Suites (ou progressions) arithmétiques et géométriques Suites.pdf · 2020. 9. 1. · SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES 11 3C Option santé – JtJ 2020 Théorème: Soit ()u

SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES 1

3C Option santé – JtJ 2020

Suites (ou progressions) arithmétiques et géométriques

1.1 Définitions de base et premiers exemples

Introduction : Les suites réelles sont liées à la mathématique de la mesure (mesures d'un phénomène prises à intervalles de temps réguliers) et à l'analyse (une suite réelle est l'équivalent discret d'une fonction réelle). La notion de suite est présente dès qu'apparaissent des procédés illimités de calcul. On en trouve, par exemple, dans la mathématique babylonienne, chez Archimède (287-212 av. J.-C), spécialiste des procédés illimités d'approximation pour des calculs d'aires et de volumes.

22371

< π < 227

V = somme des volumes des cylindres

Dans la seconde moitié du XXe siècle, le développement des calculateurs et des ordinateurs donne un second souffle à l'étude des suites.

g

Définitions : Une suite réelle1 est une fonction de IN * dans IR

L’image d’un entier naturel n par une suite réelle u : IN * → IR est généralement noté un (qui se lit u indice n) ; le réel un est appelé terme général de la suite u, à ne pas confondre avec la suite

elle-même notée un( )n∈IN* .

Exemple : Considérons la suite n

n +1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ n∈IN*

Déterminer son terme général, les six premiers termes de cette suite, puis les représenter sur le graphique.

1 Nous croiserons aussi des suites réelles définies de IN dans IR .

1 2 3 4 5 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1



Exercice 1 :

Calculer les 5 premiers termes ainsi que le 8e terme des suites proposées, puis les représenter graphiquement.

a) 15− 3n( )n∈IN* b) 3

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟n−1⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟n∈IN*

c) 9( )n∈IN* d) 2 + (−0,8)n( )n∈IN*

Remarque : Dans les exemples précédents, la suite était définie par une formule permettant de calculer directement n’importe quel terme d’indice n. Ce ne sera pas toujours le cas. Dans l’exemple qui suit, nous indiquerons le premier terme u1, ainsi qu’une formule permettant d’obtenir n’importe quel terme un+1 à partir du terme précédent un quel que soit n ≥ 1. Une telle suite sera appelée suite définie par récurrence.

On considère la suite un( )n∈IN* définie par: u1 = 3un+1 = 2un

⎧⎨⎩

a) Calculer les quatre premiers termes de la suite: b) En déduire le terme général probable:

Exemple :

Il ne sera pas toujours aussi facile de déterminer le terme général d’une suite définie

par récurrence.

c) En proposer une représentation graphique:

g

Définition : Une suite un( )n∈IN* est dite définie par récurrence par la

donnée de u1 ainsi que un+1 = f (un ) .



a) Calculer les cinq premiers termes des suites définies par récurrence.

1) u1 = 2un+1 = 3un − 5

⎧⎨⎩

2) u1 = −3 / 4

un+1 = un2

⎧⎨⎪

⎩⎪

3) u1 = 5un+1 = −nun

⎧⎨⎩

4) u1 = 2

un+1 = un( )−n+3

⎧⎨⎪

⎩⎪

b) Représenter graphiquement les deux premières suites.

Exercice 2 :

1.2 Suites (ou progressions) arithmétiques

Introduction : Dans la suite de ce polycopié, nous allons nous concentrer sur deux sortes de suites particulières: les suites arithmétiques et les suites géométriques.

Commençons par les suites arithmétiques.

Exemple : Pour financer son projet de vacances, Vincent décide de mettre de côté 110.- par mois. Son épargne actuelle est de 427.- et le voyage coûte 2'270.-. Vincent devra donc patienter…

Définitions : Une suite un( )n∈IN* est une suite arithmétique s’il existe un

nombre réel r tel que, pour tout entier positif n,

un+1 = un + r

Le nombre r = un+1 – un est appelé la raison de la suite arithmétique.

Remarquons que la raison r est la différence entre n’importe quels termes successifs d’une suite arithmétique.



Exemple : La suite w1 = 5wn = wn−1 + 7

⎧⎨⎩

définie par récurrence

a) S'agit-il d'une suite arithmétique ? b) En esquisser une représentation graphique

Exercice 3 :

Les suites suivantes sont-elles des suites arithmétiques ? En esquisser alors une représentation graphique.

a) u1 = 5un = un−1 − 3

⎧⎨⎩

b) c1 = 2ck = 2ck−1 +1

⎧⎨⎩

c) -3, 2, 7, 12, …, 5n – 8, …

Comment peut-on repérer graphiquement que la suite proposée est bien une suite arithmétique ?

Exercice 4 :

Démontrer que la suite n2 −10( )n∈ IN* n’est pas une suite

arithmétique.



Théorème : Soit un( )n∈IN* une suite arithmétique de raison r.

Montrer que le nième terme un de cette suite est donné par la

formule ci-dessous :

un = u1 + (n −1) · r

Preuve :

Exemple : Les trois premiers termes d’une suite arithmétique sont : 20 , 16,5 et 13.

Calculer le quinzième terme.

Exercice 5 :

Calculer le cinquième terme, le vingtième terme, ainsi que le terme général de la suite arithmétique.

a) 2, 6, 10, … b) 3 , 2,7 , 2,4 , …

c) x – 8, x – 3, x + 2, …

Exemple : Sachant que le quatrième terme d’une suite arithmétique est 5 et que le neuvième terme est 20, calculer le sixième terme.



Exercice 6 :

Calculer la raison de la suite arithmétique dont on connaît u2 = 21 et u6 = -11.

Exercice 7 :

Calculer le terme spécifié de la suite arithmétique dont deux termes sont donnés :

a) u12 sachant que: u1 = 9,1 u2 = 7,5 b) u1 sachant que u6 = 2,7 u7 = 5,2 c) a15 sachant que: a3 = 7 a20 = 43



1.3 Sommes des n premiers termes d’une suite arithmétique

Anecdote célèbre :

Le célèbre mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) avait 7 ans (ou 10 ans, suivant la source) lorsqu'un jour son maître d'école demanda à la classe de calculer la somme de tous les nombres entiers de 1 à 100. Chaque professeur connaît ce genre d'exercices qui occupent les élèves jusqu'à la fin de l'heure. Alors que ses camarades se lancèrent dans ce calcul et que le maître s'installa pour lire son journal, le jeune Gauss surprit tout le monde en annonçant le résultat : 5050. Il venait de découvrir tout seul l'algorithme suivant :

S = (1 + 100) + (2 + 99) + … + (50 + 51) = 50 · (1+100) = 5050

Plus généralement, le théorème suivant contient une formule pour la somme Sn des n premiers termes d’une suite arithmétique.

Théorème : Si un( )n∈IN* est une suite arithmétique de raison r, alors la

somme Sn des n premiers termes de cette suite est donnée par :

Sn =n2(u1 + un )

Exemple : Calculer la somme de tous les entiers pairs de 2 à 100



Exercice 8 :

Calculer les sommes suivantes:

a) S = 3 + 6 + 9 + 12 + … + 300 b) T = 50 + 45 + 40 + … + 5

Exercice 9 :

Calculer la somme Sn de la suite arithmétique qui satisfait les conditions suivantes :

a) u1 = 40, r = -3, n = 30 b) a1 = -9 a10 = 15, n = 10

Exercice 10 :

Dans les formulaires de math, on trouve également ces deux formules:

(a) Sn =n

2[2a1 + (n −1)r]

(b) 1+ 2 + 3+…+ n = n(n +1)2

Justifiez-les

Exercice 11 :

Lequel de ces 2 nombres est-il le plus grand ?

S = 2020 · (1 + 2 + 3 + … + 2019 + 2020 + 2021) T = 2021 · (1 + 2 + 3 + … + 2018 + 2019 + 2020)

1.4 Quelques applications sur les suites arithmétiques

Exercice 12 :

Places dans un stade

Les dix premières rangées de places assises dans une certaine partie d’un stade ont 30 sièges, 32 sièges, 34 sièges, et ainsi de suite. De la onzième rangée à la vingtième rangée, chaque rangée est formée de 50 sièges. Calculer le nombre total de sièges dans cette partie du stade.

Exercice 13 :

Construction d’un silo à grains

Un silo à grains doit être construit en forme de tronc de cône (voir la figure). Le silo doit avoir une hauteur de 3 m et 11 anneaux métalliques de renforcement répartis uniformément sur son pourtour, à partir de l’ouverture, d’un diamètre de 1,2 m à la base, jusqu’à un diamètre de 7,2 m au sommet. Calculer la longueur totale de métal nécessaire pour fabriquer les anneaux.

Exercice 14 :

Montant de prix

Un concours sera doté de cinq prix en argent d’une valeur totale de 5000 fr., et il y aura une différence de 100 fr. entre chaque récompense. Calculer la valeur de la plus petite des récompenses.



Exercice 15 :

Dimensions d’un labyrinthe

Calculer la longueur totale de la ligne brisée dans la figure ci-contre, sachant que la largeur totale du labyrinthe formé par la courbe est de 40 cm et tous les couloirs du labyrinthe ont une largeur de 2,5 cm.

1.5 Suites géométriques

Introduction : Le second type de suite particulière que nous allons examiner, les suites géométriques, se rencontre fréquemment dans les applications.

Exemple : Un capital de 10'000.- est placé à intérêts composés à un taux annuel de 4,25%. Quelle est sa valeur après 4 ans de placement ?

g

Définitions : Une suite un( )n∈IN* est une suite géométrique si u1 ≠ 0 et s’il

existe un nombre réel r ≠ 0 tel que, pour tout entier positif n,

un+1 = un ⋅r

Le nombre r = un+1un

est appelé la raison de la suite géométrique.

Remarquons que la raison r = un+1 / un est le quotient de tout couple de termes successifs d’une progression géométrique.



Exemple : Le premier terme d’une suite géométrique est 3, sa raison r est -1/2. a) Calculer les cinq premiers termes b) En déduire le terme général de cette suite. c) En proposer une représentation graphique

Exercice 16 :

Calculer le quatrième, cinquième et huitième terme, ainsi que le terme général des suites géométriques suivantes :

a) 8, 4, 2, … b) 300, -30, 3, … c) 1, - 3 , 3, … d) 4, 6, 9, …

Exercice 17 :

Proposer une représentation graphique des suites proposées dans l'exercice précédent.



Théorème : Soit un( )n∈IN* une suite géométrique de raison r. Montrer que le

nième terme un de cette suite est donné par la formule ci-dessous :

un = u1 ⋅rn−1

Preuve :

Exemple : Pour une suite géométrique, u3 = 5 et u6 = -40. Calculer u8.



Exercice 18 :

Calculer la raison d’une suite géométrique dont on donne u4 = 3 et u6 = 9.

Exercice 19 :

Calculer le septième terme d’une suite géométrique dont les deuxième et troisième termes sont 2 et - 2 .

Exercice 20 :

Soit une suite géométrique dont w4 = 4 et w7 = 12. Calculer r et w10.

1.6 Sommes des n premiers termes d’une suite géométrique

Le théorème suivant contient une formule permettant de calculer la somme Sn des n premiers termes d’une suite géométrique.

Théorème : La somme Sn des n premiers termes d’une suite géométrique dont le premier terme est u1 et dont la raison est r ≠ 1 est

Sn = u1 + u2 +…+ un = u1 ⋅1− rn

1− r

Preuve :

Exemple : Sachant que 1 , 0,3 , 0,09 , 0,027 , … est une suite géométrique, calculer la somme des dix premiers termes.

Exercice 21 :

Sachant que 1, 1/2, 1/4, 1/8 , … est une suite géométrique, calculer la somme des dix premiers termes.



Exercice 22 :

Calculer les sommes suivantes : a) S10 = 3 + 32 + 33 + … + 310

b) S6 =1+ − 25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + − 2

5⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

+…+ − 25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟5

Exercice 23 :

Une balle en caoutchouc est lâchée d’une hauteur de 18 m. Sachant que, lors de chaque bond, elle rebondit approximativement des deux tiers de la hauteur qu’elle avait atteinte précédemment, évaluer la distance que la balle aura parcourue au moment du 10e rebond.

Exercice 24 :

Un homme désire épargner de l’argent en mettant de côté 1 centime le premier jour, 2 centimes le deuxième jour, 4 centimes le troisième jour, et ainsi de suite.

a) S’il continue à doubler le montant mis de côté chaque jour, combien doit-il mettre de côté le quinzième jour ?

b) En supposant qu’il ne soit pas à court d’argent, quel est le montant total économisé à la fin du trentième jour ?

Exercice 25 :

a) Quels addition et résultat vous suggèrent ces figures :

b) Que pourrait bien valoir cette "somme infinie"?

1+ 13+ 19+ 1

27+…

Comment pourrait-on s'en convaincre à l'aide d'une figure?



Théorème : Si | r | < 1, alors S∞ = u1 + u2 +…= u11− r

Ce théorème implique que:

Plus nous additionnons de termes de la suite géométrique

un( )n∈IN* , plus sa somme s’approche de u11− r

.

Justification :

Exercice 26 :

Calculer les sommes suivantes:

a) 1+ 12+ 14+ 18+… b) 1,5 + 0,015 + 0,00015 + …

c) 1− 12+ 14−1

8+… d) 1+ 3

2+ 94+27

8+…

e) 256 + 192 + 144 + 108 + …



1.7 Quelques applications sur les suites géométriques

Exemple : Une balle en caoutchouc est lâchée d’une hauteur de 10 mètres. Supposons que, lors de chaque bond, elle rebondisse de la moitié de la hauteur qu’elle avait atteinte précédemment.

Calculer la distance totale que la balle parcourt avant de s’arrêter.

Exercice défi :

Combien de temps dure tout le processus ?

On rappelle que la distance parcourue en chute libre, mesurée en mètres, est

égale à 1

2gt 2, où t est le temps de chute, mesuré en secondes, et g = 9,81

Exercice 27 :

Un curieux nénuphar situé au milieu d'un bel étang s'y trouve tellement bien qu'il ne cesse de grandir : sa taille double chaque jour. Il grandit tellement qu'après 30 jours, il recouvre entièrement la surface de l'étang !

a) Combien de jours a-t-il mis pour ne recouvrir que la moitié de l'étang ?

b) Quel pourcentage de l'étang recouvrait-il après 26 jours ?

Exercice 28 :

Le poids d’un pendule balance le long d’un arc de 24 cm de long lors de son premier balancement. Sachant que la longueur de chaque balancement successif est approximativement les cinq sixièmes de la longueur qu’il avait parcourue lors du balancement précédent, évaluer la distance totale que parcourt le poids avant de s’arrêter.



Exercice 29 :

Un nommé Sissa, l'inventeur du jeu d'échecs, présenta son jeu au Sultan. Enthousiasmé, ce dernier lui proposa de choisir sa récompense. Sissa, d'après la légende, répondit:

« Que les serviteurs mettent un grain de blé sur la première case, deux sur la seconde, quatre sur la troisième, huit sur la quatrième et ainsi de suite en doublant chaque fois le nombre de grains de blé jusqu'à la soixante-quatrième case. »

a) Combien de grains de blé aurait-il fallu pour récompenser Sissa selon ses désirs?

b) En supposant qu'un grain de blé occupe un volume de 1 mm3, et sachant que la Suisse s'étend sur une superficie de 41’288 km2, quelle serait l'épaisseur de la couche de blé qui recouvrirait alors le pays?

Exercice 30 :

On considère six droites concourantes en O, chacune déterminant un angle de 30° avec ses voisines. Par un point P0 d’une des droites, situé à une distance a de O, on abaisse une perpendiculaire sur sa voisine et on trouve ainsi le point P1. On fait de même avec P1, P2, … en créant ainsi une spirale (voir figure).

a) Calculer, en fonction de a, les distances P0P1, P1P2, P2P3. b) Les distances PnPn+1 déterminent une suite, quel est son terme

général ? c) Quelle est la longueur totale de la spirale ?

Exercice 31 :

En partant d'un carré de côté a, on construit une suite infinie de carrés emboîtés dont les sommets sont les milieux des côtés du carré précédent. On considère pour finir la figure grisée, formée par la réunion de triangles rectangles.

Calculer l'aire grisée de cette figure.

O P0

P1

P2

a



Exercice 32 :

Dosage d’un médicament

Un certain médicament a une durée de demi-vie d’environ 2 heures dans le sang 2 . Le médicament est destiné à être administré en doses de D milligrammes toutes les 4 heures, mais D doit encore être déterminé.

a) Montrer que le nombre de milligrammes de médicament dans le sang après que la nième dose a été administrée est de :

D+ 1

4D+…+ 1

4

⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ n−1

D

et que cette somme vaut approximativement 43D pour des

valeurs élevées de n.

b) Une quantité de plus de 500 mg de médicament dans le sang est considérée comme dangereuse. Calculer la dose la plus grande possible qui peut être prescrite régulièrement pendant une grande période de temps.

Exercice 33 :

Bernard propose à ses clients de lui confier pendant un mois une somme de 100 euros. En échange il s'engage à leur verser 150 euros le mois suivant. Pour y parvenir, Bernard procède de la façon suivante: Au début, il ne prend qu'un client. Il récupère alors 100 euros qu'il garde pour lui. Puis, chaque mois, il double le nombre de nouveaux clients et utilise l'argent confié pour respecter son engagement envers les clients du mois précédent. Il garde la somme restante. Appelons un le nombre de nouveaux clients nécessaires n mois après le début de l'offre. Appelons vn l'argent que gagne Bernard au nième mois après le début de l'offre. a) Pour n entier exprimer un+1 en fonction de un. Quelle est la

nature de le suite un ? b) Pour n entier exprimer un en fonction de n. c) Pour n > 0, exprimer vn en fonction de un et un–1. d) Exprimer vn en fonction de n. e) Combien gagne Bernard au 12e mois de son offre ? f) Combien de nouveaux clients Bernard doit-il trouver 12 mois

après le début de ce système ? g) Expliquer en quoi ce système est une escroquerie.

Pour info :

Pyramide de Ponzi:

En 1920 à Boston, Charles Ponzi, italo-américain, monta une société d'investissement promettant un taux de 50% de retour sur investissement en quarante-cinq jours.

2 La demi-vie est le temps mis par un médicament pour perdre la moitié de son activité pharmacologique ou physiologique.



Charles Ponzi 1882 - 1949

C'était une escroquerie financière qui consistait à rémunérer les placements des épargnants par les fonds apportés par de nouveaux déposants. Le système fonctionne tant que la chaîne s'élargit, tant que l'instigateur de la fraude parvient à attirer de nouveaux clients, en leur faisant miroiter des rendements spectaculaires.

C'est ce système qu'a utilisé Bernard Madoff jusqu'à l'éclatement du scandale fin 2008.

Exercice 34 :

Waclaw Sierpinski (1882 - 1969)

Le triangle de Sierpinski Le triangle de Sierpinski, dessiné en 1915, est un exemple de fractale. Il peut être construit en commençant par un triangle équilatéral, de couleur noire et sous forme de pièce solide. Ce triangle est divisé en quatre triangles équilatéraux et congruents, puis le triangle central est enlevé de la pièce. À l’étape suivante, chacun des trois triangles restants est divisé en quatre triangles équilatéraux et congruents, puis le triangle central à l’intérieur de chacun de ces triangles est enlevé de la pièce, comme montré sur la première figure. Lors de la troisième étape, neuf triangles sont enlevés de la pièce. Si l’on poursuit ce processus à l’infini, on obtient le triangle de Sierpinski.

a) Déterminer une suite géométrique ak qui donne le nombre de triangles enlevés lors de la kième étape.

b) Calculer le nombre de triangles enlevés de la pièce lors de la quinzième étape.

c) Calculer le nombre total de triangles enlevés de la pièce après quinze étapes.

d) En supposant que le triangle de départ ait une surface de 1 unité, calculer une suite bk qui donne la surface des pièces enlevées lors de la kième étape. Montrer que cette suite est une suite géométrique.

e) Déterminer la surface enlevée lors de la septième étape. f) Déterminer la surface totale enlevée de la pièce après la

septième étape. g) Déterminer quelle proportion de l’aire du triangle de départ

est encore noire lorsque le nombre d’étapes tend vers l’infini.

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LQ

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S R

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, 3, 0

, …, -

9

b)

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/4, 2

7/8,

81/

16, …

,

2187

/128

c)

9, 9

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, 9, …

, 9

d)

1,2

, 2

,64

, 1

,488

, 2

,409

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1,

6723

2… ,

~2,

1677

7

Exe

rcic

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:

a)

u 1

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1, u

3 = -

2, u

4 = -

11, u

5 = -

38

b)

u 1 =

-3/

4, u

2 = 9

/16,

u3 =

81/

256.

u4 =

656

1/65

536,

u5 ≈

0,0

10

c)

u 1 =

5, u

2 = -

5, u

3 = 1

0, u

4 = -

30, u

5 = 1

20

d)

u 1 =

2, u

2 = 4

, u3 =

4, u

4 = 1

, u5 =

1

a)

b)

𝑛1

23

45

67

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𝑢𝑛

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−8

−44812

𝑛1

23

45

67

8

𝑢𝑛

24681012141618

𝑛1

23

45

67

8

𝑢𝑛 123456789

𝑛1

23

45

67

8

𝑢𝑛

12

𝑛1

23

45

𝑢𝑛

−40

−35

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−20

−15

−10−

52

𝑛1

23

45

𝑢𝑛

−0.

8

−0.

6

−0.

4

−0.

2

0.2

0.4

0.6

QU

EL

QU

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2020

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Ici:

u 2−u 1

=3

et

u 3

−u 2

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Exe

rcic

e 5

:

a) u

5 = 1

8 u 2

0 = 7

8 u n

= 2

+ (

n –

1) ·

4 b)

u5 =

1,8

u 2

0 = -

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u n =

3 +

(n

– 1)

· (-

0,3)

c)

u5 =

x +

12

u 20 =

x +

87

u n =

x –

8 +

(n

– 1)

· 5

Exe

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e 6

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Exe

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/17

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0

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rcic

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4'1

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26'6

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4'1

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500

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rcic

e 16

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a) u

4 = 1

u 5

= 1

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u 8 =

1/1

6 u n

= 8

(1/2

)n–1

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Suites (ou progressions) arithmétiques et géométriques Suites.pdf · 2020. 9. 1. · SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES 11 3C Option santé – JtJ 2020 Théorème: Soit ()u