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TALLER - FINALNIVELACIÓN EN MATEMÁTICA A - 2016-01
COMUNICACIÓN MATEMÁTICA
01. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta.
a) De 20 dólares se gastan el 15% en golosinas, es decir se gastan 5 dólares.
b) Si al comprar un producto me hacen un descuento del 17% del precio, entonces solo pago el 73% de dicho
precio.
c) Dos descuentos sucesivos de 20% y 40% equivalen a un descuento único de 60%.
d) Todo sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, tiene solución.
e) En la ecuación se puede afirmar que el discriminante es menor que cero.
f) Si el largo de un rectángulo disminuye en 30% y el ancho aumenta en 20% entonces, el área disminuye en
16%.
g) El polinomio factorizado tiene 2 factores cuadráticos primos.
h) Si el volumen de un cubo es 64 m3, entonces el área de una de sus caras es 16m2.
i) Si un polinomio de variable , se anula para , entonces un factor del polinomio es .
j) Algunos triángulos equiláteros son semejantes.
k) Los triángulos son semejantes
Resolución
a) Gasta :
ˆ
b) Si le hacen un descuento del 17%, entonces pagó 100% - 17% = 83%
ˆ
c) Si le hacen un descuento del 20%, entonces paga 80%
después le hacen un descuento del 40%.80%, entonces paga
entonces le descontarían 100% - 48% = 52%
ˆ
Nivelación en matemática 2
d) El sistema no admite solución
ˆ
e)
ˆ
f)
entonces el área disminuye 16%
ˆ
g) , tiene un solo factor cuadrático primo
ˆ
h) Volumen :
, entonces
Área de una cara :
entonces
ˆ
Nivelación en matemática 3i) Teorema del factor
Si un polinomio se anula para , entonces dicho polinomio tiene un factor
ˆ
j) Todos los triángulos equiláteros son semejantes
ˆ
k) Tomando los lados correspondientes
, cumple
ˆ
2. Al resolver la siguiente inecuación , ,un estudiante de Nivelación procedió de la
siguiente manera:
EJERCICIO
Paso 1
Paso 2
Paso 3
Paso 4
Paso 5
Paso 6
¿Está usted de acuerdo con su procedimiento? ¿Por qué? Justifique su respuesta
Resolución
El procedimiento está correcto hasta el Paso 2
En el Paso 3 existe un error al efectuar la suma
ˆ
Nivelación en matemática 4
MATEMATIZACIÓN
3. Modele la ecuación que permita calcular la altura de una casa sabiendo que en un determinado momento del
día proyecta una sombra de 3,5 m y una persona que mide 1,87 m tiene, en ese mismo instante, una sombra
de 85 cm.
Resolución
Sea “ ” la altura de la casa, como se forma semejanza de triangulo
ˆ
4. Un comerciante minorista compra blusas a S/.30 cada una, para venderlo a S/.45, si tiene costos fijos de S/.200.
a) Modele la inecuación que permite calcular cuántas blusas “ ” debe de comprar para obtener un costo total
no mayor a S/.2 000.
b) Modele la inecuación que permite calcular cuántas blusas “ ” debe de comprar y vender para obtener una
utilidad de al menos de S/.2 000.
Resolución
De los datos
Costo unitario ( ) :
Costo fijos ( ) :
Precio de venta ( ) :
Cantidad compradas y vendidas ( ) :
a) Costo total ( ) :
como desea obtener un “costo total no mayor a S/.2 000"
ˆ
b) Utilidad ( ) :
Nivelación en matemática 5
Como desea obtener “una utilidad de al menos de S/.2 000”
ˆ
5. Modele el sistema de inecuaciones que permite calcular un número “ ” entero y positivo, sabiendo que la
tercera parte del que le precede, disminuida en una decena, es mayor que 14, y que la cuarta parte del que le
sigue, aumentada en una decena es menor que 29.
Resolución
“sabiendo que la tercera parte del que le precede, disminuida en una decena, es mayor que 14”, entonces
“la cuarta parte del que le sigue, aumentada en una decena es menor que 29”, entonces
ˆ
6. Un arquitecto quiere hacer una vereda de ancho uniforme igual a “ ” metros alrededor de una pequeña cabaña
cuyas dimensiones son 10 m por 6 m. Si el área de la vereda debe ser 36 m2.
Modele la expresión matemática que permita calcular el valor de “ ”.
Resolución
Área total :
Área de la cabaña :
Área de la vereda :
ˆ
Nivelación en matemática 67. El gerente de una tienda de bicicletas sabe que el costo en dólares de “ ” bicicletas es y el ingreso
de vender “ ” bicicletas es . Modele la ecuación que permita calcular la cantidad de bicicletas que
se debe vender para no ganar ni perder.
Resolución
De los datos
Costo total ( ) :
Ingreso ( ) :
Cantidad compradas y vendidas ( )
Utilidad ( ) :
Como no gana ni pierde
ˆ
HEURÍSTICA Y CÁLCULOS
8. Una piscina tiene 2,3 m de ancho; situándonos a 116 cm del borde, desde una altura de 1,74 m, observamos
que la visual une el borde de la piscina con la línea del fondo. ¿Qué profundidad tiene la piscina?.
Resolución
Del gráfico se observa semejanza de triángulos
entonces
ˆ
9. Calcule el o los valores de en:
a)
b)
c)
Nivelación en matemática 7Resolución
a)
w
por definición de logaritmos
ˆ
b)
entonces , desarrollando
, los dos valores cumplen la existencia del logaritmo
ˆ
c)
Nivelación en matemática 8
entonces , desarrollando
entonces w , los dos cumplen la existencia del logaritmo
ˆ
10. Factorice los siguientes polinomios.
a)
b)
c)
Resolución
a) , factorizando por aspa simple
ˆ
b) , factorizando por divisores binómicos
El polinomio se anula para , entonces un factor es
el otro factor es el cociente
, el último factor se puede factorizar por aspa simple
ˆ
Nivelación en matemática 9
c) , agrupando de dos en 2
, factorizando el factor común
, factorizando por diferencia de cuadrados
ˆ
11. Resuelve las siguientes inecuaciones:
a)
b)
c)
d)
d)
Resolución
a) , multiplicando por (-1) y ordenando
ˆ
b) , efectuando
, ordenando
, factorizando
representandolo los puntos críticos en la recta numérica y calculando el signo de la última zona, eso se
calcula evaluando los signos de los términos de mayor grado, así la última zona tiene signo
como la desigualdad es , entonces la solución son las zonas positivas
Nivelación en matemática 10
ˆ
c)
ˆ
d) , factorizando el numerador y como el denominador es positivo puede pasar a multiplicar
al otro miembro
representandolo los puntos críticos en la recta numérica y calculando el signo de la última zona, eso se
calcula evaluando los signos de los términos de mayor grado, así la última zona tiene signo
como la desigualdad es , entonces la solución son la zona negativa
ˆ
e)
Factorizando el denominador por diferencia de cuadrados
, eliminando el factor , debemos de considerarlo diferente de cero porque esta en
Nivelación en matemática 11
el denominador, así , entonces
, eliminando todos los exponentes impares
representandolo los puntos críticos en la recta numérica y calculando el signo de la última zona, eso se
calcula evaluando los signos de los términos de mayor grado, así la última zona tiene signo
como la desigualdad es , entonces la solución son las zonas positivas
ˆ
12. Del gráfico mostrado en el triángulo rectángulo , recto en , calcule:
a) El valor del lado
b) El valor del lado
c) El área de la región limitada por el triángulo
Resolución
a) Del gráfico
entonces
ˆ
b) Del gráfico
Nivelación en matemática 12
entonces
ˆ
c) Del gráfico
Área del triángulo :
ˆ
13. Simplifique las siguientes expresiones:
a)
b)
Resolución
a) Factorizando el denominador
, como
ˆ
Nivelación en matemática 13
b) , expresando en función de y
ˆ
14. Si se sabe que: . Determine el valor de
Resolución
, elevando al cuadrado
, desarrollando
, como
ˆ
15. Demuestre que
Demostración
Nivelación en matemática 1517. Desde un punto P, una persona observa la parte más alta de un edificio con un ángulo de elevación de 62º,
alejándose 75 m de edificio ahora lo observa con un ángulo de elevación de 34°. Calcule la altura del edificio.
Resolución
Del gráfico
entonces ..(1)
Del gráfico ... (2)
reemplazando (1) e (2)
ˆ
18. Se quiere construir una caja, sin tapa, partiendo de una lámina rectangular de 32 cm de largo por 24 de ancho.
Para ello se recortará un cuadradito en cada esquina y se doblará como se nuestra en la figura.
Nivelación en matemática 16a) Si se recortara en la lámina rectangular cuadraditos en cada esquina de 8 cm de lado cada uno, calcule el
área de la caja.
b) Calcule el valor de , para que la caja tenga volumen de 480 cm3
c) Con el valor de encontrado en el inciso (b), calcule el área lateral de la caja.
Resolución
a) Área de la caja :
ˆ
b)
factorizando por divisores binómicos
ˆ
c) Área lateral de la caja :
ˆ
19. Calcule el área de la región sombreada, sabiendo que es diámetro
Nivelación en matemática 17Resolución
El radio de la circunferencia mayor es 9, entonces el área del semicírculo es
El radio de la circunferencia mediana es 6, entonces el área del semicírculo es
El radio de la circunferencia menor es 3, entonces el área del semicírculo es
entonces el área sombreada es
ˆ
20. Una pista de perímetro de 400 m de longitud tiene lados
paralelos y cabeceras semicirculares como se observa en
la figura. (Considere el valor de ), calcule:
a) El valor de b.
b) El área de la región encerrada por la pista.
Resolución
a) Perímetro (P) :
ˆ
b) Área (A) :