TABELLA DELLE TRASFORMATE DI LAPLACE

LUCIA GASTALDI

1. Formule generali

Siano f e g trasformabili rispettivamente per Re p > e Re p > .

FormulaSemipiano diconvergenza

Nome, Commento

F (p) = L[f ](p) =

+

0

epxf(x) dx Re p > Definizione di trasformata

f(x) = L1[F ](x) Antitrasformata

L[f + g](p) = L[f ](p) + L[g](p) Re p > max(, ) Linearita

L[eaxf(x)](p) = L[f ](p a) Re p > + a Formule di ritardo

L[f(x a)H(x a)](p) = epaL[f ](p) Re p >

L[f(x)H(x)](p) =L[f0](p)

1 eTpRe p > 0

f periodica di periodo Tf0(x) = f(x) per x [0, T ]f0(x) = 0 altrove

L[f ](p) = pL[f ](p) f(0) Re p > max(, 0) Trasformata di derivata

L[f (n)](p) = pnL[f ](p)pn1f(0) f (n1)(0)

Re p > max(, 0)

L

[ x

0

f(t) dt

]

(p) =1

pL[f ](p) Re p > Trasformata di primitiva

(f g)(x) =

x

0

f(x t)g(t) dt

=

x

0

f(t)g(x t) dt

f e |g| trasformabiliper Re p >

Convoluzione

L[f g](p) = L[f ](p) L[g](p) Re p > Trasformata di convoluzione

1

2 LUCIA GASTALDI

2. Tabella delle trasformate di Laplace

La funzione da trasformare f e sempre moltiplicata per la funzione di Heaveside.

f(x) F (p) = L[f ](p)Semipiano diconvergenza

11

pRe p > 0

x1

p2Re p > 0

xn con n Nn!

pn+1Re p > 0

xa con a > 1(a + 1)

pa+1Re p > 0

eax1

p aRe p > Re a

xeax1

(p a)2Re p > Re a

xneax con a > 1n!

(p a)n+1Re p > Re a

sin x

p2 + 2Re p > 0

cos xp

p2 + 2Re p > 0

sinh x

p2 2Re p > |Re|

cosh xp

p2 2Re p > |Re|

eax sin x

(p a)2 + 2Re p > a

eax cos xp a

(p a)2 + 2Re p > a

La funzione gamma e definita da (a + 1) =

0

exxa dx. Si ha (n + 1) = n!.

3

f(x) F (p) = L[f ](p)Semipiano diconvergenza

1 cos x2

p(p2 + 2)Re p > 0

x sin x3

p2(p2 + 2)Re p > 0

sin x x cos x23

(p2 + 2)2Re p > 0

x sin x2x

(p2 + 2)2Re p > 0

sin x + x cos x2p2

(p2 + 2)2Re p > 0

2

x(1 cos x) log

p2 + 2

p2Re p > 0

2

x(1 cosh ax) log

p2 a2

p2Re p > |Re a|

sin x

xarctan

pRe p > 0

Dipartimento di Matematica, Universita di Brescia, Italy

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