PROPOSISI MAJEMUK

Ekspresi Logika

• Perangkai logika digunakan untuk

mengkombinasikan proposisi-proposisi

atomik menjadi proposisi majemuk.

• Ekspresi logika adalah proposisi-proposisi

yang dibangun dengan variabel-variabel

logika yang berasal dari pernyataan atau

argumen.

Ekspresi Logika (lanjutan)

• Setiap ekspresi logika dapat bersifat atomik atau majemuk

tergantung dari variabel proposional yang membentuknya

bersama perangkai yang relevan.

• Proposisi majemuk dapat menyebabkan terjadinya

ambiguitas, atau kesalahan penafsiran.

• Untuk menghindarinya maka proposisi majemuk yang

akan dikerjakan terlebih dahulu akan diberi tanda kurung.

• Proposisi-proposisi dengan perangkai-perangkai yang

berada di dalam tanda kurung disebut fpe (fully

parenthesized expression)

Contoh-1

Jika Dewi rajin belajar, maka ia lulus ujian

dan mendapat hadiah istimewa

Pernyataan tersebut dapat diubah menjadi variabel

proposional:

A = Dewi rajin belajar

B = Dewi lulus ujian

C = Dewi mendapat hadiah istimewa

Maka ekspresi logikanya berubah menjadi:

A B ∧ C

Contoh-1

• Persoalannya: terdapat dua kemungkinan

(AB) ∧C atau A(B∧C)

• Kedua kemungkinan tersebut dapat

menghasilkan nilai kebenaran yang berbeda

• Mana ekspresi logika yang tepat?

• (AB) ∧C

• A(B∧C)

(AB) ∧ C

Pernyataan tersebut dapat dibaca “Dewi

mendapat hadiah istimewa” tidak

berhubungan dengan “Dewi rajin belajar”,

yang menjadi akibat “Dewi rajin belajar”

hanya “Dewi lulus ujian” saja.

A(B∧C)

Pernyataan tersebut dapat dibaca “Dewi lulus

ujian” dan “Dewi mendapat hadiah istimewa”

merupakan akibat dari “Dewi rajin belajar”.

Ekspresi inilah yang lebih tepat untuk

mewakili peryataan tersebut

Skema

• Skema merupakan satu cara untuk

menyederhanakan suatu proposisi majemuk yang

rumit dengan memberikan huruf tertentu untuk

menggantikan satu subekspresi ataupun sub-

subekspresi.

• Suatu ekspresi logika tertentu, misal (A∧B) dapat

diganti dengan P, sedangkan (A∨B) dapat diganti

Q. Jadi P berisi variabel proposional A dan B,

demikian juga Q.

• Dalam hal ini, P maupun Q bukan variabel

proposional

Skema (lanjutan)

• Contoh: P = (A∧B) dan Q = (A∨B)

(PQ) = ((A∧B) (A∨B))

• Perhatikan bahwa:

– Ekspresi apa saja yang berbentuk (¬P) disebut Negasi

– Ekspresi apa saja yang berbentuk (P∧Q) disebut Konjungsi

– Ekspresi apa saja yang berbentuk (P∨Q) disebut Disjungsi

– Ekspresi apa saja yang berbentuk (PQ) disebut Implikasi

(conditional)

– Ekspresi apa saja yang berbentuk (P↔Q) disebut Ekuivalensi

(biconditional)

Menganalisis Proposisi Majemuk

Contoh:

[1] Jika Joko lulus sarjana teknik

informatika, orang tuanya akan

senang, dan dia dapat segera bekerja,

tetapi jika dia tidak lulus, semua

usahanya akan sia-sia

Analisis(skop kiri &

skop kanan)

[1.1] Jika Joko lulus sarjana teknik

informatika, orang tuanya akan senang

dan dia dapat segera bekerja

dengan

[1.2] Jika dia tidak lulus, semua usahanya

akan sia-sia

Sub proposisi skop kiri

[1.1.1] Jika Joko lulus sarjana teknik

informatika

dengan

[1.1.2] Orang tuanya akan senang, dan dia

dapat segera bekerja

Sub sub proposisi skop kiri

[1.1.2.1] Orang tuanya akan senang

dengan

[1.1.2.2] Dia dapat segera bekerja

Sub proposisi skop kanan

[1.2.1] Jika dia tidak lulus

dengan

[1.2.2] Semua usahanya akan sia-sia

• Teknik memilah-milah kalimat menjadi

proposisi-proposisi atomik disebut Parsing

• Hasilnya dapat diwujudkan dalam bentuk

Parse Tree

Parse Tree

• Parse Tree diubah menjadi fpe sebagai

berikut:

oA = Joko Lulus sarjana teknik informatika

oB = Orang tua Joko senang

oC = Joko bekerja

oD = Usaha Joko sia-sia

• Pernyataan tersebut ditulis:

(A(B∧C)) ∧((¬A)D)

Contoh-2

• Jika anda mengambil mata kuliah logika, dan anda tidak

memahami proposisi, maka anda tidak lulus mata kuliah

tersebut

• Variabel proposisi:

o A = Anda mengambil mata kuliah logika

o B = Anda memahami proposisi

o C = Anda lulus mata kuliah

• Ekspresi logika:

(A ∧ ¬B) ¬C

Aturan Pengurutan

• Untuk menjaga kebenaran sebuah

pernyataan maka setiap

operator/penghubung diberikan aturan yang

lebih tinggi

• Aturan pengurutan (precedence rules)

adalah aturan yang digunakan untuk

memprioritaskan penafsiran suatu hasil

yang digunakan memastikan proses

pengerjaan subekspresi

Hierarki

Hierarki

ke

Perangkai

Simbol Nama

1 ¬ Negasi

2 ∧ Konjungsi

3 ∨ Disjungsi

4 → Implikasi

5 ↔ Ekuivalensi

Contoh-3

• ¬p ∨ q ≡ (¬p) ∨ q

• p ∧ q ∨ r ≡ (p ∧ q) ∨ r

• p → q ∨ r ≡ p → (q ∨ r)

• p ↔ q → r ≡ p ↔ (q → r)

Latihan-1

Ubahlah pernyataan-pernyataan berikut menjadi

ekspresi logika berupa proposisi majemuk:

1. Jika tikus itu waspada dan bergerak cepat, maka

kucing atau anjing itu tidak mampu

menangkapnya.

2. Andi membeli saham dan properti untuk

investasinya, atau dia dapat menanamkan uang di

deposito bank dan menerima bunga uang

Latihan-2

Beri tanda kurung pada ekspresi berikut agar

tidak ambigu.

1. A ∧ B ∧ C → D

2. A ∨ B ∨ C → ¬D

3. ¬A ∧ B → ¬C ∨ D

Latihan-3

Jika nilai A dan B adalah T, sedangkan C dan

D adalah F, carilah nilai kebenaran dari

ekspresi logika berikut:

1. A ∧ (B ∨ C)

2. ((A ∨ B) ∧ C) ∨ ¬((A ∨ B) ∧ (B ∨D))

3. (¬(A ∧ B) ∨ ¬C) ∨ (((¬A ∧ B) ∨ ¬D)

∧ C)

Tautologi, Kontradiksi

& Contingent

Tautologi

• Tautologi :

Proposisi majemuk yang selalu bernilai benar (true)

tidak perduli apa nilai kebenaran proposisi penyusunnya.

Jika pada tabel kebenaran untuk semua pasangan nilai

variabel-variabel proposional yang ada bernilai benar

(T).

Contoh: p ∨ ¬p (apa tabel kebenarannya?)

Contoh-4

• ¬(A ∧ B) ∨ B

• (A ∧ B) → (C ∨ (¬B → ¬C))

• Jika ¬(A ∧ B) ∨ B adalah tautologi, buktikan

¬((A ∨ B) ∧ C) ∨ C juga tautologi

• Jika Tono pergi kuliah maka Tini juga pergi

kuliah, jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah.

Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau

Siska tidur, maka Tini pergi kuliah

Kontradiksi

• Merupakan kebalikan dari tautologi

• Proposisi majemuk yang selalu bernilai

false tidak perduli apapun

• Jika pada semua pasangan dari nilai

kebenaran menghasilkan nilai F

• Contoh:

p ∧ ¬p

((A ∨ B) ∧ ¬A) ∧ ¬B

Contingent

• Proposisi majemuk selain tautologi dan

kontradiksi

• Jika pada semua tabel kebenaran

menghasilkan nilai F dan T

• Suatu ekspresi logika yang mempunyai nilai

benar atau salah di dalam tabel

kebenarannya.

Contoh-5

• ((A ∧ B) → C) → A

• ((A → B) ∧ (¬B → C)) → (¬C → A)

Latihan

1. Tantukan apakah ekspresi logika berikut

ini termasuk tautologi, kontradiksi atau

contingent.

• A → (B → A)

• (A ∧ B) ∧ ¬ B

• (¬ ¬A → A) ↔ ((A → B) ∧ ¬ B)

• (A ∧ (A → B)) → B

Latihan

2. Jika (A ∨ ¬A) adalah tautologi, buktikan

bahwa ekspresi logika berikut ini adalah

tautologi

• (A → B) ∨ ¬(A → B)

• ¬A ∨ ¬¬A

• ((A ∧ C) ∨ B) ∨ ¬((A ∧ C) ∨ B)