Stjepan Marić Fizika

8/16/2019 Stjepan Marić Fizika

http://slidepdf.com/reader/full/stjepan-maric-fizika 1/365



Dr. Stjepan MARJĆ

F I Z IKA

Z A S T U D E N T E T E H N I Č K I H F A K U L T E T A



Izdavač: IP “SVJETLOST” d.d., Zavod za udžbenike i nastavna sredstva

Direktor: Šefik ZUPĆEVIĆ

Za izdavača: Abduselam RUSTEMPAŠIĆRecenzenti: Prof. dr. Nada MARJANOVIĆ -GABELA,

Odsjek za fiziku, Pnrodno-matematiČki fakultet, SarajevoProf. dr. Tatjana MIHAĆ ,Odsjek za ftziku, Prirodno-matematički fakultet, Sarajevo

Urednik: Dr. Nada ABASBEGOVIĆ

Lektor: Nada JURIĆ

Tehnički urednik: Vanda BABOVIĆ

Korektor: Mersija Ć EHIĆ

DTP: Amir ŠPICA

Štampa: “BEMUST” Sarajevo

Tiraž: 1000 primjeraka

CIP - Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i univeizitetska bibliotekaBosne i Hercegovine, Sarajevo

53(075.8)

MARIĆ, StjepanFizika / Stjcpan Maiić. - Sarajcvo : Svjetlost,

2001. - 370 str. : ilustr. ; 24 cm

ISBN 9958-10-412-1

COBISS/BiH-ID 9909510

Senat Univerziteta u Sarajevu, rjeSenjem br. 01-1068/01 01 17.10.2001. godine,ođobrio je izdavanje ovog udžbenika kao univerzitetske knjige.

Strogo zabranjeno svako kopiranje, umnožavanje i preštampavanje ovog udžbenika ucjelini ili pojedinih njegovih dijelova, bez odobrenja izdavača.



SADRŽAJ*

Pređgovor................. 9UVOD................................................................................................................... 11

1. JEDINSTVO PRIRODE........................................................................................ 13

1.1. Hijerariiija prirodnih objekata......................................................................131.2. Elementame čestice......................................................................................13

1.3. Četiri tipa osnovnih međudjelovanja...........................................................151.4. Teorija općeg jedinstva................................................................................171.5. Materija i energija........................................................................................18

2. FIZIČ KE OSNOVE MEHANKE............................................... 20

2.1. Uvod............................................................................................................202.2. Mjerenje u fizici.........................................................................................21

2.3. Međunarodni sustav jedinica - SI.............................................................222.4. Skalame i vektorske fizičke veličme.........................................................232.5. Koordinatni sustav......................................................................................282.6. Materijalna točka i kruto tijelo..................................................................29

3. MEHANIKA MATERJJALNEČESTICE............................................................. 31

3.1. Kinematika materijalne čestice...............- ................................................. 313.2. Brzina materijalne točke....................... .................................. .................. 32

3.3. Ubrzanje materijalne točke........................................................................333.4. Vrste kinematičkih gibanja........................................................................35

3.4.1. Jednoliko gibanje duž pravca...........................................................363.4.2. Pravocrtno jednako ubrzanogibanje.................................................373.4.3. Kružno gibanje.................................................................................. 383.4.4. Nejednoliko kružno gibanje.............................................................41

4. DINAMIKA Č ESTICE......................................................................................... 43

4.1. Uvod.... .......... .............................................................................................43

4.2. Prvi Newtonov aksiom............................................................................... 454.3. Drugi Newtonov aksiom............................................................................ 464.4. Treći Newtonov aksiom............................................................................. 484.5. Diferencijalna jednadžba gibanja............................................................... 50

4.5.1. Pravocrtno gibanje materijalne točke pod djelovanjem konstantne sile.......................................................51

4 5 2 Gibanje materijalne točke pod djelovanjem sile oblika F = F(v) 52



4.5.3. Pravocrtno gibanje materijalne točke pod djelovanjem sile F = F (t ) ......................................................... 54

4.6. Gibanje čestice u homogenom gravitacijskom polju.................................554.7. Gibanje naelektrisane čestice u homogenom elekbičnom polju...............574.8. Gibanje naelektrisane čestice u homogenom magnetskom polju.............594.9. Spektrograf masa......................................................................................... 61

4.10. Impuls sile i količina gibanja (impuls)...................................................63

5. ZAKONI OČ UVANJA U PRIRODI.................................................................... 65

5-l.Uvod..............................................................................................................655.2. Rad i energija.............................................................................. 66

5.2.1. Rad sile................................................................................................665.2.2. Energija.......................................... 675.2.3. Zakon očuvanja mehaničke energije................................................ 705.2.4. Potencijalno polje sila. Konzervativne sile ........................... - ....... 725.2.5. Rad sila u gravitacijskom polju. Centralno polje sila....................735.2.6. Rad elektrostatske sile........................................................................755.2.7. Veza između potencijalne enetgije i sile ..... ................... ..............75

5.3. Zakon očuvanja impulsa........................... 77

5.4. Sudari tijela...................................................................................................785.4.1. SavrŠeno elastičan sudar.....................................................................795.4.2. Savršeno neelastičan sudar.................................................................81

5.5. Zakon očuvanja momenta količine gibanja............................................... 825.5.1. Kruto tijelo.....................................................................................— 825.5.2. Moment sile........................................................................................825.5.3. Moment količine gibanja....................................................................845.5.4. Zakon o očuvanju momenta količine gibanja.................................85

5.6. Snaga..................................................................................... 87

6. TITRANJE (OSCILACUE).............................. $8

6.1. Harmonično titranje................................................................ 886.2. Energija harmoničnog titranja............................ 936.3. Harmonični oscilator..................... 946.4. Slaganje harmoničnih titranja......................................................................95

6.5. Materaatičko njihalo (klatno).......................................................................976.6. Prigušcno titranje...................................................................... 996.7. Prisilno titranje. Rezonancija................................................. 100

7. MEHANIČ KI VALOVI I ZVUK........................................................................ 103

7.1. Prostiranje valova u elastičnoj sredini.......................................................1037.2. Jednadžba ravnog i sfemog vala ...............................................................1057 3 Jednadžba ra nog ala koji se prostire proi oljnom smjer 107



7.5. Brzina prostiranja elastičnih valova............

7.6. Energija elastičnog vala.............................

7.7. Interferencija valova.............................. .....

7.8. Difrakcija valova ........................

7.9. Stoječi valovi...............................................

7.10. Refleksija valova.........................................

7.11. Refrakcija (prelamanje) valova...................

7.12. Zvuk..............................................................

7.12.1. Zvučni valovi...................................

7.12.2. Brzina zvučnih valova u plinovima7.12.3. Dopplerov efekt...............................7.12.4. Zvučni izvori...................................

7.12.5. Osjećaj zvuka..................................

7.12.6. Jačina zvuka.....................................7.12.7. Apsorpcija zvuka..............................

7.12.8. Ultrazvuk...............................

109

111

114

116117

119

122

123

124

126

127

130

132

133

135

136

8. TOPUNA.,_.......................................................................................

8.1. Uvod ................................................................ ; .............

8.2. Temperatura...............................................................

8.3. Idealan plin. Plinska jednadžba.........................................

8.4. Avogardrov zakon, Dahonov zakon i zakon ekviparticije......

8.5. Barometarska formula...........................................................

8.6. Boltanannov zakon.................................. .

8.7. Maxwellova raspodjeia molekula idealnog plina po brzinama.8.8. Raspodjela molekula idealnog plina po eneigijama.................

8.9. Termodinamika....................... '

8.9.1. Uvod..........................................8.9.2. Rad i toplina.................................................................

8.93. Prvi zakon tennodinamike...........................................

8.9.4. Specifična toplina........................................................

8.93. Drugi zakon termodinamike.....................

8.9.6. Entropija......................................................................... "8.9.7. Entropija i vjerojatnosL....................................................

.140

,140

,142143

147

149

151

152

157

158

158159

161

163

165

167

168

9. ELEKTROMAGNETSKI VALOVI......... .................

9.1. Elektromagnetski titraji (oscilacije)....................

9.2. Elektromagnetski spektar ....................................93. Geometrijska optika............................................. .

93.1. Osnovni pojmovi.................................... .

9.3.2. Fermatov princip najmanjeg vremena....

9.33. Zakoni odbijanja i prelamanja svjeflosti....93.4. Prelamanje svjetlosti kroz optičku prizmu

172

172

176

179

180

182

183

185



9.3.6. Tanka optička leća (sočivo)..........................................................1919.3.7. Centrirani optički sustav (sistem).................................................194

9.3.8. Debela ........................................................................................... i959.3.9. Složene leće...................................................................................I96

9.3.10. Uvećanje optičkog sustava...........................................................1989.3.11. Nedostaci (aberacije) optičkih sustava........................................ 1 "9.3.12. Optički instrumenti.......................................- ..............................200

9.4. Interferencija svjetlosti............................................................................. 2049.4.1. Interferencija svjetlosnih valova.................................................... 2049.4.2. Interferencija svjetlosti na tankim listovima.................................209

9.4.3. Newtonovi prstenovi....................................................................... 2129.4.4. Primjena interferencije. Interferometri..........................................214

9.5. Difiakcija svjetlosti................................................................................... 2179.5.1. Huygens-Fresnelov princip............................................................ 218

9.5.2. Fresnelove zone.............................................................................. 2209.5.3. Fresnelova difiakcija na kružnom otvoru.....................................2239.5.4. Fraunhoferova difrakcija................................................................ 224

9.5.5. Difiakciona rešetka........................................................................ 2299.5.6. Diftakcija X-zraka na kristalima................................................... 230

9.6. Polarizacija svjetlosti................................................................................ 232

9.6.1. Prirodna i polarizdrana svjetlost...................................

..................2329.6.2. Polarizacija pri odbijanju i prelamanju.........................................2349.6.3. Polarizacija pri dvojnom prelamanju............................................2359.6.4. Vještačko dvojno prelamanje (fotoelastičnost).............................2369.6.5. Obrtanje ravni polarizacije............................................................ 238

9.7. Fotometrija................................................................. ................................2409.7.1. Svjetlosni fluks................................ ................- ........- ..................2409.7.2. Jačina (intenzitet) svjetlosnog izvora............................................ 242

9.7.3. Osvjetljenost................................................................................... 2439.7.4. Fotometri......................................................................................... 243*

10. SPECIJALNA TEORIIA RELATTVNOSTI................................................. 245

10.1. Michelsonov eksperiment......................................................................... 24510.2. Galilejev princip relativnosti.................................................................... 24810.3. Spccijalna teorija relativnosti................................................................... 249

10.4. Galilejeve transformacije.......................................................................... 25010.5. Lorentzove transformacije....................................................................... ;25110.6. Posljedice Lorentzovih transformacija.................................................... 253

10.6.1. Istovremenost događiya u različitim sustavima referencije.......25310.6.2. Dužina tijela u različitim sustavima referencije.........................25410.6.3. Trajanje događaja u različitim sustavima.... ...............................255

10.6.4. Slaganje brzina............................................................................. 25610.6.5. Dopplerov efekt za svjetlost........................................................ 257



11. TOPLINSKO ZRAĆ ENJE................................................................................. 264

11.1. Kirchhoffov zakon...................................................................................... 26511.2. Stefan-Boltzmannov i Wienov zakon........................................................269

11.3. Rayleigh-Jeansova formula........................................................................27111.4. Planckova formula........................ 27211.5. Optička pirometrija....................................................................................:275

11.5.1. Rađijacioni pirometar..............................................................:.....27511.5.2. Pirometar qaja................................................................................27611.5.3. Kolor pirometar..............................................................................277

12. KVANTI ELEKTROMAGNETSKOG ZRAČ ENJA (FOTONI).....................27812.1. Zakočno rendgensko zračenje....................................................................27812.2. Fotoelektrični efekt..................................................................................... 28112.3. Fotoni.......................................................................................................... 28512.4. Comptonov efekt........................................................................................286

13. BOHROVA TEORUA ATOMA.........................................................................289

13.1. Zakonitosti atomskih spektara....................................................................28913.2. Rutherfordov model atoma........................................................................29113.3. Bohrovi postulati........................................................................................29213.4. Franck-Hertzov eksperiment......................................................................29313.5. Elementama (Bohrova) teorija vodikovog atoma.................................... 29513.6. Karakteristični spektar rendgenskog zračenja.......................................... 299

14. KVANTNOMEHANIČ KI MODEL ATOMA................................................... 301

14.1. Valna priroda čestica. De Broglieva relacija........................................... 30114.2. SchrOdingerova jednadžba..........................................................................303143. Fizikalno značenje valne funkcije.............................................................30714.4. Č estica u jednodimenzdonalnoj beskonačno dubokoj

potencijalnoj jami ....................................................................................... 308

14.5. Jeđnodimenzionalni harmonijski oscilator................................................31214.6. Heisenbergova relacija neođređenosti...................................................... 31314.7. Kvantnomehanička teorija vodikovog atoma............................................315

14.8. Kvantni brojevi...........................................................................................31614.9. Paulijev princip isključenja. Periodni sistem elemenata......................... 319

15. OPTTČKl KVANTNI GENERATOR. LASER ................................................. 322

15.1. Stimulirana emisija..................................................................................... 32215.2. Princip rada lasera......................................................................................32415.3. Rubinski laser.............................................................................................326





PREDGOVOR

Ovaj udžbenik je namijenjen studentima tehničkih fakulteta, a nastao je

na osnovu predavanja koja autor izvodi dugi niz godina na Mašinskom i

Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu.

Cilj ovog udžbenika je da fiziku prikaže kao jedinstvenu znanost koja

se zasniva na relativno malom broju fundamentalnih zakona, a koji poopćavajuogroman broj eksperimentalnih činjenica. U tom cilju posebno se ističe uloga

zakona održanja u suvremenoj fizici, kako klasičnih zakona održanja energije,

količine kretanja, naelektrisanja, tako i specijalnih zakona održanja u mikros-

vijetu.

U suvremenim uvjetima brzog razvoja znanosti i tehnike, inženjeri se

sve češće susreću s tekovinama modeme fizike (nukleama tehnika, tranzistor,mikroprocesor, laser, i dr.), pa za njih nije toliko važno poznavanje velikog

broja fizičkih fenomena, koliko usvajanje fundamentalnih fizičkih zakona i

mogućnost njihove primjene.

Fiziku obično dijelimo na tzv. klasičnu fiziku koja se razvijala do 1900.godine i modemu fiziku, koja je nastala početkom XX stoljeća i razvija se

još i danas. Klasična fizika proučava pojave iz makrosvijeta tj. pojave kojemožemo "vidjeti” i direktno mjeriti. Kretanje takvih tijela opisuje klasična

Nevvtonova mehanika, a električno polje klasična ili Maxwellova elektrodi-namika. Krajem XIX stoljeća opažaju se pojave (fotoefekt, toplotno zračenje,Michelsonov eksperiment i dr.) koje klasična fizika ne može objasniti. Takose javlja, modema fizika koja obuhvata teoriju relativnosti i kvantnu fiziku.Kvantna fizika obuhvata pojave u svijetu atoma (mikrosvijet) pri čemu se

brišu granice između korpuskule i fizikalnog polja, kao dva oblika materije.Mikročestici se, pored korpuskulamih osobina, pridružuju i valne osobine.

Specijalna teorija relativnosti proučava kretanje tijela, čije brzine nisu maleu usporedbi s brzinom svjetlosti.

Studenti tehničkih fakulteta tokom studija izučavaju dijelove klasičnefizike u posebnim predmetima (mehanika, termodinamika, elektrotehnika, idr.) tako da su te oblasti u ovom udžbeniku svedene samo na osnovne zakone,a težište je prebačeno na oblasti koje su neophodne za praćenje modemefizike. Značajno mjesto dano je fizikalnoj optici čije su metode, zahvaljujući



laseru, dobile vodeće mjesto u tehnici mjerenja. Također, su istaknute prak-

tične primjene fizičkih pojava koje imaju primjenu u strojarstvu (ultrazvuk,fotoelastičnost, laseri , holografija, i dr.).

Želim se zahvaliti svojim suradnicama dr. Rajfi Musemić i mr. GordaniOmanović, koje su svojim sugestijama i primjeđbama, pomogle da ovaj udžbe-nik postigne odgovarajuću kvalitetu.

Na kraju autor će biti zahvalan svim studentima i ostalim čitaocima naukazanim propustima.

Sarajevo, juna 2000. godine Autor



UVOD

Promatrana ljuđskim okom materija pokazuje beskrajnu raznovrsnost i

zadivljujuću složenost organizacije. Ideja da se iza takve spoljašnosti krije

jedinstvena struktura, da je ustrojstvo prirode bazirano na malom broju os-

novnih zakona i fundamentalnih sastavnih dijelova, dovela je stare Grke do postulata o postojanju elemenata kao što su zrak, voda ili vatra, kasnije do

atoma. Poslije mnogobrojnih kontroverzi tijekom XIX stoljeća, atom je postao

eksperimentalno potvrđena realnost; međutim, daleko od toga da je nedjeljiv

(značenje grčke riječi atomos). Ispostavilo se da je sastavljen od elektrona

koji se kreću oko masivnog jezgra, koje je opet sastavljeno od neutrona i

protona.

Prije samo tridesetak godina izgledalo je da su ta tri elementama sastojka

dovoljna da se izgradi čitava materija, u svim njenim oblicima. Danas pak,

dok se elektron i dalje smatra elementamom česticom, pokazalo se da su

neutroni i protoni složeni od još elementamijih objekata, kvarkova. Na skali

koja se mjeri miiijarditim dijelovima milijarditog dijela metra nemoguće je

sa sigumošću tvrditi da i kvark nije složena čestica. Fizičari bi bili oduševljeni

pronalaskom još jednog nivoa elementamosti. Spisak poznatih čestica je tako

dugačak i tako ga je teško interpretirati da bi svako otkriće koje bi om ogućilo

pojednostavljenje tog spiska dočekano raširenih ruku.

Fizikalne jednadžbe koje opisuju elementame čestice imaju osobinu da

uvijek daju dva rješenja suprotnih predznaka. Naprimjer, elektronu one p ridm-

žuju “antielektron” (pozitron), koji je sasvim “materijalan” kao i elektron, ali

ima suprotan pozitivan naboj. Svakom neutrinu odgovara antineutrino, kvarku

- antikvark.

Antimaterija, sastavljena od antičestica, može se stvoriti od obične ma-

terije u akceleratorima. Problem je u tome što antičestice “žive” veoma kratkovrijeme: u kontaktu s materijom dolazi do anihilacije, transformacije u dmge

čestice.

Odsustvo antimaterije u opservabilnom Svemira jedna je od velikih zago-

netki kozmologije. Mnogobrojne su indicije da je u početku Svemir bio si-

metričan, sa jednakim sađržajem materije i antimaterije. Kako je došlo dotoga da je naš Svemir sastavljen isključivo od materije?



1. JEDINSTVO PRIRODE

1.1. H IJERA RH IJA PRIRO DNIH OBJEKATA

Stoljetna istraživanja dovela su do sadašnjih spoznaja o prirodnim ob-

jektima koji okružuju čovjeka. Prema sadašnjim saznanjima hijerariiija pri-

rodnih objekata je slijedeća:

• elementame čestice, '• jezgra,• atomi,. moiekule,• makroskopska tijela (kristali, tekućine, plinovi, plazma)• planete,• zvijezde,

• galaksije i• Svemir.

Č ovjek je u interakciji s makroskopskim tijelima i on je, također, jedan

objekt. Č ovjek kao istraživač uvijek nastoji da istraži prirodu u njezinim

ekstremnim manifestacijama najmanjim (mikroskopskim) i najvećim (mak-

roskopskim). Svaka veza u lancu makroskopsko tijelo-atom-jezgro-elemen-

tama čestica značajan je putokaz u stjecanju našeg znanja. Značajno je napo-

menuti da se mi tradimo da pratimo ovaj lanac u suprotnom pravcu od česticado makroskopskih objekata (pokušavajući da na osnovu osobina čestica koje

su zadane odredimo osobine agregata, tj. makroskopskog tijela) problem obr-

nutog promatranja prilično je kompliciran. Stoga, danas još uvijek nema kon-

zistentne teorije koja opisuje tekuće stanje materije.

1.2. E L E M E N T A R N E Č E S T IC E

Elementame čestice su najprostija osnbvna struktura poznata do danas.

Međutim, to ne znači da imaju proste osobide. Ponažanje elementamih čestica

je opisano pomoćli provjerenih fizikalnih teorija, teorije relativnosti i kvantne

teorije.



Kao što je poznato elementanie čestice (izuzev fotona) dijele se u dvije

gnipe:

. had roni i

. Ieptoni.Hadroni sadrže barione i mezone koji su opet složeni na slijedeći način:

Međutim grupa hadrona sadrži i dvije velike grupe rezonanci:

« barion rezonance i

. mezon rezonance.

Do sada je otkriveno preko 300 rezonanci. Ovo posljednje izaziva po-

dozrenje znanstvenika, jer je ukupan broj čestica tako velik. Da li su one sve

elementame? Ovo pitanje je aktualno čak i danas. Kao što je ustanovljeno

60-tih godina, hadroni se mogu grupirati u ođređene familije koje imaju skoro

identične osobine. Osobine takvih čestica dovode do pretpostavke da hadroni

imaju zajedničku strukturu, tj. sastoje se od sitnijih elementamih čestica koje

su nazvane kv arkov i. Prema ovoj hipotezi barioni su sastavijeni od tri kvarica

(antibarioni također od tri antikvarka). Svi mezoni su formirani od jednog

kvaika i antikvarka. Svi hadroni koji su poznati mogu se izgraditi postulira-

njem postojanja samo tri tipa kvarkova.

U početku kada je bio konstruiran kvark model hadrona, kvarkovi su

tretirani kao čista matemadčka struktura koja pribavlja vrlo zgodnu predstavu

hadrona.

Međutim, kasniji eksperimenti, raspršenja visoko energetskih elektron#

na jezgrama, otkrili su postojanje točkastih naboja unutar jezgra. Prirodno,

ove eksperimentalne činjenice su prihvaćene kao dokaz za postojanje kvark-

ova. Kvarkovi nisu identificirani u slobodnom stanju do sada, teoretska razma-

tranja navode na saznanje da kvarkovi ne mogu egzistirati u slobodnom stanju.

Prema najnovijim istraživanjima smatra se da postoji šest tipova kvarkova.

Kvarkovi u i d (od engleskog up i down — gore, dolje) udružuju se u

grupe po tri - da bi formirali protone i neutrone. Kvarkovi su misteriozne

čestice sa neobičnim osobinama. Prvo, oni posjeduju ne cijele električne na-

boje: 2/3 i -1 /3 naboja protona. Dalje još nitko nije opazio izoliran kvark,

jedino postoje grupe od po dva ili tri kvarka (točnije: kvark + antikvark, tri

kvarka, tri antikvarka). No, kvaricovi n i d nisu jedini, priroda je načinila

replike osnovnog kvarteta kvarkova i leptona. Drugu familiju čine kvaikovi

Barioni (proton, neutron, hiperoni)

Mezoni (7t-mezoni, i K-mezoni)

Leptoni se mogu predstaviti kao:

elektron (e) i elektron neutrino (v,)

LEPTONI » m io n (p) i mion neutrino (v^)

^ '" » 'ta u lepton (x) i tau neutrino (v^)

14



c i s (na engleskom charm - začaranost, šarm; strangeness - čudnost, stranost)

i dva leptona, mion p i mionski neutrino v^.

Treća familija sastoji se od kvarkova b i t {beauty/bottom, truth/top),

tau-leptona x i odgovarajućeg neutrina vr

Dvanaest fundamentalnih čestica? Ne baS sasvim, jer se svaki kvark pojavljuje u tri oblika - “boje” (obično se uzima crvena, žuta i plava), što

daje ukupan broj 24. Tu još nisu uračunati foton, bozoni W, Z i gluoni -

prenosnici međudjelovanja elementamih čestica.

Tabela 1.1.------------------- j

Fundamentalni sastojci materije

u

“ o b i č n o j ”

m a t e r i j i

kvarkovi leptoni

u-kvarkovi

d-kvarkovi

elektroni

elektronskineutrino

u m a t e r i j i k o

j a

p o s t o j i n a

v i s o l d m e

n e r g i j a m a

c-kvarkovi

s-kvarkovi

mion

mionskineutrino

t-kvarkovi

b-kvarkovi

tau

tauneutrino

Prenosioci sila

'to foton

co1 *«> W-bozoni

h

«> Z-bozon4>

J3t/i

gluoni

1

Gluoni, fotoni i teški bozoni su čestice koje služe kao nosioci interakcija.

Sve interagirajuće čestice možemo predstaviti kao neku vrstu “ igre” s loptom.Kvarkovi međudjeluju tako što “dobacuju” gluone jedan drugom. Fotoni se

izmjenjuju u interakciji električki nabijenih čestica. Dok su teški bozoni odgo-

vomi za spori raspad čestica i za ekstremno slabe interakcije.

1.3. Č E T ER I T IP A O S N O V N I H M E Đ U D JE L O V A N JA

Kao što je sva stabilna materija izgrađena od samo četiri osnovne čestice

(dva kvarka i dva leptona), dovoljne su četiri sile da bi se opisali svi fizikalni

fenomeni. Prva i najpoznatija sila je sila gravitacije odgovoma za privlačenje

nebeskih tijela. Druga, elektromagnetska sila, je ne samo osnova funkcioni-

ranja električnih i elektronskih uređaja nego također i optičkih i kemijskih

pojava. Elektromagnetske sile zadržavaju elektrone u okolini jezgra. Ostale



dvije sile, ili interakcije, manifestiraju se na malim udaljenostima u jezgruatoma (10'15m), nazivaju se nukleame.

Slaba interakcija, tako je nazvana jer izaziva neke veoma spore procesekao što je radioaktivni raspad jezgra urana, i djeluje u unutrašnjosti zvijezda.Što se tiče jake interakcije, ona povezuje kvarkove unutar jezgra.

Prema intenzitetu međudjelovanja u odnosu na nukleamu (jaku) silu,intenzitet ostalih sila dat jc u tabeli 12 .

Tabela 1.2.

SUa Ođgovoma za Intenzltet

Nukleama (jaka) jezgro 1

Elektromagnetska atom 10'J

Nukleama (slaba) radioaktivni raspad io -'4

Gravitaciona Sunčev sistem io -40

Sve ove sile mogu se interpretirati kao rezultat razmjene izvjesnih čestica.Gravitoni, koji još nisu detektirani, su prijenosnici gravitacione sile; elektro-magnetsko međudjelovanje je rezultat razmjene fotona; tri bazonska prijenos-

nika W+, W i Z° nosioci su slabe interakcije, a gluoni jake. Dakle, elektronostaje u blizini jezgra jer bez prestanka apsoibira (ili emitira) foton što ihemitira (ili apsoibira) jezgro. Bozoni prijenosnici upamju se kako međusobnotako i sa kvaricovima, mijenjajući kvark d u kvark u, tj. neutron (udd) u proton(uud).

Razmjena gluona medu kvarkovima vezana je za postojanje dmgog tipanaboja, nazvanog “boja”. Upravo žbog toga kvarkovi i gluoni, koji su indi-

vidualni nosioci boje (odatle naziv “Kvantna kroraodinamika”) ne mogu bi|iizolirani nego se uvijek udružuju u grupe po dva ili tri na takav način danjihove boje “miješanjem daju bijelu”...

Č etiri osnovne sile dovoljne su za objašnjenje svih prirodnih fenomena.Jaka interakcija odgovoma je za stabilnost atomskog jezgra, a slaba za njegovradioaktivni raspad. Dok su ove sile kratkog dosega (lO'15 m), elektromag-netske, koje drže na okupu elektrone oko jezgre i gravitacione koje održavaju

planete na oibitama oko zvijezda, imaju beskonačan doseg. Nevvtonova teorija gravitacije upravo je proslavila 300 godina postojanja.

Elektromagnetizam je djelo škotskog fizičara J. C. Maxwella iz 1864. Teorijaelektroslabih interakcija pojavila se šezdeseđh godina u radovima dvojiceAmerikanaca, S. Glashowa i S. Weinberga i jednog Pakistanca Abdus Salama.Godine 1963. M. Gell Mann iznio je hipotezu o kvarkovima.



1.4. TEORIJA OPĆ EG JEDINSTVA

Uvijek težiti ka jednostavnosti. To bi trebalo biti geslo teorijske fizike.Po uzoru na Maxwella, koji je povezao elektricitet i magnetizam, fizičari suobjedimli elektromagnetsko i slabo međudjelovanje. Oni su na putu da takodobivenu elektroslabu teoriju udmže sa teorijom jakih međudjelovanja. Prob-lem je što se takva unifikacija, ako postoji, može manifestirati tek na izuzetnovisokim energijama koje nažalost, nikad neće biti dostupne u akceleratorimačestica (1015 GeV odnosno IO28 K).

Na sreću, zakoni kvantne fizike omogućuju pristup takvim energijama i bez akceleratora. Ako se pokaže pravilnom teorija “velike unifikacije” bit ćeistovremeno i veliko pojednostavljenje jer će se onda kvarkovi i leptoni moći

promatrati kao ravnopravni članovi jedinstvene familije fundamentalnih čes-tica. Odatle do razmižljanja o općoj teoriji jedinstva koja obuhvata i gravitacijusamo je jedan korak.

Prema najboljim aktualnim teorijskim modelima, umjesto četiri funda-mentalne sile koje sada zapažamo, pri rađanju Svemira postojala je samo

jedna. Poslije velike eksplozije (Big bang theory) koja se desila prije 1010godina Svemir je bio sabijen u “malu” užarenu kuglu visoke temperature (1032K), kako je koncentracija energije postepeno opadala prvobitna materija i

jedinstvena sila izdiferencirale su se i dovele do današnjeg Svemira punograznovrsnosti i složenosti.

Tabel» 1J.

, Energija (GeV) ___________ »02________________1015 1019

t Temperatura (K) __________ 1015 _____________ 102*_______________1032

Vrijemeod.

velilceio*« 10-35 IO-40

I eksplozije(s) ____________

| ________________ __________________

j0!

17

P



Velika unifikacija predviđa da se na visokim energijama kvarkovi i lep-

toni mogu transformirati jedni u drage. To znači da, naprimjer, proton načinjen

od kvarkova, može se spontano raspasti na lakše čestice tako da se jedan od

njegovih kvarkova pretvori u lepton. Međutim, vjerojatnost da se to desi

veoma je mala, proračun daje za očekivanu vrijednost života protona (oko

1030 godina), što je neusporedivo vede od starosti našeg Svemira (oko 10'°godina). Ipak ako je to statističko predviđanje točno, moiala bi se promatra-

njem 1031 protona opaziti poneka dezintegracija protona u toku jedne godine.

Dakle, potrebno je napraviti uređaj sa velikim brojem protona (često se koriste

voda i željezo, kao relativno jeftini materijali) duboko ispod površine zemlje

u nekom napuštenom rudniku ili ispod planine (da bi se izbjegli kozmički

zraci koji također izazivaju reakcije u detektora) i čekati. Još nigdje na svijetu,

pa ni u ogromnom bazenu smještenom u jednom radniku u Japanu, nije opažen

raspad protona. Bazen sadrži 33000 t vode i nalazi se na dubini 1000 metara

ispod planine Ikenoyama. Detektor Kamioka, morao bi registrirati spontani

raspad bar jednog protona pomoću ultraosjetljivih fotodetektora.

1.5. MATERIJA I ENERGIJA

Prije samo pedesetak godina istraživanja u fizici čestica obavljala su seu laboratorijima sa svim skromnim sredstvima. Otkriće neutrona 1932. je

koštalo tek nekoliko tisuća dolara. Danas, akcelerator SSC (superprovodnički

super-udarač) čija se izgradnja planira u SAD predstavlja investiciju od 6

milijardi dolara.

Zašto ubrzavati čestice? Ovaj trend ka gigandzmu posljedica je jednog

jednostavnog fizikalnog principa: da bi neki objekt danih dimenzija bio op-

servabilan potrebno ga je “osvijetliti” svjetlošću čija je valna dužina uspore-dive veličine. Vidljiva svjetlost, sa valnom dužinom reda mikrometra, dovoljna

je za razlučivanje detalja te veličine. Da bi se išlo dalje u proučavanju materije,

da bi se “vidjeli” protoni ili čak kvarkovi, potrebno je imati “svjetlost” mnogo

kraće valne dužine, to jest mnogo veće energije. To se postiže ubizavanjem

u vakuumu snopova nabijenih čestica (elektrona ili protona) do brzina bliskih

brzini svjetlosti.

Ubrzavanje nabijenih čestica vrši se djelovanjem električnog polja. Ubr-

zane visokim naponom čestice mogu dostići energije reda 100 GeV, što omo-

gućava da se opaze detalji strukture reda 10'18 m. Dok je prvi ciklotron kon-

strairan 1930. godine imao u promjera 2 metra, budući američki SSC imat

će obim od 84 km.

18





2. FIZIČ KE OSNOVE MEHANIKE

2.1. UVOD

Fizika je fijndamentalna prirodna znanost; ona proučava opća svojstva i

zakone kretanja materije, počevši od gibanja tijela pa sve do strukture i svoj-

stva fizikalnog polja i prostora. Fizičari nastoje otkriti zakone o ponašanju

materije u raznim uvjetima i dobivena saznanja primijeniti u tehnologiji i

tehnici. Riječ fizika dolazi od grčke riječi <pucn£ (fisis), što znači priroda i

zato se, dugo vremena, fizika zvala filozofija prirode.

Tvar (supstanca) je jedan od osnovnih oblika materije; sva tijela u prirodi

izrađena su od tvari. Fizikalno polje (npr. gravitacijsko, električno itd.) također

je jedan oblik materije. Materija se nalazi u neprestanom kretanju; ona prelazi

iz jednog oblika u drugi, i pri tome ostaje neuništiva i sačuvana. Prostor i

vrijeme također su oblici materije i vezani su uz njeno kretanje jer se sve

promjene materije odvijaju u prostoru i vremenu.

Veza fizike i ostalih prirodnih znanosti vrlo je velika i, ponekad, je teško

naći granicu između fizike, kemije i biologije. Modema fizika i kemija toliko

se isprepliću da se danas kemija može gotovo smatrati posebnom granom

fizike. Modema biologija, posebno njena grana biofizika, također je tijesno

povezana s fizikom i kemijom. *

U fizici postoje dvije metode: eksperimentalna i teorijska. Eksperi-

mentalna metoda bazira se na eksperimentu i mjerenju. Nekad je lakše doći

do određenog fizikalnog zakona teoretski, pomoću matematike, a zatim ga,

eventualno, provjeriti eksperimentom. Ako eksperiment potvrdi neku teoretsku

pretpostavku, tada se on prihvaća kao prirodni zakon; ako je obori, tada se

ta pretpostavka mora promijeniti tako da bi bila u skladu sa mjerenjem.

S obzirom na ove metode, fizika se može podijeliti na eksperimentalnui teoretsku fiziku. Teoretska fizika matematički razvija i povezuje fizikalne

zakone, dok eksperimentalna fizika izvodi rezultate iz iskustva. Matematika

je vrio važno oruđe fizičara. Ona nam služi da prikažemo fizikalne zakone u

konciznoj i jasnoj formi, da ih povezujemo i jedan iz drugog izvodimo.

20



2.2. MJERENJE U FIZICI

Mjerenje je osnova svih prirodnih znanosti, pa i fizike, koja je tipična

eksperimentalna znanost. Engleski fizičar i matematičar W. Thomson, lord

Kelvin (1824-1907), istakao je važnost mjerenja ovim riječima:

“Kad ono o čemu govorite možete izmjeriti i izraziti brojevima, tada

znate nešto o tome; kada to ne možete izmjeriti, tada je vaše znanje

oskudno i nedovoljno...”

Pri istraživanju u fizici prvo moramo uočiti neriješeni problem koji je

od znanstvenog interesa. Zatim precizno mjerimo. Mjerenja ponavljamo ne-

koliko puta da bismo što više smanjili pogrešku mjerenja. Rezultate mjerenjaunosimo u tablice ili pohranjujemo na magnetsku traku kompjutera. Zatim

slijedi analiza eksperimentalnih podataka, fizikalno objašnjenje eksperimenta

i pronalaženje fizikalnih zakona. Mjerenje fizikalnih veličina ustvari je uspo-

ređivanje fizikalne veličine koju mjerimo sa odgovarajućom standardnom is-

tovrsnom veličinom, tzv. jedinicom.

Fizikalna veličina opisuje kvalitativno i kvantitativno neku mjerijivu oso-

binu fizikalnog stanja ili procesa. Ona omogućuje definiranje fizikalne pojavei njeno opisivanje u matematskom obliku pomoću odgovarajućih jednadžbi.

Fizikalne veličine su npr. put, vrijeme, bizina, rad, energija, itd. Fizikalne

veličine označavaju se malim i velikim slovima latinske abecede i grčkog

alfabeta. Oznake fizikalnih veličina dogovoreni su na međunarodnom nivou.

To su većinom početna slova engleskih i latinskih naziva. Tako npr. simbol

za brzinu je v (velocity, velocitas), vrijeme t (time, tempus), sihi F (force) rad

W (work ) itd.

Fizikalni zakoni se mogu precizno izraziti i pomoću fizikalnih jednadžbi

koje povezuju fizikalne veličine u tom zakonu. Mjeriti neku veličinu znači

odrediti broj koji pokazuje koliko puta ta veličina sađrži u sebi istovrsnu

veličinu dogovorom uzetu za jedinicu. Za neku fizikalnu veličinu nije dovoljno

poznavati samo njenu brojčanu vrijednost, već i njenu jedinicu. Svaka se

fizikalna veličina može izraati pomoću dva faktora, tj. brojčanom vrijednošću

i oznakom mjeme jedinice.

A = { A ) [A],

gdje su {A} brojčana vrijednost i [A] mjema jedinica.

(1-1.)

21



23. MEĐ UNARODNI SUSTAV JEDINICA - SI

Fizikalne veličine mogu se podijeliti na osnovne i izvedene, a ista podjela

važi i za mjeme jedinice. Osnovne fizikalne veličine su one koje ne možemo

jednu iz druge izvesti, već ih moramo definirati. Sve ostale, izvedene, možemo

izvesti iz osnovnih. Osnovne i izvedene jedinice čine sustav jedinica.

Na XI zasjedanju Generalne konferencije za utege i mjere (Conference

Generale des Poids et Mesures-CGPM) 1960. prihvaćen je Međunarodni sus-

tav mjemih jedinica, tzv. SI (Systeme Intemational d'Unites) koji je prihvaćen

u cijelom Svijetu.

Dogovorom je odabrano sedam fizikalnih veličina iz kojih se izvode sve

ostale. Osnovne fizikalne veličine i osnovne jedinice Međunarodnog sustava

date su u tabeli 2.1.

Tabela 2.1

Veličina Oznaka Mjema jedinica Područje fizike

Duljina l metar (m)Masa m kilogram (kg) mehanikaVrijeme t sekunda (s)

Tennodinamička temperatura T kelvin (K) toplinaJakost električne struje / amper (A) elektricitetJakost svjetlosti / kandela (cd) fotometrijaKoličina tvari n mol (mol) atomska fizika

1. Duljina ,

Jedinica duljine je metar. Metar je duljina koju u vakuumu pređe svjetlost

za vrijeme od 1/299 792 458 sekunde.

2. Masa

Jedinica mase je kfiogram. Kilogram je masa međunarodnog etalona

kilograma koji se čuva u Međunarođnom uređu za utege i mjere u Sevresu

kraj Pariza.3

3. VrijemeJedna sekunda je trajanje od 9 192 631 770 perioda zračenja koje nastaje

pri prijelazu elektrona između dvaju hiperfinih nivoa osnovnog stanja atoma

Cs*33.

22



4. Jakost električne strujeStalna električna struja ima jakost jeđnog ampera (A) ako, prolažeći u

svakom od dva paralelna, ravna, beskonačno dugačka vodiča, zanemarivo

malog presjeka, razmaknuta jedan metar u vakuumu, uzrokuje između njih

silu od 2-10-7 — (Njutna po metru duljine).m

5. Termodinamička temperatura

Jedinica termodinamičke (apsolutne) temperature je kelvin (K). Jedankelvin (K) je termodinamička temperatura koja je jednaka 1/273,16 dijelutermodinamičke temperature trojne tačke vode.

6. Jakost svjetlostiJedinica jakosti svjetlosti je kandela (cd). Jedna kandelaje jakost svjet-

losti koju u okomitom pravcu zrači površina od 1/600 000 m2 cmog tijela natemperaturi skrućivanja platine pod tlakom od 101 325 Pa.

7. Količina tvari

Jedinica za količinu tvari je mol. Jedan mol je količina tvari koja sadržitoliko jednakih čestica (molekula, atoma, elektrona, iona i sl.) koliko ima

atoma u 0,012 kg izotopa ugljika 6C12.

2.4. SKALARNE I VEKTORSKE FIZIČ KE VELIČ INE

Fizičke veličine prema svojoj prirodi mogu se razvrstati na skalame,vektorske i tenzorske. Skalari su one veličine koje su potpuno određene

brojnom vrijednošću i odgovarajućom jeđinicom. Takve veličine su: masa,vrijeme, temperatura, rad itd. Vektori su one fizičke veličine koje su potpnnoodređene njihovom veličinom, pravcem i smjerom. Takve veličine su: sila,

brzina, ubrzanje itd. Tenzorske veličine su određene sa tri vektora. Takve

veličine su naprimjer: tenzor inercije, tenzor viskoznosti, tenzor đeformacijei dr.

Vektor predstavljamo usmjerenom dužinom (u odgovarajućem mjerilu)

koja daje iznos vektora, dok smjer strelice pokazuje smjer vektora. Vektorskufizikalnu veličinu označavamo malom strelicom iznad simbola v , dok iznos

vektora (brojnu vrijednost) označavamo samo slovom bez strelice: v, a često

i ovako: |v|. Vektore možemo obilježavati i velikim slovima, koja označuju početak i kraj vektora (npr. AB na crtežu 2.1.).

23



Crtež 2.1.

Vektori su kolinearni ako su im pravci nosioci paralelni. Pritom vektorimogu biti jednakog ili suprotnog smjera. Kolineame vektore jednakog iznosai smjera smatramo jednakim. To znači da vektore smijemo pomicati po pravcunosiocu i paralelno translatirati jer im se pri tome ne mijenja ni iznos ni smjer.

Zbrajanje vektora

Zbroj đvaju vektora 3 i b opet je vektor c :

č = a + b . (2.1.)

Grafički, vektore zbrajamo tako da početak drugog vektora paralelnomtransformacijom dovedemo na kraj prvog: rezultanta je vektor koji ide od

početka prvog do kraja drugog vektora, c rt 2.3.

Uočite da vektorski zbrojnije isto što i algebarski, je r iz-nos vektora jč| nije općenito

jednak zbroju iznosa |i | i | i | ,c = a + b samo kada su smje-rovi vektora 5 i b isti, inačec < a + b.

24



Ako imamo više vektora, grafički ih zbrajamo na isti način: kraj jednogdovedemo na početak drugog, početak trećeg na kraj drugog itd. Rezultanta

je vektor koji spaja početak prvog i kraj posljednjeg vektora. Tako dobivamo

vektorski poligon (mnogokut). Pri tome redoslijed crtanja nije bitan.Drugi način zbrajanja vektora je pomoću metode paralelograma. Vektori

a i b određuju paralelogram (crt. 2.4). Dijagonala paralelograma je rezul-

tantni vekton

5 = 5 + b . (2.2.)

Iznos rezultante možemo izračunati upotre-

bom kosinusova poučka

c = -Ja2 +b2 +2ab-cos<p , (2.3.)

gdje je cp kut između vektora a i b . Smjer rezul-tante možemo odrediti kutom 0.

cosO =b2 +c2- a 2

2bc(2.4.)

Oduzimanje vektoraOduzimanje vektora svodi se na zbrajanje. Razlika a - b dvaju vektora

5 i b je vektor č, koji nastaje zbrajanjem vektora a i vektora - b (crt. 2.5).

Negativni vektor - b po iznosu je jednak vektoru b , kolinearan je s njim, ali je suprotnog smjera.

Crtež 2.5.

Dakle:č = a - b = 5 + {-b ). (2.5.)

Da bismo vektor b oduzeli od vektora a , početak oba vektora dovodimou istu točku: razlika a - b je vektor koji ide od kraja vektora b do kraja

vektora a.

25



Množenje vektoraVektor a množi se pozitivnim skalarom a tako da mu se iznos pomnoži,

a smjer ostaje isti. Pri množenju negativnim skalarom (a<0), smjer vektora

suprotan je smjeru vektora a .

č - a a . (2.6.)

Vektorski produktVektorski produkt č dvaju vektora a i b označava se č = « x j . T o

je vektor okomit na oba vektora. Njegov smjer određuje se pravilom desneruke. Prstima ruke idemo kraćim putem od prvog do drugog vektora i palacnam određuje smjer vektorskog produkta č . Iznos vektorskog produkta jednak

je produktu iznosa jednog i drugog vektora i sinusa ktrta među njima (odnosno

površini paralelograma čije su stranice a i b ):c = a b sina. (2.7.)

Crtež 2.7.

20



Za vektorski produkt ne vrijedi zakon komutacije, tj.

a x b = - b x a . (2.8.)

Da bismo izračunali vektorski produkt možemo množiti komponente

vektora tj.

a x b ={ a xi + ayj + azi č ) x ( b xi + byj +bzk )

a x b = axby( I * j ) + axbz (7 x k ) + ay bx ( j x i ) +

+ aybt ( j x k ) + azbx(k x l ) + azby (k x j ) ,

gdje smo uzeli u obzir da je i x i = ] x j = k x k = 0 . Sad prihvatimo

dogovor da ćemo upotrebljavati desni koordinatni sustav tj. I x ] = k ,

i x k = —j , j x k = i , pa dobivamo da je vektorski prođukt jednak

vilo:

a x b =(ayb: - a zb ) i +(azbx- a xb])j + (axby - aybj)k . (2.9.)

Vektorski produkt također možemo izračunati koristeći Sarrusovo1pra-

a x b =

i j

bx bv

(2.10.)

Skalarni produktProdukt dvaju vektora čiji je rezultat skalama veličina zove se skalami

produkt. Skalami produkt vektora a i b označava se simbolom a b , a jednak

je umnošku iznosa obaju vektora i kosinusa kuta među njima:

? * a b =ab cosG. (2.11.)

1 Viđi Matematički priruČnik, I. N. BronStejn - K. A. Semendjajev.

27



ilia b =at b = a b a,

gdje su ab = a cos0, ba = b cos0, projekcije vektora na zadanu osu, crtež 2.8.

Znači za skalami produkt vrijedi zakon komutacije

a b = b • a . (2.12.)

2.5. KOORDINATNI SUSTAV

Svaki vektor možemo prikazati kao zfaroj dvaju ili više vektora koje

nazivamo njegovim vektorskim komponentama. To je obratan postupak odzbrajanja vektora. Da bi rastavljanje u komponente bilo jednoznačno određeno,

potrebno je poznavati pravce nosioce komponenata (crt. 2.9), a, pored toga,

broj komponenata mora biti jednak dimenziji prostora u kojem se vektorinalaze.

Smjer u prostoru najčešće definiramo jediničnim vektorom čiji je iznos jednak jedinici. Tako je jedinični vektor a0 u smjeru vektora a definiranrelacijom:

a o = ~ . (2.13.)

Izborom triju smjerova određenih jediničnim vektorima k^, k3 de-

finiramo koordinatni sustav u trodimenzionalnom prostoru. Izborom koordi-

natnog sustava možemo svaki vektor 5 jednoznačno rastaviti u tri komponente5j, a2, a3.

a = a, + a2 + a3 = «,*, + +a3k3,

28

(2.14.)



ponenti je:

v = VvM + v , 2 . (2.15.)

U fizikalnim razmatranjima često se

pojavljuje vektor položaja (radijus vek-tor) r koji opisuje položaj tijela (točke)

u prostoru

r = x i + y j + z k . (2.16.)

Skalame komponente radijus vekto-

ra su x, y i z (crt. 2.11), dok mu je iznos:

r - f]x2 +yL+z2 . (2.17.)

gdje su a„ at, a3 skalame komponente (projekcije) vektora 5 .

Najčešće se upotrebljava sustav

s tri međusobno okomita jedi-

nična vektora 7, j , k (crt.

2.10), tzv. Cartesijev kooidinat-ni sustav. U Cartesijevom sus-tavu vektor v rastavlja se ukomponente ovako:

v =vx7 + vyj + v. k , (2.14.)

gdje su vx, vy, vx skalame kom-

ponente vektora v (crt. 2.10).

Kako su osi x, y, z međusobnookomite, veza između iznosavek-

tora v i njegovih skalamih kom-

2.6. MATERIJALNA TOČ KA I KRUTO TIJELO

Fizičke pojave su kompleksne tj. ne javljaju se izolirano jedna od drage,

nego uvijek skupno. Pođ određenim uvjetima neke od tih pojava intenzitetom

se izdvajaju od dragih koje se mogu smatrati sekundamim. Kad će se jednafizikalna pojava javiti kao primama ili sekundama zavisi od uvjeta pod kojima

se odvija. Proučavanje fizikalnih pojava se pojednostavljuje ukoliko se pod

unaprijed danim uvjetima analizira jedna od njih kao primama, a ostale kao

sekundame, potpuno zanemare. Proučavanje se pojednostavljuje uvođenjem

29



idealiziranih modela fizikalnih procesa. Naprimjer, pri razmatranju kretanja

materijalnog tijela sekundami su unutamji procesi koji se odigravaju u njemukao kompleksnom sustavu pa se mogu i izostaviti, a promatrati model tijelakoji je oslobođen tih sekundamih procesa. Iz tih razloga se u mehanici uvode

modeli materijainog tijela pod pojmovima: materijalne točke, apsolutno krutog

tijela, apsolutno elastičnog tijela itd.

Materijalna točka je model tijela čiji se oblik i dimenzije u danom

razmatranju mogu zanemariti. Naprimjer, pri proučavanju gibanja planeta oko

Sunca one se mogu smatrati kao materijalne točke, čije su mase jednake

masama planeta a čije se dimenzije mogu zanemariti u odnosu na veličinerastojanja između Sunca i odgovarajućih planeta.

Apsolutno kruto tijelo je model tijela, koje ni pod kakvim uvjetima ne

mijenja svoj oblik i dimenzije.Mehanički sustav je model od više materijalnih točaka ili tijela koja u

općem slučaju interagiraju kako međusobno tako i sa tijelima iz drugih me-

haničkih sustava. Ukoliko postoje samo međusobne interakcije onda kažemoda je mehanički sustav izoliran. i

i

30



3. MEHANIKA MATERIJALNE Č ESTICE

3.1. KINEMATIKA MATERIJALNE Č ESTICE

Mehanika je dio fizike koja proučava zakone gibanja tijela, tj. vremensku

promjenu položaja tijela u prostoru. Mehanika se dijeli na kinematiku, di-

namiku i statiku kao specijalni slučaj dinamike. Kinematika (od grčke riječi

kinein - gibati) proučava gibanje, bez obzira na uzroke gibanja i na svojstva

tijela koja se gibaju, tj. ne uzimajući u obzir .njihovu masu i sile koje na njih

djeluju. Dinamika (dynamis - sila) proučava uzroke gibanja i utjecaj sile i

mase na gibanje; dinamika za razliku od kinematike, daje fizikalnu suštinu

gibanja. Statika proučava uvjete ravnoteže tijela.

Gibanje je jedan od temeljnih pojmova fizike. Prve zakone gibanja našlisu Galilei' i Newton12. Tijelo se giba ako mijenja položaj prema nekom drugom

tijelu. Da bismo tu promjenu položaja izmjerili, za okolinu vežemo određenireferentni sustav te kažemo: tijelo se giba ako mijenja položaj prema tom

referentnom sustavu. Tako npr. putnik koji sjedi u vlaku miruje s obzirom na

referentni sustav vezan za vlak, ali se giblje s obzirom na sustav vezan za

Zemlju. Svako gibanje je relativno gibanje prema određenom referentnomsustavu.

Ponekad se pri proučavanju gibanja mogu zanemariti dimenzije tijela itako čitavo tijelo predočiti jednom točkom mase m. To je tzv. materijalna

točka koju često nazivamo i česticom, odnosno sitnim tijelom. Tako npr.

vlak, automobil, raketu itd. pri proučavanju njihovog gibanja često aproksimi-

ramo materijalnom točkom. Ponekad i vrlo velika tijela predočujemo kao

materijalne točke (npr. Zemlju pri gibanju oko Sunca i sl.). Naravno nije

uvijek moguće činiti takvu aproksimaciju; npr. pri rotaciji oko vlastite osi

moramo uzeti u obzir dimenzije tijela ma kako one bile male. U takvim

problemima tijelo zamišljamo kao skup materijalnih točaka čiji međusobni

1 Galileo Galilei (1564.-1642.), talijanski fizičar i astronom, jedan od osnivača eksperimentalnemctode. Izmcđu ostalog pronašao je zakone slobodnog pada, princip inercijc i zakon slaganja bndna.

2 Isaac Nevvton (1643.-1727.), engleski znanstvenik, jedan od najvećih fizičara svih vremena, postavio temelje fizike. Istovremeno s Leibnizom pronašao infinitezimalni račun.

31



razmsci ostaju uvijek stalni, tj. uvodimo aproksimaciju krutog tijela. Krutotijelo se dakle ne deformira kad na njega djeluju sile. Za razliku od kiutih,realna čvista tijela deformiraju se pod utjecajem vanjskih sila, ali u većinislučajeva, te se deformacije rpogu zanemariti i pri proučavanju gibanja upotri-

jebiti model krutog tijela.Položaj materijalne točke najčešće od-

ređujemo pomoću njenih koordinata u pra-vokutnom Cartesijevom koordinatnom sus-tavu. Tako na crt 3.1. položaj materijalne toč-ke određen je sa tri broja tj. udaljenostima x,

y i z o d koordinatnih ravnina. Umjesto sa x, y i z položaj materijalne točke možemo odre-diti i radijus vektorom r koji spaja ishodište

koordinatnog sustava s materijalnom točkom.Vektor r zove se vektor položaja materijalnetočke.

Ako se materijalna točka giba, njene se koordinate mijenjaju u vremenu,tako da ona u prostoru opisuje neku krivulju, čija je jednađžba:

r( t )=x( t ) l +y( t )] +z( t )k . (3.1.)

Putanja je dakle skup svih točaka kroz koje prolazi materijalna točkakoja se giba, to je geometrijsko mjesto krajeva vektora r (t). Dio putanje kojimaterijalna točka pređe za određeno vrijeme zove se put. U trenutku f, točka

je bila u položaju A, koji je ođređen vektorom položaja i j , a u trenutku t, + At u položaju B koji je određen vektorom položaja r 2. Pri tome je put s jednakdijelu luka putanje AB. Vektor Ar = r2 — žj, koji spaja točku A i B, zovese vektor pomaka materijalne točke. Pomak je dakle promjena vektora polo-žaja. Pojmove pomaka i puta ne treba miješati. Pomak A r je vektor, put ks

je skalar. Očigledno As £ |r|. Jedino ako se točka giba po pravcu stalno uistom smjeru, pređeni put jednak je iznosu vektora pomaka.

3.2. BRZINA MATERIJALNE TOČ KE

Količnik promjene vektora položaja A r i intervala vremena At u kojem je ta promjena nastala, zove se vektor srednje brzine:

Ar v^ = - , (3.2.)

Vektor je, dakle, vektor paralelan sa pomjeranjem A r . Da bismoodredili trenutnu brzinu u momentu t kada se materijalna točka nalazi u po-

32



ložaju A, pustimo da vremenski interval A/ teži nuli, što se matematički može

izraziti u obliku: , _ _ .. d r v = ltm — = — = ? . (3.3.)

/*-*>At dt

Pa kažemo, trenutna brzina v jednaka je prvom izvodu vektora položaja

pokreme točke po vremenu. Pošto je At > 0 onda prema (3.2) vektor u procesu limesa prelazi u položaj tangente u danoj točki. Prema tome, vektor

trenutne brzine v ima pravac tangente u danoj točki putanje uperen u smjeru

kretanja točke.U pravokutnom sustavu brzina v kao vektor ima tri komponente duž

osa: x, y i z. Da bismo odredili te komponente razložimo vektor položaja

r duž spomenutih osa i diferencirajmo ga po vremenu, prema (3.1) dobivamo:

d x - dy - dz - — i + — j + — k. dt d t J dt (3.4.)

S druge strane, vektor brzine v može se kao i svaki vektor rastaviti nakomponente duž koordinatnih osa i pročitati u obliku:

v =vxi +vf j +vxk.

Uspoređivanjem dobivamo:

dx

dt

dz

— = z . dt

(3.5.)

(3.6.)

3.3. UBRZANJE MATERIJALNE TOČ KE

Pri proizvoljnom kretanju točke po putanji njen vektor bnrine se mijenja.Promatrajmo gibanje točke A po krivolinijskoj putanji crt. 3.2. Neka je brzinatočke u trenutku t, v , a u trenutku, t + At, v,. Vektor promjene brzine A v

koji se desio u intervalu vremena At jednak je razlici vektora brzina u pro-matranim trenucima / i <+ A/, tj.

Av = v, - v . (3.7.)

Odnos vektora promjene brzine A vi vremenskog intervala At u kome je ta

promjena nastala zove se vektor srednjeg

ubrzanja točke A:

Av

At (3.8.)

33



S obzirom da je At skalama veličina i veća od nule, vektor ima isti

pravac i smjer kao i vektor A v . Granična vrijednost tzraza (3.8) zove se

vektor trenutnog ubrzanja točke A u trenutku vremena, tj.

_ .. Av dv j.a = lun — = — = v .

*-+o At dt (3.9.)

Pošto je vektor brzine(3.9) dobivamo:

đ?v = — , uvrštavanjem ove vrijednosti u jednadžbudt

(3.10.)

U pravokutnom koordinatnom sustavu ubrzanje d kao vektor ima tri

komponente duž osa x, y i z. Kako se vektor položaja može razložiti nakomponente F = x i + y j + z k i njihovim diferenciranjem po vremenu do-

bivamo:„ ^ £ 7

dt 2

. d 2y - ~ .a = -T Tt +— - j + - r r k .

dt

d2z r

~dš ‘(3.11.)

S druge strane, vektor a kao svaki vektor može se predočiti kao

5 = axi + ayj + axk . (3.12.)

Uspoređivanjem koeficijenata ispred istih jediničnih vektora dobivamo:

a = -dt 2 ’

Iznos vektora ubrzanja je:

d 2y .. d 2z „'*=T ? = y ' a’ = T Š = z -

(3.13.)

V 'č+al + a 2 • (3.14.)

Ubrzanje je vektor koji ima isti pravac kao trenutna promjena brzine.

Pošto se pravac brzine mijenja u smjem savijanja putanje, ubrzanje je uvijek

usmjereno u pravcu uđubljenosti krivulje i u općem slučaju pravac ubrzanjanije ni tangenta niti normala na krivulju, crt 3.3.

Ubrzanje možemo rastaviti na dvije međusobno normalne komponente:

na tangencijalno ubrzanje a, u pravcu tangente i normalno u pravcu ubrzanjaa„ u pravcu normale. Tada je

34



5 = 3, + a„. (3.15.)

Svaka od ovih komponenti ubrzanja ima jasno definirano značenje: kadase materijalna točka giba, može da se mijenja iznos njene brzine i ova promjena

brzine po iznosu karakterizira tangen-

cijalno ubrzanje; kod krivolinijskogkretanja mijenja se i pravac vektora br-zine, pa promjena brzine po pravcu ka-

rakterizira normalno ubrzanje.

Promatrajmo materijalnu točku koja se kreće po krivoj liniji, c rt 3.4. U

trenutku / neka je materijalna točka u A

s brzinom v , a u trenutku /, = / + A/,

materijalna točka je na mjestu B s brzi-nom v,. Pri čemu je A v = v, - v =

= Av„ + Av,

Vektor ukupnog ubrzanja je po definiciji

- Av Av .. Av,a = lim — = lim —- + lrra — -

Čt-+Q A f A / At-*Q &(3.16.)

Uzimajući u obzir da za A/ —>0, A0' —» A0, R x -+ R, dobivamo Av„ =A.yvA0 i A0 = — . Tada su komponente ubrzanja:

_ Av, dv _a, = lim —“ ■= —

*-+o A/ dt

a = lim = — lim — = — n0." &-*o A/ Ro>-*oAt R

Ukupno ubrzanje

(3.17.)

3.4. VRSTE KtNEMATIČ KIH GIBANJA

Pojmovi vektora položaja, brzine i ubrzanja i njihovi odnosi omogućuju

potpuno određivanje gibanja materijalne točke bez poznavanja uzroka togagibanja. Dakle, za poznavanje gibanja točke potrebno je znati slijedeće funk-

cionalne ovisnosti od vremena:

r = r (/), v = v(/), a = a(t). (3.18.)

35



S obzirom da postoje određeni odnosi između funkcija (3.18), naprimjer,r—* ■ ■'

v = — , a = — , itd., za poznavanje gibanja točke dovoljno je znati bar jednu

od funkcija navedenih u jednadžbi (3.18). Ostale se funkcije mogu dobiti

matematičkim postupcima koji ovise od relacija koje vezuju spomenute funk-

cije.Prema obliku fiinkcije u jednadžbi (3.18) gibanja materijalne točke dijele

se na:• Prema obliku putanje na gibanja duž pravca i gibanja duž krive linije,

specijalan slučaj kružno gibanje.• Prema brzini gibanja na jednoliko i promjenljivo gibanje.• Prema ubrzanju gibanja na jednako ubrzana gibanja (odnosno uspo-

rena) i nejednako ubrzana (odnosno usporena) gibanja.

3.4.1. Jednoliko gibanje duž pravca

Najjednostavnije gibanje je jednoliko gibanje po pravcu. Za poznavanjeovog gibanja potrebno je definirati položaj tog pravca u prostoru u odnosu

na koordinatni sustav i odrediti zakon puta.

Položaj pravca u odnosu na dati koordinatni

sustav određen je vektorom položaja jedne

točke tog pravca i jediničnim vektorom kao

što je pokazano na crt 3.5. Obilježimo ras-tojanja AÂ = j . U tom slučaju vektor po-mjeranja točke A u odnosu na A^ bit će:

A»A = » t 0 . (3.1St)

Položaj pokretne točke A u svakom tre-nutku bit će određen jednadžbom:

r = r0 +s(t)x0. (3.20.)

Ovo je vektorska jednadžba pravocrtnog gibanja. Brzina ovog gibanja

određuje se diferenciranjem jednadžbe (3.20) po vremenu tj.

vr„ (3.21.)

jer su r0 i r 0 konstanmi vektori u odnosu na koordinatni sustav. Prema

gomjoj jednadžbi vektor brzine v t 0 je stalan vektor po pravcu i smjeru, njegov

iznos zavisi od promjene puta u toku vremena tj.

36



ds

dt (3.22.)

Integriranjem jcđnadžbe (3.22) dobivamo pređeni put u toku vremena

s = vt+ C, (3.23.)

gdje je C konstanta integracije i određuje se iz početnih uvjeta. Naprimjer,za / = 0 neka je s = s0 tada je i C = a0 pa će jednadžba imati oblik

(3.23.)

Crtež 3.6.

Na crt 3.6 dati su s-t i v-t dijagrami za jednoliko pravocrtno gibanje.

Put je lineama funkcija vremena; koeiicijent smjera tog pravca (tga) ovisan je o brzini tijela. Budući da je brzina konstantna, v-t dijagram je pravac paralelan s osi t, površina ispod tog pravca (iscrtkani pravokutnik) predstavlja

pređeni put u vremenu t - tv

3.4.2. Pravocrtno jedn ako ubrzano gibanje

Mnoga ubrzana ili usporena gibanja (ubrzanje ili kočenje automobila,slobodni pad itd.) možemo dobro aproksimirati ovim gibanjem. Kod ovoggibanja vektori pomjeranja, brzine i tangencijalnog ubrzanja su istog smjera

i pravca. Pošto je

a = — = const. (3.24.) dt

Integriranjem gomje jednadžbe dobivamo

v = af + C,. (3.25.)

Neka je za t = 0, v = vc tada je C, = v0 pa jednadžba (3.25) dobiva oblik

v = a/ + v0 (3.26.)

. 37



koja predstavlja zakon promjene bizine u toku gibanja točke. Pošto je brzina prvi izvod puta po vremenu gomju jednadžbu možemo napisati u obliku:

ili

Jds = Jatdt + Jv0dt

odakle, integriranjem dobivamo:

s = —ar2 + v0/ + C , . (3.27.)2

Neka je za to t = 0, s = s0 tada je C2 = s0 pa prethodnu jednadžbu možemo

napisati u obliku:

s = a f J + v0f + s0. (3.28.)

Na crt. 3.7 grafički su predočene funkcije puta, brzine i ubrzanja pra-

vocrtnog jednako ubrzanog gibanja.

Crtež 3.7.

Eliminirajući vrijeme iz relacije (3.26) i (3.28), dobivamo vezu izm^tu

puta i brzine: ____________

v = ij 2 a (s - s0) + vZ . (3.29.)

3.43. K ružno gibanje

Kada ubrzanje materijalne točke nema isti pravac kao brzina, već s brzi-nom zatvara kut različit od nule, materijalna točka uvijek će se gibati po

zakrivljenoj liniji. Kosi hitac je jedan primjer takvog gibanja. Drugi primjer

je kružno gibanje.Gibanje materijalne točke po kružnici je gibanje u ravni. Neka kružnica

leži u (x.y) ravnini Cartesijevog koordinatnog sustava (crt. 3.8). Položaj ma-terijalne točke možemo opisati Cartesijevim koordinatama x i y ili polamim

38



koordinatama r i <p. Kako je putanja kružnica,iznos radijus vektora r je konstantan, te se prigibanju mijenja samo polama koordinata <p.

y

Veza između Cartesijevih i polamih koordi-nata materijalne točke je:

X x = r costp (3.30.) y = r sinq>.

Kut q>se obično izražava u radijanima i jed-nak je omjeru luka s i polumjera r

Crtež 3.8.

q>= -(ra d ). (3.31.)r

Puni kut (360°) ima 2rt radijana, tako da je:

(3.32.)

Iz relacije (3.31) slijedi izraz za prevaljeni put:

s = <pr.

Deriviranjem puta s po vremenu, dobiva se tzv. obodna (linearna) br-zina v:

kutna brzina. Jedinica za kutnu brzinu je rad s '1 ili s '1, budući da dopunsku jedinicu rad često ne pišemo.

Kutna brzina je vektor; njen iznos je izražen fotmulom (3.33) dok joj je

po definiciji smjer na pravcu osi rotacije i određen je pravilom desne ruke.Ako prsti desne ruke slijede materijalnu točku, palac pokazuje smjer co.

Pravac kretanja kutne brzine uvijek je okomit na ravnicu kruženja. Obod-na brzina v uvijek je okomita i na vektor r i na vektor čo (crt. 3.9). Kut

između r i v je Jt/2, tj. s ina = 1. Zbog toga relacija (3.33) može se vektorskinapisati kao:

(3.33.)

gdje je

co = —r dt '

3C..5

• 39



— = © = const. <3.35.)dt

Integriranjem izraza (3.35) dobiva se lineama ovisnost kuta o vremenu:

cp = cp0 + ti)t, (3.36.)

gdje je cp0 kut u vremenu t = 0.Za opisivanje jednolikog kružnog gibanja korisno je definirati frekvenciju

i vrijeme potrebno za jedan puni krug-period. Očito je za jednoliko kružno

gibanje:

<o = 2nf, T = y . (3.37.)

Jednoliko kružno gibanje je zapravo ubrzano gibanje, jer se pri njemu

stalno mijenja smjer obodne brzine, crt. 3.10, iako joj iznos ostaje konstantan.Iznos promjene brzine |Av| jednak je Av = vAq>. Podijelimo li obje strane

ove relacije sa At uz granični prijelaz At —> 0, dobivamo iznos vektora ubrzanjakoji mijenja smjer brzine:

Av vAcpar = lun — = lim — —= vco.

&>-*oAt a/-*o A/(3.38.)

Ova akceleracija ima smjer prema središtu kružnice i, zbog toga, zovemo

je radijalna (normalna) ili centripetalna akceleracija.Ako sa -F0 označimo jedinični radijus vektor usmjeren prema središtu

kružnice, izraz (3.38) za radijalnu akceleraciju možemo pisati vektorski:

ar = -rxo2F0 = - — r0 = 5 x v , (3.39.)

gdje smo različite oblike za radijalnu akceleraciju dobili kombiniranjem izraza

(3.33) i (3.38).

40



3.4.4. Nejednoliko kružno gibanje

Pri nejednolikom kruženju iznos obodne brzine nije više konstantan već

se mijenja s vremenom. Zbog toga je ukupna akceleracija sastavljena odradijalne akceleracije ar i tangencijalne akceleracije a ,. Radijalna je kom-

ponenta ukupna akceleracije u smjeru - r , dok je tangencijalna akceleracijakomponenta akceleracije u smjeru tangente.

Tangencijalna akceleracija nastaje zbog promjene iznosa obodne brzine:

gdje je

dv da= — = —1— - = r — = m ,

dt dt dt

d2i p

~dtr

(3.40.)

(3.41.)

kutna akceleracija (ubtzanje). Jedinica kutne akceleracije je rad s'2. Akokutnu akceleraciju definiramo kao vektor čiji je iznos ođređen formulom

(3.41), dok joj je smjer okomit na ravan kruženja, tada relaciju (3.40) možemonapisati i u vektorskom obliku:

a,=axr (3.42.)Pri jednolikom gibanju po kružnici <5 = const, odnosno a = 0 te je i

tangencijalna akceleracija nula. To je i jasno: jer se pri takvom gibanju brzinačestice mijenja samo po smjeru, dok je iznos konstantan. Pri nejednolikomkružnom gibanju postoji i radijalna i tangencijalna akceleracija. Prva od njihima sm je r-ž^, dalde prema središtu kružnice, dok je đruga u smjeru tangente:one su dakle okomite jedna na drugu. Ukupnu akceleraciju 3 dobivamo ako

vektorski zbrojimo ove dvije akceleracije:

5 = 3, + ar . (3.43.)

Poseban slučaj nejednolikog kružnog gjbanja je gibanje s konstantomkutnom akceleracijom (a = const.). Zakone takvog gibanja možemo dobiti iz

formule (3.41) uzimajući u obzir da je a = cpnst. i da je u trenutku t = 0, kut

cp = 0, a oo = 0J0. Integrirajući izraz zfo = adt dobivamo:• t

j dco = Ja d t ,

»o 0

odnosno© = a t + ©0. (3.44.)

Daljnjim integriranjem izraza (3.44) napisanog u obliku 3<p= (a t + co0)dt

dobivamo izraz za kut:

41



odnosno

9 r t t

Jd(p= J(a/+ <o0)dt =J atd t + J<o0A,

q) = ic u 2+<a0/ + <p0. (3.35.)

Ovi izrazi analogni su izrazima za pravocrtno gibanjc. Tablica pokazuje

formalnu analogiju među formulama pravocrtnog i kružnog gibanja. Ako u

formule pravocitnog gibanja umjesto s, v i a uvrstimo <p, <d , a dobivamo

formule kružnog gibanja.

Pravocrtno gibanje Knižno gibanje

ds

v ~ T t

d*s a = — 5-

d i1

s = \ t+ s0

1 ,s = - a r +v0t + s0

v2 = 2 as + v^

d<p <a= —

dt

d2< pCL~~dtr

s = <o/ + <p0

1 2s = - a r + <a0r + <p0

v2 =2a<p+<aJ

■»

42



4. DINAMIKA Č ESTICE

4.1. UVOD

U kinematici smo proučavali zakone gibanja bez obzira na uzroke kojisu to gibanje proizveli. Sada ćemo proučiti dinamiku koja razmatra fizikalne

uzroke gibanja. Osnova dinamike su tri Nevvtonova aksioma1, koje je još1686. formulirao engleski fizičar Isaac Newton. Iz tih aksioma može se izgra-diti tzv. klasična i]i Newtonova mehanika.

Newtonova mehanika izvrsno opisuje makroskopske pojave, dakle tijeladimenzija većih od atoma i molekula, te brzine mnogo manje od brzine svjet-losti. Za opisivanje mikrosvijeta (atoma i molekula) moraju se primijenitizakoni kvantne mehanike, a za velike brzine upotrebljavaju se zakoni rela-tivističke mehanike (Einsteinova teorija relativnosti).

Osnovne fizikalne veličine dinamike su sila i masa. Iz svakodnevnogživota znamo što je sila: kad guramo ili vučemo neki predmet, kad istežemoelastičnu oprugu, kažemo da djelujemo silom.

U fizici silu opisujemo pomoću nj'enog djelovanje. Ako jedno tijelo do-vodi u kretanje drugo tijelo, onda se ovo prvo ponaša kao uzrok za kretanjadrugog tijela, odnosno ova đva tijela međudjeluju (interagiraju). Fizička veli-čina kojom se mjere interakcije između tijela naziva se sila. Djelovanje sile

može biti dvojako:• sila može ubrzati ili usporiti neko tijelo; tj. promijeniti mu stanje

gibanja,• sila može promijeniti oblik tijela (deformacija).U dinamici se proučava samo prvo djelovanje sila, tj. sila kao uzrok

promjene stanja gibanja nekog tijela. Drugo djelovanje sile, deformaciju tijela,možemo upotrijebiti za mjerenje sile. Jedan od najjednostavnijih načina mje-

renja sile je pomoću dinamometra. To je elastična opruga jednim krajemučvršćena na vrhu pod djelovanjem sile. Što je veća sila koja djeluje nadinamometar to će se opruga više produljiti; mjereći produljenje, može se

1 Aksiom je osnovni zakon koji se ne đokazuje.

43





janjima. Intenzitet elektromagnetskih interakcija je mnogo puta veći od in-tenziteta gravitacijskih.

Nuklearne sile djeluju između čestica atomskog jezgra bez obzira na

njihovo naelektrisanje. Nukleame sile djeluju na malim rastojanjima, oko10*15 m i velikog su intenziteta, većeg i od elektromagnetskog.

Masa je svojstvo svakog tijela koje određuje njegovo ponašanje pri djelo-vanju sile: što je masa tijela veća ono je tromije (inertnije), to ga je težeubrzati ili usporiti, tj. promijeniti mu stanje gibanja. Masa je mjera tromosti

(inercije) tijela. Kvantitativna mjera za inerciju predstavlja fizikalnu veličinukoja se zove masa. Ova fizikalna veličina određuje inertna i gravitacijskasvojstva tijela.

Na osnovu gomjeg zaključka, masa se ne može definirati kao količina

tvari (materije), jer je materija općenitiji pojam od mase. Masa se ne možesmatrati ni kao količina tvari, jer svaka tvar posjeduje veliki broj različitihsvojstava, a inercija je samo jedna od njih. Prema tome pod pojmom masetreba podrazumijevati mjem tromosti tijela.

4.2. PRVI NEWTONOV AKSIOM

Još je Galilei uočio da tijelo na koje nedjeluju vanjske sile ostaje na mim ili se giba

jednoliko po pravcu. Da pokrenemo tijelo kojemimje potrebna je određena sila; također, ti-

jelo koje se giba jednoliko po pravcu ostat će

u tom stanju gibanja sve dok na njega ne dje-luje neka vanjska sila. Kuglica na horizontal-

noj ravni bez trenja gibat će se (beskonačno

dugo) jednoliko čim je jednom stavimo u pok-ret Svojstvo tijela da održava svoje stanje gi-

banja ili mirovanja zovemo ustrajnost, tromostili inercija.

Proučavajući Galileieva razmatranja, do-

šao je Newton do svojeg prvog aksioma1.Svako će tijelo ostati u stanju miro-

vanja ili jednolikog gibanja po pravcu sve dok pod djelovanjem vanjskihsila to stanje ne promijenL

Isaac Newton

1 Osnovne zakone (aksiome) o gibanju tijela Newton je postavio je 1687. godine u djelu “Phi-losophiae naturalis principia mathematica” (Matematički zakoni prirodne znanosti).

45



Prvi Nevvtonov aksiom se često zove i princip ustrajnosti (tromosti iliinercije). Položaj tijela određujemo s obzirom na neko drugo tijelo (okolinu)izborom referentnog sustava. Prvi Newtonov aksiom ne važi u svakom refe-rentnom sustavu. Tako npr. kuglica koja miruje na stolu U vlaku koji se giba

jednoliko po pravcu pomaknut će se čim taj vlak zakoči ili ubrza iako na nju

okolina pri tom ne djeluje.Sustavi u kojima važi prvi Nevvtonov aksiom su inercijalni sustavi;

prihvaćanjem ovog aksioma ograničili smo se na opisivanje pojava u inercijalnim sustavima.

Postojanje inercijalnih sustava potvrđuje se eksperimentalno (sa odre-đenom točnošću), tako naprimjer, iz astronomskih opažanja i izračunavanjaubrzanja nebeskih tijela, ustanovljena je inercijalnost heliocentričnog sustava.Odnosno, Sunčev sustav se kreće po inerciji ka centru naše Galaksije.

Svaki sustav koji miruje ili se giba jednoliko po pravcu s obziromna nek i inercijalni sustav opet je inercijalni sustav. Mirovanje i jednoliko

gibanje po pravcu ravnopravni su. Tijelo koje u jednom inercijalnom sus-tavu miruje u drugom inercijalnom sustavu može mirovati ili se gibati jed-noliko po pravcu.

43. DRUGI NEWTONOV AKSIOMPrvi aksiom opisuje ponašanje točkastog tijela kad na njega ne djeluju

druga tijela ili kad je rezultanta sila nula. Drugi aksiom opisuje kako se ponašatijelo kad na njega djeluje određena vanjska sila F.

Iz iskustva je poznato, a i brojni pokusi mogu potvrditi, da je akceleracijatijela proporcionalna sili i ima smjer sile. Konstanta proporcionalnosti izmeđusile i akceleracije je masa tijela m : ,

F = ma. (4.6.)Masa je mjera za inerciju (tromost) tijelar što je masa tijela veća, to je

za isto ubrzanje potrebna veća sila. Masa koja se pojavljuje u relaciji (4.6.)naziva se, upravo zbog tog svojstva, tromom masom tijela. Ovu vezu izmeđusile, mase i akceleracije zovemo drugi Nevvtonov aksiom u nerelativističkomobliku ili jednadžba gibanja. Napisan u ovom obliku 2. Newtonov aksiomvrijedi u granicama valjanosti Newtonove mehanike, tj. za brzine mnogomanje od brzine svjetlosti i zato se i zove nerelativistički. Pomoću jednadžbe

(4.5.) možemo izvesti jedinicu za silu

[^] = [m] [a] = lkg • Ims'2= lkg • ms'2= 1N.

Jedinica za silu je dakle 1 njutn (N). 1N je sila koja tijelu mase 1 kgdaje ubrzanje od 1 m/s2.

46



Da bismo općenito foimulirali 2. Newtonov aksiom, potrebno je definiratikollčinu gibanja tijela1 (Impuls). To je vektorska veličina jednaka produktu

mase i brzine:

p —mv. (4.7.)

Newtonova formulacija drugog aksioma, prevedena na današnji jezikfizike, glasi:

Brzina promjene količine gibanja proporcionalna je sili i zbiva se u

pravcu te sile:

F = 4 ( * . v ) » f . (4.8.)dt ' dt

Ovako napisan 2. Newtonov aksiom vrijedi i za velike brzine (usporedive

s brzinom svjetlosti); zato se formula (4.8.) često zove relativistički oblik

drugog Newtonovog aksioma. Formula (4.8.) prelazi u (4.6.) u slučaju kadsu brzine tijela malene u usporedbi s brzinom svjetlosti (v « c ) . U tom slučaju

masa tijela je konstanma, tc je:

F =d(mv) dv

•• — 171--------

dt dt = ma (4.9.)

Ova jednadžba predstavlja diferencijalnu jednadžbu gibanja tijela, u kojoj je F rezultanta svih interakcija tijela mase m sa svim drugim tijelima, a 5

ubrzanje tijela u odnosu na neki inercijalni sustav.Prvi i drugi Newtonov aksiom su neovisni jer prvi konstatira svojstva

tijela,adrugikarakteriziragibanjetj£elapoddjelovanjemsile.Zaslučaj F = 0

na osnovu jednadžbe (4.9.) je i — = 0 odakle slijedi v = koiist. uz pret-

postavku da je fimkcija v određena u intervalu u kojem je F = 0. Odnosno,

ova činjenica daje suglasnost spomenutih aksioma a ne njihovu zavisnost.

Jednadžba (4.9.) predstavlja drugi Newtonov aksiom u vektorskom obliku.

Odgovarajuće skalame jednadžbe dobivaju se množenjem jednadžbi (4.9.) sa

jediničnim vektorima koordinatnih osa, i , j i k .d2x _ dvr

- m

dvv

d r a.d y

= m ---ir dt 2

(4.10.)

Fz

1 Teoretski fizičari često količinu gibanja nazivaju impulsom, pa je potrebno obratiti pažnju pričitanju literature, na impuls i impuls sile.

47



Masa i težina. Težina tijela G je sila kojom tijelo djeluje na horizontalnu

podlogu ili na objesište u slučaju da je obješeno. Težina tijela uzrokovanasilom teže, usmjerena je vertikalno prema dolje i iznosi:

G = mg (4.11.)

gdje je g * 9,81 m/s2, akceleracija sile teže.

4.4. TR EĆ I N EW TO N O V A K SIO M

U prvom i drugom Newtonovom aksiomu govori se o sili ili silama kojedjeluju na određeno tijelo, ne vodeći računa o izvorima tih sila. Pošto sila u

krajnjem slučaju karakterizira interakciju dva tijela, njihova uloga pri interak-

ciji se definira trećim Newtonovim aksiomom koji glasi:Svakom djelovanju (akclji) uvijek je suprotno i jednako protudje-

iovanje (reakcija). Djelovanja dvaju tijela jednog na drngo uvijek su jednaka i protivnog smjera.

Treći Newtonov aksiom kao i prva dva potiče iz uopćavanja eksperi-mentalnih činjenica. Naprimjer, ako tijelo A (Zemlja) mase mA djeluje na

tijelo B (kamen) mase m^, silom F AB crt. 4.1., onda će i tijelo B djelovatina tijelo A silom F AB. Ove sile su jednake po iznosu i pravcu a suprotnog

su smjera, pa se može napisati:

= (4.12.)

Jedna od ovih sila F BAt recimo^ zove sc akdja i njena napadna točka je u tijelu B (kamenu), odnosno sila F BA napada tijelo B. Druga sila tj. F AB

zove se reakcija, njena napadna točka je u tijelu A (Zemlji) koje napada.Koju, od spomenutih sila, ćemo nazvati akcijom a koju reakcijom s fizičkog

stanovišta je sasvim svejedno, jcr su obje bile iste prirode. Pod djelovanjemsila F ba i F ab, tijelo B i tijelo A

mogu promijeniti stanje gibanja (di-

namičko djelovanje sile) ili pak izvr-šiti kakvu deformaciju svog oblika(statičko djelovanje sila).

Karakteristike gibanja tijela pod

djelovanjem sile određene su drugim

Newtonovim aksiomom po kojem, unašem primjeru, tijela dobivaju ubr-zanja:

48



1- BAaB =-&±-

dakle prema jednadžbi (4.12.) dobivamo:

5a = ^mA

m*aB = ~mKaK m. .

odnosno

ili aB = - —A-

m*

(4.13.)mk

5

Dakle, oba tijela mijenjaju stanje gibanja (dobivaju ubrzanja) zbog uza-

jamnog djelovanja, samo je ta promjena, prema jednadžbi (4.13.) obmuto proporcionalna masi tijela. U našem primjeru, masa kamena je zanemarivo

mala u odnosu na masu Zemlje, pa je uslijed toga njegovo ubizanje aB vrlo

uočljivo svakom promatraču. S druge strane, promjena gibanja Zemlje uvje-tovana međudjelovanjem sa kamenom zanemarivo je malena zbog mB/mA pase ne može konstatiratj nikakvim instrumentom, mada u stvamosti postoji.

Treći Newtonov aksiom može se ilustrirati i

direktnim ili statičkim međudjelovanjem tijela. Na

primjer, ako na stol stavimo teg, crt 4.2., teg će

djelovati na stol silom Q čiji je pravac vertikalan

a smjer na niže (ka centru Zemlje). Napadna točkasile Q će se nalaziti na stolu. S dmge strane, stol

će djelovati na uteg silom R čiji je pravac i iznosisti kao kod sile Q samo suprotnog smjera. Na-

padna točka sile R nalazit će se u utegu.' Na os-

novu trećeg Nevvtonovog aksioma za ovaj primjer

možemo napisati:

Q + R = 0. (4.14)

5

Citež 42.

Jednadžba (4.14.) ne predstavlja uvjet djelovanja dvije jednake sile na

jedno tijelo, jer ove sile djeluju na različita tijela (stol i uteg), pa se sila po

tijelu pojedinačno razlikuje od nule. Prema tome, treći Newtonov aksiom

izražava jednakost sila koje djeluju na različita i usamljena tijela, pa se svako

od njih nalazi pod djelovanjem samo jedne sile, koja mu saopćava ubrzanje

prema relaciji (4.13.). Znak minus, ujednadfti (4.13.) označava da su ubrzanja

tijela istog pravca ali suprotnih smjerova. Na osnovu razmatranja sva tri Newtonova aksioma kao jedinstvene cje-

line, za inercijalne sustave može se zaključiti slijedeće: svako ubrzanje tijela

uvjetovano je nekom silom. Svaka sila je mjera djelovanja nekih drugih tijela

na uočeno tijelo i na kraju, sile imaju karakter uzajamnog djelovanja.

49



Aksiomi koje je formulirao Newton predstavljaju uopćavanje iskustvenihčinjenica koje su bile poznate i prije njega. Newtonova zasluga je u tome što

je on pokazao da se sva mehanička gibanja mogu opisati pomoću spomenutatri aksioma, uzetih kao osnova mehanike, pa se često ta mehanika zove i

Newtonova mehanika.

4.5. DIFEREN CIJALN A JEDNADŽBA GIBANJA

Prvi i drugi Newtonov aksiom određuju odnose između kinematičkeveličine ubizanja i dinamičkih veličina, mase tijela i rezultujuće sile koja

djeluje na njega, tj.

d2r F dt2 m

(4.15.)

Ovoj vektorskoj jednadžbi odgovaraju tri skalarne jednad&e u pravokut-

nom koordinatnom sustavu:

d 2x Fx _ d 2y Fy d 2z Fx

dt2 m ' dt2 m ' dt2 m(4.16.)

Iz eksperimentalnih proučavanja djelovanja neke sile na određeno tijelo,mase m, relativnog vektora položaja r i brzine v , ustanovljeno je da u općemslučaju sile interakcije dva tijela zavise od relativnog položaja i brzine obatijela, po nekom određenom zakonu, koji se može izraziti matematičkomfunkcijom u obliku:

F = F ( r , v , / ) - (^17.)

S obzirom na jednadžbu (4.17) drugi Newtonov aksiom možemo izrazitiu obliku:

ili

F = m\

d2r _ ,m ~dŠ = F(r >v’t > (4.18.)

' d2x - d 2y - d2Zj-\

, dt1 dtl J dt2 J

(4.19.)

Ako su poznati: rezultantna sila F = F ( r , v, t) koja djeluje na tijeloi njegov početni položaj i brzina (početni uvjeti), onda se zadaća dinamikesastoji u ođređivanju gibanja tijela pod djelovanjem spomenute sile.

50



4.5.1. Pravocrtno gibanje materijalne točke pod djelovanjem konstantne siie

Ako se materijalna točka giba duž jeđnog pravca, kaže se da je gibanje pravocrtno. To može da bude i jedna od osa pravokutnog koordinatnog sustava,

naprimjer Jt-osa. Diferencijalna jednadžba pravocrtnog gibanja materijalne toč-ke po jc-osi, na osnovu jednadžbi (4.18.) bit će:

d2x J dx \ m —r r = F\ — ,t .

dt { dt J (4.20.)

Kod ovog gibanja, sila F i početni para-

metri jc0 i moraju imati stalan pravac, i tox-ose.

Kao primjer ovakvog gibanja uzima se slobodni pad materijalne točke ili vertikalni hitac

u vakuumu pod djelovanjem sile teže, koja semože smatrati da je konstantna na malim rasto-

janjima u odnosu na poluprečnik Zemlje. Kom- ponente sile teže prema crt. 4.3. su: Fz = mg,

Fy = F. = 0.

Crtež 4.3.

Diferencijalna jednadžba gibanja u ovom slučaju prema (4.20.) je:

odakle,

d 2xm — 5-= mg = const.

d r (4.21.)

Integriranjem dobivamo

^ = g* + Ct , (4.22.)đt

gdje je C, integraciona konstanta koja se određuje iz početnih uvjeta gibanja.

Ponovnim integriranjem dobivamo,

x = i g r 2 +C,/ + CJ, (4.23.)

gdje je C2 nova integraciona konstanta.Jeđnadžba (4.23.) je opće iješenje diferencijalne jednadžbe gibanja ma-

terijalne točke pod djelovanjem sile teže. Prema veličini početne brzine razli-

kuju se tri slučaja ovog pravocrtnog gibanja: slobodni pad, hitac uvis i hitac

nadolje.

51



Slobodni pad. Pri slobodnom padu materijalna točka počinje gibanje

bez početne brzine, tj. za t = 0, v/O) = 0 i x(0) =Xo. Za ove početne uvjete

dobivamo da je C, = 0 (4.22), a iz (4.23) C2 =x„, pa imamo:

v = ~~ = gt i x = ]-gt2 + x0, y = 0, z = 0, (4.24.)dt 2

odnosnovT= ^ 2 g ( x - x 0) = f i g š . (4.25.)

Hitac uvis se dobiva iz jednadžbe (4.23.) pri početnim uvjetima: za t = 0,

v(0 ) = —v0 i x(0) = 0 , što znači da se materijalna točka kreće suprotnom brzinom v0 u odnosu na x-osu. Za ove početne uvjete iz jednadžbe (4.22.)

dobivamo C, = -v0 a iz jednadžbe (4.23.) C2 = 0 pa jednadžba brzine i puta

hica uvis imaju oblik:dx

i

x = ^ g t 2- v 0t, y = z = 0 . (4.26.)

Hitac nadolje. Kod hica nadolje materijaina točka polazi iz točke A

početnom brzinom v0, usmjerenom nadolje, u smjeiu ose-x. Za ove početne

uvjete, t = 0, v /0) = v0 i x(0) = *0, dobivamo da je C, = v0 i C2 = x0. Brzinai pređeni put kod hica nadolje može se izraziti kao:

v . = f = v ,

i

x = g t 2 +V0t + x0 . (4^7.)

4.5.2. Gibanje materijalne točke pod djelovanjem sileoblika F = F ( v )

Kao primjer za ovo gibanje, promatrajmo gibanje materijalne točke krozneku otpomu sredinu. Prema eksperimentalnim podacima svaka sredina pruža

otpor izražen kao sila otpora pri gibanju nekog tijela kroz nju. Sila otpora

zavisi od fizičkih svojstava sredine, brzine gibanja i dimenzija čestice. Akosu dimenzije i brzina čestice male, tada je sila otpora sredine proporcionalna brzini kretanja čestice, tj.

F = - k , v . (4.28.)

52



Znak minus označava da je sila suprotnogsmjera, prema brzini čestice, a broj k, > 0, zavisiod svojstava sređine i dimenzija čestice. Napri-mjer, za kuglicu poluprečnika r, sila otpora poStokesu, F = -6 n t|r v , gdje je t| - koeficijent

viskozne sredine.Razmotrimo gibanje materijalne točke po-

četne brzine v0 u pravcu i smjeru jc-ose u otpornoj

sredini koeficijenta crt. 4.4.

Jednadžba gibanja materijalne točke za ovaj slučaj je:

m

ili dv^

dt

d 2x

S f — l'v-(4.29.)

- f e - a v . ,m

(4.30.)

gdje je a = — . Razdvajanjem promjenljivih i integriranjem, dobivamo ftt

Jdv**r.T= - a j d t

odnosno

lnvx = - a /+ C ,. (4.31.)

Pošto je iz početnih uvjeta za / = 0, vx(0) = v0, onda iz (4.31.) dobivamoda je C, = ln v^, pa slijedi

v, = v0e-"“, (4.32.)

Kako je a > 0, onda je e~txt < 1, a to znači da je vx < v,,, tj. brzina česticese smanjuje sa vremenom, njeno gibanje je usporeno. Integriranjem jednadžbe

(4.32.) dobivamo zakon puta u obliku:

* = v0fe~a'd t = - — e~at + C ,. (4.33.)1 a

Stavljajući za / = 0, x(0) = 0, iz jednadžbe (4.33) dobivamo: C2 = — , akonačna jednadžba puta čestice je: a

x = ^ - ( l - e — ). (4.34.)

Kad vrijeme raste, član e~°* teži nuli, pa ukupni pređeni put čestice uotpomoj sredini dobiva graničnu vrijednost:

xD= limx = — . (4.35.)'-*• a

53



Kao primjer ovom gibanju razmotrimo gibanje naelektrisane čestice u

promjenljivom električnom polju. Neka čestica mase m i naelektrisanja e*

ulijeće u pravcu električnog polja koje se mijenja po zakonu:

4.53. Pravocrtno gibanje materijalne točke pođdjelovanjem sile F = F ( t )

gdje su E0 i ra konstantne veličine.Ako su početni uvjeti gibanja čestice slijedeći: za t = 0, čestica se nalazi

na rastojanju x0 i ima početnu brzinu v^, u odnosu na koordinami sustav

vezan za ploče kondenzatora, crt. 4.5. Treba odrediti brzinu i položaj naelek-

trisane čestice u proizvoljnom trenutku vremena t> 0. Na česticu djeluje

elektrostatska sila čija je ovisnost od vremena t izražena jednadžbom:

Pošto je pravac sile F uvijek isti kao i vektora E 0, a to je pravac z-ose,

onda sila F ima samo komponentu duž z-ose, pa jednađžba kretanja čestice

bit će:

E = E0 coscof. (4.36.)

F = F(t) = e E0 cosat. (4.37.)

(4.38.)

odnosno

(4.39.)

Integriranjem dobivamo:

- coso>fcfr=— -sincof + C,. (4.40.)

Ponovnim integriranjem dobivamo izraz za put:

(4.41.)

Crtež 4.5.



Koristeći početne uvjete dobit ćemo jednadžbe brzine i puta, gibanjanaelektrisane čestice u obliku:

v = — -sin<or + v0x ima>

x = - ^ t (1 - cosa t) + x0xt + x0 ma>

(4.42.)

(4.43.)

4 .6 . G EB AN JE Č E S T IC E U H O M O G E N O M

G R A V IT A C IJS K O M P O L J U

Ograničimo naža razmatranja na područje laboratorija, koje je maleno uusporedbi s veličinom Zemlje, pa možemo s dobrom točnošću uzeti da jegravitacijska sila na česticu svugdje ista po iznosu i ima isti smjer na dolje.Ubrzanje naniže zbog te sile dano je lokalnom vrijednošću ubrzanja (običnose uzima g « 9,81111/s2) pa sila na česticu iznosi mg. Tu silu pišemo vektorski

F = -m g • j , gdje su x, y i z osi odabrane kao na crt. 4.6.

Ako možemo ispustiti drage sile kao što je trenje, onđa iz dragog New-tonovog aksioma dobivamo jednadžbu gibanja:

m -i +dry - d2z

j + J J k ~ ~ mS • J (4.44.)dtl dtl ' dt2

Odgovarajuće skalame jednađžbe po komponentama dobivamo ispušta-njem jediničnih vektora:

md2x

dt2= 0,

d2yr n - r - m g . (4.45.)

55





pa će koordinate tjemena biti:v? V2

Jrr = x t sin 2a + *0’ >y = ;^-s inJ a + ;>v (4.52.)

Rastojanje D —Xj —x0 nazrva se domet kosog hica i dobiva se iz uvjeta y = y0, prema jednadžbi (4.50.) imamo,

D =2 Vq c o s2 q tgq vg sin 2a

8 g

(4.53.)

4.7. G I B A N J E N A E L E K T R IS A N E Č E S T I C E

U H O M O G E N O M E L E K T R IČ N O M P O L J U

Jednadžba gibanja za naboj q i masu m u električnom polju E , koje je

homogeno u prostoru i stalno u vremenu glasi

F = m a = q E , (4.54.)

gdje je q naboj čestice, E vektor električnog polja. Iz (4.54.) dobivamo:

- d 2r a

dt2(4.55.)

Integriranjem po vremenu i koristeći početne uvjete, za t = 0, vr = r0, dobivamo

qE , _ , = + v + r . .

= v0 '

(4.56.)

Kao primjer za gibanje nelektrisane čestice uzmimo, gibanje protona usmjeru polja, crt. 4.7. Naboj protona je +e (1 ,610'1 C). Brzinu protona mo-žemo dobiti iz relacije (4.55.) integriranjem

df_

dt — Et + v0, m

57



odnosno

Vx(') = - £ , ' + v0*m

vr = v ,= 0 .

Drugi primjcr za gibanje naclcktnsane čestice uzmimo, gibanje elektrona

brzinom v0 okomito na električno polje E , crt 4.8.

Sila koja djeluje na elektron F = - e E , odnosnoFy = - e E .

Prema jednadžbi (4.56) možemo napisati skalame jednadžbe gibanja elek-trona u jednolikom električnom polju:

* = V + X q

at2 y = -— + v<)yt + yQ.

Na osnovu drugog Newtonovog aksioma dobivamo ubrzanje elektrona

m a = —e E .U

Za pločasti kondenzator jačina polja E = — , gdje je U napon na pločamad

kondenzatora, a d. razmak između ploča, pa dobivamo vrijednost ubrzanja

eU a, = ------ .* md

Uvrštavanjem početnih uvjeta dobivamo:

* = V

58



Konačno jednadžba gibanja elektrona je dio parabole:

eU 2(4.57.)

U slučaju protona mijenja se smjer ubrzanja, a time i oblik parabole.

4.8 . GIBANJE NAEL EKTRISANE Č EST ICE

U H O M O G E N O M M A G N E T S K O M P O L J U

Jednadžba gibanja naelektrisane čestice mase m i naboja q u stalnommagnetskom polju, prema jednadžbi (4.4.) glasi

d 2r dv /_ = = <4-58)

Neka je magnetsko polje usmjereno duž osi z, (crt. 4.9). Na osnovu pravila za vektorski umnožak

Crtež 4.9.

odnosno

i j k

Vx vy Vx

Bi By B,

(4.59.)

v * B = (vyB, - v,By)J - (v,B, - v,B ,)j - (v,By - vyB,)k .

Koristeći početne uvjete B, = By = 0, dobivamo:

vyB ,l - v,B ,j = mv,i + mvyj + mv,k

pa jednadžba (4.58.) prelazi u sustav jednadžbi

v = —v B , v = — v B v = 0V , Yy U , , Vy V X ° 1 > V 3 U '

jn m(4.60.)

59



Potražimo iješenja jednadžbi gibanja (4.60.) u obliku:

vx(t) = v, sincof, vy(t) = v, coscol, v. = const. (4.61.)

To je kružno gibanje gledano u ravni xy. Budući da je

vx = cav, coso3t, vy = -<nv, sinco/

jednadžbe (4.60) postaju

cov. coso)t = v, — cosal, - oov, sintor = -v , ^ - ‘-sinco/.1 m m

Ove jednadžbe će biti zadovoljene ako je

w = 4£i. = (0e. (4.62.)m

Ovaj izraz definira ciklotrnnsku frekvenciju co,. kao frekvenciju gibanjačestice u magnetskom polju. Bilo koja vrijednost za v, zadovoljavat će jed-

nadžbe, ali ćemo vidjeti da je v, u vezi sa polumjerom kružne staze.Do ciklotronske frekvencije možemo doći i namnogo jednostavniji način.

Centripetalno ubrzanje (radijalno) u ovom primjeru potiče od magnetske sile

q v, B. koja ima smjer prema središtu vrtnje. Budući da je v, = coc r, centri-fugalno ubrzanje iznosi v f / r ili co f r . IzjednaČ avanjem centrifugalne i cen-

tripetalne siie dobivamo:

gdje je

a polumjer kružnice

Slika 4.1.

q v,B. = /7i<oc r =mcoev„

<o =m

r — 1 (4.63.)

q*,Kao primjer kretanja naelektnsane

čestice u magnetskom polju, može po-

služiti, putanja elektrona u magnets-

kom polju snimljena u laboratoriju (vo-

dikova mjehurasta komora). Elektron jc

ušao u donjem desnom kutu, slika 4.1.

On se usporava gubljenjem energije na

ionizaciju vodikovih molekula. Stoga

polumjer zakrivljenosti njegove staze u

magnetskom polju opada, pa nastaje

ovakva spirala.

6 0



4.9. SPEKTROGRAF MASA

Spektograf masa jeste mstniment koji služi za odredivanje izotopskog

sastava neke tvari. Poznato je naime, da se mnogi kemijski elementi javljaju

u nekoliko varijanti koje se međusobno razlikuju u atomskoj masi, ali imaju

isti redni broj. Te varijante se zovu izotopi. Dva izotopa istog kemijskog

elementa ne mogu se razdvojiti uobičajenim analitičkim metodama, pošto su

njihova kemijska svojstva identična. U spektografii masa izotopi se mogu

razdvojiti zbog toga što imaju različite mase. Princip rada spektrografa masa prikazan je na crtežu, crt. 4.10.

Akcelerator služi za ubrzavanje molekula date supstance (tvar). Tvar se

grijanjem na visokoj temperaturi isparava i njeni ionizirani molekuli ulaze u

homogeno električno polje pločastog kondenzatora. Ako se uzme da je početna

brzina molekula zanemariva, dobit će se da polje daje molekulama kinetičkuenergiju:

Ek

I T A Jizvormolekula

akcelerator

filter brzina

spektrografska komora

■ 61



gdje je q naelektrisanje molekula, a U razlika potencijala (napon) između

ploča kondenzatora. Brzina molekula pri iziasku iz kondenzatora iznosi:

Filter brzina ima zadatak da propusti samo one molekule koje imajutočno određenu brzinu. Brzina molekula koje izlaze iz akceleratora nije ista

za sve molekule a potrebno je da u spektrografšku komoru uđu samo one

molekule čija je brzina određena i poznata. Filtriranje se vrši pomoću homo-

genog magnetskog i homogenog elektnčnog polja, čije su liruje sila me-

đusobno okomite. Ionizirani molekuli, koji dolaze iz akceleratora, ulaze nor-

malno na električno i magnetsko polje. U svakom trenutku na jednu molekulu

djeluju dvije suprotne sile: elektnčna sila F , i magnetska sila Fm(Ft = q Ep, E„ = q y B F). , . . .. ..

Kroz filter prolaze samo one molekule za koje su ove dvije sue u ravno-

teži, F, = Fm, tj. oni koji se gibaju brzinom

Sve ostale molekule će biti skrenute i past će na ploče kondenzatora.

Spektrografska komora je glavni dio spektrografa. Sastoji se iz poluci-

lindrične komore koja se nalazi između polova magneta, magnetske indukcije

Bs . Naelektrisane čestice sa točno određenim bndnama v ulaze u komoru

kroz mali otvor. Pod djelovanjem magnetskog polja putanje čestica se savijaju

u oblik kružnice i nakon pređene jedne polovine kruga padaju na filmsku

emulziju. Sve molekule koje imaju istu masu m gibat će se po istoj kru^noj

putanji, prema (4.63.) radijus putanje

i pogodit će emulziju u istoj točki, ostavljajući trag u vidu mrlje.

Ako postoje dvije vrste molekula čije su mase m, i m2, na emulziji će

se pojaviti dvije mrlje koje su međusobno razmaknute za:

v =

mv mEe

qBs qBsBP

62



4.10. EVfPULS SELE I KOLIČ INA GIBANJA (IMPULS)

Pretpostavimo da na tijelo djeluje stalna sila F u određenom vremen-skom intervalu At; kažemo da je pritom tijelo dobilo impuls sile F At (crt.4.11.). Impuls sile je, dakle produkt sile i vremenskog intervala u kojem ta

sila djeluje. Impuls sile 7 je vektorska veličina i ima smjer sile:

I = F At. (4.64.)

Ako sila nije stalna, nego se mijenja u vremenu, tada impuls nađemotako da vremenski interval podijelimo na mnogo malenih intervala. U svakomintervalu impuls je približno jednak produktu sile i vremenskog intervala, jerse sila za tako maleni vremenski period bitno ne promijeni. Ukupni impuls

jednak je zbroju svih tih impulsa. Točnu vrijednost impulsa sile dobivamouzimanjem granične vrijeđnosti tog izraza:

(4-65>' 'i .

Impuls sile jednak je integralu sile po vremenu u kojem ta sila djeluje,odnosno, grafički, povržini ispod krivulje F(t).

Impuls sile mijenja količinu gibanja tijela na koje sila djeluje. Primjenom2. Newtonovog aksioma izvest ćemo vezu između impulsa sile i količine

gibanja na koje sila djeluje. Prema Newtonovom aksiomu sila je jednaka brzini promjene količine gibanja:

B dp d ,

F = ^ = j S mv^ (4-66-)

63



Za kratko vrijeme dt tijelo će dobiti impuls sile.

Fdt = dp

dok će u vremenskom intervalu At između t, i t2 primljeni impuls sile biti

jednak:

Relacija (4.67) daje vezu između impulsa sile i količine gibanja: impuls

sile jednak je promjeni količine gibanja tijela na koje ta sila djeluje. Ako je

tijelo u početku (prije djelovanja sile) mirovalo, tada je impuls sile jednak

dobivenoj količini gibanja. . . . .Impuls siie i količina gibanja nisu identični pojmovi. Količina gibanja

je osobina tijela koje se giba, to je produkt njegove mase i brzine, dok

je impuls sile utjecaj sile, tj. okoline na promatrano tijelo.

(4.67.)

64





• Zakoni očuvanja su invarijantni na transform acije koordinata pase najčešće primjenjuju za objašnjenje novootkrivenih prirodnih po-

java. I kad su sile potpuno poznate, zakoni očuvanja mogu nam uveliko pomoći pri iješavanju gibanja čestica. Najprije upotrijebimo odgo-varajuće zakone očuvanja, jedan po jedan, a tek nakon toga, ako jeostalo nešto neriješeno, prilazimo iješavanju diferencijalnih jednadžbi,

varijacionih postupaka, kompjutera itd. Na osnovu izloženog može se zaključiti da se mehanika može postaviti

i drugačije nego što je to učinio Newton. Postoji analitička mehanika u kojoj

osnovnu ulogu igraju fizikalne veličine energija i impuls. Takva je naprimjer

mehanika Hamiltona i Lagrangea.Poslije saznanja o ograničenosti Newtonove mehanike i prednostima ana-

litičke mehanike, koja počiva na zakonima održanja eneigije i impulsa, pitanje

je zašto se ne koristimo ovom dmgom koja je općenitija. Postoji više razloga.Pojmovi energije i impulsa su složeniji od pojmova sile i ubrzanja, a također

i matematički aparat je složeniji od aparata u Newtonovoj vektorskoj mehanici.

5.2. RAD I ENERGIJA

5.2.1. Rad sile

Pomjeranje materijalne točke po nekom pravocrtnom putu S pod djelova-njem sile F u mehanici se naziva radom. Rad sile se određuje skalamim

produktom sile i rastojanja po kome se pomjerala materijalna točka, tj.

W= F š = F s c o s ( F , š ) = F s cosa. (5-1.)

Rad je pozitivan ako sila F i rastojanje 1 zaklapaju oštar kut, a < —.

Sila ne vrši rad kada sa pomjeranjem zaklapa prav kut a ~ ~ ili ako se

čestica ne pomjera š = 0. Sila vrši negativan rad ako sa pravcem vektora

š zaklapa tup kut a > ^ , crt- 5.1.

Ukoliko je sila promjenljiva i zavisi od rastojanja F = F ( š ), a pomje-

ranje se vrši duž proizvoljne krivulje, onda se ukupni rad sile u prvoj aprok-

simaciji može izraziti kao zbroj elementamih radova učinjenih na konačnom broju pravocrtnih dijelova As,, na koje je podijeljeno pomjeranje S :

W ^ ^ A W , = £ = £ FtAš, cos[Fit AJ() , (5.2.)/-i /-i (-i

gdje je F, srednja konstantna vrijednost sile na i-tom podioku pomjeranja As„a n - broj tih podioka.

66



F,

slucaf kaVd iZT en0g rađa d0biVa Se i2->'ednadžbe (5-2) kao graničnisiucaj Kaa As,- 0 a n -> oo, pa lmamo:

w ;

n n ^ ^ !d j l i ednak '*!egralU sile F>= ^ e o s a i pomaka ds. Ako je početna i krajnja točka putanje zadana vektorima položaja r. i R rad sedennira tzrazom: 2 ’

W = F d r.

n

(5.3.)

gdje je d r = d s elementami pomak.

iBcoJCdm,Cf ^ ^ Je je^3" džuI (“ «ast engleskog fizičara P. Joule, 1818-1889), oznaka J. Prema definiciji. đefiniciji

1J = rNm = IkgmV2.

5.2.2. Energija

Energija je sposobnost vršenja rada: što tijelo ima veću energiju to iemoguće od njega dobiti veći rad. Kad tijelo vrši rad, energija mu se smmuujet obmuto: ako okolma vrši rad na tijelu, energija mu se povećava Rad lako

prelazt u energiju i obratno. Jedinica rada i energije je identična.

Postoji više oblika energije: mehanička, elektromagnetska, kemijska, ter-mtčka, nukleama ttd. Energija može prelaziti iz jednog oblika u dmgi Me-hantčka energtja pojavljuje se u dvaoblika: kinetička i potencijalna energijaKmetička energtja uzrokovana je gibanjem, a potencijalna položajem tijela '

-67



Kinetička energija. Neka sila F ubrzava tijelo na nekom putu. Izraču-najmo rad potreban za ubrzanje tijela od početne brzine v, do konačne brzi-

ne v,:

W - 1Fdš = | md š = mJ ^ v d t =mjvdv,

»i »iodnosno nakon integriranja:

W = —mVj — —mv*.2 2

Veličinu

—mv2 = Ek 2 ‘

(5.4.)

nazivamo kinetička energija tijela mase m i brzine v. Tijelu, koje je na početku

imalo kinetičku energiju Ek] = ^ - , obavljemm radom povećali smo kine-

tičku energiju na konačnu vrijednost Etl = • Promjena kinetičke energije

jednaka je, dakle, izvršenom radu:

W = Ek l- E t l =AEk . (5.5.)

Ako tijeloizvrši rzd{W< 0), kinetičkaenergijamuse smanjuje (AEk < 0),

kad se nad tijelom vrši rad (W> 0), kinetička energija mu se povećava(AEk > 0). Kad je rad jednak nuli, Irinetička energija tijela ostaje konstantna.Relacija (5.5) koja povezuje rad i promjenu kinetičke energije naziva se te-

orema o radu i kinetičkoj energiji.

Potencijalna energija. Potencijalna eneigija je sposobnost vršenja rada

zbog toga što tijelo ima osobiti položaj. Tako npr. tijelo mase m podignutona visinu h iznad Zemljine površine ima određenu potencijalnu energiju i

sposobno je, spuštajući se s te visine, izvršiti određeni rad. Slično, i nategnutaopruga ima potencijalnu energiju i, vraćajući se u položaj ravnoteže, izvrši

rad.

Gravitacijska potencijalna energija. Zamislimo česticu mase m kojase giba pod djelovanjem sile teže (crt 5.2) Rad sile teže na putu od A do B

jednak je: r

W = J Fdr = >nf(rB- rA). (5.6.)

rA

Budućidaje F = mg = -m g j i j rB = y B, j - r A = y A, dobit ćemo da jerad u polju sile teže jednak razlici dviju funkcija položaja

W =-(m gyB-m g yA). (5.7.)

68



Veličinu

Ep = mgy (5.8.)

zovemo gravitacijska potencijalna energija tijela na visini y iznad površine

Zemlje. Pri tome smo pretpostavili da je na površini Zemlje (y= 0), potenci-

jalna energija jednaka nuli, te da je sila konstantna F = m g , što je ispunjenoza visine koje su malene u usporedbi s polumjerom Zemlje.

Rad sile teže (5.7) ne ovisi o putu već samo o početnom i konačnom položaju tijela. Isti rezultat bi dobili kad bi se tijelo iz točke A do točke B

gibalo bilo kom putanjom. Tako npr. giba li se tijelo od točke A prekO C doB (crt. 5.2) rad je: _ Q

W= j F-dr = j F d r + JF d r = j F d r = -m g (y B- y K) (5.9.)

ACB AC BC AC

Dakle, dobili smo rezultat isti kao pri integriranju po krivocrtnoj putanji AB.

Sila koja ima osobinu da joj rad ne ovisi o putu već samo o početnoj ikonačnoj točki zove se konzervatfvna sila. Rad konzervativne sile po za-tvorenom putu jednak je nuli:

= (5.10.)

Kružić preko integrala označava da je put po kojem vršimo integriranjezatvoren.

Rad sile trenja, naprotiv, ovisi o putu: što je put duži, rad je veći. Radsile trenja po zatvorenom putu različit je od nule, rad je veći što je put duži.

Nekonzervativne sile, kao što je sila trenja, zovemo i disipativne sile.Rad svake konzervativne sile možemo izraziti razlikom potencijalnihenergija: ,

j F t .d r= -[E p(rB) - E p(rA)].

'A

69





vodopad

potencijaina energija tok i toplinskaenergija(toplina)

kinetička energija (tok)

H H podničje

pada vodc

Crtež 5.4.

gdje je v0 početna brzina (toka) a v konačna bizina. Kinetička energija vode

koja pada može se u hidrocentrali pretvoriti u kinetičku energiju vrtnje turbina.Inače se ona u podnožju vodopada pretvara u toplinu. Toplinska energija, jeenergija kaotičnog gibanja molekula. Interesantan primjer pretvorbe energijerazličitih vrsta jedne u drugu, dešava se pri skoku s motkom, crt. 5.5.

U položaju A (trčanje), ukupna energija skakača potječe od trčanja, to

je kinetička energija. U položaju B skakač stavlja prednji kraj motke na

podlogu i savijanjem “nabija” potencijalnu energiju u njoj, to je elastična

energija. U položaju C podiže se uvis, koristeći ukupnu energiju, koja mora

biti veća od potencijalne energije na visini postavljene letvice. Kod D skakač prelazi preko prečke, njegova kinetička energija je mala, jer se lagano giba,

a njegova potencijalna energija je velika. Pri skoku s motkom ukupna energija

nije stalna zbog trenja (vanjsko ili mišićno), a i zbog toga što skakač vrši raddok savija motku.

71



5.2.4. Potencijalno polje sila. Konzervativne sile

Ako je tijelo postavljeno u takve uvjete da je u svakoj točki prostora

podvrgnuto djelovanju drugih tijela sa silom koja se zakonomjemo mijenjaod jedne točke do druge, kaže se da se to tijelo nalazi u polju sila. Tako se,

naprimjer, tijelo u blizini površine Zemlje nalazi u polju sila gravitacije, tj.

u svakoj točki prostorana njegadjeluje sila G = m g , usmjerenapremadolje.

Za sile koje ovise samo od položaja tijela može se desiti da rad, koji

vrše nad tijelom, ne zavisi od puta, već se određuje samo početnim i konačnim

položajem tijela u prostoru. U tom slučaju polje sila se naziva potencijalnim

poijem, a same sile konzervativnim. Sile čiji rad zavisi od puta, po kojemtijelo prelazi iz jednog položaja u drugi, nazivaju se nekonzervativnim silama.

Polje centralnih sila, F = F(r) je polje kod kojeg pravac djelovanja sile

u proizvoljnoj točki prostora, prolazi bo z neki centar, a veličina sile zavisisamo od rastojanja od tog centra. Polje sila gravitacije, elektrostatskih sila:

su primjeri centralnog polja sila.Rad konzervativnih sila na bilo kojem zatvorenom putu jednak je nuli.

Razložimo, zatvoren put po kojem se

giba tijelo, koje se nalazi u potencijalnom

polju sile, na dva dijela: put A po kojem

tijek) prelazi iz točke 1 u točku 2, i put B

po kojem tijelo prelazi iz točke 2 u točku1, pri čemu su točke 1 i 2 izabrane potpuno

proizvoljno, crt. 5.6. Rad na čitavom za-

tvorenom putu bit će jednak sumi radova

koji se vrše na svakom od dijelova.

+ b- (5-M.)

Jednostavno je pokazad da je rad, koji se vrši na bilo kojem putu, naprimjer na putu B, pri prelaženju tijela po njemu iz točke 1 u točku 2 jednakradu, sa obmutim predznakom, koji se vrši na istom tom putu pri obratnom

prelaženju iz točke 2 u točku 1. Promatrajmo dio putanje A J . Pošto u po-

tencijalnom polju sila F ovisi samo od položaja tijcla u prostom i ne zavisiod stanja gibanja tijela (posebno od smjera gibanja), elementami rad na putu

A š pri gibanju u jednom pravcu jednak je AW = F A š , a pri gibanju u

dmgom pravcu on je jednak AW‘ = F A s '. S obzirom da je As' = - A š ,

tada je i AW' = -A W. To je ispravno za svaki elementami dio puta, a prematome i za rad na čitavom putu, te je

(^2 . ) b = - ( ^ J b . (5.15.)

72



Koristeći se dobivenim rezultatom, jednadžba (5.14) može se napisati uslijedećem obliku:

^ T O a - T O b- (5.16.)

Međutim, u potencijalnom polju sila, rad ne ovisi od puta, tj.

( w \ i >a = (^ i2)B- Prema tome izraz (5.16) jednak je nuli, što je i trebalo do-kazati. Prema tome, potencijalno polje sila može se definirati kao polje onakvih

sila čiji je rad na svakom zatvorenom putu jednak nuli. Tada na jednimdijelovima zatvorenog puta sile vrše pozitivan rad, a na drugim dijelovima -negativan.

Dokazat ćemo da je i polje gravitacionihsila potencijalno, crtež 5.7.

W = y ^ -A? = F ^ A j 'c o s a = F ' J ' &h.

Pošto je F = G = mg, i g(A, - h , )

dobivamo

W = mg(hx- h j . (5.17.)

Izraz (5.17) očito ne ovisi od puta, slijeditencijalno. da je gravitacijsko polje po-

5.2.5. Rad sila u gravitacijskom polju.Centralno polje sUa

Gravitaciono polje sila je centralno polje. To je polje karakteristično po

tome da pravac sile, koja djeluje u bilo kojoj točki prostora, prolazi kroz nekicentar, a veličina sile ovisi samo od rastojanja do tog centra F = F{r). Gravi-taciona sila ima oblik

F = - y » F 0.r

Elementami rad dW, koji izvrši gravitacijska sila pri pomjeranju tijela

mase m2 za rastojanje d s jednaka je (crt. 5.8):

dW = F dš = - y ^ ^ d r ,

gdje f„ d š =dr. Integriranjem od r, do r2 dobivamo:



Iz jeđnadžbe (5.18) vidimo da je za

r2 > r,, rad negativan. Promjena potencijalne energijc sistema jednaka je negativnoj

vrijednosti rada kojeg vrši gravitacijska sila

pri premještanju tijela

V rh V r )i r, r2

Obično se uzima da je r2 -*■», tada Ep(x>) = 0, pa potencijalna energija

tijela mase m2 je:

(5.19.)

h

*„ = - y « p r

Razmotrimo tri specijalna slučaja, crt. 5.8, za tri različite ukupne energije

£ _ £ + E . Ovi slučajevi su interesantni kod izbacivanja vještačkog satelita

sa Zemlje. Nakon što dostigne maksimalnu visinu h satelit dobiva početnu

brzinu v0. Ukupna energija satelita je tada

E =mM

R^+h '

74



U slučaju E< 0, putanja po kojoj će se kretati satelit, je elipsa u čijem

sejednom fokusu nalazi Zemlja. Satelit u ovom slučaju pada na Zemlju. Uvjetda bi se satelit kretao po paraboli je E = 0, odnosno kinetička energija satelitamora biti jednaka potencijalnoj energiji. Da bi se satelit kretao po hiperboli,tj. oslobodio Zemljine teže, potreban uvjet je, da kinetička energija satelita

bude veća od potencijalne energije, odnosno E> 0.

5.2.6. Rad elektrostatske sile

Elektrostatska sila je također centralna sila. To znači da rad ne ovisi o

putu, nego o krajnjem i početnom položaju tijela. Sila međudjelovanja između

dva istoimena (pozitivna naboja), crt. 5.10 je:

Elementami rad dW, kojeg vrši elektro-statska sila pri pomjeranju naboja qt za rasto-

janje dr

dW = F - d f = k ^ - d r , r

jer su F i r0 kolineami. Integracijom ođ r, do r 2 dobivamo

W = ] k ^ - d r = - k ^ r i, J r r r,

?2

Crtež 5.10.

odnosno

W = -k q & i . l l , A r. J

A E,

gdje je E potencijalna energija elektrostatskog međudjelovanja naboja qx i q2

E „ = -k (5.20.)

5.2.7. Veza između potencijalne energije i sile

Svakoj točki potencijalnog polja odgovara, s jedne strane, neka vrijednostvektora sile F koja djeluje na tijelo, a s druge strane, neka vrijednost poten-cijalne energije tijela E^ Prema tome, između sile i potencijalne energije mora

postojati neka veza. Za utvrđivanje te veze izračunat ćemo elementami rad AW koji sila polja pri malom pomjeranju tijela As, vrši duž proizvoljno iza-

. 75



Crtež 5.11.

branog pravca u prostoru, crt. 5.11. Taj rad

je jednak AW = F, As, gdje je F, projekcija

sile F na pravac s.Pošto se u danom slučaju rad vrši na

račun smanjenja potencijalne energije -AE^,

na djelu ose s, imamo:

Kako je AW = F,As, dobivamo:

A E .F = —

As(5.21.)

lzraz (5.21.) daje srednju vrijednost F, na odsječku As. Da bismo dobili

vrijednost F, u danoj točki, potrebno je izvesti granični prijelaz tj.

= (5.22.)Ar -*0 As 8s

Izraz (5.22) točan je za svaki pravac u prostoru, posebno za pravac

Descartesovih koordinata x, y i z, pa je.8E d

F*~~ dx

F (5.23.) y dy

8E d

F;~ ~ dz ‘

Izrazi (5.23) određuju projekcije vektora sile na koordinatne ose. ^ko

su poznate te projekcije, može se odrediti i sam vektor sile.

_ [ 8 E d - 8 E d - 8EdT

U matematici se vektor

(5.24.)

, 8 a - d a - d a -grnda= — i + — 7 + — « .

clr dy dz

gdje je a skalama funkcija od x, y, z, naziva gradi-

jent tog skalara i označava se simbolom grad a iliVa (nabla). Prema tome, sila je jednaka gradijentu

potencijalne energjje, sa suprotnim znakom:

F = - grad Er (5.25.)

76



Kao primjer uzmimo gravitaciono polje sile. Osu z usmjerimo premagore. Pri takvom izboru osa potencijalna energija će imati oblik.

Ep = mgz + const.

Projekcije sile na zadane ose su:

Fx = Fy = 0, F. = —mg.

Prema (5.24) dobivamo da je sila F = -m gk .

5.3. ZAKON OČ UVANJA IMPULSA

Produkt mase čestice i njene brzine naziva se impuls ili količina gibanjačestice

p = m v . (5.26.)

Ako se impuls čestice mijenja u toku vremena, to znači da postoji dje-lovanje neke sile, koja prema drugom Newtonovom aksiomu glasi:

dp d(mv) -

i = V = F - (5-27)

Gomja jeđnadžba izražava najopćenitiji slučaj drugog Nevvtonovog ak-sioma i u tom obliku važi ne samo za klasičnu nego i za relativističku me-haniku, i zove se zakon promjene bnpuisa. Prvi Nevvtonov aksiom izražavasvojstvo svih tijela da u odsustvu sila zadižavaju konstantnu vrijednost brzine,odnosno, impulsa, je r je m = const. (u kiasičnoj fizici), tj.

p = mv =const. (5.28.)

Ovo svojstvo predstavlja specijalan slučaj jednogopćegfizikalnog za-kona o održanju količine gibanja. Za to nam može poslužiti slijedeći pokus:

neka međudjeluju đvije kuglice masa mx i m2 preko sabijene opruge koju utom stanju održava konac, crt. 5.13.Ukoliko u jednom trenutku prekinemo

konac, kuglice će se razletjeti. Uzajamnodjelovanje kuglica karakterizirano j e trećim

Newtonovim aksiomom:

m, —njouotn—

Citcž 5.13.

m2

Fx=-F2

ili

1dt

dv,

+M2- ^ = ° . (5.29.)

77



S obzirom da su /n, i m2 konstantne veličine, jednadžba se može napisati

u oblikui V ^ ) = 0

dt

(5.30.)

Dakle, promjena impulsa ili količine gibanja u toku vremena za sistem

m x i m2 jednaka je nuli, pa se može pisati:m,v, + mjVj = P \+ P i~ const. (5.31.)

Odnosno, impuls sistema m, i m2 ne može se promijeniti pod djelovanjemsiianiihovoguzajamnog djelovanja. Ovaj zaključakmožeseprošmh naizoli-rani sistem od proizvoljnog broja čestica. Ukupna količma gibanja zatvorenogsistema je konstantna bez obzira kakvi se procesi i međudjelovanje događajuu sistemu. To je zakon o očuvanju količine gibanja, jedan od najvažmjih

zakona u fizici. Možemo ga napisati i u matematičkom obliku:

= p x + P i + . ..+ p „ = m,V| +m2v2+...+m„v„

A ^ “ Z " W sscoB8L ( l3 2 )i

Ovaj je zakon direkma posljedica Newtonovih aksioma. Drugi Newtonov

aksiom za sistem čestica glasi:

“ d t ' l

gdje je F„ rezultanta svih sila koje djeluji na sistem, a pu ukupna količinagibanja sistema. Ako je sistem izoliran, nema vanjskih sila, budući da seunutrašnje sile prema trećem Newtonovom aksiomu poništavaju, to za izolyam

sistem F„ = 0.

5.4. SUDARI TIJELA

Na osnovu zakona očuvanja energije i impulsa mogu se proučavati fizi-

kalne pojave kod kojih su nepoznate bilo priroda i intenzitet sila bilo samointenzitet sila koje djeluju u ovim pojavama. Takve pojave su sudari tijela.Sudar dvaju tijela može biti elastičan, djelomično elastičan i neelastičan. Sudar

je savršeno elastičan kada nema gubitka energije, već je ukupna kinetičkaenergija očuvana. Da bi sudar dvaju tijela bio savršeno elastičan, ta tijelamoraju biti savršeno kruta (da ne dožive nikakvu deformaciju) ili idealnoelastična, tako da nema rada unutamjih sila. Dvije čelične kuglice ili kuglice

78



od slonove kosti sudaraju se približno elastično. Pravi savršeno elastični sudaridogađaju se samo među atomima i nukleamim česticama, dakle u mikrosvi-

jetu. Pn savršeno neelastičnom sudaru tijela se nakon sudara deformiraju,spoje zajedno i nastave gibanje kao jedno tijelo; tu se jedan dio kinetičkeenergije izgubi i pretvori u dntge oblike energije. Većina makroskopskihsudara su lzmeđu ova dva ekstremna shičaja, dakle djelomično elastični.

5.4.1. Savršeno elastičan sudar

Promatrajmo centralni savršeno elastičan sudar dvije kugiice tj sudar pn kojem brzine jedne i druge kuglice leže na istom pravcu nošiocu koii proiazi središtem obiju kugli. Dvije kugle (ili dvije čestice), imaju brzine

v, i v2 sudaraju se elastično l, nakon sudara, imaju brzine «, i 5, (crt. 5.14.).Ovaj sistem je izoliran za vrijeme čitavog procesa, na kuglice ne djelujuvanjske sile (odnosno zbroj vanjskih sila je nula) i, žbog toga, vrijedi zakonočuvanja kohčine gibanja:

m,v, + m2Vj = m, 5, + m25 j . (5.33.)

prije sudara

- * 0tn | m-i

poslije sudara

Crtež 5.14.

Budući da je sudar savršeno elastičan, ukupna je kinetička energija prijei poslije sudara ista:

M + = + f53.2 2 2 2 ‘ 1 }

Napišimo jednadžbu (5.34) na drugi način, dobivamo:

odnosno'"i (V|2 ~ “j2) = -m^ (v2 - ilj2),

m\ - “i )(v ,+5 ,) = -m 2(v2- u2)(v2 + u2).

Napišimo jednadžbu (5.33) u obliku

(5.35.)

m ,(v|-«,) = -m2(v2- « 2) (5.36.)

te desnu stranu jednadžbe (5.36) uvrstimo u (5.35) dobivamo:

(v, - 5 , X v,+ 5 i - v2- ^ ) = 0 . (5.37.)

79

i

I

P



Budući da su pri centralnom sudaru brzine kolineami vektori, uvjet (5.37.) je ispunjen samo ako je jedan od faktora jednak nuli. Ako je prvi faktor u

(5.37.) jednak nuli, brzine se nisu mijenjale te se ni sudar nije dogodio; zatotaj slučaj ne uzimamo u obzir. Dakle drugi faktor mora iščeznuti, što daje;

v , -v j (5.38.)

Relativna brzina primicanja kugli prije sudara jednaka je po iznosu, asuprotna po smjeru relativnoj brzini odmicanja kugli poslije sudara. Relativne

brzine promijenile su samo smjer, a ne iznos. Iz jednadžbi (5.37.) i (5.38.)

možemo izračunati brzine poslije sudara 5, i :

(539)

m, +/nj

(m^-m ,)v2+2m,v,Uj---------------------------m, +mj

(5.40.)

Posebni slučajevi:

1. m, = m2 = m. U slučaju jednakih masa 5, = v2 i j^= v ,, q". čestice

jednostavno izmijene bizine. Ako dniga kugla miruje (v2 = 0), tada je u, = 0,

a £j = v,; poslije sudara prva kugla sc zaustavi, dok druga odleti brzinom koju

je imala prva kugla prije sudara.

2. m, < m2; v2 = 0. Savršeno elastična kugla mase m, i brzine v, udarau vrlo veliku kuglu ili savršeno elastičan zid. Iz (5.39.) dobivamo u, = -v ,,

tj. kugla se odbija jednakom btzinom kojom je došla. Zid pri tome dobivaimpuls sile 2m, v ,; naprotiv zid ne dobiva nikakvu energiju je r kugla prilikomsudara ne mijenja energiju.

3. m, » m2 i v2 = 0. Iz (5.39.) i (5.40.) slijedi u, » v, i * 2 v,. Kadavrlo velika kugla udari kuglicu koja miruje, bizina joj se virlo malo promijenidok lagana kuglica odleti bizinom koja je dva puta veća od bizine upldne

kugle.

Predana energija p ri centralnom elastičnom sudaru dva tijela (v2 = 0).

Na osnovu jednadžbi (5.39.) i (5.40.), za slučaj da je v2 = 0, može se izračunati

energija koju tijelo m, preda tijelu m2 pri udaru. Predana energija iznosi:

A£ = £,-£,', (5.41.)

gdje je E, prije sudara i EJ energija tijela mase m, poslije sudara. Da bismo

izračunali energiju E[ obra2aijemo

K

3(5.42.)

80



Koristeći se jeđnadžbom (5.39.), gomju jednadžbu možemo dobiti u obliku:

(5-43)

(5.44.)

Zamjenom (5.43.) u (5.41.) dobivamo:

AE = _ 4W|W2 ,.e

(m, +OTj)2

Predana energija pri sudaru dva tijela imat će maksimalnu vrijednostkadaje m, = m ,, iznost prema (5.44.) A£ = £,. pri gomjim uvjetima sudara,

tijelo koje se kreće brzinom v, predaje cjelokupnu energiju tijelu koje ima jednaku masu a pnje sudara nalazilo se u miru.

5.4.2. Savršeno neelastičan sudar

... neelastičnom sudaru kugle se nakon sudara deformiraiusltjepe i gibaju zajedno brzinom «, = £4 = £7. Pri ovom sudam kinetičkaenergija mje održana, jedan dio se utroši na deformaciju kugla, odnosno za-

gnjavanje (promjena unutrašnje energije).Pomoću zakona o očuvanju količine gibanja odredit ćemo brzinu nakon

sudara:

W|V, + m v2 = (m, + m û

m, -t-ffij

Kinetička energija se smanjuje prilikom neelastičnog sudara. Ukupnakmetička eneigija poslije sudara:

2 2(ml +nh)Kinetička energija prije sudara

(5.45.)

(5.46.)

Razltka kinetičldh energija daje gubitak mehaničke energije:

Ek v,-v2)2.2 m, -v/Mj ' 1 21

(5.47.)

81



Posebni slučajevi: j

1. m, = m2 = m, slijeđi da je u = -(v, + v2) . Ako je dniga kugla prije

sudara na miru, tada, nakon sudara, obje kugle nastave gibanje brzinom

u = î-. Ako je, v, = - v 2 tada nakon sudara, obje kugle stanu, u, = u2 = 0.

2. m{•* m2, v2 = 0, slijedi daje i u = 0. Kad kugla od blata padne natlo, tu i ostane.

5.5. ZAKON OČ UVANJA MOMENTA KOLIČ INEGIBANJA

5.5.1. Kruto tijeloAko promatramo djelovanje sile na neko čvrsto tijelo, možemo uočiti

dva učinka: promjenu oblika tijela (deformaciju) i gibanje tijela. Ako je de-

formacija nekog tijela izazvana vanjskom silom tako malena prema dimenzijama tijela da je možemo zanemariti, tj. ako tijelo pod utjecajem sile nemijenja oblik, kažemo da je tijelo kruto. Možemo zamisliti da se kruto

tijelo sastoji od mnogo pojedinačnih materijalnih točaka čiji međusobni raz-

maci ostaju uvijek isti. Naravno, kiuto tijelo je idealizirani model; u prirodiimamo čvrsta tijela koja se, više ili manje, približavaju modelu krutog tijela.

Može se pokazati da se općenito gibanje krutog tijela može sastaviti od

translacije tog tijela brzinom kojom se giba neka njegova točka O (npr. centarmase) i rotacije oko osi koja prolazi kroz tu točku. Pri tom brzina translacijezavisi o izboru točke O, dok kutna brzina rotacije ne zavisi o izabranoj točki.

5.5.2. Moment sile

Pokusi pokazuju da kruto tijelo pod utjecajem sila može pored transla-

cijskog gibanja izvoditi i rotaciju oko neke točke. Utjecaj sile na rotaciju

opisuje se njenim momentom. Kad tijelo rotira, svaka njegova točka opisuje

kružno gibanje. Defmirajmo stoga moment sile. Neka materijalna točka kruži

oko točke O po kružnici polumjera r. Ako je kruženje ubrzano, na točku

djeluje sila koja ima radijainu komponentu Fr=ma>2r i tangencijalnu komponentu F, - ma, = mra (crt. 5.13.).

Pomnožimo jednadžbu

F, = Fsm<f> = mra

82



r

sr,

dobivamo:rFsintp = mr 2 a (5.48.)

što se može napisati pomoću vektorskog produkta:

r x F = mr2a . (5.49.)

a

C j

Crtež 5.15.

Lijevu stranu jednadžbe (5.49.) definiramo kao moment sile M :

M = r x F (5.50.)

a veličinu mr 2 kao moment tromosti (inercije) materijalne točke:

I ^ m r 2. (5.51.)

Tako jednadžba (5.49.) prelazi u

M = I a . (5.52.)

Ova jednadžba ima sličnu ulogu pri kruženju kao drugi Nevvtonov aksiomF = m a pri translaciji: pritom je sila analogna momentu sile, masa momentu

inercije, a akceleracija kutnoj akceleraciji. Ova razmatranja možemo proširitina kruto tijelo, gdje se moment inercije krutog tijela definira izrazom:

/ = Jr2dm . (5.53.)

Ako na neko tijelo djeluje više sila u različitim točkama, onda tijelomože da vrši samo translaciju ili samo rotaciju ili bilo kakvo drugo gibanje

koje može da se predoči kao translacija i rotacija. Kod materijalne točke

nismo uztmali u obzir mogućnost rotacije zbog zanemarivih dimenzija točke.Uvjet ravnoteže materijalne točke je da zbroj svih sila koje na nju djeiuju

bude jednak nuli

= (5.54.)

• 83

>



Kad sila Ft djeluje na kruto tijelo, neophodno je razmotriti ravnotežno

stanje i u odnosu na rotaciju. Naime, ovdje pored uvjeta (5.54.) koji predstavlja

uvjet za ravnotežu za translaciju, postoji i dodatni uvjet ravnoteže za rotaciju

Relacije (5.54.) i (5.55.) su osnovi predmeta statika, kojeg studenti teh-

ničkih fakulteta izučavaju detaljno u toku studija pa su ovdje samo spomenuti.

5.5.3. Moment količine gibanja

Ono što sila predstavlja za translaciju, to moment sile znači za rotaciju.Č esto smo se do sada uvjerili da postoji anaiogija među veličinama i zakonimau translaciji i rotaciji. Veličina analogna količini gibanja je moment količine

gibanja.

Najprije ćemo definirati moment količine gibanja materijalne točke (čes-

tice) koja se giba po kružnici polumjera r (npr. elektron oko jezgre). Takav

moment količine gibanja često se zove orbitalni, jer se odnosi na orbitalno

gibanje čestice. Moment količine gibanja L materijalne točke mase m i koli-

čine gibanja p = mv s obzirom na referentnu točku 0 (npr. središte kružnice

na crt. 5.16.) definira se kao vektorski produkt radijus vektora r i količine

gibanja:

Smjer momenta količine gibanja određujemo kao i smjer svakog vektor-skog produkta pomoću pravila desne ruke. Smjer L je isti kao smjer čd .

Jedinica momenta količine gibanja je kgm V 1. Iz jednadžbe M = la možemo

(5.55.)

Crtež 5.16.

L = r x p = r x m v . (5.56.)

84



izvesti još jedan izraz za moment količine gibanja materijalne točke koja segiba po kružnici.

Uvržtavanjem u (5.52.) poznatih relacija a = — , I = mr2 i co=— ,dobivamo: r

M = Ia = I — = dt

Iz gomjeg izraza dobivamo:

L =I&

dok je jednadžba gibanja

(5.57.)

dL

dt (5.58.)

Ova razmatranja za materijalnu točku mogu se proširiti i na kmto tijelokoje rotira oko nepomične ose. Ovaj zakon izveden za materijalnu točku,vrijedi za svaku točku sistema materijalnih točaka ili krutog tijela,

5.5.4. Zakon o očuvanju momenta količine gibanja

Ako je vektorski zbroj momenata svih vanjskih sila s obzirom na nekutočku jednak nuli, tada je ukupni moment količine gibanja sistema (krutogtijela) za tu istu točku konstantan i po smjeru i iznosu. Iz relacije (5.59) uzuvjet da je M = 0 slijedi:

M = =0 => L = co nst. (5.60.)dt

Unutrašnje sile u sistemu ne mogu promijeniti moment količine gibanja.

Možemo, također, reći: u zatvorenom sistemu moment količine gibanja jesačuvan. Vrti li se mehanički sistem oko čvrste osi z, tada je moment količinegibanja u smjeru osi z:

Lz = I: (o. (5.61.)

Ako je sistem izoliran tako da je komponenta ukupnog momenta vanjskih

sila u smjeru osi z jednaka nuli, tada je:

Lz = Iz (o = const.

85



Ako je /2= const. (kruto tijelo), iz (5.61.) slijedi da je i © = const., tj. da

kruto tijelo rotira oko čvrste osi stalnom kutnom bizinom. Naprotiv, ako se/ mijenja za vrijeme vrtnje (npr. udaljavanjem pojedinih točaka sistema od

osi rotacije), tada se i co mijenja tako da bi Tto bilo konstantno. UnutraSnje

sile mogu dakle mijenjati kutnu brzinu rotirajućeg sistema premda, pri tom,

Lz ostaje konstantan.Pokusima na Prandtlovom stoliću možemo lijepo ilustrirati ovaj zakon.

To je stolić koji se može zavrtjeti na kugličnim ležajevima oko vertikalneose. Č ovjek koji sjedi na stoliću može se zavrtjeti oko vertikalne osi akorakom rotira kotač od bicikla, kao što je prikazano na crt. 5.17. Pritom senastali moment količine gibanja kotača poništi s momentom količine gibanjasistema, te je stalno ukupni moment količine gibanja nula.

a) b) c)

Crtež 5.17.

Na crt. 5.17 b. i c. prikazan je na stoliću čovjek koji ima utege u rukamada bi povećao masu raku. Ako se vrti s rakama priljubljenim uz tijelo paruke naglo ispruži, kutna brzina mu se mijenja, u ovom slučaju smanji. Ako

je /, moment inercije čovjeka s utezima priljubljenim uz tijelo, a I2 momentinercije čovjeka s utezima kad su rake ispružene, tada možemo na osnovu(5.61.) pisati:

/,co, = /2co2 (5.62.)

tadaje zbo g/, </**>, > cd 2. Akrobati, plesači, klizači na ledu i sl. često koristeovaj zakon o očuvanju ukupnog momenta količine gibanja. Tako, npr. klizačna ledu skupljajući rake smanjuje svoj moment inercije i time povećava brzinuvrtnje (piraeta). Kad se želi zaustaviti, širenjem ruka povećava I i tako sma-

njuje CD.

Zakon očuvanja momenta količine gibanja naročito ima važnu ulogu u proučavanju atoma i molekula, te ćemo ga koristiti u proučavanju strakture

atoma.

86



5.6. SNAGA

Snaga je brzina vršenja rada ili brzina prijenosa energije:

PdW

dt (5.63.)

Budući da je dW = F

P . . . . , ___ ,dt dt

Snaga je skalami produkt sile i trenutne brzine. To je skalama veličina.

Jedinica za snagu je 1W = 1 Js'1.

d s , to izraz za snagu možemo pisati:

Fdš - ds - _

87



6. TITRANJE (OSCILACIJE)

Titranje (osciliranje) predstavlja vrstu gibanja ili promjenu fizičkog pro-

cesa koji se odlikuje određenim stupnjem ponavljanja. U zavisnosti od prirode

fizičkog procesa koji se ponavlja, titranja dijelimo na: mehanička (njihalo,

treperenje žice kod muzičkog instrumenta itd.), elektromagnetska (naizmje-

nična strnja, clektromagnetski valovi i dr.) i elektromehanička (osciltranje

atoma čvistog tijela oko ravnotežnog položaja u kristalnoj rešetki i dr.). U

zavisnosti od karaktera djelovanja, koje se vrši na oscilatomi sistem, razlikujemo: slobodno titranje , prigušeno ti tranje i prisilno dtranje.

Slobodno titranje nastaje u sistemu koji je, nakon početnog vanjskogdjelovanja, prepušten samom sebi (npr. elastična opruga ili klatno izvedenoiz ravnotežnog položaja). Pri ovome svaki oscilator ima svoju vlastitu frekven-ciju. T itranja kod kojih se veličina koja oscilira mijenja po zakonu sinusaili kosinusa u funkdji vremena nazivaju se harmonična titranja (osci-

lacije). Titranja u prirodi su veoma bliska harmoničnim titranjima, ili mogu

biti predstavljena superpozicijom harmoničnih titranja.

6.1. HARMONIČ NO TITRANJE

Promatrajmo sistem koji se sastoji od kuglice mase m koja je obješenana elastičnu oprugu. U stanju ravnoteže sila, silu težine mg uravnotežuje

elastična sila kAl0 (Hookeov zakon):mg-kčdo, (6.1.)

gdje je k pozitivna konstanta, a AI 0 izđuženje.Pomjerimo kuglicu iz položaja ravnoteže na rastojanje x, tada će pro-

duženje opruge biti jednako Al0 + x, pa rezultirajuća sila projicirana na osu

x ima vrijednost:

F = m g - k(Al0 + x). (6.2.)Uzimajući u obzir uvjet ravnoteže (6.1) dobit ćemo da je:

F=-kx . (6.3.)

88



X

O

X

Citež 6.1.

Predznak (-) u fonnuli (6.3.) izražava činjenicu da pomjeranje i silaimaju suprotne smjerove. Sila F ima osobine:

• proporcionalna je pomjeranju kuglice iz položaja ravnoteže i• uvijek je usmjerena prema položaju ravnoteže.

U ovom slučaju sila je po prirodi elastična, međutim za sile koje se ponašaju po istoj zakonitosti kažemo da su kvazielastične. Da bismo pomjerilikuglicu za vrijednost x moramo izvršiti rad protiv kvazielastične sile:

Ovaj rad se manifestira u viđu potencijalne energije sistema. Prema tome,sistem u kojem djeluje kvazielastična sila, pri pomjeranju iz ravnotežnog položaja na rastojanje x dobiva potencijalnu energiju:

Izvršimo pomjeranje kuglice za x = A i pustimo sistem da oscilira. Pod

djelovanjem sile F = ~kx, kuglica će se kretati prema položaju ravnoteže brzi-

Pri ovome će se smanjivati potencijalna energija sistema a javljat će sekinetička energija (masu opruge zanemarujemo).

Došavši u položaj ravnoteže kuglica nastavlja kretanje po inerciji. Ovokretanje će biti usporeno i prestat će onda kad se kinetička energija u potpunosti pretvori u potencijalnu, tj. kad pomjeranje bude jednako -A . Ako u

nom:

dx

dt (6.5.)

89



sistemu nema trenja, energija sistema mora bitiočuvana, i kuglica će se kretati neograničeno

dugo u granicama od A do —A.

Jednadžba gibanja za kuglicu, prema II

Newtonovom aksiomu' ima oblik:

=-fcx. (6 .6 .)dt 12

Napižimo ovu jednadžbu u drugom ob-

liku:

d2x k — r - + — x=0 .dt2 m

(6.7.)

Koeficijent uz x je pozitivan broj pa ga možemo napisati u obliku:

2 *m

(6.8.)

gdje je (o realan broj čije ćemo fizikalno značenje vidjeti kasnije. Jednadžba

(6.7.) može se napisati u obliku:

d2x

dt 2+ e>2x = 0 . (6.9.)

Znači, gibanje kuglice pod djelovanjem sile oblika -fcc izražava se linear-nom homogenom diferencijalnom jednadžbom drugog reda. Može se vidjeti

da tješenje jednadžbe (6.9.) ima oblik2:

ili

x = y4cos(o>t + <p)

x = /4sin(to/ + q / ) ; <p' = 9 +n

2 ’

(6.10.)

gdje su A i <p proizvoljne konstante.

Vidimo da gibanje sistema, koji se nalazi pod djelovanjem sile oblika

F = -kx, predstavlja harmonično gibanje.

Veličina najvećeg otklona od ravnotežnog položaja naziva se amplitudatitranja, crtež 6.3. VeliČ ina (coM-<p) naziva se faza titranja (osciliranja). Kon-stanta <p predstavlja vrijednost faze u trenutku / = 0 i zove se početna faza

titranja.

1 F ~ m-a = m(d2x/dt2).

2 Uvritavanjcm (d 2xldt2) - -X<o2cos(toHip) i rclacije (6.10.) u (6.9.) dobivanra:-X<o2cos(<o/+<p) + yt<o2cos(<o/-Hp) = 0, tj. jcdnađžba (6.10.) je deienje jeđnadžbe (6.9.) u svakomtreoutku vremena t.

90



r

™ P?št° J* kosmus periodična funkcija s periodom 2 j c , različita stania siste

harmom$no t,trar,je>Ponavljaju se za interval vremena T a koii

ir J S s s ^ * 2n■o* ‘“^ ™ 1™2iv' - ■—

odakle je,[£»(/ + 7) + cp] = [cor + <p] + 2?t

2nT =

co (6.11.)

Broj titranja u jedinici vremena naziva se frekvenciia titrania f Vezalzmeđu frekvencije i perioda titranja je: J

f -L j ~ t : (6 .12.)

” “ ™ ciju j ' 1 H l « - * * “ ■»

2n(0 » — .

T

k m ^ r J T 6- ? pređstav,j a br°j osctlacija za 2 jc sekundi, i naziva sekružna frekvencija. Veza između frekvencije i kružne frekvencije je:

(6.13.)

Diferencirajmopo vremenu jednadžbu (6 .10.) dobit ćemo izraz zabrzinu:

(6.14.)

dxV~~ČH = ~^® sin(mr+ <p) cos(©/ + (p + —).

Vidimo da se i brzina mijenja po harmoničnom zakonu pri Čemu ie

S l d e n V r ^ ^ - ^ d0bit ćemo j o S jedanput^zvrsimo aenviranje po vremenu: p

91



a - LL?L = -AaJ cos(cor + q>). (6.15.)dt

Znači da se ubrzanje i pomjeranje nalaze u protiv fazi. Svako oscilatomokretanje može se karakterizirati određenim vrijednostima amplitude A i po-

četne faze q>. Ove vrijednosti mogu se odrediti iz početnih uvjeta. U momentu

t = 0 jednadžbe (6.10.) i (6.14.) glase: x0 = A coscp;

v0 = -^co sintp.

Iz ovih relacija možemo izračunati amplitudu A i početnu fazu <p

A = J.Jx0+-4-(O (6.16.)

*89 = ©xn

Grafički prikaz pomjeranja x, brzine v i ubrzanja a, kod harmoničnog

92



6.2. ENERGIJA HARMONIČ NOG TITRANJA

Kvazielastična sila je konzervativna', pa je ukupna energija harmoničnogtitranja konstantna. U procesu titranja đolazi do pretvorbe kinetičke energije

u potencijalnu i obratno. Maksimalna potencijalna energija se dobije kada sesistem nalazi na najvećem otklonu od ravnotežnog položaja:

kA2(6 .I7.)

U momentu prolaska kroz ravnotežni položaj sistem ima maksimalnu

brzinu, tj. maksimalnu kinetičku energiju,

mv_ E = (Et ) = -

' * 'mx ^mA2io2

(6.18.)

Može se pokazati da su izrazi (6.17.) i (6.18.) jednaki jedan drugom, prema (6.8). Promatrajmo kako se mijenjaju kinetička i potencijalna enereiias vremenom:

mv mA2id .2 „ 2

■sin 2(co/ + cp)

„ kx2 kA2 2, . Ep = ~ = ~ c o s > / + <p).

(6.19.)

Zbrajanjem ova dva izraza, dobivamo da je ukupna energija harmoničnogtitranja konstantna:

E = Ep + Et = ^ =kA2 mA2m2

p ‘ 2 2( 6.20.)

Koristeći poznate trigonometrijske formule možemo izraze za Et i E napisati na slijedeći način: P

Ep = E cos 2(cor + cp) = e \ ~+ | c o s 2 ( co / + <p)

Et = £ s i n 2 (co/ + <p)= £ ^ i - ic o s 2 ( c o f + <p) .

( 6.21.)

Vidimo da se Et i Ep mijenjaju s fiekvencijom 2co. Srednja vrijednostkvadrata sinusa i kosinusa jednaka je jednoj polovici. Prema tome, srednjavrijednost Et podudara se sa srednjom vrijednošću Ep i jednaka je £72.

I Ako rađ sile. i»t pomjeranju materijalne tačke, ne ovisi od veliCine i oblika puta nego sarao od podemog . krajnjeg potožaja, takve s.le naavamo konzervativnim. Ako su sile koje djeluju natijelo konzeivativne. tađa je ukupna mehanička energija konstantna.

93



63. HARMONIČ NI OSCILATOR

Sistem opisan jednadžbom:

^ W = 0, (6.22.)dr

gdje je (D2 konstantna pozitivna veličina, naziva se h a r m o n i č n i osciiator.

Kao što je poznato, rješenje jednadžbe (6.22.) ima oblik:

x - A cos(cat + (p). (6.23.)

Prema tome, harmonični oscilatorpredstavlja sistem koji vrši haimonična

titranja oko položaja ravnoteže. Obično u teorijskoj fizici količinu kretanjanazivamo impuls i označit ćemo ga sa p. Izračunajmo impuls harmoničnog

oscilatora:A.

p = m • v = - A (0 C0S(©/ + (p).-m (6.24.)

94



U svakom slučaju oscilator pored otklona x, ima još jednu karakterističnuvrijednost, p. NapiŠimo gomje jednadžbe (6.23.) i (6.24.) na drugi način:

— = cos(co/ + cp)

= -sin(co/ + (p).mAco '

Kvadriranjem i zbrajanjem dobivamo:-2 2

— + — £ ___

= 1 A2 m2A W

Grafički predstavljen impuls harmoničnogoscilatora u funkciji otklona x, daje elipsu. Koor-dinatna ravan (p, x) naziva se fazna rav an a od-govarajuća kriva fazna putanja, crtež 6.6.

Površina elipse1jednaka je:

_ . . 2n mA1 co26 = nAmAoo ---------------

© 2

odnosno,S = j E . (6.27.)

(6.25.)

(6.26.)

Znači, ukupna energija harmoničnog oscilatora je proporcionalna površinielipse, pri čemu je koeficijent proporcionalnosti vlasdta frekvencija oscilatora:

E = f-S . (6.28.)

Površina elipse može biti izračunata i kao integral(6.28.) može napisati i u obliku:

E = f p d x .

pa se formula

(6.29.)Ova posljednja relacija, odigrala je veliku ulogu u izgradnji osnova kvan-

tne mehanike o čemu će biti govora kasnije.

6.4. SLAGANJE HARMONIČ NIH TITRANJA

Pri istovremenom djelovanju više različitih elastičnih sila na oscilatoron će vršiti složeno gibanje, koje će biti jednako geometrijskom zbiru poje-

dinih oscilacija. Rješavanje ovih problema, posebno slaganje oscilacija istog

I 5 = nab, gdje su a i b poluose elipse.

• 95

P





odnosno,

OC Af cos<p, + A^ cosq>2 '

Jednadžbe (6.35.) i (6.36.) mogu se do-

biti i zbrajanjem jednadžbi (6.31.) koristeći

odgovarajuće trigonometrijske transformacije.

Analizirajmo izraz za amplituđu (6.35.).

Ako je razlika faza između dva titranja kon-stantna, tj.:

cP2 _(Pi = const.

takva titranja nazivaju se koherentna. Ako je paktli cijelom pamom broju n, imamo da je:

(6.37.)

razlika u fazi jednaka nuli

tada je,«P2 ~ <Pi = 2 jw , gdjeje n = 0, 1 ,2 ,3 ,....

C0S(<P2-<Pi)= 1i

A - A ,+ A 2. (6.38.)

Ako je razlika faza oba titranja jednaka nepamom broju n, imamo da je:

<P2 - <Pi = (2n + 1>, gdje je n = 0,1, 2 ,3,....

tada je,

cosC Pz —<Pj) = 1i

a =\ 4 j - a 2\. (6.39.)

6.5. MATEMATIČ KO NJIHALO (KLATNO)

Matematičko njihalo sastoji se od točkaste mase m obješene na nerasteeIj^vu vrio laganu mt duljine /, crt 6.9. Kada njihalo miruje u ôložaju r a m S e '

napetost mti N uravnotežuje sila G (sila teže). Izvan položaja ravnoteže’angencijalna sila (komponenta sile teže) vraća tijelo u položaj ravnoteže dok

je radijalna komponenta sile teže uravnotežena napetošću niti / *

*

97



odnosno prema (3.40.)

dobivamo,

Zbroj svih sila na materijalnu točku jednak

je tangencijalnoj komponenti sile težeF = -mgsinO, gdje predznak minus kaže da sila

djeluje u smjeru porasta pomaka 0. Sila mje proporcionalna kutnom pomaku 0, nego sm0,

prema tome gibanje nije harmomčno. Međutinvza male amplitude sin0 * 0, te sila F = -mg0harmonična. Matematičko njihalo titra harmo-

nično samo za male amplitude, dokje, za veće

amplitude, period njihala fonkcija amplitude.

Jednadžba gibanja matematičkog njihala glasi.

F = ma, = -mgsin0,

, .d'Bai ~ la =

d2Q • o= -m g sm O .

U slučaju malih pomjaranj. L> - 6, te jeduadiba gibmja m .iemaMkug

njihala poprima oblik:

^ £ + £ 0 = 0 . (6 .50 .)

dt 1 l

Ovo je jednadžba harmoničnog titranja, pa analogno prema (6.7.) ima

iješenje: f r~~ >

0 = 0Osin(co/-np) = 0Os in U y ^ + <PI

odavde period T = ^ , odnosno period matematičkog njihala za male am-

plitude' je:

r = 2 * E . <ć'“ )

Period njlhala ne ovisi ni o masi ni o amplitudi već samo od duljme 11

gravitacionog ubrzanja g.

, Kad a su am pliu.de veće, tj. kada jc sm6* 8. period n jihala o v isi o am pliUK li 8o. tada jc period

m aiem atiikoR njiha la

(6.40.)

(6.51.)

98



6.6. PRIGUŠENO TITRANJE ^

Do sada smo promatrali idealiziran slučaj titranja materijalne točke ukojemu je mehanička energija očuvana. Iz iskustva znamo da su uvijek gubicienergije prisutni i da će elastična opruga poslije određenog vremena prestatititrati. Za takva titranja kažemo da su prigušena. Prigušeno titranje možemouočiti ako elastičnu opnigu uronimo u viskoznu tekućinu. Sila trenja koja se

protivi gibanju elastične opmge proporcionalna je brzini gibanja:

F , = -b v = - b ^ . (6.53.)at

gdje je b konstanta prigušenja, a predznak minus pokazuje da su sila trenja i brzina, suprotne smjem izabrane ose x.

Jednadžbu gibanja za prigušeno titranje, na osnovu dmgog Newtonovogaksioma i (6.3.), možemo pisati:

ili

ma = Frl + Jv

d lx b dx k

—r + ---

T + — x = 0 -dt m dt mk b

Zamjenom, — = toj i — = 28, jednadžba (6.55.) poprima oblik:m m

d2x . . dx 2y + 2 8 - + » ; , . o .

(6.54.)

(6.55.)

(6.56.)

gdje je cn0 = J — vlastita frekvencija neprigušenog oscilatora, a 5 faktor prigušenja. ' 'm

Rješenje ove homogene lineame diferencijalne jednadžbe je:

x(t) = Ae~^ sin(cot + <p) (6.57.)uz uvjet,

co = •Jal + 5 J . • (6.58.)

Ovo možemo dokazati uvrštavanjem, prvog i dmgog izvoda. Prvi izvodod z(t) je ustvari brrina prigušenih oscilacija:

■— = -Ade~it sin(cot+ <p) + Atoe'* cos(cot + <p).dt

Dmgi izvod je ubrzanje:d 2x

—j- = .<48Je"®' sin(<nt+ 2 - 2A8 7 + /4(Oo)e"*' sin(cof + tp) = 0 . (6.59.)

Jednadžba (6 59.) mora fiti ispunjena za svaki t, |to daje uvjet (6.58.):

a = co0 —o .Prigušenje smanjuje fiekven-

ciju titranja to više što je trenjeveće. Amplituda A e **opada ek-sponencijalno s vremenom; što je

faktor prigušenja 8 veći, to i amplituda brže tme, crt. 6.10. Ako je trenje veliko, uopće nema ti-tranja; uvjet za takvo aperiodičnogibanje dobivamo iz (6.58.):

82> a 0. (6.60.)

Tada je naime a u izrazu (6.58.) imaginama i tješenje jednadžbe gibanja je elongacija koja eksponencijalno opada. Osciliranje nekih mehaničkih siste-ma često je nepoželjno i nastoji se, uvođenjem određenog prigušenja, smanjiti

ili ukloniti (npr., kazaljke mjemih instrumenata, amortizeri na vozilima i dr.).

6.7. P R IS I L N O T I T R A N J E . R E Z O N A N C I JA

Crtež 6.11.

Kada vanjska periodična sila djeluje na sistem kojimože titrati, nastaje prisilno titranje. Na crtežu 6.^1.

prikazan je jedan takav prisilni oscilator. Pomoću vanj-skog oscilatora, kojem se frekvencija može mijenjati,

pobuđujemo sustav “opraga + masa”, na titranje. Kad je frekvencija co vanjskog oscilatora manja od vlastitefrekvencije sistema co0 = -Jk/m , sistem oscilira, ali smalim amplitudama. Kako <o raste, amplitude postajusve veće i veće. Kada se co približi vlastitoj frekvencijisistema cOo, dolazi do rezonancije, tj. titranja s vrlo

velikim amplitudama. Daljnjim povećanjem frekvencijetitranje ponovo postaje sve slabije. Napišimo jednadžbugibanja za ovakav prisilni harmonični oscilator. Neka

je vanjska sila sinusoidalnog oblika:

100



Fv= F0 sincof, (6.61.)

gdje je o) kružna frekvencija vanjskog oscilatora. Drugi Newtonov aksiom,

primijenjen na ovakvo gibanje, daje:

d x dxi — = = - k x - b — + /vsmcordt dt

ili

F x + 28x+a>lx = — sinto/ = /foSino f, (6.62.)

m

gdje je 5 faktor prigušenja, koji smo definirali u prethodnom ođjeljku, a A0

arnplimda vanjskog oscilatora. Rješenje ove jednadžbe je titranje s prisilnom

frekvencijom co:

x(t) = A(a>) sin(car- cp) (6.63.)

gdje je <p kašnjenje u fazi titranja vanjskog oscilatora. Uvrstimo li (6.63.) u(6.62.) dobivamo:

(coj -co2)sin(co< -<p)-26cocos(cor-cp) = -sinco?. (6.64.)

Jednadžbu (6.64.) predstavimo pomoćuvektora, crt 6.12.

Iz crteža 6.12. proizlazi:

■ ^- = /(<o2 - co2) + 482co2; tg<p =^co)

25co j 2*

coj-co-1

28(0

Amplituda prisilnog osciliranja je:Crtež 6.12.

A( <o)= ; ^ ------------- (6.65.)

^(coo -« d 2)2 + 462co2

Amplitude za razna prigušenja prikazane su na crtežu 6.13.Amplituda osciliranja (6.64.) ovisna je o omjeru co/co0 i o prigušenju 6

i maksimalna je pri rezonantnoj frekvenciji:

cor = -Jtol - 2 6 2 (6.66.)

što se dobije izračunavanjem maksimuma funkcije (6.64.).

Rezonantna frekvencija ©„ u slučaju prigušenog oscilatora nešto je manjaod vlastite frekvencije; rezonantna frekvencija neprigušenog oscilatora jednaka

je vlastitoj frekvenciji cor = co„. U idealnom slučaju, kad ne bi bilo gubitaka,

amplituda pri rezonanciji (co = co0) bila bi beskonačno velika. Kad su prisutni

101



Citež 6.13.

gubici, rezonantna amplituda je konačna a rezonantna frekvencija je neštomanja od (o„, tim više što je prigušenje veće.

Rezonancija može biti ponekad opasna i dovesti do rušenja (mostova,

zgrada i sl.). Tako je srušen most u Takomi (1940.); vjetar u rezonanciji svlastitom frekvencijom mosta uzrokovao je snažne oscilacije i rušenje mosta.Rezonancija se susreće u mnogim mehaničkim, električnim i drugim ure-

đajima.

1

102



7. MEHANIČ K3 VALOVI I ZVUK

7.1. PROSTIRANJE VALOVAU ELASTIČ NOJ SREDINI

Ako se na jednom mjestu elastične sredine (čvrste, tečne ili plinovite)izazovu oscilacije njenih čestica, tada će se, zbog međudjelovanja čestica, toosciliranje širiti kroz sredinu nekom brzinom v. Proces prostiranja oscilacijau prostoru naziva se val ili talas. Val ne prenosi čestice sredine u kojoj se prostire, one samo vrše osciliranje oko ravnotežnih položaja.

Longitudinalni val je takav val kod kojeg čestice osciliraju duž pravca prostiranja. Transverzaln i val je takav val kod kojeg čestice osciliraju u

smjeru koji je okomit na pravac prostiranja vala. Mehanički transverzalni valnastaje samo u sredini koja pokazuje otpor na smicanje. U tečnoj i plinovitoj

fazi moguć je nastanak samo longitudinalnih valova.

103



Na crtežu 7.1, prikazano je kretanje čestica pri prostiranju transverzalnogvala. Č estice označene sa 1,2,3 itd. pomaknute su jedna od druge na rastojanju1/4 vT. To je jednako četvrtini puta kojeg val pređe za vrijeme jednog perioda.

Č estice koje se nalaze jedna od druge na rastojanju vT osciliraju u istojfazi. Rastojanje između najbližih čestica koje osciliraju u istoj fazi naziva se

valna dužina.Valna dužina je prema tome jednaka proizvodu brzine vala i perioda.

X = v - r . (7.1.)

Ako zamijenimo u izrazu (7.1) T s Mf dobijemo

X = j . (7.2.)

Geometrijsko mjesto točaka do kojeg dolaze oscilacije u momentu vre-mena t naziva se valni front. To je površina koja dijeli dio prostora koji je

zahvaćen u valni proces od oblasti u kojoj još nema oscilacija. Geometrijskomjesto točaka koje osciliraju sa istom fazom naziva se valna površina. Valne

površine mogu da budu bilo kojeg oblika, najjednostavnije su one koje imajuoblik ravni ili sfere. U tim slučajevima val se naziva ravni ili sferni. Usfemom valu valne površine predstavljaju sistem koncentričnih sfera, crtež7.2a.

\ \ \ . zrake

valnafronta

\ \ b. ravoi val

Crtež 12.

Pravci duž kojih se šire oscilacije od točke do točke zovemo zrakamavala, zrake su okomite na valne površine.

Iz točkastog izvora u izotropnom sredstvu (tj. sredstvu koje u svim smje-rovima ima iste osobine) širi se sfemi val čije su valne fronte koncentrične

sfere (lopte) crtež 7.2a, a zrake radijalni pravci. Ravni val nastaje iz besko-

načno dalekog točkastog izvora, valne fronte su ravnine, a zrake paralelni pravci, crtež 7.2b.

104



7.2. JEDNADŽBA RAVNOG I SFERNOG VALA

Valna jednađžba naziva se izraz koji daje pomjeranje ¥ oscilirajuće točkekao funkciju njenih koordinata x , y , z i vremena t

¥ = ¥ (z ,y ,z,0 . (7.3.)

Funkcija (7.3.) mora da bude periodičnakako u odnosu na vrijeme, t

tako i u odnosu na koordinate x, y , z.

Nađimo oblik funkcije u slučaju ravnog vala koji se prostire duž ose x

¥ = ¥ (x 0 - (7-4-)

Valne površine normalne su na osu x. Neka oscilacije točaka koje ležeu ravni x = 0 imaju oblik

¥ = ¥ (0 , t)=A coscot. (7.5.)

Nađimo oblik osciliranja čestice u rav-ni koja odgovara proizvoljnoj vrijednosti

x. Da bi val prešao put od ravni x = 0 doravni x valu je potrebno vrijeme x

x

r = —,v (7.6.)

X=V T X

Crtež 73.gdje je v brzina prostiranja vala.

Oscilacije čestica koje leže u ravni x ,

zaostaju u vremenu, za t.

Prema tome, jednadžba ravnog vala može se napisati u obliku

¥ = /fcosto( /- r ) = / fc o so ^ /-—j . (7.7.)

Pri ovome pretpostavljamo da je amplituda oscilacija u svim točkama jedna ista, tj. nema apsorpcije valova. Neka je vrijednost faze u jedndžbi (7.7.) jednaka nekoj stalnoj vrijednosti

const. (7.8.)

Izraz (7.8.) daje vezu između vremena t i onog mjesta x u kojem se udanom momentu ostvaruju iste vrijednosti faze.

Diferenciranjem (7.8.) dobivamo brzinu kojom se pomjera dana vrijed-nost faze

d t - - d x = 0 , (7.9.)V

.105



odnosnodx

— = +v.dt

(7.10.)

Prema tome, brzina prostiranja vala u jednadžbi (7.7.) jeste brzina pomje-

ranja faze, pa se zove fazna brzina. Iz jednadžbe (7.10.) slijedi da je brzinavala pozitivna, prema tome (7.7.) opisuje val koji se rasprostire u stranu rasta

x (slijeva u desno), val koji se rasprostire u stranu suprotnu ima oblik

W = Acosa (7.11.)

Izjednačimo fazu sa konstantom i diferencirajmo, dobijemo

d x __

d t~ (7.12.)

Rezultat pokazuje da se val kreće u suprotnom smjeru. Jednadžbi ravnogvala može se dati simetričan oblik u odnosu na t i x. Uvedimo valni broj k,

k 2n

k (7.13.)

Veza između valnog broja k i kružne frekvencije © i fazne brzine vala

v ima oblik

v©

J (7.14.)

Jednadžba ravnog vala može se napisati u obliku

= A cos(©r ± kx). (7.15.)■»

Promatrajmo jednadžbu sfemog vala. Sfemi val nastaje od izvora koji

se može smatrati točkom. U slučaju đa je brzina prostiranja u svim smjerovimaista val koji nastaje od izvora (točkastog) mora biti sfemi. Neka je faza

osciliranja jednaka tada točke koje leže na valnoj površini radijusa r morajuoscilirati sa fazom ©(/ - r/v). Amplituda osciliranja u tom slučaju ako sredinane apsorbira energiju vala neće ostati konstantna, ona se smanjuje po zakonu

1 /r. Jednadžba sfemog vala ima oblik

*¥ = — cos© ^f-— j . (7.16.)

Ova jednadžba vrijedi samo za velike r, u odnosu na dimenziju izvora.Kad r teži nuli amplituda postaje beskonačna, što upravo pokazuje neprimje-njivost jednadžbe (7.16.) za male vrijednosti r.

106



V

7 .3 . J E D N A D Ž BA RA V N O G V A LA K O J I S E

P R O S T I R E U P R O I Z V O L J N O M S M J E R U

Nađimo jeđnadžbu ravnog vala koji se prostire u pravcu koji sa osama^ z o b r ^ je ugJcvc a , P, y. Neka oscilacije koje prolaze kroz koordinatni pocetak, crtež 7.4, lmaju oblik

'Po = A coscot. (7.17.)

Uzmimo valnu površinu koja od koordinatnog početka stoji na rastojanju /. Oscilacije u toj ravni zaostaju za oscilacijama (7.17.) za vrijeme t = l/v

'F = /<COS(D^~£j. (71 g )

Izrazimo / preko radijus vektora r . Lako je uočiti da skalami proizvod jedimčnog vektora normale 5 s radijus vektorom r bilo koje točke površineima istu vrijednost koja je jednaka /

n r =rcos<p = /. (7.19.)

Uvrštavanjem izraza (7.19.) u (7.18.)dobivamo

T = A cosôor - — fi r j . (7.20.)

Omjer co/v jednak je valnom broju k.Vektor

k = k n (7.21.)

koji je po modulu jednak valnom broiu2 j j Crtež 7.4.

k = — i koji ima smjer normale na po-

vršinu naziva se valni vektor. Uvođenjem k u (7 .20 .), dobijemo

¥ (? , / ) = /! cos (co t -k r ) . (7 .2 2 .)

Jednadžba (7.22.) daje otklon točke s radijus vektorom r od ravnotežnog položaja u momentu vremena t. Da bi prešli od radijus vektora točke r njenimkoordinatama x, y, z, izraztmo skalami proizvod k r projekcijama vektorana koordinatne ose:

k 'r = kxx + kyy + kzz. (7.23.)

Tada jednadžba ravnog vala dobiva oblik

■ 107



'F(x, y, z ,t) = A cos(ca/ - kxx - kyy - k.z),(7.24.)

gdje je

kx=^ cosa> y C0SP-**= Y cosy‘(7.25.)

7. _ O taU slučaju kada se r podudara sa osom x, tada je k, = k, ky - k. - 0, te

jednadžba (7.24.) prelazi u jednadžbu (7.15).Jednadžba ravnog vala ponekad se piše i u obliku

(7.26.)

odnosnoi>= A [cos(co/ - kx) + / sin(co/ - kx)], (7.27.)

pri čemu se podrazumijeva da se koristi samo realni dio tog lzraza.

7.4. VALNA JEDNADŽBA

Jednadžba bilo kojeg vala je iješenje diferencijalne jednadžbe koju zove-

mo valna jednadŽba.Promatrajmo ravni val u smjeru ose x

'F(x, t) = A cos(cot - kx). (7.28.)

Nađimo drugu parcijalnu derivaciju po koordinatama i vremenu od funk-

cije '¥(x, /)'

= -co2-4cos(a>/-fct) = -co2yP

^ = -fc2 cos(o>/ - fcc) = -fc2'F .dx

(7fi9.)

Iz jednadžba (7.29.) dobivamo

g2'F fc2 d2xP

dx* cb2 dt 2

Uzevši u obzir vezu —j = -=■, dobivamoco v

d 2 ' ¥ 1 d 2' ?

dx2 v2 dt 1

(7.30.)

(7.31.)

1 Funkciia 4-(x y z, l), je funkcija četiri nezavisno promjenjive, pa se ovdje moraju uvesti parcijalniizvodi funkcijc, koji se pišu simbolima 34'/&. 34>ldy, čtV/dz. 34-/3/. Parcijalni izvod za funkc.jcviše promjenjivih, po nekoj određenoj promjenjivoj, računamo kao “običan lzvod po toj pro-mjenjivoj, s tim da se ostale varijable smatraju konstantne.

108



Jednadžba (7.31.) predstavlja valnu jednadžbu. Ovo raožemo analogno proširiti na sve tri dimenzije, pa valna jednadžba u tri dimenzije ima oblik

d2'V &'¥ d2'¥ 1 a2'p

dxl 8 y 2 dz2 v3 3/2(7.32.)

Jednadžba (7.32.) može se napisati koristeći Laplasov operator A1

odnosno

a2'? a2'? 324'A47= — r + — r + — -

dx2 dy2 dz

A4> =i t f ' v

v2 dt 2

(7.33.)

(7.34.)

7.5. BRZINA PRO STIRA NJA ELASTIČ NIH VALOVA

Neka se u pravcu x ose prostire longitudinalni ravni val. Izdvojimo usredini cilindrični volumen visine Ax sa površinom koja je jednaka jedinici.Ako osnova cilindra sa koordinatom x ima u nekom trenutku pomjeranje 4*onda će pomjeranje osnove s koordinatom x + Ax biti ¥ + A'P. Prema tome,razmatrani volumen se deformira i dobiva izduženje A¥ (ako je A'F < 0 to

predstavlja sažimanje). Velićina, e = A4VAx predstavlja srednju relativnudeformaciju cilindra. Zbog toga što se ne mijenja po lineamom zakonu,stvorena deformacija na raznim presjecima cilindra neće biti jednaka. Da

bismo dobili deformaciju na presjeku x potrebno je da Ax teži nuli. Prematome je

.. A'¥ e = lim -----

a»-+o Ax

£ P

dx(7.35.)

Postojanje deformacije istezanja svjedoči o postojanju normalnog napre-zanja a koje je pri malim deformacijama proporcionalno veličini deformacije.Suglasno Hookeovom (Hukovom) zakonu, cr = E • e, gdje je E Youngov (Jang)modul a a normalno naprezanje (o = F/s), imamo

a = E s = E ~^~. (7.36.)dx

Napomenimo da relativna deformacija d'V/dx a prema tome i naprezanje

u fiksiranom raomentu vremena zavise od x. Tamo gdje su otkloni čestice od položaja ravnoteže maksimalni, deformacije i naprezanja su jednaki nuli. Umjestima gdje čcstice prolaze kroz položaj ravnoteže deformacija i naprezanje*1

. a1 tf # 1 Laplasov operator; a " a ? +ŠT"1' i? -

109



dostižu maksimalnu vrijednost pri čemu se pozihvne .negat.vnedeformac.j

(istezanje i sabijanje) naizmjenično smjenjuju (longitudinaku val )>crte* J .^ p i š i m o j e d n a d ž b u k r e t a n j a z a j e d i n i č n i c i l i n d a r . U z i m a j u ć t d a e A *

v e o m a m L n , i b i z a n j e s i s t e m a m o ž e s e s m a t r a t i k o n s t a n t n o . M a s a c . l m d r a j e d n a k a j e p A xS, g d j e j e p g u s t o ć a n e d e f o r m i r a n e s r e d m e .

Citež 7.6.

Sila koja djeluje na cilindar, jednaka je razlici sila na presjeku x Ax i

na presjeku x = 0 tj. F = F 2 —Fv Prema (7.36.) imamo

Veličinu f — 1 možemo razviti u red' za male vrijednosti Ax kao1

1 Funkcija F(x) može se razviti u Mac Lorinov red. Za male (infinitezimalne) vrijednosti A*

fimkcija F(x) = F(0) * F (0)Ax +.. .

110





gdje je x - izduženje u procesu deformacije i mijenja se od O do AA Znači,

sila koja odgovara izduženju x, prema Hookeovom zakonu ima oblik

(7.44.)E -S

F " X -

Uvrštavanjem (7.44.) u (7.43.) možemo izračunati rad, odnosno energiju

deformiranog tijela.čj

w=J-E-S ^ E -S x 2 61 E - S - l f A r f

-xdx = — — - 2l l 2

(7.45.)

v

Konačno imamo da je potencijalna energija jednaka

E = z 2 (7-46-)' 2

Izraz za potencijalnu energiju elementamog volumena ima oblik

6E = (747)r ' 2- \ 8 x )

gdje je, E = pv2, Youngov modul elastičnosti, e = — , relativna deformacrja.

Promatrani volumen sadrži također i kinetičku energiju

AEt ‘ f i

(7.48.)

&V gdje je, Am = pAK, masa i v = ^ - brzina dan0« elementa A K Sabrranjem

izraza (7.48.) i (7.47.) dobit ćemo ukupnu energiju

A£ = A£t + A£ = ^ (7.49.)

Dijeljenjem energije AE sa volumenora AK u kojem se ona sadrži, dobit

ćemo gustoću energije

Parcijalnim diferenciranjem jednadžbe ravnog vala po / i po x dobivamo

ĆW . . r x \

— = -<»4sina> t —dt V v )

dV co . . — = — 4smco

dx v H>(7.51.)

112



Uvrštavanjem izraza (7.51.) u (7.50.) dobit ćemo izraz za gustoću energije

u = 2 22sin2 co / - —j

ili

u = p/12©2 sin2(cc)/ - kx) . (7.52.)

Vidimo da se gustoća energije mijenja po zakonu kvadrata sinusne funk-cije. Pošto je srednja vrijeđnost kvadrata sinusa jednaka 1/2, srednja vrijednostgustoće energije po volumenu u svakoj točki sredine bit će jednaka

u = —A2(o 2 . (7.53.)2 V

Gustoća energije proporcionalna je gustoći sredine, kvadratu frekvencijei kvadratu amplitude vala.

Eneigija se prenosi samim valom od izvora oscilacije do različitih točaka

sredine, prema tome val sa sobom prenosi energiju. Količina energije koju prenosi val kroz neku površinu u jedinici vremena naziva se tok energije ilifluks kroz površinu. Fluks energije je skalama veličina čije su dimenzije

jednake dimenziji energije podijeljene sa dimenzijom vremena, tj. podudara

se sa dimenzijom snage. Prema tome fluks se mjeri u vatima (W). Fluksenergije u raznim točkama sredine može imati različitu jakost. Za karakteris-tiku fluksa energije u raznim točkama prostora uvodi se vektorska veličinakoja se zove gustoća toka (fluksa) energije. Smjer vektora gustoće fluksa

energije podudara se s smjerom u kojem se prenosi energija. Neka se kroz površinu ASX okomitu na pravac prostiranja vala prenosi za vrijeme A/energija A E. Tada će gustoća fluksa energije po definiciji biti jednaka

AE

A5X-A/(7.54.)

S obzirom da je AE/At fluks energije Acj>, kroz površinu AS± može se pisati

J =A<(>

AS±(7.55.)

Kroz površinu ASX za vrijeme At prenijet će se energija koja je sadržanau volumenu valjka sa osnovom A5X i visinom v • At, crtež 7.7.

Ako su dimenzije valjka dovoljno male tako da bismo gustoću energije

u svim točkama valjka mogli smatrati jednakom, onda se AE može naći kao proizvod gustoće energije i volumena valjka, ASL • v • A/, tj.

■113





valovi koje oni obrazuju). Od-

redimo rezultirajuće osciliranjeu bilo kojoj točki sredine pod

uvjetom da oba osciliranja imajuisti smjer, crtež 7.8.

Pretpostavimo da valovikoji izlaze iz izvora O, i 0 2

imaju jednaku amplitudu i fazu.Dolazeći do toćke S, valovi pre-laze različite putove, te se os-

ciliranje koje oni proizvode u

toj točki razlikuje u fazi:Crtež 7.8.

(7.60.)

'P, Â^COsfcot-kr,)

% = co s(au - kr2) ,

Razlika u fazi ova dva osciliranja je jednaka:

A5 = —7-j), (7.61.)

gdje.su/t, > Ai amplitude valova u točki S, k valni broi k - co/v r ,

n a o jm j , od izvore do đstt .odko. P«,K»a ; tao da” u ™ pU M ^ ,S k s’ jednake, tada je rezultirajuće osciliranje P U t0ćkl S

'i' = *P, + »Pj = a [c o s ( c o / -kr,) + cos(o51 - lcr2)]. (7.62.)

^^risteći adicione teoreme dobit ćemo izraz za rezultirajuće osciliranjeu obliku

. * f c - ’i)l2

2,4cos— \ - 'jcos

amplituda faza1

osJ^( f l / - / t i± l J .

(7.63.)

promabamo ^ a”lplltuda rezu,tiraJ'ućeg osciliranja ovisi o mjestu u kojem

Maksimalno osciliranje dobivamo na mjestima gdje je

cos-= 1 (7.64.)

tj. na mjestima gdje je razlika u fazi višekratnik od 27T

k(r2- ri) = ±2nn n = 0,1,2,... (7 .6 5 .)

Na tim mjestima oba osciliranja su u fazi i dobivamo tev. konstruktivnuinterferenciju, s amplitudom A = A , + A2.



U točkama u kojima je

tj. razlika u fazi,

cos*(r2 ~ ri)

2= 0 (7.66.)

A(r 2 - r , ) = ±27i^/j + |- j ; n = 0,1,2,... (7.67.)

dobivamo minimalno osciliranje, odnosno destrukdvnu interferenciju, s amplitudom A = \A j- At\ .\J specijalnom slučaju kadaj e A t = A 2 na tim mjestimaneće biti osciliranja. Uvjeti (7.65.) i (7.67.) svode se na to da je

r. - r , = const. (7.68.)

Crtež 7.9.

Iz analitičke geometrije je poznato da jednadžba (7.68.) predstavlja jednadžbu hiperbolesa fokusima u točkama O, i 0 2.Znači, geometrijsko mjesto toča-ka u kojima se oscilacije poja-čavaju ili oslabljuju predstavlja

porodicu hiperbola, crtež 7.9. od-

govara slučaju, 9 , - <p2 = 0. Pu-nim linijama označena su mjestau kojima se oscilacije uzajamno

pojačavaju (raaksimum oscilira-nja), a isprekidanim linijama pri-kazana su mjesta na kojima seoscilacije poništavaju (minimumosciliranja).

7.8. DIFRAKCIJA VALOVA

Kada na svom kretanju valovi susretau prepreku, oni je obilaze. Ta pojava

naziva se difrakcija. Nastajanje difrakcije može se objasniti pomoću Huy-

gensovog (Hajgens) principa kojim se određuje način stvaranja valnog frontau trenutku t + At, ako je poznat položaj valnog fronta u trenutku t. Suglasno

Huygensovom principu: svaka točka do koje dolazi valno kretanje, postaje

centar sekundarnih valova koji su u homogenoj i izotropnoj sredini sferni.

116



Anvelopa (ovojnica) tih valo-va daje položaj valnog frontau narednom trenutku, crtež7.10.

Neka na ravnu pregradusa otvorom pada valni front paralelan s pregradom, crtež7.11. Prema Huygensovom

principu, svaka točka otvora predstavlja centar sekundar-nih valova, koji će u homo-genoj sredini biti sfemi.

Ovojnica (anvelopa) sekundamih valova predstavlja novu valnu frontu.Ako je pukotina široka, mnogo šira od valne dužine, tada iz dijela valne frontekoji ulazi u pukotinu nastaje mnogo sekundamih valova čijom superpozicijomdobivamo paralelne valne fronte, crtež 7.11b. Što je pukotina manja (redaveličine valne dužine) skretanje valova u podmčje geometrijske sjenke jeizrazitije, crtež 7.11a, i dobiva se sfemi val.

Crtež 7.10.

Ravni val

a)Crtež 7.11.

7.9. ST O JEĆ I VALOVI

Kada imamo interferenciju dva ravna vala jednakih amplituda koji sekredu jedan na suprot drugoga, oscilatomi proces koji pri tome nastaje nazivase stojeći val. U praksi stojeći val nastaje pri odbijanju valova od pregrada.

. 117



Val koji pada na pregradu i odbijeni val interferiraju. Napišimo jednadžbedvaju ravnih valova koji se prostiru u suprotnim smjerovima.

'P, = A cos(co?-fo)

T \ = A cos(tot + kx). (7.69.)

Kada zbrojimo ove jednadžbe i koristeći formulu za sumu kosinusa dobit

ćemo

'F = 'i', + = [cos((D/ -fcc) + cos(oof + tx)]

= |2.4cosfcc|cosco/.

2 j i .Zamjenom k = — izraz možemo napisati u obliku

*P = 2Acos2n— X

COS(Of .

U točkama gdje je

c o s2 j i--J = 1fl"

(7.70.)

(7.71.)

žli

tj. 2 j i — = ±/jjt; n = 0 ,1,2,...;A

x„ = ±n— t x 2 (7.72.)

amplituda oscilacija dostiže maksimalnu vrijednost 2A. Te točke zovemo trbu-

si stojećeg vala.U točkama gdje je

ili

(7.73.)

amplituda osciliranja pretvara se u nulu. Te točke se zovu čvorovi stojećegvala.

118



7.10. REFLEKSIJA VALOVA

Promatrajmo širenje valova u jednodimenzionalnoj sredini, npr. zateg-nutom užetu ili gumenoj cijevi. Udarimo li na jednom mjestu zategnuto uže,

poremećaj (brijeg) će se širiti na obje strane. Ako je uže na kraju učvršćeno, poremećaj će se reflektirati, cit. 7.13.a.

v / "

b)

Crtež 7.13.

119

*



Pritom opažamo da nastaje promjena faze za Jt, tj. da se poremećaj odčvrste zapreke reflektira sa suprotnom fazom. Naprotiv ako kraj debelog užeta

vežemo za zid nekom tankom niti, crt. 7.13b, tada će se na tom spoju brijeg

reflektirati kao brijeg, tj. s istom fezom.Iz ovih razmatranja možemo izvesti slijedeće zaključke:

Kad val upada na granicu između dva sredstva, jedan dio energije valase reflektira, a ostatak prelazi u drugo sredstvo: od upadnog vala nastajereflektirani (odbijeni) i tiansmitirani (propužteni) val. Pri refleksiji na gušćemsredstvu reflektirani val je pomaknut u fazi za Jt prema upadnom, dok pri

refleksiji na tjeđem sredstvu nema pomaka u fazi. Posebno, pri refleksiji odčvrste zapreke nema transmitiranog vala, reflektirani val ima istu amplitudukao upadni ali je pomaknut u fezi za n; pri refleksiji na slobodnom kraju

upadni i reflektirani val imaju jednake amplitude i faze.Da bismo razumjeli zašto dolazi do promjene faze promatrajmo danu

situaciju pomoću jednadžbi za ravne valove. Promatrajmo refleksiju vala naužetu na mjestima gđje se mijenja gustoća, npr. na spoju dva užeta različitedebljine. Jednadžbe upadnog vala yj[x,t), reflektiranog vala y£x,t) i transmi-

tiranog vala yj[x,t) su:

gdje su Atf Ar i A, amplituda upadnog, reflektiranog i transmitiranog vala.Elongacija y{x,t) mora da je svugdje dvaput derivabilna funkcija udaljenosti,

tj. u svakoj točki neprekidna funkcija s nepnekidnom derivacijom.

Na mjestu gdje se mijenja gustoća, neka je to ishodište našeg koordinat-

nog sustava x = 0, moraju biti ispunjeni slijedeći rubni uvjeti:

Prvi uvjet kaže da se na mjestu x = 0 val dijeli na reflektirani i transmi-tirani, dok drugi uvjet zahtijeva da u graiiičnoj točki nagibi obje žice moraju

biti jednaki (jednake prve derivacije). U graničnoj točki x = 0, valne funkcije

imaju oblik:

(7.74.)

y u(x,t)+yXx,t) = yfx ,t) (7.75.)

120



(7.76.) yu = Au sinco/; y r = Ar sinco/; y, = A, sinco/.

Primjenom prvog nibnog uvjeta dobivamo:

Au+ Ar = A,. (7.77.)

Izvršimo derivaciju (7.74.) kako to zahtijeva drugi rubni uvjet dobivamo:

4, 4 4. (7.78.)

V| V| V2(7-77.) i (7.78.) dobivamo amplitude reflektiranog i transmitiranog vala:

Pogledajmo kakva je refleksija kad val prelazi iz ijeđeg u gušće sredstvo.Tada je p, te je v, > v* prema relaciji (7.31.). Iz (7.79.) i (7.80.) zak-

Ijučujemo da amplituda reflektiranog vala ima suprotan predznak od amplitudeupadnog vala, dok je amplituda transmitiranog vala istog predznaka kao iamplituda upadnog vala. Drugim riječima, reflektirani val trpi skok u fazi zan kad je slijedeće sredstvo gušće; trasmitirani dio, naprotiv, nastavlja se u

drugoj sredini bez promjene u fazi. U posebnom slučaju, kad je kraj žiceučvršćen (pj = oo, v2 = 0), reflektirani val je iste amplitude kao upadni, ali

pomaknut u fazi za 7t, dok transmitiranog vala nema:

Pri refleksiji na tjeđem sredstvu, reflektirani val ne mijenja fazu (pj < p.,;

v2 > vi); ako je refleksija na slobodnom kraju (p^ = 0, v2 = oo), upadni i reflek-tirani val imaju iste amplitude i faze.

Refleksiju valova možemo promatrati koristeći Huygensov princip. Da bismo izveli zakon refleksije valova, postavit ćemo na put valova ravnu pre-

preku od koje će se odbijati valovi koji doiaze iz valnog izvora O. Val pogađa prvo točku A, koja postaje izvor novog vala te se oko nje formira elementamival. Slijedeće točke koje bivaju pogođene također formiraju elementame valo-ve ali sa zakašnjenjem koje je utoliko veće ukoliko su točke dalje od A.1

1 g je lineama ili pođužna gustoća u = p//.

(7.80.)

(7.79.)

y u(x,/) = /4sinco / - —

{ VJ (7.81.)

121



7.12.2. Brzina zvučnih valova u plinovima

Da bismo izračunali brzinu zvučnib valova u plinovima (zrak) pođimo

od Hookeovog izraza za zapreminsku deformaciju (7.86.) napisavši ga u obliku

B = - A p AV

V

(7.97.)

Uzmimo da su promjene pritiska beskonačno male, tj. Ap -> 0 tada i

AV -> 0 pa izraz (7.93.) prelazi u diferencijalni oblik,

B = (7.98.)

Pri ovome moramo voditi računa da povećanje pritiska (dp > 0) odgovarasmanjenju zapremine (dV < 0). Oscilacije zvuka vrše se tako brzo da se možesmatrati da je sabijanje i razijeđenje plina adijabatsko1, pa prema tome zado-voljava Poissonovu (Poason) jednadžbu

p V K= c o n s t, (7.99.)

gdje je k = cjc„ odnos specifične toplote gasa pri stalnom pritisku i specifične

toplote pri stalnoj zapremini. Diferenciranjem Poissonove jednadžbe dobijese

V^dp + k V^'^pdV = 0 (7.100.)

odakledp p

——= - K — .dV V

(7.101.)

Zamjenjujući ovaj izraz u (7.97.) dobivamo■»

B = K - p . (7.102.)

Znači brzina zvuka u plinovitoj sredini jednaka je | &

l a

i l I I (7.103.)

Koristeći izraz za jednađžbu stanja gasa,

p V = — R T , M

(7.104.)

1 Adijabatska promjena je takva promjena stanja plina kada nema razmjene toplote sa okolinomSQ « 0.

126



gdje je m - masa gasa, M -molekulam a masa, R = 8,314 J/mol K, univerzalna

plinska konstanta i T - apsolutna temperatura, možemo izračunati gustoću plina

„ PM

RT (7.105.)

Konačno izraz za brzinu zvuka dobiva oblik

v = J ~ T r = const -J t V Al

(7.106.)

ili

v = v J L = 331 j J L° \ T0 V273

gdje je v0= 331 m/s, brzina zvuka u zraku na temperaturi T0= 273 K.

7.12.3. Dopplerov efekt

Kada se zvučni izvor, ili slušalac, ili oboje kreću u odnosu na zrak, visina(frekvencija) zvuka koju čuje slušalac neće u općem slučaju biti ista kao kad

bi izvor i slušalac mirovali. Poznat je slučaj naglog pada visine zvuka auto-mobilske sirene kada se susreće ili prolazi pored automobila koji se kreće usuprotnom pravcu. Ova pojava se naziva Dopplerov1 efekt. Neka se brzina

promatrača vp i brzina izvora v, nalaze na, jednom istom pravcu. Izvor emitiravalove frekvencije f t Vidjet ćemo da će zavisno o relativnoj brzini premaizvoru, promatrač izmjeriti različitu frekvenciju izvora. Definirajmo smjer

brzina kretanja tako da i v, imaju pozitivan smjer ako su usmjerene od promatrača ka izvoru. Brzma prostiranja vala u uvijek je pozitivna. Uzet ćemo

slučaj kad se promatrač nalazi lijevo od izvora valova, tj. i jcdan i drugi imaju

pozidvne brzine (smjer od lijeva na desno). Izvor se u času f, = 0 nalazi utočki A, a u trenutku f2 = f u točki B, crtež 7.17. U međuvremenu, val emitiran

od izvora u času f, = 0 pređe put u • t. Pri ovome imajmo na umu da bizinaširenja ovisi od medija kroz koji se širi val, dakle ne ovisi od brzine kretanjaizvora vala u času emitiranja. Za vrijeme f2 = f izvor putujući iz A u B emitirao

je ^ • f valova gdje je f frekvencija izvora. Između B i D ti se valovi gomilajua između F i B su rašireni. Prema tome valna dužina u području gomilanjavalova (desno od izvora)

X‘ = !£ z 3 £ = £ z i (7.107.)

----------------------- f f f

1 Ch. Doppler (1803.-1853.), austrijski matematičar i fizičar

. 127



(7.108.)

dok je u području gdje se valovi šire valna dužina:

Ut + Vjt _ u + v,

f t f

Fonnule (7.107.) i (7.108.) vrijede za valnu dužinu valova koji dolaze

od izvora u kretanju. Koliku će frekvenciju izmjeriti promatrač koji se premaizvoru kreće brzinom vp? Brzina kojom se valovi kreću, prema promatraču je

u + vp frekvencija kojom promatrač sreće valove je

/ , =V + U V + u

-_ 2 ____ f = /

U + V.(7.109.)

U slučaju da se promatrač nalazi desno od izvora i kreće se brzinom v ’ ,

tada će frekvencija koju mjeri promatrač biti jednaka

U~ V J L ^ s u ~ v”u - v .

f = ——£ = f Jp Ji (7.110.)

Crtež 7.17.

Ova dva slučaja možemo prikazati jednom formulom

u + v„/ = / -

u —v.(7.111.)

gdje je vp pozitivno ako se prijemnik približava izvoru, a negativno ako se prijemnik udaljava od izvora. Slično tome, brzina izvora v, je pozitivna ako

128



se izvor kreće u pravcu prijenuiika a negativna ako se izvor udaljava od prijemnika. Pri tome pretpostavljamo da se izvor i prijemnik kreću duž pravca

koji ih povezuje.

Uzmimo nekoliko specijalnih slučajeva:

1. Promatrač mimje, izvor se kreće prema promatraču, vp = 0. vf > 0

2. Promatrač mkuje izvor se kreće od promatrača, v; < 0, vp = 0

/ ,< / ,r U + V,. r

3. Izvor miraje promatrač se kreće prema izvora, vf =0. vp > 0

u + v f „ = f ------* ■ ;£ > / , y u r

4. Izvor miruje, promatrač se kreće od izvora, vf = 0, vp < 0

u~v„

/ , = / , ------

r u

U slučajevima 1. i 3. promatrač mjeri veću frekvenciju od one kojom

izvor emitira valove, a u slučajevima 2. i 4. izmjerena frekvencija je manja.U slučaju u = v, svi valovi dodiraju se u točki S gdje se nalazi izvor. U

toj točki nalazi se akumulirana znatna oscilatoma energija to je tzv. zvučnizid, slika 7.18. Ako je vf > u dolazi do eksplozije, slika 7.19. Val koji nastaje pri vf > u na ovaj način nema periodičan karakter nego predstavlja jednu oblast

129



kompresije koja se širi brzinom zvuka. Valovi nisu više sadržani jedan udrugom nego su obuhvaćeni konusom AOB tzv. Machov (Mahov) konus. Da

bi došlo do zvučne eksplozije (proboj zvučnog zida) bizina izvora mora bitiveća od brzine zvuka, tj. v;> 344 m/s.

7.12.4. Zvučni izvori

Svaki mehanički oscilator koji pravilno oscilira u opsegu frekvencija

zvuka naziva se zvučni izvor. Kao najčešći izvori zvučnih valova susreću sezategnute žice i zračni stupovi. Zategnute žice osciliraju transverzalnim os-cilacijama. Ako se na jednom mjestu zategnute žice izvede transverzalnadeformacija, ona će se prostirati duž žice brzinom v, koja je jednaka prema

(7.41.)

gdje je F sila zatezanja žice a p = mll masa jedinične dužine (podužna masa)žice. Na učvršćenim krajevima žice takav val će se odbiti i krenuti u suprotnomsmjeru duž žice. Uslijed interferencije formirat će se stojeći val. Stojeći valće se formirati ako dužina žice iznosi (crtež 7.20.)

O Q 0 0 0 0

(7.112.)

X, 2H, 3A.|

2 ’ 2 ’ 2

odnosno

Crtež 7.20.

130



(7.113.)/ = «-=-; n = 1,2,3,...2

gdje je X„ valna dužina transveizalnog vala.Frekvencija je jednaka

(7.114.)

gdje je n = 1, 2, 3... Za n = 1 imamo osnovni ton.

Osciliranje zračnih stupova može se ostvariti u cijevima koje mogu bitiotvorene na jednom kraju ili na oba kraja.

Ako je cijev otvorena na jednom kraju, onda će se uvijek na otvorenomkraju obrazovati trbuh a na zatvorenom kraju čvor stojećeg vala. Napomenimoda se u zračnim stupovima mogu obrazovati samo longitudinalni stojeći valovikoji su na crtežu 7.21. prikazani točkastim crtama.

Zatvorent stupovi Otvoreni stupovi

Crtež 7.21.

Općenito možemo pisati da je valna dužina zvuka u zatvorenim stupovima

a odgovarajuća frekvencija

4/. ( * - 0 , 1, 2 ...),2n + l

(7.115.)

, 2n + l

f ' - 4 / (7.116.)

-131





Šumovi imaju neprekidni akustički spektar. Oscilacije sa linijskim spek-trom izazivaju osjećanje zvuka sa više ili manje određenom visinom zvuka.Takav zvuk se naziva tonalni zvuk. Tonalni zvuk se određuje osnovnomnajmanjom frekvencijom. Različit spektralni sastav zvuka, koje proizvoderazni muzički instrumenti omogućuje da se po slubu razlikuje, flauta od violineili klavira.

7.12.6. Jačina zvuka

Jačina ili intenzitet zvnka određuje se srednjom snagom koju val zvuka prenosi po jedinici površine normalne na pravac prostiranja vala, odnosnokoličina energije koju prenosi val u jedinici vremena kroz jediničnu površinunormalnu na pravac prostiranja vala.

Koristeći izraz za srednju snagu (7.96.) dobit ćemo da je intenzitet zvuka jednak

7 = - - ^ - (7.119.)2 p v

tj. intenzitet zvuka je razmjeran kvadratu amplitude pritiska a obmuto raz-mjeran proizvodu gustoće sredine i brzine zvuka.

U ovom izrazu se ne pojavljuje amplituda A koja se praktično teškomjeri, što nije slučaj sa amplituđom pritiska p^. Jedinica intenziteta zvuka uSI je W/m2. Korištenje ove jedinice nije pogodno jer je raspon intenzitetazvuka, koji se javlja u svakodnevnom životu izražen u ovim jedinicama 1012

puta veći od onog minimalnog koji se može čuti. S druge strane čulo sluhadetektira zvuk po logaritamskom zakonu.

Prema Weber-Fechnerovom (Veber-Fehnerov) zakonu, psihofizički za-kon, čulo sluha osjeća građaciju jačine zvuka približno kao logaritamintenziteta zvuka.

Na osnovu ove zakonitosti ustanovljena je skala nivoa jačine zvuka.Zvučni val koji još može izazvati osjećaj zvuka mora imati minimalnu vri-

jednost 70 koja se naziva pra g čujnosti i iznosi približno 10'12 W/m2, prifrekvenciji 1000 Hz.

Nivo jačine zvuka L, definiran je na slijedeći način

L = k Io gy-, (7.120.)h

• 133



gdje je k koeficijent proporcionalnosti. Stavljanjem k = 1 nivo jačine je izraženu belima prema Grahamu Bellu (Bel). U praksi se koristi 10 puta manja

jedinica koja se naziva decibel, oznaka dB tj.

L = lOlog— = 201og— . (7.121.)h Po

Ako je jačina jednog zvučnog izvora jednaka I = I0, prema gomjem

izrazu njegov nivo jačine je jednak nuli. Zvuk koji je 10 puta jači tj. I = 10 70

ima nivo jačine 10 dB. Jačini od 1 W/m2 odgovara nivo jačine 120 dB. Pri

ovim i većim intenzitetima, uho prestaje da prima val kao zvuk, a u uhu se

izaziva osjećaj bola ili pritiska, i naziva se prag osjećaja bola. Prag čujnosti

i prag osjećaja bola su različiti za razne frekvencije. Najveća osjetljivost

čovjekovog uha je u oblasti frekvencije od 3000 do 5000 Hz. U ovom intervalufrekvencije nalazi se minimum praga čujnosti (-5 dB). Prema proračunima,u tom frekventnom području, zvučni pritisak Brovvnovog (Braun) molekular-

nog kretanja je samo za oko 15 dB niži od praga čujnosti (pri temperaturi

27°C).

Izvori zvuka Nivo intenziteta

dB

Intenzitet

W/mJ

Amplituda promjene

pritiska N/m2

Prag čujnosti 0 io-12 210-5

Tihi razgovor 40 lO"* 2-10°

Glasni razgovor 60 io-* 210-J

Gust ulični saobraćaj 80 io-4 210-'

ZaJdvanje 100 io-J 2

Granica bola 120 1 20 11

Za ostale frekvencije

javlja se veliko odstupa-nje izmedu fizičke jačine

zvuka i subjektivne jačine

zvuka. Iz ovih razloga za

subjektivnu jačinu zvuka

uvedena je također loga-

ritamska skala sa jedini-

com koja se zove fon. Kod

1 000 Hz decibel i fon se

približno poklapaju.

134



7.12.7. Apsorpcija zvuka

Kada dođe na granicu između dvije sredine, zvučni val se u općemslučaju djelomično odbija od granice, a djelomično prodire u drugu sredinui produžuje u njoj da se prostire. Val postepeno slabi pri prostiranju kroz danusredinu i energija osciliranja prelazi u diuge oblike energije. U prostorijamasrednjih dimenzija zvučni val pretrpi nekoliko stotrna uzastopnih odbijanjaod zidova dok njegova energija ne opadne ispod granice čujnosti. U velikim prostorijama zvuk se može čuti u toku nekoliko sekundi poslije isključenjaizvora, uslijed postojanja odbojnih valova. Suviše sporo prigušenje pogoršava

akustičke osobine prostorije i izaziva jako odjekivanje ali i suviše brzo amor-tizovanje vala što također nije pogodno jer se u prostoriji dobije slab zvuk.Pri proračunu akustičkih osobina prostorija upotrebljava se vrijeme u tokukogase energijazvukasmanji na lO^dioprvobitne vrijednosti, tj. W = 10'6W0. Ovo vrijeme se naziva vrijeme reverberacije (jeke). Pošto je prigušenjevalova različito za različite fiekvencije usvojeno je da se vrijeme reverberacijeodređuje pri frekvenciji 512 Hz. Optimalno vrijeme reverberacije za koncertnesale i predavaonice je reda veličine ls.

Označimo gustoću zvučne energije u početnom trenutku sa u,y Označimosa a koeficijent apsotpcije pri odbijanju, i neka je broj odbijanja u jedinici

vremena n. Tada je smanjenje gustoće energije du za vrijeme dt jednako

anudt. (7.122.)

•andt (7.123.)

du = -

Napišimo ovaj izraz u obliku

du

odnosno

d(\nu) = -d (an t). (7.124.)

Pošto $u diferencijali đvije veličine međusobno jednaki same veličine serazlikuju za ađitivnu konstantu, pa je

lnu = - a n t + C. (7.125.)

Pošto je za r = 0, n = «o to je

C = lnu0 (7.126.)

pa jednadžba (7.121.) dobiva oblik

odakle je

. uIn— = -a n t «o

u = u0 e™'. (7.127.)

•135



Iz ovoga slijedi da gustoća zvučne energije opada sa vremenom po ek-sponencijalnom zakonu. Na osnovu teorije vjerojatnosti može se izračunati

broj odbijanja zvučnih valova u toku Is pod pretpostavkom da se valovi

prostiru u svim mogućim pravcima, račun daje

n = — , (7.128.)

gdje je v brzina, S površina prostorije a V njena zapremina. Jednažba (7.127.)

postaje .

u = u0e w .

Za određivanje vremena reverberacije uzimamo

(7.129.)

— = 10-*«o

tada je

(7.130.)

c = - i L ln l0- .avS

(7.131.)

Stavljajući za v = 340 m/s, vrijednost brzine zvuka u zraku, dobivamo

praktičnu formulu:

4V

tr = 0,163— ,a -S (7.132.)

7.12.8. Ultrazvuk

Da bismo dobili usmjereni val, blizak ravnom valu, dimenzije i^vora

vala moraju biti mnogo puta veće od valne dužine. Zvučni valovi u zrakuimaju valnu đužinu otprilike od 15 m do 15 mm. U tečnim i čvrstim sredinamavalna đužina je jo š veća (brzina rasprostiranja zvučnih valova u tim sredinama

je veća nego u zraku). Napraviti izvor koji bi stvarao usmjereni val slične

dužine praktično je nemoguće. Drukčije stoji stvar sa ultrazvučnim valovima,čija je valna dužina mnogo manja. Sa smanjenjem valne dužine efekt difrakcije

postaje zanemariv. Iz ovih razloga ultrazvučni valovi mogu biti dobiveni uobliku usmjerenih snopova, sličnih svjetlosnim snopovima.

Za dobivanje ultrazvučnih valova koriste se uglavnom dva fizikalna efek-ta: efekt magnetostrikcije i piezoelektrični efekt.

Za dobivanje ultrazvuka najčešće korišteni način je baziran na inverznom piezoelektričnom efektu. Pločice nekih metala (kvarca, titanit barija itd.) poddjelovanjem električnog polja deformiraju se (skupljaju i izdužuju ovisno o

136





zvuka se može napraviti izvor koji emitira ravne valove kod kojih je efekt

difrakcije zanemariv. Pored ovoga, intenzitet valova proporcionalan je kvad-ratu frekvencije, što znači da, energija ultrazvučnog va]a visoke frekvencije

je znatno veća od energije zvučnog vala niske frekvencije iste amplitude.Pločice kvarca pri frekvenciji 1,5 MHz mogu proizvesti zvučnu energiju

jačine i do 20W/cm2. Značajna osobina, koja je bitna za korištenje ultrazvuka,

je mala apsorpcija pri prolazu ultrazvuka kroz čvrsta i tečna tijela.

Primjena ultrazvuka. Ultrazvuk se u metalima i drugim čvrstim tijelima

prostire sa relativno malim gubicima, tj. sa malom apsorpcijom. Na ovoj

osobini zasnovane su važne primjene ultrazvuka u ispitivanju homogenosti

materijala (defektoskopija). Prijenos informacija u vodi moguć je isključivo

ultrazvučnim valovima, jer radio valovi imaju veliku apsorpciju u vodi. Dje-

lovanje ultrazvuka zasniva se na tri efekta: kavitacija, koagulacija i termičkodjelovanje. Koje će se djelovanje ispoljiti i u kojoj mjeri, zavisi od više

faktora od kojih su najvažniji slijedeći: sredina u kojoj djeluje ultrazvuk,

frekvencija, intenzitet zračenja i vrijeme zračenja.

Sve primjene ultrazvuka u tekućinama zasnivaju se na djelovanju kavi-

tacije, koja nastupa pri određenom intenzitetu. Pod kavitacijom u hidrodi-

namici se podrazumijeva obrazovanje mjehurića u fluidu, uslijed vrtloženja i

zagrijavanja. Ultrazvučni val dovoljnog intenziteta, proizveden u tekućini,

stvorit će promjenu pritiska u tekućini. U fazi dilatacije, stvorit će se potpri-

tisak koji će dovesti do obrazovanja mjehurića u tekućini koja je pod djelova-njem ultrazvučnog vala. Gasni mjehurići se ponašaju kao mehanički oscilatomi

sistemi koji mogu biti apsorberi energije. Na osnovu efekta kavitacije ultra-zvuk se može primijeniti za:

• obrazovanje emulzija kod koloidnih rastvora, pravljenje legura,• čišćenje i odmašćivanje sitnih predmeta, posebno u industriji polu-

vođiča i preciznoj mehanici,

• lemljenje aluminija. Poznato je da se na površini predmeta od alu-minija brzo obrazuje oksidni sloj koji ne dozvoljava “meko” lemljenje.

Ako se predmet od aluminija potopi u rastopljeni kalaj u kojem seintenzivno prostim ultrazvučni valovi, tada će uslijed kavitacije doćido razaranja oksidnog sloja i kalaj će se vezati na površini.

• obrada metala, stakla i keramike. Ultrazvuk se sa velikim uspjehomkoristi za obradu tvrdih materijala (metala, stakla i keramike). Nacrtežu 7.26. dana je shema uređaja, baziranog na efektu magnetostrik-cije, za obradu tvrdih materijala.

Transdjuser (pretvarač) pretvara električnu energiju iz generatora u me-

haničku energiju osciliranja jezgre pretvarača. Pretvarač možemo predstaviti

štapom koji je učvršćen u sredini u kojem se formira stojeći val sa trbusima

138



na krajevima štapa. Kraj štapa završava se alatom čija konfiguracija ima

željeni oblik. Gustoća ultrazvučne energije, zahvaljujući stojećim valovima,ima maksimum na samom vriiu alata. Između objekta koji se obrađuje i alatastavlja se vođeni rastvor sitnog praha kaiborunduma1 ili dijamanta. Č esticekarborunduma ili dijamanta primaju ultrazvučnu energiju i ponašaju se kaomali “čekići” koji velikom brzinom udaraju u objekt (desetine hiljada puta usekundi) i razaraju ga na željenom mjestu. Na ovaj način omogućeno je

pravljenje najrazličitijih oblika otvora u tvrdim materijalima. Uređaj za ul-trazvučno lemljenje zasnovan je na istom principu samo što se alat uranja ukadu sa rastopljenim kalajem. Zahvaljujući kavitaciji razbija se oksidni sloj

i rastopljeni kalaj prianja na aluminiju.

1 Karborundum. vrlo tvrdi materija).

• 139



8. TOPLINA

8.1. UVOD

Molekulama fizika predstavlja dio fizike koji izučava strukturu i svojstvatvari polazeći od tzv. molekulamo-kinetičkih predodžbi. Suglasno tim pre-

dodžbama, svako tijelo (čvrsto, tekuće ili plinovito) sastoji se iz velikog mnoš-tva veoma malih čestica —molekula. Molekule se mogu sastojati od jednog,dva ili više atoma. Makroskopske osobine tvari mogu se bolje razumjeti po-moću molekulame teorije tvari, tj. promatrajući što se događa u mikroskop-

skom svijetu atoma i molekula. Atomi unutar molekule vezani su silama čije

je porijeklo električne prirode, crt 8.1.

Citež 8.1.

Molekulamu i atomsku struktura moguće je shvatiti samo pomoću kvan-

tne fizike, te ćemo se zadržati samo na kvalitativnom opisu međudjelovanja

atoma i molekula. Na crtežu 8.1. prikazano je: kako sila ovisi o udaljenosti

dvaju atoma u dvoatomnoj molekuli i zavisnost odgovarajuće potencijalne

140



energije Ep(f) o toj udaljenosti. Kad su atomi na međusobnoj udaljenosti,

r = molekulaje u ravnotežnom stanju, apotencijalna energijaje minimaln?Kada je udaljenost, r < r^ atomi se odbijaju jakim silama, za udaljenosti,

r > r^ atomi se privlače. Odgovarajuće potencijalne energije zadovoljavaju

uvjet (5.25.), tj. F = -grad Ep. Jedna od važnijih karakteristika ovakvih sila

je zasićenost: čim se dva atoma privuku i formiraju molekulu, oni više nedjeluju na ostale atome.

Molekule svake tvari nalaze se u nesređenom, kaotičnom kretanju, pri

čemu nijedan smjer gibanja nema prednost pred ostalim. Intenzitet tog gibanjazavisi od temperature tvari.

Kod čvrstih tijela molekule (atomi) osciliraju (titraju) oko skoro fiksnih

centara koji su pravilno raspoređeni tvoreći kristalnu rešetku. U tekućinama

su međumolekulame udaljenosti nešto veće, privlačne sile slabije, te su mo-

lekule pokretljivije. U plinovima molekule su daleko jedna od druge, među-

molekulame sile vrlo su slabe te se molekule gibaju skoro slobodno i skoro

ne utječu jedna na dragu.

Veličina molekule je reda veličine nanometra, a masa reda 10'27 kg, radi

toga u svijetu atoma i molekula koristi se tzv. atomska jedinica mase:

lu = 1,66 • 10'27kg (8.1.)

koja je jednaka 1/12 mase atoma izotopa ugljika 6C12.

Već smo spomenuli razliku između mase i količine tvari. Za razliku od

mase koju mjerimo u kilogramima, jedinica za količinu tvari je mol (osnovna

jedinica SI):

Mol je količina tvari koja sadrži onolDd broj međusobno identičnih čestica (atoma, elektrona, protona, iona, itd.) koliko ima atoma u 0,012

kg čistog ugljika 6C12.

Broj molekula u 1 molu jedna je od osnovnih prirodnih konstanti, zovese Avogadrov’ broj i iznosi:

N0 = 6,023 • 1023 mol'1. (8.2.)

Molna masa je masa količine tvari od 1 mola. Ako je m masa tvari, n

broj molova, tada je molna masa:

n(8 .3 . )

1 Amadeo Avogadro (1776.-1856.), talijanski fizičar.

. 141



8.2. TEMPERATURA

U svim se tijelima čestice neprestano gibaju; to gibanje nazivamo toplin-sko gibanje. Zbog toga gibanja čestice posjeduju toplinsku energiju. Naš os-

jećaj toplijeg i hladnijeg ovisi o kinetičkoj energiji čestica tvari s kojom dolazi

u dodir. Dovedemo li dva tijela, hladnije i toplije u međusobni kontakt, čestice

s većom kinetičkom energijom u sudarima predaju energiju onima s manjom

energijom. Na taj način energija u obliku topline prelazi s jednog tijela na

drugo. Za tijelo koje pri tom gubi energiju kažemo da je toplije, a za ono na

koje energija prelazi da je hladnije. Prijelaz topline traje sve dok se ne uspo-stavi ravnoteža. Molekule koje se brže gibaju u toplijem tijelu predaju svoju

energiju molekulama hladnijeg tijela, usporavaju se i toplije tijelo se hladi;molekule hladnijeg tijela ubrzavaju se i tijelo se grije. U termičkoj ravnoteži

srednja kinetička energija istovrsnog gibanja molekula oba tijela je jednaka.

Da bismo odredili stupanj zagrijanosti nekog tijela, definiramo tempera-

turu. Temperatura je u vezi sa srednjom kinetičkom energijom molekulskog

gibanja. Kad dva tijela imaju jednaku srednju kinetičku eneigiju gibanja čes-

tica (atoma ili molekula), ako ih dovedemo u kontakt, toplinska energija neće

prelaziti s jednog na drugo; kažemo da su tijela na istoj temperaturi.

Temperatura je proporcionalna srednjoj kinetičkoj energiji čestica

tijela . Obično se temperatura ne mjeri u energetskim jedinicama već u kelvi-nima (K) i definira se izrazom:

\ k T = E l ' \ (8.4.)

gdje je k Boltzmanova konstanta (£= 1,38 • 10'^J /K ), a srednja kinttička

energija pojedinog stupnja slobode gibanja molekula, koja je npr. za translaciju

u smjeru ose x jednaka m v l / l . Umjesto translacije, mogući su, naravno i

drugi oblici gibanja, npr. rotacija i osciliranje molekula. U slučaju da se

molekule mogu gibati samo translacijski (npr. molekule jednoatomnog plina),

srednja ukupna kinetička energija je:

Budući da je pri translaciji v2 = 3v2 zbog ravnopravnosti svih triju smje-rova u prostoru je:

142





• Zapremina samih molekula se može zanemariti u odnosu na raspo-

loživu zapreminu sistema.• Srednja kinetička energija molekula je proporcionalna temperaturi

plina.Zbog toplinskog gibanja molekula, molekule plina djeluju na zidove

posude u kojoj se nalaze. Molekule plina udarajući u zidove posude predaju joj određenu količinu gibanja; promjena ukupne količine gibanja u vremenu

određuje silu kojom molekule plina djeluju na površinu zida posuda. Tlak

plina jednak je sili koja djeluje na jediničnu površinu.

Izvest ćemo jednadžbu stanja idealnog plina, tj. vezu između tlaka, volu-mena i temperature plina. Zamislimo da se plin nalazi u kutiji oblika kocke

brida a (crt. 8.2.).

Uzmimo u razmatranje jednu od N molekula koliko ih ima u kocki (i-tamolekula). Njena masa je m, a brzina:

v, = ?„+v* + vfc. (8.7.)

Prilikom savršeno elastičnog sudara sa zidom posude (onim koji je oko-mit na osu x) promijeni se x komponenta količine gibanja molekule za iznos:

AP* = 1™* ~ ( -m v j = 2 . ( 8.8.)

Promjena količine gibanja molekule jednakaje impulsu sile koji je primiozid. Budući da je molekuli potrebno vrijeme alvb sekundi da ode od jednogkraja posude do drugog kraja, odnosno 2a/vu za oba smjera, vrijeme izmeđudva sudara promatrane molekule u isti zid posude iznosit će:

144



A/ =

2a

(8.9.)

Sređnja sila kojom molekula djeluje na zid posude jednaka je ukupnomimpulsu sile koji zid primi u jedinici vremena:

. APt,Ft = - “ ■= 2mvb — =' Nt b 2 a a

To je bilo za jednu molekulu, dok za N molekula imamo:

n c N

V ‘

C A Px 1 ■'C1 2 S 2

F = = - > mvt =m— > v l ,

( 8.10.)

(8.11.)i-l

a3 V gdje .smo umjesto a pisali a = — = —. Iz definicije za tlak p = — , slijedida je tlak p : a S S

2(8. 12.)

Za makroskopske veličine, kao što su tlak i temperatura, koje nisu osobina pojedine molekule nego većeg broja čestica, važne su prosječne (srednje)

vrijednosti brzine i kvadrata brzine. Gibanjejekaotično i ima isti broj molekulakoje se gibaju u jednom i suprotnom smjeru. Srednji kvadrat z-komponente

brzine molekula je:

_ 2>; N

Uvrštavanjem ovog rezultata u izraz za tlak (8.12.) dobivamo:

Nmvt

(8.13.)

(8.14.)

plin:

Svi su smjerovi u posudi ravnopravni, te vrijedi:

v2 = v l + v ^ + v t = 3 v |. (8.15.)

Uzevši ovo u obzir, dobivamo relaciju između tlaka i volumena za idealan

p V = -N m v 2 = - N — = - N E k .

y 3 3 2 3 *

(8.16.)

Ovo je veza između tlaka plina i srednje kinetičke energije translacijemolekule, odnosno osnovna jednadžba kinetičke teorije plinova.

•145



Definirajući temperaturu, istakli smo da svakom stupnju slobode gibanja pripada srednja kinetička energija molekule kT/2. Translacija molekule imatri stupnja slobode, te je srednja vrijednost kinetičke energije translacije:

Et = E ^ + E ^ + E{ ; ] = ^ k T .

Efektivna brzina molekule v , = a/v^ jednaka je onda:

(8.17.)

(8.18.)

Uvrstimo li (8.17.) u (8.16.), dobivamo jednadžbu stanja idealnog plina:

p V = NkT. (8.19.)

Iz (8.19.) slijedi da jednaki volumeni različitih plinova, pri jednakomtlaku i temperaturi, imaju jednak broj čestica. To je Avogadrov zakon.

Pišemo li N = nN0, gdje je N0 Avogadrov broj (broj čestica u 1 molu

plina) a n broj molova plina, jednadžba (8.19.) poprima oblik:

PV=nN0kT=nRT. (8.20.)

Produkt Avogadrovog broja N0 i Boltzmanove konstante daje novu kon-

stantu R koju zovemo univerzalna plinska konstanta:

R = kN0 = 1,3805 • 10 '23 - • 6,0235 • 1023 - ^ - = 8 ,3 1 4 -^— .K mol molK

Volumen 1mola bilo kojeg plina pri normiranim uvjetima (T = 273 K,

p = 101325 Pa) jednak je:

, r 1,3805■ 10"23 — • 6,0235• 1023 - ^ - • 273K T/ - N ok l - _________ K__________mol ______ »0 p 101325Pa

Ko= 2^4 -10 -J — . '• (8.21.)mol

To je normirani molni volumen idealnog plina.Ako broj molova n u (8.20.) pišemo kao kvocijent mase m i molne mase

M, plinska jednadžba glasi:

p V = — RT. (8.22.) y M

Plinska jednadžba (8.19.) vrijedi za idealne plinove a, aproksimativnoza realne. Aproksimacija je to bolja što je temperatura plina viša, a tlak manji;odstupanja postaju znatna kad se plin približava točki kondenzabije, tj. prelaziu tekuće stanje.

146



8 .4 . A V O G A D R O V Z A K O N , D A L T O N O V Z A K O N

I Z A K O N E K V I P A R T I C I J E

Avogadrov zakon tvrdi da pri istom tlaku i temperaturi, jednaki volumenidva proizvoljna plina sadrže isti broj molekula. Ako za ta dva različita plinanapišemo jednadžbu stanja:

P V = N xkT ; P V = N t k T

pošto su parametri p, V i T za oba ta plina jednaki, slijedi da je:

N t = N 2

tj. u svakoj količini ima jednak broj molekula, što je suština Avogadrovogzakona.

Promatrajmo sada smjesu plinova u nekoj posudi zapremine V, koji senalaze u termodinamičkoj ravnoteži i međusobno ne međudjeluju. Jednadžbastanja za tu mješavinu glasi:

p V = (N, + N2 +... )kT = NkT, (8.23.)

gdje su N t, TVj, ..., brojevi molekula odgovarajućih sastojaka smjese, a N je ukupan broj molekula u posudi.

Iz izraza (8.23.), dijeljenjem sa V, dobivamo:

p = * L -kT + ^kT + ... (8.24.)

To znači da svaka ima svoj vlastiti tlak nezavisan od tlakova ostalih

komponenti smjese. Ovo vrijedi za idealan plin u kojem po pretpostavci mo- N N

lekule ne međudjeluju na udaljenostL Izrazi ~^~kT = p x, kT = p 2,... pred-

stavljaju tlakove koje bi svaki plin vršio kad bi se samo on nalazio u zapremini

V i oni se nazivaju parcijalni tlakovi. Relacija (8.24.) može se napisati u

obliku:

P = P \+Pi + - (8.25.)

i izražava Daltonov zakon. Daltonov zakon kaže da je u smjesi više plinova

koji međusobno kemijski ne reagiraju ukupan tlak jednak zbiru parcijalnihtlakova pojedinih sastojaka smjese.

Stupnjeve slobode definiramo kao različite vidove gibanja tijela. Njihov

broj za neko tijelo ili sistem tijela jednak je broju nezavisnih koordinata kojimamožemo opisati kretanje danog tijela ili sistema tijela. Naprimjer, najjed-

nostavniji slučaj imamo kod opisivanja gibanja točkaste mase, npr. jedne

. 147



molekule koju čini samo jedan atom. Ona ima tri translatoma stupnja slobode,

tj. njeno gibanje se može opisati pomoću tri nezavisno promjenljive veličine

(u pravokutnom Descartovom sustavu to su koordinate X, y i z).Ako pak imamo dvije međusobno nezavisne, tj. nepovezane točkaste

mase, onda nam treba šest međusobno nezavisnih koordinata da bismo opisali

gibanje ovog sistema od dvije točkaste mase. Njihove koordinate su: x,, y t,

z, i x2, y 2, z2. Kažemo da takav sistem ima šest stupnjeva slobode. Sistem N

međusobno nezavisnih materijalnih točaka, npr. N molekula idealnog plina,

ima, prema tome, 3 N stupnjeva slobode.Ukoliko, međutim, između dvije točkaste mase postoji kruta veza, onda

je za njihovo opisivanje dovoljno pet nezavisno-promjenljivih, jer se šesta

uvijek može izvesti iz poznate konstantne udaljenosti točkastih masa d, premarelaciji:

(x2 - x , ) 2 +(y2 - y ,) 2 +(z2 -z ,) 2 = d2 .

Od ovih pet stupnjeva slobode, tri mogu biti koordinate centra mase

sistema, a preostale dvije mogu biti dva

sistema u prostoru, što znači da su trirotacioni stupnjevi slobode, crt. 8.3.

kuta <p i 0 koji određuju pravac osestupnja slobode translatomi, a dva

Ako su pak dvije točkaste ma-se povezane elastičnom vezom,

onda će broj stupnjeva slobode togsistema biti šest, je r će, uz već spo-menutih pet stupnjeva slobode bitidodan šesti oscilatomi stupanj, tj.

šesta koordinata koja je udaljenost

r između točkastih masa. U ravno-težnom stanju ova udaljenost Js jed-

naka r^, a svaka promjena ravno-teže uvjetuje silu koja nastoji da

ponovo uspostavi ravnotežu.

Ako se ovo razmatranje primijeni na plinove, onda je jasno da jednoa-

tomne molekule ptina imaju tri translatoma stupnja slobode. Broj stupnjeva

slobode koji se pripisuju dvoatomnoj molekuli zavisi od tipa veze između

atoma. Taj broj sadrži ili tri translatoma i dva rotaciona stupnja slobode (sa

kmtom vezom) ili, pored svih pet još jedan oscilatomi stupanj slobode (ako

je veza elastična). Na osnovu relacije (8.17.), zaključujemo da slobodna mo-

lekula sa tri stupnja slobode, ima kinetičku energiju translatomog kretanja 3 -

1/2 JtT, tj. na svaki stupanj slobode otpada 1/2 kT kinetičke energije pošto su

svi translatomi stupnjevi slobode jednako vrijedni.

148



Ako ovu tvrdnju uopćimo, onda sistem sa s stupnjeva slobode ima ki-

netičku energiju:

Ovaj izrazje poznat kao zakon o ekviparticiji ili zakon jednake raspodjeie kinetičke energije po stupnjevim a slobode. Kod utvrđivanja iznosasrednje energije molekule treba voditi računa da dok na svaki translatomistupanj slobode i svaki rotacioni stupanj slobode dolazi po 1/2 k T energije,dotle na oscilatomi stupanj slobode dolazi dvostruko veća vrijednost tj. 2 •

1/2kT

=k T

srednje energije molekule. Ovo se objašnjava time što sutranslacija i rotacija molekula vezane uz prisustvo samo kinetičke energije

dok su oscilacije u vezi sa postojanjem i kinetičke i potencijalne energije.

Prema tome, broj stupnjeva slobode s jedne molekule se može napisatikao zbroj translacionih, rotacionih i oscilatomih stupnjeva slobode:

(8.27.)

a ukupna srednja energija je:

■= .k T e = j t > (8.28.)

gdje je:

(8.29.)

8.5. B A R O M E T A R S K A F O R M U L A

Jedan od dokaza realnosti gibanja molekula je fenomen Braunovog giba-nja koje je otkrio Robert Brown (1827.) promatrajući pod mikroskopom giba-

nje poienovog praha u vodi. Uvećana mikroskopom gibanja zmaca polena suizgledala kaotična, podsjećajući na fantastični divlji ples, pun sudara i obrta.

Eksperimenti su pokazali da takvo gibanje nije povezano s biološkim porijeklom čestica ili sa gibanjem tekućine, već ono postoji ako se sitne česticenalaze u plinovitoj ili tekućoj fazi ili jednostavno u nekom rastvom. Eksperi-menti su također pokazali da priroda Braunovog gibanja zavisi od osobinetekućine a ne zavisi od osobine čestica koje su rastvorene u njoj. Pri tome jeutvrđeno da brzina gibanja raste sa porastom temperature ili sa smanjenjemdimenzija čestica.

Kaotično gibanje molekula je razlog zašto se molekule plina uniformno

raspoređuju po raspoloživoj zapremini tako da svaka jedinična zapremina u prosjeku sadrži isti broj molekula. U ravnotežnom stanju tlak i temperatura

149



plina su također isti po cijeloj zapremini. To vrijedi u svim onim slučajevima

kad vanjska sila nije prisutna.Kao primjer ponašanja plinova u polju sile, promatrat ćemo utjecaj gravi-

tacijske sile na atmosferu Zemlje. Kad ne bi bilo termičkog gibanja molekula

zraka, sve one bi pod djelovanjem sile teže “pale” na Zemlju i oko Zemlje bi se formirao tanak “zračni” sloj. S druge strane, kad ne bi bilo sile Zemljaneteže, molekule zračnog omotača bi se uslijed kaotičnog gibanja raspišile svuda

po Svemiru. Postojanje zračnog omotača oko Zemlje je uvjetovano istovre-

menim postojanjem termičkog gibanja molekula i gravitacijske sile Zemlje,

što kao posljedicu daje točno definiranu raspodjelu koncentracije molekula

po visini u atmosferi, tj. promjenu tlaka sa udaljenošću od Zemlje.Izvedimo matematičku formulaciju

ove zakonitosti. Promatrajmo vertikalni zra-čni stup koji ima tlak p0 na povišini Zemlje,

*o = 0-Tlak na nekoj visini x je p. Kada se

visina promijeni za iznos dx, tlak se promi-

jeni za dp.

Pri tome se pod tlakom misli na težinuzračnog stupa iznad neke jedinične površinena izobamoj visini. To znači da je dp ustvariodređen razlikom težine stupova na visina-

ma x i x + đx:

p - (p + dp) = p gdx, (8.30.)

gdje je: p - gustoća zraka, g - gravitacijsko ubizanje. Gustoća zraka je jednaka produktu mase jednog molekula m i broja molekula u jediničnoj zapremini,

Crtcž 8.4.

koncentracija n = N/V.

p = m -n.

Iz jednadžbe stanja p V = NkT, može se dobiti koncentracija n kao:

-

(8.32.)" V kT

što uvrštavanjem u izraz (8.31.) daje:

mp p = -Hr. (8.33.)

kT

Kad se izraz (8.33.) uvrsti u (8.30.) dobivamo:

dp = - ^ - p d x k T y

(8.34.)

150



ili nakon razdvajanja promjenljivih,

± ,- % L đ, p kT (8.35.)

Pretpostavimo da se temperatura T ne mijenja s visinom (ovo se može pnhvatiti za relativno male promjene visine), možemo izvršiti integriranie jednadžbe (8.35.):

i n p ^ - ^ r + h C , (8.36.)

gdje je C integraciona konstanta koja se određuje iz početnih uvjeta, tj. za xo = P - Po> dobiva se C = p 0 pa jednadžba (8.36.) postaje:

P = P0e kT ■ (8.37.)

Jednadžba (8.37.) daje vezu između tlaka i visine i naziva se barometar-ska formula.

Ova formula može se koristiti za određivanje visine ako se zna tlak natoj visini i tlak na morskoj površim p0. U avionima je, naprimjer, ugrađen

instrument koji direktno pokazuje visinu aviona u metrima. Ovaj instrumentima također korekciju za temperaturu koja znatno opada sa visinom.

Pošto postoji lineama veza između tlaka p i koncentracije molekula,

prema jednadžbi, pV= NkT: p = N /V kT = rikT (8.23.), barometarska formulamože se transformirati u oblik:

_2£xn = n0e * (8.38.)

koji daje zavisnost koncentracije molekula n od visine x, gdje je n0 brojmolekula u jedinici zapremine na visini x0 = 0.

8.6. BOLTZM ANN OV ZAKO N

Barometarska formula (8.38.) izvedena je za plin koji se nalazi poddjelovanjem gravitacijske sile. Općenito govoreći, izraz mgx je potencijalnaenergija molekule, u gravitacionom polju na visini x, Ep = mgx.

Jednadžba (8.38.), znaći, daje informacije o broju čestica potencijalneenergije Ep u jedinici zapremine u gravitacijskom polju Zemlje:



Pri tome se relacija (8.38’) tnože poopćiti tako da se za polje sile može

uzeti bilo koje drugo polje u kojem čestice imaju potencijalnu energiju Ep.

Ova relacija se tada nazive Boltzmannov zakon. On nam omogućava da

odredimo onaj dio čestica koji u stanju termodinamičke ravnoteže ima energiju

Boltzmannov zakon nam daje raspodjelu molekula prema vrijednostima

njihove potencijalne energije u nekom potencijalnom polju sila podrazumi-

jevajući da se radi o skupu identičnih čestica u stanju kaotičnog termičkog

gibanja.

Sad nas interesira kako se molekule idealnog plina raspoređuju piema

vrijednostima njihove kinetičke energije, tj. prema intenzitetima njihovih br-

zina. Molekule plina imaju različite brzine i po veličini i po smjeru, koje se

uz to neprestano mijenjaju uslijed stalnih sudara.

Dok je raspodjela molekula po smjerovima ravnomjema, pošto su svi

smjerovi gibanja ravnopravni i, prema tome, jednako vjerojatni, dotle in-

tenziteti brzina molekula, koji mogu imati veličinu od 0 do « , uopće nisu

jednako vjerojatni. To se dešava zato što promjena brzina molekula pri suda-

rima nastaje slučajno. Pri tome su neke brzine molekula vrlo malo vjerojatne

(npr. beskonačno velike brzine ili veoma male brzine) dok 'su neke drage

n Iz relacije (8.39.) se vidi da dio čes-

tica n/n^ koji ima energiju U, zavisi sa-

mo od temperature, što znači da tempera-

tura sada možemo smatrati kao veličinu

od koje zavisi raspodjela čestica po ener-

gijama. Za izabranu temperaturu, diomolekuia koji ima energiju U vrlo brzoteži nuli kad U raste. To znači da je dio

molekula koje imaju vrlo visoku energiju

7) _ _ veoma mali. S drage strane, dio mole-

Crtež 8.5.

u kula date energije C/utoIiko je veći uko-

liko je temperatura viša.

8.7 . MAX WELLOVA RASPODJELA M OLEK ULA

IDEALNOG PLINA PO BRZINAMA

152



mnogo vjerojatnije, tj. češće zastupljene među molekulama. Tada je mogućeočekivati neku najvjerojatniju brzinu.

Funkciju raspodjele_/(v) molekula idealnog plina po vrijednostima njihove brzine prvi je teoretski ođredio J. C. Maxwell (1859.), koristeći se razmatra-njima baziranim na teoriji vjerojatnosti. Izvođenje funkcije/(v) prelazi razinu

prethodnog znanja iz fizike, pa ćemo to izvođenje ovdje izostaviti. Navestćemo konačan oblik/(v):

HTV2/ (v ) = Ae 2tTv2. (8.40.)

Funkcija _/(v) se zove funkcija raspodjele i poznavajući nju i ukupan

broj molekula N, možemo odrediti broj molekula ANy koje imaju brzine uintervalu brzina Av. Kvocijent:

AN ~ ^ = / (v)Av (8.41.)

daje onaj dio molekula čije brzine leže unutar danog intervala brzina Av.Može se reći da izraz (8.41.) daje vjerojatnost da će brzina molekula ležatiu intervalu od v do v + Av.

Očigledno je da zbroj svih skupova molekula ANy iz različitih intervala

brzina jednak ukupnom broju molekula N:

i i

dijeljenjem s N dobivamo:

E/(v»)AV|=l. (8.42.)/

Relacija (8.42.) predstavlja vjerojamost da će brzina molekule imati nekuvrijednost između 0 i oo. Pošto brzina molekule uvijek ima neku vrijednost,

prikažana vjerojatnost je vjerojatnost sigurnog događaja i, prema tome, jednaka jedinici. Ukoliko interval Av smanjimo prelaskom na diferencijalnuformu d v relacije (8.41.) i (8.42.) možemo pisati u obliku:

d N =j+ = f(v )đ v (8.43.)

J /(v)rfv=1.0

U slučaju (8.43.) kažemo da je funkcija / v ) no rm irana na jedinicu.

Koristeći ovu relaciju možemo izračunati faktor A, koji ne zavisi od brzinemolekule v. Uvrštavanjem (8.40.) u (8.43.) dobivamo:

153



(8.44.)

odakle je faktor A jednak:

r J Ae lkrv2dv = 1

o

A =1

r — , 1J e ™ v2đv

(8.45.)

Integral u nazivniku relacije (8.45.) može se riješiti uvođenjem smjene:

2kT V m V m

Uvrštavanjem u integral1 dobivamo:

Konačno funkcija raspodjele molekula po brzinama, poznata kao Max-

weIIova funkcija raspodjele ima oblik:

( 8 ' 4 6 ' )

Funkcija raspodjele je, ustvari, produkt dvije funkcije bizine, jedne ek-

sponencijalne e~ ^ , gdje je a = m/2kT i druge kvadratne, v2. Kad ih predsta-

vimo grafički kako je prikazano na crt. 8.6. i izmnožimo dobit ćemo funk-ciju/v).

Crtež 8.6.

Izračunajmo sada srednju vrijednost bizine molekula u nekom

plinu od N molekula. Ona se de-finira kao odnos zbira svih brzinasvih molekula i ukupnog broja mo-lekula. Broj molekula čije su bizi-ne u intervalu od v do v + dv je

Nflv)đv. Zbir btzina svih tih mo-lekula je vNfiy)dv. Da bismo našli

zbir bizina svih molekula koje ima-

ju sve moguće brzine, moramo in-tegrirati ovu funkciju preko svih

mogućih brzina od nule do besko-načnosti. Konačno zbir svih brzinasvih molekula je:

1 Vrijednost integrata uzet ćemo iz tablica

154



r

JvNf(y)dv

opa je srednja bizina v po definiciji:

• <0

v = — J vNf(v)dv = Jvf(v)<fi».

0 0

Uvrštavanjem vrijednosti za / ( v ) prema (8.46.) dobivamo:

- 4 ( « f 4 ( * f

v = 7 f e J |v e 2 i ^ = ^ f e J 7>-

Integrali tipa, /„ za neparan n = 2k+ 1, vode na tipski integral:

' J 2a* 2a 2 21, m )0 v

gdje je n = 3;A := l;a = mt2kT. Uvržtavanjem vrijednosti integrala /, u (8.48.)

dobivamo, srednju brzinu molekula plina:

(8.47.)

(8.48.)

- 18kT

V = i ^ r -(8.49.)

Na sličan način možemo dobiti srednju kvadratnu brzinu v2 , koja je po

definiciji:

v2=J v2/(v)</vili:

4 ( - » j

l n \ 2 k T ) J 7 n { 2 k T J

Ovaj integral za pame n iješava se na način:

I2 - J x e d x - , , 23^

o 2 <f 2‘

gdje je n = 2k, slijedi n = 4, k = 2; a = m!2kT

,3/2

(8.50.)

0 v y

Konačno srednji kvadrat brzine molekule

— _ 3 k f m

(8.51.)





Crtež 8.7.

Na crt. 8.7. uspoređene su tri krivulje raspodjele koje se odnose na ra-zličite temperature T[t T& T3 istog plina (ista masa m). Može se takođersmatrati da se radi o tri razna plina, dakie sa različitim masama molekula m u m2 i m3, ali pri istoj temperaturi. Pri tom za temperature vrijedi odnos:

Tt <T2<T3

a za mase molekula plinova vrijedi odnos:

Wi > m 2 > n *3-

Pri svemu ovome, površina koju bilo koja od krivulja raspodjeie zaklapas v-osom, zbog uvjeta normiranja (8.43.) je ista i jednaka jedinici.

8.8. RASPODJELA MOLEKULA EDEALNOG PLINAPO ENERGIJAMA

Kinetička eneigija translacije molekule mase m i brzine v jednaka je:

E = (8.54.)

Č esto je korisno da se raspolaže jednim izrazom za broj molekula kojeimaju kinetičku energiju translacije u određenom, unaprijed danom opsegu,

između E i E + dE. Iz relacije (8.54.) je:

dE = mv dv

tj-

157



(8.55.)^ dE dE dv = — = -------

mvm

^{imEf'dE.

Polazeći od raspodjele molekula po brzinania (8.43.), dobivamo:

Analogno za funkciju raspodjele molekula po energijama imamo:

(8.56.)

Sređivanjem relacije (8.56.) dobivamo:

(8.57.)

Ako sada pomoću funkcije raspodjele <p(E) izračunamo srednju energiju

po formuli: „

Maxwellova funkcija raspodjele je , ustvari, samo specijalan slučaj općeg principa raspodjele koji je izveo Boltzmann, gdje odnos (energija/kT) nijeograničen na kinetičku energiju translacije. Upravo doog tog uopćavanja ovafunkcija raspodjele se često naziva Maxwell-Boltzmannova raspodjelil, kojavrijedi za sisteme jednakih čestica, u kojima se može zanemariti međud-

jelovanje čestica, i koji se nalaze u teimodinamičkoj ravnoteži u nekom po-tencijalnom polju sile.

8.9. TERMODINAMEKA

8.9.1. Uvod

Termodinamika istražuje fizikalne procese koji se dešavaju u makro-

skopskim sistemima, tj. tijelima koja su sastavljena od velikog broja čestica(atoma, molekula, iona, itd.). Osobine i stanja tih sistema termodinamika prati

izučavanjem relacija koje postoje između topline, rada i energije, tj. razmatra

(8.58.)

odobit će se kao rezultat, već poznata vrijednost

(8.59.)

158



prijenos energije ovisno od fizikalnih osobina materijala koji učestvuju u tom

prijenosu.Termodinamika se zasniva na dva opća zakona prirode, na prvom i đru-

gom zakonu termodinamike. Na osnovu ova dva zakona moguće je logičkim

rasuđivanjem povezati mjerljiva svojstva materije, kao što su koeficijenti ši-renja, kompresibilnost, specifični i toplotni kapacitet, toplinske transformacije

i dr.

Inženjeri (strojarski, elektro) koriste principe i metode termodinamike

prilikom izrade proračuna za pame strojeve i turbine, motore sa unutrašnjim

sagorijevanjem, mlazne motore i hladnjake, dok ih kemijski inženjer koristi

u praktično svakom procesu u kojem dolazi do prijenosa topline, ili se javlja problem kemijske ravnoteže.

Termodinamika ne postavlja nikakve hipoteze o strukturi tvari. To jeeksperimentalna ili empirijska znanost.

8.9.2. Rad i toplina

Rad W izvršen u nekom termodinamičkom procesu koji je sistem preveo

iz početnog stanja 1 u konačno stanje 2 definira se kao:2

W = jsW, (8.60.)

gdje je 8 W infinitezimalni rad izvršen u infmitezimalnom dijelu tog procesa.Za proces integriranja u relaciji (8.60.) potrebno je znati putanju po kojoj sevrši integriranje, tj. proces kroz koji sistem prolazi, što znači da je rad fimkcija

procesa, pa stoga njegov diferencijal nije totalni i zato ga označavamo sa SW. Iz istih razloga se, onda, rad izvršen u toku procesa 1-2 piše kao:

2

W = j8W=Wt_2. (8.61.)

i

Promatrajmo idealni plin u cilindru s pomičnim klipom (crt. 8.8.). Za-grijavanjem cilindra, plin će se zagrijati, klip podizati i obavljati rad.

Pomakne li se klip za infinitezimalnu duljinu dx, izvršeni rad je:

dW = Fds = Fdx = pSd x= pdV, (8.62.)

gdje je dV povećanje volumena plina.

Da bismo iz (8.62.) izračunali rad za konačnu promjenu volumena plina,

potrebno je poznavati ovisnost tlaka o volumenu, p(V). Tada je:

159

P



p

\V x

V

Crtež 8.8.

(8.63.)

Ako znamo dijagram određenog procesa s idealnim piinom, rad je jednak

površini ispod krivulje p(V), crt. 8.8.

Tada npr. rad pri izobamom procesu (p = const.) je;

Ako se plin širi izotermno (T = const.), iz (8.20.), p = nRT/V i iz (8.63.)

Obično se u termođinamici upotrebljava slijedeći dogovor o predznaku

rada: pri ekspanziji (dV> 0), sistem (idealni piin) vrši rad i rad je pozitivan

(8 JV> 0); naprotiv, pri kompresiji (dV < 0) okolina vrši rad nad sistemom te

je rad negativan (8fV< 0).

Iz iskustva je poznato da postoji beskonačan broj različitih procesa u

kojima neki sistem može preći iz jednog stanja u drugo. Razmotrimo nekolikomogućih procesa danih na dijagramu (crt. 8.9.). Koliki je rad pri prijelazusistema iz stanja 1 u stanje 2.

Najveći rad koji sistem vrši jeste duž puta 1-4-2 (maksimalna površina),a najmanji duž puta 1-3-2 (minimalna površina). Duž ostalih mogućih putoval-4’-2, l-3’-2 i 1-2, rad poprima neke međuvrijednosti, što se može vidjeti

(8.64.)

n

dobivamo:

160



iz veličine površine ispod krivulja koje opisuju proces. Ako bi srajer stre-

lica promijenili, rad na sistemu bi ta-kođer pokazao različite vrijeđnosti.Možemo zaključiti da nema smi-

sla govoriti o radu sistema (iii radu usistemu) kao o temperaturi, tlaku, jerrad zavisi od procesa i nema jedno-

značnu vrijednost pri prijelazu iz jed-nog stanja sistema u drugo, tj. rad nije

osobina (parametar) sistema. Mate-

matički rečeno veličina SW nije to-

talni diferencijal.

Toplina je oblik prenošenja

energije. Toplina, kao i rad, nije vrsta

energije već fonna njenog prenošenja.

Toplina, također, nije osobina koju posjeduje sistem, pa njen điferencijal nije

pravi, pa ćemo ga označavati sa 6Q. Ukupna toplina koja je prenesena u procesu u kojem sistem iz stanja 1 pređe u stanje 2 je:

2

Q = ( S Q = a . 2. ( 8

.66

.)i 1

Raziičite količine topline treba dovesti tijelu da pređe iz jednog stanja udrugo ako se taj prijelaz vrši na različite načine. Naprimjer, zagrijavanjeizvjesne mase plina za AT u izohomom’procesu zahtijeva manju količinutopline nego isto zagrijavanje u izobamom procesu. Količina topline, za razlikuod energije, nije funkcija stanja sistema, je r zavisi od procesa promjene ovogstanja. Toplina i rad imaju zajedničku osobinu da postoje samo u procesu

prijenosa energije, i njihove brojne vrijednosti zavise od vrste ovih procesa.

8.93. Prvi zakon termodinamike

Prvi zakon termodinamike je, ustvari, princip očuvanja energije.Ovaj zakon je nastao postuliranjem određenih stajališta do kojih se došio naosnovu eksperimentalnih činjenica, koje već stoljeće i pol ništa nije dovelou sumnju.

U najopćenitijem značenju prvi zakon termodinamike tvrdi da je čisti protok energije kroz graničnu površinu sistema jednak promjeni energije sa-

mog sistema. Sa stajališta termodinamike dovoljno je razmotriti dvije vrste

161

P



protoka energije. Jedna vrsta protoka je izvršeni rad na sistemu ili rad koji

vrši sistem, a druga vrsta je protok topline ili zračenjem ili kondukcijom.

Ako sistemu ne dovodimo izvana energiju kažemo da je sistem toplinski

izoliran, te se plin može širiti i vršiti rad jedino na račun svoje unutrašnjeenergije. Unutrašnja energija je zbroj kinetičke energije toplinskog gibanja

molekula i potencijalne energije međumolekulamog djelovanja. U idealnom

plinu nema sila međudjelovanja među molekulama, te je unutrašnja energija

jednaka zbroju kinetičke energije svih molekula:

Unutrašnja energija tijela može se mijenjati a da se pri tom ne obavlja

rad. Dovedemo li dva tijela u kontakt, molekule tijela više temperature pre-

davat će energiju molekulama tijela niže temperature sve dok se njihove

temperature ne izjednače. Unutrašnja energija toplijeg tijela će se smanjivati,

a hladnijeg povećavati. Kažemo da energija u obliku topline prelazi s tijela

više temperature na tijelo niže temperature.

Unutrašnju energiju tijela možemo promijeniti na dva načina: vršenjem

rada nad tijelom i prijenosom topline. Tu činjenicu možemo izraziti i ovako:

Unutrašnja energija sistema povećava se obavljanjem rada na sistemu i

dovođenjem topline sistemu, a smanjuje se kad sistem obavlja rad, od-

nosno kada se toplina odvodi iz sistema:

Ovako napisan zakon o očuvanju eneigije naziva se prvi zakon termodi-

namike. 5Q i 8W nisu pravi diferencijali, ali dU jeste. Integriranjem relacije(8.68.) dobivamo: ,

Treba naglasiti da se unutrašnja energija sistema ne može identificirati

ni sa radom ni sa toplinom, je r se ove fizikalne veličine koriste samo u svezi

s razmjenom energije između sistema i okoline. Razmotrimo to na jedno-

stavnom primjeru trljajmo ciglu o podlogu pa će se ta cigla zagrijati, tj. radom,

trenjem smo cigli predali neku količinu energije. Do tog istog stanja možemo

doći i tako što ciglu postavimo na podlogu i izložimo je djelovanju sunca.

Konačno stanje cigle je u oba procesa isto, ali nam to ne daje za pravo da

tvrdimo da cigla na kraju prvog procesa “sadrži” više rada, a na kraju drugog

više topline. Cigla sadrži samo više energije, pa je porast unutrašnje energije

jednak u oba procesa, ako su u tim procesima početno i krajnje stanje isti.

(8.67.)

d U = 8 Q - 8 W . ( 8.68.)

AU = Q -W . (8.69.)

162





gdje smo koristili dU = 50. Općenito specifična toplina ovisi o temperaturi,tako da je količina topline koju trebamo dovesti da ugrijemo tijelo od početnetemperature do konačne temperature T2 jednaka integralu.

Q = m j cv{T )dT . (8-74.)

T,

Zagrijavanjem pri konstantnom tlaku tijelo se rasteže i obavlja rad protivtlaka. Stoga je potrebno dovesti veću količinu topline da bismo tijelo ugnjali

za određenu temperaturu. Unutamja energija promijeni se za:

dU=5Q-pdV=SQ-d(pV)+ Vdp .

Kako je tlak konstantan, zadnji član jednak je nuli, te imamo:

5Q = dU+d(pV) = d(U+pV). (8.75.)Veličina U + pV ovisi jedino o stanju sistema i zove se entalpija H.

Dakle, dovođenjem količine topline pri konstantnom tlaku za isto toiiko po-

veća se entalpija. Slično (8.72.) i (8.73.) definiramo specifičnu toplinu pri

konstantnom tlaku cp:

80 = mcpdT (8.76.)

1 dH

Cp m d T '

(8.77.)

Obje specifične topline praktično su jednake za tekućine i čvrsta tijela,

dok se za plinove znatno razlikuju.U idealnom plinu međumolekulame sile su zanemarene, te promjena

tlaka i volumena uz stalnu temperatum i time promjena razmaka među moleku-

Iama ne utječe na unutamju energiju: dakle unutamja energija je fimkcija

samo temperature plina.Za jednoatomske plinove, čije se čestice mogu gibati samo translatomo,

unutamja energija je na osnovu (8.22.) i (8.67.) jednaka:

U = n TT. = N - —k T = —— R T . (8.78.)* 2 2 M y

Specifična toplina pri stalnom volumenu onda je jednaka:

= j _dU_3_ f i

Cv m d T ~ 2 M

Entalpija jednoatomnog plina jednaka je:

H = U + p V = —— R T + — RT = —— RT 2 M M 2 M

(8.79.)

164



( 8.80.)

iz čega slijedi specifična toplina pri stalnom tlaku:

Vrijednost omjera:

1 dH

m dT

( 8.81.)

u dobrom je slaganju s izmjerenim vrijednostima za jednoatomne plinove.

Pri proučavanju unutamje energije dvo i više atomnih plinova treba, osimtranslatomog, uzeti u obzir rotacijsko i oscilatomo (vibracijsko) gibanje; ona

povećavaju unutamju energiju, a time i specifičnu toplinu.

8.9.5. Drugi zakon termodinamike

Prvi zakon termodinamike je posljedica zakona o očuvanju energije i ongovori o tome da uvijek mora biti ispunjen uvjet točnog omjera između ko-ličine topline i rada u bilo kojem procesu, ali ne govori ništa o smjeru odvijanja

procesa. Osnovm problem koji se nameće u svim procesima konverzije toplineu rad i rada u toplinu je u činjenici da u nekom cikličnom procesu uvijek

možemo sav rad prevesti u toplinu, ali svu toplmu ne možemo prevesti u rad.Dragi zakon termodinamike može se formulirati: Nemoguće je napravititoplotni stroj koji bi u periodičnom cikiusu svu dovedenu koiičinu topiine

pre tvorio u mehanički rad. To bi bio peipetuum mobile drage vrste.



Kad ne bi važio ovaj princip, brod bi se mogao kretati uzimajući energiju

(toplinu) iz mora (koja je ogromna). To bi bilo moguće po prvom zakonu

termodinamike, ali se protivi drugom a i iskustvu. Camot (Kamo) je prvi

spoznao da je za pretvaranje topline u meharučki rad potreban pad temperature,

i da se toplina može pretvoriti u rad samo ako postoji prijelaz topline, a za

to su potrebna dva spremnika topline različitih temperatura. Ma koliki bio

ogroman sadržaj topline mora ili zraka, ta se toplina ne može pretvoriti u rad

u toplinskim strojevima, ukoliko nemamo spremnik topline niže temperature.

Takvih spremnika nema, jer sva okolina ima jednaku temperaturu. Spremnik

niže temperature mogao bi se napraviti umjetnim putem, hlađenjem ispod

temperature okoline (hladnjacima). Ali taj bi postupak zahtijevao ulaganje

mehaničkog rada. Utrošak rada bio bi u najboljem slučaju jednak dobitku na

mehaničkom radu iz toplinskog stroja (u praksi nemoguće). Iz svega ovoga

se vidi da nije moguće sagrađiti parobrod čiji bi stroj iskorištavao toplinu

mora. Stroj koji bi to vršio bio bi neka vrsta perpetuum mobile.

Na kraju možemo zaključiti:

• Toplina sama od sebe prelazi samo s tijela više temperature na

tijelo niže temperature.• Toplina prelazi s tijela niže temperature na tijelo više temperature

samo uz naročito djelovanje izvana, tj. samo uz utrošak vanjskog

rada.

• Perpetuum mobile druge vrste njje moguć, tj. nije moguće kruž- nim procesom trajno uzimati toplinu iz jednog spremnika i pre-

tvarati u mehanički rad.

Na crt. 8.10a. dana je shema toplinskog stroja. Da bi se napravio toplinski

stroj, potrebno je imati dva rezervoara (spremnika) različite temperature: iz

onog više temperature stroj uzima količinu topline Q„ jedan njen dio pretvara

u rad W, a ostatak Q2 predaje rezervoaru niže temperature. Pri tome koeficijent

iskorištenja:

W Qt -Q2

Q Q (8.82.)

Slično rade i toplinske pumpe (hladnjaci): oni prenose toplinu s hladnijeg

na toplije tijelo uz utrošak rada. Na crt. 8.10b. dana je shema rada toplinske

pumpe (hladnjak). Kod hladnjaka u domaćinstvu, hrana (kockice leda) pred-

stavljaju hladni rezervoar, rad vrši elektromotor, a topli rezervoar je zrak u

okolini hladnjaka (u kuhinji).

I S. Caraot, francuski inženjer.

166



8.9.6. Entropija

Prvi zakon termodinamike, koji je ustvari zakon očuvanja energije, nedaje mogućnost određivanja smjera termodinamičkog procesa. ^ nj ega nemožemo odrediti smjer izmjene topline između dva tijela lazličitih tempera-tura. S gledišta I zakona termođinamike prijelaz topline sa hiadnjjeg na toplije

tijelo i obmuto jednako je vjerojatan. Prema ovome, parobi-od bi mogao uzi-mati toplinu iz mora pokretati svoje propelere i vraćati je nazad u oblikuhladne vode ili čak leda. Kao što nam govori iskustvo ovo je nemoguće.Sadržaj topline morske vode ili potencijalne energije je beskoristan je r nema

rezervoara sa hladmjom vodom ili nema nižeg potencijalnog nivoa vode.Promatrajući ove primjere možemo zaključiti da postoji “prirodan” tok

topline od toplijeg ka hladmjem, odnosno prirodan smjer pretvaranja energije: je od mehaničke energije ka toplini.

U termodinamici je bilo potrebno pronaći veličinu koja karakterizirasmjer termodinamičkog procesa. Ako su dana stanja jednog izoliranog sistemai ako je unutamja energija u oba sistema ista, da li je moguće naći kriterijkoji određuje koje se od ta đva stanja može uzeti kao početno stanje, a kojekao konačno stanje jednog procesa koji bi se u sistemu mogao zbiti? Da bi

riješili ovaj problem treba pronaći funkciju, koja je funkcija stanja sistema ikoja bi imala različite vrijednosti na početku i na kraju procesa. Nju je prvi pronašao Clausius (Klausijus) i naziva se entropija.

Kao i unutamja energija sistema, ona je funkcija samo stanja sistema, i,kao što se može vidjeti, ona ili raste ili ostaje konstantna u svakom mogučem

procesu do kojeg dolazi u izoliranom sistemu. Pomoću entropije dragi zakontermodinamike može se formulirati na slijedeći način:

Nisu mogući procesi u kojima bi dolazilo do sm anjenja en tropijeizoliranog sistema, ili, u svakom procesu do kojeg dolazi u izoliranomsistemu entropija sistema raste ili ostaje konstantna.

Dragi zakon termodinamike može se matematički iskazati kao:

Integriranjem dobivamo:

Veličina S naziva se entropija sistema, za koju vrijedi:

• Entropija sistema je definirana samo za ravnotežna stanja.• Iz relacije (8.84.) može se izračunati samo promjena entropije. U

mnogim praktičnim problemima, kao što je projektiranje pamih stro-

(8.84.)

• 167



jeva, u obzir dolaze samo promjene entropije. Za entropiju nekogsistema može se, kao pogodnije, uzeti da je entropija nula za nekoreferentno stanje tako da se svako drugo stanje te supstance može

definirati jednom numeričkom vrijednosti.• Entropija sistema u ravnotežnom stanju je funkcija samo stanja sis-

tema, i nezavisna je od njegove prethodne povijesti. Entropija se, prema tome, može izraziti kao funkcija termodinamičkih promjen-ljivih, kao što su tlak i temperatura, ili tlak i volumen.

« Promjena entropije može se izračunati na osnovu relacije (B.84.) samo

za reverzibilne (povratne) procese.Svi stvami procesi su ireverzibilni (nepovratni). Oni se zbivaju konačnom

brzinom, sa konačnim razlikama temperatura i tlaka između dijelova jednogsistema ili između jednog sistema i njegove okoline. Pokazuje se da jedan od

posljedica drugog zakona termodinamike je taj da entropija jednog izoliranogsistema raste u svakom prirodnom (ireverzibilnom) procesu. Jedan od razlogašto se u mehaniku uvodi pojam energije, količine gibanja jeste što se teveličine pokoravaju zakonima očuvanja. Entropija, naprotiv, ne ostaje očuvanaosim u reverzibilnim procesima.

Kad se čaša tople vode pomiješa sa čašom hlađne vode, toplota koju jetopla voda predala jednaka je toplini koju je hladna voda primila. Toplina uovom procesu ostaje očuvana, ili, općenito, energija ostaje očuvana. S drugestrane, dok se u procesu miješanja entropija tople vode smanjuje a entropija

hladne vode raste, smanjenje entropije nije jednako njenom povećanju i ukup-na entropija sistema je na kraju veća nego što je bila na početku. Odakle jedošla ova dodatna entropija? Odgovor je da je dodatna entropija nastala u

procesu miješanja tople i hladne vode. Također, kad je entropija jednomnastala, ona se ne može nikad više uništiti. Svemir mora trajno nositi ovajdodatni teret entropije. “Energija se ne može ni stvoriti ni unlštiti”.jtaže

prvi zakon term odinamike. “Entropija se ne može uniš ti tP kaže dru gizakon “ali se može stvoriti”.

Možemo zaključiti: “Eniropija izoliranog sistema raste u svakom prirod-

nom (tj. ireverzibilnom) procesu”.

8.9.7. Entropija i vjerojatnost

Prema Boltzmannu, entropija ima sasvim jednostavno statističko tuma-čenje. U ranijem izlaganju vidjeli smo da entropija izoliranog (sistem pre-

pušten sam sebi) sistema se ne može smanjivati, AS ž 0. S druge strane,očigledno je da će sistem koji je prepušten sam sebi prelaziti iz stanja manje

vjerojatnih u stanja veće vjerojatnosti. Dospjevši u najvjerojatnije stanje, sis-

168



tem će ostati u njemu neograničeno dugo. Prema tome, entropija i vjerojatnost

stanja izoliranog sistema ponašaju se na sličan način: one mogu ili rasti iliostati neizmijenjene. Iz ovih razloga izlazi da između entropije i vjerojatnostistanja sistema mora postojati određena veza.

Boltzmann je pokazao da ta veza ima sljedeći oblik:

S - k lnw (8.85.)

gdje je k Boltzmannova konstanta, w tzv. termodinamička vjerojamost stanja,

pod kojom se pođrazumijeva broj različitih načina pomoću kojih se možeostvariti dano stanje.

Termodinamička vjerojatnost, razlikuje se od matematičke, koja se obič-

no naziva jednostavno vjerojatnost. Matematička vjerojatnost nekog događaja jednaka je odnosu broja slučajeva koji su povoljni za posmatrani događaj prema općem broju jednako mogućih slučajeva. Prema tome, ona se izražavarazlomkom i ne prelazi jedinicu. Termodinamička vjerojatnost, naprotiv, izra-žava se cijelim brojem, po pravilu veoma velikim brojem.

Da bismo razumjeli smisao veličine w, promatrajmo slijedeći primjer. Neka se u posudi nalaze četiri molekule. Zamislimo da je posuda podijeljenana dva jednaka dijela, lijevi i desni, crt. 8.11. Zbog gibanja molekula njihovaraspođjela između dijelova posude će se mijenjati. Razmotrimo stanja koja

se razlikuju brojem molekula na Iijevoj i desnoj strani posude. Molekuleoznačimo slovima (a, b, c i d) i izračunajmo broj načina na koje može da

bude realizirano svako stanje.Rezultati izračunavanja dati su u tabeli

8.1. Od 16 mogućih raspodjela molekula iz-među polovina posude, šest odgovara istom

broju molekula s desne i lijeve strane, osamstanjima pri kojima se u jednoj od polovina

posude nalazi jedna molekula, a u drugoj

tri, a samo na dva načina mogu se dobitistanja pri kojima se sve molekule skupljaju

u jednoj polovini posude.

Svaka od molekula s jednakom vjerojatnosti može se nalaziti kako u

lijevoj tako u đesnoj polovini posude. Zbog toga se svaka od 16 raspodjcla

molekula ostvaruje jednako često. Prema tome, broj načina realizacije danog

stanja određuje vjerojatnost toga stanja.

Kako možemo vidjeti, u slučaju četiri molekule postoji velika vjerojatnost

(1/8) da će se sve molekule sabrati u jednoj polovini posude. S povećanjem

broja molekula, međutim, stanje se bitno mijenja. U tabeli 8.2. dati su brojevitačina realizacije različitih stanja za deset molekula.

Crtež 8.11.

.169



Tabela 8.1.

Stanjc Način realizacije stanja Broj načina

L D L D realizacije

0 4 a, b, c, d 1

a b, c, d

1 3 bc

a, c, da, b, d

4

d a, b, c

a, b c, d

a, c b, d

2 2a, d b, c

6 b, c a, d b, d a, c

c, d a, b

a, b, c d

3 1a, b ,da, c, d

c b

4

b, c, d a

4 0 a, b, c, d 1

Ukupno načina 24= 16.

U tom slučaju vjerojatnost da će se sve molekule sabrati u jednoj polovini

posude ravna je svega 1/512. U večini slučajeva (u 672 od 1024) u oba dijela

posude dobije se isti (5-5) ili skoro isti (6-4 ili 4-6) broj molekula.

Može se pokazati da je ukupni broj načina raspodjele 7/molekula između

dvije polovine posude jednak 2N. Zbog toga, ako je N broj molekula, naprjpijer

1020, onda će vjerojatnost da će se sve molekule sabrati u jednoj od polovina

posude biti vrlo mala (2 • 10'20).

Pretpostavimo da se u početku plin nalazio u lijevoj polovini posude

koja je pregrađom odijeljena od desne prazne polovine. Ako uklonimo pre-

gradu, plin će se proizvoljno raširiti po čitavoj posudi. Taj proces će biti

nepovratan budući da je vjerojatnost da će se, kao rezultat toplinskog gibanja,

sve molekule skupiti u jednoj od polovina posude, kako smo vidjeli, praktično

jednaka nuli. Prema tome, sam po sebi, bez djelovanja izvana, plin neće uspjeti

da se ponovo nađe u lijevoj polovini posude. Prema tome, proces širenja plina

na čitavu posudu je nepovratan zbog toga što je njemu obratni proces malo

vjerojatan. Taj zaključak se može proširiti i nadruge procese. Svaki nepovratni

proces je takav proces kojemu je obratni proces krajnje nevjerojatan.

170



Tabcla 8.2.

Đ roj raolekulaw

Lijeva strana Desna strana

0 10 1

1 9 102 8 453 7 1204 6 2105 5 2526 4 2107 3 1208 2 45

9 1 1010 0 1

Ukupno 210 = 1024.

>



9. ELEKTROMAGNETSKI VALOVI

9.1. ELEKTROMAGNETSKI TITRAJI (OSCILACIJE)

Elektromagnetslci titraji mogu se proizvesti u električnom titrajnom kru-

gu, koji se sastoji od zavojnice induktiviteta L i kondenzatora kapaciteta C

(crt. 9.1.), pri čemu se napon na kondenzatoru i struja kroz zavojnicu peri-

odično mijenjaju.

Kada je kondenzator nabijen (iz nekog vanjskog izvora, koji se išključi

kad je kondenzator nabijen), struja protekne kroz zavojnicu i pritom se kon-denzator prazni. Energija električnog poljakondenzatora pretvara se u energiju

magnetskog polja zavojnice. U zavojnici se javlja elektromotoma sila samoin-

dukcije koja se suprotstavlja promjeni kojom je izazvana (Lentzovo pravilo).

Kondenzator se ponovo puni ali suprotnog polariteta. Ovaj proces pretvaranja

električne eneigije u magnetsku i obmuto trajat će beskonačno dugo ako je

titrajni krug bez gubitaka. Kao rezultat toga nastaju električni titraji. Proces

je analogan mehaničkim titrajima (matematičko klatno) u kojem se potenci-

jalna energija pretvara u kinetičku i obmuto. Na crt. 9.2., dana su tri har-

monična oscilatora usporedno: matematičko njihalo, sustav elastične opruge

i mase i električni krug LC. Na crtežu je prikazan iznos ukupne energije za

osam slučajeva unutar jednog perioda titranja.

172



Matemaričko Idatno Elastična opruga LC krug Energija

' / » 0

e= e„

6=0

w=0

X»Jf0

L

- r - 1 /= 0

( £ , ) . » ,

Vm

m

r r P V s- | L

L r J

Ek+E p

0 = 0

l i

:

v* ~ vmax

m

x= 0 Q =0

r W n L

h H = - / „

(*»)=«

Am

\ l i l f ^m

L Ek+ Ep

M /

X-^^6=0

v= 0

W W W H Dm

x — x0 Q — Q

r W n L

/= 0

(^p)mtx

V¥Am

I H I M

m

L

L - i M

r ' = % / 0 = 0 /

V S V ^ ,

m

x = 0 Q =0

r i f p - L

h - / . / m

( £ » ) = ,

J l

0 0

m

W M m

r i f M L

h h -

Ek+E„

Crtež 9.2.

173



Posmatrajmo sada crt. 9.1., napon na kondenzatoru jednak je QIC, gdje je Q naboj, a C kapacitet kondenzatora. Inducirani napon £ na zavojniciuzrokovan promjenljivom strujom je prema Faradayevom zakonu indukcije:

dt

Oba ova napona su jednaka (II Kirchhoffovo pravilo):

Q _ j d l

C L d t '

(9.1.)

(9.2.)

Derivirajući po vremenu relaciju (9.2.) i uzimajući u obzir da je jačina

struje:

dobivamo:

I =dQ

dt '

d 2I + ——= 0.

dt2 LC (9.3.)

Ovo je jednadžba harmonijskih titranja i analogno jednadžbi (6.9.) frek-vencija osciliranja je:

■ 1 r L -7 1 c 2 nJT c

(9.4.)

Ovo je poznata Thomsonova formula za frekvenciju električnog titrajnogkruga.

U ovakvom titrajnom krugu oscilira električno polje medu pločama kon-denzatora i magnetsko polje u zavojnici. Da br se promjenljivo električno imagnetsko polje širilo prostorom u obliku elektromagnetskog vala, potrebno

je otvoriti titrajni krug. To se postiže povećanjem razmaka između pločakondenzatora i zavoja zavojnice, smanjujući tako kapacitet kondenzatora iinduktivitet zavojnice. Potpunim otvaranjem ploča kondenzatora i zamjenomzavojnice pravocrtnim vodičem (antena) dobiva se otvoreni titrajni krug,

koji se ponaša kao izvor elektromagnetskih valova. Na crt. 9.3. prikazan je jednostavan primjer elektromagnetskog vala,

harmonični ravni val. Električno i magnetsko polje prikazani su sa dvijemeđusobno okomite sinusoide, od kojih jedna predstavlja vektor E , a drugavektor B . Oba vektora osciliraju u fezi. Elektromagnetsko polje opisano jeMaxweIlovim jednadžbama, i iz njih možemo izvesti valnu jednadžbu zaelektromagnetske valove.



J. C. Maxwell' je postavio opću mntematičku teoriju elektriciteta i os-novne zakone elektrodinamike prikazao pomoću četiri jednadžbe. One suosnova klasične elektrodinamike i svih proračuna koji se odnose na elektro-magnetske valove i njihovo širenje kroz prostor. Č itav se elektromagnetizam

može objasniti pomoću ove četiri jednadJbe. One opisuju vezu izmedu elek-tričnog i magnetskog polja, te vezu ovih dvaju polja i električnih naboja.

Posmatrajmo ravni elektromagnetski val koji putuje u smjeru ose x uhomogenom izotropnom sredstvu bez struja i naboja. U tom slučaju na osnovuMaxwellovih jednadžbi možemo dobiti valne jednadžbe za električno i mag-

netsko polje:

# E y & Ey „

ćfcc

# B Z

ćbc2- e p

dt2

&B,

dt2= 0.

(9.5.)

Diferencijalne jednadžbe (9.5.) slične su jednadžbi (7.31.) koju zovemovalna jednadžba. Analogno jednadžbi (7.31.) možemo pisati za jeđnadžbu

elektromagnetskih valova:

&E}.

ax1

1 # E y

dtl= 0 , (9.6.)

gdje je v fazna brzina elektromagnetskih valova u sredstvu s određenim vri-

jednostima permeabilnosti i dielektričnosti:

I James Clark Maxwe)l (1831.-1879.), Skotski matematičar i fizičar, poznat po radovima iz elek-trodinamike i kinetičke teorije plinova.

175



(9-7.)V=VeJT'

Brzina širenja elektromagnetskog vala u vakuumu jednaka je:

1C -

= 299 792 458—

a t0 je upravo b m na sv je tlj ti uvakuumu, što ukazuje na to da je svjetlost

eiektrom ^êtski v ^ n a ista za sve frekvencije, odnosno valne duljine;

zato kaiemo da u vakuumu nema disperzije. U tom slučaju grupnabmna

(brzina širenja energije) jednaka je faznojbrzint.dielektričnost i permeabilnost ovisi o frckvenciji, tj. g j P° J _9e .

pri prijelazu elektromagnetskog vala iz sredstva s jednom brzrnom šrrcnja usredstvo s drugom brzinom širenja mijenja se valna duljina vala.

Najjednoftavniji oblik valnog gibanja nastaje kada rzvor valaoscilira. To posebno rješenje valne jednadžbe možemo p.sat. u oblrku analog-

nom za mehaničke valove (7.15.):

Ey = £0sincoH ) B. - B0 sinco t — .

(9.8.)

9.2. ELEKTROMAGNETSKI SPEKTAR

U pogledu fundamentalne prirode, nema razlike između svjetlosauh va-lova i ostalih elektromagnetskih valova, kao naprimjer omh koji potječu o

osedatornog ^ ^ . 0 3 ^ najduže elektromagnetske valove koji se mogu

proizvesti generatorima za naizmjeničnu struju. Ako generator okrećemo sporomožemo proizvesti proizvoljno malenu frekvenciju. Valna duljma koja zračr prijenosni električni vod (dalekovod) od 50 Hz iznosi:

X = —= ^ ^ - = 6000km ./ 50

Povećanjem brzine obrtanja generatora, frekvencija se može povećati do100 kHz. Više frekvencije se mogu proizvesti pomoću elektrićnog titrajnog

kruga, prema (9.4.): j

f = 2n VŽ.C '



r

Dr o ^ mr ,S,đJ a,OVi reda veličine centimetra (mikrovalovi) mogu se Z V U? klm e,ektronskim cijevima (klistron). Još kraći v K p ode se pomoću krugova pobuđenih vamicom Naikraći milrmvat

f 6*“ « kod M ^ v o o i h i k v .„lampa sa živmom parom nađeni su valovi duijine 4 mm Zračenie ^

^ izvora ide„ae„oJe p0 „o jho L b i

valovima dobtvemm iz električnog kruga. magnetskim

,, .,Syied0Sni ? ovi koji P0^ od emisije molekula i atoma, protežu se od

s f s vd * vd ov*’ preko v)d,iivo8 speto* *> \ f n eT Je’ molekule 1 «*»“ ' momjn Prethodno biti na

th do S T P°buđ,Vanje se Putem termičkog kretanja molekulaih do nje dolazi u procesima sudara pri električnom pražnjenju.

va Fm kh!U w mi!enU CnergijU emitiraju u obliku elektromagnetskih valo-

du ijk T J ^ P°JaVa' VCĆOj Cnergiji 2račenja ođ2°vara kmća valna

, , ^ k0 Se «tomi.b°mbardiraju eIektronima velike kinetičke energije može doćt do pobuđivanja unutamjih elektrona i povratak atoma u normalno stanje

CmJS,J0m enT e vrio kralke vable duljine. Usporavanje brzth elektrona tjcođer dovodt do pojave elektromagnetskog zračenja ovo

» l O - m ^ 6 (renđ«Cnsk0 ***& > i Pokriva valne duljiê od 10 m do 10- m. Granicu za dobtvanje još kraćih valnih duljina predstavlja protzvodnja elektrona velikih brzina. V J

Valovt još kraćih valnih duljinaprate spontano raspadanje atomskih jezgri p procesu radioakttvnog raspada, ovi valovi su poznati kao gama zračen^

Valov, sa najkraćim valnim duljinama stižu iz Svemira i nastaju u nu-

u ^ SC,nazivaju kozmleko zračenje. Danas nema praznina

u elelctromafftetskom spektru. Sve frekvencije od onih koje pripadajugLazračenju na jednom kraju spektra, do radio valova na dragom kraju, mogu se

proizvestjt prouča-vati. Svaki dio spektra preklapa se sa susjednim dijelom.

ako najkraćt valovt proizvedeni u rendgenskoj cijevi (X-zrake) kraći su od

najdužut gama zraka, također se preklapaju X-zrake sa ultraljubičastim itd.

e može se povući oštra granica između oblasti spektara, što pokazuje da je

fundamentalna priroda tsta i da se oblasti razlikuju samo po valnoj duljini

odnosno po načinu na koji su proizvedeni određeni valovi. Na crt 9.4. dat je'

spektar elektromagnetskog zračenja u funkciji valne duljine, odnosno frekvencije.

Optika je dio fizike koji proučava svjetlost i svjetlosne pojave. Svjetlost

je elektromagnetski val valne duljine od oko 380 nm do 780 nm; to je ono

zračenje koje djeluje na mrežnicu Ijudskog oka i uzrokuje osjet vida. Preostali

177

*



dio elektromagnetskog zračenja (toplinsko, ultraljubičasto, radiovalovi, itd.)

naše tijelo osjeća dragačije ili uopće ne osjeća. _

Mada je svjetlost elektromagnetske prirode i sadrži elektnčnu E i mag-netsku komponentu B , eksperiment pokazuje da fiziološko, fotoelektrično,

fotokemijsko i draga djelovanja svjetlosti izazvana su samo osciliranjem elek-tričnog vektora E . Suglasno tome mi ćemo pod pojmom svjedosnog vektora,

podrazumijevati vektor jačine električnog polja. Vektor jačine magnetekog

polja nećemo ni spominjati. Prema tome, jačina svjetlosnog vala može se

predstaviti zakonom po kojem se mijenja jačina električnog vektora:

A(x,t) = Aq cos(a t - kx), (9.9.)

gdje je A0 amplituda svjetlosnog vala.

178



Kao i svaki diugi val, i elektromagnetski val može prenositi energiju

oz Prostor. Srednja gustoća toka energije ili intenzitet proporcionalan

je am pli tu d. ja čine svjetlosnog vekto ra :

'*><?• (9.10.)

Ovu činjenicu ćemo koristiti u valnoj optici (interferencija, itd.).

9.3. G EO M ETR IJSK A OPTIKA

Razvoj pretpostavki o prirodi svjetlosti. Sve do sredine XVH stoljećavjerovalo se da se svjetlost sastoji od mlaza čestica. Ove čestice bivaju emi-

tuane od svjetlosnih lzvora (Sunce, plamen svijeće, itd.), One mogu da prođu

kroz providne tvan 1 odbijaju se od površine neprozimih predmeta. Kadačestice dospiju do oka, izazivaju osjećaj viđenja. Ova teorija je poznata kao

korpuskularna teorija i njen tvorac je bio Newton (Njutn). Koipuskulama

teonja uspješno objašnjava eksperimentalne činjenice kao'što su pravocrtno prostiranje svjetlosti, zakone odbijanja i prelamanja na graničnim površinama

Međutim, u isto vrijeme (1670.) C. Huygens (Hajgens) pokazuje da se

zakom odbijanja i prelamanja mogu objasniti na bazi valne teorije, koja u to

vnjeme mje b.la prihvaćena. Jedan od razloga da se odbaci valna teorija

shjedio je iz osobine valova da zaobilaze prepreke, što je u to doba bilo u

suprotnosti sa zakonom o pravolinijskom prostiranju svjetlosti. Pojava “savijanja svjetlosh oko mbova predmeta, kasnije nazvana difiakcija, tada je bila

zanemarena i sve do početka devetnaestog stoljeća bila je priznata samo korpuskulama teorija.

Eksperimenti T. Younga (Janga) i A. Fresnela (Frenel) 1827. godine

pokazab su da se interferencija svjetlosti ne može objasniti koipuskularaom

teonjom. Pojave mterferencije i difiakcije mogu se objasniti jedino valnom pnrodom svjetlosti. Stvama priroda svjetlosnih valova i sredine kroz koju seom prenose, ostala je neriješen problem. Prema Huygensu prazan prostor je

lspunjen elastičnom prijenosnom sredinom (eter). Međutim, da bi se objasnilavelika brzina svjetlosti, eter bi morao biti izvanredno čvrst, a on se kao što

znamo ne opire kretanju tijela (planete se kreću kroz eter bez smanjenia brzine).

Veliki korak u razvoju teorije svjetlosti dao je J. C. MaxweII (Maksvel)koji je teorijski pokazao (1873.) da titrajući električni krug zrači elektromag-

netske valove čija je brzina oko 3108 m/s, što odgovara eksperimentalnoodređenoj brzini svjetlosti. Ove teorijske pretpostavke potvrdio je eksjjeri-

179

P I



mentalno H. Hertz1 (Herc) koji je napravio titrajni kiug, koji je emitirao

elektromagnetske valove malih valnih duljina i koji pokazuju sve osobine

svjetlosti. Ovi valovi se mogu fokusirati pomoću specijalnih “leća”, polariziratiitd., isto kao i svjetlosni valovi.Maxwellova elektromagnetska teorija svjetlosti i njena eksperimentalna

potvrda od strane Hertza, predstavljale su jedno od velikih dostignuća ftzike

XIX stoljeća. Ali vrlo brzo se pokazalo da ni ova teorija nije univerzalna i

da ne može da objasni fotoelektrični efekt, tj. emisiju elektrona iz provodnika

pod djelovanjem svjetlosti koja pada na njegovu površinu.

Da bi objasnio fotoefekt Einstein (Ajnštajn) je 1905. godine, prihvatioideju koju je predložio Planck (Plank) i pretpostavio da energija svjetlosnogsnopa, umjesto da je raspoređena u prostoru u električnim i magnetskim po-

ljima elektromagnetskog vala, koncentrirana u male pakete (kvante energije)ili fotone.

Valna slika je zadržana, jer foton ima određenu frekvenciju i energiju

koja je proporcionalna frekvenciji (E - hv).

Konačnu potvrdu fotonskoj prirodi svjetlosti dao je Compton (Kompton)

koji je eksperimentalno pokazao da se prilikom “sudara” foton i elektron ponašaju kao materijalna tijela koja imaju kinetičku eneigiju i količinu kretanjai da pri sudaru te veličine ostaju očuvane. Fotoefekt i Comptonov efekt iduu prilog korpuskulame teorije.

Sadašnje stanovište fizičara, suočenih s očigledno kontradiktomim ek-sperimentima, sastoji se u prihvaćanju činjenice da je svjetlost dualističke

prirode .

Pojave kao što su interferencija, difrakcija i polarizacija objašnjavaju sevalnom prirodom dok se interakcija svjetlosti i materijalne sredine, u pro-

cesima emisije i apsoipcije, objašnjava korpuskulamom teorijom. >

Kasnije se pokazalo da dualistička priroda nije svojstvena samo svjetlosti(elektromagnetskim valovima) nego i ostalim elementamim česticama (elek-troni, neutroni, protoni, itd.).

9.3.1. Osnovni pojmovi

Mnoge optičke pojave mogu se razmatrati polazeći od pojmova o svjet-losnim zrakama. Dio optike koji se zasniva na tim pojmovima naziva segeometrijska optika. Pod zrakama se u izotropnoj sredini podrazumijevaju

1 Heinrich Hertz (1857.-1894.), njemački fizičar, prvi dobio clektromagnctskc valove i time po-tvrdio Maxwellovu teoriju.

180



linije koje su okomite na valne površine. Duž tih linija prenosi se svjetlosna

energija. Pnlikom presijecanja zrake se uzajamno ne ometaju. U homosenoisređini one se prostiru pravolinijski. 6 J

Pojmovi geometrijske optike su upotrebljivi samo dotle dok se moguzanemanti pojave mterferencije i difiakcije svjetlosnih valova Pokazuie seda je difiakctja manja što je manja valna duljina. Zbog toga se može reći da

je geometrijska optika specijalan slučaj valne optike koji odgovara iščeza-vajuće maloj valnoj duljini.

Skup zraka obrazuje snop.

Ako se produžene zrake presi-

jecaju u jednoj točki snop se na-ziva homocentričan.

Homocentričnom snopusvjetlosti odgovara sferna valna

površina. Na crt. 9.6. je prika-

zan sabimi, odnosno rasipni ho-

mocentrični snop. Specijalnislučaj homocentričnog snopa jesnop paralelnih zraka, njemuodgovara ravni svjetlosni vaL

Svaki optički sustav trans-formira svjetlosne snopove.Ako sustav ne narušava homo-

centričnost snopova onda se zrake koje izlaze iz točke P sijeku u jednoj točkiP \ Ta točka predstavlja optički lik točke P. Ako se lik bilo je točke predmetadobiva u obliku točke, lik se naziva točkasti ili stigmatičan.

U siučaju da snopu zraka odgovara valna površina dvostruke zakriv-Ijenosti, crt. 9.6., presjek zraka se ne nalazi u jednoj točki već u skupu točaka,

B’

Crtež 9.6.

.181



koje su raspoređene na dva uzajamno okomita pravocrtna odsječka. Takav

snop zraka nazivamo astigmatičan.Lik je stvaran (realan) ako se svjetlosne zrake u točki P’ stvamo sijeku,

crt. 9.5a., virtualan (nestvaran) ako se u točki P’ presijecaju produžeci zrakau smjeru koji je suprotan od smjera prostiranja svjetlosti, crt. 9.5.b. Realnilikovi neposredno osvjetljavaju postavljeni zastor (filmska projekcija). Vutu-alni lik ne može da izvede takvo osvjetljavanje, ali uz pomoć optičkih uređajavirtualni likovi mogu se pretvoriti u realne, npr. virtualni Iik se u našem oku

pretvara u realan i osvjetljava određeni dio mrežnjače.

9.3.2. Fermatov princip najmanjeg vremena

U homogenoj sredini svjetlost se prostire pravolinijski. U nehomogenojsredini svjetlosni valovi odstupaju od pravolinijske putanje.

Zakoni odbijanja i prelamanja mogu se izvesti iz općeg principa kojeg je francuski matematičar Fermat1 (Ferma) postavio je 1658. godine, i kojiglasi: “Svjetlost se prostire po putu za koji joj je potrebno najk raće vri-

jeme.”

Da bi svjetlost prešla dio puta ds potrebno joj je vrijeme, dt, tako da je:

(9.11.)

gdje je v brzina svjetlosti u danoj točki sredine. Uvedimo konstantu sredine

tzv. indeks prelamanja sredine, kao odnos brzine svjetlosti u vakuumu c i brzine u nekoj sredini v, tj.:

cn = —

Vdobivamo da jc:

dt = -n d s. c

(9»12.)

(9.13.)

Prema tome vrijeme x koje je potrebno da svjetlost pređe put od točke

1 do točke 2, može se izračunati prema formuli:

x = - f n ds .c j

(9.14.)

Prema Fermatovom principu vrijeme t treba da bude minimalno. Pošto je c konstanta onda će minimalna vrijeđnost biti ona za koju veličina:

1 Pierre de Feraiat (1601 .-1665.) veliki fiancuski fizičar i matematičar.

182



r

L = nds (9.15.)J

ima minimalnu vrijednost i ona se naziva optička duljina puta. U homogenoj

sredini optička duljina puta jednaka je proizvodu geometrijske duljine puta s i indeksa prelamanja sredine n:

L = n s . (9.16.)

Fermatov princip može se formulirati i na drugi način: Svjetlost se pro-stire po putu čija je optička duljina puta minimalna.

2

933 . Zakoni odbijanja i prelamanja svjetlosti

Zakoni prelamanja i ođbijanja svjetlosti proizlaze iz Fermatovog principa.Kada svjedost upada na granicu između dvije sređine (npr. zrak-voda) jedannjen dio se odbija (reflektira), a ostatak se prelama u tom sredstvu.

Neka svjetlost dospijeva iz točke A u točku B poslije odbijanja, crt. 9.7.Prema Fermatovom principu, svjetlost će se kretati po onoj putanji za koje

joj je potrebno najkraće vrijeme, odnosno putem za koji je optička duljina

puta minimalna. Pošto je sredina kroz koju svjetlost prolazi homogena, mini-mum optičke duljine puta se svodi na minimum geometrijske duljine.

Vrijeme potrebno da se pređe put AB je; / = (?,+ s^/v

_ V a J + X2 + ijb2'+ [d - x f

v

183



Iz uvjeta za nunimum, čbudt = 0,

slijedi:

x d - x

Ja2+ x2 ijb2 + {d - x f

ili prema crtežu:

sina = sina’

iz čega možemo zaključiti da je upa-

dni kut a jednak odbojnom kutu a ’,tj.:

a = a ’. (9.17.)

Sad nađimo točku u kojoj treba

da se prelomi zrak svjetlosti, koji pada

na graničnu površinu, da bi sdgao iztočke A u točku B, crt. 9.7a.

Prema Fermatovom principu svje-tlost se prostire onim putem za koji

je optička duljina puta minimalna. Za proizvoljni zrak optička duljina puta je jednaka:

L = n,s, + ^ 2 2 =>h'Ja2 + x2 +n1-^b2 + ( d - x f .

Da bismo našli minimum, nađimo prvi izvod L po x i izjednačimo dobiveni izraz sa nulom:

dx J a 2+ x 2 J b 2 + { d - x f

x je -

■Sikon prelamanja

x d ~~xPošto je — = sin a ,-------= sinp, dobivamo poznati Snellov1(Snel) za-

Ji

s ina ru,

sinp n,

gdje je n2 l relativni indeks preiamanja.

**2.1> (9.18.)

1 W. Snell van Royen (Snellius), 1581-1626, profesor u Leydenu.

184



r

93.4. Prelamanje svjetlosti kroz optičku prizmu

Prizma poređ leća predstavlja jedno od najvijednijih optičkih instrume-

nata. Optička prizma je napravljena od prozimog materijala indeksa prela-manja n, crt. 9.8. Neka je kut prizme 0 a sredina koja okružuje prizmu zrak.Upadni kut svjetlosne zrake sa normalom je a. Naš zadatak je da nađemo

kut skretanja 8.

Da bismo riješili ovaj zadatak treba samo primijeniti Snellov zakon za

prvu površinu, izračunati kut prelamanja, zatim iz geometrije odrediti upadni

kut za dragu prijelomnu površinu i ponovo primijeniti Snellov zakon. Sa crt.

9.8. lako se može vidjeti da je kut skretanja:

Može se pokazati da je kut skretanja minimalan kad zraka svjetlosti prolazi kroz prizmu simetrično, tj. kad je a = a , i 0 = 0,.

Uvrstivši ovaj uvjet u (9.19.) i (9.20.) dobiva se da su upadni i prijelomnikutovi jednaki:

8 = (a - p) + (a, - p,) = a + a , -(3 + 3,) (9.19.)

pri čemu je kut prizme jednak:

0 = Y= 3 + 3 i - (9.20.)

(9.21.)

(9.22.)

Crtež 9.8.

185

k



Prema Snellovom zakonu indeks prelamanja prizme može se izraziti

preko njenih karakterističnih veličina, kuta prizme 0 i kuta minimalne devi-

jacije 8 . Ako je kut prizme malen, malen je i kut skretanja, pa u tom slučajumožemo sinuse zamijeniti njihovim kutovima. Tada relacija (9.22.) prelazi u:

S*.«e(B-l). (9.23.)

9.3.5. Prelamanje na sfernoj površini

U većini slučajeva, površine svih leća i ogledala su sfeme ili ravne, jer

je takve površine najlakše obraditi mašinskim putem. Kada svjetlosni valovi prolaze kroz optički instrument, površine valnih frontova mijenjaju se na

svakoj graničkoj površini. Međutim, valni front koji je prvobitno bio sferanili ravan, neće poslije prelamanja na sfemoj površini imati jednostavan oblik.Zbog toga je praktično nemoguće analizirati prolazak svjetlosti kroz nekioptički instmment služeći se predstavom o valnim površinama, te je ovdje

nužno uvesti pojam “zraka” svjetlosti. Zraka je pri svom prolazu kroz optičkiinstrament sastavljena od više odsječaka pravih linija, koje na odbojnim ili

prelomnim površinama skreću za kutove koji se mogu dobiti iz zakona od-

bijanja i Snellovog zakona. Prema tome, problem putanje zrake svodi se nageometrijski problem pa se ova grana optike naziva geometrijska optika, mada bi bolji naziv bio trigonometrijska optika.

Prije iješavanja određenog problema potrebno je usvojiti neki dogovor,koji se može definirati na ovaj način:

1. Slike crtamo tako da svjetlost pada na odbojne ili prelomne površineša lijeve strane.

2. Udaljenost predmeta od tjemena p smatramo pozitivnom kada predmetleži lijevo od tjemena prelomne ili ođbojne površine.

3. Udaljenost lika od tjemena /, smatramo pozitivnom ako lik Ieži desnood tjemena.

4. Poluprečnik krivine R smatramo pozitivnim ako centar krivine Iežidesno od tjemena.

Uzimamo da su dvije homogene providne sredine sa indeksima prela-manja n, i n2 podijeljene sfemom površtnom poluprečnika krivine R sa centrom

u točki C. Prava koja prolazi kroz centar krivine C i točku O naziva se osasustava, a točka O naziva se tjeme prijelomne povišine.

Posmatrajmo prolaz homocentričnog snopa kroz konveksnu (ispupčenu)sredinu indeksa prelamanja n2 > n, (crt. 9.9.) Uzet ćemo samo zrake koje

obrazuju sa optičkom osom male kutove, ovakve zrake nazivaju se paraksi-

186





Zamjenivši (9.28.) u (9.27.), dobija se zakon prelamanja na sfernoj površini

”■ , <h

p l R(9.28.)

Ova relacija ima opći značaj za prelamanje na sfemoj površini uz pri-hvaćanje konvencije o znacima. Rastojanja virtualnih veličina uzimaju se

negativna, dok se radijus krivine R mora smatrati algebarskom veličinom: za

konveksnu površinu on je pozitivan, a za konkavnu površinu negativan.Veličina:

0 = ^ ^ (9.29.)

naziva se optička moć (jačina) prijelomne površine i predstavlja karakteristikuza datu sredinu i datu prijelomnu površinu. Zrake koje zaklapaju veće kutove8 sa optičkom osom, poslije prelamanja neće se sjeći u jednoj točki što značida će snop prestati da bude homocentričan.

Ako posmatramo snop paralelnih zraka, tj. zraka koje dolaze iz besko-načnosti, poslije prelamanja ovaj snop će prolaziti kroz jednu točku kojunazivamo drugom glavnom žižom (fokus, žarište), a rastojanje OF2 dmgomžarišnom (žižnom) daljinom prijelomne površine, crt. 9.10. Očito da je pri

P - žižna daljina f 2 = I. Obmuto, ako pretpostavimo da je lik u besk-onačnosti, tj. / = oo, predmet se nalazi u prvom žarištu, p = / „ crt. 9.11.

V eličin a/ naziva se prva glavna žarišna daljina. Iz odnosa ovih relacijadobiva se:

'h ~«i ' h - ' h R. (9.30.)



r

Vidimo da su glavne žarišne daljine proporcionalne indeksima prelamanja

sredine u kojima se nalaze. Dijeljenjem relacija (9.30.) dobija se:

4 = - (9-31-)/

Ako jednadžbu (9.28.) podijelimo sa (n^ - nt)/R i iskoristimo relaciju

(9.30.) dobijamo relaciju: , ,= (9.32.)

P 1

Lik predmeta može se odrediti i grafičkom metodom korištenjem karak-

terističnih zraka, crt. 9.12.

Zraka (1) je paralelna sa optičkom osom i stoga, poslije prelamanja prolazi kroz drugu žižu F2. Zraka (2), koja pada normalno na površinu prolazikroz centar zakrivljenosti i ne lomi se. Zraka (3) prolazi kroz prvu žižu F, inakon prelamanja paralelna je sa osom. Za nalaženje lika dovoljno je znati

točku presjeka bilo koje dvije zrake.

Ako rastojanja p i / izrazimo kao:P = fl+ X »l= f2 + Xl> (9-33-)

gdje su i x2 rastojanja predmeta P i lika L od žanšta F, i F2, i uvrstimo u jednadžbu (9.32.) dobit ćemo Newtonovu fonnulu za prelamanje na sfemoj

površini:

/ r / 2= * r * 2- (9-34-)

Jednadžbe (9.28.), (9.31.) i (9.34.) su potpuno ekvivalentne jedna drugoj.Svaka od njih omogućava da se prema položaju točkastog predmeta nađe

njegov lik.U slučaju da svjetlosne zrake, koje padaju na sfemu površinu radijusa R,

doživljavaju totalnu refleksiju, takvu površinu nazivamo sfemim ogledalom.

189

L



Jednadžbu konveksnog sfemog ogledala možemo dobiti ako u relaciji (9.28.)

p l R ' (9.35.)

Analogno tome jeđnadžba za konkavna sfema ogledala glasi:

p + 1 R ' (9.36.)

U slučaju kad imamo ravno ogledalo, tj. R = oo iz relacije (9.36.) slijedi

da je:l = -p . (9.37.)

Pošto je daljina predmeta p uvijek pozitivna (predmet je realan), slijedida je / < 0, znači lik kod ravnog ogledala je virtualan i nalazi se na istomrastojanju iza ogledala na kome je predmet ispred ogledala.

Položaj lika dobijenog sfemim ogledalom moguće je također odreditigrafičkom metodom, koristeći karakteristične zrake, crt. 9.13.

Crtež 9.13.

Sa crteža se može lako vidjeti da je:

£ - 2 / = £

2 / - / l

ođakle se može dobiti jednadžba sfemih (konkavnih) ogledala:

I 1 = 1P l / '

(9.38.)

(9.39.)



Optička leća naziva se tijelo, izrađeno od homogenog providnog materijala i ograničeno površinama, od kojih makar jedna ima radijus krivine različitod nule. Obično su povrišine, koje ograničavaju leću, sfeme. Kao materijal zaizrađu leća za vidljivu svjetlost služe razne vrste stakla. Za ultraljubičastusvjetlost, leće se prave isključivo od kvarca, dok za infiacrvenu svjetlost lećese prave od germanija, kamene soli, KG, kvarca i drugih materijala koji slaboili nikako (Ge) ne propuštaju vidljivu svjetlost.

Prosta optička leća predstavlja sustav od dvije sfeme površine, crt. 9.14.

Ako se razmak između njihovih tjemena može zanemariti u odnosu na di-

menzije leće (a •« R), takva leća se naziva tanka. Neka je leća napravljena

od materijala indeksa prelamanja t i nalazi se u sredstvu indeksa prelamanja

n0 (npr. zrak n0 = 1). Prelamanje svjetlosti može se posmatrati kao prelamanjena dvije sfeme površine radijusa zakrivljenosti Rt i R2.

9.3.6. Tanka optička leća (sočivo)

Neka su O, i 0 2 tjemena sfemih površina i neka je razmak a između

njih zanemariv u odnosu na radijuse zakrivljenosti.

Pošto je leća sastavljena od dvije sfeme površine, to ćemo jednadžbutanke leće naći na taj način što ćemo naći položaj lika predmeta s obzirom



na prvu (konveksnu) površinu L’, zatim ćemo taj lik, uzeti kao predmet zadnigu sfemu površinu (konkavnu) i naći položaj lika L, koji daje leća.

Jednadžba prelamanja na prvoj (konveksnoj) površini, prema relaciji(9.28.) i uz ograničenje na paraksijalne zrake glasi:

*0 , n - n ,

Pi h Ri(9.40.)

Pošto lik L’ služi kao predmet za dmgu (konkavnu) površinu, predmet je virtualan pa je prema dogovora, negativan predznak uz p 2. Prema relaciji(9.28.) jednadžba prelamanja na dragoj površini ima oblik:

” , ”o

~P2 ^ -R iSabiranjem relacija (9.40.) i (9.41.) i uz pretpostavku da je leća tanka

p 2 » /,, dobivamo jednadžbu tanke leće:

1^1 n-Hpf

P l «o

J _ _1_

A +R2

(9.41.)

(9.42.)

J _ J _

*h+R2(9.43.)

Ako se predmet nalazi u beskonačnosti lik se nalazi u žarištu, tj. p = oo,

/ = / i obmuto ako je predmet u žarištu lik je u beskonačnosti. Ako se lećanalazi sa obje strane u istom sredstvu ta d a je / =f Uvrstimo li ovo u jednadžbu(9.42.) dobit ćemo izraz za žarišnu daljinu leće:

« - « o |

/ «o

Recipročna vrijednost žarišne daljine naziva se još i optička moć (jačina)leće. Lako se može vidjeti da je optička jačina tanke leće jednaka zbiraoptičkih jačina sfemih površina: *

D = D ,+ D 2. (9.44.)

Pošto je n > n^, predznak optičke jačine zavisi od predznaka I — + — j .

V.-R, A .)Ako je D pozitivno, tada se radi o sabirnoj leći. Kod sabime leće paralelan

snop svjetlosti poslije prelamanja u leći skuplja se u njenom dragom žarištu

F2 crt. 9.15a.

Ako je D negativno, tada se radi o rasipnoj leći. Kod rasipne leće paralelan snop svjetlosti poslije prelamanja kroz leću obrazuje divergenmisnop zraka, čiji se produžeci presijecaju u drugom žarištu, crt. 9.15b.

Kod izračunavanja optičke moći sabimih ili rasipnih leća, treba se držatikonvencije: ispupčene (konveksne) površine imaju pozitivan centar zakriv-

192



D>0, />0 D<0, / <0

ljenosti, a udubljene (konkavne) površine imaju negativan centar zakrivlje-

nosti.Sabime leće mogu biti: (a) bikonveksne, (b) plankonveksne i (c) kon-

veksnokonkavne, crt. 9.16. Rasipne leće mogu biti: (a) bikonkavne, (b) plank-

onkavne i (c) konkavnokonveksne, crt. 9.17.

Crtež 9.16. Crtež 9.17.

Jedinica za mjerenje optičke moći je dioptrija. Leća ima optičku moć

jedne dioptrije, ako joj je žarišna daljina 1 m.

1D = Im“l.

193



9.3.7. Centrirani optički sustav (sistem)

Optički sustav predstavlja skup odbojnih i prijelomnih površina koje

razdvajaju jednu od druge optički homogene sredine. Obično se optički sustavsastoji od više sabimih i rasipnih Ieća. Optički sustav je centriran ako centri

zakrivljenosti svih odbojnih i prijelomnih površina leže na istom pravcu. Taj

pravac naziva se optička osa sustava. U slučaju idealnog centriranog sustava,homocentričan snop će poslije prolaska kroz njega ostati homocentričan.

Zrake koje idu sa lijeva nadesno (1), paralelno sa optičkom osom sijeku

se u točki F2 koja Ieži na optičkoj osi i naziva se drugo žarište (fokus) sustava.Analogno, zrake koje dolaze sa desna nalijevo (2) paralelno sa optičkom osom

sustava, sijeku se u točki F, koja se zove prvo žarište sustava. Točke H i H’nazivaju se glavne točke sustava, a ravni MN i M’N’ glavne ravni sustava,

crt. 9.18.

Ako su poznati položaji glavnih ravnina i žarišta sustava, tada se za dati

položaj predmeta, može naći položaj lika koji daje sustav, kako je prikazanona crt. 9.19.

194



Iz trokutova, AF,HN i ABNM, slijeđi đa je:

£ = NH p NM

a iz trokutova F2M’H’ i B’N ’M’ slijedi da je;

A _ M’H’

/ M’N’ '

Ako saberemo ova dva izraza i uzmemo u obzir da je MN = M’N ’,

dobijamo Gaussov oblik jednadžbe optičkog sustava:

£ + £ = 1. (9.47.)P l

Ako uvedemo zamjenu, p =f\+X\ i / =^+x2, dobivamo Nevvtonov oblik:

(9.45.)

(9.46.)

*i *2 ~ f \ f i • (9.48.)

Vidimo da se kod tanke leće glavne točke H i H’ poklapaju. Ako se leča

nalazi u istoj sredini sa obje strane tada je / , = f2= f i izrazi (9.47.) i (9.48.)

mogu se primjeniti na tanku leću.

93.8. Debela leća

Debela leća je takva leća kod koje se razmak između tjemena ne može

zanemariti u odnosu na dimenzije leće.-

Uzmimo debelu leću, prikazanu na crt. 9.19. Da bismo odredili položajdrugog žarišta F2, koristit ćemo paralelnu zraku koja dolazi od beskonačno

Crtež 9.20.



udaljenog točkastog predmeta, kao što smo to i ranije radili. Znači, uzimamoda je p x= oo, nalazimo položaj lika poslije prelamanja na prvoj sfemoj površini,taj lik je virtualni predmet za drugu sfemu površinu, poslije prelamanja nadrugoj sfemoj površini zraka prolazi kroz žarište F2.

Da bismo odredili žarišnu daljinu debele leće, poslužimo se crt. 9.20.Zraka pada na prvu površinu u točki A, na visini h iznad ose, i napušta

dmgu površinu u točki D, na visini h’. Produženjem upadne i izlazne zrake'određuje se položaj dmge glavne ravni i dmge glavne točke H’.

Iz sličnosti trokutova ABG i DCG, i u granicama točnosti za paraksijalnezrake (razmak između O, i B, kao i razmak između 0 2 i C, možemo zanemariti)dobijamo:

h h'

f. ~Pi

(9.49.)

Rastojanje p2 je negativno, jer lik formiran prvom površinom predstavljavirtualan predmet za dmgu površinu.

Iz sličnih trokutova EH’F2 i DCF2, nalazimo:

f ~ k

(9.50.)

Dijeljenjem ovih izraza dobivamo izraz za žarišnu daljinu, debele !eće:(

/ = ',V.

k

Pi(9.51.)

93.9. Složene Iećet

Da bi se smanjile aberacije, večina leća u optičkim instmmentima susložene, što znači da se sastoje od nekoliko prostih leća koja imaju zajedničkuosu. Površine susjednih leća mogu biti u kontaktu, ili između njih se moženalaziti zrak. Svaka složena leća, ima dva žarišta i dvije glavne točke. Ras-tojanje između svakog žarišta i njegove odgovarajuće glavne točke jednako

je žarišnoj daljini. Gaussova i Newtonova jednadžba leća primjenjuje se, kakona složene, tako i na proste leće. Ako su elementi složene leće suviše debeli

da bismo ih smatrali tankom lećom, položaj žarišta mora se naći računom od povTŠine do površine kao za debelu leću (9.51.).

Za specijalan slučaj, kad se složena leća sastoji od dvije tanke leće sažarišnim daljinama/J i/2, razmaknuta rastojanjem d, crt. 9.21., izraz za žarišnudaljinu je jednostavan.

196



- P l

_________/flfi.

Crtež 9.21.

Upadna zraka koja jc paralelna optičkoj osi, koja prolazi kroz žarište F2,efektivno trpi samo jedno skretanje na drugoj glavnoj ravni. Sa crt. 9.20. lako je uočiti slijedeće:

P i=°°

h =f\ (9.52.)

Pi = -(h ~ đ )-

Na osnovu jednadžbe za tanku leću, možemo pisati:

J _ + l _ J_

Pi h ' f i ' (9.53.)

Iz jednadžbe (9.52.), (9.53.) dobivamo jednadžbu složene leće, sastavljeneod dvije tanke Ieće:

J_ = J_ J ____ d_

f f + A f A ' U specijalnom slučaju kad su leće u kontaktu,

jednadžba (9.54.) se svodi na (9.55.):

(9.54.)

razmak d je ravan nuli i

1 = 1 J- f f + h (9.55.)

‘ 197



Omjer lineramih dimenzija lika L i predmeta P, naziva se linearno ili poprečno (transverzalno) uvećanje sustava. Ako ga označimo sa a , možemo

po definiciji pisati:

9.3.10. Uvećanje optičkog sustava

Iz relacije (9.57.) vidimo da lineamo uvećanje ne ovisi o veličini predmeta(u aproksimaciji paraksijalnih zraka). Zbog toga će lik ravnog predmeta koji

je okomit na optičku osu biti sličan predmetu. Naprotiv, Iik predmeta koji jeopmžen duž optičke ose neće biti sličan predmetu, što proizilazi iz zavisnostilineamog uvećanja od veličina x t i x2.

Pošto je ovo čest slučaj, za razmatranje ove osobine sustava, uvodi se

uzdužno ili longitudinalno uvećanje P, koje se definira kao odnos dužinelika dx2 i dužine pređmeta dxt, predstavljenog duž optičke ose sustava:

Veza između transverzalnog i longitudinalnog uvećanja dobije se iz re-lacija (9.57.) i (9.59.):

Prema tome, longitudinalno uvećanje je jednako (negativnom) kvadratutransverzalnog uvećanja. Znači, ako je predmet vrlo mala kocka na osi leće,njegov lik neće biti kocka, već pravokutni paralelopiped čija će dužina bitiveća od širine.

U općem slučaju (izuzev kad je a = ±1), predmet i lik nisu slični. Minusu formuli (9.59.) pokazuje da su dxx i dx2 suprotnog znaka.

L(9.56.)

Sa crt. 9.19., se vidi, da se ovaj odnos može izraziti preko / , \ f 2.

(9.57.)

(9.58.)

Diferenciranjem Newtonove formule (9.57.) dobivamo da je:

X|tfe2 + .x2d!c1= 0,

odnosno

dt, x,(9.59.)

(9.60.)

198



Relacije koje smo izveli za leće i ogledala, koje daju vezu između uda-

ljenosti lika i predmeta, žarišnih daijina i poluprečnika krivine, izvedene suiz jednadžbe za prelamanje na sfemoj površini koja vrijedi samo za paraksi-

jalne zrake. Pri ovome se smatra da sredina kroz koju prolaze zrake imakonstantan indeks prelamanja za sve zrake.

Međutim, u praksi zrake koje padaju na leće ne samo da nisu paraksijalne,

nego mogu da leže i van optičke ose. Prema tome neparaksijalne zrake koje

potiču od date točke predmeta neće se, u općem slučaju, poslije prelamanja

sve sjeći u istoj točki. Lik koji se formira ovakvim zrakama neće biti oštar.

Pošto žarišna daljina ovisi od indeksa prelamanja, u slučaju polihromatske

svjetlosti lik će biti obojen, čak i za paraksijalne zrake. Odstupanja stvamoglika od predviđene teorije (tzv. teorija prvog reda) nazivaju se aberacije

(nedostaci).

Ovdje je potrebno naglasiti da aberacije ne potiču od nekakve pogrešne

konstrukcije leća i ogledala, već su to posljedice zakona prelamanja na sfemim

površinama.

Ovdje ćemo razmotriti osnovne aberacije optičkih sustava: sferna abe-racija, hromatska aberacija, koma, astigmatizam i distorzija.

9J.11. Nedostaci (aberacije) optičkih sustava

Crtež 9.22. Citež 9.23.

Sferna aberacija nastaje usljed različitog prelamanja svjetlosnih zraka

koje padaju na krajeve i srednji dio leće, crt. 922. Kao rezultat ovoga, likkoji se dobije na zaklonu nije oštar. Kombinacijom rasipnih i sabimih lećarazličitog indeksa prelamanja može se ova aberacija smanjiti na minimum.

Hrom atska aberacija , nastaje pri prolasku polihromatske svjetlosti kroz

optički sustav (čak i paraksijalnih zraka), crt. 9.23. Pri prolazu polihromatske

svjetlosti kroz leću dolazi do pojave razlaganja (disperzija) svjetlosti, jer je

indeks prelamanja različit za razne boje. Ovo dovodi do toga da se zrake

199



različitih boja skupljaju u različitim točkama, što rezultira time da je konturalika obojena. Hromatska aberacija se također može odstraniti kombinacijom

leća različitih indeksa prelamanja.Koma nastaje kada se točkasti predmet nalazi van optičke ose sustava.

U tom slučaju lik svijetle točke ima oblik istegnute asimetrične mrlje. Naziv

potiče od grčke riječi (koma) koja označuje zarez (oblik komete i sl.).Astigmatizam, nastaje kada je lik točkastog predmeta sastavljen od dva

uzajamno okomita pravca, crt. 9.6. Astigmatizam se otklanja izborom odgo-

varajućih poluprečnika zakrivljenosti i optičke moći prijelomnih površina.Distorzijom se naziva deformacija likova koja je izražena različitim

poprečnim uvećanjem u raznim točkama vidnog polja. Naprimjer, preslikava-

njem kvadrata dobijemo izvitoperen ili bačvast oblik lika, crt. 9.24.

Da bi se otklonile gore navedene aberacije potrebno je formirati vrlo

složene optičke sustave. Proračun ovakvih sustava je izuzemo težak i prel^pokvire ovog kursa.

9.3.12. Optički instrumenti

Optički instrumenti sastavljeni su od leća, ogledala, dijafragmi i filtera

i služe za uvećanje ili umanjenje lika predmeta, radi njegovog proučavanja.

Postoje dvije grupe optičkih instrumenata: okularni i projekcioni in-

strumenti. Okulami instrumenti stvaraju virtualnu sliku koja se u našem oku

pretvara u realan lik. Oni omogućavaju promatranje vrlo maiih (Iupa, mik-

roskop) predmeta ili udaljenih predmeta (durbin, teleskop). Kod okulamih

instrumenata povećava se prividni ugao gledanja, a time i prividna veličina

predmeta.

200



Kod projekcionih aparata, pomoću sabime leće, dobivamo realnu uvećanu

(dijaprojektor) ili umanjenu (fotoaparat) sliku predmeta.Gotovo svi optički instrumenti zasnivaju se na geometrijskoj optici i

njenim zakonima, jedino u proučavanju njihove moći razlučivanja, moramo

uzeti u obzir valnu prirođu svjetlosti.Oko je najvažniji iako ne i najjednostavniji optički sustav. Glavm dio

oka je sabima leća koja stvara lik u unutrašnjosti oka na tzv. mrežnjači.

Udaljenost leće od mrežnjače je konstantna, te, da bismo oštro vidjeli predmete

na svim udaljenostima, mora se mijenjati žarišna daljina leće. Mišići leće oka

mogu stezanjem ili rastezanjem mijenjati njen oblik i tako omogućiti da se

na mrežnjači uvijek dobije oštra i jasna slika predmeta.Lupa. Da bismo povećali vidni kut pod kojim giedamo neki predmet

upotrebljavamo lupu (povećalo). Lupaje najprostiji optički instrument. To je,ustvari, sabima leća, žarišne daljine manje od daljine jasnog vida (25 cm).Kad bismo htjeli vidjeti neki predmet pod većim kutom, morali bismo ga

približiti oku i naprezati oko pri izoštravanju slike, međutim to može samodo neke granice. Pomoću lupe povećavamo vidni kut bez naprezanja očiju,

crt. 9.25.

Crtež 9.25.

Posmatrani predmet A„ postavlja se između žarišta i tjemena leće, pri

tome se dobiva uspravan uvećan i virtualan lik h2. Položaj lupe se bira takoda se virtualni lik dobije na daljini jasnog vida, što za normalno oko iznosi

oko 25 cm.Uvećanje optičkih instrumenata (kutno uvećanje) definira se kao odnos

tangensa kuta pod kojim se vidi predmet kroz optički instrument i tangensakuta pod kojim se vidi predmet bez optičkog instrumenta.

. 201



(9.61.)

*

Sa crt. 9.25. vidi se da je uvećanje jednako:

H l .

tgq> _ / _ V *

«g«po h h 1s

Odnos veličine predmeta i veličine lika h j h x= Up, te se relacija (9.61.)

može pisati:

« = - . (9.62.)P

Napišimo jednadžbu sabime leće 2a slučaj virtualnog lika (/ < 0), tj. lupe:

I I =iP ~ l / 'Pošto se lupa postavlja tako da virtualni lik bude na udaljenosti jasnog

vida, tj. l = s, uvećanje lupe iznosi:

(9.63.)

u = j + \ » j . (9.64.)

Viđimo da uvećanje lupe ovisi od žarišne daljine, međutim usljed aber-

acija maksimalno uvećanje lupe iznose oko 20 puta.

Za postizanje većih uvećanja do 2 000 puta služi mikroskop, a za jošveća uvećanja koristi se elektronski mikroskop (200 000-300 000 puta). Gra-

nice uvećanja nisu limitirane tehničkim mogućnostima izrade nego valnom

prirodom korištene svjetlosti (difrakcija).

Da bismo postigli veće uvećanje koristi se mikroskop. Na crt. 9.26.

prikazani su glavni dijelovi i princip rada mikroskopa. Mikroskop se sastojiiz dvije sabime leće (obično su to složeni sustavi), objektiva i okulara.

Crtež 9.26.

202



Objektiv ima malu žarišnu daljinu i predmet se smješta lijevo od žarišta

objektiva tako da se dobije uvećan realan i obmut lik. Ovaj lik se promatia

okularom koji je postavljen tako da daje virtualan uvećan lik predmeta. Ko-načno ovaj virtualni lik se u oku pretvara u realan lik koji pada na mrežnjačuoka. Da bi se zadovoljio ovaj uslov, realni lik dobijen prelamanjem na ob-

jektivu treba da pada između žarišta okulara i tjemena okulara.

Ukupno uvećanje mikroskopa, definira se kao odnos tangensa ugla 0, pod kojim bi oko bez

mikroskopa vidjelo predmet na daljini jasnog vida (25 cm).

Neka je hx visina predmeta, a h2 visina njegovog lika kojeg formiraobjektiv. Tada je:

. k f K tg<Po = ~ ; t g v = ~r~,

S fdk

gdje j e ^ žarišna daljina okulara. Ukupno uvećanje mikroskopa iznosi:

utgtp _ h j s

t g 9 o fh /<* '

(9.65.)

Pošto je h-Jhx poprečno uvećanje a , koje daje objektiv a 25lfA kutnouvećanje koje daje okular, ukupno uvećanje u tada je jednako proizvodu

poprečnog (lineamog) uvećanja objektiva i kutnog uvećanja okulara.

u = a • y. (9.66.)

Durbin (teleskop) je optički instrument koji radi na istom principu kao

i mikroskop, sa razlikom što se predmet nalazi daleko od objektiva. Zrake naobjektiv padaju pod malim kutom, tako da se slika dalekog predmeta formirau žarištu objektiva i ona je obmuta i realna, crt. 9.27.

203



Okular se koristi kao lupa kojom gledamo realnu sliku predmeta što ga

stvara objektiv u svom žarištu. Zbog toga kroz okular vidimo obmutu uvećanu

i virtualnu sliku predmeta.Ukupno uvećanje durbina je:

u tg<P /°b

lg<Po /<*(9.67.)

9.4 . I N T E R F E R E N C I JA S V J E T L O S T I

9.4.1. Interferencija svjetlosnih valova Neka dva vala istih frekvencija, koji se superponiraju jedan na drugi,

pobuđuju u nekoj točki prostora oscilacije istog smjera:

cos(©/ + CPj) 9 6g )

X2= ^ 2 cos(cot + <P2)-

Amplituda rezultirajućih oscilacija u danoj točki, može se odrediti po-moću vektora amplitude (6.35.):

A2= A* + A\ + 2AtA2cos(cp2- <p,).

Ako je razlika faza cp2 - cp„ oscilacije koje izazivaju valovi, konstantna

u vremenu, onda takve valove nazivamo koherentni. Izvori takvih valova su

također koherentni. Ako su valovi nekoherentni, razlika u fazi se stalno mi-

jenja. Uzimajući sa istom vjerojatnošću ma koje vrijednosti razlike faze.^red-

nja vrijednost po vremenu cos(cpj - cp,) bit će jednaka nuli. U tom slučaju je:

A2 = A2 + A\ . (9.69.)

Možemo zaključiti prema relaciji (9.10.) da je intenzitet svjetlosti prislaganju nekoherentnih valova jednak sumi intenziteta pojedinih valova:

/ = / , + /2. (9.70.)

U slučaju koherentnih valova cos(cp2 - cpj ima konstantnu vrijednost uvremenu ali različitu za svaku točku prostora, pa je:

/ = /, + / 2+ cos((p2- (p,). (9.71.)

U onim točkama prostora za koje je:

204



cos(cp2- cp,) >0; />/, +/2

cos(cp2- cp,) <0; /</,+/2.Znači u slučaju slaganja koherentnih valova javljaju se mjesta sa minimu-

mom, odnosno maksimumom intenziteta svjetlosti. Ova pojava naziva se in-terferencija svjetlosti. Interferencija je naročito izražena u slučaju kada dva

interferirajuća vala imaju jednak intenzitet, tj. /, = Iv tada je prema (9.71.)

minimum intenziteta svjetlosti, 1=0, a maksimum /= 4 / ,. Za nekoherentnevalove pri istim uvjetima dobiva se jednaka osvijetljenost u svim točkama

prostora, / = 2/,.

Iz ovoga slijedi da pri osvjetljavanjima neke površine sa nekoliko izvora

svjetlosti (npr. dvjema lampama) trebala bi nastati interferenciona siika sa

karakterističnim maksimumima i minimumima intenziteta (pruge inferferen-cije). Međutim, iz svakodnevnog života svi znamo da osvijetljenost površineopada sa udaljenošću od izvora a da se ne opaža slika interferencije. Ovo seobjašnjava time što prirodni izvori svjetlosti (Sunce, električne sijalice, itd.)nisu koherentni. Zračenje svijetlog tijela složeno je od valova koje emitiraju

pojedine grape atoma u trajanju od ~10'8 s. Rezultirajući val ima promjenljivufazu, tako da dva prirodna izvora i pored iste frekvencije nisu koherentna ine daju interferencionu sliku.

Koherentni svjetlosni valovi mogu se dobiti diobom (pomoću odbijanja

i prelamanja) valova, koje emitira jedan izvor, na dva dijela. Ako primoramotakva dva vala da prijeđu različite optičke putove, a zatim ih složimo, nastaje

interferencija. Razlika optičkih dužina pytova, koje prelaze interferirajući va-

lovi, ne smije da bude velika, jer složene oscilacije trebaju pripadati jednom

te istom rezultirajućem nizu valova.

Na crt. 9.28. predstavljena su dva koherentna vala nastala dijeljenjem na

dva dijela vala koji emitira jedan koherentan izvor S. Ako ta dva vala pređu

205



različite optičke putove, a zatim se opet sretnu u točki P, pojavit će se na

zaklonu (ekranu) slika interferencije.

Do točke P prvi val pređe u sredini sa indeksom prelamanja n, put s„ admgi val u sredini n2 pređe pur j 2. Ako je u točki S faza osciliranja <o/, onda

prvi val u točki P pobuđuje oscilacije sa kašnjenjem /, = J jA'i:

'P, = A, costo / - A

a dmgi val oscilacije sa kašnjenjem t = s-Jv2.

('Pj = ^2 cosco t - -

)

\

gdje su v, = c/n, i v2 = c/n2 fazne brzine prvog i dmgog vala. Razlika u fazivalova koji pobuđuju osciliranje u točki P, bit će jednaka:

8 = co .J2.

vi J

= - ( n 2s2- n 1s,).c

(9.72.)

Zamijenimo <o/c sa f gdje je X valna đužina u vakuumu. Izrazc X

za faznu razliku dobiva slijedeći oblik:

5 = y A' (973 )

gdje je:

A = - L ^ - L ^ (9.74.)

jednaka razlici optičkih dužina putova što obično zovemo optička razlika

putova. n

Iz formule (9.74.) se vidi da ako je optička razlika putova jednaka cijelom

broju valnih dužina u vakuumir

A = ±zX (z = 0,1,2 ,.. .) , (9.75.)

onda je fazna razlika 8 jednaka višekratniku od 2 j i i oscilacije koje izazivaju

oba vala u točki P imat će istu fazu. Prema tome relacija (9.75.) zadovoljava

uvjet za interferencioni maksimum. Ovaj slučaj nazivamo još i konstruktivnainterferencija.

Ako je razlika optičkih putova jednaka polucijelom broju valnih dužina

u vakuumu:

A = + (z + i j x (z = 0,1,2,...) (9.76.)

206



tada se oscilacije u točki P nalaze u protufazi i to predstavlja uvjet za inter-ferencioni minimum. Ovakva interferencija naziva se destruktivna interfe-

rencija.Promatrajmo dva koherentna izvora 5, i S2, crt. 9.29

Oblast u kojoj se valovi prekrivaju naziva se polje interferencije. U tojoblasti opažaju se naizmjenično mjesta sa maksimumima i minimumima in-

terferencije, koji u slučaju cilindričnih valova imaju oblik naizmjeničnih svijetlih i tamnih pruga. Da bismo izračunali širinu pruga interferencije pretpostavimo da je ekran paralelan s ravni koja prolazi kroz izvore 5, i S2- Položajtočke na ekranu obilježimo sa x. Uzmimo da izvori osciliraju istom fazom,

tj. da su koherentni.

Sa crteža 9.30. slijedi da je:

odakle dobivamo:

= (9-78>

Da bismo dobili razlučivu sliku interferencije potrebno je da bude ras-

tojanje između izvora d znatno manje od rastojanja od izvora do zaklona /.

Rastojanje x, unutar kojeg se obrazuju pruge interferencije također je znatno

207



manje od /. Pri ovim uvjetima može se uzeti da je s, + s2 « 21. U sredini sa

indeksom prelamanja n = 1, razlika s2 - s x predstavlja razliku optičkih putova

A. Dakle, može se pisati:

A = (9.79.)

Uvrštavanjem uvjeta (9.75.) i (9.76.) u (9.79.) dobit ćemo vrijednosti x koje odgovaraju maksimumu, odnosno minimumu intenziteta:

/ ,(z = 0,1,2,...)

-=±H ) ;7x■(9.80.)

■»

Rastojanje između dva susjedna minimuma intenziteta zove se širina pruge interferencije. Iz relacija (9.80.) slijedi da je širina pruge interferencije jednaka:

Ax = -^X.. (9.81.)d

Iz jednadžbe (9.81.) viđimo da bi interferenciona slika bila jasna, potrebno je da bude ispunjen gomji uvjet, tj. d « /.

Iz relacije (9.81.) možemo odrediti valnu dužinu svjetlosti, mjerenjemširine pmge interferencije uz poznate / i d. Obmuto, ako je poznata valnadužina, može se odrediti mala vrijednost udaljenosti d. Upravo iz eksperi-menata interferencije svjetlosti bile su određene valne dužine za svjetlosnezrake različitih boja.

208



9.4.2. Interferencija svjedosti na tank im listovima

Blistave boje koje se često zapažaju prilikom odbijanja svjetlosti odmjehura sapunice ili tankog sloja ulja koje pliva po vodi, podču od interfe-

rencije dva svjetlosna vala, odbijena od suprotnih površina tankog sloja sapunice ili ulja.

Pri upadu svjetlosnog vala na tanku providnu pločicu ili mjehurić, dolazido odbijanja od obje površine pločice. Kao rezultat toga nastaju koherentnisvjetlosni valovi, koji mogu interferirati. Neka na providnu planparalelnu plo-čicu pada paralelan snop svjetlosti, predstavljen jednom zrakom, crt. 9.31.

Ploča ođbija dva koherentna paralelna snopa svjetlosti, od kojih se jedanobrazuje na račun odbijanja od gomje površine, a drugi uslijed odbijanja oddonje površine. Zraka pri ulazu i izlazu iz ploče se prelama prema zakonu

prelamanja. Zrake koje nastaju uslijed višestrukog odbijanja možemo zane-

mariti, uslijed slabog intenziteta.

Povucimo normalu na zrake (1) i (2) ravan AB. Na putu do te ravni zrake(1) i (2) prave razliku u optičkoj dužini puta. Prema tome, optička razlika

puta bit će jednaka:

A = 71*2-7105,, (9.82.)

209



gdje je s, dužina odsječka OA, s2 zbir dužina OC + CB, n - indeks prelamanja ploče i n0 - indeks prelamanja sredine koja okružuje ploču (obično se uzima

da je to zrak, n0 » 1).Iz crteža 9.31. slijedi da je:

2bs, = 2£tgP sin a ; s2 = — - ,

cosp

gdje je b - debljina pločice. Uvrstimo ove izraze u (9.82.) dobit ćemo:

A = - ^ - - 2btgpsina . (9.83.)cosP

Uvođenjem zamjene, sina = n sinP i uzimajući u obzir da je sin2p = l-cos2p,

relacija (9.83.) može se dovesti u oblik:

A = 2bn cosp. (9.84.)

Uzimajući u obzir da je:

ncosP = -Jn2- n 2sin2p = - W - sinJ a

optička razlika putova može se izraziti preko upadnog ugla a:

A = Ib ^ n 1 -s in 2a . (9.85.)

Pri izračunavanju fazne razlike 8 između oscilacija u zrakama (1) i (2)osim optičke razlike putova treba uzeti u obzir slijedeće.Pri odbijanju svjetlosnog vala od granice koja dijeli optički tjeđu od

optički gušće sredine (odbijanje u točki O) feza osciliranja svjetlosnog vektora(vektor E ) trpi promjenu od n. Pri odbijanju od granice koja dijeli optičkigušću od optički rjeđe sredine (ođbijanje u točki C) do takve promjene u fezine dolazi. Lz tog razloga između zraka (1) i (2) nastaje dopunska razlika feza,

jednaka n. Ona se može uzeti u obzir ako se na A doda ili oduzme polovinavalne dužine u vakuumu. Tako, da konačna razlika u optičkoj dužini puta

iznosi:

A = 2b jn2 -s in 2a - —. (9.86.)2

Ako na put zrakama (1) i (2) postavimo sabimu leću one će se sastati u

jednoj točki žarišne ravni leće gdje će interferirati. U praksi leća nije uvijek potrebna jer je teško dobiti potpuno paralelne zrake, a ni pločica nije apsolutno

paralelna.Rezultat interferencije zavisi od optičke razlike putova, A. Za A = zk

dobivaju se maksimumi, a za A = (z + 1/2)X minimumi intenziteta (z = 0,1 ,2 .. .) .

Uvjet za maksimum intenziteta može se napisati i u obliku:



(9.87.)

Ako je tanka planparalelna ploča osvijetljena monokromatskom svjet-lošću, čije zrake imaju različite upadne kutove, to svakoj vrijednosti upadnogkuta odgovara određena vrijednost razlike optičkih putova A.

Interferenciona slika koja se dobiva u žarišnoj ravni jedne sabime leće postavljene na put svjetlosnog vala, predstavlja naizmjeničan niz tamnih isvijetlih pruga, od kojih svaka odgovara određenoj vrijednosti upadnog kuta.

Otuda i njihov naziv pruge Istog nagiba. Ako se planparalelna ploča osvijetli paralelnim snopom bijele svjetlosti pruge interferencije će biti obojene. Me-

đutim, do interferencije će doći samo na veoma tankim slojevima, čija debljinane prelazi 0,01 mm.

Za praksu je mnogo značajnija interferencija pri ođbijanju svjetlosti od providnog klina, pri čemu se javljaju tzv. pruge iste debljine. Ako na ploču

koja ima oblik tankog klina sa uglom pri vriiu 0, pada paralelan snop mono-

kromatske svjetlosti, i to normalno na donju površinu, gomja površina jeosvijetljena paralelnim svijetlim trakama boje upadne svjetlosti, koje su među-sobno razdvojene tamnim oblastima, crt. 9.32.

Citež 9.32.

Da bismo objasnili interferenciju svjetlosti na prozračnom klinu, proma-trajmo crt 9.33. Od svih zraka koje padaju normalno na donju površinu klina

promatrajmo samo one koje odgovantju dvjema susjednim svijedim pmgamana rastojanju L u točkama A i B. Pošto svijetla pmga odgovara slučaju kon-struktivne interferencije (maksimum), to se odgovarajuće putne razlike, za

male kutove, sa dovoljnom točnošću mogu odrediti prema relacijama (9.86.). 2

2 (9.88.)

AB=2nc/2- y = (z + l)X,

gdje su dt i d2 debljine klina na mjestima A i B.

211



Kako ove pruge nastaju interferencijom reflektiranih zraka na mjestimaiste debljine klina, to se ove interferencione pruge nazivaju pruge iste debljine. Rastojanje između praga možemo odrediti prema crtežu:

Iz relacije (9.88.) dobivamo, oduzimanjem đruge jednadžbe od prve, da je

i zamjenom u (9.89) dobiva se da je razmak između svijetlih pmga jednak:

ođrediti sa dosta točnosti vrijednosti malih kutova 0.

9.43. Newtonovi prstenovi

Karakterističan primjer pruga jednake debljine predstavljaju tzv. New-tonovi prstenovi. Oni se dobiju kada se promatra ođbijena svjetlost ođ plan-

paralelne staklene ploče na koju je stavljena ptankonveksna leća velikog radijusa. Ulogu tanke opne (sloja) od čije se površine ođbijaju koherentne zrake,

ima zračni sloj između ploče i leće, crt. 9.34. Pri okomitom upadu svjetlosti, prage jednake debljine imaju oblik koncentričnih krugova, pri nekom upadnomkutu oblik elipsi.

2’ l' 2

L

Crtež 9.33.

tg0 = đ l— i . odnosno L = — —— 6 L 8

(9.89.)

(9.90.)

(9.91.)

Pošto se rastojanje L može lako mjeriti to se uz poznate n i X može

212



J

Nađimo rađijuse Newtonovih prstenova koji se dobivaju pri okomitomupadu svjetlosti na ploču. U tom slučaju cosp « 1 pa je prema (9.84.) optičkarazlika putova jednaka dvostrukoj debljini zračnog sloja i ako dodamo još

X!2 na račun promjene faze pri odbijanju od optički gušće sredine (staklena

ploča) imamo:

A = 2 i + | . (9.92.)

Iz crteža 9.34. slijedi da je:

R2 = ( R - b f + r l = R1-2 R b + bl + r2, (9.93.)

gdje je R - radijus krivine Ieće, r- rad iju s kruga, kojem odgovara ista debljinasloja b. Zbog male debljine b možemo zanemariti kvadratni član h2 u usporedbi

s 2 Rb. Iz (9.93.) slijedi da je:

* - s -(9.94.)

Uvrštavanjem (9.94.) u (9.92.) dobivamo da je razlika optičkih putova jednaka:

-2 X A = — + —.

R 2(9.95.)

U točkama za koje je A = zX = 2z—, jav it će se maksimumi, a u točkama

/ i \ x 2koje je A = l z + —jA. = (2z + l)—, minimumi intenziteta. Oba ova uvjeta

mogu se ujediniti u jedan:

za

A = m XT2 (9.96.)

. 213



pri čemu će pamim vrijednostima m odgovarati maksimumi, a nepamim mi-nimumi intenziteta. Uvrštavanjem u ovaj uvjet izraza (9.95.) i iješavanjem

dobivene jednadžbe po r, dobivamo radijuse svijetlih i tamnih Newtonovih prstenova:

Pamim m odgovaraju radijusi svijetlih prstenova, nepamim m - radijusi

tamnih prstenova. Vrijednosti m = 1 odgovara r = 0, tj. dodima točka ploče i

leće. U toj točki nastaje minimum intenziteta radi promjene faze za j i priodbijanju svjetlosnog vala od ploče.

9.4.4. Primjena interferencije. Interferometri

Već smo vidjeli da se interferencija svjetlosti može iskoristiti za mjerenje

malih uglova koje obrazuju dvije ravni. Pored toga interferencija svjetlostimože se primijeniti za mnoga dmga precizna mjerenja kao što su:

• mjerenje malih dužina,

• ispitivanje kvaliteta površina,• mjerenje malih promjena dužina.

Pmge jednake debljine mogu se koristiti za mjerenje dužine reda mik-rometra. Naime, ako dvije ravne površine obrazuju zračni klin onda će se kaošto smo vidjeli u ođbijenoj svjetlosti pojaviti pmge jednake debljine u obliku

pravih, međusobno paralelnih pmga. Pomjeranjem interferentne slike za jednu pmgu, đebljina klina na danom mjestu izmijenit će se za veličinu (9.90.).

Pri pomjeranju interferentne slike za k pruga, promjena debljine bit'će

Pošto je valna dužina vidljive svjetlosti reda veličine 5xl0‘7 m, to se pomjeranjem interferentnih pmga može mjeriti debljina reda 10‘7 m. Ovametoda se može koristiti za precizno mjerenje toplotnog koeficijenta širenjačvrstih tijela, kada su uzorci malih dimenzija Za ova mjerenja koristi se tzv.interferentni dilatometar, crt. 9.35.

Uređaj se sastoji od valjka (1), koji je napravljen od kvarcnog stakla

koje ima mali koeficijent širenja. Na valjku leži staklena ploča (2) sa ravnim površinama. U valjak se stavlja ispitivano tijelo (3) čije su gomja i donja površina dobro izglačane. Tijelo se postavlja tako da se između njegove gomje

(9.97.)

jednaka:

k = 1,2,...2n

(9.98.)

214



površine i staklene ploče obrazuje tan-ki zračni klin. Pri osvjetljavanju ure-

đaja odozgo zapažaju se pruge jednakedebljine. Pri zagrijavanju uređaja, usli-

jed razlike u toplotnim koeficijentimaširenja tijela i kvarcnog valjka, mijenja

se debljina zračnog sloja i dolazi do

pomjeranja interferentnih pruga. Iz ovo-

ga se može izmjeriti promjena dimen-

zija tijela odnosno odrediti njegov to-

plotni koeficijent.

Interferentna metoda može se ko-ristiti također za mjerenje malih pro-

mjena đužina, izazvanih raznim uzrocima: mehaničkim istezanjem, savijanjem

i dr.Interferometrijskim metodama može se vršiti kontrola obrade uglačanih

površina. Ova metoda ima veliku primjenu u mašinstvu, za kontrolu stupnjahrapavosti površina raznih metalnih proizvoda ili u optičkoj industriji za kon-trolu ravne površine ogledala i sferičnosti leća. Pri ovim mjerenjima može se

postići točnost od polvine valne đužine primijenjene svjetlosti.

Ovakva ispitivanja vrše se pomoću staklene planparalelne ploče (optičkikontrolnik) visokog kvaliteta, čija jedna površina ne odstupa od idealne geo-

metrijske ravni više od 1/20 valne dužine upo-

trijebljene svjetlosti. Ispitivana površina stav-

lja se uz optički kontrolnik (etalon) tako da

se među njima obrazuje tanak zračni sloj, crt.

9.36.Pri osvjetljavanju uređaja odozgo zapa-

žaju se pruge jednake debljine. Ako su obje

površine idealno ravne, pruge će biti među-sobno paralelne i pravilne, crt. 9.37a. Svakoodstupanje od ravni dovodi do iskrivljavanja

interferencionih praga, crt 9.37b i c. Anali-zom oblika i razmaka pruga može se proci-

jeniti odstupanje površine od željenog oblika.Interferometri su mjerni uređaji zasno-

vani na principu interferencije svjetlosti. Je-

dan od najpoznatijih interferometara je Mi-chelsonov interferometar. Na crt. 9.38. pri-

kazana je shema Michelsonovog interferome-

Crtež 9J5.

215



a. b. c.

Crtež 9.37.

tra. Snop svjetlosti iz izvora S pada na polupropusnu ploču PP koja je pre-svučena tankim slojem srebra. Polovina upadnog snopa odbija se od ploče

PP u smjeru zrake (1), a polovina prolazi kroz ploču u smjeru zrake (2). Snop

(1) se odbija od ogledala O, i vraća prema PP, djelomično prolazi kroz ploču

i obrazuje snop (1 ’). Snop (2) poslije odbijanja od ogledala 0 2 vraća se prema ploči PP gdje se jednim dijelom odbija i čini snop (2’). Snopovi ( l ’) i (2’)su koherentni i imaju isti intenzitet Rezultat interferencije tih snopova zavisi

216



od optičke razlike putova od ploče PP do ogledala O, i 0 2. Zraka (2) prelazidebljinu ploče PP tri puta, a zraka (1) jedan put. Da bismo kompenzirali tu

razliku, na put zrake (1) postavlja se ploča Px iste debljine ali bez srebra.

Interferenciona slika promatra se durbinom D.

U slučaju pomjeranja ogledala O, ili 0 2, dolazi do pomjeranja prugainterferencije. Pomjeranje pruge iz svog prvobitnog položaja na mjesto prvesusjedne pruge uvjetovano je pomjeianjem ogledala 0 2 za polovinu valne

dužine. Vidimo da se postupkom interferencije, mogu sa velikom točnošću, porediti velike dužine (red veličine metra) sa valnom đužinom svjetlosti.

Da bi izmjerio standardni metar (etalon) Michelson je koristio crvenu

kadmijevu liniju. Mjerenje sa sastoji u slijedećem postupku. Ogledalo 0 2 pomjera se duž odsječka etalona (10 cm) a u vidnom polju prolaze pruge

interferencije koje treba prebrojati. Ovakvo mjerenje predstavlja jedno od

najpreciznijih mjerenja koje je ikad izvršeno u fizici. Michelson je našao dadužini od jednog metra odgovara 1 553 163,5 valnih dužina crvene kadmijeve

linije. Konačno, 1960. godine Međunarodna konferencija za mjere i tegove

donijela je odluku da se za osnovnu jedinicu dužine uzme narandžasta linijaizotopa kriptona Kr86, koja odgovara prijelazuna između nivoa 2p10 i 5d5.

Prema ovoj definiciji jednom metru odgovara:

Im = 1 650 763,73 • X (Kr86).

Zahvaljujući razvoju stabilnih lasera čija relativna nesigumost iznosi

±l,3xlO'10 i ova definicija je 1983. godine na 17. Konferenciji za nrjere i

tegove (CGPM), da bi se povećala točhost jedinične đužine (metra), zamije-

njena i sada glasi:

Metar je dužina putanje koju svjetlost pređe za vrijeme od

1/299 792 458 dio sekunde.

9.5. DIFRAKCUA SVJETLOSTI

Ako se između točkastog izvora S i zaklona Z postavi neki neprovidni predmet, to bi prema zakonima geometrijske optike na zaklonu morala pos-

tojati oštra granica između dijela koji je homogeno osvijetljen i dijela iza

predmeta u koji svjetlost (ako se prostire pravolinijski) ne stiže. Dakle, premageometrijskoj optici postojala bi oštra granica geometrijske sjenke i osvi-

jetljenog dijela zaklona. Međutim, eksperiment pokazuje da se izvjesna, mala

količina svjetlosti “savija” oko ivice predmeta i ulazi u oblast geometrijskesjenke. Zavisnost intenziteta osvjetljenosti od udaljenosti od ivice geometnjske

sjenke dana je na crtežu 9.39. Ako je intenzitet osvjetljenosti koji se dobije

217



Zaklon

G e o m e t r i j s k a

s j e n k a

Prepreka

bez prepreke /„ vidimo da intenzitet osvjetljenosti u oblasti geometrijske sjenke

postepeno opada težeći nuli a desno od ove granice intenzitet ima niz mak-

simuma i minimuma.Intenzitet difrakcije ovisi od dimenzija prepreke i valne dužine. Pri valnoj

dužini koja je usporediva sa dimenzijama prepreka, kao što je slučaj sa zvuč-

nim valovima, difrakcija/e intenzivna i lako uočljiva. Zvuk se čuje iza stupova

ili iza ugla zgrade, a zVučni valovi “obilaze” prepreke jer je valna dužina

zvučnih valova reda veličine nekoliko metara, tj. reda veličine prepreka. Me-

đutim, kod svjetlosti valne dužine su mnogo manje, reda veličine mikrometra, pa se difrakcija teže uočava i slabije manifestira.

Razlikujemo dva slučaja difrakcije: Fresnelova (Frenelova) difrakcija i

Fraunhoferova difrakcija. Fresnelova difrakcija nastaje onda kada se svjet-

losni izvor i zaklon nalaze na konačnom rastojanju od prepreke. Zrake koje

stižu do zaklona nisu paralelne i za promatranje slike difrakcije nisu potrebni

optički instrumenti.

Fraunhoferova difrakcija, predstavlja difrakciju paralelnih zraka, i nastaje

kada su svjetlosni izvor i zaklon beskonačno uđaljeni od prepreke na kojoj

nastaje difrakcija. Za promatranje Fraunhoferove diftakcije potreban je optičkisistem.

9.5.1. Huygens-Fresnelov princip

Pojava difrakcije valova može se objasniti pomoću Huygensovog prin-

cipa, ali Huygensov princip ne daje nikakve podatke o amplitudi odnosno

intenzitetu svjetlosti. Ovaj nedostatak je otklonio Fresnel koji je dopunio

Huygensov princip, interferencijom sekundamih valova. Prema tome Huy-

218



gens-Fresnelov princip glasi: “Svaka točka do koje dolazi valno kretanje postaje izvor novih sekundarn ih valova, koji in te rferiraju . Računajućiamplitude i faze ovih sekundarnih valova može se naći amplituda rezul-

tujućeg vala u bilo kojoj točki prostora.” Neka S predstavlja jednu od valnih površina svjetlosti koja se prostire

od nekog izvora. Amplituda svjetlosnih oscilacija u točki P, koja leži ispredte površine može da se nađe prema Fresnelu na osnovu slijedećeg razmatranja.Svaki element površine predstavlja izvor sekundamih sfemih valova, čija jeamplituda proporcionalna veličini elementa dS. Kao što znamo, amplitudasfemih valova opada sa rastojanjem r od izvora, prema zakonu 1 fr. Znači utočku P dolaze od svakog elementa valovi koji se mogu opisati jednadžbom:

<flP = K(q>)^cos(<D/-A7- + a 0)£ŽS', (9.99.)

gdje je (cot + a^) faza osciliranja na mjestu polo-žaja valne površine S, k - valni broj, A0 - ampli-tuda. Koeficijent proporcionalnosti K((p) opada

pri povećanju kuta <p, između normale n na po-vršinu dS i pravca od elementa dS do točke P, a

prelazi u nulu za <p= nT2.

Rezultujuće osciliranje u točki P predstavljasuperpoziciju oscilacija koje su uzete po cijelojvalnoj povišini S, crt. 9.40.

' p = J k (< p) A coâ > t-kr+aB)dS . (9.100.)

Relacija (9.100.) predstavlja analitički izraz za Huygens-Fresnelov prin-cip. Ovaj račun u općem slučaju je jako težak. Međutim za simetrične slučajeve

nalaženja amplitude može se dobiti prostim algebarskim sumiranjem.Ako su izvor svjetlosti i promatrana točka P postavljeni od prepreke takoda zrake koje padaju na prepreku i zrake koji idu u točku P, obrazuju praktično

paralelne snopove onda se radi o Fraunhoferovoj difrakciji ili difrakciji paralel-nih zraka. U suprotnom slučaju radi se o Fresnelovoj difrakciji. Da bismo

promatrali Fraunhoferovu difrakciju potrebno je iza izvora svjetlosti 5 i ispred promatrane točke P postaviti leće tako da’se točke S i P nađu u žarišnoj ravniodgovarajuće leće.

219





Iz crteža 9.42. slijedi:

rl = al ~{a ~ K f ^ {b + ’ ~{b +h j > (9.103.)

gdje je a polumjer valne površine, rm polumjer vanjske granice m-te zone.

Ako se ograničimo na male m možemo zanemariti član uz X2, radi malevrijednosti X. Uz ovu aproksimaciju imamo:

K = -2 ( a + i ) 2{a+b)

(9.104.)

Povišina sfemog segmenta jednaka je, S = 2nRh (R — polumjer sfere,h — visina segmenta). Prema tome, u našem slučaju unamo da je površina

sfemog segmenta jednaka:

Sm=2nah„ = ™b------mA.,a+ b

(9.105.)

a površina Fresnelove m-te zone je:

AS (9.106.)" a+b

Dobiveni izraz ne zavisi od m. To znači da su za ne suviše velike m

površine Fresnelovih zona približno jednake.

Izvršimo procjenu polumjera Fresnelovih zona. Prema (9.103.) i uz uvjet

da je hm« a , polumjeri Fresnelovih zona su:

221



(9.107.)r m

l a + b

Uzmimo za primjer da je a = b= lm, X = 0,5 pm, onđa se za polumjer prve zone dobije vrijednost r, = 0,5 mm. Polumjeri slijedećih zona rastu kao

Jm. Vidjeli smo da su površine Fresnelovih zona približno iste. Rastojanjebmod zone do točke P lagano raste sa m po lineamom zakonu. Kut <p između

normale na elemente zone i pravca usmjerenog na točku P također raste sa

brojem zona m. Sve ovo dovodi do toga da amplituda osciliranja, koju po- buđuje zona m u točki P monotono opada sa porastom m. Č ak i za jako velikem kad površina zone počinje primjetno da raste s m opadanje koeficijenta

Ôp) je brže od porasta ASm, K(<p) teži nuli kad cp —> jc/2, tako da amplituda

Am i dalje opada.Prema svemu ovome možemo zaključiti da amplitude osciliranja koje

pobuđuju Fresnelove zone u točki P čine monotono opadajući niz:

Faze osciliranja koje pobuđuju susjedne zone razlikuju se za n. Zbog

t°ga amplituda A rezultanmog svjetlosnog osciliranja u točki P može da senađe algebarski. Sve amplitude od nepamih zona ulaze sa jednim predznakom,a od pamih sa dmgim:

Pri ovom uvjetu izrazi u zagradama bit će jednaki nuli pa dobivamoaproksimativni rezultat:

Dobiveni rezultat pokazuje da je amplituda stvorena u nekoj točki Psfeme valne površine jeđnaka polovini amplitude koju stvara samo centralnazona. Dmgim riječima djelovanje cijele valne površine jeđnako je djelovanju

polovine centralne zone.

Ako na put svjetlosnih valova postavimo neprovidan zastor sa otvorom,

koji ostavlja otvorenu samo centralnu zonu, amplituda u točki P bit će jednaka

(9.108.)

A = Aj —A2 + A} —A4 +... Ovaj izraz možemo napisati i đmgačije:

(9.109.)

Radi monotonog opadanja, Amse može pisati:

j _ 4 - i +2

(9.111.)

(9.112.)

222



A }, tj. dva puta veća od amplitude kad nema prepreke lzmeđu S i P. U tom

slučaju intenzitet svjetlosti u točki P bit će četiri puta veći i možemo smatrati

da se svjetlost prostire kroz uski kanal pravolinijski.

9.5.3. Fresnelova difrakcija na kružnom otvoru

Postavimo na put sfemom valu neprovidnu pregradu na kojoj je na-

pravljen okrugao otvor polumjera r0, crt. 9.43.

Na ravnom zaklonu pojavit će se difirakciona slika sa svijetlim i tamnim poljima koja će se naizmjenično smjenjivatr, u zavrsnosti od toga kojem broju

Fresnelovih zona odgovara otvor na pukotini. Ako je otvor veličine prveFresnelove zone na zaklonu se dobiva svijetla mrlja, naizmjenični svijetli i

tamni prstenovi u tom slučaju neće se pojaviti.Prema relaciji (9.107.), za male vrijednosti r0 u odnosu na a i b, imamo:

U suglasnosti sa (9.109.) amplituda osciliranja u točki P bit će jednaka:

Citež 9.43.

(9.113.)

A = A , - A 2 + A3- A 4 + ...± A m. (9.114.)

223





gdje je d - širina pukotine. Minimum intenziteta nalazi se također u simetričnojtočki C. Za x < /, sin0 * xll pa je širina centralne svijetle pruge jednaka:

Č B = 2 / ^ . (9.120.)d

Vidimo da je centralna svijetla pruga upravo proporcionalna valnoj dužinia obmuto proporcionalna širini pukotine. Relacija (9.120.) predstavlja kvan-titativan kriterij granica važenja geometrijske optike. Ako je širina lika kojise dobije na zaklonu pomoću snopa paralelnih zraka jednaka širini pukotine(CB = d), tada uvjet važenja geometrijske optike možemo napisati kao:

i d z J m . (9.i2i.)iOdavde slijedi da će difrakcija biti posebno izražena u slučaju kad je:

d < j 2 l k . (9.122.)

Znači, uvjet (9.122.) predstavlja kriterij za valnu optiku.Uzmimo za primjer zelenu svjetlost X = 500 nm, i pukotinu d = 0,5 mm.

Na zaklonu koji je udaljen / = 1 m, dobit ćemo difrakcionu sliku jer je:

Jllk =10_3m> d .

Dosadašnje razmatranje nam daje samo položaj minimuma intenziteta udifrakcionoj slici, ali nam ništa ne govori o tome kako se mijenja intenzitet

. 2%5



o

p

/

Crtež 9.45.

od točke do točke, tj. ništa ne znamo o veličini amplitude rezultujućeg svjet-

losnog vala.

Da bismo izračunali ampiitudu valova u bilo kojoj točki na zaklonu,

izdijelimo valnu frontu koja prolazi kroz pukotinu na infinitezimalne pruge

iste širine dx kao na crt. 9.45.

Od svake pruge šire se sekundami valovi. Osciliranje u točki P izračunava

se primjenom principa superpozicije, uzimajući u obzir sve valove koji stižu

od pukotine. Sekundami val koji nastaje na visini x, prelazi veće rastojanje

od sekundamog vala koji nastaje u sređini pukotine, za iznos xsin9. Ravni

val koji potiče od prage širine dx na visini x, možemo predstaviti îrema

(9.99.) jednadžbom:

gdje je kx sin9, razlika u fazi u odnosu na centralnu pragu. Rezultirajuće

osciliranje u točki P, dobije se integracijom po cijeloj širini pukotine:

Jednadžba (9.124.) predstavlja analitički izraz za Huygens-Fresnelov

princip. Integracijom u granicama od -dl2 do +d /2 dobije se:

d %=A cos(oa/- k x sin9)a!r, (9.123.)

d

(9.124.)

2

226



^ AsinG sm[®/ _ * J sinej - sinôi)/ + A ^ sin ej . (9.125.)

Koristeći adicionu teoremu', relaciju (9.125.) možemo napisati u obliku:

7w/sin6

4 =

sin- Ad-

7t</sine cosco/. (9.126.)

Izraz u zagradi predstavlja amplitudu rezultujućeg vala i označimo je sa

j® faza centralnog sekundamog vala:. 7K/sin6

sm---------- X

ndsinB (9.127.)

Radi lakžeg pisanja uvedimo novu veličinu na slijedeći način:

nd sin&

z = — l — • (9.128.)

Tada je amplituda rezultujućeg osciliranja u točki P dana sa:. sinz

^ = Ad- (9.129.)

PoSto je intenzitet svjetlosti proporcionalan kvadratu amplitude, to jeintenzitet osvjetljenosti u točki P jednak:

:Y (9.130.)

Na crtežu 9.46. prikazan je grafikon veličine j

u fun^ciji z j sjn0 .

U centru slike imamo maksimum intenziteta svjetlosti:

z=0, /=/„ i ^ L o , sin0=o, e= o.

Minimume intenziteta dobivamo za z = 7t, 27t, 37i , ... tj.:

2 = 7t, 7 = 0,

z = 2 t i, 7 = 0,

7t</sine= 7t, sin9 = —

d

Tu/sine= 27t, sin6 = 2 —, itd.

1 sina-sinP = 2cos^-^sin^—£2 2 -

■ 227



Sekundami maksimum se nalazi približno na polovini između prvog i

drugog minimuma, tj. kad je:

2 - f ’

Slijedeći maksimum se dobiva za:

z*f- '-'•dJ-0'016'"Vidimo da se difrakcioni maksimumi nalaze kad je zadovoljen uvjet:

sin9 = 0, 3—, 5 ^ , i t d .

2

2dok se njihovi intenziteti odnose kao:

/2 :... = 1:0,045 :0,01 6:...

Centralni maksimum sadrži glavni dio svjetlosnog fluksa koji prolazi

kroz pukotinu.Ako ravni svjetlosni val prolazi kroz kružni otvor malog promjera r, to

će se na zaklonu pojaviti diftakciona slika predstavljena u obliku koncentričnih

svijetlih i tamnih prstenova. Prvi tamni prsten nastaje prema 9.119.:

sin0 = U 2 - . (9.131.)

228



9.5.5. Difrakciona rešetka

Difrakcionom rešetkom naziva se skup velikog broja jednakih pukotina,koje su postavljene na međusobno istom rastojanju. Rastojanje d izraeđu sre-dina susjednih pukotina zove se konstanta ili period režetke. Znači, konstantarešetke jednaka je širini pukotine i razmaku između dvije susjedne pukotine,d = a+b, crt. 9.47.

Ako na difrakcionu rešetku (optička rešetka) pada ravni monokromatski

val, tada svaka pukotina u rešetki proizvodi difiaktovani snop, u kojem je

raspodjela intenziteta frmkcija širine pukotine. Ti difraktovani snopovi inter-feriraju, dajući konačnu sliku.

Promatrajmo interferenciju N snopova, i to onih koji se prostiru poduglom 0 na upadni pravac prostLranja. Putna razlika dva snopa koji potiču izdvije susjedne pukotine iznosi prema crt 9.47.:

A = d sin6

pa je njihova fazna razlika:

6 = — A = — d s i n0 . X X

Za snopove za koje je 8 = ±m2n, tj. za koje je:

(9.132.)

(9.133.)

d sin0 = ±mX (m = 0,1,2,...) (9.134.)

valovi koji potiču iz pojedinih proreza pojačavaju jedan dru-gog. Amplituda rezultujućeg

vala u promatranoj točki zak-lona je:

Anm = N A lt (9.135.)

gdje j e A t amplituda vala koji

dolazi iz jedne pukotine u prav-cu pod uglom 0 .

Relacija (9.134.) određuje položaje maksimuma intenzite-ta i to, tzv. glavne maksimume,

a broj m određuje red glavnogmaksimuma. Glavni minimumiintenziteta zadovoljavaju iste uv-

jete kao za jedan otvor (9.119.),

i određeni su relacijom:

229



asin 0 = ±zX z= 1,2,3,— (9.136.)

Pored ovih minimuma određenih uvjetom (9.136.) između susjeđnih glav-

nih maksimuma u difrakcionoj slici rešetke s N pukotina, javlja se i /V-1, tzv.dopunski minimum. Oni odgovaraju pravcima u kojima se oscilacije od N

pukotina međusobno poništavaju.Intenzitet glavnih maksimuma raste s povećanjem broja prolaza i to pro-

porcionalno s N2. Ovaj rezultat dobije se kvađriranjem relacije (9.135.):

A » = Af2/,. ' (9.137.)

Dakle, sa povećanjem broja N, glavni maksimumi postaju sve sjajniji isve uži, dok su sekundami maksimumi sve slabiji.

Difirakciona rešetka ima veliku praktičnu primjenu. Prema relaciji (9.134.)valna dužina monokromatske svjetlosti može se izmjeriti sa velikom točnošću.U spektroskopiji, difrakciona rešetka može zamijeniti prizmu kao uređaj zarazlaganje svjetlosti. Naime, ako se rešetka obasja bijelom svjetlošću, dobivase difrakciona slika u obliku niza spektara simetrično raspoređenih oko bijelog

centralnog lika.Prema relaciji (9.134.) komponente bijele svjetlosti sa većim valnim đu-

žinama, skreću za veće kutove 0. Tako je skretanje crvene svjetlosti najveće,ljubičaste najmanje, za razliku od prizme gdje je obmuto.

Preciznost optičke rešetke zavisi od konstante rešetke, prema relaciji

(9.134.). Konstanta rešetke treba da bude reda veličine valne dužine. Tako,rešetke koje se koriste za vidljivu svjetlost sadiže od 4000 do 1200 zareza

po jednom centimetru.

Optičke rcšetke prave se od stakla ili kvarcnih pločica, po čijoj se površinispecijalnim dijamantskim noževima zarezuju paralelne pmge. Na mjestimazareza, uslijed hrapavosti površine, svjetlost ne prolazi. Pukotine predsta^jaju

neoštećeni dijelovi pločice.Također, postoje i refleksione rešetke, koje se u suštini ne razlikuju od

prozimih rešetki. One se dobivaju urezivanjem dijamantskim nožem.

9.5.6. Difrakcija X-zraka na kristalima

Pri prolazu X-zraka kroz tijela, dolazi do rasipanja zračenja ovisno o

kristalnoj strukturi.

Ako na tijelo usmjerimo koherentan snop X-zraka, može nastupiti inter-

ferencija među odbijenim zrakama, pod uvjetom da su atomi u tijelu pravilnoraspoređeni, kao što je to slučaj sa kristalima. Atomi u kristalima poredani

su na pravilan način, tako da kristal može služiti kao trodimenzionalna di-

230



frakciona rešetka za elektromagnetsko zračenje valne đužine reda veličine

međuatomskog razmaka (10*10

m).Ako X-ziake, čija je valna dužina upravo reda 10' 10 m, propustimo kroz

tanku pločicu nekog kristala, na zaklonu postavljenom iza pločice, dobit ćemo

difrakcionu sliku. Ovaj eksperiment je prvi put izvršen 1913. godine i potvrdio

je valnu prirodu X-zraka.

Od tada difiakcija X-zraka predstavlja jedno od najjačih omđa za is-

traživanje kristalne strukture raznih materijala.

Da bismo objasnili difrakciju X-zraka na kristalima, zamislimo da je

kristal uređen na taj način da predstavlja skup paralelnih ravni koje se nalaze

na jednakim udaljenostima d. Ove ravni (kristalne ravni) prolaze kroz veliki broj atoma koji predstavljaju prepreke na kojima dolazi do pojave difrakcije.

Kada snop X-zraka pada na kristal, od svake kristaine ravni reflektira se jedan

dio upadnog zračenja, pod kutom, jednakim upadnom kutu (kao kod ogledala).

Sekundami valovi se međusobno poništavaju osim onih za koje je putna

razlika jednaka cjelobrojnom umnošku valne dužine. U tom slučaju, valovi

odbijani od paralelnih ravni pojačavaju jedan dmgog i imamo konstruktivnu

interferenciju.

Na crt. 9.48. može se lako vidjeti da je putna razlika dva vala, koji seodbijaju od susjednih atomskih ravni, jednaka 2r/sin8. Prema tome pravci u

kojima se dobivaju difrakcioni maksimumi treba da zadovoljavaju uvjet:

2</sin6 = mA, m = 1 ,2 ,3 ,. .. (9.138.)

gdje je d - rastojanje između susjednih ravni (međuatomsko rastojanje) 8 -

kut između upadnih zraka i kristalnih ravni i m - cio broj.

- 231



Relacija (9.138.) poznata je pod imenom Braggov zakon (Breg). Ova

relacija daje mogućnost analize upadnog zračenja ako poznamo konstantu

rešetke i položaj difrakcionih maksimuma ili uz poznatu valnu dužinu i snim-Ijen difraktogram možemo odrediti parametre rešetke. Na kristalnoj rešetki

pored X-zraka moguće je dobiti i difrakciju gama zraka, elektrona, neutronai drugih mikročestica.

4 9.6. POLARIZACIJA SVJETLOSTI

9.6.1. Prirođna i polarizirana svjetlost

Kao što je već rečeno elektromagnetski valovi su transverzalni. Istovre-

meno, svjetlosni valovi ne pokazuju asimetriju u odnosu na pravac prostiranja

zrake. To je uvjetovano time što je prirodna svjetlost sastavljena od oscilacija

koje se vrše u najrazličitijim smjerovima koji su okomiti na zraku svjetlosti,

crt. 9.49. Pošto je svjetlosni val sastavljen od velikog broja valnih nizova,

koje ispuštaju pojedini atomi, ravan osciliranja za svaki niz, orijentirana je

na slučajan način. Zbog toga su u rezultujućem valu oscilacije različitih smje-rova predstavljene sa jednakom vjerojatnošću.

Svjetlost kod koje su smjerovi oscilacija sređeni na neki način zovese polarizirana. Ako se oscilacije svjedosnog vektora vrše samo u jednojravni, svjetlost se zove ravno ili Iinearno polarizirana. Ravan u kojoj oscilira

svjetlosni vektor (vektor jačine električnog polja E ), zove se ravan oscili-

ranja. Radi povijesnih razloga kao ravan polarizacije nije nazvana ravan ukojoj oscilira vektor E , već ravan okomita na nju, crt 9.50.

232



Ravno polarizirana svjetlost može se dobiti iz prirodne, pomoću instru-

menata koji se zovu polarizatorl. Ovi instrumenti slobodno propužtaju os-cilacije koje su paralelne sa ravni koju ćemo zvati ravan polarizatora, a

potpuno zadižavaju oscilacije koje su okomite na tu ravan. Oscilacija sa am-

plitudom A koja se vrši u ravni koja obrazuje kut 

Ax =y4sinq>.

Komponenta koja je paralelna sa ravni polari-

zatora At{ proći će kroz instrument a dmga AL će bitizadržana.

Intenzitet svjetlosti koji je prošao, proporciona-lan je kvadratu amplitude A \ = /l2cos2q>, tj. jednak je

/cos2q>, gdje je / - intenzitet oscilacija sa amplitudom

A. Prema tome osciliranje koje je paralelno s ravni polarizatora nosi sa sobom dio intenziteta koji je jed-

nak cos2q>.Kod prirodne svjetlosti sve su vrijednosti q>jed-

nako vjerojatne. Zbog toga dio svjetlosti koja je pro-

šla kroz polarizator bit će jednak srednjoj vrijednosti

od cos2 <p= 1/2. Pri rotiranju polarizatora oko pravca

prirodne zrake, intenzitet svjetlosti koja je prošla ostat će isti, mijenjat će se

samo orijentacija ravni osciliranja svjetlosti koja izlazi iz polarizatora.

Neka na polarizator pada ravno polarizirana svjetlost s amplituđom A0 i

intenzitetom I q. Kroz instrument će proći komponenta osciliranja sa ampli-

tudom A = A(fios<p, gdje je q>kut između ravni osciliranja up>adne svjetlosti i

ravni polarizatora. Prema tome, intenzitet propuštene svjetlosti određuje se

tzv. Malusovim zakonom:

/ = / 0 cos2q>. (9.140.)

Postavimo na put prirodne zrake svjetlosti dva polarizatora čije ravni

obrazuju kut q>. Iz prvog polarizatora izaći će ravno polarizirana svjetlost

intenziteta koji iznosi polovinu intenziteta prirodne svjetlosti 1^/2. Prema Ma-

lusovom zakonu iza drugog polarizatora izaći će svjetlost intenziteta:

I = Ipr cos2^ . (9.141.)

(9.139.)

. Ravan

! polarizatora

233



Za <p= 0, tj. kad su polarizatori paralelni, intenzitet propuštene svjetlostikroz dva polarizatora jednak je 1/2 a za cp = 7t/2 , tj. kada su polarizatori

ukršteni intenzitet je jednak nuli.

9.6.2. Polarizacija pri odbijanju i prelamanju

Ako upadni kut svjetlosne zrake koja pada na granicu dyije sredine in-

deksa prelamanja n, i n2 nije jednak nuli, odbijena i prelomljena zraka sudjelomično polarizirane. U odbijenoj zraci preovladavaju oscilacije koje suokomite na upadnu ravan, te oscilacije ćemo označiti točkama, crt. 9.52. U

prelomljenoj zraci dominiraju oscilacije koje su paralelne sa upadnom ravni

i označene su dvostrukim strelicama.

Crtež 9.52.

•»

Stupanj polarizacije zavisi od upadnog kuta. Za upadni kut koji zadovo-

ljava uvjet: .

tg a5 = /*2„ (9.142.)

gdje je n21 indeks prelamanja druge sredine u odnosu na prvu, odbijena zraka

je potpuno polarizirana. Stupanj polarizacije prijelomne zrakae, za upadni kut

koji je jednak a# dostiže najveću vrijednost, ali ova zraka je djelomično

polarizirana. Relacija (9.142.) naziva se Brewsterov (Bruster) zakon. KutaB naziva se kut potpune polarizacije ili Bretvsterov kut.

Stupanj polarizacije odbijene i prelomljene zrake za različite upadne

kutove dobiva se iješavanjem MaxwelIovih jednadžba, i ovdje nećemo ulaziti

u detaljnu analizu.

234



9.6.3. Polarizacija pri dvojnom prelamanju

Prilikom prolaska svjetlosti kroz neke optički anizotropne kristale zrakasvjetlosti se dijeli na dva dijela. Ova pojava naziva se dvojno prelamanje.

Prilikom đvojnog prelamanja jedna zraka zadovoljava običan zakon pre-lamanja (Snell) i leži u istoj ravni sa upadnom zrakom i normalom. Ova zrakase zove red ovita (ord inarna) i označava se s (o). Druga zraka, koja se zoveneredovita (ekstraordin arna) i označava se s (n), po pravilu ne leži u upadnojravni i za nju ne važi zakon prelamanja.

(o) (a) (o) («)

Citež 9.53.

t

Na ctr. 9.53. dana je grafička metoda konstrukcije valnog fionta redovitog

i neredovitog prelomljenog vala i njima odgovarajućih zraka, pomoću Huy-

gensovog principa. Njihove valne površine se nalaze kao ovojnice valnih

površina sekundamih valova i određene su njihovim branama Vidimo da suza redovne valove ove površine sfere, a za neredovan val imaju oblik elipsoida.

Pojava dvojnog prelamanja zrake opaža se na svim providnim kristalima,

izuzev kristala kubičnog sistema. Kod kristala kao što su: kvarc, kalcit, postoji

pravac duž kojih se zraka prostire kao u običnoj izotropnoj sredini ne dijeleći

se na dva dijela. Ovaj pravac naziva se optička osa kristala. Treba znati da

optička osa nije neka određena prava linija, koja prolazi kroz zadanu točku

kristala, već određeni smjer u kristalu. Bilo koja prava koja je paralelna tom

smjeru, predstavlja optičku osu kristala.

Redovita i neredovita zraka su potpuno p>olarizirane i uzajamno su oko-

mite. Po izlasku iz kristala one se razlikuju samo u smjeru polarizacije, a

nazivi redovan i neredovan imaju smisla samo unutar kristala.

235



Pošto se kroz kristal prostiru dva lineamo polarizirana vala sa uzajamnonormalnim ravnima polarizacije, za izradu polarizatora, potrebno je na neki

način jednu od ovih zraka eliminirati.U nekim kristalima jedna zraka se apsorbira jače od druge. Ova pojavase naziva dikromatizam. Veoma jak dikromatizam za vidljivu svjetlost po-sjeduje kristal turmalina. U njemu se redovita zraka praktično apsorbira nadužini od 1 mm. Slično svojstvo ima i polaroid (celuloiđni film) u koji jeugrađena velika količina jednako orijentiranih kristalića.

Veliku primjenu za izrađu polarizatora ima tzv. Nicolova (Nikolova) prizma, crt. 9.54. Ona predstavlja prizmu od islandskog kalcita koja je rasje-čena po dijagonali i zalijepljena kanadskim balzamom, smolom čiji se indeks

prelamanja nalazi između indeksa prelamanja redovite n0 i neredovite nn zrake,

tj. n0> n> n„. Upadni kut je tako podešen da se redovita zraka na sloju balzama totalno reflektira i skreće van kristala, a neredovita zraka prolazikroz taj sloj i izlazi iz prizme.

U zadnje vrijeme za izradu polarizatora sve više se koriste, polareidi,koji imaju niz pređnosti nad prirođnim kristalima, kao što je dikroizam imogućnost izrade polarizatora velikih površina. Jedna vrsta polaroida dobivase iz suspenzije malih kristala herapatita Qođkinin sulfat) u isparljivoj vis-

koznoj sredini. Pri protoku ovakve suspenzije kristalići se orijentiraju paralelnostrujnicama toka. Kada se suspenzija stvrdne (ispari) dobije se tanak slojvelike površine (nekoliko đm2) koji ima potrebne karakteristike za izradu polarizatora.

9.6.4. Vještačko dvojno prelamanje (fotoelastičnost)

Dvojno prelamanje može nastati i u provodnim izotropnim tijelima, atakođer i u kristalima kubičnog sistema pod utjecajem različitih djelovanja.

Specijalno, ono nastaje pri mehaničkim deformacijama tijela. Kao mjera nas-

236



tale optičke anizotropije može poslužiti razlika indeksa prelamanja redovitei neredovite zrake. Ekspoimenti pokazuju da je ta razlika proporcionalnanaponu a u danoj točki tijela, tj. sili na jedinicu površine:

n0- n B = Aa, (9.143.)

gdje je k - koeficijent proporcionalnosti, koji zavisi od svojstva materijala.Ako stavimo staklenu pločicu između ukrštenih polarizatora, koje obično

nazivamo polarizator (P) i anallzator (A), crt. 9.55., dobili smo instrument

za ispitivanje naprezanja.Kada se polarizator i analizator postave u “ukršten” položaj, tj. kada su

im ravni polarizacije pod pravim kutom jedan prema drugom, kroz tu kom- binaciju ne dolazi do propuštanja svjetlosti. Ali ako se između polarizatora i

analizatora postavi dvolomni kristal, dolazi do prolaska određene količinesvjetlosti kroz analizator. Tako vidno polje, koje je tamno dok nema kristala,

postaje osvijetljeno kada se on umetne.

Neke tvari, kao što su staklo, celuloid i pleksi-staklo, koje inače nisudvojno prelamajuće, postaju to, kada se podvrgnu mehaničkom naprezanju.

Ako se staklena pločica koja se umetne između ukrštenih Nicola defor-mira silom F, svjetlost prolazi kroz sistem, pri čemu će promatrana slika bitiišarana raznobojnim prugama. Svaka takva pruga odgovara jednako deformi-

ranim mjestima pločice.Da bismo objasnili ovu pojavu, treba poći od činjenice, da redovita i

neredovita zraka koje se dobiju dvojnim prelamanjem od pnrodne svjetlostinisu koherentne i one ne interferiraju. To se objašnjava time što u prirodnojsvjetlosti oscilacije, koje se vrše u raznim ravnima, ispuštaju razhčiti atomiili molekule. One nisu međusobno povezane i nemaju konstantne razlrke faze.

Međutim, zrake, redovita i neredovita, koje nastaju iz jeđne iste polari-zirane zrake su koherentne. Ako se oscilacije te dvije zrake dovedu pomoću

polarizacionog uređaja u jednu ravan, zrake će tad normalno interferirati. Ako

se oscilacije u dvije koherentne, ravno polarizirane zrake vrše u uzajamnonormalnim pravcima, one se slažu kao dva uzajamno normalna oscilatomagibanja i dovode do nastajanja oscilacija eliptičkog karaktera. Svjetlost kodkoje se električni vektor mijenja s vremenom, tako da njegov kraj opisuje

237



elipsu, naziva se eliptički polarizirana svjetlost. U specijalnom slučaju elipsase može pretvoriti u krug i tada dobivamo kružno polariziranu svjetlost.

Pošto su, redovita i neredovita zraka koje potiču od jedne polariziranezrake koherentne, tj. u fazi, prolaskom kroz deformiranu pločicu dolazi među

njima do optičke razlike putova:

A = (n0 - n jd .

Otkud slijedi da je razlika u fazi jednaka:

8 = y K - » 0 . (9-144.)

Pošto su ove zrake uzajamno normalne, iz pločice izlazi eliptički po-larizirana svjetlost Znači, svjetlost propuštena kroz deformirano tijelo, postaje

eliptički polarizirana i ne može se ugasiti analizatorom. Na vještačkom dvojnom prelamanju zasniva se op-

tička metoda za ispitivanje naprezanja (fotoelastičnost).Metoda fotoelastičnosti ima široku primjenu u ispitivanjunaprezanja i u neprovidnim tehničkim materijalima, kaošto su: razni nosači, zidovi kotlova, zupčanici i dr. Odizotropnog providnog materijala (pleksi-staklo, celuloid)napravi se model željenog oblika i postavi između ukr-štenih polarizatora. Model podvrgavamo opterećenjimaanalognim onima koje će trpjeti sami proizvodi u eksplo-ataciji. Slika koja se pri tome promatra u propuštenoj svjet-Iosti omogućava da se odredi raspodjela naprezanja, i oci-

jeni njegova veličina.

Zaostala naprezanja također dovode do vještačke ani-zotropije. 2Ibog toga se optička metoda koristi za ispitivanjestaklenih proizvoda, posebno u optičkoj industriji.

Optičko staklo koje služi za izrađu skupocjenih optič-

kih instrumenata (prizma, leća) prethođno se kontrolira po-stavljanjem između ukrštenih polarizatora, da bi se utvrdilo da li postoje

zaostala naprezanja koja mogu uvjetovati prskanje stakla u daljnjoj obradi.Da bi se izbjegli zaostali naponi u optičkom staklu, prethodno se vrši termičkoodgrijavanje i kontrola sa ukrštenim polarizatorima.

9.6.5. Obrtanje ravni polarizacije

Pri prolasku ravnopolarizirane svjetlosti kroz neke materijale opaža seobrtanje ravni osciliranja svjetlosnog vektora ili kako se obično kaže obrtanjeravni polarizacije. Materijali koji posjeduju ovo svojstvo zovu se optički

238



aktivni materijali. Tu spadaju kristalna tijela (kvarc, cinober), Čiste tekućine

(teipentin, nikotin) i rastvori optički aktivnih materijala u neaktivnim rastva-račima (vodeni rastvor šećera, vinska kiselina i dr.).

Kristalni materijali, najjače obrću ravan polarizacije u slučaju kada se

svjetlost prostire duž optičke ose kristala. Kut obrtanja <p proporcionalan je

putu /, koji je prešla zraka u kristalu:

tp = a/, (9.145.)

gdje je a konstanta obrtanja.

U rastvorima je, kut obrtanja ravni polarizacije proporcionalan putu kojegzraka pređe u rastvoru / i koncentraciji aktivnog materijala c:

<p = [ a ] / - c , (9.146.)

gdje je [a] specifična konstanta obrtanja.

Ako se između dva ukrštena polarizatora postavi optički aktivan materijal(kristal kvarca ili providna kiveta sa rastvorom šećera), vidno polje postajesvijetlo. Da bismo ponovo dobili zatamnjenje treba drugi polarizator (anali-zator) okrenud za kut <p, crt 9.56. Ako je poznata specifična konstanta obrtanja

[a] danog materijala i đužina /, može se pomoću izmjerenog kuta 9 , odreditikoncentracija rastvora c.

Slika fotoelastičnog modela pod naprezanjem

• 239



Polarizator Analizator

Rastvor

l

Crtež 9.56.

Ovakav način ođređivanja koncentracije ima široku primjenu u proiz-

vodnji različitih materijala specijalno u industriji šećera, pa se odgovarajući

instrument zove saharimetar.

9.7. FOTOMETRIJA

9.7.1. Svjetlosni fluks

Svaki realni elektromagnetski val predstavlja skup oscilacija sa valnim

dužinama koje se nalaze u nekom intervalu Ak. Taj interval ostaje konačan

čak i za monokromatski svjetlosni val. Vidijivu svjetlost predstavlja interval

elektromagnetskih valova koje može da registrira oko i predstavlja područjeod 380 nm do 780 nm.

Raspodjela fluksa energije po valnim dužinama može se predstaviti po-

moću funkcije raspodjele:

gdje je d<£>, - fluks energije (energije koja prođe kroz jediničnu površinu u jedinici vremena), koja odgovara valnim đužinama od X. do k+Ak. Fluksenergije koji se prenosi valovima koji se nalaze u konačnom intervalu od X,

do kj, može se predstaviti na slijedeći način:

Djelovanje svjetlosti na oko, u velikoj mjeri zavisi od valne dužine.Osjetljivost prosječnog normalnog oka na emitiranje raznih valnih dužinadana je tzv. krfvuljom vidljivosti, crt. 9.57.

Iz krivulje možemo vidjeti da je oko najosjetljivije na emitiranje valnedužine 0,555 pm (zelena boja). Pri istom energetskom fluksu vizuelno pro-

cijenjen intenzitet svjetlosti za druge valne dužine je manji. Vrijednost funkcije

(9J47.)

(9.148.)

240



r

vidljivosti je obmuto proporcionalna veličinama energetskog fluksa, koje iza-

zivaju jednaku po intenzitetu vizuelnu osjetljivost:

y(h) (**X y ( K ) (**>.\

(9.149.)

Da bi se okarakterizirao intenzitet svjetlosti uzimajući u obzir i njegovu

sposobnost da izazove vizuelni osjećaj, uvodi se veličina <X>koja se naziva

svjetlosni fluks. U intervalu dk svjetlosni fluks se definira kao proizvod

energetskog fluksa i odgovarajuće vrijednosti funkcije vidljivosti:

d<b=VQ,)d<be (9.150.)

Ako se energetski fluks izrazi preko funkcije raspodjele energije po val-nim dužinama prema formuli (9.147.) može se napisati:

d<b=V(X)<b(X)đk. (9.151.)

Ukupni svjetlosni fluks iznosi:«0

<D= JV(A.)<p(A.>fl. (9.152.)

o

Funkcija vidljivosti je bezdimenzionalna veličina. Suglasno tome dimen-zija svjetlosnog fluksa se poklapa sa dimenzijom fluksa energije. Svjetlosni

fluks je fluks energije zračenja p rodjenjen pre m a vizuelnoj osjetljivosti.

• 241



9.7.2. Ja čina (intenzitet) svjetlosnog izvora

Točkasti izvor je takav iz-vor kod kojeg možemo zane-mariti dimenzije u usporedbi s

rastojanjem od mjesta proma-

tranja do izvora.U homogenoj i izotropnoj

sredini val koji emitira točkastiizvor bit će sferičan. Da bi se

okarakterizirao točkasti izvor

svjetlosti koristi se jačina svjetlosnog izvora, koja se određuje kao fluks emi-

tiranja izvora, koji dolazi na jedinicu prostomog kuta:

d<t>/ = -

dCl

U općem slučaju jačina svjetlosnog izvora zavisi od smjera:

(9.153.)

/ = 7(0, (p),

gdje su 0, <ppolami i azimutalni kut u sfemom sistemu koordinata. Ako / ne

zavisi od smjera, izvor svjetlosti se naziva izotropan. Za izotropan izvor

vrijedi:

/ » - ? - . (9-154.)4n

gdje je totalni svjetlosni fluks koji emitira izvor u svim pravcima.

Jedinica jačine svjetlosti, je jedna od osnovnih jedinica SI i zove se

kandela (cd). Jcdna kandela je jednaka 1/60 jačine svjetlosti koja se izrači u

pravcu normale s površine 1 cm2 apsolutno cmog tijela na temperaturi prijelaza

platine iz tečnog u čvrsto stanje (2046,5 K).

Jedinica za svjetlosni fluks je lumen (lm). On je jednak svjetlosnomfluksu koji emitira izotropni izvor svjetlosne jačine 1 cd u prostomi kut jednog

steradijana.

1lm = 1cd • 1sterad. (9.155.)

Eksperimentalnim putem je ustanovljeno da svjetlosnom fluksu jačine

jednog lumena koji se dobije emitiranjem svjetlosti valne dužine X = 0,555

pm odgovara fluks energije od 0,0016 W. Veličina: A = 0,0016 W/lm naziva

se mehanlčki ekvivalent svjetlosti.

242



9.73. Osvjetljenost

Stupanj osvjetljenosti neke površine na koju pada svjetlosni fluks defini-ran je veličinom:

dO

E = n f <9156>

koja se naziva osvjetljenost {d$>p je svjetlosni fluks koji pada na element

povišine dS). Jedinica osvjetljenosti je luks (lx). To je osvjetljenost koja se

dobiva ravnomjemom raspodjelom fluksa od jednog lumena (lm) na povišinu

od jednog metra kvadratnog.

llx =llm

Im 1(9.157.)

Osyjetljenost E koja se dobivaod točkastog izvora može se izraziti

preko jačine svjetlosti I, rastojanja r

od površine do izvora i kuta a izmeđunormale na površini n i pravca prema

izvom. Na dio površine dS pada fluksd<bp, koji se nalazi unutar prostomogkuta dCl, crt. 9.59.

dQp = I dCl. (9.158.)

Prostomi kut je određen sa:

(9.159.)r

Iz ovoga slijedi:

JcosadS .<&p = ------i-----• (9.160.)

Dijeljenjem relacije (9.14.) sa dS dobiva se osvjetljenost:

„ / cosa E = — =— . (9.161.)

9.7.4. FotometriInstrumenti koji se koriste za mjerenje jačine svjetlosnog izvora ili svjet-

losnog fluksa nazivaju se fotometri. Fotometri se dijele na vizuelne i objek-

tivne.

243



Vizuelni fotometri su zasnovani na sposobnosti oka đa može dobroustanoviti jednakost sjaja dviju površina koje se dodiruju. Ako se izvori mogu

smatrati točkastim onda će jednakoj osvjetljenosti odgovarati uvjet, prema(9.161):

iz kojeg prema poznatoj jačini svjetlosti etalonskog izvora može se ođrediti

jačina nepoznatog svjetlosnog izvora.Objektivne metode se dijele na fotografske i električne. Fotografske

metode se zasnivaju na činjenici da je zacmjenje fotoosjetljivog sloja pro-

porcionalno količini svjetlosne eneigije koja pada na fotoploču.

Kod električnib fotometara kao detektori svjetlosti koriste se fotoele-menti, fotomuitiplikatori, fotootpori i termoelementi. Objektivm fotometnomogućavaju mjerenje intenziteta zračenja i izvan granica vidljivog dijeiaspektra. Tako se fotoploče i fotoelementi koriste za mjercnje ultravioletnog

spektra, a termoelementi za infracrveno zračenje.

244



10. SPECIJALNA TEORIJA RELATIVNOSTI

10.1. M 3 C H E L S O N O V E K S P E R I M E N T

U želji da se sve pojave svedu na mehaniku,

fizičari 19. vijeka zamišljali su da između vidljivih

tijela postoji nevidljiva mehanička tvar (supstan-ca), eter. Napetosti, deformacije i oscilacije togsredstva smatrani su uzrokom za sve fizičke feno-mene kao što su gravitacija, svjetlost, električne imagnetske sile. Općenito se smatralo da eter mi-ruje pa tako sva kretanja tijela možemo stavljatiu odnos prema tom sustavu.

Svjetlost u eteru ima brzinu 3-10® m/s. Pro-matrači koji se kreću različitim brzinama premaeteru morali bi mjeriti različite brzine svjetlosti.

Ovo se lijepo primjećuje kod zvuka. Neka se voz

kreće brzinom 330 m/s. Kada putnik u sredini

otvorenog vagona da zvučni signal, zvujc se jednoliko širi kroz zrak brzinom

330 m/s. Putnik na početku voza udaljava se od zvuka, a putnik na kraju voza

juri u susret zvuku. Za prednjeg putnika btzina zvuka je 300 m/s, a za zadnjeg

360 m/s. Isto bi to trebalo da važi za svjetlost ako ona predstavlja valno

kretanje etera. Kretanje Zemlje kroz eter bila bi vjema slika kretanja voza

kroz zrak.Godine 1881. Michelson1 (Majklson) je izveo precizne eksperimente, da

utvrdi kretanje Zemlje kroz eter. Rezultati koji su dobiveni bili su začuđujući,

svjetlost je u svim smjerovima imala istu brzinu. Michelsonovi eksperimenti

su potresli temelje klasične mehanike. Konstantnost brzine svjetlosti ruši sve

predstave o sabiranju brzina, o prostoru i vremenu.

Eksperiment koji je Michelson izveo poznat je pod imenom Michelsonov

eksperiment.

Albert Emstein

I A. A. Michelson, američjd fizičar, 1887. godine u suradnji s E. W. Morleyem pokušao dokazati postojanje etera.

245



Shema Michelsonovog interferometra dana je na crtežu 10.1. Iz izvora

I izlazi svjetlost i pada na polupropusnu ploču P gdje se jedan dio reflektira

u okomitom smjeru a drugi dio prolazi u prvobitnom smjeru. Obje svjetlosne

zrake se reflektiraju na ogledalima O, i 0 2 i vraćaju se do polupropusne ploče.Dužine okomitih krakova između ploče i ogledala su jednake. Sjedinjene

zrake nakon refleksije ulaze u durbin gdje se promatra interferencija. Zamis-

limo da je Michelsonov interferometar postavljen tako da os aparata i pravac

od izvora do ploČe, leži u smjeru kretanja Zemlje, kroz eter. Jedna zraka ide

od polupropusne ploče do ogledala i natrag. Izračunajmo vrijeme t potrebno

da svjetlost pređe taj put. Svjetlost se u eteru širi brzinom c, a brzina Zemlje

je v.

Kako se ogledalo O, odmiče brzinom v, svjetlost od ploče P, za vrijeme

t, ne prelazi samo udaljenost d, nego još i dužinu vt za koju se pomjeriloogledalo, pa je:

ct = d + vt. (10.1.)

Znači vrijeme potrebno da svjetlost dođe do ogledala O, iznosi:

t = — . (10.2.)c - v

A-—ACrtež 10.1.

246



r

Kada se svjetlost reflektirana na ogledalu O, vraća, ploča P joj dolazi ususret, pa je:

c t\ = d - v t v (10.3.)

Znači vrijeme potrebno da zraka svjetlosti reflektirana na O, stigne do ploče P iznosi:

d ------ . (10.4.)c + v

Ukupno vrijeme potrebno da svjetlosna zraka pređe udaljenost od ploče

P do ogledala O, i nazad do P, u smjeru kretanja Zemlje iznosi:

d d -----+ ------

odnosno,

c - v c + v

2d 1

(10.5.)

C 1 - V2 * (10.6.)

Ako gomji izraz razvijemo u red’, za v « c dobit ćemo vrijeme f2:

2d 1+er

(10.7.)

Posmatrajmo sad svjetlosnu zraku koja se prostire uzduž kraka koji stojinormalno na smjer kretanja Zemlje. Tada je (v. crt. 10.1.):

(c t^ = d2+ (vt^ (10.8.)

Vrijeme potrebno da zraka svjetlosti pređe od ploče P do ogledaJa 0 2iznosi:

4 ’ ^ 7 - <!0'9')

Ukupno vrijeme potrebno da zraka svjetlosti ode do ogledala 0 2 i vrati

se nazad iznosi:

d 2d 1»4-2 - ( 10.10.)

Ako izraz (10.10.) razvijemo u red za, v « c, dobit ćemo za vrijeme tA

vrijednost:

1 -1+ p-; m>0; x < l.

247



.2

(10 .11 . )

Vremenska razlika između zraka svjetlosti koje od ploče P idu normalno

jedna na drugu i sustižu se na P iznosi:

Ova razlika u vremenu nužno dovodi do interferencije zraka. Ako obme-

mo interferometar za 90° tada će navedena vremenska razlika iznositi:

Ako bi se vremenska razlika (10.13.) izmijenila za jedan period svjetlosnih

oscilacija, interferenciona slika bi se promijenila za jednu prugu. Đ a bismodobili kolika treba da bude promjena interferencionih pruga treba podijelitiukupnu razliku optičkih putova sa valnom dužinom upotrijebljene svjetlosti:

Brzina Zemlje iznosi v = 3-104 m/s, znači v/c ~ 10"4.

U Michelsonovom eksperimentu dužina kraka iznosila je d - 11 m, avalna dužina upotrebljavane svjetlosti X = 590 nm. Uvrštavanjem ovih vri-

jednosti dobijemo da se slika interferencije treba promijeniti za 0,4 pruge.

Mada je preciznost uređaja omogućavala da se registrira pomak^ pruga

reda veličine 10'2, nikakav pomak nije uočen. Eksperiment je ponovljen više

puta ali rezultati su uvijek bili negativni. Eksperiment nije dokazao postojanjeetera. Objašnjenje ovih eksperimentalnih činjenica dao je tek 1905. godineAlbcrt Einstein (Ajnštajn), rušeći klasične predodžbe o prostoru i vremenu.

Galilejev princip relativnosti glasi: Sve mehaničke pojave dešavaju seu raznim inercijalnim sustavima referencije na isti način ili jednadžbemehanike su invarijantne (nepromijenjene) u odnosu na transformacije

koordinata i vremena p ri p rijelazu iz jednog inercijalnog sustava u đrugi.

(10.12.)

(10.13.)

Razlika optičkih dužina putova iznosi:

(10.14.)

(10.15.)

10.2, GALILEJEV PRINCIP RELATTVNOSTI

248



Otkriće etera om'ogućilo bi izdvajanje specijalnog apsolutnog sustava

referencije. Tako da bi se kretanje ostalih sustava moglo razmatrati u odnosu

na taj apsolutni sustav. Prema Galileju nikakav eksperiment nije mogućenapraviti da bi se utvrdilo da li dati sustav miruje ili se ravnomjemo pra-volinijski kreće.

10.3. SPECIJALNA TEORIJA RELATIVNOSTI

Einstein je došao do zaključka da svjetski eter, tj. specijalna materijalna

sredina koja bi služila kao apsolutni sustav referencije ne postoji. U suglasnosti

sa ovom tvrdnjom Einstein je proširio Galilejev mehanički princip relativnostina sve fizičke pojave bez izuzetka. Prema Einsteinovom principu relativnosti:

Svi prirodni zakoni su invarijantn i (nepromijenjeni) n odnosu na prijelaz

iz jednog inercijalnog sustava referencije n drugi. Specijalna teorija rela-tivnosti razmatra samo inercijalne sustave1.

Einstein je također postulirao, u suglasnosti sa eksperimentalnim činjeni-

cama (Michelson), da je: brzina svjetlosti u vaknumu u svim inercijalnim

sustavima referendje jednak a i ne zavisi od kretanja izvora i prijemnikasvjetlosti.

Princip relativnosti i konstantnost brzine svjetlosti daje osnovu specijalnojteoriji relativnosti, koja predstavlja, u suštini fizičku teoriju prostora i vremena.

U klasičnoj mehanici prostor i vrijeme promatrali smo nezavisno jedno od

dmgog. Nevvton (Njutn) je smatrao da postoji apsolutni prostor i apsolutno

vrijeme. Apsolutni prostor je po njemu bio određen bez ikakvog odnosa prema

bilo čemu izvana, ostajući uvijek isti i nepokretan.

O vremenu je Newton pisao: “Apsolutno, realno ili matematičko vri-

jeme samo po sebi i zbog svoje unutrašnje priro de teče ravnomjerno, bez

obzira prem a bilo čemu izvana”. U suglasnosti sa ovim smatralo se savršeno

očiglednim da dva događaja koja su istovremena u nekom sustavu referencije

budu istovremena i u svim ostalim sustavima referencije. Međutim, Iako se

može uvjeriti da se posljednja tvrdnja nalazi u suprotnosti s principom kon-

stantnosti brzine svjetlosti.

I Sustav referencije u kojem važi prvi Nevrtonov aksiom zove se inercijalni sustav. Svaki sustavrcferencije koji se kreće u odnosu na neki inercijalni sustav pravocrtno i ravnomjemo je takođerinercijalni sustav.

. 249



10.4. GALILEJEVE TRANSFORMACIJE

Posmatrajmo dva sustava koja se krećujedan prema drugom konstantnom

brzinom, crtež 10.2. Smjer kretanja neka se poklapa sa osom x. U početnom

vremenskom trenutku t = 0, neka se ishodišta podudaraju.Koordinati x ' pokretnog su-

stava K' pripada koordinata x u

nepokretnom sustavu K:

x = x ' + v t'= x ' + vt

y = y ' z = z'

t=t ' .

( 10.16.)

Jednadžbe (10.16) nazivajuse Galilejeve1 transformacije.Ove jednadžbe daju prijelaz iz

jednog inercijalnog sustava referencije u drugi. Posmatrajmo neku točku kojase kreće duž ose x. Njena brzina u nepokretnom sustavu dana je sa uz = dx/dt,

a u pokretnom sustavu sa u'x= dx'/dt. Deriviranjem jednadžbe (10.16.) dobijemo zakon slaganja brzina:

dx dx' , — = — + v; u = u ’ +v dt dt x *

ili (10.17.)dtx' _ dx

dt dt

Kada deriviramo dva puta Galilejeve transformacije po vremenu dobi-

— = ------v: u = u —v j . *. r> “x I r •

vamo ubrzanje:

d 2 x

dt2 "

d 2x'

" d t2(10.18.)

Znači, ubrzanje u jednom i drugom sustavu je isto. Slijedi da je Nevvtonov

zakon dinamike invarijantan u odnosu na Galilejeve transformacije:d x P

m~d? = F '' m

d 2x ’

dt2= F . (10.19.)

1 Galileo Galilei (1564.-1642.), talijanski fizičar i astronom, jedan od osnivača eksperimentalnemetode.

250



Michelsonov eksperiment je pokazao da zbrajanje brzina s brzinom sus-

tava promatranja ne vrijedi za svjetlost. Prema tome Galilejeve transformacije

ne vrijede za svjetlost. Znači moramo izabrati takve transformacije izmeđuinercijalnih sustava pa da brzina svjetlosti ostane konstantna. Osnovna pretpostavka Galilejevih transformacija koja je sadržana u apsolutnoj istodobnosti,mora se odbaciti. Uzmimo slijedeći primjer: pored nas prolazi voz sa trivagona. Putnik koji se nalazi u srednjem vagonu, emitira svjetlosni signal.Gledano sa Zemlje putnici koji se nalaze u prvom vagonu odmiču svjetlosnom

signalu, prema tome svjetlost će prije stići do putnika koji se nalaze u zadnjem

vagonu, nego do putnika koji su u prednjem. Tako stvar izgleda gledano saZemlje. Prema principu relativnosti putnici u vozu miruju. Za njih će svjetlost

do njih doći istodobno. Vidimo da za putnike u vozu ovi događaji su istodobni,a za nas na Zemlji nisu. Svaki sustav ima svoje vlastito vrijeme. Einstein jeuveo relativiziranje vremena i time prekinuo sa tradicionalnim shvaćanjima.Znači, ne postoji apsolutna istodobnost.

10.5. LORENTZOVE TRANSFORMACIJE

Transformacije koje zadovoljavaju Einsteinov zahtjev su Lorentzove (Lo-

rencove) transformacije. Lorentzove transformacije moraju ispunjavati slje-deće uvjete:

• transformacije između inercijalnih sustava moraju biti takve da brzinasvjetlosti ostane konstantna,

• svi prirodni zakoni su invarijantni s obzirom na takve transformacije i• zahtjev da prostor bude homogen nužno vodi na lineamost transfor-

macija (prava linija se transformira u pravu liniju).Označimo prostorae i vremenske koordinate sustava u mirovanju sa x i

t a sustava u kretanju sa x ' i t'. Između koordinata oba sustava moiaju prije

svega postojati linearae transformacije:

x '= kx + lt

t'=mx + nt

y’=y z ' = z

(10.20.)

gdje su k, l,m , n konstante koje treba odrediti.

Neka se pokretni sustav kreće brzinom v u odnosu na nepokremi sustav.Ishodište pokretnog sustavax'= 0, odmiče brzinom v od nepokretnog sustava.

Za x'= 0, slijedi * = vt. Uvrstimo ove vrijednosti u jednadžbu (10.20.), dobijemo vrijednost za konstantu /:

251





(10.28.)

Jednadžbe (10.22.) i (10.27.) predstavljaju Lorentzove transformacije:

Lako je pokazati da Lorentzove transformacije prelaze u Galilejeve, akostavimo v « c. U slučaju Zemlje (v.= 30 km/s), v2/^ 2» 10*8« 1, to znači da

se mogu primijeniti Galileieve transformacije. Za v > c, izrazi (10.22.) i (10.27.) postaju imaginami, čak nije dozvoljeno ni v = c.

10.6. POSLJEDICE LORENTZOVIH TRANSFORMACIJA

Iz Lorentzovih transformacija proizlazi niz posljedica koje su neobičnesa stanovišta klasične mehanike.

10.6.1. Istovremenost događaja u različitim sustavima

Neka se u sustavu K u točkama sa koordinatama i dešavaju istovre-

meno dva đogađaja u momentu t, = t2 = b. Prema formulama (10.29.) u sustavuK ' tim događajima odgovaraju koordinate:

(10.29.)

referencije

a odgovarajući momenti vremena su:

b -, vb ~ Z J * 2

• 253



Iz gomjih izraza vidimo da, ako se događaji dešavaju na istom mjestuu K prostoru, tj. x, = x2, tada je i u K' prostoru:

Ako su događaji u sustavu K prostomo odvojeni x, * x2, tada će oni biti prostomo i vremenski odvojeni i u K':

Predznak razlike t2 - /, određen je predznakora v(x, - x ^ . To znači da u jednom sustavu događaj 2 može prethoditi događaju 1, a u drugom sustavudogađaj 1 prethoditi događaju 2. Ovi događaji nisu u uzročnoj vezi.

Uzročno povezani događaji ni u jednom sustavu referencije neće biti

istovremeni i u svim sustavima će događaj koji se pojavljuje kao uzrok, prethoditi posljedici.

10.6.2. Dužina tijela u različitim sustavima referencije

Promatrajmo štap koji je smješten duž ose x i miruje u odnosu na sustavK'. Njegova dužina u tom sustavu iznosi l0 = x 2 - x \, gdje su x \ i x'2 koordinatekrajeva štapa i ne mijenjaju se sa vremenom t'. Stap se kreće brzinom v uodnosu na sustav K.

U jednom trenutku vremena /, = t2 - b koordinate štapa u nepokretnomsustavuK iznosex, i x2. Razlika koordinatax2- x , daje dužinu štapa /= x2-x ,.

x ' ,* x 2 i t \ * t 2.

K K' y y

V k O’ X| * 2 X,X'

Crtež 10.3.

Prema Lorentzovim transformacijama (10.29.) dobivamo:



odakle je:

ili

(10.30.)

Dakle, kod tijela koja se kreću, dimenzije u smjeiu kretanja se smanjuju

što je veća brzina kretanja. Ova pojava naziva se kontrakcija dužine.

10.63. Trajanje događaja u različitim sustavima

Neka se u toćki, koja je nepokretna u odnosu na sustav K', odvija događaj

koji traje At0 = t’2 - t\. Neka je početak i kraj događaja na istom mjestu, tj. jc', = x'2 = a. Prema formulama (10.29.) početku i kraju događaja u sustavu

K odgovaraju vremenu:

odakle je:

ili uvođenjem oznake Ij - 1, = At, dobivamo:

(10.31.)

Vremenski interval At0 je određen prema satu koji se kreće zajedno sa

tijelom, a interval vremena At je određen prema satu u nepokretnom sustavu.

Kao što se vidi iz (10.31.) interval vremena Ai0 koji je izmjeren prema satovimakoji su nepokretni u odnosu na tijelo, izgleda manji od intervala vremena At

koji je izmjeren prema satu koji se kreću u odnosu na tijelo. Prema (10.31.)uvijek je A/0 < At, pa možemo reći da satovi koji se kreću rade sporije odsatova koji miruju. Ovaj efekt se naziva dilatacija vremena. Vrijeme At ,

očitano na satu koji se kreće zajedno sa tijelom naziva se vlastito vrijemetog tijela.

. 255



U kozmičkim zrakama postoje čestice koje se zovu mi mezoni (p~ p+).

Ove čestice su nestabilne i raspadaju se na pozitron ili elektron i dva neutrina.

Srednje vrijeme nepokretnih p mezona iznosi oko 2xl0'6 s. Prema ovome,mezoni koji bi se kretali čak brzinom svjetlosti prešli bi put od svega 600 m.

Međutim, eksperiment pokazuje da p mezoni koji se stvaraju na visini 20-30km stižu u znatnom broju na površinu Zemlje.

Ovo se može objasniti time što je 2x 10'6 vlastito vrijeme života p mezona,tj. vrijeme izmjereno na satovima koji se kreću skupa sa njim. Vrijeme, koje

je očitano na satovima eksperimentatora, koji je vezan za Zemlju mnogo je

veće. Eksperimentator vidi mezone čiji je pređeni put znatno veći od 600 m,

dok sa pozicija posmatrača koji se kreće zajedno sa mezonom, rastojanje koje je mezon prešao do Zemlje skraćeno je na 600 m.

10.6.4. Slaganje brzina

U sustavu K, položaj točke je određen u svakom trenutku vremena t,

koordinatama x, y, z. Kretanje materijalne čestice možemo posmatrati iz sus-tava u mirovanju ili iz sustava u kretanju pa je njeno kretanje po osi x ili x ' funkcija vremena t ili t':

Dijeljenjem ova dva izraza, dobiva se zakon slaganja brzina u specijalnojteoriji relativnosti:

gdje su projekcije vektora bczine na zadane ose date izrazima:

x=x(0; x ' = x'( tr).

Prema Lorentzovim transformacijama:

Diferenciranjem Lorentzovih transformacija (10.27.) dobiva se:

256



r

dx

I t ' ~y '

<fy_.

d t ’

dz

d t ’

, dx' , dy' , dz'

u' = * ' ’ Uy=l F ’ u' = l F Analogno za ose y i z dobivamo:

dy l - 7 4 " 7

dt d t '+ \ d x ' 1+ u ' x c c

dz < 4

vJ

1 _ 7dt dt ' + Xrdx' 1 + 4 « ;

(10.32'.)

Vidimo da je rezultanta uvijek manja od sume brzine čestice u pokretnom

sustavu i brzine pokretnog sustava v.

U slučaju kada je v « c, izrazi (10.32.) prelaze u formule slaganja brzina

u klasičnoj fizici (10.17.):u’ +v ,

ur = — J------ ~ u ' + v .

i + 7 «;

Pretpostavimo da je n ' = c, tada imamo:

«!+ v c + v

, v , , v1 +— ux .1 + — c

c c

- = c .

Za slučaj da je u'x = v = c, dobijemo opet kao rezuitat c:

K =u', + v c + c

V c1 + 4 c 1 + -J-C

c c

- = c.

Vidimo da je brzina svjetlosti konstantna i ne zavisi od brzine kretanja

izvora ili prijemnika svjetlosti, ito je pokazano i Michelsonovim eksp>erimen-

tom.

10.6.5. Dopplerov efekt za svjetlost

U akustici se promjena ftekvencije, uvjetovana Dopplerovim efektom,

određuje pomoću brzine kretanja izvora i prijemnika u odnosu na sredinu koja je nosilac zvučnih valova. Za svjetlosne valove također postoji Dopplerov

257



efekt. Međutim, pošto ne postoji specijalna sredina koja bi bila nosilac elek-tromagnetnih valova, Dopplerova promjena frekvencije svjetlosnih valova od-ređuje se samo relativnom brzinom izvora i prijemnika.

Vežimo za prijemnik svjetlosti koordinatni početak nepokretnog sustavaK a sa izvorom koordinatni početak sustava K'. Ose x i x ' se poklapaju iusmjerene su duž vektora v, kojim se kreće sustav K'.

Jednadžba ravnog svjetlosnog vala, koji emitira izvor prema prijemniku,imat će u sustavu K' oblik:

E{x', t' ) = ^'cosj + — j + a '

K'

;---------O j O / VV

(10.33.)

Prijemnik Izvor

Crtež 10.4.

gdje je co' frekvencija kojom oscilira izvor, a ' početna faza, c-brzina svjetlosti.

Prema principu relativnosti, svi prirodni zakoni imaju isti oblik u sviminercijalnim sustavima referencije. U sustavu K, svjetlosni val je opisan jed-nada>om: r ..

£ (* ,/) = ,4 cojja>f/ + -^ j + a (10.34.)

gdje je co fiekvencija koju prima prijemnik, a a početna faza. Zamijentino x ' i t' prema Lorentzovim transformacijama (10.29.), dobijamo:

r \

E (x,t ) = A ' cos <0 '

v

‘ - - J x x - v t

što se lako svodi na oblik:

* - ? 4 4 ,

E (x,t )= /4'cosj ca' ■ c f / + —l + a '

1 R '

-a (10.35.)

(10.36.)

258



r

Pošto je kretanje duž ose x, amplituda osciliranja ostaje nepromijenjena, A = A ', i za a = a 'jed na džba (10.36.) opisuje isti val kao i jednadžba (10.34.).Zbog toga treba biti ispunjen odnos:

co = co = co

V

1-21

1 + 2 1

(10.37.)

Pređimo sa kružne frekvencije co = 2 n f na frekvenciju / i o zn ačim o/ sa

f 0 (frekvencija izvora), dobije se;

/ = /o (10.38.)

Brzina v u odnosu na prijemnik je algebarska veličina. Pri udaljavanjuizvora v > 0 i prema (10 .3 8 .)/< / , kad se izvor približava prijemniku v < 0

i / > / o -U slučaju kada je v « c, formula (10.38.) može se razviti u red i ako

se ograničimo na prva đva člana, đobivamo:

1-121

/ » / o<10'39)

2 cMjerenjem relativnog pomaka linija u spektru zvijezda, može se odrediti

njihova radijalna brzina.

10.7. RELATT VISTIČ KA DINA M IKA

Jednadžbe klasične mehanike su invarijantne u odnosu na Galilejevetransformacije, dok u odnosu na Lorentzove transformacije nisu invarijantne.Iz teorije relativnosti slijedi da jednadžba dinamike, invarijantna u odnosu naLorentzove transformacije ima oblik:

/ \

d_

dt = F (10.40.)

259



gdje je m0 - masa rtfirovanja čestice koja je invarijantna u svim sustavima

refercncije, v brzina čestice, F sila koja djeluje na česticu i c brzina svjetlosti.Usporedivši ovu jednadžbu sa formulom u klasičnoj fizici:

^ - p = F (10.41.)at

gdje je p impuls (količina kretanja), dolazimo do zaključka da je relativistički

impuls čestice jednak:

P =ffloV

(10.42.)

Pošto je masa čestice m koeficijent proporcionalnosti između impulsa i

brzine dobivamo da je masa čestice u relativističkoj mehanici dana izrazom:

(10.43.)

Ovisnost mase tijela od brzine kretanja dana je na crtežu 10.5. Rela-

tivistička masa tijela teži beskonačnoj vrijednosti kad brzina tijela teži brzinisvjetlosti.

Za slučaj malih brzina v « c, m = m0 i p = m^v, odnosno vrijede zakoni

klasične fizike.Da bismo izračunali relativističku kinetičku energiju, pođimo od de-

finicije kinetičke energije. Kinetička energija je ona energija koju dobiva

260



r

slobodna čestica kada se nad njom izvrši neki rad. Ako sila djeluje u smjeru

ose x, tada je elementami rad jednak:

dW = Fdx = Fvdt (10.44.)

ili

dW = vdp

gdje je p = m v .

Diferencijal relativističkog impulsa jednak je:

dp = mdv + vdm. (10.45.)

Kao što smo rekli, priraštaj kinetičke energije jednak je izvršenom radu:dW = dEk = mvdv + v2dm . (10.46.)

Diferencijal mase dobijemo diferenciranjem izraza (10.43.) po brzini:i

dm

odnosno

dm = mvdv2

2 C —V

(10.47.)

Odavde slijedi da je:

mvdv = [c2 - v2 . (10.48.)

Uvrstimo izraz (10.48.) u (10.46.) dobijemo da je diferencijal kinetičke

energije jednak:

dEk = (p-dm. (10.49.)

Integracijom, dobijemo izraz za relativističku kinetičku energiju:

Ekr = m<p--m<f2,

ili

K = rn<f‘

H

^ - i (10.50.)

Ako čestica miruje, v = 0, čestica ima energiju mirovanja:

E0 = m<{P. (10.51.)

261



Pošto je kinetičk'a energija po definiciji jednaka ukupnoj energiji E minusenergija mirovanja imamo da je ukupna energija jednaka:

U slučaju malih brzina v « c, razvijmo u red1izraz (10.52.), dobit ćemo:

Odavde dobivamo izraz za klasičnu kinetičku energiju, m0v*/2, i ako sezadržimo na prva dva člana,

Napišimo izraz za relativističku energiju preko impulsa. Kvadrirajmoizraze (10.52.) i (10.42.):

dobijemo izraz za ukupnu relativističku energiju:

Na crtežu 10.6. dat je graflčld prikaz ukupne relativističke energjje E, relativističke kinetičke energije Ey. i klasiČne kinetičke energije Ek. %

Izrazi (10.52.) i (10.56.) nisu primjenljivi samo za elementame česticeveć i za složeno tijelo, koje se sastoji od velikog broja čestica. U energijumirovanja, kao i u ukupnu energiju tijela ne ulazi potencijalna energija tijela

u vanjskom polju.Iz relacije (10.52.) slijedi da su eneigija i masa tijela uvijek proporcio-

nalne. Svaku promjenu energije (isključujući promjenu potencijalne energijeu vanjskom polju) tijela E prati promjena mase:

E = mc2. (10.52.)

(10.53.)

,2

ili

E k - E - £ 0. (10.54.)

(10.56.)

(10.57.)

I Za neŠto veće brzine, v <c% E \ Iv2 3 v4I+ — + * —T+,2 c* 8 c 4

262



r

i obratno, svaku promjenu mase tan piati promjena energtje:

A E ^ A m . (10-58.)

Ova relacija naziva se zakon proporc ionalnosti mase i energije. Ovdjevidimo da je masa tijela mjera njegove ineitnosti i treba je razlikovati od

količine supstance u tijelu. Pri povećanju bnrine tijela, njegova količina sup-stance ostaje stalna dok mu se masa povećava.

263



11. TOPLINSKO ZRAČ ENJE

Toplinsko zračenje nastaje kađa atomi ili molekule tijela, pobuđeni ter-mičkim kretanjem, emitiraju elektromagnetske valove. Zračenja koja nastajuna račun drugih oblika energije, poznata su pod nazivom luminescencije.Fosfor koji oksidira u zraku zrači (svijetii) na račun cnergije koja se oslobađa

u kemijskoj reakciji, taj oblik zračenja naziva se kemiluminescencija. Zrače-nje koje nastaje pri pražnjenju u plinovima naziva se katodna luminescencija.

Toplinsko zračenje emitiraju sva tijela i to na svim temperaturama različitimod apsolutne nule. Međutim, spektralni sustav i intenzitet zračenja zavisi i odtemperature i prirode izvora. Toplinsko zračenje je elektromagnetski proces.Smatra se da toplotni valovi imaju valne dužine u intervalu od 380 nm do40 000 nm.

Okružimo tijelo koje zrači neprobojnim omotačem sa idealno reflekti-rajućom površinom, i evakuirajmo unutrašnjost, crtež 11.1. Zračenje odbijeno

od omotača apsorbira se kad padne na tijelo (djelomično ili u potpunosti).Slijedi neprekidna izmjena enetgije između tijela i zračenja koje ispunjavaomotač. Ako raspodjela energije između tijela i zračenja ostaje nepromijenjenaza svaku valnu dužinu, stanje sistema tijelo-zračenje bit će ravnotežno. Ek-speriment pokazuje da je jedini ofolik zračenja koji može da se nalazi uravnoteži sa tijelom koje zrači, toplinsko zračenje, svi ostali oblici zračenja

(luminescendje) su neravnotežni.Pretpostavimo da je ravnoteža iz-među tijela i zračenja narušena itijelo zrači više energije nego što

apsorbira. Tada će unutrašnjaenergija tijela da se smanjuje, što

dovodi do sniženja temperature,

to uvjetuje smanjenje energije koju zrači tijelo. Temperatura tijelaće se smanjivati sve dok se ko-ličina izračene energije ne izjed-nači sa apsorbiranom energijom.

Ako se ravnoteža naruši na su-

protnu stranu, tj. količina izračene

264



energije bude manja od apsorbirane, temperatura raste, sve dok se ne uspostavi

ravnoteža.

11.1. KIRCHHOFFOV ZAKON

Da bismo okarakterizirali toplinsko zračenje koristit ćemo veličinu fluksa

(toka) energije, koji se mjeri u vatima. Fluks energije, koji emitira jedinica površine tijela koje zrači, naziva se energetska jakost ili in tenzitet zračenja

tijela { I ), ili to je energija koju ispužta jedinična površina u jedinici vremena:

Zračenje se sastoji od različitih frekvencija co. Označimo fluks energije,

koji emitira jedinica površine tijela u intervalu da> s dla. Za malu veličinuintervala da>, fluks dla bit će proporcionalan s da>:

gdje je ea emisiona moć tijela.

Eksperiment pokazuje da emisiona moć zavisi i od temperature, značiea je funkcija temperature i frekvencije:

Zračenje se često karakterizira sa valnom dužinom k umjesto frekven-

cijom co. Odresku dm odgovara interval dk. Veza između valne dužme i kružnefrekvencije je X = 2nc/a>. Diferenciranjem, dobiva se:

Predznak minus, nema bitnog fizikainog značenja, on samo ukazuje da

porastom jedne veličine dolazi do smanjivanja dmge. Ovaj minus nećemo

dalje pisati.

Intenzitet zračenja koji otpada na interval dk može se po analogiji pred-

staviti u obliku:

Ako su intervali da> i dk vezani relacijom (11.4.) to se dla i dlx pođu-daraju:

(11-1)

dIa =ca -do>, ( 11.2.)

(11.3.)

o

(11.4.)

dlx = exdk. (11.5.)

eadm = exdk.

265



Zamjenom đk iz relacije (11.4.) dobit ćemo:

e«,4*0 = ex —T'd(s>= ‘h. r — <*>(0 2nc

(11.6.)

2nc X2 — =r = e ,—

Neka na elementamu površinu tijela, pada fluks energije elektromagnet-skog zračenja frekvencije iz intervala da>. Dio tog fluksa dO ’a apsorbirat ćetijelo. Bezdimenzionalna veličina:

naziva se apsorpciona moć tijela. Apsorpciona moć tijela je također funkcijatemperature i frekvencije. Po definiciji aaTne može da bude veće od 1. Tijelo

za koje važi aaT = 1 naziva se apsolutno crno tijelo. Tijelo za koje važi,

Eksperiment pokazuje da će takav sistem, kroz neko vrijeme dospjeti ustanje toplotne ravnoteže, sva tijela će imati istu temperaturu. U takvom stanjutijelo koje ima veću emisionu moć eaT, gubi sa jedinične površine u jedinicivremena više energije nego tijelo koje ima manju eaT. Kako se pri tometemperatura tijela ne mijenja, to tijelo koje emitira više energije mora više i'apsorbirati. Znači, što je veća emisiona moć earto je veća i apsorpciona moćaaT. Odavde slijedi relacija:

a a . r < 1* naziva se sivo tijelo.Između emisione i apsorpcionemoći bilo kojeg tijela postojiodređena veza. Uzmimo za pri-mjer ovaj eksperiment.

Crtež 11.2.

Neka se unutar zatvorenogomotača, koji se ođižava na stal-noj temperaturi T, nalazi neko-liko tijela. Šupljina unutar omo-tača je evakuirana tako da jemoguća izmjena energije izme-đu tijela međusobno i'*izmeđutijela i omotača, samo putememisije i apsorpcije elektroma-

gnetnih valova, crtež 11.2.

( 11.8.)

266



Na osnovu ovih razmatranja Kirchhoff je formulirao slijedeći zakon:Omjer emisione i apsorpcione moći ne zavisi od prirode tijela, nego je

za sva tijela jedna te ista univerzalna funkcija frekvencije i temperature.

■ ^ = / (ca ,r) . (11.9.)a nT

Pošto je po definiciji aaT = 1 za apsolutno cmo tijelo, znači:

j = f ( a >T ) - ( 11-10.)

Znači univerzalna Kirchhoffova fiinkcija /co. T) nije ništa dmgo nego

emisiona moć apsolutoo cmog tijela. U teorijskim radovima obično se koristi

fifit.T), a u eksperimentalnim radovima <p(X,7).Veza između ovih fimkcija može se dobiti analogijom prema (11.7.):

f ( a ,T ) = ^ ( \ , T ) = -£ -< t(X ,T ) (11.11.)(O 2nc

Apsolutno cmog tijela nema. Č ađ ili platinsko cmilo imaju aaT blisko jedinici samo u ograničenom intervalu frekvencija, za daleku infracrvenu ob-

last to ne važi.

Možemo napraviti uređaj sa osobi-nama apsolutno cmog tijela, crtež 11.3.

Takav uređaj predstavlja zatvorenu

šuplju loptu sa malim otvorom. Zračenjekoje uđe unutra, prije nego što izađe iz

otvora, trpi mnogostruka odbijanja, takoda se jedan dio energije svaki put apsor-

bira, dok se praktično ne apsorbira sva

energija. Ovakva šupljina ako se odižava

na konstantooj temperaturi po svom spek-tralnom sastavu zračenja ponaša se kao

apsolutoo cmo tijelo. Razlažući ovo zra-čenje pomoću spektralnog aparata može

se eksperimentalno odrediti oblik funk-

cije/(o,7) ili <p(fl),7), crtež 11.4.

• 267



Na crtežu 11.4., dana je shema uređaja pomoću kojeg se može odrediti

emisiona moć apsolutno cmog tijela za različite valne đužme. Za mjerenje

intenziteta zračenja, umjesto termočlanka, može se koristiti fotootpor ili bolo-

metar, a umjesto prizme, difrakciona rešetka. Treba napomenuti da se leće i prizma prave od provodnog materijala za infiracrveno zračenje (NaCl, Ge),

jer staklo slabo propušta ovo zračenje.

Rezultati ovakvih eksperimenata dati su na crtežu 11.5., različite krivulje

odgovaraju različitim temperaturama apsolutno craog tijela. Površina kojuobuhvata krivulja <p(X,7) predstavlja intenzitet zračenja apsolumo cmog tijela

za odgovarajuću temperaturu.

Crtež II.5.

268



11.2. STEFAN-BOLTZMANNOV I WIENOV ZAKON

Teoretsko objašnjenje zračenja apsolutno cmog tijela imalo je ogromanznačaj za razvoj modeme fizike, ono je dovelo do pojma kvanta energije.

Jožef Štefan1je na osnovu eksperimentalnih rezultata za siva tijela došao

do zaključka da je intenzitet zračenja proporcionalan četvrtom stupnju apso-lutne temperature. Bohzmann2 (Bolcman) je na osnovu termodinamičkih po-stavki, teoretski dobio za intenzitet zračenja apsolutno cmog tijela vrijednosti:

co

7=J/(<B,7’>/o=CTr4) (11.12.)o

gdje je a konstanta, a T apsolutna temperatura. Ovim je pokazao, da Stefanovrezultat vrijedi samo za apsolutno cmo tijelo. Relacija (11.12.) poznata'je pod

imenom Stefan-Boltzmannov zakon, a konstanta ct naziva se Stefan-Boltz-mannova konstanta i ima vrijednosti

cr = 5,7-10'8 W/m2K4.

Wien3 (Vin) je 1893. godine koristeći pored termodinamike i elektro-magnetsku teoriju, pokazao da funkcija spektralne raspodjele treba da imaoblik: , s

/ ( o , T ) =o>3F(jpJ, (11.13.)gdje je F nepoznata funkcija omjera frekvencije i temperature.

Izračunajmo intenzitet zračenja apsolutno cmog tijela koristeći Wienovufimkciju: „

/ = Jco3F ( y l* o . (11.14.)

Uvedimo smjenu: a /T = y, co = T-y; da> = Tdy, dobivamo:

4© 49/=J r3/F{y)Tdy =T*f y lF{y)dy =7*0. (11.15.)0 0

Vidimo da određeni integral u relaciji (11.15.) treba da bude jednakStefan-Boltzmannovoj konstanti ct, ali da bi ga izračunali moramo znati funk-ciju F(co/7).

Koristeći relaciju (11.11.) možemo dobiti Wienovu funkciju izraženu preko valne đužine:

1 Jožef Štefan (1835.-1893.), slovenački fizičar, poznat po radovima iz eksperimentalne fizike.2 Lođvig Boltzmann (1844.-1893.), njemački fizičar, poznat po radovima iz statističkc fizikc i

kinetičke teorije plinova.3 W. Wien (1864.-1928.), njetnački fizičar, dobitnik Nobelove nagrade za fiziku (1911).

• 269



(11.16.)

ili

«p(x,r)=^F-(xr),

gdje je F* nepoznata fimkcija produkta X -T . Iz posljednje relacije mogli bi

naći vezu između valne dužine XK kojoj pripada maksimum fiinkcije cp(X, T )i temperature. Treba naći za koju Xm maksimum funkcije je jednak nuli:

(11.17.)

Na osnovu eksperimentalnih podataka može se dobiti veza između valne

dužine Xmi temperature. Na crtežu 11.6. vidimo da maksimumi krivulja spek-tralne raspodjele leže na krivoj:

XmT = b ; X m= j . (11.18.)

Relacija (11.18.) poznata je pod nazivom Wienov zakon pomjeranja,a b je Wienova konstanta pomjeranja, čija je vrijednost eksperimentalno odre-đena i iznosi:

6 = 2,9-10-3mK.<P(KT)

(11.19.)

Crtež 11.6.

270



113. RAYLEIGH-JEANSOVA FORMULA

Rayleigh-Jeans (Reli i Džins) su pokužali da odrede funkciju J{(s>,T), polazeći od teorema klasične statistike o ravnomjemoj raspodjeli energije po

stepenima slobode. Oni su pretpostavili da na svako elektromagnetsko oscili-

ranje otpada u srednjem energija jednaka 2-(kT/2), tj. jedna polovina na elek-tričnu a dmga polovina na magnetsku komponentu1. Rayleigh-Jeansova funk-cija spektralne raspodjele ima oblik:

f(m,T) = j k - T ( 11.20.)47t C

ili

<?(KT) = k - T .

Može se lako vidjeti da zadovoljava Wienov uvjet:

Izračunajmo intenzitet zračenja koristeći jeđnadžbu (11.20.), i integriraj-mo po o) u granicama od 0 do oo:

<0 «0

I =j f((j>,T)đ<a = ——j-j-J ffl’ cto =kT

.2-2

ffl

471 c 3 ( 11.22.)

Rezultat koji se dobije, po-znat je pođ imenom ultravi-

oletna katastrofa i stoji u su-

protnosti sa eksperimentom. Sa

slike 11.7. vidimo da je Ray-

leigh-Jeansova formula u slaga-nju sa eksperimentalnim rezul-tatima samo za velike valne

dužine (infiacrveno područje)

dok se za male valne dužine (ul-travioletno podmčje), oštro ra-zlikuje od eksperimenta.

1 Prema klasičnoj fiaici na svaki oscilatomi stupanj otpada u srednjem energija kT/2, gdje jek = 1J810 '23 J/K, Boltzmannova konstanta.

. 271



11-4. PLANCKOVA FORMULA

Izvođenje Rayleigh-Jeansove formule sa stanovišta klasične fizike je bez

zamjerke, Međutim razilaženje ove foimule sa eksperimentom, ukazuje na

postojanje nekih zakonitosti koje nisu u suglasnosti sa pretpostavkama klasične

statističke fizike i elektrodinamike. Gođine 1900. Max Planck' (Plank) jeuspio da pronađe oblik funkcije/(<a,7) koji točno odgovara eksperimentalno

dobivenim rezuitatima. Međutim, za ovo je trebalo napraviti pretpostavke koje

su u suprotnosti sa klasičnim predstavama i zahtijevati da se elektromagnetskozračenje emitira u obliku energetskih porcija (kvanata) čija je veličina pro-

porcionalna frekvenciji zračenja:

E = hv = fuo, (11.23.)

gdje je h (odnosno h) Planckova konstanta, čija je vrijednost određena ek-sperimentalno i iznosi:

h = 6.62-10'34 Js (11.24.)

ili

h = — = 1,054 -lO '^Js .2 71

Planckova konstanta ima dimenziju: (energija) x (vrijeme) = (količinagibanja) x (dužina) = (moment količine gibanja)12.

Ako se energija emitira (apsorbira) u porcijama ha>, to znači da ukupnaemitirana (apsorbirana) energija može da bude samo cjelobrojni umnožakkvanata energije, tj.:

E„ = nh(o; n = 0,1,2,... (1125.)

Ovaj rezultat znači da, za razliku od klasičnog oscilatora koii oscilira

pod djelovanjem elastične sile F = -kx, frekvencijom ca = -Jk/m i koji možeda ima sve vrijednosti energije od 0 do E = h?/2 , kvantni oscilator, može senalaziti samo u stanjima sa energijom Em= nhca. Prema Plancku osnovno(najniže) stanje kvantnog oscilatora je E0 = 0, prvo više stanje je E, = ha>, drugo, E2 = 2hm itd.

Uvođenjem pojma kvatnog oscilatora i kvanta energije (11.23.) i (11.25.),

Planck dolazi do rezultata da je srednja vrijednost energije zračenja frekvencije0) jednaka:

1 Max Planck (1858-1947), njcmaCki fizičar, jedan od osnivaća modcmc fizikc, dobitnik Nobelovcnagrade (1918)

2 XJ mehanici se ova veličina naziva “djelovanje” pa se i Planckova konstanta naziva kvant dje-lovanja.

272



ekT- lgdje je k - Boltzmannova konstanta, T - apsolutna temperatura. Kada h(o težinuh, tj. kada je /ico -« kT, eto/*r možemo razviti u red:

17 , t o 1 (ha> V’ ’ (1L27>

Uvrštavanjem izraza (11.27.) u (11.26.) i ako se zadržimo na prva dvaclana, dobivamo klasični oblik za energiju kT:

p i O)

r + ^ _ = kT ' ( n '28)+ kT 1

Ako sada u Rayleigh-Jeansovoj fonnuli (11.20.) zamijenimo kTsa Planc-kovim izrazom za srednju energiju kvantnog oscilatora (11.26.) dobit ćemo

Planckovu fimkciju spektialne raspodjele meigije, apsolutno cmog tijela/co.T):

/ ((° ,7’) = 2 ^ 01-29.)ili

< p M =

e*T - l

2nhc2 1

5 kee\*T _ j

Ova formula se podudara sa eksperimentom u intervalu od 0 do w.

Zadovoljava Wienov kriterij co3f M , a ia ^ « 1 prelazi u Rayleigh-Jean-

sovu formulu.

I I

*

3 * ha>3

4 n 2c2d(0h*> (11.30.)

0 e lT - \

ha> kT da =

kT

kT

I I 3

— dxh

(11.31.)

k*T* r 3 dx1 — 4n2c2hl J X e 1 - i ' (11.32.)

uvedimo smjenu:

x

Dobit ćemo izraz:

Integial u posljednjem izrazu može se izračunati1 i iznosi:

1 Koristiti: MatematičJci primčnik, N. BronStejn-K.A. Semendjajev.



(11.33.)

0UvTŠtavanjem vrijednosti (11.33.) dolazimo do Stefan-Boltzmannovog

zakona.

/ = J ^ r ' = c T r 4. (11.34.)60c2/!5

Odavde zamjenom brojčanih vrijednosti za konstantu, k = 1,38-10'23 J/K,c = 3-108 m/s i h = 1.054-10'34 Js, dobit ćemo vrijednost za Stefan-Boltzman-novu konstantu:

= 5,6696- 10'8W/m2K4 (11.35.)

koja se dobro slaže s eksperimentom (ct^ = 5,7-10'8 W/m2K4).Da bismo odredili Wienovu konstantu koristeći Planckovu formulu

(11.29.), diferencirajmo fiinkciju cp(\,T) po X i izjednačimo sa nulom:( hc

d<p(\, T) _ 2nc2h

— e™--5kTk

e m _ ]

đk hc_ VetA -1

= 0 . (11.36.)

V /Vrijednosti X = 0 i X = oo, koje zadovoljavaju jednadžbu (11.36.) odgova-

raju minimumu funkcije <p(X,7). Vrijednost Xm, pri kojoj funkcija dostižemaksimum, anulira izraz u uglastoj zagradi brojnika. Ako se uvede oznaka:

hc

kTXm

dobiva se jednadžba:

(11.37.)

5(e*- 1) = 0 (11.38.)

ili

5 - x = 5 ( ^ -1 ) .

Ova jednadžba je transcendentna imože se riješiti grafički, crtež 11.8.

y = 5 - x i y= 5e~x.

Rješenje je:

x = 4,965

odnosno,

274



hc

~kTk, = 4,965. (11.39.)Uvrštavanjem brojčanih vrijednosti za konstante h, c i k, dobivamo vri-

jednost Wienove konstante:

Tkm=" 4,965*

6 = 2,886 10'3mK.

(11.40.)

što je u dobrom slaganju sa eksperimentalnom vrijednošću b = 2,886-10'3 mK.

Izračunavanjem konstante u i b Plankova teorija je dobila punu potvrdu

i predstavlja jedno od najznačajnijih dostignućh teorijske fizike.

11.5. OPTIČ KA PIROMETRIJA

U relacijama (11.29.), (11.34.) i (11.40.) pojavljuje se kao parametar

temperatura tijela, koje zrači. Stoga se bilo koja od ovih relacija može koristitiza određivanje temperature užarenih djela. Uređaji koji se baziraju na ovom

principu nazivaju se optički pirometri. Oni se dijele na tri grupe: radijacioni

pirometar, pirometar sjaja i kolor pirometar.

11.5.1. Radijacioni pirometgr

Shema radijacionog piro-metra dana je na crtežu 11.9.

Uređaj se dovodi do tijela

koje zrači, tako da oštra slika

površine koja zrači, dobivena ob- jektivom Ob, potpuno prekriva

prijemnik zračcnja Pr. Kontrolase vrši pomoću okulara Ok. Kao

prijemnik obično se koristi ter-

močlanak (termopar). Po otklo-

nu kazaljke na galvanometrumože se odrediti temperatura ti-

jela koje zrači. Uređaj se bažda-

ri prema apsolutno cmom tijelu, tako da za siva tijela radijacioni pirometarne daje stvamu temperatum T, nego neku temperatum T ^ , pri čemu je in-

’ 275



tenzitet zračenja apsolutno cmog tijela I* jednak intenzitetu zračenja / ispiti-

vanog tijela na njegovoj stvamoj temperatun T:

Temperatura T^naziva se radijaciona. Nađimo vezu između radijacione

temperature sivog tijela i njegove stvame temperature T. Označimo sa aT količnik intenziteta zračenja danog tijela / i apsolutno cmog tijela I* uzetih

na istoj temperaturi.Tada se može pisati:

I(T) = ar I*(T). (11.42.)

Uvrštavanjem te vrijednosti u (11.41.) dobiva se:

I* (TJ) = aTT*(T). (11-43.)Prema relaciji (11.43.) dobivamo:

a T ^ - cijaT*. (11.44.)

Dakle, stvama temperatura T jednaka je:

Kako je aT za siva tijela manje od jedinice, to je stvama temperaturaveća od radijacione.

11.5.2. Plrometar sjaja

Pirometar sjaja baziran je na poređenju zračenja svjetlećeg tijela sa*zra-čenjem apsolutno cmog tijela na jeđnom te istom dijelu spektra AX. Obično

se koristi interval u okoliniO b F X = 0,66 pm, crveni dio spektra.

Shema pirometra sjaja, dana

je na crtežu 11.10. Ovaj uređaj

sastoji se od polukružne žame niti

koja leži u ravni okomitoj na os

uređaja. Objektiv Ob daje u toj

ravni sliku površine ispitivanog

emitera. Svjetlosni filter F pro-

pušta na okular Ok samo crvene

zrake sa valnom dužinom blizu

276



0,66 nm. Gledajući kroz okular, podešava se pomoću reostata R takvo žarenje

niti da se njen sjaj podudara sa sjajem slike emitera, u tom slučaju nit “iš-

čezava” u vidnom polju. Ovakav pirometar se još zove pirometar sa iščeza-

vajućom niti. Uređaj se prethodno baždari prema apsolutno cmom tijelu. Za

siva tijela uređaj daje tzv. temperaturu sjaja Da bismo đobili stvamu

temperatum potrebno je izvršiti određene korekcije. Naprimjer za volfram natemperaturi T = 3000 K i X = 0,66 pm temperatura sjaja je Tsjaj = 2700 K, a

radijaciona T ^ = 2250 K.

11.5.3. Kolor pirometar

Za siva tijela emisiona moć može se napisati u obliku:

4 X ,7 )» a r q>(M), (11.46.)

gdje je aT — const. Prema tome, maksimum emisione moći sivog tijela na

temperaturi T odgovara istoj valnoj dužini Xm, kao i kod apsolutno cmog tijela

na toj tcmperaturi. Stoga, ako je određeno X„„ može se temperatura sivogtijela izračunati. Ovako nađena temperatura naziva se kolor temperatura.Maksimum u spektm Sunčevog zračenja, prije prolaska kroz Zemljinu atmos-

fem odgovara valnoj đužini X„ = 0,47 pm. Uvrštavanjem u (11.40.) dobivamoza kolor temperatum Sunca vrijednosti:

6°00K. (11.47.)

Dobiva se da je radijaciona temperatura Sunca približno jednaka 5800 K.Mala razlika izmedu kolor i radijacione temperature ukazuje na to da je po-

vršina Sunca po svojim osobinama bliska apsolutno cmom tijelu. Treba napo-

menuti da za tijela čiji karakter zračenja se razlikuje od zračenja svib tijela(“hladno zračenje”), pojam kolor temperature gubi fizikalni smisao.

• 277



12. KVANTI ELEKTROMAGNETSKOGZRAČ ENJA (FOTONI)

12.1. ZAKOČ NO RENDGENSKO ZRAČ ENJE

U prošlom poglavlju vidjeli smo da je za objašnjenje toplinskog zračenja

bilo potrebno uvesti hipotezu (Planck) o emisiji elektromagnetskog zračenja

u obrocima hco. Kvantna priroda zračenja potvrđuje se također postojanjemkratkovalne granice zakočnog rendgenskog zračenja. Rendgensko zračenje

nastaje pri bombardiranju čvrstih meta bnrim elektronima. Na crtežu 12.1.shematski je prikazana elektronska rendgenska cijev1.

Rendgenske2 zrake stvaraju se u ionskim ili elektronskim cijevima. Mićemo opisati elektronsku rendgensku cijev jer je suvremenija i nalazi se uširokoj primjeni. Kod ovog tipa rendgenske cijevi emisija elektrona je ter-moelektronska, na principu zagrijavanja katode. Katoda K je u obliku spirale

1 Ovo je shema ptve renđgenske cijevi, sada su u upotrebi cijevi od metala s otvorima za X-zrake.

2 W. C. Rontgen (1845.-1923.), njemačld fizičar, dobitnik Nobelove nagrade za fiziku (1901.).

278



(volfram) koja se zagrijava do usijanja, posebnim strujnim kolom. Na suprot-noj strani od katode u cijevi u kojoj je visoki vakuum (oko 10"5 Pa) nalazi

se anoda A. Između anode i katode prikijučen je visoki napon. Slobodni• elektroni pod djelovanjem električnog polja kreću se ubrzano prema anodi sakojom se sudaraju. Na mjestu sudara nastaju rendgenske ili X-zrake.

Veći dio energije elektrona izđvaja se na anodi (antikatodi) u obliku

toplote; u zračenje se pretvara samo 1-3% energije. Cijevi velike snage treba

intenzivno hladiti. Obično kroz tijelo anode cirkulira tečnost za hlađenje.

Eksperiment pokazuje da se intenzivno zračenje može dobiti samo pri naglom

kočenju brzih elektrona. Za ovo na rendgensku cijev treba dovesti napon viši

od 50 kV. Kod takvog napona elektron postiže brzinu reda veličine 0,4 c,

kod 50 MV brzina elektrona iznosi 0,99995 c. Takvi elektroni daju izuzetnomale valne dužine X-zračenja.

Pri dovoljno velikoj brzini

elektrona, osim zakočnog zra-čenja (tj. zračenja uvjetovanog

kočenjem elektrona) pobuđuje

se i karakteristično zračenje.

Karakteristično zračenje izaz-

vano je pobuđivanjem unutraš-

njih elektrona omotača atoma,tijela mete (antikatode). Prema

klasičnoj elektrodinamici, pri

kočenju elektrona, treba da se

jave valovi svih valnih dužina

od nule do beskonačnosti. Valna

dužina kojoj odgovara maksi-

miun zračenja treba da se sma-njuje sa povećanjem brzine ele-ktrona, tj. napona u cijevi, U.

Na crtežu 12.2. prikazane su ek-sperimentalne krivulje raspod-

jele intenziteta zakočnog zračenja dl/dk po valnim dužinama X za razne vri-

jednosti napona U.

Kao što se vidi na citežu 12.2. postoje odstupanja od zahtjeva klasične

elektrodinamike. Neslaganje se sastoji u tome da frinkcija raspodjele ne ide

prema koordinatnom početku nego se prekida kod neke konačne vrijeđnosti

X„jir Eksperimentalno je utvrđeno daje kratkovalna granica zakočnog zra-čenja povezana s naponom relacijom:

dllđk

279





dlldk

Citež 12.3.

12.2. F O T O E L E K T R IČ N I E F E K T

Fotoelektrični efekt ili fotoefekt je emisija elektrona iz materijala pod djelovanjem svjetlosti. Ovu pojavu otkrio je 1887. godine Hertz1, primi- jetivši da se preskakanje iskri između cinkovih kuglica znatno olakša ako se

jedna kuglica osvijetli ultraljubi-

častom svjetlošću. Na crtežu 12.4.

je shema uređaja za ispitivanje fo-toefekta. Svjetlost prolazi kroz

kvarcni prozorKP u evakuirani ba-

lon i osvjetljava katodu K, koja je

napravljena od materijala koji seispituje. Elektroni emitirani, usli-

jed fotoefekta, prelaze pod djelo-

vanjem električnog polja na anodu

A. Kao rezultat u električnom kolu

teče struja koja se mjeri galvano-

metrom G. Napon između anode i

katode može se mijenjati pomoću potenciometra P.

1Heinrich Hertz (1857-1894), njemaiki fizičar, prvi je eksperimentalno dobio elektiomagnetskevalove i time potvrdio Maxwellovu teoriju.

• 281



Na crtežu 12.5. prikazana je krivulja koja pokazuje ovisnost fotostrujeo naponu između clektroda U, pri konstantnom svjetlosnom fluksu <1>. Iz tekrivulje se vidi da pri nekom velikom naponu, fotostruja postaje zasićena.Struja zasićenja se postiže kada svi elektroni koje emitira katoda dospijevajuna anodu. Jačina struje zasićenja određuje se prema broju elektrona koje

emitira katoda u jedinici vremena pod djelovanjem svjetlosti. Za U= 0, fo-tostmja ne iščezava. To služi kao dokaz da elektroni napuštaju katodu sa btzinom

različitom od nule. Da bi fotostruja bila jeđnaka nuli, potrebno je đovestinapon kočenja Ut Pri takvom naponu ni jedan od elektrona čak ni oni najbržisa brzinom vmne dospijevaju na anodu. Pri ovome možemo pisati da je:

gdje je m-masa elektrona, a e-naboj elektrona. Na ovaj način, ako se izmjerinapon kočenja Uk može se odrediti maksimalna vrijednost brzine fotoelek-

trona. Ako je spektralni sastav svjetlosti koja pada na katodu konstantan, jačina struje zasićenja proporcionalna je svjetlosnom fluksu O:

gdje je koeficijent proporcionalnosti.

Eksperiment pokazuje da napon kočenja Ut ne ovisi o veličini svjetlosnog

fluksa nego o frekvenciji. Sa crteža 12.6. se vidi da u slučaju da se katodaobasja monokromatskom svjetlošću, napon kočenja se mijenja sa frekvencijomsvjetlosti co po lineamom zakonu:

(12.5.)

( 12.6.)

Uk=a(0 — q>, (12.7.)

gdje su a i q>konstante.

i

u -i/j, - U a - U a u

Crtež 12.5. Crtež 12.6.

282



Pomnožimo (12.7.) sa e i uvrstimo u relaciju (12.5.), dobit ćemo:

e Uk = ^ m v 2m= e(cm-q>). (12.8.)

Iz posljednje relacije slijedi: elektroni mogu napustiti katodu pod djelo-vanjem svjetlosti kada je ispunjen uvjet:

aco ž (p

mco >co0 = x .

a

Za valnu dužinu dobiva se odgovarajući uvjet.

X>X0 = ^ .

(12.9.)

( 12.10.)

Frekvencija co0ili valna dužina naziva se crvena gran ica fotoefekta.To je granična frekvencija pri kojoj je napon kočenja jednak nuli, crtež 12.7.

Zakoni fotoefekta su u suprotnostisa klasičnom valnom teorijom svjetlosti.Prema klasičnoj elektromagnetskoj teo-

riji, elektroni tvari oscilirali bi propor-cionalno s amplitudom svjetlosnih va-lova. Međutim, eksperiment pokazujeda btzina elektrona ne zavisi od ampli-tude svjetlosnih valova nego samo odfiekvencije upadne svjetlosti.

Albert Einstein je 1905. godine po-kazao da se zakonitosti fotoelektričnogefekta mogu lako objasniti, ako se pret-

postavi da se svjetlost apsorbira u istimobrocima (kvantima) he>, u kojima se

prema Plankovom zakonu emitira.Kada se svjetlosni kvant (foton)

sudari sa elektronom koji se nalazi na povTŠini metala ili neposredno ispod nje,on može da prenese svoju energiju naelektron. Elektron primi ili cjelokupnuenergiju fotona ili ne primi nikakvu. U slučaju predaje energije, foton prestajeda postoji. Energija koju je elektron primio može da mu omogući da prođekroz potencijalnu barijeru, ukoliko se kreće u dobrom pravcu. Prolazeći kroz

poteneijalnu barijeru elektron gubi određenu količinu energije W, koja je

• 283



karakteristična za danu površinu i naziva se izlazni rad. Elektron koji polazi

sa nekog udaljenijeg mjesta ispod površine može da izgubi veći iznos energije,

ali maksimalna energija kojom elektron može da napusti površinu metala

ravna je energiji fotona umanjenoj za veličinu izlaznog rada. Dakle maksi-

malna kinetička energija fotoelektrona izbačenih kvantima svjetlosti jedna-ka je:

= hco -W . (12.11.)

Relacija (12.11.) je poznati Einsteinov zakon fotoelektričnog efekta. Lako

je vidjeti da je ovaj zakon u suglasnosti sa Millikanovim1(Milikan) eksperi-

mentalnim rezultatima, relacija (12.8.).

Upoređivanjem jednadžbi (12.8.) i (12.11.) dobivamo da je:

h = ea = e tgaW=et p. (12.12.)

Prema tome, iz tangensa nagibnog ugla na crtežu 12.7. može se odrediti

Planckova konstanta Ti. Vrijednost za h đobivena na ovaj način podudara se

sa rezultatima dobivenim iz spektralne raspodjele ravnotežnog toplotnog zra-čenja i kratkovalne granice zakočnog rendgenskog zračenja. Odsječak <p, koji

pravu siječe na osi Uk daje izlazni potencijal za supstancu od koje je na-

pravljena katoda.

Einsteinova teorija također objašnjava i proporcionalnost stmje zasićenja

ix i upadnog fluksa d>, relacija (12.6.). Naime, veličina svjetlosnog fluksa

određena je brojem kvanata svjetlosti koji padaju na površinu u jedinici vre-

mena. Istovremeno, broj oslobođenih elektrona treba da bude proporcionalan

broju upadnih kvanata. Povećanje fluksa svjetlosti znači samo da, više fotona

pada na katodu u jedinici vremena, što odgovara većera broju izbačenih fo-

toelektrona, ali maksimalna energija ostaje ista jer je i energija fotona ista.

Granična frekvencija (crvena granica fotoefekta) danpg materijala je ona fre-

kvencija pri kojoj je energija fotona jednaka izlaznom radu materijala, tj.

elektron mora da primi najmanje toliku energiju da bi se oslobodio površine.

Osim vanjskog fotoefekta, kojeg smo izučavali, postoji također i unu-trašnji fotoefelct, koji se primjećuje u dielektricima i poluvodičima.

1 Robert Andrews Millikan (1868.-1953.), amerifki fizičar. Dobitnik Nobelove nagrade za fiziku(1923.).

284



12.3. FOTONI

Da bi se objasnila raspodjela energije u spektra ravnotežnog toplinskog

zračenja dovoljno je, kao što je pokazao Planck, pretpostaviti da se svjetlostemitira sarao u kvantima ftto. Da bi se objasnio fotoefekt dovoljno je pret-

postaviti da se svjetlost apsorbira u istim takvim kvantima. Međutim, Einstein je išao dalje. On je pretpostavio da se svjetlost i rasprostire u obliku diskretnih

čestica, prvobitno nazvanih svjetlosni kvanti, a kasnije su te čestice dobilenaziv fotoni. Einsteinova hipoteza potvrđena je nizom eksperimenata. Foton

treba shvatiti kao česticu u kojoj je koncentrirana energija elektromagnetskog

polja, tj. česticu čija je energija jednaka:

E (12.13.)

Energija fotona, zavisi samo od valne dužine, odnosno frekvencije elek-tromagnetskog zračenja. Foton valne dužine X = 550 nm ima energiju E - 2,23 eV, dok energija fotona X-zraka leži u intervalu od 15 eV (X = 80 nm)do približno 100 MeV (X = 10'14 m). Suglasno teoriji relativnosti, čestici senergijom E odgovara masa, m = Elć1. Odavde se dobije da je masa fotona

jednaka:ftd)

c2 ’(12.14.)

S druge strane, ako u izraz za relativističku masu (10.43.) uvrstimo, za brzinu fotona brzinu svjetlosti, tj. v = c, nazivnik će biti jednak nuli. Istovre-meno je, kao što se vidi iz (12.14.) masa fotona konačna. Ovo je moguće

jedino u slučaju da je masa mirovanja m„, jednaka nuli, tj.:

T-0% _ o

v

c2

Znači, fbton je čestica koja se bitno razlikuje od čestica kao što suelektron, proton i neutron, koji imaju masu mirovanja različitu od nule i koji

se mogu nalaziti u stanju mirovanja. Foton nema mase mlrovanja i možeda postoji samo kad se kreće brzinom prostiranja svjetlosti.

Uvrštavanjem m0 = 0 u formulu (10.56.) dobiva seE = cp. Odavde slijedida foton ima impuls:

E_ _ ftco _ 2rth

^ c c X (12.15.)

• 285



Uzimajući u obzir da je 2nfk jednako valnom broju k, tj. modulu valnog

vektora k , impuls fotona može se pisati u obliku vektora:

p = hk (12.16.)

Iz postojanja impulsa fotona slijedi da svjetlost, koja pada na bilo kojetijelo, mora da vrši pritisak na to tijelo, koji je jednak impulsu koji fotoni

predaju jedinici površine u jeđinici vremena.Razmotrili smo niz pojava, u kojima se svjetlost ponaša kao struja čestica

(fotona). Međutim, ne treba zaboraviti da se pojave kao što su interferencijai difrakcija svjetiosti, mogu objasniti samo na osnovu valnih pretpostavki.

Svjetlost iskazuje korpuskularno-valni dualizam: u nekim pojavama

pokazuje se njena valna priroda i ona se pohaša kao elektromagnetski val, au drugim pojavama, pokazuje se korpuskulama priroda svjetlosti i ona se

ponaša kao tok fotona. Dualizam je karakterističan ne samo za svjetlosne

čestice, već i za ostale čestice materije (elektrone, protone, neutrone, itd.) o

čemu će biti govora kasnije.

Da bismo objasnili vezu između valne i korpuskulame slike, posmatratćemo osvjetljenost neke površine. Prema valnoj teoriji osvjetljenost u nekoj

točki površine proporcionalna je kvadratu amplitude svjetlosnog vala. Prema

korpuskulamoj teoriji, osvjetljenost je proporcionalna gustoći fluksa fotona.Znači, između kvadrata amplitude svjetlosnog vala i gustoće fluksa fotona

postoji direktna proporcionalnost. Nosilac energije i impulsa je foton. Kvadratamplitude vala određuje vjerojatnost da foton padne u danu točku površine.Vjerojatnost dP da foton bude nađen unutar zapremine dV, koja u sebi sađrži

posmatranu točku, određena je izrazom:

dP = v i 2<*V, (W.17.)

gdje je x koeficijent proporcionalnosti, A amplituda svjetlosnog vala. Veličina:

— = %A2 (12.18.)dV K ’

naziva se gnstoća vjerojatnosti nalaženja fotona unutar zapremine dV.

12.4. COMPTONOV EFEKTI pored uspješnog Einsteinovog objašnjenja fotoefekta, veliki broj fizičara

je smatrao da fotoni nisu fizička realnost. Točnije, i dalje se sumnjalo ukorpuskulamost fotona, u njihovu indiviđualnost u prostora. Eksperiment ko-

jeg je izveo A. Compton (Kompton) 1923. godine jasno je istakao korpusku-

286



lame osobine svjetlosti, nazvan je Comptonov efekt. Compton je istražujućiraspršenje rendgenskib zraka na raznim supstancama (litij, berilij, grafit) pri-mijetio da se rasprSene zrake, sastoje od dvije komponente: jedna sa nepromi-

jenjenom valnom dužinom X, i druga čija je valna dužina X' veća od valne

dužine upadnog zračenja. Shema Comptonovog eksperimenta je na crtežu 12.8.

Uzak snop monokromatskog rendgenskog zračenja pada na supstancukoja ga raspršuje. Spektralni sastav raspršenog zračenja ispituje se pomoću

rendgenskog spektrografe sastavljenog od kristala i ionizacione komore. Ek-sperimentalno je pokazana slijedeća ovisnost:

AX = Xo(l - cos0), (12.19.)

gdje je AX = X' - X, 0 ugao koji obrazuje smjer raspršenog zračenja i smjer

prvobitnog snopa, X„ je Comptonova valna dužina koja za elektrone imavrijednost:

X0 = 2,42,lO'12m. (12.20.)

Comptonov efekt može se objasniti, ako se raspršenje posmatra kao proces elastičnog sudara rendgenskih fotona s praktično slobodnim elektroni-

ma. Slobodnim, se mogu smatrati elektroni koji su najslabije vezani za atom,čija je energija vezanja znatno manja od eneigije koju foton može da predaelektronu prilikom sudara.

Suština eksperimenta sastoji se u slijedećem: neka na elektron, koji senalazi u stanju mirovanja, pada foton energije hm, i impulsa h k . Energija

elektrona do sudara iznosi m^c1 (m0 masa mirovanja), impuls je jednak nuli.

Poslije sudara elektron će imati energiju mc2 i impuls m v , a energija i impuls

287



fotona će se također promijeniti i iznosit će fico’ i h k ' . Iz zakona o očuvanjuimpulsa (količine kretanja) i očuvanja energije slijede dvije relacije:

hk= m v + hk'

ha+ m ^c2 =h<o'+mc2.( 12.21.)

Dijeljenjem druge jednadžbe sa c i kvadriranjem, ona se može dovestiu oblik:

(m c f = + (h k f + ( h k f - 2(hk)(hk') + 2m<fh(k - k'). (12.22.)

Iz crteža 12.8. slijedi da je:

(m v f = (h k f + ( h k f - 2(hk)(hk')cos9. (12.23.)

Oduzimanjem jednadžbe (12.23.) od (12.22.) dobiva se:

m\(p- - v2) = m 2<p- - 2h2kk’(l —cos&) + 2m(fh ( k —k r). (12.24.)

Uzimajući u obzir relaciju (10.43.) lako možemo pokazati da je

m2(<P - v2) = m 2<P. Zamijenimo ovo u gomju jednadžbu, dobivamo:

m(f ( k - k r) = hkk'( 1 - cos0). (12.25.)

Pomnožimo relaciju (12.25.) s 2rt i podijelimo s kk 'mf , dobivamo:

2 j i 2it ,=

-----(l-cosG). (12.26.)

k k m f

Pošto je — = X i — = X ' , dobivamo formulu:k k '

AX = X '- X = — (1-cosG) . (12.27.)

koja se podudara sa empirijskom formulom (12.19.). Uvrštavanjem brojčanih

vrijednosti h, m0 i c dobiva se vrijednost za konstantu X f

Xo = 2,4210-,2m

što je u dobrom slaganju sa eksperimentalnim rezultatima (12.20.).

288



13. BOHROVA TEORIJA ATOMA

13.1. ZAKONITOSTI ATOMSKIH SPEKTARA

Užarena čvrsta tijela emitiraju svjetlost s kontinuirano raspodijeljenim

valnim dužinama. Od temperature užarenog tijela zavisi koji je dio spektra

najintenzivniji, ali intenzitet svjetlosti opada prema manjim i većim valnim

dužinama. Nasuprot ovome kontinuiranom spektru čvrstih tijela, opaža se kod

plinova i para diskretne linije koje su karakteristične za pojedini kemijsld

element. Ć itav spektar se sastoji od niza oštro određenih linija. Lako je vidjeti

da linijski spektar potiče od atoma. Električno pražnjenje u cijevi niskog

pritiska pobuđuje uvijek veliki broj atoma na emisiju svjetlosti. Linijski spektar

možemo proučavati na emisionom ili apsorpcionom spektru. Pusti li se “bijela

svjetlost” (svjetlost složenog spektra, npr. sunčev spektar) kroz neke pare ili

gas, opaža se u dobivenom spektru da su neke linije ugašene. “Tamne linije”stoje točno gdje bi ležale emisione linije. Gas dakle apsorbira svjetlost onih

valnih dužina koje bi inače emitirao. Emisioni spektar slaže se potpuno sa

apsorpcionim spektrom. Ova određenost u spektrima kemijskih elemenata,

jedan je od osnovnih zakona atomske fizike.

Spektar atoma vodika kao najjednostavnijeg atoma, pruža najbolje mo-

gućnosti za analizu strukture atoma na osnovu njihovog spektra. Kad se kroz

Geisslerovu (Gajsler) cijev s vodikom propusti električna struja, ona emitirasvjetlost koja upada u spektralni aparat i dobiva se linijski spektar sa velikim

brojem linija, preko kojih je supeiponirana serija linija poredanih karakte-

rističnim redom. Ova pojava se objašnjava činjenicom da je vodik normalno

u molekulskom stanju i da je pri prolasku električne struje jedan broj molekula

razdvojen na atome odnosno ione. Povećanjem intenziteta struje kroz cijev,

serija linija u spektm sve više dolazi do izražaja dok se mnoštvo linija gubi.

To znači da se pri povećanju struje sve veći broj molekula razlaže, pa sedobiva pretežno spektar vodika u atomskom stanju.

Prvi je švajcarski fizičar Balmer 1885. godine otkrio da se vodikov spek-

tar može prikazati jednostavnom matematskom formulom. Njemu su tada bile

poznate četiri vidljive vodikove linije sa njihovim valnim dužinama.

289



H, HsH.

Osim navedenih linija, koje su u vidljivom dijelu spektra, u ultraljubičas-tom dijelu pojavljuje se mnogo linija koje su sve bliže jedna drugoj i završavaju

se sa H„ = 365 nm.

Balmerova formula daje zakon po kojem se može izračunati valna dužina

svake linije ove serije:

r l *» = 3,4,5,... (13.1.)% U m2)

gdje je R Rydbergova (Ridberg) konstanta i iznosi:

R= 1,097-10’ m"1. (13.2.)

Usavršavanjem spektrografskih aparata pronađene su i druge serije u

infracrvenom i ultraljubičastom đijelu spektra vodika. Njihove valne đužine

računaju se prema jednostavnom zakonu:

(13.3.)

gdje je n = 1, 2, 3, 4, 5 a m = n+1, n+2, ..., ođnosno:

• n - 1, Lymanova (Lajmanova) serija, ultraljubičasto podmčje, m = 2,3,...

• n = 2, Balmerova (Balmer) serija, vidljivo područje, m = 3, 4, 5,...

. n = 3, Paschenova (Pašen) serija, infracrveno područje, m = 4,5 ,6,. . .

. n = 4, Brackettova (Breket) serija, infracrveno područje, m = 5, 6,.... n = 5, Pfundova (Pfund) serija, infracrveno područje, m = 6, 7, 8,...

Teoretski m -> « , te svaka serija ima beskonačno linija, ali za veće m,

linije su tako blizu da se više ne mogu razlučiti.

290



Dimenzije atoma su izračunate još u 19. vijeku pomoću kinetičke teorije

plinova. Određeno je da polumjer atoma iznosi oko 10'10 m. Prvi model koji je razradio J. J. Thomson1(1904.) bio je tzv. statički model atoma. Međutim,

ovaj model nije mogao objasniti spektre zračenja i vrlo bizo je odbačen.Da bi se ispitala struktura atoma i raspodjela negativnog i pozitivnog

naboja u atomu, Emest Rutherford (Raderford)2 i njegovi suradnici bombardi-rali su (1911.) metalne folije alfa česticama i posmatrali promjenu njihovogsmjera pri prolazu kroz foliju.

13.2. RUTHERFORDOV MODEL ATOMA

Alfa čestice su, pozitivno naelektrizirane (+2e) i izlaze iz nekih radioak-

tivnih elemenata. To su ustvari jezgra helija 2He4, imaju relativno veliku masu

i kinedčku energiju i zbog toga, mogu poslužiti kao projektili za ispitivanje

strukture atoma.

Pri prolazu kroz supstancu al& čestice se otklanjaju od prvobitnog smjera

kretanja za različite uglove 6. Raspršene čestice udaraju u zaklon pokriven

cinkovim sulfidom gdje izazivaju scintilacije (svijetljenja) koje se posmatrajumikroskopom. Sve je smješteno u evakuirani balon, da bi se smanjilo sudaranjealfa čestice sa molekulama zraka.

Mjerenja su pokazala da veliki broj alfa čestica prolazi kroz tanki metalni

listić (foliju) kao da je prazan prostor, na te alfa čestice metalni listić ne

djeluje, kao da ga i nema. Jedan dio se alfa čestica rasprši, neke za velike

kutove. Analizirajući rezultate eksperimenta Rutherford je došao do zaključka,

da tako veliko skretanje alfa čestica moguće je samo u tom slučaju ako se

1 J. J. Thomson (1856.-1940.), engleski fizičar. Proučavao vođenje elektriciteta kroz plinove,otkrio elektron 1897. Dobitnik Nobelove nagrade 1906.

2 Emest Rutherford (1871.-1937.), dobitnik Nobelove nagrade za kemiju 1908.

291





energije onih stacionarnih stanja, između kojih se dešava kvantni skokelektrona:

h(o = Em- En.n n

Frekvencija emitirane svjetlosti iznosi:

Stacionarno stanje je takvo stanje pri kojem atom ne zrači nikakvuenergiju, mada se elektron kreće ubrzano.

Neobičnost Bohrovih postulata sastoji se u zabrani zračenja u stacionar-

nom stanju iako se elektroni kreću ubrzano. Takvo shvaćanje se protivi klasič-

noj nauci o elektromagnetizmu, odnosno zračenju elektromagnetskih valova.

(13.4.)

(13.5.)

13.4 . FRANC K-HER TZOV EKSPER JM EN T

Franck1i Hertz (Frank i Herc) su 1914. uspjeli eksperimentalno potvrditi

postojanje određenih energetskih nivoa u atomu i opravdanost Bohrove teorije.

Osnovni dio njihovog uređaja je trioda napunjena razrijeđenim živinim para-

ma, crtež 13.3. Iz užarene katode izlijeću elekhoni i ubrzavaju se prema anodi.

Potencijal rešetke je nešto malo pozitivniji (oko 0,5 V) od potencijala anode,te će se elektroni, koji imaju energiju manju od oko 0,5 eV, zaustaviti na

rešetki, dok će se ostali elektroni veće energije skupiti na anodi.

Mijenjanjem anodnog napona i mjerenjem anodne struje može se snimiti

karakteristika ove triode (/-(/), crtež 13.4. Kada napon raste od nule do 4,9 V,

anodna struja raste jer elektroni stižu na anodu. Kad je napon oko 4,9 V,

anodna struja pada (a struja rešetke raste). Povećanjem napona ponovo rastestruja, dok ne dostigne 9,8 V gdje se ponovo javlja maksimum anodne struje.

Ovaj eksperiment možemo objasniti ako pretpostavimo da su energetski

nivoi elektrona u atomu žive kvantizirani. Kada je napon manji od 4,9 V,

elektroni u cijevi nemaju dovoljnu energiju da pobude atome žive, već se

samo elastično sudaraju s atomima žive i zbog male mase, praktično im ne

predaju energiju. Struja u cijevi raste je r elektroni dospijevaju na anodu. Č im

je energija elektrona dostigla vrijednost 4,9 eV, elektron ima dovoljnu energiju

da pobudi atom žive. U takvom neelastičnom sudaru elektron izgubi energiju

1 James Franck (1882-1964) i GustavHertz (1887-1975), njemački fizičari koji su pođijelili Nobe-lovu nagradu za fiziku (1925) za eksperimentalne radove koji se odnose na sudare elektrona i

atoma.

293



i umjesto na anodu đospijeva na rešetku. Zbog toga anodna struja pada, a

struja rešetke raste. Rešetka zbog svog pozitivnog prednapona privlači elek-

trone, koji su u sudaru u blizini rešetke izgubili svu kinetičku energiju.

Kada povećamo napon, elektroni ranije postižu energiju za neelastičansudar, koji se dešava prije rešetke, u prostoru između katode i rešetke, bliže

katodi, te elektron nakon sudara dok dođe do rešetke, ponovo dobije dovoljnuenergiju da prođe kroz nju. To je razlog da struja raste kada je napon većiod 4,9 V. Kada napon dostigne vrijednost 2x4,9 V, elektron je sposoban da

izvrši dva neelastična sudara, jedan ispred, a drugi blizu rešetke. Ovaj efekt

se ponavlja svakih 4,9 V, crtež 13.4. Iz ovog eksperimenta može se zaključiti

da atom žive iz osnovnog stanja može preći u pobuđeno stanje primivši samoodređeni kvant energije. Atomi koji su primili kvant energije prelaze u*pobu-

đeno stanje, iz kojeg se poslije veoma kratkog vremena vraćaju (»lO'8 s) uosnovno stanje, emitirajući kvant svjetlosti energije tko.

Za živu, energija od 4,9 eV je karakteristična i odgovara valnoj dužinizračenja od:

_ 2iihc_ 250nm. (13 6 )4,9 eV

Poznato je da živine pare emituaju svjetlost pri tom procesu. Valna

dužina, izmjerena spektralnim aparatom je, X = 253,7 nm, što je u dobromslaganju sa vrijednošću izračunatom pomoću relacije (13.6.).

294



13.5. ELEMENTARNA (BOHROVA) TEORIJAVODIKOVOG ATOMA

Prema prvom Bohrovom postulatu dozvoljene su samo one orbite (kvan-tni uvjet) za koje važi da je moment količine kretanja elektrona jednak cjelo-

brojnom višekratniku Planckove konstante h. Broj n je prirodan broj i nazivase glavni kvantni broj:

m,vr = nh; n= 1 ,2 ,3 ,... (13.7.)

m, - masa elektrona, v - bizina i r - polumjer orbite.

Tako je Bohr izrazom (13.7.) kvantizirao kretanje elektrona u elektron-

skom omotaču atoma. Uzevši u obzir da Coulombova (Kulonova) sila između

protona i elektrona, uzrokuje centripetalnu sihi potrebnu za kretanje po kruž-

nici, mogu se odrediti polumjeri stacionamih oibita, brzine i energije elektronana tim kružnicama. Da bi elektron kružio po «-toj orbiti mora biti zadovoljenuvjet stabilnosti, tj. centripetalna sila Fc jednaka je Coulombovoj sili:

H r ) . - 1 _ " .4its0 r

gdje je Z-redni broj, e-naboj elektrona i = 8,854-10'12 C2/Nm2, dielektrična

konstanta vakuuma.

Prema tome, uvjet stabilnosti glasi:

m,v 1 Ze1(13.8.)

r 4ice0 r

Eliminacijom v iz jednadžbe (13.7.) i (13.8.) dobivamo da polumjer elek-

tronskih orbita može da ima samo diskretne vrijednosti:

m.Za prvu oibitu vodikovog atoma (Z = 1, n = 1) dobiva se:

r, = -4jtenft2

m.e= 0,053nm. (13.10.)

Iz (13.8.) i (13.9.) može se izračunati brzina elektrona u n-toj orbiti:

e?Z 1

4tr evh n

(13.11.)

Za osnovno stanje vodikovog atome v, » c/137.

Ukupna energija elektrona sastoji se od kinetičke i potencijalne energije:

(13.12.) E = Ek + Ep.

295



Kinetička energija može se dobiti ako jednadžbu (13.8.) pomnožimo s r!2:

m,v2 _ 1 __ Z£_

2 4 j i60 2r (13.13.)

Da bismo dobili potencijalnu energiju elektrona u električnom polju jez-

gra, treba riješiti integral:

E = jF (r )d r = J 1 Ze^

4 jt e„ r1

1 Ze2

4 jc e0 r + C . (13.14.)

Obično se uzima da je osnovni nivo Ep = 0, kada r-»«>. Odavde slijedi

da je konstanta C=0. Konačno, potencijalna energija elektrona u atomu je

negativna. Znak minus znači da je elektron u polju jezgra, elektron s pozi-

tivnom potencijalnom energijom, je slobodan elektron.

Znači potencijalna energija jednaka je:1 Ze21 * * (13.15.)

Ep 4 j ie 0 r

Ukupna energija elektrona jednaka je:

1 Ze2 1 Ze2 E =

1 Ze2

4 j ie 0 2r 4 jt e0 r (13.16.)

4 jc e0 2r

Uzevši u obzir relaciju (13.9.) dobivamo da je ukupna energija elektronau n-toj orbiti jednaka:

E = -1 Z 2e'm

- s - f ; n = \ X — (13.17.)(4 jc e0)2 2h2n2

Vidimo da je ukupna energija negativna i mijenja se sa 1/n2. Energija1

osnovnog stanja za vodikov atom iznosi: '

E ,= —. ^5- 5 - 7 = -2,17-10_I,J = -13 ,6 eV . (13.18.)32 jc2e pl1

Energija E t, je energija koju je potrebno uložiti da bi se elektron oslobodio

iz atoma, tj. da bi se atom vodika ionizirao i često se naziva energija ioni-

zacije.

Energiju prvog pobuđenog stanja dobivamo za n = 2, drugog za n = 3, itd.:

£ 2 = —3,4eV; £ 3 = -1,5 eV; £ 4= -0,85 eV; Es = -0 ,5 4 eV. (13.19.)

1 Energija elektrona u energetskim stanjima obično se izražava u eV. Rad potieban da se elektronili neka dtuga čestica s jedmičnim nabojem. pomjeri između točaka čija je potencijalna razlikaIV, zove se elektronvolt (eV): leV = l,6-10'*9CxlV = 1,6-10'I9J.

296



Pošto svakoj stacionamoj orbiti odgovara određena energija elektrona,često se umjesto orbita, govori o dozvoljenim elektronskim nivoima elek-trona u atomu.

Shema energetskih nivoa određenih relacijom (13.17.) prikazana je nacrtežu 13.5. Pri prijelazu vodikovog atoma iz stanja m u stanje n emitira se

kvant, prema (13.5.):

fia> = E, - E = -m,e

{ 4 m J 2 h 2

Valna dužina emitirane svjetlosti iznosi:

(13.20.)

X

m,e

(4n€0) 4nch3(13.21.)

Na ovaj način došli smo do formule za zakonitost atomskih spektara(13.3.) iz koje možemo izračunati Ryđbergovu konstantu.

OeV-0,54 eV-fi;85 eV

-131 eV

-3,39 eV

Lymanova serija

Crtež 13.5.

297



Uvrstivši u izraz (13.21.) vrijeđnosti konstanti đobiva se vrijednost zaRydbergovu konstantu koja se izuzetno dobro slaže sa eksperimentalnom vri-

jednošću:

R = — ^ — = 1,097 107m -'. (13.22.)(47tft) C£q

Na osnovu Bohrove teorije moguće je objasniti optičke spektre vodika.Očito da Lymanovu seriju predstavlja grupa linija koju elektroni emitiraju

vTaćajući se u osnovno stanje (n = 1), Balmerova, grupu linija koju emitiraju

elektroni vraćajući se sa nekog višeg stanja, ali tako da se zaustave na drugoj

orbiti (n - 2), itd. Shema kvantnih prijelaza za atom vodika dana je na crtežu

13.6. Možemo zaključiti da su diskretne linije atomskog spektra vodika po-

sljedica kvantnih prijelaza elektrona između diskretnih nivoa energije u atomu.

Cijeli brojevi n i m u empirijskoj relaciji (13.3.) i teorijskoj formuli (13.21.),od kojih zavisi valna dužina zračenja, predstavljaju glavne kvantne brojeve,

koji određuju nivoe energije elektrona u atomu.Slaganje eksperimentalnih rezultata sa Bohrovom teorijom za vodik je

više nego zadovoljavajuće. Međutim, teorija nailazi na nepremostive preprekekada je trebalo da se primijeni na složene sisteme (atomi sa dva ili više

elektrona). Bohrova teorija također nije omogućavala da se odredi intenzitet

spektralnih linija, da se objasni cijepanje ovih linija u vanjskom električnom,

odnosno magnetskom polju (Zeemanov efekt).Bohrov model atoma vodika je odigrao ogromnu ulogu u razvoju suvre-

mene fizike. Zahvaljujući njemu po prvi put je shvaćeno da postoji principi-

je lna razlika između atoma (i dmgih kvantnih sistema) i makroskopskih tijela, pa se prema tome ni zakoni klasične fizike ne mogu primijeniti, pri objaš-

njavanju unutar atomskih procesa. Danas je jasno da nedostaci Bohroverteorije

vodikovog atoma, leže upravo u njenom poluklasičnom, odnosno polukvant-

nom karakteru. Bohr je pored kvantnih koncepcija uveo i neke klasične pre-dodžbe kao npr. pojam elektronske orbite, za koju se kasnije pokazalo da jeneprimjenjiva za atom. Možemo na kraju zaključiti da je Bohrova teorija koja

se oslanja na klasičnu fiziku samo prelazna etapa na putu izgradnje dosljedne

teorije atomskih pojava.

298



13.6. KARAKTERISTIČ NI SPEKTAR RENDGENSKOGZRAČ ENJA

Kao što je rečeno pored kontinuiranog spektra rendgenskog zračenja, javlja se i linijski spektar koji ovisi o vrsti materijaia od kojeg je napravljena

anoda (antikatoda).Karakteristični linijski spektar nastaje kada upadni elektron izbaci jedan

od elektrona iz atoma i tako napravi prazninu u jednoj od unutrašnjih Ijuskiatoma.

Ako upadni elektron izbije jedan elektron iz K-ljuske volflamovog atoma,nastat će prazmna u toj ljusci. Pntom energija upadnog elektrona mora biti

dovoljno velikajerje taj elektron vezan za jezgm energijom od oko 70 keV-a.

U vrlo kiatkom vremenu (oko 10-8 s) jedan elektron iz gomjih ljuski (npr. L ljuske) popunit će tu prazninu i pri tome emitirati foton energije:

tus>=EL- E K, (13.23.)

gdje su E l i E k energetski nivoi L i K ljuske.

n

oo

Praznina u L Ijuski koja je nastala odlaskom tog elektrona, popunit će

se elektronom iz slijedeće ljuske itd. Tako ćemo dobiti liniju K u karakte-rističnom rendgenskom spektru, to je linija s najmanjom frekvencijom kojaodgovara prijelazu elektrona na unutrašnju orbitu K. Na crtežu 13.6. prikazan

je spektar zračenja rendgenske cijevi s anodom od volframa. Na kontinuiranizakočni spektar superponirane su dvije linije Ka i Kp. Prva nastaje pri prijelazu

• 299



elektrona iz druge na prvu orbitu, dok K$ nastaje pri prijelazu iz treće u prvuorbitu.

Shema kvantnih prijelaza rendgenskog zračenja dana je na crtežu 13.6.U principu nema razlike između optičkog linijskog spektra vodika i spektra

težih atoma. Linije odgovaraju uvijek prijelazima elektrona s udaljenih na

bliže ljuske. Pri prijelazu na K ljusku dobivamo za vodik Lymannovu serijuu ultraljubičastom području, dok za teže atome, zbog većeg naboja jezgre,energije fotona su veće, valne dužine manje, te se tako dobiva K serija rendgen-

skog zračenja.Unutrašnji elektroni svojim negativnim nabojem zaklanjaju naboj jezgra,

te se rezultati Bohrovog modela atoma vodika ne mogu primijeniti na ostale

atome. Jedino za K seriju đosta dobro vrijedi formula slična onoj za vodik:

I . ( z - , ) ■ * ( , - £ ) . (13.24.)

Ovo je tzv. Moseleyev (Mozli) zakon, gdje je Z redni broj elementa, a

n = 2, 3,...



14. KVANTNOMEHANIČ KI MODEL ATOMA

14.1. VALNA PRIRODA Č ESTICA.DE BROGLIEVA RELACIJA

Pošto je dokazano da su elektromagnetski valovi dualističke prirode, pred

fizičare dvadesetih godina prošlog stoljeća postavljeno je pitanje: da li jedualizam osobina samo svjetlosti ili je to univerzalna osobina supstance.

Francuski fizičar Luis de Broglie' (Luj de Brolj) postavio je 1924. godine

hipotezu da dualizam nije osobina samo optičkih pojava nego ima univerzalnikarakter. Č estice tvari (elektron, neutron, proton itd.), pored korpusku-

larnih osobina imaju i valne osobine. Kao što smo već pokazali, foton ima

energiju:

E=hm = h \ (14.1.)

i impuls:

Ph

X '

Odavde dobivamo da valna dužina fotona iznosi:

(14.2.)

2nh _h_

P P

(14.3.)

De Broglie je predložio da čestice supstance, koje su smatrane isključivo

korpuskulama (elektron, proton, neutron) imaju valne osobine kao sastavnidio svoje prirode. Valna dužina ovih valova po analogiji sa valnom dužinom

fotona (14.3.) jednaka je:

X h_

mv(14.4.)

De Broglieva relacija (14.4.) o dualističkoj prirodi materije poslužila jekao osnova suvremene valne (talasne) ili kvantne mehanike.

1 Louis Victor de Broglie, francuski fizičar, osnivač valne mehanike, dobitnik Nobelove nagrade(1929.).

301



Zašto valne osobine čestica supstance nisu uočljive kao valne osobinesvjetlosti (difrakcija, interferencija), možemo vidjeti na slijedećem primjeni.

Posmatrajmo česticu masem = 10‘8kg, bnrine v= 103 m/s. Prema relaciji

(14.4.) dobivamo za De Broglievu valnu dužinu X = 6,6 10'29 m, što je izuzetno

mala veličina, praktično nemjerljiva. Da bi detektirali valove ovako kratke

valne dužine, morali bismo posjedovati spektralni difrakcioni aparat čija bioptička rešetka bila reda veličine ovih valova. Jasno je da takva rešetka ne

postoji niti ju je moguće napraviti.

Prema relaciji (14.4.), mjerljive valne dužine posjeđuju samo najlakše

čestice koje se kreću najmanjim mogućim brzinama. Tako elektron čija jekinetička energija Ek - 150 eV, ima valnu dužinu X = 10"to m. Ova veličina

je reda veličine parametra kristalne rešetke i može se lako mjeriti.

De Broglijeva hipoteza je eksperimentalno potvrđena 1927. godine. Da-

visson i Germer (Devison i Džermer) su primijetili da snop elektrona raspršenna kristalnoj rešetlri daje difrakcionu sliku. Eksperiment se sastoji u slijede-ćem: snop elektrona ubrzan potencijalnom razlikom U, reda veličine nekolikodesetina kV, prolazi kroz metalnu foliju i dospijeva na fotoploču, crtež 14.1.Elektron pri udaru u fotoploču ponaša se kao foton.

Da bismo izračunali valnu dužinu elektrona, pođimo od kinetičke energijeelektrona u električnom polju’:

Odavde dobivamo brzinu, odnosno impuls elektrona:

p = mv = -Jlm eU.

(14.5.)

(14.6.)

Odgovarajuća valna dužina prema De Broglieu je:

, h 1,225 , , .

JlmeU yJU(V) ' ( 4'? )

Elektroni prilikom prolaska kroz metal ne pokazuju pojavu difuzije kaošto bi se očekivalo prema klasičnoj fizici, nego pojavu difiakcije. Valna dnžina

izračunata iz relacije (14.7.) može se eksperimentalno provjeriti analognodifrakciji rendgensldh zraka za koje važi Braggova formula (7.40.):

2dsinQ = mX; m = 1,2,... (14.8.)

gdje je 0 - kut između upadne i difraktovane zrake, d — konstanta rešetke(rastojanje između ravni kristalne rešetke) im - r e d difrakcionih praga.

1 Kineti£ka energija iednaka je radu kojeg elektron izvrSi u električnotn polju, W = afVi - t 'i jgdje je e = 1.610 reC. naboj elektrona.

302



Kasnije su izvedeni sličnieksperimenti koji su pokazalida i ostale čestice (neutron, pro-ton, atomi, molekule) pokazujudualističku prirođu.

Difrakcija čestica, objaS-njena pomoću De Broglieve re-lacije, smatra se eksperimental-nom osnovom kvantne mehani-ke.

Valna svojstva elektronanašla su praktičnu primjenu u

elektronskom mikroskopu. Po-znato je da granica razlučivanjaoptičkih sistema ovisi o valnoj dužini. Ako je udaljenost između dvije točkekoje promatramo mikroskopom manja od polovine valne dužine svjetlostikojom se koristimo, uslijed difrakcije, bez obzira na uvećanje nećemo uspjetirazlučiti te dvije točke. Moć razlučivanja mikroskopa možemo povećati samoako smanjimo valnu đužinu. Snop brzih elektrona dobiven pomoću elektron-skih leća (električnih ili magnetskih polja) ponaša se kao svjetlosna zraka u

običnom mikroskopu. Obzirom da je valna đužina elektrona manja od 0,1 nm,to je i moć razlučivanja elektronskog mikroskopa znatno veća nego običnogmikroskopa.

14.2. SCHRČ DINGEROVA JEDNADŽBA

Neposredan povod za stvaranje kvantne mehanike, bili su eksperimentiu kojima je proučavano raspršenje elektrona i drugih mikročestica' na kris-talima, a koji su pokazali da mikročestice pored koipuskulamih osobina (ka-rakterističnih za obične makročestice) u nizu slučajeva ispoljavaju valne oso-

bine. Iz ovoga se može zaključiti da za opisivanje ponašanja mikročestice, nevaže zakoni klasične mehanike. Ovdje se mora naglasiti da zakoni klasičnefrzike i dalje vrijede, samo je suženo područje u kojima oni korektno opisujustanje mikrosvijeta.

Kvantnu fiziku ne treba smatrati nečim što se ne odnosi na makroskopskisvijet. Č itava flzika je zapravo kvantna i njezini zakoni, kako ih danas1

1 Mikročestice su elementarne čestice (elektroni, protoni, neutroni) i druge jednostavne čestice isložene čestice obrazovane od elementarnih čestica (atomi, jezgre atoma, moiekuli, itd.).

303



poznajemo, su najopćenitiji zakoni prirode. Klasične teorije su, feno-menološke teorije. Takva teorija nastoji sažeto opisati eksperimentalne po-datke u nekom ograničenom podmčju fizike. Zakoni klasične fizike su dobrifenomenološki zakoni, ali nam oni ne kažu sve o makroskopskim tijelima.

Veoma je važno odrediti područje u kojem važe zakoni klasične me-hanike. Vidjeli smo da je brzina svjetlosti prirodan kriterij kojim se možezaključiti da li je promatrana pojava “relativistička” ili nije. Za male brzineu usporedbi s brzinom svjetlosti svi relativistički zakoni prelaze u nerela-tivističke izraze. Kriterij koji određuje u kom shičaju moramo primijenitikvantnu mehaniku, odnosno kada se možemo zadovoljiti klasičnom teorijom

je Planckova konstanta h. Ovaj kriterij može se formulirati na slijedeći način:Ako u nekom fizičkom sistemu bilo koja dinamička varijabla koja

ima dimenziju djelovanja poprima numeričke vrijednosti usporedive sPlanckovom konstantom h, onda se ponašanje sisteraa mora razmatratiu okvirima kvantne mehanike. Ako, s druge strane svaka varijabla kojaima dimenziju djelovanja, izmjerena u jedinicama h, poprima velike vri-

jednosti, onda s dovoljnom točnošću vrijede zakoni klasične mehanike.Iz ovoga možemo zaključiti da kvantna fizika nije izoliran dio fizike koji

nema veze sa makroskopskim svijetom. Kvantnu fiziku treba shvatiti kao diofizike čiji su zakoni (u obliku u kojem su danas poznati) najopćenitiji zakoni

prirode, za razliku od klasične fizike koja nema univerzalnu primjenu.Zakoni klasične fizike su dobri fenomenološki zakoni, pomoću kojih

raožemo opisati kretanje mehanizama koji su sastavljeni od poluga, oprugaitd., ako su nam poznate fizičke konstante materijala od kojeg su napravljeni(kao gustoća, modul elastičnosti, itd.).

Međutim, klasična fizika ne daje odgovore na pitanja: zašto gustoća imodul elastičnosti imaju baš tu vrijednost ili zašto se materijal kida pri ^đre-

đenoj vrijednosti napona? Hi, zašto je točka topljenja bakra 1356 K, zašto jesrebro provodnik, a guma izolator, itd.? Di, zašto su neki materijali izolatoria neki poluvodiči, itd.? Klasična fizika ne daje teoriju strukture materije.Kvantna teorija dala je odgovore na veliki broj pitanja što je rezultiralo unaglom razvoju nauke i tehnologije XX stoljeća. Navedimo samo neke primje-re novih tehnologija koje su se razvile na fundamentalnim osnovama kvantnefizike: nuklearna energija, tranzistorska tehnika, laseri, kompjuteri, itd.

Austrijski fizičar Ervin Schrodinger1(Šredinger) formulirao je 1926. val-

nu jednadžbu za valove materije. Ta jednadžba, koju danas nazivamoSchrddingerova jednadžba, osnovna je jednadžba kvantne mehanike i I

I Erwin Schrođinger (1887.-1961.), austrijski fizičar. DobitnikNobeIovenagrađezafiadku(1933.), jedan od osnivača valne mehanike.

304



ima istu ulogu kao i drugi Newtonov zakou u kia-

sičnoj fizici: Ona je postulat koji se ne izvodi već se

iz nje izgrađuje cijela nerelativistička kvantna me-

hanika.Schrodingerovu jednadžbu treba smatrati za po-

laznu pretpostavku, čija se primjenljivost dokazuje

slaganjem sa eksperimentalnim činjenicama.

Stanje mikročestice opisuje se u kvantnoj me-

hanici, tzv. valnom (talasnora) funkcijom, koja se

obično označava sa grčkim slovom 'F (psi). Ona je

funkcija koordinata i vremena, i može se naći rje-

šavanjem jednadžbe:Ervin Schrodinger

*2 au/ _ -2 _ A'P + U'l' = j f c ^ - . (14.9.)

2m dt

Veličine koje ulaze u ovu jednadžbu imaju slijedeće značenje:

- valna funkcija,i - imaginama jedinica,

tt - Planckova konstanta,

Tti masa čestice, 'P

A - Laplasov operator, A'P = — =-+— j- + — 3* vy w

U - potencijalna energija čestica.Kao što se vidi iz jednadžbe (14.9.), oblik valne funkcije T , određen je

potencijalnom energijom U, tj. karakterom sila koje djeluju na česticu. Uopćem slučaju, C/je funkcija koordinata i vremena. Ako potencijalna energijane ovisi o vremenu, postoje stanja u kojima se energija čestice ne mijenja svremenom, tj. stac ionarna stanja. Valna funkcija za stacionama stanja, ukup-

ne energije E, sadrži dva faktora, od kojih jedan ovisi o vremenu a drugi okoordinatama:

'¥(x ,y ,z , t ) = e ‘ \ f ( x , y , z ) . (14.12.)

Uvrštavanjem funkcije (14.12) u (14.9) dobiva se:

------ Awe * +Ue *2m

- * .

-

-4Dijeljenjem ove jednadžbe sa zajedmčkim faktorom e diferencijalna jednadžba:

Av + T^(£ - f / )'*, = 0n

koju nazivamo Schrddingerova jednadžba za stacionarno stanje.

(14.13.)

dobiva se

(14.14.)

305



Do Schrodingerove jednadžbe1 može se doći preko slijedećih razma-tranja. Iz eksperimenata difrakcije mikroćestica, slijedi da paralelni snop čes-tica ima osobine ravnih valova, koji se prostiru u smjeru kretanja čestica.Jednadžba ravnog vala, koji se prostire u smjeru ose x, ima oblik:

(14.15.)

Prema De Broglievoj relaciji, slobodnoj čestici odgovara ravni val fre-kvencije co = E/h i valne dužine X = liđtip. Ako u izrazu (14.15.) zamijenimocd i X dobivamo valnu funkciju za slobodnu česticu koja se kreće u smjeruose x :

v (x , t ) = \|/Ocosl ^ ( E t ~ p x) (14.16.)

Da bismo dobili Schrodingerovu jednadžbu za slobodnu česticu koja sekreće konstantnom brzinom duž osex, diferencirajmo jednadžbu (14.16.) pox:

(14.17.)

Iz (14.16.) i (14.15.) dobivamo diferencijalnu jednadžbu drugog reda:

ftr r - p - V . (14.18.)

Pošto je ukupna energija slobodne čestice jednaka njenoj kinetičkoj

energiji, iskoristimo vezu: %

Ek = ^ = Ć -* 2 2m

(14.19.)

pa jednadžbu (14.18.) možemo pisati u obliku:

2mEk .(14.20.)

Ova diferencijalna jednadžba je Schrodingerova jednadžba za slobodnučesticu mase m, koja se kreće konstantnom brzinom duž ose x. Za česticukoja se kreće u polju konstantne sile, koju karakterizira potencijalna energijaU, Schrodingerova jednadžba se dobiva iz jednadžbe (14.20.), uvođenjemsmjene Ek = E - U:

1 Schr&dingerovu jednadžbu ne lzvodimo kao 5to se ne izvode ni Newtonovi aksiomi



§ + (£ -C /)M / = 0 . (1421.)ox n

Jednadžba (1421.) podudara se sajednadžbom (14.14.), za slučaj kretanjačestice duž ose x.

14.3. FIZIKALNO ZNAČ ENJE VALNE FUNKCIJE

U klasičnoj fizici kretanje čestice pod utjecajem sile bilo je opisano II Newtnovim zakonom: zadavši početni položaj i brzinu, mogli smo odrediti položaj i brzinu čestice u bilo kom trenutku vremena, odnosno ođrediti putanju.U kvantnoj mehanici, poznavajući potencijalnu energiju, možemo iz Schrodin-

gerove jednadžbe ođrediti valnu funkciju '¥(x,y,z,t) koja nam daje vjerojamostdw da se u određenom trenutku vremena čestica nađe u elementu volumena dV:

dw = \¥ { x , y , z , t f d V , (14.22.)

gdje je |'F|2 = '¥ '¥'' kvadrat apsolutne vrijednosti valne fiinkcije. Gustoćavjerojatnosti može se pisađ u obliku:

p = l = |T f = ' F . r y dV 1 1

(14.23.)

gdje je 'F* konjugirano kompleksna vrijednost1valne funkcije 'F.

Znači, fizički smisao valne fimkcije 'F sastoji se u tome, da kvadratnjenog mođula daje gustoću vjerojatnosti nalaženja čestice na odgovarajućem

mjestu u prostoru.Za stacionama stanja valna funkcija ima oblik (14.12.) te važi:

- A i - i

'F-'F* = e * \j/e * vp* = (14.24.)

tako da u tom slučaju gustoća vjerojatnosti jednaka je tjnj/* i prema tome ne

ovisi o vremenu.Iz ovoga slijedi da kvantna mehanika ima statističld karakter. Ona

ne dozvoljava određivanje položaja čestice u prostoru ili putanje po kojoj sečestica kreće. Pomoću valne funkcije može se samo pređvidjeti s kojom vjero-

jatnošću će čestica biti primijećena u različitim točkama prostora. ZnačajSchrodingerove jednadžbe ni blizu se ne iscrpljuje u tome što se pomoću nje

1 Konjugirano komplelcsna veliiina dobiva se na taj način da se odgovarajućoj kompleksnoj veli-čini, imaginama jedinica i zamjeni sa -i, npr. 4' = «'*“*((;; V" = «*’V*. Odavdc jc jasno da scgustoča vjerojatnosti nalaženja čestice u zadanom intervalu može izraziti podjednako sa objefunkcije.

307



može naći vjerojatnost nalaženja čestice u različitim točkama prostora. Iz te

jednadžbe i iz uvjeta koje treba da zadovoljava valna fiinkcija, neposredno proizlaze pravila kvantiziranja enetgije.

Valna funkcija, da bi imala fizičkog smisla treba da bude; jednoznačna,

konačna i neprekidna u cijelom definicionom području varijabli x, y, z. USchrodingerovu jednadžbu kao pararaetar ulazi ukupna energija E. U teorijidiferencijalnih jeđnadžba pokazuje se da jednadžbe oblika Schrodingerovenemaju iješenja koja zadovoljavaju ove uvjete (jednoznačnost, konačnost,neprekidnost) za proizvoljni parametar E, nego samo za izabrane vrijeđnosti.Te izabrane vrijeđnosti nazivaju se vlastite vrijednosti parametra E, a odgo-varajuća tješenja jednadžbe vlastite funkcije problema.

Pored ovoga valna funkcija mora da zadovoljava uvjet:

tj. valna funkcija mora biti normirana. Integral predstavlja sumu vjerojatnostinalaženja čestice u svim mogućim elementima zapremine, tj. vjerojatnost

nalaženja čestice u bilo kom mjestu u prostoru. Ta vjerojatnost je vjerojatnost

sigumog događaja i prema tome treba da bude jednaka jedinici. Najvažniji zadatak kvantne mehanike je nalaženje vlastitih vrijednosti ivlastitih funkcija čestica (ili sistema). Praktičnu primjenu pokazat ćemo na

jednostavnim primjerima.

14.4. Č ESTICA U JEDNODEMENZIONALNOJ BESKO-

NAČ NO DUBOKOJ POTENCIJALNOJ JAIVflDa bismo objasnili znaČaj Schrodingerove jednadžbe i način tješavanja,

koristit ćemo sasvim jednostavan primjer. Posmatrajmo ponašanje mikročes-tice u beskonačno đubokoj jednodimenzionalnoj potencijalnoj jami, crtež 14.2.

Ograničimo kretanje čestice đuž ose x, u granicama x = 0 do x = /. Unutar potencijalne jame čestica je slobodna i potencijalna energijajoj je nula. Č esticane može izaći iz jame je r je U(x < 0) = oo, U(x > /) = » . Ovakva potencijalna

jama ne postoji u prirodi, ali se neki problemi u nukleamoj fizici moguaproksimirati potencijalnom jamom, za koju Schrddingerova jednadžba imaegzaktna iješenja. Kako funkcija y zavisi samo o jednoj koordinati x, jed-nadžba (14.21.) može se napisati u obliku:

(14.25.)

(14.26.)



u

U=oo U=

oo

0

Crtež 142 .

Jt

Crtež 14.3.

Č estica ne može da dospije u područje van potencijalne jame. Prematome, funkcija y van granica jame je jednaka nuli. Budući da valna funkcijatreba da bude neprekidna, to u x = 0 i x = / moraju biti ispunjeni rubni uvjeti:

V (0) = 0

i (14.27.)

V(/) = 0.Unutar jame funkcija y nije identički jednaka nuli, pa jednadžba (14.26.)

zbog U = 0, poprima oblik:

</ fy 2m(14.28.)

Uvođenjem oznake, — E = <o2, dobiva se jednadžba koja je poznata iz

teorije oscilacija: ^^ • + cd 2v = 0 . (14.29.)cbc

Rješenja takve jednadžbe, imaju oblik:

y(x) = a sin(cox + a). (14.30.)

Da bismo zadovoljili rubne uvjete (14.27.) treba izabrati konstante co i a.Iz uvjeta xy(0) = 0 dobiva se:

vp(0) = a sina = 0 (14.31.)

odakle slijedi da je a jednako nuli. Dalje treba zadovoljiti uvjet:

\)/(/) = asincD/=0. (14.32.)

309



Odavde slijedi da je:

( a l - i n n (n = 1,2,3.—) (14.33.)

(t i = 0 se odbacuje, je r pri tome \|/ s 0, što bi značilo nema čestice).Iz (14.33.) slijedi, da tješenja jednadžbe (14.28.) imaju fizički smisao za

samo određene vrijednosti energije E, koje zadovoljavaju relaciju:

(14.34.)

Na ovaj način, bez dopunskih zahtjeva (kao što je to radio Bohr) dobilismo kvantizaciju energije čestice, odnosno našli vlastite vrijednosti te energije:

E ^ ^ - n 2; n = l,2,3 ,... (14.35.)2/7u

Shema energetskih nivoa prikazana je na crtežu 14.3. Procijenimo ras-tojanje između susjednih nivoa za različite vrijednosti mase čestice m i širine

jame /. Razlika energije dva susjedna nivoa iznosi:

M ”= E^ ~ E" = p ( 2n+ l^ ~ f n ' (14.36.)

Uzmimo nekoliko primjera:

• Neka se molekuli gasa mase m = 10'27 kg nalaze u posudi dimenzija/ = 10'1m, razlika dva susjedna nivoa iznosi:

: AE,«10'39-/i (J).

Ovako gusto raspoređeni energetski nivoi mogu se smatrati neprekid-nim energetskim spektrom energije, kvantizacija se može zanemariti.

• Posmatrajmo slobodne elektrone mase m s 10"30 kg pri istim dimenzi-

jama jame / = 0,1 m. U tom slučaju razlika energetskih nivoa je:

AE„ ~ 10'35 • n (J) = 10'16 • n (eV).

I u ovom slučaju efekt kvantizacije možemo zanemariti.• Međutim, sasvim drugačiji rezultat se dobiva za elektron, ako je oblast

u kojoj se kreće reda veličine promjera atoma / * 10"10 m, u tomslučaju razlika energetskih nivoa iznosi:

A 1 0 " 17> n (J)= 102 - n (eV).U ovom slučaju diskretnost energetskih nivoa je očigledna.

Vlastite funkcije, prema uvjetu (14.33.) bit će:



Da bismo odredili veličinu a koristit ćemo se uvjetom normiranja, koji

za dati slučaj ima oblik: ,

c 2] s i n 2f y x l o ! r = l . ( 14.38.)

o 'Koristeći poznate trigonometrijske relacije sin2* = (1 - cos2x)/2 možemo

riješiti integral u izrazu (14.38.):

, / / . „ rm , ldx = ---------- sm 2— / = - .

2 4mt 1 2

Odavde slijedi da je velićinaa

jednaka:(14.39.)

Na taj način vlastita funkcija ima oblik:

V ,W = - J y s i n (y x ] n = 1,2,3,... (14.40.)

Grafici vlastitih funkcija (14.40.) dati su na crtežu (14.4a), a gustoća

vjerojatnosti nalaženja čestice na različitim mjestima unutar jame, |vy|2, na

crtežu (14.4b).

Kao što se vidi sa crtežu, čestica u stanju, npr. sa n = 2, ne može se naćiu sredini jame, jer je ista vjerojatnost da se ona nađe i lijevo i desno odsredine jame. Ovakvo ponašanje čestice, očigledno je nespojivo sapredstavom

o oibitama (putanjama).

311



14.5. JEDNODIMENZIONALNI HARMONIJSKIOSCILATOR

Jednodimenzionalni hannonijski oscilator je čestica mase m koja pod

djelovanjem elastične sile, F = - kx oscilira kružnom frekvencijom ©, duž

pravca x. Potencijalna energija ove čestice je:

Zamjenom ovog izraza u relaciji (14.21.), dobivamo Schrodingerovu jed-

nadžbu za iineami harmonijski oscilator:

gdje je E ukupna energija oscilatora.Može se pokazati da ova jednađžba ima konačna, jednoznačna i nepre-

kidna iješenja samo pri slijedećim vrijednostima parametra E:

Osnovno (najniže) energetsko stanje se dobija za n = 0, pa je minimalnaenergija kvantnog oscilatora:

Vidimo da je energija osnovnog stanja različita od nule čak i na tem-

peraturi T = 0 K.Shema energetskih nivoa harmonijskog oscilatora dana je na crtežu 14.5.:

(14.42.)

(14.43.)

(14.44.)

E t =E0+h co

£ 2 = £ 0+2ft© (14.45.)

E„ = Eo+nfUo.Ovaj rezultat se slaže sa Planc-

kovim zakonom zračenja apsolut-

no cmog tijela. Razlika je samo u

x tome što je prema Plancku mini-Crtež 14.5. malna vrijednost energije jednaka



nuli, dok u kvantnoj mehanici osnovno stanje ima određenu energiju tual2

Postojanje ove energije potvrđeno je eksperimentalno. Proučavanje raspršeniasvjetlosti na kristalima kada temperatura teži apsolutnoj nuli pokazuje da čak

i na apsolutnoj nuli ne prestaje osciliranje atoma kao što je to pretpostavljalaklasična teorija.

14.6. HEISENBERGOVA RELACUA NEODREĐ ENOSTI

Razmotrimo difrakciju elektrona na dvije međusobno bliske pukotine.Uslijed interferencije snopova koji se prostiru od dvije pukotine, difirakciona

slika neće biti identična sa difrakcionim slikama dobivenim od pukotina po- jedinačno. Pri otvorenoj lijevoj ili desnoj pukotini dobiju se raspodjeie elek-

trona kao na crtežu 14.6.a i b. Pri prolazu kroz dvije pukotine slika ne pred-

stavlja zbir raspodjela a) i b) kao što bi bila za makroskopske čestice već sesastoji od pruga interferencije, crtež 14.6.C.

Prema tome vjerojatnost da elektron (ili neka druga mikročestica) dospije

u pojedinačne tačke ekrana pri prolazu snopa kroz obje pukotine neće biti jednaka sumi vjerojatnosti za slučajeve prolaska kroz svaku pukotinu poje-

dinačno. Iz ovoga slijedi zaključak koji je nespojiv sa putanjom elektrona.

Ako bi se elektron u svakom trenutku vremena nalazio u određenoj točki

prostora i kretao po određenoj putanji, on bi prolazio kroz određenu pukotinu,

Crtež 14.6.

’t.

313



prvu ili drugu. Pojava difrakcije, međutim, pokazuje da u prolazu svakog

elektrona učestvuju obje pukotine i prva i druga. Međutim, ne treba zaboraviti

da se kretanje elektrona u katodnoj cijevi pretežno izračunava po zakonima

klasične fizike, ali pojam putanje i određenog položaja može se primijeniti

na mikročesticu samo sa određenim stupnjem točnosti.

Situacija je analogna sa optičkim pojavama. Ako su dimenzije preprekai pukotina velike u poredbi sa valnom dužinom, prostiranje svjetlosti ođvija

se duž određene zrake (putanje).

Stupanj točnosti s kojom se na česticu može primijeniti predstava o

njenom određenom položaju u prostoru, dat je relacijom neodređenosti koju

je pronašao njemački fizičar Wemer Heisenberg1 (Hajzanberg) 1927. godine.

Prema toj relaciji čestica ne može istovremeno da ima potpuno točno određene

vrijednosti npr. koordinate x i njoj pridružene komponente impulsa p„ pričemu neodređenost tih veličina zadovoljava uvjet:

Ovi izrazi izražavaju činjenicu da produkt neodređenosti kooidinate injoj pridruženog impulsa ne može, po redu veličine, da bude manji od hJ2.

Da bismo objasnili relaciju neodređenosti, posmatrajmo zamišljeni ek-speriment. Posmatrajmo elektron tako da ga “osvijetlimo” elektromagnetskim

valovima valne dužine X, njegov položaj se ne može ođrediti preciznije od

valne dužine upotrijebljene svjetlosti, te je Ax « X. Da bismo “vidjeli” eilktron,on se mora sudariti sa fotonom koji stiže u “objektiv” donoseći informaciju.

Pri sudaru, količina kretanja elektrona se promijeni i postaje neodređena,

prema proračunima (14.4.) do na tsp » h/X. Produkt neodređenosti Ap-Ax jereda veličine Planckove konstante.

Relacije neodređenosti odnose se također i na istovremeno određivanje

energije i vremena. Ograničenje za produkt neođređenosti enetgije i vremena

je slično relaciji (14.46.):

I Wemer Karl Heisenberg, njemaeki teorijski fizičar. Dobitnik Nobelove nagrade (1932) jedanod najvećih fizičara, otkrio matričnu mehaniku.

2

(14.46.)

A E A l > - ,2

(14.47.)



Vidimo da što je točnije određena jedna veličina, to je veča neodređenost

druge. Moguća su stanja čestica u kojima jedna od veličina ima potpuno preciznu vrijednost, ali je tada druga veličina potpuno neodređena.

14.7. KVANTNOMEHANIČ KA TEORIJAVODIKOVOG ATOMA

U atomu vodika elektron se nalazi u Coulombovom polju jezgre, i ima

potencijalnu energiju:1 Ze2

. 0 4 .48 .) Ep “ 4n8„

gdje je Ze naboj jezgre, r rastojanje između jezgre i elektrona a e®dielektričnakonstanta vakuuma. Schrddingerova jednadžba (14.14.) u tom slučaju ima

oblik:

. 2m ( „ 1 Ze2\ .Au/+—=- E + - ---------- y = 0 .

v n2( 4t o 0 r y(14.49.)

Može se pokazati da jednadžba (14.49.) ima tražena rješenja (jedno-značna, konačna i neprekidna) u slijedećim slučajevima:

• za sve pozitivne vrijeđnosti parametra E i• za diskretne negativne vrijednosti energije, koja iznosi:

(4ne0) 2 r r i

Slučaj E > 0 odgovara elektronu koji prolijeće blizu jezgre i ponovo se

udaljava u beskonačnost to je tzv. slobodni elektron.

Slučaj E < 0 odgovara elektronu koji se nalazi unutar granica atoma.

Uspoređivanje (13.17.) i (14.50.) pokazuje da kvantna mehanika dovodi do

istih rezultata za energije vodikovog atoma kao i Bohrova teonja. Razlika je

u tome što u kvantnoj mehanici te vrijednosti se dobrvaju logičnim putem iz

Schrodingerove jednadžbe dok je Bohr, da bi dobio ovaj rezultat, morao da

uvede specijalne kvantne pretpostavke.

Vlastite funkcije jednadžbe (14.49.) sadrže tri cjelobrojna parametra. Je-

dan od njih se podudara sa rednim brojem energetskog nivoa n, a druga dva

se obično označavaju sa / i m. Ti brojevi nazivaju se kvantni brojevi:• n - glavni kvantni broj,• / - orbitalni (azimutalni) kvantni broj i

• m - magnetski kvantni broj.

315



Za zadano n = 1,2,3,..., brojevi / i m mogu imati slijedeće vrijednosti:

• / = 0,1,2,3,..., n-1, ukupno n različitih vrijednosti,

• m = -/ , -/+ l,. . . ,-l ,0 ,+ i ......M , /, ukupno 2/+1 različitih vrijednosti.

Na taj način, svakom En (izuzev E {) odgovara nekoliko valnih funkcija

'Vn.i.mkoje se međusobno razlikuju po vrijednostima kvantnih brojeva n. I, m.

To znači, da vodikov atom može da ima jednu te istu vrijednost energije, ada se nalazi u različitim stanjima.

14.8. K VAN TNI B R O JE V I

Kao što smo vidjeli, stanje elektrona u atomu vodika određeno je sa tri

kvantna broja, Međutim, da bi se objasnio anomalni Zeemanov1 (Zeman)efekt uveden je i četvrti kvantni broj, tzv. spinski kvantni broj.

Prema tome stanje elektrona u atomu prema kvantnomehaničkom modeluodređeno je s četiri kvantna broja koji “kvantiziraju” određene fizikalne

veličine, koje su u vezi sa kretanjem elektrona. Te fizikalne veličine su:

Ukupna energija elektrona, E. Ukupna energija elektrona određena je

glavnim kvantnim brojem n, prema relaciji (14.50.), koji može imati vrijed-

nosti, n = 1,2,3.......

U vodikovom atomu E opada sa kvadratom glavnogkvantnog broja. Kod složenijih atoma ukupna energija elektrona također zavisiod n2, ali i od ostalih kvantnih brojeva i njihovih kombinacija.

Moment količine kretanja elektrona n atomn, Z . U kvantnoj mehanicise dokazuje da orbitalni (azimutalni) kvantni broj / određuje iznos vektoramomenta količine kretanja na ovaj način:

L = h j l ( l + l) -»(14.51.)gdje je / orbitalni (azimutalni) kvantni broj, i za dati glavni kvantni broj n,

može imati slijedeće vrijednosti: / = 0,12,...,

Pro jekdja momenta količine kre tan ja na zadani smjer, Lt . Kretanje

elektrona po zatvorenoj putanji stvara magnetsko polje tako da se vektor

I Ako se atomi, koji etnitiraju svjcdost, smjeste u magnetsko polje, to će se linije, koje atomiemitiraju. rascijepiti na nekoliko kompooenti. Tu pojavu je otkrio Zeeman jo5 1896. godine prisvijetljeaju natrijevih para. Noimalni Zeemanov efekt sastoji se u tome da se pod đjelovanjem magnetskog polja na atomumjesto jedne linije, lcoju etnitira atom u odsustvu polja, dobivqu tri linije. Medutim, kako to

pokazuje eksperiment, takvo cijepanje se dobiva samo za linije koje nemaju finu strukturu (zasinglctc). Kod Imija, kojc ncmaju fmu strukturu, broj komponcnti je vcći od tri, takvo cijepanjcse naziva anomalni Zeemanov efekt. Anomalni Zeemanov efekt potpuno se objašnjava posto-

janjem elektronskog spina.



indukcije B podudara po pravcu i smjeru sa vektorom momenta količinekretanja elektrona L . Ako se atom «?< u vanjskom magnetskom poljuindukcije B ,, t iji se pravac i smjer poklapa sa pravcem ose z, crtež 14.7.,onda vektor L , može da ima samo neke dozvoljene pravce u odnosu na osuz. Kažemo daje L prostomo kvantiziran. Ovi dozvoljeni pravci su ođređeni

vrijednostima projekcije vektora L na osu z prema relaciji:

L: = mh (14.52.)

gdje je m magnetski kvantni broj koji može imati slijedeće vrijednosti m = -/,

-/+ 1, .. ., /-1, 0, +1, .. ., M , /, ukupno 2/+1 različitih vrijednosti. Mogućeorijentacije vektora L u odnosu na vanjsko magnetsko polje, za vrijednost

oibitalnog kvantnog broja (/ = 3) date su na crtežu 14.8.

Vlastiti moment količine kretanja, Š . G. Uhlenbeck (Julenbek) i S.Goudsmit (Gaudsmit) pretpostavili su 1925. godine da elektron ima vlastiti

moment količine kretanja Š i nazvali ga spin. Slično orbitalnom (azimutal-

nom) momentu količine kretanja, i spin je određen spinskim kvantnim brojems, koji za elektrone, protone i neutrone iznosi 1/2. Osim ovih čestica koje

nazivamo fermioni, postoje čestice sa spinom jednakim nuli, bozoni. Fotoni

imaju spinski kvantni broj s = 1. Iznos vektora spina elektrona je:

317



(14.53.)S = h^Js{s +1) s

2h .

Komponenta vektora spina u zadanom smjeru

može poprimiti samo dvije vrijednosti: h/2 i -ft/2,

crtež 14.9.Projekcija vektora spina na z-osu, je kvantizirana

i jednaka:

= (14.54.)

gdje je ms magnetski spinski kvantni broj ili kraće

spinski kvantni broj koji može imati dvije vrijednosti:

/n, = ± i . (14.55.)

Na kraju treba reći, da predstava da je elektron

kuglica koja se obrće oko svoje ose potpuno neodr-

živa. Spin treba smatrati unutamjom osobinom koja

pripada elektronu, kao što mu pripadaju masa i naboj.

Orbitalni i spinski moment količine kretanja elek-trona zbrajaju se u ukupni moment količine kreta-

nja 7:

J= i + Š.

(14.56.)

U kvantnoj mehanici pokazuje se da se spin elektrona u odnosu na or-

bitalni moment količine kretanja može orijentirati samo na dva moguća načina:

paralelno i antiparalelno. Spin se dakle, dodaje ili ođuzima od orbitalnog

momenta količine kretanja. -»Pretpostavka o spinu elektrona je potvrđena velikim brojem eksperimenta

i treba je smatrati potpuno dokazanom. Postojanje spina automatski proizlazi

iz jednadžbe kvantne mehanike koju je dao Dirac1(Dirak) i koja zadovoljava

zahtjeve teorije relativnosti.

I Paul Andrian Dirac, engleski fizičar. Njegova relativistička teorija vodikovog atoma je dovelado teorije antičestica.



14.9. PAULIJEV PRINCIP ISKLJUČ ENJA.

PERIODNI SISTEM ELEMENATAv

Stanje svakog elektrona u atomu određeno je sa četiri kvantna broja, n, l, m, ms. U atomu vodika elektron je određen jednim “kompletom” kvantnih

brojeva. Međutim u slučaju višeelektronskih atoma, postavlja se pitanje: kakosu raspoređeni Z elektrona po energetskim nivoima, kada se atom nalazi u

osnovnom stanju. Da li su svi elektroni na nivou najniže energije, koji je

određen glavnim kvantnim brojem n = 1? Odgovor na ovo pitanje dao je

1925. švicarski fizičar W. Pauli' (Pauli), postavivši tzv. Paulijev princip isk-

ljučenja, koji glasi:U jednom te istom atomu (ili kvantnom sistemu) ne mogu da budu

dva elektrona koja imaju jednake sve kvantne brojeve, n, l, m, mr Ovaj princip se rnože formulirati i na dnigi način: U svakom elektronskom stanjuu atomu može se nalaziti samo jedan elektron.

Polazeći od Paulijevog principa i mogućih vrijednosti kvantnih brojevamože se izračunati maksimalan broj elektrona za određene vrijednosti glavnog

kvantnog broja n, prema formuli12:

2 £ ( 2 /+ l) = 2n2. (14.57.)i-o

Skup elektrona koji imaju jednake kvantne brojeve n i / čini Ijusku.Skup ljuskd s jednakim n čini grupu ili sloj. U suglasnosti sa vrijednošću n,

slojevima se daju oznake pozajmljene iz spektroskopije rendgenskih zraka:

n 1 2 3 4 5 6 .. .

sloj K L M N O P ...

Svaki sloj je podijeljen na ljuske, koje odgovaraju različitim vrijednos-tima orbitalnog kvantnog broja /, za određenu vrijednost broja n. Oznake zaljuske su također preuzete iz spektroskopije, i za različite / su slijedeće:

/ 0 1 2 3 4 5 . . .ljuska s p d f g h ...

Podjela mogućih stanja elektrona u atomu na ljuske i slojeve prikazana

je u tabeli 14.1, u kojoj se umjesto oznake ms = ±1/2 koriste simboli 1 1 :

1 W. Pauli (1900.-I9S8.), Svicartki fizičar, dobitnik Nobclovc nagrađe za fiziku (1945).

2 Suma predstavlja aritmetiiki red

/■4 *

319



Tabela 14.1

Sloj // 1 m m, LjuskaMaksimalni broj

elektjona 2 / j 2

K Vioo 1 0 0 U (ls)J 2 2V200 0 0 U (2s)2 2

LH'21.1

2 -1 U 8V210 1 0 u (2 p)‘ 6V211 +1 u

V300 0 0 u (3s)2 2

V31.1 -1 uHbio 1 0 u (3p)6 6V311 +1 u

M V32.2

V32-1

3 18-2-1

uu

V320 2 0 u (3d )10 10'*'321 +1 uV322 +2 u

Raspored elektrona po kvantnim stanjima (tzv. elektronska konfiguracija)zasniva se na dva principa: Paulijevom principu isključenja i principu mi-

nimuma energije atoma kao fizičkog sistema. Kod višeelektronskih atomaenergija elektrona zavisi ne samo od giavnog kvantnog broja n već i odorbitalnog kvantnog broja /, tako da neki energetski nivoi sa većim n mogu

da budu i ispod nivoa sa manjim n. vPaulijev princip daje objašnjenje za periodičko ponavljanje osobina ato-

ma. Posmatrajmo periodni sistem elemenata kojeg je formirao Mendeljejev još 1869., kada je struktura atoma bila potpuno nepoznata.

Uzmimo, za primjer prva tri elementa sistema: vodik, helij i litij. Atomvodika ,H sadrži jedan elektron, koji se prema principu minimuma energijesmješta u stanje (ls)1. Atom helija 2He sadrži dva elektrona koji su po Pauli-

jevom principu smješteni u K-sloj zahvaljujući različitim spinskim kvantnim brojevima. Elektronska konfiguracija osnovnog stanja atoma helija je prema

tome (ls)2.

Atom litija 3Li ima tri elektrona, pa prema Paulijevom principu samodva su smještena u sloju sa n = I, a treći se smješta na nivo n = 2, sa orbitalnimkvantnim brojem 1 = 0. Elektronska konfiguracija atoma litija je (ls )2 (2s)1.Elektron u stanju 2s ima mnogo veću energiju, pa je slabije vezan za atom



nego elektron u stanju ls. Ovakav elektron (2s), naziva se valentni elektroi učestvuje u kemijskim vezama i određuje neke osobine litija. n

Ovakvim razmatranjem možemo analizirati cijeli periodni sistem elemenata. U tabeli 14.2 dana je elektronska konfiguracija prvih 11 elemenataIz tabele vidimo da je stanje sa n = 1 popunjeno helijem, sa n = 2 neonomSa natrijem , ,Na počinje popunjavanje stanja sa n = 3, da bi se M sloj popunioslijedećim inertnim (plemenitim) plinom argonom IgAr.

Tabela 14.2

Redni broj Element n Elektronslca konfiguracija

1 Hi ( ls) '

2He

(ls)23 Li Os)2 (2s)'4 Be d s )25 B (ls)2 (2s )2 (2p)'6 C 2 (ls )2 (2S)2 (2P)27 N (ls)2 (2S)2 (2p)38 O (Is)2 (Taf (2P)49 F (ls)2 (2 b)2 (2P)5

10 Ne (ls)2 (2S)2 (2p)6

11 Na 3 (Is)2 (2S)2 (2p)6 (3s)‘

Ako pogledamo periodni sistem u cijelosti vidimo da popunjavanje novogsloja počinje alkalnim metalima (jLi, -nNa, ]9K, ^^Rb, J5Cs, ^Fr), a završavase plemenitim plinovima (^He, 10Ne, |gAr, 36Kr, g^Rn).

Atomi plemenitih plinova imaju zajedničku osobinu da su vrlo stabilni,

što se odražava u velikoj kemijskoj inertnosti. Analogno ovome mogu se pronaći sličnosti u kemijskim i optičkim osobinama kod elemenata kod kojihse elektronska konfiguracija završava valentnim elektronima: (2s)’, (3 s ) ', .. .,(alkalni metali). Elektronske konfiguracije atoma u potpunosti objašnjavaju

periodičnost fizičkih i kemijskih osobina atoma, koju je, čisto empirijski,utvrdio Mendeljejev.

Objašnjenje periodnog sistema elemenata uspješno daje kvantna meha-nika na osnovu Paulijevog principa:

Periodično ponavljanje kemijskih i fizičkih osobina elemenata je po-sljedica periodičnog ponavljanja brojeva valentnih elektrona u atomimasrodnih elemenata.



15. OPTIČ KI KVANTNI GENERATOR. LASER

15.1. STIMULIRANA EMISIJA

Pored spontanih (svojevoljnih) prijelaza s jednog energetskog nivoa na

drugi javljaju se također i prinudni (stimulirani) prijelazi uvjetovani djelova-njem zračenja koje pada na atom. Spontani prijelazi su mogući samo u jednom

smjeru, sa viših nivoa na niže nivoe. Prinudni prijelazi mogu s jednakomvjerojatnošću da se dese kako u jednom tako i u dragom smjera. U slučaju

prijelaza na viši nivo atom apsorbira zračenje koje pada na njega. Pri prinud-nom prijeiazu sa jednog od pobuđenih nivoa na niži energetski nivo, dolazi

do emisije fotona, koji je komplementaran fotonu pod čijim djelovanjem jedošlo do prijelaza.

Znači, kvantni prijelazi sa viših na niže energetske nivoe dešavaju se,uz emisiju fotona, frekvencije:

® = E" ~ Em, (15.1.)n

gdje je En > na dva načina: spontano, tj. samo od sebe i prinudno (stimuli-rano) pod utjecajem vanjskog djelovanja (fotona).

Spontani prijelazi imaju karakter slučajnih događaja, pa se može goôriti

o srednjem vremenu kojeg atom provede u pobuđenom stanju tzv, srednjevrijeme života u pobuđenom stanju. Ovo vrijeme je vrlo kratko j iznosi oko

10"* s. Atom prelazi spontano u osnovno stanje i to poslije jednog ili nekolikokvantnih prijelaza. Ovako emitirani fotoni mogu imati bilo koji pravac prosti-ranja i bilo koju početnu fazu.

Prinudni prijelazi mogu, sa jednakom vjerojatnošću da se dešavaju u oba

pravca. Ako se frekvencija upadne svjetlosti m poklapa se jednom od frekven-cija (E„ - E J/h atoma supstance, ona će izazvati dva procesa: prijelaz atomaiz stanja sa energijom Em u stanje sa energijom En (apsorpcija) i prinudni

prijelaz iz višeg nivoa En u stanje Em. Na crtežu 15.1. dat je shematski prikaz:a) apsoipcija, b) spontana emisija i c) stimulirana emisija.

U slučaju termodinamičke ravnoteže raspodjela atoma po različitim ener-getskim stanjima određena je Boltzmannovim zakonom (8.39.):



Apsorpcija Spontana emisija Stimuiirana emisijaF

l

fon=EH-Em

-----------------9 —----- ------

•i

; Ato = E.-Em

"e

F

ha>

hto

*)

•e«----------------- 1------------------------

b)

Crtež 15.1.

<0

f,

N, = Ne kT, (15.2.)gdje je N ukupan broj atoma, N, broj atoma koji se na temperaturi T nalazeu stanju sa energijom Et. Iz formule (15.2.) slijedi da se s povećanjem energije,

stanje naseljenosti (populacije), tj. broj atoma u danom stanju smanjuje. Broj prijelaza između dva nivoa, proporcionalan je naseljenosti polaznog nivoa.

Prema tome, u sistemu atoma koji se nalaze u termodinamičkoj ravnoteži,apsorpcija upadnog svjetlosnog vala nadvladat će prinudno zračenje, tako da

će upadni val slabiti pri prolazu kroz supstancu. Da bismo dobili pojačanjeupadnog vala treba na neki način obmuti naseljenost energetskih nivoa, tj.

postići da se u stanju sa većom energijom E„ nalazi veći broj atoma nego u

stanju s manjom energijom E„. U tom slučaju kažano da je zadani skupatoma inverzno naseljen. Prema formuli .(15.2.) imamo da je odnos nase-ljenosti dva nivoa, crtež 15.2.

A

N m

kT

(15.3.)

U slučaju inverzne naseljenosti je (NJNJ)> 1, z a E„ —EM> 0. Da bismo

zadovoljili izraz (15.3.) dobivamo “negativnu temperatura” T. Ovdje treba

napomenuti da je pojam temperature vezan samo za ravnotežna stanja, takoda pojam “negadvne temperature” treba vezati za stanja inverzne naseljenosti,

koja su neravnotežna.

E. Noimalna naseljenost

E.Inverzna naseljenost-----• --------•------- •— .—

E.

A L>N.

— Em

Crtež 15.2.

Nm<N.



U materijalu sa inverznom naseljenošću energetskih nivoa, prinudno zra-čenje može prevladati apsorpciju svjetlosti atomima, uslijed čega će se upadni

snop svjetlosti pri prolazu kroz materijal povećati.U slučaju pojačanja upadnog snopa, može se reći da je koeficijent ap-

sorpcije postao negativan. Č esto se za sredinu sa inverznom naseljenošću kaže

da je to sredina sa negativnim koeficijentom apsorpcije.

Prolazak fotona kroz sredinu sa normalnom naseljenošću, u najvećem broju slučajeva dovodi do apsorpcije:

/ = / ( 1 5 . 4 . )

gdje je /„ intenzitet upadnog snopa, I intenzitet propuštenog, d debljina sredinei k koeficijent apsorpcije. U slučaju inverzne naseljenosti, koeficijent apsorp-cije je negativan i imamo pojačanje upadnog snopa.

Laser upravo radi na principu stimulirane emisije i sama riječ laser potičeod prvih slova engleskog izraza: “Light Amplification by Stimuiated Emission

of Radiation”, što u prijevodu znači: pojačavanje svjetlosti stimuliranom emi-sijom zračenja.

Mada je još 1917. Einstein predvidio pojačanje svjetlosti pomoću stimuli-

ranog zračenja, tek 1960. T. H. Maiman (Majman) je konstruirao prvi optički

kvantni generator u kome je kao aktivni materijal korišten sintetski rabin.

Praktična primjena stimulirane emisije svjetlosti postala je moguća tekonda kada je nađen način za postizanje inverzne naseljenosti nekih nivoa

supstance. Pokazalo se, da se u nekim energetskim nivoima elektroni za-

državaju relativno dugo (oko 10'3 s). Stanja kod kojih je srednje vrijeme životaveće od 10^ s nazivaju se metastabilna stanja.

15.2. PRINCIP RADA LASERA

Da bismo objasnili princip rada lasera, posmatrajmo tri energetska stanjaatoma, sa energijama: £, (osnovno stanje), E2 i E3 (viša pobuđena stanja),crtež 15.3. Neka je srednje vrijeme života u pobuđenom stanju E2, veće odvremena života u ostalim stanjima.

Kada se na ovakvu supstancu djeluje vanjskim zračenjem energije E ' ž .E 3, zbog apsorpcije fotona mnogi atomi prelaze u stanje 3, a odavđe spontano prelaze u stanje 2 ili osnovno stanje 1. Pošto je vrijeme boravka u stanju 2

veliko (metastabilno stanje) to se u njemu može postići inverzna naseljenostu odnosu na stanje 1. Za takvu sredinu kažemo da je optički aktivna. Znači,u ovoj sredini proces emisije fotona, sa firekvencijom:

324



Spontanaetnisija

fico

Crtež 15.3.

Inverznanaseljenost

Stimulirantr emisija

N.

Ei-E,£0, = —2---L (15.5.)

bit će intenzivniji od procesa apsorpcije. Pod utjecajem fotona iste frekvencije

dolazi do prinudnog prijelaza E^ —E u vidu koherentnog zračenja iste frekven-cije. Emitirani foton je potpuno isti kao foton koji je izvržio pobudu.

Održavanje atoma u pobuđenom stanju vrši se pomoću specijalnih uređaja“pumpi”, naziv potiče od njihove uloge, “pumpanje” (podizanje) elektrona na

više energetske nivoe. Ovo po-

Ogledalo

dizanje obično se postiže tzv.

“optičkim pumpama”, to su

uređaji koji emitiraju veliki broj

fotona (električne bljeskalice) i

koji apsorpcijom vrše naselja-vanje nivoa £3 i E2.

Jednostruki prolaz fotona

kroz radnu sredinu stimulira re-

lativno mali broj pobuđenih ato-

ma, pa je potrebno snop fotona

ponovo vratiti u danu sredinu.

Kod lasera se to postiže postav-

ljanjem radne (optičke) sredine

između dva strogo paralelna og-ledala, crtež 15.4. Obično je

Potupro- pusnoogledalo

Crtež 15.4.

325



jedno ogledalo polupropusno a drugo potpuno reflektira svjetlost. Uslijed

višestruke refleksije, dolazi do umnožavanja fotona, a time se pojačava efekt

stimuliranog zračenja. Kao rezultat dobiva se kroz polupropusno ogledalo

zraka, skoro paralelna snopu koherentne, lineamo polarizirane svjetlosti.

Pored veoma visokog stupnja prostome i vremenske koherentnosti laser-

ske “zrake” (svjetlost) imaju i druge značajne karakteristike: laserski snop se

može izvanredno “kolimirati”, tj. ugao širenja snopa je malen i dmgo, in-

tenzitet impulsnog zračenja dostiže vrlo velike vrijednosti i do 1013 W/m2.

Do sada su napravljeni laseri koji pokrivaju široko polje frekvencija od

vidljive svjetlosti do milimetarskih valova. Pronađeno je stotinjak supstanci

koje imaju pogodne energetske nivoe za postizanje inverzne naseijenosti. Rad-

na (aktivna) sredina može biti u čvrstom ili plinovitom stanju (smjesa helija

i neona, C02, mbin, neodijumsko staklo i dr.). Prema režimu rada laseri mogu

biti kontinuirani i impulsni. Prvi daju kontinuiran snop svjetlosti male snage,

dok impulsni laseri postižu izuzetno veliku snagu u kratkom vremenu.

153. RUBINSK3 LASER

U prvom Iasem koji je izgradio Maiman, radno tijelo je valjkasti štap

od crvenog rubina. Dijametar valjka je reda veličine 1 cm, a dužina 5 cm.

Baze mbinskog valjka su brižljivo uglačane i predstavljaju međusobno dva

strogo paralelna ogledala. Jedna baza je posrebrena gustim slojem i predstavlja

nepropusno ogledalo dok dmga baza propušta 8% svjetlosne energije. Rubin

je aluminijev oksid (A120 3) u kojem su neki od aluminijevih atoma zamijenjeni

atomima kroma. Od koncentracije kroma ovisi boja mbina. Pri apsoipîjisvjetlosti ioni kroma Cr+++prelaze u pobuđeno stanje. U prvoj etapi pobuđeni

ioni predaju dio svoje energije kristalnoj rešetki i prelaze u metastabilno stanje.Vrijeme života iona u metastabilnom stanju (» 10'3 s) je za oko 105 puta veće

od vremena života u običnom pobuđenom stanju (« 10-8 s). U dmgoj etapi

ioni iz metastabilnog stanja prelaze u osnovno stanje emitirajući fotone valne

dužine X = 694,3 nm, ovaj prijelaz je uvjetovan prinudnim zračenjem.

U lasero je mbin osvijetljen pomoću ksenonove impulsne lampe kojadaje široki spektar frekvencija. Pri dovoljnoj snazi lampe većina iona kroma

prelazi u pobuđeno stanje 3, ovaj proces nazivamo “pumpanje”. Na crtežu

15.5. prikazani su nivoi iona kroma.

Vrijeme života nivoa 3 je kratko (« 10"8 s), tako da neki ioni spontano

prelaze na osnovni nivo 1. Takvi prijelazi su označeni strelicom A1}. Međutim,većina iona prelazi na metastabilni nivo 2.



Metastabilnostanje

Crtež 15.5.

Vjerojatnost prijelaza na metastabilni nivo 2, prikazana je strelicom Si2>

znatno je veća nego vjerojatnost prijelaza A iv Pri dovoljnoj snazi pumpanja broj iona hroma koji se nalaze na nivou 2 veći je od broja iona na nivou 1.

Prema tome, nastaje inveizija nivoa 1 i 2. Spontani prijelaz sa metastabilnognivoa na osnovni, može da izazove prinudno zračenje dopunskih fotona, kojiizazivaju ponovno prinudno zračenje, hd. Na taj način dobiva se lavina fotona.Fotoni koji nastaju pri prinudnom zračenju lete u istom smjeru kao i upadmfotoni. Fotoni čiji smjerovi kretanja obrazuju male uglove sa osom kristala,Hpe mnogostruke refleksije od baze primjerka. Stoga će dužina puta u kristalu

biti vrio velika tako da se lavina fotona posebno umnožava u smjeru ose

kristala. Fotoni koji se spontano emitiiaju u diugim smjerovima izlaze izkristala kroz njegovu bočnu površinu. Kada jc snop fotona dovoljno intenzi-

van, jedan njegov dio izlazi kioz polupropusnu bazu kristala.

15.4. HELIJ-NEONSKI LASER

Godine 1961. izrađen je prvi plinski laser, koji je predložio Javan (Dža-

van) i koji je radio sa smjesom helija i neona. U njemu se pumpanje ostvarujena račun električnog pražnjenja u plinovima. Cijev u kojoj se vrši pražnjenjenapunjena je smjesom helija pod pritiskom 10 Pa i neona pod pritiskoml( r Pa. Na krajevima cijevi nalaze se planparalelna ogledala, od kojih je jedno

polupropusno. Rad plinslrib lasera zasniva se na uzajamnom djelovanju dva plina koji imaju bliske eneigetske nivoe, kao što se može vidjeti na energet-

skom dijagramu, crtež 15.6.



2s3s

o.e

i'£

±

Helijls

Neon

Crtež 15.6.

Pobuđivanje rađne sredine se vrši u procesu pražnjenja, tj. sudarima brzih

elektrona u ioniziranom plinu sa ionima helija, koji se podižu na viši energetskinivo (2s); Postoji velika vjerojatnost da se ovako pobuđen atom helija sudarisa atomom neona uslijed čega se pobuđuju stanja (2s i 3s) neona, a atom

helija se vraća u osnovno stanje.

Na ovaj način dolazi do inverzne naseljenosti stanja 2s i 3s u odnosu na

stanje 2p atoma neona, tako da postoji mogućnost za spontano zračenje sli-

jedećih valnih dužina: 632,8 nm, 1152,3 nm i 1117,7 nm (infiacrveno zra-

čenje), koje podliježu efektu stimuliranog zračenja. Uloga ogledala je ista kaoi kod rubinskog lasera, tj. stimuliraju se samo oni fotoni koji su paralelni sa

osom cijevi.

Helij-neonski laser daje veoma stabilan monokromatski snop svjetlosti,snage 0,1 do 10 mW (ovisno od đužine cijevi). Zbog ovih karakteristikaHe-Ne laser je najpogodniji izvor koherentne svjetlosti u vidljivom dijelu

spektra i ima široku primjenu.

15.5. PRIMJENA LASERA. HOLOGRAFIJA

Teško bi bilo pronaći oblast nauke ili tehnike u kojoj se ne primjenjujulaseri. Pomoću lasera mogu se vršiti ispitivanja strukture atoma i molekula,utvrđivanje prirode uzajamnih veza, ođređivanje strukture živih ćelija itd.



Laserska tehnika omogućava održavanje veza na velikim udaljenostima, veza

sa kozmičkim brodovima, raketama itd. Također je značajna primjena'u in-dustrijskoj obradi materijala, medicini, biologiji, meteorologiji itd. U posljed-

nje vrijeme razvila se važna primjena Iasera u fotografiji. Ova metoda se

razlikuje od klasične, po tome što klasična fotografija registrira samo ampli-

tudu svjetlosnog vala, tj. intenzitet, a faza vala nije zapisana. Metoda foto-grafiranja koja uspijeva pored amplitude da zabilježi i fazu naziva se holo

grafija prema grčkoj riječi “holos” što znači potpun zapis. Očito svjetlosni

valovi koji omogućavaju potpuni zapis moraju imati strogo definirane odnosefaza i veliki intenzitet. Ovakve valove može generirati laser. Iz tih razloga

iako je holografija otkrivena 1947. (D.Gabor) praktična primjena počinje teksedamdesetih godina 20. stoljeća.

Osnovu holografije čini zapis faznih odnosa svjetlosnih valova, što semože ostvariti samo pomoću efekta interferencije. Princip holografije sastojise u sljedećem. Neka svjetlost pada na točkasti objekt i od njega se odbija.Valna fronta odbijene svjetlosti ima sfemu površinu. Međutim, realni objektinisu točkasti, pa ih možemo predstaviti skupom točaka. Stoga će rezultirajućival biti jednak sumi velikog broja sfemih valova, a time će i rezultirajućavalna fronta imati kompleksan oblik. Ovakva valna fronta nosi sa sobom

potpunu informaciju o predmetu. Obična fotografija u sebi sadrži samo zapiso veličini amplitude preko različitog stupnja zacmjenosti emulzije fotofibna.

Da bismo zabilježili i informaciju o fazi, potrebno je imati dvije zrake:

jednu referentnu (1), čija je faza nepromijenjena i dmga (2) kojoj se faza promijeni nakon refleksije od objekta.‘Ove dvije zrake dovedene su zajednona fotoploču, gdje interferiraju. Poslije razvijanja, na fotoploči se može vidjetiinterferenciona slika, to je tzv. hologram. Način snimanja holograma dat je

na crtežu 15.7.Da bi se đobio lik predmeta treba dobiveni hologram osvijetliti referent-

nom laserskom zrakom. Shema formiranja virtualne slike predmeta dana je

na crtežu 15.8. Referentni zrak, prošavši kroz hologram, ponaša se isto kao

osnovni zrak pri odbijanju od objekta snimanja, kada se na njegovom putu

nalazila fotoploča. Proces formiranja lika pri prolasku referentnc zrake (1)

kroz hologram predstavlja obmuti proces u odnosu na obrazovanje interfe-

rencione slike pri dobivanju holograma. Rezultat ovoga je vjema trodimen-zionalna slika predmeta. Osnovna karakteristika holograma je trodimenzio-

nalnost slike koja uključuje i efekt paralaksa. Sliku objekta možemo posmatrati

sa svih strana.

Najvažnija primjena holografije je holografska interferometrija. Ako u

jednom trenutku vremena snimimo hologram neke površine tada će drugi

hologram snimljen u nekom dragom vremenskom trenutku sadržavati infor-



Djeljiteljsnopa

Ogledalo

maciju o promjenama na toj površini, tj. pomjeranje, naprezanje i sl. Istovre-

menom rekonstrukcijom oba holograma i interferencijom dobit ćemo relativne pomake površine u odnosu na referentni hologram. Laserski holografeki in-terferometri se koriste za kontrolu kvaliteta bez razaranja, tj. identificiranje

skrivenih unutrašnjih defekata. Postupak se sastoji u sljedećem: ispitivani predmet se pobudi vanjskim udarom, uslijed čega se na mjestima postojećihdefekata javljaju interferencione pruge karakterističnog oblika. Iz njih se možezaključiti o lokaciji defekta, obliku, veličini i načinu njegovog pomjeranja u

procesu deformacije. ■*



16. FIZIKA JEZGRE (NUKLEARNA FIZIKA)

16.1. SASTAV I KARAKTERISTIKEATOMSKE JEZGRE

Rutherfordovi i drugi eksperimenti pokazali su da se atom sastoji od

jezgre, po dimenziji mnogo manje od atoma ali s gotovo cjelokupnom masomatoma. Jezgra je sastavljena od protona i neutrona, koje jednim imenom zo-vemo nukleoni. Najvažnije osobinejezgre su njena masa i naboj. Naboj jezgreZe određen je brojem protona Z, dok ukupni broj protona i neutrona određujemaseni broj jezgre A. Jezgru određenog elementa karakterizira broj protonaZ i zove se redni broj elementa dok broj neutrona, N = A - Z , može variratia da se pri tome ne mijenjaju kemijska svojstva elementa.

Masa nuklida praktično je jednaka masi atoma, je r je masa elektronskogomotača zanemariva. Atomske mase se izražavaju u atomskim jedinicamamase (1 ajm). Atomska jedinica mase jednaka je 1/12 mase atoma ugljika

1 ajm = lu = ~ mase atoma 6C12 = 1,66063-10'27 kg.

U nukleamoj fizici je uobičajeno da se mase izražavaju u jedinicamaenergije, prema relaciji E = mc2. Tako dobivamo za atomsku jedinicu mase

ekvivalent izražen u elektronvoltima:

1 = 931,478 MeV. (16.1.)

Proton (p) nije ništa drugo nego jezgra vodikovog atoma. On ima naelek-

trisanje (+e) i masu izraženu u jedinicama eneigije1:

mp - 938,2 MeV. (16.2.)

Masa elektrona izražena u istim jedinicama iznosi:

mt i 0,511 MeV. (16.3.)

I Uobičajeno je u nukleamoj fizici, mase čestica izražavati ne u masenim već u energetskim jedinicama.



Neutron (n) je čestica bez električnog naboja i s masom:

m„ i 939,5 MeV (16.4.)

vrlo bliskom masi protona. Razlika u masi neutrona i protona m„ - mp iznosi

1,3 MeV. Neutron kao i proton imaju spinski kvantni broj s = 1/2.U slobodnom stanju neutron je nestabilan (radioaktivan) i on se spontano

raspada, pretvarajući se u proton i emitirajući elektron (e~) i još jednu česticukoja se naziva antineutrino ( v ).

Raspad protona može se prikazati na slijedeći način:

Masa mirovanja antineutrina jednaka je nuli. Masa neutrona, kao što smovidjeli, veća je od mase protona za 1,3 MeV ili za 2,5 mt. Prema tome, masaneutrona je veća od ukupne mase čestica koje figuriraju na desnoj strani

jeđnadžbe (16.5.) za 1,5 me odnosno za 0,77 MeV. Ta energija se oslobađa pri raspadu neutrona u obliku kinetičke energije čestica koje se obrazuju.

Za označavanje jezgri obično se koristi simbol:

gdje se pod X podrazumijeva kemijski simbol danog elementa. Desno gorestavlja se maseni broj A, lijevo dolje atomski (redni) broj Z.

Većina kemijskih elemenata ima nekoliko različitih varijeteta, koji serazlikuju u masenom broju i zovemo ih izotopi. Tako npr. vodik ima triizotopa:

Kisik ima tri stabilna izotopa: 80 16, 80 17, 80 18, olovo deset itd.

Izotopi su jezgre sa istim brojem protona Z. Jezgre sa jednakim masenim brojem A nazivaju se izobari. Kao primjer mogu se navesti jezgre Âr40 i

joCa40. Jezgre sa istim brojem neutrona N=A-Z nazivaju se izotoni (npr. 6C13,7N 14). Postoje također radioaktivne jezgre sa jednakim Z i A, koje se razlikuju

periodom poluraspada. Takve jezgre nazivaju se izomeri.

Jezgra je oko 104 —105 puta manja od atoma. Eksperimentima raspršenjanukleona na jezgrama određen je radijus jezgre:

n -+/? + e + v . (16.5.)

z

jH1- obični vodik, ili protij (Z=l, N=0) ,H2- teški vodik (D) ili deuterij (Z=l,yV=l)

,H3 - tricij (T) (Z=l, N=2)

(16.6.)



gdje je A maseni broj, a r0 konstanta za sve jezgre i iznosi oko 1,2-10'IS m.

Srednja gustoća nukleame supstance iznosi 2 1 0 17 kg/m3, što je za 1014 putaveća gustoća od gustoće materijala i ne ovisi o vrsti nuklida.

16.2. MASA I ENERGIJA VEZE JEZGRE

Masa mirovanja jezgre MN uvijek je manja od sume mase mirovanja

čestica koje sačinjavaju jezgru. To je uvjetovano time što se pri sjedinjavanjunukleona u jezgru oslobađa energija veze jednaka radu koji bi bilo po-

trebno izvršiti, da bi se jezgra rastavila na nukleone, koji ga obrazuju i da bise ti nukleoni međusobno udaljili na rastojanja na kojima praktično ne među-

djeluju jedan s drugim.

Znači, energija jezgre je manja od energije sistema nukleona koji me-đusobno ne djeluju za veličinu jednaku E ^ e Prema relativističkoj relaciji(10.57.), promjeni mase sistema za veličinu Am, odgovara promjena energijeza veličinu A E = Amc2. Prema tome, smanjenje mase sistema za A M:

6M =Z mp + NmK- M N (16.7.)

odgovara smanjenju njegove energije za AA/c2. Ova se energija naziva ener-

gija veze i iznosi:

E ^ = + Nm„ - Mn). (16.8.)

Ova razlika u masi AM, naziva se defekt mase jezgre, i predstavlja

karakteristiku svake jezgre.

Nađimo energiju veze nukleona u jezgri helija 2He4, koja se sastoji oddva protona (Z = 2) i dva neutrona (N = 2). Masa atoma helija iznosi 4,00388

mu, odnosno 3 728 MeV. Iz praktičnih razloga umjesto mase protona uzmimomasu vodikovog atoma (938,7 MeV) a umjesto mase jezgre uzmimo masu

helijevog atoma (3 728 Me\0- Uvrštavanjem ovih podataka u jednadžbu

(16.8.) dobit ćemo energiju veze nukleona u helijevoj jezgri:

E ^ = 2 • 938,2 + 2 • 939,5 - 3 728 = 28,4 MeV. (16.9.)

Energija veze jednog nukleona u jezgri helijevog atoma iznosi 7,1 MeV.

Radi usporedbe navedimo da je energija veze valentnih elektrona u atomimareda veličine 10 eV. Energija veze koja otpada na jedan nukleon (EvrIJA)

naziva se specifična energija veze i ne razlikuje se mnogo od veličine E ^JA za helij. Na crtežu 16.1. prikazan je grafikon koji pokazuje ovisnost E ^JA

o masenom broju A.

333



40 80 120 160 200 240ACrtež 16.1.

Najijače su vezani nukieoni u jezgrama sa masenim brojem 50-60 (tj. zaelemente od Cr do Zn). Energija veze za te jezgre dostiže 8,7 MeV/nukleonu.

S porastom A specifična energija veze postepeno opada, za najteži prirodnielement (uran) ona iznosi 7,5 MeV/nukleonu. Ovakva zavisnost specifičneenergije veze o masenom broju, energetski omogućava dva procesa: cijepanjeteških jezgri na nekoiiko lakših i spajanje (sintezu) iakih jezgri u jednu jezgru.Oba procesa dešavaju se uz oslobađanje velike količine energije.

163 . PRIRODA NUKLEARNIH SILA 'Ogromna energija veze nukleona u jezgri govori o tome da između nu-

kleona postoji vrio intenzivno međudjelovanje (interakcija). Ova interakcijaima karakter privlačenja. Ona održava nukleone na međusobnom rastojanju,reda veiičine 10'15 m, usprkos jakog elektrostatskog odbijanja između protona.

Nukleama interakcija između nukleona dobila je naziv ja ka in terakcija. Jakainterakcija može se opisati pomoću polja nukJeamih sila, čije su osobine

slijeđeće:

Nukieame sile su kratkog dosega i ovisno o rastojanju među nukleonima ponašaju se na slijedeći način:

• r > 2-10'15 m, međudjelovanje se ne opaža,• 10'15 m < r < 210"15 m, privlačno mrfudjelovanje,• r < 10'15 m, jako odbojno međudjelovanje.



Jako međudjelovanje ne ovisi o naboju nukleona. Nukleame sile koje

đjeluju između dva protona, između protona i neutrona i između dva neutrona,

jeđnake su po veličini. Ova osobina naziva se neovisnost nukleamih sila o

naboju.

Nukleame sile zavise o uzajamnoj orijentaciji spinova međudjelujućihnukleona. Tako, naprimjer, neutron i proton se udružuju, obrazujući deuteron,

samo u slučaju da su im spinovi međusobno paralelni.

Nukleame sile imaju osobinu zasićenja, to znači da svaki nukleon u

jezgri međudjeluje s ograničenim brojem nukleona. Ta osobina slijedi iz či-

njenice da je energija veze koja otpada na jedan nukleon, približno jednaka

za sve atome počevši od helija.

Suvremena teorija nukleamih sila pretpostavlja da se uzajamno djelovanjenukleona ostvamje posredstvom nukleamog polja, i to putem razmjene kvanata

tog polja, tzv. mezona. Još daleke 1935. godine japanski fizičar Yukawa

(Jukava) je pretpostavio da u prirodi postoje tada još neotkrivene čestice, čija

je masa 200-300 puta veća od mase elektrona, a koje imaju ulogu prijenosnika

nukleamih interakcija. Po analogiji sa fotonima, čija je uloga u elektromag-

netnim interakcijama ista, ove hipotetičke čestice je nazvao teški fotoni. Kako

se po svojoj masi nalaze između elektrona i protona, ove čestice su dobilekasnije naziv mezoni.

Dvanaest godina kasnije (1947.) u kozmičkim zracima pronađeni su tzv.

pioni ili Jt-mezoni, za koje se pokazalo da su nosioci nukleamih sila. jc+ i

mezon imaju masu 273 m, (1413 MeV),-a naelektrisani su suprotnim elemen-

tamim količinama elektriciteta e. Masa neutralnog tt° mezona je 264 me

(135 MeV). Sve tri čestice su nestabilne.

Prema mezonskoj teoriji nukleamih sila jaka interakcija se objažnjavavirtualnom razmjenom mezona između protona i neutrona u jezgri, što se

shematski može predstaviti na ovaj način:

p < r > n + n * p < * p + Jt°o (16.10.)

n++p + n~ n++n + j i .

U kvantnoj mehanici virtualnim se nazivaju čestice koje ne mogu bitiopažene za vrijeme njihovog postojanja. Ove relacije slijede iz zakona oču-

vanja naelektrisanja i zakona održanja mase i energije. Prema ovoj teonji

nukleon je okmžen oblakom virtualnih Jt mezona, koji obrazuju polje nuk-

leamih sila.

Vrijeme života Jt+ i Jt~ mezona iznosi 2.55T0'8 s, a jt°mezona 2,1T0‘i6s .

Najveći dio nabijenih mezona raspada se po shemi:



n+-» n+ + v

31" -> H" + v (16.11.)

gđje su |i+ i |i“ pozitivni i negativni mlon, v neutrino, a v antineutrino.

16.4. RADIOAKTIVNOST

Radioaktivnost je spontani prijelaz nestabilnih izotopa nekog kemij-skog elementa u izotop drugog eiementa, koji se dešava uz emisiju ele-mentarnih čestica ili jezgri. Osnovni tipovi radioaktivnog raspada su:

• alfa raspad,• beta raspad,

• spontana fisija i• gama raspad.Kod prva tri raspada dolazi do transmutacije elemenata i oni su praćeni

emisijom odgovarajućih čestica, dok je gama raspad praćen emisijom fotonai kod njega jezgra trpi samo energetsku promjenu.

Radioaktivnost izotopa koji se sreću u prirodnim uvjetima, naziva se prirodnom, dok se radioaktivnost dobivena posredstvom nukleamih reakcija

naziva vještačkom. Između vještačke i prirodne radioaktivnosti nema suštinsićerazlike. Proces radioaktivnog pretvaranja u oba slučaja pokorava se jednakimzakonima.

Alfa raspad. Alfa čestice su jezgre helija 2He4 i nastajupri radioaktivnomalfa raspadu. Kada nestabilna jezgra emitira a-česticu, maseni broj joj sesmanji za četiri, a redni za dva. Općenito a-raspad može se predstaviti poshemi:

zZ-4 -+ 2.2^ - 4 + 2H e4. (16*12.)

Kao primjer može poslužiti raspad izotopa urana U238 koji protiče uzobrazovanje torija Th234:

92U238- + 90Th234 + 2He4.

Brzina kojom alfa čestice izlijeću iz jezgre koja se raspada je vrio velika

(»107m/s), a kinetička energija leži u opsegu od 4 do 10 MeV. Alfa zračenjedanog raspada ima strogo određenu energiju, tj. linijski spektar.

Prolazeći kroz supstancu, alfa čestice postepeno gube svoju energiju tro-šeći je na ionizaciju molekula supstance i na kraju se zaustavljaju. Na obra-zovanje jednog para iona u zraku troši se u srednjem 35 eV. Na taj način alfačestica obrazuje na svom putu oko 105 parova iona. Prirodno, što je veća

336



gustoća supstance, to je manji domet alfa čestice u njoj. Tako u zraku podnormalnim pritiskom domet iznosi nekoliko centimetara, a u čvrstoj supstancidomet dostiže nekoliko desetina mikrometara. Alfa čestice se mogu potpunozaustaviti običnim listom papira.

Beta raspad. Postoje tri različita tipa beta raspada. U jednom slučaju jezgra koja se raspada emitira elektron, u drugom pozitron, a u trećem slučaju,koji nazivamo K-zahvat (ili elektronski zahvat) jezgra apsorbira jedan odelektrona K-sloja atoma.

Prvi oblik raspada nazivamo beta minus raspad (p~). P"-raspad se možeshematski pisati na ovaj način:

Kada radioaktivna jezgra emitira česticu (elektron), redni broj joj se poveća za jedan, dok se maseni broj ne mijenja. Pored elektrona emitira se

također i antineutrino v . Cijeli proces promiče kao kad bi se jedan odneutrona jezgre X pretvorio u proton, pretrpivši raspad po shemi:

Kao primjer P_-raspada može se navesti raspad torija Th234 u protaktinijPa234 sa emisijom elektrona i antineutrina:

Beta raspad može se odigrati uz emisiju gama zraka. Razlog njihove

pojave je isti kao i u slučaju alfa raspada, Jezgra potomak može nastati kako

u normalnom tako i u pobuđenom stanju. Prelazeći u stanje sa manjom ener-

gijom jezgra zrači gama foton. Za razliku od alfa čestica, beta-elektroni imajunajrazličitije energije od 0 do

Drugi oblik beta raspada je beta plus raspad (P*). Neke nestabilne jezgre

koje imaju manjak neutrona emitiraju pozitivne čestice mase jednake masi

elektrona, ali naboja +e i tako postaju stabilnije. To je beta plus raspad (p4), pri kome se jedan proton pretvara u neutron, a iz jezgre izlazi pozitron (e4)

i neutrino (v). Shemu P+ raspada pišemo:

zX A ^ zn YA + _te° + v . (16.13.)

on x - + iP1+ .,e0+ v. (16.14.)

^Th234-+ „Pa234 + _,e° + v .

(16.16.)

(16.15.)



Kao što se vidi iz sheme, atomski broj jezgre potomka je za jedinicu

manji od atomskog broja materinske jezgre. Proces se dešava uz emisiju

pozitrona i neutrina, a moguće je i nastajanje gama zraka. Pozitron je antičes-

tica elektrona, a neutrino antičestica antineutrina.

Treći oblik beta raspada K-zahvat sastoji se u tome da jezgra apsorbira jedan od K-elektrona svog atoma, a kao rezultat toga, jedan proton prelazi u

neutron emitirajući pri tome neutrino:

,p 1+ y )-> o ", + v. (16.17.)

Jezgra koja je nastala može biti u pobuđenom stanju. Prelazeći zatim u

energetski niže stanje ona emitira gama foton. Shema procesa može se pri-

kazati na ovaj način: ZX A + _,e° -> z. lYA + v. (16.18.)

Kao primjer K-zahvata može se navesti raspad kalija K40 u argon Ar40:Gama raspad. Poslije alfa ili beta raspada, jezgra potomak može biti u

nekom od pobuđenih stanja. Jezgra potomak se vraća u svoje osnovno stanje

emitirajući pri tome gama zračenje (y-fotone) odgovarajuće energije. Na pri-mjeru raspada izotopa Na24, vidimo da je moguće da jedna jezgra emitira

istovremeno tri y-fotona po jednom raspadu, slika 16.2. Spektri beta i gama

zračenja iz raspada Na24 dati su na slici 16.3.



16.5. ZAKON RADIOAKTIVNOG RASPADA

Trenutak spontanog raspada jezgre nekog radioaktivnog izotopa je ne-moguće predvidjeti, ali se može odrediti vjerojatnost tog raspada u toku odre-

đenog vremenskog intervala. Prema tome, radioaktivni raspad je statistički proces, koji se pokorava zakonima vjerojatnosti. Brzina kojom se raspadaradioaktivni matenjal naziva se aktivnost i jednaka je broju raspada u jedinicivremena:

dN

dt (16.19.)

Znak minus označava da se broj raspada u toku vremena smanjuje. Ak-

tivnost se mijenja sa vremenom i proporcionalna je broju nestabilnib jezgri N(t):

A = XN(t), (16.20.)

gdje je X konstanta raspada i karakteristika je pojedinog radioaktivnog ele-menta. Iz relacija (16.19.) i (16.20.) slijedi diferencijalna jednadžba:

dN = -X N{t)dt, (16.21.)

koja daje broj raspada za vrijeme dt u trenutku /. Integracijom izraza (16.21.)dobiva se:

l nN=- X t +C, (16.22.)

gdje je C - integraciona konstanta. Za /= 0, dobivamo da je C = ln Ne pa je,

N = N 0e-^, (16.23.)



gdje je N0 broj jezgara u momentu t = 0, a N broj neraspadnutih jezgri do

trenutka vremena t. Relacija (16.23.) predstavlja zakon radioaktivnog ras-

pada.

Ako je A0 početna aktivnost uzorka:

4 = = AJV0. (16.24.)

Vrijeme poluraspada (poluživota) Tm predstavlja onaj vremenski inter-

val u kojem se raspadne polovina atoma radioaktivnog elementa. Uvrstivši

t = Tm i N = N J l u relaciju (16.23.) dobivamo da je vrijeme poluraspada

jednako:

_ ln2 0,693(16.25.)

Grafički prikaz zakona radioaktivnog raspada dat je na crtežu 16.4.

Crtež 16.4.

Jedinica za aktivnost radioaktivnih izvora u Međunarodnom sistemu je-dinica mjera (SI) je bekerel (Bq). Aktivnost od 1 Bq ima onaj izvor u komese u jednoj sekundi dešava jedan raspad. Međutim, u praksi se još uvijek

može sresti i vansistemska jedinica za aktivnost, kiri (Ci). Aktivnost od jednog

kirija (1 Ci) ima onaj izvor u kome se u jednoj sekundi dešava 3,7-1010 raspađa:

lC i = 3,71 010Bq.



16.6. CIJEPANJE JEZGRE (FISIJA)

Fisija je proces cijepanja teške jezgre na dva približno jednaka fragmentauz oslobađanje energije. Godine 1938. njemački naučnici O. Hahn (Han) i

F. Strassmann (Štrasman) primijetili su da pri ozračivanju urana neutronima,nastaju elementi iz sredine periodnog sistema, barij i lantan. Dalja istraživanjasu pokazala da se cijepanje može odigrati na više načina.

Fisija je nukleama reakcija koja karakterizira cijepanje teške jezgre nadva fragmenta, dvije lakše jezgre, pri čemu je zbir rednih brojeva jednakrednom broju mete. Kako proces fisije ima statistički karakter, to postoji okočetrdeset načina cijepanja teške jezgre, pri čemu su najvjerojatnija cijepanja

na fragmente čije se mase odnose kao 2:3. Fizibilne jezgre su izotopi WU235 (sadržan 0,7% u prirodnom uranu) 92U233 i s+Pu239 kojih nema u prirodi negoih dobivamo neutronskim ozračivanjem.

Cijepanjem jezgre „U 235 postoji vjerojatnost nastajanja oko 300 različitihradioaktivnih produkata fisije. Na crtežu 16.5. dat je relativni odnos frag-menata različite mase, koji nastaju pri cijepanju U235 sporim (termalnim)neutronima (energije 0,025 eV). Sa crteža vidimo da je vjerojatnost obra-

zovanja fragmenata iste mase mala ( 10'2 %) dok se obrazovanje fragmenatasa masenim brojevima 95 i 140 (2:3) javlja u 7% slučajeva.

U uranu i sličnim jezgrama fisija se najčešće izaziva neutronima. Kadneutron uđe u jezgru i veže se za ostale nukleone, oslobođena eneigija vezi-vanja pobuđuje jezgru iznad minimalne energije potrebne za fisiju i jezgra se



raspada. Jedan od mogućih procesa fisije U235 nakon zahvata sporog (termal-nog) neutrona može se prikazati shematski:

92U235+ n,-+ 92U236- > X + Y + (2 -3 )0/j i + oko 200 MeV, (16.26.)

gdje su X i Y fragmenti fisije. Energija vezivanja po nukleonu najveća je za

srednje teške jezgre (oko 8,5 MeV), dok je za vrlo teške kakav je uran (oko7,6 MeV). Uzmimo da su fragmenti X i Y, masenih brojeva 96 i 140 vezani

u prosjeku sa 8,5 MeV a uran U235 sa 7,6 MeV, oslobođena energija u fisiji biće jednaka razlici energija vezivanja:

E = 8,5 MeV (96+140) - 7,6 MeV 236 = 212 MeV.

Od ove energije oko 85% oslobodi se u obliku kinetičke energije frag-

menata, ostatak kao kinetička energija neutrona, alfa i beta čestica i gamazraka.

Jedan od načina na koji se ostvaruje cijepanje jezgre U235 može se pri-kazati na slijedeći način:

OTU235 + /!,->■ n Um - » 5JCs140 + 37Rb94+ 2 y .

Fragmenti cijepanja, cezij i rubidij također trpe daljnje transmutacije:~ 140 n 140 . 140 ^ 140

„C s ^ -»„Ba -+j,La -+5,Ce

P" p~ p"

P" P" p"Krajnji produkti cerij Ce140 i cirkonij Zr94, su stabilni.

Cijepanjem jezgri U235, Pu239 i U233 nastaje nekoliko neutrona, što omo-gućava ostvarivanje lančane nukleame reakcije. Ako imamo z neutrona đo- bivenih cijepanjem jedne jezgre, moguće je sa njima izazvati cijepanje z jSzgriod kojih dobivamo z2 novih neutrona, koji će izazvati cijepanje z2 jezgri, itd.

Na taj način, broj neutrona koji se dobije, raste geometrijskom progresijom.Međutim, proces umnožavanja neutrona protjecao bi na opisani način samou slučaju kad bi svaki neutron bio zahvaćen jezgrama koje se cijepaju, što urealnim uvjetima nije slučaj. Mnogi neutroni prije nego što budu zahvaćeni

jezgrama napuštaju zonu reakcije ili budu zahvaćeni jezgrama koje nisu spo-

sobne za dezintegraciju, tako da veći broj neutrona ne učestvuje u stvaranjunovih neutrona. Prirodni uran sadrži 99,27% izotopa U238, 0,72% U235 i oko0,01% U234. Na taj način, na svaku jezgru U235 koja se cijepa pod djelovanjemsporih neutiona, otpada 140 jezgri U238 koje zahvaćaju neutrone bez dezin-tegracije. Zato u prirodnom uranu ne nastaje lančana reakcija dezintegracije.

Lančana nukleama reakcija u uranu može se ostvariti tako da se iz pri-rodnog urana izdvoji izotop U235, koji je sposoban za dezintegraciju. U komadu



čistog U235 svaki neutron zahvaćen jezgrama izaziva cijepanje sa emisijom u prosjeku 2,5 neutrona. Međutim, ako je masa komada izotopa U235 manja odneke kritične mase to će većina neutrona izletjeti van zone reakcije i neće se

ostvariti lančana nukleama reakcija. U slučaju kad je masa komada veća od

kritične, neutroni se brzo umnožavaju i reakcija dobiva karakter eksplozije.Prema računima njemačkog fizičara Heisenberga (Hajzenberg) kritična masa

za U235 iznosi 9 kg. Na ovom principu zasniva se djelovanje atomske (nukleame) bombe.

Nukleamo gorivo U235 ili Pu239 podijeljeno je u dva dijela čije su mase manjeod kritične mase. Masa svakog komada je manja od kritične mase i zbog togane dolazi do lančane reakcije. Pošto u Zemljinoj atmosferi postoji određen

broj neutrona uslijed kozmičkog zračenja, da bi izazvali eksploziju dovoljno

je spojiti dijelove nukleamog goriva u jedan komad s masom većom odkritične. Lančana reakcija u atomskoj bombi odvija se pomoću brzih neutrona.

Na crtežu 16.6. dana jeshema (nukleame) atomske

bombe. Fisioni materijal (U235ili Pu239) nalazi se odvojeno (1)i ukupna masa je veća od kri-

tične mase. Do eksplozije do-lazi naglim spajanjem tih masa pomoću klasičnog eksploziva(2), Cijeli uređaj je smješten u

masivni omotač (3) koji služikao reflektor neutrona i čuva nukleamo gorivo od raspršenja prije nego štodovoljan broj jezgri ne oslobodi svoju energtju. U nukleamoj bombi koja je

bačena na Hirošimu fisioni materijal bio je Û235, a u onoj na Nagasaki ^Pu239.

16.7. NUK LEAR NI RE AK TO R

Kao materijal koji dezintegrira u reaktorima koristi se prirodni uran obo-gaćen uranom U235. Da bi se spriječio zahvat neutrona jezgrama U23* nuk-

leamo gorivo se razmješta u blokove između kojih se stavlja moderator, tj.

materijal koji usporava neutrone do termalnih brzina. Mada se neutroni češćesudaraju sa jezgrama U238, vjerojatnost da dođe do cijepanja jezgre U235 jeveća od vjerojatnosti zahvata neutrona u jezgm U238. Jezgre moderatora treba

da imaju malu vjerojatnost zahvata neutrona i veliku vjerojatnost elastičnog

raspršenja. Ovakve uvjete ispunjava deuterij, grafit i berilij (Be). Da bi se

smanjila energija neutrona dobivenih fisijom (2 MeV) do termičkih brzina

(0 025 eV) potrebno je oko 25 sudara u teškoj vodi (D20)



Crtež 16.7.

Prvi nukleami reaktor pušten je

u rad 1942. godine u Č ikagu (SAD), pod nikovodstvom talijanskog fiziča-

ra Enrika Fennia1. Kao gorivo kori-

šten je uran a moderator je bio grafit

pa se ovakav reaktor naziva uran-gra-fitni reaktor. Na crtežu 16.7. prika-

zana je shema reaktora.

Nukleamo gorivo U235 je smje-šteno u odvojene blokove (1) između

kojih se nalazi moderator - grafit (2).

Da bi se mogla zaustaviti lančana re-

akcija u reaktoru, odnosno vršiti kon-trola procesa, koriste se šipke od kad-

mija ili bora (3). Kadmij i bor imaju

Brzi neutroni 100%

1 EnrikoFermi (1901.-1954.) talijsnski fiziiSar, dobitnik Nobelove nagrade za fiziku 1938.Njegoviglavni radovi su na podruiju nuklearne fizike i fizike elementamih čestica.



tu osobinu da intenzivno apsorbiraju neutrone. Uvlačenjem šipki u reaktor

smanjuje se koeficijent umnožavanja neutrona, a time se zaustavlja proces

fisije.

Proces nukleame fisije u reaktorima sa prirodnim uranom može se pri-

kazati na crtežu 16.8.

Prvi industrijski reaktori, izgrađeni u SAD, pravljeni su za proizvodnjudezintegracionog materijala za atomske bombe (Pu239), dok je prva atomska

centrala za proizvodnju električne energije napravljena u SSSR 1954. godine,

snage 5 MW. Napomenimo da je nukleama elektrana koja radi u Krškom

(Slovenija) snage 600 MW.

16.8. TERM ONU KLEA RNA RE AK CIJA (FUZIJA)

Spajanje lakih jezgri u jednu jezgm naziva se fuzija i dešava se uz

oslobađanje ogromnih količina energije. Pošto je za sintezu jezgri potrebna

visoka temperatura, ovaj proces se naziva termonuklearna reakcija. Da bi-

smo savladali potencijalnu barijeru, uvjetovanu Coulombovim (Kulonovim)

odbijanjem, jezgre sa rednim brojevima Z, i Z^ treba da imaju energiju:

£ = — (16. 27. )4 t ie0 rN

gdje je rN radijus djelovanja nukleamih sila koji iznosi oko 2 1 0 15 m. Č ak i

za najlakše jezgre sa Z, = Z^ = 1, ta energija iznosi:

E = 1.15-10'6 J « 0,7 MeV. (16.28.)

Na svaku jezgm koja se sudara otpada polovina navedene veličine (0,35

MeV). Srednjoj energiji toplotnog kretanja od 0,35 MeV odgovara temperatura

reda veličine 2109K (prema relaciji E = kT, gdje je k = 1.38 I0'23 JK"1). Me-

đutim, fuzija lakih jezgri može se ostvariti na znatno nižim temperaturama

(107 K). Ovo se može objasniti na slijedeći način: statistička raspodjela čestica

po brzinama, podrazumijeva da postoji uvijek jedan broj jezgri čija energija

znatno prelazi srednju vrijednost. Na principu fiizije zasniva se hidrogenska bomba. Da bi se postigla

potrebna temperatura od 107 K koristi se kao upaljač atomska bomba (fisija).

Za hidrogensku bombu obično se koristi sinteza deuterija i tricija:

,H2 + ,H3 -»• jHe4 + n + 17,6 MeV. (16.29.)



Pri ovoj reakciji oslobađa se energija od 17,6 MeV što iznosi oko 3,5 MeV

po nukleonu. Radi usporedbe navedimo da cijepanje jezgre urana oslobađa

oko 0,85 MeV po nukleonu.

Sinteza jezgri vodika u jezgre helija je izvor energije Sunca i zvijezda,

u čijoj unutrašnjosti temperatura dostiže 107—108 K. Sinteza u zvijezdamaostvaruje se na dva načina. Pri nižim temperaturama javlja se sinteza dva

protona koji obrazuju jezgru helija 2He2, koja se raspada radioaktivnim beta

P+ raspadom:

,H' + ,H ' -+ jHe2 -+ ,H2 + P++ v + 1,35 MeV. (16.30.)

Tako dobivena jezgra teškog vodika (deuterij) ,H2 sudara se s protonom

i sa njim tvori tricij:

,H1+ ,H2 —» ,H3 + P+ + v + 4,6 MeV. (16.31.)

Proces se završava reakcijom:

2He3 + 2He3 - + jHe4 + 2p (16.32.)

tj. formiranjem jezgre helija i đva protona.

Na višim temperaturama veću vjerojatnost ima jedna draga termonuk-

leama reakcija, tzv. ugljično-dušični ciklus. Konačni rezultat svih etapa ovog

ciklusa je obrazovanje jezgri helija. Ovakvim termonukleamim fuzionim reak-

cijama na Suncu (i zvijezdama) dolazi do smanjenja količine vodika i pove-

ćanja količine helija. Međutim, obzirom na postojeće količine vodika može

se očekivati da će se tokom slijedećih nekoliko milijardi godina ove nukleame

reakcije odvijati skoro nesmanjenim intenzitetom.

16.9. KONTROLIRANA FUZIJA

Na Zemlji je fuziona energija dobivena samo u veoma kratkotrajnim

eksplozijama hidrogenskih bombi. Međutim, ovo su nekontrolirane fiizione

reakcije.Kontrolirane termonukleame reakcije, bit će moguće ostvariti tek onda,

kada se u laboratorijskim uvjetima ostvare uvjeti slični onima koji vladaju u

zvijezdama. Kontrolirana fuzija, pružit će čovječanstvu neiscrpan izvor čiste

i jeftine energije. Naprimjer, pri fuziji deuterija, koji je sadržan u 1 litri obične

vode, oslobodilo bi se isto toliko energije koliko se dobije sagorijevanjem

oko 350 litara benzina.



Kao sirovinu za kontroliranu fuziju treba koristiti deuterij i tricij, čije suzalihe u oceanima neiscipne. Posebno su interesantne ove reakcije koje se

mogu ostvariti u ionizovanoj vreloj plazmi vodika:

,H2 + ,H2 -+ jHe3 + n + 3,25 MeV

,H2+ 1H2 -> ,H e3+ p + 4,0MeV (16.33.)

,H2 + ,H3 -> 2He4 + n + 17,6 MeV.

U hidrogenskoj bombi termonukleama reakcija ima nekontroliran karak-ter. Za ostvarivanje kontrolirane termonukleame reakcije potrebno je dostićii održavati u nekoj zapremini temperatum reda veličine 108 K. Na tako visokojtemperaturi supstanca predstavlja potpuno ionizovanu plazmu. Za ostvarivanje

kontrolirane termonukleame reakcije postoje ogromne teškoće. Pored toga što je potrebno ostvariti visoku temperatum, problem je odižavanje plazme uzadanoj zapremini. Dodirivanje plazme sa zidovima suda dovodi do njenoghlađenja. Osim toga, zidovi od bilo kakvog materijala na takvoj temperaturi bi brzo isparili.

Problem izolacije plazme pokušava se riješiti tzv. magnetnom termoizo-lacijom. Kada se kioz smjesu lakih plinova propusti veoma jaka električna

struja, dolazi do slijedećih pojava: a) uslijed intenzivne ionizacije dolazi dostvaranja plazme, b) plazma se zagrijava na račun izdvojene toplotne energijei c) dolazi do formiranja plazmenog stupa oko uzdužne ose. Magnetsko poljeelektrične strnje djeluje na svaku naelektriziranu čestieu, koja se kreće duž plazmene niti, Lorentzovom silom F, uslijed čega plazmeni stup biva odvojenod zidova suda i koncentrira se oko uzdužne ose suda, (crtež 16.9a).

«) b)

Crtež 16.9.



Pojava sažimanja plazmenog sloja u magnetskom polju poznata je kao“pinčefekt”. Nažalost, plameni sloj pokazao se veoma nestabilan, crtež 16.9b.

Suvremeni plameni reaktori ostvarili su plameni stup u veoma kratkom vre-menu (djelići sekunde). Pored toga postignute temperature plazme su niske

(106 K), a plameni stup je nedovoljno stabilan tako da se brzo izgubi termoi-

zolacija i stup se raspada. U posljednje vrijeme, uspjelo se dobiti supervisoketemperature (108 K) unutar male zapremine, fokusiranjem snažnog laserskog

snopa i time ostvariti termonukleamu reakciju ali u vrlo kratkom vremenu.Od pedesetih godina 20. stoljeća fizičari cijelog svijeta rade na razvoju

fuzionih reaktora. Poseban uspjeh su postigli reaktori na principu “sažimanja” plazme magnetskim poljem kojeg su prvi predložili ruski fizičari Tamm iSaharov. Ovaj način ostvarivanja kontrolirane fuzije poznat je pod imenom

“tokamak” što je akronim za rusku kovanicu “toridalnaya kamera magni-tanaya katushka”. Snaga prvih reaktora na bazi fuzije bila je od nekoliko vatado megavata krajem drugog milenija. Fuziona tehnologija na bazi “tokamaka”dostiglaje maksimalnu snagu fuzionib reaktoraod 10,7 MW (SAD, Princeton,1994.). Ovdje treba napomenuti da su ovo još uvijek laboratorijska istraživanja

jer je uložena snaga za ostvarivanje kontrolirane fuzije bila 30 MW, a vrijemetrajanja 1-2 sekunde. Projekt poznat pod imenom ITER u koji su uključene

sve zemlje razvijenog svijeta (SAD, Rusija, Japan, Europska zajednica), pla-nira da će do 2008. godine biti napravljen reaktor snage 500 MW, koji se jošuvijek ne bi mogao koristiti u komercijalne svrhe jer bi, prema projektu,korisna snaga bila samo 40 MW.

Ako se uzme u obzir stanje raspoloživih energetskih resursa na bazi

fosilnih goriva, energetičari predviđaju da će već 2020. godine doći do ne-dostatka energije jer su ovi izvori neobnovljivi, a altemativni izvori (vjetar,

Sunce, hidroenergija itd.) nedovoljni da osiguraju povećane potrebe za ener-gijom, posebno, zemalja u razvoju. Gledajući očima fizičara, jedina rAlna

šansa da se osiguraju potrebne količine energije je razvoj fuzione tehnologije, je r fuzionog goriva (deuterij, litij) ima u skoro neograničenim količinama na

našoj planeti (mora, oceani).Fizičari smatraju da mogu riješiti problem kontrolirane fuzije do 2050.

godine. Reaktor (DEMO) koji se planira imao bi komercijalnu namjenu afuziona snaga bi iznosila 4000 MW i imao bi snagu 1000 MW električne

energije što je dovoljno za grad od 1 000 000 stanovnika (prema američkimstandardima).



17. ELEMENTARNE Č ESTICE

17.1. UVOD

Zasluga za uvođenje pojma atoma u teoriji strukture materije pripada

starim grčkim filozofima. Odmah treba naglasiti da ti stari “atomi” nisu isto

što i atomi s kojima mi danas radimo. Nije jednostavno točno znati što sugrčki filozofi razumijevali pod pojmom atom; središnje pitanje koje ih je

zaokupljalo bilo je: da li je ili nije tvar neograničeno djeljiva. Ako nije neo-

graničeno djeljiva, onda ćemo kad tad doći do iđeje o elementamim sastojcima

tvari - “atomima”. Uzmimo komad materijala i drobimo ga na sve sitnije i

sitnije djeliće. Na kraju dolazimo do čestica koje su dalje nedjeljive i to su

“atomi” (riječ atom zapravo znači “nedjeljiv”).

Grčki atomisti vjerovali su da je tvar zaista izgrađena od atoma; nekakosu osjećali da se mnoštvo elementamih struktura može objasniti pomoću razli-

čitih konfiguracija atoma. Uglavnom ni mi danas ne mislimo puno dmgačije,

ali sigumo postoji golema ražlika između naših kvantitativnih teorija i ma-

glovitih nagađanja antičkih filozofa. *

Da podsjetimo čitaoce na povijest atomske teorije; u 19. stoljeću atomska

hipoteza dovela je do značajnog uspjeha u razumijevanju niza prirodnih po-

java. Na osnovu pretpostavke o atomima možemo shvatiti temeljnu činjenicukemije, tj. da se svaki kemijski spoj uvijek sastoji od određenih temeljnih

kemijskih elemenata u određenim omjerima, karakterističnim za spojeve. Po-

gledajmo na očiglednu činjenicu da se kemijski spojevi mogu predstaviti

jednostavnim formulama kao što su H20 , H2S04 i NaOH. Upadljivo je da se

u tim formulama pojavljuju mali cijeli brojevi koji kažu da se dvije jedinice

vodika spajaju s jednom jedinicom kisika da bi nastala jedna jedinica vode,

itd. Pretpostavimo li da je tvar građena od atoma, odmah ćemo shvatiti teempirijske činjenice: kemijski spojevi sastoje se od nevelikog broja atoma.

Dva atoma vodika spajaju se s jednim atomom kisika i tvore jednu molekuluvode. Vrlo jednostavno. Kao daljnju potvrdu atomske hipoteze možemo nave-

sti uspjeh kinetičke teorije plinova što su je razvili J. C. Maxwell i L. Boltz-

mann. Pretpostavivši da je plin roj molekula koje se u posudi nasumice gibaju

i žestoko međusobno sudaraju i sudaraju sa stjenkama posude, ta je teorija



objasnila mnoga svojstva plinova. Pomoću nje se, uspio procijeniti Avogadrov

broj.Imajući u vidu takve dokaze o postojanju atoma, teško je povjerovati da

je gotovo do konca 19. stoljeća bilo znanstvenika koji su odbacivali atomskuhipotezu zato što nije bilo direktnih dokaza da je tvar građena od atoma.

Atomi grčkih filozofa nisu istovjetni s današnjim atomima. Prije svega,naši atomi nisu nedjeljivi: izgrađeni su od protona, neutrona i elektrona. Ulogu“atoma” u shvaćanjima starih Grka trebali bi na neki način predstavljati pro-toni, neutroni, elektroni i mnoštvo drugih elementamih čestica. Što podrazu-mijevamo pod “elementamom česticom”? Točna defimcija tog pojma danas

je pomalo spoma, ali za naše potrebe na to pitanje dat ćemo ovaj jednostavani praktičan odgovon čestica se smatra elementamom ako je se ne može opisati

kao sistem složen od dragih još elementamijih jedinica. Elementama česticanema “dijelova”, niti je “izgrađena” od bilo čega još jednostavnijeg. Prematakvoj definiciji proton, neutron i elektron su elementame čestice, ali vodikovatom ili uranova jezgra to nisu.

Ako se dva komada mramora sudare velikom brzinom, razmrskat će seu manje komade. Na isti način će se dvije vodikove molekule posiije sudaravelikom relativnom brzinom razbiti u komade. Među takvim komadima, osimako brzina nije vrlo velika, naći ćemo vodikove atome, protone, elektrone;dragim riječima, naći ćemo komponente od kojih su molekule bile izgrađene.Što se dogodilo u oba ta slučaja možemo opisati ovako: Silina sudara nadjačala

je kohezivne sile koje su držale skupa dijelove mramora, ili vodikove mole-kule, pa su se ti objekti razletjeli u komadićima. Na sličan način možemointerpretirati mnoštvo nukleamih reakcija. Jezgre su izgrađene od protona ineutrona, pa ako se brzi proton sudari s jezgrom, može se dogoditi da nekoliko

protona i neutrona bude izbačeno iz jezgre. ,Međutim, razmatramo li silovit sudar dviju elementamih čestica, kao što

su đva protona, otkrivamo pojave koje se kvalitativno razlikuju od gomjih pojava. Ako npr. proton vrio velike energjje udari u dragi proton, poslijesudara oba će protona ostati protoni, ali ćemo među produktima te reakcijenaći i nekoliko novih elementamih čestica, npr. pi mezona. Kažemo da su utoj reakciji nastali pi (7t)-mezoni (nazivamo ih još i pioni). To nije jedino štose može đogoditi u sudara protona s protonom: protoni mogu i nestati, a

umjesto njih mogu se pojaviti nove čestice koje se zovu K mezoni ili hiperoni,crtež 17.1.

Isto se tako može dogoditi da u žestokom sudaru dva elektrona poslijereakcije imamo tri elektrona i jedan pozitron. S drage strane, ako se sudareelektron i pozitron, može se dogoditi da te dvije čestice iščeznu (kažemo dasu se poništile, anihilirale) pa ostane samo elektromagnetsko zračenje u obliku



o

o-

gama kvanta. Stvaranje i poništavanje

čestica, važno je svojstvo prirode. Oči-to da te pojave nemaju analogiju udrobljenju komada mramora, ili u ke-

mijskim reakcijama. Kemijsku reak-

ciju možemo opisati tako da kažemoda nove molekule nastaju od eleme-

nata koji su sastavni dijelovi drugih

molekula. Pri takvom opisu atomemožemo smatrati sastavnim dijelovi-

ma molekule. Za razliku od toga, raz-

motrit ćemo događaj kada dvije čes-

tice koje su se sudarile ostaju i poslijesudara u kojemu je nastalo više novih

čestica. Da bismo eksperimentalno us-

tanovili da li je neka čestica elemen-

tama ili složena, nastojimo stvoriti uvjete da sc ona sudari s drugom čcsticom,

pa da posmatramo produkte reakcije. Tom metodom u stanju smo razbiti

molekulu na zasebne atome, a atome na elektrone i jezgre, pa je pravilno

kazati da su molekule izgrađene od atoma, koji su opet izgrađeni od clektronai jezgri. Fizičari 19. stoljeća zaista su pogriješili misleći da su atomi neuništivi

i nedjeljivi. Ispostavilo se da se atom može razbiti. To isto vrijedi i za jezgre.

Samo, za njihovo rarf)ijanje potrebno je znatno više energije nego za razbijanjeatoma.

Pomoću modemih akceleratora možemo proizvesti snopove čestica vrlo

visokih energija, pa postoje mogućnosti za razbijanje čestica.

Crtež 17.1.

17.2. K O Z M IČ K O Z R A Č E N JE

Iz Svemira na Zemlju neprekidno pada fluks atomskih jezgri (uglavnom

protona visoke energije) u srednjem 10 GeV, a pojedine čcstice dostižu ener-

giju i do 1010 GeV. To tzv. primarno kozmičko zračenje obrazuje u zemljinojatmosferi sekundarno zračenje, u kojem se sreću sve u današnje vrijeme po-znate elementarne čestice.

Č estice primarnih kozmičkih zraka tipe neelastične sudare sa jezgrama

atoma u gomjim slojevima atmosfere, rezultat čega je postanak sekundamog

zračenja. Na visinaraa nižim od 20 km kozmičke zrake imaju potpuno sekun-

dami karakter. U sastav sekundamih kozmičkih zraka ulaze dvije komponente.



Jedna od njih jako se apsorbira u olovu i zato je nazrvamo meka; druga,

međutim, prodire kroz veliku debljinu olova i zove se tvrda.

Meka komponenta sastoji se iz kaskade ili pljuskova parova elektron-

-pozitron. Gama foton, koji je nastao kao rezultat nukleame transformacije

ili naglog kočenja brzog elektrona, prolijećući blizu atomskog jezgra, obrazuje

par elektron-pozitron. Kočenje tih čestica ponovo dovodi do obrazovanja gamafotona. Procesi stvaranja parova i generacije gama kvanata izmjenjuju se jedan

s drugim sve dok energija gama fotona ne postane nedovoljna za obrazovanje

para. Kako je energija prvobitnog fotona vrlo velika, to može da nastanemnogo pokoljenja sekundamih čestica prije nego se prekrati razvitak pljuska.

Tvrda, prodoma komponenta kozmičkih zraka sastoji se uglavnom iz miona.

Ona se prvenstveno obrazuje u gomjim i srednjim slojevtma atmosfere na

račun nabijenih 71-mezona (i dijelom K-mezona).Do nedavno, kozmičko zračenje bilo je jedini izvor čestica sa energijom

dovoljnom za obrazovanje mezona i hiperona. Pozitron, mioni, pi-mezoni imnoge druge čestice prvi put su opažene u sastavu kozmičkih zraka. Godine1952. u SAD pužten je u rad prvi sinhrofazotron (akcelerator) koji je omogućioda se dobiju protoni energije do 3 GeV, koja spada u oblast energija primamog

kozmičkog zračenja. Zato je ovaj sinhrofezotron dobio naziv kozmotron. Danas

postoje akceleratori koji omogućavaju energije i 100 GeV (LEP-Large Elec-tron Positron Collider, Cem). U planu su SSC (SAD) protonski kolajder i dovišeod 10 TeV, i LHC (Large Hadron Collider) u Cemu. U sadašnjem trenutku

teško je zamisliti da će se u skoroj budućnosti praviti veće mašine jer i ove

sadašnje koštaju izuzetno mnogo. Za SSC planirano je u 1995. gođini utrošiti6,5 milijardi dolara i njegovo dovršenje će čekati povoljnije financijske prilike.

Pojavom akceleratora izgledalo je da će značaj kozmičkih zraka za iû-

čavanje u oblasti elementamih čestica izgubiti na značaju. Sada smo, međutim,sigumi da će daljnja izučavanja u podračju visokih energija biti vezana isk-

ljučivo za kozmičke zrake.

173. METODE PROMATRANJA ELEMENTARNIHČ ESTICA

Elementame čestice mogu se promatrati zahvaljujući tragovima koje one

ostavljaju pri svom prolasku kroz tvar. Karakter tragova omogućava da sesudi o predznaku naboja čestice, njenoj energiji, impulsu i sl. Nabijene česticeizazivaju ionizaciju molekula na svom putu. Neutralne čestice ne ostavljajutragove, ali se mogu opažati u trenutku raspada na nabijene čestice ili utrenutku sudara sa nekom jezgrom. Prema tome, u krajnjoj liniji, neutralne



čestice se također mogu opažati po ionizaciji izazvanoj od njih stvorenim

nabijenim česticama. Na slici 17.1. prikazan je snimak poništenja protona i

antiprotona u mjehurastoj komori. Komora se Judazi u magnetskom polju

okomitom na ravninu snimka. Tragovi negativnih Česrica sayijaju se u smjeru

kazaljke na satu, a tragovi pozitivnih čestica u obznutotn smjeru. Tragovi

sporih čestica su debeli, dok su tragovi vrlo brzih češtica tanke, uglavnomisprekidane linije.

Uređaji koji se koriste za registriranje ionizirajućih češtica dijele se u

dvije giupe. U prvu spadaju uređaji koji registriraju činjenicu prolaska čestice

i osim toga, u nekim slučajevima, omogućavaju da se sudi o njenoj energiji.

U drugu grupu spadaju uređaji koji omogućavaju promatranje tragova čestica

u tvari. Među uredaje za registriranje nbrajaju se ionizacione komore i brojači

sa plinskim pražnjenjem. Također se koriste Č erenkovljevi brojači, scinti-lacioni a u novije vrijeme poluvodički - gennanijski detektori.

Nabijene čestice, koje prolaze kroz supstancu, izazivaju ne samo ioni-

zaciju nego i pobuđivanje atoma. Vraćajući se u normalno stanje, atomi emi-

tiraju vidljivu svjetlost. Tvari u kojima nabijene čestice pobuđuju svjetlosnu

iskru (scintilaciju) nazivaju se scintilatori. Scintilatori mogu da budu organski

(benzen, naftalin, itd.) i neorganski NaI(Tl), CsI(Tl), KI(T1). Za protonske

Slika 17.1. Snunak poništcnja protona i antiprotona u lcomori na mjeburićc.Glavni događaj jc u arcdini snimka. Antiproton upada odozgo.



brojače obično se koriste scintilatori od plastike. Danas se koriste poluvodički

detektori posebno u spektrometriji ionizirajućih zračenja, radi velike moći

rczolucije.

U spektrometriji alfa čestica i drugih teških nabijenih kaona koriste se

silicijeve diode sa površinskom barijerom. U spektrometriji gama zračenja

danas se koriste dva tipa Ge-detektora (germanij), tzv. Ge(Li), germanij-litijdetektor u kojem je driftovan litij i HP-Ge detektor, od vrlo čistog (high

purity) germanija.

U detektore sa tragovima ubrajaju se Wilsonova komora, mjehurasta

komora, vamična komora i emulzione komore. Staza iona, kojom prolazi

nabijena čestica, postaje vidljiva u Wilsonovoj komori zato što na ionima

dolazi do kondenziranja zasićenih para neke tečnosti. U mjehurastoj komori,

koju je konstiuirao D. Glaser 1952. godine, zasićene pare zamijenjene su pregrijanom prozračnom tekućinom. Ionizirajuća čestica koja proleti kroz ko-

moru izaziva bumo ključanje tekućine, uslijed čega je trag čestice označen

lancem mjehurića pare, koji obrazuju trag, slika 17.1. Mjehurasta komora,

kao i WiIsonova komora, radi u ciklusima. Komora se pušta u rad naglim

snižavanjem tlaka uslijed čega rađna tekućina prelazi u metastabilno pregrijano

stanje.

17.4. KLASE ELEMENTARNIH Č ESTICA j . .

Pod elementamim česticama podrazumijevamo takve mikročestice čiju

unutrašnju struktum na današnjem stupnju razvoja fizike, nije moguće pri-

kazati kao ujedinjenje đmgih čestica. U svim do sada promatranim pojavama

svaka takva čestica ponaša se kao cjelina. Elementame čestice mogu se pre-tvarati jedna u dmgu. Da bismo objasnili osobine i ponašanje elementamih

čestica potrebno im je, pored mase, električnog naboja i spina pridmžiti niz

dopunskih, za njih karakterističnih veličina (kvantnih brojeva).

Prije samo tridesetak godina izgledalo je da je atom sastavljen samo od

elektrona, protona i neutrona i da se pomoću njih može izgraditi sve što nas

okružuje. Danas je poznat veliki broj elementamih čestica koje se mogu po-

dijeliti u četiri skupine (klase):Fotoni, y (kvanti elektromagnetskog polja).

Leptoni. Tu se ubrajaju čestice koje ne učestvuju u jakoj interakciji:

mioni, elektroni i neutrino. Svi leptoni imaju spin 1/2. Takve čestice poko-

ravaju se Fermi-Diracovoj statistici (koja uzima u obzir Pauliev princip) uslijed

čega se nazivaju fermioni. Svi leptoni učestvuju u slaboj interakciji. Oni



elektromagnetskoj inSSkcTji”8*^ (m,0ni ' eIektroni) učestvuJu talcođer i u

Tabela 17.1.

355



veličine 10'8 s. K-mezoni se raspadaju obrazujući n-mezone i leptone ili samo

leptone. Nabijeni rr-mezoni raspadaju se, obrazujući leptone. Sheme raspada

mogu se vidjeti u tabeli 17,1. Za razliku od leptona mezoni učestvuju ne samo

u slaboj (i ako su nabijeni i îektromagnetskoj interakciji) nego i u jakim

interakcijama koje se očituju u njihovom međudjelovanju, a također i u među-

djelovanju između mezona i bariona. Spin svih mezona jednak jc nuli. Č esticesa cijelim (ili nultim) spinom podčinjavaju se statistici Bose-Einsteinovoj, pa

se nazivaju bozoni.Barioni - klasa bariona objedinjuje u sebi nukleone (p. n) i nestabilne

čestice s masom većom od mase nukleona, koje su dobile naziv hiperoni (X°,£+, zPt £-, 2 °, H-). Svi barioni učestvuju u jakoj interakciji i prema tome

aktivno međudjeluju sa atomskim jezgrama. Spin svih bariona jednak je 1/2,

tako da barioni predstavljaju fermione. Izuzev protona svi barioni su nestabilni.

Pri raspadu bariona, pored ostalih čestica, obavezno se obrazuje barion. Tazakonitost je. jedan vid zakona o očuvanju barionskog broja.

U zadnje vrijeme otkriveno je više od 200 kratkoživećih čestica koje su

dobile naziv rezonance. Te čestice predstavljaju rezonanma stanja koja obra-

zuju dvije ili veći broj elementamih čestica. Vrijeme života rezonanci je vrlo

kratko 10"23—10'22 s. To dokazuje da se raspad rezonanci događa na račun jake

interakcije. Raspad dnigih čestica ostvaruje se na račun slabe (ponekad elek-

tromagnetske) interakcije. Zato su njihova vremena života duža.

17.5. Č ESTICE I ANTIČ ESTICE

Schrodingerova jednadžba (14.9.) ne zadovoljava zahtjeve teorije rela-

tivnosti; ona nije invarijantna u odnosu na Lorentzove transformacije. Godifie

1928. engleski fizičar Paul Dirac našao je relativističku valnu jednadžbu za

elektron iz koje slijedi niz važnih posljedica. Prije svega, iz tješenja te jed-nadžbe na prirodan način, bez bilo kakvih dopunskih pretpostavki, dobiva se

spin i brojčana vrijednost vlastitog magnetskog momenta elektrona. Na taj

način se je razjasnilo da spin predstavlja veličinu koja je istovremeno i kvantna

i relativistička.Diracova jednadžba također omogućava da se predvidi postojanje antičes-

tice elektrona, pozitron. Iz Diracove jednadžbe ne dobivaju se za ukupnuenergiju slobodne čestice samo pozitivne, već i negativne vrijednosti. Pri

zadanom impulsu čestice p postoje iješenja jednadžbe koja odgovaraju ener-

gijama (10.56.):

E = ±Jc 2p 2+ » tc4 . (17.1.)

356



Između najmanje pozitivne vrijednosti (+macr) i najveće negativne(-m^c2) vrijednosti postoji interval vrijednosti energija, koje se ne mogu ostva-riti. Širina tog intervala je 2 crtež 17.2a.

Na taj način, dobivaju se dvije oblasti vlastitih vrijednosti energije: jedna počinje sa +2m0c2 i prostire se do +oo, a druga počinje sa - 2 m ^ i prostire

se do —oo. Č estica sa negativnom energijom treba imati veoma čudne osobine.Prelazeći u stanje sa sve manjom energijom (tj. sa po mođulu rastućom ne-gativnom energijom), ona bi mogla emitirati energiju, recimo u obliku zra-čenja, pri čemu bi, pošto |is| ničim nije ograničeno, čestica sa negativnomenergijom mogla izračiti beskonačno veliku količinu energije. Do analognogzaključka može se doći na slijedeći način: Iz relacije E = mc* slijedi da ćekod čestica sa negativnom energijom masa također biti negativna. Pod dje-lovanjem siie kočenja, čestica s negativnom masom ne treba da se usporavaveć da se ubrzava, vršeći nad izvorom sile kočenja beskonačno velik rad.Zbog tih teškoća, trebalo bi izgleda, pretpostaviti da stanja s negativnomenergijom treba isključiti iz razmatranja jer dovode do apsurdnih rezultata.To bi, međutim, protunječilo nekim općim principima kvantne mehanike.Zato je P. Dirac izabrao drugi put. Prelpostavio je da se prelazi elektrona ustanja s negativnom energijom obično ne primjećuju iz tog razloga što su svi

postojeći nivoi s negativnom energijom već zaposjednuti elektronima. Napo-

menimo da se elektroni, kao i dmge čestice s polucijelim spinom pokoravajuPaulievom principu koji zabranjuje da u jednom te istom stanju bude više od jedne čestice.

Pieina Diracu vakuum je takvo stanje prostora u kojem su svi nivoinegativne energije zaposjednuti elektronima, a nivoi s pozitivnim energijamasu slobodm (crtež 17.2.). Ako jedan od elektrona koji se nalaze na negativnomnivou primi energiju koja prelazi širinu zabranjene zone, koja iznosi Im ^c2, to će taj elektron preći u stanje s pozitivnom energijom i ponašat će se kao

čestica s pozitivnom masom i negativnim nabojem. Vakancija (“šupljina”)obrazovana pritom u skupu negativnih nivoa, treba da se ponaša kao elektronkoji ima pozitivni naboj. Naime, odsustvo čestice koja ima negativnu masui naboj, očitovat će se kao prisustvo čestice s pozitivnom masom i pozitivnimnabojem. Ova prva predskazana (teoretski) čestica nazvana je pozitron.

Pri susretu pozitron i elektron iščezavaju (anihiliraju) tj. elektron prelazis pozitivnog nivoa na vakantni negativni. Energija, koja odgovara razlici tih

nivoa, oslobađa se u vidu zračenja. Na crtežu 17.2b strelica 1 predstavljastvaranje para elektron-pozitron, a strelica 2 njihovu anihilaciju.

Teorija Diraca bila je toliko ‘revolucionama” da većina suvremenika bila je nepovjerijiva prema njoj. Međutim, 1932. godine američki fizičar G.Anderson opazio je pozitron u sastavu kozmičkih zraka. U WiIsonovoj komori,

' 357



— •—

+«o«J

£=0

-m^c1

a)

--------------------11------------------

1 2

♦

£=0

b)

Crfež 17.2.

smještenoj između polova magneta, pozitron je ostavio isti trag kao i elektronkoji jc istovremeno nastao, samo je taj trag bio zakrivljen u suprotnu stranu.

Rađanje para elektron-pozitron nastaje pri prolazu y fotona kroz tvar.

To je jedan od osnovnih procesa koji dovodi do apsorpcije gama zraka

u supstanci. U potpunoj sugiasnosti sa Diracovom teorijom minimalna energija

y-fotona pri kojoj se rađa par jednaka je ImrfP- = 1,02 MeV. Radi zakona

očuvanja impulsa u procesu stvaranja para treba da učestvuje još jedna čestica,

koja preuzima razliku impulsa y-fotona i sumamog impulsa eiektrona i pozi-trona. f'rema tome proces se piše u obliku:

y + X -> X + e~ + e*, (17.2.)

gdje je X jezgro u čijem polju sila dolazi do stvaranja para. Pri anihilaciji je

zakon očuvanja impulsa uzrok nastanka dva ili tri y-fotona, koji se razlete na

razne strane: “*

e~ + e*—>y + y +(y). (17.3.)

Elektronsko-pozitronski parovi mogu da nastanu i pri interakciji y-fotona

sa elektronom; ili u sudaru dva elektrona:

y + e~ —>e +e~ + e*

e~ + e~ —>e~ + e~+ e~ + e*.(17.4.)

U nešto izmijenjenom obliku Diracova jednadžba može se primijeniti ne

samo na elektrone (pozitrone) nego i na druge čestice sa spinom jednakim

1/2. Prema tome za svaku takvu česticu (npr. proton ili neutron) mora postojati

antičestica. Po analogiji sa (17.3.) stvaranje paraproton-antiproton (p - p ) ili

neutron-antineutron (n —n ) mogio bi se očekivati pri sudaru nuldeona do-

358



vo|jno visoke energije. Ovo je eksperimentalno postignuto jo š daleke 1955godine u akceleratoru, prema slijedećoj shemi:

iliP p —>p + p + p + p

P + n —> p + n + p + p .(17.5.)

Proton i antiproton anihiliraju prema slijedećoj shemi, crtež 17.3 Vidimnda se anihilacijom proton-antiproton obrazuju pioni koji se raspadaju na mione3 miom na elektrone, pozitrone i elektronska i mionska neutrina:

p + p -> Jt+ + 7r + jr° (1 7 6 )

Crtež 17.3.

359



Antičestice postoje ne samo za fermione, već i za bozone. Tako naprimjer

7i+-mezon je antičestica jr--mezonu. Poznate su samo četiri čestice koje su

identične sa svojim antičesticama. To su foton, n°-mezon i dva A°-mezona.

Očigledno je, da čestice koje su identične sa svojim antičesticama ne mogu

da anihiliraju. Ako se barionima, gdje se ubrajaju i nukleoni (n i p ) , pripiše

barionski broj (naboj) B = +1, a antibarionima barionski broj B = —1, to će zasve procese u kojima učestvuju barioni i antibarioni bit karakteristično oču-

vanje barionskog broja.

Napomenimo da zakon, očuvanja barionskog broja uvjetuje stabilnost

najlakšeg bariona-protona. Dmgi zakoni očuvanja (energije, impulsa, mo-

menta impulsa, električnog naboja, itd.) ne zabranjuju naprimjer, proces:

p -» e+ + v + vkoji bi u krajnjem slučaju doveo do anihilacije atoma. Međutim, takav proces

dešavao bi se uz smanjenje barionskog broja za jedinicu i stoga je nemoguć.

Analogno tome, zakon očuvanja električnog naboja uvjetuje stabilnost najlakše

nabijene čestice - elektrona, zabranjujući naprimjen

e ~ -> y + Y+ v.

Da bismo objasnili procese u kojima učestvuju leptoni potrebno je uvestikvantni broj L, koji se zove leptonski broj ili naboj. Leptonima se pripisuje

L = +1, antileptonima L = —1, a svim ostalim česticama L = 0. Pri tome bez

izuzetka, javlja se u svim procesima očuvanje ukupnog leptonskog broja

spomenutog fizikalnog sistema.

Prema CPT1teoriji osnovni parametri antičestice trebaju imati slijedeće

vrijednosti:

Č estica

Električni naboj e

Antičestica—e

Masa m m

Spin s s

Magnetski moment V

Vrijeme života X T

Barionski broj B - B

Leptonski broj L - L

1 Prema CPT teoriji, zakoni prirode se ne mijenjaju pri istovremenoj trostmkoj zamjeni: čestica--antičestica, desno-lijevo i direktan tok vremena-invetzan tok vremena.

360



U slučaju neodižavanja barionskog broja, najlakši barion-proton mogao

bi se raspasti na čestice čiji je ukupni barionski broj nula. Naprimjer:

p —> e++ j i °

B = +\ 0 0.

Međutim, do danas još nije eksperimentalno potvrđen raspad protona.

Ako se i događa, vjerojatnost je toliko mala da proton može da ostane stabilan

u toku najmanje 1030 godina. A to je mnogo više od starosti Svemira, tj. od

vremena koje je proteklo od početka njegovog širenja do danas (10-20)10'°

godina.

Vremenski interval od 103° godina toliko je velik da je teško zamisliti

neki proces koji toliko dugo traje. Naprimjer, ako se sjetimo priče o mi-

tološkom orlu, koji jednom u 100 godina slijeće na visoku planinu da oštri

svoj kljun, jednostavno se može izračunati vrijeme potrebno orlu da na taj

način sravni planinu veličine Bjelašnice. Pokazalo se da je to vrijeme manje

milijardu puta od vremena života protona. Do danas nije opažen raspad protona

mada se trenutno vrše veoma skupi eksperimenti koji bi mogli opaziti spontani

raspad bar jednog protona. U Japanu je konstruiran ogromni detektor Kamioka,

instaliran na dubini od 1 000 m ispod planine Ikenoyama koji bi trebao u

toku godine registrirati spontani raspad protona (u bazenu koji sadrži 33 000tona vode ima « 2 1034 nukleona). Ako je vrijeme života protona 103' bilo

bi za očekivati 1 000 raspada protona godišnje, ali do danas nije registriran

ni jedan raspad. Treba napomenuti daje riječ o najkompliciranijim mjerenjima

koje je čovjek do sada uspio organizirati uz pomoč najmoćnijih kompjutera.

Slični eksperimenti se izvode u SAD, Francuskoj, Rusiji, Indiji.

17.6. TEORIJA VELIKOG UJEDINJENJA

Teorija ujedinjenja predviđa neodržavanje barionskog broja. Kao rezultat

dala bi neophodnu česticu X koja je odgovoma za taj proces. Donedavno se

pretpostavljalo da postoje četin osnovna tipa međudjelovanja: gravitacijsko,

slabo nukleamo, elektromagnetsko i jako nukleamo. U svakodnevnom životu

nam je dobro poznato gravitacijsko i elektromagnetsko međudjelovanje. Jakonukleamo međudjelovanje je odgovomo za vezu između nukleona u jezgm.

Slabo nukleamo međudjelovanje odgovomo je za procese kao što je beta

raspad. U tabeli 17.2. datc su osnovne karakteristike međudjelovanja (interak-cija).

361



Tabela 17.2.

Tip interakcijeRadijus

djelovanja (m)Kvant - prijenosnik

interakcijeKonstantainterakcije

1. Nukleama-jaka io -15 gluoni 1

2. Elektromagnetska 00 y-foton, m = 0,

w +, w -, Z°

io-J

3. Nukleama-slaba 10-'7 bozcmi, m « 80 GeV io-'4

4. Gravitacijska 00 graviton (7) m = 0 10

Vidimo da se karakteristične veličine pojedinih interakcija razlikuju jednaod druge. Kako naći jedinstvenu teoriju i ove pojave dovesti u vezu. Izvođenjutakve teorije posvetio je A. Einstein veliki dio svog života ali bez većih

uspjeha. On to nije mogao uraditi u to vrijeme jer nije imao eksperimentalne podatke o pojedinim tipovima interakcije koji su dostupni današnjim teorij-skim fizičarima. Sama ideja o zajedničkoj teoriji izgledala je i još je uvijekvrlo privlačna.

Sredinom šezdesetih godina Amerikanci S. Glashow i S. Weinberg iPakistanac Abdus Salam izveli su prvu ujedinjenu teoriju za procese u mik-rosvijetu, koja je ujedinila slabu i elektromagnetsku interakciju. Pokazano je

da na dovoljno visokim eneigijama (reda nekoliko stotina GeV-a) sile elek-tromagnetske i slabe interakcije postaju usporedive po veličini, kvanti-prijenosnici slabog i elektromagnetskog polja, mogu se ujediniti u jednu grupu,i slabi i elektromagnetski procesi se mogu opisivati jednim istim jednadžbama.

Pri prijelazu na niže energije ta se simetrija narušava. Dok su raniji kvantislabe interakcije slično fotonima imali nultu masu mirovanja, danas ona iznosi80 GeV, što ima niz posljedica. Kao prvo smanjuje se radijus djelovanfž slabeinterakcije, kao drugo na energijama, malim u usporedbi s masom kvanta koji

prenosi interakciju, konstanta slabe interakcije također je mala, to jest “sila”interakcije se smanjuje.

Glashow-Weinberg-Salamova teorija dobila je blistavu eksperimentalnu potvrdu kada su na akceleratoru u Cemu (Ženeva) otkriveni kvanti prijenosnicielektroslabe interakcije W i Z bozoni. Te čestice s kvantom svjetlosti - fo-tonom, obrazuju jednu grupu koja je dobila naziv “teška svjetlost”. Za otkrićeW-bozona C. Rubia i S. Van der Mer dobili su Nobelovu nagradu za fiziku

1984. godine. Izvođenje teorije elektroslabe interakcije predstavlja jedno odkrupnijih dostignuća u fizici elementamih čestica. Zbog toga su prirodno počeli da se pojavljuju pokušaji da se njene osnovne ideje prošire dalje naizvođenje ujedinjene teorije jakih i slabih i elektromagnetskih interakcija. I u

362





Crtež 17.4.

Proton (uud)

B = 1 , 0 = 1

5 = 1/3 + 1/3 +1/3 = 1

Q = 2/3 + 2/3 - 1/3 = 1

Neutron (udd)

B = 1 , 2 = 0

5 = 1 /3 + 1/3 + 1 /3= 1

g = 2/3 - 1/3 - 1/3 = 0

Mada kvaricovi nisu identificirani u slobodnom stanju, postoje eksperi-

mentalni dokazi za njihovo postojanje, jedino se još traže eksperimentalnidokazi za7 kvark. Na crtežu 17.5. prikazana je shema građe mezona:

«_-mezon ( u d )7t+-mezon ( u d ) B = 0, Q = 1 B = 1/3 - 1/3 = 0

0 = 2/3 +1/3 = 1

B = 0, g = -15 = -1/3 + 1/3 = 0

2 = -1/3 - 2/3 = -1

Crtež 17.5.

Prvi model velikog ujedinjenja napravili su američki fizičari G. Georgyi S. Glashow. Pošto takvi.modeli istovremeno opisuju jake i slabe interakcije,

kod njih se kvarkovi, koji učestvuju u jakim interakcijama i leptoni, koji

učestvuju uglavnom u slabim interakcijama, ujedinjuju u jednu grupu. Pritome se uvodi nova interakcija, koja prevodi članove te grupe jedne u druge.Ali kvarkovi imaju barionski naboj a leptoni nemaju. Zbog toga, ta nova

leptokvark interakcija, treba narušiti zakon održanja barionskog broja. Kvant

364



- prenosilac takve interakcije - treba da ima izuzetno veliku masu, odnosnoenergiju približno jednaku energiji, na kojoj se dešava veliko ujedinjenje, oko1014-1015 GeV. Takve čestice ne mogu se dobiti ni suvremenim akcelerato-rima, ni u kozmičkim zracima, nazvane su leptokvarkovi. Njihova masa jeusporediva sa masom najjednostavnijih bakterija.

Tako velika masa leptokvarka objašnjava zašto proton “živi” tako dugo.Stvar je u tome da takve interakcije na našim malim energijama imaju malu

vjerojatnost. Tek na energijama koje su uporedive sa masom leptokvarka,

počinju dominirati procesi u kojima je narušen barionski broj.

Vidimo da suvremena teorija ne zabranjuje postojanje procesa u kojima

se ne održava barionski broj. Istina eksperimentalno takve reakcije još nisuotkrivene, ali se u bliskoj budućnosti očekuje takva situacija. Iz teorije slijedi

da su procesi najočekivaniji na visokim energijama od 1014 do 101SGeV. Na

crtežu 17.6. prikazan je raspad protona

p -> e+ + Jt°

kojeg pretskazuje teorija velikog ujedinjenja. Prijenosnik takve interakcije jeleptokvark X, koji prevodi kvarkove u leptone. U procesu izmjene između

kvarkova protona, d kvark prelazi u lepton e+, a jedan od u-kvarkova u svoju

antičesticu u .

17 .7. T EO R IJA VE LIKE EK SPL O ZIJE

I TE O R IJA VELIKO G UJEDEVJENJA

Još na početku 20. stoljeća, izučavanjem spektara zračenja udaljenihzvjezdanih maglina, primijećen je “crveni pomak”. Prema Dopplerovom efek-

tu to znači da se objekti koji zrače udaljavaju. Dvadesetih godina američki

astronom Edvin Hubble je uspio odrediti rastojanje do nekih nama bližih

galaksija. Na osnovu ovih rezultata Hubbl je pokazao da je brzina udaljavanja

- 365





i io * io-,J ur '6 io-24 10“ icr" (S)

10'° 10'5 10“ 10“ 10“ 7TK)

Crtež 17.7.

pređe 1021 K, na našem grafiku se pojavljuje nova linija, koja odgovara lep-tokvark interakciji. Procesi u kojima se ne održava barionski broj počinjuigrati sve važniju ulogu, dok, na kraju, u oblasti temperatura 1027—1028 K

vrijednosti za sve tri interakcije, osim gravitacijske, ne postanu jednake. To je područje teorije velikog ujedinjenja. Baš u tom momentu, koji se nalazi uvremenskom intervalu 10‘35-10'36s od početka širenja dolazi do “velikog

ujedinjenja”. U Svemiru su tada bili prisutni samo fotoni, leptoni, kvarkovi,

gluoni i još neke super teške čestice, čije postojanje predviđa teorija velikogujedinjenja. One su se sve nalazile u stanju toplotne ravnoteže. Dio Svemirakojeg danas možemo “vidjeti” bio je skupljen na samo 3,66 cm.

Slijedeći korak bi bio stvaranje opće teorije jedinstva u kojoj bi bila

uključena i gravitacijska interakcija, to bi se trebalo desiti pri fantastičnimenergijama, odnosno na temperaturi od 1031 K, ili to se desilo prema teoriji

velike eksplozije poslije 10"41 s. Da li je to moguće? Da li je to samo fantazija

teorijskih fizičara sada je teško govoriti o tome.

‘ 367



Na kraju ovog kratkog pregleda fizike elemen-tamih čestica, koji se može čitaocu dojmiti kaosuviše optimističan, završio bih citatom jednog odtvoraca suvremene fizike i antičestica Paula Diraca:

“Posvećujući se istraživačkom radu, treba

težiti da se sačuva sloboda rasuđivanja i ni ušto ne treba previše vjerovati; uvijek treba biti

spreman da uvjerenja kojih smo se dugo pri-

državali mogu biti pogrešna.”

Paul Adrien Dirac

368



VAZNIJE KONSTANTE

Brzioa svjetlosti u vakuumu c = 299 792 458 m s'1

Elementami električni naboj e = I.60210"19 C

Dielektrična konstanta vakuuma = 8.854-10 12 Fm'1

Permeabilnost vakuuma = 4 j t I0"7H m"1

Gravitacijska konstanta y = 6.6710"11 N m2 kg'2

Planckova konstanta h = 6.62610"34 J s

Boltzmannova konstanta k = 1.3810"23 J K">

Plinska konstanta R = 8,314 J mol"1K "1

Avogadrov broj N a = 6.021023mol"1

Stefan-Boltzmannova konstanta o = 5,67-10"8 W ra"2K "4

Rydbergova konstanta R = 1.097-10"7 m"1

Masa mirovanja elektrona mt = 9,1110"31 kg = 5.49-10"4u

Masa mirovanja protonamp = 1.672610"27 kg = 1,00728 u

Masa mirovanja neutrona m„ = 1,675-lO^kg = 1,008665 u

Faradayeva konstanta F = 9,65-104 C mol"1

Atomska masena konstanta mu = 1,66-10"27kg = 1 u

Akceleracija slobodnog pada g = 9,80665 m s"2

Masa Zemlje 5,96-1024 kg

Polumjcr Sunca 6,9510* m

Masa Sunca 1,98-lO^kg

Polumjer Mjeseca 1,74-10* m

Masa Mjeseca 7.33-1022kg

Srednja udaljenost sredižta Zemlje i Sunca 1.49-1011 m

Srednja udaljenost središta Zemlje i Mjeseca 3,84-10* m

Opbodno vrijeme Mjeseca oko Zemlje 27 32 dana = 2 36-10* s

Documents

Stjepan Marić Fizika