Con un grupo de 8 estudiantes

a. ¿Cuántos comités distintos de tres miembros se pueden formar?

Se habla de miembros de un comité sin detalle de cargos, no importando el orden y como se tiene 8 estudiantes se les combina de 3 en 3 usando la fórmula de combinación sin orden.

(nr )=nCr= n!r ! (n−r )!

(83)=8C3= 8 !3 ! (8−3 )!

=8x 7 x6 x 5x 4 x 3 x2 x13! 5!

= 8 x7 x 6 x5 x 4 x3 x 2x 1(3x 2x 1 ) (5x 4 x 3 x2 x1 )

=3366

=56Comitésdistintos

b. Si se trata de formar una Junta Directiva con tres cargos: presidencia, vicepresidencia y secretaría, ¿Cuántas Juntas Directivas distintas se pueden formar?

En este caso si nos importa los cargos dentro de los comités, es decir importa el orden para distinguir entre una y otra forma, se usa variaciones.

V mn = m!

(m−n)!= 8 !

(8−3)!=8 !5 !

=8 x7 x 6 x5 x 4 x 3x 2x 1(5x 4 x 3 x2 x1)

=336 juntas directivasdistintas

c. ¿En cuántas Juntas Directivas está de presidenta una chica llamada Graciela? (Solamente hay una persona en el grupo cuyo nombre es Graciela)

Aquí se toma como presidenta a Graciela esta posición no se mueve por lo tanto se contabiliza solos los 7 estudiantes variándoles de dos en dos.

V mn = 7 !

(7−2)!=7 !5 !

=7 x6 x5 x 4 x 3x 2 x1(5 x 4 x3 x 2x 1)

=42 juntas conGraciela como presidenta

La siguiente tabla señala el peso (kg) y la frecuencia de los bebés nacidos en el paritorio de un hospital a lo largo de una semana:

(2,4-2,6) (2,6-2,8) (2,8-3,0) (3,0-3,2) (3,2-3,4) (3,4-3,6) (3,6-3,8) (3,8-4,0)1 5 9 10 13 7 1 2Calcule el peso medio, la mediana y la desviación típica.

Peso Medio

Xi fi Xi.fi(2,4-2,6) ((2,4+2,6)/2)=2,5 1 2,5(2,6-2,8) ((2,6+2,8)/2)=2,7 5 13,5(2,8-3,0) ((2,8+3,0)/2)=2,9 9 26,1(3,0-3,2) ((3,0+3,2)/2)=3,1 10 31(3,2-3,4) ((3,2+3,4)/2)=3,3 13 42,9(3,4-3,6) ((3,4+3,6)/2)=3,5 7 24,5(3,6-3,8) ((3,6+3,8)/2)=3,7 1 3,7(3,8-4,0) ((3,8+4,0)/2)=3,9 2 7,8

48 152

x=∑i=1

n

xi . fi

N

x=15248

=3,167kg

Mediana

fi Fi(2,4-2,6) 1 1(2,6-2,8) 5 6(2,8-3,0) 9 15(3,0-3,2) 10 25(3,2-3,4) 13 38(3,4-3,6) 7 45(3,6-3,8) 1 46(3,8-4,0) 2 48

48Se calcula el 50% con N/2 y con los datos sombreados se obtiene

N2

=482

=24

Me=Li+

N2

−F i−1

fi. ai

Me=3+

482

−15

10. (0.2 )=3,18kg

Desviación Típica

xi fi xi.fi xi2.fi(2,4-2,6) ((2,4+2,6)/2)=2,5 1 2,5 6,25(2,6-2,8) ((2,6+2,8)/2)=2,7 5 13,5 36,45(2,8-3,0) ((2,8+3,0)/2)=2,9 9 26,1 75,69(3,0-3,2) ((3,0+3,2)/2)=3,1 10 31 96,1(3,2-3,4) ((3,2+3,4)/2)=3,3 13 42,9 141,57(3,4-3,6) ((3,4+3,6)/2)=3,5 7 24,5 85,75(3,6-3,8) ((3,6+3,8)/2)=3,7 1 3,7 13,69(3,8-4,0) ((3,8+4,0)/2)=3,9 2 7,8 30,42

48 152 485,92

x=15248

=3,167kg

σ=√∑i=1n

xi2 fi

N−x2

σ=√ 485,9248−3,1672=0,3091kg

A un grupo de 11 estudiantes se les ha preguntado por el número de horas de deporte que hacen a la semana y por su peso medido en kg. Los datos aportados están en la siguiente tabla.

X 0 1 2 3 4 5 7 9 12 13 15Y 87 84 80 83 79 74 75 67 73 71 68

a. Calcule el número medio de horas dedicadas a practicar el deporte y el peso medio del grupo.

x=0+1+2+3+4+5+7+9+12+13+1511

=7111

=6,45horas

y=87+84+80+83+79+74+75+67+73+71+6811

=84111

=76,45 kg

b. Calcule el coeficiente de correlación lineal de Pearson.

x y x.y x2 y2

0 87 0 0 75691 84 84 1 70562 80 160 4 64003 83 249 9 68894 79 316 16 62415 74 370 25 54767 75 525 49 56259 67 603 81 448912 73 876 144 532913 71 923 169 504115 68 1020 225 462471 841 5126 723 64739

Desviación típica x

σx=√∑i=111

xi2

N−x2

σx=√ 72311 −6,452=4,91

Desviación típica y

σy=√∑i=111

yi2

N− y2

σy=√ 6473911−76,452=6,38

Covarianza

σxy=∑i=1

11

xy

N−x y=5126

11−(6,45 ) (76,45 )=−27,1025

Coeficiente Correlación de Pearson

r= σxyσxσy

= −27,1025(4,91)(6,38)

=−0,865

c. Si una persona practica 6 horas de deporte, ¿qué peso se espera que debe tener?

Dibujamos horas vs kilogramos en Excel, para luego agregar una línea de tendencia lineal y poder encontrar aproximadamente en 6 horas q pesa obtendría dad su ecuación.

0 2 4 6 8 10 12 14 160

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

87 8480 83

7974 75

6773 71 68

f(x) = − 1.14182692307692 x + 83.8245192307692

y=−1,1418x+83,825=−1,1418(6)+83,825=76,97kg

d. Si una persona pesa 70kg, ¿Cuántas horas de deporte se estima que debe practicar?

En este caso se ocupa la misma ecuación despejando la variable x

x=83,825− y1,1418

=83,825−701,1418

=12,108horas

e. ¿Son fiables los datos obtenidos en los apartados c y d?

Los datos obtenidos no son fiables porque sus intervalos no son proporcionales tanto así que se les agrega una línea de tendencia en nuestro caso la hicimos lineal, pero podemos hacer más aproximaciones creando una línea de tendencia polinómica en el mismo Excel o aplicando métodos numéricos.

Ejemplo aplicando una línea de tendencia de grado 6 tenemos para el mismo ejemplo la ecuación mostrada en la siguiente figura

y=0,00004 x6−0,0028 x5+0,0613 x4−0,5724 x3+2,3315 x2−5,453 x+87,074

Y si sustituimos las 6 horas para encontrar el peso nos da un valor de:

y=74,18 kg

Que comparando con el peso obtenido linealmente tenemos un error del:

εt=74,18−76,9774,18

x 100=3,76%que esunerror significativo