Universidad T´ ecnica Federico Santa Mar´ ıa Departamento de Matem´ atica Taller 4 (MAT024) 3 er Semestre de 2014. Viernes 09 de Enero • Problema 1. Usar coordenadas cil´ ındricas para representar ZZZ K (x 2 + y 2 )dV, sabiendo que 1. K = {(x, y, z): x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4, √ 2 ≤ z ≤ 2} 2. K = {(x, y, z): x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4, 2 ≤ z ≤ √ 3} 3. K = {(x, y, z): x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4, 2 ≤ z ≤ √ 3,x ≤ 0,y ≥ 0} • Problema 2. Sea D un s´ olido delimitado por: x 2 - y 2 =1,x 2 - y 2 = 5, xy =1, xy =4,x +y +3z =2,x +y +3z = a, x > 0, con densidad ρ(x, y, z)= g(x 2 -y 2 ), donde g(u) > 0, ∀u. Adem´ as, considere un segundo s´ olido E delimitado por: 0 ≤ z ≤ g(x), -x ≤ y ≤ 5 - x, 1 ≤ x ≤ 5, cuya densidad en cada punto es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al eje z. Determine bajo qu´ e condiciones del par´ ametro a, el momento de inercia del s´ olido D es mayor que el momento de inercia del s´ olido E, donde ambos momentos de inercia son calculados con respecto al eje z. • Problema 3. Usar coordenadas esf´ ericas para representar la integral ZZZ K dV p x 2 + y 2 +(z - 4) 2 sabiendo que 1. K = {(x, y, z): x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4, √ 2 ≤ z ≤ 2} 2. K = {(x, y, z): x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4, 2 ≤ z ≤ √ 3} • Problema 4. Calcular ZZZ T x 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2 dxdydz donde T es el s´ olido que est´ a por debajo de la superﬁcie x 2 + y 2 = z 2 , por encima de x 2 + y 2 =3z 2 y dentro de x 2 + y 2 + z 2 = 4. • Problema 5. Sea S la regi´ on por arriba del plano XY y entre las esferas de radios respectivamente a y b centradas en el origen (0 <a<b). Calcular ZZZ S z 2 p x 2 + y 2 + z 2 dV • Problema 6. Calcular ZZZ Q xe (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 dV donde Q es el s´ olido que est´ a entre las esferas x 2 + y 2 + z 2 =1y x 2 + y 2 + z 2 = 4 en el segundo octante (x ≤ 0,y ≥ 0,z ≥ 0). • Problema 7. Hallar la masa del cuerpo limitado por el paraboloide x 2 + y 2 =2az, y la esfera x 2 + y 2 + z 2 =3a 2 (z> 0) si la densidad en cada punto es igual a la suma de los cuadrados de sus coordenadas. Rpta: a 5 π 5 18 √ 3 - 97 6 . Ejercicios Taller 4 (Mat024) 1

Taller 4 Mat024 Verano 2015

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Taller 4

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Universidad Tecnica Federico Santa MaraDepartamento de Matematica

Taller 4 (MAT024)

3er Semestre de 2014. Viernes 09 de Enero

Problema 1. Usar coordenadas cilndricas para representarK

(x2 + y2)dV, sabiendo que

1. K = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 4, 2 z 2}2. K = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 4, 2 z 3}3. K = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 4, 2 z 3, x 0, y 0}

Problema 2. Sea D un solido delimitado por: x2 y2 = 1, x2 y2 = 5,xy = 1, xy = 4, x+y+3z = 2, x+y+3z = a, x > 0, con densidad (x, y, z) = g(x2y2),donde g(u) > 0, u. Ademas, considere un segundo solido E delimitado por:0 z g(x),x y 5x, 1 x 5, cuya densidad en cada punto es inversamenteproporcional al cuadrado de la distancia al eje z. Determine bajo que condiciones delparametro a, el momento de inercia del solido D es mayor que el momento de inerciadel solido E, donde ambos momentos de inercia son calculados con respecto al eje z.

Problema 3. Usar coordenadas esfericas para representar la integralK

dVx2 + y2 + (z 4)2

sabiendo que

1. K = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 4, 2 z 2}2. K = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 4, 2 z 3}

Problema 4. Calcular

T

x2 + y2

x2 + y2 + z2dxdydz donde T es el solido que esta

por debajo de la superficie x2 + y2 = z2, por encima de x2 + y2 = 3z2 y dentro dex2 + y2 + z2 = 4.

Problema 5. Sea S la region por arriba del plano XY y entre las esferas de radiosrespectivamente a y b centradas en el origen (0 < a < b). Calcular

S

z2x2 + y2 + z2

dV

Problema 6. Calcular

Q

xe(x2+y2+z2)2dV donde Q es el solido que esta entre las

esferas x2 + y2 + z2 = 1 y x2 + y2 + z2 = 4 en el segundo octante (x 0, y 0, z 0). Problema 7. Hallar la masa del cuerpo limitado por el paraboloide x2 + y2 = 2az,

y la esfera x2 + y2 + z2 = 3a2 (z > 0) si la densidad en cada punto es igual a la suma

de los cuadrados de sus coordenadas. Rpta:a5pi

5

(18

3 976

).

Ejercicios

Taller 4 (Mat024) 1