^trtejezerbetr teinalnal mesrelel6etr d, = + ,1,- :.. ilrerve d koni8dtr rapd.?ratdr,Jnt /v

;- ;s,onn\ lelhaaildsdval d, ; Jl,; tesz A/ esyszmj vitertcn mjnrariretrek

' ln I Nszinlald j6 tulajdonsiga m€llen her6nya, hoay }n'urdr vizsgAlatok il csal kdz€-litS nodon nrdunk koDtrderciaintervallumor adni az ethsbecstdsre. Szdencs6rc be],r_b.r6, hogy tug ninftI esetin a

" lP pt t

61,4 on

JzY N

v6ltozo $addd rormelis eloszldst kover, igy u intewallumbecslesr u eddigickbenm€gismen m6don iehot elv6g€zni. Egyerlen etr€r6s csupan, hogy a standard hiba kj_

-;eimitiisalor a r/l -:- koFekcidi leDvezor h fi$etmbe tett vcm, Mr!(t n.By

INmin!6ok vaD, a fenti val6szi isesi vrltoz6 akkor is sraldard normdtis closztAsri, ha a$ksesi e6r6s (o) helydr a mintabol b€csiiir koniselt tapaszralad szonisr (d ) hasr-netuk.

Nezzonk n6hiny p6ld.t1!Tegyiit fel, hoSy

^z orszrs$/iil6si kepvisel6k eletkontnak becst6sere felhasznatr

mi a elmeil nem visszroessel, hanm visszaEves nelhit vitAztottuk ki (chAt ?8r:_wr;i wle e, niaroyAd litnmr) A minla etemci neh fiiggettenck, igy a mintaA agstatrdlrd hibajrnal kiszimir6snniil alkalnznunk kelt a konekci6s r6nyez6l:

" , = '_ ,lt - -Jl-

= "ll ./'_ lu, 0.a8< 0.85) 0,b4 c\J,Y N JloO I l7 l

A bibahalir: / = 196 0,84 = 1,65 €v.A konfid€nciai.rervallurn pedis:(47,08 t 1,65)ev. azaz (45,43 ;48,73),6v.. Iz a, poDlbm sziimitolr €redmenDyel (45,t5 ; 49,01) 6sszetusoDtitva nesnta,

pilhatjuk, hogy visszaleves D€knli mjDrav6rel eset€n a konfidenciainreryallum rijvFdebb leh ponlosabb becsl€sl eredmenycz , mj visszateveses mintaveleln€t. Ez azelretes mzal magyafi?}.ar(t, hogy visszr€vtses mintav€tel €scten a ,.sz€k6seges,. nrintaelernek isel b€kernhehek a niDllba, igy a becst6si hiba naeyobb lebet.

It

t

IIIIITII

II

II

II

Vegyiink egy mAsik peldit!Egy konzervjpari veihlat 50 000 n!egb61 ,116 g)'umolcskoMcr! s,illihiinv €r'

l6kesit6set lcrvezi MiDajsag .llen6u es ctlj6bol egy 500 iiYegbi'l nllo ni rt lcsznckcgyszeni velcrlen minlavelellcl. A minliba kerill iilcgek nerlo liihdldmcg stcritrli

'negoszlrsa a kolerkezi' 17. /. rnrld"ur):

A konfid.rcrainervallum hattuaiFdig:- i ,- / -F

az also barAi : 497. t ,7:495,3 gramnr,a fe ls6 hala! : 497r 1, t =49l i .7Sramm.

T€hrt az 50 000 nveg erlagos rctt6 rdlt6rijmegc 95o,{-os laltuzir)iistgSet 4,15,1 ts 4()8.7

M.gjcgEes: A bibaharir megbarirozdsiboz (lekinrc ct r nrgy r)rrlncleDlsz6mra) hasznilhatjuk a Sludent reloszlrs hclyet a slandard nonriitis ckJs11,is tiibtriznlir

's Az I d=0,95 €setan a standard nonnil's eloszt,isir ltilroza tnikc

:",i: - 1,96 A r,, as a zr, 6nik megegyezik, cz€n ngyanahhoz az crcdDdrylEz itr-

7.3.2, A sokas{gi 6rt6kaisszeg becsl6s€

A m:nta nlapjtu a solasdgi varbar6 6nek melet tetrct6s6gnnk vnn czen Dulalo. l

, ! . \ /er$inr l , . a soka.d$ enihos\?eenek ly - v \ tX ] , r" . . . " , " , " i . n,". i )

rasdrr cncros\ /eg beL. ld i i r j r ! in le l ,cnr nem , . inr"o"r ' " -1"t ; . , r "^" '

f , , t| ; - l

hasa'dluk, hanem a mintadrlag Ni,.res€1. i-sy a sokasegi drltkosszeg becsl6figgvdnye:

L4'i ' - \ , , \ , ,

It'vcla bccd6iriggvany u drlagbecsl6s becstijftggvanydnck cgy korsr t*rl ({)litn6na' szou isAval jon l6tre, czen a standard hlba nigyzctc is N, rzcrcsc tes/ r/ tlLrL!r.b€csles sHndardhiba,negyzet6nek:

o; .=N1 o; n8r d; . = r , / : .6; ,

Jr16l fu8$dcr. ho8\' r!nrn \dgy scm c :ol,asdg \/orasKonkr€r

'DjnlAbol sziftolva a slaDdard hiba n6gyzele:

d: . = rvz.d; vasy r i . =N, r i

Ezet utrn a sokasAsi 6ndkdsszegre adon konfidenciairtcrvallu,n also as fetsiihaura a kove*ez6 lcsz:

Ulegek nctt6 16ltesi ld'ncee, Urgel e,tmafi

485052

500 ,'4

t5

50

Becsiiijnk Deg 95%-os val6sziniiseesel, ho8y milyd hatirok kiizij van u iive8ek dtlagos nctto tolri'iinrcge a szillihanybaDl

Mivela sokasdg eloszlasa nem ismen, de nagy mintrt vcdii*, a../ potrtbrn meBlbgalmazon csctlel van dolgunk. A feladat mcgolddta sornD ck6 lepesk€nl ki kell szimolnunk a becsltifiiggviny 6r16kei, a mi atulagol, majd a konignli bpastala(i s26nisrkell mcghatdroznlnk. A ninla{ilag (sirlyozoh szimtani illag fomdt .lkalma7la ):

t;=15 450+ .+50 530

A korigah hpaszialari sz6ras:

i i . t4.o-4"?i : +{o {5\o 4a?)' ! 4",

- re4u sdmn

A m'ltarrlas slandard hibnja:

500

Az I - d = 0,95 ed€khe, €s a. r,/ = ;; szabadsrsfokloz laflozd Sructeni t-clovhsn

vehoz6 6n6kc r:?. = 196, €s igy a hibaharir:

,1= 1,96 0,87 = 1.7 Cmrnn

( i : , o, . : i '+: , , d, t . ) ksy ( i ' t \ , : t 6 i . t i '+t ,"1).6i . )

Kankftt hintu cs.tin PedtE a \a1tuov. a2

l \ - . o . i ' : d l \o€) ( t ' - ' " ' l

osslefuqae$el halarozhalol me8, ahol r '= I i

t - i i ' , . - "er"ev.- ,* .

hn11 a kere'err rnr . r \ r l lumor melkapharrr l ut \ i \ '

hogy a sokastgi varhal6 6nike adoti konfide'ciainten'allum hatj'fail pl

( , , ' , - , r l . "e-o.-* \ ner ' h\ / a 'o\a 'dct enikoss/e[rc adorr

ko!fidenciainlcrvallun lclezetes6nel a becsl6fiiggven-u 6s amak standard hjb6jAt 's

hegszoroztut a sokaag elemszrmival, Il_nel

A/ e.o/oc\bcn Ineghoraro/on lollrdelctdrnre^dllurn l'.r' r mmtu elm\arnj

n.p,,. nnd tttppttt,n o:ono. , tould'u. mind e^ 'tu Ie/,1/.r,trnl, e'eran h'\?nal

r . ro,r tJtO"i . .s. 'n l ' , "3ndd,d

h ba krrdrra 'aban lan Kr ' mrntd e 'c l 'n h:6on

loan az 6tlagbecJ6shez a mcgadon osszcfiigg€s csak aikor hasznalEto. ba/tsg"

len. azanoi elas2lis nin/nhkvott

Folvtassuk a eYnhdlcskouc^'szrillilDdnvra vonarkozo peldiinkal es ha6roz

zuk meg.'milyen haiirok kozott lcsz 95%-os lal6sziniisisgel az 50 000 nYce osszes

A becsl6iiSSvany 6nekc az eddigi szemitltsi ercdmdnvek fclhas'ndhsiral:

i '= N x = 50000 497= 24850000 Sramm = 24 850 kC'

llsybcD 2.1 1150 kg a pontbecsles 6deke is. hiszcn e8vcden ninli'boz e-Pvcden 6n'kel

Az Dtcn'allumbecslishez a becsli'tugg!€n-v slanddd hibija:(r ,s i

J i . = 50000 0.E7 =41500 sramn = 43'5 kg

A konfidenciainlenallum pedig i;','!,, = l,% esetcD:l r r t rJ

24 850:1.96 41,5 = 24 765 kS'

24 850+ 1,96 41,5= 24935kg

Ugyanana u credDenyrc jurunk, ha a sokasegi liirhalo 'n6kre

adolt koniidcn

ciainlcN.llum halthail neSszoroz^k 50 000 rel Ig!'

495.1 50000= 24 765 kg

498,7 50000= 249l5ks

Tehdt 50 000 ijvcg dsszes netto lOllaildmege 95'lo-os valoszjriis'ggel 24 765 6s 24 9li

7.3.3. A sokasigi ardny becslas€

A sokas:igr arany bccsl6sanek, az un. arenfecd6snek az a l€nyege, hog) . so-kasrgot valahely minijs6givagy nennvis6ei isnin ala en k€t csopofiba so.otjuk 6saz cgyes csoponokba esas valosziniiseg€t akarjuk rneShaldrozni. Vizsg6lhaljLrk pilddnla sotrs:igon belnl i fcrfiak raey a ni'k ar6nyit, eg_v vellalaton betnt azon dolgozokanin)nt. ak'knek a keresctc ma8asabb, nint 25 000 Fr, vagy valdnel], tenntkncl bi2o-rvos nini's€gi kovetelm6nyck.ek megfeleJ6 darabok arnnyrr. A sokas6gi ariny p-veljelti)jnk. Ez zrjelenri, hoey csy esyeder kivllaszrva P a val6szimjsise annak. hosy a?egyed rendclkezik z adotl lulajdonsaggal

Tov6bbra 's

lbtt6relezztik. hoqy Jisgetlet, azohos .b\ztirt ,rhla ill a reDdclkc,

Ha, elem mintrt vcszLink, akkor Icgycn v adon tulajdonsdggal rcndelkeziinntabeli elemek szdrna r, (0<t,, <,) Fiiggelle! rnida eseran r,, binoin,ilis ctos/ l t . i rB, m.ul l i - t i l ( hscr lc, . . o/dnol rd. \ / . ) e.

M'vcl P as i8v d i e levc ismcretleD (hiszcn a P,r akarj uk mcghardrczD j ). czan a d,, or

I

IIt

l

M(k,,)= nP,

isy a minhbeli ariny

t ' (a, ,)= nP(. l p)

i=+.yirlrat6 crtak. M( =lMlL.)=P,isy i a P,nek rorzitatl0x becsl€se, as szo,ir

o.( i )=r( . tn)

r lJ-nelb(suLuk.

- Eer -]rAb\A dinnhan p\.t JeloljLrk a i €ndket, !

l . 2. . . , ,

It

II

I" ;=D' \ t )=. .

IITII

48

, Il, ha d i - edik mintaelemnek mesvan a tulajdonsae!.-' -

10, ha az i-cdik mjnraelemnek dncs mce az adot rurajdonsnsa (i =

49

Ekror M(1,)=P €s D' l (4,)=P(r P) ( i=r.2 ' . . ' i )

Ugydaktor

" k, ,

' t+. .

+e , ,P-- -

^,, , rn, _ p\vae', i . ' Mlb\= P es D(P)=::r= r ' \ ; '

- Jn nnAz eddigiek sonin alkalnuoll Sondolatmenetnek megfelelden a minlib6l sz:_

miloti arany (i) alapjin a binominlis eloszlds segirscs6vel mcsk.phaiuk a kercserl

koDfidenciajnrervallumot. Ezt u elitrist a gyakorlatbar rilkin alkalmazuk Helvct€(rnivcl nasy rnjntael€msz{n cseten a binomiilis eloszhs j6l kozelilheli' nonnnlis el-oszlissal) defi ni6lhatunk esy

valoszinijse8i valtozol, amely slddard mrmels elosrrsn, ha n €169 nagv Ekkor akonfidenciaiDlefrallum mesharirozrsriloz a srddard nomrlis eloszlsst hMtljuk' s

eNek scsils6g€vcl (hasonld Eondolatm€neler alkalmazva, rninl a2 erla8becsl6sn6l) a

kijvc&ez6 m6do. irhatjuk fel a kcresett inl€rvallumol:

I t---i:----- f:--i--:i\

d ;_, . ,1! r ' - pt . p. ; r , . . . , !P \ ' .pt l t " .f rnt , )amelyb6l a konfidencjaittenallum als6 €s fels6 hatara tonkrAt ninh etdet:

(c-"" " , : t*" , " , ,1 '

ahol :/ a a'(:)- l-: eCvtrler mesoldrsa sodn a \randdd oomilis eloeliG rrLbla

zatAbol kik€rcsell €n|:k.H^ cg)t!ze.[i velellen ninta all

^ rcndelkeasnnke, akko. a konfideDcia_

inteNallurn meghaldrozisa az el6zi'eh6' csak amyiban kiilanbitzik. hoA-Y az r,, ki

( r " \.zamird"dtild konclcios rdnle?dr | ,ll : I 's

figyelembe lelllenni.\ r /v, /

Egyik kdzvtleneny-kutat6 c€gii* a vdla5zt6k kdzoll a vrlddns napjen kaiz!6_Iem6ny kutatdst v6gzelt abb6l a c6lb6l, hogy u umrk l€zirasa utnn rdviddel k6zzete_gye a v6laszirs becsiilt erednctry€t. A ftjvrrcsban u egyik pertr. a 2000 megk6rde-

50

zeftb6l 700 savzon. Becsiiljiik meg 99%,os val6szimis€8gel, hogy mrlycn hdlLik)lkozittl Icsz a pArtra s2ave6k ardrya a vavzatok osszcszimlelAsa uriin i lijvrirosbnnl

A parna szavd6k minya a millaban (a becslaifiiggv€ny 6aekc):

o=4-o' , , - , , .un,' 2000

mald tiszlmirjul a srddard hibir.

6J5 rr o:5lr - J .0.01 l r l , l ' ,' | .2000

A 99%-os val6szirijsedcz rallo?o z(. o.nt, = zo.b5 = 2.58 rabltatb€li €rtek blhasz,t 1 l

Drasrval a konfi denciaint€nallDm hatiraii

0,35 - 2,58.O,O1| = 0,322 ) 32,2y",

0,35+ 2,58 0,011= 0,378+ 37,8%.

Tehet a szavazatok iiswimhlSsa urin 99%-os valosziniiseggel ana szamiftaruDk.hogy a kivilaszrorr pafira szata".& afiiya 32,2o/o es 3j,8% kdzdtt lcsz.

7.3.4. A sok sigi sz6rdsn6gyzet becsl6se

A sokasegi sz6rrsnesyz€r (or) becslesdre a rorznattan becsldsr eredmdDye2dkonigelt tapasaalari sz6rdsn6syzder ( 6'?) hdaauuk

F[gg€lleD, azoDos eloszlesn minta es€r€n dcfilietjuk az

(, 1).'

v6lroz6t. lia a minra i,,1:,...,1" tagjainat sz6rdsnEsyzctc dr, as M(( /;)= 0t | , i \ k . , , \ , - r )( i - r .2. , , ) . a l lor a \ : - - - : / . ' - r - r l . ' r ' - , \atn, / in i .ds, \ ; , ro/or\a,1, . , r , ,

€rt€ke 0 6s sz&nsuk l. Ha fell6leleziik, hogy nomatjs ejoszllsriak, a*tor n€gyzcrijsz

sregiif. igy " i. I alosrtesi r trzabddjasfokkal

5l

r Idhol a / l . r l le l \e, la

^/ ' - t 1n \ /doao\cslol e\eren d , -e lo/L 'co' / ld '

IA zr eloszlesrol6 ardcrnes BeSleg)czD hocy tu8gellc. srandard nonnitlis el_

oszlisn viltoz6k .egyzcldsszesenek eloszlisil fejezi ki [gyelleD szabadsdgfoka \ai

ani az osszegczerd6 tu88etlcn vilrozok srli,lr\al c8,venl.j ]\ l: -eloszhs csak Po2ili\'

drraket.e van ertelrtezve. s hdlril alzi4n.triku\' Az closTlas siiruseSiiggvenvir a Zj

7.5 Abra

A t1 alt ztu| !:irnseir!:Eratrre kul.nbi;.d szabdsnAfuAo* t\.1an

A 7:l L pomban mdr megallalilottrk, hogy amak lal6sziniis€gc, hog!_ ! soka

\ri8i llaranralcr r konfidenciainten'allDmha csik. I d . s annal laiosziniiseSe. hog)

, . .1 '

u \u ld.r t , r " .n" ' " . i * I \ . nwi iu. i8scl le. / kr 'cbbd loDf iderrrJrnrer ')

vrllLln also halirandl. s ngyanekkora lalo!2jmiseggcl iesz nagyobb a fels6 hatiiin'l

Mivcl a lr elosrlds aszlmncrrikus, az eddigi eselcklel ellcnlilben a konlidcDcia'

'nr-r .1. lun r . n h. / s/rDncr i l ' , . d !^nrbecJd.,c.

A konfi dencjainte allun kapzisihcz irjlk tel t.lAbbi i'sszefigg6$:

tugg1cn)enel r " . i l re^et | " - e i ldkhe/ ano/ol \dn.r | \ l^a , -e.)r l i

dbldaaribol keresbeljilk ki. (F ggel,k 2. /l6ll2ar ) Mivel az eloszhs ncm szlnmet!

ku\ , mrnJ a ker enckrr k, kelr kcrcsni in l a rabla/arbol . Arrcndc/: . udn - \over\e,o

osszefuSScs irhat6 fel:

- 1,- rJ.6 ' I<o,< : . ]_ =] d

x'"\"1) )"i

IIIIIIII

("- t ) .6 '

, :L@t)

Ebbail dir fclirhatjuk

I - - \I I (, r)"' l(,- ')"'l i l;]"(.,4 J;I..,)l\ t r I J

r\eznnt eel pcldil a7 ehondottal'JaEey 250 gralmos v:ttaxmos kevat csomaeol6 g6p miikddis€nek vi2sgAlardhoz

egy 100 eiemi viletlen ni at vcflck az egyik nunkanapon. A rnintiLba kernlt kivacsomagok ncno 6lr€sl rdmeS szerind megoszlisa a kiive*ez6roll

7 2 lAbbzotA niniba ketuh htra5onallol negDszldso

. ' ,a 240 ) i7, I240 245 t t ' r245 250 t \ ! / i250 255 : : - :

255, iar : :Y, t

22322t{

t00 @ l \1, ta '

sokasrigi sz6r:isra adott koDfidenciainre,aauunol. (ott1'r

t

I

',. :"e =:4gtTegynk fel. hogy a kavicsomagok titltesi tdmcg szeritti eloszlisa nonnilisnak leki.thet6.

Haldiozzuk meg. hogy milyen hat&ok kdzntt les2 a kdvecsomagok tallesi tdmcgenek sz6rasa 95%-os val6sziniise8sel I

II

. vtrl6szinnsegszimiris 196 oldal

52

I5l

El6sz0r szdmirsuk ki a minla nllagdres sz6rrsat!

-

= 248 grarrE ,

l8 i2 l?,5 248) - { r0 (25?,s- 2481- 5.5J !'amm.

Y 99 t) t "co- '

A tr-eloszles 6bldzalrb6l r:/=100-l=99 szabadsrgfokniil klkerAsijk a nrBl-c-lci6 t6bll'ari 6ndkcket. mejyek

i , . .(ee) = 74.2 6s t; , . .(ee)= r2e.6.

(M'vel a Zr eloszlds ribljzlta a 99,es szabadsagfokhoz knoz6 an€ker nem hdatmaT-za, ezat a 100-nel kldh eneteket adtuk mcg.)

lgy a sz6rdsra adon megbizhalosigi intervallum harnrail

elemcil rAegenkent "gr6:eni

ftle en nintafttellel ! atzluk ki, czan a konildcncin-intervallum m€shauroznsrintl csak ez€l az €se el fosunk foslalkozni

A r6t€gzen mint6b61 tijn6n6 becslcs lanulmdnyozds6hoz lolrbbi iclitltsck bc!.ze16s6rc va, sznks€g. Ezeker

^ 7.3. tdbli2atboh tekiftink tu.

7 3.ldbldzatA.itegzen ninttibrll l4rtihti heLlis jel;li v."t!!zo !

V6g€s sokasrg felletelez€se mellet az ismerellen sokasegi virhalo irtak azonos

u irtrqe l fu = r), ts ^tatcsetlasot

sulyozott szimlmi itlasakart szdmirharo kil

J ln- l l r ' loo {{1 -al johaGrd. .J - .1 : i - J4.22 2. t pralm.l l r i. l l L2e6

rer.oharr . . j { / - ' l ' - . / " : , t : t ' n/r . r r -z.r pa*.] zi i ' ' l l 74 2

Tehrr r "a\ec.oma8G ne u rbirii rome8met ingadozaa tslorisa),)50Foi mcgbizrdlo.db melrerr 2. ' e,2. '8 la lm kd/df l rm. Tmeszele.en knbn \ , r \gdtal rar ! .y! lkepezi az a torzittu. aftely abbol szimuik, hogy a nomatirasi felterctiink hibrs.

7.4. A konfidenciaintervallum meghatiroztsa ftte?zettmintavdtel eset6n

. A 62.4 ponrbd revleresen rdgyattuk a rdtelzeu mrDla\e|ctr ettard.r I-mlc

keftrour rIl .Mr 2nry eml;rtnl me8. hoSy efn minrdvareti m6dftLl a sokasdgor olymocon honltuk

'aregeUc. hogy c sokdrg mrnden etemer uflatma/zrk a rirepet. dc

egydie ere'n se lanozon egyndl rijbb csoponba. 6s relegcok6nt eryskrn vite en

A/ eddi8rek sorin r sokasds ri'haro inakere. d sokasi8i cn6tdsyegre is rddnlra m'nd tijgeellcn a.,onos clo"zt;\u m,nra. mjnd e$s/cni lcterlen mrnra cserenIncgadrul d tontdenL rarnrcRalumor {A sokasr8i s/odna.sat tuggelten /ono\ et.o</rdsu nrrra eJeren rel lu l me8 mrnde/r I Mi!ct d rc legTcn mrnta\ i ret \ordn a ni t r la

54

Elemsnm t eeyes dte

A_/:ediL .€1eg redik ele-melEz ranoz6 ism€n'dnCl

Adorr tulajdonsiggal rei'

N,

xt,

x = tx

al

_ 1 g"

t,IZ\5 tr l

l !, , , ,1 ,

/;r', ',r

:L

l l n _1

55

N€znk mosr a becslesr a nimaelemek s€m riintos elosztisr esel€nl Mivelhinden r6tegbiil egyszenj ldtetlcn mintit vesznnk, a.6regdtlagokat c6hzeri a ftcgfe-Iel5 mDta.itlaSokkal bccsiilni. Tehdt a i,cdik rdtcg tulaganak a becsl6fiiSgr'6nye a /edik releg ninia laga. a tr, . Cehnk uorbar nem a retege aS, hancm a sokasdEi irlag becsldsc A rokzslgi firhakj irtik b..st6tri8gftnyil a minbntlagoknak a sokasdSiratcgarnn-vokkal snlyozorl a agakcDl kapjul. mely keplcttcl fcli^,a a knvelkez6:

S^r , l

Temeszeresen, ha neft isme4uk a releeeDk€nti szoresnigyzetct. akkor a nrjnlib61 kell bccsnloUnk a komgalt empirikus szornsnagyrcr segitseSe\€i. s igy a naDdardljba:

;lA koni ,ocnc,a,nre^drrum mctsharroz; . ;no/ a hec, oru.r"* ' ( , ) "

* , . , '

nak isnerere s sziiksig€s. Eren becslaifuggvenyr6l belilhat6, hogy nag_\, nirta esetnki'zclil6leg standard nomdlis eloszlisu (s a rategzetr hinrav€teln€l dltaleban nae,ymindval van dolgunl). Igy a sokasaeilArbaro ed€kre adolt megbizhatosAgi inrcN.l,lum halrirai a kavetke/6k:

i i , t ,n o, , , , , vagv ! , " , t : , , c io," ,

KankTat nirta esetin pediE

i tFt ! r t o;{n) vagy r t r r l2r r i l , .

Vizsgrljuk neg, hoey a mintaclcmck arenvos elosztrsa esetdn hosya! hardfozhatok neg a konfidebciaiDten'allum hattuail

Ha a minra elemen rdnyos elosztrssal velasztotuk ki, akkor az egyes r€legck

aranya a ft'.ttban es a sokasr,gban meecgyczik, tehdr ll = 1 pt1 1r"5"1""11"r;1u" "N,

r€regzeft ,ninravCrel eseren a sokasrigi vrrhato cfi6k becsliituggvenydbe

, r f r - f r , i ' , i' ' ' ) - 1. , -

ad6dik. Tehar a becsldtuglaeny a ret€gitlagoknai a ftinubeli .€legarrnyoll<al sulyo

"" ;=;-r bchclycrtesiliil a rereszerl minlavitcl eseren az ertagbecslas

srindard hib4;n3l n€tsr/crcr mur.ro .:./e fudci.b.

7['+)=(, ilz:'T-:(' ;)i= tadodl l . e. le lha/ ld l ! - . t 'oel I - a s tct J/a/ . n,n dbel i b( t .u . /orJ.r . , \ .

zeltel, akkor a.anyos elosztrs esetin az dtlagbecsles standard hibAi6.ak n€gyzele a ka-ve*ez6k6ppen is irbal6:

>N,,,

tN,

";,",="'Ii+,'lI+,, J=i,'[+,,J=,i[+)' ",(, )

,.(o)="i =;l ' ,)

- 9,ry, ^Ptq= Z N r ' ,

IIIIII

g/ \ '1

II

tT

A ton'jdencrarnr(^allum me8\airo/risiho/ aTonhrn ./dse8dnt \rn a be.JoI E!\ i . v rdod,rd hrhaida rA/ cg), /cni .eg kedveer r os/ctu8gc,ctcr a.randsrdh,hJ nc$zcrerc murar i l t be. tTehr l

,,J,rnrcly a rateSck fii8gettensa8e nialt bvnbb irbaio a kdvctkczij modon:

l .y a/ o vetu8!. ' rcd, la lodo d / -ed,t r rethe/ raro/o mrnrajr ldP . /or ; \nep)/crenrka rcrcSi ranyok_na!y2eli\ el su tyozolr arlagdra

tgys2eru !et.1 en rninta\ etet eiertu

Ezt visszahelyc&sirve az el6z6 Osszefijgg6sbe. M kapjxl, hoe)

" '=f l1Ll ' ' ;"^ 7\N), ,Ennek n€gyzcrgyijke a stan,lard hiba.

56

ItT

I57

oA"t=

Ennck dqyzetqyaike a slandrrd hibaHa; rdleeeolantr .?6ras nem rsmen al<kot a imti ossretuS8cs helycll *dn{ai

, , " , r i . f r_ l )' ' "

' \ N,t

ktplercl hasrnelj*, ahol

:t(',,-'I >(,,-') ";:1 l -

sl . -

t 'Z-\ i ' t l

lovribbi rl =rf . a mideb6l sztmitott ./:edik rcteg korigalt mpasdalad

Antryos r6tegzes eset6tr igy egysz.nffsijdik z atlagb€csEs stddard hibejet me8-

halaroz6 ttsszefiigg6s,6s vi-lngossi v6lik, hogy a rctegzen mintavelelnel a becslg Pon-tossrga csak a rercA€ken beliili sz6rodisl6l fiigg- Tovebbi belithat6' hogv a retegtn

mintav6tel standaJd hibrija kisebb, minl az egyszerii v€lellen miniav6tel6, mivel a mu-

1a16 kis?amitdBenfl csak a c$portokon b€hli szot ssal szimoiunk, s Dcm vessziik fi

gyeloDbe a re@gfilaaok kiilihb6z5s€g€t. (Ismeret€s, hoSv a sokasig Ieljes szoiA6-

ftgyrere o1 = 6i + ozx .) Ha a soksra edsen heterogen, a]:lor a d i nagv igve

ar6tryoso relegzett brcsl6s standard hibnja bny%€sen kisebb lesz az egysanii v6l€tl€n

mintavetelm alapul6 be.sl6sttr6l. E2st a €tegztt mirtavelel potrtosabb becsl€sl

eredmdnyc, mint az egyszerd veleder ni avAel Ezzel szemben, ha a sokastg kitzl

honosen vol1. al&or a teljes smrds6sz€t M8y €szet a d; €I€dmenvei' s etkor a

r€tegz6s nem vdel ldyeg€sen pontosabb e.edmatr)re.Mivel u drnyos elosziris €seten hMill aissrefiigg€sl a nm minvos eloszds

eseGn basnih itsszefiigg6t!6l vezettijl le, ezen a bssl5figgenv nagv m'nta €selenlovdbbra is standard nomalis elosztd$i lcsz, igy a koffidenciainlcnallum konkret

-ot!zti

ot va8y ,{^rlzl, ri(rl

osszetuggeseklel haltrozhat6 me8, at6l tuggiicn, hogv ismcn vagv sdn a racEok€nti

58

frt6kissz€gbeslas es€to a r&egzert minravAeh6l hasonl6an jdrunk et, rninl€gyszerii v6lelletr miDta €selo Nevezelesen a sokasegi verhat6 crt6krc adolr konti-derciaitrrervalllln' hatira;r meg kell yorozri N-nel

. AninybecsleD6f a $tasagi a ay bast6fiCsvente a minrabcti adnyok sityo-

zon iidagak6nl szimithat6 ki, azaz

Pta - L ip.

p1t)= L;pl

A standar.l hiba kiszj'j.i$sa soria kohkrat nintdnAt - mrnd arnnyos, mind ncmartnyos eloszljstrtl - a nern danyos €toertu €serm basaatt r (R) 6sszofiiggesben a

rereaydresok (r, ) bely€n a Je,(l p,) verepet. rebiL

P'\ t -P) ( , " ' \4 l . '4 l

Cf'- :L) .

II 'I ";",=,!,(+)'

A koDJidenciai ervaflum h^rltrirpednqkoik/,1 hhe dete\ a

i61t" s ' " '

Osszefiiggesbe tonetr6 b€belyenesilessel haidrozharjuk Deg.

-T:krl!s , a loverteb petd,ir: A djikbrete. tfldtpo,ra, kxtdemolek ee\hd\i

rorSarmar tivatrta megbecstlni a Magyar po,D E/en a po(lahrvaratokai d tors-'alomoa$6a8a s?ennl bdom csponba f,4. A is r') \orokat. d. az egye5 csopoflokboi ca\-szeru veteum krvatasdassal minlnt verrel. A sokaseg es a mrnra mesoszt;riir. ro!ihhr]a szimiitli eredmmyek e8y r6sz6r vatam€ty honapbu a 7.4. tdbtizalt:lnatlliazza

t etthhi:\he cnkiA* adab*

Lev€lposlai knlden€ny€t szih6nai

a asa (E db)

ARc

80420

2690

l62632

10t,012.01.5

54,06,00.8

3190 96

59

IAdjxnl pon! is inlenallumbecslesl a Nlaglar Posla hali eilagos lr\elforSalm''

ral (A nesbizhal6sdsi szini 95% )Slii;ijr vizsgeljuk ne8, hogy a n,nta€lemckel ardovosan oslondk c cl t egfes

r€1eeek lozdltl Ehnez hatdrozzuk ne8 az eeyes r€legck ardnvdt a sokastgban 6s a

mrniaban A .zanirar crer.Lrndr)ekcr " - ' , , r /J / r mJrdr "

7.5 1nbln2atA sokosdt:ar o minla elenszinonak megatztao

Az c8yes r€legek aran) a (%)

ABc

2,5l l .284.1

19.621,1l l_ l

r00 0 100.0

Mivcl a2 csycs rilegek ariDyanem eSyczik meg az slapsokasrgban €s a mintnbaD, i8va nnnraclcmck szetosztesa,en ardn os elosrnslal,orten1

Ilccst!nk meg a postahrvalalok erlaSos forgaln6r a lem anilvos eloszta6 esercn

LN, t ,hd./nrrr , . - : k ip erdlapjan'A reloaD.n

1i0.101,0+ 420 12.0+ 2690 1,5= _..3?8 E db3190

Tehal a Magyar Posra bavi illagos levilforgalma 5178 db (Ekkor portbecslesr adnrnka lcvdlforgalomra.) J

A slaDdard hiba negyzctinek negharirozdsrra milcl a r€regsz6rasok a soka

?r , , , , ), "Lr .an ncm i ' reFe\

- , . - t l ; l r - - l l 'e f rerer hd' /ndlur rr t J

-

- \ \ '41

r l

. r tL.1 L 's - 4rn ' I roJ, f -uao " l f , ' , I 0. , ,o ' . .

" I , ool 's Ro/ | tc l , 'A a)r , ro0 rr )oao

a'nclyb6l a slandardhiba: rrl, = 0.249 | db

A kercsctt Degbi2halosaSi imervallum lrarirai PediE :! ,.. = l-96 lilhlsznalitiral:

5.178 1,96 0.249= 4-E90 Edb,

5.378+ 1,96 0.249 = 5.866 E db.

Megauapitha!uk. ho8y a2 egyhali athgos l€velforealorn g5ol"os megbi?haro.s698a14890 €s 5866 db kozijt van adon honatban.

Becsnljiik me8 95%'os valoszinis€ggel az adolt haviolrr:.J lcv€ltbrgalhatr

I190.4890 = I5 599100 db,

3190 5866- i8712 540 db

Tehir a Magyar Posta dsszes lev6lforgalma a vizsg6ll h(lnapban 95%,os valosziDii-segSel l< (oa. l I db d ' lR ?l2.qa I d l ' to/orr vrn

Teki.tsitk a kdve&ezii peldatlEgy varosbe kifddivcs fclm6r6sse1 vizsedltek a hrzi munkira lofditon id6

nagys6gnt. A vizsgih lelcpiiltscn 80 000 felndlt lakos lakik, akik kdziil 36 il00 l6rti Ancm szcrinli hovatartozis aladan rerc8zelt 1000 elmf mintira vonalkozo nribnic,6kar

^ 7.6. dbhzal ranalmazz^

IIIIII

TIIIIII

l000elemidinta odatai

A hazl nunLiral liihdtr rd6

N6,150550 1.2

r000

s2dre 95,5%'os ftegbizhat6sigj szjnteDlMivel a ferfial ar:inya a mindban es a sokasigban mcgegyezjk (a ferfiak arinya

45%, a ni'k€ pedig 55%), a mi.t6r 4rdoyos elosztissal v,il,s7rot'rk kiA hr, mlntdralrolro. l ,db dlaEc

i ! -n4< 0. / i -05' 4 2,4_ orr '- , i^ 'G"

Mivel a relegenkerti sokaa:gi szoris ncm Bne . e2dn a standard hiba klszimi

I

bal6Jozri a belsij sz6risnegyzetct:

(450-r ' r .5 ' +(550 t . i ,2 'sr=t000

_ls1000

Emek felhasnebsaval a slandard hibrl7.5, A minta elemsz{minak meghatiroz4sa

Az €ddigi€k sonin felt6tel€"riik, hogy rendelkezesre ell egy neghatArozoit elen-szimn miDta, anely elerneinek fehasznihsaval meghatrroztuk valmely sokasAgt je1-lelnz6l adotl megbitntoseggal lartalmaz6 konfidenciaiDteNallun hatarail. A becslasrjsmen mi anagysng ahpj6n vegeziik €1. Ekkor a becsl€s pontossdga a mintaelenekeimat6l is fiiss.

Kdzelitsiit m€8 a probl&trft a nisik oldalr6l. HararozzlcJi meg, ho4y neLkoru

ninhra w szrksiar,k ahhd, hos/ es a.lott nesbbhatosdsi s2iht (1-a) ^"lktt

egl odott pondsngot (A) tt ljtnk hiztositani. Ezen Eordolatmenelel a, is indokolja,hoAy a reprezentaliv adatfeNelel sorrn el6re n€glervezziik, rijgzitjiik a poDtossagi €s anegbizhatoGagi kitveteln€nyeket.

A ninla €lemsziminak megbal{rozdsil fiiggetlen, azonos closzlisn minla €se8ysaff val€do minta es€t6n mutailk be.

FnAAetler, @onos eloszltul ni inAl ahib^batil zmi! megismen k6plel szerint:

- "6 ' ,

melyMl erend€z6ssel meshatrrczhatuk a sziiks€ges minla elemszemit:

(" . " \ '

t^ /A fe i 0sszefiigg6sb5l l rhar6, hoAy

^ nintaelensztj,n naArzetden aftnyos d

negbizhaloetggal As a sok^Aei sz6/6sal, fordilattak atdkfDs a hibahair nagy.ativl

Egyseri vile en nintor'lel es€len a standard hiba meghatdrczesdn6l a konck,

ci6s t6Dyeza;r, JI -: t 's

fisyelmbe lell !enn,. dmely d hrbaharan is rnodo{rtc. i6v

r -

Atendez6s ulitn a sznkseges miDta eldszim:

\ 7 " .o '

N.t +z: , o, I

, -,]9L = o.o+z 4'u.' 80 000

'

Mivel z0.q5i = 2, a k€r€setr konfdencialntewallum hadrai:

2A? -2 0942=2'386 6t*'

2!1+2 0Y2=2'554 otu

,"-,"Xi',:!?:iyi'*l'uJ,1;fi",1T1,xy;ll*' "rdiro( atrasos id6 e5'5%-os

"",.3:i:X'**iitr ;*j'"51T#:;'iyl::1*Et ffi"'l:il*"f:r.f:;*1":*:.::l::f lL::[.'!*',:"..* "" mi:'-ff :::#i ] T;israndard h,ba meqhatarozadhoz sztxses var " '"

#H "';';;i";;'i; szordsrdr { r' ) b';nem a rereger ri'zi'ni szonisl6r t s' ) is

ni;;:il'il;;;; a ki'|r't' szdr''sr Ehhe/ er66zi" kiszimiriur a minr6'

ban a kiilsit sz6r{snegyzetet:

, l=i] {", - 4' = ort '{0,6- 2'a?)'+0'55 (a'0 zlt\ '=4e

A mer koribban kisz,niton r i = l'8 rsmeret6betr a t€li6 szoiasnegvzet

r ' =s' +r; =2,86+l '8=4'66

Ezek xlln egyszer[ v€let]en minta\'e{ei feftetekzese eseld a nandard hiba:

. l -T,[_1'9 / ,@-o.our.*'= j , { ' - t '@tJ toooo

vee,ilap,,ha,rui(. *., "'rry"T'illJ'l{ljl'lTl#"ff*f."y#, :,ll:ora. mis r;reszett mrntavdtel eseE! csax u wu u'"

mazxrsoklenrene a srandard hrbal

6l

Igazolbat6, hogy ha veaes sokaseab6l vissat€v6ssel vnl&sztjuk ki t minra €'c_

meir (l;hil lupqerlcr, uotoi eloszlasu mrnrdr v6Tiink) .llot adon p( nlossdgi 6

mesbi arosapi ielralelek mcllelr nagyobb minl,ele|rMtunra van szijt#8. mitrl ha vi

se,',olasdgbt vrsszateves nekitl regyszeni veleden mhLaverellelr vilavtottul volna

A rnintanagysngot u egy6b veletleD kivelaszLisi nodok 6elm is ritgzilett pon

rosseg. i, me8bizhar6si8i felrerelek mellelr hatarozuk mea a tenti aiss/eliggesel al_

kalnazis6\al. iey pild,rul 'degzetr

mhGv6lel 6elen. ha a mmLaelemeler ujlvos el

oszlrssal velasztottuk ki, a fmti itsszeniggsbetr a o hel)€( a o, -t kell hdaAhu

Fontos heaiewa: ha a sokasegi szoras nem ismert, a minta elemeaD,DakmeshaLirozisrnil hasatlhariuk a konibbi mhtav6telb6l eimazo szoiist is

Terjnrk ssza a gyiimdlcskou€rv-szillitm,dmyal foglalkorc pcklinthoz,

melynek eredm€nyei a kovetkcz6k vollL: A mintiba ker l konzervek nett6 titlttilo_

megerek sz6rasa: r = I 9,49 8ram. A hibahatir I ,7 8tr,lm, a megbzhatGegi szmr

pedjg 95%, ds 50 000 nves€t tarlalmu a szillitminv

a, Halaroak meg, hrny elemi minttra van sziikseg. ha viltozatlan meAbizhat6srg 6ssz6ris esel€n a pontossigot a fel€ro csdkkentjnklHa a podossig a fel€rc csitkken, aLkor a hibahal.iJ keiszre#re n6, tebfi / = l3

grami

' { } t , - .50 000-lq6' .19,491

"=:0ffiffir=rzo.\ ) \ ' J , r ) -

Ekkor l€tryegesen kevesebb ( 126) elemi ilinta-is eleseDdij leDe

,) Hdny el€mi minttra van sznkseg, ha viltozatlan ponlossiS mellett a megbizhat6si

sot 96%-ra atajxk nitvelni?El&or a z0 ,, = 2,32 , a sziikseges mints elemsziha Pedia

5oooo 2,32' t9,49' = 694 .50 ooo. t.7' + 2,32' t9,49'

Tehel ha a megbizhabsngot 98%{a nOve\nk, veltozallm pmlossig mellen(698 elonii) ninlira leme sziikscg.

7.6. Gyakorl6feladatok

| - t ev *oros clsz;molnsa nem tblelezen boll oaPi elad;s lorgalmd. | 2 \ dle'lens/cnfl; trvdlasnott naom e aldbbi meefis'€liieker relik lforgalom 1000 Fr-brn

17,2a lo,t\t 14,61 15,5: 20,41

Konibbi rapddalalok alapjin azt e haljuk, hosy a napi forgalom nomnlis elosz-la6[.

a, Keeilstuk 95%'os mcgbizhal6sdgaal i ervallumbecslest a MPi illagos forBa

,) Mondjuk nes a $ndtrd hiba. a maximalis hiba 6s a konfide.cialnteNallu'n jc-

Eay ndi!6iral-f6les€g palackozdsara i! automata g6pson veseroltak. 500 elemii(loolors) velelto minta s€gils686vel vusgnijak a g€p teliesihcnyct Fell€lelezziik.boSy a l01r6i tdmeg Dormelis €loszldsl kdv€t.

Udil6ital litnese (8anm)

9698

100102

98010001020

- I040

5015

1005025

500

a, K€szibnnk inl€rvallumbecslst:I . a palackok itlasos tolt6l6tne8er€ (950/*os megbizhat6sagsal),2. az t00o 8lalm titllStdm€g f€l€fi nves€k :reny6ra (90%-os megbizhat6srg-

sal)!,, 5000 palack eladoit iidit6ital eset€n mdimdLlism htny olyan palack van. amely-

ben | 000 gra'm feletti a tdltStaimeg? (Val6szinns6gi szinl 90% )

Egy sazdasagba. rtj6kozodni kivemak anol, hosy u 1000 hekltros brizavetasbrnletcn nilyen rcm6s v,trhato. Emck 6rdek6ben v€lellen koo inelik alapjan kijelith I rl|,-es mintav€tcli lereken 100 minravetelt vegeznek. A mintdb6l nycrl ada-

I

T

IIt

I

IItIIIII

-II

l l

I

Becsnliik neg 95%-os m€gbizhat6sdgi sztulend.) a vrrhat6 termesdllagot,,.) d 1000 ha-os t€riileto vArhat6 buzalem€s m€myis6g6t!

Az cgyik bisipari vnlhhtDrl 500 granm nevbges t6megii hnskorzew lohdere njgepot liliilotuk iizmbe. Egy 100 elenf minla sSils€g6vel vizsgehtk a g6p leljcsitm6ny6l. Felt6telezhet6, hogy a iolt€si titmeg mmilis eloszl6sl kovel.A 100 elemii mintibd az n agos l6llesi titmeg 498.6 gramm. a szor5s I I,2 8l?lm.

a) Jeloljiink ki a koERck itlagos ldlt6lomea€r€ ko!fid€nciaintervallumolI . 95%'os m€gbizhat6slgi szinten,2. 98%-os m€gbizhat6s,igj szintenl

,.) Ha ugyan€zer infonnrci6k 200 elemii ninttbol szi.mzninak, hogyu m6do_sulnrdak az a) ponlbeli irtervallumok?

Egy 500 elerniirninta alapjrn ana kivinlal( vrl8zi kapni, hogy MagyaroFzison agyiimiilcscent.ituSa memyirc cherj€dl. A megk6rdeztt hizanrsok kOziil 80-banvoll ilyen g6p. A hdnanasok szjma a vizsgalt 6vbm 4 milli6 \olt.

a, Becsnlje nes 95,5olFos negbizhal6sdgi szintm a gyiirnolcscenlntuS6val ro-delkez6 hezhrtisok an:Dyell

, Heny darabra b@snhet5 a hiizanisokba. haailt glrunolcscenritugrk eim?(Val6sziniis68i szint: 95,5%.)

Egy ktin)rylirban egy adotl heten a benatkozon olvas6k 5%-a tordull tneg 6s kitlcsitMdlt kii.)aet. Elcues c6ljib6l feljeSyetak az olvas6k ihal kdlcsoEitt kitny'

4550556065'10

450- 500

550600650700

820t220t2

100

t5242015l0

l l0

4,) AdjuDl 90%-os mesbizhatosesj inteaallumot a hdronndt t.jbb kory!.t k6l-csitM6k aninyara vona*oz6atr |

,,) MilyeD sz6rodisl nulat a miDtiban a kdlcsbMijtl kbnlaek sztna? (A sz6rnsDulatosztmeval mqve.)

c, Milyen halrrok ki,zirlt becsiilhcl6 - 95%{s megbizhar6sngi szinleD n ,, pont-

Egy bizonyos lipusf televizi6k6szil6k javiresdval Budapeslen csak esy szeNiztoglalkorik. Egy 100 elemi mintdbol az utom,n vadrolr e. sardncrali. iddn beluneghibesodou kesztil6kek szina 30 db volt. K€szilsnnk 95%-os megbizharosiagalj ervallumbecslest ana vonalkoz6an. hogy z adoll 6vben €rtekesitcfi 10 000 dbk6aEk koz lxiny db szorulmajd sarancidlisjavitdsra?

Hnny elemii nindb6l kapflanl olyan becslest, amelyneka., 98%{s a mcgbizha6snga veltozallan hibabalAr mcllctt'ilr, lrkozatlan m€gbizhatdse8 mcllen kaszeres a ponlossriga?

Vdmely lblsitokalnsi inlizm6nyben a lapi etlagos ebddkajllse8 nlgysigir kbecsl6qc d ott ldul6 1800 diAkb6l200 ftjs mintdt vetlek. Az inrazminycn bcliil xhallsat6k 60p%-a fin. A 200 l6s niDta eredm6Dy€i:

z.) Becs jiik nc8 a hall8a16k dllagos napi cbedkttltsd8et 95%-os mesbizhat6sisgal!

7.

I

Az cbadkdhseg r€lege. bcliilre6r,:isi (fl/f6/.ap)

t2080 220

124I I8

200

67

!n'

I

Becsiiljlik meg, m€kkora beveiekc lenne szen naponla nz elkezesl biztos'Io ce8ha valamemyi ballgat6 az inlendDyben ebedelnc!Sz:trnilslk ki, hogy nem/ leme a becsl€s sordn clkijveten studard hiba, hanem reteseztiik volna a miniit?

9. Egy orszigban nj tirsdagi ad6tdrvety bevczel6s6l teNezi a kormeny Szereln€k aleb€t6 l€smagasabb adol kiveti, de nem akarjrk elveszirenj a sok kiilftudi befck&161 s iehel€llen helyz€tbe bozni a vrllalkoznsokal Ez6n a 6rv6try alkolrsa el6tregy el6zeles felmer€e vege2tek ana vonalkoz6an, mi az a maximilis ad6kulcs,armt mts a vrlLalkoz6k is elfogadhatonak lartanak. Az orszigban 348 600 vrllalko'/6\ mul<itdil. Fgy 1000 elcmi mhravelel eredmmlei:

('/,)

BellnldiKii|lildi

2632

t00250450

2025

5.T

100 r 000

B@siiljiik meg 95,5%'os negbizhatosrigi szinte., ftennyi a vallalkozsok ,llal javasolt ad6kulcs Ada8os nagysd'8al

10. Eay rcprezentatjv felheres soren lizsgeldk a libama.Jlemel€sl a libmdj'ba%osilisn hibridekndl. A 25 ezer db-os hibrid.illonrny 40%'a aitdttlliti mnlbibrid, 30%_aHu.gavis-kombi, 30%-a Hungavis-bama. A vi^8ahl sor6D leli8ott 500 lndra vo-

(db)

175'15

250

695530610

| 6,08,0r4.0

500

lr. Egy gazdasrgbar 3000 almafa bssaemdser kivedil megbecsiilni Ennek erdekebeD a k6r almafajta (,4 as ,') remes6bi'1 afiinyosan r€tegzetr I 0%-os ni nr resznek.A 2250,,1 faji6b6l kivrlasaon 225 fin az dsszes tem€s 27 000 kg, a t fajriibol amiDtrba keriill alnafrkon z itsszes termds pedig I I 250 kg vol1. A mintaAtlagokrolszemilotl chcr6s n68)zeldsszeg az egy€s fajrikntl a kitvetkez6: ,.4-net 201 600.,-16l I 18 4OO.

a, Sziimirsuk kid egy€s r€leg€kber az i agos almalermey,z egyes r6teg€k sz6resntl

,, BecsnUnk n€g a gazddig vilhat6 osszterm6ser 95%-os megbizhat6saSi szn!

.) Az A f^jl'nat a ,."asro, Syerae" temesi fAk arenya: l2%. a l' fajrin,l pedls8%- Memyne becslilhel6 ez M

^tany az eeesz Eudaslgban? Hrny jtycn alrnh

,p6ll6st6l ' c€leerii gondoskodni? (A val6sziniisegi szinr 90%-os )

12. A vmely8epkocsi-abroncsok min6s€ger egysz€ni vilerlo mjnta s€girseg€vet et-leni'zik. A k€sztem€kek nint'sag{llen6z€se soren u abroncsok 20% a ncm 1ileh n€g a mini's6gi ftdver€lm€nyeknek

Hatitrozxk m€g a minits€gile8 kifogrisoll temekek adnyinak konfideDciaintwallmar, ha a fenti efi6ket n= 25, ,= 100 6s n = 2500 elcmri mhtab6l kaptuk (a mesbizhar6s6s 95%-os)l

IIItIItIII

l

ilI

iii

It , ,

II!

Becsnljik meg 95,5%-os val6szitriisegi e'nI€na, a libamej Attagos tomeg€r

- az csyes fajtdlnAl,u illaitllomAny egeszere,

bl a mdjhasznositiisfi hibrjdek ,lLl termell libmdj vidato dssztdmcgal:

r

8. HIPOTEZISVIZSGALAT

hipol€zisvibailat v€gerednenye, hogy ak€t hipot€zis kiiznl r'alametyikct cltbgadiuk I

A nulfbiporezis 6s az ellenhipol6zis is lcbet egr\zetii \agy axlzkfi ttitot{1i!Egyszerii hipol6zis eselen az rllitisulkat egyenl6s6g fomdlnban fo8atrn.7/uk DrcF,mrg az osszetert hiporizis rbbb otrdllo hipotazis bss?essiBc. ig\ rttrlr.unt Irirr,,!,rt-maz66a sorin az =, r , < 6s > relrci6jeleket basznelhalut.

A nullhipot6zist ni D'.n1tg egyeniSs€s formdjeban fosalm zzuk nrc8. rzdz ,lnullhipot€zis a bvnbbiakbaD nhdig egyszeni hipot€zis, ftig az ahemariv hipotczisiinkritbbnyire atssz€ten hipotdzis lesz. Paldnul ha az ellidsunk az. bogy a sokasdS vdrhat6eneke (rr ) egyenl6 egy u0 el6r€ rogzftett cn6ld(e1. allor a nullhipotazjs ts az altema-dv hipotezis a kilvelkezii m6don fogalmazhato megAz elijz6 feiezetb€n nesismen becsl6si eljrrrsok soran a sokasisi paramaen

ismerellemck lekiDlettiik. 6s a miDtrb6l szimaz6 adatokat arra hasmiltuk fel, hogv az

ismeretlen sokGrgi parameter kitzcli|i€dek& meghatiozuk- A hipoluisvizsa6lamnl€zzel szemb€' esy (vagy 16bb) sokasig6l illitunl valmit, majd a rendelkaennkrcill6 rninla (vasy niDtAk) alapjan z ,llilrs hclyess€g€t elledr;z[k. M6sk€Pp€n rnes'fogalnazva: ul plobaljuk elditnteni, hogy valamelv minlrbol sztmiton 6n6k es eav

,l6h* cl6re feltetelezet €n6k k6zailti eltares el€g nag/-€ ahhoz' bogv nllit6sunk hclyesseeer meskdrd6jelezziik.

8.1. A hipot€zisvizsgdlat alapfogalmai

E&y wgy tijhb sokasAAra nnatkdi A i ^t.

kbvAt hipotgrisnek "ewtink

A hipoftzis wnutko.htl E es, (valt taibb) soksis eloszl^'trd de a sz,6bon fors6 etoszlAt eg (ng, tiibb) paranat ftre b. A h;'Potazis helv6s6set mi rb6l (vagv mtn-tekb61) szamdo adalok alapjar cletr5rizznk.

A fe elnoDdotlakhoz hozze kell ffiai, hogv niNs 6nelme hipoteziskcnt ke2el_ni olyan felleveseket. ahelyck helyesseg€r6l 0elj6 kitrii szimbav€tellel is meggv6z6dhetiirk. A slatisztikai hjpolezis fogaltnihoz hozzitanozik, hogy a refldelkezasre tll6 infomici6t n ninla k€Dviseli. ezen a kitvetkezel6s0nk bizorlaalansagol hordoz'ral6szin s6gi jellegt. Hipot€zis p6ld,iul, hosy egy 6onagol6g€p a szabviDvnak meg

felel6eh titlti a lasakokat, vagy hosy egy i! el.idnis erednenv€sebb, minl a Iesi.A hipotezisvizsgiilai elsai l6pese a vizsgnhi kivitrt hipolezis mtematikai meSlb

galm^z6sa. Ponlosabban, k;, hipolezist kell egyszene megfogalnaznunk Az nD

nullhipot6zisl es egy zd szemben ill6 mdsik illiitst, az in rll€matii hipotazist

Ez rr6bbit etlenhipot zis"ek is szohdk rcvezni A torabbiakbd a nullhipotezisl I/0

ial, az allemativ hipot6ist ,./ -gyel foStuk jelitltri Magukal a konk6l fell€telez€seket

a fi,,, illelve a H szimb6lumol kovct6 kelt6sponl ulin irjuk fcl, megpedie olvd fot_

m6ban, hogy azok z8lL,n;s t kdlcsAnitsek k;z^lak Ete azen van sznkseg, men mindcn

Ha pcdia alremaliv hipot€ziskdr a, ellirjul, hogy az alapsokasdg verhalo efieke ki-sebb & un sz6mDil, akkot

Az a hiporu is, amellnek h€lyessegErail kilaerleniil ddnriint. a nullhipolizis, €sddrt€siirkel mindia d alremariv hipoi6zisiirtkel szenbe. hozzuk meg. Mivet anullhipoleis €s z alt€mativ hipot6zis kijlcsitndsen tizrdek c$bdsr, ddnt6snnk anullhipolezjsl illet5€n ah€mativ ditnres lesz, vagy a nullhipotezist ( 110 ). vagy az allernativ ( t/, ) hipol€-zisl fosadju* el.

A hiporaisvizs$fat eszkitze a strtiszrikd pr6ba. ,4 ptoba egf otyar etidri\onel)aek sorAt a ninrnb6l szdmu6 i,fomA.iok atapjAn dt)nfink a nutthipatt:^ .t,foga d A, n ft 1 v a sy e I u ta s i t^ A rc L

A slalistikai pr6ba v6grchajltsakor a nullhipotezk 6s az alrernrriv hrnott/jsmegfogrbnzis uuin fcfadanrnl d dinlaclphpl pA ,)l,ar !i!!hn\\aA d t,a\.,\,adelynek wl'sziniisieelos,ldra o aullhipoti.is hebressisAheklehitcte,t!., o lt)kultirro ten bizon!6 kiltaitisek 6s a ninbvitel adott hidja netteft egi etnilah ,k,ahutuitozhot6. Az e kdyereln&ynek eleger revi'figgv6d)r pr6brliiggv6nvnek ncvczzrk.

A pr6bafiiesvmy a hipol€zisvizsgaht soran hasont6 szcreret tijtt bc. minr abecsliifiits$6n) a paramilcrck btrslesekor. A proDdrugg\cn) k^nir,.uatdsa ruerar.kai feladat. A pr6ba v€srchajl6sakor az alkalmaz6nak csal a megfetctd pr6baftgg-v6nyt kcll kivelasztania- Ehh€z rudnia li€ll. hogy az adon hipotezisr milyen fell€teiekfemelhsa esei6, nilycn minltb6l srb. melyik pr6bafiiaav€nnyet .lehct ellen6rjzni.

A lovnbbi lirgyalrsok el6tt isn€rkedj[nk me8 egy gyakan hasznelr figgviny,nyel, az [n. z pr6baftggv6mye1. A sokasrsi varhato €n€kJe vonalkoz6 nlhas kszrel€sehez (,€vezelescn s0:! = n0 ) ha normrlis elosrted sokasigb6l sznnnu6 , etelnii

71

akkor ezeD 6n6kek kdziil virhat6d 95 esik a [ 1,96; 1,96] i.tmallumba, h" h",r", "

I4j,{r,....{, fiisse e!, azo.os eloszlrsn rninteDk van es a sokdesi v6nts (d)

'sneaa z pr6bafiissvenyr hasmdlhat6, amely a kitv€tk€26 fomnbe irhat6 fel:

n-n"

a/n

Ha va16bu u 0 a sokasAg virhat6 eneke (ttlaga), akkor liltul, hogy

ul ' - ' ' l -ut i ) -^,6 D{r)- : . isy een probal t l8vmy a renr mcsha'\ n .t ,'ln

lirozotl fell6lelek melletl standard tormdlis closzlasf valoszintisegi veltoz6 lce. Ezt av6lloz6t oly m6doD k6peztiik, ho8y kilotrluk egy val6sziniisegi vtlloz6b6l aDnak vr.-ha16 ertek€t 6s eloszottuk a szoresrval (ritviden standardiziltuk a val6s2inr[s€Ai valto_zonkar). Tchft teljesiti a pr6bafiigAv6nyekkel szmben rimaszlod azon kaivetelm€nyl,hogy eloszlasa egy€nelmiien negha!6rozhat6, ha a Dullhipotcisnnk iau.

Miv€l : a nullhipot€zis teljesiilcc eset6n sranddd nomilis elosrdsn, ponlosm

mc8 lchot 'nondani,

hogy mek].ora a.nak a lal6viniisc8c, hosy r valamel), [ 4; a]

intewarruhba essen (P(-a<z<.1-2@(a)-\. Fordiwa, ba mesadunk esy varoei

nisagel (pl. P( a < z < a) = 0,95 ), a**or az "

ertekc meshadftzhat6 a sbndard noF

mdlis eloszlds riblizata (F saeltk 1 kbhfut\scsitsagiNet.

2a\a) | =o9s.

ebbiil @(aJ= 0,975. A tdblAz ralapitu a= t,96.Ez azl jeleDti, hog./ ha l0o-szor veeiink , clem'i mind es mindm se$en ki

szamiluk a: koDkel 6n6ket:

IIIIIIIIIIIIt

Hi! = no hiporfzis.Mivst eeyetlc. minb nll rend€lkez6siiDke, ezen csak ern6l tudjuk ellenairizni,

boSy a

" =1-^o

G€nek z adon int€rvallmba esik-€. Ha b€l€esik. a]*or elfogadjuk a I10 hipot€zistKonnyen htha16, hogy az inlervallm hossza. igy a beleeses cs6lye is az ado val6szi,nrl*gl6l fiigg.

Aftabnosu fosalmazva: a hipol6zisvizssilat v€gretrajrasa sornn a pr6batii-s-v€ny lehels€ges ert6keirek lartominynt osztoponrok segjls6g€ve1 ker egymest it ncrn

tedo ranom,nyra bonrjut A/ esyrk a/ rltogadisi trnoman!. hsven ci a [. :, ]inlenalluh, a melik emck komplemenlere,

^z elutrsit6si vagy kritikus tarloE6nr

Az egyes tanomenyok hatdran n8y vdlasztjuk ncs. hogy a probafiissv6ny erteke anullhipotczis ( tlo ) elfogad,la eser6n cl6re mesadon nasy (p = I - a ) val6szinnsccscl

ar ettosadd.i nnond,rba c\s. raz eserlnl<ben e(. . s..)- t-" t"g*" a a

kritik8 tdrbnAnyba es6s csak a valoszin6seggel kiivclk€zzen be. Ha ezck urin arendekezdwe dllo mrnrd adakibol l,\/d jut a probdtuggviny ul Jlrrdlrr .,n r. / e. :

e7 beleesit a" elfogadiLsr ranomlba, aklor d d..r elfoaadrul. e.lcntc/o e,crhen .l

5l .ru":i!r!tJt" 4':1tuBtqj* e1,.A pnibafiggvinr [Titik6 tononnnlba $tsAnel ealotzinrislSil szignilikancir-

eitrnek aMxtk, is d val jelailjnk.

PeldrDkbm az d =0,05 szisnifikanciazi ui jelenli, hosy ha a minravetcllv6gtelen sokszor vesrehajtiuk, akkor 100 eseib6l ninddssze illag dtszitr fordul e16

^zu esmmy, hogy a probafiigsv6nytuk rniDta alapjen kiszimito( €n6ke a kirikxs rar,lomrlyba esik. Ebben

^z esetb€n azt mondlnk, hogy e flr hiporezisr 0,05-ijs

szignif*anciaszinl€n fogadjr* el vagy veljiik el dnak negfelel6en, hogy a miDrrbotsimiton €n€k hova esik.

I Nehany pr6bafigglenyt annak ellenae, hogy lal6einns6ei vtlo& a elknodalon nengijrag, hancm latin bctnvel jeldl. Bitr eddig a val6szinds6gi vAltoal gairaig. a 6ltala fclvelldddkel |negval6sull minb esd€n latin betuv€ljeldhnt, *r prcbafijggvoyeknel alkalmaz-kodunk r me8szokol! jeldl6sm6dhoz, negknl6nbdzlelNd a pr6baftggv6ny (:) m€eval6sulrert€ter az ak6 indexbe iIl 0 lal (pl 20 )jcli jnk-

12 13

r

Az elfogadrsi 6s a kitihrs tarloniny egynishoz viszonyiton elhelyezkedEc ht-ronfele lehet. Az egyes eselekel a & 1. dbta szemlelteti

A 8.2. Ah.nn megvt^g{barjuk az eddig elnondotakat a z pr6bafiiggvcny cscri|

d, bal oldali krilikus tirtofrtny

6.) keroldali kitikus hnomdny

.) jobb old.li kririku tanonrDy

eltogadbi t -, kndu r

brikns lrnmlny ;. etfogadA$ hoE;n)

a/ gr+' < D0 aliernativ hipot6zis csctcr

t!It

il

8.1. dbtoA2 eAbsad^i A\ o kni^\t tortoninj le.he$eAet elhelFke.lde

Bal oldali vagy jobb oldali - qsrcldalt ktjtikus bnomtuyhoz abbu az esetbenjutunk, ha z ellenhipol6zisben a nullhipot€zishe k6pcst egy meghatimzolt ininyn el-

ter6sl irunk f€l. Ha a sokasdgi viirld6 6n6kre HJ<no,.lkot bal oldali krinkb

talton nlril,har€dtr H tU > tua, zU*or jobb oldali kritiha lo oninyrclbesz.lnr,i.

Kttoldali kritikus totunAny LJjeldbsCrc olyan *ibcn ker sr, anikor a.ullhipotezisbcn megfogalnazon ,llititsl6l wl6 bamilyen intnyu elt6r€s erdekel ben-

niinkel. Elkor pl. a soka$gj vdrhal6 6rtdke vonalkozoan H\:t1+no u alrcn |dvhi

Az elfogad,tsi es a kitikus tartominy( e|vehszt6 c, 6 ./ ert6kekel kritikus 5r-

t6keknek lcv€zzijk, €s c. wl @ als6. . | -fet a Iels6 lrititus artiker jeloljijl A kili-

kus ert6k(ek)et a szignifikdciaszitrl €s a probatuSgv6ny closzl6srnak iserct6bent6bl6zatok segitseA€vel egy6rtelnfiefl meghaltrozhati uk.

'74

hilikus ranoDiry .. .lfogadtui t nondny

b/ t/L:rr + n. allehaliv hipot6zis cset6n

75

., H,:p > no altemativhiPoteis esetctr

12 AbraAz etli8adnsi as o kntitu: tartona^v ethel@adise o t r6baJiiAgfintnil

A szeml€ltet5 dbii.k ittekintese u16n D€"zik meg, hogvm hattuozzuk mea a z

pr6bafliggv€ny kritikus €n6kei1 5%-os szignifikanciaszint cse(en (TehAt d = 0'05 )

Viiet a', p'otatuc8'env 'randrd

nomitrs clos/l'st t@ct ern a" €nilek ki

kerescsthez a Fnsseiak / tabh2ahil ha.%iLtltt}.

O Ha ^

n :! < no a2 altcmativ hipolezisntrk' aktor bal otdali kilikus tartoDrinnval

van dol$.k, s a kitikus ert€keI ., -val j€ldltiik Mivel a kitihs tartomitryba eses

val6szinis6ge a, tehat

\z ' ( ' r a

Cs a z stedard nomilis eloszlrsl, 'gv@\c,)=a'

Most mnr az d = 0,05 cselen a standed normilis elosz,''s ti'bliE Gntol, (Fngseltk I

/ribl.iza4 kikereshcljnk a ., 6n€ket- Mivel

76

ezert t "<O,tgy

@(c,)=0,05<0,5,

77

o(-c")= l-4(c") = r - o,o5 = o,e5 ,

.. = -1,645.

A kitvelkez6kb€n ezl z"-val fogiukjeldlni, ahol a z a standard normalis eloszlasra,

az d pedig arra a val6ein6*Crc utal, mekkora val6szinrfisegg€l kisebb a p$ba-

frsgv6try aktu6lis ert€:Le a kritik s €rt6tn6l. lh z0.6 = I,f,45

b) H^ H ,:! + no, a\*ot e elfosad,isi tartominyba Bes val6sziniisege I - a , tehel

t-"=4""., .",) .Er u i.tewallumol a b€vuGtitb@ mnr seghaiirozhrk: ., = -1,96 €s ./ = 1.96.

vagy m,skeppen felina 20.05 = -1,96, illetve zo.er = 1,96 .

Tebrt hNtrl6, miDt a k€loldaffi koDlidenciainlerallm esete.

c, Haa Htt>no z allemtiv hipolasn k, ald.orjobb oldali k.itikus tanonrnyuDk

van, e mak a val6szinii:6ge, hosy c/ 'tr61 MSyobb a pr6bafiiggveny szrLmitoll

en6k€, a . T€h6t

"= \">",)=t- r ("<c,) ,

amely 6trendczs utaD:

42<.t)=o(c,)=t a.

o = 0,05 es€teD O(./ ) = 0,95 , anibiil c/ = l,&5 . Az a) pontba' leirt j elitl6seket

alkalmma: zoj5 = 1,645.

8.2. A hipotozisvizsg6lat sor{n elkiivethetd hib6k

Mint mdr koribban elnondtuk, a mi nbol a sokasisra vonalkoz6m csal val6,sinisdgi k6ve*etel6s lehels€ges, ig)/ a hipotezisvizseelat sorin hozott d0nt6siink bizr'tryoc kockdzanal j6r. El6fordulhat, hosy a 1J0 hipor6zis helyes, s a pr6baffiggveny

rdolt mi.iib6l einilott 6neke m6gis a *ritikus tanoninyba esik. lly€Dkor a ,Yo n, an,Dak ellm6re, hogy fennell, elutasitjuk. Ezt a hibds ddDl€sl els6fsj'i hibin* nevezznk

IIIIIII

t

I

II

III

; i l

Az ilye! biba clkdvet6senek val6szinG6se az clfosadisi 6s a kritikus hnomeny konsr-rukci6ja alapjdn a hisz a a.nak a val6szinrfs6ge, hoSy a pr6bafuesveny a k.itikushrhmnnyba esik - , am€lyet, ninl mir emlilehiik, r:tgtr ifkonci8zintnek

^e!cznn*.Eltjfordulhat, bogy a ,r/0 nem ,ll fem (n€n ,,igaz'), 6s a pr6baluegveny

'iinti-bol szamitoh 6ndke m6gis az elfogaddsi bnomi.yba esik. Ez szint6n hibis ddnl6s, silyenkor mtsodfait hibi( kdvetiirk el. Ezcn €sem€try bekitvelkezes6nek val6szintis6-

Bil P -val szokrsjelijlri.Az elmondonakat a a ./. ttr lAzat sze'rlelrer;

Azt mondh*, hoSy a pr6bafiiggveny kirrkus rartomdnyba esesanck a valosTinii-scge a. TeMl:

4"," ,)="

A Ao {a vonarkoz6 d6nr6st

0")

(p) ( ' -p)

Az I d val6sziDris6scr a pfiba (mesbbhaisnsi) szinlinek, az \t-p) | pcd;B a

ploba ercjinek 'jevenik.

OsszefoshUsk'at meeellapilhatjut, hogy az els6faj'i hiba elkovet€se sonin azigaz nullhipotezist elutasitjuk, a mrsodfajf hiba elkajvetes€n€l pedig a hamis nullhipol€zisl fosadjuk el.

Az els6- 6s a mdsodfaj[ hibnrol leidal szemlelG€sere ner"nk a kovetk€zai pcldil!Egy alkalr6sz-osszeszerelt' miihelytEn a ltt6szalag mellett vaiamely munksfo

lyamal elvegz€senek mmaidejc 15 perc. Vizssaljuk mes 25 el€mi minla alapjdn,hogy (nyi idd alait el lehel-e vegezni az adotr munkafolyamalol! Tekinlsiik az alkltresz dsszcszcrel6s6r€ folditott id6i nomdlis eloszlisinak, a vignif*mciarzint pedia

tesyen 5%, azz o = 0.0s. Az ismen sokasesi sz6res (d) : 3 perc.

A vjzsgiland6 nulllipoldzis: fl(:t = 15 perc. Az alternaliv hipolczisben ur fo-galnazzuk meg, hogy a noma nen telyes, es ti'bb minr 15 p€rc keU az adott munkafo-lyamat elvegz6sde, tehdr grrlr > l5 perc. Ekkorlobb ol.tali krilikus &nomrDyuk vd.

78

dsszefiigg€s figyelcmbcvCtcltvcl a liiDli

")J;)

A rendelkezcsre nll6 adatok alapja. a zerojelb€n nlo esyenl6llensegjobb oldalrn ]€vi'bf€jezes en6ke. figy€lernb€ vwc a 8.1- ponlban leinnkat (eM ct - 2r.,5=1,645),

meeh^rttozjar6, igy konlrit ninra eseki

no+ct a-

t5t r .ba5.; ro tpe'c) .JT J2T

Mivel azonos ilalakilrsokat vegeztiiDk, hvnbbra is (, = 0,05 aDak a val6szinii-sge, hogy a minrarrlaa nagyobb, niDt 16 perc. EkLor a 16 percel tekintheliik kririklsC.t€larck, mivel ez az 6rl6k vrlasztja cl u elfogaddsi es az elutashasi lanomiinyt.

pn^

^ t=

o p.oDaruggvenyre vonau(oi

T,k€plet€r a k0ve*ez6k€ppen alakilhaljuk At:

I I tttb6.alA hipotazisriztAdlat soin ho,ou darris.L

is be kbre I teziriil vl6v inii.ise

l1,G, ",)= l ' {, ", l={,'^.",l - j= l\ {n J

t t= t5

Li. dbla

^2 evoEoddii as a kritil,s ta.torinr elheb,eked^e

A rutaadag s r{seatuggvtnyc,

79

A 8.3. Abru E elfoB d si es a kitikus tanomeny eh€lyezked6set mutatja z dlalakiltu uLjr. (Tebel a feltelclez€tt vdrhatd 6n€k 15 perc, a kitikus 6r16k d =0,05

esel€n pediS 16 perc.)Az dbrrrcl leolvashar6, hogy I -a amak val6sziniis6ge, hogy a nantaethg kF

s€bb, ninl 16 perc, es a amak, hosy nagyobb, minl 16 perc.

Vizsgaljuk mes, hosyan lehet meghataroai a Biedfairi hiba elk0vet6s6Dck nvalosziniis€g6lI

A fenti p6ldrban go:! = 15 perc, az ellenhipoftzis pedig Ht:1t > 15 perc. w

ijsszer€tt cllerhipotEzistink van. A / m€ghaiirozisa uoDbd csak egyszerrii (pl

H,:/r l).5 pe,fl altemarv hrporei, rserin leberse8e.

szanitsuk ki a mtsodfajn hiba elkatvetesenek a valdsziniis6g€t a to:g = I 5 perc

bullhipot€zis 6s a tl,:/r = 15,5 perc €llenhipotezB eseten! Hastljuk fel a kordbbanmcgbadrozotr kilikus 6rt6kei, a 16perc€tl

Mesodfajn hibit alkor kiiveaiirk el. ha elfogadjuk a nullbipotczisr, holon u el,lenhipol6zis voll az igz. Mdsk€ppen meglogdmuva ez ur jelenti, hogy a minrarilla-sxnk u elfogad.isi bnomenyba esik (kisebb, mi 16 perc) aDnak ellcn6rc. hosy !H;p =15,5 petc az Eiz. K6plettel telirua:

B=P(Irsrqp=r5,5)

Mivel csak a stdd&d nomAlis eloszhs ltblitzata 6ll a reDdclkez€siinkre, elitszbr avdltoz6nkat et kell alalirmi standard Domilis clostrsnvd (slandardizilnuDk kell). sczt kitvct6en hatirozhatjuk csak neg a p en6k61. Tebtu:

, = pl " < l!:.!tfr, = r5,s

l= r(, < ur:lr = r:,:)= o(0.s3)= 0.?e67.

t Et )^zaz

Hr:p=15 perc nullhipolezis es Hj:/=15,5 perc ellenhipolezis esetdn az elsiifajn hiba elkovel€s6nek valosziniisege 5%, a nrsodfajn hibne pedis 79,67%.

A tr:p > 15 perc ijsszetetl ellenlipot6zis azoDbu szimlalar egyszerii hipole-ziyc bonthat6 fcl. Vekszunk ki ezck kitznl n6hrnyat, s hatdJozzuk meg czen eselek-ben a fenli gondolatmeDelel kaivelle a f 6n€k61. Az ercdmt[yeket

^ 8 2 fibltualhan

foglaltuk ossze

80 8l

8 2 fibuzat,4 hdsodlA)n hiba el*nreiihek rul6einiisage kntiinbtjzd ellenh4otazitek esettn

III

/ r = l5, l

/ : 15,5

1! = l1,A

0.9332

0,E413

0.5000

0,2031

0,0485

0,0228

II

Tehil a misodfaji hiba clkbvet€sftek a lal6sziniisaSe tugg atol. hogy mcly cllcDbjpotezis €set6n hatrroztxk mcA. A 3 4. nrlr a mdsodfaju hiba elkovetesdDek aval6szinfis€ga abrdzohuk kiiliinbdz6 altemaliv hipotezisck cs.lm.

1(; u':p =t1,2 ;"u.1

84 Ahtu,42 a tsa P gralilus neghahraz^a *nlii"b&6 alemotir hryatitise*esetln

Az ebriin jol lriszik, hogy a l] hcl)zehek megfetel6 eloszlis egy r€sze bennevan a l/0 - t6v6 fennelhsa alapji! kleldX elfogadesi lanomanyban. Ez a terijlel,

t( lu,,u=ts ;g..) t \r lH q=15.5 t1u)ItIIIIIII

i iI'jil

l i i,iljl

amclye( besatiroztunk, a nisodfajl hiba elk6vetesenek val6szinGegA mutarja. Tovrb-bd az ebrrr6l leolvashal6, hogy H t:tt = rs.s perc altemriv hipot6zis esei€n a mesod-fajri hiba elkitveles€nek a val6szinnssc nasy (0,7967) lsz, mi8 fl,:! = 17,2 perc el'l€dripot6zisnel ez a val6sziniiseg kicsi (0.028).

VizsgAljuk meg, hogyan villozik Ho:r! = 15 perc as l',:rt = l?,2 perc fennilh-ss csctoo a m{sodfaji hiba elkitvel6stnek val6szimis6se, ha az clsdfaji hiba clkovetc-sdnck val6szimis6g6t 0,05-161 0,01-re csokkentjiik.(Fnben a2 esetb€n ./ = z(o.,,t = ?,12 )

A kordbbi p€ld,il eredm€nyeit felhaszndlva (a0 = l5perc, o = 3 perc) hatiroz-zul mc8 azt a kritikus enekel am€ly eseten 0.0 | annal a val6szinis€ge, hogy . nitrtadllaS nagyobb, mint a kirikus €n€k! Behelyetlesitve a kilikus en6k meghadroznsdraalkalmazhat6 dssze fijSgesbe:

^" * ",. ft = s * z.zz. ft= r6.a o€rc).

Tchdl annak a val6szlniisage, hogy a rnintaillag nagyobb, mint I 6,4 perc, O,O LA LJ. lrdi hrhatuk, hogyan veltozik a misodfa.it hiba elkijvetes€nek a yal6-

rtlnli$gc, h! s kriiikus 6rt6kel 16 p€rcr6l 16,4 p€rcre ndveljijk, mi e$/b€n aztje,e i,hoSy c tzignifikrnciaszintet ( a -r) 0,05:rd 0,01{e csdkkentj[k

Az lbra alapjrn mcsrllapithatjuk, hosy ha csitkkatjiik z els6fqin hjba elk0vet6-|.ncl vll&zl'rilsdg6l (a -l), aklor e cs6kkentesr6l nagl/obb men6kb6 n6 nes a fti-sodfij ri hiba clkijvetesen€k valosziniGdse (/ ).

Az clfizd€kben mrr meghatrcztuk (5olcos v€nifikanciaszinle^) H,,:p=ts

pct. 4s H,tp = 17,2 perc esel€n a mrsodfajn hiba elkttvelesenek vabsnniis6ge! ami0,028 volt.

Mosr halarozzuk meg, hosy nekkora a rnisodfajri hiba €lkitvdisoek a val6einils68c, ha a kritikus 6n€k 16,4 perc, azaz a szignif*anciaszitrt l%.

p - p(i < t6.4lr! = 11.4 = 4r. 'u", " '1, =,, .r1-

| 6t )= P(, s -tJ3V = t1,2\= | o,eo82 = o,oer8.

82 83

, r = lJ . , r=t1,2

8.5. nb.a,tz a is a F graJikrc neEhatdr@dsa *nttj,b6z6 tritiks irtaket esetih

Min_.1vanu! l-&t.l dqd arapjen, az els6fajn hiba elkdvetesenek a val6szi js6se lecsitklmr r0.05{6t 0,0r-rc}, de upvana}Ior msymenekben ."g n,O.O.z!t.,ar

0.09 | 8-ra ) a mdsod faj n hiba ekdvertsmek a vat6sz n u\rse.

r

AhrltlDossigbrr is clnrrnlhlrruk. hog! !r t .taikkenllle.s.tin Dvgn, a lj .l

kajre t ts an. k d I u I os z i h i^ i gr

Fclvct.tdik a kirdes, hogy a hipotczs\izsgil.r sorin r elso' vag! a n sodfainhiba clkdvctcsc e a vesz€lyescbb. Kirdes toribbr. hog) egr"eg!.. kontrcr hportz;s-vizsgiilatnil nilycn srignlfikanciaszintct calszcrij vilasdam Ehe4edr az a razcr. hosla misodfajn hiba veszelyesebb az cls6fajn hibiD;] vizseiljuk ne!. ft' az alapla ctDck

lIa els5fajn hibal kdvctiin-k el lagis az igaz nultbrpol€zisl visszaurasirrukaklor a hipor€zisvizsgdlar eredrnenye, bogy a H, 'l elurasirjuk Lzl kd\ er6en eE) nj abb

nullhipolezist fogalmazlnk mcg, Dajd ! hiporazis\ izseilal !€grebattdsa uriln a 1/,rismet elulasitjuk. hisz r eredeti rxllhiporezis \olr a igaz. lla kalelkeTeteser raeighaladunL u ijszes lehels6ges hipoterisen s lem€szcrescD rnindcD cscrbeD uj rinrirves2n.k , aklor mildcgyrkcl vhsz! kcll utasilaDuDl. s v,stzdiltunk a7 erederi illilisu*hoz. Azl

'nondhatjr* tehil. hogy a, els6ftjn hiba elkd!.lasc nem okoT

..j6v,itehetedcn hib6r.Miisodlajf hibil liszort ai&or kdletnDi( el. ha eg_v han,s hiporezFr cllbCadunl

Abb6lriszonl. hogy clfogadiuk a hitoteTnl. r kave*e2ik. hogl. probl6ma \izlgtla-liit bcfejczrnk. A hiba korigiiliisAra lebiilnlncs 1eber6sa8.

A sri!:nifikancirszirt mcgvilasztisrLnil olyaD kompromisszumos megoldaea \.nsztksi8, hogy lem lul magas a nellelt a hdsodfaln hiba .lkdrer€scnck a \rlosTinn'\agc viszonylae alacson)" lcgycn. l:z az d=0.05 rae) ehhez kdzeli sTignlfikancr!s/inl. lDrit a gyako.lalban soksTor alkalmaznak

A7 eddig clmondotak ahpjin nynvtulalo. hoey ce! cg) nullhrpolrzi! heli'esasdnck elleDcjrzcsare olyan 6bril €s ezUtal lr6batu8-prer)t calszcni vihszrlni. anrell'nal az cls6lajn biba ldotr elk6letfsi uloszinljs6ee nellerr ninnnrlis a nrdsodlalu hrbaclkdvet6sarek va16s2in{5ege A kirldnbdzd probdk c szcmponrbol rdncno ijsszehanti'litesanril j6 szotgdlalot tesT a probrk er6fuggvenye. Er6ft8g!6trlen d-r r lt8gr.,r/enjnk. dncb, 1i!), n eli;, hog, ninllet lehe^ige\ .gs.erti alternol^ htloli-^h.:neqhatdro.ruk a tneejleleli; I P kiegiszito \ol^zitins4cAtt

^ e.4.t ! (az ahema-

tiv hipolezisbcD meghalrro/on tt Eflek) figgrAl) [h. ], ,r,n:otrr. Az cr6fiieg\innteie k.jryv kercici kdzatl r€szlelesebben neh foSlalkozu*. rniDl aho$an a kii\elke76k'bcD az cgyszeni altcmrijY lilotdziseklclscn.

Ezek ulrn rckintsiik it a srarisztikai proba ri8rebrjrrsriDak ilralanos gondolat,n.Dclat rdvlden. h;z czcD gordolrtmclcl cgycs rcszei\el a koribbiatban nr:ir foglalkoz1unl. A 8.1 fetezelbcn lcirl l6ptsck binncl_r hipornzis \izsgrlala eseren alkalmaThatok

8.3. A statisztikai hipot6zisvizsgdlat menete

I Me8lbgalmazzuk ! lla nullhipotez,st €s a vele szcmben A116 ,4 rlrcrrri! h,folc

2 Meeleressnk a Hr-ban megfogalmazo allir6snak;s az cgyab lelr€teleknck rneg,felel6 probatugSrienyr

3. Ve8lilasztjrk az els6fajri €s a mrsodfajn hibdr6l clDoDdoftak ataprin rszignilikancias/inrel

4 Vtgrebalwk a minla\€teh, mcghal6roz2uk a nrntajellcmzdk i €k€r €! kiszimitruka probatiigg!6ny akrur:lis Gziituszerii) irtikat.

5. Az altemali! hilot€zisscl dszhangban a szi-gnifitanciasrn,hek mcSJclct6i t.L-os7luk a probatuggv€ny lehetsiecs an€ktanohiinyir clfogadisi €s riss/auhsitrisi

6 Ddndrlr a 1/! es a fl hitotazisr6l. Ha a pr6bafijgg\lny irtike az elrire meghrtt.ozon elfogadAsi lartom:inyba esik. elfogadjuk a i/.,t a H altcmariv hiporezissel

sze.nben- ellenkez6 esctbcn clurasillk. es a H cllc ripott2h keritl elfogrdisa

tsmdt €lmondjuk, hogy mi\'€l ninta alapjin horzuk neg a hipotczisrlzsgi:ilal nLiiin a ddntesiinker. az valosri.ris€gi jellegn lcsz. blzonyralaDsigot hordoz. A hit]otezisrnen odjuk.,iguolln \agl.,cifolni . er€n azr rnondjuk. hogv a hipoli/in d szig,rLfikan.iaiz,nten (llo:latljuk \agr" elutatiluk. (Szokdsos sz(iha\TnjLat mcg a ,,lnjrn,trljuk ue),.chcrjiik mestllapirris is.)

A kd\ctkcz6kben a fonlosabb pr6bdk r6szleleir rckintjiik i1. Az rlrctiDlcs !!,i,)f.harclczziik. ho8y e$ vrg) tiibb azonos eloszhsi! fnggellen elenckbiil ,lt6 mintrAl1 a rendelkezisndcc. N,Iivel az egyab mintdknak a tug-retleD, azonos etos/lrsi mi!la161 leu elt€r;sinek a hardsa az egyes lr6bAka meg s2inre alig utr lclterk€I,ez\e, ittetle bonlolLrh- ezin c szigoru megkdtcs. A lcsgyakrabbd haszi\att Lgtszttd rttettehzirrdrdl aTonban elmondhaljxk. hogr hd o kirdlas.tdli a 4' kid, akkat.. d ,tintu itkci..lilissel.l Eqetl e, a:anos eb\2liyi nihrAkak tekinntu;

A bipot6zisvizsg6lar sorrn alkalmrzoft starisztikaj pr6bikar rbbb sTempoDr akllin

's csoportosiftarjuk A2okar a sratisaikai pr6bikar, amcly.k alkalffazrsa csak cl6in

elos2lesri statiszrikai sokasn8 eseri. lchcn€ges, param6teres sr.lisztikai p16brknaknercztk- mi! a nempsramateresek azok a sratiszrjkai probik, anelyek binncty closzldsn sokasAg csctin alkalnrazharok. Az elibgadiisi i5 kritikus lafloni:Dy elhcl)czkcdase alapjrn belz6lhcdnk roldbbii €gyoldili es kitotdrli stariszlikai pra'bti16l. \'Nnlak olyan stalisztikai probak, amclyck vegrehailii\ihoz cgy orinlrr! lrD szijksag. as

IIIIIIt

j

,I

IIltTtI

ll4

vamak olya.ok, amelyeknez k€t minta kell Ez alapltDlis, ill€lve k6tmintis stttisztikli Pr6bikat. Az e8v€s

soiin is ez ulobbi csoportosirist fogjuk alkalmaznr

r szlltodalomban haszndlalos a,-poba crnelezas 's

86

val6sziniisegi veltoz6t hdaaljuk, an€ly standard nomilis etoszlrsr kajve! , a ni.lll-oaSlrsigl6l fiiggell€niil , ha a nullhipolezis igaz. Konkr€t minla eselen a probatugg-veny m€gval6sult 6ncker a 8. L-b€n lcinaknak megfeleli'en a

", ,=i- ^o

iosszeliaAassel hadrozuk mcg.

A pr6ba v6SrehajlAsa sorAn e €lfogad.Asi cs a kndkus (visszaurasitisi) tanomdnyelhelyezk€d6se - mi ahoqy a 8.2. dbrAn is bcmutaituk az ahernativ hipor€zjsrtilfrgg. A2 elfogadisi bnomany a szignifikanciazjnl mellelit1artual|.

^ E 3 ,jbh2arban

foglaltuk dssze.

13 ftbld,alA, z-pfiba ellogaddsi taiotuintdnat ,atu,ai a

'zignlikahda,zi,lt nte el

l . - r

[ ' t ' ' , ]I - . . I

, Tekinrsiik a kitve&ez6 p€lditlL Egy aulolnata g6psor l;ret csomaSol, szabviry szerinr 100 dkr,os rdmcggel Cs

I dkg-os megeDaedetl szmessal. A2 autornata ellendrz6sarc l0 db-os v6letlen minrilven€k. A lemErt lisrcszacsk6k allagos rom€ge 98 dk8 volr. Fctrctelezher6, hogy a gepiiltal lttltittt liszleszacsk6k t6ll6si tOmegc.omdlis eloszlisr kOver. Ellcnrjrizzijk, bosy a8ep a szabvanynak megfelel6cD csonagol-e (a = 0.05 )!

Nullbipot6zisnnket - a r6ll6si taime8 megfetel a szabvanynak a

to:rl = 100 dks

egyenlt'seggcl fo8almazzuk mc8. Alremadv hipolezisnrk pedig

. Hr:l] * 100 dkg,

tehrt k6loldali s|ariszdlai pr6bri vigznnk

megknlittrtOaenink egynio-slatisztikai pr6bnk drgyalisa

I

Iilt

Iil

8.4. Egymintds statisztikai pr6b{k

E ponlba, az cglmintds statisztikai pr6brk kitziil csak zok iirgvalislira kerul

sor, ameiyek a sokasrs valamely param6termek (vn.hat6 €n6k, sz6nis, aitnv) t6ztelc-

s6re szolgahak. A ktivelkez6kben az alsPjetr csoporiosiljuk ^2

e$dinli6 pr6b'ikal'

hogy mely sokasdgi parametene vonalkozoak

8,4.1. A vdrhat6 6rt6kkel kpcsolatos pr6bdk

Az c csoponba tdloz6 k€i Pr6ba eseto azt l€ele[nk, hogy egv skasig isme

retlen vdrbal6 6rreke @) m€gegyezik'e az ,illalunk fetlelelaetl td en€kkel Null-

hipotezjsnnk €k*or a kitved(eztj leszl

Ho:P = n' '

Allemativ hipoldzisiin'k pediS:

Htp<no' \^gY HIP>ni ' \^EY Hl l l+tuo

Az ismencttve keriil6 ket Pr6ba kiztu6lag ^2

alkalnazisi feltetclek tekintel€ben16r el eglmestol.

Az egymintrs z-pr6b!'

Ha a sokasds noranlts elovla:n, is a sokasde 6 szdzird (valdilvetr €l6zeEs

rany birlokiba!) isae'1. ald(or pr6bafii88v6nyk€nt a 8. l ponibd felirt

87

Milel a sokaseg nomrlis eloszlisn es a sz6r6s ismen, z'pr6bdl aikalmazharunl'!zut6. kjszeniluk a pr6bafiiggvany aktudlis 6n6k6t t = 98 .lkg, d = I dkg 6s, = 30

98- 100 ":. = j:--:j: = ]65

6Az 5% os sziSnilikancjaszinl (a =0,05) eselen a srandard mm61is closzlns

tablizalAb6l \ngltlak I /nrhtdt az alremativ hipolezis fig-vclc'nbclilcl6\cl a fels6

krnrkus anal: :, ,.. = 1.96 Az als6 knlikus enel pedig ennck minusz eSyszerese lesz-

l .n ' . ' "s) r . . / e l foE.dd. i rdnom;n\

[- 1.96; ] ,96j

Mirelaz elfogadesi hrloneny len tarlallntza a pr6bafligg\iny aklual,s errek€t.a 3,65 dt. a nullhipo1ezjsl elutasitjuk az alEmati! hipotazisscl szemben Yag! tt ishondhaljuk, hoSy a liszleszacskok ldh€si l6nege 5% os szienifikaDcias/inten nen lnlcl meg a szablrnFak.

Fc1let6dik a kerdes, hogy van'e olra! szisnifikanc,aszinr. a,ncl) Dal cllb-rldiuk anullhipol6z;1. Ha megneziik a standard nomdlis eloszlrs lrbhzatar. !71 rdFsrr.liuk.

hogy r = 3.65'irtjz o(r)=0,9999 enek lanozik M'!el ketoldali probiil \egczliiol-

, r ( , ) - Lr ,uom, amcl lbol a u.u0n: Ten"r! 'Jr(mLl LF(bb./ , i r ' f ikan.,a-)

sziDt cset€n logadtuk cl a pr6br1, ami ,.gyakodatihe' aa ielenlr- hogy 'ninder

szigDlfikanciaszinlcD clutasitjuk a nullhipoGzist

A kritikus cncket a lizs8dlr jclcnsag .,m6n6kegys€g€be! rs kfejczhcliik. Ehhcz a

' ' : . "" :

i - nr.8\enlu. lcn" iser " i

r b<he\e' ,e i re.e e - - fe lba. /nr la! , urrn a to-

t,,lclkez.i fonniib! kc1l iitrende2ni:

A/ eplcnlor lcnscgbe hehelyer lc. ,c \A/dholh"r t ,* " Inr , t J, cnc,ete.

roo r,re.r-L = e,r,l ars.

100+1,96 = 101.1 dkg3

Jl0

ttttI

IIIItIl

Tchnl az cltbgadasi hnominyunk 98,9 es l0l,l dkg kijzOlt var. A mi adttagunk, dmi98 dkg, nem esik bclc cbbe u inlenallunba igy a 1/!,r 5%-os szignifikanciaszinten

E, ur6bb mondotakat €s a b€cslesetm6lctben ranuhakat fig_velembc vave nenrDeh6z 6szcvemi a keloldali hipotezislizsg6hr es az inleryalhmbccst€s kOzij i hrsonl6srigor A hasonlosdg ellen€rc a k6t eser kdzdn a kiilanbseg a kdretkez6. A7 inrcrlallumbccslesnel a rrtasda valanib,et pdtuhA.ftre adurk e8y. az .doll paramotcnI d lalosTiniisiggcl hnalmaz6, a hlntit6l fii8li' vegtoDtokkat harirolt nrte a uInot vala'ncly mintajellciu5b6l kiindulva. A hipor6zisvizssntal csct€ben pedig vala-mely parmetemek a nullhipolezisbo fellelelezcfl enekdbi'l iDdulunk kj, is a,,r,nlje .nrijre adu* egy olya! irredallmot, amely a Ao feDndlasa eser€n l_aral6s2iniis€s{e1 tanalnraza a minta 16l Eintia vdltoz6 mintajeleh?i'1.

A vizs8dhjelens6g ,,m€rt€kegys6gben" kifcjczett kririkus tftakeinek mcghat6.o-zdsa csak a kdnnyebb mcg6r€st szolgrlta, a kesaibbiek soran ren foerr.rk alkahnarri

Az egy'ninrds u-pr6ba.bban az esclben is hasadtbat6. ha eAr rige\ szo st. trlv'leSes elosrldsn ekaxAgbnl nagy etemsznmn fnggefl€n ninrrt ycsznnk (a sokasdgisz6re( ekko. ncm sznks€gcs Bnehiink) A minlaelcmck tnggettcnsige ts a raloszi-riisegszAmirrsb6l mcSismen .enbnlis hafirekbzhs titete nj^( a

, -4r!"6

pr6bafiigeviny ahol ; a lehersagcs mintrtbot szanibn korigatr emlirikns szoreskizelittileg star.lald tomAlis eloszb\t1 lesz, ha a H0 r8az. A prob! vegrehajttsa soranhasanlr kririkus in€kek renncszetesen ugyanazot maradnak.

Konkftt nintd es?th apftbafiggviny meglalosuh €n€k€nek kiszrmitisa a

t

lIi li tl tI tII

, ,_"

J;' ; ,1" , .

I88

r'rI

:l

: , i

t ,

IIIIIt

Az egf,Inintis 1-pr6ba

Enyhjtnok valamelyc$ a z'pr6ba akalnuasinak meslchctoscn s2r8oru fclr[rc'

l€inl Az egymint6s r-lr6ba v6grehajtlsrhoz a rr*azi8i elos2ltts sTiA\;t nem *'u ir

nentnk, dt u sokdAg eb\rtuAtok toribbla is namttlnnak k letnie Ebben az cscr_

t= i .^ ,

6probanjggvany hasailhalo a ,'r0 ellen6ztsere Aflennviben a t/c i8az, 6s a sohsrig

closzlrsa val6bd non rlis. akkor a r pr6bafijsgleny.y'- n t '2abadsAdokn

Stutlent

,-e1or:/rrr kdvel. Erc alaFzva kdmyeD felirlatjut a Proba vesrchajdsthoz szijkseges

elfogadasi tanomenyokar, amelyeker a 8 4,;bltualbar foglaltud( ossze

H":lr = 100 dkg

A pr6batuBgviny mjnlab6l sramitofi ineke:

H : t1+ 100 &g

II

Sl hbttzat,4l-pr.tbo elloEaddsi hnahdnfiMt hatdral a eien ili*nndaeint ne el

[ ' j ' , - [

l'= ',*lI -,,;:: l

Konk t nihta esetA aVbbafiig8ldDy €nekel a lijvelkez6 dsszefiiggessel bala

i-n"h= .

GTariink vissza az clijztj peldalrozl Fosadjuk el rovlbbra is a21, hog) a sokasiLs

closzlisa nomrlis, de a szonitr eainal a ni eb6l becsnljiik 30 mi.€s crcdmenvei

i = 98 dke,

r = 5.5 dkS.

A rullhipot€zis ts az altemariv bipolazis tolibbra,s

90

, - " t=9- o- , ' -6

A s,/ =30-l=29 szabadsegfokhoz €s 0,05 sztgnifikanciaszrnther tdrtozo lihi' krjti

kus 6ndk a Studenl r-eloszlis tabldzarib6l (rng:rettkl. fibhzut) /;.,,,J = 2,05 Az also

kjrikus cn6k emek a minusz csys,erese, eaz i=i;,j= /;:,r = 2,05Az clfogadesi ranomdny: [ 2,05i2.05]

Miv€l pr6bafii8gvenyiint 6fi6ke beleesik u etfogadasi tanohinyba, cz€rr atrullhipol€zisl elfosadjuk. Tehdt 5% os sz'g.ifikanciaszinten a s€p a szabvd.)nakmegfeleli'en csomagol.

Vizsg6ljuk meg, hogy nris szignifikanciaszinten clutasitjuk-c a pr6bdt A Sruderrr+loszl:is dbllizatiban a.\'zl: 29 szabadsigfokril olyan 6'1akd kell keresd, amellnll

ar , (va8y annal minus/ l { /e,e.ei ug}ohl- t /d/ l . -0 tUJr t d

0. . : . , rot

(r = 0,1. Tehit 0,1 es szignil'ikanciaszinten mrr clutasitjuk a l/,,t. Ekkor t0,/,.nn.k avalosziniisege, hogy az igaz I/.-lelutasitjuk

8.4.2. A sokasdgi sz6risra vonatkoz6 pr6ba

Gyakori feladat a sokasrgi szortsra lonarkoz6 fettclas cltcndrTisc i\ A 7 4 Iponlban lehk, hogy a sokasasi sz6rns bccsl€s€re a kodedh tapa\7r,ti 1 s/(i,,nr t,i\/niljuk. Intepauumbecslist csak al*or tudunk adrj, tra a sokasig Donniljs et(r/l,niA koDfidcnciai.tedallum meghadrozisal alleloszldsra alapolluk. A n)kxstisisz(irnra vonalkoz6 hipotez's ellenijrzasckor is ezekrc az rsmeretekc tdmaszkodunt ttov(l.rlisn6rcljiil neg az oh elmondohakat Ha a sokasrg s?oras! o0 es lrrtratd cnekc(Arlasa) no. aktor i,, ,<,, fiisserlen, azonos elosztast ninla cscran !

t -." 1, ^" t" n.,. j \dto\ . / in i ' \eBi \ ; l ro, ,dt nanJdd nonnr lL . c. / ta,udt,

igy naglzerijsszcsiik, az {' tl ;'

ru,usz,"u.ur, 'arrozo Z: eloszlrsrt. Ezal a sokaoi

t,lI

sagi eloszlds sz6rrsira vonalkozo

9l

1".

Ikkor

u adofi tu laj donsagn

rgv a

val6sziniisegi valtoz6 vdrhat6 6n!kendlaes szonisa I

osz$sn valosziniis€gj vdltoz6 i'szegc. cz6n ,aET n

telel szerinl ldzel standard nomilis eloszlrsl igy a

ra. c8y mcgaal6sull minla esei€n a

elemek dd)a a,ninr;bdn e\ v( i , -Po.D(p) , / I1l-P^ )

l t ,

A probafiissv6ny minra alapjii. szAmilon (aktudlis) 6rt€ke:

Az alrehativ bitotezjsnek megfelel6 kilikus ert€ki 20,r. = 1,96, az clibSadis tano-

niny pedig 196-t6l 1,96-ig lerjed. Mivel a, elfogadasi hnomrny tanalrDazza I |ni.bafiiggvcny megvalosull €!t€k€r, a nullhipolezisl elfogadjuk. Tehat 5%-os szigDrfikanciaszinren elfogadjuk azr az ruidst, hogy az els6 sznmri vezer6k cgyncgyedenek vannagy dsszcgii tldbinositrisa

6n6ket kellvizsgalni, aholp a megval6sult minlabeli anjnyA lloba krilikus ert6kei mcgcgycael a z-pr6ba krilit'us €nekeivel- mivel mi.d'

k€l pr6batuggveny standard nomdlis closzljsn

Neziink e8y p61drt a proba alkalmazisara.Egy bizlosiroidBddg feltevesc szcrinl az elsij szini lezelaik e8)hegyedenek \ an

naSy eletbizrosildsa. Ezcn fehevds ellen6rz6sere v6le enszenie. kivalas2tormk 1000villalatol A megk€rdezetr c€gek vezcr6i kdznl 226 k6l0( mrr valamilyen nagy ossze-gii elelbiztosildst El1en6ri22iil 5%'os szigtrifikanciaszinto a fehev6s helyesseg6t!

Nxllhipote2'snnker u eh6 szimi vezct6l nesyed€nek (25%-rnak) \'an nasydssTegri 6letbirlositasa

&: P = 0,25

fonnAban fogalmazzul neg. A2 allcraliv hipotazis pedig

H,: P +t) .25.

tehnl kitoldaln !rob51 hajtunk v6src.

A mintabcli arirDv: o = ?! = ct.zzt .' 1000

91

8.5. K6tmint{s statisztikai prdbdk

A h'potezNyizssdlatot cddig afta az esetre korhrozruk, ahikor adla volt ?at so,kasig, 6s a tiipol€zis emck a sokasagnak valamely pdamarerere vonalkozoll Et61brdul

^zonban. hogy nem cgy, hanem lil sokasaggal vltn dolguDl, es a hipotezis k6r pa-

ramerer €dekenek eg)mashoz valo viszonyiiia (ritalrban knldnbs€gere) vonarkozik.Ilyenkor *i/,,i,,.ir pr6bit halrunl v6gre. aza2 a sokasdgokb6l cgy-cgy fttggellc!, valeden minrdr reszn a hiporazis cllen6rrdse c6lj:ibol

Tipikus ddnr€si probl€ma kdt eljdris (pl. kel kiilOnbijz6 rcchnologia, modszer!a8y ke2el6t hatasdnak a7 osszehaonlit6 vizsgalah Ennek speciilis esete, hog! azesvik ha8-voma.yos, a mrisik nj eleres. Ekkor azt a? ellitrst lizssdljuk. hogy a, i! cljlrts er€dm€nvesebb. ftint a bagyominvos. Noha a felteves ar. hogy a, ij cljinii\{m6dszq stb.) eredm€oyesebb, mint a hagyoma.yos. a .ullhilotazisbcn z csyrnli'si!

" /erep( l A/ . . r8azr a. | | rd ' r n,ndrg a/ J lemdt

' hr l '^re/r . . -e l f . t1| |n, ' / / , , , I ra i ! \

ldbhyirc cgyoldal{ pr6bar hallunk vegrc.Gyakan cl6fordulo dantesi feladat az is. amikor ker sokasigor (tt l-arltrt ,nit.

falu vnros stb.) kivrnunk osszehasoDlilani valadityen dtlagos szirloral s^nrtn,trrbol- Fcllev6siinkbft ekkor ak;l sokasig itla8os s2jnvonala kdzd icltiras s/cretr

L l<at sokasigot kit ytle en lJtggele, dinrrnak kellktpvrsclni.

8.5,1. K6t sokasigi virhatd 6rt6k kiiliinbs6g6nek vizsg:ilata

Lcgycn adoft kel sokaseg, rendrc p , dL. illetve rr,,o, param€terekkel A harsokasisb6l csy-egy yilerlen a eEfnAeol f.igeetten mindr vesziink. A mlnrikb6l rendelkez6snnke nll6 adarokaraS 6 dbhzatban foglalnt{ assze.

2,,. usyana.k-kor. db azoDo. el-

esel€n a cmtr'lis hatilcloszhs22 i pr6bafiggv6nync'k vrlaszt

m1,I

Ii

tIilIr'llI

0,226 0,25

95

Kat mh6t iAan!16 pmbtk a.ta^ allaln@ott jeliil6ek

A mi Ak alapjir ellen6rird kiviDjuk a

Ha. t1 j . pz-60, vagya60=0 es€r i^^ Ht.pt-p1

hipotezis helyesseg€t a Ht:1t , -p,<6, (n,rp, . t r , \ bal o ldat i , a f l , : r ! , -p, *60

\H):ut*p1) k6toldali vasy a Ht:ttt F,>5o (fl,:t, >/,) jobb oldali altemativhipotdzissel sz@ben. A 60 0etsz6le8es, el6re megadott en€k, s azr a k 6nbs€8er feje-zj ki, ami leltev€siink szerint a ka viirhat6 €n6k kiiz6tt lehetseg€s.

Az, hory nelyik probafiigg!6nyt altalrMzzuk a rd helyNesen€k €llo6.zes€re- a vdrhal6 6rtekkel kapcsolatos egynirris pnSb,tkhoz haro oan , attol frgg, hogyDilyen infomici6klal rendelkeziiDk a ket sotrsagr6l.

A katminttu z-pnibr

'teryik fel. hory niadkzt sokasAa noml is eloszhtn p,, (t t, jltetee p,, o 1parameterekkel, 6s ismerjnk a sokasagi sz6rAsokar_ Legyen i, 6s /t, a niDtadrtasuk,

al*or ez€k is Dormelis eloszliis,iak, igy kiit6nbs€siik is az. a(i, - i,\ = p, y,=d",

o' @, - Q = o' (i,) + o' (il = + - ;

ha tlo helyes 6s a fiiggelleos€g

.ls,*9il \ n7

pr6bafrtegaany standdd aomAb elMltst kdvd, frtqqetlen a minraetemsziDokl6l,ha a Ho igs2. KoaLTA ninb ere#r a probafigSveny megval6sutl 6rt6ket a kiive&ez6itsszefi ieg€ss€l hatirozhatjuk nes:

96

( i , - i ) 6"

ItI

( ' , ")-6", , , .___=__

to; . o;r t - -l \ "1

A proba etfogadisi tartorfnya nesesJ'sik u egyminLts z-pr6ba elfogad.tsi tadomnny6ral.

A g/alorfatbm rendszerint nen isnetnk o sokatAqi b , o,) s,otdloktt, ez&lazokal, ninlibol becstiljiik a korigift tapasztalali sz6ntsok (d,, illetve ;, ) scsirs6-g&el. Hr kell6€n nagy ninrink vm, a

(n, -n,)-6.l *_Io i o;

{t- ;pr6baliaSveDy kiizelit6leg slardard Dom6lis eloszljst alkor, ha a t/0 igaz. (Eturek ig.r-zolrsival nem foglalkoaDk.) A pr6bafiiggveny mcsval6sult enek6t a

_ {r, &)_r,,-_IJ; J i

t ' r n l

itss"€fiigg6isel szimolhaljuk kl ko rit nirta $etan. Ezek utrD a pr6ba e1v€gz6sc miregFrert. A p.6ba v6gehajtrisihoz iu annrl nasyobb minl{ra van sziiks6s, minel job-bm eirera eladg eloszlasa a oom6ls elovltsr6l.

A katmirti! r-pr6b.

K€lv&hat6 6rt6k kn|6nbegere vonatkoz6lelw6s kis mintik alapjdn is ellen6rizlher6, ha az alibbi kikildsek reljestlnek:

a, a minttk normalis elczl6sn sokasisbol szi']rllhak,,,i az ismderlen sokas6gi sz6nasok azoDossesa feh€telczhet6a.

A nullhipot€zis ellentirc3ere a

ItIIIIIt

II

II

' E fchcvg ellen6z€serc a E 5 3. po.lban ismeneresre IG.nl6 a-nr6ba szotgil

97

( i , - i , ) -5"r=_.______" l r I" ' l i ' , "

pr6baliiggveny hasadlhal6. amelyben

tovitbb, a li | 6s ; z a lehetsige. miftik konigrlr bpasztalati lzordsaiKonkrat ninta esetin a pdbafig8y€ny negval6sull 6deke a

{,, -t)-6.' - -F

" { t" titsszefi igg€ss€l haiirozhal6 meg, ahol

bvabba r, es r, a korrigilt lapasaalati szod6 koDkret ertCkei egy miDttDil.Ez a pr6bafiiggv6ny I1d helys€ge s u alkal$zisi felt€telek fem6ll6sa esct6D

szf: nt+ "2

2 szabfiES,gfokn Studqt t el$zl,tutkivet.

TekiDlsiik a kitve&cz5 p€ldil!Egy aut6abroncsokat syirt6 c68 u nj dpun abroncs kopds.ilioatgAnak e en5r

zese erdekeb€n l0 sepkocsna v6letletr nidav€tellel kivalaston l(, dp6n, | 0 gepkocsi,ra pedig basor 6 nodon kiv6l$zton reat.i/6, abroncsot sz@lt 50 000 lan megteteleurtn rnegm€rte az abmrcsok kopiisrt. A m€i&i ercdmoyekel

^ 8-7. tiblAat tart^l

A l0el€nfimi lk alapjrn a ceg arrol kiutn meggy6z6dni, hog/ az nj fipsn ab-roncsok kopdsrll6bbak-e, mint a E8i tipNri,k. A szignifikarrciaszitrl 5olo.

Az, hogy az abmncsok koptsrmk eloszlisa nomil's, tovtbbe hosy a skaisisz6rnsok egyenlijek, feli6telezhet6. Mivel feltevesnDk a kit tipus elleresenek csak aziranyira vona*ozit (6 = 0), ez6n

Ho:P'=Y" '

ahol I -gyel a r6si, 2-vel p€di8 z nj dpxsl abroncsot jelolliik. Az alremariv hipor6zis-b€n a, fogalnazz t meg, hogy

^z rij abroncs kopriie 6bb. mid a regi (vasyis a lm,

ben mert kopdsa szAn%niienkisetk), azaz H | : tt | > p, .

98

( , , - D ;1.(q - ' ) ; l

') ri +(", - 1) r:

A mirta adalainak ,itlaga es v6risa:

,,=ff=r.ro'*,

/in:;ir)'**rro.-2"t'=1-=072nm'

fir - 116)' -

-* {r.6 - '.s6)'=\J- -

e -=05' :mm

Mivel a sokasigi s6nisok ren isnerlck 6s kis mindt vetriink, rDr6bat atkat.Itra"natunk. A probafiiegvoy szimitott en€kc:

=0,628.

A szabadsngfok sy'= l0 + l0 2: t8, a kntikus en6k ^

Fngg.tek 4 tabh2atualapjrD pedis: t$5=t;73. Az elfosad,tsi hnomeny: l-*;1,73]. A p.obafuSgvcnymgvalocull enekc bele€sik az €lfogadtsi tanomanyba, igy a nullhipol6zisl fogadjuk clA kdtf6le liptrsu $nniabroDg kopas ldsesa 5%,os szjgnifikanciaszilren a"onosnaltekinlbel6. A minta tehit neln igazolta a feltev6st.

A l0.lenn ni,ta n44siercdnan ei

Rdgilipus0 0j rhusnabroncsok kopitsa mm-ben

I2l

5

89

IO

2,1l .?

1,03.4

| ,1

2.t)

t ,22,01,7

t:.42,31,52.1

99

8.5.2. K6t sokasigi rrinF{ (vrl6sziniis€gre) votretkoz6 pr6ba

Legyen P, €s Pr k€t isMden sokastgi aituysztun (val6s2infiseg)- A pr6ba v6g-rehajitsa sor6n ellen6riai kiviniuk, hogy a ka parand{er k 6nb!€ge egyenlGe e8ymegadot ed6kkel (pl. nuliewl). Elrt a sotaesokb6l es4sl fraaelet nintit vesziilk, es meshaLirozzuk a k6rdes€s antnyrzinokat tozitadaNl besl6 i, s i1 rela-

tiv gyakorisAgokat.T€hAl a nullhipot€zis

Ho:Pt-P1=En'

rnelyrck elleDajrzesere a Iitnintis z-p.6bahas it]lar6. Ha a \i6g,6Lhi kiviint k€l soka-s,igb6l rendelkez6siiD*re 6ll ket ragy mida, akkor a

pr6bafissv6ny steded nomilis clovhst alkot oesd 8.4.3. 6s 8.5.1Ir!ainkal).

Konkrat niata esetia a ptatbafiiggveny meSral6slt €neke a

6sszefiigg6ssel halrrozhat6 nes.Ha Eo = 0, aLlor a nullhipolezis

Ho: Pt = P7

Ellen6z6ere cClszerfi a fenli dsszefiig8es helyett z ugyNak stadard normilis el-

probatuBsvenF hasmdl'i. ahot noi i !!!:!:!!,,,.4, az esy€s miniil eln.

szirnai, i, , 4 p€dis a mintikb6l szimilott rElativ gyakori&igok.

I00

-/ . - \ , / . - \A\ tAJ P,\ t P, l

p, . ( t p,) *pz.( t

p)

'al.*.*J

tI, l :

i-.'

' ; :

Konkret nnta esetan ^

mellrek meghatdro?-iliboz

IIIIIIIIIIIII

- , . J l l l

ifssz€tisies hasaalhat6, ah ol i=n'' A+ n'z P'

A pr6b. vesEhajt6sa sorio a kilikus ert6k€kptra kJitikus erlekeivel.

N€zznDk €gy peldtl.

032 0,38 - 0,06 2,86,

Az es/ik orszigos kitzvef€meny-kutal6 cea too0 d€mn figgetleh, Mahos el-oylrsi nirtdval dolgozik. Kel, e8)nis ulan I h6Mpos ehdr€ss€l ncgism6l€tt k6zv6-l€rneny-kulaLis er€dmeoye san valeely politikust a lakossrg 32%-a, illete 38%-ar.rtotla rckonszenYesnek-

Vizsgaljuk meg 5%{s eisnitrkmciaeinten azr a felt€v6st, hosy ado$ poliliknsininl n6lt-€ a rokonshv!

A rniniiba: ,, = r, = loo0,toviJDbe Pt:0,32, Pz=0,38:A kerdes mesviilaszoHss a

HotP'=P1

nullhipotsis vizssrlat& jeledi, ahol l-gyel a koribbi, 2-vel a kes6bbi vizsg6lar ered-nmyA jelitlt[k. Az alhativ hipoleztbo azt loSalmazuk meg, hogy a politikusininti rokonszerN n6t1, azrz

Ht: P\ < P|.

Mivel a k€l d6.ysiE kitzitdi elteresD€k csak az ;enya 6rdek€l bemiinker, ez€nz sd = 0 eseten felirt probafiiggv6n)'l hasattxk. Emek a mineb6l sznnilon 6rrdke:

meg€gyeznek a2 egninbt z-

0,021

lotm.032+l0t)0 0J8 0J2+ 0.38 ^ r .

A laitikus ert€k bal oldali kitikus lartoniny esettu u06 = -2, "

= -1,645. Az elfoga-

d,isi tafoDrDy p€dis F 1645: -l .

101

r

IIT

i

I

I

M,vcl r I'n;bufiitgvany szrimitor enakc Dem esrk bele r ellogadir tano[]i.\.b!. a /tr'r elulasitiuk a.//-gycl szembc. Tcbdt 5%"os s7,gn,fikalrcras2r.rcD n.i !/ado( polirikus ;tiDli rokoDszc.\ a lakossAg koreben

8.5.3. Kit sokasigi s26r5s egyezds696rc vonatko26 statisztikri pr6ba

A kaxDinlis / proba alkrlmazasinak .syik f€hircle a kit lrkisig, s/,ni c!\e/,)sagc lolr. A kal minlit ieaDylo probdk kdziil MrerkcdjiDk nreS urolsonnk c/.r pftrhle'na rcs2lclfsdre ; alkalmrs prob6ral A 3 6 rnl,/r:,rbl, bc\crer.rr rclnli\ekel rtl,rllnazzul. SrukscScs azonban az a roldbbi nelrsroritis. bolv a ro(d\ir (lo\:l^urt^mnrdkot sok asrg esct€D ponlosan vag) igcn j o kdzchds scl tu, n6li eruk *. !l k,w.

Celunk a k6t solasdgi sz6riisra vonatkozo

H(:d -o.

nullh'por€zis !jzsgrlala. Erc az

;1

troLrrliiggv6ny hasznilbato. aDri ,I1! hetlessdBe esefn d = rj I €s r:7- = n- I sza,bldsdrlbli ieloszldst alkor. Hjszen a sz6mlil6 is 6s a ne\ez5 is Zr closzl:jsf !atoszinustgivdlro/o (1did 7 3.4. pont) Ezen e7r a lr6brt f-pr6btnak nelezziik.

K.nk\, nn1n.i.li, a probafijee\,iry mc8valdsulr 6n;ke a \dlerker6 ijrszcliiggi$e1 hatirozhrro DreS:

._ r i

s]

fonNs mcejc8yeznnnk, boqy a s,1t ^

\:nnbht szabadsesfoka. a 't

pcdrs a ,2.r.:rji szabadsigfoka. Az, bogy mel)rik solasigor j cldlnk t-essel. iltcrve 2-essei_ clha(6,rozis dolga tla ezl azonbar egyszer m6r cldijnrijdk_ aktor c ddnlesbez a lovibbiakbaD kdle*ezelescn fagas2kodnunk kcll. s a sz6mlrlo 6s a Dcvez.j szab.dsieibkare| I ( \ | ,crrc l . luJ|

^cl l r lefdl latr ls i rLnc kc\ohF me! ! i * /Jrcrur, t lAz /:-eloszldsr a lleloszlAshoz hasonloar .eft szirmen'kus elosztis [z be-

lolyisolta az elfogadrsj ranohdnv hatirainak kikereses€t Az closzles sijnisa!tu8g!!-Dyal a 8 6 liru szernldltefi. kiil0nbnz6 szabadsagftkprrok escrcn

Az F-proba knrlkus dnikci szi.ten kiil.jn ere a cilra k6szite| ljbldzarokbot olvasbal6k ti{lr,?s.|ln J. r.j}/;:di. Mivelmon a rt cs4 s,abadsisfokok a rrbhzarban eg\-cgy kiildn dimeDziot ig6nyelnek, igy a.?- inekek a dblrzar cime atall szcrc

) SiirnsiCiilggva.!ca Valdszinnsegsziimilds l9r otl.li:nhlilh!to

t02

86 Abtu.1: J: e1.^.h\ \iiti^isfurstlnte Arl.rlbijzij szabantAqlokak es.tah

pelnek. A dbldzarbol kazvetlennl klolrashat(i a./ fels6 kritikus anik. mie a2... alsoknakDs drt6kek a kdvettez6 itssTelugg€ssel batrrozhltok m€g:

I' r

Tehnt d aho kritikus 6d€ker 'igy

hatrro?haljuk meg. nog,y a fclcscrelt szabadsiiglbkokft eller kikereselr felst' krnikus 6ndk reciprokiit !essziik.

Ezek utdn tekintstk iil u F-proba elfogadrisi lanominyarr kiildnbil^ rlto,, nhipore2isek esel€n (&8 lnrftrdl)!

8il hld.nl12 r pribo .llaEa.l.i\i tuttandnrai u erqnrlikatuu\a,! atu!1dt

lF. l , l . ' - l

t,,.'=, tl :r]

[o,ril, .,J

IN,

tI

t

_ !4= to. s4 = I t

103

artt

; '

l" IItIIIII

II

Az aho krnikns anck hlcrcsisivel lapcsolaros kelleftedens€ger elkeriilherjiik.ld a ' ron ,o,at a n"a,1t . ' r ar^ ] .h )r t r . ' t r t ig! c lc\c or/ro rrrul Lor\ -prnha-fiiggrdny 6nakc ln6l DaSyobb lcer-cn Mjlel F;'r mindrg nagyobb \aet egvenlcj.

'ninl I, ig,v az als6 kntikus €nek mlrdi8 kiscbb !ag! cgycnl6 icsz. mnrt l. Ez€n ned

fordulbat el6. hoSy a prdbafiiggr6ny szdmitott anikc kisebb le8yen az also krnikustntkn l, \gy nen feltltleniil sziikstgcs ezen enek neghalrrozasa.

Az F-probrrol elmondorlak lgank a a t d - is a d . < o . ellenhiporazis eseleD

is Milela // :o <d" ellenb'polez's csclcn, ha a szamlaloba r Da-eyobb s2oriin inut.

a pr6bafdggv6ny crtilc tnindig u clfogadrsj tanomaryba esik- i8) a 1/, rd. =d.

nillhipore'\st nindig elliguJjuk a H o j<6j ellenhitoleTisselszenbenMinr mdr ehliteltuk, a llluin ! l-ttohd dlkulnta.n\nnuk klltklt-hoE a sok^

siLgi sz6rasok negegyezzenek A" nj 6s a regi ritusn surniabroncsok kopisillosigrirosszehasoDlilo pildibu fcllitclcztiik. hogr-. d =d.. Ellenctri22iik 59;oiszignifikanciasznneD ezen illilris helyesseedl! (To\ibbra is I s)cl a rasr. 2 \cl az !I ri-pusn abrorcsokal lcldljtik.)A v i2sseland6 nl l lh i l )orezis: H,:o =o-, i l lcncu cl lcDh'porazisr ,A :o +o.

A prub.t jps.cn\ mca\dlo\u rp-reke t^- - ' t -7- . .n:. 0.))

Az alletuali! hipolezis kdtoldali slaliszlikai probir harirozon me! Annak ellcncre, bogy ! szimliloba ! nagyobb tninrbeli szords kernlL. (csuprn ,r glrkorltis .alr,lbolrhaltlrozzuk lneg r ah6 as a fel5d kririlirs inikrt is: ,\ kd szabadti.liol:r : / = l0 l=9, i l letveszf =10 1=9

A ki l ikus dnekek pedigr 4i , , , , . r = 4,03. 6s 1, , i , . , , =: ; r =; ! = 0. : , { r

A, elfoead,sitanomdny: 10.248 I4.011. A pr6batugg\€r! szimilot cneke bele-esik a? eifogadisi tarlorniD_rba. i8) a .ullhltottisnnker eifoeadjuk. Tchar 5%-osszignilikanciaszinteD a ragi as az nl r'pusn guftiabroncs kolisrllosiednak a szor:ii.azonosnak telinthclii

8.6. Egydb hipot6zisYizsgdlatok

A 8.,1. as a 8 5 pontba. targyall pr6bik sokas6gj param€terekre \ac\ czck cg!rn'tshz valo viszonyera vonarkoaak Irbben a portban ohan bipor€7is\ izsgi lari

'nod-szcrcl*cl lbglalkozunk. aDelyek cgy !ag,v tdbb vnltozo vtkrtiAi elos.lilita n\\lnxk Mcg6!rerkcdnnk ro{ibha t wridn.iaanali2i s l.ee8}irenjbb modcllje\ c1

t 0.1

8.6.1. I l leszked6svizsg6lr t

Eg ruk;\.innlisi lb,a) eblzla ra ronotkoz6 Allitis raglf.nacbzit ellenc;rzlJ;r illcszked€svizsg6lttnlk ,z'cz:rn Alt6l fiigg6eD, hogy a lipolazisrinkeL menD)ire kodrer'ziljuk, ketltlc lUcszkcdasvizsSiilarol hilonbijztelilrk mcg.

L Ha a lchirelezert (hipotctikut closzlds eSy6nelniien megharirozon a ripustir esparamitcrcir clijrc rdgzirjiik ,

^kkot tiszta i et2ketli\ri.sg r/arr6l bcsz€lijnk

2 l{a a felt€telezex (hilotetikus) eloszl6snak csak a rilusir adjuk mcs a paranele-reitpedisanint,ib6lbccsnljiik,akkorb".\11-Jd1116,kedesrizssnhm\eaznk

Tegfik iel, hogy a sokasrgot vaimcly (robbnl'rc ftennlisagi. dc neha min6se-8i) rma^(el) alapjrn t szimu r6szrc bontortuk, &az a sokasrs csysisen a szarbinforeo ismd^(ek) alapj6n osTttlyoztuk. Tcgyiik fcl. hogv lgyanezt az osztdlyoz,isr .midara lonarkozban s elvegezliik

A dinraelehek osztiilvoTnsdndk crcdmilyeit a,t I rrrlaaildn foglalluk ijssle

89 tnhUzItA ntihlaralonnf?n tsni]r eennh n.EaszlAta"

Az 'smJi

aladrn [dpzetl

karegonrk rsnitranikc

A l rLcenni e l . j i !n lu ld\Jnrk

;^

Az nlnlu.k leltatelezctt closzlas hinden isminadltozarhoz egy meghatjrozot pval6szimisagel rtrdel. A P, mcglNtalja, hogy a fcltdtclezcft (elh€leri) ejoszlris fcDDillasa csain nekkora lenne az i cdil ism€wvdltozll cl6fordul6sdnak val6szinrjsapc. va! \ i ' cp\ c lene \eler len, / r rucn kr\ave em)r d \ . ,u. / U.cf .

" .8\ az "J"

, r rcn

Az trmi^indkck ahpji. kepzetr tatcg6ridk lehehel rSycdi nrt;kck. iltel\e n.nnyisig nnri^ .scren osztillkijzdk Egyedi dnekek esertn a minta elosztt!sti l. nig osniltLijTijt .\.rin,ncgorzli!ir6l beszahnk

II

III

105

l-

il"l

I,lII

I: i

t!llI

lDDck mcsfclclajen a nullbipolezis az alrbbi modon adharo me8:

H P(Y)-r .

. (:- )ahol ( ,= r ,2. . t l )4 = |

\ '=L

/

Az allcmativ hipolazisl pedig a

}/, : larczik oiyan i, anrely'e /1,\,l+ /'

romrban fogalmazha!uk mcs. vrlisos. hosy ,tr'(';)= ,ll l:s\ .rnriibln n/ rlrarcsr r

:(v, ,rt)r o$zcsser mirirerDeDk.Ha a rcrdclkel*c el16,,i,t! (s nagt. bklot a HLh;polazrs cllcD6r2iser. a

- , t ( r , r ) ' t ( ' r ' ; ) 'aLqP:-,

(ahol v, =,4) lrobalijssvany bazn6lhat6, mcly jo kitzclir€ssel r, = I 6 1 sza

badsdg1bkn I:-eloszl6sl kOvet, ha a l'0 igaz. (A bizoDyitrissal nem foglaltozuDk.) Aszabadsaslbknel a , a P, meghitirozisihoz szilksiscs u on pffameierek szimit jclcDn, anelyet a ninttibti! be.stnrr*, i pedig a kq)zet kal€g6rirk szina. (Temes,etesenr6zra illcszked€slizsg:ilatn al)€n6kc 0, iey srt= t- I )

A probafiggveny csak alkor kijzelilj ne8 j6l a X' .loszllsr. h^ naar niatartran Tovrbbi ldvctelmeny ajo ko2elil6shez. hogy a leskiscbb fexdrele,el eyakoris6e(rP,) na8yobb vagy egyenl6 legycn, mint 10, dc l€8alabb ,Z > 5. Ez a szigom felielelval6Jrban a minlanagysega, lalaninl a kepzett kategdridk s2nnrra loDarkozo korhrHa ez ren leljesnl is a minla elemsrama valarnilyen oknil fogya cli're adolr, celszcriiuJ karcgorir&at k€peai a pr6ba vcgrehajrasehoz.

A pr6bafijggveny k€pzesenek logik,js,Iogy igu t/o eset€n az n elcmii mimnbaoaz i-cdik kalegoria el6fordulrsi|ak Syalorjsega az ,4 = r; kijr in8adozik. hiszcDlninr azr ldrtuk ennyj a v6rhar6 en6ke. A pidbafiiggv6ny szimhlojdban l6vii kijtiinbsCe tehdt a nullhipolazis femalliisa eseer csa{ a viletlcnszcrii (a miDkvelel latnl.nJelicgc njatti) elteresekel nutatja.

lla az altemaliv hipoldzis igaz, aklor a ker eloszles (a fellitclczcn elmeleli 6s amintibol el6iillt eloszlat oltcrese mer nencsak a v€letlcnr6l fiig8, ez€n lrrhalo, ho€y a

lrobafiigs!€ny closzlisa a megfelel6 szabads6sfolcd u:-eloszlrshoz k6pesr jobbra foetolodnj igy az illcszked€svlztCilatot jobb aldali kntikus tartoudnnrcl keu \eg'eh^jtaDi. Lz azl jelend, hoSy az d szigil*anciaszintbez feh6 krnikus dnckct ketl keresni.

106

I

^zaz. Lt = t i

" . , ] t . A pt6ba vegehajtas6hoz az cl fosaddsi tanomtiny

l {)rz , , . , . "

kn{ ikus tanomaoy pedig l t i . i , , / , i - | lcsz.

Konkftt ,nitta.retln a pt6baiiiggvcny mcgvalosu lt irtattl r

- {" ' ,/L

dsszclij8s.sscl hatArozh.tj uU ."r. ^n., ; =, 1

Az 'llcszkcdaslizsgAlahak

szimtalan felha{znildsi ternlctc van. Az eddiS megismc.l cgy as kitmintns nalisztikai pr6bdk fell€tele volt, hogy a mr.ta nomelis vagykiizelitdleS nomilis closzlisn sokasdgb6l sz:irmazzon. Aze. mcgkdt€s leljesLilesel illcsz.kcdasrizsgrilattal ellcnorizhe!iik. nagdt a vizsgrlatot pcd;E nornali sri2sgAhhdk

Nezznnk erc vonalkoz6an egy p€lddlValamely gyorsbnfahalozat nzlereiben a levi'kei 45 masodperc alau kell kiszol

Sahi A kiszolgrhri id6 mcgenecdett sz6rasa 7 mrsodperc 400 v€letlenszeftien kivefaszlon vend€g kiszolgr|isiid6 szerinli mcgos2lasdl a 8.10. tAblAzd mnta\a:

I l0 ihbznlA kirAbtztott rzndieek kieolEnhsi in.i szan i negas2blu

(f'j)

l5t5 40

45 5050 55

2All0

100

400

Ellent'rizz[k azt a fehcvcst. hogy a minlinl az elaiin pdamelerii G = 45. d ])nomalis eloszldsb6l szamazottl A sziSnifikanciaszinl 5%.

A vazigrlaftoz el6szdr a nomalis eloszlds feherelez6sc nelleni P, etneleri valosziniiscScket kell meghatiomi lIa az iedik osztdlykOz lelsii halerirr,/-lbl. iuerve alsoharar r--val jeldljiik, aLkor u Fedik oszulykijzbe csds val6sziniisdge rr vrfhalo ert€-kii s d szordsri normiilis eloszlrs fcltetelezesevel:

" =,[u3) ,(:,,r:)=.t",1 u,.t

107

A !"los/rnir.rBLl n,egh"tdo/asaho/ elos.?or kr kell ./a.o|n, , , l--1 6;

nyadosokar. amelyekel a szamjtasok elvegzesehez sziiks€ges mDnkaribla (E.././. ,nrl.i:dr) (l) oszlopAbd fiIrcttiint fcl. Ezek udD a standard Donnrlis closzhs rAblizrabdlg.rgSelAk I dbhrat) kiketessii.k a beryadosokhoz ianozo eloszldshigg!6ny-enckclcr(a nxnlatrbla (a) oszlopa). Az (5) oszlopbaD a P, val6sziniiscscker halarozk he8 a(4) oszlot szonszedos elemejnek kivondsdval. (E nek magyartaldr az i edik oszralykitzbc eses valdszinris6gerc az cl6z6ckbcn felin osszefiggis adja.) A kiszimiror Pelrn6leti val6sztniiseg DegDutatja. hogy mekkora u t'ed'k karegdria el6fordulr6rnakval6sziniis€9.. ha nomrilis eloszhs{ sok6igb6l szdmuik a

'ninta. A .omdln elosz-

l6s feltetelez€sc mcllctti syakorisisok (6) oszlot segils6e€lcl mcshararoz^k . (7)oszlop nrrzcie, soraban a probafiig8v€ny sznmiton ert€ker.

Fonlos megjcgyezniink, hogy nz utols6 osztalykozbaz bnozo:. inakc( mirdig*-nek veiszrik BDek kdvelkezteben ezen oszielykd2hor Lanozo eloszlrsliisclen)_

cacac I lcs/. cs rsl refie,dl d :P - | its'zcfti88cs

A sztulilisok clvdgzisdnct go.dolatmeDet6l alkahnazzuk a peldinkn A2 eredntnveket a 8. I l. tibhzot,an^Lnzza.

8 t t. tnbbzalA I pnbaliiggtih! szAnrau i al nek heqhabroznsaru :zaknb

"'unkadhla

A t6bliiar alapjdr a pr6bafiiggvoy aktudlis€n6le: t; = 10.?9.

A kitikus enek neghatdJoznsahoz a szabadsdg{ok rzl=6 l=5. milcl azosztdlykijzdk (katcgoridk) szrima 6 €s a sokasag paraheErei ado(ak, igy tiszta illcszked€svizsgalahl haj lollunl vege.

A kJi l i lus 6nek 2i" ,1.1=zi , r1=tt , t , u el fogadrsi Bnomrny pcdis

{0; 11.11. Mivel a szAmirox €nek az elfogadrisi tartomdn_! resz€- elfogadjuk a

108

aG)- I

(2) ( l l (51:15

35 4040 4545 5050. 55

2A80

100r006040

{1,?r0,000,711.41

0,01640,2:1890,5000

0,9216I

0,r6250,26r r0,261I0,t6250.0?64

10.5665.00

65,00l0_56

1,653,460.190.190,182,92

400 r _0000 10,79

nullhiporezist A kisTolgdli;5i id6l tehir 5%-os szignifikanciaszinten 45 lerc lirhato€n€kii,7 pcrc szornst nom6lis closzlist val6szinris€gi vdltoza,Dak lchct rckidteni

Az iUerzked€s!izsgiilabt nemcsak a oonnilis eloszlas, hanem egy6b clmalcricloszlrsok (pl. c€,vcrlctcs, losnom6lis. Poisson' stb. eloszlds) feDilhsinak cllen6rz€sa-re n basmilharjuk Tem6szetesen az cgycs closzlisok eset6n a ielGleiezetr chnclcri

e lo\ / I , . Incl lc | l i $aIor i , ;s ( , J mer\Jrdrc,d," k! lonb. l /n. loF

hnal bcmutalot gondolatmencd6l.

8.6.2. Fiiggetlens6gYizsgAlat

A Jngg.tkntagwtsdlot a4n aullhipotizis ellehijEasir. sz.ls . hogr kll isnli^fiqeetlen .gytiet,l. Az alterhdtit hipolaz^-ben perliB aztfaqdltna.zak htg. ha19 n."tflqgctlekek Ez az

^ltcnativ hipotdzs kel ism€w kijzijtti sztochasztikus, illcNe liiss,

renyszcrii kapcsolalot enSed mcg.'Ha

^ sokasAgrcl t.t.s kajri inlomncia)rdl tentlelkczitnk akkor az L kdter :l ,1

ponlaba. szcrcpl6 konlingcnciatdbla segiGeg€vel€s a 3.,1.1. portban fcli fiiggetlen-sdg dcfiniciojindk fclhasznAhsaval elddnthelirk, hogy a ket isrn6rv figgetlcn e e8y-

Mrs a helyzet, ha a v€ges sokasdgot ncm ismerjnk, 6s a kdletkezletest nnrir.ilszdmet, adatukra kcll

^bpoznunk. llyenkor is egy r I mirelii (ahol r a sorok. I az

oszlopok szdftdr mulatja) koltingenciadbl6b6l indllunk ki Alraldnos semeja IankdD) ii* L kdlct6rck 3.15. tnbldzatdban tal6lhari . amely most a mirtabar iszl.llgyakoris6gokat mnalmuza.

A figgetleDs6gvizsgAht sorAn !

Ht:P!=P,. P. t ( i=1,2, . . , j .s /=1.2. . . , r )

, r l r van olyan i €s / . amelyre P,r + P,. P. | (ha i = 1,2, . . . r es /=1.2 , r )

altemativ bipole2issel szemben teszteljijk, ahol:P, az ck6 ism6n t-edjk €s a misodik ismen,.l-edik vihozaB egyiittcs cl6tbr

dulesanak !aloszj!ijstsc a sokasisban,P. i\ 4 J pcrcmelos/li, re8feleln \ rldvirn.aEei

r Altalinos slatisztika L (Szcrk Korpds Attil,ind dr.) NemzeliTankdnyrhad6, Bp., lrr6 1.,1pont(A rovrbbi hnalkoznsoknA| | kblel.)

tIItI

I

ItI

IIIII

t09

lh ! rullh'polaris lann61l, akkor a k€t szoban ibrgo ismin a i:,r:rili(.n.nrlrink 1 /ii&:.tlMn& kknnhatd apnnsbl .

Nyilvtnr\alo. hogy a l, egltlles lalosziDrisigek a P,.tsa 1,., percDnul6s/ini

sigck rsNerelibcn nregbaltirozbalok, ha lr .//, hipolezis igd2. Allalibln c/ckcr l t.rem!alosziniisdgckcl scm ismeriiik. Bccslisnkc a nnnl! Cyakonsi8!rr hrs/niltul'

Lcsyci r , . ( t=1, . . . , r ) azl i$nanszer inr i ,cd,kos/r i tJ,-ho/ l l orar l rk.r i \ t is

a r in l in6l i \ , , , r ( / = l , . r ) a 2. ism€^ I cdik oszlr i ly t ihoz t ino/a gyrkonsrg Jcknr(

lovdbbd a2 I lsn6n tcdlk is a 2 isni^ l-edik oszrjlyrbr csn 'nnrrrclcnck

s/lnjrr , , ( i = r , , r ; l=r . . . , r ) .Ekkor

ut , - l -nt . . . t , l .J , r . \ / t , J nf l . | , / | . , )

Ha a 4.( ,=r, . . . r ) es 4,( j=r . . . r ) \a losziD, iseeck isncrcre\er, . d,rorrn/d i lc / l .Jcrr / , tdLu6l !d , /o. f . J p-obarugS\cn\

A probr clDtasirisi bnominya a becsleses illeszkcd6svizsgrlarnat rn.gtjctijcD r)/t,olduli. iEy a IIt)a d szignifikanciaszirt cseten akkoi foSadjuk el, ha a pr6batirgl.llanl

r -1mcsral6suh aneke a

L0izi,t,./ I elfosadrsi ranom6il'ba esik.

Tckintsnk a kijve*ez6 peldar Fgy szociologiai vizsgilat sor:in azr kjvinjuk ei-lcnitizri, hogy a2 egyetemct vegzett ferfiak €s n6k el6rejudsi lcher6seSei azoDorDkrcknrrhctcik c lbhcz a vizsgilathoz az egyik egycrcm t5 6v!el czel6tr vegzcfi cvlb,lyamnnak h.ll8ar6i koznl v6lcrlenszenien kivelaszrortunk 200 liit A rncgkafdezertei<adr^n a I 12 dbftzdt analman :

812 hblazal,1 n.gkatul-et r?nalteknenhe. nl.) tura.ns

it beo\.tas s2erinli heEoszld\a

\6

20

l0 I l l100

0 :00

I h. n. , \I n, - - . -

- - ! l n I

. ,=:r ' " , " '

i

l

I ( , , , P,. l , )/- ss

I

fl

i-!

:

l

{ tI

I

! i I szabdds6gfokn. tr'eloszlasn val6szinnsegi lrhozo, mn,el s I oszrily !a!

Ila a r, (, = l,..., i) 6s P., (/ - l.. ., ')

lalosziDris6sek (paramelerek) 'en

isnercrc

sck. akkor ezeker becsnljnk a ',.

6s r,, Syalorisi8ok segjts€gevel l(l rulajdonkCppenr- l, illelve / I szabad larm6ten kellbecsiilni, hiszen ftindket peremen a \aloszinns€gek Osszcge L ily a becsl6ses illeszkedesvizsgital probatn8g\ inye. a

I l . r . , it ,

,_rr ' , I _si t , , .11-

,

vardszir i is .s i l i l ioz6 j / - r ( r - r ) ( , t )=(" 1) t r ) szabadsrsfoku z:elos2lis! alkot. Tchit a szabadsr,gfok levezethcr.i a becsl6ses illeszkedeslirlsgdlabelalkalmzon s2abadsdgfokbol. A figgedcnsegvizsgAlar igy val6ban az iueszkcd6vizs,gilal spcciilis esetckenl k€zelhe15.

A kiivetkezi'kben a *onlalt ninr'bun ^z

L isne^- i-edik elitfordulrsr'ak 6s a 2isnerv / cdik cldlbrdul:isanak egvntes gyai(orisiigrt jcldtj e ,,,, a peremgyakorisigokar

pedrg ,,, is ,., . Ekkor a tr6bafiiggvany megvalosulr an6ke a kdve*ez6keppcn hata,

I l0

AvizsSdlat soii! a szignifikalciasziDt 5%.

A nullhipotezis el az altcmariv hjpot6* a kijverkezai forDrdban irharar fcl

Hr: P, = P,. 1, ( i=1,2. . . , resl=1,2, . . r ) .

. t l j :varolyaniesi ,amelre 1, , +P,. 1, (hai=1,2. .1 cs /=1,2. . / )

A pr6batugglany knz1mirnsrhoz keszihnk eta 81J. rnr1.i:arrr

] l l

I t3 lnbldzat

Munkahbla a x1 p bolngqftn)' aktuilis lflakinek deqhnhnzn\nho-

( , , , : )

)o

30

l35522

i_t2t

2.909

t0

21 6.2590.55615i6

:00 t00

A ldblizal alapjiD a probafige\'6nyn szrnilon enekc: Z; = 18.856

A szabadsigfok: jzl = (3 rl (2 r)= 2

A kritikus €nek r,/ szabadsaglok es 5%{x srisnifikanciaszi'n cscraD

I or rq,t = 5.99 . Mivel a rnlikus enek kiscbb, mint a szrnitorl €(ak. a //, I chrrlsjrluk

Teh6l a rendeikezasrc Allo adatok 5%-os szignillkanciaszi cD cllcnnnondanak annakaz illird$ak, hogy a nembezval6 bnozds 6s a beoszlri! I'iBgerlen eSyDnstol

A tuggerlenseg Zr'probival tjn6n6 cllcnozesc sorin hasonl6an a Taokdnrvnnk I. ktjtctc 3.4.1 ponldba! rsmcnctc luggellens€g definic,6jdboz Dcm rcttnnlrnegkot€st az 6henek tipxsera vonalkozoan. lgy czcn eljirrs bdmil!'en ism€nek

A gyakorlatban sokszor clcjfordul, hogy kel nin6s€gi lvagy reriilct') isntn'lilzdlrikapcsolat szorolsrigrr kjldnjuk meghaldrozni, dc a lcljcs Ycecs sokasieor nen

's-nrcrjiik Mivcl kdvctkezteteseintet hintara kcll alapoznlnk. a 342 ponlban 'ne8ismen asszocitici6s mutatoszdmok 6ltal neft kapcsolal szorossiga felrelezerd leher. men

nem tudu!-k a mutat6|oz a mirrana8ysaet6l fiiggij kotrfidenciaiDreoalluftor reodeltri.l_lzirt c6lszcrii ! sokasdSbar €nenyesiil6 sztochaszlikus kapcsolar hiiinydr ltipor€ziskenl kezelnj, €s a ninla adarai alapjd! fiegellens€glizsg:ilatial ellen6rizni- Iogy a kctismen tuggellen-e egymisrol. vagy lan kiizautk sTlochasTiikus vag-v fiiggrinlszcrii

8.6.3. varianciaanalizis

A varittrciranalizis anndk a nr hipot;.in& o. . t iat.t'.'.ft \.Dknt. hos\ke 6ntl hihb a2ono! szofisti ,o/nt61is elaszbt vl,ts2in; igi \nlb-onak atuo\ c n

l12

"b)-"(; iG.",))=, =,.o (, i=,. , ,) .

IIIII

II

IItI

A proba ldgrehajrisdho, sznksag var legalAbb egy ronihnli hattsi lknlin e.eEy antnfsk,ilih man isme^te A nomlndlis meresi skalan m€n ismen alapjrh M dbegym:isrcl fii8ge1len sokasnSot hozunk letre, amelyekb6l tAgellet, azoho\.bszhtnninfit lcsznr]( I8y M db eglmrst6l fiiggcilcn nn16hoz jutunk.

Legyen d, / a / :cdik sokasnsbol szemazo i -edik mesf isyel6s ( i=1,2, . , , , .

/ = 1.2. . . . . M ) . A var ianciaanal iz is nodeuje szer int

1., = P+ P,+t , , '

az eg6sz sokasdgrajcllcmz6 v6rhato crtek,

a sokasagi halrsr keplisel6, csak aj-edik soka-srgra iellem2i' konsta!!,

d el6z6 ketijhdz k6pesL a velellen ingadoznn kfuviseli', 0 lrrhalo dnekii

c. o . /u ' " .unomil . re lo. / l i . i \a lo. / rnberr ! . ru/o

Tchrt a modeunnk szen.t dbden tregfigyeles harom tagb6l tey6dik iisszc .^7

eh.i k€t komporcDs dsszcgc ! +p,, amcly a/ cdik sokasagra jcllcrud viirhalo ifl6k.

amit ! vcl is szoktak jelolni. A modell szen aj edik sokasreon belnli mcsfisyclc

sek a !, lirhat6 enek kornl ingadohak a (' szordsn normdlis eloszlis !6nenyszeni-

s6gcinck me-!feleliienA lelin rnodcu szcrnt ai-edik sokasi8b6l sz6nnazo ,, elenrii ninla alapjin

- l ;

minrabcl i iL la! r : i rhJrd drtale

ftivel ,V(i:, ) = 0 , to! dbb, /r €s f- r.gzitertj melletr 6lland6 paramebret

Leg]€n

. , _1+ +,az,,cgycsitcft minra Alla8a. (Fclids6.dl ahaznaltuk fcl a mi.tiika alkalmazva.)

r6sz- es a l6itlagok k07d1ti dsszehrggisl tIt

l t l

Igaz tovrbbi. hogy

Ezutin beliilhat6, hog/

I ta . \ , , 2 ' ,Pul;,\- d : \ " ul,; Il=: \ " t' "v t - lnL"r ' \P, t ) - n4'nFtP, l -Pa-

Tehel az €syesitotl mi a etlaga (l) csaft akkor lehet rozi.atlan b€csl6se a ri,

n€k (az esycsirett sokmie virhat ertckenek), ha > r,B , = 0 .

Vezessiit b€ a

Ha:l t t=t t2=.=l tM=P

vaay a

Ho:P, = P1=.. .= Pa =o

nullhipor6zist. A felirt nullhipot€zisck egyeErt6kdek azl e iJlitidisel,tto:.y e X (Mlrdlyskalen rnert isn6rv) v&ha16 €rteke frggellm a sokasigokal meAknldnbitzter6 t6-Dyezdt6l (a noninilis meresi sknHtr n6n ismervt6l). A vrirhat6 enek lehil mi eDr€szsokasigban e$,enl5 u egyesitelt sokasig verhat6 6rle*6vel, a / ,vel

A felin - k6t cgymrissal elaivalens nullhipor€zissel szemb€n az az alr€madvhipot6zis ,ll, hogy a rrr soksesi adagoknak nem mindes/ike esik esybe a /] -vel. azegyestteh sokArai irlaggal. (Ezel egyeftrtekn u u ellenhipot€zis, hogy Erezikolyan Br, amely nen €gy€nl6 o-val.)

A nu llbiportis cllmijrzesere szolgil6 probanisgveny a

" !

' \1 ! '

- i , l *L", l i , - i l . L lA, - t lo '1, +tM t t6 l

ttsszefigg€sen alapul, ami nem mis, mint z I. kdrer l-4-3. pontj6bar meeismen 6ssze-niggesnek u eeyes minLilaa 6s az es€silelt mir Am lorlen6 alkalmzisa.

A modell kiindul6 f€ltclclei (u egyes sokastgok nomtlis eloelasfak, €s a v6ri\ail megegyezne*, eselatr a nulihrporeas lEaelesere az

$it , - . , r ' Sir ,.L! . , \ FI LLFI

l l4 l15

6,.

I'(,,_,I";, - M

pr6bafiiggv6olr halzn'iljuk, anely szft=M-t iB ry'?=,-M szabadsdgfokn F-

eloszldst alkot, ha a H0 igaz. Az is bizonyilhal6 tovnbbr, bosy a szemlAl6 vdrhat6 6r-

ttke

t " ' . h^a Ha iEaz.M\61)=

V,.;j11,,0,,, ha a u ryaz

fesz. A n@6 vituhar6 6ncker€a:€,nt\et M\6:)=o',

Teh.il a probaftiggvetr)Dek mind a szimhl6ja, mind a n€vez6je dr becsl6seladja. Ha az elletrhipo6zis az isz, ar*or a sz6lrli 6 nasyobb lesz. minr a nevez6, ez6da pfttb'rjobb ol.lalt *ritibls ldrlontir4lal kell \i:|.]leh^jtant.

K@krAt ninta eseth Jeliilink x,, -vel ar:€dik sokasesb6l szarm.zd t-cdik mcsfi,

s ier6s ered'€nl€l ( i=t , . . . , , , ,1=t, . . . ,a) , i r -vel a l -edik (r€sz)minra drtasdr Cs

t -gal az -egyesiletl"

minla illaSil- Legyen

..t4:,S=))[," t, a kookret miodb6lszirniron relJes elrere$ndgy/erblszc8.

Sr ),,1r, - rl a tonkre! m'ntibol szimirod kijlsd elredlndgyzerbss/e8.

",=,!,i('"-")',n€$zetOs.szeg.

=ia, -+: a ko*ra mintibol szimitot b€h6 elt6r6s,

Ekkor a probaluggveny negvalosull eneke a koletkezd dssT-eftggdssel hatrrozhalo

.s"- M -1

"4 t f - \4 v z- l t t l \ '

n-v

Ha a nullhilotdzis isaz, akkor azr mondhaluk, ho8!' a nominrl;s m6resi skrlrnmdn jsDeNnek a szignifikanciaszinten semilycn hattsa sincs r aiinvskn!:in nenism€n' ,llagos nagysegrra Ha pedig az allemaliv lipotezis az igr- akkor a kel ism€r|kazOtr szlo.hasztihts (vag figgrenrs2er4 kopcsolot illl 1aem.

A pr6ba vcgr€h3jlasahoz sznksages szamilisol elvagzeser mcgkdmln' a vdirDciarnalizis tabla, amclyDek senej t konkrit ninta e\.1in a u l1. ttibli.ot lan^l

Yo riunciaa n0 1 i, i ln bb :i n nj u

s* = u,, l i , i /

r, =:,:,(., - r,I

Ji

,lL

'=iit'"--t'Az eddigiek soren a pr6ba v6sehajdseboz csy Dominrlis €s egy irinyskrltD

m€n ismenre voll sznks6g. A variaDciasalizist akkor alkalma2naluk, ha mi'laverel-b61 szamzo informeci6k alapjdn kili.juk elddrreni, hosy eqy

"u.,nrisasi xnftrr

(arrnyskelAn merheli') Atlagos nagysrga filgg-e lalamiiycn ninislAi isrftrut1;l(nominalis skelin m6rhelt'), vagy fijssellen anol. Eklor a varianciaanalizisr a vcsyeska!csolal fenniilldsrnak leszteles€re haszniliuk.

Nezdk a kovetkezai peld6t. Egy ijsszcszcrcl6-iizctnben uayanazon aikatr6sz dszszeszereles€l4 dolgoz6 vegzi. Az nzem vezcr€sc szcrinr az egyik dolBozo rosszabbleljesjtm€ny n)1rjl, mint a tijbbi. Emek ellcn6rz6sirc 15 napo. keresztijl fi-syclcnnclkhenek a gyinot alkatriszck szimdr. Az egyes dol8oz6k relierilm6Dlc nonnalis el,

i116 ?

oszlesnnak tekintherij, rovebbi a sz6rAsok egyez6sege feltitclczhetii. A rneefigyclasercdnenyeit a 8.I5. iblAzot ldrtalmaz .

8 t5 tdbhzatA. e g,"s.lo lsazo I tel 6 i tman ta da 1 a I

(db)

i(',,- t'

D

5555

51,9

60.2

I n.6

72E,2

vizsgnljuk meg, hogy ! 4 dolSozo atiagos leljcsitm€nye azonosnak tckinrher6-e

El,is2d! iiuk fela nullhitotdzist ds az ellenbipot€zistl

I to: t t t=p.=p-=p!, H : Ierezi l o lya! r r , , amelyneo egyenl6 a tdbbivel

A probaliiggv6ny kjsziimittsahoz:

. t , = 117,6+ i73,4 + 228,2 + 86,4 = 605,6,

r _ l< 5q.1 l5 <7q- l5 6-0. l5 b0.2. 19 I - < ' .o- o l .L o0.?oLr r

IJ^ = -Z'

l r r ,

= rs. l lso r so") . r \ rq-sa.rrrrhrn. . . . . 5o.6J r160.2 :o. ] o.

Ezek utin kiszdmirbarjuk a pr6bafiisgv6ny meSval6sDll € ik€r, im1

F^ =::+ = 2!L = 2,1e" 605,6 10.62

60r

A kritikus tn6k megeuapitrsehoz a szabadsasfokok: .9 =4 r=j Jss4=60 4=56. A kntikDs eftik pcdlg 5%-os szigriikanciaszinr eserln

IIIIIIIIIIIIII

/',1.r, ',

= 2,79 4 proba clfogaddsi ianomiDva: [0 i 2.79l Milcl a Prarbufu.lgr'nv ir

reke a7 elfogadisi tarromrinyb! csik, a nullhiporizi$ elfogadjDk 4 dolSo/1i rirhlo\leljcsinn6Dyc kdzdll nincs szignjfikdns knldnbsfg. mds szo\al neDr hrTonlulr ,Lr^,r\a7 a fehtlelczas. hogy egyik dolSozoiuk rossTabb rcllcs'rmaDrl Dli,rr

tt

8.7. Gyakorl6feladatok

I. A zacskoba csomagolt I kgos lrisl:ilycukor liinrcgdnck cllcndr/isa'. Ii) cl.Dniveleilen minrdr reuijnk Fclraelczhct6, hog) r csonraitoktautonara nonnilis eloszlassa1 tdlt.M6resi credmanyek dks-ban96: 96: 97; locr:98i 981 961 99t l0 l ; 102.A rolr6stly sz6rns6nak megcnScdcx mdrteke I .lkg.

d Ellenitizznk, hogy a krislilycukor lijlt6si tonege meSfclclc a szablin-qa*l

/)) Fllcnijrizzijk 5%-os lzi8.ifikanciaszinten ^zl

a i-elte!€si, hog) a csomaSoliiriimee szorrLsa meghaladja az I dkg os menekell

ICy konzengydrban a htskonzcnck ldlGsel auromaia g€p vcgzi A dobozok szabliny szcfilli tdltisi tdmcgc 450 gramm, s26rasa l0 8ranm. A Ayir ceyik szillil-menvrbol 30 darabb6l6110 !6lellen niniel vettck. A mint6ba keriik dobozok rillagostdlt€si $mege 4,18 8ramn, a sz6rnsa 12 Brarm. A dobozok lohisi lom€g szennti

vizss6ljut rne8 mak a lipolezisnek ahelyess€g61, hosyd/ a koueryek dllagos tdltcsi tdmcge Dcm 16r el a szablin)'16ll

A megengedett sz6rAs felhasz-nelesdval.a minteb6l becslill sz6rrs felhdhaldsdval.

n, a srorrs nem t€r el szignrfikdsan a szabviny szerirlit6l!Az cls.jfajf hiba eikove16senek nindharom csctbcn 5% csalyt adunl.

Adon lcclDologiai folyanatral ivck oti keszitenek lv-kipcs0veker A kdpcs6 sTab-veny seri i itlagos clcttafiana 12 000 &a, a megergederl sz6res 1000 alra.Ui technol6gidl \'czclDcl bc a kapcsijyek mi.i's€gi paramerereinek .talitrsAra Egy60 db-os minliban z dtlagos ilctrarhn 12 800 6ra, 3 100 6rrs szordssal. A kep-csovek alcttanama romdlis closzlA$ alkol.

2.

3.

l tN l l9

lllle06ri22iik az alnbbi hipor62isekcr:a/ A/ ij tcchnoldgirval 8ydflon k6pcsdvek ilerrarlama ncln felcl ,nc8 r s1, ,!,1j,\

n!\ kr - 0.05 cs d - 0,01 szjgnjfikanciasrinreker)l,) A2 U t[p.saivck aletrairama meghatadla a srabvrDyosal] {a = 0,05 )

{. Lgv lrtkimitkapT6 hirdctis€ben azt:illitjAk, hogv a vigzefiek g0,/"_:inrk srr )lril|il

!/ clhcl)czkcdestt Az urots6 ranfolyamon 100_an vigcztek, as kaTiitLik it4 rck slk.rnlr clhclyczk.dnr

d/ Mondtunk vclcn.nyr a hrldetas.cil 5. iUerle t%_os szignitikancrasTinlc!ll/ Mcsciitsilena c dijnrisiinkct, ba az infomiciok 200 etcmii hinlnboj szinnazlat

5. 200 grannnos Inosapon I rniiszakban tottcnck. Mriszakonkant 50 ctcDlii minrdl\esTnck i tdltas mcnnyisdgenek ctten6zascre A r0lt6si rOmeg d agif. vonarkord

t = 201,5 gi tr = 199.0 8: r. = 205,0 I

A rdlra'96? 5 gmmmos v6rassalkepes rditcu. A tdltir ramcg nonnilis etoszlAsa

Vizsldljuk mcg, hogy u egye! mrjszakok 1dh€si menn!isagci cltdnrck-e szig,nllkansan a nivleges dnakriill(d = 0,05 )

6. Egy rcp.e2enlativ felmaras sorin vizsgal1:;k a jrtrok gyapri,l()^,,,,11 r0lr rtl,,,lminra alapjdn A vzsgAlar soran a kiivetkezij adatok liitrak isnc,.t.$.

A/artr rzri,d fatta r€szldcs adatai:

4,0 5,05.0 6.06,0 8,0

t l

,59

r50

A hint.t htisheti"i tai ns2rmito eredminveka megfigyeltjuhok szima: t50 db.e arlagos glapjuhozan:5 k8.

a gyapjnhozam szornsar 1,24 ks,a 6 kg felettr gyadnhozamtjubok arrnya 32%.

Mindk€t fajlnntl a gyapjthozam szerinii Dormnlis eloszlrs felGlelezher6

a./ Szakirt6k tapaszlalatai szcml a fdsiis merin6 juhok d11a8os bozama 1.5mcghaladJa a ndmel hrisnerin6 gyapjthozamril. AlitimdzlJa c a tn'Dtain6i hpasztalalokal? (o:10%.) A szonisok zonossrga feli€ielezhctd:

b, Van-e szignifikdns knl6nbsdg a 6 kg feletd hozamtl lubok aranya(a = 5'/".)

ka ma1

kdzdu?

7. ,L2 M 0 es aut6pelya valamcly szaktuzitn forgatomszenliltist laaanak Az e-PycsnapokoD tijn6n6 szimlrhs ercdmdDyci (a7 dlhalad6 scpkocsil szdma szernrr cso

r000t00r 20002001 :1000l00l 40004001 5000

l t

t5t2

,v(5r9j 69.i1)'eloszlds fcltirclczisi!cl

455055

65

450500550

650700

820l22012

3.149.51

2t.0128,07

t00

A negiigyeli napokon atlagosan 2851 gepkocsi baladl el a lizsgAll helyen, a szorisI 506 gdpkocsi. (Kerekitefi adalok!)

Ellen6riz2iik a"1a felleven, hogy a g6pkocsiforgalom nonnrlis eloszlrst ! (ll:5% l

8. Tem6ritiagbecslishcz d aldbbi 100 elcm( minlrl hasznnljuk.

t ;gtr.1.20

A rnirldb6l szdrDiloll taramalcrck

9.

z, Szirnirsut [i a hiinyzo adarokarlb) Ellen6nzzi\k 5% os szignifikancras2inlen, hogy nonDilis closzldsnrak tekir!

Egy lak6releptu 420 h6?tadiisnal elemezt6k a mos6geppel val6 elliloftsreot. A

IIIIIItIIItIII

d/ Lllen6rizziik mcgfclcl.i pr6bival ut a felGlesl. hogy d mosogap nalkiili hi7-rardsok aiinya szignilikinsaD nagvobb z egyednl l(l (as gycnncktclcr) lli]ir,lanrisokbanl (o = 5% €s o - l% mellett )

l], Sz:imitsuk ki, hogy milyeD szoros a kapcsolat a k6t isD6 v kiizijtll., Ellcn6rizziik 5%'os szignifikanciaszintcn. ho8y a szorossiigi mtr6szim szrgniil

kins kapcsolator jelez-e!

10. Egy kdzvClcm. . kuat6 ini6/et azl vizsgilja, hogy hirool pdn sralrzol r v.ilaszrtisok utin I avy., mcmyne ragaszkodnak ahiroz ! pifihoz. alnelyikre a vii16zrii\lo,szala7lak A7 e(c ronatlozo vi2sg6lar eredncnyci a kijvcrkcziikl

----\ Htranisipus

Hilfi::;------.-Egyednlill6k

I.ilautomara 6s automata

l02:la 176

80t00 :120 !0

Rc

l?j

t03 2461

3'l2 l

225187

Dl 65 500

al Milyc. kdvelkeztetasrc jut ! kdzvnleh€nv-kurrla) inliz.t a kapoft ldrLok bi,tok"b.r a vAlas2t6k.,ragaszkod6sit illelitenl (d:0.01 )

b, Szimitsuk ki a k6t ismerv kiizdtti kapcsolar s/orossrigirl

l2 l

r l. A kdzleked€si balcsctck clctnzas;re szolgil az alibbi minia:

Esy.b50EO

60690

l0u0

r20EEO

130 750 120 ! 000

Hdl8a!6k

IacDE

El0l4E

t0

413740l437

t0,0'1,08,1

50

a) Ellcn6rizttr, hos/ a bales€t kimenelele 6s az it lipuss kitzdn van-e sziSnifiklnskapcsolal! (d = 5ol".)

,) Szignifiktns hilirnb66g vaF€ r balilos brles€tek arrn," kitzittt a fti'il auloj( esaz €gy6b ursk es€r6b€n? (a = I%.)

50 vClellensz€rfieD hvilasztotl haflgat6 dolgozalimk eredm€Dye valamely tan-tirgltu6l:

12.

a) Vizsgrljuk Ees, hosy k€t (ictszSleses€n v asdotl) feladutsor eredDoyei vis-nifiktnsan elt€rnek-€ esmist6l 5%-06 szinlen!

b) lptazolhati"€ az az t'Jltu, hogy a feladatsorok (i,$zess6sikben) eft€i5 fth€6€-gfek voliak? (a = q05.)

13. Ery rnarketinggel foslalkoa c6s vezEtaj€ arra kivnncsi, hory j61 kik6pun mu-katdrsairak iigyndki r€liesftrn€nye ftssetkna a2 akt art6l. Az adatokal nsy g/iij-tott€k, hogy egy adott temekb6l €S, h6mp alan hiny darabol siker t az n$Ditk-

122

A 600 elem$ minla adatai:

Elc&orldz6n

10 as I5 166s20kdzdtt

508060

EO9050

709030

200260140

t90 220 190 600

BcfolySsolja-€ e 6le*or az n$,u6k6k nu*ijtuak a€dnenyesses€t? (d = 5% )

l{. Egy piackutat6s sorrn kiil6n6zn csomgolisbd (,{, R, C, D, E') mutattak be egytefln€kei. 300 vev6 az alitlbi meSoszlisban vAlaszton:

ABcDE

4555706565

300

Ellffi;zzE s'/.ar eigniGk,nciaszinl€n,eF €s csomaSolrsi fijcikal!

hosi esyenl6 aitnyban vehsztjrk-€ az

|!rI ilf,fffil i . r l

I

1,,l l i

l . i[ ,!t ,I

t[ , ,r ' : 't ,li*

s. rtrvAr,rozds ronnrlAcro-ns nr,cnrssztoszAlrirAs

l , l

A ursadalmi-gnzdsagi jeleDs€sek alakultsil, viselted6ser vizssrlhaiuk rcljcskitrii vasy reszleges mcsfiByel6ssel, D6zhetjnk omasukbe, dc elcmezhcink a vc|nkszoros kapcsolatban lev6 r€nyez6klel csynncsen is. Ha dmaeukban vi^Biiluk uokal, akkor csak u esemdnyek r0gzir6sere, egy itllapol lefasira van lchelijsagijrk.A hat6t6nyez6k itsszefiiss6se.ek eleruese em€l bdvebb lchctitsiser kiruil, mivcl arab lril6zl kaphatunk, bogy a bekovetkezen illapot milycn l€tryclk hatisara jift letrc,mely t6nycz6k, milyen mcrt€kben harirorrk meg a vizsgrll jeleDsaf al*ulisil

Ebben a fbjczerben a iiEadalni-gazdasdgi folyamaokar alakit6 tenyeziik dssze-1n8g€seivel foglalkoanl 6s a becsl6sj clj6iisokboz, valamirt a hipoi6zisvizsadlaftozhasoDl6an mintdbol szrnu6 adalotat huaalunir fcl.

A kijzgudasrgi elcru6nunkiba^ a nenr!-isiai hnituek kdzdtti szlocht2tiktskap.salatok yizsgalat|rak ! an elsaidleges szerepe. A gazd4igi tler Jelcns6gci ugymisrendszerjnl szimszenisilheli'k. VqsgAtbatjuk p€ldeul a gazdasrgi riJsasrgok nero tr-bcv€iel€nek 6s jijvedelmez6s6g6rel dsszefiiggesel, vagy a nemrclgudaseg li7€tsirncrleg€nek lrlenya 6s u expon volumcDc kitziini kapcsolarol. Kordbban, a kombin6,ci6s labhk cteMesekor mAr negisme*edtiiDk a szt@hasztikus kapcsolat fo8almAval,laz jsncwck kijzijni leDdenciaszerti ijsszefias6sscl. Az ism6nck faidja *rinr meskiildDbdztetdnk asszocirici6l. legycs kapcsolatot es megismerkedtiink a korehcioskapcsolanal is. A csoponositoh adarokbol v6gzdt elemzs kapcsdn alkalmuhar6 akonelrcios libla, a katcsolar s2orossriga m6rbelti a mcgismon korclircios tfnyadossal,a2 osszefi-qgtsck felttues6ban pedig segit a lapasztalati regressziofiiggv€Dy. A kitvclkezi'kben a nemyis€gi ismeNek kO2n1i kapcsolan_;zsEalat speciAlis eszkdzeivel fogunk megismerkcdni.

Ha azininl crdekl6diint, valon fenrell-e a kapcsolal va$, sem, illeNe nilycn iri-nld es ert'ss€gii az itsszeniqAes. a ko eutl):zdnitd: eszkOzeivel kaphatuol yrlast

Az kmirck k6z0ai fiig86s€gi viszo.yok felttrrsrval, az osszeliigg6sekb{-r rcj16lenderciak matcmaikaj fii8gv€nyekkel 6n€Dij leiltuAval pe<llE a rcAresszi6s.Anirisloalalkozik.

124

A gyakorlati clcru6munkaban a konelaci6- es a reSresszioszdmitdsl elblibanegynrl eSymrisl kiegeszitv.

^lkalmuztlk. Ha a konelrcioszrnitis sordn szoros ka!-

csolal mulatlozik e ism6rck kdz6tl, akko! a regreszi6s niggv6nyt b6tran ielhas2nil-haljuk & osszeliigg6s JclleM6sdrc, gyengc kapcsolar eset€n viszolt a fegresszl6-niggv6syel szemben is femtartisaioklchctnek.

9.1. K6tviltozds korrel{ci6szdmitis

A saochaszrikus kapcsolatok ele@ese sorin nir megisheniik a koftlicios hIinyadostr. Ebben a fejezelbe. lolibbi m6rijszemok meghar,rozes:ival foglalkozu*.m€lyck snnten a memy'segi ism€rvek kijzirlti katcsolal szoro$agit tEezik ki, kiszimiLtsuk azonbaD relreze adv mcgfigyelesck a.tataibol, azaz mintib6l tdnarik.

A korrehci6szimitis ciljo a kdpcsoldt ihreh.n'tnnak is ihinlAnok tnlftlc.A kapcsolalszorossrig vizsgalatr.el a k6t mcmyistgi rsnenet szinDetrilusaD kczcljiir.

A korchcios kapcsolat szorossiie' rn€ri'sztmaiDak csct6bcn is esszeninek lrrszikme8vtsgehi, hogy cgy 6sszeftgg6s mennyjre ,ll ktizel a fiiggctlensaghez 6s inennynekozelili mcg a fiiggvanyszeni kapcsolatot Ez6a a mukloszrmokkal szemben az asszo-ciaci6s c8lijttbat6khoz h6orl6 tdvzlzlza,),1 rdmaszlunk:

ha nircs osszefiigg6s d ismdrvek k6zdtr, va$as niggetlenek cgymanol, a szorossdg h€r6szenanal nullrt lell adniajh3 egyenehii (lineeris ftSgvenyszerii) kapcsolal van u ism€trek kij2du. a ma.i'szamak I (illctvc +l vaSy l)edeket kell felvemic {a kapcsolar tr6nyrnak ncstalcl6cn).

A szorossigi mar6szrnok meghaterozasanal fonlos szerepet jrtszdak a vlzsg6ltismenek marhctitsagi tulajdosigai. A sz6ba lijbeli' m€r6szemok kciznl, amclyeket rstatiszrika ilyen c€lrahasaal, itt csak a legfontosabbatal mutatjuk be.

9.1.1. A kovar iancia

lnduljuDk ki a Demy'se8i isnenek keldimenzios closzl6sainak specidlis para-meterab6l, a kovdiancinb6l.

tlIIIIItIIIIII

t25

A vakts,inisassrnnittsban kA valhzifisegi vtuoz6, 6 es 4 kov.ri cirjrn a

cavc,ttJ = M(Ie - M@\.11- M(q)l)

szAnot 64iik, ha a defnici6bar szercpl6 vivhat,6 anakek laerck.

Ott b€bizonltottuk, hogyr

t. coe(4.\) = M(EIIJ - M(1). M (11\ .

2. HL 1 es q fiissetlenek, alkor cov({,r)=0, forditva Dem i8az. ha cov(6,4)=0,

ak*or m6g nem biztos, hogy g €s 4 nigg€tlen€k.

l. Ha 6 es 4 esyiines eloszhsa (k&veftozos) mrmilis elovlis, al*or cov(6,n) = 0

akkor csak a.kkor, ha 6 €s 4 ffigeedenek.

Adon egy sokasig, amelynek ket meDnyis6gi isn6rvet, X-€l s I,t vi?sgnljuk.Diszk€l esetet feltetelezve

xlehetieges enekei Xr,..., X,,

r lehets6g€s €rt6kei li,...,li(mindket es€tb€n elk€pzlhet6, hosy a leheir€ges enekek szima nem v6s€s). Ha v6-Ietlenszerfie kivnhszhDk erye$/edet,

pq = P(X = Xrv =YJ) ( i=1, . . . ,s l i=1". . , t

az ngynevezen egyijttes val6szitrfsig€k es

pr= P(x = xt), p.j =P(Y =yr)

a Peremval6szin'ls68ek, akkor

coy(x,Yt =>>p,xI i M(x)M(yt,

Mt x )=>p,.X, is M(r)=>p.rYt

az x. irrewe az yisrntrv vmar ]l*.

i Val6szln!*gsrnilrs 163., 168., 179

126 127

Ha a sokasAg v6ges r\r tasn 6s t a e8yuttes gyakorisegok (azon egy€dek szd,

rna, amelyek rz 1,,vr isn&v€n€ltel rendelk€alek), f,.,ilterve I.t a peremgyakori-

sigota, akkor

o" '* ' " , - n-#=' . 0. ,=! ; =r . ,

l8y a kovdiecia (mlyer msr Cs -nal jelolirl<,:

c -

= 1,22 r"x 1,. !,1 i r,.x \ i t.,,)=" \ '_r / \ " )

t \ ( , \- llc,,x,y, -llg"x, l>e.,v, l- >2s"x.t, -Ii ./1. , ) t , l

In az t , iletve f az X ismdrv, illetv€ az I ism6n auasa.A kov&iaDcia Syatran hasni kiplelf mee - n lbeolur gyakorisrgokar f€l-

h,,sailva, s dcfinici6Dak mesfelel6€n az ttlagl6l val6 elt6r6sek szozatenak ethga-tor felin fomula:

- xl\vt v ).

ri A lrcvrrirrcir thdt a, dttogtil vato "hir6pt

eonaina^ yontari d ala.t ancty @.s/inet sz,rod aassncrcdiit jc pn,j

Abban a sp€.iflis *lbea amikor X = y, a kovariancia a sz6resn6gyzeuel azo-nos, igy ialoban a k6f isn€rv €gyiiltcs sz6n[sarak rekinth*d. C r* - o 1,

. C,, =oi.

Ndzitnk egy p€ldrt!Egy lelepiil€s *itnyvtjlttrEk itssz€sen 50 b€ira&ozott olvas6ja vo. A kdlcsdnzdlr

kotetd( sztma (db) €s a kdlGdnz€si id6 (bCr) kdzoni itsszefiigg6st kivdnjuk vizsselni.(A kdnyvlri k€theles id6tartamoka k6lcs5n6z €s legf€ljebb k€tszer hosszabbirja meg ak6lcsdD"isi id6t.) x a t6lcs6nzesi id6 (h6t), y: a kitlcsituijh kitler€k szrma (db).( Adaok a 9.1. tibl62otban.)

- - r t ( . r"

9.1- dbliarAz ol@ek hegoszbta ,6l6ikziri idd it z litlsa"zij kii|tek szeritl

A kitlcsitnzesi id6 edaga 4 het (t=4). A kitlcsdtrzou kdlerck erhsos sim(f =2).

- - r i$,r . '. " - N, i- . '^^, ; l l | , t ) .

, i , : ; r ; f . , " - , ,Cr, - -so-13 r-2r r-1)+9 r-2) 0r2.(-21 t+t( 2) 2r 8 0 r-r j I 7.0.0 r

+ 2.0 l+ 3.o. 2 + 4. 2 (- l t +9. 2 O+ t . 2. | + t . 2. 2l=t--=-16 a 4-8+2+al= -=-{ ,0&

Ha a kovariecia mdsik k€pletdb6t indulutrt ki, a szimiris m6ete a kovelkez6:

| -:-!cn =;LLfi,y, x.r .

c4 - ;o0 2 1.9.2.2+2 2,1+1,2,4+8 4 | t7,4,2+2.4,3+

+3-4.4+4 6-t+9 6.2+| 6.3+t.6.4r-4.2=

= (6,16 r l2 ' 8 r 12{ 56{ 24+48+24+ t08 | t8 l24l-8=

= 50:.196

8= 7,92 -8= _0,0a

K6lcsitnrn( t6ret k szem {db) /

Y.

t r )ati -!'

E,i,/'

9:

7

9

\2

I

l

I

t5

20

t5

l5 25 50

l2 l r 129

K€{d€s, hogy a kovariarcia na$/sega mennyne sz$os szlochasrikus kapcsolatotjelez. Brc azan ts neh€u vilaszolni, men a kovariancia rcn dimeui6 n6lkiilj szem,ragysisa fiigg I vi^g t isn€rv€k rnen6kegyseg&61.

Sznmitsuk ki a kovarianci,it az el6bbi p€l& a&laib6l, a kitlcsitnlsi id6t ^zoDbannosl Dapokban merj[k! (9.2. ldrlrtat)

II

II

tI

9.2. ftblizoltz olw6'k neg$zlata knlu'msi id6 as a k6l66nzi k

'teteI szerinl

K6lciiDz6ll kitletek szrtum (db) Y

\=l v.

X,=28

9

2

2

I

I

l

l5

20

l5

l5 25 5 5 50

Az irfaaos kitlcsitDzsi id6 most t = 28. A kitlcsitMittt kitt rek 6na}a: / = 2 .

t -c, =

-^-11.(- t4) . ( - t )+ 2.{- 14 r t { | t - t4) .2 r 4. r4.(- t r+ I . l4. l { | t4 2l-

= !.62- zt- zz- sa* v+ 20 =:2! = -0,5650 50

(Ilt mir csk a Nllil6l kdl6nut6 szorzatokar inuk fel_)A kovaiancia ldyeses€n nagyobb len, p€dig csak a kitlcs6nzesj ida' dineEi6jan vd],

A k€wriltozos korelici6s kapcsolal vizsg6latlsrl a kovdidcia keplere Altaubanl€e$,sz€ds6dik, ha e&€di adabkb6l dolgozr\k, azaz minden 6n6kpir csak €gyerlen-e$'sz€r fordul el6, igy a stlyok szs€p€1 bet6liS elSfordulrsok szrma mindegyik elt6-resoel e$'.Ekkor a Lovniancb:

Za^ a,c.-. ' t{x -71[v l\. "

N

^\ol d, =X,-X, d, ,=Y,-1 .

Miel6t! a kov,riarcia felhas?odldsdr6l beszlnol, ijsszegezziik, hosy nilyenhn aj d o ns 6gai ! atmay. A kiNelkez&el elapithaljuk neg:

IIIIII

I

I

L

2.3.

4.5-

El(,icltt t >d !,4, szorzrtitsszcg cloele hadrozza mcg.

A roklsdg .l.ms2imit6l fiiggc{er.Nrgysdga 0z bmdrv€k sz6r6dis6t6l €s a kapcsolal szoro6st8l0ol fiigg. Minal !z!ro-3!bb a kond6ci6, 3n[4l D3g)|obb abszolit ena,kii szorzltitsszc8rc sz{mllhdunk.A k6t ismarv koncltlatlanstga 6€tdn C, =0.

H. rz 1, v ismenek fiiggeilen€kt, slrkor C, =0. Ha C, r0, akkor anak€ o€m-csak a kapcsoht s4rossng&61 fiigg, hab€m a m€nnyis6gi ismewck dimerziojet6lis, smint azl a p6ld.6bkban ldttuk.

C€lsz€rd a kapcsolal er5*s6g&Ft m&e.,4re, ahog erre mir ulaltuDt, nornfft, a

[q l] interallumban elhelyezk€d; m6r6sz.rbot alkalE ai. Etkor relj€siihe* a szo,rossrgi mer6szjmokkal szenb€d trgfogalmazott kovetehn€,Dyek.

T€syijk fel, hogy az X€s / isn€rv kijzdtt lift6ris kapcsol^ ^ll

f€xn" azn

Yt=d+b.X, ( i =1, . . . , s =t t -

Ekkor a szAmtad 6das 6s a s?lris ismert tulajdonsrgai alapjrn:

y=a+b.x as oy =pl .6x.

hlut ret a a, +:

f , - | - la + bx,)- lat bxl=(bX, bX\- UX, - X t=b +. .

MindeD dy hefyenesirlet5 @het b.dx,-\el. EA u. ar^takiLisi elv6g€zve a kovariancia

a kitve&ez6k€ppm irhat6:

, , l lg I r . . rlc * l= ln>d! tb. d, . l= *- .wLdj =w"i- . , .o,

f t F l

6iua.,=pp,) .Foditva is isaz, ba p-l=., o,, a*ror van olyan ae!r,bosy

Y,= o+b-xt Q=t, . . . , t =t) .

Gzt 3z alftdsr nem bizonyirjulc)Mind€n n:e' esetb€n p, | < d, .6 / .

5 v.l6vi.&,i8eamit6s l6E- otdal

t30

EEonY{t'i:t:

o'!ff.u,, - t a,,t' -rlijq -u -d, d,, + dt,) -

=l i l ia l -zr I i i r . r - . r , . - l i . l ia. t =

l : - - l+-=,1" ' , -u cn +^' :>oi =o7, -u c*+^1( ' : .

Es ez aknnily€n r -orl igiz. r"""r- ^

= Loi

er.ror o<orr-2:+{:+=di - - .ai oi a;

" , ,>a - iw lchl<o^o,., 6 i

Li.airi! fisSvdykapcolot esetin tehtit a loyariancio @ isnAnek Hli,t-kiiltjnsti:Dritot szinisainak szodariwl @onos-

9.1.2. A linc.irtu korrelici6s eg'iitthrt6

A sztochrsdikus kapcsolatok szoroadg{nak b6.esere szolgrl6 dincnzid natkitlim&6szim a kone|ici& €ry thrl6. Mi megkillitnbzet6sul llnelrb korr.llcl6r€grntlrt6n.k nev€z[t. Ha k6t val6szinfi!€si vttoa kovarianciejAi ( cov(C,4) ) 61.o62rjuk a ka villoz6 sz&iaival (D(6), illetv€ D(a)), m€ekapjuk s lorrolt.idregyiitlhat6l rnelyet Pe€Isor 6g0l statisztit-usr6l P€arson-f€le koncltcide cltttrbrld.mk is tgeaek. (Jelq x.)

K€plcte:

f t t ' r , )= svc' l )'

'x..1)'D{..q)A kovariaDci6Drl lei.tlk miatt f€irDtll, ho$, - l<R(6,4)s L

Fndigi negfodolrsainknak rnegfelel6o a sztochasztil-us kapcsolat k6t val6szinfs€si viltoz,6 kdzin anil,tl szorosabb, nin6l k6zelebb vatr,^z lRG,q\ azt-hez.

H^ RG,4)=o,a E €s az I val6szin{sesi vsftozrk a kovariancianel lehak sze-

131

Ha v€gcs sokAigra kivirjuk felimi a linairis korcLicioG €syiit$at6t (iele:

R, ), k6plete a kirvetk€z5:

C.Xn=:

Szimitsuk ki peldink adataibol a lineins koFelrci6s egy[nha6t! (Adalok a 9.i.

A gyakorisngelos n6 ahpjin n6r kiszimitottuk a kovariancirt c, = -{,08 volt.A percneloszl,hok sz6r,is,iw a tnye&ezdket kapjuk:

A linetjris korreLtc js eg/iinhaft:

R- = .-:.'' = -0,06 lsveaA". ^eqotiv

*ap.solat)." 1.55. O-89

Szinibuk ki a liDeiris korebcios egyfttlal6l a napokbaD mert kitlcsttE€si id6kadataival is! (Adatok a 9.2. dbld4tb@.\HJtet'.zeenDen a kailc-!6M6si id6 sz6resa:

.F,s = o,ss.

t t t*# ' t .o =.E o = t , "

t5.(t-2\t +25.(2-2\t +s (3-2)' +s (4 2)1

15.1+ 25- 0+5. l+ 5.4

15. (15 - 28) ' : + 20.(28-28) 'z + r5 (a2-28) ' :

Vegynk eszre, hogy a sz6r6! 2. tulajdonsega €ne1n6!en ez akirlcsatnzesi id6 alapjdn szinfton e6nish6l egwenibb€tr isdr =7 1,55= 10,85. :(A minimalis elt€res termeszetesen kerekilesb5l adodik)

t32

A kiilcsituittt kiletek szdDrnak sz&6sa vrltozadan: o, =0.89.

A lineiris konel6cios e$/iinhato mosl. i, - --jE-

- -0,06. esyeoen az etob-ru34 O,E4

bivel, mutawa, hory dinmi6 D6knli mfisztmr6l van sz6. fiy = {,06, fiisaetlennl

a851, hosy a *0lcsitnz6si id6t hdekb€b w8y mpokbar medijk.

A kapcsolat szoioss6g6r6l ga6ku ftcn is djekozodhatunk.

Ha az 6ssz€s (1,, vr) en€kp.tu egy nitv€lrv6 esyeDes fekszik : np=1.

Ha az dssz€s €rt6l.p,r egy csokl(en5 egyenes€D f€kszik x, = -1.

Ha ,R, = 0, atkor az kn€rvekel koEeliLladanoknak nev€zz[k. Ha az L€s r ismepek

filg8etlenek, aH(or r, = 0. A t6t l az6be nd fordiihat6 meg. a korrelrlatlansrg-b6l nem kiiv€&aik a iigge ers68.6

Min6l kitzelebb vamlk a (.1 , 4) poniok az eeyeneshez, asel kijzelebb keriil aIlearis kon€tici6s egynfihat6 +l,hq, ilietv€ 1-h€2. Az elmondottakat szembheri a

A|lahbaD nen |ill rendetkeasiirla€ az egynnes peremeloszlaeiiigav€Dy, illetveaz eg€s" sokasig. Ilyenlor eqy G",t,),-,G",,r") mintib6l becsiiljiik a korrelaciosegyntthat6t.(A (6r,4,) p€ld,iLul azljeledi, hosy e €ls6 minraelm xismereneke 6, 6s /ismew-

ert€ke 4,.)

A fineAfis ko eld.i6 eg/tt|hob becsla:Ae hasziA| bectlijfiSgvinyiink:

r+.a ;45"1'- r t ' t t '

u -{im€w lehersCg€s minla,itlaga.az Yisnerv leh€tseg€s ni adllasa,az,r ism6w sznis6nak becsl6s€,u Y isn€rv sz6nisAnak becslas€,

I

tII

III

II

tI

II

ahol ix:

Io L:isd 91.1- A tovdimia

133

X9.t. ibm

PontdiaArunok hiLjnb.E6 konelAcats egvahati*ral

Rfl -mk aszimptotikusan totzitatlm 6s €t6sen koDzisztens b€.sl6se.?

? Ennek bizonyiNii{l ld5d Kijles P6l Pdfticzky Cdboi Ahalinos st lisziila tl. Kitzgazddegies Jogi Ki'nyvtiad6, 1981.208. oldal

134

Egy *onkr6t nintayetehA, h^ |t= x\,1, = x2,.. ,1" = x,, es q = ! , t11= v1,..., rt, = l" , a lineftis korrelicios egyiitrhal6:

l+- , . . -L"" ^t

.=. ' , .L

ahol ;,t a minlairlasor,

s,, r/ pedig a lapasztalati sz6nisk (a kepletek nev€z6ibo a minranagysdg. ,

Ha a lovariarriira, ill€ive a vahoz6lr eor6sira kijldn nincser sznksegitnt 6s amiDtiibm nindegyik ert6kpAr esyerlenegysar fo.dul el5, negf€tel6 ,tatakids rjtan8 aliD€6ris konelrcios egyiinhal6t egy koDftr& minlibol kiszinithatjuk a kitvetkez6k6p_

t(,, t) (r, -t)

KiszirDltbat6 z ., rigy is, hogy DAukat az €t6r€sszoEalokai 6s az ch6rdsDegyzetitsz€gekel nen sznmiluk ki. Elv6gezhet5k usyanis a krjverkezi' etalakidsokl

\a,1,,=1,,y,,".t 7.

i )o: ,=t ' : , , . .

td: - tu 'z- , n:

3 Em€r bdiriiser a olvc6B btzuk.

135

ih!$:,I i

i

1,,

A kolelkez.j p€ldtnkban e$ eSycni Yrllalkozo adalail doleoztuk faiA vdllalkoro i6 te\'6kcnysegl kdreben lebc6zilliressal foglalkozrk. l!,unknjinal

elemzcsc sordn l0 ril€rlerszeii.n kirilas2bll tu\'ar ^lailj6n

vizsgdlla hogv ran-e osz'szefiigges a szdllitrs id6larlaha 6s tivolsaga kdziit A mcgfiSyel6s erednan)c a t J

hUzo$dn ral|lharo.

9 I t'blizot

Szillites le!olsAga (rTl Szdllnts rd6lanaDa (pcrc)

)

20

2025

i l

20?.1t5).2

50

: 150 2?0

A srrmilasokal cdlszcni munlatdbldb.n clhelyezni (9 , rnbln:r,

91 dbhzatMualntnbla t thetj|x *aneb.ins .guttht1o kis.Annn\tha:

)

l920t6202530

t i

l021t51)

4550

. l ll tt3

j

l5

l7

l9'1

t l

2 l

154

t50

j

651803.15

l lr21

2t

Lr

t_it00l t5

196l6l

: , i

:!.1519

t 0 12.r8 8t8 t00a

l t6 r l7

r-I

IA munkatibla adxraindk fclhasznnlisival sz,mitsuk ki r lineiris konclticla:

egyntharotlAz rtlagl61v.1o clrirasck scgitsigivcl szinitott l1.c6ris kofteldcios e$1jtthar6: I

lII

I

IIA tapolt crcdm6ny . apjrn megrlhpilhartuk, hoSy szoros poziliv nrDF kapcsolar vor

a szdllirisi lrivolsrg €s aszallitrsiid6 kcjziju.Ha a glakorlatban olyan ijsszefiigg€seket yizsglilunk. melyckial ne,,, 1ti,har(j ll,

hogy nemlineiris kapcsolat ill fem az isn6nck kdz6tt. r lincdLris kotrelecios cgyntlharo dnelmeT€sdnil kell6 a\arossrggal kcll cljdnri, es tovibbi .len2€ye,s szlksae{an A koreliici6s eg\dxharo u!}..anis a linerris kapc$lat DaroszdnD, nennireLirfesctbe. nem haszndlharo.

9.1.3. A rangkorrel:ici6s egf iitthat6

A linciris konclici6s cSyntrhat6 drl,]JirLj, m€n meDyisagi ism6^ek krtTd|ikapcsoht szorosstigil nrane. Sznkseges leher azonban olyan tulajdorsigok kijzdti as/-s,cfirssis vizsgilard is. mclyck lcsf.ljebb J,zf,di (ordiDrlis) rtdftn mirhctcjk

Enrek a problaminak a mc8kdzelit€s€re ndzztjk a kiivetkezLipalditA2 ohnpiai j itikokra kasznhe egv sicsapal az Alpokb! utazotr cdz6tiborb. A

batiiis csapal tagjai: Eszlcr. Brigitt.. Karin, Bence, lsrv:in rs Prl. A sponol6k i itlkisdilesr idii!€g;n lersenyt rendeztck lesikltsban €s mrjlesiklisban A fcljcgyzcfl crc{lft€nlrker a 9 J hld.at tatlalmazza.

1 rtr : e nter e I i, I helye2ts.k

2. I l . 5: L 5

I

II

III

Edzdjiik ki akana szamihni, hogy lajotr Yan-e kapcsolar a lesilli\ban €s a rnileskli\bm clnfl helyetsck kdzijll. Mivcl ij korrbbr ianulninyaibol a lineiris korclrciosegldftharot ismcne, e21szimitolla ki. as a kdlelkez.i ere.lndny krpla':

^ c,. 2,08.r- 0- .1r

^ ' dro, l ,70i l 1,70E

Az crcdmtDyb.jl ara kdrclkczleretl, hoSy viszonylag szoros kapcsolal rln a hclyez;si

Gondoljuk vdgir, bogy a linedns korclicios egyrltaro szdmilnsa hclJ-'cs toll eaz cdz6 risztr6l A helyezcsi szarnok sorcndi skilin nen enekek. A relicsilen tdor6las az idijk lnlonbseS€riil az ceyes sifuloka vonalkoToan a hellczcr szamok alapj,nlcm lLrdull senmit mondani A 92 drla alanrn konnyen

'ne-egy6zodhcliirk anol.

hogy a 6 tulo hel)'ezasi s/maira lonalkozo ertekliirok egl cmclkcd6 c€ycnesen fc'lszcDek, ha mindk€l rcrec!,ven azonos hclyczisl amek el

9) dbnR a n ssznn Pnlak n btuiza I d so

Nfzziik mcg a 92. dbto,1) ttszeL A hrciris torchc s eg\iilrharo ebben az

eselben R = I anckct lcsz fel. E7 esy6rtclmri linerris (lugg\ €nyszeni) kapcsolan! nral.i8y a rirdisfclre\as iogos Esy rnisik sz€ls.is€ges eser akkor iill fctD. |a a mtjlcsiklrssorendie lonrosan a lbrditorla a lesjkltsanak. Gralikusin ibrtol\a ezr a7 e5erer. !9 2 nhtu B) ftszibezlnsonlo rajzunk lesz.

.A bclyezasi szii,nok 6nekp6rjai mosl e$ csakken6 c8,'"cncs.n hcl)ezkcdnel .lA linedns koreldcr6s cgyiiilhato hosl ,i= I lcsz. tz az aadk N ara ural. hog) a linciris koncl6cios cgyiiahalo a kapcsolal vizsgilaldra alkalnas

'na16szijrn.A lilda tirSordoldsa uldn lclril logikus'ak tiinik a linc:lris korclicios e$nltharo

alkalnrazisr ordinilis sldla csclibcD is. De a lhedris korclacjos cgyiillharo szjmi6sacsrk al,lor lchclsigcs. ha a7 ismt^lihozalok lenn€szeres szdmok. Lz a, ordin,lis

I A iclkJszuldsc. csak cz a hal sponoli \en rnszt

r.t8

thir a rclics sokasagor \ izs!iilruk.

l ]9

ADEFGl2l :1 5

ABCDE12345

sknlnnal ncm mindis reljcsiil. Ezr.r prdblamrt rlsy rudjuk mcsoldrnl. hory i,i,,riq'!,1jsm€n mcgfigyelasi e{ekcit dimagaban rangsoroljuk. ,\ rc.d.7err ineL.L ,itru\tnladnat. melyck ntu alkalnAak lcsznck a szamidsok clvtSzasar.

N€zn* cgy kdvetkez6 palddrlKet ranSskildn mcrt ism6n kijrerkczd cglirrt ltlla j rnlkcrt liry(ltirl, ri(r'

egy mintaban. A leherseges isn€nadlrozrokar a7 dbcc! betiiirel jcl,,Lrul A r,c!rl,'r1

(B,D)i (C.E): (A,F): (D,B); (h,( ; )

A ker ismdn lehers6ges €ndkeinek sor€ndje es a hozziiuk tarrozo rangsziDok . kij

A nevez6ben szerepli' sz6lisok a mc8figyelt €n€kek ndgyzercs is szllnranl itlhlralapjdn is kiszrmithat6k rlrAz italakito fomula:

Az eredeli meSfigyett €nekek helyebe a iangszrmokat teve a kaivcrkczcj pArotar kap-juk:(2;2). ( l : l ) . {1 i41. (4 i l ) (5:5)

Mnel a .angszamok ponmsan a negfigyelesi aiikek soFcndjit adjdk rneg. a k€rordi.6lis sk6ldn Dart isne^, kd2ti esedeges kapcsolat a rugszrmok alkalmazdsin ke-rcsanl vizsgdlhalo. Mncl a rangszAmok termeszetes szrmok, rcndclkcznek a Inenryi-scgi ismanckc jcllcruii tulaldonsdgokkal

Ezcn mcgeondohsok kdrelke2tet€sei alapjtin 6sszeninek ldtszik, bogy a rans-sz:lDokbol linciris korclici6s eSyntrhat6r szAmoljunk az ism;rvck kapcsoletszorossiSnnak meris€re. A m€r6szim irtclmcz€s€n€l aftakellngyelni. hog) az clsiisorban ezegyiill megfigyeh ism6^arhozatok sorcndjc kijzdrti kapcsolar szorossigar miri.

Abhoz, hogv a rangsrmoka koncldcios egyiirhal6t szindljunk. ncD a koribbifejezerben megismert fomulit haszndljuk, hanen egy alalakibll fonnular, nrcll.r rldvetkezi'kben lezetnnk lc

Mi!el mi.den gyakoris,g l. a ljncifis korcliicl6s cgyiruhakl:

ii':-" ljr":megfiryelesi 6rt6kpidaiE vonalkoz6an igu, hosy mindesyik ismerv

'-ig vemek fel enak€ket, melyek szimtei sorczatot alkobah es

t r, =t-',, = -,(, I r).

igt- - t r+l

'2

t r? =t,? -- ' ( r I rx2u + r)- - - '6

(A szummizisi hatirok a kitve&€26 keplelekb€n is, abol knl6n n@JelEnk, 116l tr-igertenddk, a tovebbialbaD eltehntork kiirjsuk!51.)

Eztltal a f€nti kon€lici6s egynttbat6 nsez6j€ Atalakithar6 a kitv€lkez6kqp€n:

=|rrr r r r j r , , , l -1 . , , .u l ' - , ,* , / '1"-4l=r" , r ! -J- t - -1.6\2. / \64)t2t2

A kodehcios .%ynnbal6 szrblil6jrra, varyn a kovarianciin vonalkoz6aD ki-hasailhatjuk az aribbi iisszefiiggest

ZG'-Y'\'=L'7 z\',Y, +lti 'amelybijl ttrcn&zsel a

r , " - I r , , , l l , t - . ' | t , , u r , r* t -Lrr , u r ," . '2" '2" ' '2"- ' ' ' .2"- '

esyal6segel kapjut. Ennek alapjan a szimlel6:

r f , , . , -L i , ' l l r , , I - r t , ' t t

I ! t ' , t ' -

-2- |22'-Az utols6 l€p6sb6 felhasailtuk a nwez6rc kapon eredmoyeinket.

140

-!l 'r

Ha a lenti Lifej€z6s€ka behely€tt€siljiik a koreHci6ssz6rn1fl6ja, illetve nwez6je helyeb€, a k6v€tk€z6i kapjuk:

-atr : - t r - 1!r ' u r '-12 2n- '

: ( , ' - l )l2 '

azgv:. 6t( . . " , I' .(n' - r)

A rangsz6mo* kiildnbs€g& ritbbnyne 4 = r -J, -vel jelitljnk, 6s rcngk l.jnbsnsnek

Az adotl m6don a korehci6s egy0libal6t DaSym eSyszeriien ki fudjuk szdmolni.Ezt a mutal6szirnot (Spemd,f6le) r.rgkorreltci6c egyntthlt6nak nevezziik.

A mutal6szim levezles& egy torh6l miDlrra Dutattuk be. Irt is b€csl6sr6l vant€brt sz6.

I so*64Aru s,inithot6 runglorrelnci6s egiinhak :

go )(x, - r,, ) '

p- l ' . - . -t ( /Y -

a nnAskALEo m€n isCnek lapcsolalszoossnsr merthzama.Ertake: lSpSl-Bectl6lnggve.ye:

^ o l(6, -'r,fp-t- - - : - - i - - - - : - .n\n - t )

Szemlelter€skeppa lerjiiDk vissza a r€rDakdr e1ej6n bemutatod p€ldiitra. A pelde-bm a megfigyelt 6nekek kitzetbnnl a rangsz'nok voltal. A rangkijlitnbs6seket leg-egsretftl*n^ 9.6. tn iwrra, eimithatjuk ki.

9 6 ibldzdlMtal@ftb|o a /@gl@n bcits egtAfiab Lisznhitisdt@

L6ikles ( x, ) I 3 5Mtles Jer ( 4) 3

d,=q, \ ) 0 2 2 I

d: =lx, Y,f

eeyiitthat6 k6pletenek

IItIIIItIIIIt

r4r I

I

A ru n8 korre h c i i,s egyii I I h ot o szdnlt ds a :

6:(r , - ra) ' 6.10

' = I

n(, \ ,Ll) = l -61:01-= t- {=J=0, ' ,*

Ha a sonend a:oror a kdl isn6^ szennti rugso.olisnnl. aktor .1, = 0 (minden rre).

igvp=t

ro,,?i/orr soncnd csclin pedig: p = IA gyakorlati fclhasznAlis sorin, ha /dbb isnANArftk nvAeg"Pzik eqt-nassal.

czckhez a mcgfclcl6 rangszdmok szimtani drlaEril .cndcljiik. es igy koreliliiik a ranS-korchcios cgynfthat6t. TulsdgosaD sok egye26 helyczcsi szim esel€n zorbm czcl afomuldval ncm c€lszcni sztnolni Ezzel a problcmtlal lalelkozunk a koretkezi pal

lgy hctiliacoD 1l kivrlasdoll glimijlcskcresked6nel min6segvi^8'ilatol vagczlc'k -Az alnrt 6s a kijrt€l, amelyel eladdsra kiDeltak,,.{, 4 C D. t es .ir min6segiosztAlyba soroldk. A megfigyel6si 6ndkekel es a mcgfcleli: tngs2anok a9.7.fibh

9 7 tdbldzatMunlaiblo o rahEkateuci's .cyn hai kizdnidsnhol

B

L

DcRcc

2,5t ,0

I1,09,59,57,5'1,55,02,55,0

EDD

BBc

lI

10.5r0.5

711ll

0,5I .00,50.50,5

{,52,0

0.250.000,25

0.250,250.254,000_25

0.00

EbbeD az esetben a rangszrihokal az ahbbia.k szeti'r kepezuk. A 2. sorszimnkcrcskcd6n€1 a legjobb min6segfi (,4 kaleg6riajt) z alna. ezen 6 a7 I ranasz6moLkapja. Az l. 6s a 9. soBzrinn keresked6n6l az alnira vona*oz6 ism6n'erl6kck me8'egye,'ek (, kates6ntjnak), czan a 2 6s a 3 rangszem szimimi i'rt^sit, azp 2,5-ot

)42

rendelnnl mindkett6hbz. Hasonlo negfontolis alapjai a C ka1eg6ri, u atrniir iirut(1k 04+5+6 -

A rangkodelacj6s egyndalo szrmitasa:

r =t 6 lo l I

6 l .n9.7.r' l l ( l2 l -1, L l l0

Szoros, pozitiv tranlu kapcsolal nuralkozik az alrna ds r kdnc nnniisagi oszrrilyokbasorolAsa kOzdlt. za akijobb min6scgidrut kin:ilaz eelik gyiimdlcsb6l, annttl a Dfsikg),nnolcsbiil is jobb nin6segii kalhalo es forditla

9.2. K6tviltozds regresszi6szdmit6s

Ebben a r6szben olyan ktrdesekre keressnk a v6laszt. hoSy milyen .isszeligg€smulathat6 ki p6ldaul a meztigazdas6gi nzeftekben lt burSoDya lemesrrlaga as r f€l,hasznalr ijntiiz6viz menlyis€ge kdzdn. (Adou 0ntiiz6viz memyis€g felhasznildsa6et€n hogyan kovetkeztetletrink a vdrhal6 lerm€s61lagra.) A kove&ezijkbcn oty.nm6dszerekkel isnerkedn* mcg, amelyek segilseg6vcl m€gviilaszolhal6 !z a k€rdes,hogy u egyik ism€n (!Ahoz6) hosya. har a hAsik isminrc (vdlroz6ra), esy lilrozaradot €nekehez a mdsik v:i1rcz6nak mekkora a !6rharo anckc Ugyanis figyetembc kctlv€sr, bogy u itsszetueg€s szlochasdikus. his2en a temisillagot sok trts egvib ta.yeai(pl. a rifordilot munkaid6, anapsiitases 6rak s?dma stb.) is bclblyiisolia.

A tovrbbiakbd claiszdr a regresszi6sznmitas valosrinnsagszinritis il.pj!ir etcveniljiik fel.

9.2.1. Az €lm6leti regresszi6

Matematikai tanulmdryainlban ralilkozlunl Dir ezel a losalonnnrt. Kar !rt,)sziniiscgi vdltoz6 eg_vnues !al6sziniisegeloszhsnr vizsSiha delinidlhalo a feltarclcsvirha!6 6n6k foSalma Idezznk fcl€zeket a fogahnakal cl6szbr diszkrat. mljd 1bl)rrGnos valosziniis€gi ldhoz6k eset6n. I

'r V,losziniisigsTimilis 6.6 pont.

l4: l

Ha t 6 I diszlcAt val6sziniisigi vilbznk. mel'jek leheheges 6dekei

' , r , . . . . , t . , i l lo lvc t , ._f i , . . . , t , ,akkoraz 4 val6einrfrs€8i v6l toz6 d=r, fe ldel

nrclletti vrrnat6 6neken az alabbi ijsszeSei €rtjiik:

- , , - - . t , - . , - ip"h,( ' . ) M(n4 - ' . \= v( \ ' . t= Lt .Ptn- | F- ' . t= i p- .

ahol t4 = P({ = r , , '? =tr) es p, , = P(E = r , ) ( i = t . 2, . . . ,s | J = t , 2, , t )

E2 a nernyisig negnutotja, hog! I rti at6 irlike hograa fieg a I lehe6Ages

irtikeitql, vaglis h,t u tt,x,,:...x, pantokban A ehezett fige!in,-. anelret @ \rot6szinnsfui vAlbi I val6sziniisasi fitbzntu rd,,*,zd regresszi6s r'iggv6ny6nekherernhk. Gtuftkonj^ diszkret ponlokbol All.

Hasonl6an d€fi nidlhatd a

I/ ' . ( , ) -Y'{ i4- u )=U, P(I=, l I=, ) .

a { val6szinis6ai valloz6 4 '. t.**..U -r.*.., """"arr".A valosziniis€gszemitrsban tiirgyaltuk, hoSy a reglcsszios fiigglcnyekhez rigy is

cljurharunl, hogy keressnk azl a ,r. illetve ,,, fiiggv€nyl. anel)re az

/ t 1 \vt ls i ( r r l ) t ,u Ml lq h16) l

)v6rhat6 cnekek (adagok) minimalisak.

Ha 1 As r fab,tonos wl6s,hnsisi vAhaz6k, akl(or mindcn olyan lie, ahol az

I + /(r,r) fel1€1eles elolzliisfiiggveny 6nelmezve !an,

hl?)= M(tV = 4= It fblx)A,

Ha C As n fig|etletek, akkor a fctttteh-s vahato enck megegyark a? adotrvdltoz6 felt€lel DelkiiLi vrrhat6 €n6k6vcl. ]jzt az ,llilist ara a val6szinfs6gszrmiltsitCtelro alapozuk. hogy luggellenseg esel€n az egyn(bs siiriisegfigS]!,iny a p€ren-sli.isegfiiggv6nyek szorztevai cgycnl6, es igy pEldaxl

h l r l= Mlnl t = \ l= l r / l r ldf=n ln l

fiiggetlen az x-161.

t44

Felhivjuk a fisyelner ara, hosy I,,(r) ebben u eserben konsrans, de nem biz-

rcs, hoay az eA€sz sz6megyenesen ertclmczen.Az egyiittes eloszl,s ismcrct€ben a regessziofija8vdny egy€rlehnen megadha

16. Kidelt szct.p. \^n ^

kedineazi6s nomAlis eloszusnak. Ha E ar \ eg,nnes et-

oszl,ba nolnAlis. n 'nak 4 -rc ronatkozo a 4 nek n -tu vonatkr"a rcgteszios liiss-#nye I inea I i s f]ssvA nr.

A .esesszj6s giirbe tchi! e$/des. PdldAul ," G) = p" + p x , ahol

IIIII

III

IIII

F"=uot #*MG\.M(1t j ) - M(t)M\\) cov({,?)

D'(C)M(1') M'(C) I

I

t

9.2.2. A tapasztalati regresszi6

Ha a v6a€s ,\ elmii sokasrg ismcn 6s e I, illerve I ism6n lehels6ges trekejdiszkrbtek, x,X2,...,X,, illctve r,I'i, ,I, akkorjelolje t/ e esyiiries as 1,.,i l lc tve / . r a percmgyakor isdgokat ( i= 1,2. . . . , i ; j= 1,2, , r )

Ebb€n u eselben kivalasztva e8y egyedet, az egyes val6szilijsegck. tuinl az cl6z6

p" = P(x =x, , r =v)=! .

0,. = "1t

= r ; f;,, 0., - r1, =r; = !igy a regresszi6s fiissv€nyek:

, [ , ,y | : r : : =1, r . ) . ) . . . . " ) .

\ {, , r l . r tx . =Y t t t .2. . r t' - f

(Ha valan€ly lch€ts€ges endk nulla syakorisdgn, oh a rnegfetel6 regresszios ftggv€ny

ez r- . ' t terve

Xr az i rgyneve/elr res/ar latol . vd$i . I pctddut a/on eB)Ldct )

ism6rveackcinek edaga, anelyeknek X isnervc X, -vel egyerlij. az azt jeleDLi, hog),

koordinara rc.dszerben 6br tzol\a u lX ,.Y ,) pontokal a n, ( ,f, ) tus8ldDventk az

,Y, abvcisszdji (,f, ,,fel.ir') ponlok ordiDn6jrnak 6tlaga Ezcl u n6dszcrcl az I

kaletben mar megismerkedtiink, mosl a malyebb clm€leli hinir ,lgondoldsa ullin a

lcijcsseg iganye miatl tirijnl iivisszs.'l

Nazziink egy paldiLtlVizsgaljuk fte8 egy fclsiioklatisi inlczmdny kiiztsaudiiszhallSar6inak

'nalemari_ka is sratiszrikaosztiilyzalai kozani dsszcfijggenl Az adalotat a 9I tttun.otbon la(harjuk.

A regresszi6firssvinyr a ,.9. dbtizatban helye?ti* el.

19 dbld:atA hallsalok noknoti*a as stalk2tiku rizsga.rcdnanrei kbzatti koltl;otal

,4 holl so tnk hvt n n. Eosz I a so

\

1 3

l2

l5

)l

5

IIO

I

0

ll

9l l

26l0

l0 21 39 l l I00

I aPalzt t I a t i reErcssziolta8vhnr

Arlaeos srarierrkaoszl,l) zal

I,

I2l

5

2,002_i6j,023,181.50

Szrmidsaink €redmenyei egycrtelmien mutatjik, hogy pozili! irtiny slto,chasztikus kapcsolal mulatkozil a ker kntergy osztalyzalai kdzijr A.Jobb mrlcrnlr1kr-ardcmjeslelhcz iltaldbanjobb stariszrika-€rdenjesyck tartoznak is rordirvr

HaXes f. vagy csak az egyikrbraroJ rsm6^', akkor osztrilykd/iikcl ka|e/tr.iiirk, 6s pilddul 4/J,)-ne1 e .{, az iedik osztdll'kdz kazepe, as nr (-\', ) ifltfu r?cbbcn az osnnlykdzbcn tal6lhat6 egyedek I ismanafiekernek illag! ley rcrnts^rr-sen I t6Dyleges tesesszi6fiissl6nynek a kbzelitesat kapjuk.

Peldaftent nezziink mcg cgy olym c€9e1. ahol 20 kdzapfoku lcg/elrsagii nci dolsozj*, €s !j?sgriljuk nes, bosya! befolydsolja a munkiban cltdhdfi id6 (x) rz clarhclitbrutr6 keresete! ( t'). A negllgyelt

^rlalokar a 9. I A. fibhzdtban t^lililk

j

2L

5.

2i

l8l535

l t ,027,515,828.1

'1.74254

2123

26,026,4

21.0

2l

5

l0225

2]

: t ,02ri,6

22.124.0

0

1124

2526

2',1.021,91,1,226,0276

Ha egyedi adatokb6l dol8oanl, mindenck€l6l €rddes tri6kozodni az ish€rlek kiizitti 0sszefiigg6sr6l. EhlEz dbri.oliuk is M adatakar

Az ism6nek lijzdrli kapcsolat l€nyegenek megismcrds6ben fonlos szerepcr jitszik a grafikus ibrnzolis.

Katvdltoz6s kapcsolat esetcn ilye. grafikus tibrdt igy keszihink, hogy a dcrikeagii koordinala rc.dszer vizszinles ten8ely6re az ok szcrcpet jdtszo tenyez6viltozo(h,is n6vcD nasyara6velioz6) OJ 6neke1r, tuggi'leses rensel)€re ledjs a vizssihlcleDses, vasy; a fiissij veltoz6 (mis n€len eredm;nlaeltozo) (lled€kerl mdriiik fct.Ily m6doD ponldiagramot kapunk.

t47

Peldink adatair ,briolra jlyen pontdiagmol litunk a 9 3 AbrAn A n()k mn-kdban r6ltdt ereiNk is brutto keresel€rek kapcsolalira rnar a ponldiagamb6l is ka-

9 t I tlhb.otA munkjbdn lbttat arek s'ona l\ a hori dt lagkdes.t tapBztaloti

reErexzio|iissrAt e a laiziploln iSzdtsiqt n.i*nal

Nluntnban tilldtt evck szama

10It 202t 30l l 40

20,13

28.t II .48

"10203040Munlnbm lohott 6vck sz6ma

93 nbruA n,unkAban lijttblt i'ek:zonnnal as o btutb keresctekiek neslateto porto*

Vizsg6ljlk louibb az dsszeliig8€sl, ts k€vnsiik el a tupaszlolali rearess:ni-/iisgrtnrtt H^ \Zyan zt az clj&6sl lijvetudnk, mhl z el6z6 p€lddban (ftar€nar'ka ,slrliszrrkaoszrilyzalok). al&or a regresszi6fiiSSv€D'iiDk l4 pontb6l illna. Ea dbnizolu scn kalnank a ponldiagamAl sokkal nnekinihel6bb nbrnl. (A ponlol szima 6 lalcsokkcD, ugyeis 1,1 kiildtrbdz6 en€ke van u X ismcNlek.) Eln az ,r cnckeibaii ncgvosz1Al)*dz1 kcpezve a kiile*e7ai eredmenyl kapixk, amclyei a 9.././. tibli.atban he-

l:lE 149

A regresszi6 tanulmanyozrsa meger5siti a kapcsolar fdnellasdra vonatkozo fel-rercl€z6sii*el, egluttal annak irroyft is jelzi: X ndveked6sevel Iis Dijvekv6 lendencldldurat. Azu min€l hosszabb valakiock a muDlaviszonva. anndl raibb a bntr6 6llaskere-sele. A fiissvdny gafikus k6ptt a 9.4. nblAn liltjtk.

IIIIIIIIIIIIIII

",,'il*,unun r"*,^"9.4. dbra

A bruud Atlagkereset o nttkAbatkih.ir ivek szdninokJnssranyiben a kt;.ipl.*t ftszatsesn n.jkhal

A r€g€sszi6figgv6ry,t kdzcli16 grafikonb6l kdvetkerelisck vonhatok le a ka!csohl nnnytu6l 6s i€meszetera'I.

Korehci6s kapcsolai eseleD a pontdiagram pontjai sz6rodnak a rcgfesszi6-fiiAavtnlt kitzclit6 grafikon kornl. A sz6r6drs m6rLke a kapcsoiat szorossiigrm voDatkoz6d ad f€lviltgositisl.

lla a kCt ;sm(n koftehlarla,, akkor a regresszi6s fiiggv€ny€nekekeL dbnizolopontok u X rengellyel parhuzamos vonalo! vaDak. Ebben az esetben ugyanis u 1,

bimlycn in i lc mcl lcn ugvanolydn t enelek,bhcme\ s1obc. \agys a/ ) \at"

memyi x,-rc uo0os e^ck (9 5 6bra).

l0

20

9.5. dbvKoftltiloldNds

Fnggvinyee.i lapBolat e'Eoea a pontdiagrrnoo a pontok a kapcsolatot negad6ffiggveoy grafikonjdr helyerk€dnek el. A regrerszi6ftggv€fly k6r0l nincs sztrodis (ht€ltekinnink a mtrsi ponlatlansdgokt5l). (9.6. nrro.)

9.6- dbmFng@nJsed *apetal

9.2.3. A regresszi6fiiggv6ny p.rrD6tereinek m€gh.t{rozisa

K6l problarna ne. het fel a regresszi6szimftns sontn:

L Ismediik a sok siigol (illetve az eryfttes elo6zlSst), de a regresszi6s fiiggvenynen alkalmas az elemtu (p€ld.iul nagyon ingadoziL).

2. N€m isneiiik a sokaligot (iletv€ az esynft€s €loelrst), ezifl ninta alapjAnk€ll b€csiihnnk a regEsszi6s fiigsv€ry,t.

150

MirdkCl esetber at tessziik, hog), egy analilikus (ak,rh6nyszor difer€ncirlhat6)firggv€nytipusbl (pl. lircrris figgvayelq D6sodfoh: ffiggv6Dyek, hatvanyfiigsve,nyek) vSlasztjuk ki azl anelyikrc a 9.2. I . atat mer f€lirt kifej€z€s,

"(1e -,tt"rl') *

'(h 4rol' ) mi.ai"

Ea nev€?z{k rmli.itus regresvt6figgvanyn€k. (A val6lziniis€sszdmilesbanels6fajn, illerve rnisodfajrl regresszi6s fr ggvenyrdl beszeltiiDk.)

Tenn6sz€t€sen fehnaiil i k€rd6s, hogy m€ly tipusn fiiggvenyekk€l dolsozzunl.

A rcgr€$zi6ltggvatry dpu!turl livilrszlisr

Alhoz, ho$/ a rcgrerszi6frggveny lipuset meghadro?zuk, els6sorban az adorrcdlet e{f.ma; i$De€t€ szlls6g€s. A gpnzd,acJ 6let, a g zdasdgi jel€ns€g€k kiiziitrisotol.lal'i bonyoNt 6$zenigg€sek niaft mar a leny€rijk (isn€R€k) kivdtasrrsihoz isyllanai megfontolasokra, szk{d6i v6lemeny€k€ van sziiksdg. Segirs6gtlnkre l€h€l-D€t a mggvenyripus kivdlasztdsj l a konibban erdileft €syszeriibb m6dszerrmi esz-k6ztL ll]€n a grafikus dbnizoles ercdD€nyek@per kapotr ponldiagram. A ponrdias-rlm nemcsak ahboz try'ijt segitseget, hosy Erdemes-e tovibb vizsg6l6dni, minr ahogye"t az el6z6 pontbaD Dondok, banern a poDtok siinii5itdesi h€ly€ 4s vonutesi irdnyaitDpontot ad a fiiggvenytipB kivilasztrts6hoz is (9. Z Zr.a).

x9.7. ttbrz

,t frscvanttip8 tiyabszbdt seeit' BruJiLB dbht*

l5 l

A staliszlikai syakorlatban a kn\ etkczi: fi I s ft h ), r i p tr o L! l hzs^itljtk:

l. line&is rcsrosszio.2 hdrvrn) l i re\r 's

^c$ muhr!hl ,a ! ) lc8rcszro.

3. exponercidlis regresszi6,4. paraboljt'us regresszi6,5. hipedoolikus tcgrosszio.

A legkisebb n6gyzrtek m6dszere

A fiiggven),lipus kivrlasaasaval uonban a regresszi6fiEg!€nr- me8hatirozdsil,rak probleneja m6s nincs megoldva. A vdglelen sok csyenes (vagy parabola. bar-vdnykitev6s, exponcncidlis va8y mds ripusri fiigs!€ny) kdziil zi a eg),cl kcrcssnk,mcly u rtsszenigg€st a lehetii l€gjobban iia le. Emek a fiiggveDynek a paanerercil(rlland6it) a syakorlalban a legkisebb n6gyzetek D6dszere seailsiscvel hardrozuk

Induljxnk ki ismel abbol, hosy adot esy v6ges (,ry elcnn) sokarrs (x,,r,)( i = l. 2, ..., N ) ert6kparoklal. A l.oblemnt a t.6. tjbnjn szem1,6lrerjnk.

98 dbruA leekitehb , asze te* ddrts2ere

(Megiegyezzrjk, hogy a P(,Y,,I,) ponbk es a resrcsszios egyencs me8relet6 ponlaikdzdtri tnvolseSot knltnbozt'keppcn enehezheljiil: !erri?i/ird,, ahog! r iibrin lal

152

Itk, de hoizontAlisan es eeonetiailaA i m€rhet6k a lilolsrgok A leggyakrabban

baszndlalos elj:irdsb6l rnduhunk ki, abol a pont 6s az egyenes ldvolsiiSdt vcrik6lisa! azItogellyel prrhuzamosan merjiik.)

A lcgkisebb n€g]zctck m6dszer€t amcllyel nnr az analizisben is tbglalkoztuD(

- abban az eserben r6rgyaljuk r€szleresen. amikor a vilasztoil fiigSrrenytipus linciis

Esy linerris l, (\) fiisgvdny erafikonja csyenes. legyen eonek az csycDlclc:

\ (x)=!=l t i+P)\

Hae (X,,v,) €dekpan neznk, as az .{, eneker helycttcsitjnk a? egyenes egycn

lercbe, nem bizos, ho9y pr+E\X,=Y,. Az eller€sl lelijlic t,, vasyrs

Y, tPt+ F x,)= E,, azaz Y, = Pr + IJtx,+ E,.

N}llvenralo, hogy a po 6s pr paran6terek (egFnhalok) meevrlasTtns:it6l tugg.

hogy mekkorAk ezck e t, 6d€kek A modszer oman kapta a nev€t. hogy pr as l,mcghatrrozasnra tellclclkenl azt szabjuk. hog! a

)ri =Io; p. ts,x,)' =E(F",p )

itsszcg legyen minimalrs.Az t k€t\ dltozos fiigevenyrek ott lehet minimuma, ahol

AE ^ EL=U es =0ap" ?p'

Ebb5l - minr lattxkrr Po ja as Pr re a

TI

IIIII

IIIIII

ir = ."p, *p,i",.

>x,Y,- p"Lx,+ Ir,>x:

lgyncvezen normnl- (linciris) egyenletrendszer ad6dik, amelynek megoldnsa:

rr Matenat*a nzeoedddszoknlt. Aializls (Szerk dr Cscmyek Liiszl6.) Nenzelr Tanltdnyv'kiado. Budapesr I989. 6.?. ponr. (A roydbbi hilalkoznsokn6l: Analiztr )

I153

,i"r-fi",li",ln - --::l-------:-:1 - 4 t:l L

, /x \ ,

";':-t;",J[i'li":) (*"Ii"'J

NZx: l}x,)Ha

^z els6 egyenletet rY: -tel osziuk, a szimliloban es a nevez6'ben lner ismen kifeje-

- ;i,,, (,l,i,,l,li,) ._' ;>.,"4i'1- a

vagezziil el ugyde/ u oszri$ a ,0 k'fgeeb€tr is:

" 1(i";)-';(i",r)

, . I ( i ^ : l - t . t ' ,

t . i - r . ' [$ "" I' /v \ i 'J ' " ' ' -^ n\?^, ' )T

lo ' , .Xc* " nc-

UgyMr az eredrnenlr kaptut, mint amilor az ismen egyimtes elosrds Dornihs. igy aregresszi6s egyenes egyer ete:

v=r x9Y*\ '' " ' ' '^

Hau L, y ert€kek ftggellerck, ahogy ea a 9.1.1. ponlbaD b€htluk, Cr, =0

Ekkor r=7.

t54

E$/enl€lnDk az

r | !L\, 7)o'

alrkn hozhat6. Ha az X 6s r ismewta€k;ket stundddizdljuk, azaz 7 =f =O es6'?. = l, akkor egyenesiink egyedele:

t =Clt '

U$/anez€ket az €.edmflyekel kapjuk, ha a 9.2.3. ponl elqjeD €miirer fexet€tb6t induhDk ki.

A regresszi6szimitisbd & ismeryck kitzittri ok-okozari iisszefiigges fettiriseraloreksznDk. Ez a viltozok elnevezes6beD is kifejcz6se jtt. A szakirodaionba!, minrrnir eDliteftnk, az ok sz€rep& jel96 Xveltoz6t fii8getltr vettoz6nak vagy hagyari6-ailtoz6n k, u okozd szercp6t bel6l6 f valtoz6t p€diA ftgg6 vilroz6nak vagy e.ed-meDlY6lloztuak sakrit neveai.

Az er€dm6nyek 6rlelD€as.

A Po patuatq @tfejai ki. hog u X =O herd d l ssvinr ippeh e,t az iltaket v6zi lZl, ha a O \zercpel u X lehetsege: AnAkei kdzat .

A 0t paraniter geonetidi aflelenben oz egenes neredek\igA aeShat.lroroininytanAelt, reg6szi6s egtutthatike.t yil8zt a.l arta, hag u X vdhozo egsiBnliviltoz^a dtlaqosan ne**otu viltoztisl oka a y vih@6bon.

Tertnnk vissa a nunkeban el6lr6tt id6 6s a brun6 6ilagkeresel kapcsolar6t vjz!gil6 peld.Shoz! (A megfigyelt ad,^okat a 9.10. ftbhzatba, labljuk ) Vdtasszuk a lined-ris frggv6ry'ripusl, es szimitsuk ki az analitikus rcgresei6tuggv€ny paramelcrcjtlA sziik6ees m€Uflsimiriisokat a 9.12. rtbldzatban ratitjik.

U i r7 t { tY

6, _ 2111?!1LS9!!9Q 265 156 251000 lilo =o.,n", n,.' ' 20. t2 506- 4601 250120- 2U 600 18520t tL J l

, 550,0 t2506 460.11207.8 6878J00-6t01t88 77< 2 -^.-- ^^.' " 20. t2500-460 250120-2u600 t8520 -- _- - '

Y = 20,t+ O,32X

155

9.12. tttbbalMu,tttd a @ autti\u rcsruiaifrgvant 6.eh4ti@ieth@

X f XYt.2.3.

5.

2336IE35l5

33,4t t ,021,535,Eu.l

7682I I t6,04959

1253,0983-5

5291296324

t2251225

6.7.8.9.

10.

2425

2l

269UJ24,133,427.O

6249560,0964

l0rr462t-O

5t6625l6

,l4l529

11.'t2.13.14.t5.

,to30225

23

l t ,028,62E,9u,luo

1240,0858,06t5,8l r055510

160090048425

52916.17.lE-t9.m.

1724

2526

219n9t42269n-6

459,0{69,656,E

650,07t7.6

2495t6l6

625676

x 460 550p 13 267,4 t2506

l0 2(l 30 ,|{)Mut h.rr6t6a Crct rro

9.9- ibtuA reg\gl.U a.labk A; d 16,b6t6 t5.16 et'@tt r.sr6tkjlicseatr.*

156 t57

A ,o aa fejezi ki, hosr r pdbnk€"di, ,lL"lm'"ohr. tru&6 irlagkeresere vtuha-t6m 2O,l eer Fl, aaz 20 l0O Ft.

A h pEldttirfx @iA a^ jeleDti hosf az eS/ 6wel hossz.bb idej€ doleoz6 n6kbrDn6 iArgkg€sete idagosar 0,32 €z€r Ft-rrl, araz 320 Frtal magasabb.

A hl6Db6u6 m6don szhoft rcgr€sszi6ftggv€ny*€r a 9. 9. Abhn" m]it?li]ok be.

A ffr.IrL rcgrcsld6.S/ftttrt6ir* b..rra.e

Ha nen iffij[k r ./*'.4goq a regr€sszi6fiiggv&rlr csak rniDlrMl becsiithetiik_Irdulirok ti isDA ery G. ,-,G",a) r eleEfi minrib6l. A b4sl6ffissvt

Dy€k az auffiitk tem*:

A b€cdSftggveny€* lorzfi.tao b€csl6st rerk, €orek fodoss{slla a 9.3_ ponrban m6gvissziternDl.

Egy b"IrAt ninlar,".tel ,atr, abol a miniaelqnek iservertekei (rj,y,),....(r.,/,), aneeoldsD.l5 mrnebsl€rlcter:

tr', =. r. +4>',,

>ry,=b6>,'+b'>':

IIIItttIItItII

A leSresszios egliitthatok kisziinilesi fomuldiu alibbiak les^rek:

":'" [:'J[i,).i':

/ ' \ / , \ / " \ / "ts, I t , . t t , i t t ,

';'' lI.J

.J

Vegcziik cl u cleM€sl egy konkret pelddDlA 91.2. !o ban megli7sleltuk cgy tc'bcrtulmozdssal fog1a1ko26 valhkozo

adarai alapjen, hogy van'c dszcfiiggds a szrlirnsi dvohd8 as a szillilas id6Iartamakdzdu. A linciris korelrci6srgyii balobol ( r= 0,9684 ) szotos kapcsolara kdvetkez-tettunk N€zziik mosi lneg, milye! tcnnaszetii az ijsszelugges a k€i ism€^ kdzdnl Azalapadatokat a kofihbi.9.7. ftbldn,ba" ld],mjtk.

Mindenckcl6n tbr&oljuk a megfigyelt slalisz.likai adatokatl

0 l0 ?0 30 Sziuitisi tivol!6,e 0o)

9.10. abraA en it.isi tn,.lttE is o szttltutts id.;laflamnnak po,t.liagrania

A 9.1r. nbra linctris dsszefiiggesre enged kdvelkezret , Ezek ui{n hararozukmeg a liDerris rcsrcsszi6fijssve!/. A nornilegyenlel-rendszer megolddsiboz sznks€'8es szrmilisok a 9. /J tdhh.dtbatral lh1t6k-

158 t59

l0t92A

t02_s10

l0l l

2021t527

50

52

200511700:152E00

r 125t500

256

900150 :70 52t8 1078

9 ll t.ihld.dlML n ktibl a a namtj legt. n Ie I e kL l t ar tand h. Ea Lll\ )tuz

A normrleg)cnlclck segiGegdvel hatnrozzuk neg r figgvanv pafumatcrcjtl

270 = l0b, + 150, ,5298 = 1504 +1078, ,

270 1078 150.5298= -616o

=.1.3,11 1 u q.8t80r0 3078- t50'

10.5298-150 270I0 307ri l50'

= 1?1!! = 1.5p72.. 1.5rJ280

i=4'1+l5r

A ,r param6rer kd2gaTdasdgilag csak akkor 6rtc1mczb.r6. ha a nagyafizdviitlGzo €rrelhezasi knondnyr az r = 0 hclyer tanalmazza.

JclcD csctbeo a b,, paramctcr 1laztn nenr irrclrnc2belii_ mcrt az r = 0 bety Dclrmnozrl az -Lck anelhezesi tanonanydba

A tL paramatcr az cSyenes meredcksage (irinyrangcDs.), megnutx!.. bogy a7Ima!!.rd76!tihoz6 cey cSys€ggel nagyobb €n€kehez az y crcdm€nlviltozo itlagosaDoeDn)ivel nagyobb lvagy kisebb) €ni'lc tartozik. A paramatcrcker remiszclcscn 1njn,dig r adott fcladat, a lizsgnh dsszclngges hnalDrmk meglelet6cn inelnezznk

A ,, paranrelerjelenidsc: I kn{el hosszabb ril itlagosan mdsltl percccl nitrcli rsTal l i r r is i id6r

Az egyeolet.eDdlzer megold,i,set hilitnbdz6 t€cbnikitkal is elv6sezheijnk-Az egiik leh€t6s€g az u. ft|lsforEilt nornflegv€trletekkel t6nen6 mesol-

dts. arelv a kovetkez6ket ieletrti.A ;omAlegyeoleLek megoldjsAnat esvszer[sids c€lih6l tramzfomAci6l haj-

tuDk v6gre. A vriltozokd az ritlasuktdl i€tt elGreseikkel helvetl€siltk Ez negfelel egv

e€ometriai treszfonnici6iak atrem}rb€n a koordioita-rendszer klzdfrfo'nj t az

(i,t) pontba hely%iik A.kLor mindeD ',

ertek helv€*'e dr = ri t 6 mind€r ,

helyebe d. =)', t keriil. A koordiDnh-rendszer Fd.szformicidjitt ^

9-ll ttbra

i r

9.1I. ttbra

'4 hmdi.6r'-rendszet t@4omi.Ao

A normdlegyenleteket e 'li

vlltozi*r (d,, d,) feftrA a katverkcz5ke! kapJUL

t ra62l ornau norhateg)eat e lex

=t.bo+b,>d,,,

Miv€l rnid nrdjuk - a szimtani tursSt6l vett elters€& ki€gyerrit6dnek i,ss?€gik 0,a trmszformrlt normrle$'edetekb6l miDdrzon raSok h€snek, amelvek

>d, = > d, = o t&vez& tttalJ'fnla,at-

160

/ -a S, ,aS,rr

A bt pa.anAtu Deg}Btjtre^ i.a az aldbbi eslazafi keplet ad6dik:

+,.Zrs, u, .

,, __E!__.--__ "- rl

S,r

nar c = z-_.- ' s ! ,=, t1?

A b, -re kapofl keplel negegyezik z eredeli nomilegyenl€tekbSl megtratrro-zottal. NerD is lehet n s, mei a Beon€triai traDszfonnaci6yal z egyenes hel)zere nemvrhozott me8, i8y iiinylangeff€ is usaraz maradl-

A bD paruhAen auornilegstlelekb6l n r levez€ted Ossz€njgg€s alapjan hard-c- __.

, ,zrx nea: Do = t - r ; = y - xbt .

De nsy is sondolkodhatuDk, hosy az nj koordiDira{endszerbcn ,o =0. minr-hog/ az er€deti koordinfia-rendsrdten ibr6zolva a

'esBei6vonal athalad az (r,t)

porton. Ez z ahbbi forn6bd irhatjuk fel: t = ,o + r,t.MiDket @onbd a ,0 €rl6k€ z e.edeli r, / wiltoz6k s:eriDt 6rdeket. Amemyiben

4 edeker a fentiek sairr m6r kisznmirottuk, k6mya meghatArc^^r6 a ho:

bo=t-bi .

A D, pMaer a reDdelkssre alb adalold6l fitgg(,€n a m6r ismert ijsszeffigg6sekfelbasailisival roldbbi m6dotr is meebrdrozharo.

. ,7_' n

A maryarizt egysz€rii, hisze! ahogy n r Hnulc

Zdd,=>ry- r . - . t 6s td: =>x, - t r . r , ,

t r - , i t' >,' ,',,

IIIItIIIIIIIIt

'' Vsiik 6sw z ercdeii mmdlc$,erle1ekb6t taDon keptencl!

l6 l

lla a" n.s/eftEgesr \ dg,gegys/mi. irrnl ,.net. ratoban A - " i I

", --st

,, = +d kapuDk. Rajtu* htLlik ill€tve a rcndelkezsijntre ,1t6 a.tarokon . hos!-

adon csetbed rnelyik szimittsi modol ki,veljtik a rcgresszids paramaterek m€ghal6ro-zdsnntt a knliinb6z6 negoidesok (nomrlegyenlelekbc tdn€nai behclyenesir6s vagykepletckkel lort6nti szemiras) egyerrangnak, ugymahhoz az ercdrne.yhez vczernekA l€nyeg, ho$/ a kaport paranetercket helyesen 6nelmeznk, elehezznk.

A szimiGsok nyomon k0veres6hcz lollrassuk a" elaiz6 paldar! A sziikseSes szi-miti6okal celszeri a 9. 1 4. tdrLi?ar szerinti mD.kalablrbaD elv6eehi

Mruran a nass/tomdlr nomdlcgyentetetb{jt nyea kipter;kkel tiranunk dotpo/ni, elaiszitr az ,tlagokat kell rneghatrroaunk:

t50 . - ,

270 ^^r= r0 = z/ P€rc

914. hbld.atMunlaibla a ttun:z/bmilt nornnbE e eterlel t6rt ni ieEaktAsho;

a,=J?{=1.5672=1,5,

bo=27-1,5072 t5=4A.

-( j tO t) d,=t) t ) '

2l0l920

202530

l0l l

2tl2 l3522

4550

l lt35

5

510i5

l9

085

l3I82l

t81I54241l50

40.565

t80345

tz lt2 lt692i

25

25100

24919616r

25169]24529

t t50 270 1248 828 2006

)62

l6 l

A lincdris resress?i6fii8gv6ny miDdker mcaoldas sz€rinl:

t -4.4 ' r,5r

.. . .ravdhli meSold;sr lebcrb\eg a patmelerct mdtriratgebrai miv.hkH,(t,.ronrno megnatarozasc. I bben r e{Lben a e.edcl !"tro/oka felin cE)(nhlruIJ\/(rlm,itnr-. !ekror.iclolesetlet adrul mcg A pdamere,\(^ron e/ eserbcn a mJr,,\Llv(nrcrmcSorosavar kapJul,. A modsrer altalTMis;lal rdtu/todunt a maruma,ik;hrt_mrinyokban mcgismenekre.,6Jeldesrendszcliink is z ott bevezetenjeldldsekket zuNs.

rJ L€nyeges tijmyitesr nenjcterr, dc a kas6bbiekben, na kendnal tabb vattoz6nk lesz, sokkalegyszcriibb ez a ncgotdnsi hod.'q Openici6kubt s . Szcrk. Dr Csemydk Liiszl6. Netueti Tankdnyvkiad6, tsp., l99t.

' lilahol y: (/ l) -ed rendii , €t€nri osztopvekor. melFek elernci az r mesfigyek 6rle

x: (, 2),ed rmdn metrix, tnelrrek els6 osztopa n elemii i,sves€z6vehor. rne-sodik oszlopa pedjg az X m€gfigyell €n6kei

-{ fiigAverl, param6tereir tana1ru6 b vektor peog:

b = [?,.lLD)

Az X mrrix rrffizpondlrja:

*. . f , , 1Lr \ : . . r , l

. H,".y 1.: ' , :^ rani /poni l r iat messzoro2/ul robbrot r / . rcdLr, , r , j r , rr \ / , r t . . , ,un egyndt.t6m'irrirot kaptuk

| " \ ' - l**=L:. : ' . r lI8y a m,trix eleneik€Dr a nomflegyenletek egynnhabit kapjuk.

Az X'y szorzal pedigl

t r , Ix.r=l€. , IIz- ' ' ' l

Ezzel a miivelellel lehar a nomilegyenlelek bal oldalin szcreplij kifejez€seket kapjuk.A normAlegyenletek mitrixalsebrai jeldlessel a rdvctkezSkfupen irhar6k fel:

X'Y=x'xt

Az egynflha6mebix inverzevcl bak6l vdgreszorozva 2 e8yenlctct eljulxnl a bccsnhparaft€terel vektordboz. (Az inverz nnirix dltal6ban lalezik, milei. kirereles eserekri'lcltokintve a nomAlegyenletek firggcllcnck. iey X'X nen sz'n81]liins.)

b LX'x) x ' t

Amj!1ldljuk. a paranitcrck kiszfinilrsriho, s/lksi8 Yan az X'X mdlrix uNcrzire A ftes na sem ritka kczi szAmidsokniil a ( 2x2) cs x'x maaix inrcrz€nek sz,miltisrira egyszenisileti fomulil szobs hasarilni

Eeyszeni szoztssal neggy6T6.theinnk arol. hogy rz

(x 'x) '"s. - ls , \

Pelddnk nreSolddla mritnxalgorihussal z alabbi:

' . - |27olYx r! 'o tori I x t =-toqi

plranalcrck mc8hatdozriLsa:

^nrRr2l I 270 f4 ra.2lb-r\ ' \ ' 'x ] -1", io i ; i2 0a;08J Jszor i rsn, : ]A lincdris regresszi6fiiggriDy:

- -=[;'^ i: ]f : ' : -2 '1L>' , , )

164

i=4,392+1,5012\

A kap o tt ercdnAnf e k s tot itzt i kn i j e I e n tts i I is ni te I te n tjs szefoS I a, u k.A linceris reetesszi6tugSviny 6L paramdlere a regresszl6s egyenes meredeksi8al

meghalirozo irinlanecns. Ebb6l a geomet.iai €nelmez6sb61 kdvctkcz6o naglor

fonros eredm6n),1 szolgdltat. A , pem6ter kifejezi, hogy a tnagyartovAllorn csl

egys6g.yi vihozasa ,idagosan mekkora v6ltozast okoz az eredh€nlryeltoz6bai

A ,, parameter cl6jcle negegyezik a lineiiris konclicios ceyntthaio (f,, ) clijtc

ldvcl Ha 6! > 0, alkor po2ltiv li'n}! akalcsolat a ket isrn€r! kdzijtl. ba b ': (l,.kkol

pedi8 trcgativ irnnF kapcsolatra kctlelkezlelbeli]nk. A b paramelcrt rcgrcsszi,i\

egyiitthaa6nak nevezijk. A 60 parametemek a legtijbb esetbcn nincs kijzgudrsrirrL

9.2.4. A vdltoz{6k felcser6lhet6s6ge

Tekintetlel ara, hogy a reEresszioszemirasnal mindkal ismcrv menrryls.r, ,\m6^, nemcsak.{ismetr hatdsit v;sgehaljuk y-ra, haneh fordilva is Nlirdcn e\rllu,k€t reSresszios eglenes balirozhat6 meg. Bizonyos esetekben egyertelmLj oks:isi v

szony van az ism€rek kdzittt, s ckkor ildokolt egyik lagy mark rmancl liigtellcriwihoz6nak tekirt€ni. VamaL azonban olym eselek, mikor az ismerlek &.)Lr,thrl,ir.i/.t/ beszelhetiink. s retszbleS€s d egyes vriltoz6k szerepe

Eivile8 tch:il x €s v ;m6n ek megfigyelt r, . l, adatai alaprn nindlg ie Inhrl( i u

aldbbi k6r regesszr6s e8-venes:y nak Xs.erinti rcg/eszi'filqgrins (amit mar ismcrnnk)l

i = ro(r ] )+6j( ' | ' ) x.

toyalfra X-nek Y szetihli regleszia|ilgeftale:

;= ro(rl ' )+6 (xr) . t

Felhi\auk a figyelmer ara, hogy ebben az eselben m1.d€nkeppc! indokoltleldlnla paramelerek uen zir6jelben a viltoz6k kitzalti viszonyl, vagyis, t'ogy adoh eselbtrrmclyik az eredmen)ryalhz6 es mclyik a tenyez6veltoz6

Tehat ofenti egtehletekben a rcEtesszi6s es-nnha()k:

td d t / . /r ( , r '=f f iu+re rr . l ' r=!

I

I

II

IIIIIT

I

I

A kdt cgyenes egymeshoz vrszonyjbn hetyzer€lKdmyii belelni, hogy a kdr rcgresszi6s egyenes ,,

Az ; tlggv€ny 60 parametere pe.tig:

,o(rlr)= t ,,(rlr) t

Line6.is liiAgiavpcn kapcsotat eseftn

a kspcsolar szorossdga beforydsorjapararneFrei es a heeris koReteci6s

esyii(ha16 kijzitt szoros u 6sszetugs€s. Fehhar6: /j =ri()1j).bj(Jl],), ebb6l

'., =!6i'F tdtA kotrebcio hiarya esetih: /:" = l5j = 0 . vasyis b,(x') = b,Oln = o . az esye-

ncsek a megfaleli' tcngetiyet prrhuzaDosak, egltnrsra pedi8 merdtegesck

a, = l . ezen b r i , ] r1= J-, 6 1"1D trLv I

Sztochasztik^ kapcsotah.i/ a ka egyenes annfl kdzelebb ker €$bdshoz, nLnel szorosabb a kapcsotalA ,i(ll]) peam&er hasonlou enelrnezbet6, mint a reszleresen ismcneten

,, ( rlr) Vagy6: az / valbz6 egysegnyi veltozrsinaL harisrra nennyivel vrrrozik (trajvrgy csoklen) az r vdttoz6.

A syakorlarban e, e infoimici6t az erederi osszefiigses (tx) mas szemponr_bo rnnend mes\rl;Fl|asdd b^'IritJJJ: A btt\lvt at t?rei k!. host ahha/. ho'o u ),au u-p8l eg . eB8.1 v;tbr?oa heg heaayj\ e! Actl acgvdttornd u \ rdtto. oaal

F (r J ) - l : :=0 022 | ,0.6

A rapon eredmeny-azl letel tr. ho8) d (aluar rd6 I perclellato nijvetednsehe a'aror5ap auago"dn 0.6 tmjet. ?a" boo m rct ldnend oijv;kedse yi*sige.

,o(rb,)=I_r,(rLy), ,

b,(x)y) - ts ,0,6221 27=-t ,1967- \a.Az j es az i regresszj6s figgletryeker a g 12. abra szel:tltel@n.

r66 t67

ru 13Sz6uit si rdvolsAs (km)

9.12 AbtuA \rtlazdkl.tL\efttAse

. . A_kel €gyenes lirhat6an kdzet esik egInAhor, mivct eglmishoz liszonyitolelyzetiiker a kor€ir.i6 vorossasa befolydsolja. K6nnyn belt;i, toSy a kap;sotarszoross'igilr ncm befol),rlolja az a k6rd6s, hosy a vdho26k szcreper cscrel;ek I '

. A s/dmirasr fomulabol lnb"ro. ho8) )-nak .y re !on"*^ro tJreta, rJ. ct) .L j t l

harorr meEegyczik Y-nek ) m \onaLto/o kolietdcr;. .mtl\droj"\a

9.2.5. A rugalmassdgi egyiitthat6

A lineins regresszi6figg!€ny paramdere, D (]lJ) min hjr cnrtir. iik u \smao ha Syakorolr badsrnak nagysagAr, vagyis a, mutala, ho8), I egysaln!, r,rlrozisa l-nak ncllora vairozirsel jndulelja. Temeszcresen a k r t\nn\rtk ,r,tr.\t^ dhildnbsigeit. hanen rclatfi nthozAsan is szehheiltithalt .A!rd\a./ Ily nrntrr, rkttzgrdasigi elm6lelben i8en fontos sz.reperjrrszo rugatmas:is (idcgcn sr,i\rt rtrs?tjcitiis) fogalnihoz juruDk, arnelyet p€tdak€nt az anatizisben is cmtilctliink "

17 Condoljunk vnsa @

Alhlanossngban a rugaln.ss6g ara ad !dlasz!. hogy ^z

cgyik vrhozo relalivvnltozdsa a mrsik vrltoz6 milyen m€ndkrj relariv vrllozisit €rodmmyezi, ha fiigA-venykapcsolat van kijztnk. Emck m€res6re a rugrlrnassrgi (elaszticitrsi) €gyiittbaribCele: E) szolgiil, aftely a natenatikai tmulmrinyolb6l isnetl difercnciltthanyados se-I its,ei re I de|i n tji I hat ()

Jeltjtiikdism€n iersz6leges 6ndk61x*zel, I ismen hozzd rartozo eneket pediS),,nal ( r, = /(r) ) Vegyiik I n€k esy nagyon kicsiny (abszolnt) velloztsrr, er jelnrjiit

^t{zel. Az ennek megfelcl6 fijggven}djveknery /1,. Ez ar jclenti, hogy az X ism€n,

x+ Lt enakeheza2 y+6,=/(x+llr) €rtek tanozikA rclaliv navekmenyek emck alapjen:

x)

A rugalnL\tigi egnihdt6 afra utl filaszt. hag, E :l vttlto2o rclotit vnlloznsohanrt2orosa E X filbz.j telatir fiho.nsdnat. Ezt a2. aldbbi hdnyados fejezj ki:

Mivel ez a binyados a 4r hossaisdgri inten'allunna vonatlozik {ezen bctijl eaynllagos irteknck 1eki.$et6), u; beI ertekel tgy kapjuk. ho8y lesszok a harir€ndk€r

igy k€lezhctit l-nat X-re vonatkozd tuealnassaei egynnharoja. (l mnceetesen hasorloan kdpezhet6L,nek y-ra vonalkoz6 rugalmaslilgi egyiinhat6ta )

,4 ruea l nas stjgi egyn tt h at b :

- ,. f/r ^, I (d:

, ) j - ! tv r / &-(^r IEz a hat6ren6k akkor l€rezik. ba az / fii8gv€ny mjnden pontban differencinhal6A haurer6ket kepczve a idiyetke4; tiskfiggnth?z JutunK:

a= f'(a ') ,/(x)

Az egynthatdt a sztochasziilt kapcsolatra alkalmzva figlclmbe kell vemi.hogy.r,-nak csup6. becstill ertikc all rendelkezesnDk€;

i= fGj+e( i t .

Az elaszticilesi cglullhat6 bccslesehez ezen regcssziotugg!€ny differe.cjflhanyadosdt haszntiljuk 1bl. Ilym6don a ruBalinassdgj egyiinhat6 becsldsc a kdlerkezi':

t68

E,;-, =

A lizsg,ilt gazdasrsi jelensesDck a hat6tenyezSvcl szcmbeni viselkcdcs€r a mutal6 eli'jele es abszolft nagysiga jcllcMi. A rugalnass6gi egyiittbat6 cldjcle a ditTe-rencialhanyados el5jel6vel csyezik mes. A,r fejeziki, hosy z adotl jelcnses a hatolanyez6 ldlloziseval azonos ir6nyban (eklor t)ozili! az cl6jel) vagy ellcfietes ininybln(ckkor nesativ e el6je1) vrhozik.

mutaio abs2ol'il nagysriginak vizsgelaB so n hirom f6 6n€ket, illeNe €nekcsoponot kell megkiilonbdzletnijnk.

lrl. 'Ez ut lelenti. hogy a hatol€nyez6 l% os valrozasa eserin a vizsgnlr gazdlsig1

jelcns6g cDdl kisebb ndnekben viiltozik az adon helyen. Ez esclbcn et mondiuk.hogy az Ililr026 rugallnatlaD azdv6ltozesdval szcmbe.. Ilyen esencl taliilkozhatLnrkp€ldiul az ilelmiszerek lOvedelcnnealmassdgiDak vizsSalah sorrn.

lrl= r

A hal66!ycz6 vAltozesevalaz adoa helyen aninyosm vdltozjk a gudasisijeleD-seg A2a7- ha { l% kal ndvekszik, atkor ennek hatisira az y vetbz6ban is l%{sldhozas koleikezik bc.

l t l ' tEz az €ser akkor fordui clai, ha az ado helyen a vizsgnlr jclens€g €zakcnt.n

reagrl a h:r6tinyez6 vnhozAsrra. A bat6t€nyezaj l%-os vdttoziisa u adotr hetycD rchiilI %-.dl nacvobb rdlrozrisr eredmdnycz a vizsg,ilt jclcns6gben Ezekct a jelens€sckcr .zadot hal6t6Dyez6 szemponljrb6l ngalmasnak tckinlnk. Rugalmasnak tekintliik paldaul a luxuscikkek for8almet az nr szcmponlab6l

A liredti! rc{e$ti6 rugdlhasngi eginnhaliia a kdretke6:

. . " i . t , .

ugyaris i = 60 +bLr 6s derivalla _i'= 6A rugalftassdgi egyiilharo ebbe! az csetben is r fiigavanye, kivevc azt az esetet.

enikor b! =0, aze a regresszi6fiislaeny 8.afikonja oris6D 6hen.j egyencs. A2 rbAmely kivrlasaot enekdre sznmiftat6. A gyakorlalbaD azonban tdbbnyire az :irlagosszinrcn (szokasos mc-qfosaheassal 6lve z alasponrban) vizsg6ljnk, hosy a fiescrrcnvdlloz6 l%-os vdltoz;sa hany % os valhzast idez elai a fiigg6 vdttoz6ban

II!IIIIITIIITII

, t i . !

E . =b'

x=t esel€n ui . a fuggvenydnek i=r.+r, ;=tA sznllitisi tivolsng es u id5tarlam dsszetugges€l vizsgil6 paldrnkbatr z dtla-

gos szintcn m6rl ngalmass6C:

- l5E\ , ri=t'5072 i

=0'8313 - r34'/"

A mutat6szAm cgynil kiscbb, czen azl mondhaljuk, hogy a szlUilis idi'lanamarugalmatlanul reagel a szAllirasi iavohtSra. Az 6dagos szillitrsi id.nanam komyezet6ben a szdllilnsi t6volsrg l% os ndv€ked€sc dllaSosan 0,84%'kal bossrabbitta me8 a

9,3. Statisztikai kiivetkeztet6sek a k6tviltoz6s line{risregresszi6 alapjin

Az aralitikus rcgresszi6szihilas sorin z elm€leti reSressTio b€.s1;s61 \'6eczrijket uLtatt szunn uegfis?lAsbiil szAm@o adatok, EE k elenii nintu atopjin iat- azelm€leli cjsszcfilgg6si mintib6l szdmuo malitikus fiiggvmnyel koz-elitjiik. A lapasz,talar adalokb6l a ,., B paramelerel becsl6sere kernl sor. A bccsnli paramererek !a-loszjmisegi willozok, €dehik ftin1lir6l mirtlit'a ingadozik.

Celunkat, miszcrirt d alapsokasdgi ijsszetugg6sekre kiv,iDunl kaivctkeztetni.csak akkor erhetjiik cl, ba eliitte he8ismerkedn* a regrcsszios modeu feh6tclrcnds2erevet es a becsilll paraneterek val6sziniis6gi eloszlisdral.

9.3.1. A regresszi6s modell felt6t€lrendszere

TeFlezziik fel, hogy u -trt6nyez5valtozo 6s az Ieredmenwrhoz6 kajzittt lircriris sztochasztikus kapcsolat 6ll fem, ami alalt aa Crtjiil. ho8_v

M(ylx =x,)=pt+t t , .x, .

Hangsulyozni szerelDinh hoSy ioldbbra is felieleleTzijk. hogy az -Y magyartu6valoz6isften (lnirdig riigziled) in6l €s u eredftenyvdhoz6, y a szlochdszlikus vnltoz6

Ha a sokasdg v€ges, akkor a feDtiek aajclcntik. hoBy ha az ,Y = ](, 6nekct rdg

ziN. vessziil z osszes olyu y, crt6ket, amely az )a,,vel endkprrt alkot. akkor ezen

110

/ an6kek tdaga y,=llt+p)x,. Kordbbi ielolds0nlcr 'ncsrarrvr.

tjxy,=Pr+PL+E,,akkor^ lehetseses t ,6! t6keka aga togzirer x, mc ct l ) r Ic |t€k alapjnn Dulla.

A p0 as a p a nt ismcn m6dsze.ekkel meghalrrozhal6

Mosr t6rjiiDk nt da u esetre, amikor p0 6s pj inckat minra allpjirr bccsirtrul,

Mivel €sak I a sztochasztikus vdltoz6, ezert valamcly rijgzireu X, tnak r)cltct{ |

minla€lcm y smervennke 4, val6szinijs€gi vrltozo. Tcrneszelesen I iltll.lbcn n.nr

esyenli' Po +P x, -vel.Lcgyen

r ,=P,+Pl,+E,,

ahol r, is a dcfinic'6bol ad6d6an laloszinis6g' vdltoz6. Az is nyilv6nval6. hogy kij-

lonbdz5 x, 6s X/ €nekekre a negfelel6 ?, cs t, val6sziniisisi veltozok (igy r, is

r r ) eloszhsa kiil0nbdz6 lchcr. ( li eloszldsa az I wiltozo ,Y = ,Y, -re vonalkoz6 ielte-

Ahho7, hogy a paramererek 6rl6keinek bccsl6sar vizsgelhassuk, sziiks€8nnk van

I €, 6s igy 4 is normrft eloszhsn (az 4, ds r, krildnbseee Bo+,4 x, nllando;

2. cov(r , , , , )=0.ha i t j ( i=1, ,nt j=t . . . . ,n) ,

3. M(e,)= 0. Eoet ek\ t \ a lens, I rcs) ' M{?,)=p0+f X, l i=1, , ' ) .4 DG,J=o (fiis8eden X rt'l). Nvilvanval6, holv az ?t sz6riis. is usylnc'ny,

Ezm fehelelek telj€siilasc cserm st.ndard lin€iris nod€ltr6t bcszdiink

9.3.2. A regrcsrzir i \ becsl6s ponrossi96nak m6r6\e

A regresszi6s becsles soren ekovetett hibak alapver6en kirlalc otrr vf/(rtr1n[

L Az analitikus regresszio u elmdleti r€grcsszio u inrdbi)l szAnibu kaj.ttin:*. tn tti.re. Ezan a regresszi6fiigsvdny peamdlerei a val6siisos ,.,, trrrnrcr.r.l, hr.s,r 1anekei (ponlbecsl€sei). A ninleb6l szemiton regresszios paranratcr.k In,,rr ,!,,rdcn reprezentativ mintibol s2nrmaz6 bccsiilt pa.afteFr afiakc szirid,,rk r/ .lmeleli 6nikek kdrnl Ezl ! sz6rodisl az egyiilthat6k standard hibij a lcjczr t l

l l l

t Mlo,,)=p,,2

^EDespl

illI

ffiffilltjl

rlliliffi'fi,jil"[ i ,t*ru,[ ]

2. A hiba mdsik fordsa. hogy avi^Brl! ismervek kozarl szb.harztikus kop.\olal \aD.y-rak X szerinli .egresszi6s bccslese nem a l€nyleges I en€kekel hanen azoknakcsak ,z X-t5l ftgg6 r€sz€l adja. A l6nylcges 6s a regressziofiiagv6n.vel tecsijh eFtelek e116rese miatt bcsz6lhetiiD-k a regrevi6tuggveny. illetve a re8rcss2i6€n6k€kbibnjnrol. Az elt€risck nagysigit 6nelemsT€rien befolyasolja a kapcsolal e.rossriga. Szoros korcldci6 esct6n a be.sijll6r16kek jol ki'zelitik d eredhenlTnho26 €rleke'l. Laza kapcsolahel viszoll a kdtfele 6dek k02on az r'r befolytsol6 egy€b1€nyez6k jel€nt6s s{lya miatt naay el6r6sek mulalkohal

A paramtterek hibii

A 9.2.3. pontban po ra as p -re rapotl becs]6fiigeveD!'ekel most a kijve*cz6keppeD irhatjuk, nivel a ninta .Y ismervedeke rogziien 6s csupnn a? y isn€rrendkvalosziniis€gi velloz6:

l i , l l i", l I i , ]:,", l; \ , i - / \= ) \ ,a

^.=

/P.= , , r , t ',1,: []",J

,i' , - 1,i,, {:, I" .z' (2,)'= , .n,I'(x, - r)'

Zx,n, xLt,

Ez azrjelend, hosy pj cs isy lo is u 4, (i = 1, -, r) lalbszimisegr !6hoz6k lineii-lis konbindci6ja Bmel alnpjrtn nrr Dem nehez bizoDyilari u aldbbi dllibsokat:

e. Mt l t I

p . ta$F ropirar lanbcr ' lastdl \dn' /^

val6szinijscsi vrltoz6k sz6iisa. lasyis a becsles standardhibdja

o(P") - "," =.

\11 l7 l

L

olfi ) =" o ="

A bccsles konziszrens. (Az dllitiisl ncm bizonyilj!k.)

Konkftt ninta aetan a srbdard hibat az alibbi ktplclekkel szimitjuk ki:

c lmal€l iszords: D(€)=d.,

mi ab6lbccsiill szoras: o. =

IIIIIIIIIIIII

A 2. ponlbeli kelletekben sz€replii d u ,,, illetve az ?, szorisa. Ertikil a gyatorlal-

b& nem nfterjiik, ez€rt a mirrabcli adalok alapjnn bccsijljilk 6s r. vclteldljiik.

Konk6t minlib6l tdn6n6 becsl€s€hez a k0ve1kez6 gondolahnenellel I ltDnk el:

konktr miDtrb6lbecsiih szords: r. =I x- t

b 2 z'\t

n-,..maradektag , vaSy mds n6vc! bccsnlt rcziduum.az a rezidudlis negzetdsszcg, amel)'lek Mgysiget a lcgkisebbn6syzelek n6dszer6vel t6n6'tj becsles sorrn minimalizrljuk Flne-leti megfonroldsbol, a lorziratlbsag kbvetelm6nyenek reljesnlasacrta n€syzetdsszcsct a szabadsisfok-kal korisiljuk, ani jelen csetben,- 7 rmen ken/ese a Lenve/ovaho/o aLp"n,ore' < ' ig1 . ,

6!rik, hosy r: rorzirarla! bccsl6fiissv6nyc lcsz az alapsokastisl

veiaDcilnak, d I 'nek.

II

n-2

Bemulalop€ldrnl adataialapjin sziJnilsllk ki a paramercrck nddard b'biijiil

9.15 6blEatA no t odak niElzetds2eE kisztinitdsd"a* ibbztto

:

I

i = a.5r l ,5r

t0l l

2021t522

4550

10,510,51,5

r9,533.0

28,5

42,1)49.5

2,50.50,5

0,56.55.53.00.5

0.2i6,25

:16.000,25

10,25

0.25tglunl 210 214,4 r25.00

A sz6rrs (d ) becslisc:

3. = !?a - 15.625.' 10 2

A becsiill paran6tcrek sundard hibAil

,. =Jr:62: =:.s:zr.

307810.828

Jr =3'9528 = 2,4100.

,,. =]! -=otttq.J828

MeAtegzes: A sz;J rnsi ftszeredrn€nyek a 9.1J. es a9.14.dbluatbaatal lhat6k.

A paranirerek hibait a kitv€tkezdkeppen enebeznk:Az \\ =2.41 kifejezi, hogy a l0 clemri mintavitcleket viglelc! sokszor ismetelve a

lehc$eges becsijll6!t6kek a /i0 paranererek - illagosan 2,41 esysess€l r6mck cl azeLneled po parameten6i.

A/ r - 0.1 r71 p(di8 ur 'e.enr,. hoB) " Ieher,ege, becstlr ll paancrerck arlago'an

0,1374 eeys€ggel sz6rodrak az alapsokasasi rcsresszi6fissv6ny p. paraherere koriil,az dsszes lchers6gcs I0 elemiiminta csct6n.

174

A regr$szi6s becsl& sbszoffit 6s relrtiv hib:ijr

A rcsrcssziofisev6ny hibija a reeress,ios becslis misodrk hib!ldrlsi,r. r/ l\rn6^,ck kdztitti szlochaszlilus kapcsolatra vezelhelo vrssza.A paramelerck hibejenak n€ghadrozisinil bcvczeltiik a nraradikbs s7{t,isii,,rk h..s

t r .i ) e:

r ._ l t . ^

fomulrt, nmely onmageban is fonlos. s"-t a reSresszios becsias ,bszoltl hibtj6nak

Hasaos informiciol nlujt a regresszios fiiggvany utj6n nyerher6 regressziosbccna\et methDhrro.dg;,n]. allalmdharo.rts;rol

Az absroht hjba a 9 I ponrban megismen korclici6s egynthato (/) felhaszni-lisrval ii meghatarozhat6:

r:---;r . : I , Vt-r

A. abrzot hihd tilajei. ha{,- a rcsresszi()s becslisek (i,) A ag.)san nennrirel tir

rek el a: erednit)fiho.o (r,) neslgtett itlikeidt

A regressziofijggv6ny hasznAhat6sager a gl'akodatban a hib! rclaliv rnert€kealadrn.Jobban negir6lhelnk. A regrcszios bccsles rehtiv hibnjnl az abszohit hiba esaz rrlag bdnyadosak€nt szanitjuk.

I

A rclatir hibo kifejei. h.gj a rcgrcsszi6s becsl.sek itlagasah hnnt %"kdl httuA tl 4:. /e.l ntbhyvd hozn tu ? gligre h al6ke t t6l.

A r€g€sszi6nggv6Dy mcgbizhat6s68iirol a relariv hrba ad felvilagositrist. Mnralkisebb a reladv hiba, am6l neSbizhar6bb a regresszi6fiiggldny. A eyakodatban iltaHban 107" alati rclalivhiba eseten fogadjuk elj6nak arcsesszi6s bccslest.

Pildak€nt ism€r a tirohag 6s a meneddai kdzdtti kapcsolatot leh6 regresszio-Riggv6nlt id6znk fc1

175

Trx\ : i ,

! =1o<rP lqr

A becsnlr 6nik.'l ddacosan 3.95 pcrcccl tancl el a renyleges s2illiresi id6l61

l - _-- _ n. l .br l4.oo

')1

A becsiilt edikek dtlagosan 14.6%,kal r€mek el a r€n,vlcgcs szdllirisi id6rrtl Milel arelatir hjba l0% rdl nagvobb. az erednenyeket kellit 6ralossagSal kcll kczclniink

9.3.3. A regresszi6figgv6ny param6tereinek intcrvallumbccsl:se

A paramctcrck becsl6sevel. a ponrbecdes. ,nten'allDmbecslns lbSal'n:1\ al koribban miir neg'sm.Tkcdtiink. A becslesehelelben ranuluk alkalmazhatok a regrcssziosbecslasckrc is. A rege$zios modcll fchelclcinct rd-qzitasc as a paramaterek becsl6-lii8glenya'nck kidolgozjra udn lehelijve lilik, ho$ ilsszellgg€sl reren$iink a m,nrii-b6lbecsiih paramererek €s az elDdleli, alapsokas6gi laraDirerek k0z6u lg} modunk'ban dll a gyakorlalbar eSyetlen ftindbol kijletkezteln, r alapsokasagi para,neterekreA rcgrcss2los param€rerek ponrbecslesenek ismerel€ben inre^allumbccslas is adbaro.

Mivcl felr6relezzijk. hogy az ri k (i=1, ,,) azoDos szortisi nonnrlis elos?lr-

srl fiisserlen val6szimjsisl rdllozok es a li e2ek linerris kombinicioja. be leher liiml(nr' ren bizonyiijuk). hosr a

val6sznrnseei vihoz6 , 2 szabadsii8lbkn Studenr Lelos2ldsr alkor- ar t-o ralo-sziniisagi s2int esel6n

tr, - p,

P t .L_J!. ! )=1 a

"[ ' ' , , r" ' ' 'd ' . ' i ,176

: r " ' ]= ' -"| ,.i

A zarqelen beliili esyenl6tlensesck a /i, paramarcne konfidenciainterva|unokar je-litloek ki, I a valosTinrlsegi szinten A konfidenciainteNa|um amclynek kijzal-podtja I ninldr6l mintdfa ingadozik, azaz vat6szinrise$ vellozo. Ez6d !z el6z6aisszeliiggesr lgy eftlmczziil. bocv ha ismerelt mintavereleke! hajtun] v;grc, az, aregressziosziimitrsniil rObbszor clvigezziik az adon szemir mcgfigyeldsr. es mindcgvikurin elk€sziiiik a konfidencjainren allmor, v&harod e inlenallunok I 00 ( I a ) % atanalmmj foeia a sokasagi paramiied

Egt et l e n n i n 6 ba l ktszitei konfi dcnciainrel!arun r

p -, l, -,, ,f,p.

^, [ , . - , , , , ,Peldiinkban 95%{t mcebizhatosdei szinrer v aszN. a / tibliizalbeli afiek:

r ;" : - 2.31 A kordbban mir k is2ani totr srandard hiba r , =0,1174. igya p,reazalibbi konfi denciaintc^allum irhat6 fel:

P = 1,512,31 0,1374.

,4 I ( '0.32

Ennek alapjin rt mondliarjDk. hogy a sokasegi p palamiter 95% os mesbi2bat6sA83al ezen intcnallumban van.

9.3.4. Regresszi6s t ecsl6sek 6s progn6zisok

A .egresszi6s fuSgv€mycl ket ismc^, kOzdtti dsszefiiggis rcndencidjit iriuk lc.A becslitfiggv6.)'r felliasrndlhar.luk a renl,ezdvdttozo egy rdgzirett in€ke mc ct azeredm6n\adltoz6 artakenek bccsl€s€re. thtrcz a megfclet6 rt efieker behctycttesirjijka regrcssziotugglenybe, €s kiszdmirjuk a hozza tadozo ii becsiitr ertekel

Ezr u t. €n€kct k€rf€tekippen foghatjuk fet:

a) E" E ttltk u t'. = M(rlr = X.) vrrlrar6 €n6k, i .tve reges diszkr€r escrbcr a/(r . ) ) leher.cec. en<Lpirol I cneke,bot tcb/er. I bc. , re.r Bc-. , r tner, . , rp€ldtui a tcstmagalsig €s ! tesGull, kdzijtri dsrenjgges vilsgrtrra atapjjD az ldofi

'- 't :r 'J'n"'r,:," )

II

t

t

t

III

ITI

IIt

resrmasassasu embcrek ritlasos reslsirlv6r' Az t"=i'".i'', az t becsl6luss-

v€nye dcfi nicio szerint.

b.) Ez az enek annak becslese, bosv egv (,Yoi I0) minla eseten tr mcklors lch.r

Mindkel cselben inlenallumbecsl6sl adu!k

Az r0 drt6khez lartoz6 fellatetes r,rhat6 6rt{k int'enzllumhe'sl6$

A fcgresszi6friggveny segils€gelel kapo becslesek azonban cllcrbcrnck a r,,

boz ranoz6 feltaleles vrirhalo €rtikl6l' mivel minl6b6l dolSoztunl

Az ir szordsa, ^zu

a standard hiba a Param6rerek szorrsinak Bhereribcn me8'

(NcD bizonyil* 6s a rormuldkat m6. csak kolk6l mintif! alkalmrla i'juk fcl.)

Li$a16, hogy a slandard hjba akkor a legkisebb, ha a rai8zircn hcl] (r. ) epp€n

a7 :trla8gai egycnlii. Ebben u esdben a keplet u.ldbbi formulira c8yszcriisddik:

s i , r= a

Emcl alaplin d2l mondhaljuk, hog!' rcgressz'6s becd€snnk a7 ,tlag kitnrreEr€ben alceiobb. a szels6 €ltdkek fcl6 haladva esvre romlik

A konfidenciainlenallumol szinl€t a I'eloszltu segisegd\el hatrrozuk fteg:

l-^ i l ( r , i ) '

' " " ! , ' r - , , , r: t I

A bccsnh konfiderciainlenallum I d valoszinnsigScl ranaimdza az ,,, hell,bcz

hnozo f€llelclcs y. ra(hal6 6n€kcl lrillagoo

A tehcrfuvaroz6 viillalkoz6 adalaj'ak felhasznnhsilal 95%'os val6sziniiscgisz'nlcn adjunl inFnallunbccslen a 12 km lAvolsrgra ldrtidt szitlidsok ,tln8os idcia

Az Atlogat szihronal hesnlt itt(ke:

t7N

_i i =4,4 + 1,5 l2=22.,1i ro=12

179

Koribbi sznmitasokbol ismen:

s" = 1,95,

tG-t) '=I .1:=82n

r i , " j - 2.31

/ kohl.l e a c i a i, tetud I Iu n.

22.4 ! 2.31 . 1.31 52 ,

( tq.4 7r 4)r ,e i i

A 12 km ravobagra t6ne.6 szrillirasok nrlaarr i./V.95,0%-os mcgbizhatosagi szinlen19,4 6s 25,4 pcrc kdzdtt van.

Az egyedi r0 becsl6sek konfid€ncisiDt€nalluma

Eliifordulhat. ho8y nem ,tlagos szintel. hanem egy hirnyz6 l:i adatot kivanunl(

bh-^siilDiaz 10 hclyen Enc a c6ka is ugyanezt a becsl6fiissvinl hasznaljuk. Mivel

{o €ndknel lalam€ly Io €n€k az

to- Po.P x t , \ r | " r

m6don szimithato, ezan

"; . ,=": . " :A beh€lyettesil€s 6s a gydkvonas uran az egyedi er16k becslesckor a sta.dard hiba k;saimirAindl l€plctc c$ *on\titwni.oakore[ o.

(@ = 0,05, s/=10 2=E).

l ( io - ; ) r ,;-tG:t-'

Hi{t

F

Ili! ttl

A pr6bafiigglEly szrinilou eneke:

1. = lL = 1e.e5' 0.137

A pr6bafiigg!6ny kritikus eneke (5% os szignifikanc'aszinlen, $/ = l0- 2= 8)

ri.rr = 2'lt

Milcl a szrnilou r. €ndk (10,95) ne8baladja a t kilikus an6kct (2,31). a //j

hiporezisr fogadjuk el. A szillitdsi hvolsdg 6s a furarozisi id6ranam kozon a ,o16figbztr is hilel a szlmitott 6rt6k minden szignifikanciaszimen meglaladja a krililas

et€kel femAll6 osszefugges van, a p, paramater szisnifikins.

A v.rirnciaanrlizh !lkalmaz6sa . regr€sszi6szrnitisban

A regresszi6s egyUtbal6 leszrel€se mellet naadnak a rcgrcssziofijagvenvnek ahipotizirellen6rzese is elvegezhet6. Ez a varianciaanalizis m6dszercvcl tdrtannct.

Els6kent kjuk fel z eredmenyvrhoz6 €s a magyart6lelroa tozitui osszeliig-gan az i cdik megfigyelesre:

, , -1,+(r - r , ) .

) . i =r i + ei ,

ahol 1,,: az Ynegfigyell eneke (,Y = ',

).r, = bo+ b,r,: p x, -hez lanozo regresszios becsl€s,

e,: a marad€klagva8y reziduum.

Megrllapithatjuk, hogy a ndad6ktagok 6sszege Dulla. Ez belithato, ha a ntr ismen

nomiilesyenleteink koznl ^z

I mmalegyenlerer (ly, =,r! +r,tx,) erendeziik:

:+; ] y,4,a, . r 11. .

Ebb6l kdveikezik, hosy

!tr, r. a,',1= 2"'

Ez azrjelenri, hogy a /eslesrztos becslisek dsszeqe As ebb'61 kdwtkeztjen atlasaX hegege.ikaz etu.lnanrrAlbz6 tinyleget t akeinek dsszegivlas AlagAval

182

KiiDdulo asszelugg€sunk tehat az ddagt6lvex eheresek alapjin is fclir|atd

(r, r)=(t, r)+(r, t,).Ez foDros osszetugg€s szemDnkra. ftert kifejezi, hogy az eredmenyvAltoz6 .r ncefigyelt €n6keinek itlagrol val6 eh6r6se kdl komponeDssel magyarihalo, cgyrcszr a bccsnh.egresszi6fiiggltry szorod6s6v.l, mtves, a marad€ktag ingadozisaval

Bizonyilis neknl kdzijljik. hogy az eltarasck dsszctcv6kre bontisa az el(ia-r a gr z e I 6s s z e I e kr e is f .:lnn^6 :

+, i , .L\ ' - ,1 -L\ ' . ' ) 'L\ t , )

Az ell6r€s-negyzetosszegeket a kijletkezi'kappen is szokis jeldlni:

.1(5/ ) ( . r , ,

,'i id-z\ ' - ' r

"ssr=l(1, .r, J .

\r., .rr ,ra.Krlonleges jelent6s6ge van a rezidu6lis n6gtzelitszesnek (S.tt, rnivel a nres-

fig-yelr ! edekeknek a regresszi6fiiSgveny kdrnli szor6ddsiil lejezi kiIIa SSf=0, ez aztjelenri. hoel a fiissd vi11ro26 teljes vrrianciija DceDasr-r

rdzhalo a laryez6villozo scgils8€vel. Minden megfigyell r,, anik a rcgrcszio-fiiggveryer helyezkedik el. Egyab talycziibek nircs hatiisa a1 eredniryvrllozor!.vaSyis az isni^ek kijz6ft tugSvenyszerii kapcsolal van

Ha az 5:.t +0, aklor a ket ism€N kdzdrr sztochasztikDs kapcsolal ill fcm. Mjnal m8)obb a reziduiilis n€Sy2etarsszeg en6ke. annrlnagvobb a becsl€s hlbdja. merL anodellbeD Dem szereplij cgycb magyariz6vdho26k hatisa amrl Dngyobb szcrcpcilitszak a fii88i' vdltoz6 szor6daseban

A varianciaealizis'ttbla a 8 fejezetben elmondohak figyclembcvetelivel el6!c*cz6k6ppcn kiszitheld e1(9 16. fibh:ot):

TI

tI

It

IIttIIII

I rJl

I

, , ]

.isr=i(r r )

A szabu.lstltslokalsil u kdretkezdket kell tudniA tctcs lcsyzcrdszes (SS7) szabadsagfota , l, mcn szrinidsnho/ el6szijr a

'n ' . . ibol , / J 4al e!) !domircn lc l lb\ /anrun,.

A hibala!)"ez.i negyzelosszegenek (S.tf) szabadsd8foka a 2. Emck u a 'ha-gyarizala, hogy szimitisdhoz k6t paramerer. a ,i €s a /] bccslasc szDkse8es

A rcgresszjobol becsnh n€Syzelijsszeg szabadsdgfoka pediS a sTabadsrLetokokkozdtl Jenndl16 addiliv dsszclngg€sbdl koverkezrk

r!/ (ssR) = \z/(ss7) -{it(sslri.1 = ( , l ) - ( , -2)

A tcszlclcsDel (l is a rcgrcsszio fcm,l|isanak ta8addsrb6l induluDk ki.1l'!ot6ziseinkel a liirctkezdkapper irharj!k fel:

Ht: P' =a es 11 P.+o

A rcSresszi6b6l szAnnuo becslesr a szords.egyzcr ,.krls6 becslesenek, ! hiba,e. . .? Dol v-rrd/or peJrg. .bcLb bccJesenek rek l rhcr i i rk. , ip!

'e l le, r dnalusr i J

8 rejczcrben megirmer! eprobaval. )A nuilbipotezisr Pproblval ellen.jrizTnt, anelynck ktplete konhA htutu es.

,ssnF= I

- ,v l i, ss, .r z,i -z

rhol a s,dlnlil6 szabadsdgfoku. gr = 1, a re!e,.j szabadsigfota pedig jt = n- 2

lE, l

Abban u esetben, ha dz MJtr (a ,,bcls6 szonisn€gyzer bec\lesc) fclotive ,,rs)i2,VJX hez (a ..knlsii szorisnegyzer becsles€hez) kapcst, a rcSrcsszntlnsr\cnr ,()s7szul illesTkedik a ponlhalmazhoz, ani a villoz6k kOzdu, liocrr; krNstrt h,tl,,ltl,rural.6s igy t/i elfbgadesal dmaszla all A forditotr cscr a n)rgy,!ii?,',vtih,)/r r\ r/credmd.r6ltoz6 linearis kapcsolalira utal. Ekkor az X ts I !iih('7,,1 ki,z(itlr ||itriir\kapcsolat hiinydt megfogalmr6 nullhipol€zisnek cllcnhrord. .s igy n/ rltefllri\ t,lporazilr (flr-et trnaszja ali.

A bemubl6palde*hoz kapcsol6doan a szdllittisi lri\olsig as ! luvatu4isi idLj kdzdni dsszefiigg6s vizsadlatdbol elk6sziteunk a larianciallalizistiblrLr A felhasznihszamidsi r6szercdm€nyek a aldbbjak:

.1,L( i vJ . I jbr .

. : ,)1, j I r25.

ZU I I r00o

Ezen adatokb6l nlulolluk assze a varimciaanalizis-tAblit ( 9. I 7. ftbhzai).

l88l I8EL1.15 8

2006

A pr6bdflggyint szAnibt A ak:

1 -J!r _ :,,0I5,625

Kritikus ittike 5n -os szir.nil*anciazinr melleni -q10,lr=5,32.A H0 szerinti felt6tclezesr 5%-os szignifikanciaszint melleu elveliik. Mcgnlta

pithato, hoa)' a ,, pamm6tcr 6rt€ke szignif*iDsm kiildnbijzlk nullir6l, lagyis a szdl-lidsi tdvokdg 6s a menedd6 kbziitt szignifikins kapcsolar van.

I85

A szorosiig m6r6se r varilDciarmlizis-tiblr altpjnn

Az eltqesnagyzelek kitzdtli ijssz€fitgg6s alapjitr kiszimiihaljuk a regresszi6 6lal

megmagyardatt (i) elter6s-nr:gyztosszegnek u), tEes elt€res-n6gvzel6see86bcz

1al6 ardDyrt. Ezl a rnutal6sz mot dele.nindci6s egyntrhat6nek neveziik (Jele: '? )

, ssi ssr-sst sst$r ssl ssr

6n6ke sztochdzrikus kapcsola( esei€n 0 €s I kdz€ eshel, €s s?rizalekos fomtban feJez-ziii. ki.

Bronyilis !6lkijl kOzitljuk, hogy a mosl negismert detenninricios egFtthalon6gyzetgytike a lineiris konelrcios egyiitfial6. (Ez a sztmilns a 9 l 2 Ponlban meAismerl szimitiisi k6plet€kel egy njabb leheli'sssel b6vil'.)

9.3.6. A rezidudlis viltoz6 vizsgilata

Eddigi eredm6lyoinlmel felt€t€lezliik, hoSy j6l vahstottuk ki a regess2i6snjggvenyt. ce helyese' specifikiltuk a fiiggveDy tipuset, tovibb, teljesnhek a liDedris regtesszi6 fex€telej. A resrcsszi6szimitis alkalmursa sornn azonban a felr&elckleljesijlesel cllen6rizni is kell. Ez az neynevezed diagndztikri leszt€kkel tdrt€nbcl,aftelyek egyr€szt 6rt€ke1ik a modelll. mAsresa a l*ont kdvelkeztel€sk Mldisig,ilrtmasztjAk alit. A legtdbb regresszi6szrnilhshoz k€viill proglamcsomag urtalmazaezckol a diagnosztikai teszlekel. Az ercdmenyek 6rtekel6se azonbm mindcD €setben a

Ana a k6rdesre, ho$, a regresszi6tuSsyetry j6l irja-e tc a v3l6srgol, a rczidualis

vdltoz6 tapasztalati ert€keinck ( e, ) vizsgAlata ad vfl6,. Ez a \6110.2. M elmeleli e ,velelleD vrltoz6 tapasztalati rnesfeleldje, 6s rend€lk€aie kell amak tulajiloDsigaivalHa ez nem dll fem, akkor ez azl jelenli, hogy a v€letlen mellen !bi6s, eistmatikushates is €rv6nys a rezidnelis eloszlSsban, u 6rt a modell fehlvizsgrlatra szorul.

A rezidu6lis valtoz6 eloszlesai k€tfElekeppen vzssrlhatjuk: a rezilfumok glafi-kus ebrizohsdval,valmi ahipotezisvizsgnhesz.l(itz€iv€1.

E vizsgrlat reszktes benutadsa meghaladja tankdnyviink kerercil A probl6mitcsal( CrafikoDokkal sz€nl6ltetjuk. A hibat€nyez6 sraf'kus nbnijel

^z t msymtz6velb-

26 niggveDy€ben a 9 .1.t. d6ldr rnuiatjuk be.

186 I lJ7

9 ti dbraA hibdtlnlaa; eloshsnnak rizsgtlatd

Az a) eb n a vizlzinles szalag r nagyseSdtol fiiggetlen sz6r6dast jelenr. Arezidualis closzhs v€l€tlen jellegfinek lekinlhet6, ha a portdiaarm a s6von beliil he-lyezkcdik el. A variancia elldd6sdSAnak feltetele teljesiil.

A 6) 6bra sz€byi16 lendenciit mxtat. A vdiancia az r el1€k nov€ked6sevel n6,rehit ellentmond z illaDd6 sz6res felt€lel€Dek. Ez esetben vagy a modell (a niggveny-tipus). vagy a becsldi etenis njragondoldsa sziik6ges. A becslesi nr6dszerek koziilc€fszenfi p€fdiuf a legkisebb n€gyzel€k m6dszere hely€n azigynevezetr silfarott legkisebh

"asy2etek n6ds,efi rel dolgo^i.

A kttvetkez6kben bemulaljlk a sztlitnsi tivobeg €s a szAllilesi id6 vizsa6latakiizijtri dssz€li8€6s EXCEL 5.0 szollveEel val6 megoldesa ulin kapott crcdmdDyldbliiin (9 I 8 t,tbl,inat). vessnk itssze az ercdm€nyeket az eddig kijzailteklel I

IIII

I

T

T

I

TItIII

*. ' !q]qlc.n."1. .o:n

t - i l

t

3:s't-

.q,

i

F i

ss

N

{!a

. t

" :Ea

+.: i z iz

iEEi, i=iT1.t 1t

1

j=28,896-0,\379t.

189

9.3.?. A param6terek robusztus becsl6se

A megismcrt bccsl€si eljirason kiviil meg sok m6s lchct6sag is vrn I szto.hisltikus iisszcfiigg€sek v;sgalatara. Ezek koztl a robuszlus bccslcs m6dsTcrtt cDcl iiil( k IA Ayakorlad szimitrsolnil ugymis mindkel vdltoz6nrl elaifordulhrrrlk isyrcvezcnbAsihihAk. A2 adttok WntatlmsrSa, a hibdl men€kc is iranys cnclcnNzcriicn kihrlmjnd€Dfajta tovribbi statisztikai eanitrs eredneny€r., igy a rcgrcsszi(jlijggvcny prhmCtcreinek bccsiih dtek€nc is.

L6r€aek olyan becsl6si eljerasok, amelyek kev€sb6 6rz6kenyck a2 adalbrzisblnl6v6 m6resi hibika vagy a modellekben rogzitetr fcltttclck tcljestl6sere. lzck az clnrtsok a mbusztus becal6si n6dsz€rek.

Ezel e eljitr 6s l szatlrirhaljuk p6ld6ul az n8)revezelt ny6e Adagot, amelyeraz edaSs?rmilrs ismen szabrlya szeirt hatiirozhatunl m€g azzal a kiilitnbseggel, hogya rangsr szelen ehelyezked6 kiup6an nagy vagy kicsi enekeket, azaz a szcls6segesen€kekct elhasyjuk.

A m6dsz€r a reg€sszios peam€terek b€csbsere is kiterjesztber6. Ebben az esel-ben els6 l6pcsben a leSkisebb neSyzelek modszerevel meghatdroz2uk a paramtterekel,majd kis?amiljuk a rezidumrokat. Ezt kdvet6tu elhagyjuk azokar a mesfisyeleseket,amclyckhcz a leelagyobb es a bgkisebb rezidu@ok tartoznak. Osszesn nd (ahol0<a <0,5) megfiSyel6st baglulk el a rarssor mindkel sz€16n, majd a mesmaradladalok alapjAn lia v6grehajtjuk a bccsl6sr a legkis€bb n6gyzetek n6dszer6vel.

Kdvessiik v6gig a l€inakal @ ahbbi p€lddnlAbb6l indulunk ki. bogy ism.rt u | = 15+ 2t niggveny, mcllycl leirhatd az I

€s z r vehoz6k kozitili determiDiszdkus kapcsolat. A ftegfigyeles sorii! eliras rort6nt,6s rdvedesb6laz rr - 50-etjesy€a€k fel yj=t9 helyen(9.19. ftbltzat).

a latjeszefi adatok tdbt.jzLll

2l

5

172l502529

I325'1

Ebb6l az ait adarpArb6l, mely a teves adatot is tanalmazza. neghadrozzuk a rcgresei6nigsr€Dlt, majd p€dig kiszrmiljuk a marad€krasokat. (A reszletes szamitesokarnen kozijljiik.)

A lin€eris reg€sszi6fij88voyl

Szamilsuk ki a becsl6si hibdlal!

9 20 ldbldzotMr nkadbla a re2idwnak s2nntuitnra

i = 28,896 - 0,13 79r

I2l

J

112l502529

28,824,221.9

t l ,1-?,52\.2

Amak illusztralesdra, hogy cgyetlen hibas adar nekkora ellaras okoz, ncziik

911 abra,1 ntai hiba hatrbo o rearesvirngg\'4t'e

A tolAbbiakban clha$juk u els5 ds a hannadik fte8n$€l€si, men a marad6k-1ae M clsijnal a leekrsebb es a hannadikn a legnagyobb. Ezl kdvet6en a rncgmdadomesfisyel€sek alapj rin (9 2./ tdbltzat) nfabe.sfiji* a rcsrcssziofiissrny pdaDctcrcir.

A negnorddtt adatok iblAzah

A r€sresszi6fussveny: i = l5+2rElhagltuk a ncrdsi hibil bnahn^26 megfigyelesl az adataink kajziil, 6s igy visz-

szakaptuk a dctemilisztikus dsszefiigSc$ leir6 Iiiggv€nyiinket, amelybi'l kiinduhunk.

2l2529

190 l9 l

9.4. NemlineAris regresszi6

A mennyiseSi ism6rvek kdzOtn kapcsolal tdr€nyszerijseSelnek leirdsara 18engyakran n€m alkalmas a linerns figgvany. A kapcsolaldak eg-venessel tO enti kifeje-z6sc uryanis felt€tclczi, hogy az ,Y viltozo egysegnyr viltozisa l-ndl hindiS adotlnasysdgu (ko6tans) vellozrist eredr€nyez. A kijzsudasnsi dsszcfiis86sckndl c telr6rclgyakrd nem tcljesiil. llyen eselekben nemlitenrh modellek alkalmazdsara kcrnl sorA miitii8ya f€lhasznelrs 6s a tem6shozam nagysrga kitzijh pald,ul korelici6s klpcsolal van. A mfliregya-felhaenilas mcmyis6s6nek novekeddseve] csal bizonyos lra-d.is niia r€nn6sbozam e adasobs m6rt€k6161 niggt'en is ell6ri' nagyseggal . Daida hozam csokken€se figyclhct6 ncg. Bizonyos lenndkek egy fdre lut6 fogyaszdsa €saz cgy f6re ju16 Jbved€l€mzinl kdzdtt sem ellapjthatunk rneg egy6ne)nii lineiris 0s7-szefiiggest, ugymis egy adotl jdvedelemszint felelt a lemek fogyas2tiriban lelitetrs6gkijve*€?ik be, es a jijvedclcm tovabbi emelked€s€vel neft, vagy csak nagyon kis

'ntr€kb€n nOvekszik a tem6k fogylszl6sa. A velahli gyakorlalban aikalnazhat6 kOlLsas-fiiggvdyek 6s temel€si filgel6nyek leglobbje is nenlineeris lipusn

Nenline;ris rcetessziojii*"anrt akkor has.nAlrnk, ha az X filtoza ha gldkoro hat66nak nftrttke ligg dz X fihozt, hagls6qnti)1.

A megfelel6 tu88!6n)tipus kiv6laszlrisahoz az erinlett szakterliler alapos isme-rcle sziiks€ges A megfigych minla adatailak - a konibban meglsmen egyszeri es2ka-zdkkel tOrl€ni' elemzesc is sokat scgithcl s megfelel6 niggven)'tipus klv,ilaszrdsiiban

A nemlinedris, vagy miskdppen gijrbevonahi fegresszi6 lahtasdbh tipusoi :

a haNenykiev6s,- u expo.€nci6lis,

a paraboLkus,a hiperbolikus tuggvenyek.

yiel6t ezen fiis8v6niipusok trrsyalesia rAfmenk, id€zzuk fel a iegressldsfi,ggveny parametere meghatarczisi elvit, amit a legkisehb nag,el.k nadsz.tLktntisfteniinl me8. E m6dszer s.gitsdg6vel haterozhaljuk neg adot fiiggv6n)tipuso. bchla ponrhalmuho, lcsjobbm illeszkedaj liiggv€nyt.

A le8kisebb negyzelck m6dsz€rat lenlineens regresszi6ra is alkalftuha!uk.

PrrlbolikDs regresszi6ft ggvinv

Ha e8y parabola tipusu regrcsszi6fiiggveny ado1l. tehar i = n0 +b r+r,r', ak

kor a kitve*ez6 megoidis lehctse8cs.A lcgkiscbb n6gyzetek kii€riuma most is azl ig€nyli, hogy a regresszi6iiiSSvary

pdm€tereir ugy hal6rozzuk meg, hogy a megfigyell r err6kcktck a

IIItIIIIItIIttI

rcgressziofrjggvany mcgfclcl6 6n€keilai1 szrmiton cfterasno8_yzetosszeec nnntnntislcgyen. Tehrl a kcjve*ez6 kifeteze$ kell minimalizilni:

^b,.b, ,b1)=t( \ - i ,J1 =>l t , 4 bt , , -4r : )1

Ila a lii8gvdny ,0. }L. r) szerinti parcirilis denvehjait eglcnl6!€ ressziik nulldval, a2alebbi hotn;lesy.nletekelkapjuk a rcSressz'6s !aramacrck megdllapirrisira:

L nomatesyenler: tr, , =,0, +b,tr, +r.t. : .

rr. hormdlesycnlcr tr,r, =,0tx, +bLIr: +,.tr; ,

I lr . nomalegyenlci: t ' i r , = a,I ' i 1b,t. :+6,:,:

{Az dsszegzes' hatrrokat nost nen inul ki, crtelms4riien i= l,. .., }El5fordulhal, hogy Dem polinonokkal, iraneh m6s, pt. racionelis lnnfiigAve-

nyekkel kijzclitiink. Viligosan ldtszik az rllaliinosirns leheds€gc. MaAasabb foki poli-noftnel hasonloaD Itrhalu.k cl. a para$drerek (csynnha6k) sztna mindig a fokszdft-nAl l-gyelnagyobb. es ugyaraMyi a lirerris nomelegyenletek sztha is

A nom6legycrlelek egyszenisirher6k. ha a veltozokar a lineiris regesszi6Del ra_null n6doD transzforniiljuh. Ha a vrlloz6kat d ,llagukt6t ven etfr€sijltel betyetresitjnk 4 6s 4 vrxoz6kal , akkor >4 6s >dr nulla. Nulla rolirbbij m'nden

F ar ldn hdnany\or i rs/ese. rehrr :d l s: , / - i . . t$ a nomrr(sycnteret er ' . /c-njbbeD mesoldhal6k.

A parabolikus rc€reszi6l a gyakodarba. dlralrban a*&or hdzDalxl. ha a kdrvalroz6 kijzitni itsszelilss6s jeliege bizonyos hadng novch6 (vagy cscikkm6), de ezcnnll megfordul a tcndencia. (A hdtitya-fclhaszndlds p6ld6Dl e8y ado|l szinriB nijveli alcmasndagol, bizonyos haLiror tul pedig alacsonyabb hozamor eredm6nycz.)

A parabolikls rcgresszi6fijggv€ny paramelcreiDek e'letnezase nem otyan k€ztu-1ikv6 A fiiggctlen viltozo hatiset nem rudjuk otyan szcmlele@sen mc8tbgatmazDi. Azr hclyen z ,Y jsm6r€ddk egys68nyi vrltozrsa z y isn6w6nck 26rr + b + 6. ft€ne_Ir i ! ; l ro ld\ar \ ooJd matd uran char tuggdr rot)

A parabolikxs relresszi6t els6sorbaD valmely me8hatdro2o11 r 6rt6lbez unozofijesvcnyen€k kiszrnitesrihoz hasznrljrlk fel. Gyakori, hosy 6ppe! a, kurarjuk_ hosya fiiggveny miiycn I €neknclle! maxinilis.

t92 193

Hatv6nlkitev6is .egresszi6iiiggvany

Az ,Y6s f rnltoz6k kapcsolalrt az r as r meSiigyell arlakci lh iri r/ rlrhh!bccsli'ruggv€nnyel irhaljuk le:

i=bl ' ' 'LogariLaikxs transzformrcr6val nindkcl oldal toganthusit vavc

ahol b; = tosroA hat\nnykile!6s

Iog_i = Iogb! +r, loei

Tem6szelcscn in leh€telezmink kell a viltoz6k 6s ,0 po2niv,r:istir. z cgycnlerbiil le$aro. hogy most az i 6s]| Cfiekek logarihnusai kiizdtt van ljne-

irjs kapcsolat. A parM€terekel ez6r1 a linqiris regresszionill megismcrt lomulik se-gits€g(:vcl balirozhatjuk meg A ktildnbsag csupan annyi, hogy x hclyer ]og

' es !

helycn log, szcrcpcl.

L (t"g " - re'-)(t"e -', - t.g r)

t l"-, ro-l '

rog'o =losr 6rrogr '

Az eredeti Iiiggvany fclir6sehoz a log rr visszakeres€sevel a b0-t is me8 kellbarirozniJelol ju l ( d rran"/ tonni l r \d l ro/okd r d ldbbr modon:

lo-e-r = r''. logr=tr

A regre!szi6ftEsvinyl

i ' -b i ,+bx ,

t(; _i'J(r' t l

fiiSgveh), regresszios egyntthaloja a ngalmass6gi egyiiuhalo

i , , , ,=! t=n, b" ' - i -=u, .

A hdtrith)kneis rtgrcs.ia b) parantt.t. tehdt eldsricnasi truqaltwsi8i1

{{n hdika Artelne.h.t.;. MeEmutalj\, hog, l9i.kal tng,obb x irtikh.z h6ry'ei'kalnoglabb ws ktebb \ irtiktarlo'ik

(Anennyiben a hatviDykrleviis fiiggr'6ny bj paran€ere I rag,v annil laglobb anakcl

vcsz fel. azt mondhaljuk, hogy adot esctbcn u eredftenladltozo rugalmasan rc!8il azt€nyczdv6hoz6 alahlnsiira )

llatlanyknevi's re8.csszi6 eseLen lehAr a ruSalmassig fijggerlen a hardrdnyer6nagysitgdl6l. A liiggvCny minden polliin dllaldo

A kdvetkcz6 p6ldtiban a haN..dnykilcros fij8g!6ny alkalmazls,il mulaluk beGraiikus dbrizolas nljrn dijnlhelnk el az alapadalol itmererebe. a lngg!€t) ripusiirFclrilclczzijk, bogy ez korabbar clk6sznll €s a halrdn]'k'rcr6s liiee\ctr lilszorr alcgjobb tijzeiil€siinek.

l0 ne$1agt (2 fcln6ttbiil as 2 gyerekbiil allo) akli\ lercsos hraanisban me-cfi

eyeh6k az e8y fitre juto halijijvedeleh €s az c8t fdrclulo ha\i ulazrlr e\ s/6rako/r5lkiadtsok nagysigiit. Az alapadalokat €s a sznksigcs rdszsdmndlok eredm€ntert d9.22 tdblu.dt tatr^lmazza (A kdnr)"ebb dnekinlrcl6sa-q kcdre6n ncm irjuk ki \alamemyi rendelkczdsrc Sllo adaror es reszeredmeny )

I 2) tnbltzulIt un k a 1 d b ! o o ho t,n nr k it e'i;\ t. Ercsstn fi Aqiht neah ahrc.a sa ho:

rl!)l ,, cry lirc iulo trilcdelenr (E Fr).I cry ftrc iur6 urazdsi 6s s,orakozisi kiadis (E F,

, ..5be: , = l l$4= 2.1so.0.46l2

lgr=l ,l; ,t:d.

lril

r8

li;

.;

1.255

' :*

| 219

0.602

o.io:

0,009'ii' 0,011

".] '

0.033

0.00029?n':i"'0.000061"":l*0 00r 100

11.39,1 t 0n8: l 0.4611

It)n

i = b; +b: r

195

lnrn ' -s4- : loo t - *4

l . l ' rbrr A0 Lr '07.

tttII

A b paramatcr a^jelenti, ho8-v amclyik hitaniisban l%-kalmaSasabb az lf6

re jut6 jd\edelem, oti ,ilagosan 2.186% kal tdbb E utazasi es s26rakozdsi k'adis dsz

szcge. Tchet az ute6si es szorakoTasi kiadds nagysdSa rugalmasan reagrl aidvedeleh

Exporcnciiitis regresszi6ft ggv6nI

Becs16figgv6n)ihk r 6s -! mcgfigycll inekei alapidn a kdvctkczo:

i=b" b,

Az exponencirlis fiiggv6n) olyan eserben keriil alkalnaiAsra. amikor a2 I istnaN niircked€se aran)os az adofi helr_en felvet enikcv.ll

L=u, rnu' . bi =i lnr j

ttIIIII

A b t.gr..\\.ii: patunater arra ad ilut.l hosr d liry,ezdviltota eqlllgari

hd\ekt.lae hnnts.o ^arc

\Aho:tola az.ft.l"t.ht ilto.o irtakat.

Linetris alakra transzlbmilvr:

i(r+rr) ,o Di""' - /,."

_iG) 0,, bi

loci = losb! +Jlosb

Ar expooenciil; fiiggy€nyekre t a jelleMii, hog,v linciris olszetug8€s lan a liigSovnlrozo logaritrnusa es az r viilroz6 kdzdtl.

Jeldljiil a t.anszfomall veltoz6kat is aparam6tereket a ktjvelkez6 nrodoD:

log.l = Y'. loero = r; , log} = 6i

A regresszi6s nodell a bevezctctt jel0lasel*ei:

I

II

Ni2^ik a lajv$kcz6 pilddtlMalyaro6zis rdninclmi bon'jddken \izsgilrik a rolraji aszn alcrkora (6r) ts cx-

pon cladasi ira (dollir) kdzittti ijsszelii8eist. 28 laletlensTenien ki\.dlas2rou pltackrncgligyelr adarair a qrJ. rrbld2at ranalmazza:

9 23. bbtd,al,41okai alzn iletkora as aladAsi nra kt;itt tj.szeliigai\

A bevaeletl j eldlcsk verint a paranererck loSarithusait e aldbbi nomflegyentetckkelbecslljnk:

>r '=,6;+r;>: .I , , - '=ai I ,+ai) , '

I2l45

252220l9t'l

2t00l l25800700550

6.6320

460

220110100

t0l099

1258919

596.'1.

9.

555t

l9l4

212223)425 5

3925l8't48

26.2728.

I

197

=t8'

25 .2 r00 l . :12:2 t92. 22 |]25 1.1222r6

21. l l t .0.1r391 4.t6551,8. 9 0.954241

294 ?616 54.4065r 4024

9 2t tdbtizalMun kata b l. o I evo n e nciA t i \ resr? \ t z iolngg \ ii r,t. sh d d n:i \t h, :

(A k0nnyebb ifickinthet6s;g kcdr6€.1 ilt sem kozliid( minden r€szercdnenyt.)

54A0651=2E. b; +bi 294

6'7 4.4496 = 294. h; + b't. 4024

, i=0,11012

'! = 0'786829

A regressziofils8ven)ark lincdrn ahkba!:

l8 i= 0,786829+0,1 l0l2 r

A paramelerek logaritmusainak visszakerescr anekei:

n: = 0,1r 0 r2 J, , = l0orroi : = i .2ss7.

b; - 0,786829J,0 = l0r ' !6, , ! =6, i .

igy az nsszcfilgg€s exponcncidlis regrcsszionjggvalyc

t 6. t .1788 .

Az dedmanyck alaplrn ncsdllalitharjuk. hogy az I €wet id6sebb bo.ok exponelad6si eraellagosanz8_9%-kal magasabb.

9.5. Gyakorl6feladatok

t . Egy utazrsi irod! lrogramfirereb6l ldledenszeriien\ ,z.sd!ui , ural ,dorandmd f l ' ] ( . ra.^erel i d i id

(E F'

3

5'1

89

12

l9)425l6t3i5

B c D E5 2 8

5 82 l 7 6

Vizsgdljuk fteg.lro8y mernyirc valnak ..ijsszhangban" abirdlari eredft€nyek!

a kovaridciril,a linea;s koreliici6s egFlthatfil

l./ Csoponositsuk az adatokat az ulaz6s id6lanama szerinrl Szamitsuk ki . korcltclos hrnyadosli

2. tsgypilytatra benynjlon 8 uiver l bir6lo velenr6Dyeze( t altbb, rdgsorohssal:

ki\'rlasztotlunl l0 tirsasulat.(l) kdzo$ kapcsolalor A l0

198

3. l0 orszigor ranSsorollak.z alebbi szempontok szerint

4.

S26milsuk ki a rangkonelici6s eeyiinhar6l es ertelftezznk a kapoti credmenyl

Egy kereskedeldi c€B telm6rasi vigzcn iigyDdki beosztasi! muni(atrrsai kor€ben,hogy egy h6nap alan h6nyszo! sik€riih meetrtjhii az nzletet. 5 iig}rr0kl6l a kijvelke'

tI

IIITIt

IIIIIII

200 ,100 300 150 250l0 70 55 20 '15

z, Szamilsuk ki a linerris regresszi6fiiggv€ny paramalercn, as

6/ Szenilsuk ki a regresszl6tuggv€n)' €rtakeil. as clle!6rizziik afugges telj€snlesal

.r) Szdmirsuk ki a regesszi6s becd€s abszol'lt €s relativ hibdjdtl

Ir= Ii o'-"-

,/./ Allitsukiissze a varianciaanalizis-dbldt €s teszreljiik a rcsrcsszior (d = 5%)le, Szamirsuk kia detemihAcibs e8ynnhatotl

/) Adlunk becsl6st cgy 500 ajanlalot tev6 ligynok eladasarnak varhat6 sznrnira I

s./ Cscr;ljiik fel a vahoz6kar, €s szamitsuk ki az ; resfcssziofissvany param6te-

reirl Ertelmcziik a ,Lr, r paramerenl

BcD

Fc

IJ

23

5

'I8

l

529

t0

8

5. Mutassuk ki a lrinasulak iddlanarna es r€szveieli dija kijzbni itsszchSSen (l- Ll-adat) IineAris regresszi6niggvennyell

a/ Szamitsuk ki a param€tereket, lalamint a regre$zidlal bccsnll irlckckct, es hasonlitsuk dsszc a mesfisyeh 6nekeklel!

,.) Teszteljuk a p taranAen 5%-os szignifikanciAzi.len r-probdvall

., Jeldlji.ik ki a ,L paramClcr 95% os megbizharosi8' szinni kontidcnciainrer

d, Vi?sgriljuk:t lussldny rugalmassrgdl az r=10 helyenl

Ig) \ ; ,o. l0 reler lens/e^ien ki \d lc5/ron i le lemver- i ruh;nndl eni l ,csn6s' lorsalom- es keszleradalai 1996-ban:

(M Fl) (M FO56,9

I t7,5

60,1

'12,685,913.6

1,57,53,9

3,6

3,95,1

5.2

N€hAry szimitasi eredm€ny:

)r= za3,e,

\r) = 236.43,

>r=47,1.

I t )= 3698,97,

>r '=58062,75,

20 - il' = o.san .

al Szemitsuk ki a ]inedris regresszi6liiggvery panm6lereil, cs noDdjul n€8 a ree,resszios egyiitthato j€lentds6i I

,, Szemituk ki a linerns korchci6s 6s a deteminaci6s eeFtihat6ra ko!ariancitb6l k'indulva,

- a regresszi6fiiss\6ny DL pa.am6terenek felhaszntlastvall

., Elleniirizznk 5% os szisrifikanciaszmte. a ,, paramaenl

d, leloljtk ki a P) panmttet konfidenciaimenallumrl 95%-os mesbizhat6srsi

20i)

7.

E.

[By I'k6riparj vdllalamal vizsgdltiik. hogv a palackozo gepsor orinkarri relic\innaryc as a sclcjtcs ldltds kijzdtlmilyen kapcsolat van A megflgych l5 nap rdrni

1118t9202l

9.0t.08,99,19.3

2221

2526

9,29,1

t 0.410.4

212829t0l1

td, lt8,225,018.15?.0

360 249.2

Az bsszetugg€st exponenciilis rcgresznivai lej^a. a kiircrkczij crc(ln).o\t krliltlL

- i= 0,9235 I ,108'

u, Eaelmezziik a rcgressz,6tuBgveny paramircren1,, Szrnitsuk ki a sclettsrin regressziolal bccsnlt 6rtike,r. a\ arttrtjt\rt ,r), ., ,,, I

rad€k-neglzet0sszegcllt Adibk becsl€sl a sclcjtcs palackokra, hatvinykitcv6s osT.liigge\l rrtk:rclu\.1d./ Don$iik el, hogy mclyik tipusri niggveny ila le lobban d kal isr)rirv krtr:,1,,1

19 orszag adalar alapjan lizsgiltek az I lalosra ju16 cDP (US,\ dolL,n). \ f\ ,/l000lakosrajur6 szen€lygepkocsik szima (db). y isrdRek k6zb[1 (is\7c t],rx\ (Szamilesi eredm6ny€k:Linearis regresszi6Iiissvenyr i = 83,4 + 0,0935. r.

A megf igyeh val tozok szorasai : 01,) =1149 douei . 01,r=120,5 dol l tn

t lsl = 67.5700 , t(r8/)r = t07,5s12 . I lgr=.1+.t. lol .

tdsr rsr )= 160,0585, I( ls ') '= 2a0,8056

201

d) Milyco szoros a l€pcsolat a k6l ism6N kdziitt?,, Hany % ban jetszik neshaldroz6 srcrcpcl az x ism€n' az v jsm6n' s,.6rodasri-

..) irjuk fcl a halrryhrevits resrcsszio nomAlesyeDleteit, es samilsuk ki a para-

/) Enehziik nindl€t regresszi6fiiggvay ,j pdam6ter6tl

") Adjxlk bccslest esy olyan orszagra. amelynck u I lakosra juto GDP-mutnr6ja7200 dollrr!

Egy elelniszer-rrubrzbar v€ledMnfien kivekzlonal l0 vcviit- 6s mcgkerdczicl6ket, hogy naponta biny perc€t litllenek vitsdrlassal (x), pcrcbcn cs mcmytl kdllcnek fdagosan napo.la €lelmiszene (, Frbd.

Az elv€Ezett szimitasokb6l u alrbbiak isnerelesetA vdstulds.a forditod ttlaaos idij 2l pcrc, az illagos kjadrs pedig 5420 FtLineins rcgrcsszi6val becsiilve negrillapilotltk, bogy & a ve!.j, aki I percceltdbb id6t ritlldt u iiruhliban, ,tlagosan 240 Fr-ral kdlldt rdbberA r€gresszi6fiiggv6uyel becsiill 6rl6kek 6s a l€nyleges vasarlas' dssze8ek ellereseinek n€glzelosszeg€: l12 878.

- A k6{ ish6r kap.solal6nak szorossrigrit vizsg6lva mc8allapitonik, hog}_ a rdsnrl6si idi' 46,4%'os men€kbe! jalszik mcghatitroz6 szcrcpct a napi irlaSos !ds&lisi kiadrsbm.

a.) irluk fel szrmszerfid a linedris regrBszi6fiiggv6n)ll,l Szemitsul k' a re8resszi6s bccsl6s abszoltl ts rclativ hibijiitl.J Allapilsuk meg,logy nilyen szoros €s milyen iranf a kapcsolat a kel isma^'

kdzdttl

A kordbbi fejezetbeD a koneleci6s osszefiig8€st kel mennyisegj ismerv kozott6rtelmeztiik. A drsadalmi-gazdasegi elel jelensegei uonbm sokkal dsszereftbbek,bonyoluxabbak amil, niDt amit k6t tenyez6 osszefiiaa€se kifejez. Egy-egy .jelensesvallozisa Aftalaban tobb tmyez6 vnlbz:lnval van itssz€fii88€sbcn.

A lyakorlatbs 6ltalaban n€m lchetstges ogy€tlen magyet6willoz6 scgitscanvel leimi a rizsS6lt lclens6g alakuldset. A k6tvtltozos kapcsolat vizsgrlatinil z h!hato lenyez5k kitz csak egyet. X'et vdldzlottuk ki fclt6tclc e, hoay emek halisaielends A berb6l 6s fizcresb6l 6ldk havi bruh6 ttlaskerdota jclent6sc! bcfolyasoljap€ldad iskolai v6gzcttscgnk foka, dc ezn kiviil egy6b t6Dyez5k, pl. beosztrs, gyakor-lar, id6 srb. is alakilj6k. A lakasok ehdasi nra 6s a lakesok m€r€te kitzotti kap.solaleleru6stocl szimszeriisithe{ii} pl. a laknsok el€lkorena} hadsit is. A gazdaegi 6rsa-sigok gadilkodrsinak rtu1a16il vjzsgeNa is afta a kovetkeztet6sre jutunk. hogy azcrcdm€ny alakulesit robb lenyez6 befolyasolja. ilyenek peldrul a nel1o ,rbev6lel, ahat6konysigor kifeje26 vagyo.trriny mulalEa slb. Az eredm€nrnlbz6ra ha16 €nye'75k kij.enek kib6vitesavcl ldbbsz6rds vagy titbbv:iltoz6s sztochrsztikus kapcsolrl-

10. T6BBVALToZ6S KORRELACT6-ts nrcnssszrdszAuirAs

10.1. A lineiris regresszii6fiiggv6ny meghatirozisa

A t.ibhvAlbzns regraszrianalizit s.gitstgltel liibb isnlrr etednanrvAhozoftglokarch hobs ri2sgttljuk A k^t.solar u hnlrrek szjdd szetiht h .om-. nEEy-, or-stb \Altoz6s.

^figraN tip^, Jzcfinl Fdig line6Jis es nemlinerris kapcsolat lehet.

A titbblrlloz6s lin€,iris reg.esszi6s modetlt a kijvclkcz6kdppcn irhatjuk fcl:

Y = Po+ PIt+ P,x1+.. .+ P^x ̂+ c .

A towibbiakban csak a htuonveltoz6s linerris kapcsolattal fogiallozuirk, de azilr elmondorEk akdrbnny vdltoz6ra rlblenosilhar6l

I

IIIIT

I

IIIII

tI

10.1.1. A h{romv6ltoz6s line6ris regresszi6liiggvdny

Az e1626 fejezetben tdrgyall k€tvnltozos kapcsolalhoz basonl6an cbben az eser-ben is

^z a cel, hogy a memyisagi ism6Rck kijzdfti ijseefii88€sek lendencirjil ca),

t - IG,, x) fisgvemyel leirjul Ekior lEnyes€ben az clrn6leri reS.esszi6tugevinykijzeliljiik anititikus fiissv6mycl a mcsfisyelt minra alapjin.

Tegyiik fel, |ogy a sokasig N cgycdb6l 6ll, 6s u egyedek jsrneNen6kcit a kit-ve&eza' vektorok tetalmazAk:

Y'- ly, r : . y, I .

xi =[x, , x. , . . ,y" ] .

x: =1r,, r.. r..1.Ez utjeienli, hogy az redik egycd I ismiRcn6lc y,, Xr isn€dantke X,, as

{, ismiNeftke X,, A.6 ' (x,1.X,2,y,) pont la ihoz z y=AIt+f tx +t i -X-egyenlclrisikoi

'llesziheljiik a legkjsebb nigyzerek modszcrivcl. Ekkor al

E(p,,p,,p)=iv, -f "- F,x,, F,x,.)'

heroDvrhozos fiiagvdny mininumnr kell korcsDi Szah6an6k oll leher, ahol a parciAtisderivdllak nullrk.

? LUr, p"E t - 2 i ,y .B^ B r . , rJ,x. . , I t t -0.| 11,, -a ' '" '

a E9t.bt ,p, \ _1+,v a a w; IJ

- )Lt t lJ U x , - ' \ " ) ( r ' ' )=0

d sr l r" ,p.p. ' _.+," " " ",p -2Ltt t t \ pA. pX.t t -X

' -0

Ebb61 a kiivetkcz6, [n. nonnilegyenlel-rcndszcn kapjxk:

NP., + P,tx,, + tt 1> x,, = >Y,,p">x, + p tx:,+p,txrx, =>y,x,,ptr>xi + rtt>x,jxi+ p,2r:.=2v,x,,.

Ez az cgyedeliendszer az ismirvdrt€keket tartalmaz6 vekrorok seSits€geveltelirhar6 (l d nr. dsszegzt'veltor, DindcD komponense l):

201

,oI ' l+P, l 'X, +P.1'X, = l 'Y,

Pn(xt+ p (x'J{ +p.X:X. = XiY,/ol 'x, +P l 'x1x: +p,xix, =x:Y

Lcgyen

x=[r x,

Ekkor az egy€Dletendszer

x'xp = x'YAnmnyibe. r X'X 3x3 -as mdtrixnak l6tezik az inverze, akkor

p = (x'x) 'x'Y.Ezr len6 regressziinok is szokas lcvcai.

Ha a sokasea nem veges vagy Dem ismcn, al&or mlnta segitsdgavel bccsnlheljiika regr€sszi6s fii8gr'oy egFllhat6it. A legrllalinosabb eserben a viletlcnszcriien kivi-lasztott cSycd€k mi.dherom ismen'ert€ke lal6szinrisigi vdlloz6. cyakan lordul eli' azu csci, hoSy csupin az eredm€nlaahoz6 figg a v6lctlent6l. a magyariovAlhz6katpoDtosar ismcrjij-k. Peldaul emlithetjiik a kdvctkcz6 kiserlelel. Kiilijnbijz6 parcellekonmns mds mritr6gya' as Onloz6viz-memyiseg mcllclt merjiik a relmds6tlagor. Kivencsi-ak vagpnk ada. ho$ a miitnigya 6s u ijrtdziiliz mennyisege hogyan befolyrsolja arerm€sdllagor Irt a magyarAz6viltoz6k 6n€k€1 ponlosa. ismerjrik. dc az eredmanyvlltoz6 €n€k6r has veletlenjelens6gck is bcfolyrsolhaiiik, igy az vrl6szinihigi vilroza).

A kdve*ez6kben €z?€l az esettcl foglalkozunk, vagyis onikat d. y rttdni"\vAhozb irlike wl6sziniisdgi edltaz.t. de a nagaftz6rihazik inlkci lend.L: (tstlndrrd liDenris regrcsszi6nak reveu tk. Teglik fel. hogy , clcnrii nlntlt v$/n,,1.r eaye. m'nrdelemet ,Y. i l lcrvc x Fmenineke

IIr:=L',, r. , . r,r l . i l rene ' i=l ' , , ' , , ' , , ,1

A mcsfclcl6 I ism6r6rt€kel (val6sziniis6gi \6ltoz6k):

, r _ li l = l? ' 4: t t , t

Ekkor 4,=80+p,x, +prr, .+r, ( t=1.. . . , ") , vagy ani usyanaz vekrorok sesi l5c-

i'l ,, ,=lillt- | l/,-l

..,[l

r l=y 'p+€,

245

ahorF'=[8" p, a, ] . " '= l ' , " , " .1 *

Itt nyilvrnval6b az ,,-k (i= l,..., ,) is val6szinrflle8i vrltozok, amelyekd rezL

duunokMl neveziiDk. A F €${tthat6vektod itt is azon felietcl ha!6ror"a me8, hogy

'(t,' -+l'tn - *ol) ='G,.) = "[i":)

varhalo 6d€k minimAlis legyen.A leiro regresszi6D6l alkalnazott m6dszml u otlanival aral6g eredn€ny ka-

A F becsli'er16ke vonalkozo nomnlegyenlet:

x,)(p=x1.

lla x'X inverze lAezik, a}*or a li becsli'nieevenyc

l i - (x,x) x, t .

wr" , i=p"+f,x,+p,x, .Itt jcgyezziik m€g, hogy alboz, hogy z X mrtdx oszlopai fiiggedenek legyenek

(ez az (X'x) jnverz lebz6senek sziiks6ges felGlele). eledaedh€rc en, hogy x-nek

lesaEbb amyi sora legyen. mill oszlopa, vagyis a minta elemeinek sztma nagyobb lcgyen, minl a roaresvi6s eglutthatok szdma.

Anerlnyib.D ea! konbit mitutr6l rn sz6, aklor 4,=y, ('=L ..,n), es a

nomAlegyenletek a kajvetkez6 alahiak:

)r, = rl. + r,)r,, +r'1r.,,

) ' ,,r. =r"I ', +b,>ri +r,tt, ir,:,

tr,,r, = b.t',, + r,tr,,',, + b,>':,.A nomalegyenlctek mesoldii6eval z (r,, , t,, , ), ) ( i = l, ..., n ) ponirendszerhe les-jobban illeszked6 sik parameiercir kapjuk.

A vr11oz6k ranszfomilasdval viszotrylas eslszerf mesold.ili lehet6seg adodik.

206

f l o '" l.=l i ' i ' i , lLr r,, r,, l

V%snnk be nj vilroz6kar:

J,, hely€tt x -it= d, ,r , : helyen xa- i ,=di .

/ , h€lyet t t , -Y=d,.

A zerussal €gie 6 itsszegek €lhagyesa utatr a rormrteSyerletek ,,maradvd-tryaib6l" a pmAerek - regresvi6s egyiitrharok - kdmyen m€ghatArozhatok.A nnsodik 6s hmadik normnlegycnletre

>d,d, = b,td: + b,td,d,,,

Zd,d, = b,Zd,d,. + b.>d:.

ad6dik. Ebb6l lrj 6s 6: meghalrrorhat6.

A ,o paramdte. kisz,mirisi n6dja pedig a ketvrltoz6s kapcsotathoz hasonl6an azelsd €gy€nl€tt6l:

Do-| ' , r

-6- i

HArom6l lobb vrltozo cst6bm j61 hasaehalo, prakdkus egysz€riisit6yc nincs lehel6sg. Megfel€16 szimftestechnikai appdirus felhaszDritdsaval uonban a megoldnsDrhialaerrri miivelelelkel lehers€ges

III

It

I

| . : , , . I , I fa. I I r . r lx lx . I fb^l : , , , L ' j t , . , l lo; I lx ; r x.x xJx' i r : xrul : ' , : , . , , . . I , ; l la,L lx ' r x:x x ix I lb:

IIIIIIIII

| , t ' , ' > ' , ,1x](=1t, , t r l t r . , .

L:',, :',',, t':

Az X'y = x xb egy€nletbitl a r€gresszi6niggv6ny laramelereinek becsiesc aahbbii

b - (x'x)-'x'y.

Az egyiinhal6marix el€mei:

20'7

Az X') veklor elemej Fdig:

t0 | tdbldzal,,1 sttl si i.l6 vzsenbbra wnatko'aadatak

l0l l8

20)13522404550

2l0I920

2t)25l0

5)5516

t0214 150 6A

I t r , Ix'v=1I., ,r , l

Ll',,-",1Szimilislechnikai szcmponlbol d iNerz matrix l6lezese lehet kcls6Scs A 8ya-

korlali reglcsszi6szimjtesi feladalok.al azonba, dlialdban leljesnl a2 a fcll6lcl- hogy ahorhaleg)enLetek figgetlen cg).nklreNlszert alkothak. Ilzan az egliillbal6m6rrix nemszDAuldris, 6s igy inlerrdlharo.

Veeczziik ela szanilisokal egy gyakorlati peldrn !A k€tlr1toz6s modellben szerepl6 v6hozokar kibaivitvc lA nedisr"l.sbt;l \izs

Setuk me8 a szdlliiis id6tartaha (l), a szillilasi trlolsAg (x,) ds a szdllitas' l6mcg

( ') ) kdzolii iisszcfiiggisr| l.Lz adarok a 10 L ibbathon tal lhar6k ) A rcgessziis

sik parmete.eit hatirozzuk mcg a traDszformell veltoz6k alapjan es matrixalecbrai

208 209

A paronat.t.k neghaituznsa a transzfomAh hhoz6l alapl/, A sznkscgcs s7,imtr'sok^t

^ 1 0.2. tdbbzdl tadalnazza.

l0 2. 6blnzatSzAnihek a tanszJothnh vnltozak ulumdr

t0t3

2021l522404550

2t0

20l6l025l0

5255

9l0

t1

7

5l ll823

1l. t l

5

5I5

l0l5

2

II

0

l

t2l12)16925

25

25100225

I

I

I9

22l l525

5

5l0

I lr7154217:15

565

r80345

08

l3

92

r9616l4t0

25169324529

210 150 60 0 828 50 186 1248 298 2006

t -27. i t=15. i . -6

A m,isodik 6s a harmadik nomdlegyeDlel ,$aradvdDya :

1248=82811+186.: ,

298=1866 +50bi .

Megoldes a regresszios egyijlthatoka:

' ' = 1025'

' r = 2 148

Az ela'bbiek f€lhaaehsdval:

b, t b i -h 'bn=27-1,025 15 2.148.6= 1.261.

A htuomvrhozos resresszidtuggveny bccslcse:

i= t,263 + t.025'1+ 2,148x,

2. A parartitetek nAiixola?hrai miteletektel tdtt646 tueghaftrcriso:

f l l l I l l l l l l lx 'x=i4 4 2 r0 19 20 16 20 25 301.

14525576' , l9t0)

I tzt3t57=l oos:zrz

L-ql2oll

[ r l I l r l r Ix'y=l+ t z r0 19 20 16 20

14s25s167

,33..].4lo I*il '-il i.l

TIil i#*rfil

I30l0

15030?81086

(x'x) 'o,o53t920,007349- 0,02734

- o.l2ol llo.ozB4 | ,

o,tztre: I

259

J t ,2l l75? 0,051?02 - 0, t20| | l | 2z0l I I .25e26]I lo.osrro: o,oo ls -o,o:ztql lJ2o8l-l lo2aosl l.

L-0.120t | -0.027J4 0.r2r6e3l l lo l8 l 12.r48r48jA btromvilro/6s linein! r egresvi6friggveny becsle*:

i = -1,25926+ 1,02469tt1+ 2,r48144x2.

(A 10.2. tdbld2at il''pjin szAmirott param€terekl6l val6 mhimilis eh6rest z adatoklrnlihbitz6 portossnsa, aze a k€rekit6s okoz?-a.)

A regresszi6fiiggv6nJ parim6tereinek 6rtelmczase

Be$liifiiggv€nynnk az eddig elmoDdottak alapj6n a kitvetkez6 voll:

, = i, * p,x, ' i,x,.

2lo

IEl6szaJ' o konbAt nintunb6l kapon regresszi6s eglunbal6k ( , 6s ,, ) €nebezd-

sev€l foglalkozunk. Ha r, 6n6k6l e8y eSys6ggel niiv€ljiik mikaizbeD x? €n€ket vrl-

loztldul hagyjuk -, akkor az eredn€n) r'ilbz6 (I) b€csnh 6neke 0r) €ppen , €sy

segscl vtllozik. (A vnlbzis nitveked6s vasy csitkkcn6s leher ,, eli'jele(jl fiigg5e!.)

Az r, tinyezi:r'lro^ egysegnyi ndvelesev€l p€dis - rj anekenek valbzatlanul ha-

gnie mcllen - Dr az er€drnenyviiltoz6 b€csnli 6n6k6bo bekdvetkez6 hat6s.A rcgrBszi6s egyiitrhat6 tehil kifejei,hogy egt adou t arezi'vAltuz6 eg)sighti

a6'ek d8e nek*ora ntuekcddt (vas .sdk*en6t) okoz az eretlnAryAhoz6 basnuA Akibet, nikatzbet a ntuik titwSfiL@6 i Ake fihozothh.

A regr€sszi6s e8yiitdBl6k t€hal egy-egy lenyez6vilroz6 ftszleges hatasAt m\\rat-jtk, ez6n ezeker prrciilis regr6lzi6s €gynttha!6knak n€veziik.

Szokisos a mutat6 parci6tis jollcSel a J€liil6be is erzekeltelni. P€ldiiul ,, igy is

irhal6: 6,rr, ami arrd utal, hogy az eredmdlailtoz6bm csak ir harisa mutarkozik

P6ldnnkal kapcsolatbar a kitvetkez6kel illapitratjuk n€s. Amemiben a sznl-lildsi dvols.tg I km-rel hosszabb, a meD€tid6 itlaaosu 1,025 perccel hosszabb, azonosszillit6si titneS mellen ( 4 = 1,025 ). A szellbtt rirneg hat6sa p€dig abban nyilv,inulmeg, hogy mnos szillilisi lrivokeB mellen 2,148 perccel hosszabb ntlagosan a me-ne1id6, ha I lomaval nagyobb lom€gel l€ll elsztrliitad ( 6r = 2,148 ). A ,0 a konstans,

az tt t, O helyen ven ftgg\tnymek. ha on enelnezve van Erlelme/esc peld;nk-ban logikailag nem irdokolt.

A pdcinlis r€gresei6s egynttbai6hoz hasonl6an parcillis rugrlmrsngi egyiitthat6 is crtcfmczhct6. Ez a mural6 .'ra ad vabszl, hogy eg! adou knyez'ealtazi egy-sAqnyi rebny vdhoz,isa nilye" rclotiv ttjltoztist ere.lntirez az ]) ban a nAsik ttjltozifi hozana, szi,wala nel letl.

AlralrDos keplet€:

F =d! t

_ i , . . , / r u

ahol r, a-l€dik td'@6vnltoz6. (Hsromvnlbzos €selben j = l, 2.)Resresszi6fi issvenyiiDk€ alkalrnaa:

^ br\ ' ' ' - bnb,, t b\

Mi hthat6, a preiilis rugalrnassrgi egyiitthal6 ugysrga alr6l fugg. bogy azr a te-nyezdvalrozok milyen szitrvoDala mellen vimirjul

IIIIItTtIItII

2tI

VizsgtljLrk el6sz0l az rtl,gdr r:i,r€, a rugalDassiisor a paldibanl

, - l< , - 6

\t lz.tinti tusulndssAslb = 1.025 ):

1,025 t5

- 1,259+ 1.025 l5+2.148 6

bz azl jcleDli, hogy illaBos 1r!ohd8 as itlagos szillilando idne-Qszrllilrsinr- Dilveked€s 0.57%-os tuenelid6 rdrckedtn eredm€nve2

x. tzcinti rugalnattng lb. =2,148):

2.148.6 =lt t71- 1.259+ 1.025.15+ 2.148 6 27.004

1,025 25 = 0.559- 1,259+ 1,025 25+2,148 l0

r1 szennli ru8aln6snq:

Et; ' t2,148 l0 = 0.469

- 1.259+ 1,025 25+2,148. l0 45346

A turdontaDb dtlagos rdmcg I % os nijvelise vallozall szilljtisr lrivobAg melletladasosnn 0,48% kalndlcli a szelliLisi id61

Szimjlsuk most ki a parcidlis rugalmassagot u r, = 25, r:=10 belyeken!

t s;erihti tuga1nd\si;g:

21.004

t2,888

25,625:15,846

21.48

Ez ut6bbiakjclen6se:

A szrllilds' ralobng 25 knj6l rdrt6n6 l% os ndlel6se ldllozarlan suiillirnsi rd'meg mellen dllagosan 0,559%'kal ndveli a mcrctid6l.A sdllilon lorneg l0 tomrrol va16 l%-os ndvelasc pcdig - \illozadan tivolsrgcscrin atlagosan 0.469%-kal ,Oveli a sznllitts idcj6t.

Felhivluk a figyelmcr am, hogy ljnedris esetben a rugrlmassAs minake a viz!gdlr helylail i! tugg. Az 6nelTcz€s mjnden eselben a rbgzilett hel,! k6myczclarc 6na

A param€tcrek enebez€s€vel kapcsolalban fcl kcll hivnuDk i figyelmel az [nmultikollinearit6s !esz61y€re. Altaldban ajclcnsagck sololdah Osszefiigg6sei mjarr

2t?

a l€nyez6fi1loz6k kdzdtt sztochastlkls kalcsolat mulatkozik MullikolIne utlslnl,Devczziik a tanye?6vdltoz6k kilzijlli linciris kapcsolaror Ha a rinvcrijltllro/(lt karrllinenns kapcsolar !an, vagyis az X ndtix valamelv oszlopr iilirh0ri r rahh! li,,ei,bkombjnrtcidjival. alkor X'X inverzc ncm l6rezik E/ komoly t(ntaD,ikrr ,,L(i/hrlEgytnelmii lhedris tu8g6se8re dlhleban nem sziimithatunk 0 laslcllen v,ilro/rI tl,zat. dc a saochxszlikus dsszcfiigg€s is zalarta a7 eredmtnyek trtchne/astr rs hlzonyalami leszi a bccslist

A rcgresszios modell vdltozoi kdzdlti dsszefiiSeesck elemrisahcz 0 lcetabb i,,iormiciol a rcgcsszios fiiggveny is param€rerei ielenrik

A rcgressrios egliirthat6k kozOu kimutalhalo ijsszefiiggiscket s2ehlellerr hl'-romvnltoz6s esetrc a 10.1 drrd.

;t

114, l lili;,1

'----.

1tr

lt) I abru) resrc$znis egJnrhotbk kaitttu .;ltlli.sasek

A ./0.1 .irldtr a nynak idnv:iban haladva yizsSilhatjrk a ttntezitviiltoz6k barisit az cledmcnladhoz6ra. A td_re2iiv,il1oz6t 6s az crcdm6nlaihozir kilTrellctriil dszszckdt6 nyil a maeyedzov6lloz6 kazvetlen harisdr fcjczi k1, sziitr,s/c.ii inakar areeresszioliiggvenybe! e adon magyardz6viihoT6 eeyiilthatajr mur.rtr l,r r srriilr\,ibiil

'itdiagrrmnak is szokis lcvezni.

A hrronvalloz6s nodellbcn a hagyara26velbT{ik nemcsrk 11 .r({l,,,a,,rv,ilr,,26ral, banem eglmessal is kapcsolarban lehetnek. Ezen egy-cg) ntgy ,ilrilrlr,vohattsa az eredn6lFaltoz6ra kcl r6szb6l a direh halesbol is az i|direkl l,t ti\htil.mes vrhozokon keresdnl be$liriiz6 hatasbol ter6dik iissze.

igy peldrul az -Y, viltoz6 rja gyaloroll balrsa a kdlelkczaik6ppcr ir|rl(l 1rl

a=4,';;: .P',1;f;'

A tcljes (todlis) ha6s e ker hatis egyntiese.Az dsszefiigg€sb6l a t€.yez6viiltozok kijzdtti kapcsolatra is kijverkezrelhetnnk.

Minal er.tsebb d naga ,i)fihozak kdzbtti kopc-tala| anhdl ndgrabb t filturnk knzwlei hatdsAkaka ntu

2l l

A direkl6s az indirekt haiis kimutatisihoz neg kcll halircai a k6tviltoz6s line-,ris regresszi6liigsvenyeket is.

Mutassuk b€ a viltoz6ft kOzot! dnek €s indirekt haitst p el6z6 oCld^ ad^t^ialapj tDl K6sltiiik el az ftdi

^$amor ist (] 0.2. ttbro.,

t.025

2-t1s

10.2. nbro0augmn

A vakoz6kat pdrorkenl vizsg,tlva a k€tvthozos linenris regr€ssi6fiiggeDyekel a9.2. potrtban tanultak eerinl hatdrozhaljut Ineg. A reszlel€s szimitist n€m kdzttljiik.

A kapott credmdnyek a kitvetkztjk:

A k€tvrltozos linerris regresszi6fiiggv6Dyck:

!oi' r i = 4,39r+ t'5o7 xr

t,'", i = -42'4oo + s96', '

i t],,t,,, i ) = 7,32 + 3,12t2,

;zt,,t,) ;, = 2,631+ 0,2246rt .

Az el5z6ekben meghatdrozo! heromvillozos lineins resrcsszi6fi iggveny:

i = 1,259 + l,025xt+ 2,r48x1.

A k€tvrlloz6s ds a hirohveltoz6s regesszi6s €gyntthal6k its%fiiggesei:

,o;|1,.-I l ,

3

E

1E

b)a+b!.b, i=\ ,

1,025 + 0,2246. 2,l4rt = t.507 ;

b, , . ,+bt , b,Fz= b, , ,

2.148 + 3,72.t,U5 = 596 .

214 215

Az ossz€fteg6s€kbijl hlhar6, bogy a direkt €s az indirekt batesohak egyarantsa€pe vaD. A rnasyaniz6vekoak kit?olt potdv irrqa: a kapcsotat. Ez ur jel€nti,hogy a nagyobb snlnr nkomioyl elblaban hosszabb dvokagra szrllirj:tk.

10,1.2. A legkisebb n6$fz€tek m6dszere 6s tulajdons6gai

Az el6z6ekb€n csak a h6ronveltozos, linedns reg€sszi6s modellet foglalkoztuk, ahol a pamererek besleser€ a nar isDen legkisebb nesyz€tek m6dszer6t al

Mi mrr emlileffik, €rrdnenyeink kdmym eltabnosithat6k ara az esehc, m;kor k6l maayaiz6vnkoz6 h€ly€d laibb van. Ez€k szrmrr jelitlje n. Ekkor az X natrix

tr ,,, ... ,,,,'l' ' , .1x=l l ' i ' -?- 1.l : 'Lr rn, . . . j4,

I

Er it€ttiik az is, hogy , > D+ I es€t€n szamithaturk csak d4 hogy X'X inverze Flezik. Ekkor b€csl6fiisgv€nyeint telj€seD azonosak a hriromvrloz6s eseiben

t4" I6 =l 4' l= xxi 'x'"r,

l - : llp_l

ittev. i = i" + P,x ,+...+F -x -.r** n, = fi" + B,x,, + f ,x,,+...+p *x,^ + e, ( i = t. 2,..., h ).

Azr a felr€v6st, hosy csak u eredmeD,ryelroz6 valoszinijsegi vetoz6, a magyarr-z6velb?6k meghalirozonak (derermjnjsztikusak), hvabbra is femtanjuk, es rovebbi-akkal egasziljiik ki:

a) le8yen nind6 €, sz6nisa usydaklrcra. Dz(e,)=o' ( i=1,2. . . . , r ) .Ezazr is je-

lcnl i , hos, Dz(4,) =or ( t= l , 2, . . . , , ) .

b) covl t t ,E r) = o,ba i+ j .

Ha €' = (r,,..., €"), akor C(s) j€litljc azr az, x, -€s mitr;ot. ametynek iedik softtban a /:edik elem cov(e , ,e j) , azu

II

I

II

IIITtIIItI

Icov(s,. ' , ) c.v( ' , . . , ) . c.(r , , . ") l

c(c) = lm(c, ' ' ) co(: ' r , ) @(3: ' ' " ) |

ILco(c..c ) co(r". . r) @v(' , . ' ,U

A C(6) netixot az € valoszinrfis6gi v6ltozo kovrri.ncirmttrirttrlkziik. F€kevesiuk azl jelenti, hogy

c\e) = c'a '

ahol E ,z egysegrnturix. (Felhasadltuk, hogy cov(€,, s, ) = Dz (s, ).)Hangsnlyozul, hogy ., eloszlisdn6l nen Gleleztijnk fel smit-

Be lehet litoi, hogy ezen fellev€s mellett

M\P, l - P, ( i - t .2. . . . . " ) .

vagyis a ii, a p, -nek torzilallan b€cslese, es

Af r = o'11s';1

ahol cd)a d ul6szitriisesi vektorviltozo (a+l)x(u+l) tipusn kov&idcia'matrixa. (Ezen tllidsok bizonyltisnt nen reszle0erz[k.)

Az €1626 itssrcftgg€sbm eerEpl6 dr ti,4k€l iltalAbo nm ismerjiik, ezen akotkldt nirtibtil szAhitott rezidul]mok felh,lsa ,tsnval a k6vetkez6 formula szerintbecsiiljiik:

r. =________--,

ahol ,: a me8figyel€sek szima,n: a tttye^\tltozn,k szitu, igy n-n-t a %badsisfok,

r , = bo + b,r , ,+. . .+b^r,- + e, ( i = l , 2, . . . , ' ) ; " '

=Iq, - , " " l -

A leSkisebb n6glzelek n6d5zlrevel kapoit regresszi6s eg/iitihal6k a sokalegiparam6t€r€k l%iobb lireins tozitall.n bffslesei Ez azl jelerti, hogy a linairis b€cst6,sek kitziil a leskisebb D6glzetek nodszere eselEben a legkis€bb a pardm6le$€csleseksz6resa, vagyis a standard hiba. Egy becsles softin a standard hiba na$/sega is foDtcinfornicidr jelnt a b€csldsi erEdmenyek megit6l€se s?€mpontj6l,6l.

Sztrnilsuk ki a vizsgelt fldritrkbrn meshaldrczoh resresvi6fiiggveny paraIn€le-reinek standard hib6jrt!

2t6

El'hez els6 tep€sb€n az eredmenla6troz6 megfigyelr 6n6keine} 6s bccsiitr 6n4-teinek eft6r6seir, vagyis a marad€kragokat (piduu'noka0, ma.id azok ,6gyzcti,ss,cgdlkell kieinirari. A szimirjsok^r a 10-3. ftbh2atban tatitiuk.

10.3. itbtttzal,4

^o ro d i i I ag n agz e td e e Ea "e

k k it 2 d d i t is a

A marad6klrg sz6nisn€gFelg

"- = _!M1 _ r2,4 Be_

l0-2- I

Az egyii[ha6k k@adaDcimfi rixa:

Iut :zsz o.os:ugz,o. tzorr lqb)- 12.4139.10,053702 O.OO qS _OOZr. lq I .

[_0.]20 _0.027J4 0.t2 t6a3 ]A pdam€rerek v&idcini (standardhiba-Eeyzetei) €s szdrasai (sraDdard hibri)

sL = t21339-r,213 751 = t s,09l l33 ,Jq = 3'885;

sl = 12,4339.O,007349 = 0.r)9r3 733 ,ra. 0J0229:

si = 12,4339.0,121693 = 1,5131186,

ra = l2lm8q

A beGiill paraD€leek standrrd bibri a mintav&etb6t sztr@6 adagos vebttenbiba na$/srsit mulaliik.

vt .2.1.

5.

1.8.9_

i0.

l0l38

202'1l522404550

ttA2913,5775,083

19,721289523421128,02s34,27341,69450-967

t,429

2,9t1o,273

0,7214,O255;t27t,306

4.961

2,M20410,132929E,508889o,o74529I,8t03040.528J29

3630n62532,19A5291,7056360.935089

2to 270,N0 0,000 87.037100

2t7

10.1.3. A regresszi6figgvEny param6tereinek idtervallurnbecsl6se

Most az €t6bbiek meli€tt m6g azl is legFk fel, hogy t, eloszlasa rt(o, o'z).

Levezethet6, hogy el&or /i, ( i = l, 2. .. . , a ) is mmalis eloszl5sri, mivel oonnelis el-

oszusn vabsziDnsesi vnltoz6k rineiris konbhncioja, u(i,)= A, * o'(i)="',,,,

ahol c,, az (XT) | metr; i6itl6jlmk i-edik eleme, mmt zt u el6z6 ponrbd litnrk

Ez ,, j€lenli, hogy a

i , - p,

valosziDiseai willoz6 stmdddDomrrlis eloszl,6$i.De 6 nem ismen, i. -vel kell besnhi, ez aztj€letrli, ho$/

p,-p,

" i

, - n - I szabadsegfoku reloszlist alkol. Emek alapjrn az interallmb€.sles is eh6-gezhei6.

Ehncz els6 l6pesben €t5irjul a b€.sles megbizhardaar vntj€t, nald a r{loelassegitsegavel megbatirozut a maximnlis hib6t, ez kitvet6d pedig kijel6ljnk a koDn'

Az iedik viltoz6hoz tadoz6 /9, parameiede a kitve&ez6 val6einrfis€ai megalapitnst

leberjij& (a fonnulrkai csal( konb't ninhro tiuJKfel):

Ilb,- t "

s6<p,<h,+t "

sL. l=t-d ( i - t ,2, . . . ,n) .\ - : ' t J

Az elmeletj param6ler konfidencjairleryallma I - d val6shfiegi szinta:

()P.lr 1r

" r r l

\ ' - )

A becsldsn€l tatrultak terneszeies€n itt is alkalmazad6k, azaz nagy miDB esel6tra r-elosras helyeh a standmd Dornflis eloszhs hasailhat6.

Ebben az eselb€tr a konndeDciai €rvallum sz6mitisa az alnbbi fomnbatr titrttuik:

l t , : lb, !z "

s6 l .\ ' t , /

218 219

P6ldrnk adaraib6l vdgcziik €l a parm€terek becsl€s€t 95%{s mesbizhat6segj

Gyffjtsijk ossze a konibb' r6szeredntanyeker (t0.4. fibtdcatll

Az eddigi raszere.l^i,Jek

A paFm€lerck sEadard hibdja

4 = -),263 14 = 3,885

D, = 1 025 Ja = 0 30229

b1= 2, t48 rA = 1.210089

A konfidenciainrenallm meghalirozesehoz snikseges I eftEket n m I sza-badsnsfokDal k€ressijk ki. (, a minta €lernszema, z pedig a magyarit6vrltoz6k szii-

ma.r rgy I ior = zJo

A konfi dencjaintervallumok 95%-os m€gbizhal6stgi sziDten a k0vetk€z6k:

po: - t,263! 236 3,A85, Mz (- 10,aI6: 7,9056),

, , : 1.025J 2.16 0.10?24. zaz (o. t t to: t . r t ra) .

P,: 2,t48! 2)6 t,23009 , u^z (- 0,75 50; 5,05 l0) .

10.1.4. A r€$esszi6ftggv6ny eredm6nyeinek ellendrz6se

A reg€ss?j6s rnodell sp€cif*6l6sa a fiisgv6ny tipusnDak 6s a parm6rereknek aneghalirozi&itjelenti. Az €lsi'probl6na tehet a fiissv6tr)aipus kivalasztisa. Szamunk-ra tobbvalloz6s esetb€n most €? a k€rd6s nem vet6dik f€|, mert azt mondn*, hogy csaia linedris fiiggv€nylipussal foglalkozunk. A gyakorlatban azonban ebben a szakaszbanf€lletlen figy€l€nb€ kell v€mi

^z adoh krnlel szak6n6j6nek v6lemoy€t is.

A k6velkez6kben azt vizsgtljuk, hogy a nodellk€pz€sDel szoba jithet6 na8yar6-avnhoDk val6bm szignifik6ns kap€solatban vannak-e az eredm6ryryfltoz6val. Ehnc,el kell v6geai a pararDet€r€k hipotdzis+l1e!626&. A t€dyez6vetloz6k parameterei-nck lcszteleehq isemi kell a r€eresszi6s egyiitlhat6k €loszhsnt. Ha az €rednenyveltoz6 (4 norlnrlis eloszlisl kdvel, aklo!, mint mar emlitettiik. a , regresszj6seAyiitthat6k is nom6lis eloszl st kovetnel, miv€l a , lin€dris kombinici6ja az r 6ft6,keinek. A minta nagysdsrnak nitvel€s6vel a b elegge Altalenos fell€telek mellelt akkor

tIItI

I

tI

IITtIII

is nonnrlis elosrnsn lesz, ha az 4 vrltoz6 r€rn kijver Domnlis elos2bst Ezt a kozponli halireloszlis tetelo alapjnn rillfthatjuk, nelyel matcmatikai ranulminyainkb6l j6ljsmerhetiinL. A harad€hag sz6nisn6glzet€t ( dr ) nem islnerjtik, kijzclit{t enekA min-t6bol becsnltnk. A becsl6fomula nevezijj€ben ezcrt nem a m'ntana8ysrigot, hanem abecs0li paramelerek szimiva' csdklenlen minlanagysigot szcrcpelelnk, amn szabadsegfoknak nevezijnl(. A maradektaS srcrkdnak d tozitadan b€cslese igy bizlosilhato.Mivel a szanitesokhoz sziiks€ses r€ziduilis sDnisbeg)"etet a min6bol becsnltiik, bazonyi1ba16, hogy a b paramele.ek nern norn,fis, hanem Studenl r-eloszlrst liivernck.(Lasd 10.1. pont.)

Ily modon r-rr6brval ellenairizhelai, hogy egy-csy tcnyczdvdltoz6 sziErifikinskapcsolatba. van-e z €r€dm6r)v6lloz6val

Ahahnos fomebm az i-edik lenyezijvrltozo ellendr;sre szolSrlo nullhiporezisa kdvc&cz6kcppen irhat6 fel:

Hr:P'=0'

A ketoldali euerhipot€zis pedig:

Ht:F,+0.

A parameleek lesztelEsere a r-pr6bafii8gv6n)l hdniljuk.

A prohfiiggveny:

Konkait nikto esetad pedig:

b.

M'vel keroldah pr6bnt vasznnk, a proba szabadsigfoka u inrervallumbecsldshcz hasonloan: rz l =n-n- l

Az ell€n6rz€s soren meghattrozuk a probafiiggvmy szimiron crr€k€t es azr a7adoil szahdsiigfolhoz es vdlaszlott szignif*anciaszinthp hnoz6 kilikus en€kkel ha-

Ha a pr6bafiB8v€ny sztmilo( €rtek€rck abszolrir €rreke kis€bb, minr a krnikusert€k, a vizssax fellev6sek kdznl a nullhipolezist (Ho-t) foeadjuk el Ezr er jctcnti,hogy az icdtk nagyanizovalioz6 nincs szienifikans kapcsolarbm z er€dn€D)ryaltozo!al. ezen ceiszcni kibagyni a modellb5l.

Abban az esetben, ha a pntbatuggv6ny szernibn en6ke absahft €nekben na-gyobb, minl a kritil'us er16k, aklor a.ullhipoiezisl (melyben a kapcsolal taaades6l fo-

220

galmaztuk mc8) elv€tjilk. 6s a ,gL all€mativ bipot6zist fogadiuk el. tz azrlclcnli, hoSy

a vizsSrlt tey€zaivnlhz6 (r,) 6s az €redma!)aAhozo (l') kijzitll . !i^,riltszisnifikdcidzi cnval6s kapcsolatmutatkozik.

Vizsgeljuk meg a p€ldrDl adataib6l mc8hatrirozon regresszioliggvany trrunrr,ler€in€k szjgnifikanci,tjil! A szisnif*anciaszintet valasszuk a szokrsos 5%-nrkl

A legrobb kon€lAci6resc$zi6sznmilrsra kdsznll szoilvcr mer kijzli az cltcn6rz€shez sziiks€ges reszer€dm6ryckct. Az elrendezes dltaliib:n a /0 J fiblizathdh bc-murarolr m6don l6ndDik.

!0.5 lnbldzot,1 reEresszi6Jnpgary paraniterci"ek e en1.asahez snkiq.s ri\zere.lninrek

A pr6baftggveny kilikus !n6k€ 4,1,=2,36. E^ a rD enekkel dsszehasonlitva a

t/o:p, = 0 hipoteist elvetjiik a f0: p, = 0 hipor€zisl pedis elfosadjuk. Ez azt jel€nti,

hoSy a B, parcirlis resrcsvi6s egyi:tftato szisnifrk6nsnak bizonyul, a p, viszont

Ez ul6bbi azr jelenti, hogy a sz6liilesi id6 es a szrllirotl tdmeg kijzdtt n€m murar-hat6 ki szignifikans bssze{ilgg€s. A gyakorlari felhasadlis sordn ilyenkor mc8 kcll ki-scrclniink a valbz6 elhagyesat vaSy csetleSes lranszfomeci6j6t, vag, mrisik m0gyrrrz6yihozo bevontsal. Az tj vditoz6 elleD6rz€set tem€szeleseD szintan ct tctt vi'rczrnA leladat e/ ninyi lol),larasdm mosr ncm rcri;nl, kl

Viagnl.iuk meA a pdm€tereker u = l0'% os szignriikancjaszintco. A knrikus /enek cbben e setb€n 1,90. Itt n6B elfogadjuk lgyan a nullhipotezisr, dc lenycgcscrk's€bb az eltares a vdmilon r 6n6l6s a kitikus r €rr6k kiiziirt. a =20%-Drt a I kritikus en€ke 1,42. Ezen a szignifikmciaszinren mer szjSnifikins.ak mutarkozik a fl. pa-

r ,= b '

1,025 o,30229 1,190782,148 1,210089 I,746

221

10.1.5. A varianciaanrlizis rlkalmrzisr a tiibbviltoz6s

regresszi6szimitisban

Az el62i: feiezettn benutattuk k€tvaltorcs eselbo a szorSsm$zelfelbontis

*" .*.itl'. .lrai-r ' "rnkrar'

Az ereimenvvitto?o variatri'jir a regrszos mo-

d;il ii a htbatenYezo bozzijdrulAsd{a bontortut-'^ ; i;il;il;;;a;;g'.sszios moderl rereterer sesig'snct birc,trvi$ar6 hogy

tor'l' erl,.' .t"ii* "

rii"hato az eldre$Dcg)%tdsszesek koz6tl a kttved(e'i 6ssz

ftigs€s:

i { , . - ; , r ' - t ( , , , ) ' i ( ' , - , ' . t 'Lzl az o's/etuqsesr felhalmdlbaliut tovabbi mutaloszimol s/dnilisira

'' dc a

*.*.'"-"rl,i*effh":*ival I regr6sziot fiisgvmv ellenbu'se I' elv'8czhel6

A kovetkez6 hipol6ziseket vizsg6lj t:

Ho. Pt- P,= =P"=0'

H,: !8 PL x0 (&=l ' 'n) '

A nullhrDoriTisben azr logalmazul neg hos/ dtndegrtk parcttl[ .N8t6eioscorr&ard dn;ke nulla Teh,t a regrelszro lagadis'Ml ibdulurr tr' Az altemanv nr_

pirizn zrlelcnri. hogy r modcllbd van v'gDifiLins pdm'ler''

'q ',i'a'cramaiizs-ribl la 106 tabtdLatbon tttiut^

I0 6.6bit4lA vo/iancioa@lizis 16 bla |iibbvd\o26| rear*sz hzad i 6s P:c|in

A k6tvahoz6s resresszi6ntl negismert itssrefiiggeshd kep€st a szabadsngfohit lal'tl-

r'"t ir,eie". -*-n"va".*

keLi vemi a &nv€z5v'xozok sziDtt is' mi jdm eselben n

"r, = i(", l,)'

222D3

A probafiggv6ny szamibn an4ke honl<rat ninta esetin:

ItIII

It

II

ssx

A eidel6 szabadsesfoka: szt= n. aaevezd sz bads,afoklpedig: szL=n m L

Az F pfbafiiggvoy l€try€geben azt vizsgelja, hogy z v d€dm6n)v6ltoz6 szo-nisresyzetebijl szignifikiGm nasy htuyadol ma8t"t6z-€ ne8 a resresszi6fijssv€ny.

A proba vegrebajliBa ngy laideDik, hogy a szimilott r 6neket itsszehaso itjuk av6laszton szigDifikeciaszinlhez lartozd kilikus r 6n6kkel. Ha a szimitoh 6rtek nemhaladja mee a kitikus 6n6ket, akko. a nullhipoteist elfosadjuk, ani azt.telenli, hogy€lfogadjuk a reg€sszi6 tagad,tsft, vasyis u adott szisnifikanciaszinten nem ell tenn alin€iiiis regr6szi6. Ellenkez6 eelben a ntilhipot€zist elutasiljuk, 6s az alt€mativ hipo'tA$ fosadjuk el.

A Dullhipotezis elfo8adisa n@ jele i enkseskeppeD a rossz specjfikaci6i. Et6'fordulhar, hogy a veloz6kal va8y csak valm€lyik vailoz6t valasztottuk ki hel'te'lcdl, vagy h fiig€v€ny tipusa nem linetris. Mindenes€tre a modellalkotAst ilyenlo!fel k€ll vizsa6lni.

Ell66riziik 5%-os szignilikdciaszinlm a korebbo meghattrozotr regresszi6-

ftggvenynnkd! Az -80 kiszimitdsrhoz sziiks€ges adalokal a ./aZ ,tblA.obak tdjrk

sst**1

A vorianc iaanalizis td blo

Az r-pr6ba a kitv€*ez6:

F^-::-:::: 7 7.4" t2,4

A kirikus en6k sol-os szigrifikanciaszint€n:

F;$')= 4"74

A pdbafrggveny sziLniton 6rt6ke naSyobb, mint a kitikus €nek. Ebbajl arra a kdvet-k€zt€!€sr€ jurhatunk, hogy a szallitisi tt hosea 6s a szilliton tdmeg egyiittesen szlSni-

II

IT

II

A szontuD€gyzer foni.a

l9 l9 2 959.581 7 t2,4

2006 9

fikdns kapcsolalbar vannak a sze i6s nmctidejevel (azu a fij88vany s%-os szi8n,-fi kanciaszinta €lfosadlato).

MeBjeAyczznk, bogy a l6bbvtlloz6s nodcllbcn is kisrnithatiuk a delcminrci6segyiitthat6r. Az eltdr6s-r€gyzcliissz€gek hatyadosak€nl halirrozhal6 mca, 6s cbben azeserben l6bbsz6rds delerminaci6s cgyiitthalonal ncYeziik:

^: ssnssr

A ldbbszdlds dclemindci6s egyiitthat6 0 6s I kijzdn vehel fel enekeker Tov6bba ki'fejezi, hoey a modellben l€va, masyart6valloz6k mcmyiben magyar&zrk m€8 zerednenlaaltoz6 sz6r6dns,tl P6ldankban:

a _ j_:_:_ 0.9<66. t00 _ aJ.?oo87

A mcnetid6 sz6r6dasit az ul hossza 6s a saillitott litmeg egyiittesen 95,7otbd bcfo_lyeso!a. (Ene a Inural6szimra a 10.2. pontban mea vis%t6rnnk.)

I 0.2. Tiibbv6lto26s korrelici6szdmiais

A lijbbvaltoz6s koFelecioszimitrs elja a tiibbvnltoz6s kodehci6 s2orcsseSenak

A regresszi6szimitlssal szenb€n a korclAci6 szorossng6nak vi6gahbkor minden villozol valoszinrisegi vrlloz6nak lekiDniDk. Vagy,s kazirjuk u olyatr kontrolHhkh€rlelek €rcdm6nyek6nt kapoll magyari6vrltoz6kal, amelyekkel a titbbi befoltisol6tenyez6 enek& rdgziteni tudjuk, €s jgy haiisukat g vizsgd,lat sornn euena'z6ijnk alanlartjuk. Az eredn€nwnhoz6l mek ellcn6re megkiilatnbitzteliiik a t€nycz6vrilloz6ktol.Ezt azonban csak amjatr tessznk, hogy jelttlbsrendszerctk dsszhmgban lcgyen a reg_rcsszi6szamit6snAl hnuhakkal. A tapcsolat szorossiganak vj4Sahta itIlmS'ibm amegknl6nbdztet6sl nem l,ema sziikegesse-

Kelrdrel 1obb valtozo eset6n a konel6ci6 szorossngir6l h.ircnf€le enelembenbeszelhelijnk. A kapcsolat szorossiga vizsg6lhal6 p.t.orlirr. tovrbb, piroDk€nt, de atdbbi filte6 hafisirak kisz;banvel. v'gitl pediig a. fedm6nyekoz6 Cs @

'sszes ti

rlezbAhaz6 knzoni szrrrcsseg is m€rhet6.

10.2.1. Pdronk6nti korrelrci6s egyitthat6

,.4 pnronk6nli korreliLci6s egynathrt6val cral lit-ldt vihoz6 k6zi'tti kapsolatszorcsAsAt nirjiik. a tdhbvA @6s k'p.solabt ketunhoz6s krpc\oto|o rcdulrtljuk d

224

@ eddig aegisnen lineAlis konel6ci6s egyiitthatokat sznnitlk A muiat6szem mcg-haLirozilakor ehetiftnnk a litbbi t€nyeziiviltoz6rol, ezen kiszrmiresi m6dja mcgctsyc.zik a k6tvihoz6s kapcsolah6l megisnen fomuldval. Ezeket az cgyiilthalokat kn{ltskorrelicnts egyntth.r6kn,k is szoktakDeveai.

A tirbbvdtroz6s lineeris nod€llbeD z R korrelici6s mdtrixbr rcndczziit ,r ti-oeiris koneltci6s csynnhatdkat. (A jelttl6seket 6s a k6pletckcr ebbcn u rtszbco isrndlcsal a koD*ra minrrira vona&oz6an kitzdljij*. €gyszenisitvc e,rel a probtdmdr.)

A ko.reldci6s mntrix a p1ironk6nti kon€lncios eSyij(hatokal tanaln.rzzd. Ijgy( r+ I ) v6lloz6s mod€ll eset6D a koFeleci6s m6rrix a kitvetkczi':

Vegyiik 6szc, hogy a korchci6s merix szimerrikus m6rrix. A mrtrixt6djagoniliseban verepl6 konehci6s egyii|hatok €n6kc L Ez a k6tvrltoz6s tineAnskor.el6ci6s esynnhat6k kdpzesi nodjib6l ad6dik, biszen esy-egy v6ltoz6 ijmagevalvat6 kapcsolatil m6ri. Kiinnyen belrftal6. hogy minden v6llozo titkdietcsen korelilt

A nitrix els5 sora 6s els5 oszlopa z er€dm€nlatlroz6 6s az egycs r€nyez6vAho-z6k kozolti kapcsolal so.ossiget m6r6 lirerris konehcios €Syiilthat6kat tartalnazza, amfir'x .itbbi €leme p€dig a tenyezijvahoz6k egymes kdzijhi kon€lrci6jnt meri.

A konetici6s nitnx nagy seSirs€ger.yijt a r€grcsszi6s inodell megalkoLisrhoz.Az elenzs kezdeli szakaszabm rn6dot ad a meefelelij t6nyez6vattoz6k kivitasaesr-

Gyaknr el6fordul, hogy a korrehci6s natrrx melletr a vdltoz6k pirontehti kova-nocia-mer6szimail 6talma?6, vrrirncit-kovrdancii mitrixra js sziiksc'{ink !an.

A mfirix ,ltahnos fomrja a koverkeztj:

ll. f : l

; ]

. l? ?,LC^, C.'

ahof C, u ercnfi:tt\i:lroz6 6s ajamkmaqyzriz6\attozi

g pedis z i-edik es a /-€dik masyd&ovelbzo koveianciajaA m6trix diasoDtlis elernei pedis a r€g€sszi6s modellben szer€pl6 veltoz6k sz6rds-nCgyzetei.

A konel6ci6s mrtrix s a variancia-kov&iarcia nttrix kitzdt a kaivetkezi' atssze-figges tll fem:

225

R=S-'CS'

A nodellben %rcpl5 S a vilto k sarisaibol ill6 diasoDilis nttrix:

A r6szleteseD tirgyatt hdromviltoz6s kapcsolal sel6n _ a k6tvilloz6s esetn6l le_in fomula szerinl - a kdvetkeii li@ins koffehci6s egynfthal6k szimilha(ok:

, d,r.'-

J'di>d:r, X, 4s X, kijztttt:

Szemi$uk ki e cl5z6, 10.1. porlbb itryyalt p€lda adataib6l a szillitisa id6 (4,a lrvolsdg ( x, ) 6s a szrllirott titmes ( Xr ) kozittli prronkenti korclrci6s esynnba6-kar. cs iriuk fcl a korcl6ci6s mrtrixol!

t248 1248r ,=-=-=! . ,064,' a/82E 2006 Jl 660 968

298 l24A

J50 2006 Jr00 l0o

186 186./828 50 .,i41 4OO

floooo 0,9684 o,94o9lR=109684 1,0000 0,914r I.

Lo,e409 0,9141 r,00001

'=[ji

'- J>di>dl

226

tdi = 4e1s8, td,':=rrlro,8.

Eiedmenyeink el mutalj,Ak. hogy szoros pozitiv nen)4: kap.solat van a menetid6(D 6s a tdvolsis (1r), valmirt snnts pozitiv irinyr, valamivel lazebb kapcsolar

mutatkozik a nenelid5 ( y) 6s a rakonany snlya ( -r, ) kitzijtI. A lenyeziivaltozok kdzdttis el5s a srochaszlikus kapcsolat.

A variancja-kolariancia mdirix pedig:

f2oo,6 12a,8 29,81c=l 124,8 823 t8.61.

I zr.s rr.o s9 |N6ziiDk egy nesik p€ldellEgy ingatlankitzv€tit6 iroda adatai alapjnn i996 okr6berebm 20 budapesti drdk,

hkes ehd.6si rtra (milli6 Fr), €le&ora (&) 6s t€rnlete ( m: ) a kovetkez6 volt. (Az ada-rokar

^ 10.8. fiblAza$dn r.l ljnk,

IIIIII

A 20 elenii ninta adotai

Elad,tui ,ir (M FD)

6le&or(ev)

L2.1

54,204,50

551182

100

10.

6,003,002,162,10245

85'10'13

66

I

9

L2.l .

5.

1,202,to2,40

2.00

355l773961

t8l86l23

18

!0

I ,40| ,103,401,55135

485l

5354

3l5

407a

IIII

I227 I

I

Ilsmerei6ek u aliibbi szimilrsi eredmenyek is:

>dA = 48483,

>d,4=4tr,0,

>d\dt = 281 ,5 ,

>d: = 30,1.

A odronke i korreHci6s es/iitthalbk a kovetkez6keppet szimilbat6k:

281.5 241,5

49753 30,r .,1t49 t72281,s

-411.0 -411,0" Jl l I ro,8 ]o, l { l l4 415

-4848-8 -4848.8

J4975f l r l lo,8 J55 285 l l8

I loooo 0.7429 - o,7lo?ln=l o,rlzs l,oooo -0.65211.

l-o.rtor - o,oszt l,oooo I

A rottlis konelrci6s egyn$al6k at nutaddk' hosv az eladrasi ir 6s a teriler ktt-

zbu kdzeDesnil s?orosabb Doziliv i'6nlai kapcsolat var Az elad.is' ir 6s az eletkor kb

zitrl Dedr; szi'Gn kdaDe;61 szorosabb. de besativ Ein]d a kapcsolar' A ket lenve'j

rahozo k-ijzitn kozeocsirisseEfi ftsativ trenyli kapcel muraitozil

10,2.2. Parcidlis korreldci6s €gritthrt6

A prrciilir korrelict6s eeyn(hrt6 annyibu l(0lahbzik a pironkenli cgyiitt-hat6r6l, togy sztunilis6nil a 6bbi v6ltoz6nSl nm tekintfnk el' de hafsukal kikiiszd-

bijliiik.A, isy kapott pdcit'tis korreliLci6s egynr6^rit @l nulatja neg, hog/ nitd szo'

rcs a kapc;olot valahetyik kiv,i Lrztott tittya6uilt@6 ,s a frqad inbtt kbzdtt ha o

titbbi rc;re26vdltoz6 ho jsfu ni\d a vizssAh ftnleMhonb6l nind az erednAnvvtl'

Kiszimirtsanak a konehci6s mrtrix elmeib6l tinen6 - kiizveten m6dj6t k0-

zitljiik.

d Az v es X, kitzotti kapcsolat sarossisa. ha x? haLiset kiszfrjiik:

228

t-0968a'Xl o,91al ')0,0557 0,0557 ̂ - ,^-

J0,0622 0,1644 0,1011

229

U Azyes Xl kdzitok^Wsolar szorossega, ha X, hatiisrt kisziirjijl:

\*r -m.) A kCr tl^yezbvimod kitzdni prcielis kon€l6ci6s €gytilthat6:

Ugdjiink a jeldl€selse is! A parcielis koreHci6s €gynthat6 als6 index€benregieldUfk, hoSy rnely villoz6k kapcsolatfi vizssrljuk, najd a pont uten tuk azt avelbz6l, anelyikDek h.atlsil a kapcsolat vizsg6lata soren kiszdrjitk. (Hasonl6an, mint aparciilis regrerszios erynttb.at6Dil.)

Az iryatla*iizdit6 iroda adaraib6l:

0,2795 0,2795 ^ -^..J0.4949.0.5748 0,5331

_ - o,7lo? - [(0,?42e). (- 0,652 t], -@@ -o,D63 - 0.2263

J0,4481 0,5748 0,5075

_ -0,652r-l(0,742e).( oJro?I

-.JF;-;j;;;;l@-o, t24t -0,1241 ^ ̂ -^-

J0,4481 0,4958 0,4713

A parci6lis koreLicios egy[Ihat6k lenyegesetr elt€mek a p6ronk6nti koncl'tcidsegyiinhalokl6l. Az elad,6si nr €3 a lakismcr€t kozott lenyegesen Iazabb kapcsolal mr-iatkozik, ha kivfljnk miodket v6ltoz6bol a laknsok 6letkorr,nak hatds6t. llasonl6rn lI!zibb a kapcsotal az eladrsi 6r es az 6letkor kttzain is, ha megtisztitjuk az OssrcliigSasr Ilakdsmeret bar,t6tl6l. I;nyegem elt€r a teny€z6viloz6k kiizdx kapcsolatot mCr{j ,i,.,

parcinlis toEelicios egynnhat6 a btilis m6r6szimt6l. a t: -ti'l.Kdabbi p€ld,tnkban:

0,9684 - 09409.0,9141

J0-o9ao9'Xr oglar')

0,94ry-096U.O,9141

0,1081 0,1083 ̂ ----.10,tt47.0,t644 0.13'13

' - (- or r 04'l[' - (- 0.65r r)']

0.9141- 0,9684 0,9409

It-o,%841t ,lr4or)0,002,) 0,0029

^^., ,Jo,o622 o,l 14? 0,0845

Az /,r,, parciiLis konel,tcios egynfihalo azt nulala mea, hogy eoros siLllitoft

l6meg melletr a szAllitdsi id6 6s a szillilisj fi hos% kttzittt kozepesn€l endsebb pozitiviranlu kapcsolal vs. A mrsik k61 parcialis korc6ci6s egynrhat6 is hasotr6keppenenclnezhet6. Vegynk eszre, boey a pacitlis koFelrci6s egyfithat6k l€nycgeseD laz,abb kapcsolatol mxtatnak, minl a pirork6nti korel6ci6s egyutlhal6k. Ez a, jeltrti,

hogy ha kisziirjnk k6l vdlioz6b6l a hdnadik vrltozd hatisit, gymgebb kapcsolat mutalkozik kozottilk. A pirotrk6nti kapcsolalol tehit a hamadik vehz6 hadsa mindegyik

10.2.3. Tiibbsziiriis korrel:ici6s 6s det€rminici6s €5 ltthat6

A pAronlcnti koneLnci6s e$/iitthat6ka 6s a parciilis konehci6s egFtthal6kracgyarAnt az iellenrz6. hogy kdt viltoz6 kitzij( m6rik a kapcsolatot. A titbbvrftoz6s linutis modelln6l azonban aira a kErd€sre n v,ilaszoloi kell, hogy milyen srcros akapcsolar z erc.ln6D)ry6ltoz6 (r) es a modellbc bevoDt rcnyezSvriltoz6k(X , Xr,..., X.) dsszessege kitziitt- En a kapcsolalol a t6bbsz6ros kofthci6s

egyijnbalo meri. Mrskeppen fogal@a ut is nondha(juk, hoay a t6bbszitr6s koreldcios cgyihthat6 mcgmutaia, hogy milyen szorosan illcszkedik a tegresszi6fiigg\'€ny &crcdmo)ryaliozo ( t negfiayelt en6keihez.

A tiibbszitriis korrehci6s egyntihat6 olyan specidlis keltnuozos k ftelicios

egytuthato. o,1e1y u Y ercdnin fihoz6 ^

E Xr X, , X- nognftzorAlbzdl

abpjnn be.:;iilt i kapctolatdnak szotossAqAt niri. KAplete:

(Jeloles: az also indexben elajszor u eredm6nlvilloz6t jeloljiik, majd egy pont utinrelsoroljuk a regresszi6fi €gvmyben szerepl6 masyff iiz6v,iltoz6kal.)

A hAronfihozds nodellbeh a titbbszitriis konelici6s egyiinhal6l a paronkedikorelrci6s egyilllhalok felhasrnrllsaval is kiszimithatjuk:

4,+,i 4,,,,\.

210 231

A titbkzitrals korchci6s egynthzt6 el6.jelet mindiA pozitivnak iekinljiil.A litbbszoros kon€laci6s egyiittlat6 r6gyzetet t6bbrzitrits deterrninnci6s

egyntthrl6nak rcv€zz[k Ezl a mulat6szimot m6r isme.Jiik a 10.1.5. pon1b61, aho] arearesszi6b6l szirma2taltuk, 6s a vdianciaaalizis segits6g6vel definidlluk. Ezzel amular6szinmal zl m€rjnk, hoAy a fiiSgetlcn viltozok cgynfi€sen milyen er6ss€ggeltlatiton;j|{ meg a2 I veftoz6 ingadozrset. Mesk6ppen fogalmwa az egyijtlhalo anazd filasd, hogy a figq6 r'tt1o,6 telj6 s,6ftsnAsy2etbb6l nekko,a a regtesszi6nak tu-lai.lonithat6, lehi,n

^ rinye6vilroz6kk^l megmagy Ehat6 hdryad.

A 10-8. libLitutbon megadon aalatokb6l kiszAmitott titbbszdrds korehci6s 6sdeterminao6s egyft lhat6:

- ftop"E4 ' qr4o" , qr"84 o,e4oa.o,ar4l

"-1i r 0rr4i

. /O.rq2rr *t 07totl 2.0ja2e ,-Ott07, , O.oS:r,- l l r ( -0.652r) '

IIII

I

II

II

I

= "6plols

_ osooo .Az €ladesi rfi, a lakesnerel 6s az dlelkor ki,zitlt szoros kapcsolat muratkozik.

R' = 0,6a095 + 64,t% .

Az elad,6si l4r sz&isn6gyzeldnek 64,l %-et a lakasrndret es az dlelkor hatnroza nes.A l0.l pon$an tdrgyalt p6lda eredmenyeibail szenitott t6bbszd.ijs konclici6s

6s d€t€rminici6s €gyiilftar6 pedig:

A vtllilesi id6, a sz6llidsi irr 6s a szeftlott tdmeg kiizittt a tdbbszdros koreleci6segyntthat6 szoros kaFsolalol mutat.

A latbb6?it0s delemineci6s egyiirthat6:

R1 = 0,9568 ) 95,7% .

A stllilisi id6 vdidciej6n.k 95.7%-et a szallilesi tl hossza €s a szrllitoll rOmegMsysaga naEyarLza. A rdidcia fetrmdadr llinyadar ( I 00 - 95,7 = 4,3 %) egy6b, amodellben D€m szer€pl5 t6nya6k okon^k-

10.2-4. A multikollinearit{s 6s m6r6se

A mtemalika;statiszikai nodszerek alkalmazasara sz€les kdrben nyilik leheli'-seg a gyakorlalban. A m6dszerek f€lhaszDalasa azonbaD csak akkor lehct hat6kony, ha& €lm6ledleg megalapozon, vagyis, ba f€Dnnlhak az alkalmazis f€lt6telei. A rdbb-vrllozos linel,ris regresszios modelln6l abb6l a f€h6lelcz€sb6l indultu.k ki. hogy a ra

II

tI

0,15730,1644

nyez6v6ltoz6k linearise fiiggetlenek eglm6!161. Emek az alapvet6 fel€telnek z amagyantata, hogy a legkisebb

'6s)ze!ek elve alaPjtn b€csiill .egiesei6s csyiinha6k

\b,, i = t,2, ... n, m hztinozisthoz siik$s van a2 x'x nitrix irver7;re. Mint is-

meretes, u X'X nAldix ruqta n +1, ^zu

megegyezik a viftoz6k sztDnval. Ameoy-Dyib€n az X metrix ransja kisebb, mint u + I , a regr€sei6fiissveny egy08bat6a nembecsiilhet6}. Ez az esel akkor fordul el6, ha a tmys6valtotk egyike kifejezhetit atitbbi t€nyez6vellozo li.erris kombinici6jak€Dt, vagyis a tenyez6vrltozok koziitt fiiA8_venyszerii kapcsolal dtl fenn. Ezr teljes nultikoliintrit snak neveznk. Felisme.ese v!szonyla8 kijmyf, es a probl€nit valanelyik velbz6 elhagynseval meg tudjuk oldai.

A ttrsadalni, sazdasnsi jelen568€k vizsgnhLtnel gy.konbb a toyezdvdttozSkkoziihi szlochasztikrs kapcsolal. SzinIe elk€pzelheteden, hogy a t€nyez6vAhoz6k ko_zijtt ne jeleDtk€un nullikollinearilis. A regresszi6tugeleny eSynnhat6i ekor ismeghaurozhat6k €s ertelnezhel5k is, de a multikollinedntu cs6kkcnti becsleseinl 6r-16k€t, bizonltalansngolokozvabennijk.

A vizsgdlal c6lj6t6l fiigg, bosy a b€csles bizon)talesesa meDyib€n jelentproblemnt. Abban az es€tben, ba z eredmen)ryelto2d Mgysiglnat a t6syez6velbz6kadon szinlonala nelledi becsles€, el6rcjelzese a c6l, pl. egy adott lem6k irinti ker€sletszinvonalrt kivdljul megbecsnhi, a modelll alkalnazlBtjuk akkor is, ha jelentaismuhikollinearitds mula*ozik a t€nyez6viltoz6k kozdn.

Mds a }etyzel azonban, ha gazdBtgi elenDesr€. a hat6toyez6k kimulatAsiraszolgelo regresszi6s nodellr6l van szd. Ebb€tr az €selben a pdcidlis resresszi6seg)'rjltbat6k jel€Dtik a l€gfontosabb jnfomici6l, tebe( a muhikollinearitts jcl€nlete tn-

Ebbijl kovetkezik, hogy a €ryez6veltozok kiilcsonos fii886sea€Dek m6n€:k6t 6sbates6l ellen6rizniirk kell.

A multikollinearii.ts mer6s€rc ritbbf6le eljriis ismert- Teatryagunkban csak aki,vetk€26 n6dszert mutatluk be. A n6r6s logikai meneroek meg€neseh€z eondouukv€gig a kdac&€z6ket- Ha eAy-egy fj lenyez6vrlloz6l b€kapcsoluDk a vizsgilatbA ak-kor a tobbszdrds dctemineci6s egyiltthat6 vagy mSyobb lesz, vagy eB/aftabn nemviltozik a nasysrsa. A nodellbctr szerepl6 mindm viftoz6ra kisznni6atjuk, hogymennivel Doveli a t6bbszdrits de0erminici6s egy that6t, ha a v,iltoz6l ulols6kentvonjuk be. Etlor l6lyesebe' zt vizsg6ljuk, hogy az utoljrm b€vont r6ltoz6nk novelie az eredm6Dreltoz6 vdidciejrlak a fiiggveny akal mesmas/siizott resll. Ha eze-ket a vrlloz6nkeDti hatesokat itssz$djuk, €s a kapott 6sszeg egyeDl6 a tobbszoros de-termineci6s egyiitthar6val, akkor a nultikollineditist N1l6naf, t€kiDtjtk. Ebbeo azese(ben ugyanis a litbbsz6r6s detcmiDici6s €gy0nhal6t fel tudjuk bontaDi a viltozon-keni halr{sok ijsszcg6.e. A gyakorlatban ilyen eset ftkin fo.dul cl6. AkhbaD az7-al azeseltel lal6lkozu.k, hogy a ldbbszdrais deleminnci6s egyiitthat6trak van egy orya, ,l-4ya.1a, anit a tinyezdviho26k egyiitt$en nag|antnak neq.

A rrultikollirearitiis m6r66re ezen a tobbszdrits dehintci6s eryiitthal6 6s at€nyezaivilloz6k ilial m€gmagy&imtt resz kiilij'nbsega cekrerd h6ailni. A ner6-szim hArom veltoz6 eseten a kovetkez6:

u = R,"- ZIR:. , , , . ) .

atnt j =t,2 a maAyuitziNaltozok szrmatjelaili.Min6lnagyobb az M en6ke, amrl i.kibb szamohi kcll a mulrikolbncarildsb(il

ad6d6 veszely€kkel.

Szimitsuk ki a multikollinedites mffis?imar a p6lddban rneghatirozonparoDkenti konehci6s egyiihat6kb6l 6s a titbbszorits d€temindcios cgyijtrhalobol!(Napan^ok a 10.8. fibl6ba".\

Az M mefiEzi,n az ^lihb;:

, r , t - 0.640os-[(0.64005 0.7a.2q ) , {o.ba0qq-(-o.7r07, t ]

= 0,64095 (0.0890+ 0,1359) = 031605-

A ritbbsziirits d€tminnci6s egyiifhal6 felbonristt a ./0 9 . fibl,iatban aAj\k me9.

A valbz6k bozztjdruldsa az

0,08900

0,u590

0,4t605

0,64095

Szimottcvii a mulrikoflinearitis, men a kapcsolat jel€nr6s ftszer az Xt ts az X.egyiitres hatisa leszi kj, de eneleh jele ajs az Xt is M X1 viilrozdk kijldn-knlbnvizsgall halisa is a t6bbsz0rajs d€t€minici6s egyntthat6ra.

Vizssiljul meg ezek uLAtr az es6sz fejezelen v€sisvo'ulo, szeltitdsi id6, tnvolsdS6s szillilrsi tdmeg kitzOlti kapcsolatot b€mutat6 peldebu a multikollinearitSst.

M = o.q{os J(0 q5b8- 0.e084: I, 10.q568- 0.o40o- )l

= 0.9568- (0,0190+ 0.0602) = 0,8661.

A ritbbszitrOs det€rminrci6s egF1thal6 felbonrdsdt a ,i0.lA. ftblAzdfian adj\*meg

233

A viltoz6l h@ijdrul,rs z

0,0190

0,07t5

0,8663

0,9568

Em6l a feladatnel nagynErtehi nultikollireditissal dakozutrk. Szinle a lelj6hat6s a leny€z6vAltozok €gyijtles haltsaktd 6rveny6 az eredrnenlw6ltoz6nAmmyiben el6rcje126s a cehnk, vasyis a szillirisi id6l kivtnjuk megbecsnhi a rr'vobng 6s a szdllitotl l6meg meghal rczott szinvomla mellett, n€mi feularlissalugyan, dc alkaltnuhat6 a modell. A vrltozok k6z6tti dsszefiiga€sk r6szletes elemz

s6bez aonbo cekzerii leme vasy a szilliltsi dvolsts (X, ), vasy a sztllilotl tome8

( Xr ) helyetl ntsik nasyartz6vrltoz6t b€€pitoi a modellbe.

Nazziink meg egy ndsik p6ld.it is a multiko ircarii.is vzssrlatira!

30 v€letleGrerii€n kiutlasztott mez6gazdaeai irrem 1992. C\t adatai alapjinmcsvizssaltuk e alrbbi vAltoz6k kapcsolatrt:Y: a kukorica t€rmesfilasa (q,4n),X, : a mfitrisya-felhasaili6 (ksAa),

X1: e dntdze*e felh^s ^[

vizmffiyis€se ( nr,ttar.A ednitd6ok sonir a kitvelkez6 r€sz@dmeDyek adodtak:

' , , =039, / , , =033, ta=06t

A parcials koEel6ci6s eAyiitlhat6k a kitvetk€z5k:

0,89 - 0,83. 0,61 0J817 ^ .-o,44t97J(r-0,s3'Xr 0,6r'?)

0,83-0,89.0,61 0,28t1

234

l o,se')(r -0,6r) oJ6130;t9 ,

235

= -0,510,61- 0,89.0,81 - 0,1287

I 0,8e'?Xl-$3'?) 0'2543

IIIIIII

II

A robbszijrOi deremindci6s egyfthar6:

039'? + 0,83? 2.0,89.0,83.0,61_ t ,48t- 0.90t2 n a)14o,627qt - 0,61

A multikollinearitis ma{azirna:

M =o,sl:,4 l(os234 o"rs')+(o,sz:+-o,r:,)]==0,9234-(0,1313+0,2345)=0,9234 0,3658=0,5576.

EDnel a feladab nnrj6val kisebb multikollinearitds mutatkozik. Ezt velehez-heljlk a pdronkerti es a parci is korel{ci6s egynnhat6k kozoui viszonylas kis merle-krfi €lt€resbi,l is, de a nultikollinsftis m€r6szina is eir5l tadskodik.

Megjegyezz[k, hogy a gyakodati rapaszralalok alapjan a muftikollineditest ak-kor szokesos ldrG men6loinek tekintetri, ha l&sik a konetdci6s matrixDak a t€nyez6-vrhozokE vomtkoz6 r6szeben a tobbszitits koFeltci6s egynthat6nfl Dasyobb ab,

Temszetesen l6leaek eDn6l j6val €szallabb n6dszerek is a nulrikollinedildsm6res6rc, a probl6ma kezel€sere. A statisztikai m6dszenm szinos eljtuest ismermullikollin€arilist tartalrtru6 rcgresszi6s mod€llek pa8m€tereinck becsl6s6r€, ilyeno€ldnul a faktomnalizis.

10.3. N6hiny kiegdszit6s a regresszi6szimit6shoz

A r€gresszi6s nodellkcpzB els6dleges 6s €gyben l€8l€nyegesebb feladata a no,dell speci{ik6l6sa. A vi^srlt t6tryu61 leginknbb neshatircz6 valtoz6k kiv6laszt6sa 6sb€€piGs a modellb€ nen kdmyiifeladat. Ha p€ld.tul a kitzalkalrnuoti re1eg etlagjit-vedelm€r bcforyiasol6 lenyez6kel kivtDjuk szarnba verDi, feltehet6en fontos veltoz6l€sz a kitzlkalmazotti rnuDkaviszotry hossza az 6le&or, az iskolai v6szettseg, a be-osztes stb. Az ul6bbial azoDban min6s6si ;h6N€k. K6rdes, hosyan tudjxl megoldani,hosy miD6segi ismervek is szerep€lhesse.ek a regresszi6s mod€llbm.

II

III

10.3.1. Min6s6gi ism6rv€k k€zel6s€ a regresszi6s mod€llben

A regresei6szimitis alapvet6e a memyisgi ism€rek k0z0t1i Osszefiigg6sekd,was[nek eszkd^*L A2 eredm6n]aelbztt illetij€n €a a kikittesr tovibbra is mes-lanjuk. A magyardz6veltoz6k kitzitn a?onban gyakan dekozunk min6sesi vasy te-rinei ism6rvekel is. Ebben az Eetben az ism6wek€t allemativ isn6rvekl6 alakitjuk,6s nesrers6ges viltozltk segitieg6vel illesztjiik be a nodellbe. A ncstcrctgcs vahoz6kily modon I 6s 0 €n6ket bnalmaz6 vehozok.

A mina'segi vagy teriileti isn€rveket egsyel kevesebb vihozoval tudjuk bevirmia modellbe, ninl ahtny vnltozala vE! u ism6Mel

Allemativ i$neweln6t, ha a min6Fgi ismsv csup6n k€t velbzattal rendelkezik(pl. f6rfi, n5), akkor el€g€nd6 csy m61e668es viltozot bevezetni (pl. ferfi =1,n5 = 0). Hrtun veltozattal redelke6 ism€Mel k61 mesleniges veltozo elegend6 stb.

N€ziik meg altalnnossngban, hogyu titn6nhet a mh6s€ai ismCrvek kselese Iregresszi6s modellben. Vizssdljuk a bntt6 ,tlask@stnek z €letkoral, a nen szerintibovabnozdssal 6s a b€osztissal val6 ds*fiiag6s6t!

Kepezziik enn€k erdek6b€n a kiivelksl modelll:

Y=Pa+Pi+Pi+P3R+8,

aiol a vdlioz6k az al,bbiak:L a havi ethgos bntt6 kereset (Il),

Nr Nem N = l. ha a megfigyeles ferfira vomtkozik,N = 0, ha a ne8fis/eles ltire vona*ozik,

A: Beoszlas R = I , ha a megfigy€l€sbe bcvonl dolgoa v*16,t = 0 , ha a megfigyel6sbe bevont dolgoz6 b@sztoft.

Emek rnegfelel6en a nod€ll *rid peldiul egy 45 6ves, vezel5 beosztasbedolgoz6 ferfi havi brutl6 dllagkeresetaek varhab en€ke:

t = p"+ p,a5+ B,+ p, .

mig egy usymcsak 45 6v6, vezetii beoszrisban dolsoz6 tr66:

t=po+p,ts+p,,

ataz p: -vel kev€sebb. Ez pedig azt jeleDti, hosy p, u zon6 koni 6s b€oszttsrl fer-fiak €s n6k k€resel6nek vrrhat6 €neke kdzittti kijldnbs€g- Hasonl6 enehezest adha-tunl a -R h€sterseges v6ltom pr pdciilis r€gresszios egytihhatojatrak is.

Ezek alapjin vllas, kapunk ara, bogy a kerese0ek szinvonahbm memyiben jurkifejez€sre

^z el€tkor €s a beosztrir, illetve, hosy azoDos 6le*oni es beoszltsu ferfiak

6s na'k esel€bcn van€ vignifikins kiiltttrbsas a havi erlagkeresetek nagyseeeban.

236

A mesters€8€s v6hoz6kat rartalmaz6 modell param&ereinek becslase uSyanigy alegkiscbb D6Syzelek n6dszermek segibdg6vel litn6nik, minr ahogy azl a korabbiakblnhfituk.

Nerik a kitvetkez6 peld.it!Az egyk budap€sti keriil€ti itnlomrnyzl felmer6st vagedcrctl 50 cl dds{

Beghirdelelt zaildovezeti csahdi haza- A vizsgalal sorAn a kdvcrkez6 lellozdkur li-gy€llek neg:

Y: a lakis kin,lali 6ra (Ft / n') ,x,: a lak,.s 6l€*ora (6v),

-, [t, tra uao retero",' [0, ha nincs relefon,

x. lr, ha vd csalorna,

' [0, ha dncs csatona,

l. Jr. bavu 8d,i^.'''

to. ba n'.cs eaiizs

Lineeris regresszi6s modell segits€gev€l ktjzelirve u y valbz6 alakrlrsit. a kbvetkez6regecszi6fi igSvmyhe Jubnak:

i = 6500 - 1000r, +95011 + 520rr + l200ra.

A paramaterek meghatiroz.isa a legkisebb nesyzetek elve alapjAn tdrte.t Az ellen6rz6s sortu a pm&erek szignifilensDak bizonlultal. Erielmez€snk a kdvetkez6:

- A ro param&en Dm 6nelDezztlk.,r: Az egy 6wel id5sebb lak6sok kinilati ,ra -

^zonos teleionelldtoxsrSor, csdtff-

nizoflse8ol 6s garrzzsal val6 cllatotts6gol {ell€telezve - itlaSosu 1000 FU nrr jcl

b,: A l€lefonos lakdsok kiDtlati a.a a v€liik azonos cle*oru. azonos csaror

niadsisu6 sdr6zs€ll6tods,gri lakrsok€nal fthgosan 950 F mr-rel masasabb.Dr : A csatonf"oll lakasok nra nthgosm 520 F, m' -rel magasabb az azonos elet-korit, azonos t€lefon- es garizsell6rolts6gu lakesokhoz k6pesr.b.: A ae6zsl rendelkez6 - a tttbbi vizsg,ilt r€nyezd szemporrjab6l eg).forma ti-pusrf lakrsok kinilati era etlagosan 1200 Ft-tal nasasabb n€gyzehebrerkent.

A reSresszi6s egynhhar6k 6n€lrnez6s€kor hasoDl6d Jrnnk el, mint azl a eandddizil6s soniD lettijk. In is egy-egy teDyezS hatistnak elknlonil6s€r61 van sz6, a tdb

231

bi tdnyez6 lrllozatlansega nelleft. Nem haSyhato azonban figyelrnefl kivtil, hogy azeredmanyhez alapvet5etrrnds m6dszerel jutottuDk.

A regesszioszemitrs nlialenosabb, mint a st ndardizilas modszere, mivel €ln6-letileg rc6z61eges szdftf min6segi es nemyisegi ism6rv halrsrnak szelvilaszLtseraalkalmas A reercsszioszinftas rovabbi elainy€ n6g, hogy

^z eredmeyek a megismen

hipotezisvizsgalali m6ilszrekkcl ellen5rizhe6lA szimil6eepes prograncsonasok alkalnazisdnil azonban iigyelni kell arra,

hogy a szitnil6g€p neh tesz kiilitnbseaet a ,,tcmeszetes" 6s a ,$esters6ges" viltoz6kkozort. Ilyen serekb€n a korchci6s natrix €:elnei egeszen kul0nb0z6 (asszociAci6,vegyes kapcsolat, koreltci6) kapcsolat szorossegft merik ao.os fonnuleval, apnronkenti koneldci6s egyntthat6kkal.

I 0.3.2. A t6nyezdvdltoz6k kiv{hsztisa

A regresszios modell specifikelAs,6nfl d cls6 €s cgyb$ lcanch%bb ltladal ecrcdmen)'vrllozol befolydsol6 magyai6z6veltorck ki\dlaszLisa. EMe nltaldban java-solhalo az ado( reriilel szakelt6inek tanacsat is kik6mi. Miden sz6ba jiihetii vnltoz6liilialiban nen lebelseaes 6s rendszerirt ncn is sziiks6acs bccpileni a modcllbc.

A.z .,olinnlt rcgesszi6ftSgveny mcghatirozrsrihoz ket t6 szempontot szokes

L Ugy kell kialakitdi a rcgresszi6fiiggvanyl, hogy becslesi celokra alkalmas legyen.2. A legkevesebb leDyez6v6lloz6l tanalmaz a vi^adh sztochasziikus kapcsolal le-

A felsorolt kdvctclm6ny€k cgyidcjri bct{ti6a azonban rem lehctscacs- A gya-korlalban bizonyos konpronisszurua van sziiks6g Tobb ft6ds'f,r ismeretes z,,optirn6lis rnodellek" szerkeszles6re. A vegst' ddntesnel a"onbai

'nindig Linaszkodni

kell a vizsgiill brnlete vonalkozo szakmai ismeretekre. A t€nyez6vnltozdk kivrlavti-sanak m6dszenanaval reszletesen nem foglalkozuik.

MeSnnitijlq hogy u optimalis regresszi6fiiggv€Dy specif ctldsnn.k legeay.ze-riibb, de rerdkivnl nurkaig6nyes modsrere az itssrs lehets6ges rcgresszi6fiiaav€nykiszimitnsa 6s dssz€hasonliLisa a teDyezaiviilloz6k adon halnazibol. IlycDkor u ite-szeh6onlitisnel tltaltbd a t6bbsziirns deteminici6s €gyntthat6ra ijmaszkodunk. Ez amutat6 ugyeis (minl azt mir ismcrtcttijk) a, fejezi ki, hogy az adott modellben sze'repl5 renyezijveltoz6k €Bynft€seD milyen dinybd megyuimik meA n etedneny-

Ncm cl€gend6 azonbm csak a ldbbszitrds deteminici6s cgyntthal6ra figyelni At'lsagosan bonyolull. sokvdlloz6s nodell ,tlekinlhelellen. Ez€d azok kitziil a nodellck

ki,ziil, anelyelock kijzcl uonos a tiibbszttriis dcteminici6s csyiitdur6ja ( R' ), a ke-vesebb vdlioz6r 1analmaz6 regresszj6s niegven)'l vrlasztjuk. Ezel keft's c6ll eriink el.Egyr6szl esyszenisitjiik a nodclh, misr6s, csiikkentjiik a nultikollin@rnas vesz€lyet

238

10.4. Gyakorl6feladatok

1- Egy l0 clemij v6letlen miota alapjin az vizssnljuk, hogy milyen osszelilgg6s van

valamely tmdrsy ziirthelyieredm6nye ( D, a felk6sznl€si id6 ( x ) es a hallsato i!

relligenciabanyadosa ( X: ) kozolt. A I0 ballgar6 adatai u alibbiak:

", irjuk fel a trdszfomilt nornilegy€nl€leker (Id =>dr =ti/, =0),

szitmitsuk ki a regreszi6liiggv6ny pdmetercit!,) inelm€znk a kapott eredm€nyeke!!../ Szimilsuk ki es €rtelm€ziik a k61-k6l vrltoz6 koznttl kapcsolal szoross:iget!d, Szamitsul ki 6s Cnelheznk a tijbbszitrijs deteminAci6s egynthatolle) Vi^sdljuk ncs a parcinlis rugalmass6gokat a2 r =10 €s r, = 100 helyenl

A Knzbkeddstudom,inyi Inl€zel megvts8aha a munlaba jirissal kapcsolatos uta-ziisok (ingdzesok) alakulisir. A res.esszi6s modellvnltozoi a k0velkez6k voltak:

Y: in9ia6k szin6 (ezet fi),,{ : aktiv keresa'k szrrna (ezer ftj).

xr: vrrosi lak6nepessdg arrnya (%).

A kapott r6szercdm6Dyck a kdvetkezSk:

A resrcsszi6s fiisav6ny: i= t2t9+0,23r +24,4x,.

A param6terek slandard bibdi sonendben: Ja = 178,9; r, = 0,04: sr,, = 1,67

IIIItIt

II

II

tIt

rQ

l l

545665

2558E

9999

lt698

l t47012

8591

0lI58

r0994

I l810097

239

I I o'71 o95lA kon€tici6s nttrix: R=10,71 I 0,561

Lo95 o's6 I I

aJ Ert€lnezziik a kapott eredndDyeke!!i) Szdmitsuk ki a ritbbszirrits korrclrci6s 6s detemiflici6s esvntdDtor!

e) Hattuozuk m€s 6s ertelmezrTk a2 \Fz-r\

.Ji Teszlel.jijl 5%-os szi8Difika$iaszint€n a pi 6s p, regt€5szi6s egvnnhar6karl

A vrllalati er€dmeny (4 alakulisft 20 elemt minta alapjrtn regresszi6elemzessel

vizssaltuk. Fiissetlen valtozo a nett6 itubevetel (x, ) 6 a l66z'n ({?)volt

Ercdmenyek:

A p@o€tcr sland,rd hibij.

op250,019

0,0050,004

hmercles lovibbr, hogy a regr€srzobol szirmazo ilsszes elrfls_neglzel(bveg

36 900, a marad€k-niglu rossze8 peds 9100

d) K6szitsiink 95%-os mesbizhantsegi ei en koDfidenciaint€rvallumot a regresz-

szi6s ee\ttthal6laa!,) Altitsui- itssre a varianciaanalizisrrbltl es letaeljnk a regrsszi6fiiesvo'r

5%-os szignifi kancieinten!

40 v€letlenszerfien kiwilasziotl szemelvgepkocsi tzmeltet6i kdltsdga (€g Ft/6v),

y: eletkoret (€v), X! €s kilooereneljesitDenvet (ez$ knliN), X, r;^Eiltuk

A resresszi6fijggveny: i = 42,5+ 3'9s't + to'tx 1 '

A paramdterek standard hibei sorcndba: 14 = 165; s4 = l,3i 16 = I'l

Az elteres-nealze ldsszegek: S.9 = 18 872 '

SSR = l7 495 '

a./ Ertelrnezziik a parameterekel!

U Teszreljnk ^

H o: p, = p, = 0 nullhipotczist 5%-os szignifiknciaszinten!

)40 241

c) Keszirsiik el a F1 param6ter 95%{s n€gbizhatosnsi szintii konfidenciaintcFvallumil!

/, Becs jiik neg egy 15 €zcr km,1 ftro 6 6ves a€pkocsj eves izemcttcrtsi tith-s6ge1l

50 v6lelleDeerfitr kivehszrolr n6n6l a kitv€*€zai vetroz6kal fiByclliik mcg:T€stsrily (kg): IaT€sbnagassts (cn)i x,.

Eb*or (6v): x, .Az al6tJbi eimirisi res?rredineDyek ism€rrek:i = -35,8+0,55r, + 0,27r,,

>d: = 26 effi , >e'1 = s64e.

Ellen6rizijk a leianciaanalizis modsz€revel, hosy sziSnifikiDs-e a felso.otr vAlto?rk kitzitlti ttszefiiggesl (Szisnif*a.ciasziDl 5olo.)

Medgazdasagi szitve&ezetn6l a lo*onca tem6srtlasnr befotyrsol6 teny€zajkervizsg.illik. A megfigyell szt'ry€tkqelek szima 30 volr. A k6r l€Sfontosabb har6t€_nyez6nek a mftiigya-felhaseilas 0nr6anyas qiha), 1, 6s a felhasznalt dnrdz6vizmeDyisege (nriha), x? bizonlult. E hAron tdnyez6 nssz€fiigg6s6t viagelva azal6bbi Eszer€dnenyek ismenek:A regresszi6fiissvoy: i = 0,9E+ l,s4?rj + 0,03,,.A pdm€ter€k $anddd hibii sofretrdboi 0,446; 0,174 es 0,00039A rescssa6fiiggveny 6n6keinek (i) 6s a rermesitlas ncsfigyett 6n6kcinck (y)itsszEs cltdres-ne$z€titswAe I 18,,14.A maradek-n6sy4ti'sszeg: 10,1 ]

I r ois62 0.9] t6lA korelrci.5n trix: R=10,SS62 I 0,60S1I.

10,9316 0,6081 | |

ElmezzSk a korel6ci6- €'s regrcsei6szimiris er€dm6nyeir!

rT. AZ ID6SOROK OSSZETEVoINEK VIZSCALATA

Ta dn!",,unk el"o kdleGbeo mit Bl6lko7tutrl t 'dobeli

tsmErv szennli elcmzes

esvszerubb e;eteivel. Me8'smerkedtijnl a" rddso'ot ftjbb tipusa'val es azok sFfilusm;a,eledtes6vel. Bemurairul tovdbbd a/okar P egvs/enibb mutat6szimokar. me-

lvefiel a i€lensdeelb€n, fotyamatokbm bekove ezefl valrczisol vizss'lhar6k' A felsorolim6dszerek alkalJnuasa leher6s6set n}!lt a vragidlt ielenseg m'iJrbeli

ferlirde"Enek meerllapila5iB Ovakorlali lapas,'lalalok szalmai Emerelcl binol6bd -r'i,

-a"o toaarozon mmckben modunl vd a ldruetrv\zenseaek felltrdstua 6 a

relense! idvobed alalatadoa] .7 e'drejelracte is Az el6/6 feFetekben ismeneaid<

;,.kar;;armadka j-sraris^ilar elemzesr szlozoker. amelveket lelhasail!a a7 idd-

.o!ok mihebb. meebizhal6bb elerueser ts elvigezhelinr"Sratr.aikai eiw€. szempontidbol u idder nsv rs feltosharo rut a/ egvs

iddDonlokno/ (rdbszakokltoT, rodelr rdloszinii*8i vlilroek i'sszes*8c t'enye8es

sqrirosaga. hogy rudeo olym idSpotrrho/ ridoszalSo?l' mclvben me8fi8v€l6n vCf

'fil a ;l6ei;fiseei vrhoz6 hildnbiiz6 (rendszednr v€stcle! sok) lehetscges €n€ke

larto;ik. de ezek kit;l ten€szet€sd csak esv realizilodik.Ajelos6sek fejt6d€se, alakuhsa 6s isv az

^zoknak megfelelit id5sor szimos i6-

nrezo eevines hatdsmal az trdnenve A" egy-egv ieletrsee v'lb/as'l befolvisol6

sok-ok Gnleztirbl mAlyebb. rcszletesebb Dlorm6croDt altaliLbd nincs F vallozisol'

halesAt is dak kitnewe, az id6ttnyez6D keresriil 6z;ketjiik Az id61€nva6 ily rn6'

don gyiijli'j€ a jelenseS€t befolyisol6 teny46k sokasnsioak Ebbtil kitve*ez6en @

tdSsiiokai spaiatis szachuztihLt kap.solatnak te*i^Atk' ml o nos/aniE6vihozb

s4reDar fomdlae @ //a'ianwd toli be A7 'd6sorelemtsoek

ler 16 megkoalilesi

-oaiir ismen- a derermruaikus 6 a s/locha/rilu5 idderelern?€s

A der€rminisztikus idSsorelenz6s abbol a fellev6b6l indul ki, hosv az id6sort

bn6san 6rvoyesiil6 hosszn riw rcDdencia (trend)' tart6san hat6 szabnlyos' .i6l mG

dellezhet6 huMrnrnozsft (szezonalitis) hatiroza m€8' 6s €zektdl 6di-egvedi eleril6

hatdsl eredmenyez a v6le1len.A sztoch;sdikus id6soreleozis kiindul6Pontja pedis az' boev mhd€n iditsor

sztochasziikus folyamal, m€llBek pillanahyi alakuhsfi $jrit koribbi illaporib6l es a

veleden ha$sokbol lehet magyar6ai E felfoSes szlrinl a velelten vnltoz6 beePtrl a

folvanatba. annak aktiv atkot6elerne lesz, 6s a jel@s6g 16 m@8at6jiva valik

Tananyasuntban csak a determinjsztil'us id6sorelemassel foglalkozuDk

242)41

11.1. Az iddsorok aisszetev6i

A slatiszlikai €lc@6s szempoDtjiib6l az id6somak harom itsszclcv6je van: azalapininyzal vagy trend, a p€riodikus ingadozas €s a veletl€n ingadozrs.

Az iditsorok le8fonlosabb 0sszetev6je az ahpi.rityzal vagy tiend.

A trcn.l E icl6sofian hosstubb id6s2dkoh iit tottdsan iwinlesnl6 kndencia.

Az ^lapnill\zar

maAa is tdbb l6nyezaj egyijttes halisinal a kitvetk€zmenye.alapvet6€n drsadalni-sedasisi titrv6nyszeriisesek bartuozzak I']eg. A gazdasAgi ie-loseset f€jl6dsi lmdeNiij,nak kialakubsaban l6Dyeges szaepe van a demogrdfiaiv6trozisoknak. a mnsakj fejlijd6snek 6s a vizsgeh j€l€nseggel osszetu8g6 eay€b spe'cirlis kitrnLn€nyeknek. A jelens6g rerdj€ addjg €wdnyes, mi8 a masyardz6 ritrcnyszeriisegek stabilak, azokban l€nyeges valhzesok n€tn kdve*eznek b.. Ha a tiBadalmi-g^zdasegi kitmyezetb€n min6segi velbzesok tijve*eznek be, a !6gi feildddsircndencinkat nj lendencid< vel!6k fel.

A periodiku ingrdozis e id6sotokban rcndszercsen isnAnaid6 hulhnz,kt jelend. Ker tipusat kiilonbozrcrjiik me8. a szezonrlis vagy id6nyszerii hulhrunsl is akonjunkturilis ingadozd,rr.

A seontilis wg! idtnJszerii hullAnzns peliodilu iagodozk, a2az a trckdtdlvl6 abszolit vagt, relotiv nirtakii.ltiri! p./io.licndst hutat.

A szezonalilrs legl6bbsz6r az 6lszakok viltozesenak kovetkean€nye. albldbanolyan id6sorokban ervanyesiil, arnelyeknel a m€gfigyelesek

'di'kozei esy €vnel j6val

ritvidcbbek. (Pl. a kereskedelmi iruforgaloft, az apit6ipdi t€mel€s.) A tem6szeti le'nyez6k n€llen iirsadalrni s?okjLsok, hagyom6nyok is szercpct jelszoak a szczonalildskialatu:rGiban (P1. az nmepek ishatasal vmak a keloskedelni forsalotra.) El6fordulbat, hogy a pe.iodus hossza esy €m6l rdvidcbb. P€ldakelt emlilhet6 a tomegkdzle-kcd6s, abol egy 6ven, egy honapon, s6t eay napon belnli ingadozns is kirnutathat6. Eb-bcn a eselben lobbszitrds szezonalil*l mutat6 id6soE6l beszaliiDk.

vamak olyan id6sorok, ahol u insadozisok p€ri6dusnnak hossztsega lern ril-lmd6. Ezck cgy r6sz6nek t€rm€sz€d okai vannak. Kimxtathat6k b;onyos meleorcl6-saj ciklusok, arnelyek elsdsorbm a mez6sed6dsj rmeltst befolyasoljik..J€lletnz6'ck az tn g^zd$isi (konlunktura ) cikrusok. A gazdasegi ciklus a konjunttura, arscsszi6, az iizleli pmgas 6s a megujulis id6szakail foglalja nagaba.

A lodbbiakban a m€gfieyelr ^dat^

k ^

tendbdl. illetve a periodih6 inauda.At-b6l szimzaat rCsz6t detem iniszt ikushdk Gtelezzij&. tal-

Az id6sorokban lehetnek mdg r6l€tleDszerii, szaballaalan ingadoznsok is. Ezrn itszere\an valdszi.ns'gi etlttozbnak tekinrjn*. A v6l€d€n insadozis sok (dnnasii-ban nm jelenl6s) ldnyez6 egynfts hadsa az id6sora. A v6letlen hatrs erednenye,

IItIIII

II

tt

II!

hogy az id6sorok adatai a tcDdb6l, ill€tve a periodikus komponeNbijl ad6do 8t'rbe kit'

riil sztochasztikusan ineadoaak.Az id6so.okban lizonyos k6rnlnenv€k hal,,sAra eavszcn kiusr6 6nekek is elit'

fordulhahak, melyek rngysrguroel 6s egvcs esetekben ul6hati'suknil fogva ncm le-

lrnrherbk veierlningadiida;t. {PI hibodr. snlvos Frm$zeti csaPasok hrrisn.r E

klu!ro eaileker. melveker rtnttr..iri tutas?kte| ncrez|nl cl kell knlbnilenirnl a

feniebb fehorox lonpooensekr6l. Hogy Lor2iro hat?sul ft ju5$n k'feJeaie a2 egvts

osszelevijk rnegha6r;znsen6l, a stuktuiilis tor€s€kel 6s u utdhar'isuknt jelleM'j ada-

tolat celszerli kihaevni az elffi€sekn€I.Az egyes teiyezi;k sz€reP61 az idltsor kiahknastba'

^ 111 abtu s&n^iral

M Abrot idisomL tonoonwi

Egy-egyjelenseg id6sora nern tartatnsza feX6llcnill min'lhiirom itsszetev6t Ha

peld.{ul;gy jelens6get csak 6venkml figyelnnk me8, akkor u idSsorbm rcE lape-

ialunk rd;;yiari fillimrsr, d q€tless itrgadozisok u eves penodu5ban liesvm-

lirodnek. ritfordulhar z is, hosy esy jelseg anEteit havoDtenr nj8ziriill.6 a meg-

figy€l{ adatok kis elt6res€tkel egy n and6 6n6k kitdl ingadoaak- Ez esetben nem

b;;zelhetiink alapjre6)zat6l, az iltm id6sorokat stacioDitirs id6sotoknak nevezznk

Az idiis;k el;mzsnek al^Pvet6 febna\^ a konPotNk etkmitnitise A ft'

nyezitke bonlis tobbfdle eln€leti fclteves alaPjen litnenllet Az egyes kompone6ck

io't;tt oaaiti, 1i:ss.egsze,ii\, nultiptikotiv (sznt,"wgril' vagv €zEkn6l bonvolulrabb

kapcsolal lch€tsdges. Mi a tovtbbiakban csak az additiv, illdve a mullipl'kativ itssze'

fiigg6si fek€lel€ae vizsgn\uk e idSsorok dsszetev6it

244

I l.l.l. Additiv €s multiplikrtiv komponensek

Szen 6lte6 abr6.km (1/.1. dr.a) felt€t€lcztiik, hogy a komponensck iiss^-ad6dnak, 6s a kompone.sek ijsszese adja az id6son. A syakorlarban az elcmzas lordirva titrt6nik, az id6sor adataib6l kell elhiltiniteni az egyes dsszereli'kcr. az ida'soi kcllkomponoseire bonlani.

Abbu u es€rben, ha azt feltaelezheljiik, hogy az idliror adotai a konpanlnsakdsszeAekent dd6da.k, additiv krpcsolrt.6l besz6linl Ha negfi8y€lisink p szrmnperiodusra (pl. 6re) cs €ey p€ri6duso! b€lijl n idijszaka Gzezora) vonatkozik, akloraz t-€dik id6szik megfigyelt adata

'1a=Yj+st+v! .

^lnl i=1,2,...,p a periodus sorszimdl (pl 6ve1)ieliili,

i = i, 2, ..., D a perioduion beliili idaiszak sorszemat (p1. negyed6vet, h6napo0

.ieldli,r, : az iedik periodus/:edik idSszakanak megfiByelt ailala,

s, :. a szczodlis insadozrst (Mrncly,tdik p€riodusJtdik szlkeibd) feje, ki,

vr: a veleden hatrs eneke az i-€dik periodus./:€dik szakasziban.

Esyell€n irdexet hasmalva ( 1 = (t - 1) z + j ):

1 ' =v '+s'+ - ' '

A szezonnlis €lter6s a pen6dusok knldnbdz6 szak6zaibaD knldlbijz6 mertdkf esntDyn bher Az egyes p€riodusotban a tnldnbozai irrDyri, poziriv, ncgariv clter€sekkiegyenlitik €gymesl (Ha a ki€gyenlites D€m kiivetk€znek be, aklor a kiildnbdzclct atreDdbe kellen€ b€epiGDiink.) Teh.ir egy u szakaszb6l allo peri6dus cscrcn:

i " _"

A v., v6letlen komponens - ninl mar €nlitettiik val6szitriisegi vrltoz6. Addiriv klt

csolat eseten feltelelezzak, hogy varhat6 en6ke

M(vr)=o.

Vannk olyanjelens€gek, amelyekn6l azzal a felt€telez6ss€l €lijlk, hosy az id6-sor adatail a komponensel szorzala alkotja, az osszetev5k kap.solata multiplikaliv:

qt=t , ' s ' v\

ahol r;: a muhiplikativ modon hat6 szezonrlis ingadozrs,

v; : a mulliplikativ modotr har6 v6letler hatAs.

Az alapidryzat sz€rinti 6r16ker nem befob/isolja a konponasek kapcsol6d'tsi

m6dja. A pe;iodikus itgadozds es a v6letletr hullsrMis viszoDt lenvegsen elt6n6 m6-

doD ;isetkedik additiv A multiplikaiiv kapcsolat cs€ten. Ebb€n u eetben a sze:zomlis

(6s a veletttu) kornponm relativ modon fejri ki batisdt. Az id6sor 6rteket megbatirc

zott arinvban leriti el a trendt6l Az n'=vt ;t v; itsszefiiggEt pozitiv tovez5k

esel6n logaritmizilva a loga' =logv, +logr;+logv; itsszefiiggest kapj* Az addi

liv kapcsolatnel ehondott f€ltetelq€sek ebbeD az eselb$ a logeitmusoka vonatkoz-

nak 6s negeeyeznok azoktal. I8y

I ( t "e ' J=o e" M(roB' : )=0 t l j r . .n: , - r . .p)

Ebb6l kijvelkezik, hoSy

*_,l l ' , '

A Syakorlatban a vi^grll jeiensegre vomtkozo ismerctek, valamint az adoft id6_

sor crafiku' abraianal aflekinlase alapJeD donthdi[k el hogy m'lvfl az iddsolbu !

komnonensef kaDcsolodar modia Ha a szeronalis hulliwis obszolit naglttAd mutzl

6lla;do,dsor. rd;r u ha a retaL; naf|lsriso. a 'ot u //ttPrlta., v modellel dllunt szem-

11.2. Trendsz6mit{s

A treDdszimitis f€ladala a2 idi;sor i; konpo'e6itek @ dlaPnAnYahak a ki

Az id6sor kiesy€trlit6se, kisinftisa a celuk tigy, hosv a periodikus ingad@is 6s

a veletlen insadozG hartsit kikiiszitbitljijk. Az id5sorck ki€gvenlit€se tobbfek mod-

szerrel t6n€nhe1, kdziiliik a nozg6^tlaSolas is az oaalititus trerbtuiniiis nrodszeftlisnenet[k. Megenlitiiik az alapirenyzal neghat mzts6mk el6zeles' Syors infomi_

ci6szerz6sre alkalrnazott n6dszeftr, s sralikl,s beslest Az id6sor vonaldiag'mi6ba -sztrnitss nelkiil b€csl€sszeriien egy kiegyenlit5 vonalat Ejzolunk,6 a vonal e't€kcir

kezetiik alapirao)zati dn6kekkent. A m6d52er iiDkenyes, nen tekmljnk m€gbizbaloeljirrsnak (kiveve u esyszeni esetekct), csak el6z€t€s laJckozodrism alkalnadlar6

246 247

11.2.1. Trendszimit{s mozg6itltgolissal

Ha a komponseket illet6en additiviti$ ra€l€ziink fel, alkor a

)r , =0 6s M(vr) - 0

felterelez€sb5l €s a periodicirrisbol u kitvetk€zik, hogy bnmely 0s /< t I eselen:

Su,- ' -Sv -S" -S rr , - ' . lv

Migmulliplikalivkapcsolalesetm:

l i =t , . . . , p) .

Foglalkoank c$pin az additiv €sen€j. (A multiplilativ eset hasonioan targyal-hat6.)

Ha d nuga,itlaA k tagszdha ^z

n-hel vqy zmak eEesz szinn bbbs2t;rds'@lcry€d6, akkor a f€]id ossz€{iggesek miatt varhat6, hoay u itl^aban a s,e,o,nlis es

^kterle, konDonens mer nm szercpel.

A szemiiis mene{e a kdvetkel'. A2 n = n- p fajrl adalsorozal 1,2, ..., & 2, 3, ...,

k+t; l+t,l+2, --.,1+ k ind€xii €l€n€in€k kiszlmitjuk a szimtani athgii (rnuhipli-

kadv esetben a geometriai irhgel)r. 6s €zt az edagol pdratldn k esetah a ftszsotozar

kaizaos6 ebmenek rekmrrnk 1 7 * I1l -"4,1 "1"-1)

E^m.ir j^^ILLtunblatut k=3 eset6n-

I Megjegziik, iogy a Syalorlaiban - a tompoDemek tapcsol6desi n6dje6l fiiggetlennl .m@gr6drlagokal eAmiani tulaaaal erimitjur e in ismertcr.n m6dor.

IIIIIII

n MoD=n4,.;, Ma:)= fI Y,

IIIIIII

It 1. tdbti2,tH't mn I a g!

^ozgtn la go* s zd n tu a s a

In .r,, z ?, val6sziniis6si vrlloz6 adott megfigyelBb6l (minLtb6l) szimz6 artcke,

i, p€dis u r, becsltse.

Ha,{ prro,, aj*or az /- = trem eCesz. hd€m pl. I 4 eselen 2.5r 1.5: 4.5:

...; , - 1.5 . Ez€n u igy kapott A agokbol k6ttagl mozg6ethSok kepz6wel kapjuk azc8€sz indcxn elemck€t. Ez ut6bbi ntveletet k6zepre iguitdsazkv^gt ce rirozAsnakneveziik. Az clinrAsl a I1.2. ftbldzat sz!' b\en

I L2. ibhzatNigtogi no.gtnnaAok eAni ita

(*=4)

1r=3)

t,I

23

:1, 1

o,2= !" t+ yr 1+ th l

I

2

l

:

^ =|t, ,+t.. , \2

r r 1=\yr 15+ yr \5ut

248 249

A b€mutabn semikbol j6l lithar6, hogy a ki€gyenlir€tt idaisor rijvidebb, minl azeredeli id6sor. Parallan lagszim cs€taD I - I ta8gal. peros ragszem csel6n I taggal kcvesebb lrenden6ket ludunk meghateroai. Celunk. hogy a megrdvidijlt krcgycnlilcltid5sor alkalmd legyen a elrruesre. knveikeztet6sck levondsera, az id6str ri'vldnltsrne okozon lrilzott mdnekii idfomaci6vesztes€ger. A mozgoellag 6gs7im.lnak nlcg-vilaszdsa nigg az id6sor hossasisit6l. Viszonylag rovid idaisorb6l ncm ralszcrii n!8ytagszimi moza6edaaol sztmolni. Ha az idaisor ncm tanalmaz szczonilis ingudozAsl,celszrf prratlar lagszamot vehstani az alapndnyzat feldrisahoz.

lsm6telt€D haDgsulyozzuk, hogy a szezondlis hullaMiisr murat6 id6sorok eser€na nozg'tt ag tagszinil ,igy kell negvdl^\2tani, hog! az a peti'dtsoa beliili szokMak(s,eohok) sdndvatozoaos (k= n), rasy ahhak esaszs2Ani ktbbszdtijle lesyen.

Ha e8y Jel€nses €n6k€it pl. negyed€ves bonttsban isnerjiik, a szezonhatrs kiku-eitbitlBe €rdek6b€n 4 vagy 8, csedeg 12 tagi nozg6rllagot c€hzeni szimjtdi att61fiis86en, hogy rnernryir€ hossa id6sor dU rendelkez€sre. A v€letlen hat6s kikiiszitbdte-se amat halekonyabb, nin6l nasyobb tagszami az etla8, ugyanis am6l jobban ellijn-nck d eayedi ,llagoland6 &€kckben j€len l6v5 vele { insadozrsok, hjszen az 6tlagnagy val6szinns€Bgel a virhat6 ertdklel, nullaval l€sz egy€nl5. Az elnondottakbol li!hat6, hogy viszonylag rovid, szezoMlin$ mu1ar6 idSsor €sel6n a mozg6rrtag lagszrmamm fitvelhet6, m€lynek kiivclkezt6ben a v6letlen komponed €n6ke nem sz(r6dik kitelj6 cg6e6ben & id6sorbol, dc hatdsa tompirott lesz. A mozS6rtlagolasi trendszi-mlris elSnye

^ mirdszet egyszeriis686b€n. sz6l€s koni alkalnazhal6sag6ban rcjlik. Nem

igeDyef el5zct6 feltaeb?eselet a rend alaljera voDatkoz6n. Hatrawa, ho1y ^

ki-egyer itefl idijsor megrOvjdiil. tovnbb6. hogy a m6dszer kdzvetleniil nem crcdh€nyezasalilikusan ismen lrmdfiiggvenlt.

Telin6nk a m6dszs bemltalrs&a a kdvetkezai Ddlddl. {Adatok a | | t. nihhi2nt-

11 3 tn nzalA tutzta asok sznnn,u a.talesitet enznennJ,itis Nthrdd neg,then tt90 ir t994

k izttl neseddes bontttbun

!vI l l . IV.

990991992991994

t,56.1

9.1

'7,28,18.0

2.,45.15,21.21.2

1,97,28,08,5

| .1

Mivel aes periodicitisr6l €s negyed6ves sPomlitisr6l va' szo' * supatr 4

vagy arrak eg6sz;zfnn dtbbsz6rttse lehet. Az attarsor m€rete miatt vilasszuk a /t_t 4-

n€k- A szimiiisokal a 1l.? . tibliEat ratr^h@zzl

11.1 htbri@t.4 doz s'ind aSot 4sn t adt& n i ttr

^ t n k"t b I tij a

(k=4)

E!

n.iitlag

. t ,1990

t99l

1992

r 993

1994

I .l lI I I .IV.LI I ,]|t.lv.LII .l[.

I .I I .I I I .

t .l l .l l l .lv.

1':r2.4

6,1'

5,r

'r,41

5,2 \8,028,218,1i7.2\8.5,9318o i - ''t.2 lI t .T

'.12,9

-25426,126,921,O

_> 2.r,828,6

I t ,5

->12,0l3, l31,033,0

.> 4,025

_>5,5256,3506,5256,7256,?506,9507,t50'1,1751,8758,0004,21581508,2509,050

t,6

6.66,76,8'I,O7,3

1,98,18,38,28]

A jelenseg mesfigy€lt 6rt6keit 6s a mozg6illaeolrssal szimibn trend6nekekeri$rieolt\* a I l. 2. dbtAn.

250 251

Ifrt6k6ttet ncdyislS (milli6 h')

1990 1991I m.!v L r. lll- N. L

1992u. ttr.Iv. r. L II. m.I\I

Itr. Im. rv

I

III

I

IIIIIII

1l 2 nbnh'ttta 'iso[

g@lelhaetdldsAnok alakt'iso Ntjg/nd negr'eben 1990 ts 1994 kazau

11.2,2. Analitikus trendsz6mitis

Ha a i^gAh jelenstg tort6s nnnyatit u id6 friggtatyeb€n valanilyen /eA.er:'ei6s fieefiaayel haltuonk re&.nrlitikus tr€ndszimit,sr6l besziliink.

Az analili\as trentlszimilas rch,il a r€grcaszioszam As egy speci6lis esele,u€myib€n az id6sorban bekive&ezett viltozisokal az id6tenyez6 (r.) figgveny€benvizsgiljDk lapdztalali adltok, a valGzhdsegi vd,ltoz6k mjrd€n egyes idi'ponlbanegyetlm, realiz6l6dotl 6n6ke alapjdn. A vizsg,latba bevont idftev nagyon rilkan b6vit-her6, nm k6pzelhcrij cla minra\il€l megismnlise.

lelolje v,,Ya,...,v,....,r^ az eln6leli id6sod, az eddigieknek megreleli'en

yt , ! , , . - ,yt , . . , t , pedieatapasaalal i id5son.Azi , i l , . . . , i , , . . . , i , ,azehe1er i

iddsor enekeinek Mlitikus fii8gr6ny segits6a6v€l titrt6Dd b€tsl6se.Els6 lepeskent arr6l kell dittrtc[ntu,hoay niben tip6n fiwtn /ei becsiiijijt az

ahpn6nyzal enekeil. A jelffies fejl6d6si t€dencirjet legiobban leir6 fiigeven}'e uidSsor adatai, a..,k szfhd .i,'nli, alapjtD kitvelkezt€tiink. Szakrnai ismerelek, a je'lenseg tem€satoek isner€t€beD felt6lel€z6ssel 6liink a fejl6des ininlvonalera vonat

Az alkalmazlat6 fiiggv€nyekkel m.ir foglalkoztunk a resresszi6sznniLis tennkGftn€I. Trendszinildssoren a leggiakabbanalkalmazott fiisgven)'tipusok:

lift eris trendfliggveny,- expoft'ciefis trendfiiggv€'y,- parabol,kustrendfiiggveny.

Amennyiben eldttnttttdik u alkalnazand6 fii8gv6ny tipusrir, feladatunt ataa-vdn! parunak.eiael deghofina^a. A Figgveny Param€terci meghaLirozis'inak leg-

syakabban alkalmazott m6dszere a mfi j6l ismed /€ghi. hb ,'g2etek dfl',ere.

Lineiris trend

Ha olyan jelensdg ida,'beni qiltozisfi vi^seluk, anelynel azt kpaszlaljuk, hogyaz i.lSegFegehk2 bekijvetkezett vdhoztu, rriteekedes v^gy ..itU&enes abeollit a e-lenben kitrel d ahd6,

^ l|tlozis cqye aes, azalapiftryzot i ik it liaeirisrrendatel

Foglalkozzunk €l6szttr azzal M es€ftl, amikor ninc. szezonrlis harts, vagy amiugyanaz, a szezonrlis hau{sr a trend reszsek rckiDljiik.

Az idt'sor Gnyleges trendfi iegv€Dyc:

Yt =8a+h.t ( t = l , . . . . t \ ,

ahol a Bo €s a Bj a linerris tr€trdfiiggveny ismeEtla p&m€terei.

HL a | = 1, ..., n id5poDtban minter vesziink, akko. a valosziDfi*gi vnlbz6 lev:

t t , =po+p{+v,,

ugyaris ranalmaz €gy valetle, vihoz6t. A v6letl€n veltozor6l fellelelezzuk, bogy a

, = 1,..., / id6poltbaD 0 a virhat6 en6ke (M(v,) = 0),6 a hilitnbitz6 id6poDlok vt

letlen veltoai esymast6l fissetlerck, ig/ cov(v,,,v,,) = 0, r, I r,. Eklor

M(11') =Y'

A ,=1,...,r id6portokb& m6rt tr,...,I" adatokbdl a leglosebb trcgrzelek

n6de€rwel n€shatiirozhatjuk az

y = ba+ t \1

linetris trendfiissv€ny'. ltt a bo a P o , L b) pedie a P | 6rt€kenek egy becslese.

252 253

A normakgyenlelek - mirl azt a 9. fejezetb€n httuk - a kdvetkezi'k:

-l -l2,,=n b. , bt>r.

: .+Lt. ' , -bo>t.b2t)

A mmilegyeDlereker ill i" J,-*,*"; "rr;,eeris

iranszromaciolar. Az id6,esys%eket kodolhatjuk nsy is, hogy a , €n6kek itsszege 0 lesyen, azaz > / = 0

Ezl u el6itsr csak akkor basaflhatuk, ha e id6sor eaymisr kijvel6 azonoshossaisagn id5szakoka vagy €gynisr6l eeyenlij rivolsrsra l€v6 idijponroka vonstko-zik. A kodoh$ ngy v6gezzijk, hogy n€gteressiik a vizsgnhtba bevont idijttv k6z6pst'id6€S/s6se! es hoznr€ndeljsk a I = 0 eneket. Id6b€n el6r€ (ajelen fcte) pozitiv es6sz$Eztmokat, visszafel6 p€dig negativ ee6sz so.szemokar irunl.

Amemiben p6ros szimn a vizsg6lalba bevont idi'egysesek szama, nincs konk-ret katz€ps6 id5€sys6s. Ugy jinnk el, hogy ket id6vakor (idaiporrot) tekinnink krjz6p,s6Dek, a jeldl6l lrvolabbil I = -l -gyel, a jelenh€z kirz€lebbit I = +l -gyel jetijtjiik.Mivel igy k6t szonsz6dN id6szal k6djan* kdl6nbs6se nm egysesnyi. hanem 2(+ l-(-l) = 2 ), a tobbi id6szak tivobestt is 2 eSysegnek v€sszik. A jelen fel6 pozitivp6rallan soMAmokrr irunk, a milr f€le pedia ncgariv peratlan szimokar reDdeliink az€gys id6szakokhoz a t 6nekekent.

Ha egy jelels€s €n6keit pl. 1989 6s 1994 kozdlr cves bontdsbaD ismeriiik. alloru idSszakok k6dotn$

^z alebbi leher:

L r = 1. . . . - r :

tv: 1989 1990 t99 | 1992 r993

2 5

2. >1=o:

Ev: I989 1990 t991 t992 1993

5 l - l 3 5

Ez ut6bbi transzfomecionak az d €l6nye. hogy a nomAlcgvenlelek modosulDak egv_

A\_,)^ UL,

A paramctcrek kijzvetlennl adodnaki

\ . , 2'.,-,

)"

A parantt.tuk a elnezise

A pa.atn6tcrck 6nekft befolytsolja d idcipollok kodoltjsi m6dja' amclvcl azokinelDczisendl figyeleftbe k€U \ enniilr.

A h,, pdtuniter az abpn|nyzal en6ke a / = 0-raljel6k idijpon$an.

I l! / = l, . . , . lklor a vizsgtlatba bevoni idiiponlol meacl6z6 iddponi tcnd szc

llr >1 =0 at p.intlan az. id.tpoDlok szama: a kiizeps6 id6pont alap;rinyzala. es

egybcn r !izsgdli idajsor adalainak szimiad filaga

llN I/=0 es/,//or az id6portol szafta. nincs 0-valjeliill iddponl, a br parami

rcr u id6so! adatainak sz,muDiitlaSa.

,t br patunilet o. i.loegtsilenkthti iLtlosos ohszahit |dltozb nftieke el6jelat;l trig'g6en na;tekaitst ng!.sdkkentst jel.z a riasdldtbo bevont iddtdrlont alatt

Ha tr = 0 6s u iddponlok szima piros, akkor 2b, az id6esvseeeDkenri atla'

gos abszolnt vdltozts mdneke. Jclcnlesel bkintvc a linearis lrendfii8aveny ,' parma

rere ncsc$c/rr u rdobel \d l ro/d. d laBo' meadletel . vaz a 7 mur,r" 'zmal(Lrsd L kolei 2.2.4. ponl.)

A linearis trend szimilisdt a kijvclkez6 peldival szemlelieljnk. Minl ismereles- aDepesseg nbvekedes€l (csdkleneset) alaple16en a sziilct6sek es a haldlozesok sznftnnak liszorya befolynsolja A hahlozesok 6s a sziilcldsek hilitnbs6ae az [n r?,?ta.tz"/.1 /rg!'at. N6gfad lncgydben l9tl3 6s l99l litziitt cz a jelens€8 a kiivetkezijkeppen.rlak\tlt (l L5. tdbl6zat):

254

t t 5 tttbltzalA iep.ssag temaszetes Jag:nsdnal alak"l^a Nag'i| negribal

E" Temeszeres fosyes (fd)981984985986947988989990991992991

lt2211510505

498828

|]006r15

f ld. /or a I l . 2. . . . | | c / rmird\r moo^t TUld!_" bc A paamLrcrc" nept.dt ir./dvho/ i/ufiapcttaniti<okat a 11.6. tjbb: o I rdnJlmatz^

I I 6 ltbtd2alMunkata b la a ?a,L n i te rc k n eAho ri,.zn $ h az

EV

9819849859869879E8989990991992993

Il

5

l0

l l22135r0505418361lAA58.1

828I100

132

t5:1020202390224249004672448282E0

It 100

I

2536

10012)

6r75 506

ttIIIII

Normelegyenlctck:{1t - i r " : " i : l i -6175=)l bD+66 b\ ,

41454 = 66 Do + 506 b:.

Az egycnietren&zer mcSolddsnval kapon parameterek:

IIIIIII

bo=2t2,04. b = 5t ! ,22

255

,4 tenneszetes fogyes alapirinyzalit leim linerris trend:

i ,=212,04+58.22, 0 = 1, . . . . , ,

1982-bcn az alapirdnyzal szerind termeszctes fogyes 212 ld voll l98l es l99l kitzoltNogrrd megye n€pess€ge el,enle rllagosar 5ij ftivcl csdlkent a lermeszeles lbgyiis Dijvekcd€se kiive|kezliben.

A tt = 0 nodszer alkalnazisdhoz a kci!€*ez6 szdftiIasok elv€8z6se sznksa-

ecs. (Adatok a I L7. hbtjzatban.)

ll 7. tobb2olMuhk!6bla o pa natcrcL neshor6rozdiho.

Ev

9El9849E5

9879E8989990

992991

5

l2I0

Il

5

332213510505478361?00584498828

I t00

r660r 092r5l0|0r0418

?00I 168

3lr25500

25

r625

6115 l l0

A b, Da,amerc enckc. llll=sot.to' l l

. 6!na t : 'A D, Daramererinak€: :]]= 58-22 -i-

l l0 t -A' - l r+

A l i rerr is t rend egycnlc lc: i , =561.36+58,22 t ( t t=0)

A katiele m6dszcnel kapott trendfiiggvdn)t dsszchasonlilva lithat6, hoay csak a,0 paranatc. an€ke kiilijnbdzik. Emek magyaiizata, hogy a r = 0 (ahol a niggveny a

/)( Cnakel fel\cszi) milsdiis id6szakho2 ldiozik. Ez ui6bbi rnegolddsnel a 60 €n€k€lnz id.;vt ilaeos nflakekenr d 6nelmezziik

Szimltsuk ki ezek utan a rcndcrtikekctl lla bimelyik trendfiiggl,Cnybc bche-lyeltcsitjiil a Dcgfelel6 I dmekeker, megkap.Juk az idaisor alapnanyadnak becsijlr 6nd,ke't. az i, rer. (Adarol a./ l.8. tihld.otbah)

256

EY

A lemaveks rogyr\ (fd)

( ' , ' , )t,

98398498598698?988989990991992993

3322135r0505

361100584498828

I 100

128t8t445501561620678116794853

155

t23

ri0

23834

241

I025t5 t2,

1600625

316166 4008 836

56 644I156

61 0096175 6t15 0 t97901

I I 8.6bla2alA leAkisebb nagzetek htideerahek hegl lel6 nigzetbszeq Lirih itl v

McafigyelhetlDk, hogy a rrcDdfiiggv€nnyel kapott l&szimadalok Osszegc nce,egyezik a leDyl€gcs l6Bzimadalok ijsszeg€vel, 6175 l6vel. Altalanositva is igaz, hogy

Lt, =Zy, . Ezr komyen isuorhatjuk, usyanis ii = tir, r, ,t =

- , r" r 6, i / . am rem m:i \ . minr v eLo nomdleI: l e4., . ;ot t . ra,r , . , r "

r , r .1-".

Ae-a rl.z.z.l*0.I --rlegy€nlerbal

ordalan pedjs ir, -*"p"rigy, ha lerezik is szezonalitis,

"bb- - eselb:;, ha a vizssiitl idijranrrr r

veoralit6s pen6dusid€jcnck eS€sz szem[ tdbbszijrijse, b0 6s a a szc2onxlirii\l(ifiisactlcn. A szeonalids az ),, - i, ( I - l. ., r ) knl.inbsesekben azonb!' Inlr iclcnrkezik.

A tnblrzat utols6 oelopaban szerepl6 197904 nem mrs, mint a tcgkiscbbn6gyzelek m6dszere sz€rinl minimalizelt negyzctdsszeg P6ldrrkban tehjl

Ltv, i , l ' lq19O4. I 'Edl d { lgg\m}rol reme\zele.en c\at d/ ; t t lJUk. t r .$ -legjobb a linciris fiissvmyek kiiznl, bhers€ses, hosy D B tipusn tddlicerbhy )obtoanillBzkedik Hasail a lovribbiakbd is az eddig alkalftazoll Jeldl6scket:e, = _r, -_t,. (Ha nincs szezonhares, akkor ez a y, minrabeti 6n6ke, ha van, akkor cb

257

ben a szezonalilr6b6l szimaz6 ehercsek is beme vannak ) E n'evzetdsszeget '-nel

osdva a reziduAlis sz6t,sn€glzelet kapjuk:

) r r , - i r ' I " :

l- muuro onmasibe oem dnelrnczher' hsleljebb mis fiphu nem linein'

tulevinn\cl !alo kdzchre'ct haonlo modon nvcn nuLalorirtal Gs/ebNtxrNa ra|exoT_

.'? 'ir"Jj"a"".r.

a, "

n ssr(nv rllwledr robban. ahole/ a 'e'i\nerzer k'rbb

,. II lo4 = r7 oor,r7 .' 1 l

A nec\/cls\dl\otu'sal \apon /ailli/rr s:o/n' rl8v irtclme"herd m'nl t

'a^,,,traii rcia *rnn. ekehlttt tPtI th;t6?in'l' niqv?Ir\ ottaaa

PeldiDlbaD: s,. = 134 fit

Ktpezhet6 a tutotiv tei&n i s,.,r/r mui't6szima s: t/. =:

par.r;n!h,n t/ Jla 6.2'o, '"1"r,

u ,.-es/clc' ,oFld' Ine;ns trend'lcl bec'ull' 561,36

l6rszamai a va16s l6tszimoh6l allaSosan kitzcl 24%'ka1 l€mek cl Kiilijnbiiz6 ripusi

tendftggvenyek kitz a jolensig 6letpalvnj u a fiiggvenltipus Jetlcmzi legrobban'

'hol d relali! reziduilis sz6r6s €ndke a legkisebb

A trendadatok ismerel6ben elk6szilhet6 a trendfii88lenv 8rafikotja ('/'l J d'fd)

frq\eliiil mee, ho$ hogyd ille\ztedrl a tr(ndronal a/ rdnsot ltnyleFes ddaraiho/ (A

i;i'1,; '*a"L",ii, - 'o.sor

er'd 6 uror'6 ldara drapjan F bcmurarra a/ ab'a )

258259

Tcm€szeia fogy& (Iij)

IIIII

I

I

I

1200

t000

800

600

400

2N

1983 1984 1985 t986 i98? 19EE 1989 1990 1991 1992 1991

- Id6sdadabi ---- Tr€Dd a<!ar!i AzI is '/. adatotar

6ssk61,6 eeyenes

I 1.3 .tbtdA

"ipessag lemleek\Jbv^asdDk aldlulLe Nisftd nesyibd

A kitve&ez6kben plfoJ tassznnn idSsor lj!,eads lrendjeDek neshatrrczasdtmutatiuk bc- A munkanelhjliek. d; ftai-se;;-irei; ena|esbtu nem reszesiili'k adatail at 1.9 h nzaban

^dj\k nes.

11 9 tdbtdzalAz elutatlah h,hkahil*rliel< ld/lzdn6,a* ala*ul6a Nog/nd negaben

t

I

T

IIII

lqat,\ 1o9a lozon (e,errtb)

€. I , t i IiI,

991992993994

3,21,51,89,0

12.2

2.2

I I , l13.0

2,86,0

I l . l12.8

1l l0 tdblazal

Munlotobloozcl',tatla^nun/.anel liekl'tszdddnalalalah'ntlilei'zoliaPari:ft^dfrFgvdY tuzontdanoz

Ev

r=1,.- . ,16 t '=o

t,Iv, ty,

3,06,6

t t .2

I

9

- t5t ll l9

225t69r2l8l

0,41,1223.1

1991 LI l .I I I .IV.

2.228

2l

1992 I .l tlll

3,2

6.0

5

'7

t6p22,838,548.0

25l649

-753

-11,5

6.0

49259

4,04,95,86:1

l99l Il t .I I I .IV.

9,0I I , rl l . l

9l0l tt2.

66,690,0

122,1133.2

8tt00t2l

I35

7,421,055,571.1

I9

25

7,68,59,4

t0.3

t994 II II i t .IV.

l t3

l l ,0r2.8

t3

l5t6

144,2) 70.8I95,02M.8

169t96225256

9IIl3l5

t02,6t34,2169,0t8?,5

8lt2l169225

112t2,113,0l3_9

114,4 !16 t214,2 0 608,6 t l60 I t4,4

Nomil€gyenletek a / = l, .' 16 etmiLhssal:

114,4=16 bo+136-br

1278'2 = 136 bo + 1496 - b \-

Az esyenletrendszer mesold'tsnval kaPot paramAerck:

bo= 4A9s'

Dr = 0'899

A linenris trend fiiggvenve: i,= {'49J+0'89t (r=l"n)'

A ,o paramet€r peld,nkbe z 1990-es €v nesvedik negvcdCvehe (a '

enekc

ebben u id6pon6m leme nulla) tanoz6 treDd szetind Crtek hmen€ a jelenseg idijbeli

"r"i'ia-ai thle" "i. "bb." -

id;sz'kban mrtr votrak nunkan6lkiili€k' de m€a nem tcr

iil-"iii, "il.*vr *- .er nem jrir a munkd6kmi tinosa6s)' el kell fosadnxd a

paftmeret negattu in'tkar'

260261

A ,, pararn€ler azl fejezi ki, hogy a munkanekilli-elldtasban ncm rcszcsiili'k ld-szim negy€d6veDk€nl e agosan 0,899 ezer i6vel, azaz nintegy 900 liivcl nijvckcdcrl1991 €s 1994 kozittt.

A tr =0 n6dszer alapjin a p&meterek 6!tekei:

b'=+!=1'15'

A trodogyedd p€dig:

i , =7,15+o,tA15t (Zt =0).

A ketftfc modszmel szamfiott trendegyenler nihdklt patunttere krl,nbttzik€smist6l- A ,o param6ler az6n, mert a I = 0 hcly ez ul6bbi meSoldesnel u id6sor

,,kitzepeD" van, elvileg a2 1992rs av lV. rcgy€d6ve as az 1993-as €v L ncsyed6ve kd's"

zttn- E mesojdisnel a ,0 paraDdei me8o1d6k€pl.ttb61 Ld6d6 (ba =a-=t) ga-

korlatiBabb iele esr^r1^lmat hatr8snryozzul. Eszeri l99l es 1994 kbzith az ellrlat-lan munkd6knlek neayedevenk€nd allagos szdma 7150 fd volt N6gAd megy€ben.A b, parameter 6dek€ a"fr nem egy€zik meg a r = l, ..., r modszercl kapott ercd,mennyel, men (miv€l p,tros sz6mn adadal dolgozhDk) az idtjesys6sek k6t€8ys6snyirivolsigra keriiftok egymasl6l. A negyed6ve.k€ni ftlagos y1ltoz^sr ez:n a kapott paruniter kitszerese fejezt ki. 2 .0J475 = 0,895 €ze! ftj, mcskitzelir6en 900 ftj, j eld-l€stanatDa azonos a mrir leina}}al.

A f6jl5d6si tendencifi esyszenibb m6dszeEel k;z6mitva mes eredm€nyt ka-

A = !t-!l =12'8 1A =o.to ".e,

tx.r- I 15

Ererint ?60 {6vel n6 a munkm€lkiiliek s?arna negyeddven}dnl dllagosan. A katszelsd adatol itsszekitr6 egyenes irdnlrang€nse jel€nt6sen kisebb, minr a leSkisebbn€glztek modeeiwel illeszen egyenes6. (A 1./.4. nrld, lrthat6, hogy az utols6 nc,Syedevben a folymalos ndveked6ssel s?emben vissza€ses mutatkozik.)

6 = !9!! = s.a47s

12

l0

8

2

0199r \92 1991

L lI. m. lv I. tr. III.ry. L II UI rV

_ td6sorEdaB' --_- Tud adltal

7994 6vL U, IIl. IV NcgY€dev

11 I dbruAz e\Atuian nunkanilkmiek l662nndnak alokulAss

A I Ln. tubLjDdI ttols6 oeloprban z alaPir6trvzai szdinti lasznmok szerepel'

!ek. A tr€ndiiiggvemyet kapotl l6tszimadaok Osszege mea'Svezjk a rcryleg€s 16l

szerbadatok itss;;g€vel. Kisimitoftrk az id6son. vizssnlj* mes, hogv a lehebeges to

vabbi komponensek itsszese Nlla-e (t l 1 l fibttzot).

A tiblizal utoh6 oszlopiban szerepl6 8,9 nem n6s' nint a legkisebb n6$'zetek

n6dszerc szcriDt minimaliztlt negyzet(tsszeg:

Ebb6l a rczidunls sz6ris:

A relativ rozidLrdUs sz6nis:

t o,, -t,)'= >": = 8,64

F=o'"t""'*'

/ =!=911!=s.1s3 , 16.3el".' t 7,15

/s;

262

r ,=p, pi .

263

I1.1 1. tibli7alA les*itebb nagrzetel ni^zeftrek heLlalel6 halzd.;szel

I 6 z d n id \n no I n " nkat dhbj r

Ev t.v,-i, )'

t,t99l L

II .I t .

1,52,228

I,:l2,23,r

1,00.20,0

1,000,040,000.09

1992 LI l .IU.

3,2 4,04,9

6.1

{,8{,9

4.1

0,640,8r0,090.49

t 99lLIt .IV.

9,0I l , lu_l

'1,68,59,4

10,3

{.20,5t ,10.8

0,04

0.64t994

[ .I I I .

2.21.02.8

I1.212,1l l .013.9

0,20,10,0 0,00

l .2 l

A Dunkd€ftnli-ellrdsbaD nen r6zesiil6k linerris reiddel becsilt litsz6mai aval6s l6tszdmokt6l e agosan 735 lijvel t6mek el. Ez az elter6s az l99l es 1994 kijzoltincSycd6vcnl6Dti illagos l€tszam alig titbb mint I 0%-a.

Erponenctilis lrend

A tisadalmi-gazdasigi folyamatok vrhoz6 kdmyezetben Den nindig kitvehelInearis rodenciit. Ha a vizssihjcl€nscs csyik id6szak6l a mnsik id5szakra neskdzelil6l€s miDdis usyanamyiszorosnra, azoDos sztalekkal n6 vasy csiiklcn, azaz a:id6eglsAserkiati rclativ vAltoztu ingadozik egy Alandn ktjriil, a tart6s irAryzak e\-ponenciilis trenddelFjezztr *i.

Azexpon€ncielistrendfigsvdny eltalanos alakja:

IIIItItIItIIItt

Az exponencinls fiigsv€ny pozjliv po eset6n logaritnikur tanszfomecioval lt-

nerris alakB hozbat6, a pararn€ter€k mcghadrozisa visszavezelhel6 a linenris mgg_

v€ryre (a logaritnus alapja letsz6leges lehet):

logll = logro +t lospl

A tanszfomnci6 nulatja, bogv a fliggvenv€n6kek logarjlrnusa' log v' es az id6-

elystEek, t k6znlireAtis asszelnggAs vn A l=1, 'r

id6portbdm6n,r' 't"

adatokb6l a leskisebb n6gyztek m6dlzer6vel megh'r'rozh^rJrk u i| = bo h! exPo'

nercitlis tr€ndnigsv6ltt. Ift ^

ba ^

Po. ^ bt Pedig ̂

Pt en6k6nek egv teakel6don

iditsor alaDian tij.t€rl becsl€seA f;lin lopa'itrnusratudomdciobol kdvc*sil hos) u id5sor a'lahinal< Ioaa-

nrmusar {s a r e"nckel alap'it a Inearrs rmd pmdlercrncl megold''sira vol8il6

nomrreeyenrerek e" , me8;ldokiPlelek alkalmaak a/ expoftncielis ttend Pdm'lci"i'.r

"?.gh",i'"..*" lzinal is kErlilekippfl vdla/harjuk meg d rd6r ieliilii t

Ha u id6szakokal folyamalosd sorszimozuk, akkor a notu'legvenletek a kd'

t log, , = ' los 'o +losbL)t '

t / loB), =logb.: I+rosb, l r ' t r - t '1

A normalegy€nlelek megoldasai a log,o 6s 1096, €rtekek'

A logaritmus visszakeres6se m€gadja a b0 €s ',

pdm6Gr eflek€t' es eek segil-

segevel felirhalo u credeli exponmciilis trddes|enlel:

i , = bo. bl

A > I = 0 modsze rrel pedis a ldsnaerek logarihusi az aldbbiak:

Iroer'logio = 'i ,

264

I A llalanos starisdka I. korel 2.2.4. ponr.

265

A paronaterck a elnezese

A, bo paruniter a jelneg alapirenyzal szerinti eri6ke a r=o,val tclijtt idii

ponlban. Ha tt = 0,6 nincs 0-valjelajlt id5pont, a ,o param€rer az id6sor adarair)xk

A bt pdmaret a,z id,,eg'sAgenkAnli d ogos lelalv ftlrozlr mulaloszlm! Jcl7i,hogy a vizsA6lr id6sz* alat a j€i€nscg 6n€ke id6egys€g€nldnt allagosan hinyszorosii-r . ,hany%-ra( l00 r j ) va8y hiny %-kal(1006r -100. ha nbvekedas, 100 100b,hacsitkk€nes) vrhozon.

AmeDnyiben a pdm6rereket pAros tassz6mf id6sora a t r = 0 elje.rssat hatd-

rozzuk meg, a b\ parunAet newete {b:)jelzi u idi'€gys6sc,kenri drlagos relariv

,elenlaset rekrnlve a i, pdramerer megegye/,k d/ t .Batlctbt'-. a" idcjbeti rdjh-zlts AIaAos nkne clwezCsrii mulat6val. Meabizhar6bbnak tarrjuk z exponencjelistredfiiggvoy bt paramfteftr, men ur M id6sor minden egyes adatdt fethasarlva

hatdrozuk mes, mis z 7 a" id5sor ck6 s uroh6 adata alapjrn ker kisztnit6sra.Az exponeDciels tu d szamiresal a kiiv€&ez6 peld.iD nttatjxk be (t I I 2 hbtti-

tt t2. ftbbzalEU kiene\ t.liil6iiezet wn.l'geinet tuszAha 1982

^ t992 tdi;n

tv lg-r, t t9 l ,

9829E39849859869479E898999099t992

t35,8t5t ,5t57,0165,882,988,485,1t25,4

'4t ,1t4oAt47.2

l-2

I0I23

5

2,1329

2,21962.26222.21512,26792,35292,53292,64382.6505

10,66458,?2r6

-6,58??

2,262202.26794,70587,5987

10,515211,2525

25

I

t025

2620,E 25,7141 5,1249 I t0

Az exponencialjs trendfiisgvttr)r a tr = 0 n6dszr alapjrtn irjuk fel

vt -) j !)! .2)tto r,o = zr ,.ol l

1n6 =!4-orrro. b. t . t? jl l0

l l i , =2'3J76+0952 1 '

i, = 2t7 ,6 t,t27' (>t = o)

Az ndiil6dvezei vend6gl6lszim,t leir6 e4oocDcinlis tr€ndfiieSv6nv '0

pdmelo'enek

en6ke 217.6 ezer fii, amelFek Pehenkban egvidejriles kenits jcl€ntese ve: cevresa

az jd6sor adataioak m€nani e1hga, mesrcszl a P'rallan tagszeml id'isor miall a nxll6

val ielijlt id6pont t eDd szerinti ql6ke'"

Konbiran:1982 6s 1992 kdziilt u udnb'jverei Ycndegleiszema evenkol nlla

gosan 217,6 ezer f6 vox, es 1987-beD az alapirdovzat szrinti l6$ztm is 217 6 eze' ld

Gyakorlatidabb a ,0 para.r)€tq dllagkeni lalo enche""ise'

Ab, paramelet 6rt€ke I,127,eazticle i'hogv 1982€s 1993 krjzdft a vendEgek

szerna evinl€nt A agosan I ,121'szercs'rc' azn 12.7 ok kal novekeden

A feilaidesi lendencitt z egvszer[:bb, a f€jl6d6s at]agos nbme muralolal meg'

la;'o,u, 7 ='.1] - C;# = I.l2?. amel) mo\r ipPcn a n' narm.rener uonosl '

atlagos relariv novek€d6d mu]Elr. (A 4 es u 7 ,.uonossrigi' v6lerlcDszeniid lehcrs6-

ges ugyan, de nem jelerthai a kcfele szirniris ,fgvcn6n6kis€86i )

Vizss6ljuk meg ezek ui !, hosv memvir€ illcszkedik iol a fiissvenv (adatok a

ll 13 ibluatban)Expnenciilis trend eset6n a t€nvlegcs 6s a trcnd6rt6kek logaritmusainak itszege

esyebk rnei, azaz ltgy =ltgi @z n avenl6ses az ehi' nomdLlcsvenlel alapjdo

igazolhato.) Az eredeli adaloka r64e nd nll fem u eevenlitsts ( >) * >i )

A 11.13. fibLt2at ul'ols6 ovlopaban sz€repel a legkisebb neg)zelek m6dszere

srcrint minimalizill elt€r€sek negzet6sszEge (19 266'79), am€lv alapjan clvesezzrik

az illeszkedesvizsgalalol. 19266.7 --- . -A re^dudls,76m.be8yrer ' r - - - - - l?{1.(7

A reziduelis szdtas: r" =41.85

266 26',7

l l .l J. tttbhzatA leEkitebb nieJeetek hideeftneL heefelel1 ,tg.etAszeg ednidsa

A refariv rezidualis sz6res: v.=!]{==o.ttS. A2 iidiil6iivezer ven.EseiD€k exlo

nencidlis tuggveDyel becsnlr letsznmai a r6nyleges l6tszdmokt6l allagosa! 41,85 ezerftivel t6mek el.

Az exponencielis fiis8vcny szerind l6rszriDok 17.6%-os hibaval illeszkednek alenyleg€s l6$zimadatokhoz. Tekirtsiik m€g a 1.1.J. .itlr, abol az eredeti iditson 6sanak €xponencielis trendfii8sv€nya leljuk

500450400350300250200150100500

1982 1981 t984 t085 le86 t9E7 t988 lS89 t990 l99t t997 i r

ItIII

IItII

I

t

Il l 5. dbru

A lieneh n.lnl4irezet vndislaBznnAnak ddsotu 6 e'ponenciah ,ehdje

II

Ev t, 0,- i , ) '9429819E4985986981988989990

997

t35,8151,5157,065,842,988,4185,1

,41,1

t41.2

I t9,7t34,9I52,0t?1,3t9l , l217,6

216,4l l1,5t5t ,0195.6

29,689,45t.6

259,21215,5625,0010,25

104,04852,61

3588,01260t,008?6,16

1992,362662.56

2620,8 t9 266,79

Mibt rner emlilettijk, a tO, - i f itss,eg aDak elditntesere is alkalrdas' hogv

kiilijnbijz6 tipusr! trendfiigsvenvek koznl nelvtk fejezi ki jobban z id6sor alapininv-

'at6t. P6ld;nk adahib6l a linairis trendniggvenvt is meshatiroztuk:

i, - 238,3+ l0,s I (tt = 0). Mirdka trendfiiSsvenv alaPitn meghattrozva a r€nd-

6nekekel 6s a ninimaliztlt nCgvze losszege! a kdvetkez6kdkapi* Q I 14- ftbtddat)

I I 14. tab tzolA rrendt wl6 eltarisek aiseehaso.lidsa

Az uro)so oszlooban szercplb ad^tokat a I I I 3 hnblifl,.ir ven' nl

Az exponencial$ fiisgvcny jotbd illeszkedit ( 19 266.7q < 29 231.?0) es min-

,len k$rnrilaro mulrl6szdm is edele6zer'ien k€dvez6bb Iw mid a lireins Fend_

fiiggv6ny €seto.

A ielenseset id6sorai kozdn S/atro lal6ltozhatl]n* ol)n tipusokkal is ame_

lvek ferldlisi t;docreiaban oem frsl/eh€16 m% sm a lire.ins fiissveovre jelletr6

ulrzolur. sem - "*ponen.idl's

ftEgvenvre j€llem,6 relativ villozis Allatrd6sie''

Amennviben az i.!1sofiat irinvvo@l'tilozist toPLtztolunk' n'ov*eiesb6l

csdkken€si vasy csokkm€,sb,5l Ditveked€st, az id6$r eleg j6l jetlmezhet6 a prrlboli-

kus ftggv6ntr!el.,iiovaU'U;t<lan csr a modlod Parobolih.t tre"dfrPAwn')a/ foglalkozurl.

an€l)ftk ellaElos alakJa:

Y,=BD+Pt t+91 t '1

A param€lerekel ebben az es€tben is a legkisebb n6gvzelek modszs'evel basmjiik'

268

lv, i,f

1982l9E3l9E4

l99lt992

135,EI5 t ,5t57,0

440.4441,2

84,15, l

145,9:

36t.4392_2

2652,25tt2496l2l,2l

2641,O03025.00

259,21215,5625,00.:

1992,162662 56

262n,4 2620,4 29 23t,70 t9 266,19

A norln6l%yeolelek a kovetkez6k:

+ ,+ . t , ,L\- lba14L| | u.L '

3 .+ .+>., . = bo>' I b,>r1 . b|>,1.

* 3, . r>' , ,=Lr. t .b,>, -b,z iA hrromismererlen€s egyedetr€ndszer megoldnsa h€ly€n ,ltahban a m6r m€g

isnert tr = 0 nodszert hMriljuk. Ha >r = 0, akkor I tovrbbl paratlaD hatvinyai-

nak irsszege is Dulla. isy a lt Cs a lrr tagok kieses€ utan fennmarad6 mesodiltlormi'legye'jetbSl a bt paranAb:

\ , . , ,

>tA bo ,s a b2 po.anAer An6tu pedtg u ahbbi egyenleneDdszer megold6sa

+ALt,=,bo_b,Lt .

+, +,>t ' ! ,=bo>t +b.>r ' .

(Az ers6 es "

.";; **", ,,,n"****-, Ektor a bccslrs

i , = bo + b, t + b, t ' ( t = t , . . . , n) .A parabolik'rs treDdfrBSvmy paramtt€reinek szakmai jelent€sr ncm tutqdoll

nu*, az alapnanlzst €rtdkei alapjitn elemezztlk a vizssih .jelens6get.

A parabolikos treDd sz6miiisit a maSyarorszegi urintemeles 5 6veDk6nri foly-toros id6softin rnutatuk b€. Az adatokat €s a t, = 0 eljAlesnak megfelelaj szenirrso-k^^ I L15. tttbriwtboi tatiljtlk.

269

11.15 tnbhzatAz urn erdelis alakulird Mag'amrs.nga,

b =: : : . = 26,071

Az egyszcriisdddt eeyeDrerenoszcr:

4850 = 7ro + 28r:,

t6 230 = 28bn + t964.

,o =843.809 6s b,- 37"734

A parabolikus trendfiiSg!6ny:

i , =843,809+26,07t t '37,738 t ' : ( : r=0)

Az urenrcmeles ot6aenkdti adalait €s u alaPndovzal serind en6keil a

Ev

960965910975980985990

180124

850830690620

32

I2l

I0I

9

8l

i8I

I140

'1600

810r 3801860

34202880?60

0830

21605580

426

?80844812745582

792062

lrJ

2t t66241400l6

1025

4850 28 t96 130 l6 230 4850 0 t3 266

27\l271

Ur6lrcm.las (cz$ rom)

ItIIIttIIIIIIII

800

700

500

400

---- Tddadaiot

Az ufirrmelas parabohtus trcndje

Napjainkban nem kovelkeretl be az urolemeles i.rio)aonalanak v,ltozisa.

A tcndfiiggvtnyek alkllmu nseval kapcsolatban a ktivetkeziiket jegy€zzrik neg:

l Tananyngunlban csak a lineAtis, az.\ponenciAlis ts a?aralolrt s rendfiiggv6nyrism€netiik. A gyakorlarban tovrbbi fiiggv€n],ripusokat is alkalmaznak az id6sor-ban l6vi' tendencia leirisliLra. A szimitog6pes programcsomagok scgilseg€vel bar-milyo tudfiggvmy komyen el6illilhalo a vizsgell adalhalmura. Pl. ncmcsakmnsod-, hm€m hamadrendii vagyp-cdrcndii p&abola is basznrlhatd. lzck az nnpolinomiilis trctrdfi iSgv€lyek.

A polinomirlis rendfiis8v€ny az idi't€Dyez6"-cdfohl polinomja:

Y, = Pa + l | \ t + t ! ) t ' +. +P l t + v, , t = t , . . , , 6s M(v,) = 0.

Tapaszulari adatok alapj6n a leskisebb n6gyzetek m6dszcr6v€i s"dnolva:

i ,=bo+bJ+b,t '1+. . .+btt t . | = \ . . . . . n.

Ha ch6rij foksznmn polinomokat hasonlituDk dssze abb6l a szemponrbol. hogynclyik illeszkcdit jobban e idijsorhoz. ?*kot a rerjudh r:d.is rnutal6j6t a sza-badsasfottal korisnlva kcll has,ndlni Emek kcpletel

alolp a polinom fokszjlna.2. A tr€ndfts€v6ny tdrsyahsakor abb6l induluk ki, hogy az egy specielis

regresszi6fiiggv6ny, ahol a niggetlen viltoz6 az id6t6ny€26. Felmernlhel b€nniink,hosy hildnbitz6 jelens6gek id6be' megfisyelt adabib6l regresszi6sztniLtst v6g€z-ziink. Az ilya vrnitisokffk sz6mtalan ,,bukalqa" l€het. ElSfordulhat ugyanis.hogy k€t jcleDses id6beli alal(uhsa k6zittt akkor is nucatkozik regresszi6, ha azokk6zith semifele kirzvetlen oksngi kapcsolat nins. r-ehetsages 1ov6bbe, hogy fel-terelezhetij uayan srochaszlikus kapcsola( a ket jelen*8 (X6s t) kitzittl, dc a kFsziimirott resesszi6s egyiitthat6ban a masyeiiz6viftoz6 (,rl haltsa ..kever€dik" atrendhalissal. Ez a kevered6s dmasiibu rcn zavar, ha a regesszi6szimiris f6c€lkiniz6se a fiiggai velto?6 szinvomlhak el6r€jelz6s€, becsl6s€. (Pl. egy iru ke-r€sletel ar(aduk e!6re jeleai u :bralakuliis fiissv6tryeb€tr.) Ha a regresszios egyiilr-hat6nak is ddel6 jeletrtest tulajdonitunk, akkor indokolt a tradhdttts kisznni.iEmek m6dszereivel talEy3sukbatrnen foglalkozunk-

r A m6dszer isnerteidsdt l,isd Kitv* Plll Prftic2ky Gdboi Ah.ldnos stadsziika II- Kijzguda-sdgi€s Jogi Kiinyvtiad6, Budap€st, 1981.

2',72

I1.3. A szezonalitds vizsgdlata

A szezonhatds vizsadadnel da k@snDk v6lasa, hogy a szezoatlirAs nilyentuAiekben eag/ anjaybak tiriti el 02 id6sd artAket E alapnanlzatlal- Vizsgiladnrl

^z id6sor adataib6l ki kell sziimiirk a trendhatist 6s a v€letlen hatlasl.

A srezonels komponm elt€rit m6dotr vislkedik additiv 6s nultiplikativ Dodcllest6.. Additiv dsszefiiggs osct€n a szezotrhatis a trendl6l val6 abszoltu ehires,nultiplikativ kapcsolat set@ pedis relativ ehifts forDtjiban jelentlezik. Asz€zonalitrst addniv modcll €set6n iz€zontlir €ll6rasekkel- multiDlikaliv modell ese-l€D szezonind€xeklcl jellenezijk.

ll.3.l. Sz€zon{lis eltdr6sek sz{mitrsr

Additiv osszefiigg6s €s lineiris trend esel€n az id6sor negfigyell edekeit a kon-ponensek aisszesek€nt irhatjnk fel:

\ = i , t +st +v, , i -1, . . ,p, j=t . . . . .4.

A lrendhadsr nsy sziiint ki, hogy az id6sor mesfigyelt €rr6k€ib6l rendrc kivonjuk a

v'- i '=st+vt '

Az igy nyen k ainbs6sekel egtedi szeofilis elbe:eknek rc\ezznk. Ezt kbye-r6en minden psiodusbol v€ssz[k a./{dik elr&e$ ( I < i < n) es ezgk szAntani d aealkep€ziik. Eul a v€l€rlen harist szfiink ki, illew€ tompitjuk:

s,_. _.Lt) , , , " )

'p

Ha a rcndel nm lineiris fiiaSvennyel harirozruk meg, akkor nem teljesiit az afeltetel, bogy a sz€zonilis ell€resel 6,sszese (illetve irlaga) nulla legyen. Mozs6lrta-goHssal kapott trodtuekek eseltu ez ekneleril€s t€ljes ugyan, de ha k€v6s szimn

:meSr'Syercsunr vm. akkor elitlo(tulhal, bo$r ) r, * 0

Ilyen esetbm a szezoDelis ell6€k konekci6jtua kerul sor. A ko.rigiHs ngyttirtork, ho8y az elSbbiekben kiszS@:ror1 ]6n. nyers euondlis eu'rasek itt^E6r kegez-zjik, is az {trlagd leeozju* az s r i:nekej/t61- A kofiAAh tzeoaatis etftratek:

$"

A tzezoaAlis eltir5el azl lejeik h, hog ado sz ban a szezonhatds n iat! ozi l6sor afl,ke dllagosM naayieel nogMbb ng alacsonfabb a tren.t szetinti Arik

T*i snk isrner a I l-3. tdbttqt ., kiiz6li adalokat. A N6gr6d Degyoi h6ztdti-sok gizforyasaas.it €s a moz86irlagohssal kirnulatotr lr€nd szrinti fogyasdesel aI 1.16. ftbLt2dtbaa isnnAkitmljll<.

273

ll 16 tnbldzatAz esae.li s.?zohalis eha.asek ennirXi l6bld2ata

Az esyes neg)edAvek sz.2odlB e/tilrei (nilli6 Dr):

r. rcgyeoo: !!1!llle[l -)2=o,sts .

ru. negy"acu, 9!1-!II4J1/) = 9{ = o,t oo ,

rr.nesyed6v: etrC!i1r!!)11j2=*=-,,,00

( -0,5)+0,6+ 0,7+ 0,2rv. negyeoev: -

4 =

A koftekci6s tinyez6:

0,975+0.100- I , lCn+0,250

i - * ' -

o'T5 = o,oor

Ev

r 990 I .l tllt.IV.

l , t

3.93,6 t ,2

{5t99l

I l .l I lIV.

6,1

1.2

5,2 1,50,51,306

t992 I

I l llv .

'1,2

8.0'I,O'1.3

0,?0,4t ,80.?

r993 I .I I .I I I .

8.11,28.5

1.6

8.18.1

0.2

lt.2I .i t .rt.IV.

9,38,07,2

I t .?

8,? 4,1

274 275

IA kodisalt szezo'alis elrer€sek (milli6 nr):

L

IIItI

I

Nycrs szezonel js elt6!€s 0,9'75 0.100n,006 -0,006

-1,300 0.250-0,006 0,006

KoniEalt szczonilis eltdrds 0,969 0,094 r,306 0,244

Az I negyedevi eezoDilis ell€res az{ jelcoti. bogy a h:iztartAsok szihira ed€kcsitei gimmyis€8 1990 es 1994 kdzijtt az L negyed6vekben ,ttlagosan 0,969 mi1li6

mr-rel haladja neg d alapiranyzat szednti mesyisdgct. A III negycdevekben a sze-

zonhads miall elmarad e 6rtikcsit€s z alapirmyzalt6l, dllagosan I .306 s]jllj6 rn r -rel.

I 1.3.2. Szezonindexek szimftesa

Mulliplikativ dsszefiigges 6s exponenci6lis lrend eseti! az id.jsor ncgfigyelr ir-r€keit . komponcnsek szozatak€nt irhatjuk fel:

A trendhade rigy sairjnk ki, hog)'e id6sor m€gfigyell €rtikeit rendre eloszljLrk

I

Az igy nyei hinyadosokat egtedi szezonihtle\ekhek nevezziik. Ezt kdver6en mindcnp€ri6dusb6l vessznk a/cdik szczonind€xet (1< j< n ) ts ezek niftoni ;rLaslt kapczziik. Ezel a v6ledenharest sziiitlkki, illetve lompiluk:

tr=11+;

i=, , ; IItt

Ha a tendet nem expon€ncinlis tuggvennyel iltuk le, aklor lem reljesiil az a

lel ' i 'e l . hos' I I . = ' . Mo,soir lasol^ral . /emito. l nend€nekel re hd./n" l , isa csrror

is cliifordulhar, hogy a velellen hatai nem szur6dik ki teljes es6sz6bcn.llyen eselb€n a szezonindexek kodekci6jnra kcriil sor. A korisdlis {sy tdnclik,

hogy e cliibbi€kb€n kiszdmitott 'in. nfen szezoninderrt n6nani dthgat kepezziik, 6s

ezel az ,tlaggal elosztjuk z J ; crteken. ItI

A kortigih sze2onin letek:

11.17 dbldzalEgr' idrkakd6keAj vedaltAipto4i i ikqi|isit'k adabi

A szezonindd &t lejei b hog/ @ ailotl eeo'ban a szeonhah^ ni,n @ idti-

sor idAke Ahgosan hnnyszotoso @ alapirhlzot s"nnti aftAktek

A szuoniDdexek szhmitiser a kovelkez5 peldAn nnratjuk b€ (Adalok a 11 'rZ

Az ataPn^avz^rot u i,=2s'06+0,e' e8v€nlet f€j@i ki' ha tr =0

Sznrnitsuk ki az egyedi szezonindd€ket! Ehhez el6e'ir kiszemitjuk a tend6rt6-

keker, majd smcgfefef6hrnyadosokarkipeaik (I I 18. nnbl'izat)

Az csyes nesyedevek szezonindexei (%):

I. nesycdev: 1,/0,684 0,913 0:724 o;735 =0759 + 75.9% '

II. neAy€dev: $s o.rt osrl asl l =oj6l- 56.1' l"

Ill. Degy€d6v: Vtius l,6t: l,asz t,106 = tA46) lM,6% .

IV. Degyedov:

A n6gy szezonindex szorzala:

fls; = 0.759.0,561 l,aa6 U88= oJll5

P6lddnkbm, Divel a tr€der linc6ris fiiasv6nnvel fejeztiik ki' a e€zoDindex€k

szozala jeleDl6sen elt€r a kivbnatos I 161. Mivel a fl r; + I , ezen korekci6s t6nvez6t

kdpeae korigehunk kell

276

Ev I . I I . I I I IV

99t992993994

l l2 l2 l25

l0t711t8

l04245

l8224l42

1,727 0,815 1,281 1,105=l, l88Jl l8,8%.

1l 18 dblazatMnkalAbh az egedi szuonin.ld.k kitzdnidsnhaz

EV i ,J 1 too

l99l t_I t .l|t

l lt0t038

t9202122

68,450,0

142,9172,1

t992LII I .

2lt74222

2]252621

91.368.0

161,581.5

l99l LI I .I I I .

2lt14541

2930l l32

72,456.1

t45,2t28.1

\994 LII .tl

25t8

42

l435l6l8

5t,4130,6110.5

A konekci6s t€nyez6: iFJ: t : = o,ezls .

A korigelt e€zoni.dqek %-os formrbani

Ao -t : . tq" , - !qL=b079": I4o

- t50.q"" , "" - ,2r . r9"0.c248 0p248 0.0248 0.0248

(Ezekszouta: 0,821-0,607 1,564 1,285- 1,000.)

Az eredmenyek alapjan megelapilhatjuk, hosy a szem6lygelkocsi arrckcsncs pla Il. Degyed6vben ethgosan csak 60,7%-a a trend szerinlilek, mjs pl. a Iv. ncsycd6vbeD a sz€zonbatas miah illagosan 28,50l*kal meshaladja a trend szerint varharo lbl

11,.4. El6rejelz6s az eredm6nyek alapj{n

A piaci viszonyoJdoz valo gyors allalrnazkodes sziiksegesse leszi, hosy bizonyos jeleN6sek€t rdvidebb, hosszabb id6s?akra €li're megbecsiiljiink. E rw6kenys6seAyik eszkitzc a audasAgi el6re)elzas. a progaosztika. A gazda56gi eli're.jelz€s slahsz

tikai modszcrtma ige. sz6les konj. emck egyik lonlos lcrillele u id6sorok e(r.poh_ci6ja. Ez abbaD ,ll. hogy a fehaft ldN€nyszenisdgcket eltirevelilink a iitv6bc, fillale-le7-ve uok loaebbi fobta{6deset.

Az extrapoleci6 egyik lescsyszerftb m6dja az, hogv a fejl6d6s itlasos mert6ke

{ t ) vagy a fcjlijdes etlasos tile'ne ( 7 ) alapjrn vegziink bccsl6sl Ha az absu oltr valb-

zasr titclezijk fe] egye.lelesnek, aklor lineiris; bn a relativ vAlbzisl talclczztk fel

egyenletesnek, akkor exponencialis exaapoleciot hajtuok v€gre. Ha az id6sor

1,,, f:, ,1,, (!agy leSalabb az elsij es utols6) megfigvelt adatdr ismcrjnk, alikor d

iddsor (,+ r)-adik adatinak becsl6se:

Li n ai r is e ttrup o hc i btdl :

, , ' . . , u.-r i - l i i . i t ter ' " ' ' .

) ' tn- / ' hJ

E xp nen ciAhs extrap a I dc iawl :

v i*n= Y, 1\ ' ' , i l le lve ' ; . , )=r,71" ' )

A ket odat alapj|nhntn'bccsl€s eredmenyc f€lrev€zelai is lebel Meabizbatobbcl6rcjclze vegezhetiink a trcndfiiggv€n.ycl mcehaLirczot alapininlzl alapjdn. 42cxrrapollci6r iLgy v€geziik,llo1y u ell;re jelezri kifiat iddegt's'g t a,leka behelrette\ i tj iik a tren.1fi gsrt nybe.

V6gezzlink el6rei elzcst a 1 1 I 2. t,tbhzatban kozmt idosona.

Az exponenciilis tendfijge\eny: t=217,61.127'(tr=0) voft, melyer a veDd6g-

forgalom 1982-161 1992 i8 ismert adalaib6l szimitottutrk Az 1992-es €vhez tanozo /ift6k 5 vol1.

Becsle! 1996-tu: I = 9. (A / enekeit ,.lovabbvczetliik". )

i' = 2ti ,6 t,t21" - 638'2 ezet 16

Ha M id6sat szezond,lb ingado2dst is latri.lnt, u extraPottci6trrl azl is ,8JPe_lenbe kell vetui Ha mesfisyel6seink tegy€d6veke (vagy b6napokra) vonatkoznak,

akkor az ( , + r ) adik peri6d\rs iedik szezotj'bafi az exrapolalr ert6k:

rldditfi kapcsotatat lelL.telne: yi,,. ',

= i,,,-,t, + : ,

U , tp! tAot, ! kap, 'otahr bh, l " le ' . . ) , . , - i , . , ; .

27E 279

P6ldakanr tckinrsnk a szcmely8€pkocy,€n€kesit€s korrbbaD kisziimitotl adatait.Az 1991. L ncgycd6vc 6s 1994. IV. neSyedeve kdzdtli jd5szakot jetlcmz6 trendeglen-

i , =28,06+0,6q (Ir=0 es 1992.Iv. negyed€v r= I ,1993. L necyed€! /=l) .

t !. t9 tdbt&a1,4 sehaltgtpto*i irtaksitis veanalnastu k enzaj eeoninderek

I I I lv .

82,1 60,7 156,4 128,5

Becsl65 az 1096 os i\ ceyes le8yede!eire:

11 2A tdbl,izdtA Ead A\ a szeohhaltts elt;rejezi\e

tv,irhat6 indlesn6s (db)

I .

[ .Utlv.

25

21

29: l l

44.0645,34

46.62

44,06 0,82r=16,2

45.14 0.607= 2?,5

Mesjegz6: 1994. ry. acqyedev I = 15; kenes6v€l lowibbvezerve jutonunk cl t996. Iresyedevarc a r=25 bbz.

MiDt p6ldni.kbol hljDl, az el6rcjelz6sek esyszenien vdsrehajlhatok. ovakod-nunk kll azonban a el6rejelz€sek mechanikus alkalmazes|6t Mesbizhata .k;rciet,zlr, csal aklor tudu.k adni. ha az alapiriinlzatot. a mtlrbeli tendencint h?srizialiadatokat ta alna.6, kell6e" noss, idrtrolo/. alapjtu dllapito(uk meg.

IIIIIIIItIIITII

I 1.5. Gyakorl6feladatok

I . A szinhizlAtogausok szimnnak alakulrsa MasyarorszigoD:

Ev Litosar,is ( I 000)

984985986987988989990991992

5998601259515E6E51l.75t9549915094

d Abrtuoljuk az adarokarl,.) Vizssaljuk meg az idijsorban 6r6oyesiil6 rod€Dcirl li'erris tr€trdtuggvenv se'

gilsegevel!., Ertelmezziik a pdu6lerekel I/.) AdJunI becslest 1995-re!

Egy inlczm6ny l€lszimirak alakubsa:

EVt 990l99l1992199319941995

2022252at034

dJ Szemitsuk ki a liDeiris lrendfiiggvEny palmetere{

tr = 0 m6dsz€nell,, Szamitsuk ki a hendertakekell

a / = 1, . - . , r , valamtnt a

280 28t

3. A l6gi szillitas ad.lai

rv ( l00o fti) {milli6) (mi l l id r . r )9869879E8989990991992

t191r320l3 l0t472l5l71045t2)3

14t,0285,6344,3516,6694,8286.?4t8.1

4124.85 012,?

? u73.1l2 210,015111,618779.8

a/ Vizseeljuk a ldSa szUlitrs alakultser u t986-os €vhez k€pest. valanid e!,rajl6v_

D, Szitmilsunk tre.dfiiggv€Dyeker mindheroft id,SsoEa!c) Adjunl b€csl6st 1995-re:

- u 6l1a8os utazisi lnvolsagra.az I ulasra saimilon dtlagos dijbev6tetrc vona*oz6anl

Az e8y6ni vrllalkoznsokbaD foglatkoaatottak l6rszdmenak alakulrsa a kereskedet_

L€rszim ( r000 f6)

19841985t98619871988l99tt992

50,9

61,6?8,0

146.6201.5

o, Abr62oljuk a ad"rokarl,/ Az rbra alapjrr d0 stnk a rendfiiggveny ripusril! Szimirsul kl a mesfelet6

tMdliggv6.y param&ereit!.) Szirnitsul ki a tugsvenyenakeker. e. raj?olur be a grafikus abrdba,, Adtunl becslsr az 1995-os 6we ronarl,o/;d d Dendtuge!Coy. r fetlodi, dia-

gos n6nc]<e t; ). lalminl a fejtiides drtagos il|me ( 7 | aiapJdnt Ha.ontrrulitwe az er€dsenveket I

5. A llkosseg takar6kb€ie1',ltorndnynDal alakuldsa Magvarorsznaon;

Er(Mrd F0

98098r98298198498598698798898999099r992

160,r115,1r9?,1

214,9

1t2,1

368,6

634.7

A megadot adalok alapidtr kiszimitott expooctrciilis lrendfiig8lanv sdrint t bel'r

dllomiiny €venie itlagosan I 1,2%-kal niiveked€ttlsnen lovibb6, hogy u 1980{a b@siill tetrd 140y' Mrd F1 1992-re ped'a 501,9

Mrd Ft A irddfrjsgvenyjellcnzderc kiszrmito$ t(!, i,\'-22820

a, irjuk rel u cxponencialis tndfii88r6Dy esv€r ctcl a >r=0 modsz€r szennr!

,) Sziimitsuk ki a li.edris treDd pdu€lereit, 6 6rtelmeziik zokall., Adjx.k becslesr 1995-re ajobb kdzelit€st ad6 t€ndfr8sv6ov alapiin!

6. A GYES'€n, CYED-en l6vdk sz,mdnak alakDlee Magvaro6zdaoD:

Ev r000 fb98098r982983984985986981988989990991992

2@25424223722421822022521t24t245241212

242

7.

E.

d/ Abrtoljuk az adarokatl Dij snok a lesmcsfclel6bb trendtuggveny tituser6l!b.) Szimitsuk ki a parm6tcrcket. €s irjul fel a trendftggv6nlt!., A tcDdadatok ismcrctiber rajzoljuk e ibriba a fiigev6nyt!

Esy rruh,izl,tnc boltjaibar 6n6kesilell ffszerek forsalndoak alakulasai

E'r 990

It .I I I .IV

l823311l

I .I I .I I I

l521l6'12

i99l I .I Il t1.tv.

l827

75t99l

I I .I I Itv.

25

80

a./ Abrtuoljul z adalokat!6/ Szimitsuk ki a mozg6 lagolesi trend adatairld Vi^geljuk a szczonhatdsil Enelm€zziik a kapo( eredmanycketl.1./ Mivel a mozgortlagok alapjiin nem k€szilheliinl pontos el6rcjclzcst, sz:imjrsxnk

lineaiis trendliiggv€nf a ceDtrirozott mozg6ellagokb6ll

".) Adjunk becsldsl az 1996-os 6v fijszcrforsalmrra vonaikoz6aD, a szlzonalitisl is

Egy 6pilijipari villalkozts tcv€kenysegmek drbev6tele a kitvctkcz6k6ppe. alalalt{M Fr):

E!I I I I I I . IV,

l99 tt992l99l1994

20222528

l0333640

40506070

l0t ll520

IIIIIIIIIIII

283 I

I

Az alapi.anyzatot leir6lincaris trend egye'lete: i,=32+0,54 r, >t=O.

a) h dssrere!6k sz,tza16zerl'j, kapcsolaLtuak felt6tel€zes€vel vizss6ljuk meg az ,r-bev€tel alakulrsenak szezonalitdsft!

,.) AdjuDk becsl€st az 1995-0s 6v egy€s tr€syedevene voDatkozoan!cl Szdmitsuk ki, hoSy n€myi a veletlen hatis 1994 w. negy€dev€b€n?

Egy deligyilmitlcsijket imponrl6 gdd.tlkod6 szewez€tcitromforaalmibnak szezona-litd,sar vi6grltuk. A aedafteker az i, =620+2,59 1, /=l,...u fiiggv€ny alap'jrin b@snltijk. (M6n6keg/seg: tonna.)Az egyedi szezondlis elteresek l6bldzata:

Evll. IIl

980991992991994

t58i01)61206186

t5 208168

- l9E148t29

-102l3l- l

d Szemitsuk ki u egyes negyedevek koEigah wonelis ell6rese1! MoDdtuk meaj€lent6siikel I

,, Adjunk b€.sle$ az I 995-6s 6v neafelelit rcgyed€veire a lrend- 6s a szeoDhatts

cl M€m/ a velellen tenyezdk %r€pe 1995 ll. n%yed6v€b€n, ha ismerjtik, hosydnek az jd6szaknak a teryleges forAalDa 680lo|m voll?

FUGGEL6K

I LtblAzal,4 standad kornAl\ elos2ldtt roloszirtsigi dlto.tt

e loe I AdiiggGntihe k td blAzara

0,34 0,63110,6368

0,16 0.64060,31 0,64430,38 0,64800,39 0.65170,40 0.65540,41 0,65910,42 0,66280.43

0,6?000,6?t60,6?720.6808

0,48 0,68440,49 0,68?90,50 0,69t50,51 0,6950

0,69850,?019

0,54 0.70540,7088

0,56 0.71230,1151

0,58 0.?1900.12240,12510,7291

0,62 0,13240,61 0.13570,64 0,73890,65 0.1422

0,61 0.7486

0,68 0,751?0,69 o,15490_?0 0,?5800,71 0,?61I0.12 0.t6420,73 0,76130,140,75 0.71i4

0,11 0.11940,78 0,7823

0,18520,80 0,?8810,81 0,?9r00.82 0,?9390,81 o,19610,84 0,?9950.85 0.80230,86 0,80510,87 0,80780,88 0,Er060.89 0,8l l l0,90 0,81590,9t 0,81860,92 0,82120,93 0,8238

0,82640,95 0,82890.96 0,81150,91 0.83400,98 0,83650,99 0,8389r ,00 0,8411l ,0t 0,8438

,02 0,8461,01,04 0,8508

0,85310,E554

.01 0,8i??,08 0.8599

,09 0.86210,86410,8665

) 0,8686l 0,8708

0,87295 0,8749

0,8?700,87900,88t00,8810

20 0.88492\ 0,8869.22 0.8888

,23 0,8m70,8925

,25 0,89440,8962

,27 0,89800,899?0,9015

,10 0,9032.3t 0,9049

,32 0,90660,9082

,14 0,90990,91r5

0.00 0,50000,01 0.50400,02 0,50800,03 0.51200,04 0,51600,05 0,5r990,06 0,52390,0? 0,52190.08 0,53190,09 0,5159

0 0,53980, 0,5438

2 0,54?80,55r?

00,5596

0, n,56160, 0,56750, 0,57t40, 0,5?530,20 0.57910,21 0,58320,22 0,58?r

0,24 0,59480,598?

0,26 0,60260,210,26 0,6r030,29 0,61410,10 0,61790, l t 0,6217

0,62550,13 0.6291

286 281

I , t6 0,9 31,37 0.9r,38 0,9 6)l , l t 0,9 '11

1,40 o,91920,92010.9222

,41 0,92360,9251

45 0,92650_92790,92920.93060,91r90,9112

,5t 0,934552 0.9351

o.9170,54 0,9382

fi,9394

.56 0,9406

,51 0.94r 80.9429

o.94526t 0,9463

0,9414,63 o.9484

0,9495t ,6 l 0,9505t ,66 0,9515t.61 0,95251.68 0,95t5r ,69 0,9545

1 tibtdzatA slo,.la t namalis ela:zlAsn w|tsziniis,Bi fitta.a

ebyblnssanyinek fibhzara (lafttatdt

IIIIIIItIIIIItI

l ,?0 0,95i4| ,11 0,9564|,12 0,95?31,73 0.9582

0,9J9r| , t5 o,95991,76 0.96081,71 0.96t6j ,78 0,96251,t9 0,9633,80 0,9641

,8182 0,96568l 0,9664

0,96710,9674

,86 0,9686j8" 0,9693,88 0,9699

,89 0,9706,90 0,9?l l

0,97190,97260,91320,9718

r ,96 0,9?501.91 0,9756l . t8 0,9761t.99 0,91612,00 4,91122,02 0 97812.O4 0.91932,06 0,9803

2,08 0,9Et22.ta 0,982t2,12. 0,9830

0,98382,16 0,98462,18 0,98542,20 0,c8612.22 0,98682,24 0,98752.2.6 0,988r2.24 0,98872,t0 0,98912,32 0,9898

0,99042,36 0,99092,18 0,99132,40 0,99r82_42 0.9922

0,993 r2.48 0,9914

0,99380.99.110,99450,99480,995 t

2.60 0,99530.9956

2.64 0.99592,66 4,99612,68 0,99632.70 0.99652.12 0.9967

0.9969

2,16 0,99712.1A 0,99732,80 4,9974

2,44 o,99714,9979

2,88 0,99802,90 0,998r2,92 0,9982

0,99840,99E5

2,981,00 0,99871,05 0,9989l , t0 0,99t03,15 0,99921,20 0.9991

n,99943,30 0,99953,15

0,99971,45l_50

0,99983,60 0,9998

0.99991,70 0,99991.75 0,999'3,80

A i eloelds ttibhzah

0,005 0,01 0.025 0,05 0,t 0,25l

2l

5

0,00000,0r000.412o,2410.412

0,00020.02010,1r54.2910,554

0,00r 00,05060,216

0,811

0,00390.1030,1520,71ll , l5

0,01580,2t I0,5844I.06I,61

0.1020,575I,211.922,61

8

0.6160.9891,341,132,t6

4,8721,241,652,09

| ,24t ,69

2,14

t.64

2_13l,ll3.9.1

2,20

4.41

4,255,075.90

I2l

5

2,601,41j .5?

3,05

4,1l4,66

1.82

5,0t

6,26

5,896,571,26

5,586.10

1.19

7,58

9,30I0.2I t_0

'1

l0

5,145,?06,26

'1,41

5.816,417.01'1.63

8,26

6,91

8,9t

7,96

9,19r 0, tI0,9

9,3r0.10,9t ,1

2.83.1

2l22232425

8_03

9,E910,5

8,90

10,210,9r r,5

1,01,1)_43,t

2,3l , l1,84,6

3,2

4.85,16.5

6.1'1,2

8,19.09.9

2621282930

t,2t ,82.53,r:1,8

2,1 3,8

6,06,8

7,18,5

'7.3

8,18,99,80,6

20,82t,122,723,624,5

50

100200

20,J28,035,55t,2

r52.:

22,229,1

10,1156,4

24,4

40.5

162,1

26,534,8

60.4

r68,1

29,137,J

64,342.4

174.8

33,7

7l , l90,t

I86,2

28ll289

A r' eto$16 ibll.atd (hbta!t\)

05 0,71I

)l

5

0,45il . l9

t , t64,t-i

l . l22,774,1I5,:196.61

2.714,61

1,189.24

1,81

I t , l

5,027, l t i

r2.8

t2, l t

9

6,15

8,14

9.01t,2

r t ,412,5

0,62,01,4

2.6

6.98,1

'1,5

9,00.5

r8,52a,l22,421,6

I2

5

t0, : lI 1,1t2, lt i , : ]r4_3

3,74,8

'1,1

8,2

7,38.5

t , l2,3

t9.121,0

23,1

21.9

24,726,12J,5

26,8

29,83 t , l12,8

9

i5, lr6_3t7, lr8_3t9, l

19.420,52t.622.723,8

2:1,-524,a

21,2

26,321.628.tl0. l3t ,4

28,810,2: l t .512,934.'

:t4.135,t31,1lN,6

2l22232125

20,32l , l

21,1

26.021,1

29,610,832,0lt,234,1

t l ,915.216,4J1,7

35,5

l3, l3r.4

,1:.11

26272829t0

25_326,321.328,129.1

I t .512,631,114,8

15,616,711,939,140,3

41.342,641,8

41,9

,11,052,u5t.?

40506080t00204

19,3

59.179,199.1

i99,1

56,167.0lJ8,r

t09,1? | ] , l

5t.861,2

I J8,5226,0

55,8

'19.\

IOJ.9t24_321.1,0

59,1

8:1,:l

24t,r

66.8

92,0I l6, l

x I 2 3 5 7

I

2l

5

I8,5rl0, t l1,116.61

r99.50!9,00

5,19

215.7119,169,286,595,41

224,54r9,259.126,195,r 9

210,16t9,109,016,265,05

231,99I9, l l6,94

276,11t 9,15

218,88r9, l?8.8-.6.044,82

240,54l9,lrr8.816.00

t0

5,99

5.1?

5,14

4,26

4,15

3.863,71

1,843,631,48

4.191,911,6tl .4El , t1

4,281,8?

l . t71,22

1,791.501.29i . r4

4,15l ,? l

l .2 l:1.07

4.t01.68l_19Ll81.02

2l

5

3.1i93.8r

3,68

3.49l ,4t3,34

1,36j.26

3,133.1r1,06

1,20I, t l3,0.12,962,90

1,09lo02,922,852,19

:1.012.912.812.162.11

2.852,172.10

2.902,tio2.1|2642.5t

L?

t91r

3.613.203,163,t l3,r0

3,011,96

2,90

2,ri52.812,71

2,11

2,147.102,662.612,60

2.662.6t2.58

2,51

2.59

2, i l

2.542.19

21)).2 l2425

4,284,26

t ,471,44

3,.r03,39

1.071,053,03l ,0 l

2.802.14

2,682,662.642,622.60

2.512.55

2.5r2.49

2.422,40

2,402.31

2,34

2.112,]47.j22,J02,28

2621282930

4,204,184,t7

3,111,35

:t,12

2,982,96 2,11

2.112,102,69

2.59

2.562.46 7,11

2,362.3t

2,24

2-21

2.222-11

50100r20

4,013,943.92

3,183.09l,0t1,00

2,442,192,142,642.61

2,61

2.452,18

2,402,3t

2.22

2,1t2.r8?, l l

2.202,102,O92,02

2_t8

2,012.01r,95

2.121.0?r,97

l_89

290

Az F eloeldt tdbldzata (al!-tui,

IItIIIIIITIII

2et t

I

10 l5 20 l0 50 100 r20 x241,88

19,40,t.195,96

8,?05,864,62

248,02r9,458.665.804,56

250,10t9.468,62

4,50

25),1419,41

25t.1119.488,585,70

253,04251.25t 9.498,555,66

254,19r9,498,535,614.31

23

5

t. l5l . r42,98

3.943.51

3,0r

1,441,152,942,71

l ,8 lr ,381.082,862,14

I,J11.3.13.042,832,66

1,J53.32

2,801,64

3,113,212_912.76

1,70l ,?7

2,1i2,58

3,611,232,912.1)2,54

6

2_612.60

2.122.62

2,462.46

2,112,1

2,53

2,212,24

2.51

2,31

2,182,192,t2

2.182,t i

2,412.10).2)

2,0'7

I

23

5

2,41

2.t5

2, l l2.212.232,20

2,:1:2,7,2.

I39

2

2,192,152,112.O12,O4

2,t52,102.062,01t.99

2,122.082.042,00

,0?,98

,91

.06 a29192.888_<

2.322,102,27

2,182,152,r l) ,112,09

2_i02.01

2,032,01

0t

,91,89,8t

,88

,88,85

,80.t8

a1

8l

'11

,82,?9

.72

2)222:l2125

2,221,20

2,t82,16

2.O12.062.042,032,01

99

9493

,88,85

,81.79

828l79

16

'13

71

75731l

68 ,61

26272829l0

2.082_01l . r it .9 lt .84

,87

.68

,78,68

,58

,51.55

1,69t,631,521,50l ,4t

,.18

.36

,19,51,3E

.24

t ,52

r,30t.21I , t l

50r00120

Az F eloszltis dbhzata (lolttotdr)

x I 2 3 5 6 9

2.l

5

18,51

t2,2210,01

799.44:19,0016.0410,658,43

864,15

15,449,947.16

899,6039,25r5,r09,60

921,8f19,:10r4,8N9,161,15

9t7,1I

14,?ll9,20

944,2019.t6t4,629,016,85

956,64]9.11

8.98

961,2839,19

'1

9l0

8,8r8,0?'7,51

1,21

1,266,546,065,?r

6.605,895,425,084,81

6.235.52

4,824,484,24

5,825,124,65

4,01

5,?04,994.534.201,95

5,60

4.43

1.85

5_524,42

4.013,78

2l

5

6,726,55

6,306.20

5,265,10

4,86

4,61

4.154,24

4,2r\

3,891,80

1,89

3,661.58

1,88

3,603,50t,41

l ,?6:1.611,483.38j,29

1,66l ,5r

1.293,20

3,443, l l3,211,t2

6

89ll)

6,r2

5,98

4,694,624,564,51

4,084,01

3,901,86

3,731.663,613,56l .5 l

3.503,44l , l83, t31,29

3,343,241,22), t1l , l3

l . l6I , t0t.053,01

t-121,063,012,t62,91

3,052,98

2,482,44

2t22232425 5.69

4,184,35

3,?83,151,123,69

1,483,44l ,4 ll , t8

1.:

t .I ,3.

!5t-2

85l

3,091,053.02

2,91

2,902,812,85

2,842,8t2,?8

2,802,162,772,702,68

2621282930

5,665,635,61

5,5?4,204,18

3.673,65t,6l3,61

l , tr],29

3,r 01,081,063,043,03

2,94

2,902,882,E1

2,422,802,782,762.75

2,112,692.612,65

2.652,612.612.59

50

t205,18

4,05

3,80t ,69

3,463,39

l . l2

l ,1 l3,05

2,892,19

2,9n2.812.102.61

2.142.6',1

2,41

2,62

2.3t

1,46

?,302,19

2.452_382242.?22,r I

292 293

A, F elaelas ttbldzata (lot otds)

t0 l5 20 l0 50 I00 120 x96E,6319,40t4,428,846.62

944.E119.43t4,258,666,43

993,0839,45

8,56

1001,439,46I4,08

6,27

1005,6?9,41t 4,04

6.18

1008,119,4814,018,186,14

l0l l ,2:19,49r3,96

6,08

t0t4,019,49

8,3r6,01

l0l11.239,50l ] ,908,266,02

I2:l

5

4,303,963.12

4,514, l03,71

5,r7

4,001,613,42

5,0?4,36t,89

t,3l

5,0r4.311.84

4,984,283,81

4.92

3,71

l , l5

4,904,203,133.:19l . l4

3,333,08

1

9t0

3,513,31

3,151,06

3,t8t,05

2,86

3,233,07

2.442,16

3.12

2,84

2,64

1.062,912,782,61

3,012,412,74

2,962,802,612.56

2.66

2.46

2,88

2,60

I2

52,992.922,87

2.11

2.122.612,62

2.68

2,562,512,46

2.512_502,442,39

2,5r

2,38 2,35234

2,27

2,11

2.262,202,16

2,322.252,192, l l2,09

I

2,712,^l2,612.642,61

2,50

2.442.16

2,10

2,21

2,2r2, t8

2,212,212,11

2,11?,08

2. l l2,092,062.422_00

2,t I

2,114:,01

2,002l272:l)425

2,51

2.192,36

228

2.232.212,20

2,162.112, l t2,092.07

2,092,41

2.032,01

2.0J2,012,011,99|,97

,90.E8

,93.91,89

.88,r!5,81,8r,19

26212E29.10

2.322_t82,162_05

2.ta7.t I| ,91

r,E3

r ,851,82l ,7 l

r ,94t,8?1.7)| ,69t .51

,88,80 r,75

1,56l .4 l

,48

,30

,72

.43,27

,15, l l.00

4050100t20

Az F elatld\ lnhlAzah (lolttataE

x I 2 l 5 8 9

4052,298,50

21,2016.26

99,0010,82r8,0013,21

5401.599,1629,46

t2,06

5624.399,252l i ,7 l15,98l l , l9

99.1028,24

10,97

5859,0

21,9115,2r

99,16

r4,98

598t.099,1821.4914,8010,29

6022.499,i971,34

,26r0,56

t0,92

8.658,02

9,?8

7,596.996,55

9,15

7,01

8,75

6,06

8,41'1, t9

6,115,80

8,26

6.1lr5.615_20

8,10

6,035.415,06

?,986.12

5.35

.9.11

8.86

1,21

6.51

6.22

5,7,15.4ti ,2r5.0,14.89

5.06.1,86

4.56

i ,0?4,824.62

4_12

4,89

4,28

4,504,10

4.00

4.61

4.0i1,89

L]

llr

8.53

E.298.188,r0

6,23

6,015,91

5,295,r95,095.01

4.34

4,174.10

4,20

4.01

1,87

3,841.17l ,?0

l_{i91.7,)3,? Il,6l3,56

l.7lll,6tt

-1,601.5:

t lt l23)425

8.027,957,887,82

5.?85,125.665,615,5? 4.68

i l,l7

t .99

3,901.85

j ,8 l

1,16l ,?11_61l ,6 l

1.64

1.541.501.46

3.51

l .4 ll , l6

l-:10t . l il , l03.263,?2

262728)9l0

'7,12

7,6E

1,56

5.49

5.t9 4,51 J.02

1,82

3,15l ,?33.70

3,591,56

3.50

J.4?1.39I, i63.-13l,:10

3.26l,2lt,20l . t?

I , l8t . l5l . l23-09l_0?

50

120

'1,11

1,\1

6,lii

5.185,06

4,19

4,I.r,203.981.95

3.83t,12l ,5 r3.4E3,:12

1,513,41l ,2t3,r?:1,02

3,r 92.992,962,80

l . l23,02

2,192,64

2,892_691.662,51

2,492.Ja

2.41

291

A. F-etoelds tnblnzota (lartata,

IIItItIIIIItI

2e5 I

t

l5 20 l0 50 100 I20 x6055,9

99,4027.2314.5510,05

6r57,0

26,8114.209,72

8.7

l4_02

620 1260.4

26.50ll,8.l9,38

26.41

9,79

6102,:l

26,15I3,69

6tt l ,9

26.24l l ,5r l9,13

6119,5

26,22

9.1I

6365,699,5026,t1

9,02

I2l

5

6,625,815.264,85

1,566_lrt.52

7,40

4,81

5,99 5,915,12

1.095,865,07

6,995.75

4,955,65

4,11t, t1

u

4.54

4.t0:1,94180

1,82t,66

1,861,66l .5 r3,31

3.941.10t,5 r3,353,21

:1,861,62

1,21l . l3

3,Er3,5?3,3E3,221.08

1,273.1|2.94

1.693..r5

3,09

1,60l , l61,17:1,0r

I

2l

53,69

l,4l

l ,4 lj , l II2: l3_15:1,09

1.26l_t63,081.00

l , l03,00

2,84

1,022,922,ti4

2,69

2,912.812.782,112.64

2,862.162,682,60

2,8.12,15

2.58

2,15

2.512.19

6

tt0

l . t l1)6l ,2 l3_t1

3_012.982.932,892_85

2,88

2,10

2.12

2.6?

2.64

2,492,48

2.422.172,:li2_29

2,352. l l2.21

2.162,31

2,2\2,11

2l2l?:l2425

t_09t,06i.0l1,002,98

2,81

2,152,132.10

2,662,632.6r)2.572.55

2.352.ll234

2,16

2,102.272.2.5

7,22

2,162,t1

2.212.242,11

2,1I

2, l l2,101,01

2,0r

2128

t02.802,102,50

2,32

2.222,192,O4

2,212,012.01r,88

2_202.10r.89

t.10

2,t l2.011,80

t.59

0695

105l

82605636

9280

5333

,81

,38,00

50

120

A Slud.nrftte I etosdds tttblazata

0.55 0,8 0.90 0,95 4.915 0.9115 0,99 0,995I2.l

5

0.

; :0,

5842313432

0_12,s0,2890,2710,2I0,261

4.1210,61?0,5840,569

l , t?6t ,0610,9780,94r0.920

.08,89

,51.,18

6, l l

2,352. l l2.O2

12.1)4,:10l . l82,1E2.57

t4, t2

t , l22.E82,66

11.82

t_753,t6

5.84

4_016

8

l0

0,0.0_

0.

Il0302929

0,2634.2620,26r0,260

0,5530,549

0,5410,5,12

0.9060,8960,88'0.8810.879

,3E,31

8l8t

2,362,3r2,262,2i

2.442,312. l l

l , l43,002.902_42

:1,7t:l_50l . t6l .2J1,t7

2

5

0, 2928.2828}t

0,2600,2590,259

0,258

0.5400,5i90,5180,51?0,536

0,8?60,8?l0,8700,8680,866

.16

.t5

,34

,60

.11

,15

2.242,r82.162,t42,1l

2.26

2,222.242.19

2,t22,682.65

2_60

l , t Il.0il ,0r2,98

l1

0 0

2828212121

0,2580,:570,257

0,25?

0.5150,5140,5340,5130.5:t3

0,8650,8610,862

0,860

.34,31, l l,13,13

15

117l't2

2,122,t r2.102.092.09

2,2,2,2,2.

1

554

2,582.572.55

2.92

2,8E2.862.85

)122212425

0,

o:.0,0.

2121217121

0,256

0,256

0,5:120,532

0_531

0,E590.8580.8580,85?0,856

|, \21,3:t ,3?l , l21, ,12

7l12'11'11

7l

2,082,012,072.462,06

2.2,2.2,2.

ll22

2,502.492.49

2.ul2.822,E r2_80

26272829

0.

0,

2121)121)1

0.256

0,2560,2560.256

0,5310,5110,5300.5:100,530

0,8560.855

0,8540,85.1

r , Il , : t It , l It , l tl ,3 l

1l'10

?010

2,06

2,052.04

2.2,2.2,2.

I0

0r9

2,48

2.412,462,46

2,782,J17.162.16

50

t20

0,1260,126

0, t260.r26

0,2550.r55

0.253

0,5290,5280,-{260,5260,524

0,8,19l , l0t . t01,291,29t,28

1,681,68

2,022.011.98r_98).96

2,412,062,032.012,0t

2,422,442.162_t62_13

2.1112.61!2,632.622.58

297

IRODALOM

CA\Avos. G. C.: Apllied probabiljty and stalisrical methods. Lftle. Bror.. and Con,_ PanY, Boston, 1984ELrlTa;MrszENA AERMA\N: Szlochasdikus modszerek is modeliek. Kitzrazdaslsi

is JoF K0Dyrbado. Budapcst. la82HArDIFP|NrER,RIDEY: Statisrika ] tl. lpTE. pecs, I 994.Hur-YADr LAszL6 MuNDRUczd cydRcy VrTA LAszL6: Sratisztik! Axla Kiad6.

Budap€st,1996.I(IREKCYARTo CyORCyNa Mr-NDRUczo cyORCy: Sratisztikai m6dszcrek a cudasa_

8' eletue.,beD. Aula Kiadd, BudaDesl. tqu<.t \oR?A\ AnrrA"\r Mor\ iR M41i 5, / r t \ t \ , \A\ Atratrr . , , r .u. / . r ta l t . , " - ,

NeMti Tankainyvkjad6, Budapest. I 992KOvEs PAr PARNrczKy cAsoR: Altalenos slarisz(ika I lL Kijrgazdastgi es Jogi

Kainyvkiad6. Budap€sl, l 98l.Marematika iizmgzdiszoknak. Analizis. (Szcrkcsztetie: dr. Csemy6k Lijs?to l

NeDrti Tar*dnyltiad6, Budapest, 1989.MatcDalika- iizemgdditszolnak. Opericiokulatds L (Szerkcszlc e: dr (.scmytik

Ldszl6.) N€Dcti TankaiD)rykiad6, Budapcsl, 1991.Malematika nzcmAediszolnak. Val6srinrisegszimids. (Sze*csztete: dr. ( s.,,rlltt

I as/l{i } Ncruer I Tdoliln)ryk I ado, ts udapee, I as0.MESZENA GyORGy ZrrRr,rAM; MARCjIT: Valoszinijs6gelnelel cs natemrtrkri slllr\/

tika Kozgrzdddgi 6s Jogi Kijnyvkiad6, Budatcsr, I 98 I .

TARGYMUTATO

becsles 30iDteralbm- 31,35pont- 31sokasegi ariny -e 49, 59sokastgi €rt€kitsszes -e 47, 59sokasigi sz6rdsDegYzei -e 5lsokasrei vdhato ert6k -e 36, 56

bocd6nigeveny 30

deteminicj6s eSyntthat6 231

el6gsegess€s 35elfogadasi bnomdny ?3el6rejclz€s (exlrapoldci6) 278cls6fajn hiba 77cr6niggveny 84

F-proba 102friggetlenseelizsgijLlal 109

hatasossag 34hlba

els6fajn - 77-hzttr 38mesodfajt - 78minlav€teli - l2nem mintavetefi - 12standard - 22

hipotezis 70

null- 70--elleDi'rz€s 180-vizsgalat 70

298

iditsor€lcmzes 242detcminisztikus - 242srochasrikus _ 242

idSsorok 6sszetev6i 243addiriv 245inultiplikativ 245

illeszkenevizsgilal I05b€cslges - 105fiszta- 105

kiv,tlalzlbsi dtny 12konfidociaiDl€rvallm ll

egy€di b€csl€sek -a l7EPaiarfterek -a 177

konekci6s renyez6 23konelicios egyiitbato

linei.is - t3llffciinis - 228pa!o*6nt: - 224fang" l4lt6bbszittts - 230

korrelici6s m,ttix 225kovariucia 126,127

-matlir 216,225kitikus en€k 74kitikus h]torniny 73

bal oldali - ?4jobb oldali - 74ketoldali - 74

leskisebb negyzetek nodszere2t5

lineiris regesszi6 152

mrsodfajn hiba 78

- eldszina I l, 63-iettenz6 21esyszerii v6telleD - 14frgg€tlen - 13rdt€gzett - 15

Neynan-f€ie - l?l'ozg'enaeolas 247mdtikollirearilis 212

- mi,6eiffi 231

normehgyenlelek 153, I 57llrszfoiaill - I 60

pqiodikus ingadozis 241pontdiagram 14?pr6ba (tesr) 7l

-niggveny 7lardrlra vonatkoz6 - 93,100€gymini6s l-- 90eglmint6s2- 86,94F- to2k6traiDtiis t - 97kebnintrs z-- 96

t'1 - 92, tO6s6ii$a ii[r]a16" 91, 102

aDalilikus - 151eln6leli - 143slandard lineiris - 205tapasztalati - 145

regesszi6fiiggv6ny 144- abszoltl hibeja 175- rclativ hibnja 175analitihs - 151€xpon€nciilis - 191, 195ha$enykit€viis - 191, 193parabolikus - 191tapasztalari - 145

reSresszi6s €gyiilthat6 165pecietis - 211

robusztus becsles 189roSalndsdgi €gyitthat6 168

pdcielis - 211

slddard hiba 22

szezonatis elftfts 272

sziSnifikanciaszint 73

torzitatlanseg 3larzimptotikus - 32

tr€nd 243analilikus - 251exponencidlis - 263lin€dris - 252mozgoallaSolasf - 247parabolikus - 268polinomirlis - 271

'itdiagram 2ll

variarciamalizis I 12, 182--r6b1a 116,184,222

variaff ia'kovdidcia netrix 225

I

IIIIIII

IttIIIt

t52,

299