Upload
putriayulestari
View
1.561
Download
347
Embed Size (px)
DESCRIPTION
good
Citation preview
KELUARGA EKSPONENSIAL
Anggota Kelompok 3:
Ratih Roesdiana (121810101004)
Solehatul Ummah (121810101030)
Anton Satria D. (121810101031)
Diana Nurfarida (121810101033)
Firda Rizki C. (121810101035)
Tri Puji Lestari (121810101040)
Silvia Triana Sari (121810101044)
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS JEMBER
TAHUN 2014
PEMBAHASAN
DEFINISI STATISTIK CUKUP
Misalkan X1,X2,...,Xn variable random saling bebas dan berdistribusi identic dengan
fungsi kepadatan probabilitas ( ) dan
( )
Misalkan ( ) dengan
( )
Untuk Statistik T dinamakan statistic cukup dimensi-m untuk keluarga
( atau untuk parameter jika berdistribusi bersyarat( ) diberikan
tidak bergantung pada untuk semua nilai t. Dengan menggunakan teorema berikut ini,
identifikasi statistic cukup dengan mudah dilakukan.
Teorema 1.1 (TeoremaFaktorisasi Fisher-Neyman)
Misalkan variabel random saling bebas dan berdistribusi identik dengan fungsi kepadatan
probabilitas f(x; ) dan = ( ) Statistik dimensi-m
(( ( ) ( ) ( )) ) merupakan statistic
cukup untuk jika dan hanya jika fungsi kepadatan probabilitas bersama dari dapat difaktorkan
sebagai ( ) [ ] ( ) dengan g tergantung pada
hanya melalui T dan h tidak tergantung pada .
Contoh:
Tunjukkan bahwa adalah setiap kasus distribusi tersebut merupakan anggota keluarga
eksponensial Variabel random X berdistribusi Poisson Karena berdisrinusi poisson ( ) maka
fungsi probabilitas dari adalah
( )
Untuk x=0,1,2, sehingga ( ) ( )
A ( )
Dengan A={0,1,2,}
Hal itu berarti bahwa ( )= , ( ) ( ), ( ) dan
( )
A ( )
akibatnya distribusi Poisson ( ) merupakan anggota keluarga eksponensial.
PENGANTAR DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
Pendahuluan Distribusi Poisson
Distribusi Poisson
Distribusi Poison merupakan hasil dari suatu eksperimen/ proses yang memenuhi asumsi
tertentu. Proses Poisson ini mendeskripsikan kejadian yang muncul pada suatu interval waktu
atau wilayah tertentu.
Asumsi proses ini adalah :
1. Peristiwa yang muncul pada suatu interval waktu / daerah tertentu saling bebas dengan
peristiwa lain yang terjadi pada interval waktu daerah lainnya.
2. Untuk interval waktu yang kecil, peluang suatu peristiwa muncul didalamnya berbanding
lurus dengan panjang interval.
3. Peluang dua atau lebih peristiwa muncul dalam interval waktu yang sangat kecil dapat
diabaikan.
Definisi 4.5
Peubah acak X dikatakan berdistribusi Poisson , dengan parameter dinotasikan P()
mempunyai fungsi kepadatan peluang berikut:
( ) ( ) {
Hubungan Distribusi Eksponensial dengan Proses Poisson
Terapan distribusi eksponensial yang terpenting ialah bila proses poisson berlaku.
Pembaca hendaknya ingat bahwa proses poisson memungkinkan penggunaan distrbusi diskrit
yang disebut distribusi poisson. Ingat bahwa distribusi poisson digunakan untuk menghitung
peluang khusus dalam 'kejadian' selama jangka waktu atau selang tertentu.Dalam banyak hal,
jangka waktu atau selang berbentuk peubah acak. Sebagai contoh:
Seorang insinyur Teknik Industri mungkiningin meneliti waktu T antara kendaraan tibadi suatu
persimpangan yang padat selama waktu kerja di suatu kota besar.Waktu tibamerupakan kejadian
Poisson.
Hubungan antara distribusi eksponensial dan proses Poisson cukup sederhana. Distribusi
Poisson diturunkan sebagai distribusi berparameter tunggal dengan , disini dapat ditafsirkan
sebagai rataan banyaknya kejadian per satuan waktu. Pandang sekarang peubah acak yang
diberikan dengan waktu yang diperlukan agar kejadian pertama muncul. Dengan menggunakan
distribusi Poisson, kita peroleh bahwa peluang tidak ada kejadian yang muncul dalam jangka
waktu t diberikan oleh:
( ) ( )
Sekarang hasil di atas akan digunakan dan dimisalkan waktu sampai kejadian Poisson
yang pertama. Peluang bahwa jangka waktu sampai kejadian pertama melampaui sama dengan
peluang bahwa tidak ada kejadian Poisson yang muncul dalam waktu . Yang terakhir ini,
tentunya sama dengan .
( )
Jadi fungsi distribusi kumulatif untuk adalah:
( )
Sekarang agar kita mengetahui tentang keberadaan distribusi eksponensial, turunkanlah
fungsi distribusi kumulatif di atas sehingga diperoleh fungsi padat sebagai berikut:
( )
Yang merupakan fungsi padat dari distribusi eksponensial dengan
Distribusi Eksponensial
Apabila suatu peubah acak X berdistribusi gamma dengan parameter , maka distribusi ini
lebih dikenal sebagai distribusi eksponensial dengan fungsi padat peluang.
( ) {
Dengan mean dan variansi
( )
Nilai Harapan Distribusi Eksponensial
( )
( )
(
) (
)
((
)
(
))
Sehingga:
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
))
( (
))
Akibatnya:
[ (
)]
(
) ( (
))
(
)
( ) ( ) ( ( )
KELUARGA EKSPONENSIAL
Statistik Cukup
Statistik T = T(X1, X2, , Xn)dikatakan cukup bagi parameter, jika fkp bersyarat:
( ( ))
tidak bergantung pada .
Suatu statistik T = t(X) adalah CUKUP atau sufficient untuk suatu keluargadistribusi
fx(x| ) JIKA dan HANYA JIKA fungsi likelihoodnya bergantungterhadap Xhanya
melalui T:
L() = h(t(X), )
Suatu statistik T = t(X) adalah CUKUP untuk suatu keluarga distribusifx(x| ) JIKA dan
HANYA JIKA distribusi bersyarat dari XTIDAK BERGANTUNGpada :
fx|T(x|t, ) = h(x)
Suatu statistik T = t(X) adalah CUKUP untuk suatu keluarga distribusifx(x| ) JIKA dan
HANYA JIKA fungsi peluangnya dapat difaktorkan sebagai:
fx(x|) = g(t(x)|) h(x)
Teorema 1 (Teorema Faktorisasi Fisher-Neyman)
Misalkan variabel random saling bebas dan berdistribusi identik dengan fungsi kepadatan
probabilitas f(x, ) dan = ( 1, 2, ..., r)t Rr.
Statistik dimensi-m
T = (T1(X1,X2, ..., Xn), T2(X1, X2, ..., Xn), ... , Tm(X1,X2, ..., Xn))t
merupakan statistik cukup untuk _ jika dan hanya jika fungsi kepadatan probabilitas bersama
dari dapat difaktorkan sebagai
f(x1, x2, ..., xn) = g[x1, x2, ..., xn; ]h(x1,x2, ..., xn)
dengan g tergantung pada hanya melalui T dan h tidak tergantung pada .
Dimensi dari statistik cukup sama dengandimensi parameternya. Jika X1, X2, ..., Xn variabel
random saling bebas dan berdistribusi identik dari distribusi Cauchy dengan parameter = ( ;
) dan fungsi kepadatan probabilitas
f(x; , ) =
untuk < x < maka tidak ada statistik cukup yang dimensinya lebih
kecil dari statistik cukup (X1,X2, ..., Xn)t.
Keluarga Eksponensial
Penetuan statistik cukup bagi suatu parameter dapat dilakukan dengan menggunakan
keluarga eksponensial.Keluarga eksponensial yang akan dibahas disini adalah keluarga
eksponensial untuk satu parameter.
1. Suatu fkp dengan satu parameter dikatakan termasuk kedalam keluarga eksponensial, jika
fkp tersebut dapat diuraikan dalam bentuk:
( ) ( ) [ ( ) ( )] ( )
( )
2. Jika X1, X2, , Xn merupakan sampel acak yang berasal dari distribusi dengan fkp
gabungannya dinotasikan dengan f(x1, x2, , xn;). Maka f(x;) dikatakan termasuk
keluarga eksponensial
Teorema 1.6
Misalkan X variabel random dengan fungsi kepadatan probabilitas f(x; )dengan R seperti
tersebut di atas. Keluarga
G = {g(x; )| }
dengan adalah fungsi kepadatan probabilitas dari T(X) maka G lengkap
asalkan mengandung interval non degenerate.
Teorema 1.7
Misalkan X1, X2, ..., Xn variabel random saling bebas dan berdistribusi identikdengan fungsi
kepadatan probabilitas merupakan anggota keluarga eksponensial 1 parameter.
1. Statistik T*= ( ) merupakan statistik cukup untuk .
2. Fungsi kepadatan probabilitas dari T* selalu berbentuk
g(t; ) = [c()]n exp[Q()t]h*(t)
dengan h(t) tidak bergantung terhadap asalkan T*variabel random diskrit.
3. Jika variabel random kontinu maka fungsi kepadatan probabilitasnya dapat dinyatakan
sebagai
g(t; ) = [c()]nexp[Q()t]h*(t).
Teorema berikut ini menyatakan sifat kelengkapan dari suatu keluargadistribusi.
Teorema 1.8
Keluarga G = {g(x; )| lengkap asalkan mengandung interval nondegenerate.
Dalam hal ini G = {g(x; )| dengan g(x;) adalah keluarga fungsi
kepadatan probabilitas dari statistik cukup T*.
Teorema 1.9
Misalkan X1, X2, ..., Xn variabel random saling bebas dan berdistribusi identikdengan fungsi
kepadatan probabilitas merupakan anggota keluarga eksponensial dan T* seperti dide_nisikan
pada Teorema 1.7.1. Jika V sebarang statistik yang lain, V saling bebas jika dan hanya jika
distribusi dari V dan T* tidak tergantung pada .
Generalisasi dari Keluarga Eksponensial
Misalkan X1, X2, ..., Xn variabel random saling bebas danX = (X1, ..., Xn)t. Fungsi kepadatan
probabilitas bersama dari merupakan anggota keluarga eksponensial r parameter jika mempunyai
bentuk
f(x; ) = c() exp[ ( ) ( ) ] ( )
dengan x = (x1, x2, ..., xn)t untuk j = 1, 2, ..., k dan k 1,
= (1, 2, r)t Rr;
C() > 0, dan h(x) > 0 untuk x S himpunan nilai positif dari f(x; ) yang saling bebas
terhadap .
MACAM MACAM KELUARGA EKSPONENSIAL
Distribusi Binomial Negatif
Distribusi Binomial Negatif maka fungsi probabilitas dari X adalah
( ) (
) ( )
Untuk x=1,2,3,...., sehingga ( )dapat dinyatakan sebagai
( ) ( ) (
) ( )
Dengan A={1,2,3,...}.
Hal itu berarti bahwa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(
) ( ). Akibatnya distribusi Binomial Negatif merupakan keluarga Eksponensial.
Distribusi Poisson
Karena X berdistribusi Poisson ( )maka fungsi probabilitas dari X adalah
( )
Untuk x=0,1,2,3,... sehingga ( ) dapat dinyatakan sebagai
( )
( )
Dengan A= {0,1,2,3,...}.
Hal itu berarti bahwa ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ). Akibatnya
distribusi Poisson ( )merupakan anggota keluarga eksponensial.
Distribusi Gamma
Karena berdistribusi Gamma ( )dengan maka fungsi kepadatan probabilitas dari X :
( )
( )
Untuk , sehingga ( ) dapat dinyatakan sebagai
( )
( ) ( )
Atau
( )
( )
Hal itu berarti bahwa ( )
( ) ( ) ( ) ( )
akibatnya
distribusi ( ) dengan diketahui merupakan anggota keluarga eksponensial.
Karena X berdistribusi Gamma ( ) dengan maka fungsi kepadatan probabilitas dari X
adalah
( )
( )
Untuk sehingga ( )dapat dinyatakan sebagai berikut
( )
( )
Hal itu berarti ( )
( )
( ) ( )
( )
Akibatnya distribusi Gamma ( ) dengan diketahui merupakan anggota keluarga
eksponensial.
Distribusi Beta
Karena X berdistribusi Beta ( ) dengan maka fungsi kepadatan probabilitas dari X
adalah
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Sehingga ( )dapat dinyatakan sebagai
( ) ( )
( ) ( )
( )
Hal itu berarti bahwa ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
Akibatnya distribusi Beta (( )dengan diketahui sebagai keluarga eksponensial.
Karena X berdistribusi Beta ( ) dengan maka fungsi kepadatan probabilitas dari X
adalah
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Sehingga ( )dapat dinyatakan sebagai
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
Hal itu berarti bahwa ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
)
( )
Akibatnya distribusi Beta ( ) dengan diketahui merupakan anggota keluarga eksponensial.
Distribusi Normal
Misalkan variabel random berdistribusi ( ) Fungsi kepadatan probabilitas
dari dapat dinyatakan sebagai
( )
*
+ [
]
ini berarti keluarga distribusi normal merupakan anggota keluarga distribusi eksponensial dengan
( )
*
+ ( )
( )
Dan
( ) ( ) ( )
Dalam hal ini
HUBUNGAN ANTARA STATISTIKA CUKUP DENGAN KELUARGA
EKSPONENSIAL
Statistika T=T( ) dikatakan cukup bagi parameter , jikafkpbersyarat:
( | ( ))
Tidak tergantung
Penentuan statistic cukup bagi suatu parameter dapat dilakukan dengan menggunakan
keluarga eksponensial. Keluarga fungsi kepadatan probabilitas yang tergantung pada parameter
dan berbentuk ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( )
Dengan x R, (R) dan C( )>0 serta h(x)>0 untuk x dinamakan keluarga
eksponensial. Jika variabel random saling bebas dan berdistribusi identik dengan ( ) dengan
R maka fungsi kepadatan probabilitas dari X sebagai
( ) ( ) [ ( ) ( )] ( )
CONTOH SOAL KELUARGA EKSPONENSIAL
Metode estimasi parameter dari distribusi waktu kerusakan
Estimasi reliabilitas membutuhkan pengetahuan distribusi waktu kerusakan yang
mendasari dari komponen atau sistem yang dimodelkan. Untuk memprediksi reliabilitas atau
mengestimasi MTTF komponen atau sistem yang dikenai uji hidup dipercepat, diperlukan
estimasi parameter dari distribusi probabilitas yang menggambarkan waktu kerusakan populasi
yang dilakukan uji.
Keakuratan estimasi parameter tergantung pada ukuran sampel dan metode yang
digunakan untuk estimasi parameter. Statistik yang dihitung dari sampel yang digunakan untuk
estimasi parameter populasi disebut estimator. Suatu estimator yang baik mempunyai sifat-sifat:
tak bias, konsisten, efisien dan sufiisien. Statistik yang digunakan untuk estimasi parameter
populasi, , disebut suatu estimator titik untuk dinotasikan . Ada 3 metode yang banyak
digunakan untuk estimasi parameter dari populasi yaitu metode momen, metode maximum
likelihood dan metode kuadrat terkecil.
Metode Momen
Ide utama dari metode momen adalah menyamakan karakteristik sampel tertentu
seperti mean dan varians untuk nilai-nilai yang diharapkan populasi yang bersesuaian
dan kemudian menyelesaikan persamaan yang dihasilkan untuk mendapatkan nilai
perkiraanparametertidak diketahui.
Jika mewakili himpunan data, maka momenkek sampeladalah
Jika adalah parameter yang tidak diketahui dari populasi, maka estimator momen
diperoleh dengan menyamakan momen sampel m yang pertama dengan momen
populasi myang pertama yang bersesuaian dan menyelesaikan untuk .
Contoh4.1:
Misal bahwa mewakili suatu sampel random dari suatu distribusi Eksponensial
dengan parameter . Bagaimana estimasi ?
Jawab:
Pdf dari distribusi Eksponensial adalah ( ) dan [ ]
. Menggunakan momen
pertama sampel
[ ]
.
Jadi estimasi dari adalah
.
Contoh4.2:
Sebuah produsen sistemdata wirelessmenggunakansinar inframerah yangditransmisikan
antaraperangkatyang dipasangpada bagian luargedunguntuk menyediakanlink data kecepatan
tinggi. Ukuran sinarin fra merah memiliki efek langsung pada reliabilitas sistem dan
kemampuannya untuk mengurangi efek dari kondisi cuaca seperti salju dan kabut yang
menghalangi jalur sinar tsb. Data ditransmisikan secara kontinyu menggunakan sinar inframerah
dan waktu sampai terjadi kerusakan dalam jam (tidak menerima data yang ditransmisikan)
dicatat sebagaiberikut:
47, 81, 127, 183, 188, 221, 253, 311, 323, 360, 489, 496, 511, 725, 772, 880,1,509,
1,675,1,806,2,008,2,026,2,040,2,869,3,104,3,205.
Dengan asumsi bahwa waktu kerusakan mengikuti distribusi eksponensial, tentukan
parameter distribusi menggunakan metode momen. Perkirakan reliabilitas sistemsaat=1000 jam.
(Perhatikan bahwa data di atas dihasilkan dari sebuahdistribusi eksponensial dengan parameter
1/ = 1000).
Jawab:
Parameter dari distribusi Eksponensial adalah
atau
Ini sangat dekat dengan nilai parameter yang sama yang digunakan dalam menghasilkan data.
Jelas, selama meningkatnya jumlah observasi, parameter yang diestimasi( ) dengan cepat
mendekati parameter dari distribusi waktu kerusakan yang sebenarnya.
Contoh 4.3
Misal adalah suatu sampel random dari suatu distribusi gamma yang mempunyai
pdf :
( )
( )
Gunakan metode momen untuk mendapatkan estimasi parameter
Jawab:
Sebagaimana yang telah ditunjukkan dalam Bab 1, mean dan varians dari distribusi gamma,
berturut-turut adalah: [ ] dan ( ) [ ] ( [ ]) .
[ ]diganti dengan estimator dan [ ] diganti dengan estimator , diperoleh
dan .
Penyelesaian dua persamaan di atas secara simultan menghasilkan
(
)
( )
Contoh 4.4:
Sebuahprodusen komputer pribadi melakukan suatu uji burn-in pada 20 monitor komputer dan
mendapatkan (dalam jam) sebagai berikut:130, 150, 180, 40, 90, 125, 44, 128, 55, 102,
126, 77, 95, 43, 170, 130, 112, 106, 93, 71.
Asumsikan bahwa populasi dari waktu kerusakan yangutama mengikuti distribusi gamma
dengan parameter . Tentukan estimasi parameter- parameter ini!
Jawab:
Mula-mula, tentukan dan sebagai berikut:
Selanjutnya, tentukan estimasi parameter-parameternya:
( )
( )
( )
Jadi rata-rata suatu monitor hidup yang diharapkan adalah jam.
Contoh 4.5:
Gunakan metode momen untuk mengestimasi parameter dan dari distribusi normal.
Jawab:
Pdf dari distribusi normal:
( )
(
)
Momen pertama dan momen kedua dari distribusi di atas berturut-turut adalah
(
)
(
)
Dengan menggunakan transformasi
, kemudian mengintegralkannya (lihat kembali
catatan mata kuliah Statistika Matematika II) maka diperoleh nilai-nilai dan sebagai
berikut:
Jadi estimasi untuk parameter dan adalah
(
)
( )
Metode momen merupakan metode sederhana untuk memperkirakan parameter
distribusi waktu kerusakan yang tersedia yaitu distribusi yang mendasari diketahui.
Kesalahan dalam memperkirakan parameter adalah minimum ketika distri-
busi yang mendasari simetris dengan tidak ada skewness dan ketika waktu kerusakan tidak
tersensor atau terpotong.
Selang Kepercayaan
Setelah penentuan estimasi titik parameter distribusi, selanjutnya menentukan selang
kepercayaan yang mana parameter yang diperkirakan dekat dengan nilai-nilai sebenarnya dari
populasi. Selang kepercayaan untuk parameter adalah
[ ]
di mana LCL adalah batas bawah kepercayaandan UCL adalah batas atas kepercayaan.
Misalkan sampel random diambil dari suatu populasidengan
mean danvarians . Misal adalah estimator titik untuk . Jika n besar (n30),
maka kira-kira memiliki suatu distribusi normal dengan mean dan varians , atau
memiliki suatu distribusi normal standar. Untuk sembarang nilai dapat ditemukan
suatu nilai sedemikian sehingga [ ]
Atau dapat ditulis
*
+ [
]
[
]
Sehingga diperoleh selang
(
)
membentuk selang kepercayaan dari parameter yang diestimasi untuk dengan koefisien
kepercayaan .
Contoh 4.6:
Pandang waktu kerusakan dari contoh 4.4. Tentukan suatu selang kepercayaan untuk mean
waktu kerusakan dengan koefisien kepercayaan 0,95.
Jawab:
Dari data diperoleh dan adalah estimasi dari standar deviasi .
Karena ukuran sampel kecil (< 30), lebih tepat menggunakan distribusi t daripada
distribusi normal dalam menentukan selang kepercayaan. Jadi selang kepercayaan adalah
( ) Dari tabel diperoleh dan substitusi s untuk
, didapat
atau
(84,39 , 122,31).
Dengan kata lain, dengan tingkat kepercayaan 95% bahwa mean waktu kerusakan yang
sebenarnya terletak antara 84,39 dan 122,31 jam.
Metode Maksimum Likelihood
Metode kedua dalam estimasi parameter dari suatu distribusi probabilitas didasarkan pada
fungsi likelihood. Misal dipunyai n pengamatan adalah yang masing-masing
mempunyai suatu pdf ( ). Fungsi likelihood adalah suatu fungsi dari yaitu
( ) ( ) ( ) ( )
Jika adalah anggota suatu selang terbuka dan ( ) terdiferensial dan mempunyai suatu nilai
maksimum pada selang tersebut, maka MLE adalah suatu penyelesaian dari
persamaanmaksimum likelihood
( )
Beberapa nilai dari yang memaksimumkan ( ) juga akan memaksimumkan log likelihood
( ), maka untuk perhitungan yang cepat, sebagai bentuk alternatif dari persamaan maksimum
likelihood adalah
( )
Contoh 4.7:
Banyak cacat dalam suatu lini produksi ditemukan mengikuti distribusi Poisson dengan suatu
rata-rata yang tidak diketahui. Dua sampel random diambil dan banyaknya unit-unit yang cacat
adalah 10 dan 12. Tentukan estimasi kemungkinan maksimum (MLE) dari ?
Jawab:
Probabilitas yang mempunyai x unit dari suatu distribusi Poisson adalah
( )
Probabilitas yang mempunyai 10 dan 12 cacat berturut-turut adalah:
( )
( )
Fungsi likelihood [ ( )] adalah perkalian dari ( ) ( ), yaitu:
( )
( ) ( )
Evaluasi dari persamaan di atas untuk nilai-nilai yang berbeda dari dapat disederhanakan
dengan mengambil logaritma dari ( ). Misal
( ) ( )
dan logaritma dari fungsi likelihood adalah
( ) ( )
Derivatif dari ( ) terhadap adalah
( )
Jadi estimasi terbaik dari adalah 22/2=11.
Contoh 4.8:
Anggap bahwa pabrik Integrated Circuits mengambil 3 sampel random dari sekumpulan yang
sama dari ukuran 10, 15 dan 20 unit. Pada pemeriksaan ditemukan bahwa sampel-sampel ini
berturut-turut mempunyai 2, 3 dan 5 yang cacat. Bagaimana estimasi kemungkinan maksimum
(MLE) dari ?
Jawab:
Karena 3 sampel diambil dari sekumpulan produksi yang sama, distribusi probabilitas yang
mendasari mempunyai parameter yang sama Probabilitas 3 hasil adalah:
(
) ( ) (
) ( ) (
) ( )
Fungsi likelihood secara sederhana merupakan hasil kali dari 3 probabilitas:
( ) (
) ( ) (
) ( ) (
) ( ) ( )
di mana adalah suatu konstan yang meliputi semua suku yang tidak melibatkan .
( ) ( )
( )
Jadi estimasi terbaik dari adalah 1/5.
MLE dari Distribusi Ekxponensial
Pdf dari distribusi eksponensial dengan parameter adalah ( ) .
Pdf dari n pengamatan adalah ( ) .
Fungsi likelihood:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Logaritma dari fungsi likelihood:
( )
Derivatif dari ( ) terhadap adalah
( )
Jadi estimasi terbaik dari adalah n/ .
(Hasil MLE dari sama seperti estimasi yang diperoleh menggunakan metode momen).
Contoh 4.9:
Suatu uji reliabilitas dilakukan pada sampel yang terdiri dari 6 komponen elektronik untuk
mengestimasi MTTF. Berikut adalah waktu kerusakan dari komponen-komponen tersebut: 25,
75, 150, 230, 430 dan 700 jam. Bagaimana bentuk laju kerusakan dan tentukan MLE dari
parameter distribusi waktu kerusakan yang mendasari?
Jawab:
MTTF adalah 260 jam dan standar deviasi adalah 232 jam. Karenan mean dandeviasi standar
hampir sama, maka distribusi eksponensial dapat digunakan untuk mewakili distribusi waktu
kerusakan.
Jadi estimasi terbaik dari adalah
MLE dari Distribusi Rayleigh
Distribusi Rayleigh digunakan untuk merepresentasikan distribusi waktu kerusakan dari
komponen yang menunjukkan laju kerusakan meningkat secara linier. Pdf dari distribusi
Rayleigh adalah
( )
di mana adalah parameter dari distribusi Rayleigh.
Fungsi likelihood untuk n pengamatan adalah
( ) ( ) ( ) ( )
di mana
Logaritma dari fungsi likelihood:
( )
Derivatif dari ( ) terhadap adalah
( )
Contoh 4.10:
Waktu kerusakan berikut diamati ketika dilakukan suatu uji reliabilitas: 15, 21, 30,39, 52 dan 68
jam. Anggap bahwa distribusi Rayleigh dipandang sebagai distribusi yang tepat untuk
merepresentasikan waktu kerusakan ini. Tentukan parameter dari distribusi ini. Berapa mean dan
deviasi standar dari waktu kerusakan?
Jawab:
Parameter dari distribusi Rayleigh adalah
Mean dan deviasi standar dari waktu kerusakan adalah
(
)
MLE dari Distribusi Normal
Pdf dari pengamatan dari suatu distribusi normal dengan mean dan variansi yang tidak
diketahui
( )
(
)
Fungsi likelihood untuk n pengamatan adalah
( ) (
)
(
)
Logaritma dari fungsi likelihood:
( )
(
)
Derivatif dari ( ) terhadap adalah
( )
(
)
Derivatif dari ( ) terhadap adalah
( )
[
(
)
]
( )
( )
[
( )
]
( )
( )
Hasil yang sama sebagaimana diperoleh dengan metode momen.
Contoh 4.11:
Anggap bahwa diterapkan penekanan pada komponen-komponen dan waktu kerusakan yang
sesuai membentuk pasangan pengamatan ( ) ( ) yang mengikuti model
( ) ( )
di mana Y adalah variabel random berdistribusi normal dan independen. Gunakan pendekatan
maksimum likelihood untuk mengestimasi parameter dan .
Jawab:
Karena Yberdistribusi normal dan independen, maka log likelihood adalah
[( ) ( )]
( )
Dua suku pertama dari sisi kanan dari persamaan tersebut di atas adalah independen terhadap
dan .Karena itu untuk meminimumkan log likelihood, cukup untuk meminimumkan suku
( )
Ambil derivatif parsial dari terhadap dan dan samakan derivatif dengan nol mennghasilkan
2 persamaan linier dalam dan Penyelesaian persamaan tersebut adalah:
( )
( )
di mana
Kadang-kadangdalam menemukanestimator maksimum likelihood (MLE),tidak
diperolehekspresibentuk tertutupuntuk estimasi parameter, karena itu perlumenggunakanmetode
lain, antara lain seperti: metode gradien likelihood dan metode iteratif Newton.estimator
maksimum likelihood adalah konsisten, efisien dan tak bias. Bias dari estimator menurun seiring
meningkatnya banyaknya pengamatan. Metode tersebut memerlukan perhitungan yang
sederhana untuk distribusi yang mempunyai parameter tunggal tetapi mungkin memerlukan
perhitungan yang panjang untuk distribusi yang mempunyai parameter dua atau lebih. Lebih
lanjut, metode tersebut dapat diaplikasikan untuk data tersensor maupun data tidak tersensor.
Matriks Informasi dan Matriks Varians Kovarians
Salah satu manfaat utama dari penggunaan estimator maksimum likelihood untuk
mendapatkan parameter distribusi adalah bahwa logaritma dari fungsi likelihood dapat
dimanfaatkan dalam menyususn matriks informasi Fisher (atau matriks Hessian). Kebalikan
(invers) dari hasil matriks dikenal sebagai matriks Varians Kovarians.
Berikut adalah definisi matriks varians kovarians (atau secara sederhana disebut matriks
kovarians). Jika adalah variabel random berdistribusi identik dan independen satu
dengan yang lain dengan suatu pdf ( ), dimana mempunyai k komponen dan nilai yang
sebenarnya, maka matriks kovarians didefinisikan sebagai
[
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ]
di mana ( ) adalah kovarians dari dan dan ( ) adalah variansi dari . Matriks
kovarians ini dapat diperoleh dari matriks informasi.
Ketika ukuran sampel data meningkat, bias MLE menurun, estimator menjadi tak bias
secara asimptotis. Dengan kata lain
[ ]
Untuk mendapatkan varians dan kovarians asimptotis dari estimator, pertama susun matriks
informasi I, berkenaan likelihood sebagai suatu fungsi variabel random yang diamati dalam suatu
sampel yang diberikan.
Elemen ke ij dari matriks informasi I adalah
* ( )
+
Matriks invers, , dengan elemen ke ij ditunjukkan oleh adalah matriks varians kovarians
dari , sehingga
( ) ( )
Contoh 4.12:
Suatu sampel random mengikuti suatu distribusi normal dengan parameter dan .
Gunakan matriks informasi untuk mendapatkan estimasi variansi dari dan .
Jawab:
Logaritma dari fungsi likelihood dari distribusi normal adalah
( )
(
)
Derivatif parsial dari L terhadap dan adalah
(
)
[
( )
]
(
)
(
)
Dalam rangka menyusun matriks informasi, dari persamaan derivatif kedua dari L ditentukan
nilai harapannya, yaitu
*
+
*
+ *
+
Sehingga matriks informasi I disusun sebagai
(
) (
)
Matriks varians dan kovarians, adalah
( ( ) ( )
( ) ( )) (
)
Contoh 4.13:
Sebuah timbangan pemeriksa adalah sebuah peralatan yang memiliki tiga komponen utama:
skala, pengontrol, danalat pengalih. Khususnya dalam sistem produksi kecepatan tinggi seperti
yang ditemukan dalam industri makanan kaleng atau industri manufaktur farmasi, satu atau lebih
timbangan pemeriksa biasanya dipasang dalam sistem untuk memastikan bahwa bobot dari
produk berada dalam batas spesifikasi yang dapat diterima. Jika produk tidak memenuhi
spesifikasi, itu dialihkan jauh dari produk diterima. Alat pengalih, menjadi sistem mekanis,
merupakan komponen yang paling rentan terhadap kegagalan. Berikut waktu kegagalan (dalam
minggu) dari alat pengalih yang diamati :
14, 18, 18, 20, 21, 22, 22, 20, 17, 17, 15, 13
Anggap bahwa pengamatan mengikuti suatu distribusi normal dengan mean dan variansi .
Tentukan , dan matriks varians kovarians!
Jawab:
, dan diperoleh sebagai berikut:
( )
Matriks varians dan kovarians adalah
(
) (
)
Jadi variansi adalah 0,700 dan variansi dari adalah 0,350.