Tecchio Pedro Paulo Ventura

Pedro Paulo Ventura Tecchio

ANLISE DO ESTIMADOR DE ESTADO PORMNIMOS QUADRADOS PONDERADOS, EMSISTEMAS ELTRICOS DE POTNCIA, NASREGIES PRXIMAS AO LIMITE DE MXIMO

CARREGAMENTO

Trabalho de Concluso de Curso apresentado Escola de Engenharia de So Carlos, da

Universidade de So Paulo

Curso de Engenharia Eltrica com nfase emEletrnica

ORIENTADOR: LUS FERNANDO COSTA ALBERTO

So Carlos2011

AUTORIZO A REPRODUO E DIVULGAO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRNICO, PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.

Ficha catalogrfica preparada pela Seo de Tratamento

da Informao do Servio de Biblioteca EESC/USP

Tecchio, Pedro Paulo Ventura.

T251a Anlise do estimador de estado por mnimos quadrados

ponderados, em Sistemas Eltricos de Potncia, nas

regies prximas ao limite de mximo carregamento. /

Pedro Paulo Ventura Tecchio ; orientador Lus Fernando

Costa Alberto - So Carlos, 2011.

Monografia (Graduao em Engenharia Eltrica com

nfase em Eletrnica) -- Escola de Engenharia de So

Carlos da Universidade de So Paulo, 2011.

1. Sistemas eltricos de potncia. 2. Medidas e

controle. 3. Estimao de estados. 4. Mximo

carregamento. 5. Colapso de tenso. I. Titulo.

Resumo

Este trabalho aborda os estudos preliminares realizados com o intuito de analisar o processo de Es-

timao de Estados baseado no Mtodo de Mnimos Quadrados Ponderados, nas regies prximas

ao mximo carregamento de um Sistema Eltrico de Potncia. Com tal intuito, foram inteiramente

desenvolvidos os programas de Fluxo de Carga, Fluxo de Carga Continuado e Estimador de Estados.

Por fim, iniciou-se a anlise dos resultados encontrados, contudo, em funo de problemas na imple-

mentao de rotinas de Fatorao QR para o Estimador de Estados e na automatizao do processo

de Estimao de Estados ao longo da curva de carregamento do sistema, somente sero apresenta-

dos os resultados para o Sistema Reduzido Sul Brasileiro de 45 barras e utilizando apenas o mtodo

de fatorao conhecido como Eliminao de Gauss. Dentre os resultados encontrados, destaca-se a

tendncia de o Estimador de Estados WLS de produzir estimativas de carga inferiores s encontra-

das atravs do Fluxo de Carga Continuado, sendo esta tendncia observada para os trs conjuntos de

medidas analisados. No entanto, o aumento da redundncia do conjunto de medidas provocou uma

diminuio significativa da diferena de resultados obtidos entre os diferentes mtodos. Alm disso,

foram encontradas taxas elevadas de no convergncia, superiores a 25%, para a regio prxima ao

mximo carregamento e utilizando apenas medidas crticas. Os resultados encontrados reafirmam a

necessidade de utilizar conjuntos de medidas com nvel de redundncia global prximo ou superior a

1,9 para o sistema analisado.

Palavras-chave: Sistemas Eltricos de Potncia, Medidas e Controle, Estimao de Estados, M-

ximo Carregamento, Colapso de Tenso.

i

Abstract

This work discusses the preliminary studies carried out in order to analyze the weighted least squares

state estimation process, in regions close to the maximum loading of an Electric Power System. To

that end, were fully developed programs for Power Flow, Continuation Power Flow and WLS State

Estimator. Finally, the analysis of the results were initiated. However, due to problems in the im-

plementation of QR factorization routines for the State Estimator and the automation of the states

estimation process along the curve of system load, it will only be shown the results for the Reduced

Southern Brazilian System with 45 bars and using only the numeric factorization method known as

Gaussian Elimination. Among the findings, there is the tendency of the WLS State Estimator to pro-

duce load estimates lower than those found through the Continuation Power Flow for the three sets of

measures analyzed. However, increasing the redundancy of the set of measures caused a significant

reduction of the difference in results between the WLS State Estimator and the Continuation Power

Flow. In addition, we found high rates of non-convergence, over 25 % for the region near the maxi-

mum loading and using only critical measures. The results reaffirm the need for using measurements

planes with global redundancy level near or greater than 1.9 for the system under consideration.

Keywords: Electric Power Systems, Measurement and Control, State Estimation, Maximum

Loadability, Voltage Colapse.

iii

Sumrio

1 Introduo 1

2 Fundamentos Tericos 52.1 O Fluxo de Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 O Fluxo de Carga Continuado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 Sobre o mtodo da continuao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.2 Sobre a parametrizao da carga e da gerao . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.3 Sntese do sistema de equaes do Fluxo de Carga Continuado . . . . . . . . 13

2.3 O Estimador de Estados WLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Demais algortimos utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.1 Gerao de erros aleatrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.2 Resoluo de sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.2.1 Eliminao de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4.2.2 Fatorao QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Resultados 233.1 Da gerao de valores aleatrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Dos Fluxos de Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Do Estimador de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Concluso 41

Referncias Bibliogrficas 42

Apndice 45

v

Lista de Figuras

2.1 Modelo-pi Generalizado de Linha de Transmisso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.1 Resultado gerado pela funo ran1() dada uma semente igual a -1 . . . . . . . . . . 25

3.2 Resultado gerado pela funo gasdev() dada uma semente igual a -1 . . . . . . . . . 25

3.3 Resultado gerado pela funo ran1() dada uma semente igual a -90234 . . . . . . . . 26

3.4 Resultado gerado pela funo gasdev() dada uma semente igual a -90234 . . . . . . . 26

3.5 Sistema Reduzido Sul Brasileiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.6 Magnitude de Tenso da Barra 368 em PU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.7 Fase de Tenso da Barra 368 em graus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.8 Magnitude de Tenso da Barra 407 em PU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.9 Fase de Tenso da Barra 407 em graus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.10 Nmero de Condio para as Matrizes Jacobianas no fatoradas . . . . . . . . . . . 31

3.11 Nmero de Condio para as Matrizes Jacobianas fatoradas, Eliminao de Gauss . . 31

3.12 Nmero de Condio para as Matrizes Jacobianas fatoradas, Rotao de Givens . . . 32

3.13 Nmero de Condio para as Matrizes Jacobianas fatoradas, Transformaes de Hou-

sehlder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.14 Sistema Reduzido Sul Brasileiro - Conjunto de Medidas 1 . . . . . . . . . . . . . . 33



3.17 Magnitude de Tenso Mdia Estimada da Barra 368 - Conjunto 1 . . . . . . . . . . . 35



3.20 Comparao entre a carga estimada e a carga real - Conjunto 1 . . . . . . . . . . . . 36



3.23 Comparao entre a carga estimada e a carga real (zoom) - Conjunto 3 . . . . . . . . 38

3.24 Taxa de no convergncia para os diferentes casos e cargas . . . . . . . . . . . . . . 39

3.25 Comparao entre a carga estimada e carga real com diferentes desvios padro - Con-

junto 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

vii

Captulo 1

Introduo

A cada novo dia, o aumento populacional, a busca pela melhoria da qualidade de vida das pessoas e

pela gerao de riquezas promove um aumento significativo da demanda energtica mundial. Assim,

a fim de suprir essa demanda, existe a necessidade constante de investir na gerao e na distribuio

de energia pelo mundo.

As principais formas de energia conhecidas e utilizadas pelo homem so as de natureza fsica,

qumica e biolgicas. Sendo as mais exploradas na atualidade a queima de compostos provenientes do

petrleo, do carvo e da biomassa, a extrao de energia potencial de quedas dgua, de mars, elica,

solar e de elementos radioativos. Contudo, grande parte dessas fontes de energia esto localizadas

em regies afastadas dos centros consumidores principais ou ento exigem facilidades e cuidados

especficos que inviabilizam a sua produo prxima a tais locais. Existe, desta forma, a necessidade

de se transportar a energia produzida de um local para o outro.

Em geral, uma das formas mais simples, seguras e eficientes de se transportar energia se d

atravs da energia eltrica. Por tais motivos, as diversas formas de energia citadas anteriormente so

convertidas para energia eltrica a qual transportada atravs de redes de transmisso e distribuio

que fazem parte de sistemas conhecidos como Sistemas Eltricos de Potncia.

Os Sistemas Eltricos de Potncia - SEP so constitudos pelas centrais produtoras e consumi-

doras, pelas linhas de transmisso e distribuio e pelas unidades existentes responsveis por trans-

formar as caractersticas eltricas da energia sendo transportada. Dentre as caractersticas da energia

eltrica que podem ser transformadas citam-se o tipo de corrente que pode ser alternada ou constante,

a magnitude e fase de tenso e corrente, a frequncia de oscilao e a quantidade de fases no caso de

corrente alternada.

Usualmente, a transmisso e a distribuio de energia eltrica feita utilizando-se corrente e

tenso trifsica alternada com frequncia de 50Hz ou 60Hz e diversos nveis de magnitude de tenso

e corrente. Os sistemas de transmisso so utilizados para transportar a energia das centrais geradoras

para as centrais de distribuio, enquanto os sistemas de distruibuio so utilizados para transportar a

energia das centrais de distribuio para todas as cargas existentes no sistema naquela regio. Assim,

a distino entre transmisso e distribuio feita de acordo com os nveis de tenso e corrente das

linhas e com a variao da topologia da malha.

Outra distino importante entre os sistemas de transmisso e distribuio a distribuio de

1

Introduo

cargas entre as diferentes fases do sistema. Nos sistemas de distribuio h uma grande variao de

carga entre cada uma das fases de uma mesma linha devido grande diversidade de cargas acopladas

na linha em uma mesma regio. Tal fato no ocorre, usualmente, nos sistemas de transmisso, uma

vez que as cargas so, em geral, equilibradas em cada uma das fases das linhas de transmisso. Essa

caracterstica dos sistemas de trasmisso facilita a anlise dos mesmos, uma vez que pode-se modelar

o sistema como um equivalente monofsico, desprezando-se as pequenas variaes existentes entre

as diferentes fases.

Logo, tendo-se em vista a importncia dos Sistemas Eltricos de Potncia e suas caractersticas

diversificadas, existe a necessidade de melhor conhecer e entender os mecanismos de funcionamento

desses sistemas, bem como o comportamento dos mesmos mediante a ocorrncia de faltas de qualquer

natureza e severidade. Somente possuindo tal conhecimento possvel planejar, construir, manter e

operar os Sistemas Eltricos de Potncia de modo seguro, econmico e produtivo, promovendo o

desenvolvimento da regio em que so implantados.

Para tanto, no decorrer dos anos, foram desenvolvidas duas ferramentas importantes para a an-

lise destes sistemas, o Fluxo de Carga e o Estimador de Estados. Ambas as ferramentas podem ser

caracterizadas como mtodos numricos de obteno dos estados, magnitudes e fases de tenso, do

SEP. Contudo, elas possuem metodologias distintas, sendo a primeira determinstica e baseada num

conjunto de estados, de medidas e de equaes de mesma dimenso, enquanto a segunda baseada em

mtodos de regresso linear utilizando um conjunto de medidas e de equaes de dimenso maior do

que o conjunto de estados.

O Fluxo de Carga mais simples de ser formulado e calculado, apresentando solues mais

rpidas do que o Estimador de Estados, entretanto, por ser um sistema determinado, qualquer medida

errada no seu conjunto levar a obteno de estados no condizentes com a realidade do sistema. Este

comportamento altamente indesejado nos casos em que o sistema esteja sendo analisado em tempo

real, uma vez que variaes e erros de medidas so comuns e podem no ser facilmente detectados.

Logo, com o intuito de tentar sanar ou ao menos atenuar o problema de uma ou mais medidas

erradas no conjunto de variveis a serem analizadas, foram desenvolvidos os mtodos de Estimao

de Estados. Tal como citado anteriormente, estes mtodos so baseados nos mtodos de regresso

linear e necessitam para tanto de um conjunto superdeterminado de medidas e equaes.

Apesar de j serem amplamente utilizados e de existirem muitas variaes de implementao,

os programas de Estimao de Estados precisam, ainda, de melhorias e ajustes, tais como uma me-

lhor anlise de erros de medidas, aumento do tamanho mximo dos sistemas a serem analisados em

tempo hbil e verificao da sua funcionalidade quando o sistema encontra-se prximo do limite de

carregamento ou ainda prximo ao ponto de colapso de tenso.

A verificao da funcionalidade e da veracidade dos resultados gerados atravs de programas de

Estimao de Estados, nas regies prximas ao limite de mximo carregamento, de fundamental

importncia para uma operao correta e segura dos Sistemas Eltricos de Potncia. J que tais

sistemas so muitas vezes operados exatamente dentro de tais regies pelos mais diversos motivos,

tais como, custos de expanso e modernizao de mquinas e equipamentos, taxas de crescimento de

carga maiores do que as anteriormente previstas para um dado sistema e grandes variaes temporais

de carga. A insegurana de operao nessas regies advem da possibilidade do sistema entrar em uma

2

Introduo

condio instvel de operao, reversvel ou no, sendo que no pior dos casos o colapso da tenso,

blecaute, pode ocorrer.

A operao segura s possvel, tendo-se o conhecimento do estado real do sistema e da margem

de estabilidade de tenso real. Desta forma, os estudos realizados e aqui apresentados buscaram ca-

racterizar, mesmo que apenas trs conjuntos de medidas para um mesmo Sistema Eltrico de Potncia,

o comportamento do Estimador de Estados baseado no mtodo de Mnimos Quadrados Ponderados

implementado desde o ponto de carregamento inicial do sistema at o ponto de colapso de tenso,

ou de mximo carregamento. Com tal finalidade, foram implementados os programas de Fluxo de

Carga (Power Flow), Fluxo de Carga Continuado (Continuation Power Flow) e Estimador de Estado

por Mnimos Quadrados Ponderados (Weighted Least Squares State Estimator).

3

Captulo 2

Fundamentos Tericos

Este captulo constitui uma sntese terica sobre o Fluxo de Carga, o Fluxo de Carga Continuado

e o Estimador de Estados. Para cada uma destas ferramentas so apresentados, de forma simples e

direta, os equacionamentos tericos e as idias envolvidas na soluo destes problemas. Alm disso,

trata-se tambm sobre as funes e os mtodos numricos utilizados, tais como, gerao de nmeros

aleatrios, Eliminao de Gauss e Fatorao QR.

2.1 O Fluxo de Carga

O Fluxo de Carga uma ferramenta que tem como intuito obter numericamente as magnitudes e fases

das tenses de todas as barras de um Sistema Eltrico de Potncia, a partir de medidas de injeo

de potncia e de magnitude de tenso, bem como dos parmetros das linhas de transmisso e dos

equipamentos a elas acoplados.

A fim de se obter um conjunto de equaes que caracterizem o fluxo de potncia eltrica desse

tipo de sistema, faz-se necessrio adotar um modelo de linha de transmisso generalizado. O modelo

aqui utilizado denominado de Modelo-pi Generalizado de Linha de Transmisso o qual est dispostona Figura 2.1, [1] e [2].

Figura 2.1: Modelo-pi Generalizado de Linha de Transmisso

5

Fundamentos Tericos

O modelo de linha adotado caracterizado por uma impedncia srie, ykm, duas impedncias

shunts, yshkm e yshmk, e um trafo defasador cuja relao 1 : tkm onde tkm = akme

jkm . A tenso das barras

conectadas pela linha so iguais a Ek =Vke jk e Em =Vme jm .

Tomando-se o n do secundrio do trafo, cuja tenso Ep =Vpe jp , pode-se definir as seguintes

relaes a partir do modelo de trafo ideal:

Vpe jp

Vke jk= tkm (2.1)

IkmIpm+ Ishp

= tkm (2.2)

Desenvolvendo a equao (2.2) e utilizando a relao (2.1), pode-se obter a equao da corrente

entre as barras k e m:

Ikm = tkm[(EpEm)ykm+Epyshkm]

Ikm = (tkmtkmEk tkmEm)ykm+ tkmtkmEkyshkmLogo,

Ikm = a2kmEk(ykm+ yshkm) tkmEmykm (2.3)

Com base na equao da corrente Ikm, pode-se equacionar a potncia transmitida entre as barras,

uma vez que esta dada pela relao Skm = Ek Ikm. Assim,

Skm = a2kmV

2k (ykm+ y

shkm) tkmEmEk ykm

Desenvolvendo o termo tkmEmEk , tem-se que

tkmEmEk = akmVkVm[cos(km+km) j sin(km+km)]

Onde km = km. Logo,

Skm = a2kmV

2k [ykm+ y

shkm]akmVkVm[cos(km+km) j sin(km+km)]ykm (2.4)

Impondo ykm = gkm+ jbkm e yshkm = gshkm+ jb

shkm, pode-se desenvolver ainda mais a equao (2.4) a

fim de se obter as expresses da potncia real, ativa, e imaginria, reativa, transmitidas entre as barras

k e m, equaes (2.5) e (2.6) respectivamente.

Pkm = a2kmV2k (gkm+g

shkm)akmVkVm[gkm cos(km+km)+bkm sin(km+km)] (2.5)

Qkm =a2kmV 2k (bkm+bshkm)+akmVkVm[bkm cos(km+km)gkm sin(km+km)] (2.6)

As equaes (2.5) e (2.6) caracterizam o fluxo de potncia ou de carga entre duas barras genricas

do Sistema Eltrico de Potncia. Contudo, em geral, cada uma das barras do sistema est conec-

6

Fundamentos Tericos

tada por uma linha de transmisso a uma ou mais barras desse mesmo sistema, sendo, desta forma,

necessrio relacionar uma barra qualquer do sistema com todas as que esto ela conectada. Para

tanto, utiliza-se a Lei das Correntes de Kirchoff de forma que vale a relao (2.7), onde Ik a corrente

injetada na barra k, Ishk a corrente demandada por uma impedncia shunt conectada a esta barra e

Ikm representa a corrente entre a barra k em questo e uma barra m qualquer a ela conectada.

Ik = Ishk + m

Ikm (2.7)

Nota-se que indica o conjunto de todas as barras conectadas a barra k, com exceo delamesma. Enquanto K indica o conjunto de todas as barras conectadas a barra k incluindo ela mesma.

Assim, com base na equao de corrente Ikm, (2.3), e na equao Ishk = yshk Ek, pode-se desenvolver

a equao (2.7) de forma que ela possa ser representada por:

Ik = YkkEk + m

YkmEm = mK

YkmEm (2.8)

Onde, Ykk = yshk +

ma2km(ykm+ y

shkm)

Ykm =ykmtkm(2.9)

Impondo-se que Ykm = Gkm + jBkm, denominada matriz admitncia nodal, e sabendo-se que a

injeo de potncia complexa na barra k dada por Sk = Ek Ik, pode-se decompor a mesma de forma

que as potncias ativa e reativa injetadas na barra sejam dadas, respectivamente, pelas equaes (2.10)

e (2.11).

Pk =Vk mK

Vm[Gkm cos(km)+Bkm sin(km)] (2.10)

Qk =Vk mK

Vm[Gkm sin(km)Bkm cos(km)] (2.11)

Por fim, decompondo a matriz adimitncia nodal em suas componentes real e imaginria, obtm-

se: Gkk = gshk +

m[a2kmgkm+g

shkm]

Gkm =akm[gkm cos(km)+bkm sin(km)](2.12)

Bkk = bshk +

m[a2kmbkm+b

shkm]

Bkm =akm[bkm cos(km)gkm sin(km)](2.13)

Observa-se que a resoluo do sistema de equaes no lineares formado pelas equaes (2.10) e

(2.11), constitui a essncia da metodologia por trs do programa de Fluxo de Carga, uma vez que elas

representam a relao entre as medidas de Injeo de Potncia Ativa, Pk, e Reativa, Qk, na barra k,

com os Fluxos de Potncia Ativa e Reativa presentes nas linhas conectadas quela barra. Contudo, a

fim de se resolver tal sistema, deve-se caracterizar quais so as variveis conhecidas e desconhecidas

do mesmo.

7

Fundamentos Tericos

Na formulao bsica do problema, definem-se trs tipos de barras em Sistemas Eltricos de Po-

tncia que so PQ, barra de carga, PV , barra de gerao, e V , barra de referncia. Sendo conhecidaspara cada uma delas, respectivamente, ambas as injees de potncia, a injeo de potncia ativa e

a magnitude de tenso, e a magnitude e fase de tenso. Assim, percebe-se que como incgnitas do

sistema no linear temos as magnitudes e fases das barras tipo PQ, as fases e injees de potncia

reativa das barras tipo PV e as injees ativa e reativa da barra tipo V . Salienta-se que a barra Vpossui grande importncia para a resoluo do sistema, uma vez que ela atua tanto como barra de

referncia para o sistema quanto para o fechamento do balano de carga do mesmo.

Outro ponto importante a se notar reside sobre o fato de que as injees de potncias ativas e

reativas so, em geral, fornecidas como potncias geradas, Pmedgk e Qmedgk , ou consumidas, P

medlk e Q

medlk ,

sendo que, desta forma, os valores utilizados para as injees representam o saldo da diferena entre

a potncia gerada e a consumida para aquela barra, Pmedk = Pmedgk Pmedlk e Qmedk = Qmedgk Qmedlk .

Desta forma, caso existam NPQ barras do tipo PQ, NPV barras do tipo PV e NV barras do tipoV , ento o sistema constitudo por 2NPQ+NPV equaes possuindo, tambm, o mesmo nmerode estados desconhecidos. Entretanto, como prtica computacional, comum montar um sistema

considerando todas as barras do tipo PQ e em seguida impor restries de igualdade ao sistema para

as magnitudes de tenses das barras tipo PV e V e para a fase da tenso da barra V , desta forma, osistema tem 2NB equaes, sendo NB nmero de barras do sistema.

Contudo, uma vez que o sistema encontrado no linear, deve-se utilizar algum mtodo numrico

iterativo para a sua soluo. Dentre os mtodos existentes, o mais utilizado e aqui adotado o mtodo

de Newton-Raphson caracterizado por utilizar a formulao f(xv) =J(xv)xv. Onde, f(xv) indica ovalor das funes no lineares quando se aplica os valores dos estados, xv, na iterao v; J(xv) indicaa matriz Jacobiana do sistema calculada para o estado da iterao atual e xv representa a diferenaentre o estado da iterao atual e o estado da iterao anterior.

Assim, tomando-se f(xv), (2.14), vetor de funes formado pelas diferenas entre o saldo das me-didas de injees de potncia ativa e reativa de cada uma das barras do sistema e a respectiva equao

que a caracteriza, (2.10) e (2.11), calculada para os estados da iterao em questo; e, sendo J(xv)formulada tal como em (2.15), obtm-se um sistema de equaes lineares que pode ser solucionado

atrves de mtodos numricos tais como Eliminao de Gauss e Fatorao QR, a serem explicados a

posteriori.

f(x) =

[PQ

]=

[PmedPQmedQ

], x =

[V

]= 0 (2.14)

O resultado deste sistema linear, xv, incrementado no vetor de estados da iterao anterior eo processo repetido at que o erro, max(f(xv) f(xv1)), seja inferior a um valor pr-determinado.Ao fim deste processo iterativo, os valores das magnitudes e fases de tenses de todas as barras do

sistema estaro calculados. importante observar que as condies iniciais dos estados so definidas,

em geral, como sendo iguais a 1p.u. para as magnitudes de tenso e 0 para as fases de tenso.

8

Fundamentos Tericos

A formulao da matriz Jacobiana dada a seguir:

J(x) =

P PVQ

QV

(2.15)Onde,

Pkm

=

VkVm(Gkm sin(km)Bkm cos(km)) , se k 6= mV 2k BkkVk

mKVm(Gkm sin(km)Bkm cos(km)) , se k = m

(2.16)

PkVm

=

Vk(Gkm cos(km)+Bkm sin(km)) , se k 6= mVkGkk +

mKVm(Gkm cos(km)+Bkm sin(km)) , se k = m

(2.17)

Qkm

=

VkVm(Gkm cos(km)+Bkm sin(km)) , se k 6= mV 2k Gkk +Vk

mKVm(Gkm cos(km)+Bkm sin(km)) , se k = m

(2.18)

QkVm

=

Vk(Gkm sin(km)Bkm cos(km)) , se k 6= mVkBkk +

mKVm(Gkm sin(km)Bkm cos(km)) , se k = m

(2.19)

9

Fundamentos Tericos

2.2 O Fluxo de Carga Continuado

O Fluxo de Carga Continuado pode ser entendido como uma aplicao sequencial sucessiva e au-

tomatizada do Fluxo de Carga para um mesmo Sistema Eltrico de Potncia, sendo que para cada

aplicao h um incremento da carga total consumida e gerada no sistema de acordo com um pa-

rmetro de carregamento, , e caractersticas associadas aos geradores e s reas de distribuio decarga deste sistema. Ou seja, a partir do resultado do fluxo de carga inicial, denominado de caso base,

realizado um incremento parametrizado da demanda e da gerao de potncia no sistema, sendo

calculado um novo fluxo de carga a partir dos novos valores de injees de potncias ativas e reativas.

Este programa permite, portanto, traar os perfis de magnitude e fase de tenso para cada uma

das barras do sistema em funo do carregamento do mesmo. Estes perfis auxiliam no entendimento

e caracterizao do comportamento de um sistema sob diversas situaes de carregamento, tornando

possvel visualizar casos crticos, tal como o Ponto de Colapso de Tenso (ponto de carregamento

onde ocorre inflexo das curvas de tenso), [5] e [4].

Para a implementao deste programa, foram analizadas, inicialmente, duas metodologias distin-

tas. A primeira consistia em resolver os fluxos de carga a partir de pequenos incrementos de carga

de tamanho mximo pr-definidos. Sendo que a condio inicial utilizada para o clculo dos estados

do sistema para a condio i+1 era igual ou aproximadamente igual aos valores encontrados paraos estados na condio i. Esta soluo, contudo, comea a falhar prximo ao Ponto de Colapso deTenso, uma vez que a Jacobiana do sistema tende a singularidade nesta regio.

A segunda metodologia resolve o problema da singularidade da Jacobiana atravs da utilizao de

uma equao de parametrizao da curva de carregamento. Logo, a dimenso do sistema aumentada

de uma unidade, passando o parmetro de carregamento, , a fazer parte do conjunto de estados x.O programa implementado utiliza a segunda metodologia, uma vez que ela mais robusta e per-

mite traar toda a curva de carregamento do sistema. A principal referncia para o desenvolvimento

deste programa foi o artigo [3]. Ressalta-se, entretanto, que foram realizadas pequenas modificaes

em relao ao mtodo exposto no artigo, tais como a no implementao dos controles de reativo

dos geradores; a no utilizao do mtodo da tangente como preditor para os dois primeiros pontos

de carregamento do sistema que foram aqui resolvidos pelo Fluxo de Carga simples; a utilizao de

comprimentos de arco, s, constantes durante todo o processo e a utilizao de parametrizao docarregamento do sistema baseada nos trabalhos [4] e [5].

O equacionamento apresentado para o Fluxo de Carga na seo anterior deve sofrer as modifica-

es necessrias, para que o programa de Fluxo de Carga Continuado desenvolvido fique totalmente

caracterizado.

2.2.1 Sobre o mtodo da continuao

O mtodo da continuao utilizado baseado na implementao de um funo de parametrizao da

curva de comportamento dos estados do sistema em anlise, aliada a um algoritmo estilo preditor-

corretor.

Tal como anteriormente citado, acrescentada uma funo ao sistema de equaes (2.14), sendo

que esta funo atua de forma a vincular a variao dos estados do sistema em funo da variao do

10

Fundamentos Tericos

parmetro . A funo utilizada denominada de comprimento de arco (2.20), e pode ser visualizadacomo uma medida de distncia entre os estados dos fluxos de carga com carregamentos v e v1.

2NB

i=1

(xv1i xvi )2+( v1 v)2 (s)2 = 0 (2.20)

Onde, v indica a iterao do Fluxo de Carga Continuado, xi, indica o estado, magnitude ou fase

de tenso, da barra i e s indica o comprimento do arco estipulado entre dois carregamentos distintos,ou seja, o passo utilizado no incremento da carga. s pode ter seu valor alterado dinamicamentedurante a execuo do algoritimo de forma a reduzir ou aumentar o comprimento do passo entre os

fluxos calculados, para tanto, tais alteraes devem levar em considerao o comportamento da curva

parametrizada a fim de que os passos utilizados no provoquem problemas de convergncia. No

entando, a fim de simplificar a resoluo do problema, decidiu-se por adotar um valor fixo e igual a

0.05 para este parmetro. Este valor foi escolhido empiricamente para o SEP utilizado em funo de

produzir uma quantidade de passos satisfatria para o esboo das curvas de carregamento do sistema,

sem que houvessem problemas de convergncia. Tal procedimento no acarreta nenhum problema

desde que o passo escolhido seja suficientemente pequeno de forma a no provocar problemas de

convergncia.

O sistema modificado, novamente no linear, deve ser numericamente resolvido, contudo, ao con-

trrio do Fluxo de Carga, este sistema depende dos valores dos estados de carregamentos anteriores

para ser resolvido. Por tal motivo, faz uso do mtodo preditor-corretor, que consiste em calcular uma

estimativa dos estados para o carregamento v em funo dos estados de carregamentos anteriores, eem seguida, realizar um procedimento corretor de forma a minimizar o erro desta estimativa.

O algoritmo preditor utilizado baseado no mtodo da secante, ou seja, dados dois estados,

(xv2, v2) e (xv1, v1), pode-se obter (xv, v) de acordo com a equao (2.21).

(xv, v) = (xv1, v1)+h(xv1xv2, v1 v2) (2.21)

Onde,

h =

s2NBi=1

(xv1i xv2i )2+( v1 v2)2

Por sua vez, o algoritmo corretor utilizado a soluo do sistema no linear (2.36) atravs do

mtodo de Newton-Raphson de forma semelhante ao explicado para o Fluxo de Carga, a no ser pelo

uso da estimativa calculada pelo preditor como condies iniciais dos estados do sistema.

Observa-se que o mtodo da secante no pode ser utilizado como preditor para a primeira e se-

gunda iteraes do Fluxo de Carga Continuado, uma vez que no existem estados anteriores definidos.

Uma forma de contornar tal problema seria o desenvolvimento de um mtodo baseado na tangente, tal

como exposto em [3], contudo esta soluo exige o desenvolvimento de algumas rotinas numricas

mais complexas, necessitando, desta forma, de um maior esforo computacional.

Uma soluo mais simples, e no menos eficaz, consiste em resolver dois fluxos de carga simples,

o caso base, = 1, e outro muito prximo ao caso base, 1, de forma a gerar os dois conjuntos de

11

Fundamentos Tericos

estados necessrios para executar o algoritmo preditor. Sendo est ltima, a soluo escolhida para o

programa desenvolvido.

2.2.2 Sobre a parametrizao da carga e da gerao

A parametrizao da variao de crescimento da carga e de gerao do Sistema Eltrico de Potncia

possui grande influncia nos resultados encontrados e na sua correlao com a realidade do sistema

em estudo. Logo, importante utilizar um sistema que consiga simular esta variao de forma seme-

lhante com a realidade.

A parametrizao da carga ativa total PlT , em funo de e da carga ativa total do caso base PlT0 , dada pela equao (2.22), sendo o parmetro de carregamento.

PlT ( ) = PlT0 (2.22)

Em geral, o crescimento da carga no uniforme dentro de um SEP, uma vez que as cargas que

ele engloba podem ter caractersticas bem distintas uma das outras, alm disso, podem existir reas

em que o crescimento das cargas se d de maneira semelhante. Assim, sero utilizado dois tipos de

fatores de participao, um especfico para cada uma das barras do sistema, fpb (fator de participao

da barra), e outro para grupos de barras desse sistema, fpa (fator de participao da rea). Define-se,

tambm, a idia de potncia total, PlAi , de uma rea i qualquer, (2.23), e sua relao com a potncia

total, (2.24).

PlAi = jAi

Pl j (2.23)

PlT0 =PlAi0 (2.24)

O crescimento de carga de uma rea i qualquer dado pelo parmetro de forma que:

PlAi = PlA0i(1+ fpai) (2.25)

Utilizando as equaes (2.22), (2.24) e (2.25), pode-se isolar o valor de .

=PlA0i ( 1)PlA0i fpai

(2.26)

Impondo, Ai =PlA0i

(PlA0ifpai)

, a equao de potncia para uma rea i qualquer dada por (2.27).

PlAi ( ) = PlA0i [1+ fpaiAi( 1)] (2.27)

De forma semelhante pode-se especificar o crescimento de carga para barras especficas dentro

de uma determinada rea i, (2.31).

PlB j = PlB0 j(1+ fpb j) (2.28)

12

Fundamentos Tericos

=PlA0i

[fpaiAi( 1)]jAi

PlB0 jfpb j

(2.29)

B j =PlA0i

[fpaiAi ]

jAi

PlB0 jfpb j

(2.30)

PlB j ( ) = PlB0 j [1+ fpb jB j( 1)] (2.31)

De maneira anloga pode-se obter as equaes para o incremento de potncia reativa no sistema,

mantendo, claro, distino entre os fatores de participao de cada barra e rea para as potncias

ativas e reativas.

Por sua vez, o incremento de gerao foi parametrizado em funo do momento de inrcia dos

geradores e da variao da carga do sistema, de acordo com a relao (2.32).

Pgi =MiMT

PlT (2.32)

Sendo que, Mi representa o momento de inrcia do gerador i, MT , o momento de inrcia total das

mquinas do sistema, PlT , representa a variao total de carga das barras, e Pgi indica a variao dapotncia ativa do gerador i, (2.33).

PlT =NB

j=1

(Pl( )Pl0) (2.33)

Assim,

Pgi =MiMT

NB

j=1

(Pl( )Pl0) (2.34)

Logo, a potncia ativa fornecida por cada gerador do sistema pode ser obtida atrves da soma da

potncia gerada original mas o incremento fornecido por aquele gerador para o incremento de carga

especificado.

Pgi( ) = Pg0i +MiMT

NB

j=1

(Pl j( )Pl0 j ) (2.35)

Observa-se que a ponderao utilizada pelo momento de inrcia arbitrria e que outras ponde-

raes poderiam ser facilmente definidas e utilizadas tendo-se um maior conhecimento do SEP em

anlise e da capacidade dos geradores que fazem parte do mesmo.

2.2.3 Sntese do sistema de equaes do Fluxo de Carga Continuado

De forma resumida, o sistema de equaes a ser resolvido no fluxo de carga continuado, a partir da

terceira iterao do programa consiste em resolver (2.36) atravs do mtodo iterativo de Newton-

Raphson, com as condies iniciais calculadas pela equao (2.21).

13

Fundamentos Tericos

f(x, ) = 02NB

i=1

(xv1i xvi )2+( v1 v)2 (s)2 = 0(2.36)

O sistema linearizado a ser iterado est disposto a seguir:Pv

Pv

VPv

Qv

Qv

VQv

Sv

Sv

VSv

V

=P

v

Qv

Sv

(2.37)

Sendo vlidas as seguintes relaes para o termo independente:

P = Pg( )Pl( )Pmed (2.38)Q = Qg( )Ql( )Qmed (2.39)

Sv = (s)2[

2NB

i=1

(xv1i xvi )2+( v1 v)2]

(2.40)

Por sua vez, a matriz Jacobiana formada pelas equaes a seguir em conjunto com as equaes

(2.16), (2.17), (2.18) e (2.19):

Pvk

= Pl0k fpbativakBativak MkMT

NB

j=1

Pl0 j fpbativa jBativa j (2.41)

Qvk

= Ql0k fpbreativakBreativak (2.42)

Sv

k= 2( v1k vk ) (2.43)

Sv

Vk= 2(V v1k V vk ) (2.44)

Sv

= 2( v1 v) (2.45)

14

Fundamentos Tericos

2.3 O Estimador de Estados WLS

O processo de estimao de estados implementado baseado no mtodo de regresso linear utilizando

o modelo de equaes no linear dado por (2.46), [1] e [15]. Esta metologia difere das anteriores

principalmente em funo de no gerar um resultado nico, mas sim, um resultado especfico para

um dado conjunto de medidas e ponderao e para uma determinada formulao do equacionamento.

Dentre as formulaes existentes, a utilizada neste trabalho baseado na equao Normal e no mtodo

de Mnimos Quadrados Ponderados, portanto, o estimador implementado conhecido como WLS -

Weighted Least Squares.

z = h(x)+ e (2.46)

O modelo (2.46) relaciona o vetor de medidas, z, sendo a dimenso do vetor de medidas dado pordim(z) = m; o vetor de equaes no lineares, h(.), dim(h(.)) = m; o vetor de estados verdadeiros x,dim(x) = n e o vetor de erros nas medidas e cuja dim(e) = m. Alm disso, define-se que n < m, ouseja, o sistema no linear obrigatoriamente superdeterminado, bem como, assume-se que o vetor de

erros das medidas possui mdia zero e varincia Wz.

Aplicando as condies de optimalidade sobre o ndice J(x), que expresso pela equao (2.47),encontra-se a expresso optimal de primeira ordem para este modelo, equao (2.48). Onde j oelemento ( j, j) da matriz de covarincia de erros das medidas, Wz.

J(x) =12

m

j=1

(z jh j(x)

j

)2(2.47)

g(x) =J(x)x

=m

j=1

(z jh j(x)

j

)h j(x)x

(2.48)

Sendo que g(x) denota o gradiente de j(x), podendo-se encontrar o conjunto soluo para g(x) =0, atravs do mtodo iterativo de Newton-Raphson. Para tanto, deve-se fazer a expanso de Taylor da

funo gradiente, (2.48), gerando a expresso (2.49).

g(x+x)= g(x)+G(x)x (2.49)

Onde G(x) a matrix Hessiana do ndice J(x):

G(x) = 2J(x)x2

= H(x)W1z H(x)m

j=1

(x

2h j(x)x2

)(2.50)

Uma vez que o mtodo de Newton-Raphson utiliza apenas as derivadas de primeira ordem, as

derivadas de ordem superior podem ser ignoradas, e dessa forma, a matrix ganho dada por:

G(x) = H(x)W1z H(x) (2.51)

15

Fundamentos Tericos

Por fim, o vetor de estados estimados, x, pode ser obtido iterando-se o sistema dado por:(H(xv)W1z H(xv)

)xv = H(xv)W1z r(xv)

xv+1 = xv+xv(2.52)

Sendo, H(.), (2.53), a matrix Jacobiana de h(.) e r(xv) = z h(xv). A condio de parada domtodo iterativo utilizada tal que minz(xv) erro_processo, onde erro_processo um valor pr-definido.

J(x) =

Pk

PkV

Qk

QkV

Pkm

PkmV

Qkm

QkmV

Vk

VkV

(2.53)

Onde, Pk e Qk indicam as medidas de injeo de potncia ativa e reativa nas barras k e cujasderivadas so dadas em (2.16),(2.17), (2.18) e (2.19); Pkm e Qkm so as medidas de fluxo de potn-cia ativa e reativa entre as barras k e m e cujas derivadas so dadas por (2.54), (2.55), (2.56) e (2.57),

e Vk indicam as medidas de magnitude de tenso, com derivadas (2.58) e (2.59).Pkmk

= akmVkVm[gkm sin(km+km)bkm cos(km+km)]Pkmm

=akmVkVm[gkm sin(km+km)bkm cos(km+km)](2.54)

PkmVk

= 2a2kmVkgkmakmVm[gkm cos(km+km)+bkm sin(km+km)]PkmVm

=akmVk[gkm cos(km+km)+bkm sin(km+km)](2.55)

Qkmk

=akmVkVm[bkm sin(km+km)+gkm cos(km+km)]Qkmm

= akmVkVm[bkm sin(km+km)+gkm cos(km+km)](2.56)

QkmVk

=2a2kmVk(bkm+bshkm)+akmVm[bkm cos(km+km)gkm sin(km+km)]QVm

= akmVk[bkm cos(km+km)gkm sin(km+km)](2.57)

Vkk

= 0

Vkm

= 0(2.58)

VkVk

= 1

VkVm

= 0(2.59)

Contudo, obter o vetor de estados estimados x pura e simplesmente no fornece nenhuma garantia

16

Fundamentos Tericos

de que tais estados esto prximos da realidade do sistema, uma vez que o conjunto de medidas uti-

lizados pode conter uma ou mais medidas com erros significativos, denominados de erros grosseiros.

A utilizao de medidas com erros grosseiros leva a obteno de estados errados ou at mesmo a no

convergncia do processo de estimao.

Assim, fica evidente que rotinas e algoritmos de identificao de erros grosseiros nas medidas so

de extrema importncia para o uso correto e seguro dos mtodos de estimao de estados. Alguns

mtodos conseguem apenas verificar a existncia de erros grosseiros no conjunto de medidas tal como

o Teste do ndice Jx, outros conseguem verificar a existncia e identificar, na maioria dos casos, as

medidas com erro grosseiro, tal como o Teste do Resduo Normalizado, [1] e [15].

Por causa de tais motivos, foi implementado no programa de estimao de estados utilizado, o

Teste do Resduo Normalizado. Este teste atua de forma a correlacionar os resduos das diversas

medidas existentes de uma forma que a comparao direta da ordem de magnitude dos mesmos seja

possvel. O vetor resduo de estimao, r = zh(x), pode ser entendido como um conjunto de errosentre os valores das medidas, zi, e os valores estimados para essas medidas, hi(x). Entretanto, cadauma dessas medidas possui uma varincia especificada pelo equipamento utilizado para realiz-la,

no sendo possvel desta forma, comparar diretamente os resduos de diferentes tipos de medidas

entre si. A normalizao dos resduos faz com que este problema seja extinto, tornando a comparao

direta entre os resduos normalizados possvel.

O mtodo de normalizao dos resduos consiste em calcular a matriz de covarincia dos resduos,

r, (2.60), e aplicar a equao (2.61). Sendo que, rNi representa o resduo normalizado da medida i,

ri o resduo da medida i e ri =1ii o desvio padro do resduo desta medida.

r = W1H(HWH)1H (2.60)

rNi =riri

(2.61)

Assim, aps a normalizao feita uma verificao em busca do maior valor contido no vetor de

resduos normalizados. Caso esse valor seja superior a um determinado padro adotado, aceito que

haja um erro grosseiro no valor desta medida, sendo ento esta eliminada do conjunto dando incio a

um novo processo de estimao de estados e verificao de erros grosseiros. O ciclo inerente deste

processo termina quando nenhum outro resduo superior ao padro adotado encontrado ou quando

a estimao de estados se torna impossvel devido a problemas de observabilidade ou problemas

numricos de convergncia.

Em geral, o padro utilizado para determinar se uma medida possui erros grosseiros ou no

o valor 3. Este valor escolhido em funo de testes estatsticos relacionados ao processo sendo

aqui adotado sem maiores discusses. Alm disso, cabe ressaltar que este processo no consegue

identificar todos os tipos de erros grosseiros, como exemplo, tm-se os erros grosseiros em medidas

crticas as quais tem resduo nulo, [6] e [8]. Outro ponto importante, reside no fato de que apenas

uma medida com resduo normalizado superior a 3 deva ser eliminada por vez, sendo esta a de maior

resduo normalizado. Tal fato decorre essencialmente das interaes existentes no sistema, sendo

tais iteraes responsveis por propagar o erro existente em uma medida para os resduos de outras

17

Fundamentos Tericos

medidas.

18

Fundamentos Tericos

2.4 Demais algortimos utilizados

Os algortimos que sero apresentados nesta seo foram utilizados para inserir erros pseudo-aleatrios

nos arquivos de entrada do Estimador de Estados e no desenvolvimento das rotinas de soluo de sis-

temas lineares dos programas descritos anteriormente.

2.4.1 Gerao de erros aleatrios

Com a finalidade de testar robustamente o Estimador de Estados implementado, buscou-se inserir

erros pseudo-aleatrios em todas as medidas utilizadas constantes nos arquivos de entrada. Para

tanto, foram utilizadas as funes gasdev() e ran1(), sendo estas encontradas em [11] e dispostas noApndice deste trabalho.

Tal como descrito nos comentrios da funo gasdev(), o algortmo utilizado gera um valor dedesvio com mdia zero e varincia unitria, assim, deve-se usar a equao (2.62) para aplicar erros s

medidas do sistema.

z = zCPFLOW+z ez (2.62)

Onde, z representa a medida acrescida de erro e que ser utilizada para a estimao, zCPFLOWrepresenta a medida original sem erro gerada pelo programa de Fluxo de Carga Continuado, z cor-responde ao valor adotado para o desvio padro da medida em questo e ez o valor pseudo-aleatrio

com distribuio normal padro obtido a partir da funo gasdev().

2.4.2 Resoluo de sistemas lineares

Os sistemas lineares do tipo Ax = b foram numericamente resolvidos empregando mtodos de fato-rao matricial e o mtodo conhecido como substituio reversa.

A substituio reversa pode ser aplicada em um sistema linear Ux = c a fim de encontrar osvalores de x, desde que a matriz U seja triangular superior, [13] e [14]. Para tanto, basta resolver aequao (2.63) para todos os valores de i = n, n1, n2, ..., 1.

xi =

(bi

n

j=i+1

ui jx j

)/uii (2.63)

Nota-se que as dimenses dos elementos desses sistemas lineares devem ser dim(A) = dim(U) =n n, dim(x) = dim(b) = dim(c) = n.

Contudo, em geral o sistema linear original caracterizado por possuir uma matriz A quadradaqualquer, assim, utilizam-se mtodos de fatorao matricial com o intuito de transformar o sistema

original do tipo Ax = b em um sistema equivalente Ux = c, onde a matriz U uma matriz quadradatriangular superior. Sendo, o conjunto soluo formado pelo vetor x igual em ambos os casos.

Dentre os mtodos de fatorao existentes, foram implementados a Eliminao de Gauss e a

Fatorao QR.

19

Fundamentos Tericos

2.4.2.1 Eliminao de Gauss

O mtodo conhecido como Eliminao de Gauss utilizado com o intuito de transformar uma matriz

A qualquer em uma matriz triangular superior U equivalente. O processo a ser desenvolvido consisteem aplicar n matrizes de transformaes de Gauss, Tk, sobre a matriz original A, sendo dim(A)= n n.Ou seja, U = TnTn1Tn2 T1A, [13] e [14].

As matrizes de transformao de Gauss so construdas de acordo com a equao (2.64).

Tk = Ivkek (2.64)

Onde I representa a matriz identidade de ordem n, vk o vetor coluna construdo tal como dispostoem (2.65) e ek um vetor linha que possui todos os seus elementos nulos excesso do elemento kque igual a unidade.

vk =

0 , se i < kAk1ik /Ak1kk , se i k (2.65)Ak1ik representa o elemento da linha i coluna k da matriz A

k1 = Tk1Tk2Tk3 T1A. Oelemento Ak1kk pode ser descrito de forma anloga ao anterior, sendo este elemento, em geral, deno-minado de piv, o qual tem uma importncia fundamental na qualidade dos resultados obtidos por

este mtodo.

Como pode ser facilmente observvel, este mtodo falha somente na condio de piv nulo, con-

tudo, caso o piv tenha um valor prximo de zero, os resultados encontrados podem possuir problemas

numricos. Assim, de forma a evitar tais problemas numricos, so realizadas normalmente rotinas

de pivotamento. Dentre as rotinas existentes para tal fim, implementou-se a que define o piv como o

maior valor dentre os elementos Ak1ik com i k.Devido aos problemas relacionados ao piv no mtodo de Eliminao de Gauss para sistemas mal

condicionados, buscou-se implementar outro mtodo de fatorao denominado de QR.

2.4.2.2 Fatorao QR

A Fatorao QR de uma matriz consiste em encontrar duas matrizes Q e R de tal forma que valha arelao a seguir, e que a matriz Q seja ortogonal e que R seja triangular superior, [11], [12], [13] e[14].

A = QR (2.66)

Uma matriz dita ortogonal caso valha a relao QQ = I, onde Q equivale a matriz transpostade Q e I a matriz identidade de mesma ordem da matriz Q, ou tambm Q = Q1. Assim, dado osistema original, Ax = b, e a relao (2.66), vale:

QRx = b (2.67)

Utilizando a caracterstica de ortogonalidade,

QQRx = Qb

20

Fundamentos Tericos

Rx = Qb (2.68)

Assim, a partir da fatorao realizada pode-se aplicar o mtodo de substituio reversa a fim de re-

solver o sistema de forma que valham U=R e c=Qb. Importante notar que se Q=Q1Q2Q3 Qn =(QnQn1Qn2 Q1)1 ento Q = QnQn1Qn2 Q1.

Dentre os mtodos existentes para este tipo de fatorao, foram implementados os baseados nas

Transformaes de Househlder e nas Rotaes de Givens.

As Transformaes de Househlder podem ser calculadas atravs da equao (2.69), onde P amatriz resultante que representa a transformao ou reflexo, I a matriz identidade de dimenso n ne v um vetor de dimenso n no nulo.

P = I 2vv

vv (2.69)

A utilizao dessas transformaes na fatorao QR se d uma vez que ela pode ser utilizada para

anular vrios elementos de um vetor. Ou seja, suponha que y1 seja um vetor coluna com elementosiguais aos da primeira coluna da matriz A, e que w1 seja um vetor coluna de mesma dimenso que y1,sendo que todos os elementos de w1 sejam nulos excesso do primeiro w11 . Impondo y1= w1e v = w1y1, pode-se encontrar uma matriz ortogonal P1 = Q1 que ir anular todos os elementos daprimeira coluna de Q1A.

De forma semelhante, para o vetor y2 que representa a segunda coluna da matriz Q1A, e parao vetor w2 que possui todos os elementos no nulos excesso de w21 e w22 , impondo as mesmascondies anteriores e fazendo w21 = y21 , pode-se encontrar P2 = Q2 tal que todos os elementos dasegunda coluna de Q2Q1A sejam nulos excesso dos dois primeiros. Tal procedimento pode serrepetido n-1 vezes at que a matriz A esteja fatorada.

Por sua vez, as Rotaes de Givens atuam de forma a anular elemento a elemento de uma matriz,

sendo que a forma mais bsica do algortmo consiste em criar matrizes de rotao Qij que zerem oelemento (i, j) de QijA. Qij construida de forma que todos os elementos da diagonal, excessodos elementos (i, i) = c e ( j, j) = c so iguais a unidade, e que todos os demais elementos excesso

de (i, j) =s e ( j, i) = s so nulos.Os valores de c e s podem ser calculados atravs de (2.70), sabendo que a representa o elemento

( j, j) da matriz A e b respresenta o elemento (i, j) desta mesma matriz.c = 1;s = 0 ,se b = 0

t = a/b;s = 1/

1+ t2;c = s t ,se |b|> |a|t = b/a;c = 1/

1+ t2;s = c t ,se |b|< |a|

(2.70)

Assim, basta aplicar as relaes acima para todos os elementos no nulos abaixos da diagonal

principal da matriz A de forma a fatora-la para uma matriz triangular superior.

21

Captulo 3

Resultados

O presente captulo apresenta os principais resultados encontrados durante a execuo deste trabalho.

Inicialmente, busca-se mostrar o correto funcionamento das funes de gerao de nmeros

pseudo-aleatrios, utilizadas para inserir erros pseudo-aleatrios com distribuio normal nos valores

de magnitude de tenso, de fluxos e de injees de potncia ativa e reativa produzidos pelo programa

de Fluxo de Carga Continuado. Desta forma, tais resultados puderam ser utilizados como medidas

para a execuo do Estimador de Estados. Em seguida, so apresentados os resultados dos programas

implementados, com enfoque no Fluxo de Carga Continuado e no Estimador de Estados.

Para o Fluxo de Carga Continuado so mostradas curvas de magnitude e fase de tenso em funo

do parmetro de carregamento, , com comparaes entre os resultados encontrados quando utiliza-dos os diferentes mtodos numricos de Eliminao de Gauss e Fatorao QR. Apresenta-se, tambm,

uma anlise inicial da variao dos nmeros de condio das matrizes jacobianas utilizadas.

Os resultados mostrados para o Estimador de Estados buscam analisar, em mdia, a preciso e

a confiabilidade dos resultados produzidos por esta ferramenta para Sistemas Eltricos de Potncia

com conjuntos de medidas prximos da realidade habitual encontrada na prtica, ou seja, sistemas

que possuam medidas crticas e conjuntos crticos de medidas. Com tal intuito, foram realizadas

comparaes entre os resultados, de magnitudes de tenso e de carga total do sistema, produzidos pelo

Estimador de Estados e pelo Fluxo de Carga Continuado. Alm disso, de forma a gerar resultados

mais abrangentes, foram utilizados trs conjuntos de medidas com diferentes graus de redundncia.

importante salientar que para todas as estimaes de estado realizadas, foi executado o proce-

dimento de Eliminao de Erros Grosseiros pelo mtodo do Resduo Normalizado, tal como descrito

na Seo 2.3 deste trabalho. Alm disso, no foi feita nenhuma restrio sobre os erros pseudo-

aleatrios inseridos nos valores utilizados como medidas para a estimao, ou seja, erros com mais

de 3 vezes o desvio padro da medida foram inseridos nos conjuntos de medidas utilizados. Logo, no

foi incomum encontrar casos em que o Estimador de Estados encontrou e eliminou um ou mais Erros

Grosseiros dos conjuntos de medidas utilizados nos mais diversos pontos de operao do sistema.

Por fim, ressalta-se que as medidas de injeo nula existentes no sistema foram tradadas da mesma

forma que as medidas de uma barra de carga tipo PQ normal.

23

Resultados

3.1 Da gerao de valores aleatrios

Tal como descrito anteriormente na Seo 2.4.1, as funes ran1() e gasdev() so responsveis porgerar valores com distribuies respectivamente uniforme e normal. Para tanto, basta tomar um valor

numrico como semente inicial do processo e armazenar os valores obtidos um a um sequencialmente.

Este processo foi usado para gerar os grficos contidos nas Figuras 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4, sendo que para

as duas primeiras figuras a semente inicial foi igual a 1 e para as duas ltimas foi igual a 90234.Alm disso, em todos os casos foram armazenados exatamente 10.000 valores.

Nota-se facilmente pelos histogramas aqui apresentados que as distribuies dos conjuntos de

valores gerados por cada uma das funes est de acordo com o esperado independentemente da

semente utilizada, validando, assim, a utilizao de tais funes para a gerao dos erros aleatrios

com distribuio normal nas medidas do estimador de estados.

24

Resultados

Figu

ra3.

1:R

esul

tado

gera

dope

lafu

no

ran1

()da

daum

ase

men

teig

uala

-1

Figu

ra3.

2:R

esul

tado

gera

dope

lafu

no

gasd

ev()

dada

uma

sem

ente

igua

la-1

25

Resultados

Figu

ra3.

3:R

esul

tado

gera

dope

lafu

no

ran1

()da

daum

ase

men

teig

uala

-902

34

Figu

ra3.

4:R

esul

tado

gera

dope

lafu

no

gasd

ev()

dada

uma

sem

ente

igua

la-9

0234

26

Resultados

3.2 Dos Fluxos de Carga

O programa de Fluxo de Carga implementado foi testado comparativamente com resultados previa-

mente obtidos atravs do programa ANAREDE desenvolvido pelo CEPEL - Centro de Pesquisas de

Energia Eltrica ligado a Eletrobras. Os teste realizados foram feitos com base em informaes b-

sicas disponveis sobre quatro Sistemas Eltricos de Potncia IEEE 14 barras, IEEE 57 barras, IEEE

118 barras e Sistema Reduzido Sul Brasileiro de 45 barras.

Os resultados encontrados para este programa foram equivalentes aos gerados pelo ANAREDE.

Concluiu-se, assim, que a implementao do Fluxo de Carga estava correta. Estes resultados no

esto aqui disponveis por no caracterizarem o interesse principal deste trabalho e por no serem

facilmente visualizados.

Por sua vez, os resultados a serem apresentados para o Fluxo de Carga Continuado foram todos

produzidos tendo como base o Sistema Reduzido Sul Brasileiro de 45 barras. Um diagrama contendo

a configurao deste sistema est disposto na Figura 3.5. Observa-se nesta figura que este sistema

possui 10 barras de gerao, sendo uma delas escolhida como barra de referncia, alm disso, existem

tambm algumas barras de injeo nula.

Figura 3.5: Sistema Reduzido Sul Brasileiro

Percebe-se, tambm pela Figura 3.5, que o sistema foi divido em duas reas tal como em [4] e

[5], sendo a rea 1 a demarcada pelas barras com nome em preto, e a rea 2 por aquelas em vermelho.

A taxa de crescimento de carga da rea 1 duas vezes mais rpida do que a da outra rea, sendo o

crescimento de carga simulado tal como anteriormente descrito neste trabalho. A carga total desse

sistema no caso base, = 1, de 6472MW .As Figuras 3.6 e 3.7 representam respectivamente a magnitude de tenso, em PU, e a fase de

tenso, em graus, da barra de carga nmero 368. Percebe-se que com o aumento da carga, crescimento

de , h a diminuio da magnitude de tenso nessa barra at o ponto de mximo carregamentodo sistema, caracterizado pela inflexo da curva V . Para o caso analisado, o ponto de mximo

27

Resultados

Figura 3.6: Magnitude de Tenso da Barra 368 em PU

Figura 3.7: Fase de Tenso da Barra 368 em graus

carregamento ocorreu com um 1.33, ou seja, houve um aumento de 33% em relao a carga totaldo sistema no caso base.

O comportamento de uma barra de gerao pode ser visualizado atravs das Figuras 3.8 e 3.9,

nas quais a magnitude e fase de tenso da barra de gerao 407 esto respectivamente dispostas. A

curva de magnitude de tenso tpica de um gerador ideal sem limites de reativos, demonstrando

28

Resultados

que no programa desenvolvido no foi implementada nenhuma tcnica com o intuito de controlar tal

parmetro.

Ressalta-se que todas as barras de carga e de gerao do sistema tiveram comportamentos seme-

lhantes aos encontrados para as barras aqui apresentadas, no havendo desta forma nenhum motivo

especial para a escolha destas barras como representantes para os resultados gerados pelo Fluxo de

Carga Continuado.

Figura 3.8: Magnitude de Tenso da Barra 407 em PU

Alm disso, percebe-se atravs das Figuras 3.6, 3.7, 3.8 e 3.9, que a utilizao dos diferentes tipos

de mtodos numricos, anteriormente explicados, para a fatorao matricial no gerou resultados

diferenciados para os estados do sistema. Contudo, foi realizada uma anlise do nmero de condio

da matriz jacobiana utilizada na resoluo do sistema no linear. Essa anlise foi feita com o auxlio

do software Matlab da empresa The MathWorks. Para tanto, foi desenvolvido um script responsvel

por gerenciar a leitura dos arquivos de texto gerados pelo Fluxo de Carga Continuado que continham

as matrizes jacobianas e o respectivo clculo do nmero de condio dessas matrizes atravs de rotina

prpria deste programa.

O nmero de condio de uma matriz calculado a partir da razo entre o maior e menor autovalor

da matriz em questo, no caso da utilizao da norma 2. Este nmero pode fornecer uma estimativa

da sensibilidade do resultado de um sistema linear, no que se refere a presena de erros no conjunto

de dados deste sistema. Um sistema dito bem condicionado quando este nmero est prximo de 1,

[16].

Com o intuito de facilitar a visualizao de possveis diferenas entre os nmeros de condio

das matrizes antes e aps a aplicao dos mtodos de fatorao para resoluo dos sistemas lineares

gerados para cada uma das iteraes do mtodo de Newton-Raphson para cada um dos pontos de

29

Resultados

Figura 3.9: Fase de Tenso da Barra 407 em graus

carregamento, foram gerados grficos para ambos os casos para todos os mtodos. bviamente os

valores dos nmeros de condio para as jacobianas no fatoradas so idnticos, independentemente

do mtodo numrico utilizado, sendo o mesmo disposto na Figura 3.10. Os grficos contidos nas

Figuras 3.11, 3.12 e 3.13 representam respectivamente os valores obtidos de nmero de condio das

matrizes jacobianas fatoradas pelos mtodos de Eliminao de Gauss e Fatorao QR por Rotaes

de Givens e por Transformaes de Househlder respectivamente.

30

Resultados

Figura 3.10: Nmero de Condio para as Matrizes Jacobianas no fatoradas

Figura 3.11: Nmero de Condio para as Matrizes Jacobianas fatoradas, Eliminao de Gauss

Percebe-se, atravs da comparao das Figuras 3.10, 3.11, 3.12 e 3.13, que no h variao al-

guma no condicionamento da matriz aps a aplicao dos metdos baseados nas Rotaes de Givens

e Transformaes de Househlder. O mesmo no ocorre aps a utilizao da Eliminao de Gauss,

cujo resultado distintamente diferente entre os passos 3 e 40 da curva, havendo tambm ligeiras

modificaes no restante da curva. Assim, pode-se ter em mente que os mtodos baseados na Fa-

torao QR apresentaro problemas numricos somente no caso da matriz original j apresentar tais

31

Resultados

Figura 3.12: Nmero de Condio para as Matrizes Jacobianas fatoradas, Rotao de Givens

Figura 3.13: Nmero de Condio para as Matrizes Jacobianas fatoradas, Transformaes de Hou-sehlder

problemas, no h uma melhora ou piora do condicionamento da matriz ao longo do processo.

Alm disso, o salto existente entre o segundo e terceiro ponto est diretamente ligado a mudana

de algortmo que ocorre neste momento. Os dois primeiros pontos so resolvidos atravs de fluxos

de carga simples, sem a utilizao do parmetro , o que no ocorre nos demais. H, portanto, umaumento da quantidade de variveis do sistema e uma piora no condicionamento do mesmo.

32

Resultados

3.3 Do Estimador de Estados

Os resultados gerados pelo Estimador de Estados a serem aqui apresentados foram novamente base-

ados no Sistema Reduzido Sul Brasileiro de 45 barras.

Com o intuito de gerar resultados mais abrangentes, foram considerados trs conjuntos de me-

didas para este sistema. Sendo o primeiro deles, disposto na Figura 3.14, composto totalmente por

medidas crticas. O segundo, Figura 3.15, possui 104 medidas com 29 medidas crticas e 7 conjuntos

crticos. Por fim, o terceiro, Figura 3.16, possui 171 com apenas 3 conjuntos crticos. Onde medida

crtica definida como uma medida que caso perdida torna um sistema observvel no observvel,

alm de sempre possuir resduo nulo, [6] e [8]. Por sua vez, conjunto crtico (de medidas) um con-

junto formado por medidas redundantes, no crticas, em que a eliminao de uma medida qualquer

deste conjunto, torna as outras crticas, [6] e [9]. A anlise das caractersticas qualitativas desses

conjuntos de medidas foi realizada utilizando o algoritmo proposto em [7].

Ressalta-se que todas as medidas de potncia, fluxos e injees, foram sempre tomadas aos pares

de medidas ativa e reativa. Desta forma, pode-se calcular o Nvel de Redundncia Global, NRG,

definido como a razo entre a quantidade de medidas e de estados do sistema, para cada um dos trs

conjuntos de medidas utilizado. Assim, o NRG de cada um dos conjuntos utilizado respectivamente

igual a 1, 1,156 e 1,9.

Figura 3.14: Sistema Reduzido Sul Brasileiro - Conjunto de Medidas 1

Para todos os pontos de carregamento gerados pelo Fluxo de Carga Continuado situados entre o

caso base e o de mximo carregamento, 1,33, foram realizadas 31 estimaes de estados, sendoacrescidos erros pseudo-aleatrios, a partir da equao (2.62), para cada uma das medidas utilizadas

sem que houvesse qualquer controle sobre a magnitude do erro inserido. Alm disso, considerou-se,

inicialmente, que todas as medidas possuiam desvios padro iguais a 0.033. Assim, para cada ponto

de carregamento foi possvel produzir uma estimativa mdia do estados e das cargas estimadas, com

os respectivos desvios padro. Este processo foi repetido para cada um dos trs conjuntos de medidas.

Ressalta-se, novamente, que foi utilizado o mtodo do Resduo Normalizado para a Eliminao de

33

Resultados



Erros Grosseiros em todas as estimaes de estado realizadas.

As Figuras 3.17, 3.18 e 3.19 contm uma comparao entre os resultados calculados a partir do

Fluxo de Carga Continuado, especificado na legenda por CPFlow (abreviatura inglesa para Fluxo de

Carga Continuado), e as mdias calculadas a partir de todas as 31 estimaes realizadas por ponto

de carregamento, especificadas na legenda por SE (abreviatura inglesa para Estimador de Estados).

Percebe-se que com o aumento da redundncia das medidas h uma melhoria significativa nas mdias

calculadas para os estados estimados. Alm disso, em geral, as mdias calculadas possuem valores

inferiores aos calculados pelo Fluxo de Carga Continuado.

Um outro resultado interessante encontrado ao se comparar os parmetros de carregamento, ,calculados a partir das cargas mdias estimadas para cada ponto da curva com o respectivo parmetro

fornecido pelo programa de Fluxo de Carga Continuado. Estes resultados esto dispostos nas Figuras

3.20, 3.21 e 3.22, que correspondem respectivamente aos casos 1, 2 e 3. A Figura 3.23 consiste

34

Resultados

Figura 3.17: Magnitude de Tenso Mdia Estimada da Barra 368 - Conjunto 1


35

Resultados


Figura 3.20: Comparao entre a carga estimada e a carga real - Conjunto 1

numa viso ampliada da regio de maior carga do grfico da Figura 3.22. O smbolo utilizadonas figuras supra-citadas para representar o valor mdio do parmetro de carregamento estimado,

enquanto as linhas verticais tem comprimento proporcional ao valor do desvio padro das mdias

36

Resultados


realizadas naquele ponto.

Percebe-se, pela Figura 3.20, que, em geral, a carga mdia estimada inferior carga real calcu-

lada pelo Fluxo de Carga Continuado. Esta tendncia se torna mais significativa conforme o sistema

se aproxima do ponto de mximo carregamento. Tal comportamento pode parecer estranho uma vez

que a carga estimada deveria ser igual a carga real para qualquer ponto de operao de um sistema

com conjunto crtico de medidas. Contudo, nota-se pela Figura 3.24, que o nmero de casos diver-

gentes se torna muito significativo com a proximidade do limite de mximo carregamento do sistema.

Sendo que, muitos destes casos de no convergncia podem ser associados a medidas errneas de

carga que esto acima do mximo ponto de carregamento. Assim, uma vez que os casos no conver-

gentes no so levados em conta para o clculo das mdias, as mdias de carga resultam em valores

inferiores aos reais.

Observa-se um comportamento semelhante para o conjunto de medidas nmero 2. Ou seja, no-

vamente os valores estimados de carga so inferiores aos reais, principalmente na regio prxima ao

mximo carregamento. No entanto, este caso apresenta menos problemas de no convergncia do

que o caso formado apenas por medidas crticas. O primeiro conjunto de medidas apresentou mais de

25% de casos no convergentes para 1,319, enquanto o segundo conjunto apresentou menos de5% de no convergncia, tal como disposto na Figura 3.24. Desta forma, os valores de carga estimada

inferiores aos reais devem tambm ser explicados como uma caracterstica aparentemente inerente do

Estimador de Estados WLS de atrair os estados estimados para dentro da rea vivel de convergncia,

at mesmo, para cargas com medidas maiores do que a mxima possvel, [10].

A Figura 3.22 mostra que, com o aumento da redundncia das medidas, existe uma diminuio

extremamente significativa da diferena entre as cargas mdias estimadas e as cargas reais. Contudo,

esta diferena continua existindo para este caso, sendo mais uma vez a carga estimada inferior a real,

37

Resultados


Figura 3.23: Comparao entre a carga estimada e a carga real (zoom) - Conjunto 3

como pode ser melhor visualizado atravs da Figura 3.23.

Ao contrrio do esperado, o problema de no convergncia se manteve praticamente constante

para os casos 2 e 3, mesmo com o aumento da carga do sistema em direo ao ponto de mximo

carregamento. A taxa de no convergncia para estes casos foi ainda maior para os casos em que o

sistema estava menos carregado, Figura 3.24.

Foram tambm conduzidos testes utilizando um desvio padro para as medidas igual a 0,1, ao

38

Resultados

Figura 3.24: Taxa de no convergncia para os diferentes casos e cargas

Figura 3.25: Comparao entre a carga estimada e carga real com diferentes desvios padro - Con-junto 3

invs de 0,033. Uma comparao entre os resultados para ambos os valores de desvio padro das

medidas para o conjunto de medidas nmero 3 apresentado na Figura 3.25. Nota-se nesta figura que

existe a mesma tendncia encontrada nos casos anteriores, ou seja, a carga mdia estimada inferior

a real, sendo esta diferena mais acentuada. Alm disso, houve um grande aumento na quantidade

de casos no convergentes, principalmente para os conjuntos de medidas 1 e 2, tornando at mesmo

invivel a apresentao dos resultados destes casos.

Infelizmente, no foi possvel realizar os estudos relacionados s comparaes dos diferentes

mtodos de fatorao numrica de matrizes, tal como foi realizado para o Fluxo de Carga Continuado,

uma vez que a implementao destes mtodos para o programa de Estimao de Estados feita de

39

Resultados

maneira distinta, exigindo, portanto, modificaes nas rotinas numricas utilizadas que no puderam

ser feitas em funo do tempo existente para realizao deste trabalho.

40

Captulo 4

Concluso

Este trabalho buscou caracterizar o comportamento do Estimador de Estados WLS sob vrias con-

dies de carga e de redundncia dos conjuntos de medidas. Para tanto, foram necessrios primei-

ramente estudar e implementar os programas de Fluxo de Carga, Fluxo de Carga Continuado e de

Estimao de Estados. Tais programas foram corretamente implementados, contudo eles possuem

algumas limitao, tais como a no utilizao dos mtodos de Fatorao QR para a resoluo do sis-

tema linearizado do Estimador de Estados, e a falta de controle de reativos dos geradores presentes

nos sistemas em anlise.

Entretanto, mesmo com as limitaes existentes nos programas, foi possvel produzir resultados

interessantes na anlise comparativa entre o Estimador de Estados e o Fluxo de Carga Continuado.

Verificou-se que o Estimador de Estados tende a produzir problemas de convergncia mais acentuados

para conjuntos de medidas crticas, de forma semelhante aos programas de fluxo de carga. Alm disso,

ao contrrio das espectativas, obteve-se uma taxa de no convergncia razoavelmente constante para

os sistemas com maior redundncia, sendo esta taxa maior para os casos de menor carga do que para

os de maior carga.

Outro resultado interessante obtido, foi a constatao de que para os casos analisados houve uma

tendncia por parte do Estimador de Estados de produzir resultados com cargas estimadas mdias

inferiores as reais. O que pode gerar problemas para os operadores de sistemas que podem fazer

previses erradas de crescimento de carga e de margens de estabilidade do sistema, levando a uma

operao insegura do sistema.

Em ltima anlise, os resultados obtidos para o Estimador de Estados reafirmam a necessidade de

se utilizar conjuntos mais redundantes de medidas, mesmo que os custos para a implantao de novos

equipamentos de medidas. Todavia, os resultados aqui apresentados so preliminares e necessitam de

maiores estudos e anlises.

41

Referncias Bibliogrficas

[1] Monticelli, A. State estimation in electric power systems: a generalized approach. Kluwer

international series in engineering and computer science. Kluwer Academic Publishers, 1999.

[2] Monticelli, A.J. Fluxo de carga em redes de energia eltrica. Editora Edgar Blcher LTDA.,

1946.

[3] Hsiao-Dong Chiang; Flueck, A.J.; Shah, K.S.; Balu, N. CPFLOW: a practical tool for tracing

power system steady-state stationary behavior due to load and generation variations. IEEE

Transactions on Power Systems, 10(2):623 634, Maio 1995.

[4] Santos, C.J.R. Mtodo rpido para avaliao da margem de estabilidade de tenso considerando

os limites de potncia reativa dos geradores. Teses de Mestrado,USP - Universidade de So

Paulo, 2009.

[5] Castro Junior, A.C.L. Estudo de controle preventivo para anlise do colapso de tenso. Teses

de Mestrado,USP - Universidade de So Paulo, 2009.

[6] Albertini, M.R.M.C. Metodologia para depurao off-line de parmetros srie e shunt de linhas

de transmisso atravs de diversas amostras de medidas. Teses de Doutorado,USP - Universi-

dade de So Paulo, 2010.

[7] London, J.B.A.; Alberto, L.F.C.; Bretas, N.G. Analysis of measurement-set qualitative charac-

teristics for state-estimation purposes. IET Generation Transmission & Distribution, 2007.

[8] Clements, K.A.; Krumpholz, G.R.; Davis, P.W. Power system state estimation residual analysis:

an algorithm using network topology. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems,

1981.

[9] Ayres, M.; Haley, P.H. Bad Data Groups in Power System State Estimation. IEEE Transactions

on Power Systems, 1986.

[10] Tecchio, P.P.V.; Benedito, R.A.S.; Alberto, L.F.C. The behavior of WLS State Estimator near the

maximum loadability point of power systems. 2010 IEEE Power and Energy Society General

Meeting, 2010.

[11] Press, W.H. Numerical recipes in C: the art of scientific computing. Cambridge University

Press, 1992.

43


[12] Press, W.H. Numerical recipes: the art of scientific computing. Cambridge University Press,

2007.

[13] Golub, G.H. and Loan, C.F.V. Matrix computations. Johns Hopkins studies in the mathematical

sciences. Johns Hopkins University Press, 1996.

[14] Notas de aula da disciplina SME300 - Clculo Numrico, 2007. Docente: Prof. Gustavo Carlos

Buscaglia.

[15] Notas de aula da disciplina SEL5717 - Estimao de Estado em Sistemas Eltricos de Potncia,

2008. Docentes: Prof. Joo Bosco Augusto London Junior e Prof. Newton Geraldo Bretas.

[16] Documentao de ajuda do programa Matlab sobre a funo cond(). The MathWorks.

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Apndice

Este apncice contm os cdigos das funes gasdev() e ran1()utilizadas para gerar valores pseudo-aleatrios com distribuio normal e uniforme, tal como descrito na Seo 2.4.1. Estes cdigos foram

retirados de [11].

float gasdev(long *idum)

//Returns a normally distributed deviate with zero mean and unit variance,

//using ran1(idum) as the source of uniform deviates.

{

static int iset = 0;

static float gset;

float fac, rsq, v1, v2;

if (*idum < 0) iset = 0; //Reinitialize.

if (iset == 0) //We dont have an extra deviate handy, so

{

do{

//pick two uniform numbers in the square extending from -1

//to +1 in each direction,

v1 = 2.0*ran1(idum) - 1.0;

v2 = 2.0*ran1(idum) - 1.0;

//see if they are in the unit circle, and if they are not,

//try again.

rsq = v1*v1 + v2*v2;

} while (rsq >= 1.0 || rsq == 0.0);

fac = sqrt(-2.0*log(rsq)/rsq);

//Now make the Box-Muller transformation to get two normal

//deviates. Return one and save the other for next time.

gset = v1*fac;

iset = 1; //Set flag.

return v2*fac;

}

else //We have an extra deviate handy,

{

iset = 0; //so unset the flag,

45


return gset; //and return it.

}

}

#define IA 16807

#define IM 2147483647

#define AM (1.0/IM)

#define IQ 127773

#define IR 2836

#define NTAB 32

#define NDIV (1+(IM-1)/NTAB)

#define EPS 1.2e-7

#define RNMX (1.0-EPS)

float ran1(long *idum)

{

int j;

long k;

static long iy = 0;

static long iv[NTAB];

float temp;

if (*idum =0;j--)

{ //Load the shue table (after 8 warm-ups).

k = (*idum)/IQ;

*idum = IA*(*idum-k*IQ) - IR*k;

if (*idum < 0) *idum += IM;

if (j < NTAB) iv[j] = *idum;

}

iy = iv[0];

}

//Start here when not initializing.

k = (*idum)/IQ;

//Compute idum = (IA*idum) % IM without over flows by Schrages method

*idum = IA*(*idum-k*IQ) - IR*k;

46


if (*idum < 0) *idum += IM;

j = iy/NDIV; //Will be in the range 0..NTAB-1.

//Output previously stored value and rell the shue table.

iy = iv[j];

iv[j] = *idum;

//Because users dont expect endpoint values.

if ((temp=AM*iy) > RNMX) return RNMX;

else return temp;

}

47

Documents

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