Statisztikus fizika és pénzügyek

Bolyai Kollégium2007 április 25

Munkatársak• Pafka Szilárd (ELTE; CIB Bank; Paycom,

Santa Monica)• Nagy Gábor (Debreceni Egyetem; CIB Bank)• Karádi Richárd (BMGE Fizikai Intézet;

Procter&Gamble)• Gulyás Nándor (ELTE; Budapest Bank;

Lombard Leasing; ELTE; Collegium Budapest)• Varga-Haszonits István (ELTE; Morgan-

Stanley)• Papp Gábor (ELTE)• Andrea Ciliberti (Roma és Science&Finance,

Paris)• Marc Mézard (Orsay)

Tartalom

• Kapcsolatok a közgazdaságtan és a fizika között

• Mit adhat a fizika a pénzügyeknek, amit a matematika nem tudna?

• Három példa: véletlen mátrixok, fázisátalakulások és replikák

Korai kapcsolatok

• Klasszikus közgazdaságtan fizika-komplexusa

• Maxwell• Bachelier

Fizikusok a pénzügyekben

• A 90-es évek elejétől kezdődően egyre több fizikust vesznek fel a pénzügyi intézmények.

• A nagy kereskedelmi bankok kockázatkezelési vezetőinek kb. 30-35 %-a fizikus.

• Mára a pénzügyi terület a végzett fizikus hallgatók számára az egyik standard elhelyezkedési lehetőséggé vált (EU dokumentum a bolognai tipusú felsőoktatási programok összehangolásáról: Tuning Educational Structures in Europe: http://tuning.unideusto.org/tuningeu/ ).

Econophysics – van ilyen?

• A kifejezést H. E. Stanley vezette be, nem aratott osztatlan népszerűséget, mégis elterjedt.

• Van reális köze a két tudománynak egymáshoz?

• Triviális válasz: a pénzügyekben is sztochasztikus folyamatokkal van dolgunk, amelyek alkalmazása a statisztikus fizikában jutott legmesszebbre.

• Ámde: a sztochasztikus folyamatok elméletét a matematikusok is művelik.

Miért vesznek fel a bankok fizikusokat (is)?

• Miért nem csak matematikusokat, számítógép-tudósokat, statisztikusokat, stb.?

• Mi az a speciális tudás, amit a fizikusok be tudnak hozni a pénzügyekbe? Mit adhat a fizika a pénzügyeknek? (Stanley a Nikkei konferencián)

• Válasz-kísérlet: a modellekben való gondolkodás, a matematika kreatív használata, a numerikus és közelítő módszerekben való jártasság adja talán a fizikusok piaci vonzerejét.

Kicsit mélyebben:

• A kölcsönható rendszerek, kollektív effektusok megértésében a fizika jutott legmesszebb.

• A tankönyv-közgazdaságtan még mindig csak legfeljebb az átlagtér-elmélet színvonalát éri el (reprezentatív ágens).

• Struktúrák, új minőség felépülése akár egyszerű kölcsönhatásokból, emergens vonások, kollektív koordináták, mikroszkopikus szabadsági fokokra való átlagolás, stb. – ezek a fogalmi eszközök ismeretlenek a pénzügyekben (lsd. Bázel II).

Ezért azt gondolom, hogy

• a kvantummechanika, a soktestprobléma, a térelmélet, a renormálás, a fázisátalakulások, a nemlineáris és komplex rendszerek tanulmányozása ugyan se nem szükséges, se nem elegendő, de mindenféleképpen hasznos a bonyolult piaci folyamatok megragadásában, és ezeket a gondolati eszközöket sehol máshol nem lehet megszerezni, csak a fizikában.

• (Továbbá azt is gondolom, hogy ezeket az eszközöket meg kell őriznünk a fizika tananyag átszabása során.)

Ebben az előadásban három példán fogom illusztrálni a

fizikából importált (és máshonnan nem importálható)

fogalmi eszközök hasznát:

• a véletlen mátrixok• a fázisátalakulások és kritikus

jelenségek és• a replika-módszerpéldáján.

A konkrét alkalmazási terület a portfólió-választás

problémája.• Az alapkérdés: hogyan osszuk szét a

vagyonunkat a lehetséges befektetési eszközök (pl. értékpapírok) között úgy, hogy a lehető legkisebb kockázat mellett a lehető legmagasabb hozamot érjük el?

• Itt speciálisan arra az esetre szorítkozom, amikor a hozamra tekintet nélkül minimalizálni akarjuk a kockázatunkat.

A feladat eredeti megfogalmazása:

A portfólió-választás Markowitz-féle elmélete:Az , i=1,2,…,N, hozamok feltevés szerint ismert (mondjuk N-változós Gauss) eloszlásból húzott valószínűségi változók, kovariancia-mátrixuk ( a korrelációs mátrix, az szórása).

Keresendők azok a , , súlyok, amelyek mellett

az portfólió szórása minimális.

ir

P i iir w r

iw

2P i ij j

i j

w w

1iiw

ijjiij C

ijC i

ir

Korlátlan „short selling”

Nem kötöttük ki, hogy a súlyok pozitívak legyenek, bármekkora abszolút értékű számok lehetnek. Ez jogszabályi és likviditási okokból nyilván nem realisztikus, de a feladatot ebben az idealizált formában célszerű először tárgyalnunk (a pénzügy tankönyvek is ezt teszik). Ekkor ugyanis az optimális súlyok analitikusan meghatározhatók:

Ha a short sellinget megtiltjuk, akkor a feladat kvadratikus programozási feladattá válik.

1

*1

ijji

jkj k

w

A végtelen térfogat határesete

• A korlátlan short selling megengedése az optimalizációs feladat értelmezési tartományát végtelenné teszi. Látni fogjuk, hogy a megoldás-vektor hatalmas fluktuációkat mutathat. A térfogat korlátozása ezeket a fluktuációkat csökkentené.

• Amiként a fázisátalakulások elméletében, itt is célszerű azonban először a végtelen térfogat limeszében megérteni a jelenség lényegét, és a véges-térfogat effektusokat csak utóbb venni figyelembe.

A feladat változatai

• A szórás használata kockázati mértékként feltételezi, hogy a mögöttes folyamat Gauss vagy ahhoz hasonlóan koncentrált eloszlású. A pénzügyi folyamatok általában nem ilyenek.

• Alternatív kockázati mértékek: abszolút eltérés (MAD), egy magas küszöb fölötti feltételes átlagos veszteség (ES), a maximális veszteség (ML), ill. bármely a hozamok eloszlásán értelmezett pozitív, homogén elsőfokú, konvex funkcionál.

Empirikus kovariancia mátrixok

• A kovariancia-mátrixot a piacon végzett mérésekből kell meghatároznunk. A t időben megfigyelt hozamokból a következő becslést kapjuk:

• N eszközből álló portfolió kovariancia-mátrixának O(N²) számú eleme van. N eszköz T hosszúságú idősorában összesen NT adat van. Ahhoz, hogy mérésünk pontos legyen, a N <<T egyenlőtlenségnek kellene fennállnia. A banki portfoliók több száz eszközt tartalmazhatnak, miközben aligha értelmes dolog 4 évnél (T~1000) hosszabb idősorokat használni. Ezért N/T << 1 szinte soha nem teljesül a valóságban. Így a becslésben jelentős lesz a zaj hatása, a hiba pedig az N/T hányadostól fog függeni (skála-változó!).

(1) 1

1

T

ij it jtTt

y y

Küzdelem a „dimenziók átkával”

• A közgazdászok a kezdetektől fogva küzdenek ezzel a nehézséggel. Minthogy a probléma gyökere a megfelelő mennyiségű információ hiánya, a segítséget valamilyen külső forrásból származó információ bevitelétől várhatjuk, azaz valamilyen struktúrát kell σ-ra rákényszerítenünk. Ez torzítást visz a becslésbe, de csökkentheti a zajt.

• Példák:- egy-faktor modellek (β-k) Ezek mind

segítenek- több-faktor modellek valamilyen

mértékben. - szektorok szerinti csoportosítás A legtöbb

vizsgálat- főkomponens analízis empirikus

adatokkal - Bayesi shrinkage estimators, stb. dolgozik

Véletlen mátrixok a pénzügyekben

• L.Laloux, P. Cizeau, J.-P. Bouchaud, M. Potters, PRL 83 1467 (1999) és Risk 12 No.3, 69 (1999)valamint V. Plerou, P. Gopikrishnan, B. Rosenow, L.A.N. Amaral, H.E. Stanley, PRL 83 1471 (1999)azt a megfigyelést tették, hogy a valódi piacokon megfigyelhető kovarianciamátrixok spektrumában óriási mennyiségű zaj van, ami kérdésessé teheti a befektetési döntésekben való alkalmazásukat.

• Paradoxon: Ezeket a kovariancia-mátrixokat széles körben alkalmazzák, hogyan lehetséges, hogy a bankok nem buknak ebbe bele ?!

Laloux et al. 1999

Az S&P 500

idősoraiból nyert kovarianciamátrix spektruma N=406, T=1308, azaz N/T= 0.31 mellett, összehasonlítva egy véletlen mátrix spektrumával (folytonos görbe). A sajátértékeknek csak kb. 6%-a esik kívül a véletlen sávon.

Megjegyzések a paradoxonhoz• A véletlen sávba eső sajátértékek száma

nem okvetlenül méri megfelelően a zaj hatását a portfolióra: A kis sajátértékek erősen fluktuálnak, de viszonylag kevéssé befolyásolják az optimális portfoliót, miközben a nagy sajátértékek és a hozzájuk tartozó sajátvektorok eléggé stabilak.

• A vizsgált esetben N/T nem volt elég kicsi (bár ritkán fordul elő a gyakorlatban, hogy ennél kisebb legyen).

• A valóságos empirikus adatokkal dolgozva nem lehet elkülöníteni az elégtelen információ hatását egyéb zavaró tényezőktől, mint amilyen pl. a stacionaritás hiánya, ezért mi szimulált adatokkal dolgoztunk.

A véletlen mátrixok elmélete által sugallt szűrési eljárás

• A véletlen mátrixok megjelenése a portfolió-választás összefüggésében nagy aktivitást váltott ki, különösen fizikusok körében. Laloux et al. and Plerou et al. egy, a véletlen mátrixok elméletén (RMT) alapuló szűrési eljárást javasoltak. Ezt számos további kutató fejlesztette tovább.

• A javasolt szűrés abban áll, hogy a véletlen mátrix spektrum felső éle alá eső sajátértékeket mint tiszta zajt eldobják. Információt csak azok a sajátértékek és sajátvektorok hordoznak, amelyek ezen él fölé esnek. Az optimalizációt úgy kell végrehajtani, hogy a nagy sajátértékek alterére vetítünk, a kicsiket pedig egy alkalmasan választott konstanssal helyettesítjük, hogy megőrizzük a mátrix spurját. Ez drasztikusan redukálja a probléma effektív dimenzióját.

• A nagy sajátértékek interpretációja: A legnagyobb a „piacnak” felel meg, a többi nagy a fő ipari szektoroknak.

• A módszer a főkomponens-analízis egy szisztematikus változatának tekinthető, ahol objektív feltételt szabunk a tekintetbe vett komponensek számára.

• Kiterjedt összehasonlító vizsgálataink szerint a módszer következetesen jól teljesít más, hagyományos eljárásokkal összehasonlítva.

• További előny, hogy a szűrő a piac feltételezett szerkezetének megfelelően hangolható.

• Kísérlet a véletlen sávél alá eső információ kinyerésére (krakkói csoport, Papp Gábor)

Miben mérjük a zaj hatását?Tegyük fel, hogy ismerjük a igazi

kovariancia-mátrixot és meg tudjuk mérni a „zajos” mátrixot. Ekkor a zaj hatásának (nem okvetlen egyedüli) mértékéül a következő mennyiség választható:

ahol w* a ill. mátrixoknak megfelelő optimális súlyokat jelöli.

)0(σ)1(σ

ijjiji

ijjiji

ww

ww

q)*0()0()*0(

)*1()0()*1(

20

)0(σ )1(σ

A modell-szimulációs stratégia

Különböző modell kovariancia-mátrixokat választunk és ezekkel hosszú idősorokat generálunk. Ezután T hosszúságú szegmenseket vágunk ki belőlük, mintha a piacon végeznénk megfigyeléseket, majd megpróbáljuk rekonstruálni a kovariancia-mátrixokat ezekből a mintákból. Ezután optimalizáljuk a portfoliót mind a „megfigyelt”, mind pedig az igazi kovariancia-mátrix-szal és meghatározzuk a hiba mértékét.

0q

)0(σ

1. modell: iid normális változók

Spektrum

λ = 1, N-szeresen degenerált

A zaj felbontja a degenerációt és az

egyetlen sajátértékből egy sávot csinál

1

0

C =

Az 1. modellnek megfelelő „empirikus” kovariancia-mátrix a Wishart mátrix

Ha N és T →∞ úgy, hogy a hányadosuk N/T <1 fix (termodinamikai limesz), akkor ennek az empirikus kovariancia-mátrixnak a spektruma a Wishart vagy Marchenko-Pastur spektrum (sajátérték-eloszlás):

ahol

( )( )( )

2min maxT

N

2

1 Nmax min T

2. modell: egy-faktor vagy piac modell

Spektrum:Egyszeres sajátérték:

λ1=1+ρ(N-1) ~ O(N)sajátvektor: (1,1,1,…)

λ2 = 1- ρ ~ O(1)(N-1) – szeresen

degenerált

ρ

1

A 2. modellnek megfelelő empirikus kovariancia-mátrix spektruma még mindig a Marchenko – Pastur spektrum, plusz egy izolált, nagy, Frobenius – Perron sajátérték (a piac).

3. modell: piac + szektorok

Ezt a modellt közgazdászok is tanulmányozták

1

1

0)(~)()1(1 10111 NONNN

)(~)1(1 110112 NONN egyszeres

1

1N

N- szeresen degenerált

)1(~1 13 O

1N

NN - szeresen degenerált

A 3. modellnek megfelelő empirikus kovariancia-mátrix spektruma a Marchenko – Pastur spektrumból, a piacnak megfelelő nagy sajátértékből és egy, a kettő közé eső sávból áll. Ha elejtjük a szektorok ekvivalenciáját, akkor a paraméterek megfelelő beállításával elérhetjük, hogy a valóságos piacon megfigyelt empirikus kovariancia-mátrixokéhoz hasonló spektrumot kapjunk (Noh model)

Mérések ezeken a játék-modelleken

• Az optimális portfolió relatív hibáját jellemző mérték valószínűségi változó, amely mintáról mintára fluktuál.

• Ugyancsak ingadoznak az optimális portfolió súlyai is.

0q

qo eloszlása a minták fölött

qo várhatóértékének változása N/T-vel

A hiba divergenciája egy algoritmikus fázisátmenetet jelez

(I.K., Sz. Pafka, G. Nagy)• A kovariancia-mátrix rangja min{N,T}• Az N/T = 1 limeszben a sajátértékek sávjának

alsó éle zérushoz tart, az alsó él körül sok kis sajátérték található – sok lágy módus.

• Az N/T = 1 a rendszer kritikus pontja• A kritikus ponthoz közeledve skálatörvényeket

találunk, pl.a portfolió hibájának várhatóértéke: ,

szórása módon divergál.

• T<N-re zéró-módusok lépnek fel, az optimalizáció értelmetlen

TN

q

1

10

)1()( 0

rN

constq

A rendparaméter vektor fluktuációi: N=100 iid normális változóból álló portfolió súlyainak eloszlása adott mintában, T=500

Egy adott eszköz súlyának ingadozása mintáról mintára, nem-átfedő ablakok,

N=100, T=500

Egy adott eszköz súlyának ingadozása mintáról mintára, egyesével léptetett

ablak, N=100, T=500

RMT szűrés után a portfolió hibája elfogadható mértékre csökken és be tudunk hatolni a T<N tartományba is

Véges térfogatA short selling kizárása, vagy bármely olyan mellékfeltétel bevezetése, amely az optimalizáció értelmezési tartományát végessé teszi, a szűréshez hasonlóan elnyomja a végtelen fluktuációkat. Azonban a rendparaméter vektor komponensei (vagyis a súlyok) N/T=1-hez közeledve még mindig vadul ingadoznak és nagy részük kitapad a tartomány falára, miközben mintáról mintára mindig más súlyok válnak zérussá. A kritikus pont körül a Markowitz-feladat megoldása nem szolgálhat racionális döntéshozatal alapjául.

Univerzalitás

Numerikusan számos különböző piacmodellt, különböző kockázati mértéket és különböző háttér-folyamatot vizsgáltunk meg. A kritikus pont értéke és az együtthatók változnak, de eddig nem találtunk meggyőző evidenciát a kritikus exponensek változására – nem látjuk az univerzalitási osztály határait.

Hogy nem vették korábban észre?

• A skálázás gondolata nem merült fel• Az ökonométerek soha nem az N/T=fix,

N,T →∞ , hanem az N=fix, T→∞ limeszt vizsgálták, noha a banki portfóliók mindig is nagyok voltak, a hedge-fundok megjelenésével pedig óriásivá nőttek.

• A súlyok instabilitása mindennapi tapasztalat, de az, hogy a becslési hiba ténylegesen divergálna, soha nem merült fel. Minthogy ragaszkodtak az empirikus adatokhoz (azokból pedig kevés van), nem vizsgálták a minták fölötti ingadozásokat.

• A véletlen mátrixok, kritikus jelenségek, zéró módusok, stb. fogalma teljesen idegen a közgazdászok számára.

• A probléma különböző aspektusai nem álltak össze olyan egységes képpé, amilyet csak a fázisátalakulás koncepció tud nyújtani.

Replikák• Bármely konvex optimalizációs feladathoz

hozzárendelhetünk egy statisztikus fizikai problémát, ha a célfüggvényt előléptetjük Hamilton-függvénnyé, bevezetünk egy fiktív hőmérsékletet, a végén pedig a nulla hőmérsékleti limeszt tekintjük.

• Az idősor-szegmensek (minták) fölötti átlagolás olyan, mint a quenched averaging a rendezetlen rendszerek elméletében: az állapotösszeg logaritmusát kell átlagolni.

• Az átlagolást ekkor a replika-trükk segítségével végezhetjük el. (NB: mióta Guerra és Talagrand szigorúan megalapozták az SK modell Parisi-féle megoldását, akár replika-módszernek is hívhatnánk.)

A replikák első alkalmazása egy pénzügyi problémára: az ES fázishatár (A. Ciliberti,

I.K., M. Mézard)Az ES egy magas β küszöb fölötti veszteségek átlaga

(feltételes várhatóérték). Népszerű az elméleti kutatók körében és terjed a gyakorlatban is. Ráadásul, Uryasev és Rockafellar megmutatták, hogy az ES optimalizációja visszavezethető lineáris programozásra, melyre rendkívül gyors algoritmusok léteznek.

Az ES alatt optimalizált portfoliók sokkal zajosabbak, mint akár a szórás, akár az abszolút eltérés esetén. Az ES kritikus pontja mindig N/T =1/2 alatt van és függ a küszöbtől, tehát az N/T- β síkon egy fázishatárt rajzol ki.

Az ES mérték véges N és T mellett bizonyos valószínűséggel alulról nem korlátossá válik és ilyenkor az optimalizáció nem hajtható végre!

Az átmenet véges N,T-re sima, N,T →∞ esetén ugrásszerű. A fázishatár azt a tartományt választja el, ahol az optimalizáció végrehajtható, attól, ahol nem.

A feladat megfogalmazása• A hozamok idősora:

• A célfüggvény:

• A feladat változói:• A lineáris programozási feladat:

• Normálás:

Asszociált statisztikus mechanikai probléma

• Az állapotösszeg:

• A szabadenergia:

• A célfüggvény optimális értéke:

Az állapotösszeg

• Lagrange-multiplikátorok:

Replikák

• Triviális azonosság:

• A rendszert n példányban képzeljük el:

• Az n-szeres rendszer eloszlásfüggvénye:

Átlagolás a véletlen mintákra

ahol

• Rendparaméter mátrix:

Replika-szimmetrikus Ansatz

• Szimmetria-meggondolások alapján:

• Nyeregpont-feltétel:

ahol

A lineáris programozási feladat megoldhatóságának

feltételeA paraméter jelentése:

A fázishatár egyenlete:

A limeszben

• A probléma átmegy a maximális veszteség minimax feladatába:

Ebben a limeszben a fázishatár közvetlen geometriai meggondolással meghatározható (I.K., Sz. Pafka, G. Nagy)

A minimax probléma megoldhatóságának

valószínűsége• T>N –re a megoldás valószínűsége (bármely

elliptikus mögöttes eloszlásra):

(Ez a probléma izomorf bizonyos operációkutatási ill. véletlen geometriai feladatokkal: Todd, M.J. (1991), Probabilistic models for linear programming, Math. Oper. Res. 16, 671-693. )

• Nagy N és T -re, p átmegy a hiba-függvénybe.• Ha N,T→ ∞, az átmenet élessé válik N/T=1/2-nél.

1

11

11

2

T

NkT k

Tp

Konklúziók

P.W. Anderson: The fact is that the techniques which were developed for this apparently very specialized problem of a rather restricted class of special phase transitions and their behavior in a restricted region are turning out to be something which is likely to spread over not just the whole of physics but the whole of science.

Hasonló szellemben...• Azt gondolom, hogy az itt tárgyalt jelenség, az

információhiányból adódó becslési-hiba-katasztrófa lényegesen szélesebb körben fellép, mint a befektetési döntések szűk problémája. (Pl. sokváltozós lineáris regresszió, technológiai, gazdasági jellegű lineáris programozási feladatok, microarrays, stb.)

• Minden olyan esetben, amikor valamely jelenséget sok tényező befolyásol, de korlátos mennyiségű információ áll róla rendelkezésünkre, számolnunk kell az elkövetett hiba kritikus divergenciájával és a minták fölötti óriási fluktuációkkal.

Kicsit tágabb horizonton…Azt gondolom, hogy az emberiség előtt áll legfontosabb problémák jó részét a társadalomtudományok oldhatnák meg, de ehhez ki kellene nőniük jelenlegi, mágikus gondolkodástól és vágyfantáziáktól áthatott állapotukból. Amikor azonban a társadalomról kvantitatív modelleket alkotunk, szembekerülünk azzal a nehézséggel, hogy kísérletek nem végezhetők, a történelem nem ismételhető meg, az idősorok nevetségesen rövidek a szükséges magyarázó változók számához képest, és meg kell küzdenünk egy pontosan olyan természetű problémával, mint amit itt egy speciális esetben illusztráltam.