statmat 1

STATISTIKA MATEMATIKA I

Disusun Oleh :

Februl Defila

(10050051)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN PENDIDIKAN

(STKIP) PGRI SUMATERA BARAT

2012

1

Februl Defila [email protected]

http://febroeldefila.wordpress.com

BAB I

PELUANG

1.1 Ruang Sampel dan Kejadian

Ruang sampel atau sampel adalah himpunan semua kejadian yang mungkin dari sebuah

experience, disimbolkan “S”. Himpunan bagian dari ruang sampel dinamakan kejadian/event.

Secara khusus, himpunan yang hanya terdiri dari satu kejadian dinamakan kejadian dasar.

Contoh :

1. Jika sebuah koin dilempar 3 kali, kejadian yang mungkin adalah :

S={GGG,GGA,GAG,AGG,GAA,AGA,AAG,AAA}. Dengan S adalah ruang sampel.

2. S = {1,2,3}

S 23

= { ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}

Dari pernyataan diatas diperoleh : {1} S

{1} S

{1} S

Dimana S adalah power set atau himpunan bagian.

3. Sebuah dadu dilempar 120 kali. Dari kejadian tersebut, diperoleh hasil eksperimen atau

frekuensi kejadian sebagai berikut :

Angka 1 sebanyak 20 kali, angka 2 sebanyak 19 kali, angka 3 sebanyak 18 kali, angka 4

sebanyak 21 kali, angka 5 sebanyak 17 kali, angka 6 sebanyak 25 kali. Tentukan

banyaknya jumlah frekuensi jika :

a) Ada sebuah kejadian munculnya angka genap.

b) Ada sebuah kejadian munculnya angka ganjil.

c) Ada sebuah kejadian munculnya angka kurang dari 4.

Jawab :

Untuk menjawab pertanyaan diatas, pengertian peluang dapat diterjemahkan

menggunakan frekuensi relatif kejadian yang didefinisikan sebagai :

)(

)()(

Sf

AfAf n

mailto:[email protected]

http://febroeldefila.wordpress.com/

2



1120

120

)(

)()(

Sf

SfSf n

a) A = {2,4,6} maka f(A) = 19 + 21 + 25 = 65

120

65

)(

)()(

Sf

AfAf n

b) B = {1,3,5} maka f(B) = 20 + 18 + 17 = 55

120

55

)(

)()(

Sf

BfBf n

c) C = {1,2,3} maka f(C) = 20 + 19 + 18 = 57

120

57

)(

)()(

Sf

CfCf n

Dari contoh soal diatas, frekuensi relatif memiliki sifat :

0)0( nf

1)( Sf n

BfAfBAf nnn )( jika BA

Kejadian dikatakan saling asing jika kejadian tersebut tidak dapat terjadi bersama-sama.

Jika ruang sampel suatu percobaan dengan kejadian dasar S = {Si}, maka peluang

timbulnya kejadian dasar S = {Si} dengan i = 1,2,…,n adalah :

Pi = P[{Si}], i = 1,2,…,n dengan sifat :

Pi 0

11

i

iP

Jika A1,…,Ak adalah kejadian dalam S yang saling asing maka

k

i

i

k

i

i PPP11

1.2 Peluang Klasik

Peluang Klasik adalah suatu kejadian yang mempunyai peluang yang sama, yaitu N

1.

NiiN

Pi ,...,2,1,,1



3



)(

)(

Sn

AnAP , dengan sifat : 0)( AP ; 1)( SP ; 0)( P dan )()()( BPAPBAP

jika BA

Sifat – sifat lain dari peluang, dinyatakan dalam teorema berikut :

Jika A,B suatu kejadian dalam S, maka :

1. )()()()( BAPBPAPBAP

2. )(1)( APAP SAA

AA

3. )()()( BAPAPBAP

4. )()()()()()()( CBPCAPBAPCPBPAPCBAP +

CBAP

Contoh :

Dua kartu diambil secara acak satu – persatu, tentukan peluang bahwa kartu yang terambil

pertama adalah kartu Jack dan kartu yang terambil kedua adalah kartu Queen!

Jawab :

Peluang dari kejadian diatas adalah :

663

4

2652

16

51

4

52

4

1.3 Peluang Bersyarat

Peluang bersyarat suatu kejadian dengan syarat terjadinya peristiwa yang lain (sebelumnya)

didefinisikan sebagai berikut :

BP

BAPBAP

| dengan 0BP



4



Secara umum, jika dua peristiwa A1 dan A2 saling asing 21 AA , maka :

BP

BAAPBAAP

21

21 |

=

BP

BABAP 21

BP

BAP

BP

BAP

21

BAPBAP || 21

Sifat – sifat lain dari peluang bersyarat adalah sebagai berikut :

1. P(A|B) = BAP |

2. BAAP |21 = BAAPBAPBAP ||| 2121

3. 1|0 BAP

Contoh :

1. Empat kartu diambil secara random satu persatu tanpa pengembalian. Tentukan

probabilitas bahwa kartu yang terambil secara berturut – turut adalah as waru hitam

(AsWH), as waru merah (AsWM), as wajik (AsW), as semanggi (AsS)!

Jawab :

WMWHWJWHWMWHsWJWMWH AsAsAsPAsAsPAsPAsAsAsAsP ||)(

WJWMWHs AsAsAsAsP |

49

1

50

1

51

1

52

1 = 0,079

2. Kotak A berisi 10 bola merah (MA) dan 15 bola hijau (HA). Kotak B berisi 12 bola merah

(MB) dan 17 bola hijau (HB). Sebuah bola diambil secara acak dari kotak A kemudian

dikembalikan ke kotak B. Dari kotak B diambil sebuah bola secara acak. Tentukan

peluang bahwa 2 bola yang terambil berwarna hijau!

Jawab :



5



ABABA HHPHPHHP |

36,030

18.

25

15

1.4 Hukum Total Probabilitas

Menurut teori himpunan, telah diuraikan bahwa jika kejadian B dan kejadian B saling asing,

maka :

1. BB

2. SBB

3. A

4. AA

5. ASA

6. SSA

Hukum diatas disebut dengan Hukum Identitas.

SA = A

BBA = BABA

n BBA = BAnBAn , sehingga

AP = BBAP

= BAPBAP

Secara umum, jika kBBB ,...,, 21 kejadian – kejadian saling asing, maka

kBBBS ...21 . Sehingga :

kk BABABABBBASA ...... 2121

Teorema :

Jika kBBB ,...,, 21 himpunan kejadian saling asing, maka untuk sebarang peristiwa A berlaku :

i

k

i

i BAPBPAP |1

Bukti :

Karena kBABAA ...1



6



kBAPBAPAP ...1

= kk BAPBPBAPBP |....|. 11

= i

k

i

i BAPBP |.1

Contoh :

a. Terdapat 3 dos berisi barang elektronik (lampu). Dos I berisi 25 lampu dan 5

diantaranya rusak. Dos II berisi 35 lampu dan 10 diantaranya rusak. Dos III berisi 40

lampu dan 5 diantaranya rusak. Sebuah dos dipilih secara random, tentukan probabilitas

bahwa produk yang terambil rusak!

Jawab:

Misal : A = lampu yang rusak

B1 = dos 1

B2 = dos 2

B3 = dos 3

321 BAPBAPBAPAP

= 332211 ||| BAPBPBAPBPBAPBP

= 40

5

3

1

30

10

3

1

25

5

3

1

Dari contoh di atas, dapat dikaitkan konsep aturan Bayes, sebagai berikut :

Jika diasumsikan seperti syarat pada teorema sebelumnya, maka untuk setiap j,j=1, 2, 3, ... , k

berlaku :

k

j

jj

jj

j

BAPBP

BAPBPABP

1

|

||



7



1.5 Kejadian Saling Bebas

Dua kejadian dikatakan saling bebas jika tidak saling mempengaruhi. Secara statistik, A dan

B dikatakan bebas / independent, jika :

BAP = BPAP Saling Bebas

BAP BPAP Tidak bebas / Saling tergantung

Sehingga : ,| APBAP jika A, B bebas

: ,| BPBAP jika B, A bebas

Teorema :

Jika A dan B adalah dua kejadian saling bebas jika dan hanya jika :

7. A dan ,B bebas

8. A dan B, bebas

9. A dan ,B bebas

Bukti :

10. BAP = BAPAP

= BPAPAP

= BPAP 1

= APBP

Secara umum, jika Ai, i , ki ,...,2,1 adalah peristiwa saling bebas, maka :

k

i

k

i

ii APAP1 1

Contoh :

Jika dua dadu dilempar satu kali secara bersamaan, tunjukkan bahwa dua kejadian dibawah

ini saling bebas !

Jawab :

A : Dua dadu berjumlah tujuh.

B : Dua dadu memiliki angka yang sama.



8



Jawab :

1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1A

6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1B

Sehingga dapat diketahui bahwa :

6

1 BPAP ,

36

1

6

1

6

1 BPAP

BA , 0 BAP

Karena BPAPBAP , maka dua kejadian A dan B adalah kejadian yang saling

bebas.



9



BAB II

VARIABEL RANDOM DAN FUNGSI DISTRIBUSI

2.1 Variabel Random

Variabel random adalah sebuah fungsi dengan domain kecil hasil pengamatan dan

kodomainnya merupakan himpunan bilangan real. Variabel random disimbolkan dengan

huruf kapital ( X, Y, Z, dll ). Contoh :

1. Sebuah koin dilemparkan tiga kali, maka ruang sampelnya adalah :

S = { AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}

2. Misalkan X merupakan variabel random yang menyatakan banyaknya angka yang

muncul, Y adalah variabel random yang menyatakan banyaknya gambar yang muncul,

maka apa hubungan antara X dan Y?

Jawab :

S X Y P(X) P(Y)

AAA 3 0 8

1

8

1

AAG

AGA 2 1 8

3

8

3

GAA

AGG

GAG 1 2 8

3

8

3

GGA

GGG 0 3 8

1

8

1

Keterangan :



10



Karena YPXP , dan YX , maka X dan Y merupakan variabel acak identik. Selain

itu, karena YPXPYXP X, Y independent.

Macam-macam variabel acak :

a. Variabel Acak Diskrit (Countable)

b. Variabel Acak Continue (Measurable)

2.2 Variabel Acak Diskrit (pdf)

Jika ruang sampel dari variabel random X countable, maka variabel random X dinamakan

variabel random diskrit. Suatu fungsi dengan domain variabel acak diskrit dinamakan fungsi

densitas probabilitas diskrit. Disingkat dengan pdf diskrit atau dinamakan fungsi masa

probabilitas.

Teorema :

Suatu fungsi f (x) adalah pdf diskrit jika hanya jika memenuhi sifat:

1. f (x) > 0

2. 1 xf

3. Penulisan lain f (x) xf X dengan x = nilai variabel random X

Contoh :

Dari contoh pelemparan koin di atas (Sebuah koin yang dilempar 3 kali), jelas bahwa f (x) =

P (X = x), x = 0, 1, 2, 3. Semuanya 0 dan jumlahnya = 1

2.3 Fungsi Distributif Kumulatif (CDF)

CDF dari variabel acak X didefinisikan untuk sebarang bilangan real x berlaku :

xFxXPxF X

= xFxXP 1



11



Teorema :

Misal X variabel acak diskrit dengan pdf = f(x) dan CDF = F(x). Jika nilai-nilai dari variabel

acak X yang mungkin adalah berurutan naik, maka :

.....321 xxx

11 xFxf dan j , j>1 , berlaku jxf = 1 jj xFxF

Sedangkan untuk x < ix , maka F(x) = 0

Sehingga

xx

j

j

xfxF

Sifat-sifat CDF :

a. 1lim

xFX

b. 0lim

xFX

c. xFhxFh

0

lim

d. bFaFba

Contoh :

Dari contoh pelemparan koin diatas (sebuah koin yang dilemparkan tiga kali), bentuklah

fungsi distribusinya!

Jawab :

84

81

87

1

1 2 3

xF

x



12



2.4 Variabel Acak Kontinu

Suatu variabel acak X disebut variabel acak kontinu jika terdapat pdf f(x), sedemikian hingga

CDF-nya dapat dinyatakan sebagai :

CDF

x

dttfxF

pdf xFdx

dxf

Secara khusus, jika X variabel acak kontinu, maka :

a. bxaPbxaPbxaPbxaP

a. ,0 kxP dengan k = konstanta

b.

b

a

dxxfbxaP

Teorema :

Suatu fungsi f (x) adalah pdf untuk beberapa variabel acak kontinu X, jika memenuhi :

1. 0xf , bilangan real X.

2. 1

dxxf

Contoh :

Jika X merupakan variabel acak kontinu dengan pdf

0,1

0,0

3xxc

x

xf

Tentukan CDF nya!

Jawab :

dxxc

31 = 1

0

21

2

1xc = 1

c = 2



13



Maka, CDF nya adalah :

x

dttfxF = dtt

x

312

0,11

0,0

2xx

x

xF

2.5 Nilai Harapan

Apabila X adalah variabel acak diskrit dengan pdf f(x), maka Nilai Harapan dari X

didefinisikan sebagai :

n

X

xxfxE1

Contoh :

Dari contoh pelemparan koin di atas (Sebuah koin yang dilempar 3 kali), didapat

2

3xE .

2

3

8

1.0

8

3.1

8

3.2

8

1.3 xE

Jika X variabel acak kontinu dengan pdf f(x), maka Nilai Harapan

dxxxfxE

Contoh :

Dari contoh di atas (Jika X merupakan variabel acak kontinu), maka :

0

3112..0. dxxxdxxxE

Sifat – sifat umum nilai harapan

Teorema :

Jika X variabel random dengan pdf f(x) dan u(x) merupakan fungsi bernilai real dari variabel

random X, maka :

R

xfxuxuE , X VAD

R

dxxfxuxuE , X VAK



14



Jika X variabel random dengan pdf f(x), a, b suatu konstanta dan g(x), h(x) suatu fungsi

bernilai real dari variabel x, maka:

xhbExgaExbhxgaE .

Bukti :

Misalkan V variable acak kontinu, maka :

dxxfxbhxgaxbhxgaER

..

= dxxfxbhdxxfxgaRR

.

= dxxfxhbdxxfxgaRR

= xhbExgaE

Secara khusus, bExaEbaxE

RR

dxxfEdxxbfbE 1

2.6 Distribusi Campuran (Mixed Distribution)

Suatu distribusi probabilitas untuk variabel random X dinamakan campuran, jika CDF-nya

dapat dinyatakan sebagai berikut :

xFxFxF cd 1 , dengan 10 x

Contoh :

Misal X adalah variabel random yang menyatakan waktu tunggu sebuah proses dengan CDF

xFxFxF cd .6,0.4,0 , dengan 1xFd dan x

c exF 1 , untuk 0x . Tentukan

bentuk CDF campuran tersebut!

Jawab :

txP = xF

txP = xF1

4,000 xPx



15



636,016,04,05 xex

Jadi, 0| xtxP =

0

0

xP

txdanPxP

= 0

0

xP

txP

=

01

0

xF

FtF

=

4,01

16,04,0

te

= te1

tt eedt

dtF

dt

dtf 1

2.7 Varian

Varian dari variabel acak X didefinisikan sebagai Var(x) = V(x) =

,0,22 xExEx

dengan xE

Atau xfxxVar2

, variabel acak diskrit

Atau dxxfxxVarR

2

, variabel acak kontinu

Teorema :

Jika X variabel acak kontinu, maka 22 xExv

Bukti :

xV 22

xEdxxfxR

= 22 2 xxE

= 22 2 ExExE

= 22.2 xE

xV 22 xE



16



Contoh :

Perhatikan contoh pelemparan koin sebelumnya, dengan mean = 2

3 . Tentukan varian dan

simpangan bakunya!

Jawab :

x = 0, 1, 2, 3

Var(x) = xfx2

= 8

1.338

3.2

328

2.2

318

1.

230

2222

Var(x) = 0.75

Maka, 8661,075,0 xV

Teorema :

Jika X variabel acak dan a, b suatu konstanta, maka :

V(ax+b)=V(ax) sehingga V(ax+b) = a2 V(x)

Bukti :

baxV 2baxEbaxE

= 22baxEbaxE

= xva 2

Jika X,Y dua buah variabel random, maka berlaku :

yxCovyVxVyxV ,2

Jika X, Y independen dan cov (x, y) = 0, maka berlaku :

)()()( yvxvyxv

yxCov , yyxxE

= yExExyE .

Jika X, Y independen, maka :

yExExyE .

Sehingga Cov (x,y) = 0



17



yx, korelasi (x, y)

= xVyV

yx ),cov(

Secara khusus, ),cov()( xxxV

2.8 Momen

Momen ke-k di sekitar x=0 dari variabel random X didefinisikan sebagai :

k

k xE

Momen ke k disekitar x = , didefinisikan : kk xE

Jika k=1 0)(1 xExE

k=2 22

2 )( xE

Contoh :

Misalkan ada seorang pembalap mobil yang diasumsikan waktu berkendaranya antara 20

hingga 30 menit. Jika X adalah variable acak yang menyatakan waktu dalam menit, maka

tentukan momen ke k dari variable tersebut!

Jawab :

101xf X , 3020 x

101 , untuk yang lain.

Momen ke k dari variable acak tersebut adalah :

k

k XEm dxxk

30

2010

110

2030 11

k

kk

, dimana k = 1, 2, 3, …

Sehingga diperoleh :

25210

203022

1

m dan

3

1633

310

203033

2

m



18



Karena Xm 1 , sehingga diperoleh 25X . Dan karena 22

2 XXm , maka diperoleh

3

182 X

Batas – batas probabilitas

Jika X suatu variabel random dan x fungsi bernilai real non-negatif, maka untuk sembarang

konstanta positif c, berlaku :

c

xEcp x

)(

Dari teorema batas – batas probabilitas di atas, dapat diturunkan sebuah pertidaksamaan

Chebychev, sebagai berikut :

Teorema :

Jika X variabel random dengan mean dan varian 2 , maka untuk sebarang k>0, berlaku :

2

1

kkxP or

2

11

kkxp

Jika diambil

kk

2

2

xP atau

2

2

1

xp

2.9 Aproksimasi Mean dan Varian

Jika suatu fungsi dari variabel random X dapat dinyatakan atau diekspansikan dengan Deret

Taylor di sekitar x , maka mean dan variannya dapat ditentukan. Selanjutnya, misalkan

turunan dari fungsi xHxHxH n,....,, ''' dan xH dapat diekspansikan menurut Deret

Taylor di sekitar x , maka :

........."!2!1

2

''

Hx

Hx

HxH

Sehingga :

....)!2

)( "

2

'

Hx

HxHExHE



19



=

.....2

".

2'

H

xEHxEH

=

200

''

HH

Jadi, 22"

2

1

2

1 eeHHxHE

xHV ........' HxHV

= '0 HxV

= xvH2'

= 22' H

Jadi, 22' rHxHV

Contoh :

Jika X variabel random bernilai positif dengan pdf xxf ln , maka tentukan xE ln dan

xV ln

Jawab :

xxH ln maka xH ln

x

xH1'

2

1"

xxH

xHxxE ''2

2

1lnln

=

2

2 1

2

1ln

x

= 2

22

1ln



20



xV ln 22' H

= 2

2

1

=2

2

2.10 Momen Generation Function (MGF)

Jika X variabel random, maka MGF dari X didefinisikan sebagai berikut :

tx

x eEtM , hth , 0h

Ekspektasi ini ada nilainya, jika :

X Variabel acak diskrit 1

1

xfeeEtMi

txitx

x

X Variabel acak kontinu dxxfeeEtMr

txtx

x

Fungsi ini penting terutama dalam mendapatkan mean dan varian.

Secara khusus, jika X variabel diskrit, maka berlaku :

i

txi

x xfetM

i

txi xfxietxM '

i

txi

i xfextxM2

"

:

:

i

txir

i

r

x xfextM )(

Jika t = 0, maka :

iix xfxM 0'

= xE

iix xfxM 2'' 0



21



= 222 rxE

i

r

ii

r

x xfxxfM

Jadi , 0' xM

2'''2 00 xMxM

Contoh :

Jika X variabel acak kontinu dengan 0, xexf x , maka tentukan MGF!

Jawab :

dxxfetMR

tx

x

= dxee xtx

0

= dxe xt

0

1

=

xtdt

e xt

11

0

1

=

0

1

1

1 xtet

=

0

1

1

1 xtet

= 101

1

t

1,1

1

t

t

11

1

1

t

ttM x

1112'

ttM x



22



= 21

t

10' xM

1123"

ttM x

= 312

t

20" xM

Jadi, 1xE

11222

Contoh :

Jika X variabel acak diskrit dengan pdf 1

2

1

x

xf dengan x=0,1... Tentukan MGF-nya!

Jawab :

i

i

txi

x xfetM

0

=

1

0 2

1

ix

i

txie

=

ix

i

te

0 22

1

=

02

1

i

xis

= ...12

1 2 ss

=

81

1

2

1

= te2

1deret konvergen

Jadi, 2te

2lnt



23



Sifat-sifat MGF :

1. Jika y = ax+b, maka MGF-nya adalah atMetM x

bt

y

2. tMetMxy x

t

y

Teorema :

Jika MGF X ada, maka 0r

x

r MxE dengan

1 !

1r

rr

xr

txEtM



24



BAB III

HUKUM – HUKUM PROBABILITAS

Distribusi Probabilitas

Terdapat dua macam distribusi probabilitas, yaitu :

1. Variabel acak diskrit

2. Variabel acak kontinu

Macam-macam distribusi probabilitas variabel acak diskrit :

1. Distribusi Bernoulli

2. Distribusi Binomial

3. Distribusi Hipergeometrik

4. Distribusi Poisson

5. Distribusi Uniform, dll.

Macam-macam distribusi probabilitas variabel acak kontinu :

1. Distribusi Uniform

2. Distribusi Gamma

3. Distribusi Eksponensial

4. Distribusi Weibull

5. Distribusi Normal, dll.

VARIABEL ACAK DISKRIT

3.1 Distribusi Bernoulli

Suatu variabel acak X berdistribusi Bernoulli jika pdf-nya berbentuk :

,...1,0,)( 1 xqpxf xx

p = sukses, jika 0 < p < 1

q = gagal, jika (1 - p)



25



Teorema :

Jika X Bernoulli, maka :

pxE )(

pqxv )(

Contoh :

Buktikan teorema diatas dan cari MGF-nya!

Jawab :

)()( xxfxE )()( 22 xfxxE

= pq .1.0 = pq .1.0

= p = p

Sehingga, 22 ))(()()( xExExv

= 2pp

= )1( pp

= pq

)()( qpetM t

x

3.2 Distribusi Binomial

Ciri-ciri :

a. Percobaan dilakukan n kali dan independen

b. Peluang sukses (p) dan gagal (q)

Suatu variabel acak X berdistribusi Binomial, jika pdf-nya berbentuk :

,...1,0,)(

xqp

x

nxf xnx

),,()( pnxbxf

= ),( pnBIN



26



Teorema :

Jika X BIN (n, p), maka :

npxE )(

npqxv )(

nt

x qpetM )()(

Bukti :

)()( tx

x eEtM

= iii xnxtxqp

x

ne

=

ii xnxt qpe

x

n)(

= nt qpe )(

nba )( = inin

oi

bai

n

)0(')( xxE

2))0('()0('')( xxxv

Contoh :

0046,02

1

2

1

16

20

2

1,10,16

416

b

3.3 Distribusi Hipergeometris

Suatu populasi akan berdistribusi Hipergeometris apabila memenuhi :

a. Berukuran M, diantaranya bersifat a (tertentu).

b. Sampel diambil secara random berukuran n, x diantaranya bersifat a.

c. Pengambilannya tanpa pengembalian.



27



Definisi :

Variabel random X dikatakan berdistribusi Hipergeometris, jika pdf-nya berbentuk :

nx

n

N

xn

MN

x

M

MNnxh ,...,2,1,0,),,,(

Teorema :

Jika X distribusi Hipergeometris, maka :

N

nMxE )(

11)(

N

MN

N

M

N

nMxv

Bukti :

)()( xxfxE

n

N

xn

MN

x

M

x

1

1

1

1

0

n

N

n

N

xn

MN

x

M

x

Mx

n

x

1

1

1

1

1

n

N

xn

MN

x

M

N

nMn

x

Misal :

1 xy , maka 1 xy , sehingga 0,1 yx

Sehingga :



28



1

0

1

1

1

1

n

x

n

N

yn

MN

y

M

N

nM

N

nMxEJadi )(,

n

N

xn

MN

x

M

xxE 22 )(

Dengan cara yang sama, maka

22 ))(()()( xExExv

11)(,

n

MN

n

M

N

nMxvJadi

Contoh :

Sepuluh produk diambil dari sebuah dos besar berisi 1000 produk, 400 diantaranya rusak.

Sampel tersebut diambil secara random. Dari sepuluh yang diambil tadi, terdapat lima

produk yang cacat.

Jawab :

x= 5, n=10, N=1000, M=400

2013,0

10

1000

5

600

5

400

)400,1000,10,5(),,,(

hMNnxh

Teorema :

Jika X berdistribusi Hipergeometris dan nx ,...,1,0 , N , M , PN

M ,maka :



29



xqx

Nqp

x

n

n

N

xn

MN

x

M

lim

3.4 Distribusi Poisson

Suatu variabel random X berdistribusi Poisson jika pdf-nya berbentuk :

0,...,2,1,0,!

)(),(

xx

exfxf

xx

Teorema :

Jika X berdistribusi Poisson, maka )1()(,)(,)( te

x etMxvxE

Bukti :

)()( ix

x eEtM

=

n

x

xtx

x

ee

0 !

=

!x

ee

xtx

=

!

)(

x

ee

xt

= etxee

= )1( tee

te

x eetMt

)1()('

)0('xM

)1(2)1( )()()('' tt extte

x eeeetM

2)0(nM

2))0('()0()( xxn MMxv

= 22

=



30



Teorema :

Jika ),( pnBINX , maka untuk setiap nilai x = 0,1,2,…,n dan 0P dengan np

suatu konstanta, maka !

)1(limx

epp

x

n xxnx

n

, dengan .

Contoh :

Buktikan teorema diatas!

Jawab :

xnx

xnx

nnxnx

npp

x

n

1

)!(!

!)1(

=

xnx

nnxxx

xnnnn

1

)1)...(2)(1(

)1)...(2)(1(

=

xn

x

x

nnnx

xnnnn

11

!

)1)...(2)(1(

=

xnx

x nnxn

xnnnn

11

!

)1)...(2)(1(

=

xnx

n nnxnnnn

xnnn

11!.....

)1)...(1(lim

= 1..!

.1 ex

x

= !x

ex

(Terbukti)



31



3.5 Distribusi Uniform Diskrit (Seragam)

Suatu variabel random X berdistribusi Uniform Diskrit, jika pdf-nya berbentuk :

NNN

,...,2,1,1

f(x) = Memiliki peluang yang sama

0, yang lain

Teorema :

Jika )(NDUX , maka danNxE ),1(2

1)( )1(

12

1)( 2 Nxv

Contoh :


Jawab :

N

x

xxfxE1

)()(

= N

x1

= NN

...211

= nUaNN

2

11

=

1

2

11NN

N

= 12

1N (Terbukti)

22 )()( xxfxfxxv

=

2222 14

1...321

1NN

N



32



= )1(12

1 2 N

(Terbukti)

VARIABEL ACAK KONTINU

3.6 Distribusi Uniform Kontinu

Suatu variabel acak X berdistribusi Uniform Kontinu pada interval (a,b), jika pdf-nya

berbentuk :

),( baUNIFx

bxaab

baxfpdf

,1

),,(

= 0, yang lain

ax ,0

),,( baxFCDF xaab

ax

,

bx ,1

Teorema :

Jika ),( baUNIFX , maka danabxE ),(2

1)( 2)(

12

1)( abxv

Contoh :


Jawab :

b

a

dxxxfxE )()(

=

b

a

dxab

x1



33



=

b

ax

ab

2

2

11

=

22

2

1

2

11ba

ab

= ababab

2

11

= )(2

1ab

(Terbukti)

b

a

b

a

dxxxfdxxfxxv

2

2 )()()(

=

b

a

abdxab

x22

4

11

= 23

4

1

3

11ab

b

ax

ab

= 2233 24

1

3

11aabbab

ab

= 2222

4

1

2

1

4

1

3

11aabbaabbab

ab

= 2222

4

1

2

1

4

1

3

1

3

1

3

1aabbaabb

= 22

12

1

6

1

12

1aabb

= 22 212

1aabb

= 2

12

1ab

(Terbukti)



34



3.7 Distribusi Gamma

Untuk memahami distribusi Gamma, perlu diketahui fungsi Gamma secara umum dan

sifat-sifatnya. Secara umum, fungsi Gamma didefinisikan sebagai :

dtetx t

0

1

Sifat-sifatnya :

1. 0,1 xx

2. Annn ,!1

3. 11

4.

2

1

X suatu variabel acak kontinu dengan distribusi Gamma dengan parameter positif dan

negatif, jika pdf-nya berbentuk :

0,0,0,1

,,:),( 1

xexxfGAMxx

dan merupakan parameter-parameter tertentu, merupakan parameter bentuk

dan merupakan parameter skala. Karena merupakan bentuk, maka bentuk kurva

distribusi Gamma tergantung dari nilai .

Teorema :

Jika ),( GAMX , maka danxE ,)( 2)( xv

Contoh :


Jawab :

dxxxfxE

0

)(

=

dxexx

xx

1

0

1



35



=

dxexx

x

0

1)1(1

=

dxexx

x

1)1(

0

1

1

1

11

=

dxexx

1)1(

0

1

1

1

11

=

1.

=

(Terbukti)

Akibat khusus :

CDF-nya : ),( GAMX

dtetxFt

1

0

1,,

Jika 2 dan 2

, maka

2,2)(2

GAMGAMxx

Jika 1 , maka aleksponensiGAM 1,

3.8 Distribusi Eksponensial

X berdistribusi Eksponensial ( )exp(X ), jika pdf-nya :

0,0,1

,

xexfx

Jika

1

, maka : 0,0,, xexf x

CDF-nya berbentuk : x

exF

1),(



36



Teorema :

Jika X berdistribusi Eksponensial, maka danxE ,)( 2)( xv

Secara khusus, distribusi Eksponensial merupakan distribusi yang sangat penting,

khususnya di bidang teori (keandalan). Pada umumnya, pada distribusi eksponensial

berlaku sifat no memory, seperti pada teorema berikut :

)exp(X , jika hanya jika : 0,,| toatxPaxtaxP no memory

Bukti :

axP

axdanPtaxPaxtaxP

|

= taxP

=

a

ta

e

e

)(

= txP

(Terbukti)

Contoh :

Masa usia sejenis komponen listrik berdistribusi Eksponensial dengan rata-rata 100 jam.

Tentukan probabilitas bahwa komponen tersebut dapat digunakan 50 jam lagi dari batas

yang ditentukan perusahaan!

Jawab :

P = 0,6065

3.9 Distribusi Weibull

Seperti pembahasan sebelumnya, distribusi Weibull sering diaplikasikan untuk

mendapatkan keandalan sejenis komponen tertentu. Sama seperti distribusi Gamma

maupun distribusi Eksponensial.

Definisi :



37



Suatu variabel acak 0,0,, weiX , maka :

0,1

xex

x

,,xf

0, yang lain

Jika 1 , maka :

x

exf1

1,, )exp(x

Jika 2 , maka :

2

22,,

x

xexf Rayleighx

Bentuk CDF-nya :

x

exF 1,,

Terorema :

Jika ),( weiX , maka :

1

1)(xE

11

21)( 22xv

3.10 Distribusi Normal

Distribusi ini dinamakan juga distribusi Gauss dan mempunyai 2 parameter. Selain

kelebihan di atas, distribusi ini sangat bermanfaat untuk menyelesaikan beberapa kasus /

persoalan yang terkait dengan distribusi hampiran (limited distribution). Salah satu

teorema yang terkenal yang terkait dengan distribusi Normal adalah CLT (Central

Limited Distribution).

Definisi :

Variabel X acak kontinu berdistribusi Normal dengan parameter (mean) dan

(simpangan baku).



38



xexfNx

x

,0,,2

1,,),(

2

2

1

2

2)(

RR

dxxxfdxxfxxv

= 2xE

Sifat-sifat :

1. 0,, xf

2. 1,, dxxfR

Contoh :

Buktikan : 1,, dxxfR

Jawab :

dxe

x

R

2

2

1

2

1

Ambil dxdzx

z

1

= dzez

R

2

2

1

2

12

Misal :

dvvdzvz

vz

zv

2

1

2

2

2

1.22

2

2

1

= dvve v 2

1

02

12

2

12



39



= dvev v

2

1

0

1

= dvev v

0

2

11

= 2

1

2

11

2

11

0

1

dtt

=

= 1

Selanjutnya, jika Z berdistribusi Normal baku dengan rata-rata = 0 dan = 1, yang

dinotasikan )1,0(Nz , maka pdf-nya berbentuk :

zezpdfz

,2

1 2

2

1

dttzCDF

Sifat-sifat :

1. pfungsigenazz

2. )1,0(N simetris di z = 0

Teorema :

Jika ),( NX , maka xxPx

xFx

Contoh :

Misalkan X variabel acak yang menyatakan masa pakai suatu komponen listrik dengan

ukuran bulan. Jika variabel diasumsikan berdistribusi Normal dengan = 60 dan 2 = 36



40



bulan. Tentukan probabilitas bahwa komponen tersebut masa pakainya maksimal 4

tahun!

Jawab :

6

604848 xP

= 2

= 2

= 0228,0

Teorema :

Jika ),( NX , maka 22

2

1tt

x etM

Bukti :

tx

x eEtM

Misal :

zx

xz

tx

x eEtM

= dzzfeR

t

2

= dzeez

R

tz2

2

1

2

1

=

dteettz

R

22

2

1

2

1

2

1

=

dzeetz

R

t22

2

1

2

1

2

1

= 1.2

2

1t

e

Sehingga tx MtM 2



41



= tz

t Me

= 22

2

1t

t ee

= 22

2

1tt

e

(Terbukti)

Teorema :

Jika ),( NX , maka :

0'xxE

20'0" xxxv



42



BAB IV

JOIN DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM

4.1 Join Distribusi (Distribusi Bersama)

Dalam analisis statistik, distribusi bersama umumnya distribusi yang terdiri dari k buah

variabel random (berdimensi k) atau sering dinamakan vektor random.

vektoracakXXXX k ,...,, 21

Definisi :

pdf bersama dari variabel acak diskrit berdimensi k (vektor random) didefinisikan sebagai

berikut :

kkk xXxXPXXf ,...,,..., 111

= kk xXxXP ...11

Untuk semua nilai (x), kXXXX ,...,, 21 dari vektor random yang mungkin.

Contoh :

Sebuah dos berisi 1000 bolpen, 400 warna merah, 400 warna hitam, sisanya biru. Jika 10

bolpen diambil secara random sekaligus tanpa pengembalian, maka tentukan probabilitas

banyaknya bolpen yang terambil berwarna merah, hitam, dan biru.

Jawab :

10

1000

200400400

,,10,10002121

21

XXnXXXXf , dengan nXXX 321

Distribusi bersama biasanya terkait dengan distribusi multinomial (perluasan dari binomial).

4.2 Distribusi Multinomial

Misalkan terdapat 1k kejadian yang terbatas dan saling asing, yakni 121 ,...,, keee dengan e

= event yang terjadi dari sebuah eksperimen dan misalkan ii EPP .



43



Misalkan Xi variabel acak menyatakan banyaknya kejadian Ei dari n eksperimen, maka

vektor random dikatakan berdistribusi multinomial, jika pdf-nya berbentuk :

11

11

11

1 ...,!!...

!,...,

kX

k

X

k

k PPXX

nXXf

niXnXk

i

ik

0,1

1

k

i

ik PP1

1 1

kPPPnmultX ,...,,, 21

Teorema :

Suatu fungsi kXXf ,...,1 adalah pdf bersama untuk beberapa vektor random jika hanya jika

berlaku :

a. kiiXXf k ,...,2,1,,0,...,1

b. 1,...,...1

1 X X

k

k

XXf

Contoh :

1. Sebuah bidang tetrahedron dilemparkan sebanyak 20 kali, masing-masing permukaaan

mempunyai peluang yang sama, yakni 1/4. Tentukan probabilitas bahwa dari percobaan

tersebut munculnya angka 1 adalah 4 kali, angka 2 adalah 6 kali, angka 3 dan 4 adalah 5

kali.

Jawab :

205564

4

1

!5!.5!.6!.4

!20

4

1

4

1

4

1

4

1

!5!.5!.6!.4

!20

= %9,00089,0

2. 4,0;4,0;3multX



44



X1/X2 0 1 2 3

0 0,008 0,048 0,096 0,064 0,216 f1(0) = P(X1=0)

1 0,048 0,192 0,192 0 0,432 f1(1) = P(X1=1)

2 0,096 0,192 0 0 0,288 f1(2) = P(X1=2)

3 0,064 0 0 0 0,064 f1(3) = P(X1=3)

0,216 0,432 0,288 0,064 1

Peluang : harus 1 (0,4)0(0,4)

0(0,2)

3 = 0,008

3,23,12,13,02,01,0 ffffffXxP

=

00192,0064,0096,0048,0

= 4,0

Definisi :

Jika pasangan variabel acak diskrit X1, X2 mempunyai pdf 21 , XXf , maka pdf marginal

dari X1 dan X2 adalah :

2

2111 ,X

XXfXf (X1 fixed and X2 variable)

1

2122 ,X

XXfXf (X2 fixed and X1 variable)

CDF bersama dari k variabel acak (vector random) adalah suatu fungsi yang didefinisikan

sebagai berikut :

kkk xXxXFXXF ,...,,..., 111

Teorema :

Suatu fungsi 21 , XXF adalah CDF bivarian jika hanya jika berlaku :

1. 2221 ,0,,lim1

XXFXXFX

2. 1121 ,0,,lim2

XXFXXFX



45



3. 1,,lim 21, 21

FXXFXX

4. dcbacaFdaFcbFdbF ,,0,,,,

5. 2121210

210

,,,,lim,lim XXXXFhXXFXhXFhh

4.3 Variabel Acak Kontinu Bersama

Suatu variabel random (vektor random) dikatakan kontinu jika terdapat fungsi pdf bersama

kXXf ,...,1 dari vector random tersebut, sedemikian sehingga CDF-nya dapat dinyatakan

sebagai berikut :

kk

X X

kk ttdtdttttfXXXFk

,...,,,...,,...,,........,, 112121

1

Teorema :

pdf bersama kXXf ,...,1 jika hanya jika memenuhi :

a. 0,...,1 kXXf

b. 1,...,,...,..... 11

kk dXdXXXf

Pdf marginal : 22111 , dXXXfXf

= 121, dXXXf

Contoh :

Misalkan X1 menyatakan konsentrasi dari substansi tertentu dari percobaan 1 dan X2

menyatakan konsentrasi dari substansi tertentu dari percobaan 2. Jika diasumsikan bahwa pdf

bersamanya 10;10,4,. 212121 XXXXXXf , maka tentukan CDF-nya.

Jawab :



46



212121 .,.....,2 1

dtdtttfXXF

X X

= 21

0 0

21 ...4.....2 1

dtdttt

X X

= 2

21 , XX

4.4 Variabel Random Bebas Stokastik

Dalam analisis statistik (inferensi statistik), variabel random bebas stokastik merupakan

pokok bahasan yang penting, karena hampir sebagian besar persoalan analisis statistic terkait

dengan variabel random bebas stokastik.

Definisi :

X1 dan X2 variabel acak diskrit dengan pdf bersama 21 , XXf , dikatakan bebas stokastik

jika dapat dinyatakan sebagai : 221121 ., XfXfXXf

Dengan cara yang sama, apabila X1 dan X2 merupakan variabel acak kontinu sedemikian

sehingga 221121 ., XfXfXXf , maka :

212121 ,, dXdXXXfdXcbXaP

d

c

b

a

= 2121 . dXdXXfXf

d

c

b

a

= 222111 . dXXfdXXf

d

c

b

a

Jadi, dXcPbXaPdXcbXaP 2121 .,

Secara umum, variabel random 21 ,..., XX dikatakan bebas stokastik jika

kiba ii ,...,2,1, berlaku bahwa :

k

i

iiikkk bXaPbXabXaP1

111 ,...,



47



Teorema :

Vektor random X bebas stokastik jika hanya jika :

CDF

k

i

iik XFXXF1

1 ,...,

pdf

k

i

iik XfXXf1

1 ,...,

Contoh :

X1/X2 0 1 2 f1(X1)

0 0,1 0,2 0,1 0,4

1 0,1 0,2 0,1 0,4

2 0,1 0,1 0 0,2

f2(X2) 0,3 0,5 0,2 1

f (1,2) = 0,1 1.11,1 21 fff

f1 (X1) = 0,4 2.12,1 21 fff 5,0.4,02,0

f2 (X2) = 0,2 Sehingga bebas stokastik

Sehingga bukan bebas stokastik

4.5 Distribusi Bersyarat (Conditional Distribution)

Jika X1, X2 variabel acak diskrit atau variabel acak kontinu dengan pdf bersama 21 , XXf ,

maka pdf bersyarat dari X2 dengan syarat :

0,,

| 11

11

21112 Xf

Xf

XXfxXXf

Dengan cara yang sama,

0,,

| 22

22

21221 Xf

Xf

XXfxXXf

Jika X1, X2 bebas stokastik, maka :



48



a.

22

11

2211

11

21122212

.,|| Xf

Xf

XfXf

Xf

XXfXXfXfXXf

b. 1121 | XfXXf

Contoh :

Jika x dan y dua variabel acak kontinu yang mempunyai pdf bersama :

10;10,, yxyxyxf

Tentukan :

a. xyf |

b.

4

1|

2

10 xyP

Jawab :

a.

2

1

0

1

2

1.

,|

21

0

x

yx

xyy

yx

dyyx

yx

xf

yxfxyf

b.

2

14

1|

2

10

x

yxxyP

= dy

y

.

2

1

4

14

12

1

0

=

4

3

02

1

4

1

2

1 2

yy

= 3

1

4

38

2



49



Sifat –sifat probabilitas

1. Jika X vektor random yang mempunyai pdf bersama kXXf ,...,1 dan jika )(xuy

merupakan fungsi dari vektor random, maka :

Variabel acak diskrit

))(()( xuEyE

= ),...,(),...,(... 11

1

kk

X X

XXfXXuk

Variabel acak kontinu

))(()( xuEyE

= kkk dXdXXXfXXu ,...,),,...(),...,(.... 111

Teorema :

Jika X1, X2 suatu random variabel dengan pdf bersama 21 , XXf , maka :

)()()( 2121 XEXEXXE

Bukti :

21212121 ),()( dXdXXXfXXXXE

= 22121211 ),(),( dXXXfXdXXXfX

= )()( 21 XXE

Jadi, terbukti bahwa )()()( 2121 XEXEXXE

2. Jika kiai ,...,2,1, suatu konstanta, maka :

iiii XaEXaE

Teorema :

Jika x, y dua variabel random bebas stokastik g(x) dan h(y) sebuah fungsi, maka :



50



))(())..(())()(( yhExgEyhxgE

Secara umum, jika x vektor random saling independen dan u(x) suatu fungsi, maka :

))()),...,(())(( 1 kXuXuExuE

= ))(()),...,(( 1 kXuEXuE

4.6 Covarian

Definisi covarian bersama antara x dan y :

yExExyEyxEyx xyyx ,cov

Jika x = y, maka xx xxExx ,cov

= 22 2 xxxxE

= 22 xExE

= xv

= 2

x

Teorema :

Jika x dan y bebas stokastik, maka :

yExEyxE , , sehingga cov (x, y) = 0

Apabila cov (x, y) = 0, maka tidak berlaku x dan y bebas stokastik.

Sifat – sifat covarian

1. Cov

Bukti:

=

=

=



51



2.

3.

4.

Teorema :

Jika X, Y variabel random, maka :

=

=

=

=

Jika X, Y independen, maka:

=

=

(Terbukti)

Jika X vector random yakni dan suatu konstanta, maka

varian jika x saling independen,

maka :

Contoh :

=

=



52



=

= 2 + 1 + 4 + 2

= 9

4.7 Korelasi

Jika X dan Y merupakan variabel random dengan variansinya maisng-masing adalah

dan kovariansinya adalah Maka korelasi X dan Y

didefinisikan

Sifat – sifat korelasi :

1.

2.

Dengan

0,jika

-1,jika

3. a. corrxy 0

b. corrxy 0

c. eduncorrelatxy 0

4. Jika x,y bebas stokastik, maka tetapi tidak berlaku sebaliknya.

4.8 Ekspektasi Bersyarat

Jika X dan Y variabel random berdistribusi bersama f (X,Y), maka harapan Y yang diberikan X

didefinisikan sebagai :

xYfYxXYE |.| , x, y variabel acak diskrit



53



dyxYfYxXYE

|.| , x, y variabel acak kontinu

Contoh :

Misalkan diketahui pdf bersama dari variabel random Y yang diberikan X sebagai berikut :

ZXX

YX

XYE 0,2

0,2

|

Cari xXYEYEXYE XY || | !

Jawab :

40

22

1.

2.

2.| 2

2

0

2

0

xxY

xdY

xYYxXYE

xx

Teorema :

Jika X dan Y variabel random berdistribusi bersama, maka :

yExyEE |

Bukti :

Misal : xhxyE |

dxxfxhxhExyEE 1|

= dxxfxyE 1|

= dxdyxfxyfy ...|. 1

= dxdyyxfy ..,.

= dydxyxfy ..,



54



= yE

(Terbukti)

Contoh :

Dari soal sebelumnya, jika xxyE4

1| dan 20,

21 x

xxf , maka cari yE !

Jawab :

dxxx

dxxfxyEyE .2

.4

.|

2

0

1

2

0

= 0

2

4.2

1 3

x

= 3

1

24

8

Dari contoh-contoh di atas, ekspektasi bersyarat dapat juga digunakan untuk 2 variabel yang

saling bebas stokastik. Jika x, y bebas stokastik, maka :

a. yExyE |

b. xEyxE |

Variansi bersyarat dari y diberikan x didefinisikan sebagai :

22 ||| xyExyExyv

Teorema :

Jika X dan Y variabel random berdistribusi bersama, maka :

2|var|var xyExyEyv

Bukti :

22 |||var xyExyEExyE

= 22 | xyEEyE



55



= 2222 | xyEEyEyEyE

= 22|var yExyEEy

= xyEy |varvar

4.9 MGF Bersama

MGF bersama dari vector random X jika ada, didefinisikan sebagai :

hthXtEtMk

i

iix

1

1

,exp

Jika 21, , ttM yx ada, maka variabel random x, y bebas jika hanya jika :

2121, ., tMtMttM yxyx



56



BAB V

FUNGSI VARIABEL RANDOM

Tujuan dari subpokok bahasan ini adalah menentukan distribusi pdf dari fungsi variabel

acak. Dengan syarat, variabel acak sebelumnya (x) biasanya sudah diketahui bentuk CDF-nya.

Terdapat tiga metode / teknik untuk mendapatkan distribusi fungsi variabel acak. Teknik tersebut

antara lain :

5.1 Metode CDF.

5.2 Metode transformasi variabel acak (transformasi satu-satu atau transformasi yang lain).

5.3 Metode MGF.

5.1 Metode CDF

Misalkan variabel acak X mempunyai CDF Fx (x). Dan misalkan y = u(x) suatu fungsi

variabel acak X, maka teknik CDF ini adalah menentukan fungsi diatas dengan asumsi

variabel acak X terdefinisi dengan jelas. Secara khusus, misalkan untuk setiap bilangan real y

didefinisikan Ay = {x |u(x) y}, maka Y y X Ay.

Contoh :

A = {x | x A 10}

B = {1,2,3,…,10}

C = {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j}

Sehingga dari pengertian diatas bentuk CDF dari Y adalah :

Fy (y) = P {u(x) y}

= P {x Ay}

= P [ 21 xxx ]

= dxxf

x

x

x )(2

1

= Fy ( 2x ) – Fy ( 1x )

Jadi, pdf = yd

dCDF.



57



Contoh :

1. Diketahui Fx (x) = 1 – e-3x

, x0 . Tentukan pdf dari Y = ex!

Jawab :

Fy (y) = P[Y y]

= P[ex y]

= P[x ln y]

= P[Fx (hy)]

= 1 – e-3ln y

= 1 – 2

1

y, y1

Jadi, Fy (y) = )1

1(2ydy

d

= 3

2

y, y1

2. Jika X variabel acak kontinu. Tentukan pdf dari Y = x2 !

Jawab :

Fy (y) = P[Y y]

= P[x2 y]

= P[ yxy ]

= P( yx ) – P( xy )

= Fx ( y ) – Fx (- y )

Fy (y) = dy

d( Fx ( y ) – Fx (- y ))

=

dy

yFd

dy

yFd xx

= y

yfy

yf xx2

1

2

1 , untuk 0y



58



Teorema :

Misalkan X vector random dari variabel acak kontinu dengan pdf bersama kxxxX ,...,, 21 .

Maka CDF dari Y berbentuk yxuPyFy = k

A

k dxdxxxxf

y

...,...,, 121 dengan Y =

xu dan yxuxAy |

Contoh :

Misalkan Y = 21 xx dengan 1~ Expxi , tentukan pdf dari Y, 21 xyxp , yx 10 ?

Jawab :

yFY = yYP

= yxxP 21

= 21

0 0

21

2

, dxdxxxf

y xy

=

21

0 0

2

21 dxdxe

y xy

xx

= 21

00

2

12 dxdxee

xy

x

y

x

= 2

00

212 dxee

yxy

xx

= 2

0

221 dxeex

y

xy

= 2

0

2 dxee

y

yx

= yyxxee

022

= 1 yy yee

= yy yee 1

Jadi, pdf dari 21 xxy adalah yy yeedy

d 1



59



5.2 Metode Transformasi Variabel Acak

Dalam metode transformasi ini, terdapat dua hal, yaitu :

5.2.1 Metode Transformasi Satu – Satu

Misalkan X variabel acak diskrit dengan pdf f(x) dan misalkan y = u(x) merupakan

fungsi transformasi satu-satu, maka pdf dari Y dinyatakan sebagai:

)()( ywxxuy

Byywfyf xy , dengan 0 yfyB y

Contoh :

1. X ~ GEO (p) dengan pdf ,...2,1,1 xpqxf x

x

Dan y = x-1, tentukan pdf Y!

Jawab :

x = y+1

ywx

yf y ywf x

= 1yfx

11. yqp

,....1,0, ypq y

Misalkan X variabel acak kontinu dengan pdf f(x) diasumsikan bahwa y=u(x)

merupakan fungsi satu-satu dari himpunan 0,0 yfyBxfxA yy dengan

transformasi invers x=w(y). Jika turunan w’(y) kontinu dan tidak bernilai nol pada

himpunan B, maka pdf dari y dapat dinyatakan sebagai

ywdy

dywfyf xy Contoh :

Misalkan CDF dari variabel random X adalah xexF 21 , maka tentukam pdf dari

xey dengan metode transformasi!

Jawab :



60



ywyxey x ln

yw' y

1

yf y jywfx

= 3

ln2 1111

yyye y

wf y 1 yFdy

dy , dengan y1

= 42 3 yy

4

2 3

y

y

x

x exf 21

xFdx

dxf xx

= xe 22

Jywfyf xy

=y

e y 12 ln2

=3

2

y

2. Misalkan X variabel acak kontinu berdistribusi uniform

2,

2

U . Tentukan

distribusi fungsi axbY tan !

Jawab :

pdf ab

baU

1

,

1

22

1

2,

2

Uxf x



61



axby tan

ayxb tan

b

ayx

tan

yw =b

ayrcx

tan

Misal : b

ayyf

Maka :

21

''

yf

yfyw

2

1

1

b

ay

b

dy

ydw

= 22 ayb

b

Sehingga :

Jywfyf xy

=

22

1

ayb

b

5.2.2 Metode Transformasi Bukan Satu – Satu ( Umum )

Transformasi untuk k buah variabel random

Secara umum, transformasi variabel random dapat diterapkan k buah variabel, y =

u(x) dengan asumsi fungsi variabel tersebut mempunyai penyelesaian tunggal.

X=(x1,x2,...,xk) dan mempunyai jacobian matriks sebagai berikut :



62



Teorema :

Jika X suatu vektor random yang kontinu dengan PDF bersama:

pada himpunan A dan Y= , merupakan transformasi satu-satu yakni

yi=u(xi), i=1,2,...,k dan jacobian matriks kontinu tidak nol, maka PDF dari y adalah

X= solusi tunggal dari y.

Contoh :

Misalkan x1 & x2 adalah 2 variabel random independen yang masing-masing

berdistribusi eksponensial satu.

x=1 exp(1)

Dengan pdf bersamanya :

= , x1>0, x2>0

Maka tentukan pdf bersama dari y1 & y2 bila diketahui y1= , y2 =



63



Jawab:

y1=

y2 =

= = 1

=

=

=

Jadi G

1,2,1 1

x

ex



64



5.3 Metode MGF

Sebagaimana metode sebelumnya, metode MGF ini juga dapat digunakan dengan mudah

untuk menentukan distribusi variabel random atau jumlah fungsi variabel random.

Jika (x1,x2,...,xk) merupakan n buah variabel random yang saling independen aatau bebas dan

masing-masing punya MGF : maka jumlah n buah variabel random

diatas yakni :

x,y independen

Contoh :

Misalkan variabel random berdistribusi binomial yang saling independen :

dengan

Tentukan distribusi dari



65



Jawab:

=

=

=(

=

BIN (

5.4 Order Statistik (yi)

Konsep order statistik merupakan konsep yang terkait variabel random yang nilai-nilai

observasinya diurutkan sesuai variabel random tersebut.

Contoh :

Misalkan x variabel random yang menentukan lamanya waktu tahan hidup dari 5 macam

bola lampu yang diuji hasilnya.

x1 = 5 bulan y2

x2 = 2 bulan y1

x3 = 6 bulan y3 pengurutan mulai dari yang terkecil

x4 = 10 bulan y5

x5 = 7 bulan y4

Secara umum (misal terdapat n pengamatan)



66



Teorema :

Jika variabel random dari suatu populasi yang kontunyu, maka PDF

bersamanya dari statistik urut

Misalkan : A1 =

A2 =

A3 =

A4 =

A5 =

A6 =

B =

A1= = , ,

A1= = , ,

Dengan memperhatikan nilai-nilai jacobian diatas dan berdasarkan metode transformasi

sebelumnya, maka PDF bersama dari kasus diatas merupakan perkalian dari faktor-faktor

, sehingga PDF bersamanya dinyatakan :



67



Contoh :

1. Misalkan menyatakan sampel random dengan PDF

. Tentukan PDF bersama dari statistik bersama dan PDF

marginal!

Jawab :

Penurunan distribusi dari order statistik ke-k dapat juga dilakukan hubungan antara PDF

dan CDF :

2. Misalkan , variabel acak kontinyu dengan PDF :

. Tentukan bentuk dari distribusi marginal

dari (pengamatan yang terkecil)!

Jawab:



68



; a< <b

Dari contoh diatas maka PDF marginal secara umum dapat ditentukan dengan

menggunakan teorema berikut :

sampel random berorder n dari suatu PDF yang kontinyu dengan >0



69



Untuk a<x<b, maka PDF order statistik ke-k (marginal) dapat dinyatakan sebagai :

dengan a< <b

Dalam praktek order statistik smallest & biggest atau minimum dan maksimum,

mempunyai peran penting khusunya dalam statistik inferensi.

Oleh karena itu, terkait dengan teorema diatas, maka statistik urut minimum dan maksimum

dapat dirumuskan melalui 2 macam pendekatan :

1. Variabel acak kontinyu

2. Variabel acak diskrit

Untuk variabel acak kontinyu PDF max dan PDF min dinyatakan

sebagai:

= ,

CDF :

5.5 Distribusi Limit

Dalam analisis statistik (inferensi) peran dari distribusi limit merupakan bagian yang penting,

karena terkait dengan model distribusi pendekatan limit dari variabel random. Dalam

distribusi limit ini, akan dibicarakan konsep-konsep yang terkait dengan konvergen

distribusi, konvergen stokastik, konvergen hampir pasti, theorema CLT dari sebuah variabel

atau barisan random.

Jadi barisan adalah suatu fungsi dengan domain bilangan asli.

Definisi :

Jika



70



Maka dikatakan konvergen dalam distibusi ke dan dinyatakan

Contoh :

Misalkan sampel random dari distribusi eksponensial dan order statistik

terkecil. Maka tentukan CDF !

Jawab :

F(-∞) = 0

F(∞) = 1

Definisi :

Suatu barisan dari variabel random dikatakan konvergen stokastik pada

konstanta c jika barisan tersebut mempunyai distribusi limit pada y=c.

Dari definisi tersebut, maka dapat diturunkan definisi distribusi generate.

5.6 Distribusi Generate

Fungsi G(y) adalah CDF dari distribusi generate pada nilai y=c jika :

Dengan kata lain, G(y) adalah CDF dari distribusi variabel acak diskrit jika probabilitas

bernilai 1 pada titik y=c dan bernilai 0 pada yang lain.



71



5.7 Distribusi Paretto

Suatu variabel acak kontinu X dikatakan berdistribusi paretto dengan θ>0, ɸ>0

Jika PDF-nya berbentuk :

Contoh :

Misalkan berdistribusi paretto satu-satu dan order statistik terkecil,

maka tentukan CDF dari !

Jawab :

= G(Y)

5.8 Teorema Limit Pusat

Misalkan suatu barisan variabel random dengan CDF masing-masing :

dan MGF masing-masing adalah

Jika M(t) suatu MGF dan CDFnya G(Y) dengan



72



Maka

Contoh :

Misalkan suatu sampel random dari distribusi bernoulli dengan

Yn =

sedemikian hingga np= maka tentukan distribusi limit dengan

CLT!

Jawab :

M (t)

, maka Yn =

=M(t)

Dari contoh diatas, konsep distribusi limit dan CLT dan keduanya menentukan dengan

pendekatan

Satu hal yang perlu diketahui, apabila bentuk CDF tidak memenuhi sifat-sifat umum, maka

barisan Yn tidak mempunyai distribusi limit pendekatan.

Teorema limit pusat secara khusus :

Jika merupakan sampel random dari sebuah distribusi dengan PDF f(x), dan

mean dan varian berhingga, maka distribusi limit dari :



73



Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa Theorema limit Central dapat dimodifikasi

berdasar konsep-konsep statistik dasar, yaitu :

1.

2. Jika , maka:

5.9 Aplikasi CLT

Untuk menerapkan dalil limit pusat dalam permasalahan sehari-hari maka theorema limit

pusat dapat dimodifikasi sesuai dengan kasus. Terdapat beberapa modifikasi dalam beberapa

hal :

1.

2.

Contoh :

Misalkan adalah mean sampel random berukuran 75 dari distribusi dengan PDF

Tentukan peluang P(0,45< !

Jawab :



74



5.10 Konvergen Stokastik

Konsep konvergen stokastik banyak digunakan untuk menunjukkan bagaimana sebuah

random variabel dapat digunakan untuk pendekatan asimtotik normal.

Misalkan merupakan distribusi dari variabel random yang distribusinya tergantung

pada bilangan bulat positif n. Jika c merupakan konstanta yang tidak tergantung pada n maka

variabel random dikatakan konvergen stokastik/ probabilistik/ lemah ke-c jika dan hanya

jika untuk setiap berlaku :

Dari konsep diatas, konvergensi stokastik dapat diperluas terhadap barisan variabel random.

Misalkan {Xn} barisan variabel random , n=1,2,.... dan X=variabel random yang terdefinisi

pada ruang parameter (ῼ) maka : konvergensi dari barisan tersebut dapat diuraikan melalui 3

macam konvergen :

1. Konvergen almost sure / konvergen dengan probabiitas 1 / konvergen strong

2. Konvergen stokastik / konvergen probabilistik / konvergen weak

3. Konvergen distribusi / konvergen lengkap

Definisi :

Misalkan Xn barisan variabel random dikatakan konvergen hampir pasti ke-x, jika untuk

setiap ε > 0 berlaku :

Xn dikatakan konvergen lema ke-x jika untuk setiap ε > 0 berlaku :

Xn dikatakan konvergen dalam distribusi ke-x jika :

Untuk menentukan konvergensi sebuah barisan variabel random, dapat digunakan

Chebychev.



75



Langkah-langkah menentukan konvergensi :

1. Gunakan pertidaksamaan cheybychev

2. Tentukan mean dan variansinya

3. Subtitusikan ke cheybychev

4. Selesaikan

Contoh :

Misalkan merupakan sampel random dari distribusi eksponensial. Buktikan

konvergen stokastik ke !

Jawab :

Buktikan :

1)1(lim2

nn



Documents

statmat 1