Técnicas de Bifurcação para o Problema Ana Cláudia da Silva … · 2016-03-21 · Técnicas de Bifurcação para o Problema de Yamabe em Variedades com Bordo Esta é a versão

Técnicas de Bifurcação para o Problemade Yamabe em Variedades com Bordo

Ana Cláudia da Silva Moreira

Tese apresentadaao

Instituto de Matemática e Estatísticada

Universidade de São Paulopara

obtenção do títulode

Doutora em Ciências

Programa: Doutorado em Matemática

Orientador: Prof. Dr. Paolo Piccione

São Paulo, 15 de março de 2016

Técnicas de Bifurcação para o Problemade Yamabe em Variedades com Bordo

Esta é a versão nal da Tese que contém as correções e alterações sugeridas

pela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho,

realizada em 29/01/2016. Uma cópia da versão original está disponível no

Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.

Comissão Julgadora:

• Prof. Dr. Paolo Piccione (orientador) - IME - USP

• Prof. Dr. Francesco Mercuri - IMECC - Unicamp

• Prof. Dr. Carlos Eduardo Durán Fernandez - UFPR

• Prof. Dr. Fabiano Brito - IME - USP

• Prof. Dr. Adriano João da Silva - IMECC - Unicamp

Agradecimentos

A teacher aects eternity; he can never tell where his inuence stops.

- Henry Brooks Adams -

Sou grata a muitas pessoas incríveis que me apoiaram, incentivaram e estiveram comigo durante

todos esses anos que tenho estudado matemática, desde o professor José Adonai Pereira Seixas

(UFAL), que foi o responsável por despertar em mim o desejo de estudar matemática até meu

orientador de doutorado, professor Paolo Piccione, com quem aprendi a naturalidade de não saber,

a conança na capacidade de aprender e a tolerância no processo que liga um estado ao outro.

Já que encerro uma longa fase como aluna, quero aproveitar a oportunidade para dizer que

sempre me lembro das excelentes aulas ministradas pelos professores Jorge Mujica (Unicamp),

José Luiz Boldrini (Unicamp) e André Oliveira Gomes (IME-USP), e de suas didáticas impecáveis.

Durante esse processo de formação no qual somos, inevitavelmente, pressionados por prazos e

avaliações, o papel de pesquisadores entusiasmados é mais importante do que se imagina. Aqui

no IME, o professor Marcos Martins Alexandrino da Silva, e meu próprio orientador, sempre

alimentaram em mim aquela energia que nos impulsiona a estudar matemática. Na Unicamp, meu

orientador de mestrado, Carlos Eduardo Durán Fernandez (hoje na UFPR), desempenhou muito

bem este papel e até hoje, sua sempre disponível atenção é motivadora. Neste mesmo sentido,

quero dar destaque a uma homenagem mais que especial ao professor Alcibíades Rigas (Unicamp),

por quem tenho muito carinho e admiração. Sua inuência foi decisiva no meu encantamento e

escolha pela Geometria. Inesquecível, ele será sempre uma inspiração para mim.

Mas, nem só de inspiração se faz um matemático. Os recursos materiais são necessários. Meu

pai, não só apoiou minha decisão de voltar a estudar aos 26 anos, como me socorreu, muitas vezes,

nanceiramente. Nunca vou me esquecer das oportunidades de estágios que a professora Sueli

Irene Rodrigues Costa (Unicamp) me ofereceu em momentos de diculdade durante o curso de

graduação. Sem essa ajuda não sei se teria sido possível chegar até aqui. Serei eternamente grata.

Agradeço à colaboração do colega Elkin Dario Cárdenas Diaz no artigo cujos resultados com-

põem uma parte desta Tese (Seção 2.3) e à minha amiga Luciana Carrara Abreu, que me ajudou

com algumas das guras utilizadas.

Por m, agradeço ao meu marido, Robson da Silva, professor de matemática da Unifesp, em

São José dos Campos, que desde o dia que decidi seguir a carreira de matemática, esteve ao meu

lado, incentivando-me e dando suporte. Em particular, durante o doutorado, ele foi também minha

fonte nanciadora, diante da escassez de bolsas. Ao longo desses anos, sei que muitas vezes, ele

sacricou seus próprios planos para permitir que eu realizasse o sonho de um dia me tornar uma

i

ii

pesquisadora.

Ao nal desta etapa aumenta a certeza de quão pouco sei. Entendi que natural é não saber.

Aprender é um processo (diferente para cada indivíduo). Respeitar os limites do outro é reconhecer

sua própria imperfeição. Conhecer sua capacidade é necessário para saber aproveitá-la. É você

quem dene o seu valor, ninguém mais. Respeitar os próprios limites é amar a si mesmo. O tempo

é um elemento essencial na maturação do conhecimento. Na Matemática, haverá sempre mais para

se aprender, descobrir e criar. E que seja belo!

Resumo

MOREIRA, A. C. S. Técnicas de Bifurcação para o Problema de Yamabe em Variedade

com Bordo. 2016. 125 pg. Tese (Doutorado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universi-

dade de São Paulo, São Paulo, 2016.

Apresentaremos alguns resultados de rigidez e de bifurcação para soluções do problema de Yamabe

em variedades produto com bordo.

Palavras-chave: geometria Riemanniana, problema de Yamabe e suas generalizações, teoria de

bifurcação, ações isométricas.

iii

iv

Abstract

MOREIRA, A. C. S. Bifurcation Techniques for the Yamabe Problem in Manifolds with

Boundary. 2016. 125 pg. Tese (Doutorado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade

de São Paulo, São Paulo, 2016.

We will discuss some rigidity and bifurcation results for solutions of the Yamabe Problem in pro-

duct manifolds with boundary.

Keywords: Riemannian geometry, Yamabe problem and its generalizations, bifurcation theory,

isometric actions.

v

vi

Sumário

Introdução 1

I Preliminares 7

1 Geometria Riemanniana 9

1.1 Sistemas de Coordenadas em Variedades Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Variedades com Bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Tensores em Geometria Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Curvaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5 Transformações Conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5.1 Conexão Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5.2 Curvatura Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5.3 Curvatura de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5.4 Curvatura Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.5.5 Curvatura Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.5.6 Operador Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.5.7 Variedade Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Análise Funcional 41

2.1 Operadores de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2 Espaços de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 Representações de Grupos de Lie 49

3.1 Ações Isométricas e Representações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

II Técnicas de Bifurcação Aplicadas ao Problema de Yamabe 55

1 Teoremas de Bifurcação Variacional 57

1.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.2 Teoremas de Bifurcação Clássicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1.3 Teoremas de Bifurcação com Domínio Variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

vii

viii SUMÁRIO

2 Bifurcação de Soluções para o Problema de Yamabe 65

2.1 O Problema de Yamabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.2 Bifurcação de Soluções em Variedades Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.3 Bifurcação de Soluções em Variedades Produto com Bordo Mínimo . . . . . . . . . 68

2.3.1 Variedades e Classes Conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.3.2 Rigidez Local e Bifurcação de Soluções do Problema de Yamabe . . . . . . 76

2.3.3 Bifurcação de Soluções para o Problema de Yamabe em Variedades Produto

com Bordo Mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3 Bifurcação Equivariante de Soluções para Problema de Yamabe 85

3.1 Bifurcação Equivariante em Variedades com Bordo Mínimo . . . . . . . . . . . . . 85

3.2 Bifurcação Equivariante de Soluções do Problema de Yamabe em Variedades Pro-

duto com Bordo Mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

III Apêndice 99

A O Funcional de Hilbert-Einstein 101

A.1 Primeira Variação do Funcional de Hilbert-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

A.2 Segunda Variação do Funcional de Hilbert-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

B Funções com Derivada Normal Prescrita 115

C G-equivariância da Curvatura Escalar 121

Bibliograa 122

Introdução

Problemas relacionados à obtenção de métricas canônicas em uma variedade riemanniana têmocupado a mente de geômetras há vários anos. Dada uma variedade riemanniana (M, g), a Ck-classeconforme da métrica g é dada por

[g] = φg : φ ∈ Ck+(M).

Provavelmente, o resultado mais conhecido neste assunto seja o Teorema de Uniformização parasuperfícies simplesmente conexas que garante a existência de uma métrica de curvatura gaussianaconstante em cada classe conforme. Em dimensões mais altas, outras noções de curvatura - seccio-nal, de Ricci, escalar - trazem diferentes informações sobre a variedade. Poderíamos nos perguntarse é sempre possível encontrar métricas conformes que tornam tais curvaturas constantes. Paraa curvatura seccional, não existe resultado semelhante, variedades riemannianas com curvaturaseccional constante constituem uma classe especial de variedades chamada de espaço forma. Umavariedade que tem curvatura de Ricci constante é conhecida como variedade de Einstein. No casoda curvatura escalar, o matemático japonês Hidehiko Yamabe (1923-1960) propôs uma conjecturaque cou conhecida como Problema de Yamabe:

Seja (M, g) uma variedade riemanniana compacta de dimensão m ≥ 3. Existe uma métrica gna classe conforme de g, segundo a qual M tem curvatura escalar constante?

Seja g ∈ [g], dada por g = u4

m−2 g, onde u ∈ Ck+(M). Calculando a curvatura escalar comrespeito à métrica g, temos

Rg = u−m+2m−2

(4(m− 1)

m− 2∆gu+Rgu

),

onde ∆g é o operador laplaciano emM com respeito à métrica g e Rg é a curvatura escalar. Entãoo problema de Yamabe tem solução se existe u > 0 que satisfaz a E.D.P.

∆gu+m− 2

4(m− 1)Rgu = Ku

m+2m−2 ; (1)

para K =(m− 2)

4(m− 1)Rg constante.

O problema tem um equivalente variacional. SejaMk(M) a variedade de Banach das métricasriemannianas em M , que é um cone aberto no espaço dos (0, 2)-tensores simétricos de classe Ckdenidos em M , Γk(T ∗M ⊗ T ∗M). A Ck-classe conforme [g] é uma subvariedade de Mk(M) eTg[g] =

ψg : ψ ∈ Ck(M)

. Yamabe percebeu que a equação (1) é a equação de Euler-Lagrange

para o funcional de Hilbert-Einstein normalizado F :Mk(M) −→ R, suave emMk(M) e em [g],dado por

F (g) =

∫MRg ωg

Vm−2m

g

, com Vg = V(g) =

∫M

ωg,

1

2 SUMÁRIO 0.0

restrito à classe conforme de g:

u é solução da EDP (1) ⇐⇒ u é ponto crítico de Fg(u) = F |[g] (u4

m−2 g).

Em 1960, foi publicado o artigo [41], atribuído à Yamabe, que trazia uma prova para a conjec-tura. Mas, em 1968, o matemático australiano NeilTrudinger publicou o artigo [39], onde apontavaum problema na demonstração de Yamabe. É claro que esse fato não desmerece o trabalho deYamabe, anal tratava-se de um problema tão difícil que entreteve os matemáticos por cerca de 16anos. Só em 1984, o esforço combinado de Aubin [2], Trudinger [39], e Schoen [34], [35] forneceuuma prova denitiva da existência de solução para o problema. Foram usadas técnicas de geometriadiferencial, análise funcional e equações diferenciais parciais.

Hoje sabemos que os pontos críticos do funcional

F (g) =

∫M

Rg ωg,

emMk(M), são as métricas g tais que Ricg = 0. Se considerarmos a restrição de F à subvariedadedas métricas riemannianas de volume 1, denotada porMk(M)1, os pontos críticos são as métricasde Einstein de volume 1. Restringindo o funcional à classe conforme de volume 1,

[g]1 =

φg : φ ∈ Ck+(M),

∫M

φm2 ωg = 1

,

que é subvariedade deMk(M)1 e cujo espaço tangente é Tg[g]1 =

ψg : ψ ∈ Ck(M),

∫M

ψ ωg = 0

,

a primeira variação do funcional F toma a forma

δF (g)h = −∫M

⟨Ricg −

Rg2g, h

⟩g

ωg,

para g ∈ Mk(M) e h ∈ TgMk(M), e os pontos críticos de F em [g]1 são as métricas conformes ag, de volume 1 e Rg constante.

O Problema de Yamabe deu origem a uma coleção de trabalhos concernentes à existência,unicidade e outros aspectos de suas soluções. Em particular Lima, Piccione e Zedda [31] estudaramrigidez local e multiplicidade de métricas de curvatura escalar constante nas classes conformes, emvariedades produto compactas fazendo uso de teoria de bifurcação. Inspirados neste trabalho,estudamos o problema para o caso de variedades com bordo.

O Problema de Yamabe no caso de variedades com bordo tem diferentes formulações. Seja(M, g) uma variedade riemanniana compacta com bordo ∂M 6= ∅, dim M = m ≥ 3. Questiona-sea existência de g ∈ [g] tal que

(1) Rg é constante não nula e Hg = 0,

(2) Rg = 0 e Hg é constante não nula,

(3) Rg e Hg são ambas constantes não nulas,

onde Hg é a curvatura média do bordo. A existência de solução para estes problemas foi provadapor Cherrier [12], Escobar [18], [19], [20], Almaraz [1], Han [23] e outros, para uma vasta classede variedades com bordo. Nesta tese estudamos a formulação (1): Rg constante e Hg = 0, para aqual temos o seguinte problema:

4(m− 1)

m− 2∆gu+Rgu−Ku

m+2m−2 = 0, em M

∂ηu+n− 2

2Hgu− Lu

nn−2 = 0, em ∂M

0.0 SUMÁRIO 3

onde K e L são constantes e η é o campo unitário (interior) normal ao bordo, que é uma espéciede problema não-linear de autovalor. Este problema tem também uma estrutura variacional.Denimos a Ck,α-classe conforme normalizada1 da métrica g por

[g]0 = g ∈ [g] : Hg = 0 .

Observe que, fazendo g = u4

m−2 g ∈ [g], temos

Hg = φ−mm−2

(Hgφ+

2(m− 1)

(m− 2)∂ηgφ

),

então, podemos identicar [g]0 com o conjunto

Ck,α+ (M)0 =φ ∈ Ck,α+ (M) : ∂ηgφ = 0 em ∂M

.

Nesta tese, provamos que [g]0 é subvariedade de [g] e

Tg[g]0 =ψg : ψ ∈ Ck,α(M), ∂ηgψ = 0

,

o que nos permite calcular os pontos críticos do funcional F , restrito à classe conforme normalizadade volume 1,

[g]01 = [g]0 ∩Mk,α(M)1,

que é uma subvariedade deMk,α(M)1, e cujo espaço tangente é dado por

Tg[g]01 =

ψg : ψ ∈ Ck,α(M), ∂ηgψ = 0,

∫M

ψ ωg = 0

.

Na primeira variação do funcional Hilbert-Einstein em variedades com bordo ∂M 6= ∅, apareceuma integral sobre o bordo,

δF (g)h = −∫M

⟨Ricg −

Rg2g, h

⟩g

ωg − 2

∫∂M

(δHg +

1

2〈IIg, h〉

)σg,

para todo h ∈ TgMk,α(M), que acaba sendo anulada quando restringimos F à classe conformenormalizada [g]0, pois ao fazermos h = ψg ∈ Tg[g]0, teremos termos como o traço da segundaforma fundamental e derivadas na direção normal ao bordo que são todos nulos. Assim, depois demais algumas contas, podemos concluir que g é ponto crítico de F |[g]01 , se e só se g ∈ [g]01 e Rg éconstante.

Agora nos interesse estudar a natureza de tais pontos críticos. Assim, se g é um ponto críticode F restrito à [g]01, calculamos a segunda variação do funcional

δ2F (g)(ψ,ψ) =m− 2

2

∫M

[(m− 1)∆gψ −Rgψ]ψ ωg,

onde ψ ∈ Ck,α(M)0 e tem integral nula. Utilizando propriedades especiais do laplaciano emespaços de Holder e características inerentes aos operadores Fredholm, estudamos as condições dedegeneração deste ponto e estabelecemos a seguinte denição.

Denição: Seja g ∈ Mk,α(M)1 com curvatura escalar constante Rg em M . Dizemos que g é

1Por razões técnicas, que carão claras ao longo do texto, trabalhamos com os Espaços de Holder

Ck,α =φ ∈ Ck(M) : |Daφ(x)−Daφ(y)| ≤ L |x− y|α , ∀x, y ∈M,x 6= y,∀a ∈ Ak

,

onde α ∈ (0, 1], L é uma constante, Ak =a = (a1, . . . , an) : ai ≥ 0,

∑ni=1 ai = k

.

4 SUMÁRIO 0.0

uma métrica não degenerada se Rg = 0 ou se Rg(m−1) não é um autovalor de ∆g, com condição

de Neumann no bordo ∂ηgf = 0. Em outras palavras, Rg(m−1) não é uma solução do problema de

autovalor ∆gf = λf, em M∂ηgf = 0, em ∂M.

(2)

Então, o resultado de rigidez local de [30] se estende naturalmente para o problema de Yamabeem variedades com bordo na formulação (1): se g é uma métrica não degenerada de volume 1,curvatura escalar constante e curvatura média do bordo nula, há unicidade local de soluções parao problema de Yamabe na classe conforme normalizada de g.

A partir deste ponto, podemos dividir esta tese em dois trabalhos distintos. O primeiro, expostona Seção 2.3, que deu origem ao artigo [14], a ser publicado no periódico Advances in NonlinearAnalysis. Neste trabalho, adaptamos o Teorema de Bifurcação de [31], que garante a existência deum instante de bifurcação em um determinado intervalo, baseado no salto do índice de Morse dafamília de operadores

Js = ∆gs −Rgsm− 1

I

à medida que s varia, para o caso de variedades com bordo. Além disso, estendemos os resultadosobtidos no estudo de multiplicidade de soluções para o problema de Yamabe em variedades produtopara o caso com bordo. Na situação estabelecida abaixo:

Seja (M1, g(1)) uma variedade riemanniana compacta com ∂M1 = ∅ e curvatura escalar cons-

tante, e seja (M2, g(2)) uma variedade riemanniana compacta com bordo mínimo e curvatura escalar

constante. Considere a variedade produto, M = M1×M2, cujo bordo é dado por ∂M = M1×∂M2.Sejam m1 e m2 as dimensões de M1 e M2, respectivamente, e assuma que dim(M) = m =m1 + m2 ≥ 3. Para cada s ∈ (0,+∞), dena gs = g(1) ⊕ sg(2) uma família de métricas em M .Então, gss ⊂Mk,α(M) é uma família de soluções para o Problema de Yamabe na variedade combordo M .

Pergunta-se se em algum instante s há multiplicidade de soluções para o problema de Yamabena classe conforme [gs]

01.

Tendo em vista a denição anterior, observe que se gs é degenerado, então s é um candidatoa instante de bifurcação. Provamos que os resultados de [31] se mantém no caso com bordo, istoé, exceto por um número nito de instantes, todos os demais s, tais que gs é degenerado, sãoinstantes de bifurcação.

A teoria de bifurcação contribui para a solução do problema de forma direta: dada uma famíliacontínua gss>0 de soluções para o problema de Yamabe na variedade produto, construída comoestabelecido acima, encontrar um instante de bifurcação s∗ signica que existem sequências sn → s∗e gn → gs∗ tais que cada gn é uma solução do problema estudado, na classe conforme [gsn ]01, distintade gsn .

O segundo trabalho, objeto do Capítulo 3, traz o estudo de bifurcação equivariante, que consisteem considerar a ação, via isometrias, de um grupo de Lie conexo, de dimensão nita, no espaçofuncional do problema que deixa invariante o conjunto de soluções.

Neste trabalho, provamos uma extensão natural do Teorema de Bifurcação Equivariante, de [31],para variedades com bordo. Como os autoespaços de ∆gs são G-invariantes, a ação isométrica de Gdetermina antirrepresentações em todos os autoespaços do laplaciano. A abordagem equivariantepermite o uso de um critério mais no para garantir a existência de instantes de bifurcação, qualseja, a análise das representações do grupo G nos autoespaços do laplaciano, já que, nem sempreé possível detectar um salto no índice de Morse, .

De posse dos critérios para existência de um ramo de bifurcação, estudamos o problema de

0.0 SUMÁRIO 5

multiplicidade de soluções para o problema de Yamabe em variedades produto. Propusemos umaoutra denição para ação harmonicamente livre, diferente daquela sugerida em [31].

Denição: Seja G um grupo de Lie que age por isometrias em uma variedade riemanniana(N,h). A ação de G é dita harmonicamente livre se, dada uma família arbitrária de autoespaçosdo laplaciano ∆h, dois a dois distintos,

V1, V2, . . . , Vr, Vr+1, . . . , Vr+s, r, s ≥ 1,

e dados inteiros n` ≥ 0, com ` = 1, . . . , r + s, não todos nulos, então as antirrepresentações

r⊕`=1

n` · π` er+s⊕`=r+1

n` · π`,

são não-equivalentes. Aqui, denotamos por π` a antirrepresentação de G em V`, denida na Pro-posição 3.1.2, e n` · π` denota a soma direta (externa) de n` cópias de π`.

Com base nesta nova denição, considerando a ação harmonicamente livre de um grupo de Lieconexo, via isometrias, em um dos fatores da variedade produto M = M1 ×M2, temos uma açãode G sobre M , dada por

G×M −→ M(ξ, (x, y)) 7−→ (ξx, y)

,

que determina antirrepresentações nos autoespaços V (1)i e V (2)

j de ∆g(1) e de ∆g(2) , respectivamente.

Consequentemente, temos antirrepresentações nos autoespaços Vi,j = V(1)i ⊗ V (2)

j de Js,

πi,j(ξ)(f) = (f1 ξ)⊗ f2.

Se s∗ é um instante de degeneração para a família gss>0, provamos que as antirrepresentaçõesde G nos autoespaços negativos de Js∗−ε e Js∗+ε são não equivalentes. Assim, segue do Teoremade Bifurcação Equivariante que todo instante de degeneração é um instante de bifurcação.

6 SUMÁRIO 0.0

Parte I

Preliminares

7

Capítulo 1

Geometria Riemanniana

Este capítulo tem o intuito de recordar, brevemente, alguns conceitos importantes em geometriariemanniana.

Denição 1.0.1. Uma variedade diferenciável M , de dimensão m, é um espaço topológico (Haus-dor, com base enumerável) com uma dada estrutura diferencial, isto é, uma coleção de cartasA = (Ui, φi), chamada atlas, onde φi é um homeomorsmo entre Ui e algum aberto de Rn, paratodo i, tal que

• M =⋃i Ui,

• para cada par de cartas (U, φ), (V, ψ), U ∩V 6= ∅, a aplicação ψ φ−1 : φ(U ∩V )→ ψ(U ∩V )é diferenciável.

Dizemos que uma variedade M é orientável se possui um atlas orientado no sentido que odeterminante Jacobiano da mudança de coordenadas ψ φ−1 é positivo para todo par de cartas(U, φ), (V, ψ) deste atlas, em cada ponto da interseção φ(U ∩ V ).

Denotaremos por C∞(M) o espaço de todas as funções reais, innitamente diferenciáveis, de-nidas em M ; TpM é o espaço tangente a M no ponto p ∈ M e TM denota o brado tangente,isto é, a união disjunta dos espaços tangentes para todo p ∈M . Um campo diferenciável em umavariedade M é uma aplicação que associa a cada p ∈ M um vetor Xp ∈ TpM e varia suavementecom p; denotamos por X(M) o conjunto dos campos diferenciáveis em M . Mais geralmente, umaseção suave de um brado E sobre M é uma aplicação diferenciável ξ que associa a cada pontop ∈M um ponto ξ(p) na bra Ep ⊂ E.

Seja f : Nn −→Mm uma aplicação diferenciável entre variedades.

(i.) Se (df)p : TpN −→ Tf(p)M é injetor, para todo p ∈ N , dizemos que f é uma imersão.

(ii.) Se f é uma imersão e é injetora, então f(N), com a estrutura diferenciável que faz com quef seja um difeomorsmo (herdada de N), é chamada subvariedade imersa de M .

(iii.) Se a topologia herdada de N coincidir com a topologia induzida porM em f(N) (a topologiado subespaço) dizemos que f(N) é uma subvariedade mergulhada de M .

(iv.) f é chamada submersão se (df)p : TpN −→ Tf(p)M é sobrejetor.

(v.) Dizemos que f é um mergulho se f é uma imersão e um homeomorsmo sobre a imagem,f(N), na topologia induzida por M . Se f é um mergulho, f(N) é chamada subvariedademergulhada de M .

Denição 1.0.2. Seja M uma variedade diferenciável de dimensão m. Um subconjunto N ⊂ Mé uma subvariedade (regular), de dimensão n, da variedade M , se para todo p ∈ N , existe umacarta (U, φ) de M , com p ∈ U , tal que φ(U ∩N) = φ(U) ∩ Rn × 0.

9

10 GEOMETRIA RIEMANNIANA 1.0

Observe que uma subvariedade (diferenciável) imersa de dimensão n de M é um subconjuntoS ⊂ M munido de uma topologia de n-variedade e uma estrutura diferenciável tal que a inclusãoi : S → M é uma imersão. Se, além disso, a topologia em S é a topologia induzida por M , entãoa inclusão é um mergulho e S é uma subvariedade mergulhada de M . Subvariedades mergulhadastambém são chamadas de subvariedades regulares.

Considerando ainda uma aplicação diferenciável f : Mm −→ Nn, entre variedades diferenciá-veis, um ponto q ∈ N é dito um valor regular para f , se (df)p é sobrejetivo para todo p ∈ f−1(q).Segue diretamente da Forma Local das Submersões o seguinte resultado.

Teorema 1.0.3. Se q é um valor regular de f : Mm −→ Nn, n ≤ m, então f−1(q) é umasubvariedade regular deM , com dim f−1(q) = dimM−dimN . Além disso, ker(df)p = Tp

(f−1q

)para todo p ∈ f−1q.

Denição 1.0.4. Dizemos que f : Mm −→ Nn é transversal à subvariedade Y ⊂ N se

(dfx)(TxM) + Ty(Y ) = Ty(N),

com y = f(x), para todo x ∈ f−1(Y ). Neste caso, f−1(Y ) é subvariedade (regular) de M e acodimensão de f−1(Y ) em M é igual à codimensão de Y em N .

Em particular, quando Y = y, f é transversal a Y , se dfx(TxM) = TyN , para todo x ∈f−1(Y ), isto é, o diferencial é sobrejetor e y é um valor regular.

Agora, sejam X e Y subvariedades de uma variedade diferenciável M . E considere as inclusõesiX : X →M e iY : Y →M . Observe que x ∈ X pertence a imagem inversa de Y pela inclusão see só se x ∈ X ∩ Y , além disso, (diX)x é simplesmente a inclusão de TxX em TxM e o mesmo valepara iY . Segue diretamente da denição que a inclusão iX é transversal à subvariedade Y de Mse e somente se, para todo x ∈ X ∩ Y , temos

TxX + TxY = TxM,

o mesmo vale para iY com respeito à subvariedade X. Neste caso dizemos que X é transversal àY e denotamos por X t Y . A interseção de duas subvariedades transversais de M é uma umasubvariedade de M . Além disso, codim(X ∩ Y ) = codimX + codimY .

O espaço dual a TpM , denotado por T ∗pM , é chamado espaço cotangente aM em p e é o espaçode todos os funcionais lineares denidos em TpM , chamados vetores cotangentes.

Se f ∈ C∞(M), a aplicação Xp 7→ Xp(f) está denida para todo vetor Xp ∈ TpM . Se(x1, . . . , xn) é um sistema de coordenadas em uma vizinhança de p ∈ M , as derivadas parciais∂i = ∂

∂xi, i = 1, . . . , n formam uma base de TpM .

Denição 1.0.5. Uma métrica riemanniana g é uma aplicação que associa a cada ponto p de Mum produto interno gp, denido em TpM × TpM que varia suavemente com p.

Uma variedade diferenciável (M, g) munida de uma métrica riemanniana é chamada variedaderiemanniana. De fato, toda variedade suave admite métrica riemanniana; mais que isso, qualquerbrado vetorial (não só TM) admite métrica denida nas bras.

A aplicação Xp 7→ Xp(f) é linear e dene um vetor cotangente (df)p ∈ T ∗pM , por

gp(df,X) = 〈(df)p, Xp〉g = Xp(f),

com Xp ∈ TpM . Analogamente, os diferenciais dxi das funções coordenadas, satisfazem

〈dxi, ∂j〉 =∂xi∂xj

= δij .

1.1 SISTEMAS DE COORDENADAS EM VARIEDADES RIEMANNIANAS 11

O conjunto dxi é base dual a ∂i e, nesta base, o diferencial df tem coordenadas

〈df, ∂i〉 =∂

∂xi⇐⇒ df =

∑i

∂f

∂xidxi.

Um referencial Ei em um aberto U ⊂M é uma coleção de n campos vetoriais em U que sãolinearmente independentes em cada q ∈ U e, portanto, formam uma base de cada espaço tangenteTqM . Em cada q ∈ U existe uma base dual Eiq em T ∗q (M) e a coleção de aplicações Ei : q 7→ Eiqé chamada referencial dual. Dado um sistema de coordenadas (x1, . . . , xn) em um aberto U , asderivadas parciais ∂i formam um referencial em U e dxi é o referencial dual.

Denição 1.0.6. Seja (M, g) uma variedade riemanniana orientada de dimensão m, a formavolume em M é a única m-forma diferencial alternada, ω = ωg, tal que, para cada p ∈M , tem-seωp(e1, . . . , em) = 1, para toda base ortonormal (com respeito a gp), positivamente orientada, doTpM .

O volume de M com respeito à métrica g é dado por

V(g) =

∫M

ωg;

como o volume de M depende da métrica, é comum nos referirmos a ele simplesmente como ovolume da métrica g.

1.1 Sistemas de Coordenadas em Variedades Riemannianas

Em um sistema de coordenadas cartesianas ximi=1 em um espaço euclidiano, ∂∂ximi=1 é um re-

ferencial ortonormal para o espaço tangente com respeito à métrica euclidiana, portanto, a métricariemanniana é dada pelo delta de Kronecker

gij =

1, i = j0, i 6= j

.

Sejam (M, g) uma variedade riemanniana de dimensão m e p ∈ M . Escolha um referencialortonormal para o espaço tangente a M em p, eimi=1 e dena o isomorsmo

ϕ : Rm −→ TpM,

que leva a base canônica de Rm na base xada para o espaço tangente. Considere a aplicaçãoexponencial riemanniana baseada no ponto p,

expp : TpM −→M,

e seja U uma vizinhança de p em M para a qual existe uma vizinhança V da origem em TpMtal que expp

∣∣V

: V −→ U é um difeomorsmo, isto é, para todo ponto q ∈ U existe uma únicageodésica ligando p a q. Tal vizinhança U é chamada vizinhança normal de p e (U,ψ), com

ψ = ϕ−1 exp−1p : U −→ Rm,

é uma carta local para M , chamada carta normal. Por outro lado, expp ϕ dene um sistemade coordenadas em M chamado de sistema de coordenadas normais ou sistema de coordenadasgeodésicas. Em um tal sistema são válidas as seguintes propriedades no ponto p:

i. gij(p) = δij , onde δij é o delta de Kronecker,


ii. a geodésica partindo de p na direção de um vetor Xp pode ser descrita por

γX(t) = (tX1, . . . , tXm),

enquanto γ estiver em U ,

iii. Γkij(p) = 0, para todo i, j, k ∈ 1, . . . ,m,

iv. ∂kgij(p) = 0, para todo i, j, k ∈ 1, . . . ,m,

v. ∇i = ∂i, em p, para todo i = 1, . . . ,m.

Embora seja sempre possível construir um sistema de coordenadas normais em uma variedaderiemanniana M , podemos garantir as boas propriedades que ele proporciona apenas no ponto p eestas não podem ser estendidas para toda a variedade (a menos que M seja at). Contudo, existeum sistema de coordenadas locais que garante a validade de propriedades similares não apenas noponto p, mas ao longo de uma geodésica partindo de p, numa vizinhança de p. Este sistema decoordenadas é chamado coordenadas Fermi em homenagem ao físico italiano Enrico Fermi, queprimeiro as utilizou. Vejamos como podemos construir um tal sistema.

Seja p um ponto em M onde desejamos basear nosso sistema de coordenadas Fermi. Comozemos antes, escolhemos um referencial ortonormal para o espaço tangente a M em p, eimi=1 econsideramos a (única) geodésica γp(t) partindo de p na direção do vetor (e1)p, isto é,

γp(0) = p e γ′p(0) = (e1)p.

Agora, fazemos o transporte paralelo do referencial eimi=1 ao longo de γ, então e1(s) = γ′p(s)é o vetor tangente à geodésica no ponto q = γp(s). Para t pequeno, (t, 0, . . . , 0) representa, emcoordenadas, a geodésica γp(t), em uma vizinhança W de p. Nesta vizinhança, ao longo de γ, gé a métrica euclidiana e os símbolos de Christoel se anulam. Consequentemente, as propriedades(i.) a (v.) são satisfeitas ao longo de γ, em W .

Esses sistemas de coordenadas especiais são úteis, pois facilitam as contas quando estamosinteressados em informações locais.

1.2 Variedades com Bordo

O conceito de variedade com bordo é importante porque permite agregar ao conjunto de va-riedades diferenciáveis, espaços como a bola fechada, o toro sólido e a faixa de Möbius, além depermitir relacionar variedades de diferentes dimensões. Quando falamos em variedades com bordo,estamos falando de variedades denidas intrinsecamente, isto é, não como subconjuntos de umoutro espaço topológico. Neste sentido, a ideia de bordo difere daquela de bordo de um conjunto.

Para denirmos uma variedade com bordo, M , de dimensão m, começamos escolhendo ummodelo apropriado. Dena o semi-espaço real não-negativo, de dimensão m por

Hm+ = (x1, · · · , xm) ∈ Rm : xm ≥ 0 ,

com a topologia induzida do Rm, isto é, um subconjunto U de Hm+ é aberto em Hm+ se U = Hm+ ∩W ,para algum subconjunto aberto W de Rm. O bordo do semi-espaço é

∂Hm+ = (x1, · · · , xm) ∈ Rm : xm = 0 .

Denição 1.2.1. Uma variedade com bordoM , de dimensão m, é um espaço topológico Haussdorf,com base enumerável de abertos, tal que cada ponto p ∈M tem uma vizinhança U ⊂M homeomorfaa um aberto V ⊂ Hm+ .

1.3 TENSORES EM GEOMETRIA RIEMANNIANA 13

Uma variedade diferenciável com bordo M , de dimensão m, é denida da mesma forma queno caso sem bordo, apenas observando que agora, temos dois tipos de cartas φ : U −→ V noatlas diferenciável: se V ∩ ∂Hm+ = ∅, temos uma carta interior, semelhante ao caso sem bordo; seV ∩ ∂Hm+ 6= ∅, dizemos que φ é uma carta de bordo. Um ponto p é chamado ponto de bordo seexiste uma carta (φ,U) tal que φ(p) ∈ ∂Hm+ (se existe uma, qualquer outra, numa vizinhança dep, vai satisfazer a mesma condição), caso contrário, p é um ponto interior.

O bordo da variedade M , denotado por ∂M é uma (m− 1)-variedade diferenciável sem bordo,∂(∂M) = ∅, que consiste de todos os pontos mapeados em (x1, · · · , xm−1, 0). O interior de M , éuma variedade diferenciável, sem bordo, de dimensão m.

É importante notar que, embora o produto cartesiano de variedades diferenciáveis seja umavariedade diferenciável, o produto cartesiano de duas variedades com bordo não é, em geral, umavariedade com bordo. Contudo, seM é uma variedade diferenciável com bordo eN é uma variedadedifrenciável sem bordo, o produto cartesiano M × N é uma variedade com bordo, cujo bordo édado por ∂(M ×N) = ∂M ×N .

Um importante resultado para variedades com bordo garante que ∂M tem uma vizinhançadifeomorfa ao produto ∂M × [0, 1).

Teorema 1.2.2. Seja M uma variedade diferenciável com bordo ∂M compacto. Então existe umavizinhança V de ∂M e um difeomorsmo Ψ : ∂×[0, 1) −→ V tal que ψ(x, 0) = x para todo x ∈ ∂M .

Demonstração. Considere uma cobertura nita Ui do bordo ∂M , consistindo de abertos de Mtais que existam cartas locais ϕi : Wi −→ Wi ⊂ Hn+ satisfazendo Ui ⊂ U i ⊂ Vi ⊂ V i ⊂Wi com U i

e V i compactos. Seja hi : Hn+ −→ [0, 1] uma função suave que vale 1 em Ui = ϕi(Vi) e 0 fora de

Vi = ϕi(Vi). Seja Xi = hi∂∂xn

, onde ∂∂xn

é um campo de vetores em Hn.Dena Xi = ϕ∗i (Xi). Então, Xi é um campo vetorial suave que se anula fora de um conjunto

compacto e tal que para cada ponto x ∈ ∂M , temos Xi(x) = 0 ou Xi(x) é normal a ∂M e apontapara o interior deM . Agora dena X =

∑iXi, daí X é um campo suave que se anula fora de uma

vizinhança compacta de ∂M e para todo x ∈ ∂M , X(x) é um campo normal a ∂M apontandopara o interior de M .

Portanto, existe ε > 0 e uma aplicação suave ψ : ∂M × [0, ε) −→ M tal que ψ(x, 0) = x et 7−→ ψ(x, t) é uma curva integral deX. Tomando ε sucientemente pequeno, ψ é um difeomorsmosobre uma vizinhança V de ∂M em M . Finalmente, dena Ψ(x, t) = ψ(x, εt). K

1.3 Tensores em Geometria Riemanniana 1

Seja V um espaço vetorial real de dimensão n <∞. Denotaremos por V ∗ o espaço vetorial duala V , isto é, o espaço de todos os funcionais lineares V −→ R. Escreveremos 〈v∗, v〉 para denotarv∗(v), onde v∗ ∈ V ∗ e v ∈ V .

Lembre que V e V ∗ são isomorfos, mas esse isomorsmo não é, em geral, canônico, ou seja,depende da base escolhida. Seja e1, . . . , en uma base de V , então todo elemento v de V é escritode maneira única como

∑ni=1 α

iei, para escalares αi ∈ R, i = 1, . . . , n. Dena ei por

ei

(n∑i=1

αiei

)= αi,

e1, . . . , en é uma base para V ∗, chamada de base dual de e1, . . . , en. Para a base dual, temos

〈ei, ej〉 = δij ,

1Esta Seção é baseada em notas de aula do professor Svante Janson [38], da Universidade de Uppsala, Suécia,disponível em: <http://www2.math.uu.se/ svante/papers/>.


onde δij é o Delta de Kronecker. Já entre V e V ∗∗, o chamado espaço bidual, existe isomorsmocanônico

V 3 v ←→ v∗∗ ∈ V ∗∗,

〈v∗∗, v∗〉 = 〈v∗, v〉,

e e1, . . . , en é uma base de V ∗∗, dual à base e1, . . . , en.Seja f1, . . . , fn outra base de V , então

fi =∑j

aijej

e f1, . . . , fn a correspondente base dual (outra base V ∗), com

f i =∑j

bijej .

Assim, temos

δij = 〈f i, fj〉 =∑k

bikek

(∑`

ajè`

)=∑k,`

bikajèk(e`) =

∑k

bikajk,

isto é, por um lado (〈f i, fj〉

)ij

= I,

onde I é a matriz identidade, por outro lado,(〈f i, fj〉

)ij

= BAt,

com A = (aij)ij e B = (bij)ij . Logo, B−1 = At ou B = (At)−1 = (A−1)t.

Denição 1.3.1. Dados k, `, inteiros não negativos, J k,`(V ) é o espaço vetorial de todas asaplicações multilineares

T : V ∗ × . . .× V ∗ × V × . . .× V −→ R(v∗1 , . . . , v

∗k, v1, . . . , v`) 7−→ T (v∗1 , . . . , v

∗k, v1, . . . , v`)

com k variáveis em V ∗ e ` variáveis em V . Os elementos de J k,`(V ) são chamados tensores degrau (ou ordem) (k, `), ou simplesmente, (k, `)-tensores.

Se e1, . . . , en é uma base de V e T ∈ J k,`(V ), os nk+` números

T i1...ikj1...j`= T (ei1 , . . . , eik , ej1 , . . . , ej`) (1.1)

são os coecientes do tensor T e T ca completamente determinado por eles. Assim, o espaçoJ k,`(V ) tem dimensão nk+`.

Tensores do tipo (k, 0), isto é, agem apenas em elementos do espaço dual, são chamados con-travariantes e é conveniente sobrescrevermos os índices dos coecientes nesse caso. Já os tensoresdo tipo (0, `) são chamados covariantes e utilizamos índices subscritos para eles.

Exemplo 1.3.2. Observe que J 0,0(V ) = R, J 0,1(V ) = V ∗ e J 1,0(V ) = V ∗∗ ' V .

Observação 1.3.3. Note que uma aplicação multilinear S : V ` −→ V dene um (1, `)-tensor daseguinte forma

T (v∗, v1, . . . , v`) = 〈v∗, S(v1, . . . , v`)〉,

daí existe uma identicação entre J 1,`(V ) e o espaço dessas aplicações multilineares, denotado por


Hom(V, . . . , V︸︷︷︸` vezes

;V ).

Produto Tensorial

Dois tensores de mesmo grau podem ser somados, pois J k,`(V ) é um espaço vetorial. Alémdisso, podemos denir um produto entre tensores. Sejam T um (k, `)-tensor e S um (r, s)-tensor,então o (k + r, `+ s)-tensor

T ⊗ S(v∗1 , . . . , v∗k+r, v1, . . . , v`+s) = T (v∗1 , . . . , v

∗k, v1, . . . , v`) · S(v∗k+1, . . . , v

∗k+r, v`+1, . . . , v`+s).

Os coecientes de T ⊗S são dados pelo produto dos coecientes de T e de S. O produto tensorialé associativo e distributivo com respeito à soma, mas não é, em geral, comutativo.

Agora, se e1, . . . , en é uma base de V . Para índices i1, . . . , ik, j1, . . . , j` ∈ 1, 2, . . . , n pode-mos formar o produto

ei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ,⊗ . . .⊗ ej` ∈ J k,`(V )

onde ei ∈ J 1,0(V ), ej ∈ J 0,1(V ), cujos coecientes são dados por

ei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ,⊗ . . .⊗ ej`(ei′1 , . . . , ei

′k , ej′1 , . . . , ej′`) = δi1i′1δi2i′2 . . . δj`j′` ,

na base e1, . . . , en, isto é, exatamente um coeciente é igual a 1 e os demais são nulos. Portanto,o conjunto de nk+` tensores ei1 ⊗ . . . ⊗ eik ⊗ ej1 ,⊗ . . . ⊗ ej` forma uma base de J k,`(V ) e oscoecientes (1.1) do tensor T ∈ J k,`(V ) são as coordenadas de T nesta base:

T =∑

i1,...,ik,j1,...,j`

T i1...ikj1...jèi1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ,⊗ . . .⊗ ej` .

Contração

Um (1, 1)-tensor T pode ser visto como um operador linear S : V −→ V , fazendo

T (v∗, v) = 〈v∗, S(v)〉.

O traço desse operador é chamado contração do (1, 1)-tensor T . Dada ei uma base ortonormalde V e ej a base dual, a contração de T é dada por∑

i

〈ei, S(ei)〉 =∑i

T (ei, ei) =∑i

T ii ,

onde 〈ei, S(ei)〉 = ei (S(ei)) é a i-ésima coordenada do vetor S(ei) na base ei, isto é, a entradaii da matriz do operador S,

aij = ei (S(ej)) .

Para T um (k, `)-tensor, escolha um argumento covariante e um contravariante, mantenha osdemais xos, então

T : V ∗ × V −→ R

torna-se uma aplicação bilinear, isto é, um (1, 1)-tensor para o qual, agora, temos contração comodenida acima. Esta contração é um número real que depende linearmente dos outros (k−1)+(`−1)argumentos e, portanto, dene um tensor de grau (k− 1, `− 1) ao qual chamamos contração de T .

Exemplo 1.3.4. O (1, 2)-tensor T cujas coordenadas na base canônica são dadas por

T ijk =∑m

T immjk


é a contração de um (2, 3)-tensor T .

Produto Exterior

Seja Λk(V ) o espaço vetorial dos k-tensores covariantes ( (0, k)-tensores ) antissimétricos, com

dim Λk(V ) =

(n

k

), n > k. Se n < k, dim Λk(V ) = 0 e portanto Λk(V ) = 0. Além

disso, dim Λn(V ) = 1, Λ0(V ) = R e Λ1(V ) = V ∗. Podemos escrever a soma direta, Λ(V ) =⊕∞k=0 Λk(V ) =

⊕nk=0 Λk(V ) com dimensão

∑nk=0

(n

k

)= 2n.

Seja T ∈ Λk(V ), S ∈ Λ`(V ), k, ` ≥ 0. O produto exterior de T e S é o tensor T ∧ S ∈ Λk+`(V )denido por

T ∧ S(v1, . . . , vk+`) =1

k!`!

∑σ∈Sk+`

sgn(σ)T (vσ(1), . . . , vσ(k))S(vσ(k+1), . . . , vσ(k+`)).

O produto exterior é bilinear, associativo e antissimétrico, isto é, satisfaz T ∧S = (−1)k`T ∧S. Sev∗1 , . . . , v

∗k ∈ V ∗ = Λ1(V ), então v∗1 ∧ . . .∧v∗k ∈ Λk(V ) é o produto exterior de 1-tensores alternados,

dado porv∗1 ∧ . . . ∧ v∗k(v1, . . . , vk) = det (〈v∗i , vj〉)

ki,j=1 .

Dada e1, . . . , en base de V e e1, . . . , en base dual,

ei1 ∧ . . . ∧ eik , 1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n

é base de Λk(V ) e

T =∑

1≤i1<...<ik≤n

Ti1,...,ik ei1 ∧ . . . ∧ eik .

Tensores sobre um Espaço Euclidiano

Seja V um espaço euclidiano com produto interno denotado por g ou por 〈 , 〉g. Então, existeum isomorsmo natural entre V e seu dual, dado por

φ : V −→ V ∗

v 7−→ h(v) : V −→ Rw 7−→ 〈v, w〉g.

(1.2)

Assim, g induz um produto interno em V ∗ dado por g∗(v∗, w∗) = g∗(h(v), h(w)) = g(v, w). Noteque g∗ é uma forma bilinear e portanto um (2, 0)-tensor contravariante. Lembre que usamos 〈v∗, w〉também para denotar v∗(w), mas isso não é um problema já que as notações coincidem:

〈h(v), w〉 = h(v)(w) = 〈v, w〉g = 〈h(v), h(w)〉g∗ = 〈v∗, w∗〉g∗ .

Seja eini=1 uma base de V e sejam gij e gij as coordenadas dos produtos internos de V e V ∗,respectivamente. Se v∗ ∈ V ∗, temos

v∗i = v∗(ei) = 〈v∗, ei〉 = 〈v, ei〉g =

⟨∑j

vjej , ei

⟩g

=∑j

vj〈ej , ei〉g

=∑j

vjg(ej , ei) =∑j

vjgji =∑j

gijvj ,


isto é, obtemos as coordenadas de v∗ em termos das coordenadas de v, fazendov∗1v∗2...v∗n

=

g11 g12 . . . g1n

g21 g22 . . . g2n

......

. . ....

gn1 gn2 . . . gnn

v1

v2

...vn

.

Analogamente, temos vi =∑j g

ijv∗j .Observe que

vi =∑j

gijv∗j =⇒∑i

gijvi =

∑i

gij

∑j

gijv∗j

=∑ij

gijgijv∗j ,

por outro lado, ∑i

gijvi = v∗j ,

portanto, a matriz de g∗, (gij)ij é a inversa de (gij)ij , que é a matriz de g.Por esta razão, ao multiplicarmos as coordenadas de v pelas entradas da matriz de g, dizemos

que estamos abaixando o índice e ao multiplicarmos as coordenadas de v∗ pelas entradas da matrizde g−1, dizemos que estamos levantando o índice.

A convenção que estamos utilizando para os índices dos vetores covariantes e contravariantespõe em posições opostas os índices com respeito aos quais estamos somando, o que elimina anecessidade do símbolo de somatório. Por exemplo, podemos escrever apenas gijv∗j para denotar∑j g

ijv∗j ; esta é a chamada notação de Einstein.O isomorsmo (1.2) entre V = J 1,0(V ) e V ∗ = J 0,1 se estende a tensores de graus mais altos.

Assim, um tensor de grau (k, l), que é uma aplicação multilinear denida em V ∗k × V `, pode seridenticado com um (0, k+`)-tensor em V k+`, isto é, J k,`(V ) ' J 0,k+`(V ), de modo que podemosconsiderar apenas tensores covariantes, ou contravariantes, conforme for conveniente.

Exemplo 1.3.5. Seja T um (0, 2)-tensor de coordenadas Tij , então T corresponde a

• um (1, 1)-tensor cujas coordenadas são T ij = gikTkj , ou

• um (1, 1)-tensor cujas coordenadas são T ji = gjkTik, ou

• um (2, 0)-tensor contravariante, T ij = gikgj`Tk`.

Observe que se ei é uma base ortonormal de V , então a base dual ei é uma base ortonormalde V ∗ e temos gij = δij e gij = δij , onde δ é o delta de Kronecker. Neste caso, a menos dasposições dos índices, os coecientes do (0, 2)-tensor do exemplo acima, continuam sendo os mesmos:T ij = T ij = T j

i = Tij .

Tensores em Variedades

Seja M uma variedade diferenciável. Para cada p ∈ M , seja J k,`p (M) o espaço dos (k, `)-tensores sobre TpM . Em particular, um tensor em p de grau (1, 0) é um vetor tangente, em TpMe um tensor em p de grau (0, 1) é um vetor cotangente, em T ∗pM .

Sejam Ei um referencial em uma vizinhança U de p ∈ M e Ei o referencial dual. Umcampo tensorial T de grau (k, `) em U ca determinado por suas coordenadas com respeito a estesreferenciais, isto é,

T i1,...,ikj1,...,j`(q) = T (Ei1 , . . . , Eik , Ej1 , . . . , Ej`)(q),

que são funções em U . Dizemos que T é um campo tensorial diferenciável em U , se cada uma dasfunções coordenadas é C∞ em U . A união disjunta dos espaços dos (k, `)-tensores sobre TpM paratodo p é chamada brado dos (k, `)-tensores em M , denotado por J k,`(M).


Exemplo 1.3.6. Uma métrica riemanniana g em uma variedade diferenciávelM pode ser vista comouma seção suave do brado dos (0, 2)-tensores simétricos positivo denidos em TM ,

g : M −→ T ∗M ⊗ T ∗M,

ou como uma aplicação C∞-bilinear 2

g : X(M)× X(M) −→ C∞(M),

com g(X,X) > 0,∀X 6= 0. Isto é, gp ∈ T ∗pM ⊗T ∗pM é um (0, 2)-tensor simétrico positivo denido.Em coordenadas locais x1, . . . , xm, podemos escrever

g =∑i,j

gijdxi ⊗ dxj ,

onde gij = g(

∂∂xi

, ∂∂xj

)são funções suaves para cada p ∈ M , chamadas coordenadas do tensor

métrico; gij são as entradas da matriz do tensor métrico:

gp(X,Y ) = [X]t(gij)i,j [Y ],

onde [X], [Y ] são as coordenadas dos vetores Xp e Yp com respeito à base

∂∂xi

mj=1

do TpM .

Denote por gij as entradas da matriz inversa do tensor métrico. Uma métrica riemanniana g emuma variedade M induz produtos internos e normas em todos os espaços de tensores denidos emM . Dada uma métrica g, a identicação

TM 3 X 7−→ g(X, · ) ∈ T ∗M,

entre TM e T ∗M , dene uma métrica em T ∗M . De fato, se x1, . . . , xm são coordenadas locais emM , temos

∂

∂xi7−→ gijdx

j e dxi 7−→ gij∂

∂xj,

já que,∂

∂xi7−→ g

(∂

∂xi, Y

)= Yi = gijY

j = gijdxj(Y ),

para todo Y ∈ X(M). A componente ij da métrica g∗ induzida em T ∗M é dada por

g∗ij = g∗(dxi, dxj) = g

(gik

∂

∂xk, gjl

∂

∂xl

)= gikgjlgkl = gikg j

k = gij .

Exemplo 1.3.7. O colchete de Lie (X,Y ) 7→ [X,Y ] para campos suaves em M é bilinear, mas nãoé C∞-bilinear, portanto não é um tensor.

Exemplo 1.3.8. Uma conexão am em uma variedade riemanniana M não é C∞-bilinear, portantonão é um tensor, por outro lado, se xarmos Y , entãoX 7→ ∇XY é C∞-bilinear de X(M) −→ X(M)e pode ser vista como um (1, 1)-tensor.

Em uma variedade diferenciável M sempre podemos derivar funções suaves com respeito a umcampo vetorial X. Dada uma conexão am ∇, podemos, também, derivar campos vetoriais emM (derivada covariante). Essa conexão ∇ induz uma conexão am nos brados tensoriais de M .

2Com C∞-bilinear queremos dizer que g satisfaz g(fX, Y ) = g(X, fY ) = fg(X,Y ), ∀f ∈ C∞(M).

1.4 CURVATURAS 19

Para um (k, `)-campo tensorial, a conexão induzida, que também denotaremos por ∇, é dada por

(∇XT ) (ω1, . . . , ωk, Y1, . . . , Y`) = ∇X (T (ω1, . . . , ωk, Y1, . . . , Y`))

− T (∇Xω1, . . . , ωk, Y1, . . . , Y`))− . . .− T (ω1, . . . ,∇Xωk, Y1, . . . , Y`))

− T (ω1, . . . , ωk,∇XY1, . . . , Y`))− . . .− T (ω1, . . . , ωk, Y1, . . . ,∇XY`)) ,

para quaisquer 1-formas ωi, i = 1, . . . , k e campos vetoriais Yj , j = 1, . . . , `.

Exemplo 1.3.9. SejaM uma variedade riemanniana com métrica g e conexão am∇. SejamX,Y, Zcampos vetoriais em M , então

(∇Xg) (Y,Z) = X (g(Y, Z))− g(∇XY,Z)− g(Y,∇XZ).

Se ∇ é a conexão Levi-Civita, a condição X (g(Y,Z)) = g(∇XY, Z)+g(Y,∇XZ) equivale a ∇g = 0.

Tensores em Variedades Riemannianas

Seja (M, g) uma variedade riemanniana com conexão Levi-Civita ∇. Note que a métrica rie-manniana faz de cada espaço tangente TpM um espaço euclidiano. O tensor curvatura de Riemann,R tem uma forma covariante, que é um (0, 4)-tensor, que se relaciona com o (1, 3)-tensor por

R(X,Y, Z,W ) = 〈R(X,Y )Z,W 〉

para campos vetoriais X,Y, Z,W . Sejam gij e gij as coordenadas do tensor métrico e seu inverso,respectivamente, com respeito a uma carta local. Sejam Rìjk as coordenadas do (1, 3)-tensor deRiemann e Rijk` as coordenadas do (0, 4)-tensor de Riemann, note que elas são obtidas uma daoutra ao levantarmos ou abaixarmos o índice

Rìjk = g`mRijkm,

Rijk` = g`mRmijk.

O tensor de Ricci é o obtido pela contração do tensor de Riemann, assim, se Rij são as coordenadasdo tensor de Ricci, temos

Rij = Rkikj = gk`Rikj` = gk`Rki`j ,

além disso, a curvatura escalar R é obtida da contração do tensor de Ricci

R = gijRij = gikgj`Rijk`.

Observe que, se X é um campo vetorial e T é um campo tensorial em M , então

∇X(g ⊗ T ) = (∇Xg)⊗ T + g ⊗∇XT = g ⊗∇XT,

assim, ∇X comuta com contrações e levantamentos/abaixamentos de índices.

1.4 Curvaturas

Nesta seção, gostaríamos de dar algumas noções intuitivas e interpretações geométricas decurvaturas em variedades riemannianas.

Denição 1.4.1. Seja (E,M, π) um brado vetorial e Γ(E) o conjunto das seções de E, isto é, oconjunto das aplicações s : M → E tais que π s = id. Uma conexão am é uma aplicação bilinear

∇ : X(M)× Γ(E) −→ Γ(E),


que satisfaz

• ∇fXY = f∇XY,

• ∇(X+Y )Z = ∇XZ +∇Y Z,

• ∇X(fY ) = f∇XY + (X · f)Y,

• ∇X(Y + Z) = ∇XY +∇XZ,

onde X ∈ X(M), Y,Z ∈ Γ(E) e f ∈ C∞(M).

Uma conexão ∇ em TM induz uma conexão ∇∗ em T ∗M : sejam Y ∈ Γ(TM) = X(M) eω ∈ Γ(T ∗M), isto é, para cada p ∈M , temos

p 7−→ Yp ∈ TpM, e p 7−→ ωp ∈ T ∗pM.

Como ωp : TpM −→ R associa a cada vetor tangente a M em p um número real ωp(Yp), para cadacampo diferenciável Y em M temos que ω(Y ) é uma função suave: p 7−→ ωp(Yp). Qualquer queseja X ∈ X(M) temos

X · ω(Y ) = (∇∗Xω)Y + ω (∇XY ) ,

portanto, ∇∗ ca denida por

(∇∗Xω)Y = X · ω(Y )− ω (∇XY ) .

Em particular, para todo Y,W ∈ Γ(TM), temos que g(Y,W ) é o traço de uma seção de T ∗M ⊗T ∗M ⊗ TM ⊗ TM e, para qualquer campo X ∈ X(M), temos

X · g(Y,W ) = (∇∗Xg) (X,Y ) + g (∇XY,W ) + g(Y,∇XW ).

Denição 1.4.2. Seja (M, g) uma variedade riemanniana de dimensão m ≥ 2. Uma conexão amem TM é chamada conexão riemanniana, ou conexão Levi-Civita, se, para todo X,Y, Z ∈ X(M),satisfaz

• X · g(Y,Z) = g(∇XY,Z) + g(Y,∇XZ),

• ∇XY −∇YX = [X,Y ].

Em particular, se ∇ é uma conexão riemanniana, temos (∇∗Xg) = 0.Dada uma variedade riemanniana M , existe uma única conexão riemanniana em TM , deter-

minada pela fórmula de Koszul:

2g(∇XY,Z) = Xg(Y,Z) + Y g(Z,X)− Zg(X,Y )

− g([X,Y ], Z)− g([Y,Z], X) + g([Z,X], Y )

A conexão riemanniana permite o cálculo de curvaturas em variedades riemannianas (M, g),tais curvaturas são grandezas que dependem da métrica g.

A curvatura gaussiana de uma superfície S, de dimensão 2, imersa em R3, é dada por

K := κ1 · κ2,

onde κ1 e κ2 são as curvaturas principais. A curvatura K será positiva, se κ1 e κ2 tiverem o mesmosinal (ambas positivas ou ambas negativas); K será nula se κ1 = 0 ou κ2 = 0; e K será negativa seκ1 e κ2 têm sinais opostos.

Seja p ∈ M . Lembre que κ1(p) e κ2(p) indicam a curvatura normal máxima e a mínima,respectivamente, das curvas passando por p (sabemos que todas as curvas que passam por p e nadireção V têm a mesma curvatura normal).

1.4 CURVATURAS 21

Geometricamente, se K(p) > 0, as curvas de curvatura extrema que passam por p curvam namesma direção normal (veja curvas vermelha e verde no toro abaixo), a superfície S no ponto p securva como um paraboloide elíptico (uma cuia) e o ponto p é, por isso, chamado de ponto elíptico.

Se K(p) = 0, pelo menos uma das curvas de curvatura extrema que passam por p tem curvaturazero na direção normal à S (como a curva amarela no toro), em algum sentido a superfície se curvacomo um cilindro parabólico (uma folha de papel) e daí p é dito um ponto parabólico.

Se K(p) < 0, as curvas de curvatura máxima que passam por p curvam-se, na direção normala S, em sentidos opostos (como as curvas azul e verde da gura), nesse caso, a superfície se curvacomo o paraboloide hiperbólico no ponto p e ele é dito um ponto sela.

Figura 1.1:

A curvatura média de uma superfície S em um ponto p é a média das curvaturas principais

H(p) =κ1 + κ2

2.

As curvaturas gaussiana e média são ambas denidas em termos de curvaturas que têm porreferência a direção normal à superfície S, o que pressupõe que a superfície (de dimensão 2) estámergulhada em um ambiente maior (de dimensão 3). Apesar disso, Gauss provou, em seu NotávelTeorema, que a curvatura gaussiana não depende do ambiente onde a superfície está inserida, porassim dizer. A curvatura gaussiana é uma medida intrínseca à superfície, depende apenas daestrutura riemanniana de S. A curvatura média é uma medida extrínseca, depende de como asuperfície foi mergulhada no ambiente.

O tensor curvatura de Riemann é a principal ferramenta para medir curvaturas em uma vari-edade riemanniana. Ele mede o quanto a métrica g em M difere da métrica euclidiana, isto é, oquanto as métricas não são localmente isométricas.

Denição 1.4.3. Seja (E,M, π) um brado vetorial com conexão am ∇. O tensor curvatura deRiemann é denido por

R : X(M)× X(M)× Γ(E) ←→ Γ(E)(X,Y, ξ) 7−→ R(X,Y )ξ

ondeR(X,Y )ξ := ∇X∇Y ξ −∇Y∇Xξ −∇[X,Y ]ξ,

onde [ · , · ] denota o colchete (de Lie) de campos.

Para cada p ∈M e cada par de vetores tangentes Xp, Yp ∈ TpM , R(X,Y ) dene um operadorlinear no espaço das seções suaves do brado E, em particular, no brado tangente Γ(E) = X(M);R é linear em X,Y e portanto dene um tensor. Se X = ∂xi e Y = ∂xj são campos coordenados,[X,Y ] = 0 e R(X,Y )ξ = ∇X∇Y ξ −∇Y∇Xξ.


O tensor de Riemann mede o grau de não-comutatividade da conexão riemanniana na variedadeM . De um modo geral, em uma variedade riemanniana, o transporte paralelo de vetores de umponto p para um ponto q depende do caminho percorrido, ao contrário do que ocorre no espaçoeuclidiano. As curvaturas são caracterizadas por essa diferença no transporte paralelo.

Para visualizar a situação, veja a gura abaixo. O transporte paralelo do vetor u do ponto paté o ponto q pelo caminho vw resulta em um vetor diferente do vetor obtido se u for transportadopelo caminho wv. O tensor de Riemann "mede"essa diferença.

w

v

u

R(v, w)u

p

Outra ilustração bastante interessante é a da identidade de Bianchi:

w

v

u

R(w, u)v + R(u, v)w + R(v, w)u = 0

p

É muito comum escrever R(X,Y, Z,W ) para denotar g(R(X,Y )Z,W ).Seja M uma variedade riemanniana de dimensão m e seja p um ponto em M . Dado p ∈ M ,

considere Π um subespaço de dimensão 2 do espaço tangente a M em p, denotado por TpM . SejaV uma vizinhança aberta do zero em Π tal que a aplicação exponencial expp seja um difeomorsmoentre V e um aberto de M . Então SΠ = expp(V ∩ Π) é uma subvariedade de dimensão 2 de Mcontendo p, chamada de seção plana de M determinada por Π.

Figura 1.2:

A curvatura seccional de M com respeito ao plano Π, K(Π), é denida como a curvaturagaussiana da superfície SΠ. É mais comum usarmos a notação K(X,Y ), onde X,Y é qualquer

1.4 CURVATURAS 23

base de Π. A curvatura seccional não depende da base, apenas do plano escolhido e é dada por

K(X,Y ) :=g(R(X,Y )X,Y )

g(X,X)g(Y, Y )− g(X,Y )2

A curvatura de Ricci de M em um ponto p na direção de um vetor unitário Xp ∈ TpM é amédia das curvaturas seccionais com respeito aos planos gerados pelos pares (Xp, ek), k = 2, . . . ,monde ek são os elementos de alguma base ortonormal escolhida Xp, e2, ..., em de TpM , contendoXp. A curvatura de Ricci não depende da escolha da base.

Formalmente, o tensor de Ricci é dado pelo o traço do operador simétrico R(X, · )Y ,

trR(X, · )Y =

m∑k=1

g(R(X, ek)Y, ek)

ou, equivalentemente, pela contração do tensor curvatura riemanniana, e tem coecientes

Ric(ei, ej) = Rij = Rkikj =

m∑k=1

g(R(ei, ek)ej , ek).

Tomando ei = ej = X, temos

Ric(X,X) =

m∑k=2

K(X, ek).

O tensor de Ricci é simétrico e bilinear e a curvatura de Ricci da variedade M no ponto p, nadireção X, é dada por

Ricp(X) =1

m− 1Ricp(X,X).

A curvatura escalar de M em um ponto p é a média das curvaturas de Ricci em p na direçãode todos os vetores de qualquer base ortonormal do espaço tangente a M em p, escolhida,

R(p) :=1

m

m∑i=1

Ricp(ei),

onde eimi=1 é base ortonormal do TpM . A curvatura escalar é o traço do tensor de Ricci. Ainda,podemos dizer que a curvatura escalar é a média de todas as curvaturas seccionais com respeitoaos planos gerados por pares de elementos de uma base ortonormal de TpM :

R(p) :=1

m

m∑i=1

Ricp(ei, ei) =

m∑i,j=1

g(R(ei, ej)ei, ej) =∑i 6=j

K(ei, ej).

A curvatura escalar não depende da escolha da base.Seja (M, g) uma variedade riemanniana de dimensão m, sejaM uma variedade de dimensão n e

seja i : M −→ M uma imersão (ou mergulho). Se denirmos g = i∗g como a métrica riemannianaem M , i é chamada imersão isométrica (ou mergulho isométrico). Se i é uma aplicação injetiva,M é dita subvariedade (imersa ou mergulhada) de M (chamada de variedade ambiente). Comotrataremos de noções locais e toda imersão é, localmente, um mergulho, vamos supor, sem perdade generalidade que M é uma subvariedade mergulhada de M .

É importante lembrar que, em cada ponto p ∈M , podemos decompor o espaço tangente comoTpM = TpM ⊕ (TpM)

⊥, onde (TpM)⊥ denota o espaço normal em p com respeito à métrica g em

TpM .Sejam X,Y campos vetoriais suaves em M , então podemos estendê-los a campos suaves em

M . Tomando a derivada covariante com respeito à métrica g, denotada por ∇, podemos escrever


a decomposição∇XY = (∇XY )> + (∇XY )⊥,

em cada ponto p deM , onde a componente tangencial é nada mais que ∇XY , a derivada covariantecom respeito a métrica g em M . A componente normal é a chamada segunda forma fundamentalde M , uma forma bilinear, simétrica, assim denida

II : TM × TM −→ TM⊥

(X,Y ) 7−→ (∇XY )⊥

Podemos usar a segunda forma fundamental para calcular a derivada covariante de um camponormal η à subvariedade M , fazendo

〈∇Xη, Y 〉 = −〈η, II(X,Y )〉.

A fórmula de Gauss∇XY = ∇XY + II(X,Y ),

interpreta a segunda forma fundamental como a diferença entre a conexão com respeito à métricada variedade ambiente M e a conexão com respeito à métrica de M . Há outras fórmulas como aequação de Gauss que ajudam-nos a compreender que, no fundo, a segundo forma fundamentalnos permite entender como curva a subvariedade M com respeito a M . Assim, a curvatura médiade M , dada pelo traço da segunda forma fundamental, é uma medida extrínseca à subvariedadeM e seu sinal depende da escolha do campo unitário normal à M .

Lembre que o bordo ∂M de uma variedade com bordo M , de dimensão m, é uma subvariedade(sem bordo) de M , com dimensão m − 1. Se a curvatura média de ∂M é nula, dizemos que ∂Mé mínimo ou minimal. Se a segunda forma fundamental de ∂M é identicamente nula, dizemosque o bordo é totalmente geodésico. É claro que toda hipersuperfície totalmente geodésica é mí-nima. Contudo existem subvariedades mínimas que não são totalmente geodésicas. Temos um beloexemplo para ilustrar o caso.

Exemplo 1.4.4. O toro de Cliord é uma subvariedade da esfera S3 em R4: é o produto de dois S1

mergulhados no R2,√1

2S1 ×

√1

2S1 =

√1

2(cos θ, senθ, cosφ, senφ), 0 ≤ θ < 2π, 0 ≤ φ < 2π

.

Mais que isso, o toro de Cliord é uma superfície mínima em S3 que não é totalmente geodésicae que divide S3 em dois toros sólidos de mesmo volume, cada um dos quais é uma variedade combordo, de dimensão 3 e curvatura constante. De fato, o toro de Cliord é o bordo comum à estasduas variedades. Assim, metade da esfera S3, tendo o toro de Cliord como bordo, é uma variedadecom curvatura escalar constante, cujo bordo é mínimo e não totalmente geodésico.

1.5 Transformações Conformes

Sejam (M1, g(1)) e (M2, g

(2)) duas variedades riemannianas. Um difeomorsmo F : M1 −→M2

é dito conforme se o pull-back da métrica g(2) por f é conforme à métrica g(1), isto é, existe umafunção suave positiva φ denida emM tal que F ∗(g(2)) = φg(1). Se φ é constante, F é homotetia; seφ = id, F é isometria. O grupo de isometrias de M , denotado por Iso(M, g), é subgrupo do grupode aplicações conformes. Aplicações conformes preservam ângulos entre curvas, respeitando suaorientação, e formas de objetos geométricos, localmente, mas não, necessariamente, comprimentoou curvatura. A projeção estereográca é um exemplo de difeomorsmo conforme.

Denição 1.5.1. A classe conforme de uma métrica g, denotada por [g] é o conjunto de métricasg = φg, onde φ é uma função suave, positiva, denida em M .

1.5 TRANSFORMAÇÕES CONFORMES 25

As expressões para a forma volume, conexão riemanniana, curvaturas e outros objetos denidosem uma variedade sofrem alterações quando consideramos uma métrica conforme à métrica dada.Neste capítulo, (M, g) será uma variedade riemanniana compacta de dimensãom ≥ 3 e (x1, . . . , xm)um sistema de coordenadas locais. Consideraremos a métrica3 g = e2fg, onde f ∈ Ck(M), comk ≥ 3, na classe conforme de g. Então, temos

g = gijdxi ⊗ dxj

= (e2fg)ijdxi ⊗ dxj

= e2fgijdxi ⊗ dxj

portanto gij = e2fgij e sua inversa ca gij = e−2fgij . Temos a seguinte expressão para a formavolume associada a g:

ωg =√|det(gij)ij | dx1 ∧ . . . ∧ dxm

=√|det(e2fgij)ij | dx1 ∧ . . . ∧ dxm

=√e2mf |det(gij)ij | dx1 ∧ . . . ∧ dxm

= emf√|det(gij)ij | dx1 ∧ . . . ∧ dxm

= emfωg

1.5.1 Conexão Riemanniana

Seja ∇ a conexão riemanniana em TM associada à métrica g da variedade M , de dimensãom, denida acima, e denote por ∇ a conexão riemanniana associada à métrica conforme g = e2fg.Considere X,Y, Z ∈ X(M) campos vetoriais suaves em M . Pela fórmula de Koszul,

2g(∇XY, Z) = Xg(Y,Z) + Y g(X,Z)− Zg(X,Z)

− g([X,Y ], Z)− g([X,Z], Y )− g([Y,Z], X)

Pela regra de Leibniz

Xg(Y, Z) = X(e2fg)(Y, Z) = 2e2fX(f)g(Y,Z) + e2fXg(Y, Z),

logo

2g(∇XY, Z) = e2f [2X(f)g(Y, Z) +Xg(Y, Z) + 2Y (f)g(X,Z) + Y g(X,Z)

− 2Z(f)g(X,Y )− Zg(X,Y )− g([X,Y ], Z)− g([X,Z], Y )− g([Y,Z], X)]

2g(∇XY, Z) = e2f [(2X(f)g(Y,Z) + 2Y (f)g(X,Z)− 2Z(f)g(X,Y )]

+ e2f [Xg(Y, Z) + Y g(X,Z)− Zg(X,Y )

− g([X,Y ], Z)− g([X,Z], Y )− g([Y,Z], X)]

2g(∇XY, Z) = 2e2f [X(f)g(Y, Z) + Y (f)g(X,Z)− Z(f)g(X,Y )]

+ e2f [2g(∇XY,Z)]

3É usual tomar φ = e2f > 0 para facilitar as contas, o que não causa perda de generalidade, já que, fazendof = lnφ

2pode-se obter a expressão em termos de φ, facilmente.


Note que Z(f) = df(Z) = g(∇f, Z), onde ∇f := gradgf é o gradiente da função f , então

2g(∇XY, Z) = 2[X(f)e2fg(Y, Z) + Y (f)e2fg(X,Z)− e2fg(∇f, Z)g(X,Y )

]+ 2e2fg(∇XY, Z)

2g(∇XY, Z) = 2 [X(f)g(Y,Z) + Y (f)g(X,Z)− g(∇f, Z)g(X,Y )] + 2g(∇XY, Z)

= g(X(f)Y,Z) + g(Y (f)X,Z)− g(g(X,Y )∇f, Z) + g(∇XY, Z)

= g(X(f)Y + Y (f)X − g(X,Y )∇f +∇XY,Z),

para qualquer campo Z ∈ X(M). Assim, temos

∇XY = ∇XY +X(f)Y + Y (f)X − g(X,Y )∇f .

Símbolos de Christoel

Os símbolos de Christoel são os coecientes da conexão riemanniana em um sistema de coor-denadas locais. O tensor curvatura de Riemann pode ser completamente descrito em termos dossímbolos de Christoel, assim como o tensor de Ricci e a curvatura escalar, por tratarem-se de me-didas associadas à geometria intrínseca da variedade. Não faremos uso dos símbolos de Christoelpara obtermos estas curvaturas com respeito à uma métrica conforme, embora este seja um meiode se fazer isso, mesmo assim, exibiremos aqui as alterações sofridas pelos símbolos de Christoelsob transformações conformes. Para g = e2fg, temos

Γkij =1

2

∑k

(∂

∂xigjk +

∂

∂xjgki −

∂

∂xkgij

)gkm

=1

2

∑k

(∂

∂xi(e2fgjk) +

∂

∂xj(e2fgki)−

∂

∂xk(e2fgij)

)e−2fgkm

=1

2

∑k

[2e2f ∂f

∂xigjk + e2f ∂

∂xigjk + 2e2f ∂f

∂xjgki + e2f ∂

∂xjgki−

−2e2f ∂f

∂xkgij − e2f ∂

∂xkgij

]e−2fgkm

=1

2

∑k

2e2f

[∂f

∂xigjk +

∂f

∂xjgki −

∂f

∂xkgij

]e−2fgkm

+1

2

∑k

e2f

[∂

∂xigjk +

∂

∂xjgki −

∂

∂xkgij

]e−2fgkm

=∑k

[∂f

∂xigjk +

∂f

∂xjgki −

∂f

∂xkgij

]gkm

+1

2

∑k

[∂

∂xigjk +

∂

∂xjgki −

∂

∂xkgij

]gkm

=∑k

[∂f

∂xigjkg

km +∂f

∂xjgkig

km − ∂f

∂xkgijg

km

]+ Γkij

segue que

Γkij = Γkij +∂f

∂xiδmj +

∂f

∂xjδmi −

∂f

∂xkgijg

km ,

onde δmj é o delta de Kronecker.


1.5.2 Curvatura Riemanniana

Mantendo as notações anteriores, recorde ainda que existe um isomorsmo canônico entre oespaço tangente e o espaço cotangente da variedade (M, g), permitindo a identicação df ≡ ∇f .Decorre que

X · f = X(f) = (df)(X) = 〈∇f,X〉g = ∇Xf = ∇f(X),

logo∇f(f) = (df)(∇f) = 〈∇f,∇f〉g = g(∇f,∇f) = ‖∇f‖2.

Além disso, o quadrado da derivada covariante de f com respeito aos campos X, Y , é dado por

∇2f(X,Y ) = ∇X∇Y f −∇∇XY f,

ou, em notação equivalente,∇2X,Y f = X(Y f)− (∇XY )f. (1.3)

Note que, a hessiana de f , hessf ∈ Γ(T ∗M ⊕ T ∗M), é o (0, 2)-tensor denido por

hessf := ∇∇f = ∇df = D(∇f), (1.4)

onde,

∇∇f(X,Y ) = X(Y f)− (∇XY )f

= Xg(∇f, Y )− g(∇f,∇XY )

= g(∇X∇f, Y ) +((((((g(∇f,∇XY )−(((((

(g(∇f,∇XY )

isto é, a hessiana de f pode ser expressa como

hessf (X,Y ) = g(∇X∇f, Y ), (1.5)

ou, pela expressão (1.3),

hessf (X,Y ) = ∇∇f(X,Y ) = ∇2f(X,Y ),

Atenção, ∇∇f(X,Y ) 6= ∇X∇Y f = X(Y f). Note, ainda, que podemos escrever

g(∇X∇f, Y ) = g(hessf (X), Y ). (1.6)

Visto isto, podemos proceder ao cálculo da curvatura riemanniana com respeito à métricaconforme g. Temos

R(X,Y )Z = ∇X∇Y Z − ∇Y ∇XZ − ∇[X,Y ]Z,

pela seção anterior, sabemos que

∇Y Z = ∇Y Z + Y (f)Z + Z(f)Y − g(Y,Z)∇f,

logo

∇X∇Y Z = ∇X∇Y Z + ∇XY (f)Z + ∇XZ(f)Y − ∇Xg(Y, Z)∇f= ∇X∇Y Z +X(f)∇Y Z +∇Y Z(f)X − g(X,∇Y Z)∇f

+XY (f)Z + Y (f)∇XZ +XZ(f)Y + Z(f)∇XY

−Xg(Y,Z)∇f − g(Y, Z)∇X(∇f)


∇X∇Y Z = ∇X∇Y Z +X(f)∇Y Z +∇Y Z(f)X − g(X,∇Y Z)∇f+XY (f)Z + Y (f)∇XZ + Y (f)X(f)Z + Y (f)Z(f)X − Y (f)g(X,Z)∇f+XZ(f)Y + Z(f)∇XY + Z(f)X(f)Y + Z(f)Y (f)X − Z(f)g(X,Y )∇f−Xg(Y,Z)∇f − g(Y,Z)[∇X(∇f)︸︷︷︸

hessf (X)

+ X(f)∇f︸︷︷︸(((

((g(∇f,X)∇f

+∇f(f)X︸︷︷︸‖∇f‖2X

−((((((

g(X,∇f)∇f ]

∇X∇Y Z = ∇X∇Y Z +X(f)∇Y Z +∇Y Z(f)X − g(X,∇Y Z)∇f+XY (f)Z + Y (f)∇XZ + Y (f)X(f)Z + Y (f)Z(f)X − Y (f)g(X,Z)∇f+XZ(f)Y + Z(f)∇XY + Z(f)X(f)Y + Z(f)Y (f)X − Z(f)g(X,Y )∇f−Xg(Y,Z)∇f − g(Y,Z)hessf (X)− g(Y,Z)‖∇f‖2X.

Analogamente,

∇Y ∇XZ = ∇Y∇XZ + Y (f)∇XZ +∇XZ(f)Y − g(Y,∇XZ)∇f+ Y X(f)Z +X(f)∇Y Z +X(f)Y (f)Z +X(f)Z(f)Y −X(f)g(Y,Z)∇f+ Y Z(f)X + Z(f)∇YX + Z(f)Y (f)X + Z(f)X(f)Y − Z(f)g(Y,X)∇f− Y g(X,Z)∇f − g(X,Z)hessf (Y )− g(X,Z)‖∇f‖2Y.

Além disso,

∇[X,Y ]Z = ∇[X,Y ]Z + [X,Y ](f)Z + Z(f)[X,Y ]− g([X,Y ], Z)∇f,

implica em

∇[X,Y ]Z = ∇[X,Y ]Z +X(Y (f))Z − Y (X(f))Z + Z(f)∇XY − Z(f)∇YX− g(∇XY,Z)∇f + g(∇YX,Z)∇f.

Agora, podemos usar as expressões obtidas para calcularmos R(X,Y )Z. Combinando a pri-meira parcela de ∇[X,Y ]Z, ∇X∇Y Z e ∇Y ∇XZ, com os sinais apropriados, obtemos R(X,Y )Z.É fácil ver que quatro termos, em cada expressão, cancelam-se diretamente, além disso, comoY (f)X(f) = X(f)Y (f) e usando a simetria da métrica, cancelamos outros dois termos nas duasprimeiras expressões. Pela propriedade de compatibilidade com a métrica da conexão riemanniana,segue que

−g(X,∇Y Z)∇f+g(Y,∇XZ)∇f−Xg(Y,Z)∇f+Y g(X,Z)∇f+g(∇XY,Z)∇f−g(∇YX,Z)∇f = 0.

Finalmente, usando (1.3) camos com

R(X,Y )Z = R(X,Y )Z

−[∇2f(Y, Z)− Y (f)Z(f) + g(Y, Z)‖∇f‖2

]X

+[∇2f(X,Z)−X(f)Z(f) + g(X,Z)‖∇f‖2

]Y

− g(Y, Z)hessf (X) + g(X,Z)hessf (Y )

− [Y (f)g(X,Z)−X(f)g(Y,Z)]∇f

1.5.3 Curvatura de Ricci

Seja eimi=1 um referencial ortonormal em TM com respeito à métrica g, então a relaçãoei = e−fei, válida para todo i, dá origem a um referencial ortonormal em TM com respeito à


métrica g. Por denição, a curvatura de Ricci de M com respeito a g é dada por

Ricg(Y,Z) =

m∑i=1

g(R(ei, Y )Z, ei

),

isto é,

Ricg(Y,Z) =

m∑i=1

e2fg(R(e−fei, Y )Z, e−fei

)= e2fe−2f

m∑i=1

g(R(ei, Y )Z, ei

)

Ricg(Y,Z) =

m∑i=1

g(R(ei, Y )Z, ei

)Substituindo a expressão obtida para o tensor curvatura riemanniana, temos

Ricg(Y,Z) =

m∑i=1

g(R(ei, Y )Z

−[∇2f(Y, Z)− Y (f)Z(f) + g(Y,Z)‖∇f‖2

]ei

+[∇2f(ei, Z)− ei(f)Z(f) + g(ei, Z)‖∇f‖2

]Y

− g(Y,Z)hessf (ei) + g(ei, Z)hessf (Y )

− [Y (f)g(ei, Z)− ei(f)g(Y,Z)]∇f, ei).

Vamos analisar as parcelas acima, separadamente. Antes, lembre-se que, em um referência local,temos

∇f =∑i

ei(f)ei, (Gradiente)

divg(X) =∑i

g(∇eiX, ei), (Divergente)

∆f = −divg(∇f) = −∑i

g(∇ei∇f, ei), (Laplaciano)

e observe que, combinando a expressão para o operador laplaciano com a equação (1.6), temos

∆f = −∑i

g(∇ei∇f, ei) = −∑i

g(hessf (ei), ei) = − trg hessf .

Agora, analisemos as parcelas do Ricci de g:

1.∑i

g (R(ei, Y )Z, ei) = Ricg(Y,Z);

2.∑i

g(∇2f(ei, Z)Y, ei

)=∑i

∇2f(ei, Z)g(Y, ei)

=∑i

g (hessf (ei), Z) g(Y, ei)

=∑i

g (hessf (ei), Z)Yi

=∑i

g (hessf (ei)Yi, Z)

= g (hessf (Y ), Z)

= ∇2f(Y,Z)

observe que hessf (ei) é a i-ésima coluna da matriz hessiana de f e Yi é a i-ésima componente


do campo Y ;

3.∑i

g (ei(f)Z(f)Y, ei) =∑i

ei(f)Z(f)g (Y, ei)

=∑i

g (∇f, ei) g (∇f, Z) g (Y, ei)

= g(∇f, Y )g(∇f, Z)

= Y (f)Z(f);

4.∑i

g(g(ei, Z)‖∇f‖2Y, ei

)=∑i

g(ei, Z)‖∇f‖2g(Y, ei)

= g(Y, Z)‖∇f‖2

5.∑i

g (g(Y,Z)hessf (ei), ei) =∑i

g(Y,Z)g(hessf (ei), ei)

= g(Y,Z) trg hessf= −g(Y, Z)∆f ;

6.∑i

g (g(ei, Z)hessf (Y ), ei) =∑i

g(ei, Z)g(hessf (Y ), ei)

= g(hessf (Y ), Z)

= ∇2f(Y, Z)

a última igualdade decorre da combinação das expressões (1.6), (1.5) e (1.4);

7.∑i

g (Y (f)g(ei, Z)∇f, ei) =∑i

Y (f)g(ei, Z)g(∇f, ei)

= Y (f)g(∇f, Z)

= Y (f)Z(f)

8.∑i

g (ei(f)g(Y,Z)∇f, ei) =∑i

ei(f)g(Y,Z)g(∇f, ei)

=∑i

g(∇f, ei)g(Y,Z)g(∇f, ei)

= g(Y,Z)g(∇f,∇f)

= g(Y,Z)‖∇f‖2

As parcelas da segunda linha do Ricci tem resultados triviais. Assim, temos

Ricg(Y,Z) = Ricg(Y,Z)−m∇2f(Y, Z) +mY (f)Z(f)−mg(Y, Z)‖∇f‖2

+∇2f(Y,Z)− Y (f)Z(f) + g(Y, Z)‖∇f‖2

+ g(Y,Z)∆f +∇2f(Y, Z)− Y (f)Z(f) + g(Y,Z)‖∇f‖2,

donde segue

Ricg(Y,Z) = Ricg(Y,Z)− (m− 2)∇2f(Y, Z) + (m− 2)Y (f)Z(f)

−(m− 2)g(Y,Z)‖∇f‖2 + g(Y,Z)∆f


1.5.4 Curvatura Escalar

A curvatura escalar deM com respeito à métrica g é o traço do tensor de Ricci para g, calculadoacima:

Rg =∑i

Ricg(ei, ei),

onde ei é o referencial ortonormal com respeito à g denido na seção anterior. Assim, temos

Rg =∑i

Ricg(e−fei, e

−fei)

= e−2f∑i

Ricg(ei, ei)

= e−2f∑i

[Ricg(ei, ei)− (m− 2)∇2f(ei, ei) + (m− 2)ei(f)ei(f)

−(m− 2)g(ei, ei)‖∇f‖2 + g(ei, ei)∆f]

= e−2f[Rg + (m− 2)∆f + (m− 2)‖∇f‖2 − (m− 2)m‖∇f‖2 +m∆f

],

isto é, a expressão para a curvatura escalar para a métrica conforme é dada por

Rg = e−2f[Rg + 2(m− 1)∆f − (m− 2)(m− 1)‖∇f‖2

]

Agora, se tomarmos g = φ4

m−2 g, φ > 0, obteremos uma expressão para a curvatura escalar emfunção de φ. Note que ao fazermos e2f = φ

4m−2 , obtemos

ln e2f = lnφ4

m−2

2f =4

m− 2lnφ

f =2

m− 2lnφ

e, portanto,

∇f =2

m− 2

∇φφ.

Além disso,

∆f = −divg(∇f)

= − 2

m− 2

∑i

g

(∇ei

(∇φφ

), ei

)= − 2

m− 2

∑i

g

(∇ei(∇φ)

φ− ei(φ)∇φ

φ2, ei

)= − 2

m− 2

∑i

[g (∇ei∇φ, ei)

φ− ei(φ)g (∇φ, ei)

φ2

]= − 2

m− 2

[−∆φ

φ− ‖∇φ‖

2

φ2

]=

2

m− 2

[∆φ

φ+‖∇φ‖2

φ2

].


Substituindo na expressão que temos para a curvatura escalar da métrica conforme, temos

Rg = φ−4

m−2

[Rg + 2(m− 1)

2

m− 2

[∆φ

φ+‖∇φ‖2

φ2

]− (m− 2)(m− 1)

∥∥∥∥ 2

m− 2

∇φφ

∥∥∥∥2]

= φ−4

m−2

[Rg + 2(m− 1)

2

m− 2

∆φ

φ+ 2(m− 1)

2

m− 2

‖∇φ‖2

φ2− (m− 2)(m− 1)

4

(m− 2)2

‖∇φ‖2

φ2

]= φ−

m+2m−2 φ

[Rg +

4(m− 1)

m− 2

∆φ

φ+

4(m− 1)

m− 2

‖∇φ‖2

φ2−

4(m− 1)

(m− 2)

‖∇φ‖2

φ2

]= φ−

m+2m−2

[Rgφ+

4(m− 1)

m− 2∆φ

].

Agora, observe que existe g com curvatura escalar constante, se e somente se, existe φ > 0 tal que

φ−m+2m−2

[Rgφ+

4(m− 1)

m− 2∆φ

]= k

com k = Rg constante; ou, equivalentemente,

(m− 2)

4(m− 1)Rgφ+ ∆φ =

(m− 2)

4(m− 1)kφ

m+2m−2 ,

isto é,

∆φ+(m− 2)

4(m− 1)Rgφ = Kφ

m+2m−2 ,

onde K é constante. Esta última expressão é a equação (2.2) que modela o conhecido problemade Yamabe, como veremos na Seção 2.1 .

1.5.5 Curvatura Média

É importante lembrar que a curvatura média é uma noção extrínseca; é uma medida associadaa uma subvariedade de uma variedade diferenciável, que depende do particular mergulho que adescreve.

Seja (M, g) uma variedade riemanniana com bordo, de dimensão m ≥ 3, então o bordo de M ,∂M é uma hipersuperfície de M , isto é, uma subvariedade de dimensão m− 1. Seja N um campounitário (interior) normal ao bordo de M , com respeito à métrica g. Denotaremos também por ga restrição da métrica ao bordo. Seja g = e2fg, então a segunda forma fundamental associada a∂M com respeito à métrica g é

IIg(X,Y ) = g(X, ∇Y N),

onde X,Y são campos tangentes a ∂M , N = e−fN é o campo unitário (interior) normal a ∂M ,com respeito à métrica g. Assim, temos

IIg(X,Y ) = e2fg(X, ∇Y (e−fN))

= e2fg(X,−e−fY (f)N + e−f ∇YN)

= −Y (f)ef:0

g(X,N) + efg(X, ∇YN)

= efg(X, ∇YN)

Agora, observe que

∇YN = ∇YN + Y (f)N +N(f)Y −:0

g(Y,N)∇f,


e portanto,

IIg(X,Y ) = efg(X,∇YN) + Y (f)ef:0

g(X,N) +N(f)efg(X,Y )

= efIIg(X,Y ) +N(f)efg(X,Y )

IIg(X,Y ) = ef [IIg(X,Y ) + ∂N (f)g(X,Y )]

Agora, podemos calcular a curvatura média do bordo: seja ei o referencial ortonormal comrespeito a g que já denimos no início da Seção 1.5.3 , então

Hg = trg(IIg)

= gij(IIg)ij

= gij(IIg)(ei, ej)

= e−2fgijef [IIg(ei, ej) + ∂N (f)g(ei, ej)]

= e−f[gij(IIg)ij + ∂N (f)gijgij

]= e−f [Hg + ∂N (f)(m− 1)]

Observação 1.5.2. A métrica g que aparece acima é a restrição da métrica g em M ao bordo deM , por esta razão, o traço da métrica é igual a m− 1 e não m.

Assim, a curvatura média do bordo, sob uma transformação conforme, é dada por

Hg = e−f [Hg + (m− 1)∂N (f)]

Se zermos e2f = φ4

m−2 , temos

Hg = φ−2

m−2

[Hg + (m− 1)∂N

(2

m− 2lnφ

)]= φ−

2m−2

[Hg +

2(m− 1)

m− 2

∂N (φ)

φ

]

logo,

Hg = φ−mm−2

[Hgφ+

2(m− 1)

m− 2∂N (φ)

]

1.5.6 Operador Laplaciano

O operador laplaciano ∆g em uma variedade riemanniana (M, g) também sofre alterações soba ação de transformações conformes em M . Nas contas abaixo, para não carregar a notação,


denotaremos também por g a matriz do tensor métrico (gij)ij .

∆g = − 1√|det g|

∂

∂xj

(√|det g| gij ∂

∂xi

)= − 1√

|det e2fg|∂

∂xj

(√|det e2fg| (e2fg)ij

∂

∂xi

)= − 1√

e2mf |det g|∂

∂xj

(√e2mf |det g| e−2fgij

∂

∂xi

)= − 1

emf√|det g|

∂

∂xj

(emf

√|det g| e−2fgij

∂

∂xi

)= − 1

emf√|det g|

∂

∂xj

(e(m−2)f

√|det g| gij ∂

∂xi

)=

e(m−2)f

emf−1√|det g|

∂

∂xj

(√|det g| gij ∂

∂xi

)− 1

emf√

|det g|

(∂

∂xje(m−2)f

)

√|det g| gij ∂

∂xi

= e−2f∆g −1

emf(m− 2)e(m−2)f ∂

∂xjf gij

∂

∂xi

= e−2f∆g − e−2f (m− 2)∂

∂xjf gij

∂

∂xi

isto é,

∆g = e−2f

(∆g − (m− 2)

∂f

∂xj

∂

∂xj

)

1.5.7 Variedade Produto

Na Seção 2.3.3 estudamos uma família de métricas gs = g(1)⊕sg(2), s > 0, na variedade produtocom bordo M = M1 ×M2, de dimensão m = m1 + m2 ≥ 3, com M1 compacta sem bordo e M2

compacta com bordo. Ali fazemos um série de armações sobre o comportamento das curvaturasescalar e média, sobre o laplaciano e seus autovalores em M , nesta seção, veremos a origem de taisarmações.

Homotetias da Métrica Riemanniana

Seja (M, g) uma variedade riemanniana compacta com bordo. Antes de vermos o caso dasvariedades produto, vamos observar, como caso particular dos resultados obtidos na seção anterior,o que acontece com quando fazemos e2f = s > 0. De início, temos

f =ln s

2(constante),

e−2f =1

s,

√e2f = ef =

√s,

emf = sm2 ,

daí, para g = sg, a forma volume caωg = s

m2 ωg,


a conexão Levi-Civita e os símbolos de Christoel e o (1, 3)-tensor de Riemann cam invariantes

∇XY = ∇XY,

Γkij = Γkij ,

R(X,Y )Z = R(X,Y )Z.

Para o tensor de Riemann, podemos tirar a prova desse resultado, fazendo,

Rlijk =∑r

ΓrikΓljr −∑r

ΓrjkΓlir +∂

∂xjΓlik −

∂

∂xiΓljk

=∑r

ΓrikΓljr −∑r

ΓrjkΓlir +∂

∂xjΓlik −

∂

∂xiΓljk

= Rlijk

porém, vale observar que o mesmo não ocorre para o (0, 4)-tensor de Riemann,

Rijkl =∑m

Rmijkgml

=∑m

Rmijksgml

= s∑m

Rmijkgml

= sRijkl,

isto é, R(X,Y, Z,W ) = sR(X,Y, Z,W ).

Note que, se eini=1 é um referencial ortonormal para o espaço tangente com respeito a g, entãoei =

1√sei

ni=1

é um referencial ortonormal com respeito a g,

g(ei, ei) = sg(ei, ei) = s1

sg(ei, ei) = 1,

eRicg = Ricg.

A curvatura escalar, ca

Rg =1

sRg.

Analogamente, N =1√sN é respectivo campo unitário (interior) normal ao bordo de M e a

segunda forma fundamental, bem como a curvatura média do bordo cam

IIg(X,Y ) =√sIIg(X,Y ),

Hg =1√sHg.


O operador laplaciano ca ∆(f) =1

s∆(f),

∆(f) = ∇i∇i(f) = ∇i(∇j(f)gij)

= ∇i(∇j(f)

1

sgij)

= ∇i(

1

s∇i(f)

)=

1

s∇i∇i(f) =

1

s∆(f),

portanto, se λ é um autovalor de ∆ associado a f , então λ é autovalor de ∆ associado a1

sf .

A Métrica Produto

Considere agora (M1, g(1)) uma variedade riemanniana compacta (sem bordo) e (M2, g

(2)) umavariedade riemanniana compacta com bordo ∂M2 6= ∅. Sejam m1 e m2 as dimensões de M1 e M2,respectivamente, de modo que m = m1 + m2 ≥ 3. Seja M = M1 ×M2 a variedade produto, dedimensão m, com bordo ∂M = M1 × ∂M2 e métrica produto g(1) ⊕ g(2) dada por

g(p,q)(X,Y ) = g(1)p (X1, Y1) + g(2)

q (X2, Y2),

onde X = (X1, X2), Y = (Y1, Y2), Xt, Yt ∈ Γ(TMt), t = 1, 2 e

(gij)ij =

(g

(1)kl )kl 0

0 (g(2)rs )rs

onde i, j = 1, . . . ,m, k, l = 1, . . . ,m1 e r, s = 1, . . . ,m2. Se π1 : M −→M1 e π2 : M −→M2 são asprojeções canônicas, a forma volume com respeito à métrica produto é dada por

ωg = π∗1ω(1) · π∗2ω(2);

é fácil ver que

ωg =√|det(gij)ij |dx1 ∧ . . . ∧ dxm =

√|det(g

(1)kl )kl| · | det(g

(2)rs )rs|dx1 ∧ . . . ∧ dxm.

Observe que estamos identicando o espaço tangente da variedade produto T(p,q)M com a somadireta TpM1 ⊕ TqM2. A conexão riemanniana com respeito à métrica produto é dada por

∇X1+X2Y1 + Y2 = ∇(1)

X1Y1 +∇(2)

X2Y2, Xi, Yi ∈ Γ(TMi),

e satisfaz∇X1

Y1 = ∇(1)X1Y1, ∇X2

Y2 = ∇(2)X2Y2, ∇X1

X2 = ∇X2X1 = 0.

Agora que vimos que a conexão riemanniana da variedade produto é aditiva, podemos observarfacilmente que o tensor de Riemann com respeito à métrica produto, é dado por

R(X,Y )Z = R(1)(X1, Y1)Z1 +R(2)(X2, Y2),

isto é, R(X,Y )Z =(R(1)(X1, Y1)Z1, R

(2)(X2, Y2)). De fato, como

R(X,Y )Z = ∇X∇Y Z −∇Y∇XZ −∇[X,Y ]Z


basta notar que∇X1+X2

(∇(1)Y1Z1 +∇(2)

Y2Z2) = ∇(1)

X1∇(1)Y1Z1 +∇(2)

X2∇(2)Y2Z2,

e[X,Y ] = ∇XY −∇YX = ∇(1)

X1Y1 +∇(2)

X2Y2 −∇(1)

Y1X1 −∇(2)

Y2X2 = [X1, Y1] + [X2, Y2].

Decorre diretamente queRicg = Ricg(1) +Ricg(2)

eRg = Rg(1) +Rg(2) .

Para p ∈M1 e q ∈M2, o campo vetorial interior ηg, normal a ∂M , pode ser escrito como

ηg = 0 + η2,

onde η2 é o campo vetorial interior normal a ∂M2. Logo, a segunda forma fundamental e acurvatura média de ∂M são dadas, respectivamente por

IIg(X,Y ) = IIg(2)(X2, Y2) e Hg = Hg(2) .

Combinando os resultados apresentados acima, para a métrica produto, com os resultados apre-sentados anteriormente, para homotetias da métrica, encontra-se facilmente os resultados utilizadosna Seção 2.3.3.

Operador Laplaciano

O laplaciano em uma variedade riemanniana (M, g) é o operador

∆g : Ck(M) −→ Ck−2(M),

onde k ≥ 2, denido por∆gf = −divg∇gf,

ou seja, o laplaciano é o divergente do campo gradiente de uma função f ∈ Ck(M). Para todaϕ,ψ ∈ Ck(M), α ∈ R, o laplaciano é um operador linear

∆g(αϕ+ ψ) = α∆gϕ+ ∆gψ,

e satisfaz∆g(ϕ · ψ) = ϕ∆gψ + ψ∆gϕ− 2g(∇ϕ,∇ψ).

SeM é uma variedade riemanniana compacta com bordo mínimo, o operador laplaciano é simétrico,com respeito ao produto L2(M), no espaço das funções suaves, denidas em M , que satisfazem a


condição de Neumann, ∂η( · ) = 0,

〈∆gψ,ϕ〉 =

∫M

(∆gψ)ϕ ωg =

∫M

−divg(∇gψ)ϕ ωg

=

∫M

〈∇gψ,∇gϕ〉 ωg −∫M

divg [(∇gψ)ϕ] ωg

=

∫M

〈∇gψ,∇gϕ〉 ωg +

∫∂M

〈(∇gψ)ϕ, ηg〉 σg

=

∫M

divg [ψ (∇gϕ)] ωg −∫M

ψ divg (∇gϕ) ωg +

∫∂M

ϕ*

0∂ηψ σg

= −∫∂M

ψ〈(∇gϕ), ηg〉 σg +

∫M

ψ(∆gϕ) ωg

= −∫∂M

ψ ∂ηϕ σg +

∫M

ψ (∆gϕ) ωg

=

∫M

ψ ∆gϕ ωg

= 〈ψ,∆gϕ〉 .

As mesmas contas feitas acima mostram que o laplaciano é simétrico também no espaço das funçõessatisfazendo a condição de Dirichlet (isto é, quando se anulam no bordo). Ainda, quando ∂M = ∅,o operador ∆ é simétrico no espaço das funções (sucientemente regulares) em M .

Além disso, existem alguns fatos gerais ([3], pag. 53), bem conhecidos, sobre o espectro dolaplaciano em uma variedade compacta, que passamos a exibir abaixo.

Teorema 1.5.3. Seja (M, g) uma variedade compacta com bordo ∂M , e considere o problema deautovalor ∆gφ = λφ com ∂M 6= ∅, com condições de Neumann ou com condições de Dirichlet nobordo. Então:

(i.) o conjunto de autovalores consiste de uma sequência innita

0 ≤ λ0 < λ1 < . . . < λk < . . . ,

onde λ0 = 0 não é um autovalor do problema de Dirichlet;

(ii.) cada autovalor tem multiplicidade nita e os autoespaços correspondentes a autovalores dis-tintos são L2(M)-ortogonais;

(iii.) a soma direta dos autoespaços Vλi é um subconjunto denso em L2(M) com a norma L2.Além disso, cada autofunção é suave.

Agora, vamos considerar a variedade produto M = M1 × M2, já denida, com a métricag = g(1) ⊕ g(2). Segue das observações acima que existem bases ortonormais, f (1)

α α de L2(M1)

e f (2)β β de L2(M2), formadas por autofunções de ∆g(1) e de ∆g(2) , respectivamente. Armamos

que f (1)α ⊗ f (2)

β α,β é uma base ortonormal de autofunções de ∆g para L2(M). De fato, sejam

f (1), f (2) autofunções de ∆g(1) ,∆g(2) , associadas aos autovalores ρ(1), ρ(2), respectivamente. Seπ1 : M −→M1 e π2 : M −→M2 são as projeções canônicas, temos

∆g

(f (1) ⊗ f (2)

)=(

∆gf(1))⊗ f (2) + f (1) ⊗∆gf

(2) − 2g(∇gf (1),∇gf (2)

)=(

∆g(1)f(1))⊗ f (2) + f (1) ⊗∆g(2)f

(2)

= ρ(1)f (1) ⊗ f (2) + f (1) ⊗ ρ(2)f (2)

=(ρ(1) + ρ(2)

)f (1) ⊗ f (2),


isto é, f (1) ⊗ f (2) é autofunção de ∆g associada ao autovalor ρ(1) + ρ(2). Além disso, para todok ∈ R, o conjunto ∑

α,β

k(f (1)α ⊗ f (2)

β

) ,

é denso em L2(M) e f (1)α ⊗ f (2)

β (x, y) = f(1)α (x) · f (2)

β (y), para todo x ∈M1, y ∈M2. Como

∆g

(f (1) ⊗ f (2)

)=(

∆g(1)f(1))⊗ f (2) + f (1) ⊗∆g(2)f

(2),

para toda f (1) ∈ L2(M1), f (2) ∈ L2(M2), escrevemos

∆g = ∆g(1) ⊗ I2 + I1 ⊗∆g(2)

onde Ii é o operador identidade em L2(Mi).Mais que isso, é importante ver que todos os autovalores do laplaciano ∆g são da forma ρ(1) +

ρ(2). Com efeito, suponha que f 6= 0 seja autofunção de ∆g associada ao autovalor λ. Considere

o produto interno canônico no espaço L2(M), então para todo elemento f (1)α ⊗ f (2)

β da base deautofunções exibida, temos

λ⟨f, f (1)

α ⊗ f (2)β

⟩=⟨λf, f (1)

α ⊗ f (2)β

⟩=⟨

∆gf, f(1)α ⊗ f (2)

β

⟩=⟨f,∆g

(f (1)α ⊗ f (2)

β

)⟩=⟨f,(ρ(1)α + ρ

(2)β

)f (1)α ⊗ f (2)

β

⟩= ρ(1)

α + ρ(2)β

⟨f, f (1)

α ⊗ f (2)β

⟩

faça ρα,β = ρ(1)α + ρ

(2)β , então

λ− ρα,β〈f, f (1)α ⊗ f (2)

β 〉 = 0,

para todo α, β, isto é, se supormos λ 6= ρα,β , então f é ortogonal a todos os elementos de∑α,β

k(f (1)α ⊗ f (2)

β )

, mas o único elemento ortogonal a um subespaço denso é o zero, donde

f = 0, o que é uma contradição.


Capítulo 2

Análise Funcional

Um espaço normado é um espaço vetorial com uma norma nele denida. Um espaço de Banaché um espaço vetorial normado, completo com respeito à métrica induzida pela norma

d(x, y) = ‖x− y‖.

Proposição 2.0.4. Um subespaço Y de um espaço de Banach X é completo se e somente se oconjunto Y é fechado em X.

Segue do resultado acima que todo subespaço fechado de um espaço de Banach é um espaço deBanach.

Denição 2.0.5. Uma norma ‖ · ‖1 em um espaço vetorial X é dita equivalente a uma norma‖ · ‖2 se existem constantes positivas c1 e c2 tais que

c1‖x‖1 ≤ ‖x‖2 ≤ c2‖x‖1,

para todo x ∈ X.

Esta denição é importante, pois normas equivalentes denem a mesma topologia em X.

Denição 2.0.6. Sejam X,Y espaços normados. Dizemos que o operador linear T : X −→ Y élimitado, se existe um número real c tal que, para todo x ∈ X,

‖Tx‖Y ≤ c‖x‖X .

A norma de T é denida por

‖T‖ = infc ∈ R : ‖Tx‖ ≤ c‖x‖,∀x ∈ X,

equivalentemente,

‖T‖ = supx 6=0

‖Tx‖‖x‖

ou ‖T‖ = sup‖x‖=1

‖Tx‖.

A composição de operadores limitados é um operador limitado e

‖T S‖ ≤ ‖T‖ · ‖S‖.

Proposição 2.0.7. Um operador linear T : X −→ Y entre espaços normados é limitado se esomente se é contínuo.

Demonstração. Para T = 0 a armação é válida. Se T 6= 0, então ‖T‖ 6= 0. Seja x0 ∈ X. Dado

41

42 ANÁLISE FUNCIONAL 2.0

ε > 0, sempre que ‖x− x0‖ < δ, com δ = ε‖T‖ , temos

‖Tx− Tx0‖ = ‖T (x− x0)‖ ≤ ‖T‖‖x− x0‖ < ‖T‖δ = ε,

donde T é contínuo. Reciprocamente, se T é contínuo em x0 (arbitrário), dado ε > 0, existe δ > 0tal que ‖Tx− Tx0‖ ≤ ε para todo x ∈ X que satisfaça ‖x− x0‖ ≤ δ, em particular para

x = x0 +δ

‖y‖y,

para qualquer 0 6= y ∈ X, segue que

ε ≥ ‖Tx− Txo‖ − ‖T (x− x0)‖ =

∥∥∥∥T ( δ

‖y‖y

)∥∥∥∥ =δ

‖y‖‖Ty‖,

portanto, ‖Ty‖ ≤ εδ‖y‖, o que implica que T é limitado. K

Segue como corolário que se T é limitado, kerT é fechado.O espaço vetorial B(X,Y ) de todos os operadores limitados de um espaço normado X em

um espaço normado Y é um espaço normado com a norma de operadores. Se Y é um espaço deBanach, então B(X,Y ) é um espaço de Banach.

Um espaço com produto interno é um espaço vetorial com um produto interno nele denido.Um espaço de Hilbert é um espaço com produto interno, completo com respeito à norma denidapor este produto interno.

Lema 2.0.8. Seja X 6= ∅ um subconjunto de um espaço de Hilbert H. O espaço gerado por X édenso em H se e somente se X⊥ = 0.

Denição 2.0.9. Se existem T : X −→ Y e T−1 : Y −→ X limitadas então X e Y são ditostopologicamente isomorfos.

Proposição 2.0.10. Seja T : E −→ F um operador linear limitado entre espaços de Banach. SeT admite um inverso contínuo à direita S : F −→ E, então, o núcleo de T , kerT , admite umcomplemento fechado; esse complemento é a imagem de S.

Demonstração. Seja S : F −→ E um inverso contínuo à direita de T . Vamos mostrar queE = kerT ⊕ ImS. Seja x ∈ E, então x− S T (x) ∈ kerT :

T (x− S T (x)) = T (x)− T (S T (x)) = T (x)− T S︸︷︷︸id

(T (x)) = 0.

Então, podemos escreverx = (x− S T (x)) + S(T (x)),

isto é, E = kerT + ImS. Agora, suponha que x ∈ kerT ∩ ImS, então x = S(y) para algum y ∈ Fe 0 = T (x) = T (S(y)) = y, donde x = S(0) = 0. Portanto, E = kerT ⊕ ImS. Vejamos agora queImS é fechado. Seja (yn)n>0 uma sequência de pontos em F tal que S(yn)→ x, para algum x ∈ E.Pela continuidade de T , segue que T S(yn)→ T (x), isto é, yn → T (x). Como S é contínuo, temosS(yn)→ S(T (x)). Pela unicidade do limite, x = S(T (x)), ou seja x ∈ ImS. K

Claramente, o resultado simétrico ao que acabamos de provar é válido, isto é, se S tem inversocontínuo T à esquerda, então ImS admite complemento fechado em E (que é o núcleo de T ). Alémdisso, se supusermos, no enunciado da proposição acima, que T é sobrejetor, vale a recíproca.

Proposição 2.0.11. Se T : E −→ F é um operador linear limitado de um espaço de Banach Esobre um espaço de Banach F e o núcleo de T tem complemento fechado em E, então T admiteinverso contínuo à direita.

2.0 43

Demonstração. SejaW um subespaço fechado de E, tal queW⊕kerT = E. Como T é sobrejetivo,para cada y ∈ F , existe x = w + k ∈ E, com w ∈ W e k ∈ kerT , tal que T (x) = y. Mas,y = T (x) = T (w + k) = T (w) + T (k) = T (w). Assim, para cada y ∈ F , dena S : F → E por

S(y) := w,

isto é, S(y) = PW (x), onde PW é a projeção de x sobre W .(1) S está bem denida. De fato, seja y = y1 = y2 ∈ F , então existem x1 = w1 + k1, x2 =

w2 + k2 ∈ E tais que T (x1) = y1 = y2 = T (x2). Como T é sobrejetor, existe um isomorsmoθ : E/ kerT −→ F tal que θ π = T , onde π é a projeção canônica no espaço quociente; assim,temos T (x1) = θ(π(x1)) = θ(x1) = θ(w1 + k1) e T (x2) = θ(π(x2)) = θ(x2) = θ(w2 + k2). Poroutro lado, existe uma única classe de equivalência x ∈ E/ kerT que θ faz corresponder à y, istoé, x = x1 = x2. Note que, como k1, k2 ∈ kerT , segue que x1 = w1 e x2 = w2 e como w1 e w2

estão no complementar de kerT , temos que x1 = x2 ⇔ w1 = w2. Portanto, mesmo que x1 6= x2,mostramos que, se T (x1) = T (x2) = y segue que w1 = w2 = w, de modo que ca bem denidoS(y) = w.

(2) S é linear. Sejam α um escalar e y1, y2 ∈ F , então S(αy1 + y2) = w, onde w = x − kcom T (x) = αy1 + y2. Como T é sobrejetor, existem x1 = w1 + k1 e x2 = w2 + k2 em E tais queT (x1) = y1 e T (x2) = y2, ou seja, S(y1) = w1 e S(y2) = w2. Além disso,

αx1 + x2 = αw1 + w2︸︷︷︸∈ W

+αk1 + k2︸︷︷︸∈ kerT

e, pela linearidade de T , temos também T (x) = αT (x1) + T (x2) = T (αx1 + x2). Por denição,temos S(αy1 + y2) = αw1 + w2, pelo item anterior, devemos ter necessariamente w = αw1 + w2,isto é, S(αy1 + y2) = αS(y1) + S(y2).

(3) S é inverso à direita de T . Se x = w + k e T (x) = y, então S(y) = w e T (w) = y,já que k está no núcleo de T e T é linear. Como T é sobrejetivo, para todo y ∈ F , temosT S(y) = T (w) = y.

(4) S é contínuo. Basta notar que (T |W ) é um isomorsmo linear limitado, portanto (T |W )−1

é limitado de F em W . Como S = (T |W )−1, S : F −→ E é limitado, portanto, contínuo. K

Denição 2.0.12. Sejam X e Y espaços normados. Um operador T : X −→ Y é dito compactose a imagem de qualquer conjunto limitado de X, por T , tem fecho compacto em Y .

Todo operador compacto é limitado. Se a dimensão de X é innita, o operador identidade deX não é compacto, em geral. Além disso, se T e S são operadores compactos entre os espaçosnormados X e Y , e R é um operador limitado de Y em um espaço normado Z, então R T eαT + βS são operadores compactos, para todo α, β ∈ R.

Variedades de Banach

Unindo a noção de variedade ao conceito de espaços de Banach, podemos denir uma variedadede Banach como um espaço topológico modelado em um espaço de Banach. É um meio de obtermosvariedades de dimensão innita, usando espaços de Banach de dimensão innita no lugar do Rn.

Denição 2.0.13. Seja M um espaço topológico e E um espaço de Banach. Um atlas Ck para Msobre E é uma família de pares (Uα, φα)α com as seguintes propriedades:

a. Uαα é uma cobertura aberta para M ;

b. φα é um homeomorsmo de Uα sobre um subconjunto aberto de E;

c. para cada α, β tais que Uα ∩ Uβ 6= ∅, a aplicação

φβ φ−1α : φα(Uα ∩ Uβ) −→ φβ(Uα ∩ Uβ)


é um difeomorsmo de classe Ck.

Um espaço topológico M com um atlas Ck sobre E é chamado de variedade de Banach de classeCk.

Seja f : N −→M uma aplicação diferenciável entre variedades diferenciáveis. Vimos que, se fé uma imersão injetora e a topologia herdada de N por f(N) coincide com a topologia induzidaem f(N) por M , então f(N) ⊂ M é uma subvariedade (regular) de M . Também vimos que sep ∈ M é um valor regular de f , então P = f−1(p) ⊂ N é uma subvariedade (regular) de N . Setomarmos a inclusão, no primeiro caso, teremos iM : f(N) → M e Im(diM )p = Tpf(N). Emdimensão nita, é claro que Tpf(N) tem complemento em M , isto é, existe um subespaço S deTpM tal que Tpf(N) + S = TpM . No segundo caso, iN : P → N e Im(diN )q = TqP = ker(df)q,também, em dimensão nita, TqP é complementado em N . Vejamos o que ocorre em dimensãoinnita, onde não podemos garantir a complementação do espaço tangente de forma automática.

Denição 2.0.14. Seja M uma variedade (diferenciável) de Banach. Um subconjunto N ⊂M éuma subvariedade de Banach de M , se para todo p ∈ N , existe uma carta (U, φ) de M , com p ∈ U ,tal que

(i.) o subconjunto X = φ(U), do espaço de Banach E (modelo para M), contém um subespaçofechado Y que é complementado em X;

(ii.) φ(U ∩N) é aberto em Y .

Na denição acima, observe que X é homeomorfo a TpM . Seja Y ⊂ TpM o subespaço corres-pondente a Y ⊂ X. Então, se N é subvariedade de Banach de M , segue da denição que Y temcomplemento fechado tem TpM . Além disso, Y = TpN .

2.1 Operadores de Fredholm

Sejam B1 e B2 espaços de Banach.

Denição 2.1.1. Seja T : B1 −→ B2 um operador linear limitado. Dizemos que T é de Fredholmse

(i.) o núcleo, kerT , tem dimensão nita,

(ii.) a imagem, ImT , é um subespaço fechado,

(iii.) o co-núcleo, cokerT , tem dimensão nita.

O co-núcleo de T é denido pelo quociente de B2 pela imagem de T , portanto a dimensão doco-núcleo de T coincide com a codimensão da imagem de T . Se T é de Fredholm denimos edenotamos o índice de T por

ind T := dim kerT − codim Im T.

O lema abaixo, mostra que o item (ii.) da denição acima é redundante.

Lema 2.1.2. Seja T : B1 −→ B2 um operador linear limitado. Se a imagem de T tem codimensãonita, então Im T é fechado.

Demonstração. Primeiro, suponha que kerT = 0. Seja V um complemento de Im T em B2.Como a dimensão de V é nita, V é um espaço de Banach com a norma herdada de B2, bem comoB1 × V . Agora, considere a aplicação S : B1 × V −→ B2 dada por

S(x, v) = T (x) + v,

2.2 ESPAÇOS DE HÖLDER 45

então S é uma bijeção, linear, contínua. Pelo Teorema da Aplicação Aberta, S é um homeomor-smo, portanto, Im T = S(B1 × 0) é fechado em B2. No caso geral, note que B1/ kerT é umespaço de Banach e temos T = T π, onde π : B1 −→ B1/ kerT e T é a aplicação induzida noquociente. Como T é injetora, podemos aplicar a primeira parte da demonstração a T , concluindoque Im T = Im T é fechado. K

Observe que, se T é de Fredholm de índice zero, T é injetivo se e somente se T é sobrejetivo.

Proposição 2.1.3. Sejam T : B1 −→ B, S : B −→ B2 operadores de Fredholm e K : B1 −→ Bum operador compacto. Então,

(i.) se ε : B1 −→ B é um operador limitado com ‖ε‖ sucientemente pequena, T + ε é umoperador de Fredholm e ind (T + ε) = ind T ,

(ii.) T +K é de Fredholm e ind (T +K) = ind T ,

(iii.) S T é de Fredholm e ind (S T ) = ind S + ind T .

Os itens (i.) e (ii.) da proposição acima, nos mostra que operadores de Fredholm são invariantesquando submetidos a pequenas perturbações ou sob perturbações compactas.

2.2 Espaços de Hölder

Seja k ≥ 1. Um elemento do conjunto

Ak = a = (a1, . . . an) : ai ≥ 0,

n∑i=1

ai = k

é chamado multi-índice de ordem k.Sejam f : Rn −→ R, com f = f(x1, . . . , xn), e a ∈ Ak, então

Daf = Da11 · . . . ·Dan

n f =∂a1

∂xa11

· . . . · ∂an

∂xan1

f,

denotada também por∂|a|

∂a1x1 . . . ∂anxn

f, onde |a| =n∑i=1

ai = k.

Dena∇kf := Dafa∈Ak ,

isto é, ∇kf contém todas as derivadas parciais de f (cuja soma das ordens é igual a k).

Exemplo 2.2.1. (a.) Se k = 2, podemos ter

Daf =∂2

∂x∂yf, a = (1, 1),

Daf =∂2

∂x2f, a = (2, 0),

Daf =∂2

∂y2f, a = (0, 2).


(b.) Se k = 4, podemos ter

Daf =∂4

∂x1∂x2∂x3∂x4f, a = (1, 1, 1, 1),

Daf =∂4

∂x44

f, a = (0, 0, 0, 4),

Daf =∂4

∂x21x

23

f, a = (2, 0, 2, 0).

Denição 2.2.2. Sejam Ω ⊂ Rn aberto e k ≥ 0 um inteiro.

(i.) O conjunto de funções que têm todas as derivadas parciais Daf , com a ∈ Am, 0 ≤ m ≤ k,contínuas será denotado por Ck(Ω).

(ii.) Ck(Ω) é o conjunto de funções cujas derivadas, até ordem k, podem ser estendidas continu-amente para Ω e é munido da norma

‖f‖Ck = max0≤|a|≤k

supx∈Ω|Daf(x)| ,

para toda f ∈ Ck(Ω).

(iii.) Ck0 (Ω) = C0(Ω) ∩ Ck(Ω), com

C0(Ω) =f ∈ C0(Ω) : supp f ⊂ Ω é compacto

,

onde supp f = x ∈ Ω : f(x) 6= 0 é o suporte de f .

(iv) C∞(Ω) =

∞⋂k=0

Ck(Ω), analogamente, C∞(Ω) =

∞⋂k=0

Ck(Ω),

(v) C∞0 (Ω) = C∞(Ω) ∩ C0(Ω).

Observação 2.2.3. O espaço Ck(Ω) munido da norma

‖f‖Ck(Ω) = max0≤|a|≤k

supx∈Ω

|Daf(x)|,

é um espaço de Banach.

Sejam D ⊂ Rn, f : D −→ R e 0 < α ≤ 1. Dena

[f ]C0,α(D) := supx,y∈Dx 6=y

|f(x)− f(y)||x− y|α

.

Denição 2.2.4. Sejam Ω ⊂ Rn um aberto, k ≥ 0 um inteiro. Os espaços de Hölder de funçõescontínuas são denidos por

(i.) C0,α(Ω) =f ∈ C0(Ω) : [f ]C0,α(K) <∞,∀K ⊂ Ω compacto.

,

(ii.) C0,α(Ω) =f ∈ C0(Ω) : [f ]C0,α(Ω) <∞

. Note que [f ]C0,α(D) = L <∞ implica em

|f(x)− f(y)| ≤ L|x− y|α, ∀x, y ∈ D, 0 < α ≤ 1.

A norma em C0,α(Ω) é dada por

‖f‖C0,α(Ω) = ‖f‖C0(Ω) + [f ]C0,α(Ω),

2.2 ESPAÇOS DE HÖLDER 47

(iii.) Ck,α(Ω) =f ∈ Ck(Ω) : [Daf ]C0,α(K) <∞, ∀K ⊂ Ω compacto, ∀a ∈ Ak.

,

(iv.) Ck,α(Ω) =f ∈ Ck(Ω) : [Daf ]C0,α(Ω) <∞, ∀a ∈ Ak.

com a norma

‖f‖Ck,α(Ω) = ‖f‖Ck(Ω) + maxa∈Ak

[Daf ]C0,α(Ω),

é um espaço de Banach.

Observação 2.2.5. (a.) No item (ii.) da denição acima, lembre que

‖f‖C0(Ω) = supx∈Ω

|f(x)|.

(b.) Escrevemos, por convenção, Ck(Ω) = Ck,0(Ω).

(c.) Observe que C0,1(Ω) é o conjunto das funções lipschitzianas em Ω.

Decorre das denições que, se [Daf ]C0,α(Ω) = L <∞, temos

Ck,α(Ω) =f ∈ Ck(Ω) : |Daf(x)−Daf(y)| ≤ L|x− y|α, ∀x, y ∈ Ω, x 6= y, ∀a ∈ Ak

.

Proposição 2.2.6. Sejam Ω ⊂ Rn aberto, 0 ≤ α ≤ 1 e k ≥ 0 um inteiro. São válidas as seguintespropriedades:

(i.) Se f, g ∈ C0,α(Ω), então f · g ∈ C0,α(Ω);

(ii.) Se 0 ≤ α ≤ β ≤ 1, então Ck(Ω) ⊃ Ck,α(Ω) ⊃ Ck,β(Ω) ⊃ Ck,1(Ω);

(iii.) Se Ω é limitado e convexo, então Ck,1(Ω) ⊃ Ck+1(Ω). Obviamente, Ck−1,α(Ω) ⊃ Ck,α(Ω) valesempre.

Demonstração. A demonstração pode ser encontrada em [13]. K

Proposição 2.2.7. Seja M uma variedade compacta. O conjunto

Ck,α+ (M) =φ ∈ Ck,α(M) : φ > 0

é aberto em Ck,α(M) com a topologia induzia pela norma

‖φ‖Ck,α(M) = ‖φ‖Ck(M) + maxa∈Ak

‖Daφ‖Ck,α(M).

Demonstração. Como vimos,

‖φ‖Ck,α(M) = ‖φ‖Ck(M) + maxa∈Ak

[Daf ]C0,α(M),

isto é,

‖φ‖Ck,α(M) = max|γ|≤k

supp∈M|Dγφ(p)|+ max

|γ|≤ksupp,q∈Mp6=q

|Dγφ(p)−Dγφ(q)||p− q|α

Seja φ ∈ Ck,α+ (M). Como M é compacta, φ atinge um valor mínimo m > 0 para algum p ∈ M .Seja Bm

2(φ) a bola aberta centrada em φ de raio m

2 . Armamos que Bm2

(φ) ⊂ Ck,α+ (M). De fato,seja ψ ∈ Bm

2(φ), então ‖φ−ψ‖Ck,α(M) <

m2 . Em particular, |D0(φ−ψ)(p)| < m

2 , para todo p ∈M ,o que implica em

φ(p)− ψ(p) <m

2=⇒ ψ(p) > φ(p)− m

2≥ m− m

2=m

2> 0, ∀p ∈M. K


Na prova do próximo resultado, usaremos o Teorema de Arzelá-Áscoli. Vamos recordar seuenunciado.

Teorema 2.2.8 (Arzelá-Áscoli). Seja M uma variedade compacta; F ∈ C(M) é um conjuntorelativamente compacto se e somente se F é equicontínuo e limitado para cada x ∈M .

Lembre que um conjunto S ∈ C0(M) é dito equicontínuo se para todo x ∈M e para todo ε > 0,existe uma vizinhança Ux tal que para todo y ∈ Ux e para todo f ∈ S, temos |f(x) − f(y)| < ε;também que S é dito limitado pontualmente se para cada x ∈M , sup|f(x)| : f ∈ S <∞.

Proposição 2.2.9. Seja M uma variedade compacta. A inclusão Ck,α(M)i−−→ Ck−1,α(M), é

compacta.

Demonstração. Seja f ∈ Bk1 (0) ⊂ Ck,α(M), onde Bk1 (0) é a bola unitária centrada na origem, então

‖f‖Ck,α ≤ 1⇒ ‖f‖Ck + max|γ|≤k

supx,y∈Mx6=y

|Dγf(x)−Dγf(y)||x− y|α

≤ 1.

É claro que ‖i(f)‖Ck−1,α = ‖f‖Ck−1,α ≤ 1.Seja h ∈ i(Bk1 (0)), então h = i(f), para algum f ∈ Bk1 (0), assim, ‖h‖Ck−1,α = ‖i(f)‖Ck−1,α ≤ 1,

isto é, i(Bk1 (0)) ⊂ Bk−11 (0) ⊂ Ck−1,α(M). Portanto, i(Bk1 (0)) é limitado.

Agora, vamos mostrar que i(Bk1 (0)) é um conjunto de funções equicontínuas. Para todo h ∈i(Bk1 (0)), temos

‖h‖Ck−1,α ≤ 1⇒ ‖h‖Ck−1 + max|γ|≤k

supx,y∈Mx6=y

|Dγh(x)−Dγh(y)||x− y|α

≤ 1,

isto é,

max|γ|≤k

supx∈M|Dγh(x)|+ max

|γ|≤ksupx,y∈Mx 6=y

|Dγh(x)−Dγh(y)||x− y|α

≤ 1,

em particular,|D0h(x)−D0h(y)|

|x− y|α=|h(x)− h(y)||x− y|α

≤ 1

ou seja, dado ε > 0, tome δ = ε1α , então

|x− y| < δ ⇒ |h(x)− h(y)| ≤ |x− y|α < ε.

Pelo Teorema de Arzelá-Áscoli, i(Bk1 (0)) é relativamente compacto, como i(Bk1 (0)) é fechado,segue que é compacto. K

Capítulo 3

Representações de Grupos de Lie

Lembremos que uma ação à esquerda de um grupo G em um conjunto X é uma aplicação

µ : G×X −→ X,

que satisfazµ(e, x) = x, e µ(g, µ(h, x)) = µ(gh, x),

onde e é o elemento neutro do grupo, g, h ∈ G, x ∈ X. Algumas vezes a ação µ(g, x) é denotadasimplesmente por g · x. A ação à direita é denida de forma análoga. Comumente, ação de gruposestá relacionada ao estudo de simetrias de um espaço geométrico. A teoria de representações sededica a estudar os efeitos da ação de um grupo G em um espaço vetorial V .

Denição 3.0.10. Seja G um grupo de Lie e V um espaço vetorial de dimensão nita sobre R.Uma representação de G em V é um homomorsmo de grupos de Lie, π : G −→ Aut(V ), de G nogrupo de automorsmos de V , isto é, π é diferenciável, satisfaz

π(g · h) = π(g) · π(h),

e π(g) é um isomorsmo de V em si mesmo. O par (V, π) é chamado de representação de G e Vé o espaço de representação. A dimensão de V é chamada grau da representação.

É usual na literatura, dizer apenas que V é uma representação de G. Note que, xada umabase, o grupo de automorsmos de um espaço vetorial V , de dimensão nita igual a n, sobre osreais, é isomorfo ao grupo geral linear, GLn(R), das matrizes invertíveis, com entradas reais, deordem igual à n = dim V . Assim, denotamos por GL(V ) o grupo geral linear em V e dizemos queπ : G −→ GL(V ) é a representação matricial de G em V .

Uma representação (V, π) é dita el se π é um homomorsmo injetor; π é chamada de repre-sentação trivial se cada elemento do grupo age como a identidade.

Podemos também denir um anti-homomorsmo de grupos de Lie, ρ, de G em Aut(V ), isto é,uma aplicação que satisfaz

ρ(g · h) = ρ(h) · ρ(g),

à qual chamaremos antirrepresentação de G em V .Observe que π(g) : V −→ V dá a V uma estrutura de módulo sobre G; de fato há uma relação

biunívoca entre as representações (antirrepresentações) de G em V e as ações contínuas à esquerda(à direita) de G sobre V , enquanto grupo abeliano com respeito à soma,

G× V −→ V(g, v) 7−→ g · v

tais que, para cada g ∈ G, a translação à esquerda (à direita) Lg : v 7→ g · v (Rg : v 7→ v · g) é

49

50 REPRESENTAÇÕES DE GRUPOS DE LIE 3.0

linear. Diremos que V é um G-módulo (módulo-G) real.Em termos da translação à esquerda, uma ação à esquerda de G em V determina um homo-

morsmo linearL : G −→ Aut(V ),

com inversa Lg−1 , satisfazendo Le = idV e Lg Lh = Lgh.

Denição 3.0.11. Dadas duas representações de G, (U, π), (V, ρ), um morsmo de representaçõesé uma transformação linear T entre os espaços U e V que é G-equivariante, isto é, para todo g ∈ G,u ∈ U , T satisfaz ρ(g) Tv = T π(g)v, assim temos o seguinte diagrama comutativo

U V

U V

T

π(g)

T

ρ(g)

Veja que T é um morsmo de G-módulos (homomorsmo entre grupos abelianos, com respeitoà soma, que é G-equivariante). Dizemos que U e V são representações equivalentes se T é umisomorsmo.

Lembre que um operador linear limitado T em um espaço vetorial V com produto interno édito unitário se TT ∗ = T ∗T = I, onde I é o operador identidade em V e T ∗ é o operador adjuntode T , equivalentemente, T é unitário se preserva o produto interno.

Denição 3.0.12. Se V é um G-módulo, um produto interno euclidiano, 〈·, ·〉 : V ×V → R é ditoG-invariante se 〈gu, gv〉 = 〈u, v〉 para todo g ∈ G, u, v ∈ V . Uma representação V munida de umproduto interno G-invariante é chamada representação unitária.

Observe que a representação (V, π) tem um produto interno G-invariante, se e só se,π(g) ∈ Aut(V ) é um operador unitário para todo g ∈ G. Se G é um grupo compacto, entãotoda representação V possui um produto interno G-invariante.

Denição 3.0.13. Dada uma representação (V, π) de G, um subespaço W ⊂ V que é G-invariantefaz da restrição de π(g) à W um automorsmo de W e dá origem ao homomorsmo

π|W : G −→ GL(W ),

chamado sub-representação de V . Equivalentemente, se V é um G-módulo e W ⊂ V é G-invariante, W é submódulo de V . Uma representação não nula V é chamada irredutível se nãotem outros submódulos além dos triviais 0 e V . Uma representação que não é irredutível é ditaredutível.

Uma representação π : G −→ GL(V ) é dita soma direta (interna), se V admite dois subespaçoscomplementares G-invariantes. Dadas duas representações de G, (V, π) e (U, ρ) podemos, ainda,considerar a representação soma direta (externa) de G em V ⊕ U ,

π ⊕ ρ : G −→ GL(V ⊕ U),

denida por

(π ⊕ ρ)(g)(v, u) = π(g)⊕ ρ(g)(v, u) = (π(g)v, ρ(g)u), ∀v ∈ V, u ∈ U.

Podemos considerar também o produto tensorial destas representações e obter a representação

(π ⊗ ρ) : G −→ GL(V ⊗ U),

3.1 AÇÕES ISOMÉTRICAS E REPRESENTAÇÕES 51

via(π ⊗ ρ)(g)(v ⊗ u) = (π(g)⊗ ρ(g)) (v ⊗ u) = π(g)v ⊗ ρ(g)u, ∀v ∈ V, u ∈ U.

Proposição 3.0.14. Seja G um grupo de Lie compacto. Se U é submódulo do G-módulo V , dedimensão nita, então existe submódulo complementar W tal que V = U ⊕W . Todo G-módulo,de dimensão nita, é soma direta de submódulos irredutíveis.

Demonstração. Como G é compacto, existe produto interno 〈 · , · 〉, G-invariante em V . Seja W ocomplemento ortogonal de U em V com respeito a este produto interno, então W é G-submóduloe V = U ⊕W . De fato, vamos mostrar que como U é G-invariante, U⊥ = W é G-invariante. Dadow ∈W , para todo g ∈ G, temos

〈gw, u〉 = 〈g−1gw, g−1u〉 = 〈w, g−1u〉 = 0,

para todo u ∈ U . Logo gw ∈W , para todo w ∈W .Para ver que V pode ser escrito como soma direta de submódulos irredutíveis, proceda por

indução sobre a dimensão de V . Se V é irredutível, não há nada a fazer; se V 6= 0 é redutível,então existe U um G-submódulo próprio de V que, como acabamos de ver, é complementado porum G-submódulo W ortogonal a U com respeito a um produto interno G-invariante escolhido eV = U ⊕ V . Se U e W são irredutíveis, o resultado está provado, caso contrário, existem G-submódulos U1, U2,W1,W2, tais que V = U1 ⊕ U2 ⊕W1 ⊕W2, se as parcelas são irredutíveis, oresultado está provado, caso contrário, podemos proceder da mesma forma diversas vezes até obterV = U1 ⊕ . . . ⊕ Ur ⊕ . . . ⊕W1 ⊕ . . . ⊕Ws, onde todos as parcelas são G-submódulos irredutíveis.Note que o processo é nito, uma vez que a dimensão de V é nita. K

Seja G um grupo de Lie e V uma representação irredutível de G com produto interno G-invariante, segue do resultado acima que V não pode ser escrito como soma direta de G-submódulos(ou, equivalentemente, de sub-representações).

3.1 Ações Isométricas e Representações

Seja (M, g) uma variedade riemanniana compacta (com ou sem bordo). No espaço das funçõesCk(M), com k ≥ 2, denimos o operador laplaciano de M com respeito à métrica riemanniana gpor

∆g = −divg∇g.

Os seguintes problemas de autovalor são clássicos em variedades compactas:

(1) Problema fechado: ∂M = ∅,∆f = ρf, em M,

(2) Problema de Dirichlet: ∂M 6= ∅, ∆f = ρf, em M,f = 0, em ∂M

(3) Problema de Neumann: ∂M 6= ∅,∆f = ρf, em M,∂ηf = 0, em ∂M

onde η é o campo unitário normal ao bordo.

Já vimos, na Subseção 1.5.7, sob o títuloO Operador Laplaciano, que ∆g é simétrico com respeito aoproduto L2(M) no espaço das funções Ck(M), com k ≥ 2, que satisfazem qualquer das condições


de bordo dadas nos problemas acima. No Teorema 1.5.3, vimos que para qualquer um dessesproblemas de autovalor, o laplaciano tem uma sequência innita de autovalores não-negativos ρ,de multiplicidade geométrica nita

0 ≤ ρ0 < ρ1 < . . . < ρk < . . . ,

isto é, o autoespaço Vρ de ∆g associado ao autovalor ρ, solução de um dos problemas acima, temdimensão nita.

Considere, agora, um grupo de Lie G, agindo por isometrias, na variedade (M, g):

µ : G×M −→M.

O próximo resultado garante a invariância dos autoespaços do laplaciano de M pela ação de G.

Proposição 3.1.1. Se G é um grupo de Lie agindo por isometrias em (M, g) e Vρ é um autoespaçodo laplaciano ∆g associado ao autovalor ρ, solução de algum dos problemas de autovalor acima,então Vρ é invariante pela ação de G.

Demonstração. Sejam ξ ∈ G e f ∈ Vρ ⊂ Ck(M), k ≥ 2, então

(a.) f ξ é uma função de classe Ck em M ,

(b.) ∆g(f ξ)(x) = (∆gf)(ξ(x)) = ρf(ξ(x)) = ρ(f ξ)(x),∀x ∈M (veja Apêndice C).

Além disso,

• se ρ é solução do problema fechado e f é uma autofunção associada a ρ, segue diretamentedos itens (a.) e (b.) acima que f ξ ∈ Vρ;

• se ρ é solução do problema de Dirichlet, temos

(f ξ)|∂M = f (ξ)|∂M = 0,

ou seja, f ξ ∈ Vρ;

• se ρ é solução do problema de Neumann, então

∂η(f ξ) = (∂ηf) ξ · ∂ηξ = 0,

donde f ξ ∈ Vρ,

o que conclui a prova. K

Mais geralmente, se F : (M, g) −→ (N,h) é uma isometria, então (M, g) e (N,h) têm o mesmoespectro e se f é uma autofunção para ∆h, então f F é uma autofunção para ∆g associada aomesmo autovalor.

Veremos agora que a ação isométrica de um grupo de Lie G, numa variedade compacta (M, g),determina antirrepresentações de G nos autoespaços Vρ do laplaciano ∆g, via pull-back,

f 7−→ ξ∗(f) = f ξ,

com ξ ∈ G e f ∈ Vρ.

Proposição 3.1.2. Para cada autovalor ρ, solução de um dos problemas de autovalor acimacitados,

πρ : G −→ GL(Vρ),

denida pela aplicação linearπρ(ξ) : Vρ −→ Vρ

f 7→ f ξ

3.1 AÇÕES ISOMÉTRICAS E REPRESENTAÇÕES 53

é uma antirrepresentação de G no autoespaço Vρ.

Demonstração. Já vimos que os autoespaços do laplaciano são invariantes pela ação de G, restamostrarmos que πρ é um anti-homomorsmo de grupos de Lie. De fato, πρ é suave e para todoξ, ζ ∈ G, f ∈ Vρ, temos

πρ(ξζ)f = f (ξζ)

= f (ξ ζ)

= (f ξ) ζ= πρ(ζ)(f ξ)= πρ(ζ) (πρ(ξ)f)

= πρ(ζ) πρ(ξ)f,

e o resultado segue. K


Parte II

Técnicas de Bifurcação Aplicadas ao

Problema de Yamabe

55

Capítulo 1

Teoremas de Bifurcação Variacional

1.1 Motivação

A Teoria de Bifurcação é o estudo de mudanças na estrutura qualitativa ou topológica de umadada família, por exemplo, de soluções de uma família de equações diferenciais. Em geral, associa-se Teoria de Bifurcação a Sistemas Dinâmicos, uma linha de pesquisa da matemática que buscauma maneira determinística de descrever como um ponto, em um espaço geométrico apropriado,varia com o passar do tempo. Dada uma família de sistemas X ′ = F (λ,X), onde λ ∈ R é oparâmetro, ocorre uma bifurcação em λ = λ0 quando há uma mudança signicativa na estruturadas soluções em λ− ε e λ+ ε para qualquer ε > 0.

Exemplo 1.1.1. Seja x = x(t) uma função a valores reais da variável t ∈ R e denote por x′(t) suaderivada. Considere a equação diferencial

x′(t) = λx(t), (1.1)

onde fλ(x) = λx(t) e λ é um parâmetro real. Sabemos que x(t) = keλt é solução da equação (1.1)para qualquer k ∈ R, mais que isso, sabemos que essa solução é única (a menos da constante k).Um caso especial acontece para k = 0: a função constante igual a zero x(t) = 0 é uma solução. Umasolução constante é chamada solução (ou ponto) de equilíbrio da equação (1.1). Note que paracada valor de λ temos uma equação diferente e portanto, diferentes soluções. De fato, podemosdescrever o comportamento das soluções se analisarmos o sinal de λ:

• se λ > 0, limt→∞ keλt = +∞, se k > 0 e limt→∞ keλt = −∞, se k < 0;

Figura 1.1:

57

58 TEOREMAS DE BIFURCAÇÃO VARIACIONAL 1.1

• se λ = 0, então x(t) = k é constante.

• se λ < 0, limt→∞ keλt = 0;

Figura 1.2:

Na verdade, o comportamento das soluções, em relação à solução de equilíbrio, varia bastante como sinal de λ a medida que o tempo passa. Agora, observe que se trocarmos λ 6= 0 por outro valor,β, com o mesmo sinal de λ, o comportamento qualitativo das soluções não muda. No entanto, seλ = 0, qualquer alteração, por menor que seja, no parâmetro, muda radicalmente o comportamentodas soluções. Dizemos que ocorre bifurcação em λ = 0 para a família a 1-parâmetro λ 7−→ λx(t).

O proposição abaixo dá condições de rigidez para a família contínua de funções fλ+ε, isto é,condições sob as quais existe uma família de pontos x0(ε), variando continuamente, onde não hábifurcação para a família fλ+εε∈I .

Proposição 1.1.2. Considere a equação diferencial de 1a ordem

x′ = fλ(x),

e suponha que fλ(x0) = 0 e f ′λ(x0) 6= 0. Então,

x′ = fλ+ε(x) (1.2)

tem ponto de equilíbrio em x0(ε), onde ε 7→ x0(ε) é a função suave satisfazendo x0(0) = x0, paraε sucientemente pequeno.

Demonstração. Dena F (ε, x) = fλ+ε(x), então F (0, x0) = fλ(x0) = 0 e

∂F

∂x(0, x0) = f ′λ(x0) 6= 0.

Pelo Teorema da Função Implícita, existe um intervalo aberto I contendo 0, uma vizinhança abertaV contendo x0 e uma aplicação

x0 : I −→ Vε 7−→ x0(ε)

com x0(0) = x0 tais que

(ε, x0(ε)) : ε ∈ I = (ε, x) ∈ I × V : F (ε, x) = 0 ,

1.2 TEOREMAS DE BIFURCAÇÃO CLÁSSICOS 59

isto é, F (ε, x0(ε)) = 0. Mas, pela denição de F , temos

F (ε, x0(ε)) = fλ+ε(x0(ε)),

logo, x0(ε) é ponto de equilíbrio para a equação (1.2). K

O resultado acima diz que, se f ′λ(x0) 6= 0, então pequenas mudanças no parâmetro λ nãoalteram a estrutura local em x0. No caso de equações de primeira ordem, só ocorre bifurcação nocaso não hiperbólico com f ′λ(x0) = 0. A demonstração deste resultado ilustra de forma simples, opapel do Teorema da Função Implícita para se estabelecer rigidez local.

1.2 Teoremas de Bifurcação Clássicos

Em 1990, Smoller e Wasserman [40] usaram teoria de bifurcação para estudar as soluções daequação Mλ(a) = 0, onde M : Λ×E −→ F é um operador suave, E ⊂ F são espaços de Banach eΛ ⊂ R é um intervalo da reta e publicaram resultados, geral e equivariante, que passamos a exibirabaixo, sem muitos detalhes.

Sejam B2, B0 espaços de Banach e H um espaço de Hilbert xados tais que B2 ⊂ B0 ⊂ H(cujas inclusões são contínuas). Seja Λ um intervalo da reta e

M : Λ×B2 −→ B0,

um operador suave de classe C1. Assuma que existe uma família contínua a 1-parâmetro λ 7→aλ ∈ B2 satisfazendo Mλ(aλ) = 0, para todo λ e seja Pλ o subespaço vetorial fechado gerado peloconjunto

v ∈ B2 : dMλv = µv, para algum µ ≥ 0, v 6= 0 ,

isto é, Pλ é o espaço gerado pelos autovetores de dMλ associados a autovalores não-negativos.Observe que dMλv = dM(λ,aλ)(0, v), v ∈ TaλB2.

Teorema 1.2.1 (Teorema de Bifurcação Abstrato). Seja M o operador suave denido acima, talque, para cada λ ∈ Λ, Mλ é um operador gradiente (isto é, dMλ é simétrico) e satisfaz Mλ(0) = 0,para todo λ. Assuma que existe ε > 0, tal que

dim Pλ,ε = [dim v ∈ B2 : (dMλ + εI)v = µv, para algum µ ≥ 0, v 6= 0] <∞, (1.3)

para todo λ ∈ Λ. Se existir λ1 < λ2 em Λ satisfazendo

(i) dMλi é não singular, i = 1, 2, e

(ii) Pλ1não é isomorfo a Pλ2

.

Então existe λ0 ∈ (λ1, λ2) tal que (λ0, 0) é um instante de bifurcação para a família Mλ(a) = 0.

Como Pλ ⊂ Pλ,ε a hipótese (1.3) implica que dim Pλi <∞, i = 1, 2, donde (ii) é equivalente adim Pλ1

6= dim Pλ2.

Nem sempre é fácil vericar (ii) e pode ocorrer, ainda, de esta hipótese não ser satisfeita. Paraesses casos, os autores apresentaram uma versão equivariante do Teorema, considerando a ação deum grupo de Lie no espaço funcional do problema, que deixa invariante o conjunto de soluções.

Seja G um grupo de Lie compacto e xe espaços de Banach B2, B0 e um espaço de HilbertH, satisfazendo as inclusões contínuas B2 ⊂ B0 ⊂ H, todos invariantes sob a ação de G. Então,G age também sobre a família de soluções aλλ∈Λ. Suponha que aλ seja invariante sob a açãode G para todo λ ∈ Λ. O objetivo principal de Smoller e Wasserman, no citado artigo, é estudarsob quais condições esta curva de soluções G-invariantes, também chamadas de soluções simétricascom respeito à ação de G, admite bifurcação para um ramo de soluções não invariantes, o que sechama de quebra de simetria.


Seja Λ um intervalo da reta eM : Λ×B2 −→ B0,

um operador suave de classe C1, G-invariante, isto é,

Mλ(g · a) = g ·Mλ(a), ∀g ∈ G, a ∈ B2, λ ∈ Λ,

satisfazendoMλ(aλ) = 0, ∀λ ∈ Λ.

Teorema 1.2.2 (Teorema de Bifurcação Equivariante). Considere o contexto e o operador Mcomo denidos acima. Suponha que existe λ1 < λ2 em Λ satisfazendo

(i) dMλi é não singular para i = 1, 2,

(ii) a representação de O(n) em Pλ1 é não equivalente à representação de O(n) em Pλ2 .

Então existe um λ0 ∈ (λ1, λ2) tal que (λ0, 0) é um instante de bifurcação para a família Mλ(a) = 0.

O grupo O(n) no item (ii) do teorema, pode ser substituído por qualquer grupo nice no sentidoque passamos a descrever abaixo.

Sejam V1 e V2 espaços de Hilbert de dimensão nita, D1(Vi) o disco unitário em Vi, S1(Vi) aesfera unitária em Vi, onde i = 1, 2. Seja G um grupo de Lie que age por automorsmos em V1 eV2. Considere os subconjuntos

B1(V1) =D1(V1)

S1(V1)e B1(V2) =

D1(V2)

S1(V2)

de V1 e V2 respectivamente. Note que estes conjuntos não passam do disco unitário com a fronteiracolapsada em um único ponto, ou, dito de outra forma, a bola aberta união com um ponto dobordo.

Suponha que B1(V1) e B1(V2) têm o mesmo tipo homotópico G-equivariante, isto é, existemaplicações contínuas G-equivariantes f : B1(V1) −→ B1(V2) e h : B1(V2) −→ B1(V1) tais que

hf H1' idB1(V1) e f hH2' idB1(V2); consequentemente, as homotopias H1 e H2 são G-equivariantes

no sentido de Hi(g · vi, t) = g ·H(vi, t), i = 1, 2. Então, temos a seguinte denição.

Denição 1.2.3. Um grupo G é dito nice (de acordo com [40] 1) se dadas quaisquer duasrepresentações unitárias π1 e π2, em espaços V1 e V2 respectivamente, satisfazendo os termosacima, então essas representações são equivalentes.

1.3 Teoremas de Bifurcação com Domínio Variável

Em 2012, Lima, Piccione e Zedda [31] propuseram uma conguração mais geral para a qualos mesmos resultados ainda garantem bifurcação, denindo-os no espaço total de brados. Osautores consideraram uma família de operadores gradientes Fλ denidos em subvariedades deBanach Dλ (de uma xada variedade de Banach) que variam suavemente com λ, e tomam valoresem subespaços fechados Eλ de um espaço de Banach, que variam suavemente com λ.

Apresentamos abaixo os Teoremas de Bifurcação para brados, nas versões geral e equivariante,cujas demonstrações consistem de aplicações diretas dos Teoremas 1.2.1 e 1.2.2 [40, Teoremas 2.1e 3.1], respectivamente.

Denição 1.3.1. Dado um espaço de Banach B, uma família de subvariedades de Banach de B,[a, b] 3 s 7→ Bs é chamada de família C1 de subvariedades de B, se o conjunto

B = (x, s) ∈ B × [a, b] : x ∈ Bs1Se G0 é a componente conexa da identidade de um grupo de Lie G, G é nice se G/G0 = 1 ou se G/G0 é o

produto de um número nito de cópias de Z2 (ou de Z3).

1.3 TEOREMAS DE BIFURCAÇÃO COM DOMÍNIO VARIÁVEL 61

tem a estrutura de um subbrado C1 do brado trivial B × [a, b]. Analogamente, podemos deniruma família C1 de subespaços fechados de B como uma família [a, b] 3 s 7→ Ss de subespaços deBanach de B tal que o conjunto

S = (x, s) ∈ B × [a, b] : x ∈ Ss

é um subbrado do brado trivial de Banach B × [a, b].

Note que, com as notações usadas na denição acima, se s 7→ xs ∈ B é um caminho C1,B =

⋃s∈[a,b](Bs × s) é uma família C1 de subvariedades de B, com xs ∈ Bs para todo s, então

o caminho s 7→ TxsSs é uma família C1 de subespaços fechados de B.

Teorema 1.3.2 (Teorema de Bifurcação para Fibrados). Sejam B0 e B2 espaços de Banach e Hum espaço Hilbertizável. Considere as famílias C1: Dss∈[a,b] de subvariedades de Banach de B2;Ess∈[a,b] de subespaços fechados B0; e Hss∈[a,b] de subespaços fechados de H. Seja F : D −→ Eum morsmo entre brados e assuma que as seguintes hipóteses são satisfeitas:

a. s 7→ es ∈ Es é uma seção C1 do brado E;

b. s 7→ ds ∈ Ds é uma seção C1 do brado D tal que, para todo s ∈ [a, b],

F (ds, s) = (es, s);

c. s 7→ 〈·, ·〉s é uma família C1 de produtos internos completos em Hs.

d. Existem inclusões contínuas B2 ⊂ B0 ⊂ H que induzem inclusões TdsDs ⊂ Es ⊂ Hs paratodo s ∈ [a, b].

e. Além disso, para todo s ∈ [a, b], assuma que a aplicação Fs = F (·, t) : Ds −→ Es é umoperador gradiente em ds, i.e. o diferencial dF (·, s) : TdsDs −→ Es é simétrico com respeitoao produto interno 〈·, ·〉s.

f. O operador dF (·, s) : TdsDs −→ Es é de Fredholm de índice zero para todo s ∈ [a, b].

g. Suponha que exista uma base 〈·, ·〉s-ortonormal es1, es2, ... de Hs consistindo de autovetores de

dF (·, s);

h. os autovalores correspondentes têm multiplicidade nita e para todo s ∈ [a, b], o número deautovalores negativos de dF (·, s), denotado por ns, é nito.

i. Existe s∗ ∈ (a, b) tal que, para todo ε > 0 sucientemente pequeno, temos

• dF ( · , s∗ − ε) e dF ( · , s∗ + ε) são não singulares,

• ns∗−ε 6= ns∗+ε.

Então s∗ é um instante de bifurcação para a equação F (·, s) = (es, s); isto é, existem sequênciasdn ∈ B2 e sn ∈ [a, b], com dn ∈ Dsn para todo n, tais que lim

n→∞sn = s∗, lim

n→∞dn = ds∗ , dn 6= dsn

para todo n, e F (dn, sn) = (esn , sn), para todo n.

Lembre que um morsmo de brados é uma aplicação contínua F : D −→ E entre brados talque πE F = πD, onde π é a respectiva projeção, e uma seção C1 de um brado E sobre um espaçobase J é uma aplicação de classe C1, ξ : J −→ E tal que πE(ξ(s)) = s.

Teorema 1.3.3 (Teorema de Bifurcação Equivariante). Sejam B0 e B2 espaços de Banach e Hum espaço Hilbertizável. Considere as famílias C1: Dss∈[a,b] de subvariedades de Banach de B2;Ess∈[a,b] de subespaços fechados B0; e Hss∈[a,b] de subespaços fechados de H. Seja F : D −→ Eum morsmo entre brados e assuma que as seguintes hipóteses são satisfeitas:


a. s 7→ es ∈ Es é uma seção C1 do brado E;

b. s 7→ ds ∈ Ds é uma seção C1 do brado D tal que, para todo s ∈ [a, b],

F (ds, s) = (es, s);

c. s 7→ 〈·, ·〉s é uma família C1 de produtos internos completos em Hs.

d. Existem inclusões contínuas B2 ⊂ B0 ⊂ H que induzem inclusões TdsDs ⊂ Es ⊂ Hs paratodo s ∈ [a, b].

e. Além disso, para todo s ∈ [a, b], assuma que a aplicação Fs = F (·, t) : Ds −→ Es é umoperador gradiente em ds, i.e. o diferencial dF (·, s) : TdsDs −→ Es é simétrico com respeitoao produto interno 〈·, ·〉s.

f. O operador dF (·, s) : TdsDs −→ Es é de Fredholm de índice zero para todo s ∈ [a, b].

g. Suponha que exista uma base 〈·, ·〉s-ortonormal es1, es2, ... de Hs consistindo de autovetores de

dF (·, s);

h. os autovalores correspondentes têm multiplicidade nita e para todo s ∈ [a, b], o número deautovalores negativos de dF (·, s), denotado por ns, é nito.

i. Considere a ação de um grupo de Lie conexo (ou, mais geralmente, nice) G agindo em B0,B2 e H, tal que Ds, Es, Hs são G-invariantes e F é G-equivariante.

j. Assuma que g.ds = ds e g.es = es, para todo g ∈ G e todo s.

k. É fácil ver que todo autoespaço de dF (·, s) é G-invariante para todo s ∈ [a, b]. Denote porτ−s a representação de G no espaço de dimensão nita dado pela soma direta de todos osautovalores de dF (·, s) que correspondem a autovalores negativos.

l. Seja s∗ ∈ (a, b) tal que, para todo ε > 0 sucientemente pequeno, dF (·, s∗ − ε), dF (·, s∗ + ε)são invertíveis e τ−s∗−ε, τ

−s∗+ε são não equivalentes.

Então s∗ é um instante de bifurcação para a equação F (·, s) = (es, s); isto é, existem sequênciasdn ∈ B2 e sn ∈ [a, b], com dn ∈ Dsn para todo n, tais que lim

n→∞sn = s∗, lim

n→∞dn = ds∗ , dn 6= dsn

para todo n, e F (dn, sn) = (esn , sn), para todo n.

Lima, Piccione e Zedda, propuseram ainda, neste mesmo trabalho [31], um Teorema da FunçãoImplícita neste mesmo contexto, resultado fundamental para obtenção de resultados de rigidezlocal (quando não há bifurcação).

Dados brados πi : Ei → Bi, i = 1, 2 e um morsmo de brados M : E1 → E2. A derivadavertical de M em e ∈ E1 é a aplicação linear

dverM(e) : TeF(e) −→ TM(e)F(M(e)),

dada pelo diferencial da restrição M |F(e) : F(e) −→ F(M(e)), onde F(e) = π−11 (π1(e)) ⊂ E1

é a bra de E1 correspondente ao ponto e, e F(M(e)) = π−12 (π2(M(e))) ⊂ E2 é a bra de E2

correspondente a M(e).

Teorema 1.3.4. Sejam πi : Ei → Bi, i = 1, 2, brados, e M : E1 → E2 um morsmo de bradosde classe Ck, com k ≥ 1. Seja s : U ⊂ B → E2 uma seção local de E2 de classe Ck, com U umsubconjunto aberto de B contendo x0, s(x0) = e2, e seja e1 ∈ M−1(e2). Assuma que a derivadavertical dverM(e1) seja um isomorsmo. Então, existem vizinhanças abertas V de e1 em E1, comU ′ = π1(V ) ∈ U e uma seção Ck, s : U ′ → E1 com s(x0) = e1, tal que e ∈ V ∩M−1(s(U)) se esomente se e ∈ s(U ′).

1.3 TEOREMAS DE BIFURCAÇÃO COM DOMÍNIO VARIÁVEL 63

Embora os autores se reram a esta proposta como uma ligeira mudança de enunciado, fatoé que o trabalho tem permitido importantes aplicações na Geometria, como demonstrado nestemesmo trabalho, no qual se estuda multiplicidade de soluções para o Problema de Yamabe emvariedades produto compactas dentre outras coisas.


Capítulo 2

Bifurcação de Soluções para o

Problema de Yamabe

2.1 O Problema de Yamabe

O problema de Yamabe está ligado à ideia de se obter métricas canônicas em umavariedade diferenciável. Provavelmente, o resultado mais conhecido neste assunto seja o Teoremade Uniformização para superfícies simplesmente conexas que garante a existência de uma métricade curvatura Gaussiana constante em cada classe conforme. Em dimensões mais altas, o mate-mático japonês Hidehiko Yamabe propôs uma conjectura que cou conhecida como Problema deYamabe:

Seja (M, g0) uma variedade riemanniana compacta de dimensão m ≥ 3. Então existe umamétrica g na classe conforme de g0, segundo a qual M tem curvatura escalar constante.

Dada uma métrica riemanniana g0, qualquer métrica g na classe conforme de g0 pode ser escritacomo g = u

4m−2 g0, onde u é uma função positiva suave. Se Rg0 e Rg denotam a curvatura escalar

da variedade M com respeito às métricas g0 e g, respectivamente, então,

m− 2

4(m− 1)Rgu

m+2m−2 = ∆g0u+

m− 2

4(m− 1)Rg0u, (2.1)

onde ∆g0u = −divg0(gradg0u) é o laplaciano geométrico, com gradg0u o gradiente de u calculadocom respeito à métrica g0 e divg0 é o divergente com respeito à métrica g0. Assim, uma solução

para o problema de Yamabe consiste de uma métrica g = u4

n−2 g0, onde u é uma solução positivada equação diferencial parcial

∆g0u+m− 2

4(m− 1)Rg0u−Ku

m+2m−2 = 0 (2.2)

com K ∈ R, demonstrada na Seção 1.5.

O problema de resolver a equação diferencial não linear (2.2) é equivalente ao problema varia-cional de estudar os pontos críticos do funcional de Hilbert-Einstein (H-E), normalizado,

F (g) =

∫MRgωg(∫

Mωg)m−2

m

,

restrito à classe conforme, denotada por [g0]. O funcional H-E é suave na variedade de Banach (dedimensão innita) das métricas riemannianas de classe Ck em M , denotada porMk(M).

65

66 BIFURCAÇÃO DE SOLUÇÕES PARA O PROBLEMA DE YAMABE 2.2

De fato, a expressão de F restrito à classe conforme de g0 é dada por

Fg0(u) = F (u

4

m− 2 g0) =E(u)

‖u‖2p,

onde p = 2mm−2 ,

E(u) =

∫M

(|gradg0u|

2 +m− 2

4(m− 1)Rg0u

2

)ωg0 ,

e

‖u‖p =

(∫M

|u|p ωg0) 1p

.

Calculando a primeira variação de Fg0 na direção de v ∈ Ck(M), temos

δFg0(u+ tv) =2

‖u‖2p

∫M

(∆g0u+

m− 2

4(m− 1)Rg0u−

E(u)

‖u‖ppum+2m−2

)v ωg0 ,

isto é, u é ponto crítico de Fg0 se e somente se satisfaz a EDP (2.2), com K =E(u)

‖u‖ppe p = 2m

m−2 .

Observe que estudar o funcional H-E normalizado restrito à classe conforme [g0] é equivalentea estudar o funcional H-E

F (g) =

∫M

Rgωg,

restrito à classe conforme [g0]1, isto é, o conjunto das métricas conformes à métrica g0 e de volume1.

Em 1960, foi publicado um artigo [41], atribuído à Yamabe, com uma prova para a conjectura.Contudo, o matemático australiano, Neil Trudinger, encontrou um erro na demonstração de Ya-mabe, o que não desmerece seu trabalho, anal tratava-se de um problema tão difícil que levoumais de 16 anos para ser completamente resolvido. O próprio Trudinger só publicou resultados quecomplementavam o trabalho de Yamabe em 1968. Finalmente, em 1984, o esforço combinado deAubin [2], Trudinger [39], Schoen [34], [35] e do próprio Yamabe, forneceu uma prova completa doresultado. Hoje sabemos que os pontos críticos do funcional F restrito à variedade das métricas Ckde volume 1 sobre M , denotada porMk

1(M), são as métricas de Einstein de volume 1; enquantoos pontos críticos de F restrito à subvariedade [g]1, das métricas Ck, conformes a g, com volume1, são as métricas de curvatura escalar constante em [g]1. O Problema de Yamabe deu origem auma coleção de trabalhos concernentes à existência, unicidade e outros aspectos de suas soluções.

2.2 Bifurcação de Soluções em Variedades Produto

Técnicas de Bifurcação no problema de Yamabe têm sido usadas no caso de variedades rieman-nianas colapsadas, e no caso de métricas homogêneas em esferas, veja as referências [9] e [6]. Noartigo [31], publicado em 2012, Lima, Piccione e Zedda estudaram rigidez local e multiplicidadede métricas de curvatura escalar constante em classes conformes de variedades produto compactasfazendo uso dos Teoremas 1.3.4 e 1.3.2, por eles propostos, decorrentes dos resultados de Smollere Wasserman [40]. Nesta seção, descreveremos brevemente este trabalho que serviu de base para onossos primeiros resultados, que serão apresentados na seção seguinte. Nesta seção utilizaremos anotação do citado artigo.

Seja (M, g) uma variedade riemanniana compacta sem bordo de dimensão m ≥ 3. Os autoresprovaram que, se g0 é um ponto crítico do funcional H-E, restrito à classe conforme de métricasCk,α(M) 1, k ≥ 3, de volume 1,Mk,α

1 (M, g), então g0 é um ponto crítico não degenerado, se κg0 = 0

1Aqui, α varia em (0, 1] e refere-se a uma condição de Hölder necessária para a validade dos resultados de rigidez

2.2 BIFURCAÇÃO DE SOLUÇÕES EM VARIEDADES PRODUTO 67

ou seκg0m−1 não é um autovalor do operador Laplace-Beltrami ∆g0 , onde κg0 denota a curvatura

escalar com respeito à métrica g0. Sob essas condições e usando o Teorema da Função Implícitapara brados (1.3.4), os autores obtiveram um resultado de rigidez [31, Teorema 3.1], para umafamília gλλ∈[a,b] de soluções do problema de Yamabe:

Se gλ∗ é um ponto crítico não degenerado do funcional H-E, então a família gλλ é localmenterígida no instante λ∗.

Isto signica que na classe conforme de gλ∗ não existe outra métrica de curvatura escalarconstante, diferente de gλ∗ , em uma vizinhança.

Um instante λ ∈ (0,+∞) para o qual a métrica gλ é degenerada é chamado de instante dedegeneração. São esses os candidatos a instantes de bifurcação para a família gλλ. Para enten-dermos melhor o signicado de se obter um instante de bifurcação para uma família de soluçõesdo problema de Yamabe, vejamos a seguinte denição.

Denição 2.2.1. SejaM uma variedade riemanniana compacta (sem bordo) com dimensão m ≥ 3e seja gλλ∈[a,b] uma curva suave de métricas riemannianas deM com curvatura escalar constantena variedade Mk(M). Um instante λ∗ ∈ [a, b] é chamado instante de bifurcação para a famíliagλλ∈[a,b] se existe uma sequência (λn)n≥1 em [a, b] e uma sequência de métricas riemannianas(gn)n≥1 emMk(M) tais que

(a) para todo n ≥ 1, gn ∈ [gλn ], mas gn 6= gλn ;

(b) para todo n ≥ 1, o volume de M com respeito a gn coincide com o volume com respeito agλn ;

(c) para todo n ≥ 1, gn tem curvatura escalar constante;

(d) limn→∞

λn = λ∗ e limn→∞

gn = gλ∗ emMk(M).

Se λ∗ não é um instante de bifurcação, então dizemos que a família é localmente rígida em λ∗.

Figura 2.1:

Decorre da denição que encontrar um instante de bifurcação λ∗ para uma família de solu-ções do Problema de Yamabe, nos garante a existência de uma outro ramo gnn>0 de soluçõescompletamente distintas do ramo trivial.

e bifurcação apresentados no citado trabalho.


Seja nλ o número de autovalores do operador Laplace-Beltrami ∆λ que é menor do que κλm−1 .

Segundo [31, Teorema 3.3], se gλλ∈[a,b] é rígida nos extremos do intervalo [a, b] e na 6= nb, existeinstante de bifurcação λ∗ ∈ (a, b) para a família gλλ.

Obtidos esses resultados, os autores estudaram a existência de instantes de bifurcação paraa família de soluções construída da seguinte forma: Sejam (M0, g

(0)), (M1, g(1)) variedades rie-

mannianas compactas (sem bordo) com curvaturas escalares constantes denotadas por κ(0) e κ(1)

respectivamente. Sejam m0 e m1 suas respectivas dimensões, de modo que m = m0 + m1 ≥ 3.Para cada λ > 0, gλ = g(0)⊕λg(1) é uma métrica emM = M0×M1. Então, (M, gλ) tem curvaturaescalar constante κ = κ(0) + 1

λκ(1), para todo λ ∈ Λ, isto é, gλλ>0 é uma família de soluções

para o problema de Yamabe na variedade produto M .Nos instantes λ tais que gλ é não degenerada, o resultado de rigidez do qual já falamos, garante

unicidade local. Para curvaturas escalares positivas, cou provado que, exceto por um númeronito de instantes, chamados de instantes neutros, todos os demais instantes de degeneração sãoinstantes de bifurcação. Mais que isso, os instantes de bifurcação consistem de duas sequênciasinnitas, uma tendendo a zero e a outra ilimitada.

Se as curvaturas escalares são ambas não positivas, então não existem instantes de bifurcação.Por outro lado, se κ(0) ≤ 0 e κ(1) > 0, todo instante de degeneração é um instante de bifurcação econsiste de uma sequência estritamente decrescente que converge para zero.

O artigo sugere uma maneira de abordar o caso dos instantes neutros usando o Teorema deBifurcação Equivariante 1.3.3, considerando a ação (por isometrias) de um grupo de Lie conexo(ou nice, conforme discutido na seção 1.2), em um dos fatores da variedade produto M . Falaremosdeste assunto com maiores detalhes na seção 3.

2.3 Bifurcação de Soluções em Variedades Produto com Bordo

Mínimo

Seja (M, g) uma variedade riemanniana compacta com bordo ∂M 6= ∅ e dimensãom ≥ 3, denotepor Rg a curvatura escalar e Hg a curvatura média do bordo de M . O problema de Yamabe paravariedades riemannianas compactas com bordo tem diferentes formulações que buscam a existênciade uma métrica g conforme a g tal que

(a.) Rg é constante não nula e Hg = 0;

(b.) Rg = 0 e Hg é constante não nula;

(c.) Rg e Hg são ambas constantes não nulas.

Os trabalhos de Cherrier [12], Escobar [18], [19], [20], Almaraz [1], Han [23] e outros certicam aexistência de solução para os problemas acima para uma grande classe de variedades riemannianascom bordo.

O problema apresentado nesta seção está no contexto descrito pelo item (a.), acima:

Seja (M1, g(1)) uma variedade riemanniana compacta, com ∂M1 = ∅, curvatura escalar cons-

tante e seja (M2, g(2)) uma variedade riemanniana compacta com bordo mínimo e curvatura escalar

constante. Considere a variedade produto, M = M1×M2, cujo bordo é dado por ∂M = M1×∂M2.Sejam m1 e m2 as dimensões de M1 e M2, respectivamente, e assuma que dim(M) = m =m1 + m2 ≥ 3. Para cada s ∈ (0,+∞), dena gs = g(1) ⊕ sg(2) uma família de métricas em M .Então, como vimos na Seção 1.5, (M, gs) tem curvatura escalar constante Rgs e curvatura médiaHgs nula para todo s > 0.

Em colaboração com o colega, Elkin Cárdenas Dario Diaz, professor da Universidad Del Caucaem Popayán, na Colômbia, estudamos bifurcação para a família de soluções gss do problema

2.3 BIFURCAÇÃO DE SOLUÇÕES EM VARIEDADES PRODUTO COM BORDO MÍNIMO 69

de Yamabe em variedades produto com bordo mínimo, descrita acima. Este trabalhou introduziualguns elementos novos no problema original, para variedades sem bordo [31], como a Ck,α-classeconforme normalizada,

[g]0 = g ∈ [g] : Hg = 0,

de uma dada métrica g ∈ Mk,α(M), que provamos ser uma subvariedade de [g], o resultado derigidez local de [30, Proposição 3 e Corolário 4] que foi adaptado ao nosso problema e a condiçãode Neumann no bordo para o problema de autovalor do laplaciano de g.

Nesta seção, apresentaremos a estrutura variacional do problema, dada essencialmente pelofuncional de Hilbert-Einstein restrito às classes conformes normalizadas (Subseção 2.3.1), os resul-tados sobre rigidez local e bifurcação que utilizamos (Subseção 2.3.2) e, nalmente, mostraremosque os principais resultados de Lima, Piccione e Zedda [31] se mantiveram válidos também no casode variedades produto com bordo mínimo (Subseção 2.3.3).

2.3.1 Variedades e Classes Conformes

Seja (M, g) uma variedade orientada compacta m-dimensional com bordo ∂M 6= ∅, m ≥ 3.Como vimos no Exemplo 1.3.6 e na Seção 1.4, a métrica g induz produtos internos e normas emtodos os espaços de tensores sobre M e a conexão Levi-Civita ∇ associada a g induz uma conexãoem todos os espaços vetoriais de campos tensoriais sobre M . Denotaremos por g e ∇ a métrica ea conexão induzidas, respectivamente. Assim, o espaço Γk(T ∗M ⊗ T ∗M) das seções Ck do bradovetorial T ∗M ⊗T ∗M dos (0, 2) tensores simétricos de classe Ck em M é um espaço de Banach coma norma

‖τ‖Ck = max0≤|j|≤k

[maxp∈M

∥∥∥∇jτ(p)∥∥∥g

],

onde j é um multi-índice (ver Seção 2.2), e portanto, é uma variedade de Banach.

Dado k ≥ 3 e α ∈ (0, 1], denote porMk,α(M) o conjunto de todas as métricas riemannianas declasse Ck,α emM (como denido na Seção 2.2), no sentido que os coecientes da métrica são funçõesCk,α sobre M . O conjunto Mk,α(M) é um cone aberto de Γk,α(T ∗M ⊗ T ∗M), logo é, por si só,uma variedade de Banach e TgMk,α(M) = Γk,α(T ∗M ⊗ T ∗M), para uma métrica g ∈Mk,α(M).

Considere o subconjunto aberto (vide Proposição 2.2.7) do espaço de Banach Ck,α(M),

Ck,α+ (M) =φ ∈ Ck,α(M) : φ > 0

.

Agora, para cada g ∈Mk,α(M), dena a Ck,α-classe conforme de g por

[g] := φg : φ ∈ Ck,α+ (M).

Proposição 2.3.1. A Ck,α-classe conforme de uma métrica riemanniana g ∈ Mk,α(M) é umasubvariedade mergulhada deMk,α(M).

Demonstração. Dada g ∈Mk,α(M). Considere a aplicação injetiva

Ig : Ck,α+ (M) −→ Mk,α(M)φ 7−→ φg

cuja imagem é a Ck,α-classe conforme de g, [g]. Observe que o diferencial

(dIg)φ : Ck,α(M) −→ Γk,α(T ∗M ⊗ T ∗M)

ψ 7−→ ψg


é injetor e tem inverso à esquerda dado pelo operador linear limitado

Jg : Γk,α(T ∗M ⊗ T ∗M) −→ Ck,α(M)

h 7−→ 1

mtrgh;

de fato,

‖Jgh‖ =

∥∥∥∥ 1

mtrgh

∥∥∥∥ =

∣∣∣∣ 1

m

∣∣∣∣ ∣∣〈g−1, h〉∣∣ ≤ m∥∥g−1

∥∥ ‖h‖ = M‖h‖ (2.3)

e

Jg (dIg)φ (ψ) =1

mtrg(ψg) =

1

mmψ = ψ; (2.4)

pela Proposição 2.0.10, a imagem do diferencial de Ig

Im dIg = Tg[g] =ψg : ψ ∈ Ck,α(M)

,

tem complemento fechado em Γk,α(T ∗M ⊗ T ∗M), portanto ImIg = [g] é uma subvariedade mer-gulhada deMk,α(M). K

Observação 2.3.2. Observe que a topologia induzida em [g], pela imersão Ig, denida acima,coincide com a topologia (do subespaço) induzida pela norma ‖τ‖Ck , do espaço dos (0, 2)-tensoressimétricos de classe Ck em M , uma vez que a norma usual no espaço das funções Ck denidas emM é equivalente à norma ‖τ‖Ck . Com efeito, para cada φg ∈ [g], temos

‖φg‖Ck = max0≤|j|≤k

[maxp∈M

∥∥∥∇j (φg)(p)∥∥∥g

]= max

0≤|j|≤k

[maxp∈M

∥∥∥(Djφ)pgp + φ(p)∇jgp

∥∥∥g

]= max

0≤|j|≤k

[maxp∈M

∣∣Djφ(p)∣∣ ∥∥gp∥∥g] ,

portanto,

minp∈M

∥∥gp∥∥g · max0≤|j|≤k

[maxp∈M

∣∣Djφ(p)∣∣] ≤ ‖φg‖Ck ≤ max

p∈M

∥∥gp∥∥g · max0≤|j|≤k

[maxp∈M

∣∣Djφ(p)∣∣]

c1‖φ‖Ck ≤ ‖φg‖Ck ≤ c2‖φ‖Ck .

Isto justica armarmos que a classe conforme [g], embora imagem de uma imersão, é subvariedademergulhada deMk,α(M). Usaremos este fato outras vezes.

Em particular, [g] é uma variedade de Banach com estrutura diferencial induzida por Ck,α(M),cujo espaço tangente

Tg[g] = ψg : ψ ∈ Ck,α(M),

que pode ser identicado com Ck,α(M).Para cada g ∈ Mk,α(M), denote por Ricg a curvatura de Ricci e Rg a curvatura escalar com

respeito a g. Seja ηg o campo unitário (que aponta para dentro) normal a ∂M ; denote por Hg acurvatura média do bordo induzida por g. Seja ωg a forma volume em M , com respeito a g, e σga forma volume induzida em ∂M .

A função volume denida emMk,α(M) é dada por

V(g) :=

∫M

ωg.

Observe (Apêndice A) que V é suave e para cada g ∈Mk,α(M) e h ∈ TgMk,α(M) seu diferencial


é dado por

(dV)g(h) =1

2

∫M

trg(h) ωg. (2.5)

DenimosMk,α(M)1 :=

g ∈Mk,α(M) : V(g) = 1

o subconjunto deMk,α(M) que consiste das métricas de volume 1.

Proposição 2.3.3. Mk,α(M)1 é uma subvariedade mergulhada deMk,α(M).

Demonstração. Considere a função volume V : Mk,α(M) −→ R. É claro que V(−1)(1) =Mk,α(M)1. Seja g ∈Mk,α(M)1, tomando h = g em (2.5), então o diferencial

(dV)g(g) =1

2

∫M

trg(g) ωg =m

2V(g) =

m

26= 0,

é sobrejetivo. Portanto,Mk,α(M)1 é a imagem inversa de um valor regular. Além disso, o núcleo(que coincide com o espaço tangente TgMk,α(M)1),

ker(dV)g =

h ∈ TgMk,α(M) :

∫M

trg(h) ωg = 0

tem complemento fechado em Γk,α(T ∗M ⊕ T ∗M). Com efeito, dado h, um (0, 2)-tensor simétricode classe Ck,α, dena

f = h−(

1

m

∫M

trg h ωg

)g;

então f ∈ ker(dV)g,

(dV)g(f) =1

2

∫M

trg

(h−

(1

m

∫M

trg h ωg

)︸︷︷︸

∈ R

g

)ωg

=1

2

∫M

trg h ωg −1

2

(1

m

∫M

trg h ωg

)∫M

trg g ωg

=1

2

∫M

trg h ωg −1

2

(1

m

∫M

trg h ωg

)m>

1∫M

ωg

= 0

e h = f +

(1

m

∫M

trg h ωg

)g, isto é, h é escrito como soma de um elemento do núcleo e um

elemento do subespaço formado pelos múltiplos escalares do tensor métrico αg, α ∈ R, que éfechado. O resultado segue. K

Agora, se g ∈ Mk,α(M)1, a métrica φg ∈ [g] não pertence, necessariamente, aMk,α(M)1. Defato, como mostramos na Seção 1.5,

V(φg) =

∫M

ωφg =

∫M

φm2 ωg.

Observe que, se g tem curvatura escalar constante e volume 1, Rsg = 1sRg, com s ≥ 2, tem

curvatura escalar constante, mas V(sg) 6= 1. Gostaríamos de eliminar esses casos para tratarquestões relacionadas à unicidade. Assim, para cada g ∈ Mk,α(M)1, denimos a classe conforme


de volume 1,

[g]1 =

φg : φ ∈ Ck,α+ (M),

∫M

φm2 ωg = 1

,

que é uma subvariedade mergulhada de [g] (a prova é análoga à prova da Proposição anterior).Além disso, [g]1 é uma subvariedade mergulhada de Mk,α(M)1, como provamos abaixo (em [30]há outra prova deste fato).

Proposição 2.3.4. A Ck,α-classe conforme de volume 1, [g]1, é uma subvariedade mergulhada deMk,α(M)1. Mais ainda,

Tg[g]1 =

ψg : ψ ∈ Ck,α(M),

∫M

ψ ωg = 0

. (2.6)

Demonstração. Como sabemos que Ck,α+ (M) é uma variedade de Banach, para cada g ∈Mk,α(M)1,podemos denir Vg : Ck,α+ (M) −→ R como a função suave

Vg(φ) := V(φg),

cujo diferencial, para cada ψ ∈ TφCk,α+ (M) = Ck,α(M) é dado por

(dVg)φ(ψ) = (dV)φg(ψ)

=d

dt

∣∣∣∣t=0

∫M

(φ+ tψ)m2 ωg

=m

2

∫M

(φ+ tψ)m2 −1ψ ωg

∣∣∣∣t=0

=m

2

∫M

φm2 −1ψ ωg.

Seja φ ∈ Ck,α+ (M) tal que Vg(φ) = 1. Se ψ = φ, segue que (dVg)φ(φ) = m2 6= 0, i.e., (dVg)φ é

sobrejetivo; além disso,

ker(dVg)φ =

ψ ∈ Ck,α(M) :

m

2

∫M

φm2 −1ψ ωg = 0

=

ψ ∈ Ck,α(M) :

m

2

∫M

(φ−1ψ)φm2 ωg = 0

=

ψ ∈ Ck,α(M) :

m

2

∫M

φ−1ψ ωφg = 0

,

isto é, ker(dVg)φ é o complemento ortogonal, com respeito ao produto interno induzido pela métricaφg no espaço L2(M), do subespaço fechado

ϕ ∈ Ck,α(M) : ϕ = λφ−1, λ ∈ R,

no ponto φ ∈ Ck,α(M). Portanto, V−1g (1) é uma subvariedade mergulhada de Ck,α+ (M).

Agora, para g ∈ Mk,α(M)1, dena as aplicações suaves S : V−1g (1) −→ Mk,α(M)1 e

T :Mk,α(M)1 −→ Ck,α(M) por

S(φ) = φg and T (g) =1

mtrg(g).

Observe que S é uma imersão injetiva e T é inversa à esquerda de S (análogo à (2.4)), logo Im (dS)φtem complemento fechado. Portanto, [g]1 = Im S é uma subvariedade mergulhada deMk,α(M)1.


Finalmente, se tomarmos φ = 1 (que é quando teremos S(1) = g), temos

T1V−1g (1) =

ψ ∈ Ck,α(M) :

∫M

ψ ωg = 0

.

Como S é uma imersão, Tg[g]1 = Im (dS)1, mas (dS)φ(ψ) = ψg, para todo φ ∈ V−1g (1), ψ ∈

TφV−1g (1); então obtemos a expressão (2.6) para o espaço tangente, que pode ser identicado com

Tg[g]1 =

ψ ∈ Ck,α(M) :

∫M

ψ ωg = 0

.

K

Note que [g]1 =Mk,α(M)1 ∩ [g]. Segundo [30],Mk,α(M)1 é transversal a [g], então [g]1 é umasubvariedade mergulhada deMk,α(M).

Agora, dena a Ck,α-classe conforme normalizada da métrica g ∈Mk,α(M) por

[g]0 = g ∈ [g] : Hg = 0.

Este conjunto é não vazio. Com efeito, um resultado obtido por Escobar em [18] assegura que existepelo menos uma métrica com curvatura média nula em cada classe conforme, portanto, dada umaclasse conforme [g] seja g ∈ [g] uma métrica de curvatura média nula. Ora, [g] ≡ [g], logo podemosassumir que Hg = 0.

Proposição 2.3.5. A Ck,α-classe conforme normalizada de g pode ser identicada com

Ck,α+ (M)0 =φ ∈ Ck,α+ (M) : ∂ηgφ = 0 em ∂M

,

que é um subconjunto fechado de Ck,α(M).

Demonstração. Seja g = φ4

m−2 g ∈ [g]0. Já vimos, na Seção 1.5.5, que

Hg = φ−mm−2

(Hgφ+

2(m− 1)

(m− 2)∂ηgφ

);

como Hg = 0 e φ > 0, segue que Hg = 0 se e só se ∂ηgφ = 0. Agora, se (φn)n é uma sequência

de funções em Ck,α+ (M)0 convergindo para uma função φ na norma Ck,α, então para todo n maiorque um certo n0, temos

‖φn − φ‖Ck,α < ε ⇒ ‖φn − φ‖Ck < ε

⇒ max0≤|a|≤k

[maxp∈M|Da(φn − φ)(p)|

]< ε

⇒ maxp∈M

∣∣∂ηgφn(p)− ∂ηgφ(p)∣∣ < ε

⇒ ‖∂ηgφn − ∂ηgφ‖C0 < ε,

como ∂ηgφn = 0 para todo n, segue que ∂ηgφ = 0, portanto φ ∈ Ck,α+ (M)0, o que conclui aprova. K

Queremos mostrar que a Ck,α-classe conforme normalizada, [g]0, é uma subvariedade da Ck,α-classe conforme, [g]. Para isto, precisaremos do fato provado na proposição abaixo, que é umaversão elementar (ver Apêndice B) de um resultado mais geral que pode ser encontrado em [37,Teorema 4, Cap. IV].


Proposição 2.3.6. Existe uma aplicação linear contínua

F : Ck,α(∂M) −→ Ck+1,α(M)

tal que, para ξ ∈ Ck,α(∂M) as seguintes propriedades são satisfeitas:

(i.) F(ξ) se anula em ∂M ;

(ii.) ∂ηF(ξ) = ξ.

Demonstração. Escolha um conjunto nito de cartas locais (Ur, ϕr), r = 1, . . . , n em M satisfa-zendo as seguintes propriedades:

(a.) Ur é um subconjunto aberto de M , com Ur ∩ ∂M 6= ∅ para todo r;

(b.) U :=n⋃r=1

Ur é uma vizinhança aberta de ∂M ;

(c.) ϕr é um difeomorsmo de Ur para Rm−1 × [0,+∞) que leva Ur ∩ ∂M sobre Rm−1 × 0;

(d.) (dϕr)p(ηp) =∂

∂xm, para todo p ∈ Ur ∩ ∂M .

Seja U0 = M\∂M , então Urnr=0 é uma cobertura aberta de M , e tome uma partição da unidade,suave, ρrnr=0 subordinada a esta cobertura. Dada ξ ∈ Ck,α(∂M), para todo r, considere a funçãoξr = ξ ϕ−1

r

∣∣Rm−1×0 : Rm−1 × 0 −→ R, que é de classe Ck,α. Identicando Rm−1 × 0 com

Rm−1, dena Fξr : Rm −→ R, por partes, como

Fξr (x) =

1

(xm)m−1

∫Q(x)

ξr(z)dz, se xm 6= 0

0, se xm = 0,

onde, x = (x1, . . . , xm−1, xm), z = (z1, . . . , zm−1) e Q(x) =

m−1∏i=1

[xi −1

2xm, xi +

1

2xm]. A aplicação

Fξr é de classe Ck+1,α em Rm. Agora,

ϕr : Ur −→ Rm−1 × [0,+∞) ⊂ Rm,

daí, podemos considerar a seguinte composição de funções: Fr = Fξr ϕr de classe Ck+1,α denidano aberto Ur, para todo r = 1, . . . , n. Usando partições da unidade, colamos todas essas funçõesdenidas localmente, para nalmente obtermos F(ξ) : M −→ R denida por

F(ξ) :=

∑nr=1 ρr · Fr, se p ∈ U

0, se p ∈M\U .

Vamos vericar que F(ξ) satisfaz as propriedades desejadas. Por construção, F(ξ) ∈ Ck+1,α(M),além disso

(i.) se p ∈ ∂M , temos

F(ξ)(p) =

n∑r=1

(ρr · Fr) (p) =

n∑r=1

ρr(p) · Fr(p)

=

n∑r=1

ρr(p) · (Fξr ϕr)(p) =

n∑r=1

ρr(p) · Fξr (ϕr(p))

=

n∑r=1

ρr(p) · Fξr (x1, . . . , xm−1, 0) = 0;


(ii.) para todo p ∈ ∂M , vale

∂ηF(ξ)(p) =

n∑r=1

∂η (ρr · Fr) (p)

=

n∑r=1

(∂ηρr) (p) ·*0

Fr(p) + ρr(p) · (∂ηFr) (p)

=

n∑r=1

ρr(p) · (∂ηFr) (p).

Se p ∈ ∂M\Ur, então ρr(p) = 0; se p ∈ ∂M ∩ Ur, então(∂ηFr) (p) = (dFr)p (ηp)

= (dFξr )ϕr(p) (dϕr)p (ηp)

= (dFξr )ϕr(p)

(∂

∂xm

)=

(∂

∂xmFξr

)(x1, . . . , xm−1, 0)

= ξr(x1, . . . , xm−1, 0)

= ξ(p)

Ainda, F depende linearmente de ξ e é contínua, pela Observação B.0.3 do Apêndice B. E istoconclui a prova. K

Proposição 2.3.7. A Ck,α-classe conforme normalizada, [g]0, é uma subvariedade mergulhada de[g].

Demonstração. Dada g ∈ Mk,α(M), seja ηg o campo unitário (voltado para dentro) normal aobordo ∂M . Dena

Ng : [g] −→ Ck−1,α(∂M)φg 7−→ ∂ηgφ.

Então,N−1g (0) = [g]0 e o diferencial (dNg)φg : Ck,α(M) −→ Ck−1,α(∂M) é dado por (dNg)φg(ψ) =

∂ηgψ, para todo φg ∈ [g] e ψ ∈ Ck,α(M). Agora, pela Proposição anterior, (dNg)φg admite uminverso limitado à direita para toda φg ∈ [g]. Segue que o diferencial é sobrejetivo e seu núcleo,

ker(dNg)φg =ψ ∈ Ck,α(M) : ∂ηgψ = 0

,

tem complemento fechado em Ck,α(M). Daí, [g]0 é uma subvariedade mergulhada de [g]. K

Podemos também combinar ambas características de interesse na mesma classe conforme de-nindo a Ck,α-classe conforme normalizada que consiste de métricas de volume 1

[g]01 =

φg : φ ∈ Ck,α+ (M), ∂ηgφ = 0,

∫M

φm2 ωg = 1

.

Esta é uma subvariedade mergulhada deMk,α(M)1 e uma subvariedade mergulhada de [g]. Nóspodemos expressar [g]01 como [g]0 ∩Mk,α(M)1, por exemplo. O espaço tangente correspondente éidenticado com

Tg[g]01 =

ψ ∈ Ck,α(M)0 :

∫M

ψ ωg = 0

.

O Funcional de Hilbert-Einstein

O Funcional de Hilbert-Einstein é o modelo variacional para o problema de Yamabe. Sob estetítulo apresentaremos fatos conhecidos sobre o funcional de Hilbert-Einstein que estão demonstra-


dos, em detalhes, no Apêndice A.O funcional de Hilbert-Einstein F :Mk,α(M) −→ R dado por

F (g) =

∫M

Rg ωg, (2.7)

é um funcional suave emMk,α(M) e em [g]. A primeira variação de F é dada por

δF (g)h = −∫M

⟨Ricg −

1

2Rgg, h

⟩g

ωg − 2

∫∂M

(δHg +

1

2〈IIg, h〉

)σg,

para todo h ∈ Γk,α(T ∗M ⊗ T ∗M).Para variedades riemannianas compactas (sem bordo) sabemos que os pontos críticos do fun-

cional F , restrito aMk(M)1, são as métricas de Einstein de volume 1 em M e, se F está restritoa Ck,α-classe conforme de volume 1, [g]1, então os pontos críticos são aquelas métricas conformesa g, que têm volume unitário e curvatura escalar constante.

Estamos interessados nos pontos críticos da restrição à Ck,α-classe conforme normalizada devolume 1, denotada por [g]01, uma vez que estamos lidando com variedades com bordo. Os pontoscríticos de F em [g]01 são métricas conformes a g, com volume unitário, curvatura escalar constantee curvatura média do bordo nula.

Se g ∈ Mk,α(M)1 é um ponto crítico de F em [g]01, então (veja [26]) a segunda variação de Fé dada pela forma quadrática.

δ2F (g)(ψ) =(m− 2)

2

∫M

((m− 1)∆gψ −Rgψ)ψ ωg,

onde ψ ∈ Ck,α(M)0 e tem integral nula, e g é não degenerada, se Rg = 0 ou Rgm−1 não é um

autovalor de ∆g com condições de Neumann no bordo.De fato, note que (m − 1)∆g − Rg, como operador de Ck,α(M) em Ck−2,α, é de Fredholm de

índice zero, e é precisamente por esta razão que consideramos estes espaços de Hölder. Note queeste operador leva o subespaço

ψ ∈ Ck,α(M) : ∂ηgψ = 0,

∫M

ψ = 0

no subespaço de Ck−2,α consistindo de funções com integral nula. Segue que

(m− 1)∆g −Rg : Tg[g]1 −→ Ck−2,α(M)

é de Fredholm de índice zero. Então, a forma quadrática δ2F (g)(ψ,ψ) é não degenerada se e sóse ker ((m− 1)∆g −Rg) = 0, isto é, se e só se Rg

m−1 = 0 ou Rgm−1 não é solução do problema de

Neumann ∆gψ = ρψ∂ηgψ = 0

.

2.3.2 Rigidez Local e Bifurcação de Soluções do Problema de Yamabe

Rigidez Local

Nesta seção, apresentaremos um resultado obtido em [30], escrito de forma um pouco dife-rente para melhor se adaptar ao atual contexto. Para maiores detalhes, veja [30, Proposição 3 eCorolário 4]. As provas são essencialmente as mesmas. Começaremos com a seguinte denição.

Denição 2.3.8. Seja g ∈Mk,α(M)1 com curvatura escalar constante Rg em M . Dizemos que gé uma métrica não degenerada se Rg = 0 ou se Rg

(m−1) não é um autovalor de ∆g, com condição


de Neumann no bordo ∂ηgf = 0. Em outras palavras, Rg(m−1) não é uma solução do problema de

autovalor ∆gf = λf, em M∂ηgf = 0, em ∂M.

(2.8)

Proposição 2.3.9. Seja g∗ ∈Mk,α(M)1 uma métrica não degenerada de curvatura escalar cons-tante. Então, existe uma vizinhança aberta U de g∗ emMk,α(M)1 tal que o conjunto

S = g ∈ U : Rg é constante ,

é uma subvariedade diferenciável mergulhada de Mk,α(M)1 que é fortemente transversal às Ck,α-classes conformes normalizadas, [g]0.

Demonstração. A prova é uma aplicação direta de [30, Proposição 1].K

Corolário 2.3.10. Seja g∗ ∈ Mk,α(M)1 uma métrica não degenerada em M com curvaturaescalar constante e curvatura média do bordo nula. Então, existe uma vizinhança aberta U de g∗em Mk,α(M)1 tal que toda Ck,α-classe conforme normalizada de métricas em Mk,α(M)1 tem nomáximo uma métrica de curvatura escalar constante e volume 1 em U .

Demonstração. O fato de a variedade S ser fortemente transversal às classes conformes normali-zadas garante a unicidade local de interseções entre elas. K

Bifurcação de Soluções

Seja M uma variedade riemanniana compacta m-dimensional com bordo, m ≥ 3. Dena

[a, b] −→ Mk,α(M)1, k ≥ 3s 7−→ gs

um caminho contínuo de métricas riemannianas em M tendo curvatura escalar constante Rgs ecurvatura média do bordo Hgs nula, para todo s ∈ [a, b].

Denição 2.3.11. Um instante s∗ ∈ [a, b] é chamado um instante de bifurcação para a família demétricas gss∈[a,b] se existe uma sequência (sn)n≥1 ⊂ [a, b] e uma sequência (gn)n≥1 ⊂Mk,α(M)1

de métricas riemannianas em M satisfazendo:

(a) limn→∞

sn = s∗ e limn→∞

gn = gs∗ ∈Mk,α(M)1;

(b) gn ∈ [gsn ], mas gn 6= gsn , para todo n ≥ 1;

(c) gn tem curvatura escalar constante e curvatura média do bordo nula, para todo n ≥ 1.

Se s∗ ∈ [a, b] não é um instante de bifurcação, a família gss∈[a,b] é dita localmente rígida em s∗.

Um instante s ∈ [a, b] para o qual Rgs(m−1) é uma solução não nula do problema (2.8) é chamado

um instante de degeneração para a família gss∈[a,b]. Instantes de degeneração serão candidatosa instantes de bifurcação.

Teorema 2.3.12. Seja M uma variedade riemanniana compacta m-dimensional com bordo ∂M 6=∅, m ≥ 3, e seja

[a, b] −→ Mk,α(M)1, k ≥ 3s 7−→ gs

um caminho C1 de métricas riemannianas em M com curvatura escalar constante Rgs e curvaturamédia do bordo Hgs = 0. Denote por ns o número de autovalores do operador de Laplace-Beltrami


∆gs , com condições de Neumann no bordo (contados com multiplicidades), que são menores queRgs

(m−1) . Assuma que, se s = a ou s = b, Rgs(m−1) = 0 ou não é um autovalor de ∆gs , com condições

de Neumann no bordo, e na 6= nb. Então, existe um instante de bifurcação s∗ ∈ (a, b) para afamília gss∈[a,b].

Demonstração. O resultado segue do Teorema de Bifurcação 1.3.2 (não equivariante) para brados[31, Teorema A.2, Apêndice A]. K

Observação 2.3.13. Dada uma variedade riemanniana (M, g) com bordo mínimo ∂M 6= ∅, éimportante enfatizar que para todo s > 0, a variedade (M, sg) também tem bordo mínimo, umavez que Hsg = 1√

sHg. Além disso, ∆sg = 1

s∆g, Rsg = 1sRg e ηsg = 1√

sηg, como demonstramos

na Seção 1.5. Isso signica que os sinais dos autovalores no espectro do operador ∆g − Rgm−1 , com

condições de Neumann no bordo, são invariantes por homotetias da métrica; de fato, λ é autovalorde ∆g se e só se λ

s é autovalor de ∆sg. Por outro lado, ωsg = sm2 ωg, o que altera o volume. Como

Rg constante implica em Rsg constante para todo s > 0, tomaremos métricas de volume 1 sempreque necessário sem alterar a teoria espectral do operador ∆g − Rg

m−1 .

2.3.3 Bifurcação de Soluções para o Problema de Yamabe em Variedades

Produto com Bordo Mínimo

Seja (M1, g(1)) uma variedade riemanniana compacta com ∂M1 = ∅ e curvatura escalar cons-

tante, e seja (M2, g(2)) uma variedade riemanniana compacta com bordo mínimo e curvatura

escalar constante. Considere a variedade produto, M = M1 × M2, cujo bordo é dado por∂M = M1 × ∂M2. Sejam m1 e m2 as dimensões de M1 e M2, respectivamente, e assuma quedim(M) = m = m1 + m2 ≥ 3. Para cada s ∈ (0,+∞), dena gs = g(1) ⊕ sg(2) uma família demétricas em M . Então gss ⊂ Mk,α(M) e valem as armações abaixo, que estão demonstradasna Seção 1.5:

(a) (M, gs) tem curvatura escalar constante para todo s > 0, e sua curvatura escalar é dada por

Rgs = Rg(1) +Rsg(2) = Rg(1) +1

sRg(2) .

(b) Já que podemos identicar o espaço tangente da variedade produto T(p,q)M com a somadireta TpM1 ⊕ TqM2, para p ∈ M1 e q ∈ M2, o campo vetorial interior ηs, normal a ∂M ,pode ser escrito como

ηs = 0 +1√sη2,

onde η2 é o campo vetorial interior normal a ∂M2.

(c) A curvatura média de ∂M é zero, uma vez que

Hgs = Hsg(2) =1√sHg(2) .

(d) O operador Laplace-Beltrami, com respeito à gs, é dado por

∆gs =(∆g(1) ⊗ I

)+

1

s

(I ⊗∆g(2)

).

(e) Considerar a família gss>0 para o propósito de estudar instantes de bifurcação não causaperda de generalidade. De fato, s∗ é um instante de bifurcação para a família

g(1) ⊕ sg(2)

s>0

se e só se s∗ é um instante de bifurcação para a família

1sg

(1) ⊕ g(2)s>0

em M . O mesmoé válido para instantes de degeneração.


Agora, podemos normalizar gs para que tenha volume 1, sem perder as informações nas quaisestamos interessados, conforme observamos no nal da seção anterior; assim, gss>0 é uma famíliade pontos críticos do funcional

F :Mk,α(M) −→ R,

restrito a [g]01, isto é, gss>0 é uma família de métricas com bordo mínimo que são soluções parao problema de Yamabe na variedade produto M .

Segundo os resultados apresentados na seção anterior, se gs é uma métrica não degenerada, decurvatura escalar constante, curvatura média do bordo nula e volume 1, então (localmente) ela éa única, em sua própria classe conforme, com essas características. Logo, uma condição necessáriapara que s seja um instante de bifurcação para a família gss>0 é que gs seja degenerada, nosentido discutido na Seção 2.3.1. Note que, gs é degenerada se e somente se Rgs

m−1 é autovalornão nulo de ∆gs , com condição de Neumann no bordo; o que é equivalente a dizer que zero é umautovalor do operador Js, dado por


,

cujo domínio é

ψ ∈ Ck,α(M)0 :

∫M

ψ ωgs = 0

, satisfazendo condições de Neumann no bordo.

Portanto, estamos interessados em estudar o espectro do operador Js, que denotaremos por Σ (Js).

Sejam 0 = ρ(1)0 < ρ

(1)1 < ρ

(1)2 < . . . a sequência de todos os autovalores distintos de ∆g(1) ,

com multiplicidade geométrica µ(1)i , i ≥ 0, e 0 = ρ

(2)0 < ρ

(2)1 < ρ

(2)2 < . . . a sequência de todos os

autovalores distintos de ∆g(2) , que resolvem o problema de autovalor com condição de Neumann,

∆g(2)f

(2) = ρ(2)j f (2), on M ,

∂η2f(2) = 0, on ∂M,

(2.9)

onde µ(2)j é a multiplicidade geométrica de ρ(2)

j , j ≥ 0. Então, o espectro de Js é dado por

Σ(Js) = σi,j : i, j ≥ 0, i+ j > 0 ,

onde

σi,j(s) = ρ(1)i +

1

sρ

(2)j −

1

m− 1

(Rg(1) +

1

sRg(2)

),

são os autovalores de Js, com condição de Neumann no bordo ∂M , com multiplicidade geométricaigual ao produto µ(1)

i µ(2)j . Segue do conteúdo apresentado na Seção 1.5.7 que todos os autovalores

de Js são da forma σi,j(s). Além disso, vale a pena vericar que σi,j(s) é solução do problema deNeumann,

Jsf = σi,j(s)f, on M ,∂ηsf = 0, on ∂M.

(2.10)

Sejam f(1)i uma autofunção de ∆g(1) associada ao autovalor ρ(1)

i e f (2)j uma autofunção associada

a ρ(2)j , solução do problema (2.9), então f = f

(1)i ⊗ f

(2)j é autofunção de Js, associada ao autovalor


σi,j(s) e satisfaz (2.10). De fato,

Jsf =

(∆gs −

Rgsm− 1

)f

= ∆g(1) ⊗ I +1

s

(I ⊗∆

(2)g

)(f

(1)i ⊗ f (2)

j

)−(

Rgsm− 1

)(f

(1)i ⊗ f (2)

j

)= ∆g(1)f

(1)i ⊗ f (2)

j +1

s

(f

(1)i ⊗∆

(2)g f

(2)j

)−(

Rgsm− 1

)(f

(1)i ⊗ f (2)

j

)= ρ

(1)i f

(1)i ⊗ f (2)

j +1

sf

(1)i ⊗

(ρ

(2)j f

(2)j

)−(

Rgsm− 1

)(f

(1)i ⊗ f (2)

j

)= ρ

(1)i

(f

(1)i ⊗ f (2)

j

)+

1

sρ

(2)j

(f

(1)i ⊗ f (2)

j

)− 1

m− 1

(Rg(1) +

1

sRg(2)

)(f

(1)i ⊗ f (2)

j

)=

(ρ

(1)i +

1

sρ

(2)j

)(f

(1)i ⊗ f (2)

j )− 1

m− 1

(Rg(1) +

1

sRg(2)

)(f

(1)i ⊗ f (2)

j )

=

[ρ

(1)i +

1

sρ

(2)j −

1

m− 1

(Rg(1) +

1

sRg(2)

)](f

(1)i ⊗ f (2)

j

)= σi,j(s)f

e, temos

∂ηsf = ηs

(f

(1)i ⊗ f (2)

j

)=

(0 +

1√sηg(2)

)(f

(1)i ⊗ f (2)

j

)=

1√sηg(2)f

(2)j =

1√s∂ηsf

(2)j = 0

Embora os autovalores ρ(1)i , de ∆g(1) e ρ(2)

j , de ∆g(2) sejam todos distintos, os autovalores σi,j(s)de Js não são necessariamente distintos.

Acabamos de comentar que, se σi,j(s) = 0, a métrica gs é degenerada e s pode ser um instantede bifurcação, mas devemos excluir o caso em que σi,j(s) é identicamente nula, caso em que a de-generescência de gs não depende de s, mas ocorre pelo fato de g(1) e g(2) serem ambas degeneradas.Assim, é importante considerarmos a seguinte denição.

Denição 2.3.14. Sejam i∗ e j∗ os menores inteiros não negativos que satisfazem

ρ(1)i∗≥

Rg(1)

m− 1, ρ

(2)j∗≥

Rg(2)

m− 1.

Dizemos que o par (g(1), g(2)) é degenerado se valem as igualdades em ambos os casos, isto é,σi∗,j∗(s) = 0, para todo s. Nesta situação, o operador Js é também chamado degenerado.

Podemos armar que, se Rg(1) < 0 ou se Rg(2) < 0 e Hg(2) = 0, então (g(1), g(2)) é, certamente,

não degenerado, dado que os autovalores ρ(1)i , ρ

(2)j são todos positivos. Observe também que, se

o par (g(1), g(2)) é degenerado, zero é um autovalor de Js, para todo s ∈ (0,+∞), caso contrário,existe apenas um conjunto discreto, enumerável, S ⊂ (0,+∞), de instantes s para os quais ooperador Js é singular. Primeiro, consideramos o caso em que ambas as curvaturas são positivas.

O Caso da Curvatura Escalar Positiva

Estamos interessados em estudar os zeros da função s 7→ σi,j(s), a medida que i, j variam. Deimediato, podemos tirar algumas conclusões; por exemplo, se a função σi,j não é identicamente


nula, para i, j xos, ela tem no máximo um zero em (0,+∞). Vamos escrever σ como

σi,j(s) = ρ(1)i −

Rg(1)

m− 1+

1

s

(ρ

(2)j −

Rg(2)

m− 1

).

Derivando, temos

σ′i,j(s) = − 1

s2

(ρ

(2)j −

Rg(2)

m− 1

),

então, σ′i,j(s) = 0 se e somente se ρ(2)j =

Rg(2)

m− 1(caso em que ρ(2)

j é uma solução de (2.9)). Se

σ′i,j(s) = 0 para algum s, então σ′i,j(s) = 0 para todo s ∈ (0,+∞). Portanto, σ é estritamentemonótona ou constante, assim, se σi,j não é identicamente nula (constante), certamente tem nomáximo um zero (estritamente monótona).

Lema 2.3.15. Assuma que o par (g(1), g(2)) seja não degenerado e que Rg(1) , Rg(2) > 0, comHg(2) = 0. Então, as funções σi,j(s) satisfazem as seguintes propriedades:

(a.) Para todo i, j ≥ 0, a aplicação s 7→ σi,j(s) é estritamente monótona em (0,+∞), exceto

aquelas σi,j∗ que são constantes iguais a ρ(1)i −

Rg(1)

m− 1, quando ρ(2)

j∗=

Rg(2)

m− 1.

(b.) Para i 6= i∗ e j 6= j∗, a aplicação σi,j(s) admite um zero se e só se:

• j < j∗ e i > i∗, caso em que σi,j é estritamente crescente,

• j > j∗ e i < i∗, caso em que σi,j é estritamente decrescente.

(c.) Se ρ(1)i∗

=Rg(1)

m− 1, então σi∗,j não tem zeros, qualquer que seja j ∈ (0,+∞). Se ρ(1)

i∗>

Rg(1)

m− 1,

então σi∗,j tem um zero se e somente se j < j∗.

(d.) Se ρ(2)j∗

=R

(2)g

m− 1, então σi,j∗ não tem zeros, qualquer que seja i ∈ (0,+∞). Se ρ(2)

j∗>

Rg(2)

m− 1,

então σi,j∗ tem um zero se e só se i < i∗.

Demonstração. O resultado segue diretamente da análise da expressão

σi,j(s) =

(ρ

(1)i −

Rg(1)

m− 1

)+

1

s

(ρ

(2)j −

Rg(2)

m− 1

).

K

Corolário 2.3.16. Se o par (g(1), g(2)) é não degenerado, então o conjunto S ⊂ (0,+∞), deinstantes s para os quais Js é singular, é enumerável e discreto. Mais precisamente, consistede uma sequência estritamente decrescente (s

(1)n )n tendendo a 0 e de uma sequência estritamente

crescente, ilimitada (s(2)n )n. Para todos os demais valores de s, Js é um isomorsmo, em particular,

a família gss>0 é localmente rígida nesses instantes.

Demonstração. Pelo Lema 2.3.15, cada função σi,j tem no máximo um zero, portanto existe apenasuma quantidade enumerável de instantes de degeneração para Js. Seja sij o zero de σij , então

0 < sij = −ρ

(2)j −

Rg(2)

m− 1

ρ(1)i −

Rg(1)

m− 1

.

Agora, vamos estudar o comportamento desses zeros em dois casos:


• se j > j∗ e i < i∗, quando j → +∞, temos

sij =ρ

(2)j −

Rg(2)

m− 1Rg(1)

m− 1− ρ(1)

i

≥(ρ

(2)j −

Rg(2)

m− 1

)1

Rg(1)

m− 1− ρ(1)

i∗−1

→ +∞.

• se i > i∗ e j < j∗, quando i→ +∞, temos

sij =

Rg(2)

m− 1− ρ(2)

j

ρ(1)i −

Rg(1)

m− 1

≤ 1

ρ(1)i −

Rg(1)

m− 1

(Rg(2)

m− 1− ρ(2)

1

)→ 0.

Portanto, o conjunto S, de todos os zeros das funções σi,j , tem pontos de acumulação apenas em0 e +∞. Seja s∗ ∈ (0,+∞)\S. Então, Js∗ é um isomorsmo, isto é, 0 /∈ Σ(Js∗) ou, equivalente-

mente,Rgs∗m− 1

não é um autovalor de ∆gs∗(e Rgs∗ é obviamente diferente de zero, uma vez que

estamos considerando apenas curvatura escalar positiva). Então, gs∗ ∈ gss>0 é uma métrica nãodegenerada. Segue da Proposição 2.3.9 que a família gss>0 é localmente rígida em s∗. K

Teorema 2.3.17. Seja (M1, g(1)) uma variedade riemanniana compacta com curvatura escalar

constante e seja (M2, g(2)) uma variedade riemanniana compacta com bordo, curvatura escalar

constante e bordo mínimo ∂M2. Assuma que o par (g(1), g(2)) é não degenerado. Para todo s ∈(0,+∞), seja gs = g(1)⊕sg(2) uma métrica na variedade produto com bordo,M = M1×M2. Então,existe uma sequência tendendo a 0 e uma sequência tendendo a +∞ consistindo de instantes debifurcação para a família gss>0.

Demonstração. Vamos mostrar agora que os instantes de bifurcação consistem de duas subsequên-cias das sequências (s

(1)n )n e (s

(2)n )n, de instantes onde Js é singular, cuja existência provamos no

Corolário 2.3.16. Respeitando a notação já utilizada, seja n0 > 0 tal que s(1)n < s

(2)1 e s(1)

1 < s(2)n ,

para todo n > n0. Então, existe um ε > 0, para todo n > n0, tal que o operador Js é umisomorsmo nos intervalos [s

(1)n − ε, s(1)

n + ε] e [s(2)n − ε, s(2)

n + ε], exceto pelos instantes s(1)n e s(2)

n ,propriamente ditos.

Uma vez que os zeros das funções crescentes se acumulam em 0 e os zeros das funções de-crescentes se acumulam em +∞, se σp,q é uma função não-crescente, para todo s ∈ (0, s

(1)n + ε],

n > n0, temos σp,q(s) 6= 0. Então, σp,q(s(1)n − ε) < 0 se e somente se σp,q(s

(1)n + ε) < 0. Por outro

lado, se σi,j é uma função crescente, para todo n > n0, temos σi,j(s(1)n ) = 0, σi,j(s

(1)n − ε) < 0,

σi,j(s(1)n + ε) > 0 e, o fato de s(1)

n < s(2)1 assegura que não existe função decrescente que tenha

zero em s(1)n . Portanto, podemos concluir com certeza que n

s(1)n −ε

6= ns(1)n +ε

. Pelo Teorema 2.3.12,

segue que a subsequência (s(1)n )n>n0

é a sequência de instantes de bifurcação, tendendo a 0 queestávamos procurando.

Agora, analisando o comportamento das funções não-decrescentes e das funções decrescentesnos instantes s(2)

n , para n > n0, de maneira análoga, obtemos n(2)sn − ε 6= n

(2)sn + ε e podemos aplicar

o Teorema 3.3 para concluir que a subsequência (s(2)n )n>n0 é a sequência de instantes de bifurcação,

tendendo a +∞ que procurávamos. K

Quando temos um par degenerado, não podemos aplicar o Teorema 2.3.12, pois, neste caso,para todo s ∈ (0,+∞), o zero é um autovalor de Js, e portanto as hipóteses do teorema nuncasão satisfeitas. É interessante notar que os instantes de degeneração que sobram entre s(1)

1 e s(2)1

cam indecidíveis e não podem ser tratados pelo o Teorema 2.3.17, chamaremos estes de instantes


neutros e utilizaremos uma abordagem diferente, no Capítulo 3, para estudar se, em algum deles,ocorre bifurcação.

O Caso de Curvatura Escalar Não-Positiva

Agora, considere a família gss>0 na variedade produtoM = M1×M2 no caso em que uma ouambas as curvaturas Rg(1) or Rg(2) , são não-positivas, mantendo as condições de Neumann no bordo∂M2. Observe que, se Rg(1) e Rg(2) são ambas não-positivas, o par (g(1), g(2)) é não-degenerado.

Se Rg(1) ≤ 0 e Rg(2) > 0, então o par (g(1), g(2)) é degenerado se e só se Rg(1) = 0 e ρ(2)j∗

=Rg(2)

m−1 ,

quando ρ(1)i ≥ 0, ∀i ∈ 0, 1, 2, . . ..

Teorema 2.3.18. As seguintes armações são verdadeiras:

(a) Se Rg(1) ≤ 0 e Rg(2) ≤ 0, então a família gss>0 não tem instantes de degeneração, e,portanto, é localmente rígida em todo s ∈ (0,+∞).

(b) Se Rg(1) ≤ 0, Rg(2) > 0, e o par (g(1), g(2)) é não-degenerado, então o conjunto de instantesde degeneração para Js consiste de uma sequência estritamente decrescente (sn)n∈N queconverge para 0 quando n −→ ∞. Ademais, todo instante de degeneração é um instante debifurcação para a família gss>0

(c) Simetricamente, se Rg(1) > 0, Rg(2) ≤ 0, e o par (g(1), g(2)) é não-degenerado, então oconjunto dos instantes de degeneração para Js consiste de uma sequência não-limitada, es-tritamente crescente (sn)n∈N e todo instante de degeneração é um instante de bifurcação paraa família gss>0.

Demonstração. O resultado segue da análise das funções:

σi,j(s) = ρ(1)i +

1

sρ

(2)j −

1

m− 1

(Rg(1) +

1

sRg(2)

).

No caso (a), é fácil ver que σi,j(s) > 0, para todo i, j = 0, 1, 2, . . . ,, com i + j > 0, então Jsnão tem autovalores nulos e o resultado segue.

No caso (b), as funções σi,j admitem um zero apenas se i ≥ 0 e j < j∗. Se si,j denota o zerode uma tal função, temos

0 < si,j =

∣∣∣∣∣∣∣∣ρ

(2)j −

Rg(2)

m− 1

ρ(1)i −

Rg(1)

m− 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤Rg(2)

ρ(1)i −

Rg(1)

m− 1

−→ 0, as i −→ +∞

Portanto, existe uma sequência decrescente (sn)n∈N de instantes de degeneração que acumulam no0. Uma vez que (sn)n∈N acumula apenas no zero, para cada n ∈ N, existe ε > 0 tal que o intervalo[sn − ε, sn + ε] tem apenas sn como instante de degeneração. Argumentando como na prova doTeorema 2.3.17, temos nsn−ε 6= nsn+ε. A conclusão segue do Teorema 2.3.12.

Procedendo de maneira similar no caso (c), as funções σi,j admitem um zero apenas se i < i∗

e j ≥ 0, e temos uma sequência crescente, não-limitada, de instantes de degeneração, cada um dosquais é um instante de bifurcação para a família gss>0. K


Capítulo 3

Bifurcação Equivariante de Soluções

para Problema de Yamabe

No capítulo anterior, vimos resultados de bifurcação para uma família de soluções do problemade Yamabe em variedades produto compactas. Lima, Piccione e Zedda, em [31], estudaram o casosem considerar condições de bordo e nós estudamos, em [14], bifurcação de uma família de soluçõespara o problema de Yamabe em variedades produto compactas com bordo mínimo. Em ambos oscasos percebemos que, para uma quantidade nita de instantes de degeneração s(1)

1 < s < s(2)1 , aos

quais chamamos instantes neutros, o Teorema 2.3.12 não foi suciente para decidirmos se ocorriabifurcação.

Em [31], Lima, Piccione e Zedda, consideraram a ação (por isometrias) de um grupo de Lieconexo em um dos fatores da variedade produto M . Assumindo o que chamaram de ação har-monicamente livre e usando uma noção de representações essencialmente equivalentes, aplicaramo Teorema de Bifurcação Equivariante 1.3.3 para garantir que a bifurcação ocorre nos instantesneutros.

Neste capítulo, consideraremos a ação de um grupo de Lie conexo na variedade produto combordo mínimo. Apresentaremos uma denição diferente de ação harmonicamente livre (Denição3.2.1), que usaremos como hipótese para demonstrar um novo resultado de bifurcação (equiva-riante) de soluções para o problema de Yamabe em variedades produto com bordo mínimo, oprincipal resultado (Proposição 3.2.6) deste capítulo. A ação harmonicamente livre denida nestecapítulo será suciente para garantir que as representações do grupo G nos autoespaços negativosdo operador Js em extremos de intervalos que contenham instantes neutros são não-equivalentes,de modo que poderemos utilizar o mesmo Teorema de Bifurcação Equivariante 1.3.3, usado em[31], para garantir a ocorrência de bifurcação também nos instantes neutros.

3.1 Bifurcação Equivariante em Variedades com Bordo Mí-

nimo

Assuma conhecidos todos os fatos provados na Seção 2.3.1 e considere M uma variedade com-pacta com bordo ∂M 6= 0, de dimensão m ≥ 3. Seja

[a, b] −→ Mk,α(M)1, k ≥ 3s 7−→ gs

um caminho contínuo de métricas riemannianas em M (de volume 1) tendo curvatura escalarconstante Rgs e curvatura média do bordo Hgs nula, para todo s ∈ [a, b].

Seja G um grupo de Lie conexo, de dimensão nita, agindo em M por difeomorsmos que

85

86 BIFURCAÇÃO EQUIVARIANTE DE SOLUÇÕES PARA PROBLEMA DE YAMABE 3.1

preservam orientação e a métrica gs, para todo s ∈ [a, b], isto é,

ξ : G×M −→ M(g, x) 7−→ g · x,

é uma ação de grupo

ξ(e, x) = e · x = x

ξ(g1, ξ(g2, x)) = ξ(g1g2, x)

onde e é o elemento neutro em G e G é um grupo de Lie tal que

G ⊂⋂

s∈[a,b]

Iso(M, gs).

Portanto,

ξg : M −→ Mx 7−→ ξg(x) = g · x é uma isometria em M , para todo g ∈ G, e

ξx : G −→ Mg 7−→ ξx(g) = g · x é diferenciável, para todo x ∈M .

Notação: Embora estejamos usando notações diferentes para g, elemento do grupo G e g,métrica riemanniana na variedade com bordo, daqui por diante, escreveremos ξ(x) = ξ · x paraindicar a ação de G, ξ(g, x) = ξg(x) = g · x.

Seja∆gs : Tgs [gs]

01 −→ Ck−2,α(M),

o operador laplaciano da variedade (M, gs) restrito a

Tgs [gs]01 =

ψ ∈ Ck,α(M) : ∂ηsψ = 0 e

∫M

ψωgs = 0

.

Observe que, se f ∈ Tgs [gs]01, então, para toda isometria ξ ∈ G, temos∫

M

(f ξ) ωgs =

∫M

(f ξ) ξ∗(ωgs) =

∫M

ξ∗(f ωgs) =

∫M

f ωgs = 0, (3.1)

além disso, como já mostramos na Proposição 3.1.1, ∂ηs(f ξ) = 0, logo f ξ ∈ Tgs [gs]01.

Lembre que ∆gs:= −divgs∇ tem innitos autovalores não-negativos e as dimensões dos auto-

espaços associados são todas nitas. Agora, para cada autovalor ρ de ∆gs , solução do problemade Neumann

∆gsf = ρf, on M∂ηsf = 0, on ∂M,

(3.2)

onde ηs é o campo unitário (interior) normal ao bordo de M , denote por Vs,ρ ⊂ Tgs [gs]01 o autoes-

paço correspondente.

Proposição 3.1.1. Para cada ρ, solução de 3.2, a aplicação linear

πs,ρ : G −→ GL(Vs,ρ),

3.1 BIFURCAÇÃO EQUIVARIANTE EM VARIEDADES COM BORDO MÍNIMO 87

denida porπs,ρ(ξ) : Vs,ρ −→ Vs,ρ

f 7→ f ξ

é uma antirrepresentação de G em Vs,ρ.

Demonstração. O resultado segue de (3.1) e dos resultados da Seção 3.1, onde provamos que osautoespaços do laplaciano são invariantes por isometrias (Proposição 3.1.1) e que a ação isométricade G emM determina antirrepresentações de G em todos os autoespaços do laplaciano (Proposição3.1.2). K

Vimos que uma métrica gs, ponto crítico do funcional de Hilbert-Einstein restrito à classeconforme normalizada de volume 1, [g]0, é não-degenerada se e só se Rgs = 0 ou Rgs

m−1 não éautovalor do operador ∆gs , com condições de Neumann no bordo. O resultado de rigidez 2.3.9,garante unicidade local de solução para o problema de Yamabe se gs é não-degenerada. De modoque, os instantes de bifurcação, conforme Denição 2.3.11, devem ocorrer dentre os instantes dedegeneração. Assim, se queremos estabelecer condições para que haja bifurcação, é de nossointeresse estudarmos o espectro do laplaciano, ou equivalentemente, o espectro do operador


I,

onde I denota o operador identidade. Como os autovalores do laplaciano são todos positivos e0 = ρ0 < ρ1 < . . . < ρt < . . ., existe uma quantidade nita de autovalores ρ ≤ Rgs

m−1 , ou seja, existeuma quantidade nita de autovalores negativos para o operador Js.

Assim, para cada s ∈ [a, b], podemos denir a antirrepresentação de G no autoespaço negativode Js, considerando a representação soma direta,

π−s : G −→ GL(V −s )ξ 7−→ π−s (ξ)

,

ondeπ−s =

⊕ρ≤

Rgsm−1

πs,ρ e V −s =⊕

ρ≤Rgsm−1

Vs,ρ,

e a transformação linearπ−s (ξ) : V −s −→ V −s

f 7−→ π−s (ξ)f,

é dada porπ−s (ξ)f = πs,ρ0(ξ)f0 ⊕ . . .⊕ πs,ρr (ξ)fr,

com f = f0 ⊕ . . .⊕ fr ∈ V −s , onde fi ∈ Vs,ρi , para todo i = 0, ..., r.Então, o seguinte resultado estabelece condições de bifurcação de soluções para o problema

de Yamabe em variedades com bordo. Este teorema de bifurcação equivariante para variedadescom bordo mínimo é uma extensão natural do [31, Teorema 3.4]. Transcrevemos a demonstração,detalhando sua validade para o caso com bordo.

Teorema 3.1.2. Na situação acima descrita, suponha que a família gss∈[a,b] é localmente rígidanos extremos do intervalo [a, b] e que as representações π−a e π−b são não-equivalentes. Então,existe um instante de bifurcação s∗ para a família gss∈[a,b] no intervalo (a, b).

Demonstração. Sejam B0 = Ck−2,α(M), B2 = Ck,α+ (M) espaços de Banach e H = L2(M) o espaçodas funções L2 integráveis com respeito à medida induzida pela forma volume em M associadaà qualquer das métricas gs. Considere a ação de G sobre esses espaços via pull-back e dena os


brados vetoriais

D0 =

(φ, s) ∈ Ck,α+ (M)× [a, b] :

∫M

φm2 ωgs = 1, ∂ηsφ = 0

,

e

E0 =

(ψ, s) ∈ Ck−2,α(M)× [a, b] :

∫M

ψ ωgs = 0, ∂ηsψ = 0

,

sobre o intervalo [a, b], onde ηs é o campo unitário (interior) normal ao bordo de M , com respeitoà métrica gs.

O conjunto

E0s =

ψ ∈ Ck−2,α(M) :

∫M

ψ ωgs = 0, ∂ηsψ = 0

é fechado em Ck−2,α(M) e contém a função nula, logo é um subespaço de Banach de B0. Emparticular, E0 é subbrado do brado trivial Ck−2,α(M) × [a, b], donde s 7→ E0

s é uma família C1

de subespaços fechados do espaço de Banach B0. Observe que G age também sobre Mk,α(M)1

via pull-back: para cada isometria ξ e cada métrica g ∈ Mk,α(M)1, temos ξ∗g = g. Sendo assim,para toda ψ ∈ E0

s , temos ∫M

ψ ξ ωgs =

∫M

ξ∗(ψ ωgs) =

∫M

ψ ωgs = 0,

e∂ηs(ξ ψ) = ∂ηsξ(ψ) · ∂ηsψ = 0,

portanto, E0s é G-invariante.

De forma análoga, denimos

D0s =

φ ∈ Ck,α+ (M) :

∫M

φm2 ωgs = 1, ∂ηsφ = 0

.

Observe que, para cada s, D0s pode ser identicado com [gs]

01 que, como vimos na Seção 2.3.1,

é subvariedade mergulhada de [gs], que pode ser identicada com B2. Logo, D0s é subvariedade

de B2. Como D0 é subbrado do brado trivial B2 × [a, b], segue que D0s é uma família C1 de

subvariedades de B2. A ação de G deixa D0 invariante, pois para toda φ ∈ D0s , ξ ∈ G, temos

∂ηs(ξ ψ) = 0, e∫M

(φ ξ)m2 ωgs =

∫M

(φm2 ξ) ωgs =

∫M

ξ∗(φm2 ωgs) =

∫M

φm2 ωgs = 1.

Dena, ainda,

Hs =

κ ∈ L2(M) :

∫M

κ ωgs = 0

subespaço fechado de H e note que, para cada s ∈ [a, b] existe um produto interno completo, dadopor

〈κ1, κ2〉s =

∫M

κ1 · κ2 ωgs , (3.3)

para todo κ1, κ2 ∈ Hs. De forma análoga ao que zemos para E0s , mostra-se que Hs é G-invariante.

Agora, denimos a aplicação

F : D0 −→ E0

(φ, s) 7−→(Rφgs −

∫M

Rφgs ωgs , s

);


que é um morsmo de brados: veja que o diagramaD0 E0

[a, b]

πD0πE0

F

é comutativo.

Note que s 7→ φs ∈ D0s é uma seção C1 do brado D0 e s 7→ ψs ∈ E0

s é uma seção C1 do bradoE0, com F (φ, s) = (ψ, s), se (φ, s) ∈ D0, a métrica φgs ∈ [gs] tem curvatura escalar constante,se e só se F (φ, s) = (0, s) = 0s, onde, para cada s, 0s é a função nula em E0

s . Logo, estamosinteressados na imagem inversa, por F , da seção nula do brado E0, conjunto que denotamos por

F−1(0s) =

(φ, s) ∈ D0 : F (φ, s) = (0, s).

Observe que a seção constante

1D0 : [a, b] −→ D0s

s 7−→ 1D0(s) = 1s,

que associa a cada s ∈ [a, b] a função constante igual a 1, denotada por 1s : M → R, em D0s ,

pertence a F−1(0s), já que, por hipótese, gs tem curvatura escalar constante, para todo s ∈ [a, b].As órbitas de 1s e 0s pela ação de G em E0

s e D0s (induzida pela ação de G em B0 e B2) são triviais,

1s · ξ = 1s e 0s ξ = 0s, isto é, G xa as órbitas de 1s e de 0s. O espaço tangente à D0s em 1s é

dado por

T1sD0s =

ψ ∈ Ck,α(M) :

∫M

ψ ωgs = 0, ∂ηsψ = 0

.

Lembre queCk,α(M)0 =

ψ ∈ Ck,α(M) : ∂ηsψ = 0

;

daí, as inclusõesCk,α(M)0 ⊂ Ck,α(M) ⊂ Ck−2,α(M) ⊂ L2(M)

induzem as inclusõesT1sD0

s ⊂ E0s ⊂ Hs,

para todo s no intervalo [a, b].

Vamos mostrar que Fs = F (·, s) : D0s → E0

s é um operador gradiente para todo s ∈ [a, b], isto é,que o diferencial (dFs)1s : T1sD0

s → E0s é simétrico com respeito ao produto interno completo em

Hs para cada s ∈ [a, b]. Com efeito, para cada ψ ∈ T1sD0s , (dFs)1s é dado por

(dFs)1s (ψ) =d

dt

∣∣∣∣t=0

Fs(1s + tψ)

=d

dt

∣∣∣∣t=0

(R(1s+tψ)gs

−∫M

R(1s+tψ)gsωgs

)=

d

dt

∣∣∣∣t=0

(R(gs+tψgs)

−∫M

R(gs+tψgs)ωgs

)Observe que gs + tψgs = gs(t) é uma variação de gs na direção do tensor hs = ψgs ∈ Tg[g]01.


Assim, como zemos nas contas do Apêndice A, temos

d

dt

∣∣∣∣t=0

Rgs(t) = −ψgijs Rij +∇i(∇jψgijs −∇i(mψ))

= −ψgijs Rij +∇i(∇iψ −m∇iψ

)= −ψRgs −∆gsψ +m∆gsψ

= (m− 1)∆gsψ − ψRgs ,

onde estamos considerando o laplaciano geométrico, ∆ψ = −∇i∇iψ, e utilizando a notação deEinstein; daí

d

dt

∣∣∣∣t=0

∫M

Rgs(t) ωgs =

∫M

((m− 1)∆gsψ − ψRgs

)ωgs

= (m− 1)

∫M

∆gsψ ωgs − Rgs︸︷︷︸cte

∫M

ψ ωgs︸︷︷︸=0

= (m− 1)

∫∂M

〈∇ψ, ηs〉 ωgs

= (m− 1)

∫∂M

∂ηsψ ωgs = 0

(3.4)

Portanto, (dFs)1s(ψ) = (m− 1)∆gsψ −Rgsψ, que também pode ser escrito como

(dFs)1s(ψ) = (m− 1)

(∆gsψ −

Rgsm− 1

ψ

).

Agora, o operador linear Js = ∆gs −Rgsm− 1

I, denido em T1sD0s , é simétrico com respeito ao

produto interno 〈 · , · 〉s. De fato, se ψ,ϕ ∈ T1sD0s , então

〈Jsψ,ϕ〉s =

∫M

(∆gsψ −

Rgsm− 1

ψ

)ϕ ωgs

=

∫M

(∆gsψ

)ϕ ωgs −

∫M

(Rgsm− 1

ψ

)ϕ ωgs

=

∫M

(−∇i(∇i)ψ

)ϕ ωgs −

∫M

Rgsm− 1

ψϕ ωgs

=

∫M

ψ(−∇i(∇i)ϕ

)ωgs −

∫M

ψ

(Rgsm− 1

ϕ

)ωgs

=

∫M

ψ(∆gsϕ

)ωgs −

∫M

ψ

(Rgsm− 1

ϕ

)ϕ ωgs

=

∫M

ψ

(∆gsϕ−

Rgsm− 1

ϕ

)ωgs

= 〈ψ,Jsϕ〉s .

Logo, Fs é operador gradiente, como queríamos.

Também, a aplicação F é G-equivariante, isto é,

F (φ · ξ, s) = F (φ, s) · ξ,

ou, equivalentemente, Fs(φ · ξ) = Fs(φ) · ξ, para todo (φ, s) ∈ D0. Verdadeiramente, por um lado,


temos

Fs(φ · ξ) = Fs(φ ξ)

= R(φξ)gs −∫M

R(φξ)gs ωgs ;

por outro lado, Fs(φ) · ξ = Fs(φ) ξ = ξ∗Fs(φ). Decorre de R(φξ)gs = Rφgs ξ (vide Apêndice C)que

Fs(φ · ξ) = R(φξ)gs −∫M

R(φξ)gs ωgs = Rφgs ξ︸︷︷︸ξ∗Rφgs

−∫M

Rφgs ξ ωgs︸︷︷︸ξ∗(Rφgsωgs )

= Fs(φ) · ξ,

donde segue que F é G-equivariante.Observe que

(dFs)1s(ψ) = (m− 1)∆gsψ −Rgsψ,

leva T1sD0s em E0

s . De fato, ∂ηs((m− 1)∆gsψ − ψRgs

)= 0, para toda ψ ∈ T1sD0

s , e,∫M

(m− 1)∆gsψ −Rgsψ ωgs = (m− 1)

∫M

∆gsψ ωgs − Rgs︸︷︷︸cte

∫M

ψ ωgs︸︷︷︸=0

= (m− 1)

∫∂M

〈∇ψ, ηs〉︸︷︷︸∂ηsψ=0

ωgs = 0.

Armamos que o operador(dFs)1s : T1sD0

s −→ E0s

é de Fredholm de índice zero. Com efeito, é um fato clássico, conhecido da análise, que o operadorlaplaciano ∆g é de Fredholm de índice zero quando considerado como operador do espaço Ck,α(M)

no espaço Ck−2,α(M). Além disso, o operador Rgsm−1I é compacto de Ck,α(M) em Ck−2,α(M), pois

o fato de k + α > k − 2 + α implica que a inclusão i : Ck,α(M) −→ Ck−2,α(M) é compacta (comodemonstrado na Proposição 2.2.9). Agora, como T1sDs é subespaço fechado de Ck,α(M), Es ésubespaço fechado de Ck−2,α(M), e

T1Dsi

−→ Ck,α(M)∆gs+

Rgsm−1−→ Ck−2,α(M)

p−→ Es,

onde

• dim ker(i) = 0, codim im(i) = 1 =⇒ ind (i) = −1,

• dim ker(p) = 1, codim im(p) = 0 =⇒ ind (p) = 1,

segue que ∆gs +Rgsm− 1

: T1sDs −→ Es é de Fredholm de índice zero, como queríamos.

Sabemos que existe uma base ortonormal βs de autofunções do laplaciano ∆gs para o espaço deHilbert L2(M, gs) com respeito ao produto interno (3.3), além disso, Hs é um subespaço fechadode L2(M, gs) que é ortogonal ao subespaço, de dimensão 1, das funções constantes:

L2(M, gs) = Hs ⊕ ι ∈ L2(M, gs) : ι é constante .

O subespaço das funções constantes é gerado pela autofunção constante igual a 1 associada aoautovalor nulo do laplaciano, de modo que βs\1 é uma base de autofunções do laplaciano paraHs. Observe que, se λ é um autovalor de ∆gs , com condição de Neumann no bordo, então λ− Rgs

m−1

é autovalor de ∆gs −Rgsm−1 e f é autofunção de ∆gs associada ao autovalor λ se e somente se f é


autofunção de ∆gs−Rgsm−1 associada ao autovalor λ− Rgs

m−1 . Em particular, 1 é autofunção associada

ao autovalor − Rgsm−1 do operador Js. Portanto, βs\1 é uma base de autofunções de Js para Hs.

Como os autovalores de ∆gs são todos reais, não-negativos, de multiplicidade nita e o espectrode Js é dado por

Σ(Js) =

λ−

Rgsm− 1

: λ ∈ Σ(∆gs)

,

segue que Js tem um número nito de autovalores negativos, o que equivale a dizer que (dFs)1stem um número nito de autovalores negativos.

Já mostramos que os autoespaços Vρ,s do laplaciano ∆gs são G-invariantes. É fácil ver que,Vρ,s como autoespaços de Js : T1D0

s −→ E0s ou, equivalentemente, (dFs)1s são igualmente G-

invariantes.Veja que (dFa)1a é um isomorsmo de T1sD0

s em E0s pois, por hipótese, Rga = 0 ou Rga

m−1 não éautovalor de ∆ga , o que implica que (dFa)1a é injetor. Ora, já vimos que (dFa)1a é de Fredholmde índice zero, portanto injetividade implica sobrejetividade. O mesmo vale para (dFb)1b .

Por hipótese, π−a e π−b são não-equivalentes. Sob estas condições, o Teorema 1.3.3, garante aexistência de um instante de bifurcação s∗ ∈ (a, b) para a família de soluções, s 7→ φs ∈ D0

s , daequação

F ( · , s) = (0s, s). (3.5)

Isto signica que s∗ 7→ φs∗ ∈ D0s∗ pertence à família de soluções da equação; além disso, a existência

do instante de bifurcação s∗, implica na existência de

(a.) uma sequência sn ∈ [a, b], com sn → s∗; isto é, existe uma sequência de funções φsn ∈ D0sn

que são soluções da equação (3.5), tal que φsn → φs∗ ;

(b.) uma sequência de soluções de (3.5) com φn ∈ D0sn , φn → φs∗ e φn 6= φsn , para todo n ∈ N.

O que é equivalente a dizer que s∗ é um instante de bifurcação para a família de soluções doproblema de Yamabe em variedades com bordo mínimo s 7→ gs ∈ [gs]

01, no sentido de 2.3.11. K

3.2 Bifurcação Equivariante de Soluções do Problema de Ya-

mabe em Variedades Produto com Bordo Mínimo

Seja (M1, g(1)) uma variedade riemanniana compacta, com ∂M1 = ∅ e curvatura escalar

constante, e seja (M2, g(2)) uma variedade riemanniana compacta com bordo mínimo e curva-

tura escalar constante. Considere a variedade produto, M = M1 ×M2, cujo bordo é dado por∂M = M1 × ∂M2. Sejam m1 e m2 as dimensões de M1 e M2, respectivamente, e assuma quedim(M) = m = m1 + m2 ≥ 3. Para cada s ∈ (0,+∞), dena gs = g(1) ⊕ sg(2) uma família demétricas em M . Então gss ⊂Mk,α(M).

Na Seção 2.3.3, estudamos os instantes de degeneração do operador Js e provamos que, ex-ceto por uma quantidade nita desses instantes, chamados instantes neutros, cada instante dedegeneração é um instante de bifurcação.

Usando o último teorema provado na seção anterior, podemos estabelecer bifurcação em todosos instantes de degeneração do operador Js, inclusive nos instantes neutros. Lembre que chamamosde instante neutro, todo s que pode ser zero de autovalores crescentes e decrescentes de Js, nãosendo possível portanto, garantir um salto no índice de Morse do operador Js nos extremos dointervalo (s− ε, s+ ε), para todo ε > 0 tal que s− ε e s+ ε são instantes onde o operador J( · ) énão singular. Isto é, as dimensões dos autoespaços negativos, V −s−ε e V

−s+ε, podem ser iguais, assim,

queremos fazer uma análise mais na, considerando a ação de um grupo de Lie, G, sobre a variedadeproduto M e vericando se as representações de G nesses autoespaços são não-equivalentes.

A construção discutida na Seção 3.1, nos permite apresentar a seguinte denição.

3.2BIFURCAÇÃO EQUIVARIANTE DE SOLUÇÕES DO PROBLEMA DE YAMABE EM VARIEDADES

PRODUTO COM BORDO MÍNIMO 93

Denição 3.2.1. Seja G um grupo de Lie que age por isometrias em uma variedade riemanniana(N,h). A ação de G é dita harmonicamente livre se, dada uma família arbitrária de autoespaçosdo laplaciano ∆h, dois a dois distintos,

V1, V2, . . . , Vr, Vr+1, . . . , Vr+s, r, s ≥ 1,

e dados inteiros n` ≥ 0, com ` = 1, . . . , r + s, não todos nulos, então as antirrepresentações

r⊕`=1

n` · π` er+s⊕`=r+1

n` · π`,

são não-equivalentes. Aqui, denotamos por π` a antirrepresentação de G em V`, denida na Pro-posição 3.1.2, e n` · π` denota a soma direta (externa) de n` cópias de π`.

Exemplo 3.2.2. Vejamos o exemplo da esfera Sn mergulhada no Rn+1. O grupo de isometrias deRn+1 é o grupo ortogonal O(n+1). Considere Sn com a métrica induzida pela métrica euclidiana doRn+1, então, o subgrupo SO(n+1), de O(n+1), age em Sn por isometrias; por outro lado, qualquerisometria de Sn pode ser estendida para uma isometria do Rn+1, de modo que O(n+1) é o grupo deisometrias da esfera de dimensão n. A ação de O(n+1) na esfera é transitiva (o que implica que Sné homogênea). De fato, dado p ∈ Sn, obtemos uma base ortonormal β = v1, v2, . . . , vn, vn+1, doRn+1, que contém o vetor posição vn+1 correspondente ao ponto p. Agora, a matriz P ∈ O(n+ 1),cujas colunas são os vetores da base β leva o ponto en+1 = (0, . . . , 0, 1) ∈ Sn no ponto p. Portanto,dados quaisquer dois pontos p, q ∈ Sn, temos PQ−1q = p, onde Q é a matriz que leva en+1 em q,construída de forma análoga à construção de P , o que prova que a ação de O(n+1) é transitiva. Naverdade, podemos considerar a ação de G0 = SO(n+ 1) em Sn, que também é transitiva. Agora,o subgrupo de isotropia de p ∈ Sn, denotado por G0(p), é isomorfo a SO(n) × 1. Com efeito,note que o subgrupo de isotropia de en+1 é dado por

G0(en+1) =

A =

(A 0O 1

): A ∈ SO(n), O é a matriz nula n× n

,

que é isomorfo a SO(n)× 1; para um p qualquer em Sn, basta tomar as matrizes PAP−1, ondeP é a matriz construída anteriormente. A prova de que G0(p) age transitivamente nos vetoresunitários de TpSn é similar à prova da transitividade de O(n+1) sobre a esfera, que zemos acima.Assim, Sn é isotrópica em todo p, além disso, Sn é difeomorfa a SO(n + 1)/SO(n). As repre-sentações de SO(n+ 1) nos autoespaços do laplaciano de Sn são irredutíveis (isso é consequênciade um resultado conhecido, apresentado logo abaixo, como Proposição 3.2.5). Os autovalores dolaplaciano de Sn, n ≥ 2, são conhecidos e dados por λ = k(k + n − 1), com k = 0, 1, 2, ... e asdimensões dos autoespaços correspondentes, dadas por dimVλ =

(n+kn

)−(n+(k−2)

n

), formam uma

sequência estritamente crescente [36, Cap. III, 22], portanto os autoespaços são não equivalentes1.Concluímos que a ação de SO(n+ 1) sobre Sn é um exemplo de ação harmonicamente livre.

Podemos generalizar o exemplo da esfera, como segue.

Exemplo 3.2.3. Seja (N,h) é uma variedade riemanniana compacta. Quando os autoespaços dolaplaciano ∆h são irredutíveis e dois a dois não equivalentes (conforme denições na Seção 3), aação do grupo de isometrias Iso(N,h) em N é harmonicamente livre.

Exemplo 3.2.4. O seguinte resultado ([4, Proposição C.I.8]), permite que exibamos uma classeimportante de exemplos de ações harmonicamente livres.

Proposição 3.2.5. Sejam G um grupo de Lie (conexo) compacto, H um subgrupo fechado de Ge M = G/H o espaço homogêneo correspondente, com uma métrica riemanniana g, que é G-invariante. Seja ∆g o laplaciano de g em M e denote por Vλ, os autoespaços de ∆g associados

1Para o caso n = 1, é sabido que as representações do laplaciano de S1 nos autoespaços de ∆ são duas a duasnão equivalentes.


aos autovalores λ. Sabemos que Vλ têm dimensões nitas, para todo λ e são invariantes pela açãode G. Considere ainda H0 a componente conexa de H que contém a identidade eG. Lembre queH age em TpM , onde p é o ponto base de G/H, via representação linear de isotropia

Isp :H −→ GL(TpM)

h 7−→ (dh)p;

se a ação de H0 é transitiva sobre a esfera unitária de TpM , então as representações

ρλ : G −→ GL(Vλ),

são irredutíveis, para todo λ.

Concretamente falando, este resultado se aplica aos espaços simétricos de posto 1, que consis-tem, além das esferas, dos seguintes espaços homogêneos com métricas G-invariantes:

(i.) o espaço projetivo real, com M = RPn, G = O(n+ 1), H = O(n)× −1, 1, H0 = SO(n)×−1, 1;

(ii.) o espaço projetivo complexo, com M = CPn, G = U(n+ 1), H = H0 = U(n)× U(1);

(iii.) o espaço projetivo quaterniônico, com M = HPn, G = Sp(n+ 1), H = H0 = Sp(n)× Sp(1);

(iv.) o plano de Cayley, com M = P2(Ca), G = F4, H = H0 = Spin(9).

Além disso, nestes casos, as dimensões dos autoespaços do laplaciano de M , com respeito a umamétrica G-invariante, formam uma sequência estritamente crescente, o que implica que os autoes-paços são dois a dois não equivalentes. Portanto, a ação de G em cada um dos espaços homogêneoslistados acima, é harmonicamente livre.

Proposição 3.2.6. Seja (M1, g(1)) uma variedade riemanniana compacta com curvatura escalar

constante positiva e seja (M2, g(2)) uma variedade riemanniana compacta, com bordo ∂M 6= ∅, de

curvatura escalar constante positiva e curvatura média do bordo nula. Assuma que o par (g(1), g(2))é não degenerado, no sentido da Denição 2.3.14. Considere a variedade produtoM = M (1)×M (2),de dimensão m = dim M (1) + dim M (2) ≥ 3 e bordo ∂M = M (1) × ∂M (2) 6= ∅. Seja gs =g(1) ⊕ sg(2), com s > 0, uma família de métricas, em M . Seja G um grupo de Lie conexo agindo,harmonicamente livre, via isometrias em M1 (ou M2). Então, todo instante de degeneração paraa família de operadores Jss>0 é um instante de bifurcação para a família gss>0 de soluções doproblema de Yamabe na variedade compacta M cujo bordo é minimal.

Demonstração. Sem perda de generalidade, suponha que G aja em M1, então denimos a açãonão trivial de G sobre M como

G×M −→ M(ξ, (x1, x2)) 7−→ (ξ · x1, x2),

onde x1 ∈M1 e x2 ∈M2, isto é, a ação de G sobre M2 é trivial.Lembre que associado à variedade M1 existe um operador (simétrico) laplaciano ∆g(1) , com

autovalores0 = ρ

(1)0 < ρ

(1)1 < ρ

(1)2 < . . .

de multiplicidades nitas µ(1)i , com i = 0, 1, 2, . . ., a cada um dos quais está associado um autoes-

paço V (1)i , de dimensão nita igual a µ(1)

i , para cada i ≥ 0. Como G age por isometrias em M1,

podemos ver o autoespaço de ρ(1)i como um G-espaço, de modo que G tem uma antirrepresentação

natural em V(1)i ,

π(1)i : G −→ GL(V

(1)i ),



dada por π(1)i (ξ)f = f ξ, ∀f ∈ V (1)

i .

Para a variedade M2,0 = ρ

(2)0 < ρ

(2)1 < ρ

(2)2 < . . .

é a sequência de todos os autovalores distintos do operador ∆g(2) , sujeito à condição de Neumannno bordo,

∆g(2)f(2) = ρ

(2)j f (2), on M (2),

∂η2f(2) = 0, on ∂M (2),

(3.6)

a cada um dos quais está associado um autoespaço V(2)j , de dimensão nita igual a µ

(2)j , que

denota a multiplicidade geométrica de ρ(2)j , para cada j ≥ 0. Como a ação de G em M2 é trivial,

a representação de G no autoespaço V (2)j é a representação trivial, isto é,

π(2)j : G −→ GL(V

(2)j ),

é dada por π(2)j (ξ)f = f id = f , ∀f ∈ V (2)

j .

Lembre ainda que, na variedade produto, M , o operador laplaciano é dado por

∆gs = ∆g(1) ⊗ I +1

s

(I ⊗∆g(2)

)e tem autovalores ρi,j = ρ

(1)i +

1

sρ

(2)j , com multiplicidades µi,j = µ

(1)i · µ

(2)j , que são as dimensões

dos respectivos autoespaços Vi,j = V(1)i ⊗ V (2)

j , para todo i, j ≥ 0. Se Σ(∆gs) é o espectro do

operador laplaciano na variedade produto (M, gs), o espectro do operador Js = ∆gs −Rgsm− 1

é

dado por

Σ(Js) =

λ−

Rgsm− 1

: λ ∈ Σ(∆gs)\0

;

explicitamente,Σ(Js) = σi,j(s) : i, j ≥ 0, i+ j > 0 ,

onde os autovalores, são dados por

σi,j(s) =

(ρ

(1)i −

Rg(1)

m− 1

)+

1

s

(ρ

(2)j −

Rg(2)

m− 1

),

e satisfazem o problema de autovalor com condições de Neumann na variedade produto com bordoJsf = σi,jf, on M ,∂ηsf = 0, on ∂M,

(3.7)

onde a função f = f (1) ⊗ f (2) é autofunção de Js associada ao autovalor σi,j , se e somente se éautofunção de ∆gs associada ao autovalor ρi,j 6= 0, portanto σi,j têm multiplicidade geométrica

igual ao produto µ(1)i · µ

(2)j .

Agora, para cada autovalor ρi,j 6= 0 de ∆gs (ou, equivalentemente, para cada autovalor σi,j de

Js), existe uma representação de G no autoespaço Vi,j = V(1)i ⊗ V (2)

j dada por

πi,j : G −→ GL(Vi,j)ξ 7−→ πi,j(ξ)

,


onde

πi,j(ξ)f = π(1)i (ξ)⊗ π(2)

j (ξ)f1 ⊗ f2 = π(1)i (ξ)f1 ⊗ π(2)

j (ξ)f2 = (f1 ξ)⊗ (f2 id) = (f1 ξ)⊗ f2,

para todo g ∈ G e f ∈ Vi,j .Seja s∗ um instante de degeneração para a família de métricas gss, em particular, s∗ pode

ser um instante neutro. Seja ε > 0 sucientemente pequeno para que s∗ seja o único instante dedegeneração de J( · ) no intervalo [s∗− ε, s∗+ ε], em particular, J( · ) é não singular nos extremosdesse intervalo. As representações de G nos autoespaços negativos de Js∗−ε e Js∗+ε, denotadaspor

π−s∗−ε : G −→ GL(V −s∗−ε) e π−s∗+ε : G −→ GL(V −s∗+ε),

respectivamente, são dadas pelas somas diretas das representações de G nos autoespaços Vi,jassociados aos autovalores negativos, σi,j( · ), do operador J( · ) nos instantes s∗ − ε e s∗ + ε.Note que o número de autovalores negativos e as dimensões dos autoespaços associados a estesautovalores para os operadores Js∗−ε e Js∗+ε coincidem, exceto para aqueles autovalores que têms∗ como zero. Denote por V0 a soma direta dos autoespaços associados a autovalores que assumemvalores negativos para todo s ∈ [s∗ − ε, s∗ + ε].

Seja σi,j um autovalor que se anula em s∗. Se σi,j é crescente o autoespaço Vi,j faz parte doautoespaço negativo do operador Js, para todo s < s∗, mas a medida que s varia, passando por s∗,isto é, quando s > s∗, Vi,j deixa de fazer parte do autoespaço negativo de Js. O contrário ocorrese σi,j é decrescente, neste caso, Vi,j passará a fazer parte do autoespaço negativo de Js, somentequando s > s∗. Portanto, podemos escrever o autoespaço negativo do operador Js∗−ε como

V −s∗−ε = V0 ⊕

(r⊕

k=1

(V

(1)ik⊗ V (2)

jk

)),

onde Vik,jk = V(1)ik⊗V (2)

jké o autoespaço associado a autovalores crescentes, tais que σik,jk(s∗) = 0.

Analogamente, o autoespaço negativo do operador Js∗+ε pode ser escrito como

V −s∗+ε = V0 ⊕

(r+s⊕

k=r+1

(V

(1)ik⊗ V (2)

jk

)),

onde Vik,jk = V(1)ik⊗V (2)

jké o autoespaço associado a autovalores decrescentes, tais que σik,jk(s∗) =

0.

Veja queV

(1)ik

r+sk=1

eV

(2)jk

r+sk=1

são famílias de autoespaços, dois a dois distintos, de ∆g(1) e

∆g(2) , respectivamente. Os pares (ik, jk) são todos diferentes, mais que isso,

(ip, jp) 6= (iq, jq) e σip,jp(s∗) = σiq,jq (s∗) = 0 =⇒ ip 6= iq e jp 6= jq;

de fato, se ip = iq, como a sequência j 7→ ρ(2)j é estritamente crescente, existe um único jp tal que

σip,jp(s∗) = 0, logo jp = jq. Simetricamente, se jp = jq, então ip = iq.

A representação de G no autoespaço negativo V −s∗−ε é dada por

π−s∗−ε = π0 ⊕

(r⊕

k=1

(π

(1)ik⊗ π(2)

jk

)),

e a representação de G no autoespaço negativo V −s∗+ε é dada por

π−s∗+ε = π0 ⊕

(r+s⊕

k=r+1

(π

(1)ik⊗ π(2)

jk

)),



onde π(2)jk

é a representação trivial. Sabemos que, se U e W são espaços vetoriais de dimensõesnitas, U · dimW = U × U × . . .× U︸︷︷︸

dimW vezes

, tem dimensão dimU · dimW e é isomorfo a U ⊗W , logo,

r⊕k=1

V(1)ik· dimV (2)

jk'

r⊕k=1

V(1)ik⊗ V (2)

jke

r+s⊕k=r+1

V(1)ik⊗ V (2)

jk'

r+s⊕k=r+1

V(1)ik· dimV (2)

jk;

como a ação de G em M1 é harmonicamente livre, não existe isomorsmo entre os espaços

r⊕k=1

V(1)ik⊗ V (2)

jke

r+s⊕k=r+1

V(1)ik⊗ V (2)

jk.

Portanto,(π−s∗−ε, V

−s∗−ε

)e(π−s∗+ε, V

−s∗+ε

)são não-equivalentes e o resultado segue do Teorema 3.1.2.

K


Parte III

Apêndice

99

Apêndice A

O Funcional de Hilbert-Einstein

O funcional de Hilbert-Einstein tem esse nome em referência ao matemático David Hilbert eao físico Albert Einstein por ter aparecido em seus respectivos artigos [24], [16], publicados quaseque simultaneamente, sobre a teoria de gravitação e relatividade. Apresentaremos abaixo todosos cálculos para obtenção da primeira e segunda variações do funcional de Hilbert-Einstein, bemcomo considerações a respeito de seus pontos críticos.

A.1 Primeira Variação do Funcional de Hilbert-Einstein

Seja (M, g) uma variedade riemanniana compacta orientada de dimensão m ≥ 3, com bordo∂M 6= ∅. O funcional de Hilbert-Einstein ca assim denido

F :Mk,α(M) −→ R

g 7−→∫M

Rg ωg.

ondeMk,α(M) é a variedade de dimensão innita de métricas riemannianas de classe Ck,α sobreM , com k ≥ 3 e 0 < α ≤ 1. A curvatura escalar de M com respeito à métrica g é denotada porRg e ωg é a forma volume denida em M com respeito à métrica g. O funcional F é suave sobreMk,α(M) e sobre as Ck,α-classes conformes [g].

ComoMk,α(M) é um cone aberto de Γk,α(T ∗M ⊗ T ∗M), sabemos que

TgMk,α(M) = Γk,α(T ∗M ⊗ T ∗M).

Assim, seja g(t) = g + th uma variação da métrica g ∈ Mk,α(M) na direção do (0, 2)-tensorsimétrico h sobre M , isto é, g(0) = g e d

dtg(t)|t=0 = h. Então, podemos calcular a primeiravariação do funcional F , na direção h,

δF (g)h = δ

∫M

Rg(t) ωg(t)

=

∫M

δRg(t) · ωg(t)∣∣t=0

+ Rg(t)∣∣t=0· δωg(t)

=

∫M

δRg(t) · ωg +Rg · δωg(t)

onde δ := ddt

∣∣t=0

. Para obtermos a expressão nal, precisamos calcular a derivada da curvaturaescalar e da forma volume.

101

102 APÊNDICE A

Primeira Variação da Curvatura Escalar

Sabemos que a curvatura escalar é o traço do tensor de Ricci. Em coordenadas locais x1, . . . , xn,numa vizinhança de um ponto p ∈ M , temos Rg(t) = g(t)ijRij(t), onde g(t)ij são as coordenadasdo inverso da métrica g(t) e Rij(t) são as coordenadas do tensor de Ricci com respeito à métricag(t), daí

δRg(t) = δg(t)ij ·Rij(t) + g(t)ij · δRij(t) (A.1)

Como ddtg(t)ij |t=0 = hij e g(t)ki · g(t)ij = δjk, onde δ

jk é o delta de Kronecker (não confundir com

o δ que indica a derivação em t avaliada no t = 0), temos

0 = δg(t)ki · g(t)ij = hki · g(t)ij + g(t)ki · δg(t)ij ,

portantoδg(t)ij = −g(t)ikhkig(t)ij = −g(t)ikhjk = −hij , (A.2)

isto é, a primeira variação do inverso do tensor métrico g na direção h é dada por

δg(t)ij = −hij . (A.3)

O sistema de coordenadas locais ximi=1 em torno de p ∈M , dene um referencial local

ei =∂

∂xi= ∂i,

com i = 1, . . . ,m, no espaço tangente àM em p. Os símbolos de Chistoel, Γkij , são denidos comoos únicos coecientes (funções suaves em M) tais que

∇iej = Γkijek, (A.4)

onde ∇i é a conexão riemanniana com respeito à métrica g, na direção ei (i.e. ∇i = ∇ei) e poresta razão são chamados coecientes da conexão riemanniana (em um referencial local). Como aconexão Levi-Civita é livre de torção, segue que Γkij = Γkji.

Lembremos que

Proposição A.1.1. Em coordenadas locais o tensor de Ricci pode ser escrito como

Rij = ∇lΓlij −∇iΓljl +(ΓuijΓ

llu − ΓuljΓ

liu

).

Demonstração. Sabemos que o tensor de Ricci é o traço do tensor de Riemann

Rij = Rlilj = grsRirjs,

ondeRlilj = g (R(ei, el)ej , e

∗l ) = dxl (R(∂i, ∂l)∂j)

com e∗l = dxl, el = ∂l (vetores cotangentes da base dual, i.e. base de T ∗pM), são as coordenadasdo (1, 3)-tensor de Riemann

R(ei, el)ej = ∇[ei,el]ej −∇ei∇elej +∇el∇eiej , (A.5)

onde[ei, el] = ∇eiel −∇elei (A.6)

De (A.4) e (A.6), vem[ei, el] = Γuileu − Γulieu,

[ei, el] = (Γuil − Γuli) eu. (A.7)

PRIMEIRA VARIAÇÃO DO FUNCIONAL DE HILBERT-EINSTEIN 103

Usando (A.4) e (A.7) podemos escrever (A.5) como

R(ei, el)ej = (Γuil∇uej − Γuli∇uej)−∇i(

Γmlj em

)+∇l

(Γmij em

)= ΓuilΓ

mujem − ΓuliΓ

mujem −

(ei · Γmlj

)em − Γmlj∇iem +

(el · Γmij

)em + Γmij∇lem

=(

ΓuilΓmuj − ΓuliΓ

muj −

(ei · Γmlj

)+(el · Γmij

)− ΓuljΓ

miu + ΓuijΓ

mlu

)em

(observe que, nos dois últimos somatórios, trocamos os índices u por m, por exemplo, ΓmljΓuim couΓuljΓ

miu). Agora, pela simetria da métrica Levi-Civita (na verdade, já sabemos que (A.6) e (A.7)

são nulas), temos

R(ei, el)ej =((el · Γmij

)−(ei · Γmlj

)− ΓuljΓ

miu + ΓuijΓ

mlu

)em,

donde((el · Γmij

)−(ei · Γmlj

)− ΓuljΓ

miu + ΓuijΓ

mlu

)g(em, e

∗k) =

(el · Γkij

)−(ei · Γklj

)−ΓuljΓ

kiu + ΓuijΓ

klu = Rkilj .

Agora, Rij = Rlilj , logo

Rij =(el · Γlij

)−(ei · Γllj

)− ΓuljΓ

liu + ΓuijΓ

llu,

Rij = ∇lΓlij −∇iΓljl +(ΓuijΓ

llu − ΓuljΓ

liu

).

K

Assim, para calcularmos a primeira variação do tensor de Ricci, precisaremos da primeiravariação dos símbolos de Christoel. Da expressão (A.4) temos

g(∇eiej , el) = g(Γkijek, el) = Γkijg(ek, el) = Γkijgkl.

Pela fórmula de Koszul,

2g(∇eiej , el) = ej · g(ei, el)− el · g(ej , ei) + ei · g(el, ej)− g ([ej , ei], el)− g ([ej , el], ei)− g ([ei, el], ej)

=∂

∂xjgil −

∂

∂xlgji +

∂

∂xiglj

donde

Γkij =1

2gkl(

∂

∂xigjl +

∂

∂xjgil −

∂

∂xlgij

).

Então, a primeira variação de Γkij na direção h é dada por

δΓkij(t) =1

2gkl(

∂

∂xihjl +

∂

∂xjhil −

∂

∂xlhij

)− 1

2hkl(

∂

∂xigjl +

∂

∂xjgil −

∂

∂xlgij

)Observe que, em um referencial geodésico em p ∈ M , os símbolos de Christoel se anulam emp: Γkij(p) = 0. Consequentemente, ∂iτjk = ∇iτjk em p para qualquer tensor τ , em particular∂igjk(p) = 0. Portanto, em p, obtemos

δΓkij(p) =1

2gkl(p)

(∂

∂xihjl +

∂

∂xjhil −

∂

∂xlhij

), (A.8)

mas ambos os lados da igualdade acima são componentes de tensores, portanto esse resultado valeem qualquer ponto de qualquer sistema de coordenadas.

104 APÊNDICE A

Agora podemos calcular a primeira variação do tensor de Ricci,

δRij(t) = δ∇lΓlij(t)− δ∇iΓljl(t) + δ(ΓuijΓ

llu − ΓuljΓ

liu

)(t).

Considerando coordenadas normais, a regra do produto e o fato de Γkij(p) = 0 em p, resultam em

δ(ΓuijΓ

llu − ΓuljΓ

liu

)(p) = 0,

logoδRij(t) = ∇lδΓlij(t)−∇iδΓljl(t)

=1

2∇l[(

∂

∂xihjm +

∂

∂xjhim −

∂

∂xmhij

)glm(t)

]− 1

2∇i[(

∂

∂xjhlm +

∂

∂xlhjm −

∂

∂xmhjl

)glm(t)

]Note que

∂

∂xlhjm · glm(t)− ∂

∂xmhjl · glm(t) = ∂lh

lj − ∂mhmj = ∂sh

sj − ∂shsj = 0,

além disso∇iglm(t) = ∇ig − t∇ihlm ⇒ ∇iglm(0) = 0.

Portanto,

δRij(t) =1

2

[(∇l∂ihjm +∇l∂jhim −∇l∂mhij) glm(t)−∇i∂jhlmglm(t)

]t=0

e a primeira variação do tensor de Ricci na direção h é

δRij(t) =1

2(∇l∇ihjm +∇l∇jhim −∇l∇mhij −∇i∇jhlm) glm (A.9)

Agora, substituindo as expressões (A.3) e (A.9) em (A.1), temos

δRg(t) = −hijRij +1

2gij (∇l∇ihjm +∇l∇jhim −∇l∇mhij −∇i∇jhlm) glm.

Observe que

1

2gij(∇l∇ihjmglm

)+

1

2gij(∇l∇jhimglm

)=

1

2gij∇l∇ihlj +

1

2gij∇l∇jhli

=1

2∇l∇ihil +

1

2∇l∇jhjl

= ∇i∇jhij ,

analogamente, teremos

1

2gij(−∇l∇mhijglm

)+

1

2gij(−∇i∇jhlmglm

)= −∇i∇i(hlmglm)

Finalmente, a primeira variação da curvatura escalar na direção h, é dada por

δRg(h) = −hijRij +∇i[∇jhij −∇i(glmhlm)

](A.10)


Primeira Variação da Forma Volume

Em coordenadas locais x1, . . . , xm, a forma volume associada à métrica g é representada por

ωg =√

det[g] dx1 ∧ . . . ∧ dxm,

onde os colchetes indicam a matriz do tensor que aparece entre eles.A primeira variação da forma volume é obtida a partir de

δωg(t) = δ(√

det[g(t)] dx1 ∧ . . . ∧ dxm)

=1

2

1√det[g]

(δ det[g(t)]) dx1 ∧ . . . ∧ dxm.

De modo que basta calcularmos a derivada do determinante, que é conhecida, dada por

d

dtdet[g(t)] = tr

(ad[g(t)] · d

dt[g(t)]

)= tr

(det[g(t)] · [g(t)]−1[h]

)= det[g(t)] · tr

([g(t)]−1[h]

),

onde ad denota a adjunta da matriz em questão. Daí,

δ det[g(t)] = det[g] · tr([g]−1[h]

)= det[g] · trg[h].

Portanto, a primeira variação da forma volume na direção h é

δωg(t) =1

2

1√det[g]

det[g] · trg[h] dx1 ∧ . . . ∧ dxm =1

2

√det[g] trg[h] dx1 ∧ . . . ∧ dxm

δωg(t) =1

2trg[h] ωg . (A.11)

Observação A.1.2. As expressões são todas equivalentes

trg(h) = trg h = tr(g−1h) =⟨g−1, h

⟩= gijhij .

Primeira Variação do Funcional de Hilbert-Einstein

A primeira expressão que tínhamos para a variação do funcional H-E era

δF (g)h =

∫M

δRg(t) · ωg +Rg · δωg(t).

Substituindo as expressões encontradas para a primeira variação da curvatura escalar (A.10) e paraa primeira variação da forma volume (A.11), temos

δF (g)h =

∫M

−hijRij +∇i[∇jhij −∇i(glmhlm)

]+Rg

1

2gijhij ωg

=

∫M

1

2gijhijRg − hijRij ωg +

∫M

∇i[∇jhij −∇i(glmhlm)

]ωg,

pelo Teorema da Divergência, vem

δF (g)h =

∫M

−hij(Rij −

1

2gijRg

)ωg −

∫∂M

[∇jhij −∇i(glmhlm)

]ηi σg,

onde ηi são coordenadas do campo unitário normal ao bordo (apontando para dentro de M) comrespeito à métrica g e σg é o elemento de área induzido pela forma volume no bordo deM . Podemos

106 APÊNDICE A

escrever a expressão anterior como

δF (g)h = −∫M

⟨Ricg −

1

2Rgg, h

⟩g

ωg −∫∂M

〈∇gh− d trg h, η〉 σg.

Agora, tome p ∈ ∂M e seja (x1, . . . , xm−1) um sistema de coordenadas normais centrado emp em uma vizinhança U de p, (x1(p), . . . , xm−1(p)) = 0. Existe V ⊂ U tal que, enquanto ageodésica partindo de p na direção ortogonal ao bordo deM estiver em V , poderá ser representadaem coordenadas por (0, . . . , 0, xm), então (x1, . . . , xm) é um sistema de coordenadas Fermi emp ∈ ∂M . Como já vimos, neste sistema de coordenadas, a métrica g é a métrica euclidiana

g = gαβdxα ⊗ dxβ + dxm ⊗ dxm,

com α, β = 1, . . . ,m− 1, e vale

gmβ = 0, para β = 1, . . . ,m− 1

gmm = 1

Portanto, no ponto p ∈ ∂M , temos

〈∇gh− d trg h, η〉 =[∇jhij −∇i(glmhlm)

]ηi = ∇jhjm −∇mhkk = ∇αhαm −∇mhαα, (A.12)

〈∇gh− d trg h, η〉 = ∇αhαm −∇mhαα = gαβ∇αhβm −∇m trg h

Por outro lado,

δHg(t) = δ(gαβ(t)IIαβ(t)

)= δgαβ(t)IIαβ + gαβδIIαβ(t),

(A.13)

onde IIαβ(t) = g(t)(∇α∂β , ηg(t)

)é a segunda forma fundamental.

A variação da segunda forma fundamental ca

δIIαβ(t) = (δg(t)) (∇α∂β , ηg) + g (δ∇α∂β , ηg) + g(∇α∂β , δηg(t)

)= h

(Γkαβ∂k, η

m)

+ g(δΓkαβ∂k, η

m)

+ g(Γkαβ∂k, δηg(t)

)= Γkαβhkm + δΓkαβgkm + Γkαβg

(∂k, δηg(t)

)= Γmαβhmm + δΓmαβ + Γmαβ δη

mg(t),

onde

δΓmαβ =1

2

(∂

∂xαhβm +

∂

∂xβhαm −

∂

∂xmhαβ

),

no ponto p (vide A.8). Para calcularmos δηmg(t) em p, observe que ηmg(t) =√gmm(t), daí

δηmg(t) = δ√gmm(t)

=1

2

1√gmm

δgmm(t)

=1

2(−hmm)

= −1

2glmgmkhkl

= −1

2hmm


Portanto,

δIIαβ(t) = Γmαβhmm +1

2

(∂

∂xαhβm +

∂

∂xβhαm −

∂

∂xmhαβ

)− 1

2Γmαβ hmm

=1

2Γmαβhmm +

1

2

(∂

∂xαhβm +

∂

∂xβhαm −

∂

∂xmhαβ

).

Note que, no ponto p,

Hg = gαβIIαβ(t)

= gαβ g(∇α∂β , ηg)= gαβΓmαβ .

Então, temos

δgαβ(t)IIαβ = −hαβIIαβ= −glαgβkhklIIαβ= −g(IIg, h)

e

gαβδIIαβ(t) =1

2gαβΓmαβhmm +

1

2gαβ (∇αhβm +∇βhαm −∇mhαβ)

=1

2Hghmm +

1

2gαβ∇αhβm +

1

2gαβ∇βhαm −

1

2∇mhαα

=1

2Hghmm + gαβ∇αhβm −

1

2∇m trg h

Daí, a equação (A.13) ca

δHg(t) = −g(IIg, h) +1

2Hghmm + gαβ∇αhβm −

1

2∇m trg h

Agora, usando a expressão encontrada para δHg(t) e (A.12), temos

〈∇gh− d trg h, η〉 = 2δHg + 2〈IIg, h〉 − hmmHg − gαβ∇αhmβ (A.14)

Vejamos que, em p, temos

gαβ∇αhmβ = gαβ(Dαhmβ − Γmαβhmm + Γrαmhβr

),

onde r = 1, . . . ,m− 1 e D denota a conexão induzida no bordo, daí

gαβ∇αhmβ = ∇αhαm −Hghmm + gαβΓrαmhβr

= ∇αhαm −Hghmm + gαrgsβIIαβhrs

= ∇αhαm −Hghmm + 〈IIg, h〉.

Diante disso, a expressão (A.14) ca

〈∇gh− d trg h, η〉 = 2δHg + 〈IIg, h〉 − ∇αhαm,

108 APÊNDICE A

como∫∂M

∇αhαm σg = 0, obtemos, nalmente, a expressão desejada

δF (g)h = −∫M

⟨Ricg −

Rg2g, h

⟩g

ωg − 2

∫∂M

(δHg +

1

2〈IIg, h〉

)σg

Observação A.1.3. É interessante mencionar que...

• ...se ∂M = ∅ ou se supormos que a variedade M tem bordo minimal, então a segunda parcelada expressão obtida é nula.

• ...o termo

G = Ricg −Rg2

g

é o tensor de Einstein, que aparece nas equações de campo de Einstein para Gravitação e medea curvatura do espaço-tempo de forma consistente com as leis de conservação de energia.

Pontos Críticos

Dada uma variedade riemanniana (M, g), compacta, sem bordo, de dimensão m ≥ 3, os pontoscríticos do funcional F , para g ∈ Mk(M) e h ∈ Γk(T ∗M ⊗ T ∗M), são as métricas riemannianasde Ricci at. Basta observar que

δF (g)h = −∫M

⟨Ricg −

1

2Rgg, h

⟩g

ωg = 0, ∀h ∈ Γk(T ∗M ⊗ T ∗M),

implica em Ricg =1

2Rgg. Tomando o traço, temos Rg =

m

2Rg e como m ≥ 3, segue que Rg = 0,

donde Ricg = 0.

Restringindo F às métricas de classe Ck emM , de volume 1, variedade denotada porMk(M)1,usamos o método dos multiplicadores de Lagrange para calcular os pontos críticos: g ∈Mk(M) éum ponto crítico do funcional F sujeito ao vínculo V(g)− 1 = 0, se e somente se existe λ ∈ R\0tal que

δFλ(g)(h) := δF (g)(h)− λδ (V(g)(h)− 1) = 0,

para todo h ∈ Γk(T ∗M ⊗ T ∗M). Calculando a variação acima, vem

δFλ(g)h = −∫M

⟨Ricg −

1

2Rgg −

λ

2g, h

⟩g

ωg = 0, ∀h ∈ Γk(T ∗M ⊗ T ∗M),

pelo Lema Fundamental do Cálculo das Variações, temos Ricg = ug, onde u =1

2(Rg + λ). Ao

tomar o traço, obtemos u =Rgm

. Por outro lado, ∇iu = ∇iRg2, como m ≥ 3, segue que Rg é

constante. Portanto, os pontos críticos de F emMk(M)1 são as métricas de Einstein de volume1. Para obter os pontos críticos de F restrito à classe conforme de volume 1, [g]1, basta tomarh = ψg ∈ Tg[g] e usar o método dos multiplicadores de Lagrange, sujeito ao vínculo V|−1

[g] (1) = [g]1,para concluir que os pontos críticos de F são métricas conformes a g, de volume 1, e curvaturaescalar constante.

Uma vez que estamos lidando com variedades com bordo mínimo, consideramos

F |[g]0 : [g]0 −→ R

SEGUNDA VARIAÇÃO DO FUNCIONAL DE HILBERT-EINSTEIN 109

cuja variação, para todo h = ψg ∈ Tg[g]0 =ψ ∈ Ck,α : ∂ηψ = 0

, é dada por

δ F |[g]0 (g)ψg = −∫M

⟨Ricg −

1

2Rgg, ψg

⟩g

ωg

= −∫M

(ψRg −

1

2mψRg

)ωg

=m− 2

2

∫M

ψRg ωg.

Estamos interessados nos pontos críticos da restrição de F a Ck,α-classe conforme normalizada devolume 1; pelo método dos multiplicadores de Lagrange, g ∈ [g]0 é um ponto crítico do funcionalF |[g]0 sujeito ao vínculo [g]01 = V−1(1) se e somente se existe λ ∈ R\0 tal que

δFλ(g)(ψg) := δ F |[g]0 (g)(ψg)− λδV(g)(ψg) = 0, (A.15)

para toda ψ ∈ Tg[g]0.

A primeira variação do volume restrito à classe conforme normalizada é

δ V|[g]0 (g)(ψg) =m

2

∫M

ψ ωg,

donde a equação (A.15) ca

δFλ(g)(ψg) =m− 2

2

∫M

ψRg ωg − λm

2

∫M

ψ ωg,

δFλ(g)(ψg) =1

2

∫M

[(m− 2)Rg − λm]ψ ωg,

para toda ψ ∈ Tg[g]0.

Segue do Lema Fundamental do Cálculo das Variações que

(m− 2)Rg − λm = 0.

Logo, g é ponto crítico de F restrito a [g]01, se e só se g ∈ [g]01 e Rg é constante. Além disso, vale arelação

(m− 2)Rg = λm (A.16)

A.2 Segunda Variação do Funcional de Hilbert-Einstein

Agora, seja g ∈ [g]01 um ponto crítico de F e considere (δF )g : Tg[g]0 −→ R, comTg[g]0 =

ψ ∈ Ck(M), ∂ηψ = 0

, dada por

(δF )g (ψg) =m− 2

2

∫M

ψRg ωg,

110 APÊNDICE A

então, a variação de (δF )g (ψg), ca

δ(

(δF )g (ψg))

(h) =(δ2F

)ψg

(h) =m− 2

2

∫M

ψ(δRg(t)

)ωg + ψRg

(δωg(t)

)=

m− 2

2

∫M

ψ(−hijRij +∇i

[∇jhij −∇i(glmhlm)

])ωg

+m− 2

2

∫M

ψRg

(1

2gijhij ωg

),

onde g(t) = g + th, h ∈ Γk(T ∗M ⊗ T ∗M). Tomando agora h = ψg ∈ Tg[g]0 temos

(δ2F

)ψg

(ψg) =m− 2

2

∫M

ψ(−ψgijRij +∇i

[∇jψgij −∇i(glmψglm)

])ωg

+m− 2

2

∫M

1

2ψRg g

ijψgij ωg

=m− 2

2

∫M

ψ(−ψRg +∇i

[∇iψ −∇i(ψ m)

])ωg

+m− 2

2

∫M

1

2ψRg ψ m ωg

=m− 2

2

∫M

ψ(−ψRg −∆gψ +m∆gψ +

m

2ψRg

)ωg

=m− 2

2

∫M

ψ

[(m− 1)∆gψ +

m− 2

2ψRg

]ωg,

onde usamos o laplaciano geométrico: ∆g = −divg(gradg

).

Agora, note que a segunda variação do volume ca(δ2V

)ψg

(h) =m

2

∫M

ψ δωg

=m

4

∫M

ψ gijhij ωg

Tomando h = ψg ∈ Tg[g]0, temos

(δ2V

)ψg

(ψg) =m

4

∫M

ψ gij(ψgij

)ωg

=m2

4

∫M

ψ2 ωg

Finalmente, calculamos a segunda variação do funcional de Hilbert-Einstein sobre [g]01, nova-mente usando o método dos multiplicadores de Lagrange,(

δ2Fλ)ψg

(ψg) =(δ2F

)ψg

(ψg)− λ(δ2V

)ψg

(ψg)

(δ2Fλ

)ψg

(ψg) =m− 2

2

∫M

ψ

[(m− 1)∆gψ +

m− 2

2ψRg

]ωg − λ

m2

4

∫M

ψ2 ωg,

que ca

(δ2Fλ

)ψg

(ψg) =m− 2

2

∫M

ψ [(m− 1)∆gψ] ωg +

∫M

((m− 2)2

4Rg −

λm2

4

)ψ2 ωg,


Usando (A.16), vemos que

(m− 2)2

4Rg −

λm2

4=

(m− 2)2Rg − (m− 2)Rgm

4=

(m− 2)

2

[m− 2−m

2Rg

]=

(m− 2)

2(−Rg).

Portanto, a segunda variação de F , restrito à [g]01, é dada pela forma quadrática

δ2F (g)(ψ) =m− 2

2

∫M

((m− 1)∆gψ −Rgψ)ψ ωg,

onde ψ ∈ Ck,α(M)0 e tem integral nula (veja também [26]).

Classicação de Pontos Críticos

Um ponto crítico g de F , é dito não degenerado se a forma quadrática δ2F (g)(ψ) é não dege-nerada. Lembremos que um forma quadrática Q(x) em um espaço vetorial V é não degenerada sea forma bilinear à ela associada,

B(x, y) = Q(x+ y)−Q(x)−Q(y),

é não degenerada, isto é, se as aplicações

x 7→ (y 7→ B(x, y)) e y 7→ (x 7→ B(x, y))

são isomorsmos entre V e seu dual V ∗.

A forma bilinear associada à δ2F (g)(ψ) é dada por

δ2F (g)(ψ,ϕ) =m− 2

2

∫M

((m− 1)∆gψ −Rgψ)ϕ ωg,

onde ϕ,ψ ∈ Ck,α(M) têm derivada normal nula e integral sobre M nula.

Note que (m− 1)∆g −RgI, leva o subespaço de Ck,α(M),

Tg[g]01 =

ψ ∈ Ck,α(M) : ∂ηgψ = 0,

∫M

ψ ωg = 0

,

no subespaço de Ck−2,α(M)

Ck−2,α0 (M) =

ϕ ∈ Ck−2,α(M) :

∫M

ϕ ωg = 0

.

De fato, para toda ψ ∈ Tg[g]01, temos∫M

(m− 1)∆gψ −Rgψ ωg = (m− 1)

∫M

∆gψ ωg −Rg∫M

ψ ωg

= (m− 1)

∫∂M

〈∇ψ, ηg〉 σg

= (m− 1)

∫∂M

∂ηgψ σg

= 0

Assim, se para toda ψ ∈ Tg[g]01, temos δ2F (g)(ψ,ϕ) = 0, então, pelo Lema Fundamental doCálculo das Variações, ϕ é constante. Mas,

∫Mϕ ωg = 0, logo ϕ = 0.

112 APÊNDICE A

Por outro lado, suponha que δ2F (g)(ψ,ϕ) = 0 para toda ϕ ∈ Tg[g]01,

m− 2

2

∫M

((m− 1)∆gψ −Rgψ)ϕ ωg = 0,

então, pelo Lema Fundamental do Cálculo das Variações, segue que (m−1)∆gψ−Rgψ é constante.Mas, vimos acima, que ∫

M

(m− 1)∆gψ −Rgψ ωg = 0.

Logo, (m− 1)∆gψ −Rgψ = 0, que implica em ∆gψ =Rg

m− 1ψ, com ∂ηψ = 0 portanto ψ = 0 se e

somente se

Rg = 0 ouRg

m− 1não é solução do problema de Neumann

∆gψ = λψ, em M∂ηψ = 0, em ∂M

.

De fato, seRg

m− 1não é autovalor de ∆g, não pode existir ψ 6= 0 tal que

∆gψ =Rg

m− 1ψ,

donde ψ = 0. Se, por outro lado, Rg = 0, temos ∆gψ = 0. Como ∂ηψ = 0, segue do Teorema daDivergência que ∫

M

〈∇ψ,∇ψ〉g ωg =

∫M

ψ∆ψ ωg −∫∂M

ψ∂ηψ σg = 0,

isto é, ‖∇ψ‖2 = 0, portanto ψ é constante. Uma vez que ψ tem integral nula sobre M , temos queψ = 0. Assim, sob essas condições, ∆g −RgI é injetor.

Para provarmos a sobrejetividade, basta observarmos que, de Tg[g]01 em Ck−2,α0 (M), o ope-

rador ∆g − RgI é de Fredholm de índice zero1 (ver Seção 2), portanto injetividade implica emsobrejetividade.

Com efeito, é um fato conhecido da Análise que o operador Laplaciano é de Fredholm de índicezero entre os espaços de Hölder

Ck,α(M)∆g−−→ Ck−2,α(M),

então, considere a composição

Tg[g]01i

−→ Ck,α(M)∆g−−→ Ck−2,α(M)

p−−→ Ck−2,α0 (M),

onde i é a inclusão e p é a projeção. Daí,

• dim ker(i) = 0, codim Im(i) = 1⇒ ind(i) = −1,

• dim ker(p) = 1, codim Im(p) = 0⇒ ind(i) = 1,

onde ind denota o índice de Fredholm do operador. Isso prova que ∆g é de Fredholm de ín-dice zero de Tg[g]01 em Ck−2,α

0 (M). Além disso, k + α > (k − 2) + α implica que a inclusão

Ck,α(M)i−→ Ck−2,α(M) é compacta (ver Proposição 2.2.9), donde o operador RgI : Tg[g]01 −→

Ck−2,α0 (M), que pode ser descrito como

Tg[g]01RgI

−−−→ Tg[g]0i

−→ Ck,α(M)i

−→ Ck−2,α(M)p−−→ Ck−2,α

0 (M),

1Daí o motivo de considerarmos espaços de Hölder.


é compacto, portanto(m− 1)∆g −RgI : Tg[g]1 −→ Ck−2,α

0 (M)

é de Fredholm de índice zero, como queríamos. Segue que a forma quadrática δ2F (g)(ψg, ψg) é nãodegenerada se e só se ker ((m− 1)∆g −RgI) = 0, ou seja, se Rg = 0 ou se Rg

m−1 não é soluçãodo problema de Neumann

∆gψ = ρψ, on M∂ηgψ = 0, on ∂M.

114 APÊNDICE A

Apêndice B

Funções com Derivada Normal

Prescrita

Seja n ≥ 1 e seja g : Rn −→ R uma função contínua. Denotaremos por (x1, . . . , xn) ascoordenadas no Rn e por (x1, . . . , xn, z) as coordenadas no Rn+1. Denimos

Fg : Rn −→ R

por

Fg(x1, x2, . . . , xn, z) =1

zn−1

∫ xn+ 12 z

xn− 12 z

. . .

∫ x2+ 12 z

x2− 12 z

∫ x1+ 12 z

x1− 12 z

g(s1, s2, . . . , sn)ds1ds2 . . . dsn, (B.1)

se z 6= 0, eFg(x1, x2, . . . , xn, 0) = 0.

Pela linearidade da integral, Fλg+h = λFg + Fh, para todo λ ∈ R e toda g, h ∈ C0(Rn), alémdisso, Fg é de classe C1 em Rn+1\z = 0.

A derivada parcial de Fg é com respeito a z, no ponto (x1, x2, . . . , xn, 0) é dada por

∂

∂zFg(x1, x2, . . . , xn, 0) = lim

z→0

1

zFg(x1, x2, . . . , xn, z)

= limz→0

[1

zn

∫ xn+ 12 z

xn− 12 z

. . .

∫ x2+ 12 z

x2− 12 z

∫ x1+ 12 z

x1− 12 z

g(s1, s2, . . . , sn)ds1ds2 . . . dsn

]= g(x1, x2, . . . , xn),

(B.2)

todas as demais derivadas se anulam

∂

∂xiFg(x1, x2, . . . , xn, 0) = 0, i = 1, 2, . . . , n.

Armação B.0.1. Fg é de classe C1 no Rn+1.

Demonstração. A prova é por indução sobre n. O caso n = 1 é claro (não há singularidade nestecaso). É conveniente adotarmos a seguinte notação: dado n ≥ 2, i ∈ 1, . . . , n e s ∈ R, seja g(i,s)

a função contínua denida no Rn−1, tomando valores em Rn, denida por

g(i,s)(x1, . . . , xn−1) = g(x1, . . . , xi−1, s, xi, . . . , xn−1).

115

116 APÊNDICE B

Primeiro, vamos estabelecer a continuidade de ∂∂zFg. Um cálculo direto, mostra que, para todo i

e z 6= 0, a seguinte igualdade vale:

1

2Fg(i,xi+z/2)(x1, . . . , xi, . . . , xn, z) +

1

2Fg(i,xi−z/2)(x1, . . . , xi, . . . , xn, z)

+

∫ xi+12 z

xi− 12 z

∂

∂zF (i,s)g (x1, . . . , xi, . . . , xn, z)ds

= Fg(x1, . . . , xn, z) + z∂

∂zFg(x1, . . . , xn, z),

(B.3)

onde xi signica que estamos omitindo a coordenada xi. Calculando diretamente da denição deFg, temos

∂Fg∂z

(x1, . . . , xn, z) = −n− 1

zFg(x1, . . . , xn, z)

+1

2z

n∑i=1

[Fg(i,xi+z/2)(x1, . . . , xi, . . . , xn, z) + Fg(i,xi−z/2)(x1, . . . , xi, . . . , xn, z)

],

e usando (B.3), obtemos

∂Fg∂z

(x1, . . . , xn, z) = −n− 1

zFg(x1, . . . , xn, z)

+n

zFg(x1, . . . , xn, z) + n

∂Fg∂z

(x1, . . . , xn, z)

− 1

z

n∑i=1

∫ xi+z2

xi− z2

∂Fg(i,s)

∂z(x1, . . . , xi, . . . , xn, z)ds,

isto é,

(1− n)∂Fg∂z

(x1, . . . , xn, z) =1

zFg(x1, . . . , xn, z)

− 1

z

n∑i=1

∫ xi+z/2

xi−z/2

∂F(i,s)g

∂z(xi, . . . , xi, . . . , xn, z)ds.

(B.4)

Vamos agora tomar o limite quando (x1, . . . , xn, z)→ (x1, . . . , xn, 0) em ambos os lados de (B.4).Pela hipótese de indução,

lim(x1,...,xn,z)→(x1,...,xn,0)

∂Fg(i,s)

∂z(x1, . . . , xi, . . . , xn, z) = g(i,s)(x1, . . . , xi, . . . , xn),

o que nos dá

lim(x1,...,xn,z)→(x1,...,xn,0)

1

z

∫ xi+z2

xi− z2

∂Fg(i,s)

∂z(x1, . . . , xi, . . . , xn, z)ds = g(i,xi)(x1, . . . , xi, . . . , xn)

= g(x1, . . . , xn).

(B.5)

De (B.2), (B.4) e (B.5), nalmente obtemos

(1− n) lim(x1,...,xn,z)→(x1,...,xn,0)

∂Fg∂z

(x1, . . . , xn, z) = (1− n)g(x1, . . . , xn),

que nos dá a continuidade de ∂Fg∂z em Rn+1. Para provar a continuidade das outras derivadas

FUNÇÕES COM DERIVADA NORMAL PRESCRITA 117

parciais ∂Fg∂xi

em z = 0, primeiro observamos que para n = 1 é um resultado óbvio. Para o cason ≥ 2, escrevemos expressão análoga à (B.3):

∂Fg∂xi

(x1, . . . , xn, z) =

=1

z

[Fg(i,xi+z/2)(x1, . . . , xi, . . . , xn, z)− Fg(i,xi−z/2)(x1, . . . , xi, . . . , xn, z)

],

que vale para todo n ≥ 2, i = 1, . . . , n, e z 6= 0. Usando o Teorema do Valor Médio, concluímosque

lim(x1,...,xn,z)→(x1,...,xn,0)

1

zFg(i,xi+z/2)(x1, . . . , xi, . . . xn, z) =

= lim(x1,...,xn,z)→(x1,...,xn,0)

1

zFg(i,xi−z/2)(x1, . . . , xi, . . . xn, z)

= g(x1, . . . , xn),

que nos dá

lim(x1,...,xn,z)→(x1,...,xn,0)

∂Fg∂xi

(x1, . . . , xn, z) = 0,

isto é, a continuidade de ∂Fg∂xi

. K

Armação B.0.2. Se g é de classe Ck, com k ≥ 1, então Fg é de classe Ck+1.

Demonstração. Calculando sua derivada, diretamente da denição, vemos que Fg, restrita az 6= 0 é de classe Ck+1. Assim, vamos estudar a regularidade de Fg no hiperplano z = 0.Usando a notação de multi-índice, j = (j1, . . . , jn), |j| = j1 + . . .+ jn,x = (x1, . . . , xn), escrevemos

g(x) =∑|j|≤k

1

|j|!∂jg

∂xj(x)(x− x)j +R(x, x),

onde R(x, x) é uma função contínua em R2n, satisfazendo

|R(x, x)| = o(|x− xk), onde x→ x.

Aqui, temos∂jg

∂xj=

∂|j|g

∂xj11 . . . ∂xjnne (x− x)j = (x1 − x1)j1 . . . (xn − xn)jn .

Assim, a expressão para Fg ca

Fg(x, z) =1

zn−1

∑|j|≤k

1

|j|!∂jg

∂xj(x)

∫Qn(x,z)

(s− x)jds +1

zn−1

∫Qn(x,z)

R(s, x)ds, (B.6)

onde Qn(x, z) é o n-cubo∏nj=1

[xj − z

2 , xj + z2

]. Agora é fácil ver que cada integral

1

zn−1

∫Qn(x,z)

(s − x)jds é um monômio de grau |j| + 1 em (x1 − x1), . . . , (xn − xn) e z. Mais

precisamente,1

zn−1

∫Qn(x,s)

(s− x)jds = z ·n∏i=1

[1

z

∫ xi+z2

xi− z2(s− xi)jids

]

118 APÊNDICE B

e1

z

∫ xi+z2

xi− z2(s− xi)jids =

1

ji + 1

[ji/2]∑`=0

1

22`

(ji + 12`+ 1

)z2`(xi − xi)ji−2`,

onde [j1/2] é a parte inteira de ji/2. Agora, usando o Teorema do Valor Médio para integrais, éfácil ver que a função contínua

R(x, x, z) =1

zn−1

∫Qn(x,z)

R(s, x)ds

satisfaz

|R(x, x, z)| = o

((|x− x|2 + z2

) k+12

), onde (x, z)→ (x, 0).

A conclusão é que (B.6) dá a fórmula de Taylor de ordem k + 1 para a função Fg em todos ospontos de Rn × 0 e, em particular, prova que Fg é de classe Ck+1 em Rn+1. K

Observação B.0.3. Usando indução, é fácil mostrar que, se g é de classe Ck, para todo j ≤ k, asderivadas parciais de ordem j de Fg são combinações lineares, integrais e composições das funçõeslineares nas variáveis das derivadas parciais de ordem j − 1 da função g. Isto também é visívelna fórmula de Taylor de ordem k + 1 de Fg, dada em (B.6), envolvendo derivadas de g de ordensmaiores que k.

Vamos agora considerar a situação na qual estamos realmente interessados. Seja Σn−1 umavariedade compacta com bordo suave ∂Σ; seja η uma campo vetorial suave ao longo de ∂Σ que étransversal ao bordo em todo ponto. Fixe k ≥ 0 e α ∈ (0, 1].

Proposição B.0.4. Existe uma aplicação linear contínua

F : Ck,α(∂Σ) −→ Ck+1,α(Σ)

tal que, para todo g ∈ Ck,α(∂Σ) as seguintes propriedades são satisfeitas:

(i.) F(g) se anula em ∂Σ;

(ii.) η(F(g)) = g.

Demonstração. Escolha um conjunto nito de cartas locais (Ur, φr), r = 1, . . . , N em Σ satisfa-zendo as seguintes propriedades:

(a.) Ur é um subconjunto de Σ, com Ur ∩ ∂Σ 6= ∅ para todo r;

(b.) U := ∪Nr=1Ur é uma vizinhança aberta do bordo ∂Σ;

(c.) φr é um difeomorsmo de Ur para Rn × [0,∞) que leva ∂Σ ∩ Ur sobre R× 0;

(d.) (dφr)p(ηp) = ∂∂z , para todo p ∈ ∂Σ ∩ Ur.

Seja U0 = Σ\∂Σ, tal que Urr=0,...,N é uma cobertura aberta de Σ, e seja ρrNr=0 uma partiçãosuave da unidade subordinada a esta cobertura. Neste contexto, a função desejada, F , é denidacomo segue.

Dada g ∈ Ck,α(∂Σ), para todo r, considere a função gr = g φ−1r : Rn −→ R, que é de

classe Ck,α. Seja Fgr : Rn+1 −→ R a Ck+1,α- extensão de gr denida pela fórmula (B.1), e denaFr = Fgr φr a aplicação Ck+1,α em Ur. Finalmente, dena

F(g) =

N∑r=1

φr · Fr,

FUNÇÕES COM DERIVADA NORMAL PRESCRITA 119

a função Ck+1,α em Σ.Vamos vericar que F(g) tem as características desejadas. Claramente, F(g) depende linear-

mente de g. A continuidade de F segue da Observação B.0.3. Como todas as Fr se anulam emRn × 0, por (c.), todas as Fr se anulam no bordo, portanto F(g) se anula em ∂Σ. Uma vez que

∂Fgr∂z

(x1, . . . , xn, 0) = gr(x1, . . . , xn),

por (d.), temos ηp(Fr) = g(p) para todo p ∈ ∂Σ ∩ Ur. Por outro lado, se p ∈ ∂Σ\Ur, entãoφr(p) = 0. Portanto, para p ∈ ∂Σ,

ηp (F(g)) =

N∑r=1

[ηp(φr) · Fr(p) + φr(p)ηp(Fr)

]=

N∑r=1

φr(p)g(p) = g(p);

o que conclui a prova. K

Corolário B.0.5. Para todo k ≥ 0 e α ∈ (0, 1], a aplicação linear limitada

L : Ck1,α(Σ) −→ Ck+1,α(∂Σ)× Ck,α(∂Σ)

F 7−→ (F |∂Σ , η(F ))

admite um inverso à direita.

Demonstração. Assuma que o campo η aponta para dentro de ∂Σ. Dada h ∈ Ck+1,α(∂Σ), construauma função E(h) ∈ Ck+1(Σ) com as seguintes propriedades

• E(h)|∂Σ = h;

• η (E(h)) ≡ 0.

Para isso, considere a métrica riemanniana em Σ tal que η é um campo vetorial ao longo de ∂Σ queé ortogonal a ∂Σ; seja exp a aplicação exponencial a ela associada. Uma vizinhança apropriada Ude ∂Σ pode ser identicada com o produto ∂Σ× [0, ε) via o difeomorsmo

∂Σ× [0, ε) −→ U

(p, t) 7−→ expp(t · ηp),

onde ε > 0 é um número sucientemente pequeno. Uma aplicação h ∈ U pode ser denida em Upondo h(p, t) = h(p), para todo (p, t) ∈ ∂Σ × [0, ε). Escolha uma função suave Ξ : Σ −→ [0, 1]que é identicamente 1 em uma vizinhança de ∂Σ e cujo suporte está contido em U . Então,E(h) : Ck+1(∂Σ) −→ Ck+1(Σ) é uma aplicação linear limitada. Uma inversa à direita R para L édada por

R(h, g) = E(h) + F(g).

K

Corolário B.0.6. Para todo k ≥ 1 e para todo α ∈ (0, 1], o subespaço

Ck,αη (Σ) =F ∈ Ck,α(Σ) : η(F ) ≡ 0

é fechado e complementado em Ck,α(Σ).

Demonstração. O conjunto Ck,αη (Σ) é claramente fechado na topologia C1. A propriedade de sercomplementado é equivalente a existência de um inverso limitado à direito para a aplicação

Ck,α(Σ) −→ Ck−1,α(∂Σ)

F 7−→ η(F ),

120 APÊNDICE B

Tal inverso à direita é dado por g 7−→ R(0, g), onde R foi denida no corolário anterior. K

Apêndice C

G-equivariância da Curvatura

Escalar

Seja M uma variedade riemanniana compacta e seja gss∈[a,b] uma família de métricas devolume 1 e curvatura escalar constante. Seja G um grupo de Lie conexo agindo em M por difeo-morsmos que preservam gs para todo s. Queremos mostrar que para toda φ ∈ Ck,α(M), positivae para todo difeomorsmo ξ ∈ G, temos

R(φξ)gs = Rφgs ξ.

Se gs = e2fgs, sabemos que

Rgs = e−2f[Rgs + 2(m− 1)∆f − (m− 2)(m− 1)‖∇f‖2

].

Fazendo e2f = φ, temos

f =1

2lnφ, ∇f =

1

2

∇φφ, ∆f =

1

2

(∆φ

φ+‖∇φ‖2

φ2

),

donde

Rφgs = φ−1

[Rgs + 2(m− 1)

1

2

(∆φ

φ+‖∇φ‖2

φ2

)− (m− 2)(m− 1)

∥∥∥∥1

2

∇φφ

∥∥∥∥2]

= φ−1

[Rgs + (m− 1)

∆φ

φ− (m− 1)(m− 6)

4

‖∇φ‖2

φ2

].

(C.1)

Sob a ação de G, Rφgs , ca

Rφgs ξ = (φ)−1 ξ[Rgs ξ + (m− 1)

(∆φ

φ

) ξ − (m− 1)(m− 6)

4

(‖∇φ‖2

φ2

) ξ]

= (φ ξ)−1

[Rgs ξ + (m− 1)

(∆φ) ξ(φ ξ)

− (m− 1)(m− 6)

4

‖∇φ‖2 ξ(φ ξ)2

].

Por outro lado, se zermos e2f = φ ξ,

f =1

2ln (φ ξ).

121

122 APÊNDICE C

Tomando φ = φ ξ em (C.1), teremos

R(φξ)gs = (φ ξ)−1

[Rgs + (m− 1)

∆ (φ ξ)(φ ξ)

− (m− 1)(m− 6)

4

‖∇ (φ ξ) ‖2

(φ ξ)2

].

Vamos mostrar que o gradiente e laplaciano são invariantes por ações isométricas. Seja (U,ψ)uma carta local em p ∈ M e

(ξ(U), ψ ξ−1

)uma carta local em ξ(p) ∈ M , se y = ξ(x) ∈ ξ(U),

para para x ∈ U , temosψ(x) = (x1(x), . . . , xm(x)),

(ψ ξ−1)(y) = (y1(y), . . . , ym(y)),

isto é, xi(x) = yi(ξ(x)); o diferencial dξ é um isomorsmo entre TxM e TyM ,

(dξ)x

(∂

∂xi

)x

=

(∂

∂yi

)ξ(x)

.

Para o gradiente, temos

(∇φ) ξ(x) = gij∂

∂yj

[φ (ψ ξ−1

)−1] ∂

∂yi

e

∇(φ ξ)(x) = gij∂

∂xj

[(φ ξ) ψ−1

] ∂

∂xi.

enquanto o laplaciano ca

(∆φ) (ξ(x)) =1√

det g(y)

∂

∂yj

(√det g(y)gij(y)

∂

∂yi

[φ (ψ ξ−1

)−1])

e

∆ (φ ξ(x)) =1√

det g(x)

∂

∂xj

(√det g(x)gij(x)

∂

∂xi

[(φ ξ) ψ−1

]).

Como ξ é uma isometria, ξ∗g = g, daí

g(x)(Xx, Yx) = g(ξ(x)) ((dξ)x(Xx), (dξ)x (Yx)) = g(y)(Xξ(x), Yξ(x)) = g(y)(Xy, Yy),

para quaisquer campos X,Y ∈ TM , em particular gij(x) = gij(y) para todo i, j. Além disso,temos

∂

∂yi

[φ (ψ ξ−1

)−1]

=∂

∂yi

[φ ξ ψ−1

]=

∂

∂xi

[φ ξ ψ−1

]=

∂

∂xi

[(φ ξ) ψ−1

],

analogamente,∂2

∂yi∂yi

[φ (ψ ξ−1

)−1]

=∂2

∂xi∂xi

[(φ ξ) ψ−1

].

Portanto,(∇φ) ξ(x) = ∇(φ ξ)(x) e (∆φ) (ξ(x)) = ∆ (φ ξ(x)) .

Resta apenas observar que (Rg(y)) ξ(x) = Rg(ξ(x)) ξ(x) = Rξ∗g(y)(x) = (Rg(x))(x), para con-cluirmos que

R(φξ)gs = Rφgs ξ.

como queríamos.

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