Trasformate di Fourier e Laplace notevoli

Paolo P. Mazza Mathieu Renzo

5 dicembre 2011

1 Trasformate di Fourier

1.1 De�nizione e proprietá

La trasformata di Fourier per funzioni L2 ( in realtá ricordiamo che l'ambientenaturale di de�nizione é lo spazio L1 ma la de�nizione si puó estendere a L2 percontinuitá. . . ) si de�nisce nel seguente modo:Data una f(x)∈ L2 allora posso de�nire la trasformata di Fourier come:

Ff(x) =

∫ +∞

−∞f(x)eiωxdx (1)

E di conseguenza l'antitrasformata (solo per funzioni L2. . . ) come:

F−1 ˆf(ω) =1

2π

∫ +∞

−∞f(ω)e−iωxdω (2)

É possibile tuttavia estendere la nozione di trasformata di Fourier anche allospazio S 1 delle distribuzioni temperate, questo ci permette di poter trasformarefunzioni che non sono L2. Nell'ambiente delle distribuzioni la trasformata diFourier si comporta come una trasformazione lineare dello spazio in sé (i.e. F :S → S ) e nel suo duale S −1 é un operatore continuo ( i.e. ∀Tn → T, Tn → T ).In S 1 la trasformata é de�nita come quell'operatore tale che:

〈FT, ϕ〉 = 〈T,Fϕ〉 (3)

Con ovvio signi�cato dei simboli.Ricordiamo inoltre che F : L1 → C0(in questo caso il teorema di Riemann-Lebesgue mi assicura che f(ω) → 0 se ω → ±∞) e che F : L2 → L2, inoltrela trasformata di Fourier manda funzioni a decrescenza rapida in funzioni C∞

e viceversa. In�ne data f(x) ∈ L2 vale l'uguaglianza di Parseval:

2π||f(x)||L2 = ||f(ω)||L2

che puó essere espressa anche in una forma piú generale, ovvero, date f(x), g(x) ∈L2 abbiamo che: (f , g) = 2π(f, g).

Un'altra proprietá che puó essere utile per veri�care se una trasformata égiusta é la seguente:

• se f(x) é una funzione pari del suo argomento ⇒ F (f(x)) é una funzionereale pari.

1

• se f(x) é una funzione dispari del suo argomento ⇒ F (f(x)) é unafunzione immaginaria pura dispari.

1.2 Teoremi dei traslazione e derivazione, prodotto di con-

voluzione

Elenchiamo ora alcuni teoremi importanti riguardanti le trasformate di Fourier:i teorema di traslazione e quelli di derivazione. I teoremi di traslazione a�er-mano che:

F (f(x− a)) = eiωaF (f(x))

F (e−iaxf(x)) = f(ω − a)

I teoremi di derivazione invece a�ermano che:

F ((ix)kf(x)) = ∂kω f(ω)

Naturalmente ammettendo che f(ω) ∈ Ck. E Ovviamente:

F (∂kxf(x)) = (−iω)k ˆf(ω)

Il prodotto di convoluzione tra due funzioni f(x), g(x) ∈ L1 si de�nisce come:

f ∗ g =

∫ +∞

−∞f(x− y)g(y)dy (4)

Vale un'assai utile relazione F (f ∗ g) = f(ω)g(ω)

2 Alcune trasformate di Fourier notevoli

Elenchiamo qui di seguito alcune delle piú utili ed importanti trasformate diFourier, l'elenco a prima vista potrebbe sembrare fortemente incompleto, maper rendersi conto che non è proprio cosí basta ricordare una fondamentalerelazione che lega, svincolandoci da qualsiasi signi�cato �sico, la trasformata el'antitrasformata di Fourier:

F (f(x)) = −2πF−1(f(−x))

che mi aiuta quando voglio fare l'antitrasformata di funzioni di cui so la trasfor-mata.... É utile anche ricordare la formula

F (f(−x)) = −(f(−ω))

2

f(x) f(ω){ ei$x |x| < x0

0 else2 sin[(ω−$)x0]

ω−$

sin(αx)πx

{ 1 |ω| < α0 |ω| > α

e−αx2 √παe

−ω2

4α

θ(x)e−ax 1a−iω

e−a|x| 2aa2+ω2

atg(x) P πe−|ω|

−iω

1a2+x2

πa e

−a|ω|

P 1x πisgn(ω)

sgn(x) 2iP 1ω

δ(x− a) eiωa

xk 2π(−i)kδk(ω)

θ(x) πδ(ω) + iP 1ω

1x−i iθ(−ω)eω

Un altro risultato che vale la pena ricordare é il seguente:

limε→0

1

ω − iε= P 1

ω+ iπδ(ω)

e anche:

limε→0

1

ω + iε= P 1

ω− iπδ(ω)

Inoltre si puó scrivere la δ di Dirac come:∫ ∞

−∞eiωtdω = δ(t)

3 Residui

Ricordiamo inoltre la formula per il calcolo di residui per un polo di ordine nnel punto z = z0:

1

(n− 1)![dn−1

dzn−1(z − z0)

nf(z)]z=z0 (5)

che risulta spesso utile nel calcolo di trasformate di fourier mediante integrazionesul piano complesso.

3

4 Trasformate di Laplace

4.1 De�nizione e proprietá

Sia f(x) una funzione ∈ L1loc ovvero sommabile su tutti i compatti, e tale che

f(x) = 0∀x < 0, si de�nisce trasformata di Laplace la funzione del numerocomplesso s così de�nita:

L (s) =

∫ +∞

0

f(x)e−sxdx (6)

La prima proprietá interessante di questa trasformata é che se esiste (cioé se6 converge) per un certo s0 �ssato, allora esiste su tutto il semipiano Re[s] ≥Re[s0]. Si indica con λ, detto l'ascissa di convergenza, il seguente:

λ = inf{Re[s]t.c.

∫ +∞

0

f(x)esxdx ≤ ∞} (7)

Osserviamo che qualsiasi intero �ssato n se f(x) é trasformabile secondo laplaceallora xnf(x) é ancora trasformabile, come si vede dalla de�nizione dato chel'esponenziale della parte reale di s batte qualsiasi polinomio. Inoltre l'ascissadi convergenza λ resta la stessa.

4.2 Legame tra trasformata di Fourier e trasformata di

Laplace

• Se λ ≥ 0 ponendo s = −iω in L (f) si ottiene F (g) con g(x) 6= f(x).

• Se λ = 0 dipende dai casi.

• Se λ ≤ 0 ponendo s = −iω in L (f) si ottiene F (f) con la stessa funzioneall'argomento.

4.3 Teoremi di Traslazione, Derivazione e Trasformabilità

Enunciamo un criterio su�ciente a�nché la funzione sia trasformabile secondoLaplace:Sia f(x) una funzione ∈ L1

loc e f(x) = 0∀x < 0 tale che ∃M e x0 per cui

|f(x)| ≤ Mekx∀x ≥ x0 ⇒ ∀st.c.Re[s] ≥ k∃L (f)

e per l'ascissa di convergenza vale: λ ≤ k.Come per la trasformata di Fourier valgono i seguenti:

• Teoremi di derivazione:

∂ksL (f(x)) = L (−xkf(x))

L (∂kxf(x)) = ∂k−1

x f(0+) + s∂k−2x f(0+) + .....+ sk−1f(0+) + skL (f(x))

• Teoremi di traslazione:

L (f(x)ekx) = L (f(s− k))

L (f(x+ a)) = esaL (f(s))

4

4.4 Prodotto di convoluzione

Si dimostra banalmente che vale ancora:

L (f ∗ g) = L (f)L (g) (8)

5 Alcune trasformate di Laplace notevoli

Si ricorda una utile formula che permette di ricavare alcune trasformate:

L (θ(x)xn) = (−1)ndn

dsnL (θ(x)) (9)

f(x) L [f ](s) λ

θ(x) 1s λ = 0

θ(x)sin(x) 1s2+1 λ = 0

θ(x)cos(x) s1+s2 λ = 0

θ(x)xn n!sn+1 λ ≥ 0

{ sin(x) 0 ≤ x ≤ π0 else

1+e−sx

s2+1 λ = 0

5