Mi + C( i + K(y)yi = Fi
yi = y(ti + ) y(ti)
i = (ti + ) (ti)
i = (ti + ) (ti)
Fi = F(ti + ) F(ti)
(t) = i + (t ti)
(t) = i + i(t ti) + (t ti)2
y(t) = yi + i (t ti) + i (t ti)2 + (t ti)3
i = i + i
yi = i + i 2 + i 2
i = yi - i - 3i
i = yi - 3i - i
i yi =
i = Ki + M + Ci
= Fi + M + Ci
=
i = i t + i t
yi = i t + i t2+ i t2
yi+1 = yi + yi
i+1 = i + i
i+1 =
Anggapan dasar dari metode wilson adalah percepatan yang
bervariasi secara linier dalam selang waktu t sampai dengan t + ,
dimana . Harga dari faktor ditentukan untuk mendapatkan suatu
proses numerik yang mempunyai stabilitas maksimum serta suatu
solusi yang tepat. Telah dibuktikan oleh Wilson bahwa untuk ,
metode ini menjadi tidak stabil.(Paz Mario, Dinamika Struktur-Teori
& Perhitungan, Edisi ke Dua, Bab 19, Hal. 381 )
(waktut1 + t1 + t1i(t)(t1)(t1 + ) (t1 + ) i = )
Gambar 2.1 Anggapan Tentang Percepatan Linier Dalam Suatu
Pertambahan
Selang Waktu.
Persamaan gerak inkremental yang telah diturunkan sebelumnya
ditulis kembali
Mi + C( i + K(y)yi = Fi
dimana tanda circumflex diatas menyatakan
pertambahan/inkremental yang berhubungan dengan selang waktu .
Jadi
yi = y(ti + ) y(ti)
i = (ti + ) (ti)
i = (ti + ) (ti)
Dan,
Fi = F(ti + ) F(ti)
Dari gambar 2.1. Dapat kita tulis suatu bentuk linier untuk
percepatan dalam suatu pertambahan selang waktu sebagai
(t) = i + (t ti)
Di mana diberikan oleh persamaan (). Dengan mengintegrasi
persamaan ()sebanyak dua kali, akan menghasilkan
(t) = i + i(t ti) + (t ti)2
dan,
y(t) = yi + i (t ti) + i (t ti)2 + (t ti)3
Dengan mengevaluasi persamaan () dan () pada akhir dari suatu
selang waktu yaitu , didapat
i = i + i
Dan,
yi = i + i 2 + i 2
untuk suatu pertambahan percepatan i kemudian disubtitusikan
kedalam persamaan (3-14), maka kita peroleh
i = yi - i - 3i
Dan,
i = yi - 3i - i
Akhirnya, dengan mensubtitusikan persamaan (3-16) dan (3-17)
kedalam persamaan gerak inkremental yaitu persamaan (3-6), akan
dihasilkan sebuah persamaan untuk pertambahan perpindahan yi yang
dapat ditulis sebagai
i yi =
Dimana,
i = Ki + M + Ci
Dan,
= Fi + M + Ci
persamaan ini mempunyai bentuk yang sama seperti persamaan
kesimbangan inkremental dan dapat diselesaikan untuk mendapatkan
pertambahan simpangan yi dengan hanya menyelesaikan persamaan
linier dari suatu sistem.
Untuk mendapatkan pertambahan percepatan i selama suatu selang
waktu, perlu kita mensubtitusikan harga yi yang didapat dari solusi
persamaan (3-18), kedalam persamaan (3-16). Pertambahan percepatan
i untuk selang waktu didapat dengan interpolasi linier. Jadi,
=
Untuk menghitung pertambahan kecepatan dan simpangan sehubungan
dengan selang waktu normal , kita subtitusikan menggantikan
parameter waktu dalam persamaan () dan (), yaitu
i = i t + i t
Dan,
yi = i t + i t2+ i t2
Akhirnya, simpangan yi+1 dan percepatan i+1 pada akhir dari
selang waktu normal, dihitung dengan
yi+1 = yi + yi
dan,
i+1 = i + i
Kemudian persamaan awal pada selang waktu berikutnya dihitung
dari kondisi keseimbangan dinamis pada waktu t + t, menjadi
i+1 =
dimana perkalian serta menyatakan vektor-vektor gaya redaman dan
gaya kekakuan pada akhir selang waktu ,maka proses perhitungan
diulangi untuk mendapatkan besaran-besaran tersebut di atas pada
selang waktu akhir berikutnya dan proses ini dilanjutkan sampai
dengan waktu akhir yang diinginkan.
Algoritma langkah demi langkah untuk sistem linear
Algoritma langkah demi langkah ini disusun berdasarkan pada
metode integrasi wilson- yang kemudian disesuaikan dengan matriks
kekakuan struktur (Kekakuan, Massa, Redaman).
1. Hitung matriks kekakuan Kn, matriks massa Mn, matriks redaman
Cn dan gaya Fn dengan menggunakan persamaan (2-42)
2. Tentukan harga-harga awal simpangan 0, kecepatan 0, dan gaya
F0
3. Hitung percepatan awal 0 dari
M0 = F0 - C0 - K0
4. Pilih suatu selang waktu t, faktor (biasanya diambil 1,4) dan
hitung konstanta-konstanta , a1, a2, a3, dan a4 dari
hubungan-hubungan berikut,
; ; ; ;
5. Hitung matriks kekakuan efektif , yaitu
Untuk setiap selang waktu
6. Hitung pertambahan beban untuk selang waktu ti sampai dengan
ti + , dari hubungan berikut ini
7. Hitung pertambahan beban efektif untuk selang waktu sampai
dengan dari hubungan berikut
8. Hitung pertambahan simpangan dengan persamaan berikut
9. Hitung pertambahan percepatan untuk pertambahan untuk
pertambahan selang waktu , dari hubungan berikut
10. Hitung pertambahan percepatan untuk selang waktu normal
11. Hitung pertambahan kecepatan dan pertambahan perpindahan
dari waktu sampai dengan , dari hubungan berikut ini
12. Hitung simpangan dan kecepatan pada waktu dengan menggunkan
persamaan berikut
13. Hitung percepatan pada waktu langsung dari persamaan
keseimbangan dari gerak, yaitu
14. Ulangi kembali langkah 6 sampai dengan langkah 13 hingga
diperoleh simpangan, kecepatan, dan percepatan yang diinginkan.
