INTRODUCCIÓN

Una gran diversidad de problemas hidrológicos se relacionan directa o indirectamente con el tránsito o propagación de ondas de avenida como: previsión de inundaciones, dimensionamiento de vertederos de demasías en presas, simulación de descargas, etc.

Transitar o propagar una onda de avenida es “seguir” esa onda en su desplazamiento en la medida en que atraviesa un tramo de río o un embalse. Se usa el tránsito para determinar el hidrograma en una sección a partir del hidrograma conocido en otra sección aguas arriba. Otra situación se presenta en la confluencia de ríos, cuando en uno de ellos se forma una onda de avenida que entra en el sistema y se desplaza aguas abajo, sumándose las contribuciones de los demás tributarios; la composición de esas ondas de avenida parciales es un problema de tránsito o propagación.

TIPOS DE TRÁNSITO

Tránsito Hidrológico: Cuando se utiliza solo la ecuación de conservación de masa asociada a una relación (empírica o analítica) entre el almacenamiento y la descarga en el sistema. Dentro de este grupo se tiene: Tránsito de avenidas en embalses; Tránsito hidrológico en ríos.

Tránsito Hidráulico: Conocido como tránsito distribuido, el flujo se calcula como una función del espacio y el tiempo a través del sistema mediante el uso de las ecuaciones de continuidad o conservación de masa y la ecuación dinámica o de conservación de momentos. En general, se usan las ecuaciones diferenciales parciales del flujo no permanente en canales; sin embargo el tratamiento del problema no es tan simple y es abordada como un problema de hidráulica computacional.

FUNDAMENTO TEÓRICO DEL TRÁNSITO HIDROLÓGICO

Para un sistema hidrológico, la entrada l(t), la salida Q (t) y el almacenamiento S(t) se relacionan por la ecuación de continuidad:

(1)

Si se conoce el hidrograma de entrada l(t), el hidrograma de salida Q(t) no puede obtenerse directamente de la ecuación (1) dado que tanto Q como S son incógnitas. Se necesita una segunda relación que es la función de almacenamiento, para relacionar S, l y Q; el acoplamiento de la función de almacenamiento y la ecuación de continuidad proporciona una combinación de dos ecuaciones y dos incógnitas que permite resolver el problema.

)()( tQtIdtdS

−=

Función de Almacenamiento

De manera general, la descarga de salida de un sistema hidrológico depende de la cantidad de agua almacenada en el propio sistema; la relación entre esas dos magnitudes es conocida como la función de almacenamiento. Una forma de determinar la función de almacenamiento es tomando en consideración que la cantidad de almacenamiento, en la ecuación (1), aumenta y disminuye con el tiempo en respuesta a I y Q y a sus tasas de cambio con respecto al tiempo. Entonces, la cantidad de almacenamiento en cualquier momento puede expresarse por la función de almacenamiento, arbitraria, siguiente:

(2)⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ,...,,,...,, 2

2

2

2

dtQd

dtdQQ

dtId

dtdIIfS

El sistema se resuelve diferenciando la forma linealizada de la ecuación (2) la misma que se reemplaza para dS/dt en la ecuación (1) para finalmente integrar la ecuación diferencial resultante para obtener Q(t) como una función de l(t). Sin embargo puede también aplicarse el método de solución por diferencias finitas a las dos ecuaciones, para lo cual el tiempose divide en intervalos finitos y la ecuación de continuidad (1) se resuelve recursivamente desde un tiempo inicial incluyendo en cada paso la función de almacenamiento (2).

La forma de la función de almacenamiento depende de la naturaleza del sistema que está siendo analizando. Por ejemplo para el tránsito en embalses el almacenamiento puede asumirse como una función no lineal de Q solamente [S = f(Q)], donde la función f(Q) se determina relacionando el almacenamiento y la salida del embalse con el nivel del agua en éste. Para el tránsito en ríos el almacenamiento se relaciona linealmente con I y Q en el método de Mushingum.

La relación entre el caudal de salida y el almacenamiento en un sistema hidrológico tiene bastante influencia en el tránsito de avenidas. Esta relación puede ser invariable o variable, dependiendo si el canal o embalse es ancha y profunda comparada con su longitud en la dirección de flujo. En el caso de embalses llenos, donde la velocidad del flujo es baja y el caudal de salida es fijo para una elevación de nivel de agua (sin control de compuertas o control fijo de compuertas) la relación entre el caudal de salida y el almacenamiento puede considerarse invariable. Si la posición de las compuertas de control cambia, el caudal y la elevación de la superficie de agua en la presa cambian, y el efecto se propaga hacia aguas arriba en el embalse para crear una superficie de agua temporalmente variable hasta que se establece una nueva elevación de equilibrio de la superficie de agua a través del embalse.

Para embalses donde la relación entre el caudal de salida y el almacenamiento es invariable, el pico de salida ocurre cuando el hidrograma de salida interseca el hidrograma de entrada, debido a que el máximo almacenamiento ocurre cuando dS/dt = I - Q = 0, y el almacenamiento y el flujo de salida están relacionados por S = f(Q). Esto se muestra en la Figura 1a, donde el punto R (almacenamiento máximo) y el punto P (caudal de salida máximo), coinciden.

Caudal de salida

Figura 1: Relaciones entre Caudal y Almacenamiento

0

I,Q

0

R, P

Caudal de entrada

Caudal de salida

t

0

Q

0

R, P

Sa) Relación invariable

0

I,Q

0

P

Caudal de entrada

t

0

Q

0

R

Sb) Relación variable

R

P

Una relación variable almacenamiento-caudal de salida se aplica a embalses largos y angostos y a canales abiertos o cauces naturales, donde el perfil de la superficie de agua puede ser significativamente curvo debido a efectos de remanso. La cantidad de almacenamiento debida a la curva de remanso depende de la tasa del cambio temporal del flujo a través del sistema. La relación resultante entre el caudal y el almacenamiento del sistema no es más una función con un valor único sino que exhibe una curva usualmente en forma de un bucle o lazo, dependiendo de las características de almacenamiento del sistema. Debido al efecto de retardo causado por la curva de remanso, el pico de caudal de salida (punto P) ocurre usualmente después del momento en el cual se intersecan los hidrogramas de entrada y de salida (punto R), Figura 1b. Si el efecto de la curva de remanso no es significativo, el bucle mostrado en la figura puede reemplazarse por una curva promedio representada por la línea discontinua.

Q salida

Figura 2: Interpretación Conceptual del Tiempo de Movimiento de Ondas de Avenida

Q Q entrada

t

••

Tiempo total

Q Q entrada

t

••

Tiempo de redistribución

Q

Q salida

t

•

Tiempo de traslación

•

El análisis anterior indica que el efecto del almacenamiento es redistribuir el hidrograma moviendo el centroide del hidrograma de entrada hasta el centroide del hidrograma de salida en un tiempo de redistribución. En canales muy largos, toda la onda de avenida viaja una distancia considerable y el centroide de su hidrograma también puede moverse en un período mayor que el tiempo de redistribución. Este tiempo adicional puede considerarse como el tiempo de traslación. El tiempo total de movimiento de la avenida entre los centroides de los hidrogramas de entrada y salida, es igual a la suma del tiempo de redistribución y del tiempo de traslación. El proceso de redistribución modifica la forma del hidrograma, mientras que el proceso de traslación cambia su posición.

TRÁNSITO DE AVENIDAS EN EMBALSES

Una onda de avenida que pasa a través de un embalse sufre distorsiones en su configuración, por la acción de las diversas fuerzas comprometidas en el proceso de desplazamiento y distribución del agua (gravedad, rugosidad, impulso, viscosidad, etc.) Por eso, la salida del sistema difiere de la influencia de especialmente en dos aspectos: la salida sufre retardo y una atenuación en relación a la entrada. Analizando este sistema particular, que el agua es liberada lentamente a través de las tuberías de descarga y a través de los vertederos. El caudal sobre un vertedero puede ser representado por una ecuación general del tipo:

(3)nCLHQ =

IQ

IQ

IQ

Q

Vertedero Creager(sin compuerta)

Vertedero Creager(con compuerta)

VertederoMorning Glory

Descargade fondo

R

Figura 3: Ecuaciones de caudal de salida de vertederos

En el caso de embalses, la definición de la función de almacenamiento puede ser mejor entendida analizando los hidrogramas de entrada y de salida ploteados en el mismo gráfico. Del análisis de este gráfico se desprende que hasta un instante determinado entra más agua que lo que sale del sistema, habiendo por consiguiente acumulación de agua y el consecuente aumento del nivel del reservorio; a partir de allí sale más agua de la que entra, a expensas del stock acumulado en la fase anterior. El gráfico de las descargas de salida y de los correspondientes valores de almacenamiento, conduce a la función de almacenamiento buscada.

Naturalmente, esa metodología parte de la suposición de la existencia del reservorio y de los datos hidrológicos. En la realidad, la definición de la función de almacenamiento debe ser hecha durante la fase del proyecto de la presa. Para eso, se parte de la información topográfica básica que permite construir las curvas cota-área inundada y cota-volumen, esas curvas son normalmente definidas en todo proyecto, y basta asociarlas a las ecuaciones de descarga del sistema para extraer de allí la función de almacenamiento. Una de las formas de determinar la función de almacenamiento es generalizando la ecuación (3) para los diferentes órganos de descarga como:

(4)...332211 +++= zyx HLCHLCHLCQ

Fijada una determinada cota, se puede calcular el caudal de salida Q a partir de la ecuación (4) y, para la misma cota, obtener el valor del almacenamiento en la curva cota-volumen; repitiéndose el procedimiento para diversas cotas, es posible definir la función de almacenamiento.

En un embalse, la descarga de salida queda determinada por la altura de la lámina de agua sobre el vertedero, compuerta o descarga de fondo. La altura de agua (h) define también el volumen (V) y el área del espejo de agua (A) del embalse. Al entrar una onda de avenida en el embalse se modifican los valores de h, V y A alterándose como efecto el caudal de salida en función de h. Se entiende por tránsito o propagación de onda al cálculo del hidrograma de salida conociendo el hidrograma de entrada.

Qj

Qj+1

Ij

Ij+1

Sj

Sj+1

Δt

Sj

Sj+1-Sj

Caudal de entrada

Caudal de salida

Almacenamiento

t

t

Figura 4: Cambio de Almacenamiento durante Δt

Sj+1

El tiempo se divide en intervalos de duración Δt, indexados por j, es decir, t = 0, Δt, 2Δt, ... , jΔt, (j+1)Δt,..., y la ecuación de continuidad (1) se integra sobre cada intervalo de tiempo, como se muestra en la figura 4.Para el j-ésimo intervalo de tiempo, se tiene:

( )∫ ∫ ∫

− Δ+

Δ

Δ+

Δ−=1 )1( 1

)()(j

j

S

S

tj

tj

tj

tjdttQdttIdS (5)

Para calcular el hidrograma de salida desde un embalse con una superficie de agua horizontal existen algunos procedimientos, como el de Ven Te Chow (1959). Los métodos gráficos han sido reemplazados por programas de computadora las que permiten mayor precisión y rapidez de cálculo.

Los valores del caudal de entrada al inicio y al final del j-ésimo intervalo de tiempo son lj e lj+1, respectivamente, y los correspondientes valores del caudal de salida son Qj y Qj+1. Si la variación de los caudales de entrada y de salida a lo largo del intervalo es aproximadamente lineal, el cambio en el almacenamiento en el intervalo, Sj+1 y Sj, es:

tQQ

tII

SS jjjjjj Δ

+−Δ

+=− ++

+ 2211

1

Los valores del lj e lj+1 son conocidos porque corresponden al caudal de entrada. Los valores de Qj y Sj se conocen en el intervalo de tiempo j-ésimo a partir de los cálculos hechos durante el intervalo de tiempo precedente (condiciones iniciales del problema). Por consiguiente, la ecuación (6) contiene dos incógnitas, Qj+1 y Sj+1, las cuales pueden reordenarse para obtener:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Δ+

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Δ+++

222111 jjjjjj Q

tSIIQ

tS

(7)

(6)

2Q

tSN +Δ

=Si definimos la función de almacenamiento, como:

jjj

jj QII

NN −+

+= ++ 2

11

Para calcular Qj+1 a partir de la ecuación (8), se necesita una función que relacione el almacenamiento con el caudal de salida o sea: N con Q. Para desarrollar esta función se usan las curvas o ecuaciones de cota-volumen y cota-caudal de salida tal como se muestra en la figura 5. La relación entre la cota de la superficie de agua y el almacenamiento en el embalse puede determinarse mediante estudios topográficos de campo. La relación cota-caudal se deduce de las ecuaciones hidráulicas que relacionan altura de agua y caudal, como las ecuaciones de descarga para varios tipos de vertederos y de estructuras de salida descritos anteriormente. El valor de Δt se toma como el intervalo de tiempo del hidrograma de caudal de entrada. Para un valor dado de la cota de la superficie de agua, se determinan los valores de almacenamiento S y del caudal de salida Q, luego se calcula el valor de N y se dibuja con el valor del caudal de salida Q en el eje vertical.

(8)

Q Q

S

H

H Función de AlmacenamientoAltura de Agua

Altura de Agua

Almacenamiento

Q de salida Q de Salida

Figura 5: Desarrollo de la Función de Almacenamiento

Durante el tránsito de flujo a través del intervalo de tiempo j, todos los términos del miembro derecho de la ecuación (8) se conocen, luego el valor de Nj+1 puede calcularse. El valor correspondiente de Qj+1 puede determinarse a partir de la función de almacenamiento-caudal de salida (N versus Q), ya sea gráficamente o por interpolación lineal de unos valores dados en forma tabular. Este cálculo se repite para los subsiguientes periodos de tránsito.

Ejemplo de Aplicación

Determine el hidrograma de salida Qs(t) resultante de la avenida máxima probable (AMP) en un embalse, a partir de los siguientes datos:

•Área de la superficie libre del embalse al nivel de la cresta del vertedor = 0.8 Km2

•área de la superficie libre cuando el NA se encuentra 3 m por encima de la cresta del vertedor = 1.0 Km2

•tipo de vertedor: tulipa (Morning Glory)•ecuación del vertedor: Qs = 64h3/2

•caudal precedente a la AMP = 5 m3/s•el hidrograma de entrada está dada en la siguiente tabla

1015459514016085301585Qe (m3/s)20181614121086420t (h)

Solución:

Como el caudal de ingreso antes de la AMP es de 5 m3/s, asumimos que a través del vertedero pasa este caudal inicial; por lo tanto la altura de agua correspondiente a este caudal de acuerdo a la ecuación Qs = 64h3/2, se determina con: h = (5/64)2/3 = 0.1828 m.

Como se conoce el área de la superficie de agua a nivel de la cresta del vertedero (h = 0; A0 = 0.8 Km2) y el área correspondiente a h = 3 m que es A3 = 1.0 Km2. Se puede determinar por interpolación lineal el área correspondiente a cualquier valor de h, con la siguiente ecuación: A =(h/3)(A3 –A0) + A0 = (0.2)(h/3)+0.8; obteniéndose para h = 0.1828 m el valor de A = 0.812 Km2 y un almacenamiento S0 = (h)(A) = 148427 m3.

A continuación elaboramos la tabla para establecer la relación de la función de almacenamiento con el caudal de salida, asumiendo un intervalo de tiempo de 2 horas conforme el hidrograma de entrada.

332.55562.33396.0528515731.0003.00294.29504.58357.4325735220.9842.77257.62448.65319.8423028210.9692.53222.61394.57283.2620394680.9532.30189.35342.38247.7017834650.9372.06157.94292.14213.1715348100.9221.83128.48243.89179.6512935050.9061.59101.13197.72147.1610595480.8901.36

76.05153.71115.698329410.8751.1253.47111.9785.236136820.8590.8933.7272.6655.804017720.8430.6517.2736.0227.391972120.8280.42

5.002.500.0000.8120.18(6)(5)(4)(3)(2)(1)

Qs (m3/s)N (m3/s)S/Δt (m3/s)S (m3)A (Km2)h (m)

La columna (3) de la tabla corresponde al almacenamiento por encima de h = 0.18 m, dado que S0 calculado no representa el almacenamiento correspondiente a la AMP, por lo que se consigna como primer valor cero. Los siguientes valores se calculan de: S = (h)(A) – S0 . La columna (5) corresponde a: N = (S/Δt)+(Qs/2). Finalmente la columna (6) se obtiene de la ecuación del vertedero Qs = 64h3/2. Para los cálculos siguientes es importante establecer una relación matemática entre N y Qs por lo que estos datos se han graficado y ajustado a la ecuación polinomial.

Figura 6: Relación Qs versus NQs = 1E-09N4 - 2E-06N3 + 0.001N2 + 0.3536N + 3.7705

0.0

50.0

100.0

150.0

200.0

250.0

300.0

350.0

0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0 600.0

N (m3/s)

Qs

(m3/

s)

tabla que resume los cálculos del tránsito de avenidas

7.68-2.6810.745.005.002309.31-4.3115.055.005.00228

12.06-7.0622.115.005.0022616.50-11.0033.115.506.0022423.57-16.5749.687.008.0022235.80-26.8076.489.0010.0022058.77-46.27122.7512.5015.0021891.53-61.53184.2930.0045.00216

117.36-47.36231.6570.0095.00214117.190.31231.34117.50140.0021278.1271.88159.45150.00160.0021032.5189.9969.47122.5085.002813.3244.1825.2857.5030.00267.5214.9810.3022.5015.00245.206.304.0011.508.00225.001.502.506.505.0020

(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)Qs (m3/s)ΔN (Qe-Qs)N (m3/s)Qep (m3/s)Qe (m3/s)Δt (h)t(h)

Las columnas (1), (2) y (3) corresponden a los valores de tiempo, incremento de tiempo y el caudal correspondiente al hidrograma de entrada, respectivamente, dados como datos.La columna (4) es el valor de caudal de entrada promedio: (Qep)j = [(Qe)j + (Qe)j+1]/2 La columna (5) se calcula como: Nj+1 = Nj + ΔNjLa columna (6) se calcula como: ΔNj = (Qep)j – (Qs)jLa columna (7) se calcula mediante la relación entre Qs y N dada por el polinomio Es importante mencionar que la fila correspondiente a t = 0, corresponde a las condiciones iniciales del problema, donde: Qs = 5 y N = Qs/2 = 2.5.

Figura 7: Transito de Ondas de Avenida en Embalses

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

140.00

160.00

180.00

0 5 10 15 20 25 30 35

t (h)

Q (m

3/s)

Qs

Qe