Technische Universität Dresden Fachrichtung Mathematik · T.W. Adorno beginnt den Aufsatz „Über einige Relationen zwischen Musik und ... Hier wie dort sagt Zeitkunst soviel wie

Technische Universität Dresden

Fachrichtung Mathematik

Institut für Algebra

Zur mathematischen Modellierungvon Musikstrukturen

Diplomarbeitzur Erlangung des ersten akademischen Grades

Diplommathematiker_in

vorgelegt von

Name: Albrecht Vorname: Immanuel

geboren am: 04.09.1985 in: Dresden

Tag der Einreichung: 14.06.2011

Betreuer: Prof. Dr. rer. nat. habil. Stefan E. Schmidt

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung, Zusammenfassung und Ausblick 1

I. Zur Modellierung zeitlicher Ereignisse in Musikstücken 3

2. Zeitstruktur 32.1. Zeitgerüste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1. Spezielle Zeitgerüste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Exkurs: Intervallordnungen bei Fishburn und Bogart . . . . . . . . . . . . . . 152.3. Übergänge in Zeitgerüsten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4. Untergliederte Zeitgerüste und chronologische Relationen . . . . . . . . . . . 18

3. Ereignisstruktur 203.1. Theorien musikalischer Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2. Interpretationen bezüglich Theorien musikalischer Ereignisse . . . . . . . . . 22

3.2.1. Interpretationsformen und ihre Morphismen . . . . . . . . . . . . . . 223.2.2. Konstruktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.3. Zur Fakturtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3. Von Interpretationsformen zu Reduktionsformen . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3.1. Strikte Reduktionsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3.2. Relative Reduktionsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4. Reduktionen und Expertisefunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4.1. Ereignistransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

II. Einige Betrachtungen zu »A Generative Theory of TonalMusic« 47

4. Modell der musikalischen Ereignisse 494.1. Tonhöhen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2. Metrische Qualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3. Artikulationsqualitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5. Modell der Expertisefunktion 525.1. Benotung der Gliederungsstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.2. Benotung der Relationsstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6. Beispiel: F. Chopin Opus 10 Nr. 5 »Etüde Ges-Dur „Schwarze Tasten”« 616.1. Akkordinstanziatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.2. Kanonische Konstruktionen bezüglich der Melodiedreiergruppen . . . . . . . 626.3. Zu den Kanonische Konstruktionen bezüglich des Achtelakkordschemas . . . 67

iii

6.4. Informelle Darstellung wichtiger Begriffe am Beispiel . . . . . . . . . . . . . . 716.4.1. Zeitgerüst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.4.2. Interpretationsform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.4.3. Instanziator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.4.4. Kanonische Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.4.5. Reduktionsform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

III. Anhang: Mathematische Grundlagen 81

A. Mengen, Monoide, Relationen 81

B. Kategorien 83

C. Formale Begriffsanalyse 85

IV. Anhang: Tabellen und Noten 87

D. Isomorphieklassen von Zeitgerüsten 87

E. Isomorphieklassen chronologischer Abbildungen 90

F. Noten und Strukturtabellen 94F.1. Frédéric Chopin (1810 - 1849) Opus 10 Nr. 5: Etüde Ges-Dur „Schwarze Tasten“ 94F.2. Vereinfachte Version der Etüde Ges-Dur „Schwarze Tasten“ . . . . . . . . . . 101F.3. Rhythmische Schemata der vereinfachten Version . . . . . . . . . . . . . . . . 108F.4. Melodiedreiergruppen der vereinfachten Version . . . . . . . . . . . . . . . . 112F.5. Achtelakkordschema der Melodiedreiergruppen der Version 5** . . . . . . . . 116F.6. Taktakkordschema der Version 5** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119F.7. Grundtonharmonieschema der Version 5** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120F.8. Obere Reduktionsebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

iv

1. Einleitung, Zusammenfassung und Ausblick

Diese Arbeit stellt einen Beitrag zur mathematischen Modellierung in der Musiktheorie dar.Mathematische Modelle sind in der Musikwissenschaft notwendig, um neue rechnergestützteErkenntnisse über bereits bekannte Kompositionen zu erhalten, sowie um neue komposi-torische und analytische Hilfsmittel zu entwickeln. Eine abstrakte Vorgehensweise ist dabeivon Vorteil, denn so können gemeinsame Grundlagen verschiedenster musikalischer Kulturenund Stile allgemein behandelt werden, so dass diese Grundlagen nicht für jeden Spezialfallneu betrachtet werden müssen. Daher wurde versucht, nur möglichst wenige und möglichstallgemeine Annahmen bezüglich des musikalischen Untersuchungsgegenstands zu treffen.

In Teil I wird zunächst die musikalischen Gegenständen zugrundeliegende zeitliche Strukturerörtert und als Variante einer irreflexiven und transitiven Relation über einer endlichen Men-ge modelliert, die Zeitgerüst genannt wird. Ausgehend von Betrachtungen über das sinnvolleZusammenfassen von Noten zu Notengruppen wird der Begriff der chronologischen Abbil-dung modelliert, der das sinnvolle Vergröbern von Zeitgerüsten darstellt. Es werden spezielleZeitgerüste betrachtet, deren besondere Struktur auf einer linear total-geordneten Zeitachseberuht, und es wird eine Interpretation der formalen Begriffe einer naheliegenden Betrach-tung von Zeitgerüsten als formale Kontexte gegeben. Außerdem wird eine Abschwächungdes Begriffs der chronologischen Abbildung – die chronologische Relation – entwickelt: Hierwerden beiden Zeitgerüsten zunächst sinnvolle Vergröberungen zugeordnet, und für die-se dann gefordert, dass die Vergröberung des Bildzeitgerüsts durch eine chronologischeAbbildung aus der Vergröberung des Urbildzeitgerüsts hervorgeht; und jedem Glied der Ur-bildvergröberung wird eine zweistellige Relation mit dem entsprechenden Bildglied ohneweitere Eigenschaften zugeordnet.

In Abschnitt 3 wird darauf eingegangen, wie musiktheoretische Modelle von musikalischenEreignissen mit der mathematischen Modellierung in Bezug auf das postulierte Modell derZeitstruktur zu verbinden sind. Die zeitliche Einordnung einer Abfolge von musikalischenEreignissen wird durch den Begriff der Interpretationsform abstrakt modelliert. Weiter wer-den die Begriffe Symbolform und Konstruktionsform eingeführt, mit deren Hilfe die alsFakturtechnik bekannte Kompositionsmethode als kanonische Konstruktionsform modelliertwerden kann. Zur Analyse von Musikstücken werden die miteinander verwandten Begriffeder schwachen, der strikten und der relativen Reduktionsform eingeführt, die Strukturenmodellieren, deren musikalischer Sinngehalt durch Expertisefunktionen bestimmt werdenkann. Um gewisse Stabilitätskriterien für diese Expertisefunktionen zu modellieren, wird derBegriff der Ereignistransformation erklärt.

In Teil II wird dann die Theorie der Reduktionen von F. Lerdahl und R. Jackendoff in Bezugauf die im Teil I gegebenen Begriffe betrachtet und eine stark vereinfachte vorläufige formaleModellierung der im Buch »A Generative Theory of Tonal Music« vorgestellten Reduktions-methode gegeben. Die Anwendung einer solchen Modellierung wird dann am Beispiel vonChopins Opus 10 Nr. 5 demonstriert.

Nachdem in dieser Arbeit ein allgemeiner Modellierungsansatz vorgestellt wurde, sollte die-

1 Einleitung, Zusammenfassung und Ausblick

ser auf seine Tauglichkeit in Bezug auf die musikwissenschaftliche Praxis untersucht werden.Dazu müssten vorallem die entsprechenden musiktheoretischen Modelle und Methoden ingrößerem Maße formal entwickelt werden, als dies momentan der Fall ist, um eine Umset-zung als Computersoftware zu ermöglichen. Weiterhin müsste untersucht werden, welcheAlgorithmen unter anderem zur Suche von guten oder sogar besten Reduktionsformen zueiner gegebenen Interpretationsform in der Praxis tauglich sind und inwieweit auf kano-nischen Kompositionsformen basierende Verfahren in Kompositionssoftware sinnvoll einge-bettet werden können. Da die Modellierung der Zeitstruktur abstrakt erfolgt ist, liegt esnahe, dass untersucht wird, inwieweit auf Zeitgerüsten basierende Formen in anderen zeit-abhängigen Situationen neue Modellierungsansätze liefern, z.B. bei der Modellierung vonaufeinander aufbauenden Prozessen. Außerdem ist es interessant, welche Bedeutungen dieBegriffe chronologische Abbildung und chronologische Relation übertragen auf andere mög-liche Interpretationen irreflexiver und transitiver Relationen annehmen können.

2

Teil I.

Zur Modellierung zeitlicherEreignisse in Musikstücken

2. Zeitstruktur

T.W. Adorno beginnt den Aufsatz „Über einige Relationen zwischen Musik undMalerei” [2] mit folgenden Worten: „Das Selbstverständliche, daß Musik Zeit-kunst sei, in der Zeit verlaufe, heißt in doppeltem Verstande, daß Zeit ihr nichtselbstverständlich ist, daß sie diese zum Problem hat. Sie muß zwischen Teil-komplexen zeitliche Relationen herstellen, ihr Zeitverhältnis rechtfertigen, durchZeit sie synthesieren. Sie muß andererseits mit der Zeit selbst fertig werden,nicht an sie sich verlieren; muß ihrem leeren Fluß sich entgegenstemmen. Deralte Zweck profaner Musik, der des Divertissements, das von der langen Weileablenkt, zeugt davon. Er lebt weiter im Verhältnis der autonomen Musik zurZeit, das ebenso an diese sich bindet, wie antithetisch gegen sie gerichtet ist.Hier wie dort sagt Zeitkunst soviel wie Objektivation der Zeit; von den einzelnenEreignissen, dem musikalischen Inhalt her, insoweit diese durch die Organisationihrer Folge in Zusammenhang rücken, anstatt durch ihr Vergehen auseinander-zufallen; mit Rücksicht auf die Zeitdimension selbst, weil diese vermöge derEinheit des in ihr sich Zutragenden einsteht, potentiell aufgehoben werden willwie, exemplarisch, in manchen Sätzen des eigentlich symphonischen Beethoven,die virtuell wirken, als währten sie nur eine Sekunde. [...]”

2.1. Zeitgerüste

Der Anregung des Zitats folgend erscheint es zur mathematischen Modellierung von Musikund Musikstücken daher notwendig, zunächst ein geeignetes Modell der Zeitwahrnehmungzu entwickeln. Über den Begriff der Zeitwahrnehmung schreibt R. Le Poidevin [13] für dieStanford Encyclopedia of Philosophy, dieser Begriff selbst lade schon zur Beanstandung ein,denn die Zeit sei von Ereignissen zu unterscheiden. Die Zeit selbst werde nicht wahrge-nommen, aber Veränderungen und Ereignisse in der Zeit seien wahrnehmbar. R. Le Poidevinzitiert aus E. Pöppels Time Perception [16] die folgenden fundamentalen Aspekte des Zei-terlebens: (i) die Dauer, (ii) die nicht-Simultanität, (iii) die Reihenfolge, (iv) die Vergangenheitund die Gegenwart, (v) die Veränderung einschließlich dem Vergehen von Zeit. Insbesonderegehe Pöppel davon aus, dass es möglich sei, wahrzunehmen, dass Ereignisse nicht simultanstattfanden, aber dennoch nicht in der Lage zu sein, anzugeben, in welcher Reihenfolge

2 Zeitstruktur

sie aufgetreten seien. Hier ist zu bemerken, dass die Aspekte (i) bis (iii) zeitlich-lokale Ei-genschaften eines Musikstücks darstellen, während die Betrachtung der Aspekte (iv) und(v) im Kontext des gesamten Musikstücks, also global, stattfinden muss. Im folgenden wirdangenommen, dass zu einer musikalischen Komposition gehörende musikalische Ereignisseimmer eine wahrnehmbare Dauer und einen wahrnehmbaren Anfang besitzen. Zwei ver-schiedene musikalische Ereignisse sind als vollständig nicht-simultan wahrnehmbar, wenndas eine bereits abgeschlossen ist, bevor das andere beginnt. In diesem Fall findet daserstere Ereignis chronologisch vor dem letzteren statt. Wenn zwei musikalische Ereignissedagegen zu einem Zeitpunkt als simultan wahrnehmbar sind, dann kann im strengen Sinnvon Vorzeitigkeit nicht davon gesprochen werden, dass eines der beiden Ereignisse vor demanderen wahrnehmbar ist. In diesem Falle sind die Ereignisse nicht in eine strenge Rei-henfolge zu bringen, und daher bezüglich einer zeitlichen Reihenfolge unvergleichbar. JederKomposition musikalischer Ereignisse kann demnach ein Gerüst der zeitlichen Reihenfolgejener zugeordnet werden, indem jedem Ereignis e ein halboffenes Intervall [ae, ae + de) zu-geordnet wird, wobei ae den Anfang und de die Dauer des Ereignisses bezüglich geeigneterMesssysteme darstellt.1 Dann findet bezüglich der zeitlichen Reihenfolge das Ereignis e1 vordem Ereignis e2 statt, falls ae1 + de1 ≤ ae2 gilt. Dieser Zusammenhang motiviert folgendeDefinition:

Definition 1. Ein Zeitgerüst ist ein Paar (T, χ), so dass2 3

(t) T eine endliche Menge ist, deren Elemente Träger des Zeitgerüsts heißen.

(c) χ ⊆ T × T eine binäre Relation auf T ist, genannt die Chronologie desZeitgerüsts.

(ct) χ transitiv ist, d.h. ∀(x, y), (y, z) ∈ χ : (x, z) ∈ χ

(ca) χ asymmetrisch ist, d.h. ∀(x, y) ∈ χ : (y, x) /∈ χ

Unvergleichbarkeit zweier Elemente des Trägers eines Zeitgerüstes wird dann so gedeutet,dass die durch diese Elemente bezeichneten musikalischen Ereignisse zumindest für einekurze Zeitspanne simultan wahrnehmbar sind.

Als Beispiel betrachten wir nun einen Auszug aus einer sogenannten Realbook-Variante vonTadd Damerons „Squirrel”. Wie in Abbildung 2.1 dargestellt werden hier jeweils die Pausen, dieTerzakkorde und die Gitarrenakkorde als verschiedene musikalische Ereignisse angesehen.Es wäre natürlich ebenfalls möglich, die einzelnen Noten der Akkorde als jeweils eigenemusikalische Ereignisse aufzufassen, die sich jeweils simultan ereignen. In Abbildung 2.2sind die zu den jeweiligen Ereignissen gehörenden Zeitintervalle dargestellt. Hieraus ergibtsich ein Zeitgerüst mit der Trägermenge {1, 2, 3, a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l,m, n, o, p, q}

1Siehe auch [14], Seite 146: »A time-span is an interval of time beginning at a beat of the metrical structure andextending up to, but not including, another beat.«

2Manche bezeichnen χ auch als Striktordnung über T .3Es wurde auch erwägt, T 6= ∅ zu fordern, diese Bedingung wurde jedoch verworfen, u.a. wegen Werken wie John

Cages 4’33 und der Möglichkeit, das Fehlen eines Ereignisses als Zeitgerüst mit T = ∅ zu modellieren.

4

2.1 Zeitgerüste

Tabelle 1: Chronologie der musikalischen Ereignisse aus Abbildung 2.1a b c 1 d e f g h 2 i j k 3 l m n o p q

a x x x x x x x x x x x x x x x x x x xb x x x x x x x x x x x x x x x x x xc x x x x x x x x x x x x x x x x x1 x x x x x x x x x x xd x x x x x x x x x x x x x x xe x x x x x x x x x x x x x xf x x x x x x x x x x x x xg x x x x x x x x x x x xh x x x x x x x x x x x2 x x x x x x xi x x x x x x x x xj x x x x x x x xk x x x x x x x3l x x x x xm x x x xn x x xo x xp xq

5

2 Zeitstruktur

Abbildung 2.1: Auszug aus Tadd Damerons „Squirrel”, abgedruckt in „The Colorado Cookbook(C)”, Seite 93; versehen mit einer Auszeichnung verschiedener musikalischerEreignisse.

Abbildung 2.2: Darstellung der Ereignisintervalle aus Abbildung 2.1 auf der Zeitachse.

und der in der Kreuztabelle 1 dargestellten Chronologie. Da solche Kreuztabellen jedoch sehrschnell unübersichtlich werden, werden Chronologien im folgenden durch gerichtete Graphendargestellt, und zwar so, dass ein Paar (a, b) genau dann in Relation steht, wenn ein Pfad vona nach b existiert. Die zu einem solchen gerichteten (schleifen- und mehrfachkantenfreien)Graphen gehörende Chronologie ist gerade der transitive Abschluss der Kantenmenge desGraphen.4 Die Chronolgie aus Tabelle 1 ist in Abbildung 2.3 als ein solcher Graph dargestellt.

Für eine genauere Untersuchung der Struktur von musikalischen Kompositionen ist es hilf-reich, Zeitgerüste sinnvoll zu vergröbern. Welche Vergröberungen hierbei erlaubt sind, soll

4Der Graph ist also ähnlich einem Hasse-Diagramm einer geordneten Menge zu lesen, wobei Chronologien jedochimmer irreflexiv sind. Der (Kantenmengen-)kleinste die Chronologie darstellende Graph könnte dann auch Hasse-Graph der Chronologie genannt werden.

Abbildung 2.3: Darstellung der Chronologie der musikalischen Ereignisse aus Abbildung 2.1als gerichteter Graph.

6

2.1 Zeitgerüste

Abbildung 2.4: Erlaubte und nicht-erlaubte Vergröberungen von Zeitgerüsten.

an den Beispielen in Abbildung 2.4 in der Reihenfolge von links-oben nach rechts-untendiskutiert werden. Die ersten beiden Vergröberungen fassen direkt aufeinanderfolgende mu-sikalische Ereignisse zu einem Makroereignis so zusammen, dass die chronologischen Be-ziehungen zwischen jedem der zusammengefassten Ereignisse und den anderen Ereignissenim ursprünglichen Zeitgerüst genau den Beziehungen des Makroereignisses im vergröbertenZeitgerüst entsprechen. Diese Vergröberung ist sinnvoll, um z.B. die einzelnen Noten einerMelodiefolge zusammenzufassen. Die Vergröberung in der ersten Zeile rechts außen erhältebenfalls die Beziehungen zwischen den zusammengefassten Ereignissen und den jeweilsanderen Ereignissen, allerdings werden hier gleichzeitig stattfindende musikalische Ereignis-se zu einem Makroereignis zusammengefasst. Das ist sinnvoll, um z.B. mehrere gleichzeitigerklingende Notenereignisse zu einem Akkordereignis zusammenzufassen. Die Abbildungenin der zweiten Zeile sind von links nach rechts aus folgenden Gründen nicht erlaubt: dieAbbildung links außen vertauscht die Reihenfolge der Ereignisse 1 und 2; die Abbildungmitte-links vergisst die chronologischen Beziehungen zwischen 1, 2 und 3; die Abbildungmitte-rechts zerreisst die chronologischen Beziehungen zwischen 1 und 2 bzw. 3; und dieAbbildung rechts außen enthält ein zusätzliches musikalisches Ereignis, dass im ursprüng-lichen Zeitgerüst gar nicht vorhanden war. Aufgrund dieses Leitfadens für Vergröberungenwerden die strukturerhaltenden Abbildungen zwischen Zeitgerüsten wie folgt definiert:

Definition 2. Seien (T (1), χ(1)) und (T (2), χ(2)) Zeitgerüste. Eine chronologische Ab-bildung zwischen den Zeitgerüsten (T (1), χ(1)) und (T (2), χ(2)) ist eine Abbildung

7

2 Zeitstruktur

ϕ : T (1) → T (2), so dass5

(s) ϕ eine surjektive Abbildung ist,

(m) ϕ schwach-monoton ist, d.h. ∀(x(1), y(1)) ∈ χ(1) : (ϕ(x(1)), ϕ(y(1))) ∈ χ(2) ∨ϕ(x(1)) = ϕ(y(1))

(o) ∀(x(2), y(2)) ∈ T (2) × T (2) : ϕ−1(x(2)) × ϕ−1(y(2)) ⊆ χ(1) ⇔ (x(2), y(2)) ∈χ(2)

Notation 3. Weiterhin wird statt (x(1), y(1)) ∈ χ(1) bzw. (x(2), y(2)) ∈ χ(2) auch x(1) <y(1) bzw. x(2) < y(2) geschrieben, sowie ϕ : (T (1), χ(1)) → (T (2), χ(2)) statt ϕ : T (1) →T (2) für chronologische Abbildungen.

Die Beispiele der oberen Zeile in Abbildung 2.4 erfüllen offenbar die Eigenschaften ausDefiniton 2, wohingegen die Abbildung unten-links außen die Eigenschaft (m) verletzt; diebeiden mittigen Abbildungen verletzen die Eigenschaft (o), und die Abbildungen unten-rechtsaußen verletzt die Eigenschaft (s).6

Bemerkung 4. Die identische Abbildung auf der Trägermenge T ist für jedes Zeitgerüst(T, χ) eine chronologische Selbstabbildung.

Lemma 5. Seien ϕ und ψ zwei chronologische Abbildungen zwischen (T (1), χ(1)) und(T (2), χ(2)) bzw. (T (2), χ(2)) und (T (3), χ(3)). Dann ist die Komposition ϕ ∗ ψ ebenfallseine chronologische Abbildung zwischen (T (1), χ(1)) und (T (3), χ(3)).

Beweis. Die Komposition von surjektiven Abbildungen ist surjektiv. Weiterhin ist

x(3) < y(3) ⇔ ∀(x(2), y(2)) ∈ ψ−1(x(3))× ψ−1(y(3)) : x(2) < y(2)

sowiex(2) < y(2) ⇔ ∀(x(1), y(1)) ∈ ϕ−1(x(2))× ϕ−1(y(2)) : x(1) < y(1)

Hieraus ergibt sich

x(3) < y(3) ⇔ ∀(x(1), y(1)) ∈ ϕ−1 ◦ ψ−1(x(3))× ϕ−1 ◦ ψ−1(y(3)) : x(1) < y(1)

5S.E. Schmidt bemerkte im Seminar, dass (m) und (o) genau dann gilt, wenn (m) und ∀x(1), y(1) ∈T (1) : (ϕ(x), ϕ(y)) ∈ χ(2) ⇒ (x, y) ∈ χ(1) gilt.

6Die Eigenschaften (m) und (o) sind tatsächlich unabhängig voneinander:

(m) aber nicht (o) (o) aber nicht (m)

8

2.1 Zeitgerüste

Sei nun x(1) < y(1), dann ist entweder ϕ(x(1)) = ϕ(y(1)) und somit gilt ϕ ∗ ψ(x(1)) =ϕ ∗ ψ(y(1)), oder aber ϕ(x(1)) < ϕ(y(1)) und daher gilt ϕ ∗ ψ(x(1)) < ϕ ∗ ψ(y(1)) oderϕ∗ψ(x(1)) = ϕ∗ψ(y(1)) entsprechend der Eigenschaften der chronologischen Abbildungenϕ und ψ.

Korollar 6. Nach 4 und 5 gibt es eine Kategorie der Zeitgerüste, deren Objekte alle Zeit-gerüste sind und deren Morphismen die chronologischen Abbildungen sind, und deren Kom-position von Morphismen durch die Komposition der chronologischen Abbildungen als Men-genabbildungen definiert ist.

Lemma 7. Seien (T (1), χ(1)) und (T (2), χ(2)) Zeitgerüste und ϕ : T (1) → T (2) ein Iso-morphismus. Dann ist ϕ genau dann eine chronologische Abbildung, wenn x(1) < y(1) ⇔ϕ(x(1)) < ϕ(y(1)) gilt.

Beweis. Gelte x(1) < y(1) ⇔ ϕ(x(1)) < ϕ(y(1)). Die Eigenschaft (m) gilt offenbar und jederIsomorphismus ist auch surjektiv. Da ϕ Isomorphismus ist, ist

ϕ−1(x(2))× ϕ−1(y(2)) ={

((ϕ−1

)(x(2)),

(ϕ−1

)(y(2)))

}und insbesondere ist

ϕ−1(x(2))× ϕ−1(y(2)) ⊆ χ(1) ⇔(ϕ−1

)(x(2)) <

(ϕ−1

)(y(2))

also erfüllt ϕ auch die Eigenschaft (o). Anderseits sei ϕ eine chronologische Abbildung.Da ϕ ein Isomorphismus ist, folgt mit der Eigenschaft (o) und ϕ−1(x(2)) × ϕ−1(y(2)) ={

((ϕ−1

)(x(2)),

(ϕ−1

)(y(2)))

}sofort, dass

(ϕ−1

)(x(2)) <

(ϕ−1

)(y(2)) ⇔ x(2) < y(2)

gilt, und wegen der 1-1-Korrespondenz zwischen T (1) und T (2) folgt, dass x(1) < y(1) ⇔ϕ(x(1)) < ϕ(y(1)) gilt.7

Bemerkung 8. Es gibt ein schwaches Skelett der Kategorie aus Korollar 6, das abzählbarviele Objekte enthält, denn die Potenzmenge des kartesischen Produkts endlicher Mengen istendlich und es gibt ein abzählbares schwaches Skelett der Kategorie der endlichen Mengen.Ein solches schwaches Skelett ist die vollständige Unterkategorie Z , deren Objekte (T, χ)die folgende zusätzliche Bedingung erfüllen8:9

∃n1, n2 ∈ N : T ⊆ {(m1, . . . ,mn2) ∈ Nn2 | m1, . . . ,mn2 < n1} ∪ {m ∈ N | m < n1}7Hinweis zur Notation: ϕ−1(y) =

{x ∈ T (1) | ϕ(x) = y

}bezeichnet die Faser von y und

(ϕ−1

): T (2) → T (1)

bezeichnet die Umkehrabbildung von ϕ, d.h. es gilt ϕ((ϕ−1

)(y)) = y.

8Es handelt sich hier um kein echtes Skelett im Sinne von [1], da Isomorphismen zwischen ver-schiedenen Zeitgerüsten aus Z existieren. Für ein richtiges Skelett müsste T = {1, . . . , n} ge-fordert werden, außerdem müsste χ dann jeweils ein bestimmter Repräsentant der Äquivalenzklassenvon

{(χ(1), χ(2)) | ∃σ ∈ Perm(n) : χ(1) =

{(σ(t(1)), σ(t(2))) | (t(1), t(2)) ∈ χ(2)

}}sein, wobei dann

Perm(n) die Permutationsgruppe zu T ist. Das schwache Skelett hat den Vorteil, dass für zwei bis auf Iso-morphie bestimmte Zeitgerüste (T (1), χ(1)) und (T (2), χ(2)) problemlos T (1) ∩ T (2) = ∅ gefordert werdenkann.

9Alle Beispiele für Zeitgerüste in dieser Arbeit haben entweder natürliche Zahlen oder Tupeln von natürlichenZahlen als Träger.

9

2 Zeitstruktur

Desweiteren bezeichne Z : Z → FinSets den Vergißfunktor, der jedes Zeitgerüst (T, χ)auf seine Trägermenge T abbildet.

Definition 9. Es sei (T (1), χ(1)) ein Zeitgerüst und Γ ⊆ T × T eine Äquivalenzrelation10

auf T . Γ heißt Gliederungsrelation bezüglich (T (1), χ(1)), falls es ein Zeitgerüst(T (2), χ(2)) und eine chronologische Abbildung ϕ : T (1) → T (2) zwischen (T (1), χ(1)) und(T (2), χ(2)) gibt, so dass Γ = kerϕ.

Sei γ ⊆ 2T(1)

. Dann heißt γ Gliederung des Zeitgerüsts (T (1), χ(1)), falls es einZeitgerüst (T (2), χ(2)) und eine chronologische Abbildung ϕ : T (1) → T (2) gibt, so dassγ = eq(kerϕ).

Bemerkung 10. Für eine Gliederungsrelation Γ des Zeitgerüsts (T (1), χ(1)) gilt, dass aus(x, y) ∈ Γ stets

∀t ∈(↑χ(1) x ∩ ↓χ(1) y

): {x, t, y} × {x, t, y} ⊆ Γ

sowie∀t ∈

(↓χ(1) x 4 ↓χ(1) y

): {t, x, y} × {t, x, y} ⊆ Γ

∀t ∈(↑χ(1) x 4 ↑χ(1) y

): {x, y, t} × {x, y, t} ⊆ Γ

folgt, denn nach Definition ist Γ die Kernrelation einer chronologischen Abbildung ϕ :(T (1), χ(1)) → (T (2), χ(2)), wobei die Implikationen wegen der Eigenschaften (m) bzw. (m)und (o) chronologischer Abbildungen gelten:

Für x < t < y mit ϕ(x) = ϕ(y) folgt aus ϕ(x) ≤ ϕ(t) ≤ ϕ(y) sofort ϕ(x) = ϕ(t) = ϕ(y).

Für t < x gilt ϕ(t) ≤ ϕ(x), angenommen, ϕ(t) 6= ϕ(x), dann muss also ϕ(t) < ϕ(x)gelten. Dann ist aber ϕ−1(ϕ(t))×ϕ−1(ϕ(x)) ⊆ χ(1) und daher ist für alle y ∈ ϕ−1(ϕ(x))auch t < y. Die dritte Implikation folgt analog mit x < t.

Definition 11. Es sei (T, χ) ein Zeitgerüst und TG ⊆ T eine nicht-leere Teilmenge vonTrägern. Dann heißt TG Glied bezüglich (T, χ), wenn für alle s, t ∈ TG die folgendenBedingungen erfüllt sind:

(i) TG ist intervallabgeschlossen, d.h. ↑χ s ∩ ↓χ t ⊆ TG

(r) TG ist randabgeschlossen, d.h. lχ s 4 lχ t ⊆ TGSei TG ein Glied bezüglich (T, χ). Dann ist die Einschränkung von (T, χ) auf TGdefiniert als

(T, χ)|TG = (TG, χ|TG)

mit χ|TG = {(s, t) ∈ χ | s ∈ TG ∧ t ∈ TG}.

Formal wird für das Zeitgerüst (T ∗, {(s, t) ∈ χ | s ∈ T ∗ ∧ t ∈ T ∗}) ebenfalls (T, χ)|T ∗geschrieben, auch wenn T ∗ kein Glied bezüglich (T, χ) ist.

10Es reicht zu prüfen, ob Γ eine binäre Relation ist, da jede Kernrelation bereits eine Äquivalenzrelation ist.

10

2.1 Zeitgerüste

Lemma 12. Es sei (T (1), χ(1)) ein Zeitgerüst und ∅ 6= TG ⊆ T (1) ein Glied bezüglich(T (1), χ(1)). Dann existiert eine chronologische Abbildung vermöge

T (2) = T (1)\TG ∪ {tG}χ(2) = {(tG, y) | y ∈ T (1)\TG : ∀x ∈ TG : (x, y) ∈ χ(1)}

∪ {(x, tG) | x ∈ T (1)\TG : ∀y ∈ TG : (x, y) ∈ χ(1)}∪ (χ(1) ∩ T (2) × T (2))

ϕ : (T (1), χ(1))→ (T (2), χ(2)), t 7→

{t /∈ TG : t

t ∈ TG : tG

mit tG /∈ T (1)\TG, z.B. tG ∈ TG.

Notation 13. Für ein Zeitgerüst (T (1), χ(1)) und eine gegebene Menge ∅ 6= TG ⊆ T (1)

und Element tG /∈ T (1) wird die Abbildung ϕ definiert wie Lemma 12 mit

[·]T(1)

TG 7→tG : (T (1), χ(1))→ (T (1)/TGtG , χ(1)/TGtG )

bezeichnet, wobei T (2) mit T (1)/TGtG und χ(2) mit χ(1)/TGtG bezeichnet wird. [·]T(1)

TG 7→tG heißt

dann Gliedprojektion von TG auf tG bezüglich T (1).

Beweis. Da T (1) endlich ist, ist auch T (2) endlich. Es ist χ(2) eine binäre Relation auf T (2),damit erfüllt (T (2), χ(2)) die Bedingungen (t) und (c) für Zeitgerüste. χ(2) ist asymmetrisch,da χ(1) transitiv und asymmetrisch ist und die Konstruktion diese Eigenschaften wegen∅ 6= TG erhält, also gilt auch (ct) und (ca). Damit ist (T (2), χ(2)) ein Zeitgerüst. Offenbar ist ϕsurjektiv, erfüllt also die Bedingung (s) chronologischer Abbildungen. Für x, y ∈ T (1)\TG giltnach der gegebenen Definition x < y ⇔ ϕ(x) < ϕ(y) und für x, y ∈ TG gilt ϕ(x) = ϕ(y).Außerdem gilt der Definition folgend für (x, y) ∈

((T (1)\TG

)× TG ∪ TG ×

(T (1)\TG

))ebenfalls stets ϕ(x) < ϕ(y) ⇔ ϕ−1(ϕ(x)) × ϕ−1(ϕ(y)) ⊆ χ(1). Damit erfüllt ϕ dieBedingung (o) und für x, y ∈ T (1)\TG bzw. für x, y ∈ TG auch die Bedingung (m). Damitbleibt O.B.d.A. zu zeigen, dass für x ∈ T (1)\TG und y ∈ TG aus x < y stets ϕ(x) < ϕ(y)folgt. Angenommen, ¬(ϕ(x) < ϕ(y)), dann existiert ein t ∈ TG mit ¬(x < t). Dannist auch ¬(y < t) wegen (ct) von χ(1). Wegen der Eigenschaft (i) von TG ist aber auch¬(t < x), und aufgrund der Eigenschaft (ca) von χ(1) gilt ¬(y < x). Also ist x ∈ ↓χ(1) sund x /∈ ↑χ(1) s∪lχ(1) t. Dann ist aber x ∈ lχ(1) s4 lχ(1) t und steht daher im Widerspruchzur Eigenschaft (r) des Glieds TG.

Bemerkung 14. Sei (T, χ) ein Zeitgerüst und Γ ⊆ T × T eine Gliederungsrelation desZeitgerüsts (T, χ). Dann sind die Äquivalenzklassen von Γ Glieder bezüglich (T, χ), dieEigenschaften (i) und (r) ergeben sich direkt aus Bemerkung 10.

Korollar 15. SeienG(1) = (T (1), χ(1)) undG(2) = (T (2), χ(2)) Zeitgerüste und ϕ : G(1) →G(2) eine chronologische Abbildung, und sei ferner T (1) ∩T (2) = ∅. Dann ist die Menge derFasern

{ϕ−1(t(2)) | t(2) ∈ T (2)

}eine Gliederung von T (1).

11

2 Zeitstruktur

Außerdem sei I :{

1, 2, . . . ,#T (2)}→ T (2) eine bijektive Abbildung und es sei folgendes

definiert:

T(1→2)0 = T (1)

T(1→2)i = T

(1→2)i−1 /

ϕ(−1)(I(i))I(i) i ∈

{1, 2, . . . ,#T (2)

}Dann gilt:

ϕ = [·]T(1→2)0

ϕ−1(I(1)) 7→I(1) ∗ [·]T(1→2)1

ϕ−1(I(2)) 7→I(2) ∗ · · · ∗ [·]T

(1→2)

#T (2)−1

ϕ−1(I(#T (2)))7→I(#T (2))

Beweis. Offenbar ist{ϕ−1(t(2)) | t(2) ∈ T (2)

}= eq(kerϕ) eine Gliederung des Zeitgerüsts

(T (1), χ(1)) und besteht damit aus Gliedern bezüglich (T (1), χ(1)). Sei nun t(1) ∈ T (1)

und i ∈{

1, 2, . . . ,#T (2)}

mit t(1) ∈ I(i). Dann gilt für alle j ∈ {1, 2, . . . , i− 1} nachDefinition in Lemma 12, die Gleichung

[·]T(1→2)j−1

ϕ−1(I(j)) 7→I(j)(t(1)) = t(1)

und für alle j ∈{i+ 1, i+ 2, . . . ,#T (2)

}die Gleichung

[·]T(1→2)j−1

ϕ−1(I(j)) 7→I(j)(ϕ(t(1))) = ϕ(t(1))

und weiterhin gilt die Gleichung

[·]T(1→2)i−1

ϕ−1(I(i)) 7→I(i)(t(1)) = ϕ(t(1))

woraus die Gleichung

[·]T(1→2)0

ϕ−1(I(1)) 7→I(1) ∗ [·]T(1→2)1

ϕ−1(I(2)) 7→I(2) ∗ · · · ∗ [·]T

(1→2)

#T (2)−1

ϕ−1(I(#T (2))) 7→I(#T (2))(t(1)) = ϕ(t(1))

stets folgt.

Dies bedeutet unter anderem für jede Menge τ von Gliedern bezüglich eines Zeitgerüsts(T, χ) mit der Eigenschaft ∀TG,1, TG,2 ∈ τ : TG,1 ∩ TG,2 6= ∅ ⇒ TG,1 = TG,2 und jedeBijektion ϑ : τ → Tτ mit Tτ ∩ T = ∅, dass für zwei Bijektionen J1 : {1, 2, . . . ,#τ} → τund J2 : {1, 2, . . . ,#τ} → τ folgende Gleichung gilt:

[·]TJ1(1) 7→ϑ(J1(1)) ∗ [·]T/

J1(1)

ϑ(J1(1))

J1(2) 7→ϑ(J1(2)) ∗ · · · ∗ [·]T\⋃#τ−1j=1 ϑ(J1(j))∪Tτ\{ϑ(J1(#τ))}

J1(#τ) 7→ϑ(J1(#τ))

= [·]TJ2(1) 7→ϑ(J2(1)) ∗ [·]T/

J2(1)

ϑ(J2(1))

J2(2) 7→ϑ(J2(2)) ∗ · · · ∗ [·]T\⋃#τ−1j=1 ϑ(J2(j))∪Tτ\{ϑ(J2(#τ))}

J2(#τ) 7→ϑ(J2(#τ))

12

2.1 Zeitgerüste

Abbildung 2.5: Zeitgerüst »2+2«

Definition 16. Sei (T, χ) ein Zeitgerüst und τ ⊆ 2T so, dass die Elemente von τ Gliederbezüglich (T, χ) sind, und dass ferner ∀TG,1, TG,2 ∈ τ : TG,1 ∩ TG,2 6= ∅ ⇒ TG,1 = TG,2gilt. Dann heißt τ partielle Gliederung bezüglich (T, χ). Weiterhin sei ϑ : τ → Tτ füreine Menge Tτ mit Tτ ∩ T = ∅. Dann heißt ϑ verträgliche Auswahl von Gliedernbezüglich (T, χ).

Notation 17. Sei ϑ : τ → Tτ eine verträgliche Auswahl von Gliedern bezüglich (T, χ), dannexistiert eine Bijektion J : {1, 2, . . . ,#τ} → τ . Die Projektion der verträglichen Auswahl ϑwird mit [ϑ] bezeichnet, d.h.

[ϑ] = [·]TJ(1)7→ϑ(J(1)) ∗ [·]T/

J(1)

ϑ(J(1))

J(2) 7→ϑ(J(2)) ∗ · · · ∗ [·]T\⋃#τ−1j=1 ϑ(J(j))∪Tτ\{ϑ(J(#τ))}

J(#τ)7→ϑ(J(#τ))

2.1.1. Spezielle Zeitgerüste

Bemerkung 18. Die in Definition 1 gegebene Definition eines Zeitgerüsts wird auch durchalgebraische Strukturen erfüllt, die nicht aus der motivierenden Zeitintervallbetrachtung mu-sikalischer Ereignisse resultieren können.11

Ein Beispiel hierfür ist das Zeitgerüst, welches durch den Graphen in Abbildung 2.5 dargestelltwird. Es soll nun versucht werden, Anfangs- und Endzeitpunkte der zu den Trägern aus derMenge {1, 2, j, k} gehörenden Zeitintervalle [ai, bi)i∈{1,2,j,k} der Ereignisse mit ai, bi ∈ Rso zu bestimmen, dass das Zeitgerüst der Abbildung 2.5 entspricht. Neben den trivialenUngleichungen ai < bi (i ∈ {1, 2, j, k}) ergeben sich aus der Abbildung die Ungleichungen:

b1 ≤ a2

bj ≤ ak

b1 6≤ ak

bj 6≤ a2

Diese können jedoch nicht alle gleichzeitig erfüllt werden, denn gilt a2 = ak , dann folgt ausbj ≤ ak auch bk ≤ a2. Gilt a2 < ak , dann ist aber b1 ≤ a2 < ak , also gilt dann auch

11Unter der Annahme, dass die übliche geordnete Menge der reellen Zahlen (R,≤) die Zeit als Menge vonZeitpunkten geeignet modelliert.

13

2 Zeitstruktur

b1 ≤ ak . Gilt ak < a2, dann gilt bj ≤ ak < a2, und somit folgt bj ≤ a2. Daher ist dasHerrühren eines Zeitgerüsts von intervallartigen Ereignissen keine triviale Eigenschaft undrechtfertigt die folgende Definition.

Definition 19. Ein Zeitgerüst (T, χ) heißt spezielles Zeitgerüst , wenn es ein Abbil-dungspaar a, b : T → R gibt, so dass für alle x, y ∈ T folgendes gilt:

a(x) < b(x)

(x, y) ∈ χ ⇔ b(x) ≤ a(y)

Lemma 20. Ein Zeitgerüst (T, χ) ist genau dann ein spezielles Zeitgerüst, wenn für allex1, y1, x2, y2 ∈ T gilt:

x1 < y1 ∧ x2 < y2 ⇒ x1 < y2 ∨ x2 < y1

Beweis. Dass jedes spezielle Zeitgerüst die Implikation erfüllt, wurde in Bemerkung 18 bereitsgezeigt. Gelte nun für alle x1, y1, x2, y2 ∈ T die Implikation x1 < y1 ∧ x2 < y2 ⇒ x1 <y2 ∨ x2 < y1 (∗). Nun ist zu zeigen, dass entsprechende Abbildungen a, b : T → Rgefunden werden können. Die Beweisidee stammt aus einem Beweis12 in [4]: Es ist möglich,eine Kette von »reellen Zeitpunkten« zu konstruieren, welche die für die Intervalldarstellungdes speziellen Zeitgerüsts benötigten Intervallgrenzen beinhaltet. Die Abbildung α : T → 2T

ordnet jedem Träger des Zeitgerüsts die Menge der Träger zu, die bezüglich der ChronologieVorzeitigkeit besitzen:

α : T → 2T , x 7→ {y | y < x}

Die Abbildung β : T → 2T ordnet jedem Träger x des Zeitgerüsts die Menge der Trägerzu, die bezüglich der Chronologie Vorzeitigkeit gegenüber jedem x nachfolgenden TrägerVorzeitigkeit besitzen:

β : T → 2T , x 7→⋂

T {α(y) | x < y}

Die Menge der Bilder von α und β, hier bezeichnet mit R, ist bezüglich der Teilmengenre-lation linear geordnet, denn angenommen es existieren P,Q ∈ R, so dass weder P ⊆ Qnoch Q ⊆ P ist, dann existieren jeweils p ∈ P und q ∈ Q mit p /∈ Q und q /∈ P . DaP,Q im Bild von α bzw. β sind, muss es gemäß den Abbildungsvorschriften Träger s, t ∈ Tgeben, so dass p < s, q < t, ¬(p < t) und ¬(q < s) ist, dies widerspricht jedoch der

12siehe Satz 22

14

2.2 Exkurs: Intervallordnungen bei Fishburn und Bogart

angenommenen Implikation (∗).13

Da T eine endliche Menge ist, ist es möglich, die gesuchten Abbildungen wie folgt zudefinieren:

a : T → R, x 7→ # (α(x))

b : T → R, x 7→ # (β(x))

Für x ∈ T gilt a(x) < b(x), denn x /∈ α(x) aber x ∈ β(x), also ist α(x) ⊆ β(x) da Rlinear geordnet ist. Für x, y ∈ T gilt:

x < y ⇔ β(x) ⊆ α(y) ⇔ b(x) ≤ a(y)

Bemerkung 21. Im vorangehenden Beweis wurde zur Einbettung der linearen Ordnung derBildmengen von α und β nach R die Zählfunktion14 # verwendet. Diese Funktion ist einBeispiel eines Zählmaßes auf der Trägermenge T , also einer Funktion der Form 2T →R≥0, X 7→

∑x∈X µ(x) für ein µ : T → R>0, welche ebenfalls die Bildmengen von α

und β durch gewichtetes Zählen in die reellen Zahlen einbetten. Bis auf Translation miteiner Konstante c0 ∈ R lassen sich alle möglichen Einbettungen a, b : T → R mittelseines durch geeignetes µ erzeugten Zählmaßes vermöge a(x) + c0 =

∑t∈α(x) µ(t) bzw.

b(x) + c0 =∑t∈β(x) µ(t) darstellen15.

2.2. Exkurs: Intervallordnungen bei Fishburn und Bogart

Bereits 1968 beschäftigte sich P.C. Fishburn mit sogenannten Intervallordnungen, die denspeziellen Zeitgerüsten stark ähneln. Fishburn betrachtet jedoch statt halboffenen reellen

13Denn:

Falls P im Bild von α ist, so ist für P = α(x) dann s = x zu wählen,ansonsten existiert für P = β(x) ein s ∈ {y | x < y} mit ¬(q < s),da q /∈ β(x) ist. Mit Q ist analog zu verfahren. Die nebenstehendeSkizze verdeutlicht dann den Sachverhalt, wobei die durchbrochenenPfeile die Vorzeitigkeitsrelationen darstellen, von denen wenigstens einedurch (∗) gefordert wird, die jedoch wegen der Unvergleichbarkeit vonP und Q bezüglich ⊆ nicht existieren dürfen.

14Die Zählfunktion ist eine Klassenfunktion, die jeder Menge ihre Kardinalität zuordnet, die Einschränkung auf 2T

ist jedoch als klassische Abbildung zwischen Mengen auffassbar.15Allerdings sind nicht alle möglichen a, b : T → R als solch eine Einbettung darstellbar. Betrachte({0, 1, 2} , {(0, 2), (1, 2)}): α(0) = α(1) = ∅ und β(0) = β(1) = {0, 1}, aber möglich wäre auch folgen-des Abbildungspaar: a(0) = 0, b(0) = 7

4, a(1) = 1

4, b(1) = 2, a(2) = 2, b(2) = 3, also a(0) 6= a(1) sowie

b(0) 6= b(1).

15

2 Zeitstruktur

Intervallen abgeschlossene, und ordnet diese strikt, d.h. [a1, b1] < [a2, b2] gilt, falls b1 <a2 gilt. Im Artikel Intransitive Indifference with Unequal Indifference Intervals [8] betrachtetFishburn Intervallordnungen über einer Trägermenge X wie folgt:

Definition. Aus [8]: ≺ ⊆ X × X heißt strikte partielle Ordnung, falls ≺ irreflexiv undtransitiv ist, d.h. ∀x ∈ X : ¬(x ≺ x) und ∀x, y, z ∈ X : (x ≺ y) ∧ (y ≺ z)⇒ x ≺ z gilt.

Definition. Aus [8]: ≺ ⊆ X × X heißt Intervallordnung, falls ≺ irreflexiv ist, d.h. ∀y ∈X : ¬(y ≺ y), und die Intervallordnungsvoraussetzung erfüllt, nämlich ∀x, y, y′, z ∈X : (x ≺ y) ∧ (y′ ≺ z)⇒ (x ≺ z) ∨ (y′ ≺ y).

Definition. Aus [8]: ∼⊆ X×X ist definiert durch ∀x, y ∈ X : x ∼ y ⇔ ¬(x ≺ y)∧¬(y ≺x) und ≈⊆ X×X ist definiert durch ∀x, y ∈ X : x ≈ y ⇔ (∀z ∈ X : (x ∼ z)⇔ (y ∼ z)).

Satz. Aus [8]: Ist ≺ eine Intervallordnung auf X und ist X/ ≈ abzählbar, dann gibt esFunktionen u : X → R und % : X → R>0, so dass für alle x, y ∈ X :

x ≺ y ⇔ u(x) + %(x) < u(y)

K.P. Bogart veröffentlichte in dem Artikel An obvious proof of Fishburn’s interval order theo-rem [4] eine Verallgemeinerung des letzten Satzes:

Definition. Aus [4]: Seien (X,≺) und (Y,<) strikte partielle Ordnungen. Eine FunktionI , die jedem x ∈ X ein nicht-triviales Intervall Ix der geordneten Menge (Y,<) zuordnet,heißt Intervallrepräsentation von (X,≺), falls x ≺ y genau dann gilt, wenn ∀s ∈ Ix∀t ∈Iy : (s < t) ∨ (s = t) gilt. I heißt strikte Intervallrepräsentation wenn x ≺ y genau danngilt, falls ∀s ∈ Ix∀t ∈ Iy : s < t gilt.

Definition. Aus [4]: Sei (X,≺) eine strikte partielle Ordung. Dann ist die Menge derVorgänger von x ∈ X definiert durch Pred(x) = {y | y ≺ x} und die Menge der Nach-folger definiert durch Suc(x) = {y | x ≺ y}. Die Menge der gemeinsamen Vorgänger derNachfolger von x ∈ X ist definiert durch Pred(Suc(x)) =

⋂X {Pred(y) | y ∈ Suc(x)}.

Satz. Aus [4]: Sei (X,≺) eine strikte partielle Ordnung, dann ist die Funktion I , definiertdurch

Ix = [Pred(x),Pred(Suc(x))]

eine Intervallrepräsentation von (X,≺) bezüglich der durch Teilmengenbeziehung geord-neten Menge der Mengen der Vorgänger von Elementen aus X und der Mengen der gemein-samen Vorgänger von Nachfolgermengen von Elementen von X bezüglich (X,≺).

Satz 22. Aus [4]: Ist (X,≺) Intervallordnung, dann ist die Familie der Mengen der Vorgängervon Elementen von X und die Menge der gemeinsamen Vorgänger von Nachfolgermengenvon Elementen von X durch die Teilmengenbeziehung linear geordnet.

16

2.3 Übergänge in Zeitgerüsten

Abbildung 2.6: Zeitgerüst (TF , χF )

2.3. Übergänge in Zeitgerüsten

Die Darstellung der Chronologie eines Zeitgerüsts als Kreuztabelle16 legt eine Betrachtungaus dem Blickwinkel der formalen Begriffsanalyse nahe.

Definition 23. Sei (T, χ) ein Zeitgerüst. Der formale Zeitkontext des Zeitgerüsts(T, χ) ist der formale Kontext (T, T, χ), die formalen Begriffe (P,Q) des Kontexts (T, T, χ)heißen dann Übergänge bezüglich (T, χ). Der formale Begriffsverband B(T, T, χ) heißtdann Übergangsverband des Zeitgerüsts (T, χ).

Die Bezeichnung der formalen Begriffe des formalen Kontexts (T, T, χ) leitet sich wie folgther: Zwei Träger p, q ∈ T sollen genau dann bezüglich χ in Relation stehen, d.h. (p, q) ∈ χ,wenn das Ende von p vor dem Beginn von q liegt oder mit diesem zusammenfällt. FormaleBegriffe bezüglich (T, T, χ) sind also Mengenpaare von Trägern (P,Q), so dass P ×Q ⊆ χgilt und für die es weder p ∈ T\P mit {p}×Q ⊆ χ noch q ∈ T\Q mit P ×{q} ⊆ χ gibt.In diesem Sinne kann von einem Übergang von den zu P gehörenden Trägern zu den zu Qgehörenden Trägern gesprochen werden. Solch ein Übergang wäre dann interpretierbar alsder Zeitpunkt oder die Zeitspanne zwischen dem spätesten Ende aus P und dem frühestenBeginn aus Q.

Beispiel 24. Zunächst soll das in Abbildung 2.6 gegebene Zeitgerüst (TF , χF ) betrachtetwerden. Offenbar ist TF = {0, 1, 2, 3, 4, 5} und χF = {(0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (1, 5),(4, 2)}. Der formale Zeitkontext (TF , TF , χF ) besitzt die folgenden formalen Begriffe:(∅, TF ), ({1} , {2, 3, 5}), ({0, 1} , {2, 3}), ({0, 1, 4} , {2}) und (TF , ∅). Es gibt also drei

16siehe: Tabelle 1

17

2 Zeitstruktur

Übergänge im Inneren des Zeitgerüsts sowie die kanonischen Übergänge (∅, TF ) am Anfangund (TF , ∅) am Ende des Zeitgerüsts. Die Ordnung des Übergangsverbands B(TF , TF , χF )lässt sich wie folgt interpretieren: Für zwei Übergänge mit (P (1), Q(1)) 6= (P (2), Q(2)) gilt(P (1), Q(1)) ≤ (P (2), Q(2)) genau dann, wenn P (1) ( P (2) und Q(1) ) Q(2) gilt. Diesbedeutet, dass für einen Träger p ∈ P (2)\P (1) und einen Träger q ∈ Q(1)\Q(2) offen-bar ¬(p < q) gilt. Da der Übergang (P (1), Q(1)) vor dem Anfang von q liegt, während(P (2), Q(2)) hinter dem Ende von p liegt, sowie p und q entweder eine zeitliche Über-schneidung besitzen oder sogar q < p gilt, findet der Übergang (P (1), Q(1)) immer striktvor dem Übergang (P (2), Q(2)) statt.

Weiterhin ist zu bemerken, dass Umfänge und Inhalte von Übergängen bezüglich (T, χ)keine Glieder bezüglich (T, χ) sein müssen. So sind {0, 1} wegen 1 < 5 aber ¬(0 < 5) und{2, 3} wegen 4 < 2 aber ¬(4 < 3) zwar Umfänge bzw. Inhalte von Übergängen, aber keineGlieder.17

Satz 25. Sei (T, χ) ein spezielles Zeitgerüst. Dann ist der Übergangsverband B(T, T, χ)linear geordnet, d.h. für je zwei Übergänge bezüglich (T, χ) – (P (1), Q(1)) und (P (2), Q(2))– gilt entweder (P (1), Q(1)) ≤ (P (2), Q(2)) oder (P (2), Q(2)) ≤ (P (1), Q(1)).

Beweis. Angenommen, es gäbe Übergänge (P (1), Q(1)) und (P (2), Q(2)) mit P (1) 6⊆ P (2) 6⊆P (1), woraus sofort Q(1) 6⊆ Q(2) 6⊆ Q(1) folgt. Dann exisitieren p(1) ∈ P (1)\P (2) undp(2) ∈ P (2)\P (1), sowie q(1) ∈ Q(1)\Q(2) und q(2) ∈ Q(2)\Q(1), so dass ¬(p(1) <q(2)) ∧ ¬(p(2) < q(1)) gilt. Da aber p(1) < q(1) und p(2) < q(2) gilt, kann (T, χ) keinspezielles Zeitgerüst sein, denn sonst wäre (p(1) < q(2)) ∨ (p(2) < q(1)) nach Definition 19wahr.

2.4. Untergliederte Zeitgerüste und chronologischeRelationen

Für die Formulierung einer allgemeinen Reduktionsform in Abschnitt 3.3 wird es notwendigsein, die Trägermenge von Zeitgerüsten mit einer Gliederung zu versehen und spezielleRelationen zwischen den dadurch entstandenen Strukturen zu definieren.

Definition 26. Ein Tripel (T, χ, γ) heißt untergliedertes Zeitgerüst , falls die folgen-den Eigenschaften erfüllt sind:

(z) (T, χ) ist ein Zeitgerüst.

(g) γ ist eine Gliederung des Zeitgerüsts (T, χ).

Definition 27. Seien (T (1), χ(1), γ(1)) und (T (2), χ(2), γ(2)) untergliederte Zeitgerüste.Ein Paar (Φ,Ψ) heißt dann chronologische Relation zwischen untergliedertenZeitgerüsten, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:

17Bis auf {1}, {2} und TF sind hier gar keine Inhalte oder Umfänge Glieder bezüglich (T, χ).

18

2.4 Untergliederte Zeitgerüste und chronologische Relationen

(s) Φ: γ(1) → γ(2) ist surjektiv.

(m) ∀T (1)G1 , T

(1)G2 ∈ γ(1) : T

(1)G1 × T (1)

G2 ⊆ χ(1) ⇒ Φ(T(1)G1 ) = Φ(T

(1)G2 )

∨ Φ(T(1)G1 )× Φ(T

(1)G2 ) ⊆ χ(2)

(o) ∀T (2)G1 , T

(2)G2 ∈ γ(2) :

⋃Φ−1(T

(2)G1 ) ×

⋃Φ−1(T

(2)G2 ) ⊆ χ(1)

⇔ T(2)G1 × T (2)

G2 ⊆ χ(2)

(p) Ψ: γ(1) → 2T(1)×T (2)

(r) Für alle T (1)G ∈ γ(1) ist Ψ(T

(1)G ) eine zweistellige Relation mit Ψ(T

(1)G ) ⊆ T (1)

G ×Φ(T

(1)G ).

Bemerkung 28. Die in Definition 27 geforderten Eigenschaften (s), (m) und (o) sind äquivalentzu folgender Eigenschaft (c), die besagt, dass die Abbildung Φ eine chronologische Abbildungzwischen den jeweiligen durch Gliedprojektion erhaltenen Zeitgerüsten beschreibt.

(c) Es existiert ein ϕ ∈ Z(cod([ϑ(1)]), cod([ϑ(2)])) mit Φ = Z(ϕ) und ϑ(i) =Sets(γ(i)) für i ∈ {1, 2}.

Definition 29. Sei (Φ,Ψ) eine chronologische Relation zwischen den untergliedertenZeitgerüsten (T (1), χ(1), γ(1)) und (T (2), χ(2), γ(2)). Dann heißt (Φ,Ψ) totale chrono-logische Relation zwischen (T (1), χ(1), γ(1)) und (T (2), χ(2), γ(2)), wenn folgendeEigenschaften erfüllt sind:

∀T (1)G ∈ γ(1) ∀t(1) ∈ T (1)

G ∃t(2) ∈ Φ(T(1)G ) : (t(1), t(2)) ∈ Ψ(T

(1)G )

∀t(2) ∈ T (2) ∃T (1)G ∈ γ(1), t(1) ∈ T (1)

G : (t(1), t(2)) ∈ Ψ(T(1)G )

Lemma 30. Seien (T (1), χ(1), γ(1)), (T (2), χ(2), γ(2)) und (T (3), χ(3), γ(3)) untergliederteZeitgerüste, sowie (Φ(1),Ψ(1)) eine chronologische Relation zwischen (T (1), χ(1), γ(1)) und(T (2), χ(2), γ(2)) und (Φ(2),Ψ(2)) eine chronologische Relation zwischen (T (2), χ(2), γ(2))und (T (3), χ(3), γ(3)). Weiterhin sei Ψ(1) ∗Ψ(2) wie folgt definiert:

Ψ(1) ∗Ψ(2) : γ(1) → 2T(1)×T (3)

,

T(1)G 7→ {(t(1), t(3)) ∈ T (1)

G × Φ(1) ∗ Φ(2)(T(1)G ) | ∃t(2) ∈ Φ(1)(T

(1)G ) :

(t(1), t(2)) ∈ Ψ(1)(T(1)G ) ∧ (t(2), t(3)) ∈ Ψ(2)(Φ(1)(T

(1)G ))}

Dann ist (Φ(1) ∗ Φ(2),Ψ(1) ∗Ψ(2)) eine chronologische Relation zwischen (T (1), χ(1), γ(1))und (T (3), χ(3), γ(3)), genannt das chronologische Relationsprodukt aus (Φ(1),Ψ(1))und (Φ(2),Ψ(2)).

Beweis. Offenbar ist Φ(1) ∗Φ(2) : γ(1) → γ(3) surjektiv und Ψ(1) ∗Ψ(2) : γ(1) → 2T(1)×T (3)

,

die Bedingungen (s) und (p) sind also erfüllt. Nach Definition ist für T (1)G ∈ γ(1) auch

Ψ(T(1)G ) ⊆ T

(1)G × Φ(1) ∗ Φ(2)(T

(1)G ), so dass die Bedingung (r) erfüllt ist. Seien nun

19

3 Ereignisstruktur

T(1)G1 , T

(1)G2 ∈ γ(1) mit T (1)

G1 × T(1)G2 ⊆ χ(1), dann ist im Fall Φ(1)(T

(1)G1 ) = Φ(1)(T

(1)G2 )

auch Φ(1) ∗ Φ(2)(T(1)G1 ) = Φ(1) ∗ Φ(2)(T

(1)G2 ). Andernfalls ist Φ(1)(T

(1)G1 ) × Φ(1)(T

(1)G2 ) ⊆

χ(2) und mit der Eigenschaft (m) für (Φ(2),Ψ(2)) ergibt sich die Eigenschaft (m) für

(Φ(1) ∗ Φ(2),Ψ(1) ∗Ψ(2)). Sei nun T (3)G1 , T

(3)G2 ∈ γ(3), dann gilt die Eigenschaft (o) wegen:

T(3)G1 × T (3)

G2 ⊆ χ(3) ⇔⋃

(Φ(2))−1(T(3)G1 ) ×

⋃(Φ(2))−1(T

(3)G2 ) ⊆ χ(2)

⇔ ∀T (2)G1 ∈ (Φ(2))−1(T

(3)G1 ), T

(2)G2 ∈ (Φ(2))−1(T

(3)G2 ) :

T(2)G1 × T (2)

G2 ⊆ χ(2)

⇔⋃

(Φ(1) ∗ Φ(2))−1(T(3)G1 ) ×

⋃(Φ(1) ∗ Φ(2))−1(T

(3)G2 ) ⊆ χ(1)

Bemerkung 31. Sind (Φ(1),Ψ(1)) und (Φ(2),Ψ(2)) sogar totale chronologische Relationen,so ist (Φ(1) ∗ Φ(2),Ψ(1) ∗Ψ(2)) ebenfalls eine totale chronologische Relation. Dass sich diealternative Bedingung (c) aus Bemerkung 28 unter Komposition erhält, folgt daraus, dass Zeine Kategorie ist.

3. Ereignisstruktur

Während im Abschnitt 2 die zeitliche Struktur von Musik und Musikstücken thematisiertwurde, stellten sich implizit die Fragen, was Musik ist und was musikalische Ereignissesind. Diese Frage ist Kern der Philosophie der Musik und soll in dieser Arbeit nicht direktthematisiert werden. Stattdessen wird anerkannt, dass die sich stellenden Fragen — was alsMusik zählt, in welchen Formen Musik vorliegen kann, welche Ereignisse musikalischer Natursind und welche Beziehungen sie untereinander haben — auf vielfältige Weise betrachtetund beantwortet werden können. An diesen Fragestellungen interessierten Leser_innen seider Artikel The Philosophy of Music [11] der The Stanford Encyclopedia of Philosophy alserster Anlaufpunkt zum Literaturstudium empfohlen.

3.1. Theorien musikalischer Ereignisse

Im folgenden wird davon ausgegangen, dass es zu jeder Zeit mehrere für die Musiktheorierelevante Theorien musikalischer Ereignisse gibt, und dass diese Theorien es ermöglichenmusikalische Ereignisse zu erkennen, benennen und zwischen verschiedenen musikalischenEreignissen zu unterscheiden. Für ein gegebenes musikalisches Werk stellt jede Theorie dermusikalischen Ereignisse den Rahmen zur Ermittlung eines oder mehrerer verschiedenerdem Musikstück zugrundeliegender Zeitgerüste und elementarer musikalischer Ereignissedar. Die Interpretation der Musik als konkret benannte Ereignisse und die Interpretationder zeitlichen Struktur dieser Ereignisse als Zeitgerüste stehen also in einem eindeutigen

20

3.1 Theorien musikalischer Ereignisse

wechselseitigen Zusammenhang, allerdings sind für das selbe Musikstück Interpretationenmit Hilfe unterschiedlicher elementarer musikalischer Ereignisse und daraus resultierendenZeitgerüsten auch bereits innerhalb einer einzigen Theorie musikalischer Ereignisse möglich.Ein Beispiel hierfür wäre eine Theorie musikalischer Ereignisse, die alle möglichen, spiel-baren, gleichzeitig angeschlagenen Klavierakkorde erkennt, benennt und unterscheidet. Wirdnun ein musikalisches Werk für Klavier betrachtet, kann prinzipiell jeder notierte gleichzeitigangeschlagene Akkord entweder als ein einziges elementares Ereignis oder beispielsweiseals die gleichzeitig stattfindenden elementaren Ereignisse der angeschlagenen Einzelnotenbetrachtet werden, mit den entsprechenden Konsequenzen für das dem Stück zugrunde-liegende Zeitgerüst und eventuell angestellte Schlussfolgerungen. Es ist daher notwendig,verschiedene Interpretationen eines Werks bezüglich einer Theorie der musikalischen Er-eignisse zu unterscheiden und eine Favorisierung einer Interpretation vor einer anderengegebenenfalls zu begründen.

Wird als weiteres Beispiel eine Theorie musikalischer Ereignisse hinzugezogen, die etwaigeKlangfarben vollständig vernachlässigt, aber verschiedene gleichzeitig angeschlagene Akkor-de erkennt, benennt und unterscheidet, dann ist jedes elementare Ereignis der Theorie derKlavierakkorde immer auch als Ereignis in der Theorie der Akkorde – sogar eindeutig – in-terpretierbar. In einer Theorie musikalischer Ereignisse, die nur klassische Dreiklänge kennt,sind immernoch zumindest einige musikalische Ereignisse der Theorie der Akkorde ebenfallsals elementare musikalische Ereignisse interpretierbar. Dies ist bezüglich der Akkorde, dieDreiklänge darstellen, ebenfalls eindeutig. Zuletzt soll noch an eine Theorie musikalischerEreignisse gedacht werden, die nur klassische Dreiklänge kennt und benennt, aber solcheDreiklänge nicht unterscheidet, die sich gegenseitig als Oktavverschiebungen des jeweils an-deren Dreiklanges darstellen lassen. In dieser Theorie lassen sich die Ereignisse der Theorieder Dreiklänge ebenfalls interpretieren, allerdings werden vormals unterschiedene musikali-sche Ereignisse dabei zusammengefasst. Außerdem ist es durch sukkzessives Ausführen dereinzelnen Interpretationsschritte möglich, einige Ereignisse der Theorie der Klavierakkordeals Ereignisse der weniger unterscheidenden Theorie der Dreiklänge zu interpretieren.18

Der dargelegte Sachverhalt legt nahe, die verschiedenen Theorien musikalischer Ereignis-se als Objekte einer Kategorie zu betrachten, deren Morphismen Interpretationen einigermusikalischer Ereignisse aus der Theorie des Definitionsbereichs in der Theorie des Wer-tebereichs des Morphismus darstellen, so dass je zwei nicht unterschiedene musikalischeEreignisse der Theorie des Definitionsbereichs ebenfalls in der Theorie des Wertebereichsnicht unterschieden werden. Folgende Definition ist daher motiviert:

Definition 32. Sei M eine Kategorie19, deren Objekte verschiedene Theorien musika-lischer Ereignisse und deren Morphismen Teilinterpretationen einer Theorie musikalischer

18Nicht jeder Klavierakkord ist ein Dreiklang, aber Dreiklänge sind auch als Klavierakkorde darstellbar.19Es wäre auch möglich gewesen, die unterscheidbaren Klassen jeweils ununterscheidbarer musikalischer Ereignissedirekt als gegebene Menge zu definieren und auf Kategorien vollständig zu verzichten. Dies würde jedoch denEindruck erwecken, dass Theorien musikalischer Ereignisse lediglich ein Benennungsproblem darstellen und kei-ne tiefergehenden Eigenschaften und Beziehungen untereinander haben. Insbesondere sei hier immer auch angeeignete Kategorien gedacht, wie sie z.B. in [15] oder [17] beschrieben sind.

21

3 Ereignisstruktur

Ereignisse in einer anderen Theorie musikalischer Ereignisse darstellen sollen. Ein FunktorM : M → PMSets heißt dann System von Theorien musikalischer Ereignisse,wenn dieser jeder Theorie musikalischer Ereignisse eine Menge zuordnet, die eindeutige Na-men20 für jede Klasse nicht unterschiedener musikalischer Ereignisse21 enthält; sowie jederTeilinterpretation die partielle Mengenabbildung zuordnet, welche den interpretierten Klas-sennamen der Theorie des Definitionsbereichs die korrespondierenden Klassennamen derTheorie des Wertebereichs zuordnet.

3.2. Interpretationen bezüglich Theorien musikalischerEreignisse

3.2.1. Interpretationsformen und ihre Morphismen

In diesem Unterabschnitt soll definiert werden, was unter einer Interpretation eines musika-lischen Werkes im Sinne der Interpretation innerhalb einer Theorie musikalischer Ereignisseverstanden werden soll. Der Begriff Interpretation bezeichnet hier nicht das Interpretiereneiner Komposition, beispielsweise in Form eines Liedes, durch Musiker_innen oder Inter-pret_innen, sondern bezieht sich auf die Interpretation – z.B. eines Hörerlebnisses – imSinne einer Einteilung in eine zeitliche Struktur und in verschiedene unterschiedene ele-mentare musikalische Ereignisse.

Definition 33. Sei M : M→ PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereignisse.Ein Tripel (S,G, i) heißt dann Interpretationsform, falls S ∈ Ob(M) eine Theoriemusikalischer Ereignisse, G ∈ Ob(Z) ein Zeitgerüst und i : Z(G)→M(S) eine Abbildungvon Mengen ist. Die Abbildung i wird dann auch Beschriftung genannt.

Da Ob(Z) eine abzählbare Menge ist, und für alle G ∈ Ob(Z) die Menge Z(G) endlich ist,bilden für festes S ∈ Ob(M) die Interpretationsformen (S,G, i) eine Menge, die mit ISbezeichnet wird:

IS = {(S,G, i) | G ∈ Ob(Z), i ∈ Sets(Z(G),M(S))}

Definition 34. Sei M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereig-nisse. Eine Interpretationsform (S,G, i) heißt Interpretation eines musikalischenWerkes, falls es ein musikalisches Werk gibt, so dass sämtliche einzelnen musikalischenEreignisse des Werkes gemäß der Theorie S entsprechend den Beziehungen des ZeitgerüstsG = (T, χ) wahrgenommen werden können und das Zeitgerüst nur Träger enthält, zu de-nen ein entsprechendes Ereignis gehört. Genauer heißt dies, dass das zum Träger t ∈ Tgehörende Ereignis i(t) tatsächlich Teil des musikalischen Werkes ist, dass alle gemäß derTheorie S relevanten verschiedenen musikalischen Ereignisse des Werks einen eindeutigen

20im strengen Sinne (abstrakte) Mengen, weniger streng sind auch sprachliche Bezeichnungen denkbar21Hier sind auch unendlich viele Klassen erlaubt!

22

3.2 Interpretationen bezüglich Theorien musikalischer Ereignisse

Träger besitzen, und dass die Träger der Ereignisse eine mögliche Zeitwahrnehmung22 dermusikalischen Ereignisse des Werkes im Zeitgerüst reflektieren.

Aus der Definition 33 ergeben sich der folgende aus algebraischer Sicht naheliegende Mor-phismusbegriffe zwischen Interpretationsformen, die die Ereignisse einer Interpretationsformauf die Ereignisse einer anderen Interpretationsform abbilden:

Definition 35. Sei M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereig-nisse, seien (S(1), G(1), i(1)) und (S(2), G(2), i(2)) Interpretationsformen und sei G(1) =(T (1), χ(1)) sowie G(2) = (T (2), χ(2)).

Ein schwacher Morphismus zwischen den Interpretationsformen (S(1), G(1),i(1)) und (S(2), G(2), i(2)) ist dann eine Abbildung f : Z(G(1)) → Z(G(2)), die surjektivist.

Ein strikter Morphismus zwischen den Interpretationsformen (S(1), G(1), i(1))und (S(2), G(2), i(2)) ist das Bild Z(ϕ) einer chronologische Abbildung ϕ : (T (1), χ(1))→(T (2), χ(2)) unter dem Funktor Z .

Ein echter schwacher Morphismus zwischen den Interpretationsformen (S(1),G(1), i(1)) und (S(2), G(2), i(2)) ist dann eine Abbildung f : Z(G(1)) → Z(G(2)), so dassfür kein ϕ ∈ Z(G(1), G(2)) die Gleichung f = Z(ϕ) gilt.

Notation 36. In den Fällen aus Definition 35 wird auch

f : (S(1), G(1), i(1))→ (S(2), G(2), i(2))

undZ(ϕ) : (S(1), G(1), i(1))→ (S(2), G(2), i(2))

geschrieben. Weiterhin bezeichne

FS ={f : (S,G(1), i(1))→ (S,G(2), i(2)) | (S,G(1), i(1)), (S,G(2), i(2)) ∈ IS

}die Menge aller schwachen Morphismen zwischen Interpretationsformenbezüglich S und

Z(ΦS) ={Z(ϕ) : (S,G(1), i(1))→ (S,G(2), i(2)) | (S,G(1), i(1)), (S,G(2), i(2)) ∈ IS

}

die Menge aller strikten Morphismen zwischen Interpretationsformen be-züglich S.

22Die Zeitwahrnehmung ist natürlich nicht frei von einem Subjekt, welches ihr unterworfen ist. Daher kann esselbst innerhalb ein und der selben Theorie und Betrachtungsweise der einzelnen musikalischen Ereignissedazu kommen, dass die Zeitreihenfolge durch verschiedene Subjekte sowie zu verschiedenen Zeitpunktenunterschiedlich wahrgenommen wird.

23

3 Ereignisstruktur

Ein schwacher Morphismus ist also eine Abbildung, die jedem Träger der zur Interpretations-form des Urbilds gehört einen Träger der Interpretationsform des Bildes zuordnet, so dassdas Bild vollständig aus dem Urbild entsteht. Dabei werden die Chronologien der zugrun-deliegenden Zeitgerüste nicht weiter beachtet. Ein Beispiel hierfür wäre z.B. die Anwendungeiner Permutation – beispielsweise des Krebses – auf eine Grundreihe in der Zwölftonmusik:

Beispiel 37. Sei M12 : M12 → PMSets ein System von Theorien musikalischer Er-eignisse und sei S12 ∈ Ob(M12) eine geeignete Theorie. Dann ist eine Grundreihe derZwölftonmusik darstellbar durch eine Interpretationsform (S12, G12, i) mit dem ZeitgerüstG12 = (T12, χ12) für T12 = {1, 2, . . . , 12} und χ12 = {(n,m) ∈ T × T | n < m}. Weiter-hin sei ifkrebs : Z(G) → M(S), t 7→ i(13 − t). Die Anwendung der Krebskonstruktion auf(S12, G12, i) ist dann der schwache Morphismus fkrebs : (S12, G12, i

fkrebs)→ (S12, G12, i),der jedem t ∈ T12 das Bild fkrebs(t) = 13− t zuordnet.

Einem striktem Morphismus hingegen liegt eine chronologische Abbildung zugrunde, d.h.der Morphismus »verbiegt« die zeitliche Struktur der Interpretationsform lediglich. Ein Bei-spiel wäre hier z.B. das Transponieren einer Interpretationsform, diese Operation lässt dasZeitgerüst unverändert und ändert lediglich die Beschriftung.

3.2.2. Konstruktionen

Die eben aufgeführten Beispiele haben eine Gemeinsamkeit: Sie lassen sich kanonisch aufviele verschiedene Interpretationsformen übertragen, die Urbildinterpretationsformen lassensich aus den Bildinterpretationsformen konstruieren.

Definition 38. Sei M : M→ PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereignisseund sei S ∈ Ob(M). Eine partielle Abbildung K : IK ⊆ IS → FS heißt dann Konstrukti-on bezüglich S, falls für alle I ∈ IK das Bild K(I) ein schwacher Morphismus zwischen

einer von I abhängigen Interpretationsform (S,G(I)K , i

(I)K ) und I ist.

Ein schwacher Morphismus zwischen Interpretationsformen modelliert, welche Teile der Ur-bildinterpretationsform aus welchem Teil der Bildinterpretationsform durch die Konstruktionhervorgegangen sind.

Definition 39. Sei M : M→ PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereignisse,sei ferner S ∈ Ob(M), G ∈ Ob(Z) und sei X eine Menge von Trägersymbolen, so dassX ×PMSets(M(S),M(S)) ∩ M(S) = ∅ gilt. Außerdem sei k : Z(G)→M(S) ∪ X ×PMSets(M(S),M(S)) eine Mengenabbildung. Dann heißt das Quadrupel (S,G,X , k)Konstruktionsform bezüglich S und X .

Die Menge der gebundenen Trägersymbole von (S,G,X , k) ist dann definiert als

B(S,G,X , k) = {x ∈ X | ∃t ∈ Z(G), σ ∈ PMSets(M(S),M(S)) : k(t) = (x, σ)}

24


und der kombinierte Definitionsbereich von (S,G,X , k) ist definiert als Abbildung

def(S,G,X , k) : B(S,G,X , k)→ 2M(S),

x 7→⋂

M(S) {def(σ) | σ ∈ PMSets(M(S),M(S)) : (x, σ) ∈ im(k)}

Für festes S ∈ Ob(M) und X bilden die Konstruktionsformen bezüglich S und X eineMenge, die mit KS,X bezeichnet wird.

Definition 40. Sei X eine Menge von Trägersymbolen und G ∈ Ob(Z). Ferner seis : Z(G) → X eine Mengenabbildung. Dann heißt das Tripel (G,X , s) Symbolformbezüglich X .

Die Menge der freien Trägersymbole von (G,X , s) ist dann definiert als:

F(G,X , s) = im(s)

Für festes X bilden die Symbolformen bezüglich X eine Menge, die mit SX bezeichnet wird.

Falls s zusätzlich eine injektive Abbildung ist, so heißt (G,X , s) injektive Symbolformbezüglich X .

Definition 41. Sei M : M→ PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereignisse,sei ferner S ∈ Ob(M); G,G(k) ∈ Ob(Z) und X eine Menge von Trägersymbolen. Eine S-gebundene Symbolform bezüglich X ist ein Tupel (S,G,X , s, b), so dass (G,X , s)eine Symbolform bezüglich X ist und b : F(G,X , s)→M(S) eine Mengenabbildung ist.

Die Menge der S-gebundenen Symbolformen bezüglich X ist dann definiert als:

BS,X = {(S,G,X , s, b) | G ∈ Ob(Z), s ∈ Sets(Z(G),X ), b ∈ Sets(F(G,X , s),M(S))}

Sei weiter (S,G(k),X , k) eine Konstruktionsform bezüglich S und X .

Dann heißt (S,G,X , s, b) im kombinierten Definitionsbereich von (S,G(k),X , k)enthalten, falls F (G,X , s) = B(S,G(k),X , k) gilt und für alle x ∈ F (G,X , s) außerdemb(x) ∈ def(S,G(k),X , k)(x) ist. In diesem Fall wird kurz (S,G,X , s, b) ∈ def(S,G(k),X , k)geschrieben, außerdem sei die Menge der im kombinierten Definitionsbereich von (S,G(k),X ,k) enthaltenen S-gebundenen Symbolformen bezüglich X bezeichnet durch

Def(S,G(k),X , k) = {(S,G,X , s, b) | (G,X , s) ∈ SX , b ∈ Sets(F (G,X , s),M(S)) :

(G,X , s, b) ∈ def(S,G(k),X , k)}

Definition 42. Sei M : M→ PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereignisse,X eine Menge von Trägersymbolen und sei (S,G(k),X , k) eine Konstruktionsform bezüglichS und X . Dann ist die Auswertungsfunktion von (S,G(k),X , k) wie folgt definiert:

ev(S,G(k),X , k) : Def(S,G(k),X , k)→ IS , (G,X , s, b) 7→ (S,G(k), i(G,X ,s,b))

25

3 Ereignisstruktur

mit

i(G,X ,s,b) : Z(G(k))→M(S),

t 7→

{k(t) falls k(t) ∈M(S)

σ(b(x)) falls (x, σ) = k(t) ∈ X ×PMSets(M(S),M(S))

Definition 43. Sei M : M→ PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereignis-se, S ∈ Ob(M), X eine Menge von Trägersymbolen und sei (G(s),X , s) eine Symbolformbezüglich X . Eine Interpretationsform (S,G, i) heißt Instanz von (G(s),X , s), falls einechronologische Abbildung ϕ ∈ Z(G,G(s)) existiert, die bijektiv ist, sowie falls eine Men-genabbildung b : F(G,X , s)→M(S) existiert, so dass für alle t ∈ Z(G)

b(Z(ϕ) ∗ s(t)) = i(t)

gilt.23 Die S-gebundene Symbolform (S,G(s),X , s, b) heißt dann Instanziierung von(S,G, i) bezüglich (G(s),X , s).

Eine partielle Mengenabbildung i : Ii ⊆ IS → BS,X heißt Instanziator bezüglich Sund X , falls für alle (S,G, i) ∈ Ii das Bild i(S,G, i) = (S,G(S,G,i),X , s(S,G,i), b(S,G,i))– eine von (S,G, i) abhängige Symbolform – eine Instanz von (G(S,G,i),X , s(S,G,i)) ist.24

Definition 44. Sei M : M→ PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereignisse,X eine Menge von Trägersymbolen und sei (S,G(k),X , k) eine Konstruktionsform bezüglichS und X mit im(k) ∩M(S) = ∅ sowie i : Ii ⊆ IS → BS,X Instanziator bezüglich S undX . Das Tupel (S,G(k),X , k, i) heißt kanonische Konstruktionsform bezüglich Sund X , falls für alle (S,G,X , s, b) ∈ im(i) folgendes gilt:25

(i) (G,X , s) ist eine injektive Symbolform, d.h. s : Z(G)→ X ist injektiv.

(s) F(G,X , s) = B(S,G(k),X , k)

(d) (S,G,X , s, b) ∈ Def(S,G(k),X , k)

Sei nun (S,G(k),X , k, i) eine kanonische Konstruktionsform, dann ist die kanonischeKonstruktion zu (S,G(k),X , k, i) definiert als

K(S,G(k),X , k, i) : Ii ⊆ IS → FS , (S,G, i) 7→ f(S,G,i)

so, dass f(S,G,i) : ev(S,G(k),X , k)(i(S,G, i))→ (S,G, i) der folgende schwache Morphis-mus zwischen Interpretationsformen ist:

f(S,G,i) : Z(G(k))→ Z(G(s)), t 7→ f(S,G,i)(t)

23Aus formalen Gründen ist Z(ϕ) ∗ s ∗ b = i nicht schreibbar, da dom(b) 6= cod(s), sondern nur Teilmenge ist.24Im allgemeinen existiert für eine feste Instanz (S,G, i) von (G(s),X , s) keine eindeutige Instanziierung.25Eigenschaft (s) ergibt sich aus (d) aufgrund der Definition von (G,X , s,b) ∈ def(S,G(k),X , k) automatisch.

26


wobei f(S,G,i)(t) = (s(S,G,i))−1∗(Z(ϕ)−1

)(x) für x ∈ X und σ ∈ PMSets(M(S),M(S))

mit k(t) = (x, σ) ist, sowie i(S,G, i) = (S,G(s),X , s(S,G,i), b(S,G,i)) und ϕ ∈ Z(G,G(s))der Morphismus ist, der nach Definition 43 existiert.

Beispiel 45. Die in Beispiel 37 beschriebene Krebskonstruktion lässt sich wie folgt als ka-nonische Konstruktion auffassen. Dazu sei weiter X12 = {x1, x2, . . . , x12}, sowie σkrebs =PMSets(M12(S12)) die identische Abbildung der Ununterscheidbarkeitsklassen musika-lischer Ereignisse von S12, s12 : Z(G12) → X12, t 7→ xt. Außerdem sei i12 : I12 ⊆IS12 → BS12,X12 der Instanziator mit I12 = {(S,G, i) | (S,G, i) ∈ IS12 : G = G12} undi12(S12, G12, i) = (S12, G12,X12, s12, b

(i)) mit b(i) : X12 → M12(S12), xt 7→ i(t). DieKonstruktionsform des Krebses sei dann definiert als (S12, G12,X12, kkrebs) wobei

kkrebs : Z(G12)→M12(S12)∪X12×PMSets(M12(S12),M12(S12)), t 7→ (x13−t, σkrebs)

Die kanonische Konstruktionsform des Krebses ist dann das Tupel (S12, G12,X12, kkrebs, i12)und K(S12, G12,X12, kkrebs, i12) ist dann die gesuchte Konstruktion des Krebses bezüglichS12 im Sinne der Definition 38.

3.2.3. Zur Fakturtechnik

H. Kinzler schreibt in Frédéric Chopin - Über den Zusammenhang von Satz-technik und Klavierspiel [12] auf Seite 15f zur Definition des Begriffes Fakturtech-nik:26

»Unter der Fakturtechnik soll eine bestimmte Gestaltungsweise von musika-lischen Abläufen – eine bestimmte Satztechnik – verstanden werden, die vonden verschiedensten Komponisten und zu den verschiedensten Zeiten auf man-nigfache Weise angewendet wurde. Da die Gestaltung mittels der Fakturtechnikbei Chopin einen zentralen Bereich seiner kompositorischen Überlegungen be-trifft, wie in der bisherigen Literatur über Chopin und über Klaviermusik imallgemeinen explizit und implizit schon mehrfach festgestellt wurde, scheint eserforderlich, die mit einer solchen Kompositionstechnik verbundenen Problemenoch genauer, als in der bisherigen Literatur geschehen, zu untersuchen.

Zur Abgrenzung der Fakturtechnik gegen andere Satztechniken sei hier einerster Definitionsversuch angestellt. Bei den meisten musikalischen Texten keh-ren bestimmte Strukturen, Bauprinzipien wieder. Bei Kenntnis des Aufbaus die-ser Prinzipien – sie können trivial oder höchst komplex sein –, die bei der Ge-staltung einer solchen wiederkehrenden Struktur angewendet wurden, läßt sichvon einem gewissen Zeitpunkt ab die weitere Gestalt eines Textes – zumindestfür einen gewissen Zeitabschnitt – vorhersagen: Musik ist redundant. Aber schonder einfachste Fall einer Regel oder Gesetzmäßigkeit, die wörtliche Wiederholungeines Abschnittes, beinhaltet, wenn man sie etwa vom Standpunkt eines Hörers

26Der fettgedruckte Absatz ist im Original in normaler Schriftstärke.

27

3 Ereignisstruktur

aus betrachtet, gewisse Schwierigkeiten: Liegt nämlich zwischen erstmaligemAuftreten und der Wiederkehr eines Abschnittes ein größerer Zeitraum, so ist eskeineswegs immer sicher, daß eine Wiederholung auch als solche erkannt wird,zumal wenn es sich um komplexe musikalische Strukturen handelt.

Einen speziellen Fall von wiederkehrender Gesetzmäßigkeit in der Abfolge vonmusikalischen Eigenschaften stellt die Fakturtechnik dar. Ihr wichtigstes Bestim-mungsmerkmal ist die unmittelbare, periodische Wiederkehr gewisser Gesetz-mäßigkeiten in der Abfolge von Tonhöhen und Tondauern. Bei fakturmäßig ge-stalteten Texten lassen sich diese Gesetzmäßigkeiten in zwei voneinander kom-positionslogisch weitgehend unabhängige Schichten zerlegen: in die harmoni-sche und akkordliche Grundlage einerseits, und die Ausgestaltung dieser Grund-lage, ihre „Figuration” andererseits.

Unter der zu einem fakturmäßig gestalteten Abschnitt gehöri-gen Fakturregel soll eine Summe von kompositorischen Einzelan-weisungen verstanden werden, die es ermöglicht, aus einer vor-gegebenen, oder als vorgegeben gedachten, musikalischen Struk-tur – meist ein zugrundeliegendes harmonisches Schema, einmehrstimmiger Satz – auf eindeutige Weise den konkreten mu-sikalischen Text zu erzeugen.

Es handelt sich bei der Fakturtechnik also im wesentlichen um eine Umkeh-rung jenes Vorgangs, der bei der sogenannten formalen harmonischen Analysedie Reduktion eines musikalischen Textes auf den – in der Regel vierstimmigen– Akkordsatz bewirkt.«

Beispiel 46. In Abbildung 3.1 ist eines der Beispiele H. Kinzlers für die Anwendung einerFakturregel während der ersten 32 Takte des ersten Präludiums aus dem WohltemperiertenKlavier von Bach dargestellt. Für eine Betrachtung sei nun MF : MF → PMSets eingeeignetes System von Theorien musikalischer Ereignisse und SF ∈ Ob(MF ) eine Theoriemusikalischer Ereignisse mit

MF (SF ) = {c,d, e, f, g, a,h} × {[, \, ]} × {−2,−1, 0, 1, 2, 3} × {1/1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16}

wobei jeweils die erste Komponente die Tonigkeitsklasse des Klaviertons darstellt, die zweiteKomponente die Alteration des Tones darstellt, die dritte Komponente die Oktavlage auf demKlavier und die vierte Komponente die Dauer der Note darstellt. Außerdem lässt sich eineTonhöhenquasiordnung auf MF (SF ) angeben, und zwar

RF,P ={

((p(1), a(1), o(1), d(1)), (p(2), a(2), o(2), d(2))) ∈MF (SF )×MF (SF )

| πp(p(1)) + πa(a(1)) + πo(o(1)) ≤ πp(p(2)) + πa(a(2)) + πo(o

(2))}

28


Abbildung 3.1: Anwendung einer Fakturregel, Quelle: [12], Seite 17

[12], Seite 18:»Damit lautet die Fakturregel F zur Erzeugung des Bachschen Textes in Einzelanweisungenwie folgt:

Schreibe:als 1. Ton den 1. Ton des Akkords als Sechzehntel,als 2. Ton den 2. Ton des Akkords als Sechzehntel,

usw.als 5. Ton den 5. Ton des Akkords als Sechzehntel,als 6. Ton den 3. Ton des Akkords als Sechzehntel,als 7. Ton den 4. Ton des Akkords als Sechzehntel,

usw.als 9. Ton den 1. Ton des Akkords als Sechzehntel,

usw.als 16. Ton den 5. Ton des Akkords als Sechzehntel.Schreibe einen Taktstrich.«

wobei

πp : {c,d, e, f, g, a,h} → Z, x 7→

0 x = c

2 x = d

4 x = e

5 x = f

7 x = g

9 x = a

11 x = h

πa : {[, \, ]} → Z, x 7→

−1 x = [

0 x = \

1 x = ]

πo : {−2,−1, 0, 1, 2, 3} → Z, x 7→ x · 12

ist.

Die kompositorische Anweisung »Ton als Sechzehntel« wird dann durch die folgende Men-

29

3 Ereignisstruktur

genabbildung repräsentiert:

σF,1/16 : MF (SF )→MF (SF ), (p, a, o, d) 7→ (p, a, o, 1/16)

Als Ausgangsmaterial für die Anwendung der Fakturregel F in Abbildung 3.1 sind alle ausfünf unterschiedlich-hohen Tönen bestehende Akkorde zugelassen.27 Solche Akkorde sindInstanzen von (GF,5,X5, s5) mit GF,5 = ({1, 2, . . . , 5} , ∅), X5 = {x1, x2, . . . , x5} unds5 : Z(GF ) → X5, t 7→ xt. Die Menge dieser Akkorde ist mit folgenden Interpretationsfor-men beschreibbar:

IF,5 = {(SF , GF,5, i) | i ∈ Sets(Z(GF,5),MF (SF )),

∀t ∈ {1, 2, 3, 4} : (i(t), i(t+ 1)) ∈ RF,P ) ∧ (i(t+ 1), i(t)) /∈ RF,P )}

Der naheliegende Instanziator ist

iF,5 : IF,5 ⊆ ISF → BSF ,X5, (SF,GF,5, i) 7→ (SF,GF,5, s5, b

(i)5 )

mitb(i)5 : X5 →MF (SF ), xt 7→ i(t)

Der Anweisungstext in Abbildung 3.1 legt die kanonische Konstruktionsform (SF , GF ,X5, kF ,iF,5) nahe, wobei GF = ({1, 2, . . . , 16} , χF ) mit

χF = {(t1, t2) ∈ {1, 2, . . . , 16} × {1, 2, . . . , 16} | t1 < t2}

und

kF : Z(GF )→MF (SF ) ∪ X5 ×PMSets(MF (SF ),MF (SF )), t 7→ (xF (t), σF,1/16)

mit

xF : {1, 2, . . . , 16} → X5, t 7→

xt t ∈ {1, 2, 3, 4, 5}xt−3 t ∈ {6, 7, 8}xt−8 t ∈ {9, 10, 11, 12, 13}xt−11 t ∈ {14, 15, 16}

Die zu der Fakturregel F gehörende Konstruktion ist somit durch K(SF , GF ,X5, kF , iF,5)beschrieben.

Der Text [12] und das Beispiel 46 zeigen, dass die gegebenen Definitionen aus Teil 3.2.2 ge-eignet sind, das Formalisierungsproblem von Fakturregeln zu lösen und damit vorallem diekanonischen Konstruktionsformen wichtige kompositorische Prinzipien allgemein beschrei-ben.27Hier: n1, n2 ∈MF (SF ) sind unterschiedlich-hoch, falls (n1, n2) ∈ RF,P ⇒ (n2, n1) /∈ RF,P gilt.

30

3.3 Von Interpretationsformen zu Reduktionsformen

3.3. Von Interpretationsformen zu Reduktionsformen

3.3.1. Strikte Reduktionsformen

F. Lerdahl und R. Jackendoff erarbeiten in dem Buch A Generative Theory of Tonal Music[14] eine halbformale Methode zur Analyse homophoner tonaler Musikstücke. Dabei sindder Begriff der Reduktion und die starke Reduktionshypothese von zentraler Bedeutung.Die starke Reduktionshypothese besagt, dass der Hörer versucht, alle Tonhöhenereignisseeines Stückes in einer einzigen kohärenten Struktur zu organisieren, so dass diese Ereig-nisse innerhalb einer strikten Hierarchie28 relativer Wichtigkeit wahrgenommen werden unddass strukturell weniger wichtige Ereignisse als in spezifischem Verhältnis zu umgebendenwichtigeren Ereignissen gehört werden.29 Nach Lerdahl und Jackendoffs vorläufiger Defini-tion einer Reduktion30 ordnet diese einem Musikstück auf jeder im Stück vorkommendenTeilungsebene des Metrums das für diesen Abschnitt dominierende musikalische Ereignis zu,welches auf der kleinsten Teilungsebene das einzige Ereignis des jeweiligen Abschnitts ist.31

Abbildung 3.2 zeigt eine solche vollständige Reduktion der ersten Phrase des Bachchorals„O Haupt voll Blut und Wunden”. Die nicht bezeichnete, zugrundeliegende Ebene entsprichthier der Achtelschlagebene des Metrums, die Ebene d der Viertelschlagebene des Metrums,die Ebene c der Halbschlagebene, die Ebene b der Ganzschlagebene und die Ebene a stellthier die gröbste Ebene dar, welche der gesamten Phrase entspricht. Bei jedem vergröbern-den Ebenenschritt werden die dominierten musikalischen Ereignisse vernachlässigt und dasdominierende Ereignis wird über die gesamte Zeitspanne des Abschnitts dargestellt. Daherergibt sich, dass ein dominierendes Ereignis auf einer Teilungsebene auch auf allen feinerenTeilungsebenen des Metrums in den entsprechenden Abschnitten das dominierende Ereignisist. Wird zunächst die Frage vernachlässigt, wie das dominierende Ereignis eines Abschnittszu bestimmen ist, ist es möglich, die Form einer solchen Reduktionskonstruktion im Hinblickauf die in Definition 33 gegebenen Interpretationsformen übertragen32 zu definieren:

Definition 47. Sei M : M→ PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereignisse,

28Strikte Hierarchie bedeutet hier, dass zu jeweils zwei Ereignissen jeweils genau ein unwichtigstes beide dominie-rendes Ereignis existiert.

29siehe [14], Seite 10630Diese vorläufige Definition wird dann im folgenden verallgemeinert um so z.B. Abschnitte arpeggierter Akkorde

den zugrundeliegenden Akkord zuordnen zu können, obwohl dieser selbst nicht als Ereignis auftritt.31[14], Seite 152,»Time-Span Reduction Well-Formedness Rules (preliminary version):TSRWFR 1: For every time-span T, there is an event e that is the head of T; all other events in T are subordinate toe.TSRWFR 2: If T does not contain any other time-spans (that is, if T is at the smallest level of time-spans), e iswhatever event occurs in T.TSRWFR 3: If T contains other time-spans, let T1, . . . ,Tn be the (regular of augmented) time-spans immediatelycontained in T, and let e1, . . . ,en be their respective heads. Then the head of T is one of the events e1, . . . ,en.«

32Lerdahl und Jackendoff modellieren die Zeit und das Metrum durchgehend linear und fordern unter anderem,dass Abschnitte der Reduktion zusammenhängend sein sollen, und dass alle Ereignisse, welche zwischen zweizu einem Abschnitt gehörenden Ereignissen liegen, ebenfalls zu diesem Abschnitt gehören sollen. Diese Lagewird hier auf die nicht-lineare Form der Chronologie übertragen, in dem gefordert wird, dass ein Abschnitt einGlied bezüglich des Zeitgerüsts darstellt.

31

3 Ereignisstruktur

Abbildung 3.2: Reduktion der ersten Phrase des Bachchorals „O Haupt voll Blut und Wun-den.”, Quelle: [14], Abb. 5.8, Seite 115

32


Abbildung 3.3: Die ersten vier Takte des Intros zu „House of the Rising Sun” (frei nach »TheAnimals«)

¤ � �� 86 � � � ��

let ring

�� ¤

� � � �¤��

(S,G, i) eine Interpretationsform mit G = (T, χ) und n ∈ N. Eine strikte Reduktions-form von (S,G, i) ist definiert als n-Tupel (%(j))1≤j≤n mit folgenden Eigenschaften füralle j ∈ {1, 2, . . . , n}:

(m) %(j) = Z(ϕ(j)) ist ein strikter Morphismus zwischen den Interpretationsfor-men (S,G(j), i(j)) und (S,G(j+1), i(j+1)) mit (S,G(1), i(1)) = (S,G, i) undG(j+1) = (T (j+1), χ(j+1)).

(d) %(j) wählt ein dominierendes Ereignis der jeweiligen Glieder aus, d.h. ∀t(j+1) ∈T (j+1) : ∃t(j) ∈ ϕ(j)−1

(t(j+1)) : i(j+1)(t(j+1)) = i(j)(t(j))

Beispiel 48. In Abbildung 3.3 sind die ersten vier Takte der Introsequenz einer Version desLiedes „House of the Rising Sun” für Gitarre angegeben, wobei die Atemzeichen bedeutensollen, dass sämtliche Saiten abgestoppt werden. In diesem Beispiel sollen die musikalischenEreignisse die durch Anschlag erzeugten Klänge der Gitarre sein, wobei die Ereignisse nurmittels der Tonhöhe der Klänge unterschieden werden sollen. Das Anschlagen der jeweiligenSaite soll hierbei den Beginn des Ereignisses markieren, während das Ende des Ereignissesder Zeitpunkt ist, an dem der Klang nicht mehr zu hören ist. Sei nun alsoM1 eine diskreteKategorie mit einem einzigen Objekt S1 ∈ Ob(M1) und M1 : M1 → PMSets der Funktor,so dass M1(S1) = {0, 1, . . . , 44} ist33.

Aus den Noten ergibt sich dann die Interpretation (S1, G(1)1 , i

(1)1 ), wobei G(1)

1 = (T(1)1 , χ

(1)1 )

sei. Weiterhin sei T (1)1 = {1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4, 5, 6} und

χ(1)1 = {((p, q), (p′, q′) | (p, q), (p′, q′) ∈ T1, p < p′ ∨ ((p = p′) ∧ ((q, q′) ∈ X1))}

33Der Tonumfang der Leersaiten einer hier modellierten Gitarre betrage zwei Oktaven, der höchste spielbare Tonliege auf dem 20. Bund.

33

3 Ereignisstruktur

für X1 = {(2, 6), (3, 5), (3, 6)}; sowie i(1)1 : T(1)1 → {0, 1, . . . , 44} mit{

(t, i(1)1 (t)) | t ∈ T (1)

1

}= {((1, 1), 5), ((1, 2), 12), ((1, 3), 17), ((1, 4), 20),

((1, 5), 17), ((1, 6), 12),

((2, 1), 8), ((2, 2), 12), ((2, 3), 15), ((2, 4), 20),

((2, 5), 15), ((2, 6), 12),

((3, 1), 10), ((3, 2), 17), ((3, 3), 22), ((3, 4), 26),

((3, 5), 22), ((3, 6), 17),

((4, 1), 13), ((4, 2), 17), ((4, 3), 20), ((4, 4), 25),

((4, 5), 20), ((4, 6), 17)}

Da die Bezeichnung der Elemente von T(1)1 lediglich formale Bedeutung hat, kann auf sie

auch verzichtet werden. In diesem Fall ist es möglich, die Interpretation bzw. Interpretations-form in Diagrammen darzustellen, in dem in der Diagrammdarstellung der zur Interpretati-onsform gehörenden Chronologie statt der Bezeichnung der Träger das Bild der Träger unterder Beschriftung der Interpretationsform angegeben wird. Eine solche Darstellung diesesBeispiels findet sich in Abbildung 3.4.

Die feinste Teilungsebene des Metrums ist ein Achtel, der Takt selber zerfällt hier in 6/8 =3/8 + 3/8, die nächstgröberen Teilungsebenen unterteilen jeden Takt in zwei Abschnitte bzw.einen Abschnitt. Die dominanten Ereignisse auf diesen Ebenen sind in Abbildung 3.5 zusehen. Es soll im folgenden versucht werden, eine zu diesen dominanten Ereignissen gehö-

rende strikte Reduktionsform zu finden. Diese müsste die Form (%(j)1 )1≤j≤2 haben, so dass

%(j)1 = Z(ϕ

(j)1 ) ein strikter Morphismus von Interpretationsformen zwischen (S1, G

(j)1 , i

(j)1 )

und (S1, G(j+1)1 , i

(j+1)1 ) ist, wobei (S1, G

(2)1 , i

(2)1 ) und (S1, G

(3)1 , i

(3)1 ) gegeben seien durch

G(2)1 = (T

(2)1 , χ

(2)1 ) und G

(3)1 = (T

(3)1 , χ

(3)1 ) mit T (2)

1 = {1, 2, 3, 4} × {1, 4}, T (3)1 =

{1, 2, 3, 4} × {1} und χ(j)1 = χ1 ∩ (T

(j)1 × T (j)

1 ) sowie i(j)1 (t(j)) = i1(t(j)) für j ∈ {2, 3}und t(j) ∈ T

(j)1 (siehe Abb. 3.6). Um eine Reduktion dem Verfahren von Lerdahl und Ja-

ckendoff entsprechend zu modellieren, müsste ϕ(1)1 die zu jeweils einem Abschnitt auf der

nächsten Reduktionsebene gehörenden Zeitträger auf den diesen Abschnitt bezeichnenden

Zeitträger der höheren Reduktionsebene abbilden, also unter anderem wäre ϕ(1)1 ((1, 1)) =

ϕ(1)1 ((1, 2)) = ϕ

(1)1 ((1, 3)) = (1, 1) und ϕ

(1)1 ((1, 4)) = ϕ

(1)1 ((1, 5)) = ϕ

(1)1 ((1, 6)) =

(1, 4). Dies steht allerdings im Widerspruch zu der Eigenschaft (m) chronologischer Abbil-

dungen, denn ((1, 2), (1, 6)) ∈ χ(1)1 aber ((1, 1), (1, 4)) /∈ χ

(2)1 . Daher ist die metrische

Reduktion in diesem Sinne nicht durch eine strikte Reduktionsform nach Definition 47 dar-stellbar.34

34Es gibt zwar einen Morphismus zwischen den Interpretationsformen (S1, G(1)1 , i

(1)1 ) und (S1, G

(2)1 , i

(2)1 ),

jedoch bildet dieser (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5) und (1, 6) auf (1, 4) ab und entspricht damit nicht der ge-wünschten Intuition einer strikten Reduktionsform.

34


Abbildung 3.4: Interpretation (S1, G(1)1 , i

(1)1 ) aus Beispiel 48

Abbildung 3.5: Dominante Ereignisse aus 3.3 auf der 3/8-Ebene und der Taktebene

ï��ï��86� ïïlet ring

� � �ï�

�ï�ï ��ï�� 8

6 ��

let ring ��

35

3 Ereignisstruktur

Abbildung 3.6: Interpretationen (S1, G(2)1 , i

(2)1 ) und (S1, G

(3)1 , i

(3)1 ) aus Beispiel 48

3/8-Ebene

Takt-Ebene

Die folgende Abschwächung des Begriffs der strikten Reduktionsform ermöglicht die Dar-stellung der gewünschten Reduktionsschritte:

Definition 49. Sei M : M→ PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereignisse,(S,G, i) eine Interpretationsform mit G = (T, χ) und n ∈ N. Eine schwache Redukti-onsform von (S,G, i) ist definiert als n-Tupel (r(j))1≤j≤n mit folgenden Eigenschaftenfür alle j ∈ {1, 2, . . . , n}:

(m) r(j) ist ein schwacher Morphismus zwischen den Interpretationsformen(S,G(j), i(j)) und (S,G(j+1), i(j+1)) mit (S,G(1), i(1)) = (S,G, i) undG(j+1) = (T (j+1), χ(j+1)).

(d) r(j) wählt ein dominierendes Ereignis der jeweiligen Glieder aus, d.h. ∀t(j+1) ∈T (j+1) : ∃t(j) ∈ r(j)−1

(t(j+1)) : i(j+1)(t(j+1)) = i(j)(t(j))

Beispiel 50. Fortsetzung des Beispiels 48. Die zu dem Beispiel gehörende schwache Reduk-

tionsform ist (r(j)1 )1≤j≤2, so dass r(j)1 ein schwacher Morphismus von Interpretationsformen

zwischen (S1, G(j)1 , i

(j)1 ) und (S1, G

(j+1)1 , i

(j+1)1 ) ist. Genauer ist r(1)1 : Z(G

(1)1 )→ Z(G

(2)1 )

mit r(1)1 ((t1, t2)) = (t1, 1) für t1 ∈ {1, 2, 3, 4} und t2 ∈ {1, 2, 3}, r(1)1 ((t1, t2)) = (t1, 4)

für t1 ∈ {1, 2, 3, 4} und t2 ∈ {4, 5, 6}; sowie r(2)1 : Z(G(2)1 )→ Z(G

(3)1 ) mit r(2)1 ((t1, t2)) =

(t1, 1) für t1 ∈ {1, 2, 3, 4} und t2 ∈ {1, 4}.

36


Abbildung 3.7: Alternative Reduktion von 3.3 auf Taktebene

ø øø��86� ø �øøøø� ��

øø

ø�øøø ��

øø��

3.3.2. Relative Reduktionsformen

Lerdahl und Jackendoff modifizierten ihre vorläufige striktere Variante einer Reduktion35, umweitere wichtige Aspekte bei der Stückanalyse modellieren zu können: Neben dem bereitsbeschriebenen gewöhnlichen Reduktionsmodus gibt es einen Verbindungsmodus, der dasden Abschnitt dominierende Ereignis aus mehreren Ereignissen des Abschnitts zusammen-setzt, z.B. in dem aus arpeggierten Einzelnoten eines Akkords wieder der zugrundeliegendeAkkord zusammengesetzt wird. Eine solche Reduktion des Ausschnitts aus Abbildung 3.3 aufTaktebene ist in Abbildung 3.7 dargestellt. Außerdem gibt es einen Transformationsmodus,der das den Abschnitt dominierende Ereignis aus bestimmten (harmonisch-konsonanten)Teilen mehrerer Ereignisse des Abschnitts zusammensetzt; sowie einen Modus der kadenti-ellen Beibehaltung, der einem Abschnitt das letzte Ereignis und ein auf einer Ebene direktvorhergehendes Ereignis zuordnet, wobei das finale Ereignis das vorgehende dominiert36.

Die Definition der strikten Reduktionsform muss angepasst werden, um die neuen Anfor-derungen an die Modellierung einer Reduktion nach der Endversion von Jackendoff undLerdahl erfüllen zu können.

Definition 51. Sei M : M→ PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereignisseund (S,G, i, γ) ein Quadrupel, so dass (S,G, i) eine Interpretationsform ist. Weiterhin sei

35siehe [14], Seite 158,»Final Statement of Time-Span Reduction Well-Formedness Rules:TSRWFR 1: For every time-span T, there is an event e (or a sequence of events e1e2) that is the head of T.TSRWFR 2: If T does not contain any other time-span (that is, if T is at the smallest level of time-spans), then e iswhatever event occurs in T.TSRWFR 3: If T contains other time-spans, let T1, . . . ,Tn be the (regular or augmented) time-spans immediatelycontained in T and let e1, . . . ,en be their respective heads. Then:a. (Ordinary Reduction) The head of T may be one of the events e1, . . . ,en.b. (Fusion) If e1, . . . ,en are not separated by a group boundary (“locality” condition), the head of T may be thesuperimposition of two or more of e1, . . . ,en.c. (Transformation) If e1, . . . ,en are not separated by a group boundary, the head of T may be some mutuallyconsonant combination of pitches choosen out of e1, . . . ,en.d. (Cadential Retention) The head of T may be a cadence whose final is en (the head of Tn, the last time-spanimmediately contained in T) and whose penult, if there is one, is the head of a time-span immediately precedingTn, though not necessarily at the same level.TSRWFR 4: If a two-element cadence is directly subordinate to the head e of a time-span T, the final is directlysubordinate to e and the penult is directly subordinate to the final.«

36Dies ist notwendig um in bestimmten Fällen die volle Kadenz zu erhalten, wenn ein Teil der Kadenz sonstinnerhalb eines Glieds der Gliederung des Zeitgerüsts aus harmonischer Sicht durch den vorhergehenden Teildominiert würde.

37

3 Ereignisstruktur

γ eine Gliederung des Zeitgerüsts G. Dann heißt (S,G, i, γ) untergliederte Interpre-tationsform.

Für festes S ∈ Ob(M) ist die Menge der untergliederten Interpretationsformen definiert als

IS,γ = {(S,G, i, γ) | (S,G, i) ∈ IS ∧ γ ist Gliederung von (S,G, i)}

Eine solche untergliederte Interpretationsform ist also eine Interpretationsform, die um dieInformation ergänzt wurde, welche musikalischen Ereignisse auf der durch die unterglieder-te Interpretationsform dargestellte Ebene als zusammengehörend zu betrachten sind. DieseGruppen von zusammengehörigen Ereignissen müssen Glieder des zugrundeliegenden Zeit-gerüsts sein, damit sichergestellt ist, dass die verschiedenen Elemente zweier unterschiedli-cher Gruppen bezüglich der Chronologie dieses Zeitgerüsts austauschbar sind37.

Definition 52. Sei M : M→ PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereignis-se und seien I(1) = (S(1), G(1), i(1), γ(1)) und I(2) = (S(2), G(2), i(2), γ(2)) untergliederteInterpretationsformen mit G(1) = (T (1), χ(1)) und G(2) = (T (2), χ(2)). Dann heißt dasTupel (Φ,P, I(1), I(2)) Relation zwischen den untergliederten Interpretations-formen (S(1), G(1), i(1), γ(1)) und (S(2), G(2), i(2), γ(2)), falls (Φ,P) eine chronologischeRelation zwischen den untergliederten Zeitgerüsten (T (1), χ(1), γ(1)) und (T (2), χ(2), γ(2))ist.

Für festes S ∈ Ob(M) wird die Menge der Relationen zwischen untergliederten Interpreta-tionsformen I(1) und I(2) mit I(1), I(2) ∈ IS,γ mit RelS,γ bezeichnet.

Der Begriff der Relationen zwischen untergliederten Interpretationsformen verallgemeinerthier den Begriff des Morphismus zwischen Interpretationsformen so, dass es unter Berück-sichtigung der Gliederung möglich ist, ein Ereignis einer Interpretationsform mit einem odermehreren Ereignissen einer anderen Interpretationsform in Zusammenhang zu bringen, wo-bei ausgeschlossen wird, dass ein Ereignis einer der beiden Interpretationsformen mit keinemEreignis der jeweils anderen Interpretationsform im Zusammenhang steht.

Definition 53. Sei M : M→ PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereignisse,(S,G, i) eine Interpretationsform mit G = (T, χ), γ eine Gliederung von G und n ∈ N.Eine relative Reduktionsform von (S,G, i) sei definiert als Tupel (R(j))1≤j≤n mitfolgenden Eigenschaften für alle j ∈ {1, 2, . . . , n}:38

(d) (R(j)) = (Φ(j),P(j), I(j,1), I(j,2)) ist eine Relation zwischen den unter-gliederten Interpretationsformen I(j,1) = (S,G(j), i(j), γ(j)) und I(j,2) =(S,G(j+1), i(j+1), γ(j+1)), mit (S,G(1), i(1), γ(1)) = (S,G, i, γ).

37Bei Lerdahl und Jackendoff ist dies aufgrund der Eigenschaften der Zeitabschnitte (»time-spans«) automatischder Fall.

38Eine mögliche weitere Bedingung wäre #T (j+1) ≤ #T (j) mit T (1) = T . Dies wäre gerechtfertigt, da z.B. in [14]Reduktionsschritte die Notenanzahl verringern. Andererseits wäre es dann unter umständen nicht mehr möglich,z.B. einem einzelnen Tonereignis einen Dreiklang mittels dreier Tonereignisse als dominantes Ereignis zuzuordnen.Desweiteren würde diese Bedingung nicht ausreichen, selbiges zu verhindern.

38


Die untergliederten Interpretationsformen (S,G(j), i(j), γ(j)) für 1 ≤ j ≤ n + 1 heißendann Schichten von (R(j))1≤j≤n.

Die relative Reduktionsform erlaubt sowohl, dass ein Ereignis auf einer Ebene durch mehre-re Ereignisse auf den höheren Ebenen dominiert wird, als auch dass die jeweils von einemEreignis dominierten Ereignisse innerhalb eines Glieds keine erlaubte Vergröberung des Zeit-gerüsts darstellen39.

Definition 54. Da Ob(Z) eine abzählbare Menge ist, sind für jedes System von Theorienmusikalischer Ereignisse M : M → PMSets für festes S ∈ Ob(M) die Klassen alleruntergliederten Interpretationsformen und die Klassen aller relativen Reduktionsformen auchMengen. Die Menge aller relativen Reduktionsformen bezüglich S wird mit RSbezeichnet.

RS =

{(R(j))1≤j≤n |

n ∈ N, G ∈ Ob(Z), i ∈ Sets(Z(G),M(S)) :

(R(j))1≤j≤n rel. Reduktionsform von (S,G, i)

}Beispiel 55. Die in Beispiel 48 betrachtete Reduktion lässt sich wie folgt als relative

Reduktionsform von (S1, G(1)1 , i

(1)1 ) darstellen. Hierfür sei desweiteren folgendes definiert:

γ(j)1 =

{{(x, y) | (x, y) ∈ T (j)

1

}| (x, 1) ∈ T (j)

1

}j ∈ {1, 2, 3}

Φ(j)1 : γ(j) → γ(j+1), X 7→ X ∩ T (j+1)

1 j ∈ {1, 2}

P(1)1 : γ

(1)1 → 2T

(1)1 ×T

(2)1 , X 7→ {((x, y), (x, z)) | (x, y) ∈ X,

(y, z) ∈ {(1, 1), (2, 1), (3, 1),

(4, 4), (5, 4), (6, 4)}}

P(2)1 : γ

(2)1 → 2T

(2)1 ×T

(3)1 , X 7→ {((x, y), (x, z)) | (x, y) ∈ X,

(y, z) ∈ {(1, 1), (4, 1)}}R

(j)1 = (Φ

(j)1 ,P

(j)1 , I

(j,1)1 , I

(j,2)1 ) ist Relation

zwischen I(j,1)1 = (S1, G(j)1 , i

(j)1 , γ

(j)1 ) j ∈ {1, 2}

und I(j,2)1 = (S1, G(j+1)1 , i

(j+1)1 , γ

(j+1)1 )

Dann modelliert (R(j)1 )1≤j≤2 die zu den aus den Abbildungen 3.3 und 3.5 hervorgehenden

Reduktionen als relative Reduktionsform. Eine graphische Darstellung der Reduktionsform

ist in Abbildung 3.8 gegeben. Die untergliederten Interpretationsformen (S1, G(j)1 , i

(j)1 , γ

(j)1 )

(j ∈ {1, 2, 3}) sind jeweils in gestrichpunkteten Rahmen dargestellt, wobei die Interpretati-

onsform (S1, G(j)1 , i

(j)1 ) wie in Abbildung 3.4 des Beispiels 48 dargestellt ist, und die Gliede-

rung γ(j)1 (j ∈ {1, 2, 3}) durch Einrahmen der jeweiligen Glieder TG ∈ γ(j)1 (j ∈ {1, 2, 3})39Dies ist beides notwendig, um z.B. arpeggierte Akkorde so zusammenzufassen, dass jede Einzelnote von einem

ganzen Akkord oder einem Teilakkord dominiert wird.

39

3 Ereignisstruktur

Abbildung 3.8: Graphische Darstellung der relativen Reduktionsform (R(j)1 )1≤j≤2

mit ungebrochenen Linien angegeben ist. Die Abbildungen Φ(1)1 und Φ

(2)1 sind durch ge-

strichpunktete Pfeile zwischen den zu γ(j)1 (j ∈ {1, 2, 3}) gehörenden Rahmen dargestellt,

so dass die Pfeile von den Rahmen von TG ∈ γ(1)1 bzw. TG ∈ γ

(2)1 zu den Rahmen von

Φ(1)1 (TG) bzw. Φ

(2)1 (TG) verlaufen. Die Abbildungen P

(1)1 und P

(1)2 sind durch gebrochene

Pfeile mit Punkt am Anfangsknoten dargestellt, wobei für jedes TG ∈ γ(1)1 bzw. TG ∈ γ(1)2

und jedes Paar (t(1), t(2)) ∈ P(1)1 (TG) bzw. (t(2), t(3)) ∈ P

(2)1 (TG) ein solcher Pfeil von

dem beschrifteten Trägerknoten t(1) bzw. t(2) zu dem beschrifteten Trägerknoten t(2) bzw.t(3) verläuft.

Diese Form der Darstellung wurde gewählt, weil sie sich aus den Darstellungsformen fürInterpretationsformen und einer expliziten Darstellung der Informationen der Abbildun-

gen Φ(1)1 ,Φ(2)

1 ,P(1)1 und P

(2)1 herleitet. Allerdings hat diese Darstellungsweise den Nach-

teil, sehr schnell unübersichtlich zu werden, weil die besonderen Eigenschaften relativer

Reduktionsformen keine Beachtung finden: So ist die Darstellung der Abbildungen Φ(1)1

bzw. Φ(2)1 nicht explizit notwendig, da sie aus der Darstellung von P

(1)1 bzw. P

(2)1 hervor-

40

3.4 Reduktionen und Expertisefunktionen

geht, weil (Φ(1)1 ,P

(1)1 ) und (Φ

(2)1 ,P

(2)1 ) totale chronologische Relationen sind, und somit

genau dann ein Pfeil von dem entsprechenden Rahmen von TG ∈ τ(1)1 bzw. TG ∈ τ

(2)1

zu dem Rahmen von Φ(1)1 (TG) bzw. Φ

(2)1 (TG) verläuft, wenn auch Pfeile zwischen je-

weils eingerahmten Trägern von TG und Φ(1)1 (TG) bzw. Φ

(2)1 (TG) verlaufen. Andererseits

garantiert die Form der Abbildungen P(1)1 und P

(2)1 nach Eigenschaft (r) in Definition 27,

dass alle Pfeile zwischen Trägern der verschiedenen untergliederten Interpretationsformen

immer nur von Trägern von TG ∈ γ(1)1 bzw. TG ∈ γ

(2)1 zu Trägern von Φ

(1)1 (TG) bzw.

Φ(2)1 (TG) verlaufen. Weiterhin kann bei der Darstellung der untergliederten Interpretati-

onsformen (S1, G(j)1 , i

(j)1 , γ

(j)1 ) (j ∈ {1, 2, 3}) auf Pfeile zwischen verschiedenen Gliedern

aus γ(j)1 (j ∈ {1, 2, 3}) zugehörigen Trägern verzichtet werden, wenn stattdessen Pfei-

le zwischen den Rahmen TG,1, TG,2 ∈ γ(j)1 (j ∈ {1, 2, 3}) immer dann verlaufen, wenn

für eine verträgliche Auswahl40 ϑ(j)1 : γ(j)1 → T

γ(j)1

(j ∈ {1, 2, 3}) und für zwei Elemente

tg,1 ∈ TG,1 und tg,2 ∈ TG,2 im Bildzeitgerüst der Projektion der verträglichen Auswahl

[ϑ(j)1 ](tg,1) < [ϑ

(j)1 ](tg,2) gilt. Eine Darstellung dieser Art soll graphische Standarddar-

stellung der relativen Reduktionsform heißen. Für die Reduktionsform (R(j)1 )1≤j≤2

ist eine solche in Abbildung 3.9 gegeben.

Der Vollständigkeit halber ist eine alternative relative Reduktionsform in Abbildung 3.10 alsgraphische Standarddarstellung gegeben, die den Akkordtönen den jeweiligen Akkord wie inAbbildung 3.7 zuordnet.

3.4. Reduktionen und Expertisefunktionen

Nachdem in Abschnitt 3.3 die Frage nach der Form einer Reduktion mit der Struktur derrelativen Reduktionsform beantwortet wurde, stellt sich die Frage, wie musikalisch sinnvolleReduktionsformen einer Interpretationsform von musikalisch nicht oder weniger sinnvollenReduktionsformen unterschieden werden können.

Definition 56. Ein Tripel (N,4, B) heißt Benotungsmaßstab, falls N eine Menge ist,4 eine Ordnungsrelation über N ist und B ⊆ N die folgende Eigenschaft hat:

∀b ∈ B : ↑4 b ⊆ B

Die Elemente von N heißen dann Benotungen bezüglich (N,4, B) und die Elementevon B gute Benotungen bezüglich (N,4, B).

Definition 57. Sei M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischer Er-eignisse, S ∈ Ob(M) und (N,4, B) ein Benotungsmaßstab. Jede partielle Abbildungξ ∈ PMSets(RS , N) heißt dann Expertisefunktion zu S bezüglich (N,4, B).

40Diese existiert, da γ(j)1 eine Gliederung ist. Die Auswahl eines ϑ(j)1 kann beliebig erfolgen.

41

3 Ereignisstruktur

Abbildung 3.9: Graphische Standarddarstellung der relativen Reduktionsform (R(j)1 )1≤j≤2

Abbildung 3.10: Graphische Standarddarstellung einer alternativen relativen Reduktionsformnach Abbildung 3.3 bzw. 3.7

42


Definition 58. Sei ξ : RS ⊆ RS → N eine Expertisefunktion bezüglich (N,4, B).Eine Reduktion bezüglich ξ ist dann eine Reduktionsform (R(j))1≤j≤n ∈ RS , für dieξ((R(j))1≤j≤n) ∈ B gilt.

Eine Expertisefunktion modelliert hier eine Expert_in, die aufgrund bestimmter Annahmenaus der Musiktheorie die Güte einer gegebenen Reduktionsform mit Hilfe eines Benotungs-maßstabs bewertet, falls ihr ein solches Urteil möglich ist41. Dabei legt der Benotungsmaßstabfest, ab wann eine Reduktionsform als ausreichend gut zu betrachten ist, um ihr den Sta-

tus einer »richtigen« Reduktion zuzuordnen. Für zwei Reduktionsformen (R(j)1 )1≤j≤n1 und

(R(j)2 )1≤j≤n2

wird dann ξ((R(j)1 )1≤j≤n1

) 4 ξ((R(j)2 )1≤j≤n2

) so interpretiert, dass die

Reduktionsform (R(j)1 )1≤j≤n1

bezüglich der Expertisefunktion ξ besser als die

Reduktionsform (R(j)2 )1≤j≤n2

ist. Es ist möglich, dass von zwei Reduktionsformen bezüg-lich ξ keine besser als die andere ist, wenn z.B. beide Reduktionsformen an verschiedenenStellen weniger schön als die jeweils andere sind.

3.4.1. Ereignistransformationen

Definition 59. Sei M : M→ PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereignisseund S ∈ Ob(M). Dann heißt jede binäre Relation auf M(S) Ereignistransformationbezüglich S.

Die Bezeichnung der binären Relationen über M(S) als Ereignistransformation ist zum einenan den Transformationsbegriff der Sprachwissenschaft angelehnt. Eine solche Transformationist z.B. das Ersetzen eines Satzteils durch einen anderen, so dass die Bedeutung des Satzeserhalten bleibt.42 Dieses Transformieren ist dann als binäre Relation auf möglichen Satztei-len darstellbar. Wird dieser Begriff beispielsweise auf die Harmonielehre übertragen, dannwären verschiedene Ausprägungen eines G-Dur-Akkords durch andere ersetzbar ohne dieharmonische Bedeutung der jeweiligen Passage zu ändern und das Ersetzen einer solchenAusprägung durch eine andere wäre eine Transformation. Auch das Weglassen von grund-dreiklangfremden Tönen des Akkords ändert unter Umständen die harmonische Bedeutungnicht und ist ebenfalls als binäre Relation über Akkordausprägungen darstellbar.

Außerdem gibt es einen Transformationsbegriff in der Musikwissenschaft, der unter anderemdie kontrapunktischen Operationen Umkehrung43, Verschiebung44 und Krebs45 zusammen-fasst. Außer dem Krebs erhalten diese Transformationen die zeitliche Abfolge innerhalb einerMelodielinie und können als binäre Relation auf Tonhöhen aufgefasst werden.41Es wird davon ausgegangen, dass eine Expert_in auch Bewertungen bezogen auf musiktheoretische Ansichten

anderer Expert_innen abgeben kann, falls die Reduktionsform »eindeutig genug« ist.42In [6] findet sich die folgende Erklärung des Begriffs Transformation:

»(1) Von Z.S. Harris geprägter Begriff zur Bezeichnung von oberflächenstrukturellen Paraphrasebeziehungen zwi-schen sprachlichen Ausdrücken mit gleicher syntaktischer Umgebung.«(Urquelle: [10], dt. in [3])

43»Spiegelung« der Tonhöhe an einer Gerade, die parallel zu den Notenlinien verläuft.44Ändern der Tonhöhe um ein festes Intervall.45Umkehrung der zeitlichen Reihenfolge, Noten »von hinten nach vorne« spielen.

43

3 Ereignisstruktur

Da diese Beispiele von Transformationen zum einen als binäre Relation musikalischer Ereig-nisse auffassbar sind und zum anderen im Allgemeinen keine weiteren schönen Eigenschaf-ten von Relationen46 besitzen, ist die Definition einer Ereignistransformation als binäre Rela-tion auf den Ununterscheidbarkeitsklassen musikalischer Ereignisse bezüglich einer Theorieselbiger gerechtfertigt.

Definition 60. Sei M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischer Er-eignisse, S ∈ Ob(M), E eine Ereignistransformation bezüglich S, G ein Zeitgerüst und(S,G, i(1)) sowie (S,G, i(2)) Interpretationsformen.

Dann heißt (S,G, i(2)) E-transformierte Interpretationsform von (S,G, i(1)), falls{(i(1)(t), i(2)(t)) ∈M(S)×M(S) | t ∈ Z(G)

}⊆ E

gilt.

Definition 61. Sei M : M→ PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereignisse,S ∈ Ob(M), E ⊆ 2M(S)×M(S) eine Menge von Ereignistransformationen bezüglich S, Gein Zeitgerüst und (S,G, i(1)) sowie (S,G, i(2)) Interpretationsformen. Existiert eine Ereig-nistransformation E ∈ 〈E〉RM(S)

, so dass (S,G, i(2)) E-transformierte Interpretationsform

von (S,G, i(1)) ist, so heißt (S,G, i(2)) transformierte Interpretationsform von(S,G, i(1)) bezüglich E .

Notation 62. Ist (S,G, i(2)) eine E-transformierte Interpretationsform von (S,G, i(1)),dann wird dafür

(S,G, i(1))→E (S,G, i(2))

geschrieben. Ist (S,G, i(2)) transformierte Interpretationsform von (S,G, i(1)) bezüglich E ,so wird dafür

(S,G, i(1))→E (S,G, i(2))

geschrieben.

Definition 63. Sei M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereig-nisse, S ∈ Ob(M), E eine Ereignistransformation bezüglich S, E ⊆ 2M(S)×M(S) eine

Menge von Ereignistransformationen bezüglich S, n ∈ N und (R(j)(k))1≤j≤n ∈ RS , so dass

R(j)(k) = (Φ

(j)(k),P

(j)(k), I

(j)(k), I

(j+1)(k) ) eine Relation zwischen den untergliederten Interpretations-

formen I(j)(k) = (S,G(j), i(j)(k), γ

(j)) und I(j+1)(k) = (S,G(j+1), i

(j+1)(k) , γ(j+1)) für k ∈ {1, 2}

ist. Dann heißt (R(j)(2))1≤j≤n E-transformierte Reduktionsform von (R

(j)(1))1≤j≤n,

falls für alle j ∈ {1, 2, . . . , n+ 1} und alle j′ ∈ {1, 2, . . . , n}

(S,G(j), i(j)(1))→E (S,G(j), i

(j)(2)) und (Φ

(j′)(1) ,P

(j′)(1) ) = (Φ

(j′)(2) ,P

(j′)(2) )

46Das Ersetzen von Akkordausprägungen ist symmetrisch und transitiv, aber nicht eindeutig; das Weglassen vongrunddreiklangfremden Akkordteilen ist nicht symmetrisch und nicht reflexiv; das Verschieben von Tonhöhen istnicht transitiv und nicht reflexiv, aber eindeutig.

44


gilt. Außerdem heißt (R(j)(2))1≤j≤n transformierte Reduktionsform von (R

(j)(1))1≤j≤n

bezüglich E , falls ein E ∈ 〈E〉RM(S)existiert, so dass für alle j ∈ {1, 2, . . . , n+ 1} und

alle j′ ∈ {1, 2, . . . , n}

(S,G(j), i(j)(1))→E (S,G(j), i

(j)(2)) und (Φ

(j′)(1) ,P

(j′)(1) ) = (Φ

(j′)(2) ,P

(j′)(2) )

gilt.

Notation 64. Ist (R(j)(2))1≤j≤n eine E-transformierte Reduktionsform von (R

(j)(1))1≤j≤n,

dann wird dafür(R

(j)(1))1≤j≤n E (R

(j)(2))1≤j≤n

geschrieben. Ist (R(j)(2))1≤j≤n transformierte Reduktionsform von (R

(j)(1))1≤j≤n bezüglich E ,

dann wird dafür(R

(j)(1))1≤j≤n E (R

(j)(2))1≤j≤n

geschrieben.

Im allgemeinen wird von Expertisefunktionen erwartet, dass diese z.B. unabhängig von derjeweiligen Tonart eines Stückes sein sollten. Es wäre dann davon auszugehen, dass eintransponiertes Musikstück zu einer entsprechend transponierten Interpretation führt. Eineentsprechende Reduktionsform des Originalstücks ließe sich dann ebenfalls transponierenund es wäre zu erwarten, dass diese transponierte Reduktionsform die gleiche Benotungerhält. Die obigen Definitionen erlauben es, diesen Sachverhalt wie folgt zu formalisieren:

Definition 65. Sei M : M→ PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereignis-se, S ∈ Ob(M), E ⊆ 2M(S)×M(S) eine Menge von Ereignistransformationen bezüglich S,ξ : RS ⊆ RS → N eine Expertisefunktion bezüglich eines Benotungsmaßstabs (N,4, B).

ξ wird E-unabhängige Expertisefunktion genannt, falls für alle (R(j)(1))1≤j≤n1

∈ RSund (R

(j)(2))1≤j≤n2

∈ RS die Implikation

(R(j)(1))1≤j≤n1

E (R(j)(2))1≤j≤n2

⇒ ξ((R(j)(1))1≤j≤n1

) = ξ((R(j)(2))1≤j≤n2

)

gilt.47

47Nach der Definition von E gilt dann natürlich n1 = n2.

45


Teil II.

Einige Betrachtungen zu »AGenerative Theory of TonalMusic«

In diesem Teil der Arbeit soll exemplarisch aufgezeigt werden, wie oder inwieweit beste-hendes musiktheoretisches Wissen in die in Teil I vorgestellten Strukturen überführt werdenkann. Dies soll am Beispiel von F. Lerdahls und R. Jackendoffs A Generative Theory of TonalMusic [14] geschehen. Die Vorgehensweise in [14] unterscheidet sich zwar von der Vorge-hensweise in dieser Arbeit,48 es ist dennoch möglich weite Teile der in [14] beschriebenenanalytischen Methoden auf die in dieser Arbeit vorgestellten Strukturen zu übertragen.

In Abbildung 3.11 findet sich eine schematische Darstellung der im Buch beschriebenen mu-siktheoretischen Analysemethode. Musical surface of piece bezeichnet hier eine geeigneteDarstellung der Oberflächenstruktur des Musikstückes, entspricht also der Interpretation49

des Musikstücks bezüglich einer Theorie SL&J eines Systems von Theorien musikalischerEreignisse ML&J : ML&J → PMSets. Diese Struktur stellt die Grundlage50 dar, auf derdie musikalische Analyse beruht. Lerdahl und Jackendoff verwenden als Oberflächenstruk-tur das zu spielende Notenmaterial des Musikstücks, daher soll im folgenden ein für dieAnalyse geeignetes Modell der musikalischen Ereignisse entworfen werden, dass eine direkteÜbersetzung des Notenmaterials in eine Interpretation nach Definition 34 zulässt.

Die Ellipse unten rechts in der Abbildung ist mit Preferred analysis of a piece bezeichnet undstellt das Ergebnis51 der musikalischen Analyse in Form einer Reduktion dar. Diese Reduktionnach Lerdahl und Jackendoff entspricht einer relativen Reduktionsform bezüglich der ausder Oberflächenstruktur gewonnenen Interpretationsform.

Um diese Reduktion aus der Oberflächenstruktur zu erhalten, geben Lerdahl und Jackendoffzunächst unabhängige Kriterien zur Gruppierung von Noten und zur metrischen Struktur so-wie zur Reduktion der erhaltenen Teilstücke an, die mit Well-formedness rules umschriebenwerden. Diese erzeugen jedoch noch kein eindeutiges Ergebnis, so dass nach weiteren mög-lichen Analyseschritten52 die beste Reduktion anhand von Präferenzregeln ermittelt wird53.

48Der Modellierungsanspruch in [14] ist weniger allgemein im Sinne der modellierten musikalischen Idiome, um dendamals neuartigen methodischen Ansatz mehr in den Vordergrund zu rücken.

49siehe Definition 3450»input«51»output«52Möglich sind auch eigentlich nicht-regelkonforme Umformungen des gruppierten Notenmaterials durch die Ex-

pert_in z.B. aufgrund von Erfahrungen mit vergleichbaren Musikstücken.53Die Menge der wohlgeformten Reduktionen nach Lerdahl und Jackendoff hat also für jedes Stück ein bestes

47

3 Ereignisstruktur

Abbildung 3.11: Übersicht über die Gestalt der Musiktheorie nach Lerdahl und Jackendoff,Quelle: [14], Abbildung 1.1, Seite 10

Die Abbildung »fasst die Gestalt der Theorie zusammen. Die Rechtecke repräsentierenZusammenstellungen von Regeln, die Ellipsen und Kreise repräsentieren die Eingangs- undAusgangsdaten der Regeln und die Pfeile repräsentieren die Richtung der formalenDerivation. Im Großen und Ganzen kann das System so gedacht werden, dass einemusikalische Oberflächenstruktur als Eingabe angenommen wird, und eine Hörstruktur alsAusgabe produziert wird. Die Bedeutung der Zwischenschritte klärt sich mit fortschreitenderDarstellung der Theorie.« [14], Seite 11.

48

Übertragen bedeutet dies, dass es für jedes Musikstück eine zur jeweiligen musikalischenEpoche54 gehörende Expertisefunktion

ξL&J : RSL&J ⊆ RSL&J → R

gibt, die jeder wohlgeformten Reduktionsform (R(j))1≤j≤n ∈ RSL&J einen PräferenzwertξL&J ((R(j))1≤j≤n) ∈ R zuordnet und die für jede Interpretation (SL&J , G, i) auf derMenge{

(R(j))1≤j≤n ∈ RSL&J | (R(j))1≤j≤n ist Reduktionsform zu (SL&J , G, i)}

ein eindeutiges Maximum bezüglich (R,≤) besitzen sollte55.

Im folgenden soll versucht werden, vorläufige Modelle der entsprechenden Strukturen ausTeil I im Hinblick auf das Beispiel in Abschnitt 6 vorzuschlagen und zu testen. Daher seiML&J eine diskrete Kategorie mit Ob(ML&J ) = {SL&J }. Weiterhin sei

ML&J : ML&J → PMSets

der Funktor mit ML&J (SL&J ) = EL&J , wobei EL&J in Abschnitt 4 näher bestimmt wird.

4. Modell der musikalischen Ereignisse

Das vorläufige Modell der musikalischen Ereignisse soll alle wahrnehmbaren Einzeltöne desKlaviers bezüglich der Tonhöhe, des metrischen Kontexts56 und einiger Anschlagsqualitätenunterscheiden. Sei daher

EL&J = PL&J ×HL&J ×DL&J ×AL&J

wobei die entsprechenden Definitionen der Komponenten folgen. Außerdem sei die folgendeProjektion definiert:

πPL&J : EL&J → PL&J , (p, h, d, a) 7→ p

Element, die Ausgabe der Analyse.54Lerdahl und Jackendoff geben allgemeine Präferenzregeln an, erlauben aber die Erweiterung des Regelwerks

basierend auf der Epoche, die dem Musikstück zugeordnet wird.55Eigentlich ist solch ein Maximum gewünscht, aber ich gehe davon aus, dass es Ausnahmefälle gibt, die mehrere

unvergleichbare Maxima besitzen.56Der metrische Kontext setzt sich aus dem Einsetzen des Tons bezüglich der metrischen Hierarchie des Taktes

und der Dauer des Tons zusammen.

49

4 Modell der musikalischen Ereignisse

4.1. Tonhöhen

Die Menge der unterschiedenen Tonhöhen sei definiert durch

PL&J = {c,d[,d, e[, e, f, g[, g, a[, a,h[, c[} × {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4}

wobei die erste Komponente die Tonhöhenklasse und die zweite Komponente die Oktavklassedes musikalischen Ereignisses beschreibt.57

Weiterhin sei definiert:

δ1L&J : PL&J → Z, (x, o) 7→ 12 · o +

0 (x = c)

1 (x = d[)

2 (x = d)

3 (x = e[)

4 (x = e)

5 (x = f)

6 (x = g[)

7 (x = g)

8 (x = a[)

9 (x = a)

10 (x = h[)

11 (x = c[)

δL&J : PL&J × PL&J , (p1, p2) 7→ |δ1L&J (p1)− δ1L&J (p2)|

tiefsterL&J : 2PL&J \{∅} → PL&J , X 7→ x für das x ∈ X mit ∀y ∈ X : δ1L&J (x) ≤ δ1L&J (y)

nterL&J : 2PL&J \{∅} × N\{0} → PL&J ,

X 7→

{tiefsterL&J (X) falls #X = 1 ∨ n = 1

nterL&J (X\ {tiefsterL&J (X)} , n− 1) sonst

4.2. Metrische Qualität

In Kapitel 2 im Absatz The Metrical Hierarchy von [14] wird eine Akzentuierungshierarchiebeschrieben, die Abhängig von seiner metrischen Lage einem Ton eine qualitative Akzent-stärke zuordnet. Die möglichen Einsatzzeitpunkte in einem Takt werden dabei als baumartig

57Die Tonhöhe h wird hier mit c[ bezeichnet, da das Beispiel mit sechs „[” notiert ist.

50

4.2 Metrische Qualität

strukturiert aufgefasst. Hier befinden sich zwei Einsatzzeitpunkte auf der selben Akzentebe-ne, wenn die gleiche Anzahl an Zwei- oder Dreiteilungen des Taktes benötigt werden, umden Anfangszeitpunkt als Bruchteil der zu diesem Zeitpunkt vergangenen Taktzeit zu be-schreiben. Es ist weiterhin davon auszugehen, dass mit weniger als acht Teilungsschrittenjeder Anfangszeitpunkt eines Tons erreicht werden kann. Sei58

HL&J = {h | h ∈ Sets({0, 1, . . . , 7} , {0/2, 1/2, 0/3, 1/3, 2/3}) :

∀j ∈ {max {i ∈ {0, 1, . . . , 7} | h(i) /∈ {0/2, 0/3}}+ 1, . . . , 7} :

h(j) = 0/2}

Hier befinden sich je zwei Anfangszeitpunkte h(1), h(2) ∈ HL&J auf der selben Akzentebe-ne, wenn max

{i ∈ {0, 1, . . . , 7} | h(1)(i) 66= 0/2

}= max

{i ∈ {0, 1, . . . , 7} | h(2)(i) 6= 0/2

}gilt. Falls max

{i ∈ {0, 1, . . . , 7} | h(1)(i) 6= 0/2

}< max

{i ∈ {0, 1, . . . , 7} | h(2)(i) 66= 0/2

}gilt, ist h(1) stärker akzentuiert als h(2). Der Anfangszeitpunkt von h ∈ HL&J als Bruchteilder Taktzeit ist dann das Bild αL&J (h):

αL&J : HL&J → Q, h 7→7∑i=0

rat(h(i)) ·i−1∏j=0

den(h(i))

mit

den: {0/2, 1/2, 0/3, 1/3, 2/3} → Q, p/q 7→ 1

q

und

rat : {0/2, 1/2, 0/3, 1/3, 2/3} → Q, p/q 7→ p

q

Die formale Dauer des Tons59 lässt sich darstellen, in dem die Dauer als Bruch relativ zurDauer eines Takts angegeben wird.

DL&J = {q ∈ Q | q > 0}

580/2 und 0/3 sind hier unterschiedene formale Brüche, Noten mit der selben Anfangszeit im Takt können un-terschiedliche Positionen in der Hierarchie einnehmen und werden deshalb nicht zusammengefasst. Z.B. istder Abstieg zuerst 0/2 und dann 1/3 von dem Abstieg zuerst 0/3 und dann 1/2 zu unterscheiden, obwohl dieAnfangszeit jeweils 1

6ergibt.

59Es wird sich im Beispiel darauf beschränkt, die notierte Dauer des Tons zu betrachten und etwaige Anweisungen– z.B. staccato oder Pedalanweisungen – zu ignorieren, die die tatsächliche Dauer verändern würden.

51

5 Modell der Expertisefunktion

4.3. Artikulationsqualitäten

Es sollen im folgenden nur die voneinander unabhängigen Artikulationsqualitäten staccatound marcato beachtet werden.

AL&J = 2{staccato,marcato}

5. Modell der Expertisefunktion

Nachdem die unterschiedenen Klassen musikalischer Ereignisse in Abschnitt 4 geklärt wur-den, soll in diesem Abschnitt eine Art vorläufiges Grundmodell nach Lerdahl und Jackendoffvorgeschlagen werden, welches dann im Einzelfall angepasst werden muss. Grundlage dafürsoll das Regelverzeichnis sein, welches auf den Seiten 345–352 in [14] zu finden ist.

Eine weitere allgemeine Grundlage hierfür sei der folgende Benotungsmaßstab

(NL&J ,4L&J , BL&J )

mit

NL&J = {p0 ∈ R | p0 ≥ 0}4L&J = {(p, q) ∈ NL&J ×NL&J | p ≤ q}BL&J = {p ∈ R | p > 0}

Weiterhin sei vorgeschlagen, dass sich die Benotung einer Reduktionsform (R(j))1≤j≤n ∈RSL&J aus den Teilbenotungen der Gliederungen der einzelnen Schichten (SL&J , G

(j), i(j),γ(j)) der Reduktionsform und aus den Teilbenotungen der chronologischen Relationen R(j)

wie folgt zusammensetzt, sei

ξL&J : RSL&J ⊆ RSL&J → NL&J ,

(R(j))1≤j≤n 7→ ξwL&J ((R(j))1≤j≤n) ·n∏j=1

ξRL&J (R(j))

· ξ1L&J ((R(j))1≤j≤n) · ξ2L&J ((R(j))1≤j≤n)

wobei die Abbildungen ξwL&J , ξ1L&J , ξ2L&J und ξRL&J im folgenden erklärt werden.

5.1. Benotung der Gliederungsstruktur

In [14] werden zu analysierende Stücke untergliedert, in dem Noten nach bestimmten Regelnzu Notengruppen zusammengefasst werden. Das korrekte Gruppieren ist dabei durch fünf

52

5.1 Benotung der Gliederungsstruktur

Wohlformungsregeln, sieben Präferenzregeln und zwei Ausnahmeregeln beschrieben. Die inDefinition 53 beschriebenen Reduktionsformen modellieren diese Gruppenbildung indirekt,die jeweiligen Notengruppen lassen sich wie folgt bestimmen:

Definition 66. Sei M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereig-nisse, S ∈ Ob(M), (R(j))1≤j≤n ∈ RS eine Reduktionsform. Dann ist die Menge allerEreignisgruppierungen von (R(j))1≤j≤n wie folgt definiert:

Egrp(

(R(j))1≤j≤n

)= γ(1) ∪

n⋃j=1

s ∈ Z(G(1)) | ∃t ∈ TG : (s, t) ∈

⋃τ∈γ(1)

P(1) ∗ · · · ∗ P(j)(τ)

| TG ∈ γ(j+1)

wobei R(j) = (Φ(j),P(j), I(j,1), I(j,2)) und I(j,1) = (S(j), G(j), i(j), γ(j)) sowie I(j,2) =(S(j+1), G(j+1), i(j+1), γ(j+1)) für j ∈ {1, 2, . . . , n}.60

Die Elemente von Egrp((R(j))1≤j≤n

)heißen dann Ereignisgruppierung.61

Bemerkung 67. Die Menge Egrp((R(j))1≤j≤n

)besteht nach Definition 66 also aus Mengen

von Trägern, welche auf einer Schicht der Reduktionsform zusammengefasst werden. Da alle(Φ(j),P(j)) totale chronologische Relationen sind, gilt

Egrp(

(R(j))1≤j≤n

)= γ(1) ∪

n⋃j=1

(⋃eq(ker Φ(1) ∗ · · · ∗ Φ(j))

)

Im folgenden sei (R(j))1≤j≤n eine Reduktionsform mit

R(j) = (Φ(j),P(j), (SL&J , G(j), i(j), γ(j)), (SL&J , G

(j+1), i(j+1), γ(j+1)))

sowie

I(j) = (SL&J , G(j), i(j), γ(j)) j ∈ {1, . . . , n+ 1}

G(j) = (T (j), χ(j)) j ∈ {1, . . . , n+ 1}

anhand derer die Regeln nachvollzogen werden.

[14], Seite 345:

»GWFR 1 (p.37)

Any contiguous sequence of pitch-events, drum beats, or the like can constitutea group, and only contiguous sequences can constitute a group.«

60Die Definiton von P(1) ∗ P(2) ist in Lemma 30 gegeben. Die Operation ist zwar assoziativ, anstelle des Nach-weises sei aber P(1) ∗ P(2) ∗ P(3) = (P(1) ∗ P(2)) ∗ P(3) definiert.

61Eine Ereignisgruppierung ist also eine Menge von Trägern der zum Stück gehörenden Interpretationsform, dieeinem Glied einer der Schichten der Reduktionsform entspricht.

53


Diese Eigenschaft für Ereignisgruppierungen folgt aus der Eigenschaft (i)62 nach Definition11 sowie der Eigenschaft, dass alle (Φ(j),P(j)) totale chronologische Relationen zwischenuntergliederten Zeitgerüsten sind.

[14], Seite 345:

»GWFR 2 (p. 38)

A piece constitutes a group.«

Dies bedeutet, dass folgendes gelten muss:

Z(G(1)) ∈ Egrp(

(R(j))1≤j≤n

)Falls Z(G(1)) 6= ∅ gilt, ist dies genau dann der Fall, wenn #γ(n+1) = 1 gilt, da alle(Φ(j),P(j)) für 1 ≤ j ≤ n totale chronologische Relation sind und γ(n+1) eine Partitionvon Z(G(n+1)) ist.63

[14], Seite 345:

»GWFR 3 (p. 38)

A group may contain smaller groups.

GWFR 4 (p. 38)

If a group G1 contains part of a group G2, it must contain all of G2.

GWFR 5 (p. 38)

If a group G1 contains a smaller group G2, G1 must be exhaustively partitionedinto smaller groups.«

Zunächst eine Anmerkung zu den Regeln GWFR 3 und 4: Da Ereignisgruppen kleinere Er-eignisgruppen enthalten dürfen, ist die Regel GWFR 4 so zu verstehen, dass eine kleinereEreignisgruppe G2 vollständig in der größeren Ereignisgruppe G1 enthalten sein muss. An-sonsten wäre die Regel GWFR 3 sinnfrei, denn dann würde wegen G1 ∩ G2 6= ∅ sofortG1 = G2 durch zweimaliges Anwenden der Regel folgen.

Seien E1, E2 ∈ Egrp((R(j))1≤j≤n

), so dass für ein n′ ∈ {1, . . . , n} Glieder TG1

, TG2∈

62(i) bedeutet intervallabgeschlossen.63#γ(n+1) = 1 ⇒ Z(G(1)) ∈ Egrp

((R(j))1≤j≤n

), da (Φ(1) ∗ · · · ∗ Φ(n),P(1) ∗ · · · ∗ P(n))

totale chronologische Relation ist und γ(n+1) ={Z(G(n+1))

}. Andereseits: Ist #γ(n+1) >

1, dann ist wegen der Eigenschaften der totalen chronologischen Relation Z(G(1)) /∈{{s ∈ Z(G(1)) | ∃t ∈ TG : (s, t) ∈

⋃τ∈γ(1) P(1) ∗ · · · ∗ P(n)(τ)

}| TG ∈ γ(n+1)

}= En+1 und

da Elemente von{{

s ∈ Z(G(1)) | ∃t ∈ TG : (s, t) ∈⋃τ∈γ(1) P(1) ∗ · · · ∗ P(j)(τ)

}| TG ∈ γ(j+1)

}Teilmengen von Mengen aus En+1 sind, ist Z(G(1)) /∈ Egrp

((R(j))1≤j≤n

).

54


γ(n′+1) existieren, mit

Ei =

s ∈ Z(G(1)) | ∃t ∈ TGi : (s, t) ∈⋃

τ∈γ(1)

P(1) ∗ · · · ∗ P(n′)(τ)

für i ∈ {1, 2} und TG1 6= TG2 . Dann ist E1 ∩ E2 = ∅, denn für τ ∈ γ(1) ist

P(1) ∗ · · · ∗ P(n′)(τ) ⊆ τ × Φ(1) ∗ · · · ∗ Φ(n′)(τ)

und damit giltP(1) ∗ · · · ∗ P(n′)(τ) ∩ τ × TG1 = ∅

oderP(1) ∗ · · · ∗ P(n′)(τ) ∩ τ × TG2

= ∅

da Φ(1) ∗ · · · ∗ Φ(n′) eine Abbildung und γ(1) eine Partition von Z(G(1)) ist.

Weiterhin gilt für n′ < n, dass die Inklusions ∈ Z(G(1)) | ∃t ∈ TG1: (s, t) ∈

⋃τ∈γ(1)

P(1) ∗ · · · ∗ P(n′)(τ)

⊆

s ∈ Z(G(1)) | ∃t ∈ Φ(n′)(TG1) : (s, t) ∈

⋃τ∈γ(1)

P(1) ∗ · · · ∗ P(n′+1)(τ)

stets hält, da (Φ(n′),P(n′)) eine totale chronologische Relation ist, und somit nach Definitionfür jedes t ∈ TG1

ein t′ ∈ Φ(n′)(TG1) mit (t, t′) ∈ P(n′)(TG1

) existiert.

Wenn also für ni ∈ {1, . . . , n} und Glieder TGi ∈ γ(ni+1), i ∈ {1, 2}, die echte Inklusions ∈ Z(G(1)) | ∃t ∈ TG1 : (s, t) ∈⋃

τ∈γ(1)

P(1) ∗ · · · ∗ P(n1)(τ)

(

s ∈ Z(G(1)) | ∃t ∈ TG2 : (s, t) ∈⋃

τ∈γ(1)

P(1) ∗ · · · ∗ P(n2)(τ)

gilt, so folgt nach obiger Betrachtung n1 < n2 und TG2

= Φ(n1) ∗ · · · ∗ Φ(n2−1)(TG1), so

dass GWFR 4 offenbar erfüllt ist. GWFR 5 ergibt sich dann aus der Eigenschaft, dass die(Φ(i),P(i)) für i ∈ {1, . . . , n} totale chronologische Relationen sind.

Sei also

ξwL&J : RSL&J → NL&J , (R(j))1≤j≤n 7→

{1 falls Z(G(1)) ∈ Egrp

((R(j))1≤j≤n

)0 sonst

55


Die nächsten sieben Regeln stellen Präferenzregeln dar, die durch Scorefunktionen beschrie-ben werden können.

[14], Seite 345:

»GPR 1, alternative form (p. 43)

Avoid analyses with very small groups – the smaller, the less preferable.«

Diese Präferenz lässt sich z.B. durch folgende Funktion modellieren:

ξ1L&J : RSL&J → NL&J , (R(j))1≤j≤n 7→∏

E∈Egrp((R(j))1≤j≤n)

#E

#E + 1

[14], Seite 345:

»GPR 2 (Proximity) (p. 45)

Consider a sequence of four notes n1n2n3n4. All else being equal, the transitionn2 − n3 may be heard as a group bondary if

a. (Slur/Rest) the interval of time from the end of n2 to the beginning of n3 isgreater than that from the end of n1 to the beginning of n2 and that from theend of n3 to the beginning of n4, or if

b. (Attack-Point) the interval of time between the attack points of n2 and n3 isgreater than that between the attack points of n1 and n2 and that between theattack points of n3 and n4.

GPR 3 (Change) (p. 46)

Consider a sequence of four notes n1n2n3n4. All else being equal, the transitionn2 − n3 may be heard as a group bondary if

a. (Register) the transition n2 − n3 involves a greater intervallic distance thanboth n1 − n2 and n3 − n4, or if

b. (Dynamics) the transition n2−n3 involves a change in dynamics and n1−n2and n3 − n4 do not, or if

c. (Articulation) the transition n2 − n3 involves a change in articulation andn1 − n2 and n3 − n4 do not, or if

d. (Length) n2 and n3 are of different lengths and both pairs n1, n2 and n3, n4do not differ in length.«

Aufgrund der fehlenden Unterscheidung verschiedener dynamischer Qualitäten musikalischerEreignisse, ist die Regel GPR 3 b zu vernachlässigen. Falls die Pausen zwischen direkt aufein-anderfolgenden musikalischen Ereignissen eine Länge haben, die weniger als ein Takt ist, so

56


lässt sich die Länge einer solchen Pause wie folgt berechnen:

rL&J : EL&J × EL&J → Q,((p1, h1, d1, a1), (p2, h2, d2, a2)) 7→{αL&J (h2)− αL&J (h1)− d1 fur αL&J (h2) ≥ αL&J (h1) + d1

αL&J (h2) + dαL&J (h1)+d1e − αL&J (h1)− d1 sonst

Falls die Anfangszeitpunkte direkt aufeinanderfolgender musikalischer Ereignisse ebenfallsnicht mehr als einen Takt auseinander liegen, lässt sich das Intervall zwischen den Anfangs-zeitpunkten zweier Ereignisse wie folgt berechnen:

rαL&J : EL&J × EL&J → Q,((p1, h1, d1, a1), (p2, h2, d2, a2)) 7→{αL&J (h2)− αL&J (h1) fur αL&J (h2) ≥ αL&J (h1) + d1

αL&J (h2) + dαL&J (h1)+d1e − αL&J (h1) sonst

Die Intervalldistanz zweier Ereignisse wird wie folgt berechnet

dL&J : EL&J × EL&J → Z,((p1, h1, d1, a1), (p2, h2, d2, a2)) 7→ δL&J (p1, p2)

und die Projektion auf die Artikulationsqualität ist

qL&J : EL&J → AL&J , (p, h, d, a) 7→ a

und weiterhin seilL&J : EL&J → DL&J , (p, h, d, a) 7→ d

Die Menge der vierelementigen Ereignisfolgen von (R(j))1≤j≤n ist

F4((R(j))1≤j≤n) ={

(t1, t2, t3, t4) ∈ T (1) × T (1) × T (1) × T (1) | ∀i ∈ {1, 2, 3} :

(ti, ti+1) ∈ χ(1) ∧ ∀t ∈ T (1) : {(ti, t), (t, ti+1)} 6⊆ χ(1)}

57


Außerdem sei

elsea2 : EL&J → PL&J ×DL&J ×AL&J , (p, h, d, a) 7→ (p, d, a)

elseb2 : EL&J → PL&J ×HL&J ×AL&J , (p, h, d, a) 7→ (p, h, a)

elsea3 : EL&J → HL&J ×DL&J ×AL&J , (p, h, d, a) 7→ (h, d, a)

elsec3 : EL&J → PL&J ×HL&J ×DL&J , (p, h, d, a) 7→ (p, h, d)

elsed3 : EL&J → PL&J ×HL&J ×AL&J , (p, h, d, a) 7→ (p, h, a)

und Relse2 = ker elsea2 ∪ ker elseb2 sowie Relse3 = ker elsea3 ∪ ker elsec3 ∪ ker elsed3

Seien nun c+ = c− = 0.9 Faktoren, die falsch gesetzte bzw. fehlende Gruppengrenzenbestrafen. Dann sei

B2((R(j))1≤j≤n) ={(t1, t2, t3, t4) ∈ F4((R(j))1≤j≤n) | ∀i ∈ {1, 2, 3} : (i(1)(ti), i

(1)(ti+1)) ∈ Relse2 ∧

(rL&J (i(1)(t2), i(1)(t3)) > max{rL&J (i(1)(t1), i(1)(t2)), rL&J (i(1)(t3), i(1)(t4))

}∨

rαL&J (i(1)(t2), i(1)(t3)) > max{rαL&J (i(1)(t1), i(1)(t2)), rαL&J (i(1)(t3), i(1)(t4))

})}

B3((R(j))1≤j≤n) ={(t1, t2, t3, t4) ∈ F4((R(j))1≤j≤n) | ∀i ∈ {1, 2, 3} : (i(1)(ti), i

(1)(ti+1)) ∈ Relse3 ∧

(dL&J (i(1)(t2), i(1)(t3)) > max{dL&J (i(1)(t1), i(1)(t2)), dL&J (i(1)(t3), i(1)(t4))

}∨

qL&J (i(1)(t1)) = qL&J (i(1)(t2)) 6= qL&J (i(1)(t3)) = qL&J (i(1)(t4)) ∨

lL&J (i(1)(t1)) = lL&J (i(1)(t2)) 6= lL&J (i(1)(t3)) = lL&J (i(1)(t4)))}

B((R(j))1≤j≤n) ={

(t1, t2, t3, t4) ∈ F4((R(j))1≤j≤n) |

∃E1, E2 ∈ Egrp(

(R(j))1≤j≤n

):

E1 ∩ E2 = ∅ ∧ {t1, t2} ⊆ E1 ∧ {t3, t4} ⊆ E2}

ξ2L&J : RSL&J → NL&J ,

(R(j))1≤j≤n 7→∏

b ∈ B((R(j))1≤j≤n),

b /∈ B2((R(j))1≤j≤n),

b /∈ B3((R(j))1≤j≤n)

c+ ·∏

b /∈ B((R(j))1≤j≤n),

b ∈ B2((R(j))1≤j≤n)∪B3((R(j))1≤j≤n)

c−

58

5.2 Benotung der Relationsstruktur

Die folgenden vier Präferenzregeln beziehen sich auf die Intensität der Unterschiede zwi-schen Ereignisgruppen sowie auf Symmetrieüberlegungen und Wechselwirkungen mit derBetrachtung der Relationsstruktur. Diese Regeln werden hier der Vollständigkeit halber auf-gelistet, finden aber im vorläufigen Modell keine weitere Beachtung.

[14], Seite 346:

»GPR 4 (Intensification) (p. 49)

Where the effects picked out by GPRs 2 and 3 are relatively more pronounced,a larger-level group boundary may be placed.

GPR 5 (Symmetry) (p. 49)

Prefer grouping analyses that most closely approach the ideal subdivision ofgroups into two parts of equal length.

GPR 6 (Parallelism) (p. 51)

Where two or more segments of the music can be construed as parallel, theypreferably form parallel parts of groups.

GPR 7 (Time-Span and Prolongational Stability) (p. 52)

Prefer grouping structure that results in more stable time-span and/or prolon-gational reductions.«

Neben diesen Regeln geben Lerdahl und Jackendoff zwei weitere Gruppierungsregeln an,welche Instruktionen enthalten, wie nicht-konforme Reduktionsformen mit musikalischerBedeutung in konforme Reduktionsformen verwandelt werden können: Zum einen ist esmöglich, dass die letzte(n) Note(n) einer Notengruppe ebenfalls als Anfang einer anderen No-tengruppe zu interpretieren sind, in diesem Fall werden die Noten entsprechend verdoppeltund als direkt aufeinanderfolgende Notensequenz betrachtet, deren erster Teil der erstenGruppe und deren zweiter Teil der zweiten Gruppe zugerechnet wird.64 Außerdem ist esmöglich, dass Notengruppen an Gruppenrändern verschoben werden dürfen, d.h. wenn eineGruppe G1 z.B. mit e1e2 endet, und auf diese die Gruppe G2 folgt, dann darf G1 durcheine Gruppe ersetzt werden, die e2 nicht mehr enthält und mit e1 endet, wenn im Gegenzugdie Gruppe G2 nun bereits mit e2 beginnt. 65

5.2. Benotung der Relationsstruktur

Zur Benotung der Relationsstruktur wird postuliert, dass strukturelles Wissen über Zusam-menhänge zwischen durch Interpretationsformen beschriebenen Gruppierungen musikali-scher Ereignisse mit Hilfe kanonischer Konstruktionen dargestellt werden kann. So lässtsich z.B. die authentische Kadenz von Stufendreiklängen Tonika-Dominante-Tonika aus dem

64Siehe: [14], Seite 346, »Grouping Overlap«65Siehe: [14], Seite 346, »Grouping Elision«

59


Stufendreiklang der Tonika kanonisch konstruieren. Zu einer gegebenen Konstruktion samtAusgangsinterpretationsform lässt sich das Ergebnis66 der Konstruktion als Glied einer unter-gliederten Interpretationsform auffassen, die aus den Ergebnissen verschiedener Konstruk-tionen und Ausgangsinterpretationsformen besteht. Es wird davon ausgegangen, dass endlichviele Konstruktionen genügen, um die strukturellen Zusammenhänge darzustellen und dasses möglich ist, die Benotung der Relationsstruktur auf Benotungen für Konstruktionen zu-rückzuführen.67

Definition 68. Sei M : M→ PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereignis-se, S ∈ Ob(M), (N,4, B) ein Benotungsmaßstab, κ eine endliche Menge von Konstruk-tionen bezüglich S. Jede Abbildung K : κ→ N heißt dann benotete Konstruktionsda-tenbank bezüglich S und (N,4, B). Gilt ferner, dass alle K ∈ κ darstellbar sind als ka-nonische Konstruktion, d.h. es existiert eine kanonische Konstruktionsform (S,G(k),X , k, i)mit K(S,G(k),X , k, i) = K , dann heißt K kanonische benotete Konstruktionsda-tenbank.

Es wird im folgenden davon ausgegangen, dass es eine geeignete kanonische Konstruktions-datenbank

KL&J : κL&J → NL&J

bezüglich SL&J und (NL&J ,4L&J , BL&J ) gibt. In dieser vorläufigen Modellierung solldiese jedoch nicht vollständig bestimmt werden, einige Konstruktionen werden in Abschnitt6 beschrieben.

Sei KL&J nun bekannt und als gegeben angenommen. Dann lässt sich die Benotungsfunk-tion für die Relationsstruktur wie folgt definieren:

ξRL&J : RelSL&J ,γ → NL&J , (Φ,P, I(1), I(2)) 7→ ξRL&J (Φ,P, I(1), I(2))

wobei I(1) = (SL&J , G(1), i(1), γ(1)) und I(2) = (SL&J , G

(2), i(2), γ(2)) ist. Weiterhin istdann

ξRL&J (Φ,P, I(1), I(2)) =∏

TG∈γ(1)

ξR∗L&J

((SL&J , G

(1)|TG, i(1)|TG), P(TG),

(SL&J , G(2)|P(TG)[TG], i(2)|P(TG)[TG])

)wobei P(TG)[TG] =

{t(2) ∈ Z(G(2)) | ∃t(1) ∈ TG : (t(1), t(2)) ∈ P(TG)

}ist68 und i(1)|TG

bzw. i(2)|P(TG)[TG] die Einschränkung der Abbildung i(1) bzw. i(2) auf TG bzw. P(TG)[TG]

66Das Ergebnis einer Konstruktion bezüglich einer Interpretationsform ist das Urbild des schwachen Morphismuseszwischen Interpretationsformen, der das Bild der Ausgangsinterpretationsform unter der Konstruktionsabbildungist.

67Diese Vorgehensweise bedingt allerdings, dass ein musikalisches Ereignis einer Schicht einer Reduktion nicht mitmehreren Ereignissen einer abstrakteren Schicht in Zusammenhang stehen kann.

68P(TG)[TG] muss kein Glied bezüglich G(2) sein, die schreibweise G(2)|P(TG)[TG] ist hier rein formal.

60

bezeichnet. Die Abbildung

ξR∗L&J : IS ×{R ⊆ Z(G(1))× Z(G(2)) | G(1), G(2) ∈ Ob(Z)

}× IS → NL&J

folgt dann der Vorschrift

ξR∗L&J (I(1), R, I(2)) = maxR≥0

{KL&J (K) | K ∈ κL&J : mit K(I(2)) : I

(2)K → I(2)

∃ϕ ∈ Z(I(2)K , I(1)) : Z(ϕ) bijektiv

∧R ={

(Z(ϕ)−1t,K(I(2))(t)) | t ∈ Z(I(1))}}

und es sei maxR≥0∅ = 0.69

Die durch Lerdahl und Jackendoff gegebenen Wohlformungs- und Präferenzregeln bezüglichder metrischen Struktur, der Zeitabschnittsreduktion70 und der Fortsatzreduktion71 müssenrespektiert werden, in dem eine geeignete Auswahl und Benotung der kanonischen Kon-struktionen gewählt wird.

6. Beispiel: F. Chopin Opus 10 Nr. 5 »Etüde Ges-Dur„Schwarze Tasten”«

In diesem Abschnitt soll das in Abschnitt F.2 gegebene Musikstück informell betrachtet wer-den, um an einem Ausschnitt zu demonstrieren, wie aus einem Musikstück eine Reduktions-form gewonnen werden kann. Die beste oder andere Reduktionsformen des Stückes sollenhier nicht betrachtet werden, da hierfür aus musikalischer Sicht die vorläufige Theorie ausden Abschnitten 4 und 5 keine ausreichende Grundlage darstellt.

Die Analyse beginnt mit der Betrachtung der rhythmischen Schemata aller Halbtakte. Dasrhythmische Schema eines Halbtaktes besteht dabei aus den relativen Einsatzzeitpunktenund den Längen der verschiedenen musikalischen Ereignisse, unabhängig davon, wie oft diejeweiligen Paare auftreten. Eine Darstellung der Schemata findet sich in Abschnitt F.3. Diefolgenden Halbtakte haben Schemata, die selten72 vorkommen: 4.1, 12.1, 18.2, 19.1, 22.2, 23.1,47.2, 48.1, 52.1, 65.1, 66.1, 66.2, 67.1, 68.1, 68.2, 69.1, 71.1, 72.1, 72.2, 73.1, 79.1, 83.1, 84.1, 84.2, 85.1und 85.2. Dabei handelt es sich ab Takt 83 um den auskomponierten Schluss des Stückesund bei den Halbtaktpaaren 18.2-19.1, 22.2-23.1, 68.2-69.1 sowie 72.2-73.1 um das vorzeitigebetonte Einsetzen des ersten Tons der nachfolgenden Passage der rechten Hand, wobei dasvorhergehende Schema dafür abgebrochen wird, in allen anderen Fällen ist das rhythmische

69Das Maximum existiert immer, da κL&J eine endliche Menge ist.70»time-span reduction«71»prolongational reduction«72Hier: drei oder weniger Vorkommen.

61

6 Beispiel: F. Chopin Opus 10 Nr. 5 »Etüde Ges-Dur „Schwarze Tasten”«

Schema der linken Hand selten. Die deutliche Regelmäßigkeit des rhythmischen Schemas derrechten Hand im Vergleich zur linken Hand rechtfertigt, sich auf die regelmäßigen Noten-gruppen der rechten Hand zu konzentrieren und die anderen Noten als ausschmückendesBeiwerk im folgenden zu vernachlässigen.

Daher soll als nächster Schritt nun die Melodie der rechten Hand betrachtet werden, welcheauch die Basis für die Begleitung durch die linke Hand darstellt. Es ist naheliegend, nurden Ausschnitt bestehend aus den triolischen Sechzehntel-Dreiergruppen zu untersuchen,welche ausschließlich aus zu schwarzen Tasten gehörenden Tönen bestehen. Um aus denjeweiligen zugrundeliegenden Akkorden die Dreiergruppen zu konstruieren, sind 12 verschie-dene kanonische Konstruktionen erforderlich. Zunächst soll ein universeller Instanziator fürakkordartige Interpretationsformen angegeben werden.

6.1. Akkordinstanziatoren

Es sei XL&J = N, weiterhin sei für n ∈ N das diskrete Zeitgerüst mit n Elementen definiertals Gn = ({1, 2, . . . , n} , ∅). Sei sn : Z(Gn)→ XL&J , x 7→ x

IA = {(SL&J , Gn, i) | n ∈ N, i ∈ Sets(Z(Gn),ML&J (SL&J )) :

i ∗ πPL&J ist injektive Abbildung}

iA : IA ⊆ ISL&J → BSL&J ,XL&J , (SL&J , Gn, i) 7→ (SL&J , Gn,XL&J , sn, bin)

mit bin : F(Gn,XL&J , sn) → ML&J (SL&J ) , n 7→ nterL&J (im(i ∗ πPL&J ), n). Weiterhinsei für I∗A ⊆ IA die Einschränkung von iA auf I∗A definiert:

iA|I∗A : I∗A ⊆ ISL&J → BSL&J ,XL&J , (S,G, i) 7→ iA(S,G, i)

6.2. Kanonische Konstruktionen bezüglich derMelodiedreiergruppen

Die folgenden partiellen Abbildungen verschieben und kürzen Noten, die an Achtelpositionenim Takt stehen, so dass aus Achtelakkorden triolische Sechzehntel-Dreiergruppen entstehenkönnen. Hierfür sei

HA = {h ∈ HL&J | {h(0), h(1)} ⊆ {0/2, 1/2} ∧ ∀i ∈ {2, . . . , 7} : h(i) = 0/2}

62

6.2 Kanonische Konstruktionen bezüglich der Melodiedreiergruppen

µ1 : PL&J ×HA ×{

1

4

}×AL&J ⊆ EL&J → EL&J , (p, h, d, a) 7→ (p, h,

1

12, ∅)

µ2 : PL&J ×HA ×{

1

4

}×AL&J ⊆ EL&J → EL&J ,

(p, h, d, a) 7→ (p, h′,1

12, ∅) mit h′(2) = 1/3 ∧ ∀i ∈ {0, 1, 3, 4, . . . , 7} : h′(i) = h(i)

µ3 : PL&J ×HA ×{

1

4


(p, h, d, a) 7→ (p, h′,1

12, ∅) mit h′(2) = 2/3 ∧ ∀i ∈ {0, 1, 3, 4, . . . , 7} : h′(i) = h(i)

µ′

1 : PL&J ×HA ×{

1

4

}×AL&J ⊆ EL&J → EL&J , (p, h, d, a) 7→ (p, h,

1

12, a)

µ′

2 : PL&J ×HA ×{

1

4


(p, h, d, a) 7→ (p, h′,1

12, a) mit h′(2) = 1/3 ∧ ∀i ∈ {0, 1, 3, 4, . . . , 7} : h′(i) = h(i)

µ′

3 : PL&J ×HA ×{

1

4


(p, h, d, a) 7→ (p, h′,1

12, a) mit h′(2) = 2/3 ∧ ∀i ∈ {0, 1, 3, 4, . . . , 7} : h′(i) = h(i)

Sei weiterhinG3′ = ({1, 2, 3} , {(1, 2), (1, 3), (2, 3)})

G4′ = ({1, 2, 3, 4} , {(1, 3), (2, 3), (1, 4), (2, 4), (3, 4)})

sowie

G6′ = ({1, 2, 3, 4, 5, 6} , {(1, 3), (2, 3), (1, 4), (2, 4), (1, 5), (2, 5),

(1, 6), (2, 6), (3, 5), (4, 5), (3, 6), (4, 6)})

undEL&J = EL&J ∪ XL&J ×PMSets(EL&J , EL&J )

Um die zugrundeliegenden Konstruktionsformen zu definieren, werden folgende Abbildungenbenötigt:

63


kA : Z(G3′)→ EL&J , x 7→

(2, µ

′

1) (x = 1)

(3, µ2) (x = 2)

(1, µ3) (x = 3)

kB : Z(G3′)→ EL&J , x 7→

(2, µ

′

1) (x = 1)

(1, µ2) (x = 2)

(2, µ3) (x = 3)

kC : Z(G3′)→ EL&J , x 7→

(3, µ

′

1) (x = 1)

(1, µ2) (x = 2)

(2, µ3) (x = 3)

kD : Z(G3′)→ EL&J , x 7→

(1, µ

′

1) (x = 1)

(3, µ2) (x = 2)

(2, µ3) (x = 3)

kE : Z(G3′)→ EL&J , x 7→

(2, µ

′

1) (x = 1)

(1, µ2) (x = 2)

(3, µ3) (x = 3)

kF : Z(G3′)→ EL&J , x 7→

(1, µ1) (x = 1)

(2, µ′

2) (x = 2)

(1, µ3) (x = 3)

64

6.2 Kanonische Konstruktionen bezüglich der Melodiedreiergruppen

kG : Z(G3′)→ EL&J , x 7→

(3, µ

′

1) (x = 1)

(2, µ2) (x = 2)

(1, µ3) (x = 3)

kH : Z(G3′)→ EL&J , x 7→

(1, µ

′

1) (x = 1)

(2, µ2) (x = 2)

(3, µ3) (x = 3)

kI : Z(G3′)→ EL&J , x 7→

(1, µ

′

1) (x = 1)

(1, µ2) (x = 2)

(2, µ3) (x = 3)

kJ : Z(G3′)→ EL&J , x 7→

(2, µ

′

1) (x = 1)

(1, µ2) (x = 2)

(1, µ3) (x = 3)

kK : Z(G4′)→ EL&J , x 7→

(3, µ

′

1) (x = 1)

(4, µ′

1) (x = 2)

(2, µ2) (x = 3)

(1, µ3) (x = 4)

kL : Z(G6′)→ EL&J , x 7→

(3, µ′

1) (x = 1)

(6, µ′

1) (x = 2)

(2, µ′

2) (x = 3)

(5, µ′

2) (x = 4)

(1, µ′

3) (x = 5)

(4, µ′

3) (x = 6)

Außerdem sei

I2 =

{(S,G, i) ∈ IA | G = G2, im(i) ⊆ PL&J ×HA ×

{1

4

}×AL&J

}I3 =


{1

4

}×AL&J

}I4 =


{1

4

}×AL&J

}I6 =


{1

4

}×AL&J

}

65


AB AC | AB AC | DE DE | DE DE |AB AC | AB AC | DE FE | FB FB |AB AC | AB AC | DE DE | DE DE |AB AC | AB AC | DE FB | DC FE |FF FF | FF F. | GH GH | GH GH |FF FF | FF F. | DB HB | DB HB |DB HB | DB HB | FH HH | HH HH |DI AB | DI AB | DI AB | DJ AB |GC AG | GC AD | GH HD | EH HD |GC AG | GC AD | EH HD | EH HD |DE AB | DE AB | DI AB | DI AB |FE FF | FE FF | FF FF | FF FF |AB AC | AB AC | DE DE | DE DE |AB AC | AB AC | DE FB | DE FB |DC DC | DE DE | DC DC | DE DE |DC DC | DC DC | AE DC | AE DC |HH HH | .. .. | .. FF | FF F. |GH GH | GH GH | FF FF | FF .. |GH GH | GH GH | CD CA | CD CA |CD CA | ED ED | .K KK | KK KK |KK KK | KK KK | .L LL | .. .. |

Tabelle 2: Schema zur Konstruktion der triolischen Sechzehntel-Gruppen

Die entsprechende Menge der benötigten kanonischen Konstruktionen ist dann

κ3 = { K (SL&J , G3′ ,XL&J , kA, iA|I3) , K (SL&J , G3′ ,XL&J , kB , iA|I2) ,

K (SL&J , G3′ ,XL&J , kC , iA|I3) , K (SL&J , G3′ ,XL&J , kD, iA|I3) ,

K (SL&J , G3′ ,XL&J , kE , iA|I3) , K (SL&J , G3′ ,XL&J , kF , iA|I2) ,

K (SL&J , G3′ ,XL&J , kG, iA|I3) , K (SL&J , G3′ ,XL&J , kH , iA|I3) ,

K (SL&J , G3′ ,XL&J , kI , iA|I2) , K (SL&J , G3′ ,XL&J , kJ , iA|I2) ,

K (SL&J , G3′ ,XL&J , kK , iA|I4) , K (SL&J , G3′ ,XL&J , kL, iA|I6) }

In Abschnitt F.4 sind die jeweiligen Melodiegruppen der vereinfachten Variante Nr. 5* dar-gestellt. Im folgenden werden die Konstruktionen aus κ3 durch den Index der jeweiligenAbbildung k• bezeichnet, d.h. K (SL&J , G3′ ,XL&J , kC , iA|I3) wird z.B. mit C bezeichnet.Es entstehen die ersten 83 Takte der Melodiegruppenvariante Nr. 5** durch Anwenden derin Tabelle 2 dargestellten Konstruktionen auf das Achtelakkordschema, welches in AbschnittF.5 gegeben ist.73

73Wobei Punkte Taktabschnitte markieren, die keine Dreiergruppen sind.

66

6.3 Zu den Kanonische Konstruktionen bezüglich des Achtelakkordschemas

6.3. Zu den Kanonische Konstruktionen bezüglich desAchtelakkordschemas

Um den Schritt von den Achtelakkordfolgen zu den Taktakkordfolgen analog zu Abschnitt 6.2nachzuvollziehen, werden insgesamt 44 verschiedene kanonische Konstruktionen benötigt,74

es sollen hier nur die ersten sieben kanonischen Konstruktionen angegeben werden.75

Es sei

T2222′ = {1, 2, 3, 4} × {1, 2}χ2222′ = {((s1, s2), (t1, t2)) ∈ T2222′ × T2222′ | s1 < t1}T3233′ = ({1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3}) \ {(2, 3)}χ3233′ = {((s1, s2), (t1, t2)) ∈ T3233′ × T3233′ | s1 < t1}T3322′ = ({1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3}) \ {(3, 3), (4, 3)}χ3322′ = {((s1, s2), (t1, t2)) ∈ T3322′ × T3322′ | s1 < t1}T3323′ = ({1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3}) \ {(3, 3)}χ3323′ = {((s1, s2), (t1, t2)) ∈ T3323′ × T3323′ | s1 < t1}T3333′ = {1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3}χ3333′ = {((s1, s2), (t1, t2)) ∈ T3333′ × T3333′ | s1 < t1}

Gi′ = (Ti′ , χi′) (i ∈ {2222, 3233, 3322, 3323, 3333})

HB = {h ∈ HL&J | ∀j ∈ {0, 1, . . . , 7} : h(j) = 0/2}

I2,2 = {(S,G, i) ∈ IA | G = G2, im(i) ⊆ PL&J ×HB × {1} × {∅}}I2,5 = {(S,G, i) ∈ IA | G = G5, im(i) ⊆ PL&J ×HB × {1} × {∅}}I2,6 = {(S,G, i) ∈ IA | G = G6, im(i) ⊆ PL&J ×HB × {1} × {∅}}I2,7 = {(S,G, i) ∈ IA | G = G7, im(i) ⊆ PL&J ×HB × {1} × {∅}}

74Diese sind sich allerdings untereinander sehr ähnlich, so unterscheiden sich einige lediglich dadurch, dass diekonstruierten vier Achtelakkorde verschiedene Artikulationsangeben erhalten, ansonsten jedoch gleich sind.

75Diese reichen aus, um die Reduktionsform bis zum Takt 16 nachzuvollziehen.

67


h8,1 : {0, 1, . . . , 7} → {0/2, 1/2, 0/3, 1/3, 2/3} , j 7→ 0/2

h8,2 : {0, 1, . . . , 7} → {0/2, 1/2, 0/3, 1/3, 2/3} , j 7→

{1/2 (j = 1)

0/2 sonst

h8,3 : {0, 1, . . . , 7} → {0/2, 1/2, 0/3, 1/3, 2/3} , j 7→

{1/2 (j = 0)

0/2 sonst

h8,4 : {0, 1, . . . , 7} → {0/2, 1/2, 0/3, 1/3, 2/3} , j 7→

{1/2 (j ∈ {0, 1})0/2 sonst

µ8,1 : PL&J ×HB × {1} × {∅} ⊆ EL&J → EL&J , (p, h, d, a) 7→ (p, h8,1,1

4, a)


4, a)


4, a)


4, a)

k0 : Z(G3233′)→ EL&J , (i, j) 7→

(3, µ8,1) (i = 1 ∧ j = 1)

(5, µ8,1) (i = 1 ∧ j = 2)

(6, µ8,1) (i = 1 ∧ j = 3)

(4, µ8,2) (i = 2 ∧ j = 1)

(5, µ8,2) (i = 2 ∧ j = 2)

(2, µ8,3) (i = 3 ∧ j = 1)

(3, µ8,3) (i = 3 ∧ j = 2)

(5, µ8,3) (i = 3 ∧ j = 3)

(1, µ8,4) (i = 4 ∧ j = 1)

(2, µ8,4) (i = 4 ∧ j = 2)

(3, µ8,4) (i = 4 ∧ j = 3)

68

6.3 Zu den Kanonische Konstruktionen bezüglich des Achtelakkordschemas

k1 : Z(G3333′)→ EL&J , (i, j) 7→

(1, µ8,1) (i = 1 ∧ j = 1)

(2, µ8,1) (i = 1 ∧ j = 2)

(3, µ8,1) (i = 1 ∧ j = 3)

(3, µ8,2) (i = 2 ∧ j = 1)

(4, µ8,2) (i = 2 ∧ j = 2)

(5, µ8,2) (i = 2 ∧ j = 3)

(2, µ8,3) (i = 3 ∧ j = 1)

(4, µ8,3) (i = 3 ∧ j = 2)

(5, µ8,3) (i = 3 ∧ j = 3)

(4, µ8,4) (i = 4 ∧ j = 1)

(5, µ8,4) (i = 4 ∧ j = 2)

(6, µ8,4) (i = 4 ∧ j = 3)

k2 : Z(G3333′)→ EL&J , (i, j) 7→

(1, µ8,1) (i = 1 ∧ j = 1)

(2, µ8,1) (i = 1 ∧ j = 2)

(4, µ8,1) (i = 1 ∧ j = 3)

(2, µ8,2) (i = 2 ∧ j = 1)

(4, µ8,2) (i = 2 ∧ j = 2)

(5, µ8,2) (i = 2 ∧ j = 3)

(2, µ8,3) (i = 3 ∧ j = 1)

(3, µ8,3) (i = 3 ∧ j = 2)

(5, µ8,3) (i = 3 ∧ j = 3)

(3, µ8,4) (i = 4 ∧ j = 1)

(5, µ8,4) (i = 4 ∧ j = 2)

(6, µ8,4) (i = 4 ∧ j = 3)

69


k3 : Z(G3323′)→ EL&J , (i, j) 7→

(1, µ8,1) (i = 1 ∧ j = 1)

(2, µ8,1) (i = 1 ∧ j = 2)

(3, µ8,1) (i = 1 ∧ j = 3)

(2, µ8,2) (i = 2 ∧ j = 1)

(3, µ8,2) (i = 2 ∧ j = 2)

(4, µ8,2) (i = 2 ∧ j = 3)

(3, µ8,3) (i = 3 ∧ j = 1)

(4, µ8,3) (i = 3 ∧ j = 2)

(4, µ8,4) (i = 4 ∧ j = 1)

(5, µ8,4) (i = 4 ∧ j = 2)

(6, µ8,4) (i = 4 ∧ j = 3)

k4 : Z(G2222′)→ EL&J , (i, j) 7→

(1, µ8,1) (i = 1 ∧ j = 1)

(2, µ8,1) (i = 1 ∧ j = 2)

(1, µ8,2) (i = 2 ∧ j = 1)

(2, µ8,2) (i = 2 ∧ j = 2)

(1, µ8,3) (i = 3 ∧ j = 1)

(2, µ8,3) (i = 3 ∧ j = 2)

(1, µ8,4) (i = 4 ∧ j = 1)

(2, µ8,4) (i = 4 ∧ j = 2)

k5 : Z(G3322′)→ EL&J , (i, j) 7→

(1, µ8,1) (i = 1 ∧ j = 1)

(2, µ8,1) (i = 1 ∧ j = 2)

(3, µ8,1) (i = 1 ∧ j = 3)

(2, µ8,2) (i = 2 ∧ j = 1)

(3, µ8,2) (i = 2 ∧ j = 2)

(4, µ8,2) (i = 2 ∧ j = 3)

(3, µ8,3) (i = 3 ∧ j = 1)

(4, µ8,3) (i = 3 ∧ j = 2)

(4, µ8,4) (i = 4 ∧ j = 1)

(5, µ8,4) (i = 4 ∧ j = 2)

70

6.4 Informelle Darstellung wichtiger Begriffe am Beispiel

k6 : Z(G3323′)→ EL&J , (i, j) 7→

(2, µ8,1) (i = 1 ∧ j = 1)

(3, µ8,1) (i = 1 ∧ j = 2)

(5, µ8,1) (i = 1 ∧ j = 3)

(1, µ8,2) (i = 2 ∧ j = 1)

(4, µ8,2) (i = 2 ∧ j = 2)

(5, µ8,2) (i = 2 ∧ j = 3)

(3, µ8,3) (i = 3 ∧ j = 1)

(4, µ8,3) (i = 3 ∧ j = 2)

(4, µ8,4) (i = 4 ∧ j = 1)

(6, µ8,4) (i = 4 ∧ j = 2)

(7, µ8,4) (i = 4 ∧ j = 3)

Es werden dann u.a. die folgenden Konstruktionen benötigt:

κ8 ) { K (SL&J , G3233′ ,XL&J , k0, iA|I2,6) , K (SL&J , G3333′ ,XL&J , k1, iA|I2,6) ,

K (SL&J , G3333′ ,XL&J , k2, iA|I2,6) , K (SL&J , G3323′ ,XL&J , k3, iA|I2,6) ,

K (SL&J , G2222′ ,XL&J , k4, iA|I2,2) , K (SL&J , G3322′ ,XL&J , k5, iA|I2,5) ,

K (SL&J , G3323′ ,XL&J , k6, iA|I2,7) }

Werden die Konstruktionen wieder mit dem Index der Abbildungen k• bezeichnet, ergibtsich das in Tabelle 3 dargestellte Schema zur Konstruktion der Achtelakkorde.76

6.4. Informelle Darstellung wichtiger Begriffe am Beispiel

Nachdem am Beispiel Chopins Opus 10 Nr. 5 belegt wurde, dass die im Teil I gegebenenBegriffe im Zusammenspiel mit der in Teil II gegebenen vorläufigen Modellierung tatsächlichgeeignet sind, Musikstücke sowie musikwissenschaftliche Sachverhalte zu beschreiben, sollendie wichtigsten Begriffe hier auf informelle Art und Weise in Bezugnahme auf das vereinfachteMusikstück aus Abschnitt F.4 veranschaulicht werden.

76Auf b endende Konstruktionen gleichen denen ohne Buchstaben bis auf die Artikulationsqualität einiger Achtel-akkorde.

71


0, 0, 1, 2, 0, 0, 3, 4,0, 0, 1, 2, 0, 0, 5, 6,7, 8, 9, 9, 7, 8, 10, 10,

10, 10, 11, 12, 13, 13, 14, 15,16, 16, 17, 18, 16, 16, 18, 18,19, 19, 13, 13, 20, 20, 21, 21,0, 0, 1, 2, 0, 0, 22, 22b,

23, 24, 23, 24, 25, 25b, 26, 26,27, ---, 28, 29, 30, 31, 32, 33,30, 34, 35, 35, 35, 36, 37, 38,39, 39b, 40, (Schluss)

Tabelle 3: Schema zur Konstruktion der Achtelakkorde

Abbildung 6.1: Ausschnitt aus dem Zeitgerüst von Nr. 5**

. . .958,1

958,2

958,3

957,1

956,1

955,1

954,1

953,1

952,1

951,1

950,1

949,1

957,2

956,2

955,2

954,2

953,2

952,2

951,2

950,2

949,2

6.4.1. Zeitgerüst

Dem Abschnitt F.4 liegt das folgende77 Zeitgerüst zugrunde:

G5∗∗ = (T5∗∗ , χ5∗∗)

T5∗∗ = {1, 2, . . . , 958} × {1} ∪ {904 + i · 3 | i ∈ {0, 1, . . . , 14}} × {2}∪ {949, 950, . . . , 957} × {2} ∪ {(958, 2), (958, 3)}

χ5∗∗ = {((t1, t2), (s1, s2)) ∈ T5∗∗ × T5∗∗ | t1 < s1}

In Abbildung 6.1 sind die Takte 83–85 der Variante Nr. 5** samt zugehörigen Teilen des Zeit-gerüsts dargestellt. Ausgehend von dem Notenmaterial kann das Zeitgerüst erhalten werden,in dem zunächst für jede Note ein Trägerelement – hier dargestellt durch die durchsichtigen

77Bis auf Isomorphie und bezüglich der vorläufigen Theorie musikalischer Ereignisse aus Teil II.

72


Kreise – bestimmt wird, wodurch sich die Trägermenge des Zeitgerüsts ergibt. Im nächstenSchritt wird anhand der Einsatzzeitpunkte und Notendauern für jede Note ermittelt, welcheanderen Noten erst nach dem Ende jener dem Notenmaterial folgend erklingen sollen. Daszu diesen beiden Noten gehördende Paar von Trägerelementen ist dann und nur dann einElement der Chronologie des zugrundeliegenden Zeitgerüsts. In der Abbildung 6.1 ist dieseBeziehung wieder dadurch gekennzeichnet, dass zwischen den zu den Trägerelementen ge-hörenden Kreisen ein Pfeil verläuft,78 oder der zur später erklingenden Note gehörende Kreisdurch Folgen von Pfeilen in mehreren Schritten vom zur vorzeitigeren Note gehörenden Kreisausgehend erreicht werden kann.

6.4.2. Interpretationsform

Nachdem das zugrundeliegende Zeitgerüst ermittelt wurde, kann die Interpretationsform

(SL&J , G5∗∗ , i5∗∗)

angegeben werden. Dazu muss noch die Beschriftung i5∗∗ aus den zu den Trägerelementengehörenden Noten ermittelt werden, wofür in Abbildung 6.1 einfaches Ablesen der Parameterder sich unter dem jeweiligen durchsichtigen Kreis befindenenden Note ausreicht. So bestehtz.B. der Schlussakkord aus drei Noten, denen die Trägerelemente (958, 1), (958, 2) und(958, 3) zugewiesen wurden. Somit ist hier

i5∗∗((958, 1)) = ((g[, 0), h0, 2, ∅)i5∗∗((958, 2)) = ((g[,−1), h0, 2, ∅)i5∗∗((958, 3)) = ((g[,−2), h0, 2, ∅)

mit h0 : {0, 1, . . . , 7} → {0/2, 1/2, 0/3, 1/3, 2/3} , x 7→ 0/2.

Zur zweiten Sechzehntel-Triolen-Dreiergruppe in Takt 83 gehören die Trägerelemente (952, 1),(952, 2), (953, 1), (953, 2), (954, 1) und (954, 2). Die Einsatzzeitpunkte innerhalb der Takt-

78Vom früheren zum späteren.

73


hierarchie werden dabei durch folgende Abbildungen beschrieben:

h1 : {0, 1, . . . , 7} → {0/2, 1/2, 0/3, 1/3, 2/3} , x 7→

1/2 (x = 0)

0/2 (x = 1)

0/3 (x = 2)

0/2 sonst

h2 : {0, 1, . . . , 7} → {0/2, 1/2, 0/3, 1/3, 2/3} , x 7→

1/2 (x = 0)

0/2 (x = 1)

1/3 (x = 2)

0/2 sonst

h3 : {0, 1, . . . , 7} → {0/2, 1/2, 0/3, 1/3, 2/3} , x 7→

1/2 (x = 0)

0/2 (x = 1)

2/3 (x = 2)

0/2 sonst

und es ist

i5∗∗((952, 1)) = ((a[, 2), h1,1

12, {staccato})

i5∗∗((952, 2)) = ((a[, 1), h1,1

12, {staccato})

i5∗∗((953, 1)) = ((g[, 2), h2,1

12, {staccato})

i5∗∗((953, 2)) = ((g[, 1), h2,1

12, {staccato})

i5∗∗((954, 1)) = ((e[, 2), h3,1

12, {staccato})

i5∗∗((954, 2)) = ((e[, 1), h3,1

12, {staccato})

6.4.3. Instanziator

In der Modellierung in dieser Arbeit ist das Instanziieren von Notenmaterial nicht eindeutigdurch selbiges definiert, sondern hängt von der konkreten dem Notenmaterial zugeordnetenInterpretationsform ab, es ist also theoretisch möglich, dass bereits durch unterschiedlicheBenennung der Trägerelemente eine Interpretationsform anders instanziiert wird.79 Im Falledes Instanziators iA ist dies jedoch nicht der Fall, allerdings muss die Trägermenge stetsdie Form {1, 2, . . . , n} für ein n ∈ N besitzen, und eine entsprechende Interpretations-

79Dies kann hilfreich sein, um unterschiedliche Betrachtungsweisen des selben Notenmaterials formal zu unter-scheiden, in dem die Benennung der Trägerelemente entsprechende Aspekte kodiert.

74


Abbildung 6.2: Instanzen der ersten vier Achtelakkorde von Nr. 5**

. . .1 11

12 22

233

3

form ist immer dann im Definitionsbereich, wenn es sich um eine Anzahl paarweise sichüberlappender Noten mit verschiedenen Tonhöhen handelt.

In Abbildung 6.2 sind Instanzen der ersten vier Achtelakkorde des Achtelakkordschemas derVariante Nr. 5** gegeben, wobei die Variablenzuordnung durch kleine Zahlen auf den jeweili-gen Noten angegeben ist. Formal haben die Akkorde folgende zugrundeliegende Zeitgerüsteund Interpretationsformen:

G2 = (T2, ∅), T2 = {1, 2}G3 = (T3, ∅), T3 = {1, 2, 3}Irot = (SL&J , G3, irot)

Iblau = (SL&J , G3, iblau)

Igrun = (SL&J , G3, igrun)

Igelb = (SL&J , G3, igelb)

mit80

80Siehe auch die Definitionen in Abschnitt 6.3.

75


irot : T3 → EL&J , x 7→

((h[, 3), h8,1,

14 , ∅) (x = 1)

((g[, 3), h8,1,14 , ∅) (x = 2)

((d[, 3), h8,1,14 , ∅) (x = 3)

iblau : T2 → EL&J , x 7→

{((g[, 3), h8,2,

14 , ∅) (x = 1)

((e[, 3), h8,2,14 , ∅) (x = 2)

igrun : T3 → EL&J , x 7→

((g[, 3), h8,3,

14 , ∅) (x = 1)

((d[, 3), h8,3,14 , ∅) (x = 2)

((h[, 2), h8,3,14 , ∅) (x = 3)

igelb : T3 → EL&J , x 7→

((d[, 3), h8,4,

14 , ∅) (x = 1)

((h[, 2), h8,4,14 , ∅) (x = 2)

((g[, 2), h8,4,14 , ∅) (x = 3)

Und dann ist offenbar81

iA(Irot) = (SL&J , G3,XL&J , s3, brot)iA(Iblau) = (SL&J , G2,XL&J , s2, bblau)

iA(Igrun) = (SL&J , G3,XL&J , s3, bgrun)

iA(Igelb) = (SL&J , G3,XL&J , s3, bgelb)

mit

brot : F(G3,XL&J , s3)→ EL&J , x 7→ irot(4− x)

bblau : F(G2,XL&J , s2)→ EL&J , x 7→ iblau(3− x)

bgrun : F(G3,XL&J , s3)→ EL&J , x 7→ igrun(4− x)

bgelb : F(G3,XL&J , s3)→ EL&J , x 7→ igelb(4− x)

6.4.4. Kanonische Konstruktion

Am Beispiel der vierten Dreiergruppe82 soll die Funktionsweise einer kanonischen Konstrukti-on nachvollzogen werden. Nach Tabelle 2 ist die passende Konstruktion K(SL&J , G3′ ,XL&J ,kC , iA|I3). Offenbar ist Igelb ∈ I3 und iA|I3(Igelb) = iA(Igelb). Außerdem ist

ev(SL&J , G3′ ,XL&J , kC)(Igelb) = (SL&J , G3′ , iC,gelb)

81Siehe auch Abschnitt 6.1.82In Abbildung 6.2 ist diese gelb eingerahmt.

76


Abbildung 6.3: Schaubild des schwachen Morphismuses fgelb

mit

iC,gelb : T3 → EL&J , x 7→

µ′

1(igelb(1)) = ((d[, 3), h(1)8,4,

112 , ∅) (x = 1)

µ2(igelb(3)) = ((g[, 2), h(2)8,4,

112 , ∅) (x = 2)

µ3(igelb(2)) = ((h[, 2), h(3)8,4,

112 , ∅) (x = 3)

wobei

h(1)8,4 : {0, 1, . . . , 7} → {0/2, 1/2, 0/3, 1/3, 2/3} , x 7→

1/2 (x = 0)

1/2 (x = 1)

0/3 (x = 2)

0/2 sonst

h(2)8,4 : {0, 1, . . . , 7} → {0/2, 1/2, 0/3, 1/3, 2/3} , x 7→

1/2 (x = 0)

1/2 (x = 1)

1/3 (x = 2)

0/2 sonst

h(3)8,4 : {0, 1, . . . , 7} → {0/2, 1/2, 0/3, 1/3, 2/3} , x 7→

1/2 (x = 0)

1/2 (x = 1)

2/3 (x = 2)

0/2 sonst

Damit ist das Bild von Igelb unter der Konstruktion K (SL&J , G3′ ,XL&J , kC , iA|I3) derfolgende (echte) schwache Morphismus zwischen Interpretationsformen:83

83Siehe auch Abbildung 6.3.

77


fgelb = K (SL&J , G3′ ,XL&J , kC , iA|I3) (Igelb) : (SL&J , G3′ , iC,gelb)→ Igelb,

Z(G3′) = T3 3 x 7→

1 (x = 1)

3 (x = 2)

2 (x = 3)

6.4.5. Reduktionsform

In Anlehnung an die Standarddarstellung von Reduktionsformen ist ein Ausschnitt der sichnach den Betrachtungen in diesem Abschnitt ergebenden Reduktionsform in Abbildung 6.4informell dargestellt. Die verschiedenen Schichten sind zeilenweise angeordnet, bis auf dieoberen beiden Schichten sind jeweils nur die Anfänge sichtbar. Die Glieder einer Schicht sindanhand von Rechtecken kenntlich gemacht. Innerhalb eines jeden Gliedes ist die Zeitstruk-tur durch kleine Pfeile zwischen jeweils aufeinanderfolgenden musikalischen Ereignissendargestellt. Das zu einem Trägerelement gehörende musikalische Ereignis befindet sich inNotenform direkt an der Stelle des den Träger darstellenden transparenten Kreises. Die chro-nologische Beziehung zwischen verschiedenen Gliedern wird wie in der Standarddarstellungdurch Pfeile zwischen den die Glieder auszeichnenden Rahmen gezeigt. In der vorletztenEbene ist auf die Darstellung der einzelnen Träger des zweiten Glieds verzichtet worden.Außerdem ist die Darstellung des ersten Glieds in der drittletzten Schicht nicht vollständig.Die chronologische Relation zwischen den einzelnen Schichten wird durch gebrochene Pfeilezwischen den jeweiligen Trägern der durch die Relation verbundenen Schichten repräsentiert.Das h[ in der zweitobersten Schicht hat einen Nachfolger in der drittobersten Schicht, derjedoch im gezeigten Ausschnitt nicht zu sehen ist und die gebrochenen Pfeile zwischen dennicht dargestellten Trägern in der zweit- und drittletzten Schicht sind ebenfalls weggelassenworden.

78


Abbildung 6.4: Ausschnitt der Reduktionsform zu Nr. 5**

...

...

...

...

...

...

...

......

...

...

79

Teil III.

Anhang: MathematischeGrundlagen

In diesem Anhang sind einige Definitionen des mathematischen Kanons aufgeführt, die eineverbindliche Grundlage für die in dieser Arbeit verwendeten Begriffe darstellen sollen, an-sonsten aber thematisch für die Arbeit keine besondere Relevanz aufweisen. Begriffe, die imallgemeinen einheitlich definiert werden, wie z.B. Menge, Abbildung oder Paar, werden alsbekannt vorausgesetzt sind nicht gesondert aufgeführt. Neben Begriffen werden auch in derArbeit verwendete Schreibweisen angegeben.

Die Grundlage des Kanons bilden die von mir besuchten Vorlesungen am Institut für Al-gebra, die Vorlesungen des Grundstudiums, sowie die Werke Lecture Notes on UniversalAlgebra: Many-Sorted Partial Algebras (Fragment) [5] bezüglich partieller Abbildungen undGrundlagen der Mathematik, Abstract and Concrete Categories - The Joy of Cats [1] bezüglichKategorientheorie und Formale Begriffsanalyse [9] bezüglich der formalen Begriffsanalyse.

A. Mengen, Monoide, Relationen

Definition 69. Sei T eine Menge. Dann ist die Schnittmenge einer Familie vonMengen bezüglich T wie folgt definiert:⋂

T : 22T

→ 2T : X 7→⋂

TX

wobei für X = ∅ das Bild⋂T (X) =

⋂TX = T ist und für X 6= ∅ das Bild

⋂T (X) =⋂

TX = {t ∈ T | ∀x ∈ X : t ∈ x} ist.

Definition 70. Sei f : A → B eine Mengenabbildung. Dann ist die Bildmenge von fdefiniert als

im(f) = {f(a) ∈ B | a ∈ A}

Definition 71. Ein Monoid ist ein Tripel (M, ·, 1), so dass M eine Menge ist, · : M ×M →M eine binäre Abbildung und 1 ∈M so, dass für alle x, y, z ∈M folgendes gilt:

(ass) (x · y) · z = x · (y · z)

(id) 1 · x = x = x · 1

81

A Mengen, Monoide, Relationen

Definition 72. Sei (M, ·, 1) ein Monoid und E ⊆ M eine Menge. Das Erzeugnis vonE bezüglich (M, ·, 1) ist definiert als:

〈E〉(M,·,1) = {v ∈M | ∃n ∈ N, e1, e2, . . . , en ∈ E : v = 1 · e1 · e2 · · · · · en}

Definition 73. Seien T (1) und T (2) Mengen. Dann heißt R ⊆ T (1) × T (2) zweistelligeRelation bezüglich (T (1), T (2)).

Definition 74. Sei T eine Menge. Dann heißt R ⊆ T × T binäre Relation auf T .

Definition 75. Seien R(1) und R(2) binäre Relationen auf einer Menge T . Dann ist dasRelationsprodukt von R(1) und R(2) – bezeichnet mit R(1) ∗R(2) – als die folgendebinäre Relation auf T definiert:

R(1) ∗R(2) ={

(t1, t3) ∈ T × T | ∃t2 ∈ T : (t1, t2) ∈ R(1) ∧ (t2, t3) ∈ R(2)}

Definition 76. Sei T eine Menge. Dann ist das Relationsmonoid über T definiert als

RT = (2T×T , ∗,∆T )

wobei ∗ : 2T×T × 2T×T → 2T×T dem Paar (R(1), R(2)) das Relationsprodukt R(1) ∗ R(2)

zuordnet und ∆T = {(t, t) ∈ T × T | t ∈ T} ist.

Definition 77. Sei R eine binäre Relation auf T , und t ∈ T . Dann ist die Vormengevon t definiert durch

↓R t = {s ∈ T | (s, t) ∈ R}

und die Nachmenge von t definiert durch

↑R t = {u ∈ T | (t, u) ∈ R}

Weiterhin sei definiertlR t = ↑R t ∪ ↓R t

Definition 78. Sei R eine binäre Relation auf T . R heißt Ordnungsrelation auf T ,wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

(r) ∀t ∈ T : (t, t) ∈ R

(a) ∀(x, y) ∈ R : (y, x) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒ x = y

(t) ∀((x, y), (y, z)) ∈ R×R : (x, z) ∈ RDefinition 79. Sei R eine binäre Relation auf T . R heißt Quasiordnungsrelationauf T , wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

(r) ∀t ∈ T : (t, t) ∈ R

(t) ∀((x, y), (y, z)) ∈ R×R : (x, z) ∈ R

82

Definition 80. Sei R eine binäre Relation auf T . R heißt Äquivalenzrelation auf T ,wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

(r) ∀t ∈ T : (t, t) ∈ R

(s) ∀(x, y) ∈ R : (y, x) ∈ R

(t) ∀((x, y), (y, z)) ∈ R×R : (x, z) ∈ R

Definition 81. Sei R eine Äquivalenzrelation auf T und t ∈ T . Dann ist die Äquiva-lenzklasse von t bezüglich R definiert als

[t]R = {s ∈ T | (s, t) ∈ R}

und die Menge der Äquivalenzklassen sei definiert als

eq(R) = {{z | (x, z) ∈ R} | (x, y) ∈ R} = {[t]R | t ∈ T}

Definition 82. Sei f : A → B eine Abbildung. Dann ist die Kernrelation von f wiefolgt definiert:

ker f = {(x, y) ∈ A×A | f(x) = f(y)}

B. Kategorien

Definition 83. Eine Kategorie C besteht aus einer Klasse von Objekten, bezeichnet mitOb(C); einer Klassenfamilie von Morphismenmengen C(A,B), die jedem Paar von ObjektenA,B ∈ Ob(C) eine Menge von Morphismen zuordnet; einer Klassenfamilie von AbbildungenC(A,B,C) : C(A,B) × C(B,C) → C(A,C), die jedem Tripel von Objekten A,B,C ∈Ob(C) ein Abbildung des Produkts der Morphismenmengen C(A,B) und C(B,C) in dieMorphismenmenge C(A,C) zuordnet; und einer Klassenfamilie von Morphismen C(A), diejedem Objekt A ∈ Ob(C) den sogenannten Identitätsmorphismus zuordnet; so dass für alleA,B,C,D ∈ Ob(C) folgendes gilt:

(id) C(A) ∈ C(A,A) und

∀f ∈ C(A,B) : C(A,A,B)(C(A), f) = f = C(A,B,B)(f, C(B))

(ass) ∀f ∈ C(A,B)∀g ∈ C(B,C)∀h ∈ C(C,D) :

C(A,C,D) (C(A,B,C)(f, g), h) = C(A,B,D) (f, C(B,C,D)(g, h))

Ist aus dem Kontext bekannt, dass f ∈ C(A,B) und g ∈ C(B,C) ist, dann wird fürC(A,B,C)(f, g) auch f ∗ g oder g ◦ f geschrieben.

Beispiel 84. Die Kategorie Sets ist die Kategorie, deren Objekte die Klasse aller Mengenist, und weiterhin sei für A,B,C,D ∈ Ob(Sets) definiert:

83

B Kategorien

Sets(A,B) = {f | f : A→ B}

Sets(A,B,C) : Sets(A,B)× Sets(B,C)→ Sets(A,C), (f, g) 7→ g ◦ f

Sets(A) : A→ A, x 7→ x

Beispiel 85. Die Kategorie PMSets ist die Kategorie, deren Objekte die Klasse allerMengen ist, und weiterhin sei für A,B,C,D ∈ Ob(PMSets) definiert:

PMSets(A,B) = {f | f : X → B, X ⊆ A}

PMSets(A,B,C) : PMSets(A,B)×PMSets(B,C)→ PMSets(A,C), (f, g) 7→ g◦f

PMSets(A) : A→ A, x 7→ x

wobei hier für f : Xf → B und g : Xg → C mit Xf ⊆ A und Xg ⊆ B die Abbildung g ◦ fwie folgt definiert ist:

g ◦ f : {a ∈ A | a ∈ Xf ∧ f(a) ∈ Xg} → C, x 7→ g(f(x))

Weiterhin sei der Definitionsbereich der partiellen Abbildungen für alle A,B ∈ Ob(PMSets)und alle f : X → B ∈ PMSets(A, B) bezeichnet durch def(f) = X . Für f ∈PMSets(A,B) mit def(f) = X wird auch f : X ⊆ A→ B notiert.

Definition 86. Seien C und D Kategorien. Dann heißt C Unterkategorie von D, fallsOb(C) ⊆ Ob(D) ist und weiterhin für alle A,B,C ∈ Ob(C) gilt:

C(A) = D(A)

C(A,B) ⊆ D(A,B)

∀f ∈ C(A,B), g ∈ C(B,C) : C(A,B,C)(f, g) = D(A,B,C)(f, g)

Definition 87. Sei C eine Kategorie und U ⊆ Ob(C) eine Teilklasse der Objekte von C.Dann bezeichnet C|U die von U erzeugte vollständige Unterkategorie von C,die wie folgt definiert ist: Ob(C|U) = U , und für alle A,B,C ∈ U gilt C|U(A) = C(A),C|U(A,B) = C(A,B) und C|U(A,B,C) = C(A,B,C). Gibt es für eine Kategorie U einesolche Klasse U , so dass U = C|U ist, dann heisst U vollständige Unterkategorie vonC.

Beispiel 88. Sei U die Klasse aller endlichen Mengen, dann ist die Kategorie der endlichenMengen FinSets definiert als die von U erzeugte vollständige Unterkategorie der Mengen,d.h. FinSets = Sets|U .

Definition 89. Sei C eine Kategorie, so dass für alle A,B ∈ Ob(C) gilt C(A,A) = {C(A)}und für A 6= B gilt C(A,B) = ∅. Dann heißt C diskrete Kategorie.

84

Definition 90. Sei C eine vollständige Unterkategorie von D, dann heißt C schwachesSkelett von D, falls für jedes D ∈ Ob(D) ein C ∈ Ob(C) exisitiert, so dass es zweiMorphismen f ∈ D(C,D) und g ∈ D(D,C) gibt, mit D(C,D,C)(f, g) = D(C) undD(D,C,D)(g, f) = D(D).

Definition 91. Seien C und D Kategorien. Ein Funktor F : C → D besteht aus einerdurch Ob(C) indizierten Klassenfamilie von Objekten der Kategorie D, die jedem Objekt C ∈Ob(C) ein Objekt F (C) ∈ Ob(D) zuordnet, sowie einer Klassenfamilie von AbbildungenF (A,B), die jedem Paar von Objekten A,B ∈ Ob(C) eine Abbildung F (A,B) : C(A,B)→D(F (A), F (B)) zuordnet und erfüllt zusätzlich folgende Eigenschaften für alle A,B,C ∈Ob(C) und für alle f ∈ C(A,B) sowie g ∈ C(B,C):

F (A,A)(C(A)) = D(F (A))

F (A,C)(C(A,B,C)(f, g)) = D(F (A), F (B), F (C))(F (A,B)(f), F (B,C)(g))

Ist aus dem Kontext bekannt, dass f ∈ C(A,B) ist, dann wird für F (A,B)(f) auch F (f)geschrieben.

C. Formale Begriffsanalyse

Definition 92. Ein Tripel (G,M, I) heißt formaler Kontext , falls G und M Mengensind, und I ⊆ G×M ist. Die Elemente von G heißen dann Gegenstände und die Elementevon M Merkmale.

Definition 93. Sei (G,M, I) ein formaler Kontext, dann sind folgende Operatoren defi-niert:

·g : 2G → 2M , X 7→ {m ∈M | ∀x ∈ X : (x,m) ∈ I}

·m : 2M → 2G, Y 7→ {g ∈ G | ∀y ∈ Y : (g, y) ∈ I}

Definition 94. Sei (G,M, I) ein formaler Kontext. Ein Paar (X,Y ) heißt formalerBegriff von (G,M, I), falls X ⊆ G und Y ⊆ M sowie Xg = Y und Y m = X gilt. DieMenge X heißt dann Umfang von (X,Y ) und die Menge Y Inhalt von (X,Y ).

Definition 95. Ein Verband ist ein Quadrupel (P,≤,∧,∨), so dass P eine Menge ist,≤ eine Ordnungsrelation auf P ist und ∧ : P ×P → P sowie ∨ : P ×P → P Abbildungenmit den folgenden Eigenschaften für alle p, q, r ∈ P sind84:

84Einige der Bedingungen lassen sich aus anderen Bedingungen herleiten, so dass die hier geforderen Eigenschafteneine gewisse Redundanz aufweisen.

85

C Formale Begriffsanalyse

(ass) p ∨ (q ∨ r) = (p ∨ q) ∨ rp ∧ (q ∧ r) = (p ∧ q) ∧ r

(kom) p ∧ q = q ∧ pp ∨ q = q ∨ p

(idp) p ∧ p = p = p ∨ p

(abs) p ∨ (q ∧ p) = p = (p ∨ q) ∧ p

(ord) p ≤ q ⇔ p ∧ q = p ⇔ p ∨ q = q

Definition 96. Sei (G,M, I) ein formaler Kontext. Dann ist der Begriffsverband zu(G,M, I) – bezeichnet mit B(G,M, I) – wie folgt definiert:

B(G,M, I) = (B(G,M,I),≤,∧,∨)

B(G,M,I) ={

(X,Y ) ∈ 2G × 2M | Xg = Y & Y m = X}

≤ ={(

(X(1), Y (1)), (X(2), Y (2)))∈ B(G,M,I) ×B(G,M,I) | X(1) ⊆ X(2)

}∧ : B(G,M,I) ×B(G,M,I) → B(G,M,I),(

(X(1), Y (1)), (X(2), Y (2)))7→(X(1) ∩X(2), (X(1) ∩X(2))g

)∨ : B(G,M,I) ×B(G,M,I) → B(G,M,I),(

(X(1), Y (1)), (X(2), Y (2)))7→(

(Y (1) ∩ Y (2))m, Y (1) ∩ Y (2))

86

Teil IV.

Anhang: Tabellen und Noten

Dieser Anhang beinhaltet tabellarische Ergänzungen zur Arbeit. Der vollständige Quelltextder zur Berechnung verwendeten Programme ist unter http://github.com/immo/mmtverfügbar85.

D. Isomorphieklassen von Zeitgerüsten

Die nachfolgende Tabelle enthält alle Isomorphieklassen von Zeitgerüsten, die zwischen ei-nem und fünf Träger besitzen. Isomorphieklassen, welche nach Definition 19 keine Klassenspezieller Zeitgerüste sind, wurden rot eingefärbt.

85Alternativ unter Linux: git clone https://github.com/immo/mmt.git

D Isomorphieklassen von Zeitgerüsten

88

89

E Isomorphieklassen chronologischer Abbildungen

E. Isomorphieklassen chronologischer Abbildungen

Die folgende Tabelle enthält alle nicht-trivialen86 Isomorphieklassen chronologischer Ab-bildung zwischen Zeitgerüsten mit 2, 3 und 4 Trägern. Zwei chronologische Abbildungen

ϕ : G(1)ϕ → G

(2)ϕ und ψ : G

(1)ψ → G

(2)ψ sind dabei isomorph, falls zwei bijektive chronologi-

sche Abbildungen σ : G(1)ϕ → G

(1)ψ und τ : G

(2)ϕ → G

(2)ψ existieren, so dass ϕ∗τ = σ∗ψ gilt.

Die Urbildzeitgerüste sind blau die Bildzeitgerüste rot eingefärbt, die schwarzen Pfeile zeigenden Graphen der chronologischen Abbildung. Zeitgerüste, die keine speziellen Zeitgerüstesind, wurden mit einem roten Rahmen versehen.

86Die zu den identischen Abbildungen gehörenden Isomorphieklassen wurden weggelassen.

90

91

E Isomorphieklassen chronologischer Abbildungen

92

93

F Noten und Strukturtabellen

F. Noten und Strukturtabellen

F.1. Frédéric Chopin (1810 - 1849) Opus 10 Nr. 5: Etüde Ges-Dur„Schwarze Tasten“

Die folgenden Notenblätter stammen vom Mutopia-Projekt und sind unter

http://www.mutopiaproject.org/cgibin/piece-info.cgi?id=926

gemeinfrei verfügbar.87

87siehe: [7]

94

Frédéric Chopin (1810 - 1849)„Schwarze Tasten“

Etüde Ges-Dur

Opus 10 Nr. 5

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F.1 Frédéric Chopin (1810 - 1849) Opus 10 Nr. 5: Etüde Ges-Dur „Schwarze Tasten“

95

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Typeset using www.LilyPond .org by Roland Goretzki. Reference: Mutopia-2007/02/11-926Sheet music from www.MutopiaProject .org • Free to download, with the freedom to distribute, modify and perform.


100

F.2 Vereinfachte Version der Etüde Ges-Dur „Schwarze Tasten“

F.2. Vereinfachte Version der Etüde Ges-Dur „SchwarzeTasten“

Die in Abschnitt F.1 aufgeführten Noten der Etüde Ges-Dur von Frédéric Chopin enthalteneine Vielzahl von Spielanweisungen und Gestaltungen, die in der vorläufigen Modellierungder Theorie musikalischer Ereignisse bezüglich [14] in Teil II nicht wiedergegeben sind. Die-se nicht-modellierten Aspekte der Notation wurden bei der Betrachtung des Beispiels inAbschnitt 6 großzügig ignoriert, so dass genau genommen gar nicht die Nr. 5 des Opus10 betrachtet wurde, sondern das folgende Stück Nr. 5*, welches eine durch Chopin nicht-authorisierte Vereinfachung darstellt.

101

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107


F.3. Rhythmische Schemata der vereinfachten Version

In der nachstehenden Tabelle sind sämtliche vorkommenden rhythmischen Schemata desStückes aus Abschnitt F.2 dargestellt. Das Symbol **** markiert immer den Anfang einesneuen Schemas, danach folgt die Anzahl der Halbtakte, die diesem Schema entsprechensowie eine Auflistung derer nach dem Gleichheitszeichen. Danach folgt eine tabellarischeDarstellung des rhythmischen Schemas, wobei in der ersten Zeile der Einsatzzeitpunkt relativzum Anfang des Halbtaktes und in der zweiten Zeile die Länge der jeweiligen musikalischenEreignisse angegeben ist. Die Angabe der Einsatzzeiten und Dauern erfolgt dabei wie folgtcodiert:

0 Taktanfang2/3 · 32 32-tel triolisch 2/3 · 4 + 32 Viertel triolisch plus 32-tel triolisch2/3 · 16 16-tel triolisch 2/3 · 4 + 16 Viertel triolisch plus 16-tel triolisch2/3 · 16 + 32 anderthalb 16-tel triolisch 4 Viertel2/3 · 8 Achtel triolisch 4 + 2/3 · 16 Viertel plus 16-tel triolisch8 Achtel 2/3 · 2 + 16 Halbe triolisch plus 16-tel triolisch2/3 · 4 Viertel triolisch 2 Halbe

108

**** 1 = [(47, 2)] 0 0 0 ∙16 ∙8 8 8 ∙4 ∙4+16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ∙16 8 4 ∙16 ∙16 ∙16 8 ∙16 ∙16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔

**** 1 = [(48, 1)] 0 0 0 ∙16 ∙8 8 ∙4 ∙4+16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ∙16 4 2 ∙16 ∙16 ∙16 ∙16 ∙16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔

**** 1 = [(65, 1)] 0 0 ∙16+32 ∙8 8 ∙4 ∙4+16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ∙16 2 ∙32 ∙16 ∙16 ∙16 ∙16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔

**** 1 = [(66, 1)] 0 0 4 2

**** 1 = [(66, 2)] 0 0 ∙4+32⅔ ∙4+32 4 ∙16+32⅔ ⅔

**** 1 = [(67, 1)] 0 0 8 8 2 8

**** 1 = [(69, 1)] 0 ∙16 ∙8 8 ∙4 ∙4+16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ 8 ∙16 ∙16 ∙16 ∙16 ∙16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔

**** 1 = [(72, 2)] 0 0 8 8 4+ ∙16 8⅔

**** 1 = [(79, 1)] 0 8 ∙4 ∙4+16⅔ ⅔ 8 ∙16 ∙16 ∙16⅔ ⅔ ⅔

**** 1 = [(83, 1)] 0 ∙8 8 ∙4 ∙4+16⅔ ⅔ ⅔ ∙16 ∙16 ∙16 ∙16 ∙16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔

**** 1 = [(84, 1)] 0 8

**** 1 = [(84, 2)] 0 4

F.3 Rhythmische Schemata der vereinfachten Version

109

**** 1 = [(85, 1)] 0 2

**** 1 = [(85, 2)]

**** 3 = [(4, 1), (12, 1), (52, 1)] 0 0 ∙16 ∙8 8 8 ∙4 ∙4+16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ∙16 ∙2+16 ∙16 ∙16 ∙16 8 ∙16 ∙16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔

**** 3 = [(18, 2), (22, 2), (68, 2)] 0 0 ∙16 ∙8 8 8⅔ ⅔ ∙16 8 ∙16 ∙16 8 ∙4⅔ ⅔ ⅔ ⅔

**** 3 = [(19, 1), (23, 1), (73, 1)] 0 ∙16 ∙8 8 8 ∙4 ∙4+16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ 8 ∙16 ∙16 ∙16 8 ∙16 ∙16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔

**** 3 = [(68, 1), (71, 1), (72, 1)] 0 0 0 ∙16 ∙8 8 8 ∙4 ∙4+16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ∙16 8 2 ∙16 ∙16 ∙16 8 ∙16 ∙16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔

**** 4 = [(34, 2), (38, 2), (42, 2), (44, 2)] 0 0 ∙16 ∙8 8 ∙4 ∙4+32 ∙4+16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ∙16 ∙4+32 ∙16 ∙16 ∙16 ∙16 ∙16+32 ∙16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔

**** 6 = [(7, 1), (15, 1), (27, 1), (28, 1), (61, 1), (62, 1)] 0 0 ∙16 ∙8 8 8 ∙4 ∙4+16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ∙16 8 ∙16 ∙16 ∙16 4 ∙16 ∙16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔

**** 6 = [(33, 1), (35, 1), (37, 1), (39, 1), (41, 2), (43, 2)] 0 0 ∙16 ∙8 8 ∙4 ∙4+16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ∙16 2 ∙16 ∙16 ∙16 ∙16 ∙16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔

**** 7 = [(46, 1), (63, 1), (63, 2), (64, 1), (75, 1), (76, 1), (77, 1)] 0 0 ∙16 ∙8 8 ∙4 ∙4+16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ∙16 4 ∙16 ∙16 ∙16 ∙16 ∙16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔

**** 12 = [(7, 2), (15, 2), (23, 2), (24, 2), (27, 2), (28, 2), (32, 2), (61, 2), (62, 2), (75, 2), (76, 2), (77, 2)]

0 ∙16 ∙8 8 8 ∙4 ∙4+16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ∙16 ∙16 ∙16 ∙16 8 ∙16 ∙16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔

**** 17 = [(1, 2), (2, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (9, 2), (10, 2), (12, 2), (13, 2), (14, 2), (41, 1), (43, 1), (49, 2), (50, 2), (52, 2), (53, 2), (54, 2)] 0 0 ∙16 ∙8 8 ∙4 ∙4+16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ∙16 8 ∙16 ∙16 ∙16 ∙16 ∙16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔


110

**** 24 = [(8, 2), (16, 2), (33, 2), (34, 1), (35, 2), (36, 1), (36, 2), (37, 2), (38, 1), (39, 2), (40, 1), (40, 2), (42, 1), (44, 1), (64, 2), (65, 2), (79, 2), (80, 1), (80, 2), (81, 1), (81, 2), (82, 1), (82, 2), (83, 2)] 0 ∙16 ∙8 8 ∙4 ∙4+16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ∙16 ∙16 ∙16 ∙16 ∙16 ∙16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔

**** 68 = [(1, 1), (2, 1), (3, 1), (3, 2), (5, 1), (6, 1), (8, 1), (9, 1), (10, 1), (11, 1), (11, 2), (13, 1), (14, 1), (16, 1), (17, 1), (17, 2), (18, 1), (19, 2), (20, 1), (20, 2), (21, 1), (21, 2), (22, 1), (24, 1), (25, 1), (25, 2), (26, 1), (26, 2), (29, 1), (29, 2), (30, 1), (30, 2), (31, 1), (31, 2), (32, 1), (45, 1), (45, 2), (46, 2), (47, 1), (48, 2), (49, 1), (50, 1), (51, 1), (51, 2), (53, 1), (54, 1), (55, 1), (55, 2), (56, 1), (56, 2), (57, 1), (57, 2), (58, 1), (58, 2), (59, 1), (59, 2), (60, 1), (60, 2), (67, 2), (69, 2), (70, 1), (70, 2), (71, 2), (73, 2), (74, 1), (74, 2), (78, 1), (78, 2)] 0 0 ∙16 ∙8 8 8 ∙4 ∙4+16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ∙16 8 ∙16 ∙16 ∙16 8 ∙16 ∙16⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔ ⅔

F.3 Rhythmische Schemata der vereinfachten Version

111


F.4. Melodiedreiergruppen der vereinfachten Version

Im folgenden sind die Melodiedreiergruppen des in Abschnitt F.2 angegebenen vereinfachtenStückes dargestellt. Hierbei wurden unregelmäßige vorgezogene Anfänge von Dreiergruppendurch eine entsprechende Pause und dem regelmäßigen Anfang der Dreiergruppe ersetzt.88

Die rhythmisch variierte Dreiergruppe am Anfang von Takt 65 wurde durch eine Dreier-gruppe mit Sechzehntel-Triolen-Rhythmus ersetzt. Weiter wurden alle keiner Dreiergruppezugehörigen Noten durch Pausen ersetzt, außer in den letzten beiden Takten, wo stattdessender Schlussakkord bestehend aus drei Oktavvarianten von g[ gesetzt wurde.

88So beginnt z.B. die erste Note der ersten Dreiergruppe in Takt 23 bereits auf der letzten Achtel von Takt 22, diesewurde durch eine reguläre Sechzehntel-Triole in Takt 23 und eine Achtelpause in Takt 22 ersetzt.

112

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F.4 Melodiedreiergruppen der vereinfachten Version

113

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828

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F.4 Melodiedreiergruppen der vereinfachten Version

115


F.5. Achtelakkordschema der Melodiedreiergruppen derVersion 5**

Im folgenden sind die Achtelnoten-Akkorde dargestellt, aus denen mit Hilfe der in Abschnitt6.2 beschriebenen Konstruktionen die Melodiedreiergruppen aus Abschnitt F.4 hervorgehen,sowie der Schlussakkord.

116

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&&& &&&&& &&&&&&& &&&

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F.5 Achtelakkordschema der Melodiedreiergruppen der Version 5**

117

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80

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118

F.6 Taktakkordschema der Version 5**

F.6. Taktakkordschema der Version 5**

øø8

øøøøøø

� �� 42 ø øøøøøøø

øøøøø

øøøøøø8 øøøøø

øøøøøøø

øøøøøøøøøø8 ø

øø øøøø øøøøøøøøø

8 øøø10

� �� øøøøøøøøøøø

øø8

øøøøøø

øøøøøø øøø

øøøøøøøø

øøøøøø

øøøøøø

øøøøøøø20

� ��øøø øøø

øøøø øøøøøø øøø

ø 8

øøøøøø8

øøøø øøøø

øøøø

øøøø

øøøøø øøøøøøøø

31

� �� øøø ø øøøø

øøøøøø øøøø

øø8

øøøøøø

øøøøøø øøøø

øøøøøøøøøø

ø


ø 842

� �� øøøø øøøøøøø

øøøøøø øøø

ø øøøøøøøø

øø øøøøøø øøøø

øøøøøø8

øøøøø

øøøøøøø ø8

53

� �� øøø øø øøø

øøøøøøø øøøøøøø8

øøøøøø

øøøøø

øøøøøøø øøøøø


øøøø øøø8

øøøøø ø64

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øøøøøø øøøøø

ø øøøøøøøøøøøø

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75 �� ø� øø øø

øøø�ø øøøøøøøøø8

ø øøøøøøøøøøø ø�

øø øøøøøøøøøøøøøøøøøøø

119


F.7. Grundtonharmonieschema der Version 5**

Eine Notengruppe entspricht hier den Grundtönen der Taktakkorde jeweils vier aufeinander-folgender Takte.

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ïï13

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ïïïïïïï

ïïïï

37 ïïïïïï ïïïïïï

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61

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120

F.8 Obere Reduktionsebenen

F.8. Obere Reduktionsebenen

Die dominanten Tonhöhen auf der Acht-Takte-Ebene sind die folgenden:

¹¹¹¹¹¹� ��

��17 ��

��41

��

�65 ��

Die dominanten Tonhöhen auf der Sechzehn-Takte-Ebene sind die folgenden:

¹¹¹¹¹¹� ��

17

��

49

��

121


Die dominanten Tonhöhen auf der Zweiundreißig-Takte-Ebene sind die folgenden:

� ��

Und auf Stückebene ergibt sich dann der Ges-Dur-Akkord:

¹¹¹¹¹¹� ��

122

Verzeichnisse

Symbolverzeichnis

B(S,G,X , k) Menge der gebundenen Trägersymbole von (S,G,X , k)

BS,X Menge der S-gebundenen Symbolformen bezüglich X

B(T, T, χ) Übergangsverband des Zeitgerüsts (T, χ)

C(A) Identitätsmorphismus des Objekts A der Kategorie C

C(A,B) Morphismenmenge zwischen den Objekten A und B der Kategorie C

χ Chronologie, χ ⊆ T × T

χ|TG Einschränkung von χ auf TG

Def(S,G,X , k) Menge der im kombinierten Definitionsbereich von (S,G,X , k) enthalte-nen S-gebundenen Symbolformen bzgl. X

def(S,G,X , k) kombinierter Definitionsbereich von (S,G,X , k)

〈E〉RT Erzeugnis von E bezüglich des Relationsmonoids über T

E Menge von Ereignistransformationen

→E ... ist E-transformierte Interpretationsform von ...

→E ... ist E-transformierte Interpretationsform von ...

E ... ist E-transformierte Reduktionsform von ...

E ... ist E-transformierte Reduktionsform von ...

Egrp((R(j))1≤j≤n

)Menge aller Ereignisgruppierungen einer Reduktionsform

eq(R) Menge der Äquivalenzklassen von R

F(G,X , s) freie Trägersymbole von (G,X , s)

FS Menge aller schwachen Morphismen zwischen Interpretationsformen bezüglich S

f schwacher Morphismus zwischen Interpretationsformen

(G,X , s) Symbolform bezüglich X

Γ Gliederungsrelation

γ Gliederung

IS Menge aller Interpretationsformen bezüglich der Theorie S

IS,γ Menge der untergliederten Interpretationsformen bezüglich S

i Instanziator

im(f) Bildmenge von f

KS,X Menge der Konstruktionsformen bezüglich S und X

K(S,G(k),X , k, i) kanonische Konstruktion zu (S,G(k),X , k, i)

K benotete Konstruktionsdatenbank K : κ→ N

K Konstruktion K : IK ⊆ IS → FS

κ endliche Menge von Konstruktionen

ker f Kernrelation von f

M Kategorie der Theorien musikalischer Ereignisse

M System von Theorien musikalischer Ereignisse, M : M→ PMSets

(N,4, B) Benotungsmaßstab

(P,Q) Übergang bezüglich (T, χ)

ϕ chronologische Abbildung, ϕ : (T (1), χ(1))→ (T (2), χ(2))

(Φ,Ψ) chronologische Relation zwischen untergliederten Zeitgerüsten

(Φ,P, I(1), I(2)) Relation zwischen untergliederten Interpretationsformen

ψ chronologische Abbildung, ψ : (T (2), χ(2))→ (T (3), χ(3))

(R(j))1≤j≤n relative Reduktionsform

124

(r(j))1≤j≤n schwache Reduktionsform

RS Menge aller relativen Reduktionsformen bezüglich S

RT Relationsmonoid über T

↓R t Vormenge von t bezüglich R

↑R t Nachmenge von t bezüglich R

RelS,γ Menge der relationen zwischen untergliederten Zeitgerüsten bezüglich S

(%(j))1≤j≤n strikte Reduktionsform

SX Menge der Symbolformen bezüglich X

(S,G(k),X , k, i) kanonische Konstruktionsform

(S,G, i) Interpretationsform

(S,G, i, γ) untergliederte Interpretationsform

(S,G,X , k) Konstruktionsform bezüglich S und X

(S,G,X , s, b) S-gebundene Symbolform

Sets Kategorie der Mengen

FinSets Kategorie der endlichen Mengen

PMSets Kategorie der partiellen Abbildungen auf Mengen

[t]R Äquivalenzklasse von t bezüglich R

[·]T(1)

TG 7→tG : T (1) → T (1)/TGtG Gliedprojektion⋂T Schnittmenge bezüglich T

T endliche Menge von Trägern

(T, χ) Zeitgerüst

(T, χ, γ) untergliedertes Zeitgerüst

(T, χ)|TG Einschränkung von (T, χ) auf TG

(T, T, χ) formaler Zeitkontext des Zeitgerüsts (T, χ)

125

τ partielle Gliederung

ϑ verträgliche Auswahl von Gliedern

[ϑ] Projektion der verträglichen Auswahl ϑ

X Menge von Trägersymbolen

ξ Expertisefunktion

Z(ΦS) Menge aller strikten Morphismen zwischen Interpretationsformen bezüglich S

Z(ϕ) strikter Morphismus zwischen Interpretationsformen

Z schwaches Skelett der Kategorie der Zeitgerüste

Z Vergißfunktor, der Zeitgerüste auf ihre Trägermengen abbildet; Z : Z → FinSets

126

Index

Abbildungchronologische, 7

Auswahlverträgliche – von Gliedern, 13

Projektion der –, 13

Benotungsmaßstab, 41Benotungen, 41

gute –, 41Beschriftung, 22Bildmenge, 81

EreignistransformationE-transformierte Interpretationsform,

44E-transformierte Reduktionsform, 44– bezüglich S, 43E-unabhängige Expertisefunktion, 45transformierte Interpretationsform, 44transformierte Reduktionsform, 44

Expertisefunktion, 41bezüglich – besser, 43E-unabhängige –, 45

formaler Kontext, 85Begriffsverband, 86formaler Begriff, 85

Inhalt, 85Umfang, 85

Funktor, 85

Interpretation, 23Interpretationsform, 22

Instanz einer Symbolform, 26Menge der – bezüglich S, 22Morphismus zwischen –en, 23

schwacher –, 23strikter –, 23

untergliederte –, 38Relation zwischen –en, 38

Kategorie, 83diskrete –, 84schwaches Skelett, 85Unterkategorie, 84

Konstruktion– bezüglich S, 24–sdatenbank, 60

benotete –, 60–sform

kombinierter Definitionsbereich, 25Menge der gebundenen Trägersym-

bole, 24–sform bezüglich S und X , 24

Auswertungsfunktion, 25kanonische –, 26

kanonische –, 26

Monoid, 81Erzeugnis von E, 82

Reduktion, 43–sform

besser bezüglich ξ, 43Ereignisgruppierungen, 53

Expertisefunktion, 41relative –sform, 38

graphische Standarddarstellung, 40Menge aller –n bezüglich S, 39Schichten, 38

schwache –sform, 36strikte –sform, 33

Relation–smonoid, 82–sprodukt, 82Äquivalenzrelation, 83

Äquivalenzklasse, 83Menge der Äquivalenzklassen, 83

binäre –, 82Nachmenge von t, 82Vormenge von t, 82

127

Index

chronologische – zwischen unterglie-derten Zeitgerüsten, 18

totale –, 19Kernrelation, 83Ordnungsrelation, 82Quasiordnungsrelation, 82zweistellige –, 82

Relationsproduktchronologisches – zwischen unterglie-

derten Zeitgerüsten, 19

Schnittmenge bezüglich T , 81Symbolform

– bezüglich X , 25injektive –, 25

Instanz von –, 26Instanziator bezüglich S und X , 26Menge der freien Trägersymbole, 25S-gebundene – bezüglich X , 25

Instanziierung, 26

Theorien musikalischer EreignisseSystem von –, 22

Verband, 85vollständige Unterkategorie, 84

Zeitgerüst, 4Übergang, 17

–sverband, 17Chronologie des –s, 4formaler Zeitkontext, 17Glied, 10

–projektion, 11Einschränkung, 10verträgliche Auswahl von –ern, 13

Gliederung, 10partielle –, 13

Gliederungsrelation, 10Kategorie der –e, 9spezielles, 14untergliedertes –, 18

chronologische Relation zwischen–n, 18

chronologisches Relationsprodukt zwi-schen –n, 19

128

Abbildungsverzeichnis

2.1. Auszug aus Tadd Damerons „Squirrel”, abgedruckt in „The Colorado Cook-book (C)”, Seite 93; versehen mit einer Auszeichnung verschiedener musika-lischer Ereignisse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2. Darstellung der Ereignisintervalle aus Abbildung 2.1 auf der Zeitachse. . . . . 62.3. Darstellung der Chronologie der musikalischen Ereignisse aus Abbildung 2.1

als gerichteter Graph. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4. Erlaubte und nicht-erlaubte Vergröberungen von Zeitgerüsten. . . . . . . . . . 72.5. Zeitgerüst »2+2« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.6. Zeitgerüst (TF , χF ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1. Anwendung einer Fakturregel, Quelle: [12], Seite 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2. Reduktion der ersten Phrase des Bachchorals „O Haupt voll Blut und Wun-

den.”, Quelle: [14], Abb. 5.8, Seite 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3. Die ersten vier Takte des Intros zu „House of the Rising Sun” (frei nach »The

Animals«) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4. Interpretation (S1, G

(1)1 , i

(1)1 ) aus Beispiel 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.5. Dominante Ereignisse aus 3.3 auf der 3/8-Ebene und der Taktebene . . . . . . 35

3.6. Interpretationen (S1, G(2)1 , i

(2)1 ) und (S1, G

(3)1 , i

(3)1 ) aus Beispiel 48 . . . . . 36

3.7. Alternative Reduktion von 3.3 auf Taktebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.8. Graphische Darstellung der relativen Reduktionsform (R

(j)1 )1≤j≤2 . . . . . . 40

3.9. Graphische Standarddarstellung der relativen Reduktionsform (R(j)1 )1≤j≤2 . . 42

3.10. Graphische Standarddarstellung einer alternativen relativen Reduktionsformnach Abbildung 3.3 bzw. 3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.11. Übersicht über die Gestalt der Musiktheorie nach Lerdahl und Jackendoff,Quelle: [14], Abbildung 1.1, Seite 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.1. Ausschnitt aus dem Zeitgerüst von Nr. 5** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.2. Instanzen der ersten vier Achtelakkorde von Nr. 5** . . . . . . . . . . . . . . . 756.3. Schaubild des schwachen Morphismuses fgelb . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.4. Ausschnitt der Reduktionsform zu Nr. 5** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Literatur

Literatur

[1] Adámek, Jirí ; Herrlich, Horst ; Strecker, Georg E.: Abstract and Concrete Catego-ries - The Joy of Cats. John Wiley and Sons, Inc, 1990. – PDF verfügbar unter:http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/

[2] Adorno, Theodor W.: Über einige Relationen zwischen Musik und Malerei. In: Anmer-kungen zur Zeit. Akademie der Künste, 1967

[3] In: Bense, Elisabeth (Hrsg.) ; Eisenberg, Peter (Hrsg.) ; Haberland, Hartmut (Hrsg.): Be-schreibungsmethoden des amerikanischen Strukturalismus. München: Hueber, 1976, S.211–260

[4] Bogart, Kenneth P.: An obvious proof of Fishburn’s interval order theorem. In: DiscreteMathematics 118 (1993), S. 239–242

[5] Burmeister, Peter: Lecture Notes on Universal Algebra: Many-Sorted Partial Algebras(Fragment). Summer 2002. –http://www.mathematik.tu-darmstadt.de:8080/Math-Net/Lehrveranstaltungen/Lehrmaterial/SS2002/AllgemeineAlgebra/download/LNPartAlg.pdf

Prof. Dr. rer.nat. Peter BurmeisterTel.: (x49-6151) 16-4686 (Sekretariat), Fax 16-3317E-mail: [email protected]: Arbeitsgruppe 1, Fachbereich Mathematik, Technische Universität Darmstadt,Schloßgartenstraße 7, D-64289 Darmstadt

[6] Bußmann, Hadumod: Lexikon der Sprachwissenschaft. 2., völlig neu bearbeitete Auflage.Stuttgart: Kröner, 1990

[7] Chopin, Frédéric: Opus 10 Nr. 5: Etüde Ges-Dur. February 2007. – Ur-Quelle: Peters,Herrmann Scholtz, 1900bURL: http://www.mutopiaproject.org/cgibin/piece-info.cgi?id=926LilyPond-Quelltext: Roland Goretzki

[8] Fishburn, Peter C.: Intransitive Indifference with Unequal Indifference Intervals. In: Journalof Mathematical Psychology 7 (1970), S. 144–149

[9] Ganter, Bernhard ; Wille, Rudolf: Formale Begriffsanalyse. Springer, 1996. – ISBN 3-540-60868-0

[10] Harris, Zellig S.: Discourse analysis. In: Language 28 (1952), S. 1–30

[11] Kania, Andrew: The Philosophy of Music. In: Zalta, Edward N. (Hrsg.): The StanfordEncyclopedia of Philosophy. Fall 2010. 2010

[12] Kinzler, Hartmuth: Frédéric Chopin - Über den Zusammenhang von Satztechnik undKlavierspiel. Musikverlag Emil Katzbichler, München - Salzburg, 1977. – Erschienen in:Freiburger Schriften zur Musikwissenschaft 9

[13] Le Poidevin, Robin: The Experience and Perception of Time. In: Zalta, Edward N. (Hrsg.):The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Winter 2009. 2009

131

Literatur

[14] Lerdahl, Fred ; Jackendoff, Ray: A Generative Theory of Tonal Music. The MIT Press,Cambridge, Massachusetts, 1983

[15] Mazzola, Guerino ; Göller, Stefan ; Müller, Stefan: The topos of music: geometric logic ofconcepts, theory, and performance. Basel; Boston : Birkhauser Verlag, 2002. – – S.

[16] Pöppel, Ernst: Time Perception. In: al., Richard H. (Hrsg.): Handbook of Sensory Physio-logy, Vol. VIII: Perception. Berlin: Springer-Verlag, 1978

[17] Winkler, Jan T.: Algebraische Modellierung von Tonsystemen, Musiktheorie mit mathe-matischen Mitteln. Mühltal : Verl. Allgemeine Wissenschaft, 2009

132

ERKLÄRUNG

Hiermit erkläre ich, dass ich die am heutigen Tag eingereichteDiplomarbeit zum Thema „Zur mathematischen Modellierungvon Musikstrukturen“ unter Betreuung von Prof. Dr. Stefan E.Schmidt selbstständig erarbeitet, verfasst und Zitate kenntlichgemacht habe. Andere als die angegebenen Hilfsmittel wurdenvon mir nicht benutzt.

Datum Unterschrift

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Technische Universität Dresden Fachrichtung Mathematik · T.W. Adorno beginnt den Aufsatz „Über einige Relationen zwischen Musik und ... Hier wie dort sagt Zeitkunst soviel wie