Szemcsés rendszerek

statikája

Tibély Gergely2006. X. 26.

Problémafelvetés

Statikai jellemzés?

Terhelhetőség?

Egyszerű példa

2 ismeretlen erőkomponens2 egyenlet

Létezik egyértelmű megoldás

3 ismeretlen erőkomponens2 egyenlet

Sok lehetséges megoldás van …ha a testek nem összenyomhatatlanok

gF1

F2

(Súrlódás nincs.)

Tanulságok

- Ha a kényszererők száma épp elég az egyensúlyhoz, a geometria meghatározza az erőket.

- Ha a minimálisan szükségesnél több kényszer van, sok megoldás létezik – nagyobb tolerancia külső terheléssel szemben?

Strukturális merevség

Modell: erők rudak l részecskék csatlakozási pontok

Esetek osztályozása strukturális merevség szerint:

- hipostatikus: kevés rúd, flexibilis - izostatikus: éppen elég rúd - hiperstatikus: szükségesnél több rúd

hiperstatikus eset: a rudak vagy deformálhatóak, vagy nem függetlenek a paramétereik (pl. tökéletes rács)

Ha a rudak(szemcsék) elég merevek (a külső terheléshez képest) és az erők függetlenek, csak izostatikus szerkezet lehetséges.

Mennyi kötés kell az izostatikussághoz?

Szabadsági fokok száma (konfigurációs tér dimenziója): Nf

Kontaktusszám: Nc

Hiperstatikus („felesleges”) kontaktusok száma: h

naiv becslés: hNN fc

Viszont: létezhetnek olyan elmozdulások, amelyekre minden kontaktus invariáns (pl. egész rendszer merev testként való mozgatása).

hkNN fc

Az ilyen „laza módusok” száma legyen: k

belátható:

Kritikus koordinációs szám

Koord. szám (z): egy részecske kontaktusainak száma. kritikus, ha az ismeretlen erőkomponensek száma azonos az

egyensúlyi egyenletek számával.z

Pl. súrlódásmentes, gömb alakú részecskékre: nd egyensúlyi egyenlet

kontaktus2

znNc

dzcrit

2

Érvelés deformálhatatlan részecskékre: Minden kontaktus egy szabadsági fokot vesz el, tehát a strukturális merevséghez legalább Nf kontaktus kell. Mivel merev részecskék esetén nem lehetnek egymással „ütköző” geometriai kényszerek, egyensúlyi egyenletek száma.

Tehát azaz

cN

fc NN critzz

Izostatikusság

Egy adott probléma (adott geometria + külső erők) izostatikus, ha az egyensúlyt leíró egyenletek egyértelműen meghatározzák a kontaktuserőket (és ha létezik egyensúlyi megoldás).

Ekkor h , azaz nincs több kontaktus a minimálisan szükségesnél.

Egy geometria izostatikus, ha minden külső terhelés izostatikus problémát definiál rajta.

Ekkor h és k k azaz csak triviális laza módusok vannak (k az összes részecske, mint merev test szabadsági fokainak száma).

Nem izostatikus geometriák

Ilyenkor z zcrit azaz általános külső erő esetén p valószínűséggel afeladat nem megoldható (kevesebb ismeretlen, mint egyenlet).

Miért látunk mégis ilyet: a geometria és a külső erők nem függetlenek, a külső erők állítják be a geometriát.

Laza módusok megengedettek, ha merőlegesek a terhelésre.

Izostatikus geometria törékenysége

Modell (nem egyforma sugarak!):

Perturbáció: egyik alsó erő pici megváltoztatásaMért válasz: függőleges elmozdulások négyzetes összege, a magasság függvényében

réteghi

iy yhD.

2)(

Izostatikus geometria törékenysége II.

0

Másik szimuláció:0

Konklúziók

- Szemcsés rendszerek statikájának leírásában a strukturális merevség hasznos koncepció.

- Izostatikus probléma (pl. merev részecskék) esetén pusztán a geometria meghatározza a megoldást (a kontaktuserőket).

- Izostatikus esetben a geometria törékeny: a terhelés változása jelentősen átalakíthatja.

Referenciák

- Unger, T. (2004). Characterization of static and dynamic structures in granular materials. PhD thesis, Budapest University of Technology and Economics

- Moukarzel, C. F. Isostatic Phase Transitions and Instability in Stiff Granular Materials. Phys. Rev. Lett. 81, 1634 (1998).

- Roux, J. N. Geometric origin of mechanical properties of granular materials. Phys. Rev. E 61, 6802 (2000).

- Kasahara, A. and Nakanishi H. Isostaticity and mechanical response of two-dimensional granular piles. Phys. Rev. E 70, 051309 (2004).