Logika Matematika

Tautologi dan Ekuivalen Logis (#4)

AMIK-STMIK Jayanusa 2009Tautologi dan Ekuivalen Logis 1

Mengevaluasi Validitas Argumen Sebelum mengevaluasi validitas suatu argumen maka terlebih dahulu harus membentuk pernyataanpernyataan menjadi ekspresi logika. Contoh 4.1 Jika Anda mengambil mata kuliah logika matematika, dan jika anda tidak memahami tautologi maka Anda tidak lulus. Untuk membuktikan validitasnya, berilah variabel proposisional yang relevan, misal: A = Anda mengambil mata kuliah logika matematika B = Anda memahami tautologi C = Anda lulus. Tautologi dan Ekuivalen Logis 2

Mengevaluasi Validitas Argumen Dengan demikian bentuk ekspresi logikanya berupa proposisi majemuk seperti berikut:

A B CB C

Tabel Kebenaran dari ekspresi logika di atas adalahA

B CTT F F T T F

A

BFF F F T T F

(A

B) CTT T T T F T

FF F F T T T

FF T T F F T

FT F T F T F

TF T F T F T

T

T

T

F

Tautologi dan Ekuivalen Logis

F

F

T

3

Mengevaluasi Validitas Argumen Tabel kebenaran dari ekspresi yang terdiri atas n variabel akan mempunyai 2n baris. Contoh 4.2 Barang-barang yang dibeli di toko ini dapat dikembalikan, hanya jika berada dalam kondisi yang baik, dan hanya jika pembeli membawa bukti pembeliannya. Mengubah menjadi variabel proposisional: A = Barang-barang dapat dikembalikan B = Barang-barang dalam kondisi baik C = Pembeli membawa bukti pembeliannya Jadi, ekspresi logikanya adalah: A (BC)Tautologi dan Ekuivalen Logis 4

Mengevaluasi Validitas Argumen Sebagai bantuan, kita dapat menggunakan cara heuristik (heuristic) berikut: 1. Ambil pernyataan-pernyataan yang pendek, tanpa kata dan, atau, jikamaka, jika dan hanya jika, pada pernyataan tersebut yang bisa dijawab benar atau salah. 2. Ubahlah pernyataan-pernyataan yang pendek tersebut dengan variabel-variabel proposisional. 3. Rangkailah variabel-variabel proposisional dengan perangkai yang relevan. 4. Bentuklah menjadi proposisi majemuk jika memungkinkan dengan memberi tanda kurung biasa yang tepat.Tautologi dan Ekuivalen Logis 5

Mengevaluasi Validitas ArgumenContoh 4.3 Jika Badu belajar rajin dan sehat, maka Badu lulus ujian, atau jika Badu tidak belajar rajin dan tidak sehat, maka Badu tidak lulus ujian Langkah 1 Menentukan proposisi-proposisi yang tepat (1) Badu belajar rajin (2) Badu sehat (3) Badu lulus ujian Langkah 2 Mengganti proposisi dengan variabel proposisi A = Badu belajar rajin B = Badu sehat C = Badu lulus ujianTautologi dan Ekuivalen Logis 6

Mengevaluasi Validitas ArgumenLangkah 3 Perangkai yang relevan adalah implikasi (), negasi (), dan (), dan terakhir atau (V). Langkah 4 Ubah menjadi ekspresi logika berupa proposisi majemuk: ((A B) C) V ((A B)C) Untuk suatu argumen yang terdiri dari banyak pernyataan pernyataan yang diikuti satu pernyataan berupa kesimpulan, maka validitasnya ditentukan dari hasil Tabel Kebenaran yang menyimpulkan bahwa premis-premis dari argumen harus benar sehingga kesimpulan yang diambil dari premis-premis tersebut harus benar.Tautologi dan Ekuivalen Logis 7

Tautologi Argumen yang dibuktikan validitasnya dengan Tabel Kebenaran harus menunjukkan nilai benar. Jika hasil benar, maka argumen valid, jika tidak maka sebaliknya. Jika pada Tabel Kebenaran untuk semua pasangan nilai variabel-variabel proposisional yang ada bernilai benar atau T maka disebut tautologi. Contoh 4.4 (AB)(CV(BC)) Tabel Kebenaran argumen tersebut adalah:

Tautologi dan Ekuivalen Logis

8

TautologiA F F B F F C B C AB BC F T T T T F F F T F C V (BC) T T (AB) (C V (BC)) T T

F FT T T T

T TF F T T

F TF T F T

F FT T F F

T FT F T F

F FF F T T

T TT F T T

T TT T T T

T TT T T T

Jadi, ekspresi logika di atas adalah tautologi karena pada tabel kebenaran semua pasangan menghasilkan nilai T.Tautologi dan Ekuivalen Logis 9

TautologiContoh 4.5 1. Apakah (A V A) adalah tautologi?A F T A T F A V A T T

Jadi (A V A) adalah tautologi, dan disebut dengan nama excluded middle law. 1. Apakah (AB)VB adalah tautologi?A B AB (AB) (AB)VB

F F T T

F T F T

F F F T

T T T F Tautologi dan Ekuivalen Logis

T T T T

10

Tautologi Tautologi juga dapat ditulis dengan simbol (suatu metasymbol, bukan perangkai logika) sehingga pada ekspresi logika di atas akan ditulis: (AB)VB Contoh 4.6 Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, mak Tini pergi kuliah. Diubah ke variabel proposisional: A = Tono pergi kuliah B = Tini pergi kuliah C = Siska tidurTautologi dan Ekuivalen Logis 11

Tautologi Diubah menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpulan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan. (1) A B (premis) (2) C B (premis) (3) (AVC) B (kesimpulan) Selanjutnya dapat ditulis berikut ((AB)(CB))((AVC)B) atau (A B, C B) (AVC) BTautologi dan Ekuivalen Logis 12

Tautologi Tabel Kebenaran dari ekspresi logika tersebut:A B C AB CB F F F F F T F T F F T T T F F T F T T T T T F F T F T T T F (AB)(CB) A V C (A V C) B ((AB)(CB))((AVC)B) T F T T F F F T F T T T T F T T F F T T T T T T

T T F T T T

T T

T T

T T

T T

T T

T T

Jika tabel kebenaran menunjukkan hasil tautologi, maka argumen tersebut valid. Dalam logika, tautologi dapat ditulis T atau 1 saja. Jadi, jika A adalah tautologi, maka A = T atau A = 1.Tautologi dan Ekuivalen Logis 13

KontradiksiDefinisi: Suatu ekspresi logika yang selalu bernilai salah di dalam tabel kebenarannya, tanpa memedulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada di dalamnya, disebut kontradiksi. Contoh 4.7 1. A A, tabel kebenarannya adalah:A F A T A A F

T

F

F

Tautologi dan Ekuivalen Logis

14

Kontradiksi2. ((AVB)A)B Tabel kebenaran dari ekspresi ini adalah:A F F T T B F T F T A T T F F B T F T F AVB F T T T (AVB)A ((AVB)A)B F F T F F F F F

Kontradiksi dapat ditulis F atau 0 saja. Oleh karena itu, jika A adalah kontradiksi, maka A = F atau A = 0.

Tautologi dan Ekuivalen Logis

15

ContingentDefinisi Suatu ekspresi logika yang mempunyai nilai benar dan salah di dalam tabel kebenarannya, tanpa memedulikan nilai kebenaran dari proposisiproposisi yang berada di dalamnya, disebut contingent. Contoh 4.7 ((AB)(BC))(CA) Tabel kebenaran dari ekspresi ini adalah:

Tautologi dan Ekuivalen Logis

16

ContingentA B C B F F F F F T F T F F T T T F F T F T T T F T T T T T F F T T F F C T F T F T F T F AB T T T T F F T T B C C A (AB)(B C) F T T T F T T T F T F T T T T T F T T T F F T T (AB)(B C) CA T T F T T T T T

Argumen tetap dianggap tidak valid karena bukan tautologiTautologi dan Ekuivalen Logis 17

Pemanfaatan Tautologi Ada beberapa hal penting yang diakibatkan oleh tautologi, yakni: 1. Implikasi secara logis. Misalnya, A dan B adalah dua buah ekspresi logika, maka jika dikatakan A secara logis mengimplementasikan B dapat ditulis dengan

AB2. Ekuivalen secara logis. Misalnya, A dan B adalah dua buah ekspresi logika, maka jika dikatakan A ekuivalen secara logis dengan B, dapat ditulis dengan A B . Di sini disyaratkan A B , jika dan hanya jika AB adalah tautologi.Tautologi dan Ekuivalen Logis 18

Pemanfaatan Tautologi Perlu diingatkan bahwa ada dua jenis implikasi, yaitu: 1. Implikasi material, contoh A B. Di sini berlaku aturan tabel kebenaran untuk implikasi. 2. Implikasi logis, contoh A B . Di sini secara mudah dapat dibaca menyebabkan. Sebagai contoh jika A = T, maka A pasti tautologi; jika A = F, maka A pasti kontradiksi. Jika T A , maka A pasti tautologi; dan jikaF A , maka A pasti kontradiksi.

Tautologi dan Ekuivalen Logis

19

Ekuivalen LogisDefinisi. Proposisi A dan B disebut ekuivalen secara logis jika A B adalah tautologi. Notasi atau simbol A B menandakan bahwa A dan B adalah ekuivalen secara logis. Proposisi dapat diganti dengan ekspresi logika berupa proposisi majemuk. Tabel kebenaran merupakan alat untuk membuktikan kebenaran ekuivalen secara logis. Kesimpulan diambil berdasarkan hasil dari tabel kebenaran tersebut. Contoh 4.8 (1) Dewi sangat cantik dan peramah (2) Dewi peramah dan sangat cantikTautologi dan Ekuivalen Logis 20

Ekuivalen LogisKedua pernyataan di atas, tanpa dipikir panjang, akan dikatakan ekuivalen atau sama saja. Bentuk ekspresi logikanya: A = Dewi sangat cantik. B = Dewi peramah Maka ekspresi logika tersebut adalah: (1) A B (2) B A Tabel kebenaran dari kedua ekspresi ini adalah:

Tautologi dan Ekuivalen Logis

21

Ekuivalen LogisA F F B F T AB F F BA F F (A B) (B A) T T

Contoh 4.9 (1) Badu tidak pandai, atau dia tidak jujur. (2) Adalah tidak benar jika Badu pandai dan jujur. Kita berikan variabel proposisional berikut: A = Badu pandai B = Badu jujur Kedua pernyataan tersebut menjadi (1) A V B (2) (A B))Tautologi dan Ekuivalen Logis 22

T T

F T

F T

F T

T T

Ekuivalen LogisTabel kebenaran dari ekspresi logika di atas adalahA B A B A B AVB F F T T F T (AB) T (AVB) (AB) T

F T T

T F T

T F F

F T F

F F T

T T F

T T F

T T T

Karena (AVB) (AB) adalah Tautologi maka (AVB) (AB) Hukum-hukum Logika ProposisionalEkuivalen Logis Nama

A1A AV0A AV11 A00

Hukum Identitas Hukum identitas V Hukum Dominasi V Tautologi dan Ekuivalen Logis Hukum Dominasi

23

Ekuivalen LogisEkuivalen Logis A V A 1 Nama Tautologi

A A 0 AVAA AAA A A ABBA AVBBVA (A B) C A (B C) (A V B) V C A V (B V C) A (B V C) (AB)V(AC) A V (BC) (AVB) (AVC)

Hukum Kontradiksi Hukum Idempoten Hukum Dominasi Hukum Negasi Ganda Hukum Komutatif Hukum Komutatif Hukum Asosiatif Hukum Asosiatif Hukum Distributif Hukum Distributif24

Tautologi dan Ekuivalen Logis

Ekuivalen LogisEkuivalen Logis A (A V B) A Nama Absorpsi

A V (A B) A A (A V B) A B A V (A B) A V B (A B) A V B (A V B) A B (A B) V (A B) A A B A V B A B (A B) A B (AB)V(AB) A B (A B)(BA)

Absorpsi Absorpsi Absorpsi Hukum De Morgan Hukum De Morgan

Tautologi dan Ekuivalen Logis

25

Ekuivalen LogisEkuivalen Logis (A B) V (A B) A Nama

(A V B) (A V B) A (A B) V (A B) B (A V B) (A V B) B

Tautologi dan Ekuivalen Logis

26

Latihan Bab 41. Tentukan apakah dari ekspresi-ekspresi logika berikut ini termasuk tautologi, kontradiksi, atau contingent: a. A (BA) b. (BA)A c. AA d.(AB)(BA) e. (A(BC)(AB)(AC)) f. (A(AB))B g. ((AB)(AVB)) h. ((AB)(BC))(AC) i. ((AB)(AB)V(AB))Tautologi dan Ekuivalen Logis 27

Latihan Bab 4j. (B(AB)A) k. (AV(BC))((AVB)(AVC)) l. (AB)(AB)B 2. Buktikan hukum-hukum logika yaitu: a. Silogisme Hipotesis b. Silogisme Disjungtif c. Modus Ponens d. Modus Tollens 3. Perhatikan dengan seksama argumen (disebut destructive dilemma) berikut ini. Apakah argumen tersebut valid atau tidak: Jika Badu senang, maka Siti senang, dan jika Badu sedih, maka Siti sedih. Siti tidak senang atau tidak sedih. Dengan demikian, Badu tidak senang atau Badu tidak sedihTautologi dan Ekuivalen Logis 28

Latihan Bab 44. Buktikan bahwa ekspresi-ekspresi logika berikut ini ekuivalen dengan menggunakan tabel kebenaran: a. AB (AVB) (BVA) b. A(AB) 1 c. (AVB)C (AB)VC d. A(BC) (AB)C e. AB (AB) f. ((AB)) 0 g. ((A(BC)(A(BC)))A ) 1

Tautologi dan Ekuivalen Logis

29