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Ejercicios Matemáticas Discretas
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DEPARTAMENTO DE ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
CARRERA DE INGENIERÍA DE SOFTWARE
Nombre: César Quishpe
Docente: Ing Patricio Espinel
EJERCICIOS MATEMATICAS DISCRETAS
ALGEBRA BOOLEANA
1. Demuestre o refute cada una de las siguientes igualdades propuestas en un
álgebra booleana:
𝒙 ∧ (𝒚 ∧ 𝒛) = (𝒙 ∨ 𝒚) ∨ (𝒙 ∧ 𝒛)
𝒙 ∨ (y ∨ z) = 𝒙 ∨ 𝒚 ∨ 𝒙 ∧ 𝒛
𝒙 ∨ (y ∨ z) = 𝒙 ∨ 𝒚 ∨ 𝒛
𝑥 = (𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑧 ∨ (𝒙 ∧ 𝒚))
𝑥 = 𝑧 ∴ 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙
2. Simplifique las siguientes funciones booleanas a un número mínimo de literales
utilizando Álgebra Booleana.
• x y + x y'
= x (y + y')
= x (1)
= x
• (x + y)(x + y')
= x + x y' + y x +y y'
= x + x y' + y x + 0
= x (1 + y' + y)
= x (1 + (y' + y))
= x (1 + 1)
= x (1)
= x
• x y z + x' y + x y z'
= y (x z + x' + x z')
= y (x' + x z + x z')
= y (x' + (x z + x z'))
= y (x' + (x (z + z'))
= y (x' + (x (1))
= y (x' + x)
= y (1)
= y
• z x + z x' y
= z (x + x' y)
• (A + B)'(A' +B')'
= (A' B')(A'' B'')
= (A' B') (A B)
= A' A + A' B + B' A + B' B
= 0 + A' B + B' A + 0
= A' B + B' A
• y (w z' + w z) + x y
= y w (z' + z) + x y
= y w (1) + x y
= y w + x y
= y (w + x)
3. Simplifique las funciones T1 y T2 a un número mínimo de literales.
A B C T1 T2
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
4. Implementar las funciones booleanas de los puntos 1 y 2 tanto la original como la
simplificada con las compuertas lógicas.
• x y + x y'
ORIGINAL
1
2
3
U2:A
7432
1 2
U3:A
7404
1
2
3
U1:A
7408
4
5
6
U1:B
7408
x
y
xy+xy'
• (x + y)(x + y')
• x y z + x' y + x y z'
• z x + z x' y
• (A + B)'(A' +B')'
ORIGINAL
SIMPLIFICADA
• y (w z' + w z) + x y
ORIGINAL
SIMPLIFICADA
1
2
3
U1:A
7408
4
5
6
U1:B
7408
1 2
U3:A
7404
1
2
3
U2:A
743212
13
11
U1:D
7408
w
z
y
9
10
8
U2:C
7432
1
2
3
U4:A
7408
x
y(wz'+wz)+xy
9
10
8
U1:C
7408
4
5
6
U2:B
7432
x
y
w
y(w+x)
MAPAS DE KARNAUGH
5. Realice la simplificación de las funciones Booleanas de los puntos 1 y 2, utilizando
mapas de Karnaugh. Además, simplifique los siguientes ejercicios:
• x y + x y'
• (x + y)(x + y')
• x y z + x' y + x y z'
• z x + z x' y
• (A + B)'(A' +B')'
• y (w z' + w z) + x y
• F (x, y, z) = " (0, 2, 4, 5, 6)
• F (w, x, y, z) = " (0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 14)
• F (A, B, C, D) = " (0, 1, 2, 6, 8, 9, 10)
• F (A, B, C, D, E) = " (0, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 29, 31)
6. Simplificar el siguiente circuito:
f = c b + a b' c d + c d' + a c' + a' b c' + b' c' d'
Donde:
g = cb + ab'cd + cd' y h = ac' + a'bc' +b'c'd'
d(g) = (c + b)(a + b'+ c + d)(c + d')
= c + (b (a + b'+ d) d')
= c + (a b d' + b b' d' + b d d')
= c + a b d'
g = c (a + b + d').
d(h) = (a + c')(a' + b + c')(b' + c' + d')
= c' + (a (a' + b)(b' + d'))
= c' + a (a' b' + a' d' + b b' + b d')
= c' + a a' b + a a' d + a b b' + a b d'
= c' + a b d'
h = c' (a + b + d').
f = c (a + b + d') + c' (a + b + d')
= (c + c')(a + b + d)
= a + b + d'.
7. De la siguiente tabla deduzca la función f, llévela a un mapa de Karnaugh y
simplifíquela.
x y z f
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
xy
00 01 11 10
z 0 0 1 0 1
1 0 1 0 1
F= x’y+xy’
8. simplificar f = x' z + x' y + x y' z + yz, usando:
- Propiedades del álgebra Booleana.
f = x’z+ x’y + xy’z + yz
f = x’z + x’y +z(xy’ + y)
f = x’z + x’y +z(y+x)
f = x’z + x’y + zy + xz
f = z(x’+x)’ + y(x’+z)
f = z + yx’ +yz
f = z +yx’
- Mapas de Karnaugh.
xy
00 01 11 10
z 0 1
1 1 1 1 1
F = z+x’y
9. Del siguiente mapa de Karnaugh, deduzca la función simplificada.
F = X’W’+ W’Y’+X’YZ’
10. Igual que el punto 3 deduzca las funciones más simples.
F=X’Z’+W’Z’+YW’+XY’WZ
11. Lleve a mapas de karnaugh.
• f = x’ y z’ w + y z’ + x’ w.
• g = x’ y’ z + x’ y z’ + x y’ z.
• h = x y + z’.
12. De la siguiente tabla de verdad, deduzca f. Llévela a un mapa de Karnaugh y
simplifíquela.
Dibuje el circuito de conmutación simplificado.
x y z f
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
Karnaugh
xy
00 01 11 10
z 0 0 0 1 0
1 0 1 1 1
F=yz+xy+xz
CIRCUITOS LOGICOS
13. Mediante inversores y compuertas AND y OR construir las redes compuertas para:
• f = xz’yz'x.
x
y
z
9
10
8
U1:C
7408
13 12
U3:D
7404
4
5
6
U4:B
7408
4
5
6
U2:B
74321
2
3
U5:A
7432
xz'+yz'+x
• f = (xz’)(yz’)x’.
• f = (xyyz)’.
14. Simplifique las siguientes funciones Booleanos usando teoremas de álgebra de
Booleana ó mapas de Karnaugh luego diseñe su circuito lógico
• x y + (x + y)z’ + y.
y + (x+y)z’
9
10
8
U2:C
7432
3 4
U3:B
7404z
x
12
13
11
U2:D
7432
y
12
13
11
U1:D
7408 1
2
3
U4:A
7408
5 6
U3:C
7404
(x+z')(y+z')x'
1
2
3
U1:A
7408
4
5
6
U1:B
7408
1
2
3
U2:A
7432
1 2
U3:A
7404
x
y
z
(xy+yz)'
x
y
z
1
2
3
U1:A
7408
4
5
6
U1:B
7408
1 2
U3:A
7404
1
2
3
U2:A
7432
• x + y + [(x’ + y + z)].
x+y+[(x’+y+z)’]’
x+y+(xy’z’)’
x+y+x’+y+z
y+z
• y z + w x + z + [w z(x y + w z)].
yz+wz+z+wzxy+wz.wz
yz+wz+z+wzxy+wz
yz+wz+z+wzxy
z+wz+wzxy
z+wzxy
• x y z + x’ y z + x’ y’ z’ + x’ y’ z + x y’ z + x y’ z’.
xyz+x’yz+x’y’z’+x’y’z+xy’(z+z’)’
yz(x+x’)’+x’y’(z’+z)’+xy’
yz+x’y’+xy’
y+zy
z
1
2
3
U2:A
7432
w
zz+wzxy
x
y
1
2
3
U2:A
7408
1
2
3
U1:A
7408
4
5
6
U1:B
7408
4
5
6
U5:B
7432
yz+y’
y’+z
15. Hallar la función lógica del siguiente circuito
L=AB’+A’B
y'+zy
z
1
2
3
U2:A
7432
1 2
U3:A
7404