Suites Adjacentes

7/23/2019 Suites Adjacentes

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Exercices de Mathematiques

Suites adjacentes

Enonces

Enonces des exercices

Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]

Montrer que les suites de terme general un =n

k=0

1

k! et vn=un+

1

n(n!) sont adjacentes.

Montrer que leur limite commune est irrationnelle.


Trouver la condition sur les reels u0, v0, 0 et 0 pour que les suites (un) et (vn) definiespar les recurrences un+1=

un+vn1 +

et vn+1=un+vn

1 + soient adjacentes.

Dans le cas general, les suites (un) et (vn) sont-elles convergentes, et vers quelle limite ?


Montrer que la suite de terme general un= 1 11!

+ 1

2! + (1)n 1

n!est convergente et que

sa limite est un irrationnel.


Etudier les suites (un) et (vn) definies par la donnee du couple (u0=a >0, v0 = b >0) et parles relations un+1=

unvn et vn+1=

un+vn2

.


Soienta et bdeux reels strictement positifs.

On pose u0 = a, v0=b, et pour tout n, 2

un+1=

1

un+

1

vnet vn+1=

un+vn2

.

Montrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes.

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Indications, resultats

Indications ou resultats

Indication pour lexercice 1 [ Retour a lenonce ]

La suite (un) est croissante, la suite (vn) est decroissante, et limn+

(vn un) = 0. Utiliser n(n!)un < n(n!) < n(n!)vn, et en deduire que est irrationnel.


Montrer que la suite (vn un)n0 est geometrique, puis que limn+

(vn un) = 0.Etudier alors les monotonies des suites u et v.

On constate quelles sont adjacentes ou u0=v0.On trouve alors lim

n+un= lim

n+vn=

(1 +)u0+(1 +)v01 + 2+

.


Montrer que les suites (an=u2n) et (bn=u2n+1) sont adjacentes.

Utiliser ensuite lencadrement u2n+1=u2n 1(2n+ 1)!

< < u2n.


Pour tout n 1, verifier quon a : vn un.En deduire les monotonies de (un) et (vn), a partir de n= 1.

Justifier pourquoi les deux suites (un) et (vn) sont convergentes.

Montrer que leurs limites sont egales en utilisant les definitions des suites uet v.


Montrer que pour tout n 1, on a un vn.En deduire les monotonies de (un) et (vn), a partir de n= 1.

Montrer que les suites (un) et (vn) sont convergentes, ensuite que leurs limites sont egales.





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Corriges

Corriges des exercices

Corrige de lexercice 1 [Retour a lenonce ]

La suite (un) est croissante car un+1 un= 1(n+ 1)!

>0.

La suite (vn) est decroissante car :

vn+1 vn =un+1 un+ 1(n+ 1)(n+ 1)!

1n(n!)

= 1

(n+ 1)!+

1

(n+ 1)(n+ 1)! 1

n(n!)

= n(n+ 1) +n (n+ 1)2

n(n+ 1)(n+ 1)! =

1n(n+ 1)(n+ 1)!


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Corriges

Pour tout entier naturel n, on a :

un+1 un=un+vn

1 + un=

1 +(vn un) =

1 +qn

(v0 u0)De meme :

vn+1 vn = un+vn1 +

vn = un vn1 +

= 11 +

qn(v0 u0)

On constate que si u0 = v0 = a, alors pour tout n de IN, un=vn=a.

On peut dire dans ce cas que les suites (un) et (vn) sont adjacentes.

Supposons maintenant u0=v0.Pour que les suites (un) et (vn) soient adjacentes, il faut et il suffit que lune soit croissante,

lautre decroissante, car on sait deja que limn+

(vn un) = 0.Ces conditions de monotonie equivalent a q 0, cest-a-dire .

Conclusion : les suites (un) et (vn) sont adjacentes ou u0 = v0. Remarque :

Dans tous les cas, on a :

un= u0+n1

k=0

(uk+1 uk) =u0+ (v0 u0)1 +

n1

k=0

qk =u0+(v0 u0)

1 +

1 qn1

q

On en deduit :

limn+

un = u0+ (v0 u0)(1 +)(1 q) =u0+

(1 +)

1 + 2+(v0 u0)

Finalement :

limn+

un = limn+

vn =(1 +)u0+(1 +)v0

1 + 2+


Pour tout entier n 0 : u2n+2 u2n= 1(2n+ 2)!

1(2n+ 1)!

0.

Enfin u2n+1 u2n= 1(2n+ 1)!

tend vers 0 quand n tend vers +.

Tout cela signifie que les suites (an=u2n) et (bn=u2n+1) sont adjacentes.

Cela implique quelles sont convergentes et ont une meme limite .

Il en decoule que la suite (un) est elle-meme convergente vers .





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Corriges

Dautre part, pour tout n 0, on a lencadrement u2n+1=u2n 1(2n+ 1)!

< < u2n.

On multiplie par (2n+ 1)! : N 1< (2n+ 1)! < N ou N= (2n+ 1)!u2n est entier.Cela prouve que (2n +1)!nest jamais un entier, ce qui implique que nest pas rationnel (silletait, choisir ntel que 2n+ 1 soit superieur ou egal au denominateur de ).

Remarque : on montre que =1

e. On en deduit que

1

eet donc e sont irrationnels.


Par une recurrence evidente, (un) et (vn) sont bien definies et sont a valeurs >0.

Pour tout n 0, on a : vn+1 un+1= un+vn2 unvn=1

2(

vn un)2 0.

On en deduit que pour tout n 1, on a linegalite : un vn.Dans ces conditions :n 0, un+1= unvn un et vn+1= un+vn

2 vn.

La suite (un) est donc croissante, et la suite (vn) decroissante, a partir de n= 1.

En utilisant ce qui precede, on trouve :n 1, u1 un vn v1.Ainsi la suite (un) est croissante ma joree, et la suite (vn) est decroissante minoree.

On en deduit que ces deux suites sont convergentes.

Posons= limn+

un et = limn+

vn.

Si on passe a la limite dans legalite vn+1=un+vn

2 on trouve =

+

2 donc = .

Conclusion : les deux suites (un) et (vn) sont adjacentes.


Par une recurrence evidente, (un) et (vn) sont bien definies et sont a valeurs >0.

Pour tout n 0, on a : vn+1 un+1= un+vn2 2unvn

un+vn=

(vn un)22(un+vn)

0.On en deduit que pour tout n 1, on a linegalite : un vn.Dans ces conditions, pour tout entier naturel n:

2

un+1 = 1

un + 1

vn 2

un (doncun un+1) et vn+1=

un+vn2 vn.

La suite (un) est donc croissante, et la suite (vn) decroissante, a partir de n= 1.

En utilisant ce qui precede, on trouve :n 1, u1 un vn v1.Ainsi la suite (un) est croissante ma joree, et la suite (vn) est decroissante minoree.

On en deduit que ces deux suites sont convergentes.

Posons= limn+

un et = lim

n+vn.

Si on passe a la limite dans legalite vn+1=un+vn

2 on trouve =

+

2 donc = .

Conclusion : les deux suites (un) et (vn) sont adjacentes.




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