SUPERFICIES+POLIÉDRICAS

NOCIONES BSICAS DE SUPERFICIES GEOMTRICAS GEOMETRA DESCRIPTIVA ETSAV ANTONIO MANUEL SINTAS MARTNEZ 7

2. SUPERFICIES POLIDRICAS. POLIEDROS REGULARES.

Pabelln de cristal para la exposicin del Werkbund, Colonia (1914). Bruno Taut.

2.1. Generalidades.

Una superficie polidrica es aquella que est formada por un nmero limi-tado de caras planas, cada una de las cuales tiene un permetro poligonal. Dos caras contiguas de una misma superficie polidrica tienen en comn un lado de sus respectivos polgonos perimetrales, el cual constituye una arista de dicha superficie.

Los vrtices de los polgonos perimetrales de las caras son a su vez los vrti-ces de la superficie polidrica, de modo que cada vrtice es comn a tres o ms caras y en l confluyen tres o ms aristas de la superficie polidrica. Al segmento que une dos vrtices no situados en una misma cara lo denomi-namos diagonal de la superficie.

Las superficies polidricas son desarrollables. El desarrollo de una superficie polidrica se obtiene mediante la yuxtaposicin sobre un plano de todas las caras de la superficie en el orden adecuado.

Se denomina poliedro a una regin del espacio delimitada por una superfi-cie polidrica. Tambin se puede definir un poliedro como un slido geom-trico delimitado por un nmero finito de caras planas que determinan en su interseccin una serie de aristas y vrtices. Denominamos tetraedro al po-liedro que tiene cuatro caras, pentaedro al que tiene cinco, hexaedro al que tiene seis, octaedro al que tiene ocho, etc.

Una superficie polidrica, como cualquier superficie geomtrica, puede ser abierta o cerrada, pero, si se trata de la envolvente de un poliedro, la super-ficie es siempre cerrada. No obstante, la envolvente de un poliedro puede ser convertida en una superficie polidrica abierta mediante la eliminacin o cambio de posicin de alguna o algunas de sus caras.

Las caras concurrentes en un mismo vrtice de una superficie polidrica de-terminan un ngulo poliedro. Todo ngulo poliedro consta, por tanto, de un vrtice y de tres o ms caras y aristas.

Un ngulo poliedro es convexo cuando tambin lo es el polgono resultante de la seccin que produce cualquier plano que corte a todas sus aristas. De-cimos que un poliedro es convexo cuando todos sus ngulos poliedros tam-bin lo son. Tambin podemos definir un poliedro convexo como aquel que se encuentra siempre en un mismo semiespacio de los dos que determinan cada una de sus caras. Un poliedro convexo no puede ser cortado por una recta en ms de dos puntos.

En todo poliedro convexo, la frmula de Euler permite relacionar el nmero de caras, de vrtices y de aristas mediante la siguiente expresin:

C + V = A + 2

donde C es el n de caras, V el n de vrtices y A el n de aristas.

En funcin de sus propiedades geomtricas, los poliedros se pueden clasifi-car en regulares, semirregulares e irregulares.

Poliedro regular es aquel cuyas caras estn delimitadas por polgonos regu-lares de igual tamao y de idntico nmero de lados. Dicho de otro modo, todas las caras de un poliedro regular son iguales y, como consecuencia de ello, sus ngulos poliedros tambin lo son.


En un poliedro semirregular las caras tambin estn delimitadas por polgo-nos regulares, pero no todos ellos con el mismo nmero de lados, pudiendo existir en ellos caras de dos o tres tipos distintos.

2.2. Poliedros regulares convexos.

Existen un total de cinco poliedros regulares convexos, tambin denomina-dos slidos platnicos: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e ico-saedro. La razn de que existan slo estos cinco est relacionada con la ge-neracin de sus respectivos ngulos poliedros:

- partiendo del polgono regular con menor nmero de lados, con tres trin-gulos equilteros generaramos el ngulo poliedro correspondiente a un te-traedro regular, con cuatro el de un octaedro regular y con cinco el corres-pondiente a un icosaedro (con seis no es posible generar un ngulo poliedro convexo, ya que los ngulos interiores de los tringulos suman 360).

- con tres cuadrados se genera un triedro trirrectngulo, el ngulo poliedro que correspondiente a un hexaedro regular (con cuatro cuadrados no ser posible generar un ngulo poliedro convexo por la misma razn anterior).

- por ltimo, con tres pentgonos regulares se genera el ngulo poliedro co-rrespondiente a un dodecaedro (con cuatro pentgonos no se puede gene-rar un ngulo poliedro convexo porque la suma de los ngulos interiores de los polgonos es mayor de 360).

En los poliedros regulares convexos las caras equidistan de un punto, centro geomtrico del poliedro, e igual sucede con las aristas y con los vrtices. Es posible por tanto determinar para cada poliedro tres esferas concntricas: una esfera inscrita o tangente a todas las caras, una esfera tangente a todas las aristas y una esfera circunscrita o que contiene a todos los vrtices del poliedro. En las dos primeras, los puntos de tangencia estn respectivamen-te en los centros de las caras y en los puntos medios de las aristas.

Denominamos seccin principal de un poliedro regular convexo a la seccin que se obtiene al cortarlo por un plano que pasa por su centro geomtrico y que contiene a una de sus aristas, el cual coincide con uno de los planos de simetra del poliedro. En la seccin principal es posible relacionar mtrica-mente todas las dimensiones significativas del poliedro, incluidos los radios de las tres esferas asociadas al mismo.

Generacin de los cinco poliedros regulares convexos a partir de sus ngulos poliedros.


TETRAEDRO REGULAR

Es el poliedro regular de cuatro caras. Podemos definirlo tambin como una pirmide de base triangular cuyas caras son todas ellas tringulos equilte-ros. Tiene seis aristas y cuatro vrtices.

Sus dimensiones principales son: longitud de arista (a), altura de cara (h), al-tura del tetraedro (H) (equivale a su altura como pirmide) y distancia entre aristas opuestas (mnima distancia) (md).

Seccin principal con indicacin de las dimensiones principales:

Ri: radio de la esfera inscrita

Ra: radio de la esfera tangente a las aristas

Rc: radio de la esfera circunscrita

Entre sus propiedades geomtricas cabe destacar las siguientes:

- Las alturas se cortan en el centro geomtrico del tetraedro y, en cualquie-ra de ellas, dicho centro se encuentra a una distancia de 3H/4 del vrtice y a H/4 de la cara.

- Las aristas opuestas se cruzan en el espacio ortogonalmente y el segmento que mide la mnima distancia entre ellas tiene su punto medio en el centro geomtrico del tetraedro.

- La seccin que produce un plano perpendicular a la mnima distancia en-tre dos aristas opuestas es un rectngulo cuyo permetro mide 2a. Si el pla-no pasa por el centro geomtrico del tetraedro la seccin es un cuadrado de lado a/2 cuyos vrtices son puntos medios de esas aristas.

Vistas particulares de un tetraedro regular en proyeccin ortogonal:


Representacin de un tetraedro regular en posiciones particulares:

Posibles desarrollos de un tetraedro regular:


HEXAEDRO REGULAR

Poliedro regular de seis caras cuadradas, tambin denominado cubo. Tiene doce aristas y ocho vrtices. Las caras contiguas forman en todos los casos diedros rectos por lo que se puede clasificar como un ortoedro.

Sus dimensiones principales son: longitud de arista (a), diagonal de cara (d) y diagonal principal (D) (distancia entre vrtices opuestos).






- Los vrtices opuestos son simtricos con respecto al centro geomtrico, el cual es punto de corte y punto medio de todas las diagonales principales.

- Las aristas opuestas son simtricas con respecto al centro geomtrico. La distancia entre ellas es igual a d.

- Las caras opuestas son simtricas con respecto al centro geomtrico.

- Todo plano perpendicular a una diagonal principal cortndola en un punto situado a D/3 de uno de sus extremos produce una seccin que es un trin-gulo equiltero de lado d cuyos vrtices lo son tambin del hexaedro. Si el plano pasa por el centro geomtrico del hexaedro la seccin es un hexgo-no regular de lado d/2 cuyos vrtices son puntos medios de aristas.

Vistas particulares de un hexaedro regular en proyeccin ortogonal:


Representacin de un hexaedro regular en posiciones particulares:

Posibles desarrollos de un hexaedro regular:


OCTAEDRO REGULAR

Poliedro regular de ocho caras triangulares, el cual podemos visualizar fcil-mente como dos pirmides iguales de base cuadrada, unidas por sus bases y dispuestas simtricamente. Tiene de doce aristas y seis vrtices.

Dimensiones principales: longitud de arista (a), altura de cara (h), diagonal (D) (distancia entre vrtices opuestos) y distancia entre caras opuestas (H).






- Los vrtices opuestos son simtricos con respecto al centro geomtrico, el cual es punto de corte de las diagonales y punto medio de todas ellas.

- Las aristas concurrentes forman entre s un ngulo de 60, si ambas perte-necen a la misma cara, o de 90. Las opuestas son simtricas con respecto al centro geomtrico, siendo por tanto paralelas entre s.

- Las caras opuestas son simtricas con respecto al centro geomtrico y, por tanto, se encuentran en planos paralelos y equidistantes del centro. La sec-cin media de dos caras opuestas es un hexgono regular de lado a/2 cuyos vrtices son puntos medios de aristas y cuyo centro coincide con el centro geomtrico del octaedro.

Vistas particulares de un octaedro regular en proyeccin ortogonal:


Representacin de un octaedro regular en posiciones particulares:

Posibles desarrollos de un octaedro regular:


DODECAEDRO REGULAR

Poliedro regular convexo de doce caras pentagonales. Tiene treinta aristas y veinte vrtices.

Dimensiones principales: longitud de arista (a), altura de cara (h), diagonal principal (D) (mide la distancia entre vrtices opuestos), distancia entre ca-ras opuestas (H) y distancia entre aristas opuestas (d).






- Los vrtices opuestos son simtricos con respecto al centro geomtrico, el cual es el punto de corte de las diagonales principales y punto medio de to-das ellas.

- Las aristas opuestas son simtricas con respecto al centro geomtrico.

- Las caras opuestas son simtricas con respecto al centro geomtrico y, por tanto, se encuentran en planos paralelos y equidistantes del centro. La sec-cin que produce el plano medio de dos caras opuestas es un decgono re-gular lado la mitad de la diagonal de la cara (diagonal del pentgono). Otros dos planos paralelos a ste producen secciones pentagonales de lado igual a la diagonal de la cara con vrtices en coincidentes con los del dodecaedro.

Vistas particulares de un dodecaedro regular en proyeccin ortogonal:


Representacin de un dodecaedro regular en posiciones particulares:

Desarrollo de un dodecaedro regular:


ICOSAEDRO REGULAR

Poliedro regular convexo de veinte caras triangulares. Tiene treinta aristas y doce vrtices.

Dimensiones principales: longitud de arista (a), altura de cara (h), diagonal principal (D) (mide la distancia entre vrtices opuestos), distancia entre ca-ras opuestas (H) y distancia entre aristas opuestas (d).






- Los vrtices opuestos son simtricos con respecto al centro geomtrico, el cual es el punto de corte de las diagonales principales y punto medio de to-das ellas.

- Las aristas opuestas son simtricas con respecto al centro geomtrico del geomtrico del poliedro, siendo, por tanto, paralelas entre s.

- Las caras opuestas son simtricas con respecto al centro geomtrico y, por tanto, se encuentran en planos paralelos y equidistantes del centro.

- Un plano perpendicular a una diagonal y que pasa por el centro geomtri-co produce como seccin un decgono regular de lado a/2.

Vistas particulares de un icosaedro regular en proyeccin ortogonal:


Representacin de un icosaedro regular en posiciones particulares:

Desarrollo de un icosaedro regular:


RELACIONES ENTRE POLIEDROS REGULARES CONVEXOS

La dualidad es la relacin geomtrica que puede existir entre dos poliedros regulares convexos a travs de sus respectivas esferas asociadas (la inscrita, la tangente a las aristas y la circunscrita). Cuando esta relacin se produce decimos que un poliedro y su dual son poliedros conjugados.

La dualidad entre dos poliedros concntricos se puede establecer en base a la esfera inscrita en uno de ellos, de modo que sta sea la esfera circunscri-ta del otro y que los vrtices de ste coincidan con los puntos de tangencia con la esfera, es decir, con los centros de las caras del primero. Por tanto, el nmero de caras (C) del primer poliedro debe ser igual al nmero de vrti-ces (V) de su poliedro dual o conjugado.

Igualmente, si la dualidad se establece en base a la esfera circunscrita, sta ser la inscrita del poliedro dual, coincidiendo los vrtices del primero con los centros de las caras del segundo. En este caso, el nmero de vrtices (V) del primer poliedro debe ser igual al nmero de caras (C) del segundo.

La dualidad se puede establecer tambin con respecto a la esfera tangente a las aristas. En este caso, las aristas se cortan una a una perpendicularmen-te en sus puntos medios, debiendo ser, por tanto, igual el nmero de aristas (A) en ambos poliedros.

En el caso de los poliedros regulares convexos se cumple que:

- un tetraedro tiene como poliedro dual o conjugado a otro tetraedro,

- un hexaedro tiene como poliedro conjugado a un octaedro y viceversa,

- un dodecaedro tiene como poliedro conjugado a un icosaedro y viceversa.

En la siguiente tabla, donde se indican, adems de los valores de C, V y A, el nmero de lados de las caras (X) y el nmero de aristas de los ngulos po-liedros (P), se pone de manifiesto la dualidad existente entre los poliedros regulares convexos:

C V A X P

Tetraedro 4 4 6 3 3

Hexaedro 6 8 12 4 3

Octaedro 8 6 12 3 4

Dodecaedro 12 20 30 5 3

Icosaedro 20 12 30 3 5


La relacin de inscripcin o circunscripcin entre poliedros se da cuando un poliedro queda incluido en otro o bien lo envuelve, existiendo una determi-nada correspondencia entre los vrtices, las aristas o las caras de ambos.

Entre los poliedros conjugados que estn relacionados mediante las esferas inscrita y circunscrita se producen relaciones de inscripcin-circunscripcin, pero, en el caso de los poliedros regulares convexos, encontramos, adems de stas, otras:

-Tetraedro inscrito en un hexaedro: en un hexaedro regular se pueden ins-cribir dos tetraedros regulares conjugados con respecto a la esfera tangente a sus aristas, que es a su vez la esfera inscrita en el hexaedro, teniendo to-dos ellos una misma esfera circunscrita. Los tetraedros se pueden obtener truncando completamente cuatro vrtices del cubo.

- Octaedro inscrito en un tetraedro: en todo tetraedro regular se inscribe un octaedro regular cuya longitud de arista es la mitad que la del tetraedro, de modo que ambos poliedros tienen una misma esfera inscrita. El octaedro se puede obtener truncando los vrtices del tetraedro a la mitad de la arista.

Los dos tetraedros regulares inscritos en un hexaedro regular se circunscri-ben a su vez a un octaedro regular, al cual tienen como slido comn y que es conjugado del cubo con respecto a la esfera inscrita.

- Hexaedro inscrito en un dodecaedro: las doce aristas del hexaedro regular coinciden con otras tantas diagonales de las caras del dodecaedro regular. La relacin entre las longitudes de arista de ambos poliedros es, por tanto, la que existe entre el lado del pentgono y su diagonal, es decir, la determi-nada por la seccin urea. En un mismo dodecaedro pueden estar inscritos un total de cinco hexaedros. Por su parte, un hexaedro regular admite dos dodecaedros circunscritos distintos.

- Dodecaedro inscrito en un hexaedro: ocho aristas del dodecaedro regular coinciden con paralelas medias de las caras del hexaedro. La esfera inscrita en el cubo es tangente a las aristas del dodecaedro. Si consideramos la rela-cin anterior, se cumple que la longitud de arista de los cubos inscrito y cir-cunscrito a un mismo dodecaedro es la seccin urea.

- Icosaedro inscrito en un hexaedro: como en el caso anterior, ocho aristas del icosaedro regular coinciden con paralelas medias de las caras del hexae-dro, siendo la relacin entre las longitudes de arista igual a la seccin urea. La esfera inscrita en el cubo es tangente a las aristas del icosaedro.


Otras relaciones derivadas, por combinacin, de las anteriores son la de te-traedro inscrito en dodecaedro (inscrito en un hexaedro inscrito a su vez en un dodecaedro), octaedro inscrito en dodecaedro (conjugado del cubo cir-cunscrito a un dodecaedro) u octaedro inscrito en un icosaedro (conjugado del cubo circunscrito a un icosaedro).

Las relaciones de dualidad entre poliedros regulares con respecto a la esfe-ra tangente a las aristas permiten tambin definir las siguientes maclas:

- Tetraedro-tetraedro.

- Octaedro-hexaedro. La longitud de arista del primero es igual a la diagonal de cara del segundo.

- Dodecaedro-icosaedro. La longitud de arista del primero es la seccin u-rea del segundo.

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