Tema 1 Descripción de datos: Estadística descriptiva …mvargas/tema1sd.pdf · 2012. 5. 8. · Tema 1 Descripción de datos: Estadística descriptiva unidimensional Ejemplo: Distribución

Tema 1 Descripción de datos:

Estadística descriptiva unidimensionalEstadística descriptiva

Objetivos: Ordenar, clasificar, resumir grandes conjuntos de datos de modo que puedan ser fácilmente interpretablesDefiniciones básicas:

Población: Conjunto de unidades objeto de estudioIndividuo: Cada uno de los elementos de la poblaciónCaracterísticas o variables: Propiedades observadas sobre los elementos de la población


Estadística descriptiva unidimensionalLas características o variables se clasifican en

Cualitativas: Sus modalidades no se expresan numéricamente (atributos)Cuantitativas: sus modalidades se expresan numéricamente. Se clasifican a su vez en

Discretas: Entre dos valores consecutivos existe siempre un salto.Continuas: Entre dos valores dados puede tomar (al menos teóricamente) una infinidad, es decir, todos los comprendidos en un intervalo.


Estadística descriptiva unidimensionalEjemplo

Población: Clase formada por los alumnos de 1º de Relaciones LaboralesIndividuo: Alumno Variables Cualitativas

Sexo. Modalidades: hombre, mujerZona de residencia. Modalidades: Granada capital, Albolote, Maracena, …Procedencia estudios. Modalidades: BUP, FP, OtrosRepetidor. Modalidades: Si, No.


Estadística descriptiva unidimensionalEjemplo (Continuación)

Variables CuantitativasDiscretas

Número de hermanos. Modalidades: 0, 1, 2, 3,…Número de asignaturas aprobadas en el primer

cuatrimestre. Modalidades: 0, 1, 2, 3,

ContinuasTiempo diario empleado en estudio. Modalidades: cualquier valor entre 0 y 24 horas.Peso. Modalidades: Admitiendo que nadie pesa menos de 40 kilos ni más de 100, cualquier valor entre 40 y 100.


Estadística descriptiva unidimensional

Organización representación y ordenación de los datos

Tablas estadísticasRepresentaciones gráficas

Síntesis numéricaMedidas de posición centralOtras medidas de posición: CuantilesMedidas de dispersión



Tablas estadísticas para representar las distribuciones de frecuenciasDistribución de frecuencias: Caso discreto. Conjunto de valores xi i=1, …,k, de la variable X con sus frecuencias correspondientes

Frecuencia Absoluta ni de la modalidad xi es el número de individuos en la población que presentan dicha modalidad.Frecuencia Relativa fi de la modalidad xi es la proporción de la población que presenta dicha modalidad



Frecuencia Absoluta Acumulada Ni de la modalidad o valor xi es el número de individuos en la población que presentan dicha modalidad o alguna otra inferior.Frecuencia Relativa Acumulada Fi de la modalidad o valor xi es la proporción de la población que presenta dicha modalidad o alguna otra inferior


Estadística descriptiva unidimensionalEjemplo de distribución de frecuencias:

Edad nº alumnos

18 27

19 20

20 12

21 6

25 1

Nombre de variable (X) Frecuencias absolutas (ni)

La frecuencia absoluta correspondiente al valor 18 años es igual a 27; la correspondiente a 19 años es 20; etc.

661...2027

...1

1

=+++=

=++= ∑=

N

nnnNk

iik

El total de Alumnos en la población (N) esla suma de todas las frecuencias absolutas. ¡Claro!

¿Sabrías decir qué vale n3 en el ejemplo?

¿Sabrías decir qué vale k en el ejemplo?

Si no puedes responder, no entiendes la notación. Lee detenidamente y, si es preciso, repasa.



Edad nº alumnos

X1=18 n1=27

X2=19 n2=20

X3=20 n3=12

X4=21 n4=6

X5=25 n5=1

Nombre de variable (X) Frecuencias absolutas (ni)

¿Sabes ya qué es una distribución de frecuencias?

∑=

=

=k

ii

ii

nN

kinx

1

,...,1)},{(

Observa que cada xi (valor de la variable X)lleva asociado un ni (frecuencia absoluta)

La distribución de frecuencias de la variablediscreta X es el conjunto de valores de dichavariable con sus correspondientes frecuenciastales que la suma de todas ellas es N (total deelementos de la población en estudio).

Si no tienes claro esto, no siguas. Lee detenidamente y repasa todo lo anterior.



Ejemplo de distribución de frecuencias:

Edad nº alumnos Nº Acumulado Cálculo18 27 27 27

19 20 47 27+20=47

20 12 59 27+20+12=59

21 6 65 27+20+12+6=65

25 1 66 27+20+12+6+1=66

Vamos a completar un poco más el ejemplo. Determinamos también las frecuencias absolutas acumuladas.

Por ejemplo, N3 acumula los nidesde la fila 1 hasta la fila 3

¿Cómo se hace?¡Acumulando!

¡Qué fácil!

Pregunta: ¿Puedes decir cómo se interpreta el valor 59 de la columna en rojo?

Respuesta: 59 es el Número de alumnos en la población que tienen 20 años o menos

Si no sabes calcular e interpretar las frecuencias absolutas acumuladas no sigas que es peor. Repasa.



Edad nº alumnos proporción Cálculo

18 27 0,409 27/66=0,409

19 20 0,303 20/66=0,303

20 12 0,182 12/66=0,182

21 6 0,091 6/66=0,091

25 1 0,015 1/66=0,015

Completemos un poco más el ejemplo. Vamos a determinar también las frecuencias relativas fi.

Por ejemplo, f3 se obtiene dividiendo n3entre N (que vale en el ejemplo 66)

¿Cómo se hace?¡Dividiendo las frecuenciasabsolutas entre el total N!

182,066123

3 ===Nnf

Pregunta: ¿Sabes cómo se interpreta el valor 0,091 de la columna en rojo?

Respuesta: 0,091 es la proporción de alumnos en la población estudiada que tiene21 años. Dicho de otro modo, el 9,1% de la población tiene 21 años.

Pregunta (¡para nota!): ¿qué vale la suma de todas las frecuencias relativas en cualquier distribución de frecuencias?

Si no sabes calcular e interpretar las frecuencias relativas, REPASA



Edad nº alumnos proporción Nº AcumuladoProporción

Acumul Cálculo

18 27 0,409 27 0,409

0,712

0,894

0,985

1,000

27/66=0,409

19 20 0,303 47 47/66=0,712

20 12 0,182 59 59/66=0,894

21 6 0,091 65 65/66=0,985

25 1 0,015 66 66/66=1,000

Vamos a determinar también las frecuencias relativas acumuladas (Fi).

¿recuerdas cómo se obtienen las frecuenciasabsolutas acumuladas? Las relativas acumuladasse obtienen acumulando lasrelativas.También se obtienen dividiendolas absolutas acumuladas entre N

Pregunta: ¿Sabrías indicar los dos modos de cálculo de la frecuencia relativa acumulada para xi, con la notación que estamos usando?

Respuesta:

NNF

ffffF

ii

i

jjii

=

=+++= ∑=1

21 ... Acumulando

Dividiendo la Absoluta acumulada entre N



Ejemplo: Un último repaso

Términos básicosVariable Absoluta Relativa Absol. Acum Relat. Acum.

X ni fi Ni Fi

Edad nº alumnos proporción Nº Acumulado Propor. Acum

18 27 0,409 27 0,409

19 20 0,303 47 0,712

20 12 0,182 59 0,894

21 6 0,091 65 0,985

25 1 0,015 66 1,000

66 1

N

Notación

El último valor Acumulado es 1

El último valor Acumulado es N

La suma de lasFrecuencias relativas es 1La suma de las

Frecuencias absolutas es N



Distribución de frecuencias de variable con modalidades expresadas en intervalosCuando la variable es de naturaleza continua, al observarla sobre la población objeto de estudio, nos encontramos con un gran número de valores distintosPara organizar y resumir estos datos conviene expresarlos en intervalos. Esto evita que las tablas de frecuencias construidas no sean demasiado largas y con frecuencias bajas.

Tema 1

TABLA de frecuencias: Caso continuo.Distribución de frecuencias de variable con modalidades expresadas en intervalosEsquema de la distribución de frecuencias Observa que el esquema es similar al de valores de variable discreta. Las interpretaciones de las frecuencias, también.

X nie0-e1 n1

e1-e2 n2

e2-e3 n3

… …

… …ei-1-ei ni

ek-1-ek nk

La tabla muestra k intervaloscon sus correspondientes frecuencias

∑=

=

=k

ii

ii

nN

kinI

1

,...,1)},{(

Distribución de frecuencias:

Intervaloi-ésimo Ii Frecuencia

i-ésima

Tema 1

Veamos algunos términos y conceptos asociados a las modalidades intervaloEl intervalo i-ésimo Ii=ei-1-ei viene dado por los extremos inferior, ei-1,y superior ei

La amplitud del intervalo que notamos ai es la diferencia de los extremos: ai = ei – ei-1

La marca de clase es centro del intervalo:

X nie0-e1 n1

e1-e2 n2

e2-e3 n3

… …

… …ei-1-ei ni

ek-1-ek nk

21 ii

ieec +

= −

Por convenio, se asume que el intervalo es abiertoen el extremo inferior y cerrado en el superior

ii exe ≤<−1

Es decir, la variable toma valores mayoresal extremo inferior y menores o iguales al superior



Ejemplo: Distribución de frecuencias de variable con modalidadesexpresadas en intervalos

Variable Frec. Absoluta

X ni

Tiempo(minutos)

nº deopositores

18-20 30

20-22 42

22-26 26

26-30 15

30-40 10

La tabla siguiente muestra el tiempo empleadopor un grupo de opositores en realizar un test

Observa que las modalidades de la variable X(tiempo) se expresan en intervalos

Por ejemplo, el intervalo primero, 18-20, tiene una Amplitud igual a 2 y marca de clase 19

El último intervalo, 30-40, tiene amplitud igual a 10 y marca de clase 35


Estadística descriptiva unidimensionalEjemplo: Distribución de frecuencias de variable con modalidadesexpresadas en intervalosVamos a añadir columnas con las frecuencias ya estudiadas

Variable Absoluta Absol.Acum proporción Propor.Acum

X ni

nº deopositores

3042261510

Fi

Tiempo(minutos)

fiNinº de

opositores Acumulado

307298

Proporción deopositores Acumulada

18-20

113

Proporción deopositores

0,2440,3410,2110,122

0,24420-22 0,58522-26 0,79726-30

123 0,0810,919

30-40 1

12342341,0 =

123113919,0 =

Interpreta las frecuencias de la fila 2

Hay 42 opositores que emplean un tiempo superior a 20 e inferior o igual a 22 minutos, o sea, el 34,1% del total de opositores.Hay 72 opositores que emplean 22 minutos o menos. Dicho de otro modo, el 58,5% deltotal de opositores emplea hasta un máximo de 22 minutos.


Estadística descriptiva unidimensionalEjemplo: Distribución de frecuencias de variable con modalidadesexpresadas en intervalosVamos a añadir columnas con la amplitud y marcas de clase

Recuerda las fórmulas:

21 ii

ieec +

= −Marca declase

Amplitud

1−−= iii eea

X frecuencia AmplitudMarca de

claseTiempo

(minutos)nº de

opositores

3042261510

18-20ciai

224

20-22

4

19212428

22-2626-30

10 3530-40

20222 −=

2302628 +

=



Representaciones GráficasPermiten dar una idea visual de la composición de los datos. La forma que presente la distribución de frecuencias representada en un gráfico, nos descubre aspectos y propiedades generales relativas a la población estudiada. Son un complemento importante a las tablas de frecuencias.



Tipos de gráficosPara variables cualitativas

Gráfico de barrasGráfico de sectores

Para variables cuantitativasPara distribuciones discretas (valores sin agrupar)

Diagrama de barrasCurva acumulativaGráfico Caja con bigotes

Para distribuciones continuas (valores agrupados)HistogramaCurva acumulativa



Variables cualitativasGráfico de barras

Calificaciónes en Estadística Grupo A

0

10

20

30

40

50

60

susp

enso

aprob

ado

notab

leso

bresa

liente

matr. H

onor

Calificaciones

Calificaciones nº de alumnos

suspenso 20

aprobado 54

notable 27

sobresaliente 10

matr. Honor 1

112

¿Cómo se hace el gráfico?

En un eje horizontal se colocan las modalidades (suspenso, aprobado, …,matr.hornor) y se trazan barras cuya longitud sea igual o proporcional a las frecuencias



Variables cualitativasGráfico de barras


suspenso 0,18

aprobado 0,48

notable 0,24

sobresaliente 0,09

matr. Honor 0,01

1


0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

susp

enso

aprob

ado

notab

leso

bresa

liente

matr. H

onor

Calificaciones

¿Cómo se hace el gráfico?En un eje horizontal se colocan las modalidades (suspenso, aprobado, …,matr.hornor) y se trazan barras cuya longitud sea igual o proporcional a las frecuencias

Observa que ahora hemos usado las frecuencias relativas. El efecto visual del gráficoes el mismo. !Es indiferente usar frecuencias absolutas o relativas!



Variables cualitativasGráfico de sectores


suspenso18%

aprobado48%

notable24%

sobresaliente9%

matr. Honor1%

suspensoaprobadonotablesobresalientematr. Honor


suspenso 0,18

aprobado 0,48

notable 0,24

sobresaliente 0,09

matr. Honor 0,01

1


En un círculo se colocan las modalidades (suspenso, aprobado, …,matr.hornor) formando sectores cuya amplitud sea igual o proporcional a las frecuencias correspondientes

ii

ii

i fNn

nNππααπ 222

==⇒=



Variables cuantitativas discretas (valores sin agrupar)

Diagrama de barras


1 1

3 5

4 7

5 15

6 10

7 3

8 2

10 1

44



0

2

4

6

8

10

12

14

16

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Calificaciones

En un eje horizontal se colocan las modalidades (respetando la distancia entre ellas) y se trazan barras cuya longitud sea igual o proporcional a las frecuencias



Variables cuantitativas discretas (valores sin agrupar)Definición de función de distribución o acumulativafunción de distribución o acumulativa

La función de distribución asociada a una variable estadística X que notaremos con F viene dada por:

Donde F(x) es la proporción de elementos en la población que presenta valores inferiores o iguales a x)(

:xFx

RRF→→

Ejemplo: La tabla siguiente muestra las calificaciones de un grupo de alumnos

Calificacionesnº de alumnos

Frec. Abs. Acum.

Frec. Relat.Acum

1 1 1 0,023

3 5 6 0,136

4 7 13 0,295

5 15 28 0,636

6 10 38 0,864

7 3 41 0,932

8 2 43 0,97

Por, ejemplo, según la variable Calificacionesde la tabla podemos afirmar que F(0)=0

F(0,5) = 0; F(1)=1/44=0,023; F(4,5)=13/44=0,295; F(10)=44/44=1; F(20)=44/44=1, etc.

7

10 1 44 1

Pregunta: ¿Qué representa F(2)?Respuesta: Simplemente la proporción de alumnos en la población que tienen 2 o menospuntos de calificación. Mira la tabla y compruebaque esa proporción es justamente 0,023, por lo que F(2)=0,023

Tema 1 Descripción de datos: Estadística descriptiva unidimensional

Variables cuantitativas discretas (valores sin agrupar)Definición de Curva acumulativaCurva acumulativa:

Es la representación gráfica de la función acumulativa

¿Cómo se hace el gráfico?En un eje horizontal se colocan las modalidades (calificaciones), respetando la distancia entre ellasy en eje vertical las frecuencias acumuladas. Se colocan los puntos (xi, Fi) en el plano, se trazansegmentos horizontales, cuyas ordenadas respondan a la definición de F(x). Observa que entre dosmodalidades consecutivas de la variable [xi, xi+1), la función F permanece constante e igual a Fi

(segmento horizontal). La función dará un salto justo en xi+1 que valdrá Fi+1.


Frec. Abs. Acum.

Frec. Relat.Acum

1 1 1 0,023

3 5 6 0,136

4 7 13 0,295

5 15 28 0,636

6 10 38 0,864

7 3 41 0,932

8 2 43 0,977

10 1 44 1

Curva acumulativa

0,023

0,136

0,295

0,636

0,8640,932

0,977 1

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

0 2 4 6 8 10 12

CalificacionesFr

ecue

ncia

Rel

ativ

a Ac

umul

ada

Por ejemplo, observa que para cualquier valor x (abscisa) del intervalo [1,3) el valor de F(x) (ordenada) es 0,023. Ídem para cualquier x de [7,8) el valor F(x) es 0,932


Variables cuantitativas discretas (valores sin agrupar)Curva acumulativaCurva acumulativa:

Un modo visual equivalente se obtiene usando en el eje de ordenadas las frecuencias absolutas acumuladas. Esto sólo supone un cambio de escala en eje Y. Ahora las ordenadas son N por F(x).


Frec. Abs.Acum.

1 1 1

3 5 6

4 7 13

5 15 28

6 10 38

7 3 41

8 2 43

10 1 44

Curva acumulativa

1

6

13

28

3841

43 44

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 2 4 6 8 10 12

Calificaciones

Frec

uenc

ias

abso

luta

s ac

umul

adas

¿Cómo se hace el gráfico?En un eje horizontal se colocan las modalidades (calificaciones), respetando la distancia entre ellasy en eje vertical las frecuencias acumuladas. Se colocan los puntos (xi, Ni) en el plano. Como antes,en los intervalos [xi, xi+1) la curva es constante e igual a N por Fi, es decir, Ni

Dejamos que termines tú el gráfico del ejemplo, ¡ya casi está hecho!


Distribuciones continuas (valores agrupados)Histograma

Con la distribución con modalidades expresadas en intervalos puede construirse el histograma, que consiste en representar en el eje horizontal los extremos de los intervalos y trazar sobre cada intervalo un rectángulo cuyo área sea igual o propor-cional a la frecuencia que le corresponde.

Para construir un rectángulo asociado al intervalo Ii de un área determinada nidebemos conocer base y altura. La base viene dada por la amplitud del intervalo ai = ei – ei-1. La altura, que notamos con hi es el cociente entre el área (ni) y la base (ai)

i

ii

iii

iii

anh

eea

eeI

=

−= −

−

1

1, extremos de intervalo


Ejemplo de HistogramaPrimero determinamos las alturas y amplitudes

i

ii

iii

iii

anh

eea

eeI

=

−= −

−

1

1 , extremos de intervalo

SALARIO nºTRABAJADORES amplitud altura

1000-1200 20 200 0,1

1200-1560 18 360 0,05

1560-2040 48 480 0,1

2040-2400 18 360 0,05

2400-2700 6 300 0,02

Observa que estas fórmulas indicanque las áreas de los rectángulos son

Base x altura = ni

Pregunta: Cómo se ha obtenido la amplitud y altura para la fila 2

Respuesta: amplitud=360=1560-1200; altura=0,05=18/360


Ejemplo de Histogramahi

SALARIO nºTRAB amplitud altura

1000-1200 20 200 0,1

1200-1560 18 360 0,05

1560-2040 48 480 0,1

2040-2400 18 360 0,05

2400-2700 6 300 0,02

20

18

48

186

Salario

1560

1200

1000

2040

2400

2700

0,1

0,05

0,02

Observa que la suma de las áreas los rectángulos del histograma es precisamente N = total trabajadores

Pregunta: ¿Variará el efecto visual o proporcionalidad del gráfico si usamos frecuenciasrelativas, en vez de absolutas, para obtener las alturas del gráfico? ¿qué vale en este caso el área total del histograma?

Respuesta: No varía, dado que todas las alturas se mantendrán proporcionales. El área vale 1.

i

i

i

ii a

Nnafh /==


Ejemplo de Curva acumulativa

En el eje de abscisas se colocan los extremos de los intervalos. En el plano se colocan lospuntos de coordenadas (ei, Fi) o equivalentemente los puntos (ei, Ni). Luego se unen dichospuntos con segmentos.

¿Cómo se hace?

Curva acumulativa

0

20

38

86

104110

0

20

40

60

80

100

120

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Salarios

Frec

. Abs

ol. A

cum

. (Ni

)

SALARIO nº TRABAJ Ni

1000-1200 20 20

1200-1560 18 38

1560-2040 48 86

2040-2400 18 104

2400-2700 6 110

Observa que a diferencia del caso discreto, aquí no sabemos qué vale F(x) para un valor x dentro de los intervalos. Sólo sabemos lo que vale en los extremos superiores, para valores inferiores o iguales a e0 y para valores más altos que el extremo superior del último intervalo.


Medidas de posición centralSon medidas resumen de los datos cuyos

valores se sitúan aproximadamente en el centro de la distribución

Entre los más usados están la Mediana, Media, Moda


MedianaEs la solución de la ecuación F(x)=0,5Idea intuitiva: Supuestos ordenados los datos de menor a mayor, la mediana es un

valor que divide a la población en dos partes iguales. (50% por debajo y 50% por encima)Caso discreto (Recuerda que la función acumulativa presenta saltos en cada xi)

A) Si existe un xi tal que F(xi)=0,5 se toma como mediana el valor (xi+xi+1)/2B) Si existe un xi tal que F(xi-1)<0,5 y F(xi)>0,5, se toma como mediana xi

X Fi

X1=20 0,3

X2=25 0,5

X3=30 0,7

X4=50 1

A)

X Fi

X1=90 0,3

X2=93 0,4

X3=97 0,7

X4=98 1

B)

5,272

3025=

+=Me 97=Me


MedianaEs la solución de la ecuación F(x)=0,5

Caso continuoA) Si existe un Ii tal que F(ei)=0,5 se toma como mediana el valor ei

B) Si existe un Ii tal que F(ei-1)<0,5 y F(ei)>0,5, se interpola con la fórmula:

ii

ii a

fFeMe 1

12/1 −

−−

+=i

i

ii a

nNNeMe 1

12/ −

−−

+=O equivalentemente:

A)B)X Fi

I1=20-25 0,3

I2=25-30 0,5

I3=30-50 0,7

I4=50-55 1

X Fi fi

I1=90-93 0,3

0,4

0,7

1

0,3

I2=93-97 0,4- 0,3=0,1

I3=97-99 0,7- 0,4=0,3

I4=99-100 1- 0,7=0,3

ii

ii a

fFeMe 1

12/1 −

−−

+=

Aplicamos la fórmula que usa frecuencias relativas

970,3 99-97=2

0,4

67,9723,0

4,05,097 =−

+=Me30=Me


ModaCaso discreto: valor o valores de la variable con máxima frecuencia.

Ejemplos:

X Fi

20 0,3

25 0,5

30 0,7

50 1

X ni

90 3

93 4

97 7

98 1

X Fi fi

20 0,3

0,5

0,7

1

0,3

25 0,5-0,3=0,2

30 0,7-0,5=0,2

50 1-0,7=0,3

La distribución presenta dosfrecuencias máximas. Tienedos modas: 20 y 50

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mo=97


ModaCaso continuoCaso continuo: valor o valores de la variable con máxima densidad de frecuencia. Un intervalo modal es aquel que presenta mayor altura o densidad o densidad de frecuencia.

iiiii

iii a

hhhhhheMo

)()( 11

11

+−

−− −+−

−+= donde Ii es el intervalo de máxima

densidad hi (altura del histograma)

Ejemplo: Obtenga mediana y moda en la distribución de los salarios

SALARIOnºTRABAJ

1000-1200 20

1200-1560 18

1560-2040 48

2040-2400 18

2400-2700 6

Nota: Para la moda necesitamos amplitudes y alturasPara la mediana necesitamos frecuencias acumuladasy amplitud del intervalo mediano

iiiii

iii a

hhhhhheMo

)()( 11

11

+−

−− −+−

−+=

ii

ii a

nNNeMe 1

12/ −

−−

+=

SALARIO nº TRABAJ Ni amplitud altura

1000-1200 20 20

38

86

104

110

200 0,1

1200-1560 18 360 0,05

1560-2040 48 480 0,1

2040-2400 18 360 0,05

2400-2700 6 300 0,02

173048048

38551560 =−

+=Me


Moda:i

iiii

iii a

hhhhhheMo

)()( 11

11

+−

−− −+−

−+=

Observa que hay dos intervalos de altura máxima igual a 0,1. Calculamos su valor para el primer intervalo y dejamos el otro para ti.

SALARIO nº TRABAJ Ni amplitud altura

1000-1200 20 20

38

86

104

110

200 0,1

1200-1560 18 360 0,05

1560-2040 48 480 0,1

2040-2400 18 360 0,05

2400-2700 6 300 0,02

33,1133200)05,01,0()01,0(

01,01000 =−+−

−+=Mo

Pregunta: ¿Cómo se interpreta el valor de la mediana 1730?Respuesta: El 50% de los trabajadores tienen salarios menores o iguales a 1730


MediaCaso discreto

N

nxX

k

iii∑

== 1 ∑=

=k

iii fxX

1O equivalentemente:

•Caso continuo: Es exactamente igual, usando como valores de xi las marcas de clase de los intervalos (ci)

∑=

=k

iii fcX

1

Ejemplo: Obtenga la media de X en la distribución siguiente:

X Fi

20 0,3

25 0,5

30 0,7

50 1

Nota: observa que la distribución viene dada en frecuencias relativas acumuladas. Es preciso previamente obtener las frecuencias relativas sin acumular.

X Fi fi

0,3 0,3

0,2

0,2

0,3

0,5

0,7

1

Xi*fi

20 6=20*0,3

25 5=25*0,2

30 6=30*0,2

50 15=50*0,3

32156561

=+++==∑=

k

iii fxX


MediaCaso continuoEjemplo: Obtenga la media salarial en la distribución siguiente

SALARIO nº TRABAJ

1000-1200 20

1200-1560 18

1560-2040 48

2040-2400 18

2400-2700 6

N

nxX

k

iii∑

== 1

Se necesita calcular previamente el total de trabajadores (N), las marcas de clase (ci) y los productos ci*ni.

SALARIO nº TRABAJ ci ci*ni

1000-1200 20 1100 22000

1200-1560 18 1380 24840

1560-2040 48 1800 86400

2040-2400 18 2220 39960

2400-2700 6 2550 15300

110 188500

64,1713110

15300...2200001 =++

==∑=

N

nxX

k

iii


Otras medidas de posición: CuantilesSon medidas resumen de los datos cuyos valores dividen a la

población en partes iguales.Dado un valor alfa comprendido entre 0 y 1, se denomina cuantil de

orden alfa a la solución de la ecuación F(x)=alfa, siendo F la función acumulativa.

Entre los más usados están los Cuartiles, los Deciles y los Percentiles, los cuales dividen a la población en 4, 10 y 100 partes iguales, respectivamente.Cuartiles:

primer cuartil, Q1, de orden 0,25

75,0)3(75,04/35,0)2(5,04/225,0)1(25,04/1

=========

QFQFQF

ααα

segundo cuartil, Q2, de orden 0, 5

tercer cuartil, Q3, de orden 0,75

Q325% 25% 25% 25%Q1 Q2


Otras medidas de posición: Deciles y Percentiles

10iF(Di)9 ..., 2, 1,i 10/ === iα decil , Di, de orden i/10

De modo similar se definen los percentiles de órdenes

100iF(Pi)99 ..., 2, 1,i 100/ === iα Percentil , Pi, de orden i/100

Cálculo de un cuantil de orden alfa

Caso discreto (Recuerda que la función acumulativa presenta saltos en cada xi)A) Si existe un xi tal que F(xi)=alfa se toma como cuantil el valor (xi+xi+1)/2B) Si existe un xi tal que F(xi-1)<alfa y F(xi)>alfa, se toma como cuantil xi

Caso continuoA) Si existe un Ii tal que F(ei)=alfa se toma como cuantil el valor eiB) Si existe un Ii tal que F(ei-1)<alfa y F(ei)>alfa, se interpola con la fórmula:

ii

ii a

nNNeC 1

1−

−−⋅

+=α

αO equivalentemente i

i

ii a

fFeC 1

1−

−−

+=α

α

Tema 1

Medidas de dispersiónSon medidas resumen de los datos cuyos

valores indican la mayor o menor variabilidad de los valores de la variable. Algunas de estas medidas como la varianza, desviación típica, etc., miden esta variabilidad respecto alguna medida de tendencia central como la media.

Entre los más usados están la Varianza, desviación típica, Recorrido o rango,

recorrido intercuartílico, Coeficiente de variación de Pearson.

Tema 1

VarianzaEs la media de las desviaciones al cuadrado de los valores de la variable respecto a su media

N

nXxXV

k

iii∑

=

−== 1

2

2)(

)( σ∑=

−==k

iii fXxXV

1

22 )()( σO Equivalente

2

1

2)( XfxXVk

iii −=∑

=2

1

2

)( XNnxXV

k

i

ii −=∑=

O Equivalente

Desviación típica

Es la raíz cuadrada de la varianza

N

nXxk

iii∑

=

−= 1

2)(σ

Tema 1

Rango o RecorridoR = es la diferencia entre el máximo y mínimo valores

de la variableRecorrido intercuartílicoRIQ=es la diferencia entre el tercer y primer cuartilRIQ = Q3-Q1Coeficiente de variación de PearsonEs el cociente entre la desviación típica y la media

XCVP σ

=

Nota: La ventaja de CVP es que es una medida de dispersión relativa ypermite efectuar comparaciones entre poblaciones. Se dirá que una variablees más o menos dispersa en una población u otra según sea mayor o menor el correspondiente coeficiente de variación de Pearson.

Tema 1

EjemploLa distribución de la edad de un grupo de escolares en un centro es la siguiente

EdadAños

N º escolares

567810

1207580601

Vamos a calcular la varianza, desviacióntípica, Recorrido, RIQ y CVP

R = 10-5=5 años

XCVP σ

=

Tema 1Ejemplo (Continuación)Para el cálculo de media, varianza, desviación típica y coeficiente de variación de Pearson necesitamos las columnas añadidas a la tabla original

Edad N º escolares xi*ni xi^2*ni

5 120 600 3000

6 75 450 2700

7 80 560 3920

8 60 480 3840

10 1 10 100

336 2100 13560

138,1295,1 ==σ

25,633621001 ===

∑=

N

nxX

k

iii

295,125,6336

13560)( 22

1

2

=−=−=∑=

XNnxXV

k

i

ii

182,025,6

138,1===

XCVP σ

Tema 1Ejemplo (Continuación)Para el cálculo del recorrido intercuartílico necesitamos el primer y tercer cuartiles. Las columnas de frecuencias acumuladas nos permite realizar el cálculo

25,0)1(25,0 =→= QFα

Edad N ºescolares

Ni Fi

5 120 120 0,35714286

6 75 195 0,58035714

7 80 275 0,81845238

8 60 335 0,99702381

10 1 336 1

75,0)3(75,0 =→= QFα

Observa que el primer valor Fi que supera 0,25 es 0,3357 al que corresponde un valor de la edad igual a 5 años

El primer valor Fi que supera 0,75 es 0,8184 al que corresponde un valor de la edad igual a 7 años

Q1=5; Q3=7; RIQ=7-5=2

Tema 1

Gráfico CajaEs una síntesis gráfica de la distribución de frecuencias propia del análisis

exploratorio de datos.Términos necesarios para su construcción:

Fronteras interioresFrontera interior inferior f1=Q1-1,5RIQFrontera interior superior f2=Q3+1,5RIQ

Fronteras exterioresFrontera exterior inferior F1=Q1-3RIQFrontera exterior superior F2=Q3+3RIQ

Valores adyacentes:Valor adyacente inferior VAI=valor en la distribución más próximo por exceso a la frontera interior inferior.Valor adyacente superior VAS=valor en la distribución más próximo por defecto a la frontera interior superio

Valores anómalosMedios

Inferiores: valores de la distribución entre F1 y f1.Superiores: valores de la distribución entre f2 y F2

extremosInferiores: valores de la distribución menores a F1Superiores: valores de la distribución mayores a F2

Tema 1

Gráfico Caja

Q1 Me Q3

VAI VAS*

AnómaloExtremosuperior

AnómalosMedios interiores

Tema 1

EjemploLa distribución de la edad de un grupo de escolares en un centro es la siguiente

EdadAños

N º escolares

567812

1207580601

Vamos a calcular el gráfico Caja.

R IQ=2; Q1= 5; Q3=7; Me=6

Factor escala= 1,5 RIQ= 3

f1=5-3=2 F1=5-6=-1 VAI=5

f2=7+3=10 F2=7+6=13 VAS=8

No hay valores anómalos inferiores (ni medios, ni extremos). Hay un valor anómalo medio (12)

5 6 7 8 12

Tema 1

Índice de GINIEs una medida de concentración muy utilizada con variables de tipo económico, tales

como salarios, ingresos, gastos, etc. Permite conocer el grado de igualdad que existe en el reparto del total de una variable.

X n xn Ni Qi Fi qi

x1 n1 X1 n1 N1 Q1 F1 q1

x2 n2 X2 n2 N2 Q2 F2 q2

… … … … … … …

i ni Xi ni Ni Qi Fi qi

… … … … … … …

xk nk Xk nk Nk=N Qk=Total Fk=1 qk=1

N Total

Tema 1Índice de GINI

Cálculos necesarios:

∑

∑

=

=== k

jjj

i

jjj

ii

nx

nx

TotalQq

1

1∑=

=+++=i

jjjiii nxnxnxnxQ

12211 ...

( )

∑

∑−

=

−

=

−= 1

1

1

1k

ii

k

iii

GINI

F

qFI

Donde Fi = frecuencia relativa acumulada y Qi y qi son los valores de las cantidades absolutas y relativas acumuladas.

Tema 1Índice de GINI: EJEMPLO

SALARIO nº TRABAJ ci ci*ni Ni Qi Fi qi Fi - qi

1000-1200 20 1100 22000 20 22000 0,182 0,117

0,248

0,707

0,919

1

0,065

1200-1560 18 1380 24840 38 46840 0,345 0,097

1560-2040 48 1800 86400 86 133240 0,782 0,075

2040-2400 18 2220 39960 104 173200 0,945 0,027

2400-2700 6 2550 15300 110 188500 1

( )117,0

945,0...345,0182,0027,0...097,0065,0

1

1

1

1 =++++++

=−

=

∑

∑−

=

−

=k

ii

k

iii

GINI

F

qFI

Tema 1

Curva de Lorenz

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Fi

qi

Curva de LorenzRepresentación gráfica de los puntos (Fi, qi)

(vea tabla anterior)

(0,182, 0,117)(0,345, 0,248)

Tema 1ANEXO teórico:

Comportamiento de la media frente a transformaciones lineales

Si se añade una constante A a los valores de una variable X, la nueva variable, Y=X+A, presenta una media igual a la de X más la constante A.

Si se multiplican los valores de una variable X por una constante B, la nueva variable Y=BX presenta una media igual a la de X por la constante B

En resumen:

Dada la variable X de media

XLa variable Y=BX+A tiene media igual a

AXBY +=


Comportamiento de la varianza frente a transformaciones lineales

Si se añade una constante A a los valores de una variable X, la nueva variable, Y=X+A, presenta una varianza igual a la de X.

Si se multiplican los valores de una variable X por una constante B, la nueva variable Y=BX presenta una varianza igual a la de X por la constante B al cuadrado

En resumen:

Dada la variable X de varianza V(X)

La variable Y=BX+A tiene varianza igual a

)()( 2 XVBYV =


Tipificación o estandarizaciónDada una variable X, se denomina tipificación a la transformación lineal consistente en restar la media y dividir por la desviación típica La nueva variable generada se denomina variable estandarizada o tipificadaGeneralmente se nota con la letra Z. Su media y desviación típica son respectivamente 0 y 1.

σXXZ −

=

Aplicando lo visto para esta transformación lineal

1;0 == ZZ σ

Documents

Tema 1 Descripción de datos: Estadística descriptiva …mvargas/tema1sd.pdf · 2012. 5. 8. · Tema 1 Descripción de datos: Estadística descriptiva unidimensional Ejemplo: Distribución