Studiju kurss Eksperimentu pl¯anoˇsana un anal¯ıze 3.lekcija file1 DAUGAVPILS UNIVERSITATE¯ Dabaszin¯atnu¸ un matem¯atikas fakult¯ate Matem¯atikas katedra Studiju kurss Eksperimentu

1

DAUGAVPILS UNIVERSITATEDabaszinatnu un matematikas fakultate

Matematikas katedra

Studiju kurss

Eksperimentu planosana un analıze

3.lekcijaDocetajs: Dr. P. Daugulis

2008./2009.studiju gads

Saturs Sakums Beigas J I Atpakal Aizvert Pilns ekrans

2

Saturs

1. Viena faktora eksperimenti 61.1. Ievads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1. Pamatjedzieni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2. Statistiskie modeli . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. Fikseto efektu modela dispersiju analıze . . . . . . . . 111.2.1. Hipotezes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2. Dispersijas sadalısana . . . . . . . . . . . . . . 121.2.3. Hipotezu parbaude . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.4. Modela parametru novertesana . . . . . . . . . 18

1.3. Modela pareizıbas parbaude . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.1. Normalitates pienemums . . . . . . . . . . . . . 201.3.2. Atlikumu atkarıba no laika . . . . . . . . . . . 211.3.3. Atlikumu atkarıba no rezultatiem . . . . . . . . 21

1.4. Rezultatu praktiska interpretacija . . . . . . . . . . . . 231.4.1. Regresijas modelis . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.2. Dazadu lımenu videjo vertıbu salıdzinasana ar

kontrastu metodi . . . . . . . . . . . . . . . . . 23


3

1.5. Eksperimentu skaita noteiksana . . . . . . . . . . . . . 261.5.1. Ticamıbas intervala metode . . . . . . . . . . . 26

1.6. Regresijas pieeja dispersiju analızei . . . . . . . . . . . 271.6.1. Modela parametru novertesana ar mazako kvad-

ratu metodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.6.2. Dispersijas sadalıjuma interpretacija . . . . . . 29

1.7. Viena faktora eksperimenti ar nejausiem faktora lımeniem 301.7.1. Statistiskais modelis . . . . . . . . . . . . . . . 301.7.2. Dispersiju analıze . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2. Randomizeto bloku dizaini 332.1. Blokosana ar vienu blakusparametru - randomizeto pilno

bloku dizains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1.1. Ievads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1.2. Statistiskais modelis un hipotezes . . . . . . . . 352.1.3. Dispersiju analıze . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.1.4. Modela piemerotıbas parbaude . . . . . . . . . 402.1.5. Modela aditivitate . . . . . . . . . . . . . . . . 412.1.6. Iztrukstoso merıjumu aizvietosana . . . . . . . 41


4

2.1.7. Modela parametru novertesana ar mazako kvad-ratu metodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2. Blokosana ar diviem blakusparametriem - latınu kvadratudizains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2.1. Ievads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2.2. Statistiskais modelis . . . . . . . . . . . . . . . 462.2.3. Dispersiju analıze . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3. Grieku-latınu kvadratu dizains . . . . . . . . . . . . . 502.3.1. Ievads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.3.2. Statistiskais modelis . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4. Balansetie nepilno bloku dizaini . . . . . . . . . . . . . 542.4.1. Ievads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.4.2. BIBD diskreti-matematiskie aspekti . . . . . . 552.4.3. Statistiskais modelis . . . . . . . . . . . . . . . 592.4.4. Dispersiju analıze . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3. 3.majasdarbs 63


5

Lekcijas merkis:• apgut viena faktora eksperimentu statistisko analızi, ieskaitot

dispersiju analızi,

• apgut blokosanas pamatus.


6

1. Viena faktora eksperimenti

1.1. Ievads

1.1.1. Pamatjedzieni

Viena faktora eksperiments:• ir viens faktors,

• faktoram ir m lımeni.

Ir iespejami divu gadıjumi:• faktora lımeni ir fikseti - fikseto efektu eksperiments,

• faktora lımeni tiek izveleti nejausa veida - nejauso efektu eksper-iments.

Pagaidam apskatısim tikai fikseto efektu eksperimentus. Visparıgagadıjuma uzskatam, ka efektu lımeni ir doti kvalitatıvi - neizmantosimto skaitliskos lielumus.


7

Katram faktora lımenim atbilst savs gadıjuma lielums, kuru re-prezente eksperimenta rezultats - izlase.

1.1. piemers. Ir janosaka betona stiprıba atkarıba no cementa ıpat-svara. Tiek izveleti 10 ıpatsvara lielumi, katram gadıjumam tiek nemtivairaki paraugi, tiek merıtas visu paraugu stiprıbas. Faktors - cementaıpatsvars.

Viena faktora eksperimenta gadıjuma ir jasalıdzina m izlases, kasatbilst, iespejams, dazadam normala sadalıjuma funkcijam ar daza-diem parametriem (videjo vertıbu un dispersiju).

Dotas m izlases

X1 = {x11, ..., x1n}X2 = {x21, ..., x2n}...Xm = {xk1, ..., xmn}


8

Apskatısim tikai vienkarsako gadıjumu, kad izlases ir vienads skaitselementu - n. Visparıgo gadıjumu apskatıt patstavıgi.

1.1. piezıme. Ieverosim, ka vienas un divu izlasu analıze ir vienafaktora eksperimenta specialgadıjumi.

Lietderıgi ir izmantot kastes-usu diagrammas.

1.2. piezıme. SPSS → Graphs → Interactive.SPSS → Analyze → Descriptive Statistics → Explore


9

1.1.2. Statistiskie modeli

Videjo vertıbu modelis:

xji = µj + εji,

kur• xji ir eksperimenta rezultata gadıjuma lielums, kas atbilst j-ta-

jai parametra vertıbai,

• µj ir faktora j-tajam lımenim atbilstosas generalkopas apaksko-pas videja vertıba,

• εji ir kludas gadıjuma lielums, E(εji) = εj = 0, parasti uzskataarı, ka εji ∼ N(0, σ2).

Faktora efektu modelis:

xji = µ + τj + εji,


jai parametra vertıbai,


10

• µ ir visas generalkopas videja vertıba,

• τj ir faktora j-tajam lımenim atbilstosas videjas vertıbas unkopeja videjas vertıbas µ starpıba, faktora efekts, apmierinavienadıbu

m∑

j=1

τj = 0,

• εji ir kludas gadıjuma lielums, E(εji) = εji = 0, parasti uzskataarı, ka εji ∼ N(0, σ2).

Ta ka µ, τj ir konstantie gadıjuma lielumi, tad pienemam, ka

xji ∼ N(µ + τj , σ2).


11

1.2. Fikseto efektu modela dispersiju analıze

Viena faktora eksperimentu analızes svarıgaka metode - dispersijuanalıze (analysis of variance, ANOVA).

1.2.1. Hipotezes

Definesim sadus novertejumus:• j-ta lımena izlases videja vertıba

xj =∑n

i=1 xji

n,

• visas izlases videja vertıba

x =

∑i,j xji

nm.

Ieverosim, kaE(xji) = µj = µ + τj .


12

Videjo vertıbu modela hipotezes:• H0: µ1 = µ2 = ... = µm,• H1: µk 6= µl vismaz vienam parim k, l.

Efektu modela hipotezes:• H0: τ1 = τ2 = ... = τm = 0,• H1: τk 6= 0 vismaz vienam k.

1.2.2. Dispersijas sadalısana

Dispersijas analızes pamata ir izlases pilnas dispersijas sadalısanadivu dalu summa un sekojosa statistiska analıze.

Definesim

DP =m∑

j=1

n∑

i=1

(xji − x)2 =∑

j,i

(xji − x)2.


13

Ieverosim, ka

DP =m∑

j=1

n∑

i=1

(xji − x)2 =m∑

j=1

n∑

i=1

(xji − xj + xj − x)2 =

m∑

j=1

n∑

i=1

(xji − xj)2 + (xj − x)2 + 2(xji − xj)(xj − x) =

m∑

j=1

n∑

i=1

(xji − xj)2 +m∑

j=1

n∑

i=1

(xj − x)2 +m∑

j=1

n∑

i=1

2(xji − xj)(xj − x) =

m∑

j=1

n∑

i=1

(xji − xj)2 + n

m∑

j=1

(xj − x)2 + 2m∑

j=1

(xj − x)( n∑

i=1

(xji − xj)

︸︷︷︸=0

)


14

Redzam, ka

DP︸︷︷︸pilna dispersija

=m∑

j=1

n∑

i=1

(xji − xj)2

︸︷︷︸intragrupu dispersija

+ n

m∑

j=1

(xj − x)2

︸︷︷︸starpgrupu dispersija

.

Apzımejumi: DP = DI + DS.

1.3. piezıme. Var pieradıt sadas formulas:

DP =m∑

j=1

n∑

i=1

x2ji −

1mn

( m∑

j=1

n∑

i=1

xji

)2

,

DS =1n

m∑

j=1

( m∑

j=1

x2ji

)− 1

mn

( m∑

j=1

n∑

i=1

xji

)2

.

Brıvıbas pakapju skaits:


15

• DP - nm− 1,

• DI - nm−m,

• DS - m− 1.

Definesim• MI = DI

nm−m ,

• MS = DSm−1 .

1.1. teorema. Ja xji ∼ N(µ + τj , σ2), tad

E(MI) = σ2,

E(MS) = σ2 +1

m− 1

m∑

j=1

τ2j .


16

1.2.3. Hipotezu parbaude

Dotas m normala sadalıjuma generalkopas izlases ar vienadam dis-persijam

X1 = {X11, X12, ..., X1n} ∼ N(µ1, σ),...

Xm = {Xm1, Xm2, ..., Xmn} ∼ N(µ2, σ).

Statistiskais modelis:

Xji = µj + εji = µ + τj + εji, kur εji ∼ N(0, σ2).

Uzdevums ir salıdzinat τj .

Parametri: τj .Novertejosas statistikas: µ = X, µj = Xj , DP , DI, DS, MI,

MS.


17

Testa statistika:

F =MS

MI∼ F (m− 1, nm−m).

1.solisFormulet hipotezes:

• H0: τ1 = ... = τm = 0.

• H1: τi 6= 0 vismaz vienam i.

2.solisNoteikt testa statistikas vertıbu:

F0 =MS

MI→ f0.

3.solisNoteikt kritisko vertıbu fα,m−1,nm−m.


18

4.solisNoraidıt H0, ja f0 > fα,m−1,nm−m.

1.4. piezıme. SPSS izmantosana. Dati ir jaievada divas kolonnas:pirmaja kolonna ir faktora lımenis, otraja kolonna taja pasa rinda iratbilstosais merıjums.

SPSS → Analyze → Compare Means → One-Way ANOVA →faktoru kolonnu nosutıt uz Factor box, rezultatu kolonnu nosutıt uzDependent list, atkekset Descriptives Statistics box izvelne → Con-tinue → OK.

Tiek aprekinata F = f0 vertıba un tai atbilstosa P -vertıba (mini-mala α vertıba, ar kuru var pienemt hipotezi).

1.2.4. Modela parametru novertesana

Faktora j-ta lımena grupas videjas vertıbas parametra

µj = µ + τj ,


19

µj = xj =∑n

i=1 xji

nticamıbas intervals:

xj − tα/2,nm−m

√MI

n≤ µj ≤ xj − tα/2,nm−m

√MI

n.

1.3. Modela pareizıbas parbaude

Definesim atlikumu:

eji = xji − xj .

Lai noteiktu, vai modelis ir labs, ir japeta atlikumi.


20

1.3.1. Normalitates pienemums

Lai noteiktu, vai atlikumu sadalıjums ir aptuveni normals, varizmantot normala sadalıjuma parbaudi (P − P , Q−Q plots).

Ipasa verıba ir jaievers iznemumiem (outliers) - merıjumiem, kasloti ieverojami atskiras no normala sadalıjuma (ja tos izmet, tadsadalıjums klust ieverojami tuvaks normalajam). Var but nepieciesamsveikt divas analızes - ar un bez iznemumiem.

Lai noteiktu iznemumus var izmantot normetos atlikumus

dji =eji√MI

∼ N(0, 1).

Ja |dji| > 3, tad to var uzskatıt par iznemumu.


21

1.3.2. Atlikumu atkarıba no laika

Ir velams atlikt punktus (i, ei) vai (t, et), kur ei ir i-ta eksper-imenta atlikums, et ir eksperimenta atlikums, kas ir veikts laika t.

Uzmanıba ir japievers tad, ja• vairaki pec kartas ejosi atlikumi nemaina zımes,

• atlikumi samazinas laika gaita vai ir citas tendences, kas iratkarıgas no laika.

1.3.3. Atlikumu atkarıba no rezultatiem

Ir velams atlikt punktus (xj , eji). Jaseko, lai nebutu redzamasnekadas likumsakarıbas

Iespejama problema - nekonstanta dispersija σ2 (atkarıga no fak-tora lımena). Ta var palielinaties, ja palielinas meramie lielumi xji.


22

Lai noteiktu, vai dispersijas ir dazadas, izmanto Bartleta testu. Jadispersija ir mainıga, tad var but nepieciesams pielietot dispersijustabilizejosus parveidojumus.


23

1.4. Rezultatu praktiska interpretacija

1.4.1. Regresijas modelis

Ja faktora lımenis ir definets kvalitatıvi, tad var meginat izteikt µka funkciju no lımena:

x = µa = x(a).

1.2. piemers. x(a) = β0 + β1a + β2a2.

1.4.2. Dazadu lımenu videjo vertıbu salıdzinasana ar kon-trastu metodi

Ja hipoteze par µj vienadıbu ir noraidıta, tad var but nepieciesamssalıdzinat lımenu videjas vertıbas.

µj var salıdzinat grafiski.


24

Par kontrastu sauc linearu kombinaciju

Γ =m∑

j=1

cjµj , kurm∑

j=1

cj = 0.

Kontrastu var domat ka vektoru ~c = (c1, ..., cm).

Biezi ir japeta hipoteze

H0 :m∑

j=1

cjµj = 0.

Sadas hipotezes par parbaudıt ar testiem, kas ir t-testa vai F -testavariacijas:

• ∑mj=1 cjµj√

nMI∑m

j=1 c2j

∼ tnm−m,


25

• ja DC =

(Pmj=1 cjµj

)2

nPm

j=1 c2j

, tad

DC

MI∼ F (1, nm−m).

Var but nepieciesams atrast ieverojamos kontrastus (significantcontrasts).

Var petıt ortogonalos kontrastus - kontrastu sistemu, kas atbilstsavstarpeji ortogonaliem vektoriem.


26

1.5. Eksperimentu skaita noteiksana

1.5.1. Ticamıbas intervala metode

Nepieciesamo eksperimentu (merıjumu) skaita katrai faktora lımenaveretıbai var noteikt, fiksejot velamo videjas vertıbas ticamıbas in-tervala lielumu un atrisinot to attiecıba uz merıjumu skaitu n.

Ja ticamıbas intervals ir 2l, tad

l = tα/2,mn−m

√2MI

n.


27

1.6. Regresijas pieeja dispersiju analızei

1.6.1. Modela parametru novertesana ar mazako kvadratumetodi

Tika izmantots statistiskais modelis

xji = µ + τj + εji.

Ir doti eksperimentali noteiktie lielumi xji. Ka atrast tadus µ unτj , lai εji kopuma butu pec iespejas mazaki?

Definesim

L =m∑

j=1

n∑

i=1

ε2ji =m∑

j=1

n∑

i=1

(xji − µ− τj)2.

Meklesim tadas µ, τj vertıbas, kas minimize L.


28

Ir jaatrisina vienadojumu sistema{∂L∂µ = 0,∂L∂τj

= 0, ∀ j.

Atvasinot L, iegusim sistemu{ −2

∑mj=1

∑ni=1(xji − µ− τj) = 0,

−2∑n

i=1(xji − µ− τj) = 0,

kuru ertak ir petıt forma

(nm)µ + nτ1 + ... + nτm = x,nµ + nτ1 = x1,nµ + nτ2 = x2,...nµ + nτm = xm.

Redzam, ka vienadojumi nav lineari neatkarıgi. Var pievienot vel


29

vismaz vienu vienadojumu, parastim∑

j=1

τj = 0.

Atrisinot so mazako kvadratu normalo sistemu iegusim modelaparametru novertejumus µ, τj - to pasu rezultatu, ko ieguvam agrak:

µ = x, τj = xj − x.

1.6.2. Dispersijas sadalıjuma interpretacija

DS ir vienada ar dispersiju, ko iegust salıdzinot faktora dazadulımenu grupu videjas vertıbas ar visas merıjumu kopas videjo, tapecto sauc par izskaidroto dispersiju. Atlikums DI ir neizskaidrota dis-persija.


30

1.7. Viena faktora eksperimenti ar nejausiem fak-tora lımeniem

Var but situacija, kura faktora iespejamo vertıbu kopa ir liela.Ja eksperimenta faktora lımeni tiek izveleti nejausa veida, tad tiekizmantots nejauso faktoru lımenu eksperiments.

1.7.1. Statistiskais modelis

Linearais statistiskais modelis:

xji = µ + τj + εji, kur• τj ∼ N(0, σ2

τ ),• εji ∼ N(0, σ2),• τj , εji ir neatkarıgi.

No neatkarıbas seko, ka D(xji) = σ2τ + σ2.


31

1.7.2. Dispersiju analıze

Tapat ka fiksetu lımenu gadıjuma, var definet DP , DS, DI, MP ,MS, MI. Ir speka dispersiju sadalıjums

DP = DS + DI.

Hipotezes:• H0 : σ2

τ = 0,

• H1 : σ2τ 6= 0.

1.2. teorema.1. E(MS) = σ2 + nσ2

τ .

2. E(MI) = σ2.

Testa statistika:

F =MS

MI∼ F (m− 1, nm−m).


32

1.solisFormulet hipotezes:

• H0 : σ2τ = 0.

• H1 : σ2τ 6= 0.

2.solisNoteikt testa statistikas vertıbu:

F0 =MS

MI→ f0.

3.solisNoteikt kritisko vertıbu fα,m−1,nm−m.

4.solisNoraidıt H0, ja f0 > fα,m−1,nm−m.


33

2. Randomizeto bloku dizaini

2.1. Blokosana ar vienu blakusparametru - ran-domizeto pilno bloku dizains

2.1.1. Ievads

Blakusparametri var but• nezinami un nekontrolejami - pret tiem cınas ar randomizacijas

palızıbu,

• zinami (izmerami) un nekontrolejami - pret cınas ar kovariancesanalızes palızıbu (netiks apskatıta)

• zinami un kontrolejami - pret tiem cınas ar blokosanas palızıbu.

Blokosana - vairaku eksperimentalo vienıbu apvienosana ta, laikatra eksperimentalaja vienıba butu vienadas kontrolejamo blakus-parametru vertıbas.


34

2.1. piemers. Vienkarsakais blokosanas piemers - saparotais t-tests.

Ir jateste 6 veidu urbji, ir vairaki metala gabali. Metala gabali varbut ar dazadam ıpasıbam - ar dazadam blakusparametru vertıbam.Lai kontroletu so blakusparametru iespaidu, ir velams visus urbjustestet uz katra parauga.

Eksperimenta dizainu, kura visas faktoru vertıbas tiek testetaskopa ar visam kontrolejamo parametru vertıbam, sauc par randomi-zeto pilno bloku dizainu (randomized complete block design, RCBD).Katrai eksperimentalajai vienıbai dazadiem faktoru lımeniem atbil-stosie apakseksperimenti tiek veikti nejausa veida.

Blokosanu var uzskatıt par nejausinasanas ierobezojumu.


35

2.1.2. Statistiskais modelis un hipotezes

Ir dotas m faktora vertıbas un b bloki. Tadejadi ir ieguti sadimerıjumu rezultati:

x11, ..., xm1 − 1.bloks,x12, ..., xm2 − 2.bloks,...,x1b, ..., xmb − b.bloks.

Videjo vertıbu modelis:

xji = µji + εji,


jai parametra vertıbai i-taja bloka,

• µji ir faktora j-tajam lımenim i-taja bloka atbilstosas general-kopas apakskopas videja vertıba,


36



xji = µ + τj + βi + εji,


jai parametra vertıbai i-taja bloka,• µ ir visas generalkopas videja vertıba,• τj - j-ta faktora efekts, apmierina vienadıbu

m∑

j=1

τj = 0,

• βi - i-ta bloka efekts, apmierina vienadıbub∑

i=1

βi = 0,


37


Videjo vertıbu modela hipotezes:• H0: µ1 = µ2 = ... = µm,

• H1: µk 6= µl vismaz vienam parim k, l.

Efektu modela hipotezes:• H0: τ1 = τ2 = ... = τm,

• H1: τk 6= 0 vismaz vienam k.


Definesim sadas videjas vertıbas:

• x =Pm

j=1Pn

i=1 xji

mb - visas merıjumu kopas videja vertıba;

• xj∗ =Pn

i=1 xji

mb - j-ta lımena videja vertıba;


38

• x∗i =Pm

j=1 xji

mb - i-ta bloka videja vertıba;

Definesim sadas dispersijas:• DP =

∑mj=1

∑ni=1(xji − x)2- pilna dispersija;

• DS =∑m

j=1

∑ni=1(xj∗ − x)2 = b

∑mj=1(xj∗ − x)2- starpgrupu

(starplımenu) dispersija;

• DB =∑m

j=1

∑ni=1(x∗i − x)2 = m

∑ni=1(x∗i − x)2- starpbloku

dispersija;

•

DI =m∑

j=1

n∑

i=1

(xji − xj∗ − x∗i + x)2 =

m∑

j=1

n∑

i=1

(xji − (xj∗ − x)− (x∗i − x)− x

)2

- intragrupu dispersija;


39

Var pieradıt, ka

DP = DS + DB + DI.

Definesim• MS = DS

m−1 ,

• MB = DBb−1 ,

• MI = DS(m−1)(b−1) .

2.1. teorema. Ja xji ∼ N(µ + τj , σ2), tad

E(MI) = σ2,

E(MS) = σ2 +b

m− 1

m∑

j=1

τ2j ,

E(MB) = σ2 +m

b− 1

b∑

i=1

β2i .


40

Var pieradıt, ka MSMI ∼ F (m− 1, (m− 1)(b− 1)).

Hipoteze H0 tiek noraidıta, ja f0 > fα,m−1,(m−1)(b−1).

2.1.4. Modela piemerotıbas parbaude

Definesim• lımena atlikumu:

eji = xji − xj∗,

• bloka atlikumu:eji = xji − x∗i,

Lai noteiktu, vai modelis ir labs, ir japeta atlikumi.


41

2.1.5. Modela aditivitate

Var redzet, ka dotais modelis ir aditıvs - nav mijiedarbıbas starpfaktora un bloka parametriem.

Ja ir mijiedarbıba starp faktoru un bloku, tad sads modelis neder,ir jaizmanto citi modeli, kas satur nelinearus loceklus.

2.2. piemers. Bloka parametrs un faktora parametrs ir kımiskiesastavi. Ja i-ta bloka viela reage ar j-ta lımena vielu, tad modelıjabut loceklim cβiτj .

2.1.6. Iztrukstoso merıjumu aizvietosana

Var gadıties, ka dazi merıjumi netiek veikti.

2.3. piemers. Ja 6 urbji jateste uz viena metala parauga, tad tas varsabrukt.


42

Iztrukstosas vertıbas var atrast, ar mazako kvadratu metodi min-imizejot DI.

2.1.7. Modela parametru novertesana ar mazako kvadratumetodi


43

2.2. Blokosana ar diviem blakusparametriem - la-tınu kvadratu dizains

2.2.1. Ievads

Ja ir divi blakusparametri, tad blokosanu var un vajadzetu veiktdivos dazados veidos.

Ir iespejami divi naivi risinajumi:• veikt divas neatkarıgas blokosanas, katru ar vienu blakuspara-

metru, ja ir p divu blakusparametru lımeni un p faktora lımeni,tad eksperimentu skaits butu 2p2, veicot blokosanu pec vienablakusparametra, otrais blakusparametrs tiktu ignorets;

• veikt blokosanu pec abiem parametriem, bloku skaits butu p2,merıjumu skaits butu p3.

Netrivials risinajums - apvienot divas bloku sistemas viena - veidotblokus, kas satur tadus blakusparametru parus, kuros katrs no tiemir sastopams tikai vienu reizi.


44

Citiem vardien sakot, veiksim eksperimentu saskana ar sadu kar-tıbu:

• izvelesimies p pirma blakusparametra lımenus,

• izvelesimies p otra blakusparametra lımenus,

• izvelesimies p faktora lımenus, parasti apzıme arı ar lielajiemlatınu burtiem (A,B,...),

• izveidosim tabulu, kura rindas tiek indeksetas ar pirma blakus-parametra p lımeniem un kolonnas tiek indeksetas ar p otrablakusparametra lımeniem,

• aizpildısim tabulu ar faktora lımenu simboliem ta, lai katra rindaun katra kolonna katrs simbols butu vienu reizi.

Sadu eksperimenta dizainu sauc par latınu kvadrata dizainu. Sadadizaina blokiem atbilst tabulas rindas un kolonnas.

2.4. piemers. P = 5:


45

1 2 3 4 51 A B C D E2 B C D E A3 C D E A B4 D E A B C5 E A B C D

Tas ir cikliska latınu kvadrata piemers.

2.5. piemers. Ir doti p lauki un p kulturas. Blakusfaktori - lauks unkulturas tips. Lauki tiek apstradati ar p veidu herbicıdiem. Faktors -herbicıda tips. Lai nebutu japarbauda p3 kombinacijas, konstruejamlatınu kvadratu un parbaudam tikai p2 kombinacijas.

Ir doti p sagataves un p darbinieki (blakusfaktori). No katrassagataves var izgatavot ne vairak ka p detalas, ir p veidu detalu pro-jekti. Lai nebutu japarbauda p3 kombinacijas, konstruejam latınukvadratu un parbaudam tikai p2 kombinacijas.


46



xjik = µ + τj + βi + αk + εj ,

kur• xjik ir eksperimenta rezultata gadıjuma lielums, kas atbilst j-

tajai faktora vertıbai i-taja kolonna un k-taja rinda,


• τj - j-ta faktora efekts, apmierina vienadıbup∑

j=1

τj = 0,

• βi - i-tas kolonnas efekts, apmierina vienadıbup∑

i=1

βi = 0,


47

• αk - k-tas rindas efekts, apmierina vienadıbup∑

k=1

αk = 0,

• εjil ir kludas gadıjuma lielums, E(εjik) = εjik = 0, parastiuzskata arı, ka εjik ∼ N(0, σ2).

Modelis ir pilnıgi aditıvs - netiek nemtas vera mijiedarbıbas starpparametriem.

Efektu modela hipotezes:• H0: τ1 = τ2 = ... = τm,



Definesim sadas videjas vertıbas:


48

• x =P

j,i,k xjik

p3 - visas merıjumu kopas videja vertıba;

• xj∗∗ =P

i,k xjik

p2 - visas j-ta lımena videja vertıba;

• x∗i∗ =P

j,k xjik

p2 - visas i-tas kolonnas videja vertıba;

• x∗∗k =P

j,i xjik

p2 - visas k-tas rindas videja vertıba;

Definesim sadas dispersijas:• DP =

∑j,i,k(xjik − x)2- pilna dispersija;

• DS =∑

j,i,k(xj∗∗− x)2 = p2∑

j(xj∗∗ − x)2- starpgrupu (starp-lımenu) dispersija;

• DC =∑

j,i,k(x∗i∗ − x)2 = p2∑

i(x∗i∗ − x)2- starpkolonnu dis-persija;

• DR =∑

j,i,k(x∗∗k−x)2 = p2∑

k(x∗∗k−x)2- starprindu disper-sija;

Var pieradıt, ka

DP = DS + DS + DC + DR + DI.


49

Definesim• MS = DS

p−1 ,

• MC = DBp−1 ,

• MR = DRp−1 ,

• MI = DI(p−2)(p−1) .

Var pieradıt, ka MSMI ∼ F (p− 1, (p− 2)(p− 1)).

Hipoteze H0 tiek noraidıta, ja f0 > fα,p−1,(p−2)(p−1).


50

2.3. Grieku-latınu kvadratu dizains

2.3.1. Ievads

Ja ir 3 blakusparametri, tad var but nepieciesams veikt blokosanu3 veidos.

Turpinot latınu kvadratu ideju, var definet grieku-latınu kvadratus:• izvelesimies p pirma blakusparametra lımenus,

• izvelesimies p otra blakusparametra lımenus,

• izvelesimies p tresa blakusparametra lımenus, parasti apzıme arıar mazajiem grieku burtiem,

• izvelesimies p faktora lımenus, parasti apzıme arı ar lielajiemlatınu burtiem (A,B,...),

• izveidosim tabulu, kura rindas tiek indeksetas ar pirma blakus-parametra p lımeniem un kolonnas tiek indeksetas ar p otrablakusparametra lımeniem,


51

• aizpildısim tabulu ar tresa blakusparametra simboliem (griekuburtiem) ta, lai katra rinda un katra kolonna katrs simbols butuvienu reizi,

• aizpildısim tabulu ar faktora lımenu simboliem ta, lai katra rindaun katra kolonna katrs simbols butu vienu reizi un katra griekuun latınu burtu paris ir tiesi vienu reizi.

2.6. piemers.1 2 3 4 5

1 Aα Bγ Cε Dβ Eδ2 Bβ Cδ Dα Eγ Aε3 Cγ Dε Eβ Aδ Bα4 Dδ Eα Aγ Bε Cβ5 Eε Aβ Bδ Cα Dγ


52



xjikl = µ + τj + βi + αk + Ψl + εj ,

kur• xjik ir eksperimenta rezultata gadıjuma lielums, kas atbilst j-

tajai faktora vertıbai i-taja kolonna un k-taja rinda,


• τj - j-ta faktora efekts, apmierina vienadıbup∑

j=1

τj = 0,

• βi - i-tas kolonnas efekts, apmierina vienadıbup∑

i=1

βi = 0,


53

• αk - k-tas rindas efekts, apmierina vienadıbup∑

k=1

αk = 0,

• Ψl - l-ta grieku parametra efekts, apmierina vienadıbup∑

l=1

Ψl = 0,

• εjil ir kludas gadıjuma lielums, E(εjik) = εjik = 0, parastiuzskata arı, ka εjik ∼ N(0, σ2).

Modelis ir pilnıgi aditıvs - netiek nemtas vera mijiedarbıbas starpparametriem.


54

2.4. Balansetie nepilno bloku dizaini

2.4.1. Ievads

Var gadıties, ka randomizeta pilna bloku dizaina realizacija naviespeja, jo nav iespejams katra bloka veikt visus nepieciesamos eksper-imentus ar visiem faktora lımeniem.

2.7. piemers. Ir jateste 4 urbji uz metala gabaliniem. Uz katrametala gabalina ir iespejams veikt tikai 3 urbumus.

Ir velams izstradat tadus blokosanas veidus, lai katra bloka bututikai dala no faktora lımeniem - randomizetos nepilno bloku dizainus.

Par balanseto nepilno bloku dizainu (balanced incomplete blockdesign, BIBD) sauc dizainu, kura katrs faktoru lımenu paris vienabloka ir sastopams vienadu skaitu reizu. Tas ir nepieciesams, tad,ja visu faktoru lımenu salıdzinasanas ir vienadi svarıgas. Preteja


55

gadıjuma statistiskie modeli bus mazak dabiski, statistiska analızebus grutaka, kludas nebus vienadas.

2.4.2. BIBD diskreti-matematiskie aspekti

Naivais risinajums - ja ir m faktoru lımeni un bloka var but k(k < m) faktoru vertıbas, tad izveidosim Ck

m blokus, katra bloka busviena no iespejamajam m faktoru kopas apakskopam ar k elementiem.Katrs faktoru paris kopa bus tiesi Ck−2

m−2 blokos.

2.8. piemers. 4 urbji lımeni un 3 urbumi viena metala gabala.

Eksiste arı netriviali risinajumi, kad bloku skaits ir mazaks nekaCk

m.

BIBD sauc par (v, b, r, k, λ)-dizainu, ja• faktora lımenu skaits ir v;

• bloku skaits ir b;


56

• katrs faktora lımenis ir tiesi r blokos;

• katra bloka ir tiesi k faktora lımeni;

• katrs faktora lımenu paris kopa ir tiesi λ blokos.

”Nepilns” nozıme, ka v > k. ”Balansets” nozıme, ka λ ir definets.

Par (v, b, r, k, λ)-dizaina incidences matricu A sauc binaru v × bmatricu, kura

• rindas tiek indeksetas ar faktora lımeniem;

• kolonnas tiek indeksetas ar blokiem;

• rutina (i, j) ir 1 ⇐⇒ i-tais lımenis ir j-taja bloka.

2.9. piemers. Incidences matricas piemers.

BIBD parametri nav neatkarıgi, tos saista vismaz sadas sakarıbas:


57

• bk = vr (jauzzıme divdalıgs grafs, kuram dalas ir lımeni unbloki, skautne nozıme lımena ieklausanu bloka, jaskaita skautnespie katras dalas);

• λ(v − 1) = r(k − 1) (jauzzıme divdalıgs grafs, kuram dalas irlımenu pari un bloki, skautne nozıme para ieklausanu bloka,jaskaita skautnes pie abam dalam, jaizmanto iepriekseja ıpasıba);

• AAT = (r − λ)Ev + λJv (Ev - vienıbas matrica, Jv - vieniniekumatrica);

• Fisera nevienadıba: b ≥ v (pierada izmantojot incidences matri-cas).

BIBD dizainu sauc par simetrisku, ja b = v ( =⇒ r = k). Apzımeka (v, k, λ). Tadejadi simetriskajam dizainam ir mazakais iespejamaisbloku skaits ar dotu faktora lımenu skaitu.

Simetriskie (v, k, λ)-dizaini apmierina papildus nosacıjumus (Bruck-Ryser-Chowla teorema):

• ja v ir para skaitlis, tad k − λ ir vesela skaitla kvadrats;


58

• ja v ir nepara skaitlis, tad vienadojumam

x2 = (k − λ)y2 + (−1)v−12 λz2

eksiste netrivials atrisinajums veselos skaitlos.

Klasiskas BIBD dizainu serijas:• afınas plaknes - (n2, n, 1),

• projektıvas plaknes - (n2 + n + 1, n + 1, 1),

• Steinera trijnieku sistemas - (v, 3, 1), ja v ∈ {1, 3}(mod 6), v ≥3,

• Adamara dizaini - (4n + 3, 2n + 1, n),

• unitalie dizaini - (n3 + 1, n + 1, 1).

2.10. piemers. Mazaka projektıva plakne, n = 2, Fano plakne:


59

0 1 1 0 1 0 01 0 1 0 0 0 11 1 0 1 0 0 00 0 1 1 0 1 01 0 0 0 1 1 00 0 0 1 1 0 10 1 0 0 0 1 1


BIBD modelis:xji = µ + τj + βi + εji,


jai faktora vertıbai i-taja bloka,



60

• τj - j-ta faktora efekts, apmierina vienadıbum∑

j=1

τj = 0,

• βi - i-ta bloka efekts, apmierina vienadıbub∑

i=1

βi = 0,


BIBD modela hipotezes:• H0: τ1 = τ2 = ... = τm,



61


BIBD gadıjuma dispersiju analıze ir grutaka.

Ir speka formula

DP = DS + DB + DI,

kur•

DB =1k

b∑

i=1

( ∑

i-tais bloks

x∗i)2

− 1bk

( ∑

i,j

xji

)2

,

brıvıbas pakapju skaits - b− 1,

• DS = kλm

∑mj=1 Q2

j , kur

Qj = (∑

i

xji)− 1k

b∑

i=1

nji(∑

j

xji),

nji ir 1/0, ja j-tais lımenis ir/nav i-taja bloka, brıvıbas pakapjuskaits m− 1.


62

DP brıvıbas pakapju skaits ir bk − 1.

Var pieradıt, ka MSMI ∼ F (m− 1, bk −m− b + 1).

Hipoteze H0 tiek noraidıta, ja f0 > fα,m−1,bk−m−b+1.


63

3. 3.majasdarbs

3.1 Cementa stiprıba tiek testeta 4 dazadam maisıjuma sagatavosanastehnologijam. Tiek ieguti sadi merıjumi:

1.tehnologija− 4519, 4493, 4495, 4512

2.tehnologija− 4453, 4448, 4460, 44413.tehnologija− 4552, 4545, 4557, 45474.tehnologija− 4398, 4405, 4411, 4402.

(a) Parbaudiet hipotezi, ka tehnologijas ietekme stiprıbu, arα = 0.05

(b) veiciet normala sadalıjuma parbaudi atlikumiem, noskaidro-jiet, vai ir iznemumi.


Documents

Studiju kurss Eksperimentu pl¯anoˇsana un anal¯ıze 3.lekcija file1 DAUGAVPILS UNIVERSITATE¯ Dabaszin¯atnu¸ un matem¯atikas fakult¯ate Matem¯atikas katedra Studiju kurss Eksperimentu