Tema 05. Series Numéricas [v0.5]

Universidad de Costa RicaEscuela de MatematicaProf. Miguel Walker Urena

Dpto. Matematica AplicadaMA-1002: Calculo 2

Ciclo 2-2014

Tema 5. Series Numericas[ version 0.5, compilado el 8/8/2014]

Contenidos

1 Introduccion a las series numericas 2

2 Criterios de convergencia 62.1 Series Geometricas y propiedades de las series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Series Telescopicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Condicion necesaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Criterio de la integral y error de una suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5 p-series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6 Comparacion directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.7 Criterio del lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.7.1 Aplicando Desarrollos Generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.8 Convergencia absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.9 Series Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.10 Criterios de la Razon y de la Raız . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.10.1 La formula de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.11 Criterio de Raabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Referencias 46

Tema 5. Series Numericas 2

1 Introduccion a las series numericas

Definicion 1.1 (Serie Numerica). Sea (an)n∈IN una sucesion real, entonces la Serie Numerica determino general “an” corresponde al lımite

S = limm→∞

m∑n=0

an

lo cual se suele denotar como

S =

+∞∑n=0

an

Tambien es una serie numerica+∞∑n=k

an = limm→∞

m∑n=k

an

Ademas, la suma parcial de la serie numerica S es la sucesion de sumatorias

Sm =

m∑n=0

an

que corresponde a la suma de los terminos an hasta el ındice n = m.En tal caso el resto o “cola” de la serie numerica S es

Rm = S − Sm =+∞∑

n=m+1

an

que corresponde a la diferencia entre el lımite S y la suma parcial Sm.

Ejemplo 1.1. La serie

S =

+∞∑n=0

2n

5n+1

es la serie de termino general an =2n

5n+1.

Definicion 1.2 (Convergencia de la serie). La serie numerica

S =

+∞∑n=k

an

es llamada serie numerica convergente si existe y es finito el lımite

limm→+∞

Sm = limm→+∞

m∑n=k

an

En tal caso el valor numerico del lımite anterior es llamado valor de convergencia o “suma de la serie”.Si el lımite es infinito o no existe, se dice entonces que la serie numerica S es divergente.En otras palabras, la serie numerica S es convergente si y solo si la sucesion Sm es convergente.


Ejemplo 1.2. Considere la serie numerica

S =

+∞∑n=1

n = 1 + 2 + 3 + 4 + . . .

Note quem∑n=1

n = 1 + 2 + 3 + · · ·+m =m(m+ 1)

2

entonces

S = limm→+∞

m(m+ 1)

2= +∞

Por lo tanto la serie numerica S es divergente.


S =

+∞∑n=0

(−1)n

en tal casoS0 = 1

S1 = 1− 1 = 0

S2 = 1− 1 + 1 = 1

S3 = 1− 1 + 1− 1 = 0

...

o sea que

Sm =

{1 si m es par

0 si m es impar

como la sucesion Sm es divergente, entonces S es una serie numerica divergente.

Ejemplo 1.4. Resuelva los siguientes ejercicios:

(a) Demuestre por induccion que

Sm =m∑n=1

1

2n= 1− 1

2m

(b) Determine la convergencia de la serie

S =

+∞∑n=1

1

2n

Solucion:

(a) Por induccion sobre m = 1, 2, . . .

m = 11∑

n=1

1

2n=

1

21=

1

2∧

[1− 1

2m

]m=1

= 1− 1

2=

1

2

(X)


m→ m+ 1

La hipotesis de induccion y lo que hay que demostrar son de manera correspondiente:h.i : Sm =

m∑n=1

1

2n= 1− 1

2m

h.q.d : Sm+1 =

m+1∑n=1

1

2n= 1− 1

2m+1

Tenemos que

Sm+1 =m+1∑n=1

1

2n=

m∑n=1

1

2n+

1

2m+1

h.i= 1− 1

2m+

1

2m+1

luego

Sm+1 = 1− 1

2m·(

1− 1

2

)= 1− 1

2m· 1

2= 1− 1

2m+1

(X)

Se concluye por induccion matematica, que para todo natural m ≥ 1

m∑n=1

1

2n= 1− 1

2m

(b) Note que

S = limm→+∞

m∑n=1

1

2n= lim

m→+∞

[1− 1

2m

]= 1− 0 = 1

existe y es finito, por lo tanto la serie numerica S es convergente.

Ademas el valor de convergencia de la serie S es 1.�

Ejemplo 1.5 (Una serie numerica para e). Recordemos que la funcion ex tiene formula de Taylor

ex = 1 + x+x2

2!+ · · ·+ xm

m!+

eθxm+1

(m+ 1)!, θ ∈ V (0, x)

Tomando x = 1 y cambiando de lado el resto de la formula obtenemos

1 + 1 +1

2+

1

3!+ · · ·+ 1

m!= e− eθ

(m+ 1)!, θ ∈ V (0, 1) = [0, 1]

En otras palabras, tenemos que

Sm =m∑n=0

1

n!= e− eθ

(m+ 1)!, θ ∈ [0, 1]

es la suma parcial de la serie numerica

S =

+∞∑n=0

1

n!


Luego

S = e− limm→+∞

eθ

(m+ 1)!, θ ∈ [0, 1]

Como θ ∈ [0, 1] =⇒ 0 ≤ limm→+∞

eθ

(m+ 1)!≤ lim

m→+∞

e

(m+ 1)!= 0, entonces

S = e− 0 = e

Ası tenemos una serie numerica convergente de lımite e:

+∞∑n=0

1

n!= e

Ejemplo 1.6 (Una serie numerica para π). Recordemos que la funcion arctan(x) tiene formula de Taylor

arctan(x) = x− x3

3+x5

5− · · ·+ (−1)m x2m+1

2m+ 1+

(−1)m+1 x2m+3

(2m+ 3)(1 + θ)m+2, θ ∈ V (0, x2)

Tomando x = 1 obtenemos la formula

1− 1

3+

1

5− · · ·+ (−1)m

2m+ 1= arctan(1)− (−1)m+1

(2m+ 3)(1 + θ)m+2, θ ∈ [0, 1]

O lo que es lo mismo

m∑n=0

(−1)n

2n+ 1=π

4− (−1)m+1

(2m+ 3)(1 + θ)m+2, θ ∈ [0, 1]

Entonces+∞∑n=0

(−1)n

2n+ 1=π

4− limm→+∞

(−1)m+1

(2m+ 3)(1 + θ)m+2, θ ∈ [0, 1]

Como θ ∈ [0, 1] =⇒ 1

1 + θ≤ 1 =⇒ ∀m ∈ IN,

1

(1 + θ)m+2≤ 1

Luego

0 ≤∣∣∣∣ (−1)m+1

(2m+ 3)(1 + θ)m+2

∣∣∣∣ =1

(2m+ 3)(1 + θ)m+2≤ 1

2m+ 3−−−−−→m→+∞

0

Por lo tanto+∞∑n=0

(−1)n

2n+ 1=π

4− 0 =

π

4

Al final tenemos la siguiente serie numerica convergente a π

+∞∑n=0

(−1)n4

2n+ 1= π


2 Criterios de convergencia

2.1 Series Geometricas y propiedades de las series

Criterio 2.1 (Series Geometricas). Si r ∈ IR es una constante, entonces la serie numerica

S = 1 + r + r2 + r3 + · · ·+ rn + . . .

es llamada Serie Geometrica.Luego S es convergente si y solo si |r| < 1, o sea que S es divergente si y solo si |r| ≥ 1.Si |r| < 1, entonces

S =1

1− r

Nota 2.1. Para todo r ∈ IR \ {0, 1} se cumple que

m∑n=0

rn =1− rm+1

1− r

por lo tanto, para todo r 6= 0, 1

S =+∞∑n=0

rn = limm→+∞

1− rm+1

1− r=

1− 0

1− r, si |r| < 1

1−∞1− r

, si r > 1

@ , si r ≤ −1

Entonces

+∞∑n=0

rn =

1

1− r, si |r| < 1

+∞ , si r ≥ 1

@ , si r ≤ −1

Ademas r = 0 =⇒ 1 + r + r2 + · · ·+ rm + · · · = 1 =1

1 + 0.

Lo cual verifica el criterio 2.1


S =+∞∑n=0

2n

5n

es una serie geometrica convergente, pues

S =+∞∑n=0

(2

5

)n∧ 2

5< 1

luego

S =1

1− 2/5=

5

3



S =+∞∑n=0

23n

5n

es una serie geometrica divergente, pues

S =+∞∑n=0

(23

5

)n=

+∞∑n=0

(8

5

)n∧ 8

5> 1

Teorema 2.1. Considere una sucesion real (an)n∈IN, en tal caso para toda constante k ∈ IN se cumpleque

+∞∑n=0

an es convergente ⇐⇒+∞∑n=k

an es convergente

o lo que es lo mismo+∞∑n=0

an es divergente ⇐⇒+∞∑n=k

an es divergente

Nota 2.2. El teorema anterior es justificado por la igualdad

m∑n=0

an =k−1∑n=0

an +m∑n=k

an

pues al aplicar lımites se obtiene

+∞∑n=0

an =

k−1∑n=0

an +

+∞∑n=k

an

Teorema 2.2 (Cambio de ındice). Para todo k, ` ∈ IN y dada una sucesion (an)n∈IN se cumple que

+∞∑n=k

an =+∞∑

n=k−`an+`

o lo que es lo mismo+∞∑n=k

an =+∞∑

n=k+`

an−`

Nota 2.3. Para todo r 6= 0, 1 y dado k > 0, se cumple que

m∑n=k

rn =m−k∑n=0

rn+k = rk ·m−k∑n=0

rn = rk · 1− rm−k+1

1− r=rk − rm+1

1− r

luego si |r| < 1, se cumple que+∞∑n=k

rn =rk

1− r


Ejemplo 2.3. La serie numerica

S =+∞∑n=3

7n

52n

es serie geometrica convergente pues

S =+∞∑n=3

(7

25

)n∧ 7

25< 1

luego

S =

(7

25

)3

· 1

1− 7/25=

73

253· 25

18=

73

18 · 252=

343

11250

Nota 2.4 (Serie Geometrica Alternada). Si r > 0 entonces la serie numerica

S =+∞∑n=k

(−1)n rn

es llamada Serie Geometrica Alternada, en tal caso es convergente si y solo si r < 1 y divergentesi y solo si r ≥ 1.

Cuando |r| < 1 se cumplen las igualdades

+∞∑n=0

(−1)n rn =1

1 + r∧

+∞∑n=k

(−1)nrn =(−1)k rk

1 + r

Ejemplo 2.4. La serie numerica

S =+∞∑n=1

(−1)n · 2n

9n

es una serie geometrica alternada convergente pues 2/9 < 1, cumpliendose que

S =

+∞∑n=1

(−1)n ·(

2

9

)n= −2

9· 1

1 + 2/9= −2

9· 9

11= − 2

11

Teorema 2.3. Sean (an)n∈IN y (bn)n∈IN sucesiones reales y sea α ∈ IR.Si se cumple que

+∞∑n=0

an es convergente ∨+∞∑n=0

bn es convergente

entonces tenemos la igualdad

+∞∑n=0

[α · an + bn ] = α

+∞∑n=0

an +

+∞∑n=0

bn

Nota 2.5. Sean (an)n∈IN y (bn)n∈IN sucesiones reales y sea α ∈ IR.


(a)+∞∑n=0

an es convergente ∧+∞∑n=0

bn es convergente =⇒+∞∑n=0

[αan + bn] es convergente

En tal caso+∞∑n=0

[αan + bn] = α

+∞∑n=0

an +

+∞∑n=0

bn

(b)+∞∑n=0

an es convergente ∧+∞∑n=0

bn es divergente =⇒+∞∑n=0

[αan + bn] es divergente

Ejemplo 2.5. Analice la convergencia de la serie

S =

+∞∑n=2

3 · 4n − 1

3n+2

Calcule la suma en caso de ser convergente.

Solucion: Note que

S =

+∞∑n=2

3 · 4n − 1

32 · 3n

=+∞∑n=2

[4n

3 · 3n− 1

9 · 3n

]

=1

3·+∞∑n=2

(4

3

)n− 1

9·+∞∑n=2

1

3n

que es la suma de una serie geometrica divergente y de una serie convergente, pues 4/3 > 1 y 1/3 < 1,Luego S es una serie numerica divergente. �


S =+∞∑n=3

2n−2 + (−1)n+1 + 6

5n+1

Calcule la suma en caso de ser convergente.

Solucion:Tenemos que

S =1

5·+∞∑n=3

[2n−2

5n+

(−1)n+1

5n+

6

5n

]

=1

5·

[1

22·+∞∑n=3

(2

5

)n−

+∞∑n=3

(−1)n

5n+ 6 ·

+∞∑n=3

1

5n

]


es suma de series geometricas convergentes, pues 2/5 < 1 ∧ 1/5 < 1, luego

S =1

5·

[1

22·(

2

5

)3

· 1

1− 2/5− (−1)3

53· 1

1 + 1/5+ 6 · 1

53· 1

1− 1/5

]

=1

5·[

2

53· 5

3+

1

53· 5

6+ 6 · 1

53· 5

4

]=

1

53·[

2

3+

1

6+

3

2

]=

7

3 · 53�

Ejemplo 2.7. Halle una representacion fraccionaria del numero periodico

4.175 = 4.175175175 . . .

Solucion: Tenemos que

4.175 = 4 + 0.175 + 0.000 175 + 0.000 000 175 + . . .

= 4 +175

1000+

175

10002+

175

10003+ . . .

= 4 + 175 ·+∞∑n=1

1

1000n

= 4 + 175 · 1

1000· 1

1− 1/1000

= 4 +175

999

=4171

999�


2.2 Series Telescopicas

Criterio 2.2 (Series Telescopicas). Si (bn)n=k, k+1, k+2, ... es una sucesion real, entonces la serie numerica

S =+∞∑n=k

[bn − bn+1

]es llamada Serie Telescopica.Luego S es convergente si y solo si existe y es finito el lımite

limm→∞

bm

Ademas se cumple que+∞∑n=k

[bn − bn+1

]= bk − lim

m→+∞bm

Nota 2.6. Si (bn)n=k, k+1, k+2, ... es una sucesion real, entonces para todo m ∈ IN se cumple que

m−1∑n=k

[bn − bn+1

]=[bk − bk+1

]+[bk+1 − bk+2

]+[bk+2 − bk+3

]+[bk+3 − bk+4

]+ . . .

· · ·+[bm−3 − bm−2

]+[bm−2 − bm−1

]+[bm−1 − bm

]= bk +

[− bk+1 + bk+1

]+[− bk+2 + bk+2

]+[− bk+3 + bk+3

]+ . . .

· · ·+[− bm−2 + bm−2

]+[− bm−1 + bm−1

]− bm

= bk + 0 + 0 + · · ·+ 0− bm= bk − bm

Note entonces que

m−1∑n=k

[bn − bn+1

]= bk − bm ∧

m−1∑n=k

[bn+1 − bn

]= bm − bk

Se concluye de lo anterior que, si b∞ = limm→+∞

bm entonces

+∞∑n=k

[bn − bn+1

]= bk − b∞ ∧

+∞∑n=k

[bn+1 − bn

]= b∞ − bk

Ejemplo 2.8. Determine la convergencia de la serie numerica

S =

+∞∑n=4

[1

n+ 3− 1

n+ 4

]En caso de ser convergente calcule la suma.

Solucion:Note que si

bn =1

n+ 3=⇒ bn+1 =

1

n+ 4


por lo tanto S es una serie telescopica convergente pues

S =

+∞∑n=4

[bn − bn+1

]= b4 − b∞ =

1

n+ 3

∣∣∣∣n=4

− limm→+∞

1

m+ 3=

1

7− 0 =

1

7

�


S =

+∞∑n=5

ln

[2n+ 5

2n+ 3

]En caso de ser convergente calcule la suma.

Solucion:Por propiedades de los logaritmos, tenemos que

S =

+∞∑n=5

[ln(2n+ 5)− ln(2n+ 3)

]Note que si

bn = ln(2n+ 3) =⇒ bn+1 = ln[2(n+ 1) + 3] = ln(2n+ 5)

por lo tanto S es una serie telescopica convergente pues

S =+∞∑n=4

[bn+1 − bn

]= b∞ − b5

= limm→+∞

ln(2m+ 3)− ln(2n+ 3)∣∣∣n=5

= +∞− ln(13)

= +∞

Entonces la serie es divergente. �


2.3 Condicion necesaria

Criterio 2.3 (Criterio de la Condicion Necesaria). Sea (an)n∈IN una sucesion real, entonces:

+∞∑n=0

an es Convergente =⇒ an es Convergente ∧ limn→+∞

an = 0

O lo que es lo mismo:

an es Divergente ∨ limn→+∞

an 6= 0 =⇒+∞∑n=0

an es Divergente

Nota 2.7. El criterio de la condicion necesaria es un criterio de divergencia nada mas, es decir que nodetermina si una serie numerica es convergente.

Note entonces que si (an)n∈IN una sucesion real convergente, entonces

limn→+∞

an = 0 =⇒ No hay criterio para determinar la convergencia de

+∞∑n=0

an.

Nota 2.8 (Sobre la condicion de Cauchy). Dada (an)n∈IN una sucesion real, sean

S =

+∞∑n=0

an ∧ Sm =

m∑n=0

an

Tenemos que

S es convergente ⇐⇒ Sm es una sucesion convergente

⇐⇒ ∀p ∈ IN, limm→+∞

[Sm+p − Sm

]= 0 ( Cond. Cauchy )

⇐⇒ ∀p ∈ IN, limm→+∞

[am+1 + am+2 + · · ·+ am+p

]= 0

Como consecuencia se tiene que

S es convergente =⇒ limm→+∞

am+1 = limm→+∞

[Sm+1 − Sm

]= 0

=⇒ limn→+∞

an = 0

lo cual corresponde a la condicion necesaria.


S =

+∞∑n=2

n sen (4/n)

Solucion:El coeficiente general de la serie numerica S corresponde a

an = n sen (4/n)


entonceslim

n→+∞an = lim

n→+∞n sen (4/n)

= limx→0+

sen(4x)

x, siendo x = 1/n

= 4 · limx→0+

sen(4x)

4x

= 4 · 1= 4 6= 0

Se concluye entonces que S es divergente, pues no satisface la condicion necesaria. �


S =+∞∑n=0

ln

[n+ 2

n+ 3

]Solucion:

El coeficiente general de la serie numerica S corresponde a

an = ln

[n+ 2

n+ 3

]=⇒ lim

n→+∞an = lim

n→+∞ln

[n+ 2

n+ 3

]= ln

[lim

n→+∞

n+ 2

n+ 3

]= ln[1]

= 0

Luego el criterio de la condicion necesaria NO concluye nada! ( NO hay criterio ).Por otro lado note que S es una serie telescopica de manera tal que

S =

+∞∑n=0

[ln(n+ 2)− ln(n+ 3)

]= ln(0 + 2)− lim

m→+∞ln(m+ 2)

= −∞

En este caso tenemos que S es una serie numerica que SI satisface la condicion necesaria pero

S es divergente

�


2.4 Criterio de la integral y error de una suma

Criterio 2.4 (Criterio de la Integral). Dado k ∈ IN, sea (an)n=k, k+1, k+2, ... una sucesion numerica realpositiva y decreciente y sea f : [k, +∞[→

[0,+∞

[una funcion continua y decreciente tal que ∀n ∈

{k, k + 1, k + 2, . . . }

S =+∞∑n=k

an ∧ f(n) = an

Entonces S es convergente si y solo si la integral

I =

∫ +∞

kf(x) dx

es una integral impropia de primera especie convergente.Se puede escribir que

+∞∑n=k

an ∼∫ +∞

kf(x) dx

para expresar que la serie S y la integral I tienen la misma naturaleza ( ambas convergen o ambasdivergen ).

Ademas tenemos que, para todo natural ` ≥ k

+∞∑n= `+1

an ≤∫ +∞

`f(x) dx ≤

+∞∑n= `

an

Luego se cumple que

0 ≤ Rm = S − Sm =

+∞∑n=m+1

an ≤∫ +∞

mf(x) dx

Ejemplo 2.12. Estudie la convergencia de la serie numerica

S =

+∞∑n=3

1

n[

ln5(2n)− 1]

Solucion: Tenemos que

f(x) =1

x[

ln5(2x)− 1] =⇒ ∀n ∈ IN, f(n) = an es el termino general de S


Claramente f(x) es continua en [3,+∞[, pues x ≥ 3 > 0 y ln5(2x)− 1 = 0 ⇐⇒ x = e/2 < 3.Luego

I =

∫ +∞

3

dx

x[

ln5(2x)− 1]

=

∫ +∞

ln(6)

2du

u5 − 1, donde u = ln(2x) ⇐⇒ du =

dx

2x

∼∫ +∞

ln(6)

du

u5que es una p-integral convergente, pues p = 5 > 1

Se concluye que la integral I es convergente, entonces la serie numerica S es convergente por el criteriode la integral. �

Definicion 2.1 (Error de la suma). Considere una serie numerica

S =+∞∑n=k

an

y sea

Rm = S − Sm =+∞∑

n=m+1

an

el resto de la serie numerica, entonces el error cometido al calcular Sm corresponde al valor

ε = |Rm|

y expresa “cuanto dista” la suma parcial Sm del valor numerico de la serie numerica S cuando esta esconvergente.

Nota 2.9. Si (an)n=k, k+1, k+2, ... una sucesion numerica real positiva y decreciente y sea f : [k, +∞[→ IRuna funcion positiva, continua y decreciente tal que ∀n ∈ {k, k + 1, k + 2, . . . }

S =+∞∑n=k

an ∧ f(n) = an

Si S es convergente entonces el error ε cometido al calcular la suma parcial Sm cumple que

ε = |Rm| ≤∫ +∞

mf(x) dx

O sea que la integral nos proporciona una cota para el error.Tambien se cumple que

Sm +

∫ +∞

m+1f(x) dx ≤ S ≤ Sm +

∫ +∞

mf(x) dx

Teorema 2.4. Considere una serie numerica y su suma parcial respectivamente

S =+∞∑n=k

an ∧ Sm =m∑n=k

an, m ≥ k

y sea Rm = S − Sm el resto de la serie numerica S, entonces

S es Convergente ⇐⇒ limm→+∞

Rm = 0


Nota 2.10. Dada la serie numerica y su respectiva suma parcial

S =

+∞∑n=k

an ∧ Sm =

m∑n=k

an, m ≥ k

si Rm = S − Sm es el resto de la serie numerica S, entonces

limm→+∞

Rm = limm→+∞

[S − Sm

]= S − lim

m→+∞Sm = S − S = 0


S =+∞∑n=3

1

n4

Resolver los siguientes problemas

(a) Verifique que S es una serie numerica convergente.

(b) Halle una cota del error cometido al calcular S8.

(c) Aproxime el valor numerico de S, sumando los dos primeros terminos de la serie numerica y acoteel error cometido.

(d) ¿Cuantos terminos de la serie hay que sumar para que el error ε sea menor que 1/100 000?

Solucion:

(a) Es claro que 1/x4 es una funcion continua, positiva y decreciente en [3,+∞[.

Luego S es una serie numerica convergente por el criterio de la integral, pues

S ∼∫ +∞

3

dx

x4, que es una p-integral convergente (p = 4 > 1)

(b) El error cometido al calcular S8 corresponde a

ε8 = |R8| ≤∫ +∞

8

dx

x4

=−1

3x3

∣∣∣∣+∞8

= −0 +1

3 · 83

=1

1536≈ 0.000651

(c) La suma de los primeros dos terminos de S corresponde a

a3 + a4 = S4 =1

34+

1

44=

256 + 81

81 · 256=

337

20736≈ 0.016251929012346


El error cometido corresponde a

ε4 = |R4| ≤∫ +∞

4

dx

x4

=−1

3x3

∣∣∣∣+∞4

= −0 +1

3 · 43

=1

192= 0.0052083

(d) Para que el error ε sea menor que 1/100 000 = 1/105, es suficiente que

ε = |Rm| ≤∫ +∞

m

dx

x4

=−1

3x3

∣∣∣∣+∞m

= −0 +1

3 ·m3

<1

105

entonces

3m3 > 105 ⇐⇒ m >3

√105

3≈ 32.18 ( Con ayuda de la calculadora )

Se concluye que S33 aproxima a S con un error menor que 1/105.

Como el ındice n de la serie comienza en n = 3, entonces es necesario sumar al menos 33− 2 = 31terminos de la serie.

Otra manera de estimar un valor para m es haciendo

3

√105

3= 102

3

√1

30< 100

3

√1

27=

100

3<

102

3= 34

entonces podemos tomar

m = 34 >

√105

3

de lo cual se sigue que con 34− 2 = 32 terminos el error es menor que 1/105.�


2.5 p-series

Criterio 2.5 (p-series). Una serie numerica de la forma

S =+∞∑n=k

1

(n− n0)p

es llamada p-serie siempre que n0 < k.En tal caso

S Convergente ⇐⇒ p > 1

Note queS Divergente ⇐⇒ p ≤ 1


S =

+∞∑n=1

1

n2

es una p-serie convergente, porque p = 2 > 1.

Nota 2.11.+∞∑n=1

1

n2=π2

6


S =

+∞∑n=1

1

n

es una p-serie divergente, porque p = 1.

Nota 2.12 (Serie armonica). La p-serie divergente

S =+∞∑n=1

1

n

es llamada tambien serie armonica.Note que por el criterio integral

+∞∑n=1

1

n∼∫ +∞

1

dx

x= ln(x)

∣∣∣∣+∞1

= +∞

Ejemplo 2.16. Notando que 4 < 6, tenemos que la serie

S =+∞∑n=6

13√

(n− 4)5=

+∞∑n=6

1

(n− 4)5/3

es una p-serie Convergente, porque p = 5/3 > 1.


Ejemplo 2.17. Notando que 4 < 6, tenemos que la serie

S =

+∞∑n=6

14√

(n− 4)3=

+∞∑n=6

1

(n− 4)3/4

es una p-serie Divergente, porque p = 3/4 < 1.

Ejemplo 2.18. Muestre que la siguiente serie es convergente,

S =

+∞∑n=6

2n+1 + n2 − 6n+ 9

2n(n− 3)2

y calcule su valor de convergencia con ayuda de la nota 2.11.

Solucion:Por el criterio de la integral, y luego tomando en cuenta que ∀α, 2x � nα ∧ x− 3 ∼ x

S ∼∫ +∞

6

2x+1 + x2 − 6x+ 9

2x(x− 3)2dx ∼

∫ +∞

6

2x

2x · x2dx

=

∫ +∞

6

dx

x2que es p-integral convergente

entonces S es Convergente por el criterio de la integral.Para el calculo tenemos que

S =+∞∑n=6

2n+1 + n2 − 6n+ 9

2n(n− 3)2

=+∞∑n=6

2n+1 + (n− 3)2

2n (n− 3)2

=

+∞∑n=6

[2n+1

2n (n− 3)2+

(n− 3)2

2n (n− 3)2

]

=

+∞∑n=6

[2

(n− 3)2+

1

2n

]


entonces S es suma de una p-serie convergente y de una serie geometrica convergente:

S = 2

+∞∑n=6

1

(n− 3)2+

+∞∑n=6

1

2n

= 2+∞∑n=3

1

n2+

(1

2

)6

· 1

1− 1/2por cambio de ındice y suma geometrica

= 2 ·

[+∞∑n=1

1

n2−

2∑n=1

1

n2

]+

1

26· 2

= 2 ·[π2

6− 1− 1

4

]+

1

25por la nota 2.11

=π2

3− 5

2+

1

32

=π2

3− 79

32

�

Nota 2.13. A continuacion las sumas de algunas p-series convergentes

+∞∑n=1

1

n4=π4

90

+∞∑n=1

1

n6=

π6

945

Ejemplo 2.19.+∞∑n=1

1

(2n)4=

1

24·+∞∑n=1

1

n4=

1

16· π

4

90=

π4

1440

Ejemplo 2.20. Analice la convergencia de la serie numerica

S =

+∞∑n=0

1

(2n+ 1)2

Solucion: Note que

S =+∞∑n=1

1

22 · (n− 1/2)2=

1

4·+∞∑n=1

1

(n− 1/2)2

es una p-serie convergente pues p = 2 > 1. �

Nota 2.14. A continuacion las sumas de algunas p-series convergentes

+∞∑n=0

1

(2n+ 1)2=π2

8

+∞∑n=0

1

(2n+ 1)4=π4

96

+∞∑n=0

1

(2n+ 1)6=

π6

960


Nota 2.15. Con ayuda del software wxMaxima podemos obtener la suma de una serie numerica.Por ejemplo, despues de cargar el paquete “simplify_sum” haciendo

[(%i1) load(simplify_sum);[(%o1) ”/usr/share/maxima/5.24.0/share/contrib/solve rec/simplify sum.mac”

El siguiente codigo calcula la suma de serie

+∞∑n=1

1

(2n+ 1)6:

[(%i2) sum( 1/(2*n+1)^6, n,0,inf );

simplify_sum(%);(%o2)

∞∑n=0

1

(2n+ 1)6

(%o3)π6

960


2.6 Comparacion directa

Criterio 2.6 (Criterio de Comparacion Directa). Sean (an)n∈IN y (bn)n∈IN sucesiones reales positivas,entonces

(a) an ≤ bn ∧+∞∑n=0

bn es Convergente =⇒+∞∑n=0

an es Convergente

(b) an ≥ bn ∧+∞∑n=0

bn es Divergente =⇒+∞∑n=0

an es Divergente

En cualquier otro caso no hay criterio.

Teorema 2.5. Sean (an)n=k, k+1, ... y (bn)n=k, k+1, ... sucesiones reales, entonces

∀n ≥ 0, an ≤ bn =⇒+∞∑n=k

an ≤+∞∑n=k

bn

Nota 2.16. En el criterio 2.6 de comparacion directa tambien se puede escribir

(a)+∞∑n=k

an ≤+∞∑n=k

bn ∧+∞∑n=k

bn es Convergente =⇒+∞∑n=k

an Convergente

(b)+∞∑n=k

an ≥+∞∑n=k

bn ∧+∞∑n=k

bn es Divergente =⇒+∞∑n=k

an es Divergente

Siempre que an, bn ≥ 0, ∀n ≥ k ∈ IN.En cualquier otro caso no hay criterio.

Nota 2.17. Recordemos algunas desigualdades:

1. a ≤ b ⇐⇒ a+ x ≤ b+ x

2. ∀x > 0, a ≤ b =⇒ ax ≤ bx

3. ∀x > 0, a+ x > a ∧ a− x < a

4. a ≤ b ⇐⇒ 1

a≥ 1

b, siempre que a, b 6= 0

5. ∀x > 0 ∧ a > 0,1

a+ x<

1

a

6. ∀x > 0 ∧ a > x,1

a− x>

1

a

7. f(x)↗ ∧ a ≤ b =⇒ f(a) ≤ f(b)

8. f(x)↘ ∧ a ≤ b =⇒ f(a) ≥ f(b)

9. ∀u ∈ IR, ln(u) < u ⇐⇒ 1

ln(u)>

1

u



S =+∞∑n=1

1

n2 + 6n+ 8

En caso de ser convergente calcule la suma.

Solucion:Note que

n2 + 6n+ 8 > n2 =⇒ 1

n2 + 6n+ 8<

1

n2

luego se tiene que

S =+∞∑n=1

1

n2 + 6n+ 8≤

+∞∑n=1

1

n2, que es una p-serie convergente ( p = 2 > 1 )

entonces S es una serie numerica convergente por el criterio de comparacion directa.Para calcular note que

1

n2 + 6n+ 8=

1

(n+ 2)(n+ 4)

=1

2· n+ 4− (n+ 2)

(n+ 2)(n+ 4)

=1

2·[

1

n+ 2− 1

n+ 4

]entonces

S =1

2

+∞∑n=1

[1

n+ 2− 1

n+ 4

]

=1

2

+∞∑n=1

[1

n+ 2− 1

n+ 3+

1

n+ 3− 1

n+ 4

]

=1

2

+∞∑n=1

[1

n+ 2− 1

n+ 3

]+

1

2

+∞∑n=1

[1

n+ 3− 1

n+ 4

]

que es una suma de series telescopicas convergentes, al final

S =1

2

[1

1 + 2− 1

+∞

]+

1

2

[1

1 + 3− 1

+∞

]=

1

6+

1

8

=7

24�


S =

+∞∑n=5

13√n2 − 2


Solucion:

S =

+∞∑n=5

13√n2 − 2

≥+∞∑n=5

13√n2

que es p-serie divergente ( p = 2/3 < 1 ).

Entonces S es divergente por comparacion directa. �


S =+∞∑n=5

arctan(5 + n)4√n6 + 2

√n

Solucion:Como arctan(5 + n) ≤ π/2 ∧ 4

√n6 + 2

√n >

4√n6

S =+∞∑n=5

arctan(5 + n)4√n6 + 2

√n≤ π

2·+∞∑n=5

14√n6

que es p-serie convergente ( p = 6/4 > 1 )

Entonces S es convergente por comparacion directa. �


S =+∞∑n=2

n+ 4√n ln(n)

Solucion:Recordemos que ln(n) < n siempre, entonces

S =

+∞∑n=2

n+ 4√n ln(n)

≥+∞∑n=2

n+ 4√n · n

≥+∞∑n=2

n√n · n

=

+∞∑n=2

1√n

+∞∑n=2

1√n

es una p-serie divergente ( p = 1/2 < 1 ), entonces S es divergente por comparacion directa.

�

Notas 2.18. Recordemos que, dadas dos sucesiones an, bn, n ∈ IN

1. Se dice que an y bn son equivalentes si y solo si

limx→+∞

anbn

= 1

se denota an ∼= bn

2. Si existe y es finito el lımite

limn→+∞

anbn

= α 6= 0

se escribe an ∼ bnlo cual se puede leer como que “an y bn son similares”.


3. Se dice que an es “mas rapido” que bn o que bn es “mas lento” que an si y solo si

limn→+∞

anbn

= +∞ ⇐⇒ limn→+∞

bnan

= 0

se denota an � bn ⇐⇒ bn � an

4. ∀p > 0, ln(n)� np

5. Si p1 < p2, entonces np1 � np2

6. Para todo p ∈ IR y para todo r > 1 se cumple que np � rn � n!� nn

7. an � bn ⇐⇒1

an� 1

bn

Nota 2.19. Dados (an)n=k, k+1, ... y (bn)n=k, k+1, ... sucesiones reales

(a) Si ∀n ≥ k, an � bn entonces existe α > 0 tal que

an ≤ α · bn =⇒+∞∑n=k

an ≤ α ·+∞∑n=k

bn

(b) Si ∀n ≥ k, an � bn entonces existe α > 0 tal que

an ≥ α · bn =⇒+∞∑n=k

an ≥ α ·+∞∑n=k

bn

(c) Si ∀n ≥ k, an ∼ bn entonces existen α, β > 0 tal que

α · bn ≤ an ≤ β · bn =⇒ α ·+∞∑n=k

bn ≤+∞∑n=k

an ≤ β ·+∞∑n=k

bn


S =+∞∑n=3

n+ 4

n5 − 3

Solucion:Como n+ 4 > n ∧ n5 − 3 < n5 entonces

S =+∞∑n=3

n+ 4

n5 − 3≥

+∞∑n=3

n

n5=

+∞∑n=3

1

n4

Como

+∞∑n=3

1

n4es una p-serie convergente NO hay criterio para una comparacion directa.

Por otro lado note quen+ 4

n5 − 3∼=

1

n4=⇒ ∃ α, n+ 4

n5 − 3< α · 1

n4


En este caso puede ser α = 3, podemos demostrar que

n+ 4

n5 − 3<

3

n4

Al final

S =

+∞∑n=3

n+ 4

n5 − 3≤ 3 ·

+∞∑n=3

1

n4

Como

+∞∑n=3

1

n4es una p-serie convergente entonces S es convergente por el Criterio de Comparacion

Directa. �


2.7 Criterio del lımite

Criterio 2.7 (Criterio del Lımite). Sean (an)n=k, k+1, ... y (bn)n=k, k+1, ... sucesiones reales positivas, talesque

L = limn→+∞

anbn

(a) ∃L 6= 0 y es finito =⇒+∞∑n=k

an ∧+∞∑n=k

bn tienen el mismo comportamiento

( Ambas convergen o ambas divergen )

se denota+∞∑n=k

an ∼+∞∑n=k

bn

(b) L = 0 ∧+∞∑n=k


bn es Convergente

(c) L = +∞ ∧+∞∑n=k


an es Divergente

En cualquier otro caso no hay criterio.

Nota 2.20. Otra manera de escribir el criterio 2.7 del lımite es la siguiente

(a) an ∼ bn =⇒+∞∑n=k

an ∼+∞∑n=k

bn

(b) an � bn ∧+∞∑n=k


bn es Convergente

(c) an � bn ∧+∞∑n=k


an es Divergente


S =+∞∑n=3

n+ 4

n5 − 3

Solucion:Tomemos las sucesiones

an =n+ 4

n5 − 3∧ bn =

1

n4

entonces

limn→+∞

anbn

= limn→+∞

n+ 4

n5 − 3· n4 = lim

n→+∞

n5 + 4n4

n5 − 3= 1 6= 0

Entonces por el criterio del lımite

S ∼+∞∑n=3

1

n4que es una p-serie convergente, pues p = 4 > 1.

Se concluye que S es convergente. �


Nota 2.21. Si cuando n→ +∞

an � bn =⇒ α · an + β · bn ∼ bn

siempre que β 6= 0, pues

α · an + β · bnbn

= α · anbn

+ β −−−−−→n→+∞

0 + β = β 6= 0

Nota 2.22. Sean (an)n=k, k+1, ... sucesion real tal que

an =P (n) · h(n)

Q(n)

donde P,Q son expresiones radicales con grados

Grado[P (n)] = p1 ∧ Grado[Q(n)] = p2

mientras que h(n) es una expresion no radical ( log, sen, arctan, . . . ).Se sugiere tomar

bn =np1

np2=

1

np2−p1

Al analizar el lımite se obtiene

L = limn→+∞

anbn

= limn→+∞

P (n) · h(n)

Q(n)· 1

bn= α · lim

n→+∞h(n)

donde

α = limn→+∞

P (n)/Q(n)

bn6= 0, pues

P (n)

Q(n)∼ bn

Nota 2.23. Recuerde que

p1 < p2 =⇒ np1 � np2 cuando n→ +∞


S =+∞∑n=2

√2n3 − 1 + n+ 2

5n4 − 3n

Solucion:Note que

an =

√2n3 − 1 + n+ 2

5n4 − 3n∼√n3

n4=

1

n4−3/2=

1

n5/2

Entonces

bn =1

n5/2=⇒ lim

n→+∞

anbn

=

√2

56= 0

Por el criterio del lımite

S ∼+∞∑n=2

1

n5/2que es p-serie convergente, pues p = 5/2 > 1.

Luego S es una serie numerica convergente. �



S =+∞∑n=0

√4n+ 3

n+ 3√n2 − 1

Solucion:Note que

an =

√4n+ 3

n+ 3√n2 − 1

∼ n1/2

n=

1

n1/2

Entonces

bn =1

n1/2=⇒ lim

n→+∞

anbn

=√

4 = 2 6= 0


S =+∞∑n=0

√4n+ 3

n+ 3√n2 − 1

∼+∞∑n=1

√4n+ 3

n+ 3√n2 − 1

∼+∞∑n=1

1

n1/2que es p-serie divergente, pues p = 1/2 < 1.

Luego S es una serie numerica divergente. �

Nota 2.24. Para todo p ∈ IR

1 ≤ α < β =⇒ np � αn � βn cuando n→ +∞

Ejemplo 2.29. En caso de ser convergente, calcule el valor numerico de la serie numerica

S =+∞∑n=2

3n+1 + n2 + n− 2

3n (n2 + n− 2)

Solucion:Note que

an =3n+1 + n2 + n− 2

3n (n2 + n− 2)∼ 3n

3n · n2=

1

n2

Entonces

bn =1

n2=⇒ lim

n→+∞

anbn

= limn→+∞

3n+1 n2 + n4 + n3 − 2n2

3n (n2 + n− 2)= 3 6= 0


S ∼+∞∑n=2

1

n2que es p-serie convergente, pues p = 2 > 1.

Luego S es una serie numerica convergente.Notemos ahora que

3n+1 + n2 + n− 2

3n (n2 + n− 2)=

3n+1

3n (n2 + n− 2)+

n2 + n− 2

3n (n2 + n− 2)

=3

(n− 1)(n+ 2)+

1

3n


Note que

S1 =+∞∑n=2

3

(n− 1)(n+ 2)∼

+∞∑n=2

1

n2∧ S2 =

+∞∑n=2

1

3n=

1

9· 1

1− 1/3=

1

6

son series convergentes por criterio del lımite y geometrica respectivamente, entonces S = S1 + S2.Tenemos que S1 es combinacion de sumas telescopicas convergentes

S1 =+∞∑n=2

[1

n− 1− 1

n+ 2

]

=+∞∑n=2

[1

n− 1− 1

n+

1

n− 1

n+ 1+

1

n+ 1− 1

n+ 2

]

=+∞∑n=2

[1

n− 1− 1

n

]+

+∞∑n=2

[1

n− 1

n+ 1

]+

+∞∑n=2

[1

n+ 1− 1

n+ 2

]=

[1

2− 1− 1

+∞

]+

[1

2− 1

+∞

]+

[1

2 + 1− 1

+∞

]= 1 +

1

2+

1

3

=11

6

Finalmente

S =11

6+

1

6= 2

�


S =+∞∑n=0

arctan(3n)

n2 − 5

Solucion:Sean

an =arctan(3n)

n2 − 5∧ bn =

1

n2

Entonces

limn→+∞

anbn

= limn→+∞

n2 arctan(3n)

n2 − 5= 1 · arctan(+∞) =

π

26= 0


S ∼+∞∑n=1

arctan(3n)

n2 − 5∼

+∞∑n=1

1

n2que es p-serie convergente, pues p = 2 > 1.

Entonces S es convergente. �


S =+∞∑n=0

n+ 3√n4 + 2n − 1

6n3 +√

5n+ 7n· ln[n+ 1

n+ 3

]


Solucion:Note que

an =n+ 3√n4 + 2n − 1

6n3 +√

5n+ 7n∼=

3√

2n√7n

=

(3√

2√7

)n=

(6

√4

73

)nEntonces

bn =

(6

√4

73

)n=⇒ lim

n→+∞

anbn

= 1 · limn→+∞

ln

[n+ 1

n+ 3

]= 1 · 0 = 0

Como 6

√473< 1, entonces la serie

+∞∑n=0

(6

√4

73

)nes una serie geometrica convergente.

Luego S es convergente por el criterio del lımite. �


S =

+∞∑n=0

√n · ln(2 + n)

n+ 5

Solucion:Note que

an =

√n

n+ 5∼=√n

n=

1

n1/2

Entonces

bn =1

n1/2=⇒ lim

n→+∞

anbn

= limn→+∞

ln(2 + n) = +∞

Como p = 1/2 < 1 entonces+∞∑n=1

1

n1/2es p-serie divergente.

Luego

S ∼+∞∑n=1

√n · ln(2 + n)

n+ 5es serie divergente por el Criterio del Limite.

Ası S es una serie numerica divergente. �


S =

+∞∑n=2

ln(2 + n)

n2

Solucion:Si tomamos

an =ln(2 + n)

n2∧ bn =

1

n2=⇒ lim

n→+∞

anbn

= limn→+∞

ln(2 + n) = +∞


Como p = 2 > 1 entonces

+∞∑n=2

1

n2es p-serie convergente =⇒ El Criterio del Lımite NO se puede aplicar!

Por otro lado, tenemos que por el criterio integral

S =+∞∑n=2

ln(2 + n)

n2∼∫ +∞

2

ln(2 + x)

x2dx = I

Si hacemos u = ln(2 + x) =⇒ x = eu − 2 ∧ dx = eu du, entonces

I =

∫ +∞

ln(4)

u eu du

(eu − 2)2

Note queu eu

(eu − 2)2∼=

u eu

(eu)2=

u

eu=⇒ I ∼

∫ +∞

ln(4)

u

eudu

Note que ∀a > 1, u� au, en particular u < 2u para todo u ≥ ln(4).Tenemos ası que ∫ +∞

ln(4)

u du

eu≤∫ +∞

ln(4)

2u du

eu=

∫ +∞

ln(4)

(2

e

)udu

que es una integral impropia exponencial convergente, pues 2e < 1.

Entonces

∫ +∞

ln(4)

u

eudu converge por el criterio de comparacion directa para integrales impropias.

Finalmente I es convergente =⇒ S es serie convergente. �


S =+∞∑n=0

√n

n+ 5· ln[n+ 3

n+ 1

]Solucion:

Note que

an =

√n

n+ 5∼=√n

n=

1

n1/2

Entonces

bn =1

n1/2=⇒ lim

n→+∞

anbn

= limn→+∞

ln

[n+ 3

n+ 1

]= ln(1) = 0

Como 1/2 < 1 entonces

+∞∑n=0

1

n1/2es p-serie divergente =⇒ El Criterio del Lımite NO se puede aplicar!

“ Ver la solucion final en el Ejemplo 2.36. ”

�


2.7.1 Aplicando Desarrollos Generalizados

Notas 2.25 (Sobre Desarrollos Generalizados).

1. Recordemos que

f(x) = O[g(x)] cuando x→ a ⇐⇒ limx→a

f(x)

g(x)= 0

Por defecto a = 0, ademas de que a puede cambiarse por a+, a−,+∞ o −∞.

2. En el caso de sucesiones vamos a decir que

an = O(bn) ⇐⇒ limn→+∞

anbn

= 0

3. Si f(x) = P (x) +O(xα) para algun α ∈ IR+ es un desarrollo generalizado, entonces para la sucesionan = f(1/n), n ∈ IN satisface

an = f(1/n) = P (1/n) + O(1/nα)

En general, si ρ(n) converge a 0 cuando n → +∞ y si |ρ(n)| decreciente para n suficientementegrande, entonces

f [ρ(n)] = P [ρ(n)] + O[ρ(n)α]

Ejemplo 2.35. Considere la sucesion

an = arctan

[3n+ 4

3n+ 1− 1

]Note que

an = arctan

[3n+ 4− 3n− 1

3n+ 1

]= arctan

[3

3n+ 1

]Recordemos el desarrollo limitado

arctan(x) = x− x3

3+ O(x5)

Como x =3

3n+ 1↘ 0 cuando n→ +∞ entonces

an =3

3n+ 1− 1

3

[3

3n+ 1

]3+ O

[33

(3n+ 1)3

]=

3

3n+ 1− 9

(3n+ 1)3+ O

[1

(3n+ 1)3

]Nota 2.26.

1. Recuerde que an ∼ bn ⇐⇒ Existe limn→+∞

anbn6= 0 y es finito.

2. Recuerde tambien que por el criterio del lımite

an, bn > 0 ∧ an ∼ bn =⇒+∞∑n=0

an ∼+∞∑n=0

bn


3. Si an = bn + O(bn) =⇒ an ∼= bn =⇒ an ∼ bn.

4. Si an > 0 y an = bn + O(bn), entonces

+∞∑n=0

an ∼+∞∑n=0

bn

Como consecuencia del criterio del lımite.

5. Si an ∼ bn =⇒ un · an ∼ un · bn.

6. Si an ∼ bn y siG(x) es una aplicacion monotona y definida en el rango de an, entoncesG(an) ∼ G(bn).

Ejemplo 2.36 (Ver ejemplo 2.34). Determine la convergencia de la serie numerica

S =+∞∑n=0

√n

n+ 5· ln[n+ 3

n+ 1

]Solucion:

Note que

ln

[n+ 3

n+ 1

]= ln

[n+ 1 + 2

n+ 1

]= ln

[1 +

2

n+ 1

]Recordemos que ln(1 + x) = x+ O(x), luego

x =2

n+ 1

decreciente−−−−−−−→n→+∞

0 =⇒ ln

[n+ 3

n+ 1

]= ln

[1 +

2

n+ 1

]=

2

n+ 1+ O

[2

n+ 1

]Luego √

n

n+ 5· ln[n+ 3

n+ 1

]∼=√n

n+ 5· 2

n+ 1∼ n1/2

n2=

1

n3/2

Entonces

S ∼+∞∑n=1

√n

n+ 5· ln[n+ 3

n+ 1

]∼

+∞∑n=1

1

n3/2que es p-serie convergente ( p = 3/2 > 1 ).

�


S =+∞∑n=2

13√n· sen3

[1√n+ 1

]Solucion:

Como sen(x) = x+ O(x) y x = 1/√n+ 1→ 0 cuando n→ +∞, entonces

sen

[1√n+ 1

]=

1√n+ 1

+ O

[1√n+ 1

]Por lo tanto

S ∼+∞∑n=2

13√n·[

1√n+ 1

]3∼

+∞∑n=2

1

n1/3 · n3/2=

+∞∑n=2

1

n11/6

que es una p-serie convergente, pues p = 11/6 > 1, luego S es convergente por el criterio del lımite.�



S =+∞∑n=4

1− cos(1/n)

3n− 2

Solucion:

Recordemos que cos(x) = 1− x2

2+ O(x2), como x = 1/n→ 0 cuando n→ +∞

1− cos(1/n) =1

2n2+ O(1/n2) =⇒ S ∼

+∞∑n=4

1/(2n2)

3n− 2=

+∞∑n=4

1

6n3 − 4n2∼

+∞∑n=4

1

n3

que es una p-serie convergente ( p = 3 > 1 ), entonces S converge por el Criterio del lımite.�


S =

+∞∑n=0

arctan

[1

n2 + 9n+ 21

]Calcule en caso de convergencia.

Solucion:Recordemos que arctan(x) = x+ O(x), entonces

arctan

[1

n2 + 9n+ 21

]=

1

n2 + 9n+ 21+ O

[1

n2 + 9n+ 21

]Entonces

S ∼+∞∑n=0

1

n2 + 9n+ 21∼

+∞∑n=1

1

n2que es p-serie convergente ( p = 2 > 1 ).

Entonces S es una serie numerica convergente.Para el calculo notemos primero que

arctan

[1

n2 + 9n+ 21

]= arctan

[1

1 + n2 + 9n+ 20

]= arctan

[1

1 + (n+ 4)(n+ 5)

]= arctan

[(n+ 5)− (n+ 4)

1 + (n+ 4)(n+ 5)

]

Recordemos que

tan(a− b) =tan(a)− tan(b)

1 + tan(a) tan(b)

Entonces si tomamos tan(a) = (n+ 5) y tan(b) = (n+ 4) obtenemos que

(n+ 5)− (n+ 4)

1 + (n+ 4)(n+ 5)= tan(a− b) = tan

[arctan(n+ 5)− arctan(n+ 4)

]


Por lo tanto

arctan

[1

n2 + 9n+ 21

]= arctan(n+ 5)− arctan(n+ 4)

Finalmente vemos que S es una serie telescopica

S =

+∞∑n=0

[arctan(n+ 5)− arctan(n+ 4)

]= arctan(+∞)− arctan(0 + 4)

=π

2+ arctan(4)

�

Nota 2.27. Para todo α, β ∈ IR se cumple la igualdad

arctan

[β − α

1 + α · β

]= arctan(β)− arctan(α)


2.8 Convergencia absoluta

Criterio 2.8 (Convergencia Absoluta). Sea (an)n=k, k+1, ... una sucesion real y sean

S =+∞∑n=k

an ∧ A =+∞∑n=k

|an|

si la serie numerica A es Convergente, entonces S es Convergente.En tal caso se dice que S converge absolutamente.Si S es Convergente y A es Divergente, entonces se dice que S converge condicionalmente.


S =+∞∑n=0

cos(nπ/4)√n3 + 2

Solucion:Tenemos que, como | cos(u)| ≤ 1 siempre

A =

+∞∑n=1

∣∣∣∣cos(nπ/4)√n3 + 2

∣∣∣∣ =

+∞∑n=1

| cos(nπ/4)|√n3 + 2

≤+∞∑n=1

1√n3 + 2

≤+∞∑n=1

1√n3

+∞∑n=1

1√n3

es una p-serie convergente, pues p = 3/2 > 1, entonces A es convergente por el criterio de

Comparacion Directa.

Como A es convergente, entonces S ∼+∞∑n=1

cos(nπ/4)√n3 + 2

es una serie absolutamente convergente.

∴ S es convergente�


2.9 Series Alternadas

Criterio 2.9 (Serie numerica alternada). sea (an)n∈IN una sucesion numerica real positiva y sea

S =

+∞∑n=0

(−1)n an = a0 − a1 + a2 − a3 + . . .

La serie numerica S es llamada Serie Numerica Alternada, y es convergente si se cumplen lassiguientes dos condiciones.

(a) limn→+∞

an = 0

(b) La sucesion an es decreciente.

Este criterio es llamado criterio de las series alternadas o Criterio de Leibniz.Ademas se cumple que

ε = |Rm| ≤ am+1

donde Rm = S − Sm =

+∞∑n=m+1

(−1)nan es la cola de la serie y ε el error cometido al calcular Sm.


S =

+∞∑n=2

(−1)n

n

Resuelva los siguientes problemas:

(a) Verifique que la serie numerica S converge condicionalmente.

(b) Aproxime el valor numerico de S sumando los 3 primeros terminos de la serie y halle una cota delerror cometido.

(c) ¿Cuantos terminos de la serie hay que sumar para que el error ε sea menor que 1/100?

Solucion:

(a) S es una serie numerica alternada convergente, pues

limn→+∞

1

n= 0 ∧ 1

n↘

Note ademas que+∞∑n=2

∣∣∣∣(−1)n

n

∣∣∣∣ =

+∞∑n=2

1

nes p-serie divergente ( p = 1 )

Entonces S converge condicionalmente.

(b) Sumar tres terminos significa sumar los terminos de ındice 2, 3 y 4:

S ≈ S4 =

4∑n=2

(−1)n

n=

1

2− 1

3+

1

4=

5

12= 0.416

Usando el criterio de las series alternadas con an = 1/n, el error cometido corresponde a

ε4 = |R4| ≤ a5 =1

5= 0.2


(c) Para que el error ε sea menor que 1/100, es suficiente que

ε = |Rm| =1

m+ 1≤ 1

100⇐⇒ m+ 1 > 100 ⇐⇒ m > 99

entonces S100 nos garantiza un error menor que 1/100.

Como el ındice de la serie comienza en n = 2, hay que sumar 100 − 1 = 99 terminos de la sumaparcial.

�

Nota 2.28. La serie numerica

S =

+∞∑n=1

(−1)n

n

es llamada serie armonica alternada y es convergente condicionalmente, ademas

+∞∑n=1

(−1)n

n= − ln(2)

Esto pues como

ln(1 + x) =

m+1∑n=1

(−1)n+1 xn

n+

(−1)m+1xm+2

(m+ 2)(1 + θ)m+2, θ ∈ V (0, x)

ln(2) = −m+1∑n=1

(−1)n

n+

(−1)m+1

(m+ 2)(1 + θ)m+2, θ ∈ V (0, 1) = [0, 1]

entonces+∞∑n=1

(−1)n

n= − ln(2) + lim

m→+∞

(−1)m+1

(m+ 2)(1 + θ)m+2, θ ∈ [0, 1]

Como1

1 + θ< 1 =⇒ lim

m→+∞

∣∣∣∣ (−1)m+1

(m+ 2)(1 + θ)m+2

∣∣∣∣ ≤ limm→+∞

1

m+ 2= 0

=⇒+∞∑n=1

(−1)n

n= − ln(2)

En el ultimo ejemplo tenemos la serie

+∞∑n=2

(−1)n

n=

+∞∑n=1

(−1)n

n+ 1

= − ln(2) + 1

≈ 0.30685

Nota 2.29 (p-series alternadas). En general las series alternadas de la forma

+∞∑n=1

(−1)n

np

son convergentes siempre que p > 0.


Notas 2.30. A continuacion las sumas de algunas p-series alternadas

+∞∑n=1

(−1)n+1

n2=π2

12

+∞∑n=1

(−1)n+1

n4=

7π4

720

+∞∑n=1

(−1)n+1

n6=

31π6

30 240


S =+∞∑n=2

(−1)n sen(1/n)

Solucion:S es una serie convergente, pues ∀n ≥ 2, sen(1/n) > 0.Tenemos que

limn→+∞

sen(1/n) = sen(0) = 0

Ademas

[sen(1/x)]′ = − 1

x2· cos(1/x) < 0, ∀x ≥ 2 =⇒ ∀x ≥ 2, sen(1/x)↘

Luego la sucesion sen(1/n)↘ 0, entonces S es una serie alternada convergente. �


S =+∞∑n=2

(−1)n+1 arctan(1/n)

5 + 3√n2 + 4

Solucion:S es una serie convergente, pues

arctan(1/n)

5 + 3√n2 + 4

> 0

Tenemos que

limn→+∞

arctan(1/n)

5 + 3√n2 + 4

=arctan(0+)

+∞= 0+

Ademas

arctan(n)↗ ∧ 1

n↘ =⇒ arctan(1/n)↘

Adicionalmente 5 + 3√n2 + 4↗ , entonces an ↘ por ser producto de sucesiones decrecientes.

Se concluye que S es una serie alternada convergente. �


2.10 Criterios de la Razon y de la Raız

Criterio 2.10. Sea (an)n=k, k+1, k+2, ... una sucesion real y sean

S =+∞∑n=k

an

entonces

(a) Criterio de D’Alambert: Tambien llamado “criterio de la razon”, establece que si

L = limn→+∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣entonces

i. L < 1 =⇒ S es Convergente Absolutamente

ii. L > 1 =⇒ S es Divergente

iii. NO hay criterio si L = 1

(b) Criterio de Cauchy: Tambien llamado “criterio de la raız”, establece que si

L = limn→+∞

n√|an|

entonces

i. L < 1 =⇒ S es Convergente Absolutamente

ii. L > 1 =⇒ S es Divergente

iii. NO hay criterio si L = 1


S =+∞∑n=2

3n

(n+ 1)!

Solucion:

an =3n

(n+ 1)!=⇒ an+1

an=

3n+1

(n+ 2)!· (n+ 1)!

3n

=3 (n+ 1)!

(n+ 2)(n+ 1)!

=3

n+ 2−−−−−→n→+∞

0 < 1

entonces S es una serie convergente por en criterio de la razon. �

Nota 2.31. Notemos que ∀α 6= 0 y ∀k ∈ IR

limn→+∞

[1 +

α

n

]n= eα ∧ lim

n→+∞n√αn+ k = 1



S =

+∞∑n=2

(1 +

1

n

)−n2

Solucion:

an =

(1 +

1

n

)−n2

=⇒ n√an =

(1 +

1

n

)−n→ e−1 < 1

entonces S es una serie convergente por en criterio de la raız. �


S =+∞∑n=2

(2n)!

3n (n!)2

Solucion:

an =(2n)!

3n (n!)2=⇒ an+1

an=

(2n+ 2)!

3n+1 [(n+ 1)!]2· 3n (n!)2

(2n)!

=(2n+ 2)(2n+ 1)(2n)! · (n!)2

3 (n+ 1)2 (n!)2(2n)!

=1

3· 4n2 + 6n+ 2

n2 + 2n+ 1−−−−−→n→+∞

4

3> 1

entonces S es una serie divergente por en criterio de la razon. �

2.10.1 La formula de Stirling

Teorema 2.6 (Formula de Stirling). Cuando n→ +∞

n! ∼=(ne

)n √2π n

Es decir que

limn→+∞

n!

(n/e)n√

2π n= 1

En tal caso, si an = G(n, n!) es una sucesion positiva ( no nula ) entonces

+∞∑n=0

G(n, n!) ∼+∞∑n=0

G[n,(ne

)n √2π n

]Ejemplo 2.47. Use la formula de Stirling para analizar la convergencia de la serie

S =+∞∑n=2

nn

n! · 5n


Solucion:Usando la formula de Stirling, tenemos que

S =+∞∑n=2

nn

n! · 5n∼

+∞∑n=2

nn

(n/e)n√

2π n · 5n=

+∞∑n=2

(e5

)n· 1√

2π n

Tenemos que

n

√(e5

)n· 1√

2π n=e

5· 1√

n√

2π n→ e

5· 1√

1=e

5< 1

Entonces por aplicacion de la formula de Stirling y el criterio de la raız, S es convergente. �

Ejemplo 2.48. Use la formula de Stirling para analizar la convergencia de la serie

S =+∞∑n=2

(2n)!

3n (n!)2

Solucion:Usando la formula de Stirling, tenemos que

n! ∼=(ne

)n √2π n ∧ (2n)! ∼=

(2n

e

)2n √4π n

Luego

S =+∞∑n=2

(2n)!

3n (n!)2

∼+∞∑n=2

(2n

e

)2n √4π n · 1

3n ·[(n/e)n

√2π n

]2=

+∞∑n=2

(2n

e

)2n

·√

4π n · 1

3n·( en

)2n· 1

2π n

=

+∞∑n=2

(4

3

)n· 2√π n

2π n

=

+∞∑n=2

(4

3

)n· 1√

π n

Finalmente, como

n

√(4

3

)n· 1√

π n=

4

3· 1√

n√π n−−−−−→n→+∞

4

3· 1√

1=

4

3> 1

Entonces por aplicacion de la formula de Stirling y el criterio de la raız, S es divergente. �


2.11 Criterio de Raabe

Criterio 2.11 (Criterio de la Raabe). Sea (an)n=k, k+1, ... una sucesion real y sea

S =+∞∑n=k

an ∧ L = limn→+∞

n ·(

1−∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ )entonces

(a) L > 1 =⇒ S es Convergente Absolutamente

(b) L < 1 =⇒ S es Divergente

(c) NO hay criterio si L = 1

Nota 2.32 (El doble Factorial). Para todo n ∈ IN se define el doble factorial de n como

n!! =

{1 , si n ≤ 1

(n− 2)!! · n , si n > 1

En tal caso

n!! =

{1 · 3 · 5 · 7 · . . . (2k − 1) · (2k + 1) , si n = 2k + 1

1 · 2 · 4 · 6 · . . . (2k − 2) · (2k) , si n = 2k


S =+∞∑n=1

(2n− 1)!!

2n · n!

Solucion:

an =(2n− 1)!!

2n · n!=⇒ an+1

an=

(2n+ 1)!!

2n+1 · (n+ 1)!· 2n · n!

(2n− 1)!!

=3 · 5 · . . . (2n− 1) · (2n+ 1)

2 · (n+ 1) · n!· n!

3 · 5 · . . . (2n− 1)

=2n+ 1

2 · (n+ 1)→ 1

entonces el criterio de la razon NO concluye nada.Consideremos entonces el criterio de Raabe

limn→+∞

n ·(

1− an+1

an

)= lim

n→+∞n ·(

1− 2n+ 1

2 · (n+ 1)

)= lim

n→+∞n ·(

2n+ 2− (2n+ 1)

2 · (n+ 1)

)=

1

2· limn→+∞

n

n+ 1

=1

2< 1

entonces S es una serie divergente por en criterio de Raabe. �


Referencias

[1] Pisa Volio E., Introduccion al Analisis real en una variable, Editorial de la Universidad de CostaRica, Costa Rica, 2003

[2] Poltronieri J., Calculo 2, Serie: Cabecar, Costa Rica, 1998

[3] Duarte A. & Cambronero S., Construccion de conjuntos Numericos, 2007

[4] Duarte A. & Cambronero S., Complementos de Calculo, 2011

[5] Ugalde W. J., MA0350 Calculo en una Variable II, 2011

[6] Takeuchi Y., Sucesiones y Series, Editorial Limusa, M’exico, 1983

[7] Spivak M., Calculo Infinitesimal, Editorial Reverte, 1988

[8] Apostol T.M., Analisis Matematico, Editorial Reverte, Mexico, 1982

[9] Demidovich B., Problemas y Ejercicios de Analisis Matematico, Editorial Mir, Moscu, URSS, 1973

[10] Piskunov N., Calculo diferencial e integral. tomo II, Editorial Mir, Moscu, 1978

[11] Doneddu A., Analisis y Geometrıa Diferencial, Editorial Aguilar, Espana, 1979

[12] Larson R., Hostetler, Calculo y Geometrıa Analıtica, Editorial McGraw-Hill, Mexico, 1989

[13] Edwards C.H & Penney D. E., Calculo con Geometrıa Analıtica, Prentice Hall Hispanoamericana,Mexico, 1996

[14] Spiegel M. R., Manual de formulas y tablas matematicas, Editorial McGraw-Hill, Mexico, 1970

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