Fur die Berufspraxis - 8. Folge CHEMIE INGENIEUR TECHNIK

Stromungswiderstand sowie stationarer Stoff- und Warrneubergang an Blasen und Tropfen

Prof. Dr.-lng. H. Brauer und Dr.-lng. D. Mewes, TU Berlin

Einleitung und technische Bedeutung

Der Stoff- und Warrneubergang an Blasen und Tropfen ist fur viele verfahrenstechnische Prozesse von Bedeutung. In Blasensiiulen tauschen Schwiirme von Blasen Stoff und Warme rnit der umgebenden Flussigkeit aus. Dabei kann sich die Flussigkeit sowohl im Gleich- als auch im Gegen- strom zum Blasenschwarm durch die Saule bewegen. Ganz ahnliche Bedingungen treten in Tropfensiiulen auf, die fur Extraktionsprozesse vielfach verwendet werden. Tropfen- schwiirme treten daruber hinaus auch in gasformiger Umge- bung auf, wie beispielsweise in Spruhtrocknern, Spruhabsor- bcrn und Spruhbefeuchtern.

In allen erwahnten Apparaten treten Schwiirme von fluiden Partikeln auf. Der Stoff- und Wiirmeaustausch zwischen sol- chen Schwiirmen und der umgebenden Phase laBt sich bislang noch nicht in befriedigender Weise gesetzmiiaig beschreiben. Hierauf ist in dem voraufgegangenen Bericht dieser Reihe niiher eingegangen worden [I]. Es liegen nur einige Gesetze vor, die fur wichtige Grenzfalle gelten. Der Stoff- und War- meaustausch zwischen einer Partikel und seiner Umgebung ist immer instationiir. Nur fiir wenige Fiille lassen sich die instationiiren Austauschvorgange bereits berechnen [2]. Im allgemeinen ist man noch darauf angewiesen, eine niiherungs- weise Berechnung der instationiiren Prozesse mit den Ge- setzen fur stationiire Prozesse durchzufiihren. Bei stationii- rem AustauschprozeB liegen Gesetze fiir zwoi Grenzfiille vor. Der erste Grenzfall gilt fur Einzelpartikeln. Die hierfiir be- kannten Gesetze sind immer dann anwendbar, wenn die Vor- giinge in der Umgebung einer Partikel durch die Anwesen- heit benachbarter Partikeln nicht oder nur unwesentlich ge- stort werden. Diese Forderung ist niiherungsweise erfullt, wenn der Abstand zwischen benachbarten Partikeln etwa gleich dem 6- bis lOfachen Partikeldurchmesser ist. Der zweite Grenzfall gilt fur Partikelschichten, wie sie in Full- korpersiiulen vorliegen. Hierfur sind ebenfalls verliiBliche Gesetze bekannt ; sie wurden in dieser Berichtsreihe bereits erortert [3]. Gegenstand des vorliegonden Berichtes sind die Gesetze fur die Bewegung sowie den Stoff- und Warmeuber- gang an einzelnen Blasen und Tropfen.

Widerstand einzelner Blasen und Tropfen

Zusarnmenhang zwischen Widerstand und Relativgeschwindig- keit

Aus dem Gleichgewicht von Widerstands-, Massen- und Auf- triebskraft bei stationiirer Bewegung auf einer senkrechten Bahn erhiilt man fur die Relativgeschwindigkeit wr zwischen Partikel und Fluid folgende Beziehung:

Es bedouten g die Erdbeschleunigung, d , den Partikeldurch- messer, ep Partikeldichte, e Dichte des umgebenden Fluids und 5 den Widerstandsbeiwert der Partikeln.

Damit GI. (1) nicht nur die GroBe sondern auch die Richtung der Relativgeschwindigkeit angibt, wurde das Quadrat w: in der Form wrlwrl geschrieben. Der Faktor lwrl stellt allein den Betrag der Geschwindigkeit dar und ist somit richtungs- unabhiingig. AuBer der GroBe wird die Richtung der Ge- schwindigkeit durch den Faktor wr festgelegt. Die Relativ- geschwindigkeit wr ist durch die Beziehung

(2) Wr f w - wp

definiert. Mit w wird die absolute Fluidgeschwindigkeit und mit wp die absolute Partikelgeschwindigkeit bezeichnet. Nach GI. (1) wird w, negativ, wenn ep/e > 1; die Partikel bewegt sich in einem ruhenden Fluid senkrecht abwiirts. Die Relativgeschwindigkeit wird positiv, wenn ep/e < 1 ; die Partikel bewegt sich in einem ruhenden Fluid senkrecht auf- wiirts.

Der Durchmesser d , ist eindeutig bestimmt, wenn Blasen und Tropfen Kugelform haben. GroBere Blasen und Tropfen konnen jedoch eine von der Kugel abweichende Form haben. In diesem Fall wird der Durchmesser nach der Beziehung

~~~ ~ - 6 n (3)

berechnet. Hierin bedeutet V , das Volumen einer einzelnen Partikel.

Der in G1. (1) auftretende Widerstandsbeiwert 5 ist wie folgt definiert :

(4)

Mit W wird die Widerstandskraft und mit 3’ eine geeignete Querschnittsfliiche der Partikel bezeichnet. Als geeignet hat sich beispielsweise die Schattenfliiche der Partikel erwiesen, die von einem Biindel paralleler Lichtstrahlen erzeugt wird. Fiir ubliche technische Probleme ist die Kenntnis von W und P nicht erforderlich.

Zur Berechnung der Relativgeschwindigkeit wr nach G1. (1) muB 5 bekannt sein. In den folgenden Abschnitten werden theoretisch und experimentell ermittelte Widerstandsgesetze fur Blasen und Kugeln mitgeteilt.

Widerstandsgesetze fur kugelformige Partikeln

Blasen und Tropfen sind fluide Partikeln. Sie unterscheiden sich von festen Partikeln durch die Beweglichkeit der Grenz- fliiche. Haben allc Partikeln Kugelform, so werden fluide Partikeln wegen ihrer beweglichen Phasengrenzflache einen kleineren Widerstand haben als feste Partikeln. Fiir kugel- formige Partikeln hat das Widerstandsgesetz die allgemeine Form [4]

Chernie-Ing.-Techn. 44. Jahrg. 1972 1 N r . 15 953

{ = f (Re; K H ~ ) . (5)

Mit

Re 5- /w,ld,/v (6)

werden die Iieynolds-Zahl tler Partikel und init

( 7 )

der nach Hadamard und Rybczynski benannte Korrektur- faktor bezeichnet. Es bedeuten Y = q/e die kinematische Viskositiit des umgebenden Fluids mit q als der dynamischen Viskositat und e als der Dichte sowie 7, die dynamische Viskositiit des die Partikeln bildenden Fluids. Fur feste Partikeln ist ~ ~ / q >> 1, so daB man K H R = 1 setzen darf. 1st hingegen qp/q < 1, so darf man K H R = 3 / 2 setzen. Die Werte K H R = 1 und 3/2 stellon den unteren und den oberen Grenzwert des Korrekturfaktors dar. Der untere Grenzwert gilt fur feste Kugeln und der obere Grenzwert fur Gasblasen, die in einer Fliissigkeit aufsteigen. Tropfen, die sich in einem Gasstrom bewegen, verhalten sich mit guter Naherung wie feste Partikeln, denn fur sie ist qp/q >> 1 und somit K H R = 1. Bewegen sich die Tropfen jedoch in einer anderen Flussig- keit, dann sind q p und q von gleicher GroBenordnung und man erhalt K H R = 1,2.

Im Bereich sehr kleiner Werte der Reynolds-Zahl, 0 5 Re -2 1, gilt fur feste und fluide Partikeln das Widerstandsgesetz

24

Re KHR 5 =

Fur feste Partikeln folgt hieraus 5 = 24/Re und fur Blasen 5 = 16/Re. Auf Grund der Beweglichkeit der Grenzflache ist der Widerstand kugelformiger Blasen erheblich geringer als der von festen Kugeln. - Fur feste Kugeln gilt innerhalb des Bereiches 0 < Re 5 104 das soaohl theoretisch als auch experimentell beatatigte Gesetz [5] :

(9)

Das ebenfalls theoretisch und experimentell bestiitigto Gesetz fur kugelforrnige Blasen innerhalb des Bereiches 0 < Re 5 ReG lautet [6]:

1 ~~

16 14,9 Re S e o . 7 8 1 + 10Re-0,6 '

5 = - + Mit ReG wird die obere Grenze der Reynolds-Zahl bezeichnet, bis zu der die Blasen Kugelform haben. Fur Re > RCG neh- men die Blasen zunachst eine ellipsoide und anschlieoend eine regellose Form an. Fur die obere Grenze gilt die Bezie- hung [ 61 :

RCG = 2,3Ki'209 . (11)

Mit K F wird eine Kennzahl bezeichnet, die nur Stoffwerte tler umgebenden Fliissigkeit enthalt und daher Flussigkeitskenn- zahl genannt wird:

AuUer den bereits bekannten GroBen bedeutet o die Ober- fliichenspannung der Flussigkeit gegen das Gas der Blason.

Der Widerstandsbeiwert kugelformiger Tropfen liegt zwi- schen den durch die Gln. (9) und (10) gegebenen Grenzge- setzen fiir feste Kugeln imd Kugelblasen. Ein allgemeines Gesetz liiBt sich fur Kugeltropfen noch nicht angeben. Im Bereich Re < 1 gilt jedoch G1. (8).

In technisch bedeutsamen Fallen haben Blasen und Tropfen keine Kugelform mehr. Bei anderen Formen ist der Wider- stand immer wesentlich groiser. Hierauf wird in den folgen- den Abschnitten eingegangcn.

Spezielle Widerstundsgesetze fiir Hlaseit

Dtr Widorstandsbeiwert von Blasen liiDt sich innerhalb des gesamten technisch int>eressieronden Bereichos nur rnit Hilfe empirisclier Gleichungen angeben. Um den Zusammenhang mit den bereits erliiuterten theoretischen Gesetzen leiohter aufzeigen zii konnen, werden auch die theoretischen Gesetze durch empirische Gleichungen angenahert. Der technisch interessierende Bereich setzt sich a m vier Teilbereichen zu- sammen.

I m ersten Teilbereich, der durch den Index f gekennzeichnet wird, treten kugelformige Blasen mit innerer Zirkulation auf, bei deren Umstromung die Tragheitskriifte im Vergleich zu den Reibungskriiften vernachlassigbar klein sind. Es gilt das Widerstandsgesetz :

,'f = 16/Re . (13)

Die obere Grenze des ersten Teilbereiches ist durch Re = ReF gegeben :

ReF = 1,4 . Im zweiten Teilbereich, der durch den Index g gekennzeich- net wird, treten ebenfalls kugelformige Rlasen mit innerer Zirkulation auf, bei deren Umstromung jedoch die Tragheits- krafte ebonso bedeutsam sind wie die Reibungskriifte. Es gilt das Widerstandsgesetz [B] :

(14)

Cg = 14,9/Re0,78 . (15)

Die obere Grenze des zweiten Teilbereiches ist durch Re =

Rec gegeben. Hierfur gilt die bereits mitgeteilte G1. (11).

Im dritten Teilbereich, der durch c gekennzeichnet wird, treten ellipsoide Blasen mit innerer Zirkulation auf. Hierfur gilt das Widerstandsgesetz [7] :

0,0276 5 c = -KF ~ Re4

Die obere Grenze ist durch

Rec = 3,10K0,25 (17)

gegeben. Aus G1. (16) goht hervor, dalj der Widerstandsbei- wert im dritten Teilbereich mit zunehmender Reynolds-Zahl Re sehr steil ansteigt.

Im vierten Teilbereich, der durch d gekennzeichnet wird, treten regellos geformte, ihre Form laufend andernde Blasen auf. Nach Davies und Taylor [S] gilt in diesem Teilbereich das Widerstandsgesetz

(d = 2,61 . (18)

Abb. 1. Widerstandsbeiw-ert fur kugelfijrmige Partikeln; Kurve h fur feste Kugeln; Linienzug cf - Cg - Cc - <d fur Luftblasen in Wasser bei 20°C und 1 bar.

954 Chemie-Ing.-Techn. 44. Jahrg. 1972 1 Nr. 15

Fur feste, formbestiindige Kugeln ist < = 0,44. Damit haben die regellos geformten Blasen einen etwa 6mal gro13eren Widerstand a.ls feste Kugeln.

In Sbb. 1 werden die Widerstandsgesetze fur Luftblasen, die in Wasscr bei 20 "C und 1 bar aufsteigen, wobei KF = 4 . 1O1O ist, durch den Linienzug tf ~ & ~ T c - Td wiedergegeben. Zum Vergleich ist durch Kurve h dae Widerstnndsgesetz fur feste Kugeln dargestellt. Der Widcrstandsbeiwert kugelfor- miger Luftblasen ist wesentlicb niedriger als der fur feste Kugeln, da die Grenzflache von Blasen beweglich ist. Der Widerstandsbeiwert fur formlose Luftblasen ist dagegen wesentlich hoher als der fur feste Kugeln.

Spezielle Widerstandsgesetze fur Tropfen

Experimentelle Untersuchungen haben ergeben, da13 sich mit zimehmendem Tropfenvolomen zunachst kugelformige und dann ellipsoide Tropfen bilden. Tropfen mit noch grol3e- rem Volumen sind nicht stabil ; eie zerfallen in mehrere kleine Tropfen. Nach Hu und Kintnw [9], deren Ergebnisse in [41 zusnmmengestellt sind, ergeberl sich folgende Gleichungen zur Berechnung des Widerstandsbeiwertes :

Hierin ist We IW&I dD/u die rnit der Relationsgeschwindig- keit definierte Weber-Zahl. Die obere Giiltigkeitsgrenze von G1. (19) , die zuglcich die untere Gultigkeitsgrenze von GI. (20) darstellt, ist durch folgende Gleichung gegeben :

Re ~ ' @ ~ @ ' + 0,75 = 22,4 . (21) @d 1 Sie stimmt formal weitgehend rnit G1. (1 1 ) uberein, durch die die obere Grenze fur Kugelblasen festgelegt ist. Unterhalb dieser Grenze treten kugelformige und oberhalb davon ellipsoide Tropfen auf. Im Bereich der Kugeltropfen wird der Widerstandsbeiwert mit zunehmender Reynolds-Zahl kleiner und die Relativgeschwindigkeit wr des Tropfens rnit zuneh- mendom Tropfendurchmesser grol3er. Im Bereich der ellip- soiden Tropfen hingegen steigt der Widerstandsbeiwert rnit Re steil an, und die Relativgeschwindigkeit wird rnit zuneh- mendem Tropfendurchmesser kleiner.

Resondere Vorsicht ist bei Anwendung von Gl. (19) im Be- reich kleiner Werte von Re geboten. Selbstverstiindlich mul3 fur sehr kleine Werte von Re Gl. (8) gelten. Der Ubergang von GI. (8) nach G1. (19) ist aber nicht in Form einer Glei- chung anzugeben. Daher empfiehlt es sich, fur das betrach- tete System von Flussigkeiten die Geschwindigkeit w, fur verschiedene Werte des Tropfendurchmessers d, sowohl rnit G1. (8) als auch mit G1. (19) zu berechnen und graphisch auf- zutragen. Die so erhaltenen Kurvenaste werden durch eine graphische Interpolation verbunden. Damit erhiilt man die sicherste Kurve zur Bestimmung von wr abhangig von d,.

Grenzgesetze fur den Stoffubergang an kugelformigen Partikeln

Bei stationarem Stoff- und Wiirmeubergang sind die innerhalb der kugelformigen Partikel auftretende Partialdichte @A der diffiindierenden Komponente A und die Temperatur T orts- und zeitunabhiingig. Die Partialdichte innerhalb der Partikel ist gleich dem Wert @&, an der Partikelobcrflache; entspre-

chend ist die Tempemtur gleich der Oberflachentemperatur T,. Ferner sind die in sehr groBem Abstand von der Parti- keloberfliiche auftretende Partialdichte , O A ~ und Temperatur T m zcitunabhangig. Somit siiid also die Partialdichtedifferenz @A, - @ A m und die Temperaturdifferenz T, - T m wahrend der Dauer der Transportprozesse konstant.

Die fur den stationaren Stoffubergang und fur den analogen Fall des Wiirmeubergangs mal3gebenden Grundgleichungen sind in der 7 . Folge dieser Reihe bereits angegeben worden [l]. Es konnen daher unmittelbar die Beziehungen fur den uber die Kugeloberflache gemittelten Stoffubergangskoeffizienten /3 bzw. fur die Sherwood-Zahl Sh mitgeteilt werden. Um den grundsiitzlichen Unterschied zwischen dem Stoffubergang an Blasen, Tropfen und festen Kugeln deutlich machen zn kon- nen, wird der Grenzfall Re --z 0 und Sc --f CD betrachtet. Mit Sc = v/D wird die Schmidt-Zahl bezeichnot, wobei v und D die Viskositiit und den Diffusionskoeffizienten der umgeben- den Phase bedeuten.

In Abb. 2 ist die mittlere Sherwood-Zahl Sh abhangig von RoSc fur die drei FBlle dargestellt [lo]: KHR = co fur feste Kugeln; K H R = 0 fur Blasen; KHR = 1,2 als ein Beispiel fur Tropfen. Man erkennt aus Abb. 2, da13 die Sherwood- Zahl fiir Blasen und Tropfen im Bereich grooer Werte von ReSc wesentlich steiler ansteigt als die Sherwood-Zahl fur feste Kugeln. Der steilere Anstieg ist auf die Heweglichkeit der Phasengrenzfliiche von Blasen und Tropfen zuruckzu- fuhren. Fur Blasen und Tropfen ist Sh - (ReSc)l/Z, wahrend fur feste Kugeln Sh - (ReSc)l/3 gilt.

102 8 6 4 1

$ 10'

i 07

i 0 N

2 -

r a > 6 c c

- $ 1 - - - E

2

lo:o-' 2 L 6 lo0 2 L 6 10' 2 L 6 10' 2 L 6 l o 3 2 L 6 loL

Kennzahl ReSc = [ 5 2 4 Z z !

Ahb. 2. Grenzgesetze fur den Stoffubergang an festen Kugeln mit KHR = m, auDerdem an Blesen rnit K E R = 0 und an Tropfen fur das Beispiel KHR = 1,2. Fur alle Grenzgesetze gilt: Re + 0 und Sc + co.

Die fur Blasen dargestellte Kurve wird durch folgende Be- ziehung sehr gut wiedergegeben :

KHE = 0 0,651 (ReSc)ls72

1 + (ReSc)l,22 Sh = 2 + -

Fur Tropfen gilt die Naherungsgleichung :

K H R = 1,2 0,922 (ReSc)l.72

1 + 2(ReSc)1322 S h = 2 + -

Die entsprechende Naherungsgleichung fur feste Kugeln lautet :

Chemie-Iny..Techn. 44. Jahrg. 1972 / N r . 15 955

Abb. 3. Verhaltnis der S herwoo d - Zahlen fur Kugelblasen.

Die weiteren Ausfuhrungen beschranken sich aiif Blasen und Tropfcn.

Allgemeine Gesetze fur den Stoffubergang an Blasen

Theoretisches Gesetz f u r d e n Stogubergang an Kugelblasen

Eine theoretisch exakte Berechnung des Stoffubergangs und des analogen Falles des Warmeubergangs ist bislang nur moglich, wonn die Blasen Kugelgestalt besitzen. Nach den Angaben uber die Widerstandsgesetze ist das gewiihrleistet, wenn die Reynolds-Zahl Re kleiner als Rec ist. Nach GI. (11) ist ReG allein eine Funktion der Flussigkeitskennzahl KF.

Die Ergebnisse theoretischer Untersuchungen sind in Abb. 3 dargestellt [ 111. Aufgetragen ist das Verhaltnis Sh/Sh, ab- hangig von ReSc fur verschiedene Werto der Schmidt-Zahl Sc. Mit Sh, wird hierin die fiir Sc = oil geltende Sherwood- Zahl bezeichnet; fur sie gilt G1. (22). Die Berechnung der Sherwood-Zahl bei beliebigen Werten der Schmidt-Zahl er- folgt somit wie folgt :

Das hierin als Faktor auftretende Verhiiltnis Sh/Sh, laDt sich Abb. 3 entnehmen.

Die fur Sc = const dargestellten Kurven verlaufen zwischen den beiden Grenzkurven fur Sc --f 00 und Sc + 0. Fur sehr groBe Werte von ReSc nahern sich alle Kurven der oberen Grenzkurve. Die Annaherung erfolgt bei urn so groaeren Werten von ReSc, je groBer Sc ist. Die obere Giiltigkeits- grenze der Kiirven hingt gemaB G1. (11) von der Flussig- keitskennzahl Kp ah. Zur Erleichterung der praktischen An- wendung sind in Abb. 3 Linien fur KF : const gestrichelt eingezeichnet. GemaB G1. (12) darf man envarten, da13 groDe Werte fur KF bei nicdrigviskosen Flussigkeiten auftreten, fur die die Schmidt-Zahl dann entsprechend kleine Werte annimmt. Kleine Vl'erte fur KF sind dagegen mit groI3en Werten fur Sc verbunden.

Empir i sches Gesetz fur d e n Sto@iLbergang an Blasen

Die von Redfield iind Houghton [12] mitgeteilten MeBwerte wurden von Abachi , zitiort in [lo], umgerechnet und durch eine Kurve ausgeglichen, fur die folgende Gleichung gilt :

Sh = 2 + 9,45 . 10-4 Re1907 ScO,*8 (26)

Diese Gleichung wird zur Anwendung empfohlen, wenn Re >> ReG ist, d. h. in dem Bereich, in dem die Blase wahrend des Aufstiegs laufend ihre Form andert.

.

Empirisches Gesetz fur den Stoffubergang an Tropfen

Zahlreiche MeDwerte, die von verschiedenen Experimenta- toren mitgeteilt wurden, hat Abachi , zitiert in [lo], umge- rechnet und durch eine Kurve ausgeglichen. Hierfur stellte er folgende Gleichung auf:

Sh = 2 4- 0,0511 Re03724 Sc0870 . (27)

Der Anwendungsbereicli ist diirch 2 5 Re 5 lo3 und 130 5 Sc 5 23600 gegeben.

Programme zur Berechnung der Relativgeschwindigkeit sowie des Stoff- und Warmeubergangs

Zur Berechnung der Relativgeschwindigkeit sowie des Stoff- und Warmeubergangs an einzelne Blasen und Tropfen wur- den Programme in dor Programmiersprache ,,FORTRAN" auf- gestellt. Sie sind zusammen mit einer ausfuhrlichen Benutzer- anleitung gegen Erstattung der Vervielfaltigungskosten von der Universitatsbibliothek der Technischen Universitiit Berlin unter dem Titel : H . Brauer und D. M e w e s , Programm ziim Berechnen des Stromungswiderstands sowie des sta- tionaren Stoff- und Warmeubergangs an Blasen und Tropfen, 1972, 38 Seiten, erhaltlich.

Eingegangen am 26. Juni 1972 [B 3474 PI

Literatur

[I] H . Brauer u. D. Mewes, diese Zeitschr. 44 , S65/68 [1972]. [2] U . J . Ploccker u. H . Schmidt-Traub, diese Zeitschr. 44, 313/19

[ 19721. [3] H . Brauer u. D. Mewes, diesc Zeitschr. 44, 93/96 [1972]. [4] H . Brauer: Grundlagen der Einphasen- und Mehrphasenstro-

mungen ; Verlag Sauerliindcr, Aarau-Frankfurt/M. 197 1. [5] F. Ihme, H . Schmidt-Traub n. H . Brauer, diese Zeitschr. 44,

306/13 [1972]. [ 6 ] U . Haas, H . Schmidt-Traub u. H . Brauer, erscheint dem-

nBchst (H. 18) in dieser Zeitschr. [7] F. N . Peebles u. H . ,J. Garber, Chem. Engng. Progr. 49, 88/97

[1953]. [ S ] R. M . Davies u. G . TayZor, Proc. Roy. Soc. [London] Ser. A 200,

375/390 [I 949/1950]. [9] S. H u u. R. C . Kintner: A.1.Ch.E. Journal 1, 42/48 119551.

[lo] H . Brauer u. D. Mewes, Stoffaustausch einschliefilich chemi- scher Iteaktionen; Verlag Sauerlander, Aarau-Frankfurt/M. 1971.

[ 111 L. Oellrich, H . Schmidt- Traub u. H . Brauer: Theoretische Berechnung des Stofftransports in der Umgebung einer Ein- zelblase ; noch nicht veroffentlichter Bericht.

[12] J . A. Redfield u. G . Houghton, Chem. Engng. Sci. 20, 131/39 [1965].

956 Ghemie-Ing.-Techn. 44. Jahrg. 1972 / Nr. 15