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10.10. SimplificaciSimplificacióón de funciones ln de funciones lóógicasgicascon el mcon el méétodo de Quinetodo de Quine--McCluskeyMcCluskeyOliverio J. Santana Jaria

Sistemas DigitalesIngeniería Técnica en Informática de Sistemas

Curso 2006 – 2007

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 2

IntroducciIntroduccióónn� El método de Karnaugh permite minimizar funciones lógicas de forma efectiva, pero tiene dos desventajas importantes� Depende de la habilidad del usuario para detectar patrones� Es difícil de aplicar en funciones de más de cuatro variables� Los objetivos de este tema son:� Describir el método de Quine-McCluskey para la simplificación de funciones lógicas� Aplicar este método a función incompletamente especificadas� Aplicar este método a la minimización conjunta de las funciones correspondientes a circuitos con salida múltiple

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Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 3

Estructura del temaEstructura del tema� Introducción� Método de simplificación de Quine-McCluskey� Obtención de términos producto� Selección de términos producto� Selección de términos no esenciales� Funciones incompletamente especificadas� Circuitos con salida múltiple� Resumen y bibliografía

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 4

El mEl méétodo de Quinetodo de Quine--McCluskeyMcCluskey� El método de Quine-McCluskey es un método tabular de simplificación que facilita la minimización de funciones de más de cuatro variables� Además, este método es sistemático y no depende de la habilidad de una persona para reconocer patrones dentro de un mapa� Debido a estas características, hay variantes de este método que están implementadas en programas de ordenador para el diseño de circuitos

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Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 5

El mEl méétodo de Quinetodo de Quine--McCluskeyMcCluskey� El método de Quine-McCluskey parte de una función booleana expresada como una suma de productos en forma canónica� El primer paso del método consiste en obtener todos los términos producto que pueden formar parte de la nueva expresión simplificada� Una vez obtenidos los términos producto, el segundo paso consiste en generar la expresión minimizada, es decir, identificar la combinación mínima de términos que representa la función que estamos simplificando

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 6

ObtenciObtencióón de los tn de los téérminos productorminos producto� Comenzamos obteniendo todas las parejas de términos producto cuyo valor difiera en una sola variable� Se agrupan todos los términos producto que valgan 1 y que tengan el mismo número de variables con valor 1� Se ordenan los grupos, en orden ascendente, según el número de variables con valor 1 � Para formar las parejas solo es necesario comparar los términos producto de un grupo con los del siguiente� Una vez hecho esto, se repite el proceso con los grupos resultantes hasta que no sea posible obtener más parejas

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Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 7

ObtenciObtencióón de los tn de los téérminos productorminos producto� En primer lugar hay que agrupar los términos y ordenarlos según el número de variables con valor 1A B C D

0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1

1011101101010101

0)1)2)3)4)5)6)7)8)9)

10)11)12)13)14)15)

(0) 0 0 0 0

(2) 0 0 1 0(4) 0 1 0 0

(3) 0 0 1 1(6) 0 1 1 0(9) 1 0 0 1

(7) 0 1 1 1(11) 1 0 1 1(13) 1 1 0 1

(15) 1 1 1 1

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 8

ObtenciObtencióón de los tn de los téérminos productorminos producto� A continuación se forman parejas entre grupos que difieran en el valor de una única variable(0) 0 0 0 0

(2) 0 0 1 0(4) 0 1 0 0

(3) 0 0 1 1(6) 0 1 1 0(9) 1 0 0 1

(7) 0 1 1 1(11) 1 0 1 1(13) 1 1 0 1

(15) 1 1 1 1

(0,2) 0 0 – 0(0,4) 0 – 0 0(2,3) 0 0 1 –(2,6) 0 – 1 0(4,6) 0 1 – 0(3,7) 0 – 1 1(3,11) – 0 1 1(6,7) 0 1 1 –(9,11) 1 0 – 1(9,13) 1 – 0 1(7,15) – 1 1 1(11,15) 1 – 1 1(13,15) 1 1 – 1

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Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 9

ObtenciObtencióón de los tn de los téérminos productorminos producto� Si repetimos el proceso una vez más llegamos a un punto en el que no es posible simplificar más(0,2) 0 0 – 0(0,4) 0 – 0 0(2,3) 0 0 1 –(2,6) 0 – 1 0(4,6) 0 1 – 0(3,7) 0 – 1 1(3,11) – 0 1 1(6,7) 0 1 1 –(9,11) 1 0 – 1(9,13) 1 – 0 1(7,15) – 1 1 1(11,15) 1 – 1 1(13,15) 1 1 – 1

(0,2,4,6) 0 – – 0

(2,3,6,7) 0 – 1 –

(3,7,11,15) – – 1 1(9,11,13,15) 1 – – 1

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 10

ObtenciObtencióón de los tn de los téérminos productorminos producto� A partir de las combinaciones obtenidas podemos deducir los términos producto(0,2,4,6) 0 – – 0

(2,3,6,7) 0 – 1 –

(3,7,11,15) – – 1 1

(9,11,13,15) 1 – – 1

A B C D

AD

AC

CD

AD

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Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 11

SelecciSeleccióón de los tn de los téérminos productorminos producto� Hay que tener en cuenta todos los grupos tales que no haya uno mayor que los contenga, aunque no todos ellos aparecerán necesariamente en la expresión minimizada� Sólo es necesario elegir un conjunto de términos producto que cubran todas las combinaciones en las que la salida de la función deba valer 1� Se genera una tabla de selección marcando qué términos producto cubren cada combinación� Se seleccionan aquellos términos que son los únicos que cubren una combinación y, por tanto, son esenciales� Se eligen los términos para cubrir las otras combinaciones

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 12

SelecciSeleccióón de los tn de los téérminos productorminos producto� La tabla de selección nos indica la relación entre los términos producto y las combinaciones cubiertas por cada uno de ellos(0,2,4,6)

(2,3,6,7)

(3,7,11,15)

(9,11,13,15)

AD

AC

CD

AD

0 2 3 4 6 7 9 11 13 15

X X X X

X X X X

XX XX

XX XX

7

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 13

SelecciSeleccióón de los tn de los téérminos productorminos producto� Una vez tenemos la tabla debemos identificar los términos esenciales, o sea, aquellos que sean los únicos en cubrir una determinada combinación(0,2,4,6)

(2,3,6,7)

(3,7,11,15)

(9,11,13,15)

AD

AC

CD

AD

0 2 3 4 6 7 9 11 13 15

X X X X

X X X X

XX XX

XX XX

√ √ √ √ √ √ √ √

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 14

SelecciSeleccióón de los tn de los téérminos productorminos producto� Para cubrir las combinaciones restantes hay dos posibles términos, o sea, existen dos funciones mínimas posibles(0,2,4,6)

(2,3,6,7)

(3,7,11,15)

(9,11,13,15)

AD

AC

CD

AD

0 2 3 4 6 7 9 11 13 15

X X X X

X X X X

XX XX

XX XX

√ √ √ √ √ √ √ √√ √AD AC AD+ +

8

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 15

SelecciSeleccióón de los tn de los téérminos productorminos producto� Para cubrir las combinaciones restantes hay dos posibles términos, o sea, existen dos funciones mínimas posibles(0,2,4,6)

(2,3,6,7)

(3,7,11,15)

(9,11,13,15)

AD

AC

CD

AD

0 2 3 4 6 7 9 11 13 15

X X X X

X X X X

XX XX

XX XX

√ √ √ √ √ √ √ √√ √AD CD AD+ +

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 16

SelecciSeleccióón de los tn de los téérminos no esencialesrminos no esenciales� En el ejemplo anterior, los términos producto esenciales cubrían ocho de las diez combinaciones, con lo que era sencillo obtener la cobertura mínima de las otras dos� Sin embargo, es posible que sea necesario escoger entre un gran número de términos producto para generar la cobertura de las combinaciones restantes� Una forma metódica de realizar esta selección es generando un producto de sumas en el que cada suma representa el conjunto de términos producto que cubren una determinada combinación

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Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 17

SelecciSeleccióón de los tn de los téérminos no esencialesrminos no esenciales� Una vez obtenida el producto de sumas, se aplica la propiedad distributiva para multiplicarlos entre ellos y obtener una expresión en forma de suma de productos� Cada término de la suma de productos simplificada representa una posible combinación de términos que cubre todas las combinaciones restantes� De entre todas las posibles coberturas, se debe elegir aquella que requiera el menor número de términos

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 18

AplicaciAplicacióón de Quinen de Quine--McCluskeyMcCluskey� Podemos aplicar el método de Quine-McCluskey a la siguiente función:A B C D

0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1

0010001111000101

0)1)2)3)4)5)6)7)8)9)

10)11)12)13)14)15)

(2) 0 0 1 0(8) 1 0 0 0

(6) 0 1 1 0(9) 1 0 0 1

(7) 0 1 1 1(13) 1 1 0 1

(15) 1 1 1 1

F(A,B,C,D) = ∑(2,6,7,8,9,13,15)

10

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 19

AplicaciAplicacióón de Quinen de Quine--McCluskeyMcCluskey� Formando las parejas posibles nos encontramos con que, en la tabla resultante, ya no será posible formar nuevas parejas(2,6) 0 – 1 0(8,9) 1 0 0 –

(6,7) 0 1 1 –(9,13) 1 – 0 1

(7,15) – 1 1 1(13,15) 1 1 – 1

(2) 0 0 1 0(8) 1 0 0 0

(6) 0 1 1 0(9) 1 0 0 1

(7) 0 1 1 1(13) 1 1 0 1

(15) 1 1 1 1

ACDABC

ABCACD

BCDABD

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 20

AplicaciAplicacióón de Quinen de Quine--McCluskeyMcCluskey� A continuación generamos la tabla de selección y detectamos los términos esenciales(2,6)

(8,9)

(6,7)(9,13)

ACD

2 6 7 8 9 13 15

X XX X

X XX X

XXX X

(7,15)(13,15)

ABC

ABC

ACDBCDABD

√ √ √ √

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Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 21

AplicaciAplicacióón de Quinen de Quine--McCluskeyMcCluskey� Finalmente se debe elegir qué términos no esenciales darán cobertura a las combinaciones que todavía no se han cubierto(2,6)

(8,9)

(6,7)(9,13)

ACD

2 6 7 8 9 13 15

X XX X

X XX X

XXX X

(7,15)(13,15)

ABC

ABC

ACDBCDABD

√ √ √ √P0

P1

P2

P3

P4

P5

P2 + P4

P3 + P5

P4 + P5

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 22

AplicaciAplicacióón de Quinen de Quine--McCluskeyMcCluskey� Las tres sumas obtenidas se expresan como suma de productos y se simplifican, aplicando la propiedad distributiva, para buscar los términos mínimos(P2 + P4)(P3 + P5)(P4 + P5)

(P2 + P4)(P3P4 + P3P5 + P4P5 + P5P5)

(P2 + P4)(P3P4 + P3P5 + P4P5 + P5)

P2P3P4 + P2P3P5 + P2P4P5 + P2P5 + P4P3P4 + P4P3P5 + P4P4P5 + P4P5

P2P3P4 + P2P3P5 + P2P4P5 + P2P5 + P3P4 + P3P4P5 + P4P5

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Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 23

AplicaciAplicacióón de Quinen de Quine--McCluskeyMcCluskey� Cualquiera de los términos producto mínimos obtenidos es válido para cubrir las combinaciones que no cubren los término esencialesP2P3P4 + P2P3P5 + P2P4P5 + P2P5 + P3P4 + P3P4P5 + P4P5

ACD ABC+ACD

ABC

ABC

ACDBCDABD

P0

P1

P2

P3

P4

P5

ABC+ ABD+

ACD ABC+ BCD+ ABD+

ACD ABC+ + BCDACD +

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 24

Estructura del temaEstructura del tema� Introducción� Método de simplificación de Quine-McCluskey� Obtención de términos producto� Selección de términos producto� Selección de términos no esenciales� Funciones incompletamente especificadas� Circuitos con salida múltiple� Resumen y bibliografía

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Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 25

Funciones incompletamente especificadasFunciones incompletamente especificadas� El método de Quine-McCluskey también se puede beneficiar de la presencia de términos indiferentes� Para obtener los términos producto usaremos no sólo las combinaciones con salida 1 sino también aquellas combinaciones con salida indiferente� De esta manera incrementaremos las posibilidades de combinar parejas para reducir la función resultante� Finalmente, para seleccionar los términos que usaremos, se debe tener en cuenta que no es necesario cubrir las combinaciones con salida indiferente

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 26

Funciones incompletamente especificadasFunciones incompletamente especificadas� El método de Quine-McCluskey puede aplicarse a la función:A B C D

0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1

X1X1X0101011XX00

0)1)2)3)4)5)6)7)8)9)

10)11)12)13)14)15)

(0) 0 0 0 0

F(A,B,C,D) = ∑(1,3,6,8,10,11) + ∑x(0,2,4,12,13)

(1) 0 0 0 1(2) 0 0 1 0

(3) 0 0 1 1

(4) 0 1 0 0

(6) 0 1 1 0

(8) 1 0 0 0

(10) 1 0 1 0(12) 1 1 0 0(11) 1 0 1 1(13) 1 1 0 1

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Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 27

Funciones incompletamente especificadasFunciones incompletamente especificadas� A continuación se puede comenzar a formar parejas(0) 0 0 0 0(1) 0 0 0 1(2) 0 0 1 0

(3) 0 0 1 1

(4) 0 1 0 0

(6) 0 1 1 0

(8) 1 0 0 0

(10) 1 0 1 0(12) 1 1 0 0(11) 1 0 1 1(13) 1 1 0 1

(0,1) 0 0 0 –(0,2) 0 0 – 0(0,4) 0 – 0 0(0,8) – 0 0 0(1,3) 0 0 – 1(2,3) 0 0 1 –(2,6) 0 – 1 0(2,10) – 0 1 0(4,6) 0 1 – 0(4,12) – 1 0 0(8,10) 1 0 – 0(8,12) 1 – 0 0

(3,11) – 0 1 1(10,11) 1 0 1 –(12,13) 1 1 0 –

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 28

Funciones incompletamente especificadasFunciones incompletamente especificadas� Es posible seguir formando nuevas parejas(0,1) 0 0 0 –(0,2) 0 0 – 0(0,4) 0 – 0 0(0,8) – 0 0 0(1,3) 0 0 – 1(2,3) 0 0 1 –(2,6) 0 – 1 0(2,10) – 0 1 0(4,6) 0 1 – 0(4,12) – 1 0 0(8,10) 1 0 – 0(8,12) 1 – 0 0

(3,11) – 0 1 1(10,11) 1 0 1 –(12,13) 1 1 0 –

(0,1,2,3) 0 0 – –(0,2,1,3) 0 0 – –(0,2,4,6) 0 – – 0(0,2,8,10) – 0 – 0(0,4,2,6) 0 – – 0(0,4,8,12) – – 0 0(0,8,2,10) – 0 – 0(0,8,4,12) – – 0 0

(2,3,10,11) – 0 1 –(2,10,3,11) – 0 1 –

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Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 29

Funciones incompletamente especificadasFunciones incompletamente especificadas� Aunque ya no se pueden crear más parejas, tenemos varias parejas repetidas que podemos eliminar(0,1,2,3) 0 0 – –(0,2,1,3) 0 0 – –(0,2,4,6) 0 – – 0(0,2,8,10) – 0 – 0(0,4,2,6) 0 – – 0(0,4,8,12) – – 0 0(0,8,2,10) – 0 – 0(0,8,4,12) – – 0 0

(2,3,10,11) – 0 1 –(2,10,3,11) – 0 1 –

(0,1,2,3) 0 0 – –(0,2,4,6) 0 – – 0(0,2,8,10) – 0 – 0(0,4,8,12) – – 0 0

(2,3,10,11) – 0 1 –

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 30

Funciones incompletamente especificadasFunciones incompletamente especificadas� A partir de estos grupos obtendremos los términos producto que pueden formar parte de la expresión minimizada de esta función(0,1,2,3) 0 0 – –(0,2,4,6) 0 – – 0(0,2,8,10) – 0 – 0(0,4,8,12) – – 0 0

(2,3,10,11) – 0 1 –

ABADBDCD

BC

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Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 31

Funciones incompletamente especificadasFunciones incompletamente especificadas� A continuación creamos la tabla de selección para las combinaciones que hay que cubrir, o sea, aquellas cuyo valor de salida es 1(0,1,2,3) AB

1 3 6 8 10 11

X X

X

X X

X

(0,2,4,6) AD

(0,2,8,10) BD

(0,5,8,12) CD

(2,3,10,11) BC XX X

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 32

Funciones incompletamente especificadasFunciones incompletamente especificadas� Tras la selección de los términos esenciales sólo queda un término por cubrir(0,1,2,3) AB

1 3 6 8 10 11

X X

X

X X

X

(0,2,4,6) AD

(0,2,8,10) BD

(0,5,8,12) CD

(2,3,10,11) BC XX X

√ √ √ √ √

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Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 33

Funciones incompletamente especificadasFunciones incompletamente especificadas� Hay dos posibilidades para cubrir el término restante, es decir, hay dos funciones mínimas posibles(0,1,2,3) AB

1 3 6 8 10 11

X X

X

X X

X

(0,2,4,6) AD

(0,2,8,10) BD

(0,5,8,12) CD

(2,3,10,11) BC XX X

√ √ √ √ √√AB AD BDBC+ + +

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 34

Funciones incompletamente especificadasFunciones incompletamente especificadas� Hay dos posibilidades para cubrir el término restante, es decir, hay dos funciones mínimas posibles(0,1,2,3) AB

1 3 6 8 10 11

X X

X

X X

X

(0,2,4,6) AD

(0,2,8,10) BD

(0,5,8,12) CD

(2,3,10,11) BC XX X

√ √ √ √ √√AB AD+ + CDBC+

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Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 35

Estructura del temaEstructura del tema� Introducción� Método de simplificación de Quine-McCluskey� Obtención de términos producto� Selección de términos producto� Selección de términos no esenciales� Funciones incompletamente especificadas� Circuitos con salida múltiple� Resumen y bibliografía

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 36

Circuitos con salida mCircuitos con salida múúltipleltiple� El método de Quine-McCluskey puede aplicarse a la minimización de funciones con salida múltiple� El proceso de obtención de los términos producto debe tener en cuenta las combinaciones que cubre cada término y las funciones a las que pertenece� Cuando se forme una pareja, ésta sólo pertenecerá a una función si sus dos componentes pertenecen a ella� No se podrá formar una pareja si los dos candidatos no pertenecen, como mínimo, a una misma función� La selección de los términos producto se hará por separado para cada función

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Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 37

SimplificaciSimplificacióón de multin de multi--funcionesfunciones� El método de Quine-McCluskey puede aplicarse para minimizar estas tres funciones:A B C D F1 F2 F3

0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1

1 0 01 0 01 1 01 1 00 0 00 1 00 1 00 1 01 1 10 0 11 1 10 1 00 1 10 0 10 1 10 1 0

0)1)2)3)4)5)6)7)8)9)

10)11)12)13)14)15)

F1(A,B,C,D) = ∑(0,1,2,3,8,10)

F2(A,B,C,D) = ∑(2,3,5,6,7,8,10,11,12,14,15)

F3(A,B,C,D) = ∑(8,9,10,12,13,14)

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 38

SimplificaciSimplificacióón de multin de multi--funcionesfunciones� A partir de la tabla de verdad se agrupan los términos, indicando a que función pertenecenA B C D F1 F2 F3

0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1

1 0 01 0 01 1 01 1 00 0 00 1 00 1 00 1 01 1 10 0 11 1 10 1 00 1 10 0 10 1 10 1 0

0)1)2)3)4)5)6)7)8)9)

10)11)12)13)14)15)

(0) 0 0 0 0 F1

(1) 0 0 0 1 F1(2) 0 0 1 0 F1F2(8) 1 0 0 0 F1F2F3

(3) 0 0 1 1 F1F2(5) 0 1 0 1 F2(6) 0 1 1 0 F2(9) 1 0 0 1 F3(10) 1 0 1 0 F1F2F3(12) 1 1 0 0 F2F3

(7) 0 1 1 1 F2(11) 1 0 1 1 F2(13) 1 1 0 1 F3(14) 1 1 1 0 F2F3

(15) 1 1 1 1 F2

20

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 39

SimplificaciSimplificacióón de multin de multi--funcionesfunciones� Los grupos que pertenecen a una misma función dan lugar a parejas(0,1) 0 0 0 – F1

(0,2) 0 0 – 0 F1

(0,8) – 0 0 0 F1

(1,3) 0 0 – 1 F1

(1,5) 0 – 0 1 (1,9) – 0 0 1 (2,3) 0 0 1 – F1F2

(2,6) 0 – 1 0 F2

(2,10) – 0 1 0 F1F2(8,9) 1 0 0 – F3

(8,10) 1 0 – 0 F1F2F3

(8,12) 1 – 0 0 F2F3

(11,15) 1 – 1 1 F2

(13,15) 1 1 – 1 (14,15) 1 1 1 – F2

(7,15) – 1 1 1 F2

(3,7) 0 – 1 1 F2

(3,11) – 0 1 1 F2

(5,7) 0 1 – 1 F2(5,13) – 1 0 1 (6,7) 0 1 1 – F2

(6,14) – 1 1 0 F2

(9,11) 1 0 – 1 (9,13) 1 – 0 1 F3

(10,11) 1 0 1 – F2

(10,14) 1 – 1 0 F2F3

(12,13) 1 1 0 – F3

(12,14) 1 1 – 0 F2F3

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 40

SimplificaciSimplificacióón de multin de multi--funcionesfunciones� Las parejas anteriores dan lugar a nuevas parejas(0,1,2,3) 0 0 – – F1

(0,1,8,9) – 0 0 –(0,2,1,3) 0 0 – – F1(0,2,8,10) – 0 – 0 F1

(0,8,2,10) – 0 – 0 F1

(1,3,5,7) 0 0 – –(2,3,6,7) 0 – 1 – F2

(2,3,10,11) – 0 1 – F2(2,6,3,7) 0 – 1 – F2

(2,6,10,14) – – 1 0 F2

(2,10,3,11) – 0 1 – F2

(2,10,6,14) – – 1 0 F2

(8,9,10,11) 1 0 – –(8,9,12,13) 1 – 0 – F3

(8,10,12,14) 1 – – 0 F2F3

(8,12,10,14) 1 – – 0 F2F3

(8,12,9,13) 1 – 0 – F3

(3,7,11,15) – – 1 1 F2

(3,11,7,15) – – 1 1 F2

(6,7,14,15) – 1 1 – F2

(6,14,7,15) – 1 1 – F2(9,13,11,15) 1 – – 1 (10,11,14,15) 1 – 1 – F2

(10,14,11,15) 1 – 1 – F2

(12,13,14,15) 1 1 – –

21

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 41

SimplificaciSimplificacióón de multin de multi--funcionesfunciones� En el paso anterior surgieron varias repeticiones que se pueden eliminar(0,1,2,3) 0 0 – – F1

(0,2,8,10) – 0 – 0 F1

(2,3,6,7) 0 – 1 – F2

(2,3,10,11) – 0 1 – F2

(2,6,10,14) – – 1 0 F2

(8,9,12,13) 1 – 0 – F3

(8,10,12,14) 1 – – 0 F2F3

(3,7,11,15) – – 1 1 F2

(6,7,14,15) – 1 1 – F2

(10,11,14,15) 1 – 1 – F2

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 42

SimplificaciSimplificacióón de multin de multi--funcionesfunciones� A continuación tendremos una última ronda de creación de parejas, que da lugar a tres parejas que cubren las mismas combinaciones(2,3,6,7,10,11,14,15) – – 1 – F2

(2,3,10,11,6,7,14,15) – – 1 – F2

(2,6,10,14,3,7,11,15) – – 1 – F2

(8,9,12,13,10,11,14,15) 1 – – –

(2,3,6,7,10,11,14,15) – – 1 – F2

22

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 43

SimplificaciSimplificacióón de n de multimulti--funcionesfunciones� De todos los grupos generados debemos elegir aquellos tales que no exista ninguno que lo contenga y pertenezca a las mismas funciones que él(2,3) F1F2 0 0 1 – ABC(2,10) F1F2 – 0 1 0

(8,10) F1F2F3 1 0 – 0(5,7) F2 0 1 – 1

(8,9,12,13) F3 1 – 0 –

(0,1,2,3) F1 0 0 – –(0,2,8,10) F1 – 0 – 0

(8,10,12,14) F2F3 1 – – 0(2,3,6,7,10,11,14,15) F2 – – 1 –

BCD

ABDABD

ACBDAB

ADC

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 44

SimplificaciSimplificacióón de n de multimulti--funcionesfunciones� Ahora podemos crear la tabla de selección para la función F1 e identificar los términos esenciales(2,3) F1F2 ABC(2,10) F1F2

(8,10) F1F2F3

(5,7) F2

(8,9,12,13) F3

(0,1,2,3) F1

(0,2,8,10) F1

(8,10,12,14) F2F3

(2,3,6,7,10,11,14,15) F2

BCD

ABDABD

AC

ABBD

ADC

0 1 2 3 8 10

X XX X

X XX X X X

X X X X

√ √ √ √

23

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 45

SimplificaciSimplificacióón de n de multimulti--funcionesfunciones� Para cubrir las combinaciones restantes elegimos al candidato más simple(2,3) F1F2 ABC(2,10) F1F2

(8,10) F1F2F3

(5,7) F2

(8,9,12,13) F3

(0,1,2,3) F1

(0,2,8,10) F1

(8,10,12,14) F2F3

(2,3,6,7,10,11,14,15) F2

BCD

ABDABD

ABBD

ADC

0 1 2 3 8 10

X XX X

X XX X X X

X X X X

√ √ √ √ √ √F1 = AB BD+

AC

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 46

SimplificaciSimplificacióón de n de multimulti--funcionesfunciones� Los términos esenciales de la función F2 cubren todas las combinaciones(2,3) F1F2 ABC(2,10) F1F2

(8,10) F1F2F3

(5,7) F2

(8,9,12,13) F3

(0,1,2,3) F1

(0,2,8,10) F1

(8,10,12,14) F2F3

(2,3,6,7,10,11,14,15) F2

BCD

ABDABD

AC

ABBD

ADC

2 3 5 6 7 8 10 11 12 14 15

X

√ √ √ √X

X X

X X

X X

X X X X

X X X X X X X X

√ √ √ √ √ √ √F2 = ABD AD+ C+

24

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 47

SimplificaciSimplificacióón de n de multimulti--funcionesfunciones� Los términos esenciales de la función F3 cubren todas las combinaciones, estando uno ellos compartido con la función F2(2,3) F1F2 ABC(2,10) F1F2

(8,10) F1F2F3

(5,7) F2

(8,9,12,13) F3

(0,1,2,3) F1

(0,2,8,10) F1

(8,10,12,14) F2F3

(2,3,6,7,10,11,14,15) F2

BCD

ABDABD

AC

ABBD

ADC

8 9 10 12 13 14

X

√X

X X X X

X X X X

√ √ √√ √F3 = AC AD+

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 48

Estructura del temaEstructura del tema� Introducción� Método de simplificación de Quine-McCluskey� Obtención de términos producto� Selección de términos producto� Selección de términos no esenciales� Funciones incompletamente especificadas� Circuitos con salida múltiple� Resumen y bibliografía

25

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 49

ResumenResumen� Al igual que el método de Karnaugh, el método de Quine-McCluskey permite obtener, de forma sistemática, la función lógica mínima que representa un circuito digital� Las principales ventajas de este método son la capacidad de minimizar funciones con muchas variables y la posibilidad de automatizarlo� Este método también permite trabajar con funciones incompletamente especificadas y con funciones de salida múltiple, aprovechando sus características particulares para minimizar aún más las funciones

Simplificación de funciones lógicas con el método d e Quine-McCluskey 50

BibliografBibliografííaaPrincipios de Diseño DigitalCapítulo 4Daniel D. GajskiPrentice Hall, 1997Sistemas Electrónicos DigitalesCapítulo 3Enrique MandadoMarcombo, 1991