DEPARTAMENTO DE ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

CARRERA DE INGENIERÍA DE SOFTWARE

Nombre: César Quishpe

Docente: Ing Patricio Espinel

EJERCICIOS MATEMATICAS DISCRETAS

ALGEBRA BOOLEANA

1. Demuestre o refute cada una de las siguientes igualdades propuestas en un

álgebra booleana:

𝒙 ∧ (𝒚 ∧ 𝒛) = (𝒙 ∨ 𝒚) ∨ (𝒙 ∧ 𝒛)

𝒙 ∨ (y ∨ z) = 𝒙 ∨ 𝒚 ∨ 𝒙 ∧ 𝒛

𝒙 ∨ (y ∨ z) = 𝒙 ∨ 𝒚 ∨ 𝒛

𝑥 = (𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑧 ∨ (𝒙 ∧ 𝒚))

𝑥 = 𝑧 ∴ 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙

2. Simplifique las siguientes funciones booleanas a un número mínimo de literales

utilizando Álgebra Booleana.

• x y + x y'

= x (y + y')

= x (1)

= x

• (x + y)(x + y')

= x + x y' + y x +y y'

= x + x y' + y x + 0

= x (1 + y' + y)

= x (1 + (y' + y))

= x (1 + 1)

= x (1)

= x

• x y z + x' y + x y z'

= y (x z + x' + x z')

= y (x' + x z + x z')

= y (x' + (x z + x z'))

= y (x' + (x (z + z'))

= y (x' + (x (1))

= y (x' + x)

= y (1)

= y

• z x + z x' y

= z (x + x' y)

• (A + B)'(A' +B')'

= (A' B')(A'' B'')

= (A' B') (A B)

= A' A + A' B + B' A + B' B

= 0 + A' B + B' A + 0

= A' B + B' A

• y (w z' + w z) + x y

= y w (z' + z) + x y

= y w (1) + x y

= y w + x y

= y (w + x)

3. Simplifique las funciones T1 y T2 a un número mínimo de literales.

A B C T1 T2

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

4. Implementar las funciones booleanas de los puntos 1 y 2 tanto la original como la

simplificada con las compuertas lógicas.

• x y + x y'

ORIGINAL

1

2

3

U2:A

7432

1 2

U3:A

7404

1

2

3

U1:A

7408

4

5

6

U1:B

7408

x

y

xy+xy'

• (x + y)(x + y')

• x y z + x' y + x y z'

• z x + z x' y

• (A + B)'(A' +B')'

ORIGINAL

SIMPLIFICADA

• y (w z' + w z) + x y

ORIGINAL

SIMPLIFICADA

1

2

3

U1:A

7408

4

5

6

U1:B

7408

1 2

U3:A

7404

1

2

3

U2:A

743212

13

11

U1:D

7408

w

z

y

9

10

8

U2:C

7432

1

2

3

U4:A

7408

x

y(wz'+wz)+xy

9

10

8

U1:C

7408

4

5

6

U2:B

7432

x

y

w

y(w+x)

MAPAS DE KARNAUGH

5. Realice la simplificación de las funciones Booleanas de los puntos 1 y 2, utilizando

mapas de Karnaugh. Además, simplifique los siguientes ejercicios:

• x y + x y'

• (x + y)(x + y')

• x y z + x' y + x y z'

• z x + z x' y

• (A + B)'(A' +B')'

• y (w z' + w z) + x y

• F (x, y, z) = " (0, 2, 4, 5, 6)

• F (w, x, y, z) = " (0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 14)

• F (A, B, C, D) = " (0, 1, 2, 6, 8, 9, 10)

• F (A, B, C, D, E) = " (0, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 29, 31)

6. Simplificar el siguiente circuito:

f = c b + a b' c d + c d' + a c' + a' b c' + b' c' d'

Donde:

g = cb + ab'cd + cd' y h = ac' + a'bc' +b'c'd'

d(g) = (c + b)(a + b'+ c + d)(c + d')

= c + (b (a + b'+ d) d')

= c + (a b d' + b b' d' + b d d')

= c + a b d'

g = c (a + b + d').

d(h) = (a + c')(a' + b + c')(b' + c' + d')

= c' + (a (a' + b)(b' + d'))

= c' + a (a' b' + a' d' + b b' + b d')

= c' + a a' b + a a' d + a b b' + a b d'

= c' + a b d'

h = c' (a + b + d').

f = c (a + b + d') + c' (a + b + d')

= (c + c')(a + b + d)

= a + b + d'.

7. De la siguiente tabla deduzca la función f, llévela a un mapa de Karnaugh y

simplifíquela.

x y z f

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

1

0

0

xy

00 01 11 10

z 0 0 1 0 1

1 0 1 0 1

F= x’y+xy’

8. simplificar f = x' z + x' y + x y' z + yz, usando:

- Propiedades del álgebra Booleana.

f = x’z+ x’y + xy’z + yz

f = x’z + x’y +z(xy’ + y)

f = x’z + x’y +z(y+x)

f = x’z + x’y + zy + xz

f = z(x’+x)’ + y(x’+z)

f = z + yx’ +yz

f = z +yx’

- Mapas de Karnaugh.

xy

00 01 11 10

z 0 1

1 1 1 1 1

F = z+x’y

9. Del siguiente mapa de Karnaugh, deduzca la función simplificada.

F = X’W’+ W’Y’+X’YZ’

10. Igual que el punto 3 deduzca las funciones más simples.

F=X’Z’+W’Z’+YW’+XY’WZ

11. Lleve a mapas de karnaugh.

• f = x’ y z’ w + y z’ + x’ w.

• g = x’ y’ z + x’ y z’ + x y’ z.

• h = x y + z’.

12. De la siguiente tabla de verdad, deduzca f. Llévela a un mapa de Karnaugh y

simplifíquela.

Dibuje el circuito de conmutación simplificado.

x y z f

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1

Karnaugh

xy

00 01 11 10

z 0 0 0 1 0

1 0 1 1 1

F=yz+xy+xz

CIRCUITOS LOGICOS

13. Mediante inversores y compuertas AND y OR construir las redes compuertas para:

• f = xz’yz'x.

x

y

z

9

10

8

U1:C

7408

13 12

U3:D

7404

4

5

6

U4:B

7408

4

5

6

U2:B

74321

2

3

U5:A

7432

xz'+yz'+x

• f = (xz’)(yz’)x’.

• f = (xyyz)’.

14. Simplifique las siguientes funciones Booleanos usando teoremas de álgebra de

Booleana ó mapas de Karnaugh luego diseñe su circuito lógico

• x y + (x + y)z’ + y.

y + (x+y)z’

9

10

8

U2:C

7432

3 4

U3:B

7404z

x

12

13

11

U2:D

7432

y

12

13

11

U1:D

7408 1

2

3

U4:A

7408

5 6

U3:C

7404

(x+z')(y+z')x'

1

2

3

U1:A

7408

4

5

6

U1:B

7408

1

2

3

U2:A

7432

1 2

U3:A

7404

x

y

z

(xy+yz)'

x

y

z

1

2

3

U1:A

7408

4

5

6

U1:B

7408

1 2

U3:A

7404

1

2

3

U2:A

7432

• x + y + [(x’ + y + z)].

x+y+[(x’+y+z)’]’

x+y+(xy’z’)’

x+y+x’+y+z

y+z

• y z + w x + z + [w z(x y + w z)].

yz+wz+z+wzxy+wz.wz

yz+wz+z+wzxy+wz

yz+wz+z+wzxy

z+wz+wzxy

z+wzxy

• x y z + x’ y z + x’ y’ z’ + x’ y’ z + x y’ z + x y’ z’.

xyz+x’yz+x’y’z’+x’y’z+xy’(z+z’)’

yz(x+x’)’+x’y’(z’+z)’+xy’

yz+x’y’+xy’

y+zy

z

1

2

3

U2:A

7432

w

zz+wzxy

x

y

1

2

3

U2:A

7408

1

2

3

U1:A

7408

4

5

6

U1:B

7408

4

5

6

U5:B

7432

yz+y’

y’+z

15. Hallar la función lógica del siguiente circuito

L=AB’+A’B

y'+zy

z

1

2

3

U2:A

7432

1 2

U3:A

7404