TECNOLÓGICO DE ESTUDIO SUPERIORES DE TIANGUISTENCO

NOMBRE DE LA ASIGNATURA:

INVESTIGACION DE OPERACIONES 1

NOMBRE DEL TRABAJO:INVESTIGACION BIBLIOGRAFICA

Unidad 3- DUALIDAD Y ANALISIS DE SENSIBILIDAD

NOMBRE DE LOS INTEGRANTES DEL EQUIPO:ROSA HERNANDEZ CERON

ABRAHAM ALONSOALEXIS BENJAMIN CESAR MANDUJANO

ALEXIS DANIEL MARTINEZKARL HANSSEN SIGURD

EDI URIAS

NOMBRE DEL PROFESORSARAI

TIANGUISTENCO, MÉX., 19 DE OCTUBRE DE 2013.

INDICE

3.1. Teoría primal-dual3.2. Formulación del problema dual.3.3. Relación primal-dual.3.4. Dual-Simplex3.5. Análisis de sensibilidad: cambio en el vectorrecursos (bj) y sus limites, cambio en el vector(Ci) y sus limites, adición de una variable (Xi),cambio en coeficientes tecnológicos (aij),Adición de una nueva restricción3.6. Interpretación del análisis de sensibilidad3.7. Uso de software

INTRODUCCION

Encontrar el óptimo de un problema de optimización, es solo una parte del proceso de solución. Muchas veces nos interesara saber cómo varia la solucion si varıa alguno de los parámetros del problema que frecuentemente se asumen como determinísticos, pero que tienen un carácter intrínsecamente aleatorio. Más especialmente nos interesara saber paraqué rango de los parámetros que determinan el problema sigue siendo válida la solución encontrada.

CONCLUSION

BIBLIOGRAFIA

UNIDAD 3 DUALIDAD Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

La asignación de probabilidades a los eventos es una tarea difícil que muchos gerentes pueden mostrarse difícil a hacer, por lo menos con cierto grado de exactitud. En algunos casos prefieren decir “creo que la probabilidad de que este evento ocurra está entre 0.5 y 0.7”. Bajo estas circunstancias, como en cualquier aspecto de decisión gerencial, es útil realizar un análisis de sensibilidad para determinar cómo afecta a la decisión la asignación de probabilidades.El análisis de sensibilidad concierne el estudio de posibles cambios en la solución óptima disponible como resultado de hacer cambios en el modelo original.

Definiciones generales del Análisis de sensibilidad

Efecto neto.- Es la ganancia o pérdida por unidad adicional de una variable que entra a la base. El efecto neto de una variable básica siempre será cero.

Cambios en los coeficientes de la función objetivo.

El cambio de una variable se interpretaría, por ejemplo, como en incremento en el precio de un producto para un objetivo de maximización, o como la disminución en el costo de una materia prima para un objetivo de minimización. 

Finalmente, se estudiara por separado si la modificación es para una variable no-básica o para una básica, ya que las consecuencias en cada caso son muy diferentes.

Cambios en el coeficiente Objetivo de una variable No-básica.

Es importante mencionar que una variación en el coeficiente de una variable no-básica, no necesariamente conlleva a una infracción no mejorada a la solución óptima actual, aunque en ciertas ocasiones si lo haga.

3.1. TEORÍA PRIMA-DUAL.

El problema dual se define sistemáticamente a partir del modelo de PL primal (u original). Los dos problemas están estrechamente relacionados en el sentido de que la solución óptima de uno proporciona automáticamente la solución óptima al otro.

En la mayoría de los tratamientos de PL, el dual se define para varias formas del primal según el sentido de la optimización (maximización o minimización), los tipos

de restricciones (≤ ,≥,o=¿), y el signo de las variables (no negativas o restrictivas). Requiere expresar el problema primal en la forma de ecuación (todas las restricciones son ecuaciones con lado derecho no negativo, y todas las variables son negativas). Este requerimiento es consistente, de ahí que cualesquier resultados obtenidos a partir de la solución óptima primal se aplica diferente al problema dual asociado.

Las ideas clave para construir el dual a partir del primal se resumen como sigue:

1. Asigne un variable dual por cada restricción primal.2. Construya una restricción dual por cada variable primal.3. Los coeficientes de restricción y el coeficiente objetivo de la variable

primal j-ésima definen respectivamente los lados izquierdos y derecho de la restricción dual j-ésima.

4. Los coeficientes objetivo duales son iguales a los lados derechos de las ecuaciones de restricción primales.

5. Las reglas rigen el sentido de la optimización de las desigualdades y los signos de las variables en el dual.

3.2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DUAL.

Hemos visto como la programación lineal puede ser usada para resolver una extensa variedad de problemas propios de los negocios, ya sea para maximizar utilidades o minimizar costos. Las variables de decisión en tales problemas fueron, por ejemplo, el número de productos a producir, la cantidad de pesos a emplear, etc. En cada caso la solución óptima no explicó cómo podrían ser asignados los recursos (ejemplo: materia prima, capacidad de las máquinas, el dinero, etc.) para obtener un objetivo establecido. 

En este capítulo veremos que a cada problema de programación lineal se le asocia otro problema de programación lineal, llamado el problema de programación dual. La solución óptima del problema de programación dual, proporciona la siguiente información respecto del problema de programación original:

1. La solución óptima del problema dual proporciona los precios en el mercado o los beneficios de los recursos escasos asignados en el problema original. 

2. La solución óptima del problema dual aporta la solución óptima del problema original y viceversa. 

REGLAS PARA CONSTRUIR EL PROBLEMA DUAL

Objetivo del problema primal ª

Problema dual

Objetivo Tipo de restricciónSigno de las

variablesMaximización Minimización ≧ IrrestrictaMinimización Maximización ≦ Irrestricta

PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN

Restricciones Variables≧ ↔ ≦0≦ ↔ ≧0= ↔

Restricciones irrestrictasVariables

≧0 ↔ ≧≦0 ↔ ≦

Irrestrictas ↔ =

EJEMPLO:

Una compañía produce y vende 2 tipos de máquinas de escribir: manual y eléctrica. Cada máquina de escribir manual es vendida por un ingreso de 40 dls. y cada máquina de escribir eléctrica produce un ingreso de 60 dls. Ambas máquinas tienen que ser procesadas (ensambladas y empacadas) a través de 2 operaciones diferentes (O1 y O2).

La compañía tiene una capacidad de 2000 hrs. Mensuales para la operación O1 y 1000 hrs. Mensuales de la operación O2. El número de horas requeridas de O1 y O2 para producir un modelo terminado se da en la siguiente tabla.

HORAS REQUERIDAS CAPACIDADOPERACIÓN MANUAL ELECTRICA (HRS

MENSUALES)O1 3 2 2000O2 1 2 1000

Encuentre el número óptimo de unidades de cada tipo de máquina de escribir que se debe producir mensualmente para maximizar el ingreso.

OBJETIVO: Maximizar el ingreso total RESTRICCIONES: horas mensuales de las operaciones VARIABLE DE DECISION: número de máquinas de escribir a producir

X1 = número de máquinas de escribir manualesX2 = número de máquinas de escribir eléctricas  Maximizar  Z= 40 X1 + 60X2 

 Sujeto a: 3 x1+2 x2≤2000x1+2x2≤1000x1 , x2≥0

 Minimizar Z=2000 W1 + 1000 W2

Sujeto a: 3w1+w2≥40

2w1+2w2≥60w1,w2≥0

V. Básica Z W1 W2 S1 S2 Solución

Z 1 0 0 5 25 35000S1 0 1 0 1/ 2 -1/2 500W1 0 0 1 -1/ 4 3/ 4 250

Solucion óptima dual:

W 1=5W 2=25S1=0S2=0

Z=35000

Solucion optima primal:

X1=500X2=250S1=0S2=0

Z=35000

TAHA HAMDY A. Investigación de Operaciones. 9na edición. Ed., PEARSON EDUCACIÓN, México, 2012. Pág. 137- 174.

Monks Joseph G. Administración de Operaciones. Ed. Mc GRAW-HILL, México. Pag. 49-71.

3.3 DUALIDAD EN PROGRAMACION LINEAL

(Relaciones primal-dual)

Asociado a cada problema lineal existe otro problema de programación lineal denominado problema dual (PD), que posee importantes propiedades y relaciones notables con respecto al problema lineal original, problema que para diferencia del dual se denomina entonces como problema primal (PP).Las relaciones las podemos enumerar como siguen:a) El problema dual tiene tantas variables como restricciones tiene el programa primal.b) El problema dual tiene tantas restricciones como variables tiene el programa primalc) Los coeficientes de la función objetivo del problema dual son los términos independientes de las restricciones o RHS del programa primal.d) Los términos independientes de las restricciones o RHS del dual son los coeficientes de la función objetivo del problema primal.e) La matriz de coeficientes técnicos del problema dual es la traspuesta de la matriz técnica del problema primal.f) El sentido de las desigualdades de las restricciones del problema dual y el signo de las variables del mismo problema, dependen de la forma de que tenga el signo de las variables del problema primal y del sentido de las restricciones del mismo problema. g) Si el programa primal es un problema de maximización, el programa dual es un problema de minimización.h) El problema dual de un problema dual es el programa primal original.

Los problemas duales simétricos son los que se obtienen de un problema primal en forma canónica y ‘normalizada’, es decir, cuando llevan asociadas desigualdades de la forma mayor o igual en los problemas de minimización, y desigualdades menores o iguales para los problemas de maximización.

¿Porqué se plantea el programa dual?¿Qué significado tiene su solución?¿ La solución del dual se puede obtener desde el primal?

Por una parte permite resolver problemas lineales donde el número de restricciones es mayor que el número de variables.Gracias a los teoremas que expondremos a continuación la solución de unos de los problemas (primal o dual) nos proporciona de forma automática la solución del otro programa.La dualidad permite realizar importantes interpretaciones económicas de los problemas de programación lineal.

La dualidad permite generar métodos como el método dual del simplex de gran importancia en el análisis de pos optimización y en la programación lineal paramétrica.

Bibliografía o cibergrafia

investigaciondeoperaciones.net/dualidad_en_programacion_lineal...

3.4 DUAL SIMPLEX

2.1 Teoría del método simplex

Para poder aplicar el método simplex a un modelo de programación lineal es necesario que este se encuentre en su forma estándar.

La forma estándar.

Las características de la forma estándar son:

1.-Todas las restricciones son ecuaciones excepto para las restricciones de no

negatividad que permanecen como desigualdades.

2.-Los elementos del lado derecho de cada ecuación son no negativos.

3.-Todas las variables son no negativas.

4.-la función objetivo es del tipo de Maximización o minimización.

Transformaciones elementales.

1.-Las restricciones de desigualdad pueden cambiarse por ecuaciones introduciendo en el

lado izquierdo de cada una de tales restricciones una variable no negativa.(estas nuevas

variables se conocen como variables de holgura o superavit las cuales se sumaran si la

desigualdad es (Holgura) y se restaran si la desigualdad es (Superávit o exceso).

2.-El signo del lado derecho (-) puede eliminarse multiplicando la ecuación por  (-1) en

caso de que sea necesario.

3.-Una restricción de desigualdad con su lado izquierdo en forma de valor absoluto puede

cambiarse a dos desigualdades, la desigualdad contraria a la original se le antepone el

signo negativo a su lado derecho.

4.-Una variable que es irrestricta en signo ( esto es positiva, negativa o cero) es

equivalente a la  diferencia entre dos variables no negativas por consiguiente si X es

irrestricta en signo puede remplazarse por (X+-X-) donde X+  y X-  son  0.

5.-Una desigualdad en una dirección ( o ) puede cambiarse a una desigualdad opuesta

( o ) multiplicando ambos lados por (-1).

6.-Una ecuación puede ser remplazada por dos desigualdades en direcciones opuestas.

7.-La minimización de una función f(x), es matemáticamente equivalente a la

maximización de la expresión negativa de esta función –f(x), y viceversa.

El método simplex.

Podemos decir que es la determinación algebraica de los puntos extremos del espacio de soluciones factibles (método gráfico), partiendo de la forma estándar. En la cual tenemos un sistema con m ecuaciones y n incógnitas.La diferencia entre el número de ecuaciones y las incógnitas nos dan el número de

variables que son iguales a cero en un punto extremo, las cuales son llamadas variables

no básicas, y las variables restantes son llamadas básicas.

El método simplex inicia con un punto extremo o solución factible básica.

1.-La función objetivo se presenta como una ecuación y al pasarla a la tabla simplex

cambian de signo los coeficientes de la función objetivo.

2.-Se coloca toda la información en una tabla.

3.-El siguiente paso es determinar una solución básica factible ( punto extremo). El

método simplex hace esto eligiendo una variable no básica a la cual se le conoce como

la variable que entra (se convertirá en básica) y una variable básica que se le conoce

como la variable que sale ( se convertirá en no básica). La que entra está determinada por

la condición de optimidad y la que sale por la condición de factibilidad.

4.-Condición de optimidad.- Dada la ecuación X0 (función objetivo) expresada en función

de las variables no básicas solamente, se elige la variable que entra en maximización

como la variable no básica que tiene el mayor coeficiente negativo y en minimización

como la variable no  básica que tiene el mayor coeficiente positivo, en la ecuación X0. Un

empate entre dos variable no básicas o más se rompe arbitrariamente. Cuando los

coeficientes del lado izquierdo de la ecuación X0 (Función objetivo) son no negativos

(maximización) o no positivos (minimización) se ha llegado al punto óptimo.

5.-Condición de factibilidad.-La variable que sale es la variable básica correspondiente al

cociente más pequeño de los valores actuales de las variables básicas entre los

coeficientes positivos de las restricciones de la variable que entra. Un empate puede

romperse arbitrariamente.

http://itsuiiideo1.blogspot.mx/2012/02/21-teoria-del-metodo-simplex.html

3.5 ANALISIS DE SENSIBILIDAD

El análisis de sensibilidad busca determinar los efectos que se producen en la solución óptima al realizar cambios en cualquiera de los parámetros del modelo de programación lineal planteado inicialmente. Entre los cambios que se investigan están: los cambios en los coeficientes de las variables en la función objetivo tanto para variables básicas como para las variables no básicas, cambios en los recursos disponibles de las restricciones, variación de los coeficientes de utilización en las restricciones e introducción de una nueva restricción.

El objetivo principal del análisis de sensibilidad: es identificar el intervalo permisible de variación en los cuales las variables o parámetros pueden fluctuar sin que cambie la solución óptima.  Sin embargo, así mismo se identifica aquellos parámetros sensibles, es decir, los parámetros cuyos valores no pueden cambiar sin que cambie la solución óptima.  Los investigadores de operaciones tienden a prestar bastante atención a aquellos parámetros con holguras reducidas en cuanto a los cambios que pueden presentar, de forma que se vigile su comportamiento para realizar los ajustes adecuados según corresponda y evitar que estas fluctuaciones pueden desembocar en una solución no factible.

A modo general, cuando se realiza un análisis de sensibilidad a una solución óptima se debe verificar cada parámetro de forma individual, dígase los coeficientes de la función objetivo y los límites de cada una de las restricciones. En ese sentido se plantea el siguiente procedimiento:

1. Revisión del modelo: se realizan los cambios que se desean investigar en el modelo.

2. Revisión de la tabla final Símplex: se aplica el criterio adecuado para determinar los cambios que resultan en la tabla final Símplex.

3. Conversión a la forma apropiada de eliminación Gauss: se convierta la tabla en la forma apropiada para identificar y evaluar la solución básica actual, para lo cual se aplica la metodología de eliminación Gauss si es necesario. 

4. Prueba de factibilidad: se prueba la factibilidad de esta solución mediante la verificación de que todas las variables básicas de la columna del lado derecho aun tengan valores no negativos. 

5. Prueba de optimalizad: se verifica si esta solución es optima y factible, mediante la comprobación de que todos lo coeficientes de las variables no básicas del reglón Z permanecen no negativos. 

6. Re-optimización: si esta solución no pasa una de las pruebas indicadas en los puntos 4 y 5 anteriores, se procede a buscar la nueva solución optima a partir de la tabla actual como tabla Símplex inicial, luego de aplicadas las conversiones de lugar, ya sea con el método Símplex o el Símplex Dual. 

Aplicación del análisis de sensibilidad

Este análisis casi siempre comienza con la investigación de los cambios en los valores de las bi, la cantidad del recurso i (i = 1, 2,. . ., m) que se encuentra disponible para las actividades bajo consideración. La razón es que en general existe mayor flexibilidad al establecer y ajustar estos valores que los otros parámetros del modelo. La interpretación económica de las variables duales (las yi) como precios sombra es extremadamente útil para decidir cuáles son los cambios que se deben estudiar.

Primer caso: Cambios en las b i (columna lado derecho)

Supongamos que los únicos cambios al modelo actual consisten en el cambio de uno o más de los parámetros bi (i = 1, 2,. . ., m). En este caso, los únicos cambios que resultan en la tabla simplex final se encuentran en la columna del lado derecho, por lo cual, se pueden omitir del procedimiento general tanto la conversión a la forma apropiada de eliminación de Gauss como la prueba optimalidad.

Segundo caso: Cambios en los coeficientes de una variable no básica

Considere una variable específica xj (j fija) que sea no básica en la solución óptima dada en la tabla simplex final. El caso 2a es aquel en el que los únicos cambios al modelo actual ocurren en uno o más de los coeficientes de esta variable, cj, a1j, a2j........, amj. Entonces, si cj y aij, denotan los nuevos valores de estos parámetros con Aj, (columna j de la matriz A) como el vector que contiene a aij, se tiene para el modelo revisado.

Tercer caso: Cambios en los coeficientes de una variable básica

Ahora suponga que la variable xj (con j fija) que se está estudiando es una variable básica en la solución óptima que se muestra en la tabla simplex final. El caso 3 supone que los únicos cambios al modelo actual se hacen en los coeficientes de esta variable.

El caso 3 difiere del 2a debido al requisito de que la tabla simplex debe estar en la forma apropiada de eliminación de Gauss. Esta forma permite que los elementos en la columna de una variable no básica tengan cualquier valor, así que no afecta en el caso 2a. Sin embargo, para el caso 3 la variable básica xj debe tener coeficiente 1 en su renglón de la tabla simplex y coeficiente 0 en todos los demás renglones (incluyendo el renglón 0). Por lo tanto, una vez que se han calculado los cambios en la columna xj de la tabla simplex final, es probable que sea necesario aplicar la eliminación de Gauss para restaurar la forma apropiada. Este paso, a su vez, quizá cambie los valores de la solución básica actual, y puede hacerla no factible o no óptima (con lo que puede ser necesario re optimizar).

Cibergrafias o citas:

http://www.investigaciondeoperaciones.net/analisis_de_sensibilidad.html

http://www.academia.edu/949983/Bases_de_la_investigacion_cualitativa._Tecnicas_y_procedimientos_para_desarrollar_la_Teoria_Fundamentada

3.6 INTERPRETACION DEL ANALISIS DE SENSIBILIDAD

3.7 USO DE SOFTWARE

Si bien el objetivo del planteamiento y resolución de los problemas de programación lineal (pl) es encontrar la solucion optima, esto es, el valor de cada una de las variables del problema, de las variables de holgura y el valor máximo (o mínimo) que puede obtener la función objetivo (fo), el trabajo no termina allí. El análisis de sensibilidad pos-optimalizar que se presenta en esta unidad es tan importante como la solucion óptima para la toma de decisiones.Max (Min) S ci xi.S aji xi ≤ bjxi ≥ 0donde se suponen conocidos los valores de los coeficientes aij , bj y ci; esto quiere decir que el modelo está totalmente determinado.

El análisis de sensibilidad permite estudiar como las variaciones en los valores de los coeficientes del modelo modificaran la solucion optima sin tener que resolver el problema para las distintas posibilidades. Este análisis constituye una parte muy importante en el estudio de los problemas de pl.La justificación formal del análisis de sensibilidad la da el estudio del problema dual al problema principal que se está viendo. Las relaciones entre la solucion del problema dual y el primal permiten calcular otros parámetros como los precios sombra de los recursos, los límites de variación aceptables para que no se modifique la solucion optima, las holguras complementarias o como cambiarían las cosas si se debe introducir una nueva restricción. Todos estos parámetros se pueden analizar de manera analítica, aunque no se hara en el presente texto pues el enfoque es aprender por medio del análisis de problemas.

Análisis de sensibilidad: interpretación gráficaEl análisis de sensibilidad estudia los efectos sobre la solucion optima debidos a:a) cambios en los coeficientes de la FO,b) cambios en la disponibilidad de los recursos,c) cambios en los coeficientes técnicos debidos, por ejemplo, a cambios en la tecnología o en las materias primas utilizadas,d) la introducción de un nuevo producto (otra variable),e) la introducción de una nueva restricción.Centraremos el análisis en los puntos a, b y e ya que son los que suelen cambiar más a menudo y son fáciles de visualizar con el método gráfico. Los cambios en los coeficientes técnicos solo ocurren cuando se cambia la tecnología de producción, por ejemplo, por cambios en el proceso o la introducción de maquinaria, y esto no ocurre frecuentemente y puede ameritar un análisis completamente diferente.

Ejemplo:Para realizar el análisis se utilizara el mismo ejemplo que se usó en la unidad 4 para introducir el método Simplex. El modelo de pl para el ejemplo es este:Variables de decisión:X1: cantidad de articulo a a producirX2: cantidad de articulo b a producirFunción objetivo:Max U = 150x1 + 200x2Restricciones:Mano de obra: 8x1 + 8x2 ≤ 64 horasMaterias primas: 4x1 + 2x2 ≤ 24 unidadesDemanda: x2 ≤ 6 artículosSu solucion grafica se muestra en la gráfica, en la que se indica que la solucionoptima será 2 unidades del artículos a y 6 del b, obteniendo una utilidad de $1 500.

Optimal Decisiones (x1, x2) : (2, 6): 8x1 + 8x2 _ 64: 4x1 + 2x2 _ 24: 0x1 + 1x2 _ 6

TAHA, AMDY A. INVESTIGACION DE OPERACIONES PEARSON EDUCACION, 2004(169-171)

Uso del software

Consideremos nuevamente el ejemplo utilizado en la presentación del tutorial de Solver de Excel.

Los resultados de este modelo de Programación Lineal son los siguientes: Solución Óptima: X=4, Y=10, Z=36. Valor Óptimo: V(P)=6.620 como se muestra en la siguiente imagen:

2

12

10

8

6

4

2

10 8 6 4 12

4x1 +2x2=24

8x1 +8x2=64

0x1 +1x2=6

150x1 +200x2=1500

Una vez que se obtiene la solución óptima se puede requerir varios informes, sin embargo, nos concentraremos en el informe de Sensibilidad. La imagen a continuación ha sido levemente editada y corresponde a dicho informe. La columna en amarillo corresponde al coeficiente objetivo sumado al aumento permisible (Max) y restado a la disminución permisible (Min).

Existe una división en cuanto a los informes: "Celdas cambiantes" (o variables de decisión) y "Restricciones".

CONCLUSION-

Hay que considerar que todo problema de programación lineal tiene, asociado a él, un problema dual de programación lineal. Existen ciertas relaciones útiles entre el problema original (primal) y su problema dual que refuerzan la habilidad para analizar el problema original. Por ejemplo, la interpretación económica del problema dual proporciona los precios sombra que miden el valor marginal de los recursos en el problema primal, al igual que permite dar una interpretación del método simplex. Puesto que el método simplex se puede aplicar directamente a cualquiera de los dos problemas para obtener la solución de ambos al mismo tiempo, es posible ahorrar una gran cantidad de esfuerzo computacional si se maneja directamente el problema dual.