Upload
others
View
11
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
SterowanieProcesamiCiągłymi
prof. dr hab. inż.Mieczysław Brdyś,mgr inż.
Wojciech Kurek
Koncepcjazmiennych stanu
Równaniadynamiki systemuw przestrzeni stanu
Przykład 1.1 -Układ RC
Przykład 1.2 -Układ RL
Przykład 1.3 -System wirnik -masa
Sterowanie Procesami CiągłymiOpis systemów dynamicznych w przestrzeni stanu
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś mgr inż.Wojciech Kurek
27.09.2010, Gdańsk
SterowanieProcesamiCiągłymi
prof. dr hab. inż.Mieczysław Brdyś,mgr inż.
Wojciech Kurek
Koncepcjazmiennych stanu
Równaniadynamiki systemuw przestrzeni stanu
Przykład 1.1 -Układ RC
Przykład 1.2 -Układ RL
Przykład 1.3 -System wirnik -masa
Koncepcja zmiennych stanu
Rozważmy układ RC przedstawiony na rysunku poniżej:
R
C wyjściey(t)=Vc(t)
wejscieu(t)
Niech u(t) = 2+ sin(t) dla t t0 gdzie t0 to chwilapoczątkowa.Co jeszcze oprócz sygnału wejściowego powinniśmy wiedzieć,aby móc wyznaczyć odpowiedź y(t), dla t t0?
Jest to wartość Vc(t) zależna od ładunku zmagazynowanegow kondensatorze w chwili początkowej t = t0.
SterowanieProcesamiCiągłymi
prof. dr hab. inż.Mieczysław Brdyś,mgr inż.
Wojciech Kurek
Koncepcjazmiennych stanu
Równaniadynamiki systemuw przestrzeni stanu
Przykład 1.1 -Układ RC
Przykład 1.2 -Układ RL
Przykład 1.3 -System wirnik -masa
Koncepcja zmiennych stanu
Znając Vc(t) nie musimy znać historii obiektu RC (Systemudynamicznego RC) w odniesieniu do chwili t = t0. Znaczy toże nie musimy znać u(t) dla t < t0, co można sobiewyobrazić byłoby bardzo wymagającym założeniem.
Wartość Vc(t0) jest warunkiem początkowym dla naszegosystemu, którym zaczynamy sterować w chwili t = t0.
SterowanieProcesamiCiągłymi
prof. dr hab. inż.Mieczysław Brdyś,mgr inż.
Wojciech Kurek
Koncepcjazmiennych stanu
Równaniadynamiki systemuw przestrzeni stanu
Przykład 1.1 -Układ RC
Przykład 1.2 -Układ RL
Przykład 1.3 -System wirnik -masa
Koncepcja zmiennych stanu
Zmienne stanu
Zmienne stanu obiektu dynamicznego to takie zmienne którerazem sumują przeszłość obiektu (systemu).Zmienna stanu przeważnie oznaczamy: xi ,
x =
∣∣∣∣∣∣∣x1...xn
∣∣∣∣∣∣∣
SterowanieProcesamiCiągłymi
prof. dr hab. inż.Mieczysław Brdyś,mgr inż.
Wojciech Kurek
Koncepcjazmiennych stanu
Równaniadynamiki systemuw przestrzeni stanu
Przykład 1.1 -Układ RC
Przykład 1.2 -Układ RL
Przykład 1.3 -System wirnik -masa
Koncepcja zmiennych stanu
System dynamiczny
x
u(t)wejście
y(t)wyjście
Niech x(t0) będzie wartością stanu obiektu w chwili t = t0(warunek początkowy)u(t), t t0 jest wejściem obiektu.Wówczas odpowiedz systemu y(t) jest jednoznacznieokreślona dla każdego t t0.
SterowanieProcesamiCiągłymi
prof. dr hab. inż.Mieczysław Brdyś,mgr inż.
Wojciech Kurek
Koncepcjazmiennych stanu
Równaniadynamiki systemuw przestrzeni stanu
Przykład 1.1 -Układ RC
Przykład 1.2 -Układ RL
Przykład 1.3 -System wirnik -masa
Trajektoria stanu
x2
x3
x1
x(t0)
x(t1)
x(t2) x(tn)
Trajektoria systemu dynamicznego startująca w punkciex(t0) w przestrzeni stanu.
SterowanieProcesamiCiągłymi
prof. dr hab. inż.Mieczysław Brdyś,mgr inż.
Wojciech Kurek
Koncepcjazmiennych stanu
Równaniadynamiki systemuw przestrzeni stanu
Przykład 1.1 -Układ RC
Przykład 1.2 -Układ RL
Przykład 1.3 -System wirnik -masa
Równania stanu obiektu dynamicznego
dxdt
= f (x(t), u(t))
I równania stanu reprezentują dynamikę systemuI są one równaniami różniczkowymi pierwszego rzęduI równania te wyrażają pierwszą pochodną po czasiewektora stanu jako ogólną nieliniową funkcję f (,),wektora stanu i wejść
Znając warunek początkowy (stan początkowy) x(t0) orazwejście u(t) dla t t0 można rozwiązać równania stanuuzyskując trajektorie stanu x(t) dla t t0.
SterowanieProcesamiCiągłymi
prof. dr hab. inż.Mieczysław Brdyś,mgr inż.
Wojciech Kurek
Koncepcjazmiennych stanu
Równaniadynamiki systemuw przestrzeni stanu
Przykład 1.1 -Układ RC
Przykład 1.2 -Układ RL
Przykład 1.3 -System wirnik -masa
Równania wyjścia obiektu dynamicznego
y(t) = h(x(t), u(t))
I znając stan x(t) w chwili t oraz wejście u(t) w chwili t,wyjście systemu y(t) w chwili t wyznaczamy z równańwyjść 8.
I równania wyjść sa algebraiczne zatem nie ma w nichdynamiki.
Równania stanu razem z równaniami wyjść stanowiąkompletna reprezentację relacji wejście - wyjście systemu wprzestrzeni stanu.
SterowanieProcesamiCiągłymi
prof. dr hab. inż.Mieczysław Brdyś,mgr inż.
Wojciech Kurek
Koncepcjazmiennych stanu
Równaniadynamiki systemuw przestrzeni stanu
Przykład 1.1 -Układ RC
Przykład 1.2 -Układ RL
Przykład 1.3 -System wirnik -masa
Opis w przestrzeni stanu
Zmienne stanu są zmiennymi łączącymi wyjście y(t) zwejściem u(t)
równania stanu
równania wyjść
u(t) x(t) y(t)
relacja wejście wyjście w przestrzeni stanu
Opis SD w przestrzeni stanu jest ważny zarówno dlasystemów liniowych jak i nieliniowych w odróżnieniu odtransmitancji która można stosować jedynie dla systemówliniowych.
SterowanieProcesamiCiągłymi
prof. dr hab. inż.Mieczysław Brdyś,mgr inż.
Wojciech Kurek
Koncepcjazmiennych stanu
Równaniadynamiki systemuw przestrzeni stanu
Przykład 1.1 -Układ RC
Przykład 1.2 -Układ RL
Przykład 1.3 -System wirnik -masa
Przykład 1.1 - Układ RC
Rozważmy układ przedstawiony na początku wykładu:
R
C wyjściey(t)=Vc(t)
wejscieu(t)
Relacja wejście wyjście dla powyższego obiektu może zostaćprzestawiona w następujący sposób
RCu(t) Vc(t)
SterowanieProcesamiCiągłymi
prof. dr hab. inż.Mieczysław Brdyś,mgr inż.
Wojciech Kurek
Koncepcjazmiennych stanu
Równaniadynamiki systemuw przestrzeni stanu
Przykład 1.1 -Układ RC
Przykład 1.2 -Układ RL
Przykład 1.3 -System wirnik -masa
Przykład 1.1 - Układ RC
Wiadomo, że układ w przykładzie 1.1 opisany jestnastępującym równaniem różniczkowym:
dVc(t)dt
= − 1RCVc(t) +
1RCu(t)
y(t) = Vc(t)
Definiujemy
Zmienną stanu jako:x , Vc
oraz wyjście obiektuy , Vc
SterowanieProcesamiCiągłymi
prof. dr hab. inż.Mieczysław Brdyś,mgr inż.
Wojciech Kurek
Koncepcjazmiennych stanu
Równaniadynamiki systemuw przestrzeni stanu
Przykład 1.1 -Układ RC
Przykład 1.2 -Układ RL
Przykład 1.3 -System wirnik -masa
Przykład 1.1 - Układ RC
Po przekształceniu równania opisującego dynamikę systemuRC do opisu w przestrzeni stanu otrzymujemy
Opis w przestrzeni stanu
{x(t) = − 1RC x(t) + 1
RC u(t) równanie stanuy(t) = x(t) równanie wyjścia
SterowanieProcesamiCiągłymi
prof. dr hab. inż.Mieczysław Brdyś,mgr inż.
Wojciech Kurek
Koncepcjazmiennych stanu
Równaniadynamiki systemuw przestrzeni stanu
Przykład 1.1 -Układ RC
Przykład 1.2 -Układ RL
Przykład 1.3 -System wirnik -masa
Przykład 1.2 - Układ RL
Rozważmy teraz przykładowy układ RL
R
wejscieu(t)
L
wyjściei(t)
Relacja wejście wyjście dla powyższego systemu jestnastępująca
RLu(t) i(t)
SterowanieProcesamiCiągłymi
prof. dr hab. inż.Mieczysław Brdyś,mgr inż.
Wojciech Kurek
Koncepcjazmiennych stanu
Równaniadynamiki systemuw przestrzeni stanu
Przykład 1.1 -Układ RC
Przykład 1.2 -Układ RL
Przykład 1.3 -System wirnik -masa
Przykład 1.2 - Układ RL
Wiadomo, że układ w przykładzie 1.2 opisany jestnastępującym równaniem różniczkowym:
Ri(t) + Ldi(t)dt
= u(t)
di(t)dt
= −RLi(t) +
1Lu(t)
Definiujemy
Zmienną stanu jako:x , i
oraz wyjście obiektuy , i
SterowanieProcesamiCiągłymi
prof. dr hab. inż.Mieczysław Brdyś,mgr inż.
Wojciech Kurek
Koncepcjazmiennych stanu
Równaniadynamiki systemuw przestrzeni stanu
Przykład 1.1 -Układ RC
Przykład 1.2 -Układ RL
Przykład 1.3 -System wirnik -masa
Przykład 1.2 - Układ RL
Po przekształceniu równania systemu RL do opisu wprzestrzeni stanu otrzymujemy
Opis w przestrzeni stanu
{x(t) = −RL x(t) + 1
Lu(t) równanie stanuy(t) = x(t) równanie wyjścia
SterowanieProcesamiCiągłymi
prof. dr hab. inż.Mieczysław Brdyś,mgr inż.
Wojciech Kurek
Koncepcjazmiennych stanu
Równaniadynamiki systemuw przestrzeni stanu
Przykład 1.1 -Układ RC
Przykład 1.2 -Układ RL
Przykład 1.3 -System wirnik -masa
Przykład 1.3 - System wirnik - masa
Rozpatrzmy teraz system dynamiczny składający się zobracającej masy na wale.
masa
moment obrotowy wejściowy T(t)
moment oporowyTt(t)
położenie kątowe
masy - wyjście
Wejściem do tego systemu jest zewnętrzny momentobrotowy, który musi przeciwdziałać momentowi tarciaTt(t) = B dΘdt oraz inercji masy znajdującej się na wale.Wyjściem układu jest położenie kątowe masy Θ.
SterowanieProcesamiCiągłymi
prof. dr hab. inż.Mieczysław Brdyś,mgr inż.
Wojciech Kurek
Koncepcjazmiennych stanu
Równaniadynamiki systemuw przestrzeni stanu
Przykład 1.1 -Układ RC
Przykład 1.2 -Układ RL
Przykład 1.3 -System wirnik -masa
Przykład 1.3 - System wirnik - masa
Równanie dynamiki systemu
Równanie ruchu systemu otrzymujemy z prawa Newtona
Jd2Θdt2
= T (t)− B dΘ
dt(1)
Naturalnie otrzymujemy:
u(t) = T (t) (2)
y(t) = Θ(t)
Jednak (1) jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu, anie pierwszego.
SterowanieProcesamiCiągłymi
prof. dr hab. inż.Mieczysław Brdyś,mgr inż.
Wojciech Kurek
Koncepcjazmiennych stanu
Równaniadynamiki systemuw przestrzeni stanu
Przykład 1.1 -Układ RC
Przykład 1.2 -Układ RL
Przykład 1.3 -System wirnik -masa
Przykład 1.3 - System wirnik - masa
Wiadomo z matematyki, że aby rozwiązać (1) trzeba znaćwarunki początkowe dla niewiadomej funkcji Θ(t) dla t t0.
I początkowa wartość Θ(t), czyli Θ(t0)I początkowa wartość pochodnej dΘdt , czyli Θ(t0).
Zmienne stanu definiujemy więc jako
x1 , Θ - położeniex2 , (Θ) - prędkość
(3)
SterowanieProcesamiCiągłymi
prof. dr hab. inż.Mieczysław Brdyś,mgr inż.
Wojciech Kurek
Koncepcjazmiennych stanu
Równaniadynamiki systemuw przestrzeni stanu
Przykład 1.1 -Układ RC
Przykład 1.2 -Układ RL
Przykład 1.3 -System wirnik -masa
Przykład 1.3 - System wirnik - masaRównania stanu
x1(t) , Θ(t) = x2(t)x1(t) = x2(t) pierwsze równanie stanu
Następnie korzystając z równań (1, 2, 3) otrzymujemy:
Jddt
(dΘ
dt
)= u(t)− B dΘ
dt
Jx2(t) = u(t)− Bx2(t)
Drugie równanie stanu
x2(t) = −BJx2(t) +
1Ju(t)
SterowanieProcesamiCiągłymi
prof. dr hab. inż.Mieczysław Brdyś,mgr inż.
Wojciech Kurek
Koncepcjazmiennych stanu
Równaniadynamiki systemuw przestrzeni stanu
Przykład 1.1 -Układ RC
Przykład 1.2 -Układ RL
Przykład 1.3 -System wirnik -masa
Przykład 1.3 - System wirnik - masaRównanie wyjścia
Równanie wyjścia
y(t) = Θ(t) = x1(t)
y(t) = x1(t)
SterowanieProcesamiCiągłymi
prof. dr hab. inż.Mieczysław Brdyś,mgr inż.
Wojciech Kurek
Koncepcjazmiennych stanu
Równaniadynamiki systemuw przestrzeni stanu
Przykład 1.1 -Układ RC
Przykład 1.2 -Układ RL
Przykład 1.3 -System wirnik -masa
Przykład 1.3 - System wirnik - masaOpis systemu w przestrzeni stanu
Przestawienie w postaci układu równań
x1(t) = x2(t) pierwsze równanie stanux2(t) = −BJ x2(t) + 1
J u(t) drugie równanie stanuy(t) = x1(t) równanie wyjścia
SterowanieProcesamiCiągłymi
prof. dr hab. inż.Mieczysław Brdyś,mgr inż.
Wojciech Kurek
Koncepcjazmiennych stanu
Równaniadynamiki systemuw przestrzeni stanu
Przykład 1.1 -Układ RC
Przykład 1.2 -Układ RL
Przykład 1.3 -System wirnik -masa
Przykład 1.3 - System wirnik - masaOpis systemu w przestrzeni stanu
Przedstawienie w postaci macierzowej
x(t) =
[0 10 −BJ
]︸ ︷︷ ︸macierz stanu A
x(t) +
[01J
]︸ ︷︷ ︸
macierz sterowania B
u(t)
y(t) =[1 0
]︸ ︷︷ ︸
macierz wyjścia C
x(t)
SterowanieProcesamiCiągłymi
prof. dr hab. inż.Mieczysław Brdyś,mgr inż.
Wojciech Kurek
Koncepcjazmiennych stanu
Równaniadynamiki systemuw przestrzeni stanu
Przykład 1.1 -Układ RC
Przykład 1.2 -Układ RL
Przykład 1.3 -System wirnik -masa
Przykład 1.3 - System wirnik - masaOpis systemu w przestrzeni stanu
Przedstawienie w postaci macierzowej
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t)